Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

46
Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003

Transcript of Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Page 1: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Vaaglogica en haar toepassingen

Chris Cornelis

Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003

Page 2: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Overzicht

• Situering• Vaaglogica• Vaagfeiten en vaagregels• Vaaginferentie• Defuzzificatie

Page 3: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Vanuit het abstracte ...

• “Zich bewust zijn dat men redeneert, is zich bewust zijn dat men bestaat” (Aristoteles, 350 v. Chr.)

• “Het menselijk denken is te herleiden tot wiskundige

structuren” (Boole, 1854)

Page 4: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Vanuit het abstracte ...

• “Het moet mogelijk zijn robots intelligenter te maken dan de mens, want intelligentie bestaat uit logica en gezond verstand dat wiskundig kan worden voorgesteld.” (John McCarthy)

• “Benaderend redeneren (~vaaglogica) is een bepaald soort redeneren dat noch erg exact, noch erg inexact is”(Zadeh, 1973)

Page 6: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

… naar het concrete

- camera’s, ijskasten, droogmachines, …- vloeistofcontrole, beveiliging kerncentrales, luchtvaartnavigatie, ...

Page 7: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Het succes van vaaglogica

• “Fuzzy logic” werd uitgevonden in de Verenigde Staten

• De meest prominente onderzoeks-groepen zijn gevestigd in Europa

• Patenten voor toepassingen zijn nagenoeg allemaal in het bezit van Oostaziatische bedrijven!

Page 8: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

De schaduwkant: What ’s in a name?

“Look, this [Al Gore] is a man, he's got great numbers. He talks about numbers. I'm beginning to think not only did he invent the Internet, but he invented the calculator. It's fuzzy math.”

“Does the U.S. Nuclear Posture Review Use Fuzzy Math?”(WWW, 2002)

Page 9: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Oost vs. West: deYin-Yang theorie

“The term “fuzzy” carries a negative connotation in the western culture. The term “fuzzy logic” seems to both misdirect the attention and to celebrate mental fog. On the other hand, eastern culture embraces the concept of coexistence of contradictions as it appears in the Yin-Yang symbol. While Aristotelian logic preaches A or Not-A, Buddhism is all about A and Not-A” (S.Mohaghegh,2000)

Page 10: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

De vaaglogische wasautomaat

• Probleemstelling - benodigde wastijd is sterk afhankelijk van het type en de mate van vuilheid - energie besparen waar we kunnen: wastijd minimaliseren

• Middelen - sensor mechanisme om relevante parameters te bepalen - vaagcontrole-eenheid om de wastijd te berekenen

Page 11: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Overzicht

• Situering• Vaaglogica• Vaagfeiten en vaagregels• Vaaginferentie• Defuzzificatie

Page 12: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Vaaglogische operatoren

• Uitbreiding van de klassieke logische negatie (), conjunctie () en disjunctie () :

- negatoren (complement-operatoren)

- driehoeksnormen (doorsnede-operatoren)

- driehoeksconormen (unie-operatoren)

• Hier voegen we nu aan toe: implicatoren (uitbreiding van de klassieke logische implicatie )

Page 13: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Implicatoren op [0,1]

• I is een implicator indien I voldoet aan de volgende randvoorwaarden:

I(0,0) = 1 I(1,0) = 0 I(0,1) = 1 I(1,1) = 1

en de volgende monotoniciteitsvoorwaarden:

eerste partiële afbeeldingen van I zijn dalend, tweede partiële afbeeldingen van I zijn stijgend

Page 14: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Classificatie van Implicatoren

• Een randimplicator I is een implicator die bijkomend voldoet aan

(x [0,1])(I(1,x) = x)

• Een modelimplicator I is een randimplicator die contrapositief is m.b.t. zijn geïnduceerde negator NI , gedefinieerd door NI(x) = I(x,0) , en voldoet aan het uitwisselingsbeginsel

(x,y [0,1])(I(x,y) = I(NI(y),NI(x)))(x,y,z [0,1])(I(x,I(y,z)) = I(y,I(x,z)))

Page 15: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Classificatie van Implicatoren

• S-implicatoren:

IS,N (x,y) = S(N(x),y)

(S een driehoeksconorm, N een negator)

• R-implicatoren:

IT(x,y) = sup{ [0,1] |T(x,) y}

(T een driehoeksnorm)

• QL-implicatoren, reciprocale R-implicatoren, ...

Page 16: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Typische Implicatoren

Kleene-Dienes S I(x,y) = max(1-x,y)

Gödel R I(x,y) = min(1-x,y) als x <= y

I(x,y) = y andersReichenbach S I(x,y) = 1 - x + xyLukasiewicz S, R I(x,y) = min(1,1-x+y)

Yager - I(x,y) = yx

Page 17: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Overzicht

• Situering• Vaaglogica• Vaagfeiten en vaagregels• Vaaginferentie• Defuzzificatie

Page 18: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Voorstelling van linguïstische informatie

• Vaagfeiten (toestandsbeschrijving)

“de pollutiegraad is redelijk hoog en het pollutietype is medium-vettig”

• Vaagregels (linguïstische omschrijving van deductieprincipes)

“Als de pollutiegraad hoog is en het pollutietype medium-vettig dan is de wastijd lang”

Page 19: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Vaagfeiten

• Beschrijven de toestand van een linguïstische veranderlijke (bv. pollutiegraad)

• Compacte representatie:

X is A

(X een linguïstische veranderlijke, A een vaagverzameling)

Page 20: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

De vaaglogische wasautomaat • Vaaglogische wasautomaat heeft twee

invoerveranderlijken:

Pollutiegraad (X)Pollutietype (Y)

• Als universum kiezen we de schaal [0,100]

• Er is ook één uitvoerveranderlijke:

Wastijd (Z)

• Het universum is het interval [0,90] (minuten)

Page 21: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

« Pollutietype is medium-vettig »

Page 22: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Samengestelde vaagfeiten

• Zij X en Y linguïstische veranderlijken in de universa U en V. Dan is

X is A en Y is B

een samengesteld vaagfeit.

• Interpretatie: (X,Y) is AxB• Voorbeeld

“Pollutiegraad is hoog en Pollutietype is medium-vettig”

Page 23: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Vaagregels

• Vaagregels laten toe om op basis van waarnemingen acties te ondernemen, die op hun beurt weer nieuwe waarnemingen kunnen induceren

• Compacte representatie: if-then regel

Als aan een gegeven stel voorwaarden is voldaan,Dan mag een gegeven stel acties ondernomen worden

Als X is A, Dan Y is B

Page 24: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Genereren van vaagregels

Page 25: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Modellen van if-then regels

• De regel

Als X is A, Dan Y is B

specificeert een verwantschap tussen de veranderlijken X en Y

• Een handige manier om dit verwantschap vast te leggen is aan de hand van een vaagrelatie R (een vaagverzameling in UV) opgebouwd met behulp van A en B.

Page 26: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Modellen van if-then regels

• op basis van een implicator I:

R(u,v) = I(A(u), B(v))R = I(A,B)

• op basis van een driehoeksnorm T:

R(u,v) = T(A(u),B(v))R = T(A,B)

• voordeel van de laatste aanpak: bewerking “conjunctie” heeft vaak lagere complexiteit dan bewerking “implicatie”

Page 27: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Overzicht

• Situering• Vaaglogica• Vaagfeiten en vaagregels• Vaaginferentie• Defuzzificatie

Page 28: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Veralgemeende Modus Ponens (VMP)

• Modus Ponens (MP):

A, A B B

• MP vereist exacte overeenkomst tussen de waarneming en het antecedent van de regel!

• “Als de weg smal is moet de snelheid vertragen.”“De weg is zeer smal”

??

Page 29: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Veralgemeende Modus Ponens (VMP)

• Modus Ponens (MP):

A, A B B

• MP vereist exacte overeenkomst tussen de waarneming en het antecedent van de regel!

• “Als de weg smal is moet de snelheid vertragen.”“De weg is zeer smal”

??

Page 30: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Veralgemeende Modus Ponens (VMP)

• VMP:

Als X is A, dan Y is B X is A’ Y is B’

• A’ noemen we de waarneming, B’ het vaaginferentieresultaat

Page 31: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Hoe ontstaat B’ ?

• Ter herinnering: direct beeld van een vaagverzameling A in X onder een vaagrelatie R van X in Y

R : Y [0,1] y sup{min(A’(x),R(x,y))|x X}

• B’ wordt gedefinieerd als het direct beeld van A’ onder de regel R (R = I(A,B) of R=T(A,B))

B’ = R(A’)

Page 32: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Hoe ontstaat B’ ?

• Voor de eenvoud: R = min(A,B) en A’ = {(,1)}(A’ is de scherpe waarde )

R(A’)(y) = sup min(A’(x),A(x),B(y)) xX

= min(1,A(),B(y))= min(A(),B(y))

• B’ ontstaat dus door B af te kappen op hoogte A()

Page 33: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

De vaaglogische wasautomaat

• Elke regel levert een vage uitvoer

• Nummer de regels en noem B’i de uitvoer van regel i

• Voorbeeld: pollutiegraad = 75 en pollutietype = 40

Regel 5:

“Als pollutiegraad is medium en pollutietype is medium-vettig dan wastijd is medium-lang”

• medium(75) = 0.5medium-vettig(40) = 0.8

Page 34: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

X = 75, Y = 40

Page 35: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

X = 75, Y = 40

• medium x medium-vettig (75,40) = min(0.5,0.8) = 0.5

• B’5 ontstaat dan alsvolgt:

B’5(y) = min(0.5,B5(y))

• Met andere woorden door B5 = “medium wastijd” af te kappen op hoogte 0.5

Page 36: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

X = 75, Y = 40

Page 37: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

X = 75, Y = 40

Page 38: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Parallelle uitvoering van regels

• De vage inferenties voor elke regel worden gecombineerd met het maximum:

B’(y) = max{B’i(y) | i = 1, …, 9}

Page 39: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

X = 75, Y = 40

Page 40: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Overzicht

• Situering• Vaaglogica• Vaagfeiten en vaagregels• Kennismanipulatie• Defuzzificatie

Page 41: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Defuzzificatie

• Principe: uit een vaagverzameling A in X een scherpe waarde D(A) X distilleren (“to de-fuzzify”)

• D(A) moet in zekere zin de meest representatieve waarde voor A zijn

Page 42: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Defuzzificatie

Page 43: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Defuzzificatie

Page 44: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Defuzzificatiemethoden

• Oppervlakte-methode: defuzzificatiewaarde D(A) voldoet aan

• Zwaartepunt-methode:

)(

)(

)()(AD

AD

dxxAdxxA

dxxA

dxxAx

AD

)(

)(.

)(

Page 45: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Defuzzificatiemethoden

• Maximummethoden

– D(A) = min(M(A))– D(A) = max(M(A))– D(A) = (min(M(A)) + max(M(A)) / 2

M(A) = {x in X |(yX)(A(y) A(x))}

Page 46: Vaaglogica en haar toepassingen Chris Cornelis Vaagheids- en Onzekerheidsmodellen, 2002-2003.

Zwaartepuntmethode: X = 75, Y = 40