Post on 17-Jul-2018
Opgaven Begeleide Zelfstudie 8C120
BZ 02
Opgave 1
Bereken de Fourierreeks van de volgende functies. Teken van elk van die functies een grafiekje.
a. f x = x
p2 voor -p § x § p, verder met periode 2p voortgezet.
b. gx = x
p voor -p < x < p, g-p = gp = 0, verder met periode 2p voortgezet.
c. hx = 0 als -p < x § 0,
hx = x
p als 0 § x < p,
h-p = hp = 1
2, verder met periode 2p voortgezet.
ü Antwoord a):
Plot x2
2, x, ,
-3 -2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Het gemiddelde a0 is:
a0 1
2
x2
2x
1
3
Er zijn geen sinus termen, want het is een even functie (symmetrisch om de y-as). We berekenen de
cosinus termen ak als volgt:
ak 1
x2
2Cosk x x
4 k Cosk 2 2 k2 2 Sink k3 3
Dit kunnen we vereenvoudigen, omdat we weten dat k alleen integer waarden kan aannemen:
Simplifyak, k Integers
4 1k
k2 2
Het antwoord is dus de volgende Fourier reeks:
1
3+
k=1
• 4 -1k
k2 p2cos k x
ü Antwoord b):
Plot x
, x, ,
-3 -2 -1 1 2 3
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Het gemiddelde is nul:
a0 1
2
x
x
0
Ook de cosinus coefficienten zijn nul, want het is een oneven functie:
2 Oefenen met Fourier reeksen 8C120 - met uitwerking.nb
ak 1
x
Cosk x x
0
De sinus coefficienten:
bl 1
x
Sinl x x
2 l Cosl 2 Sinl l2 2
Dit kan worden vereenvoudigd door:
Simplifybl, l Integers
2 1l
l
Het antwoord is dus de Fourier reeks: l=1¶ - 2 -1l
l psin l x
ü Antwoord c):
fx_ : Piecewise0, x 0, x
, x 0;
Plotfx, x, ,
-3 -2 -1 1 2 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Het gemiddelde a0 over een periode van -p tot +p:
Oefenen met Fourier reeksen 8C120 - met uitwerking.nb 3
a0 1
2
fx x
1
4
De functie is niet even en niet oneven, dus we moeten zowel de cosinus termen ak uitrekenen, als de
sinus termen bl.
ak Simplify 1
fx Cosk x x, k Integers
1 1k
k2 2
bl Simplify 1
fx Sinl x x, l Integers
1l
l
Het antwoord is dus de Fourier reeks: 1
4-m=0
¶ 2
2 m+12 p2cos2 m+ 1 x +l=1
¶ -1l+2
l psin l x
Opgave 2
Wat is de Fourier reeks van de volgende functies?
a. f x = 1 voor alle x.
b. cos w x
c. De Deltafunctie, dx, verder met periode 2p voortgezet.
Deze functie is alleen gedefineerd voor x = 0 + k 2 p, en heeft daar de waarde ¶. De oppervlakte onder
deze functie over één periode is 1.
ü Antwoord a):
Het gemiddelde a0 is natuurlijk 1. Er zijn geen varierende cosinus of sinus componenten, dus ak = bl voor
alle k en alle l.
ü Antwoord b):
Het gemiddelde van een cosinus functie is nul. Er is maar één cosinus term, nl. voor k = 1, dus alleen
a1=1. Alle andere ak coefficienten en alle bl coefficienten zijn nul.
ü Antwoord c):
Het gemiddelde a0 is 1:
4 Oefenen met Fourier reeksen 8C120 - met uitwerking.nb
a0
DiracDeltax x
1
Alle cosinus coefficienten ak blijken 1 te zijn:
ak
DiracDeltax Cosk x x
1
En alle sinus coefficienten bl blijken 0 te zijn:
bl
DiracDeltax Sink x x
0
We noemen dit een wit spectrum. Alle frequenties zitten er in, met amplitude 1.
Opgave 3
Men noemt een functie f even als f -x = f x voor alle x, en oneven als f -x = -f x voor alle x. Bewijs
voor aangepaste functies de volgende beweringen:
a. Als f even is, dan is de Fourierreeks van f een cosinusreeks, d.w.z. bl = 0 voor alle l ¥ 0, dus
f x = a0 +k=1¶ ak cos k x.
ü Antwoord a):
De functie f is even, dus f -x = f x. Voor de algemene Fourier reeks kunnen we schrijven:
f x = a0 +k=1¶ ak cos k x +l=1
¶ bl sin l x
en f -x = a0 +k=1¶ ak cos k x - l=1
¶ bl sin l x
Als we deze twee vergelijkingen bij elkaar optellen, krijgen we:
2 f x = 2 a0 + 2 k=1¶ ak cos k x
waaruit de bewering volgt/
b. Als f oneven is, dan is de Fourierreeks van f een sinusreeks, d.w.z. ak = 0 voor alle k ¥ 0, dus
f x = a0 +l=1¶ bl sin l x.
ü Antwoord b):
Het antwoord wordt met dezelfde strategie verkregen als hierboven. Gebruik nu f -x = -f x.
Oefenen met Fourier reeksen 8C120 - met uitwerking.nb 5