havo/vwo D Samenvatting Hoofdstuk 3

Een experiment twee of meer keer uitvoeren

De productregel gebruik je ook als je hetzelfde experiment 2 of meer keren uitvoert.

De productregelVoor de gebeurtenis G1 bij het ene kansexperiment en de

gebeurtenis G2 bij het andere experiment geldt :

P(G1 en G2) = P(G1) · P(G2)

3.1

Experimenten herhalen totdat succes optreedt

In het volgende voorbeeld pak je één voor één knikkers uit de vaas met 3 rode en 5 witte knikkers.Je gaat net zo lang door tot je een rode knikker pakt.

3.1

Trekken met en zonder terugleggen

3.2

voorbeeldIn een vaas zitten 50 knikkers, waarvan er p rood zijn.

a) P(rr) =

b) P(rode en witte) = 2 · P(rw) =

21 ( 1)

50 49 50 49 2450

p p p p p p

De tweede rode knikker pak je uit een vaas met 50 – 1 = 49

knikkers, waarvan er p – 1 rood zijn.

250 2 (50 ) (50 ) 502

50 49 2450 1225 1225

p p p p p p p p

Er zijn 50 – p witte knikkers

3.2

Kleine steekproef uit grote populatie

Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag jetrekken zonder terugleggen opvatten als trekken met terugleggen.

3.2

Toevalsvariabelen

Bij het kansexperiment uit opgave 32 wordt aselect (= willekeurig)een leerling uit de klas gekozen. X = de leeftijd van de leerling.Omdat de waarde van X afhangt van het toeval heet X een toevalsvariabele.

complementregel P(Y ≥ 1) = 1 – P(Y = 0) somregel P(Y < 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1)

3.3

Kansverdelingen

De kansverdeling van X is een tabel waarin bij elke waardevan X de bijbehorende kans is vermeld.

De som van de kansen in een kansverdeling is altijd

1.

kanshistogram

Uniform verdeelde toevalsvariabele kansverdeling waarin alle kansen gelijk

zijn. 3.3

Onafhankelijke toevalsvariabelen

De toevalsvariabelen X en Y zijn onafhankelijk als voor elke mogelijke x en y geldt :

P(X = x onder de voorwaarde Y = y) = P(X = x)

3.3

De verwachtingswaarde E(X) van de toevalsvariabele X

1. Stel de verwachtingswaarde van X op.2. Vermenigvuldig elke waarde van X met de bijbehorende kans.3. Tel de uitkomsten op.

De som is E(X).

Dus E(X) = x1 · P(X = x1) + x2 · P(X = x2) + … + xn · P(X = xn).

3.3

Succes en mislukkingDe complement-gebeurtenis

van succes.

Een Bernoulli-experiment is een kansexperiment waarbij je alleen op de gebeurtenissen succes en mislukking let.

De kans op succes wordt aangegeven met p.

De kans op mislukkig is dan 1 - p.3.4

Het binomiale kansexperiment

Een binomiaal kansexperiment is een kansexperiment dat bestaat uit

n gelijke Bernoulli-experimenten.

Hierbij hoort de toevalsvariabele X = het aantal keer succes.

Bij een binomiaal kansexperiment is :

• n het aantal keer dat het Bernoulli-experiment wordt uitgevoerd

• p de kans op succes per keer

• X het aantal keer succes

De kans op k keer succes is gelijk aan

P(X = k) = · pk · (1 – p)n – k.nk

3.4

De notaties binompdf(n, p, k) en binomcdf(n, p, k)

3.4

3.4

Werkschema: binomiale kansen berekenen

1. Omschrijf de betekenis van de toevalsvariabele X2. Noteer de gevraagde kans met X en herleid deze kans tot een vorm met

binompdf of binomcdf.3. Bereken de gevraagde kans met de GR.

3.4

P(X minder dan 4) = P(X < 4) = P(X ≤ 3)

P(X tussen 5 en 8) = P(X ≤ 7) – P(X ≤ 5)

= P(X = 6) + P(X = 7)

Berekenen van n

3.4

De standaardafwijking

Deviatie d = x – x ( de afwijking van het gemiddelde )

Standaardafwijking σ = √gemiddelde van (x – x)2

Het berekenen van σ doe je met (TI) 1-Var Stats L1,L2 σx of (Casio) 1VAR xσn

3.5

De standaardafwijking

3.5

De somregel voor de verwachtingswaarde

Voor de toevalsvariabelen X en Y geldt :

E(X + Y) = E(X) + E(Y)

3.5

De somregel voor de standaardafwijking

Voor elk tweetal onafhankelijke toevalsvariabelen X en Y geldtde somregel voor de standaardafwijking

σx+ y = √ σ2x + σ2

y

VAR(X) = σ2x (de variantie van X)

σ2x+ y = σ2

x + σ2y

dus

VAR(X + Y) = VAR(X) + VAR(Y)

3.5

De standaardafwijking van een binomiale toevalsvariabele

Bij de binomiale toevalsvariabele X met parameters n en p is

- de verwachtingswaarde E(X) = np

- de standaardafwijking σX = √np(1 – p)

3.5