De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een rechte lijn.

65
De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een rechte lijn algemene vergelijking : y = ax + b a = hellingsgetal of richtingscoëfficient altijd 1 naar rechts a omhoog b = “begingetal” of snijpunt met de verticale as horizontale lijn a = 0 y = getal 2. 1

description

De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een rechte lijn. algemene vergelijking : y = ax + b a = hellingsgetal of richtingscoëfficient altijd 1 naar rechts a omhoog b = “begingetal” of snijpunt met de verticale as. horizontale lijn a = 0  y = getal. 2.1. - PowerPoint PPT Presentation

Transcript of De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een rechte lijn.

Page 1: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een rechte lijnalgemene vergelijking y = ax + ba = hellingsgetal of richtingscoeumlfficient

altijd 1 naar rechts a omhoogb = ldquobegingetalrdquo of snijpunt met de verticale as

horizontale lijn a = 0 y = getal

21

werkschema het oplossen van lineaire vergelijkingen

voorbeeld 4(2x ndash 3) = 6x ndash 8

1 staan er haakjes werk ze weg 8x ndash 12 = 6x ndash 8

2 termen met x naar links de rest naar rechts 8x ndash 6x = -8 + 12

3 herleid beide leden 2x = 4

4 deel door het getal voor x x = 42 = 2

21

voorbeeld

4

0

1

x

4

-3

∆yomhoog

∆xrechts

rc = ∆y ∆xrc = -34 = -frac34m y = ax + by = -frac34x + b door A(1 4)4 = -frac34 middot 1 + b4 = -frac34 + b4frac34 = b b = 4frac34m y = -frac34x + 4frac34

1 5

A

B

yB ndash yA = 1 - 4

xB ndash xA = 5 - 1

-3

4

Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule de

manier blijft hetzelfde

yGegeven zijn de punten A(1 4) en B(5 1)Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B

22

1 de formule volgt uit de tekstEen zwembad wordt gevuld met waterop t = 0 is de waterhoogte 5 cmiedere minuut stijgt het water met 7 cmin de formule is de hoogte h in cm als functie van de tijd t in minutende formule wordt dan h = 5 + 7tofh = 7t + 5

22

delen door hetzelfde getal

2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de rc af te lezen

1

2

x0 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

y

-15-3omhoog

12rechts

2

2

dus rc = -15snijpunt met de verticale as is (0 1)de formule wordt dany = -15x + 1

altijd 1 naar rechts

2

-3

22

3 een punt en de rc zijn gegevende lijn m gaat door het punt A(2 6) en rcm = -4

6

8

4

1 2 3 4 5

2

0

-2

y

A

x

1

-4

alg verg y = ax + brcm = a = -4y = -4x + bde lijn gaat door het punt (2 6)6 = -4 middot 2 + b6 = -8 + b6 + 8 = b14 = bb = 14dusm y = -4 x + 14

22

4 twee punten zijn gegeven

60

80

40

5 10 15 20 25

20

0

N

t

20

60360omhoog

120rechts

20

20

dus rc = 3snijpunt met de verticale as is (0 20)de formule wordt danN = 3t + 20

22

Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR

1 noteer de formules die je invoert dus schrijf op y1 = hellip en y2 = hellip2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat3 beantwoord de gestelde vraag

23

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et mod

el bij

23

Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule

24

1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal

voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7

voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen

voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9

a xsup2 = positief getal2 oplossingen

b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing

c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing

24

2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0

xsup2 - 3x = 5x ndash 15

xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0

xsup2 - 8x + 15 = 0

( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0

x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0

x = 3 v x = 5

voorbeeld 1

ad a

ad b

ad c

ad d

ad d -5-3

+5+3-15-1

+15+1prod=+15

-5-3

opgeteld = -8

product = +15

24

3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a

D = bsup2 - 4ac

D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen

24

De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch

xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3

+3-1

-3+1prod= -3

-3+1

24

2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3

f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT

24

y

x0 1 2 3 4

-6

-1-2-3-4

xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3

4

-2

10

8

6

-4

2

-1 3

y1

y2

Grafisch-numeriek

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

25

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1

2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de

extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

25

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 2: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

werkschema het oplossen van lineaire vergelijkingen

voorbeeld 4(2x ndash 3) = 6x ndash 8

1 staan er haakjes werk ze weg 8x ndash 12 = 6x ndash 8

2 termen met x naar links de rest naar rechts 8x ndash 6x = -8 + 12

3 herleid beide leden 2x = 4

4 deel door het getal voor x x = 42 = 2

21

voorbeeld

4

0

1

x

4

-3

∆yomhoog

∆xrechts

rc = ∆y ∆xrc = -34 = -frac34m y = ax + by = -frac34x + b door A(1 4)4 = -frac34 middot 1 + b4 = -frac34 + b4frac34 = b b = 4frac34m y = -frac34x + 4frac34

1 5

A

B

yB ndash yA = 1 - 4

xB ndash xA = 5 - 1

-3

4

Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule de

manier blijft hetzelfde

yGegeven zijn de punten A(1 4) en B(5 1)Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B

22

1 de formule volgt uit de tekstEen zwembad wordt gevuld met waterop t = 0 is de waterhoogte 5 cmiedere minuut stijgt het water met 7 cmin de formule is de hoogte h in cm als functie van de tijd t in minutende formule wordt dan h = 5 + 7tofh = 7t + 5

22

delen door hetzelfde getal

2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de rc af te lezen

1

2

x0 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

y

-15-3omhoog

12rechts

2

2

dus rc = -15snijpunt met de verticale as is (0 1)de formule wordt dany = -15x + 1

altijd 1 naar rechts

2

-3

22

3 een punt en de rc zijn gegevende lijn m gaat door het punt A(2 6) en rcm = -4

6

8

4

1 2 3 4 5

2

0

-2

y

A

x

1

-4

alg verg y = ax + brcm = a = -4y = -4x + bde lijn gaat door het punt (2 6)6 = -4 middot 2 + b6 = -8 + b6 + 8 = b14 = bb = 14dusm y = -4 x + 14

22

4 twee punten zijn gegeven

60

80

40

5 10 15 20 25

20

0

N

t

20

60360omhoog

120rechts

20

20

dus rc = 3snijpunt met de verticale as is (0 20)de formule wordt danN = 3t + 20

22

Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR

1 noteer de formules die je invoert dus schrijf op y1 = hellip en y2 = hellip2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat3 beantwoord de gestelde vraag

23

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et mod

el bij

23

Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule

24

1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal

voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7

voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen

voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9

a xsup2 = positief getal2 oplossingen

b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing

c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing

24

2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0

xsup2 - 3x = 5x ndash 15

xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0

xsup2 - 8x + 15 = 0

( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0

x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0

x = 3 v x = 5

voorbeeld 1

ad a

ad b

ad c

ad d

ad d -5-3

+5+3-15-1

+15+1prod=+15

-5-3

opgeteld = -8

product = +15

24

3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a

D = bsup2 - 4ac

D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen

24

De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch

xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3

+3-1

-3+1prod= -3

-3+1

24

2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3

f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT

24

y

x0 1 2 3 4

-6

-1-2-3-4

xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3

4

-2

10

8

6

-4

2

-1 3

y1

y2

Grafisch-numeriek

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

25

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1

2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de

extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

25

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 3: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

voorbeeld

4

0

1

x

4

-3

∆yomhoog

∆xrechts

rc = ∆y ∆xrc = -34 = -frac34m y = ax + by = -frac34x + b door A(1 4)4 = -frac34 middot 1 + b4 = -frac34 + b4frac34 = b b = 4frac34m y = -frac34x + 4frac34

1 5

A

B

yB ndash yA = 1 - 4

xB ndash xA = 5 - 1

-3

4

Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule de

manier blijft hetzelfde

yGegeven zijn de punten A(1 4) en B(5 1)Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B

22

1 de formule volgt uit de tekstEen zwembad wordt gevuld met waterop t = 0 is de waterhoogte 5 cmiedere minuut stijgt het water met 7 cmin de formule is de hoogte h in cm als functie van de tijd t in minutende formule wordt dan h = 5 + 7tofh = 7t + 5

22

delen door hetzelfde getal

2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de rc af te lezen

1

2

x0 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

y

-15-3omhoog

12rechts

2

2

dus rc = -15snijpunt met de verticale as is (0 1)de formule wordt dany = -15x + 1

altijd 1 naar rechts

2

-3

22

3 een punt en de rc zijn gegevende lijn m gaat door het punt A(2 6) en rcm = -4

6

8

4

1 2 3 4 5

2

0

-2

y

A

x

1

-4

alg verg y = ax + brcm = a = -4y = -4x + bde lijn gaat door het punt (2 6)6 = -4 middot 2 + b6 = -8 + b6 + 8 = b14 = bb = 14dusm y = -4 x + 14

22

4 twee punten zijn gegeven

60

80

40

5 10 15 20 25

20

0

N

t

20

60360omhoog

120rechts

20

20

dus rc = 3snijpunt met de verticale as is (0 20)de formule wordt danN = 3t + 20

22

Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR

1 noteer de formules die je invoert dus schrijf op y1 = hellip en y2 = hellip2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat3 beantwoord de gestelde vraag

23

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et mod

el bij

23

Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule

24

1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal

voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7

voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen

voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9

a xsup2 = positief getal2 oplossingen

b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing

c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing

24

2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0

xsup2 - 3x = 5x ndash 15

xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0

xsup2 - 8x + 15 = 0

( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0

x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0

x = 3 v x = 5

voorbeeld 1

ad a

ad b

ad c

ad d

ad d -5-3

+5+3-15-1

+15+1prod=+15

-5-3

opgeteld = -8

product = +15

24

3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a

D = bsup2 - 4ac

D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen

24

De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch

xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3

+3-1

-3+1prod= -3

-3+1

24

2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3

f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT

24

y

x0 1 2 3 4

-6

-1-2-3-4

xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3

4

-2

10

8

6

-4

2

-1 3

y1

y2

Grafisch-numeriek

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

25

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1

2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de

extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

25

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 4: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

1 de formule volgt uit de tekstEen zwembad wordt gevuld met waterop t = 0 is de waterhoogte 5 cmiedere minuut stijgt het water met 7 cmin de formule is de hoogte h in cm als functie van de tijd t in minutende formule wordt dan h = 5 + 7tofh = 7t + 5

22

delen door hetzelfde getal

2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de rc af te lezen

1

2

x0 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

y

-15-3omhoog

12rechts

2

2

dus rc = -15snijpunt met de verticale as is (0 1)de formule wordt dany = -15x + 1

altijd 1 naar rechts

2

-3

22

3 een punt en de rc zijn gegevende lijn m gaat door het punt A(2 6) en rcm = -4

6

8

4

1 2 3 4 5

2

0

-2

y

A

x

1

-4

alg verg y = ax + brcm = a = -4y = -4x + bde lijn gaat door het punt (2 6)6 = -4 middot 2 + b6 = -8 + b6 + 8 = b14 = bb = 14dusm y = -4 x + 14

22

4 twee punten zijn gegeven

60

80

40

5 10 15 20 25

20

0

N

t

20

60360omhoog

120rechts

20

20

dus rc = 3snijpunt met de verticale as is (0 20)de formule wordt danN = 3t + 20

22

Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR

1 noteer de formules die je invoert dus schrijf op y1 = hellip en y2 = hellip2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat3 beantwoord de gestelde vraag

23

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et mod

el bij

23

Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule

24

1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal

voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7

voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen

voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9

a xsup2 = positief getal2 oplossingen

b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing

c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing

24

2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0

xsup2 - 3x = 5x ndash 15

xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0

xsup2 - 8x + 15 = 0

( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0

x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0

x = 3 v x = 5

voorbeeld 1

ad a

ad b

ad c

ad d

ad d -5-3

+5+3-15-1

+15+1prod=+15

-5-3

opgeteld = -8

product = +15

24

3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a

D = bsup2 - 4ac

D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen

24

De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch

xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3

+3-1

-3+1prod= -3

-3+1

24

2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3

f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT

24

y

x0 1 2 3 4

-6

-1-2-3-4

xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3

4

-2

10

8

6

-4

2

-1 3

y1

y2

Grafisch-numeriek

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

25

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1

2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de

extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

25

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 5: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

delen door hetzelfde getal

2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en de rc af te lezen

1

2

x0 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

y

-15-3omhoog

12rechts

2

2

dus rc = -15snijpunt met de verticale as is (0 1)de formule wordt dany = -15x + 1

altijd 1 naar rechts

2

-3

22

3 een punt en de rc zijn gegevende lijn m gaat door het punt A(2 6) en rcm = -4

6

8

4

1 2 3 4 5

2

0

-2

y

A

x

1

-4

alg verg y = ax + brcm = a = -4y = -4x + bde lijn gaat door het punt (2 6)6 = -4 middot 2 + b6 = -8 + b6 + 8 = b14 = bb = 14dusm y = -4 x + 14

22

4 twee punten zijn gegeven

60

80

40

5 10 15 20 25

20

0

N

t

20

60360omhoog

120rechts

20

20

dus rc = 3snijpunt met de verticale as is (0 20)de formule wordt danN = 3t + 20

22

Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR

1 noteer de formules die je invoert dus schrijf op y1 = hellip en y2 = hellip2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat3 beantwoord de gestelde vraag

23

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et mod

el bij

23

Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule

24

1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal

voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7

voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen

voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9

a xsup2 = positief getal2 oplossingen

b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing

c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing

24

2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0

xsup2 - 3x = 5x ndash 15

xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0

xsup2 - 8x + 15 = 0

( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0

x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0

x = 3 v x = 5

voorbeeld 1

ad a

ad b

ad c

ad d

ad d -5-3

+5+3-15-1

+15+1prod=+15

-5-3

opgeteld = -8

product = +15

24

3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a

D = bsup2 - 4ac

D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen

24

De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch

xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3

+3-1

-3+1prod= -3

-3+1

24

2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3

f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT

24

y

x0 1 2 3 4

-6

-1-2-3-4

xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3

4

-2

10

8

6

-4

2

-1 3

y1

y2

Grafisch-numeriek

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

25

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1

2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de

extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

25

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 6: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

3 een punt en de rc zijn gegevende lijn m gaat door het punt A(2 6) en rcm = -4

6

8

4

1 2 3 4 5

2

0

-2

y

A

x

1

-4

alg verg y = ax + brcm = a = -4y = -4x + bde lijn gaat door het punt (2 6)6 = -4 middot 2 + b6 = -8 + b6 + 8 = b14 = bb = 14dusm y = -4 x + 14

22

4 twee punten zijn gegeven

60

80

40

5 10 15 20 25

20

0

N

t

20

60360omhoog

120rechts

20

20

dus rc = 3snijpunt met de verticale as is (0 20)de formule wordt danN = 3t + 20

22

Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR

1 noteer de formules die je invoert dus schrijf op y1 = hellip en y2 = hellip2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat3 beantwoord de gestelde vraag

23

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et mod

el bij

23

Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule

24

1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal

voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7

voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen

voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9

a xsup2 = positief getal2 oplossingen

b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing

c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing

24

2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0

xsup2 - 3x = 5x ndash 15

xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0

xsup2 - 8x + 15 = 0

( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0

x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0

x = 3 v x = 5

voorbeeld 1

ad a

ad b

ad c

ad d

ad d -5-3

+5+3-15-1

+15+1prod=+15

-5-3

opgeteld = -8

product = +15

24

3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a

D = bsup2 - 4ac

D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen

24

De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch

xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3

+3-1

-3+1prod= -3

-3+1

24

2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3

f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT

24

y

x0 1 2 3 4

-6

-1-2-3-4

xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3

4

-2

10

8

6

-4

2

-1 3

y1

y2

Grafisch-numeriek

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

25

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1

2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de

extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

25

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 7: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

4 twee punten zijn gegeven

60

80

40

5 10 15 20 25

20

0

N

t

20

60360omhoog

120rechts

20

20

dus rc = 3snijpunt met de verticale as is (0 20)de formule wordt danN = 3t + 20

22

Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR

1 noteer de formules die je invoert dus schrijf op y1 = hellip en y2 = hellip2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat3 beantwoord de gestelde vraag

23

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et mod

el bij

23

Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule

24

1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal

voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7

voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen

voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9

a xsup2 = positief getal2 oplossingen

b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing

c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing

24

2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0

xsup2 - 3x = 5x ndash 15

xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0

xsup2 - 8x + 15 = 0

( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0

x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0

x = 3 v x = 5

voorbeeld 1

ad a

ad b

ad c

ad d

ad d -5-3

+5+3-15-1

+15+1prod=+15

-5-3

opgeteld = -8

product = +15

24

3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a

D = bsup2 - 4ac

D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen

24

De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch

xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3

+3-1

-3+1prod= -3

-3+1

24

2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3

f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT

24

y

x0 1 2 3 4

-6

-1-2-3-4

xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3

4

-2

10

8

6

-4

2

-1 3

y1

y2

Grafisch-numeriek

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

25

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1

2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de

extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

25

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 8: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

Afspraak Hoe schrijf je de uitwerking op bij gebruik van de GR

1 noteer de formules die je invoert dus schrijf op y1 = hellip en y2 = hellip2 noteer de optie die je gebruikt en geef het resultaat3 beantwoord de gestelde vraag

23

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et mod

el bij

23

Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule

24

1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal

voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7

voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen

voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9

a xsup2 = positief getal2 oplossingen

b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing

c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing

24

2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0

xsup2 - 3x = 5x ndash 15

xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0

xsup2 - 8x + 15 = 0

( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0

x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0

x = 3 v x = 5

voorbeeld 1

ad a

ad b

ad c

ad d

ad d -5-3

+5+3-15-1

+15+1prod=+15

-5-3

opgeteld = -8

product = +15

24

3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a

D = bsup2 - 4ac

D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen

24

De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch

xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3

+3-1

-3+1prod= -3

-3+1

24

2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3

f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT

24

y

x0 1 2 3 4

-6

-1-2-3-4

xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3

4

-2

10

8

6

-4

2

-1 3

y1

y2

Grafisch-numeriek

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

25

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1

2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de

extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

25

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 9: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et mod

el bij

23

Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule

24

1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal

voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7

voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen

voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9

a xsup2 = positief getal2 oplossingen

b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing

c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing

24

2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0

xsup2 - 3x = 5x ndash 15

xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0

xsup2 - 8x + 15 = 0

( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0

x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0

x = 3 v x = 5

voorbeeld 1

ad a

ad b

ad c

ad d

ad d -5-3

+5+3-15-1

+15+1prod=+15

-5-3

opgeteld = -8

product = +15

24

3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a

D = bsup2 - 4ac

D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen

24

De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch

xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3

+3-1

-3+1prod= -3

-3+1

24

2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3

f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT

24

y

x0 1 2 3 4

-6

-1-2-3-4

xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3

4

-2

10

8

6

-4

2

-1 3

y1

y2

Grafisch-numeriek

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

25

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1

2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de

extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

25

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 10: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

Algebraiumlsch oplossen van kwadratische vergelijkingen1 het type xsup2 = getal2 ontbinden in factoren3 de abc-formule

24

1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal

voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7

voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen

voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9

a xsup2 = positief getal2 oplossingen

b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing

c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing

24

2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0

xsup2 - 3x = 5x ndash 15

xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0

xsup2 - 8x + 15 = 0

( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0

x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0

x = 3 v x = 5

voorbeeld 1

ad a

ad b

ad c

ad d

ad d -5-3

+5+3-15-1

+15+1prod=+15

-5-3

opgeteld = -8

product = +15

24

3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a

D = bsup2 - 4ac

D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen

24

De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch

xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3

+3-1

-3+1prod= -3

-3+1

24

2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3

f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT

24

y

x0 1 2 3 4

-6

-1-2-3-4

xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3

4

-2

10

8

6

-4

2

-1 3

y1

y2

Grafisch-numeriek

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

25

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1

2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de

extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

25

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 11: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

1 xsup2 = getalbull x = radicgetal v x = -radicgetal

voorbeeld 1 bull xsup2 = 7bull x = radic7 v x = -radic7

voorbeeld 2 bull xsup2 = -16bull x = radic-16 kn heeft dus geen oplossingen

voorbeeld 3 bull (x + 5)sup2 = 16bull x + 5 = radic16 v x + 5 = -radic16bull x + 5 = 4 v x + 5 = -4bull x = 4 ndash 5 v x = -4 ndash 5bull x = -1 v x = -9

a xsup2 = positief getal2 oplossingen

b xsup2 = 0x = 0 1 oplossing

c xsup2 = negatief getalkn geen oplossing

24

2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0

xsup2 - 3x = 5x ndash 15

xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0

xsup2 - 8x + 15 = 0

( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0

x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0

x = 3 v x = 5

voorbeeld 1

ad a

ad b

ad c

ad d

ad d -5-3

+5+3-15-1

+15+1prod=+15

-5-3

opgeteld = -8

product = +15

24

3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a

D = bsup2 - 4ac

D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen

24

De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch

xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3

+3-1

-3+1prod= -3

-3+1

24

2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3

f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT

24

y

x0 1 2 3 4

-6

-1-2-3-4

xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3

4

-2

10

8

6

-4

2

-1 3

y1

y2

Grafisch-numeriek

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

25

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1

2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de

extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

25

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 12: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

2 Ontbind in factorena maak het rechterlid nul door alle termen naar het linkerlid te brengenb vereenvoudig het linkerlid zo ver mogelijkc ontbind het linkerlid in factorend A middot B = 0 A = 0 v B = 0

xsup2 - 3x = 5x ndash 15

xsup2 - 3x ndash 5x + 15 = 0

xsup2 - 8x + 15 = 0

( x ndash 3 )( x ndash 5 ) = 0

x ndash 3 = 0 v x ndash 5 = 0

x = 3 v x = 5

voorbeeld 1

ad a

ad b

ad c

ad d

ad d -5-3

+5+3-15-1

+15+1prod=+15

-5-3

opgeteld = -8

product = +15

24

3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a

D = bsup2 - 4ac

D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen

24

De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch

xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3

+3-1

-3+1prod= -3

-3+1

24

2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3

f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT

24

y

x0 1 2 3 4

-6

-1-2-3-4

xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3

4

-2

10

8

6

-4

2

-1 3

y1

y2

Grafisch-numeriek

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

25

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1

2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de

extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

25

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 13: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

3 De abc-formulebij kwadratische vergelijkingen kun je de oplossing berekenen met de abc ndash formule als ontbinden in factoren niet luktde vergelijking eerst gelijk aan 0 stellenx = - b + radicD v x = - b - radicD 2a 2a

D = bsup2 - 4ac

D gt 0 2 oplossingenD = 0 1 oplossingD lt 0 0 oplossingen

24

De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch

xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3

+3-1

-3+1prod= -3

-3+1

24

2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3

f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT

24

y

x0 1 2 3 4

-6

-1-2-3-4

xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3

4

-2

10

8

6

-4

2

-1 3

y1

y2

Grafisch-numeriek

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

25

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1

2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de

extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

25

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 14: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

De vergelijking xsup2 = 2x + 3 kun je op 2 manieren oplossen1 algebraiumlsch

xsup2 = 2x + 3xsup2 - 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x + 1 = 0 v x - 3 = 0x = -1 v x = 3

+3-1

-3+1prod= -3

-3+1

24

2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3

f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT

24

y

x0 1 2 3 4

-6

-1-2-3-4

xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3

4

-2

10

8

6

-4

2

-1 3

y1

y2

Grafisch-numeriek

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

25

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1

2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de

extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

25

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 15: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

2 grafisch-numeriek (mbv GR)de oplossingen van de vergelijking xsup2 = 2x + 3 zijnde x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafieken van f(x) = xsup2 en g(x) = 2x + 3voer in y1 = xsup2 en y2 = 2x + 3optie intersect geeft x = -1 v x = 3

f(x) = 0 nulpunten berekenenoptie zero of ROOT

24

y

x0 1 2 3 4

-6

-1-2-3-4

xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3

4

-2

10

8

6

-4

2

-1 3

y1

y2

Grafisch-numeriek

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

25

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1

2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de

extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

25

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 16: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

y

x0 1 2 3 4

-6

-1-2-3-4

xsup2 = 2x + 3y1 = xsup2y2 = 2x + 3optie intersectx = -1 vx = 3

4

-2

10

8

6

-4

2

-1 3

y1

y2

Grafisch-numeriek

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

25

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1

2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de

extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

25

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 17: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

25

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1

2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de

extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

25

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 18: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR1 voer de formule in bij y1

2 schets de grafiek3 gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen van de

extreme waarden4 zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

25

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 19: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

Werkschema het tekenen van de grafiek van een functie1 Voer de formule in op de GR en zoek een venster waarbij het verloop

van de grafiek goed zichtbaar is2 Maak een tabel op de GR en zet de tabel in je schrift3 Gebruik de punten van de tabel om de grafiek nauwkeurig te tekenen

25

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 20: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

Wortelsxsup2 = 10x = radic10 v x = -radic10kwadrateren is hetzelfde als tot de tweede macht verheffenradic10 = 2radic10radic10 = 10

radic10 asymp 316(radic10)sup2 = 10daarom heet radic10 ook wel de tweedemachtswortel van 10

GR1 y1 = x2 en y2 = 10

plotten intersect cooumlrdinaten vh snijpunt

2 optie xradic gebruiken

51

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 21: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

Voor het oplossen van de vergelijking xn = p kun je 4 verschillende situaties onderscheiden

51

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 22: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

1 p is positief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

xsup3 = 3

x = 3

x asymp 144

144

n = onevengrafiek is puntsymmetrisch in (0 0)

51

nn ppx 1

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 23: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

xsup3 = -3

x = -3

x asymp -144-144

2 p is negatief ( n = oneven )er is eacuteeacuten oplossing

51

nn ppx 1

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 24: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

nn ppx 1

x4 = 3

x = 3frac14

x asymp 132 v x asymp -132

-132 132

3 p is positief ( n = even )er zijn twee oplossingen

n = evengrafiek is lijnsymmetrisch in de y-as

51

nn ppx 1

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 25: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

x4 = -3

x = -3frac14

Er is geen oplossing

4 p is negatief ( n = even )er zijn geen oplossingen

51

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 26: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

y

-1 3

f

g

los op (exact)xsup2 lt 2x + 3f(x) = xsup2 g(x) = 2x + 3f(x) = g(x)xsup2 = 2x + 3xsup2- 2x ndash 3 = 0( x + 1 )( x - 3 ) = 0x = -1 v x = 3aflezen uit de schets-1 lt x lt 3

0 x

werkschema bij het oplossen van ongelijkheden1 schets de grafieken van f en g2 los de vergelijking f(x) = g(x) op3 lees uit de schets de oplossingen af

lees het antwoord af op de x-as f(x) lt g(x) wanneer ligt de grafiek van f onder die van g

51

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 27: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

Bij het oplossen van de ongelijkheid f(x) lt g(x) waarbij je niet exact te werk hoeft te gaan mag je de vergelijking f(x) = g(x) grafisch-numeriek oplossen (GR)

los op (2 decimalen)xsup3 - 2xsup2 gt 3x ndash 4voer iny1 = xsup3 - 2xsup2 y2 = 3x - 4optie intersectx asymp 156 v x = 1 v x asymp 256aflezen uit de schets-156 lt x lt 1 v x gt 256

y

-156

256

y1

y2

0 x

1

lees het antwoord af op de x-asf(x) gt g(x) wanneer ligt de grafiek van f boven die van g

51

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 28: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

Lineaire groei en exponentieumlle groei

52

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 29: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

Bij de formule N = b middot gt onderscheiden we 2 gevallengroeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis

O x

y

O x

y

g gt 1 0 lt g lt 1

11

52

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 30: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

Groeifactor en groeipercentageNeemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af dan heb je met exponentieumlle groei te makenNeemt een bedrag met 250 euro per jaar met 45 toedan is de groeifactor 1045100 + 45 = 1045 times 1045formule B = 250 times 1045t

Dus bij een groeifactor van 0956is de procentuele afname 100 - 956 = 44We zeggen dat het groeipercentage - 44 is

Bij een verandering van p per tijdseenheid hoort exponentieumlle groei met groeifactor g = 1 + p100

Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een procentuele verandering van p = ( g ndash 1 ) times 100

52

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 31: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

Rekenregels van machten

bij delen trek je de exponenten van elkaar af

bij macht van een macht vermenigvuldig je de exponenten

bij de macht van een product krijg je een product van machten

a4 = a middot a middot a middot a

a2 middot a3 = a middot a middot a middot a middot a = a5

= = a2

(a2)3 = a2 middot a2 middot a2 = a6

(ab)3 = ab middot ab middot ab = a3b3

a5 a middot a middot a middot a middot aa3 a middot a middot a

bij vermenigvuldigen de exponenten optellen

53

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 32: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

Algemeenap middot aq = ap + q

= ap ndash q

(ap)q = apq

(ab)p = apbp

ap

aq

53

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 33: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

4deg = 1adeg = 1 (a ne 0)2-1 = frac128-1 = ⅛a-n = (a ne 0)

de rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten

Verhuist een macht van de teller naar de noemer of omgekeerd dan verandert de exponent van teken

1

an

Negatieve exponenten

53

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 34: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

x = radicxx = radicx4 = radic4 = 264 = radic64 = 4

algemeen a = nradicaook geldt a = radica (a gt 0)p

qq

3

3

Machten met gebroken exponenten

p

53

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 35: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

als er een getal a bestaat zo dat P = a middot Qdan is P evenredig met Qhet getal a heet de evenredigheidsconstante

y is evenredig met xn betekent dat er een getal a is met y = a middot xn

Evenredig

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 36: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

bull is g de groeifactor per tijdseenheid dan is de groeifactor per n tijdseenheiden gelijk aan gn

bull bij een groeifactor van 15 per uurbull hoort een groeifactor van 1524 asymp 1683411 per dagbull en een groeifactor van 15frac14 asymp 111 per kwartierbull 111 111 toename per kwartier is 11bull het omzetten van groeipercentages naar een andere tijdseenheid gaat via

groeifactoren

Groeiregels omzetten naar een andere tijdseenheid

54

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 37: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 38: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 39: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

herkennen van exponentieumlle groei bij een tabel

1 bereken voor even lange tijdsintervallen het quotieumlntaantal aan het eind van het interval

aantal aan het begin van het interval

2 verschillen de quotieumlnten weinig dan mag je uitgaan van exponentieumlle groei

Werkschema

54

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 40: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

bull de verdubbelingstijd bij exponentieumlle groei is de tijd waarin bull de hoeveelheid verdubbeltbull bij groeifactor g vind je de verdubbelingstijd T door debull vergelijking gT = 2 op te lossen

bull de halveringstijd is de tijd waarin de hoeveelheidbull gehalveerd wordtbull bij groeifactor g bereken je de halveringstijd T door debull vergelijking gT = frac12 op te lossen

Verdubbelings- en halveringstijd

54

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 41: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

a -8 le x lt 3[ -8 3 rsaquo

b 4 lt x le 4frac12lsaquo 4 4frac12 ]

c 51 le x le 73[ 51 73 ]

d 3 lt x le π lsaquo 3 π ]

-8 3l l

4 4frac12l l

51 73l l

3 πl l

le [

lt lsaquo

Intervallen

71

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 42: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

4frac12 l

a x le 4frac12

lsaquo 4frac12 ]

b x gt -8

lsaquo -8 rsaquo-8l

Oneindige intervallen

71

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 43: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

constante stijging toenemende stijging afnemende stijging

constante daling toenemende daling afnemende daling

Stijgen en dalen

71

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 44: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

-6 -4 -2

1 3

5

afnemend dalend op lt -6 -4 gt

toenemend stijgend op lt -4 -2 gt

afnemend stijgend op lt -2 1 gt

toenemend dalend op lt 1 3 gt

toenemend stijgend op lt 5 gt

afnemend dalend op lt 3 5 gt

voorbeeld

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 45: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in eentoenamendiagram

1 kies een stapgrootte2 bereken voor elke stap de toename of afname3 teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4 teken het staafje bij de rechtergrens 5 bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4

Toenamendiagram

71

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 46: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

2-050524∆y

[34][23][12][01][-10]∆x = 1

0 1 2 3 4-1

-1

1

2

3

4

x

∆ y

bull

bull

Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval

voorbeeld

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 47: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

0x

y

voorbeeld

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 48: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

-7-115

-5-44

-313

-142

151

340

1-1

∆yyx

y = -xsup2 + 2x + 4

0 1 2 3 4 5 x

∆y3

2

1

-1

-2

-3

-4

-5

-7

voorbeeld

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 49: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

N2

N1

0

N

t

∆t

∆N

∆Nomhoog

∆trechts

dus gemiddelde verandering per tijdseenheid = ∆N ∆t

t1 t2

N2 ndash N1 = ∆N

t2 ndash t1 = ∆t

Gemiddelde veranderingen

72

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 50: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

xA a xB b x

y

A

B

∆x

∆y∆y

∆x

∆y yB ndash yA f(b) ndash f(a)

∆x xB ndash xA b - a

differentiequotieumlnt = ∆y ∆x = gemiddelde verandering van y op [xAxB]= rc = hellingsgetal van de lijn AB = =

yA

yBf(b)

f(a)

0

Het differentiequotieumlnt van y op het interval [xAxB] is

72

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 51: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

In een tijd-afstandgrafiek is de afgelegde s uitgezet tegen de tijd tBij een tijd-afstandgrafiek geeft het differentiequotieumlnt op [ab] degemiddelde snelheid op [ab]

de gemiddelde snelheid is ∆s∆t

Gemiddelde snelheid

72

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 52: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

a gemiddelde snelheid op [-6-4] is∆K = 4 ndash 12 = -8∆P = -4 - -6 = 2∆K ∆P = -8 2 = -4gemiddelde snelheid op [-22] is∆K = 6 ndash 6 = 0∆P = 2 - -2 = 4∆K ∆P = 0 4 = 0

b differentiequotieumlnt op [-50] is∆K = 0 ndash 4 = -4∆P = 0 - -5 = 5∆K ∆P = -45 differentiequotieumlnt op [-52] is∆K = 6 ndash 4 = 2∆P = 2 - -5 = 7∆K ∆P = 27

-6 -4

12

4

-2 2

6 6

-5 0 0

-5 2

6

4

∆K K(b) ndash K(a) ∆P P(b) ndash P(a)

=voorbeeld

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 53: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend isbenader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotieumlnt te berekenen op een klein interval

[a a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0001

Snelheid bij een tijd-afstand grafiek

73

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 54: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

t

stijd-afstand grafiekvb s = -tsup2 + 10tBereken de gemiddelde snelheid op [25][24] [23] en [22frac12]

∆s 25 ndash 16∆t 5 ndash 2

∆s 24 ndash 16∆t 4 ndash 2∆s 21 ndash 16∆t 3 ndash 2∆s 1875 ndash 16∆t 25 ndash 2De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt

= = 3 ms

= = 4 ms

= 5 ms

= 55 ms

=

=

A

B1B2

B3

B4

Hoe dichter Bn bij A komt te liggen hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt

De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A

k

Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt

Snelheid raaklijn en helling

73

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 55: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

voor de rc van de raaklijn in het punt A is er de notatie [ ]dy

dx x=xA

y

Ox

k

A

xA

- rc van de raaklijn van de grafiek in A- helling van de grafiek in A- snelheid waarmee y verandert voor x = xA

de GR bezit een optie om dydx te berekenen

dydx voor x is xA

73

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 56: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

73

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 57: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

voer in y1 = xsup2 + x ndash 2

stel k y = ax + b

met a = = -1

dus k y = -x + b

f(-1) = -2

dus A(-1 -2)

-2 = - -1 + b

-2 = 1 + b

-3 = b

k y = -x - 3

dy

dx x = -1[ ]

Het opstellen van de formule van een raaklijn

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 58: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

x

x

y

helling

O

O

Bij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen sti

jgend dalend

stijgend

stijgend deel vd grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-as

dalend deel vd grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-as

top

top

top vd grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as

0 0

laagste punt

overgang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste punt

pos

pos

Hellinggrafieken schetsen

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 59: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

Hellinggrafiek plottenmbv GR

TI MATH ndash MATH - menuoptie nDeriv

vb voer in y1 = 01x4 ndash x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 60: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

a voer in y1 = (5xsup2 - 38)(xsup2 + 4)en y2 = nDeriv(y1xx) (op de TI)of y2 = ddx(y1x) (op de Casio)kies Xmin = -5 Xmax = 5 Ymin = -10 Ymax = 5

b voer in y3 = 3optie intersect met y2 en y3 geeftx asymp 0458 en x asymp 2354aflezen helling gt 3 voor 0458 lt x lt 2354

y

xO

O x

helling

3

0458 2354

voorbeeld

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 61: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

De afgeleide functie bij een functie hoort een hellingfunctieipv hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt

notatie frsquo (f-accent)

regels voor de afgeleide f(x) = a geeft frsquo(x) = 0f(x) = ax geeft frsquo(x) = af(x) = axsup2 geeft frsquo(x) = 2ax

74

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 62: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

f(x) = ax3

frsquo(x) = 3axsup2

g(x) = ax4

grsquo(x) = 4ax3

h(x) = ax5

hrsquo(x) = 5ax4

algemeen geldt k(x) = axn

krsquo(x) = n middot axn-1

somregel van het differentieumlrenf(x) = g(x) + h(x)frsquo(x) = grsquo(x) + hrsquo(x)

oude exponent ervoor zetten

nieuwe exponent 1 minder (4 - 1 = 3)

de afgeleide van f(x) = axn

74

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 63: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

Je weet dat de afgeleide frsquo aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoffrsquo(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende puntalgemeenfrsquo(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(af(a)) x

y

O

f

k

A

xA

yA = f(xA)rck = frsquo(xA)

Vergelijking van raaklijn met behulp van de afgeleide

74

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 64: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

notaties voor de afgeleide van y = f(x) zijn

frsquo(x)

(f(x))

dydx

ddx

df(x)dx

Notaties voor de afgeleide

75

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65
Page 65: De grafiek van een lineaire formule is ALTIJD een  rechte lijn.

x

y

Ostijg

enddalend

dalend

top

top

frsquo(x) gt 0

frsquo(x) lt 0frsquo(x) lt 0

frsquo(x) = 0

werkschema het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima1 bereken de afgeleide

2 los algebraiumlsch op = 03 schets de grafiek

kijk in de schets of je met een max of een min te maken hebt4 bereken de extreme waarde door de gevonden x-waarde in de

formule van y in te vullen

dydx

dydx

Het algebraiumlsch berekenen van maxima en minima

  • Slide 1
  • Slide 2
  • Slide 3
  • Slide 4
  • Slide 5
  • Slide 6
  • Slide 7
  • Slide 8
  • Slide 9
  • Slide 10
  • Slide 11
  • Slide 12
  • Slide 13
  • Slide 14
  • Slide 15
  • Slide 16
  • Slide 17
  • Slide 18
  • Slide 19
  • Slide 20
  • Slide 21
  • Slide 22
  • Slide 23
  • Slide 24
  • Slide 25
  • Slide 26
  • Slide 27
  • Slide 28
  • Slide 29
  • Slide 30
  • Slide 31
  • Slide 32
  • Slide 33
  • Slide 34
  • Slide 35
  • Slide 36
  • Slide 37
  • Slide 38
  • Slide 39
  • Slide 40
  • Slide 41
  • Slide 42
  • Slide 43
  • Slide 44
  • Slide 45
  • Slide 46
  • Slide 47
  • Slide 48
  • Slide 49
  • Slide 50
  • Slide 51
  • Slide 52
  • Slide 53
  • Slide 54
  • Slide 55
  • Slide 56
  • Slide 57
  • Slide 58
  • Slide 59
  • Slide 60
  • Slide 61
  • Slide 62
  • Slide 63
  • Slide 64
  • Slide 65