Post on 19-Mar-2016
description
De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een rechte lijnalgemene vergelijking y = ax + ba = hellingsgetal of richtingscoeumlfficient
altijd 1 naar rechts a omhoogb = ldquobegingetalrdquo of snijpunt met de verticale as
horizontale lijn a = 0 y = getal
21
werkschema het oplossen van lineaire vergelijkingen
voorbeeld 4(2x ndash 3) = 6x ndash 8
1 staan er haakjes werk ze weg 8x ndash 12 = 6x ndash 8
2 termen met x naar links de rest naar rechts 8x ndash 6x = -8 + 12
3 herleid beide leden 2x = 4
4 deel door het getal voor x x = 42 = 2
21
voorbeeld
4
0
1
x
4
-3
∆yomhoog
∆xrechts
rc = ∆y ∆xrc = -34 = -frac34m y = ax + by = -frac34x + b door A(1 4)4 = -frac34 middot 1 + b4 = -frac34 + b4frac34 = b b = 4frac34m y = -frac34x + 4frac34
1 5
A
B
yB ndash yA = 1 - 4
xB ndash xA = 5 - 1
-3
4
Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule de
manier blijft hetzelfde
yGegeven zijn de punten A(1 4) en B(5 1)Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B
22
1 de formule volgt uit de tekstEen zwembad wordt gevuld met waterop t = 0 is de waterhoogte 5 cmiedere minuut stijgt het water met 7 cmin de formule is de hoogte h in cm als functie van de tijd t in minutende formule wordt dan h = 5 + 7tofh = 7t + 5
22
delen door hetzelfde getal
2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de rc af te lezen
1
2
x0 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
y
-15-3omhoog
12rechts
2
2
dus rc = -15snijpunt met de verticale as is (0 1)de formule wordt dany = -15x + 1
altijd 1 naar rechts
2
-3
22
3 een punt en de rc zijn gegevende lijn m gaat door het punt A(2 6) en rcm = -4
6
8
4
1 2 3 4 5
2
0
-2
y
A
x
1
-4
alg verg y = ax + brcm = a = -4y = -4x + bde lijn gaat door het punt (2 6)6 = -4 middot 2 + b6 = -8 + b6 + 8 = b14 = bb = 14dusm y = -4 x + 14
22
4 twee punten zijn gegeven
60
80
40
5 10 15 20 25
20
0
N
t
20
60360omhoog
120rechts
20
20
dus rc = 3snijpunt met de verticale as is (0 20)de formule wordt danN = 3t + 20
22
Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR
1 noteer de formules die je invoert dus schrijf op y1 = hellip en y2 = hellip2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat3 beantwoord de gestelde vraag
23
Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming
praktisch probleem met gegevens en
tabellen
wiskundig model
voorspellingen en conclusies
gegevens en tabellen
pas het model toe
controle
stel h
et mod
el bij
23
Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule
24
1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal
voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7
voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen
voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9
a xsup2 = positief getal2 oplossingen
b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing
c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing
24
2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0
xsup2 - 3x = 5x ndash 15
xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0
xsup2 - 8x + 15 = 0
( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0
x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0
x = 3 v x = 5
voorbeeld 1
ad a
ad b
ad c
ad d
ad d -5-3
+5+3-15-1
+15+1prod=+15
-5-3
opgeteld = -8
product = +15
24
3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a
D = bsup2 - 4ac
D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen
24
De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch
xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3
+3-1
-3+1prod= -3
-3+1
24
2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3
f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT
24
y
x0 1 2 3 4
-6
-1-2-3-4
xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3
4
-2
10
8
6
-4
2
-1 3
y1
y2
Grafisch-numeriek
Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen
25
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1
2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de
extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm
min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip
25
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
werkschema het oplossen van lineaire vergelijkingen
voorbeeld 4(2x ndash 3) = 6x ndash 8
1 staan er haakjes werk ze weg 8x ndash 12 = 6x ndash 8
2 termen met x naar links de rest naar rechts 8x ndash 6x = -8 + 12
3 herleid beide leden 2x = 4
4 deel door het getal voor x x = 42 = 2
21
voorbeeld
4
0
1
x
4
-3
∆yomhoog
∆xrechts
rc = ∆y ∆xrc = -34 = -frac34m y = ax + by = -frac34x + b door A(1 4)4 = -frac34 middot 1 + b4 = -frac34 + b4frac34 = b b = 4frac34m y = -frac34x + 4frac34
1 5
A
B
yB ndash yA = 1 - 4
xB ndash xA = 5 - 1
-3
4
Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule de
manier blijft hetzelfde
yGegeven zijn de punten A(1 4) en B(5 1)Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B
22
1 de formule volgt uit de tekstEen zwembad wordt gevuld met waterop t = 0 is de waterhoogte 5 cmiedere minuut stijgt het water met 7 cmin de formule is de hoogte h in cm als functie van de tijd t in minutende formule wordt dan h = 5 + 7tofh = 7t + 5
22
delen door hetzelfde getal
2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de rc af te lezen
1
2
x0 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
y
-15-3omhoog
12rechts
2
2
dus rc = -15snijpunt met de verticale as is (0 1)de formule wordt dany = -15x + 1
altijd 1 naar rechts
2
-3
22
3 een punt en de rc zijn gegevende lijn m gaat door het punt A(2 6) en rcm = -4
6
8
4
1 2 3 4 5
2
0
-2
y
A
x
1
-4
alg verg y = ax + brcm = a = -4y = -4x + bde lijn gaat door het punt (2 6)6 = -4 middot 2 + b6 = -8 + b6 + 8 = b14 = bb = 14dusm y = -4 x + 14
22
4 twee punten zijn gegeven
60
80
40
5 10 15 20 25
20
0
N
t
20
60360omhoog
120rechts
20
20
dus rc = 3snijpunt met de verticale as is (0 20)de formule wordt danN = 3t + 20
22
Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR
1 noteer de formules die je invoert dus schrijf op y1 = hellip en y2 = hellip2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat3 beantwoord de gestelde vraag
23
Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming
praktisch probleem met gegevens en
tabellen
wiskundig model
voorspellingen en conclusies
gegevens en tabellen
pas het model toe
controle
stel h
et mod
el bij
23
Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule
24
1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal
voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7
voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen
voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9
a xsup2 = positief getal2 oplossingen
b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing
c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing
24
2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0
xsup2 - 3x = 5x ndash 15
xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0
xsup2 - 8x + 15 = 0
( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0
x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0
x = 3 v x = 5
voorbeeld 1
ad a
ad b
ad c
ad d
ad d -5-3
+5+3-15-1
+15+1prod=+15
-5-3
opgeteld = -8
product = +15
24
3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a
D = bsup2 - 4ac
D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen
24
De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch
xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3
+3-1
-3+1prod= -3
-3+1
24
2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3
f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT
24
y
x0 1 2 3 4
-6
-1-2-3-4
xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3
4
-2
10
8
6
-4
2
-1 3
y1
y2
Grafisch-numeriek
Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen
25
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1
2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de
extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm
min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip
25
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
voorbeeld
4
0
1
x
4
-3
∆yomhoog
∆xrechts
rc = ∆y ∆xrc = -34 = -frac34m y = ax + by = -frac34x + b door A(1 4)4 = -frac34 middot 1 + b4 = -frac34 + b4frac34 = b b = 4frac34m y = -frac34x + 4frac34
1 5
A
B
yB ndash yA = 1 - 4
xB ndash xA = 5 - 1
-3
4
Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule de
manier blijft hetzelfde
yGegeven zijn de punten A(1 4) en B(5 1)Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B
22
1 de formule volgt uit de tekstEen zwembad wordt gevuld met waterop t = 0 is de waterhoogte 5 cmiedere minuut stijgt het water met 7 cmin de formule is de hoogte h in cm als functie van de tijd t in minutende formule wordt dan h = 5 + 7tofh = 7t + 5
22
delen door hetzelfde getal
2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de rc af te lezen
1
2
x0 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
y
-15-3omhoog
12rechts
2
2
dus rc = -15snijpunt met de verticale as is (0 1)de formule wordt dany = -15x + 1
altijd 1 naar rechts
2
-3
22
3 een punt en de rc zijn gegevende lijn m gaat door het punt A(2 6) en rcm = -4
6
8
4
1 2 3 4 5
2
0
-2
y
A
x
1
-4
alg verg y = ax + brcm = a = -4y = -4x + bde lijn gaat door het punt (2 6)6 = -4 middot 2 + b6 = -8 + b6 + 8 = b14 = bb = 14dusm y = -4 x + 14
22
4 twee punten zijn gegeven
60
80
40
5 10 15 20 25
20
0
N
t
20
60360omhoog
120rechts
20
20
dus rc = 3snijpunt met de verticale as is (0 20)de formule wordt danN = 3t + 20
22
Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR
1 noteer de formules die je invoert dus schrijf op y1 = hellip en y2 = hellip2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat3 beantwoord de gestelde vraag
23
Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming
praktisch probleem met gegevens en
tabellen
wiskundig model
voorspellingen en conclusies
gegevens en tabellen
pas het model toe
controle
stel h
et mod
el bij
23
Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule
24
1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal
voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7
voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen
voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9
a xsup2 = positief getal2 oplossingen
b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing
c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing
24
2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0
xsup2 - 3x = 5x ndash 15
xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0
xsup2 - 8x + 15 = 0
( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0
x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0
x = 3 v x = 5
voorbeeld 1
ad a
ad b
ad c
ad d
ad d -5-3
+5+3-15-1
+15+1prod=+15
-5-3
opgeteld = -8
product = +15
24
3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a
D = bsup2 - 4ac
D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen
24
De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch
xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3
+3-1
-3+1prod= -3
-3+1
24
2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3
f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT
24
y
x0 1 2 3 4
-6
-1-2-3-4
xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3
4
-2
10
8
6
-4
2
-1 3
y1
y2
Grafisch-numeriek
Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen
25
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1
2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de
extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm
min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip
25
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
1 de formule volgt uit de tekstEen zwembad wordt gevuld met waterop t = 0 is de waterhoogte 5 cmiedere minuut stijgt het water met 7 cmin de formule is de hoogte h in cm als functie van de tijd t in minutende formule wordt dan h = 5 + 7tofh = 7t + 5
22
delen door hetzelfde getal
2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de rc af te lezen
1
2
x0 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
y
-15-3omhoog
12rechts
2
2
dus rc = -15snijpunt met de verticale as is (0 1)de formule wordt dany = -15x + 1
altijd 1 naar rechts
2
-3
22
3 een punt en de rc zijn gegevende lijn m gaat door het punt A(2 6) en rcm = -4
6
8
4
1 2 3 4 5
2
0
-2
y
A
x
1
-4
alg verg y = ax + brcm = a = -4y = -4x + bde lijn gaat door het punt (2 6)6 = -4 middot 2 + b6 = -8 + b6 + 8 = b14 = bb = 14dusm y = -4 x + 14
22
4 twee punten zijn gegeven
60
80
40
5 10 15 20 25
20
0
N
t
20
60360omhoog
120rechts
20
20
dus rc = 3snijpunt met de verticale as is (0 20)de formule wordt danN = 3t + 20
22
Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR
1 noteer de formules die je invoert dus schrijf op y1 = hellip en y2 = hellip2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat3 beantwoord de gestelde vraag
23
Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming
praktisch probleem met gegevens en
tabellen
wiskundig model
voorspellingen en conclusies
gegevens en tabellen
pas het model toe
controle
stel h
et mod
el bij
23
Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule
24
1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal
voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7
voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen
voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9
a xsup2 = positief getal2 oplossingen
b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing
c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing
24
2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0
xsup2 - 3x = 5x ndash 15
xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0
xsup2 - 8x + 15 = 0
( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0
x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0
x = 3 v x = 5
voorbeeld 1
ad a
ad b
ad c
ad d
ad d -5-3
+5+3-15-1
+15+1prod=+15
-5-3
opgeteld = -8
product = +15
24
3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a
D = bsup2 - 4ac
D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen
24
De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch
xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3
+3-1
-3+1prod= -3
-3+1
24
2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3
f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT
24
y
x0 1 2 3 4
-6
-1-2-3-4
xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3
4
-2
10
8
6
-4
2
-1 3
y1
y2
Grafisch-numeriek
Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen
25
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1
2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de
extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm
min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip
25
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
delen door hetzelfde getal
2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de rc af te lezen
1
2
x0 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
y
-15-3omhoog
12rechts
2
2
dus rc = -15snijpunt met de verticale as is (0 1)de formule wordt dany = -15x + 1
altijd 1 naar rechts
2
-3
22
3 een punt en de rc zijn gegevende lijn m gaat door het punt A(2 6) en rcm = -4
6
8
4
1 2 3 4 5
2
0
-2
y
A
x
1
-4
alg verg y = ax + brcm = a = -4y = -4x + bde lijn gaat door het punt (2 6)6 = -4 middot 2 + b6 = -8 + b6 + 8 = b14 = bb = 14dusm y = -4 x + 14
22
4 twee punten zijn gegeven
60
80
40
5 10 15 20 25
20
0
N
t
20
60360omhoog
120rechts
20
20
dus rc = 3snijpunt met de verticale as is (0 20)de formule wordt danN = 3t + 20
22
Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR
1 noteer de formules die je invoert dus schrijf op y1 = hellip en y2 = hellip2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat3 beantwoord de gestelde vraag
23
Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming
praktisch probleem met gegevens en
tabellen
wiskundig model
voorspellingen en conclusies
gegevens en tabellen
pas het model toe
controle
stel h
et mod
el bij
23
Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule
24
1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal
voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7
voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen
voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9
a xsup2 = positief getal2 oplossingen
b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing
c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing
24
2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0
xsup2 - 3x = 5x ndash 15
xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0
xsup2 - 8x + 15 = 0
( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0
x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0
x = 3 v x = 5
voorbeeld 1
ad a
ad b
ad c
ad d
ad d -5-3
+5+3-15-1
+15+1prod=+15
-5-3
opgeteld = -8
product = +15
24
3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a
D = bsup2 - 4ac
D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen
24
De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch
xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3
+3-1
-3+1prod= -3
-3+1
24
2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3
f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT
24
y
x0 1 2 3 4
-6
-1-2-3-4
xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3
4
-2
10
8
6
-4
2
-1 3
y1
y2
Grafisch-numeriek
Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen
25
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1
2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de
extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm
min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip
25
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
3 een punt en de rc zijn gegevende lijn m gaat door het punt A(2 6) en rcm = -4
6
8
4
1 2 3 4 5
2
0
-2
y
A
x
1
-4
alg verg y = ax + brcm = a = -4y = -4x + bde lijn gaat door het punt (2 6)6 = -4 middot 2 + b6 = -8 + b6 + 8 = b14 = bb = 14dusm y = -4 x + 14
22
4 twee punten zijn gegeven
60
80
40
5 10 15 20 25
20
0
N
t
20
60360omhoog
120rechts
20
20
dus rc = 3snijpunt met de verticale as is (0 20)de formule wordt danN = 3t + 20
22
Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR
1 noteer de formules die je invoert dus schrijf op y1 = hellip en y2 = hellip2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat3 beantwoord de gestelde vraag
23
Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming
praktisch probleem met gegevens en
tabellen
wiskundig model
voorspellingen en conclusies
gegevens en tabellen
pas het model toe
controle
stel h
et mod
el bij
23
Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule
24
1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal
voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7
voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen
voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9
a xsup2 = positief getal2 oplossingen
b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing
c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing
24
2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0
xsup2 - 3x = 5x ndash 15
xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0
xsup2 - 8x + 15 = 0
( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0
x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0
x = 3 v x = 5
voorbeeld 1
ad a
ad b
ad c
ad d
ad d -5-3
+5+3-15-1
+15+1prod=+15
-5-3
opgeteld = -8
product = +15
24
3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a
D = bsup2 - 4ac
D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen
24
De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch
xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3
+3-1
-3+1prod= -3
-3+1
24
2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3
f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT
24
y
x0 1 2 3 4
-6
-1-2-3-4
xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3
4
-2
10
8
6
-4
2
-1 3
y1
y2
Grafisch-numeriek
Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen
25
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1
2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de
extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm
min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip
25
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
4 twee punten zijn gegeven
60
80
40
5 10 15 20 25
20
0
N
t
20
60360omhoog
120rechts
20
20
dus rc = 3snijpunt met de verticale as is (0 20)de formule wordt danN = 3t + 20
22
Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR
1 noteer de formules die je invoert dus schrijf op y1 = hellip en y2 = hellip2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat3 beantwoord de gestelde vraag
23
Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming
praktisch probleem met gegevens en
tabellen
wiskundig model
voorspellingen en conclusies
gegevens en tabellen
pas het model toe
controle
stel h
et mod
el bij
23
Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule
24
1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal
voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7
voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen
voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9
a xsup2 = positief getal2 oplossingen
b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing
c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing
24
2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0
xsup2 - 3x = 5x ndash 15
xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0
xsup2 - 8x + 15 = 0
( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0
x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0
x = 3 v x = 5
voorbeeld 1
ad a
ad b
ad c
ad d
ad d -5-3
+5+3-15-1
+15+1prod=+15
-5-3
opgeteld = -8
product = +15
24
3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a
D = bsup2 - 4ac
D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen
24
De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch
xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3
+3-1
-3+1prod= -3
-3+1
24
2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3
f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT
24
y
x0 1 2 3 4
-6
-1-2-3-4
xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3
4
-2
10
8
6
-4
2
-1 3
y1
y2
Grafisch-numeriek
Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen
25
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1
2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de
extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm
min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip
25
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR
1 noteer de formules die je invoert dus schrijf op y1 = hellip en y2 = hellip2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat3 beantwoord de gestelde vraag
23
Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming
praktisch probleem met gegevens en
tabellen
wiskundig model
voorspellingen en conclusies
gegevens en tabellen
pas het model toe
controle
stel h
et mod
el bij
23
Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule
24
1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal
voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7
voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen
voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9
a xsup2 = positief getal2 oplossingen
b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing
c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing
24
2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0
xsup2 - 3x = 5x ndash 15
xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0
xsup2 - 8x + 15 = 0
( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0
x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0
x = 3 v x = 5
voorbeeld 1
ad a
ad b
ad c
ad d
ad d -5-3
+5+3-15-1
+15+1prod=+15
-5-3
opgeteld = -8
product = +15
24
3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a
D = bsup2 - 4ac
D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen
24
De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch
xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3
+3-1
-3+1prod= -3
-3+1
24
2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3
f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT
24
y
x0 1 2 3 4
-6
-1-2-3-4
xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3
4
-2
10
8
6
-4
2
-1 3
y1
y2
Grafisch-numeriek
Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen
25
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1
2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de
extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm
min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip
25
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming
praktisch probleem met gegevens en
tabellen
wiskundig model
voorspellingen en conclusies
gegevens en tabellen
pas het model toe
controle
stel h
et mod
el bij
23
Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule
24
1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal
voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7
voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen
voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9
a xsup2 = positief getal2 oplossingen
b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing
c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing
24
2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0
xsup2 - 3x = 5x ndash 15
xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0
xsup2 - 8x + 15 = 0
( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0
x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0
x = 3 v x = 5
voorbeeld 1
ad a
ad b
ad c
ad d
ad d -5-3
+5+3-15-1
+15+1prod=+15
-5-3
opgeteld = -8
product = +15
24
3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a
D = bsup2 - 4ac
D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen
24
De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch
xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3
+3-1
-3+1prod= -3
-3+1
24
2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3
f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT
24
y
x0 1 2 3 4
-6
-1-2-3-4
xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3
4
-2
10
8
6
-4
2
-1 3
y1
y2
Grafisch-numeriek
Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen
25
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1
2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de
extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm
min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip
25
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule
24
1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal
voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7
voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen
voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9
a xsup2 = positief getal2 oplossingen
b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing
c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing
24
2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0
xsup2 - 3x = 5x ndash 15
xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0
xsup2 - 8x + 15 = 0
( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0
x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0
x = 3 v x = 5
voorbeeld 1
ad a
ad b
ad c
ad d
ad d -5-3
+5+3-15-1
+15+1prod=+15
-5-3
opgeteld = -8
product = +15
24
3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a
D = bsup2 - 4ac
D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen
24
De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch
xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3
+3-1
-3+1prod= -3
-3+1
24
2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3
f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT
24
y
x0 1 2 3 4
-6
-1-2-3-4
xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3
4
-2
10
8
6
-4
2
-1 3
y1
y2
Grafisch-numeriek
Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen
25
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1
2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de
extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm
min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip
25
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal
voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7
voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen
voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9
a xsup2 = positief getal2 oplossingen
b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing
c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing
24
2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0
xsup2 - 3x = 5x ndash 15
xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0
xsup2 - 8x + 15 = 0
( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0
x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0
x = 3 v x = 5
voorbeeld 1
ad a
ad b
ad c
ad d
ad d -5-3
+5+3-15-1
+15+1prod=+15
-5-3
opgeteld = -8
product = +15
24
3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a
D = bsup2 - 4ac
D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen
24
De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch
xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3
+3-1
-3+1prod= -3
-3+1
24
2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3
f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT
24
y
x0 1 2 3 4
-6
-1-2-3-4
xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3
4
-2
10
8
6
-4
2
-1 3
y1
y2
Grafisch-numeriek
Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen
25
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1
2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de
extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm
min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip
25
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0
xsup2 - 3x = 5x ndash 15
xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0
xsup2 - 8x + 15 = 0
( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0
x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0
x = 3 v x = 5
voorbeeld 1
ad a
ad b
ad c
ad d
ad d -5-3
+5+3-15-1
+15+1prod=+15
-5-3
opgeteld = -8
product = +15
24
3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a
D = bsup2 - 4ac
D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen
24
De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch
xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3
+3-1
-3+1prod= -3
-3+1
24
2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3
f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT
24
y
x0 1 2 3 4
-6
-1-2-3-4
xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3
4
-2
10
8
6
-4
2
-1 3
y1
y2
Grafisch-numeriek
Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen
25
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1
2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de
extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm
min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip
25
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a
D = bsup2 - 4ac
D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen
24
De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch
xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3
+3-1
-3+1prod= -3
-3+1
24
2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3
f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT
24
y
x0 1 2 3 4
-6
-1-2-3-4
xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3
4
-2
10
8
6
-4
2
-1 3
y1
y2
Grafisch-numeriek
Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen
25
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1
2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de
extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm
min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip
25
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch
xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3
+3-1
-3+1prod= -3
-3+1
24
2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3
f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT
24
y
x0 1 2 3 4
-6
-1-2-3-4
xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3
4
-2
10
8
6
-4
2
-1 3
y1
y2
Grafisch-numeriek
Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen
25
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1
2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de
extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm
min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip
25
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3
f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT
24
y
x0 1 2 3 4
-6
-1-2-3-4
xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3
4
-2
10
8
6
-4
2
-1 3
y1
y2
Grafisch-numeriek
Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen
25
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1
2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de
extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm
min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip
25
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
y
x0 1 2 3 4
-6
-1-2-3-4
xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3
4
-2
10
8
6
-4
2
-1 3
y1
y2
Grafisch-numeriek
Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen
25
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1
2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de
extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm
min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip
25
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen
25
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1
2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de
extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm
min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip
25
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1
2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de
extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm
min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip
25
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop
van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen
25
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10
radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10
GR1 y1 = x2 en y2 = 10
plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt
2 optie xradic gebruiken
51
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden
51
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
xsup3 = 3
x = 3
x asymp 144
144
n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)
51
nn ppx 1
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
xsup3 = -3
x = -3
x asymp -144-144
2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing
51
nn ppx 1
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
nn ppx 1
x4 = 3
x = 3frac14
x asymp 132 v x asymp -132
-132 132
3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen
n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as
51
nn ppx 1
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
x4 = -3
x = -3frac14
Er is geen oplossing
4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen
51
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
y
-1 3
f
g
los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3
0 x
werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af
lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g
51
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)
los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256
y
-156
256
y1
y2
0 x
1
lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g
51
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
Lineaire groei en exponentieumlle groei
52
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis
O x
y
O x
y
g gt 1 0 lt g lt 1
11
52
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t
Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is
Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100
52
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
Rekenregels van machten
bij delen trek je de exponenten van elkaar af
bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je een product van machten
a4 = a middot a middot a middot a
a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5
= = a2
(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6
(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3
a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a
bij vermenigvuldigen de exponenten optellen
53
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
Algemeenap middot aq = ap + q
= ap ndash q
(ap)q = apq
(ab)p = apbp
ap
aq
53
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)
de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten
Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken
1
an
Negatieve exponenten
53
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4
algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p
3
3
Machten met gebroken exponenten
p
53
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante
y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn
Evenredig
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn
bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via
groeifactoren
Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid
54
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel
1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval
aantal aan het begin van het interval
2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei
Werkschema
54
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen
bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen
Verdubbelings- en halveringstijd
54
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo
b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]
c 51 le x le 73[ 51 73 ]
d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]
-8 3l l
4 4frac12l l
51 73l l
3 πl l
le [
lt lsaquo
Intervallen
71
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
4frac12 l
a x le 4frac12
lsaquo 4frac12 ]
b x gt -8
lsaquo -8 rsaquo-8l
Oneindige intervallen
71
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
constante stijging toenemende stijging afnemende stijging
constante daling toenemende daling afnemende daling
Stijgen en dalen
71
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
-6 -4 -2
1 3
5
afnemend dalend op lt -6 -4 gt
toenemend stijgend op lt -4 -2 gt
afnemend stijgend op lt -2 1 gt
toenemend dalend op lt 1 3 gt
toenemend stijgend op lt 5 gt
afnemend dalend op lt 3 5 gt
voorbeeld
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram
1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4
Toenamendiagram
71
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
2-050524∆y
[34][23][12][01][-10]∆x = 1
0 1 2 3 4-1
-1
1
2
3
4
x
∆ y
bull
bull
Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval
voorbeeld
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
0x
y
voorbeeld
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
-7-115
-5-44
-313
-142
151
340
1-1
∆yyx
y = -xsup2 + 2x + 4
0 1 2 3 4 5 x
∆y3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-7
voorbeeld
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
N2
N1
0
N
t
∆t
∆N
∆Nomhoog
∆trechts
dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t
t1 t2
N2 ndash N1 = ∆N
t2 ndash t1 = ∆t
Gemiddelde veranderingen
72
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
xA a xB b x
y
A
B
∆x
∆y∆y
∆x
∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)
∆x xB ndash xA b - a
differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =
yA
yBf(b)
f(a)
0
Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is
72
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]
de gemiddelde snelheid is ∆s∆t
Gemiddelde snelheid
72
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0
b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27
-6 -4
12
4
-2 2
6 6
-5 0 0
-5 2
6
4
∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)
=voorbeeld
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval
[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001
Snelheid bij een tijd-afstand grafiek
73
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
0 1 2 3 4 5
5
10
15
20
25
t
stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]
∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2
∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt
= = 3 ms
= = 4 ms
= 5 ms
= 55 ms
=
=
A
B1B2
B3
B4
Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt
De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A
k
Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt
Snelheid raaklijn en helling
73
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy
dx x=xA
y
Ox
k
A
xA
- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA
de GR bezit een optie om dydx te berekenen
dydx voor x is xA
73
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
73
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
voer in y1 = xsup2 + x ndash 2
stel k y = ax + b
met a = = -1
dus k y = -x + b
f(-1) = -2
dus A(-1 -2)
-2 = - -1 + b
-2 = 1 + b
-3 = b
k y = -x - 3
dy
dx x = -1[ ]
Het opstellen van de formule van een raaklijn
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
x
x
y
helling
O
O
Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti
jgend dalend
stijgend
stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as
dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as
top
top
top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as
0 0
laagste punt
overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt
pos
pos
Hellinggrafieken schetsen
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
Hellinggrafiek plottenmbv GR
TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv
vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5
b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354
y
xO
O x
helling
3
0458 2354
voorbeeld
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt
notatie frsquo (f-accent)
regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax
74
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
f(x) = ax3
frsquo(x) = 3axsup2
g(x) = ax4
grsquo(x) = 4ax3
h(x) = ax5
hrsquo(x) = 5ax4
algemeen geldt k(x) = axn
krsquo(x) = n middot axn-1
somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)
de afgeleide van f(x) = axn
74
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x
y
O
f
k
A
xA
yA = f(xA)rck = frsquo(xA)
Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide
74
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn
frsquo(x)
(f(x))
dydx
ddx
df(x)dx
Notaties voor de afgeleide
75
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima
x
y
Ostijg
enddalend
dalend
top
top
frsquo(x) gt 0
frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0
frsquo(x) = 0
werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide
2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek
kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de
formule van y in te vullen
dydx
dydx
Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima