Méthodes Numériques Avancées Plan du cours pour la...

thomas.gomez@univ-lille1.fr

Méthode des Volumes Finis

Thomas GomezLaboratoire Mécanique de Lille

Lille 1

Master 2 SMI

Méthodes Numériques Avancéespour la Mécanique des Fluides

Plan du coursIntroduction à la méthode des volumes finis

Exemples de simulations

Eléments de base et exemple de logiciel (Fluent)

Approximations et bases des schémas VF

Maillage

Approximation des intégrales de surface

Approximation des intégrales volumiques

Construction d’un schéma aux Volumes finis

Exemples: Problèmes 1D

Résolution des équations de NS Incompressible Méthode de projection explicite sur maillage décalé « MAC »

Exemples de simulations

Mécanique des fluidesAérodynamique

ThermiqueAéro-acoustique

Magnétohydrodynamique

Aéro-elasticitéEcoulements multiphasiques

BiomécaniqueMétéorologie

Combustion

3 thomas.gomez@univ-lille1.fr

Bibliographie

Chapter 4 : “Finite Volume Methods” of “J. H. Ferziger and M. Peric, Computational Methods for Fluid Dynamics. Springer, NY, 3rd edition, 2002”

Chapter 5 : “Finite Volume Methods” of “H. Lomax, T. H. Pulliam, D.W. Zingg, Fundamentals of Computational Fluid Dynamics (Scientific Computation). Springer, 2003”

Chapter 5.6 on “Finite-Volume Methods” of T. Cebeci, J. P. Shao, F. Kafyeke and E. Laurendeau, Computational Fluid Dynamics for Engineers. Springer, 2005.

Eléments de base relatifs à la mise en oeuvre

d’un code utilisant lesVolumes Finis

Workbench ANSYSSolver FLUENT

Introduction

thomas.gomez@univ-lille1.fr 6

thomas.gomez@univ-lille1.fr 7 thomas.gomez@univ-lille1.fr 8

thomas.gomez@univ-lille1.fr 65 thomas.gomez@univ-lille1.fr

Equations de conservationMasse, Quantité de mouvement, Energie

Differences finis

Basée sur la discrétisation des opérateurs différentiels des éqns de conservation

Volumes finis

Basée sur la discrétisation de la forme intégrale des éqns de conservation

CV⇢�dV +

CS⇢�(v · n)dA = �

CSq · ndA+

CVS�dV

Méthode des volumes finis : Introduction

Concepts de base pour la construction de schéma VF

Génération de Maillage (CVs)

Diviser le domaine numérique en CV (control volume)

Assurer la conservation : pas de superposition de maillage

Discrétiser les équations de conservation sous forme intégrale sur les CVs

Satisfaire la forme intégrale des lois de conservation avec un ordre de précision donné pour chaque CVs contigus.

Résoudre les équations résultantes avec intégrales/flux discrétisés

Avantages1. Assure une discrétisation conservative localement et

globalement

Masse, moment et énergie conservés sous forme discrétisée

Conservation globale : retrouvée lorsqu’on somme les équations sur toutes les CVs Somme des intégrales de surface =0

Locale/Globale conservation peut être obtenu avec DF mais naturelle/directe dans formulation VF.

2. Ne nécessite pas de transformation de coordonnées pour être appliqué sur des maillages irréguliers.

Lois de conservation de la quantité de mouvement

Volume de contrôle discrétisé.

Hypothèse :

Volume de contrôle indépendant du temps

<=> maillage fixe en temps (dans la suite du cours).

CV⇢�dV +

CS⇢�(v · n)dA = �

CSq · ndA+

CVS�dV

V (t) = V

Méthode des volumes finisApproximations

Intégrer l’équation sous forme discrète

Méthode ‘Time marching’ pour intégrerjusqu’au pas de temps suivant.

CV⇢�dV +

CS⇢�(v · n)dA = �

CSq · ndA+

CVS�dV

V⇢�dV

Estimation du flux aux frontières de chaque CV

= Flux d’Advection + de Diffusion

CV⇢�dV +

CS⇢�(v · n)dA = �

CSq · ndA+

CVS�dV

SF� · ndA =

S⇢�(v · n)dA+

Sq� · ndA

Estimation du terme source intégré sur chaque CV

Eqns Cons =>

CV⇢�dV +

CS⇢�(v · n)dA = �

CSq · ndA+

CVs�dV

S� =

Vs�dV

SF� · ndA = S�

Estimation du terme source intégré sur chaque CV

Eqn Cons =>

Lien entre et ?

CV⇢�dV +

CS⇢�(v · n)dA = �

CSq · ndA+

CVs�dV

S� =

Vs�dV

SF� · ndA = S�

��

Moyenne sur un CV:

Equation à résoudre

Après intégration discrète: nouvelle valeur de ?

�̄ =1

V⇢�dV

Vd�̄

SF� · ndA = S�

Estimation du flux total aux frontières de CV:“Reconstruction“ de à partir de

Flux fonctions de => pour le évaluer il faut une représentation de à l’intérieur du CV.

Peut être fait par une approximation par morceaux, qui redonne après intégration.

Mais chaque cellule à sa propre approximation par morceaux=> les flux peuvent être discontinus aux interfaces.

Remèdes:Prendre la moyenne des flux de chaque CV aux interfaces : méthode non dissipative => schéma analogue aux differences centrées

Flux-difference splitting

�̄�

Elements de base pour la construction du schéma VF

1. A partir de la valeur moyenne sur chaque CV, construire une approximation de dans chaque CV pour évaluer les flux .

Déterminer les approximations de aux interfaces et en déduire une estimation du flux .On obtient généralement 2 valeurs distinctes pour chaque cellule à leur interface commune.

2. Appliquer une Stratégie de résolution de la discontinuité à l’interface => valeur unique du flux sur l’intégralité de l’interface

3.Intégration des flux pour obtenir les intégrales de surface.

4.Calcul des intégrales de volume sur chaque CV : termes sources.5.Avancée en temps pour obtenir la nouvelle valeur de au pas de

temps suivant.

�̄�

Vd�̄

SF� · ndA = S�

Différents types de Grille en VF

Approche usuelle CV définis par les coordonnés des noeuds du maillage

Assignation du noeud au centre du CV

Avantage: la valeur moyenne sur le CV donne une approximation de la valeur au noeud centrale au second ordre.

Approche alternativeDéfinir d’abord la position du noeud central

Construire les CV autour de ces noeuds tels que les interfaces entres le cellules soient au milieu des noeuds.

Avantage: Approximations centrées des dérivés (flux) aux frontières sont plus précises.

Autres variantesCell centered vs Cell vertex

Structuré

Tous les points du maillage sont à l’intersection de 2/3 lignes (2D/3D)

vs Non Structuré

Les mailles sont des triangles ou des quadrilatères en 2D, des tétraèdres ou des pyramides en 3D

Les cellules sont identifiées par leur numéro et ne peuvent être identifiées par leurs coordonnées indicielles (i,j,k).

Différents types de Grille en VF

RemarquesLe principe des VF est le même quelque soit le type de grille.

Seules changent les relations entre les positions des noeuds sur la grille et les précisions des approximations.

2D/3D Cartésien Flux à travers les frontières des CV

Somme des intégrales sur les 4 (2D) ou 6 (3D) faces

Calcul des intégrales de surface

doit être connu partout sur la surface

Seulement est connu : valeur moyenne associée aux noeuds du maillage (centre des cellules)

i) Déterminer des approximations des valeurs de en un ou plusieurs points de l’interface.

ii)En déduire une approximation des intégrales à partir des valeurs nodales.

Ferziger & Peric 2002

SF� · n dA =

f�dA

��̄

Cas 2D: Surface 1DBut : Estimer

Approximation du point milieu: approximé par

Comme n’est pas connu, il faut obtenir une approximation par interpolation

Rmq: Doit être obtenu avec une précision au second ordre pour préserver la précision de la règle du point milieu.

f�dA = f̄eSe = fe · Se +O(�y2) ⇡ feSe

f(y) = f(ye) + ⇠f 0(ye) +⇠2

2!f 00(ye) +O(�y3) , ⇠ = y � ye

f�dA

Approximation du second ordre : Méthode des trapèzes

approximé par

Les flux dans les angles et sont obtenus par interpolation.

Rmq: Doivent être obtenus avec une précision au second ordre pour préserver la précision de la méthode des trapèzes.

f�dA

Fe Ferziger & Peric 2002

f(y) = f(ye) + ⇠f 0(ye) +⇠2

2!f 00(ye) +O(�y3) , ⇠ = y � ye

f�dA = Sefne + fse

2+O(�y2) ⇡ Se

fne + fse2

fne fse

Cas 2D: Surface 1D

Approximation d’ordre supérieur : nécessite la connaissance du flux en plus de 2 points.

Exemple: Méthode de Simpson, Ordre 4

est approximé par

Les flux doivent être déterminés en 3 points.

Rmq: Une interpolation polynomiale cubique doit être utilisée pour exprimer ces flux en fonction des valeurs moyennes dans les cellules voisines:

FeFerziger & Peric 2002

f�dA = Sefne + 4fe + fse

6+O(�y4) ⇡ Se

fne + 4fe + fse6

�̄P , �̄E , �̄S , �̄SE , �̄N , �̄NE , ...

f�dA

Approximation du point milieu (2nd ordre):

approximé par

f�dA

FeFerziger & Peric 2002

f�dA = f̄eSe = fe · Se +O(�y2,�z2) ⇡ feSe

Une approximation d’ordre supérieure nécessiterait la connaissance du flux en plus de points, en pratique complexe à implémenter pour des cellules en 3D.

L’intégration est facilitée si l’on considère que l’on peut représenter la solution sur la surface par une interpolation polynomiale, qui sera alors intégrée de façon exacte.

But : Estimer

Approximation la plus simple:produit du volume de la cellule par la valeur moyenne de l’intégrant sur la cellule (approximée au noeud P centre de la cellule)

Approximation des intégrales de Volume

Exacte si est constant ou linéaire à l’intérieur de CV

Approximation du second ordre sinon.

Une approximation à des ordres supérieurs requiert des valeurs dans un plus grand nombre de noeuds voisins.

S� =

Vs�dV

S� =

Vs�dV = s̄pV ⇡ spV

But : Estimer

Approximation d’ordre supérieurRequiert des valeurs supplémentaires

Peuvent être obtenus par interpolation nodale ou par l’utilisation de fonctions de forme polynomiales.

Exemple 2D (l’intégrale de volume est alors une intégrale de surface) de l’utilisation des fonctions de forme polynomiale.

Une fonction de forme bi-quadratique => approximation du 4ème ordre (9 coeff.)

9 coefficients obtenus par fit des valeurs voisines (centres, noeuds, milieux).

Exemple: Intégration pour une grille cartésienne

S� =

Vs�dV

s(x, y) = a0 + a1x+ a2y + a3x2 + a4y

2 + a5xy + a6x2y + a7xy

2 + a8x2y2

Vs�dV = �x�y

�x2 +a412

�y2 +a8144

�x2�y2i

But : Estimer

Exemple 2D de l’utilisation des fonctions de forme polynomiale.Exemple d’intégration pour une grille cartésienne

Seul 4 coefficients restent, mais ils dépendent toujours de 9 valeurs nodales.

Seule la valeur en P est accessible, les autres valeurs sur la surface doivent être interpolées.

Rmq: Les interpolations doivent être au moins à l’ordre 4 pour préserver l’ordre de précision de l’intégration.

S� =

Vs�dV

Vs�dV = �x�y

�x2 +a412

�y2 +a8144

�x2�y2i

Vs�dV =

�x�y

36[16sP + 4sS + 4sN + 4sE + 4sW + sSE + sNE + sNW + sSW ]

Cas 3D de l’utilisation des fonctions de forme polynomiale.Le principe est le même que pour le cas 2D : extension direct jusqu’au 4ème ordre

Ordre plus élevé:

Approximation des intégrales plus complexe.

Les formules d’interpolation sont plus complexes.

But : Estimer

S� =

Vs�dV

Intégrale de SurfaceProblème 2D (Surface d’intégrale 1D)

Formule du point milieu (2nd ordre)

Formule des trapèzes (2nd ordre)

Formule de Simpson (4ème ordre)

Problème 3D (Surface d’intégrale 2D)

Formule du point milieu (2nd ordre)

Ordre plus élevé plus compliqué à implémenter en 3D.

Intégrale de Volume2D/3D, formule du point milieu (2nd ordre)

2D, bi-quadratique (4ème ordre en cartésien)

Approximation des intégrales de Surface/VolumeFormules de Quadrature

1.Génération de la grille : CV2.Discrétisation des équations de conservation sous forme intégrale sur

chaque CVL’équation sous forme intégrale s’écrit

Pour un volume fixe:

les variables discrètes inconnues sont les valeurs moyennes sur chaque cellule

Définir les formules de quadrature pour le calcul des intégrales de surface/volume en fonction de pour une CV.

Evaluer les intégrales à l’aide des valeurs de sur les points voisins.

Définir des formules d’interpolation pour obtenir les valeurs de nécessaires aux points définis dans la formule de quadrature.

Approche alternative: définir des fonctions par morceaux sur chaque CV et s’assurer qu’elles satisfont les contraintes imposées par .

Choisir une stratégie pour régulariser les discontinuités aux interfaces

Construction d’un schéma Volume Fini Etapes principales

�̄P

��

=) �̄P

Discrétisation de l’équation de conservation sous forme intégrale sur chaque CV

Forme intégrale

Génération des CVConsidérons un maillage homogène

Volume de contrôle

Valeurs aux interfaces

Flux (convection + diffusion) aux interfaces

Valeur moyenne et terme source

Exemple 1D : Schémas Générique

xj = j�x

[xj ��x/2, xj +�x/2]

�j±1/2 = �(xj±1/2)

fj±1/2 = f(xj±1/2)

Sj(t) =

Vs�dV =

Z xj+1/2

xj�1/2

s�(x, t)dx�̄j(t) =1

V�dV =

Z j+1/2

xj�1/2

�(x, t)dx

Vd�̄

SF� · ndA = S�

=) d�x�̄

dt+ fj+1/2 � fj�1/2 =

Z xj+1/2

xj�1/2

s�(x, t)dx

Montrer que la valeur moyenne sur une cellule peut être approchée par la valeur nodale au centre de la cellule avec une erreur d’ordre 2.

TD : Valeur moyenne vs valeur au centre

�̄j(t) = �j(t) +O(�x2)

Linear convectionEquation

Calcul des flux aux interfaces :

Approximation de : fonction constante par morceaux

Flux simples mais discontinus aux interfaces:

Régularisation en moyennant les flux de chaque coté de l’interface.

Exemple 1D : Sommerfeld équation

@�(x, t)

=) d�x�̄j

dt+ fj+1/2 � fj�1/2 = 0

d�x�̄j

dt+ fj+1/2 � fj�1/2 =

Z xj+1/2

xj�1/2

s�(x, t)dx

fj±1/2 = f(�j±1/2) = f(�(xj±1/2))

�(x)

�(x) = �̄j , 8x 2 [xj�1/2, xj+1/2]

Exprimer les flux aux interfaces des CV en fonction des valeurs moyennes

Régulariser les discontinuités des flux aux interfaces

=> moyenne des flux de chaque coté de l’interfaces: estimation du 2nd ordre

On substitue dans l’équation

Conditions limites

Périodique

Dirichlet

Neumann

Exemple 1D : Sommerfeld équation cont’d

f̂j�1/2 =fLj�1/2 + fR

j�1/2

c�j�1 + c�j

2f̂j+1/2 =

fLj+1/2 + fR

c�j + c�j+1

d(�x�̄j)

dt+ fj+1/2 � fj�1/2 ⇡ d(�x�̄j)

dt+ f̂j+1/2 � f̂j�1/2 =

d(�x�̄j)

c�j + c�j+1

c�j�1 + c�j

=) �xd�̄j

c�j+1 � c�j�1

Conditions limites périodiques, système tridiagonal

Système équivalent au schéma différences finis centrées

2nd ordre en espace

Même propriétés que les schémas DF centrées

Non dissipatif : Analyse de Fourier ou valeur propre de imaginaires, présence d’oscillations possibles

Stabilité du schéma en temps: mêmes conditions que les DF pour la convection linéaire

Si centré en temps, centré en espace, explicite : Stable avec condition CFL

Si implicite en temps: inconditionnellement stable

d�̄��

2�xBBBp(�1, 0, 1)�̄�� = 0

�x 1

8�x,�t

Ordre 4 => TD

Conditions limites périodiques, sytème penta-diagonale avec 4 diagonales non nulles

d�̄��

12�xBBBp(1,�8, 0, 8,�1)�̄�� = 0

EDP parabolique du 2nd ordre

Forme intégrale identique à l’équation pour l’advection

Approximation des intégrales de surface (flux)

Première approche : Directe en utilisant DF centrées et

Exemple 1D : Equation de diffusion

@�(x, t)

@t= ⌫

@2�(x, t)

d(�x�̄j)

dt+ fj+1/2 � fj�1/2 = 0

�̄j = �j +O(�x2)

fj�1/2 = �⌫@�

@x|j�1/2 = �⌫

�j � �j�1

�x+O(�x2)

fj+1/2 = �⌫@�

@x|j+1/2 = �⌫

�j+1 � �j

�x+O(�x2)

f = �⌫r� = �⌫@�

On substitue dans l’intégrale

Forme matricielle

Forme semi discrète analogue au schéma DF centré mais en terme de valeurs moyennes sur les cellules.

Exemple 1D : Equation de diffusion (suite)

d(�x�̄j)

dt+ f̂j+1/2 � f̂j�1/2 = �x

d�̄j

dt+ ⌫

�j�1 � 2�j + �j+1

�x= 0

d�̄��

�x2BBB(1,�2, 1)�̄��+ (BCBCBC)

Seconde approche :

Utilisation d’une d’approximation quadratique par morceaux

a,b,c définis par les contraintes de moyenne sur les volumes

a,b sont symétriques, il n’y a donc pas de discontinuités aux interfaces.

Equation intégrale

Forme matricielle

Forme semi discrète analogue au schéma DF centré

�(⇠) = a⇠2 + b⇠ + c =) @�

@⇠= 2a⇠ + b

d�̄��

�x2BBB(1,�2, 1)�̄��+ (BCBCBC)

d(�x�̄j)

dt+ f̂j+1/2 � f̂j�1/2 = �x

d�̄j

dt+ ⌫

�j�1 � 2�j + �j+1

�x= 0

fRj+1/2 = fL

j+1/2 = �⌫@�

@x|j+1/2 = �⌫

�j+1 � �j

�x+O(�x2)

fRj�1/2 = fL

j�1/2 = �⌫@�

@x|j�1/2 = �⌫

�j � �j�1

�x+O(�x2)

Conditions limites

Imposées directement sur les flux convectifs

Formule décentrée pour les flux diffusifs

Méthodes numériquespour la résolution des équations de

Navier-Stokes IncompressibleMéthode de projection explicite sur

maillage décalé « MAC »

Problèmes à résoudre

Trouver une méthode d’intégration en temps.

Décider comment discrétiser les termes d’advection et de

diffusion visqueuse.

Choisir une méthode de résolution de l’équation pour la pression issue de la condition de continuité.

Mise en oeuvre de l’application des conditions aux limites.

Méthode de Projection

Champ de vitesse provisoire

Puis projection sur un champ de vitesse incompressible (à divergence nulle)

Méthode proposée par Alexandre Chorin en 1968

Exemple :

un+1 � un

�t+An

h = � 1

⇢n(rhp�Dn

h � fn� ) + fnb

Incompressibilité

Le champ de vitesse doit être incompressible à la fin du pas de temps

rh · un+1 = 0

Calcul de champ provisoire

Champ provisoire

Calcul du champ final

u⇤ � un

�t= �An

h + fnb +1

⇢n(Dn

h + fn� )

un+1 � u⇤

�t= � 1

⇢nrhp

rh ·✓

⇢nrhp

�tr · u⇤

Condition de stabilité

Condition de stabilité de von Neumann pour les termes visqueux

La condition CFL indique les points matériels se déplacent de moins d’une distance h pendant un pas de temps

On applique souvent des méthodes sophistiquées en fractionnant l’opérateur selon les directions d’espace. Ecrivons le problème (NS sans la pression par exemple) sous la forme avec

@tu = L(u)

L(u) = L1(u) + L2(u) + L3(u)

Méthode de pas fractionnaire

Pas fractionnaire

Exemple

@tu+ u@xu+ v@yu+ w@zu = L4(u, p)

L1 L2 L3

u⇤,1 = un +�tL1(un)

u⇤,2 = u⇤,1 +�tL2(u⇤,1)

u⇤,3 = u⇤,2 +�tL3(u⇤,2)

Méthodes d’ordre plus élevé en temps

Calcul d’un champ provisoire par la méthode ci-dessus

Calcul du champ définitif (prédicteur correcteur).

un+1 � un

�RHS

n +RHStmp�

Problème des écoulements avec forces capillaires

Condition de stabilité? La vitesse des ondes capillaires est modification de la condition CFL

�t (⇢1 + ⇢2)h3

⇡�

�1/2

⇢1 + ⇢2

�1/2

Méthode des Volumes Finis

Valeur moyenne : Vitesse

Terme d’advection

Terme de diffusion

Vu(x)dV

Vr · (uu)dV =

Su(u · n)ds

Vr · µ(rhu+rT

hu)dV =1

Sµ(rhu+rT

hu) · nds

Formulation intégrale des différents termes

Pression

Force de volume

Equation de continuité

(rp)c =1

VrpdV =

(fb)c =1

Vfb(x)dV

Su · nds = 0

Méthode MAC

Maillage décalé ou staggered dit « MAC » (Marker and Cell)

Equation de continuité en maillage décalé MAC

Equation de continuité

En approchant les moyennes par la valeur au point milieu

Volumes de contrôle pour la vitesse

CV différent pour chaque composante de la vitesse

Equations pour les vitesses provisoires

Détermination des champs de vitesse intermédiaires

Etape de projection

Etape de projection sur l’espace des champs de vitesse à divergence nulle:

Utilisation du champ de pression calculé à l’étape précédente

Pourquoi utiliser les maillages décalés MAC

Précision : le gradient de pression est calculé avec des termes espacés de au

lieu de dans un maillage colocatif.

Construction plus simple des méthodes conservatives.

Le couplage entre les variables est plus fort. Sur un maillage colocatif, l’équation

de continuité couple les variables de vitesses « en damier »: les rouges avec les

rouges et les noirs avec les noirs.

Maillage colocatif

Sur un maillage colocatif (non décalé), les sous grilles rouges et noires ne sont pas couplées par l’équation de continuité.

Découplage Noir/Rouge

Discrétisation des termes d’advection

Termes d’advection

Les vitesses sont définies au noeuds correspondants du maillage MAC, mais dans la formule les flux doivent être calculés sur des noeuds décalés par rapports aux noeuds MAC.

La façon d’approximer les termes de flux à partir des vitesses définies sur les maillages MAC caractérise la méthode utilisée.

(Ax)i+1/2,j =1

�x�y

⇥((uu)i+1,j � (uu)i,j)�y +

�(uv)i+1/2,j+1/2 � (uv)i+1/2,j�1/2

��x

Schéma du 2nd ordre

Second ordre mais instable

Stabilisation

Pour stabiliser les schéma il faut ajouter de la viscosité numérique, ce qui conduit à des pas de temps petits.

On peut aussi obtenir un schéma modifié, robuste et stable en utilisant les vitesses « amonts ».

Par exemple : on estime les vitesses sur les noeuds d’indice entier par.

Schéma QUICK

Le schéma décentré a cependant trop de diffusion numérique. Cela peut être évité en utilisant des schémas décentrés d’ordre plus élevé, par exemple le schéma QUICK de Leonard.

Exercice : Déterminer l’ordre de précision de ce schéma.

Schéma ENO

Un schéma encore plus robuste est le schéma ENO de Shu et Osher où la pente est la plus petite, en valeur absolue, des deux expressions

Discrétisation des termes visqueux

Termes visqueux

On estime ensuite les dérivées par des différences finies ordinaires

Equation de la pression

L’équationse discrétise

Nous considérerons la masse volumique comme uniforme dans la suite.

Conditions aux limites pour l’équation de la pression

Considérons un exemple où la paroi de gauche se déplace horizontalement à la vitesse .

L’équation de continuité au noeud devient

Equation correctrice

Comme la vitesse est connue en un des quatre points, on ne substitue l’équation correctrice que dans trois directions ce qui donne

On peut aussi réaliser cette égalité en définissant des pressions « fictives » sur les noeuds de pression à l’intérieur de la paroi

pi�1,j = pij

Condition limites : équation de la pression

Méthode SOR

Dans la méthode SOR la pression est remise à jour à chaque pas de temps par la relation

Méthode SOR (suite)

La méthode de relaxation consiste à calculer en fonction des valeurs précédentes.

Aussitôt qu’une nouvelle valeur est calculée en un point elle peut être réutilisée immédiatement pour le calcul du point suivant en . Pour éviter les pertes de performances dans les machines à accélération vectorielle, on calcule d’abord tous les points d’une sous-grille noire, plus touts les points d’une sous grille rouge. Une méthode qui alterne ainsi les deux sous grilles est appelée méthode SOR rouge-noir.

Le coefficient est appelé coefficient de sur-relaxation. Une valeur de 1.2 est souvent utilisée.

Au premier pas de temps la pression est initialisée à zéro.

i, ji+ 1, j

Méthode SOR (suite)

Le principal avantage de la méthode SOR est sa simplicité. Cependant elle peut devenir instable dans le cas ou le rapport de densité est grand. Il faut alors trouver d’autres méthodes plus adaptées.

De nombreuses méthodes très efficaces existent pour résoudre l’équation de la pression lorsque la densité est uniforme. Il est plus difficile d’en trouver lorsque le gradient est non-uniforme.

Méthodes multigrilles

Une méthode très populaire est la méthode multigrilles. Pour comprendre cette méthode il est bon d’analyser plus en détail la méthode SOR. Cette méthode peut en effet être vue comme la résolution d’une équation annexe avec un pas de temps fictif

Cette équation est discrétisée explicitement en temps avec un pas de temps . Fixer est équivalent à fixer le coefficient de surrelaxation .

Cette équation fictive est une équation de la chaleur. Aux temps long la solution vérifie l’équation de correction de la pression dérivée plus haut:

�s�s �

Méthodes multigrilles (suite)

Le pas de temps est limité par la condition de von Neumann avec ici d’où

Par contre le temps de diffusion est d’ordre

Le nombre d’itérations nécessaires est donc

µ�s

⇢h2<

µ = 1 �s <1

4⇢minh

T ⇡ ⇢maxL2

Le nombre d’itération est donc ce qui peut être très grand pour de grandes grilles.

Il est donc astucieux de transférer le problème à des grilles plus petites, en moyennant les paramètres du problème pour passer de la grille fine (la grille de départ de taille ) à la grille grossière (une grille de taille ). Le nombre d’itérations devient alors 4 fois plus rapide sur la grille grossière. On peut ensuite retransférer la solution sur la grille fine. On s’est rapproché de la solution et on converge ainsi plus vite.

Nx Nx/2

En continuant à transférer sur des grilles de plus en plus grossières on peut arriver à un nombre d’itération indépendant de la taille de la grille.

On effectue ainsi des cycles alternant entre les grilles fines et grossières.

Les solveurs multigrilles ont des difficultés avec les grands rapports de masse volumique.

Par conséquent les chercheurs ont essayés d’autres méthodes comme les méthodes de sous-espace de Krylov.

Conditions limites en vitesse

Pour la composante de vitesse parallèle au bord il faut faire des extrapolations à partir de « points fantômes » (ghost points)

d’où l’on tire

Conditions limites en vitesse

Conditions de glissement libre (contrainte tangentielle nulle)

Un autre type de condition aux limites importantes sont les conditions en entrée et de sortie de fluide.

On veut en général des conditions qui perturbent l’écoulement aussi peu que possible, simulant un domaine par rapport à l’objet à étudier.

Conditions de sortie de fluide

Conditions de sortie de fluide (suite)

La situation la plus simple se produit quand les conditions de sortie sont telles que l’on peut imposer exactement vitesse perpendiculaire à la frontière de sortie (outflow boundary).

Une autre possibilité est de supposer que les lignes de courant sont perpendiculaires à la frontière de sortie. Ce qui implique que . Il en résulte par l’équation de continuité que .

On doit donc imposer une correction de pression de la forme

Conditions aux limites périodiques

Les conditions aux limites périodiques sont réalisées quand pour toute variable a. Pour réaliser cette condition numériquement on place des points fantômes à gauche de la frontière de gauche en et à droite de la frontière en , et on affecte à ces points les valeurs

Le nombre total de points dans le domaine, incluant et est ainsi , tandis que en ajoutant les points fantômes on compte points.

i1i2 = i1 +N � 1

ai1�1 = ai2 ai2+1 = ai1

i1 i2 N

Exemple de schémasCas Linéaire

Stabilité : Critère de choix pour le pas de temps

Résolution de l’équation de Burgers

Schéma de Lax Wendroff - Volumes Finis

avec .

Erreur de troncature :

un+1j = un

j � ↵⇣f̂j+1/2 � f̂j�1/2

↵ =�t

f̂j+1/2 =1

⇥f(un

j ) + f(unj+1)

⇤� ↵

⇥f(un

j+1)� f(unj )⇤f 0

✓unj + un

O(�x2 +�t2)

Exemple de code mise en oeuvreSchéma de Lax Wendroff! **************************************************************

function g_LW(a,b) ! Flux numerique de Lax-Wendroff

double precision, dimension(Nx) :: g_LW, approx

double precision, dimension(Nx), intent(in) :: a,b

approx = fluxprime((a+b)*0.5) ! q'((a+b)/2)

g_LW = flux(a) + flux(b) - alpha*approx*(flux(b)-flux(a))

g_LW = g_LW*0.5

end function g_LW

subroutine Calcul_Lax_Wendroff(uLW)

double precision, dimension(Nx), intent(inout) :: uLW

double precision, dimension(Nx) :: uLW_P, uLW_M

! conditions de Neumann

uLW_P(1:Nx-1) = uLW(2:Nx)

uLW_P(Nx) = uLW(Nx)

uLW_M(1) = uLW(1)

uLW_M(2:Nx) = uLW(1:Nx-1)

! schema

uLW = uLW - alpha*(g_LW(uLW,uLW_P)-g_LW(uLW_M,uLW))

end subroutine Calcul_Lax_Wendroff

Solution

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

'burgers030.dat' u 1:2'burgers030.dat' u 1: 4

Dissipation Numérique

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