Opgaven Begeleide Zelfstudie 8C120

BZ 02

Opgave 1

Bereken de Fourierreeks van de volgende functies. Teken van elk van die functies een grafiekje.

a. f x = x

p2 voor -p § x § p, verder met periode 2p voortgezet.

b. gx = x

p voor -p < x < p, g-p = gp = 0, verder met periode 2p voortgezet.

c. hx = 0 als -p < x § 0,

hx = x

p als 0 § x < p,

h-p = hp = 1

2, verder met periode 2p voortgezet.

ü Antwoord a):

Plot x2

2, x, ,

-3 -2 -1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Het gemiddelde a0 is:

a0 1

2

x2

2x

1

3

Er zijn geen sinus termen, want het is een even functie (symmetrisch om de y-as). We berekenen de

cosinus termen ak als volgt:

ak 1

x2

2Cosk x x

4 k Cosk 2 2 k2 2 Sink k3 3

Dit kunnen we vereenvoudigen, omdat we weten dat k alleen integer waarden kan aannemen:

Simplifyak, k Integers

4 1k

k2 2

Het antwoord is dus de volgende Fourier reeks:

1

3+

k=1

• 4 -1k

k2 p2cos k x

ü Antwoord b):

Plot x

, x, ,

-3 -2 -1 1 2 3

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Het gemiddelde is nul:

a0 1

2

x

x

0

Ook de cosinus coefficienten zijn nul, want het is een oneven functie:

2 Oefenen met Fourier reeksen 8C120 - met uitwerking.nb

ak 1

x

Cosk x x

0

De sinus coefficienten:

bl 1

x

Sinl x x

2 l Cosl 2 Sinl l2 2

Dit kan worden vereenvoudigd door:

Simplifybl, l Integers

2 1l

l

Het antwoord is dus de Fourier reeks: l=1¶ - 2 -1l

l psin l x

ü Antwoord c):

fx_ : Piecewise0, x 0, x

, x 0;

Plotfx, x, ,

-3 -2 -1 1 2 3

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Het gemiddelde a0 over een periode van -p tot +p:

Oefenen met Fourier reeksen 8C120 - met uitwerking.nb 3

a0 1

2

fx x

1

4

De functie is niet even en niet oneven, dus we moeten zowel de cosinus termen ak uitrekenen, als de

sinus termen bl.

ak Simplify 1

fx Cosk x x, k Integers

1 1k

k2 2

bl Simplify 1

fx Sinl x x, l Integers

1l

l

Het antwoord is dus de Fourier reeks: 1

4-m=0

¶ 2

2 m+12 p2cos2 m+ 1 x +l=1

¶ -1l+2

l psin l x

Opgave 2

Wat is de Fourier reeks van de volgende functies?

a. f x = 1 voor alle x.

b. cos w x

c. De Deltafunctie, dx, verder met periode 2p voortgezet.

Deze functie is alleen gedefineerd voor x = 0 + k 2 p, en heeft daar de waarde ¶. De oppervlakte onder

deze functie over één periode is 1.

ü Antwoord a):

Het gemiddelde a0 is natuurlijk 1. Er zijn geen varierende cosinus of sinus componenten, dus ak = bl voor

alle k en alle l.

ü Antwoord b):

Het gemiddelde van een cosinus functie is nul. Er is maar één cosinus term, nl. voor k = 1, dus alleen

a1=1. Alle andere ak coefficienten en alle bl coefficienten zijn nul.

ü Antwoord c):

Het gemiddelde a0 is 1:

4 Oefenen met Fourier reeksen 8C120 - met uitwerking.nb

a0

DiracDeltax x

1

Alle cosinus coefficienten ak blijken 1 te zijn:

ak

DiracDeltax Cosk x x

1

En alle sinus coefficienten bl blijken 0 te zijn:

bl

DiracDeltax Sink x x

0

We noemen dit een wit spectrum. Alle frequenties zitten er in, met amplitude 1.

Opgave 3

Men noemt een functie f even als f -x = f x voor alle x, en oneven als f -x = -f x voor alle x. Bewijs

voor aangepaste functies de volgende beweringen:

a. Als f even is, dan is de Fourierreeks van f een cosinusreeks, d.w.z. bl = 0 voor alle l ¥ 0, dus

f x = a0 +k=1¶ ak cos k x.

ü Antwoord a):

De functie f is even, dus f -x = f x. Voor de algemene Fourier reeks kunnen we schrijven:

f x = a0 +k=1¶ ak cos k x +l=1

¶ bl sin l x

en f -x = a0 +k=1¶ ak cos k x - l=1

¶ bl sin l x

Als we deze twee vergelijkingen bij elkaar optellen, krijgen we:

2 f x = 2 a0 + 2 k=1¶ ak cos k x

waaruit de bewering volgt/

b. Als f oneven is, dan is de Fourierreeks van f een sinusreeks, d.w.z. ak = 0 voor alle k ¥ 0, dus

f x = a0 +l=1¶ bl sin l x.

ü Antwoord b):

Het antwoord wordt met dezelfde strategie verkregen als hierboven. Gebruik nu f -x = -f x.

Oefenen met Fourier reeksen 8C120 - met uitwerking.nb 5