Masterproef: de benchmark aanpak in verzekeringen · 2012. 3. 14. · 4 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE...

Faculteit Wetenschappen

Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica

Voorzitter: Prof. dr. W. GOVAERTS

DE BENCHMARK AANPAK

IN

VERZEKERINGEN EN FINANCIEN

door

Pieter DE SMET

Promotor: Prof. dr. M. VANMAELE

Masterproef ingediend tot het behalen van de academische graad van

MASTER IN DE TOEGEPASTE WISKUNDE

MINOR ECONOMIE & VERZEKERINGEN

Academiejaar 2010-2011

iii

Voorwoord

Vooraleer jullie in te wijden in de theorie der benchmarked portefeuilles wil ik jullie nog even wijzen

op de verdiensten van een groot aantal mensen uit mijn omgeving. Een masterproef schrijft men niet

alleen, heel veel mensen hebben hier een groot aandeel in, ik wil dan ook de tijd nemen deze mensen

stuk voor stuk welgemeend te danken.

Vooreerst wil ik mijn promotor, Prof. dr. Michele Vanmaele, bedanken. Dit jaar begeleidde ze vier

studenten doorheen hun masterproef en ik ben oprecht blij een van hen te mogen zijn. Bedankt voor

het opvolgen van mijn vooruitgangen, bedankt voor het steeds zeer snel beantwoorden van mijn vragen,

bedankt voor het nalezen van de masterproef, bedankt voor de energie die u in dit document gestoken

heeft. Bedankt ook aan de commissarissen voor hun interesse in dit onderwerp, hun tijd die ze aan deze

masterproef besteden.

Daarnaast wil ik nog twee mensen bedanken, twee personen voor wie geen dank te veel kan zijn, mijn

ouders. Moeke en papa, het is in de eerste plaats jullie verdienste dat ik hier nu hoop vijf jaar studeren

tot een goed einde te brengen. Ik ben jullie eeuwig dankbaar voor het vertrouwen dat ik krijg, de steun

die jullie mij geven, jullie inzet elke dag opnieuw. Veel dank en oprecht respect hiervoor! Tot slot

verdienen ook ook mijn broer, zus en vrienden hier een vermelding voor hun interesse, hun werk als

uitlaatklep, hun goede raad en ons samen zijn de voorbije jaren in Brugge en Gent.

Pieter De Smet, juni 2011

v

Toelating tot bruikleen

“De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van de

masterproef te kopieren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het

auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij

het aanhalen van resultaten uit deze masterproef.”

Pieter De Smet, juni 2011

INHOUDSOPGAVE vii

Inhoudsopgave

Voorwoord iii

Toelating tot bruikleen v

Inhoudsopgave vii

Inleiding 1

1 Basistheorie financiele wiskunde 3

1.1 Kanstheorie en stochastische processen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Brownse Beweging en Ito-processen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Telprocessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3.1 Algemene telprocessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2 Homogene Poissonprocessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3 Levyprocessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.4 Uitbreidingen a.d.h.v. stochastische maten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.5 Niet-homogene Poissonprocessen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4 Stochastische calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.1 Stochastische integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4.2 Kwadratische variatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.4.3 Ito-formule voor continue processen en sprongen . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 De numerair-portefeuille in een (in)complete markt 43

2.1 Modellering van een complete financiele markt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Portefeuilles in een complete markt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2.1 Opbouw van een portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

viii INHOUDSOPGAVE

2.2.2 Verdisconteerde portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.3 De GOP: growth optimal portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.1 Definitie en afleiding in een complete markt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.3.2 De benchmark aanpak: de GOP als numeraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3.3 Bespreking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.4 Een veralgemening voor een incomplete markt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4.1 Veralgemening van effecten en portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.4.2 De veralgemeende GOP en benchmarked portefeuilles . . . . . . . . . . . . . 61

3 De numerair-portefeuille in geval van sprongen 67

3.1 Dan toch een marktprijs van risico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2 Sprongen in portefeuillewaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2.1 Bespreking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2.2 Modellering van een portefeuille met sprongen . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3 De GOP in een markt met sprongen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3.1 De GOP met sprongen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3.2 Benchmarked portefeuilles met sprongen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4 De benchmark aanpak in de praktijk 83

4.1 Optimale portefeuilles en de marktportefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1.1 Bespreking en afleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1.2 Markovitz efficiente portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.1.3 De marktportefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.2 Benaderingen van de GOP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2.1 Wiskundige theorie rond GOP-benaderingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2.2 Drie benaderingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.3 Waarderen van portefeuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3.1 Eerlijk prijzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.3.2 Risiconeutraal en actuarieel prijzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.4 Risicobeheer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Besluit 103

Bibliografie 105

INLEIDING 1

Inleiding

Als tweede master in de toegepaste wiskunde, afstudeerrichting economie en verzekeringen en toekom-

stig student actuariele wetenschappen is het eerder gebruikelijk een onderwerp te kiezen dat wiskundig

onderbouwd is maar diverse toepassingen kent in het bank- en verzekeringswezen. De richting die ik

met mijn eindwerk wilde inslaan was in het voorjaar van 2010 dan ook behoorlijk snel bepaald; ik wilde

mij verdiepen in het wiskundig modelleren van de financiele wereld.

De voorbije decennia zijn kilo’s papier besteed aan theorien die ons in staat moeten stellen in een conti-

nue markt effecten te prijzen. Onder de vertrouwde risiconeutrale benadering kunnen echter problemen

ontstaan in sectoren waar het niet eenvoudig is een geschikte risiconeutrale maat te vinden. Zo zijn

reeds interessante markten beschreven die niet kunnen worden behandeld onder deze traditionele bena-

dering. In de wereld van verzekeringen en financien heeft men bovendien nood aan methoden die hun

kennis opleveren over werkelijke risico’s van portefeuilles.

Een dergelijke methode wordt in deze masterproef beschreven, de benchmark aanpak gebruikt een

groei optimale portefeuille (GOP) als numeraire. De GOP wordt gedefinieerd als de portefeuille met

maximaal verwacht logaritmisch nut en komt voor in tal van artikels rond prijzen van portefeuilles, op-

timaliseren van portefeuilles en risicobeheer. Doorheen de jaren is ook gebleken dat de GOP benaderd

kan worden door tal van indexen die functioneler zijn dan de GOP zelf.

Gebruiken we de GOP als numeraire dan werken we met benchmarked portefeuilles, deze zullen blij-

ken een lokale martingaalproces te zijn onder de werkelijke kansmaat. Het blijkt dan ook mogelijk te

zijn een prijsformule op te stellen die portefeuilles een prijs toekent o.b.v. de echte risico’s die eraan

verbonden zijn. We spreken in dit geval van fair pricing, deze methode vereist geen equivalente risico-

neutrale maat. Onder bepaalde omstandigheden herleidt dit mechanisme van eerlijk prijzen zich tot het

risiconeutraal of actuarieel prijzen. Tot slot levert het feit dat we onder de reele kans werken ons extra

middellen om risico’s van portefeuilles te schatten en minimaliseren.

2 INLEIDING

Eerder dan een economisch onderbouwd overzicht te geven van de verschillende werkzaamheden van

de benchmarked portefeuilles, ligt het doel van deze masterproef in het wiskundig grondig uitwerken

van de theorie die aan de basis ligt van deze benchmark aanpak. Toch proberen we doorheen de vier

hoofdstukken en het besluit de economische interpretatie niet uit het oog te verliezen, we steunen hier-

voor geregeld op [6], [12] & [21].

In hoofdstuk 1 gaan we van start met een introductie van de wiskundige basistheorie die ons in staat

moet stellen de benchmark theorie te bespreken. We steunen op een basiskennis die vervat zit in de

cursus financiele wiskunde - continue stochastische modellen ([17]), de belangrijkste begrippen wor-

den herhaald en veralgemeend in §1.1 en §1.2. We vullen dit aan met [5], [16] & [17] en bepaalde

begrippen uit [7], [8] & [22]. Verder in dit hoofdstuk bespreken we sprongprocessen (§1.3) en de sto-

chastische calculus (§1.4) a.d.h.v. [5] en in mindere mate [3].

Hoofdstuk 2 bouwt de theorie op naar de benchmarked portefeuilles. In §2.1 en §2.2 modelleren we

een complete financiele markt en de portefeuilles in zo’n markt, in §2.3 introduceren we de groei opti-

male portefeuille die uiteindelijk als numeraire moet dienen voor het benchmark model, telkens wordt

gesteund op [15]. In §2.4 herbeginnen we om de benchmarked portefeuilles te definieren voor een in-

complete markt, we maken gebruik van het inzicht uit [1], weliswaar sterk aangepast. In hoofdstuk 3

aanvaarden we de mogelijkheid tot sprongen in een portefeuilleproces, we modelleren dergelijke porte-

feuilles in §3.2 en leiden op de traditionele manier de benchmarked vorm af in §3.3. In [13] vindt men

de theorie terug voor een complete markt, wij veralgemenen hier zelf naar een incomplete markt.

Tot slot wordt in hoofdstuk §4 de praktische kant van de benchmark aanpak behandeld. Volgens de-

zelfde manier als in [15] worden in §4.1 de optimale portefeuilles en de marktportefeuille geıntroduceerd,

evenwel veralgemeend voor sprongen. Uitgaande van [14] beschrijven we in §4.2 de wiskundige the-

orie rond benaderen van de GOP en bespreken we drie benaderingen uit de praktijk. In §4.3 en §4.4

sluiten we deze masterproef af met een bespreking van het bruikbaarheid van de benchmark aanpak

voor respectievelijk het prijzen van portefeuilles en risicobeheer.

3

Hoofdstuk 1

Basistheorie financiele wiskunde

We vatten deze masterproef aan met een overzicht van enkele beginselen uit de financiele wiskunde,

het is immers onze ambitie de theorie die in dit document aan bod komt goed te onderbouwen. We

gaan er echter wel van uit dat de lezer voldoende voeling heeft met de belangrijkste begrippen uit de

financiele wiskunde, het is aldus niet onze bedoeling alles vanaf nul op te bouwen. Wel willen we

de — voor deze masterproef — belangrijkste begrippen en stellingen hernemen en aanvullen indien

nodig. Starten doen we met enkele basisdefinities die reeds voorkwamen in [17], vervolgens vullen we

aan met sprongprocessen en we eindigen met een uitgebreide studie van de stochastische calculus van

semimartingalen.

1.1 Kanstheorie en stochastische processen

Hieronder bouwen we op naar het begrip (gefilterde) kansruimte, deze structuur zal ons in staat stellen

informatie te modelleren. Hiervoor introduceren we eerst een σ-algebra, een kansmaat en een filtratie.

Definitie 1.1.1. [17] Zij Ω een niet-ledige verzameling, en F een collectie van deelverzamelingen van

Ω, dan is F een σ-algebra als deze voldoet aan

• de ledige verzameling behoort tot F ,

• indien A ∈ F , dan ook het complement Ac ∈ F , en

• indien een rij A1,A2, . . . ∈ F , dan ook de unie∞

∪i=1

Ai ∈ F .

4 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE FINANCIELE WISKUNDE

Definitie 1.1.2. [17] Zij Ω een niet-ledige verzameling en F een σ-algebra van deelverzamelingen van

Ω, dan is een functie

P : F → [0,1] : A 7→ P [A]

waarvoor

• P [Ω] = 1, en

• indien A1,A2, . . . is een rij van disjuncte verzamelingen in F , dan

P[

∞

∪i=1

Ai

]=

∞

∑i=1

P [Ai]

allebei gelden, een kansmaat.

Definitie 1.1.3. [17] Zij Ω een niet-ledige verzameling, T een vast positief getal (de tijdshorizon) en

stel dat voor elke t ∈ [0,T ] een σ-algebra F (t) bestaat. Indien voor elke s ≤ t, elke verzameling in

F (s) ook tot F (t) behoort, dan noemen we de collectie van σ-algebra’s F (t)t∈[0,T ] een filtratie.

We wensen hier de nadruk te leggen op de definitie van een filtratie als collectie van σ-algebra’s, vanaf

nu gebruiken we de notaties F (t)t∈[0,T ] en F door elkaar. F (t), zonder bijhorend tijdsinterval, duidt

echter op een σ-algebra uit die collectie. Merk op dat we in definities 1.1.1 en 1.1.2 nog F gebruikten

voor een σ-algebra, vanaf nu is dit uit den boze als er afhankelijkheid is van de tijd.

Definitie 1.1.4. [16] Een filtratie voldoet aan de gebruikelijke voorwaarden indien

• F (0) bevat alle P-nulverzamelingen van F ;

• de filtratie is rechtscontinu, m.a.w F (t) = ∩u> t

F (u) voor alle t ∈ [0,T ].

Voor het vervolg van deze masterproef eisen we dat de filtratie telkens voldoet aan de gebruikelijke

voorwaarden.

Definitie 1.1.5. [17, aangepast] Een kansruimte is een drietal (Ω,FT ,P), hierin is Ω de verzameling

van alle mogelijke uitkomsten (het universum), FT een σ-algebra met tijdshorizon T en P een kansmaat.

[15] Zij F (t)t∈[0,T ] een filtratie van FT , deze voldoet aan de gebruikelijke voorwaarden, dan noemt men

(Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P) een gefilterde kansruimte.

In deze masterproef worden we overladen met stochastische processen, die we aldus zullen modelleren

a.d.h.v. bovenstaande gefilterde kansruimte, de exacte definitie komt hieronder aan bod. Aangezien deze

processen echter afhangen van een kansverdeling P is het moeilijk om te bewijzen dat een eigenschap

altijd voldaan is, in functie daarvan zal de term bijna zeker worden ingevoerd.

1.1. KANSTHEORIE EN STOCHASTISCHE PROCESSEN 5

Definitie 1.1.6. [16, 17, aangepast] Zij gegeven een (gefilterde) kansruimte, Ω het universum en F (t)t∈[0,T ]

een filtratie. Een collectie van reele stochastische variabelen X(t), t ∈ [0,T ], wordt gedefinieerd als een

stochastisch proces. Deze collectie X(t), t ∈ [0,T ], is een aangepast stochastisch proces indien, voor

elke t, X(t) F (t)-meetbaar is, d.i. de informatie in F (t) is voldoende om de waarde X(t) te bepalen.

We benadrukken dat het (aangepast) stochastich proces zelf genoteerd wordt door X(t), t ∈ [0,T ], of

kortweg X , en dat X(t) (zonder het tijdsinterval) een specifieke waarde op tijdstip t bepaalt en stochas-

tisch is.

Definitie 1.1.7. [17, aangepast] Zij (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P) een (gefilterde) kansruimte. Indien een ver-

zameling A ∈ F voldoet aan P[A] = 1, zeggen we dat het evenement A bijna zeker (b.z.) is.

Aan die verzameling A kan bijvoorbeeld een eigenschap vasthangen, deze eigenschap is aldus bijna

zeker indien P[A] = 1.

Het zal ook blijken interessant te zijn enkele basisbegrippen uit de analyse her op te frissen, we starten

met twee begrippen rond continuıteit en limiet, daarnaast behandelen we ook enkele van de voor ons

belangrijke convergetietypes.

Definitie 1.1.8. [5] We noemen een functie f cadlag indien deze rechtscontinu is en een linkerlimiet

heeft in elk punt van het definitiegebied. Is f linkscontinu en heeft ze een rechterlimiet in elk punt van

het domein dan noemen we de functie caglad.

We starten hieronder met een overzicht van de belangrijkste convergentietypes voor reele functies,

concreet herhalen we wat uniforme convergentie, L1-convergentie en L2-convergentie precies betekent.

Definitie 1.1.9. [7, aangepast] Zij f1, f2, . . . een rij van reele functies met een domein A⊂ R, men zegt

dat deze rij uniform convergeert naar een reele functie f met domein A indien:

(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(∀z ∈ A)(∀n ∈ N)(n≥ N⇒ | f (z)− fn(z)|< ε).

Het begrip ‘uniform’ slaat op het feit dat in elk punt z ∈ A de convergentie even snel gebeurt; ε is

onafhankelijk van z ∈ A.

Definitie 1.1.10. [8] Zij gegeven een rij van integreerbare functies f1, f2, . . . : A⊂R→R, men zegt dat

deze rij L1- convergeert naar een integreerbare functie f : A ⊂ R→ R indien de rij convergeert in de

L1-norm:

limn→+∞

∫A| f − fn| .


Definitie 1.1.11. [8] Zij gegeven een rij van kwadratisch integreerbare functies f1, f2, . . . : A⊂R→R,

men zegt dat deze rij L2- convergeert naar een kwadratisch integreerbare functie f : A⊂R→R indien:

limn→+∞

∫A| f − fn|2 .

Ook stochastische processen kunnen convergeren, maar dan moeten we uiteraard rekening houden met

kanstheorie. We beschrijven convergentie in kans, bijna zekere convergentie en convergentie in distri-

butie.

Definitie 1.1.12. [22] Zij X een stochastische veranderlijke en X1,X2, . . . een oneindige rij van sto-

chastische veranderlijken over een kansruimte (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P), men zegt dat de rij convergeert

in kans naar X als voor elke ε > 0:

limn→+∞

P[|Xn−X |> ε] = 0.

Definitie 1.1.13. [22] Zij X opnieuw een stochastische veranderlijke en X1,X2, . . . een oneindige rij van

stochastische veranderlijken over een kansruimte (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P), men zegt dat Xn,n ≥ 1 bijna

zeker convergeert naar X indien:

P[ limn→+∞

Xn = X ] = 1.

Definitie 1.1.14. [22] Beschouw opnieuw de stochastische veranderlijke X en de rij der stochastische

veranderlijken X1,X2, . . . telkens over een kansruimte (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P), de rij Xn, n ≥ 1, conver-

geert in distributie naar X indien:

limn→+∞

FXn(t) = FX(t),

voor elke t waarin FX , de verdelingsfunctie van X, continu is. Men noteert vaak

Xnd→ X .

Financiele wiskunde hangt onlosmakelijk vast met het begrip martingaal, zeker wanneer we moeten

prijzen is het interessant te weten welke tendens we mogen verwachten voor de processen. Ook hier

zullen de trends in de waarden van de stochastische processen een belangrijke rol spelen. In functie

hiervan introduceren we het begrip stoptijd.

Definitie 1.1.15. [16] Zij gegeven een (gefilterde) kansruimte, Ω het universum en F (t)t∈[0,T ] een fil-

tratie. Een stochastische variabele τ : Ω→ [0,+∞] is een stoptijd als de verzameling τ≤ t ∈ F (t)

voor elke 0≤ t <+∞.

1.1. KANSTHEORIE EN STOCHASTISCHE PROCESSEN 7

De rechtscontinuıteit van de filtratie F impliceert dat de variabele τ een stoptijd is als en slechts als

τ < t ∈ F (t) voor elke t ∈ [0,T ]. [16]

Definitie 1.1.16. [16, aangepast] Zij (Ω,FT ,F (t)t<+∞,P) een gefilterde kansruimte, beschouw een

aangepast stochastisch proces X(t), 0≤ t ≤+∞, dat voldoet aan E[|X(t)|]<+∞.

• Dit proces is een P-submartingaal indien er geen tendens tot dalen is:

E[X(t)|F (s)] ≥ X(s) ∀0≤ s≤ t ≤+∞ b.z..

• Dit proces is een P-supermartingaal indien er geen tendens tot stijgen is:

E[X(t)|F (s)] ≤ X(s) ∀0≤ s≤ t ≤+∞ b.z..

• Dit proces is een P-martingaal indien er noch een tendens tot stijgen noch een tendens tot dalen

is:

E[X(t)|F (s)] = X(s) ∀0≤ s≤ t ≤+∞ b.z..

Definitie 1.1.17. [16, aangepast] Zij (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P) een gefilterde kansruimte, beschouw een

aangepast stochastisch proces X(t), 0 ≤ t ≤ +∞, dat cadlag is. Als er een reeks niet-dalende stop-

tijden τn+∞

n=1 bestaat, zodat het aangepast stochastisch proces Xn(t) = X(t ∧ τn)1, t ∈ [0,T ], een P-

martingaal is voor alle n≥ 1 en limn→+∞

τn =+∞ b.z., dan zeggen we dat X een lokale P-martingaal is.

Analoog kunnen we een lokale P-supermartingaal en een lokale P-submartingaal definieren.

Een aangepast stochastisch proces is een lokale P-martingaal als het lokaal (elk eindig tijdsinterval) aan

de martingaaleigenschap voldoet. Als dus voor elk vast positief getal T , de tijdshorizon, geldt

E[X(t)|F (s)] = X(s) ∀0≤ s≤ t ≤ T.

Elke P-martingaal is uiteraard een lokale P-martingaal, maar niet noodzakelijk omgekeerd; grote waar-

den met kleine kansen kunnen de verwachtingswaarden (en dus de voorwaarde) verstoren. De onder-

staande stelling geeft een verbinding tussen lokale martingalen en supermartingalen.

Stelling 1.1.1. [9] Een niet-negatieve, continue, lokale P-martingaal is een P-supermartingaal.

In theoretische modelleringen van financiele markten zal men altijd vereisen dat deze gezuiverd zijn

van arbitrage, toch kan het soms gebeuren dat een vorm van arbitrage in de markt geglipt is. Wanneer

1De operator ∧ bepaalt het minimum van twee reele getallen.


dit echter opgemerkt wordt door beleggers, zullen deze proberen dat in hun voordeel te misbruiken, ze

zullen — door bepaalde producten te kopen/verkopen — van niks iets proberen te maken. Hierdoor

gaan vraag en aanbod gaan spelen en vindt de markt een nieuw evenwicht, zonder arbitrage. We mogen

aldus stellen dat deze geen-arbitrage-veronderstelling strookt met de werkelijkheid.

Definitie 1.1.18. [17, aangepast] Onder arbitrage verstaan we een handelsstrategie die begint met

e0.00, een kans op verlies gelijk aan 0 heeft en beschikt over een positieve kans op winst.

1.2 Brownse Beweging en Ito-processen

Volgens het Black-Scholes-model dat we aanvankelijk zullen gebruiken voor financiele markten ge-

dragen de koersen op de effectenbeurs zich als Brownse Bewegingen. Op basis daarvan kunnen we

vervolgens Ito-processen invoeren, effecten zullen in deze masterproef aanvankelijk een Ito-proces vol-

gen. In deel 1.4 zullen we de stochastische calculus voor algemene semimartingalen bespreken, voor

de details verwijzen we dan ook naar dat stuk. Hier herhalen we kort de belangrijkste definities en

resultaten voor Ito-processen, zoals deze in [17] ingevoerd werden.

Definitie 1.2.1. [17] Zij (Ω,FT ,P) een kansruimte. Stel dat voor elke ω ∈Ω een continue reele functie

W (t), t ≥ 0, bestaat die voldoet aan W (0) = 0 en die afhangt van ω. Dan is W (t), t ≥ 0, een 1-

dimensionale Brownse Beweging als voor alle tijdstippen 0 = t0 < t1 < · · ·< tm de stappen

W (t1) = W (t1)−W (t0),W (t2)−W (t1), . . . ,W (tm)−W (tm−1),

onafhankelijk zijn, hun covariantie is dan gelijk aan 0, en elk van deze stappen normaal verdeeld is met

E[W (ti+1)−W (ti)] = 0 en Var[W (ti+1)−W (ti)] = ti+1− ti.

Definitie 1.2.2. [17] Een (d-dimensionale) Brownse Beweging is een proces (kolommatrix)

W (t) =[W1(t) · · · Wd(t)

]tr

met de volgende eigenschappen

• Wi(t), t ≥ 0, voor i = 1, . . . ,d, is een 1-dimensionale Brownse Beweging,

• Als i 6= j, dan zijn de processen Wi en Wj onafhankelijk, en dan is hun covariantie gelijk aan 0.

1.2. BROWNSE BEWEGING EN ITO-PROCESSEN 9

In deze masterproef zullen we ook gebruik maken van Ito-integralen, dit zijn integralen van de vorm∫ t

s∆(u)dW (u),

hierin is ∆ een F -aangepast stochastisch proces. We gebruiken dezelfde notatie voor een Brownse

Beweging van dimensie d2, dan is het stochastisch proces ∆(u), t ≥ 0, een rijmatrix, er geldt dan∫ t

s∆(u)dW (u) =

d

∑i=1

∫ t

s∆i(u)dWi(u).

Opdat deze integraal zou bestaan moet deze ∆ voorspelbaar zijn. Aangezien dergelijke Ito-integralen

reeds voorkomen in de definitie van een Ito-proces, definieren we eerst het begrip ‘voorspelbaarheid’.

Belangrijker dan de eigenlijke definitie is echter de eigenschap dat de Ito-integraal nemen van een

voorspelbaar proces zin heeft.

Definitie 1.2.3. [16] Een proces X is simpel voorspelbaar indien het te schrijven is als

X(t) = X(0) I t = 0 +n

∑i=1

X(τi)I τi < t ≤ τi+1 ,

hierin is I . . . de indicatorfunctie en 0 = τ1,τ2, . . . ,τn+1 <+∞ een eindige rij van stoptijden, X(τi)∈

F (τi) met |X(τi)|<+∞ b.z., 1≤ i≤ n.

De bovenstaande definitie geldt enkel voor simpele processen, het beeld van zo’n proces bestaat uit lijn-

stukken over disjuncte definitiegebieden3. Aangezien een integraal gedefinieerd wordt o.b.v. de boven-

en ondersom4 — men maakt dan eigenlijk gebruik van simpele functies — is het ook mogelijk het

begrip voorspelbaarheid uit te breiden tot algemene processen. Ruw gezegd is een proces voorspelbaar

indien het F (t-)-meetbaar is of nog indien het proces linkscontinu is. Indien lims <→t

X(s) = X(t) dan

wordt de waarde X(t) ‘voorspeld’ door de voorafgaande waarden. Er zijn ook voorspelbare processen

die niet linkscontinu zijn, maar deze zijn voor deze verdere studie van geen tel. Voor meer informatie

hierover verwijzen we naar [5].

Definitie 1.2.4. [17] Zij W (t), t ≥ 0, een Brownse Beweging en F (t)t≥0, een geassocieerde filtratie.

Een Ito-proces is een stochastisch proces van de vorm

X(t) = X(0)+∫ t

0Θ(u)du+

∫ t

0∆(u)dW (u),

hierin is X(0) vast en zijn Θ en ∆ aangepaste stochastische processen. Bovendien is ∆ een voorspelbare

(1×d)-matrix.2Zoals bijvoorbeeld in definitie 1.2.4.3Voor een exacte definitie verwijzen we naar de cursus ‘Wiskundige Analyse III’, [8, blz. 90].4Voor een precieze opbouw kan men terecht in de curus ‘Wiskundige Analyse I’, [7, Hoofstuk 6].


Een Ito-proces duldt dus slechts afhankelijkheid van een driftterm en een Brownse Beweging. Twee

belangrijke stellingen die voortdurend zullen terugkeren in stochastische calculus van Ito-processen

zijn de Ito-formule en de Ito-productregel. De eerste bepaalt de verandering van een functie van een

Ito-proces naargelang de tijd en het Ito-proces zelf veranderen, de tweede bepaalt de verandering van

het product van twee Ito-processen i.f.v. de respectievelijke verandering in beide processen.

Stelling 1.2.1. [17] (Ito-formule voor een Ito-proces) Zij X(t), t ≥ 0, een Ito-proces en f (t,x) een

functie waarvan de partiele afgeleiden ft(t,x), fx(t,x) en fxx(t,x)5 gedefinieerd en continu zijn. Dan

voor elke t ≥ 0,

d ( f (t,X(t))) = ft(t,X(t))dt + fx(t,X(t))d (X(t))+12

fxx(t,X(t))d (X(t))d (X(t)) .

Stelling 1.2.2. [17] (Ito-productregel) Zijn X(t) en Y (t), t ≥ 0, twee Ito-processen, dan geldt

d (X(t)Y (t)) = X(t)d (Y (t))+Y (t)d (X(t))+d (X(t))d (Y (t)) .

Stelling 1.2.3. [17, aangepast] Een 1-dimensionale Brownse Beweging W (t), t ≥ 0, heeft kwadratische

variatie met snelheid een per tijdseenheid, de kwadratische variatie van de tijd is gelijk aan nul, de

kwadratische covariatie van een Brownse Beweging en de tijd is eveneens gelijk aan nul. Voor ons

zullen onderstaande (informele) rekenregels van belang zijn:

dW (t) ·dW (t) = dt, dt ·dt = 0, dW (t) ·dt = 0.

We herinneren dat voor Wi en Wj, i, j ∈ 1,2, . . . ,d, twee verschillende 1-dimensionale Brownse Be-

wegingen uit een (d-dimensionale) Brownse Beweging geldt, per definitie 1.2.2:

d (Wi(t)) ·d (Wj(t)) = 0.

1.3 Telprocessen

Ons continu model o.b.v. een Brownse Beweging zal in hoofdstuk 3 aangevuld worden met discontinue

sprongen, deze zijn van belang om discrete schokken in de financiele markt te modelleren. Sprongen

zullen gemodelleerd worden m.b.v. een telproces, een Poissonproces in het bijzonder. In dit stuk wordt

het begrip telproces gedefinieerd en maken we de beperking tot Poissonprocessen.

5 ft en fx zijn de eerste orde partiele afgeleiden naar respectievelijk t en x, fxx is de tweede orde partiele afgeleide naar x.

1.3. TELPROCESSEN 11

1.3.1 Algemene telprocessen

We starten met een algemene definitie en bespreking van het begrip telproces, feitelijk is dit niet meer

dan een aangepast stochastisch proces dat bijhoudt hoevaak een bepaalde gebeurtenis zich voordoet.

Definitie 1.3.1. [5] Zij (Ω,FT ,P) een kansruimte en τii≥1 een strikt stijgende rij van stochastische

tijdstippen die bijna zeker naar oneindig gaat indien i→+∞. We noemen zo’n stochastische rij tijdstip-

pen een puntproces. We voeren aan de hand hiervan een telproces C(t), t ∈ [0,T ], in als het aangepast

stochastisch proces dat voldoet aan

C(t) = ∑i≥1

I (τi ≤ t),

Hierin is I (. . .) de indicatorfunctie.

De voorwaarde τ∞ = limi→+∞

τi =+ ∞ noemt men ook wel eens6 de niet-explosievoorwaarde. Indien deze

voorwaarde voldaan is zullen pas oneindig veel sprongen plaats gevonden hebben wanneer t =+∞; op

elk eindig tijdstip — in het bijzonder in [0,T ] — zal het telproces een eindige waarde hebben, er is geen

explosie. Indien bovendien ook

E[C(t)] < +∞ 0≤ t ≤ T

is het telproces integreerbaar, we gaan in het vervolg enkel met integreerbare telprocessen werken.

Bemerk dat een telproces C(t), t ∈ [0,T ], op elk tijdstip t ∈ [0,T ] aangeeft hoevaak een bepaald voorval

zich voordoet. Concreet is C(t) het aantal tijdstippen τi uit [0, t] waarop zo’n gebeurtenis zich gepre-

senteerd heeft. Nemen we bij conventie τ0 = 0 dan kunnen we samenvatten:

C(t) =

n als t ∈ [τn,τn+1[, n≥ 0,

+ ∞ als t ≥ τ∞.

Bijgevolg is een telproces C(t), t ∈ [0,T ], een rechtscontinue trapfunctie met C(0) = 0 en opwaartse

sprongen van hoogte een. Onderstaande stelling vervolledigt de eigenschappen van een telproces, het

bewijs is voor een Poissonproces terug te vinden in [5].

Stelling 1.3.1. [5] Een telproces C(t), t ∈ [0,T ], voldoet aan volgende eigenschappen:

• C(t) is een niet-negatief geheel getal voor elke 0≤ t ≤ T , i.h.b. C(0) = 0;

• C(t) is voor elke t ∈ [0,T ] bijna zeker eindig;

6Zie bijvoorbeeld [3].


• C(t) is stuksgewijs constant en verspringt met sprongen van grootte 1, dus C(s)≤C(t) voor elke

0≤ s≤ t ≤ T ;

• ∆(C(t)) = C(t)−C(t-) ∈ 0,1 en P[C(t-) =C(t)] = 1;

• het tijdspad t 7→C(t) is cadlag;

• C(t) is continu in kans: ∀t ∈ [0,T ], C(s) P→s→t

C(t);

• E [C(t)] < +∞ voor elke 0≤ t ≤ T .

In F (t-) zit alle informatie gekend tot op tijdstip t ∈ [0,T ], maar exclusief de informatie die pas bekomen

wordt op tijdstip t. Parallel hieraan is de C(t-) de waarde van het telproces net voor tijdstip t, deze

zal verschillen van C(t) indien t een van de stochastische tijdstippen is waarop een schok optreedt,

m.a.w. t ∈ τii≥1. De laatste eigenschap hadden we eerder reeds ondersteld; we werken enkel met

integreerbare telprocessen.

We leggen de klemtoon op het aangepast karakter van een telproces, dit wil zeggen dat met de informatie

beschikbaar op tijdstip t ∈ [0,T ] — deze is vervat in de σ-algebra F (t) uit de filtratie F — de dynamiek

van het telproces C tot op tijdstip t gekend is.

1.3.2 Homogene Poissonprocessen

We nemen notie van het feit dat een telproces geen voorwaarden oplegt aangaande de stochastische

verdeling van tijdstippen τi, i ≥ 1, noch de afhankelijkheid van de tijdstippen. Met het oog op de

modellering van schokken in de financiele markt zal het echter logisch zijn te eisen dat de tijdstippen

τi, i ≥ 1, onafhankelijk van elkaar optreden, er zit aldus geen patroon in de opeenvolgende schok-

tijdstippen. Wel zullen we onderstellen dat de tijden tussen twee opeenvolgende schokken eenzelfde

exponentiele verdeling met parameter λ volgen. We verkiezen een exponentiele verdeling omdat deze

standaard gebruikt wordt voor het modelleren van de tijd tussen twee (zeldzame) gebeurtenissen7 die

met een constante gemiddelde snelheid voorkomen, die gemiddelde snelheid wordt bepaald door de

parameter λ. Noteren we de tussenperioden als ∆1 = τ1, ∆2 = τ2− τ1, ∆3 = τ3− τ2, . . . en algemeen

∆i = τi− τi−1, dan hebben we ∀i≥ 0 en k ∈ R+

P[∆i ≤ k] = 1− exp−λk en E[∆i] = λ.

7Zie de cursus Kansrekening en Wiskundige Statistiek I, [22, blz. 63 - 64]


Bovendien kunnen we uit de rij van tussenperioden ook de schoktijdstippen afleiden, waaruit dan weer

het telproces zelf af te leiden valt:

τi =i

∑j=1

∆ j,

C(t) = inf

i≥ 1 zodat

i

∑j=1

∆ j > t

.

Volgende stelling zal ons iets meer vertellen over de verdeling van een Poissonproces

Stelling 1.3.2. [5] Zijn ∆1, ∆2, . . . onafhankelijke exponentieel verdeelde variabelen met parameter λ

dan zal voor elke t > 0 de stochastische variabele

C(t) = inf

i≥ 1 zodat

i

∑j=1

∆ j > t

een Poissonverdeling met parameter λt volgen en

∀k ∈ N, P[C(t) = k] = exp−λt (λt)k

k!.

Door de exponentieel verdeelde tussenperioden zal het telproces C(t), t ∈ [0,T ], zelf Poissonverdeeld

zijn, dit verklaart ook waarom een Poissonverdeling aangeraden wordt voor het modelleren van het

aantal (zeldzame) evenementen in een tijdsinterval8. Meerbepaald zal C(t) voor elke t ∈ [0,T ] Pois-

sonverdeeld zijn met parameter λt: aangezien λ ingevoerd werd als de gemiddelde snelheid waaraan

de schokken optreden, zal E [C(t)] = λt gelijk zijn aan het verwacht aantal schokken tot op tijdstip

t ∈ [0,T ]. We definieren dit als een Poissonproces, en noteren in het vervolg met P(t), t ∈ [0,T ].

Definitie 1.3.2. [5] Beschouw een rij ∆ii≥1 van onafhankelijke stochastische variabelen, exponen-

tieel verdeeld met een een niet-negatieve gekende parameter λ en zij

τi = ∑ij=1 ∆ j

i≥1

een rij van

tijdstippen. Het telproces P(t), t ∈ [0,T ], gedefinieerd door

P(t) = ∑i≥1

I (τi ≤ t)

noemen we een homogeen Poissonproces met intensiteit λ. We zullen een homogeen Poissonproces

gestandaardiseerd noemen indien λ = 1.

Een homogeen Poissonproces is aldus een bijzonder telproces; het steunt op onafhankelijke en exponen-

tieel verdeelde tussenperioden, bovendien is de verdeling van de verschillen P(t)−P(s), 0≤ s≤ t ≤ T ,

8Zie opnieuw Kansrekening en Wiskundige Statistiek I, [22, blz. 60]


stationair, d.w.z. enkel afhankelijk van het tijdsverschil t − s: P(t)−P(s) d= P(λ(t− s))9. Twee van

deze voorwaarden zullen samen voldoende zijn om een telproces een Poissonproces te mogen noemen.

Vaak wordt deze voldoende voorwaarde ook als definitie gebruikt, later zullen we een niet-homogeen

Poissonproces invoeren a.d.h.v. een analoge voldoende voorwaarde.

Stelling 1.3.3. [5] Zij P(t), t ∈ [0,T ], een telproces met stationaire — dit wil zeggen dat λ onafhankelijk

is van t — en onafhankelijke toenames, dan is dit telproces een homogeen Poissonproces: ∀0≤ s≤ t ≤

T

P(t)−P(s) d= P(λ(t− s)).

In het bijzonder gelden dan volgende equivalente eigenschappen

P [P(t)−P(s) = k |F (s)] = exp−λ(t− s) (λ(t− s))k

k!en E [P(t)−P(s) |F (s)] = λ(t− s).

Er zijn aldus twee voorwaarden nodig om van een homogeen Poissonproces te kunnen spreken: het

aantal stochastische tijdstippen over twee disjuncte intervallen is onafhankelijk en de verdeling van

P(t)−P(s) wordt voor elke 0≤ s≤ t ≤ T enkel bepaald door de lengte t− s. Zijn beide voorwaarden

voldaan dan hebben we zeker te maken met een Poissonproces.

Voor de volledigheid geven we nog onderstaande eigenschappen van een homogeen Poissonproces,

voor het bewijs verwijzen we naar [5].

Stelling 1.3.4. [5] Zij P(t), t ≥ 0, een homogeen Poissonproces, dan voldoet het proces aan de eigen-

schappen uit stelling 1.3.1 en het proces . . .

• is voor elke t ∈ [0,T ] Poissonverdeeld met parameter λt:

∀k ∈ N, P[P(t) = k] = exp−λt (λt)k

k!, voor t ∈ [0,T ];

• heeft karakteristieke functie φP(t) = expλ(expit−1;

• P heeft onafhankelijke toenames:

∀0≤ t1 < t2 < .. . < tn ≤ T geldt P(tn)−P(tn−1), . . . ,P(t2)−P(t1),P(t1) zijn onafhankelijk;

• heeft homogene toenames:

∀0≤ s < t ≤ T geldt P(t)−P(s) heeft dezelfde verdeling als P(t− s);

9P(λ(t− s)) is de notatie voor een Poissonverdeling met parameter λ(t− s).


• heeft de Markoveigenschap:

∀0≤ s < t ≤ T geldt E[ f (P(t)) |P(u),u≤ s] = E[ f (P(t)) |P(s)].

In 1.3.5 zullen we niet-homogene Poissonprocessen invoeren, dit zijn Poissonprocessen met een tijds-

afhankelijk intensiteitsproces, deze zullen nog consistenter zijn met de realiteit. Nu reeds tonen we aan

dat het eenvoudig is om voor de (hier homogene) Poissonprocessen een (lokale) martingaaleigenschap

af te leiden, dit zal van pas komen in het waarderen van effecten met sprongen. In functie van de

martingaaleigenschap zullen we het begrip ‘gecompenseerd’ Poissonproces invoeren.

Definitie 1.3.3. [5] Zij P(t), t ∈ [0,T ], een homogeen Poissonproces, we definieren het gecompenseerd

Poissonproces P(t), t ∈ [0,T ], als een gecentreerde versie van P:

P(t) = P(t)−λt.

Een gecompenseerd Poissonproces is geen telproces, dit is duidelijk te zien op onderstaande figuur.

Deze figuur geeft een illustratie van een Poissonproces en het gecompenseerde Poissonproces.

(a) voorbeeldpaden van een Poissonproces (b) voorbeeldpad van een gecompenseerd Poissonproces

Figuur 1.1: Illustratie van het (gecompenseerde) Poissonproces over t ∈ [0,T ] (zie [5])

Het doel van het gecompenseerde Poissonproces bestaat er in een (lokale) martingaaleigenschap te

verkrijgen voor het Poissonproces, het is ook i.f.v. dit objectief dat we dit gecompenseerd Poissonproces

in het niet-homogene geval zullen definieren. Voor het homogene geval zal uit bovenstaande definitie

eenvoudig de martingaaleigenschap volgen.


Stelling 1.3.5. [5] Zij P(t), t ∈ [0,T ], een homogeen Poissonproces met intensiteit λ, dan is het gecom-

penseerde proces P(t)−λt, t ∈ [0,T ], een lokaal martingaalproces.

Bewijs. Zijn s en t twee willekeurige tijdstippen waarvoor 0 ≤ s ≤ t ≤ T , dan bekomen we via onder-

staande afleiding betrekkelijk eenvoudig het gestelde:

E [P(t)−λt |F (s)] = E [(P(t)−P(s))+P(s)−λt |F (s)]

= E [P(t)−P(s) |F (s)]+P(s)−λt

(def. 1.3.3)= λ(t− s)+P(s)−λt

= P(s)−λs.

Vaak zal men in de literatuur ook spreken van een herschaald Poissonproces met intensiteit λ, dit is het

proces P(t)/√

λ, opvallend hierbij is dat dit herschaald proces dezelfde eerste twee momenten heeft als

de Brownse Beweging:

E

[P(t)√

λ

]= 0 en Var

[P(t)√

λ

]=

λtλ

= t.

We maken hierin gebruik van de verwachtingswaarde en variantie van een Poissonverdeelde verander-

lijke, beide zijn gelijk aan de parameter10, deze is hier gelijk aan λt.

De samenhang met een Brownse Beweging gaat echter nog verder. Het is zo dat het herschaald Pois-

sonproces convergeert in verdeling naar een Brownse Beweging indien de intensiteit van de sprongen

naar oneindig gaat11.

1.3.3 Levyprocessen

In dit stuk is het de bedoeling om de Brownse Beweging uit deel 1.2 en het homogeen Poissonproces

uit 1.3.2 te combineren; een algemeen stochastisch proces zal namelijk bestaan uit een continu deel

en een discreet deel. Zowel de Brownse Beweging als het homogeen Poissonproces zijn voorbeelden

van Levyprocessen, men kan zelfs bewijzen dat elk Levyproces een superpositie is van een Brownse

Beweging en een (eventueel oneindig) aantal homogene Poissonprocessen. Starten doen we met de

exacte definite van zo’n Levyproces.

Definitie 1.3.4. [5] Zij (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P) een (gefilterde) kansruimte. Een cadlag stochastisch

proces X(t), t ∈ [0,T ], met reele waarden en X(0) = 0 is een Levyproces indien het voldoet aan de

volgende eigenschappen:10Zie [22, blz. 100 e.v.]11Dit wordt kort besproken in [5], maar is voor ons eerder onbelangrijk.


• de toenames X(t0),X(t1)−X(t0), . . . ,X(tn)−X(tn−1) zijn onafhankelijk voor elke rij t0, t1, . . . , tn

van tijdstippen;

• stationaire toenames: de verdeling van X(t + s)−X(t) is onafhankelijk van t voor elke 0 ≤ t ≤

t + s≤ T ;

• stochastische continuıteit: ∀ε > 0, limh→0

P [|X(t +h)−X(t)| ≥ ε] = 0, en dit voor elke t ∈ [0,T [.

De derde voowaarde impliceert hier niet dat de paden continu zijn. De voorwaarde zorgt er gewoon

voor dat processen die schokken vertonen op vaste, niet stochastische tijdstippen, uitgesloten worden.

Indien we eisen dat op elk deterministisch tijdstip de kans op een sprong gelijk is aan 0 — dit is de

laatste voorwaarde van hierboven — dan weren we dergelijke niet stochastische sprongen.

Het is onmiddellijk duidelijk dat zowel het homogeen Poissonproces als de Brownse Beweging voor-

beelden zijn van een Levyproces. Een ander leuk voorbeeld is het samengesteld Poissonproces. Hier-

onder definieren we deze veralgemening van een Poissonproces.

Definitie 1.3.5. [5] Een samengesteld Poissonproces met intensiteit λ en verdeling f van de sprong-

groottes is een stochastisch proces X(t), t ∈ [0,T ], gedefinieerd als

X(t) =P(t)

∑i=1

Zi ∀t ∈ [0,T ].

Hierin zijn Zi de spronggroottes, deze zijn onafhankelijk en identiek verdeeld met verdeling f , P(t), t ∈

[0,T ] is een homogeen Poissonproces met intensiteit λ en onafhankelijk van elk van de spronggroottes

Zi.

Het samengesteld Poissonproces kent naast de exponentieel verdeelde sprongtijdstippen — of equiva-

lent hieraan Poissonverdeelde sprongaantallen — ook een specifieke verdeling van de spronggroottes.

Deze verdeling is evenwel dezelfde doorheen de tijd (stationaire sprongen). Het homogeen Poissonpro-

ces zoals dit gedefinieerd is, is een speciale versie van het samengesteld Poissonproces, er geldt Zi ≡ 1,

voor elke i≥ 1.

Aan de hand van de definitie kunnen we reeds enkele eigenschappen afleiden van deze samengestelde

Poissonprocessen, deze komen aan bod in onderstaande stelling.

Stelling 1.3.6. [5] Een samengesteld Poissonproces voldoet aan onderstaande eigenschappen:

• de paden van X zijn cadlag en stuksgewijs constant;


• de sprongtijden τi, i ≥ 1, hebben dezelfde verdeling als de sprongtijden van het Poissonproces

P(t), t ∈ [0,T ];

• de spronggroottes Zi, i≥ 1, zijn onafhankelijk en identiek verdeeld volgens f .

Samengestelde Poissonprocessen zijn de enige Levyprocessen met stuksgewijs constante paden, dit valt

te lezen in onderstaande stelling, voor het bewijs verwijzen we naar [5].

Stelling 1.3.7. [5] X(t), t ∈ [0,T ] is een samengesteld Poissonproces als en slechts als het een Levyproces

is en de paden stuksgewijs constante functies zijn.

Deze uitbreiding van het Poissonproces is een mooi voorbeeld van een Levyproces, maar omdat we

deze samengestelde Poissonprocessen verder nog amper zullen gebruiken, gaan we niet verder in op de

theorie die rond deze processen gebouwd is. Hetzelfde geldt voor de Levyprocessen in het algemeen.

1.3.4 Uitbreidingen a.d.h.v. stochastische maten

Het Poissonproces P werd in 1.3.2 gedefinieerd als een telproces, het telt het aantal (stochastische)

sprongtijdtippen τi, i≥ 1:

P(t) = # i≥ 1,τi ∈ [0, t] , ∀t ∈ [0,T ].

Dit heel eenvoudig telproces impliceert echter ook een maat JP. Voor elke meetbare A⊂ R+ definieren

we

JP(ω,A) = # i≥ 1,τi(ω) ∈ A .

Voor elke begrensde verzameling A⊂R+ zal JP(A) bijna zeker een natuurlijk getal zijn. Bemerk dat de

ω-afhankelijkheid hier expliciet neergeschreven wordt, dit is om te wijzen op het stochastisch karakter

van de maat. De intensiteit λ van het Poissonproces bepaalt de verwachtingswaarde van de stochastische

maat: E[JP(A)] = λ |A|.

Definitie 1.3.6. [5] Zij P een Poissonproces en JP een stochastische maat

JP(ω,A) = # i≥ 1,τi(ω) ∈ A

voor elke begrensde verzameling A⊂R+. We noemen deze maat de stochastische sprongmaat geasso-

cieerd met het Poissonproces P.


Het Poissonproces P zelf kan uit de sprongmaat afgeleid worden:

P(t) = JP(ω, [0, t]) =∫ t

0JP(ω,du).

Onderstaande stelling geeft een overzicht van de belangrijkste eigenschappen van de sprongmaat JP.

Stelling 1.3.8. [5] Beschouw disjuncte tijdsintervallen [t1, t ′1], [t2, t′2], . . . , [tn, t

′n], er geldt

• JP([tk, t ′k]) is het aantal sprongen van het Poissonproces P in het tijdsinterval [tk, t ′k], het is een

stochastische Poissonvariabele met parameter λ(tk− t ′k);

• voor twee disjuncte intervallen j 6= k, zijn de variabelen JP([t j, t ′j]) en JP([tk, t ′k]) onafhankelijk

van elkaar;

• voor elke meetbare verzameling A volgt JP(A) een Poissonverdeling met parameter λ |A| met

|A| =∫

A dx de Lebesguemaat van A.

Vervolgens kunnen we ook de gecompenseerd stochastische sprongmaat invoeren; voor elke A ∈ R is

JP(ω,A) = JP(ω,A)−∫

Aλdt = JP(ω,A)−λ |A| .

JP(ω,A) voldoet aan E[JP(ω,A)] = 0 en Var[JP(ω,A)] = λ |A|. Deze gecentreerde versie van JP(ω,A)

is noch een natuurlijk getal noch positief.

Stochastische Poissonmaat

We kunnen nu de theorie uitbreiden tot het begrip stochastische Poissonmaat, we breiden de ruimte R

uit tot Rd en de Lebesguemaat |A| uit tot een algemene Radonmaat µ op Rd 12.

Definitie 1.3.7. [5] Zij (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P) een gefilterde kansruimte, E ⊂ R en µ een Radonmaat

op (Ω,E). Een stochastische Poissonmaat op E met intensiteitmaat µ is een stochastische maat met

natuurlijke waarden:

JP : Ω×E → N : (ω,A) 7→ JP(ω,A),

zodat onderstaande eigenschappen gelden.

1. Voor bijna alle ω∈Ω, JP(ω, ·) is een natuurlijke Radonmaat op E: voor elke begrensde meetbare

A⊂ E is JP(A)<+∞ een natuurlijke stochastische variabele.

12Een Radonmaat wordt in [8, blz. 4] ingevoerd als een algemene maat op Rd , deze gesimplificeerde definitie volstaat voor

deze masterproef.


2. Voor elke meetbare verzameling A ⊂ E, JP(·,A) = JP(A) is een stochastische Poissonvariabele

met parameter µ(A)13:

∀k ∈ N, P[JP(A) = k] = exp−µ(A) (µ(A))k

k!.

3. Voor disjuncte meetbare verzamelingen A1,A2, . . . ,An ∈ E, zijn de variabelen JP(A1), JP(A2), . . . ,

JP(An) onafhankelijk.

Onderstaande stelling geeft aan hoe we uit elke Radonmaat een stochastische Poissonmaat kunnen

afleiden.

Stelling 1.3.9. [5] Voor elke Radonmaat µ op E ⊂ Rd , bestaat een stochastische Poissonmaat JP op E

met intensiteit µ.

Bewijs. We geven hier een expliciete constructie van zo’n stochastische Poissonmaat vanuit een reeks

van onafhankelijke stochastische variabelen. We starten met het geval µ(E)<+∞.

1. Neem X1,X2, . . . onafhankelijk en identiek verdeelde stochastische variabelen zodat P[Xi ∈ A] =µ(A)µ(E) . De rij mag niet ophopen in A.

2. Neem JP(E) een stochastische Poissonvariabele op (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P) onafhankelijk van elke

Xi en met gemiddelde µ(E).

3. Definieer JP(A) = ∑JP(E)i=1 I Xi ∈ A, en dit voor elke A⊂ E.

Bemerkt de logische keuzes achter deze stappen; JP(E) is het aantal gebeurtenissen Xi dat zich voordoet

in E, om het aantal voorvallen in A ⊂ E te bepalen, tellen we over alle JP(E) gebeurtenissen in E al

deze die zich voordoen in A.

Men gaat in dat geval makkelijk na dat deze JP een stochastische Poissonmaat met intensiteit µ is. De

eerste voorwaarde volgt uit µ(A)< µ(E)<+∞, de tweede eis halen we rechtstreeks uit de definitie van

JP(E) als stochastische Poissonvariabele, de derde voorwaarde is eveneneens duidelijk.

Is µ(E) = +∞, dan kunnen we E voorstellen door E =⋃+∞

i=1 Ei waar µ(Ei)<+∞. We creeren afzonder-

lijke stochastische Poissonmaten (JP)i, hierin is de intensiteit de restrictie van µ m.b.t. de overeenkom-

stige Ei. Maken we de (JP)i onderling onafhankelijk en stellen we JP(A) = ∑+∞

i=1(JP)i(A) voor elke

A ∈ E, dan zal JP voldoen aan de nodige voorwaarden. Zij A⊂ E een begrensde meetbare verzameling

dan is het aantal gebeurtenissen dat zich voordoet in A eindig omdat we onderstelden dat de rij Xi, i≥ 1,

13Men noteert zo’n stochastische Poissonvariabele JP ∼ Poi(µ), JP(A) is het aantal gebeurtenissen dat zich voordoet in A.


niet ophoopt in A. De tweede voorwaarde volgt uit de Poissonverdeling van elk van de (JP)i, i≥ 1, en

het feit dat de som van Poissonverdeelde variabelen opnieuw Poissonverdeeld is. Voorwaarde drie volgt

rechtstreeks uit het disjunct zijn van de respectievelijke verzamelingen.

De constructie die in dit bewijs aan bod komt toont aan dat elke stochastische Poissonmaat op E ei-

genlijk gerepresenteerd kan worden door een soort telmaat geassocieerd met een stochastische rij van

punten uit E: er bestaat een rij X1(ω),X2(ω), . . . zodat

∀A⊂ E, JP(ω,A) = ∑n≥1

I Xn(ω) ∈ A .

Om te kunnen voldoen aan de voorwaarde dat JP(A) eindig is voor elke compacte14 A⊂ E, leggen we

een voorwaarde op de rij van stochastische punten: de rij mag niet ophopen in een punt op E, zodat

A∩Xn,n≥ 1 is bijna zeker eindig voor elke compacte A⊂ E.

Men kan tot slot opnieuw een gecompenseerde variant definieren door van JP de verwachtingswaarde

af te trekken:

JP(A) = JP(A)−µ(A).

Merk op dat eveneens JP(A1), . . . , JP(An) onafhankelijk zijn voor disjuncte compacte verzamelingen uit

E en dat voor elke i = 1, . . . ,n

E[JP(Ai)] = 0 Var[JP(Ai)] = µ(Ai). (1.1)

Sprongprocessen uit stochastische Poissonmaten

Beschouw nu een stochastische Poissonmaat JP op E = [0,T ]×Rd \0: het is een telmaat geassocieerd

aan een stochastische rij van punten (τn,yn) ∈ E en

JP(A) = ∑n≥1

I (τn,yn) ∈ A voor alle A⊆ E.

Elk punt (τn(ω),yn(ω)) ∈ [0,T ]×Rd \0 correspondeert met een observatie op tijdstip τn en beschre-

ven door een niet-nul stochastische variabele yn(ω) ∈ Rd . Aangezien we de eerste coordinaat als tijd

willen interpreteren verkiezen we ervoor onze stochastische Poissonmaat F -aangepast te maken:

• τ1,τ2, . . . zijn aangepaste stochastische tijdstippen, en

• yn is F (τn)-aangepast.

14Dit is gelijk aan gesloten en begrensd, zie [7, blz. 16]


1.3.5 Niet-homogene Poissonprocessen

Poissonprocessen worden gebruikt voor het modelleren van het aantal voorvallen dat zich voordoet,

deze modellering is direct afhankelijk van een parameter λ, de intensiteit. Eerder werden we reeds

overtuigd van het nut van deze Poissonprocessen voor het wiskundig modelleren van sprongen in effect-

waarden, ze vormen hiervoor een realistische theorie. Voorlopig gingen we uit van een vaste intensiteit;

λ is dan gedurende de ganse tijdsperiode [0,T ] constant, we spreken van homogene Poissonprocessen.

Ook de Levyprocessen uit vorig deel gaan uit van stationaire toenames. Niets sluit immers uit dat deze

intensiteit verandert doorheen de tijd, het kan zijn dat bepaalde perioden gevoeliger zijn voor sprongen

dan andere. Daarom maken we in deze sectie de intensiteit tijdsafhankelijk, λ(t), t ∈ [0,T ].

In de praktijk zal het bovendien vaak zo zijn dat het proces λ(t), t ∈ [0,T ], niet volledig gekend is op

tijdstip 0. Tijdelijke factoren zullen uitmaken of een sprong veelvuldig dan wel sporadisch zal optreden,

maar vaak is het niet op voorhand geweten wanneer we ons in de ene of andere periode zullen bevin-

den. Uiteraard merken we op het tijdstip zelf wel of we ons in een drukke of rustige periode bevinden,

we zullen dus wel onderstellen dat het intensiteitsproces F (t)-meetbaar is op elk tijdstip t ∈ [0,T ]; het

proces λ(t), t ∈ [0,T ], is aldus aangepast aan de filtratie F (t), t ∈ [0,T ]. We starten hier met de definitie

van zo’n niet-homogeen Poissonproces.

Definitie 1.3.8. [3] Zij (Ω,FT ,P) een kansruimte, C(t), t ∈ [0,T ], een F -aangepast telproces en λ(t),

t ∈ [0,T ], een niet-negatief meetbaar proces dat voor elke t ∈ [0,T ] F (t)-meetbaar is en voldoet aan

E[∫ t

0λ(u)du

]< + ∞.

We noemen het telproces C een (niet-homogeen) Poissonproces met intensiteitsproces λ, indien voor

elke 0≤ s≤ t ≤ T en elke k ≥ 0 geldt

P[C(t)−C(s) = k | F (s)] = E

[exp−∫ t

sλ(u)du

(∫ ts λ(u)du

)k

k!

]. (1.2)

We noteren dit (niet-homogeen) Poissonproces eveneens met de letter P i.p.v. C, maar leggen de nadruk

op het feit dat — in tegenstelling tot het homogene geval — de intensiteit nu zelf een stochastisch proces

λ(t), t ∈ [0,T ], is. Het intensiteitsproces is meetbaar t.o.v. de filtratie F , i.h.b. zit voor elke t ∈ [0,T ] de

informatie voor het berekenen van de waarde λ(t) vervat in de σ-algebra F (t) uit deze filtratie. Deze

σ-algebra is volledig gekend op tijdstip t en hetzelfde kan aldus gezegd worden over de waarde λ(t)

van het intensiteitsproces.


De verschillen tussen twee waarden van het (niet-homogeen) Poissonproces zullen nog steeds onafhan-

kelijk zijn van elkaar indien de overbrugde tijdsintervallen disjunct zijn. De verdeling van die telver-

schillen, neem P(t)−P(s), 0≤ s≤ t ≤ T , is hier nu echter afhankelijk van het overbrugde tijdsinterval

[s, t] zelf, en niet enkel van de lengte van het tijdsinterval t− s:

P(t)−P(s) d= P

(∫ t

sλ(u)du

).

Het spreekt dan ook voor zich dat we ook bij het zoeken naar een (lokaal) martingaalproces P verbonden

aan het telproces P rekening zullen moeten houden met het tijdsinterval zelf en niet enkel met het

tijdsverschil. Het lokale martingaalproces is echter vrij makkelijk te vinden, volgende stelling zal zich

herleiden tot 1.3.5 in het geval van een homogeen intensiteitsproces.

Stelling 1.3.10. [3] Zij P(t), t ∈ [0,T ], een (niet-homogeen) Poissonproces met intensiteitsproces λ(t),

t ∈ [0,T ]. Dan is het gecompenseerde proces P(t), t ∈ [0,T ], gedefinieerd door

P(t) = P(t)−∫ t

0λ(u)du t ∈ [0,T ],

een lokaal martingaalproces.

Bewijs. We starten vanuit (1.2):

P[P(t)−P(s) = k | F (s)] = E

[exp−∫ t

sλ(u)du

(∫ ts λ(u)du

)k

k!

].

Vermenigvuldigen we beide leden van de vergelijking met k en sommeren we over alle k ≥ 0, dan

vinden we

∑k≥0

k P [P(t)−P(s) = k |F (s)] = E

[∑k≥0

k exp−∫ t

sλ(u)du

(∫ ts λ(u)du

)k

k!

].

Het linkerlid is gelijk aan E[P(t)−P(s) |F (s)], in het rechterlid kunnen we de term met k = 0 weglaten

en verder omvormen:

exp−∫ t

sλ(u)du

(∫ t

sλ(u)du

)∑k≥1

(∫ ts λ(u)du

)k−1

(k−1)!

= exp−∫ t

sλ(u)du

(∫ t

sλ(u)du

)∑k≥0

(∫ ts λ(u)du

)k

k!

[7]= exp

−∫ t

sλ(u)du

(∫ t

sλ(u)du

)exp∫ t

sλ(u)du

=

(∫ t

sλ(u)du

).


In de tweede overgang maakten we gebruik van de Taylorontwikkeling zoals deze aan bod komt in [7,

blz. 158] en toegepast wordt op de exponentiele functie [7, blz. 161].

Samenvattend vinden we aldus

E[P(t)−P(s) |F (s)] = E[∫ t

sλ(u)du

]. (1.3)

De F (s)-onafhankelijkheid van bovenstaande uitdrukking is te verklaren aangezien de sprongen van

een niet-homogeen Poissonproces onafhankelijk zijn van elkaar voor disjuncte overbrugde tijdsinter-

vallen. In het bijzonder geldt dus dat P(t)−P(s) onafhankelijk is van F (s). Omdat P(t)−P(s) Pois-

sonverdeeld is met parameter∫ t

s λ(u)du moet ook gelden dat∫ t

s λ(u)du F (s)-onafhankelijk is.

Merk bovendien op dat de voorwaarde E[∫ t

s λ(u)du | F (s)]< + ∞ hier impliceert dat linker- en dus

ook rechterlid van bovenstaande gelijkheid eindig zijn, het proces P(t), t ∈ [0,T ], is dan integreerbaar

en uit onderstaande redenering volgt dat dit een martingaalproces is:

E[P(t) |F (s)

]= E

[P(t)−

∫ t

0λ(u)du |F (s)

]= E

[P(t)−P(s)+P(s)−

∫ s

0λ(u)du−

∫ t

sλ(u)du |F (s)

]= E [P(t)−P(s) |F (s)]+E

[P(s)−

∫ s

0λ(u)du|F (s)

]−E

[∫ t

sλ(u)du |F (s)

](1.3)= E

[∫ t

sλ(u)du

]+P(s)−

∫ s

0λ(u)du−E

[∫ t

sλ(u)du

]= P(s)−

∫ s

0λ(u)du

= P(s)

Deze stelling herleidt zich tot stelling 1.3.5 in de overeenkomstige situatie, stelling 1.3.10 is aldus het

meest algemene geval.

1.4 Stochastische calculus

In deel 1.2 raakten we reeds kort de stochastische calculus voor Ito-processen aan, dit zijn dynamische

processen waarin enkel een drifterm en een afhankelijkheid van een Brownse Beweging voorkomen.

Als belangrijkste resultaten kwamen de Ito-formule (stelling 1.2.1) en de Ito-productformule (stelling

1.2.2) aan bod. In dit deel leiden we een veralgemening af voor het geval we te maken krijgen met

een stochastisch proces dat sprongen bevat. Dit zal bijvoorbeeld het geval zijn in hoofdstuk 3 waar we

gebruik zullen maken van sprongprocessen om discrete schokken in effectwaarden te modelleren.

1.4. STOCHASTISCHE CALCULUS 25

De manier van werken is min of meer dezelfde als deze die in [17] gevolgd wordt; we starten vanuit

een idee van een eindig aantal handelstijdstippen, waarvan we later zullen afstappen door het aantal

handelstijdstippen naar oneindig te laten gaan, we definieren de kwadratische (co)variatie en maken

hiervan gebruik om een veralgemening van de Ito-productformule en de Ito-formule af te leiden. We

kiezen er hier niet enkel voor om de theorie op te bouwen vanaf deze fundering, we opteren ook voor

een algemenere theorie rond semimartingalen. Deze semimartingalen omvatten de Brownse Beweging

en het Poissonproces, we zullen dan ook zonder moeite deze theorie kunnen concretiseren voor deze

beide processen die we verder in deze masterproef zullen gebruiken. Voor de Brownse Beweging leidt

dit uiteraard tot de resultaten die reeds in 1.2 optreedden.

1.4.1 Stochastische integralen

Zij gegeven een financieel effect waarvan de prijs gegeven is door een stochastisch proces S(t), t ∈

[0,T ], zoals we deze in hoofdstuk 2 zullen invoeren. Om een handelsstrategie te beschrijven, heeft

men nood aan een dynamische portefeuille die een resultaat is van kopen en verkopen. Kopen en

verkopen kan plaats vinden op een aantal handelstijdstippen 0 = τ0,τ1, . . . ,τn+1 = T . Een strategie zal

er uit bestaan in elke tussenperiode ]τi,τi+1] een bepaalde hoeveelheid δi van het effect te beheren, de

kapitaalwinst is het gevolg van fluctuaties in de waarde van het effect:

winst =n

∑i=0

δi(S(τi+1)−S(τi)).

Deze waarde die de winst van een investeerder met strategie δ uitdrukt, noemt men de stochastische

integraal van δ m.b.t. S, genoteerd als ∫ T

0δ(u)dS(u).

Hierbij is het stochastisch proces δ, t ∈ [0,T ], gedefinieerd als

δ(t) = δ0I t = 0+n

∑i=0

δiI τi < t ≤ τi+1 . (1.4)

Op dit moment gaan we dus nog uit van een eindig aantal handelstijdstippen, maar men ziet nu reeds

in dat men de markt continu kan maken door het aantal handelstijdstippen n+1 naar oneindig te laten

gaan, de somuitdrukking is dan evenwel niet langer geldig.

We stappen nu af van de situatie van effecten en strategieen — we pikken de draad opnieuw op in het

volgend hoofstuk — en verkiezen te werken met twee algemene aangepaste stochastische processen:

een cadlagproces X(t), t ∈ [0,T ], en een simpel voorspelbaar proces φ(t), t ∈ [0,T ]. Het begrip simpel


voorspelbaar werd in definitie 1.2.3 geıntroduceerd. Belangrijker dan de eigenlijke definitie is echter de

eigenschap dat de stochastische integraal pas zin heeft indien het proces φ voorspelbaar is. Een proces

van de vorm (1.4) is een simpel voorspelbaar proces. Voorspelbaarheid voor niet simpele processen

werd behandeld in de bespreking volgend op de definitie 1.2.3. Ruw gezegd is een proces voorspelbaar

indien het F (t-)-meetbaar is of nog indien het proces linkscontinu is. Indien lims <→t

φ(s) = φ(t) dan wordt

de waarde φ(t) ‘voorspeld’ door de voorafgaande waarden.

De transactiedata τ0, . . . ,τn+1 kunnen vast zijn, maar meestal wordt pas beslist te kopen of verkopen

o.b.v. de informatie die op dat tijdstip voor handen is. Vandaar dat we zullen gebruik maken van

stoptijden, dit maakt de tijdstippen τ1, . . . ,τn stochastisch maar wel F -meetbaar. Merk op dat het proces

δ(t), t ∈ [0,T ], volgens (1.4) linkscontinu is, dit zal voldoende zijn om het proces simpel voorspelbaar

te noemen.

Het belang van de (simpel) voorspelbaarheid mag niet onderschat worden, indien we te maken hebben

met sprongen in effectwaarden kan zonder deze voorwaarde arbitrage optreden. Beschouw een effect

S(t) = λt−P(t) met P(t), t ∈ [0,T ] een Poissonproces. Neem t1 het tijdstip van de eerste sprong; dan

S(t1) = S(t1-)−1. t1 is een exponentiel verdeelde stochastische variabele met parameter λ. Beschouw

nu de strategie δ(t), t ∈ [0,T ], die er uit bestaat een eenheid van S te kopen op tijdstip 0 (de prijs is dan

0 euro) en deze te verkopen net voor de sprong. Dit is mogelijk in het geval de strategie rechtscontinu

is en niet linkscontinu zoals wij onderstelden om aan de voorwaarde van voorspelbaarheid te voldoen.

De winst die uit deze strategie voortvloeit is dan gelijk aan∫ t

0δ(u)dS(u) = λt voor t < t1,

= λt1 voor t ≥ t1.

Deze strategie heeft aldus bijna zeker niet negatieve winst, die strikt positief is met kans verschillend

van nul. Aangezien er oorspronkelijk niks geınvesteerd werd, hebben we dan te maken met arbitrage.

Gelukkig is de strategie zoals hierboven beschreven onmogelijk te implementeren omdat ze niet aan de

vereiste voorspelbaarheid voldoet. In het geval van sprongen in effectwaarden is deze voorwaarde van

cruciaal belang om arbitrage te vermijden.

Twee interessante resultaten komen aan bod in volgende stellingen, het martingaalbehoudtheorema en

het associativiteitstheorema.

Stelling 1.4.1. [5] (martingaalbehoudstheorema) Zij X(t), t ∈ [0,T ], een martingaal dan is voor elk

simpel voorspelbaar proces φ(t), t ∈ [0,T ], de stochastische integraal∫ t

0 φ(u)dX(u), t ∈ [0, t], ook een


martingaal.

Stelling 1.4.2. [5] (associativiteittheorema) Zij X(t), t ∈ [0,T ], een reeel F -aangepast cadlagproces, φ

en ϕ twee reele simpele voorspelbare processen, dan is Y (t)=∫ t

0 ϕ(u)dX(t), t ∈ [0,T ], een F -aangepast

cadlagproces en ∫ t

0φ(u)dY (u) =

∫ t

0φ(u)ϕ(u)dX(u).

Semimartingalen

Zoals eerder aangegeven verkiezen we hier de semimartingalen in te voeren, we doen dit omwille van

hun bijzondere eigenschap. Semimartingalen vormen de grootste klasse van stochastische processen

waarvoor de stochastische integraal opnieuw tot dezelfde klasse behoort. De klasse der semimartingalen

is ruim genoeg om er gedurende de ganse masterproef op te steunen, hieronder geven we de formele

definitie van een semimartingaal.

Definitie 1.4.1. [5] Een F -aangepast stochastisch proces X(t), t ∈ [0,T ], wordt een semimartingaal

genoemd indien het cadlag is en indien voor elke rij φi(t), i ≥ 1, t ∈ [0,T ], van simpele voorspelbare

processen die uniform convergeert naar een simpel voorspelbaar proces φ, de corresponderende sto-

chastische integralen uniform convergeren in kans. Voor alle stochastische processen φi, i ≥ 1, en φ

hebben we m.a.w. dat

sup(t,ω)∈[0,T ]×Ω

|φi(t,ω)−φ(t,ω)| →i→∞

0 ⇒∫ T

0φi(u,ω)dX(u) P→

i→∞

∫ T

0φ(u,ω)dX(u).

Indien bovenstaande eigenschap niet geldt, betekent dit dat een kleine wijziging in het stochastisch pro-

ces φ een grote wijziging in de stochastische integraal teweegbrengt. In volgende hoofdstukken zullen

we het portefeuilleproces X(t), t ∈ [0,T ], invoeren als een combinatie van verschillende effecten, de

combinatie wordt bepaald door een strategie δ(t), t ∈ [0,T ], een voorspelbaar stochastisch proces, ter-

wijl de effectwaarden voorgesteld zullen worden door een aangepast stochastisch proces S(t), t ∈ [0,T ].

Om te vermijden dat de portefeuillewaarden als stochastische integraal van het product van δ en S grote

wijzigingen ondergaan bij kleine strategiewijzigingen, zullen we onderstellen dat de effecten semimar-

tingalen zijn. Als stochastische integraal van een semimartingaalproces zal het portefeuilleproces X(t),

t ∈ [0,T ], eveneens een semimartingaalproces vormen.

Onderstaande stellingen zullen ons helpen aan te tonen dat zowel de Brownse Beweging als het Pois-

sonproces semimartingaalprocessen zijn.


Stelling 1.4.3. [5] Elk proces cadlag met eindige variatie is een semimartingaalproces.

Bewijs. Zij ψ(t), t ∈ [0,T ], een voorspelbaar cadlag proces en X(t), t ∈ [0,T ], het proces met eindige

variatie waarvoor we aldus willen bewijzen dat het een semimartingaalproces is. Vooreerst merken we

hiertoe op dat onderstaande ongelijkheid geldt

supt∈[0,T ]

∫ t

0ψ(u)dX(u)≤ TV(X) sup

(t,ω)∈[0,T ]×Ω

|ψ(t,ω)| ,

waarbij TV(X) de totale variatie van X over [0,T ] bepaalt. Zij ψi nu een rij van voorspelbare processen

die uniform convergeert naar het voorspelbaar proces ψ, m.a.w

sup(t,ω)∈[0,T ]×Ω

|ψi(t,ω)−ψ(t,ω)| →i→∞

0. (1.5)

We vinden dan eenvoudig

supt∈[0,T ]

∣∣∣∣∫ t

0ψ(u)dX(u)−

∫ t

0ψi(u)dX(u)

∣∣∣∣ ≤ supt∈[0,T ]

∫ t

0|ψ(u)−ψi(u)|dX(u)

≤ TV(X) sup(t,ω)∈[0,T ]×Ω

|ψ(t,ω)−ψi(t,ω)| .

Uit (1.5) volgt dan dat ook het linkerlid van bovenstaande uitdrukking uniform in kans zal convergeren

naar nul, precies omdat de variatie eindig is.

Stelling 1.4.4. [5] Elk kwadratisch integreerbaar cadlag martingaalproces is een semimartingaal.

Bewijs. In functie van de esthetiek van dit bewijs verkiezen we een verkorte notatie in te voeren, we

schrijven Xi(t) voor X(τi∧ t). Bemerk overigens dat wanneer X(t), t ∈ [0,T ], een martingaalproces is,

het gestopte proces (hier verkort tot tijdtip t) eveneens een martingaalproces vormt15.

Het bewijs is redelijk eenvoudig, en steunt enkel op basiseigenschappen van een martingaalproces:

1. de sprongen zijn onafhankelijk, i.h.b. E[(Xi+1(t)−Xi(t))Xi(t)] = E[Xi+1(t)−Xi(t)]E[Xi(t)],

2. verwachtingswaarde van een sprong is gelijk aan 0: E[Xi+1(t)−Xi(t)] = 0.

We starten echter met onderstaande integraal in somvorm te schrijven:

E

[(∫ t

0φ(u)dX(u)

)2]

= E

(φ0X0(t)+n

∑i=0

φi(Xi+1(t)−Xi(t))

)2

(eig.1)= E

[φ

20X2

0 (t)+n

∑i=0

φ2i (Xi+1(t)−Xi(t))2

]

≤ sup(u,ω)∈[0,T ]×Ω

|φ(u,ω)|2E

[X2

0 (t)+n

∑i=0

(Xi+1(t)−Xi(t))2

].

15Dit staat bekend als Doob’s sampling theorem, zie bijvoorbeeld [5, blz. 42].


We herschrijven de som in de verwachtingswaarde:

X20 (t)+

n

∑i=0

(Xi+1(t)−Xi(t))2 = X20 (t)+

n

∑i=0

X2i+1(t)−2

n

∑i=0

Xi+1(t)Xi(t)+n

∑i=0

X2i (t)

= X20 (t)+

n

∑i=1

X2i (t)+X2

n+1(t)−2n

∑i=1

Xi+1(t)Xi(t)−2X1(t)X0(t)

+n

∑i=1

X2i (t)+X2

0 (t)

= 2X20 (t)−2X1(t)X0(t)+2

n

∑i=1

(X2

i (t)−Xi+1(t)Xi(t))+X2

n+1(t)

=n

∑i=0

Xi(t)(Xi(t)−Xi+1(t))+X2n+1(t).

Nemen we hiervan de verwachtingswaarde dan blijft — door een combinatie van (eig 1) en (eig 2) —

slecht een term over:

E

[n

∑i=0

Xi(t)(Xi(t)−Xi+1(t))+X2n+1(t)

]=

n

∑i=0

E [Xi(t)(Xi(t)−Xi+1(t))]+E[X2

n+1(t)]

(eig.1)=

n

∑i=0

E [Xi(t)]E [(Xi(t)−Xi+1(t))]+E[X2

n+1(t)]

(eig.2)= E

[X2

n+1(t)].

We besluiten dan uiteindelijk dat

E

[(∫ t

0φ(u)dX(u)

)2]≤ sup

(u,ω)∈[0,T ]×Ω

|φ(u,ω)|2E[X2

n+1(t)]

≤ sup(u,ω)∈[0,T ]×Ω

|φ(u,ω)|2 supu∈[0,T ]

E[X2(u∧ t)

].

Dit impliceert dat indien de strategie uniform convergeert en X een kwadratisch integreerbaar marting-

aalproces is, dat dan de stochastische integraal convergeert in L2, uniform over de tijd, dit impliceert

het gestelde.

Stelling 1.4.5. Een Brownse Beweging en een Poissonproces zijn beide semimartingalen.

Bewijs. Een Brownse Beweging W (t), t ∈ [0,T ], is cadlag en kwadratisch integreerbaar:

E[(W (t))2

](def 1.2.1)

= Var [W (t)](def 1.2.1)

= t ≤ +∞.

Uit stelling 1.4.4 volgt het gestelde.

Beschouw nu een Poissonproces P(t), t ∈ [0,T ], en een partitie πn van n tussenliggende punten 0 = t0 <


t1 < .. . < tn+1 = T van het tijdsinterval [0,T ]. We berekenen de variatie van het Poissonproces:

TV(P(t)) = limn→+∞

max0≤i≤n

|ti+1−ti|→0

n

∑i=0|P(ti+1)−P(ti)| = P(t) < +∞.

Een Poissonproces heeft aldus eindige variatie en is cadlag, uit stelling 1.4.3 volgt dat het een semimar-

tingaal is.

Een Levyproces zal als superpositie van beide processen eveneens een semimartingaal zijn. Uit het

associativiteitstheorema (stelling 1.4.2) kunnen we tot slot afleiden dat de stochastische integraal m.b.t.

een semimartingaal opnieuw een semimartingaal is.

Zoals eerder reeds aangevoerd zal een realistische strategie constante aanpassingen vragen, de financiele

markt is namelijk continu open. De strategie δ zal dan niet stapsgewijs veranderen zoals bij simpele

processen, we hebben dus nood aan een veralgemening van bovenstaande definitie van stochastische

integraal. Wat de voorspelbaarheid betreft, was het voldoende te onderstellen dat de strategie caglad

is, bovendien blijkt dat elk voorspelbaar proces φ uniform benaderd kan worden door een rij φn van

simpele voorspelbare processen. De continuıteit van de stochastische integraal stelt ons dan in staat

ook voor niet simpele processen een stochastische integraal te definieren, meer bepaald kan men de

gekende Riemannsommen gebruiken als discrete benadering.

Stelling 1.4.6. [5] Zij X(t), t ∈ [0,T ], een semimartingaal, φ(t), t ∈ [0,T ], een cagladproces en be-

schouw een rij van willekeurige partities πn = (0 = tn,0, tn,1, . . . , tn,n+1 = T ) van het tijdstinterval [0,T ]

waarvoor geldt |πn| = sup0≤k≤n

|tn,k+1− tn,k| → 0 als n→+∞. Dan

φ(0)X(0)+n

∑k=0

φ(tk)(M(tk+1∧ t)−M(tk∧ t)) P→n→+∞

∫ t

0φ(u-)dX(u)

uniform in t op [0,T ].

Dit lijkt heel erg op de definitie van een Riemannintegraal (zie [7, blz. 60 e.v.]). Een belangrijk verschil

is echter dat de variatie van X vermenigvuldigd wordt met de waarde φ(u-), het linker eindpunt van het

interval, in het andere geval zou de som en dus ook de integraal niet langer aangepast zijn. Men kan nu

bewijzen dat de eigenschappen die we eerder aantoonden voor simpele processen φ ook gelden voor de

cagladprocessen.

Stelling 1.4.7. [5] Zij (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P) een gefilterde kansruimte en X(t), t ∈ [0,T ], een semimar-

tingaal, dan gelden voor elk aangepast cadlagproces φ(t), t ∈ [0,T ], de volgende eigenschappen:


• semimartingaal eigenschap: Y (t) =∫ t

0 φ(u)dX(u) is eveneens een semimartingaal;

• associativiteit: indien ϕ een ander aangepast cadlagproces is, dan voor elke t ∈ [0,T ]

∫ t

0ϕ(u)dY (u) =

∫ t

0ϕ(u)φ(u)dX(u);

• martingaalbehoudeigenschap: is X(t), t ∈ [0,T ] een kwadratisch integreerbaar martingaalpro-

ces en φ is begrend, dan is de stochastische integraal Y (t) =∫ t

0 φ(u)dX(u) eveneens een kwa-

dratisch integreerbaar martingaalproces.

Bewijs. De eigenschappen kwamen aan bod voor simpele voorspelbare processen, het bewijs voor ca-

gladprocessen volgt uit de limietgevallen hiervan.

Stochastische integralen m.b.t. Brownse Beweging

Omdat een Brownse Beweging een semimartingaal is, kunnen we nu bovenstaande theorie toepassen

om stochastische integralen m.b.t. een Brownse Beweging in te voeren: zij φ(t), t ∈ [0,T ], een simpel

voorspelbaar proces

φ(t) = φ(0)I t = 0+n

∑i=0

φ(τi)I τi < t ≤ τi+1

dan is de stochastische integraal∫ t

0 φ(u)dW (u) gedefinieerd als

∫ t

0φ(u)dW (u) =

n

∑i=0

φ(τi)(W (τi+1)−W (τi)). (1.6)

Aangezien de Brownse Beweging een martingaalproces vormt, zal de stochastische integraal dit ook

zijn. Maken we gebruik van de onafhankelijke sprongen van een Brownse Beweging dan kunnen we

ook het tweede moment van de stochastische integraal afleiden.

Stelling 1.4.8. [5] Zij φ(t), t ∈ [0,T ], een (simpel) voorspelbaar proces waarvoor E[∫ t

0 |φ(u)|2 du]<

+ ∞ en W (t), t ∈ [0,T ], een Brownse Beweging, dan is∫ t

0 φ(u)dW (u) kwadratisch integreerbaar en

E[∫ t

0φ(u)dW (u)

]= 0, (1.7)

E

[∣∣∣∣∫ t

0φ(u)dW (u)

∣∣∣∣2]

= E[∫ t

0|φ(u)|2 du

].

Bewijs. Het eerste volgt uit de martingaaleigenschap van de stochastische integraal, voor het tweede

maken we gebruik van de onafhankelijkheid van de sprongen van een Brownse Beweging. We bewijzen


voor simpele voorspelbare processen φ(t), t ∈ [0,T ], voor algemene voorspelbare processen gebruiken

we dan limietvoorwaarden om het bewijs te veralgemenen.

E

[∣∣∣∣∫ t

0φ(u)dW (u)

∣∣∣∣2] (1.6)

(1.7)= Var

[n

∑i=0

φ(τi)(W (τi+1)−W (τi))

]

=n

∑i=0

E[(φ(τi))

2 (W (τi+1)−W (τi))2]

+2∑i> j

Cov [φ(τi)(W (τi+1)−W (τi)),φ(τ j)(W (τ j+1)−W (τ j))]

=n

∑i=0

E[E[(φ(τi))

2 (W (τi+1)−W (τi))2 |F (τi)

]]+2∑

i> jE [E [φ(τi)φ(τ j)(W (τi+1)−W (τi))(W (τ j+1)−W (τ j)) |F (τi)]]

=n

∑i=0

E[(φ(τi))

2E[(W (τi+1)−W (τi))

2 |F (τi)]]

+2∑i> j

E [φ(τi)φ(τ j)(W (τ j+1)−W (τ j))E [W (τi+1)−W (τi) |F (τi)]]

(def. 1.2.1)=

n

∑i=0

E[(φ(τi))

2](τi+1− τi)

= E[∫ t

0|φ(u)|2 du

].

Wegens onderstelling E[∫ t

0 |φ(u)|2 du]< + ∞ volgt dan dat

∫ t0 φ(u)dW (u) kwadratisch integreerbaar

is.

Stochastische integralen m.b.t. Poissonproces

We haalden reeds aan dat ook een Poissonproces een semimartingaal is, we kunnen dus zonder pro-

blemen de opgebouwde theorie rond stochastische integralen toepassen. Zij JP(t), t ∈ [0,T ], een sto-

chastische Poissonmaat op [0,T ]×Rd met intensiteit µ(dt,dx), de gecompenseerde variant werd voor

elke meetbare verzameling A ∈ Rd gedefinieerd als JP(t,A) = JP(t,A)− µ(t,A), t ∈ [0,T ], en is een

martingaalproces. Herinner ook dat indien B∩A = /0 dan zijn JP(t,A) en JP(t,B) onafhankelijk.

Naar analogie met simpele voorspelbare processen definieren we simpele voorspelbare functies φ :

Ω× [0,T ]×Rd → R als

φ(t,y) =n

∑i=1

m

∑j=1

φ(τi,A j)I τi < t ≤ τi+1I

y ∈ A j.

τ1 ≤ τ2 ≤ ·· · ≤ τn zijn aangepaste stoptijden, A1,A2, . . . ,Am zijn disjuncte deelverzamelingen van Rd

met µ([0,T ]×A j) < + ∞ en φ(τi,A j) een F (τi)- meetbare stochastische variabele voor i = 1, . . . ,n


en j = 1, . . . ,m. De stochastische integraal∫[0,T ]×Rd φ(u,y)JP(du,dy) wordt dan gedefinieerd door het

stochastisch proces

∫ t

0

∫Rd

φ(u,y)JP(du,dy) =n

∑i=1

m

∑j=1

φ(τi,A j)(JP(τi+1∧ t,A j)− JP(τi∧ t,A j)).

De stochastische integraal is een cadlag, aangepast proces. Analoog kunnen we de stochastische inte-

graal van het gecompenseerde proces definieren, onderstaande stelling vertelt ons meer over het eerste

en tweede moment.

Stelling 1.4.9. [5] Voor elke (simpele) voorspelbare functie φ : Ω× [0,T ]×Rd → R die voldoet aan

E[∫ t

0

∫Rd|φ(u,y)|2 µ(du,dy)

]< + ∞,

is het proces X(t), t ∈ [0,T ], gedefinieerd door de gecompenseerde integraal

X(t) =∫ t

0

∫Rd

φ(u,y)JP(du,dy)

een kwadratisch integreerbare martingaal en er geldt

E[|X(t)|2

]= E

[∫ t

0

∫Rd|φ(s,y)|2 µ(du,dy)

].

Bewijs. We bewijzen opnieuw voor het geval van simpele voorspelbare φ, limietwaarden leiden dan tot

het algemene bewijs.

Voor j = 1, . . . ,m voeren we t 7→ Yj(t) = JP([0, t]×A j) in, dit is een martingaal met onafhankelijke

sprongen. Aangezien de verzamelingen A j ∈ R disjunt zijn, zijn de processen Yj(t), t ∈ [0,T ], j =

1, . . . ,m onderling onafhankelijk.

De gecompenseerde integraal kan nu uitgedrukt worden als een som van stochastische integralen

X(t) =n

∑i=1

m

∑j=1

φ(τi,A j)(Yj(τi+1∧ t)−Yj(τi∧ t))

=m

∑j=1

∫ t

0φ(u,A j)dYj(u).

Aangezien de processen φ(t,A j), t ∈ [0,T ], voor elke j = 1, . . . ,m simpel voorspelbaar zijn, is elk van

de integralen∫ t

0 φ(u,A j)dYj(u) een martingaal, wat impliceert dat ook X een martingaalproces is. Nu


geldt dat

E[∫ t

0φ(u,A j)dYj(u)

]= E

[E[∫ t

0φ(u,A j)dYj(u) |F (τi)

]]= E

[E

[n

∑i=1

φ(τi,A j)(Yj(τi+1∧ t)−Yj(τi∧ t)) |F (τi)

]]

= E

[n

∑i=1

φ(τi,A j)E [Yj(τi+1∧ t)−Yj(τi∧ t) |F (τi)]

]= 0,

en dus zal ook E [X(t)] = 0.

Aangezien de processen Yj(t), t ∈ [0,T ], onafhankelijk zijn, kunnen we de variantie herschrijven als

E[|X(t)|2

]= Var

[∫ t

0

∫Rd

φ(u,y)JP(du,dy)]

=n

∑i=1

m

∑j=1

E[∣∣φ(τi,A j)

∣∣2 (Yj(τi+1∧ t)−Yj(τi∧ t))2]

=n

∑i=1

m

∑j=1

E[E[∣∣φ(τi,A j)

∣∣2 (Yj(τi+1∧ t)−Yj(τi∧ t))2 |F (τi)]]

=n

∑i=1

m

∑j=1

E[∣∣φ(τi,A j)

∣∣2E[(Yj(τi+1∧ t)−Yj(τi∧ t))2 |F (τi)]]

(1.1)=

n

∑i=1

m

∑j=1

E[∣∣φ(τi∧ t,A j)

∣∣2 µ(]τi∧ t,τi+1]×A j)]

= E[∫ t

0

∫Rd|φ(u,y)|2 µ(du,dy)

].

Het is eveneens interessant te kijken naar de situatie van spronggroottes die mogen verschillen van 1,

het telproces is dan een stochastische Poissonmaat JP. Voor een voorspelbare stochastische functie φ

herleidt de stochastische integraal zich tot een som van termen die sprongtijdstippen en spronggroottes

bevatten: ∫ t

0

∫Rd

φ(u,y)JP(du,dy) =∆P(u)6=0

∑u∈[0,t]

φ(u,∆P(u)).

In het bijzondere geval waarbij φ(t) = ∑i φiI (τi < t ≤ τi+1) constant is tussen de sprongtijden τ1 < τ2 <

.. . en φ(ω,u,y) = φu(ω)y zal de stochastische integraal m.b.t. JP een stochastische integraal m.b.t. P

zijn:

∫ t

0

∫Rd

φ(u,y)JP(du,dy) =∫ t

0

∫Rd

φuyJP(du,dy) =∆P(u)6=0

∑u∈[0,t]

φu∆P(u) =∫ t

0φudP(u).


De eerlijkheid gebied ons hier te vermelden dat voor algemene strategieen φ het niet steeds mogelijk is

de stochastische integraal m.b.t. de Poissonmaat JP te definieren als een stochastische integraal m.b.t.

P. De stochastische integraal m.b.t. het telproces P zal wel steeds bestaan, voor ons zal er dus geen

probleem zijn.

1.4.2 Kwadratische variatie

Gerealiseerde volatiliteit en kwadratische variatie

De gerealiseerde volatiliteit geeft — zoals de term zelf zegt — de volatiliteit weer die op een tijdstip

verwezenlijkt is. Zij X(t), t ∈ [0,T ], een proces dat geobserveerd wordt op n+2 tijdtippen uit een par-

titie π = 0 = t0 < t1 < · · ·< tn < tn+1 = T, in formulevorm wordt de gerealiseerde volatiliteit VX(π)

dan gegeven door een Riemannsom

VX(π) = ∑0≤i≤n

(X(ti+1)−X(ti))2

= ∑0≤i≤n

(X(ti+1)

2−X(ti)2−2X(ti)(X(ti+1)−X(ti)))

= X(T )2−X(0)2−2 ∑0≤i≤n

X(ti)(X(ti+1)−X(ti)).

Zij X een semimartingaal met X(0) = 0. Bij definitie is het een aangepast cadlagproces, hetzelfde

geldt voor het proces X(t-), t ∈ [0,T ]. Stelling 1.4.6 levert ons dan de theorie om aan te tonen dat

bovenstaande Riemannsom uniform in kans convergeert naar

[X ,X ](T ) := |X(T )|2−2∫ T

0X(u-)dX(u),

we noemen deze term de kwadratische variatie. Deze kwadratische variatie is een stochastische varia-

bele. Definieren we

[X ,X ](t) = |X(t)|2−2∫ t

0X(u-)dX(u) voor t ∈ [0,T ], (1.8)

dan vormen we het kwadratisch variatieproces. Onderstaande stelling geeft een aantal belangrijke ei-

genschappen van dit stochastisch proces. Het bewijs is meestal niet zo ingewikkeld, maar we laten het

hier achterwege.

Stelling 1.4.10. [5] Het kwadratisch variatieproces van een semimartingaal X is een aangepast cad-

lagproces [X ,X ](t), t ∈ [0,T ] dat voldoet aan volgende eigenschappen.

• [X ,X ] is een stijgend proces.


• De sprongen van [X ,X ] zijn gerelateerd aan de sprongen van X: ∆[X ,X ](t) = |∆X(t)|2. Meerbe-

paald heeft [X ,X ] continue paden a.s.a. X continue paden heeft.

• Is X een continu en eindig variatieproces dan zal [X ,X ] = 0.

• Indien X een martingaal is met [X ,X ] = 0 dan is bijna zeker X = X(0).

Zowel de Brownse Beweging als het Poissonproces zijn semimartingalen, ze bezitten dus allebei een

kwadratische variatieproces, onderstaande stellingen nemen deze onder de loep. Voor de Brownse

beweging zal blijken dat de variatie gelijk is aan de variantie, in het algemeen is de variatie evenwel een

stochastisch proces, zoals ook bij het Poissonproces.

Stelling 1.4.11. [5] Zij X(t) = σW (t) met W een Brownse Beweging dan is [X ,X ](t) = σ2t.

Bewijs. Zij πn = 0 = tn,0 < tn,1 < · · ·< tn,n < tn,n+1 = T een rij van partities van [0,T ] zodat |πn| =

supk |tn,k− tn,k−1|n→+∞→ 0. Merk eerst op dat VX(πn)−σ2T = ∑

ni=0((X(ti+1)−X(ti))2−σ2(ti+1− ti))

een som van onafhankelijke termen is met verwachtingswaarde gelijk aan 0. Daardoor geldt

E[∣∣VX(πn)−σ

2T∣∣2] = n

∑i=0

E[((X(ti+1)−X(ti))2−σ

2(ti+1− ti))2]

=n

∑i=0

σ4 |ti+1− ti|2E

[((X(ti+1)−X(ti))2

σ2(ti+1− ti)−1)2]

= σ4

n

∑i=0|ti+1− ti|2E

[(Z2−1

)2]

met Z ∼ N(0,1)

≤ E[(

Z2−1)2]

σ4T |πn| → 0.

We toonden dus aan dat E[∣∣VX(πn)−σ2T

∣∣2]→ 0, dit levert ons het gestelde.

Stelling 1.4.12. [5] Is P(t), t ∈ [0,T ], een Poissonproces, dan geldt [P,P](t) = P(t). Is X(t) een telpro-

ces met P(t) sprongtijden τ1,τ2, . . . ,τP(t) van respectievelijke groottes Z1,Z2, . . . ,ZP(t), dan geldt

[X ,X ](t) = ∑0≤s≤t

|∆X(s)|2 .

Bewijs. Uit de definitie van een Poissonproces volgt het eerste eenvoudig. Beschouw een partitie πn =

0 = t0 < t1 < · · ·< tn+1 = t van [0, t] en de sprongtijdstippen τ1,τ2, . . . van het Poissonproces dan

volgt

[P,P](t) =n

∑i=0

(P(ti+1)−P(ti))2 = ∑n≥1

I t ≥ τn = P(t). (1.9)


Is X(t) een telproces met P(t) sprongtijden τ1,τ2, . . . ,τP(t) van respectievelijke groottes Z1, Z2, . . . ,

ZP(t), dan geldt

X(t) =P(t)

∑i=1

Zi ⇒ [X ,X ](t) =P(t)

∑i=1|Zi|2 = ∑

0≤s≤t|∆X(s)|2 .

Kwadratische covariatie

Naast de kwadratische variatie kunnen we ook de kwadratische covariatie beschouwen, starten doen

we vanuit het concept van gerealiseerde covariatie. Zijn X en Y twee processen en beschouw een tijds-

partitie van het interval [0,T ], nl. πn = t0 = 0 < t1 < · · ·< tn+1 = T, we definieren de gerealiseerde

covariatie als

VX ,Y (π) =n

∑i=0

(X(ti+1)−X(ti))(Y (ti+1)−Y (ti))

=n

∑i=0

(X(ti+1)Y (ti+1)−X(ti)Y (ti)−Y (ti)(X(ti+1)−X(ti))−X(ti)(Y (ti+1)−Y (ti)))

= X(T )Y (T )−X(0)Y (0)−n

∑i=0

(Y (ti)(X(ti+1)−X(ti))+X(ti)(Y (ti+1)−Y (ti))).

Zijn X en Y semimartingalen, dan zal bovenstaande Riemannsom uniform in kans convergeren naar de

stochastische variabele

X(T )Y (T )−X(0)Y (0)−∫ T

0Y (u-)dX(u)−

∫ T

0X(u-)dY (u),

we noemen dit de kwadratische covariatie van X en Y op [0,T ]. Definieren we

[X ,Y ](t) = X(t)Y (t)−X(0)Y (0)−∫ t

0Y (u-)dX(u)−

∫ t

0X(u-)dY (u) voor t ∈ [0,T ], (1.10)

dan vormen we het kwadratisch covariatieproces. Onderstaande stelling behandelt enkele eigenschap-

pen van zo’n covariatieproces. Het bewijs laten we opnieuw achterwege.

Stelling 1.4.13. [5] Het kwadratisch covariatieproces van twee semimartingalen X en Y is een aange-

past cadlagproces [X ,Y ](t), t ∈ [0,T ] dat voldoet aan volgende eigenschappen.

• De paden hebben eindige variatie.

• Polarisatie-eigenschap: [X ,Y ] = 14([X +Y,X +Y ]− [X−Y,X−Y ]).

• De covariatie wordt niet gewijzigd indien we bij X of Y een continu proces met eindige variatie

tellen, enkel martingaalprocessen of sprongprocessen spelen een rol in de waarde van [X ,Y ].


A.d.h.v. de formule (1.10) vinden we eenvoudig de veralgemening van de Ito-productregel (1.2.2), nu

echter voor algemene semimartingalen.

Stelling 1.4.14. [5] Zijn X en Y twee semimartingalen dan geldt

X(t)Y (t) = X(0)Y (0)+∫ t

0X(u-)dY (u)+

∫ t

0Y (u-)dX(u)+ [X ,Y ](t),

of in differentiaalvorm

d(X(t)Y (t)) = X(t-)dY (t)+Y (t-)dX(t)+d ([X ,Y ](t)) .

De Ito-formule

Beschouw een R→ R-functie f en een [0,T ]→ R-functie g, stel dat ze allebei glad zijn over hun

volledige domein (minstens een maal continu afleidbaar), dan zegt de kettingregel ons16

f (g(t))− f (g(0)) =∫ t

0f ′(g(u))g′(u)du =

∫ t

0f ′(g(u))dg(u),

Indien g(t) = X(t), t ∈ [0,T ], een semimartingaal is, merken we echter dat voor f (x) = x2 geldt

f (X(t))− f (X(0))(1.8)= 2

∫ t

0X(u-)dX(u)+ [X ,X ](t) =

∫ t

0f ′(g(u))dg(u)+ [g,g](t).

Aangezien meestal voor semimartingalen g = X de laatste term [g,g](t) = [X ,X ](t) zal verschillen van

nul, voldoen semimartingalen dus niet aan de gebruikelijke kettingregel. We kwamen eerder reeds tot

deze constatatie in (stelling 1.2.1).

Padsgewijze calculus voor eindig actieve sprongprocessen

We starten met enkele eenvoudige bemerkingen die op het eerste zicht niks te maken hebben met sto-

chastische processen. Beschouw een functie x : [0,T ]→ R met een eindig aantal discontinuıteiten in

0 = τ1 < τ2 < .. . < τn+1 = T , maar die glad is in elk interval ]τi,τi+1]. We kiezen x cadlag in de

discontinue punten, m.a.w. x(τi+) = x(τi). We kunnen deze functie representeren als

x(t) =∫ t

0b(u)du+ ∑

i,τi≤t(x(τi)− x(τi-))︸︷︷︸

∆xi

,

met b een aangepast cadlagproces. x zal stuksgewijs glad zijn indien b continu is.

Beschouw nu een gladde functie f : R→ R, op een interval ]τi,τi+1] is x glad, f (x) bijgevolg ook.

Daardoor kunnen we in elk van deze intervallen i = 1, . . . ,n de kettingregel gebruiken:

f (x(τi+1-))− f (x(τi)) =∫

τi+1-

τi

f ′(x(u))x′(u)du =∫

τi+1-

τi

f ′(x(u))b(u)du.

16Gladheid wordt gedefinieerd in [7, blz. 57], de kettingregel komt aan bod in [7, blz. 47].


In elk discontinuıteitspunt maakt f (x) nu echter een sprong van grootte

f (x(τi))− f (x(τi-)) = f (x(τi-)+∆xi)− f (x(τi-)).

Tellen we de laatste twee gelijkheden bij elkaar dan bekomen we de totale verandering van f tussen 0

en T :

f (x(T ))− f (x(0)) =n

∑i=0

( f (x(τi+1))− f (x(τi)))

=n

∑i=0

( f (x(τi+1))− f (x(τi+1-))+ f (x(τi+1-))− f (x(τi)))

=n+1

∑i=1

( f (x(τi-)+∆xi)− f (x(τi-)))+n

∑i=0

∫τi+1-

τi

b(u) f ′(x(u))du.

We vinden uiteindelijk

f (x(T ))− f (x(0)) =∫ T

0b(u) f ′(x(u))du+

n+1

∑i=1

( f (x(τi-)+∆xi)− f (x(τi-))).

Stelling 1.4.15. [5] Zij x een stuksgewijze gladde functie

x(t) =∫ t

0b(u)du+ ∑

i,τi≤t∆xi,

dan is voor elke gladde R→ R-functie f

f (x(T ))− f (x(0)) =∫ T

0b(u) f ′(x(u))du+

n+1

∑i=1

( f (x(τi-)+∆xi)− f (x(τi-))).

Beschouw nu een stochastisch proces X(t,ω), t ∈ [0,T ] en ω ∈Ω met paden t→ X(t,ω) , deze is bijna

zeker van de vorm

X(t,ω) = X(0)+∫ t

0b(u,ω)du+

C(t,ω)

∑i=1

∆Xi(ω),

met ∆Xi(ω) = X(τi,ω)−X(τi−,ω) de sprongroottes en C(t,ω) een stochastisch aantal sprongen, het

aantal wordt aangegeven door een telproces. De ω als parameter geeft aan dat we weldegelijk met

stochastische processen werken. Stelling 1.4.15 zegt ons dan dat bijna zeker

f (X(t))− f (X(0)) =∫ t

0b(u) f ′(X(u))du+ ∑

i,τi≤t( f (X(τi-)+∆Xi)− f (X(τi-)))

=∫ t

0b(u) f ′(X(u))du+

∆X(u)6=0

∑0≤u≤T

( f (X(u-)+∆X(u))− f (X(u-))). (1.11)

Hier loopt de som nu over de stochastische sprongtijstippen τi van het proces X , de formule blijft echter

geldig onafhankelijk van het stochastisch karakter. Zijn we geınteresseerd in verwachtingswaarden dan


hebben we meer informatie nodig over de verdeling van de stochastische tijdstippen, is bijvoorbeeld

P(t), t ∈ [0,T ], een Poissonproces dan is τi+1− τi exponentieel verdeeld en ∆Xi identiek en onafhanke-

lijk F-verdeeld. In dit bijzonder geval kan men f (X(t)) splitsen in een martingaalstuk en een driftstuk.

We introduceren hiertoe de stochastische maat op [0,T ]×R die de locatie en grootte van de sprongen

beschrijft:

JP = ∑n≥1

I(τn,∆X(τn)) ∈ [0,T ]×R .

JP is een stochastische Poissonmaat met intensiteit µ(dt,dy) = λdtF(dy). De sprongterm in (1.11) kan

dan herschreven worden als ∫ t

0

∫R( f (X(u-)+ y)− f (X(u-)))JP(du,dy).

Maken we gebruik van de gecompenseerde sprongmaat JP(dt,dy) = JP(dt,dy)−λdtF(dy) dan kunnen

we opsplitsen in een martingaalterm en een driftterm:∫ t

0

∫R( f (X(u-)+ y)− f (X(u-)))JP(du,dy)+

∫ t

0λdu

∫R( f (X(u-)+ y)− f (X(u-)))F(dy).

Het resultaat wordt samengevat in onderstaande stelling.

Stelling 1.4.16. [5] (Ito-formule voor eindig actieve sprongprocessen) Zij X een sprongproces met

waarden in R gedefinieerd door

X(t) =∫ t

0b(u)du+

P(t)

∑i=1

Zi,

waar b een aangepast cadlagproces is, P een telproces waarbij P(t) het aantal sprongen tussen 0 en t

voorstelt en Zi de spronggrootte van de ie sprong. Zijn τ1,τ2, . . . de sprongtijdstippen van het proces X

en JP de stochastische maat op [0,T ]×R geassocieerd met de sprongen van X:

JP = ∑n≥1,τn≤t

δτn,Zn.

Dan geldt voor elke meetbare functie f : [0,T ]×R→ R:

f (t,X(t))− f (0,X(0)) =∫ t

0

(∂ f∂u

(u,X(u-))+b(u)∂ f∂x

(u,X(u-)))

du

+ ∑n≥1,τn≤t

( f (u,X(u-)+∆X(u))− f (u,X(u-)))

=∫ t

0

(∂ f∂u

(u,X(u-))+b(u)∂ f∂x

(u,X(u-)))

du

+∫ t

0

∫ +∞

−∞

( f (u,X(u-)+ y)− f (u,X(u-)))JP(du,dy).


Indien P(t), t ∈ [0,T ], bovendien een Poissonproces is met E[P(t)] = λt, Zi ∼ F onafhankelijk en

identiek verdeeld en f begrensd is dan f (t,X(t)) =V (t)+M(t). Hierin is M(t) een martingaalstuk

M(t) =∫ t

0

∫ +∞

−∞

( f (u,X(u-)+ y)− f (u,X(u-)))JP(du,dy),

waarin JP(dt,dy) = JP(dt,dy)−λF(dy)dt de gecompenseerde stochastische Poissonmaat, V is een

continue eindige variatie driftterm

V (t) =∫ t

0

(∂ f∂u

(u,X(u-))+b(u)∂ f∂x

(u,X(u-)))

du

+∫ t

0du

∫R( f (u,X(u-)+ y)− f (u,X(u-)))F(dy).

1.4.3 Ito-formule voor continue processen en sprongen

Beschouw een continu proces aangevuld met een sprongproces, het continue proces wordt uiteraard ge-

modelleerd a.d.h.v. een Brownse Beweging, het sprongproces a.d.h.v. een samengesteld Poissonproces:

X(t) = σW (t)+µt + J(t) = Xc(t)+ J(t),

met Xc(t) het continue stuk van X(t), t ∈ [0,T ]. Het discontinue stuk kan geschreven worden als

J(t) =P(t)

∑i=1

∆Xi.

Zij f ∈C2(R) en beschouw de P(T ) sprongtijdstippen τ1,τ2, . . . ,τP(T ) van X , er geldt in ]τi,τi+1[, voor

elke i = 1,2, . . . ,P(T ),

dX(t) = dXc(t) = σdW (t)+µdt.

Gebruiken we dan de Ito-formule voor Brownse Bewegingen (stelling 1.2.1) dan bekomen we

f (X(τi+1))− f (X(τi)) =∫

τi+1-

τi

σ2

2f ′′(X(u))du+

∫τi+1-

τi

f ′(X(u))dX(u)

=∫

τi+1-

τi

σ2

2f ′′(X(u))du+

∫τi+1-

τi

f ′(X(u))dXc(u).

Indien een sprong van grootte ∆Xi plaatsvindt dan verandert f (X(t)) met f (X(t-)+∆X(t))− f (X(t-)).

De totale verandering in de functiewaarde kan dan geschreven worden als de som van de continue en

discontinue verandering:

f (X(t))− f (X(0)) =∫ t

0f ′(X(u))dXc(u)+

∫ t

0

σ2

2f ′′(X(u))du

+∆(u)6=0

∑0≤u≤t

( f (X(u-)+∆X(u))− f (X(u-))) .


Vervangen we dXc(u) door dX(u)−∆X(u) dan bekomen we een equivalente uitdrukking:

f (X(t))− f (X(0)) =∫ t

0f ′(X(u))dX(u)+

∫ t

0

σ2

2f ′′(X(u))du

+∆(u)6=0

∑0≤u≤t

(f (X(u-)+∆X(u))− f (X(u-))−∆(u) f ′(X(u-)).

)Is het aantal sprongen eindig dan zijn beide vormen equivalent, de laatste uitdrukking is echter alge-

mener, ze is ook van toepassing bij een oneindig aantal sprongen. We vatten samen in onderstaande

stelling.

Stelling 1.4.17. [5] Zij X een continu proces aangevuld met sprongen, nl. de som van een driftterm,

een Brownse Beweging en een samengesteld Poissonproces:

X(t) = X(0)+∫ t

0b(u)du+

∫ t

0σ(u)dW (u)+

P(t)

∑i=1

∆Xi.

Hierin zijn b(t) en σ(t), telkens t ∈ [0,T ], aangepaste continu processen met

E[∫ T

0(σ(u))2du

]< +∞.

Dan geldt voor elke C1,2-functie f : [0,T ]×R→ R dat het proces f (t,X(t)), t ∈ [0,T ] voortgebracht

wordt door

f (t,X(t))− f (0,X(0)) =∫ t

0

(∂ f∂u

(u,X(u))+∂ f∂x

(u,X(u))b(u))

du

+12

∫ t

0σ

2(u)∂2 f∂x2 (u,X(u))du+

∫ t

0

∂ f∂x

σ(u)dW (u)

+ ∑i≥1,τi≤t

( f (X(τi-)+∆Xi)− f (X(τi-))) .

Of in differentiaalvorm

d ( f (t,X(t))) =∂ f∂t

(t,X(t))dt +b(t)∂ f∂x

(t,X(t))dt +σ2(t)

2∂2 f∂x2 (t,X(t))dt

+∂ f∂x

σ(t)dW (t)+( f (X(t-)+∆X(t))− f (X(t-))) .

43

Hoofdstuk 2

De numerair-portefeuille in een

(in)complete markt

We brengen onze theorie op gang vanuit een complete markt, ruw gezegd gaan we uit van een markt

waarin de belegger de mogelijkheid heeft in elke combinatie van risico’s te beleggen. Dit is evenwel

een zware aanname waar we in deel 2.4 zullen moeten op terugkomen, daar beschrijven we een veral-

gemening van onderstaande theorie. Toch is het niet overbodig te starten vanuit een complete markt,

het zorgt er namelijk voor dat de lezer voeling krijgt met enkele cruciale begrippen en theorieen waarop

deze masterproef zal steunen.

2.1 Modellering van een complete financiele markt

De financiele markt is een mechanisme dat mensen toelaat te handelen in financiele effecten (aandelen,

obligaties en afgeleide producten), grondstoffen, e.a.1 tegen lage transactiekosten en een economisch

efficiente prijs. Dit kan gebeuren op grote schaal (bedrijven, overheden, beleggingsfondsen . . . ), evenals

op kleine schaal (individuen). In het vervolg gebruiken we de term ‘effect’ als de verzamelnaam van

alles wat op de financiele markt verhandeld wordt.

We gaan uit van een effectenmarkt bestaande uit N +1 ∈ N verschillende effecten Si ≥ 0, i = 0, . . . ,N.

Deze markt is continu open, d.w.z. dat er op elk moment kan verhandeld worden, bovendien is er geen

mogelijkheid tot arbitrage. De modellering van deze financiele markt gebeurt o.b.v. een gefilterde

kansruimte (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P), waarbij T ∈]0,∞[ een arbitraire tijdshorizon voorstelt. F (t) verza-

1Voor een beschrijving van de verschillende producten in een financiele markt verwijzen we naar [21].

44 HOOFDSTUK 2. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN EEN (IN)COMPLETE MARKT

melt alle informatie beschikbaar op tijdstip t ∈ [0,T ], deze breidt uit — per definitie van een filtratie,

maar ook consistent met de werkelijkeid — naargelang t stijgt.

Aangezien elke financiele markt beschikt over een spaarrekening, moet deze vertolkt worden door een

van de effecten, laat ons hiervoor de index 0 kiezen. De spaarrekening heeft een eenvoudige uitdruk-

king, de waarde op tijdstip t ∈ [0,T ] is enkel afhankelijk van het verloop van de rente r(·) > 0 tot op

tijdstip t, dit wordt uitgedrukt door de integraal in (2.1). Daaruit volgt dan eenvoudigweg de differenti-

aalvergelijking:

S0(t) = S0(0)exp∫ t

0r(s)ds

⇔ d (S0(t)) = S0(t)r(t)dt, t ∈ [0,T ]. (2.1)

Aangezien de spaarrekening een liquide rekening is (zie [21, blz. 3.4]), nemen we voor r(t) de korte

termijn rente op tijdstip t ∈ [0,T ], sparen en lenen gebeurt — bij afspraak — aan hetzelfde tarief2.

Wanneer we geld bewaren op (resp. ontlenen aan) een bank spreken we over risicoloos beleggen, de

belegger is namelijk zeker van het rendement: hij kan nooit geld verliezen (resp. winnen) door te sparen

(resp. lenen), dit is niet hetzelfde als arbitrage3.

De andere N effecten dragen wel een onzekerheid met zich mee, in de praktijk hangt elk van deze risi-

covolle beleggingen af van een koers (een wisselkoers voor aandelen, obligaties, afgeleiden en grond-

stoffen, een (extra) wisselkoers voor buitenlandse beleggingen). Wiskundig wordt deze onzekerheid

gemodelleerd a.d.h.v. een (N-dimensionale) Brownse Beweging W (t) =[W1(t) · · · WN(t)

]tr. We

nemen aan — zonder verlies van algemeenheid — dat elk van de N risicovolle effecten voldoet aan een

stochastische differentiaalvergelijking:

d (Si(t)) = Si(t)

(ai(t)dt +

N

∑k=1

bi,k(t)dWk(t)

), t ∈ [0,T ] en i = 1, . . . ,N. (2.2)

We trekken hier reeds de aandacht op het feit dat Si(t) > 0 voor alle t ∈ [0,T ], dit is de wiskundige

uitdrukking van de beperkte aansprakelijkheid: een belegger is slechts aansprakelijk tot het bedrag

waarvoor hij deelneemt in een effect, waarden van effecten kunnen aldus nooit negatief zijn. Indien we

Si(0) = 0 stellen voor i= 0, . . . ,N, volgt dit ook uit de oplossing van de stochastische differentiaalverge-

lijkingen, we verwijzen hiervoor naar stelling 2.1.1. De matrix van aangepaste stochastische processen

B(t) = bi,k(t), i,k = 1, . . . ,N , t ∈ [0,T ], noemen we de volatiliteitsmatrix. De waarde bi,k(t) kunnen

2Misschien is dit de meest onrealistische voorwaarde uit deze masterproef, in werkelijkheid bestaat namelijk een rente-

marge, zie [21, blz. 3.17]. In de financiele wiskunde is het echter niet de gewoon hier rekening mee te houden.3We herinneren aan definitie 1.1.18 en de voorwaarde dat men zonder geld start.

2.1. MODELLERING VAN EEN COMPLETE FINANCIELE MARKT 45

we interpreteren als de (i,k)e volatiliteit van het ie effect met het ke lid van de Brownse Beweging

op tijdstip t, of nog de mate waarin een waardeverandering van het ke lid van de Brownse Beweging

doorweegt in de waardering van het ie effect. De vector (kolommatrix) van aangepaste stochastische

processen a(t) =[a1(t) a2(t) · · · aN(t)

]tr, t ∈ [0,T ], noemen we de appreciatievector met ai(t) de

ie appreciatiegraad op tijdstip t, het is het rendement wanneer we geen rekening houden met de koers

van het effect, of dus het verwachte winstcijfer voor effect Si op tijdstip t ∈ [0,T ].

Stelling 2.1.1. De stochastische differentiaalvergelijkingen (2.2) hebben voor elke i = 1, . . . ,N de op-

lossing

Si(t) = Si(0) exp

∫ t

0

N

∑k=1

bi,k(s)dWk(s)+∫ t

0

(ai(s)−

12

N

∑k=1

b2i,k(s)

)ds

.

Bewijs. Uit

Zi(t) =∫ t

0

N

∑k=1

bi,k(s)dWk(s)+∫ t

0

(ai(s)−

12

N

∑k=1

b2i,k(s)

)ds, i = 1, . . . ,N,

voor t ∈ [0,T ], volgt makkelijk (differentiaal van een bepaalde integraal met veranderlijke bovengrens,

zie [7, Stelling 6.3.3])

d (Zi(t)) =N

∑k=1

bi,k(t)dWk(t)+

(ai(t)−

12

N

∑k=1

b2i,k(t)

)dt, i = 1, . . . ,N. (2.3)

Bovendien geldt

Si(t) = Si(0)expZi(t) , i = 1, . . . ,N,

we kunnen aldus de Ito-formule (stelling 1.2.1) toepassen met f (t,x)= expx ( ft = 0 en fx = fxx = f ),

en we besluiten dat voor elke t ∈ [0,T ] en voor elke i = 1, . . .N

d (Si(t))(st. 1.2.1)

= Si(0)expZi(t)d (Zi(t))+12

Si(0)expZi(t)d (Zi(t))d (Zi(t))

(2.3)(st. 1.2.3)

= Si(t)

(N

∑k=1

bi,k(t)dWk(t)+

(ai(t)−

12

N

∑k=1

b2i,k(t)

)dt

)+

12

Si(t)

(N

∑k=1

b2i,k(t)dt

)

= Si(t)

(ai(t)dt +

N

∑k=1

bi,k(t)dWk(t)

).

Om wiskundig te kunnen verderwerken met de processen bi,k en ai moeten de bovenstaande integralen

uit de oplossing aldus bestaan. Voor de Lebesgue-integraal is het voldoende dat de processen voor elke

i voldoen aan ∫ t

0

N

∑i=1|ai(s)|ds < + ∞,


voor de Ito-integraal moeten we eisen dat bi,k voorspelbaar is en

∫ t

0

N

∑i=1

N

∑k=1

b2i,k(s)ds < + ∞ b.z..

In het vervolg van deze masterproef veronderstellen we dat aan deze voorwaarden voldaan is.

Het lijkt misschien logisch om de dimensie van de Brownse Beweging gelijk te nemen aan het aantal

risicovolle effecten (N), maar dit is niet zo triviaal. Als het aantal effecten groter is dan het aantal (1-

dimensionale) Brownse Bewegingen dan kan het risico in een of meerdere effecten vervangen worden

door een combinatie van andere effecten, we spreken van overtollige effecten die aldus verwijderd

kunnen worden. Indien er meer (1-dimensionale) Brownse Bewegingen dan effecten zijn, dan is de

markt niet compleet op vlak van handelsonzekerheid, er zijn meer onzeker processen (koersen) dan er

effecten zijn. Wanneer er minder effecten dan risico’s zijn, is het niet mogelijk in elke risicocombinatie

te beleggen4, we spreken van een incomplete markt. In dat geval blijft de theorie voldoen, maar verdere

vereenvoudigingen zullen niet van toepassing zijn. Voor het gemak gaan we hier aldus verder met een

complete markt, voor incomplete markten verwijzen we naar paragraaf 2.4!

We gaan er voorlopig dus van uit dat de volatiliteitsmatrix B(t) een vierkante matrix is (complete markt),

bovendien is deze inverteerbaar voor bijna elke t ∈ [0,T ]. Indien B(t) namelijk singulier zou zijn,

zou door rijbewerkingen in B(t) een nulrij ontstaan, deze impliceert dat het mogelijk is effecten zo te

combineren dat er geen risico (koersafhankelijkheid) meer zou zijn, dit is tegen de veronderstelling. De

inverse matrix noteren we (B(t))−1 = [b−1i,k (t)]

Ni,k=1. Dit staat ons toe de ke marktprijs van risico θk(t)

t.o.v. de ke component van de Brownse Beweging Wk(t) in te voeren:

θk(t) =N

∑i=1

b−1i,k (t)(ai(t)− r(t)) t ∈ [0,T ] en k = 1, . . . ,N,

deze waarde is per definitie F (t)-meetbaar. Definieren we de vector (kolommatrix)

θ(t) =[θ1(t) θ2(t) · · · θN(t)

]tr, t ∈ [0,T ], (2.4)

als het aangepast stochastisch proces van de marktprijzen van risico, dan kunnen we via de matrixnotatie

herschrijven:

θ(t) = (B(t))−1 · (a(t)− r(t) ·1), (2.5)

4Men zou kunnen stellen dat de effecten basisvectoren vormen om de ‘risicoruimte’ op te spannen, een basis bestaat uit

exact evenveel vectoren (effecten) als de dimensie van de op te spannen ruimte (de dimensie van de Brownse Beweging).

2.2. PORTEFEUILLES IN EEN COMPLETE MARKT 47

waarbij 1 staat voor de eenheidskolommatix van dimensie N: 1 = [1 1 · · · 1]tr. Lossen we de vergelij-

king (2.5) op naar a(t) dan vinden we

a(t) = B(t) ·θ(t)+ r(t) ·1 ⇔ ai(t) =N

∑k=1

bi,k(t)θk(t)+ r(t) i = 1, . . . ,N. (2.6)

Hierdoor kunnen we tot slot de differentiaalvergelijking (2.2) voor elke i = 1, . . . ,N en elke t ∈ [0,T ]

herschrijven:

d (Si(t))(2.2)= Si(t)

(ai(t)dt +

N

∑k=1

bi,k(t)dWk(t)

)(2.6)= Si(t)

((N

∑k=1

bi,k(t)θk(t)+ r(t)

)dt +

N

∑k=1

bi,k(t)dWk(t)

)

= Si(t)

(r(t)dt +

N

∑k=1

bi,k(t)(θk(t)dt +dWk(t))

). (2.7)

2.2 Portefeuilles in een complete markt

2.2.1 Opbouw van een portefeuille

Op basis van de N +1 aanwezige effecten in de financiele markt kan elke belegger nu een portefeuille

samenstellen. Het volstaat hiervoor zijn volledige financiele kapitaal te verdelen over de verschillende

varieteiten. We stellen vast dat het geen zin heeft een deel van de liquiditeiten achter te houden uit

angst voor verlies of wantrouwen in de beurs, aangezien dit niks opbrengt. Het is dan economisch

rationeler deze op een risicoloze spaarrekening (S0) te plaatsen. Als homo economicus zal men op

elk tijdstip t ∈ [0,T ] zijn volledige financiele bezit verdelen over de N + 1 bovenstaande effecten en

dit volgens een verdeling (een rijmatrix) δ(t) =[δ0(t) δ1(t) · · · δN(t)

]: op tijdstip t worden δi(t)

eenheden geınvesteerd in effect Si, dit met een waarde van δi(t)Si(t), i = 0, . . . ,N. δ is een voorspelbaar

stochastisch proces dat enkel afhangt van informatie beschikbaar op tijdstip t5 en dat op elk tijdstip t ∈

[0,T ] — de markt is continu open — kan worden bijgestuurd. We noemen dergelijk voorspelbaar proces

δ ook wel eens een strategie, deze impliceert op elk tijdstip t ∈ [0,T ] een totale portefeuillewaarde

X (δ)(t)

X (δ)(t) =N

∑i=0

δi(t)Si(t), t ∈ [0,T ]. (2.8)

Deze portefeuillewaarde kan (enkel) varieren naargelang de waarden van de effecten veranderen, de

effectieve verandering wordt bepaald door de mate waarin in de verschillende effecten geınvesteerd is.

5δ(t) is F (t)-meetbaar.


Dit steunt opnieuw op het feit dat geen liquiditeiten achter gehouden worden, winsten worden opnieuw

geınvesteerd in de financiele markt, we spreken van een zelffinancierende portefeuille:

d(

X (δ)(t))

=N

∑i=0

δi(t)d (Si(t)) , t ∈ [0,T ]. (2.9)

Indien X (δ)(0) > 0 volgt uit de oplossingen van (2.1) en (2.2) — deze kwamen aan bod in stelling

2.1.1 — dat X (δ)(t)> 0 voor t ∈ [0,T ]. In theorie kan de waarde van een portefeuille negatief zijn, wij

steunen hier echter op het intellect van een belegger, dit sluit uit dat beleggers geld lenen om hiermee

effecten aan te kopen. Bovendien is het zo dat sinds januari 2009 elke meerwaarde op aandelen belast

wordt door de overheid indien de belegging niet overeenkomt met een normaal beheer (zie [2]), vandaar

ook dat aandelen kopen volgens ‘De tijd’ behoort tot de vijf domste redenen om een lening af te sluiten

(zie [10]). Het blijft wel mogelijk om geld te lenen, maar dat geleende geld wordt niet gebruikt om te

speculeren op de financiele markt, een portefeuille die bestaat uit geleend geld, deze is (strikt) negatief,

zal aldus niet stochastisch zijn. We wijzen hier op het feit dat deze voorwaarde zich vaak herleid tot een

intentievoorwaarde; geld lenen om een huis te kopen mag indien je de bedoeling hebt hierin te wonen,

koop je een huis om het na enkele jaren met winst door te verkopen dan speculeer je op stijgende

vastgoedprijzen, voor dergelijke transacties is lenen uitgesloten.

We beperken ons tijdelijk tot de risicovolle portefeuilles, deze zijn strikt positief, in het bijzonder zijn

ze verschillend van 0. We kunnen dan namelijk de ie fractie π(δ)i (t) van X (δ)(t) introduceren als de

fractie van de portefeuille dat in Si geınvesteerd is op tijdstip t ∈ [0,T ]:

π(δ)i (t) = δi(t)

Si(t)X (δ)(t)

, i = 0, . . . ,N. (2.10)

Deze fracties sommeren uiteraard altijd tot 1:

N

∑i=0

π(δ)i (t) =

N

∑i=0

δi(t)Si(t)

X (δ)(t)

=∑

Ni=0 δi(t)Si(t)

X (δ)(t)

=X (δ)(t)X (δ)(t)

= 1, t ∈ [0,T ]. (2.11)

De fracties stellen ons in staat de differentiaalvergelijking van de portefeuille X (δ)(t), t ∈ [0,T ], (2.9) te

herschrijven:

d(

X (δ)(t))

(2.9)=

N

∑i=0

δi(t)d (Si(t))

2.2. PORTEFEUILLES IN EEN COMPLETE MARKT 49

= δ0(t)d (S0(t))+N

∑i=1

δi(t)d (Si(t))

(2.1)(2.7)= δ0(t)S0(t)r(t)dt +

N

∑i=1

δi(t)Si(t)

(r(t)dt +

N

∑k=1


)

=N

∑i=0

δi(t)Si(t)r(t)dt +X (δ)(t)

(N

∑i=1

δi(t)Si(t)X (δ)(t)

N

∑k=1

bi,k(θk(t)dt +dWk(t))

)

def= X (δ)(t)

(r(t)dt +

N

∑k=1

b(δ)k (t)(θk(t)dt +dWk(t))

). (2.12)

Hierbij werd in de laatste overgang de volatiliteitsvector (rijmatrix)

b(δ)(t) =[b(δ)1 (t) b(δ)2 (t) · · · b(δ)N (t)

]gedefinieerd, hierin is de ke portefeuillevolatiliteit voor elke k = 1, . . . ,N en elke t ∈ [0,T ]

b(δ)k (t) =N

∑i=1

δi(t)Si(t)X (δ)(t)

bi,k(t)(2.10)=

N

∑i=1

π(δ)i (t)bi,k(t), (2.13)

een maat voor de invloed van een verandering in Wk(t) op de portefeuillewaarde.

Analoog hebben we de appreciatiegraad a(δ)(t) van de portefeuille:

a(δ)(t) = r(t)+N

∑k=1

b(δ)k (t)θk(t), t ∈ [0,T ].

2.2.2 Verdisconteerde portefeuilles

Wanneer een consument vorig jaar e1.00 op een spaarrekening heeft gezet en die daar laat staan, dan

zal die euro reeds toegenomen zijn met renteopbrengsten. Het is dan logisch te verwachten dat ook

de waarde6 van elke omzichtig gekozen portefeuille (minstens evenveel) zal stijgen: indien je bij voor-

baat reeds verwacht dat een gekozen portefeuille minder zal opbrengen dan een spaarrekening, is deze

portefeuille niet weloverwogen, het is dan namelijk beter te kiezen voor de spaarrekening. De rente-

inkomsten zijn aldus een minimum, ze uiten de tijdswaarde van geld, het is dan ook eerlijker om bij het

waarderen de portefeuillewaarden te zuiveren van rente-inkomsten, we verdisconteren.

Binnen de financiele wiskunde is het logischerwijs de gewoonte te werken met verdisconteerde porte-

feuillewaarden. Concreet gebeurt dit door X (δ)(t) te delen door de waarde van een spaarrekening S0(t)

op tijdstip t ∈ [0,T ], deze wordt bepaald door alle rentewaarden tot op tijdstip t samen. We definieren

de verdisconteerde portefeuillewaarde:

X (δ)(t) =

X (δ)(t)S0(t)

, t ∈ [0,T ]. (2.14)

6We behandelen de getalwaarde, niet de koopwaarde, die laatste wordt beınvloed door inflatie.


Stelling 2.2.1. Voor de differentiaalvergelijking van X (δ)(t) vinden we voor t ∈ [0,T ]

d(

X (δ)(t))

=N

∑k=1

ψ(δ)k (θk(t)dt +dWk(t)), (2.15)

waarbij de ke, k = 1, . . . ,N, diffusiecoefficient ψ(δ)k (t) van de portefeuille X (δ)(t) gedefinieerd wordt

door

ψ(δ)k (t) = X (δ)

(t)b(δ)k (t) =N

∑i=1

δi(t)Si(t)S0(t)

bi,k(t). (2.16)

Bewijs. Door gebruik van de productregel (stelling 1.2.2) vinden we

d(

X (δ)(t))

(2.14)= d

(S0(t)X

(δ)(t))

(st. 1.2.2)= d (S0(t))X (δ)

(t)+S0(t)d(

X (δ)(t))+d (S0(t))d

(X (δ)

(t)).

We steunen op (2.1) en (2.12) en lossen vervolgens op naar d(

X (δ)(t))

X (δ)(t)

(r(t)dt +

N

∑k=1


)= S0(t)r(t)X

(δ)(t)dt +S0(t)d

(X (δ)

(t))+(S0(t)r(t)dt)d

(X (δ)

(t))

(2.14)(st. 1.2.3)⇔ d

(X (δ)

(t))

= X (δ)(t)

N

∑k=1

b(δ)k (t)(θ(t)dt +dWk(t)) (2.17)

(2.16)⇔ d(

X (δ)(t))

=N

∑k=1

ψ(δ)k (θk(t)dt +dWk(t)). (2.18)

Uit de differentiaalvergelijking (2.15) vinden we uitdrukkingen voor de verdisconteerde appreciatie-

graad (α(δ)(t)) en de verzamelde volatiliteit (γ(δ)(t)) van de verdisconteerde portefeuille:

α(δ)(t) =

N

∑k=1

ψ(δ)k (t)θk(t), γ

(δ)(t) =

√N

∑k=1

(ψ(δ)k (t))2, t ∈ [0,T ].

Deze stochastische processen vormen een maat voor respectievelijk de (van koersveranderingen) gezui-

verde tijdsafhankelijkheid van de verdisconteerde portefeuille, respectievelijk de koersafhankelijkheid

ervan. Concreet vormt α(δ)(t) de verwachte stijging van de verdisconteerde portefeuille en γ(δ)(t) de

onzekerheid verbonden aan het beleggen.

We merken op dat bovenstaande uitdrukkingen niet geldig zijn voor incomplete markten, maar dit enkel

omdat de marktprijs van risico θ(t) dan voorlopig niet gedefinieerd is. Zonder dit proces θ(t), t ∈ [0,T ],

is het echter eveneens perfect mogelijk een uitdrukking voor de (verdisconteerde) portefeuille op te

bouwen.

2.3. DE GOP: GROWTH OPTIMAL PORTFOLIO 51

2.3 De GOP: growth optimal portfolio

Het zou erg interessant zijn een numeraire te vinden die ervoor zorgt dat een portefeuilleproces een

welbepaalde evolutie kent, we denken hierbij aan (sub/super)martingaalprocessen. In het inleidend

hoofdstuk 1 raakten we reeds het belang hiervan aan, i.h.b. voor het prijzen van portefeuilles. In de

financiele wiskunde bestaan bepaalde stellingen die zeggen dat voor elk stochastische portefeuilleproces

X (δ)(t), t ∈ [0,T ], een numeraire bestaat die dit proces herleidt tot een (lokale) P-martingaal (zie [1]),

we zullen dit (lokaal) P-martingaalproces de numerair-portefeuille noemen.

In onderstaand stuk zoeken we naar die numerair-portefeuille, ze zal blijken gelijk te zijn aan de groei

optimale portefeuille X (δ∗)(t), t ∈ [0,T ], vaak afgekort tot GOP. We volgen hieronder de omgekeerde

redenering: we definieren de GOP en bewijzen dat ze gelijk is aan de numerair-portefeuille.

2.3.1 Definitie en afleiding in een complete markt

Een belegger is telkens op zoek naar maximale winst, het zou aldus fraai zijn een portefeuille te creeren

die maximale opbrengsten genereert. Aangezien een belegger zonder voorkennis onmogelijk kan voor-

spellen uit welke combinatie van effecten die optimale portefeuille bestaat, moeten we werken met

verwachte rendementen. In de economie werkt men bij dergelijke optimalisatievraastukken met nuts-

functies (zie [12, blz. 1.22 e.v.]), men berekent a.d.h.v. die functie (hier afhankelijk van de input δ(t))

het verwachte nut en probeert dat te maximaliseren. We mogen er — zoals in elke economische theorie

— van uit gaan dat een persoon zijn nutsfunctie stijgt naarmate de portefeuillewaarde (de winst) stijgt

(een positief marginaal nut of eerste afgeleide), maar dat de stijging kleiner wordt naarmate die per-

soon reeds meer winst maakte (eerste wet van Gossen: het marginale nut neemt af). Elke logaritmische

functie voldoet hieraan; ze stijgt degressief.

Concreet gaan we hier op zoek naar de differentiaal van de (natuurlijke) logaritme van een portefeuille,

deze zal beschikken over een appreciatiegraad en volatiliteit. Na het nemen van de verwachtingswaarde

blijft enkel de appreciatiegraad over, deze wensen we aldus te maximaliseren.

Stelling 2.3.1. De differentiaalvergelijking van de (natuurlijke) logaritme van de verdisconteerde por-

tefeuille X (δ)(t) is voor elke t ∈ [0,T ] gelijk aan:

d(

log(X (δ)(t)))=

N

∑k=1

N

∑i=1

π(δ)i (t)bi,k(t)θk(t)−

12

(N

∑i=1

π(δ)i (t)bi,k(t)

)2dt

+N

∑k=1

N

∑i=1

π(δ)i (t)bi,k(t)dWk(t). (2.19)


Bewijs. We gebruiken de Ito-formule (stelling 1.2.1) met f (x, t) = log(x) ( ft = 0, fx = 1/x en fxx =

−1/x2):

d(

log(X (δ))(t))

)(st. 1.2.1)

=1

X (δ)(t)

d(

X (δ)(t))− 1

2(X (δ)(t))2

d(

X (δ)(t))

d(

X (δ)(t))

(2.17)=

1

X (δ)(t)

(X (δ)

(t)N

∑k=1

b(δ)k (θk(t)dt +dWk(t))

)

− 1

2(X (δ)(t))2

(X (δ)

(t)N

∑k=1


)2

(st. 1.2.3)=

N

∑k=1

b(δ)k (t)(θk(t)dt +dWk(t))−12

N

∑k=1

(b(δ)k (t))2dt

(2.13)=

N

∑k=1

N

∑i=1


12

(N

∑i=1

π(δ)i (t)bi,k(t)

)2dt

+N

∑k=1

N

∑i=1

π(δ)i (t)bi,k(t)dWk(t).

Definitie 2.3.1. [15] Een strikt positief portefeuilleproces X (δ∗) =

X (δ∗)(t), t ∈ [0,T ]

noemen we

een GOP (Growth Optimal Portfolio, Groei Optimale Portefeuille) indien, voor alle strikt positieve

portefeuilles X (δ), de ongelijkheid

g(δ∗)(t) ≥ g(δ)(t), ∀t ∈ [0,T ],

bijna zeker geldt. Hierin is g(δ)(t) de appreciatiegraad van de (natuurlijke) logaritme van de verdis-

conteerde portefeuille X (δ)(t), t ∈ [0,T ]:

g(δ)(t) =N

∑k=1

N

∑i=1


12

(N

∑i=1

π(δ)i (t)bi,k(t)

)2 . (2.20)

Stelling 2.3.2. De GOP heeft op elk tijdstip t ∈ [0,T ] optimale fracties

π(δ∗)i (t) =

N

∑k=1

θk(t)b−1i,k (t), i = 1, . . . ,N,

π(δ∗)0 (t) = 1−

N

∑i=1

π(δ∗)i (t)

en voldoet bijgevolg aan de differentiaalvergelijking

d(

X (δ∗)(t))

= X (δ∗)(t)N

∑k=1

θk(t)(θk(t)dt +dWk(t)) , t ∈ [0,T ]. (2.21)


Bewijs. Om de GOP te vinden, moeten we de optimale fracties πi(t) (i = 1, . . . ,N, t ∈ [0,T ]) vinden.

We doen dit door de appreciatiegraad (van de natuurlijke logaritme) g(δ)(t) af te leiden naar de fracties

π(δ)j (t) en dit voor elke j = 1, . . . ,N gelijk te stellen aan 0:

g(δ)(t)(2.20)=

N

∑k=1

N

∑i=1


12

(N

∑i=1

π(δ)i (t)bi,k(t)

)2

∂g(δ)(t)

∂π(δ)j (t)

=N

∑k=1

b j,k(t)θk(t)−N

∑k=1

(b j,k(t)

N

∑i=1

bi,k(t)π(δ)i (t)

)

=N

∑k=1

b j,k(t)

(θk(t)−

N

∑i=1

bi,k(t)π(δ)i (t)

)= 0.

We maken nu gebruik van [20, stelling 3.2.5], nl. de dimensie van de oplossingsverzameling van een

homogeen stelsel is gelijk aan het aantal onbekenden minus de rang van de coefficientenmatrix. Het

aantal onbekenden is hier gelijk aan N, de rang van de coefficientenmatrix B is gelijk aan N wegens

veronderstelling van een complete markt. Dit homogeen stelsel heeft aldus enkel de nuloplossing als

oplossing:

θk(t) =N

∑i=1

π(δ)i (t)bi,k(t) (2.22)

(2.13)⇔ θk(t) = b(δ)k (t) ∀k = 1, . . . ,N. (2.23)

Rest ons nog te bewijzen dat deze fracties een maximum leveren, we nemen de tweede orde partiele

afgeleiden voor elke j, l = 1, . . . ,N. De Hessiaan is de matrix bestaande uit deze tweede orde partiele

afgeleiden, deze heeft op de plaats ( j, l), j, l = 1, . . . ,N, aldus de onderstaande functie staan

∂2g(δ)(t)

∂π(δ)j (t)∂π

(δ)l (t)

= −N

∑k=1

b j,k(t)bl,k(t).

We zien onmiddelijk dat de Hessiaan op elk tijdstip t ∈ [0,T ] gelijk is aan de matrix −V (t) = −B(t) ·

(B(t))tr. Voor elke vector π(δ)(t), t ∈ [0,T ], zal aldus gelden dat

(π(δ)(t)

)tr· (−B(t) · (B(t))tr) ·

(π(δ)(t)

)= −

((π(δ)(t)

)tr·B(t)

)·((

π(δ)(t)

)tr·B(t)

)tr

,

de Hessiaan is aldus negatief definiet, dit is een voldoende voorwaarde voor een maximum7. Samen

bepalen (2.22) en (2.11) aldus een maximum, bovendien worden de fracties gedefinieerd door N + 1

7We verwijzen naar [4] voor de definitie van Hessiaan (blz. 59), negatief definiet (blz. 27) en de voldoende voorwaarde

voor een minimum (blz. 82), deze laatste is makkelijk om te zetten naar een voldoende voorwaarde voor een maximum.


lineaire voorwaarden voor N +1 onbekenden, ze zijn aldus voor elke t ∈ [0,T ] uniek gedefinieerd:

π(δ∗)i (t) =

N

∑k=1

θk(t)b−1i,k (t), i = 1, . . . ,N,

π(δ∗)0 (t) = 1−

N

∑i=1

π(δ∗)i (t).

Merk op dat we hier expliciet steunen op de inverteerbaarheid van de matrix B(t), t ∈ [0,T ]. Voor de

differentiaalvergelijking van de GOP vinden we vervolgens voor t ∈ [0,T ]

d(

X (δ∗)(t))

(2.17)= X (δ∗)(t)

N

∑k=1

b(δ∗)k (t)(θk(t)dt +dWk(t))

(2.23)= X (δ∗)(t)

N

∑k=1

θk(t)(θk(t)dt +dWk(t)).

In vectorvorm krijgt bovenstaande stelling de volgende gedaante (opnieuw t ∈ [0,T ]):

θk(t)(2.23)= b(δ∗)k (t)

(2.13)⇔ θk(t) =N

∑i=1

π(δ∗)i bi,k(t)

⇔ θ(t) = (B(t))tr ·π(δ∗)(t)

⇔ π(δ∗)(t) = (B(t))− tr ·θ(t)

(2.5)⇔ π(δ∗)(t) = (B(t))− tr · (B(t))−1 · (a(t)− r(t) ·1)

def⇔ π(δ∗)(t) = (V (t))−1 · (a(t)− r(t) ·1) (2.24)

(2.5)⇔ π(δ∗)(t) = (V (t))−1 ·B(t) ·θ(t). (2.25)

Hierin is V (t) gelijk aan de variantie-covariatiematrix B(t) · (B(t))tr van de N risicovolle effecten. De

proportie π0(t) wordt dan opnieuw bepaald als het verschil van 1 en de som van de N fracties uit (2.25).

De GOP zal een belangrijke rol spelen in de rest van deze masterproef, daarom merken we nog op . . .

• . . . uit bovenstaande afleiding kunnen we besluiten dat de GOP uniek gedefinieerd is, op z’n be-

ginwaarde na. We kunnen deze groei optimale portefeuille dus zonder moeilijkheden gebruiken.

• . . . de GOP maximaliseert de uiteindelijke rijkdom op tijdshorizon T , indien er echter een latere

tijdshorizon T ′ ≥ T zou bestaan, dan is de corresponderende GOP’ gelijk aan de GOP in het

gemeenschappelijk tijdsinterval [0,T ].

• . . . onder alle beschikbare portefeuilles X (δ), zal de GOP X (δ∗) de verwachte tijd nodig om een

positieve portefeuillewaarde (groter dan de beginwaarde) te bereiken, minimaliseren.


2.3.2 De benchmark aanpak: de GOP als numeraire

In het benchmark model wordt elke portefeuille geevalueerd door vergelijking met de numerair-portefeuille,

de groei optimale portefeuille zoals we hier zullen bewijzen. De GOP wordt als numeraire gebruikt,

elke portfolio wordt uitgedrukt in eenheden van de GOP. Concreet definieren we de benchmarked por-

tefeuilles als portefeuilles met de GOP als numeraire:

X (δ)(t) =X (δ)

(t)

X (δ∗)(t), t ∈ [0,T ]. (2.26)

We bewijzen dat de benchmarked portefeuille een lokaal P-martingaalproces levert en aldus gelijk is

aan de numerair-portefeuille8. We leiden de stochastische differentiaalvergelijking af en zien dat deze

geen driftterm heeft, dit gebeurt in volgende stelling.

Stelling 2.3.3. De benchmarked portefeuilles beantwoorden voor elke t ∈ [0,T ] aan een stochastische

differentiaalvergelijking

d(

X (δ)(t))

= X (δ)(t)

(N

∑k=1

(b(δ)k (t)−θk(t))dWk(t)

), t ∈ [0,T ]. (2.27)

Bewijs. We starten met een SDV op te stellen voor de inverse GOP, deze zullen we nodig hebben om

de differentievergelijking van X (δ)(t) op te stellen. We maken gebruik van de Ito-formule (1.2.1) met

f (x, t) = 1/x ( ft = 0, fx = −1/x2 en fxx = 2/x3):

d

(1

X (δ∗)(t)

)(st. 1.2.1)

= − 1(X (δ∗)(t)

)2 d(

X (δ∗)(t))+

12

2(X (δ∗)(t)

)3 d(

X (δ∗)(t))

d(

X (δ∗)(t))

(2.21)= − 1(

X (δ∗)(t))2

(X (δ∗)(t)

N

∑k=1

θk(t)(θk(t)dt +dWk(t))

)

+1(

X (δ∗)(t))3

(X (δ∗)(t)

N

∑k=1


)2

(st. 1.2.3)=

1

X (δ∗)(t)

(−

N

∑k=1

θk(t)(θk(t)dt +dWk(t))+N

∑k=1

(θk(t))2 dt

)

= −∑Nk=1 θk(t)dWk(t)

X (δ∗)(t). (2.28)

8We stippen aan dat we de benchmarked portefeuille definieerden als het portefeuilleproces met de GOP als numeraire.

De numerair-portefeuille gebruikt die numeraire die een lokaal P-martingaalproces levert.


Vervolgens gebruiken we de Ito-productregel om (2.27) te vinden:

d(

X (δ)(t))

(2.26)= d

(X (δ)

(t)

X (δ∗)(t)

)(st. 1.2.2)

=1

X (δ∗)(t)d(

X (δ)(t))+X (δ)

(t)d

(1

X (δ∗)(t)

)+d(

X (δ)(t))

d

(1

X (δ∗)(t)

)(2.17)(2.28)

(st. 1.2.3)=

X (δ)(t)

X (δ∗)(t)

N

∑k=1


− X (δ)(t)

X (δ∗)(t)

N

∑k=1

θk(t)dWk(t)−X (δ)

(t)

X (δ∗)(t)

N

∑k=1

b(δ)k (t)θk(t)dt

= X (δ)(t)

(N

∑k=1

(b(δ)k (t)−θk(t))dWk(t)

)

telkens voor t ∈ [0,T ].

We leggen de nadruk op het feit dat het hier eigenlijk overbodig is met verdisconteerde portefeuilles te

werken, in de definitie van de benchmarked portefeuille (2.26) heffen de delingen door S0(t) in X (δ)(t)

en X (δ∗)(t) elkaar op. We herhalen bovendien dat we gebruik maakten van de veronderstelling van een

complete markt (marktprijs van risico), ook voor de GOP dringt een veralgemening zich aldus op.

Aangezien in (2.27) geen driftterm voorkomt is het aangepast stochastisch proces X (δ)(t), t ∈ [0,T ], een

lokale P-martingaal (t ∈ [0,T ]). De benchmarked portefeuille is dus gelijk aan de numerair-portefeuille,

beide begrippen worden in het vervolg door elkaar gebruikt! Vermits de martingaaleigenschap geldt

voor algemene T , volgt uit stelling 1.1.1 dat een benchmarked portefeuilleproces een P-supermartingaal

is, indien deze niet-negatief is. De voorwaarde van niet-negatieve portefeuillewaarden maakten we eer-

der reeds expliciet bij (2.9), ze is realistisch wanneer we veronderstellen dat de belegger geen geld leent

om te speculeren en we het zuiver lenen even achterwege laten. Een investeerder is slechts aansprake-

lijk tot het bedrag waarvoor hij deelneemt, we spreken van beperkte aansprakelijkheid, waarden van

effecten kunnen aldus nooit negatief zijn, dit was ook merkbaar in de oplossing van de stochastische

differentiaalvergelijking van onze N+1 effecten (zie stelling 2.1.1). Onder de voorwaarde van rationele

beleggers zullen portefeuillewaarden dan ook telkens strikt positief zijn. Eenmaal de portefeuillewaarde

de nul bereikt heeft, kan deze bovendien nooit meer strikt positief worden zoals onderstaande eigen-

schap aantoont, dit zou in strijd zijn met de niet-arbitrage voorwaarde.

Stelling 2.3.4. Zij X (δ)(t), t ∈ [0,T ], een portefeuilleproces. Wanneer we op een tijdstip τ ∈ [0,T ] een


portefeuillewaarde gelijk aan nul hebben, dan zal die portefeuille ook in de toekomst bijna zeker waarde

gelijk aan nul hebben.

Bewijs. Uit de supermartingaaleigenschap halen we eenvoudig

0 = X (δ)(τ) ≥ E[X (δ)(s)|F (τ)

]≥ 0, τ≤ s≤ T.

Aangezien de verwachtingswaarde van toekomstige portefeuillewaarden gelijk is aan nul, moet de kans

op positieve waarden gelijk zijn aan de kans op negatieve waarden, die laatste is wegens strikt positivi-

teit van de portefeuilleprocessen echter nul:

P[X (δ)(s)> 0|F (τ)

]= P

[X (δ)(s)< 0|F (τ)

]= 0, τ≤ s≤ T.

De portefeuille zal dus bijna zeker waarde 0 hebben op elk tijdstip later dan τ:

P[X (δ)(s) = 0|F (τ)

]= 1, τ≤ s≤ T.

2.3.3 Bespreking

We introduceerden de GOP hier met voorbedachte rade! Het belang van de GOP voor deze master-

proef zit hem niet zozeer in de definitie als groei optimale portefeuille, maar wel in de eigenschap dat

benchmarked portfolio’s de lokale P-martingaaleigenschap hebben en wegens bovenstaande bespre-

king de P-supermartingaaleigenschap bezitten. Onderstaande stelling toont aan dat de GOP het enige

portefeuilleproces is dat hiervoor zorgt, het is de enige numerair-portefeuille.

Stelling 2.3.5. [1] Zij U de verzameling van alle toelaatbare zelffinancierende portefeuilles X (δ)(t),

t ∈ [0,T ], zodat elk element ook als numeraire kan dienen. Wanneer de numerair-portefeuille X(t) ∈U,

t ∈ [0,T ], bestaat — deze levert als numeraire voor elk portefeuilleproces een lokale P-martingaal —

dan is dat proces de GOP X (δ∗)(t), t ∈ [0,T ]!

Bewijs. Zij X(t), t ∈ [0,T ], de numerair-portefeuille uit de opgave, die dus lokale martingalen oplevert

t.o.v. de echte kansen P en zij X (δ)(t), t ∈ [0,T ], een toelaatbare zelffinancierende portefeuillestrategie

(een element uit U) met X(0) = X (δ)(0), eventueel X(t) zelf. Dan vinden we door de lokale marting-

aaleigenschap:

E

[X (δ)

(T )X(T )

]=

X (δ)(0)

X(0)

= 1.


Vanuit Jensen’s ongelijkheid, zie [17, blz. 18], maken we op dat

E

[log

(X (δ)

(T )X(T )

)]≤ log

(E

[X (δ)

(T )X(T )

])= 0,

we hebben aldus dat voor elke X (δ) ∈ U

E

[log

(X (δ)

(T )X(T )

)]≤ 0 ⇔ E

[log(

X (δ)(T ))]≤ E

[log(X(T )

)].

Aangezien X(t), t ∈ [0,T ], een toelaatbare portefeuille is, is deze weldegelijk bereikbaar, en lost ze dus

het vraagstuk maxX (δ)∈U

E[logX (δ)

(T )]

op.

Herinner de definitie van de GOP, X (δ∗)(t), t ∈ [0,T ], als het portefeuilleproces met het hoogste ver-

wachte logaritmische nut. Het vinden van de GOP is aldus equivalent met het oplossen van het maxi-

malisatievraagstuk hierboven; elke oplossing van het maximalisatievraagstuk is dus een GOP en deze

GOP is uniek gedefinieerd (zie de uniek gedefinieerde optimale fracties uit stelling 2.3.2). Aldus heeft

ook het maximalisatievraagstuk een unieke oplossing, de GOP. Nu is elke numerair-portefeuille X(t),

t ∈ [0,T ], ook een oplossing van het maximalisatievraagstuk, we besluiten dat de numerair-porteffeuille

uniek is en gelijk is aan de groei optimale portefeuille. Die GOP zal als numeraire lokale P-martingalen

— en dus P-supermartingalen — opleveren.

2.4 Een veralgemening voor een incomplete markt

Zoals eerder reeds gesteld, vormt een incomplete markt geen obstructie voor de benchmark aanpak. De

werkwijze is dezelfde, we definieren een portefeuille, zoeken de groei optimale portfolio, gebruiken

deze als numeraire om elke portefeuille te evalueren en zien dat deze lokale P-martingalen oplevert.

De afleiding ervan zorgt echter voor ietwat moeilijkere uitdrukkingen, omdat de marktprijs van risico

(de vector θ(t)) nu niet gedefinieerd is (lijkt). Er zijn nu immers M > N koersen9, de dimensie van de

Brownse Beweging is dus gelijk aan M en B(t) is niet langer inverteerbaar. Een veralgemening dringt

zich aldus op!

2.4.1 Veralgemening van effecten en portefeuilles

We werken opnieuw met een financiele markt — continu open en arbitrageloos — waar men kan hande-

len in N+1 verschillende effecten Si≥ 0, i= 0,. . . ,N. Elk van deze effecten wordt gemodelleerd a.d.h.v.9Herinner dat voor M < N een inkrimping van het aantal effecten tot M volstond.

2.4. EEN VERALGEMENING VOOR EEN INCOMPLETE MARKT 59

een gefilterde kansruimte (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P) met tijdshorizon T zodat ze voldoen aan een stochasti-

sche differentiaalvergelijking. We starten met de generalisering van de vergelijkingen (2.1) en (2.2), we

hebben nu immers te maken met een Brownse Beweging W (t) =[W1(t) · · · WN(t) · · · WM(t)

]tr,

t ∈ [0,T ] van dimensie M > N. Elk risicovol effect kan afhankelijk zijn van een of meerdere van deze

M koersen, de stochastische differentiaalvergelijkingen van deze N effecten ondergaan derhalve een

verandering, deze van de risicoloze spaarrekening (2.1) blijft gelijk:

d (S0(t)) = S0(t)r(t)dt, t ∈ [0,T ], (2.29)

d (Si(t)) = Si(t)

(ai(t)dt +

M

∑k=1

bi,k(t)dWk(t)

), t ∈ [0,T ] en i = 1, . . . ,N. (2.30)

Omdat we onszelf opleggen met verdisconteerde waarden te werken, leiden we ook de stochastische

differentiaalvergelijkingen af voor de verdisconteerde effecten:

d(S0(t)

)= d (1) = 0 (2.31)

d (Si(t)) = d(Si(t)S0(t)

)(st. 1.2.2)

= Si(t)d (S0(t))+S0(t)d(Si(t)

)+d(Si(t)

)d (S0(t)) .

We steunen op stelling 1.2.3 en lossen de laatste vergelijking op naar d(Si(t)

):

d(Si(t)

)=

d (Si(t))−Si(t)(S0(t))S0(t)

(2.30)⇔ d(Si(t)

)= Si(t)

((ai(t)− r(t))dt +

M

∑k=1

bi,k(t)dWk(t)

). (2.32)

We trekken opnieuw de aandacht op de voorwaarde Si(t) > 0 voor alle t ∈ [0,T ] ten gevolge van de

beperkte aansprakelijkheid, deze is opnieuw vervuld in ons model door de keuze van stochastische

differentiaalvergelijkingen (2.29) en (2.30). Overeenkomstig het complete geval definieren we op-

nieuw een volatiliteitsmatix B(t) = bi,k(t), i = 1, . . . ,N;k = 1, . . . ,M , t ∈ [0,T ], en een appreciatie-

vector a(t) =[a1(t) · · · aN(t)

]tr, t ∈ [0,T ]. Deze hebben dezelfde interpretaties als in het complete

geval maar dus wel een andere dimensie, we onderstellen eveneens dezelfde voorwaarden betreffende

het bestaan van de oplossing: voorspelbaarheid van de volatiliteitsmatrix en∫ t

0

N

∑i=1|ai(s)|ds < + ∞ en

∫ t

0

N

∑i=1

M

∑k=1

b2i,k(s)ds < + ∞ b.z.

Aangezien we nu echter geen vierkante volatiliteitsmatrix hebben, zien we niet onmiddellijk hoe we

een marktprijs van risico θ(t) (zie (2.4)) kunnen invoeren, we kunnen de stochastische differentiaal-

vergelijking van de risicovolle effecten dus onmogelijk vereenvoudigen en dit zorgt voor moeilijkere

uitdrukkingen op weg naar de afleiding van de GOP.


Dit uit zich reeds in de differentiaalvergelijking van een portefeuille in een incomplete markt. Op basis

van de N + 1 aanwezige effecten kunnen we nog wel een portefeuilleproces creeren: elke verstandige

belegger zal zijn volledige liquiditeiten investeren in een combinatie van de N + 1 effecten in de fi-

nanciele markt. Dit gebeurt op grond van een strategie δ(t) =[δ0(t) δ1(t) · · · δN(t)

]: op tijdstip

t worden δi(t) eenheden geınvesteerd in effect Si, met verdisconteerde waarde δi(t)Si(t), i = 0, . . . ,N.

Aldus krijgen we op elk tijdstip t ∈ [0,T ] een totale verdisconteerde portefeuillewaarde X (δ)(t) (zie ook

(2.8))

X (δ)(t) =

N

∑i=0

δi(t)Si(t), t ∈ [0,T ].

Opnieuw uitgaande van een zelffinancierend portefeuilleproces kunnen we een differentiaalvergelijking

voor dit portefeuilleproces afleiden (t ∈ [0,T ]):

d(

X (δ)(t))

=N

∑i=0

δi(t)d(Si(t)

)(2.31)(2.32)=

N

∑i=1

δi(t)Si(t)

((ai(t)− r(t))dt +

M

∑k=1

bi,k(t)dWk(t)

)

= X (δ)(t)

N

∑i=1

δi(t)Si(t)

X (δ)(t)

((ai(t)− r(t))dt +

M

∑k=1

bi,k(t)dWk(t)

)

(2.10)= X (δ)

(t)

N

∑i=1

π(δ)i (t)ai(t)︸︷︷︸

def= a(δ)(t)

−N

∑i=1

π(δ)i (t)r(t)

dt +M

∑k=1

N

∑i=1

π(δ)i (t)bi,k(t)︸︷︷︸def= b(δ)k (t)

dWk(t)

(2.33)

(2.11)= X (δ)

(t)

((a(δ)(t)− (1−π

(δ)0 (t))r(t)

)dt +

M

∑k=1

b(δ)k (t)dWk(t)

).

Men merkt hier dat — op het eerste zicht — een minder mooie uitdrukking verkregen wordt voor de sto-

chastische differentiaalvergelijking van het portefeuilleproces dan in het geval van een complete markt

(zie (2.18)). In functie van de elegantheid van de verdere afleiding, werken we verder met de matrix-

notatie van het portefeuilleproces en de hierbij noodzakelijke matrixvoorstellingen van de fractievector

(π(δ)(t)), de appreciatievector (a(t)) en de volatiliteitsmatrix (B(t)), telkens voor t ∈ [0,T ]. Uit (2.33)

vinden we eenvoudig:

dX (δ)(t) = X (δ)

(t)(

π(δ)(t)

)tr· ((a(t)− r(t) ·1)dt +B(t) ·dW (t)) (2.34)


met 1 de eenheids(kolom)matrix van dimensie N en

π(δ)(t) =

π(δ)1 (t)

π(δ)2 (t)

...

π(δ)N (t)

, a(t) =

a1(t)

a2(t)...

aN(t)

, d (W (t)) =

d (W1(t))

d (W2(t))...

d (WM(t))

(2.35)

B(t) =

b1,1(t) b1,2(t) . . . b1,M(t)

b2,1(t) b2,2(t) . . . b2,M(t)...

.... . .

...

bN,1(t) bN,2(t) . . . bN,M(t)

.

2.4.2 De veralgemeende GOP en benchmarked portefeuilles

We maken gebruik van onderstaande stelling uit de financiele wiskunde

Stelling 2.4.1. [1, aangepast] Zij U de verzameling van alle toelaatbare zelffinancierende portefeuilles

X (δ)(t), t ∈ [0,T ], zodat elk element ook als numeraire kan dienen.

(a) Er bestaat een portefeuille X ∈ U zodat elke portefeuilleproces uit U met X als numeraire een

lokale martingaal vormt in de historische kans P:

∀X (δ) ∈ U :X (δ)

Xis een lokale P-martingaal.

(b) Het portefeuilleproces X maximaliseert het verwachte logaritmische nut van een portefeuille-

proces. X is dus niks meer of minder dan de GOP (Growth Optimal Portfolio, Groei Optimale

Portefeuille) X (δ∗).

(c) Ook in incomplete markten is deze GOP, die dus een lokale martingaal oplevert in geval van

gebruik als numeraire, uniek gedefinieerd op de beginwaarde na.

We hebben bovendien (eveneens een veralgemening van het geval van complete markten) . . .

• . . . de GOP maximaliseert de uiteindelijke rijkdom op tijdshorizon T , indien er echter een la-

tere tijdshorizon T ′ ≥ T zou bestaan, dan is de corresponderende GOP’ gelijk aan GOP in het

gemeenschappelijk tijdsinterval [0,T ].

• . . . onder alle beschikbare portefeuilles X (δ), zal de GOP X (δ∗) de nodige tijd om een positieve

portefeuillewaarde (groter dan de beginwaarde) te bereiken, minimaliseren.


Bewijs. (a) We bewijzen dit door de groei optimale portefeuille X (δ)(t), t ∈ [0,T ] af te leiden en aan

te tonen dat indien we deze als numeraire gebruiken voor elk portefeuilleproces, we lokale (in het

tijdsinterval [0,T ]) martingalen verkrijgen. In dat geval hebben we het bestaan van een numeraire

X ∈ U zoals in de opgave van stelling 2.4.1(a) besproken. We zoeken de GOP door de oplossing

te zoeken van volgend optimalisatievraagstuk, dit is dezelfde manier als in het complete geval,

dit keer evenwel in vectorvorm:

maxX (δ)∈U

E[logX (δ)

(t)]

met voorwaarde (2.34)

d(

X (δ)(t))

= X (δ)(t)(π(δ)(t)

)tr · ((a(t)− r(t) ·1)dt +B(t) ·d (W (t)))

We maken gebruik van de Ito-formule voor Ito-processen (stelling 1.2.1) om de stochastische

differentiaalvergelijking van de natuurlijke logaritme van de portefeuille te vinden. Nog steeds

in vectorvorm zien we:

d(

log(

X (δ)(t)))

(st. 1.2.1)=

1

X (δ)(t)

d(

X (δ)(t))+

12

−1(X (δ)

(t))2

(d(

X (δ)(t)))2

(2.34)(st. 1.2.3)

=(

π(δ)(t)

)tr· ((a(t)− r(t) ·1)dt +B(t) ·d (W (t)))

− 12

((π(δ)(t)

)tr·B(t)

)·((

π(δ)(t)

)tr·B(t)

)tr

dt

=

((π(δ)(t)

)tr· (a(t)− r(t) ·1)− 1

2

((π(δ)(t)

)tr·B(t)

)·((

π(δ)(t)

)tr·B(t)

)tr)dt

+(

π(δ)(t)

)tr·B(t) ·d (W (t)) .

Om de verwachtingswaarde hiervan te maximaliseren, volstaat het de dt-term te maximaliseren:

g(δ)(t) def=(

π(δ)(t)

)tr· (a(t)− r(t) ·1)− 1

2

((π(δ)(t)

)tr·B(t)·

)·((

π(δ)(t)

)tr·B(t)

)tr

.

Om nu deze laatste uitdrukking (g(δ)(t)) te maximaliseren, leiden we af naar π(δ)(t), volgens de

productregel voor de afgeleide van een product van vectoriele functies (zie [4, sectie 5.4]) vinden

we

∂g(δ)(t)∂π(δ)(t)

= (a(t)− r(t) ·1)− 12

(((B(t))tr ·π(δ)(t)

)tr· (B(t))tr +

(π(δ)(t)

)tr·B(t) · (B(t))tr

)= (a(t)− r(t) ·1)−B(t) · (B(t))tr ·π(δ)(t).


Deze uitdrukking is gelijk aan nul a.s.a.

π(δ∗)(t) =

(B(t) · (B(t))tr)−1 · (a(t)− r(t) ·1) def

= (V (t))−1 · (a(t)− r(t) ·1), (2.36)

hierin is V (t) = B(t) · (B(t))tr de variantie-covariantiematrix van de N risicovolle effecten.

Stel vast dat deze matrixuitdrukking voor de optimale fracties dezelfde is als in het complete

geval (2.24). Dit is dus een algemene matrixuitdrukking, dit keer echter met de matrix B(t) niet

noodzakelijk vierkant (incomplete markt). V (t) = B(t) · (B(t))tr is uiteraard wel vierkant.

Om te bewijzen dat de fracties (2.36) een maximum opleveren, moeten we nog nagaan of de

tweede-orde voorwaarde voor zo’n maximum voldaan is. We leiden g(δ)(t) een tweede keer af

naar π(δ)(t) en bekomen de Hessiaan:

∂2g(δ)(t)

∂(π(δ)(t)

)2 = −B(t) · (B(t))tr .

Uit de symmetrische vorm van deze Hessiaan volgt dat deze negatief definiet is: voor elke vector

π(δ)(t), t ∈ [0,T ], zal gelden dat(π(δ)(t)

)tr·(−B(t) · (B(t))tr) ·(π

(δ)(t))

= −((

π(δ)(t)

)tr·B(t)

)·((

π(δ)(t)

)tr·B(t)

)tr

.

Dit is een voldoende voorwaarde voor een maximum10.

We kunnen tot slot de optimale fracties (2.36) invullen in de stochastische differentiaalvergelij-

king van een portefeuille, we bekomen aldus de GOP:

d(

X (δ∗)(t))

(2.34)= X (δ∗)(t)

(π(δ∗)(t)

)tr· ((a(t)−1 · r(t))dt +B(t) ·d (W (t))) . (2.37)

We bewijzen nu dat elk portefeuilleproces met de GOP als numeraire een lokaal martingaalproces

volgt. We doen dit door de stochastische differentiaalvergelijking van deze benchmarked porte-

feuilles te bepalen. Hiervoor hebben we eerst volgende uidrukking nodig, we maken gebruik van

de Ito-formule (1.2.1) met f (t,x) = 1/x ( ft = 0, fx = −1/x2 en fxx = 2/x3):

d

(1

X (δ∗)(t)

)(st. 1.2.1)

= −d(

X (δ∗)(t))

(X (δ∗)(t)

)2 +

(d(

X (δ∗)(t)))2

(X (δ∗)(t)

)3

(2.37)= − 1

X (δ∗)(t)

(π(δ∗)(t)

)tr· ((a(t)− r(t) ·1)dt +B(t) ·d (W (t)))

+1

X (δ∗)(t)

((π(δ∗)(t)

)tr·B(t)

)·((

π(δ∗)(t)

)tr·B(t)

)tr

dt. (2.38)

10We verwijzen naar [4] voor de definitie van Hessiaan (blz. 59), negatief definiet (blz. 27) en de voldoende voorwaarde

voor een minimum (blz. 82), deze laatste is makkelijk om te zetten naar een voldoende voorwaarde voor een maximum.


Vervolgens leiden we via de Ito-productregel (1.2.2) de stochastische differentiaalvergelijking af

van de benchmarked portefeuille:

d(

X (δ)(t))

= d

(X (δ)

(t)

X (δ∗)(t)

)(st. 1.2.2)

=1

X (δ∗)(t)d(

X (δ)(t))+X (δ)

(t)d

(1

X (δ∗)(t)

)+d(

X (δ)(t))

d

(1

X (δ∗)(t)

)

(2.38)(2.34)=

X (δ)(t)

X (δ∗)(t)

(π(δ)(t)

)tr· ((a(t)− r(t) ·1)dt +B(t) ·d (W (t)))

− X (δ)(t)

X (δ∗)(t)

(π(δ∗)(t)

)tr· ((a(t)− r(t) ·1)dt +B(t) ·d (W (t)))

+X (δ)

(t)

X (δ∗)(t)

((π(δ∗)(t)

)tr·B(t) · (B(t))tr ·π(δ∗)(t)

)dt

− X (δ)(t)

X (δ∗)(t)

((π(δ)(t)

)tr·B(t) · (B(t))tr ·π(δ∗)(t)

)dt.

We beschouwen nu enkel de dt-term, indien deze gelijk is aan nul, hebben we te maken met een

lokale martingaal:

X (δ)(t)

X (δ∗)(t)

((π(δ)(t)

)tr−(

π(δ∗)(t)

)tr)·(

a(t)− r(t) ·1−B(t) · (B(t))tr ·π(δ∗)(t))

(2.36)= 0.

We verkrijgen aldus de stochastische differentiaalvergelijking van een benchmarked portefeuille

in een incomplete markt

d(

X (δ)(t))

= X (δ)(t)((

π(δ)(t)

)tr−(

π(δ∗)(t)

)tr)·B(t) ·d (W (t)) . (2.39)

Deze bevat geen dt-term, waaruit (a) volgt.

(b) Uit (a) vonden we reeds dat de GOP als numeraire lokale P-martingalen oplevert, het is aldus

voldoende te bewijzen dat elk portefeuilleproces X dat voldoet aan de voorwaarde uit (a) gelijk

is aan de (unieke) GOP. Dit kan gebeuren op dezelfde manier als in 2.3.5.

(c) De uniciteit van de numeraire GOP (en dus ook van de numerair-portefeuille) volgt uit de unieke

voorwaarde (2.36) voor de fracties.

Aangezien het benchmarked portefeuilleproces een lokaal P-martingaalproces is, en de GOP aldus ge-

lijk is aan de numerair-portefeuille, zal wegens stelling 1.1.1 het benchmarked portefeuilleproces ook


voor incomplete markten een supermartingaalproces vormen onder de echte kansmaat P. De voor-

waarde van strikt positieve portefeuilleprocessen rechtvaardigden we reeds eerder.

67

Hoofdstuk 3

De numerair-portefeuille in geval van

sprongen

Voorlopig zijn we uit gegaan van continu evoluerende effectenwaarden, deze worden gemodelleerd

o.b.v. een Brownse Beweging W (t) =[W1(t) · · · WM(t)

]tr, t ∈ [0,T ]. In dit hoofdstuk aanvaarden

we de optie tot sprongen in effectwaarden. Vooraleer we hier dieper op ingaan, zoeken we een algemene

uitdrukking voor een portefeuille, los van de (in)compleetheid van de markt.

3.1 Dan toch een marktprijs van risico . . .

De kritische lezer had zich misschien reeds de vraag gesteld of het niet mogelijk is een veralgemeende

marktprijs van risico te definieren en op basis daarvan de ganse theorie voor complete markten te ge-

neraliseren naar een algemene markt? Kan men ook voor een niet vierkante volatiliteitsmatrix B(t)

een marktprijs van risico definieren? Het antwoord is bevestigend! Omdat dergelijke veralgemening

ietwat uit de lucht lijkt te vallen, hebben we er voor gekozen dit in het vorige hoofdstuk nog niet aan

te wenden. Nu is het echter noodzakelijk, want ze reikt ons onmiddellijk ook een uitdrukking voor een

portefeuille in een algemene markt, deze zullen we kunnen gebruiken om op een vlotte manier door te

werken met algemene portefeuilleprocessen.

Hieronder wordt de veralgemeende marktprijs van risico θ(t), t ∈ [0,T ], gedefinieerd. We leggen de

nadruk op het feit dat we hier weldegelijk een veralgemening definieren, in een complete markt herleidt

68 HOOFDSTUK 3. DE NUMERAIR-PORTEFEUILLE IN GEVAL VAN SPRONGEN

deze zich tot de oude definitie (2.5) voor complete markten.

θ(t) = (B(t))tr ·(B(t) · (B(t))tr)−1 · (a(t)− r(t) ·1)

⇔ B(t) ·θ(t) =(B(t) · (B(t))tr) · (B(t) · (B(t))tr)−1 · (a(t)− r(t) ·1)

⇔ a(t)− r(t) ·1 = B(t) ·θ(t). (3.1)

Substitueren we deze laatste uitdrukking in de vergelijking (2.36) van de groei optimale fracties π(δ∗)(t),

dan vinden we een mooiere uitdrukking voor (2.36), tevens een veralgemening van (2.25):

π(δ∗)(t)

(3.1)(2.36)= (V (t))−1 ·B(t) ·θ(t) (2.36)

=(B(t) · (B(t))tr)−1 ·B(t) ·θ(t). (3.2)

Brengen we de gelijkheid (3.1) in de differentiaalvergelijking (2.34), dan vinden we een uitdrukking

voor een algemene portefeuille. We bekomen wonderbaarlijk, maar gelukkig, eenzelfde uitdrukking als

in het complete geval (zie 2.15), enkel de bovengrens is hier veralgemeend naar een M ≥ N:

dX (δ)(t)

(2.34)= X (δ)

(t)(

π(δ)(t)

)tr· ((a(t)− r(t) ·1)dt +B(t) ·dW (t))

(3.1)= X (δ)

(t)(

π(δ)(t)

)tr·B(t) · (θ(t)dt +dW (t)) (3.3)

= X (δ)(t)

M

∑k=1

N

∑i=1

π(δ)i (t)bi,k(t)(θk(t)dt +dWk(t))

(2.13)= X (δ)

(t)M

∑k=1


(2.16)=

M

∑k=1

ψ(δ)k (t)(θk(t)dt +dWk(t)) . (3.4)

Uit de differentiaalvergelijking (3.4) vinden we veralgemeende uitdrukkingen voor de (verdisconteerde)

appreciatiegraad (α(δ)(t)) en de (verzamelde) volatiliteit (γ(δ)(t)) van de verdisconteerde portefeuille1:

α(δ)(t) =

M

∑k=1

ψ(δ)k (t)θk(t), γ

(δ)(t) =

√M

∑k=1

(ψ(δ)k (t))2, t ∈ [0,T ]. (3.5)

Deze stochastische processen vormen een maat voor respectievelijk de (van koersveranderingen) gezui-

verde tijdsafhankelijkheid van de portefeuille, respectievelijk de koersafhankelijkheid ervan. Concreet

vormt α(δ)(t) de verwachte groei van de portefeuille en γ(δ)(t) de onzekerheid verbonden aan het be-

leggen. De GOP is perfect op vlak van de verwachte groei, maar niet noodzakelijk op vlak van de

onzekerheid, we komen hier later op terug in hoofdstuk 4.

1Aangezien we altijd zullen werken met verdisconteerde portefeuille, laten we de term ‘verdisconteerd’ geregeld wegval-

len.

3.1. DAN TOCH EEN MARKTPRIJS VAN RISICO . . . 69

In het vervolg onderstellen we telkens dat de totale marktprijs van risico 0 < |θ(t)| < +∞, zodat de

(verdisconteerde) appreciatiegraad van een portefeuille b.z. en voor elke t ∈ [0,T ] verschilt van 0, deze

gedachte is samenhangend met de realiteit.

Met behulp van (3.3) en (3.2) kunnen we ook een stochastische differentiaalvergelijking voor de GOP

afleiden, hiervoor merken we eerst op dat voor alle t ∈ [0,T ]

(B(t))tr ·(B(t) · (B(t))tr)−1 ·B(t) = 1 (3.6)

⇔(B(t) · (B(t))tr) · (B(t) · (B(t))tr)−1 (B(t) · (B(t))tr) = B(t) · (B(t))tr

⇔ B(t) · (B(t))tr = B(t) · (B(t))tr,

waardoor we eenzelfde uitdrukking als in (2.21) vinden:

dX (δ∗)(t)(3.3)= X (δ∗)(t)

(π(δ∗)(t)

)tr·B(t) · (θ(t)dt +dW (t))

(3.2)= X (δ∗)(t)

((B(t) · (B(t))tr)−1 B(t) ·θ(t)


= X (δ∗)(t) (θ(t))tr · (B(t))tr ·(

B(t) ·((B(t))tr)−1


= X (δ∗)(t) (θ(t))tr · (B(t))tr ·(B(t) · (B(t))tr)−1 ·B(t) · (θ(t)dt +dW (t))

(3.6)= X (δ∗)(t) (θ(t))tr · (θ(t)dt +dW (t)) . (3.7)

Tot slot kunnen we (3.3) en (3.7) combineren om een algemene uitdrukking van de benchmarked porte-

feuille X (δ)(t), t ∈ [0,T ], af te leiden, de Ito-productregel (stelling 1.2.2) geeft ons het juiste instrument.

Daarvoor moeten we echter de Ito-formule (stelling 1.2.1) met f (t,x) = 1/x ( ft = 0, fx = −1/x2 en

fxx = 2/x3) aanwenden:

d

(1

X (δ∗)(t)

)(st. 1.2.1)

= −d(

X (δ∗)(t))

(X (δ∗)(t)

)2 +

(d(

X (δ∗)(t)))2

(X (δ∗)(t)

)3

(3.7)= − 1

X (δ∗)(t)(θ(t))tr · (θ(t)dt +dW (t))+

1

X (δ∗)(t)(θ(t))tr ·θ(t)dt

= −(θ(t))tr ·dW (t)(X (δ∗)(t)

) . (3.8)

Nu komt de Ito-productregel van pas:

d(

X (δ)(t))

(2.26)= d

(X (δ)

(t)

X (δ∗)(t)

)


(st. 1.2.2)=

1

X (δ∗)(t)d(

X (δ)(t))+X (δ)

(t)d

(1

X (δ∗)(t)

)+d(

X (δ)(t))

d

(1

X (δ∗)(t)

)

(3.3)(3.8)=

X (δ)(t)

X (δ∗)(t)

(π(δ)(t)


− X (δ)(t)

X (δ∗)(t)(θ(t))tr ·dW (t)− X (δ)

(t)

X (δ∗)(t)

(π(δ)(t)

)tr·B(t) ·θ(t)dt

=X (δ)

(t)

X (δ∗)(t)

((π(δ)(t)

)tr·B(t)− (θ(t))tr

)·dW (t)

(2.26)= X (δ)(t)

((π(δ)(t)

)tr·B(t)− (θ(t))tr

)·dW (t). (3.9)

Deze uitdrukking geeft ons aldus een algemene stochastische differentiaalvergelijking van een bench-

marked portefeuilleproces. Het is een veralgemening van (2.39), rekening houdend met (3.2), en de

vorm is dezelfde als in (2.27), rekening houdend met (2.13).

3.2 Sprongen in portefeuillewaarden

3.2.1 Bespreking

In dit stuk is het de bedoeling het benchmark model verder uit te breiden zodat het nog realistischer is.

Voorlopig volgden de effectwaarden een continu pad, de Brownse Beweging wordt algemeen aanvaard

als het summum om deze continue processen te modelleren. In voorgaand stuk zagen we dat a.d.h.v.

dit model de benchmarked portefeuilles een vrij eenvoudige uitdrukking hebben. In de praktijk is het

traject van een portefeuillewaarde verre van continu, de waarde van een effect — en dus ook van een

portefeuille — kan discrete sprongen vertonen. Deze plotse sprongen kunnen bijvoorbeeld het gevolg

zijn van onvoorspelbare faillissementen of onvoorziene omstandigheden die tot abrupte koersdalingen

leiden. Om deze sprongen te modelleren maken we gebruik van de Poissonprocessen die we in deel 1.3

invoerden.

We bouwen verder aan de effectenmarkt met N + 1 verschillende effecten Si ≥ 0, i = 0, . . . ,N. Het

modelleren gebeurt nog steeds o.b.v. een gefilterde kansruimte (Ω,FT ,F (t)t∈[0,T ],P), met T ∈]0,∞[

de tijdshorizon. De spaarrekening wordt vertolkt door het effect S0, de spaarrekening is risicoloos en

de evolutie volgt een continue proces, de waarde van de spaarrekening zal dan ook geen last hebben

van abrupte sprongen. De stochastische differentiaalvergelijking is dezelfde als voorheen: voor alle

3.2. SPRONGEN IN PORTEFEUILLEWAARDEN 71

t ∈ [0,T ] geldt

d (S0(t)) = S0(t)r(t)dt en d(S0(t)

)= 0, (3.10)

met beginwaarde S0(0) > 0 volgt dat S0(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ].

Bij de andere N effecten, deze zijn niet risicoloos, zullen wel sprongen kunnen optreden, om deze te

modelleren maken we aldus gebruik van telprocessen. Aangezien er meerdere onvoorspelbare omstan-

digheden kunnen optreden en deze allen met een verschillende intensiteit zullen voorkomen, zullen

we moeten gebruik maken van meerdere telprocessen, algemeen zullen we er K ∈ N beschouwen:

P1(t), . . . ,PK(t), t ∈ [0,T ]. Aangezien het gebruik van Poissonprocessen aangemoedigd wordt voor het

tellen van (zeldzame) onvoorziene gebeurtenissen kiest men in de literatuur altijd voor deze bijzondere

telprocessen. De K Poissonprocessen zijn bij onderstelling en conform de realiteit F (t)-meetbaar, op

tijdstip t ∈ [0,T ] kennen we de exacte waarde van P1(t), . . . ,PK(t).

Het is niet ondenkbaar dat de intensiteit van de Poissonprocessen evolueert doorheen de tijd, zo lopen

bedrijven bijvoorbeeld een groter faillisementrisico in tijden van laagconjunctuur. Deze tijdsafhanke-

lijkheid van de intensiteit is vervat in de niet-homogene Poissonprocessen, we veronderstellen wel dat

elk van de intensiteitsprocessen F (t)-meetbaar is, dit is eveneens overeenstemmend met de werkelijk-

heid. We zullen de K intensiteitsprocessen noteren als λl , l = 1, . . . ,K, zo dat het proces λl(t), t ∈ [0,T ],

bij het telproces Pl(t), t ∈ [0,T ], behoort. Naast de F (t)-meetbaarheid eisen we ook nog dat de inten-

siteitsprocessen voorspelbaar, strikt positief en integreerbaar zijn over [0,T]: voor elke l = 1, . . . ,K en

elke t ∈ [0,T ] geldt

λl(t) > 0 en∫ t

0λl(u)du < +∞ (b.z.).

Bovendien eisen we ook nog dat de sprongen van twee verschillende Poissonprocessen niet tergelijker-

tijd kunnen optreden. In perioden waarin het ene effect waarde verliest, zal het voor een ander effect

vaak ook moeilijker zijn zijn waarde te behouden. Het kan aldus gebeuren dat een schok in het ene

bedrijf samenvalt met een schok in het andere bedrijf, denk bijvoorbeeld aan een totale marktcrash,

deze schok wordt dan voorgesteld door een Poissonproces die een invloed heeft op beide effecten. De

eis van niet samenvallende sprongen is dus volstrekt legitiem.

Vanuit hoofdstuk 1 herinneren we ons dat de gecompenseerde Poissonprocessen Pl(t), t ∈ [0,T ] en

l = 0, . . . ,K, (lokale) martingaalprocessen vormen. We herhalen de definitie: voor elke l = 1, . . . ,K en


t ∈ [0,T ] is het gecompenseerde Poissonproces Pl(t) gelijk aan de gecentreerde versie van Pl(t)

Pl(t) = Pl(t)−∫ t

0λl(u)du (3.11)

of in differentiaalvorm schrijven we

d(

Pl(t))

= d (Pl(t))−λl(t)dt (3.12)

voor de le sprongmartingaal op tijdstip t ∈ [0,T ].

De algemene uitdrukking van de stoschastische differentiaalvergelijking van de risicovolle effecten zal

er bijgevolg als volgt uitzien: voor alle t ∈ [0,T ] hebben we

d (Si(t)) = Si(t-)

(ai(t)dt +

M

∑k=1

bi,k(t)dWk(t)+K

∑l=1

di,l(t-)dPl(t)

)

⇔ d(Si(t)

)= Si(t-)

((ai(t)− r(t))dt +

M

∑k=1

bi,k(t)dWk(t)+K

∑l=1

di,l(t-)dPl(t)

).

(3.13)

met beginwaarde Si(0) > 0 volgt dat Si(t) ≥ 0, ∀t ∈ [0,T ] en ∀i = 1, . . . ,N.

We definieren het aangepast stochastisch proces di,l(t), t ∈ [0,T ], hier als het proces dat voor elke

i = 1, . . . ,N, elke l = 1, . . . ,K en op elk tijdstip t ∈ [0,T ] aangeeft welk effect een sprong in Pl op

tijdstip t heeft op de waarde van het ie effect.

Merk op dat we hier verplicht zijn gebruik te maken van Si(t-); de verandering op tijdstip t wordt

berekend o.b.v. de waarde van Si net voor tijdstip t. In het geval zonder sprongen was er geen probleem.

Doordat de effectwaarden continu waren volgde voor alle i = 1, . . . ,N en alle t ∈ [0,T ] dat lims→ts<t

Si(s) =

Si(t). In het algemenere geval met sprongen dat we hier beschrijven, geldt deze limietvoorwaarde niet

meer, is het aldus niet zeker dat Si(t-) = Si(t) en is het noodzakelijk effectief gebruik te maken van

Si(t-) i.p.v. Si(t).

3.2.2 Modellering van een portefeuille met sprongen

Bovenstaande theorie kunnen we nu toevoegen aan het portefeuillemodel dat we reeds geconstrueerd

hadden. We zijn verplicht opnieuw te starten vanuit de stochastische differentiaalvergelijking van een

algemene portefeuille, dit keer echter met inbegrip van sprongen. De continue evolutie van de N + 1

effecten wordt gemodelleerd door de M-dimensionale Brownse Beweging, de discrete sprongen worden

3.2. SPRONGEN IN PORTEFEUILLEWAARDEN 73

ingevoerd onder de vorm van K gecompenseerde Poissonprocessen, zoals gezien in (3.13). Het is nu

voldoende deze nieuwe gedaantes van de effecten in de portefeuille — opnieuw zelffinancierend on-

dersteld — te substitueren om de differentiaalvergelijking van een algemeen portefeuilleproces X (δ)(t),

t ∈ [0,T ], te vinden. Het proces δ(t) =[δ0(t) δ1(t) · · · δN(t)

], t ∈ [0,T ], bevat opnieuw de stra-

tegie. We concluderen aldus voor elke t ∈ [0,T ]

X (δ)(t) =N

∑i=1

δi(t)Si(t)

d(

X (δ)(t))

=N

∑i=1

δi(t)d(Si(t)

)(3.13)=

N

∑i=1

δi(t)Si(t-)

((ai(t)− r(t))dt +

M

∑k=1

bi,k(t)dWk(t)+K

∑l=1

di,l(t-)dPl(t)

)

= X (δ)(t-)

N

∑i=1

δi(t)Si(t-)

X (δ)(t-)

((ai(t)− r(t))dt +

M

∑k=1

bi,k(t)dWk(t)+K

∑l=1

di,l(t-)dPl(t)

)(3.14)

(2.10)= X (δ)

(t)

N

∑i=1

π(δ)i (t)ai(t)︸︷︷︸

def= a(δ)(t)

−N

∑i=1

π(δ)i (t)r(t)

dt

+ X (δ)(t-)

M

∑k=1

N

∑i=1

πi(t)bi,k(t)︸︷︷︸def= b(δ)k (t)

dWk(t)+K

∑l=1

N

∑i=1

πi(t-)di,l(t-)︸︷︷︸def= d(δ)

l (t-)

dPl(t)

(3.15)

(2.11)= X (δ)

(t-)

((a(δ)(t)−

(1−π

(δ)0 (t)

)r(t))

dt +M

∑k=1

b(δ)k (t)dWk(t)+K

∑l=1

d(δ)i,l (t-)dPl(t)

).

Doorheen de rest van dit stuk zullen we afwissellen tussen de somvorm en de matrixvorm van diffe-

rentiaalvergelijkingen, de matrixnotatie geniet onze voorkeur, maar het is niet altijd mogelijk deze te

gebruiken, beide vormen zullen aldus van pas komen. Hier verkiezen we tijdelijk verder te werken in

matrixvorm, we definieren daartoe onderstaande matrices:

D(t) =

d1,1(t) d1,2(t) . . . d1,K(t)

d2,1(t) d2,2(t) . . . d2,K(t)...

.... . .

...

dN,1(t) dN,2(t) . . . dN,K(t)

en d(

P(t))

=

d(

P1(t))

d(

P2(t))

...

d(

PK(t))

.


De matrices 1, π(δ)(t), a(t), B(t) en d (W (t)) zijn gedefinieerde zoals op pagina 61.

Uit (3.14) verkrijgen we bijgevolg een uitbreiding van (2.34)

dX (δ)(t) = X (δ)

(t-)(

π(δ)(t-)

)tr·((a(t)− r(t) ·1)dt +B(t) ·dW (t)+D(t-) ·dP(t)

).

Definieren we nu de matrix N× (M+K)-matrix [B(t) D(t)] en de (M+K)-dimensionale kolomvector

[dW (t) dP(t)], dan kunnen we bovenstaand resultaat schrijven als:

dX (δ)(t) = X (δ)

(t-)(

π(δ)(t-)

)tr·((a(t)− r(t) ·1)dt +[B(t) D(t-)] · [dW (t) dP(t)]

). (3.16)

Het voordeel hiervan is dat we een equivalente uitdrukking krijgen als in (3.3), maar dit keer dus inclu-

sief sprongen. Dit wil dan ook zeggen dat we exact hetzelfde parcours kunnen volgen om de differen-

tiaalvergelijking van de bechmarked portefeuille te construeren. We starten aldus met een definitie van

de marktprijs van risico, θ(t) is nu voor elke t ∈ [0,T ] een M+K-dimensionale vector:

θ(t) = [B(t) D(t)]tr ·([B(t) D(t)] · [B(t) D(t)]tr

)−1 · (a(t)− r(t) ·1)

⇔ a(t)− r(t) ·1 = [B(t) D(t)] ·θ(t). (3.17)

Hierdoor kunnen we aldus de differentiaalvergelijking van een portefeuilleproces vereenvoudigen:

dX (δ)(t)

(3.16)= X (δ)

(t-)(

π(δ)(t-)

)tr·((a(t)− r(t) ·1)dt +[B(t) D(t-)] · [dW (t) dP(t)]

)(3.17)= X (δ)

(t-)(

π(δ)(t-)

)tr· [B(t) D(t-)] ·

(θ(t)dt +[dW (t) dP(t)]

). (3.18)

We definieren nu het stochastisch proces ψ(δ)(t), t ∈ [0,T ], als het diffusieproces van het portefeuille-

proces Xδ(t), t ∈ [0,T ]:

ψ(δ)(t) = X (δ)

(t)(

π(δ)(t)

)tr[B(t) D(t)] (3.19)

⇔

ψ(δ)k (t) = X (δ)

(t)N

∑i=1

π(δ)i (t)bi,k(t) k = 1, . . . ,M

ψ(δ)l (t) = X (δ)

(t)N

∑i=1

π(δ)i (t)di,l(t) l = M+1, . . . ,M+K,

ψ(δ)j (t) wordt de je diffusiecoefficient van het portefeuilleproces X (δ) genoemd. Deze definitie zet ons

aan de stochastische differentiaalvergelijking van het portefeuilleproces X (δ)(t), t ∈ [0,T ], te herschrij-

ven in functie van het diffusieproces

dX (δ)(t)

(3.18)= X (δ)

(t-)(

π(δ)(t-)

)tr· [B(t) D(t-)] ·


)(3.19)= ψ

(δ)(t-) ·(

θ(t)dt +[dW (t) dP(t)])

(3.19)=

M

∑k=1

ψ(δ)k (t)(θk(t)dt +dWk(t))+

K

∑l=1

ψ(δ)M+l(t-)(θM+l(t)dt +dPl(t)). (3.20)

3.3. DE GOP IN EEN MARKT MET SPRONGEN 75

O.b.v. deze differentiaalvergelijking kunnen we een veralgemening geven van de stochastische proces-

sen (3.5). α(δ)(t) geeft de (verdisconteerde) appreciatiegraad van de portefeuille X (δ)(t), op tijdstip

t aan, tevens de verwachtingswaarde van de groei. γ(δ)(t) geeft de volatiliteit van de verdisconteerde

portefeuille X (δ)(t) op tijdstip t. In beide definities is nu echter rekening gehouden met het voorkomen

van sprongen, dit komt tot uiting in de veralgemeende vorm (3.19) van ψ(δ)(t), t ∈ [0,T ].

α(δ)(t) =

M+K

∑j=1

ψ(δ)j (t)θ j(t), γ

(δ)(t) =

√√√√M+K

∑j=1

(ψ(δ)j (t))2, t ∈ [0,T ]. (3.21)

3.3 De GOP in een markt met sprongen

Om de GOP bloot te leggen, zoeken we traditioneel de stochastische differentiaalvergelijking van het

logaritmisch portefeuilleproces, log(

X (δ)(t))

, t ∈ [0,T ]. We zoeken naar de portefeuille met het groot-

ste verwachte nut, de logaritmische functie wordt als nutsfunctie gebruikt. Voor de verwachtingswaarde

is enkel de dt-term, de groeigraad, van belang, andere termen verdwijnen vanwege hun martingaalei-

genschap.

Vervolgens zullen we een algemene bechmarked portefeuille afleiden, we verkiezen de GOP als nume-

raire en merken dat deze benchmarked portefeuille opnieuw een lokaal martingaalproces vormt.

3.3.1 De GOP met sprongen

Starten doen we aldus met het zoeken van een portefeuille die een maximaal logaritmisch nut oplevert.

Vooraleer aan te vatten met de berekeningen stappen we opnieuw over op de somnotaties. Verderwerken

met de matrices zou ons verplichten allerlei nieuwe matrices in te voeren en vectoren in stukken te

verdelen. Daarom verkiezen we hier om zonder matrices te werken en alle sommen uit te schrijven, we

vinden dan:

d(

X (δ)(t))

= X (δ)(t)

N

∑i=1

π(δ)i (t)

M

∑k=1


+X (δ)(t-)

N

∑i=1

π(δ)i (t-)

K

∑l=1

di,l(t-)(

θM+l(t)dt +dPl(t)). (3.22)

We gebruiken de Ito-formule 1.4.17 waarmee we hoofstuk 1 afgesloten hebben

d ( f (t,X(t))) =∂ f∂t

(t,X(t))dt +b(t)∂ f∂x

(t,X(t))dt +σ2(t)

2∂2 f∂x2 (t,X(t))dt

+∂ f∂x

σ(t)dW (t)+( f (X(t-)+∆X(t))− f (X(t-))) ,


en passen toe op de functie f (t,x) = log(x), ( ft = 0, fx = 1/x en fxx =−1/x2). We moeten echter vooraf

goed nadenken. In de eerste plaats gaat de Ito-formule uit van een sprongproces waarvan ∆X(t) de

respectievelijke sprongen zijn, Pl(t) = Pl(t)−∫ t

0 λl(u)du, t ∈ [0,T ], is geen sprongproces, we moeten

dus tijdelijk overgaan op Pl(t):

d(

X (δ)(t))

= X (δ)(t)

N

∑i=1

π(δ)i (t)

(M

∑k=1

bi,k(t)θk(t)+K

∑l=1

di,l(t)(θM+l(t)−λl(t))

)︸︷︷︸

genoteerd als b(t) in stelling 1.4.17

dt (3.23)

+ X (δ)(t)

N

∑i=1

π(δ)i (t)

M

∑k=1

bi,k(t)︸︷︷︸in stelling 1.4.17 zou men noteren σk(t)

dWk(t)+X (δ)(t-)

N

∑i=1

π(δ)i (t-)

K

∑l=1

di,l(t-)︸︷︷︸we noteren ∆Xl(t)

dPl(t).

Ten tweede hebben we meerdere sprongprocessen hier, we hebben er K om precies te zijn, dit moe-

ten we in het achterhoofd houden, de sprongprocessen zijn onafhankelijk en kunnen niet gelijktijdig

optreden. Indien op tijdstip t ∈ [0,T ] het sprongproces Pl een sprong maakt, is de invloed van die

sprong, stel ∆Xl(t) gelijk aan, X(t-)∑Ni=1 π

(δ)i (t-)di,l(t-) en dit geldt voor elke l = 1, . . . ,K. We kunnen

het sprongstuk uit de Ito-formule 1.4.17 aldus herschrijven als

f (X(t-)+∆X(t))− f (X(t-)) =K

∑l=1

( f (X(t-)+∆Xl(t))− f (X(t-)))dPl(t),

merk op dat indien het sprongproces Pl geen sprong maakt op tijdstip t deze ook niet aan bod komt in

de differentiaalvergelijking van f (X(t)), dit komt door de factor dPl(t) — deze is gelijk aan 0 in dat

geval — die we toevoegden.

We zijn nu helemaal klaar om de Ito-formule toe te passen, we vinden achtereenvolgens

d(

log(

X (δ)(t)))

(3.23)(st. 1.4.17)

=1

X (δ)(t)

X (δ)(t)

N

∑i=1

π(δ)i (t)

(M

∑k=1

bi,k(t)θk(t)+K

∑l=1


)dt

− 1

2(

X (δ)(t))2

(X (δ)

(t))2 M

∑k=1

(N

∑i=1

π(δ)i (t)bi,k(t)

)2

dt

+1

X (δ)(t)

X (δ)(t)

N

∑i=1

π(δ)i

M

∑k=1

bi,k(t)dWk(t)

+1

X (δ)(t-)

X (δ)(t-)

K

∑l=1

(log

(X(t-)+X(t-)

N

∑i=1

π(δ)i (t-)di,l(t-)

)− log(X(t-))

)dPl(t)

=N

∑i=1

π(δ)i (t)

(M

∑k=1

bi,k(t)θk(t)+K

∑l=1


)dt


− 12

M

∑k=1

(N

∑i=1

π(δ)i (t)bi,k(t)

)2

dt +N

∑i=1

π(δ)i

M

∑k=1

bi,k(t)dWk(t)

+K

∑l=1

log

(1+

N

∑i=1


)dPl(t)

(3.12)=

N

∑i=1

π(δ)i (t)

(M

∑k=1

bi,k(t)θk(t)+K

∑l=1


)dt

− 12

M

∑k=1

(N

∑i=1

π(δ)i (t)bi,k(t)

)2

dt +N

∑i=1

π(δ)i

M

∑k=1

bi,k(t)dWk(t)

+K

∑l=1

log

(1+

N

∑i=1


)(dPl(t)+λl(t)dt)

def= g(δ)(t)dt +

M

∑k=1

N

∑i=1

π(δ)i (t)bi,k(t)dWk(t)

+K

∑l=1

log

(1+

N

∑i=1


)dPl(t).

Hierin werd de groeigraad g(δ)(t) voor elke t ∈ [0,T ] gedefinieerd als

g(δ)(t) =M

∑k=1

N

∑i=1


12

(N

∑i=1

π(δ)i (t)bi,k

)2

+K

∑l=1

(N

∑i=1

π(δ)i (t)di,l(t)(θM+l(t)−λl(t))+ log

(1+

N

∑i=1

π(δ)i (t)di,l(t)

)λl(t)

).

Het is nu de bedoeling de verwachtingswaarde van het logaritmische nut van het portefeuilleproces

te maximaliseren, dit gebeurt door de fracties te zoeken die de groeigraad maximaliseren. De eerste

orde voorwaarde hiervoor stelt dat de eerste orde partiele afgeleiden van de groeigraad naar elk van de

fracties gelijk moet zijn aan 0. We leiden af en vinden:

∂g(δ)(t)

∂π(δ)j (t)

=M

∑k=1

b j,k(t)

(θk(t)−

N

∑i=1

bi,k(t)π(δ)i (t)

)

+K

∑l=1

d j,l(t)

(θM+l(t)−λl(t)+

λl(t)

1+∑Ni=1 π

(δ)i (t)di,l(t)

). (3.24)

De eerste som (over k) komt ons bekend voor, het is dezelfde als in de situatie zonder sprongen, ze

drukt het verwachte rendement uit van de continue evolutie van de effecten, per definitie zal dit aldus

een positieve term zijn. Hetzelfde geldt dan voor het verwachte rendement van de discrete sprongen,

dit is de tweede som (over l), we zullen weliswaar onderstellen dat voor elke l = 1, . . . ,K geldt dat de

(M+ l)e term van de marktprijs van risico strikt kleiner is dan de le term van de sprongintensiteit, deze

voorwaarde is noodzakelijk om een uniek maximum te hebben.


Als som van twee positieve sommen zal de afgeleide slechts gelijk zijn aan nul indien beide sommen

gelijk zijn aan nul. Voor de eerste term herinneren we ons dat dit enkel en alleen het geval is indien

voor elke k = 1, . . . ,M geldt

θk(t)−N

∑i=1

bi,k(t)π(δ)i (t) = 0 voor k = 1, . . . ,M.

De reden hiertoe is [20, stelling 3.2.5], deze stelt dat de dimensie van de oplossingsverzameling van

een homogeen stelsel gelijk is aan het aantal onbekenden min de rang van de coefficientenmatrix.

Het aantal onbekenden is hier gelijk aan N, de coefficientenmatrix B(t) heeft op elk tijdstip t rang

gelijk aan N, in het andere geval zou men te maken hebben met lineair afhankelijke rijen en dus met

equivalente effectcombinaties, dit is tegen eerdere veronderstellingen. We kunnen aldus besluiten dat

de nuloplossing de enige oplossing is van de eerste som. Voor de tweede som kunnen we dezelfde reden

aanhalen, het aantal onbekenden is opnieuw gelijk aan N, de dimensie van de coefficientenmatrix D(t)

is gelijk aan N, we vinden aldus

θM+l(t)−λl(t)+λl(t)

1+∑Ni=1 π

(δ)i (t)di,l(t)

= 0 voor l = 1, . . . ,K.

We definieren nu het (M+K)-dimensionale proces, op elk moment t ∈ [0,T ] een vector c(t)

ck(t) =

θk(t) voor k = 1, . . . ,M,

θk(t)λk−M(t)−θk(t)

voor k = M+1, . . . ,M+K.(3.25)

We zien onmiddellijk waarom we onderstelden dat θM+l(t) < λl(t), de proporties moeten namelijk

positieve waarden hebben. We kunnen nu de proporties π(δ∗)(t) voor elke t ∈ [0,T ] gelijkstellen

π(δ∗)(t) def

= (V (t-))−1 · [B(t) D(t-)] · c(t), (3.26)

waarbij V (t) nu de variantie-covariantiematrix is van het portefeuilleproces, inclusief de sprongen:

V (t-) = [B(t) D(t-)] ([B(t) D(t-)])tr voor t ∈ [0,T ].

Om aan te tonen dat deze fracties π(δ∗)(t) een maximum vormen, stellen we de tweede orde voorwaarde

op: we leiden (3.24) nogmaals af, dit maal naar π(δ)q (t):

∂2g(δ)(t)

∂π(δ)j (t)∂π

(δ)q (t)

= −M

∑k=1

b j,k(t)bq,k(t)−K

∑l=1

d j,l(t)dq,l(t)λl(t)(

1+∑Ni=1 π

(δ)i (t)di,l(t)

)2

= −B(t) · (B(t))tr−Y (t).


−B(t) · (B(t))tr is negatief definiet, zoals we eerder aantoonden, indien we ook kunnen aantonen dat

−Y (t) met (Y (t)) j,q = ∑Kl=1 d j,l(t)dq,l(t)

λl(t)(1+∑

Ni=1 π

(δ)i (t)di,l(t)

)2 negatief definiet is, is bewezen dat we een

maximum gevonden hebben. De som van twee negatief definiete matrices is namelijk negatief definiet.

We gaan wat dieper in op de structuur van Y (t) door de elementen uit te schrijven. We definieren eerst

zl(t) = λl(t)(1+∑

Ni=1 π

(δ)i (t)di,l(t)

)2 en vinden:

y j,q(t) = (Y (t)) j,q =K

∑l=1

d j,l(t)zl(t)dq,l(t),

zodat

Y (t) = D(t) ·diagz1(t),z2(t), . . . ,zK(t) · (D(t))tr.

Het mag duidelijk zijn dat dit een positief definiete matrix is; neem een algemene N-dimensionele

vector π(δ)(t) dan geldt voor elke t ∈ [0,T ] dat

(π(δ)(t)

)tr·Y (t) ·π(δ)(t) =

(π(δ)(t)

)tr·D(t) ·Z(t) · (D(t))tr ·π(δ)(t)

=((D(t))tr ·π(δ)(t)

)tr·Z(t) ·

((D(t))tr ·π(δ)(t)

).

Aangezien Z(t) een diagonaalmatrix is bestaande uit positieve diagonaalelementen is Z(t) op elk tijdstip

t ∈ [0,T ] positief definiet, bijgevolg is Y (t) op elk tijdstip t ∈ [0,T ] positief definiet. Tot slot kunnen we

dus besluiten dat de Hessiaan −(B(t))tr ·B(t)−Y (t) als som van twee negatief definiete matrices zelf

negatief definiet is. We besluiten dat de proporties π(δ∗)(t), t ∈ [0,T ], zoals gedefinieerd in (3.26) een

maximum vormen, ze vormen de optimale fracties van de groei optimale portefeuille (GOP).

3.3.2 Benchmarked portefeuilles met sprongen

We hebben nu de GOP gevonden, de volgende stap is om deze te gebruiken als numeraire om zo

elke portefeuille te vergelijken met deze groei optimale portefeuille. Er zal opnieuw blijken dat deze

benchmarked portefeuilles een lokaal martingaalproces vormen. De opbouw en resultaat van dit stuk

is aldus hetzelfde als in 2.3.2 en 2.4.2, de precieze berekeningen worden weliswaar een stuk lastiger

aangezien we nu ook rekening moeten houden met Poissonprocessen.

We starten vanuit de algemene vorm van een portefeuilleproces X (δ)(t), t ∈ [0,T ], met sprongen, zie


(3.22)

d(

X (δ)(t))

= X (δ)(t)

N

∑i=1

π(δ)i (t)

M

∑k=1


+X (δ)(t-)

N

∑i=1

π(δ)i (t-)

K

∑l=1

di,l(t-)(

θM+l(t)dt +dPl(t))

= X (δ)(t-)(

π(δ)(t-)

)tr· [B(t) D(t-)] ·


).

Vullen we de fracties π(δ∗)(t-) (3.26), in dan vinden we eenvoudig

d(

X (δ∗)(t))

= X (δ∗)(t-)(

π(δ∗)(t-)

)tr· [B(t) D(t-)] ·


)(3.26)= X (δ∗)(t-)

((V (t-))−1 · [B(t) D(t-)] · c(t-)

)tr· [B(t) D(t-)] ·


)= X (δ∗)(t-)(c(t-))tr · [B(t) D(t-)]tr(V (t-))−tr[B(t) D(t-)]︸︷︷︸

analoog aan (3.6) is dit gelijk aan 1

·(

θ(t)dt +[dW (t) dP(t)])

(3.25)= X (δ∗)(t-)

(M

∑k=1

θk(t)(θk(t)dt +dWk(t))+K

∑l=1

θM+l(t-)λl(t-)−θM+l(t-)

(θM+l(t)dt +dPl(t))

)(3.12)= X (δ∗)(t-)

(M

∑k=1


∑l=1

θM+l(t-)λl(t-)−θM+l(t-)

((θM+l(t)−λl(t))dt +dPl(t))

).

De laatste overgang is noodzakelijk om hierna de Ito-formule 1.4.17 te kunnen gebruiken. We zijn

namelijk op zoek naar de stochastische differentiaalvergelijking van de benchmarked portefeuilles

X (δ)(t) =X (δ)

(t)

X (δ∗)(t). (3.27)

Deze stochastische differentiaalvegelijking zullen we vinden door de Ito-productformule 1.4.14 toe te

passen op X(t) = X (δ)(t) en Y (t) = 1/X (δ∗)(t), deze laatste moeten we vinden a.d.h.v. de Ito-formule

1.4.17. We gebruiken f (t,x) = 1/x, ( ft = 0, fx =−1/x2 en fxx = 2/x3):

d

(1

X (δ)(t)

)(st. 1.4.17)

= 0− 1(X (δ)

(t))2 X (δ)

(t)

(M

∑k=1

(θk(t))2−K

∑l=1

θM+l(t)

)dt

+12

2(X (δ)

(t))3

(X (δ)

(t))2 M

∑k=1

(θk(t))2dt− 1(X (δ)

(t))2 X (δ)

(t)M

∑k=1

θk(t)dWk(t)

+K

∑l=1

1

X (δ)(t-)+X (δ)

(t-) θM+l(t-)λl(t-)−θM+l(t-)

− 1

X (δ)(t-)

dPl(t)

=1

X (δ)(t)

K

∑l=1

θM+l(t)dt− 1

X (δ)(t)

M

∑k=1

θk(t)dWk(t)−1

X (δ)(t-)

K

∑l=1

θM+l(t-)λl(t)

dPl(t)


(3.12)= − 1

X (δ)(t-)

(M

∑k=1

θk(t)dWk(t)+K

∑l=1

θM+l(t-)λl(t-)

dPl(t)

). (3.28)

Vervolgens gebruiken we de Ito-productformule 1.4.14 voor een product van twee semimartingalen.

Vooraf merken we op dat door de onafhankelijkheid van P t.o.v. de tijd en de tijd t.o.v. zichzelf: dP(t) ·

dt = dt ·dt = 0

d[P, P](t)(3.11)= d[P−

∫ ·0

λ(u)du,P−∫ ·

0λ(u)du](t)

= d[P,P](t)(1.9)= dP(t)

(3.12)= dP(t)−λ(t)dt.

Uiteraard geldt nog steeds dW (t) · dt = 0, dW (t) · dW (t) = dt en wegens onafhankelijkheid van

de processen dW (t) · dP(t) = 0, uit dit laatste zal volgen dan d[W + P,W + P](t) = d[W,W ](t)+

d[P, P](t). We zullen deze laatste opmerkingen gebruiken in onderstaande afleiding, meerbepaald in de

derde overgang, in functie van toepassing van de Ito-productformule:

d(

X (δ)(t))

(3.27)= d

(X (δ)

(t)

X (δ∗)(t)

)

(st. 1.4.14)=

d(

X (δ)(t))

X (δ∗)(t)+d

(1

X (δ∗)(t)

)X (δ)

(t)+d

[X (δ)

(t),1

X (δ∗)(t)

]

(3.22)(3.28)= − X (δ)

(t-)

X (δ∗)(t-)

(N

∑k=1

θk(t)dWk(t)+K

∑l=1

θM+l(t-)λl(t-)

dPl(t)

)

+X (δ)

(t-)

X (δ∗)(t-)

N

∑k=1

π(δ)i (t-)

(M

∑k=1

bi,k(t)(θk(t)dt +dWk(t))+K

∑l=1

di,l(t-)(θM+l(t)dt +dPl(t))

)

+d

[X (δ)

(t),1

X (δ∗)(t)

]

= − X (δ)(t-)

X (δ∗)(t-)

(N

∑k=1

θk(t)dWk(t)+K

∑l=1

θM+l(t-)λl(t-)

dPl(t)

)

+X (δ)

(t-)

X (δ∗)(t-)

N

∑k=1

π(δ)i (t-)

(M

∑k=1

bi,k(t)(θk(t)dt +dWk(t))+K

∑l=1

di,l(t-)(θM+l(t)dt +dPl(t))

)

− X (δ)(t)

X (δ∗)(t)

N

∑i=1

π(δ)i (t)

M

∑k=1

bi,k(t)θk(t)dt


− X (δ)(t-)

X (δ∗)(t-)

N

∑i=1

π(δ)i (t-)

K

∑l=1

di,l(t-)θM+l(t-)

λl(t-)(dPl(t)+λl(t)dt)

=X (δ)

(t)

X (δ∗)(t)

M

∑k=1

(N

∑i=1

π(δ)i (t)bi,k(t)−θk(t)

)dWk(t)

+X (δ)

(t-)

X (δ∗)(t-)

K

∑l=1

(N

∑i=1

(π(δ)i (t-)di,l(t-)

)(1− θM+l(t-)

λl(t-)

)− θM+l(t-)

λl(t-)

)dPl(t)

(3.27)= X (δ)(t)

M

∑k=1

(N

∑i=1


)dWk(t)

+ X (δ)(t-)K

∑l=1

(N

∑i=1


)(1− θM+l(t-)

λl(t-)

)− θM+l(t-)

λl(t-)

)dPl(t). (3.29)

Hiermee is aangetoond dat de benchmarked portefeuilleprocessen X (δ)(t), t ∈ [0,T ], een lokaal mar-

tingaalproces vormt. Wegens stelling 1.1.1 weten we dat dit proces een supermartingaalproces is.

83

Hoofdstuk 4

De benchmark aanpak in de praktijk

In hoofdstuk 2 introduceerden we de benchmark aanpak voor een (in)complete markt, waarin de effec-

ten een continu waardeproces volgden, in hoofdstuk 3 voegden we hieraan de mogelijkheid tot sprongen

toe. In beide gevallen bekwamen we het besluit dat benchmarked portefeuilles een lokaal martingaal-

proces vormen onder de werkelijke kansmaat. Dit zal erg interessant zijn om de werkelijke risico’s van

portefeuilles in te schatten, ook voor het waarderen van portefeuilles zal het nut van de benchmark aan-

pak naar voor komen. In dit hoofdstuk bespreken we uitvoerig de voor- en nadelen van de benchmark

aanpak, eerst bespreken we echter drie benaderende indexen voor de groei optimale portefeuille, de

marktportefeuille zal hier een van blijken te zijn.

4.1 Optimale portefeuilles en de marktportefeuille

De groei optimale portefeuille (GOP) mag dan wel een optimale verwachte groei kennen, ze kan een

groot risico op verlies met zich meebrengen. Vandaar ook het belang van de GOP als numerair-

portefeuille, eerder dan als de optimale portefeuille. Wanneer we het namelijk hebben over een optimale

portefeuille kijken we verder dan de verwachte groei alleen, de risico’s verbonden aan een strategie spe-

len ook mee.

4.1.1 Bespreking en afleiding

We geven een natuurlijke definitie voor een optimale portefeuille, deze houdt — in tegenstelling tot de

GOP — naast de appreciatiegraad ook rekening met het risico, de volatiliteit.

Definitie 4.1.1. [15] We noemen een strikt positieve portefeuille X (δ)(t), t ∈ [0,T ], optimaal indien

84 HOOFDSTUK 4. DE BENCHMARK AANPAK IN DE PRAKTIJK

voor elke t ∈ [0,T ] en elke strikt positieve portefeuille X (δ)(t), t ∈ [0,T ], die aan de gelijkheid

γ(δ)(t) = γ

(δ)(t)

voldoet, geldt

α(δ)(t) ≥ α

(δ)(t).

Feitelijk kan men de verzameling U van toegelaten zelffinancierende portefeuilles onderverdelen in

risicoklassen, in zo’n klasse zitten dan alle portefeuilles met eenzelfde risico γ. Een portefeuille is

optimaal indien hij — vergeleken met z’n klasgenoten — maximale verwachte groei genereert. Een

intelligente belegger zal altijd een optimale portefeuilletheorie volgen. Merk op dat er aldus meer dan

een optimale portefeuille bestaat, nl. minimum zoveel als er risicoklassen zijn. We stippen ook aan dat

de GOP, met strategie δ∗, een van de vele optimale portefeuilles is. Aangezien het de portefeuille is

met de grootste verwachte groei, zal het economisch ook logisch zijn dat hiermee het grootste risico

gepaard gaat. Een belegger die een risico verkiest dat verschilt van γ(δ∗), zal de voorkeur geven aan een

andere strategie.

We lopen verder door de theorie door de Sharpe-verhouding in te voeren, dit is een belangrijke karak-

teristiek voor investeringen. Op basis daarvan geven we een kenmerk van optimale portefeuilles en

brengen we de stochastische differentiaalvergelijking van de portefeuille tot een nieuwe gedaante.

Definitie 4.1.2. [15] De relatieve volatiliteit b(δ)(t), t ∈ [0,T ], van een portefeuille wordt gedefinieerd

als de verhouding van de totale volatiliteit en de verdisconteerde portefeuillewaarde, de relatieve ap-

preciatiegraad (of premie) p(δ)(t), t ∈ [0,T ], bepalen we als de verhouding van de appreciatiegraad

en de verdisconteerde portefeuillewaarde:

p(δ)(t) =α(δ)(t)

X (δ)(t)

, b(δ)(t) =γ(δ)(t)

X (δ)(t)

, t ∈ [0,T ]. (4.1)

De Sharpe-verhouding s(δ)(t) is op elk tijdstip t ∈ [0,T ] gedefinieerd als de verhouding van de (rela-

tieve) appreciatiegraad en de (relatieve) volatiliteit:

s(δ)(t) =α(δ)(t)γ(δ)(t)

(4.1)=

p(δ)(t)b(δ)(t)

. (4.2)

Het zal niet verbazen dat William Sharpe zijn ratio eerst de naam ‘reward-to-variability’ gaf, ze geeft

een verhouding van de verwachte winst van een portefeuille tegenover de variabiliteit. De Sharpe-

verhouding zal stijgen indien voor een vast risico, de appreciatiegraad vergroot of voor een vaste appre-

ciatiegraad het risico verkleint. Optimale portefeuilles zullen aldus binnen een bepaalde risicoklasse de

Sharpe-verhouding maximaliseren, dit wordt in onderstaande stelling wiskundig bewezen.

4.1. OPTIMALE PORTEFEUILLES EN DE MARKTPORTEFEUILLE 85

Stelling 4.1.1. Voor elke strikt positieve portefeuille X (δ) is de Sharpe-verhouding s(δ) op elk tijdstip

t ∈ [0,T ] naar boven begrensd door de totale marktprijs van risico:

s(δ)(t) ≤ |θ(t)| ,

gelijkheid vindt plaats wanneer X (δ) een optimale portefeuille X (δ) is. De waarde X (δ) op tijdstip t van

een optimale portefeuille volgt de stochastische differentiaalvergelijking

d(

X (δ)(t))

= X (δ)(t-)

b(δ)(t-)|θ(t-)|

(M

∑k=1


∑l=1

θM+l(t-)(θM+l(t)dt +dPl(t))

),

(4.3)

met optimale fracties (π(δ)(t)

)tr=

b(δ)(t)|θ(t)|

(π(δ∗)(t)

)trt ∈ [0,T ], (4.4)

waarbij π(δ∗)(t) de vector van groei optimale fracties van de GOP is, zie (3.26).

Bewijs. Om een optimale portefeuille te creeren, maximaliseren we voor elke t ∈ [0,T ] de appreciatie-

graad α(δ)(t) (3.21) onder de voorwaarde γ(δ)(t) = γ(δ)(t). We gebruiken hiervoor de Lagrangefunctie

G(ψ(δ)(t),λ)

G(ψ(δ)(t),λ) =M+K

∑j=1

ψ(δ)j (t)θ j(t)+λ

((γ(δ)(t)

)2−

M+K

∑j=1

(ψ(δ)j (t)

)2).

Leiden we vervolgens af naar de termen ψ(δ)j (t) en λ en stellen we gelijk aan 0 — om een maximum te

bekomen voor G(·) — dan vinden we twee eerste-orde-voorwaarden, voor j = 1, . . . ,M+K

∂G

∂ψ(δ)j (t)

(ψ(δ)(t),λ) = θ j(t)−2λψ(δ)j (t) = 0,

∂G∂λ

(ψ(δ)(t),λ) =(

γ(δ)(t))2−

M+K

∑k=1

(ψ(δ)k (t)

)2= 0.

Een portefeuilleproces waarvoor deze voorwaarden gelden, voldoet voor j = 1, . . . ,M+K aan

ψ(δ)j (t) =

θ j(t)2λ

, (4.5)(γ(δ)(t)

)2=

M+K

∑k=1

(ψ(δ)k (t)

)2(4.5)=

(|θ(t)|

2λ

)2

, (4.6)

wat op zijn beurt weer leidt tot

λ(4.6)=

12|θ(t)|γ(δ)(t)

> 0 (4.7)

ψ(δ)j (t)

(4.5)=

θ j(t)2λ

(4.7)=

θ j(t)

|θ(t)|/γ(δ)(t)=

θ j(t)γ(δ)(t)|θ(t)|

. (4.8)


Voor de tweede-orde-voorwaarden hebben we de gerande Hessiaan1 nodig, we hebben namelijk te

maken met het maximaliseren van een Lagrangefunctie met bijhorende voorwaarde γ(δ)(t) = γ(δ)(t).

Voldoen de leidende minoren Hk(t) van de gerande Hessiaanmatrix in het stationaire ‘punt’ 2 voor elke

t ∈ [0,T ] aan H1(t) = 0 en (−1)k−1Hk(t) > 0, k = 2,3, . . . ,M +K + 1, dan hebben we te maken met

een maximum. De portefeuille die met zo’n maximum overeen komt, is dan optimaal. De gerande

Hessiaanmatrix wordt voor elke t ∈ [0,T ] gedefinieerd door de symmetrische matrix

H(t) =

∂2G∂λ2

∂2G∂λ∂ψ

(δ)1 (t)

· · · ∂2G∂λ∂ψ

(δ)M+K(t)

∂2G∂ψ

(δ)1 (t)∂λ

∂2G

∂

(ψ(δ)1 (t)

)2 · · · ∂2G∂ψ

(δ)1 (t)∂ψ

(δ)M+K(t)

......

. . ....

∂2G∂ψ

(δ)M+K(t)∂λ

∂2G∂ψ

(δ)M+K(t)∂ψ

(δ)1 (t)

· · · ∂2G

∂

(ψ(δ)M+K(t)

)2

.

Voor de tweede-orde-voorwaarden hebben we aldus nood aan de tweede-orde-afgeleiden, deze zullen

worden geevalueerd in de stationaire punten. Steunen we op de eerste-orde-voorwaarden dan vinden

we voor j 6= k deze tweede-orde-afgeleiden

∂2G∂λ2 (ψ

(δ)(t),λ) = 0,∂2G

∂λ∂ψ(δ)j (t)

(ψ(δ)(t),λ) =∂2G

∂ψ(δ)j (t)∂λ

(ψ(δ)(t),λ) = −2ψ(δ)j (t)

∂2G

∂

(ψ(δ)j (t)

)2 (ψ(δ)(t),λ) = −2λ,

∂2G

∂ψ(δ)j (t)∂ψ

(δ)k (t)

(ψ(δ)(t),λ) =∂2G

∂ψ(δ)k (t)∂ψ

(δ)j (t)

(ψ(δ)(t),λ) = 0.

Nu is wegens (4.5) −2ψ(δ)j (t) gelijk aan −θ j(t)

λ, de gerande Hessiaanmatrix wordt in het stationair punt

dus gegeven door onderstaande matrix, er wordt ondersteld dat λ∗ gegeven is door (4.7), bijgevolg is

λ∗ > 0

H (θ(t),λ∗) =

0 −θ1(t)λ∗ −θ2(t)

λ∗ · · · −θM+K(t)λ∗

−θ1(t)λ∗ −2λ∗ 0 · · · 0

−θ2(t)λ∗ 0 −2λ∗ · · · 0...

.... . .

...

−θM+K(t)λ∗ 0 0 · · · −2λ∗

.

We tonen nu aan dat deze matrix voldoet aan bovenvermeld tekenpatroon; het is duidelijk dat, voor

elke t ∈ [0,T ], H1(t) = 0 en H2(t) = − (θ1(t))2

(λ∗)2 < 0. We mogen voor dit laatste θ1(t) > 0 onderstellen;

θ1(t) is de W1(t)-afhankelijkheid van de portefeuille op tijdstip t, aangezien voor een optimale por-

tefeuille afhankelijkheid van minimum een risico mag ondersteld worden, kunnen we voor dit risico1Voor meer informatie kan men bijvoorbeeld terecht bij [18, blz. 458].2Dit zijn hier de portefeuilles die voldoen aan de eerste-orde-voorwaarden, ze worden bepaald door (4.7) en (4.8).


W1(t) gebruiken, θ1(t) is dan strikt groter dan 0. A.d.h.v. een inductieproces tonen we nu aan dat dit

afwisselend teken zich doorzet voor leidende minoren van hogere orde. Stel dat Hk(t) gekend is voor

een 2≤ k ≤M+K en voldoet aan (−1)k−1Hk(t)> 0, we berekenen Hk+1(t)

Hk+1(t) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

0 −θ1(t)λ∗ −θ2(t)

λ∗ · · · −θk−1(t)λ∗ −θk(t)

λ∗

−θ1(t)λ∗ −2λ∗ 0 · · · 0 0

−θ2(t)λ∗ 0 −2λ∗ · · · 0 0...

......

. . ....

...

−θk−1(t)λ∗ 0 0 · · · −2λ∗ 0

−θk(t)λ∗ 0 0 · · · 0 −2λ∗

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= −θk(t)λ∗

(−1)k

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−θ1(t)λ∗ −θ2(t)

λ∗ · · · −θk−1(t)λ∗ −θk(t)

λ∗

−2λ∗ 0 · · · 0 0

0 −2λ∗ · · · 0 0...

.... . .

......

0 0 · · · −2λ∗ 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−2λ

∗Hk(t)

= −(

θk(t)λ

)2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

−2λ 0 · · · 0

0 −2λ · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · −2λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−2λ

∗Hk(t)

= (−1)k(2λ∗)k−1

(θk(t)

λ

)2

−2λ∗Hk(t).

Zodat wegens (−1)k−1Hk(t)> 0 en λ∗ > 0

(−1)kHk+1 = (2λ∗)k−1

(θk(t)

λ∗

)2

+(−1)k−12λ∗Hk > 0.

De gerande matrix voldoet in het stationair punt aan het vereiste tekenpatroon voor een maximum. De

portefeuilleprocessen die aan de eerste-orde-voorwaarden (4.7) en (4.8) voldoen, zijn aldus optimale

portefeuilles.

Nu kunnen we de voorwaarden voor een optimale portefeuille gebruiken om de appreciatiegraad α(δ)(t)

van een optimale portefeuille te bepalen:

α(δ)(t)

(3.21)=

M

∑k=1

ψ(δ)k (t)θk(t)

(4.8)=

M

∑k=1

θk(t)γ(δ)(t)|θ(t)|

θk(t) = γ(δ)(t) |θ(t)| . (4.9)

Voor een optimale portefeuille herleidt de bovengrens voor de Sharpe-verhouding zich aldus tot een


gelijkheid

s(δ)(t)(4.2)=

α(δ)(t)

γ(δ)(t)

(4.9)=

γ(δ)(t)

γ(δ)(t)|θ(t)| = |θ(t)| .

Voor niet optimale portefeuilles zal voor een gegeven γ(δ), α(δ) < α(δ), zie definitie 4.1.1, de tweede ge-

lijkheid in bovenstaande afleiding wordt dan aldus een strikte ongelijkheid. De differentiaalvergelijking

van een optimale portefeuille is te herschrijven als

d(

X (δ)(t))

(3.20)=

M

∑k=1

ψ(δ)k (t)(θk(t)dt +dWk(t))+

K

∑l=1

ψ(δ)M+l(t-)

(θM+l(t)dt +dPl(t)

)(4.8)=

M

∑k=1

γ(δ)(t)|θ(t)|


∑l=1

γ(δ)(t-)|θ(t-)|

θM+l(t-)(

θM+l(t)dt +dPl(t))

(4.1)= X (δ)

(t-)b(δ)(t-)|θ(t-)|

(M

∑k=1


∑l=1

θM+l(t-)(

θM+l(t)dt +dPl(t)))

.

De optimale fracties vinden we uit onderstaande afleiding

X (δ)(t)

N

∑i=1

π(δ)i bi,k(t)

(3.19)= ψ

(δ)k (t)

(4.8)=

θk(t)γ(δ)(t)|θ(t)|

k = 1, . . . ,M,

X (δ)(t)

N

∑i=1

π(δ)i di,l(t)

(3.19)= ψ

(δ)l (t)

(4.8)=

θM+l(t)γ(δ)(t)|θ(t)|

l = 1, . . . ,K.

Combineren we telkens de eerste en laatste leden uit bovenstaande gelijkheden, dan bekomen we in

vectorvorm(π(δ)(t)

)tr·[B(t) D(t)] =

γ(δ)(t)

X (δ)(t) |θ(t)|

(θ(t))tr

(4.1)⇔(

π(δ)(t)

)tr=

b(δ)(t)|θ(t)|

(θ(t))tr · [B(t) D(t)]tr([B(t) D(t)] · [B(t) D(t)]tr

)−1

(3.1)⇔(

π(δ)(t)

)tr=

b(δ)(t)|θ(t)|

(a(t)−1 · r(t))tr (V (t))−1

(2.36)⇔(

π(δ)(t)

)tr=

b(δ)(t)|θ(t)|

(π(δ∗)(t)

)tr.

De fracties van een optimale portefeuille worden op elk tijdstip t ∈ [0,T ] aldus bepaald door de relatieve

volatiliteit b(δ)(t)> 0, de waarde hiervan wordt bepaald door het risico dat je als investeerder wil lopen.

Is deze gelijk aan nul, dan vormt de spaarrekening de optimale belegging, is deze gelijk aan |θ(t)|,

dan vormt de GOP de ideale strategie. Bovendien zal het zo zijn dat de portefeuille met de grootste

appreciatiegraad (de GOP) ook het grootste risico zal hebben, b(δ)(t) zal dus nooit b(δ∗)(t) = |θ(t)|

overstijgen.


4.1.2 Markovitz efficiente portefeuilles

Uit differentiaalvergelijking (4.3) van een optimale portefeuille volgt dat deze op elk tijdstip t ∈ [0,T ]

een premie p(δ)(t) gelijk aan b(δ)(t) |θ(t)| heeft.

Definitie 4.1.3. [15] Een Markovitz efficiente portefeuille X (δ) is een portefeuille waarvan de appre-

ciatiegraad a(δ)(t) voor elke t ∈ [0,T ] op de Markovitz efficiente grens ligt, m.a.w.

a(δ)(t) = a(δ)(t,b(δ)(t)) =∣∣∣p(δ)(t)∣∣∣ = √(

b(δ))2 |θ(t)| .

Het is duidelijk dat een optimale portefeuille ook Markovitz efficient is.

Figuur 4.1 geeft een sterk vereenvoudigde visualisatie van het begrip optimale portefeuille en Marko-

(a) enkel risicovolle portfolio’s (b) combinatie risicovol en risicoloos

Figuur 4.1: Vereenvoudigde voorstelling van de optimale portefeuilles op tijdstip t ∈ [0,T ] (naar [21])

vitz efficientie. In de figuur 4.1a ziet men de grens van optimale portefeuilles wanneer we enkel risi-

covolle portefeuilles beschouwen. Een portefeuille A krijgt de voorkeur op een portefeuille B, beide

portefeuilles hebben een zelfde risico γ(δ)(t), maar A heeft een grotere appreciatiegraad α(δ)(t). Een

portefeuille C krijgt de voorkeur op een portefeuille B, beide hebben nu welliswaar een zelfde appreci-

atiegraad, maar het risicopatroon van C ligt beduidend lager. Zo kan elk paar portefeuilles vergeleken

worden en bekomt men een optimale grens — en dus ook een efficiente grens — linksboven in de fi-

guur. Wanneer we ook risicoloze beleggingen (spaarrekeningen) beschouwen — zoals in figuur 4.1b —

kiezen we een efficiente portefeuille als een combinatie van een optimale portefeuille uit figuur 4.1a en

de risicoloze spaarrekening met appreciatiegraad r(t) en volatiliteit gelijk aan 0. De lijn van optimale

portefeuilles is de raaklijn aan de Markovitz efficiente grens en door het punt (0,r(t)), elke combinatie


onder deze lijn is suboptimaal, een combinatie boven de lijn is uitgesloten. We geven deze raaklijn in

het vervolg de naam optimale lijn. Het stuk raaklijn voorbij de portefeuille M wordt verkregen door

meer te beleggen dan men bezit, dit kan enkel door te lenen, we sloten dergelijke situaties eerder reeds

uit.

4.1.3 De marktportefeuille

Voorlopig hielden we ons telkens met een individuele belegger bezig, deze kon naar harte lust een

eigen portefeuille samenstellen, naargelang zijn voorkeur voor potentiele winst en risico dan wel voor

lagere verwachte winst maar ook een lager gevaar. In voorgaand stuk concludeerden we dat het voor

elke belegger het best is zich te voorzien in een portefeuillecombinatie op de optimale lijn. Het zou

echter naıef zijn te denken dat onze individuele belegger de enige is die de voordelen van de financiele

markten naar waarde schat, in de wereld bevinden zich miljarden mensen met toegang tot deze virtuele

handelsplaats. Aangezien we aannamen dat iedereen zijn volledige financiele bezit investeert in de

financiele markt, zullen ook effectief miljarden beleggers actief zijn. Elke belegger stelt zijn eigen

portefeuille samen en de totale portefeuille die verhandeld wordt op de markt zal dan bestaan uit de

optelsom van al deze portefeuilles. Gaan we uit van f beleggers met elk een portefeuille X (δq)(t),

q = 1, . . . ,f en t ∈ [0,T ], dan definieren we de marktportefeuille X (mp)(t) als

X (mp)(t) =

f

∑q=1

X (δq)(t). (4.10)

Stelling 4.1.2. Heeft de marktportefeuille bijna zeker een strikt positieve waarde en is de groei optimale

fractie π(δ∗)0 (t) 6= 1 voor alle t ∈ [0,T ], dan zal de marktportefeuille op elk tijdstip t ∈ [0,T ] voldoen aan

de stochastische differentiaalvergelijking

d(

X (mp)(t))

= X (mp)(t)

1−π(mp)0 (t)

1−π(δ∗)0 (t)

M

∑k=1


+X (mp)(t-)

1−π(mp)0 (t-)

1−π(δ∗)0 (t-)

K

∑l=1

θM+l(t-)(θM+l(t)dt +dPl(t)). (4.11)

Hierin is π(mp)0 (t) op elk tijdstip t ∈ [0,T ] de fractie van de spaarrekening in de totale marktportefeuille:

π(mp)0 (t) =

∑fq=1 δq0(t)S0(t)

X (mp)(t)

. (4.12)


Bewijs.

N

∑i=1

π(δ)i (t)

(4.4)=

b(δ)(t)|θ(t)|

N

∑i=1

π(δ∗)(t) =

b(δ)(t)|θ(t)|

(1−π

(δ∗)0 (t)

)(2.10)⇔ b(δ)(t)

|θ(t)|

(1−π

(δ∗)0 (t)

)=

N

∑i=1

δi(t)Si(t)

X (δ)(t)

(2.8)⇔ b(δ)(t)|θ(t)|

=1

1−π(δ∗)0 (t)

X (δ)(t)− δ0(t)S0(t)

X (δ)(t)

.

Dit geldt op elk tijdstip t ∈ [0,T ] en voor elke optimale portefeuillewaarde, dus ook voor de f porte-

feuillewaarden van de individuele beleggers:

b(δq)(t)|θ(t)|

=1

1−π(δ∗)0 (t)

X (δq)(t)− δq0(t)S0(t)

X (δq)(t)q = 1, . . . ,f. (4.13)

We vinden aldus eenvoudig

d(

X (mp)(t))

(4.14)

(4.10)=

f

∑q=1

d(

X (δq)(t))

(4.3)=

f

∑q=1

X (δq)(t-)b(δq)(t-)|θ(t-)|

(M

∑k=1


∑l=1


)

(4.13)=

f

∑q=1

X (δq)(t-)− δq0(t-)S0(t-)

1−π(δ∗)0 (t-)

(M

∑k=1


∑l=1


).

(4.15)

De eerste som in (4.15) kunnen we onafhankelijk van q maken:

f

∑q=1

X (δq)(t)− δq0(t)S0(t)

1−π(δ∗)0 (t)

=X (mp)

(t)

1−π(δ∗)0 (t)

∑fq=1 X (δq)(t)

X (mp)(t)

−∑fq=1 δq0(t)S0(t)

X (mp)(t)

(4.10)(4.12)=

X (mp)(t)

1−π(δ∗)0 (t)

(1−π

(mp)0 (t)

)= X (mp)

(t)1−π

(mp)0 (t)

1−π(δ∗)0 (t)

. (4.16)


Brengen we tot slot (4.15) en (4.16) samen dan komen we tot het gestelde

d(

X (mp)(t))

(4.15)=

f

∑q=1

X (δq)(t-)− δq0(t-)

1−π(δ∗)0 (t-)

(M

∑k=1


∑l=1

θM+l(t-)(θM+l(t)+dP(t))

)(4.16)= X (mp)

(t-)1−π

(mp)0 (t-)

1−π(δ∗)0 (t-)

(M

∑k=1


∑l=1

θM+l(t-)(θM+l(t)+dP(t))

).

We leggen hier nog de nadruk op het feit dat beide voorwaarden uit bovenstaande stelling telkens

voldaan zullen zijn. De marktportefeuille zal als som van strikt positieve portefeuillewaarden ook een

strikt positieve waarde hebben. Bovendien is de GOP gedefinieerd als de portefeuille met de grootste

appreciatiegraad (de grootste verwachte groei), het zou niet realistisch zijn als dit de spaarrekening

was. We mogen dus onderstellen dat bovenstaande uitdrukking van de marktportefeuille telkens van

toepassing is.

De appreciatiegraad en volatiliteit van de marktportefeuille zijn voor t ∈ [0,T ] gelijk aan

α(mp)(t) =

1−π(mp)0 (t)

1−π(δ∗)0 (t)

|θ(t)|2 γ(mp)(t) =

1−π(mp)0 (t)

1−π(δ∗)0 (t)

|θ(t)| ,

en aldus is de marktportefeuille een optimale portefeuille

s(mp)(t)(4.2)=

α(mp)(t)γ(mp)(t)

= |θ(t)| .

Sinds deel 2.2 hebben we ons beperkt tot de (strikt) positieve portefeuilles, we eisten hierbij dat geen

geld geleend werd om daarmee te speculeren in effecten. Lenen zelf is echter niet uitgesloten, indien er

geen intentie is om te speculeren op koersen is lenen toegestaan, we hebben dan een (strikt) negatieve

portefeuille die niet stochastisch is. Sterker nog, lenen is eigenlijk vitaal in een financiele markt! Uiter-

aard is het onmogelijk om geld te lenen indien er geen geld beschikbaar is; voor elke euro die geleend

wordt moet iemand een euro ter beschikking stellen, in de praktijk zal een financiele instelling vaak als

tussenpersoon fungeren tussen spaarders en ontspaarders. De spaarders worden hiervoor beloond door

een rentevergoeding op hun spaarrekening, deze wordt in essentie gefinancierd door de ontspaarder3.

Het gespaarde geld zal aldus altijd minstens evenveel bedragen als het ontleende geld. Anderzijds zal

de bank proberen al het spaargeld te gebruiken om te ontlenen aan investeerders, dat brengt de bank —

3Herinner dat we onderstelden dat sparen en lenen aan eenzelfde rentetarief gebeurde.

4.2. BENADERINGEN VAN DE GOP 93

en dus ook de spaarders — het meeste op. De bank zal daar nooit volledig in slagen, er moet altijd wat

geld over blijven om de liquiditeit van de bank op peil te houden, dit zal ervoor zorgen dat de totale

marktportefeuille (strikt) positief blijft. Anderzijds kunnen we er wel van uitgaan dat de fractie π(mp)0 (t)

op elk tijdstip t ∈ [0,T ] verwaarloosbaar is, we onderstellen deze dan ook bijna zeker gelijk aan 0. We

vinden aldus voor elk tijdstip in [0,T ]

d(

X (mp)(t))

(4.11)=

X (mp)(t-)

1−π(δ∗)0 (t-)

(M

∑k=1


∑l=1


).

Merk op dat deze stochastische differentiaalvergelijking erg lijkt op die van de algemene GOP (3.7), de

fracties zijn op een factor 11−π

(δ∗)0 (t)

gelijk. Concreet wil dit zeggen dat de marktportefeuille een combi-

natie is van de GOP en de spaarrekening. In het geval de GOP geen investeringen in de spaarrekening

duldt — en dit is eigenlijk de meest realistische situatie — is de marktportefeuille gelijk aan de groei

optimale portefeuille. Indien we aldus op tijdstip t ∈ [0,T ] de marktportefeuille kunnen blootleggen en

de π(δ∗)0 (t) kennen, dan kennen we ook de GOP en kunnen we deze aldus gebruiken als benchmark. De

optimale fracties van de GOP zijn (1−π(δ∗)0 ) keer die van de marktportefeuille.

4.2 Benaderingen van de GOP

Voor het gebruik van de benchmarked portefeuilles is het van crusiaal belang op elk moment de GOP

te kunnen bepalen. Om de proporties exact te kunnen bepalen, moet men op elk moment de risicopre-

mies, volatiliteiten en sprongcoefficienten accuraat modelleren. In de praktijk is dit moeilijk of zelfs

onmogelijk door het grote aantal effecten die op de markt beschikbaar zijn. Vandaar dat men verplicht

is zich te baseren op benaderingen van de groei optimale portefeuille, we bespreken er hieronder drie.

4.2.1 Wiskundige theorie rond GOP-benaderingen

Om de beschreven problemen te omzeilen, zullen we hier een voldoende voorwaarde voor een benade-

ring van de GOP invoeren. Concreet is dit een limietstelling; indien het aantal aandelen stijgt gaat het

verschil tussen de benadering en de GOP naar nul.

Zij d = 1,2, . . . gegeven en beschouw het positieve portefeuilleproces X (δ)d (t), t ∈ [0,T ], met strategie

δ(t) =[δ0(t) δ1(t) · · · δd(t)

], t ∈ [0,T ]. We definieren hieronder de tracking rate, deze zal een

belangrijke rol spelen in de limietstelling.


Definitie 4.2.1. De tracking rate van de portefeuille X (δ)(t) op tijdstip t ∈ [0,T ] is de waarde R(δ)(t)

R(δ)(t) =M

∑k=1

(N

∑i=1

π(δ)i (t)σ(δ)

i,k (t)

)2

+K

∑l=1

(N

∑i=1

π(δ)i (t)ν(δ)

i,l (t)

)2

.

Hierin is voor elke t ∈ [0,T ]

σ(δ)i,k (t) = bi,k(t)−

θk(t)

∑Ni=1 π

(δ)i (t)

ν(δ)i,l (t) = di,l(t)

(1− θM+l(t)

λl(t)

)− θM+l(t)

λl(t)∑Ni=1 π

(δ)i (t)

.

Bemerk eerst en vooral dat de stochastische processen σ en ν gekozen zijn i.f.v. het vereenvoudigen van

de uitdrukking (3.29) van de stochastische differentiaalvergelijking van een benchmarked portefeuille-

proces. We krijgen dan namelijk

d(

X (δ)(t))

(3.29)= X (δ)(t)

M

∑k=1

(N

∑i=1


)dWk(t)

+ X (δ)(t-)K

∑l=1

(N

∑i=1


)(1− θM+l(t-)

λl(t-)

)− θM+l(t-)

λl(t-)

)dPl(t)

= X (δ)(t-)N

∑i=1

π(δ)i (t-)

(M

∑k=1

σ(δ)i,k (t)dWk(t)+

K

∑l=1

ν(δ)i,l (t-)dPl(t)

).

We merken ook onmiddellijk op dat de benchmarked portefeuille X (δ) constant is a.s.a. R(δ) ≡ 0. Er

geldt dan X (δ)(t)≡ X (δ)(0) en dus X (δ)(t) = X (δ)(0)X (δ∗)(t) voor elke t ∈ [0,T ]. In dat opzicht kunnen

we stellen dat een portefeuille X (δ) gelijk met de GOP evolueert indien de tracking rate R(δ)(t) voor

elke t ∈ [0,T ] zeer klein blijft.

Definitie 4.2.2. Een rij van strikt positieve benchmarked portefeuilles X (δ)d (t), d = 1,2, . . ., noemen we

een rij van benaderende GOP’s indien voor alle t ∈ [0,T ] de overeenkomstige rij van tracking rates in

kans naar nul gaat:

∀ε > 0 limd→+∞

P[R(δ)

d (t)> ε

]= 0 voor elke t ∈ [0,T ].

4.2.2 Drie benaderingen

In de praktijk maakt men meestal gebruik van de marktportefeuille, met name de MSCI, als benade-

ring van de GOP. Daarnaast zijn ook de EWI en de DAI sterke approximaties van de groei optimale

portefeuille. We bespreken hieronder elk van deze indexen en tonen hun kwaliteit als GOP-benadering

aan.


De MSCI

In vorig stuk zagen we reeds dat de marktportefeuille een differentiaalvergelijking heeft die gelijkloopt

met deze van de GOP, indien π(δ∗)0 (t) = 0, t ∈ [0,T ], is de stochastische differentiaalvergelijking zelfs

dezelfde. Dit stelt ons in staat de marktportefeuille te gebruiken als benadering van de groei opti-

male portefeuille. Meerbepaald maakt men gebruik van de ‘MSCI World Index’, een wereldwijde

beursindex. Deze beursindex wordt onderhouden door de onderneming MSCI (Morgan Stanley Capital

International) en is samengesteld uit meer dan 1500 aandelen uit 24 ontwikkelde markten. De MSCI

index geldt als een belangrijke vergelijkingsbasis voor het samenstellen van portefeuilles, voor ons is

van belang dat de MSCI index erg goed overeenkomt met de marktportefeuille. Onderstaande grafiek

geeft een benadering (op dagbasis) van de MSCI world index in de periode 1970 - 2005, 1970 is als

vergelijkingsbasis genomen.

Figuur 4.2: De MSCI world index (basis 1970 - 2005), naar [11]

De EWI

Een tweede proxy voor de GOP is de ‘equal weighted index’ (EWI) hierin worden alle effecten ter

wereld met een gelijk gewicht opgenomen:

π(δ)i (t) =

1N +1

i = 0, . . . ,N en t ∈ [0,T ].

Merk op dat de hoeveelheid dat van een bepaald effect moet worden aangekocht evenwel op elk tijd-

stip aangepast moet worden. De verhoudingen zijn namelijk i.f.v. het totale vermogen dat geınvesteerd


wordt, dit laatste verandert naargelang de effectwaarden veranderen. Bij wijze van voorbeeld verge-

lijken we de S&P-500-index met de S&P-500-EWI, allebei bijgehouden door het ratingsagendschap

Standard and Poor’s. De eerste index geeft de groei van de 500 grootse bedrijven in de Verenigde Sta-

ten, de verhoudingen worden bepaald door het marktaandeel van de bedrijven. Vanaf 2003 wordt ook

een ‘equal weighted index’ bijgehouden, de verhoudingen zijn dan voor elk van de 500 bedrijven gelijk,

namelijk 0.20%. Het is op onderstaande vergelijkende figuur reeds duidelijk dat de S&P-500-EWI een

beduidend sterkere groei kent dan de S&P-500-index.

Figuur 4.3: De S&P-500-EWI vs. de S&P-500-index (2002 - 2007), zie [19]

De sterke groei van de S&P-500-EWI is al een teken aan de wand, er blijkt dat de equal weighted index

een heel goede benadering van de GOP is. We maken dan echter gebruik van alle effecten beschikbaar

op de markt en niet alleen de aandelen van de 500 grootste bedrijven uit de Verenigde Staten. Het is mo-

gelijk voor concrete situaties aan te tonen dat de EWI voldoet aan de limietvoorwaarde zoals besproken

in paragraaf 4.2.1, we maken echter gebruik van simulaties. De figuur op de volgende bladzijde geeft

het resultaat van een simulatie van de EWI en de GOP op een effectenmarkt met N +1 = 50 effecten,

men merkt dat er slecht een heel beperkt verschil is tussen beide koersen. Indien N stijgt zal het verschil

enkel maar meer te verwaarlozen zijn.

De DAI

Een derde een laatste benadering van de GOP vinden we in de diversified accumulation index. Er

werden opnieuw N + 1 = 50 effecten ondersteld een men simuleert over 20 perioden. Zoals op de

tweede figuur op de volgende bladzijde te zien is, zal ook de DAI een sterke benadering van de GOP

zijn, de verschillen worden enkel nog kleiner indien het aantal effecten N +1 stijgt.


Figuur 4.4: De GOP en EWI gesimuleerd, zie [14]

Figuur 4.5: De GOP en DAI gesimuleerd, zie [14]


4.3 Waarderen van portefeuilles

Stel dat we beschikken over een goed gekozen benadering van de GOP, meestal kiest men hiervoor de

MSCI, deze MSCI kan eenvoudig gemodelleerd en gecalibreerd worden. Een eerste vraag die komt

bovendrijven is of benchmarked portefeuilles een meerwaarde kunnen betekenen in het waarderen van

portefeuilles.

4.3.1 Eerlijk prijzen

Om een antwoord te bieden op bovenstaande vraag beschouwen we traditioneel een portefeuille X (δ)(t),

t ∈ [0,T ], met een strategie δ(t), t ∈ [0,T ] die rekening houdt met N+1 effecten. We zagen eerder reeds

dat dergelijke benchmarked portefeuille een lokaal martingaalproces vorm onder de echte kansmaat, de

driftterm uit de differentiaalvergelijking (3.29) is op elk tijdstip gelijk aan 0. Stelling 1.1.1 leert ons dan

dat het benchmarked portefeuilleproces een supermartingaalproces volgt.

Dit is al onmiddellijk een zeer groot verschil met het risiconeutraal prijzen zoals dit normaalgezien

gebeurt. Bij die risiconeutrale prijsmethode maakt men gebruik van martingaalrepresentatie van de

portefeuilles onder de risiconeutrale maat. Onder de echte kansmaat kan dit niet verzekerd worden,

maar voor die portefeuilles waarvoor dit wel geldt, kan een veralgemeende prijsformule afgeleid wor-

den. Veralgemeend omwille van de martingaaleigenschap onder de echte kansmaat, en dus niet de

risiconeutrale kansmaat.

Het is logisch dat we voor die portefeuilles die in aanmerking komen de GOP als numeraire gebrui-

ken, de benchmarked portefeuilles zijn dan namelijk P-martingaalprocessen. Dergelijke portefeuilles

noemen we eerlijk.

Definitie 4.3.1. We noemen een prijsproces eerlijk indien het een P-martingaalproces vormt: op elk

tijdstip s ≤ t ∈ [0,T ] voldoet de benchmarked waarde X (δ)(t) van zo’n portefeuilleproces aan de mar-

tingaaleigenschap

X (δ)(s) = E[X (δ)(t) |F (s)

].

Voor een eerlijk portefeuilleproces hebben we dan

X (δ)(s) = X (δ∗)(s)E

[X (δ)

(s)

X (δ∗)(s)|F (s)

],

voor elke s≤ t ∈ [0,T ].

Beschouw nu een voorwaardelijke vordering op tijdstip t ∈ [0,T ], H(t), die voldoet aan

E[

H(t)X (δ∗)(t)

]< +∞.

4.3. WAARDEREN VAN PORTEFEUILLES 99

Op tijdstip t ∈ [0,T ] verkrijgen we dus een bedrag H(t) dat afhangt van alle informatie die zicht tot op

tijdstip t voordoet, H(t) is F (t)-meetbaar. Men kan zich de vraag stellen wat de prijs op tijdstip s < t

is van zo’n voorwaardelijke vordering, hiervoor kunnen we de fair pricing formule gebruiken:

UH(t)(s) = X (δ∗)(s)E[

H(t)X (δ∗)(t)

|F (s)], (4.17)

UH(t)(s) = E[H(t) |F (s)

].

Hierbij is UH(t)(s) dus de eerlijke prijs op tijdstip s — volgens de fair pricing formule — van een

voorwaardelijke vordering die op tijdstip t H(t) opbrengt. UH(t)(s) is de benchmarked eerlijke prijs.

Aangezien we weten dat benchmarked portefeuilles op langere termijn slechts een supermartingaalpro-

ces vormen, kunnen we de eerlijke prijs zien als de minimumprijs die een voorwaardelijke vordering

op tijdstip s waard is.

De benchmarked eerlijke prijs herleidt zich tot de prijs in eenheden van de binnenlandse munteenheid

(neem euro) door de te vermenigvuldigen met de actuele waarde van de benaderende GOP:

prijs in euro op tijdstip s = e UH(t)(s) X (δ∗)(s)︸︷︷︸≈MSCI(s)

.

Deze fair pricing formule levert ons aldus een eenvoudige en uitvoerbaar prijsmethode, bovendien

steunt ze niet op een transformatie in de kansmaat, we blijven rekenen onder de echte maat.

4.3.2 Risiconeutraal en actuarieel prijzen

Hierboven introduceerden we het concept van eerlijk prijzen via de fair pricing formule. Hier tonen

we aan dat het concept een veralgemening is van zowel het risiconeutrale prijsmechanisme als van het

actuarieel prijsmechanisme.

Een kandidaat risiconeutrale maat Q heeft als Radon-Nikodym afgeleideproces Λ(t) = dQdP |F (t), t ∈

[0,T ], een F (t)-meetbaar proces. Deze Radon-Nikodym afgeleide moet op elk tijdstip t ∈ [0,T ] de

onderstaande vorm hebben

Λ(t) =dQdP|F (t) =

X (δ∗)(0)X (δ∗)(t)

S0(t)S0(0)

.

Indien dit Radon-Nikodym afgeleideproces een P-martingaalproces is en een maat Q bestaat die equi-


valent is aan P dan kunnen we onderstaande afleiding maken.

UH(t)(s)(4.17)= E

[Xδ∗(s)Xδ∗(t)

H(t)|F (s)

]

= E

[(Xδ∗(s)Xδ∗(t)

S0(t)S0(s)

)S0(s)S0(t)

H(t)|F (s)

]

= E[

Λ(t)Λ(s)

S0(s)S0(t)

H(t)|F (s)]

= EQ

[S0(s)S0(t)

H(t)|F (s)].

Deze laatste formule is deze van het risiconeutraal prijzen, m.a.w. Q = P. We benadrukken dat de

benchmark aanpak — met de fair pricing formule — geen bestaan van een risiconeutrale martingaal-

maat veronderstelt. De eerlijke prijzen kunnen altijd berekend worden onder de echte kansmaat, wat

niet opgaat voor de risiconeutrale prijs van een portefeuille. Dit staat ons toe een wijder spectrum van

modellen te beschouwen dan deze die we bij het risiconeutraal prijzen ter beschikking hebben. Deze

extra vrijheid is van groot belang bijvoorbeeld voor het maken van zuinige financiele marktmodellen

die van praktisch nut zijn, we gaan hier niet dieper op in.

Wat betreft de actuariele prijsmethode kan men aantonen dat de fair pricing formule ook deze veralge-

meent. Stel dat de voorwaardelijke vordering H(t) onafhankelijk is van de GOP S(δ∗)(t) op elk tijdstip

t ∈ [0,T ], dan herleidt de fair pricing formule (4.17) zich tot

UH(t)(s)(4.17)= X (δ∗)(s)E

[H(t)

X (δ∗)(t)|F (s)

]= E

[X (δ∗)(s)X (δ∗)(t)

|F (s)

]E [H(t)|F (s)]

def= P(s, t)E [H(t)|(s)] .

Deze laatste formule is niks minder dan de actuarial pricing formule. Hierin is P(s, t) de prijs op tijdstip

s≤ t van een obligatie die afloopt op tijdstip t ≤ T en geen tussentijdse couponinningen heeft4.

4.4 Risicobeheer

De benchmark benadering speelt ook een interessante rol in het risicomanagement van portefeuilles.

Precies omdat er slechts een risicomaat nodig is, het echte risico, helpen benchmarked portefeuilles bij

4Een zero coupon bond.

4.4. RISICOBEHEER 101

het berekenen van diverse parameters die het risico van een portefeuille aangeven. We bespreken heel

kort enkele van de onderwerpen die kunnen gebruik maken van benchmarked portefeuilles, we gaan

hier echter niet in detail op in.

• Portefeuille-optimalisatie: de benchmarked aanpak maakt gebruik van de GOP als groei optimale

portefeuille, in paragraaf 4.1 bespraken we het concept ‘optimale portefeuille’ o.b.v. benchmar-

ked portefeuilles.

• Calibratie is het vergelijken van portefeuilles. In het bijzonder vergelijkt men algemene por-

tefeuilles met de GOP (de marktportefeuille in de praktijk). De marktportefeuille heet dan de

standaard, de algemene portefeuille noemt men de UUT (unit under test).

• Value at Risk (VaR): geeft voor een gegeven portefeuille, kansmaat en tijdhorizon de kans dat het

verlies op die tijdshorizon een bepaald bedrag overschrijdt. Zo zal een portefeuille met 98% VaR

van e1000 (tijdshorizon 1 dag), een kans 0.02 hebben op een verlies groter dan e1000 na een

dag. Precies door het feit dat de benchmarked aanpak gebruik maakt van werkelijke kansen, is

deze benadering interessant voor de VaR risicometing.

• Filtering is het onderzoeken van risico’s onder onvolledige informatie, om dezelfde reden als bij

VaR kunnen benchmarked portefeuilles hierin van belang zijn.

BESLUIT 103

Besluit

De benchmark aanpak steunt in beginsel op een redelijk eenvoudig principe: stel de groei optimale

portefeuille samen en gebruik deze al numeraire om portefeuilles te waarderen. We zagen echter dat

wel wat wiskundige achtergrond nodig is om dit om te zetten in een theoretisch ontwerp, zeker wan-

neer we rekening houden met discontinue sprongen op de geldmarkt. We bestudeerden de theorie van

Poissonprocessen om deze sprongen te modelleren.

Met de nodige wiskundige theorie in de rugzak toonden we aan dat het daadwerkelijk mogelijk is,

onder realistische voorwaarden, de financiele markt te modelleren. We stelden aansluitend portefeuilles

samen, achterhaalden de samenstelling van de GOP en gebruikten deze als vergelijkingsbasis voor elke

portefeuille. Het resultaat is niet min, we stellen vast dat de benchmarked portefeuilles een lokale

martingaaleigenschap hebben onder de echte kansmaat. Precies het gebruik van de reele kansmaat is

verheugend naar de bruikbaarheid toe.

In de praktijk is het echter onhaalbaar op elk moment de groei optimale portefeuille bloot te leggen,

vandaar dat we ons moeten baseren op betrouwbare benaderingen. De marktportefeuille (MSCI), de

equal weighted index (EWI) en de diversified accumulation index (DAI) blijken zo’n geschikte schattin-

gen te zijn. Deze indexen kunnen dan als numeraire gebruikt worden voor het prijzen van portefeuilles

(fair pricing) en risicomanagement onder de benchmark aanpak, een risiconeutrale maat is niet langer

nodig. We lieten zien dat het eerlijk prijzen een veralgemening is van zowel het risiconeutraal prijzen

als het actuarieel prijzen.

BIBLIOGRAFIE 105

Bibliografie

[1] I. Bajeux-Besnainou, R. Portait (1997). The numeraire portfolio: a new perspective on financial

theory. The European Journal of Finance, 3: 291 - 309.

[2] P. Beghin, I. Van De Woesteyne (2010). Fiscaliteit, Personenbelasting - Vennootschapsbelasting -

BTW. Cursusnota’s, Universiteit Gent.

[3] P. Bremaud (1981). Point Processes and Queues: Martingale Dynamics. Springer.

[4] E.K.P. Chong, S.H. Zak (2005). An Introduction to Optimization II. Replika Press Pvt. Ltd.

[5] R. Cont & P. Tankov (2004). Financial Modelling with Jump Processes. CRC Press.

[6] F. Heylen (2004). Macro-economie. Garant.

[7] C. Impens (2006). Wiskundige Analyse I. Cursusnota’s, Universiteit Gent.

[8] C. Impens (2007). Wiskundige Analyse III. Cursusnota’s, Universiteit Gent.

[9] I. Karatzas, S.E. Shreve (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus II. Springer.

[10] M.S. 10 oktober 2010. 5 domme redenen om een lening af te sluiten, http://www.tijd.be.

[11] Morgan Stanley Capital International. MSCI Index Performance. Geraadpleegd op 25 april 2011

(e.v.), http://www.msci.com.

[12] E. Omey (2008). Micro-economie. Cursusnota’s, Universiteit Gent.

[13] E. Platen (2004). A class of complete benchmark models with intensity-based jumps. Journal of

Applied Probability Trust, 41: 19 - 34.

[14] E. Platen (2005). Diversified portfolio’s with jumps in an benchmark framework. Asia-Pacific

Financial Markets, 11: 1 - 22.

106 BIBLIOGRAFIE

[15] E. Platen (2006). A benchmark approach to finance. Mathematical Finance, 16: 131 - 151.

[16] P.E. Protter (2004). Stochastic Integration and Differential Equations. Springer.

[17] S.E. Shreve (2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer.

[18] S.P. Simon & L. Blume (1994). Mathematics for Economists. Norton & Company.

[19] Standard and Poors. S&P Equal Weight Index. Geraadpleegd op 25 april 2011

(e.v.), http://www.standardandpoors.com.

[20] C. Thas (2005). Lineaire Algebra en Analytische Meetkunde. Cursusnota’s, Universiteit Gent.

[21] R. Vander Vennet (2010). Bank- en financiewezen. Cursusnota’s, Universiteit Gent.

[22] S. Vansteelandt (2007). Kansrekeningen en Wiskundige Statistiek I. Cursusnota’s, Universiteit

Gent.

Masterproef: de benchmark aanpak in verzekeringen · 2012. 3. 14. · 4 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE...

Documents

Transcript of Masterproef: de benchmark aanpak in verzekeringen · 2012. 3. 14. · 4 HOOFDSTUK 1. BASISTHEORIE...