dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20071

samenvatting week 5• Arbeid: 3-dimensionele integraal

inproduct kracht en verplaatsing• Vermogen

geleverde arbeid per tijdseenheid een-dimensionele integraal

• Energie behoud. Vormen van energie kunnen in elkaar omgezet worden, maar totale energie is behouden

• Potentiele energie b.v. gravitatie energie, veer energie

• Conservatieve kracht: geleverde arbeid onafhankelijk van afgelegde pad. Geeft potentiele energie. Behoud van MECHANISCHE energie:

• Niet-conservatief: Warmte

2 2

1 1

t x

t x

Pdt F ds

mech pot kinE E E

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20072

samenvatting week 5• Potentiele energie: -afgeleide geeft kracht.

• evenwicht: netto kracht op object is nul, afgeleide potentiele energie is nul

• stabiel: kleine verplaatsing leidt tot een kracht die naar het evenwichtspunt toe wijst. B.v. veer. Tweede afgeleide potentiele energie is positief, afgeleide kracht is negatief.

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20073

Energiebehoud• Mechanische energie: niet behouden in de

aanwezigheid van niet-behoudende krachten• wordt omgezet in warmte of chemische energie

of straling.• b.v. wanneer je begint te lopen:

• Overdracht energie: arbeid, warmte, straling

0

in out sys

universe

E E E

E

chem kin thE E E

ext sys mech otherW E E E

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20074

Wrijving• Kinetische wrijvingsconstante• verplaatsing• systeem: blok-tafel

0.35kin

3x m

,Externe krachten:

Externe arbeid: 75

Interne arbeid: 41.2

75 33.8

2, 4.11

zw sys duw vloer

ext duw

wrijving kin therm

sys mech therm mech

mechf mech f

F F F

W F x J

W mg x J E

E J E E E J

E mK E v

m s

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20075

voorbeeld

• systeem: aarde plus constructie op plaatje links.

• blok 1 ondervindt kinetische wrijving,

• veer: k=180N/m, 30 cm ingedrukt

• wat is de snelheid als blok 2 40 cm gevallen is?

0.2K

22

2

1

22 1 2

1 2

1

2

1( )

28.1 10.99

21.95 /

sys veer grav

sys sys thermish

i

f th

th

i th

f

U U U

E U K E

E kx m gh

E K E m g h x

E m g x

K E E m g h x kx g m m x

K J J

Kv m s

m m

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20076

voorbeeld• binding water molekulen• afstand, energie, kracht.

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20077

2H molekuul

simpelste molekuuloverlap van golffuncties van atomen

afstotende kracht: tussen kernenaantrekkend: tussen elektron+kern

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20078

massa en energie

• voorbeeld: fusie in de zon

2E mc

2 160

4

13

1 9.0 10

4.2 10

(1 4.2 , de hoeveelheid energie om 1 kg water 1 graad in temperatuur te doen stijgen)

5 10

thermisch w

E kgc J

E E mc T J

kcal kJ

m

m

2 3 4

2 1875.628 2808.944

3727.409 939.573

17.6

i i

f rel

rel i f

H H He n

E m c MeV MeV

E MeV MeV E

E E E MeV

2 2

813.61 1 1.45 10

939

H p e b

H

p e

E m c m c E

m eV

m m MeV

massa H

• Einstein:• rustmassa van systeem vertegenwoordigt een

hoeveelheid energie deeltjescreatie door paar productie

• voorbeeld: als je 1 kg water 10 graden verwarmt:

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 20079

quantisatie energie• Kleine afstanden, tijden:

quantum theorie atomen.

• Energie is gequantiseerd: neemt alleen toe in discrete quanta Nobel prijs Einstein stabiliteit atoom (anders

valt het elektron op de kern).

• Constante van Planck: 346.626 10

2

foton

h Js

h

E hf

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200710

Interacties: impulsbehoud• botsingen, uitgebreide

systemen. b.v. golfclub-bal b.v. beweging

watermolekuul

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200711

Uitgebreide objecten: zwaartepunt

• impuls van uitgebreid object: som van de impulsen van de delen.

• tweede hoofdwet van Newton: geen externe kracht: impuls object is behouden.

• Beweging object: beweging van het zwaartepunt+ beweging van interne componenten rond het zwaartepunt.

1 1 2 2 1 2

:

( )cm

Twee deeltjes

Mx m x m x M m m

21 1 2 2

1 2cm cm

mMx m x m x x d

m m

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200712

Zwaartepunt• Zwaartepunt voor n deeltjes:

• voor continue verdelingen (n nadert oneindig):

• voorbeeld: watermolekuul.

1

N

cm i ii

Mr m r

( )cm

V

Mr r r dxdydz

2 (96 )cos52.2 016.6

2

(96 ) sin 52.2 sin 52.2 010

2

H Ocm i i

i H O

H O

cm i ii H O

m pm Mx m x pm

M m m

m pm My m y

M m m

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200713

Zwaartepunt: additief• in het vorige voorbeeld kon je ook eerst het

zwaartepunt van 2 deeltjes uitrekenen en dat gebruiken in de totale som:

• Dit wordt zeer veel gebruikt: symmetrie bijvoorbeeld: object met gat erin! zwaartepunt holle cylinder, moer,...

1 1 2 2 3 3

1 2 1 1 2 2

1 2 3 3

( )

( )

cm

cm

cm cm

Mr m r m r m r

m m r m r m r

Mr m m r m r

1 1 2 2

1 1 2 2

cm

cm

Mr m r m r

m r Mr m r

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200714

zwaartepunt• optellen van zwaartepunten.• iedere distributie mogelijk.

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200715

voorbeeld: driehoek• Zwaartepunt driehoek:

0

br

0

x ar

y

ar

h

max

max

max

0

2

2 2

max

, 0

Schuine zijde:

1

2( )

( ) 1( ) ( )

2( ) 2 2

yb by

a o a

bb

a a

yb by

CM x x x

a o a

b xy h

b a

M dxdy dxdy y dx

b x bh dx h x xb a b a b a

b a b ahb h h b h b a hA

b a

Mr r dxdy r y dx

22 3 3 2 3 3

3 2 3 2

13 3 2 2

2 3 6( )

13 2 ( 2 )( ) ( )

6( ) 6( ) 3

bb

a a

bx x h b hh dx x x b ba b ab a b a b a

h hb ab a b a b a M a b a

b a b a

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200716

Gravitatie• Gravitatie energie van object: neem hoogte van

zwaartepunt.

• zwaartepunt: kruising van loodlijnen.

1 1

N N

i i i i cmi i

U gm h g m h Mgh

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200717

loodlijnen

dr. H.J. Bulten Mechanica najaar 200718

Beweging zwaartepunt

1 1

1

int

inti,j

actie is reactie: 0

N Ncm i

cm i ii i

Ncm

i ii

cmext

dr drp M m p

dt dt

dpm a

dt

dpF F

dt

F

Het zwaartepunt van een systeem beweegtals een deeltje met massa i

i

M m