12

/n

Metingen aan de hoogte van een toren

D

m90H

wordt gemeten met onzekerheid S=0.1o.

Vraag 1: Op welke afstand D moet je gaan staan om H zo nauwkeurig mogelijk te bepalen?Vraag 2: Komt dit heel erg nauw?

tantan DHD

H

12

/n

Oplossing

S

DSDH H 2cos

tan

1

cos

1

cos

cos1

cos

sintan

22

2

2

22

2

D

H

2

21

cos

1

D

H

SD

HDSH

2

minimaal als 012

2

S

D

H

dD

dSH HDD

H

01

2

2

12

/n

In een plaatje

SD

HDSH

2

40 60 80 100 120 140 160 180 2000.300

0.325

0.350

0.375

0.400

0.425

0.450

S H (

m)

D (m)

0018.01.0 S

Conclusie: een afstand tussen D=55 m en D=145 m geeft een onzekerheid van 0.3 m

40 60 80 100 120 140 160 180 2000.300

0.325

0.350

0.375

0.400

0.425

0.450

S H (

m)

D (m)

12

/n

Het combineren van meetresultaten

Verschillende meetmethoden /meetseries aan dezelfde grootheid met resultaten

4.02.10

6.09.9

3.08.9

3

2

1

x

x

x

Vraag: geef één eindresultaat (incl. onzekerheid)

Overwegingen:• Soort middeling uitvoeren• De meting 9.8 ± 0.3 is het belangrijkst• De onzekerheid in het eindresultaat moet kleiner zijn dan

0.3• Gebruik een gewogen gemiddelde

68%-intervallen

12

/n

Het combineren van meetresultaten

321

332211

GGG

xGxGxGx

4.02.10

6.09.9

3.08.9

3

2

1

x

x

x

232221 4.0

1,

6.0

1,

3.0

1 GGG

94.916/136/19/1

16/2.1036/9.99/8.9

x

321

1

GGGSx

22.04.0/16.0/13.0/1

1222

xS

2.09.9 x

12

/n

Algemene formule

Gemeten zijn NxNxx SxSxSx ....,,,21 21

Het gewogen gemiddelde is

i

ii

G

xGx met gewichtsfactoren

2

1

ii S

G

De onzekerheid is

i

xG

S1

12

/n

Metingen aan een gas

Ideale-gas-wet: constantT

pvoor een constant volume

Merk op: T is de temperatuur in Kelvin

Noem Tc de temperatuur in graden Celsius, dan is 0TTT c

T0=absolute nulpunt in graden Celsius

kTT

p

c

0

0TpaTc

Vraag: hoe bepaal ik in een experiment de constante k en het absolute nulput T0 ?

Antwoord: meet bij verschillende drukken p de temperatuur Tc van het gas

12

/n

Meetresultaten

p (Hpa) Tc (oC)

86.7 -20 ± 8

100.0 17 ± 8

113.3 42 ± 8

126.7 94 ± 8

140 127 ± 8

80 90 100 110 120 130 140 150-50

0

50

100

150

T c (o C

)

p (HPa)

12

/n

Probleemstelling

Welke lijn past het best bij de meetpunten?

Antwoord: de lijn die het dichtst langs alle meetpunten loopt

12

/n

Oplossing

80 90 100 110 120 130 140 150-50

0

50

100

150

T c (o C

)

p (HPa)

ii yx ,

iy

iii ybaxy bxay

ALLE yi moeten klein zijn

2iyMaak zo klein mogelijk

12

/n

Kleinste-kwadraten-methode

iii ybaxy

Maak zo klein mogelijk 2iy

Opgave: zoek die waarden voor a en b waarbij zo klein mogelijk is 2iy

22iii ybaxy ),( baf

),( baf is minimaal als 0),(),(

b

baf

a

baf

12

/n

Kleinste-kwadraten-methode

2),( ii ybaxbaf

2),(ii ybax

aa

baf

2ii ybax

a iii xybax2

iiii yxxbxa 222 2 0

0222),(

ii yNbxab

baf

ii

iiii

yNbxa

yxxbxa 2

0),(),(

b

baf

a

baf

12

/n

Oplossing

ii

iiii

yNbxa

yxxbxa 2

22

2

22

ii

iiiii

ii

iiii

xxN

yxxyxb

xxN

yxyxNaoplossing:

onzekerheden:

22

222

22

22 ,

ii

iyb

ii

ya

xxN

xSS

xxN

SNS

Sy is de onzekerheid in de y-waarden

12

/n

Aannames die we gemaakt hebben:

• Het verband moet lineair zijn• Er zitten alleen onzekerheden in de y-grootheid

• De yi-waarden zijn allemaal bepaald uit meetseries

• Alle onzekerheden in de y-waarden zijn constant

Hoe moet het als aan deze aannames niet is voldaan?

12

/n

De onzekerheden zitten in de x-grootheid

Oplossingen:• Plot x tegen y• Minimaliseer (xi)2 ingewikkeld

De onzekerheden zitten in de x- en de y-grootheid

Veel te ingewikkeld voor het moment

12

/n

De yi-waarden zijn niet bepaald uit meetseries

• Onzekerheden zijn niet bekend• Neem aan dat de spreiding in alle punten gelijk is

Vroeger hadden we:

2

1

1yy

NS iy

(spreiding t.o.v. het gemiddelde)

Neem nu de spreiding t.o.v. de rechte lijn:

2

1

1baxy

NS iiy

2

2

1baxy

NS iiy

vanwege aantal vrijheidsgraden

12

/n

De onzekerheden in de y-waarden zijn niet constant

Oplossing: voer gewichtsfactoren in

Definieer

2

2

2

22

i

ii

i

i

S

ybax

S

y

Oplossing via en02

a

0

2

b

meer rekenwerk maarwel oplosbaar

12

/n

Demo