Toeval en fine-tuning Fontys Wiskunde Event 17 mei 2017

Klaas Landsman

Euclidische meetkunde in moderne wiskunde

• Wiskunde heeft (net als natuurlijke taal) een syntactische (grammaticale, ‘regelmatige’) kant en een semantische (‘betekenisvolle’) kant

• Formeel (axiomatisch-deductief) bewijzen is syntactische aangelegenheid waar zekerheid van wiskunde op berust (je volgt eindig veel spelregels)

• Interpretatie formele taal “in de werkelijkheid” is aparte stap

• Euclides (en iedereen tot 1900) haalde deze twee aspecten door elkaar

• Hilbert (1899) haalde ze uit elkaar, maar helaas ten koste van 20 axioma’s

⇒ Euclidische meetkunde is pedagogisch volkomen ongeschikt om in VO te leren bewijzen of überhaupt (modern) wiskundig te leren denken!

Kansrekening is daarentegen uitermate geschikt als eerste kennismaking!

Kansrekening in moderne wiskunde

• Eenvoudige axioma’s: een kansverdeling p kent een getal 0 ≤ p(x) ≤ 1 toe aan iedere ‘kleinste gebeurtenis’ x ∈ X (eindige verz.) zodanig dat

Σx∈X p(x) = 1 • Oefenen met equivalentie axiomastelsels: een kansfunctie P kent een

getal 0 ≤ P(A) ≤ 1 toe aan een lijst van ‘gebeurtenissen’ A ⊆ X, zdd:

1. P(Z) = 1 voor de ‘zekere gebeurtenis’ Z = X 2. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) als A ∩ B = ∅ (A en B sluiten elkaar uit)

Equivalentie: P(A) = Σx∈A p(x) en p(x) = P({x}) onder behoud axioma’s • Rijke semantiek: talloze interessante interpretaties, van dagelijks leven

tot wetenschap, namelijk alle processen waarin toeval een rol speelt. Scholieren maken zo kennis met ‘mathematisering’ (en de gevaren daarvan: valkuilen rond verkeerd gebruik van kansrekening, zie straks!)

Kansrekening (en meetkunde) in het VWO

• Heel lang geleden (bijv. 1976-1981): Wiskunde 1 bevatte meetkunde noch kansrekening; Wiskunde 2 bevatte keuzeonderdeel kansrekening (bijv. uit Nijdam e.a., 1975),

• Lang geleden: wiskunde A1, A12, B1 en B12 bevatten alle het (zelfde) pakket Combinatoriek en kansrekening (en Euclidische meetkunde zat alleen in B12)

• Huidige situatie (2017): Subdomeinen Gb1 (Oriëntatie op bewijzen) en Gb2 (Constructie en bewijzen in de vlakke meetkunde) in wiskunde B (brr), Domeinen Eg (Combinatoriek en kansrekening) en Fa (Statistiek en kansrekening) in wiskunde A (en wiskunde D)

• Vanaf 2018: wiskunde A bevat Domein E (Statistiek en kansrekening) = Domein B in wiskunde D; wiskunde B bevat Domein E (Meetkunde met coördinaten), waarin ook het woord ‘bewijzen’ valt) maar nog steeds geen kansrekening

• Wiskunde B scholieren wordt de beste kennismaking met wiskundig denken onthouden (en in wiskunde A en D wordt kansrekening met ander doel behandeld)

• Minsterie OC&W volgt daarin advies NVvW (en niet van Resonansgroep Wiskunde 2007)

Wiskunde of geen wiskunde?

“Meneer Jeavons zei dat ik van wiskunde hield omdat het veilig was. Hij zei dat ik van wiskunde hield omdat ik dan problemen kon oplossen, en die problemen waren moeilijk en interessant, maar er kwam wel altijd een duidelijk antwoord uit. En wat hij bedoelde was dat wiskunde anders was dan het leven, want in het leven komen er geen duidelijke antwoorden uit.” (Mark Haddon, Het wonderbaarlijke voorval met de hond in de nacht, 2004).

Wat een misverstand! Kansrekening toont aan dat wiskunde (soms) ook antwoorden geeft in onduidelijke situaties

Toeval in het dagelijks leven: coïncidenties

• Het leven hangt aan elkaar van toevalligheden. Wanneer is een toevallige samenloop van omstandigheden ook interessant?

• “Een coïncidentie is een verrassende samenloop van omstandigheden, opgevat als zinvol verbonden, ogenschijnlijk zonder causale samenhang” (Diaconis & Mosteller, 1989)

• verrassend ⇒ onwaarschijnlijk, maar zeker niet omgekeerd! Een gebeurtenis is verrassend als we daardoor “ons huidige wereldbeeld niet langer als bevredigend beschouwen” (Ramsey, 1926)

• In het oorspronkelijke wereldbeeld was de gebeurtenis verrassend maar in een nieuw wereldbeeld is ie juist waarschijnlijk(er) geworden

Oud wereldbeeld Nieuw wereldbeeld

“Jaren lang was jij mijn gabber als een broer hield ik van jou ‘k zie je nog daar op de stoep staan je stond te rillen van de kou Zonder huis en zonder centen zelfs je vrouw ook die was je kwijt Ik zei: kom zo lang hier wonen maar daarvan heb ik nu spijt

Hielp ik je daarom uit de goot was dan jou vriendschap niet zo groot Hoe vaak lag jij daar in mijn bed Zag jij nooit van je vriend aan de muur zijn trouwportret?”

Wetenschap houdt niet van coïcidenties!

“Een echt ongewone dag is er een waarop niets ongewoons plaatsvindt” (Persi Diaconis)

• Is de samenloop van omstandigheden nu echt: • verrassend? (Vaak: waarschijnlijker dan je dacht, bijv.

dankzij contextverbreding of juist contextversmalling) • zinvol verbonden? (synchroniciteiten van C.G. Jung) • zonder causale samenhang? (meestal is toch sprake van

een directe invloed of een “Common Cause”) • En zelfs als dit allemaal zo is kan de wetenschap nog

zeggen dat het “toeval” was!

Het alternatief (als je coïncidenties serieus neemt)

Adept - Amulet - Anagram - Animisme - Ascendant - Astraal - Astrale projectie - Astrale reis - Astrologie - Athame - Aura - Automatisch schrijven - Avatar - Balneum Mariae - Beschermengel - Bezweringen - Boek der Schaduwen - Boze oog - Caduceus - Caput mortuum - Chakra - Channelling - Cingulum - Demon - Demonologie - Duivelsmerk - Divinatie - Djinn - Druïde - Ectoplasma - Elementalen - Elixer - Esoterisch - Etherisch dubbel - Exorcisme - Gematria - Gnosticisme - Goetia - Golem - Grimoire - Handoplegging - Heks - Heksenhamer - Hekserij - Helderziendheid - Hermetica - Horoscoop - Incubus - Kabbala - Karma - Kristalkijken - Levitatie - Leylijnen - Lycantropie - Magie - Magiër - Magisch vierkant - Magische cirkel - Mantra - Medium - Metempsychose - Mysticisme - Necromancie - Omen - Ouijabord - Out of Body Experience - Pantheisme - Paranormale gave - Parapsychologie - Pendelen - Pentagram - Klopgeest - Precognitie - Psychokinese - Psychometrie - Reiki - Reïncarnatie - Sabbat - Satan - Satanisme - Seance - Shamaan - Spiritualisme - Steen der Wijzen - Sympathische magie - Synchroniciteit - Talisman - Tarot - Telepathie - Teleportatie - Tetragrammaton - Tovenaar - Trance - Transmigratie - Uurhoekhoroscoop - Vloek - Voodoo - Voorteken - Witte magie - Xenoglossie - Zodiak - Zwarte magie - Zwarte mis

Kosmische coïncidentie? Fine-tuningNatuurkunde kent 2 ‘Standaardmodellen’ (klein en groot):

• Elementaire deeltjes fysica met 18 vrije parameters (massa elektron, u-quark, d-quark, drie krachten …)

• ΛCDM model van kosmologie met 6 vrije parameters • Ω = materiedichtheid/kritieke dichtheid (≈ 1); • Grootte fluctuaties R = δT/T (≈ 1/100.000) in

Kosmische achtergrondstraling (CMB), T = 2.7K, …

• Veel van deze grootheden zijn zeer fijn afgestemd: kleine variaties geven totaal andere (of geen) kosmos Is het leven een “schitterend ongeluk”?

36 CHAMSEDDINE, CONNES, AND MARCOLLI

LSM = − 12∂νga

µ∂νgaµ − gsfabc∂µga

νgbµgc

ν − 14g2

sfabcfadegbµgc

νgdµge

ν − ∂νW+µ ∂νW−

µ − M2W+µ W−

µ −12∂νZ0

µ∂νZ0µ − 1

2c2w

M2Z0µZ0

µ − 12∂µAν∂µAν − igcw(∂νZ0

µ(W+µ W−

ν − W+ν W−

µ ) − Z0ν(W+

µ ∂νW−µ −

W−µ ∂νW+

µ ) + Z0µ(W+

ν ∂νW−µ − W−

ν ∂νW+µ )) − igsw(∂νAµ(W+

µ W−ν − W+

ν W−µ ) − Aν(W+

µ ∂νW−µ −

W−µ ∂νW+

µ ) + Aµ(W+ν ∂νW−

µ − W−ν ∂νW+

µ )) − 12g2W+

µ W−µ W+

ν W−ν + 1

2g2W+µ W−

ν W+µ W−

ν +g2c2

w(Z0µW+

µ Z0νW−

ν −Z0µZ0

µW+ν W−

ν )+g2s2w(AµW+

µ AνW−ν −AµAµW+

ν W−ν )+g2swcw(AµZ0

ν(W+µ W−

ν −W+

ν W−µ ) − 2AµZ0

µW+ν W−

ν ) − 12∂µH∂µH − 2M2αhH2 − ∂µφ+∂µφ− − 1

2∂µφ0∂µφ0 −βh

(

2M2

g2 + 2Mg

H + 12 (H2 + φ0φ0 + 2φ+φ−)

)

+ 2M4

g2 αh − gαhM(

H3 + Hφ0φ0 + 2Hφ+φ−)

−18g2αh

(

H4 + (φ0)4 + 4(φ+φ−)2 + 4(φ0)2φ+φ− + 4H2φ+φ− + 2(φ0)2H2)

− gMW+µ W−

µ H −12g M

c2w

Z0µZ0

µH − 12 ig

(

W+µ (φ0∂µφ− − φ−∂µφ0) − W−

µ (φ0∂µφ+ − φ+∂µφ0))

+12g

(

W+µ (H∂µφ− − φ−∂µH) + W−

µ (H∂µφ+ − φ+∂µH))

+ 12g 1

cw(Z0

µ(H∂µφ0 − φ0∂µH) +

M ( 1cw

Z0µ∂µφ0 +W+

µ ∂µφ− +W−µ ∂µφ+)− ig s2

w

cwMZ0

µ(W+µ φ−−W−

µ φ+)+ igswMAµ(W+µ φ−−W−

µ φ+)−ig 1−2c2

w

2cwZ0

µ(φ+∂µφ−−φ−∂µφ+)+ igswAµ(φ+∂µφ−−φ−∂µφ+)− 14g2W+

µ W−µ

(

H2 + (φ0)2 + 2φ+φ−)

−18g2 1

c2w

Z0µZ0

µ

(

H2 + (φ0)2 + 2(2s2w − 1)2φ+φ−

)

− 12g2 s2

w

cwZ0

µφ0(W+µ φ− + W−

µ φ+) −12 ig2 s2

w

cwZ0

µH(W+µ φ− − W−

µ φ+) + 12g2swAµφ0(W+

µ φ− + W−µ φ+) + 1

2 ig2swAµH(W+µ φ− − W−

µ φ+) −g2 sw

cw(2c2

w − 1)Z0µAµφ+φ− − g2s2

wAµAµφ+φ− + 12 igs λa

ij(qσi γµqσ

j )gaµ − eλ(γ∂ + mλ

e )eλ − νλ(γ∂ +

mλν )νλ − uλ

j (γ∂ + mλu)uλ

j − dλj (γ∂ + mλ

d)dλj + igswAµ

(

−(eλγµeλ) + 23 (uλ

j γµuλj ) − 1

3 (dλj γµdλ

j ))

+ig

4cwZ0

µ{(νλγµ(1 + γ5)νλ) + (eλγµ(4s2w − 1 − γ5)eλ) + (dλ

j γµ(43s2

w − 1 − γ5)dλj ) + (uλ

j γµ(1 − 83s2

w +

γ5)uλj )} + ig

2√

2W+

µ

(

(νλγµ(1 + γ5)U lepλκeκ) + (uλ

j γµ(1 + γ5)Cλκdκj )

)

+

ig

2√

2W−

µ

(

(eκU lep†κλγµ(1 + γ5)νλ) + (dκ

j C†κλγµ(1 + γ5)uλ

j ))

+ig

2M√

2φ+

(

−mκe (νλU lep

λκ(1 − γ5)eκ) + mλν (νλU lep

λκ(1 + γ5)eκ)

+

ig

2M√

2φ−

(

mλe (eλU lep†

λκ(1 + γ5)νκ) − mκν (eλU lep†

λκ(1 − γ5)νκ)

− g2

mλ

ν

M H(νλνλ) − g2

mλ

e

M H(eλeλ) +

ig2

mλ

ν

Mφ0(νλγ5νλ) − ig

2mλ

e

Mφ0(eλγ5eλ) − 1

4 νλ MRλκ (1 − γ5)νκ − 1

4 νλ MRλκ (1 − γ5)νκ +

ig

2M√

2φ+

(

−mκd(uλ

j Cλκ(1 − γ5)dκj ) + mλ

u(uλj Cλκ(1 + γ5)dκ

j

)

+

ig

2M√

2φ−

(

mλd(dλ

j C†λκ(1 + γ5)uκ

j ) − mκu(dλ

j C†λκ(1 − γ5)uκ

j

)

− g2

mλ

u

MH(uλ

j uλj ) − g

2mλ

d

MH(dλ

j dλj ) +

ig2

mλ

u

M φ0(uλj γ5uλ

j ) − ig2

mλ

d

M φ0(dλj γ5dλ

j )

Here the notation is as in [46], as follows.

• Gauge bosons: Aµ,W±µ , Z0

µ, gaµ

• Quarks: uκj , dκ

j , collective : qσj

• Leptons: eλ, νλ

• Higgs fields: H,φ0,φ+,φ−

• Ghosts: Ga,X0,X+,X−, Y ,• Masses: mλ

d ,mλu,mλ

e ,mh,M (the latter is the mass of the W )

• Coupling constants g =√

4πα (fine structure), gs = strong, αh =m2

h

4M2

• Tadpole Constant βh

• Cosine and sine of the weak mixing angle cw, sw

• Cabibbo–Kobayashi–Maskawa mixing matrix: Cλκ

• Structure constants of SU(3): fabc

• The Gauge is the Feynman gauge.

Remark 4.5. Notice that, for simplicity, we use for leptons the same convention usuallyadopted for quarks, namely to have the up particles in diagonal form (in this case the neu-trinos) and the mixing matrix for the down particles (here the charged leptons). This is

25 november 1915 Albert Einstein

Voorbeelden van fine-tuning

• Iets andere (1%) massa’s van elektron en u en d quarks: geen chemie (bijv. alleen neutronen of alleen waterstof)

• Grotere (10%) waarden van R: teveel klontering van materie, geen sterren maar uitsluitend zwarte gaten

• Kleinere (10%) waarden van R: te weinig klontering, alleen gasnevels, geen melkwegstelsels en sterren

• Kleinere waarde (10^{-60}) van Ω: heelal stort direct na oerknal in

• Grotere (1/10^{-60}) van Ω: heelal dijdt veel te snel uit (te ijl)

In alle gevallen: geen planeten, geen leven, geen Fontys

Typische reacties op “fine-tuning for life”

Vrijwel iedereen beschouwt fine-tuning als een coïncidentie en daarmee i.h.b. als iets extreem onwaarschijnlijks, met als conclusie: ofwel “toeval” ofwel “verklaringen” gebaseerd op kanstheoretische metaforen:

•Spel kaarten dat na schudden precies op canonieke volgorde blijkt te liggen; “dat kan geen toeval zijn!” (→ Design)

•Man trekt strootje, zal worden gedood tenzij hij het kortste trekt, maar hij overleeft; wijst dit op een onzichtbare benefactor? (→ Design)

•Herenmodezaak: klant vindt pak dat precies past; is dit waarschijnlijker als de winkel heel veel maten in huis heeft? (→ Multiverse)

•Man overleeft executiepeloton: is dit waarschijnlijker als hij slechts één van vele ter dood veroordeelden is? (→ Multiverse)

Misleidende metaforen

• Spel kaarten: welke eigenschap van de kosmos correspondeert met de canonieke kaartvolgorde? Leven? Dan argument circulair

• Strootje trekken: welke eigenschap van de kosmos correspondeert met de benefactor? Schepper? Opnieuw circulair

• Pakkenwinkel: suggereert dat kosmos zich naar leven richt, terwijl het leven zich juist naar de kosmos richt (evolutie)

• Executiepeleton: suggereert doelgerichtheid (die kosmos ontbeert)

In alle gevallen bevat de metafoor impliciet cruciale aannamen die juist te bewijzen waren via die metafoor (die neutraal had moeten zijn)

Bayesiaanse kansrekening

• Vele leuke toepassingen van regel van Bayes:

P(H|E) = P(E|H) x P(H)/P(E) P(H|E):= P(H,E)/P(E)

• Stel P(L|D) = 1 (L = Leven, D = Design) ⇒

P(D) = P(D|L)P(L) ≤ P(L)

• Ook met zwakkere aanname P(L|D) ≥ 1/2 volgt uit Bayes:

P(D) = P(D, L) + P(D, niet-L) ≤ 2 P(D,L) ≤ 2P(L)

Hoe kleiner de kans op Leven, hoe kleiner die op Design (terwijl de kans op leven juist zeer klein moet zijn om argument op te zetten)

Maar wat is de allergrootste denkfout?

Om überhaupt kansen te definiëren zijn drie dingen nodig: 1. Uitkomstenruimte (i.e. kansruimte) 2. Kansverdeling op die ruimte 3. Steekproef of trekking (die bij voorkeur bij vele herhalingen volgens de gegeven kansverdeling uitvalt—niet omgekeerd!) Geen daarvan is aanwezig bij fine-tuning for life: 1. Kun je al die natuurconstanten wel variëren? 2. Waar komt die kansverdeling dan vandaan? 3. Er is toch echt maar één heelal! (?)

Conclusie

• Het kan lastig zijn om de juiste wiskunde achter de werkelijkheid te herkennen: een ogenschijnlijk kanstheoretische situatie als fine-tuning van de kosmos heeft weinig met toeval te maken

• VWO-leerlingen moeten oefenen met zowel het syntactische (axiomatisch-deductieve) deel van wiskunde als met het semantische (interpreterende/toegepaste) deel en toeval en kansrekening biedt daartoe uitstekende mogelijkheden!

• “Voor zover wiskundige stellingen over de werkelijkheid gaan zijn ze niet zeker, en voor zover ze zeker zijn gaan ze niet over de werkelijkheid’’ (Albert Einstein, Geometrie und Erfahrung, 1921)