Post on 15-Jan-2016
description
12
/n
Metingen aan de hoogte van een toren
D
m90H
wordt gemeten met onzekerheid S=0.1o.
Vraag 1: Op welke afstand D moet je gaan staan om H zo nauwkeurig mogelijk te bepalen?Vraag 2: Komt dit heel erg nauw?
tantan DHD
H
12
/n
Oplossing
S
DSDH H 2cos
tan
1
cos
1
cos
cos1
cos
sintan
22
2
2
22
2
D
H
2
21
cos
1
D
H
SD
HDSH
2
minimaal als 012
2
S
D
H
dD
dSH HDD
H
01
2
2
12
/n
In een plaatje
SD
HDSH
2
40 60 80 100 120 140 160 180 2000.300
0.325
0.350
0.375
0.400
0.425
0.450
S H (
m)
D (m)
0018.01.0 S
Conclusie: een afstand tussen D=55 m en D=145 m geeft een onzekerheid van 0.3 m
40 60 80 100 120 140 160 180 2000.300
0.325
0.350
0.375
0.400
0.425
0.450
S H (
m)
D (m)
12
/n
Het combineren van meetresultaten
Verschillende meetmethoden /meetseries aan dezelfde grootheid met resultaten
4.02.10
6.09.9
3.08.9
3
2
1
x
x
x
Vraag: geef één eindresultaat (incl. onzekerheid)
Overwegingen:• Soort middeling uitvoeren• De meting 9.8 ± 0.3 is het belangrijkst• De onzekerheid in het eindresultaat moet kleiner zijn dan
0.3• Gebruik een gewogen gemiddelde
68%-intervallen
12
/n
Het combineren van meetresultaten
321
332211
GGG
xGxGxGx
4.02.10
6.09.9
3.08.9
3
2
1
x
x
x
232221 4.0
1,
6.0
1,
3.0
1 GGG
94.916/136/19/1
16/2.1036/9.99/8.9
x
321
1
GGGSx
22.04.0/16.0/13.0/1
1222
xS
2.09.9 x
12
/n
Algemene formule
Gemeten zijn NxNxx SxSxSx ....,,,21 21
Het gewogen gemiddelde is
i
ii
G
xGx met gewichtsfactoren
2
1
ii S
G
De onzekerheid is
i
xG
S1
12
/n
Metingen aan een gas
Ideale-gas-wet: constantT
pvoor een constant volume
Merk op: T is de temperatuur in Kelvin
Noem Tc de temperatuur in graden Celsius, dan is 0TTT c
T0=absolute nulpunt in graden Celsius
kTT
p
c
0
0TpaTc
Vraag: hoe bepaal ik in een experiment de constante k en het absolute nulput T0 ?
Antwoord: meet bij verschillende drukken p de temperatuur Tc van het gas
12
/n
Meetresultaten
p (Hpa) Tc (oC)
86.7 -20 ± 8
100.0 17 ± 8
113.3 42 ± 8
126.7 94 ± 8
140 127 ± 8
80 90 100 110 120 130 140 150-50
0
50
100
150
T c (o C
)
p (HPa)
12
/n
Probleemstelling
Welke lijn past het best bij de meetpunten?
Antwoord: de lijn die het dichtst langs alle meetpunten loopt
12
/n
Oplossing
80 90 100 110 120 130 140 150-50
0
50
100
150
T c (o C
)
p (HPa)
ii yx ,
iy
iii ybaxy bxay
ALLE yi moeten klein zijn
2iyMaak zo klein mogelijk
12
/n
Kleinste-kwadraten-methode
iii ybaxy
Maak zo klein mogelijk 2iy
Opgave: zoek die waarden voor a en b waarbij zo klein mogelijk is 2iy
22iii ybaxy ),( baf
),( baf is minimaal als 0),(),(
b
baf
a
baf
12
/n
Kleinste-kwadraten-methode
2),( ii ybaxbaf
2),(ii ybax
aa
baf
2ii ybax
a iii xybax2
iiii yxxbxa 222 2 0
0222),(
ii yNbxab
baf
ii
iiii
yNbxa
yxxbxa 2
0),(),(
b
baf
a
baf
12
/n
Oplossing
ii
iiii
yNbxa
yxxbxa 2
22
2
22
ii
iiiii
ii
iiii
xxN
yxxyxb
xxN
yxyxNaoplossing:
onzekerheden:
22
222
22
22 ,
ii
iyb
ii
ya
xxN
xSS
xxN
SNS
Sy is de onzekerheid in de y-waarden
12
/n
Aannames die we gemaakt hebben:
• Het verband moet lineair zijn• Er zitten alleen onzekerheden in de y-grootheid
• De yi-waarden zijn allemaal bepaald uit meetseries
• Alle onzekerheden in de y-waarden zijn constant
Hoe moet het als aan deze aannames niet is voldaan?
12
/n
De onzekerheden zitten in de x-grootheid
Oplossingen:• Plot x tegen y• Minimaliseer (xi)2 ingewikkeld
De onzekerheden zitten in de x- en de y-grootheid
Veel te ingewikkeld voor het moment
12
/n
De yi-waarden zijn niet bepaald uit meetseries
• Onzekerheden zijn niet bekend• Neem aan dat de spreiding in alle punten gelijk is
Vroeger hadden we:
2
1
1yy
NS iy
(spreiding t.o.v. het gemiddelde)
Neem nu de spreiding t.o.v. de rechte lijn:
2
1
1baxy
NS iiy
2
2
1baxy
NS iiy
vanwege aantal vrijheidsgraden
12
/n
De onzekerheden in de y-waarden zijn niet constant
Oplossing: voer gewichtsfactoren in
Definieer
2
2
2
22
i
ii
i
i
S
ybax
S
y
Oplossing via en02
a
0
2
b
meer rekenwerk maarwel oplosbaar
12
/n
Demo