B-wis Gonio Cygnus Gymnasium versie DD februari 2017

Deel 1. Rekenregels (niveau kennen en begrijpen) Gegeven een rechthoekige driehoek ABC met bij hoekpunt A hoek 𝛼 en bij hoekpunt B een rechte hoek. Bij hoek 𝛼 is AC de schuine, AB de aanliggende en BC de overstaande zijde. Volgens de TOA, SOS en CAS regels geldt dat als 0 < 𝛼 < 90 tan𝛼 = !"

!" sin𝛼 = !"

!" cos𝛼 = !"

!"

Maar in de breuk voor tan kunnen we teller en noemer delen door AC, de lengte van de schuine zijde.

tan𝛼 =!"

!"!"

!" dus geldt voor 0 < 𝛼 < 90 dat tan𝛼 = !"#!

!"#!

Je kunt deze rekenregel ook duidelijk zien als je een rechthoekige driehoek hebt met schuine zijde 1. Kijk maar: Volgens de SOS regel geldt:  sin𝛼 = !"

!"= !"

! ofwel 𝐵𝐶 = sin𝛼

Volgens de CAS regel geldt:  cos𝛼 = !"

!"= !"

! ofwel 𝐴𝐵 = cos𝛼

Volgens de TOA regel geldt: tan𝛼 = !"

!" ,

Gecombineerd met bovenstaande geeft dat: tan𝛼 = !"#!

!"#!

Merk op dat in een rechthoekige driehoek met schuine zijde 1 volgens Pythagoras direct de volgende rekenregel af te leiden is.

(cos𝛼)! + (sin𝛼)! = 1 Om de leesbaarheid te verbeteren wordt deze rekenregel meestal zonder haakjes geschreven:

𝑐𝑜𝑠!𝛼 + 𝑠𝑖𝑛!𝛼 = 1 Let op de positie van het kwadraat, dit om duidelijk te maken dat je niet de hoek kwadrateert.

Maar ook als je de driehoek vergroot met factor R gelden de regels voor tangens en Pythagoras. 𝐵𝐶 = 𝑅 ∙ sin𝛼 en 𝐴𝐵 = 𝑅 ∙ cos𝛼 Er geldt dus dat tan𝛼 = !"

!"=   !∙!"#!

!∙!"#!    =   !"#!

!"#!

1 sin 𝛼

cos𝛼

𝑅 𝑅 ∙ sin 𝛼

𝑅 ∙ cos𝛼

Maar ook de gonioregel voor Pythagoras blijft gelden: (𝑅 ∙ cos𝛼)! + (𝑅 ∙ sin𝛼)! = 𝑅! 𝑅! ∙ (cos𝛼)! + 𝑅! ∙ (sin𝛼)! = 𝑅! 𝑅! ∙ 𝑐𝑜𝑠!𝛼 + 𝑠𝑖𝑛!𝛼 = 𝑅! Dat is alleen waar als 𝑐𝑜𝑠!𝛼 + 𝑠𝑖𝑛!𝛼 = 1

Deel 2. Rekenregels gebruiken (niveau kunnen). Voorbeeld1 Gegeven een driehoek met cos𝛼 =   !

!

Bereken exact, zonder de hoek uit te rekenen en zonder rekenmachine sin𝛼 en tan𝛼 Laat eventuele wortels en breuken in je antwoord staan, maar vereenvoudig zo ver mogelijk! Uitwerking. 𝑐𝑜𝑠!𝛼 + 𝑠𝑖𝑛!𝛼 = 1 !!

!+ 𝑠𝑖𝑛!𝛼 = 1

𝑠𝑖𝑛!𝛼 = 1 − !!

!= 1 − !"

!"=   !

!"

sin𝛼 =   !!"=   !

! (de minwortel bespreken we later)

 tan𝛼 = !"#!!"#!

=!!

!!=   !

!

Opmerking: herken je de 3, 4, 5 driehoek? Voorbeeld2 Gegeven een driehoek met cos𝛼 =   !

!

Bereken exact, zonder de hoek uit te rekenen en zonder rekenmachine sin𝛼 en tan𝛼 Laat eventuele wortels en breuken in je antwoord staan, maar vereenvoudig zo ver mogelijk. Uitwerking. 𝑐𝑜𝑠!𝛼 + 𝑠𝑖𝑛!𝛼 = 1 !!

!+ 𝑠𝑖𝑛!𝛼 = 1

𝑠𝑖𝑛!𝛼 = 1 − !!

!= 1 − !

!=   !

!

sin𝛼 =   !!=   !

! = !

!= !

!3 = (de minwortel bespreken we later)

 tan𝛼 = !"#!!"#!

=!! !!!=   3

Herken je de 30°, 60°, 90° driehoek? Opdracht 1. a) Bereken cos𝛼 en tan𝛼 als sin𝛼 =   !

!

b) Bereken cos𝛼, sin𝛼 en tan𝛼 in een 45°, 45°, 90° driehoek

𝑅 𝑅 ∙ sin 𝛼

𝑅 ∙ cos𝛼

5 3

4

Samenvatting. In iedere rechthoekige driehoek ABC met hoek A is 𝛼 en hoek B is 90 graden gelden de regels:                tan𝛼 = !"#!

!"#!

𝑐𝑜𝑠!𝛼 + 𝑠𝑖𝑛!𝛼 = 1

Deel 3. Exacte-waarden-cirkel. Bovenstaande regels gelden niet alleen voor hoeken tussen 0 en 90 graden, maar ook voor hoeken waarvoor geldt: 0° ≤ 𝛼 < 360° of zelfs daarbuiten. Doel van de opdracht is om dat te onderzoeken voor de hoeken 0, 30, 45, 60 en 90 graden, nu ook in de andere kwadranten. Opdracht 2 Bestudeer http://www.wisfaq.nl/page3ict.asp?nummer=2168 Zorg ervoor dat je alle waarden (en lege plek) in de tabel hiernaast begrijpt en onthoudt. Opdracht 3 Beantwoord de vragen op de digitale pagina van het bovenbouwboek Getal en Ruimte, Wiskunde B, Hoofdstuk 6, http://vwob.getalenruimte.epn.nl/ (gebruik Firefox) § 6.1: definitie cosinus, sinus. Het is zonder registratie, dus alleen om te oefenen.. Afronding. De B-wis toets is digitaal en bevat vragen over de exacte-waarden-cirkel zowel op het niveau kennen, kunnen als begrijpen. In de les laat ik op het smartboard enkele vragen zien, dan weet je precies wat je kunt verwachten. Belangrijk is ook dat je leert op welke wijze je breuken en wortels exact, dus zonder kommagetallen, moet noteren en hoe je deze moet vereenvoudigen.

Dus niet 0.5 maar !! , niet !

! maar !

!2 ,

niet !! maar !

!3 liever dan !

!  

Het hoe en waarom kun je nalezen op: http://www.wiskundeleraar.nl/page3.asp?nummer=6853 Hieronder nog een interessante link Trig Tour van PHET (vink ook Special angles aan) Verschil wiskunde A en B: Bij wiskunde B reken je vaak met exacte waarden, bij wiskunde A met benaderingen (decimale getallen) Kijk voor meer verschillen tussen wiskunde A en B op het gebied van goniometrie op www.math4all.nl WiA: https://www.math4all.nl/overzichten/vwo-a/20 WiC: https://www.math4all.nl/overzichten/vwo-c/22 WiB: https://www.math4all.nl/overzichten/vwo-b/21 WiD: https://www.math4all.nl/overzichten/vwo-d/33

cos𝛼 sin𝛼 tan𝛼

𝛼 = 0°     1 0 0

𝛼 = 30° !!3 !

! !

!3

𝛼 = 45° !!2 !

!2 1

𝛼 = 60° !! !

!3 3

𝛼 = 90° 0 1