1
Rekenen op StendenEenmalige uitgave van Stenden Hogeschool (School of Education)
01-2013
R E K E N E N
O P S T E N D E N
4
InhoudsopgaveOp Stenden kun je rekenen 12 Rekenen gaat niet alleen meer volgens Bartjens. Een rondreis langs
de Stendenlocaties
16
18
2011 28
22
24
7
8
Als je deelt, krijg je meer
Editorial, Ingrid Janssen
Rekenen met zout Internationale rekenaars zetten
NS op het goede spoor
Meer leeropbrengsten met
Miertje Maniertje
Interview met Marloes Sterk
Op een onbewoond (reken)eiland Rekenen op Youtube
Wacht niet op een dyscalculie-
verklaring bij het behandelen
van rekenproblemen
Interview met Ceciel Borghouts
Buiten rekenen Goed rekenonderwijs begint met
kijken naar kinderen
Interview met Wil Oonk
5R E K E N E N O P S T E N D E N
Opleiding tot rekencoördinator
(advertentie) 27
Volgens Bartjens
(advertentie) 31
Levend rekenen.
Skateboards in de klas 56
Master Special Educational Needs
(advertentie) 61
Eindeloos experimenteren
met repeterende breuken 62
Oplossingen breinkrakers 65
Rekenen op het web 65
Colofon
Rekenen op StendenGedachtenvol oefenen 30 En verder...
40 53
32 44
35 50
Minder fouten door gedachtenvol
oefenen
Gedachtenvol oefenen.
Mini-lesjes en oefenen met
relaties tussen sommen
Gedachtenvol oefenen. Werken
aan een houdingsverandering
Scholen in Noordoost Drenthe
rekenen zich sterk. Interview met
An te Selle en Francien Garssen
Praktijkscholen van Stenden
Pabo Meppel ontdekken de
kracht van gedachtenvol oefenen
Als je niet kunt rekenen,
ben je de klos
Interview met Maarten Dolk
6
...door het delen van ervaringen en inzichten...
‘Vijf voor twaalf voor het rekenonderwijs’, kopte het Dagblad van het Noorden op
19 november 2012. Met deze rekenglossy willen wij als pabo’s van Stenden laten zien
hoe wij het rekenonderwijs op de basisscholen een impuls kunnen geven.
Wij doen dat door aandacht te vragen voor:
• de actualiteit van het rekenonderwijs (kennisbasis en dyscalculie);
• de verandering van de rekendidactiek;
• de kracht van het gedachtenvol oefenen en van het levend rekenen;
• het nut van wetenschappelijk onderzoek voor de praktijk in de basisschool;
• het nascholingsaanbod van Stenden op het gebied van rekenonderwijs.
Wij gaan ervan uit dat goed rekenonderwijs begint met goed getrainde leerkrachten
en met goed kijken naar kinderen. Rekenonderwijs kan heel leuk zijn - ook voor de
leerkracht en ook voor zwakke rekenaars.
Stenden wil zijn ervaringen graag delen met het primair onderwijs. Wij doen dat
vanuit onze maatschappelijke opdracht, maar vooral ook vanuit de overtuiging
dat door het delen van ervaringen en inzichten de opbrengsten van het
rekenonderwijs vermenigvuldigd worden.
Wat ons betreft is het geen vijf
voor twaalf, maar drukken
wij met deze rekenglossy
de stopwatch opnieuw in.
Ingrid Janssen,
Head of School of Education
Als je deelt, krijg je meer
R E K E N E N O P S T E N D E N 7
8
Meer leeropbrengsten
9
Een rij van witte kaarten met steeds zes zwarte stippen
vormen een spoor door de klas van groep 1 / 2 en lijken
naar de kast te voeren. Van welk dier is het spoor? Welk
dier heeft zes poten? En waar heeft het zich verstopt? Het
is Miertje Maniertje, het hulpje van juf Marloes, stagiaire
op basisschool de Eshorst in Beilen.
Marloes Sterk (22) van Stenden Pabo De Eekhorst uit Assen
heeft een serie van vijf ‘rekenlessen’ uitgevoerd om de kleuters
om te leren gaan met ruimtelijke getalstructuren en zo een
betere basis voor het rekenonderwijs in groep 3 te leggen.
De lessenserie is gebaseerd op een proefschrift uit 2009 van
Fenna van Nes, Young Children’s Spatial Structuring Ability
and Emerging Number Sense. De lessen zijn voor de website
Leraar24 eerder uitgevoerd door Merel Sprong. De theorie
komt erop neer dat expliciete aandacht voor ruimtelijke
en numerieke structuren bij het jonge kind leidt tot betere
rekenprestaties.
Getallen en structuren herkennen
Voor de lessenserie heeft Marloes, die voorafgaande aan de
pabo de mbo-opleiding voor onderwijsassistent heeft gedaan,
zelf met veel liefde de materialen gemaakt. In de lessen werkt
ze achtereenvolgens met grote, zachte dobbelstenen, met
eierdozen, met kralenkettingen van ‘playmais’, met torens
van grote duplo blokken (‘mierenhopen’) en met kaarten met
bloemen. Leerlingen leren structuren te herkennen en leren
te vertrouwen op wat ze zien. Een ‘vier’ op een dobbelsteen
kun je zo herkennen als ‘vier’, daarvoor hoef je de stippen
niet steeds opnieuw te tellen. En met de kralenkettingen
leren de leerlingen structuren te herkennen, na te maken
en te voorspellen. Miertje Maniertje (een zelfgemaakte,
zwarte handpop) is de verbindende schakel die de kinderen
‘maniertjes’ leert om snel getallen en structuren te herkennen.
Het praten via de mier blijkt een didactische vondst. “Miertje
denkt dat jullie de les van gisteren vergeten zijn!”. De hele klas
in koor: “Neehuhh!”
Onderwijs ontwerpen vanuit de beginsituatie
Voor Marloes maakt de lessenserie deel uit van het derdejaars
thema ‘Onderwijs ontwerpen vanuit de beginsituatie’.
Uitgaande van een wetenschappelijk onderzoek of experiment
moeten de studenten een lessenserie ontwerpen die aansluit
bij de beginsituatie van de leerlingen in hun stageklas. In het
verslag dat zij hierover maken, beschrijven zij de beginsituatie,
de opzet van de lessenserie, de theorie die erachter zit en
de eindsituatie. Uiteraard refl ecteren zij op het verloop van
de lessen en formuleren zij conclusies of aanbevelingen naar
aanleiding van het experiment. >
met Miertje Maniertje
R E K E N E N O P S T E N D E N
Miertje Maniertje helpt om getalstructuren te herkennen
10
De opzet van de lessenserie heeft Marloes dus ‘uit de boeken’,
maar zij heeft alle materialen zelf ontworpen (“duurzaam”),
heeft bedacht om de kralen met ‘playmais’ te maken, waardoor
de structuren goed en blijvend zichtbaar gemaakt kunnen
worden en heeft het initiatief genomen een Miertje-Maniertje-
hoek in de klas in te richten. Vooral het maken van de
kralenkettingen was erg populair, ook bij de stoere jongens. Na
twee dagen was de voorraad playmais al op. “Juf, kun je geen
nieuwe kopen?”
Opbrengstgericht onderwijs is niet saai
Marloes vond het prachtig om te doen. “Ik vind het heerlijk
om voor de klas te staan!”. De kinderen vonden “Miertje
Maniertje” het leukste onderdeel van de hele stage. Ook de
vaste leerkracht van de groep noteerde: “Gedurende de hele
les waren de kinderen betrokken en enthousiast”. En achteraf
constateerde de school waar de lessenserie is uitgevoerd dat
de kinderen op de verwante onderdelen boven verwachting
scoorden op de cito-toets. Begeleidend pabodocent Francien
Garssen concludeert: “Opbrengstgericht onderwijs hoeft niet
saai te zijn en begint al in de kleutergroep!” ■
En achteraf constateerde de school dat de kinderen op de verwante onderdelen
boven verwachting scoorden op de cito-toets.
11
In juni 2011 plofte bij alle basisscholen in
Nederland een groen boekje op de mat: het
Protocol Ernstige RekenWiskunde-problemen en
Dyscalculie. Wat moeten scholen daarmee en hoe
zit het nu precies met dyscalculie? Een gesprek
met één van de auteurs, Ceciel Borghouts.
Waarom dit protocol?
“In de jaren vijftig dook de term dyscalculie voor het eerst
op. Daarna was het een paar decennia stil, maar sinds een
jaar of vijf heeft iedereen het over dyscalculie. Er was een
complete spraakverwarring over wat dyscalculie nu eigenlijk
was. Scholen en begeleidingsdiensten gingen er allemaal op
een verschillende manier mee om. Dyscalculieverklaringen
schoten als paddenstoelen de grond uit. De minister drong
aan op eenduidigheid en het terugdringen van de uitval bij
het rekenonderwijs. Dat was de aanleiding om Mieke van
Groenesteijn, Christien Janssen en mij te vragen een protocol
op te stellen.”
Wat is de kern van het protocol?
“Achter de titel van het boekje (Ernstige RekenWiskunde-
problemen en Dyscalculie) schuilt een heel program. Wij gaan
ervan uit dat er een continuüm is van zeer goede rekenaars
aan de ene kant tot kinderen met rekenproblemen, ernstige
rekenproblemen en dyscalculie aan de andere kant. Kinderen
met dyscalculie zijn dus geen aparte diersoort. Inhoudelijk is er
geen verschil is tussen ernstige rekenproblemen en dyscalculie.
Er is alleen een gradueel verschil. Het gaat ook niet alleen
om problemen met automatiseren. De problemen kunnen op
meerdere terreinen liggen.”
Wij gaan ervan uit dat problemen ontstaan als de leerkracht
niet goed afstemt op de ondersteuningsbehoefte van de
leerling. Als je (te) lang niet goed afstemt, ontstaan er ernstige
problemen. Zodra een rekenprobleem ontstaat, moet er dus
worden ingegrepen. Wanneer bij ernstige rekenproblemen een
half jaar deskundige begeleiding plaatsvindt met nauwelijks
resultaat, dan spreken wij van dyscalculie. In die zin zou je met
enige overdrijving kunnen zeggen dat een dyscalculieverklaring
ook een brevet van onvermogen voor de leerkracht is. Het lukt
niet (meer) om goed af te stemmen.
“Nee, het is dus geen routekaart naar een dyscalculieverklaring.
Sommigen vinden dat jammer. Het is een pleidooi voor beter
rekenonderwijs en voor goed kijken naar kinderen. Een heel
klein rekenprobleem in groep drie, een haarscheurtje, >
Wacht niet op een dyscalculieverkaring bij het behandelen van rekenproblemen!
R E K E N E N O P S T E N D E N
Ceciel Borghouts (1961) volgde
na het VWO eerst de Academie
voor Lichamelijke Opvoeding.
Zij stond een paar jaar voor de
klas als docente Lichamelijke
Opvoeding. Na een studie
orthopedagogiek, was ze
werkzaam voor een School-,
Advies- en Begeleidingsdienst.
Inmiddels is ze ruim twintig jaar
actief binnen de rekenwereld,
als ontwikkelaar van
rekenmethodes, als adviseur
van scholen bij het verbeteren
van hun rekenonderwijs en als
diagnosticus bij het onderzoeken
en begeleiden van kinderen
met rekenproblemen. Zij is
verbonden aan het Freudenthal
Instituut in Utrecht, waar zij in
samenwerking met de I-Pabo de
opleiding voor rekencoördinator
verzorgt. Daarnaast heeft zij haar
eigen adviesbedrijf Borghouts
Rekenadvies
(www.borghoutsrekenadvies.nl).
Zij is een van de auteurs van het
ERWD protocol.
breinkraker
12
kan in groep vijf of zes een enorme barst van een
rekenprobleem worden, als het probleem niet goed wordt
aangepakt en als de leerkracht geen of onvoldoende
interventie(s) pleegt. Dat is de kern van het protocol. Het
rekenonderwijs afstemmen op de behoeften van de leerling.
Groepjes maken. Kijken naar je leerstof. Leerkrachten toetsen
zich suf, maar ze doen er te weinig mee. ”
Wat moeten scholen ermee?
“Teams zouden op basis van dit protocol naar hun onderwijs
kunnen kijken: welke winst kunnen wij nog boeken in de
preventie? Daarvoor kan een één- of tweedaagse training
op basis van het protocol een prima start zijn. Het gaat
om het ontwikkelen van een visie op rekenonderwijs. Met
behandelen van rekenproblemen, moet je niet wachten op een
dyscalculieverklaring! Rekencoördinatoren - voor zover nog niet
wegbezuinigd - zouden hier het voortouw in moeten nemen.
Uiteindelijk is het voor de leerkracht niet meer werk, maar
minder. En het wordt vooral leuker!”
Nature of Nurture?
Tijdens het gesprek wordt duidelijk dat er in rekenland een
richtingenstrijd gaande is. Het is de strijd tussen Nature en
Nurture. Zijn rekencapaciteiten aangeboren of worden zij
vooral verklaard door de invloed van de omgeving? Worden
ernstige rekenproblemen en dyscalculie verklaard door
‘kindfactoren’ of door rekenonderwijs dat niet adaptief genoeg
is? Ceciel Borghouts neemt een middenpositie in en betreurt
de tegenstelling. Natuurlijk spelen altijd ook kindfactoren
een rol. Maar de kunst is om steeds weer te kijken wat dit
kind nodig heeft om verder te komen. Ceciel Borghouts wil
de kracht bij het onderwijs leggen. De leerkrachten zijn de
enigen bij wie het kind nog kans heeft om verder te komen
in zijn rekenontwikkeling. Die mogen het niet opgeven! Zij
heeft eens als antwoord op een artikel met de titel ‘Een kind
met dyscalculie, in iedere klas heb je er wel een’ een artikel
geschreven met de titel ‘Een kind met dyscalculie, ik heb er
nog nooit een gezien’. “En dat is ook echt waar. Alle kinderen
met toch zeer ernstige rekenproblemen die op mijn pad zijn
gekomen kon ik weer behoorlijk vooruit helpen.”
Nog veel onduidelijkheden
Het is duidelijk dat Borghouts toe zou juichen dat er extra
geld zou komen voor de begeleiding met kinderen waarbij
we spreken van dyscalculie en dat een dyscalculieverklaring
recht zou geven op die extra begeleiding, net zoals dat nu met
dyslexie het geval is. Maar ze ziet het er niet van komen. En ze
onderstreept nog maar eens dat er wetenschappelijk nog veel
onduidelijkheden zijn.
“Extra toetstijd voor dyscalculie? Geen onderzoeksgegevens
dat het helpt! Vaker het gebruik van een rekenmachine
toestaan? Geen bewijs dat het helpt, behalve bij de automati-
seringsopgaven dan. Bovendien: het mág niet. Niet bij de Cito-
toetsen en niet bij de rekentoetsen die vanaf volgende jaar in het
middelbaar en voortgezet onderwijs worden afgenomen”. >
“Uiteindelijk is het voor de leerkracht niet meer werk, maar minder.
Verplaats twee lucifers zodanig
dat je geen vijf vierkanten hebt,
echter vier vierkanten.
Antwoorden op pagina 65
1
R E K E N E N O P S T E N D E N 13
Hoe verder met het ERWD-protocol?
Ceciel Borghouts verzorgt trainingen
op maat: van oriëntatie van één
dagdeel (Wat betekent het protocol
voor onze school?) tot tweedaagse
trainingen en ook meerjarige
begeleidingstrajecten.
www.borghoutsrekenadvies.nl
Ook Stenden Hogeschool verzorgt
een Workshop ERWD (Ernstige
Reken en Wiskunde problemen en
Dyscalculie). De workshop duurt
2 x 2 uur en vindt plaats op de eigen
basisschool of op een locatie van
Stenden Hogeschool. De kosten
bedragen €75 per persoon bij
minimaal zes deelnemers.
Inlichtingen
Lumius
T (058) 244 1550
En het wordt vooral leuker!”
“Ik ben op zoek
naar wat ze wel kunnen,
niet naar een verklaring.”
Ik praat met een optimist…
Borghouts begint te stralen. “Er zit zoveel emotionaliteit rond
rekenen. Vrouwen die zeggen ‘dat doet mijn man altijd’, erg
vind ik dat. Als ik onderzoek doe met kinderen, vinden ze
rekenen op het eind altijd leuk. Ik ben op zoek naar wat ze
wel kunnen, niet naar een ‘verklaring’. Je hebt te dealen met
de mogelijkheden van elk kind. En ieder kind kan beter leren
rekenen”. ■
14
Rekenen gaat niet meer Op Stenden kun je rekenen
15
Het onderwijs is de laatste jaren ingrijpend
veranderd. In de basisscholen hebben het krijtje
en het zwarte schoolbord plaats gemaakt voor
digiborden en computers. Ook het onderwijs op de
pabo’s is veranderd. Competenties zijn niet meer
weg te denken, maar kennis blijft als noodzakelijk
bestanddeel van die competenties onveranderd
belangrijk. Wat opvalt bij een rondgang langs de
pabo’s van Stenden Hogeschool is de prominente
rol van onderzoek en van nieuwe media, ook in het
rekenonderwijs.
Wij nemen u mee op een reis door Noord-Nederland.
In Emmen doen wij een rekeneiland aan. In Assen en
in Emmen wordt gerekend met zout. In Groningen
zien wij hoe het rekenen wordt verbonden met de
directe omgeving van de school. In Meppel hebben
wij een internationale ontmoeting. En in Leeuwarden
worden de hoorcolleges via Youtube gegeven.
Met bijdragen van Rob van ’t Veer, Crista Casu, Henk Stapert, Frits Barth en An te Selle
alleen volgens Bartjens
R E K E N E N O P S T E N D E N
Een koude voorjaarsochtend in
Emmen. Op de parkeerplaats van
Stenden staat de Zoutbus van AKZO.
Ruim honderd tweedejaarsstudenten
van Pabo Assen en Emmen starten
de themaweek ‘De krachtige
leeromgeving’. Gedurende deze week
bereiden zij de grote eindopdracht
‘Rekenen met zoutkristallen’ voor,
een uitdagende rekenochtend
voor respectievelijk 250 Assense,
en 150 Emmense scholieren uit
de groepen 5-6 van basisscholen.
Een hele ochtend lang zijn de
leerlingen enthousiast in de weer
met verschillende activiteiten die
te maken hebben met rekenen en
kristallen.
Rekenen met zoutkristallen,
hoe gek wil je het hebben?
Je moet er even opkomen, maar zo raar
is het niet. Ons woord ‘salaris’ is immers
afgeleid van het Latijnse woord voor
zout: het ‘salarium ‘was oorspronkelijk
het zoutrantsoen dat de Romeinse
soldaten meekregen als ze onderweg
waren. En leg een zoutkristal maar eens
onder de microscoop. Je ziet prachtige
meetkundige vormen.
Het is het vijfde jaar dat Stenden zo’n
rekenochtend organiseert. Vond het
evenement oorspronkelijk alleen in
Assen plaats, het afgelopen jaar werd
het voor het eerst ook in Emmen
georganiseerd. Een uitbreiding naar de
andere locaties van Stenden is voorzien
voor begin 2013.
Rekenen met zoutEen zakje met zout
Rekendocenten Rob van ’t Veer (49)
en Crista Casu (42) hebben het project
samen bedacht. Maar de voorbereiding,
vormgeving en uitvoering zijn helemaal
in handen van de tweedejaars pabo-
studenten, die het project uitvoeren als
onderdeel van het thema ‘De krachtige
leeromgeving’. De studenten openen
de ochtend met een toneelstuk, die de
leerlingen terugbrengt in de Romeinse
tijd. Daarna gaan de leerlingen in
kleine groepjes langs een carrousel van
verschillende activiteiten. Ze verdiepen
zich in de eigenschappen van kristallen.
Zij maken een koepel van vijf- en
zeshoeken. Ze maken zelf modellen van
kristallen met satéprikkers en spekjes.
Ze ontwerpen kunststof kristallen met
de 3D-printer in het geavanceerde
My Concept, het lab van de afdeling
Techniek van Stenden. Zij ontwerpen
een zoutloper en verdiepen zich zo
spelenderwijs in het tijdmeetsysteem.
En in het winkeltje ontwerpen ze een
metriek zoutstelsel om te betalen met
zakjes zout. ‘Dat wordt dan twee zout
en drie decizout’. >
Op Stenden kun je rekenen
Voorbereiding en uitvoering in handen van… … tweedejaars studenten
16
17
De kinderen zijn enthousiast en lijken
de tijd te vergeten. Een leerling vraagt
ongerust: “Wij moesten toch gaan
rekenen, maar wij hebben de hele
morgen nog niet gerekend”.
Rob van ’t Veer: “Ondertussen zijn ze
de hele ochtend met hoeveelheden,
verhoudingen en meten bezig geweest.
Dat maakt het nu zo mooi!”
“Waarom wij dit project doen?
Allereerst omdat wij het zelf zo leuk
vinden. Maar ook om de kinderen te
laten ervaren dat rekenen vooral te
maken heeft met alledaagse dingen.
Wij willen de studenten laten zien hoe
je onderwijs ontwerpt en hoe je een
krachtige leeromgeving creëert. En de
leerkrachten ervaren inspiratie voor
enthousiasmerende en uitdagende
rekenactiviteiten naast de methode”. ■
R E K E N E N O P S T E N D E N
“Routinematige
handelingen leiden
nauwelijks tot
hersenactiviteit”
De zoutbus
Wij hebben de hele morgen nog niet gerekend!
Pabo 3 studenten van de Stenden Pabo in Emmen doen mee
aan een project “Anders leren” op basisschool de Delftlanden
in de gelijknamige wijk van Emmen.
Op een onbewoond Op Stenden kun je rekenen
Wij en
de wereld Techniek
Mens en
Maatschappij Geschiedenis
Natuur
en Milieu
18
breinkraker
Op een feest waren vijftien kinderen: jongens en meisjes.
Toen de helft van de jongens naar huis was gegaan,
bleven er nog tien kinderen over.
Hoeveel jongens en meisjes waren oorspronkelijk op het feest?
Antwoorden op pagina 65
2
In de ochtend worden de basisvaardigheden aangeboden en
hebben de leerlingen individuele leertaken. In de middag gaan
de leerlingen thematisch werken.
Er zijn verschillende eilanden waaruit de leerlingen mogen
kiezen. Zo is er een rekeneiland, een taaleiland, een
wereldeiland, een moet-je-doen-eiland, een natuureiland
en een ontdekeiland. Op die eilanden gaan de kinderen zelf
dingen ontdekken. De leerkrachten coachen de leerlingen in
de verschillende eilanden. De resultaten van het leerproces en
de leeropbrengsten krijgen een plaats in het portfolio van de
leerling.
Boeiend onderwijs voor avontuurlijke kinderen
Basisschool de Delftlanden wil boeiend onderwijs bieden voor
avontuurlijke kinderen!
In het rekeneiland wordt de leerlingen een rijke leeromgeving
aangeboden. De leerkracht is hierbij de coach die de
leerlingen in hun leerproces begeleidt, waarbij ontdekkend
leren, samenwerken en verantwoordelijkheid belangrijke
uitgangspunten zijn.
Binnen de thema’s ontwerpen de studenten rekenactiviteiten
voor de groepen 3 tot en met 8. Gedurende het jaar komen de
volgende thema’s aan bod:
• Wij en de wereld
• Techniek
• Mens en Maatschappij
• Natuur en Milieu
• Geschiedenis
Een voorbeeld. Binnen het thema ‘Wij
en de wereld’ werkt groep 3 aan het
onderwerp Emmen. Er is post voor de
leerling, maar de postbode weet de weg
niet. De leerling ontwerpt een routekaart
voor de postbode. De routekaart wordt
gepost in een speciale brievenbus op school. Als de leerling
een juiste route heeft getekend, ontvangt die een kaart van de
postbode. ■
R E K E N E N O P S T E N D E N
(reken)eiland…
19
20
‘De wereld als speelveld’, dat
is een van de thema’s uit het
eerste jaar van de Pabo’s van
Stenden. Als onderdeel van
dat thema krijgen studenten
de opdracht om geïntegreerde
lessen te geven over
Wereldoriëntatie en Rekenen.
Daarbij moeten zij zo veel
mogelijk werken aan de hand
van de leerlijnen voor meten en
meetkunde.
Voor de kinderen op de stageschool
kan dat resulteren in een opdracht als
deze.
Zo’n opdracht is ook voor de
studenten geen gesneden koek,
legt docent Henk Stapert (58) uit.
De eerstejaars krijgen daarom van
de docenten Rekenen, Wiskunde
en Didactiek een practicum om
hun inspiratie te geven voor
omgevingsgerichte opdrachten, om
zelf te oefenen met de bijbehorende
rekenvaardigheden en om na te
denken over de didactiek.
De studenten krijgen natuurlijk
opdrachten die op hun niveau liggen.
Henk Stapert en zijn collega’s zochten
voorbeelden in de directe omgeving >
Op Stenden kun je rekenen
?
Hoe hoog is deze boom?
Reken uit op twee manieren en
leg beide manieren uit.
Buiten rekenen
21
van de school. Hiernaast drie
voorbeelden uit de binnenstad van
Groningen.
Wat hebben de studenten nu van dit
practicum geleerd? Henk Stapert komt
bijna vingers te kort om de redenen
op te sommen: “Zij hebben geleerd
dat rekenen op straat ligt en dat het
hartstikke leuk kan zijn als je niet
alleen maar uit het rekenboek rekent.
Zij hebben vooral ook leren nadenken,
zij hebben naar hun omgeving leren
kijken door een meetkundebril en zij
hebben geleerd om de juiste vragen
te stellen. Zij hebben zich gerealiseerd
dat je rekenen ook nodig hebt bij
bijvoorbeeld biologie (de hoogte
van een boom) en aardrijkskunde
(plaatsbepaling).” ■
één ton?
m2
Hoeveel zakken van
25 kg potaarde passen
er in deze pot?
Wat kost het schoonmaken
van de ramen van
deze uitbouw van de
Remonstrantse kerk.
De glazenwasser moet een
offerte maken. Help hem mee.
Hij wil € 1,00 per vierkante
meter verdienen.
Als je deze ton vol
zou gooien met
1-euromunten,
zou deze afvalton
dan € 100.000 kunnen
bevatten?25
R E K E N E N O P S T E N D E N
22
Zes nationaliteiten
Er heerst een zinderende sfeer. Wij horen
veel verschillende talen, hoewel Engels
de voertaal is. Meer dan vijftig studenten
uit Turkije, Polen, Zweden, Denemarken,
Duitsland en Nederland zijn op
dinsdagochtend gestart met twee weken
leren van en met elkaar. Leren over
onderwijs en ontwerpen van onderwijs.
Onderwijs waarbij het verbindende
element naast “Math” (wiskunde), het
European Railway System is en waarbij
het gaat om het oplossen en ontwerpen
van grotere reken-wiskundige problemen.
Onderwijs ontwerpen en uitvoeren
De eerste week zijn de studenten
hoofdzakelijk in en om Pabo Meppel aan
het werk. Hierbij wordt er samengewerkt
in verschillende samenstellingen en
verschillende nationaliteiten, tijdens
hoor- en werkcolleges. Elk dagdeel
laat een reken- of wiskundedocent
uit een van de landen de studenten
kennismaken met zijn of haar
expertise, steeds in relatie met het
ontwerpen van onderwijs dat in de
tweede week centraal staat. Op de
eerste donderdagmiddag maken de
studenten kennis met de school en de
groep waar ze in de tweede week les
gaan geven. Zodoende kunnen ze met
een eerste beeld van een school/groep
kinderen in Nederland starten met het
ontwerpen van onderwijs.
De studenten uit de verschillende
landen gaan samen rekenonderwijs
maken en dat gedurende drie dagen
uitvoeren, zodat er tijd is om een en
ander te optimaliseren. Er is steeds
gekozen voor groepen van zes om
zodoende alle landen samen te laten
smelten. Voor het lesgeven splitsten
deze groepen zich op in drietallen.
Op deze manier is er nadien een goede
uitwisseling van praktijkervaringen
mogelijk. Verschillende scholen
in en om Meppel verlenen hun
medewerking. Voor de studenten
een mooie ervaring, maar voor de >
Internationale Pabo
In samenwerking met partners uit Zweden,
Denemarken en Noorwegen heeft
Pabo Meppel een nieuwe specialisatie
ontwikkeld: ‘Leraar basisonderwijs,
Specialisatie Internationaal’. Een Europese
primeur.
Deze studie wordt sinds september
2012 aangeboden onder de naam ITEPS
(International Teacher Education for
Primary Schools). ITEPS richt zich in
het bijzonder op de vaardigheden en
uitdagingen die horen bij het werken op
een internationale school, maar leidt even
zo goed op voor het reguliere Nederlandse
diploma Leraar Basisonderwijs.
De opleiding werkt met onderdelen van
de belangrijkste lesprogramma’s die in
internationale scholen worden gebruikt
en besteedt uitgebreid aandacht aan het
wereldburgerschap en het lesgeven in
een multiculturele klas. Onderwijservaring
doen de studenten niet alleen op in
Nederlandse scholen, maar ook in
geselecteerde, internationale scholen in
het buitenland.
De studenten zijn verplicht een half
jaar onderwijs te volgen bij een van de
partners in Scandinavië, waar ook stages
worden gelopen. De voertaal is Engels.
Met deze specialisatie speelt Stenden in
op de toenemende vraag uit het werkveld
naar internationale leraren. Voor meer
informatie kijk op: www.iteps.eu.
Internationale rekenaars zetten NS op het goede spoor
Op Stenden kun je rekenen
Internationalisering is niet meer weg te denken uit het hoger
onderwijs. Voor Stenden hogeschool is internationalisering een
speerpunt, ook voor de pabo’s. Sommige studenten lopen zelfs stage
in een township in Zuid-Afrika. De Pabo uit Meppel doet regelmatig
mee aan internationale uitwisselingsprojecten.
Het is voorjaar 2012. In de mooie, natuurlijke tuin van Pabo Meppel
zitten de ooievaars al weer op hun post. Wij nemen een kijkje binnen.
222
u t ee a de a de de stude te
R E K E N E N O P S T E N D E N 23
kinderen en hun leerkracht is het
spannend. Ze krijgen immers les in het
Engels en gaan werken aan een groot
rekenprobleem.
“Wij hebben genoten van de
ontdekkingen die ze deden”
Rekendocent Douwe-Jan Douwes
van Stenden vertelt hoe hij het
ervaren heeft: “Wij hebben genoten
van het leren van de studenten,
van de ontdekkingen die ze deden.
Studenten hebben genoten van elkaar,
van de verschillen binnen onderwijs
in de diverse landen. Kinderen
hebben genoten van het werken
aan grote wiskundige problemen in
tweetallen en dan ook nog in het
Engels. Leerkrachten in het basis- en
voortgezet onderwijs hebben genoten
van de motivatie om zich in het Engels
proberen uit te drukken en van de
intensiteit van het oplossen van de
voorgelegde problemen.”
Organisator An te Selle noemt
het een groot succes. “Wij gaan
vaker meedoen aan zo’n Intensive
Programme, zoals zo’n Europese
uitwisseling heet. Volgend jaar gaan
wij met een groep studenten uit
Meppel naar Nürnberg.” ■
Samenwerken over
grenzen heen
24
In zijn lessen Rekenen-wiskunde& didactiek aan de Stenden
pabo’s van Leeuwarden, Groningen en Emmen maakt Frits
Barth (62) regelmatig gebruik van digitale media. Zo geeft hij
een aantal van zijn hoorcolleges vorm via korte videoclips, die
op Youtube te bekijken zijn.
Waarom geef je die hoorcolleges niet gewoon in de collegezaal?
“Tot ruim vijf jaar geleden deed ik dat op die manier, maar er
kwamen vanwege roosterproblemen vaak weinig studenten
opdagen en dat werd mede voor mij de aanleiding om te gaan
experimenteren met een digitaal informatieaanbod. Ik zie
enorm veel mogelijkheden op dat gebied en daarnaast heeft
het leren door mensen binnen en buiten de schoolmuren - in
het bijzonder dat door kinderen - me altijd gefascineerd. Wat
is er mooier dan het observeren hoe mensen nieuwe kennis en
vaardigheden opdoen en gaan gebruiken? Zeker wanneer dat
gebeurt met behulp van digitale media.”
Maar waarom videoclips op Youtube, leren ze daar iets van? je
hebt zo toch geen contact met je studenten?
“Leren is een complex proces en kan op allerlei manieren en
met behulp van diverse middelen. Als je een college aan een
grote groep studenten in de zaal geeft, is er nog enige, zij het
beperkte interactie tussen docent en studenten mogelijk. Die
interactie is er niet bij het bekijken van een clip. Het bekijken
van zo’n clip doe je meestal in je eentje en het voordeel is dan
wel dat je je veel beter kunt concentreren op wat je ziet en
hoort. Daarnaast kun je zo’n clip bekijken wanneer jij dat wilt
en ook nog meer dan één keer”.
Maar tijdens een college kun je vragen stellen, dat kan niet bij
een videoclip.
“Dat is waar, maar in het geval van videoclips kunnen de
studenten die vragen stellen tijdens de werkcolleges en
practica, die ze daarnaast krijgen. Verder stel ik zelf in een clip
soms een of meer vragen aan de studenten om ze tot nadenken
te stemmen. Komen ze er dan nog niet uit, dan kunnen ze me
altijd nog even individueel vragen stellen”.
Hoe zien die clips er dan uit, krijgen de studenten een docent in
beeld die, staande voor een bord, uitleg geeft?
“Ik maak presentaties in Prezi, die ik als ‘screen-recordings’
opneem, waarna ik mijn tekst als een voice-over bij de beelden
inspreek. Die presentaties bevatten PowerPointachtige dia’s,
maar ook videofragmenten van basisschoolsituaties. Ik heb er
voor gekozen om zelf niet in beeld te komen, dat heeft mijns
inziens geen meerwaarde en bovendien maakt het de clips
onnodig groot qua bestandsgrootte. Als voorbeeld wil ik de clip
over handelingsgericht werken1) noemen, daarin geef ik uitleg
over de aanpak van handelingsgericht werken zoals die in het
Protocol ernstige reken-wiskundeproblemen en dyscalculie2)
wordt beschreven.”
Dus geen hoorcolleges meer in een zaal en alleen nog maar
clips op Youtube?
“Nee, zeker niet! Ik geloof in een veelkleurig palet als het
gaat om het onderwijzen en leren. Dat houdt dat het leren
en onderwijzen met behulp van videoclips slechts één van >
Rekenen op YoutubeOp Stenden kun je rekenen
Reacties van studenten
‘Ik vond de fi lmpjes echt fantastisch!’
‘De fi lmpjes waren helder en duidelijk.
Ik heb daar veel van geleerd.’
Frits Barth
25R E K E N E N O P S T E N D E N
veel mogelijke aanpakken is. Denk bijvoorbeeld maar aan
probleemgestuurd onderwijs en projectonderwijs, het zijn
onderwijsvormen die op Stenden veelvuldig worden toegepast.”
Niet onbelangrijk: wat vinden de studenten van het leren met
behulp van videoclips?
“Zo lang ik deze aanpak hanteer, heb ik iedere keer de
studenten in een enquête gevraagd naar hun ervaringen en
iedere keer waren die overwegend positief.”
Kun je daar iets meer over vertellen?
“De studenten gaven de laatste keer, in april van dit jaar, aan
dat ze zeer tevreden waren over de presentaties via Youtube.
Op de vraag wat ze liever willen, hoorcolleges in de collegezaal
of de inhoud van die colleges in videoclips op Youtube, geeft
ruim 80 % van de respondenten aan de laatste mogelijkheid
te prefereren. Ruim 80 % van deze studenten gaf ook aan
dat de inhoud van de clips zeer helder gepresenteerd werd.
Gevraagd naar een cijfer voor de module gaf ruim 60 % van de
respondenten een 8.”
Is dit de toekomst?
“Een dergelijke uitkomst geeft me vertrouwen om op deze voet
voort te gaan, niet als dé weg naar goed onderwijs, maar als één
van de vele wegen die daarheen leiden. Dit experimenteren met
andere onderwijsleervormen motiveert me enorm. Eigenlijk ben ik
mijn hele loopbaan al bezig met het ontwerpen en onderzoeken
van onderwijsleersituaties en leeromgevingen. Daarbij hanteer
ik altijd als stelregels dat ten eerste dit experimenteren nooit
ten koste van de studenten mag gaan en ten tweede dat ik hun
inbreng en commentaar op de vernieuwingen altijd uiterst serieus
neem. Ik merk ook dat mijn professionaliteit groeit door deze
onderzoekende houding. Ik houd mijn studenten dan ook voor
dat zij later ook hun onderwijs moeten blijven vernieuwen. Dat
motiveert jezelf, het houdt je scherp en het draagt sterk bij aan je
professionele ontwikkeling.
Een simpel advies is verder: kijk goed naar (het leren van)
kinderen, ik ben nog regelmatig verbaasd over wat kinderen
ook op vroege leeftijd al kunnen en kennen. Zo startte ik laatst
voor de anderhalf jaar oude Norah een telspelletje op de iPad.
Ze heeft nog weinig tot geen idee van hoe het tellen in zijn
werk gaat, maar ik stond versteld van de snelheid waarmee ze
zich de niet heel eenvoudige bediening van het spelletje eigen
maakte. Na één keer voordoen, pakte ze dat direct op.
Juist zulk soort onverwachte (re)acties maken het fenomeen
leren zo geweldig interessant. Als ik die interesse kan losmaken
bij studenten is dat een prachtig resultaat, dat naast de andere
beroepsvaardigheden, bijdraagt aan hun ontwikkeling van
student tot refl ectieve leraar.” ■
1) RW&D 3.3-3.D. Handelingsgericht werken: www.youtube.com/watch?v=QQ-S640dCzM2) Groenestijn, M. van, C. Borghouts & C. Jansen (2011). Protocol ernstige Rekenwiskunde- problemen en dyscalculie. Assen: Van Gorcum.
Reacties van studenten
‘Het is fi jn dat je tijdens de clips zelf kan bepalen welk onderdeel je wel beluistert
en welk onderdeel je over kan slaan omdat je het bijvoorbeeld al weet.’
26
InleidingDe post-HBO opleiding tot coördinator rekenen is een product van Het Landelijk Platform Nascholing Primair Onderwijs (LPNPO). Deze gecertifi ceerde opleiding is door een landelijke werkgroep in samenwerking met het Freudenthal Institute for Science en Mathematics Education (FIsme) ontwikkeld. De opleiding is in 2011 geactualiseerd en gereviseerd. Naast de bestaande inhouden als didactiek en leerlijnen van reken-wiskundeonderwijs sluit de opleiding nu ook aan op actuele ontwikkelingen als:
• de referentieniveaus rekenen;
• resultaatgericht werken, rekenbeleidsplannen en rekenverbetertrajecten;
• rekenen in de een-zorgroute (handelingsgericht werken);
• het protocol Ernstige Reken-WiskundeProblemen en Dyscalculie (ERWD).
DoelDe post-HBO opleiding tot coördinator rekenen heeft tot doel leerkrachten te scholen voor de taak van coördinator rekenen in de eigen basisschool of op bovenschools niveau. Een coördinator bewaakt en bevordert de inhoudelijke kwaliteit van het onderwijs in reken-wiskunde. Door een van de teamleden deze taak te laten vervullen – en de opleiding te laten volgen – komt het reken-wiskundeonderwijs op een hoger niveau.
In de opleiding is veel aandacht voor taken als:
• het ondersteunen van collega’s in hun dagelijkse onderwijs bij het realiseren van interactief, rijk en uitdagend rekenen-wiskundeonderwijs;
• het informeren van collega’s over de nieuwste ontwikkelingen, ideeën en materialen;
• het initiëren en medevormgeven van kwaliteitszorg en schoolbeleid op het gebied van het onderwijs in rekenen-wiskunde;
• het enthousiasmeren van collega’s voor het vak rekenen/wiskunde;
• het onderzoeken en stimuleren van resultaatgerichtheid van het rekenonderwijs.
InhoudAl tijdens de opleiding werkt de deelnemer aan de verbetering van de kwaliteit van het reken-wiskundeonderwijs op de eigen school. Vandaar dat de betrokkenheid van de schoolleiding van belang is. Ook voert de deelnemer activiteiten uit in de eigen school die horen bij de taak. De deelnemers ontwikkelen zich als coördinator rekenen op de volgende terreinen:
• gecijferdheid;
• vakdidactiek;
• collegiale consultatie;
• onderzoek en ontwikkeling van rekenbeleid.
In de eerste helft van de opleiding ligt de nadruk op ontwikkeling van de persoonlijke competenties. Interactieve presentaties, practica en praktijkopdrachten zijn gericht op versterking van de eigen gecijferdheid en verdieping van de vakdidactische kennis
en vaardigheden. Een centrale vraag is steeds: hoe pas ik het geleerde toe in mijn eigen school?In de tweede helft van de opleiding blijven gecijferdheid en vakdidactiek belangrijke pijlers van de opleiding, maar nu meer in relatie tot collegiale consultatie en rekenbeleid. De aandacht verschuift naar de ontwikkeling van de gehele school. Centrale vragen zijn dan:
• wat hebben mijn collega´s nodig om hun rekenonderwijs te verbeteren?
• hoe kan ik hen ondersteunen?
• hoe enthousiasmeer ik mijn team voor rekenwiskunde-onderwijs?
• hoe zet ik onderzoek in om vragen naar bijvoorbeeld verhoging van resultaat te kunnen beantwoorden?
• hoe komen we als school tot een helder rekenbeleid?
StudiebelastingDeze post-HBO opleiding heeft een belasting van 200 studiebelastingsuren. De studiebelasting is onder te verdelen in:
• 50 uur contacttijd;
• 150 uur zelfstudie, portfolio en praktijkopdrachten.Naast het bijwonen van de 15 bijeenkomsten moeten er ook huiswerkopdrachten uitgevoerd worden.
DuurDe opleiding duurt 1½ jaar. De 15 bijeenkomsten worden ongeveer eens per maand gepland. In overleg kan er een aanpassing gemaakt worden in de tijdstippen van de contacttijd. De 15 bijeenkomsten kunnen ook aangeboden worden in 8 studiedagen.
KostenDe kosten van de opleiding zijn € 2.195,- per persoon. Als een schoolbestuur een groep deelnemers aanmeldt, kan de opleiding tegen een gereduceerd tarief worden aangeboden.
AfrondingElke deelnemer bouwt een portfolio op met uitwerkingen van praktijkopdrachten en ontwikkeling van het rekenonderwijs op de eigen school. Het portfolio en de feedback van de docent(en) dienen als basis voor de assessments. Hierin toont de deelnemer de eigen ontwikkeling op het terrein van de specifi eke competenties aan.
ContactgegevensLumiusPostbus 12988900 CG LeeuwardenT (058) 244 1550E [email protected] www.lumius.nl
27R E K E N E N O P S T E N D E N
Rekencoördinator
Woensdagmiddag op basisschool
Op ‘e hichte (Op de hoogte) in
Scharnegoutum, onder de rook van
Sneek. De school is uit. In de hal
staan de werkjes voor Moederdag
te wachten. In de bibliotheek
annex personeelskamer tref ik
Wil Oonk, eindredacteur van de
wiskundemethode Rekenen-
wiskunde in de praktijk voor de
pabo en Frits Barth, rekendocent bij
Stenden en een van de tien auteurs
van de boekenserie. Zij hebben
‘s ochtends fi lmopnames gemaakt
tijdens de rekenlessen. Wat hebben
rekendidactiek en video met elkaar
te maken?
Goed rekenonderwijs begint
Dertig kerninzichten
Het heeft alles te maken met de opzet
van de methode Rekenen-wiskunde in de
praktijk. Opleidingen die deze methode
gebruiken, hebben naast de boeken de
beschikking over een grote hoeveelheid
fi lmpjes. Studenten ontdekken op die
manier hoe kinderen op de basisschool
leren en welke rol hun leraar daarbij
speelt. Er zijn inmiddels drie boeken
in gebruik: een boek voor het reken-
wiskundeonderwijs van de onderbouw
en van de bovenbouw en het boek
Kerninzichten. In het laatstgenoemde
boek wordt in dertig kerninzichten
beschreven wat de belangrijkste inzichten
zijn die leerlingen van de basisschool
moeten verwerven. Een boek over
handelingsgericht werken is in de maak.
Oonk: “ Wij gaan letterlijk uit van de
praktijk door opnames van het reken-
wiskundeonderwijs als uitgangspunt
voor refl ectie te gebruiken. Hoe zorg
Wil Oonk
28
Wil Oonk (1940) was leraar
basisonderwijs, docent wiskunde
in het voorgezet onderwijs,
pabodocent en cursusleider van
een parttime lerarenopleiding
voor wiskunde. Hij promoveerde
in 2009 aan de Universiteit van
Leiden op het onderwerp ‘Met
theorie verrijkte praktijkkennis
in de lerarenopleiding voor
het vak rekenen-wiskunde &
didactiek’. Tegenwoordig is
hij gastonderzoeker aan het
Freudenthal Instituut en geeft
mede leiding aan een landelijke
opleidersgroep. Wil Oonk is
coauteur van Reken Vaardig en
redactielid van het tijdschrift
Reken-wiskundeonderwijs:
onderzoek, ontwikkeling, praktijk.
met kijken naar kinderen
je er nu voor dat kinderen die dertig
kerninzichten verwerven, bijvoorbeeld
het inzicht hoe je handig referentiematen
bij het meten kunt gebruiken? De
manier waarop dat gebeurt en de theorie
erachter, hangen wij op aan de praktijk.
Beelden van de onderwijspraktijk zijn
daarbij essentieel. Als je het boek
gebruikt, krijg je een voucher die je
toegang verschaft tot de website met de
videoclips.”
Barth: “Die clips kunnen op diverse
manieren in het opleidingsonderwijs
worden ingezet, onder meer als startpunt
van een onderwerp. Een voorbeeld: In een
clip over procenten als gestandaardiseerde
verhouding komt een leerling in beeld
die verschillende procentopgaven oplost.
Aan die beelden is veel te ontdekken voor
studenten: wat moet je als leerling weten
en beheersen om deze opgaven te kunnen
oplossen? Hoe presteert deze leerling bij
die opgaven, etc. Een dergelijke clip kan
dan ook veel leeractiviteiten bij studenten
oproepen.”
’Theorie beklijft door praktijkverhalen’
Kenmerkend voor de methode is dat de
theorie is opgehangen aan de praktijk.
“Met theorie verrijkte praktijkkennis”,
noemt Oonk dat. “In onze boeken
wordt de theorie vertegenwoordigd
door lijsten met theoretische begrippen.
Die begrippen komen terug in de
praktijkvoorbeelden en onze refl ecties
daarop, in de kantlijn en in de index van
de boeken; verder ook in de peilingen,
aan het begin en aan het einde van elk
hoofdstuk. De beginpeiling is bedoeld
om studenten meteen ervan bewust te
maken om welke theoretische begrippen
het in dat hoofdstuk gaat. Er wordt hun
dan bijvoorbeeld gevraagd: “Weet je
wat ‘ankerpunt’ betekent en kun je er
een praktijkverhaal bij vertellen?” Bij de
eindpeiling moeten ze aangeven of dat
begrip hun beter bekend is geworden en of
zij er een praktijkverhaal bij kunnen vertel-
len waarin het begrip betekenis krijgt. >
R E K E N E N O P S T E N D E N
Vincent, een leerling uit groep 4 die hoog
scoort in het Cito-leerlingvolgsysteem,
wordt gevraagd het aantal puzzelstukjes
te berekenen van een puzzel van 6 bij 7
stukjes.
V = Vincent
I = Interviewer
V: (Leest de opdracht voor) Uit hoeveel stukjes
bestaat de puzzel?
I: Vertel maar en denk maar hardop.
V: Ik doe eerst deze rand, dat zijn er 6 en deze
rand, dat zijn er 7, dus dan doe ik 7x6......
I: Hoeveel komt daar uit?
V: Eh...doe ik eerst 5x6...weet ik... en dan doe ik
eerst 5x7 die is makkelijker, dan kom je eerder bij
6x7 ...dan doe ik eerst 6x5 wel...en dat is 30 plus
dan nog 5...en dan kom je uit op 35...en dan doe
ik er nog...eh...7 bij...en dan kom je uit op...eh...
tweeën...eh...42.
Als de interviewer daarna vraagt waarom je al-
leen maar de randen (van 7 en 6 stukjes) hoeft
te gebruiken om te weten hoeveel stukjes de
hele puzzel bevat, wijst Vincent onmiddellijk één
voor één de 7 rijen van 6 stukjes in de puzzel
aan als verklaring.
De praktijksituatie van maar enkele minuten
is uitdagend en leerzaam voor studenten in
meerdere opzichten. Ze worden onder andere
uitgedaagd de simpel lijkende maar niet zo
eenvoudige redeneringen van Vincent te volgen
door gerichte observatie en ook om ken-
nis, inzichten en vaardigheden van Vincent te
plaatsen op een leerlijn. Ze maken kennis met
vraagtechnieken en er wordt van hen verwacht
dat ze vermoedens kunnen uitspreken over
een (hypothetisch) leertraject voor Vincent. Zo
te zien gaat hij bijvoorbeeld fl exibel om met
rekenstrategieën, maar kan hij kennelijk de tafels
van vermenigvuldiging – in ieder geval die van
zes – nog niet memoriseren. Het is een vaak
voorkomend verschijnsel: goede rekenaars
zoals Vincent die allerlei strategieën kunnen
toepassen, ook bij grotere vermenigvuldi-
gingen, maar de tafels nog onvoldoende
kennen, tegenover sommige zwakke reke-
naars die de tafels van vermenigvuldiging
feilloos beheersen maar niet in staat zijn die
in te zetten bij het handig rekenen. Uiter-
aard is het streven dat leerlingen zowel het
memoriseren als het handig rekenen op het
voor hen hoogste niveau leren beheersen.
Als deze praktijksituatie van Vincent onder
goede leiding bediscussieërd wordt met
studenten, kan het een ‘praktijkverhaal’
voor hen opleveren waarin de hiervoor
genoemde theorie kan beklijven; het zal
leiden tot het verwerven van ‘met theorie
verrijkte praktijkkennis’.
Praktijksituatie
29
Frits Barth (62), rekendocent bij de Opleiding
tot Leraar basisonderwijs van Stenden
Hogeschool in Leeuwarden en mede-opsteller
van de Kennisbasis Rekenen en Wiskunde, is
een van de auteurs van Rekenen-wiskunde in
de praktijk. Dictafoon en videocamera behoren
tot zijn standaarduitrusting. Hij heeft niet
alleen tientallen opnames voor de methode
gemaakt, maar biedt ook een deel van zijn eigen
hoorcolleges in de vorm van Youtubefi lmpjes aan
zijn studenten aan.
Oplossingsmethoden tot 100 (6:55 min)
Deze clip laat de oplossingsmethoden voor het
optellen en aftrekken tot 100 zien.
http://www.youtube.com/watch?v=NszdM1lYeFE
Diagnostisch gesprek (4:37 min)
Een korte toelichting op de vorm en inhoud van
een diagnostisch gesprek met een voorbeeld van
een diagnostische toets uit Maatwerk Rekenen.
http://www.youtube.com/watch?v=4UPVvRXSK6Q
Handelingsgericht werken (4:12 min)
In deze clip wordt in het kader van handelings-
gericht begeleiden het handelingsmodel uit het
Protocol ERWD besproken.
http://www.youtube.com/watch?v=QQ-
S640dCzM
Dat geeft henzelf een idee van ‘ik ben
verder gekomen. Ik weet nu meer’.
Uiteindelijk is het de bedoeling dat er een
cognitief netwerk bij die studenten ontstaat
dat de samenhang tussen de begrippen
geeft. Die samenhang ontstaat door de
praktijkverhalen, maar onder andere ook
door de bijbehorende colleges van de
opleider, bijvoorbeeld over de leerlijn tellen
bij jonge kinderen. Die theorie beklijft door
de praktijkverhalen”. Op de bij de boeken
behorende website zijn voor de opleider
lessuggesties, powerpointpresentaties en
uitwerkingen beschreven.
Leren is refl ecteren
De ideeën achter de methode zijn
gebaseerd op het onderzoek dat Wil Oonk
heeft gedaan aan de universiteit Leiden.
Via zijn werk als wiskundedocent op de
pabo van Amsterdam en als ontwikkelaar
en onderzoeker bij onder meer het
toonaangevende Freudenthalinstituut,
raakte hij betrokken bij het MILE-project,
een multimediaproject om de kwaliteit
van de opleiding tot leraar basisonderwijs
te verbeteren. Dat wekte bij hem
nieuwsgierigheid naar de vraag op welke
manier studenten leren en welke rol hun
eigen refl ectie daarbij speelt. “Toen ben ik
gaan onderzoeken hoe studenten theorie
en praktijk verbinden en hoe je hun
vermogen om te refl ecteren kunt meten en
in beeld kunt brengen”.
Veertig jaar nadat hij als onderwijzer
in het basisonderwijs begon, heeft Wil
Oonk een onverminderde passie voor
het basisonderwijs. Hij is ervan overtuigd
dat theorie voor (aanstaande) leraren
basisonderwijs alleen betekenis krijgt
door de koppeling met de praktijk en
dat kennisverwerving begint met kijken
naar kinderen. “Eigenlijk zouden de drie
hoofdvakken op de pabo (taal, rekenen en
onderwijskunde) veel meer samen moeten
werken. Een geïntegreerde aanpak van
theorieverwerving werkt in het voordeel
van vooral ook die vakgebieden. Ook mijn
Refl ectie Analyse Instrument (RAI) kun je
bij de andere vakken toepassen.” ■
breinkraker
30
De broers Alexander en Bernard staan op
2 kilometer afstand van elkaar. Ze wandelen
elkaar tegemoet met een snelheid van 5 km/uur.
Hun hond rent heen en weer van de een naar
de ander met een snelheid van 15 km/uur.
Hoeveel meter heeft de hond afgelegd als de
broers elkaar ontmoeten?
In bedrijf A werken negen personen. Hun
gemiddelde leeftijd is 25 jaar.
In bedrijf B werken elf personen met een
gemiddelde leeftijd van 45 jaar.
Bedrijf A en B fuseren. Niemand wordt
ontslagen. Wat wordt de gemiddelde leeftijd
van het personeel in het nieuwe bedrijf?
3
4
Driehoeksommen5
2
11
9 5
7
14
8
12 9
18
26
15 12 11
9
In de bovenstaande driehoeken worden steeds getallen in
twee cirkels opgeteld en de uitkomst in het tussenliggende
vierkantje gezet. In de eerste is het voorgedaan. Probeer jij
bij de andere driehoeken de cirkels en vierkanten eens te
vullen met de juiste getallen.
Antwoorden op pagina 65
Volgens Bartjens is de combinatie
van een tijdschrift en een website,
vol met informatie en inspiratie voor
reken-wiskundeonderwijs op de
basisschool. Volgens Bartjens is voor
bestemd voor basisschoolleerkrachten,
pabostudenten, schoolbegeleiders,
opleidingsdocenten, onderzoekers en
verder voor iedereen die zich inzet voor
nog beter reken-wiskundeonderwijs
voor kinderen van 4 tot 14 jaar.
Volgens Bartjens wordt uitgegeven
door de Nederlandse Vereniging tot
Ontwikkeling van het Reken-Wiskunde
Onderwijs (NVORWO) en Koninklijke
Van Gorcum BV.
Het tijdschrift
Het tijdschrift Volgens Bartjens biedt
lesideeën en -verslagen, stellingen,
meningen en standpunten, informatie
over lesmaterialen, studiedagen en
actuele ontwikkelingen, puzzels,
raadsels en rekenproblemen, interviews
en columns, onderzoeksresultaten
van vakspecialisten, ervaringen van
pabostudenten.
In Volgens Bartjens vindt u antwoorden
op vragen zoals:
• Hoe ga ik om met verschillen tussen
leerlingen?
• Hoe geef ik interactief onderwijs in een
klas vol verschillende leerlingen?
• Hoe maak ik mijn onderwijs concreet?
• Wat zijn goede computerprogramma’s?
• Kunnen zwakke rekenaars zelf
oplossingsmanieren construeren?
De website
Op de www.volgens-bartjens.nl vindt u
als abonnee, behalve de digitale versie
van het blad:
• een digitaal archief om te zoeken in
oude nummers
• artikeluitbreidingen
• achtergrondinformatie
• lesmateriaal
• agenda met evenementen en
nascholingscursussen
• informatie over de NVORWO
• antwoorden op de puzzels in het blad
• links voor verdere verdieping of
praktische ideeën.
Gratis Rekenkalender 2013 bij een abonnement op Volgens Bartjens
Na de succesvolle introductie in 2012
verschijnt in 2013 weer de Volgens
Bartjens Rekenkalender. Als u nu een
abonnement neemt op Volgens Bartjens
ontvangt u gratis de Rekenkalender!
Profi teer nu van deze actie en vul het
abonneeformulier in op
www.volgens-bartjens.nl en gebruik
de kortingscode STENDEN2012.
Deze actie loopt tot 31 januari 2013
en is niet geldig in combinatie met een
studentenabonnement.
abostudenten. praktische id
R E K E N E N O P S T E N D E N
Volgens BartjensArtikelen en nieuws over de didactiek en praktijk van rekenonderwijs
31
Herkent u dit? U kijkt rijtjes opgaven
van uw kinderen na en merkt dat ze
regelmatig antwoorden geven die
volkomen onlogisch zijn: 36 + 18 = 24
(het antwoord kan nooit lager dan
36 zijn) of 489 – 167 = 522 (het
antwoord kan niet hoger dan 489
zijn). Het lijkt wel of uw kinderen
bewerkingen met getallen uitvoeren,
zonder na te denken!
Rendement verhogen
Als bovenstaand voorbeeld voor u
herkenbaar is, dan bent u niet de
enige. Veel kinderen refl ecteren niet
tijdens het oefenen. Zij beginnen links
bovenaan met een rijtje opgaven en
gaan bijna gedachteloos de opgaven
bij langs. Voor bepaalde aspecten
van het rekenonderwijs, zoals het
automatiseren, is het belangrijk
dat kinderen niet te veel en te lang
nadenken tot ze tot een antwoord
komen. Maar veel van de oefenstof in
methodes is juist bedoeld om kinderen
getalinzicht te laten verwerven en
Minder fouten door vlot te leren rekenen met behulp ván
relaties. Bij dit soort oefenstof is het
belangrijk dat kinderen refl ectief bezig
zijn en na blijven denken. Dat oefenen
is niet gedachteloos maar zit vol met
gedachten: gedachtenvol oefenen.
Gedachtenvol oefenen is een manier
om het rendement van het oefenen te
verhogen. Uit recent hersenonderzoek
blijkt dat routinematige handelingen
nauwelijks leiden tot hersenactiviteit.
Het is dus te verwachten dat leerlingen
die routinematig sommen maken,
zonder verbanden te leggen en
zonder te refl ecteren, weinig zullen
verbeteren door oefenactiviteiten. Dit
‘gedachteloos’ oefenen kan met vrij
eenvoudige middelen omgezet worden
in gedachtenvol oefenen, waarin
kinderen meer bewust zijn, meer
nadenken en meer refl ecteren.
Een voorbeeld: gedachtenvol
oefenen in groep 4
Laten we eens kijken naar een
opgave uit Pluspunt voor groep 4
(afbeelding 1). De oefening komt uit
een fase waarin het belangrijk is dat
kinderen oefenen met de relaties
tussen verschillende tafelproducten.
Het gebruiken van deze relaties is
belangrijk voor het uiteindelijke
automatiseren van de tafels. De
kans is echter groot dat kinderen
de relaties die in deze opgave zitten
niet uit zichzelf zien en dus ook niet
gebruiken. In dit stadium van het leren
van de tafels is dat niet wenselijk. Het
is juist de bedoeling dat er gewerkt
wordt aan de opbouw van een rijk
relatienetwerk dat de kinderen kan
helpen om uiteindelijk vlotter te >
Gedachtenvol oefenenen
Afbeelding 1
“Routinematigexx
handelingen leiden
nauwelijks tot xx
hersenactiviteit”xxxxx
32
gedachtenvol oefenengaan automatiseren en memoriseren.
Juf Gertie vroeg zich af hoe ze
kinderen zélf meer bewust kon
maken van de vele relaties die in deze
oefening verwerkt zitten. Zij koos
voor de volgende opdracht: “Voordat
je deze sommen gaat maken, geef je
sommen die elkaar kunnen helpen
dezelfde kleur. Straks wil ik dat je
kan vertellen hoe die sommen elkaar
kunnen helpen.” Zij formuleert deze
opdracht bewust op deze manier. Zij
verwacht dat haar kinderen zich gaan
oriënteren op de opgave: wat zijn dat
eigenlijk voor opgaven die daar staan?
Welke ken ik al en welke opgaven
weet ik dan eigenlijk ook? Bovendien
weet ze, dat als ze aankondigt dat
kinderen de relaties ook moeten
verwoorden, ze nog meer nadenken
tijdens het zoeken van de relaties.
Gertie verwacht dat haar kinderen
relaties zullen vinden en benoemen
zoals: 4x3 is het dubbele van 2x3,
10x3 het dubbele van 5x3 (eerste
rijtje). In haar voorbereiding ziet
ze zelf dat het tweede rijtje heel
veel mogelijkheden tot het zien en
bespreken van relaties geeft: 5x5 en
3x5 is samen 8x5, 4x5 is de helft van
8x5. Ook hoopt ze dat kinderen de
relatie tussen het eerste (x3) en het
laatste rijtje (x6) zullen ontdekken en
verwoorden.
In afbeelding 2 is representatief
leerlingenwerk te zien. Gertie koos
ervoor om na de bespreking van de
gevonden relaties (gekleurde vakjes)
de kinderen alle opgaven te laten
maken. De antwoorden zijn (dus)
ingevuld na het zoeken en benoemen
van de relaties tussen de verschillende
opgaven.
Opdrachten en resultaten
In een pilot met leerkrachten
binnen het HaVERproject1, zijn
meerdere opdrachten bedacht en
uitgeprobeerd die op eenvoudige
wijze ingezet kunnen worden bij
allerlei oefenrijtjes. Hier ziet u enkele
voorbeeldopdrachten:
• Zoek vier tweetallen sommen die
voor jou bij elkaar horen. Schrijf
op waarom deze sommen bij elkaar
horen. Reken deze uit. >
Afbeelding 2
33R E K E N E N O P S T E N D E N
• Je kunt niet alle sommen af krijgen.
Begin met de rode / groene pen met
de sommen die je makkelijk kunt
maken. Ga, als ik de bel laat horen,
met de blauwe pen verder.
• Schrijf drie makkelijke en drie
moeilijke sommen in je schrift.
Schrijf op waarom je die makkelijk/
moeilijk vindt. Of: vertel aan je
buurkind waarom je die makkelijk/
moeilijk vindt. Reken nu acht
sommen uit in een door jou gekozen
volgorde. (In de nabespreking
interessant om te kijken of er
sommen zijn die het ene kind
makkelijk vindt en een ander kind
moeilijk.)
De leerkrachten van CONOD
(Christelijk Onderwijs Noord en Oost
Drenthe) die aan de ontwikkeling
van deze opdrachten meewerkten,
ontdekten dat hun kinderen bewuster
gingen rekenen, meer gebruik maakten
van relaties en dat het aantal ‘domme’
fouten zoals 36 + 18 = 24 , 489 – 167 = 522
drastisch verminderde.
Verder lezen
In dit dossier over gedachtenvol
oefenen treft u twee artikelen aan die
eerder verschenen zijn in ‘Volgens
Bartjens’, tijdschrift voor reken-
wiskundeonderwijs in de basisschool.
In deze artikelen vindt u nog een
aantal voorbeelden van gedachtenvol
oefenen uitgewerkt. Na ieder artikel
volgt een verslag van een project
waarin Stenden geprobeerd heeft
het basisonderwijs mee te nemen in
deze ontwikkeling. Het sluitstuk van
deze serie over gedachtenvol oefenen
is een interview met Maarten Dolk,
oud-lector van Stenden hogeschool
en mede-ontwikkelaar van het
gedachtenvol oefenen. ■
HaVER staat voor: Handig, Verstandig en Effectief Rekenen. Dit was een project van het Freudenthal Instituut waarin Stenden hogeschool en Hogeschool Helicon meewerkten.
FRANCIEN GARSSEN
breinkrakerHoeveel vierkanten zitten er in het vierkant?6
a. 13
b. 14
c. 19
d. 21
e. 23
Een dóóóóodvermoeide slak7
Er was eens een slak in een diepe put van wel 20 meter gevallen.
Gelukkig had hij zich niet bezeerd, maar hij wou er toch wel heel
graag uit. Elke dag klom hij met veel moeite 3 meter omhoog.
Maar als hij ‘snachts doodmoe in slaap viel, gleed hij ongemerkt
steeds 2 meter naar beneden. Na hoeveel dagen was hij
ééééindelijk uit de put?
Antwoorden op pagina 65
34
In reken-wiskunde boeken staan veel rijtjes met sommen.
Deze rijtjes staan er niet voor niets; ook bij rekenen
is het belangrijk dat kinderen veel oefenen. Maar
hoe worden deze rijtjes vaak gemaakt? Hoeveel leren
kinderen van deze rijtjes, hoe bewust of ‘gedachtenvol’
zijn ze bezig? Gedachtenvol oefenen kan leerlingen meer
ondersteunen. In dit artikel geven de auteurs u ideeën
hoe u de leerlingen eerst kunt laten denken voordat ze
gaan oefenen. De ideeën in dit artikel zijn in het HaVER-
project1) ontstaan en in de klas uitgeprobeerd.
Praktijkervaring
‘Een paar weken geleden was ik in de bouwmarkt voor de aanschaf van 25 rollen glaswol. De glaswol was in de aanbieding. In plaats van €19,99 moest ik nu €18,49 voor een rol betalen. Bovendien had ik een bon uitgeknipt waarmee ik nog eens 15% extra korting kreeg. Bij de servicebalie maakte ik een afspraak voor de bezorging, onze bestelling werd ingevoerd en ik moest €477,25 (incl. €15,00 bezorgkosten) afrekenen. Ik reageerde daarop vrij direct met ‘Dat kan niet’. De jongen die me hielp keek verschrikt op zijn scherm en begon de aantallen te controleren ‘25 rollen, toch?’. Toen ik bevestigend knikte was zijn reactie: ‘Nou, ik heb alles goed ingevoerd, hoor’. Ik vroeg hem even met mij mee te denken. ‘Die glaswol kost normaal bijna 20 euro per rol. Ik koop 25 pakken, dus dat is 500 euro. Als ik 15% bereken, dan zou daar 75 euro afgaan. Dat is 425 en met bezorgkosten kom ik dan op 440 euro. Maar die rollen kosten nu niet eens 20 euro, dus moet het bedrag nog lager zijn dan 440 euro.’ Ik had niet het idee dat de jongen tegenover mij dit verhaal helemaal kon volgen. In ieder geval bleek dat niet uit zijn reactie, want nadat hij nog een tijd naar het computerscherm had gekeken zei hij: ‘Nou, het klopt wel hoor, want ik heb alles goed ingevoerd.’
Gedachtenvol oefenen
Rekenhouding
In een tijd waarin we steeds meer rekenwerk aan computers en rekenmachines overlaten, is het belangrijk om dit gedachtenvol te blijven doen. De jongen uit de bouwmarkt vertrouwde volledig op zijn computer. Kennelijk was hij niet in staat of niet van plan om mijn gedachtegang te volgen want hij bleef volharden in zijn aanpak: ingevoerde gegevens controleren. Als hij de ingevoerde getallen op hun waarde had geschat en beter naar de bewerkingen had gekeken, had hij kunnen ontdekken dat er toch ergens iets fout was gegaan. Dit kritisch kunnen beoordelen van het rekenwerk van een computer of een rekenmachine vraagt om bepaalde inzichten en vaardigheden en om inzet van een relatienetwerk. Het vraagt vooral ook om een bepaalde houding. Een houding waarin je ook naar getallen en bewerkingen kijkt, in plaats van je te beperken tot het uitvoeren van procedures. In dit artikel zullen we ingaan op het bevorderen van een houdingverandering bij het maken van oefenrijtjes. Het gaat daarbij om een houding waarin kinderen eerst naar de getallen kijken en naar de relaties tussen verschillende opgaven, voordat ze antwoorden gaan zoeken. We beschrijven een voorbeeld uit de praktijk waarin geprobeerd wordt om deze verandering bij kinderen te bewerkstelligen. Het bevorderen van deze houdingverandering kan er voor zorgen dat kinderen niet alleen gericht zijn op het vinden van het antwoord van afzonderlijke opgaven. Het helpt kinderen bij het leggen van relaties tussen bewerkingen. Het stelt hen ook in staat om gebruik te maken van deze relaties. >
Gedachtenvol oefenenen
Werken aan een houdingverandering
Aanbieding
€19,99€18,49
35R E K E N E N O P S T E N D E N
Informatie verzamelen over de houding van kinderen
Voor je aan het werk gaat met de houding van kinderen is het belangrijk om hier als leerkracht zicht op te krijgen. Dat kan je doen door goed naar kinderen te luisteren, hen te observeren tijdens hun werk en hen vragen te stellen tijdens het werken. In de groep 8 van juf Anneke verzamelden we houdingsinformatie via een schriftelijke toets. We gaven de kinderen uit Anneke’s groep de opdracht de sommen uit fi guur 1 te maken:
De rijtjes zijn zo samengesteld dat het heel veel mogelijkheden tot handig, verstandig, effectief rekenen geeft. Er staan opgaven tussen die de meeste leerlingen uit groep 8 vrij vlot kunnen maken. Er zijn opgaven waarbij handig rekenen heel voor de hand liggend is, maar er zijn ook opgaven waarbij dit minder het geval is. Er zitten verschillende opgaven in die met dezelfde strategie zijn op te lossen en opgaven die onderling gerelateerd zijn (zoals 80x11 en 80x33). In een volgend nummer zullen we nog verder ingaan op het werken met twee pennen. In dit geval lieten we de twee pennen vooral gebruiken om te onderzoeken of kinderen de opgaven op volgorde, van linksboven naar rechtsonder maakten of niet.
Wat kun je leren van het werk van leerlingen?
Na bestudering van het twee pennenwerk konden we een viertal uitspraken doen over de rekenhouding bij het maken van oefenrijtjes:
1. Het overgrote deel van de kinderen (elf van de vijftien) maakte de opgaven in de aangegeven volgorde. Ze leken niet de tijd en/of de vrijheid te nemen om alle sommen te bekijken voordat ze aan de slag gingen. In ieder geval vertaalden ze dat niet naar een zelfgekozen volgorde van oplossen.
2. Er lijkt onder veel kinderen het beeld van rekenen te bestaan dat je de keus hebt tussen uit je hoofd rekenen of cijferend oplossen. Er werd heel weinig gebruik gemaakt van handig rekenen. Uit een analyse van de uitwerkingen blijkt dat tussenantwoorden nauwelijks werden genoteerd.
3. Vooral de kinderen die de sommen in volgorde hadden opgelost, gebruikten overwegend cijferende aanpakken. Ook een opgave als 25x999 waarin handig rekenen erg voor de hand liggend lijkt, werd door 2/3 van de kinderen cijferend opgelost. De opgaven 80x11 en 100x25 werden soms cijferend uitgerekend maar bij het merendeel van de kinderen ontbrak hierbij een bewerking op papier. Kennelijk zijn deze uit het hoofd uitgerekend. Handige strategieën kwamen sporadisch voor. Van de vier kinderen die de opgaven niet op volgorde hadden opgelost, gebruikten drie kinderen waarschijnlijk handige strategieën. Ze maakten namelijk geen cijferende uitwerkingen maar noteerden ook nauwelijks tussenantwoorden.
4. De kinderen leggen weinig tot geen relaties tussen opgaven. >
Figuur 1
36
Francien Garssen
Elf van de vijftien kinderen legden bijvoorbeeld geen relatie tussen de opgaven 75x484 en 0,75x484. Dit werd onder andere zichtbaar door een volledige cijferende uitwerking van beide opgaven (fi guur 2). Ook na het oplossen van beide opgaven werd er geen verband gelegd. Antwoorden als 75x484 = 36510 en 0,75x484 = 323 bleven ongecorrigeerd naast elkaar staan. Een uitzondering hierop vormt Leo, bij wie het gebruik van de twee pennen goed zichtbaar maakt wat er is gebeurd. Leo rekent eerst 75x484 onder elkaar uit. Hierbij maakt hij een notatiefout. Hij schrijft 42 in plaats van 24. Daardoor komt hij op een verkeerd antwoord. Later maakt hij (met een groene pen) 0,75x484 door 75x484 opnieuw uit te rekenen. Dit keer zonder notatiefout. Dit is vermoedelijk de aanleiding om het eerdere antwoord te corrigeren.
Hoewel ze een uitzondering vormen zitten er in deze klas ook kinderen die de opgaven niet in een vaste volgorde aanpakken. Er zijn kinderen die de kenmerken van de getallen gebruiken om mee te rekenen. Er zijn ook kinderen die gebruik maken van de relaties tussen verschillende opgaven. En van deze kinderen en van hun aanpak kan je als leerkracht gebruik maken bij het bewerkstelligen van een houdingverandering.
Werken aan een houdingverandering. Een praktijkvoorbeeld
Anneke besluit om de volgende week de kinderen nog eens precies dezelfde opgaven voor te leggen. Ze verandert een paar dingen waarvan ze verwacht dat die de kinderen zullen stimuleren keuzen te maken in de volgorde van oplossen. Om te beginnen heeft ze de opgaven kriskras op het papier gezet, zoals te zien in fi guur 3 (volgende pagina). Ze verwacht dat, nu er geen dwingende structuur in rijtjesvorm aanwezig is, de kinderen eerder de vrijheid zullen nemen om te kiezen met welke opgave ze zullen beginnen.
Verder gebruikt Anneke een driestappen aanpak. Eerst vraagt ze de kinderen naar de opgaven te kijken, dan laat ze de kinderen enkele minuten met de zwarte pen werken en vervolgens maken ze het werk met de groene pen af. Ze verwacht dat de startopdracht ‘Kijk een tijdje naar de opgaven’ de kinderen zal aanzetten om beter naar de sommen te kijken. In de tijd dat de kinderen naar de opgaven kijken, observeert Anneke wat er gebeurt. Ze ziet dat de meeste kinderen heel vluchtig naar het blaadje kijken, sommige kinderen kijken nog even naar de (lege) achterkant en al snel zitten alle kinderen om zich heen te kijken. Als ze ziet dat de kinderen de opgaven niet echt gaan bestuderen vraagt Anneke om de zwarte pen te pakken en te beginnen. Terwijl de kinderen aan het werk zijn, loopt Anneke rond. Ze ziet al snel dat de meeste kinderen nu met de opgave 3x7 beginnen, terwijl deze helemaal onder aan het papier staat. Ze is blij dat de vorm waarin ze de opgaven heeft >
Figuur 2: Eérst met de zwarte pen, daarná met groenFiguur 2: Eérst met de zwarte pen daarná met groen
R E K E N E N O P S T E N D E N 37
gezet kennelijk uitlokt dat niet alle kinderen links bovenin beginnen, maar eerst een makkelijke opgaven maken. Als de snellere leerlingen ongeveer de helft van de sommen hebben gemaakt, geeft Anneke het teken om van pen te wisselen. Na een tijdje vraagt Anneke om de pen neer te leggen. Lang niet alle kinderen hebben dan alle opgaven gemaakt, maar dat vindt Anneke in dit geval niet belangrijk. Zij heeft als doel de kinderen in gesprek te brengen over de volgorde van oplossen en andere keuzes die kinderen hebben gemaakt bij het maken van de opgaven. Doordat de kinderen met twee verschillende kleuren hebben gewerkt, kan Anneke hen de volgende opdracht geven: ‘Ga elkaar in tweetallen uitleggen met welke sommen je bent begonnen, en vooral: waarom met die som?’. Terwijl de kinderen elkaar -met behulp van hun blaadje- vertellen hoe ze tot een bepaalde volgorde zijn gekomen, loopt Anneke rond en luistert naar de gesprekken. Ze leert uit deze gesprekken dat veel kinderen zich hebben laten leiden door de grootte van de getallen; ‘het is gemakkelijker uitrekenen met getallen met twee cijfers dan met drie cijfers’. Een aantal kinderen vertelt dat ze de opgaven met de breuken overslaan omdat ze breuken moeilijk vinden. Anneke hoort
ook een aantal kinderen zeggen dat ze zich door andere kenmerken hebben laten leiden. ‘25x999 dat is eigenlijk gemakkelijk als je eerst 25x1000 doet’ en ‘800x12 lijkt wel moeilijk, maar 8x12 , nou dan weet je dat 2x12 dat is 25 en dan is het eigenlijk 4x25’. Als Anneke het gevoel heeft dat alle kinderen zich bewust zijn geworden van de redenen achter de gekozen volgorde, vindt ze dat het tijd is voor de volgende stap: een klassikale bespreking.
Klassikale bespreking
Ze vraagt de kinderen eerst een aantal opgaven te noemen die ze uit hun hoofd kunnen uitrekenen. Daarna focust Anneke het gesprek al snel op relaties tussen opgaven. Zij haakt in op Theo die inbrengt dat ‘Nou ehh….. 75x484, het antwoord daarvan en 0,75x484 dat is twee nullen minder. Want als je het 10x doet, 0,75 dan heb je 7 en als je het 100x doet is het 75, dus moeten er twee nullen achter.’ Om de andere kinderen te helpen om deze gedachtegang te volgen gebruikt Anneke een projectie van het werkblad op het digitale schoolbord. Ze omcirkelt de opgaven waar Theo naar verwijst en ze trekt een lijn tussen deze twee cirkels. Hiermee wil ze laten zien dat het gesprek gaat over de relatie tussen deze twee opgaven. Vervolgens vraagt ze andere kinderen om in hun eigen woorden te vertellen wat Theo heeft gedacht. ‘Kun jij vertellen wat de gedachte van Theo is, Sarien?’ Sarien: ‘Nou hij heeft 75x484 gedaan en dat is bijna hetzelfde als 0,75x484 maar dan met twee nullen minder’ Anneke laat regelmatig kinderen herhalen wat een ander heeft gezegd of gedacht. Dit doet ze omdat ze het belangrijk vindt dat kinderen goed naar elkaar luisteren. De kinderen in de klas van Anneke weten dit langzamerhand en gaan elkaar daardoor ook vaker vragen stellen. Als je niet begrijpt wat een ander kind vertelt, kun je het immers ook niet navertellen. Nu Theo een relatie tussen verschillende opgaven heeft ingebracht, vraagt Anneke de kinderen om nog eens goed te kijken of ze nog meer opgaven zien die met elkaar te maken hebben. Mark staat te springen om zijn idee te vertellen: ‘Die 100x25 en die 25x999 die hebben eigenlijk met elkaar te maken. Want die 100x25 daar doe je dan een 0 bij en dat is dan 1000x25. En 25x999 dat is alleen maar eh…… 25 meer, nee….mìnder.’ En Annet: ‘Nou, 80x11 en 80x33 want als je 80x11 hebt, dan kan je ook gewoon x3 doen’. Anneke koppelt terug naar de opgave 25x999 door Marks strategie te benoemen. ‘Mark gebruikt 25x1000 om 25x999 uit te rekenen. Hij rekent eerst een beetje teveel uit en doet er dan weer iets van af. Zien jullie meer opgaven die je ook op die manier kunt uitrekenen?’ Anneke stelt telkens vragen die de kinderen weer op een andere manier naar dezelfde opgaven laat kijken. Marion: ‘Je kan 80x11 ook wel zoiets doen want dan doe je 80x10 en dan nog 80 erbij, maar dat doe ik niet zo want ik ken de tafel van 11 gewoon uit mijn hoofd’ Joke: ‘446x51, als je eerst 446x50 doet en dan 446 erbij’. >
38
Figuur 3
Anneke is ook nog benieuwd naar het effect van deze bespreking van een aantal handige strategieën op de kinderen. Ze vraagt daarom of er kinderen zijn die bepaalde opgaven nu anders zouden aanpakken als ze deze nog eens zouden krijgen. Door deze vraag lukt het haar om iets van de rekenhouding van deze kinderen boven tafel te krijgen. Julia weet het wel ‘25x999’. Een aantal kinderen legt uit waarom zij zullen blijven cijferen. Rob: ‘Nou ja, je gaat meestal toch cijferen want dat ben je gewend’ en Annet: ‘Nou, en bij cijferen dan zie je de getallen op papier en je vergeet niet... want heel vaak als je een getal hebt en je schrijft dat niet op, dan vergeet je er weer eentje. Het is heel moeilijk om die getallen, in je hoofd net als op papier te onthouden.’
Terug- en vooruitblik
Anneke heeft een stap gezet om een houdingverandering te bewerkstelligen door: • een situatie te creëren waarin kinderen ervaren dat je niet
altijd bovenaan hoeft te beginnen met rekenen; • kinderen met elkaar over hun aanpakken te laten praten;• een klassikale bespreking te houden waarin alle kinderen
nadachten over relaties tussen opgaven; • kinderen te laten refl ecteren op hun eigen aanpakgedrag
tot nu toe.Ze kan nu bewuster situaties gaan creëren waarin kinderen ontdekken dat er nog een middenweg is tussen uit het hoofd rekenen en cijferen. Ook hebben de kinderen een gemeenschappelijke ervaring waarop Anneke terug kan komen. Zo kan ze nu bijvoorbeeld vragen om uit een rijtje uit het boek twee opgaven te kiezen die je niet-cijferend kan oplossen. In de nabespreking kan ze dan focussen op het noteren van tussenantwoorden. Verder neemt Anneke zich voor om bij oefenen in tabelvorm kinderen opdrachten
te geven die ze meer laten nadenken over de relaties tussen de kolommen en de rijen. Hierbij kan ze terug verwijzen naar de relaties die kinderen zagen tussen de opgaven. Een cultuurverandering is moeilijk en kost veel tijd, maar Anneke heeft met haar groep een stap vooruit gemaakt.
Eerst denken, dan doen
In het HaVER-project zoeken wij naar een aantal eenvoudige opdrachten die leraren bij oefenrijtjes kunnen benutten waarmee het oefenen gedachtenvol wordt. In dit artikel beschreven we hoe je kunt peilen in hoeverre de kinderen in je groep al gedachtenvol oefenen. Gedachtenvol oefenen vraagt om een bepaalde houding. Een houding waarin wordt gedacht voordat wordt gedaan. We lieten in dit artikel zien hoe je de eerste stappen op weg naar gedachtenvol oefenen zou kunnen zetten. ■
Francien Garssen is werkzaam bij Stenden hogeschool
1) HaVER staat voor: Handig, Verstandig en Effectief Rekenen. Dit is een project van het Freudenthal Instituut waaraan ook Stenden hogeschool en Hogeschool Helicon meedoen.
R E K E N E N O P S T E N D E N 39
Sommen maken met twee kleuren
40
Hé meester, als je kijkt naar die som
in het eerste rijtje en die in het tweede,
dan zie je dat het precies dezelfde som is,
maar dan andersom.
Gedachtenvol oefenenen
R E K E N E N O P S T E N D E N 41
Praktijkscholen van Stenden Pabo Meppel ontdekkende kracht van ‘gedachtenvol oefenen’
“Moet je kijken. Sven, leerling
van groep 7, zit te rekenen alsof
hij snoept eet”. Jeroen Wouter,
rekencoördinator op O.B.S. De
Dissel in Ruinerwold wijst naar
een jongen met blosjes op zijn
wangen. Sven, bepaald geen
rekentijger, gaat helemaal op in zijn
rekenopgaven. Dit is leuk! Jeroen
is verrast. Hij heeft vele andere
geluiden over Sven vernomen
in de afgelopen jaren. Sven mag
zelf kiezen met welke som hij
gaat beginnen. Hij maakt eerst de
sommen met een groene pen, en
als de juf haar pieper afgaat, mag
hij verder met een blauwe pen.
Juf Sabrina, student van Pabo
Meppel, vindt het goede antwoord
belangrijk. Ze is echter nog veel
meer geïnteresseerd in de reden
waarom hij met welke sommen is
begonnen en waarom hij bepaalde
sommen makkelijk of juist moeilijk
vindt.
Studenten ervaren gedachtenvol oefenen aan den lijve
Juf Sabrina is één van de dertig
studenten van Pabo Meppel die op
haar praktijkschool intensief met de
kinderen “gedachtenvol oefent”. De
start is tijdens de rekenlessen op de
opleiding gelegd. Daar heeft zij met haar
medestudenten aan den lijve ervaren
hoe je “gedachtenvol” kunt oefenen.
Ze begon net als vele medestudenten
gewoon bovenaan de opgaven één voor
één te maken, ook al luidde de opdracht:
“Maak alleen die sommen waarvan het
antwoord gelijk of meer is dan 1000”.
Er was één medestudent die eerst de
opgaven scande en vervolgens kriskras
de opgaven ging maken. Waarom had
ze dat zelf eigenlijk niet gedaan? Het
zelf ervaren verraste haar en maakte haar
nieuwsgierig naar hoe het kinderen dan
zou vergaan. Zou een groep 4 leerling
anders aan het werk gaan dan een groep
7 leerling? Wat zou er veranderen met het
maken van de rijtjes ‘snel en vlug’, ‘reken
uit’, ‘even handig rekenen’ als je elke
week één of twee keer gedachtenvol gaat
oefenen? Welke relaties gaan kinderen
leggen, wat kun je doen om kinderen naar
de getalswaarde te laten kijken?
Juf, als ik de bovenste som
uitreken,dan hoef ik de rest niet
meer te doen.
Kijk, 2+3=5, 3+3 = 6, 4+3 = 7,
er komt er gewoon steeds een bij.
Opbrengstgericht werken – een project van de PO-raad
In studiejaar 2011-2012 heeft An te
Selle van Pabo Meppel (Stenden) samen
met leerkrachten van O.B.S. Commissaris
Gaarlandt Nijeveen, O.B.S. De Dissel in
Ruinerwold, O.B.S School B in Steenwijk
en O.B.S De Sprinkels in Heerenveen een
module “gedachtenvol oefenen” voor de
pabostudent ontworpen. Het betreft een
vorm van oefenen die leidt tot hogere
opbrengsten. Deze samenwerking is een
project dat wordt gesubsidieerd door de
PO-raad, die op deze wijze de verbinding
tussen opleiding en basisscholen voor
opbrengstgericht werken wil stimuleren.
Met dit project heeft Stenden drie doelen:
• de opbrengsten van het handelen van
de studenten verhogen;
• in bovengenoemde vier basisscholen het
“gedachtenvol oefenen” introduceren;
• alle andere praktijkscholen van de
derde jaarsstudenten informeren over
“gedachtenvol oefenen”.
De nieuw ontworpen module wordt in
het nieuwe curriculum van de Stenden
pabo’s opgenomen en uiteindelijk ook
beschikbaar gesteld voor andere pabo’s in
het land. Op de vier projectscholen wordt
het gedachtenvol oefenen schoolbreed
ingevoerd in het rekenonderwijs. Tot
slot zal ook samen met betrokkenen
en belanghebbenden in het studiejaar
2012-2013 verder gewerkt worden aan
een bronnenboek met interventies die
geschikt zijn om de rijtjes in de methode
‘gedachtenvoller’ te benaderen. Het
bronnenboek bevat ook vragen die
geschikt zijn om te stellen en werkvormen
die aanzetten tot samen leren tijdens het
gedachtenvol oefenen. >
An te Selle
42
Derdejaars studenten als ambassadeurs
Hoewel de kern van het project gevormd
wordt door vier basisscholen die
volgend jaar het gedachtenvol oefenen
schoolbreed gaan invoeren, zijn alle
studenten van het derde studiejaar
van Stenden Pabo Meppel betrokken
bij het project. Zij hebben zich allemaal
vanaf april intensief beziggehouden
met ‘gedachtenvol oefenen’, zowel
in de opleiding als in de praktijk. Het
heeft ogen doen openen. Zoals student
Petra zegt: “Ik denk dat ik uit mezelf
nooit zo met de rijtjes aan de slag was
gegaan”. Petra heeft vijf keer met haar
groep 7 van O.B.S. Het Spectrum in
Hoogeveen gedachtenvol geoefend. Ze
heeft bij de ‘plus- en minrijtjes’ met twee
verschillende pennen laten werken, ze
heeft bij een mix van vermenigvuldigen
en delen de drie makkelijkste sommen en
drie moeilijkste sommen een stip laten
geven en daarna 8 andere sommen laten
maken. Of zoals in het kinderwerk te zien
is, alle sommen laten doorstrepen waarvan
het antwoord kleiner is dan 10. Daarna
hebben de kinderen de andere sommen
gemaakt.
De kinderen in de groep van Petra
gingen verschillend aan het werk. Inciana
zag meteen wanneer een antwoord
kleiner was dan 10, ze keek goed naar
de getallen. Haar klasgenootje Wendy
rekende elke som uit en kwam er dan
achter dat het antwoord kleiner dan 10
was en dus de som doorgestreept mocht
worden.
In de nabespreking geeft Petra Inciana
een beurt. Zij vertelt dat ze ziet dat bij
402 – 397 dat 397 erg dicht bij de 400
ligt, dus dat het antwoord nooit meer dan
10 kan zijn. Daarna geeft Petra de beurt
aan enkele kinderen die de sommen eerst
hadden uitgerekend voodat ze een streep
zetten. “Dit ging goed, ze vertelden
steeds hoe ze aan de getallen konden zien
dat het antwoord nooit hoger dan 10 kon
zijn”.
“Ik ben er trots op dat ik in korte tijd verbetering heb bereikt”
Petra heeft hierna de kinderen
in tweetallen enkele sommen die
uitgerekend zijn, aan elkaar laten
vertellen. Petra is erg trots op de kinderen
en ook op zichzelf.
“Als ik terug kijk op het gedachtenvol
oefenen, ben ik er trots op dat ik in een
korte periode verbetering heb bereikt. De
kinderen kijken ‘gedachtenvoller’ naar de
getallen. Er is natuurlijk nog veel meer uit
te halen, maar er is een begin. Ook mijn
mentor is er helemaal enthousiast over.
En de leerkracht van groep 8, waar de
kinderen volgend schooljaar heen gaan,
heb ik ook ingelicht over het gedachtenvol
oefenen. Ik hoop dat ze er mee verder
gaat.”
Kinderen hebben baat bij gedachtenvol oefenen
Maaike loopt stage in groep 3 op O.B.S.
Het Slingertouw in Heerenveen en heeft
ervaren dat het in deze groep ook prima
mogelijk is om gedachtenvol te oefenen.
Samen met Lisa, die stage loopt in een
andere groep 3 op deze school, heeft
ze vijf keer gedachtenvol oefenen
uitgevoerd.
Maaike over het project: “Het waren
interessante opdrachten, waar ik tijdens
mijn loopbaan veel aan zal hebben. Hoe
je de activiteiten opbouwt en uitvoert.
Na de gegeven les de resultaten bekijken
en evalueren. Hieruit conclusies trekken
voor de volgende keer en daar weer mee
aan de slag gaan. Ik wil in mijn verdere
loopbaan zeker nog veel meer doen met
gedachtenvol oefenen. Ik heb gemerkt
aan een aantal kinderen in de klas dat >
Zo hebben zij de kinderen drie moeilijke
en drie makkelijke sommen laten kiezen.
En ze lieten kinderen met verschillende
kleuren werken op een kriskrasblad en
relaties leggen.
R E K E N E N O P S T E N D E N 43
ze baat hebben bij de verschillende
opdrachten van gedachtenvol oefenen.
Door het maken van deze opdracht heb ik
geleerd dat je goed gaat nadenken over
hoe je het wiskundige aspect het beste
kunt aanpakken. Hierbij houd je rekening
met je doel en de literatuur die je hebt
gebruikt. Aan deze opdracht heb ik met
veel enthousiasme gewerkt”.
Ook de andere studenten zijn ronduit
enthousiast over deze aanpak en geven
aan dat ze zelf nu anders tegen de rijtjes
en het rekenonderwijs aankijken. Allard
Tabak: “Ik kijk nu zelf anders naar de
rijtjes ‘snel en vlug’ en ‘reken uit’. Ik
bereid mijn lessen bewuster voor. Voordien
liet ik kinderen de rijtjes maken en keek ik
het werk na. Waarom komt dit pas in Pabo
3 aan de orde? Ik had dit veel vroeger
willen hebben”
Jeroen Wouter
Basisscholen positief over gedachtenvol oefenen
Het project wordt in de basisscholen
positief onthaald. Jeroen Wouter van
der Vlist, O.B.S. De Dissel, Ruinerwold:
“Eerlijk gezegd was ik eerst sceptisch.
Oh jee, dat komt er ook nog bij. Het
is echter in plaats van. Het is heel
mooi om te zien hoe de verschillende
kinderen rekenen. En uiteindelijk lijkt
het me dat het ook tijdwinst gaat
opleveren! “
Ingrid Bakker, O.B.S. Het Slingertouw
Heerenveen. “Ik zou het fi jn vinden
dat onze basisschool zich het
gedachtenvol oefenen eigen maakt
en dat het onderdeel wordt van ons
rekenonderwijs. Toekomstmuziek is
misschien nog dat het gedachtenvol
oefenen ook in andere vakgebieden
gaat doorwerken”. ■
“Toekomstmuziek is misschien nog dat het gedachtenvol oefenen
ook in andere vakgebieden gaat doorwerken”
44
In reken-wiskunde boeken staan veel rijtjes met sommen.
Deze rijtjes staan er niet voor niets, want bij rekenen
is het belangrijk dat kinderen veel oefenen. Maar
hoe worden deze rijtjes vaak gemaakt? Hoeveel leren
kinderen van deze rijtjes, hoe bewust of ‘gedachtenvol’
zijn ze bezig? Gedachtenvol oefenen kan leerlingen meer
ondersteunen. In dit artikel geven de auteurs u ideeën om
leerlingen éérst te laten denken en dán te laten oefenen.
De ideeën in dit artikel zijn in het HaVER-project1)
ontstaan en in de klas uitgeprobeerd.
Praktijkervaring
Thijs is op de computer aan het oefenen met keersommen
zoals 6 x 14 = 3 x… Hij vraagt Saskia, een stagiaire die in
de klas rondloopt, om hulp: ‘Ik wil een getal vinden,’ zegt
hij, ‘dat keer 3, als uitkomst 84 heeft’. Saskia kijkt naar de
krabbels die Thijs in zijn schrift heeft gemaakt. Ze wacht of
Thijs zelf verder gaat. Als hij stil blijft en hoopvol naar haar
kijkt, zegt ze: ‘Thijs, ik denk dan aan zakjes knikkers. Je hebt
hier 6 zakjes met 14 knikkers. En nu doe ik al die knikkers in
slechts drie zakjes. Dan wil ik weten hoeveel knikkers in elk
zakje zit.’ Thijs kijkt even voor zich uit en mompelt langzaam:
‘3 zakjes, uh… de helft van de zakjes.’ Luider en meer
zelfverzekerd gaat hij verder ‘dus in de zakjes zitten nu twee
keer zoveel knikkers. 6 x 14 is dan uh… hetzelfde als 3 x 28.’
Deze som is gericht op het oefenen van handig rekenen. Als
Thijs zonder deze interventie tot het goede antwoord was
gekomen, hadden we vermoedelijk gedacht dat hij de relatie
tussen 6 x 14 en 3 x 28 doorziet. Hij had echter bijvoorbeeld
6 x 14 kunnen uitrekenen en het antwoord 84 door 3 kunnen
delen. Het gesprekje met Saskia brengt aan het licht dat
hij zich niets bij de opgave voorstelde. Door de zakjes met
knikkers heeft Thijs de relatie tussen de sommen 6 x 14 en 3
x 28 betekenis gegeven en kon hij de opgave maken zonder
veel rekenwerk.
Gedachtenvol oefenen
Relaties inzetten bij handig rekenen
Thijs wilde de opgave via uitrekenen aanpakken. Op zich
een goede aanpak. Het is hier echter niet de meest handige
en het leidt niet tot een verbetering van het getalbegrip. Na
Saskia’s interventie ziet Thijs ook een andere aanpak:
6 zakjes van 14 knikkers, dan heb je de helft van de zakjes,
dus twee keer zoveel knikkers in elk zakje.
Leerlingen kunnen deze strategie ook in andere situaties
inzetten om sommen handig aan te pakken. Neem
bijvoorbeeld de opdracht 2,5 x 14. In eerst instantie vinden
leerlingen het nogal moeilijk om dit handig en snel op te
lossen. Wanneer ze de relatie met 5 x 7 (= 2,5 x 14) leggen, is
deze opgave heel eenvoudig op te lossen is. Eigenlijk gebruikt
Thijs de associatieve eigenschap en het ‘verdubbelen en
halveren’. Je zou zijn denken als volgt kunnen opschrijven:
6 x 14 = (3 x 2) x 14 = 3 x (2 x 14) = 3 x 28. Met ‘verdubbelen
en halveren’ kan je zonder rekenen laten zien dat ‘6 x 14’
en ‘3 x 28’ gelijkwaardig zijn. We hoeven de som niet uit te
rekenen om dit te laten zien. We kunnen op deze manier ook
uitleggen dat (6 x 14) + 3491 gelijkwaardig is met (3 x 28)
+ 3491. Als we de gelijkwaardigheid van de twee objecten
via een redenering zien en niet via het uitrekenen van beide
expressies maken we een stap van rekenen naar algebra.
Handig rekenen vraagt om goed naar getallen te kijken en
relaties tussen de getallen te onderzoeken. Het voorbeeld
van Thijs laat ook zien dat handig rekenen en oefenen goed
samen gaan. In dit artikel gaan we in op een manier om in de
klas aan oefenen te werken en tegelijk over relaties tussen
getallen en relaties tussen bewerkingen na te denken.
Gerichte aandacht voor relaties - het gebruik van minilesjes
Een miniles is een korte gezamenlijke activiteit van ongeveer
10 minuten waarbij kinderen een samenhangende serie
sommen in een redelijk tempo gaan oplossen.
De sommen in een minilesje zijn steeds aan elkaar gerelateerd
doordat ze bijvoorbeeld handig op te lossen zijn met een
bepaalde strategie, of omdat de ene som juist helpt om de
volgende som op te lossen. Deze strategie of handige aanpak
wordt echter niet vooraf aan de kinderen verteld. Het is juist
de bedoeling van een miniles dat kinderen redenen gaan zien
om die strategieën of handige aanpakken te gaan gebruiken
en dat ze uitgelokt worden daarover te gaan praten.
Je maakt dit – als leerkracht – mogelijk door iedere opgave
apart aan de orde te stellen. Na elke som moeten de
leerlingen kunnen uitleggen hoe ze tot het antwoord zijn
gekomen en waarom hun aanpak klopt. Daarom vraag je na
elke som een of twee kinderen te vertellen hoe ze de opgave
hebben opgelost, je noteert deze aanpak van de leerling zo
Gedachtenvol oefenenen
Mini-lesjes en oefenen met relaties tussen sommen
R E K E N E N O P S T E N D E N 45
Fotografi e Jasper Oostlander
inzichtelijk mogelijk op het bord. Je probeert je visualisering
te laten aansluiten bij een (denk)model dat de leerlingen al
eerder hebben ontwikkeld. Deze visualisering helpt aan de
ene kant de aanpak te verantwoorden (doordat de leerlingen
kunnen ‘zien’ waarom het werkt) en tegelijkertijd vormt het
een lage drempel om er met begrip over te praten. Bovendien
worden hiermee de achterliggende relaties die vaak worden
toegepast concreter en zichtbaar gemaakt voor leerlingen die
anders moeilijk mee kunnen doen aan de bespreking. Ook
ondersteunt de visualisering leerlingen om over de relaties
tussen de opgaven na te denken.
Om zo’n interactie te ondersteunen worden de leerlingen
steeds gestimuleerd met het hoofd te rekenen. Ze worden
aangemoedigd op een kladblad aantekeningen te maken
die hun helpen. Natuurlijk kunnen en mogen ze dan een
meer algoritmische aanpak hanteren, maar ze worden ook
gestimuleerd om naar de getallen kijkend een handige aanpak
te gebruiken.
Een praktijk ervaring met een miniles
VoorbereidingKarin, leerkracht in groep 5, had de leerlingen opgaven laten
maken waarbij steeds het verschil gelijk blijft. Denk aan sommen
als 95 – 50; 94 – 49; 93 – 48; 92 – 47; 91 – 46 en 90 - 45.
Tijdens het bekijken van kinderwerk ontdekte ze dat veel
kinderen elke opgave opnieuw hadden uitgerekend. Daarbij
werden ook veel fouten gemaakt. Doordat die leerlingen de
relatie tussen de opgaven niet opmerkten, functioneerden
de eerste en de laatste opgave niet als controle op het totale
rekenwerk. Ze besluit een aantal keren een minilesje te geven
om de relatie tussen zulke opgaven voor het voetlicht te
brengen. Het eerste minilesje ziet er zo uit:
70 - 35
71 - 36
72 - 37
69 - 34
79 - 44
De Miniles
Karin schrijft 70 - 35 op het bord en vraagt de kinderen het
uit te rekenen. Ze hebben al vaker met een minilesje gewerkt
en weten dat het helpt als ze eerst naar de getallen kijken.
Ze weten ook dat ze het probleem op een voor hen handige
manier mogen aanpakken. Ze maken op papier notities, ze
moeten straks namelijk wel kunnen vertellen hoe ze het
opgelost hebben. Dit noteren hoeft echter niet netjes, het
gaat er immers om dat ze het straks zelf nog weten. Het gaat
er ook om dat ze niet alles in het hoofd hoeven uit te rekenen.
Tussenresultaten mogen ze best opschrijven.
Karin kijkt rond, terwijl de leerlingen nadenken, een deel
van het rekenwerk of tussenantwoorden opschrijven en
tekeningen maken. Ze ziet dat Johan de getallen onder elkaar
zet en cijferend de aftrekking maakt. Hij doet het goed, maar
Marijke maakt bij deze aanpak een rekenfout. Saskia, Chelsea
en Fleur tekenen een getallenlijn. Dat doen meer kinderen
maar deze drie kinderen halen 5 in kleine stapjes er af. Als
zo goed als iedereen het af heeft, zegt Karin: ‘Laten we eens
luisteren naar twee kinderen die vertellen wat ze gedaan
hebben. Saskia, begin jij?’ ‘Ik heb een getallenlijn getekend en
er eerst 30 afgedaan. Toen heb ik er nog 5 afgehaald en dat is
35’, zegt Saskia tegen de klas. Karin tekent op een getallenlijn
wat ze Saskia hoort zeggen. ‘Ja, dat heb ik ook in mijn schrift’
en Saskia houdt haar schrift omhoog. ‘Dat deed ik ook’, zegt
Namir, ‘maar ik deed die vijf stapjes in een keer.’ Karin tekent
een nieuw boogje om het idee van Namir te laten zien en kijkt
naar Saskia. Deze twijfelt even en zegt opeens, ‘Ja natuurlijk,
dat kan ook.’ Karin besluit hier vandaag niet op door te gaan.
Dat laat ik volgende week nog eens terugkomen, denkt ze.
Jeroen krijgt als tweede de beurt. ‘Ik weet dat 35 de helft
is van 70, dus is het 35’. Karin is verrast door de opmerking
van Jeroen en beseft meteen dat dit een kans is om meer
leerlingen anders naar de som te laten kijken. Ze beseft ook
dat veel kinderen deze aanpak niet in een keer door hebben.
Daarom vraagt ze ‘Wie kan in eigen woorden vertellen hoe
Jeroen de som heeft opgelost?’ Mike doet dit even snel, het
blijkt dat hij ook deze manier van Jeroen heeft ingezet. Emma
zegt het ook in eigen woorden ‘35 en 35 is 70, hè’. Ook hier
beseft Karin dat Emma niet in de gaten heeft dat de beide
jongens het toch net anders doen.
Een minilesje duurt kort, Karin gaat daarom snel verder en
schrijft op het bord onder 70 – 35 de som 71 – 36. Juist
door de eerdere som te laten staan biedt ze de kinderen de
mogelijkheid om de relatie te zien. Alle kinderen gaan meteen
weer aan de slag. Karin loopt intussen rond en blijft bij Iwan
staan. Ze ziet dat hij in zijn schrift de relatie met de eerdere
som heeft gelegd. Ze laat hem daarom als eerste vertellen
hoe hij het doet. ‘Ik kijk naar de vorige’ zegt hij. Karin vraagt
onmiddellijk verduidelijking, ze weet dat lang
niet alle kinderen weten waar Iwan naar kijkt. ‘Vertel eens
meer, wat zie je dan wanneer je dat doet?’ ‘Het is eentje meer
en er gaat ook eentje meer af- dan is het antwoord weer 35.’
Ook bij Iwan’s uitleg, schrijft ze mee op het bord.
Afbeelding 1
46
Aan de denkende gezichten ziet ze dat niet iedereen Iwan’s
uitleg begrepen heeft, laat staan dat ze het in eigen woorden
kunnen vertellen. Ze vraagt daarom aan de klas: ‘Wie kan in
eigen woorden vertellen hoe Iwan de som heeft opgelost?’
Jasper legt de strategie van Iwan uit. Karin had bij het
rondlopen gezien dat Jasper in eerste instantie anders had
aangepakt. Hij had er eerst 6 afgehaald en vervolgens 30.
Karin is tevreden dat Jasper zo snel weet te volgen wat Iwan
heeft gedaan. Terwijl Jasper praat, wijst Karin mee op de
getallenlijn (afbeelding 2). ‘Je haalt één van 71 en één van
de 36 af, dan krijg je 70 – 35. Omdat je aan beide kanten
hetzelfde doet blijft het antwoord uh… kijk die sprong van
71 naar 36 en 70 naar 35 is even groot.’ Karin wijst naar beide
bogen en ziet veel kinderen knikken. Iwan straalt. ‘Dat is wat
ik deed,’ zegt hij. ‘71 – 36 is even veel als 70 – 35’ zegt Karin,
‘en dus gelijk aan 35’ en ze schrijft 35 achter de som.
Afbeelding 2
Karin zet de derde opgave op het bord: 72 – 37. Ze loopt
weer rond en merkt dat sommige kinderen de relatie tussen
de sommen proberen te gebruiken. Ook ziet ze dat anderen
dit niet doen. Ze besluit om Sanne een beurt te geven. Sanne
heeft de som -net als de vorige twee- weer helemaal opnieuw
uitgerekend. Sanne zegt: ‘Ik doe er eerst 7 af en dan nog eens
30 eraf. Dat is dan 35.’
Karin zet de oplossing van Sanne op een nieuwe getallenlijn,
terwijl ze ondertussen Sanne om verduidelijking vraagt. ‘Je
doet er eerst 7 af, waar kom je dan?’ ‘65’. ‘Okay, dus je landt
op 65. En dan haal je er nog 30 af, waar land je dan?’ ‘65 –
30 = 35’.
Afbeelding 3: 72 – 35 via rijgen
Karin wil Sanne’s aanpak waarderen, en tegelijkertijd wil ze
de leerlingen ook over de relaties tussen de sommen laten
nadenken. Daarom vraagt ze alle kinderen: ‘Wat valt jullie
op?’ Corien reageert direct: ‘Er komt weer 35 uit.’ Omdat er
verder geen andere reactie of verklaring komt, vraagt Karin:
‘Is dat toeval, of hadden we dit nu van te voren kunnen zien?
Hadden we nu zonder deze som uit te rekenen dit kunnen
weten? Ga maar in tweetallen hierover praten.’
Karin kiest bewust voor dit ‘praten-in-tweetallen’, omdat
hiermee meer kinderen tegelijk praten en denken. Tessa
vertelt daarna: ‘Ik weet dat het weer eentje meer en eentje
minder is, dan moet het dus 35 worden. Of als ik naar de
eerste som kijk, weet ik dat het twee meer en twee minder
zijn’. Karin schrijft en tekent mee op het bord (afbeelding 4)
Afbeelding 4
De laatste twee opgaven die ze gepland had, 69 - 34 en 79 -
44, gaan niet meer lukken. Karin houdt zich strikt aan de tijd
die ze voor deze miniles heeft uitgetrokken; de tien minuten
zijn om.
Om de onderlinge relaties tussen opgaven als 70-35, 71-
36 en 72-37 te kunnen benoemen en te gebruiken bij het
oplossen ervan, heeft Karin de leerlingen laten nadenken over
deze relaties en er de leerlingen mee laten oefenen. Karin
weet ook dat nog niet alle leerlingen deze relaties hebben
begrepen. Ze besluit morgen nog een keer met het herkennen
en gebruiken van deze relaties aan de slag te gaan in een
miniles. Ze heeft de opgaven al in haar hoofd:
90 – 45, 92 – 46 en 89 – 44. Ze neemt zich ook voor over een
week opgaven zoals ‘70-35 = 72-37 waar of niet waar?’ en
‘71- 36 = 69 – 30 waar of niet waar’ aan de orde te stellen en
dan de vraag te stellen: Kunnen we dit weten zonder alles uit
te rekenen?
De rol van de leerkracht
Een gerichte interventie van de leerkracht helpt om niet
alleen de antwoorden maar ook de relaties tussen de opgaven
aan de orde te laten komen. Natuurlijk zijn er verschillende
manieren om dat te doen. Karin heeft er in dit mini-lesje
enkele gebruikt:
• kinderen denktijd geven;
• oplossingen van kinderen op het bord tekenen en
beschrijven;
• kinderen in eigen woorden laten navertellen wat een
ander kind heeft verteld;
• ‘praten-in-tweetallen’.
R E K E N E N O P S T E N D E N 47
48
Een andere interventie is om leerlingen expliciet te vragen een
opdracht op een specifi eke manier te bekijken: ‘Overleg met
je buur hoe je de volgende opgave handig kunt oplossen?’of
‘Kun je de volgende opgave net zo oplossen als Iwan?
Probeer het samen uit te zoeken’.
Afsluiting: de kracht van een miniles
Kenmerkend voor de miniles is gedurende een korte tijd
werken aan een klein aantal aan elkaar gerelateerde opgaven.
Hoewel de nadruk bij een minilesje ligt op het gezamenlijk
doordenken van rekenstrategieën, worden deze sommen
steeds eerst door de kinderen individueel opgelost. In de
bespreking en de visualisering van iedere opgave op het bord
ligt het accent op de ontwikkeling van die rekenstrategie en
het ondersteunen van het getalbegrip. Door opgave voor
opgave te maken en te bespreken kunnen kinderen inzichten
verwerven die ze direct in de volgende opgave kunnen
toepassen en zich op die manier snel eigen kunnen maken.
Hierbij staat voorop dat elke miniles één bepaalde relatie
als focus heeft, waardoor niet elke aanpak centraal komt
te staan. Juist het gesprek over de onderliggende relatie
tussen de opgaven maakt het mogelijk het getalbegrip van de
leerlingen te ondersteunen.
Een belangrijke meerwaarde heeft de miniles voor de minder
sterke rekenaars. Het som voor som aan de orde stellen en
bespreken en visualiseren zorgt dat de minder sterke rekenaar
kan instappen. Ze kunnen meteen iets proberen en ervaren.
Eerst denken, dan doen
In het HaVER-project zoeken wij naar een aantal eenvoudige
opdrachten die leraren bij oefenrijtjes kunnen benutten
waarmee het oefenen gedachtenvol wordt. In dit artikel
beschreven we hoe je in een miniles met de kinderen
kunt oefenen en tegelijk hen over relaties tussen getallen
en relaties tussen bewerkingen kunt laten nadenken.
Gedachtenvol oefenen vraagt om een bepaalde houding. Een
houding waarin wordt gedacht voordat wordt gedaan.
AN TE SELLE, NISA F IGUEIREDO EN MAARTEN DOLK
Noot:
1. HaVER staat voor: Handig, Verstandig en Effectief Rekenen.
Dit is een project van het Freudenthal Instituut waaraan ook
Stenden hogeschool en Hogeschool Helicon meedoen.
Literatuur
Dolk, M. & Fosnot, C.T. (2004). Addition and Subtraction
Minilessons, Grades PreK-3 (CD-Rom). Portsmouth NH:
Heinemann.
Fosnot, C. T., & Dolk, M. (2001). Young Mathematicians at
Work (Vol I):
Constructing Number Sense, Addition, and Subtraction.
Portsmouth NH: Heinemann.
Fosnot, C. T. & Uittenbogaard, W. (2007). Minilessons
for Early Addition and Subtraction. Context for Learning
Mathematics. Portsmouth NH: Heinemann.
Fotografi e Jasper Oostlander
R E K E N E N O P S T E N D E N 49
breinkrakerWelk fi guur klopt niet?8
9
10
11
12
Pindakaasvloer
Het Rotterdamse museum Boijmans van Beuningen heeft de
befaamde pindakaasvloer van Wim T. Schippers gekocht.
Hoeveel potten pindakaas van 0,3 liter heb je nodig voor een
pindakaasvloer van 2 m × 3 m met een laagdikte van 5 cm?
Gratis SMS’jes
In een klas zitten 15 leerlingen. Een lerares heeft 125 gratis
sms’jes. Zij geeft alle meisjes hetzelfde aantal sms’jes en houdt
dan 6 sms’jes over (de jongens krijgen niks). Hoeveel jongens
zitten er in die klas?
Hieronder staan vijf sommen. Welk getal krijg je als je de vijf
uitkomsten bij elkaar optelt?
200 x 78 =
400 x 39 =
624 x 25 =
(40 x 312) + (20 x 156) =
26 x 600 =
Welk getal hoort op de eerste plaats te staan?
….… 15 – 29 – 44 – 73 - 117
Antwoorden op pagina 65
1 2 3
4 5 6
Scholen in Noordoost Drenthe Het rekenonderwijs moet beter,
vonden en vinden ze op het
Ministerie van Onderwijs. Binnen
Stenden werd al langere tijd
gehamerd op het belang van de
bewustwording van de leerkrachten
als het om rekenen gaat. En op de
noodzaak van een rekencoördinator
op iedere school. De onderwijsgroep
CONOD (Christelijk Onderwijs
Noordoost Drenthe), met elf
basisscholen in de provincie
vertegenwoordigd, wilde graag
meedoen. Via een subsidie voor een
rekenverbetertraject vonden de drie
partijen elkaar.
Wij praten met de begeleiders van
Stenden, An te Selle (rekendocent
Pabo Meppel) en Francien Garssen
(rekendocent pabo De Eekhorst uit
Assen).
50
rekenen zich sterkWat hield het rekenverbetertraject
precies in?
Het begeleidingstraject liep van begin
2009 tot medio 2011. Het was gericht
op leerkrachtgedrag en had als doel
rekenzwakke scholen te veranderen in
rekensterke scholen en rekensterke
scholen nog beter maken. Om scholen
van elkaar te laten leren werd ervoor
gezorgd dat er zowel rekenzwakke
scholen als rekensterke scholen
meededen.
Het traject kende twee sporen:
• een training waarin de leerkrachten
bewust werden gemaakt van het
effect van hun handelen op het
gedrag van leerlingen;
• het opleiden van rekencoördinatoren
voor alle deelnemende scholen.
Het ene spoor bestond uit een serie
trainingen waarin leerkrachten bij
elkaar werden gezet op grond van
de jaargroep waarin ze lesgaven. De
scholing werd tijdens werktijd gedaan,
op een centrale locatie, in een luxe
omgeving. Het eerste uur van iedere
scholingsdag bestond uit het oplossen
van een wiskundig probleem op het
eigen niveau van de leerkrachten. In
deze fase mochten ze nog niet aan
de kinderen denken. De oplossing
van het probleem werd per tweetal
gepresenteerd, bijvoorbeeld in de
vorm van een posterpresentatie. Tot
slot werd op het probleem en de
oplossingsstrategie gerefl ecteerd. De
centrale vraag van de cursusleiders was
dan steeds: “Wat was het effect van
mijn handelen op jou?”
Vanaf het tweede uur van iedere
trainingsdag begon de transfer naar
de praktijk van de leerkrachten. Zij
gingen onderwijs ontwerpen voor hun
groep, waarbij ze zich lieten inspireren
door de manier waarop ze zelf aan hun
rekenprobleem hadden gewerkt en door
het handelingsrepertoire dat ze uit het
gedrag van de cursusleiders hadden
afgeleid. De verschillende vormen
van gedachtenvol oefenen maakten
deel uit van dit repertoire (zie ook de
artikelen over Gedachtenvol oefenen
in dit nummer: ‘Werken aan een
houdingsverandering’ en ‘Minilesjes en
werken aan relaties tussen getallen’).
De uitvoering op hun eigen school van
het in de cursus ontworpen onderwijs,
werd zo mogelijk opgenomen of er
werd uitvoerig verslag van gedaan. Dit
was steeds weer de input voor een
intensieve bespreking in de volgende
bijeenkomst.
Het andere spoor bestond uit de
opleiding van rekencoördinatoren, voor
iedere school één. Met als doel om
rekenen binnen de school duurzaam op
de kaart te zetten en het gedachtegoed
R E K E N E N O P S T E N D E N 51
De uitvoering op de eigen school wordt geëvalueerd
52
achter de trainingen binnen de scholen
te verspreiden. Alle leerkrachten
raken door deze opzet meer en
meer doordrongen van de manieren
waarop je goed rekenonderwijs kunt
bevorderen. En wat is er mooier dan
wanneer er in ieder team een collega
is die het rekenen in zijn portefeuille
heeft en een rol speelt bij het maken
van het (reken)beleid en dit onderwerp
inbrengt in de ‘bouwvergaderingen’?
Wat was het resultaat van het traject?
Zowel het schoolbestuur als de
leerkrachten waren zeer enthousiast
over het begeleidingstraject. Aan het
begin van het traject waren vijf van de
elf scholen rekenzwak, aan het einde
van het traject geen een meer.
Wat waren de succesfactoren?
Een belangrijke verklaring voor het
succes ligt in de omstandigheden
waarin de training gegeven werd.
Onder werktijd, zes maanden lang
een volle dag per maand, op een
centrale en representatieve locatie.
Maar nog belangrijker was ons
inziens de didactische aanpak, waarbij
wij systematisch uitgingen van
rekenproblemen op het niveau van de
leerkrachten en voortdurend focusten
op het effect dat hun handelen heeft
op de leerlingen. Het denken van de
kinderen was de kern van wat wij
deden. Ook het feit dat het ontwerp
door de cursisten zelf werd uitgevoerd
en vervolgens werd nabesproken, vaak
aan de hand van een video-opname,
heeft heel goed gewerkt.
Hebben jullie er zelf ook iets van
geleerd?
Nou en of! Wij zijn ons ook bewuster
geworden van ons eigen handelen. Wij
hebben die methodieken vervolgens
toegepast in onze lessen voor de
studenten van de Pabo.
Hebben alle scholen in het Noorden deze
training inmiddels gevolgd?
Was het maar waar! Wij zouden niets
liever willen. Tot dusver weten wij ons
nog onvoldoende in de kijker te spelen.
Hopelijk gaat dat nu veranderen door
de nauwere samenwerking met Lumius,
de tak van Stenden die training,
onderzoek en advies verzorgt! Wij
kunnen zorgen voor een mooi aanbod
om leerkrachten de focus te laten
leggen op het denken van de kinderen
door over hun eigen ontwerpen en
handelen na te denken.
Ook geïnteresseerd in zo’n
begeleidingstraject voor uw school?
Neem contact op met:
Lumius
T (058) 244 1550
Wat nemen de cursisten mee naar
hun school? Een greep uit de
reacties.
‘Rekenen kan echt heel leuk zijn!’
‘Ik had geleerd me te laten leiden
door de handleiding van de methode,
maar heb nu ervaren dat er veel meer
mogelijkheden zijn….’
‘Ik heb accenten verlegd. Van
uitleg naar vragen. Van correctie
naar feedback. Van antwoorden
naar berekening en betekening’.
Betekening? ‘Ja, je helpt de leerlingen
vaak enorm door hen een tekening of
schets van het rekenprobleem te laten
maken!’ ■
R E K E N E N O P S T E N D E N 53
Als je niet kunt rekenen, “Als je niet kunt rekenen, doe je jezelf
te kort bij de hypotheker, neem je een
abonnement met belachelijk veel belminuten
om die iPhone te ‘krijgen’ en begrijp je niet
waarom er ‘Geld lenen kost geld’ staat bij
de advertentie voor die auto die je pas over
een jaar hoeft te betalen. En als er nog
zoveel mensen zijn, die dat niet door hebben,
betekent dat er nog veel meer en veel beter
rekenonderwijs moet komen!” >
Aan het woord is Maarten Dolk (59), onderzoeker bij
het Freudenthal Instituut in Utrecht en voormalig lector
Geïnspireerd Leren bij Stenden Hogeschool, Hogeschool
Zuid en Helicon. Wij spreken met hem over het belang van
het rekenonderwijs, over de opbrengsten van het lectoraat
Geïnspireerd Leren, over ‘gedachtenvol oefenen’ en over de
stand van het rekenonderwijs in Nederland.
Van 2002 tot 2010 was Maarten Dolk lector Geïnspireerd
Leren. Hoewel hij zelf wiskundige is, bestond de kenniskring
rond de lector uit docenten van verschillende disciplines van
de drie samenwerkende hogescholen. Wat heeft het lectoraat
opgeleverd?
Het lectoraat heeft het denken over nascholing veranderd
“In de eerste plaats heeft het lectoraat bijgedragen aan de
wetenschappelijke oriëntatie van de deelnemende docenten.
Een aantal mensen is gestimuleerd om een proefschrift te
schrijven. Voor zeker de helft van de leden van de kenniskring
geldt dat ze zich binnen hun school hebben ontwikkeld van
stille luisteraar tot actieve meeprater. In de tweede plaats
heeft het lectoraat het denken over nascholing veranderd.
HAVER (het project HAndig en VErstandig Rekenen) is daar
een mooi voorbeeld van. Wij hebben een model van nascholing
ontwikkeld, dat tot enthousiasme in de school leidt en dat
– vermoedelijk – tot beter onderwijs leidt. Dit model behelst
zowel de nascholing van de leraar als het neerzetten van een
structuur in de school. Een ander uitvloeisel van het lectoraat
is dat onderzoek via studenten in de basisschool komt. Wij
noemen dat ontwerpend onderzoeken en onderzoekend
ontwerpen. Op die manier leren de studenten zelf iets, maar
brengen ze ook kennis over. Het is een mooie manier om
invulling te geven aan de scriptie”.
Het model van nascholing waar Dolk op doelt, is bijvoorbeeld
toegepast bij de scholen die deel uitmaken van CONOD
(Christelijk Onderwijs Noordoost Drenthe), zie ook het artikel
‘Scholen in Noordoost Drenthe rekenen zich sterk’.
Succesvol rekenverbetertraject
“Het Ministerie van Onderwijs stelde subsidie beschikbaar voor
rekenverbetertrajecten, die sterke en zwakke scholen samen tot
verbetering moesten brengen. De aanpak lag in het verlengde
van HAVER. Wij wilden geen nieuwe methode maken, maar
als het ware schrijven in de marge van de bestaande methode.
Samen met het bovenschools management van CONOD zijn
wij tot een model gekomen om alle leraren van die scholen te
betrekken bij het rekenonderwijs. Wij zijn begonnen om leraren
die in dezelfde groepen lesgeven samen te nemen en met die
leerkrachten wiskundige activiteiten te doen. Wij lieten ze
zien hoe wij die voorbereiden en hoe wij anticiperen op wat er
in de les kan gebeuren. Van daaruit wordt dan doorgepraat
over wat er in hun klas zou kunnen gebeuren. Anticiperend en
refl ecterend lesgeven dus”. >
Maarten Dolk is in 1952 in Rot-
terdam geboren. Hij herinnert zich
het frontale onderwijs op de basis-
school als ‘individueel’ onderwijs.
“De meester legde tien minuten voor
het bord iets uit en daarna zat je een
uur alleen aan je tafeltje sommetjes
te maken. Tot mijn verbazing ging
ik aan het einde van de rit naar de
HBS en het jongetje naast mij naar
de LTS, terwijl ik geen idee had
dat er zo’n verschil tussen ons zat.
Wij kenden elkaar alleen van de
speelplaats”.
Na de HBS was de studie wiskunde
een voor de hand liggende keuze.
Maarten Dolk gaf kortstondig les
in het voortgezet onderwijs, maar
raakte al gauw verzeild op de Stich-
ting Opleiding Leraren (wat nu de
Faculteit Educatie van Hogeschool
Utrecht is). Als wiskundige wilde hij
graag een bredere onderwijskundige
achtergrond, maar de studie peda-
gogiek stelde hem wat dat betreft
teleur. Gelukkig kreeg hij een subsi-
die om bij het IVLOS te promoveren
op ‘onmiddellijk onderwijsgedrag’.
“Wat bepaalt dat een leraar in de
klas een bepaald gedrag vertoont?
Er gebeurt iets in de klas en hij moet
ogenblikkelijk reageren. De leraar
kan niet zeggen: Kom morgen maar
terug, ik zoek het even uit”. Je hebt
al gedrag getoond voor je het weet.
Hoe kan je zorgen dat dat gedrag
bewust wordt en dat je dat kunt
verbeteren en verfi jnen op grond
van nieuwe inzichten? En hoe kun je
dat gedrag tot routinematig gedrag
maken?”.
Tijdens en na zijn promotie was hij
ook aan het Freudenthal Instituut
verbonden als docent en onderzoe-
ker. Van 2002 tot 2010 was Maarten
Dolk lector Geïnspireerd Leren voor
drie samenwerkende hogescholen
(Stenden, Zuyd en Helicon). De
lectoren zijn als het ware de ‘profes-
soren’ van het hoger beroepson-
derwijs.
Als je niet kunt rekenen,
54
Het Freudenthal Institute for Science
and Mathematics Education is
een onderzoeksinstituut van de
Universiteit Utrecht. Het heeft als
doel de kwaliteit van het onderwijs
in rekenen, wiskunde, informatica en
natuurwetenschappen te bevorde-
ren, met name in het primair en het
secundair onderwijs.
Het instituut is genoemd naar Hans
Freudenthal (1905 – 1990) een
Duits-Nederlandse wiskundige en
pedagoog, die wordt beschouwd als
de grondlegger van het realistisch
rekenen.
Gedachtenvol oefenen = automatische piloot uitzetten
In het project met CONOD ging het om de professionalisering
van leerkrachten. Een belangrijk middel dat daarvoor werd
ingezet was ‘gedachtenvol oefenen’. Dolk legt uit: “In het
Nederlandse rekenonderwijs moeten kinderen heel veel rijtjes
sommen maken. Kinderen zetten dan de automatische piloot
aan en maken sommetjes zonder heel diep na te denken. Dat is
nooit de bedoeling van de auteurs geweest, maar het gebeurt
wel op die manier! Wat wij wilden is - gebruikmakend van dat
rijtje - de leraar net dat steuntje te geven dat de kinderen
ertoe brengt over de sommetjes na te denken. Een extra stap in
het oefenen. Vol gedachten oefenen”.
Wij stelden ons de vraag hoe je het rekenen zo op kon zetten,
dat de kinderen niet meteen naar de antwoorden gaan, maar
dat je ze ook goed naar de getallen laat kijken. Wij zetten
ze een beetje op het verkeerde been, om ze te dwingen na
te denken. Dus als er 30 vermenigvuldigsommetjes stonden,
vroegen wij ze om bijvoorbeeld alleen de sommen maken met
een antwoord onder de 400. Bij de nabespreking ging het dan
om de vraag: ‘Hoe wist je dat het antwoord onder de 400 lag?’
Wij ontwikkelden met leraren allerlei varianten daarop. Wij
probeerden van sommetjes maken denkend rekenen te maken.
Met respect voor het boek kleine varianten op het boek maken.
Geen taak waar je een hele avond mee bezig was, maar iets wat
de leerkracht in vijf minuten kan bedenken”.
De vraag stelt zich bijna zelf. Wat vindt Dolk van het huidige
rekenonderwijs in Nederland?
Meer theorievorming
“Rekenonderwijs waar de nadruk ligt op het geven van een
antwoord op een sommetje is niet voldoende. Rekenonderwijs
waarbij wordt gewerkt aan theorievorming, zou heel goed zijn.
Dat laatste gebeurt te weinig, wereldwijd”.
Kennisbasis en referentieniveaus zijn maar een deel van het
verhaal, zo maakt de onderzoeker duidelijk. “Er zou meer
nadruk moeten liggen op het doordenken van de wiskundige
theorie. Ik zou willen dat de kinderen thuis kwamen en zeiden:
‘Wij hebben het gehad over de vraag of 23 x 37 hetzelfde is
als 37 x 23’ en niet met de dooddoener: ‘Ik heb sommetjes
gemaakt’. Het is niet of-of maar en-en”.
Er is te weinig respect voor de leraar
“Dat maakt onderwijs alleen maar moeilijker in een tijd dat
er te weinig respect is voor de leraar. Dat blijkt uit de manier
waarop kranten en politici spreken over het onderwijs en
uit het gemak waarmee ze zeggen dat de leraar niet goed is
opgeleid. Zonder daarbij te vermelden waarvoor die leraar
precies opgeleid moet zijn. Niemand analyseert de verzwaring
van het beroep van leraar. Ik vat dat samen onder de kop
‘leraartje pesten’. De nadruk op meer feiten in het onderwijs
past niet bij de kennismaatschappij. Echt opleiden voor een
kennismaatschappij is veel moeilijker dan iedereen die er iets
over roept, denkt. Ik daag iedereen uit om zelf eens les te
geven. Dat uurtje dat Rutte voor de klas staat is sympathiek.
Het is jammer dat hij zelf zo weinig de spreekt over de zwaarte
en moeilijkheid van het beroep en zo de status van leraren niet
verdedigt”.
Je moet kinderen niet alleen trucjes leren
Wat vindt Maarten Dolk ten slotte van het realistisch rekenen?
“De vraag die Freudenthal zich ooit stelde is wat de volgorde
is tussen toepassing en theorie. Van oudsher kreeg je eerst
de theorie en daarna pas de toepassing. Freudenthal stelde
voor dat om te draaien en te beginnen met de toepassing.
De bedoeling was dat kinderen, geleid door hele goede
contexten en een leraar die ze stevig ondersteunt, hun eigen
theorie maken of de theorie die al bestaat reconstrueren. Deze
leertheorie zit perfect in elkaar, maar wordt door scholen in
Nederland niet goed toegepast. Als mensen zeggen ‘Realistisch
rekenen werkt niet’, bedoelen ze “Zoals het in Nederland gaat,
werkt het niet’. Ik geloof niet dat wij realistisch rekenen moeten
afrekenen op de manier waarop dat in Nederland gaat. Als
wij realistisch rekenen echt willen toepassen, moeten wij het
onderwijs verbeteren. Als je kinderen alleen maar trucjes leert,
leer je ze nooit om naar getallen te kijken”. ■
ben je de klos
R E K E N E N O P S T E N D E N 55
5656
‘Dat telt’ is de titel van een boek over levend
rekenwiskundeonderwijs op de basisschool en bevat
behalve achtergrondinformatie over levend rekenen
ook leerlijnen, brevetten en veel inspirerende
voorbeelden. Het boek werd in 2010 geschreven door
een werkgroep onder leiding van Stendendocent Jimke
Nicolai.
Wat telt nou echt bij het rekenwiskundeonderwijs? Het lijken
de opbrengsten te zijn op de eenzijdige testen die we afnemen
aan onze kinderen. De makers van ‘Dat telt’ laten een ander
geluid klinken: opbrengsten defi niëren ze vanuit werkdoelen,
die zijn gekoppeld aan rekengenres en rekenwiskunde-situaties
in de klas en daarbuiten. Levend rekenen is het devies. Er wordt
daarbij geput uit vier brongebieden: het leven van de klas en
het kind, de actualiteit, de andere vakken en de wiskunde.
Voor scholen die willen werken vanuit het perspectief van het
kind en zijn situatie en die tegelijkertijd de kerndoelen serieus
nemen, ontwikkelde de werkgroep levend rekenen op basis
van bovenstaande uitgangspunten een aantal leerlijnen met
brevetten. Vlaamse en Nederlandse pedagogische georiënteerde
vernieuwingsscholen hebben hiermee een stevige basis gelegd
voor de ontwikkeling van hun levend rekenwiskundeonderwijs.
Skateboards voor de klas. Levend rekenen in de bovenbouw.
Dit artikel is een uitwerking van de leerlijn onderzoek
& experiment voor de bovenbouw.
De aanleiding voor Levend Rekenen in dit artikel is de
belangstelling van de kinderen voor skateboards. Er is al langere
tijd de wens om voor het buitenspelen als groep een eigen
skateboard te hebben. Maar welk type gaan we kopen? Het
spreekt vanzelf dat de klasse!kas van de groep voor de kosten
van deze investering aangesproken zal worden. >
Waarom levend leren?
Binnen modern onderwijs circuleren
verschillende aanduidingen voor het
leren van kinderen. Ontdekkend,
functioneel, natuurlijk, interactief
leren. Ontdekkend leren; het kind
als een jonge onderzoeker die
tastender-, spelender-, lerender- en
werkenderwijs probeert zicht te
krijgen op zijn leven en zijn wereld.
Functioneel leren benadrukt dat
kinderen weten waarmee ze bezig
zijn en waarom ze doen wat ze
doen, dat ze zinvol bezig zijn.
Natuurlijk leren gebeurt vanuit de
natuurlijk behoefte om te kunnen
wat anderen ook kunnen. Interactief
leren benadert het leren als een
communicatieproces tussen het
lerende kind en de leeromgeving
(onderwijsruimte, leraar, kinderen,
leergebieden).
Waarom levend leren? Omdat het
de essenties van ontdekkend,
functioneel, natuurlijk en interactief
leren bundelt; onderstreept dat
leren ingebed is in het groeps- en
schoolleven; laat zien dat je leert
voor het leven en dat je je hele
leven blijft leren; accentueert dat
leren moet leven, dus spannend en
uitdagend kan zijn; duidelijk maakt
dat het leven zelf onze leerschool is.
Levend leren is net zo echt als het
leven zelf. Leren schrijven is even
echt als leren lopen. Je kunt er
iets mee: iets noteren dat je niet
wilt vergeten. Je gaat gedichten
maken omdat je je verwondering
wilt uitdrukken. En levend rekenen?
Je berekent de oppervlakte van
een stukje tuin, omdat je plantuien
moet kopen. Je leert geldbedragen
optellen en aftrekken omdat je
klasse!kas moet kloppen. En als je
een skateboard aan wilt schaffen
blijk je gemiddelden te moeten
berekenen. Leren gaat ergens over,
het is niet doen alsof, het is echt,
het leeft.
Levend rekenen: skate
R E K E N E N O P S T E N D E N 5757
De leraar vraagt de kinderen (hun) skateboard(s) mee te brengen
naar school. ‘We kunnen dan uitzoeken waar we op moeten
letten als we er eentje voor de klas gaan kopen’. De volgende
dag resulteert dat in een fi ks park ‘planken’ onder het bord in de
klas.
De leraar brengt in de kring in dat er onderzocht moet worden
welke plank nu het beste is. Hij presenteert zonder veel omhaal
van woorden 5 punten voor de bespreking:
1 hoe onderzoeken
2 kiezen van de onderzoeksmethode
3 onderzoek uitvoeren
4 volgorde vaststellen van goed naar slecht
5 kiezen welke we gaan aanschaffen.
De kinderen werken de eerste dag per tafelgroep uit welke
onderzoeksmethode ze voorstaan. Ze krijgen per groepje een
aantal planken en er wordt gevraagd een kort verslag te maken
volgens dit schema:
Namen van ons groepje: ...............................................................................
Bedoeling: van ................ skateboarden de beste uitzoeken.
Zo deden we het:
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
..............................................................................................................................
Resultaat: skateboard nummer ................ was de beste.
Het verloop van het onderzoek ging zoals te verwachten. Eerst
werd er buiten wat gerommeld met en op de planken. De
kinderen proberen van alles uit. Sommigen gingen naar binnen
om daar onderzoek te doen naar bijvoorbeeld het gewicht van de
plank. De leraar loopt langs en wijst soms kinderen op de (on)
eerlijkheid van hun onderzoek. Aan het eind van de 45 minuten
worden de verslagjes bij de leraar ingeleverd.
Deze vormen de basis voor de volgende stap in het onderzoek.
‘Ik heb jullie verslagjes gelezen en de manieren op een papier
gezet. We moeten straks een manier hebben om eerlijk uit
ongeveer 16 planken de beste te kiezen. Als een andere klas
onze manier zou volgen zou er hetzelfde uit moeten komen. Dan
is het pas echt eerlijk’. Het gesprek in de kring gaat over eerlijk
en oneerlijk onderzoek. Over smaak valt moeilijk te twisten. Je
vindt iets fi jn en cool of juist niet. En dat is heel persoonlijk.
De kinderen werken in tweetallen samen aan de volgende
opdracht (zie blad hiernaast). Vind je deze onderzoeksmethode
wel of niet eerlijk. Leg uit waarom je dat vindt. >
boards in de klasSkateboardonderzoek Namen:
Dit vinden wij er van:
1. Kind A gaat op de plank zitten. Kind
B duwt. De anderen tellen hoe lang het
duurt voor de eindstreep is bereikt.
2. Je weegt de planken. De lichtste is
het best.
3. iedereen tiktakt er op en zegt wat
hij of zij er van vindt. Dat geef je een
cijfer.
4. De plank zet je op een heuveltje.
Telkens dezelfde bestuurder. Er is van
te voren een route uitgezet. Welke
plank komt het verst?
5. Je let op hoe het skateboard eruit
ziet:
Goede wielen?
Goede beschermers?
Goede lagers?
Goede antislip?
Goed remblok?
6. Je let erop hoe lang de wielen
draaien als je ze een draai geeft.
Telkens geeft hetzelfde kind de wielen
een zet. De wielen die het langst
draaien zijn het beste.
7. Je gaat op de plank steppen over
een lijn om te kijken of je de plank
goed onder bedwang kunt houden.
............................................................
............................................................
............................................................
............................................................
............................................................
............................................................
............................................................
............................................................
............................................................
............................................................
............................................................
............................................................
............................................................
............................................................
............................................................
............................................................
...........................................................
............................................................
............................................................
............................................................
...........................................................
............................................................
............................................................
...........................................................
............................................................
............................................................
............................................................
............................................................
............................................................
58
R E K E N E N O P S T E N D E N 59
Nicolai J. ea (2010) DAT TELT,
bouwstenen voor levend rekenwis-
kundeonderwijs. Freinetbeweging
Nij Beets. Zie www.freinet.nl
Voorbeelden van levend rekenen.
Zie www.rekenhoek.nl.
Zelf ontwerpen van levend rekenen.
Zie http://www.levendleren.nl/
html/werkplaats.html
Voor visieontwikkeling, advies, ont-
werp en materialen kunt u contact
opnemen met: www.levendleren.nl
06 12549966.
De beschrijving van dit onder-
zoek past in de vierde fase van de
leerlijn ‘onderzoek en experiment’
van Dat Telt. In die leerlijn komt
bijvoorbeeld het ontwikkelen van
een meetinstrument aan de orde.
‘Eerlijk meten’, staat centraal. Dat
komt bij het bepalen van het beste
skateboard ook nadrukkelijk aan de
orde. De kinderen ervaren dat cijfers
en getallen kracht en macht hebben.
Maar dat gemiddelden ook kunnen
‘vertekenen’ (in de uitwerking van
de leerlijn wordt gesproken over ‘de
beperking van gemiddelden’) leren
ze in dit onderzoek ook.
Dit is een fase om afstand te nemen van het eigen onderzoek
en na te denken over de onderzoeksmethoden van andere
leerlingen. De resultaten vormen de basis van een gesprek
over de onderzoeksaanpak die wordt gekozen. De leraar zegt:
“We gaan punt voor punt langs. Luister heel goed naar elkaar.
Geen zaken herhalen”. De bespreking wordt strak geleid.
Alle manieren worden met een +, - of +/- beoordeeld. Het
resultaat wordt uiteindelijk dat ieder tweetal zoveel mogelijk
op een scateboard gaat doen in de tijd die beschikbaar is bij
werkplantijd: tiktakken, steppen, sturen/omdraaien. Voorts wordt
het uiterlijk beoordeeld. Er worden cijfers gegeven van 1- 10. Per
plank wordt het gemiddelde berekend. De eigen plank wordt niet
beoordeeld.
De leraar heeft voor het onderzoek de volgende dag dit
formuliertje beschikbaar.
Skateboardonderzoek Namen: ........................................................
PLANK nummer: ............. Score 1-10
Tiktakken ......................................................................
Steppen ......................................................................
Sturen / omdraaien ......................................................................
Uiterlijk: wielen, lagers,
beschermers, antislip, remblok ......................................................................
Totaal ......................................................................
Gemiddeld ......................................................................
Van de vier cijfers die ze toekenden moest het gemiddelde
worden bepaald. Dat leverde wel eens moeilijkheden op bij
sommige kinderen. De leraar kijkt welke kinderen hij hiervoor
extra begeleiding wil geven op een ander moment. Alle
scorebriefjes worden per plank verzameld.
Per skateboard worden tenslotte door een paar leerlingen alle
beoordelingsformulieren samengevoegd op een totaaloverzicht
testresultaten. Om de totaalscores te berekenen moeten
decimale getallen worden opgeteld en vervolgens moeten ook
daar weer gemiddelden over worden berekend. Toepassing van
rekenkundige kennis en vaardigheid. Gecontroleerd met de
rekenmachine.
Bewust worden alle kinderen ingezet om deze ‘oefening’ uit
te voeren. Maar eigenlijk is de echte rekendidactische winst al
eerder ingeboekt: leerlingen ervaren de waarde en beperking van
cijfers en getallen. Maar voor de kinderen telt iets anders.
Welke plank gaan we nu kopen? Het resultaat: DAT TELT! ■
Testresultaten skateboardonderzoek
skat
ebo
ard
Aan
tal m
alen
g
etes
t
Tota
al p
un
ten
Gem
idd
eld
e
Ein
dp
laat
s
breinkraker13
14
15
1 tegen 100
Een deelnemer aan de quiz ‘1 tegen 100’ bezat 4000 euro aan
prijzengeld. Toen moest hij 3 keer achterelkaar een escape kopen.
De eerste keer kostte dat 25% van het prijzengeld. De tweede
keer 50% en de derde keer 75%. Welk percentage van zijn
prijzengeld hield hij over?
Welk fi guur komt niet voor in de tekening?
a. Cirkel
b. Vierkant
c. Rechthoekige driehoek
d. Gelijkbenige driehoek
e. Gelijkzijdige driehoek?
Lege cirkels
Plaats in de lege cirkels de getallen die ontbreken. Je kunt kiezen
uit 1 tot en met 16. Elk getal mag maar één keer voorkomen. De
optelling op de zes lijnen moet steeds 34 zijn.
Antwoorden op pagina 65
60
14
15 3
16
R E K E N E N O P S T E N D E N
Master Special Educational Needs
Goed rekenonderwijs dat leidt tot betere rekenprestaties is uitdagend en aantrekkelijk voor iedere leerling. Goed onderwijs begint bij talentontwikkeling van alle leerlingen en bij pedagogisch-didactisch handelen dat gebaseerd is op ‘wat werkt’. Scholen hebben invloed op rekenprestaties. Op sterke rekenscholen waar leerlingen goed presteren en vaardig zijn in rekenen en wiskunde, leren leraren van leerlingen
Vorderingen van leerlingen worden in kaart gebracht en geanalyseerd. De uitkomsten daarvan worden gebruikt om het onderwijs te verbeteren. Kortom: school en leraar maken samen het verschil.
Vormgeven aan goed rekenwiskunde-onderwijs betekent dat leraren in toenemende mate in staat zijn adequaat in te spelen op uiteenlopende onderwijsbehoeften van leerlingen. Dat kan in de groep of schoolbreed vragen oproepen, als:
Sluit mijn onderwijs aan bij de rekentalenten van mijn leerlingen?Worden de gestelde didactische doelen dit schooljaar gehaald?Deze leerling valt uit op rekenen, wat kan er aan de hand zijn?Welke mogelijkheden zijn er om leerlingen extra te ondersteunen met rekenen/wiskunde? En hoe organiseer ik dat op mijn school?Hoe zetten wij in onze school een dyscalculieprotocol op?Hoe voer ik een diagnostisch rekengesprek?
U krijgt als professional handvatten om uw onderwijskundige competenties verder te ontwikkelen, zodat u uitgroeit tot onderwijsexpert op het gebied van rekenen en wiskunde. Het analyseren van resultaten, het borgen van de kwaliteit van het reken- en wiskunde-onderwijs, het didactisch handelen, de leerlingenzorg en de geplande onderwijstijd worden in onze leerroutes beschouwd als kritische succesfactoren voor hoge reken- en wiskunde-opbrengsten.
De opleiding tot reken- en wiskunde specialist maakt deel uit van de opleiding master SEN. Deze opleiding wordt door middel van een intensieve samenwerking met Christelijke hogeschool Windesheim op Stenden uitgevoerd en levert een bijdrage aan de ontwikkeling tot expert met als focus de speciale onderwijszorg op het niveau van de leerling, de klas en de schoolorganisatie.
In het profi el Onderwijsexpert in reken- en wiskunde-innovatie is de leerroute Reken- en wiskundespecialist/dyscalculie opgenomen.
Leerroute Reken- en wiskundespecialist/dyscalculieU leert tegemoetkomen aan de specifi eke onderwijsbehoeften van leerlingen met reken- en wiskundeproblemen en verdiept zich in verschillende theorieën die u aan uw praktijk leert koppelen. Met de inzichten die u ontwikkelt, versterkt u uw didactische en pedagogische kwaliteiten en uw professioneel handelen.
Voor wie?Leraren en zorgspecialisten in het primair, voortgezet en speciaal onderwijs en beroepsonderwijs
Een masteropleiding tot Reken- en wiskundespecialist
61
Hoe ziet de leerroute eruit?U ontwikkelt een onderzoekende houding waarmee u een krachtige en rijke leeromgeving voor rekenen en wiskunde kunt creëren. U leert denken vanuit de mogelijkheden van leerlingen met (ernstige) reken-, wiskunde- en dyscalculieproblemen. Daarbij werkt u samen met leerlingen, ouders, collega’s en andere betrokkenen. U onderzoekt de onderwijsbehoeften van leerlingen met (ernstige) rekenwiskundeproblemen of dyscalculie. Door de theorie te relateren aan de context (uw praktijk) schept u een passend en stimulerend orthodidactisch klimaat voor alle leerlingen. U vormt een effectieve leeromgeving van individueel niveau naar groeps- en schoolniveau. U initieert kwaliteitsverbetering op het gebied van leerstofaanbod, leraargedrag, trendanalyses en bewaking en borging van rekenbeleid in uw organisatie.
Specifi eke informatieU kunt deze leerroute ook via e-learning volgen.
Programma leerroute Reken- en wiskundespecialist/dyscalculie Dialogen rond onderwijsbehoeften
Rekenhulp: rekengesprekken en rekeninterventies Rekenwiskunde: van rekenen naar wiskunde Master kennistoets (zelfstudie)
Dyscalculie in de vakken: ernstige reken- en wiskundeproblemen in de school Rekendynamiek: een aanzet tot verandering in reken- en wiskundeonderwijs Leerlijn praktijkgericht onderzoekLeerlijn studieloopbaanbegeleiding
In deze leerroute verricht u praktijkgericht onderzoek dat in het teken staat van vormgeven aan goed rekenonderwijs voor alle leerlingen.
Titel M SENNa afronding van de opleiding hebt u de wettelijke graad Master in Special Educational Needs. De titel wordt afgekort tot M SEN en staat dan achter uw naam.
Algemene gegevensLesdag: Woensdagmiddag/avondDuur studie: 2 jaarLocatie: Stenden hogeschool LeeuwardenKosten: Wettelijk collegegeld (€ 1.835,-)
AanmeldenU kunt zich tot 1 september 2013 aanmelden via www.studielink.nlU wordt student van Christelijke hogeschool Windesheim en volgt de lessen op Stenden hogeschool, lesplaats Leeuwarden.
Meer informatieTelefoonnummer: 058 244 1550E-mail: [email protected]
Eindeloos experimenteren Een rekenmachine is al jaren gemeengoed in het dagelijks
leven en kan dus ook in het onderwijs niet ontbreken.
Het apparaatje met al die knoppen vraagt natuurlijk om
wiskundig experimenteren. Dat gebeurt jammer genoeg niet
zo vaak in het basisonderwijs – in ieder geval niet met opzet.
Daar is de rekenmachine vooral de rekenhulp voor gevallen
waarin de getallen niet zo mooi zijn of hij wordt gebruikt om
het rekenwerk na te kijken.
We schetsen zomaar een situatie in groep 8. Leerlingen
controleren hun rekenwerk met een rekenmachine. Joris heeft
niet zoveel zin meer. ‘Als je toch een rekenmachine hebt waarom
moest het dan eerst zonder?’ denkt hij. Bij het controleren van
de som ‘19794 : 6 = 3299’ toetst hij ongeïnspireerd wat in.
Een rekenmachine laat snel zien of het antwoord goed is…
tenminste als je de goede knoppen indrukt. Dat gaat gemakkelijk
mis. Joris typt per ongeluk 1979 : 6 en ziet een heel lang
antwoord verschijnen: 329,8333333333333333333333333.
Hij veert op. Dat is nog eens leuk!
De deling klopt natuurlijk niet. Het antwoord is dan ook niet
wat hij in zijn schrift had staan. Maar opeens ontdekt hij wel een
bijzonder getal! Een getal met een staart van allemaal drieën.
Hij vergeet waarmee hij bezig was en roept opgewekt: ‘Juf kom
eens kijken wat ik heb!’ De juf reageert al even enthousiast ‘Dat
is een leuk getal zeg. Hoe kom je daar aan? Welke deelsom heb
je eigenlijk ingetypt?’Joris is blij met deze aandacht van de juf,
maar helaas weet hij geen antwoord op de laatste vraag. Joris’ juf
vraagt door: ‘Zou je dat kunnen achterhalen?’
Laten we eens even meezoeken met Joris. We onderzoeken
329,83333333333333333333333333 en noteren het
repeterende deel voor het gemak tussen schuine strepen 0,8/3/;
/3/ betekent dat het cijfer ‘3’ zich oneindig vaak herhaalt.
We richten ons op dat deel achter de komma: 0,8/3/ dus. In het
bijzonder bekijken we het repeterende deel, al die drieën. Hoe
krijg je dat voor elkaar? Kan je aan de hand van dit repeterende
kommagetal nagaan welke deling uitgevoerd kan zijn?
Welke deling kan leiden tot 0, 8/3/?
Hoe zou u dat aanpakken?
Denk, voor u verder leest, even na over de vraag.
Pak er gerust even een rekenmachine bij.
Er staan allemaal drieën in het repeterende deel, wellicht kunnen
we daar iets mee. We kunnen – met de rekenmachine in de hand –
wat slim proberen:
1 : 3 geeft 0,33333333333333333333333.
Dat lijkt al behoorlijk, het getal van Joris had alleen nog een ‘8’
als eerste cijfer na de komma. We wijken even uit naar 8,/3/
door de komma even te verschuiven. Maar dat is gewoon 8
ofwel . Als we nu weer delen door tien dan schuift de komma
weer netjes terug. gedeeld door 10 dat is ofwel .
Het kan ook anders: 0,8/3/ is 0,5 + 0,/3/. Anders gezegd: het
is + en dat is makkelijke breukensom met als antwoord .
Onze Joris heeft de smaak te pakken. Hij is de sommen in zijn
schrift helemaal vergeten. Hij maakt ook andere repeterende
kommagetallen en probeert te achterhalen welke breuken of
delingen passen (zie kader).
Weet u raad met de sommen van Joris? We noteren ze hier
in verkorte notatie.
Zoek op een effi ciënte manier een bijbehorende deling of
breuk bij de volgende getallen.
0,/1/
0,/19/
0,2/4/
0,/123/
Nog meer uitdaging: Bedenk een aanpak die in alle gevallen
werkt.
62
Antwoorden: 1/9; 19/99; 11/45; 41/333
R E K E N E N O P S T E N D E N
329,833333333333
met repeterende breukenWe laten het rekenwerk aan u. Want volgens de in 2009
verschenen kennisbasis reken-wiskunde voor de pabo mogen
we verwachten dat u als leraar basisonderwijs dit weet. In die
kennisbasis staat namelijk:
‘Kennis die niet geheel tot de leerstof van de basisschool
behoort, maar waar de startbekwame leerkracht wel over
beschikt (onder meer met het oog op de doorlopende leerlijn
van PO naar VO) betreft het kunnen omrekenen van (minder
gebruikelijke) breuken in kommagetallen en omgekeerd en de
notatie van repeterende breuken’ (Van Zanten, Barth, Faarts, Van
Gool, & Keijzer, 2009, p. 70).
We mogen verwachten dat leraren beschikken over een
behoorlijke kennisbasis, onder andere op het gebied van
breuken. Bijvoorbeeld behoort iedere startbekwame leerkracht
te weten dat er een relatie is tussen de getallen en 0,66
maar hij weet ook dat deze twee getallen niet precies hetzelfde
zijn. Dergelijke kennis is bijvoorbeeld van belang met het oog
op de doorgaande leerlijnen in de richting van het voortgezet
onderwijs. Daarbij gaat het niet alleen om de doorgaande
rekenleerlijnen maar ook de lijnen die doorlopen in de richting
van de wiskunde. Het formele rekenen met breuken vormt
bijvoorbeeld een belangrijk fundament voor algebraïsche
onderwerpen.
Maar er is nog een ander belangrijk aspect van het
rekenonderwijs waarbij de breuken minder doel op zich zijn maar
eerder gezien kunnen worden als middel. We citeren voor een
tweede keer de kennisbasis. ‘(…) een startbekwame leerkracht
moet [over de volgende kennis en vaardigheden] beschikken om
adequaat reken-wiskundeonderwijs te kunnen realiseren:
• het zelf beschikken over voldoende rekenvaardigheid en
gecijferdheid;
• rekenen-wiskunde betekenis kunnen geven voor kinderen;
• oplossingsprocessen en niveauverhoging bij kinderen kunnen
realiseren;
• wiskundig denken van kinderen kunnen bevorderen.‘
(p. 35/36).
Iemand die dat in huis heeft, heeft weinig moeite met passende
wiskundige redeneringen. Zo’n leraar weet ook raad met het
probleem dat Joris’ experimenteren oproept en kan Joris
uiteraard stimuleren om van zijn zoektocht te leren. Studenten
moeten deze kennis en vaardigheden verwerven op de pabo
en dat is niet altijd eenvoudig. Zeker niet als daar de eis aan
toegevoegd wordt dat ze hieraan zelfs plezier moeten beleven;
hetzelfde plezier in rekenen-wiskunde dat zij later moeten
overdragen op hun leerlingen. Zoals de juf van Joris zo mooi
deed.
Gelukkig zijn er verschillende initiatieven die maken dat
we steeds meer greep krijgen op de kennisbasis en het
opleidingsonderwijs dat maakt dat studenten die kennisbasis
verwerven. Deze initiatieven zijn in het leven geroepen
om opleiders te ondersteunen bij het implementeren van
de kennisbasis binnen de eigen opleiding. Het landelijke
netwerk van lerarenopleiders rekenen-wiskunde van het
zogenoemde Panama-project, de onderzoeksgroep van
ELWIeR (Expertisecentrum Lerarenopleiding Wiskunde en
Rekenen) en het rekenlectoraat van de Hogeschool iPabo zijn
daar voorbeelden van. Door te profi teren van elkaar kan de
schaarse ontwikkeltijd effi ciënt benut worden. Netwerken met
korte communicatielijnen maken het mogelijk dat resultaten
van onderzoek snel beschikbaar zijn voor de werkvloer van de
opleiding en ook aansluiten bij de vragen die daar leven. ■
Verder lezen
Van Zanten, M., Barth, F., Faarts, J., Van Gool, A., & Keijzer, R.
(2009). Kennisbasis Rekenen-Wiskunde voor de lerarenopleiding
basisonderwijs. Den Haag: hbo-raad.
www.fi sme.science.uu.nl/panama/
www.elwier.nl
www.ipabo.nl/sf.mcgi?2529&cat=376
www.kennisbasispabo.nl/
R O N A L D K E I J Z E R
A N N E K E VA N G O O L
Over de auteurs
Ronald Keijzer is als lector rekenen-wiskunde verbonden aan de Hogeschool
iPabo. Daarnaast is hij projectleider van het ELWIeR-project en betrokken bij de
landelijke toetsing van de kennisbasis.
Anneke van Gool jarenlang docent rekenen-wiskunde en didactiek geweest
aan de Fontys Pabo in Tilburg en werkt momenteel voor Malmberg aan
Rekenblokken. Daarnaast is zij betrokken bij het Panamaproject.
63
64
R E K E N E N O P S T E N D E N
1
2 5 meisjes en 10 jongens.
3 De hond legt 3000 meter af.
4 Gemiddelde leeftijd in gefuseerde
bedrijf is 36 jaar.
5
6 23 vierkanten
7 Een doodvermoeide slak:
18 dagen en 17 nachten.
8 Vanaf fi guur 2 draait het fi guur per
stap 45 graden met de klok mee.
De stip verandert van wit in zwart en
vice versa en de donkere en gestreepte
vlakken wisselen van plaats.
Nummer 1 zou er als volgt uit
moeten zien:
9 1000 potten
10 8 jongens
11
200 x 78 = 200 x 78 = 15.600
400 x 39 = 200 x 78 = 15.600
624 x 25 = 200 x 78 = 15.600
(40 x 312) + (20 x 78) = 200 x 78 = 15.600
26 x 600 = 200 x 78 = 15.600
Totaal 1000 x 78 = 78.000
12 14
13 9,375 5% of 9 3/8
14 gelijkzijdige driehoek (e)
15
Verbeteren en onderhouden rekenvaardigheid
Elke dag even oefenen is een heel goede
manier om de rekenvaardigheid te
onderhouden of te verbeteren. Elke dag
oefenen maakt rekenfi t. Ga naar een van
deze sites en ontvang een viertal opgaven
in je mailbox.
• www.rekenbeter.nl
Elke dag vier opgaven, waarvan de
vierde een doordenker is.
• www.beterrekenen.nl
Net als www.beterspellen een test op
de drie niveaus : 1F, 2F en 3F.
Lesideeën en materialen
Ben je op zoek naar lesideeën of
lesmaterialen? Wil je in plaats van het
methodeboek anders rekenen met je
groep? De volgende websites bieden vele
suggesties en ook een aantal uitgewerkte
lesmaterialen, om kinderen aan te zetten
tot denken en redeneren en tot het
oplossen van rekenproblemen.
• www.volgens-bartjens.nl
• www.rekenhoek.nl
• www.rekenweb.nl (Grote rekendag /
speciaal onderwijs / materialen /
rekenspelen / lessuggesties.
• www.leraar24.nl
• www.nieuwsrekenen.nl
Leerlijnen en achtergrond informatie
Wil je meer achtergrondinformatie of
weten hoe het verdere verloop van een
leerlijn is? Wil je meer kennis krijgen
over de referentieniveaus? De volgende
websites bieden je veel informatie en
van daaruit klik je zo door naar nog meer
relevante informatiebronnen.
• www.kennisbankrekenen.nl
• http://tule.slo.nl/
• www.taalenrekenen.nl
• www.kinderenlerenrekenen.nl
• www.fi .uu.nl/rekenlijn/
65
Antwoorden Breinkrakers Rekenen op het web
2
11
9 5
7
14
8
20
12 9
17
21
8
18
26 7
15
33
7
12
5 4
11
9
11
14
15 4 12 3
16
3 6
2 11 5
66
67
Colofon
Rekenen op Stenden is een eenmalige uitgave. Januari 2013.
UitgaveStenden Hogeschool (School of Education), naar een idee van Petra Krajenbrink (‘Maak een boekje’)
RedactieFrits Barth, Francien Garssen, Ton Gelmers, An te Selle
Projectcoördinatie, interviews en eindredactieWillem Bakker
Communicatieadvies Cocq Ouwerkerk
Met medewerking vanCeciel Borghouts, Henk van Boven, Crista Casu, Maarten Dolk, Nisa Figueiredo, Anneke van Gool, Marijke de Jager, Ingrid Janssen, Ronald Keijzer, Erik op den Kelder, Jimke Nicolai, Wil Oonk, Henk Stapert, Marloes Sterk, Rob van ’t Veer en Van Gorcum Uitgeverij.
Met dank aanUitgeverij Van Gorcum. De artikelen ‘Gedachtenvol oefenen. Werken aan een houdingverandering’ en ‘Gedachtenvol oefenen. Mini-lesjes en oefenen met relaties tussen sommen’ zijn eerder gepubliceerd in het tijdschrift Volgens Bartjens, respectievelijk in nummer 3 en 5 van jaargang 2009/2010.De Nederlandse Jenaplanvereniging. Het artikel ‘Levend rekenen: skateboards in de klas’ is in een iets andere vorm eerder verschenen in het tijdschrift Mensenkinderen. tijdschrift voor en over Jenaplanonderwijs, jaargang 27, nummer 132, mei 2012.
Fotografi eWillem Bakker, Frits Barth, Ceciel Borghouts, Crista Casu, Francien Garssen, Jasper Oostlander, Henk Postma, Henk Stapert, Marloes Sterk en An te Selle
Re(d)[email protected] onder vermelding van ‘Rekenglossy’
DrukGrafi sch Service Desk, Canon Business Services, ‘s-Hertogenbosch
VormgevingCanon Business Services, ‘s-Hertogenbosch, Klaas de Vries
Oplage1000 exemplaren
Digitale NieuwsbriefTer begeleiding van deze uitgave wordt drie keer een digitale nieuwsbrief uitgebracht. In december 2012, januari 2013 en maart 2013. Deze Nieuwsbrief is verspreid onder ruim 5000 basisscholen en andere instanties, die een relatie hebben met het primair onderwijs in de provincies ten Noorden van de grote rivieren.
Gun het blad een tweede levenDeze glossy is een product van liefdewerk en mooi papier. Uitgezonderd de eindredacteur, de ontwerper en de drukker, heeft iedereen belangeloos en zonder toegekende uren aan dit project meegewerkt. Gun het blad daarom een tweede leven als u het uit heeft en geef het door aan een collega.
© All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photo-copying, recording or otherwise, without the prior written permission of the Publisher.
01-2013
6868 68
ekenennen oof Education)ol (School ofschooscgesEEe e van Stenden Hogeuitgaveenmalige u l of Educata ion)