Deel 3.Vraagstukken: een venster op de

wereld?

1. Een kleine opdracht als opwarmer

• Instructies:

– Neem pen en papier en los onderstaande vraagstukken in kleine groepjes op

– Noteer je berekening, uitleg en antwoord– Tracht de opgeloste vraagstukken in twee

groepen te verdelen? Volgens welk principe doe je dat?

1. In de spaarpot van Thomas zit €70. Hij wil hiermee speelgoedauto’s kopen. Eén speelgoedauto kost €3.5. Hoeveel speelgoedauto’s kan hij hiermee kopen?

- Berekeningen/uitleg:

- Antwoord:

2. Bruno en Saskia gaan naar dezelfde school. Bruno woont 17 kilometer van school en Saskia woont 8 kilometer van school. Hoe ver wonen Bruno en Saskia van elkaar?

- Berekeningen/uitleg:

- Antwoord:

3. Piet heeft 12 appels. Hij heeft 4 appels minder dan An. Hoeveel appels heeft An?

-Berekening/uitleg:

-Antwoord

4. Steven wil een houten trap maken. Hij heeft 8 planken van 2,5 meter gekocht. Hoeveel planken van 1 meter kan Steven hiervan zagen?

- Berekeningen/uitleg:

- Antwoord:

5. Een boot legt een traject van 180 km. af in 4 uur. Wat is de gemiddelde snelheid waarmee deze boot gevaren heeft?

- Berekeningen/uitleg:

- Antwoord:

6. De recordtijd van Jan op de 100 meter is 17 seconden. In hoeveel tijd loopt Jan 1 kilometer?

- Berekeningen/uitleg:

- Antwoord:

7. Jan wil twee palen, die 12 m. van mekaar staan, met touwen met elkaar verbinden. Hij heeft een zak met stukken touw van 1,5 m. Hoeveel stukken touw heeft hij daarvoor nodig?

Berekeningen/uitleg:

Antwoord:

Inhoud

1. Opdracht als opwarming2. Vraagstukken: altijd en overal3. Definitie en functie van vraagstukken4. Onderzoeksvraag5. Onderzoekingen6. Besluit

2. Vraagstukken: altijd en overal

• Vraagstukken bestaan al duizenden jaren, in alle culturen, en ze zijn nog nauwelijks veranderd…

3. Wat zijn vraagstukken?

In zijn meest bekende en meest typische vorm, is een vraagstuk een kernachtige tekstuele beschrijving van een situatie waarin een aantal hoeveelheden gegeven zijn en waarin de oplosser > meestal een leerling die met de taak wordt geconfronteerd in de context van een wiskundeles of -test > een onbekende hoeveelheid moet bepalen via een of meerdere wiskundige bewerkingen met de gegeven getallen in de tekst.

(Verschaffel et al., 2000, p. ix)

Geen vraagstuk

– “Welk getal bekom je als je 122 vermindert met 33?”

– “Hoeveel is 8 keer 24?”

…

– “Wanneer moet ik vertrekken, om tijdig in de luchthaven te zijn?”

– “Welk soort hypothecaire lening zouden we best nemen t.b.v. de aankoop van ons nieuwe huis?”

4. Functies van vraagstukken

• Wiskunde leren gebruiken buiten de wiskundeles (= topeassingsfunctie)

• Kennisoverdracht • Morele opvoeding • Meten van de intelligentie• Stimuleren van het probleemoplossend vermogen• Aantrekkelijkheid van de wiskunde(lessen) verhogen• Wiskundige begripsvorming

Door een vreselijke uitbarsting van de berg Vesusius, op den 24 Aug. van het jaar 79 onzer gewone telling, werden de ongelukkige steden Herculanum en Pompeii onder de gloeiende as, stenen en lava tot een diepte van meer dan 30 voeten jammerlijk bedolven. En nadat men toevallig in 1711 de juiste plaats van de eerstgenoemde stad ontdekt had, werd Herculanum in 1783 en Pompeii in 1743 ten grote dele wederom opgedolven. Hoe lang bleven deze twee steden onder de as bedolven?

(Naar Oling, 1804, in Beckers, 2000)

Een vader had de gewoonte om elke avond naar de herberg te gaan, terwijl hij zijn gezin thuis zonder enig voedsel achterliet. Gedurende de vier jaren dat hij een dergelijk leven leed, verspilde de vader het eerste jaar 197 frank, het tweede 204 frank, het derde 212 frank, en het vierde 129 frank in de herberg. Hoeveel frank had deze ongelukkige vader kunnen sparen voor zijn gezin als hij niet drankzuchtig was geweest?

(naar Père Girard, 1844, in Shulman, 1992)

• Wechsler Intelligence Scale for Children-III (WISC III)

• IQ test voor kinderen van 6-17 jaar

• 12 subtests• Subtest 5: vraagstukken uit

het hoofd uitrekenen en oplossen (o.a. rond de regel van drie)

As I was going to St. Ives, I met a man with seven wives. Each wife had seven sacks, each sack had seven cats. Each cat had seven kits. Kits, cats, sacks, wives, how many going to St. Ives?

(Old English nursery rhyme; Gillings, 1972)

• Te ontwikkelen wiskundig begrip: Het Cartesisch product (of de productverzameling) van twee verzamelingen is de verzameling van alle koppels of geordende paren (a, b) waar a uit de eerste en b uit de tweede verzameling komt. Het Cartesisch product van twee verzamelingen A en B wordt genoteerd als A × B.

• Contextopgave als instap: Elise heeft 2 truitjes en 3 broeken mee op kamp. Op hoeveel verschillende manieren kan ze zich kleden?

Vraagstukken: functie

• Vraagstukken hebben meerdere functies

• Belangrijkste functie = toepassingsfunctie, d.w.z. leerlingen de aangeleerde wiskundige kennis en vaardigheden leren toepassen op problemen uit het dagelijkse leven

• Vraagstukken = efficiënte “vervanger” voor het werken in levensechte probleemsituaties (in de winkel, op de werkvloer…)

5. Onderzoeksvraag

• Vervullen vraagstukken deze toepassingsfunctie wel naar behoren?

• Vroeger: men stelde zich daar weinig of geen vragen bij (zie volgende slide)

• Recent: diverse aanwijzingen dat zij die toepassingsfunctie niet goed vervullen

Typische houding van vroeger

“It would be lovely, had we but world enough and time, to get our non-mathematical situations in real life, but the exigencies of classroom instruction – not to mention examination – make us get along with stories that serve to convey the aspects of real life in which we can find the mathematics to solve. The ‘story’ part of the problem is the link with real life”

R. Thomas (1997, p. 21)

Aanwijzing 1: “The captain’s problem” (Baruk, 1985)

• Opgave: In een boot zitten 36 schapen en 12 koeien. Hoe oud is de kapitein?

• Resultaat: De meeste leerlingen van het 1ste tot 4de leerjaar van de lagere school (in Frankrijk) losten dit probleem op door 36 en 12 samen te tellen, 12 van 36 af te trekken, 36 te delen door 12, … zonder enige vraag te stellen of opmerking te plaatsen bij hun antwoord.

Aanwijzing 2: “The buses problem” (Carpenter et al., 1983)

• Opgave: 450 soldaten moeten per bus naar het oefenterrein vervoerd worden. Hoeveel bussen zijn er nodig, als je weet dat er 36 soldaten in één bus kunnen?

• Resultaat: De meeste 11-12-jarigen (in de U.S.) kiezen voor de juiste bewerking (450 : 36 = .) en rekenen die bewerking juist uit (12,5), maar antwoorden met “12,5 bussen”, “12 ½ bussen” of “12 bussen”.

6. Beknopt overzicht van het Leuvens onderzoek

Systematisch onderzoek van Verschaffel et al. (1994)

• Onderzoek naar het gebruik van dagelijkse ervaringskennis bij het oplossen van wiskundige vraagstukken door leerlingen van het 5de leerjaar basisonderwijs

• 75 Leerlingen (5de leerjaar) kregen 10 itemparen tijdens een gewone vraagstukkenles– 10 standaardvraagstukken (S-items)– 10 problematische vraagstukken (P-items)

Opgaven• S-items: klassieke vraagstukken waar niets mis

mee is, zoals…– Spaarpot-item nr 1– Appels-item nr 3– Boot-item nr 5

• P-items: opgaven met een “realistisch addertje onder het gras”, zoals…– School-item nr 2– Planken-item nr 4– Loper-item nr 6– Touwen-item nr 7

Realistische (RR) en niet-realistische reacties (NR) op P-items

• RR: een antwoord waarbij ernstig rekening wordt gehouden met de context, of waarin bijkomende realistische opmerkingen worden gegeven

• NR: een reactie waarin geen enkel spoor is van gebruik van realistische ervaringskennis (noch in het antwoord, noch in de evt. aanvullende commentaar)

School-item

• Opgave: Bruno en Saskia gaan naar dezelfde school. Bruno woont 17 kilometer van school en Saskia woont 8 kilometer van school. Hoe ver wonen Bruno en Saskia van elkaar?

• NRs: 1) “17-8=9 km”; 2) “17+8=25 km”• RR: “tussen 9 en 25 km” of “dat kan je niet

weten, want…”

• Slechts 5 % van de leerlingen geeft een RR

Planken-item

• Steven heeft 8 planken van 2,5 meter gekocht. Hoeveel plankjes van 1 meter kan Steven hiervan zagen?

• NR: “(8 x 2,5) : 1 = 20 planken”• RR: “8 x 2 = 16 planken (en 8 halve plankjes

over)”

• Slechts 13 % geeft een RR

Loper-item

• De recordtijd van Jan op de 100 meter is 17 seconden. In hoeveel tijd loopt Jan 1 kilometer?

• NR: “17 x 10 = 170 sec”• RR: “Omdat Jan moe wordt: een beetje meer

dan 170 sec”

• Slechts 3 % geeft een RR

Touw-item

• Jan wil twee palen, die 12 m. van mekaar staan, met touwen met elkaar verbinden. Hij heeft een zak met stukken touw van 1,5 m. Hoeveel stukken touw heeft hij daarvoor nodig?

• NR: “12 : 1,5 = 8”• RR: “12 : 1,5 = 8, maar dan moet je ook nog het touw

(mee)rekenen dat nodig is voor de knopen”

• 0 % geeft een RR

Percentage RRs op de 10 P-items

Vrienden: 11 School: 5Planken: 14 Ballonnen: 59Water: 17 Leeftijd: 3Bussen: 49 Touw: 0Loper: 3 Vaas: 4_____________________________Totaal: 17%

Voorlopig besluit en bijkomende vragen

• Besluit: De meeste leerlingen uit het Vlaams basisonderwijs negeren de dagelijkse realiteit bij het oplossen van wiskundige vraagstukken.

• Vragen1. Vinden we dit fenomeen ook terug in andere

landen?2. (Hoe) krijgen we dat percentage RRs

omhoog?3. Hoe verklaren we dit fenomeen?

Replicatiestudies (% RRs)Auteur(s) Land % RRs

Verschaffel et al. (1994) Flanders 17%

Hidalgo & Gaulin (1997) Venezuela 12%

Reusser & Stebler (1997) Switzerland 19%

Yoshida et al. (1997) Japan 15%

Renkl (1999) Germany 20%

Verschaffel et al. (1999) Flanders 16%

Chacko (2000) Zimbabwe < 5%

Cnudde et al. (2001) Chili < 10%

Wu Hongjian (2001) UK and China 11 and 11%

Csikos et al. (2003) Hungary 18%

Csikos et al. (in press) Hungary 12%

Xin & Zhang (in press) China 27%

Ingreep 1: Gebruik van waarschuwingen (Yoshida et al., 1997)

• Opzet: ene helft van een groep 5de klassers krijgt P-items zonder waarschuwing; andere groep met een waarschuwing (zie volgende slide)

• Resultaat: Geen significant verschil tussen eerste (15% RRs) en tweede groep (20% RRs)

Waarschuwing in studie van Yoshida et al. (1997)

Attention!The test contains several problems that are difficult or impossible to solve because of certain unclarities or complexities in the problem statement. When you encounter such an unclarity or complexity, please write it down and explain why you think that you are not able to solve the problem.

Ingreep 2: Gebruik van tekeningen (Dewolf et al., in press)

• Opzet: ene helft van een groep 5de klassers krijgt de gewone P-items; de andere helft krijgt er een tekening bij die de reële probleemsituatie “oproept”

• Resultaat: Toevoeging van tekening zorgt niet voor meer RRs: 12 % RRs zonder tekeningen vs. 11% RRs met tekeningen

Voorbeeld van P-item met tekening (Dewolf et al., in press) - Jan wil twee palen, die 12 m. van mekaar staan,

met touwen met elkaar verbinden. Hij heeft een zak met stukken touw van 1,5 m. Hoeveel stukken touw heeft hij daarvoor nodig?

- Berekening

- Antwoord:

Ingreep 3: Context levensechter maken (DeFranco & Curcio, 1997)

• Opzet: 20 6de klassers krijgen bus-item eerst als gewoon schoolvraagstuk; een week later wordt hen gevraagd om effectief minibusjes te bestellen voor een schooluitstap via de telefoon

• Resultaat: 2/20 RRs bij schoolvraagstuk; 16/20 RRs aan de telefoon

Levensechte presentatie van het bus-item (DeFranco & Curcio, 1997)

Facts:– Date of party: Friday, April 15– Time: 4:00-6:00 PM– Place: Ricardo’s Restaurant, Queens– Number of children attending the party: 32

Problem:We need to transport the 32 children to the restaurant so we need transportation. We have to order minivans. Board of Education minivans seat 5 children. These minivans have 5 seats with seatbelts and are prohibited by law to seat more than 5 children. How many minivans do we need? Once you have determined how many minivans we need, call 998-2323 to place the order.

Verklaring voor de NRs op P-items

• Leerlingen gedragen zich helemaal anders in de vraagstukkenles dan erbuiten

• In de vraagstukkenles spelen ze “het spel van de schoolvraagstukken”, en houden ze zich in hun antwoorden strikt aan de regels van het spel

• Die spelregels worden niet expliciet maar impliciet aangeleerd

Enkele regels van het “spel der schoolvraagstukken”

• Een vraagstukken wordt niet bekritiseerd, maar opgelost

• Een vraagstuk heeft altijd één juiste oplossing• Die oplossing bestaat uit een (precies) getal• Dat getal wordt bekomen door bewerkingen

uit te voeren op gegeven getallen• Extra ervaringskennis (die niet expliciet in de

opgave gegeven is) gebruiken is niet toegelaten

Reactie van een leerling die een P-item NR beantwoord heeft (1)

• "I know all these things, but I would never think to include them in a math problem. Math isn't about things like that. It's about getting sums right and you don't need to know outside things to get sums right“

(Reusser & Stebler, 1997)

Reactie van een leerling die een P-item NR beantwoord heeft (2)

• “I did think about the difficulty, but then I just calculated it the usual way. (Why?) Because I just had to find some sort of solution of the problem and that was the only way it worked. I’ve got to have a solution, haven’t I?”

(Reusser & Stebler, 1997)

Hoe worden die spelregels dan (impliciet) aangeleerd?

• Door de aard van de vraagstukken die in de handboeken voorkomen

• Door de manier waarop leerkrachten met die vraagstukken omgaan– Antwoorden waarin men realistische overwegingen

heeft gemaakt, minder punten geven dan klassieke antwoorden

– Negatief reageren op kritische vragen van leerlingen

Een voorbeeld van een onrealistische vraag in een (Portugese) rekenmethode

Opgave: De wasmachine van Mevrouw Ana wast 12 kg wasgoed in 18 minuten. In hoeveel tijd wast die machine 11 kg wasgoed?

Correct antwoord: (volgens het rekenboek): 16,5 minuten.

De recordtijd van Jan op de 100 meter is 17 seconden. In hoeveel tijd loopt Jan 1 km?

Antwoord A: 10 x 17 s = 170 s

Score: …

Antwoord B: 100 x 17 s = 1700 s

Score: …

Antwoord C: 100 + 17 = 117 s

Score: …

Antwoord D: Het is niet mogelijk een precies antwoord te geven

Score : …

Opgave uit het onderzoek bij aspirant-leerkrachten van Verschaffel et al.

(1997)

De recordtijd van Jan op de 100 meter is 17 seconden. In hoeveel tijd loopt Jan 1 kilometer?

Antwoord A: 10 x 17 s = 170 s

Score: …

Antwoord B: 100 x 17 s = 1700 s

Score: …

Antwoord C: 100 + 17 = 117 s

Score: …

Antwoord D: Het is niet mogelijk een precies antwoord te geven

Score : …

Opgave uit het onderzoek bij aspirant-leerkrachten van Verschaffel et al.

(1997)

De recordtijd van Jan op de 100 meter is 17 seconden. In hoeveel tijd loopt Jan 1 kilometer?

Antwoord A: 10 x 17 s = 170 s

Score: …

Antwoord B: 100 x 17 s = 1700 s

Score: …

Antwoord C: 100 + 17 = 117 s

Score: …

Antwoord D: Het is niet mogelijk een precies antwoord te geven

Score : …

Opgave uit het onderzoek bij aspirant-leerkrachten van Verschaffel et al.

(1997)

Resultaat van de studie of Verschaffel et al. (1997)

• Aspirant-leerkrachten geven veel meer punten aan de NRs dan aan de RRs van leerlingen

• NRs van leerlingen worden dus “beloond”, terwijl RRs worden “afgestraft”

Resultaten

0

10

20

30

40

50

60

Score1

Score1/2

Score0

RRNR

Negatief reageren op kritische vragen van leerlingen: een

voorbeeld (Depaepe et al., in press)

• Opgave: “De familie Van Damme maakt een trip met de wagen. De wagen is afgebeeld op schaal 1: 200. Hoe lang is de wagen in werkelijkheid?

• [Rekenwerk leidt tot de correcte oplossing 6.6 m]• Leerling: “6.6 m, is dat niet erg veel voor een gewone

wagen zoals die van de familie Van Damme?”. • Leraar: “Alsjeblief, stop met het maken van dat soort

van opmerkingen wanneer we vraagstukken oplossen. Dit soort opmerkingen zijn misplaatst. Dat is niet wat van je verwacht wordt in de vraagstukkenles".

Besluit

• Vraagstukken vervullen hun (belangrijke) toepassingsfunctie niet goed, want

• leerlingen leren om tijdens de vraagstukkenles hun ervaringskennis buitenspel te zetten

• terwijl je in echte probleemsituaties zowel je wiskundekennis als je ervaringskennis nodig hebt