Faculteit Wetenschappen
Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica
Voorzitter: Prof. dr. W. GOVAERTS
DE BENCHMARK AANPAK
IN
VERZEKERINGEN EN FINANCIEN
door
Pieter DE SMET
Promotor: Prof. dr. M. VANMAELE
Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van
MASTER IN DE TOEGEPASTE WISKUNDE
MINOR ECONOMIE & VERZEKERINGEN
Academiejaar 2010-2011
Faculteit Wetenschappen
Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica
Voorzitter: Prof. dr. W. GOVAERTS
DE BENCHMARK AANPAK
IN
VERZEKERINGEN EN FINANCIEN
door
Pieter DE SMET
Promotor: Prof. dr. M. VANMAELE
Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van
MASTER IN DE TOEGEPASTE WISKUNDE
MINOR ECONOMIE & VERZEKERINGEN
Academiejaar 2010-2011
iii
Voorwoord
Vooraleer jullie in te wijden in de theorie der benchmarked portefeuilles wil ik jullie nog even wijzen
op de verdiensten van een groot aantal mensen uit mijn omgeving. Een masterproef schrijft men niet
alleen, heel veel mensen hebben hier een groot aandeel in, ik wil dan ook de tijd nemen deze mensen
stuk voor stuk welgemeend te danken.
Vooreerst wil ik mijn promotor, Prof. dr. Michele Vanmaele, bedanken. Dit jaar begeleidde ze vier
studenten doorheen hun masterproef en ik ben oprecht blij een van hen te mogen zijn. Bedankt voor
het opvolgen van mijn vooruitgangen, bedankt voor het steeds zeer snel beantwoorden van mijn vragen,
bedankt voor het nalezen van de masterproef, bedankt voor de energie die u in dit document gestoken
heeft. Bedankt ook aan de commissarissen voor hun interesse in dit onderwerp, hun tijd die ze aan deze
masterproef besteden.
Daarnaast wil ik nog twee mensen bedanken, twee personen voor wie geen dank te veel kan zijn, mijn
ouders. Moeke en papa, het is in de eerste plaats jullie verdienste dat ik hier nu hoop vijf jaar studeren
tot een goed einde te brengen. Ik ben jullie eeuwig dankbaar voor het vertrouwen dat ik krijg, de steun
die jullie mij geven, jullie inzet elke dag opnieuw. Veel dank en oprecht respect hiervoor! Tot slot
verdienen ook ook mijn broer, zus en vrienden hier een vermelding voor hun interesse, hun werk als
uitlaatklep, hun goede raad en ons samen zijn de voorbije jaren in Brugge en Gent.
Pieter De Smet, juni 2011
v
Toelating tot bruikleen
“De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de
masterproef te kopieren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het
auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij
het aanhalen van resultaten uit deze masterproef.”
Pieter De Smet, juni 2011
INHOUDSOPGAVE vii
Inhoudsopgave
Voorwoord iii
Toelating tot bruikleen v
Inhoudsopgave vii
Inleiding 1
1 Basistheorie financiele wiskunde 3
1.1 Kanstheorie en stochastische processen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Brownse Beweging en Ito-processen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Telprocessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Algemene telprocessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Homogene Poissonprocessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.3 Levyprocessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.4 Uitbreidingen a.d.h.v. stochastische maten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.5 Niet-homogene Poissonprocessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Stochastische calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1 Stochastische integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.2 Kwadratische variatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.3 Ito-formule voor continue processen en sprongen . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 De numerair-portefeuille in een (in)complete markt 43
2.1 Modellering van een complete financiele markt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Portefeuilles in een complete markt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2.1 Opbouw van een portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
viii INHOUDSOPGAVE
2.2.2 Verdisconteerde portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 De GOP: growth optimal portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.1 Definitie en afleiding in een complete markt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.2 De benchmark aanpak: de GOP als numeraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.3 Bespreking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 Een veralgemening voor een incomplete markt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.1 Veralgemening van effecten en portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.2 De veralgemeende GOP en benchmarked portefeuilles . . . . . . . . . . . . . 61
3 De numerair-portefeuille in geval van sprongen 67
3.1 Dan toch een marktprijs van risico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.2 Sprongen in portefeuillewaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.1 Bespreking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2.2 Modellering van een portefeuille met sprongen . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3 De GOP in een markt met sprongen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.1 De GOP met sprongen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.2 Benchmarked portefeuilles met sprongen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4 De benchmark aanpak in de praktijk 83
4.1 Optimale portefeuilles en de marktportefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.1 Bespreking en afleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.1.2 Markovitz efficiente portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.1.3 De marktportefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2 Benaderingen van de GOP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.1 Wiskundige theorie rond GOP-benaderingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.2 Drie benaderingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.3 Waarderen van portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.1 Eerlijk prijzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.3.2 Risiconeutraal en actuarieel prijzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4 Risicobeheer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Besluit 103
Bibliografie 105
INLEIDING 1
Inleiding
Als tweede master in de toegepaste wiskunde, afstudeerrichting economie en verzekeringen en toekom-
stig student actuariele wetenschappen is het eerder gebruikelijk een onderwerp te kiezen dat wiskundig
onderbouwd is maar diverse toepassingen kent in het bank- en verzekeringswezen. De richting die ik
met mijn eindwerk wilde inslaan was in het voorjaar van 2010 dan ook behoorlijk snel bepaald; ik wilde
mij verdiepen in het wiskundig modelleren van de financiele wereld.
De voorbije decennia zijn kilo’s papier besteed aan theorien die ons in staat moeten stellen in een conti-
nue markt effecten te prijzen. Onder de vertrouwde risiconeutrale benadering kunnen echter problemen
ontstaan in sectoren waar het niet eenvoudig is een geschikte risiconeutrale maat te vinden. Zo zijn
reeds interessante markten beschreven die niet kunnen worden behandeld onder deze traditionele bena-
dering. In de wereld van verzekeringen en financien heeft men bovendien nood aan methoden die hun
kennis opleveren over werkelijke risico’s van portefeuilles.
Een dergelijke methode wordt in deze masterproef beschreven, de benchmark aanpak gebruikt een
groei optimale portefeuille (GOP) als numeraire. De GOP wordt gedefinieerd als de portefeuille met
maximaal verwacht logaritmisch nut en komt voor in tal van artikels rond prijzen van portefeuilles, op-
timaliseren van portefeuilles en risicobeheer. Doorheen de jaren is ook gebleken dat de GOP benaderd
kan worden door tal van indexen die functioneler zijn dan de GOP zelf.
Gebruiken we de GOP als numeraire dan werken we met benchmarked portefeuilles, deze zullen blij-
ken een lokale martingaalproces te zijn onder de werkelijke kansmaat. Het blijkt dan ook mogelijk te
zijn een prijsformule op te stellen die portefeuilles een prijs toekent o.b.v. de echte risico’s die eraan
verbonden zijn. We spreken in dit geval van fair pricing, deze methode vereist geen equivalente risico-
neutrale maat. Onder bepaalde omstandigheden herleidt dit mechanisme van eerlijk prijzen zich tot het
risiconeutraal of actuarieel prijzen. Tot slot levert het feit dat we onder de reele kans werken ons extra
middellen om risico’s van portefeuilles te schatten en minimaliseren.
2 INLEIDING
Eerder dan een economisch onderbouwd overzicht te geven van de verschillende werkzaamheden van
de benchmarked portefeuilles, ligt het doel van deze masterproef in het wiskundig grondig uitwerken
van de theorie die aan de basis ligt van deze benchmark aanpak. Toch proberen we doorheen de vier
hoofdstukken en het besluit de economische interpretatie niet uit het oog te verliezen, we steunen hier-
voor geregeld op [6], [12] & [21].
In hoofdstuk 1 gaan we van start met een introductie van de wiskundige basistheorie die ons in staat
moet stellen de benchmark theorie te bespreken. We steunen op een basiskennis die vervat zit in de
cursus financiele wiskunde - continue stochastische modellen ([17]), de belangrijkste begrippen wor-
den herhaald en veralgemeend in §1.1 en §1.2. We vullen dit aan met [5], [16] & [17] en bepaalde
begrippen uit [7], [8] & [22]. Verder in dit hoofdstuk bespreken we sprongprocessen (§1.3) en de sto-
chastische calculus (§1.4) a.d.h.v. [5] en in mindere mate [3].
Hoofdstuk 2 bouwt de theorie op naar de benchmarked portefeuilles. In §2.1 en §2.2 modelleren we
een complete financiele markt en de portefeuilles in zo’n markt, in §2.3 introduceren we de groei opti-
male portefeuille die uiteindelijk als numeraire moet dienen voor het benchmark model, telkens wordt
gesteund op [15]. In §2.4 herbeginnen we om de benchmarked portefeuilles te definieren voor een in-
complete markt, we maken gebruik van het inzicht uit [1], weliswaar sterk aangepast. In hoofdstuk 3
aanvaarden we de mogelijkheid tot sprongen in een portefeuilleproces, we modelleren dergelijke porte-
feuilles in §3.2 en leiden op de traditionele manier de benchmarked vorm af in §3.3. In [13] vindt men
de theorie terug voor een complete markt, wij veralgemenen hier zelf naar een incomplete markt.
Tot slot wordt in hoofdstuk §4 de praktische kant van de benchmark aanpak behandeld. Volgens de-
zelfde manier als in [15] worden in §4.1 de optimale portefeuilles en de marktportefeuille geıntroduceerd,
evenwel veralgemeend voor sprongen. Uitgaande van [14] beschrijven we in §4.2 de wiskundige the-
orie rond benaderen van de GOP en bespreken we drie benaderingen uit de praktijk. In §4.3 en §4.4
sluiten we deze masterproef af met een bespreking van het bruikbaarheid van de benchmark aanpak
voor respectievelijk het prijzen van portefeuilles en risicobeheer.
3
Hoofdstuk 1
Basistheorie financiele wiskunde
We vatten deze masterproef aan met een overzicht van enkele beginselen uit de financiele wiskunde,
het is immers onze ambitie de theorie die in dit document aan bod komt goed te onderbouwen. We
gaan er echter wel van uit dat de lezer voldoende voeling heeft met de belangrijkste begrippen uit de
financiele wiskunde, het is aldus niet onze bedoeling alles vanaf nul op te bouwen. Wel willen we
de — voor deze masterproef — belangrijkste begrippen en stellingen hernemen en aanvullen indien
nodig. Starten doen we met enkele basisdefinities die reeds voorkwamen in [17], vervolgens vullen we
aan met sprongprocessen en we eindigen met een uitgebreide studie van de stochastische calculus van
semimartingalen.
1.1 Kanstheorie en stochastische processen
Hieronder bouwen we op naar het begrip (gefilterde) kansruimte, deze structuur zal ons in staat stellen
informatie te modelleren. Hiervoor introduceren we eerst een σ-algebra, een kansmaat en een filtratie.
Definitie 1.1.1. [17] Zij Ω een niet-ledige verzameling, en F een collectie van deelverzamelingen van
Ω, dan is F een σ-algebra als deze voldoet aan
• de ledige verzameling behoort tot F ,
• indien A ∈ F , dan ook het complement Ac ∈ F , en
• indien een rij A1,A2, . . . ∈ F , dan ook de unie∞
∪i=1
Ai ∈ F .
4 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
Definitie 1.1.2. [17] Zij Ω een niet-ledige verzameling en F een σ-algebra van deelverzamelingen van
Ω, dan is een functie
P : F → [0,1] : A 7→ P [A]
waarvoor
• P [Ω] = 1, en
• indien A1,A2, . . . is een rij van disjuncte verzamelingen in F , dan
P[
∞
∪i=1
Ai
]=
∞
∑i=1
P [Ai]
allebei gelden, een kansmaat.
Definitie 1.1.3. [17] Zij Ω een niet-ledige verzameling, T een vast positief getal (de tijdshorizon) en
stel dat voor elke t ∈ [0,T ] een σ-algebra F (t) bestaat. Indien voor elke s ≤ t, elke verzameling in
F (s) ook tot F (t) behoort, dan noemen we de collectie van σ-algebra’s F (t)t∈[0,T ] een filtratie.
We wensen hier de nadruk te leggen op de definitie van een filtratie als collectie van σ-algebra’s, vanaf
nu gebruiken we de notaties F (t)t∈[0,T ] en F door elkaar. F (t), zonder bijhorend tijdsinterval, duidt
echter op een σ-algebra uit die collectie. Merk op dat we in definities 1.1.1 en 1.1.2 nog F gebruikten
voor een σ-algebra, vanaf nu is dit uit den boze als er afhankelijkheid is van de tijd.
Definitie 1.1.4. [16] Een filtratie voldoet aan de gebruikelijke voorwaarden indien
• F (0) bevat alle P-nulverzamelingen van F ;
• de filtratie is rechtscontinu, m.a.w F (t) = ∩u> t
F (u) voor alle t ∈ [0,T ].
Voor het vervolg van deze masterproef eisen we dat de filtratie telkens voldoet aan de gebruikelijke
voorwaarden.
Definitie 1.1.5. [17, aangepast] Een kansruimte is een drietal (Ω,FT ,P), hierin is Ω de verzameling
van alle mogelijke uitkomsten (het universum), FT een σ-algebra met tijdshorizon T en P een kansmaat.
[15] Zij F (t)t∈[0,T ] een filtratie van FT , deze voldoet aan de gebruikelijke voorwaarden, dan noemt men
(Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P) een gefilterde kansruimte.
In deze masterproef worden we overladen met stochastische processen, die we aldus zullen modelleren
a.d.h.v. bovenstaande gefilterde kansruimte, de exacte definitie komt hieronder aan bod. Aangezien deze
processen echter afhangen van een kansverdeling P is het moeilijk om te bewijzen dat een eigenschap
altijd voldaan is, in functie daarvan zal de term bijna zeker worden ingevoerd.
1.1. KANSTHEORIE EN STOCHASTISCHE PROCESSEN 5
Definitie 1.1.6. [16, 17, aangepast] Zij gegeven een (gefilterde) kansruimte, Ω het universum en F (t)t∈[0,T ]
een filtratie. Een collectie van reele stochastische variabelen X(t), t ∈ [0,T ], wordt gedefinieerd als een
stochastisch proces. Deze collectie X(t), t ∈ [0,T ], is een aangepast stochastisch proces indien, voor
elke t, X(t) F (t)-meetbaar is, d.i. de informatie in F (t) is voldoende om de waarde X(t) te bepalen.
We benadrukken dat het (aangepast) stochastich proces zelf genoteerd wordt door X(t), t ∈ [0,T ], of
kortweg X , en dat X(t) (zonder het tijdsinterval) een specifieke waarde op tijdstip t bepaalt en stochas-
tisch is.
Definitie 1.1.7. [17, aangepast] Zij (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P) een (gefilterde) kansruimte. Indien een ver-
zameling A ∈ F voldoet aan P[A] = 1, zeggen we dat het evenement A bijna zeker (b.z.) is.
Aan die verzameling A kan bijvoorbeeld een eigenschap vasthangen, deze eigenschap is aldus bijna
zeker indien P[A] = 1.
Het zal ook blijken interessant te zijn enkele basisbegrippen uit de analyse her op te frissen, we starten
met twee begrippen rond continuıteit en limiet, daarnaast behandelen we ook enkele van de voor ons
belangrijke convergetietypes.
Definitie 1.1.8. [5] We noemen een functie f cadlag indien deze rechtscontinu is en een linkerlimiet
heeft in elk punt van het definitiegebied. Is f linkscontinu en heeft ze een rechterlimiet in elk punt van
het domein dan noemen we de functie caglad.
We starten hieronder met een overzicht van de belangrijkste convergentietypes voor reele functies,
concreet herhalen we wat uniforme convergentie, L1-convergentie en L2-convergentie precies betekent.
Definitie 1.1.9. [7, aangepast] Zij f1, f2, . . . een rij van reele functies met een domein A⊂ R, men zegt
dat deze rij uniform convergeert naar een reele functie f met domein A indien:
(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(∀z ∈ A)(∀n ∈ N)(n≥ N⇒ | f (z)− fn(z)|< ε).
Het begrip ‘uniform’ slaat op het feit dat in elk punt z ∈ A de convergentie even snel gebeurt; ε is
onafhankelijk van z ∈ A.
Definitie 1.1.10. [8] Zij gegeven een rij van integreerbare functies f1, f2, . . . : A⊂R→R, men zegt dat
deze rij L1- convergeert naar een integreerbare functie f : A ⊂ R→ R indien de rij convergeert in de
L1-norm:
limn→+∞
∫A| f − fn| .
6 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
Definitie 1.1.11. [8] Zij gegeven een rij van kwadratisch integreerbare functies f1, f2, . . . : A⊂R→R,
men zegt dat deze rij L2- convergeert naar een kwadratisch integreerbare functie f : A⊂R→R indien:
limn→+∞
∫A| f − fn|2 .
Ook stochastische processen kunnen convergeren, maar dan moeten we uiteraard rekening houden met
kanstheorie. We beschrijven convergentie in kans, bijna zekere convergentie en convergentie in distri-
butie.
Definitie 1.1.12. [22] Zij X een stochastische veranderlijke en X1,X2, . . . een oneindige rij van sto-
chastische veranderlijken over een kansruimte (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P), men zegt dat de rij convergeert
in kans naar X als voor elke ε > 0:
limn→+∞
P[|Xn−X |> ε] = 0.
Definitie 1.1.13. [22] Zij X opnieuw een stochastische veranderlijke en X1,X2, . . . een oneindige rij van
stochastische veranderlijken over een kansruimte (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P), men zegt dat Xn,n ≥ 1 bijna
zeker convergeert naar X indien:
P[ limn→+∞
Xn = X ] = 1.
Definitie 1.1.14. [22] Beschouw opnieuw de stochastische veranderlijke X en de rij der stochastische
veranderlijken X1,X2, . . . telkens over een kansruimte (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P), de rij Xn, n ≥ 1, conver-
geert in distributie naar X indien:
limn→+∞
FXn(t) = FX(t),
voor elke t waarin FX , de verdelingsfunctie van X, continu is. Men noteert vaak
Xnd→ X .
Financiele wiskunde hangt onlosmakelijk vast met het begrip martingaal, zeker wanneer we moeten
prijzen is het interessant te weten welke tendens we mogen verwachten voor de processen. Ook hier
zullen de trends in de waarden van de stochastische processen een belangrijke rol spelen. In functie
hiervan introduceren we het begrip stoptijd.
Definitie 1.1.15. [16] Zij gegeven een (gefilterde) kansruimte, Ω het universum en F (t)t∈[0,T ] een fil-
tratie. Een stochastische variabele τ : Ω→ [0,+∞] is een stoptijd als de verzameling τ≤ t ∈ F (t)
voor elke 0≤ t <+∞.
1.1. KANSTHEORIE EN STOCHASTISCHE PROCESSEN 7
De rechtscontinuıteit van de filtratie F impliceert dat de variabele τ een stoptijd is als en slechts als
τ < t ∈ F (t) voor elke t ∈ [0,T ]. [16]
Definitie 1.1.16. [16, aangepast] Zij (Ω,FT ,F (t)t<+∞,P) een gefilterde kansruimte, beschouw een
aangepast stochastisch proces X(t), 0≤ t ≤+∞, dat voldoet aan E[|X(t)|]<+∞.
• Dit proces is een P-submartingaal indien er geen tendens tot dalen is:
E[X(t)|F (s)] ≥ X(s) ∀0≤ s≤ t ≤+∞ b.z..
• Dit proces is een P-supermartingaal indien er geen tendens tot stijgen is:
E[X(t)|F (s)] ≤ X(s) ∀0≤ s≤ t ≤+∞ b.z..
• Dit proces is een P-martingaal indien er noch een tendens tot stijgen noch een tendens tot dalen
is:
E[X(t)|F (s)] = X(s) ∀0≤ s≤ t ≤+∞ b.z..
Definitie 1.1.17. [16, aangepast] Zij (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P) een gefilterde kansruimte, beschouw een
aangepast stochastisch proces X(t), 0 ≤ t ≤ +∞, dat cadlag is. Als er een reeks niet-dalende stop-
tijden τn+∞
n=1 bestaat, zodat het aangepast stochastisch proces Xn(t) = X(t ∧ τn)1, t ∈ [0,T ], een P-
martingaal is voor alle n≥ 1 en limn→+∞
τn =+∞ b.z., dan zeggen we dat X een lokale P-martingaal is.
Analoog kunnen we een lokale P-supermartingaal en een lokale P-submartingaal definieren.
Een aangepast stochastisch proces is een lokale P-martingaal als het lokaal (elk eindig tijdsinterval) aan
de martingaaleigenschap voldoet. Als dus voor elk vast positief getal T , de tijdshorizon, geldt
E[X(t)|F (s)] = X(s) ∀0≤ s≤ t ≤ T.
Elke P-martingaal is uiteraard een lokale P-martingaal, maar niet noodzakelijk omgekeerd; grote waar-
den met kleine kansen kunnen de verwachtingswaarden (en dus de voorwaarde) verstoren. De onder-
staande stelling geeft een verbinding tussen lokale martingalen en supermartingalen.
Stelling 1.1.1. [9] Een niet-negatieve, continue, lokale P-martingaal is een P-supermartingaal.
In theoretische modelleringen van financiele markten zal men altijd vereisen dat deze gezuiverd zijn
van arbitrage, toch kan het soms gebeuren dat een vorm van arbitrage in de markt geglipt is. Wanneer
1De operator ∧ bepaalt het minimum van twee reele getallen.
8 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
dit echter opgemerkt wordt door beleggers, zullen deze proberen dat in hun voordeel te misbruiken, ze
zullen — door bepaalde producten te kopen/verkopen — van niks iets proberen te maken. Hierdoor
gaan vraag en aanbod gaan spelen en vindt de markt een nieuw evenwicht, zonder arbitrage. We mogen
aldus stellen dat deze geen-arbitrage-veronderstelling strookt met de werkelijkheid.
Definitie 1.1.18. [17, aangepast] Onder arbitrage verstaan we een handelsstrategie die begint met
e0.00, een kans op verlies gelijk aan 0 heeft en beschikt over een positieve kans op winst.
1.2 Brownse Beweging en Ito-processen
Volgens het Black-Scholes-model dat we aanvankelijk zullen gebruiken voor financiele markten ge-
dragen de koersen op de effectenbeurs zich als Brownse Bewegingen. Op basis daarvan kunnen we
vervolgens Ito-processen invoeren, effecten zullen in deze masterproef aanvankelijk een Ito-proces vol-
gen. In deel 1.4 zullen we de stochastische calculus voor algemene semimartingalen bespreken, voor
de details verwijzen we dan ook naar dat stuk. Hier herhalen we kort de belangrijkste definities en
resultaten voor Ito-processen, zoals deze in [17] ingevoerd werden.
Definitie 1.2.1. [17] Zij (Ω,FT ,P) een kansruimte. Stel dat voor elke ω ∈Ω een continue reele functie
W (t), t ≥ 0, bestaat die voldoet aan W (0) = 0 en die afhangt van ω. Dan is W (t), t ≥ 0, een 1-
dimensionale Brownse Beweging als voor alle tijdstippen 0 = t0 < t1 < · · ·< tm de stappen
W (t1) = W (t1)−W (t0),W (t2)−W (t1), . . . ,W (tm)−W (tm−1),
onafhankelijk zijn, hun covariantie is dan gelijk aan 0, en elk van deze stappen normaal verdeeld is met
E[W (ti+1)−W (ti)] = 0 en Var[W (ti+1)−W (ti)] = ti+1− ti.
Definitie 1.2.2. [17] Een (d-dimensionale) Brownse Beweging is een proces (kolommatrix)
W (t) =[W1(t) · · · Wd(t)
]tr
met de volgende eigenschappen
• Wi(t), t ≥ 0, voor i = 1, . . . ,d, is een 1-dimensionale Brownse Beweging,
• Als i 6= j, dan zijn de processen Wi en Wj onafhankelijk, en dan is hun covariantie gelijk aan 0.
1.2. BROWNSE BEWEGING EN ITO-PROCESSEN 9
In deze masterproef zullen we ook gebruik maken van Ito-integralen, dit zijn integralen van de vorm∫ t
s∆(u)dW (u),
hierin is ∆ een F -aangepast stochastisch proces. We gebruiken dezelfde notatie voor een Brownse
Beweging van dimensie d2, dan is het stochastisch proces ∆(u), t ≥ 0, een rijmatrix, er geldt dan∫ t
s∆(u)dW (u) =
d
∑i=1
∫ t
s∆i(u)dWi(u).
Opdat deze integraal zou bestaan moet deze ∆ voorspelbaar zijn. Aangezien dergelijke Ito-integralen
reeds voorkomen in de definitie van een Ito-proces, definieren we eerst het begrip ‘voorspelbaarheid’.
Belangrijker dan de eigenlijke definitie is echter de eigenschap dat de Ito-integraal nemen van een
voorspelbaar proces zin heeft.
Definitie 1.2.3. [16] Een proces X is simpel voorspelbaar indien het te schrijven is als
X(t) = X(0) I t = 0 +n
∑i=1
X(τi)I τi < t ≤ τi+1 ,
hierin is I . . . de indicatorfunctie en 0 = τ1,τ2, . . . ,τn+1 <+∞ een eindige rij van stoptijden, X(τi)∈
F (τi) met |X(τi)|<+∞ b.z., 1≤ i≤ n.
De bovenstaande definitie geldt enkel voor simpele processen, het beeld van zo’n proces bestaat uit lijn-
stukken over disjuncte definitiegebieden3. Aangezien een integraal gedefinieerd wordt o.b.v. de boven-
en ondersom4 — men maakt dan eigenlijk gebruik van simpele functies — is het ook mogelijk het
begrip voorspelbaarheid uit te breiden tot algemene processen. Ruw gezegd is een proces voorspelbaar
indien het F (t-)-meetbaar is of nog indien het proces linkscontinu is. Indien lims <→t
X(s) = X(t) dan
wordt de waarde X(t) ‘voorspeld’ door de voorafgaande waarden. Er zijn ook voorspelbare processen
die niet linkscontinu zijn, maar deze zijn voor deze verdere studie van geen tel. Voor meer informatie
hierover verwijzen we naar [5].
Definitie 1.2.4. [17] Zij W (t), t ≥ 0, een Brownse Beweging en F (t)t≥0, een geassocieerde filtratie.
Een Ito-proces is een stochastisch proces van de vorm
X(t) = X(0)+∫ t
0Θ(u)du+
∫ t
0∆(u)dW (u),
hierin is X(0) vast en zijn Θ en ∆ aangepaste stochastische processen. Bovendien is ∆ een voorspelbare
(1×d)-matrix.2Zoals bijvoorbeeld in definitie 1.2.4.3Voor een exacte definitie verwijzen we naar de cursus ‘Wiskundige Analyse III’, [8, blz. 90].4Voor een precieze opbouw kan men terecht in de curus ‘Wiskundige Analyse I’, [7, Hoofstuk 6].
10 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
Een Ito-proces duldt dus slechts afhankelijkheid van een driftterm en een Brownse Beweging. Twee
belangrijke stellingen die voortdurend zullen terugkeren in stochastische calculus van Ito-processen
zijn de Ito-formule en de Ito-productregel. De eerste bepaalt de verandering van een functie van een
Ito-proces naargelang de tijd en het Ito-proces zelf veranderen, de tweede bepaalt de verandering van
het product van twee Ito-processen i.f.v. de respectievelijke verandering in beide processen.
Stelling 1.2.1. [17] (Ito-formule voor een Ito-proces) Zij X(t), t ≥ 0, een Ito-proces en f (t,x) een
functie waarvan de partiele afgeleiden ft(t,x), fx(t,x) en fxx(t,x)5 gedefinieerd en continu zijn. Dan
voor elke t ≥ 0,
d ( f (t,X(t))) = ft(t,X(t))dt + fx(t,X(t))d (X(t))+12
fxx(t,X(t))d (X(t))d (X(t)) .
Stelling 1.2.2. [17] (Ito-productregel) Zijn X(t) en Y (t), t ≥ 0, twee Ito-processen, dan geldt
d (X(t)Y (t)) = X(t)d (Y (t))+Y (t)d (X(t))+d (X(t))d (Y (t)) .
Stelling 1.2.3. [17, aangepast] Een 1-dimensionale Brownse Beweging W (t), t ≥ 0, heeft kwadratische
variatie met snelheid een per tijdseenheid, de kwadratische variatie van de tijd is gelijk aan nul, de
kwadratische covariatie van een Brownse Beweging en de tijd is eveneens gelijk aan nul. Voor ons
zullen onderstaande (informele) rekenregels van belang zijn:
dW (t) ·dW (t) = dt, dt ·dt = 0, dW (t) ·dt = 0.
We herinneren dat voor Wi en Wj, i, j ∈ 1,2, . . . ,d, twee verschillende 1-dimensionale Brownse Be-
wegingen uit een (d-dimensionale) Brownse Beweging geldt, per definitie 1.2.2:
d (Wi(t)) ·d (Wj(t)) = 0.
1.3 Telprocessen
Ons continu model o.b.v. een Brownse Beweging zal in hoofdstuk 3 aangevuld worden met discontinue
sprongen, deze zijn van belang om discrete schokken in de financiele markt te modelleren. Sprongen
zullen gemodelleerd worden m.b.v. een telproces, een Poissonproces in het bijzonder. In dit stuk wordt
het begrip telproces gedefinieerd en maken we de beperking tot Poissonprocessen.
5 ft en fx zijn de eerste orde partiele afgeleiden naar respectievelijk t en x, fxx is de tweede orde partiele afgeleide naar x.
1.3. TELPROCESSEN 11
1.3.1 Algemene telprocessen
We starten met een algemene definitie en bespreking van het begrip telproces, feitelijk is dit niet meer
dan een aangepast stochastisch proces dat bijhoudt hoevaak een bepaalde gebeurtenis zich voordoet.
Definitie 1.3.1. [5] Zij (Ω,FT ,P) een kansruimte en τii≥1 een strikt stijgende rij van stochastische
tijdstippen die bijna zeker naar oneindig gaat indien i→+∞. We noemen zo’n stochastische rij tijdstip-
pen een puntproces. We voeren aan de hand hiervan een telproces C(t), t ∈ [0,T ], in als het aangepast
stochastisch proces dat voldoet aan
C(t) = ∑i≥1
I (τi ≤ t),
Hierin is I (. . .) de indicatorfunctie.
De voorwaarde τ∞ = limi→+∞
τi =+ ∞ noemt men ook wel eens6 de niet-explosievoorwaarde. Indien deze
voorwaarde voldaan is zullen pas oneindig veel sprongen plaats gevonden hebben wanneer t =+∞; op
elk eindig tijdstip — in het bijzonder in [0,T ] — zal het telproces een eindige waarde hebben, er is geen
explosie. Indien bovendien ook
E[C(t)] < +∞ 0≤ t ≤ T
is het telproces integreerbaar, we gaan in het vervolg enkel met integreerbare telprocessen werken.
Bemerk dat een telproces C(t), t ∈ [0,T ], op elk tijdstip t ∈ [0,T ] aangeeft hoevaak een bepaald voorval
zich voordoet. Concreet is C(t) het aantal tijdstippen τi uit [0, t] waarop zo’n gebeurtenis zich gepre-
senteerd heeft. Nemen we bij conventie τ0 = 0 dan kunnen we samenvatten:
C(t) =
n als t ∈ [τn,τn+1[, n≥ 0,
+ ∞ als t ≥ τ∞.
Bijgevolg is een telproces C(t), t ∈ [0,T ], een rechtscontinue trapfunctie met C(0) = 0 en opwaartse
sprongen van hoogte een. Onderstaande stelling vervolledigt de eigenschappen van een telproces, het
bewijs is voor een Poissonproces terug te vinden in [5].
Stelling 1.3.1. [5] Een telproces C(t), t ∈ [0,T ], voldoet aan volgende eigenschappen:
• C(t) is een niet-negatief geheel getal voor elke 0≤ t ≤ T , i.h.b. C(0) = 0;
• C(t) is voor elke t ∈ [0,T ] bijna zeker eindig;
6Zie bijvoorbeeld [3].
12 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
• C(t) is stuksgewijs constant en verspringt met sprongen van grootte 1, dus C(s)≤C(t) voor elke
0≤ s≤ t ≤ T ;
• ∆(C(t)) = C(t)−C(t-) ∈ 0,1 en P[C(t-) =C(t)] = 1;
• het tijdspad t 7→C(t) is cadlag;
• C(t) is continu in kans: ∀t ∈ [0,T ], C(s) P→s→t
C(t);
• E [C(t)] < +∞ voor elke 0≤ t ≤ T .
In F (t-) zit alle informatie gekend tot op tijdstip t ∈ [0,T ], maar exclusief de informatie die pas bekomen
wordt op tijdstip t. Parallel hieraan is de C(t-) de waarde van het telproces net voor tijdstip t, deze
zal verschillen van C(t) indien t een van de stochastische tijdstippen is waarop een schok optreedt,
m.a.w. t ∈ τii≥1. De laatste eigenschap hadden we eerder reeds ondersteld; we werken enkel met
integreerbare telprocessen.
We leggen de klemtoon op het aangepast karakter van een telproces, dit wil zeggen dat met de informatie
beschikbaar op tijdstip t ∈ [0,T ] — deze is vervat in de σ-algebra F (t) uit de filtratie F — de dynamiek
van het telproces C tot op tijdstip t gekend is.
1.3.2 Homogene Poissonprocessen
We nemen notie van het feit dat een telproces geen voorwaarden oplegt aangaande de stochastische
verdeling van tijdstippen τi, i ≥ 1, noch de afhankelijkheid van de tijdstippen. Met het oog op de
modellering van schokken in de financiele markt zal het echter logisch zijn te eisen dat de tijdstippen
τi, i ≥ 1, onafhankelijk van elkaar optreden, er zit aldus geen patroon in de opeenvolgende schok-
tijdstippen. Wel zullen we onderstellen dat de tijden tussen twee opeenvolgende schokken eenzelfde
exponentiele verdeling met parameter λ volgen. We verkiezen een exponentiele verdeling omdat deze
standaard gebruikt wordt voor het modelleren van de tijd tussen twee (zeldzame) gebeurtenissen7 die
met een constante gemiddelde snelheid voorkomen, die gemiddelde snelheid wordt bepaald door de
parameter λ. Noteren we de tussenperioden als ∆1 = τ1, ∆2 = τ2− τ1, ∆3 = τ3− τ2, . . . en algemeen
∆i = τi− τi−1, dan hebben we ∀i≥ 0 en k ∈ R+
P[∆i ≤ k] = 1− exp−λk en E[∆i] = λ.
7Zie de cursus Kansrekening en Wiskundige Statistiek I, [22, blz. 63 - 64]
1.3. TELPROCESSEN 13
Bovendien kunnen we uit de rij van tussenperioden ook de schoktijdstippen afleiden, waaruit dan weer
het telproces zelf af te leiden valt:
τi =i
∑j=1
∆ j,
C(t) = inf
i≥ 1 zodat
i
∑j=1
∆ j > t
.
Volgende stelling zal ons iets meer vertellen over de verdeling van een Poissonproces
Stelling 1.3.2. [5] Zijn ∆1, ∆2, . . . onafhankelijke exponentieel verdeelde variabelen met parameter λ
dan zal voor elke t > 0 de stochastische variabele
C(t) = inf
i≥ 1 zodat
i
∑j=1
∆ j > t
een Poissonverdeling met parameter λt volgen en
∀k ∈ N, P[C(t) = k] = exp−λt (λt)k
k!.
Door de exponentieel verdeelde tussenperioden zal het telproces C(t), t ∈ [0,T ], zelf Poissonverdeeld
zijn, dit verklaart ook waarom een Poissonverdeling aangeraden wordt voor het modelleren van het
aantal (zeldzame) evenementen in een tijdsinterval8. Meerbepaald zal C(t) voor elke t ∈ [0,T ] Pois-
sonverdeeld zijn met parameter λt: aangezien λ ingevoerd werd als de gemiddelde snelheid waaraan
de schokken optreden, zal E [C(t)] = λt gelijk zijn aan het verwacht aantal schokken tot op tijdstip
t ∈ [0,T ]. We definieren dit als een Poissonproces, en noteren in het vervolg met P(t), t ∈ [0,T ].
Definitie 1.3.2. [5] Beschouw een rij ∆ii≥1 van onafhankelijke stochastische variabelen, exponen-
tieel verdeeld met een een niet-negatieve gekende parameter λ en zij
τi = ∑ij=1 ∆ j
i≥1
een rij van
tijdstippen. Het telproces P(t), t ∈ [0,T ], gedefinieerd door
P(t) = ∑i≥1
I (τi ≤ t)
noemen we een homogeen Poissonproces met intensiteit λ. We zullen een homogeen Poissonproces
gestandaardiseerd noemen indien λ = 1.
Een homogeen Poissonproces is aldus een bijzonder telproces; het steunt op onafhankelijke en exponen-
tieel verdeelde tussenperioden, bovendien is de verdeling van de verschillen P(t)−P(s), 0≤ s≤ t ≤ T ,
8Zie opnieuw Kansrekening en Wiskundige Statistiek I, [22, blz. 60]
14 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
stationair, d.w.z. enkel afhankelijk van het tijdsverschil t − s: P(t)−P(s) d= P(λ(t− s))9. Twee van
deze voorwaarden zullen samen voldoende zijn om een telproces een Poissonproces te mogen noemen.
Vaak wordt deze voldoende voorwaarde ook als definitie gebruikt, later zullen we een niet-homogeen
Poissonproces invoeren a.d.h.v. een analoge voldoende voorwaarde.
Stelling 1.3.3. [5] Zij P(t), t ∈ [0,T ], een telproces met stationaire — dit wil zeggen dat λ onafhankelijk
is van t — en onafhankelijke toenames, dan is dit telproces een homogeen Poissonproces: ∀0≤ s≤ t ≤
T
P(t)−P(s) d= P(λ(t− s)).
In het bijzonder gelden dan volgende equivalente eigenschappen
P [P(t)−P(s) = k |F (s)] = exp−λ(t− s) (λ(t− s))k
k!en E [P(t)−P(s) |F (s)] = λ(t− s).
Er zijn aldus twee voorwaarden nodig om van een homogeen Poissonproces te kunnen spreken: het
aantal stochastische tijdstippen over twee disjuncte intervallen is onafhankelijk en de verdeling van
P(t)−P(s) wordt voor elke 0≤ s≤ t ≤ T enkel bepaald door de lengte t− s. Zijn beide voorwaarden
voldaan dan hebben we zeker te maken met een Poissonproces.
Voor de volledigheid geven we nog onderstaande eigenschappen van een homogeen Poissonproces,
voor het bewijs verwijzen we naar [5].
Stelling 1.3.4. [5] Zij P(t), t ≥ 0, een homogeen Poissonproces, dan voldoet het proces aan de eigen-
schappen uit stelling 1.3.1 en het proces . . .
• is voor elke t ∈ [0,T ] Poissonverdeeld met parameter λt:
∀k ∈ N, P[P(t) = k] = exp−λt (λt)k
k!, voor t ∈ [0,T ];
• heeft karakteristieke functie φP(t) = expλ(expit−1;
• P heeft onafhankelijke toenames:
∀0≤ t1 < t2 < .. . < tn ≤ T geldt P(tn)−P(tn−1), . . . ,P(t2)−P(t1),P(t1) zijn onafhankelijk;
• heeft homogene toenames:
∀0≤ s < t ≤ T geldt P(t)−P(s) heeft dezelfde verdeling als P(t− s);
9P(λ(t− s)) is de notatie voor een Poissonverdeling met parameter λ(t− s).
1.3. TELPROCESSEN 15
• heeft de Markoveigenschap:
∀0≤ s < t ≤ T geldt E[ f (P(t)) |P(u),u≤ s] = E[ f (P(t)) |P(s)].
In 1.3.5 zullen we niet-homogene Poissonprocessen invoeren, dit zijn Poissonprocessen met een tijds-
afhankelijk intensiteitsproces, deze zullen nog consistenter zijn met de realiteit. Nu reeds tonen we aan
dat het eenvoudig is om voor de (hier homogene) Poissonprocessen een (lokale) martingaaleigenschap
af te leiden, dit zal van pas komen in het waarderen van effecten met sprongen. In functie van de
martingaaleigenschap zullen we het begrip ‘gecompenseerd’ Poissonproces invoeren.
Definitie 1.3.3. [5] Zij P(t), t ∈ [0,T ], een homogeen Poissonproces, we definieren het gecompenseerd
Poissonproces P(t), t ∈ [0,T ], als een gecentreerde versie van P:
P(t) = P(t)−λt.
Een gecompenseerd Poissonproces is geen telproces, dit is duidelijk te zien op onderstaande figuur.
Deze figuur geeft een illustratie van een Poissonproces en het gecompenseerde Poissonproces.
(a) voorbeeldpaden van een Poissonproces (b) voorbeeldpad van een gecompenseerd Poissonproces
Figuur 1.1: Illustratie van het (gecompenseerde) Poissonproces over t ∈ [0,T ] (zie [5])
Het doel van het gecompenseerde Poissonproces bestaat er in een (lokale) martingaaleigenschap te
verkrijgen voor het Poissonproces, het is ook i.f.v. dit objectief dat we dit gecompenseerd Poissonproces
in het niet-homogene geval zullen definieren. Voor het homogene geval zal uit bovenstaande definitie
eenvoudig de martingaaleigenschap volgen.
16 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
Stelling 1.3.5. [5] Zij P(t), t ∈ [0,T ], een homogeen Poissonproces met intensiteit λ, dan is het gecom-
penseerde proces P(t)−λt, t ∈ [0,T ], een lokaal martingaalproces.
Bewijs. Zijn s en t twee willekeurige tijdstippen waarvoor 0 ≤ s ≤ t ≤ T , dan bekomen we via onder-
staande afleiding betrekkelijk eenvoudig het gestelde:
E [P(t)−λt |F (s)] = E [(P(t)−P(s))+P(s)−λt |F (s)]
= E [P(t)−P(s) |F (s)]+P(s)−λt
(def. 1.3.3)= λ(t− s)+P(s)−λt
= P(s)−λs.
Vaak zal men in de literatuur ook spreken van een herschaald Poissonproces met intensiteit λ, dit is het
proces P(t)/√
λ, opvallend hierbij is dat dit herschaald proces dezelfde eerste twee momenten heeft als
de Brownse Beweging:
E
[P(t)√
λ
]= 0 en Var
[P(t)√
λ
]=
λtλ
= t.
We maken hierin gebruik van de verwachtingswaarde en variantie van een Poissonverdeelde verander-
lijke, beide zijn gelijk aan de parameter10, deze is hier gelijk aan λt.
De samenhang met een Brownse Beweging gaat echter nog verder. Het is zo dat het herschaald Pois-
sonproces convergeert in verdeling naar een Brownse Beweging indien de intensiteit van de sprongen
naar oneindig gaat11.
1.3.3 Levyprocessen
In dit stuk is het de bedoeling om de Brownse Beweging uit deel 1.2 en het homogeen Poissonproces
uit 1.3.2 te combineren; een algemeen stochastisch proces zal namelijk bestaan uit een continu deel
en een discreet deel. Zowel de Brownse Beweging als het homogeen Poissonproces zijn voorbeelden
van Levyprocessen, men kan zelfs bewijzen dat elk Levyproces een superpositie is van een Brownse
Beweging en een (eventueel oneindig) aantal homogene Poissonprocessen. Starten doen we met de
exacte definite van zo’n Levyproces.
Definitie 1.3.4. [5] Zij (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P) een (gefilterde) kansruimte. Een cadlag stochastisch
proces X(t), t ∈ [0,T ], met reele waarden en X(0) = 0 is een Levyproces indien het voldoet aan de
volgende eigenschappen:10Zie [22, blz. 100 e.v.]11Dit wordt kort besproken in [5], maar is voor ons eerder onbelangrijk.
1.3. TELPROCESSEN 17
• de toenames X(t0),X(t1)−X(t0), . . . ,X(tn)−X(tn−1) zijn onafhankelijk voor elke rij t0, t1, . . . , tn
van tijdstippen;
• stationaire toenames: de verdeling van X(t + s)−X(t) is onafhankelijk van t voor elke 0 ≤ t ≤
t + s≤ T ;
• stochastische continuıteit: ∀ε > 0, limh→0
P [|X(t +h)−X(t)| ≥ ε] = 0, en dit voor elke t ∈ [0,T [.
De derde voowaarde impliceert hier niet dat de paden continu zijn. De voorwaarde zorgt er gewoon
voor dat processen die schokken vertonen op vaste, niet stochastische tijdstippen, uitgesloten worden.
Indien we eisen dat op elk deterministisch tijdstip de kans op een sprong gelijk is aan 0 — dit is de
laatste voorwaarde van hierboven — dan weren we dergelijke niet stochastische sprongen.
Het is onmiddellijk duidelijk dat zowel het homogeen Poissonproces als de Brownse Beweging voor-
beelden zijn van een Levyproces. Een ander leuk voorbeeld is het samengesteld Poissonproces. Hier-
onder definieren we deze veralgemening van een Poissonproces.
Definitie 1.3.5. [5] Een samengesteld Poissonproces met intensiteit λ en verdeling f van de sprong-
groottes is een stochastisch proces X(t), t ∈ [0,T ], gedefinieerd als
X(t) =P(t)
∑i=1
Zi ∀t ∈ [0,T ].
Hierin zijn Zi de spronggroottes, deze zijn onafhankelijk en identiek verdeeld met verdeling f , P(t), t ∈
[0,T ] is een homogeen Poissonproces met intensiteit λ en onafhankelijk van elk van de spronggroottes
Zi.
Het samengesteld Poissonproces kent naast de exponentieel verdeelde sprongtijdstippen — of equiva-
lent hieraan Poissonverdeelde sprongaantallen — ook een specifieke verdeling van de spronggroottes.
Deze verdeling is evenwel dezelfde doorheen de tijd (stationaire sprongen). Het homogeen Poissonpro-
ces zoals dit gedefinieerd is, is een speciale versie van het samengesteld Poissonproces, er geldt Zi ≡ 1,
voor elke i≥ 1.
Aan de hand van de definitie kunnen we reeds enkele eigenschappen afleiden van deze samengestelde
Poissonprocessen, deze komen aan bod in onderstaande stelling.
Stelling 1.3.6. [5] Een samengesteld Poissonproces voldoet aan onderstaande eigenschappen:
• de paden van X zijn cadlag en stuksgewijs constant;
18 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
• de sprongtijden τi, i ≥ 1, hebben dezelfde verdeling als de sprongtijden van het Poissonproces
P(t), t ∈ [0,T ];
• de spronggroottes Zi, i≥ 1, zijn onafhankelijk en identiek verdeeld volgens f .
Samengestelde Poissonprocessen zijn de enige Levyprocessen met stuksgewijs constante paden, dit valt
te lezen in onderstaande stelling, voor het bewijs verwijzen we naar [5].
Stelling 1.3.7. [5] X(t), t ∈ [0,T ] is een samengesteld Poissonproces als en slechts als het een Levyproces
is en de paden stuksgewijs constante functies zijn.
Deze uitbreiding van het Poissonproces is een mooi voorbeeld van een Levyproces, maar omdat we
deze samengestelde Poissonprocessen verder nog amper zullen gebruiken, gaan we niet verder in op de
theorie die rond deze processen gebouwd is. Hetzelfde geldt voor de Levyprocessen in het algemeen.
1.3.4 Uitbreidingen a.d.h.v. stochastische maten
Het Poissonproces P werd in 1.3.2 gedefinieerd als een telproces, het telt het aantal (stochastische)
sprongtijdtippen τi, i≥ 1:
P(t) = # i≥ 1,τi ∈ [0, t] , ∀t ∈ [0,T ].
Dit heel eenvoudig telproces impliceert echter ook een maat JP. Voor elke meetbare A⊂ R+ definieren
we
JP(ω,A) = # i≥ 1,τi(ω) ∈ A .
Voor elke begrensde verzameling A⊂R+ zal JP(A) bijna zeker een natuurlijk getal zijn. Bemerk dat de
ω-afhankelijkheid hier expliciet neergeschreven wordt, dit is om te wijzen op het stochastisch karakter
van de maat. De intensiteit λ van het Poissonproces bepaalt de verwachtingswaarde van de stochastische
maat: E[JP(A)] = λ |A|.
Definitie 1.3.6. [5] Zij P een Poissonproces en JP een stochastische maat
JP(ω,A) = # i≥ 1,τi(ω) ∈ A
voor elke begrensde verzameling A⊂R+. We noemen deze maat de stochastische sprongmaat geasso-
cieerd met het Poissonproces P.
1.3. TELPROCESSEN 19
Het Poissonproces P zelf kan uit de sprongmaat afgeleid worden:
P(t) = JP(ω, [0, t]) =∫ t
0JP(ω,du).
Onderstaande stelling geeft een overzicht van de belangrijkste eigenschappen van de sprongmaat JP.
Stelling 1.3.8. [5] Beschouw disjuncte tijdsintervallen [t1, t ′1], [t2, t′2], . . . , [tn, t
′n], er geldt
• JP([tk, t ′k]) is het aantal sprongen van het Poissonproces P in het tijdsinterval [tk, t ′k], het is een
stochastische Poissonvariabele met parameter λ(tk− t ′k);
• voor twee disjuncte intervallen j 6= k, zijn de variabelen JP([t j, t ′j]) en JP([tk, t ′k]) onafhankelijk
van elkaar;
• voor elke meetbare verzameling A volgt JP(A) een Poissonverdeling met parameter λ |A| met
|A| =∫
A dx de Lebesguemaat van A.
Vervolgens kunnen we ook de gecompenseerd stochastische sprongmaat invoeren; voor elke A ∈ R is
JP(ω,A) = JP(ω,A)−∫
Aλdt = JP(ω,A)−λ |A| .
JP(ω,A) voldoet aan E[JP(ω,A)] = 0 en Var[JP(ω,A)] = λ |A|. Deze gecentreerde versie van JP(ω,A)
is noch een natuurlijk getal noch positief.
Stochastische Poissonmaat
We kunnen nu de theorie uitbreiden tot het begrip stochastische Poissonmaat, we breiden de ruimte R
uit tot Rd en de Lebesguemaat |A| uit tot een algemene Radonmaat µ op Rd 12.
Definitie 1.3.7. [5] Zij (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P) een gefilterde kansruimte, E ⊂ R en µ een Radonmaat
op (Ω,E). Een stochastische Poissonmaat op E met intensiteitmaat µ is een stochastische maat met
natuurlijke waarden:
JP : Ω×E → N : (ω,A) 7→ JP(ω,A),
zodat onderstaande eigenschappen gelden.
1. Voor bijna alle ω∈Ω, JP(ω, ·) is een natuurlijke Radonmaat op E: voor elke begrensde meetbare
A⊂ E is JP(A)<+∞ een natuurlijke stochastische variabele.
12Een Radonmaat wordt in [8, blz. 4] ingevoerd als een algemene maat op Rd , deze gesimplificeerde definitie volstaat voor
deze masterproef.
20 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
2. Voor elke meetbare verzameling A ⊂ E, JP(·,A) = JP(A) is een stochastische Poissonvariabele
met parameter µ(A)13:
∀k ∈ N, P[JP(A) = k] = exp−µ(A) (µ(A))k
k!.
3. Voor disjuncte meetbare verzamelingen A1,A2, . . . ,An ∈ E, zijn de variabelen JP(A1), JP(A2), . . . ,
JP(An) onafhankelijk.
Onderstaande stelling geeft aan hoe we uit elke Radonmaat een stochastische Poissonmaat kunnen
afleiden.
Stelling 1.3.9. [5] Voor elke Radonmaat µ op E ⊂ Rd , bestaat een stochastische Poissonmaat JP op E
met intensiteit µ.
Bewijs. We geven hier een expliciete constructie van zo’n stochastische Poissonmaat vanuit een reeks
van onafhankelijke stochastische variabelen. We starten met het geval µ(E)<+∞.
1. Neem X1,X2, . . . onafhankelijk en identiek verdeelde stochastische variabelen zodat P[Xi ∈ A] =µ(A)µ(E) . De rij mag niet ophopen in A.
2. Neem JP(E) een stochastische Poissonvariabele op (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P) onafhankelijk van elke
Xi en met gemiddelde µ(E).
3. Definieer JP(A) = ∑JP(E)i=1 I Xi ∈ A, en dit voor elke A⊂ E.
Bemerkt de logische keuzes achter deze stappen; JP(E) is het aantal gebeurtenissen Xi dat zich voordoet
in E, om het aantal voorvallen in A ⊂ E te bepalen, tellen we over alle JP(E) gebeurtenissen in E al
deze die zich voordoen in A.
Men gaat in dat geval makkelijk na dat deze JP een stochastische Poissonmaat met intensiteit µ is. De
eerste voorwaarde volgt uit µ(A)< µ(E)<+∞, de tweede eis halen we rechtstreeks uit de definitie van
JP(E) als stochastische Poissonvariabele, de derde voorwaarde is eveneneens duidelijk.
Is µ(E) = +∞, dan kunnen we E voorstellen door E =⋃+∞
i=1 Ei waar µ(Ei)<+∞. We creeren afzonder-
lijke stochastische Poissonmaten (JP)i, hierin is de intensiteit de restrictie van µ m.b.t. de overeenkom-
stige Ei. Maken we de (JP)i onderling onafhankelijk en stellen we JP(A) = ∑+∞
i=1(JP)i(A) voor elke
A ∈ E, dan zal JP voldoen aan de nodige voorwaarden. Zij A⊂ E een begrensde meetbare verzameling
dan is het aantal gebeurtenissen dat zich voordoet in A eindig omdat we onderstelden dat de rij Xi, i≥ 1,
13Men noteert zo’n stochastische Poissonvariabele JP ∼ Poi(µ), JP(A) is het aantal gebeurtenissen dat zich voordoet in A.
1.3. TELPROCESSEN 21
niet ophoopt in A. De tweede voorwaarde volgt uit de Poissonverdeling van elk van de (JP)i, i≥ 1, en
het feit dat de som van Poissonverdeelde variabelen opnieuw Poissonverdeeld is. Voorwaarde drie volgt
rechtstreeks uit het disjunct zijn van de respectievelijke verzamelingen.
De constructie die in dit bewijs aan bod komt toont aan dat elke stochastische Poissonmaat op E ei-
genlijk gerepresenteerd kan worden door een soort telmaat geassocieerd met een stochastische rij van
punten uit E: er bestaat een rij X1(ω),X2(ω), . . . zodat
∀A⊂ E, JP(ω,A) = ∑n≥1
I Xn(ω) ∈ A .
Om te kunnen voldoen aan de voorwaarde dat JP(A) eindig is voor elke compacte14 A⊂ E, leggen we
een voorwaarde op de rij van stochastische punten: de rij mag niet ophopen in een punt op E, zodat
A∩Xn,n≥ 1 is bijna zeker eindig voor elke compacte A⊂ E.
Men kan tot slot opnieuw een gecompenseerde variant definieren door van JP de verwachtingswaarde
af te trekken:
JP(A) = JP(A)−µ(A).
Merk op dat eveneens JP(A1), . . . , JP(An) onafhankelijk zijn voor disjuncte compacte verzamelingen uit
E en dat voor elke i = 1, . . . ,n
E[JP(Ai)] = 0 Var[JP(Ai)] = µ(Ai). (1.1)
Sprongprocessen uit stochastische Poissonmaten
Beschouw nu een stochastische Poissonmaat JP op E = [0,T ]×Rd \0: het is een telmaat geassocieerd
aan een stochastische rij van punten (τn,yn) ∈ E en
JP(A) = ∑n≥1
I (τn,yn) ∈ A voor alle A⊆ E.
Elk punt (τn(ω),yn(ω)) ∈ [0,T ]×Rd \0 correspondeert met een observatie op tijdstip τn en beschre-
ven door een niet-nul stochastische variabele yn(ω) ∈ Rd . Aangezien we de eerste coordinaat als tijd
willen interpreteren verkiezen we ervoor onze stochastische Poissonmaat F -aangepast te maken:
• τ1,τ2, . . . zijn aangepaste stochastische tijdstippen, en
• yn is F (τn)-aangepast.
14Dit is gelijk aan gesloten en begrensd, zie [7, blz. 16]
22 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
1.3.5 Niet-homogene Poissonprocessen
Poissonprocessen worden gebruikt voor het modelleren van het aantal voorvallen dat zich voordoet,
deze modellering is direct afhankelijk van een parameter λ, de intensiteit. Eerder werden we reeds
overtuigd van het nut van deze Poissonprocessen voor het wiskundig modelleren van sprongen in effect-
waarden, ze vormen hiervoor een realistische theorie. Voorlopig gingen we uit van een vaste intensiteit;
λ is dan gedurende de ganse tijdsperiode [0,T ] constant, we spreken van homogene Poissonprocessen.
Ook de Levyprocessen uit vorig deel gaan uit van stationaire toenames. Niets sluit immers uit dat deze
intensiteit verandert doorheen de tijd, het kan zijn dat bepaalde perioden gevoeliger zijn voor sprongen
dan andere. Daarom maken we in deze sectie de intensiteit tijdsafhankelijk, λ(t), t ∈ [0,T ].
In de praktijk zal het bovendien vaak zo zijn dat het proces λ(t), t ∈ [0,T ], niet volledig gekend is op
tijdstip 0. Tijdelijke factoren zullen uitmaken of een sprong veelvuldig dan wel sporadisch zal optreden,
maar vaak is het niet op voorhand geweten wanneer we ons in de ene of andere periode zullen bevin-
den. Uiteraard merken we op het tijdstip zelf wel of we ons in een drukke of rustige periode bevinden,
we zullen dus wel onderstellen dat het intensiteitsproces F (t)-meetbaar is op elk tijdstip t ∈ [0,T ]; het
proces λ(t), t ∈ [0,T ], is aldus aangepast aan de filtratie F (t), t ∈ [0,T ]. We starten hier met de definitie
van zo’n niet-homogeen Poissonproces.
Definitie 1.3.8. [3] Zij (Ω,FT ,P) een kansruimte, C(t), t ∈ [0,T ], een F -aangepast telproces en λ(t),
t ∈ [0,T ], een niet-negatief meetbaar proces dat voor elke t ∈ [0,T ] F (t)-meetbaar is en voldoet aan
E[∫ t
0λ(u)du
]< + ∞.
We noemen het telproces C een (niet-homogeen) Poissonproces met intensiteitsproces λ, indien voor
elke 0≤ s≤ t ≤ T en elke k ≥ 0 geldt
P[C(t)−C(s) = k | F (s)] = E
[exp−∫ t
sλ(u)du
(∫ ts λ(u)du
)k
k!
]. (1.2)
We noteren dit (niet-homogeen) Poissonproces eveneens met de letter P i.p.v. C, maar leggen de nadruk
op het feit dat — in tegenstelling tot het homogene geval — de intensiteit nu zelf een stochastisch proces
λ(t), t ∈ [0,T ], is. Het intensiteitsproces is meetbaar t.o.v. de filtratie F , i.h.b. zit voor elke t ∈ [0,T ] de
informatie voor het berekenen van de waarde λ(t) vervat in de σ-algebra F (t) uit deze filtratie. Deze
σ-algebra is volledig gekend op tijdstip t en hetzelfde kan aldus gezegd worden over de waarde λ(t)
van het intensiteitsproces.
1.3. TELPROCESSEN 23
De verschillen tussen twee waarden van het (niet-homogeen) Poissonproces zullen nog steeds onafhan-
kelijk zijn van elkaar indien de overbrugde tijdsintervallen disjunct zijn. De verdeling van die telver-
schillen, neem P(t)−P(s), 0≤ s≤ t ≤ T , is hier nu echter afhankelijk van het overbrugde tijdsinterval
[s, t] zelf, en niet enkel van de lengte van het tijdsinterval t− s:
P(t)−P(s) d= P
(∫ t
sλ(u)du
).
Het spreekt dan ook voor zich dat we ook bij het zoeken naar een (lokaal) martingaalproces P verbonden
aan het telproces P rekening zullen moeten houden met het tijdsinterval zelf en niet enkel met het
tijdsverschil. Het lokale martingaalproces is echter vrij makkelijk te vinden, volgende stelling zal zich
herleiden tot 1.3.5 in het geval van een homogeen intensiteitsproces.
Stelling 1.3.10. [3] Zij P(t), t ∈ [0,T ], een (niet-homogeen) Poissonproces met intensiteitsproces λ(t),
t ∈ [0,T ]. Dan is het gecompenseerde proces P(t), t ∈ [0,T ], gedefinieerd door
P(t) = P(t)−∫ t
0λ(u)du t ∈ [0,T ],
een lokaal martingaalproces.
Bewijs. We starten vanuit (1.2):
P[P(t)−P(s) = k | F (s)] = E
[exp−∫ t
sλ(u)du
(∫ ts λ(u)du
)k
k!
].
Vermenigvuldigen we beide leden van de vergelijking met k en sommeren we over alle k ≥ 0, dan
vinden we
∑k≥0
k P [P(t)−P(s) = k |F (s)] = E
[∑k≥0
k exp−∫ t
sλ(u)du
(∫ ts λ(u)du
)k
k!
].
Het linkerlid is gelijk aan E[P(t)−P(s) |F (s)], in het rechterlid kunnen we de term met k = 0 weglaten
en verder omvormen:
exp−∫ t
sλ(u)du
(∫ t
sλ(u)du
)∑k≥1
(∫ ts λ(u)du
)k−1
(k−1)!
= exp−∫ t
sλ(u)du
(∫ t
sλ(u)du
)∑k≥0
(∫ ts λ(u)du
)k
k!
[7]= exp
−∫ t
sλ(u)du
(∫ t
sλ(u)du
)exp∫ t
sλ(u)du
=
(∫ t
sλ(u)du
).
24 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
In de tweede overgang maakten we gebruik van de Taylorontwikkeling zoals deze aan bod komt in [7,
blz. 158] en toegepast wordt op de exponentiele functie [7, blz. 161].
Samenvattend vinden we aldus
E[P(t)−P(s) |F (s)] = E[∫ t
sλ(u)du
]. (1.3)
De F (s)-onafhankelijkheid van bovenstaande uitdrukking is te verklaren aangezien de sprongen van
een niet-homogeen Poissonproces onafhankelijk zijn van elkaar voor disjuncte overbrugde tijdsinter-
vallen. In het bijzonder geldt dus dat P(t)−P(s) onafhankelijk is van F (s). Omdat P(t)−P(s) Pois-
sonverdeeld is met parameter∫ t
s λ(u)du moet ook gelden dat∫ t
s λ(u)du F (s)-onafhankelijk is.
Merk bovendien op dat de voorwaarde E[∫ t
s λ(u)du | F (s)]< + ∞ hier impliceert dat linker- en dus
ook rechterlid van bovenstaande gelijkheid eindig zijn, het proces P(t), t ∈ [0,T ], is dan integreerbaar
en uit onderstaande redenering volgt dat dit een martingaalproces is:
E[P(t) |F (s)
]= E
[P(t)−
∫ t
0λ(u)du |F (s)
]= E
[P(t)−P(s)+P(s)−
∫ s
0λ(u)du−
∫ t
sλ(u)du |F (s)
]= E [P(t)−P(s) |F (s)]+E
[P(s)−
∫ s
0λ(u)du|F (s)
]−E
[∫ t
sλ(u)du |F (s)
](1.3)= E
[∫ t
sλ(u)du
]+P(s)−
∫ s
0λ(u)du−E
[∫ t
sλ(u)du
]= P(s)−
∫ s
0λ(u)du
= P(s)
Deze stelling herleidt zich tot stelling 1.3.5 in de overeenkomstige situatie, stelling 1.3.10 is aldus het
meest algemene geval.
1.4 Stochastische calculus
In deel 1.2 raakten we reeds kort de stochastische calculus voor Ito-processen aan, dit zijn dynamische
processen waarin enkel een drifterm en een afhankelijkheid van een Brownse Beweging voorkomen.
Als belangrijkste resultaten kwamen de Ito-formule (stelling 1.2.1) en de Ito-productformule (stelling
1.2.2) aan bod. In dit deel leiden we een veralgemening af voor het geval we te maken krijgen met
een stochastisch proces dat sprongen bevat. Dit zal bijvoorbeeld het geval zijn in hoofdstuk 3 waar we
gebruik zullen maken van sprongprocessen om discrete schokken in effectwaarden te modelleren.
1.4. STOCHASTISCHE CALCULUS 25
De manier van werken is min of meer dezelfde als deze die in [17] gevolgd wordt; we starten vanuit
een idee van een eindig aantal handelstijdstippen, waarvan we later zullen afstappen door het aantal
handelstijdstippen naar oneindig te laten gaan, we definieren de kwadratische (co)variatie en maken
hiervan gebruik om een veralgemening van de Ito-productformule en de Ito-formule af te leiden. We
kiezen er hier niet enkel voor om de theorie op te bouwen vanaf deze fundering, we opteren ook voor
een algemenere theorie rond semimartingalen. Deze semimartingalen omvatten de Brownse Beweging
en het Poissonproces, we zullen dan ook zonder moeite deze theorie kunnen concretiseren voor deze
beide processen die we verder in deze masterproef zullen gebruiken. Voor de Brownse Beweging leidt
dit uiteraard tot de resultaten die reeds in 1.2 optreedden.
1.4.1 Stochastische integralen
Zij gegeven een financieel effect waarvan de prijs gegeven is door een stochastisch proces S(t), t ∈
[0,T ], zoals we deze in hoofdstuk 2 zullen invoeren. Om een handelsstrategie te beschrijven, heeft
men nood aan een dynamische portefeuille die een resultaat is van kopen en verkopen. Kopen en
verkopen kan plaats vinden op een aantal handelstijdstippen 0 = τ0,τ1, . . . ,τn+1 = T . Een strategie zal
er uit bestaan in elke tussenperiode ]τi,τi+1] een bepaalde hoeveelheid δi van het effect te beheren, de
kapitaalwinst is het gevolg van fluctuaties in de waarde van het effect:
winst =n
∑i=0
δi(S(τi+1)−S(τi)).
Deze waarde die de winst van een investeerder met strategie δ uitdrukt, noemt men de stochastische
integraal van δ m.b.t. S, genoteerd als ∫ T
0δ(u)dS(u).
Hierbij is het stochastisch proces δ, t ∈ [0,T ], gedefinieerd als
δ(t) = δ0I t = 0+n
∑i=0
δiI τi < t ≤ τi+1 . (1.4)
Op dit moment gaan we dus nog uit van een eindig aantal handelstijdstippen, maar men ziet nu reeds
in dat men de markt continu kan maken door het aantal handelstijdstippen n+1 naar oneindig te laten
gaan, de somuitdrukking is dan evenwel niet langer geldig.
We stappen nu af van de situatie van effecten en strategieen — we pikken de draad opnieuw op in het
volgend hoofstuk — en verkiezen te werken met twee algemene aangepaste stochastische processen:
een cadlagproces X(t), t ∈ [0,T ], en een simpel voorspelbaar proces φ(t), t ∈ [0,T ]. Het begrip simpel
26 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
voorspelbaar werd in definitie 1.2.3 geıntroduceerd. Belangrijker dan de eigenlijke definitie is echter de
eigenschap dat de stochastische integraal pas zin heeft indien het proces φ voorspelbaar is. Een proces
van de vorm (1.4) is een simpel voorspelbaar proces. Voorspelbaarheid voor niet simpele processen
werd behandeld in de bespreking volgend op de definitie 1.2.3. Ruw gezegd is een proces voorspelbaar
indien het F (t-)-meetbaar is of nog indien het proces linkscontinu is. Indien lims <→t
φ(s) = φ(t) dan wordt
de waarde φ(t) ‘voorspeld’ door de voorafgaande waarden.
De transactiedata τ0, . . . ,τn+1 kunnen vast zijn, maar meestal wordt pas beslist te kopen of verkopen
o.b.v. de informatie die op dat tijdstip voor handen is. Vandaar dat we zullen gebruik maken van
stoptijden, dit maakt de tijdstippen τ1, . . . ,τn stochastisch maar wel F -meetbaar. Merk op dat het proces
δ(t), t ∈ [0,T ], volgens (1.4) linkscontinu is, dit zal voldoende zijn om het proces simpel voorspelbaar
te noemen.
Het belang van de (simpel) voorspelbaarheid mag niet onderschat worden, indien we te maken hebben
met sprongen in effectwaarden kan zonder deze voorwaarde arbitrage optreden. Beschouw een effect
S(t) = λt−P(t) met P(t), t ∈ [0,T ] een Poissonproces. Neem t1 het tijdstip van de eerste sprong; dan
S(t1) = S(t1-)−1. t1 is een exponentiel verdeelde stochastische variabele met parameter λ. Beschouw
nu de strategie δ(t), t ∈ [0,T ], die er uit bestaat een eenheid van S te kopen op tijdstip 0 (de prijs is dan
0 euro) en deze te verkopen net voor de sprong. Dit is mogelijk in het geval de strategie rechtscontinu
is en niet linkscontinu zoals wij onderstelden om aan de voorwaarde van voorspelbaarheid te voldoen.
De winst die uit deze strategie voortvloeit is dan gelijk aan∫ t
0δ(u)dS(u) = λt voor t < t1,
= λt1 voor t ≥ t1.
Deze strategie heeft aldus bijna zeker niet negatieve winst, die strikt positief is met kans verschillend
van nul. Aangezien er oorspronkelijk niks geınvesteerd werd, hebben we dan te maken met arbitrage.
Gelukkig is de strategie zoals hierboven beschreven onmogelijk te implementeren omdat ze niet aan de
vereiste voorspelbaarheid voldoet. In het geval van sprongen in effectwaarden is deze voorwaarde van
cruciaal belang om arbitrage te vermijden.
Twee interessante resultaten komen aan bod in volgende stellingen, het martingaalbehoudtheorema en
het associativiteitstheorema.
Stelling 1.4.1. [5] (martingaalbehoudstheorema) Zij X(t), t ∈ [0,T ], een martingaal dan is voor elk
simpel voorspelbaar proces φ(t), t ∈ [0,T ], de stochastische integraal∫ t
0 φ(u)dX(u), t ∈ [0, t], ook een
1.4. STOCHASTISCHE CALCULUS 27
martingaal.
Stelling 1.4.2. [5] (associativiteittheorema) Zij X(t), t ∈ [0,T ], een reeel F -aangepast cadlagproces, φ
en ϕ twee reele simpele voorspelbare processen, dan is Y (t)=∫ t
0 ϕ(u)dX(t), t ∈ [0,T ], een F -aangepast
cadlagproces en ∫ t
0φ(u)dY (u) =
∫ t
0φ(u)ϕ(u)dX(u).
Semimartingalen
Zoals eerder aangegeven verkiezen we hier de semimartingalen in te voeren, we doen dit omwille van
hun bijzondere eigenschap. Semimartingalen vormen de grootste klasse van stochastische processen
waarvoor de stochastische integraal opnieuw tot dezelfde klasse behoort. De klasse der semimartingalen
is ruim genoeg om er gedurende de ganse masterproef op te steunen, hieronder geven we de formele
definitie van een semimartingaal.
Definitie 1.4.1. [5] Een F -aangepast stochastisch proces X(t), t ∈ [0,T ], wordt een semimartingaal
genoemd indien het cadlag is en indien voor elke rij φi(t), i ≥ 1, t ∈ [0,T ], van simpele voorspelbare
processen die uniform convergeert naar een simpel voorspelbaar proces φ, de corresponderende sto-
chastische integralen uniform convergeren in kans. Voor alle stochastische processen φi, i ≥ 1, en φ
hebben we m.a.w. dat
sup(t,ω)∈[0,T ]×Ω
|φi(t,ω)−φ(t,ω)| →i→∞
0 ⇒∫ T
0φi(u,ω)dX(u) P→
i→∞
∫ T
0φ(u,ω)dX(u).
Indien bovenstaande eigenschap niet geldt, betekent dit dat een kleine wijziging in het stochastisch pro-
ces φ een grote wijziging in de stochastische integraal teweegbrengt. In volgende hoofdstukken zullen
we het portefeuilleproces X(t), t ∈ [0,T ], invoeren als een combinatie van verschillende effecten, de
combinatie wordt bepaald door een strategie δ(t), t ∈ [0,T ], een voorspelbaar stochastisch proces, ter-
wijl de effectwaarden voorgesteld zullen worden door een aangepast stochastisch proces S(t), t ∈ [0,T ].
Om te vermijden dat de portefeuillewaarden als stochastische integraal van het product van δ en S grote
wijzigingen ondergaan bij kleine strategiewijzigingen, zullen we onderstellen dat de effecten semimar-
tingalen zijn. Als stochastische integraal van een semimartingaalproces zal het portefeuilleproces X(t),
t ∈ [0,T ], eveneens een semimartingaalproces vormen.
Onderstaande stellingen zullen ons helpen aan te tonen dat zowel de Brownse Beweging als het Pois-
sonproces semimartingaalprocessen zijn.
28 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
Stelling 1.4.3. [5] Elk proces cadlag met eindige variatie is een semimartingaalproces.
Bewijs. Zij ψ(t), t ∈ [0,T ], een voorspelbaar cadlag proces en X(t), t ∈ [0,T ], het proces met eindige
variatie waarvoor we aldus willen bewijzen dat het een semimartingaalproces is. Vooreerst merken we
hiertoe op dat onderstaande ongelijkheid geldt
supt∈[0,T ]
∫ t
0ψ(u)dX(u)≤ TV(X) sup
(t,ω)∈[0,T ]×Ω
|ψ(t,ω)| ,
waarbij TV(X) de totale variatie van X over [0,T ] bepaalt. Zij ψi nu een rij van voorspelbare processen
die uniform convergeert naar het voorspelbaar proces ψ, m.a.w
sup(t,ω)∈[0,T ]×Ω
|ψi(t,ω)−ψ(t,ω)| →i→∞
0. (1.5)
We vinden dan eenvoudig
supt∈[0,T ]
∣∣∣∣∫ t
0ψ(u)dX(u)−
∫ t
0ψi(u)dX(u)
∣∣∣∣ ≤ supt∈[0,T ]
∫ t
0|ψ(u)−ψi(u)|dX(u)
≤ TV(X) sup(t,ω)∈[0,T ]×Ω
|ψ(t,ω)−ψi(t,ω)| .
Uit (1.5) volgt dan dat ook het linkerlid van bovenstaande uitdrukking uniform in kans zal convergeren
naar nul, precies omdat de variatie eindig is.
Stelling 1.4.4. [5] Elk kwadratisch integreerbaar cadlag martingaalproces is een semimartingaal.
Bewijs. In functie van de esthetiek van dit bewijs verkiezen we een verkorte notatie in te voeren, we
schrijven Xi(t) voor X(τi∧ t). Bemerk overigens dat wanneer X(t), t ∈ [0,T ], een martingaalproces is,
het gestopte proces (hier verkort tot tijdtip t) eveneens een martingaalproces vormt15.
Het bewijs is redelijk eenvoudig, en steunt enkel op basiseigenschappen van een martingaalproces:
1. de sprongen zijn onafhankelijk, i.h.b. E[(Xi+1(t)−Xi(t))Xi(t)] = E[Xi+1(t)−Xi(t)]E[Xi(t)],
2. verwachtingswaarde van een sprong is gelijk aan 0: E[Xi+1(t)−Xi(t)] = 0.
We starten echter met onderstaande integraal in somvorm te schrijven:
E
[(∫ t
0φ(u)dX(u)
)2]
= E
(φ0X0(t)+n
∑i=0
φi(Xi+1(t)−Xi(t))
)2
(eig.1)= E
[φ
20X2
0 (t)+n
∑i=0
φ2i (Xi+1(t)−Xi(t))2
]
≤ sup(u,ω)∈[0,T ]×Ω
|φ(u,ω)|2E
[X2
0 (t)+n
∑i=0
(Xi+1(t)−Xi(t))2
].
15Dit staat bekend als Doob’s sampling theorem, zie bijvoorbeeld [5, blz. 42].
1.4. STOCHASTISCHE CALCULUS 29
We herschrijven de som in de verwachtingswaarde:
X20 (t)+
n
∑i=0
(Xi+1(t)−Xi(t))2 = X20 (t)+
n
∑i=0
X2i+1(t)−2
n
∑i=0
Xi+1(t)Xi(t)+n
∑i=0
X2i (t)
= X20 (t)+
n
∑i=1
X2i (t)+X2
n+1(t)−2n
∑i=1
Xi+1(t)Xi(t)−2X1(t)X0(t)
+n
∑i=1
X2i (t)+X2
0 (t)
= 2X20 (t)−2X1(t)X0(t)+2
n
∑i=1
(X2
i (t)−Xi+1(t)Xi(t))+X2
n+1(t)
=n
∑i=0
Xi(t)(Xi(t)−Xi+1(t))+X2n+1(t).
Nemen we hiervan de verwachtingswaarde dan blijft — door een combinatie van (eig 1) en (eig 2) —
slecht een term over:
E
[n
∑i=0
Xi(t)(Xi(t)−Xi+1(t))+X2n+1(t)
]=
n
∑i=0
E [Xi(t)(Xi(t)−Xi+1(t))]+E[X2
n+1(t)]
(eig.1)=
n
∑i=0
E [Xi(t)]E [(Xi(t)−Xi+1(t))]+E[X2
n+1(t)]
(eig.2)= E
[X2
n+1(t)].
We besluiten dan uiteindelijk dat
E
[(∫ t
0φ(u)dX(u)
)2]≤ sup
(u,ω)∈[0,T ]×Ω
|φ(u,ω)|2E[X2
n+1(t)]
≤ sup(u,ω)∈[0,T ]×Ω
|φ(u,ω)|2 supu∈[0,T ]
E[X2(u∧ t)
].
Dit impliceert dat indien de strategie uniform convergeert en X een kwadratisch integreerbaar marting-
aalproces is, dat dan de stochastische integraal convergeert in L2, uniform over de tijd, dit impliceert
het gestelde.
Stelling 1.4.5. Een Brownse Beweging en een Poissonproces zijn beide semimartingalen.
Bewijs. Een Brownse Beweging W (t), t ∈ [0,T ], is cadlag en kwadratisch integreerbaar:
E[(W (t))2
](def 1.2.1)
= Var [W (t)](def 1.2.1)
= t ≤ +∞.
Uit stelling 1.4.4 volgt het gestelde.
Beschouw nu een Poissonproces P(t), t ∈ [0,T ], en een partitie πn van n tussenliggende punten 0 = t0 <
30 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
t1 < .. . < tn+1 = T van het tijdsinterval [0,T ]. We berekenen de variatie van het Poissonproces:
TV(P(t)) = limn→+∞
max0≤i≤n
|ti+1−ti|→0
n
∑i=0|P(ti+1)−P(ti)| = P(t) < +∞.
Een Poissonproces heeft aldus eindige variatie en is cadlag, uit stelling 1.4.3 volgt dat het een semimar-
tingaal is.
Een Levyproces zal als superpositie van beide processen eveneens een semimartingaal zijn. Uit het
associativiteitstheorema (stelling 1.4.2) kunnen we tot slot afleiden dat de stochastische integraal m.b.t.
een semimartingaal opnieuw een semimartingaal is.
Zoals eerder reeds aangevoerd zal een realistische strategie constante aanpassingen vragen, de financiele
markt is namelijk continu open. De strategie δ zal dan niet stapsgewijs veranderen zoals bij simpele
processen, we hebben dus nood aan een veralgemening van bovenstaande definitie van stochastische
integraal. Wat de voorspelbaarheid betreft, was het voldoende te onderstellen dat de strategie caglad
is, bovendien blijkt dat elk voorspelbaar proces φ uniform benaderd kan worden door een rij φn van
simpele voorspelbare processen. De continuıteit van de stochastische integraal stelt ons dan in staat
ook voor niet simpele processen een stochastische integraal te definieren, meer bepaald kan men de
gekende Riemannsommen gebruiken als discrete benadering.
Stelling 1.4.6. [5] Zij X(t), t ∈ [0,T ], een semimartingaal, φ(t), t ∈ [0,T ], een cagladproces en be-
schouw een rij van willekeurige partities πn = (0 = tn,0, tn,1, . . . , tn,n+1 = T ) van het tijdstinterval [0,T ]
waarvoor geldt |πn| = sup0≤k≤n
|tn,k+1− tn,k| → 0 als n→+∞. Dan
φ(0)X(0)+n
∑k=0
φ(tk)(M(tk+1∧ t)−M(tk∧ t)) P→n→+∞
∫ t
0φ(u-)dX(u)
uniform in t op [0,T ].
Dit lijkt heel erg op de definitie van een Riemannintegraal (zie [7, blz. 60 e.v.]). Een belangrijk verschil
is echter dat de variatie van X vermenigvuldigd wordt met de waarde φ(u-), het linker eindpunt van het
interval, in het andere geval zou de som en dus ook de integraal niet langer aangepast zijn. Men kan nu
bewijzen dat de eigenschappen die we eerder aantoonden voor simpele processen φ ook gelden voor de
cagladprocessen.
Stelling 1.4.7. [5] Zij (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P) een gefilterde kansruimte en X(t), t ∈ [0,T ], een semimar-
tingaal, dan gelden voor elk aangepast cadlagproces φ(t), t ∈ [0,T ], de volgende eigenschappen:
1.4. STOCHASTISCHE CALCULUS 31
• semimartingaal eigenschap: Y (t) =∫ t
0 φ(u)dX(u) is eveneens een semimartingaal;
• associativiteit: indien ϕ een ander aangepast cadlagproces is, dan voor elke t ∈ [0,T ]
∫ t
0ϕ(u)dY (u) =
∫ t
0ϕ(u)φ(u)dX(u);
• martingaalbehoudeigenschap: is X(t), t ∈ [0,T ] een kwadratisch integreerbaar martingaalpro-
ces en φ is begrend, dan is de stochastische integraal Y (t) =∫ t
0 φ(u)dX(u) eveneens een kwa-
dratisch integreerbaar martingaalproces.
Bewijs. De eigenschappen kwamen aan bod voor simpele voorspelbare processen, het bewijs voor ca-
gladprocessen volgt uit de limietgevallen hiervan.
Stochastische integralen m.b.t. Brownse Beweging
Omdat een Brownse Beweging een semimartingaal is, kunnen we nu bovenstaande theorie toepassen
om stochastische integralen m.b.t. een Brownse Beweging in te voeren: zij φ(t), t ∈ [0,T ], een simpel
voorspelbaar proces
φ(t) = φ(0)I t = 0+n
∑i=0
φ(τi)I τi < t ≤ τi+1
dan is de stochastische integraal∫ t
0 φ(u)dW (u) gedefinieerd als
∫ t
0φ(u)dW (u) =
n
∑i=0
φ(τi)(W (τi+1)−W (τi)). (1.6)
Aangezien de Brownse Beweging een martingaalproces vormt, zal de stochastische integraal dit ook
zijn. Maken we gebruik van de onafhankelijke sprongen van een Brownse Beweging dan kunnen we
ook het tweede moment van de stochastische integraal afleiden.
Stelling 1.4.8. [5] Zij φ(t), t ∈ [0,T ], een (simpel) voorspelbaar proces waarvoor E[∫ t
0 |φ(u)|2 du]<
+ ∞ en W (t), t ∈ [0,T ], een Brownse Beweging, dan is∫ t
0 φ(u)dW (u) kwadratisch integreerbaar en
E[∫ t
0φ(u)dW (u)
]= 0, (1.7)
E
[∣∣∣∣∫ t
0φ(u)dW (u)
∣∣∣∣2]
= E[∫ t
0|φ(u)|2 du
].
Bewijs. Het eerste volgt uit de martingaaleigenschap van de stochastische integraal, voor het tweede
maken we gebruik van de onafhankelijkheid van de sprongen van een Brownse Beweging. We bewijzen
32 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
voor simpele voorspelbare processen φ(t), t ∈ [0,T ], voor algemene voorspelbare processen gebruiken
we dan limietvoorwaarden om het bewijs te veralgemenen.
E
[∣∣∣∣∫ t
0φ(u)dW (u)
∣∣∣∣2] (1.6)
(1.7)= Var
[n
∑i=0
φ(τi)(W (τi+1)−W (τi))
]
=n
∑i=0
E[(φ(τi))
2 (W (τi+1)−W (τi))2]
+2∑i> j
Cov [φ(τi)(W (τi+1)−W (τi)),φ(τ j)(W (τ j+1)−W (τ j))]
=n
∑i=0
E[E[(φ(τi))
2 (W (τi+1)−W (τi))2 |F (τi)
]]+2∑
i> jE [E [φ(τi)φ(τ j)(W (τi+1)−W (τi))(W (τ j+1)−W (τ j)) |F (τi)]]
=n
∑i=0
E[(φ(τi))
2E[(W (τi+1)−W (τi))
2 |F (τi)]]
+2∑i> j
E [φ(τi)φ(τ j)(W (τ j+1)−W (τ j))E [W (τi+1)−W (τi) |F (τi)]]
(def. 1.2.1)=
n
∑i=0
E[(φ(τi))
2](τi+1− τi)
= E[∫ t
0|φ(u)|2 du
].
Wegens onderstelling E[∫ t
0 |φ(u)|2 du]< + ∞ volgt dan dat
∫ t0 φ(u)dW (u) kwadratisch integreerbaar
is.
Stochastische integralen m.b.t. Poissonproces
We haalden reeds aan dat ook een Poissonproces een semimartingaal is, we kunnen dus zonder pro-
blemen de opgebouwde theorie rond stochastische integralen toepassen. Zij JP(t), t ∈ [0,T ], een sto-
chastische Poissonmaat op [0,T ]×Rd met intensiteit µ(dt,dx), de gecompenseerde variant werd voor
elke meetbare verzameling A ∈ Rd gedefinieerd als JP(t,A) = JP(t,A)− µ(t,A), t ∈ [0,T ], en is een
martingaalproces. Herinner ook dat indien B∩A = /0 dan zijn JP(t,A) en JP(t,B) onafhankelijk.
Naar analogie met simpele voorspelbare processen definieren we simpele voorspelbare functies φ :
Ω× [0,T ]×Rd → R als
φ(t,y) =n
∑i=1
m
∑j=1
φ(τi,A j)I τi < t ≤ τi+1I
y ∈ A j.
τ1 ≤ τ2 ≤ ·· · ≤ τn zijn aangepaste stoptijden, A1,A2, . . . ,Am zijn disjuncte deelverzamelingen van Rd
met µ([0,T ]×A j) < + ∞ en φ(τi,A j) een F (τi)- meetbare stochastische variabele voor i = 1, . . . ,n
1.4. STOCHASTISCHE CALCULUS 33
en j = 1, . . . ,m. De stochastische integraal∫[0,T ]×Rd φ(u,y)JP(du,dy) wordt dan gedefinieerd door het
stochastisch proces
∫ t
0
∫Rd
φ(u,y)JP(du,dy) =n
∑i=1
m
∑j=1
φ(τi,A j)(JP(τi+1∧ t,A j)− JP(τi∧ t,A j)).
De stochastische integraal is een cadlag, aangepast proces. Analoog kunnen we de stochastische inte-
graal van het gecompenseerde proces definieren, onderstaande stelling vertelt ons meer over het eerste
en tweede moment.
Stelling 1.4.9. [5] Voor elke (simpele) voorspelbare functie φ : Ω× [0,T ]×Rd → R die voldoet aan
E[∫ t
0
∫Rd|φ(u,y)|2 µ(du,dy)
]< + ∞,
is het proces X(t), t ∈ [0,T ], gedefinieerd door de gecompenseerde integraal
X(t) =∫ t
0
∫Rd
φ(u,y)JP(du,dy)
een kwadratisch integreerbare martingaal en er geldt
E[|X(t)|2
]= E
[∫ t
0
∫Rd|φ(s,y)|2 µ(du,dy)
].
Bewijs. We bewijzen opnieuw voor het geval van simpele voorspelbare φ, limietwaarden leiden dan tot
het algemene bewijs.
Voor j = 1, . . . ,m voeren we t 7→ Yj(t) = JP([0, t]×A j) in, dit is een martingaal met onafhankelijke
sprongen. Aangezien de verzamelingen A j ∈ R disjunt zijn, zijn de processen Yj(t), t ∈ [0,T ], j =
1, . . . ,m onderling onafhankelijk.
De gecompenseerde integraal kan nu uitgedrukt worden als een som van stochastische integralen
X(t) =n
∑i=1
m
∑j=1
φ(τi,A j)(Yj(τi+1∧ t)−Yj(τi∧ t))
=m
∑j=1
∫ t
0φ(u,A j)dYj(u).
Aangezien de processen φ(t,A j), t ∈ [0,T ], voor elke j = 1, . . . ,m simpel voorspelbaar zijn, is elk van
de integralen∫ t
0 φ(u,A j)dYj(u) een martingaal, wat impliceert dat ook X een martingaalproces is. Nu
34 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
geldt dat
E[∫ t
0φ(u,A j)dYj(u)
]= E
[E[∫ t
0φ(u,A j)dYj(u) |F (τi)
]]= E
[E
[n
∑i=1
φ(τi,A j)(Yj(τi+1∧ t)−Yj(τi∧ t)) |F (τi)
]]
= E
[n
∑i=1
φ(τi,A j)E [Yj(τi+1∧ t)−Yj(τi∧ t) |F (τi)]
]= 0,
en dus zal ook E [X(t)] = 0.
Aangezien de processen Yj(t), t ∈ [0,T ], onafhankelijk zijn, kunnen we de variantie herschrijven als
E[|X(t)|2
]= Var
[∫ t
0
∫Rd
φ(u,y)JP(du,dy)]
=n
∑i=1
m
∑j=1
E[∣∣φ(τi,A j)
∣∣2 (Yj(τi+1∧ t)−Yj(τi∧ t))2]
=n
∑i=1
m
∑j=1
E[E[∣∣φ(τi,A j)
∣∣2 (Yj(τi+1∧ t)−Yj(τi∧ t))2 |F (τi)]]
=n
∑i=1
m
∑j=1
E[∣∣φ(τi,A j)
∣∣2E[(Yj(τi+1∧ t)−Yj(τi∧ t))2 |F (τi)]]
(1.1)=
n
∑i=1
m
∑j=1
E[∣∣φ(τi∧ t,A j)
∣∣2 µ(]τi∧ t,τi+1]×A j)]
= E[∫ t
0
∫Rd|φ(u,y)|2 µ(du,dy)
].
Het is eveneens interessant te kijken naar de situatie van spronggroottes die mogen verschillen van 1,
het telproces is dan een stochastische Poissonmaat JP. Voor een voorspelbare stochastische functie φ
herleidt de stochastische integraal zich tot een som van termen die sprongtijdstippen en spronggroottes
bevatten: ∫ t
0
∫Rd
φ(u,y)JP(du,dy) =∆P(u)6=0
∑u∈[0,t]
φ(u,∆P(u)).
In het bijzondere geval waarbij φ(t) = ∑i φiI (τi < t ≤ τi+1) constant is tussen de sprongtijden τ1 < τ2 <
.. . en φ(ω,u,y) = φu(ω)y zal de stochastische integraal m.b.t. JP een stochastische integraal m.b.t. P
zijn:
∫ t
0
∫Rd
φ(u,y)JP(du,dy) =∫ t
0
∫Rd
φuyJP(du,dy) =∆P(u)6=0
∑u∈[0,t]
φu∆P(u) =∫ t
0φudP(u).
1.4. STOCHASTISCHE CALCULUS 35
De eerlijkheid gebied ons hier te vermelden dat voor algemene strategieen φ het niet steeds mogelijk is
de stochastische integraal m.b.t. de Poissonmaat JP te definieren als een stochastische integraal m.b.t.
P. De stochastische integraal m.b.t. het telproces P zal wel steeds bestaan, voor ons zal er dus geen
probleem zijn.
1.4.2 Kwadratische variatie
Gerealiseerde volatiliteit en kwadratische variatie
De gerealiseerde volatiliteit geeft — zoals de term zelf zegt — de volatiliteit weer die op een tijdstip
verwezenlijkt is. Zij X(t), t ∈ [0,T ], een proces dat geobserveerd wordt op n+2 tijdtippen uit een par-
titie π = 0 = t0 < t1 < · · ·< tn < tn+1 = T, in formulevorm wordt de gerealiseerde volatiliteit VX(π)
dan gegeven door een Riemannsom
VX(π) = ∑0≤i≤n
(X(ti+1)−X(ti))2
= ∑0≤i≤n
(X(ti+1)
2−X(ti)2−2X(ti)(X(ti+1)−X(ti)))
= X(T )2−X(0)2−2 ∑0≤i≤n
X(ti)(X(ti+1)−X(ti)).
Zij X een semimartingaal met X(0) = 0. Bij definitie is het een aangepast cadlagproces, hetzelfde
geldt voor het proces X(t-), t ∈ [0,T ]. Stelling 1.4.6 levert ons dan de theorie om aan te tonen dat
bovenstaande Riemannsom uniform in kans convergeert naar
[X ,X ](T ) := |X(T )|2−2∫ T
0X(u-)dX(u),
we noemen deze term de kwadratische variatie. Deze kwadratische variatie is een stochastische varia-
bele. Definieren we
[X ,X ](t) = |X(t)|2−2∫ t
0X(u-)dX(u) voor t ∈ [0,T ], (1.8)
dan vormen we het kwadratisch variatieproces. Onderstaande stelling geeft een aantal belangrijke ei-
genschappen van dit stochastisch proces. Het bewijs is meestal niet zo ingewikkeld, maar we laten het
hier achterwege.
Stelling 1.4.10. [5] Het kwadratisch variatieproces van een semimartingaal X is een aangepast cad-
lagproces [X ,X ](t), t ∈ [0,T ] dat voldoet aan volgende eigenschappen.
• [X ,X ] is een stijgend proces.
36 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
• De sprongen van [X ,X ] zijn gerelateerd aan de sprongen van X: ∆[X ,X ](t) = |∆X(t)|2. Meerbe-
paald heeft [X ,X ] continue paden a.s.a. X continue paden heeft.
• Is X een continu en eindig variatieproces dan zal [X ,X ] = 0.
• Indien X een martingaal is met [X ,X ] = 0 dan is bijna zeker X = X(0).
Zowel de Brownse Beweging als het Poissonproces zijn semimartingalen, ze bezitten dus allebei een
kwadratische variatieproces, onderstaande stellingen nemen deze onder de loep. Voor de Brownse
beweging zal blijken dat de variatie gelijk is aan de variantie, in het algemeen is de variatie evenwel een
stochastisch proces, zoals ook bij het Poissonproces.
Stelling 1.4.11. [5] Zij X(t) = σW (t) met W een Brownse Beweging dan is [X ,X ](t) = σ2t.
Bewijs. Zij πn = 0 = tn,0 < tn,1 < · · ·< tn,n < tn,n+1 = T een rij van partities van [0,T ] zodat |πn| =
supk |tn,k− tn,k−1|n→+∞→ 0. Merk eerst op dat VX(πn)−σ2T = ∑
ni=0((X(ti+1)−X(ti))2−σ2(ti+1− ti))
een som van onafhankelijke termen is met verwachtingswaarde gelijk aan 0. Daardoor geldt
E[∣∣VX(πn)−σ
2T∣∣2] = n
∑i=0
E[((X(ti+1)−X(ti))2−σ
2(ti+1− ti))2]
=n
∑i=0
σ4 |ti+1− ti|2E
[((X(ti+1)−X(ti))2
σ2(ti+1− ti)−1)2]
= σ4
n
∑i=0|ti+1− ti|2E
[(Z2−1
)2]
met Z ∼ N(0,1)
≤ E[(
Z2−1)2]
σ4T |πn| → 0.
We toonden dus aan dat E[∣∣VX(πn)−σ2T
∣∣2]→ 0, dit levert ons het gestelde.
Stelling 1.4.12. [5] Is P(t), t ∈ [0,T ], een Poissonproces, dan geldt [P,P](t) = P(t). Is X(t) een telpro-
ces met P(t) sprongtijden τ1,τ2, . . . ,τP(t) van respectievelijke groottes Z1,Z2, . . . ,ZP(t), dan geldt
[X ,X ](t) = ∑0≤s≤t
|∆X(s)|2 .
Bewijs. Uit de definitie van een Poissonproces volgt het eerste eenvoudig. Beschouw een partitie πn =
0 = t0 < t1 < · · ·< tn+1 = t van [0, t] en de sprongtijdstippen τ1,τ2, . . . van het Poissonproces dan
volgt
[P,P](t) =n
∑i=0
(P(ti+1)−P(ti))2 = ∑n≥1
I t ≥ τn = P(t). (1.9)
1.4. STOCHASTISCHE CALCULUS 37
Is X(t) een telproces met P(t) sprongtijden τ1,τ2, . . . ,τP(t) van respectievelijke groottes Z1, Z2, . . . ,
ZP(t), dan geldt
X(t) =P(t)
∑i=1
Zi ⇒ [X ,X ](t) =P(t)
∑i=1|Zi|2 = ∑
0≤s≤t|∆X(s)|2 .
Kwadratische covariatie
Naast de kwadratische variatie kunnen we ook de kwadratische covariatie beschouwen, starten doen
we vanuit het concept van gerealiseerde covariatie. Zijn X en Y twee processen en beschouw een tijds-
partitie van het interval [0,T ], nl. πn = t0 = 0 < t1 < · · ·< tn+1 = T, we definieren de gerealiseerde
covariatie als
VX ,Y (π) =n
∑i=0
(X(ti+1)−X(ti))(Y (ti+1)−Y (ti))
=n
∑i=0
(X(ti+1)Y (ti+1)−X(ti)Y (ti)−Y (ti)(X(ti+1)−X(ti))−X(ti)(Y (ti+1)−Y (ti)))
= X(T )Y (T )−X(0)Y (0)−n
∑i=0
(Y (ti)(X(ti+1)−X(ti))+X(ti)(Y (ti+1)−Y (ti))).
Zijn X en Y semimartingalen, dan zal bovenstaande Riemannsom uniform in kans convergeren naar de
stochastische variabele
X(T )Y (T )−X(0)Y (0)−∫ T
0Y (u-)dX(u)−
∫ T
0X(u-)dY (u),
we noemen dit de kwadratische covariatie van X en Y op [0,T ]. Definieren we
[X ,Y ](t) = X(t)Y (t)−X(0)Y (0)−∫ t
0Y (u-)dX(u)−
∫ t
0X(u-)dY (u) voor t ∈ [0,T ], (1.10)
dan vormen we het kwadratisch covariatieproces. Onderstaande stelling behandelt enkele eigenschap-
pen van zo’n covariatieproces. Het bewijs laten we opnieuw achterwege.
Stelling 1.4.13. [5] Het kwadratisch covariatieproces van twee semimartingalen X en Y is een aange-
past cadlagproces [X ,Y ](t), t ∈ [0,T ] dat voldoet aan volgende eigenschappen.
• De paden hebben eindige variatie.
• Polarisatie-eigenschap: [X ,Y ] = 14([X +Y,X +Y ]− [X−Y,X−Y ]).
• De covariatie wordt niet gewijzigd indien we bij X of Y een continu proces met eindige variatie
tellen, enkel martingaalprocessen of sprongprocessen spelen een rol in de waarde van [X ,Y ].
38 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
A.d.h.v. de formule (1.10) vinden we eenvoudig de veralgemening van de Ito-productregel (1.2.2), nu
echter voor algemene semimartingalen.
Stelling 1.4.14. [5] Zijn X en Y twee semimartingalen dan geldt
X(t)Y (t) = X(0)Y (0)+∫ t
0X(u-)dY (u)+
∫ t
0Y (u-)dX(u)+ [X ,Y ](t),
of in differentiaalvorm
d(X(t)Y (t)) = X(t-)dY (t)+Y (t-)dX(t)+d ([X ,Y ](t)) .
De Ito-formule
Beschouw een R→ R-functie f en een [0,T ]→ R-functie g, stel dat ze allebei glad zijn over hun
volledige domein (minstens een maal continu afleidbaar), dan zegt de kettingregel ons16
f (g(t))− f (g(0)) =∫ t
0f ′(g(u))g′(u)du =
∫ t
0f ′(g(u))dg(u),
Indien g(t) = X(t), t ∈ [0,T ], een semimartingaal is, merken we echter dat voor f (x) = x2 geldt
f (X(t))− f (X(0))(1.8)= 2
∫ t
0X(u-)dX(u)+ [X ,X ](t) =
∫ t
0f ′(g(u))dg(u)+ [g,g](t).
Aangezien meestal voor semimartingalen g = X de laatste term [g,g](t) = [X ,X ](t) zal verschillen van
nul, voldoen semimartingalen dus niet aan de gebruikelijke kettingregel. We kwamen eerder reeds tot
deze constatatie in (stelling 1.2.1).
Padsgewijze calculus voor eindig actieve sprongprocessen
We starten met enkele eenvoudige bemerkingen die op het eerste zicht niks te maken hebben met sto-
chastische processen. Beschouw een functie x : [0,T ]→ R met een eindig aantal discontinuıteiten in
0 = τ1 < τ2 < .. . < τn+1 = T , maar die glad is in elk interval ]τi,τi+1]. We kiezen x cadlag in de
discontinue punten, m.a.w. x(τi+) = x(τi). We kunnen deze functie representeren als
x(t) =∫ t
0b(u)du+ ∑
i,τi≤t(x(τi)− x(τi-))︸ ︷︷ ︸
∆xi
,
met b een aangepast cadlagproces. x zal stuksgewijs glad zijn indien b continu is.
Beschouw nu een gladde functie f : R→ R, op een interval ]τi,τi+1] is x glad, f (x) bijgevolg ook.
Daardoor kunnen we in elk van deze intervallen i = 1, . . . ,n de kettingregel gebruiken:
f (x(τi+1-))− f (x(τi)) =∫
τi+1-
τi
f ′(x(u))x′(u)du =∫
τi+1-
τi
f ′(x(u))b(u)du.
16Gladheid wordt gedefinieerd in [7, blz. 57], de kettingregel komt aan bod in [7, blz. 47].
1.4. STOCHASTISCHE CALCULUS 39
In elk discontinuıteitspunt maakt f (x) nu echter een sprong van grootte
f (x(τi))− f (x(τi-)) = f (x(τi-)+∆xi)− f (x(τi-)).
Tellen we de laatste twee gelijkheden bij elkaar dan bekomen we de totale verandering van f tussen 0
en T :
f (x(T ))− f (x(0)) =n
∑i=0
( f (x(τi+1))− f (x(τi)))
=n
∑i=0
( f (x(τi+1))− f (x(τi+1-))+ f (x(τi+1-))− f (x(τi)))
=n+1
∑i=1
( f (x(τi-)+∆xi)− f (x(τi-)))+n
∑i=0
∫τi+1-
τi
b(u) f ′(x(u))du.
We vinden uiteindelijk
f (x(T ))− f (x(0)) =∫ T
0b(u) f ′(x(u))du+
n+1
∑i=1
( f (x(τi-)+∆xi)− f (x(τi-))).
Stelling 1.4.15. [5] Zij x een stuksgewijze gladde functie
x(t) =∫ t
0b(u)du+ ∑
i,τi≤t∆xi,
dan is voor elke gladde R→ R-functie f
f (x(T ))− f (x(0)) =∫ T
0b(u) f ′(x(u))du+
n+1
∑i=1
( f (x(τi-)+∆xi)− f (x(τi-))).
Beschouw nu een stochastisch proces X(t,ω), t ∈ [0,T ] en ω ∈Ω met paden t→ X(t,ω) , deze is bijna
zeker van de vorm
X(t,ω) = X(0)+∫ t
0b(u,ω)du+
C(t,ω)
∑i=1
∆Xi(ω),
met ∆Xi(ω) = X(τi,ω)−X(τi−,ω) de sprongroottes en C(t,ω) een stochastisch aantal sprongen, het
aantal wordt aangegeven door een telproces. De ω als parameter geeft aan dat we weldegelijk met
stochastische processen werken. Stelling 1.4.15 zegt ons dan dat bijna zeker
f (X(t))− f (X(0)) =∫ t
0b(u) f ′(X(u))du+ ∑
i,τi≤t( f (X(τi-)+∆Xi)− f (X(τi-)))
=∫ t
0b(u) f ′(X(u))du+
∆X(u)6=0
∑0≤u≤T
( f (X(u-)+∆X(u))− f (X(u-))). (1.11)
Hier loopt de som nu over de stochastische sprongtijstippen τi van het proces X , de formule blijft echter
geldig onafhankelijk van het stochastisch karakter. Zijn we geınteresseerd in verwachtingswaarden dan
40 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
hebben we meer informatie nodig over de verdeling van de stochastische tijdstippen, is bijvoorbeeld
P(t), t ∈ [0,T ], een Poissonproces dan is τi+1− τi exponentieel verdeeld en ∆Xi identiek en onafhanke-
lijk F-verdeeld. In dit bijzonder geval kan men f (X(t)) splitsen in een martingaalstuk en een driftstuk.
We introduceren hiertoe de stochastische maat op [0,T ]×R die de locatie en grootte van de sprongen
beschrijft:
JP = ∑n≥1
I(τn,∆X(τn)) ∈ [0,T ]×R .
JP is een stochastische Poissonmaat met intensiteit µ(dt,dy) = λdtF(dy). De sprongterm in (1.11) kan
dan herschreven worden als ∫ t
0
∫R( f (X(u-)+ y)− f (X(u-)))JP(du,dy).
Maken we gebruik van de gecompenseerde sprongmaat JP(dt,dy) = JP(dt,dy)−λdtF(dy) dan kunnen
we opsplitsen in een martingaalterm en een driftterm:∫ t
0
∫R( f (X(u-)+ y)− f (X(u-)))JP(du,dy)+
∫ t
0λdu
∫R( f (X(u-)+ y)− f (X(u-)))F(dy).
Het resultaat wordt samengevat in onderstaande stelling.
Stelling 1.4.16. [5] (Ito-formule voor eindig actieve sprongprocessen) Zij X een sprongproces met
waarden in R gedefinieerd door
X(t) =∫ t
0b(u)du+
P(t)
∑i=1
Zi,
waar b een aangepast cadlagproces is, P een telproces waarbij P(t) het aantal sprongen tussen 0 en t
voorstelt en Zi de spronggrootte van de ie sprong. Zijn τ1,τ2, . . . de sprongtijdstippen van het proces X
en JP de stochastische maat op [0,T ]×R geassocieerd met de sprongen van X:
JP = ∑n≥1,τn≤t
δτn,Zn.
Dan geldt voor elke meetbare functie f : [0,T ]×R→ R:
f (t,X(t))− f (0,X(0)) =∫ t
0
(∂ f∂u
(u,X(u-))+b(u)∂ f∂x
(u,X(u-)))
du
+ ∑n≥1,τn≤t
( f (u,X(u-)+∆X(u))− f (u,X(u-)))
=∫ t
0
(∂ f∂u
(u,X(u-))+b(u)∂ f∂x
(u,X(u-)))
du
+∫ t
0
∫ +∞
−∞
( f (u,X(u-)+ y)− f (u,X(u-)))JP(du,dy).
1.4. STOCHASTISCHE CALCULUS 41
Indien P(t), t ∈ [0,T ], bovendien een Poissonproces is met E[P(t)] = λt, Zi ∼ F onafhankelijk en
identiek verdeeld en f begrensd is dan f (t,X(t)) =V (t)+M(t). Hierin is M(t) een martingaalstuk
M(t) =∫ t
0
∫ +∞
−∞
( f (u,X(u-)+ y)− f (u,X(u-)))JP(du,dy),
waarin JP(dt,dy) = JP(dt,dy)−λF(dy)dt de gecompenseerde stochastische Poissonmaat, V is een
continue eindige variatie driftterm
V (t) =∫ t
0
(∂ f∂u
(u,X(u-))+b(u)∂ f∂x
(u,X(u-)))
du
+∫ t
0du
∫R( f (u,X(u-)+ y)− f (u,X(u-)))F(dy).
1.4.3 Ito-formule voor continue processen en sprongen
Beschouw een continu proces aangevuld met een sprongproces, het continue proces wordt uiteraard ge-
modelleerd a.d.h.v. een Brownse Beweging, het sprongproces a.d.h.v. een samengesteld Poissonproces:
X(t) = σW (t)+µt + J(t) = Xc(t)+ J(t),
met Xc(t) het continue stuk van X(t), t ∈ [0,T ]. Het discontinue stuk kan geschreven worden als
J(t) =P(t)
∑i=1
∆Xi.
Zij f ∈C2(R) en beschouw de P(T ) sprongtijdstippen τ1,τ2, . . . ,τP(T ) van X , er geldt in ]τi,τi+1[, voor
elke i = 1,2, . . . ,P(T ),
dX(t) = dXc(t) = σdW (t)+µdt.
Gebruiken we dan de Ito-formule voor Brownse Bewegingen (stelling 1.2.1) dan bekomen we
f (X(τi+1))− f (X(τi)) =∫
τi+1-
τi
σ2
2f ′′(X(u))du+
∫τi+1-
τi
f ′(X(u))dX(u)
=∫
τi+1-
τi
σ2
2f ′′(X(u))du+
∫τi+1-
τi
f ′(X(u))dXc(u).
Indien een sprong van grootte ∆Xi plaatsvindt dan verandert f (X(t)) met f (X(t-)+∆X(t))− f (X(t-)).
De totale verandering in de functiewaarde kan dan geschreven worden als de som van de continue en
discontinue verandering:
f (X(t))− f (X(0)) =∫ t
0f ′(X(u))dXc(u)+
∫ t
0
σ2
2f ′′(X(u))du
+∆(u)6=0
∑0≤u≤t
( f (X(u-)+∆X(u))− f (X(u-))) .
42 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE
Vervangen we dXc(u) door dX(u)−∆X(u) dan bekomen we een equivalente uitdrukking:
f (X(t))− f (X(0)) =∫ t
0f ′(X(u))dX(u)+
∫ t
0
σ2
2f ′′(X(u))du
+∆(u)6=0
∑0≤u≤t
(f (X(u-)+∆X(u))− f (X(u-))−∆(u) f ′(X(u-)).
)Is het aantal sprongen eindig dan zijn beide vormen equivalent, de laatste uitdrukking is echter alge-
mener, ze is ook van toepassing bij een oneindig aantal sprongen. We vatten samen in onderstaande
stelling.
Stelling 1.4.17. [5] Zij X een continu proces aangevuld met sprongen, nl. de som van een driftterm,
een Brownse Beweging en een samengesteld Poissonproces:
X(t) = X(0)+∫ t
0b(u)du+
∫ t
0σ(u)dW (u)+
P(t)
∑i=1
∆Xi.
Hierin zijn b(t) en σ(t), telkens t ∈ [0,T ], aangepaste continu processen met
E[∫ T
0(σ(u))2du
]< +∞.
Dan geldt voor elke C1,2-functie f : [0,T ]×R→ R dat het proces f (t,X(t)), t ∈ [0,T ] voortgebracht
wordt door
f (t,X(t))− f (0,X(0)) =∫ t
0
(∂ f∂u
(u,X(u))+∂ f∂x
(u,X(u))b(u))
du
+12
∫ t
0σ
2(u)∂2 f∂x2 (u,X(u))du+
∫ t
0
∂ f∂x
σ(u)dW (u)
+ ∑i≥1,τi≤t
( f (X(τi-)+∆Xi)− f (X(τi-))) .
Of in differentiaalvorm
d ( f (t,X(t))) =∂ f∂t
(t,X(t))dt +b(t)∂ f∂x
(t,X(t))dt +σ2(t)
2∂2 f∂x2 (t,X(t))dt
+∂ f∂x
σ(t)dW (t)+( f (X(t-)+∆X(t))− f (X(t-))) .
43
Hoofdstuk 2
De numerair-portefeuille in een
(in)complete markt
We brengen onze theorie op gang vanuit een complete markt, ruw gezegd gaan we uit van een markt
waarin de belegger de mogelijkheid heeft in elke combinatie van risico’s te beleggen. Dit is evenwel
een zware aanname waar we in deel 2.4 zullen moeten op terugkomen, daar beschrijven we een veral-
gemening van onderstaande theorie. Toch is het niet overbodig te starten vanuit een complete markt,
het zorgt er namelijk voor dat de lezer voeling krijgt met enkele cruciale begrippen en theorieen waarop
deze masterproef zal steunen.
2.1 Modellering van een complete financiele markt
De financiele markt is een mechanisme dat mensen toelaat te handelen in financiele effecten (aandelen,
obligaties en afgeleide producten), grondstoffen, e.a.1 tegen lage transactiekosten en een economisch
efficiente prijs. Dit kan gebeuren op grote schaal (bedrijven, overheden, beleggingsfondsen . . . ), evenals
op kleine schaal (individuen). In het vervolg gebruiken we de term ‘effect’ als de verzamelnaam van
alles wat op de financiele markt verhandeld wordt.
We gaan uit van een effectenmarkt bestaande uit N +1 ∈ N verschillende effecten Si ≥ 0, i = 0, . . . ,N.
Deze markt is continu open, d.w.z. dat er op elk moment kan verhandeld worden, bovendien is er geen
mogelijkheid tot arbitrage. De modellering van deze financiele markt gebeurt o.b.v. een gefilterde
kansruimte (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P), waarbij T ∈]0,∞[ een arbitraire tijdshorizon voorstelt. F (t) verza-
1Voor een beschrijving van de verschillende producten in een financiele markt verwijzen we naar [21].
44 HOOFDSTUK 2. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN EEN (IN)COMPLETE MARKT
melt alle informatie beschikbaar op tijdstip t ∈ [0,T ], deze breidt uit — per definitie van een filtratie,
maar ook consistent met de werkelijkeid — naargelang t stijgt.
Aangezien elke financiele markt beschikt over een spaarrekening, moet deze vertolkt worden door een
van de effecten, laat ons hiervoor de index 0 kiezen. De spaarrekening heeft een eenvoudige uitdruk-
king, de waarde op tijdstip t ∈ [0,T ] is enkel afhankelijk van het verloop van de rente r(·) > 0 tot op
tijdstip t, dit wordt uitgedrukt door de integraal in (2.1). Daaruit volgt dan eenvoudigweg de differenti-
aalvergelijking:
S0(t) = S0(0)exp∫ t
0r(s)ds
⇔ d (S0(t)) = S0(t)r(t)dt, t ∈ [0,T ]. (2.1)
Aangezien de spaarrekening een liquide rekening is (zie [21, blz. 3.4]), nemen we voor r(t) de korte
termijn rente op tijdstip t ∈ [0,T ], sparen en lenen gebeurt — bij afspraak — aan hetzelfde tarief2.
Wanneer we geld bewaren op (resp. ontlenen aan) een bank spreken we over risicoloos beleggen, de
belegger is namelijk zeker van het rendement: hij kan nooit geld verliezen (resp. winnen) door te sparen
(resp. lenen), dit is niet hetzelfde als arbitrage3.
De andere N effecten dragen wel een onzekerheid met zich mee, in de praktijk hangt elk van deze risi-
covolle beleggingen af van een koers (een wisselkoers voor aandelen, obligaties, afgeleiden en grond-
stoffen, een (extra) wisselkoers voor buitenlandse beleggingen). Wiskundig wordt deze onzekerheid
gemodelleerd a.d.h.v. een (N-dimensionale) Brownse Beweging W (t) =[W1(t) · · · WN(t)
]tr. We
nemen aan — zonder verlies van algemeenheid — dat elk van de N risicovolle effecten voldoet aan een
stochastische differentiaalvergelijking:
d (Si(t)) = Si(t)
(ai(t)dt +
N
∑k=1
bi,k(t)dWk(t)
), t ∈ [0,T ] en i = 1, . . . ,N. (2.2)
We trekken hier reeds de aandacht op het feit dat Si(t) > 0 voor alle t ∈ [0,T ], dit is de wiskundige
uitdrukking van de beperkte aansprakelijkheid: een belegger is slechts aansprakelijk tot het bedrag
waarvoor hij deelneemt in een effect, waarden van effecten kunnen aldus nooit negatief zijn. Indien we
Si(0) = 0 stellen voor i= 0, . . . ,N, volgt dit ook uit de oplossing van de stochastische differentiaalverge-
lijkingen, we verwijzen hiervoor naar stelling 2.1.1. De matrix van aangepaste stochastische processen
B(t) = bi,k(t), i,k = 1, . . . ,N , t ∈ [0,T ], noemen we de volatiliteitsmatrix. De waarde bi,k(t) kunnen
2Misschien is dit de meest onrealistische voorwaarde uit deze masterproef, in werkelijkheid bestaat namelijk een rente-
marge, zie [21, blz. 3.17]. In de financiele wiskunde is het echter niet de gewoon hier rekening mee te houden.3We herinneren aan definitie 1.1.18 en de voorwaarde dat men zonder geld start.
2.1. MODELLERING VAN EEN COMPLETE FINANCIELE MARKT 45
we interpreteren als de (i,k)e volatiliteit van het ie effect met het ke lid van de Brownse Beweging
op tijdstip t, of nog de mate waarin een waardeverandering van het ke lid van de Brownse Beweging
doorweegt in de waardering van het ie effect. De vector (kolommatrix) van aangepaste stochastische
processen a(t) =[a1(t) a2(t) · · · aN(t)
]tr, t ∈ [0,T ], noemen we de appreciatievector met ai(t) de
ie appreciatiegraad op tijdstip t, het is het rendement wanneer we geen rekening houden met de koers
van het effect, of dus het verwachte winstcijfer voor effect Si op tijdstip t ∈ [0,T ].
Stelling 2.1.1. De stochastische differentiaalvergelijkingen (2.2) hebben voor elke i = 1, . . . ,N de op-
lossing
Si(t) = Si(0) exp
∫ t
0
N
∑k=1
bi,k(s)dWk(s)+∫ t
0
(ai(s)−
12
N
∑k=1
b2i,k(s)
)ds
.
Bewijs. Uit
Zi(t) =∫ t
0
N
∑k=1
bi,k(s)dWk(s)+∫ t
0
(ai(s)−
12
N
∑k=1
b2i,k(s)
)ds, i = 1, . . . ,N,
voor t ∈ [0,T ], volgt makkelijk (differentiaal van een bepaalde integraal met veranderlijke bovengrens,
zie [7, Stelling 6.3.3])
d (Zi(t)) =N
∑k=1
bi,k(t)dWk(t)+
(ai(t)−
12
N
∑k=1
b2i,k(t)
)dt, i = 1, . . . ,N. (2.3)
Bovendien geldt
Si(t) = Si(0)expZi(t) , i = 1, . . . ,N,
we kunnen aldus de Ito-formule (stelling 1.2.1) toepassen met f (t,x)= expx ( ft = 0 en fx = fxx = f ),
en we besluiten dat voor elke t ∈ [0,T ] en voor elke i = 1, . . .N
d (Si(t))(st. 1.2.1)
= Si(0)expZi(t)d (Zi(t))+12
Si(0)expZi(t)d (Zi(t))d (Zi(t))
(2.3)(st. 1.2.3)
= Si(t)
(N
∑k=1
bi,k(t)dWk(t)+
(ai(t)−
12
N
∑k=1
b2i,k(t)
)dt
)+
12
Si(t)
(N
∑k=1
b2i,k(t)dt
)
= Si(t)
(ai(t)dt +
N
∑k=1
bi,k(t)dWk(t)
).
Om wiskundig te kunnen verderwerken met de processen bi,k en ai moeten de bovenstaande integralen
uit de oplossing aldus bestaan. Voor de Lebesgue-integraal is het voldoende dat de processen voor elke
i voldoen aan ∫ t
0
N
∑i=1|ai(s)|ds < + ∞,
46 HOOFDSTUK 2. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN EEN (IN)COMPLETE MARKT
voor de Ito-integraal moeten we eisen dat bi,k voorspelbaar is en
∫ t
0
N
∑i=1
N
∑k=1
b2i,k(s)ds < + ∞ b.z..
In het vervolg van deze masterproef veronderstellen we dat aan deze voorwaarden voldaan is.
Het lijkt misschien logisch om de dimensie van de Brownse Beweging gelijk te nemen aan het aantal
risicovolle effecten (N), maar dit is niet zo triviaal. Als het aantal effecten groter is dan het aantal (1-
dimensionale) Brownse Bewegingen dan kan het risico in een of meerdere effecten vervangen worden
door een combinatie van andere effecten, we spreken van overtollige effecten die aldus verwijderd
kunnen worden. Indien er meer (1-dimensionale) Brownse Bewegingen dan effecten zijn, dan is de
markt niet compleet op vlak van handelsonzekerheid, er zijn meer onzeker processen (koersen) dan er
effecten zijn. Wanneer er minder effecten dan risico’s zijn, is het niet mogelijk in elke risicocombinatie
te beleggen4, we spreken van een incomplete markt. In dat geval blijft de theorie voldoen, maar verdere
vereenvoudigingen zullen niet van toepassing zijn. Voor het gemak gaan we hier aldus verder met een
complete markt, voor incomplete markten verwijzen we naar paragraaf 2.4!
We gaan er voorlopig dus van uit dat de volatiliteitsmatrix B(t) een vierkante matrix is (complete markt),
bovendien is deze inverteerbaar voor bijna elke t ∈ [0,T ]. Indien B(t) namelijk singulier zou zijn,
zou door rijbewerkingen in B(t) een nulrij ontstaan, deze impliceert dat het mogelijk is effecten zo te
combineren dat er geen risico (koersafhankelijkheid) meer zou zijn, dit is tegen de veronderstelling. De
inverse matrix noteren we (B(t))−1 = [b−1i,k (t)]
Ni,k=1. Dit staat ons toe de ke marktprijs van risico θk(t)
t.o.v. de ke component van de Brownse Beweging Wk(t) in te voeren:
θk(t) =N
∑i=1
b−1i,k (t)(ai(t)− r(t)) t ∈ [0,T ] en k = 1, . . . ,N,
deze waarde is per definitie F (t)-meetbaar. Definieren we de vector (kolommatrix)
θ(t) =[θ1(t) θ2(t) · · · θN(t)
]tr, t ∈ [0,T ], (2.4)
als het aangepast stochastisch proces van de marktprijzen van risico, dan kunnen we via de matrixnotatie
herschrijven:
θ(t) = (B(t))−1 · (a(t)− r(t) ·1), (2.5)
4Men zou kunnen stellen dat de effecten basisvectoren vormen om de ‘risicoruimte’ op te spannen, een basis bestaat uit
exact evenveel vectoren (effecten) als de dimensie van de op te spannen ruimte (de dimensie van de Brownse Beweging).
2.2. PORTEFEUILLES IN EEN COMPLETE MARKT 47
waarbij 1 staat voor de eenheidskolommatix van dimensie N: 1 = [1 1 · · · 1]tr. Lossen we de vergelij-
king (2.5) op naar a(t) dan vinden we
a(t) = B(t) ·θ(t)+ r(t) ·1 ⇔ ai(t) =N
∑k=1
bi,k(t)θk(t)+ r(t) i = 1, . . . ,N. (2.6)
Hierdoor kunnen we tot slot de differentiaalvergelijking (2.2) voor elke i = 1, . . . ,N en elke t ∈ [0,T ]
herschrijven:
d (Si(t))(2.2)= Si(t)
(ai(t)dt +
N
∑k=1
bi,k(t)dWk(t)
)(2.6)= Si(t)
((N
∑k=1
bi,k(t)θk(t)+ r(t)
)dt +
N
∑k=1
bi,k(t)dWk(t)
)
= Si(t)
(r(t)dt +
N
∑k=1
bi,k(t)(θk(t)dt +dWk(t))
). (2.7)
2.2 Portefeuilles in een complete markt
2.2.1 Opbouw van een portefeuille
Op basis van de N +1 aanwezige effecten in de financiele markt kan elke belegger nu een portefeuille
samenstellen. Het volstaat hiervoor zijn volledige financiele kapitaal te verdelen over de verschillende
varieteiten. We stellen vast dat het geen zin heeft een deel van de liquiditeiten achter te houden uit
angst voor verlies of wantrouwen in de beurs, aangezien dit niks opbrengt. Het is dan economisch
rationeler deze op een risicoloze spaarrekening (S0) te plaatsen. Als homo economicus zal men op
elk tijdstip t ∈ [0,T ] zijn volledige financiele bezit verdelen over de N + 1 bovenstaande effecten en
dit volgens een verdeling (een rijmatrix) δ(t) =[δ0(t) δ1(t) · · · δN(t)
]: op tijdstip t worden δi(t)
eenheden geınvesteerd in effect Si, dit met een waarde van δi(t)Si(t), i = 0, . . . ,N. δ is een voorspelbaar
stochastisch proces dat enkel afhangt van informatie beschikbaar op tijdstip t5 en dat op elk tijdstip t ∈
[0,T ] — de markt is continu open — kan worden bijgestuurd. We noemen dergelijk voorspelbaar proces
δ ook wel eens een strategie, deze impliceert op elk tijdstip t ∈ [0,T ] een totale portefeuillewaarde
X (δ)(t)
X (δ)(t) =N
∑i=0
δi(t)Si(t), t ∈ [0,T ]. (2.8)
Deze portefeuillewaarde kan (enkel) varieren naargelang de waarden van de effecten veranderen, de
effectieve verandering wordt bepaald door de mate waarin in de verschillende effecten geınvesteerd is.
5δ(t) is F (t)-meetbaar.
48 HOOFDSTUK 2. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN EEN (IN)COMPLETE MARKT
Dit steunt opnieuw op het feit dat geen liquiditeiten achter gehouden worden, winsten worden opnieuw
geınvesteerd in de financiele markt, we spreken van een zelffinancierende portefeuille:
d(
X (δ)(t))
=N
∑i=0
δi(t)d (Si(t)) , t ∈ [0,T ]. (2.9)
Indien X (δ)(0) > 0 volgt uit de oplossingen van (2.1) en (2.2) — deze kwamen aan bod in stelling
2.1.1 — dat X (δ)(t)> 0 voor t ∈ [0,T ]. In theorie kan de waarde van een portefeuille negatief zijn, wij
steunen hier echter op het intellect van een belegger, dit sluit uit dat beleggers geld lenen om hiermee
effecten aan te kopen. Bovendien is het zo dat sinds januari 2009 elke meerwaarde op aandelen belast
wordt door de overheid indien de belegging niet overeenkomt met een normaal beheer (zie [2]), vandaar
ook dat aandelen kopen volgens ‘De tijd’ behoort tot de vijf domste redenen om een lening af te sluiten
(zie [10]). Het blijft wel mogelijk om geld te lenen, maar dat geleende geld wordt niet gebruikt om te
speculeren op de financiele markt, een portefeuille die bestaat uit geleend geld, deze is (strikt) negatief,
zal aldus niet stochastisch zijn. We wijzen hier op het feit dat deze voorwaarde zich vaak herleid tot een
intentievoorwaarde; geld lenen om een huis te kopen mag indien je de bedoeling hebt hierin te wonen,
koop je een huis om het na enkele jaren met winst door te verkopen dan speculeer je op stijgende
vastgoedprijzen, voor dergelijke transacties is lenen uitgesloten.
We beperken ons tijdelijk tot de risicovolle portefeuilles, deze zijn strikt positief, in het bijzonder zijn
ze verschillend van 0. We kunnen dan namelijk de ie fractie π(δ)i (t) van X (δ)(t) introduceren als de
fractie van de portefeuille dat in Si geınvesteerd is op tijdstip t ∈ [0,T ]:
π(δ)i (t) = δi(t)
Si(t)X (δ)(t)
, i = 0, . . . ,N. (2.10)
Deze fracties sommeren uiteraard altijd tot 1:
N
∑i=0
π(δ)i (t) =
N
∑i=0
δi(t)Si(t)
X (δ)(t)
=∑
Ni=0 δi(t)Si(t)
X (δ)(t)
=X (δ)(t)X (δ)(t)
= 1, t ∈ [0,T ]. (2.11)
De fracties stellen ons in staat de differentiaalvergelijking van de portefeuille X (δ)(t), t ∈ [0,T ], (2.9) te
herschrijven:
d(
X (δ)(t))
(2.9)=
N
∑i=0
δi(t)d (Si(t))
2.2. PORTEFEUILLES IN EEN COMPLETE MARKT 49
= δ0(t)d (S0(t))+N
∑i=1
δi(t)d (Si(t))
(2.1)(2.7)= δ0(t)S0(t)r(t)dt +
N
∑i=1
δi(t)Si(t)
(r(t)dt +
N
∑k=1
bi,k(t)(θk(t)dt +dWk(t))
)
=N
∑i=0
δi(t)Si(t)r(t)dt +X (δ)(t)
(N
∑i=1
δi(t)Si(t)X (δ)(t)
N
∑k=1
bi,k(θk(t)dt +dWk(t))
)
def= X (δ)(t)
(r(t)dt +
N
∑k=1
b(δ)k (t)(θk(t)dt +dWk(t))
). (2.12)
Hierbij werd in de laatste overgang de volatiliteitsvector (rijmatrix)
b(δ)(t) =[b(δ)1 (t) b(δ)2 (t) · · · b(δ)N (t)
]gedefinieerd, hierin is de ke portefeuillevolatiliteit voor elke k = 1, . . . ,N en elke t ∈ [0,T ]
b(δ)k (t) =N
∑i=1
δi(t)Si(t)X (δ)(t)
bi,k(t)(2.10)=
N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t), (2.13)
een maat voor de invloed van een verandering in Wk(t) op de portefeuillewaarde.
Analoog hebben we de appreciatiegraad a(δ)(t) van de portefeuille:
a(δ)(t) = r(t)+N
∑k=1
b(δ)k (t)θk(t), t ∈ [0,T ].
2.2.2 Verdisconteerde portefeuilles
Wanneer een consument vorig jaar e1.00 op een spaarrekening heeft gezet en die daar laat staan, dan
zal die euro reeds toegenomen zijn met renteopbrengsten. Het is dan logisch te verwachten dat ook
de waarde6 van elke omzichtig gekozen portefeuille (minstens evenveel) zal stijgen: indien je bij voor-
baat reeds verwacht dat een gekozen portefeuille minder zal opbrengen dan een spaarrekening, is deze
portefeuille niet weloverwogen, het is dan namelijk beter te kiezen voor de spaarrekening. De rente-
inkomsten zijn aldus een minimum, ze uiten de tijdswaarde van geld, het is dan ook eerlijker om bij het
waarderen de portefeuillewaarden te zuiveren van rente-inkomsten, we verdisconteren.
Binnen de financiele wiskunde is het logischerwijs de gewoonte te werken met verdisconteerde porte-
feuillewaarden. Concreet gebeurt dit door X (δ)(t) te delen door de waarde van een spaarrekening S0(t)
op tijdstip t ∈ [0,T ], deze wordt bepaald door alle rentewaarden tot op tijdstip t samen. We definieren
de verdisconteerde portefeuillewaarde:
X (δ)(t) =
X (δ)(t)S0(t)
, t ∈ [0,T ]. (2.14)
6We behandelen de getalwaarde, niet de koopwaarde, die laatste wordt beınvloed door inflatie.
50 HOOFDSTUK 2. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN EEN (IN)COMPLETE MARKT
Stelling 2.2.1. Voor de differentiaalvergelijking van X (δ)(t) vinden we voor t ∈ [0,T ]
d(
X (δ)(t))
=N
∑k=1
ψ(δ)k (θk(t)dt +dWk(t)), (2.15)
waarbij de ke, k = 1, . . . ,N, diffusiecoefficient ψ(δ)k (t) van de portefeuille X (δ)(t) gedefinieerd wordt
door
ψ(δ)k (t) = X (δ)
(t)b(δ)k (t) =N
∑i=1
δi(t)Si(t)S0(t)
bi,k(t). (2.16)
Bewijs. Door gebruik van de productregel (stelling 1.2.2) vinden we
d(
X (δ)(t))
(2.14)= d
(S0(t)X
(δ)(t))
(st. 1.2.2)= d (S0(t))X (δ)
(t)+S0(t)d(
X (δ)(t))+d (S0(t))d
(X (δ)
(t)).
We steunen op (2.1) en (2.12) en lossen vervolgens op naar d(
X (δ)(t))
X (δ)(t)
(r(t)dt +
N
∑k=1
b(δ)k (t)(θk(t)dt +dWk(t))
)= S0(t)r(t)X
(δ)(t)dt +S0(t)d
(X (δ)
(t))+(S0(t)r(t)dt)d
(X (δ)
(t))
(2.14)(st. 1.2.3)⇔ d
(X (δ)
(t))
= X (δ)(t)
N
∑k=1
b(δ)k (t)(θ(t)dt +dWk(t)) (2.17)
(2.16)⇔ d(
X (δ)(t))
=N
∑k=1
ψ(δ)k (θk(t)dt +dWk(t)). (2.18)
Uit de differentiaalvergelijking (2.15) vinden we uitdrukkingen voor de verdisconteerde appreciatie-
graad (α(δ)(t)) en de verzamelde volatiliteit (γ(δ)(t)) van de verdisconteerde portefeuille:
α(δ)(t) =
N
∑k=1
ψ(δ)k (t)θk(t), γ
(δ)(t) =
√N
∑k=1
(ψ(δ)k (t))2, t ∈ [0,T ].
Deze stochastische processen vormen een maat voor respectievelijk de (van koersveranderingen) gezui-
verde tijdsafhankelijkheid van de verdisconteerde portefeuille, respectievelijk de koersafhankelijkheid
ervan. Concreet vormt α(δ)(t) de verwachte stijging van de verdisconteerde portefeuille en γ(δ)(t) de
onzekerheid verbonden aan het beleggen.
We merken op dat bovenstaande uitdrukkingen niet geldig zijn voor incomplete markten, maar dit enkel
omdat de marktprijs van risico θ(t) dan voorlopig niet gedefinieerd is. Zonder dit proces θ(t), t ∈ [0,T ],
is het echter eveneens perfect mogelijk een uitdrukking voor de (verdisconteerde) portefeuille op te
bouwen.
2.3. DE GOP: GROWTH OPTIMAL PORTFOLIO 51
2.3 De GOP: growth optimal portfolio
Het zou erg interessant zijn een numeraire te vinden die ervoor zorgt dat een portefeuilleproces een
welbepaalde evolutie kent, we denken hierbij aan (sub/super)martingaalprocessen. In het inleidend
hoofdstuk 1 raakten we reeds het belang hiervan aan, i.h.b. voor het prijzen van portefeuilles. In de
financiele wiskunde bestaan bepaalde stellingen die zeggen dat voor elk stochastische portefeuilleproces
X (δ)(t), t ∈ [0,T ], een numeraire bestaat die dit proces herleidt tot een (lokale) P-martingaal (zie [1]),
we zullen dit (lokaal) P-martingaalproces de numerair-portefeuille noemen.
In onderstaand stuk zoeken we naar die numerair-portefeuille, ze zal blijken gelijk te zijn aan de groei
optimale portefeuille X (δ∗)(t), t ∈ [0,T ], vaak afgekort tot GOP. We volgen hieronder de omgekeerde
redenering: we definieren de GOP en bewijzen dat ze gelijk is aan de numerair-portefeuille.
2.3.1 Definitie en afleiding in een complete markt
Een belegger is telkens op zoek naar maximale winst, het zou aldus fraai zijn een portefeuille te creeren
die maximale opbrengsten genereert. Aangezien een belegger zonder voorkennis onmogelijk kan voor-
spellen uit welke combinatie van effecten die optimale portefeuille bestaat, moeten we werken met
verwachte rendementen. In de economie werkt men bij dergelijke optimalisatievraastukken met nuts-
functies (zie [12, blz. 1.22 e.v.]), men berekent a.d.h.v. die functie (hier afhankelijk van de input δ(t))
het verwachte nut en probeert dat te maximaliseren. We mogen er — zoals in elke economische theorie
— van uit gaan dat een persoon zijn nutsfunctie stijgt naarmate de portefeuillewaarde (de winst) stijgt
(een positief marginaal nut of eerste afgeleide), maar dat de stijging kleiner wordt naarmate die per-
soon reeds meer winst maakte (eerste wet van Gossen: het marginale nut neemt af). Elke logaritmische
functie voldoet hieraan; ze stijgt degressief.
Concreet gaan we hier op zoek naar de differentiaal van de (natuurlijke) logaritme van een portefeuille,
deze zal beschikken over een appreciatiegraad en volatiliteit. Na het nemen van de verwachtingswaarde
blijft enkel de appreciatiegraad over, deze wensen we aldus te maximaliseren.
Stelling 2.3.1. De differentiaalvergelijking van de (natuurlijke) logaritme van de verdisconteerde por-
tefeuille X (δ)(t) is voor elke t ∈ [0,T ] gelijk aan:
d(
log(X (δ)(t)))=
N
∑k=1
N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)θk(t)−
12
(N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)
)2dt
+N
∑k=1
N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)dWk(t). (2.19)
52 HOOFDSTUK 2. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN EEN (IN)COMPLETE MARKT
Bewijs. We gebruiken de Ito-formule (stelling 1.2.1) met f (x, t) = log(x) ( ft = 0, fx = 1/x en fxx =
−1/x2):
d(
log(X (δ))(t))
)(st. 1.2.1)
=1
X (δ)(t)
d(
X (δ)(t))− 1
2(X (δ)(t))2
d(
X (δ)(t))
d(
X (δ)(t))
(2.17)=
1
X (δ)(t)
(X (δ)
(t)N
∑k=1
b(δ)k (θk(t)dt +dWk(t))
)
− 1
2(X (δ)(t))2
(X (δ)
(t)N
∑k=1
b(δ)k (t)(θk(t)dt +dWk(t))
)2
(st. 1.2.3)=
N
∑k=1
b(δ)k (t)(θk(t)dt +dWk(t))−12
N
∑k=1
(b(δ)k (t))2dt
(2.13)=
N
∑k=1
N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)θk(t)−
12
(N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)
)2dt
+N
∑k=1
N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)dWk(t).
Definitie 2.3.1. [15] Een strikt positief portefeuilleproces X (δ∗) =
X (δ∗)(t), t ∈ [0,T ]
noemen we
een GOP (Growth Optimal Portfolio, Groei Optimale Portefeuille) indien, voor alle strikt positieve
portefeuilles X (δ), de ongelijkheid
g(δ∗)(t) ≥ g(δ)(t), ∀t ∈ [0,T ],
bijna zeker geldt. Hierin is g(δ)(t) de appreciatiegraad van de (natuurlijke) logaritme van de verdis-
conteerde portefeuille X (δ)(t), t ∈ [0,T ]:
g(δ)(t) =N
∑k=1
N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)θk(t)−
12
(N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)
)2 . (2.20)
Stelling 2.3.2. De GOP heeft op elk tijdstip t ∈ [0,T ] optimale fracties
π(δ∗)i (t) =
N
∑k=1
θk(t)b−1i,k (t), i = 1, . . . ,N,
π(δ∗)0 (t) = 1−
N
∑i=1
π(δ∗)i (t)
en voldoet bijgevolg aan de differentiaalvergelijking
d(
X (δ∗)(t))
= X (δ∗)(t)N
∑k=1
θk(t)(θk(t)dt +dWk(t)) , t ∈ [0,T ]. (2.21)
2.3. DE GOP: GROWTH OPTIMAL PORTFOLIO 53
Bewijs. Om de GOP te vinden, moeten we de optimale fracties πi(t) (i = 1, . . . ,N, t ∈ [0,T ]) vinden.
We doen dit door de appreciatiegraad (van de natuurlijke logaritme) g(δ)(t) af te leiden naar de fracties
π(δ)j (t) en dit voor elke j = 1, . . . ,N gelijk te stellen aan 0:
g(δ)(t)(2.20)=
N
∑k=1
N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)θk(t)−
12
(N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)
)2
∂g(δ)(t)
∂π(δ)j (t)
=N
∑k=1
b j,k(t)θk(t)−N
∑k=1
(b j,k(t)
N
∑i=1
bi,k(t)π(δ)i (t)
)
=N
∑k=1
b j,k(t)
(θk(t)−
N
∑i=1
bi,k(t)π(δ)i (t)
)= 0.
We maken nu gebruik van [20, stelling 3.2.5], nl. de dimensie van de oplossingsverzameling van een
homogeen stelsel is gelijk aan het aantal onbekenden minus de rang van de coefficientenmatrix. Het
aantal onbekenden is hier gelijk aan N, de rang van de coefficientenmatrix B is gelijk aan N wegens
veronderstelling van een complete markt. Dit homogeen stelsel heeft aldus enkel de nuloplossing als
oplossing:
θk(t) =N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t) (2.22)
(2.13)⇔ θk(t) = b(δ)k (t) ∀k = 1, . . . ,N. (2.23)
Rest ons nog te bewijzen dat deze fracties een maximum leveren, we nemen de tweede orde partiele
afgeleiden voor elke j, l = 1, . . . ,N. De Hessiaan is de matrix bestaande uit deze tweede orde partiele
afgeleiden, deze heeft op de plaats ( j, l), j, l = 1, . . . ,N, aldus de onderstaande functie staan
∂2g(δ)(t)
∂π(δ)j (t)∂π
(δ)l (t)
= −N
∑k=1
b j,k(t)bl,k(t).
We zien onmiddelijk dat de Hessiaan op elk tijdstip t ∈ [0,T ] gelijk is aan de matrix −V (t) = −B(t) ·
(B(t))tr. Voor elke vector π(δ)(t), t ∈ [0,T ], zal aldus gelden dat
(π(δ)(t)
)tr· (−B(t) · (B(t))tr) ·
(π(δ)(t)
)= −
((π(δ)(t)
)tr·B(t)
)·((
π(δ)(t)
)tr·B(t)
)tr
,
de Hessiaan is aldus negatief definiet, dit is een voldoende voorwaarde voor een maximum7. Samen
bepalen (2.22) en (2.11) aldus een maximum, bovendien worden de fracties gedefinieerd door N + 1
7We verwijzen naar [4] voor de definitie van Hessiaan (blz. 59), negatief definiet (blz. 27) en de voldoende voorwaarde
voor een minimum (blz. 82), deze laatste is makkelijk om te zetten naar een voldoende voorwaarde voor een maximum.
54 HOOFDSTUK 2. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN EEN (IN)COMPLETE MARKT
lineaire voorwaarden voor N +1 onbekenden, ze zijn aldus voor elke t ∈ [0,T ] uniek gedefinieerd:
π(δ∗)i (t) =
N
∑k=1
θk(t)b−1i,k (t), i = 1, . . . ,N,
π(δ∗)0 (t) = 1−
N
∑i=1
π(δ∗)i (t).
Merk op dat we hier expliciet steunen op de inverteerbaarheid van de matrix B(t), t ∈ [0,T ]. Voor de
differentiaalvergelijking van de GOP vinden we vervolgens voor t ∈ [0,T ]
d(
X (δ∗)(t))
(2.17)= X (δ∗)(t)
N
∑k=1
b(δ∗)k (t)(θk(t)dt +dWk(t))
(2.23)= X (δ∗)(t)
N
∑k=1
θk(t)(θk(t)dt +dWk(t)).
In vectorvorm krijgt bovenstaande stelling de volgende gedaante (opnieuw t ∈ [0,T ]):
θk(t)(2.23)= b(δ∗)k (t)
(2.13)⇔ θk(t) =N
∑i=1
π(δ∗)i bi,k(t)
⇔ θ(t) = (B(t))tr ·π(δ∗)(t)
⇔ π(δ∗)(t) = (B(t))− tr ·θ(t)
(2.5)⇔ π(δ∗)(t) = (B(t))− tr · (B(t))−1 · (a(t)− r(t) ·1)
def⇔ π(δ∗)(t) = (V (t))−1 · (a(t)− r(t) ·1) (2.24)
(2.5)⇔ π(δ∗)(t) = (V (t))−1 ·B(t) ·θ(t). (2.25)
Hierin is V (t) gelijk aan de variantie-covariatiematrix B(t) · (B(t))tr van de N risicovolle effecten. De
proportie π0(t) wordt dan opnieuw bepaald als het verschil van 1 en de som van de N fracties uit (2.25).
De GOP zal een belangrijke rol spelen in de rest van deze masterproef, daarom merken we nog op . . .
• . . . uit bovenstaande afleiding kunnen we besluiten dat de GOP uniek gedefinieerd is, op z’n be-
ginwaarde na. We kunnen deze groei optimale portefeuille dus zonder moeilijkheden gebruiken.
• . . . de GOP maximaliseert de uiteindelijke rijkdom op tijdshorizon T , indien er echter een latere
tijdshorizon T ′ ≥ T zou bestaan, dan is de corresponderende GOP’ gelijk aan de GOP in het
gemeenschappelijk tijdsinterval [0,T ].
• . . . onder alle beschikbare portefeuilles X (δ), zal de GOP X (δ∗) de verwachte tijd nodig om een
positieve portefeuillewaarde (groter dan de beginwaarde) te bereiken, minimaliseren.
2.3. DE GOP: GROWTH OPTIMAL PORTFOLIO 55
2.3.2 De benchmark aanpak: de GOP als numeraire
In het benchmark model wordt elke portefeuille geevalueerd door vergelijking met de numerair-portefeuille,
de groei optimale portefeuille zoals we hier zullen bewijzen. De GOP wordt als numeraire gebruikt,
elke portfolio wordt uitgedrukt in eenheden van de GOP. Concreet definieren we de benchmarked por-
tefeuilles als portefeuilles met de GOP als numeraire:
X (δ)(t) =X (δ)
(t)
X (δ∗)(t), t ∈ [0,T ]. (2.26)
We bewijzen dat de benchmarked portefeuille een lokaal P-martingaalproces levert en aldus gelijk is
aan de numerair-portefeuille8. We leiden de stochastische differentiaalvergelijking af en zien dat deze
geen driftterm heeft, dit gebeurt in volgende stelling.
Stelling 2.3.3. De benchmarked portefeuilles beantwoorden voor elke t ∈ [0,T ] aan een stochastische
differentiaalvergelijking
d(
X (δ)(t))
= X (δ)(t)
(N
∑k=1
(b(δ)k (t)−θk(t))dWk(t)
), t ∈ [0,T ]. (2.27)
Bewijs. We starten met een SDV op te stellen voor de inverse GOP, deze zullen we nodig hebben om
de differentievergelijking van X (δ)(t) op te stellen. We maken gebruik van de Ito-formule (1.2.1) met
f (x, t) = 1/x ( ft = 0, fx = −1/x2 en fxx = 2/x3):
d
(1
X (δ∗)(t)
)(st. 1.2.1)
= − 1(X (δ∗)(t)
)2 d(
X (δ∗)(t))+
12
2(X (δ∗)(t)
)3 d(
X (δ∗)(t))
d(
X (δ∗)(t))
(2.21)= − 1(
X (δ∗)(t))2
(X (δ∗)(t)
N
∑k=1
θk(t)(θk(t)dt +dWk(t))
)
+1(
X (δ∗)(t))3
(X (δ∗)(t)
N
∑k=1
θk(t)(θk(t)dt +dWk(t))
)2
(st. 1.2.3)=
1
X (δ∗)(t)
(−
N
∑k=1
θk(t)(θk(t)dt +dWk(t))+N
∑k=1
(θk(t))2 dt
)
= −∑Nk=1 θk(t)dWk(t)
X (δ∗)(t). (2.28)
8We stippen aan dat we de benchmarked portefeuille definieerden als het portefeuilleproces met de GOP als numeraire.
De numerair-portefeuille gebruikt die numeraire die een lokaal P-martingaalproces levert.
56 HOOFDSTUK 2. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN EEN (IN)COMPLETE MARKT
Vervolgens gebruiken we de Ito-productregel om (2.27) te vinden:
d(
X (δ)(t))
(2.26)= d
(X (δ)
(t)
X (δ∗)(t)
)(st. 1.2.2)
=1
X (δ∗)(t)d(
X (δ)(t))+X (δ)
(t)d
(1
X (δ∗)(t)
)+d(
X (δ)(t))
d
(1
X (δ∗)(t)
)(2.17)(2.28)
(st. 1.2.3)=
X (δ)(t)
X (δ∗)(t)
N
∑k=1
b(δ)k (t)(θk(t)dt +dWk(t))
− X (δ)(t)
X (δ∗)(t)
N
∑k=1
θk(t)dWk(t)−X (δ)
(t)
X (δ∗)(t)
N
∑k=1
b(δ)k (t)θk(t)dt
= X (δ)(t)
(N
∑k=1
(b(δ)k (t)−θk(t))dWk(t)
)
telkens voor t ∈ [0,T ].
We leggen de nadruk op het feit dat het hier eigenlijk overbodig is met verdisconteerde portefeuilles te
werken, in de definitie van de benchmarked portefeuille (2.26) heffen de delingen door S0(t) in X (δ)(t)
en X (δ∗)(t) elkaar op. We herhalen bovendien dat we gebruik maakten van de veronderstelling van een
complete markt (marktprijs van risico), ook voor de GOP dringt een veralgemening zich aldus op.
Aangezien in (2.27) geen driftterm voorkomt is het aangepast stochastisch proces X (δ)(t), t ∈ [0,T ], een
lokale P-martingaal (t ∈ [0,T ]). De benchmarked portefeuille is dus gelijk aan de numerair-portefeuille,
beide begrippen worden in het vervolg door elkaar gebruikt! Vermits de martingaaleigenschap geldt
voor algemene T , volgt uit stelling 1.1.1 dat een benchmarked portefeuilleproces een P-supermartingaal
is, indien deze niet-negatief is. De voorwaarde van niet-negatieve portefeuillewaarden maakten we eer-
der reeds expliciet bij (2.9), ze is realistisch wanneer we veronderstellen dat de belegger geen geld leent
om te speculeren en we het zuiver lenen even achterwege laten. Een investeerder is slechts aansprake-
lijk tot het bedrag waarvoor hij deelneemt, we spreken van beperkte aansprakelijkheid, waarden van
effecten kunnen aldus nooit negatief zijn, dit was ook merkbaar in de oplossing van de stochastische
differentiaalvergelijking van onze N+1 effecten (zie stelling 2.1.1). Onder de voorwaarde van rationele
beleggers zullen portefeuillewaarden dan ook telkens strikt positief zijn. Eenmaal de portefeuillewaarde
de nul bereikt heeft, kan deze bovendien nooit meer strikt positief worden zoals onderstaande eigen-
schap aantoont, dit zou in strijd zijn met de niet-arbitrage voorwaarde.
Stelling 2.3.4. Zij X (δ)(t), t ∈ [0,T ], een portefeuilleproces. Wanneer we op een tijdstip τ ∈ [0,T ] een
2.3. DE GOP: GROWTH OPTIMAL PORTFOLIO 57
portefeuillewaarde gelijk aan nul hebben, dan zal die portefeuille ook in de toekomst bijna zeker waarde
gelijk aan nul hebben.
Bewijs. Uit de supermartingaaleigenschap halen we eenvoudig
0 = X (δ)(τ) ≥ E[X (δ)(s)|F (τ)
]≥ 0, τ≤ s≤ T.
Aangezien de verwachtingswaarde van toekomstige portefeuillewaarden gelijk is aan nul, moet de kans
op positieve waarden gelijk zijn aan de kans op negatieve waarden, die laatste is wegens strikt positivi-
teit van de portefeuilleprocessen echter nul:
P[X (δ)(s)> 0|F (τ)
]= P
[X (δ)(s)< 0|F (τ)
]= 0, τ≤ s≤ T.
De portefeuille zal dus bijna zeker waarde 0 hebben op elk tijdstip later dan τ:
P[X (δ)(s) = 0|F (τ)
]= 1, τ≤ s≤ T.
2.3.3 Bespreking
We introduceerden de GOP hier met voorbedachte rade! Het belang van de GOP voor deze master-
proef zit hem niet zozeer in de definitie als groei optimale portefeuille, maar wel in de eigenschap dat
benchmarked portfolio’s de lokale P-martingaaleigenschap hebben en wegens bovenstaande bespre-
king de P-supermartingaaleigenschap bezitten. Onderstaande stelling toont aan dat de GOP het enige
portefeuilleproces is dat hiervoor zorgt, het is de enige numerair-portefeuille.
Stelling 2.3.5. [1] Zij U de verzameling van alle toelaatbare zelffinancierende portefeuilles X (δ)(t),
t ∈ [0,T ], zodat elk element ook als numeraire kan dienen. Wanneer de numerair-portefeuille X(t) ∈U,
t ∈ [0,T ], bestaat — deze levert als numeraire voor elk portefeuilleproces een lokale P-martingaal —
dan is dat proces de GOP X (δ∗)(t), t ∈ [0,T ]!
Bewijs. Zij X(t), t ∈ [0,T ], de numerair-portefeuille uit de opgave, die dus lokale martingalen oplevert
t.o.v. de echte kansen P en zij X (δ)(t), t ∈ [0,T ], een toelaatbare zelffinancierende portefeuillestrategie
(een element uit U) met X(0) = X (δ)(0), eventueel X(t) zelf. Dan vinden we door de lokale marting-
aaleigenschap:
E
[X (δ)
(T )X(T )
]=
X (δ)(0)
X(0)
= 1.
58 HOOFDSTUK 2. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN EEN (IN)COMPLETE MARKT
Vanuit Jensen’s ongelijkheid, zie [17, blz. 18], maken we op dat
E
[log
(X (δ)
(T )X(T )
)]≤ log
(E
[X (δ)
(T )X(T )
])= 0,
we hebben aldus dat voor elke X (δ) ∈ U
E
[log
(X (δ)
(T )X(T )
)]≤ 0 ⇔ E
[log(
X (δ)(T ))]≤ E
[log(X(T )
)].
Aangezien X(t), t ∈ [0,T ], een toelaatbare portefeuille is, is deze weldegelijk bereikbaar, en lost ze dus
het vraagstuk maxX (δ)∈U
E[logX (δ)
(T )]
op.
Herinner de definitie van de GOP, X (δ∗)(t), t ∈ [0,T ], als het portefeuilleproces met het hoogste ver-
wachte logaritmische nut. Het vinden van de GOP is aldus equivalent met het oplossen van het maxi-
malisatievraagstuk hierboven; elke oplossing van het maximalisatievraagstuk is dus een GOP en deze
GOP is uniek gedefinieerd (zie de uniek gedefinieerde optimale fracties uit stelling 2.3.2). Aldus heeft
ook het maximalisatievraagstuk een unieke oplossing, de GOP. Nu is elke numerair-portefeuille X(t),
t ∈ [0,T ], ook een oplossing van het maximalisatievraagstuk, we besluiten dat de numerair-porteffeuille
uniek is en gelijk is aan de groei optimale portefeuille. Die GOP zal als numeraire lokale P-martingalen
— en dus P-supermartingalen — opleveren.
2.4 Een veralgemening voor een incomplete markt
Zoals eerder reeds gesteld, vormt een incomplete markt geen obstructie voor de benchmark aanpak. De
werkwijze is dezelfde, we definieren een portefeuille, zoeken de groei optimale portfolio, gebruiken
deze als numeraire om elke portefeuille te evalueren en zien dat deze lokale P-martingalen oplevert.
De afleiding ervan zorgt echter voor ietwat moeilijkere uitdrukkingen, omdat de marktprijs van risico
(de vector θ(t)) nu niet gedefinieerd is (lijkt). Er zijn nu immers M > N koersen9, de dimensie van de
Brownse Beweging is dus gelijk aan M en B(t) is niet langer inverteerbaar. Een veralgemening dringt
zich aldus op!
2.4.1 Veralgemening van effecten en portefeuilles
We werken opnieuw met een financiele markt — continu open en arbitrageloos — waar men kan hande-
len in N+1 verschillende effecten Si≥ 0, i= 0,. . . ,N. Elk van deze effecten wordt gemodelleerd a.d.h.v.9Herinner dat voor M < N een inkrimping van het aantal effecten tot M volstond.
2.4. EEN VERALGEMENING VOOR EEN INCOMPLETE MARKT 59
een gefilterde kansruimte (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P) met tijdshorizon T zodat ze voldoen aan een stochasti-
sche differentiaalvergelijking. We starten met de generalisering van de vergelijkingen (2.1) en (2.2), we
hebben nu immers te maken met een Brownse Beweging W (t) =[W1(t) · · · WN(t) · · · WM(t)
]tr,
t ∈ [0,T ] van dimensie M > N. Elk risicovol effect kan afhankelijk zijn van een of meerdere van deze
M koersen, de stochastische differentiaalvergelijkingen van deze N effecten ondergaan derhalve een
verandering, deze van de risicoloze spaarrekening (2.1) blijft gelijk:
d (S0(t)) = S0(t)r(t)dt, t ∈ [0,T ], (2.29)
d (Si(t)) = Si(t)
(ai(t)dt +
M
∑k=1
bi,k(t)dWk(t)
), t ∈ [0,T ] en i = 1, . . . ,N. (2.30)
Omdat we onszelf opleggen met verdisconteerde waarden te werken, leiden we ook de stochastische
differentiaalvergelijkingen af voor de verdisconteerde effecten:
d(S0(t)
)= d (1) = 0 (2.31)
d (Si(t)) = d(Si(t)S0(t)
)(st. 1.2.2)
= Si(t)d (S0(t))+S0(t)d(Si(t)
)+d(Si(t)
)d (S0(t)) .
We steunen op stelling 1.2.3 en lossen de laatste vergelijking op naar d(Si(t)
):
d(Si(t)
)=
d (Si(t))−Si(t)(S0(t))S0(t)
(2.30)⇔ d(Si(t)
)= Si(t)
((ai(t)− r(t))dt +
M
∑k=1
bi,k(t)dWk(t)
). (2.32)
We trekken opnieuw de aandacht op de voorwaarde Si(t) > 0 voor alle t ∈ [0,T ] ten gevolge van de
beperkte aansprakelijkheid, deze is opnieuw vervuld in ons model door de keuze van stochastische
differentiaalvergelijkingen (2.29) en (2.30). Overeenkomstig het complete geval definieren we op-
nieuw een volatiliteitsmatix B(t) = bi,k(t), i = 1, . . . ,N;k = 1, . . . ,M , t ∈ [0,T ], en een appreciatie-
vector a(t) =[a1(t) · · · aN(t)
]tr, t ∈ [0,T ]. Deze hebben dezelfde interpretaties als in het complete
geval maar dus wel een andere dimensie, we onderstellen eveneens dezelfde voorwaarden betreffende
het bestaan van de oplossing: voorspelbaarheid van de volatiliteitsmatrix en∫ t
0
N
∑i=1|ai(s)|ds < + ∞ en
∫ t
0
N
∑i=1
M
∑k=1
b2i,k(s)ds < + ∞ b.z.
Aangezien we nu echter geen vierkante volatiliteitsmatrix hebben, zien we niet onmiddellijk hoe we
een marktprijs van risico θ(t) (zie (2.4)) kunnen invoeren, we kunnen de stochastische differentiaal-
vergelijking van de risicovolle effecten dus onmogelijk vereenvoudigen en dit zorgt voor moeilijkere
uitdrukkingen op weg naar de afleiding van de GOP.
60 HOOFDSTUK 2. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN EEN (IN)COMPLETE MARKT
Dit uit zich reeds in de differentiaalvergelijking van een portefeuille in een incomplete markt. Op basis
van de N + 1 aanwezige effecten kunnen we nog wel een portefeuilleproces creeren: elke verstandige
belegger zal zijn volledige liquiditeiten investeren in een combinatie van de N + 1 effecten in de fi-
nanciele markt. Dit gebeurt op grond van een strategie δ(t) =[δ0(t) δ1(t) · · · δN(t)
]: op tijdstip
t worden δi(t) eenheden geınvesteerd in effect Si, met verdisconteerde waarde δi(t)Si(t), i = 0, . . . ,N.
Aldus krijgen we op elk tijdstip t ∈ [0,T ] een totale verdisconteerde portefeuillewaarde X (δ)(t) (zie ook
(2.8))
X (δ)(t) =
N
∑i=0
δi(t)Si(t), t ∈ [0,T ].
Opnieuw uitgaande van een zelffinancierend portefeuilleproces kunnen we een differentiaalvergelijking
voor dit portefeuilleproces afleiden (t ∈ [0,T ]):
d(
X (δ)(t))
=N
∑i=0
δi(t)d(Si(t)
)(2.31)(2.32)=
N
∑i=1
δi(t)Si(t)
((ai(t)− r(t))dt +
M
∑k=1
bi,k(t)dWk(t)
)
= X (δ)(t)
N
∑i=1
δi(t)Si(t)
X (δ)(t)
((ai(t)− r(t))dt +
M
∑k=1
bi,k(t)dWk(t)
)
(2.10)= X (δ)
(t)
N
∑i=1
π(δ)i (t)ai(t)︸ ︷︷ ︸
def= a(δ)(t)
−N
∑i=1
π(δ)i (t)r(t)
dt +M
∑k=1
N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)︸ ︷︷ ︸def= b(δ)k (t)
dWk(t)
(2.33)
(2.11)= X (δ)
(t)
((a(δ)(t)− (1−π
(δ)0 (t))r(t)
)dt +
M
∑k=1
b(δ)k (t)dWk(t)
).
Men merkt hier dat — op het eerste zicht — een minder mooie uitdrukking verkregen wordt voor de sto-
chastische differentiaalvergelijking van het portefeuilleproces dan in het geval van een complete markt
(zie (2.18)). In functie van de elegantheid van de verdere afleiding, werken we verder met de matrix-
notatie van het portefeuilleproces en de hierbij noodzakelijke matrixvoorstellingen van de fractievector
(π(δ)(t)), de appreciatievector (a(t)) en de volatiliteitsmatrix (B(t)), telkens voor t ∈ [0,T ]. Uit (2.33)
vinden we eenvoudig:
dX (δ)(t) = X (δ)
(t)(
π(δ)(t)
)tr· ((a(t)− r(t) ·1)dt +B(t) ·dW (t)) (2.34)
2.4. EEN VERALGEMENING VOOR EEN INCOMPLETE MARKT 61
met 1 de eenheids(kolom)matrix van dimensie N en
π(δ)(t) =
π(δ)1 (t)
π(δ)2 (t)
...
π(δ)N (t)
, a(t) =
a1(t)
a2(t)...
aN(t)
, d (W (t)) =
d (W1(t))
d (W2(t))...
d (WM(t))
(2.35)
B(t) =
b1,1(t) b1,2(t) . . . b1,M(t)
b2,1(t) b2,2(t) . . . b2,M(t)...
.... . .
...
bN,1(t) bN,2(t) . . . bN,M(t)
.
2.4.2 De veralgemeende GOP en benchmarked portefeuilles
We maken gebruik van onderstaande stelling uit de financiele wiskunde
Stelling 2.4.1. [1, aangepast] Zij U de verzameling van alle toelaatbare zelffinancierende portefeuilles
X (δ)(t), t ∈ [0,T ], zodat elk element ook als numeraire kan dienen.
(a) Er bestaat een portefeuille X ∈ U zodat elke portefeuilleproces uit U met X als numeraire een
lokale martingaal vormt in de historische kans P:
∀X (δ) ∈ U :X (δ)
Xis een lokale P-martingaal.
(b) Het portefeuilleproces X maximaliseert het verwachte logaritmische nut van een portefeuille-
proces. X is dus niks meer of minder dan de GOP (Growth Optimal Portfolio, Groei Optimale
Portefeuille) X (δ∗).
(c) Ook in incomplete markten is deze GOP, die dus een lokale martingaal oplevert in geval van
gebruik als numeraire, uniek gedefinieerd op de beginwaarde na.
We hebben bovendien (eveneens een veralgemening van het geval van complete markten) . . .
• . . . de GOP maximaliseert de uiteindelijke rijkdom op tijdshorizon T , indien er echter een la-
tere tijdshorizon T ′ ≥ T zou bestaan, dan is de corresponderende GOP’ gelijk aan GOP in het
gemeenschappelijk tijdsinterval [0,T ].
• . . . onder alle beschikbare portefeuilles X (δ), zal de GOP X (δ∗) de nodige tijd om een positieve
portefeuillewaarde (groter dan de beginwaarde) te bereiken, minimaliseren.
62 HOOFDSTUK 2. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN EEN (IN)COMPLETE MARKT
Bewijs. (a) We bewijzen dit door de groei optimale portefeuille X (δ)(t), t ∈ [0,T ] af te leiden en aan
te tonen dat indien we deze als numeraire gebruiken voor elk portefeuilleproces, we lokale (in het
tijdsinterval [0,T ]) martingalen verkrijgen. In dat geval hebben we het bestaan van een numeraire
X ∈ U zoals in de opgave van stelling 2.4.1(a) besproken. We zoeken de GOP door de oplossing
te zoeken van volgend optimalisatievraagstuk, dit is dezelfde manier als in het complete geval,
dit keer evenwel in vectorvorm:
maxX (δ)∈U
E[logX (δ)
(t)]
met voorwaarde (2.34)
d(
X (δ)(t))
= X (δ)(t)(π(δ)(t)
)tr · ((a(t)− r(t) ·1)dt +B(t) ·d (W (t)))
We maken gebruik van de Ito-formule voor Ito-processen (stelling 1.2.1) om de stochastische
differentiaalvergelijking van de natuurlijke logaritme van de portefeuille te vinden. Nog steeds
in vectorvorm zien we:
d(
log(
X (δ)(t)))
(st. 1.2.1)=
1
X (δ)(t)
d(
X (δ)(t))+
12
−1(X (δ)
(t))2
(d(
X (δ)(t)))2
(2.34)(st. 1.2.3)
=(
π(δ)(t)
)tr· ((a(t)− r(t) ·1)dt +B(t) ·d (W (t)))
− 12
((π(δ)(t)
)tr·B(t)
)·((
π(δ)(t)
)tr·B(t)
)tr
dt
=
((π(δ)(t)
)tr· (a(t)− r(t) ·1)− 1
2
((π(δ)(t)
)tr·B(t)
)·((
π(δ)(t)
)tr·B(t)
)tr)dt
+(
π(δ)(t)
)tr·B(t) ·d (W (t)) .
Om de verwachtingswaarde hiervan te maximaliseren, volstaat het de dt-term te maximaliseren:
g(δ)(t) def=(
π(δ)(t)
)tr· (a(t)− r(t) ·1)− 1
2
((π(δ)(t)
)tr·B(t)·
)·((
π(δ)(t)
)tr·B(t)
)tr
.
Om nu deze laatste uitdrukking (g(δ)(t)) te maximaliseren, leiden we af naar π(δ)(t), volgens de
productregel voor de afgeleide van een product van vectoriele functies (zie [4, sectie 5.4]) vinden
we
∂g(δ)(t)∂π(δ)(t)
= (a(t)− r(t) ·1)− 12
(((B(t))tr ·π(δ)(t)
)tr· (B(t))tr +
(π(δ)(t)
)tr·B(t) · (B(t))tr
)= (a(t)− r(t) ·1)−B(t) · (B(t))tr ·π(δ)(t).
2.4. EEN VERALGEMENING VOOR EEN INCOMPLETE MARKT 63
Deze uitdrukking is gelijk aan nul a.s.a.
π(δ∗)(t) =
(B(t) · (B(t))tr)−1 · (a(t)− r(t) ·1) def
= (V (t))−1 · (a(t)− r(t) ·1), (2.36)
hierin is V (t) = B(t) · (B(t))tr de variantie-covariantiematrix van de N risicovolle effecten.
Stel vast dat deze matrixuitdrukking voor de optimale fracties dezelfde is als in het complete
geval (2.24). Dit is dus een algemene matrixuitdrukking, dit keer echter met de matrix B(t) niet
noodzakelijk vierkant (incomplete markt). V (t) = B(t) · (B(t))tr is uiteraard wel vierkant.
Om te bewijzen dat de fracties (2.36) een maximum opleveren, moeten we nog nagaan of de
tweede-orde voorwaarde voor zo’n maximum voldaan is. We leiden g(δ)(t) een tweede keer af
naar π(δ)(t) en bekomen de Hessiaan:
∂2g(δ)(t)
∂(π(δ)(t)
)2 = −B(t) · (B(t))tr .
Uit de symmetrische vorm van deze Hessiaan volgt dat deze negatief definiet is: voor elke vector
π(δ)(t), t ∈ [0,T ], zal gelden dat(π(δ)(t)
)tr·(−B(t) · (B(t))tr) ·(π
(δ)(t))
= −((
π(δ)(t)
)tr·B(t)
)·((
π(δ)(t)
)tr·B(t)
)tr
.
Dit is een voldoende voorwaarde voor een maximum10.
We kunnen tot slot de optimale fracties (2.36) invullen in de stochastische differentiaalvergelij-
king van een portefeuille, we bekomen aldus de GOP:
d(
X (δ∗)(t))
(2.34)= X (δ∗)(t)
(π(δ∗)(t)
)tr· ((a(t)−1 · r(t))dt +B(t) ·d (W (t))) . (2.37)
We bewijzen nu dat elk portefeuilleproces met de GOP als numeraire een lokaal martingaalproces
volgt. We doen dit door de stochastische differentiaalvergelijking van deze benchmarked porte-
feuilles te bepalen. Hiervoor hebben we eerst volgende uidrukking nodig, we maken gebruik van
de Ito-formule (1.2.1) met f (t,x) = 1/x ( ft = 0, fx = −1/x2 en fxx = 2/x3):
d
(1
X (δ∗)(t)
)(st. 1.2.1)
= −d(
X (δ∗)(t))
(X (δ∗)(t)
)2 +
(d(
X (δ∗)(t)))2
(X (δ∗)(t)
)3
(2.37)= − 1
X (δ∗)(t)
(π(δ∗)(t)
)tr· ((a(t)− r(t) ·1)dt +B(t) ·d (W (t)))
+1
X (δ∗)(t)
((π(δ∗)(t)
)tr·B(t)
)·((
π(δ∗)(t)
)tr·B(t)
)tr
dt. (2.38)
10We verwijzen naar [4] voor de definitie van Hessiaan (blz. 59), negatief definiet (blz. 27) en de voldoende voorwaarde
voor een minimum (blz. 82), deze laatste is makkelijk om te zetten naar een voldoende voorwaarde voor een maximum.
64 HOOFDSTUK 2. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN EEN (IN)COMPLETE MARKT
Vervolgens leiden we via de Ito-productregel (1.2.2) de stochastische differentiaalvergelijking af
van de benchmarked portefeuille:
d(
X (δ)(t))
= d
(X (δ)
(t)
X (δ∗)(t)
)(st. 1.2.2)
=1
X (δ∗)(t)d(
X (δ)(t))+X (δ)
(t)d
(1
X (δ∗)(t)
)+d(
X (δ)(t))
d
(1
X (δ∗)(t)
)
(2.38)(2.34)=
X (δ)(t)
X (δ∗)(t)
(π(δ)(t)
)tr· ((a(t)− r(t) ·1)dt +B(t) ·d (W (t)))
− X (δ)(t)
X (δ∗)(t)
(π(δ∗)(t)
)tr· ((a(t)− r(t) ·1)dt +B(t) ·d (W (t)))
+X (δ)
(t)
X (δ∗)(t)
((π(δ∗)(t)
)tr·B(t) · (B(t))tr ·π(δ∗)(t)
)dt
− X (δ)(t)
X (δ∗)(t)
((π(δ)(t)
)tr·B(t) · (B(t))tr ·π(δ∗)(t)
)dt.
We beschouwen nu enkel de dt-term, indien deze gelijk is aan nul, hebben we te maken met een
lokale martingaal:
X (δ)(t)
X (δ∗)(t)
((π(δ)(t)
)tr−(
π(δ∗)(t)
)tr)·(
a(t)− r(t) ·1−B(t) · (B(t))tr ·π(δ∗)(t))
(2.36)= 0.
We verkrijgen aldus de stochastische differentiaalvergelijking van een benchmarked portefeuille
in een incomplete markt
d(
X (δ)(t))
= X (δ)(t)((
π(δ)(t)
)tr−(
π(δ∗)(t)
)tr)·B(t) ·d (W (t)) . (2.39)
Deze bevat geen dt-term, waaruit (a) volgt.
(b) Uit (a) vonden we reeds dat de GOP als numeraire lokale P-martingalen oplevert, het is aldus
voldoende te bewijzen dat elk portefeuilleproces X dat voldoet aan de voorwaarde uit (a) gelijk
is aan de (unieke) GOP. Dit kan gebeuren op dezelfde manier als in 2.3.5.
(c) De uniciteit van de numeraire GOP (en dus ook van de numerair-portefeuille) volgt uit de unieke
voorwaarde (2.36) voor de fracties.
Aangezien het benchmarked portefeuilleproces een lokaal P-martingaalproces is, en de GOP aldus ge-
lijk is aan de numerair-portefeuille, zal wegens stelling 1.1.1 het benchmarked portefeuilleproces ook
2.4. EEN VERALGEMENING VOOR EEN INCOMPLETE MARKT 65
voor incomplete markten een supermartingaalproces vormen onder de echte kansmaat P. De voor-
waarde van strikt positieve portefeuilleprocessen rechtvaardigden we reeds eerder.
67
Hoofdstuk 3
De numerair-portefeuille in geval van
sprongen
Voorlopig zijn we uit gegaan van continu evoluerende effectenwaarden, deze worden gemodelleerd
o.b.v. een Brownse Beweging W (t) =[W1(t) · · · WM(t)
]tr, t ∈ [0,T ]. In dit hoofdstuk aanvaarden
we de optie tot sprongen in effectwaarden. Vooraleer we hier dieper op ingaan, zoeken we een algemene
uitdrukking voor een portefeuille, los van de (in)compleetheid van de markt.
3.1 Dan toch een marktprijs van risico . . .
De kritische lezer had zich misschien reeds de vraag gesteld of het niet mogelijk is een veralgemeende
marktprijs van risico te definieren en op basis daarvan de ganse theorie voor complete markten te ge-
neraliseren naar een algemene markt? Kan men ook voor een niet vierkante volatiliteitsmatrix B(t)
een marktprijs van risico definieren? Het antwoord is bevestigend! Omdat dergelijke veralgemening
ietwat uit de lucht lijkt te vallen, hebben we er voor gekozen dit in het vorige hoofdstuk nog niet aan
te wenden. Nu is het echter noodzakelijk, want ze reikt ons onmiddellijk ook een uitdrukking voor een
portefeuille in een algemene markt, deze zullen we kunnen gebruiken om op een vlotte manier door te
werken met algemene portefeuilleprocessen.
Hieronder wordt de veralgemeende marktprijs van risico θ(t), t ∈ [0,T ], gedefinieerd. We leggen de
nadruk op het feit dat we hier weldegelijk een veralgemening definieren, in een complete markt herleidt
68 HOOFDSTUK 3. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN GEVAL VAN SPRONGEN
deze zich tot de oude definitie (2.5) voor complete markten.
θ(t) = (B(t))tr ·(B(t) · (B(t))tr)−1 · (a(t)− r(t) ·1)
⇔ B(t) ·θ(t) =(B(t) · (B(t))tr) · (B(t) · (B(t))tr)−1 · (a(t)− r(t) ·1)
⇔ a(t)− r(t) ·1 = B(t) ·θ(t). (3.1)
Substitueren we deze laatste uitdrukking in de vergelijking (2.36) van de groei optimale fracties π(δ∗)(t),
dan vinden we een mooiere uitdrukking voor (2.36), tevens een veralgemening van (2.25):
π(δ∗)(t)
(3.1)(2.36)= (V (t))−1 ·B(t) ·θ(t) (2.36)
=(B(t) · (B(t))tr)−1 ·B(t) ·θ(t). (3.2)
Brengen we de gelijkheid (3.1) in de differentiaalvergelijking (2.34), dan vinden we een uitdrukking
voor een algemene portefeuille. We bekomen wonderbaarlijk, maar gelukkig, eenzelfde uitdrukking als
in het complete geval (zie 2.15), enkel de bovengrens is hier veralgemeend naar een M ≥ N:
dX (δ)(t)
(2.34)= X (δ)
(t)(
π(δ)(t)
)tr· ((a(t)− r(t) ·1)dt +B(t) ·dW (t))
(3.1)= X (δ)
(t)(
π(δ)(t)
)tr·B(t) · (θ(t)dt +dW (t)) (3.3)
= X (δ)(t)
M
∑k=1
N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)(θk(t)dt +dWk(t))
(2.13)= X (δ)
(t)M
∑k=1
b(δ)k (t)(θk(t)dt +dWk(t))
(2.16)=
M
∑k=1
ψ(δ)k (t)(θk(t)dt +dWk(t)) . (3.4)
Uit de differentiaalvergelijking (3.4) vinden we veralgemeende uitdrukkingen voor de (verdisconteerde)
appreciatiegraad (α(δ)(t)) en de (verzamelde) volatiliteit (γ(δ)(t)) van de verdisconteerde portefeuille1:
α(δ)(t) =
M
∑k=1
ψ(δ)k (t)θk(t), γ
(δ)(t) =
√M
∑k=1
(ψ(δ)k (t))2, t ∈ [0,T ]. (3.5)
Deze stochastische processen vormen een maat voor respectievelijk de (van koersveranderingen) gezui-
verde tijdsafhankelijkheid van de portefeuille, respectievelijk de koersafhankelijkheid ervan. Concreet
vormt α(δ)(t) de verwachte groei van de portefeuille en γ(δ)(t) de onzekerheid verbonden aan het be-
leggen. De GOP is perfect op vlak van de verwachte groei, maar niet noodzakelijk op vlak van de
onzekerheid, we komen hier later op terug in hoofdstuk 4.
1Aangezien we altijd zullen werken met verdisconteerde portefeuille, laten we de term ‘verdisconteerd’ geregeld wegval-
len.
3.1. DAN TOCH EEN MARKTPRIJS VAN RISICO . . . 69
In het vervolg onderstellen we telkens dat de totale marktprijs van risico 0 < |θ(t)| < +∞, zodat de
(verdisconteerde) appreciatiegraad van een portefeuille b.z. en voor elke t ∈ [0,T ] verschilt van 0, deze
gedachte is samenhangend met de realiteit.
Met behulp van (3.3) en (3.2) kunnen we ook een stochastische differentiaalvergelijking voor de GOP
afleiden, hiervoor merken we eerst op dat voor alle t ∈ [0,T ]
(B(t))tr ·(B(t) · (B(t))tr)−1 ·B(t) = 1 (3.6)
⇔(B(t) · (B(t))tr) · (B(t) · (B(t))tr)−1 (B(t) · (B(t))tr) = B(t) · (B(t))tr
⇔ B(t) · (B(t))tr = B(t) · (B(t))tr,
waardoor we eenzelfde uitdrukking als in (2.21) vinden:
dX (δ∗)(t)(3.3)= X (δ∗)(t)
(π(δ∗)(t)
)tr·B(t) · (θ(t)dt +dW (t))
(3.2)= X (δ∗)(t)
((B(t) · (B(t))tr)−1 B(t) ·θ(t)
)tr·B(t) · (θ(t)dt +dW (t))
= X (δ∗)(t) (θ(t))tr · (B(t))tr ·(
B(t) ·((B(t))tr)−1
)tr·B(t) · (θ(t)dt +dW (t))
= X (δ∗)(t) (θ(t))tr · (B(t))tr ·(B(t) · (B(t))tr)−1 ·B(t) · (θ(t)dt +dW (t))
(3.6)= X (δ∗)(t) (θ(t))tr · (θ(t)dt +dW (t)) . (3.7)
Tot slot kunnen we (3.3) en (3.7) combineren om een algemene uitdrukking van de benchmarked porte-
feuille X (δ)(t), t ∈ [0,T ], af te leiden, de Ito-productregel (stelling 1.2.2) geeft ons het juiste instrument.
Daarvoor moeten we echter de Ito-formule (stelling 1.2.1) met f (t,x) = 1/x ( ft = 0, fx = −1/x2 en
fxx = 2/x3) aanwenden:
d
(1
X (δ∗)(t)
)(st. 1.2.1)
= −d(
X (δ∗)(t))
(X (δ∗)(t)
)2 +
(d(
X (δ∗)(t)))2
(X (δ∗)(t)
)3
(3.7)= − 1
X (δ∗)(t)(θ(t))tr · (θ(t)dt +dW (t))+
1
X (δ∗)(t)(θ(t))tr ·θ(t)dt
= −(θ(t))tr ·dW (t)(X (δ∗)(t)
) . (3.8)
Nu komt de Ito-productregel van pas:
d(
X (δ)(t))
(2.26)= d
(X (δ)
(t)
X (δ∗)(t)
)
70 HOOFDSTUK 3. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN GEVAL VAN SPRONGEN
(st. 1.2.2)=
1
X (δ∗)(t)d(
X (δ)(t))+X (δ)
(t)d
(1
X (δ∗)(t)
)+d(
X (δ)(t))
d
(1
X (δ∗)(t)
)
(3.3)(3.8)=
X (δ)(t)
X (δ∗)(t)
(π(δ)(t)
)tr·B(t) · (θ(t)dt +dW (t))
− X (δ)(t)
X (δ∗)(t)(θ(t))tr ·dW (t)− X (δ)
(t)
X (δ∗)(t)
(π(δ)(t)
)tr·B(t) ·θ(t)dt
=X (δ)
(t)
X (δ∗)(t)
((π(δ)(t)
)tr·B(t)− (θ(t))tr
)·dW (t)
(2.26)= X (δ)(t)
((π(δ)(t)
)tr·B(t)− (θ(t))tr
)·dW (t). (3.9)
Deze uitdrukking geeft ons aldus een algemene stochastische differentiaalvergelijking van een bench-
marked portefeuilleproces. Het is een veralgemening van (2.39), rekening houdend met (3.2), en de
vorm is dezelfde als in (2.27), rekening houdend met (2.13).
3.2 Sprongen in portefeuillewaarden
3.2.1 Bespreking
In dit stuk is het de bedoeling het benchmark model verder uit te breiden zodat het nog realistischer is.
Voorlopig volgden de effectwaarden een continu pad, de Brownse Beweging wordt algemeen aanvaard
als het summum om deze continue processen te modelleren. In voorgaand stuk zagen we dat a.d.h.v.
dit model de benchmarked portefeuilles een vrij eenvoudige uitdrukking hebben. In de praktijk is het
traject van een portefeuillewaarde verre van continu, de waarde van een effect — en dus ook van een
portefeuille — kan discrete sprongen vertonen. Deze plotse sprongen kunnen bijvoorbeeld het gevolg
zijn van onvoorspelbare faillissementen of onvoorziene omstandigheden die tot abrupte koersdalingen
leiden. Om deze sprongen te modelleren maken we gebruik van de Poissonprocessen die we in deel 1.3
invoerden.
We bouwen verder aan de effectenmarkt met N + 1 verschillende effecten Si ≥ 0, i = 0, . . . ,N. Het
modelleren gebeurt nog steeds o.b.v. een gefilterde kansruimte (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P), met T ∈]0,∞[
de tijdshorizon. De spaarrekening wordt vertolkt door het effect S0, de spaarrekening is risicoloos en
de evolutie volgt een continue proces, de waarde van de spaarrekening zal dan ook geen last hebben
van abrupte sprongen. De stochastische differentiaalvergelijking is dezelfde als voorheen: voor alle
3.2. SPRONGEN IN PORTEFEUILLEWAARDEN 71
t ∈ [0,T ] geldt
d (S0(t)) = S0(t)r(t)dt en d(S0(t)
)= 0, (3.10)
met beginwaarde S0(0) > 0 volgt dat S0(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ].
Bij de andere N effecten, deze zijn niet risicoloos, zullen wel sprongen kunnen optreden, om deze te
modelleren maken we aldus gebruik van telprocessen. Aangezien er meerdere onvoorspelbare omstan-
digheden kunnen optreden en deze allen met een verschillende intensiteit zullen voorkomen, zullen
we moeten gebruik maken van meerdere telprocessen, algemeen zullen we er K ∈ N beschouwen:
P1(t), . . . ,PK(t), t ∈ [0,T ]. Aangezien het gebruik van Poissonprocessen aangemoedigd wordt voor het
tellen van (zeldzame) onvoorziene gebeurtenissen kiest men in de literatuur altijd voor deze bijzondere
telprocessen. De K Poissonprocessen zijn bij onderstelling en conform de realiteit F (t)-meetbaar, op
tijdstip t ∈ [0,T ] kennen we de exacte waarde van P1(t), . . . ,PK(t).
Het is niet ondenkbaar dat de intensiteit van de Poissonprocessen evolueert doorheen de tijd, zo lopen
bedrijven bijvoorbeeld een groter faillisementrisico in tijden van laagconjunctuur. Deze tijdsafhanke-
lijkheid van de intensiteit is vervat in de niet-homogene Poissonprocessen, we veronderstellen wel dat
elk van de intensiteitsprocessen F (t)-meetbaar is, dit is eveneens overeenstemmend met de werkelijk-
heid. We zullen de K intensiteitsprocessen noteren als λl , l = 1, . . . ,K, zo dat het proces λl(t), t ∈ [0,T ],
bij het telproces Pl(t), t ∈ [0,T ], behoort. Naast de F (t)-meetbaarheid eisen we ook nog dat de inten-
siteitsprocessen voorspelbaar, strikt positief en integreerbaar zijn over [0,T]: voor elke l = 1, . . . ,K en
elke t ∈ [0,T ] geldt
λl(t) > 0 en∫ t
0λl(u)du < +∞ (b.z.).
Bovendien eisen we ook nog dat de sprongen van twee verschillende Poissonprocessen niet tergelijker-
tijd kunnen optreden. In perioden waarin het ene effect waarde verliest, zal het voor een ander effect
vaak ook moeilijker zijn zijn waarde te behouden. Het kan aldus gebeuren dat een schok in het ene
bedrijf samenvalt met een schok in het andere bedrijf, denk bijvoorbeeld aan een totale marktcrash,
deze schok wordt dan voorgesteld door een Poissonproces die een invloed heeft op beide effecten. De
eis van niet samenvallende sprongen is dus volstrekt legitiem.
Vanuit hoofdstuk 1 herinneren we ons dat de gecompenseerde Poissonprocessen Pl(t), t ∈ [0,T ] en
l = 0, . . . ,K, (lokale) martingaalprocessen vormen. We herhalen de definitie: voor elke l = 1, . . . ,K en
72 HOOFDSTUK 3. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN GEVAL VAN SPRONGEN
t ∈ [0,T ] is het gecompenseerde Poissonproces Pl(t) gelijk aan de gecentreerde versie van Pl(t)
Pl(t) = Pl(t)−∫ t
0λl(u)du (3.11)
of in differentiaalvorm schrijven we
d(
Pl(t))
= d (Pl(t))−λl(t)dt (3.12)
voor de le sprongmartingaal op tijdstip t ∈ [0,T ].
De algemene uitdrukking van de stoschastische differentiaalvergelijking van de risicovolle effecten zal
er bijgevolg als volgt uitzien: voor alle t ∈ [0,T ] hebben we
d (Si(t)) = Si(t-)
(ai(t)dt +
M
∑k=1
bi,k(t)dWk(t)+K
∑l=1
di,l(t-)dPl(t)
)
⇔ d(Si(t)
)= Si(t-)
((ai(t)− r(t))dt +
M
∑k=1
bi,k(t)dWk(t)+K
∑l=1
di,l(t-)dPl(t)
).
(3.13)
met beginwaarde Si(0) > 0 volgt dat Si(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ] en ∀i = 1, . . . ,N.
We definieren het aangepast stochastisch proces di,l(t), t ∈ [0,T ], hier als het proces dat voor elke
i = 1, . . . ,N, elke l = 1, . . . ,K en op elk tijdstip t ∈ [0,T ] aangeeft welk effect een sprong in Pl op
tijdstip t heeft op de waarde van het ie effect.
Merk op dat we hier verplicht zijn gebruik te maken van Si(t-); de verandering op tijdstip t wordt
berekend o.b.v. de waarde van Si net voor tijdstip t. In het geval zonder sprongen was er geen probleem.
Doordat de effectwaarden continu waren volgde voor alle i = 1, . . . ,N en alle t ∈ [0,T ] dat lims→ts<t
Si(s) =
Si(t). In het algemenere geval met sprongen dat we hier beschrijven, geldt deze limietvoorwaarde niet
meer, is het aldus niet zeker dat Si(t-) = Si(t) en is het noodzakelijk effectief gebruik te maken van
Si(t-) i.p.v. Si(t).
3.2.2 Modellering van een portefeuille met sprongen
Bovenstaande theorie kunnen we nu toevoegen aan het portefeuillemodel dat we reeds geconstrueerd
hadden. We zijn verplicht opnieuw te starten vanuit de stochastische differentiaalvergelijking van een
algemene portefeuille, dit keer echter met inbegrip van sprongen. De continue evolutie van de N + 1
effecten wordt gemodelleerd door de M-dimensionale Brownse Beweging, de discrete sprongen worden
3.2. SPRONGEN IN PORTEFEUILLEWAARDEN 73
ingevoerd onder de vorm van K gecompenseerde Poissonprocessen, zoals gezien in (3.13). Het is nu
voldoende deze nieuwe gedaantes van de effecten in de portefeuille — opnieuw zelffinancierend on-
dersteld — te substitueren om de differentiaalvergelijking van een algemeen portefeuilleproces X (δ)(t),
t ∈ [0,T ], te vinden. Het proces δ(t) =[δ0(t) δ1(t) · · · δN(t)
], t ∈ [0,T ], bevat opnieuw de stra-
tegie. We concluderen aldus voor elke t ∈ [0,T ]
X (δ)(t) =N
∑i=1
δi(t)Si(t)
d(
X (δ)(t))
=N
∑i=1
δi(t)d(Si(t)
)(3.13)=
N
∑i=1
δi(t)Si(t-)
((ai(t)− r(t))dt +
M
∑k=1
bi,k(t)dWk(t)+K
∑l=1
di,l(t-)dPl(t)
)
= X (δ)(t-)
N
∑i=1
δi(t)Si(t-)
X (δ)(t-)
((ai(t)− r(t))dt +
M
∑k=1
bi,k(t)dWk(t)+K
∑l=1
di,l(t-)dPl(t)
)(3.14)
(2.10)= X (δ)
(t)
N
∑i=1
π(δ)i (t)ai(t)︸ ︷︷ ︸
def= a(δ)(t)
−N
∑i=1
π(δ)i (t)r(t)
dt
+ X (δ)(t-)
M
∑k=1
N
∑i=1
πi(t)bi,k(t)︸ ︷︷ ︸def= b(δ)k (t)
dWk(t)+K
∑l=1
N
∑i=1
πi(t-)di,l(t-)︸ ︷︷ ︸def= d(δ)
l (t-)
dPl(t)
(3.15)
(2.11)= X (δ)
(t-)
((a(δ)(t)−
(1−π
(δ)0 (t)
)r(t))
dt +M
∑k=1
b(δ)k (t)dWk(t)+K
∑l=1
d(δ)i,l (t-)dPl(t)
).
Doorheen de rest van dit stuk zullen we afwissellen tussen de somvorm en de matrixvorm van diffe-
rentiaalvergelijkingen, de matrixnotatie geniet onze voorkeur, maar het is niet altijd mogelijk deze te
gebruiken, beide vormen zullen aldus van pas komen. Hier verkiezen we tijdelijk verder te werken in
matrixvorm, we definieren daartoe onderstaande matrices:
D(t) =
d1,1(t) d1,2(t) . . . d1,K(t)
d2,1(t) d2,2(t) . . . d2,K(t)...
.... . .
...
dN,1(t) dN,2(t) . . . dN,K(t)
en d(
P(t))
=
d(
P1(t))
d(
P2(t))
...
d(
PK(t))
.
74 HOOFDSTUK 3. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN GEVAL VAN SPRONGEN
De matrices 1, π(δ)(t), a(t), B(t) en d (W (t)) zijn gedefinieerde zoals op pagina 61.
Uit (3.14) verkrijgen we bijgevolg een uitbreiding van (2.34)
dX (δ)(t) = X (δ)
(t-)(
π(δ)(t-)
)tr·((a(t)− r(t) ·1)dt +B(t) ·dW (t)+D(t-) ·dP(t)
).
Definieren we nu de matrix N× (M+K)-matrix [B(t) D(t)] en de (M+K)-dimensionale kolomvector
[dW (t) dP(t)], dan kunnen we bovenstaand resultaat schrijven als:
dX (δ)(t) = X (δ)
(t-)(
π(δ)(t-)
)tr·((a(t)− r(t) ·1)dt +[B(t) D(t-)] · [dW (t) dP(t)]
). (3.16)
Het voordeel hiervan is dat we een equivalente uitdrukking krijgen als in (3.3), maar dit keer dus inclu-
sief sprongen. Dit wil dan ook zeggen dat we exact hetzelfde parcours kunnen volgen om de differen-
tiaalvergelijking van de bechmarked portefeuille te construeren. We starten aldus met een definitie van
de marktprijs van risico, θ(t) is nu voor elke t ∈ [0,T ] een M+K-dimensionale vector:
θ(t) = [B(t) D(t)]tr ·([B(t) D(t)] · [B(t) D(t)]tr
)−1 · (a(t)− r(t) ·1)
⇔ a(t)− r(t) ·1 = [B(t) D(t)] ·θ(t). (3.17)
Hierdoor kunnen we aldus de differentiaalvergelijking van een portefeuilleproces vereenvoudigen:
dX (δ)(t)
(3.16)= X (δ)
(t-)(
π(δ)(t-)
)tr·((a(t)− r(t) ·1)dt +[B(t) D(t-)] · [dW (t) dP(t)]
)(3.17)= X (δ)
(t-)(
π(δ)(t-)
)tr· [B(t) D(t-)] ·
(θ(t)dt +[dW (t) dP(t)]
). (3.18)
We definieren nu het stochastisch proces ψ(δ)(t), t ∈ [0,T ], als het diffusieproces van het portefeuille-
proces Xδ(t), t ∈ [0,T ]:
ψ(δ)(t) = X (δ)
(t)(
π(δ)(t)
)tr[B(t) D(t)] (3.19)
⇔
ψ(δ)k (t) = X (δ)
(t)N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t) k = 1, . . . ,M
ψ(δ)l (t) = X (δ)
(t)N
∑i=1
π(δ)i (t)di,l(t) l = M+1, . . . ,M+K,
ψ(δ)j (t) wordt de je diffusiecoefficient van het portefeuilleproces X (δ) genoemd. Deze definitie zet ons
aan de stochastische differentiaalvergelijking van het portefeuilleproces X (δ)(t), t ∈ [0,T ], te herschrij-
ven in functie van het diffusieproces
dX (δ)(t)
(3.18)= X (δ)
(t-)(
π(δ)(t-)
)tr· [B(t) D(t-)] ·
(θ(t)dt +[dW (t) dP(t)]
)(3.19)= ψ
(δ)(t-) ·(
θ(t)dt +[dW (t) dP(t)])
(3.19)=
M
∑k=1
ψ(δ)k (t)(θk(t)dt +dWk(t))+
K
∑l=1
ψ(δ)M+l(t-)(θM+l(t)dt +dPl(t)). (3.20)
3.3. DE GOP IN EEN MARKT MET SPRONGEN 75
O.b.v. deze differentiaalvergelijking kunnen we een veralgemening geven van de stochastische proces-
sen (3.5). α(δ)(t) geeft de (verdisconteerde) appreciatiegraad van de portefeuille X (δ)(t), op tijdstip
t aan, tevens de verwachtingswaarde van de groei. γ(δ)(t) geeft de volatiliteit van de verdisconteerde
portefeuille X (δ)(t) op tijdstip t. In beide definities is nu echter rekening gehouden met het voorkomen
van sprongen, dit komt tot uiting in de veralgemeende vorm (3.19) van ψ(δ)(t), t ∈ [0,T ].
α(δ)(t) =
M+K
∑j=1
ψ(δ)j (t)θ j(t), γ
(δ)(t) =
√√√√M+K
∑j=1
(ψ(δ)j (t))2, t ∈ [0,T ]. (3.21)
3.3 De GOP in een markt met sprongen
Om de GOP bloot te leggen, zoeken we traditioneel de stochastische differentiaalvergelijking van het
logaritmisch portefeuilleproces, log(
X (δ)(t))
, t ∈ [0,T ]. We zoeken naar de portefeuille met het groot-
ste verwachte nut, de logaritmische functie wordt als nutsfunctie gebruikt. Voor de verwachtingswaarde
is enkel de dt-term, de groeigraad, van belang, andere termen verdwijnen vanwege hun martingaalei-
genschap.
Vervolgens zullen we een algemene bechmarked portefeuille afleiden, we verkiezen de GOP als nume-
raire en merken dat deze benchmarked portefeuille opnieuw een lokaal martingaalproces vormt.
3.3.1 De GOP met sprongen
Starten doen we aldus met het zoeken van een portefeuille die een maximaal logaritmisch nut oplevert.
Vooraleer aan te vatten met de berekeningen stappen we opnieuw over op de somnotaties. Verderwerken
met de matrices zou ons verplichten allerlei nieuwe matrices in te voeren en vectoren in stukken te
verdelen. Daarom verkiezen we hier om zonder matrices te werken en alle sommen uit te schrijven, we
vinden dan:
d(
X (δ)(t))
= X (δ)(t)
N
∑i=1
π(δ)i (t)
M
∑k=1
bi,k(t)(θk(t)dt +dWk(t))
+X (δ)(t-)
N
∑i=1
π(δ)i (t-)
K
∑l=1
di,l(t-)(
θM+l(t)dt +dPl(t)). (3.22)
We gebruiken de Ito-formule 1.4.17 waarmee we hoofstuk 1 afgesloten hebben
d ( f (t,X(t))) =∂ f∂t
(t,X(t))dt +b(t)∂ f∂x
(t,X(t))dt +σ2(t)
2∂2 f∂x2 (t,X(t))dt
+∂ f∂x
σ(t)dW (t)+( f (X(t-)+∆X(t))− f (X(t-))) ,
76 HOOFDSTUK 3. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN GEVAL VAN SPRONGEN
en passen toe op de functie f (t,x) = log(x), ( ft = 0, fx = 1/x en fxx =−1/x2). We moeten echter vooraf
goed nadenken. In de eerste plaats gaat de Ito-formule uit van een sprongproces waarvan ∆X(t) de
respectievelijke sprongen zijn, Pl(t) = Pl(t)−∫ t
0 λl(u)du, t ∈ [0,T ], is geen sprongproces, we moeten
dus tijdelijk overgaan op Pl(t):
d(
X (δ)(t))
= X (δ)(t)
N
∑i=1
π(δ)i (t)
(M
∑k=1
bi,k(t)θk(t)+K
∑l=1
di,l(t)(θM+l(t)−λl(t))
)︸ ︷︷ ︸
genoteerd als b(t) in stelling 1.4.17
dt (3.23)
+ X (δ)(t)
N
∑i=1
π(δ)i (t)
M
∑k=1
bi,k(t)︸ ︷︷ ︸in stelling 1.4.17 zou men noteren σk(t)
dWk(t)+X (δ)(t-)
N
∑i=1
π(δ)i (t-)
K
∑l=1
di,l(t-)︸ ︷︷ ︸we noteren ∆Xl(t)
dPl(t).
Ten tweede hebben we meerdere sprongprocessen hier, we hebben er K om precies te zijn, dit moe-
ten we in het achterhoofd houden, de sprongprocessen zijn onafhankelijk en kunnen niet gelijktijdig
optreden. Indien op tijdstip t ∈ [0,T ] het sprongproces Pl een sprong maakt, is de invloed van die
sprong, stel ∆Xl(t) gelijk aan, X(t-)∑Ni=1 π
(δ)i (t-)di,l(t-) en dit geldt voor elke l = 1, . . . ,K. We kunnen
het sprongstuk uit de Ito-formule 1.4.17 aldus herschrijven als
f (X(t-)+∆X(t))− f (X(t-)) =K
∑l=1
( f (X(t-)+∆Xl(t))− f (X(t-)))dPl(t),
merk op dat indien het sprongproces Pl geen sprong maakt op tijdstip t deze ook niet aan bod komt in
de differentiaalvergelijking van f (X(t)), dit komt door de factor dPl(t) — deze is gelijk aan 0 in dat
geval — die we toevoegden.
We zijn nu helemaal klaar om de Ito-formule toe te passen, we vinden achtereenvolgens
d(
log(
X (δ)(t)))
(3.23)(st. 1.4.17)
=1
X (δ)(t)
X (δ)(t)
N
∑i=1
π(δ)i (t)
(M
∑k=1
bi,k(t)θk(t)+K
∑l=1
di,l(t)(θM+l(t)−λl(t))
)dt
− 1
2(
X (δ)(t))2
(X (δ)
(t))2 M
∑k=1
(N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)
)2
dt
+1
X (δ)(t)
X (δ)(t)
N
∑i=1
π(δ)i
M
∑k=1
bi,k(t)dWk(t)
+1
X (δ)(t-)
X (δ)(t-)
K
∑l=1
(log
(X(t-)+X(t-)
N
∑i=1
π(δ)i (t-)di,l(t-)
)− log(X(t-))
)dPl(t)
=N
∑i=1
π(δ)i (t)
(M
∑k=1
bi,k(t)θk(t)+K
∑l=1
di,l(t)(θM+l(t)−λl(t))
)dt
3.3. DE GOP IN EEN MARKT MET SPRONGEN 77
− 12
M
∑k=1
(N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)
)2
dt +N
∑i=1
π(δ)i
M
∑k=1
bi,k(t)dWk(t)
+K
∑l=1
log
(1+
N
∑i=1
π(δ)i (t-)di,l(t-)
)dPl(t)
(3.12)=
N
∑i=1
π(δ)i (t)
(M
∑k=1
bi,k(t)θk(t)+K
∑l=1
di,l(t)(θM+l(t)−λl(t))
)dt
− 12
M
∑k=1
(N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)
)2
dt +N
∑i=1
π(δ)i
M
∑k=1
bi,k(t)dWk(t)
+K
∑l=1
log
(1+
N
∑i=1
π(δ)i (t-)di,l(t-)
)(dPl(t)+λl(t)dt)
def= g(δ)(t)dt +
M
∑k=1
N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)dWk(t)
+K
∑l=1
log
(1+
N
∑i=1
π(δ)i (t-)di,l(t-)
)dPl(t).
Hierin werd de groeigraad g(δ)(t) voor elke t ∈ [0,T ] gedefinieerd als
g(δ)(t) =M
∑k=1
N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)θk(t)−
12
(N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k
)2
+K
∑l=1
(N
∑i=1
π(δ)i (t)di,l(t)(θM+l(t)−λl(t))+ log
(1+
N
∑i=1
π(δ)i (t)di,l(t)
)λl(t)
).
Het is nu de bedoeling de verwachtingswaarde van het logaritmische nut van het portefeuilleproces
te maximaliseren, dit gebeurt door de fracties te zoeken die de groeigraad maximaliseren. De eerste
orde voorwaarde hiervoor stelt dat de eerste orde partiele afgeleiden van de groeigraad naar elk van de
fracties gelijk moet zijn aan 0. We leiden af en vinden:
∂g(δ)(t)
∂π(δ)j (t)
=M
∑k=1
b j,k(t)
(θk(t)−
N
∑i=1
bi,k(t)π(δ)i (t)
)
+K
∑l=1
d j,l(t)
(θM+l(t)−λl(t)+
λl(t)
1+∑Ni=1 π
(δ)i (t)di,l(t)
). (3.24)
De eerste som (over k) komt ons bekend voor, het is dezelfde als in de situatie zonder sprongen, ze
drukt het verwachte rendement uit van de continue evolutie van de effecten, per definitie zal dit aldus
een positieve term zijn. Hetzelfde geldt dan voor het verwachte rendement van de discrete sprongen,
dit is de tweede som (over l), we zullen weliswaar onderstellen dat voor elke l = 1, . . . ,K geldt dat de
(M+ l)e term van de marktprijs van risico strikt kleiner is dan de le term van de sprongintensiteit, deze
voorwaarde is noodzakelijk om een uniek maximum te hebben.
78 HOOFDSTUK 3. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN GEVAL VAN SPRONGEN
Als som van twee positieve sommen zal de afgeleide slechts gelijk zijn aan nul indien beide sommen
gelijk zijn aan nul. Voor de eerste term herinneren we ons dat dit enkel en alleen het geval is indien
voor elke k = 1, . . . ,M geldt
θk(t)−N
∑i=1
bi,k(t)π(δ)i (t) = 0 voor k = 1, . . . ,M.
De reden hiertoe is [20, stelling 3.2.5], deze stelt dat de dimensie van de oplossingsverzameling van
een homogeen stelsel gelijk is aan het aantal onbekenden min de rang van de coefficientenmatrix.
Het aantal onbekenden is hier gelijk aan N, de coefficientenmatrix B(t) heeft op elk tijdstip t rang
gelijk aan N, in het andere geval zou men te maken hebben met lineair afhankelijke rijen en dus met
equivalente effectcombinaties, dit is tegen eerdere veronderstellingen. We kunnen aldus besluiten dat
de nuloplossing de enige oplossing is van de eerste som. Voor de tweede som kunnen we dezelfde reden
aanhalen, het aantal onbekenden is opnieuw gelijk aan N, de dimensie van de coefficientenmatrix D(t)
is gelijk aan N, we vinden aldus
θM+l(t)−λl(t)+λl(t)
1+∑Ni=1 π
(δ)i (t)di,l(t)
= 0 voor l = 1, . . . ,K.
We definieren nu het (M+K)-dimensionale proces, op elk moment t ∈ [0,T ] een vector c(t)
ck(t) =
θk(t) voor k = 1, . . . ,M,
θk(t)λk−M(t)−θk(t)
voor k = M+1, . . . ,M+K.(3.25)
We zien onmiddellijk waarom we onderstelden dat θM+l(t) < λl(t), de proporties moeten namelijk
positieve waarden hebben. We kunnen nu de proporties π(δ∗)(t) voor elke t ∈ [0,T ] gelijkstellen
π(δ∗)(t) def
= (V (t-))−1 · [B(t) D(t-)] · c(t), (3.26)
waarbij V (t) nu de variantie-covariantiematrix is van het portefeuilleproces, inclusief de sprongen:
V (t-) = [B(t) D(t-)] ([B(t) D(t-)])tr voor t ∈ [0,T ].
Om aan te tonen dat deze fracties π(δ∗)(t) een maximum vormen, stellen we de tweede orde voorwaarde
op: we leiden (3.24) nogmaals af, dit maal naar π(δ)q (t):
∂2g(δ)(t)
∂π(δ)j (t)∂π
(δ)q (t)
= −M
∑k=1
b j,k(t)bq,k(t)−K
∑l=1
d j,l(t)dq,l(t)λl(t)(
1+∑Ni=1 π
(δ)i (t)di,l(t)
)2
= −B(t) · (B(t))tr−Y (t).
3.3. DE GOP IN EEN MARKT MET SPRONGEN 79
−B(t) · (B(t))tr is negatief definiet, zoals we eerder aantoonden, indien we ook kunnen aantonen dat
−Y (t) met (Y (t)) j,q = ∑Kl=1 d j,l(t)dq,l(t)
λl(t)(1+∑
Ni=1 π
(δ)i (t)di,l(t)
)2 negatief definiet is, is bewezen dat we een
maximum gevonden hebben. De som van twee negatief definiete matrices is namelijk negatief definiet.
We gaan wat dieper in op de structuur van Y (t) door de elementen uit te schrijven. We definieren eerst
zl(t) = λl(t)(1+∑
Ni=1 π
(δ)i (t)di,l(t)
)2 en vinden:
y j,q(t) = (Y (t)) j,q =K
∑l=1
d j,l(t)zl(t)dq,l(t),
zodat
Y (t) = D(t) ·diagz1(t),z2(t), . . . ,zK(t) · (D(t))tr.
Het mag duidelijk zijn dat dit een positief definiete matrix is; neem een algemene N-dimensionele
vector π(δ)(t) dan geldt voor elke t ∈ [0,T ] dat
(π(δ)(t)
)tr·Y (t) ·π(δ)(t) =
(π(δ)(t)
)tr·D(t) ·Z(t) · (D(t))tr ·π(δ)(t)
=((D(t))tr ·π(δ)(t)
)tr·Z(t) ·
((D(t))tr ·π(δ)(t)
).
Aangezien Z(t) een diagonaalmatrix is bestaande uit positieve diagonaalelementen is Z(t) op elk tijdstip
t ∈ [0,T ] positief definiet, bijgevolg is Y (t) op elk tijdstip t ∈ [0,T ] positief definiet. Tot slot kunnen we
dus besluiten dat de Hessiaan −(B(t))tr ·B(t)−Y (t) als som van twee negatief definiete matrices zelf
negatief definiet is. We besluiten dat de proporties π(δ∗)(t), t ∈ [0,T ], zoals gedefinieerd in (3.26) een
maximum vormen, ze vormen de optimale fracties van de groei optimale portefeuille (GOP).
3.3.2 Benchmarked portefeuilles met sprongen
We hebben nu de GOP gevonden, de volgende stap is om deze te gebruiken als numeraire om zo
elke portefeuille te vergelijken met deze groei optimale portefeuille. Er zal opnieuw blijken dat deze
benchmarked portefeuilles een lokaal martingaalproces vormen. De opbouw en resultaat van dit stuk
is aldus hetzelfde als in 2.3.2 en 2.4.2, de precieze berekeningen worden weliswaar een stuk lastiger
aangezien we nu ook rekening moeten houden met Poissonprocessen.
We starten vanuit de algemene vorm van een portefeuilleproces X (δ)(t), t ∈ [0,T ], met sprongen, zie
80 HOOFDSTUK 3. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN GEVAL VAN SPRONGEN
(3.22)
d(
X (δ)(t))
= X (δ)(t)
N
∑i=1
π(δ)i (t)
M
∑k=1
bi,k(t)(θk(t)dt +dWk(t))
+X (δ)(t-)
N
∑i=1
π(δ)i (t-)
K
∑l=1
di,l(t-)(
θM+l(t)dt +dPl(t))
= X (δ)(t-)(
π(δ)(t-)
)tr· [B(t) D(t-)] ·
(θ(t)dt +[dW (t) dP(t)]
).
Vullen we de fracties π(δ∗)(t-) (3.26), in dan vinden we eenvoudig
d(
X (δ∗)(t))
= X (δ∗)(t-)(
π(δ∗)(t-)
)tr· [B(t) D(t-)] ·
(θ(t)dt +[dW (t) dP(t)]
)(3.26)= X (δ∗)(t-)
((V (t-))−1 · [B(t) D(t-)] · c(t-)
)tr· [B(t) D(t-)] ·
(θ(t)dt +[dW (t) dP(t)]
)= X (δ∗)(t-)(c(t-))tr · [B(t) D(t-)]tr(V (t-))−tr[B(t) D(t-)]︸ ︷︷ ︸
analoog aan (3.6) is dit gelijk aan 1
·(
θ(t)dt +[dW (t) dP(t)])
(3.25)= X (δ∗)(t-)
(M
∑k=1
θk(t)(θk(t)dt +dWk(t))+K
∑l=1
θM+l(t-)λl(t-)−θM+l(t-)
(θM+l(t)dt +dPl(t))
)(3.12)= X (δ∗)(t-)
(M
∑k=1
θk(t)(θk(t)dt +dWk(t))+K
∑l=1
θM+l(t-)λl(t-)−θM+l(t-)
((θM+l(t)−λl(t))dt +dPl(t))
).
De laatste overgang is noodzakelijk om hierna de Ito-formule 1.4.17 te kunnen gebruiken. We zijn
namelijk op zoek naar de stochastische differentiaalvergelijking van de benchmarked portefeuilles
X (δ)(t) =X (δ)
(t)
X (δ∗)(t). (3.27)
Deze stochastische differentiaalvegelijking zullen we vinden door de Ito-productformule 1.4.14 toe te
passen op X(t) = X (δ)(t) en Y (t) = 1/X (δ∗)(t), deze laatste moeten we vinden a.d.h.v. de Ito-formule
1.4.17. We gebruiken f (t,x) = 1/x, ( ft = 0, fx =−1/x2 en fxx = 2/x3):
d
(1
X (δ)(t)
)(st. 1.4.17)
= 0− 1(X (δ)
(t))2 X (δ)
(t)
(M
∑k=1
(θk(t))2−K
∑l=1
θM+l(t)
)dt
+12
2(X (δ)
(t))3
(X (δ)
(t))2 M
∑k=1
(θk(t))2dt− 1(X (δ)
(t))2 X (δ)
(t)M
∑k=1
θk(t)dWk(t)
+K
∑l=1
1
X (δ)(t-)+X (δ)
(t-) θM+l(t-)λl(t-)−θM+l(t-)
− 1
X (δ)(t-)
dPl(t)
=1
X (δ)(t)
K
∑l=1
θM+l(t)dt− 1
X (δ)(t)
M
∑k=1
θk(t)dWk(t)−1
X (δ)(t-)
K
∑l=1
θM+l(t-)λl(t)
dPl(t)
3.3. DE GOP IN EEN MARKT MET SPRONGEN 81
(3.12)= − 1
X (δ)(t-)
(M
∑k=1
θk(t)dWk(t)+K
∑l=1
θM+l(t-)λl(t-)
dPl(t)
). (3.28)
Vervolgens gebruiken we de Ito-productformule 1.4.14 voor een product van twee semimartingalen.
Vooraf merken we op dat door de onafhankelijkheid van P t.o.v. de tijd en de tijd t.o.v. zichzelf: dP(t) ·
dt = dt ·dt = 0
d[P, P](t)(3.11)= d[P−
∫ ·0
λ(u)du,P−∫ ·
0λ(u)du](t)
= d[P,P](t)(1.9)= dP(t)
(3.12)= dP(t)−λ(t)dt.
Uiteraard geldt nog steeds dW (t) · dt = 0, dW (t) · dW (t) = dt en wegens onafhankelijkheid van
de processen dW (t) · dP(t) = 0, uit dit laatste zal volgen dan d[W + P,W + P](t) = d[W,W ](t)+
d[P, P](t). We zullen deze laatste opmerkingen gebruiken in onderstaande afleiding, meerbepaald in de
derde overgang, in functie van toepassing van de Ito-productformule:
d(
X (δ)(t))
(3.27)= d
(X (δ)
(t)
X (δ∗)(t)
)
(st. 1.4.14)=
d(
X (δ)(t))
X (δ∗)(t)+d
(1
X (δ∗)(t)
)X (δ)
(t)+d
[X (δ)
(t),1
X (δ∗)(t)
]
(3.22)(3.28)= − X (δ)
(t-)
X (δ∗)(t-)
(N
∑k=1
θk(t)dWk(t)+K
∑l=1
θM+l(t-)λl(t-)
dPl(t)
)
+X (δ)
(t-)
X (δ∗)(t-)
N
∑k=1
π(δ)i (t-)
(M
∑k=1
bi,k(t)(θk(t)dt +dWk(t))+K
∑l=1
di,l(t-)(θM+l(t)dt +dPl(t))
)
+d
[X (δ)
(t),1
X (δ∗)(t)
]
= − X (δ)(t-)
X (δ∗)(t-)
(N
∑k=1
θk(t)dWk(t)+K
∑l=1
θM+l(t-)λl(t-)
dPl(t)
)
+X (δ)
(t-)
X (δ∗)(t-)
N
∑k=1
π(δ)i (t-)
(M
∑k=1
bi,k(t)(θk(t)dt +dWk(t))+K
∑l=1
di,l(t-)(θM+l(t)dt +dPl(t))
)
− X (δ)(t)
X (δ∗)(t)
N
∑i=1
π(δ)i (t)
M
∑k=1
bi,k(t)θk(t)dt
82 HOOFDSTUK 3. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN GEVAL VAN SPRONGEN
− X (δ)(t-)
X (δ∗)(t-)
N
∑i=1
π(δ)i (t-)
K
∑l=1
di,l(t-)θM+l(t-)
λl(t-)(dPl(t)+λl(t)dt)
=X (δ)
(t)
X (δ∗)(t)
M
∑k=1
(N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)−θk(t)
)dWk(t)
+X (δ)
(t-)
X (δ∗)(t-)
K
∑l=1
(N
∑i=1
(π(δ)i (t-)di,l(t-)
)(1− θM+l(t-)
λl(t-)
)− θM+l(t-)
λl(t-)
)dPl(t)
(3.27)= X (δ)(t)
M
∑k=1
(N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)−θk(t)
)dWk(t)
+ X (δ)(t-)K
∑l=1
(N
∑i=1
(π(δ)i (t-)di,l(t-)
)(1− θM+l(t-)
λl(t-)
)− θM+l(t-)
λl(t-)
)dPl(t). (3.29)
Hiermee is aangetoond dat de benchmarked portefeuilleprocessen X (δ)(t), t ∈ [0,T ], een lokaal mar-
tingaalproces vormt. Wegens stelling 1.1.1 weten we dat dit proces een supermartingaalproces is.
83
Hoofdstuk 4
De benchmark aanpak in de praktijk
In hoofdstuk 2 introduceerden we de benchmark aanpak voor een (in)complete markt, waarin de effec-
ten een continu waardeproces volgden, in hoofdstuk 3 voegden we hieraan de mogelijkheid tot sprongen
toe. In beide gevallen bekwamen we het besluit dat benchmarked portefeuilles een lokaal martingaal-
proces vormen onder de werkelijke kansmaat. Dit zal erg interessant zijn om de werkelijke risico’s van
portefeuilles in te schatten, ook voor het waarderen van portefeuilles zal het nut van de benchmark aan-
pak naar voor komen. In dit hoofdstuk bespreken we uitvoerig de voor- en nadelen van de benchmark
aanpak, eerst bespreken we echter drie benaderende indexen voor de groei optimale portefeuille, de
marktportefeuille zal hier een van blijken te zijn.
4.1 Optimale portefeuilles en de marktportefeuille
De groei optimale portefeuille (GOP) mag dan wel een optimale verwachte groei kennen, ze kan een
groot risico op verlies met zich meebrengen. Vandaar ook het belang van de GOP als numerair-
portefeuille, eerder dan als de optimale portefeuille. Wanneer we het namelijk hebben over een optimale
portefeuille kijken we verder dan de verwachte groei alleen, de risico’s verbonden aan een strategie spe-
len ook mee.
4.1.1 Bespreking en afleiding
We geven een natuurlijke definitie voor een optimale portefeuille, deze houdt — in tegenstelling tot de
GOP — naast de appreciatiegraad ook rekening met het risico, de volatiliteit.
Definitie 4.1.1. [15] We noemen een strikt positieve portefeuille X (δ)(t), t ∈ [0,T ], optimaal indien
84 HOOFDSTUK 4. DE BENCHMARK AANPAK IN DE PRAKTIJK
voor elke t ∈ [0,T ] en elke strikt positieve portefeuille X (δ)(t), t ∈ [0,T ], die aan de gelijkheid
γ(δ)(t) = γ
(δ)(t)
voldoet, geldt
α(δ)(t) ≥ α
(δ)(t).
Feitelijk kan men de verzameling U van toegelaten zelffinancierende portefeuilles onderverdelen in
risicoklassen, in zo’n klasse zitten dan alle portefeuilles met eenzelfde risico γ. Een portefeuille is
optimaal indien hij — vergeleken met z’n klasgenoten — maximale verwachte groei genereert. Een
intelligente belegger zal altijd een optimale portefeuilletheorie volgen. Merk op dat er aldus meer dan
een optimale portefeuille bestaat, nl. minimum zoveel als er risicoklassen zijn. We stippen ook aan dat
de GOP, met strategie δ∗, een van de vele optimale portefeuilles is. Aangezien het de portefeuille is
met de grootste verwachte groei, zal het economisch ook logisch zijn dat hiermee het grootste risico
gepaard gaat. Een belegger die een risico verkiest dat verschilt van γ(δ∗), zal de voorkeur geven aan een
andere strategie.
We lopen verder door de theorie door de Sharpe-verhouding in te voeren, dit is een belangrijke karak-
teristiek voor investeringen. Op basis daarvan geven we een kenmerk van optimale portefeuilles en
brengen we de stochastische differentiaalvergelijking van de portefeuille tot een nieuwe gedaante.
Definitie 4.1.2. [15] De relatieve volatiliteit b(δ)(t), t ∈ [0,T ], van een portefeuille wordt gedefinieerd
als de verhouding van de totale volatiliteit en de verdisconteerde portefeuillewaarde, de relatieve ap-
preciatiegraad (of premie) p(δ)(t), t ∈ [0,T ], bepalen we als de verhouding van de appreciatiegraad
en de verdisconteerde portefeuillewaarde:
p(δ)(t) =α(δ)(t)
X (δ)(t)
, b(δ)(t) =γ(δ)(t)
X (δ)(t)
, t ∈ [0,T ]. (4.1)
De Sharpe-verhouding s(δ)(t) is op elk tijdstip t ∈ [0,T ] gedefinieerd als de verhouding van de (rela-
tieve) appreciatiegraad en de (relatieve) volatiliteit:
s(δ)(t) =α(δ)(t)γ(δ)(t)
(4.1)=
p(δ)(t)b(δ)(t)
. (4.2)
Het zal niet verbazen dat William Sharpe zijn ratio eerst de naam ‘reward-to-variability’ gaf, ze geeft
een verhouding van de verwachte winst van een portefeuille tegenover de variabiliteit. De Sharpe-
verhouding zal stijgen indien voor een vast risico, de appreciatiegraad vergroot of voor een vaste appre-
ciatiegraad het risico verkleint. Optimale portefeuilles zullen aldus binnen een bepaalde risicoklasse de
Sharpe-verhouding maximaliseren, dit wordt in onderstaande stelling wiskundig bewezen.
4.1. OPTIMALE PORTEFEUILLES EN DE MARKTPORTEFEUILLE 85
Stelling 4.1.1. Voor elke strikt positieve portefeuille X (δ) is de Sharpe-verhouding s(δ) op elk tijdstip
t ∈ [0,T ] naar boven begrensd door de totale marktprijs van risico:
s(δ)(t) ≤ |θ(t)| ,
gelijkheid vindt plaats wanneer X (δ) een optimale portefeuille X (δ) is. De waarde X (δ) op tijdstip t van
een optimale portefeuille volgt de stochastische differentiaalvergelijking
d(
X (δ)(t))
= X (δ)(t-)
b(δ)(t-)|θ(t-)|
(M
∑k=1
θk(t)(θk(t)dt +dWk(t))+K
∑l=1
θM+l(t-)(θM+l(t)dt +dPl(t))
),
(4.3)
met optimale fracties (π(δ)(t)
)tr=
b(δ)(t)|θ(t)|
(π(δ∗)(t)
)trt ∈ [0,T ], (4.4)
waarbij π(δ∗)(t) de vector van groei optimale fracties van de GOP is, zie (3.26).
Bewijs. Om een optimale portefeuille te creeren, maximaliseren we voor elke t ∈ [0,T ] de appreciatie-
graad α(δ)(t) (3.21) onder de voorwaarde γ(δ)(t) = γ(δ)(t). We gebruiken hiervoor de Lagrangefunctie
G(ψ(δ)(t),λ)
G(ψ(δ)(t),λ) =M+K
∑j=1
ψ(δ)j (t)θ j(t)+λ
((γ(δ)(t)
)2−
M+K
∑j=1
(ψ(δ)j (t)
)2).
Leiden we vervolgens af naar de termen ψ(δ)j (t) en λ en stellen we gelijk aan 0 — om een maximum te
bekomen voor G(·) — dan vinden we twee eerste-orde-voorwaarden, voor j = 1, . . . ,M+K
∂G
∂ψ(δ)j (t)
(ψ(δ)(t),λ) = θ j(t)−2λψ(δ)j (t) = 0,
∂G∂λ
(ψ(δ)(t),λ) =(
γ(δ)(t))2−
M+K
∑k=1
(ψ(δ)k (t)
)2= 0.
Een portefeuilleproces waarvoor deze voorwaarden gelden, voldoet voor j = 1, . . . ,M+K aan
ψ(δ)j (t) =
θ j(t)2λ
, (4.5)(γ(δ)(t)
)2=
M+K
∑k=1
(ψ(δ)k (t)
)2(4.5)=
(|θ(t)|
2λ
)2
, (4.6)
wat op zijn beurt weer leidt tot
λ(4.6)=
12|θ(t)|γ(δ)(t)
> 0 (4.7)
ψ(δ)j (t)
(4.5)=
θ j(t)2λ
(4.7)=
θ j(t)
|θ(t)|/γ(δ)(t)=
θ j(t)γ(δ)(t)|θ(t)|
. (4.8)
86 HOOFDSTUK 4. DE BENCHMARK AANPAK IN DE PRAKTIJK
Voor de tweede-orde-voorwaarden hebben we de gerande Hessiaan1 nodig, we hebben namelijk te
maken met het maximaliseren van een Lagrangefunctie met bijhorende voorwaarde γ(δ)(t) = γ(δ)(t).
Voldoen de leidende minoren Hk(t) van de gerande Hessiaanmatrix in het stationaire ‘punt’ 2 voor elke
t ∈ [0,T ] aan H1(t) = 0 en (−1)k−1Hk(t) > 0, k = 2,3, . . . ,M +K + 1, dan hebben we te maken met
een maximum. De portefeuille die met zo’n maximum overeen komt, is dan optimaal. De gerande
Hessiaanmatrix wordt voor elke t ∈ [0,T ] gedefinieerd door de symmetrische matrix
H(t) =
∂2G∂λ2
∂2G∂λ∂ψ
(δ)1 (t)
· · · ∂2G∂λ∂ψ
(δ)M+K(t)
∂2G∂ψ
(δ)1 (t)∂λ
∂2G
∂
(ψ(δ)1 (t)
)2 · · · ∂2G∂ψ
(δ)1 (t)∂ψ
(δ)M+K(t)
......
. . ....
∂2G∂ψ
(δ)M+K(t)∂λ
∂2G∂ψ
(δ)M+K(t)∂ψ
(δ)1 (t)
· · · ∂2G
∂
(ψ(δ)M+K(t)
)2
.
Voor de tweede-orde-voorwaarden hebben we aldus nood aan de tweede-orde-afgeleiden, deze zullen
worden geevalueerd in de stationaire punten. Steunen we op de eerste-orde-voorwaarden dan vinden
we voor j 6= k deze tweede-orde-afgeleiden
∂2G∂λ2 (ψ
(δ)(t),λ) = 0,∂2G
∂λ∂ψ(δ)j (t)
(ψ(δ)(t),λ) =∂2G
∂ψ(δ)j (t)∂λ
(ψ(δ)(t),λ) = −2ψ(δ)j (t)
∂2G
∂
(ψ(δ)j (t)
)2 (ψ(δ)(t),λ) = −2λ,
∂2G
∂ψ(δ)j (t)∂ψ
(δ)k (t)
(ψ(δ)(t),λ) =∂2G
∂ψ(δ)k (t)∂ψ
(δ)j (t)
(ψ(δ)(t),λ) = 0.
Nu is wegens (4.5) −2ψ(δ)j (t) gelijk aan −θ j(t)
λ, de gerande Hessiaanmatrix wordt in het stationair punt
dus gegeven door onderstaande matrix, er wordt ondersteld dat λ∗ gegeven is door (4.7), bijgevolg is
λ∗ > 0
H (θ(t),λ∗) =
0 −θ1(t)λ∗ −θ2(t)
λ∗ · · · −θM+K(t)λ∗
−θ1(t)λ∗ −2λ∗ 0 · · · 0
−θ2(t)λ∗ 0 −2λ∗ · · · 0...
.... . .
...
−θM+K(t)λ∗ 0 0 · · · −2λ∗
.
We tonen nu aan dat deze matrix voldoet aan bovenvermeld tekenpatroon; het is duidelijk dat, voor
elke t ∈ [0,T ], H1(t) = 0 en H2(t) = − (θ1(t))2
(λ∗)2 < 0. We mogen voor dit laatste θ1(t) > 0 onderstellen;
θ1(t) is de W1(t)-afhankelijkheid van de portefeuille op tijdstip t, aangezien voor een optimale por-
tefeuille afhankelijkheid van minimum een risico mag ondersteld worden, kunnen we voor dit risico1Voor meer informatie kan men bijvoorbeeld terecht bij [18, blz. 458].2Dit zijn hier de portefeuilles die voldoen aan de eerste-orde-voorwaarden, ze worden bepaald door (4.7) en (4.8).
4.1. OPTIMALE PORTEFEUILLES EN DE MARKTPORTEFEUILLE 87
W1(t) gebruiken, θ1(t) is dan strikt groter dan 0. A.d.h.v. een inductieproces tonen we nu aan dat dit
afwisselend teken zich doorzet voor leidende minoren van hogere orde. Stel dat Hk(t) gekend is voor
een 2≤ k ≤M+K en voldoet aan (−1)k−1Hk(t)> 0, we berekenen Hk+1(t)
Hk+1(t) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 −θ1(t)λ∗ −θ2(t)
λ∗ · · · −θk−1(t)λ∗ −θk(t)
λ∗
−θ1(t)λ∗ −2λ∗ 0 · · · 0 0
−θ2(t)λ∗ 0 −2λ∗ · · · 0 0...
......
. . ....
...
−θk−1(t)λ∗ 0 0 · · · −2λ∗ 0
−θk(t)λ∗ 0 0 · · · 0 −2λ∗
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= −θk(t)λ∗
(−1)k
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−θ1(t)λ∗ −θ2(t)
λ∗ · · · −θk−1(t)λ∗ −θk(t)
λ∗
−2λ∗ 0 · · · 0 0
0 −2λ∗ · · · 0 0...
.... . .
......
0 0 · · · −2λ∗ 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−2λ
∗Hk(t)
= −(
θk(t)λ
)2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−2λ 0 · · · 0
0 −2λ · · · 0...
.... . .
...
0 0 · · · −2λ
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−2λ
∗Hk(t)
= (−1)k(2λ∗)k−1
(θk(t)
λ
)2
−2λ∗Hk(t).
Zodat wegens (−1)k−1Hk(t)> 0 en λ∗ > 0
(−1)kHk+1 = (2λ∗)k−1
(θk(t)
λ∗
)2
+(−1)k−12λ∗Hk > 0.
De gerande matrix voldoet in het stationair punt aan het vereiste tekenpatroon voor een maximum. De
portefeuilleprocessen die aan de eerste-orde-voorwaarden (4.7) en (4.8) voldoen, zijn aldus optimale
portefeuilles.
Nu kunnen we de voorwaarden voor een optimale portefeuille gebruiken om de appreciatiegraad α(δ)(t)
van een optimale portefeuille te bepalen:
α(δ)(t)
(3.21)=
M
∑k=1
ψ(δ)k (t)θk(t)
(4.8)=
M
∑k=1
θk(t)γ(δ)(t)|θ(t)|
θk(t) = γ(δ)(t) |θ(t)| . (4.9)
Voor een optimale portefeuille herleidt de bovengrens voor de Sharpe-verhouding zich aldus tot een
88 HOOFDSTUK 4. DE BENCHMARK AANPAK IN DE PRAKTIJK
gelijkheid
s(δ)(t)(4.2)=
α(δ)(t)
γ(δ)(t)
(4.9)=
γ(δ)(t)
γ(δ)(t)|θ(t)| = |θ(t)| .
Voor niet optimale portefeuilles zal voor een gegeven γ(δ), α(δ) < α(δ), zie definitie 4.1.1, de tweede ge-
lijkheid in bovenstaande afleiding wordt dan aldus een strikte ongelijkheid. De differentiaalvergelijking
van een optimale portefeuille is te herschrijven als
d(
X (δ)(t))
(3.20)=
M
∑k=1
ψ(δ)k (t)(θk(t)dt +dWk(t))+
K
∑l=1
ψ(δ)M+l(t-)
(θM+l(t)dt +dPl(t)
)(4.8)=
M
∑k=1
γ(δ)(t)|θ(t)|
θk(t)(θk(t)dt +dWk(t))+K
∑l=1
γ(δ)(t-)|θ(t-)|
θM+l(t-)(
θM+l(t)dt +dPl(t))
(4.1)= X (δ)
(t-)b(δ)(t-)|θ(t-)|
(M
∑k=1
θk(t)(θk(t)dt +dWk(t))+K
∑l=1
θM+l(t-)(
θM+l(t)dt +dPl(t)))
.
De optimale fracties vinden we uit onderstaande afleiding
X (δ)(t)
N
∑i=1
π(δ)i bi,k(t)
(3.19)= ψ
(δ)k (t)
(4.8)=
θk(t)γ(δ)(t)|θ(t)|
k = 1, . . . ,M,
X (δ)(t)
N
∑i=1
π(δ)i di,l(t)
(3.19)= ψ
(δ)l (t)
(4.8)=
θM+l(t)γ(δ)(t)|θ(t)|
l = 1, . . . ,K.
Combineren we telkens de eerste en laatste leden uit bovenstaande gelijkheden, dan bekomen we in
vectorvorm(π(δ)(t)
)tr·[B(t) D(t)] =
γ(δ)(t)
X (δ)(t) |θ(t)|
(θ(t))tr
(4.1)⇔(
π(δ)(t)
)tr=
b(δ)(t)|θ(t)|
(θ(t))tr · [B(t) D(t)]tr([B(t) D(t)] · [B(t) D(t)]tr
)−1
(3.1)⇔(
π(δ)(t)
)tr=
b(δ)(t)|θ(t)|
(a(t)−1 · r(t))tr (V (t))−1
(2.36)⇔(
π(δ)(t)
)tr=
b(δ)(t)|θ(t)|
(π(δ∗)(t)
)tr.
De fracties van een optimale portefeuille worden op elk tijdstip t ∈ [0,T ] aldus bepaald door de relatieve
volatiliteit b(δ)(t)> 0, de waarde hiervan wordt bepaald door het risico dat je als investeerder wil lopen.
Is deze gelijk aan nul, dan vormt de spaarrekening de optimale belegging, is deze gelijk aan |θ(t)|,
dan vormt de GOP de ideale strategie. Bovendien zal het zo zijn dat de portefeuille met de grootste
appreciatiegraad (de GOP) ook het grootste risico zal hebben, b(δ)(t) zal dus nooit b(δ∗)(t) = |θ(t)|
overstijgen.
4.1. OPTIMALE PORTEFEUILLES EN DE MARKTPORTEFEUILLE 89
4.1.2 Markovitz efficiente portefeuilles
Uit differentiaalvergelijking (4.3) van een optimale portefeuille volgt dat deze op elk tijdstip t ∈ [0,T ]
een premie p(δ)(t) gelijk aan b(δ)(t) |θ(t)| heeft.
Definitie 4.1.3. [15] Een Markovitz efficiente portefeuille X (δ) is een portefeuille waarvan de appre-
ciatiegraad a(δ)(t) voor elke t ∈ [0,T ] op de Markovitz efficiente grens ligt, m.a.w.
a(δ)(t) = a(δ)(t,b(δ)(t)) =∣∣∣p(δ)(t)∣∣∣ = √(
b(δ))2 |θ(t)| .
Het is duidelijk dat een optimale portefeuille ook Markovitz efficient is.
Figuur 4.1 geeft een sterk vereenvoudigde visualisatie van het begrip optimale portefeuille en Marko-
(a) enkel risicovolle portfolio’s (b) combinatie risicovol en risicoloos
Figuur 4.1: Vereenvoudigde voorstelling van de optimale portefeuilles op tijdstip t ∈ [0,T ] (naar [21])
vitz efficientie. In de figuur 4.1a ziet men de grens van optimale portefeuilles wanneer we enkel risi-
covolle portefeuilles beschouwen. Een portefeuille A krijgt de voorkeur op een portefeuille B, beide
portefeuilles hebben een zelfde risico γ(δ)(t), maar A heeft een grotere appreciatiegraad α(δ)(t). Een
portefeuille C krijgt de voorkeur op een portefeuille B, beide hebben nu welliswaar een zelfde appreci-
atiegraad, maar het risicopatroon van C ligt beduidend lager. Zo kan elk paar portefeuilles vergeleken
worden en bekomt men een optimale grens — en dus ook een efficiente grens — linksboven in de fi-
guur. Wanneer we ook risicoloze beleggingen (spaarrekeningen) beschouwen — zoals in figuur 4.1b —
kiezen we een efficiente portefeuille als een combinatie van een optimale portefeuille uit figuur 4.1a en
de risicoloze spaarrekening met appreciatiegraad r(t) en volatiliteit gelijk aan 0. De lijn van optimale
portefeuilles is de raaklijn aan de Markovitz efficiente grens en door het punt (0,r(t)), elke combinatie
90 HOOFDSTUK 4. DE BENCHMARK AANPAK IN DE PRAKTIJK
onder deze lijn is suboptimaal, een combinatie boven de lijn is uitgesloten. We geven deze raaklijn in
het vervolg de naam optimale lijn. Het stuk raaklijn voorbij de portefeuille M wordt verkregen door
meer te beleggen dan men bezit, dit kan enkel door te lenen, we sloten dergelijke situaties eerder reeds
uit.
4.1.3 De marktportefeuille
Voorlopig hielden we ons telkens met een individuele belegger bezig, deze kon naar harte lust een
eigen portefeuille samenstellen, naargelang zijn voorkeur voor potentiele winst en risico dan wel voor
lagere verwachte winst maar ook een lager gevaar. In voorgaand stuk concludeerden we dat het voor
elke belegger het best is zich te voorzien in een portefeuillecombinatie op de optimale lijn. Het zou
echter naıef zijn te denken dat onze individuele belegger de enige is die de voordelen van de financiele
markten naar waarde schat, in de wereld bevinden zich miljarden mensen met toegang tot deze virtuele
handelsplaats. Aangezien we aannamen dat iedereen zijn volledige financiele bezit investeert in de
financiele markt, zullen ook effectief miljarden beleggers actief zijn. Elke belegger stelt zijn eigen
portefeuille samen en de totale portefeuille die verhandeld wordt op de markt zal dan bestaan uit de
optelsom van al deze portefeuilles. Gaan we uit van f beleggers met elk een portefeuille X (δq)(t),
q = 1, . . . ,f en t ∈ [0,T ], dan definieren we de marktportefeuille X (mp)(t) als
X (mp)(t) =
f
∑q=1
X (δq)(t). (4.10)
Stelling 4.1.2. Heeft de marktportefeuille bijna zeker een strikt positieve waarde en is de groei optimale
fractie π(δ∗)0 (t) 6= 1 voor alle t ∈ [0,T ], dan zal de marktportefeuille op elk tijdstip t ∈ [0,T ] voldoen aan
de stochastische differentiaalvergelijking
d(
X (mp)(t))
= X (mp)(t)
1−π(mp)0 (t)
1−π(δ∗)0 (t)
M
∑k=1
θk(t)(θk(t)dt +dWk(t))
+X (mp)(t-)
1−π(mp)0 (t-)
1−π(δ∗)0 (t-)
K
∑l=1
θM+l(t-)(θM+l(t)dt +dPl(t)). (4.11)
Hierin is π(mp)0 (t) op elk tijdstip t ∈ [0,T ] de fractie van de spaarrekening in de totale marktportefeuille:
π(mp)0 (t) =
∑fq=1 δq0(t)S0(t)
X (mp)(t)
. (4.12)
4.1. OPTIMALE PORTEFEUILLES EN DE MARKTPORTEFEUILLE 91
Bewijs.
N
∑i=1
π(δ)i (t)
(4.4)=
b(δ)(t)|θ(t)|
N
∑i=1
π(δ∗)(t) =
b(δ)(t)|θ(t)|
(1−π
(δ∗)0 (t)
)(2.10)⇔ b(δ)(t)
|θ(t)|
(1−π
(δ∗)0 (t)
)=
N
∑i=1
δi(t)Si(t)
X (δ)(t)
(2.8)⇔ b(δ)(t)|θ(t)|
=1
1−π(δ∗)0 (t)
X (δ)(t)− δ0(t)S0(t)
X (δ)(t)
.
Dit geldt op elk tijdstip t ∈ [0,T ] en voor elke optimale portefeuillewaarde, dus ook voor de f porte-
feuillewaarden van de individuele beleggers:
b(δq)(t)|θ(t)|
=1
1−π(δ∗)0 (t)
X (δq)(t)− δq0(t)S0(t)
X (δq)(t)q = 1, . . . ,f. (4.13)
We vinden aldus eenvoudig
d(
X (mp)(t))
(4.14)
(4.10)=
f
∑q=1
d(
X (δq)(t))
(4.3)=
f
∑q=1
X (δq)(t-)b(δq)(t-)|θ(t-)|
(M
∑k=1
θk(t)(θk(t)dt +dWk(t))+K
∑l=1
θM+l(t-)(θM+l(t)dt +dPl(t))
)
(4.13)=
f
∑q=1
X (δq)(t-)− δq0(t-)S0(t-)
1−π(δ∗)0 (t-)
(M
∑k=1
θk(t)(θk(t)dt +dWk(t))+K
∑l=1
θM+l(t-)(θM+l(t)dt +dPl(t))
).
(4.15)
De eerste som in (4.15) kunnen we onafhankelijk van q maken:
f
∑q=1
X (δq)(t)− δq0(t)S0(t)
1−π(δ∗)0 (t)
=X (mp)
(t)
1−π(δ∗)0 (t)
∑fq=1 X (δq)(t)
X (mp)(t)
−∑fq=1 δq0(t)S0(t)
X (mp)(t)
(4.10)(4.12)=
X (mp)(t)
1−π(δ∗)0 (t)
(1−π
(mp)0 (t)
)= X (mp)
(t)1−π
(mp)0 (t)
1−π(δ∗)0 (t)
. (4.16)
92 HOOFDSTUK 4. DE BENCHMARK AANPAK IN DE PRAKTIJK
Brengen we tot slot (4.15) en (4.16) samen dan komen we tot het gestelde
d(
X (mp)(t))
(4.15)=
f
∑q=1
X (δq)(t-)− δq0(t-)
1−π(δ∗)0 (t-)
(M
∑k=1
θk(t)(θk(t)dt +dWk(t))+K
∑l=1
θM+l(t-)(θM+l(t)+dP(t))
)(4.16)= X (mp)
(t-)1−π
(mp)0 (t-)
1−π(δ∗)0 (t-)
(M
∑k=1
θk(t)(θk(t)dt +dWk(t))+K
∑l=1
θM+l(t-)(θM+l(t)+dP(t))
).
We leggen hier nog de nadruk op het feit dat beide voorwaarden uit bovenstaande stelling telkens
voldaan zullen zijn. De marktportefeuille zal als som van strikt positieve portefeuillewaarden ook een
strikt positieve waarde hebben. Bovendien is de GOP gedefinieerd als de portefeuille met de grootste
appreciatiegraad (de grootste verwachte groei), het zou niet realistisch zijn als dit de spaarrekening
was. We mogen dus onderstellen dat bovenstaande uitdrukking van de marktportefeuille telkens van
toepassing is.
De appreciatiegraad en volatiliteit van de marktportefeuille zijn voor t ∈ [0,T ] gelijk aan
α(mp)(t) =
1−π(mp)0 (t)
1−π(δ∗)0 (t)
|θ(t)|2 γ(mp)(t) =
1−π(mp)0 (t)
1−π(δ∗)0 (t)
|θ(t)| ,
en aldus is de marktportefeuille een optimale portefeuille
s(mp)(t)(4.2)=
α(mp)(t)γ(mp)(t)
= |θ(t)| .
Sinds deel 2.2 hebben we ons beperkt tot de (strikt) positieve portefeuilles, we eisten hierbij dat geen
geld geleend werd om daarmee te speculeren in effecten. Lenen zelf is echter niet uitgesloten, indien er
geen intentie is om te speculeren op koersen is lenen toegestaan, we hebben dan een (strikt) negatieve
portefeuille die niet stochastisch is. Sterker nog, lenen is eigenlijk vitaal in een financiele markt! Uiter-
aard is het onmogelijk om geld te lenen indien er geen geld beschikbaar is; voor elke euro die geleend
wordt moet iemand een euro ter beschikking stellen, in de praktijk zal een financiele instelling vaak als
tussenpersoon fungeren tussen spaarders en ontspaarders. De spaarders worden hiervoor beloond door
een rentevergoeding op hun spaarrekening, deze wordt in essentie gefinancierd door de ontspaarder3.
Het gespaarde geld zal aldus altijd minstens evenveel bedragen als het ontleende geld. Anderzijds zal
de bank proberen al het spaargeld te gebruiken om te ontlenen aan investeerders, dat brengt de bank —
3Herinner dat we onderstelden dat sparen en lenen aan eenzelfde rentetarief gebeurde.
4.2. BENADERINGEN VAN DE GOP 93
en dus ook de spaarders — het meeste op. De bank zal daar nooit volledig in slagen, er moet altijd wat
geld over blijven om de liquiditeit van de bank op peil te houden, dit zal ervoor zorgen dat de totale
marktportefeuille (strikt) positief blijft. Anderzijds kunnen we er wel van uitgaan dat de fractie π(mp)0 (t)
op elk tijdstip t ∈ [0,T ] verwaarloosbaar is, we onderstellen deze dan ook bijna zeker gelijk aan 0. We
vinden aldus voor elk tijdstip in [0,T ]
d(
X (mp)(t))
(4.11)=
X (mp)(t-)
1−π(δ∗)0 (t-)
(M
∑k=1
θk(t)(θk(t)dt +dWk(t))+K
∑l=1
θM+l(t-)(θM+l(t)dt +dPl(t))
).
Merk op dat deze stochastische differentiaalvergelijking erg lijkt op die van de algemene GOP (3.7), de
fracties zijn op een factor 11−π
(δ∗)0 (t)
gelijk. Concreet wil dit zeggen dat de marktportefeuille een combi-
natie is van de GOP en de spaarrekening. In het geval de GOP geen investeringen in de spaarrekening
duldt — en dit is eigenlijk de meest realistische situatie — is de marktportefeuille gelijk aan de groei
optimale portefeuille. Indien we aldus op tijdstip t ∈ [0,T ] de marktportefeuille kunnen blootleggen en
de π(δ∗)0 (t) kennen, dan kennen we ook de GOP en kunnen we deze aldus gebruiken als benchmark. De
optimale fracties van de GOP zijn (1−π(δ∗)0 ) keer die van de marktportefeuille.
4.2 Benaderingen van de GOP
Voor het gebruik van de benchmarked portefeuilles is het van crusiaal belang op elk moment de GOP
te kunnen bepalen. Om de proporties exact te kunnen bepalen, moet men op elk moment de risicopre-
mies, volatiliteiten en sprongcoefficienten accuraat modelleren. In de praktijk is dit moeilijk of zelfs
onmogelijk door het grote aantal effecten die op de markt beschikbaar zijn. Vandaar dat men verplicht
is zich te baseren op benaderingen van de groei optimale portefeuille, we bespreken er hieronder drie.
4.2.1 Wiskundige theorie rond GOP-benaderingen
Om de beschreven problemen te omzeilen, zullen we hier een voldoende voorwaarde voor een benade-
ring van de GOP invoeren. Concreet is dit een limietstelling; indien het aantal aandelen stijgt gaat het
verschil tussen de benadering en de GOP naar nul.
Zij d = 1,2, . . . gegeven en beschouw het positieve portefeuilleproces X (δ)d (t), t ∈ [0,T ], met strategie
δ(t) =[δ0(t) δ1(t) · · · δd(t)
], t ∈ [0,T ]. We definieren hieronder de tracking rate, deze zal een
belangrijke rol spelen in de limietstelling.
94 HOOFDSTUK 4. DE BENCHMARK AANPAK IN DE PRAKTIJK
Definitie 4.2.1. De tracking rate van de portefeuille X (δ)(t) op tijdstip t ∈ [0,T ] is de waarde R(δ)(t)
R(δ)(t) =M
∑k=1
(N
∑i=1
π(δ)i (t)σ(δ)
i,k (t)
)2
+K
∑l=1
(N
∑i=1
π(δ)i (t)ν(δ)
i,l (t)
)2
.
Hierin is voor elke t ∈ [0,T ]
σ(δ)i,k (t) = bi,k(t)−
θk(t)
∑Ni=1 π
(δ)i (t)
ν(δ)i,l (t) = di,l(t)
(1− θM+l(t)
λl(t)
)− θM+l(t)
λl(t)∑Ni=1 π
(δ)i (t)
.
Bemerk eerst en vooral dat de stochastische processen σ en ν gekozen zijn i.f.v. het vereenvoudigen van
de uitdrukking (3.29) van de stochastische differentiaalvergelijking van een benchmarked portefeuille-
proces. We krijgen dan namelijk
d(
X (δ)(t))
(3.29)= X (δ)(t)
M
∑k=1
(N
∑i=1
π(δ)i (t)bi,k(t)−θk(t)
)dWk(t)
+ X (δ)(t-)K
∑l=1
(N
∑i=1
(π(δ)i (t-)di,l(t-)
)(1− θM+l(t-)
λl(t-)
)− θM+l(t-)
λl(t-)
)dPl(t)
= X (δ)(t-)N
∑i=1
π(δ)i (t-)
(M
∑k=1
σ(δ)i,k (t)dWk(t)+
K
∑l=1
ν(δ)i,l (t-)dPl(t)
).
We merken ook onmiddellijk op dat de benchmarked portefeuille X (δ) constant is a.s.a. R(δ) ≡ 0. Er
geldt dan X (δ)(t)≡ X (δ)(0) en dus X (δ)(t) = X (δ)(0)X (δ∗)(t) voor elke t ∈ [0,T ]. In dat opzicht kunnen
we stellen dat een portefeuille X (δ) gelijk met de GOP evolueert indien de tracking rate R(δ)(t) voor
elke t ∈ [0,T ] zeer klein blijft.
Definitie 4.2.2. Een rij van strikt positieve benchmarked portefeuilles X (δ)d (t), d = 1,2, . . ., noemen we
een rij van benaderende GOP’s indien voor alle t ∈ [0,T ] de overeenkomstige rij van tracking rates in
kans naar nul gaat:
∀ε > 0 limd→+∞
P[R(δ)
d (t)> ε
]= 0 voor elke t ∈ [0,T ].
4.2.2 Drie benaderingen
In de praktijk maakt men meestal gebruik van de marktportefeuille, met name de MSCI, als benade-
ring van de GOP. Daarnaast zijn ook de EWI en de DAI sterke approximaties van de groei optimale
portefeuille. We bespreken hieronder elk van deze indexen en tonen hun kwaliteit als GOP-benadering
aan.
4.2. BENADERINGEN VAN DE GOP 95
De MSCI
In vorig stuk zagen we reeds dat de marktportefeuille een differentiaalvergelijking heeft die gelijkloopt
met deze van de GOP, indien π(δ∗)0 (t) = 0, t ∈ [0,T ], is de stochastische differentiaalvergelijking zelfs
dezelfde. Dit stelt ons in staat de marktportefeuille te gebruiken als benadering van de groei opti-
male portefeuille. Meerbepaald maakt men gebruik van de ‘MSCI World Index’, een wereldwijde
beursindex. Deze beursindex wordt onderhouden door de onderneming MSCI (Morgan Stanley Capital
International) en is samengesteld uit meer dan 1500 aandelen uit 24 ontwikkelde markten. De MSCI
index geldt als een belangrijke vergelijkingsbasis voor het samenstellen van portefeuilles, voor ons is
van belang dat de MSCI index erg goed overeenkomt met de marktportefeuille. Onderstaande grafiek
geeft een benadering (op dagbasis) van de MSCI world index in de periode 1970 - 2005, 1970 is als
vergelijkingsbasis genomen.
Figuur 4.2: De MSCI world index (basis 1970 - 2005), naar [11]
De EWI
Een tweede proxy voor de GOP is de ‘equal weighted index’ (EWI) hierin worden alle effecten ter
wereld met een gelijk gewicht opgenomen:
π(δ)i (t) =
1N +1
i = 0, . . . ,N en t ∈ [0,T ].
Merk op dat de hoeveelheid dat van een bepaald effect moet worden aangekocht evenwel op elk tijd-
stip aangepast moet worden. De verhoudingen zijn namelijk i.f.v. het totale vermogen dat geınvesteerd
96 HOOFDSTUK 4. DE BENCHMARK AANPAK IN DE PRAKTIJK
wordt, dit laatste verandert naargelang de effectwaarden veranderen. Bij wijze van voorbeeld verge-
lijken we de S&P-500-index met de S&P-500-EWI, allebei bijgehouden door het ratingsagendschap
Standard and Poor’s. De eerste index geeft de groei van de 500 grootse bedrijven in de Verenigde Sta-
ten, de verhoudingen worden bepaald door het marktaandeel van de bedrijven. Vanaf 2003 wordt ook
een ‘equal weighted index’ bijgehouden, de verhoudingen zijn dan voor elk van de 500 bedrijven gelijk,
namelijk 0.20%. Het is op onderstaande vergelijkende figuur reeds duidelijk dat de S&P-500-EWI een
beduidend sterkere groei kent dan de S&P-500-index.
Figuur 4.3: De S&P-500-EWI vs. de S&P-500-index (2002 - 2007), zie [19]
De sterke groei van de S&P-500-EWI is al een teken aan de wand, er blijkt dat de equal weighted index
een heel goede benadering van de GOP is. We maken dan echter gebruik van alle effecten beschikbaar
op de markt en niet alleen de aandelen van de 500 grootste bedrijven uit de Verenigde Staten. Het is mo-
gelijk voor concrete situaties aan te tonen dat de EWI voldoet aan de limietvoorwaarde zoals besproken
in paragraaf 4.2.1, we maken echter gebruik van simulaties. De figuur op de volgende bladzijde geeft
het resultaat van een simulatie van de EWI en de GOP op een effectenmarkt met N +1 = 50 effecten,
men merkt dat er slecht een heel beperkt verschil is tussen beide koersen. Indien N stijgt zal het verschil
enkel maar meer te verwaarlozen zijn.
De DAI
Een derde een laatste benadering van de GOP vinden we in de diversified accumulation index. Er
werden opnieuw N + 1 = 50 effecten ondersteld een men simuleert over 20 perioden. Zoals op de
tweede figuur op de volgende bladzijde te zien is, zal ook de DAI een sterke benadering van de GOP
zijn, de verschillen worden enkel nog kleiner indien het aantal effecten N +1 stijgt.
4.2. BENADERINGEN VAN DE GOP 97
Figuur 4.4: De GOP en EWI gesimuleerd, zie [14]
Figuur 4.5: De GOP en DAI gesimuleerd, zie [14]
98 HOOFDSTUK 4. DE BENCHMARK AANPAK IN DE PRAKTIJK
4.3 Waarderen van portefeuilles
Stel dat we beschikken over een goed gekozen benadering van de GOP, meestal kiest men hiervoor de
MSCI, deze MSCI kan eenvoudig gemodelleerd en gecalibreerd worden. Een eerste vraag die komt
bovendrijven is of benchmarked portefeuilles een meerwaarde kunnen betekenen in het waarderen van
portefeuilles.
4.3.1 Eerlijk prijzen
Om een antwoord te bieden op bovenstaande vraag beschouwen we traditioneel een portefeuille X (δ)(t),
t ∈ [0,T ], met een strategie δ(t), t ∈ [0,T ] die rekening houdt met N+1 effecten. We zagen eerder reeds
dat dergelijke benchmarked portefeuille een lokaal martingaalproces vorm onder de echte kansmaat, de
driftterm uit de differentiaalvergelijking (3.29) is op elk tijdstip gelijk aan 0. Stelling 1.1.1 leert ons dan
dat het benchmarked portefeuilleproces een supermartingaalproces volgt.
Dit is al onmiddellijk een zeer groot verschil met het risiconeutraal prijzen zoals dit normaalgezien
gebeurt. Bij die risiconeutrale prijsmethode maakt men gebruik van martingaalrepresentatie van de
portefeuilles onder de risiconeutrale maat. Onder de echte kansmaat kan dit niet verzekerd worden,
maar voor die portefeuilles waarvoor dit wel geldt, kan een veralgemeende prijsformule afgeleid wor-
den. Veralgemeend omwille van de martingaaleigenschap onder de echte kansmaat, en dus niet de
risiconeutrale kansmaat.
Het is logisch dat we voor die portefeuilles die in aanmerking komen de GOP als numeraire gebrui-
ken, de benchmarked portefeuilles zijn dan namelijk P-martingaalprocessen. Dergelijke portefeuilles
noemen we eerlijk.
Definitie 4.3.1. We noemen een prijsproces eerlijk indien het een P-martingaalproces vormt: op elk
tijdstip s ≤ t ∈ [0,T ] voldoet de benchmarked waarde X (δ)(t) van zo’n portefeuilleproces aan de mar-
tingaaleigenschap
X (δ)(s) = E[X (δ)(t) |F (s)
].
Voor een eerlijk portefeuilleproces hebben we dan
X (δ)(s) = X (δ∗)(s)E
[X (δ)
(s)
X (δ∗)(s)|F (s)
],
voor elke s≤ t ∈ [0,T ].
Beschouw nu een voorwaardelijke vordering op tijdstip t ∈ [0,T ], H(t), die voldoet aan
E[
H(t)X (δ∗)(t)
]< +∞.
4.3. WAARDEREN VAN PORTEFEUILLES 99
Op tijdstip t ∈ [0,T ] verkrijgen we dus een bedrag H(t) dat afhangt van alle informatie die zicht tot op
tijdstip t voordoet, H(t) is F (t)-meetbaar. Men kan zich de vraag stellen wat de prijs op tijdstip s < t
is van zo’n voorwaardelijke vordering, hiervoor kunnen we de fair pricing formule gebruiken:
UH(t)(s) = X (δ∗)(s)E[
H(t)X (δ∗)(t)
|F (s)], (4.17)
UH(t)(s) = E[H(t) |F (s)
].
Hierbij is UH(t)(s) dus de eerlijke prijs op tijdstip s — volgens de fair pricing formule — van een
voorwaardelijke vordering die op tijdstip t H(t) opbrengt. UH(t)(s) is de benchmarked eerlijke prijs.
Aangezien we weten dat benchmarked portefeuilles op langere termijn slechts een supermartingaalpro-
ces vormen, kunnen we de eerlijke prijs zien als de minimumprijs die een voorwaardelijke vordering
op tijdstip s waard is.
De benchmarked eerlijke prijs herleidt zich tot de prijs in eenheden van de binnenlandse munteenheid
(neem euro) door de te vermenigvuldigen met de actuele waarde van de benaderende GOP:
prijs in euro op tijdstip s = e UH(t)(s) X (δ∗)(s)︸ ︷︷ ︸≈MSCI(s)
.
Deze fair pricing formule levert ons aldus een eenvoudige en uitvoerbaar prijsmethode, bovendien
steunt ze niet op een transformatie in de kansmaat, we blijven rekenen onder de echte maat.
4.3.2 Risiconeutraal en actuarieel prijzen
Hierboven introduceerden we het concept van eerlijk prijzen via de fair pricing formule. Hier tonen
we aan dat het concept een veralgemening is van zowel het risiconeutrale prijsmechanisme als van het
actuarieel prijsmechanisme.
Een kandidaat risiconeutrale maat Q heeft als Radon-Nikodym afgeleideproces Λ(t) = dQdP |F (t), t ∈
[0,T ], een F (t)-meetbaar proces. Deze Radon-Nikodym afgeleide moet op elk tijdstip t ∈ [0,T ] de
onderstaande vorm hebben
Λ(t) =dQdP|F (t) =
X (δ∗)(0)X (δ∗)(t)
S0(t)S0(0)
.
Indien dit Radon-Nikodym afgeleideproces een P-martingaalproces is en een maat Q bestaat die equi-
100 HOOFDSTUK 4. DE BENCHMARK AANPAK IN DE PRAKTIJK
valent is aan P dan kunnen we onderstaande afleiding maken.
UH(t)(s)(4.17)= E
[Xδ∗(s)Xδ∗(t)
H(t)|F (s)
]
= E
[(Xδ∗(s)Xδ∗(t)
S0(t)S0(s)
)S0(s)S0(t)
H(t)|F (s)
]
= E[
Λ(t)Λ(s)
S0(s)S0(t)
H(t)|F (s)]
= EQ
[S0(s)S0(t)
H(t)|F (s)].
Deze laatste formule is deze van het risiconeutraal prijzen, m.a.w. Q = P. We benadrukken dat de
benchmark aanpak — met de fair pricing formule — geen bestaan van een risiconeutrale martingaal-
maat veronderstelt. De eerlijke prijzen kunnen altijd berekend worden onder de echte kansmaat, wat
niet opgaat voor de risiconeutrale prijs van een portefeuille. Dit staat ons toe een wijder spectrum van
modellen te beschouwen dan deze die we bij het risiconeutraal prijzen ter beschikking hebben. Deze
extra vrijheid is van groot belang bijvoorbeeld voor het maken van zuinige financiele marktmodellen
die van praktisch nut zijn, we gaan hier niet dieper op in.
Wat betreft de actuariele prijsmethode kan men aantonen dat de fair pricing formule ook deze veralge-
meent. Stel dat de voorwaardelijke vordering H(t) onafhankelijk is van de GOP S(δ∗)(t) op elk tijdstip
t ∈ [0,T ], dan herleidt de fair pricing formule (4.17) zich tot
UH(t)(s)(4.17)= X (δ∗)(s)E
[H(t)
X (δ∗)(t)|F (s)
]= E
[X (δ∗)(s)X (δ∗)(t)
|F (s)
]E [H(t)|F (s)]
def= P(s, t)E [H(t)|(s)] .
Deze laatste formule is niks minder dan de actuarial pricing formule. Hierin is P(s, t) de prijs op tijdstip
s≤ t van een obligatie die afloopt op tijdstip t ≤ T en geen tussentijdse couponinningen heeft4.
4.4 Risicobeheer
De benchmark benadering speelt ook een interessante rol in het risicomanagement van portefeuilles.
Precies omdat er slechts een risicomaat nodig is, het echte risico, helpen benchmarked portefeuilles bij
4Een zero coupon bond.
4.4. RISICOBEHEER 101
het berekenen van diverse parameters die het risico van een portefeuille aangeven. We bespreken heel
kort enkele van de onderwerpen die kunnen gebruik maken van benchmarked portefeuilles, we gaan
hier echter niet in detail op in.
• Portefeuille-optimalisatie: de benchmarked aanpak maakt gebruik van de GOP als groei optimale
portefeuille, in paragraaf 4.1 bespraken we het concept ‘optimale portefeuille’ o.b.v. benchmar-
ked portefeuilles.
• Calibratie is het vergelijken van portefeuilles. In het bijzonder vergelijkt men algemene por-
tefeuilles met de GOP (de marktportefeuille in de praktijk). De marktportefeuille heet dan de
standaard, de algemene portefeuille noemt men de UUT (unit under test).
• Value at Risk (VaR): geeft voor een gegeven portefeuille, kansmaat en tijdhorizon de kans dat het
verlies op die tijdshorizon een bepaald bedrag overschrijdt. Zo zal een portefeuille met 98% VaR
van e1000 (tijdshorizon 1 dag), een kans 0.02 hebben op een verlies groter dan e1000 na een
dag. Precies door het feit dat de benchmarked aanpak gebruik maakt van werkelijke kansen, is
deze benadering interessant voor de VaR risicometing.
• Filtering is het onderzoeken van risico’s onder onvolledige informatie, om dezelfde reden als bij
VaR kunnen benchmarked portefeuilles hierin van belang zijn.
BESLUIT 103
Besluit
De benchmark aanpak steunt in beginsel op een redelijk eenvoudig principe: stel de groei optimale
portefeuille samen en gebruik deze al numeraire om portefeuilles te waarderen. We zagen echter dat
wel wat wiskundige achtergrond nodig is om dit om te zetten in een theoretisch ontwerp, zeker wan-
neer we rekening houden met discontinue sprongen op de geldmarkt. We bestudeerden de theorie van
Poissonprocessen om deze sprongen te modelleren.
Met de nodige wiskundige theorie in de rugzak toonden we aan dat het daadwerkelijk mogelijk is,
onder realistische voorwaarden, de financiele markt te modelleren. We stelden aansluitend portefeuilles
samen, achterhaalden de samenstelling van de GOP en gebruikten deze als vergelijkingsbasis voor elke
portefeuille. Het resultaat is niet min, we stellen vast dat de benchmarked portefeuilles een lokale
martingaaleigenschap hebben onder de echte kansmaat. Precies het gebruik van de reele kansmaat is
verheugend naar de bruikbaarheid toe.
In de praktijk is het echter onhaalbaar op elk moment de groei optimale portefeuille bloot te leggen,
vandaar dat we ons moeten baseren op betrouwbare benaderingen. De marktportefeuille (MSCI), de
equal weighted index (EWI) en de diversified accumulation index (DAI) blijken zo’n geschikte schattin-
gen te zijn. Deze indexen kunnen dan als numeraire gebruikt worden voor het prijzen van portefeuilles
(fair pricing) en risicomanagement onder de benchmark aanpak, een risiconeutrale maat is niet langer
nodig. We lieten zien dat het eerlijk prijzen een veralgemening is van zowel het risiconeutraal prijzen
als het actuarieel prijzen.
BIBLIOGRAFIE 105
Bibliografie
[1] I. Bajeux-Besnainou, R. Portait (1997). The numeraire portfolio: a new perspective on financial
theory. The European Journal of Finance, 3: 291 - 309.
[2] P. Beghin, I. Van De Woesteyne (2010). Fiscaliteit, Personenbelasting - Vennootschapsbelasting -
BTW. Cursusnota’s, Universiteit Gent.
[3] P. Bremaud (1981). Point Processes and Queues: Martingale Dynamics. Springer.
[4] E.K.P. Chong, S.H. Zak (2005). An Introduction to Optimization II. Replika Press Pvt. Ltd.
[5] R. Cont & P. Tankov (2004). Financial Modelling with Jump Processes. CRC Press.
[6] F. Heylen (2004). Macro-economie. Garant.
[7] C. Impens (2006). Wiskundige Analyse I. Cursusnota’s, Universiteit Gent.
[8] C. Impens (2007). Wiskundige Analyse III. Cursusnota’s, Universiteit Gent.
[9] I. Karatzas, S.E. Shreve (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus II. Springer.
[10] M.S. 10 oktober 2010. 5 domme redenen om een lening af te sluiten, http://www.tijd.be.
[11] Morgan Stanley Capital International. MSCI Index Performance. Geraadpleegd op 25 april 2011
(e.v.), http://www.msci.com.
[12] E. Omey (2008). Micro-economie. Cursusnota’s, Universiteit Gent.
[13] E. Platen (2004). A class of complete benchmark models with intensity-based jumps. Journal of
Applied Probability Trust, 41: 19 - 34.
[14] E. Platen (2005). Diversified portfolio’s with jumps in an benchmark framework. Asia-Pacific
Financial Markets, 11: 1 - 22.
106 BIBLIOGRAFIE
[15] E. Platen (2006). A benchmark approach to finance. Mathematical Finance, 16: 131 - 151.
[16] P.E. Protter (2004). Stochastic Integration and Differential Equations. Springer.
[17] S.E. Shreve (2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer.
[18] S.P. Simon & L. Blume (1994). Mathematics for Economists. Norton & Company.
[19] Standard and Poors. S&P Equal Weight Index. Geraadpleegd op 25 april 2011
(e.v.), http://www.standardandpoors.com.
[20] C. Thas (2005). Lineaire Algebra en Analytische Meetkunde. Cursusnota’s, Universiteit Gent.
[21] R. Vander Vennet (2010). Bank- en financiewezen. Cursusnota’s, Universiteit Gent.
[22] S. Vansteelandt (2007). Kansrekeningen en Wiskundige Statistiek I. Cursusnota’s, Universiteit
Gent.
Top Related