ribWBKIIHRO-IBB

Toegepaste wiskunde

Vergeet-mij-nietjes

Kromming, zakking, hoekverandering

Relaties

verband tussen verplaatsing en vervorming

Buigingstheorie

Hoekverdraaiing en zakking

Voorbeeld 01 “Uitkragende ligger met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 01 “Uitkragende ligger met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 01 “Uitkragende ligger met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 02 “Ligger op 2 steunpunten met gelijkmatige belasting”

Voorbeeld 3 “uitkragende ligger met puntlast”

Voorbeeld 3 “uitkragende ligger met puntlast”

Voorbeeld 3 “uitkragende ligger met puntlast”

Voorbeeld 3 “uitkragende ligger met puntlast”

Stellingen gereduceerd momentvlak

φA = 0

φA = 0

ωA = 0

Methode gereduceerde momentenvlak

Methode gereduceerde momentenvlak

Methode gereduceerde momentenvlak

Uitkragende ligger met constant momentverloop

M

L

φA = 0

BA

Mmax

M-lijn

Oppervlakte:

Opp.(θ1) = M * L

1e stellingφB = φA + θ1

φB = φA + ML/EI.φB = ML/EI

2e stellingωB = ωA + θ1*a ωB = - M * L * ½ L / EIωB = - ML2 /2 EI

θ1

a = ½ L

Knikje (θ1) omhoog dan positieve hoek

en negatieve zakking

ω

Uitkragende ligger met puntlast op het einde

F

L

φA = 0

BA

M/EI-lijn

Mmax

a = 2/3 L

θ1

Mmax = FL

θ1 = ½ * F* L * L / EI

θ1 = FL2 / 2EI

1e stelling

φB = φA - θ1

φB = 0 - θ1

φB = - FL2 / 2 EI

2e stelling

ωB = ωA + θ1*a

ωB = 0 + θ1*a

ωB = θ1*a

ωB = ½ * F* L2 * 2/3L / EI

ωB = FL3 / 3EI

Knikje (θ1) beneden dan negatieve hoek

en positieve zakking

ω

Uitkragende ligger met gelijkmatig verdeelde belasting

L

φA = 0

BA

M/EI-lijn

Mmax

a = 3/4 L

θ1

q

Mmax = ½ * qL * L

θ1 = 1/3 * ½ qL2 * L / EI

θ1 = 1/6 ql3 /EI

1e stelling

φB = φA - θ1

φB = 0 - θ1

φB = - 1/6 ql3 / EI

2e stelling

ωB = ωA + θ1*a

ωB = 0 + θ1*a

ωB = θ1*a

ωB = 1/6 ql3 /EI * 3/4L

ωB = ql4 / 8 EI

Knikje (θ1) beneden dan negatieve hoek

en positieve zakking

ω

Uitkragende ligger met q- en puntlast

F

L

φA = 0

BA

M/EI-lijn

Mmax

a = 2/3 L

θ1

M/EI-lijn

Mmax

a = 3/4 * ½ L + ½ L = 7/8 L

θ2

q

1

2

Momentenlijn 1

θ1 = ½ FL2/EI

1e stelling

φB1 = - ½ FL2/EI

2e stelling

ωB1 = ½ FL2/EI * 2/3 L

ωB1 = FL3/3EI

Momentenlijn 2θ2 = 1/3 * 1/2 qL2 * ½ L / EIθ2 = qL3 / 12EI1e stellingφB2 = - qL3 / 12EI

2e stelling

ωB2 = qL3 / 12EI * 7/8 LωB2 = 7qL4 / 96EI

ωBtot½ L

Uitkragende ligger met q- en puntlast

F

L

φA = 0

BA

Mmax

M/EI-lijn

q

1

φBtot = (- ½ FL2/EI ) - ( qL3 / 48EI ) 1e stelling

ωBtot = ( FL3/3EI ) + ( 7qL4 / 96EI ) 2e stelling

ωBtot½ L

Ligger met puntlast op 2 steunpunten

M = ¼ FL

Opp= ¼ FL * ½ L = 1/8 FL2

θ1 = FL2 / 8EI

Hoek A en B ongelijk aan nul

Zakking in A en B is nul

Zakking in het midden ongelijk aan nul

ωB = - φA * L – θ1 * ½ L

φA = ( - FL2/8EI * 1/2L) / L

φA = - FL2/16EI

φB = θ1 – φA

φB = FL2/16EI

θ1

½ L

φA

Positieve buiging, onderzijde balk wordt op trek belast.

Knikje positief, zakking negatief

ω

Ligger met puntlast op 2 steunpunten

θ2

½ L

φA

M = ¼ FL

Opp. = ¼ FL * ½ L * ½ = 1/16 FL2

θ2 = FL2/16 EI

2e stelling

ωC = - φA * ½ L – θ2 * 1/6 L

ωC = - (-FL2/16EI * 1/2 L) - FL2/16EI * 1/6 L

ωC = FL2/16EI * 1/2 L - FL2/16EI * 1/6 L

ωC = 2FL3/96EI = FL3/48EI

1/3 * ½ L = 1/6L

Zakking in het midden ω = FL3/48EI

A BC

ω

Ligger met gelijkmatig verdeelde belasting op 2 steunpunten

A B

qM = 1/8qL2

Opp.= 2/3 * 1/8qL2 * L = 2/24 qL3 = qL3 / 12

θ1 = qL3 / 12EI

2e stelling

ωB = -φA * L – θ1 * 1/2L

φA = - θ1 * 1/2L / L = - ½ θ1

φA = - ½ * qL3 / 12 EI = - qL3 / 24EI

φA = - ½ * qL3 / 12 EI

φA = - qL3 / 24EI

φB = θ1 – φA

φB = qL3 / 24EI

Hoek A en B ongelijk aan nulZakking in A en B is nulZakking in het midden ongelijk aan nul

θ1φA

Lω

Ligger met gelijkmatig verdeelde belasting op 2 steunpunten

A B

q

θ2φA

L

θ1

a = 3/8 * ½ L

½ L

Opp. = 2/3 * 1/8qL2 * 1/2L = ql3 / 24

θ2 = qL3 / 24EI

2e stelling

ωC = - (-φA * ½ L) – θ2 * a

ωC = qL3/24EI * ½ L – qL3/24EI * 3/8 * 1/2L

ωC = qL4/48EI – 3qL4/384EI

ωC = 8qL4/384EI – 3qL4/384EI

ωC = 5/384 * qL4/EI

Zakking in het midden ω = 5/384 * ql4/EI

ω

Ligger op 2 steunpunten met een moment op het einde

θ1 = ML/2EI

2e stelling

ωB = - φA * L – θ1 * 1/3L

φA = - ML/2EI * 1/3L / L

φA= - ML/6EI

φB = ML/2EI – ML/6EI

φB = ML/3EI

θ2 = 1/2M * ½ L * ½ = ML/8EI

ωC = -(φA * ½ L) – θ2 * 1/3 * ½ L

ωC = ML2/2EI – ML2/48EI

ωC = ML2/16EI

A B

θ2φA θ1

a2 = 1/3 * ½ L

a1 = 1/3 * L

C

L

Opgave#1

6

F=5kN

E = 2,1 * 105 N/mm2

Iy = 934 * 104 mm4

A B

Gevraagd:

a. Is de buiging negatief of positief ?

b. Reactiekrachten

c. D-lijn

d. M-lijn

e. De hoekverandering in A en B

f. De zakking in A en B

d. De zakkingslijn

Oplossing opgave 1

6

F=5kN

A BΣM t.o.v. A = 0

-5 * 6 + M = 0

M = 30 kNm

ΣFv = 0

-Fa + 5 = 0

Fa = 5 kN

Buiging is negatief, onderste vezels worden op druk belast

Fa = 5 kN

M = 30 kNm

A B

5

30

D-lijn

M-lijn

+

-

Oplossing opgave 1

6

F=5kN

A BFa = 5 kN

M = 30 kNm

5

30

D-lijn

M-lijn

+

-

θ1

a = 2/3 * 6 = 4

Knikje negatief dan zakking positief

M = FL opp. = ½ FL2 = 90

θ1 = FL2/2EI = 90/EI

Hoekverandering in A = 0

φB = 0 – θ1 = - 90/EI

EI = 2.1*108 * 934 * 10-8

EI = 1961.4 kN/m2

φB = -90/1961.4 = - 0.0459 rad

Oplossing opgave 1

6

F=5kN

A BFa = 5 kN

M = 30 kNm

5

30

D-lijn

M-lijn

+

-

θ1

a = 2/3 * 6 = 4

Zakking in A is nul

ωB = φA + θ1 * a

ωB = 90/EI * 4

ωB = 360/EI = 360/1961.4

ωB = 0,184 m = 184 mm

ωB= 184mm

Opgave 2

6

E = 2,1 * 105 N/mm2

Iy = 934 * 104 mm4

A B

Gevraagd:

a. Is de buiging negatief of positief ?

b. Reactiekrachten

c. D-lijn

d. M-lijn

e. De hoekverandering in A en B

f. De zakking in A en B

d. De zakkingslijn

q=5kN/m

Oplossing opgave 2

6

A

q=5kN/mΣM t.o.v. A = 0

-5 * 6 * 3 + M = 0

M = 90 kNm

ΣFv = 0

-Fa + 30 = 0

Fa = 30 kN

Buiging is negatief, onderste vezels worden op druk belast

Fa = 30 kN

M = 90 kNm

5

90

D-lijn

M-lijn

+

-θ1

a = 3/4 * 6 = 4.5

Oplossing opgave 2

6

A

q=5kN/m

Fa = 30 kN

M = 90 kNm

5

90

D-lijn

M-lijn

+

-

θ1

Knikje negatief dan zakking positief

M = ½ ql2 opp. = ½ ql2 * l * 1/3

θ1 = ql3/6EI = 180/EI

Hoekverandering in A = 0

φB = 0 – θ1 = - 180/EI

EI = 2.1*108 * 934 * 10-8

EI = 1961.4 kN/m2

φB = -180/1961.4 = - 0.0918 rad

a = 3/4 * 6 = 4.5

Oplossing opgave 2

6

A

q=5kN/m

Fa = 30 kN

M = 90 kNm

5

90

D-lijn

M-lijn

+

-

θ1

Zakking in A is nul

ωB = φA + θ1 * a

ωB = 180/EI * 4

ωB = 810/EI = 810/1961.4

ωB = 0,413 m = 413 mm

a = 3/4 * 6 = 4.5

ωB= 413mm

Opgave#3

6

A

F=5kN

B

E = 2,1 * 105 N/mm2

Iy = 934 * 104 mm4

Gevraagd:

a. Is de buiging negatief of positief ?

b. Reactiekrachten

c. D-lijn

d. M-lijn

e. De hoekverandering in A en B

f. De zakking in A en B

d. De zakkingslijn

Oplossing opgave 3

θ1

½ L

φA

6

A

F=5kN

B

ΣM t.o.v. A = 0

-5 * 3 + Fb * 6 = 0

Fb = 2,5 kN

ΣFv = 0

-Fa + 5 – 2,5 = 0

Fa = 2,5 kN

M = ¼ FL = 7.5 kNm

Buiging is positief, onderste vezels worden op trek belast

Fa = 2.5 kN Fa = 2.5 kN

2.5

-2.5

D-lijn

M-lijn

+

-

+

-

7.5

Oplossing opgave 3

θ1

½ L

φA

6

A

F=5kN

B

Fa = 2.5 kN

2.5

-2.5

D-lijn

M-lijn

+

-

+

-

7.5

Knikje positief dan zakking negatief

opp. = ¼ FL * ½ L

θ1 = 1/8 FL2/EI = 22.5/EI

Zakking in A en B is nul

ωB = -φA * L – θ1 * ½ L

φA = - FL2/16EI

φB = θ1 – φA = FL2/16EI

EI = 2.1*108 * 934 * 10-8EI = 1961.4 kN/m2

-φA = φB = 11.25/1961.4 = 0.0057 rad

θ2

Oplossing opgave 3

θ1

½ L

φA

6

A

F=5kN

B

Fa = 2.5 kN

2.5

-2.5

D-lijn

M-lijn

+

-

+

-

7.5

Knikje positief dan zakking negatief

opp. = ¼ FL * ½ L * ½

θ2 = 1/16 FL2/EI = 11.25/EI

Zakking in C

ωC = -φA * ½ L – θ2 * 1/3 L

ωC = - (-FL2/16EI) * ½ L – FL2/16EI * 1/6 L

ωC = FL3/32EI)– FL3/96EI

ωC = FL3/48EI = 22.5/EI

EI = 2.1*108 * 934 * 10-8EI = 1961.4 kN/m2

ωC = 22.5/1961.4 = 0.0115 m = 115 mm

θ2

ωC= 115mm

a = 1/3 * ½ L

Opgave 4

Oplossing opgave 4

Oplossing opgave 4

Oplossing opgave 4

Oplossing opgave 4

6

A B M= - 10 kNm

Deel A - B

zakkingslijn

Oplossing opgave 4

Oplossing opgave 4

Oplossing opgave 4

Oplossing opgave 4

19

32

KWISPELEFFECT

BIJLAGEN

Bijlage 2

O

y-as

x-as0 0

2 6,28

1/6 0,52

1/3 1,05

1/2 1,57

2/3 2,09

2,625/6

3,14

3,661 1/6

4,181 1/3

4,711 1/2

1 2/3 5,23

1 5/6 5,76

30

60

90

120

150

180

210

240

270

300

330

360

Graden Radialen90°/360° * 2π = 1,57 →1,57 / π = 0,5 →1,57 = 0,5π rad = α / 360 * 2π

Radialen Graden1 ½ π = 4,71 →4,71 / 2π * 360° = 270°α = rad / 2π * 360°

Zwaartepunten - basisgevallen

½ b ½ b

½ h

½ hh

b

A = b * h

Rechthoek

1/3 b 2/3 b

2/3 h

1/3 h

h

A = ½ *b * h

Driehoek

b b

1/4 b 3/4 b

3/10 h

7/10 h

A = 1/3 *b * h

Ex paraboolvlak

Zwaartepunten - basisgevallen

D

½ D

b

3/8 b 5/8 b

3/5 h

2/5 hh

A = πD2 / 4

Circel

A = 2/3 * b * h

Half parabool

3/4π R

R R

2R

R

A = πR2 / 2

Half circel

Oppervlakten en zwaartepuntafstanden

L

1/3L 2/3L

-M/EI

M/EI

lijn

x-as

θ = ML / 2EI

Oppervlakten en zwaartepuntafstanden

L

1/4L 3/4L

-M/EI

M/EI

lijn

x-as

θ = ML / 3EI

Holle parabool

Oppervlakten en zwaartepuntafstanden

L

3/8L 5/8L

-M/EI

M/EI

lijn

x-as

θ = 2ML / 3EI

Bolle parabool

Einde

M.J.Roos

Maart 2008