Download - De geo-elektrische methode toegepast op metselwerkstructuren:

De geo-elektrische methode toegepast op metselwerkstructuren:

implementatie van recente ontwikkelingen

E 2002 – 2003 Promotoren: Prof. D. Van Gemert Prof. K. Van Balen Begeleider: Dr. F. Van Rickstal Robrecht Keersmaekers

Katholieke Universiteit Leuven Faculteit Toegepaste WetenschappenDepartement Burgerlijke Bouwkunde

0. Inhoudstafel 0. Inhoudstafel ..................................................................................................................1 Woord vooraf ...............................................................................................................4 1. Inleiding .........................................................................................................................5

1.1. Belang van niet-destructief onde rzoek...................................................................5 1.2. Doel verhandeling .....................................................................................................5

2. Geo-elektrische methode ...........................................................................................7 2.1. Algemene resistiviteitstheorie..................................................................................7

2.1.1. Principe................................................................................................................7 2.1.2. Homogeen halfoneindig lichaam.......................................................................8 2.1.3. Homogeen halfoneindig lichaam met 4 elektroden .........................................9 2.1.4. Schijnbare resistiviteit .....................................................................................10

2.2. Praktisch gebruik ....................................................................................................11 2.2.1. Verschillende elektrodeconfiguraties ..............................................................11 2.2.2. Meetprocedure ..................................................................................................12

3. Software .......................................................................................................................14 3.1. Inleiding...................................................................................................................14 3.2. Voorwaartse modellering........................................................................................14

3.2.1. Wiskundige achtergrond ..................................................................................14 3.2.2. Het programma RES2DMOD............................................................................25

3.3. Inversie ....................................................................................................................26 3.3.1. Wiskundige achtergrond ..................................................................................26 3.3.2. Het programma RES2DINV ..............................................................................29 3.3.3. Parameterstudie ...............................................................................................30

4. Geschikte arrays voor metselwerk ........................................................................32 4.1. Inleiding...................................................................................................................32 4.2. Sensitiviteitsfuncties...............................................................................................32

4.2.1. De onderzoeksdiepte karakteristiek................................................................34 4.3. Bespreking verschillende arrays ............................................................................36

4.3.1. Theoretische analyse met behulp van 2D-sensitiviteitsfuncties...................36 4.3.2. Analyse op basis van simulaties......................................................................43 4.3.3. Besluit ................................................................................................................47

5. Meetcampagne Melsboek: opmeten inwendige structuur ...............................48 5.1. Inleiding...................................................................................................................48 5.2. Opstellen arrays ......................................................................................................48

5.2.1. Wenner-alfa ......................................................................................................49 5.2.2. Wenne r-Schlumberger.....................................................................................50 5.2.3. Dipool-Dipool ....................................................................................................51

5.3. Opmeten van de muur ...........................................................................................52 5.3 .1. Opstelling en bevindingen ...............................................................................52 5.3.2. Bespreking........................................................................................................55

5.4. Inversies ..................................................................................................................57 5.4.1. Parameterstudie aan de hand van de dipool-dipool survey..........................57 5.4.2. Wenner-alfa ......................................................................................................62 5.4.3. Wenner-Schlumberger.....................................................................................63

5.5. Vergelijken inversies versus realiteit: endoscopie ...............................................64 5.5.1. Boringen en endoscopie ...................................................................................64 5.5.2. Besluit ................................................................................................................67

6. Meetcampagne Handbogenhof Leuven: opmeten profiel................................68 6.1. Inleiding...................................................................................................................68 6.2. Opstellen arrays ......................................................................................................69

6.2.1. Wenner-Schlumberger 1D...............................................................................70 6.2.2. Dipool-dipool.....................................................................................................71

6.3. Elektrische sondering..............................................................................................77 6.3.1. Opmeten dikte ..................................................................................................77 6.3.2. Inversie en vergelijking met de reële dikte van de muur.............................79

6.4. Dipool-dipool survey...............................................................................................80 6.4.1. Opmeten profiel stadsmuur met holte in het midden ...................................80 6.4.2. Opmeten stadsmuu r met steunbeer in het midden.......................................84

7. Algemeen besluit en onderzoeksdomeinen voor de toekomst .......................89 7.1. Algemeen besluit.....................................................................................................89 7.2. Onderzoeksdomeinen voor de toekomst................................................... 90

7.2.1. Inleiding............................................................................................................90 7.2.2. Geschiktheid voor het opvolgen van groutinjecties.......................................90 7.2.3. Cross borehole ..................................................................................................95

8. Bibliografische referenties.......................................................................................97 9. Bijlagen......................................................................................... bijgevoegde diskette

De auteur geeft de toelating deze eindverhandeling voor consultatie beschikbaar te stellen en delen ervan te kopiëren voor eigen gebruik. Elk ander gebruik valt onder de strikte beperkingen van het auteursrecht; in het bijzonder wordt er gewezen op de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze verhandeling.

Leuven, 19 mei 2003

Woord vooraf

Waarom sprak net dit onderwerp mij onmiddellijk aan? Ik zag dit werk als een opstap in de richting van mijn droom later een verantwoordelijkheid te nemen in de conservatie en restauratie van ons erfgoed. Deze droom komt voort uit mijn passie voor geschiedenis, en daaraan gekoppeld de aantrekkingskracht die oude gebouwen als getuigen van het verleden op mij uitoefenen. Daarbij komt dat ik een ingenieur ben. Het experimenteren met nieuwe technieken en ideeën, de mogelijkheid een eigen pad te bewandelen, dit alles leidde ertoe dat de keuze voor dit eindwerk een logisch gevolg is van wie ik ben en wie ik worden wil. Nochtans was mijn kennis over geo-elektrische metingen slechts miniem. Gelukkig kon ik rekenen op de steun van: Prof. D. Van Gemert en Prof. K. Van Balen, de promotoren, onder wiens impuls dit eindwerk uitgegeven werd. Dr. F. Van Rickstal, begeleider, voor zijn grote bijdrage en hulp en voor de vrijheid die hij mij gelaten heeft de richting van dit eindwerk te bepalen. Roger Wolput, medewerker aan het Departement Bouwkunde, waarmee ik vele uren op het terrein heb doorgebracht. Kris Vanneste, geoloog verbonden aan de seismologische dienst van het Koninklijk Meteorologisch Instituut te Ukkel, voor het ter beschikking stellen van zijn enorme kennis over het geo-elektrisch meten. Tot slot wens ik nog mijn vader, mijn moeder zaliger, mijn broers en goede vrienden te bedanken voor de steun die ik van hen altijd gekregen heb.

1. Inleiding

5

1. Inleiding

1.1. Belang van niet-destructief onderzoek Tijdens de moeilijke taak van het conserveren en restaureren van gebouwen in het algemeen en van metselwerk in het bijzonder is het zeer belangrijk de actuele toestand correct te bepalen. Wegens de grote historische en culturele waarde van het patrimonium is het aangewezen (in veel gevallen zelfs verplicht) de ernst van de degradatie op een niet-destructieve manier te bepalen. De bepaling van de uitwendige degradatie kan met behulp van een visuele inspectie gebeuren. De staat van de inwendige structuur dient bijgevolg nog via een niet-destructieve meetmethode gedetermineerd te worden. Technieken die daarvoor in aanmerking komen, zijn: radiografie, infraroodthermografie, grondpenetratieradar, ultrasonoor onderzoek of onderzoek op basis van de elektrische resistiviteit <FVR 2002>, <KVE 2000>. Destructieve methoden zijn vooral gebaseerd op kernboringen en endoscopische waarnemingen. In dit proefschrift wordt de geo-elektrische meettechniek als niet-destructieve onderzoeks -methode voor het bepalen van de inwendige structuur verder uitgediept. Met deze techniek zal het hopelijk mogelijk zijn in de toekomst consolidatie-injecties op te volgen. Het belang en de techniek van groutinjecties wordt uitvoerig behandeld in <FVR 2000>. Geo-elektrisch meten zal het destructief onderzoek tot een minimum beperken. Er kan gerichter en minder geboord worden. Ook zal onderzocht worden of en in welke mate het mogelijk is via deze meetmethode profielen van muren te achterhalen. Het zal mogelijk blijken de aanwezigheid van steunberen op een niet-destructieve manier vast te stellen.

1.2. Doel verhandeling Oorspronkelijk is de elektrische resistiviteitsmethode ontwikkeld in de geofysica, een zijtak van de geologie. De gebroeders Schlumberger ontwikkelden de methode, zij het in een zeer embryonale vorm, voor het eerst in de jaren twintig van de vorige eeuw. Een tiental jaar geleden werd aan het departement Burgerlijke Bouwkunde, afdeling Bouwmaterialen en –constructies van de KUL, gestart met het onderzoeken naar de mogelijkheid deze methode om te vormen en aan te passen aan het scannen van metselwerkstructuren. Er werd een methode ontwikkeld die rekening houdt met allerlei randvoorwaarden die typisch zijn voor muren (g eometrie, zout,...), en niet voor grondonderzoek waar de methode initieel voor ontwikkeld werd. De aanpak van dit proefschrift is enigszins anders. Er wordt begonnen met na te gaan hoe het geo-elektrisch meten in de geofysica geëvolueerd is. Vervolgens werd onderzocht hoe deze evoluties op metselwerkstructuren kan toegepast worden. De belangrijkste vernieuwing is de ontwikkeling van softwarematige hulpmiddelen bij het verwerken en interpreteren van de metingen. Daarvoor werd altijd getracht conclusies in verband met de ondergrond te trekken die enkel gebaseerd waren op de schijnbare weerstand. In dit werk zal aangetoond worden dat dit fundamenteel niet correct is. De recent ontwikkelde software wordt bestudeerd en ook een aantal elektrodeconfiguraties of array-types worden op hun bruikbaarheid getoetst. Dit gebeurt aan de hand van simulaties waarbij de invloed van verschillende parameters onderzocht wordt. Tot slot worden twee bescheiden meetcampagnes (surveys) opgesteld om een bestaande muur volg ens een aantal arrays op te meten. In een eerste meetcampagne wordt onderzoek gedaan naar de inwendige structuur van het metselwerk. De resultaten van die metingen worden vergeleken met de inwendige structuur van de muur na endoscopisch onderzoek. De tweede campagne wordt opgesteld om te onderzoeken of het mogelijk is om via de techniek de aanwezigheid van steunberen vast te stellen.

1. Inleiding

6

Om de geformuleerde doelstellingen te bereiken, werden de volgende stappen gezet: Compatibiliteitsstudie van elektrische meettechnieken en software uit de geologie:

• studie van geschikte array-types voor elektrische metingen op metselwerk, de Wenner-alfa, de Wenner-Schlumberger en de dipool-dipool configuraties zullen in de praktijk getest worden (Hoofdstuk 4)

• software om schijnbare resistiviteiten te inverteren naar werkelijke weerstandswaarden (Hoofdstukken 2 en 3)

• parameterstudie door middel van simulatie (Hoofdstuk 5) Praktische experimenten:

• metingen op een zandstenen muur te Melsbroek met de bedoeling de inwendige structuur te onderzoeken (Hoofdstuk 5)

• vergelijking van het resultaat van de inversie met de reële doorsnede van de muur door endoscopisch onderzoek (Hoofdstuk 5)

• metingen op de stadsmuur "Handbogenhof" te Leuven waarbij getracht werd de aanwezigheid van steunberen aan te tonen (Hoofdstuk 6)

2. Geo-elektrische methode

7


2.1. Algemene resistiviteitstheorie

2.1.1. Principe

Het principe werkt als volgt: een stroom wordt met behulp van elektroden geïnjecteerd in de ondergrond (muur) waardoor er een elektrisch veld ontstaat. Potentiaalelektroden worden dan gebruikt om het potentiaalverschil op te meten. De wet van Ohm (2.1) laat vervolgens toe om de resistiviteitswaarde te bepalen. Uit een basiscursus natuurkunde (bijvoorbeeld <WLA 2002>) haalt men de volgende vectoriele basisformule:

EJOhmrr

.: σ= (2.1) In deze formule is:

teitconductiviteeveldsterkelektrischE

tensiteitstrooJ

==

=

σ

r

rmin

Merk op dat J en E vectoriele grootheden zijn. In de praktijk wordt echter de elektrische potentiaal gemeten en ook wordt eerder gebruikt gemaakt van de resistiviteit ρ die gelijk is aan de inverse van de conductiviteit σ ( ρ=1/σ). Het elektrisch potentiaalveld (Φ ) staat in relatie met de elektrische veldintensiteit via de volgende betrekking:

Φ−∇=Er

(2.2) (2.1) en (2.2) geven samen:

Φ∇−= .σJr

(2.3) De stroombronnen zijn in het geval van resistiviteitssurveys puntvormig. Stel dat deze stroomelektrode zich bevindt op de locatie (xs,ys,zs) dan is volgens <DMO 1979> de relatie tussen de stroomintensiteit J en de stroom I voor een elementair volume dV rond deze stroomelektrode:

)()()( sss zzyyxxdVIJ −−−

=∇ δδδ

r (2.4)

δ is hier de Dirac functie. Vergelijking (2.3) kan nu herschreven worden in de volgende algemene vorm (in 3 dimensies) die het verband geeft tussen de potentiaaldistributie in de ondergrond (muur) ten gevolge van een stroombron op locatie (xs,ys,zs).

[ ] =∇•∇− ),,(),,( zyxzyx φσ )()()( sss zzyyxxdVI

−−−

δδδ (2.5)


8

Het oplossen van deze vergelijking wordt het probleem van de “voorwaartse modellering” genoemd. Verschillende technieken (zowel analytische als numerieke) zijn hiervoor ontwikkeld. De oplossing van (2.5) voor het eenvoudigste geval van een homogeen halfoneindig lichaam wordt in een volgende punt analytisch uitgewerkt, om vervolgens de begrippen schijnbare resistiviteit en geometrische factor te verduidelijken.

2.1.2. Homogeen halfoneindig lichaam Het volgende voorbeeld is overgenomen uit <KVE 2000>, maar is eigenlijk de uitwerking van formule (2.5) voor het eenvoudige geval van een homogeen halfoneindig lichaam. Er wordt op zoek gegaan naar een uitdrukking voor het potentiaalverschil in een bepaald punt in functie van de aangelegde stroom en de afstand tot die stroombron. In <WLA 2002> vindt men de wet van Pouillet voor een geleider:

Al

R .ρ= (2.6)

Hierin is: R = weerstand (Ω) ρ = resistiviteit (Ωm) l = lengte geleider (m) A = doorsnede geleider (m2) Onderstaande figuur 2.1 geeft weer hoe de stroom en potentiaal gedistribueerd wordt in een halfoneindige homogene ruimte waarbij de stroom in een welbepaald punt wordt geïnjecteerd.

Figuur 2.1: stroomlijnen en potentiaallijnen in een halfoneindig homogeen medium

Het potentiaalverschil (2.9) in een bepaald punt in functie van de aangelegde stroom en de afstand x tot die stroombron kan afgeleid worden vertrekkende van de wet van Pouillet voor de elektrische weerstand van een halfoneindig homogeen medium:

2..2

.x

dxR

πρ

= (2.7)


9

De wet van Ohm geeft nu de stroom die door de bolvormige schil vloeit:

dxdVx

xdx

dVVVI ...2

..2.

)( 2

2ρπ

πρ

−=+−= (2.8)

Waaruit volgt dat:

2..2..xdxI

dVπρ−

= (2.9)

Integratie van deze uitdrukking tussen de grenzen oneindig en x geeft ons de potentiaal in een punt op afstand x van de stroombron. In <WLA 2002> staat dan ook dat de potentiaal in een punt de arbeid is die dient verricht te worden om een positieve eenheidslading van oneindig ver tot in dat punt te brengen tegen het elektrisch veld in. Dit geeft volgende integraaluitdrukking:

xx x

p xI

xdxIdVV

∞∞ ∞

=−== ∫ ∫1

.2..

.2.

2 πρ

πρ

(2.10)

En daaruit volgt de volgende uitdrukking voor de potentiaal in functie van de stroom en de afstand tot de stroombron:

x

IVp ..2

.π

ρ= (2.11)

Bij de meeste geo-elektrische surveys maakt men echter gebruik van een opstelling met twee stroomelektroden en meet men ook het potentiaalverschil tussen twee potentiaalelektroden. In het volgende puntje bekijken we het geval van een halfoneindig homogeen medium met vier elektroden.

2.1.3. Homogeen halfoneindig lichaam met 4 elektroden In dit geval (twee stroomelektrodes) is de distributie van het potentiaalveld in een halfoneindig homogeen medium zoals in de onderstaande figuur 2.2.

Figuur 2.2: potentiaallijnen in een halfoneindige ruimte met twee stroomelektroden C1 en C2,

respectievelijk de positieve en de negatieve stroomelektroden.


10

Met behulp van formule (2.11) vindt men de volgende potentiaalbijdragen:

111 ..2

.xI

V CP πρ

= 1

21 ..2.XI

V CP πρ

−= 2

12 ..2.XI

V CP πρ

= 2

22 ..2.xI

V CP πρ

−=

De totale potentiaal in de punten P1 en P2 wordt op die manier:

−=

111

11..2

.Xx

IVP π

ρ (2.12)

+−=

222

11..2

.Xx

IVP π

ρ (2.13)

Het potentiaalverschil tussen de punten P1 en P2 is nu:

+−−=+=∆

212121

1111..2.

XXxxIVVV PP π

ρ (2.14)

Bovenstaande formule (2.14) duidt duidelijk aan dat het potentiaalverschil recht evenredig is met de stroom I, de resistiviteit ρ en een factor die afhankelijk is van de positie van de elektroden onderling. Deze laatste wordt de geometrische factor G genoemd.

+−−

=

2121

1111

.2

XXxx

Gπ

(2.15)

Combineren van (2.14) en (2.15) en uitwerken naar ρ geeft:

IV

G∆= .ρ (2.16)

Merk op dat formule (2.16) enkel geldig is in het geval van een halfoneindig homogeen medium. De resistiviteit ρ wordt verondersteld constant te zijn. Voor het geval waarbij de resistiviteit van de halfoneindige ruimte niet constant is, definieert men het begrip schijnbare resistiviteit. Figuur 2.3 geeft voor verschillende elektrodeconfiguraties de geometrische factoren (k op figuur 2.3) weer.

2.1.4. Schijnbare resistiviteit In het geval waarbij de resistiviteit ρ van de halfoneindige ruimte niet constant is, definieert men het begrip schijnbare resistiviteit ρa. Formule (2.16) kan herschreven worden als:

IV

Ga∆= .ρ (2.17)

Ongeacht de homogeniteit van de ondergrond is het dus mogelijk om een schijnbare resistiviteit te berekenen. Dit is inderdaad mogelijk indien het potentiaalverschil ∆V, de stroom I en de geometrische factor G gekend zijn. Zeer belangrijk is te beseffen dat deze schijnbare resistiviteit slechts gelijk is aan de werkelijke resistiviteit van het materiaal, indien het medium perfect homogeen is. De schijnbare resistiviteit van een heterogeen lichaam is een soort gemiddelde resistiviteit van alle imhomogeniteiten samen.


11

In <KVE 2000> vindt men op bladzijde 16 de volgende definitie voor de schijnbare resistiviteit: " De schijnbare resistiviteit van een inhomogeen lichaam is de werkelijke resistiviteitswaarde van een fictief, homogeen en isotroop lichaam, waarin voor een gegeven elektrodeconfiguratie en stroomdichtheid I, het gemeten potentiaalverschil ∆V gelijk is aan dat van het inhomogeen lichaam. " Het doel van de software die later aan bod zal komen is juist deze schijnbare resistiviteitswaarde te inverteren naar werkelijke resistiviteiten.

2.2. Praktisch gebruik

2.2.1. Verschillende elektrodeconfiguraties In geo-elektrische surveys worden de onderstaande elektrodeconfiguraties het meest gebruikt (figuur 2.3). Merk op dat de volgende arrays twee parameters hebben: dipool-dipool, Wenner-Schlumberger, pool-dipool en de equatoriale dipool-dipool. Een afstand a tussen P1 en P2 en n keer de afstand a tussen stroom- en potentiaalelektrodes. Welke configuraties voor het opmeten van metselwerk geschikt zijn, wordt later onderzocht (Hoofdstuk 4).

Figuur 2.3: gebruikelijke arrays voor geo-elektrische surveys met hun geometrische factoren


12

2.2.2. Meetprocedure Het is duidelijk dat hoe dichter men de potentiaalelektrodes bij de stroomelektrodes plaatst, hoe minder diep de potentiaallijnen de grond (muur) penetreren. De schijnbare resistiviteit die dan gemeten wordt, is dus representatief voor een klein stukje van de ondergrond. Praktisch dient deze waarde aan een bepaald punt in de ondergrond verbonden te worden. Een mogelijke conventie is het punt op de snijlijn van twee rechten onder 45° vanuit het midden van respectievelijk C1P1 en P2C2 zoals in figuur 2.4. Later zal een meer gefundeerde conventie voor het toewijzen van een datapunt uiteengezet worden in Hoofdstuk 4, paragraaf 4.2.

Figuur 2.4: datapunt schijnbare resistiviteit

Indien het gewenst is een beeld te krijgen van de doorsnede (2D) van de ondergrond (muur) dienen meerdere metingen verricht te worden. Deze metingen moeten eveneens een 2D-vlak bestrijken. Figuur 2.5 geeft de verschillende metingen weer bij een Wenner-alfa array met 20 elektroden. Elk van deze 20 elektroden kan gebruikt worden als C1, C2, P1 of P2. Bij een eerste meetrij bedraagt de afstand C1P1, P1P2, P2C2 a meter. Er kunnen 17 (20-3) metingen gedaan worden. Wordt de afstand tussen C1P1, P1P2, P2C2 nu verhoogd naar 2a dan is het datapunt ook dieper gelegen. Op deze meetrij kunnen slechts 14 (20-2*3) metingen gedaan worden. Op die manier worden schijnbare resistiviteiten verzameld over de gehele diepte van de grond (muur). Merk op dat het aantal metin gen dat verricht wordt afneemt met de diepte.

Figuur 2.5: 2D elektrische survey; elektrodeconfiguratie Wenner-alfa; opeenvolgende

metingen teneinde een pseudo-sectie op te bouwen.


13

In de geofysica heeft men apparatuur ontwikkeld die deze metingen automatisch uitvoert. Zo beschikt men over een samengestelde kabel die elk van de elektroden via een van de samenstellende kabeltjes verbindt met een stroombron (C1 en C2) of een potentiaalmeter (P1 en P2). De metingen worden automatisch opgeslagen in een computer en in een formaat dat compatibel is met het softwareprogramma. Het resultaat van de metingen wordt een pseudo-sectie genoemd. De pseudo-sectie is een visuele voorstelling van de snede van de ondergrond (muur) in schijnbare resistiviteitswaarden. Het softwareprogramma waarvan sprake, zal deze pseudo-sectie inverteren naar werkelijke weerstandswaarden. In het verleden werd veelvuldig (vooral in de U.S.A.) de fout gemaakt op basis van de opgemeten pseudo-sectie de ondergrond te interpreteren. Deze schijnbare sectie verschilt zeer sterk in functie van het array-type dat wordt gebruikt.

3. Software

14

3. Software

3.1. Inleiding Een zoektocht op het internet leert dat er momenteel twee belangrijke commerciële softwarepakketten op de markt zijn om pseudo-secties te inverteren. Het zijn de programma’s “Resix2Di” en “Res2Dinv”. De wiskundige achtergrond van beide programma’s is dezelfde en wordt in 3.2. en 3.3. verder uitgediept. Van beide programma’s is het mogelijk een demo -versie te downloaden. De demo van het programma Resix2di laat echter niet toe eigen data te inverteren en is dus nutteloos om simulaties uit te voeren. Ook is het een DOS-programma dat ondanks de stabiliteit, toch minder gebruiksvriendelijk is dan een Windows-compatibel programma. Res2dinv daarentegen laat zelfs in de demoversie inversies van eigen data toe tot drie iteraties. Dit is in de meeste gevallen net voldoende om conclusies uit simulaties te trekken. Het is een Windows-programma en is dus gebruiksvriendelijker dan Resix2di. Bovendien is ook het gratis programma “Res2Dmod” beschikbaar. Dit is een programma waarmee het mogelijk wordt, te berekenen wat de schijnbare resistiviteit zou zijn die men zou meten bij een ingegeven inhomogene ondergrond. Deze berekening wordt de voorwaartse modellering genoemd. Het is duidelijk dat de programma’s “Res2Dmod” en “Res2Dinv” centraal zullen staan in het vervolg van deze thesis. Deze software is geschreven door de firma “Geotomo software” in Maleisië. Hun webstek is: http://www.geoelectrical.com/ In 3.2. staat het programma Res2dmod centraal. In 3.3. wordt het inversieprogramma Res2Dinv verder uitgediept.

3.2. Voorwaartse modellering

3.2.1. Wiskundige achtergrond Uit het voorgaande is reeds duidelijk gebleken dat de opgemeten pseudo-sectie (schijnbare resistiviteiten) niet overeenkomt met werkelijke weerstanden die zich in de ondergrond (muur) bevinden. Het inversieprobleem bestaat er net in om uit deze pseudo-sectie de werkelijke distributie van weerstanden te berekenen. Zoals in 3.3. naar voor zal komen, is de voorwaartse modellering een cruciale stap in het inversieproces. Bij voorwaartse modellering zal berekend worden wat de schijnbare resistiviteitsverdeling van een survey zal zijn bij een gegeven distributie van de weerstanden in de ondergrond. Zoals reeds aangehaald in 2.1.1. is het probleem van de voorwaartse modellering het oplossen van vergelijking (2.5).

[ ] =∇•∇− ),,(),,( zyxzyx φσ )()()( sss zzyyxxdVI

−−−

δδδ (2.5)

Deze vergelijking is een tweede orde differentiaalvergelijking en kan op twee manieren opgelost worden. Een eerste methode is analytisch. Deze methode is hoogstwaarschijnlijk de meest accurate, maar zal in complexe gevallen van weerstanddistributie zeer moeilijk of niet toe te passen zijn. Enkel in zeer eenvoudige gevallen (zoals bvb. in 2.1.2. voor een halfoneindig homogeen medium) kan een analystisch exacte oplossing gevonden worden.

3. Software

15

Een tweede familie zijn de numerieke oplossingmethoden. Een eerste numerieke benadering werd reeds eind jaren zeventig door Dey en Morrison opgesteld. Voor een uitgebreide wiskundige verhandeling wordt dan ook verwezen naar <DMO 1979> waar de geïnteresseerde en wiskundig begaafde lezer terecht kan voor de details. Deze methode is gebaseerd op eindige differenties. Enkel het principe wordt kort samengevat in wat volgt. Silvester and Ferrari <SFE 1990> gaven een sterke impuls tot het introduceren van eindige elementenmethoden in de elektrische wetenschappen als numerieke oplossingstechniek voor veldproblemen. De eindige elementenformulering (matrixvergelijkingen) voor dit probleem wordt opgesteld en is gebaseerd op eerste-orde driehoekige elementen. Beide numerieke methoden zijn in vele gevallen het enige alternatief om vergelijking (2.5) op te lossen. 3.2.1.1. Eindige differenties Zoals in de vorige paragraaf reeds aangegeven, zal hier slechts een korte beschrijving gegeven worden van de wiskundige methode ter oplossing van vergelijking (2.5). Deze methode werd eind jaren zeventig opgesteld door Dey en Morrison <DMO 1979>. De volgende stappen kunnen achtereenvolgens onderscheiden worden:

• Er wordt aangenomen dat de conductiviteit in de y-richting σy constant is. De conductiviteitsdistributie σ(x,z) van de ondergrond (muur) is dus enkel afhankelijk van x en z.

• Dan wordt y in (2.5) Fourier getransformeerd naar het golfgetaldomein Ky. Deze

bewerking, waarbij men van het ruimtelijke domein (x,y,z) naar het golfgetaldomein transformeerd wordt, is volledig analoog aan de welbekende Fouriertransformatie van het tijdsdomein naar het frequentiedomein. Ook hier is het zo dat differentiaalvergelijkingen makkelijker op te lossen zijn in het golfgetaldomein dan in het ruimtelijke domein.

• Als randvoorwaarden wordt geëist dat de gezochte potentiaalverdeling Φ (x,y,z)

continu is, dat er geen stroom kan weglekken en dat de potentiaal op oneindig gelijk moet zijn aan nul.

• De ondergrond (muurdoorsnede) wordt vervolgens onderverdeeld in rechthoeken.

De gekende distributie van de conductiviteit σ(x,z) wordt nu gediscretiseerd naar elke knoop i,j (een knoop is een hoekpunt in het raster van rechthoeken dat gedefinieerd wordt door i en j respectievelijk de rij en de kolom in het raster). In elke knoop is nu de waarde σi,j gekend. De oplossing geeft de potentiaalverdeling in functie van x en z in het golfgetaldomein Ky en dit in de knoop i,j.

• Vergelijking (2.5) is nu omgezet naar het golfgetaldomein Ky en is gedefinieerd

voor elk knooppunt (σi,j gekend). Deze vergelijking bevat nog steeds de zogenaamde Laplace-operator ∇2 die een tweede orde afgeleide in de ruimte voorstelt.

2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂≡∇ !de tweede term vervalt (σy constant)

3. Software

16

De rekenmethode op basis van eindige differenties zal deze tweede orde afgeleide benaderen door de volgende uitdrukking die geldt voor elke distributie Pi,j [geldt zowel voor σ(x,z) en Φ (x,z) in Ky]:

( )( ) ( )

∆

−+

∆

−

∆+∆=∇ +

−

−

− i

jiji

i

jiji

iiji x

PP

x

PP

xxP ,,1

1

,,1

1,

2 .2

( )( ) ( )

∆

−+

∆

−

∆+∆+ +

−

−

− j

jiji

j

jiji

jj z

PP

z

PP

zz,1,

1

,1,

1

.2

(3.1)

Op deze manier dienen er geen dubbele integralen berekend te worden om de Laplace-operator ∇2 weg te werken. Bij de eindige elementenmethode die in 3.2.2. wordt behandeld, zal het wel nodig zijn een integraal uit te rekenen, waardoor de eindige elementenberekening langer duurt. Voor wat betreft het resultaat van de voorwaartse modellering, liggen beide methoden zeer dicht bij elkaar zoals later geïllustreerd zal worden.

• Voor elke knoop i,j kan nu met behulp van vergelijking (3.1) de vergelijking (2.5) herschreven worden in het golfgetaldomein Ky. Al deze vergelijkingen samen vormen een stelsel dat in een matrixvergelijking kan gegoten worden. Deze ziet er als volgt uit:

C.Φ~ =S (3.2)

C wordt de capaciteitsmatrix genoemd en is enkel afhankelijk van de ruimtelijk distributie van de conductiviteit σ(x,z) en de plaats van knoop i,j (xi,zj). C is dus

niet afhankelijk van de geïnjecteerde stroom. S en Φ~ zijn beide kolommatrices.

S geeft aan in welke knopen stroom wordt toegevoegd. Φ~ geeft voor elke knoop de waarde van de potentiaal in Ky. Een eenvoudig voorbeeld wordt in het volgende puntje uitgewerkt.

• Voorbeeld opstellen matrixvergelijking:

Beschouw het volgende in 4 rechthoeken verdeeld lichaam met 9 knopen, stroom wordt toegevoerd in knoop 4 aan het oppervlak:

Figuur 3.1: grid met vier rechthoeken

3. Software

17

Matrixvergelijking C.Φ~

=S krijgt de volgende uitgeschreven vorm:

=

ΦΦ

ΦΦΦ

ΦΦ

ΦΦ

00

000

0

00

~~~

~~

~~

~~

.

)9()9(0)9(00000)8()8()8(0)8(0000

0)7()7(00)7(000)6(00)6()6(0)6(00

0)5(0)5()5()5(0)5(000)4(0)4()4(00)4(000)3(00)3()3(0

0000)2(0)2()2()2(00000)1(0)1()1(

9

8

7

6

5

4

3

2

1

I

ccccccc

ccccccc

ccccccccc

ccc

ccccccc

ptl

bptl

bpl

rptl

rbptl

rbpl

rpt

rbpt

rbp

(3.3)

Hierin is:

11

,,1,

).(

)(2

−−

−

∆∆+∆

+−=

iii

jijijil xxx

cσσ

(3.4)

(3.4) is de koppelcoëfficiënt tussen knoop (i,j) en (i-1,j).

iii

jijijir xxx

c∆∆+∆

+−=

−

+

).(

)(2

1

,,1, σσ (3.5)

(3.5) is de koppelcoëfficiënt tussen knoop (i,j) en (i+1,j).

11

,1,,

).(

)(2

−−

−

∆∆+∆

+−=

jjj

jijijit zzz

cσσ

(3.6)

(3.6) is de koppelcoëfficiënt tussen knoop (i,j) en (i,j-1).

jjj

jijijib zzz

c∆∆+∆

+−=

−

+

).(

)(2

1

,1,, σσ (3.7)

(3.7) is de koppelcoëfficiënt tussen knoop (i,j) en (i,j+1). Merk op dat de koppelcoëfficiënten enkel afhankelijk zijn van de ruimtelijk distributie van de conductiviteit σ(x,z) en de plaats van de beschouwde knoop i,j (xi,zj) en de naburige knopen. Door het koppelen wordt voor een knoop de verbinding gemaakt met de naburige knopen zodat de continuïteit van de oplossing verzekerd is.

• De oplossing van (3.2) is gegeven door volgende vergelijking:

Φ~ =C-1.S (3.8)

• Transformeren van (3.8) van het golfgetaldomein Ky naar het ruimtelijk domein (in x en z) geeft voor elke knoop de juiste waarde van de potentiaalfunctie Φ .

3. Software

18

• Aangezien nu de potentiaalfunctie Φ gekend is, alsook de waarde van de geïnjecteerde stroom, is het nu mogelijk om met behulp van de gepaste geometrische factor voor een bepaalde positie van stroom- en potentiaalelektroden de schijnbare resistiviteit te berekenen volgens vergelijking (2.17). Deze schijnbare resistiviteit dient nog aan een bepaald punt in de doorsnede gekoppeld te worden. Dit gebeurt op basis van een conventie. Bijvoorbeeld op de manier van figuur 2.4, maar dit kan ook meer gefundeerd gebeuren zoals in paragraaf 4.2. nog zal verduidelijkt worden. Doet men dit voor alle verschillende locaties van de stroom- en potentiaalelektroden en koppelt men al de schijnbare weerstandswaarden aan hun respectieve datapunten, dan is de pseudo-sectie gekend. De voorwaartse modellering is een feit.

3.2.1.2. Eindige elementen De cursus eindige elementen <DRO 1993> van Prof. Dr. G. De Roeck verschaft de nodige kennis om de eindige elementenvergelijkingen op te stellen. Er dient dus numeriek berekend te worden hoe de potentiaaldistributie in een medium (continuüm) zich manifesteert ten gevolge van stroominjecties en een gegeven weerstandsdistributie van de ondergrond. Dit is een typisch "stationair veldprobleem" zoals ook warmtetransport, diffusie in poreuze media, torsie en magnetostatica hier voorbeelden van zijn. Kenmerkend voor statische veldproblemen is dat ze allen gebaseerd zijn op dezelfde differentiaalvergelijking, namelijk de "quasi-harmonische vergelijking". Deze vergelijking zal opgesteld worden voor het hier beschouwde probleem van de elektrische geleiding en ook de eindige elementenformulering om ze op te lossen. Beschouw de volgende figuur:

Figuur 3.2: schematisering medium en randen

De figuur toont een omrand (Γ) volume (Ω) waarbinnen een element is afgebakend. Binnen dit element is de potentiaalverdeling V(x,y) de gevraagde veldveranderlijke. De veronderstelling wordt gemaakt dat de weerstandsdistributie enkel varieert volgens de x- en z-as (in het vlak van de doorsnede van de ondergrond) en niet volgens de y-as loodrecht op dit vlak. Dit impliceert het volgende:

0=∂∂

⇒=y

ctey

σσ

3. Software

19

• Quasi-harmonische differentiaalvergelijking De beschrijvende quasi-harmonische differentiaalvergelijking heeft de volgende algemene vorm:

0),( =+

∂Φ∂

∂∂

+

∂Φ∂

∂∂

zxIzzxx zx σσ (3.9)

Waarbij:

zx σσ , : conductiviteit in x- en z-richting

∂Φ∂

−=x

J xx σ : stroomdichtheid of stroomflux in x-richting

∂Φ∂−=z

J zz σ : stroomdichtheid of stroomflux in z-richting

),( zxI : inwendige stroombron

Φ : de gezochte potentiaalfunctie in functie van x en z Wat de randvoorwaarden betreft, worden er geen potentialen opgelegd aan de rand Γ en er kan ook geen stroom weglekken langs de randen:

0.. =∂Φ∂

+∂Φ∂

zzxx nz

nx

σσ : op rand Γ (3.10)

Er wordt voor dit probleem ook verondersteld dat er geen inwendige stroombronnen aanwezig zijn, I(x,z) in (3.9) vervalt dus.

• Equivalente integraaluitdrukking (3.9) en (3.10) worden gegroepeerd en herschreven als:

∫∫ΓΩ

=Γ

∂Φ∂+

∂Φ∂+Ω

∂Φ∂

∂∂+

∂Φ∂

∂∂ 0...... dn

zn

xvd

zzxxv zzxxzx σσσσ (3.11)

Dit is de equivalente integraaluitdrukking. Hierin zijn vv, willekeurige functies in x en z.

Het bewijs voor deze stap is als volgt: Stelling:

Γ=

Ω=opBinA

:0)(:0)(

ϕϕ

⇔

vv

dBvdAv

,

0).(..)(.

∀

=Γ+Ω ∫∫ΓΩ

ϕϕ (3.12)

Bewijs:

Indien A(ϕ) niet nul zou zijn in een of ander punt van het definitiegebied Ω, kan onmiddellijk een functie v gevonden worden die het eerste lid van (3.12) laat verschillen van nul. Analoog voor het tweede lid van (3.12).

3. Software

20

• Partiële integratie

Eerste term (3.11):

=Ω

∂Φ∂

∂∂

∫Ω

dxx

v x .. σ ∫∫ΩΩ

Ω∂Φ∂

∂∂−Ω

∂Φ∂

∂∂ d

xxvd

xv

x xx ..... σσ (3.13)

Past men op de eerste term van (3.13) nu de divergentiestelling van Gauss toe die de relatie geeft tussen een volume- en een lijnintegraal:

Gauss: ( )∫ ∫Ω Γ

Γ+=Ω

∂∂+

∂∂ dngnfd

zg

xf

zx ....

Deze term wordt dan:

∫∫ΓΩ

Γ∂Φ∂=Ω

∂Φ∂

∂∂ dn

xvd

xv

x xxx ...... σσ

Past men dit toe voor alle termen van (3.11), dan krijgt men de volgende uitdrukking:

∫Ω

Ω

∂Φ∂

∂∂+

∂Φ∂

∂∂− d

zzv

xxv

zx ..... σσ ∫Γ

Γ

∂Φ∂+

∂Φ∂+ dn

zn

xv zzxx ...... σσ

(3.14)

0...... =Γ

∂Φ∂+

∂Φ∂+ ∫

Γ

dnz

nx

v zzxx σσ

Als nu ( vv −= ) wordt gekozen (ze mogen willekeurig gekozen worden) dan vallen de laatste twee termen in (3.14) weg. Blijft over:

0..... =Ω

∂Φ∂

∂∂+

∂Φ∂

∂∂

∫Ω

dzz

vxx

vzx σσ (3.15)

Volledig uitgeschreven wordt dit:

0...0

0.. =ΩΦ

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∫Ω

d

z

xvzx z

x

σσ

(3.16)

Hierin is:

T

zx∇=

∂∂

∂∂

Λ=

z

x

σσ0

0

3. Software

21

Vergelijken met (3.9) leert dat:

=

=

z

x

JJ

J Φ∇Λ−=

∂Φ∂

∂Φ∂

− ...

0

0

z

xz

x

σ

σ (3.17)

Samengevat:

0).).(.( =Ω−∇∫Ω

dJvT (3.18)

Dit is de uiteindelijke equivalente integraaluitdrukking.

• Eindige elementenverdeling Er wordt gekozen voor driehoekige elementen van eerste orde (lineaire vormfuncties). Het omsloten volume Ω wordt verdeeld in deze elementen zoals op onderstaande figuur duidelijk wordt.

Figuur 3.3: elementenverdeling

Op deze figuur is:

Γ1e = deel van de elementenrand dat behoort tot de algemene begrenzing Γ

Γ2e = grens met naburige elementen

De equivalente integraaluitdrukking (3.18) wordt nu herschreven voor element e:

0..).).(.(2

=Γ+Ω−∇ ∫∫ΓΩ ee

dJvdJvT (3.19)

De tweede term in (3.19) geeft de stroomflux weer naar de naburig elementen. Deze term vindt men niet terug in (3.18).

3. Software

22

• Vormfuncties driehoekig eerste orde element

Doel van de eindige elementenbenadering is het opstellen van een functie −

Φ in x en z,

die een benadering is van de exacte potentiaaldistributie Φ . Daarbij is −

Φ van de vorm:

[ ] ee

l

k

jel

ek

ejllkkjj NNNNNNN Φ=

ΦΦ

Φ

=Φ+Φ+Φ=Φ≈Φ−

..... (3.20)

Als de vormfuncties (interpolatieformules) el

ek

ej NNN ,, in de punten (xi,zi) voldoen aan:

imiim zxN ,),( δ= voor m = j,k,l en i = j,k,l

dan is de waarde van de benadering Φ in knoop i de potentiaal in (x i,zi) voor i=j,k,l. Met andere woorden, in de knopen van het element neemt de vormfunctie de waarde 1 aan. Hoe zien deze vormfuncties er nu uit?

Figuur 3.4: coördinaten knopen

Er wordt gebruik gemaakt van lineaire vormfuncties. Φ zal dus een lineaire vergelijking zijn in x en z die een vlak voorstelt, aangezien de variatie van de potentiaal binnen een element lineair kan toe- of afnemen in x- en z-richting. De algemene vergelijking van een vlak is:

[ ] ααα

α

ααα ..1..

3

2

1

321 Pzxzx =

=++=Φ (3.21)

De benadering in de knopen van Φ wordt dan (zie figuur 3.4):

jjjj zxzx ..),( 3211 ααα ++=Φ=Φ

kkkk zxzx ..),( 3211 ααα ++=Φ=Φ ⇒ αααα

..111

3

2

1

3

2

1

Czxzxzx

e

ll

kk

jj

=Φ⇔

=

ΦΦΦ

llll zxzx ..),( 3211 ααα ++=Φ=Φ

3. Software

23

Daaruit volgt dat: eC Φ= − .1α

En: [ ]

ΦΦΦ

=Φ=Φ −

l

k

jel

ek

ej

e

N

NNNCPe

... 1321 (3.22)

Op deze manier vindt men dus vergelijking (3.20) terug. Er kan aangetoond worden dat C-1 altijd bestaat.

• Opstellen stelsel systeemvergelijkingen Neemt men opnieuw de equivalente integraaluitdrukking voor een element (3.19):

0..).).(.(2

=Γ+Ω−∇ ∫∫ΓΩ ee

dJvdJvT (3.19)

Binnen elk element geldt volgens (3.20) de volgende benadering voor de potentiaalfunctie:

[ ] ee

l

k

jel

ek

ej NNNN Φ=

ΦΦ

Φ

=Φ≈Φ−

..

Binnen dit element geldt bovendien (verder uitwerken van 3.17):

∂Φ∂

∂Φ∂

=−

z

xJz

x

.

.

σ

σ

Φ

ΦΦ

∂∂

∂∂

∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

=

l

k

j

el

ek

ej

el

ek

ej

z

x

zN

zN

z

Nx

Nx

Nx

N

..0

0

σ

σ

[ ] eeeel

ek

ej BBBB ΦΛ=ΦΛ= ....

Past men nu de keuze van Galerkin toe, d.w.z. dat de vrij te kiezen functie v in (3.19) gelijk wordt gekozen aan de vormfuncties:

eTj

ej

ejTe

jj Bz

N

x

N

zv

xv

vNvv =

∂

∂

∂

∂=

∂∂

∂∂

=∇⇒=→

Dit wordt nu geïntegreerd in vergelijking (3.19):

∫∫ΓΩ

Γ−=ΩΦΛee

dJNdBB ej

eeeTj

2

...... (3.23)

3. Software

24

Voor vk en vl worden analoge vergelijkingen opgesteld. Het linker lid van (3.23) wordt gelijkgesteld aan:

=ΩΦΛ∫Ωe

dBB eeeTj .... ∑

=

Φlkji

ei

eijK

,,, .

Indien de analoge vergelijkingen voor vk en vl mee worden opgeteld.

Het rechter lid van (3.23) wordt gelijkgesteld aan:

ej

ej JdJN

e

=Γ− ∫Γ2

..

Men krijgt dus: ∑

=

Φlkji

ei

eijK

,,, . e

jJ=

Met eijK , ∫∫

ΩΩ

Ω

∂∂

∂

∂+

∂∂

∂

∂=ΩΛ=

ee

dz

Nz

N

xN

x

NdBB

ei

ej

z

ei

ej

xei

eTj ........ σσ

In matrixvorm wordt het voorgaande: Ke.Φ e = Je (3.24)

Opmerkingen: eJ impliceert dat de stroomintensiteit naar naburige elementen zich concentreert

in de knopen. Een positieve ejJ betekent dat vanuit knoop j stroom wordt

toegevoerd naar element e. Aan knoop j wordt stroom onttrokken. In knoop j moet aan het stroomevenwicht voldaan zijn (cf. stroomwet van Kirchhoff). Wiskundig luidt dit zo:

∑=

=m

e

ejj JS

1

(3.25)

De sommatie blijft beperkt tot de elementen die grenzen aan knoop j. Sj is de stroom die rechtstreeks in de knoop wordt geïnjecteerd. Op die manier wordt de aan het oppervlak toegevoerde stroom (via C1 en C2) bij het geo-elektrisch meten aan het eindige elementenmodel toegevoegd.

Tot slot (3.25) uitgewerkt met de hulp van (3.23) geeft:

∑ ∑∑ Φ=Φ

==i i

iijei

m

e

eijj KKS .. ,

1, (3.26)

Dit (3.26) in vergelijking j van het stelsel systeemvergelijkingen:

S = K.Φ (3.27)

Merk nogmaals de mogelijkheid op om expliciet stroom toe te voeren aan een knoop (via S). De oplossing hiervan geeft in elk punt (x,z) de waarde van de potentiaalfunctie Φ . Analoog aan eindige differentie (paragraaf 3.2.1.1.) kan hieruit de distributie van de schijnbare resistiviteitsverdeling berekend worden.

3. Software

25

3.2.2. Het programma RES2DMOD Dit gratis softwareprogramma berekent de respons (pseudo-sectie) van een gegeven 2D-distributie van weerstanden in de ondergrond. Het is zeer handig om verschillende arrays te evalueren en op die manier surveys te ontwerpen. Onderstaande figuur 3.5 b laat centraal een model van een muur zien zoals zal opgesteld worden in paragraaf 4.3.2. Het stelt een typische historische metselwerkstructuur voor, opgebouwd uit twee parementen verbonden door een mortel-steenslagmengsel. Centraal binnenin beide parementen bevindt zich een holte. Het programma Res2dmod heeft met behulp van eindige differenties (eindige elementen kan ook) de respons van deze weerstandsverdeling berekend voor de dipool-dipool configuratie in dit geval. Het resultaat van deze voorwaartse modellering ziet u op figuur 3.5 a.

Figuur 3.5: model (b) , respons (a) en inversieresultaat (c) van een historische metselwerkstructuur opgebouwd uit twee parementen verbonden door een mortel-steenslagmengsel.

Merk op dat de ruimte achter de muur in het model voorgesteld wordt door een hoge resistiviteit (de groene kleur op figuur 3.5 b). De respons kan opgeslagen worden in een formaat dat ingelezen wordt door het inversieprogramma Res2Dinv. Het resultaat van de inversie op basis van de respons is onderaan de figuur weergegeven (figuur 3.5 c). De holte en het bovenste parement worden opgemerkt in het inversieresultaat. Het onderste parement is moeilijker waar te nemen. Zoals later nog zal blijken, neemt de resolutie sterk af met toenemende diepte. De werkwijze die hierboven aangehaald werd, is degene waarop de simulaties van hoofdstuk 4 gebaseerd zijn.

3. Software

26

3.3. Inversie Er werd reeds vermeld dat de voorwaartse modellering een essentieel onderdeel is van de inversiesoftware. Tijdens de inversie zal iteratief gezocht worden naar een model (lees een weerstands- of conductiviteitsdistributie σ(x,z)) die dezelfde schijnbare resisitiviteitsdistributie (lees: pseudo-sectie zoals gedefinieerd in paragraaf 2.2.2.) levert via de voorwaartse modellering, als de in situ opgemeten pseudo-sectie. Vooraleer met het programma Res2Dinv zelf kennis te maken wordt eerst kort aangegeven hoe dit mathematisch in zijn werk gaat <MHL 2002>.

3.3.1. Wiskundige achtergrond Het model is een geïdealiseerde mathematische voorstelling van de ondergrond (muur). Onder de respons van dit model wordt de door voorwaartse modellering berekende pseudo-sectie van dit model verstaan. Als deze respons samenvalt met de opgemeten pseudo-sectie, is het model representatief voor de sectie in de ondergrond (muur). Het model is bepaald door een aantal parameters. De sectie wordt verdeeld in een rechthoekig grid waarvan elke subdivisie of cel een weerstandswaarde kan krijgen. Alle optimalisatieprocedures passen een initieel model aan tot de respons ervan zo goed mogelijk overeenkomt met de meetdata. De meetdata kunnen weergegeven worden in een vector of kolommatrix Y in de vorm:

[ ]TmyyyY ,......,, 21= (3.28)

Hierin staat m voor het totaal aantal metingen. De respons F wordt analoog gedefinieerd:

[ ]TmfffF ,......,, 21= (3.29)

Het model zelf wordt eveneens in een vector Q vastgelegd:

[ ]TnqqqQ ,......,, 21= (3.30)

Het totaal aantal modelparameters wordt aangeduid met n en gaat van j = 1...n. Een discrepantievector G geeft het verschil weer tussen de modelrespons en de geobserveerde data:

[ ]TmgggFYG ,......,, 21=−= (3.31)

Bij een kleinste kwadraten optimalisatie wordt het initieel model zo aangepast totdat de som van de kwadraten van de verschillen tussen respons en meetdata E minimaal wordt:

∑=

==m

ii

T gGGE1

2. (3.32)

• Het grote vraagstuk bij het uitvoeren van de inversie is de procedure die gebruikt

moet worden om de modelparameters Q zo aan te passen dat (3.32) steeds kleiner wordt. Daartoe dient de volgende Gauss-Newton vergelijking die de verandering (onder de vorm van een perturbatievector ∆Q) van de modelparameters bepaalt opdat (3.32) zou kleiner worden <LIT 1984>.

3. Software

27

GJQJJ Tk

T ... =∆ (3.33)

Hierin staat k voor de iteratiestap. J is de Jacobiaan matrix (m × n) van de partiële afgeleiden. Elk element is gegeven door de volgende formule:

j

kjk q

FJ

∂∂

=, (3.34)

Dit geeft de verandering van de modelresponsvector Fk van de k-de iteratie ten gevolge van een verandering van de j-de modelparameter. De Jacobiaan moet dus bij elke iteratiestap opnieuw uitgerekend worden. Uit (3.33) wordt dan de perturbatievector ∆Qk berekent en vervolgens de nieuwe modelparame tervector Qk+1:

kkk QQQ ∆+=+1 (3.35)

• Vergelijking (3.33) wordt in de praktijk echter niet veel gebruikt omdat het

matrixproduct JT.J soms bijna of volledig singulier durft te zijn. Hierdoor kunnen onrealistische of zelfs geen waarden voor de perturbatievector ∆Q gevonden worden. Een eerste oplossing voor dit probleem is de Marquardt-Levenberg modificatie aan de Gauss-Newton vergelijking (3.33) <LIT 1984>.

GJQIJJ T

kT .)...( =∆+ λ (3.36)

I is de eenheidsmatrix en λ wordt de Marguardt dempingfactor genoemd. Door het invoeren van deze dempingfactor wordt de mogelijkheid voor de verandering van de perturbatievector ∆Qk beperkt, zodat onrealistische waarden voor de modelparameters vermeden worden. Deze methode blijkt tot goede resultaten te leiden, indien het model is vastgelegd door een beperkt aantal modelparameters. Dit is het geval voor 1D-inversies die in het geval van horizontale homogene lagen -wiskundig wil dit zeggen dat σ enkel afhankelijk is van de diepte z- een juist beeld geven van de ondergrond. 1D-inversies worden gebruikt om geo-elektrische sonderingsdata te verwerken. Sonderingsdata worden verzameld door het middelpunt van een array op dezelfde plaats te houden; door de onderlinge afstand tussen de elektroden te vergroten, wordt steeds tot een grotere diepte gemeten.

• In het geval van 2D- en 3D-inversies (respectievelijk σ(x,z) en σ(x,y,z)) waar veel meer modelparameters vereist zijn, kunnen er toch nog grote onrealistische verschillen zijn tussen de grootste en kleinste weerstandswaarden. Om dit probleem te verbeteren, wordt gebruikt gemaakt van de zogenaamde vloeiende kleinste kwadraten methode zoals ontwikkeld door <ELO 1994>. Deze uitbreiding op de Gauss-Newton vergelijking zorgt ervoor dat de weerstandswaarden van het model een vloeiende overgang maken. Abrupte weerstandsovergangen worden dus in het model vermeden.

k

Tk

T QSGJQSJJ ...)...( λλ −=∆+ (3.37)

Hierin is z

Tzzy

Tyyx

Txx CCCCCCS ...... ααα ++=

3. Software

28

Cx, Cy en Cz worden de vloeiende matrices genoemd in respectie velijk de x- y- en z-richting. De coëfficiënten αx, αy en αz zijn de relatieve gewichten die aan de vloeiende filters in de x- y- en z-richting worden gegeven. Een veel gebruikte vorm van de vloeiende (filter) matrix is de eerste orde differentiematrix:

−−

−

=

0

....

....

0....011000......0110

0......0011

C (3.38)

Er wordt opgemerkt dat de methode volgens vergelijking (3.37) enkel aanvaardbaar is indien de variatie van de resistiviteit in de ondergrond eveneens vloeiend is. Slechts dan zal het model dat uit de optimalisatie (inversie) volgt, representatief zijn voor de werkelijkheid. Voor geo-elektrische surveys in estuaria van rivieren zal dit tot goede resultaten leiden.

• Daar waar gezocht wordt naar holtes in de ondergrond en waar men dus wel te

maken heeft met scherpe grenzen tussen verschillende regio's (vb. overgang steen – luchtholte), kan men beter de robuuste variant van de Gauss-Newton methode gebruiken. Scherpe overgangen komen op die manier beter naar voor in het model. Merk op dat deze robuuste methode vermoedelijk de beste resultaten zal geven in het geval men inversies tracht uit te voeren die bedoeld zijn om holtes in metselwerk terug te vinden.

Vergelijking (3.39) zal de absolute variaties in de weerstandswaarden van het model beperken en niet zoals vergelijking (3.37) de relatieve variatie (vloeiende overgangen tussen weerstanden in het model). Een iteratieve methode die dit inrekent, vindt men in <WOS 1988>.

kRdT

kRT QSGRJQSJJ ....)...( λλ −=∆+ (3.39)

Hierin is zm

Tzzym

Tyyxm

TxxR CRCCRCCRCS ......... ααα ++=

Rd en Rm zijn extra wegingsmatrices die tot doel hebben het algoritme robuuster te maken voor scherpe variaties in de weerstandswaarden van het model.

Tot slot nog een opmerking in verband met de Jacobiaan J (vergelijking (3.34)) die voor elk van deze optimalisatieprocedures dient berekent worden.

j

kjk q

FJ

∂∂

=, (3.34)

Dit geeft de verandering weer van de modelresponsvector Fk van de k-de iteratie ten gevolge van een verandering van de j-de modelparameter. Een ernstig nadeel van de voorgaande technieken g ebaseerd op de Gauss-Newton methode is juist het berekenen van deze Jacobiaan bij elke iteratiestap, wat zeer tijdrovend is. Een techniek om deze rekentijd te reduceren bestaat erin de Jacobiaan bij iedere iteratie te schatten <LOD 1997>.

3. Software

29

Deze methode wordt het quasi-Gauss-Newton algoritme genoemd. Eerst berekent men de Jacobiaan van het homogene aardmodel. Dit kan op een analytische manier gebeuren wegens de eenvoud van het probleem (cfr. paragraaf 2.1.2). Voor de eerste iteratie wordt deze J genomen. Na elke iteratie wordt de nieuwe Jacobiaan geschat m.b.v. de volgende uitdrukking: T

kkkk QUJJ ∆+=+ .1 (3.40)

Hierin is k

Tk

kkkk QQ

QJFU

∆∆∆−∆

=.

).( en kkk FFF −=∆ +1

Jk+1 is de geschatte Jacobiaan voor de (k+1)e iteratie. Fk is d e respons van het model en ∆Fk is de verandering van de modelrespons voor de (k+1)e iteratie. De convergentiesnelheid van de quasi-Gauss-Newton methode is iets trager (meer iteraties nodig), maar elke iteratiestap vergt minder rekentijd.

3.3.2. Het programma RES2DINV Het programma werkt als volgt. Eerst wordt een datafile met schijnbare weerstanden ingelezen. Deze kan bestaan uit werkelijk in situ opgemeten schijnbare resistiviteiten, maar kan evengoed bestaan uit kunstmatige data voor simulatiedoeleinden. Bij deze laatste is het bijvoorbeeld mogelijk een datafile aan te maken met behulp van Res2Dmod om de respons van een gekend model te inverteren, om na te gaan of de beschouwde array en inversieparameters in staat zijn het model te reconstrueren na inversie (zoals in figuur 3.5). De demosoftwareversie van Res2Dinv ondersteunt drie iteraties. Voor simulaties volstaat dit, doch indien echte data geïnverteerd moet worden, is dit niet toereikend meer. Gelukkig beschikt men op het Koninklijk Meteorologisch Instituut (KMI) op de afdeling seismologie over een hardwaresleutel van dit programma. Deze mensen stelden graag hun sleutel ter beschikking van dit afstudeerproject om experimentele data te inverteren. Later in de tekst wordt dit nog uitvoerig besproken. Bij het starten van de inversie deelt het programma de ondergrond op in rechthoeken die als basis dienen voor de eindige elementen of eindige differentie voorwaartse modellering (zie 3.2.1.). Figuur 3.6 geeft een voorbeeld van een startverdeling (mesh) van de ondergrond bij de inversie van een geo-elektrische survey.

Figuur 3.6: blokmodel Res2Dinv

3. Software

30

De bedoeling van het programma is nu om aan al de blokken in het model een weerstandswaarde te geven zodat de respons (berekende pseudo-sectie op basis van dit model) ervan overeenkomt met de pseudo-sectie werkelijk opgemeten. De wiskundige inversiemethode kan gekozen worden zoals in paragraaf 3.3.1. uitvoerig besproken werd (robuuste inversie, standaardinversie, ...). Neem bijvoorbeeld opnieuw figuur 3.5. Het model was hier een typische historische metselwerkstructuur opgebouwd uit twee parementen verbonden door een mortel-steenslagmengsel. Centraal binnenin beide parementen bevindt zich een holte. Eerst werd van dit model de respons berekend met behulp van Res2Dmod. Deze respons werd opgeslagen in een formaat dat ingelezen kan worden in het inversieprogramma. Het resultaat na drie iteraties geeft duidelijk aan dat de holte terug te vinden is in de inversie, maar deze holte is niet terug te vinden in de pseudo-sectie. Dit onderstreept de noodzaak inversiesoftware te gebruiken. In het volgende puntje zullen de verschillende opties die het programma hierover biedt, kort aan bod komen. De geïnteresseerde lezer kan ook steeds terecht bij de handleidin g bij van het programma <GEO 2002>.

3.3.3. Parameterstudie Een uitgebreide parameterstudie van de inversiesoftware is terug te vinden in de handleiding van het programma Res2Dinv <GEO 2002>. Alle simulaties die in deze parameterstudie aan bod komen, zijn makkelijk te herhalen. Dit omdat bij de demoversie van het programma al de datafiles waarvan melding wordt gemaakt in de handleiding, bijgeleverd worden. Het lijkt dan ook weinig zinvol deze studie te herhalen binnen dit werk. Een goede kennis van de parameters is vereist om de inversies succesvol door te voeren. Enkel de belangrijkste conclusies en bijzonderheden worden hier samengevat.

• Fixatie van weerstanden in het model voor inversie.

Stel dat men beschikt over de weerstandswaarde van een bepaalde zone in de ondergrond of in de muur. Het is dan mogelijk aan deze zone een weerstandswaarde te koppelen voor de inversie aanvat. Op die manier zal het bijvoorbeeld mogelijk zijn het probleem op te lossen dat voortkomt uit het feit dat een muur geen halfoneindig medium is. Hiervoor is de software ontwikkeld. Er wordt gewoon achter de muur een grote weerstand gedefinieerd die representatief is voor de lucht. Zo is bij de inversie uitgevoerd in Figuur 3.5 de zone achter de muur (vanaf 40 cm diepte) vastgelegd op een hoge weerstand van 10000 Om. Dit blijkt in simulaties goed genoeg te zijn voor de weerstand van lucht. Meer details over fixatie van zones zijn te vinden in appendix C op pagina 54 van de handleiding <GEO 2002>.

• Robuuste data-inversie.

Zoals reeds aangegeven zal men in situaties waar men zoekt naar holtes in de ondergrond (of in de muur), en waar men dus wel te maken heeft met scherpe grenzen tussen verschillende regio's (vb. overgang steen – luchtholte), beter de robuuste variant van de Gauss-Newton methode gebruiken. Scherpe overgangen komen op die manier beter naar voren in het inversiemodel. Het experiment in appendix K op pagina 82 van de handleiding <GEO 2002> is hier een interessante illustratie van.

3. Software

31

• Modelverfijning

Standaard gebruikt het programma voor de inversie een startmodel met blokken waarvan de grote gelijk is aan de afstand tussen de elektroden. Daarmee wordt onmiddellijk duidelijk dat de gehaalde resolutie van de dezelfde grootte-orde is als de elektrodeafstand. Appendix O op pagina 94 van de handleiding <GEO 2002> duidt aan dat in het geval van sterke weerstandsvariaties aan de oppervlakte, het verfijnen van het model tot betere resultaten leidt. Op deze manier verhoogt de resolutie van de inversie. Merk wel op dat verfijning van de modelblokken niet leidt tot een evenredige verhoging van de resolutie. De informatie uit de opgemeten pseudo-sectie blijft immers onveranderd. Wel zal de rekentijd sterk toenemen. Deze optie is zowel toepasbaar voor eindige d ifferentie berekeningen als voor eindige elementen berekeningen.

4. Geschikte arrays voor metselwerk

32


4.1. Inleiding Het is de bedoeling geschikte elektrodeconfiguraties te vinden die voor het opmeten van metselwerkstructuren tot aanvaardbare resultaten komen. Eerst wordt uitgelegd wat bedoeld wordt met sensitiviteitsfunctie s en hoe zij zeer nuttig zullen blijken om op een theoretische manier een geschikte array te vinden. Deze functies zullen ons ook in staat stellen om op een meer gefundeerde manier dan in paragraaf 2.2.2. een schijnbare resistiviteitsmeting aan een fysisch punt te koppelen. Deze theoretische bevindingen zullen via simulaties getoetst worden. De meest gebruikte arrays zijn de Wenner-alfa, de Wenner Schlumberger, de dipool-dipool en de pool-pool. Factoren die de keuze voor een bepaalde array zullen beïnvloeden zijn de volgende:

• diepte van de beïnvloede zone • gevoeligheid voor horizontale en verticale veranderingen in resistiviteit • horizontale databestrijking • signaalsterkte

De eerste twee invloedsfactoren kunnen theoretisch bepaald worden met behulp van de sensitiviteitsfunctie voor een array op het homogene aardmodel.

4.2. Sensitiviteitsfuncties De sensitiviteitsfunctie geeft weer wat de invloed is op de aan het oppervlak gemeten potentiaal als de weerstand van een blokje materiaal in de ondergrond lichtjes wijzigt. Hoe hoger de waarde van deze functie, hoe hoger de invloed op de gemeten potentiaal door het wijzigen van de weerstandswaarde. Op deze manier kunnen de grenzen van de meettechniek of van een bepaalde elektrodeconfiguratie worden vastgelegd. Deze sensitiviteitsfunctie staat bekend onder de naam Fréchet afgeleide. Een uitgebreid artikel hierover werd geschreven in 1989 door McGillivray en Oldenburg <MGO 1990>. In wat volgt, wordt zonder bewijs deze functie aangegeven en de invloed ervan op de diepte van de beïnvloede zone en de gevoeligheid voor horizontale en verticale veranderingen in resistiviteit. De functie is een analytische uitdrukking die voor het homogene aardmodel wordt opgesteld. Toch wordt algemeen in de literatuur aangenomen dat de resultaten (indringingsdiepte) gevonden op basis van dit model niet veel verschillen van de werkelijkheid waar men een 2D-distributie van weerstanden heeft <MHL 2002>. Deze laatste referentie vermeldt wel dat in sommige gevallen waar de weerstandsdistributie van de ondergrond complex is, de werkelijke indringingsdiepte in meer of mindere mate kan afwijken van de theoretische indringingsdiepte op basis van de sensitiviteitsfuncties.


33

Beschouw volgend eenvoudig voorbeeld:

Figuur 4.1: pool-pool array in homogene halfruimte

Figuur 4.1 geeft alle parameters weer die nodig zijn om de waarde van de sensitiviteitsfunctie te bepalen in het punt (x,y,z), omgeven door een infinitesimaal volume -elementje dτ voor een pool-pool configuratie waarbij beide elektroden op afstand a aan het oppervlak van elkaar gelegen zijn. Er wordt 1 ampère stroom geïnjecteerd in C1 wat een bepaalde waarde Φ voor de potentiaal tot gevolg heeft in P1. De vraag wordt nu gesteld wat de verandering δΦ in P1 zou zijn indien de weerstand ρ in het beschouwde volumelemmetje dτ lichtjes gewijzigd wordt met δρ. Het werd aangetoond in <MGO 1990> dat dit gelijk is aan:

∫ Φ∇Φ∇=ΦV

dτρδρ

δ '...2 (4.1)

Er wordt aangenomen dat de weerstand enkel in dτ wijzigt en niet in de rest van de halfruimte. Φ ' is de waarde van de potentiaal voor een stroomelektrode op de positie van P1. Past men nu formule (2.14) toe op dit eenvoudige geval, dan vinden we de potentiaalwaarden (met een stroom van 1 Ampère):

5.0222 ).(.2 zyx ++=Φ

πρ

(4.2)

[ ] 5.0222)(..2'

zyax ++−=Φ

π

ρ (4.3)

Afleiden van (4.2) en (4.3) en invullen in (4.1) geeft:

[ ] [ ]∫

++−++

++−=

Φ

V

dzdydxzyaxzyx

zyaxx...

)(.

).(.

.41

5.12225.1222

22

2πδρδ

(4.4)

De 3-D Fréchet afgeleide voor de pool-pool array is nu de term binnen het integraalteken.

[ ] [ ] 5.12225.1222

22

23)(.

).(.

.41

),,(zyaxzyx

zyaxxzyxF D

++−++

++−=

π (4.5)


34

Merk op dat (4.5) enkel geldig is voor een pool-pool elektrodepositie met juist één stroomelektrode en één potentiaalelektrode. Wil men de sensitiviteitsfuncties en de Fréchet afgeleide voor andere arrays afleiden, dient men op d ezelfde manier te werk te gaan. Algemeen dienen alle elektroden in rekening gebracht te worden.

4.2.1. De onderzoeksdiepte karakteristiek De diepte van de beïnvloede zone neemt toe naarmate de elektroden verder uit elkaar worden gezet. In paragraaf 2.2.2. werd reeds het belang aangegeven om de waarde van de gemeten schijnbare weerstand (representatief voor de weerstand van een bepaalde beïnvloede oppervlakte) te koppelen aan een bepaald punt, het datapunt. Een meer gefundeerde conventie om dit datapunt vast te leggen, is gebaseerd op de 1D-Fréchet afgeleide. Veronderstel dat de ondergrond bestaat uit horizontale lagen, dan is er dus geen gradiënt van de weerstand in de x- en y-richting. Dit is het geval van een ééndimensionale weerstandsdistributie waarbij de conductiviteit σ enkel functie is van z. Leidt men hier nu de 1D-Fréchet afgeleide uit af dan dient vergelijking (4.5) tweemaal geïntegreerd te worden in de x- en y-richting.

[ ] [ ] dydx

zyaxzyx

zyaxxzF D ..

)(.

).(.

.41

)( 5.12225.1222

22

21++−++

++−= ∫ ∫

+∞

∞−

+∞

∞−π (4.6)

Uitwerken en vereenvoudigen van deze vergelijking geeft volgende analytische oplossing:

5.1221 ).4(

.2

)(za

zzF D +

=π

(4.7)

Vergelijking (4.7) wordt in de wereld van de geofysica naar voor geschoven als de "onderzoeksdiepte karakteristiek". Ook hier geldt de opmerking dat (4.7) enkel van toepassing is voor de pool-pool array. Deze functie (4.7) is hieronder afgebeeld:

pool-pool 1D sensitiviteitsfunctie

00.020.040.060.08

0.10.120.14

0.05 0.3

0.55 0.8

1.05 1.3

1.55 1.8

2.05 2.3

2.55 2.8

Verhouding diepte/elektrodeafstand

sens

itivi

teits

waa

rde

pool-pool volgens vgl. 4,7

Figuur 4.2: Pool-pool 1D sensitiviteitsfunctie


35

Hoewel de 1D-sensitiviteitsfunctie enkel geldig is voor een ondergrond met enkel variatie van de weerstand in de z-richting, is ze zeer belangrijk in de geofysica voor wat betreft de onderzoeksdiepte van een willekeurige ondergrond. Merk op dat het maximum van vergelijking 4.7 ongeveer bij 0.35*a gelegen is met a de elektrodeafstand. Ook is duidelijk dat de sensitiviteit sterkt daalt met toenemende diepte en dat de resolutie sterk afneemt. Direct aan het oppervlak heeft men ook geen sensitiviteit; gelukkig kunnen we hier visueel inspecteren. De gemiddelde onderzoeksdiepte wordt gedefinieerd als het punt op de 1D-sensitiviteitsfunctie waarvoor de oppervlakte links en rechts van dit punt even groot is. Dit wil zeggen dat de invloed op de potentiaal van het aardoppervlak (muur) boven dit punt even groot is als de invloed onder dit punt. In verg elijking 4.7 ligt dit punt op een afstand 0.867*a van de oppervlakte. Dit punt is een indicatie van hoe diep we kunnen zien. Dit punt wordt algemeen genomen in de geofysica om surveys te plannen. Men weet wel dat het enkel geldig is voor een homogeen aardmodel, maar men neemt toch uit ervaring aan dat deze waarden nauwkeurige schattingen zijn van de onderzoeksdiepte. Tabel 4.1. (uit <MHL 2002>) geeft voor de verschillende arrays de verhouding ze/a aan, met a bepaald zoals in figuur 2.3. Ze is de gemiddelde onderzoeksdiepte. Kent men de elektrodeafstand a, dan kent men de diepte. Op die manier kunnen geschikte surveys ontworpen worden. De drie laatste kolommen zullen handig blijken te zijn bij het evalueren van de signaalsterktes zoals in het volgende puntje naar voor zal komen.

Array type ze/a Geometr. factor Inv. Geom. factor Ratio

Wenner-alfa 0,519 6,283 0,15915 1,00000

Wenner-schlumberger n 1 0,519 6,283 0,15915 1,00000 2 0,925 18,850 0,05305 0,33333

3 1,318 37,699 0,02653 0,16667 4 1,706 62,832 0,01592 0,10000 5 2,093 94,248 0,01061 0,06667 6 2,478 131,947 0,00758 0,04762 7 2,863 175,929 0,00568 0,03571 8 3,247 226,195 0,00442 0,02778 9 3,632 282,743 0,00354 0,02222

10 4,015 345,575 0,00289 0,01818 Pool-pool

0,867 6,283 0,15915 1,00000 Dipool-dipool

n 1 0,416 18,850 0,05305 0,33333 2 0,697 75,398 0,01326 0,08333 3 0,962 188,496 0,00531 0,03333 4 1,220 376,991 0,00265 0,01667 5 1,476 659,734 0,00152 0,00952

6 1,730 1055,575 0,00095 0,00595 7 1,983 1583,363 0,00063 0,00397

8 2,236 2261,947 0,00044 0,00278

Tabel 4.1: de gemiddelde onderzoeksdiepte voor de verschillende arrays.


36

4.3. Bespreking verschillende arrays Het is mogelijk om met behulp van de sensitiviteitsfuncties zoals opgesteld in de vorige paragraaf een theoretische performantiestudie te maken van de verschillende arrays. Dit werd reeds uitvoerig in de literatuur beschreven in <MHL 2002>. Hieronder worden enkel de voornaamste bevindingen geformuleerd. De figuren die hierbij horen, zijn eveneens afkomstig uit <MHL 2002>. Daarna zullen deze bevindingen getoetst worden door middel van simulaties.

4.3.1. Theoretische analyse met behulp van 2D- sensitiviteitsfuncties

Wil men de theorie van de sensitiviteitsfuncties toepassen op het geval waarbij de weerstand in de ondergrond niet homogeen is zoals hierboven, maar varieert in functie van x en z (dus σ(x,z)), dan wordt vergelijking (4.4) anders opgelost. Voor een punt (x,z) is het nu nodig de bijdrage van alle y-waarden op te tellen. Vergelijking (4.4) dient dus geïntegreerd te worden met betrekking tot y:

[ ] [ ] dy

zyaxzyx

zyaxxzxF D .

)(.

).(.

.41

),( 5.12225.1222

22

22++−++

++−= ∫

+∞

∞−π (4.8)

Deze vergelijking kent een analytische oplossing <LOB 1995> die elliptische integralen definieert. Er wordt dan ook naar deze paper verwezen voor de desbetreffende oplossingen van de verschillende arrays. De belangrijkste elektrodeconfiguraties zullen nu op basis van de grafische voorstelling van de analytische oplossing van (4.8) besproken worden. 4.3.1.1. Wenner-alfa Dit is historisch de meest populaire elektrodeconfiguratie. Tot op de dag van vandaag worden zeer veel surveys met deze array opgemeten. Doch, bekijkt men figuur 4.3 beter, dan ziet men dat de contouren van de sensitiviteitsplot al vrij snel onder de elektroden een sterk horizontaal verloop kennen. Dit wil zeggen dat de Wenner-alfa configuratie vrij gevoelig is voor verticale veranderingen in de weerstand van de ondergrond, maar een slechte gevoeligheid vertoont voor horizontale weerstands-veranderingen. Het gebruik van deze array is dan ook aangewezen in gevallen waarbij de ondergrond vooral horizontaal gelaagd is. Met de applicatie voor het meten op metselwerk in het achterhoofd, doet dit reeds vermoeden dat de Wenner-alfa hiervoor minder geschikt zal zijn. Merk op de sensitiviteitsplot ook de negatieve waarden op tussen de elektroden C1 en P1 en ook bij P2 en C2. Plaatst men nu een klein lichaam met een hoge weerstand tussen C1 en P1, dan zal de gemeten schijnbare resistiviteit afnemen. Tussen P1 en P2 ziet men zeer grote waarden van de sensitiviteit. Wordt hier een klein lichaam met hoge weerstand geplaatst, dan zal de gemeten schijnbare resistiviteit sterk toenemen.


37

Figuur 4.3: 2D sensitiviteitsplot Wenner-alfa

Wat de signaalsterkte betreft, scoort deze array bijzonder goed, het is de array die het sterkste signaal genereert en dus het minst gevoelig is voor ruis. Deze robuustheid dankt de Wenner-alfa aan het feit dat de elektroden altijd slechts een afstand a van elkaar verwijderd zijn. Dit is niet het geval voor de dipool-dipool en de Wenner-Schlumberger. Bij deze arrays bevinden de stroom- en potentiaalelektroden zich bij n-waarden groter dan 1 op een afstand gelijk aan een veelvoud van de afstand a tussen de twee potentiaalelektroden. Daardoor is de potentiaal die gemeten wordt, hier kleiner. Deze logische redenering wordt bevestigd door de inverse van de geometrische factor in tabel 4.1. Hoe lager de geometrische factor, hoe dichter de stroom- en potentiaalelektroden bij elkaar staan en hoe sterker het signaal is dat tussen P1 en P2 gemeten wordt bij gelijkblijvend afstand a tussen P1 en P2. De ratio in tabel 4.1 geeft aan hoe sterk het signaal is in vergelijking met de Wenner-alfa (ratio 1). Een nadeel van de Wenner-alfa is wel zijn beperkte horizontale databereik. In figuur 2.5 is reeds gebleken dat bij het verhogen van de afstand a tussen de elektroden er voor een gegeven aantal elektroden steeds minder metingen kunnen gedaan worden. Bij deze array speelt dit effect het meest. Telkens de afstand a vergroot wordt, daalt het aantal meetpunten met drie. De belangrijkste kenmerken worden nog even op een rijtje gezet: Voordelen:

• goede gevoeligheid voor verticale weerstandsvariaties • robuuste array, zeer goede signaalsterkte

Nadelen: • minder gevoelig voor horizontale w eerstandsvariaties • slecht databereik • minder geschikt voor metselwerkonderzoek


38

4.3.1.2. Dipool-dipool Figuur 2.3 uit het tweede hoofdstuk gaf reeds aan hoe de dipool-dipool array opgebouwd is. Beide elektrodeparen C2C1 en P1P2 bevinden zich op n keer een afstand a van elkaar. Deze a-ruimte is de afstand tussen C1 en C2 als ook tussen P1 en P2. Naarmate n vergroot, wordt ook de onderzoeksdiepte groter (zie tabel 4.1). Figuur 4.4 geeft dan weer de 2D-sensitiviteitsplots weer voor verschillende n-waarden. Naarmate n vergroot, worden hoge sensitiviteitswaarden voornamelijk gevonden onder de C1C2 en P1P2 dipolen. Tussen C1 en P1 neemt de sensitiviteit sterk af bij toenemende n. De contouren van de sensitiviteitsplot worden ook steeds verticaler. De gevoeligheid voor horizontale veranderingen in de weerstand van de ondergrond is dan ook zeer goed voor de dipool-dipool. Deze array is dan wel weer minder gevoelig voor de verticale veranderingen in resistiviteit.

Figuur 4.4: 2D sensitiviteitsplot dipool-dipool met respectievelijk n=1,2,4

Uit tabel 4.1 volgt dan weer dat de gemiddelde onderzoeksdiepte van de dipool-dipool kleiner is dan voor de Wenner-alfa. Stel voor n=1 en eenzelfde elektrodespatie a, dan geeft de Wenner-alfa een diepte van 0.519*a en de dipool-dipool slechts 0.416*a.


39

Voor wat betreft het databereik is de dipool-dipool array meer horizontaal uitgesmeerd dan de Wenner-alfa. Iedere keer n met één verhoogt, daalt het aantal metingen op een gegeven rij elektroden slechts met één. Bij de Wenner-alfa waren er bij elke verdieping 3 metingen minder. Een nadeel van de dipool-dipool array is zijn sterk afnemende signaalsterkte bij toenemende n -waarde. Bestudeert men de waarde voor de ratio voor de dipool-dipool in tabel 4.1, dan vallen onmiddellijk de lage waarden ervan op als n groter wordt. Bij n= 8 bijvoorbeeld is de signaalsterkte slechts 0.0028 keer de sterkte die je bij de Wenner-alfa mag verwachten. Het is daarom aangewezen n niet groter dan 6 te laten worden. Indien de beoogde onderzoeksdiepte dan nog niet bereikt is, kan altijd de elektrodespatie a vergroot worden, waarna men terug n kan laten toenemen tot 6 enz... Door de lagere signaalsterktes is deze array meer ruisgevoelig en dus minder robuust. Er moet voor gezorgd worden dat alle elektroden een goed contact maken met de ondergrond. De belangrijkste kenmerken worden ook hier nog even op een rijtje gezet: Voordelen:

• goede gevoeligheid voor horizontale weerstandsvariaties • goed horizontaal databereik • geschikt voor metselwerkonderzoek

Nadelen: • minder gevoelig voor verticale weerstandsvariaties • minder robuuste array, zwakke signaalsterkte bij grotere n -waarde • iets kleinere onderzoeksdiepte dan Wenner-alfa

4.3.1.3. Wenner-Schlumberger Figuur 2.3 laat zien dat de Wenner-Schlumberger co nfiguratie sterk op de Wenner-alfa lijkt. In plaats van de tussenafstand van alle elektroden telkens te verhogen (Wenner-alfa) wordt bij de Wenner-schlumberger slechts de afstand tussen C1P1 en P2C2 met een factor n vergroot. De afstand tussen P1 en P2 blijft constant. Het is een van de meest gebruikte arrays voor geo-elektrisch grondonderzoek. Figuur 4.5 geeft voor n-waarden van 1, 2 en 4 de sensitiviteitsplot weer. Merk op dat als n gelijk is aan één, we te maken hebben met een Wenner-alfa. De bovenste sensitiviteitsplot in figuur 4.5 komt dan ook overeen met figuur 4.3. Naarmate n toeneemt, vindt men de hoogste sensitiviteitswaarden terug in het gebied onder P1-P2. Ook links van C1 en rechts van C2 zijn hoge positieve waarden terug te vinden. Bij n gelijk aan zes vertonen de contouren een sterk gekromd verloop. Er is zowel in de x- als in de z-richting een gradiënt van sensitiviteitswaarden. Dit wil zeggen dat deze array in staat is zowel horizontale als verticale variaties in de weerstandsdistributie te detecteren. Daarmee houdt de Wenner-Schlumberger het midden tussen een Wenner-alfa (gevoelig voor verticale variaties) en een dipool-dipool (gevoelig voor horizontale variaties). Voor lage n-waarden is hij gevoelig voor het ontdekken van horizontale lagen in de ondergrond. Met hoge n-waarden kunnen verticale structuren in de ondergrond gevonden worden.


40

Figuur 4.5: 2D sensitiviteitsplot Wenner-Schlumberger met respectievelijk n=1,2,4

Tabel 4.1 (ratio's) geeft aan dat de signaalsterkte niet zo goed is als de Wenner-alfa, maar wel beter dan de dipool-dipool. De onderzoeksdiepte is ongeveer 10% dieper dan voor een Wenner-alfa waarbij de afstand tussen C1-C2 even groot is. Het horizontale databereik is iets beter dan de Wenner-alfa (slechts 2 metingen minder bij verhogen n), doch slechter dan voor een dipool-dipool (hier verliest men slechts één meting bij verhogen n).


41

Samengevat geeft dit: Voordelen:

• behoorlijk goede gevoeligheid voor horizontale weerstandsvariaties, wel minder dan dipool-dipool.

• behoorlijk goede gevoeligheid voor verticale weerstandsvariaties, wel minder dan Wenner-alfa.

• goed horizontaal databereik, beter dan Wenner-alfa, minder goed dan dipool-dipool

• onderzoeksdiepte 10% hoger dan Wenner-alfa en dus ook hoger dan dip ool-dipool • vermoedelijk gechikt voor metselwerkonderzoek

Nadelen: • minder robuuste array, zwakke signaalsterkte bij grotere n -waarde, wel hoger dan

dipool-dipool. Dit is dus een array waarvan de theoretische bespreking doet vermoeden dat hij geschikt kan zijn voor metingen op metselwerk, waar zowel horizontale als verticale variaties in weerstand dienen uit de metingen gehaald te worden. 4.3.1.4. Pool-pool Dit is de minst frequent gebruikte configuratie. Figuur 2.3 toont dat in theorie slechts twee elektroden nodig zijn. In de praktijk is het toch nodig een extra stroom- en potentiaalelektrode te voorzien. Dit omdat men slechts een stroom kan injecteren als de muur geaard is (via C2 op grote afstand). Ook kan enkel een potentiaalverschil (tussen twee elektroden) gemeten worden waardoor een tweede P2 elektrode eveneens op grote afstand dient geplaatst te worden. Ideaal moeten C2 en P2 op oneindig geplaatst worden, maar de praktijk leert dat een afstand van 20 maal de afstand tussen C1 en P1 volstaat. Omdat P2 zo ver weg staat, is de meting sterk gevoelig voor ruis. Tabel 4.1 leert dat de onderzoeksdiepte zeer groot is (0.867*a met a de afstand tussen C1 en P1). De signaalsterkte is even goed als voor een Wenner-alfa met dit verschil dat het sterk aan ruis onderhevig is. Figuur 4.6 toont dat de sensitiviteitscontouren relatief ver van elkaar staan (ter hoogte van C1 en P1 waar we positieve waarden hebben). Dit wijst op een beperkte resolutie die uit de metingen kan gehaald worden. Wat betreft het horizontaal databereik scoort de pool-pool uitstekend. Deze configuratie wordt in de praktijk hoofdzakelijk gebruikt voor kleine surveys met een beperkt aantal elektroden. Bijvoorbeeld voor het zoeken van funderingen op archeologische sites. Voor het meten op metselwerkstructuren zal dit waarschijnlijk geen goede array zijn door zijn ruisgevoeligheid en zijn slechte resolutie.


42

Figuur 4.6: 2D sensitiviteitsplot pool-pool

Samengevat: Voordelen:

• uitstekend horizontaal databereik • grote onderzoeksdiepte • goede signaalsterkte

Nadelen: • beperkte resolutie, slechter dan al de andere arrays • C2 en P2 elektrode op minstens 20 maal afstand C1-P1 • zeer gevoelig voor ruis • niet geschikt voor metselwerkstructuren

4.3.1.5. Besluit Op basis van deze theoretische analyse lijkt het aangewezen om voor het meten op metselwerk te kiezen voor een dipool-dipool array of een Wenner-Schlumberger. De pool-pool is minder geschikt wegens zijn lage resolutie. De Wenner-alfa heeft dan weer moeite met het vinden van horizontale weerstandsvaria ties. Verdere analyse van de arrays op basis van representatieve simulaties zal bovenstaande keuzen helpen verantwoorden.


43

4.3.2. Analyse op basis van simulaties De bevindingen op basis van sensitiviteitsanalyses worden in deze alinea getoetst met behulp van eenvoudige simulatiemodellen. Deze modellen zijn representatief gekozen voor de typische opbouw van een historische muur. Er wordt onderzocht welke arrays in staat zijn deze opbouw terug te vinden en ook in welke mate holtes geverifieerd kunnen worden. Twee relevante modellen worden hieronder besproken. Een eerste met een holte in het midden, een tweede met twee holtes boven elkaar. Deze modellen werden softwarematig in notepad aangemaakt in Res2Dmod-formaat. Voor gedetailleerde informatie over deze softwareformaten wordt verwezen naar de handleiding <GEO 2002>. 4.3.2.1. Metselwerkmodel met holte Het model is voorzien van 36 elektroden die op een afstand van 10 cm van elkaar staan. De muur is 40 cm dik en opgebouwd uit een binnenblad en een buitenblad van telkens 10 cm dikte. Er wordt verondersteld dat de parementen een weerstandswaarde van 1500 Ohmm hebben en dat de centrale kern een weerstandswaarde heeft van 1100 Ohmm. Deze waarden zijn afkomstig uit een experiment uit de doctoraatsthesis van Kathleen Venderickx (<KVE 2000>, pagina 137). Uiteraard bestaat er een grote variatie in weerstandswaarden bij muren in de realiteit. Doch deze waarden volstaan in simulaties. Binnenin wordt een holte gecreëerd. Voor de weerstand van de lucht wordt een hoge waarde van 10000 Ohmm gekozen. Het model ziet er dus als volgt uit:

Figuur 4.7: muurmodel met centrale holte

De respons voor verschillende arrays (Wenner-alfa, Wenner-Schlumberger, dipool-dipool, pool-pool) wordt berekend en opgeslagen in het Res2Dinv-dataformaat. Deze datafiles worden geïnverteerd. Er wordt gekozen voor de robuuste inversie, daar deze betere resultaten geven zoals uit alinea 3.3.3. is gebleken. Figuur 4.8 geeft het resultaat weer van de inversies voor de verschillende arra ys.

a: dipool-dipool zonder gefixeerde weerstandszone


44

b: dipool-dipool met gefixeerde weerstandszone

c: Wenner-alfa met gefixeerde weerstandszone

d: Wenner-Schlumberger met gefixeerde weerstandszone

e: pool-pool met gefixeerde weerstandszone

Figuur 4.8: vergelijking inversies verschillende arrays

De schaal is voor elk van de inversies gelijk genomen. Figuur 4.8 a geeft het resultaat van de invers ie van een dipool-dipool array waarbij niet wordt gebruik gemaakt van de mogelijkheid het inversiemodel te voorzien van een gefixeerde weerstandszone (zie paragraaf 3.3.3.). De dikte van de muur (40cm) wordt ook min of meer gedetecteerd in de inversie. Enkel het parement aan de kant van de muur waar de elektroden zich bevinden is duidelijk herkenbaar.


45

De holte manifesteert zich als een verhoogde weerstandswaarde centraal in het beeld. De dipool-dipool array blijkt dus geschikt om holtes terug te vinden. In figuur 4.8 b is gebruik gemaakt van de mogelijkheid tijdens de inversie een zone te voorzien van een vaste weerstandswaarde. De lucht achter de muur (vanaf een diepte van 40 cm) wordt in het inversiemodel gesimuleerd als een verhoogde weerstand van 10000 Ohmm. Het resultaat is dat de holte scherper naar voor komt in de inversie. Zowel horizontale als vertikale variaties in weerstand worden dus onderscheiden, zoals in de theorie op basis van sensitiviteitswaarden reeds besloten werd. Hieruit wordt besloten dat voor het bepalen van de inwendige structuur van metselwerk het aangewezen is om deze fixatie te doen als de dikte van de muur gekend is. Figuur 4.8 c toont dat de Wenner-alfa niet zo geschikt blijkt omdat de holte slecht waarneembaar is in het beeld. De holte is in het beeld van de inversie een uitgesmeerde zone met licht verhoogde weerstand. Wel wordt het voorste parement teruggevonden. Dit strookt met de theoretische bevinding op basis van sensitiviteitswaarden die stelde dat enkel vertikale weerstandsvariaties goed terug te vinden zijn voor de Wenner-alfa array. De Wenner-Schlumberger inversie van figuur 4.8 d laat zien dat deze configuratie vrij goed in staat is de holte en het voorste parement te detecteren. De pool-pool array (figuur 4.8 e), waarvan de resolutie zoals verwacht zeer laag uitvalt, is niet in staat de holte terug te vinden. 4.3.2.2. Metselwerkmodel met twee holtes Het is ook interessant om eens te onderzoeken welke arrays in staat zijn een holte terug te vinden die gemaskeerd is door een andere holte. Een theoretisch model met 36 elektroden op 1 m afstand werd daarvoor ontworpen (zie figuur 4.9). De respons werd berekend met Res2Dmod en het resultaat van deze voorwaartse modellering werd ingevoerd in het inversieprogramma. Het resultaat werd ook hier op dezelfde schaal weergegeven om de verschillende arrays makkelijk te vergelijken.

Figuur 4.9: model met twee holtes boven elkaar

Ook hier werd gekozen om een robuuste inversie uit te voeren voor al de arrays. De resultaten van de verschillende inversies worden grafisch voorgesteld in figuur 4.10. Het is duidelijk dat het enkel de dipool-dipool array is die behoorlijk scoort voor deze test. Figuur 4.10 a is de enige die een tweede holte doet vermoeden onder een holte in de buurt van het oppervlak waar de elektroden zich bevinden. De andere array's zijn verblindt door de holte aan het oppervlak.


46

a: dipool-dipool

b: pool-pool

c: Wenner-alfa

d: Wenner-Schlumberger

Figuur 4.10: vergelijking inversies verschillende arrays


47

4.3.3. Besluit Uit paragraaf 4.3.2.1. kan besloten worden dat de dipool-dipool en de Wenner-Schlumberger in staat zijn een holte in een muur terug te vinden. De pool-pool array lijkt hiervoor met zijn geringe resolutie minder geschikt. Ook de Wenner-alfa configuratie bleek niet te voldoen aan de verwachtingen. Paragraaf 4.3.2.2. duidt dan weer aan dat enkel de dipool-dipool in staat is gemaskeerde holtes te ontdekken. Dit doet vermoeden dat de dipool-dipool voor het meten op metselwerkstructuren het meest geschikt zal zijn. Dit zal ook in het vervolg van de thesis bevestigd worden aan de hand van twee experimentele meetcampagnes. In de hoofdstukken 5 en 6 zullen op basis van de bevindingen uit dit hoofdstuk deze meetcampagnes opgesteld, uitgevoerd en verwerkt en geïnterpreteerd worden.

5. Meetcampagne Melsbroek: opmeten inwendige structuur

48

5. Meetcampagne Melsboek: opmeten inwendige structuur

5.1. Inleiding Aan de rand van het 18de-eeuwse domein Boetfort in Melsbroek bevindt zich een zeer bouwvallige, voor de streek typische, woning met stallingen. Het gebouw is vermoedelijk de conciërgewoning geweest van het kasteel in de 19de eeuw. Door de slechte staat van het dak is de laatste jaren de degradatie van de zandstenen muren sterk in de hand gewerkt. Aanvankelijk was het de bedoeling één van de muren geo-elektrisch op te meten om vervolgens de za ak te slopen tot op het niveau van de snede. Dit opmeten zou gebeuren voor verschillende arrays om vergelijking mogelijk te maken. Op die manier zou gemakkelijk het resultaat van de inversie vergeleken kunnen worden met de realiteit. Jammer genoeg heeft de eigenaar zich net na de meetcampagne bedacht voor wat het slopen betreft. Ter verificatie van de metingen werden daarom in de plaats enkele boringen uitgevoerd. Met behulp van een endoscoop kon op die manier ook een vrij goed beeld gemaakt worden van de inwendige structuur van de muur zodat de meetcampagne toch gevalideerd kon worden. Het zal blijken dat de dipool-dipool array de meest betrouwbare resultaten oplevert.

Figuur 5.1: links: conciërgewoning; rechts: kasteel Boetfort

5.2. Opstellen arrays Het doel van de meetcampagne in Melsbroek was om na te gaan welke arrays (en de methode in zijn geheel) in de praktijk in staat zouden zijn de inwendige structuur van de muur te bepalen. In hoofdstuk 6 zal de methode voor een andere toepassing gebruikt worden. Daar zal getracht worden het profiel van een muur te achterhalen door hem slechts langs één zijde op te meten. Dit kan zeer handig zijn om de dikte van kaaimuren te bepalen en steunberen te detecteren. Uit hoofdstuk 4 volgde dat de dipool-dipool array vermoedelijk het meest aangewezen is om metingen op metselwerk te verrichten. Het grootste nadeel van deze configuratie is dat de signaalsterkte sterk afneemt met toenemende n-waarde (=aantal keer de elektrodeafstand tussen stroom- en potentiaalelektroden). Deze array zal zeker in de praktijk getest moeten worden. Wat betreft de Wenner-alfa configuratie besloot hoofdstuk 4 dat deze array niet zo geschikt is om metingen op metselwerk uit te voeren en holtes terug te vinden. Toch zal ook deze array in de praktijk getest worden. Dit omdat het nog steeds de meest gebruikte en meest gekende configuratie ter wereld is en omdat de array als vergelijking


49

dient voor de andere configuraties. De pool-pool opstelling zal niet in de praktijk onderzocht worden, daar deze volledig ongeschikt bleek te zijn om holtes te vinden in de simulaties. Als laatste zal ook de Wenner-Schlumberger uitgetest worden. Ook deze bleek in staat holtes terug te vinden. Er werd gekozen om een stuk muur met een dikte van 40 cm o p een hoogte van een drietal meter te onderzoeken. Op het moment van het opstellen van de campagne werd er nog vanuit gegaan dat de muur zou gesloopt worden. Daarom werd zo hoog mogelijk gemeten om zo weinig mogelijk materiaal te moeten wegnemen. Er werden 30 elektroden (=nagels) in een voeg van de muur geklopt op een afstand van 10 cm van elkaar. Stalen nagels bleken een goed contact met de muur te maken als ze een tweetal centimeter in de voeg werden geklopt. Als elektroden zijn nagels dus zeer geschikt. Men weet dat de resolutie van het geo-elektrisch meten van dezelfde grootte-orde is als de elektrodeafstand. Daarom werd gekozen voor een elektrodeafstand van 10 cm om toch een zekere resolutie te halen. De lengte van de snede die gemaakt werd, is op die manier 2.9 m lang.

Figuur 5.2: links: opgemeten stuk van de muur op 3 meter hoogte

rechts: stelling om handig te kunnen werken

Hieronder worden de surveys opgesteld voor respectievelijk de Wenner-alfa, de Wenner-Schlumberger en de dipool-dipool elektrodeconfiguratie. De onderzoeksdiepte werd daarbij keer op keer bepaald aan de hand van de 1D-sensitiviteitsfuncties zoals samengevat in tabel 4.1.

5.2.1. Wenner-alfa De Wenner-alfa array heeft een distributie van stroom- en potentiaalelektrodes zoals aangegeven op de onderstaande figuur 5.3.

Figuur 5.3: Wenner-alfa met k de geometrische factor


50

Uit tabel 4.1 volgt dat de onderzoeksdiepte ze gelijk is aan 0.519*a. Indien men een muur van 40 cm dik wil opmeten, is het dus nodig een maximale elektrodeafstand van 80 cm te nemen. Inderdaad, ze gelijk aan 0.519*80 cm = 41.52 cm, en dat volstaat om de dikte van de muur volledig te omvatten. De elektrodeafstand moet dus bij elke reeks die opgemeten wordt, tot 8 maal verhoogd worden met 0.1 m. Het aantal metingen dat moet uitgevoerd worden, kan dan berekend worden. Zoals in paragraaf 2.2.2. reeds aangegeven, kan men het aantal metingen in het geval van de Wenner-alfa opstelling bepalen met de formule:

aantal metingen = aantal elektro den – n*3

Dit geeft in het geval van 30 elektroden:

Tabel 5.1: bepalen aantal metingen Wenner-alfa

Het totaal aantal metingen dat moet verricht worden is 132. Merk op dat n hier staat voor de factor waarmee we de basis elektrodeafstand van 0.1 m vermenigvuldigen. De onderlinge verhoudingen van de afstanden tussen C1-P1; P1-P2 en P2-C2 is steeds een constante gelijk aan 1, ongeacht de waarde van n. In bijlage 1a is de meetvolgorde opgenomen voor de Wenner-alfa survey zoals verricht in Melsbroek. Tabel 5.1 geeft ook aan dat bij elke verhoging van de elektrodeafstand a, de onderzoeksdiepte stijgt met ongeveer 5 cm.

5.2.2. Wenner-Schlumberger

De Wenner-Schlumberger array heeft een distributie van stroom- en potentiaalelektrodes zoals aangegeven op de figuur 5.4. Hierin is n een factor die aangeeft hoeveel maal de afstand tussen C1-P1 en P2-C2 groter is dan de afstand tussen P1 en P2.

Figuur 5.4: Wenner-Schlumberger met k de geometrische factor

Tabel 4.1 leert het volgende over de onderzoeksdiepte van een Wenner-Schlumberger opstelling: gemiddeld is deze diepte 10% hoger dan bij de Wenner-alfa. Bij een n-waarde van 10 geeft de tabel een onderzoeksdiepte ze weer die gelijk is aan 4.015*a. Als a ook hier 0.1 m is, dan blijkt dat de 40 cm dikke muur net kan omvat worden (inderdaad: 4.015*10 cm = 40.15 cm). Het probleem is dan echter dat de stroomelektroden zo ver van elkaar verwijderd zijn dat de potentiaal die we centraal meten (P1-P2) zeer klein wordt. Het signaal wordt te zwak. Daarom wordt in de literatuur <MHL 2002> aangeraden de n -waarde te beperken tot 6 à 7. Om toch voldoende diepte te halen, wordt de elektrodeafstand a tussen P1 en P2 bij oplopende n gewoon verhoogd. Er wordt gekozen om n te beperken tot 5. Tabel 5.2. geeft aan hoeveel metingen er moeten verricht worden (151 i.p.v. 132 bij de Wenner-Schlumberger). Dit aantal metingen volgt uit een analyse van de meetreeksen. De onderzoeksdiepte bij elke reeks van metingen is eveneens aangegeven. Merk op dat wanneer de elektrodeafstand verhoogd wordt tot 0.2 m de metingen onmiddellijk beginnen bij een n-waarde van 3. Het is niet nodig de metingen met n gelijk aan 1 en 2 uit te voeren, omdat de onderzoeksdiepte dan in het interval van de reeksen met a = 0.1 m liggen. Door deze eerste twee re eksen (met a = 0.2 m) niet op te meten daalt uiteraard het aantal metingen.

n 1 2 3 4 5 6 7 8a (m) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8

ze (m) 0,0519 0,1038 0,1557 0,2076 0,2595 0,3114 0,3633 0,4152aantal metingen 27 24 21 18 15 12 9 6

totaal 132


51

Tabel 5.2: bepalen van het aantal metingen Wenner-Schlumberger

In bijlage 1b is de meetvolgorde voor de survey in Melsbroek voor de Wenner-Schlumberger opstelling opgenomen.

5.2.3. Dipool-Dipool De dipool-dipool array heeft een distributie van stroom- en potentiaalelektrodes zoals aangegeven in de figuur 5.5. Hierin is n een factor die aangeeft hoeveel maal de afstand tussen C1 en P1 groter is dan de afstanden tussen P1-P2 en C1-C2.

Figuur 5.5: dipool-dipool met k de geometrische factor

Op basis van tabel 4.1 kan tabel 5.3 opgesteld worden. Het aantal metingen per reeks volgt uit een eenvoudige analyse. Tabel 5.3 links geeft de survey weer met het minst aantal metingen waarbij de onderzoeksdiepte per reeks toeneemt met een waarde van ongeveer 5 cm. Er zijn 179 metingen nodig om een volledig beeld te krijgen van de doorsnede van de muur. Het is echter zo dat voor deze verkennende experimenten het Windmill systeem gebruikt zal worden. Dit is een toestel dat gebruikt wordt om spanningen te meten en dat in contact staat met een notebook (draagbare PC). Het is voorzien van verschillende kanalen. In de volgende paragraaf zal hier verder op ingegaan worden. Belangrijk is de mogelijkheid om op verschillende kanalen tegelijkertijd te meten (= parallel meten). De dipool-dipool array leent zich hier perfect toe. De Wenner-alfa en de Wenner-Schmumberger array zijn qua opzet niet geschikt om parallelle metingen mee uit te voeren. Figuur 5.6 verduidelijkt dit. C2 en C1 zijn de stroomelektroden, de potentiaalparen worden telkens op een ander kanaal opgemeten. Bij elk potentiaalpaar hoort een n-waarde van 1 tot 5. Op die manier wordt het totaal aantal me tingen gereduceerd tot 72. Omdat toch parallel gemeten kan worden, heeft het geen zin bij hogere a-waarden de laagste n -waarden niet op te meten. Het aantal effectieve metingen (72) is gelijk voor zowel de survey in tabel 5.3 links als rechts. Het kost dus evenveel moeite om de 300 metingen van tabel 5.3 rechts te doen dan de 179 metingen van tabel 5.3 links. Een uitgebreidere survey leidt over het algemeen tot betere resultaten, dus de rechtse survey werd verder uitgewerkt en uitgevoerd. Later (hoofdstuk 6) zal blijken dat voor grillige meetdata dit teveel aan metingen toch kan leiden tot minder goede inversieresultaten.

a (m) n aantal metingen ze (m)0,1 1 27 0,0519

2 25 0,09253 23 0,13184 21 0,17065 19 0,2093

0,2 3 16 0,26364 12 0,34125 8 0,4186

totaal 151


52

Figuur 5.6: parallel meten bij dipool-dipool array

Tabel 5.3: bepalen aantal metingen dipool-dipool

In bijlage 1c is de meetvolgorde aangegeven die nodig is om de array op te meten, gebruik makende van de mogelijkheid parallel te meten. In het volgende puntje wordt ingegaan op het uitvoeren van de metingen zelf en de praktische probleempjes die zich daarbij voordeden.

5.3. Opmeten van de muur

5.3.1. Opstelling en bevindingen Op 12 en 13 februari 2003 vond de meetcampagne te Melsbroek plaats. Praktisch werd als volgt te werk gegaan: Ter voorbereiding van deze campagne werden een aantal kabels gemaakt die voorzien waren van krokodillenklemmetjes om het verbinden van de elektroden (nagels in de voegen) met de Windmill spanningsmeter te vergemakkelijken. Op het eerste kanaal van het Windmill toestel wordt de spanning gemeten over een weerstand van 350 Ohm die in serie geschakeld is met het gesloten elektrische circuit bron- C1C2 (zie figuur 5.7). Op deze figuur is de eenvoudige Wenner-alfa opstelling weergegeven. De wet van Ohm levert ons de gezochte stroom die door de muur vloeit (I = U/R). Op het tweede kanaal wordt de spanning ∆V over P1-P2 gemeten. Via een eenvoudige excell-berekening kan dan de schijnbare weerstand bepaald worden met de formule 2.17:

IV

Ga

∆= .ρ (2.17)

a (m) n aantal metingen ze (m) a (m) n aantal metingen ze (m)0,1 1 27 0,0416 0,1 1 27 0,0416

2 26 0,0697 2 26 0,06973 25 0,0962 3 25 0,09624 24 0,1220 4 24 0,12205 23 0,1476 5 23 0,1476

0,2 3 20 0,1924 a (m) n aantal metingen ze (m)4 18 0,2440 0,2 1 24 0,08325 16 0,2952 2 22 0,1394

0,3 4 12 0,3660 3 20 0,19245 9 0,4428 4 18 0,2440

totaal 179 5 16 0,2952a (m) n aantal metingen ze (m)0,3 1 21 0,1248

Effectief aantal metingen = 72 2 18 0,2091Dit geld voor beide survey's 3 15 0,2886

4 12 0,3665 9 0,4428

totaal 300


53

De geometrische factor G is afhankelijk van het type array. Verder werden ter plaatse 30 nagels in een horizontale voeg geklopt op een afstand van 10 cm van elkaar (zie bijvoorbeeld figuur 5.9 rechts). Deze voeg bevindt zich op ongeveer 3 m hoogte. Een stelling werd geplaatst om het werk te vergemakkelijken (figuur 5.2).

Figuur 5.7: schematische voorstelling van een Wenner-alfa meting op twee kanalen

Het Windmill toestel wordt zo ingesteld dat het om de twee seconden de beide kanalen leest. Al deze metingen worden weggeschreven in een text-file. Een aantal merkwaardige verschijnselen werden al metende opgemerkt:

• Zoals reeds in het doctoraatswerk van Kathleen Venderickx (<KVE 2000>, bladzijde 27 en 28) werd aangegeven, is ook hier het verschijnsel van de eigenpotentiaal een niet te verwaarlozen storende factor. Eigenpotentiaal ontstaat doordat met gelijkstroom wordt gewerkt en doordat de muur door de wind mogelijk wat statisch opgeladen wordt. Ook de aanwezigheid van zouten kan leiden tot een verschil in elektro-negatieve waarde tussen verschillende delen van de muur waardoor een spanningsverschil ontstaat. Tabel 5.4 geeft de verwerking van meting 8 voor de Wenner-Schlumberger array weer. Kanaal 1 meet de spanning over de weerstand van 350 Ohm in serie met de bron. De stroom I die door de muur loopt, kan dan gevonden worden door de wet van Ohm: I = U/R. Voor wat de spanning betreft, wordt enkel het spanningsverschil delta V genomen om de schijnbare weerstand te berekenen. De eigenpotentiaal is nagenoeg een constante (0.26 V) en wordt gewoon afgetrokken van de potentiaalwaarde van 1.85 V. Merk op dat er een afwijking van 15% op de potentiaalwaarde zou zijn indien deze aftrekking niet zou gebeuren. Dit zou grote gevolgen hebben voor de waarde van de schijnbare weerstand. De schijnbare weerstand wordt dan berekend met formule 2.17. Een waarde van 580 Ohmm wordt gevonden. Deze manier van werken werd voor alle configuraties toegepast. Een alternatief had het ompolen van de stroomelektroden kunnen zijn. Deze manier van werken brengt wel met zich mee dat elke meting twee keer volledig moet uitgevoerd worden. Dit kost veel extra meettijd. In een latere meetcampagne (hoofdstuk 6) zal met ompolen gewerkt worden.


54

Tabel 5.4: invloed eigenpotentiaal op meting 8 Wenner-Schlumberger

• Een tweede opvallend fenomeen is een capacitief effect dat ook in de geologie

voorkomt. Omdat met gelijkstroom wordt gemeten, gedraagt de muur zich niet als een zuivere weerstand, maar treedt er ook een capacitief doorslag-effect op. Als de voedingsspanning te hoog is, wordt de geïnjecteerde stroom verhoogd tot een bepaald punt waarbij de muur doorslaat. Hij laat bijna geen stroom meer door. Tabel 5.5 toont de berekening van de schijnbare weerstand voor de achtste meting van de Wenner-alfa array. Merk op dat voor n = 1 de Wenner-Schlumberger en de Wenner-alfa dezelfde opstelling hebben. Meting 8 is dus dezelfde meting als in tabel 5.4. Het verschil is echter dat de bronspanning ongemerkt te hoog was. De muur sloeg door en de stroom werd zeer klein. De Wenner-alfa array was ook de eerste array die werd opgemeten (woensdag 12 februari). Dit doorslaan werd pas 's avonds ontdekt bij het verwerken van de metingen, toen opviel dat vrij veel schijnbare weerstanden zeer hoog uitvielen (zoals in tabel 5.5 een waarde van 192 kΩm waar slechts 580 Ωm verwacht werd volgens tabel 5.4). Eigenlijk had de Wenner-alfa array opnieuw opgemeten moeten worden. Dit is niet gebeurd wegens tijdgebrek en wegens het feit dat de Wenner-alfa maar gemeten is om de andere twee hiermee te vergelijken. Uit de literatuurstudie en de simulaties volgde toch dat Wenner-alfa vermoedelijk niet geschikt was. De volgende dag op donderdag 13 februari werd bij alle metingen de bronspanning aangepast zodat de muur niet meer doorsloeg en het bovengenoemde probleem zich niet meer voordeed.

meting 8 Wenner-Schlumberger

eigenpotentiaal m.b.v. Nulmeting stroom door C1C2

tijdstip Ch 1 (V) Ch 2 (V) tijdstip Ch 1 (V) Ch 2 (V)11:35:48 -0,001106 -0,26354 11:36:00 0,593311 -1,8649411:35:50 -0,001106 -0,25868 11:36:02 0,603384 -1,8548711:35:52 -0,001106 -0,25687 11:36:04 0,60191 -1,8483611:35:54 -0,001106 -0,25547 11:36:06 0,616528 -1,84099

gemiddeld -0,001106 -0,25864 gemiddeld 0,603783 -1,85229

delta V (V) -1,59365 I (A) 0,001725

geometrische factor 0,628319 m

schijnbare weerstand -580,442 Ohmm


55

Tabel 5.5: invloed doorslaan op meting 8 Wenner-alfa

5.3.2. Bespreking

• Wenner-alfa: 12 februari 2003. Zoals reeds vermeld waren de metingen van de Wenner-alfa array sterk onderhevig aan het doorslaan van de muur. Tijdens het opmeten is dit de uitvoerders van de survey ontgaan. De volgende dag werd hier rekening mee gehouden en werd de spanning van de bron aangepast om doorslag te vermijden. De surveys met de Wenner-Schlumberger en dipool-dipool arrays hebben hier dus geen nadelige gevolgen van ondervonden. Figuur 5.8 rechts toont hoe de kabels via krokodillenklemmetjes verbonden zijn met de elektroden (nagels). De metingen werden verwerkt naar schijnbare weerstandswaarden zoals in tabel 5.3 en 5.4. Vervolgens werden de data in het formaat gegoten dat leesbaar is door het inversieprogramma Res2Dinv. Bijlage 2a toont de input-datafile voor Res2Dinv van de Wenner-alfa survey op de muur in Melsbroek.

Figuur 5.8: links: opstelling PC en voeding, rechts: Wenner-alfa met a = 0.3 m

meting 8 Wenner-alfa

eigenpotentiaal m.b.v. Nulmeting stroom door C1C2

tijdstip Ch 1 (V) Ch 2 (V) tijdstip Ch 1 (V) Ch 2 (V)13:01:01 0,00043 -0,11053 13:01:11 0,002026 -0,909113:01:03 0,000307 -0,10772 13:01:13 0,002149 -0,9116813:01:05 0,000553 -0,10369 13:01:15 0,002026 -0,9184413:01:07 0,000553 -0,10023 13:01:17 0,002026 -0,9488913:01:09 0,000307 -0,09707 13:01:19 0,001781 -0,97554

gemiddeld 0,00043 -0,10385 gemiddeld 0,002002 -1,85229

delta V (V) -1,74844 I (A) 5,72E-06

geometrische factor 0,628319 m

schijnbare weerstand -192098 Ohmm


56

• De tweede array die opgemeten werd, was de Wenner-Schlumberger in de voormiddag van 13 februari 2003 (figuur 5.9 links). Er werd rekening gehouden met het doorslageffect zodat de kwaliteit van de metingen verbeterde. De metingen werden ook hier in een spreadsheet verwerkt tot schijnbare weerstandswaarden. Bijlage 2b toont de input-datafile van de Wenner-Schlumberger survey op de muur in Melsbroek.

• Als laatste werd de dipool-dipool array opgemeten. Hierbij werd gebruik gemaakt van de mogelijkheid om op 5 kanalen (n-waarde van 1 tot 5) de spanning op te meten bij één enkele opstelling van de stroomelektroden (figuur 5.9 rechts). Bijlage 2c toont de input-datafile van de dipool-dipool survey op de muur in Melsbroek.

Figuur 5.9: links: Wenner-Schlumberger met a = 0.1 m en n = 3

rechts: parallelle meting dipool-dipool met a = 0.2 m en n gaande van 1 tot 5

• Het opmeten van een enkele array nam toch al snel 2,5 à 3 uur in beslag, wat wel

veel is. De dipool-dipool array ging het snelst omdat het hierbij mogelijk was parallel metingen te doen. In hoofdstuk 7 zal dan ook geadviseerd worden de metingen te automatisereren.

• Tot slot nog deze opmerking: De datafiles in bijlagen 2a, 2b en 2c zijn voorzien van de mogelijkheid een zone te definiëren met een vaste weerstandswaarde (lucht achter de muur) die meegenomen wordt in de inversie (zoals in paragraaf 3.3.3. reeds werd aangegeven). Dit gebeurt door een stukje code op het einde van de inputfile toe te voegen: R -10 0.4 12.8 10 20000 20 R staat voor een rechthoekige weerstand. De lijn daaronder staat voor de x- en z-coördinaat van de linkerbovenhoek. De derde lijn staat voor de coördinaten van de rechteronderhoek van de vastgelegde weerstandszone. 20000 is de waarde in Ohmm die aan deze zone wordt toegekend en 20 is een maat voor het inversieprogramma die aangeeft in hoever het programma de waarde van 20000 mag aanpassen. Hoe hoger deze waarde, hoe conservatiever de inversie vasthoudt aan de weerstandswaarde 20000 Ohmm. Ook werden slechte metingen (onnatuurlijk hoge schijnbare weerstandswaarden) uit de inputfiles verwijderd. In puntje 5.4.1.1. zal de inversie die gebeurd is zonder weerstandfixatie, vergeleken worden met de inversie met fixatie.


57

5.4. Inversies De inversies werden uitgevoerd in het Koninklijk Meteorologisch Instituut. Zij beschikken over een hardware-key van het programma Res2Dinv. Dank zij Kris Vanneste was het mogelijk om de experimentele data zoals verzameld in dit werk daar te inverteren. Huren van het programma zou tot 210 euro per week kosten. Een aantal parameters die een belangrijke invloed hebben op het resultaat van de inversie werden onderzocht. Zo werd het verschil in inversieresultaat onderzocht tussen een voorwaartse modellering met behulp van enerzijds de eindige differentie methode en anderzijds de eindige elementen methode. Ook werd nagegaan wat de invloed is van het inverteren met behulp van de robuuste inversieformule 3.39 in plaats van de default inversie op basis van formule 3.37. Het verfijnen van het model in kleinere blokken werd eveneens onderzocht. Deze parameteranalyse zal in dit werk verduidelijkt worden aan de hand van de dipool-dipool survey. Deze leverde de beste resultaten op en geeft de duidelijkste verschillen aan bij verandering van de parameters. Tot slot worden de inversies vergeleken met de realiteit aan de hand van gerichte boringen die onderzocht werden met een endoscoop.

5.4.1. Parameterstudie aan de hand van de dipool-dipool survey

5.4.1.1. Standaardparameters en weerstandsfixatie Samengevat zijn de belangrijkste standaardparameters van Res2Dinv de volgende:

• inversie op basis van vergelijking 3.37 • eindige differentie methode bij de voorwaartse modelleringsstap • modelblokken van dezelfde breedte als de afstand tussen de elektroden • geen weerstandsfixatie om de lucht achter de muur a prior in te rekenen bij de

inversie Voor de inversie uit te voeren worden alle schijnbare weerstandswaarden goed bekeken. Datapunten die een onnatuurlijke waarde voor de weerstand geven worden verwijderd. Dit zijn datapunten die bijvoorbeeld ontstaan zijn zoals tabel 5.5. reeds aangaf. Het resultaat van de inversie met en zonder weerstandsfixatie verschilt niet zo heel erg veel. Figuur 5.10 geeft de resultaten van de inversie weer. De schaal van beide fig uren is dezelfde zodat vergelijken mogelijk is. De bovenste figuur geeft de schijnbare weerstanden weer zoals opgemeten tijdens de survey. Merk op dat het niet mogelijk is uitspraken te doen over de inwendige structuur op basis van deze pseudo-sectie. Wel is te zien dat de survey in staat is (zonder weerstandsfixatie in de inversie zoals op figuur 5.10 midden) de dikte van de muur vrij goed in te schatten. De middelste figuur in 5.10 geeft voor x van 1 m tot 2.2 m aan dat de muur een dikte heeft van 40 cm, wat klopt. Voor x van 0 tot 1 m geeft de figuur aan dat de muur veel dunner is en dat ter hoogte van x = 0.8 m er een groot gat moet inzitten. Dit is in realiteit niet het geval. De muur is op die plaats nog steeds 40 cm dik. Wel zit er op die plek net onder de surveylijn een gat dat de meting in deze zone beïnvloedt (zie de zwarte pijlen op de figuren 5.10 midden en onder). Figuur 5.11 geeft een digitale opname weer van dit gat, gezien vanuit de binnenkant van de schuur. Hierop is duidelijk te zien dat de stenen aan de binnenkant van de muur boven het gat ook verdwenen zijn. De muur is daar dus veel dunner (ongeveer 20 cm dik). De zwarte lijn geeft de voeg aan waar de elektroden zijn ingeklopt. De array bevindt zich maar net boven dit gat en de metingen worden in die zone dan ook sterk beïnvloed door deze randvoorwaarde. De werkelijke opbouw van de muur is een binnen- en buitenmuur met parement uit de voor de streek typische Brusseliaanse zandsteen. Daartussen is de muur opgevuld met een mengsel van kalkmortel en zandsteenpuin. Deze opbouw is niet terug te vinden in de inversies. Het zou toch mogelijk moeten zijn deze opbouw met parementen uit de metingen te kunnen halen door te spelen met de inversieparameters.


58

Figuur 5.10: boven: de opgemeten pseudo-sectie midden: standaard inversie dipool-dipool

onder: standaard inversie met gefixeerde weerstandswaarde voor lucht achter muur

Figuur 5.11: gat net onder array dat de meting beïnvloedt.


59

Tot slot nog de volgende opmerking. Op figuur 5.10 staat ook nog de RMS-waarde van de inversie aangegeven. Voor beide inversies is deze gelijk aan ongeveer 19%. Dit wil zeggen dat de kleinste kwadraten afwijking tussen gemeten pseudo-sectie en de berekende pseudo-sectie door voorwaartse modellering op basis van het inversiemodel 19 % bedraagt. Bij geo-elektrische surveys in de geofysica ligt deze waarde rond de 5 à 10 %. Dit is waarschijnlijk te verklaren door het vrij grillige verloop van de opgemeten pseudo-sectie. Om deze RMS-waarde te doen zakken dient met de inversieparameters gespeeld te worden. Het uitrekenen van de inversies duurde ongeveer 1 minuut op een 533 MHz PC. 5.4.1.2. Modelverfijning Een tweede belangrijke parameter die de inversie gunstig kan beïnvloeden is de verfijning van het inversiemodel. Standaard wordt een model opgesteld waarvan de breedte van de modelblokken gelijk is aan de afstand tussen de elektroden (figuur 5.12 boven). Figuur 5.12 onderaan geeft de distributie van de modelblokken weer als het model verfijnd wordt. Verwacht wordt dat de resolutie van de inversie zal verbeteren omdat er een fijner model wordt opgesteld.

Figuur 5.12: boven: standaardmodel met blokken even breed als elektrodeafstand

onder: verfijnd model, twee blokken per elektrodeafstand


60

Samengevat zijn de parameters van Res2Dinv die voor deze inversie gehanteerd zijn de volgende:

• inversie op basis van vergelijking. 3.37 • eindige differentie methode bij de voorwaartse modelleringsstap • modelblokken van half de breedte als de afstand tussen de elektroden • weerstandsfixatie om de lucht achter de muur in te rekenen bij de inversie

Het verschil met de vorige inversie is enkel dat het model verfijnd is. Het resultaat (figuur 5.13) dient vergeleken te worden met figuur 5.10 onderaan.

Figuur 5.13: inversie dipool-dipool met verfijnd model

Jammer genoeg was het door een fout in het programma niet mogelijk beide inversies op dezelfde schaal voor te stellen. Toch kan besloten worden dat de invloed van het verfijnen van het model de inversie niet sterk zal beïnvloeden. Beide figuren zijn zeer analoog. Wel ziet men dat de RMS-waarde wat gezakt is (18.5 % in plaats van 19.2 %) wat erop wijst dat het resultaat van de inversie met modelverfijning toch beter is dan de standaardinversie. Het is ook logisch dat als er meer modelblokken zijn die men een weerstandswaarde kan toekennen, de berekende pseudo-sectie hiervan beter met de opgemeten pseudo-sectie zal overeenkomen. De rekentijd neemt echter wel toe bij modelverfijning. Het uitrekenenen van de inversies duurde ongeveer anderhalve minuut op een 533 MHz PC. Merk op dat de opbouw van de muur in parementen nog niet terug te vinden is uit de inversie. 5.4.1.3. Eindige differentie versus eindige elementen Het is ook eens interessant het verschil in inversieresultaat te bestuderen indien de voorwaartse modellering gebeurt met eindige elementen en niet met eindige differenties. De parameters van Res2Dinv die voor deze inversie gebruikt zijn, zijn de volgende:

• inversie op basis van vergelijking 3.37 • eindige e lementen methode bij de voorwaartse modelleringsstap • modelblokken van half de breedte als van de afstand tussen de elektroden • weerstandsfixatie om de lucht achter de muur in te rekenen bij de inversie


61

Deze inversie leverde het resultaat van figuur 5.14 op.

Figuur 5.14: inversie dipool-dipool met eindige elementen

Opnieuw dient bovenstaande inversie vergeleken te worden met de figuur 5.10. Door een programmafoutje was het ook hier niet mogelijk de schalen op elkaar af te stemmen. De RMS-waarde is nog steeds vrij hoog (18.8 %), de inversie is dus nog niet ideaal. Figuren 5.14 en 5.10 onderaan vertonen heel wat overeenkomsten. Belangrijk is wel het verlagen van de verhoogde weerstandswaarden in figuur 5.14 zoals die wel voorkomen aan de oppervlakte bij de standaard inversie (figuur 5.10) en ook nog bij de inversie met verfijnd model (figuur 5.13). Op basis van de standaardinversie zouden deze geïnterpreteerd moeten worden als vermoedelijke gaten op de x-locaties 0.55 m, 0.75 m en 1.05 m. Uit boringen (zie verder) weet men dat op die plekken geen gaten zitten en de inversie dus geen goed resultaat oplevert. Door gebruik te maken van de eindige elementen methode voor de voorwaartse modellering sluit de inversie dus beter aan bij de realiteit. Een zekere gelaagde opbouw van de muur wordt ook stilaan duidelijk in figuur 5.14 (zwarte lijnen). De dikte van beide parementen verschilt in realiteit wel wat van hetgeen uit de inversie volgt. Zo is het voorste parement dikker dan op bovenstaande figuur wordt aangegeven. De meting geeft wel aan dat de weerstand van de natuursteen lager is dan deze van het mengsel mortel/brokstukken. Dit lijkt aannemelijk wegens de grotere porositeit van de mortel. Voor x gaande van 0 tot 1 m is deze opbouw niet te zien. De invloed van het gat in de muur (figuur 5.11) is daar te sterk. 5.4.1.4. Robuuste versus standaardinversie De laatste parameter die tot betere resultaten kan leiden, is het gebruik van de robuuste inversie. Deze is aangewezen in gevallen waarbij op zoek wordt gegaan naar scherpe overgangen in weerstandswaarden. Dit is hier het geval omdat de weerstand van lucht sterk verschilt van die van het metselwerk.

Figuur 5.15: robuuste inversie dipool-dipool met eindige elementen


62

De parameters van Res2Dinv die voor de robuuste inversie gebruikt zijn de volgende:

• robuuste inversie op basis van vergelijking 3.39 • eindige elementen methode bij de voorwaartse modelleringsstap • modelblokken van half de breedte als van de afstand tussen de elektroden • weerstandsfixatie om de lucht achter de muur in te rekenen bij de inversie

Deze inversie leverde het resultaat van figuur 5.15 op. De opbouw in parementen komt nog sterker naar voren dan in figuur 5.14. Nog steeds is de zone tussen x = 0 en x = 1 m niet betrouwbaar door de invloed van het gat. Aan de kwaliteit van de meetdata kan bij de inversie immers niets veranderd worden. Ter hoogte van x = 1.6 m wordt een anomalie vermoed. Dit zal geverifieerd worden door een boring. Merk op dat de RMS-waarde sterk gezakt is (13.4 %). Dit komt aardig in de buurt van de gangbare RMS-waarden voor geo-elektrische surveys in de geologie (5 à 10 %). Wat de inversie betreft is de bovenstaande keuze van inversieparameters het meest aangewezen bij deze meting. Dezelfde conclusie geldt ook voor de inversies van de metingen voor de Wenner-alfa en de Wenner-Schlumberger arrays. In de volgende puntjes zal dan ook alleen het resultaat van de inversie op basis van de parameters zoals in deze paragraaf toegepast, weergegeven en besproken worden. 5.4.1.5. Conclusie in verband met de inversieparameters Wat inversie betreft is de keuze van inversieparameters zoals in 5.4.1.4. het meest aangewezen bij deze meting. Ter herinnering waren deze parameters de volgende:

• robuuste inversie op basis van vergelijking 3.39 • eindige elementen methode bij de voorwaartse modelleringsstap • modelblokken van half de breedte als van de afstand tussen de elektroden • weerstandsfixatie om de lucht achter de muur in te rekenen bij de inversie

Dezelfde conclusie geld t ook voor de inversies van de metingen voor de Wenner-alfa en de Wenner-Schlumberger arrays. In de volgende puntjes zal dan ook alleen het resultaat van de inversie op basis van de parameters zoals in 5.4.1.4. toegepast, weergegeven en besproken worden.

5.4.2. Wenner-alfa De beste inversie die met de metingen van de Wenner-alfa configuratie gemaakt is, is op onderstaande figuur 5.16 weergeven. Zoals reeds werd aangegeven was deze array de eerste die opgemeten werd en is het doorslagverschijnsel niet aan het licht gekomen. Een heleboel data moesten daardoor verwijderd worden. Het resultaat van de inversie is dan ook slecht. Het enige dat met wat goede wil met de werkelijkheid overeenkomt is het voorste parement dat zich min of meer aftekent (zwarte lijn). De rest van het inversieresultaat levert geen informatie op over de structuur van de muur. Er werd gekozen deze array niet opnieuw op te meten wegens tijdgebrek en het sterke vermoeden dat dit toch niet de geschikte configuratie is om structuuranalyses uit te voeren. De inversie zelf scoort met een RMS-waarde van 14 % behoorlijk goed. Het slechte resultaat blijkt dus duidelijk aan de kwaliteit van de metingen te liggen. Hier zal dan ook in de volgende experimenten (Handbogenhof Leuven) meer aandacht aan besteed worden.


63

Figuur 5.16: inversie Wenner-alfa array

5.4.3. Wenner-Schlumberger De inversieparameters gebruikt bij het verwerken van de pseudo-sectie opgemeten met de Wenner-Schlumberger array, zijn dezelfde als in 5.4.1.5. Het aantal slechte datapunten was hier veel kleiner omdat er meer aandacht besteed werd aan het regelen van de bronspanning tijdens de meting om doorslag te vermijden. Rechts op figuur 5.17 is met wat goede wil ook een zekere opbouw in parementen te zien. Ter hoogte van x = 10 tot 12 m is een uitstekende grote weerstand op te merken in de inversie. Ter hoogte van die plaats is in realiteit geen gat aanwezig. Dit zou een anomalie kunnen zijn ten gevolge van de invloed van het gat in de buurt van de array (figuur 5.11). Dit w ordt vermoed doordat in figuur 5.15 ter hoogte van x = 0.8 eveneens een grote weerstand te zien is die vermoedelijk door beïnvloeding door het gat komt. Hetzelfde geldt voor de verhoogde weerstand onder x = 4 m (zie zwarte pijl). Deze verhoogde weerstanden kunnen anderzijds ook gewoon het gevolg zijn van de slechte kwaliteit van de metingen. Bijvoorbeeld omdat bij x = 2.4 m er een verhoogde weerstand uit de inversie volgt waar er zeker in realiteit geen gat in de buurt zit, en we dus een lage waarde zouden moeten vinden. De slechte kwaliteit van de metingen wordt ook vermoed door de hoge RMS-waarde (20.8 %). Merkwaardig is ook het volgende: waar bij de inversie van de dipool-dipool (figuur 5.15) een verhoogde weerstand te vinden was ter hoogte van x = 1.6 m, vinden we een analoge vorm terug in figuur 5.17 waarbij de weerstand net verlaagd is.

Figuur 5.17: inversie Wenner-Schlumberger array

Dit alles doet sterk vermoeden dat ook de Wenner-Schlumberger array niet de geschikte elektrodeconfiguratie is. Dit kan reeds gezegd worden op basis van de inversies en dit zal in het volgende puntje bevestigd worden aan de hand van een aantal uitgevoerde boringen die met een endoscoop verder onderzocht werden.


64

5.5. Vergelijken inversies versus realiteit: endoscopie

5.5.1. Boringen en endoscopie Onderstaande figuur geeft weer op welke plaatsen geboord werd in de muur. Elke boring zal kort besproken worden in relatie met de resultaten uit de inversies. De boringen werden uitgevoerd op 31 maart 2003 door Luc Willems, een medewerker van het departement bouwkunde.

Figuur 5.18: boven: resultaat inversie dipool-dipool met aanduiding van de boorplaatsen

onder : resultaat inversies Wenner-Schlumberger

• boring 1:

Deze boring gebeurde in de voeg waar de elektroden zijn ingeklopt ter hoogte van elektrode 27. De dipool-dipool array doet een goed geconsolideerde zone vermoeden, terwijl Wenner-Schlumberger een verhoogde weerstand en dus een gat doet vermoeden. Figuur 5.19 geeft een foto van de inwendige structuur van de muur op die plaats. De boring gaf aan dat de muur goed samenhangt. De foto is genomen op de plek waar het voorste parement overgaat in het mengsel mortel-zandsteenpuin. Dit gebeurt op een diepte van ongeveer 15 cm. Hier is een kleine voeg tussen beide vast te stellen wat de weerstand een klein beetje zou doen stijgen, maar van een opening is geen sprake. De dipool-dipool survey had het dus bij het rechte eind te stellen dat de muur goed geconsolideerd is op die plek. De Wenner-Schlumberger array neemt hier de verkeerde conclusie (er wordt een gat vermoed). Merk op dat de foto moeilijk scherp te krijgen was. Hij is gemaakt met een endoscoop waarmee men loodrecht op de richting van de boring kan kijken.


65

Figuur 5.19: endoscopie boring 1 ter hoogte van elektrode 27

• boringen 2, 3 en 4:

Deze boringen zijn gemaakt ter hoogte van elektroden 16 en 17. Boring 2 werd gemaakt in de voeg waar de elektroden zijn ingeklopt (zie figuur 5.20). Figuur 5.21 geeft het resultaat van de endoscopie uitgevoerd in het boorgat. Links op de foto werd loodrecht gekeken op de boorgatrichting. Er is een holte waar te nemen in het mortel-puinmengsel. Rechts is dezelfde holte te zien vanuit een kijkpunt in de richting van het boorgat. Het gat is echter te klein om de verhoogde weerstand, die uit de inversie van de dipool-dipool volgt, te verklaren. Merk op dat ook hier de Wenner-Schlumberger niet in staat was de verhoogde weerstand te vinden. Er werd besloten nog twee bijkomende boringen uit te voeren in de buurt van elektrode 17 om te zien of daar een betere verklaring voor de inversie te vinden is.

Figuur 5.20: positie van de boringen 2,3 en 4



66

• Boring 3 leert dat ook daar een geen grote holte te vinden is die de verhoogde weerstand in de inversie van de dipool-dipool array kan verklaren. Ook hier is enkel een relatief kleine holte (gebrekkige samenhang) terug te vinden (figuur 5.22) die niet op zichzelf verantwoordelijk kan zijn voor een sterk verhoogde weerstand. Boring 3 werd uitgevoerd in een gevelsteen. De foto geeft de plek aan waar de overgang is tussen steen en mortel/puin.


• Een laatste boring (nr.4) werd dan boven de array uitgevoerd zoals in figuur 5.20

aangegeven. De endoscopie leert dat er op deze plek een groot gat in het midden van de muur zit. Hier is de verklaring te vinden voor de verhoogde weerstand die uit de inversie van de dipool-dipool volgt. Ook hier blijkt deze array in staat een juiste conclusie in verband met de structuur te geven. Figuur 5.23 links geeft een grote holte aan rechtsboven het boorgat. Gaat men kijken in een kijkrichting loodrecht op het boorgat, dan ziet men duidelijk een groot gat zitten dat verantwoordelijk is voor de verhoogde weerstand.


• boring 5 en 6:

Figuur 5.18 toont dat boring 5 geboord is ter hoogte van elektrode 9 en boring 6 ter hoogte van elektrode 7. Er bleek in beide gevallen niets te zien te zijn. De muur is op die plekken goed geconsolideerd. Dit volgt niet uit de inversies. De reden werd reeds aangehaald. De invloed van het gat doorheen de muur (figuur 5.11) is hier te groot. Het gat overschaduwt de metingen.


67

5.5.2. Besluit De dipool-dipool elektrodeconfiguratie bleek de meest betrouwbare resultaten te geven. Zowel de resultaten van de Wenner-alfa en de Wenner-Schlumberger array voldeden niet aan de verwachtingen. Een bijkomend voordeel van de dipool-dipool is de mogelijkheid om parallel te meten, wat de survey-tijd sterk ten goede kwam. De resolutie die uit de metingen gehaald kan worden, is van de grootte-orde van de elektrodeafstand. Boringen toonden aan dat de dipool-dipool juiste interpretaties opleverde voor de zone die niet beïnvloed werd door het gat dwars door de muur (figuur 5.11). Belangrijk is ook dat het mogelijk was de dikte van de muur uit de metingen te halen (figuur 5.10 midden). Deze mogelijkheid om profielen te achterhalen zal de basis vormen van het volgende experiment in hoofdstuk 6.

6. Meetcampagne Handbogenhof Leuven: opmeten profiel

68


6.1. Inleiding

In de 12de eeuw werd in Leuven de eerste stadsomwalling gebouwd. Van die eerste ringmuur rond Leuven zijn hier en daar nog stukken bewaard. Vrij intacte delen van deze middeleeuwse omwalling met resten van enkele wachttorens liggen langs het wandelpad ('Handbogenhof') aan de Dijle tussen de Brusselsestraat en de Brouwersstraat, en in het stadspark. In het kader van een project om deze restanten te redden en wat op te kalefateren, werd aan het spin-off bedrijf Triconsult van de KUL gevraagd een voorstudie van de actuele staat van het Handbogenhof te maken. Er ontstond ruimte voor het uitvoeren van een aantal verkennende experimenten met betrekking tot de geo-elektrische meetmethode. Het doel is nu niet in eerste instantie de inwendige structuur van de muur te achterhalen. Het is de bedoeling het profiel van de muur te kunnen opmeten. Dit zou een groot hulpmiddel zijn bij het onderzoeken van oude kaaimuren. Als de dikte en het voorkomen van steunberen kan achterhaald worden zonder destructief onderzoek uit te voeren, zou dit zeer voordelig zijn. Indien geweten is hoe dik de muur is en waar de eventuele steunberen zitten, kunnen stabiliteitsberekeningen beter gebeuren. In het geval van het Handbogenhof is het profiel va n de stadsmuur gekend. Het is de vraag of dit profiel ook uit de metingen zal volgen. Er zullen in dit hoofdstuk twee geo-elektrische technieken gebruikt worden om de dikte en het profiel van de muur te achterhalen. De eerste techniek die gebruikt wordt, is het elektrisch sonderen. Een experiment zal uitgevoerd worden om de dikte van de muur op één plaats trachten te achterhalen (dit is een 1D-elektrische survey op basis van de Wenner-Schlumberger array). Onderstaande figuur duidt die plaats aan met een blauwe stip. Ten tweede zal gebruik gemaakt worden van twee 2D dipool-dipool arrays om de steunberen van de muur terug te vinden op een hoogte van 4 m boven het maaiveld (figuur 6.1 rode en zwarte lijn).

Figuur 6.1: voorzijde Handbogenhof op de plaats van de geo-elektrische snede

Figuren 6.1 en 6.2 geven de plaats op de muur weer waar de experimenten werden uitgevoerd. In het rood en zwart is de voeg aangegeven waar de elektroden werden ingeklopt. De rode lijn geeft de array aan die werd opgesteld om twee steunberen binnen het meetbereik van de array te laten vallen. De ruimte tussen de steunberen


69

vormt het midden van de array. In het zwart wordt de opstelling aangegeven waarbij centraal in de array slechts één steunbeer gevangen is. De blauwe stip geeft het centrale punt aan waarrond de elektrische sondering werd uitgevoerd.

Figuur 6.2: achterzijde Handbogenhof op de plaats van de geo-elektrische snede

Bovenstaande figuur 6.2 geeft de achterzijde weer van het stuk stadsmuur dat opgemeten werd. Ook hier zijn in het rood en zwart de lijnen van de geo-elektrische snedes aangegeven. De blauwe stip geeft het centerpunt aan waarrond de elektrische sondering werd uitgevoerd. Eerst zullen de arrays opgesteld worden op basis van simulaties. Daarna zullen de metingen zelf, de inversies ervan en de vergelijking van de resultaten met de realiteit besproken worden.

6.2. Opstellen arrays Zoals reeds aangehaald in de inleiding zullen twee experimenten uitgevoerd worden: een 1D elektrische sondering en een 2D geo-elektrische survey. Figuur 6.3 geeft een 3D voorstelling weer van de opbouw van de muur. Bij het eerste experiment is het de bedoeling de dikte van de muur tussen twee steunberen in, te bepalen met behulp van een elektrische sondering (blauwe punt). Deze is gebaseerd op de Wenner-Schlumberger array. De reden hiervoor is eenvoudig. De mensen van het KMI hebben een gratis 1D inversieprogramma speciaal ontwikkeld voor het inverteren van 1D Wenner-Schlumberger sonderingen. Het programma heet VES en is van Zuid-Afrikaanse makelij. Voor het tweede experiment wordt de dipool-dipool survey zoals opgesteld in hoofdstuk 5 wat aangepast en geschikt gemaakt voor profielmetingen. Er werd gekozen voor de dipool-dipool omdat deze in het vorig hoofdstuk tot de beste resultaten leidde en omdat via parallel meten de surveytijd beperkt kon worden. De snede die zal gemeten worden, wordt met de rode lijn op figuur 6.3 aangeduid.


70

Figuur 6.3: 3D voorstelling en verticale doorsnede stadsmuur

6.2.1. Wenner-Schlumberger 1D Op de plaats waarrond de sondering wordt uitgevoerd, is de muur 40 cm dik. Het punt ligt, zoals figuur 6.3 reeds aangaf, in het midden van de muur tussen twee steunberen. Op die plaats bevond zich vroeger een schietgat. Deze schietgaten zijn nu allemaal dichtgemetst (figuur 6.2). De buitenmuur is 80 cm dik, maar de schietgaten zijn dichtgemetst en zijn dus nissen geworden met een dikte van 40 cm. Het is te verwachten dat de dikte die uit de inversie zal volgen een resultaat zal opleveren dat tussen de 40 en 80 cm ligt. Dit wordt vermoed omdat de elektroden bij de sondering vanaf een bepaald moment veel verder uit elkaar zullen staan dan de breedte van het schietgat. De survey wordt opgesteld op basis van tabel 4.1 die de onderzoeksdiepten geeft voor de verschillende arrays. De onderzoeksdiepte moet meer dan 80 cm zijn. Ter herinnering geeft figuur 6.4 de opstelling van de elektroden weer van de Wenner-Schlumberger array. De letter k staat voor de geometrische factor.

Figuur 6.4: Wenner-Schlumberger array.

Er werd een survey opgesteld met 10 metingen. Elke meting is daarbij zo opgesteld dat de onderzoeksdiepte ongeveer met 10 cm per meting verhoogt. Het geometrische midden van elke meting blijft constant. Tabel 6.1. geeft de metingen met hun onderzoeksdiepten weer.


71

Tabel 6.1: metingen elektrische sondering

Merk op dat voor de tiende meting de stroomelektroden reeds 5.1 m van elkaar staan. Dit terwijl de steunberen slechts een netto tussenafstand hebben van een kleine 4 meter. Deze laatste meting zal dan ook wat beïnvloed worden door deze steunberen. Dit is het probleem bij elektrische sonderingen. De elektroden staan ver uit elkaar als de te halen onderzoeksdiepte toeneemt. Randeffecten zullen vermoedelijk een belangrijk effect hebben op de metingen.

6.2.2. Dipool-dipool Er zullen twee verschillende benaderingen gevolgd worden. Het is immers de bedoeling een survey op te stellen die willekeurig kan toegepast worden in s ituaties waarbij op zoek moet worden gegaan naar de aanwezigheid van steunberen. Daarom werd gekozen een survey op te stellen met 30 elektroden met een tussenafstand van 40 cm. Daarmee wordt de lengte van de surveylijn 11.60 m. Dit is voldoende om in een werkelijke muur met steunberen minstens één steunbeer in het meetbereik van de survey te vangen. Ten eerste wordt via simulaties onderzocht wat het resultaat is van een survey waarbij de ruimte tussen twee steunberen als midden van het onderzoeksgebied wordt genomen (figuur 6.5). Vervolgens zal deze array ook in de praktijk toegepast worden. Ten tweede laten we één steunbeer in het midden van het meetbereik van de array vallen (figuur 6.8). Ook deze benadering wordt gesimuleerd en vervolgens in de praktijk uitgetest. Er zal besloten worden dat het in beide gevallen praktisch mogelijk is het bestaan van beide steunberen (benadering 1) of één enkele steunbeer (benadering 2) terug te vinden. 6.2.2.1. Simulatie holte in het midden Alvorens een echte meetcampagne op te stellen, wordt eerst in simulaties onderzocht wat de meest succesvolle opstelling zou moeten zijn. De werkelijke doorsnede van het stuk muur die zal opgemeten worden is in onderstaande figuur te zien.

Figuur 6.5: doorsnede muur ter hoogte van de survey-lijn met opening in het midden

n (C1-C2)/2 (m) a (m) onderzoeksdiepte (cm)1 0,25 0,1 9,252 0,55 0,1 20,933 0,85 0,1 32,474 1,1 0,2 41,865 1,3 0,2 49,566 1,5 0,2 57,267 1,7 0,2 64,948 1,95 0,3 74,349 2,25 0,3 85,8910 2,55 0,3 97,41


72

Er werd een model ontwikkeld op maat van het voorwaartse modelleringsprogramma Res2Dmod van deze sectie (figuur 6.6 onder). Dit model is voorzien van 30 elektroden die op een afstand van 40 cm van elkaar geplaatst worden. Aan de muurmassa wordt een weerstandswaarde van 1100 Ohmm toegekend. De lucht wordt gemodelleerd als een hoge weerstand van 10000 Ohmm. De berekende pseudo-sectie is bovenaan figuur 6.6 weergegeven. Voor wat de inversie betreft gaven de volgende inversieparameters de beste resultaten:

• robuuste inversie op basis van vergelijking 3.39 • eindige elementen methode bij de voorwaartse modelleringsstap • extra modelblokken buiten het meetbereik van de array (links- en rechtsonderaan

figuur 6.7)

Figuur 6.6: simulatiemodel (onder) en berekende pseudo-sectie (boven)

dipool-dipool array met ruimte tussen steunberen in het midden

Het resultaat van de inversie is hieronder weergegeven. Het beste resultaat werd verkregen door toe te laten dat er door het programma extra modelblokken werden ingevoerd die buiten het meetbereik van de array liggen. Op figuur 6.7 zijn dit de blokken links- en rechtsonder in het inversieresultaat. Het blijkt dus niet nodig de elektroden dichter dan 40 cm bij elkaar te plaatsen om het profiel van de stadsmuur terug te vinden. Wel kan nu reeds gezegd worden dat in de praktijk deze opstelling te weinig resolutie zal opleveren om uitspraken te doen over de inwendige staat van de muur. Uit de vorige meetcampagne en uit simulaties (hoofdstuk 5) volgde namelijk dat de te halen resolutie van de grootte-orde is van de elektrodeafstand.

Figuur 6.7: inversieresultaat gesimuleerde dipool-dipool

array met ruimte tussen steunberen in het midden


73

Het inversieresultaat van de simulatie tekent min of meer het gezochte profiel af. Zo zijn er duidelijk twee steunberen te zien in het inversiebeeld ter hoogte van de intervallen x = 1.8 tot 3.2 m en van x = 7.8 tot 9.2 m. Ze tekenen zich af als uitstulpingen tot een dikte van 1.3 à 1.4 m. Ze zijn dus iets minder dik dan in het model van figuur 6.6 onderaan. Een survey van 30 elektroden met een tussenafstand van 40 cm levert dus genoeg informatie op om de steunberen terug te vinden. Op basis van tabel 4.1 kan tabel 6.2 opgesteld worden. Het aantal metingen per reeks volgt zoals in hoofdstuk 5 uit een eenvoudige analyse. Tabel 6.2 links geeft de survey weer met het minst aantal metingen waarbij de onderzoeksdiepte per reeks toeneemt met een waarde van ongeveer 10 cm. Hiervoor zijn 179 metingen nodig om een volledig beeld te krijgen van de doorsnede van de muur. Ook hier wordt weer gebruik gemaakt van het Windmill systeem. Zoals reeds aangegeven bestaat de mogelijkheid op verschillende kanalen tegelijkertijd te meten met dit systeem. Het aantal effectieve metingen (72) is gelijk voor zowel de survey in tabel 6.2 links als voor de survey in tabel 6.2 rechts. Het kost dus ook hier evenveel moeite om de 300 metingen van tabel 6.2 rechts te doen dan de 179 metingen van tabel 6.2 links.

Tabel 6.2: bepalen van het aantal metingen dipool-dipool

In bijlage 4a is de meetvolgorde aangegeven die nodig is om de array op te meten, gebruik makende van de mogelijkheid parallel te meten. 6.2.2.2. Simulatie steunbeer in het midden De tweede benadering is deze waarbij de steunbeer in het midden van de array valt. De werkelijke doorsnede van het stuk muur die opgemeten zal worden, is in onderstaande figuur te zien. De zwarte lijn op figuur 6.1 en geeft aan op welke steunbeer geëxperimenteerd zal worden.


2 26 0,2788 2 26 0,27883 25 0,3848 3 25 0,38484 24 0,4880 4 24 0,48805 23 0,5904 5 23 0,5904


1,2 4 12 1,4640 3 20 0,76965 9 1,7712 4 18 0,9760



4 12 1,46405 9 1,7712

totaal 300


74

Figuur 6.8: doorsnede van de muur ter hoogte van de survey-lijn met steunbeer in het midden

Ook hiervan werd een model ontwikkeld op maat van het voorwaartse modellerings-programma Res2Dmod (figuur 6.9 onder). Dit model is nu voorzien van slechts 25 elektroden op een afstand van 40 cm van elkaar. Om één enkele steunbeer te vangen in de array volstaan deze 25 elektroden. Als de muur dan in de praktijk opgemeten moet worden zullen dan minder metingen moeten verricht worden. Aan de muurmassa wordt opnieuw een weerstandswaarde van 1100 Ohmm toegekend en de lucht wordt gemodelleerd als een hoge weerstand van 10000 Ohmm. De berekende pseudo-sectie is bovenaan figuur 6.9 weergegeven. Voor wat de inversie betreft, gaven ook hie r de volgende inversieparameters de beste resultaten:

• robuuste inversie op basis van vergelijking 3.39 • eindige elementen methode bij de voorwaartse modelleringsstap • extra modelblokken buiten het meetbereik van de array (links- en rechtsonderaan

figuur 6.10)

Figuur 6.9: simulatiemodel (onder) en berekende pseudo-sectie (boven)

dipool-dipool array met steunbeer in het midden

Het resultaat van de inversie is in figuur 6.10 weergegeven. Het beste resultaat werd ook hier verkregen door toe te laten dat er door het programma extra modelblokken werden ingevoerd die buiten het meetbereik van de array liggen. Op figuur 6.10 zijn dit de blokken links - en rechtsonder in het inversieresultaat. Ook hier blijkt het niet nodig te zijn de elektroden dichter dan 40 cm bij elkaar te plaatsen om het profiel van de steunbeer terug te vinden.


75

Figuur 6.10: : inversieresultaat gesimuleerde dipool-dipool

array met steunbeer in het midden

Het inversieresultaat van de simulatie tekent vrij goed het gezochte profiel af. Zo zijn de steunbeer en de schietgaten duidelijk te zien. De steunbeer uit de inversie is ook hier iets minder dik dan in het model (1.4 m in plaats van 1.6 m). Een survey van 25 elektroden met een tussenafstand van 40 cm levert dus genoeg informatie op om de steunbeer terug te vinden. Opnieuw kan met behulp van tabel 4.1 het aantal metingen en de onderzoeksdiepte bepaald worden. Dit is samengevat in tabel 6.3. Tabel 6.3 links geeft de survey weer met het minst aantal metingen waarbij de onderzoeksdiepte per reeks toeneemt met een waarde van ongeveer 10 cm. Hiervoor zijn 139 metingen nodig om een volledig beeld te krijgen van de doorsnede van de muur. Ook hier wordt weer gebruik gemaakt van het Windmill systeem waarmee op verschillende kanalen tegelijkertijd gemeten kan worden. Het aantal effectieve metingen (57) is gelijk voor zowel de survey in tabel 6.3 links als de survey in tabel 6.3 rechts. Het kost dus ook hier evenveel moeite om de 225 metingen van tabel 6.3 rechts te doen dan de 179 metingen van tabel 6.2 links.

Tabel 6.2: bepalen van het aantal metingen dipool-dipool

In bijlage 4b is de meetvolgorde aangegeven die nodig is om de array op te meten gebruik makende van de mogelijkheid parallel te meten.


2 21 0,2788 2 21 0,27883 20 0,3848 3 20 0,38484 19 0,4880 4 19 0,48805 18 0,5904 5 18 0,5904


1,2 4 7 1,4640 3 15 0,76965 4 1,7712 4 13 0,9760



4 7 1,46405 4 1,7712

totaal 225


76

6.2.2.3. Simulatie kaaimuur met steunbeer in het midden van de array Uit de voorgaande simulaties bleek duidelijk dat het theoretisch mogelijk is de steunberen in het geval van het Handbogenhof terug te vinden. Deze steunberen bevinden zich boven de grond en zijn dus omringd door een hoge weerstand (lucht). De vraag die in dit puntje gesteld wordt is de volgende: is het mogelijk om steunberen van kaaimuren (omgeven door grond) terug te vinden in een simulatie? Het model toont een eenvoudige muur van 80 cm dik met een steunbeer in h et midden van 1.6 m dik (figuur 6.11 boven). De elektroden staan ook hier 40 cm uit elkaar. De grond wordt gemodelleerd als een weerstand van 500 Ohmm. De grond wordt verondersteld een goed samenhangend geheel te zijn. De weerstand van de muur is ook hier gelijk genomen aan 1100 Ohmm. De inversie werd uitgevoerd op basis van de berekende pseudo-sectie voor de dipool-dipool array. De inversieparameters waren de volgende:

• robuuste inversie op basis van vergelijking 3.39 • eindige elementen methode bij de voorwaartse modelleringsstap

Figuur 6.11: model (boven) en dipool-dipool inversieresultaat (onder)

in simulatie van een kaaimuur met grond achter

Het resultaat van de inversie toont duidelijk (figuur 6.11 onder) dat de steunbeer terug te vinden is uit de metin gen. Ook hier wordt de dikte van de steunbeer in de inversie overschat. De techniek is dus theoretisch ook toe te passen op kaaimuren met het doel steunberen te onderscheiden op een niet-destructieve manier.


77

6.3. Elektrische sondering

6.3.1. Opmeten dikte Op 25 maart 2003 ging de meetcampagne van start. Wat de hardware betreft, verandert er niets ten opzichte van de meetcampagne in Melsbroek (zie 5.3.1.). Er werd gekozen om de metingen zelf enigszins anders aan te pakken dan in hoofdstuk 5 het geval was. Toen werd de nulspanning gemeten (spanning zonder stroom te zetten op C1 en C2) en deze werd van de meting afgetrokken. Voor deze meetcampagne werd elke meting omgepoold. De berekening van de schijnbare resistiviteit gebeurt schematisch als volgt (zie figuur 6.12):

rIEPV

rIEPV

.

.

−−

++

−=

+=

- ____________ rIIV ).(.2 −+ +=∆

De schijnbare weerstand is dan gelijk aan:

2.r

G=ρ (6.1)

Hierin is G de geometrische factor voor de Wenner-Schlumberger configuratie. Deze factor is gelijk aan: annG ).1.(. += π

Figuur 6.12: potentiaalverschil en eigenpotentiaal

De factor 2 onder de breukstreep van formule (6.1) komt doordat enkel de waarde ∆V van belang is. De kleine letter r is een maat voor de weerstand.

−+

−+

+−

=IIVV

r

In principe is het verloop van de eigenpotentiaal niet constant zoals op figuur 6.12 wordt verondersteld. Eigenlijk zou men een 4 -tal metingen moeten doen (2 keer ompolen) en dan tewerk gaan zoa ls uitgelegd in <KVE 2000> pagina 28. Omdat dit het aantal metingen telkens verdubbelt, werd gekozen om maar één maal om te polen.


78

Wat de metingen betreft, werd ook geprobeerd met conventionele probes te meten. Dit om een vergelijking te kunnen maken tussen een sondering met behulp van nagels als elektroden en met behulp van probes. Deze werden aan het departement bouwkunde ontwikkeld en zijn al met succes gebruikt bij de meetcampagne van de Onze -Lieve-Vrouwekerk te Brugge in 2001 <FRY 2002>. Een goed contact met de muur is hierbij belangrijk. Het uiteinde van de probe is voorzien van in kopersulfaat gedrenkte watten rondom een koperen geleider (figuur 6.13). Oneffenheden van het contactvlak worden opgevangen door een veersysteem dat in de probes g eïntegreerd zit. Hierdoor zou goed contact verzekerd moeten zijn. Twee personen drukten de probes op de juiste plek tegen de muur (voor de sondering stonden de probes te ver uit elkaar om door één enkele persoon de meting uit te voeren). Bijlage 3a geeft de datafile zoals door Windmill bijgehouden. De eerste kolom geeft het tijdstip van de meting aan. De tweede geeft de spanning over de weerstand in serie met de bron en levert dus via de wet van Ohm de stroom. De laatste kolom geeft de spanning zoa ls gemeten over P1-P2. Het is duidelijk dat de tweede en derde kolom zeer afwisselende waarden oplevert. De meting met probes is dus zeer onstabiel en de resultaten ervan zullen hoogstwaarschijnlijk slecht zijn. Het leek dus weinig zinvol de sondering met probes volledig uit te voeren. Het contact met de ondergrond was zeker niet voldoende. Een bijkomende reden was dat de probes vanaf meting 5 zo ver uit elkaar staan dat men drie mannen nodig heeft om ze tegen de muur te drukken, wat niet praktisch is .

Figuur 6.13: opbouw meetprobe

De sondering werd dan maar uitgevoerd door nagels in de muur te kloppen. De metingen werden veel stabieler. De opmerkingen die gemaakt werden onder 5.3.1. zijn ook hier van toepassing (doorslag, eigenpotentiaal). In bijlage 3b zijn de meetgegevens en de berekening van de schijnbare weerstand weergegeven. Ook de inputfile voor het programma VES is in die bijlage terug te vinden. De metingen leveren wat eigenaardige resultaten op. Zo hebben de metingen 6,7,8 en 10 een andere polariteit. Dit terwijl sterk getracht is om fouten tijdens het ompolen te vermijden.

Figuur 6.14: tweede meting sondering: a = 0.1 m; n = 5; C1-C2 = 1.1 m


79

Er werd besloten deze metingen niet te gebruiken in de inversie. Op die manier schoten er nog slechts 6 metingen over. Dit leverde numerieke instabiliteit op van het programma. Er werd een dummy datapunt ingevoerd om dit te omzeilen. Een waarde AB/2 (dit is gelijk aan (C1-C2)/2) en een schijnbare weerstandswaarde die weinig verschillen van de waarden van de laatste meting werden bijgevoegd aan de datafile.

6.3.2. Inversie en vergelijking met de reële dikte van de muur Op de wiskundige achtergrond van deze 1D inversie wordt niet verder ingegaan. Belangrijk om te weten is dat bij een 1D inversie impliciet verondersteld wordt dat de weerstand van de ondergrond enkel in de z-richting (diepte) varieert. In de x- en y-richting blijft de weerstandswaarde constant. Voor de wiskundige achtergrond wordt verwezen naar <LIT 1984>. Deze re ferentie werd reeds behandeld in 3.3.1. Formule (3.33) wordt in het geval van een 1D inversie eenvoudiger. De modelparametermatrix Q in deze formule wordt nu veel kleiner. Het resultaat van de inversie dient als volgt geïnterpreteerd te worden (figuur 6.15). De groene sterretjes geven de datapunten weer. De groene lijn geeft de berekende respons weer van een 1D-weerstandsmodel via voorwaartse modellering. Het cijfer links bovenaan (misfit) is een maat voor de afwijking van de berekende schijnbare weerstandscurve en de waarde van de schijnbare weerstand zoals ze opgemeten werd. Het programma werd zo ingesteld dat het enkel een model met twee lagen mocht gebruiken om te inverteren. Op die manier wordt een laag die representatief is voor de muur bekome n en een laag representatief voor de lucht erachter.

Figuur 6.15: resultaat 1D inversie sondering Wenner-Schlumberger

Het resultaat is het volgende: Volgens de inversie bestaat de ondergrond (in dit geval een muur met lucht) uit twee lagen, waarvan de bovenste laag (muur) een dikte heeft van 26 cm en een weerstand van 126.3 Ωm2. De eenheid is Ωm2 omdat zowel in x- als y-richting de weerstand constant verondersteld wordt. De halfruimte achter de muur (lucht) heeft een


80

weerstandswaarde van 466.2 Ωm2. Normaal zou men verwachten dat de dikte tussen 40 en 80 cm zou liggen (zie 6.2.1). Dit is dus duidelijk niet het geval. De dikte van de muur wordt onderschat. De werkelijke dikte op de plaats van het centrum van de sondering is 40 cm (dichtgemetst schietgat). De weerstandswaarden voor beide lagen zijn ook een factor 10 lager van wat te verwachten was (metselwerk rond 1000 Ωm2, lucht nog een veel hogere weerstand). Het resultaat van deze 1D-inversie is dus niet echt geslaagd. De reden is het beperkt aantal metingen (slechts 6 + 1 kunstmatig toegevoegde meting). Het is wel interessant om in de toekomst nog eens een elektrische sondering te proberen op een muur. Wel dienen er dan meer metingen uitgevoerd worden. Jammer genoeg kan binnen dit werk hiervoor geen tijd meer vrijgemaakt worden.

6.4. Dipool-dipool survey

6.4.1. Opmeten profiel stadsmuur met holte in het midden De reden waarom ervoor gekozen werd om de ruimte tussen twee steunberen als het midden van de array te beschouwen, is de volgende: in de geofysische praktijk tracht men altijd de te vinden anomalie centraal in het beeld te krijgen. Waar breuken van aardbevingen vermoed worden zullen deze plekken centraal opgesteld worden in de array. Ook waar bijvoorbeeld een holte in de ondergrond (bvb. een rioolbuis) zich laat vermoeden, laat men deze holte centraal in de array vallen. De verhoogde weerstand tekent zich dan beter af. Een analoge redenering kan binnen dit werk gemaakt worden. De ruimte tussen twee steunberen is analoog met een holte in de ondergrond en wordt centraal in de array gevangen in de hoop een betere aftekening ervan te verkrijgen uit de inversie van de metingen. 6.4.1.1. Meting met holte in het midden Op 25 maart 2003 werd ook dit experiment uitgevoerd. Dit gebeurde opnieuw samen met Roger Wolput, medewerker aan het departement bouwkunde. Er werd ook hier gekozen om de metingen anders aan te pakken dan in hoofdstuk 5. In plaats van de nulspanning te meten (spanning zonder stroom te zetten op C1 en C2, cf. hoofdstuk 5) en deze van de meting af te trekken, werd voor deze meetcampagne elke meting omgepoold zoals bij de elektrische sondering. De berekening van de schijnbare resistiviteit gebeurt eveneens volgens figuur 6.12 en de bijhorende vergelijkingen. Praktisch kunnen de volgende opmerkingen gemaakt worden in verband met het uitvoeren van de metingen:

• Enkel de dipool-dipool array werd opgemeten, de reden daarvoor werd reeds aangehaald. Hierbij werd opnieuw gebruik gemaakt van de mogelijkheid op 5 kanalen (n-waarde van 1 tot 5) de spanning op te meten bij één enkele opstelling van de stroomelektroden (figuur 6.16). Bijlage 5a toont de input-datafile van de dipool-dipool survey op de stadsmuur in Leuven met de ruimte tussen de steunberen als centrum van de array. Slechte metingen (onnatuurlijk hoge schijnbare weerstandswaarden) werden uit de inputfiles verwijderd.


81

Figuur 6.16: parallelle dipool-dipool meting n = 1 tot 5 en a = 0.4 m

• Het opmeten van een enkele array nam toch al snel 3 à 4 uur in beslag. Er

diende steeds de ladder opgelopen worden om de klemmetjes te verplaatsen. Dit is zeer geestdodend en vermoeiend werk. In hoofdstuk 7 zal dan ook geadviseerd worden de metingen te automatisereren.

6.4.1.2. Inversie De inversies werden ook nu uitgevoerd in het Koninklijk Meteorologisch Instituut daar zij beschikken over een hardware-key van het programma Res2Dinv. Een aantal parameters die een belangrijke invloed hebben op het resultaat van de inversie werden reeds bij de vorige meetcampagne (paragraaf 5.4) onderzocht. De belangrijkste conclusies wat betreft de inversieparameters bleken ook hier op te gaan:

• robuuste inversie op basis van vergelijking 3.39 • eindige elementen methode bij de voorwaartse modelleringsstap • modelblokken van een kwart (10 cm) van de breedte als de afstand tussen de

elektroden (40 cm)

Nog betere resultaten werden verkregen door toe te laten dat er door het programma extra modelblokken werden ingevoerd die buiten het meetbereik van de array liggen. Op figuur 6.17 zijn dit de blokken links - en rechtsonder in het inversieresultaat. De opgemeten pseudo-sectie levert hier geen meetdata over (figuur 6.17 a:). De inversie zelf was vanuit numeriek opzicht zeer goed. De RMS-waarde is gelijk aan 7.8 % wat vrij laag is. De opgemete n pseudo-sectie levert hier geen meetdata over (figuur 6.17 a:). Merk ook op dat op basis van de opgemeten pseudo-sectie de steunberen niet terug te vinden zijn.


82

Figuur 6.17 : a: opgemeten pseudo-sectie

b: inversieresultaat stadsmuur holte tussen twee steunberen in het midden c: doorsnede muur ter hoogte van de survey-lijn met opening in het midden

6.4.1.3. Vergelijking inversie versus realiteit Uit het inversieresultaat (figuur 6.17 b:) zijn duidelijk de contouren te zien van 2 zones van verlaagde weerstand (gele zones tussen x = 3.6 m tot 5.0 m en van x = 6.4 m tot 9.2 m). Deze zones duiden op de aanwezigheid van metselwerk. Dit zijn dus de twee steunberen die hopelijk te vinden zouden zijn. Tussen deze twee zones bevindt zich een holte (ruimte tussen de steunberen van x = 5.0 m tot 6.4 m). Vergelijken met de echte doorsnede (figuur 6.17 c:) leert dat de positie van de steunberen en de afmetingen van steunberen en tussenafstand, (ruimte tussen steunberen), niet echt accuraat uit het inversieresultaat volgen. De linkersteunbeer uit het inversieresultaat heeft wel de juiste breedte, maar is 1.8 m verschoven naar links. De rechter steunbeer staat dan ongeveer wel op de juiste plaats, maar is dan weer veel te breed. De ruimte tussen de steunberen wordt dan ook veel te klein in vergelijking met de realiteit (ongeveer 1.5 m in plaats van 3.8 m in realiteit). Ook is het niet mogelijk de diepte van de steunberen uit het inversieresultaat te halen. Wat betreft de inwendige structuur van de muur kunnen ook geen uitspraken gedaan worden. De resolutie is daarvoor te klein doordat de elektroden 40 cm van elkaar staan, wat onvoldoende is om de inwendige structuur te onderzoeken. Toch werden twee boringen verricht. Bovenstaande figuur 6.17 c: geeft ook weer op welke plaatsen geboord werd in de muur. Elke boring zal kort besproken worden in relatie met de resultaten uit de inversies. Deze boringen werden ook uitgevoerd door Luc Willems, een medewerker van het departement bouwkunde op 31 maart 2003.


83

• boring 1: Deze boring gebeurde in de voeg waar de elektroden zijn ingeklopt ter hoogte van elektrode 5 (zie figuur 6.17 c:). Merk op dat de muur op die plek slechts 80 cm dik is. Dit werd ook geverifieerd tijden het boren. De dipool-dipool array doet een zone vermoeden met opvallend lage weerstand (ongeveer 100 Ωm). Om de een of andere reden duidt de inversie aan dat er iets op die plek zit waardoor de weerstand zo laag uitvalt. De boring duidde aan dat de muur holtes vertoont. Dit zou uit een geo-ele ktrische survey zones met verhoogde weerstand moeten geven in plaats van verlaagde resistiviteitswaarden in de inversie. De survey is dus zoals verwacht niet geschikt om onderzoek te doen naar de inwendige structuur van het metselwerk. Een oplossing zou zijn de elektrodeafstand te verminderen, maar dan neemt uiteraard het aantal metingen sterk toe. Figuur 6.18 geeft een foto van de inwendige structuur van de muur op de plaats van boring 1. Deze foto werd genomen door gebruik te maken van de endoscoop.


Links is een scheur te zien in het metselwerk. Deze foto werd gemaakt op een diepte van ongeveer 60 cm. De endoscoop was voorzien van een lens waarmee loodrecht op de boorrichting gekeken werd. Er werd naar boven gekeken. Er is duidelijk een plantenwortel waar te nemen in het beeld. De aanwezigheid van deze wortel houdt hoogstwaarschijnlijk verband met het voorkomen van de scheur. Bekijken van figuur 6.2 leert dat de omgeving van de muur rond de steunbeer het dichtst bij deze boring langs de achterkant begroeid is met klimop. Een aantal jaren geleden stonden er ook zeer veel planten op de muur zelf, maar deze zijn ondertussen al verwijderd. De worteltjes nemen mineralen op uit de mortel en logen het metselwerk dus uit. Op die manier ontstaan kleine scheurtjes die watervoerend worden. De wortels krijgen nu nog meer water en het uitlogen escaleert. De begroeiing op de muur zorgde vroeger waarschijnlijk voor minder waterpenetratie. Nu kan veel meer water de muur binnendringen langs boven (de planten daar zijn weggenomen zoals ook te zien is op figuur 6.2) en zal de degradatie steeds sneller gaan. Figuur 6.18 rechts geeft nog een andere holte aan in hetzelfde boorgat. Deze holte zat ongeveer op een diepte van 35 cm. Ook hier is weer een wortel aangetroffen. Er wordt nog opgemerkt dat het boorgat droog was.


84

• boring 2: Boring twee is uitgevoerd ter hoogte van de tweede steunbeer (figuur 6.17 c:). Op die plaats is de steunbeer 160 cm dik. Er werd zo diep mogelijk geboord. Geen enkele anomalie werd tegengekomen. Het metselwerk van deze steunbeer is goed geconsolideerd. In het labo werd wel een belangrijke bevinding gedaan. De mortel was zeer nat en daardoor plastisch. Als deze mortel opdroogt, vertoont deze krimpscheuren. Het scenario van de degradatie van de muur is dan vermoedelijk het volgende. Uitdrogen van de mortel in de zomer deed op bepaalde plekken krimpscheurtjes ontstaan. Vervolgens penetreerden de wortels van planten via deze scheurtjes de muur. De wortels loogden het metselwerk uit. Er kwam meer ruimte vrij voor waterpenetra tie en de situatie verergerde. Eigenaardig genoeg wordt het volgende vastgesteld op basis van de metingen: boring 2 toonde aan dat de mortel in de muur ter hoogte van de rechtse steunbeer zeer nat was. Boring 1 (net naast de linkse steunbeer) toonde aan dat de muur daar holtes vertoont en niet nat is. Men zou daarom verwachten dat de linkse steunbeer een hogere weerstandswaarde uit de inversie zou opleveren dan de rechtse. Toch volgt niet uit de inversie dat de linkse steunbeer (boring 1) een hogere weerstandswaarde heeft dan de rechtse (beide ongeveer 500 Ω). Dit doet opnieuw besluiten dat deze reeks metingen weinig geschikt is om uitspraken over de inwendige structuur te doen. De elektroden staan te ver uit elkaar.

6.4.2. Opmeten stadsmuur met steunbeer in het midden Een tweede benadering voor het terugvinden van een steunbeer in experimentele fase is de steunbeer centraal te vangen in de array. De steunbeer die uitgekozen wordt, is diegene die omsloten wordt door de zwarte lijn in de figuren 6.1 en 6.2. Doordat slechts op zoek wordt gegaan naar één steunbeer kan het aanta l metingen beperkt worden (zie 6.2.2.2.). Er worden nu slechts 25 elektroden in de muur geklopt. Verder is in dit experiment de invloed van de volgende zaken ook nagegaan:

• De metingen worden enerzijds verwerkt met het principe van de nulspanning zoals toegepast in hoofdstuk 5. Daarvoor wordt eerst een nulspanningsmeting gedaan die afgetrokken wordt van de eerste meting met stroom op C1 en C2 (deze meting komt overeen met V+). Anderzijds wordt het resultaat hiervan vergeleken met de verwerking van de metingen met het principe van het ompolen zoals in de vorige experimenten in dit hoofdstuk (V+ en V-).

• Ook wordt nagegaan wat het verschil is in inversieresultaat indien enkel de metingen worden meegenomen in de inversie die volgens tabel 6.2 links werden opgesteld. Dit houdt praktisch in dat voor een elektrodeafstand a gelijk aan 0.8 m de metingen met n-waarde kleiner dan 3 niet meegenomen worden in de inversie. Voor a = 1.2 m worden de metingen met n-waarde kleiner dan 4 niet meegenomen. In het vervolg van dit hoofdstuk wordt naar deze metingen verweze n met de benaming "beperkt". Normaal gezien zou men verwachten dat het resultaat van de inversie voor de beperkte metingen slechter zou zijn omdat minder informatie beschikbaar is. Meer data zouden tot betere resultaten moeten leiden. Het kan evenwel zijn dat twee datapunten die fysisch zeer dicht bij elkaar liggen, wegens een slechte of ruisgevoelige meting een schijnbare weerstandswaarde opleveren die ver uit elkaar ligt. De pseudo-sectie krijgt op die manier een grillige vorm, wat de inversie zeker niet ten goede komt. De inversieresultaten van de "beperkte" en de "volledig" data -inhoud worden met elkaar vergeleken.


85

6.4.2.1. Meting met steunbeer in het midden Op woensdag 9 april 2003 werd deze meting uitgevoerd. Dit gebeurde opnieuw samen met Roger Wolput, medewerker aan het departement bouwkunde. Hier werd gekozen om de metingen anders aan te pakken dan in puntje 5.4.1. Eerst wordt de nulspanning gemeten (spanning zonder stroom te zetten op C1 en C2, cf. hoofdstuk 5) en deze wordt van de meting afgetrokken (zoals in hoofdstuk 5 werd aangegeven). Daarna werd voor deze meetcampagne elke meting ook nog eens omgepoold zoals bij de elektrische sondering. De berekening van de schijnbare resistiviteit gebeurt eveneens volgens figuur 6.12. Slechte metingen werden niet meegenomen in de inversie. In bijlage 5b,c,d en e zijn respectievelijk de volgende inputfiles voor het programma Res2Dinv weergegeven: bijlage 5b: volledige dataset met schijnbare weerstand berekend op basis van

nulspanning bijlage 5c: beperkte dataset met schijnbare weerstand berekend op basis van

nulspanning bijlage 5d: volledige dataset met schijnbare weerstand berekend op basis van

ompolen bijlage 5e: beperkte dataset met schijnbare weerstand berekend op basis van

ompolen

Figuur 6.19: a: opgemeten pseudo-sectie volledige dataset op basis van nulspanning

b: opgemeten pseudo-sectie beperkte dataset op basis van nulspanning

Figuur 6.19 a geeft de opgemeten pseudo-sectie weer van de volledige dataset indien gebruik gemaakt wordt van het principe van de nulspanning. Merk het grillige verloop van de data op. Vergelijking met figuur 6.19 b (beperkte dataset op basis van nulspanning) leert dat de pseudo-sectie van figuur 6.19 b een minder grillig verloop vertoont dan figuur 6.19 a. Vermoedelijk zal de beperkte dataset tot een betere inversie leiden. Dat zal ook bevestigd worden. Analoog zal voor de beperkte dataset in het geval van ompolen de inversie vermoedelijk beter zijn dan in het geval van de volledige datase t, wegens het minder grillige verloop van de schijnbare weerstandswaarden. Merk ook op dat op basis van de opgemeten pseudo-sectie de steunberen niet terug te vinden zijn.


86

6.4.2.2. Inversie Weer werden de inversies uitgevoerd in het Koninklijk Meteorologisch Instituut. De beste inversieparameters bleken ook hier weer te zijn:

• robuuste inversie op basis van vergelijking 3.39 • eindige elementen methode bij de voorwaartse modelleringsstap • modelblokken van de helft (20 cm) van de breedte als van de afstand tussen de

elektroden (40 cm) • extra modelblokken buiten het meetbereik van de array.

Dezelfde inversieparameters werden gebruikt voor alle vier de berekeningen (beperkte versus volledige dataset en ompolen versus nulspanning). Wat betreft de RMS-waarden van de inversies zijn volgende conclusies te trekken.

• Al de RMS-waarden liggen voor de vier inversies aanvaardbaar laag (zie figuur 6.20).

• Het valt op dat de RMS-waarde van de beperkte reeksen zowel in het geval van ompolen als voor nulspanning gevoelig lager ligt dan voor de inversie s met de volledige datasets. De in de inleiding van paragraaf 6.4.2. gemaakte redenering gaat dus op: twee datapunten die fysisch zeer dicht bij elkaar liggen en een schijnbare weerstandswaarde uit de meting opleve ren die veel van elkaar verschillen, hebben een nadelige invloed op de inversie. De pseudo-sectie vertoont een grilligere vorm (zie figuur 6.20). De RMS-waarde stijgt dus door de ruisgevoeligheid van de metingen.

• De RMS-waarde is ook kleiner voor de reeksen die opgesteld zijn met het principe van het ompolen dan de reeksen op basis van de nulspanningsmeting (vergelijk RMS van figuur 6.20 b en c met d en e). Daaruit kan vermoed worden dat meten met ompolen te verkiezen is boven meten met nulspanning. In de volgende paragraaf zal ook duidelijk worden dat het inversieresultaat op zich ook beter is.

6.4.2.3. Vergelijking inversie versus realiteit De weerstandsschaal van de vier inversies is dezelfde zodat vergelijken mogelijk wordt. De volgende besluiten kunnen uit figuur 6.20 gemaakt worden:

• De inversieresultaten (figuur 6.20 b,c,d en e) tonen allen de contouren van één zone met verlaagde weerstand (gele zones). Deze zone duidt op de aanwezigheid van metselwerk. Dit is dus de gezochte steunbeer. De echte steunbeer bevindt zich van x = 3.7 m tot 5.5 m.

• Elk van de vier inversies is in staat de dichtgemetselde schietopeningen terug te vinden (tussen x = 1.6 m en 2 m en x = 7.6 m en 8 m). De positie ervan komt vrij goed overeen met de realiteit. Toch is de dikte onderschat: in werkelijkheid is de muur op die plaatsen slechts 40 cm dik. Het rechtse schietgat heeft uit de inversies slechts een dikte van 30 cm terwijl het linkse schietgat in de inversieresultaten naar voren komt als een volledig gat in de muur.

• De dikte van de muur links van het linkse schietgat en rechts van het rechtse schietgat wordt eveneens vrij goed berekend en herkend voor de vier inversies. Wel wordt opnieuw de dikte onderschat (50 à 60 cm in plaats van 80 cm in realiteit).

• Het inversieresultaat van de volledige en de beperkte inputfiles voor de metingen verwerkt met het principe van de nulspanning, geven een veel te brede steunbeer aan (figuur 6.20 b en c).


87

• Ook hier is het niet mogelijk de diepte van de steunbeer uit het inversieresultaat te halen. Merk de logaritmische diepteschaal op van de inversieresultaten. Wat betreft de inwendige structuur van de muur kunnen ook geen uitspraken gedaan worden. De resolutie is daarvoor te klein bij een elektrodeafstand van 40 cm, zoals reeds eerder vermeld.

• Opvallend is ook het volgende: bestuderen van figuur 6.17 (meting van de holte tussen twee steunberen) geeft aan dat op de plaatsen waar de beide steunberen te zoeken zijn, in het inversieresultaat de waarden voor de weerstand daar rond de 500 Ωm ligt, wat vrij laag is. Deze metingen werden gedaan op 25 maart. De inversieresultaten van de meting op één enkele steunbeer (figuur 6.20; gemeten op 9 april) duiden aan dat de weerstand van de steunbeer rond de 1100 Ωm ligt. Het is niet duidelijk wat hiervan de oorz aak is. Wel is het zo dat in d e twee weken tussen beide meetcampagnes er nagenoeg geen regen gevallen is. Mogelijk is de muur sterk opgedroogd waardoor zijn weerstand gestegen is. Het is natuurlijk wel onwaarschijnlijk dat een 80 tot 160 cm dikke muur op twee weken tijd zo sterk droogt dat zijn elektrische weerstand verdubbelt. Toch is dit op het eerste gezicht de enige verklaring. Langs de andere kant toonde boring 2 uit de vorige paragraaf aan dat de muur ter hoogte van de rechtse steunbeer op 31 maart nog zeer nat was. Deze steunbeer kan onmogelijk uitgedroogd zijn tegen 9 april.

• Wat betreft de steunbeer zelf kan het volgende besloten worden. Geen enkele inversie levert een echt overtuigend resultaat op. Inderdaad, ze geven allemaal een te brede zone aan voor de steunbeer (gele zone) met een weerstand in de buurt van die van metselwerk (1100 Ω). De inversieresultaten vertonen alle vier veel overeenkomsten. De resultaten o p basis van ompolen (figuur 6 .20 d en e) tekenen toch het meest realistische beeld van de steunbeer af. Figuur 6.20 d toont in het geel een metselwerkzone die zich uitstrekt van x = 3.7 m tot 6.4 m. De steunbeer tekent zich dus een meter breder af dan in realiteit (2.8 m in plaats van 1.8 m in realiteit). De dikte van de steunbeer komt wel goed overeen (1.5 à 1.6 m). Figuur 6.19 e geeft het beste resultaat qua numerieke berekening enerzijds (RMS = 8.9 %), maar ook naar interpretatie van de metingen stemt deze het beste overeen met de realiteit. De gele contour tekent de steunbeer af met een breedte van x = 3.3 m tot 4.9 m. Dit is dus 1.6 m breed in vergelijking met 1.8 m breedte in realiteit. Dit komt dus zowel voor de positie als de breedte zeer goed overeen.


88

Figuur 6.20: a: doorsnede muur ter hoogte van de survey-lijn met steunbeer in het midden

b: inversieresultaat nulspanning c: inversieresultaat nulspanning beperkt

d: inversieresultaat ompolen e: inversieresultaat ompolen beperkt

7. Algemeen besluit en onderzoeksdomeinen voor de toekomst

89


7.1. Algemeen besluit De geo-elektrische meetcampagnes zoals uitgevoerd in de thesis kwamen tot stand na een grondige literatuurstudie van recente ontwikkelingen op het gebied van het geo-elektrisch meten. Eerst werd het principe van de methode besproken (hoofdstuk 2). De wiskundige achtergrond van de softwareprogramma's Res2Dmod en Res2Dinv werd in hoofdstuk 3 verduidelijkt. De noodzaak om inversiesoftware zoals Res2Dinv te gebruiken om de metingen te verwerken werd meermaals in de thesis aangegeven. Het is namelijk niet mogelijk op basis van de opgemeten schijnbare weerstandswaarden uitspraken te doen over de werkelijke structuur van het metselwerk. Vervolgens werd in hoofdstuk 4 op theoretische wijze onderzocht welke elektrodeconfiguraties voor metselwerk geschikt zijn. De Wenner-alfa, de Wenner-Schlumberger, de dipool-dipool en de pool-pool array werden geanalyseerd op basis van sensitiviteisfuncties. Geconcludeerd werd dat de Wenner-Schlumberger en de dipool-dipool vermoedelijk het meest geschikt zijn. Simulaties toonden eveneens in hoofdstuk 4 aan dat de dipool-dipool array en de Wenner-Schlumberger het meeste kans maken succesvol te zijn in de praktijk. Er werd beslist in de praktijk enkele geo-elektriche surveys te verrichten. Een meetcampagne werd opgesteld voor de Wenner-alfa, de Wenner-Schlumberger en de dipool-dipool elektrodeconfiguraties (hoofdstuk 5). Het doel was de inwendige structuur van een oude zandstenen muur op te meten. De arrays werden op 12 en 13 februari 2003 opgemeten in Melsbroek. De data werden verwerkt met behulp van het inversieprogramma Res2Dinv waarvan men een geregistreerde versie bezit op het Koninklijk Meteorologisch Instituut in Ukkel. De invloed van verschillende inversieparameters werd onderzocht. Uit boringen en endoscopisch onderzoek uitgevoerd op 31 maart 2003 werd geconcludeerd dat het resultaat van de inversie voor de dipool-dipool array bevredigend was, wat uit simulaties reeds vermoed werd. Het doel van de tweede meetcampagne was het nagaan van de mogelijkheid het profiel van een muur uit geo-elektrische metingen te halen. De metingen op het Handbogenhof te Leuven wezen na inversie op de mogelijkheid om steunberen terug te vinden. het is dus mogelijk muurprofielen terug te vinden uit resistiviteitsmetingen. Deze metingen werden verricht door gebruik te maken van de dipool-dipool array. De meetcampagne vond plaats op 17 maart 2003 en op 9 april 2003. Twee benaderingen werden gevolgd. Ten eerste werd een array opgesteld met als doel het terugvinden van de ruimte tussen twee steunberen. Ten tweede werd een array opgemeten die een steunbeer in het midden van zijn gezichtsveld moest vangen. Beide benaderingen leverden resultaat op. Niettegenstaande het feit dat de resultaten van de meetcampagnes niet uiterst succesvol waren, blijkt toch dat de meetmethode intrinsiek potentieel bezit. In het achterhoofd houdende dat de experimenten zoals uitgevoerd in dit werk maar een eerste verkennend doel dienden, kan besloten worden dat verder onderzoek gerechtvaardigd is.


90

Samengevat nog even de belangrijkste conclusies:

• recente ontwikkelingen uit de geofysica bewijzen hun nut bij het toepassen van geo-elektrische metingen op metselwerkstructuren

• de dipool-dipool elektrodeconfiguratie blijkt het meest geschikt • de inwendige staat van metselwerkstructuren kan met de opgestelde methode

niet-destructief opgemeten worden • het profiel van muren als ook de aanwezigheid van steunberen kunnen uit

resistiviteitsmetingen gehaald worden • het is niet mogelijk op basis van de opgemeten schijnbare weerstandswaarden

uitspraken te doen over de werkelijke inwendige structuur van het metselwerk, inversie van de metingen is een noodzaak

7.2 Onderzoeksdomeinen voor de toekomst

7.2.1. Inleiding Toch zijn er nog een aantal praktische en technische problemen die verder dienen uitgezocht en opgelost te worden. Het gedrag van metselwerk onder invloed van gelijkspanning is daar een goed voorbeeld van. Ook technieken om de meettijd zo veel mogelijk te beperken, zijn interessante onderzoeksdomeinen voor de toekomst (zie verder). Ook de invloed van verschillende randvoorwaarden zoals geometrie van de muur en aanwezigheid van vocht en zouten zijn interessante onderzoeksdomeinen voor de toekomst. De methode zou ook gebruikt kunnen worden bij het zoeken naar verborgen ruimtes, nissen, grafkamers,... In de volgende paragrafen worden enkele interessante denkpistes aangegeven.

7.2.2. Geschiktheid voor het opvolgen van groutinjecties Een zeer interessante toepassing van de methode zou het opvolgen van groutinjecties kunnen zijn. Eerst wordt de muur met de methode opgemeten om de toestand van de inwendige structuur op een niet-destructieve manier vast te stellen. Er kan nu besloten worden (eventueel na het uitvoeren van een beperkt aantal kernboringen ter controle) op welke plekken grout geïnjecteerd moet worden. Tijdens en na de injectie kan de muur geo-elektrisch opgemeten worden. Verschillen in weerstandswaarden voor en na injectie geven dan aan hoe goed de injectie verlopen is. 7.2.2.1. Belang van automatisering van de metingen Bevindingen voor wat betreft de metingen: In paragraaf 5.3.1. werden reeds een aantal interessante bevindingen geformuleerd in verband met het uitvoeren van de metingen zelf. Door het doorslag-effect vergrootte de meettijd aanzienlijk. Elke keer moest de voedingsspanning (stroom) aangepast worden zodat de stroom niet naar nul viel en toch groot genoeg was om een goede meting te verrichten. Dit kostte veel tijd. Dit fenomeen zou in detail onderzocht moeten worden zodat de metingen zelf efficiënter kunnen gebeuren. Ook bleek het meten op basis van het principe van het ompolen de beste resultaten te geven. In dit werk werd voor de campagne op de stadsmuur in Leuven één enkele keer omgepoold. Dit omdat het iedere keer even duurde vooraleer de meting weer stabiel werd. Beter zou nog zijn minstens drie of vier keer om te polen, zodat een beter gemiddelde van het spanningsverschil ∆V gevonden wordt. Ook een niet-lineair verloop van de eigenpotentiaal wordt hierdoor beter opgevangen zoals op pagina 28 van <KVE 2000> al aangegeven werd. Dit leidt uiteraard naar nog langere meettijden. Automatisering dringt zich op.


91

Deze automatisatie kan perfect kaderen in een eindwerk dat door het Departement Burgerlijke bouwkunde wordt uitgeschreven aan een industriële hogeschool of aan het Departement Elektromechanica. Het moet mogelijk zijn een intelligente bron te ontwikkelen die automatisch de metingen uitvoert. Dit kan bijvoorbeeld door gebruik te maken van een PLC (Programmable Logic Controller) die zelfstandig de stroomelektroden C1 en C2 onder spanning brengt e n ook de potentiaal over P1 en P2 opmeet en bewaart. Al de elektroden moeten voorzien zijn van een eigen kabel. Volgend beslissingsschema dient door de automatische voeding gevolgd te worden:

Figuur 7.1: beslissingsschema automatische voeding

Er wordt bijvoorbeeld een initiële spanning van 40 V aangelegd. Het PLC-programma kijkt na of er stroom vloeit van C1 naar C2. Als dat niet zo is, dan is de muur doorgeslagen en verlaagt de bron zijn spanning met 10 V. Loopt er wel stroom, en is de spanning over P1 en P2 stabiel (dit kan gecontroleerd worden door het verschil tussen twee uitlezingen onder een bepaalde waarde te laten vallen), dan wordt deze spanning en de stroom (die ook stabiel moet zijn) door de PC opgeslagen. Er worden vier uitlezingen gedaan en het gemiddelde wordt berekend. Vervolgens poolt de bron zijn polariteit om en hervat het schema. Uiteraard kan ook gekozen worden om de meting op basis van de nulspanning te doen en het aantal keer ompolen kan ook bepaald worden. Hoe meer men omp oolt, hoe langer de surveytijd. Uit de metingen kan nu de schijnbare weerstand berekend worden zoals in hoofdstukken 5 en 6. Deze waarde wordt weggeschreven naar een textfile in een formaat dat door Res2Dinv rechtstreeks ingelezen kan worden. Vervolgens stuurt de bron de stroomelektroden voor de volgende meting aan en leest de potentiaal uit over P1 en P2 van deze meting. Dit gaat zo door tot de volledige array is opgemeten. Merk op dat ook gebruik kan worden gemaakt van parallel opmeten voor de dipool-dipool array. Dit zal de nodige meettijd is sterk ten goede komt. Hoe lang duurt zo'n survey dan? Neem bijvoorbeeld de dipool-dipool survey zoals uitgevoerd op de stadsmuur in Leuven waarbij de ruimte tussen beide steunberen als het midden van het gezichtsveld werd genomen. Er dienden 72 effectieve metingen verricht te worden op 30 elektroden en dit nam 4.5 uur in beslag, omdat telkens met de hand de kabels aan de elektroden verbonden moesten worden. Het verbinden van de kabeltjes nam ongeveer een derde van de tijd in beslag. Na automatisatie is dit niet meer nodig. De surveytijd neemt al af tot 3 uur. Een zeer ruime schatting van tijd nodig om een stabiele meting te verkrijgen, ligt in de grootte -orde van een halve tot een hele minuut. De 72 me tingen zijn dan ongeveer op een uur tijd opgemeten. Als deze data direct in een formaat geleverd worden dat ingelezen kan worden door het inversieprogramma, dan weet men enkele minuutjes later reeds wat de inwendige situatie van de muur is.


92

7.2.2.2. Evenwijdige meetopstelling Zeer interessant om te onderzoeken is ook het gelijktijdig opmeten van evenwijdige sneden. Op die manier kan onmiddellijk een idee gevormd worden van de inwendige staat van de volledige muur en niet enkel van één snede. Uiteraard moet rekening gehouden worden met het volgende. De stroomelektroden van een evenwijdige array hebben ook invloed op de potentiaalmetingen van de andere sneden. Dit heeft zijn invloed op de geometrische factor die gebruikt dient te worden bij het berekenen van de schijnbare weerstandswaarden. Figuur 7.2 illustreert de algemene afleiding voor de uitdrukking van de schijnbare weerstand.

Figuur 7.2: evenwijdige 4-elektrodeconfiguratie in het algemeen

Stel dat er twee sneden worden gemaakt (uitbreiding naar meerdere sneden is analoog). C1 en C3 zijn de positieve stroomelektroden, C2 en C4 zijn de negatieve stroomelektroden. Analoog aan de afleiding van vergelijking (2.16) wordt de afleiding van de schijnbare weerstand voor de meting op de bovenste snede nu: Met behulp van formule (2.11) vindt men de volgende potentiaalbijdragen:

111 ..2

.xI

V CP πρ

= 1

21 ..2.XI

V CP πρ

−= 2

12 ..2.XI

V CP πρ

= 2

22 ..2.xI

V CP πρ

−=

331 ..2

.xI

V CP πρ

= 3

41 ..2.XI

V CP πρ

−= 4

32 ..2.XI

V CP πρ

= 4

42 ..2.xI

V CP πρ

−=

De totale potentiaal in de punten P1 en P2 wordt op die manier:

• ten gevolge van de stroom door C1C2:

−=

111

11..2

.Xx

IVP π

ρ (7.1)

+−=

222

11..2

.Xx

IVP π

ρ (7.2)


−=

331

11..2

.Xx

IVP π

ρ (7.3)

+−=

442

11..2

.Xx

IVP π

ρ (7.4)


93

Het potentiaalverschil tussen de punten P1 en P2 is nu:


+−−=+=∆

2121

212121

1111..2

.XXxx

IVVV CC

PPCC πρ

(7.5)


+−−=+=∆

4343

432143

1111.

.2.

XXxxI

VVV CCPPCC π

ρ (7.6)

Het totale potentiaalverschil dat nu gemeten wordt tussen P1 en P2 is: vergelijking (7.7):

+−−+

+−−=∆+∆=∆

434343

2121214321

1111.

1111..

.2.

XXxxI

XXxxIVVV CCCCCCCC π

ρ

Uit vergelijking (7.7) kan de schijnbare weerstand ρ berekend worden. Merk op dat er in dit geval geen éénduidige uitdrukking voor de vormfactor G kan bepaald worden wegens de afhankelijkheid van twee stromen IC1C2 en IC3C4. Enkel in het geval dat de beide stromen aan elkaar gelijk zouden zijn -wat uitzonderlijk zou zijn- kan een uitdrukking voor de vormfactor G gevonden worden:

+−+−−+−

=

43214321

11111111

.2

XXXXxxxx

Gπ

(7.8)

De schijnbare weerstand voor de meting voor de bovenste snede wordt in dit uitzonderlijke geval (beide stromen gelijk) gevonden door:

IV

G∆

= .ρ (7.9)

Hierin is ∆V het potentiaalverschil tussen P1 en P2 en I de stroom door C1 en C2 en ook door C3 en C4. Zoals hierboven kan ook de schijnbare weerstandswaarde van de onderste snede in figuur 7.2 bepaald worden. Deze paragraaf toont dus aan dat het mogelijk is evenwijdige arrays op te meten. In combinatie met de mogelijkheid verschillende metingen op één snede te doen met de dipool-dipool array (direct voor verschillende n–waarden), wordt de nodige meettijd aanzienlijk verkort. Er ontstaat in principe hierdoor een nieuw type array. Het zal "de evenwijdige dipool-dipool op verschillende sneden" genoemd worden. De voorwaartse modellering tijdens de inversie zal hier rekening mee moeten houden (zie 7.2 .2.3.).


94

7.2.2.3. Parallelle inversie; relatieve verschilkaarten

Het probleem bij het evenwijdig op verschillende sneden meten is dat het inversieprogramma Res2Dinv dit niet ondersteunt. Bij de voorwaartse modellering zoals die in het programma gebruikt wordt, kan de pseudo-sectie slechts berekend worden op basis van maximaal twee stroomelektroden en twee potentiaalelektroden. Het programma heeft een éénduidige uitdrukking nodig om de geometrische factor te berekenen. Bijgevolg kan deze software niet gebruikt worden om evenwijdige metingen te doen. Bij evenwijdig meten bestaat er geen éénduidige uitdrukking van de geometrische factor zoals in het vorige puntje aangegeven is (zie vergelijking (7.7)). Wil men toch evenwijdige metingen uitvoeren, dan zal gepaste software ontwikkeld moeten worden, of de bestaande software zal in samenspraak met de fabrikant aangepast moeten worden. In het geval dat de software zelf ontwikkeld zal worden, zullen volgende vergelijkingen uit hoofdstuk 3 aangepast moeten worden:

• eindige elementen:

S = K.Φ (3.27)

• eindige differenties

C.Φ~ =S (3.2) In beide vergelijkingen is S een kolommatrix die aangeeft in welke knopen er stroom wordt toegevoegd. De oplossing van beide vergelijkingen geeft in elk punt (x,z) de

waarde van de potentiaalfunctie Φ (of Φ~ in het geval van eindige differenties, wat de potentiaalverdeling is in het golfgetaldomein Ky). Analoog aan eindige differentie in paragraaf 3.2.1.1 of eindige elementen in paragraaf 3.2.1.2. kan hieruit de distributie van de schijnbare resistiviteitsverdeling berekend worden. Het is dus perfect mogelijk in meer dan twee knopen (lees: stroomelektroden) stroom toe te voegen via S. Belangrijk daarbij is het volgende. De software Res2Dinv is gemaakt voor 2D sneden. Bij de voorwaartse modellering wordt deze snede opgedeeld in vlakke elementen. Heel de wiskundige redenering in hoofdstuk 3 werd in twee dimensies opgesteld (x,z - vlak). De stroomelektrodes bij evenwijdig meten liggen in het x,y – vlak. Het zal dus nodig zijn de eindige differentie vergelijkingen en de eindig e elementen vergelijkingen voor de voorwaartse modellering te herschrijven naar drie dimensies. Er bestaat ook een 3D programma voor voorwaartse modellering (Res3Dmod), maar ook dit programma is niet in staat meer dan twee stroomelektroden in te rekenen. De voorwaartse modelleringsstap kan perfect geprogrammeerd worden in een eindige elementen programma zoals Ansys. Paragraaf 4.4. op bladzijde 78 van <KVE 2000> geeft een eenvoudig voorbeeld van hoe zo'n Ansysberekening zou kunnen verlopen. De iteratiestap waarbij het kleinste kwadratenverschil tussen metingen en respons van het model verkleind wordt door het aanpassen van de modelparameters (zie 3.3.1.), kan in een rekenprogramma zoals Matlab gebeuren. Op die manier kunnen dan de verschillende sneden evenwijdig gemeten en berekend worden. In een eerste studie van een muur kunnen een aantal evenwijdige secties opgemeten worden. Vervolgens worden op basis van deze sneden een aantal boringen verricht. Er wordt beslist over de noodzaak tot groutinjectie of niet. Beslist men te injecteren dan worden tijdens en na de injectie de sneden terug opgemeten. De inversie van deze metingen start dan met het model dat het resultaat was van de eerste prospectie. De iteratie zal hierdoor aanzienlijk versnellen. Het kan dan ook interessant zijn niet de nieuwe sneden met de oude te vergelijken, maar gewoon het verschil in resistiviteit in kaart te brengen tijdens of na injectie met de weerstandsverdeling zoals opgemeten in de initiële situatie.


95

Merk op dat meetcampagnes zoals beschreven in <FRV 2002> ook geautomatiseerd kunnen worden. Deze campagne kaderde in het restauratieproject van de torenspits van de Onze -Lieve-Vrouwekerk in Brugge. Elk vlak van de achthoekige torenspits werd onderverdeeld in een raster. Elk rasterpunt diende als centrum voor een Wenner-alfa meting met een elektrodeafstand van 60 cm. Aan elke plek op de muur werd op die manier een schijnbare weerstandswaarde toegekend. Deze waarde werd als maat genomen voor de werkelijke weerstand van de muur op die plek. Die waarden werden op een kaart weergegeven en zo ontstond een beperkt beeld van de staat van de structuur. Merk op dat deze werkwijze geen gebruik maakt van inversiesoftware en dus met de nodige omzichtigheid bekeken moet worden. Wel is het zo dat men op die manier veel minder metingen moet doen om een beeld te krijgen van heel het vlak van de muur. Met de automatische bron zoals hierboven beschreven, kan zo'n meetcampagne ook veel sneller gebeuren. Tijdens en na injectie kan dan een relatieve verschilkaart opgesteld worden die het verschil in schijnbare weerstand geeft tussen de initiële toestand van de structuur en deze tijdens en na injectie. Het ontwikkelen van een automatische bron en geschikte kabels lijkt dus in eerste instantie een prioriteit bij het verder onderzoeken van de toepasbaarheid van geo-elektrische metingen in restauratie.

7.2.3. Cross borehole en andere invalshoek voor geo-elektrische surveys, het zogenaamde cross borehole meten, lijkt ook het onderzoeken meer dan waard. Deze techniek vindt zijn oorsprong eveneens in de geologie. Er worden twee boorgaten in de grond gemaakt waarin elektroden worden neergelaten. Vervolgens wordt stroom gezet op twee elektroden in het ene boorgat en de potentiaal w ordt gemeten op twee elektroden van het andere boorgat. Een hele reeks metingen met verschillende stroomelektroden en potentiaalelektroden wordt op die manier uitgevoerd. Voor meer gedetailleerde informatie over het meten zelf wordt verwezen naar <GEO 2002>. Deze metingen worden volgens het inversieprincipe verwerkt tot een weerstandsmodel dat representatief is voor de snede die gevonden is, en waarvan de respons dus (voorwaartse modellering) zo goed mogelijk overeenkomt met de metingen. Figuur 7.3 geeft een voorbeeld van een inversieresultaat van een cross borehole survey.

Figuur 7.3: inversieresultaat cross borehole survey


96

Het zou interessant zijn te onderzoeken of deze techniek succesvol is op muren. Het probleem in de vorige hoofdstukken was dat de resolutie van de metingen sterk afnam bij toenemende onderzoeksdiepte. Dit probleem vervalt bij cross borehole surveys. Inderdaad, het is mogelijk (in het geval dat de muur langs twee kanten bereikbaar is) een voeg langs beide zijden van de muur te voorzien van elektroden. Het inversieresultaat zal een veel betere resolutie hebben dan wanneer slechts langs één kant op de muur gemeten wordt. Ook een dergelijk survey kan geautomatiseerd worden.

8. Bibliografische referenties

97

8. Bibliografische referenties <DMO 1979> A. DEY, H.F. MORRISON

Resistivity modelling for arbitrary shaped two-dimensional structures. Geophysical Prospecting 27, 1979a, p1020-1036.

<DRO 1993> G. DE ROECK De eindige-elementenmethode. Cursustekst bij het vak eindige elementen: continua, Acco Leuven 1993 <ELO 1994> R.G. ELLIS, D.W. OLDENBURG

Applied geophysical inversion: Geophysical Journal International, 1994a, 116, p5-11

<FRV 2002> F. VAN RICKSTAL, Y. VANHELLEMONT

Niet-destructief opzoeken van scheuren in metselwerk en pleisters. Technieken en case studies. Wetenschappelijk-technische groep voor aanbevelingen inzake bouwrenovatie en monumentenzorg. Studiedag 19 april 2002, Academiezaal Sint-Truiden.

<FVR 2000> F. VAN RICKSTAL Grout injection o f masonry, scientific approach and modeling.

Doctoraatschrift KULeuven mei 2000. <GEO 2002> GEOTOMO SOFTWARE

Handleiding bij de programma's Res2Dmod en Res2Dinv versie 3.5, july 2002. Download from http://www.geoelectrical.com/

<IJR 1975> J.R INMAN

Resistivity Inversion with Ridge Regression, Geophysics Vol 40, 1975, pp 798-817

<KVE 2000> K. VENDERICKX

Evaluatie van geo-elektrische metingen op metselwerkstructuren. Doctoraatschrift KULeuven juni 2000.

<LIT 1984> L.R. LINES, S. TREITEL

A review of least-squares inversion and its application to geophysical problems. Geophysical Prospecting 32, 1984, p159-186.

<LOB 1995> M.H. LOKE, R.D. BARKER

Least-squares deconvolution of apparent resistivity pseodosect ions. Geophysics, 60, 1995, p1682-1690.

<LOD 1997> M.H. LOKE, T. DAHLIN

A combined Gauss-Newton inversion method for the interpretation of apparent resistivity pseudo-sections. Paper presented at the 3 rd meeting of the Environmental and Engineering Geophysics Society – European Section, Sept. 1997, Aarhus, Denmark

8. Bibliografische referenties

98

<MGO 1990> P.R. McGILLIVRAY, D.W. OLDENBURG Methods for calculating Fréchet derivatives and sensitivities for the non-linear inverse problem: A comparative study, Geophysical Prospecting 38, 1990, p499-524

<MHL 2002> M.H. LOKE Tutorial: 2D and 3D electrical imaging surveys, 2002 Download from http://www.geoelectrical.com/ <SFE 1990> P.P. SILVESTER, R.L. FERRARI Finite elements for electrical engineers (2nd. Ed.). Cambridge University Press, 1990 <WLA 2002> W. LAURIKS Cursus Algemene Natuurkunde deel 1, VTK Leuven. <WOS 1988>R. WOLKE, H. SCHWETLICK

Iteratively reweighted least squares algorithms, convergence analysis, and numerical comparisons: SIAM Journal of Scientific and Statistical Computations, 9, p907-921