Talen
Pages
Wettelijk
Parameterschatting aan niet-lineaire mengselmodellenm.b.v. het KalmanfilterCitation for published version (APA):Lankveld, van, M. A. M. (1989). Parameterschatting aan niet-lineaire mengselmodellen m.b.v. het Kalmanfilter.(DCT rapporten; Vol. 1989.014). Eindhoven: Technische Universiteit Eindhoven.
Document status and date:Gepubliceerd: 01/01/1989
Document Version:Uitgevers PDF, ook bekend als Version of Record
Please check the document version of this publication:
• A submitted manuscript is the version of the article upon submission and before peer-review. There can beimportant differences between the submitted version and the official published version of record. Peopleinterested in the research are advised to contact the author for the final version of the publication, or visit theDOI to the publisher's website.• The final author version and the galley proof are versions of the publication after peer review.• The final published version features the final layout of the paper including the volume, issue and pagenumbers.Link to publication
General rightsCopyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright ownersand it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights.
• Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal.
If the publication is distributed under the terms of Article 25fa of the Dutch Copyright Act, indicated by the “Taverne” license above, pleasefollow below link for the End User Agreement:
www.tue.nl/taverne
Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us at:
providing details and we will investigate your claim.
Download date: 25. Feb. 2019
Parameterschatting aan niet-lineaire
mengselmodellen m.b.v. het Kalmanfilter
tussenrapport door
Mouiqrre van LarIkve1.d
Afs t udeerhoogleraar :
Afst udeercoach:
Prof. Dr. Ir. J.D. Janssen
Dr. Ir. C.W.J. Oomens
Ir. M.A.N. Hendriks
april 1989
Vakgroep Fundamentele Werktuigbouwkunde
Werktuigbouwkundige Medische Technologie
Technische Universiteit Eindhoven
WFW 89.014
Inhoudsopgave
Samenvatting
Literatuur
I lfilclulilg
2 Mengseltheorie
1 T l d A : - m
2.1 Inleiding
2.2 Confined compression
3 Kalmanfilter
3.1 Mathematisch model
3.2 Programmatuur
4 Ciricllat ies
4.1 Inleiding
4.2 Lineair materiaal
4.3 Niet-lineair visco-elastisch materiaal
5 Voortgang en conclusies
Bijlage A Mengseltheorie
I
4
4
5
8
8
9
12
12
14
18
21
Samenvatting
Voor de vergelijkingen die het gedrag van niet-lineaire materialen beschrijven, zoals
kunststoffen en biologische materialen, zijn in het algemeen geen analytische
oplossingen. Het is dan niet meer mogelijk om met klassieke experimenten, waarbij
een homogene rektoestand op het materiaai wordt aangebracht, de materiaal-
parameters te achterhalen. Daarom worden andere methoden onderzocht, een van
die methoden is het Kalmanfilter, een recursieve methode die ontleend is aan de
regeltechniek.
In dit verslag wordt uitgegaan van een mengselmodel met niet-lineaire
visco-elastische eigenschappen. Er is een schattingsprogramma geschreven voor de
materiaalparameters op basis van dit mengselmodel.
De werking van het programma is getest met lineair materiaai, daarna is gekeken
wat de invloed van de belasting op de convergentie van de schattingen voor de
mat er iaalp ar amet er s is.
Liter at u u
M. A.N. Hendriks; Het Kalman-filter als parameterschattingstechniek, intern
rapport TUE, vakgroep WFW, 1987
M.A.N. Hendriks; The use of a Kalman filter for the mechanical
characterization of biological tissues, 1989, in voorbereiding
J.J. Kok;
F.M.J. Linssen;
Werktuigbouwkundige regeltechniek, collegedictaat TUE
nr. 45 94
Bepaling van materiaa!eigenszhappeo m.b.v. filtertechfiiekm,
afstudeerverslag TUE, rapportnr. WFW 87.070, 1987
J.P. Norton; An introduction to identification, Academic Press, 1986
C.W.J. Oomens; A mixture appraoch to the mechanics of skin and subcutics.
A contribution to pressure sore research, proefschrift TH
Twente, 1985
C.W.J. Oomens en D.H. v. Campen; A mixture approach to the mechanics of skin,
Journal of Biomechanics Vol 20, No 9, pp 877-885, 1987
M. v. Ratingen; Theorie en toepassing van het Kalman-filter als parameter-
schattingstechniek, stageverslag TUE, rapportnr. WFW
88.062, 1988
A.A.K.J. Sauren en C.W. J. Oornens; Biologische materialen, collegedictaat TUE
nr.4589
H. Snijders; Programma CONF, 1988
1
Hoofdstuk 1: INLEIDING
In het kader van het Project 'Mechanische karakterisering vezeiverséerkie
kunststoffen' wordt een nieuwe methode ontwikkeld om de mechanische
eigenschappen van kunststoffen en biologische materialen te achterhalen.
De gebruikelijke manier om materiaaleigenschappen te bepalen is om, na het
opstellen van een materiaalmodel dat een verband tussen rek en spanning weergeeft,
een experiment op te zetten, waarin een proefstuk van het betreffende materiaal
zodanig wordt belast, dat in een deel van het materiaal een homogene rektoestand
ontstaat. Dit betekent dat men rekken kan bepalen door vervormingen van eindige
stukken materiaal te meten en dat de vergelijkingen en randvoorwaarden die het
experiment beschrijven een analytische oplossing hebben, waardoor een confrontatie
tussen experiment en theorie relatief eenvoudig is. Door vergelijking van het
meetresultaat en het analytisch verband volgen de waarden voor de
mat eri aalparamet ers.
Voor complexere materialen kan dit problemen van theoretische of practische aard
opleveren. Voor inhomogene materialen is het onmogelijk om een homogene
rekdistributie te realiseren, en vaak is het materiaalgedrag dermate complex dat
zelfs bij homogene rektoestanden geen analytische oplossingen beschikbaar zijn. Er
zal dan gezocht moeten worden naar een andere opzet van experimenten , en in
plaats van een analytisch verband zal gebruik gemaakt moeten worden van een
numerieke techniek om de resultaten van het experiment te voorspellen.
Bovengenoemd onderzoeksproject loopt volgens twee lijnen. De eerste lijn richt zich
vooral op aspecten die te maken hebben met anisotropie en inhomogeen
materiaalgedrag. Dit gebeurt door middel van proeven en simulaties aan elastische
materialen. De tijd speelt hier geen rol.
De tweede lijn, waarvan het onderhavige project deel uitmaakt, is vooral gericht op
het gedrag van materialen die tijdsafhankelijk gedrag vertonen en beperkt zich
voorlopig tot experimenten die met l-dimensionale modellen te beschrijven zijn.
Bij klassieke materiaalexperimenten aan visco-elastische materialen kan men
globaal twee st rat egieën onderscheiden, ni. tijdsdomein- en frequentiedomeinsiudies.
Bij de tijdsdomeinstudies doet men meestal kruip- of relaxatieproeven, waarbij de
respons van het materiaal op een 'stap' in de belasting of verplaatsing wordt
aangebracht. De achtergrond van deze keuze is dat een analytische oplossing bij deze
belastingsgeschiedenis vaak voorhanden is. Het grootste nadeel van deze methode is
dat een 'stap' niet te maken is, bovendien is voor veel niet-lineaire materialen geen
analytische oplossing beschikbaar.
Frequentiedomeinstudies zijn eenvoudiger uit te voeren en bieden veel voordelen
maar zijn minder geschikt voor niet-lineaire materialen omdat het
superpositiebeginsel dan niet meer opgaat. Daarom wordt er gezocht naar een
alternatieve met hode.
Van Ratingen (1988) heeft een methode uitgewerkt waarmee in het tijdsdomein de
materiaalparameters konden worden bepaald voor niet-lineaire materialen en
waarbij een willekeurige belastingsgeschiedenis kan worden aangebracht. Hierbij is
gebruik gemaakt van het Kalmanfilter (Hendriks, 1987) als schattingsalgoritme. Hij
heeft daartoe een programma op een PC geschreven en het programma gebruikt voor
simulaties en analyses van experimenten aan EPDM-rubber. Ofschoon het
schattingsproces zo geformuleerd was dat het niet-lineair in de parameters werd, is
alleen aan lineair visco4astisch materiaal onderzoek gedaan zodat nog met een
analytische modeloplossing gewerkt kon worden. In deze afstudeeropdracht zal
2
onderzoek gedaan worden naar niet-lineair visco-elastisch materiaalgedrag,
waarvoor geen analytisch oplossingen van het model meer zijn te vinden.
De doelstelling van het onderzoek luidt als volgt:
Het schrijven van een programma voor de analyse van poreuze materialen op
basis van de confined compression proef en het uitvoeren van simulaties en
experimenten ten einde de materiaalparameters te bepalen.
In dit verslag zullen de volgende zaken behandeld worden:
In hoofdstuk 2 wordt een beschrijving gegeven van de mengseltheorie en de confined
compression proef. In hoofdstuk 3 wordt het Kalmanfilter beschreven, en het
programma voor bovengenoemde analyse.
In hoofdstuk 4 worden experimenten gesimuleerd en de parameters geschat.
In hoofdstuk 5 worden een aantal conclusies gegeven en wordt aangegeven wat de
voortgang zal zijn.
3
Hoofdstuk 2: MENGSELTHEORIE
2.1 Inleiding
Poreuze stoffen zijn mengsels van een vaste stof en een vioeistof.
Op deze mengsels zijn de volgende relaties van toepassing:
+ -*
V*(a-pI) = o
B = a(F)
-*
V*Ss - $*(K.Vp) = O
K = K(F)
Voor een afleiding wordt verwezen naar bijlage A.
V = de gradiëntoperator -t
(T = de spanning in de vaste stof [N/m21
p = de hydrodynamische druk in vloeistof en vaste stof [N/m2]
I = de eenheidstensor
Ss = de snelheid van de vaste stof
K = de permeabiliteitstensor
F = de deformatietensor
Verg.(2.1) is de impulsbalans voor het mengsel. Verg.(2.2) -dit is de massabalans-
laat zien dat een volumeverandering van de vaste stof (?a$') alleen mogelijk is door
uitstroming van de vloeistof. Verder is de spanning in de vaste stof alleen afhankelijk
van de deformatie. Dit impliceert elastisch gedrag van de vaste stof, maar staat toe
4
dat er geometrisch en fysisch niet-lineair gedrag optreedt. Ook de permeabiliteit is
afhankelijk van de deformatie.
Het volgende is hierbij aangenomen:
- beide fasen zijn intrinsiek incompressibel, dwz. de echte dichtheden (massa
per werkelijk volume) zijn constant
er is geen chemische interactie tussen de materialen
de vaste stof is zuiver elastisch
de vloeistof is Newtons
t raagheidseffect en zijn te verwaarlozen
de temperatuur is constant naar tijd en ruimte
de gravitatie speelt geen rol
2.2 Confined compression
Bij de confined compressionproef wordt een poreus, met vloeistof verzadigd
proefstukje opgesloten in een cilinder met poreuze bodem, en wordt belast door een
stempel, die ook precies in de cilinder past. De beweging langs de rand wordt
wrijvingsloos verondersteld en de permeabiliteit van de bodem is vele malen groter
dan die van het proefstukje. Door deze randvoorwaarden is de deformatie
l-dimensionaal en de stroming van de vloeistof vindt ook alleen in de y-richting
plaats. Er heerst echter geen lijnspanningstoestand, aangezien de vervorming in
radiale richting onderdrukt wordt , vanwege de dwarscontractie zijn er dus wel
spanningen in die richting.
Tijdens de proef wordt de verplaatsing van de stempel gemeten als functie van de
opgelegde belasting.
5
F I
piston
Fig. 2.1 Confined compression proef
De gehele proef is nu eendimensionaal, en de vergelijkingen (2.1) en (2.2) reduceren
tot:
g+0
s2u s sp J g % - a y ( K i ; y ) = o
waarbij a de normale Cauchy spanning van de vaste stof op een vlak met de normaal
in de y-richting is, X de hydrodynamische druk, v de verplaatsing in y-richting en
K de permeabiliteit in y-richting.
Het verderop beschreven eindige elementen model (EEM) biedt de mogelijkheid om
te rekenen met het volgende materiaalmodel voor de vaste fase:
S = H E exp(a, E)
waarbij S de 2e Piola Kirchhoffspanning is, E de Green Lagrangerek, H de confined
6
compression modulus in [N/m2] en Q een dimensieloze materiaalconstante.
Van sommige mengsels hangt de permeabiliteit af van de vervorming. Hier wordt
gebruik gemaakt van het volgende model:
I( = KO exp [M (ciet (Fj - ij] (2.8)
waarbij KO en M materiaalconstanten zijn en [det (F)] de determinant van de
deformatietensor is. KO heeft de eenheid [m4/Ns], M is dimensieloos.
7
Hoofdstuk 3: KALMANFILTER
3.1 Mathematisch model
Om uit experimenten materiaaiparameters te vinden, moeten de meeigegevens
geconfronteerd worden met een numerieke analyse. Een methode hiervoor vertoont
overeenkomst en met de zogenaamde filterproblemen, zoals die voorkomen in de
regeltechniek.
Als de materiaalparameters in kolom N staan en de meetwaarden, bv. verplaatsingen
en krachten, in kolom z, kan het verband als volgt geschreven worden:
N z = l l ( x ) +! (3.1)
waarbij ! de meetfouten zijn, die gezien kunnen worden als witte ruis met
verwachting nul, E[! ] = O. Voor de intensiteitsmatrix van de meetfout geldt dat
R = cov v. N De functie h N is niet expliciet bekend, maar de functiewaarden kunnen
T
berekend worden met een EEM-programma voor gegeven N.
Voor het bepalen van de kolom 5 bij gegeven 2 is het mogelijk om het zogenaamde
‘extended’ Kalmanfilter af te leiden (Hendriks, 1989).
Stel dat op tijdstip k voor 5 de schatting x(k) N wordt gemaakt. Om de schatter
x(k+l) N te bepalen wordt het gewogen verschil tussen de gemeten kolom g(k+l) en
de berekende kolom h(x(k),k+l) N N opgeteld bij de oude schatting x(k): N
A A
x(k+l) N = i(”) + K(k+l) [z(k+l) - h(k(k),k+l)] N N
8
,.
De schatter x(k) moet de variantie van de schattingsfout, dit is de covariantiematrix ,. r m
&(E) waarbij H(x(k)) = bx
N
P(k) = E{ [x(k) N - ~ ( k ) ] [x(k) - ~(k)] '}) minimaliseren. Voor P geldt:
en Q de intensiteitsmatrix van de modelfout is. E = z(k)
P(k+l) = [I - K(k+l) H(k+l)] [P(k) + Q] [I - K(k+l) H(k+1)lT + K(k+l) R E<(k+ljT (3.3)
Na enig rekenwerk (Hendriks,1989) kan de optimale Kalman Gain matrix gevonden
worden:
T K(k+-1) = [P(k) + &I H(k+1) (M(k+l) [P(k) + Q] H(k+l) + RIF1 (3.4)
r
Het is nodig een beginschatting voor x N en P te maken, dit zijn resp ~ ( 0 ) en P(O),
gegevens kunnen bv. uit klassieke experimenten gehaald worden. Verder zijn
statistische gegevens nodig voor de systeem- en meetruis Q en R.
Met het Kalmanfilter is het mogelijk meerdere materiaalparameters tegelijk met een
experiment te bepalen.
3.2 Programmatuur
De programmatuur van het Kalmanfilter moet bij gemeten spanning en rek de
waarden van de matariaal parameters opleveren. Daartoe is een programma in
FORTRAN op een PC geschreven dat als volgt is opgezet: de meetwaarden (in dit
geval een opgelegde belasting en een resulterende verplaatsing) worden ingelezen.
9
Voor de materiaalparameters zijn beginschattingen nodig en hun variantie, die een
maat is voor de betrouwbaarheid. Ook moeten een systeemfout en een meetfout
opgegeven worden, de rest van de input wordt dan x(O), N P(O), Q en R.
In het iteratieproces wordt bij de actuele materiaalparameters de verplaatsing als
functie van de externe belasting berekend, vervolgens wordt voor een variatie rond
iedere parameter nogmaals de verplaatsing berekend. Op deze manier onstaat de
afgeleide van de functie h, N dit is H. Deze kolommatrix wordt gebruikt om de
weegmatrix, de Kalmanmatrix, te bepalen, samen met de covariantiematrix. Het
verschil tussen de gemeten en de berekende waarde van de verplaatsing wordt
gewogen en levert een nieuwe schatting voor de materiaalparameters.
Voor de berekening van h en H wordt gebruik gemaakt van een 'special purpose'
EEM-programma dat geschreven is door Snijders (1988) en speciaal geschikt is voor
analyses van de confined compression proef met niet-lineaire materialen. Dit
programma wordt als subroutine aangeroepen. Deze subroutine heeft de naam
CONF.
Om gericht te zoeken naar de waarde van een bepaalde parameter of om bekende
parameters constant te houden is het mogelijk om slechts een deel van de parameters
te variëren, op deze manier kan een grote tijdwinst verkregen worden. Voor iedere
parameter die gevarieerd wordt, moet voor iedere tijdstap de afgeleide van de functie
h N berekend worden. Als n het aantal te variëren parameters is, moet CONF per
tijdstap n+l maal aangeroepen worden.
In onderstaande figuur staat een flowchart van het programma KALMAN.
10
begin ,.
read x(O), N P(O), meettijd, grootte van een tijdstap,
fijnheid van de mesh, aantal te variëren parameters
read 2
begin loop (t = O to 'meettijd') .. .*,
bereken c = c(x(t))
begin loop (i = 1 to 'aantal te variëren parmeters')
xi := xi + &i
bereken ci = ci(xi(t))
bereken ci - 6 --i. H
end loop i
bereken K(t+í)
bereken x( t +i)
bereken P(t+l)
,.
print &t+i) N en P(t+1>
end loop t
end
Fig. 3.1 KALMAN
11
Hoofdstuk 4: SIMULATIES
4.1 Inleiding
Als voor de simulaties uitgegaan wordt van een materiaal mei bekende
materiaalparameters, kan de werking van het Kalmanfilter getest worden. Met een
EEM-programma kunnen voor een confined compression proef de verplaat singen als
functie van de externe belasting berekend worden. Als de belastingen en de
verplaatsingen gebruikt worden als 'meetgegevens', en als voor de
materiaalparameters waarden gekozen worden, die afwijken van de werkelijke
waarden, kan gekeken worden of het Kalmanfilter de juiste waarden voor die
mat eriaalparamet ers kan vinden.
Er is uitgegaan van poreus EPDM-rubber, gevuld met water, zodat een mengsel is
ontstaan. Uit eerdere experimenten is bekend dat H = 1 - lo6 [N/m2] en dat
KO = 1 [m4/Ns]. In eerste instantie wordt verondersteld dat de spanning en de
permeabiliteit onafhankelijk zijn van de rek, dus a = M = O. Zolang de belastingen
klein zijn, komt de afhankelijkheid van de rek niet tot uitdrukking, deze
vereenvoudiging is dan geoorloofd.
Voordat simulaties gedaan kunnen worden moet eerst iets over het gedrag van het
mengsel in een confined compressionproef bekend zijn. De vragen hierbij zijn:
-
-
Er moeten een paar veronderstellingen gedaan worden om deze vragen te
beantwoorden.
In eerste instantie wordt het materiaal lineair verondersteld, dus a = M = O, en er
wat is de ordegrootte van de belasting die aangebracht moet worden?
hoe groot moet de meettijd zijn?
12
wordt van uit gegaan dat tot een rek van 5% deze linearisatie geoorloofd is. Voor de
Cauchy spanning kan bij kleine vervormingen en lineair, isotroop materiaal
geschreven worden:
a = H € (4. í )
Hieruit volgt dat de maximale belasting voor lineair materiaal ca. a = 5 - lo4 [N/m2]
wordt.
Als de belasting stapvormig is, zal het materiaal na enige tijd een
evenwichtstoest and bereikt hebben, de meettijd kan gelijk genomen worden aan deze
kruiptijd. De kruiptijd is globaal gelijk aan : (Oomens, 1985)
waarbij L de lengte van het proefstuk is.
De meettijd wordt bij L = 1 gelijk aan 100 [SI.
Om de parameters te schatten zijn naast de meetgegevens ook beginschattingen voor
de parameters en hun varianties nodig. Als de getalwaarden van de parameters erg
veel verschillen in ordegrootte, zullen de varianties nog meer verschillen. De
diagonaal van de covariantiematrix P heeft dan zeer grote en zeer kleine getallen. De
rekenprocedures kunnen zeer instabiel worden. Om dit probleem te omzeilen worden
de krachten in MN uitgedrukt. De materiaalparameters H en KO worden dan resp.
gelijk aan 1 [MN/m2] en 0.01 [m4/MN SI. De spanning op het proefstukje wordt dan
o = 5.10-2 [MN/m2].
13
Voor de schattingsprocedure zijn de meetfout en de systeemfout van belang. De
meetfout wordt op 1% van de eindwaarde van de verplaatsing gesteld. De totale
verplaatsing is in het lineaire geval gelijk aan:
(4.3)
De totale verplaatsing is gelijk aan 5.10-2, de meetfout is 5-10-*, de
intensiteitsmatrix van de meetfout, R, wordt 25. Er wordt verondersteld dat er
geen modelfout is, de intensiteitsmatrix Q is gelijk aan de nulmatrix.
Het gedrag van het mengsel kan nu met het EEM-programma gesimuleerd worden.
Vervolgens worden de materiaalparameters 'geschat' met het Kalmanfilter.
4.2 Lineair materiaal
Omdat eerst een indruk gekregen moet worden van de invloed van verschillende
factoren op het schattingsproces wordt gekeken naar lineair materiaalgedrag. Enkele
van deze factoren zijn: grootte van de tijdstappen, verschillende belastingspatronen,
fijnheid van de mesh, grootte van de beginschatting, verstoring van de meetdata. T De materiaalparameters zijn als volgt: 5 = (H, a, KG, M), dus xT N = (1, O, 0.01, O).
Als eerste is een stapvormige belasting aangebracht, a = 5.10-' [MN/m2], en is de
mesh verdeeld in 10 gelijke elementen. De meettijd van 100 [SI is verdeeld in stappen
van 5 [SI. De waarden voor de beginschattingen, met bijbehorende covariantiematrix
P(0) en de eindschattingen zijn gegeven in tabel 4.1:
14
sim.
- 1
2
3
4
5
1.5 x N
1.2 x N
0.8 x N
1.2 x1 O 0.8 x3 O
I 1.2 x1
0.8 x3 O
O
[:.as i 5 10-6 1 [,*O4 4 10” i [:’O4 4 10-6 I
[:-O4 4 10” I
[:-O4 : 10” I
x,(eind)
0.992
0.998
0.994
1 .o00
1 .o00
x3( eind)
0.974-
0.992.
O .984 *
1.000.
1.001 * 10-2
Tabel 4.1 Invloed van de beginschatting
Zelfs als de beginschattingen 50% afwijken van de werkelijke parameters, is de
convergentie in 20 stappen ai zeer goed.
Vervolgens wordt gekeken naar de invloed van kleinere tijdstappen, een fijnere mesh
(opgegeven is het aantal elementen) en een verstoring van de meetgegevens van
f 10%. De beginschatting is iedere keer 1.2 x en de meettijd 100 [SI. N
15
sim. mesh
10
10
15
10
~
5
2.5
5
5
verstoring
nee
nee
nee
ja
x,(eind)
0.998
0.998
U.398
0.999
x3( eind)
Tabel 4.2 Invloed van de mesh, tijdstap en verstoring van de meetgegevens
Ook hier zijn de resultaten van de parameterschatting goed. In verband met kortere
rekentijden verdienen een grovere mesh en een grotere tijdstap de voorkeur.
De volgende factor waar naar gekeken wordt is de invloed van de belasting op het
schattingsproces. De belasting wordt gevarieerd, dit is te zien in Fig. 4.1.
De meettijd is weer 100 [SI, verdeeld in 20 stappen, de mesh bestaat uit 10 gelijke
elementen, de beginschatting is gelijk aan 1.2 5.
Tabel 4.3 Eindschattingen bij variabele belasting
16
simulatie 1 1 simulatie 10
O l M W n Z l -
- 0 20 40 €€I bo 100
lm 1.1
simulatie 12
- U l W d
I
- oiMum21
.
0.04
0.02 1 0.01 u O00 f 83
- 0 20 40 60 u
O 0 5
0.
O 03
o 02
0.0 1
O W . o 43 80 120 li50 210
I- Is1
Fig. 4.1 Opgelegde belasting als functie van de tijd
De eindschattingen van sim. 10 zijn minder goed dan die van sim. 11 en sim. 12. De
eindwaarden van de covariantiematrix P zijn voor sim. 10 hoger dan voor sim. 11 en
sim. 12, de betrouwbaarheid van de schattingen van sim. 10 is dus minder. Ook als
naar het verloop van de schattingen tegen de tijd wordt gekeken, is te zien hoe
nauwkeurigheid de schattingen zijn. Als de schattingen voor de materiaalparameters
nog sterk variëren zijn de parameters nog niet naar hun werkelijke waarden
geconvergeerd.
Nu een indruk is gekregen van verschillende factoren, kan naar niet-lineair
mat er i aal gekeken worden.
17
4.3 Niet-lineair visco-elastisch materiaal
Er wordt nog steeds uitgegaan van een lineair verband tussen rek en spanning, maar
de permeabiliteit is een functie van de rek: K = KO exp[M (det(F) - i)] (verg. 2.8).
Een benadering voor M is IVl = 10.
Bij de volgende simulaties wordt de rijmatrix x N gelijk aan (1, O, 0.01, 10). De mesh
wordt weer in 10 gelijke elementen verdeeld, de tijdstappen zijn gelijk aan 5 [SI, de
totale meettijd is 100 [SI en de beginschatting 1.2 N. Er wordt in eerste instantie een
stapvormige belasting aan gebracht.
T
- sim.
1
la
2
3
4
0 [MN/m2]
5.0. lo-'
5.0. lo-'
1 .o 10-1
1.5. 10-1
2.0 * 10-1
xl( eind)
0.986
0.995
0.967
0.971
1 .o02
1.060.
1 .O61 * lo-'
1 .O66 * lo-'
1.015. lo-'
1.006. lo-'
x4( eind)
12.21
11.85
11.22
10.22
10.07
Tabel 4.4 Eindschattingen bij stapvormige belasting
Sim. l a is een verlenging van sim. 1, en heeft een meettijd van 200 [s].
Naarmate de belasting hoger wordt is de eindschatting voor M beter, het
niet-lineaire effect komt beter tot uitdrukking naarmate de belasting hoger wordt.
De parameters H en KO worden beter geschat bij een lage belasting, maar hun
convergentie is ook afhankelijk van de waarde van M.
18
Om het schattingsproces te verbeteren zijn de volgende mogelijkheden: de mesh kan
verfijnd worden, de totale meettijd kan langer gemaakt worden -vergelijk sim.1 met
sim.la- of de tijdstappen kunnen korter worden. Dit heeft echter tot gevolg dat de
rekentijd zeer veel langer wordt. Een opsplitsing van het schattingsproces kan een
enorme tijdwinst betekenen. Twee keer een schatting van 20 stappen duurt korter
dan een schatting van 40 stappen. Als H en KO bij een lage belasting geschat worden,
terwijl M 'vastgehouden' wordt, kunnen de eindwaarden als voldoende nauwkeurig
beschouwd worden. In sim. 1 is M nauwelijks geconvergeerd gedurende de schatting,
vasthouden levert een tijdwinst op van een kwart van de totale rekentijd. Als de
eindwaarden voor H en KO in de volgende schatting gebruikt worden als 'echte'
waarden, kan M bij een hoge belasting bepaald worden.
Ook kan gekeken worden of het schattingsproces beter verloopt als de belasting niet
stapvormig is, maar volgens een willekeurig patroon wordt aangebracht, zie Fig. 4.2.
De resultaten zien er als volgt uit:
Tabel 4.5 Eindschattingen bij variabele belasting
19
s:muiane 5 srmulatir o
O 20
. . _ - 25 rio E5 sc. 133
1 : n e is!
Fig 4.2 Opgelegde belasting
De drie parameters worden allemaal goed geschat binnen een korte meettijd (dus
korte rekentijd) en bij een relatief lage belasting. De rek ligt in deze simulaties
tussen de 3.5% en de 7.5%, het is dan nog aanvaardbaar een lineair verband tussen
rek en spanning te veronderstellen. Als de spanningen hoger zijn, zoals bij sim. 2, 3
en 4, zijn de eindrekken resp. 8.2%, 10.9% en 12.45%.
20
Hoofdstuk 5: VOORTGANG EN CONCLUSIES
Nu kan met de simulaties een belastingsveld bepaald worden, waarbij de materiaal-
parameters snel convergeren.
Als dan experimenten uitgevoerd worden, Kan uit relatief weinig nieeiwaaîdeu tu&
een betrouwbare schatting gemaakt worden voor de materiaalparameters.
Om beginschattingen voor H en eventueel Q te vinden kunnen zogenaamde klassieke
experimenten gedaan worden, zoals trek- en/of drukproeven. Om beginschattingen
voor de permeabiliteit te vinden kan gedacht worden aan de volgende proef:
Fig. 5.1 Meting van de permeabiliteit
In een buis die gevuld is met de vloeistof, is een prop van de vaste stof aan gebracht
met lengte L en oppervlak A. Ten gevolge van het drukverschil stroomt er vloeistof
door de prop. Voor KO geldt:
* Q ' K, = 7
AP
21
* * Q * PI42 Hiebij is Q de flow (Q = en AP is gelijk aan -- Voor de meetopstelling voor de eigenlijke experimenten wordt gedacht aan het
volgende ontwerp:
Fig. 5.2 Mogelijke meetopstelling
Aan een wip bevindt zich aan de ene kant de zuiger die het proefstukje belast en aan
de andere kant een contragewicht om de wip uit te balanceren. Over deze wip rijdt
een rol. De afstand van de rol tot aan het draaipunt van de wip is een maat voor de
kracht van de zuiger op het proefstuk:
Lr r G F = F
22
De conclusies van dit onderzoek luiden als volgt:
- Met het Kalmanfilter is het mogelijk om materiaaleigenschappen van
niet-lineair materiaal te schatten.
De belasting hoeft bij experimenten aan visco-elastisch materiaal niet
beperkt te worden tot een stapvormige belasting.
Met weinig meetwaarden en slechte beginschattingen is het mogelijk toch
goede waarden voor de materiaalparameters te vinden .
23
Biilage A: MENGSELTHEORIE
Inleiding
I ~ p ~ q y ~ Kan gezien W-uïden As de sqjzrpûsitie ysa 3 c-jntinua. nit ;$~il zeggen
dat iedere component van het mengsel als een continuum beschouwd wordt, dat over
het gehele mengselvolume is uitgesmeerd, dus ook over posities die in werkelijkheid
door andere componenten worden ingenomen. De beweging van een component mag
geïsoleerd worden van de beweging van het mengsel. Hierdoor is het mogelijk voor
elke component afzonderlijk de normale behoudswet ten te formuleren. Op ieder
tijdstip wordt iedere positie van het mengsel ingenomen door n deeltjes, waarbij
ieder deeltje correspondeert met een cûxpûner;t van het mengsel.
In de behoudswetten voor een component komt de aanwezigheid van de andere
componenten tot uitdrukking in een interactieterm. Afgezien van deze
interactietermen zijn de behoudswetten gelijk aan die voor enkelfasige materialen.
De behoudswetten voor het gehele mengsel moeten dezelfde gedaante hebben als die
van een enkelfasig materiaal. Het mengsel "weet" namelijk niet dat het een mengsel
is.
Omdat iedere component als een continuum beschouwd wordt, hebben
eigenschappen die per oppervlakte- of per volume-eenheid beschouwd worden een
"werkelijke" en een "schijnbare" waarde. De eerste heeft betrekking op het
werkelijke volume van de component, de tweede op het totale mengselvolume. a
(A4 a m P* =- De echte dichtheid van component a is: Va
de schijnbare dichtheid is: & - m a P -r
De volumefractie van component Q is:
Omdat iedere component als een continuum beschouwd wordt, worden de fysische - - - - L L - J n - --n- A n nnmnnnnntnn nwnr hat rnancrdxrnliiyuiP UitrrPsrnPPrd g1UUbll tXit ; l l v all UG LuiiipuubiIiubiIiI v v -I IIUU L L I - ~ ~ ~ ~ " ~ . Hiert,Oe Wordt O-------- - =
een middelingsprocedure ingevoerd, waarmee aan ieder punt in de ruimte de
gemiddelde waarde van de beschouwde fysische grootheid in de directe omgeving van
dat punt wordt toegekend. Rond dat punt wordt een elementair volume VE
gedefinieerd.
Voor een willekeurige fysische grootheid y geldt nu:
De positie 2 van een deeltje van een van de componenten is een functie van de tijd
en van de positievector van het beschouwde deeltje in de oorspronkelijke
configuratie:
Verder kan een snelheidsveld gedefinieerd worden door:
01
Voor de materiële tijdsafgeleide van een of andere fysische grootheid $ moet een van
de component en als referent ie dienen:
-b
waarbij V de gradiëntoperator mbt. de coördinaten van de vervormde configuratie is.
Als ;5.I een vector is, geldt:
Behoudswetten
De behoudswetten worden nu op twee niveau's geformuleerd, op een lokaal niveau,
dwz. voor iedere fase afzonderlijk, en op het mengselniveau:
lokaal niveau mengselniveau
behoud van massa
behoud van impuls
behoud v. impulsmoment
a -b g + p a w = c" i$+ p v . 3 = o a ' a + a Q a p 3 =Va + p a +P
aQ =
- to+ 4 P D t - C o = (a)
(A.lO)
(A.ll)
waarbij cQ de massavoorziening aan component Q die afkomstig is van andere
componenten door bv. chemische reacties representeert , verder is a de volumekracht
per massa-eenheid, is de volumekracht door interactie met andere componenten,
die veroorzaakt wordt door de relatieve beweging. Voor dit is de
+ impulsmomentinteractieterm, moet gelden: = O
De eerste hoofdwet van de thermodynamica (de energiebalans) ziet er als volgt uit:
(A.12) op Inkaal niveau: p cp -aa:Da-Q.h -i-p r + c a
op mengselniveau: P D t % - o : D - ? . h + p r - (A.13)
a;a - + + a a01
waarbij cp de specifieke inwendige energie is, D de deformatietensor (D = b), h de
warmtestroomdicht heid en r een bronterm die de energieproductie weergeeft.
Voor de interactietermen moet het volgende gelden:
a U c c = o G I U c ( P + c $ ) = O a a -1 c al=l
U o f f a a l a a
(€"+?f .$ + c (cp + z $ * $ ) ) = o -$
U c m a = o a=l
(A.14)
(A.15)
(A.16)
(A.17)
Een voorwaarde hierbij is dat de snelheid en de specifieke inwendige energie van een
nieuw gevormd deeltje gelijk zijn aan die van zijn omgeviog.
Over de tweede hoofdwet (de entropiebalans) bestaat nog discussie. De vraag is of
men grootheden als entropie, vrije energie, etc. moet definiëren voor het mengsel als
geheel en dan eisen dat de entropieproductie groter of gelijk aan nul is. Het is nl. ook
mogelijk thermodynamische grootheden toe te kennen aan de componenten en dan
eisen dat de totale entropieproductie groter dan nul is. Dit zou betekenen dat er
componenten kunnen bestaan waarvoor de entropieproductie kleiner dan nul is.
Er wordt nu gesteld dat de entropieproductie van het mengsel groter of gelijk aan
nul moet zijn, maar dat dit niet perse voor iedere fase afzonderlijk hoeft te gelden:
a a a a a a a a + + a 1 ' @ ' a v C T n ~ i - O ij + 6 c 7 -p r +V.h +--(h .VO ) ] > O ,-
u- n- 1 I OU (A.18)
waarbij q de specifieke entropie is en d de temperatuur.
Als de Helmholz vrije energie geïntroduceerd wordt, (A = cp - 17 O), leidt dit tot:
1 ' a ' a -- (h e V 0 )] > O Ba
(A.19)
Mengsels van een vaste stof en een vloeistof
Er zijn biologische weefsels die goed beschreven kunnen worden met
mengseltheorieën, zoals bv. kraakbeen en huid. Ook op poreuze kunststoffen, gevuld
met water, zijn deze theorieën van toepassing.
Er worden de volgende aannames gedaan:
de temperatuur is constant, en onafhankelijk van de plaats. Belde fasen
D( 0) 00 'o! + hebben dezelfde temperatuur. Er geldt dat .Dt- = O en Vd = O. f beide fasen zijn intrinsiek incompressibel, de echte dichtheden p$ en p* zijn
const ant.
er is geen chemische interactie, dus ca! = O. -
Voor de massabalans van het mengsel geldt dan:
(A.20)
Hieruit is te zien dat een volumeverandering van de vaste stof (t.@) alleen mogelijk
is als er vloeistof uit het mengsel verdwijnt.
Een proces is thermodynamisch toelaatbaar als er voldaan wordt aan de
behoudswetten en aan de hoofdwetten van de thermodynamica. Zowei de eerste
hoofdwet als de imulsbalans bevatten brontermen (aa en ra), die in principe vrij te
kiezen zijn, zodat het altijd mogelijk is aan deze wetten te voldoen. Bij de
massabalans is dit niet het geval, zodat deze als enige nevenvoorwaarde bij de
tweede hoofdwet overblijft. De massabalans kan in rekening gebracht worden met
een Lagrangemultiplicator A. De constitutieve wetten van een mengsel moeten dus
aan de volgende voorwaarde voldoen:
-PA f . f - P A S'S + o s : ~ S + o f : ~ f - % s . ~ S - f . $ f f + x ( a . n f ( 3 f - i r s ) + P . ~ S ) > 0
worden gekozen: F, p f , g = Vp + f , i4 = $ f s - 3 .
(A.21)
Als onafhankelijke variabelen - waarvan de constitutieve relaties een functie zijn -
Hierbij kan het volgende opgemerkt worden:
- de vaste stof gedraagt zich als een zuiver elastisch lichaam,
p geeft iets weer van de verhouding vloeistof/vaste stof, f
+ f Vp speelt een rol bij de impulsoverdracht, evenals het snelheidsverschil tussen
vaste stof en vloeistof. f s f s f De andere parameters, nl. A , A , a , o , en 3' (? = - %') zijn een functie van de
onafhankelijke parameters. Na substitutie in verg.(A.21) en veel rekenwerk ontstaat
( f ) ( f ) een vergelijking waarin de termen DS, Df, $Es, $ g, u ' en $. 3 als lineaire Dt ' Dt combinatie voorkomen. De coëfficiënten van die lineaire combinatie zijn uitsluitend
een functie van de onafhankelijke parameters. Deze vergelijking moet gelden voor
elke willekeurige variatie van de set van parameters, daarom moeten de coëfficiënten
van deze termen nul zijn. Dit leidt tot de volgende relaties:
- = o SAS
- = o SAf
- = o SAf
.“g
62
SEs f SAf
--P - s SAs
P -- 8% SQ
9 * Q + ( p s T + - f ) g ’ Q ’ o SAs X
SP P*
(A. 22. a)
(A.22. b)
(A. 22. c)
(A. 22. d)
(A. 22 .e)
(A. 22. f)
(A. 22 .g)
Interpretatie van de gevonden relaties
Als het mengsel beschouwd wordt als een verzameling korrels die omgeven zijn door
water, en als verondersteld wordt, dat de vloeistof niet beweegt ten opzichte van de
vaste stof, dan zal bij belasting in de korrels een hydrostatische druk p ten gevolge
van het water heersen. Daarnaast zullen er spanningen ontstaan door elastisch
contact tussen de korrels onderling, de contactspanning.
Voor de gemiddelde spanning in een elementair volume geldt:
(A.23)
Als de druk p binnen het volume VE nauwelijks varieert, volgt dat:
(A.24)
De cont actspanning wordt in de grondmechanica effectieve spanning genoemd. Uit
verg.(A.22.e) blijkt dat aeff = pSF*--. Fe en dat de Lagrangemultiplicator X te
interpreteren is als de hydrostatische druk p.
De laatste term representeert de spanning in de vaste stof als gevolg van de
beweging van de vloeistof ten opzichte van de vaste stof.
SEs
uit verg.(A.22.f) geven een verandering van de vrije SAf spf en spf De termen met
energie van de vloeistof aan als gevolg van een verandering in de verhouding
vloeistof/vaste stof. Er wordt aangenomen dat deze termen klein zijn ten opzichte
uit verg.(A.22.g) kan verwaarloosd worden. Verg.(A.22.g) kan f van An I. Ook p 2 dan verder uitgewerkt worden als aangenomen wordt dat 2' een lineaire combinatie
is van 8 en 2:
f s %s = A.8 + B-2 = A.($ - $ ) + B.?? (A.25)
De eerste term is de Stokes drag, dit is in feite de impulsoverdracht van vloeistof
naar vaste stof als gevolg van de beweging van de vloeistof ten opzichte van de vaste
stof. De vloeistof sleept als het ware de vaste stof mee.
Als verondersteld wordt dat B = - -T volgt: x P*
(A.26)
De tweede term is de Buoyancy force, deze ontstaat door dichtheidsverschillen in de
vloeistof.
Als rekening gehouden wordt met het constitutieve gedrag van de vloeistof, en ais
aangenomen wordt dat traagheidseffecten te verwaarlozen zijn en dat de gravitatie
geen rol speelt, volgt voor de impulsbalans van de vloeistof
(A.27)
(A.28)
f De permeabiliteitstensor K kan gedefinieerd worden ais K = (n-)2A-1, er geldt dan:
(A.29)
Dit resultaat staat bekend als de wet van Darcy.
Tot slot kunnen de massabalans en de impulsbalans voor het mengsel afgeleid
worden, substitutie van de wet van Darcy in de massabalans levert:
(A.30)
Substitutie van de constitutieve wetten voor vloeistof en vaste stof in de
impulsbalans levert:
4
?+Teff - XI) = o (A.31)
Top Related