Wiskundige aspecten van algemene relativiteit

N. Van den Bergh

m.m.v. Lode Wylleman

Januari, 2016

Inhoud

1 Inleiding 41-1 De ruimtetijd van Aristoteles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41-2 De ruimtetijd van Galilei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51-3 De ruimtetijd van Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61-4 Het equivalentiebeginsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91-5 Gekromde ruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Beperkte Relativiteitstheorie 132-1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132-2 Lorentztransformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142-3 Minkowskidiagrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172-4 Minkowskimetriek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212-5 Relativistische mechanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2-5.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232-5.2 Energie-impulstensor van een deeltjeswolk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252-5.3 Energie-impulstensor van een perfecte vloeistof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272-5.4 Behoudswetten en energievoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2-6 Elektrodynamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312-6.1 Algemeenheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312-6.2 Elektromagnetische golven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322-6.3 Energie-impulstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Differentiaalvarieteiten en tensoren 363-1 Differentiaalvarieteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363-2 Vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3-2.1 Stromingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413-2.2 Connecterende vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3-3 Eenvormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443-4 Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3-4.1 Vrije vectorruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453-4.2 Tensorproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453-4.3 Tensoren en multilineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Differentiaalvormen 504-1 Differentiaalvormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504-2 Uitwendige afleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524-3 Integratie van vormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4-3.1 Orientatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544-3.2 Integratie van vormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4-4 Lie-afleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

i

5 Connecties en kromming 605-1 Covariante afleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605-2 Parallel transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625-3 Normale coordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635-4 Symmetrische connecties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635-5 Kromming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6 Metrieken 686-1 Algemeenheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686-2 Eigenschappen van de riemanntensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756-3 Uitgewerkte voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776-4 Geodetische afwijking en kinematische grootheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6-4.1 Geodetische afwijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826-4.2 Kinematische grootheden van een tijdachtige congruentie . . . . . . . . . . . . . 83

7 Hypervlakken 857-1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857-2 Intrinsieke kromming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867-3 Uitwendige kromming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877-4 Voorbeelden van hypervlakken in R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887-5 Orthogonale projector op een ruimteachtig hypervlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917-6 3+1 splitsing van de krommingstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8 Dualiteit 988-1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988-2 Bivectoren en dualiteit in een ruimte-tijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018-3 Maxwellveld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1058-4 Petrovclassificatie van de weyltensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

9 Isometrieen 1119-1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119-2 Isometrieen van de minkowskiruimtetijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1139-3 Maximaal symmetrische varieteiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

10 Beginselen en experimentele testen 11810-1 Beginsel van Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11810-2 Zwak Equivalentiebeginsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12010-3 Covariantiebeginsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12210-4 Einstein’s Equivalentiebeginsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12410-5 Sterk Equivalentiebeginsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

10-5.1 Metrische theorieen en het zonnestelsel: inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13110-5.2 Geval van gebonden beweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13310-5.3 Geval van ongebonden beweging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

10-6 Minimale koppeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13610-6.1 Testdeeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13610-6.2 Perfecte vloeistoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13710-6.3 Elektromagnetisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13710-6.4 Behoudswetten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

10-7 Correspondentiebeginsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13910-8 Veldvergelijkingen in de aanwezigheid van materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

10-8.1 Energievoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

ii

11 De veldvergelijkingen nader bekeken 14311-1 De lineaire benadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14311-2 Vlakke gravitatiegolven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14511-3 Structuur van de veldvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

11-3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14711-3.2 3+1 splitsing van de veldvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

12 Inleiding tot de kosmologie 15112-1 Standaard model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15112-2 Symmetrie en geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15312-3 Energie-impulstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16012-4 Veldvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16112-5 Oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

12-5.1 Niet-statische modellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

13 Enkele bijzondere oplossingen 16713-1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16713-2 Sferische symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16813-3 Schwarzschildoplossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16913-4 Eddington-finkelsteinmetriek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17413-5 Statische en sferisch symmetrische perfecte vloeistoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17613-6 FKS-extensie van de schwarzschildmetriek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18113-7 Conforme compactificatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18713-8 Reissner-nordstrøm-metriek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

1

Voorwoord

Praktische aspecten

• evaluatie: wekelijkse oefeningen (60%) + project (40%), geen examen. Het project houdt in datde student in de laatste lesweken 10 tot 30 bladzijden schrijft over een of ander onderwerp uiteen lijst die ter beschikking zal worden gesteld en dit mondeling verdedigt in de loop van deexamenperiode.

• Wat gaan we precies doen? Na een kort historisch overzicht, van de gelegenheid gebruik makendom links en rechts wat persoonlijke accenten te leggen op onderwerpen die te maken hebbenmet de fundamenten van de beperkte zowel als de algemene relativiteitstheorie en die –alhoewelop eerste zicht wat banaal lijkend– m.i. toch de moeite zijn om even te blijven bij stilstaan,behandelen we meer wiskundige aspecten. Een overlap met de cursus differentiaalmeetkunde ishierbij niet te vermijden. We maken u ook in enkele lessen wegwijs in het hanteren van Maple’sDifferentialGeometry-pakket en eindigen met wat extra mathematische beschouwingen over ex-acte oplossingen, zoals de Schwarzschild, Tolman-Oppenheimer-Volkow, Reissner-Nordstrom enKerr metriek, enkele kosmologische modellen en evt. de classificatie van de type D vacua.

• hulpmiddelen: literatuur (zie hieronder), Maple (DifferentialGeometry, difforms en –voor oudereversies– GRTensor), Reduce.

Naslagwerken

Deze cursus vereist enige voorkennis op het vlak van de differentiaalmeetkunde (minstens van opper-vlakken in R3) en van de klassieke tensorrekening. Een goede inleiding tot de differentiaalmeetkundeis het boek Introduction to Differential Geometry van Barrett O’ Neill.

Het boek dat zonder enige twijfel nog steeds de bijbel van de relativiteitstheorie mag genoemdworden is The large scale structure of space-time van Stephen Hawking en George Ellis (Cambridge1973). Hieruit zijn grote stukken zonder meer —en zonder al te veel schaamte— overgenomen.

Uitgebreide informatie over vrijwel elk onderwerp dat met A.R. verband houdt, is te vinden inGravitation van Misner, Thorne en Wheeler (Freeman 1973).

Bijzonder goed zijn ook General Relativity van Robert Wald (U. of Chicago Press 1984) en Advancedgeneral relativity van John Stewart (Cambridge 1991). De cursus loopt min of meer parallel met heteerste deel van beide werken. Het tweede deel bevat gevorderd materiaal, dat minder geschikt is bijeen eerste kennismaking, maar waaruit bepaalde onderwerpen kunnen geselecteerd worden voor heteindproject.

Een vlot leesbaar boek is ook Introducing Einstein’s Relativity van Ray d’Inverno (Clarendon 1992).d’Inverno neemt bewust afstand van de moderne geometrische aanpak en verkiest opnieuw de weg vande klassieke tensorrekening. Het boek is, als ’klassieke’ aanvulling op de modernere aanpak, zeker aante bevelen. Hetzelfde geldt voor A First Course in General Relativity (Cambridge 1985) van BernardF. Schutz en Relativity van Hans Stephani (Cambridge 2004). Een bondige (eveneens klassieke en

2

met soms nogal eigenzinnige conventies) inleiding tot de relativiteitstheorie wordt gegeven door JamesFoster en David Nightingale (A short course in general relativity, Springer 1994).

Meer fysisch georienteerde werken zijn Gravity van James Hartle (Addison Wesley 2003) en Gravi-tation and cosmology van Steven Weinberg (Wiley 1972). Dit laatste bevat een uitmuntende historischeinleiding en is een absolute klassieker voor wat betreft het onderdeel kosmologie (en opteert eveneensvoor de traditionele tensorrekening).

Wie een snelle en bondige introductie zoekt tot de meer mathematische aspecten van huidig on-derzoek in A.R., kan zich beperken tot de eerste hoofdstukken uit Exact solutions of Einstein’s fieldequations van Dietrich Kramer, Hans Stephani, Malcolm MacCallum en Eduard Herlt (Cambridge2003). Het grootste deel van dit boek is echter een encyclopedie van z.g. ‘algebraısch speciale’ oplos-singen.

Een recenter boek, waarin tal van technische details zijn uitgewerkt, is A Relativist’s Toolkit: TheMathematics of Black-Hole Mechanics van Eric Poisson (Cambridge 2004).

Enkele aanraders uit de oudere literatuur (helaas –met uitzondering van The Meaning of Relativ-ity– niet zo makkelijk meer te vinden):

R. Adler, M. Bazin en M. Schiffer Introduction to General Relativity (McGraw-Hill)J. Anderson Principles of Relativity Physics (Academic 1967)P. Bergmann Introduction to the Theory of Relativity (Prentice-Hall 1942)A. Einstein The Meaning of Relativity (Methuen 1922)V. Fock The Theory of Space-time and Gravitation (Pergamon 1964)L. Landau en E. Lifschitz The Classical Theory of Fields (Addison-Wesley 1962)C. Moller The Theory of Relativity (Oxford U.P. 1952)H. Robertson en T. Noonan Relativity and Cosmology (Saunders 1968)E. Schrodinger Space-Time Structure (Cambridge U.P.)J.A. Schouten Ricci Calculus (Springer 1954)J. Synge Relativity: the General Theory (North-Holland 1960)R. Tolman Relativity Thermodynamics and Cosmology (Clarendon 1934)H. Weyl Space-Time-Matter (Methuen 1922)De meeste van deze werken kunnen als djvu- of pdf-bestand aan de student ter beschikking worden

gesteld.

3

Hoofdstuk 1

Inleiding

1-1 De ruimtetijd van Aristoteles

Deze cursus is niet geschikt als leermateriaal voor een eerste kennismaking met AR: het publiek bestaatdoorgaans uit wiskundigen en natuurkundigen, die reeds enige vertrouwdheid hebben met differen-tiaalmeetkunde en die meestal ook reeds een inleidende cursus AR gevolgd hebben. Wiskundigenassocieren echter het concept van een differentiaalvarieteit doorgaans niet direct met de ruimtetijd(maar eerder met oppervlakken in R3, 3d varieteiten, liegroepen enz. al naargelang hun achtergrond):het is dus niet zo dwaas om even stil te staan bij het ruimtetijd concept zelf. Dit concept heeft eenlange geschiedenis achter de rug, al is het strikt gezien nog maar een jong begrip1. Het is echtereen enorm nuttig begrip, dat ons toelaat om een groot deel van de evolutie en de geschiedenis van denatuurkunde in een elegant kader te plaatsen en alzo de verborgen assumpties bloot te leggen die bij deopeenvolgende wereldbeelden passen.Uiteraard doen we hierbij de geschiedenis geweld aan en geven weaan de evolutie van de wereldbeelden, zoals in de volgende paragrafen kort geschetst, een logischer engestroomlijnder vorm dan in werkelijkheid het geval was (wat ertoe leidt dat sommige ontwikkelingenvandaag als “onvermijdelijk” bestempeld worden, terwijl ze dat helemaal niet waren).In eerste instantie bekijken we het concept van de aristoteliaanse ruimtetijd, een concept dat in iedersbrein vast gebetonneerd zit, zodanig zelfs dat het ook doorwinterde relativisten af en toe nog wel eensparten speelt. Ruimtetijd is eigenlijk2 niets anders dan de verzameling van gebeurtenissen, of events.Een event kunnen we ons voorstellen als een botsing tussen twee knikkers of een vingerknip. We zoudeneigenlijk moeten zeggen ‘ruimtetijd is de verzameling alle mogelijke events’ (hier en daar, gelijk waarin het heelal, inclusief alle voorbije events en alle toekomstige events).Gaan we ervan uit dat gebeurtenissen ‘ergens’ gebeuren en op een bepaald tijdstip (aangegeven dooreen familie van gesynchroniseerde klokken geplaatst in de corresponderende punten), dan kunen weevents schematisch voorstellen als punten in ‘ruimtetijddiagrammen’ (waarbij we doorgaans, bij gebrekaan plaats een van de drie ruimte-assen weglaten en waarbij de tijd-as vertikaal getekend wordt). Wenoemen de onderliggende wereldvisie op de ruimtetijd de aristoteliaanse visie: hierin bestaat dus een3-d foliatie van de ruimtetijd, samen met een geprefeerde familie van wereldlijnen, die toelaat om depunten in de verschillende bladen met elkaar te identificeren.

Visies (of modellen) zijn belangrijk omdat ze toelaten (en impliceren) om zinvolle vragen te stellen (watmen regelmatig vergeet is dat die vragen –en uiteindelijk ook onze experimenten– dus mee bepaaldworden door de visie en op zichzelf weinig of geen betekenis hebben).Zinvolle vragen die binnen de aristoteliaanse visie kunnen gesteld worden, zijn dan bv.

1daterend van 1908 n.a.v. het werk van H. Minkowski, dus na de publikatie in 1905 van de beperkte relativiteitstheorie2in eerste instantie ... later zullen we zien dat de ruimtetijd van de algemene relativiteitstheorie iets gecompliceerder

is

4

Hoever bevinden twee events zich van elkaar?Zijn deze twee events gelijktijdig?Gebeuren deze twee events op dezelfde plaats?Is dit deeltje in rust?Wat is de snelheid van dit deeltje?Beweegt dit deeltje sneller dan dat deeltje?

M.b.t. de eerste vraag merken we op dat ‘deeltjes’ eigenlijk niet ‘bewegen’ in de ruimtetijd maar inde ruimtetijd ‘zijn’: een deeltje is dus niets anders dan een kromme in de ruimtetijd: we noemen ditwereldlijnen3.Zo wordt een deeltje waarop geen enkele kracht werkt doorgaans voorgesteld door een rechte (hetbeweegt immers eenparig) en i.h.b. een deeltje in rust door een verticale rechte. Daarentegen wordtde baan van de aarde om de zon niet voorgesteld door een gesloten ellips, maar door een spiralerendekromme.Hoe wordt het licht voorgesteld in deze diagrammen? Stel u een flitslamp voor die op t = 0 in deoorsprong afgaat, dan verspreidt het licht zich als een sferische golf, m.a.w. 1 honderdduizendste sec-onde later wordt een sfeer met een straal van 3 km opgelicht, op t = 2 honderdduizendste seconde eensfeer met een straal van 6 km enz. In een ruimtetijd-diagram wordt 1 dimensie weggelaten, zodat desferische golffronten worden voorgesteld door cirkels die in de loop van de tijd uitdijen. De kegel dieop die manier ontstaat is wat we de lichtkegel noemen.

Het aristoteliaanse wereldbeeld zal de natuurkunde domineren tot en met Copernicus (1473–1573) enKepler (1571–1630). Stel nu dat u, ergens in outer space, een aristoteliaanse waarnemer bent. Steldat er iemand voorbij vliegt die achtereenvolgens (met dezelfde hand) twee vingerknippen geeft endat men u vraagt of die twee events al dan niet op dezelfde plaats gebeuren. Vanzelfsprekend is hetantwoord neen: de ene vingerknip gebeurt immers hier ... en de volgende vingerknip daar ... Stel unu echter een andere aristoteliaanse waarnemer voor, die in zijn eigen ruimtestation voorbijvliegt metdezelfde snelheid als de vingerknippende reiziger: voor deze aristoteliaanse waarnemer gebeuren beideevents duidelijk wel op dezelfde plaats! Er is dus niet een aristoteliaanse visie (onze persoonlijke),maar er zijn er verschillende! Dat geen enkele van deze visies op basis van experimenten de voorkeurkan krijgen is een van de grote bijdragen van Galileo Galilei (1564–1642).De aristoteliaanse visie bevat dus overtollige bagage voor een goede beschrijving van de ruimtetijd,onder de vorm van de verborgen assumptie dat er iets bestaat als ‘de plaats’ van een event.We vervangen daarom de aristoteliaanse visie door wat we noemen de Galileaanse visie.

1-2 De ruimtetijd van Galilei

Laten we verschillende families van aristoteliaanse waarnemers hun klokken synchroniseren door af tespreken om allemaal samen hun vingers te knippen op een gegeven tijdstip t = 0: we construeren alzoeen 3d oppervlak van events in de ruimtetijd, het ‘t = 0 oppervlak’. We kunnen hetzelfde doen op t= 1 enz, zodat de ruimtetijd als een boek kaarten wordt, van ‘gelijktijdigheidsoppervlakken’. Deeltjeswaarop geen krachten werken worden dan nog altijd voorgesteld door rechte lijnen doorheen dit boekkaarten, maar er is geen regel meer die zegt welk punt in de ene kaart overeenstemt met een punt ineen andere. Er is m.a.w. in de galileaanse visie wel een absolute tijd (de foliatie in bladen van ‘gelijketijd’ ), maar geen absolute ruimte. Willen we van de ene aristoteliaanse familie overgaan op de andere,dan komt dit neer op het geven van een verschuiving aan ons kaartenboek: de verschuivingsformulesdie dit voor ons doen zijn de galileitransformaties.

3in dit verband vermelden we Einstein’s opbeurende commentaar (1955) aan de familie van zijn pas overleden vriend,Michele Besso: ‘Now he has departed from this strange world a little ahead of me. That means nothing. People likeus, who believe in physics, know that the distinction between past, present, and future is only a stubbornly persistentillusion.’

5

Opnieuw kunnen we nu binnen de galileaanse visie een aantal zinvolle uitspraken maken, zoalsdeze twee events gebeuren op hetzelfde tijdstiper verlopen 10 seconden tussen deze twee eventsde afstand tussen deze twee gelijktijdige events bedraagt 10 cmdeze waarnemer beweegt met constante snelheid ( ... dit definieert de inertiaalwaarnemers)dit deeltje beweegt met een snelheid van 5m/s t.o.v. dat deeltjeF = GMm/r2 met r de afstand tussen gelijktijdige posities van zon en aarde)

Sommige uitspraken die zinvol waren in het aristoteliaanse kader zijn nu in het galileaanse kader zin-loos geworden, zoals

deze twee events gebeuren op dezelfde plaatsde afstand tussen twee willekeurige events bedraagt 10 cmdit deeltje is in rustdit deeltje beweegt met een snelheid van 5m/sdit deeltje beweegt sneller dan dat deeltje.

De galileaanse wereldvisie vormde het kader voor de klassieke mechanica: zo is het bestaan van eenklasse van inertiaalwaarnemers een van de hoekstenen van de Newtoniaanse mechanica, die gedurende200 jaar de natuurkunde zal regeren.Deze wetten waren wat men noemt ‘invariant’ onder de hoger vermelde galileitransformaties. Ditbeginsel speelt in de klassieke mechanica een fundamentele rol en werd het relativiteitsbeginsel genoemd.Een alternatieve formulering is dat er geen enkel mechanisch experiment bestaat dat toelaat om eentoestand van absolute rust te identificeren (terzijde weze opgemerkt dat Newton de fundamenten vanzijn theorie binnen het aristoteliaanse kader formuleert: reden was dat hij de inertiaalwaarnemers opeen operationele manier wou definieren, nl. door de afwezigheid kan krachten. Hierdoor raakt hij ineen vicieuze cirkel en wordt gedwongen om het bestaan van een absolute ruimte te postuleren).

1-3 De ruimtetijd van Minkowski

Problemen

In de tweede helft van de 19de eeuw begon er een haar in de soep te komen, in de vorm van hetelectromagnetisme: dit werd succesvol beschreven door de z.g. wetten van Maxwell, waarin snel-heidsafhankelijke krachten optraden (de lorentzkracht, een ketterij in het galileaanse beeld!) en dievoorspelden dat de snelheid van het licht –als electromagnetische golf die zich voortplantte in eenmysterieus medium dat men de ether noemde– onafhankelijk was van zijn bron (een hypothese diemen pas later zal kunnen testen aan de hand van waarnemingen van dubbelsterren4 en die pas in 1964met een hoge precisie zou bevestigd worden door de snelheid te meten van licht dat wordt uitgezondenals vervalproduct van pi-mesonen bewegend met een snelheid van 0.997c.De wetten van het electromagnetisme waren m.a.w. niet invariant onder de galileitransformaties en,aangezien er aanwijzingen waren dat de ether zich niet met de materie meebewoog (aberratie vanhet licht: net zoals men -ook bij vertikaal vallende regen- een paraplu schuin moet houden wanneermen er een snelle pas inzet, moet ook een telescoop lichtjes schuin gehouden worden om het effect tecompenseren dat veroorzaakt wordt door de beweging van de aarde), meende men dat het mogelijkmoest zijn om bv. de snelheid van de aarde te meten t.o.v. de ether. Pogingen in die zin (te beginnenmet Michelson & Morley in 1887) mislukten echter ...Er bestaat discussie over de vraag of Einstein al dan niet op de hoogte was van het M&M experiment:hij verwijst alleszins naar dergelijke experimenten in de openingsparagraaf van het 1905 artikel envermeldt het M&M experiment expliciet in 1931, vlak voor de dood van Michelson. Dat hij er minder

4Willem de Sitter 1913

6

belang aan hechtte kan wellicht verklaard worden door het feit dat het experiment ook op anderewijzen kon uitgelegd worden (zoals door Lorentz’ theorie). Ook de pogingen van o.a. Hertz om demaxwellvergelijkingen aan te passen zodat ze -net als de andere vergelijkingen van de mechanica-invariant werden onder de galileitransformaties liepen uit op een sisser en tegen de eeuwwisseling was dekwestie uitgegroeid tot een van de grote problemen van de fysica, waaraan verschillende ‘reuzen’ (zoalsHenri Poincare en Hendrik Antoon Lorentz) hun beste krachten wijdden en waarvoor een aantal ad hocoplossingen geformuleerd werden. Het populairst was Lorentz’ dualistische theorie waarin de ether deachtergrond was voor de electromagnetische velden, waarbij neutrale deeltjes gehoorzaamden aan dewetten van Newton en waarbij de maxwellvergelijkingen enkel geldig waren in een stelsel in rust t.o.v. deether. Het nul-resultaat van o.a. het M&M experiment kon binnen deze theorie verklaard wordend.m.v. de Lorentz-FitzGerald contractie van bewegende meetstaven (pas in 1932 zal het Kennedy-Thorndike experiment -een M&M versie met ongelijke armlengtes van de interferometer- aantonen datcontractie van de meetstaven alleen niet voldoende is, maar dat ook de door BR voorspelde tijdsdilatatiein acht moet worden genomen).Ook had Lorentz opgemerkt dat de maxwellvergelijkingen voor het electromagnetisme invariant warenonder een merkwaardig soort transformaties (achteraf door Poincare de lorentztransformaties gedoopt),waarvan de galileitransformaties de lage snelheidslimiet waren (dezelfde transformaties waren al eerderopgedoken als mathematische curiositeit in een behandeling van het Doppler-effect door WoldemarVoigt, 1887).

Einstein’s oplossing

Einstein’s artikel van juni 1905 houdt eigenlijk twee delen in: in het eerste (kinematische deel) con-strueert hij een nieuwe theorie die niet zozeer gericht was op het verklaren van de nieuwe observationelegegevens (zoals het M&M experiment), of die een nieuwe mechanica pretendeerde te zijn, of een nieuwetheorie voor het electromagnetisme, maar een nieuw wereldbeeld dat in korte tijd zou evolueren tothet kaderwerk waarin alle, nog te ontwikkelen, theorien van de twintigste eeuw een plaats zoudenvinden. In het tweede luik herformuleert hij de mechanica en electrodynamica, zo dat ze allebei opeen natuurlijke manier in het nieuwe kaderwerk passen.De nieuwe theorie (die zich reduceert tot de newtoniaanse mechanica in de lage-snelheidslimiet), gaatuit van twee postulaten. Het eerste postulaat eist dat de wetten van de fysica -nu echter zowel dezevan de mechanica als deze van het electromagnetisme- identiek zijn voor de inertiaalwaarnemers (hetz.g. relativiteitsbeginsel), waardoor een einde wordt gemaakt aan de eerder vermelde conflicten tussende mechanica en het electromagnetisme). Het tweede postulaat stelt dat de lichtsnelheid onafhankelijkis van zijn bron en dus, via het relativiteitsbeginsel, gelijk is voor alle inertiaalwaarnemers.Het eerste postulaat is een natuurlijke veralgemening van het gelijknamige relativiteitsbeginsel vanGalilei en Newton; het tweede postulaat is vreemd en lijkt op eerste zicht in tegenspraak met het eerste.Opdat deze twee met elkaar consistent zouden zijn moest er noodgedwongen gesleuteld worden aan deconcepten van ruimte en tijd, een proces waaruit o.a. opnieuw de lorentztransformaties zouden volgen,evenals de bijhorende vreemde verschijnselen zoals de Lorentz-FitzGerald contractie van meetstaven ende tijdsdilatatie (het feit dat bewegende klokken blijkbaar ‘trager’ tikken t.o.v. een stilstaande klok).Verschillende van de ideeen en resultaten die in de theorie voorkomen waren zoals gezegd reeds eerdergeformuleerd door Lorentz en Poincare: in ‘La mesure du temps’ (1898) stelde Poincare zich al vragenbij het concept van gelijktijdigheid en beide postulaten waren al, los van elkaar, door Poincare geopperdin 1904. Samen met het feit dat Einstein’s artikel vrijwel tegelijk verschijnt met Poincare’s uiteindelijkesynthese ‘Sur la dynamique de l’electron’- heeft dit tot enig dispuut geleid betreffende de originaliteitvan Einstein’s bijdrage. Zowel Poincare als Lorentz blijven echter tot in 1904 spreken over ‘lokale tijd’vs. klokken die de ‘echte tijd’ aangeven en die bv. toelaten om -op een absolute manier- over gelijktijdigegebeurtenissen te praten. Einstein bekijkt in Elektrodynamik bewegter Korper (juni 1905) de kwestieop een totaal nieuwe en veel diepgaander wijze, al liep de oplossing van het probleem niet van eenleien dakje: in zijn autobiografie schrijft hij dat hij volle zeven jaar met het probleem geworsteld had,maar dat hij, toen hij eenmaal inzag dat het het concept van gelijktijdigheid was dat de gordiaanse

7

knoop vormde voor het ganse kluwen, het probleem in vijf weken opgelost had. De cruciale assumptiedie in de galileaanse visie verborgen zit en die verantwoordelijk is voor de kaartenboek-structuur vande ruimtetijd is namelijk dat we onze klokken zonder meer kunnen synchroniseren (herinner u dat webegonnen zijn met te zeggen “laten we allemaal op een bepaald tijdstip in onze vingers knippen” ...)!

Meetstokken en klokken

We bekijken daarom metingen in de ruimtetijd van wat naderbij. We zullen daarbij niet de weg van1905 volgen, maar we geven een meer gestroomlijnde voorstelling, die achteraf bijna onvermijdelijkook tot AR zal leiden. We beginnen met meetstaven overboord te zetten, en wel om drie redenen:ten eerste zijn (zelfs geıdealiseerde 1 dimensionale meetstaven) vanuit ruimtetijd standpunt gezienerg gecompliceerde 2-dimensionale objecten, waarvan het gebruik het gelijktijdigheidsconcept lijkt tevereisen en ten tweede is het concept van ‘lengtemeting op een gegeven tijdstip’ al evenzeer moeilijkte verwezenlijken: je moet de ene kant van de stok hier leggen (op jouw wereldlijn) en vervolgensmoet je over een of ander mechanisme beschikken om de aflezing aan de andere kant naar je toete verzenden (aangezien je bezwaarlijk je eigen wereldlijn kan verlaten door naar de andere kant telopen). Veel eenvoudiger is het om enkel gebruik te maken van ‘klokken en spiegeltjes’. De klokken zijngeıdealiseerde klokken, allemaal werkend volgens hetzelfde fysische principe en komende uit dezelfdefabriek, die allen op hun wereldlijn ‘hun’ tijd aangeven. Natuurlijk mogen we niet zo maar om het evenwat over de klokken veronderstellen. Bekijken we b.v. twee klokken A en B die zich langs verschillendebanen van p naar q bewegen, dan zou de veronderstelling dat ∆tA = ∆tB toelaten om, na keuze vaneen willekeurige oorsprong A, de ruimtetijd opnieuw op een invariante manier op te delen in 3-d vlakkenvan ‘gelijke tijd’. Dit wordt niet alleen tegengesproken door experimenten, maar bovenal stelt zich devraag waarom we deze hypothese zonder meer zouden slikken? We zullen wel veronderstellen dat deklokken voldoen aan een ‘consistentievoorwaarde’, in de zin dat de kloksnelheid onafhankelijk is van devoorgeschiedenis van de klok: klokken die, wanneer samengebracht, even snel lopen en vervolgens eenverschillende geschiedenis doorlopen, tonen na samenbrenging eventueel een verschillende tijd, maarlopen terug even snel. Klokken zijn dus vanuit ruimtetijd standpunt gezien 1-dimensionale objecten,die op hun wereldlijn niets anders doen dan een serie getalletjes produceren. Op de derde redenkomen we later terug (Einstein’s vaste meetstaven zijn geen vaste lichamen!). De spiegeltjes dienenenkel om lichtstralen te reflecteren, zodat we afstanden kunnen meten d.m.v. de tijd die het lichtnodig heeft om heen en weer te reizen. Dit is trouwens in overeenstemming met de manier waarop(sedert 1983) de ‘meter’ gedefinieerd wordt (nl. als de afstand door het licht afgelegd in 1/299792458seconde). Deze herdefinitie van de meter (als zijnde de lengte van de Pt-Ir-staaf opgeborgen in dekluizen van het Parijse Bureau Internationale des Poids et Mesures) is trouwens om ongeveer dezelfderedenen uitgevoerd als de vervanging van de oorspronkelijke meter (gebaseerd op 1/40000 van delengte van de meridiaan van Parijs) door de Pt-Ir-staaf: de tweede was in tegenstelling tot de eersteveel makkelijker te reproduceren! Omdat de meetstaaf echter onderhevig was aan omgevingsinvloeden,moesten de meetomstandigheden nauwkeurig gepreciseerd worden, wat aanleiding heeft gegeven totachtereenvolgende aanpassingen (een eerste maal in 1889 en een tweede maal in 1927): in essentie wasde meter tot op dat ogenblik dus een veelvoud van de bohrstraal, h2/me2. In 1960 werd beslist demeter te baseren op de golflengte van het oranje-rode licht van Kr-86 (zodat hij voortaan bepaald werd,via de rydbergconstante, als een veelvoud van h3/me4). T.g.v. de hogere nauwkeurigheid waarmee deseconde kon worden gedefinieerd5 en de betere reproduceerbaarheid van een lengte-eenheid gebaseerdop een tijdseenheid, werd in 1983 uiteindelijk beslist om de meter te definieren a.d.h.v. de lichtsnelheidin vacuum.Het eerste BR-artikel wordt nog op 27 september gevolgd door een korte aanvulling van drie bladzijden-niet veel meer dan een voetnoot- ‘Ist die Tragheit eines Korpers von seinem Energieinhalt abhangig?’waarin E = mc2 prijkt en waarmee de geschiedenis voorgoed zou veranderen. Experimentele beves-tiging van E = mc2 komt er pas in 1916 d.m.v. de experimenten van Guye en Lavanchy waarbij de

5een caesiumklok is bovendien in principe bestand tegen versnellingen van 1022g

8

massa van hoge-snelheid-electronen gemeten werd a.d.h.v. hun afbuiging in een magneetveld. Soort-gelijke bevestiging gebeurt tegenwoordig dagelijks bij het onderzoek van het gedrag van elementairedeeltjes in deeltjesversnellers: het spectaculairst zijn de annihilatie-experimenten, waarbij de energievan bv. een positron en een electron bij botsing volledig wordt omgezet in gammastraling.

De naam ‘relativiteitstheorie’ kwam in het juni-artikel nog niet voor (al sprak Einstein al wel van hetRelativPrinzip). Het was Max Planck die in 1906 naar de theorie verwees als de ‘RelativTheorie’, eenbenaming die door Einstein in 1907 werd overgenomen. Pas in 1915 zou hij naar de theorie verwijzenals de ‘Speciale Relativiteitstheorie’ (of de Beperkte) om het onderscheid te maken met de latereAlgemene Theorie: in de beperkte theorie heeft b.v. het relativiteitsbeginsel enkel betrekking op dez.g. inertiaalwaarnemers. BR is ondertussen met zeer hoge precisie geverifieerd en is niet meer weg tedenken uit de theoretische fysica.

1-4 Het equivalentiebeginsel

De twee BR artikels waren nog maar het begin, want al snel begint Einstein pogingen te onderne-men om ook gravitatie in de theorie in te bouwen. Een eerste steen daartoe wordt gelegd in 1907met het z.g equivalentiebeginsel, dat hij later ‘der glucklichste Gedanke meines Lebens’ zal noemen.Dit zou uiteindelijk na 10 jaar zwoegen leiden tot zijn meesterwerk en de parel aan de kroon, de al-gemene relativiteitstheorie: deze theorie ziet uiteindelijk het licht in november 1915: Zur allgemeinenRelativitatstheorie ... , in 1916 gevolgd door het overzichtsartikel in de Annalen der Physik.Wat was nu precies het probleem met gravitatie? Waarom kon de tweede wet van Newton (kracht =massa × versnelling) niet zonder meer, net zoals de wetten van het electromagnetisme, in de vorm vande 1905 theorie gegoten worden? Het probleem lag bij de inertiaalwaarnemers:Laten we voor de eenvoud onderstellen dat een waarnemer in rust op aarde een inertiaalwaarnemer isin Newtoniaanse betekenis. Proberen we ons nu ergens anders in het heelal, maar ver verwijderd vanalle mogelijke graviterende objecten, een waarnemer voor te stellen die zich in een ruimteschip bevindtdat onderhevig is aan een versnelling van 1 g. Wanneer we deze waarnemer dezelfde experimentenlaten uitvoeren, dan zullen we vaststellen dat de notities van beide exact overeenkomen. M.a.w. geenenkel experiment laat ons toe om (binnen een afgesloten labo) een onderscheid te maken tussen deNewtoniaanse inertiaalwaarnemer in een gravitatieveld en de Newtoniaanse eenparig versnelde waarne-mer in afwezigheid van gravitatie (alternatief experiment: wat gebeurt er met een pingpongballetjein een vallende emmer water?) en Einstein beseft dat daarmee het concept van de Newtoniaanseinertiaalwaarnemer elke betekenis verliest! Dat er inderdaad geen enkel experiment bestaat dat eenonderscheid tussen beide omstandigheden kan maken, is een merkwaardig feit, waarover ook Newtonzich al gebogen had (hij wijdde er zelfs de openingsparagraaf van de Principia aan) en dat teruggaat totde eigenschap dat de ‘inertiemassa’ (dit is de massa die optreedt in het massa × versnelling rechterlidvan Newton’s derde wet) van een voorwerp precies gelijk is aan zijn ‘gravitationele massa’ (de massadie optreedt in het linkerlid, wanneer we als kracht de gravitatiekracht m × g beschouwen). Als deverhouding van beide massa’s constant is, dan is natuurlijk a = g en bekomen we als resultaat datde valbeweging van een object onafhankelijk is van zijn samenstelling - een eigenschap die reeds doorGalilei getest was met behulp van valexperimenten6. Newton zelf had de gelijkheid van mi en mg reedsgetest met een nauwkeurigheid van ongeveer 10−3, gebruik makend van metingen van de periode vaneen slinger waaraan holle (om het effect van de luchtweerstand identiek te houden) gewichten van eenverschillende samenstelling bevestigd waren, maar tegen het einde van de 19de eeuw was Lorand vonEotvos er in geslaagd de gelijkheid te testen met een precisie van 10−8 (dankzij Charles Vernon Boyce’skwartsdraden met een dikte van 2 10−3 mm en 9 m lengte!). Einstein ziet reeds in 1907 in dat achter degelijkheid van deze twee –op eerste zicht aan elkaar vreemde concepten– iets diepers schuilgaat en ver-heft dit ogenschijnlijk onschuldige experimenteel gegeven tot een onwrikbaar beginsel van zijn nieuwe

6dat hij het experiment vanop de toren van Pisa daadwerkelijk zou uitgevoerd hebben, staat niet met zekerheid vast

9

theorie. Hij postuleert dat er geen enkel experiment (niet alleen mechanisch) bestaat dat lokaal eenonderscheid zou kunnen maken tussen gravitatie en versnelling en noemt dit het equivalentiebeginsel.Met dit principe, dat tegenwoordig geverifieerd wordt met een nauwkeurigheid van 10−13, wordt eigen-lijk de algemene relativiteitstheorie geboren. Einstein was op basis van enkel dit inzicht al in staat omin een vroeg stadium voorspellingen te maken over de gravitationele roodverschuiving, die zegt datde golflengte van licht dat uit een gravitatiepotentiaal klimt (en bv. van een ster naar ons toekomt)zal groter worden. Een gelijkaardig fenomeen is dat klokken in een gravitatieveld ‘trager gaan lopen’(zie p.128 voor de correcte interpretatie van deze populaire, maar betwistbare, uitspraak). De rood-verschuiving werd voor het eerst bevestigd in het experiment van Pound & Rebka (Harvard, 1960) enPound & Snider (1964); de gravitationele ‘klokvertraging’ werd eveneens bevestigd in het experimentvan Hafele & Keating; een van de nauwkeurigste bevestigingen van de ‘klokvertraging’ wordt geleverddoor het Vessot-Levine experiment (1976) waarbij een raket tot op een hoogte van 10000 km gebrachtwerd, waarna een H-maser-klok in de raket vergeleken werd met een gelijkaardige H-maser op aarde;het effect speelt trouwens een belangrijke rol -belangrijker zelfs dan de corresponderende beperkt rela-tivistische correctietermen- in plaatsbepaling d.m.v. een GPS). Op basis van het equivalentiebeginselalleen probeert Einstein ook reeds een voorspelling te maken van de afbuiging van het licht nabij dezon7: gelukkig bestonden er toen nog geen experimentele gegevens, want hij zat er 50% naast: deandere helft van de afbuiging, die door Eddington in 1919 zal waargenomen worden, is te wijten zijnaan de kromming van de ruimte, en daarmee was Einstein in 1907 nog lang niet klaar!

1-5 Gekromde ruimten

Riemann

Waarom duurt het van 1907 tot 19158 vooraleer de theorie haar finale vorm krijgt? Wel, er wasnatuurlijk een probleem met dat nieuwe beginsel, dat zei dat alle wetten van de fysica er hetzelfdemoeten uitzien voor alle waarnemers: een testdeeltje in een gravitatieveld (of zelfs voor een versneldewaarnemer) beweegt nu eenmaal ‘duidlijk’ anders dan een testdeeltje in de afwezigheid van gravitatie.Willen we dat beide deeltjes op zoiets als ‘een rechte’ bewegen, dan moeten we sleutelen aan degeometrie van ruimte en tijd. Maar daarmee moest Einstein opboksen tegen de intuıtie dat ruimte (ofruimtetijd) ‘vlak’ waren, een intuıtie die er bij iedereen -ook bij hemzelf- diep ingeprent zat.Natuurlijk wisten wiskundigen op het einde van de 19de eeuw al lang dat er naast de bekende vlakkemeetkunde van Euclides nog andere meetkundes bestonden. Gauß, Bolyai en Lobachevsky haddenal in de eerste helft van de 19de eeuw aangetoond dat er wel degelijk andere meetkundes mogelijkwaren, waarin het vijfde postulaat van Euclides niet geldig was, terwijl Bernhard Riemann in 1854had aangetoond dat begrippen als punten, rechten en vlakken zelfs niet nodig zijn om meetkunde tebedrijven: het volstond te beschikken over abstracte objecten (zgn. manifolds of differentiaalvarieteiten,‘mehrfach aussgedehnte Grossen’) die op bepaalde wijze te associeren zijn aan n-tupels van reelegetallen en voozien zijn van iets wat een ‘metrische structuur’ werd genoemd.Riemann boog zich nu niet alleen maar over mathematische abstracties, maar ook over de fysischeruimte als arena voor fysische objecten en bewegingen. Riemann’s Raum was van vlees en bloed, hetwas ‘der Raum’! Dit blijkt duidelijk uit de lezing (Uber die Hypothesen welche der Geometrie zuGrunde Liegen) die hij in 1854 gaf n.a.v. zijn Habilitation aan de universiteit van Gottingen, waarinhij o.a. de vraag stelt hoe we kennis kunnen verwerven over de ware geometrie van de ruimte. Hierzien we de kiem van een nieuwe gedachte ontstaan, namelijk dat meetinstrumenten wel eens eenontologische rol zouden kunnen spelen bij het bepalen van de geometrie van de ruimte! Hiermee gingRiemann lijnrecht in tegen de tot dan gangbare opvattingen. Over de fysische ruimte bestond er in de19de eeuw immers weinig twijfel. Er mochten dan misschien wel alternatieve wiskundige meetkundesbestaan, maar m.b.t. de fysische ruimte heerste nog steeds het standpunt dat de ruimte een container

7dit effect was op basis van een corpusculair lichtmodel al eerder voorspeld door Soldner in 18818de uiteindelijke versie van de veldvergelijkingen ziet pas het licht in Einstein’s vierde lezing in de Pruissische

Academie, op 25.11.1915

10

is voor fysische objecten en een podium waarop het schouwspel van de fysica zich afspeelt. Beidecontainers, Ruimte en Tijd, beschikten elk over een intrinsiek metrische structuur (de euclidische) dieniet afhangt van het al dan niet bestaan van goede meetstaven en klokken. Meetinstrumenten speeldenvolgens deze doctrine dus hooguit een epistemologische rol bij het bepalen van deze structuur!

von Helmholtz en Poincare

Riemann sterft echter aan tuberculose in 1866 en twee jaar na zijn dood verschijnt er een ander werkop het Europese podium, van de hand van Hermann von Hemholtz. De titel zegt genoeg: ‘Uberdie Thatsachen die der Geometrie zu Grunde Liegen’ en de gevolgen zullen tot in het begin van de20ste eeuw voelbaar blijven . Von Hemholtz had een merkwaardige carriere doorlopen: hij heeft eerstgeneeskunde gestudeerd en is begonnen als chirurg in het Pruisische leger, waar zijn belangstellingvoor wetenschappelijk onderzoek vorm kreeg. Vervolgens doceerde hij anatomie in Heidelberg, waarhij met ‘Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage fur die Theorie der Musik’de grondslag legt voor de psycho-acoustiek en als eerste een fysische onderbouw formuleert voor demuziektheorie. Een ander standaardwerk, waarin we de fundamenten herkennen van zijn later ge-ometrisch werk, is het Handbuch der Physiologischen Optik. Vervolgens wordt hij professor fysica inBerlijn, waar hij o.m. als studenten Planck, Hertz en Eotvos heeft. Helmholtz was een intellectuelereus en als hij sprak werd er geluisterd ... In de ‘Tatsachen’ vertrekt hij van het standpunt (ook doorRiemann en later door Einstein benadrukt) dat vrij transporteerbare meetstaven inderdaad nodig zijnom metrische relaties te kunnen definieren en verheft de vaste meetstaaf daarmee tot een Kantiaans apriori. Vervolgens toont hij hoe uit het bestaan van dergelijke objecten een geometrie volgt waarvan dekromming in elk punt constant is! Het uitgangspunt van Helmholtz’ bewijs, nl. de vrije transporteer-baarheid van driedimensionele vaste meestaven, was fout, maar het gewicht van zijn argumenten is zogroot dat vrijwel iedereen er in het eerste decennium van de 20ste eeuw van overtuigd blijft dat de‘ware geometrie’ van de ruimte de euclidische is.Deze indruk wordt vreemd genoeg versterkt vanuit een totaal andere invalshoek, namelijk de conven-tionalistische school van Poincare, die de zinledigheid van de ‘ware geometrie’ benadrukt, zolang wedeze loskoppelen van de noodzakelijke afspraken (conventies) m.b.t. de gebruikte meetinstrumenten.Ook Einstein is zich bewust van de conventionele geladenheid van zijn ‘vaste meetstaven’ en ‘ide-ale klokken’, maar Poincare gaat een stap verder door te poneren dat natuurkundigen altijd gebruikzouden kunnen maken van de euclidische meetkunde (i.e. van een vlakke achtergrondgeometrie) doorhun meetinstrumenten op de gepaste manier aan te passen.

Einstein poogt, net als vele anderen in die zelfde periode, eerst om een gravitatietheorie te construerenop een vlakke achtergrondgeometrie, maar beslist uiteindelijk, na een lange zoektocht, om het gravi-tatieveld te identificeren met de metrische structuur van de ruimtetijd, waarvan de eigenschappen teontdekken zijn door gebruik te maken van ideale (1-dimensionele!) vrij transporteerbare meetstavenen klokken. Tegenwoordig worden meetstaven geweerd uit de fundamenten van de theorie: zoals eerderbeschreven volstaat het om enkel klokken te gebruiken, in combinatie met een aantal aannames betre-ffende het gedrag van lichtsignalen. Kort samengevat komt het er op neer dat de causale structuur (de‘lichtkegelstructuur’) van de ruimtetijd de metriek bepaalt op een conforme factor na. Deze conformefactor kan vervolgens in elk punt bepaald worden d.m.v. een –bij conventie aangenomen!– vrij trans-porteerbare tijdseenheid (geleverd door een ideale klok). Als alternatief kan de conforme factor ookbepaald worden (zonder op ideale klokken te steunen!) door te eisen dat geprefereerde families vanwereldlijnen (namelijk van de vrij vallende neutrale, niet-roterende testdeeltjes) op geodeten bewegen(Ehlers, Pirani, Schild 1972).

Doorbraak

De theorie was niet meteen een succes, in de eerste plaats omdat ze haar tijd ver vooruit was enomdat er experimenteel nauwelijks ondersteuning voor bestond. In 1916 werden er drie voorspellingen

11

door de theorie gemaakt: 1) de z.g. gravitationele roodverschuiving of vertraging van klokken in eengravitatieveld (zie hoger), waarvoor de benodigde technieken in 1916 volslagen ontoereikend waren 2)de z.g. precessie van de baan van Mercurius met een snelheid van 43” per eeuw, een resultaat datperfect klopte met het kleine deficit dat astronomen bleven waarnemen na aftrek van alle mogelijkeinvloeden van bekende planeten, maar dat ook kon verklaard worden door het invoeren van nieuweobjecten in het zonnestelsel en 3) de voorspelling dat lichtstralen in hun baan nabij de zon zouden wor-den afgebogen, waarvoor evenmin enige bevestiging bestond (het betrof slechts een hoekje van 1.75”).Een obstakel voor de verspreiding van de nieuwe theorie was ook het feit dat Einstein in 1916 aan deverkeerde kant van de frontlinie zat. Internationale wetenschappelijke contacten stonden op een laagpitje, tijdschriften werden niet meer naar Duitsland verzonden, Duitse en Oostenrijkse onderzoekerswaren van de ledenlijsten geschrapt van bv. de Royal Society enz. Vanuit het neutrale Nederland zendtechter Willem de Sitter, die later een belangrijke rol zal spelen in de kosmologische toepassingen vanAR, een kopie van zijn versie naar zijn vriend Arthur Eddington, hoofd van het Cambridge Obervatory.Eddington was niet alleen een van de weinige astronomen die toen vertrouwd waren met de differen-tiaalmeetkunde, maar was bovendien Quaker en pacifist (hij belandt in 1918 bijna in de gevangeniswegens dienstweigering) en overtuigd van de rol die de wetenschap kon spelen bij het helen van deoorlogswonden. Hij realiseerde zich dat er een zonsverduistering op komst was (29 mei 1919) waarbijde zon zich vlak voor de Hyades sterrencluster zou bevinden, wat een nauwkeurige fotografering vanhet door Einstein voorspelde effect kon mogelijk maken. Er vertrokken twee expedities: Eddingtonnaar Principe (W. Afrika) en Crommelin naar Sobral (Brazilie), waarbij de metingen van de laatstemislukten t.g.v. een optisch defect in de telescopen. Eddington’s waarnemingen klopten echter perfectmet de voorspelling van AR en het was met het nodige gevoel voor drama dat hij op 6 november 1919in het tot de nok gevulde gebouw van de Royal Society op Picadilly kon aankondigen dat zijn expeditiede cruciale test tussen Newton en Einstein had beslecht in het voordeel van Einstein. Voor de na-oorlogse media was het aangekondigde nieuws van deze Duitse wetenschapper, wiens theorie bevestigdwerd door een Brit, een ideale kluif en van de ene dag op de andere wordt Einstein gekatapulteerdtot internationale beroemdheid en krijgt hij voorgoed het aureool dat hem vandaag nog steeds omringt.

Ondanks het wereldwijde succes van 1919 zou de algemene theorie stagneren na 1920. Reden is zondermeer dat met AR Einstein zijn tijd ver vooruit was en het zou tot ongeveer 1960 duren vooraleer zenieuw leven wordt ingeblazen door een ganse reeks van nieuwe precisie-experimenten en door allerhandetheoretische ontwikkelingen.

12

Hoofdstuk 2

Beperkte Relativiteitstheorie

2-1 Inleiding

Terugkijkend op de geschiedenis van de relativiteitstheorie, de beperkte zowel als de algemene, zijnwe vandaag vooral onder de indruk van de elegantie van de algemene theorie, die ontegensprekelijkEinstein’s grootste intellectuele tour de force blijft. Sommige auteurs gaan echter verder en latendoorschemeren dat de geboorte van de beperkte theorie, in tegenstelling tot de algemene theorie, eenhistorisch onvermijdelijke ontwikkeling was binnen de natuurkunde, die ook wel zonder Einstein totstand zou zijn gekomen. Ik ben het hiermee niet helemaal eens. De conceptuele sprong van een posi-tief definiete metriek naar een niet-positief-definiete is m.i. van een fundamenteel andere aard dan deveralgemening van een lokaal vlakke naar een lokaal gekromde ruimte.

Wat was er aan de hand? Op het einde van de 19de eeuw werd de newtoniaanse mechanica met zwareproblemen geconfronteerd. De in 1864 door Maxwell opgestelde vergelijkingen voor het elektromag-netisme1,

∇. ~E =4πρ,

∇. ~H =0,

∇× ~E =− 1

c

∂ ~H

∂t,

∇× ~H =1

c(∂ ~E

∂t+ 4π~j), (2-1.1)

waren niet invariant onder de galileitransformaties, zodat Maxwell’s theorie van het elektromagnetismeonverenigbaar leek met het relativiteitsbeginsel. Dit beginsel zegt dat de wetten van de fysica vooralle inertiele waarnemers identiek moeten zijn: Einstein zag in dat deze schijnbare onverenigbaarheidverband hield met een derde —verborgen en algemeen aanvaarde— hypothese, namelijk dat het mo-gelijk is om van elk tweetal gebeurtenissen te beslissen of ze al dan niet gelijktijdig zijn. Dit genialeinzicht kan pas ten volle geapprecieerd worden, als we in gedachten houden dat op dat ogenblik hetminkowskiaanse wereldbeeld nog totaal afwezig was. We beginnen daarom met een overzicht van debeperkte theorie, zonder ab initio te vertrekken met de structuur van een 4-dimensionale minkowskiruimtetijd. We zullen proberen om aan de hand van enkele eenvoudige gedachtenexperimenten dezestructuur (i.h.b. de lorentztransformaties) terug op te bouwen. Terzijde merken we op dat reeds in

1in gauß-cgs eenheden

13

1881 door Voigt een stelsel van transformaties ontdekt werd,

t′ =(t− vx

c2)/

√

1− v2

c2,

x′ =(x − vt)/

√

1− v2

c2,

y′ =y,

z′ =z, (2-1.2)

waaronder Maxwell’s vergelijkingen wel invariant waren! Dit stelsel van transformaties werd in het be-gin echter bekeken als een mathematische curiositeit en kreeg slechts achteraf zijn huidige respectabelestatus, na geevolueerd te zijn tot een van de mathematische fundamenten van de relativiteitstheorie.In plaats van dus aan de maxwellvergelijkingen te sleutelen en ze aan te passen aan het galileiaansewereldbeeld, zette Einstein dit wereldbeeld opzij en gaf Maxwell’s elektrodynamica een sleutelpositiein de nieuwe theorie. Aan de basis van de theorie lag het relativiteitsbeginsel :

1. de wetten van de dynamica, zowel als van het elektromagnetisme, nemen dezelfde vorm aan vooreen gepriviligieerd stelsel van waarnemers, de z.g. inertiele waarnemers

2. de snelheid van het licht in vacuum is dezelfde voor alle inertiele waarnemers2.

In wat volgt leggen we de nadruk op een aantal theoretische aspecten van de beperkte theorie, die inde rest van de cursus nog aan bod komen. Er wordt niet ingegaan op experimenten (Michelson-Morley,...) of fysische effecten (Doppler, aberratie, Compton,...), die enerzijds voldoend gekend zijn uit decursussen natuurkunde en anderzijds ook van weinig belang zijn voor de hierop volgende hoofdstukken.

2-2 Lorentztransformaties

Laten we twee inertiele waarnemers A en A′ bekijken, uitgerust met identieke klokken, waarbij A′

zich met constante snelheid v verplaatst langs de x-as van A. Beide waarnemers synchroniseren hunklokken, zodat t = t′ = 0 op het ogenblik dat ze samenvallen.3

Veronderstel nu dat A op tijdstip t1 een lichtsignaal zendt naar A′: A′ ontvangt dit op t2′ en zendt

het terug naar A, die het gereflecteerde signaal ontvangt op t3. Omwille van de symmetrie van hetexperiment (elke waarnemer ziet de andere zich met dezelfde snelheid verwijderen en de lichtsnelheid isvoor beide waarnemers gelijk) moet een functie f bestaan zodat t2

′ = f(t1) en t3 = f(t2′), m.a.w. f

f(t1) = t3. Kent nu A aan de gebeurtenis, of event, P de coordinaten (t, x) toe, dan is t1 = t − xc =

t(1− vc ) en t3 = t+ x

c = t(1 + vc ), zodat met de constante k gedefinieerd door

k =

√

1 + v/c

1− v/c(2-2.1)

voor alle t1 geldt datf f(t1) = k2t1 (2-2.2)

Men kan aantonen dat de enige oplossing van deze functionele vergelijking (voor continu differentieer-bare f) gegeven wordt door

f(t) = kt, (2-2.3)

2te motiveren a.d.h.v. het experiment van Albert Michelson en Edward Morley 1887; een moderne versie (Brillet enHall 1978) maakt gebruik van een He-Ne laser en een staande golf in een caviteit: de newtoniaanse additiewet van desnelheden zou een frequentieverschil ∆ν/ν ≈ 10−8 moeten geven, wat schril afsteekt tegen het experimentele resultaat∆ν/ν ≈ (1.5± 2.5)10−15 !

3De hier gevolgde manier om de lorentztransformaties te introduceren is te danken aan G.J. Whitrow en werd vooralgepopulariseerd door H. Bondi.

14

A

A’

p

t3

t’2

x=x’=t=t’=0

t1

Figure 2.1:

Oefening: bewijs dit!

Beschouwen we vervolgens een gebeurtenis E die niet gelegen is op de wereldlijn van A of A′: A enA′ kennen door middel van lichtsignalen, uitgezonden en ontvangen op de respectievelijke tijdstippent − x/c, t + x/c, t′ − x′/c, t′ + x′/c, aan E de coordinaten (t, x) resp. (t′, x′) toe. Zoals hiervooraangetoond, geldt dan

t2′ ≡ t′ − x′/c = k(t− x/c) ≡ kt1,

t3 ≡ t+ x/c = k(t′ + x′/c) ≡ kt3′, (2-2.4)

waaruit we, m.bv. 2-2.1 de 1+1 dimensionale lorentztransformaties bekomen:

t′ =t− vx/c2√

1− v2/c2,

x′ =x− vt

√

1− v2/c2. (2-2.5)

Noteer dat de inverse transformatie van 2-2.5 gegeven wordt door v te vervangen door −v en dat voor|v| << c de galileitransformaties (t′ = t en x′ = x− vt) bekomen worden.Vanaf nu werken we in eenheden waarvoor c = 1 en stellen we γ = (1− v2)−1/2. Er geldt dan

t′ =γ(t− vx),

x′ =γ(x− vt). (2-2.6)

Het is duidelijk dat deze transformaties een 1-parameter-groep vormen. Immers, als

t′ − x′ =k12(t− x),

t′ + x′ =k−112 (t+ x)

15

A A’

E

t+x/c

t’+x’/c

t’-x’/c

t-x/c

Figure 2.2:

en

t′′ − x′′ =k23(t′ − x′),

t′′ + x′′ =k−123 (t

′ + x′),

dan is

t′′ − x′′ =k13(t− x),

t′′ + x′′ =k−113 (t+ x),

metk13 = k12k23. (2-2.7)

Hiermee bekomen we onmiddellijk de additiewet van snelheden: stellen we kij =√

1+vij1−vij

enz. , dan

volgt dat

v13 =v12 + v231 + v12v23

. (2-2.8)

Tevens volgt uit t′ − x′ = k(t− x), t′ + x′ = k−1(t+ x), y′ = y en z′ = z dat de uitdrukking

− t2 + x2 + y2 + z2 (2-2.9)

dezelfde is voor alle inertiele waarnemers F en F ′, die op t = t′ = 0 samenvallen op x = x′ = 0 en diet.o.v. elkaar eenparig bewegen langs de x-as. Vermits echter x2 + y2 + z2 invariant is onder rotaties, isdit te veralgemenen tot willekeurige inertiele waarnemers die op t = t′ = 0 samenvallen. We noemendaarom 2-2.9 een lorentzinvariant : als twee inertiele waarnemers, die op t = t′ = 0 samenvallen, aaneen gebeurtenis E de coordinaten (t, x, y, z), resp. (t′, x′, y′, z′) toekennen, dan geldt dat

− t2 + x2 + y2 + z2 = −t′2 + x′2+ y′

2+ z′

2. (2-2.10)

16

We beschouwen vervolgens waarnemers A en A′, met wereldlijnen die mekaar niet noodzakelijk snijdenop t = t′ = 0, en die aan twee gebeurtenissen E1 en E2 coordinaten (t1, x1, y1, z1), (t2, x2, y2, z2)resp. (t′1, x′1, y′1, z

′1) en t

′2, x

′2, y

′2, z

′2 toekennen. Door middel van translaties van de oorsprong zijn

deze waarnemers te associeren met waarnemers A1 en A2, die aan E1 en E2 de coordinaten (0, 0, 0, 0),t2 − t1, x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1 resp. (0, 0, 0, 0) en (t′2 − t′1, x′2 − x′1, y′2 − y′1, z

′2 − z′1) toekennen,

zodat t.g.v. voorgaande opmerking

− (t2 − t1)2 + (x2 − x1)

2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)

2

=− (t′2 − t′1)2 + (x′2 − x′1)

2 + (y′2 − y′1)2 + (z′2 − z′1)

2(2-2.11)

een invariant is voor alle inertiele waarnemers.De invariant 2-2.11 heeft dus een duidelijke fysische betekenis:

de eigentijd ∆τ verlopen tussen de gebeurtenissen E1 en E2 is precies de tijd aangeduid door de klokvan een inertiele waarnemer F (die zijn klok zo heeft afgesteld dat t = 0 in E1) op het ogenblik dathij samenvalt met E2:

∆τ2 = ∆t2 −∆x2 −∆y2 −∆z2. (2-2.12)

2-3 Minkowskidiagrammen

Uit vorige paragraaf volgt dat het oppervlak4

− t2 + x2 + y2 + z2 = 0 (2-3.1)

een belangrijke rol speelt in de beperkte relativiteitstheorie. Dit is de z.g. lichtkegel in de oorsprong Oen is de verzameling van de punten die uit O bereikbaar zijn m.bv. lichtsignalen (immers licht heeftsnelheid 1, zodat t = (x2+y2+z2)1/2). We stellen de lichtkegel gewoonlijk voor door een dimensie wegte laten: noteer dat de raaklijnen aan de wereldlijnen van testdeeltjes steeds een hoek < 45o maken metde t-as (want |v| < 1)! Een nog eenvoudiger voorstelling bekomen we door twee dimensies weg te laten.

Oy

t

x

wereldlijn van eendeeltje (m o) door OK

Figure 2.3: lichtkegel

De resulterende 1+1 dimensionale minkowskidiagrammen zijn dikwijls nuttig om causale verbandente illustreren. In het voorbeeld van fig. 2.4 is het duidelijk dat voor de waarnemer F (t, x) de driegebeurtenissen E1, E2 en E3 volgen op de gebeurtenis O. Voor de waarnemer F ′ (t′, x′) gaat E3 echter

4met x, y, z, t coordinaten toegekend door een inertiele waarnemer, zoals beschreven in voorgaande paragraaf

17

t

t’

E1

E2x’

x

E3

Figure 2.4: 1+1 minkowski diagram

aan O vooraf. Er bestaat dus geen causaal verband tussen O en E3 (of O en E2), maar wel tussenO en E1: hoe snel F ′ zich ook beweegt, steeds zal E1 zich binnen de z.g. toekomstige lichtkegel vanO bevinden. We zeggen daarom dat O causaal aan E1 voorafgaat, dat E1 in de causale toekomst vanO ligt, of dat O in het causaal verleden van E1 ligt (dat OE2

1 < 0 is duidelijk een invariante uitspraak).

Enige voorzichtigheid bij het ‘lezen’ van minkowskidiagrammen is nodig. Bekijk bv. de inconsistentiedie ontstaat bij de ‘aanschouwelijke’ voorstelling van de fitzgerald-lorentzcontractie in figuur 2.5. Dewaarnemer A′ beweegt met snelheid v t.o.v. waarnemer A en figuur (a) suggereert (terecht) dat l < l′.Figuur (b) (getekend vanuit het gezichtspunt van A′) daarentegen suggereert dat l′ < l! De oorzaakis te zoeken in het feit dat de standaard metrische relaties van ons blad papier geen correcte weergaveleveren van de pseudometrische relaties in de minkowskiruimte.

Om uit beide diagrammen de correcte conclusie te trekken, moeten zowel l als l′ in elke figuur vergelekenworden met de lengtes van de eenheidsvectoren ex en ex

′: deze zijn te bekomen door de doorsnede tebepalen van de hyperbolen x2 − t2 = x′2 − t′2 = 1 met de rechten t = 0 resp. t′ = 0.In beide diagrammen vinden we dan dat l/OA = 1 < l′/OA′: zie figuur 2.6.

Er wordt soms beweerd dat de beperkte relativiteitstheorie zich enkel zou lenen tot de beschrijving vanwaarnemingen voor onderling eenparig bewegende waarnemers. Dit is echter niet het geval! Bekijkbv. een deeltje dat zich met veranderlijke snelheid v = dx

dt verplaatst langs de x-as van een inertielewaarnemer F . We definieren5 dan de eigentijd, gemeten door een klok die met het deeltje meebeweegt,door te postuleren dat deze klok op elk tijdstip P ‘even snel tikt’ als de klok van een inertiele waarne-mer F ′ die in P met het deeltje ogenblikkelijk meebeweegt:

we stellen dus dτdt′ = 1, zodat m.bv. 2-2.12

dτ

dt=

dτ

dt′dt′

dt= (1− v2)1/2 (2-3.2)

en we definieren ten slotte de versnelling jP van het deeltje in P door

jP =d2x′

dt′2|P =

dv′

dt′|P . (2-3.3)

5 dat een ideale fysische klok gehoorzaamt aan deze eigenschap en dus ongevoelig is voor de lokale versnelling is eenver-reikende hypothese, waarvan de draagwijdte pas in volgend hoofdstuk zal duidelijk worden; we beklemtonen hetadjectief ’ideale’, aangezien echte klokken wel degelijk gevoelig zijn voor lokale versnellingen (dit laatste is echter eerdereen technisch dan een fysisch probleem!)

18

t

t’

l’l’ > l

x’

xl

t

t’

l’

l’ < l ?

x’

x

l

Figure 2.5: staaf (lengte l) is in rust t.o.v. waarnemer A′

Om jP uit te drukken in functie van v en zijn afgeleiden naar t is enige voorzichtigheid nodig: we voereneerst een inertiele waarnemer F ′′ in, die met snelheid w beweegt t.o.v. F en voor wie het deeltje beweegt

met veranderlijke snelheid v′′ = dx′′

dt′′ . Dan is v = dxdt = v′′+w

1+v′′w en dus dvdt = (1−w2)

(1+v′′w)2dv′′

dt′′dt′′

dt . Laten we

F ′′ en F ′ samenvallen in P , dan is v′′ = v′ = 0 en dv′′

dt′′ = dv′

dt′ = jP , zodat (in P )

dv

dt= (1 − v2)j(1 − v2)1/2

en dus

j =d

dt

(v

(1− v2)1/2

)

. (2-3.4)

Mits invoering van de viersnelheid (zie ook paragraaf 2.5) u door ui = dxi

dτ = vi dtdτ (zodat uiui = −1),

laat deze uitdrukking zich in het algemeen herschrijven6 als

jα =duα

dt= aα

dτ

dt, (2-3.5)

6we gebruiken voortaan griekse letters voor ruimtelijke indices, terwijl latijnse letters over de indices 0, 1, 2, 3 lopen

19

Figure 2.6: correcte interpretatie

waarbij ai = ui,juj = dui

dτ de componenten zijn van de relativistische versnellingsvector. M.a.w. er geldt(vergelijk ook met uα = γvα)

aα = γjα. (2-3.6)

Oefening: toon aan dat een deeltje, dat vanuit rust vertrekt in (t = 0, x = 0) en dat onderhevig isaan een constante versnelling j langs de x-as, voldoet aan

t =1

jsinh(jτ),

x =1

j(cosh(jτ)− 1) (2-3.7)

en dus nooit sneller zal bewegen dan het licht! Noteer echter wel dat dit niet impliceert dat lichtsig-nalen dit deeltje steeds kunnen ‘inhalen’: i.h.b. kan vanuit het gearceerde deel van figuur 2.8 geencommunicatie naar het deeltje plaats hebben! We noemen de rechte t = x + 1/j daarom een eventhorizon7.

7zie ook hoofdstuk 13-4

20

P

t

Wereldlijn van een niet-éénparigbewegend deeltje

Wereldlijn van een waarnemer voorwie het deeltje ogenblikkelijk in rust is in P

x

Figure 2.7: eigentijd voor versnellende waarnemer

X

t

Figure 2.8: event horizon voor een versnelde waarnemer

2-4 Minkowskimetriek

We keren opnieuw terug naar 2-2, waar we aantoonden dat in de omgeving van elk punt O opinvariante wijze een afbeelding Φ : M → R kan gedefinieerd worden, door voor een willekeurig inertieelreferentiestelsel Φ(t, x, y, z) te bepalen als8

Φ(t, x, y, z) = −t2 + x2 + y2 + z2. (2-4.1)

Deze afbeelding voldoet (voor willekeurige coordinaten xi′

) aan

∂Φ

∂xi′|0 = 0 (2-4.2)

8sommige auteurs noemen Φ de wereldfunctie

21

en laat toe een bilineaire afbeelding g te construeren

g : T 10 (M)× T 1

0 (M) → R : (u,v) 7→ g(u,v) =1

2

∂2Φ

∂xi′∂xj′ui

′

vj′

. (2-4.3)

Toon aan (oefening!), m.bv. 2-4.2, dat deze definitie onafhankelijk is van de gebruikte coordinaten.Kiezen we i.h.b. voor xi

′

de inertiele coordinaten t, x, y en z, dan reduceert 2-4.3 zich tot

u · v := g(u,v) = ηijuivj (2-4.4)

met

η =

−1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

. (2-4.5)

g is dan duidelijk een lorentzmetriek (zie ook 6-1). We noemen g de minkowski metrische tensor ofde minkowskimetriek. In inertiele coordinaten xi geldt dus

g = ηijdxi ⊗ dxj , (2-4.6)

wat ook genoteerd wordt alsds2 = ηijdx

idxj (2-4.7)

(het linkerlid wordt in overeenstemming met 2-2.12 vaak ook genoteerd als −dτ2).M.bv. de minkowskimetriek kunnen vectoren x ingedeeld worden in klassen van tijdachtige, ruimte-achtige en nulvectoren, al naargelang x.x < 0, > 0 of = 0.Een belangrijke vector is de (vier-)snelheid u van een deeltje met wereldlijn gegeven door xi = xi(τ).

Deze vector heeft componenten ui = dxi

dτ , met dτ = dt√1− v2, v2 = |~v|2 en ~v = (dxdt ,

dydt ,

dzdt ) (τ is de

eigentijd langs de wereldlijn van het deeltje) en voldoet dus aan u2 = u.u = −1.

In wat voorafging hebben we de metrische structuur van de minkowskiruimtetijd gededuceerd uit de(fysische) postulaten van de beperkte relativiteitstheorie. Cruciaal hierbij was de rol die werd gespeelddoor de bijzondere klasse van inertiele waarnemers, die toelieten om de functie Φ te bepalen.

Een alternatieve, meer mathematische, benadering deduceert de lorentztransformaties en het bestaanvan de klasse van inertiele waarnemers uit de volgende postulaten:

1. De minkowskiruimtetijd (M, g) is een 4-dimensionale differentiaalvarieteit, voorzien van eenvlakke lorentzmetriek9 g (i.e. ∇cgab = 0 en Ra

bcd = 0).

2. Langs elke (!) tijdachtige kromme is een parameter τ gedefinieerd door dτ2 = −gijdxidxj . Dezeparameter is de eigentijd, gemeten door ideale klokken die langs deze krommen bewegen.

3. In (M, g) bestaan twee gepriviligieerde klassen van krommen: dit zijn de tijdachtige geodeten(de ‘wereldlijnen van vrije, massieve, deeltjes’) en anderzijds de nulgeodeten (de ‘wereldlijnenvan fotonen’).

Er bestaan dan steeds lokale coordinaten waarin gij = ηij en waarin deze bijzondere wereldlijnengegeven zijn door x0 = t, xα = vαt + aα, met aα en vα (α = 1, 2, 3) constanten en met v2 :=∑

α(vα)2 < 1 of = 1.

9zie ook par. 5-5

22

We kunnen vervolgens aantonen dat de isomorfismen van de minkowskiruimtetijd precies gegeven zijndoor de inhomogene lorentztransformaties. Het klassieke bewijs verloopt als volgt: invariantie vanηijdx

idxj onder de coordinaattransformaties xi′= xi

′(xj) betekent dat

ηi′j′∂xi

′

∂xl∂xj

′

∂xm= ηlm. (2-4.8)

Partieel afleiden van deze betrekking naar xn levert, na cyclisch permuteren van l, m en n en hetnemen van enkele lineaire combinaties, dat

ηi′j′∂2xi

′

∂xn∂xl∂xj

′

∂xm= 0. (2-4.9)

Onderstellen we dat de jacobiaan van de transformatie verschillend van 0 is, dan reduceert dit zich tot∂2xi′

∂xn∂xl = 0, zodat constanten Li′j en ai

′

bestaan waarvoor xi′

= Li′jx

j + ai′

of xi = Lij′x

j′ + bi. De

fysische betekenis van de coefficienten volgt door een referentiestelsel (xα′

, t′) te beschouwen, waarineen deeltje, dat met snelheid ~v beweegt t.o.v. (xα, t), in rust is: dan is dt = L0

0′dt′ en dxα = Lα

0′dt′,

zodat L00′ = γ en Lα

0′ = γvα.

Voor een ‘moderner’ bewijs bepalen we eerst de generatoren van deze isomorfismen, namelijk de op-lossingen van de killingvergelijkingen X(i,j) = 0 in de minkowskiruimtetijd: zie p. 113.

De verzameling van alle lorentztransformaties heeft duidelijk een groepsstructuur, voor ai 6= 0 depoincaregroep of de inhomogene lorentzgroep genoemd. Voor ai = 0 bekomen we de homogene lorentz-groep. Een deelgroep hiervan, de eigenlijke lorentzgroep genoemd, wordt gevormd door die matri-ces Li′

j waarvoor detLi′j = +1 en L0′

0 ≥ 1 (noteer dat −1 = η00 = ηi′j′Li′0L

j′0 impliceert dat

(L0′0)

2 = 1+∑3

α′=1(Lα′

0)2 ≥ 1). Deze eigenlijke lorentztransformaties zijn volkomen gekarakteriseerd

door het feit dat ze (1) orientatiebehoudend zijn en (2) toekomstgerichte vectoren afbeelden op toekom-stgerichte vectoren: u.Lu < 0 voor alle tijdachtige u. Eigenlijke lorentztransformaties die de tijdsasbehouden (Le0 = e0) vormen precies de speciale rotatiegroep SO(3, R). Alle andere eigenlijke lorentz-transformaties zijn producten van een boost en een dergelijke rotatie. Voor twee gegeven lorentztetrads(e0, eα) en (e0′′ , eα′′) kunnen we immers eerst e0 op e0′′ afbeelden d.m.v. een boost, om vervolgensde tetrad (e0′′ , eα′) d.m.v. een rotatie af te beelden op (e0′′ , eα′′).N.B. In al wat voorafging werd stilzwijgend aangenomen dat de globale topologie van de minkowski-ruimtetijd gegeven is door de standaardtopologie van R4. Identificeren we hierin echter bv. de t = ±1hypervlakken, dan ontstaat een lokaal equivalente ruimtetijd, die we de minkowskicilinder noemen.Hierin komen echter gesloten tijdachtige krommen voor, met alle erbij horende paradoxen. Zowel detoekomstige als de verleden lichtkegel van elk punt omvat hier de ganse ruimtetijd!

2-5 Relativistische mechanica

2-5.1 Inleiding

Bekijken we eerst de beweging van een deeltje met rustmassa m0 en snelheid

u =(1, ~v)√1− v2

. (2-5.1)

Vermits m0 een invariant is, isp = m0u (2-5.2)

23

een vector, die we het impuls noemen. De projectie van deze vector in de 3-dimensionale rustruimtevan de waarnemer10

~p =m0√1− v2

~v (2-5.3)

noemen we het 3-impuls en

m (of E) = p0 =m0√1− v2

(2-5.4)

de relativistische massa of energie. Deze terminologie komt niet uit de lucht vallen, want ~p treedt op ineen behoudswet, die precies overeenkomt met de wet van behoud van impuls in de klassieke mechanica.De bewegingsvergelijkingen voor een deeltje zijn immers af te leiden uit een actiebeginsel met actie Sgedefinieerd door

S = −∫ τ2

τ1

m0 dτ, (2-5.5)

of (vermits dτ2 = (1− v2)dt2)

S =

∫ t2

t1

L dt

met11 L = −m0(1 − v2)1/2. De relativistische mechanica van een systeem van niet-interagerendedeeltjes is dus niets anders dan de klassieke mechanica van een stelsel deeltjes met lagrangiaan

L = −∑

n

m0(n)(1− v2(n))1/2. (2-5.6)

Het canoniek 3-impuls van een dergelijk systeem wordt gegeven door

~p(n) =∂L

∂~v(n)

=m0(n)(1− v2(n))−1/2~v(n) = m(n)~v(n),

(2-5.7)

in overeenstemming met 2-5.3, terwijl de hamiltoniaan bekomen wordt als

H =∑

n

~p(n).~v(n) − L =∑

n

m(n), (2-5.8)

in overeenstemming met 2-5.4. Voor een systeem van niet-interagerende deeltjes (of voor een systeemvan deeltjes die interageren via ideale gelokaliseerde puntinteracties) reduceert de wet van behoud vanenergie zich dus tot het behoud van relativistische massa, terwijl de invariantie van de actie ondertranslaties resulteert in het behoud van het totale 3-impuls12. Beide behoudswetten samen implicerendat het relativistische impuls p een behouden grootheid is. Doorgaans is het eenvoudiger om te steunenop het behoud van p, i.p.v. de twee geprojecteerde behoudswetten te gebruiken. Bekijken we bv. eendeeltje met rustmassa M dat uiteenvalt in een deeltje met rustmassa m en een foton met energie E,dan verkrijgen de geprojecteerde behoudswetten in het ruststelsel van M de gedaante

M =m

√

1− v21+ E, (2-5.9)

0 = ~p1 + ~p2, (2-5.10)

10we nemen de gewoonte aan om enkel 4-d objecten in boldface te noteren11dat L zich in de limiet v → 0 reduceert tot de klassieke lagrangiaan 1

2m0v2 verklaart de benaming ”rustmassa” voor

de constante m012Treden er wel interacties tussen de deeltjes op, dan zijn totale relativistische massa en totaal 3-impuls (zoals hierboven

gedefinieerd) niet langer behouden grootheden. Beide behoudswetten zijn dan echter te veralgemenen door de invoeringvan de energie-impulstensor van het systeem (zie verder).

24

waaruit (vermits |~p2| = E) M − E =√m2 + E2 en dus E = M2−m2

2M . Eenvoudiger is het echter omrechtstreeks op te merken dat p = p1+p2: hieruit volgt (p−p2)2 = p21, wat zich onmiddellijk reduceert(vermits p2

2 = 0) tot M2 − 2ME = m2.

Definieren we nu de relativistische kracht als de vector

F = (F 0, ~F ) =dp

dτ, (2-5.11)

dan bekomen we door projectie in de rustruimte van de waarnemer, wegens dtdτ = 1/

√1− v2,

1√1− v2

d

dt(m~v) = ~F . (2-5.12)

De newtoniaanse 3-kracht ~f = ddt (m~v) is dus niet

~F , maar wel

~f =√

1− v2 ~F . (2-5.13)

Hieruit volgt dan ook het klassieke resultaat dat de arbeid, nodig om een deeltje vanuit de rusttoestandte versnellen tot een snelheid v, gegeven wordt door

∆E =

∫ x

0

f dx =

∫ t

0

fv dt =

∫ t

0

d

dt(mv)v dt

=

∫ v

0

v d[m0v(1 − v2)−1/2]

=m0[(1− v2)−1/2 − 1] = m−m0.

(2-5.14)

Noteren we ten slotte nog dat uit de invariantie van p2 en uit p = (m, ~p) volgt dat

m2 (of E2) = m20 + ~p2, (2-5.15)

wat zich voor een foton, met m0 = 0, reduceert tot E = |~p|. Noteer ook dat de relativistische massa(of energie) van een deeltje met impuls p, gemeten door een waarnemer met snelheid uobs (u

2obs = −1),

gegeven wordt doorE = −p.uobs. (2-5.16)

Deze uitdrukking is immers een invariant, die zich in het ruststelsel van de waarnemer reduceert tot−p0u0obs = −p0 = p0 = E. Heeft bv. een foton energie E1 = p.u1 t.o.v. een waarnemer met snelheidu1, dan wordt het door een waarnemer met snelheid u2 waargenomen met energie E2 = p.u2. Hetverschil tussen E1 en E2 leidt dan tot het z.g. dopplereffect.

Oefening

Een deeltje met rustenergie M valt uiteen in twee deeltjes, resp. met rustmassa’s m1 en m2. Bereken(in het ruststelsel van M) de energie van deze deeltjes.

2-5.2 Energie-impulstensor van een deeltjeswolk

We introduceren nu de z.g. energie-impulstensor door een wolk van niet-interagerende (of via punt-interacties interagerende) deeltjes te bekijken, elk met rustmassa m0(n) en met impuls p(n).

Definieren we eerst de totale energie-impulsdichtheid

T i0 =∑

n

pi(n)δ3(~x− ~x(n)(t)), (2-5.17)

25

evenals de flux van deze grootheid

T iα =∑

n

pi(n)dxα(n)

dtδ3(~x− ~x(n)(t)) (2-5.18)

en de deeltjesstroom

N i =∑

n

dxi(n)dt

δ3(~x− ~x(n)(t)), (2-5.19)

waarbij ~x(n)(t) de positievector is van het n-de deeltje en δ3 de 3-dimensionale diracdistributie. Beideuitdrukkingen 2-5.17 en 2-5.18 kunnen dan verenigd worden in

T ij =∑

n

pi(n)dxj (n)

dtδ3(~x− ~x(n)(t)). (2-5.20)

Dan is echter, vermits pi(n)(t) = E(n)dxi

(n)

dt met E(n) = γ(n)m0(n):

T ij = T ji =∑

n

pi(n)pj(n)

E(n)δ3(~x− ~x(n)(t)). (2-5.21)

Bovendien zijn T ij de componenten van een tensor, want

T ij =∑

n

∫ +∞

−∞pi(n)(t)

dxj (n)

dτδ4(xk − xk(n)(τ)) dτ (2-5.22)

en δ4(xk − xk(n)(τ)) = δ(t − τ)δ3(~x − ~x(n)(τ)) is een lorentzinvariant13. We noemen de symmetrische

tensor T = T ijei ⊗ ej de energie-impulstensor van de deeltjeswolk. Voor de deeltjesstroom geldtanaloog dat

N i =∑

n

∫ +∞

−∞

dxi(n)dτ

δ4(xk − xk(n)(τ)) dτ. (2-5.23)

Vermits

∂T iα

∂xα=∑

n

pi(n)dxα(n)

dt

∂

∂xαδ3(~x− ~x(n)(t))

=−∑

n

pi(n)dxα(n)

dt

∂

∂xα(n)δ3(~x− ~x(n)(t))

=−∑

n

pi(n)∂

∂tδ3(~x− ~x(n)(t))

=− ∂

∂t

(∑

n

pi(n)δ3(~x− ~x(n)(t))

)

+∑

n

∂pi(n)

∂tδ3(~x− ~x(n)(t))

=− ∂

∂tT i0 +

∑

n

dpi(n)

dtδ3(~x− ~x(n)(t)),

(2-5.24)

geldt∂T ij

∂xj= F i, (2-5.25)

13onder een lineaire transformatie x′ = Λx is immers δ4(x′) = 1|detΛ|

δ4(x), met |detΛ| = 1 voor een lorentztransformatie

26

met de uitwendige krachtdichtheid ( ~F =∑

n~f(n)δ

3(~x − ~x(n)(t))) gegeven door

F i =∑

n

dpi(n)

dtδ3(~x− ~x(n)(t))

=∑

n

dτ

dtF i

(n)δ3(~x − ~x(n)(t)). (2-5.26)

Voor een geısoleerd stelsel is de uitwendige kracht = 0, zodat we de behoudswetten

T ij,j = 0 (2-5.27)

bekomen.

2-5.3 Energie-impulstensor van een perfecte vloeistof

In de niet-relativistische hydrodynamica wordt de beweging van een perfecte vloeistof bepaald door decontinuıteitsvergelijking

∂ρ

∂t+ div(ρ~v) = 0, (2-5.28)

en de navier-stokesvergelijkingen

∂~v

∂t+ (~v.∇)~v = −1

ρ∇p+ ~f, (2-5.29)

met ~f de uitwendige kracht, die we hier 0 stellen. We onderstellen bovendien dat een toestands-vergelijking geldt, die van de vorm is

p = p(ρ). (2-5.30)

We gaan op zoek naar een stelsel van tensoriele vergelijkingen, dat zich in de limiet van kleine snelhedenen kleine drukken (v << 1 en p << ρ, z.g. normale omstandigheden) reduceert tot bovenstaandevergelijkingen. Als eerste stap schrijven we 2-5.28 en 2-5.29 simultaan als

∂

∂t(ρvα) +

∂

∂xβ(ρvαv

β + pδαβ) = 0, (2-5.31)

of nog, met

tij =

[ρ ρ~vρ~v ρ~v ⊗ ~v + pI3

]

(2-5.32)

(en I3 de eenheidsmatrix), als∂

∂xjtij = 0. (2-5.33)

tij ∂

∂xi ⊗ ∂∂xj definieert geen tensor, maar de vorm van 2-5.32 suggereert de definitie van twee scalairen p

en ρ, namelijk de druk en dichtheid van de vloeistof zoals gemeten door een ogenblikkelijk meebewegendeinertiele waarnemer, evenals de definitie van een tensor T door

T = (p+ ρ)u⊗ u+ pη, (2-5.34)

waarbij u = γ(1, ~v). Dan is

T ij =(p+ ρ)uiuj + pηij (2-5.35)

=

[(ρ+ pv2)γ2 (ρ+ p)~vγ2

(ρ+ p)~vγ2 (ρ+ p)~v ⊗ ~vγ2 + pI3

]

(2-5.36)

27

Deze tensor T, die zich onder ‘normale omstandigheden’ inderdaad reduceert tot t, noemen we deenergie-impulstensor van de perfecte vloeistof met druk p, dichtheid ρ en snelheid u. Noteer dat ookhier T een symmetrische tensor is en dat de tensorvergelijking die zich onder normale omstandighedenreduceert tot 2-5.33 terug de vorm 2-5.27 aanneemt!

Het begrip energie-impulstensor is van groot belang, o.a. omdat het in de einsteinveldvergelijkingenoptreedt als bronterm voor de gravitatie.Dat er een factor γ2 optreedt in bv. T 00 is logisch: voor een waarnemer, die de vloeistof met snelheid~v ziet bewegen, neemt de energie in een volume-elementje toe met een factor γ, maar anderzijds zalvoor deze waarnemer het volume-elementje, t.g.v. de fitzgerald-lorentzcontractie, in de bewegingsricht-ing ook krimpen met een factor γ. De grootheid ρ staat dus voor de energie-dichtheid (met inbegripvan de kinetische energie) van de vloeistof. De continuıteitsvergelijking zal dus behoud van energieuitdrukken, eerder dan behoud van deeltjesaantal.Men kan zich afvragen waarom in 2-5.35- en 2-5.36 geen andere coefficienten werden gekozen, waarmeehet resultaat zich onder normale omstandigheden eveneens zou kunnen reduceren tot de tensor t

(bv. ρ+ 5p i.p.v. ρ+ p ...). Om hierop een antwoord te geven maken we even een ommetje ...

Eerst voeren we op invariante wijze de deeltjesdichtheid n in, als de deeltjesdichtheid gemeten dooreen ogenblikkelijk met de vloeistof meebewegende inertiele waarnemer. Voor een perfecte vloeistofdefinieren we dan de deeltjesstroom als de vector

N = nu. (2-5.37)

In elk referentiestelsel waarin Nα = 0 geldt dan Tα0 = 014. Voor een perfecte vloeistof wordt verdergepostuleerd dat

∂N i

∂xi= 0, (2-5.38)

wat zich, in normale omstandigheden, reduceert tot ∂n∂t + div(n~v) = 0.

We herschrijven nu 2-5.27 als

((p+ ρ)uj),jui + (p+ ρ)ujui,j + p,jη

ij = 0. (2-5.39)

Partieel afleiden van uiui = −1 geeft ui,jui = 0, zodat contractie van 2-5.39 met ui resulteert in

− ((p+ ρ)uj),j + p,juj = 0, (2-5.40)

i.e.

− (p+ ρ

nN j),j + p,ju

j = 0, (2-5.41)

of, m.b.v. 2-5.38

−N j(p+ ρ

n),j + p,ju

j = N j((ρ

n),j + p(

1

n),j) = 0. (2-5.42)

Met V = 1/n het specifiek volume en e = ρ/n de specifieke inwendige energie, herschrijven we dezelaatste betrekking als

uj(e,j + pV,j) = 0. (2-5.43)

Uit de tweede hoofdwet van de thermodynamica, kTds = de+pdV , volgt dan dat de specifieke entropieconstant is langs de stroomlijnen van een perfecte vloeistof:

uj∂s

∂xj= 0. (2-5.44)

14In het algemeen — t.t.z. voor niet-perfecte vloeistoffen — kan een netto energie-impulsstroom ook optreden zondernetto deeltjestransport.

28

Hadden we in de definitie van de energie-impulstensor andere coefficienten gekozen voor de p-bijdragen,dan was dus in deze laatste paragraaf een conflict ontstaan met deeltjesbehoud of met de tweedehoofdwet!Merk ten slotte nog op dat 2-5.40 kan herschreven worden als

ρ+ (ρ+ p)Θ = 0, (2-5.45)

met ρ = ρjuj en met Θ = ui,i de z.g. volume-expansie. Substitutie hiervan in 2-5.39 geeft de ruimtelijke

componenten van de drukgradient als

p,α + (ρ+ p)aα = 0. (2-5.46)

De betekenis van de scalair Θ wordt bekomen door een basis X1, X2, X3 te beschouwen die met eeninfinitesimaal klein vloeistofelementje wordt meegesleept: voor elk van deze basisvectoren geldt dan(zie ook p. 84) Xi = Xi,ju

j = ui,jXj of X = BX met Bαβ = uα,β. Met de matrix A = [X1, X2, X3]

is danA = BA, (2-5.47)

zodat

Θ = tr(B) = tr(AA−1) =1

detA(detA) =

V

V, (2-5.48)

met V het volume van het beschouwde vloeistofelementje.

2-5.4 Behoudswetten en energievoorwaarden

We leggen nu een verband tussen de grootheden∑

n ~p(n) en∑

nm(n) uit paragraaf 2-5.1 en de groot-heden p en ρ uit paragraaf 2-5.3 en bekijken daartoe een perfecte vloeistof als de limiet van eendeeltjeswolk.Identificeren we de hierboven bekomen energie-impulstensor van een deeltjeswolk met deze van eenperfecte vloeistof, dan vinden we

T ii = −ρ+ 3p =

∑

n

pi(n)pi(n)

E(n)δ3(~x− ~x(n)(t)) (2-5.49)

en

T ijuiuj = ρ =∑

n

(pi(n)ui)2

E(n)δ3(~x− ~x(n)(t))

=∑

n

E(n)δ3(~x− ~x(n)(t)).

(2-5.50)

Uit beide betrekkingen volgt nog, gebruik makend van p2(n) = −E2

(n) + ~p2(n),

p =1

3

∑

n

~p2(n)

E(n)δ3(~x− ~x(n)(t)) (2-5.51)

en dus, vermits ~p2(n) < E(n)2,

0 ≤ p ≤ 1

3ρ. (2-5.52)

Twee bijzondere gevallen van 2-5.51 zijn het vermelden waard. Voor een koud, weinig-relativistischgas is

E(n) =(m20(n) + ~p2(n))

1/2

≈m0(n) +1

2

~p2(n)

m0(n)

(2-5.53)

29

en dus

ρ ≈ ρ0 +3

2p. (2-5.54)

Voor een heet, extreem relativistisch gas is anderzijds E(n) ≈ (~p2(n))1/2 en dus

ρ ≈ 3p. (2-5.55)

Bij normale omstandigheden is in 2-5.54 de term 32p verwaarloosbaar t.o.v. de rustmassadichtheid ρ0,

zodat we (voor identieke deeltjes) het klassieke resultaat ρ ≈ nm0 vinden. Grote drukken zijn echter instaat om een significante bijdrage te leveren tot de energie-dichtheid (en dus tot het gewicht). Vandaardat bv. een zware ster niet zonder meer in evenwicht kan blijven door haar inwendige druk voldoendegroot te maken; we komen hier later nog op terug.

De voorwaarden 2-5.52 zijn erg sterk: ze werden hier afgeleid voor een zeer eenvoudig gasmodel. Voormeer realistische materieverdelingen gelden ze niet noodzakelijk. Ook voor meer complexe materiemod-ellen blijft echter gelden dat de totale energie-impulsverdeling altijd beschreven wordt door een sym-metrische tensor T ij die voldoet aan de behoudswetten T ij

,j = 015. In paragraaf 2-6.3 tonen we ditnogmaals aan voor een wolk van geladen testdeeltjes, die onderling interageren via de lorentzkrachten.Aan elke dergelijke tensor is dan in een vlakke ruimte een behouden vectoriele grootheid gekoppeld,het (veralgemeend) totaal impuls met componenten

P i =

∫

t=const

T i0 d3x (2-5.56)

en gehoorzamend aandP

dt= 0. (2-5.57)

Immers door toepassing van de wet van Gauß (en aannemend dat het systeem begrensd is) vinden we

dP i

dt=∂

∂t

∫

t=const

T i0 d3x

= −∫

t=const

∑

α

∂T iα

∂xαd3x

=0.

(2-5.58)

E = P 0 en de vector ~P met componenten Pα zijn dan de veralgemeningen van de in 2-5.1 geıntroduceerdebehouden grootheden ‘totale energie’ en ‘totaal drie-impuls’. Expliciete berekening van E en ~P voorde in paragraaf 2-5.2 beschouwde wolk van niet-interagerende deeltjes, levert trouwens precies deuitdrukkingen 2-5.7 en 2-5.8 op.

Vermelden we ten slotte dat algemeen wordt aangenomen dat ‘klassieke’ energie-impulstensoren nogaan een aantal bijkomende voorwaarden dienen te voldoen: zie paragraaf 10-8.1.

15Hieraan kan automatisch voldaan worden door T ij te definieren a.d.h.v. een gepast variationeel beginsel.

30

2-6 Elektrodynamica

2-6.1 Algemeenheden

Beschouwen we een elektromagnetisch veld in vacuum: de maxwellvergelijkingen 2-1.1 reduceren zichdan (met c = 1) voor een willekeurige inertiele waarnemer tot

∇. ~E =4πρ, (2-6.1)

∇× ~H =∂ ~E

∂t+ 4π~j, (2-6.2)

∇. ~H =0, (2-6.3)

∇× ~E =− ∂ ~H

∂t(2-6.4)

en een testlading e ondergaat een kracht

~f = e( ~E + ~v × ~H). (2-6.5)

Definieren we de elektromagnetische veldtensor of faradaytensor door de matrix

Fij =

0 −E1 −E2 −E3

E1 0 H3 −H2

E2 −H3 0 H1

E3 H2 −H1 0

. (2-6.6)

dan corresponderen hiermee de matrices F ij = ηikηjmFkm en F ij = ηikFkj :

F ij =

0 E1 E2 E3

E1 0 H3 −H2

E2 −H3 0 H1

E3 H2 −H1 0

, (2-6.7)

F ij =

0 E1 E2 E3

−E1 0 H3 −H2

−E2 −H3 0 H1

−E3 H2 −H1 0

(2-6.8)

en worden de vergelijkingen (2-6.3, 2-6.4) met x0 = t herschreven als

F[ij,k] = 0. (2-6.9)

Definieren we de stroomdichtheid J (zie ook 8-3.8) door Jα = jα en J0 = −ρ, dan reduceren 2-6.1 en2-6.2 zich anderzijds tot

Fij,j = 4πJi. (2-6.10)

Ook is16 2-6.5 te herschrijven als

dpα

dτ= e(u0Eα + (~u× ~H)α)

en dusdpα

dτ= eFα

juj . (2-6.11)

16aangezien dpα/dτ = Fα = γfα (α = 1, 2, 3) en u = γ(1, ~v)

31

Anderzijds isdp0

dτ= γ

dp0

dt= γ

dE

dt= γ ~f.~v = γe( ~E + ~v × ~H).~v,

ofdp0

dτ= eF 0

juj , (2-6.12)

zodat beide vergelijkingen 2-6.11 en 2-6.12 simultaan te schrijven zijn als

dpi

dτ= eF i

juj . (2-6.13)

Merk ook nog op (zie de poincarestelling, p. 53) dat 2-6.9 lokaal het bestaan garandeert van eenpotentiaal, de elektromagnetische potentiaal genoemd, waarvoor

Fij = 2A[j,i] = Aj,i −Ai,j . (2-6.14)

Uitschrijven van deze betrekkingen toont enerzijds dat Eα = −F0α = −Aα,0 +A0,α en dus, met

~A = Aα ∂

∂xαen φ = A0, (2-6.15)

dat

~E +∂ ~A

∂t= −∇φ. (2-6.16)

Anderzijds is bv. H1 = F23 = ∂2A3 − ∂3A2 = (∇× ~A)1, zodat

~H = ∇× ~A. (2-6.17)

Beide betrekkingen hadden we natuurlijk ook, zoals bekend, rechtstreeks uit de maxwellvergelijkingenzelf kunnen afleiden.

Voor een compactere formulering van de maxwellvergelijkingen verwijzen we naar § 8-3.

2-6.2 Elektromagnetische golven

We herschrijven de maxwellvergelijkingen in functie van de elektromagnetische potentiaal: substitutievan 2-6.14 in 2-6.10 levert

∂j∂jAi − ∂j∂iAj = −4πJi. (2-6.18)

De tweede term in het linkerlid kunnen we 0 maken door de gradient van een gepaste scalaire functieϕ bij A op te tellen zo dat

∂jAj = 0. (2-6.19)

Het (gedeeltelijk) vastleggen van de functie ϕ wordt een keuze van de ijk genoemd. In het bijzondernoemen we de ijkkeuze waarvoor 2-6.19 geldt de lorentzijk.In de lorentzijk reduceren de maxwellvergelijkingen zich tot de eenvoudiger gedaante

Ai ≡ ∂j∂jAi = −4πJi. (2-6.20)

Voor een vrij maxwellveld, i.e. J = 0, ligt het dan voor de hand om golf oplossingen te zoeken van devorm

A = C expiS, (2-6.21)

32

met C een constant vectorveld en met S de z.g. fase van de golf. De fase moet dan voldoen aan

S =0, (2-6.22)

(∇S)2 ≡∂jS∂jS = 0, (2-6.23)

Cj∂jS =0. (2-6.24)

Stellen we k = ∇S = de normaal op de oppervlakken van constante fase, dan betekent 2-6.23 dat keen nulvector is, de z.g. propagatievector. De constante-fase oppervlakken zijn dus nul-oppervlakken.Een waarnemer met snelheid u (u2 = −1) zal de fase zien veranderen met een snelheid dS/dτ : dezesnelheid noemen we de frequentie van de golf,

ω =− dS

dτ= −∂jSuj

=− ujkj .(2-6.25)

Belangrijke bijzondere oplossingen van 2-6.22-2-6.24 zijn de z.g. vlakke golven, met S =∑3

i=0 kixi en

ki constanten waarvoor −k02 + k12 + k2

2 + k32 = 0.

2-6.3 Energie-impulstensor

Net zoals in 2-5 beschouwen we nu opnieuw een wolk puntdeeltjes, maar we voorzien elk deeltje vaneen lading q(n). We definieren dan de ladingsdichtheid en de stroomdichtheid als

ρ =∑

n

q(n)δ3(~x− ~x(n)(t)), (2-6.26)

~j =∑

n

q(n)d~x(n)

dtδ3(~x− ~x(n)(t)). (2-6.27)

Beide begrippen zijn te verenigen in de (vier-)stroomdichtheid J met

J i =∑

n

q(n)dxi(n)

dtδ3(~x− ~x(n)(t))

=∑

n

∫ +∞

−∞q(n)u

i(n)δ

4(xk − xk(n)(τ)) dτ.

(2-6.28)

De vector J voldoet aan de behoudswet∂Jk

∂xk= o. (2-6.29)

Immers

∂αjα =

∑

n

q(n)∂α(δ3(~x − ~x(n)(t)

) dxα(n)

dt

=−∑

n

q(n)∂

∂xα(n)

(δ3(~x− ~x(n)(t)

) dxα(n)

dt

=−∑

n

q(n)∂

∂t

(δ3(~x− ~x(n)(t)

)

=− ∂ρ

∂t= − ∂j0

∂x0,

(2-6.30)

wat precies de continuıteitsvergelijking is.

33

Een gevolg is dat de integraal over het hyperoppervlak t = constant,

Q =

∫

R3

J0 d3x, (2-6.31)

een constante is, de totale lading genoemd:

dQ

dt=

d

dt

∫

R3

J0 d3x

=

∫

R3

∂J0

∂td3x = −

∫

R3

∇.~j d3x

=0

(2-6.32)

(zie ook p.138).Uit het feit dat Q constant is in de tijd volgt nu ook dat Q een invariante grootheid is:

Q(t) =Q(0) =

∫ +∞

−∞Q(t′)δ(t′) dt′

=Q =

∫

R

∫

R3

J0(t′, x) d3xδ(t′) dt′

=

∫

R4

−ukJkδ(−uixi) d4x.

(2-6.33)

We bekijken nu terug de energie-impulstensor van de wolk puntdeeltjes, zoals opgesteld in 2-5 ennoteren deze als T(M) (de ‘zuivere materie bijdrage’):

T(M)ij =

∑

n

pi(n)pj(n)

E(n)δ3(~x − ~x(n)(t)). (2-6.34)

Vermits de deeltjes geladen zijn, is elk deeltje onderworpen aan een lorentzkracht

F i(n) = q(n)F

ik

dxk(n)

dτ. (2-6.35)

De uitwendige krachtdichtheid F 2-5.26 wordt hiermee

F i =∑

n

dτ

dtq(n)F

ik

dxk(n)

dτδ3(~x− ~x(n)(t))

=F ik

∑

n

q(n)dxk(n)

dtδ3(~x − ~x(n)(t))

=F ikJ

k,

(2-6.36)

zodat uit 2-5.25 volgt dat∂T(M)

ij

∂xj= F i

kJk. (2-6.37)

T(M) voldoet dus niet aan de behoudswetten 2-5.27: de oorzaak is te zoeken in het feit dat de deeltjesniet langer lokaal interageren (lorentzkrachten!). Het veld dat verantwoordelijk is voor de interactie,het elektromagnetisch veld, draagt zelf bij tot de energie-impulstensor en deze bijdrage, T(EM) iszodanig dat ze het rechterlid van 2-6.37 opheft:

∂(T(M)ij + T(EM)

ij)

∂xj= 0. (2-6.38)

34

We verifieren dat hieraan voldaan wordt door de volgende symmetrische tensor, die we de energie-impulstensor van het maxwellveld noemen:

T(EM)ij =

1

4π(F i

kFjk − 1

4ηijFklF

kl). (2-6.39)

Inderdaad, substitueren we in

∂jT(EM)ij =

1

4π(∂jF

ikF

jk + F ik∂jF

jk − 1

2ηijFkl∂jF

kl)

de eerste term door

ηilF jk∂jFlk =− ηilF jk(∂kFjl + ∂lFkj)

=− ηijF lk∂kFlj − ηijF lk∂jFkl,

dan bekomen we voor ∂jT(EM)ij

1

4π

(1

2ηijFkl∂jF

kl − ηijF lk∂kFlj + F ik∂jF

jk

)

=1

4π

(1

2ηij(F kl∂jFkl + F kl∂kFlj + F kl∂kFlj) + F i

k∂jFjk

)

=1

4π

(1

2ηijF kl(∂jFkl + ∂kFlj + ∂lFjk) + F i

k∂jFjk

)

(door omwisseling van k en l in de derde term)

=1

4πF i

k∂jFjk

(door toepassing van 2-6.9)

=− F ikJ

k.

Dat 2-6.39 inderdaad de energie-impulstensor is van het maxwellveld, blijkt ook nog uit het feit dat, bijberekening, T 00 en T 0α zich reduceren tot, respectievelijk, de klassieke energiedichtheid 1

8π (E2 +H2)

en de poyntingvector 14π (

~E × ~H)α van dit veld.

Merk ten slotte nog op dat de energie-impulstensor van het maxwellveld spoorvrij is:

T(EM)ii=

1

4π(F i

kFik − FkℓF

kℓ) = 0. (2-6.40)

35

Hoofdstuk 3

Differentiaalvarieteiten en tensoren

3-1 Differentiaalvarieteiten

Figure 3.1: Bernhard Riemann

Een n-dimensionale differentiaalvarieteit (of manifold) is grofweg een topologische ruimte M die lokaalop de standaard euclidische ruimte Rn lijkt.

Willen we dit wat preciezer maken, dan voeren we eerst het begrip in van een kaart : een kaart (U, Φ)op een topologische ruimte M bestaat uit een deelverzameling van M en een homeomorfisme Φ vaneen open deel U naar een open deel van Rn.Φ associeert met elk punt p ∈ U een n-tupel van reele getallen (x1, ..., xn), de lokale coordinaten vanp t.o.v. (U, Φ) genoemd. Alhoewel de coordinaten van p in werkelijkheid dus de getallen xi Φ(p) zijn,zullen we deze meestal kort noteren als xi(p).Twee kaarten (U, Φ) en (V, Ψ) met U ∩ V 6= ∅ heten Ck-compatibel als de bijecties Ψ Φ−1 en

36

(P)

xi

t t

Fa

xi’

t t

Fb(P)

Fb Fa-1

Fa

Fb

pU Uba

m

Figure 3.2:

Φ Ψ−1 Ck-afbeeldingen zijn tussen de open delen Φ(U ∩ V ) en Ψ(U ∩ V ) van Rn (is dit het gevalvoor alle k ≥ 0 dan zegt men dat ze C∞-compatibel zijn). Omwille van de leesbaarheid zullen wevoortaan veronderstellen dat alle gebruikte functies glad zijn, in de zin dat ze voldoende differentieer-baar zijn (desnoods C∞ of zelfs analytisch) om de nodige bewerkingen toe te laten. We zullen dedifferentieerbaarheidsklasse dan ook niet langer expliciet vermelden.Compatibiliteit is reflexief en symmetrisch, maar niet noodzakelijk transitief en is dus geen equivalen-tierelatie (bekijk bv. de kaarten ] − 1, 1[→ R : x 7→ x, ]0, 1[→ R : x 7→ x en ] − 1, 1[→ R : x 7→ x3).Daarom definieren we een atlas op M: dit is een verzameling van onderling compatibele kaarten(Uα, Φα) zodat M = ∪αUα. Een volledige atlas op M is de unie van alle atlassen compatibel met eengegeven atlas. We noemen M voorzien van een volledige atlas dan een n-dimensionale varieteit. Ditbetekent dat in het gebied Uα∩Uβ van twee lokale coordinaatomgevingen Uα, Uβ de lokale coordinaten

in de ene omgeving gladde functies zijn van de lokale coordinaten in de andere: xi′

= xi′

(xj), met

det(∂x′

∂x ) 6= 0. Merk op dat we de indices van de ‘nieuwe’ coordinaten voorzien van een accent1, eerderdan de coordinaten zelf.Gewoonlijk worden nog extra topologische beperkingen opgelegd, die weliswaar een rol spelen bij hetafleiden van sommige der hierop volgende resultaten, maar die bij een eerste kennismaking minderrelevant zijn.

Voorbeeld 1:Een typisch voorbeeld van een differentiaalvarieteit is S2, de 2-sfeer, voorgesteld door de vergelijking

x2 + y2 + z2 = 1,

met x, y, z standaard cartesiaanse coordinaten in de 3-D euclidische ruimte. Om aan te tonen dat S2

een 2-D differentiaalvarieteit is, volstaat het om in een voldoend kleine omgeving V van een willekeurigpunt coordinaten te vinden die V bijectief afbeelden op een open deel van R2. Voor punten in denoordelijke hemisfeer worden zulke coordinaten bv. gegeven door x en y. Merk op dat verschillendecoordinaatkaarten nodig zijn, zoniet was S2 homeomorf met een open deel van R2. Ook de standaardsferische coordinaten θ, φ, gedefinieerd door

x = r sin θ cosφ, y = r sin θ sinφ, z = r cos θ,

1Deze, op het eerste zicht vreemd lijkende conventie werd ingevoerd door Jan Arnoldus Schouten (Ricci-Calculus1954 ) en blijkt zeer nuttig.

37

vormen geen globaal coordinatenstelsel voor S2, aangezien de afbeelding S2 → θ, φ niet eenduidigbepaald is nabij de polen θ = 0, π.

Voorbeeld 2:Als tweede voorbeeld bekijken we SU(2), de groep van de 2× 2 complex unitaire matrices met deter-minant 1. Het is vrij eenvoudig om in te zien dat

A ∈ SU(2) ⇐⇒ A =

[a0 − ia3 −ia1 − a2−ia1 + a2 a0 + ia3

]

, a0, . . . , a3 ∈ R :

3∑

j=0

a2j = 1,

wat aantoont dat SU(2) (als differentiaalvarieteit) te identificeren is met de 3-sfeer S3.Een afbeelding f : M → N van een varieteit M naar een varieteit N is glad in een punt p als eenlokaal coordinatenstelsel bestaat, waarvoor de lokale coordinaten van f(p) in N gladde functies zijnvan de lokale coordinaten van p in M (en in dat geval geldt dit voor alle lokale coordinatenstelsels).Een afbeelding die glad is in elk punt noemen we een gladde afbeelding. Bestaat de inverse afbeeldingf−1 en is deze eveneens glad, dan zeggen we dat f een diffeomorfisme is. Bestaat er tussen M en Neen diffeomorfisme, dan zijn M en N diffeomorf, wat wil zeggen dat ze glad in elkaar te vervormenzijn. De verzameling der gladde afbeeldingen M → R noteren we als F(M). Dit is een commutatievealgebra over R, wat betekent (a) dat F(M) een reele vectorruimte is onder de puntsgewijs gedefinieerdeoptelling en vermenigvuldiging met scalairen (namelijk (f + g)(p) = f(p) + g(p) en (αf)(p) = αf(p))en (b) dat de puntsgewijs gedefinieerde vermenigvuldiging van gladde functies ((fg)(p) = f(p)g(p))voldoet aan de eigenschappen f(gh) = (fg)h, (f + g)h = fh + gh, fg = gf en 1f = f (waarbij 1beschouwd wordt als de constante functie die elk element p afbeeldt op 1 ∈ R). Een kromme γ in Mis een gladde afbeelding van een open interval ]a, b[⊂ R naar M.

3-2 Vectoren

Vectoren kunnen in een differentiaalvarieteit M niet meer bekeken worden als ‘pijlen met een aangri-jpingspunt en een eindpunt’. Daarom definieren we eerst het begrip rakende krommen :

als (U, Φ) een kaart is en γ1 en γ2 krommen zijn in M met γ1(t0) = γ2(t0) = p ∈ U ⊂ M, dannoemen we γ1 en γ2 rakend in p als D(Φ γ1)(t0) = D(Φ γ2)(t0).

oefening: Toon aan dat deze definitie onafhankelijk is van de gebruikte kaart.

‘Rakend zijn in een punt’ is duidelijk een equivalentierelatie; een equivalentieklasse [γ]p noemenwe een (rakende) vector in p. We definieren ook Tp(M) = [γ]p; γ is een kromme door p alsde rakende ruimte van M in p. Aan Tp(M) kan op een natuurlijke manier de structuur vaneen vectorruimte gegeven worden.Een vector in een punt p definieert dan ook een lineaire operator van F(M) naar R: als γ(t0) = pdan stellen we [γ]p(f) =

ddt (f γ)(t)|t0 . Zonder verlies van algemeenheid kan uiteraard steeds

t0 = 0 gekozen worden.

oefening: toon aan dat deze definitie onafhankelijk is van de gekozen representant γ.

Zijn nu xi lokale coordinaten in een omgeving van p en noteren we met γi de i-de coordinaat-kromme, nl. de kromme t 7→ φ−1(φ(p)+(t− t0).e) (met e de i-de basisvector van Rn), waarvoor

38

F

p

U

(P)F

F (U)

Rn

g2

g1

to

R

m

Figure 3.3:

dus de lokale vergelijkingen gegeven zijn door xj(t) = xj(p) + (t− t0).δij , dan geldt

[γi]p(f) =d

dt(f φ−1(φ(p) + (t− t0).e))|t0

=D(f φ−1)(φ(p)).[0 . . . 1 . . . 0]T

=∂

∂xi(f φ−1)(φ(p)),

wat we gewoonlijk noteren als ∂f∂xi |p. Dit rechtvaardigt volgende notatie

[γi]p =∂

∂xi|p (3-2.1)

en men kan aantonen2 dat deze vectoren in p een basis vormen voor de rakende ruimte Tp(M).We noemen deze basis een coordinaatbasis of een holonome basis.Elke vector vp ∈ Tp(M) kan dus geschreven worden als

vp = vi∂

∂xi|p met vi ∈ R (3-2.2)

en de werking van vp op f ∈ F(M) wordt bepaald door vp(f) = vi ∂f∂xi |p (we gebruiken de

einstein-sommatieconventie: over elke dubbel optredende index wordt gesommeerd van 1 totn).Een alternatieve manier om vectoren in een punt te definieren, maakt gebruik van het begripderivatie: een derivatie D in een punt p ∈ M is een afbeelding F(M) → R, die voldoet aan devolgende ‘afgeleide-achtige” eigenschappen (f, g ∈ F(M), α, β ∈ R:

D(αf + βg) = Df +Dg [lineariteit],

D(fg) = D(f)g + fD(g) [Leibniz eigenschap],

Df = 0 als f = const in een omgeving van p.

2Voor de voortbrengendheid definieren we bij een gegeven kromme γ eerst de getallen ξi = [γ]p(xi) en vervolgens een

kromme γ door γ(t) = φ−1(x1(p) + tξ1, x2(p) + tξ2, . . .). Voor deze kromme γ geldt dan bij constructie [γ]p = ξi ∂∂xi |p

en rest er enkel aan te tonen dat γ en γ rakend zijn in p.

39

De derivaties in een punt p vormen een vectorruimte, die te identificeren is met de rakenderuimte TpM.

We kunnen ten slotte een vectorveld definieren door met elk punt p ∈ M een vector vp ∈ Tp(M)te associeren. Dan geldt in lokale coordinaten dat v = vi ∂

∂xi met vi functies van xi. Deverzameling der vectorvelden op M noteren we voortaan X (M). De werking van een vectorveldv op f ∈ F(M) wordt puntsgewijs gedefinieerd en geeft dus als resultaat v(f) ∈ F(M).Een vectorveld v is bij gevolg een afbeelding F(M) → F(M) die voldoet aan de volgende

eigenschappen:

v(f + g) =v(f) + v(g),

v(fg) =gv(f) + fv(g),

v(λf) =λv(f) (λ constant). (3-2.3)

Onder de puntsgewijs gedefinieerde optelling en vermenigvuldiging met gladde functies3, wordtX (M) dan een F(M)-moduul:

f(u+ v) = fu+ fv,

(f + g)u = fu+ gu,

(fg)u = f(gu),

1u = u. (3-2.4)

Noteer dat er geen zinvolle definitie bestaat van ‘de som van een rakende vector in p en eenrakende vector in q”, wat zich later zal vertalen in het feit dat het zinloos is om te spreken over‘de snelheid van een deeltje in een punt p t.o.v. een waarnemer in het punt q”.

T.o.v. een willekeurige ‘anholonome basis’ ea van n onafhankelijke vectoren, ea = eia∂

∂xi

schrijven we v = vaea. We zullen proberen om op zo consistent mogelijke wijze de eerste achtletters van het alfabet te gebruiken voor anholonome indices en i, j, k, . . . voor holonome indices.Uiteraard lukt dit niet altijd: als bv. v = vi ∂

∂xi = vaea, dan is het niet duidelijk wat we met v1

bedoelen: als de context dit vereist zullen we de anholonome indices daarom voorzien van eenˆ:dus vaea = v1e1 + . . .+ vnen. Verder zullen we ook dikwijls de notaties ∂f

∂xi = f,i, ea(f) = f|aen ∂i =

∂∂xi gebruiken.

In de oudere literatuur werd vooral gewerkt met coordinaatbasissen; het gebruik van anholonomebasissen is doorgaans veel efficienter.Bij een verandering van lokale coordinaten xi → xi

′

(d.w.z. bij een verandering van kaart in eenomgeving van p), geldt v = vi ∂

∂xi = vi′ ∂∂xi′ zodat uit de kettingregel onmiddellijk volgt

vi′

=∂xi

′

∂xjvj . (3-2.5)

Voor een willekeurige basistransformatie geldt analoog dat als

ea′ = La′beb, (3-2.6)

of, in matrixnotatie, met e = [e1 . . . en],

e′ = eL , (3-2.7)

danva

′

= La′

bvb, (3-2.8)

3(u+ v)(f) = u(f) + v(f) en (gu)(f) = gu(f)

40

of, in matrixnotatie4, met v =

v1

...vn

,

v = Lv′, (3-2.9)

waarbij La′

b gedefinieerd is door La′

bLa′c = δcb, m.a.w. (L−1)b

a′

= La′

b.N.a.v. de analogie tussen vectoren en richtingsafgeleiden, ligt het voor de hand dat de achtereen-volgende werking van twee vectoren op een functie afhankelijk is van de volgorde waarin ze wor-den toegepast. Het verschil tussen beide operaties wordt bepaald door [u, v], de commutatorof lie-haak, van de twee vectorvelden u en v:

[u, v](f) = u(v(f))− v(u(f)). (3-2.10)

Dat dit opnieuw een vectorveld is, kan men gemakkelijk nagaan (oefening): de lineariteit steltgeen problemen en enkel de leibnizeigenschap dient geverifieerd te worden.Voor een coordinaatbasis geldt uiteraard

[∂

∂xi,

∂

∂xj] = 0, (3-2.11)

maar voor een willekeurige basis moeten we rekening houden met de commutatiecoefficientenDc

ab = −Dcba ∈ F(M) bepaald door

[ea, eb] = Dcabec. (3-2.12)

Uit de jacobi-identiteit

[u, [v, w]] + [v, [w, u]] + [w, [u, v]] = 0 (3-2.13)

volgt (oefening)e[aD

dbc] −Dd

e[aDebc] = 0. (3-2.14)

Hierbij maken we gebruik van de conventie datm indices, ingesloten door vertikale haken, duidenop 1

m!× de alternerende som van alle permutaties; analoog duiden ronde haken op 1m!× de som

van alle permutaties. bv.

x[ab] =1

2(xab − xba)

x(ab) =1

2(xab + xba) (3-2.15)

x[abc] =1

6(xabc + xbca + xcab − xacb − xcba − xbac)

3-2.1 Stromingen

Een andere manier om een vectorveld v voor te stellen, is ons een differentiaalvarieteit in tebeelden als ‘opgevuld’ met een familie van onderling niet snijdende krommen, zo dat doorelk punt van de varieteit precies een kromme gaat. We noemen zulke familie van krommen eencongruentie en, indien in elk punt p de raakvector aan de betreffende kromme gelijk is aan vp, danzeggen we dat de familie gevormd wordt door de stroomlijnen (flow lines) of integraalkrommenvan het vectorveld. M.a.w. een kromme γ is een stroomlijn van het vectorveld v als en slechtsals γ(τ) = v|γ(τ) in elk punt p ≡ γ(τ) van de kromme. Voor een gegeven vectorveld v kan eencongruentie van integraalkrommen dus geconstrueerd worden in een omgeving van elk punt pwaar vp 6= 0.

4Let op: de bovenste index in zowel La′b als La′

b is dus altijd de rij-index!

41

yx

z

pv(p)

Figure 3.4: een vectorveld v rakend aan een congruentie van krommen.

Het volstaat om lokale coordinatenxiin te voeren zo dat v = viei: een kromme γ(τ) wordt

dan gedefinieerd door n functies γi(τ) en de voorwaarde γ(τ) = v|γ(τ) reduceert zich tot eenstelsel van differentiaalvergelijkingen,

dγi(τ)

dτ= vi

∣∣p=γ(τ)

.

Voor een continu vectorveld geldt dat dit stelsel, onder de beginvoorwaarden γi(0) = xi(0), met

xi(0) de lokale coordinaten van een initieel punt op de kromme, steeds een unieke oplossing γi(τ)heeft.Stromingen zijn o.a. nuttig om de meetkundige betekenis van commutatoren beter te vatten.Beelden we ons bv. de stroomlijnen in van twee vectorvelden v and w (zie fig. 3.5): vertrekkenwe vanuit een punt p0 en volgen we eerst de stroomlijn van v over een klein interval δτ vande parameter τ , en vervolgens de stroomlijn van w over een zelfde interval δτ , dan belandenwe in het punt p. Vertrekken we uit het zelfde punt p0, maar volgen we eerst een stroomlijnvan w en vervolgens een stroomlijn van v (steeds over een zelfde parameterinterval δτ), dankomen we doorgaans terecht in een ander punt p′. In de limiet voor δτ → 0, waarbij de puntenp, p′ samenvallen met p0, definieert de verbindingslijn tussen p en p′ dan een vector, namelijk[v,w] δτ2.Meer precies geldt dat, wanneer v en w vectorvelden zijn en p0, p, p

′ punten (zie figuur 3.5), dande commutator [v,w] voor elke functie f op de volgende wijze het verschil bepaalt tussen f(p)en f(p′):

limδτ→0

f(p)− f(p′)

δτ2= ([v,w] (f))|p0

.

oefening: zij x, y, z een lokale coordinatenkaart. Bepaal de commutatoren [u,v], [u,w], en[v,w], met u = x∂x + y∂y + z∂z, v = x∂y − y∂x, w = ∂z . Bepaal tevens de integraalkrommenvan u,v en w.

3-2.2 Connecterende vectoren

Een vectorveld c wordt connecterend genoemd voor een vectorveld v als [c,v] = 0 (vermits[c,v] = −[v, c] volgt dan ook dat v connecterend is voor c). De (coordinaat)basisvectoren∂/∂xi zijn dus onderling allemaal connecterend. Omgekeerd, zijn in een open deel een stel vann lineair onafhankelijke onderling connecterende vectorvelden e1, ..., en gegeven, dan bestaater een lokaal coordinatenstelsel

xi

zo dat voor alle i ei precies de i-de basis vector ∂/∂xi

is. De corresponderende stroomlijnen van e1, ..., en vormen dan het z.g. coordinatennet van hetbetreffende coordinatenstelsel.

42

v

w

p′

p0

p

p1

p2

Figure 3.5: de commutator [v,w] van twee vectorvelden is een maat voor het verschil tussen de puntenp en p′, bekomen door de stroomlijnen van beide velden in verschillende volgorde te volgen.

τ = 3

τ = 2

τ = 1

τ = 0

v

c

Figure 3.6: Connecterende vectoren c ‘verbinden’ op naburige stroomlijnen punten met dezelfde pa-rameter τ .

oefeningen:

1. Zij u = ui ∂∂xi en v = vi ∂

∂xi . Bepaal de componenten van [u, v] t.o.v. de lokale coordinaten xi.

2. Bepaal, zo eenvoudig mogelijk,

[x∂x + y∂y√

x2 + y2,x∂y − y∂x√

x2 + y2].

3. Beschouw in R3 de basis e1 = ex ∂∂y , e2 = ex ∂

∂z + xex ∂∂y , e3 = ∂

∂x . Bepaal de commutatiecoeffi-cienten.

4. Gegeven zijn de vectorvelden a = x∂x + y∂y + z∂z, b = x∂y − y∂x en c = ∂z . Ga na dat [a, c] = −c.Voer sferische coordinaten r, θ, φ in en ga na dat a = ∂ρ met ρ = log r. Nu is [a, c] = [∂ρ, ∂z] = 0.Waar zit de fout?

5. Ga expliciet na dat, met X,Y ∈ X (M), de componenten [X,Y ]i transformeren zoals de componen-ten van een vectorveld in X (M).

6. Bepaal de componenten van v = x∂x + y∂y in het coordinaatstelsel a, b, waarbij a = x + y,b = 3xy.

43

7. Gegeven het vectorveld u = ∂x + x∂y, bepaal coordinaten X,Y (met X en Y functies van x, y)zo dat u = ∂X .

8. Zij ξ het vectorveld x∂x − y∂y op R2. Toon aan dat de maximale integraalkromme van ξ doorheen

het punt p = (p1, p2) gegeven wordt door de afbeelding γ : R → R2 : t 7→ (p1et, p2e

−t).

Opmerking: wanneer, zoals in dit geval, voor elk punt p de maximale integraalkromme als domeinR heeft, dan zeggen we dat ξ compleet is.

3-3 Eenvormen

1-vormen in een punt p ∈ M zijn lineaire operatoren die vectoren in p omzetten in reele getallen:een 1-vorm σ in p is dus een element van de duale ruimte T ∗

p (M).Het beeld σ(v) ∈ R noemen we ook de contractie van σ en v.Voor een gegeven basis ea zijn de n lineair onafhankelijke 1-vormen ωa bepaald door ωa(eb) = δabeen basis voor T ∗

p (M). We noemen deze basis de duale basis van ea. Elke 1-vorm σ ∈ T ∗p (M) kan

dan geschreven worden alsσ = σaω

a (3-3.1)

en met v = vaea geldt dusσ(v) = σav

a. (3-3.2)

Net zoals voor vectorvelden definieren we een 1-vormveld σ door met elk punt p ∈ M een 1-vormσp ∈ T ∗

p (M) te associeren en de werking van σ op een vectorveld puntsgewijs te definieren: (σ(v))p =σp(vp). Alzo worden de 1-vormvelden F(M)-lineaire afbeeldingen van X (M) naar F(M):

σ(v1 + v2) = σ(v1) + σ(v2) en σ(fv) = fσ(v). (3-3.3)

Is er geen verwarring mogelijk, dan zullen we 1-vormvelden doorgaans gewoon 1-vormen noemen. Deverzameling van de 1-vormvelden opM noteren we alsΩ1(M). Met puntsgewijs gedefinieerde optellingen vermenigvuldiging met gladde functies,

(σ1 + σ2)v = σ1v + σ2v en (fσ)v = f(σv), (3-3.4)

geldt dat ook Ω1(M) een F(M)-moduul is.Voor f ∈ F(M) definieren we de uitwendige afgeleide van f als de 1-vorm df , bepaald door

df(v) = v(f) = vaf|a (3-3.5)

voor alle v ∈ T (M). Voor het bijzonder geval van de coordinaatfuncties xi geldt dan

dxi(∂

∂xj) = δij , (3-3.6)

zodat dxi de duale basis is van ∂∂xj . T.o.v. een lokale coordinaatbasis kan elke 1-vorm dus geschreven

worden alsσ = σidx

i (3-3.7)

en geldt i.h.b.df = f,idx

i = f|aωa. (3-3.8)

Merk op dat voor alle f, g, h ∈ F(M) en α ∈ R

d(f + g) = df + dg,

d(αf) = αdf,

(g + h)df = g df + h df,

d(fg) = f dg + g df, (3-3.9)

44

waarbij vooral de laatste leibnizeigenschap van cruciaal belang is.In de oudere fysicaliteratuur komen we 1-vormen tegen onder de benaming covariante vectoren. Dezebenaming werd ingevoerd om, bij overgang naar nieuwe lokale coordinaten, de transformatieformulesvoor de componenten te onderscheiden van deze voor vectoren (ook contravariante vectoren genoemd).Inderdaad, met 3-3.7 geldt σ = σidx

i = σi′dxi′ , zodat onmiddellijk volgt

σi′ =∂xj

∂xi′σj (3-3.10)

(vergelijk met 3-2.5).Bij een willekeurige basistransformatie met

ea′ = La′beb

geldt voor de duale basisωa′

= La′

bωb,

zodat met σ = σaωa volgt

σa′ = La′bσb. (3-3.11)

oefening: bepaal de duale basis van e1, e2, e3 optredend in oefening 3 op p. 43.

3-4 Tensoren

We geven eerst een algemene definitie, die ook geldig is voor oneindig-dimensionale ruimten, waarnawe ons verder beperken tot het eindig-dimensionale geval.

3-4.1 Vrije vectorruimten

Zij S een willekeurige verzameling en K een commutatief lichaam. Zij W(S) de verzameling van alleafbeeldingen S → K die slechts een eindig aantal elementen van S niet op 0 afbeelden (is S eindig danis dit dus de verzameling KS van alle afbeeldingen S → K). We geven aan W(S) de structuur vaneen vectorruimte d.m.v. puntsgewijs gedefinieerde optelling en scalaire vermenigvuldiging. Bijzondereelementen van W(S) zijn de karakteristieke functies χa van elementen a ∈ S:

χa : S → K : x 7→

1, als x = a;0, als x 6= a.

Noemen we S de verzameling van de karakteristieke functies χa, dan is het duidelijk dat W(S) = KS.Omdat er een bijectie bestaat tussen S en S ⊂ V , kunnen we echter S identificeren met S, zodat W(S)op te vatten is als de verzameling van alle eindige formele sommen

∑pi=1 xiai (xi ∈ K, ai ∈ S). We

noemen W(S) de vrije vectorruimte voortgebracht door S over K.

3-4.2 Tensorproduct

Zij V en W vectorruimten over K. Net zoals de constructie van een vrije vectorruimte over S toelaatom te werken met lineaire combinaties van elementen van een willekeurige verzameling S, zouden wenu ook graag “producten” willen beschouwen van de gedaante v⊗w, met v en w vectoren uit resp. Ven W en wel zo dat bilineariteit optreedt:

(αv + βv′)⊗w = αv ⊗w + βv′ ⊗w, v ⊗ (αw + βw′) = αv ⊗w + βv ⊗w′. (3-4.1)

We beginnen met de vrije vectorruimte W(V ×W ) te beschouwen: dit is een monsterlijk grote vector-ruimte, met als elementen lineaire combinaties van koppels (v,w) uit V ×W en waarin niet voldaanis aan de eigenschap dat de vectoren

(αv + βv′,w)− α(v,w) − β(v′,w), (v, αw + βw′)− α(v,w) − β(v,w′) (3-4.2)

45

nul zijn. Daarom beschouwen we de deelruimte U ≺ W(V ×W ) die de opspanning is van alle vectorenvan de vorm (3-4.2) en definieren vervolgens het tensorproduct V ⊗W als een quotientruimte,

V ⊗W = W(V ×W )|U, (3-4.3)

waarvan we de elementen tensoren noemen. Dit zijn dus linaire combinaties van equivalentieklassenvan de gedaante (v,w) = (v,w) + U , die we noteren als v ⊗w. M.a.w. een tensor in V ⊗W is eeneindige5 som Σ′αrvr ⊗wr van elementaire tensorproducten.

Oefening: toon zelf aan dat met deze definitie aan de bilineariteitseigenschappen (3-4.1) automatischvoldaan is!Zijn V en W eindigdimensionaal, met basissen resp. (e1, . . . , en) en (f1, . . . ,fm), dan kan, als gevolgvan de bilineariteit, elk tensorproduct v ⊗w worden voorgesteld als

v ⊗w = (vaea)⊗ (wbfb) = vawb(ea ⊗ fb). (3-4.4)

Hieruit volgt onmiddellijk dat de tensoren ei⊗fj (in het eindigdimensionale geval) voortbrengend zijnvoor V ⊗W . Men kan ook aantonen dat ze lineair onafhankelijk zijn en dus een basis vormen, zodat

dim(V ⊗W ) = dim(V ) dim(W ).

Naar analogie met de vectorruimte V en haar duale V ∗, zullen we de elementen vanV ⊗V contravariante tensoren van rang twee, of tweemaal contravariante tensoren, of tensoren van type(2,0) noemen en de elementen van V ∗⊗V ∗ covariante tensoren van rang twee, of tweemaal covariantetensoren, of tensoren van type (0,2).

3-4.3 Tensoren en multilineaire afbeeldingen

In het geval van eindigdimensionale vectorruimten kunnen tensorproducten op een alternatieve, minderabstracte, manier gedefinieerd worden. We introduceren daartoe eerst de verzameling L(V1, . . . Vp) vanmultilineaire afbeeldingen op een stel vectorruimten: dit zijn afbeeldingen

φ : V1 × · · · × Vp → K,

die lineair zijn in elke component afzonderlijk. Bekijken we om de gedachten te vestigen het gevalp = 2: zijn V,W vectorruimten, dan bepaalt elk koppel (v,w) ∈ V ×W een element van L(V ∗,W ∗)door

(v,w) : (σ, τ ) 7→ σ(v)τ (w).

Deze afbeelding kan uitgebreid worden tot de ganse vrije vectorruimte W(V ×W ) door te stellen

∑

r

′αr(vr,wr) : (σ, τ ) 7→

′∑

r

αrσ(vr)τ (wr).

De deelruimte U voortgebracht door de vectoren (3-4.2) wordt hierdoor afgebeeld op 0, zodat dezeafbeelding op unieke wijze kan worden ‘overgeheveld’ naar het tensorproduct V ⊗ W : elke tensorT =

∑

r′αrvr ⊗wr ∈ V ⊗W definieert alzo een unieke bilineaire afbeelding op V ∗ ×W ∗ door

T (σ, τ ) =∑

r

′αrσ(vr)τ (wr).

Analoog definieert elke tensor in V ∗ ⊗ W ∗ een unieke bilineaire afbeelding op V × W , waarbij wegebruik maken van de identificaties V ∗∗ ∼= V en W ∗∗ ∼=W . Dit laat dus toe om tensorproducten van

5we gebruiken soms het symbool Σ′ om eindige sommen aan te duiden

46

eindigdimensionale vectorruimten te definieren a.d.h.v. multilineaire afbeeldingen. Men kan aantonendat het zo gedefinieerde tensorproduct associatief is:

u⊗ (v ⊗w) = (u ⊗ v)⊗w

en dat bv. U ⊗ (V ⊗W ) ∼= (U ⊗ V )⊗W ∼= U ⊗ V ⊗W te identificeren is met L(U∗, V ∗,W ∗).Een belangrijk bijzonder geval treedt op wanneer de vectorruimten V1, V2, . . . kopieen zijn van deruimten V en V ∗. We spreken in dat geval, net zoals hogerop, van r-keer contravariante en s-keercovariante tensoren. Een tensor S van type (r, s) over een vectorruimte V kan dus gedefinieerd wordenals een element van de ruimte6 T r

s = V ⊗ · · · ⊗ V ⊗ V ∗ ⊗ · · · ⊗ V ∗ = V ⊗r ⊗ V ∗⊗s.In het bijzonder definieren we T 0

0 = K, T 10 = V en T 0

1 = V ∗. Een tensor S van type (r, s) is duseen multilineaire operator die (r+ s)-tupels (σ1, . . .σr, v1, . . .vs) van r lineaire functionalen σ en svectoren v omzet in een scalair. Zo is bv. u1 ⊗ · · · ⊗ ur ⊗ τ 1 ⊗ · · · ⊗ τ s de operator gedefinieerd door

(u1 ⊗ · · · ⊗ ur ⊗ τ 1 ⊗ · · · ⊗ τ s) (σ1, . . .σr, v1, . . .vs) = σ1(u1) . . . .σ

r(ur) .τ1(v1). . . . τ

s(vs).

Elke tensor S ∈ T rs kan geschreven worden als een lineaire combinatie van elementaire tensorproducten,

S = Sa1 ... arb1 ... bsea1 ⊗ · · · ⊗ ear

⊗ ωb1 ⊗ . . . ⊗ ωbs (3-4.5)

en de coefficienten Sa1 ... arb1 ... bs (met r contravariante en s covariante indices) noemen we de com-

ponenten van S t.o.v. de basissen ea, ωa. Er geldt dus

Sa1 ... arb1 ... bs = S(ωa1 , . . . , ωar , eb1 , . . .ebs). (3-4.6)

Voorbeeld

Bekijk in een 2-dimensionale vectorruimte de lineaire functionalen σ = 2ω1 − 3ω2 en τ = 3ω1 + 2ω2.Dan is σ ⊗ τ een tensor van type (0,2), met componenten die af te lezen zijn uit

σ ⊗ τ = (2ω1 − 3ω2)⊗ (3ω1 + 2ω2)

= 6ω1 ⊗ ω1 − 4ω1 ⊗ ω2 − 9ω2 ⊗ ω1 − 6ω2 ⊗ ω2.

Deze componenten kunnen dus worden voorgesteld door een matrix

[σ ⊗ τ

]

ab=

[6 −4−9 −6

]

.

Meer gecompliceerde constructies zijn uiteraard ook mogelijk, maar, om de notaties niet te zwaar temaken, beperken we ons tot een voorbeeld:

het tensorproduct V ⊗ V ∗ ⊗ V ∗ ⊗ V bevat tensoren van de gedaante S = Sabc

dea ⊗ωb ⊗ωc ⊗ ed: ditzijn multilineaire afbeeldingen die 4-tupels (σ,v,w, τ ) als volgt omzetten in reele getallen

S(σ,v,w, τ ) = Sabc

dσavbwcτd.

Omdat het tensorproduct niet commutatief is, is de positie van de indices belangrijk: Sabc

d 6= Sdbc

a.

Neem daarom de gewoonte aan om in de componenten van tensoren de indices altijd op de juistepositie te schrijven! Dit heeft bovendien het bijkomende voordeel dat we uit de index-structuur van decomponenten onmiddellijk kunnen aflezen over welk soort tensor het gaat: zo zijn T ab

c noodzakelijkde componenten van een tensor in V ⊗ V ⊗ V ∗. Vandaar ook dat fysici en ingenieurs de gewoontehebben aangenomen om naar bv. de tensor T ab

cea ⊗ eb ⊗ ωc te verwijzen als ‘de tensor’ T abc.

6r factoren V , die we identificeren met V ∗∗, en s factoren V ∗

47

De som van tensoren, het product van een tensor met een scalair en het tensorproduct van tensorenworden puntsgewijs gedefinieerd. Voor tensoren S, T , T1 in T r

s en T2 in T r′

s′ levert dit bv. de volgendedefinities op, waarbij (σ, v) een korte schrijfwijze is voor (σ1, . . .σr, v1, . . .vs):

(T + S)(σ, v) =T (σ, v) + S(σ, v),

(α . T )(σ, v) =α . T (σ, v), (3-4.7)

(T1 ⊗ T2)(σ, v, σ′, v′) =T1(σ, v) . T2(σ

′, v′),

zodat T ⊗ T ′ ∈ T r+r′

s+s′ . Dit leidt tot de betrekkingen

(S + T )a1 ... ar

b1 ... bs=Sa1 ... ar

b1 ... bs + T a1 ... arb1 ... bs ,

(αS)a1 ... ar

b1 ... bs=αSa1 ... ar

b1 ... bs ,

(T1 ⊗ T2)a1 ... ar

b1 ... bs

a1′ ... ar′

b1′ ... bs′=T a1 ... ar

1 b1 ... bs. T2

a1′ ... ar′

b1′ ... bs′.

Voeren we in Tp(M) een basistransformatie uit ea′ = La′beb, ω

a′

= La′

bωb, dan veranderen de

componenten van S als volgt:

Sa′1 ... a′

r

b′1 ... b′s= La′

1a1 . . . La′

rar. Lb′1

b1 . . . Lb′sbs . Sa1 ... ar

b1 ... bs(3-4.8)

(in het bijzonder geval van een verandering van lokale coordinaten, substitueren we hierin La′

a door∂xa′

∂xa en La′a door ∂xa

∂xa′ ).

De contractie C11 (T ) van T , t.o.v. een basis ea met duale basis ωa, over de eerste contravariante

en covariante indices, definieren we door

C11 (T ) = T aa2...ar

ab2...bsea2 ⊗ · · · ⊗ ear

⊗ ωb2 ⊗ · · · ⊗ ωbs . (3-4.9)

Opmerking: ook deze definitie is onafhankelijk van de gekozen basis, wat toelaat om 3-4.9 voortaande contractie van T over de eerste contravariante en covariante indices te noemen. Vanzelfsprekendkan op dezelfde manier Cp

q (T ) gedefinieerd worden.Een tensor wordt symmetrisch (respectievelijk antisymmetrisch) genoemd in de contravariante indicesp . . . p+ q naargelang

T a1...ap...ap+q...ar... = T a1...a(p...ap+q)...ar

...

ofT a1...ap...ap+q...ar... = T a1...a[p...ap+q]...ar

... . (3-4.10)

Voor een stel covariante indices verloopt de definitie analoog.Is M een varieteit, dan laat bovenstaande constructie toe om, met V = Tp(M), in elk punt p ∈ M detensorruimte T r

s (p) te bepalen. Tensorvelden van type (r, s) definieren we door met elk punt p ∈ Meen element van T r

s (p) te associeren. De verzameling van deze tensorvelden noteren we als T rs (M).

Met puntsgewijs gedefinieerde optelling en vermenigvuldiging met scalaire velden wordt ook T rs (M)

een F(M)-moduul.

M.bv. een gladde afbeelding F van een varieteit M naar een varieteit N is het vervolgens mogelijk omtensoren van de ene varieteit naar de andere ‘over te hevelen’. Definieren we eerst de pull-back F ∗(f)van een f ∈ F(N ):

F ∗f = f F ∈ F(M). (3-4.11)

Voor een gegeven vector vp ∈ Tp(M) laat dit vervolgens toe de push-forward F∗vp ∈ TF (p)(N ) tebepalen:

∀f ∈ F(N ) (F∗vp) (f) = vp(F∗f). (3-4.12)

48

Is F een 1-1 afbeelding, dan kan voor een gegeven vectorveld v ∈ T 10 (M) ook een vectorveld, de

push-forward F∗v ∈ T 10 (N ), bepaald worden door:

∀f ∈ F(N ) en ∀a ∈ M (F∗v)b (f) = vF−1(b)(F∗f) (3-4.13)

wat we kort ook schrijven als (F∗v) (f) = v(F ∗f).Ten slotte definieren we hiermee de pull-back F ∗σ van σ ∈ T 0

1 (N ) (ook als F niet 1-1 is):

∀v ∈ T 10 (M) en ∀a ∈ M (F ∗σ)a(va) = σF (a)(F∗va) (3-4.14)

wat kort geschreven wordt als (F ∗σ)v = σ(F∗v). De veralgemening tot T p0 (M) en T 0

p (M) ligt voorde hand. Noteer dat zowel F∗ als F ∗ lineaire afbeeldingen zijn. Als bovendien F een diffeomorfisme is(d.w.z. de inverse bestaat en is voldoende differentieerbaar) dan zijn met F en F−1 tensorvelden vanelk type (r, s) over te hevelen van M naar N en omgekeerd. Zo wordt bv. de push-forward van een1-vorm ω gegeven door F∗(ω) = (F−1)∗ω.

Opmerking: bij sommige auteurs bestaat de gewoonte om de begrippen contravariant en covariantte hechten aan resp. de 1-vormen en de vectoren, en dit omwille van hun gedrag onder push-forwarden pull-back.

De volgende eigenschappen zijn niet moeilijk om aan te tonen:

• Als f ∈ F(N ) dan isd(F ∗f) = F ∗(df). (3-4.15)

• Als F in lokale coordinaten xj opM en yi opN gegeven is door yi = yi(x) en σ = σidyi ∈ T 0

1 (N ),dan wordt F ∗σ bekomen door ‘substitutie’:

F ∗σ = σi(y(x))∂yi(x)

∂xjdxj . (3-4.16)

Opmerking: bekijken we een diffeomorfisme Φ : M → M : p 7→ p′ = Φ(p) dan kunnen we hiermeeeen coordinaattransformatie, of z.g. passief diffeomorfisme, associeren door x′(p′) = x(p) te stellen.Omgekeerd bepalen twee coordinaatkaarten x en x′ in hun overlappingsgebied een actief diffeomor-fisme, door het punt p met x-coordinaat xp af te beelden op het punt p′ met x′-coordinaat x′p′ = xp.

49

Hoofdstuk 4

Differentiaalvormen

4-1 Differentiaalvormen

We beschouwen in de eerste drie paragrafen van dit hoofdstuk tensoren van type (0, p) die, voorp ≥ 2, antisymmetrisch zijn in al hun covariante indices. In een gegeven punt a vormen deze tensorende vectorruimte Ωp

a(M) van p-vormen of differentiaalvormen. De verzameling van de p-vormveldennoteren we als Ωp(M). Uiteraard is dit ook weer een F(M)-moduul. We identificeren hierbij F(M)met Ω0(M) en X ∗(M) met Ω1(M). Opnieuw zullen we, als er geen mogelijkheid is tot verwarring,spreken over p-vormen, wanneer we eigenlijk p-vormvelden bedoelen. Voor wat volgt zijn vooral de2-vormen van belang. Een voorbeeld van een 2-vorm is

ω1 ⊗ ω2 − ω2 ⊗ ω1, (4-1.1)

wat we noteren als ω1∧ω2. We noemen dit het uitwendig product, wedge product of grassmannproductvan ω1 en ω2. D.m.v. bilineariteit kan deze definitie uitgebreid worden: zo is met θ1 = 2ω1 − ω3 enθ2 = ω1 + ω2 + 5ω3,

θ1 ∧ θ2 = 2ω1 ∧ ω2 + 10ω1 ∧ ω3 − ω3 ∧ ω1 − ω3 ∧ ω2

= 2ω1 ∧ ω2 + 11ω1 ∧ ω3 + ω2 ∧ ω3.

Meer algemeen vinden we voor twee 1-vormen θ1 = θ1aωa en θ2 = θ2bω

b,

θ1 ∧ θ2 = (θ1aθ2b − θ1bθ

2a)ω

a ⊗ ωb = 2!θ1[aθ2b]ω

a ⊗ ωb

en dus(θ1 ∧ θ2)ab = 2!θ1[aθ

2b]. (4-1.2)

Deze eigenschap kunnen we gebruiken om het uitwendig product van vormen van hogere orde tedefinieren:

voor θ1 ∈ Ωp(M) en θ2 ∈ Ωq(M) noemen we θ1 ∧ θ2 de (p+ q)-vorm met componenten

(θ1 ∧ θ2)a...bc...d =(p+ q)!

p!q!θ1[a...bθ

2c...d]. (4-1.3)

Voor f ∈ Ω0(M) en θ ∈ Ωp(M) spreken we af dat f ∧ θ = θ ∧ f = fθ. Hieruit volgt dat ∧ bilineairis en tevens voldoet aan

θ1 ∧ θ2 = (−1)pqθ2 ∧ θ1 (4-1.4)

enθ1 ∧ (θ2 ∧ θ3) = (θ1 ∧ θ2) ∧ θ3. (4-1.5)

50

Het uitwendig product van meerdere 1-vormen is dus duidelijk lineair in elke variabele en verdwijntwanneer twee of meer variabelen gelijk zijn.

Let op: de definitie 4-1.3 verschilt van deze in Hawking & Ellis en Kramer et al. met de factor (p+q)!p!q! .

Ze heeft echter het voordeel dat in latere formules een geringer aantal numerieke coefficienten optreedt.Een basis van Ωp

a(M) wordt gegeven door de (np ) onafhankelijke p-vormen

ωa1 ∧ · · · ∧ ωap =∑

σ

(−1)σωσ(a1) ⊗ · · · ⊗ ωσ(ap), (4-1.6)

waarbij de som genomen wordt over alle permutaties van a1, . . . , ap (1 ≤ a1 < · · · < ap ≤ n).

De componenten θa1...apvan een p-vorm voldoen bij definitie aan θ = θa1,...,ap

ωa1 ⊗ · · · ⊗ ωap , zodat

θa1...ap= θ(ea1 , . . . , eap

). (4-1.7)

Ze kunnen ook afgelezen worden door θ uit te schrijven in de basis 4-1.6:

θ =1

p!θa1...ap

ωa1 ∧ · · · ∧ ωap (4-1.8)

=∑

a1<a2<···<ap

θa1...apωa1 ∧ · · · ∧ ωap . (4-1.9)

I.h.b. geldt dat ∀k (1 ≤ k ≤ n)

ω1 ∧ ω2 ∧ · · · ∧ ωk(e1, e2, . . . ek) = 1. (4-1.10)

Een p-vorm ω wordt simpel genoemd als er p 1-vormen αk bestaan zo dat

ω = α1 ∧ . . . ∧αp.

Voor elke v ∈ X (M) kunnen we een afbeelding construeren iv : Ωp+1(M) → Ωp(M), bepaald door

ivθ(u1, . . .up) = θ(v, u1, . . .up), (4-1.11)

dikwijls ook genoteerd als ivθ = vyθ. Er geldt dan

ivθ = C11 (v ⊗ θ), (4-1.12)

of(ivθ)a1...ap

= vaθaa1...ap. (4-1.13)

Een bijzonder geval hiervan is de betrekking

ieaωb = δba. (4-1.14)

Voorbeeld: met v = 2e1 − e2 en θ = 3ω1 + ω2 + ω3 is

ivθ = 2ie1θ − ie2θ = 6− 1 = 5.

Passen we de definitie 4-1.11 toe op θ = θ1 ∧ θ2 met θ1 = θ1aωa, θ2 = θ2bω

b, dan vinden we

ivθ(u) = θ(vaea, u

beb) = vaubθ(ea, eb)

= vaubθab = vaub(θ1aθ2b − θ1bθ

2a)

= (θ1ava)(θ2bu

b)− (θ2ava)(θ1bu

b)

=((ivθ

1)θ2 − (ivθ2)θ1

)u

51

en dusiv(θ

1 ∧ θ2) = (ivθ1)θ2 − θ1(ivθ2). (4-1.15)

Ook deze ‘leibniz-achtige’ eigenschap kan veralgemeend worden tot vormen van hogere orde: voor alleα ∈ Ωp(M) en β ∈ Ωq(M) geldt:

iv(α ∧ β) = (ivα) ∧ β + (−1)pα ∧ (ivβ). (4-1.16)

Omwille van de lineariteit van de afbeelding iv en voorgaande eigenschap, noemen we iv ook wel deinwendige afgeleide. We spreken af dat voor f ∈ F(M) geldt ivf = 0.

oefening

1. Gegeven het vectorveld v = ∂x + x∂y , bepaal alle 1-vormen ω = a(x, y)dx + b(x, y)dy zo datω(v) = 0.

2. Gegeven het 1-vormveld ω = xdy + ydx, bepaal alle vectorvelden v = a(x, y)∂x + b(x, y)∂y zo datω(v) = 0.

3. Bepaal functies α(x, y) en β(x, y) zo dat de 1-vorm ω = dx + xdy te schrijven valt als ω = αdβ.Wat is het verband met de integraalkrommen van de vectorvelden v waarvoor ω(v) = 0?

4-2 Uitwendige afleiding

In 3-3 definieerden we reeds de uitwendige afgeleide van een afbeelding f ∈ F(M), namelijk de 1-vormdf = f,idx

i. Aan een 1-vorm θ = θidxi kunnen we vervolgens een 2-vorm associeren door te stellen

dθ = d(θi) ∧ dxi = θi,jdxj ∧ dxi.

Hiermee is voldaan aan de eigenschappen (ga na)

d(θ1 + θ2) = dθ1 + dθ2,

d(fθ) = df ∧ θ + fdθ,

d(df) = 0,

waarbij in de derde eigenschap gebruik gemaakt werd van de symmetrie van de tweede afgeleide:d(df) = d(f,idx

i) = f,i,jdxj ∧ dxi = 0. We kunnen nu van deze eigenschappen gebruik maken om

de uitwendige afgeleide te definieren voor vormen van hogere orde, door te postuleren dat voor α ∈Ωp(M), β ∈ Ωq(M) en f ∈ F(M):

(i) d(α+ β) = d(α) + d(β) (4-2.1)

(ii) d(α ∧ β) = (dα) ∧ β + (−1)pα ∧ d(β) (4-2.2)

(iii) df = f,idxi (4-2.3)

(iv) d(df) = 0 (4-2.4)

De operator d is hierdoor uniek bepaald, immersVoor een willekeurige p-vorm α = 1

p!αi1...ipdxi1 ∧ · · · ∧ dxip impliceert dit

dα =1

p!αi1...ip,jdx

j ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxip . (4-2.5)

Voor alle p-vormen α volgt dand(dα) = 0. (4-2.6)

52

Een expliciete uitdrukking voor de uitwendige afgeleide dω van een willekeurige p-vorm ω wordtgegeven door de volgende betrekking:

(dω)(v1, ...,vp+1) ≡p+1∑

s=1

(−1)s−1vs(ω(v1, ..., vs, ...,vp+1))

+∑

1≤r<s≤p+1

(−1)r+sω([vr,vs],v1, ..., vr, ..., vs, ...,vp+1), (4-2.7)

waarbij het ‘kapje’ boven een vector, vs, aangeeft dat deze vector ontbreekt in de opgegeven lijst.Voorbeeld: met ω een 1-vorm, wordt de 2-vorm dω bepaald door

(dω)(x,y) ≡ x (ω(y))− y (ω(x))− ω([x,y]). (4-2.8)

Dat (4-2.8) inderdaad een bilineaire vorm bepaalt, ondanks het optreden van de afgeleiden van x eny blijkt als volgt:

(dω)(fx,y) = (fx) (ω(y))− y (fω(x))− ω([fx,y])= f [x(ω(y))− y(ω(x))− ω([x,y])]− y(f)ω(x) + ω (y(f)x)

= f(dω)(x,y).

Een belangrijk bijzonder geval wordt bekomen door voor x,y twee basisvectorvelden ea, eb te kiezen.We vinden dan (met ωa de duale basis)

− (dωc)(ea, eb) = Dcab (4-2.9)

en dus

dωc = −1

2Dc

abωa ∧ ωb. (4-2.10)

Deze laatste betrekking volgt ook rechtstreeks door de uitwendige afgeleide te beschouwen van de uit-drukking df = f|aω

a voor willekeurige f (ga na!).

De volgende stellingen (waarvan de omgekeerden triviaal zijn) worden vrij vaak gebruikt; ze geldenenkel lokaal en we vermelden ze zonder enige vorm van bewijs:

(i) poincarestelling :

als α ∈ Ωp(M) (p ≥ 1) en dα = 0 dan bestaat een β ∈ Ωp−1(M) zo dat α = dβ,

(ii) frobeniusstelling : als σ een 1-vorm is, dan geldt

σ ∧ dσ = 0 ⇔ ∃f, g ∈ M : σ = fdg. (4-2.11)

Oefening

Toon aan dat de in R2 \ 0 gedefinieerde 1-vorm ω = (xdy − ydx)/(x2 + y2) weliswaar gesloten is(dω = 0), maar niet globaal exact (d.w.z. er bestaat geen globaal gedefinieerde f(x, y) zo dat ω = df).

53

Opmerking

Het resultaat 3-4.15 is te veralgemenen tot willekeurige p-vormen: als F een afbeelding is van M naarN dan geldt

∀α ∈ Ωp(N ) : d(F ∗α) = F ∗(dα) (4-2.12)

4-3 Integratie van vormen

4-3.1 Orientatie

Kiezen we een n-vorm Ω op een vectorruimte V , dan laat deze keuze ons toe om V te orienteren:een basis (e1, . . . en) wordt een positieve basis genoemd als Ω(e1, . . . en) > 0. Elke basis (e′1, . . .e

′n) =

(e1, . . . en)L die met (e1, . . .en) gelijkgeorienteerd is, in de zin dat detL > 0, is dan eveneens eenpositieve basis (ga na!). Elke n-vorm kΩ met k ∈ R en k > 0 orienteert M uiteraard op dezelfdemanier.Een differentiaalvarieteitM wordt orienteerbaar genoemd als een Ω ∈ Ωn(M) bestaat die nergens 0 is.Een dergelijke n-vorm wordt een volumevorm opM genoemd. Is M orienteerbaar dan kan M overdektworden met kaarten waarvoor, in de betreffende overlappingsgebieden, de jacobiaanse determinantenallemaal positief zijn: het is dan immers mogelijk om op consistente wijze de coordinaatbasissen inde rakende ruimten zo te kiezen dat ze allemaal positief georienteerd zijn. We zeggen dat we Mvoorzien hebben van een orientatie of dat we M georienteerd hebben door de keuze van Ω (elkeandere volume-vorm f(x)Ω met f een positieve functie op M leidt uiteraard tot dezelfde orientatievan M). In wat volgt onderstellen we steeds dat M georienteerd is door de keuze van een volumevormΩ en definieren we, voor een willekeurige basis (e1, . . . en), o(e1, . . .en) = sgn (Ω(e1, . . .en)), evenalso(x) = o(∂x1 , . . . , ∂xn).

4-3.2 Integratie van vormen

Bekijken we eerst het geval van een 1-dimensionale georienteerd varieteit M. Is x een positiefgeorienteerde kaart (o(x) = 1) op M en θ ∈ Ω1(M), dan wordt θ in lokale coordinaten voorgestelddoor θ = f(x)dx en definieren we

∫θ als de gewone riemannintegraal

∫

θ =

∫

R

f(x)dx. (4-3.1)

Noteer dat, bij overgang op een nieuwe positieve kaart x′ de jacobiaan ∂x/∂x′ ‘automatisch’ zijnintrede doet, zodat deze definitie coordinaatonafhankelijk is: als θ = f(x)dx = g(x′)dx′, dan isg(x′) = f(x(x′)) ∂x

∂x′ = f(x(x′))| ∂x∂x′ | zodat∫

R

f(x)dx =

∫

R

g(x′)dx′.

Bekijken we nu het geval n = 2 met, t.o.v. een positieve kaart (x, y), θ = f(x, y)dx ∧ dy en definierenwe opnieuw

∫θ als de gewone riemannintegraal,

∫

θ =

∫

R2

f(x, y)dxdy. (4-3.2)

Opnieuw stellen we vast dat deze definitie coordinaatonafhankelijk is, omdat in de transformatiefor-

54

mules voor 2-vormen ‘automatisch’ met de jacobiaan wordt rekening gehouden:

θ = f(x, y)dx ∧ dy = f(x(x′, y′), y(x′, y′))(∂x

∂x′dx′ +

∂x

∂y′dy′) ∧ (

∂y

∂x′dx′ +

∂y

∂y′dy′)

= f(x(x′, y′), y(x′, y′))(∂x

∂x′∂y

∂y′− ∂y

∂x′∂x

∂y′)dx′ ∧ dy′

= f(x(x′, y′), y(x′, y′)) |det[

∂x∂x′

∂x∂y′

∂y∂x′

∂y∂y′

]

|dx′ ∧ dy′

= g(x′, y′)dx′ ∧ dy′

en dus∫f(x, y)dx ∧ dy =

∫g(x′, y′)dx′ ∧ dy′.

Deze eigenschap blijft algemeen geldig en toont aan dat de natuurlijke objecten die in aanmerkingkomen voor integratie op een n-dimensionale varieteit precies de n-vormen zijn:zij U open ⊂ R

n en ω ∈ Ωn(U) met compacte drager in U (m.a.w. ω1...n ≡ ω( ∂∂x1 , . . .

∂∂xn ) heeft een

compacte drager in U). We definieren dan∫ω als de riemannintegraal,

∫

ω =

∫

Rn

ω1...ndx1 . . . dxn, (4-3.3)

wat, t.g.v. de transformatieformules voor ω1...n, onafhankelijk is van de gekozen coordinaten:

ω1′...n′ =∂xi1

∂x1′. . .

∂xin

∂xn′ ωi1...in

=ei1...in∂xi1

∂x1′. . .

∂xin

∂xn′ ω1...n

=det(∂x

∂x′) ω1...n (4-3.4)

(ei1...in = ei1...in is het permutatiesymbool op de n indices i1, . . . , in: dit zijn geen tensorcomponenten!).Stel nu dat ω ∈ Ωn(M) een compacte drager heeft, gelegen in U , met (U,Φ) een kaart in M. Wekunnen dan Φ∗ω ∈ Ωn(Rn) vormen en m.b.v. de transformatieformules aantonen dat, voor elke anderekaart (V, Ψ) met drager van ω ⊂ V ,

∫Φ∗ω =

∫Ψ∗ω. Vandaar de definitie

∫

ω =

∫

Φ∗ω. (4-3.5)

In lokale coordinaten xi, met ω = u(x)dx1 ∧ · · · ∧dxn, komt deze definitie gewoon neer op de bepalingvan de riemannintegraal

∫u(x)dx1 . . . dxn. In de differentiaalmeetkunde wordt aangetoond dat deze

procedure te veralgemenen is voor n-vormen waarvan de drager niet noodzakelijk gelegen is binnenhet domein van een enkele kaart (hiervoor worden dan z.g. partities van de eenheid gebruikt).Belangrijk is dat de zo gedefinieerde integraal invariant is onder diffeomorfismen: als F : M → N een(orientatiebewarend) diffeomorfisme is, dan geldt

∫

ω =

∫

F ∗ω. (4-3.6)

Om de hierboven aangehaalde redenen noemt men een n-vorm Ω ∈ Ωn(M) op een n-dimensionalevarieteit M (zo dat Ω nergens 0 is) ook wel een volumevorm op M.In oudere literatuur wordt integratie op een varieteit meestal ingevoerd via scalardichtheden of den-sities, nl. objecten S die bij een verandering van lokale coordinaten transformeren als S ′(x′) =det( ∂x

∂x′ ) S(x), zodat ∫

S ′dx1′

. . . dxn′

=

∫

Sdx1 . . . dxn. (4-3.7)

55

Het bestaan van dergelijke objecten komt dus duidelijk neer op het bestaan van een volumevorm Ω,die toelaat om voor een gegeven scalaire functie met compacte drager f ∈ F(M) de integraal van fm.b.t. Ω te definieren als ∫

f =

∫

fΩ. (4-3.8)

Later zullen we zien dat het bestaan van een metrische structuur op M toelaat om een canoniekevolumevorm Ω te definieren, zodat we op intrinsieke wijze zullen kunnen spreken van ‘de’ integraalvan f als f ∈ F(M) een compacte drager heeft.

We eindigen deze paragraaf met de stelling van Stokes en definieren hiertoe eerst het begrip van eenvarieteit met een rand :

stel 12R

n = x ∈ Rn; x1 ≤ 0 en vervang in de definitie van kaarten, atlassen enz. Rn door 12R

n: webekomen dan een varieteit M met rand ∂M, die in lokale coordinaten gegeven is door x1 = 0. Stel nuα ∈ Ωn−1(M) met compacte drager en stel M orienteerbaar. De stelling van Stokes zegt dan

∫

∂Mα =

∫

Mdα, (4-3.9)

waarbij het linkerlid eigenlijk staat voor∫

∂M i∗α met i de inclusie ∂M → M. Let op het verschil metbv. Hawking & Ellis, waar het rechterlid van 4-3.9 een extra factor n bevat: dit vindt zijn verklaringin de verschillende definities van het uitwendig product.We schetsen het bewijs. T.g.v. de definities van integratie van vormen en van 4-3.6 volstaat het inlokale coordinaten te werken met α = u(x1, x2, . . . xn)dx2 ∧ . . . dxn ∈ Ωn−1(U), U ⊂ Rn, ∂U gegevendoor x1 = 0 en met de drager van u compact. We hebben dan dα = ∂u

∂x1dx1 ∧ dx2 · · · ∧ dxn, zodat

α2...n = u en (dα)1...n = ∂u∂x1 .

Als ∂U = ∅ dan is ∫

∂U

α = 0 =

∫

Rn−1

(

∫

R

∂u

∂x1dx1)dx2 . . . dxn =

∫

U

dα

(vermits de drager van u compact is).Anderzijds geldt als ∂U 6= ∅

∫

∂U

α =

∫

Rn−1

u(0, x2, . . . xn)dx2 . . .dxn

=

∫

Rn−1

(

∫ 0

−∞

∂u

∂x1dx1)dx2 . . . dxn

=

∫

U

∂u

∂x1dx1 . . .dxn

=

∫

U

dα.

Opmerking: vervangen we in bovenstaande eigenschap α door dα, dan stellen we vast (gebruikmakend van ddα = 0) dat voor alle α voldaan is aan

∫

∂∂U

α = 0,

wat verklaart waarom de eigenschap d2 = 0 soms uitgedrukt wordt als de rand van een rand is nul ...

4-4 Lie-afleiding

Wat volgt is van belang bij de behandeling van symmetrieen op een varieteit. We beginnen met eenlokale congruentie van krommen te beschouwen (m.a.w. een familie van krommen, zo dat door elk

56

punt p ∈ U ⊂ M precies een kromme γp gaat), evenals het ermee geassocieerde vectorveld v ∈ X (U),waarvoor dus geldt vp = [γp]p.De krommen γp worden in lokale coordinaten gegeven door xi = yi(t), met de functies yi oplossingenvan het stelsel differentiaalvergelijkingen

dyi

dt= vi(y1(t), . . . yn(t)) (4-4.1)

onder de beginvoorwaarden yi(0) = xi(p).Voor |t| voldoende klein en vast gekozen, kunnen we elk punt p ∈ U meeslepen langs γp over eenparameterafstand t, door p af te beelden op γp(t). Men toont aan dat deze afbeelding

Φt : p 7→ γp(t) (4-4.2)

een lokaal diffeomorfisme is voor voldoend kleine waarden van |t| en bovendien dat Φt Φs = Φt+s.Met p vast geldt dan d

dt (xi Φt(p)) = vi.

Kiezen we in een omgeving van een punt lokale coordinaten zk zo dat v = ∂∂z1 , dan wordt in deze

omgeving (de coordinaatvoorstelling van) Φt gegeven door

Φt(p) = (z1p + t, z2p, . . . , znp ). (4-4.3)

De lie-afgeleide van een tensorveld T ∈ T rs (M) wordt nu bekomen door de pull-back van TΦt(p) te

vergelijken met Tp zelf:

LvT = limt→0

1

t(Φ∗

tT − T ) = d

dt(Φ∗

tT )|t=0 (4-4.4)

(noteer dat Φ∗tT en T behoren tot dezelfde vectorruimte T r

s (p)).Uit de eigenschappen van de pull-back volgt onmiddellijk dat Lv:

1. tensoren van een bepaald type omzet in tensoren van hetzelfde type,

2. een lineaire operator is die commuteert met contracties,

3. aan de leibnizeigenschap voldoet:

Lv(T1 ⊗ T 2) = (LvT

1)⊗ T 2 + T 1 ⊗ (LvT2). (4-4.5)

We vermelden enkele belangrijke eigenschappen van de lie-afgeleide:

i) Voor f ∈ F(M) geldtLuf = u(f). (4-4.6)

Bewijs:

Luf |p = limt→0

1

t[(Φ∗

t f)(p)− f(p)]

= limt→0

1

t[f Φt(p)− f(p)]

= limt→0

1

t[f(yi(t))− f(yi(0))]

=∂f

∂yi|pdyidt

(0)

=u(f)|p.

57

of, gebruik makend van de lokale coordinaten zk:

Luf |p = limt→0

1

t[f(z1 + t, z2, . . . , zn)− f(z1, z2, . . . , zn)]

=∂f

∂z1|0

=up(f).

ii) Voor een vectorveld v ∈ X(M) is

Luv =∂vi

∂xjuj

∂

∂xi− vj

∂ui

∂xj∂

∂xi= [u, v]. (4-4.7)

Bewijs:

(Luv)i = lim

t→0

1

t[vi(z1 + t, z2, . . . , zn)− vi(z1, z2, . . . , zn)]

=∂vi

∂z1|0

=up(vi)

=up(vi)− vp(ui) (want ui = 1 of 0)

=[u, v]ip.

iii) Gebruik makend van 4-4.7 en van het feit dat lie-afleiding commuteert met contracteren, geldtvoor 1-vormen ω:

Luω =∂ωi

∂xjujdxi + ωj

∂uj

∂xidxi. (4-4.8)

Immers,

Lu(ω ⊗ ∂

∂xi) = (Luω)⊗

∂

∂xi+ ω ⊗ Lu

∂

∂xi,

zodat na contractie,

Lu(ωi) = (Luω)i + ωj[u,∂

∂xi]j ,

of

(Luω)i = u(ωi) + ωj[∂

∂xi, u]j

= ωi,juj + ωju

j,mδ

mi = ωi,ju

j + ωjuj,i.

iv) Voor ω ∈ Ωk(M) geldtLuω = iu(dω) + d(iuω) (4-4.9)

wat we ook kort noteren alsLu = iu d+ d iu, (4-4.10)

de z.g. cartan-homotopiebetrekking.

We tonen de betrekking aan voor een 1-vorm ω. Wegens 4-4.5 werkt de 1-vorm Luω op eenvectorveld v als volgt:

(Luω) (v) = Lu (ω(v))− ω (Luv) = u (ω(v))− ω([u,v]).

58

Vergelijken we dit met betrekking (4-2.8) voor dω dan blijkt dat

(Luω) (v) = (dω) (u,v) + v (ω(u)) .

We herschrijven dit als(Luω) (v) = (iu (dω)) (v) + v (iuω) .

Merk op dat iuω een scalair is en dus

v (iuω) ≡ (d (iuω)) (v).

Alzo vinden we(Luω) (v) = (iu (dω) + d (iuω)) (v).

Voor willekeurige k-vormen kan de betrekking bekomen worden uit het feit dat linker– en rechterlidvan 4-4.10 zich gedragen als derivaties en door deze te laten werken op een uitwendig product vanvormen van lagere orde.

v) Een gevolg van (iv) is dat lie-afleiding commuteert met uitwendige afleiding: voor ω ∈ Ωk(M)geldt

d(Luω) = Ludω. (4-4.11)

vi) Voor een willekeurige tensor T veralgemenen 4-4.7 en 4-4.8 zich tot

(LuT )ij...

kl... =umT ij...

kl... , m − Tmj...kl...u

i,m − . . . [alle boven-indices]

+ T ij...ml...u

m,k + . . . [alle onder-indices] (4-4.12)

Let op: bovenstaande formules gelden enkel in holonome basissen. In een anholonome basis komter

(Luv)a = ucva|c − vcua|c + ucvdDa

cd.

vii) Toon aan datLu Lv − Lv Lu = L[u,v]. (4-4.13)

Aanwijzing: toon eerst aan dat het linkerlid lineair is, aan de leibnizeigenschap voldoet en com-muteert met contracties. Het volstaat dan om de betrekking enkel nog te bewijzen voor scalairenen vectorvelden.

59

Hoofdstuk 5

Connecties en kromming

5-1 Covariante afleiding

Alhoewel de lie-afgeleide van een afbeelding f ∈ F(M) m.b.t. een vector v in een punt p preciesde richtingsafgeleide is van f (zie 4-4.6), is de lie-afgeleide van een tensor duidelijk geen geschikteveralgemening van het begrip richtingsafgeleide in een punt : in 4-4.12 treden immers nog de afgeleidenop van de componenten van v zelf! Om over de ‘richtingsafgeleide van een tensor’ te kunnen spreken,zijn we verplicht een extra structuur op de varieteit M op te leggen:een connectie ∇ (in een punt van M) is een operator, die met elk vectorveld v een operator ∇v :X (M) → X (M) associeert, zo dat

(i) voor u, v, w ∈ X (M) en f , g ∈ F(M)

∇fu+gv(w) = f∇uw + g∇vw, (5-1.1)

(ii) voor u, v, w ∈ X (M) en α, β ∈ R

∇u(αv + βw) = α∇uv + β∇uw, (5-1.2)

(iii) voor u, v ∈ X (M) en f ∈ F(M)

∇u(fv) = u(f)v + f∇uv. (5-1.3)

Met behulp van de differentiaalstructuur op M alleen is het niet mogelijk zulke operator ∇ te con-strueren. Het bestaan van ∇ is dus een extra veronderstelling die men over M maakt. De gegevendefinitie is vrij abstract, maar in de volgende paragrafen zal blijken dat aan het opleggen van de∇-structuur wel degelijk een fysische interpretatie gekoppeld is.Noteer dat voorwaarde (i) garandeert dat ∇vw|p enkel afhangt van de componenten van v in p en nietvan hun afgeleiden. Immers als vp = vp dan bestaan lokale coordinaten zodat ∇vw|p = vi(p)∇ ∂

∂xiw|p

= vi(p)∇ ∂

∂xiw|p = ∇vw|p.

We noemen (∇vu)p de covariante afgeleide (m.b.t. de connectie ∇) van u in de richting van vp. Danis ook ∇u het tensorveld van type (1, 1) dat, wanneer gecontracteerd met v, het vectorveld ∇vu

oplevert:∇u = ∇bu⊗ ωb, (5-1.4)

waarbij we ∇eb= ∇b noteren.

De werking van de covariante afgeleide kan d.m.v. lineariteit uitgebreid worden tot willekeurige ten-sorvelden door af te spreken dat voor alle u ∈ X (M), f ∈ F(M) en tensorvelden T , S: (i) deleibnizregel geldt,

60

∇u(T ⊗ S) = (∇uT )⊗ S + (T ⊗∇uS), (5-1.5)

en (ii)

∇uf = u(f). (5-1.6)

Hieruit volgt dat de covariante afgeleide commuteert met contracties (toon aan) en dat ∇u tensorenafbeeldt op tensoren van het zelfde type. We zullen voortaan ωa(∇bu) noteren als ua;b : dit is dus dea-component van ∇eb

u, niet de ∇ebvan de functie ua!

De covariante afgeleide van u in de richting van v zal dan gegeven worden door

∇vu = (ua;bvb)ea. (5-1.7)

In het algemeen geldt dus voor T = T a1...b1...ea1 ⊗ · · · ⊗ ωb1 ⊗ . . . :

∇uT = uc∇cT = T a1...b1...;cu

cea1 ⊗ · · · ⊗ ωb1 ⊗ . . . . (5-1.8)

In overeenstemming met 5-1.4 definieren we het tensorveld ∇T dan door

∇T = T a1...b1...;cea1 ⊗ · · · ⊗ ωb1 ⊗ · · · ⊗ ωc. (5-1.9)

T.g.v. de eigenschappen 5-1.1-5-1.6 zal het volstaan om de covariante afgeleiden van de basisvectorente bepalen om de covariante afgeleide van een willekeurige vector te kennen. Daartoe voeren we decomponenten Γc

ab van de vectoren ∇ebea in, die we kort ook noteren als ∇bea:

∇bea = Γcabec (5-1.10)

(let op de volgorde van de indices en het verschil met bv. Hawking & Ellis). We noemen dan

Γcab = ω

c(∇bea) (5-1.11)

de connectiecoefficienten.Gebruik de eigenschappen van ∇ (oefening!) om aan te tonen dat voor de duale basis volgt

∇bωa = −Γa

cbωc (5-1.12)

en, meer algemeen, voor u,v ∈ T 10 en σ ∈ T 0

1 ,

(∇uσ)v = u(σ(v))− σ(∇uv). (5-1.13)

De componenten ua;c van de covariante afgeleide van u ∈ T 10 (M) kunnen dan afgelezen worden uit

∇cu = ∇c(uaea) = (ua|c + Γa

dcud)ea = ua;cea:

ua;c = ua|c + Γadcu

d. (5-1.14)

Voor 1-vormvelden σ ∈ T 01 (M) kan nu gemakkelijk worden aangetoond (oefening!) dat

σa;c = σa|c − Γdacσd, (5-1.15)

terwijl voor tensorvelden T ∈ T rs (M)

T a1...arb1...bs;c =(T a1...ar

b1...bs)|c + Γa1dcT

d...arb1...bs + . . . [alle boven-indices ]

− Γdb1cT

a1...ard...bs − . . . [alle beneden-indices ]. (5-1.16)

N.B.: let op de tekenverschillen met de lie-afgeleide!

61

Uit 3-2.5, 3-3.11 en 5-1.11 volgt dat de connectiecoefficienten niet transformeren zoals de componentenvan een tensor:

Γa′

b′c′ = La′

a(ec′(Lb′a) + Lb′

bLc′cΓa

bc) (5-1.17)

of, i.h.b. voor lokale coordinaten x en x′,

Γi′j′k′ =

∂xi′

∂xi(

∂2xi

∂xj′∂xk′ +∂xj

∂xj′∂xk

∂xk′ Γijk). (5-1.18)

Noteer echter dat voor twee connecties ∇ en ∇ geldt ∇u−∇u = (Γabc−Γ

abc)u

bea⊗ωc, zodat, gezienhet linkerlid een tensor is voor alle u, (Γa

bc−Γabc)ω

b ⊗ ea⊗ωc wel een tensor is. Kort zeggen we dat‘het verschil van twee connecties een tensor is’.

5-2 Parallel transport

Het bestaan van een connectie laat toe om de covariante afgeleide van een tensor langs een krommete bepalen: zij γ : I → M een kromme in M, waarvan de vergelijking in lokale coordinaten gegeven

is door xi = xi(t). Zij u de rakende vector aan γ, nl. ui = dxi

dt en zij T een tensorveld gedefinieerd opγ(I). We extenderen dit vectorveld vervolgens op een omgeving van γ(I) en definieren de covarianteafgeleide van T langs γ als het tensorveld ∇uT . We noteren dit als D

dtT en men kan aantonen dat deevaluatie van dit veld op γ onafhankelijk is van de oorspronkelijk gekozen extensie. Voor een 1-vormσ geldt dus

(D

dtσ

)

a

= σa;bub, (5-2.1)

terwijl voor een vector v en gebruik makend van lokale coordinaten x,

Dvi

dt≡(D

dtv

)i

= vi;jdxj

dt=

dvi

dt+ Γi

kjvk dx

j

dt. (5-2.2)

We zeggen dat de tensor T parallel getransporteerd wordt langs γ als

D

dtT = 0. (5-2.3)

Parallel transport langs een kromme van een punt p naar een punt q is duidelijk een lineaire afbeeld-ing van T r

s (p) naar T rs (q) en is, vermits basisvectoren worden omgezet in basisvectoren (toon aan!),

bovendien een isomorfisme tussen Tp(M) en Tq(M).Een (affiene) geodeet1 wordt gedefinieerd als een kromme in M waarvan de rakende vector parallellangs zichzelf getransporteerd wordt:

D

dtu = ∇uu = f(t)u (5-2.4)

(met ui = dxi

dt en met xi = xi(t) de voorstelling van γ in lokale coordinaten).Toon aan dat steeds een gepaste herparametrizering bestaat (oefening!) van de parameter van γ,zodat de geodetische vergelijking 5-2.4 te herschrijven valt als ∇uu = 0, m.a.w.

Dui

ds≡ d2xi

ds2+ Γi

jkdxj

ds

dxk

ds= 0 (5-2.5)

Zulke parameter s (uniek op affiene transformaties s 7→ as + b na) noemen we een affiene parameterlangs γ. Noteer dat we m.bv. een affiene parameter affiene afstanden kunnen vergelijken tussen puntengelegen op een zelfde geodeet (echter niet tussen punten gelegen op verschillende geodeten, t.g.v. deonbepaaldheid in de affiene parameters).

1strikt gezien zouden we de naam geodeet moeten voorbehouden voor de maximale extensie van de oplossingen van5-2.4

62

5-3 Normale coordinaten

Uit de existentiestelling voor stelsels van gewone differentiaalvergelijkingen volgt dat, voor elke keuzevan p = γ(0) en v|p = γ(0) = dγ

ds |0, een unieke geodeet γv(s) bestaat, waarbij s gelegen is in een openinterval I ⊂ R (als I =] − ∞, +∞[ dan noemen we γ een volledige geodeet). Als γ(s) een geodeetis, dan is γ(λs) (λ ∈ R) eveneens een geodeet, met beginsnelheid λγ(0). Voor een voldoend kleineomgeving V van 0 ∈ Tp(M) zijn alle geodeten dus zeker gedefinieerd op [0, 1]. Dit laat toe om elkelement vp ∈ V af te beelden op het punt γ(1), dat een parameter-afstand 1 verwijderd is van p langsde geodeet γv , die voldoet aan [γv]p = vp. Dit definieert de exponentiele afbeelding exp:

expp : V ⊂ Tp(M) → M : vp = [γv]p 7→ γv(1). (5-3.1)

Uit de homogeniteit van de geodetische vergelijkingen 5-2.5 volgt dan tevens, vermits γtv(λ) = γv(λt),

expp(tv) = γv(t)

Men kan aantonen dat expp een diffeomorfisme is van een omgeving V van 0 ∈ Tp(M) op een omgevingN van p ∈ M. Bovendien kan men V klein genoeg kiezen zodat N convex is (d.w.z. door elk paarpunten van N gaat precies een, volledig in N gelegen, geodeet). Dit diffeomorfisme bepaalt eenlokale kaart xi, door aan punten q ∈ N de standaard coordinaten xi van expp

−1(q) te geven. In het

coordinatenstelsel xi corresponderen de geodeten door p dan precies met de rechten door 0. In het

bijzonder geldt d2xi

ds2 |0 = 0 of

Γi(jk)(p) = 0. (5-3.2)

Men noemt deze xi (geodetische) normale coordinaten en de omgevingen N convexe normale omgevin-gen.

5-4 Symmetrische connecties

Uit 5-2.5 volgt duidelijk dat informatie over de geodeten vanM enkel informatie zal kunnen verschaffenover het symmetrische deel Γi

(jk) van de connectie in lokale coordinaten. Daarom zullen we voortaanonderstellen dat in een lokale coordinaatbasis Γi

[jk] = 0, m.a.w. ∀f ∈ F(M)

f;i;j = f;j;i. (5-4.1)

Voor twee willekeurige vectoren u en v impliceert dit

(∇uv −∇vu)i = [u,v]i,

zodat het symmetrisch zijn van een connectie op invariante wijze kan uitgedrukt worden door

T (u, v) ≡ ∇uv −∇vu− [u,v] = 0. (5-4.2)

De tensor van type (1, 2) die door het linkerlid gedefinieerd wordt (oefening: toon aan dat dit weldegelijk een tensor is), noemen we de torsietensor en een connectie die aan 5-4.2 voldoet een torsievrijeconnectie. Uitgedrukt in basisvectoren geldt dan

2Γc[ab] = −Dc

ab (5-4.3)

en dus i.h.b. voor een coordinaatbasis Γi[jk] = 0. Hieruit volgt bovendien dat 5-4.1 geldig is in een

willekeurige anholonome basis: f;a;b = f;b;a.We noemen zulke connectie daarom ook wel een symmetrische connectie. Een torsievrije connectiekan dus volledig bepaald worden uit de studie van haar geodeten.

63

Met bovenstaande uitspraak bedoelen we wel degelijk dat de geodetische afbeeldingen s 7→ γ(s) gekendmoeten zijn. Kent men enkel de beelden in M van deze afbeeldingen, dan is hieruit —voor eentorsievrije connectie— de connectie enkel op projectieve transformaties,

Γcab 7→ Γ′c

ab = Γcab + δcaψb + δcbψa, (5-4.4)

na te bepalen (met ψ een willekeurig vectorveld). We zeggen in dat geval dat Γ en Γ′ projectiefequivalent zijn.

Oefening

Toon aan dat 5-4.4 inderdaad een nodig en voldoende voorwaarde is voor projectieve equivalentie.Aanwijzing: dat de voorwaarde voldoende is, is gemakkelijk te bewijzen. Om aan te tonen dat zeook nodig is, veronderstel je eerst het bestaan van twee connecties ∇ en ∇, zo dat voor willekeurigevectoren u geldt dat ∇uu = fu (f een functie), van zodra ∇uu = 0. Deduceer hieruit het bestaanvan een tensor Ci

jk met de eigenschap dat

(Cijkδ

mn − Cm

jkδin)u

jukun = 0.

Enige index-manipulaties laten je vervolgens toe om het bestaan aan te tonen van een 1-vormveld ψzo dat Ci

jk = δijψk + δikψj .

Een torsievrije connectie biedt bovendien het voordeel dat in uitdrukkingen voor de uitwendige afgeleideof de lie-afgeleide ‘komma’s vervangen mogen worden door punt-komma’s’. Zo betekent bv. 5-4.2 dat

Luv = ∇uv −∇vu. (5-4.5)

Ook geldt nu voor de basis-1-vormen dat

dωa =ωai,jdx

j ∧ dxi = ωai;jdx

j ∧ dxi

=Γabcω

b ∧ ωc. (5-4.6)

Bij de afleiding van deze betrekking maken we gebruik van 5-1.12, nl.

Γcab = −ωc

j;iebiea

j . (5-4.7)

Er geldt immers dat ∇bωa = ejb∇jω

a = ejbωai;jdx

i. Toon ook aan (oefening!) dat

Γcab = eja;ieb

iωcj . (5-4.8)

Introduceren we ten slotte de connectievormen Γab ∈ Ω1(M) door

Γab = Γa

bcωc, (5-4.9)

dan bekomen we uit 5-4.6 de z.g. eerste structuurvergelijkingen van Cartan

dωa = −Γab ∧ ωb. (5-4.10)

Merk op dat, voor een gegeven basis, enkel de combinaties Γc[ab] uit 5-4.10 kunnen opgelost worden,

wat volledig consistent is met 5-4.3. De combinaties Γc(ab) vormen dus duidelijk extra informatie op

de varieteit M, die niet uit de differentiaalstructuur alleen te verkrijgen is, maar wel bv. uit de kennisvan de geodetische structuur.We noemen een connectie integreerbaar als voor alle punten p het parallel transport van vectoren vanp naar q (met q in een voldoend kleine omgeving van p) onafhankelijk is van de gevolgde weg. Eenconnectie heet affien vlak als een basis bestaat waarin Γa

bc = 0. Beide begrippen zijn equivalent: als

64

∇ integreerbaar is, kan een basis ea in een punt p door parallel transport uitgebreid worden tot eenbasis op een ganse omgeving V van p. Voor de basisvectoren geldt dan ∀u : ∇uea = 0 zodat uit 5-1.10volgt dat Γc

ab = 0 op V . Het omgekeerde is triviaal.Merk op dat, als in een bepaalde basis Γc

ab = 0, deze basis dan bovendien een coordinaatbasis is: deeerste structuurvergelijkingen impliceren dan immers dωa = 0, zodat, volgens de stelling van Poincare,lokaal functies xa bestaan met ωa = dxa.Een gemakkelijke manier om na te gaan of een connectie al dan niet vlak is, wordt gegeven in devolgende paragraaf.

5-5 Kromming

Net zoals het nemen van twee lie-afgeleiden (naar een vector u en een vector v) afhangt van de volgordewaarin dit gebeurt, zo geldt dit ook voor covariante afleiding - zelfs als de vectoren u en v commuteren.We beschouwen daarom volgende uitdrukking voor u, v, w ∈ T 1

0 (M):

Riem(u, v)w = (∇u∇v −∇v∇u −∇[u, v])w. (5-5.1)

Ga zelf na dat deze uitdrukking F(M)-lineair is in u, v en w. De tensor R die elk geordend viertal(σ, w, u, v) (met σ ∈ T 0

1 (M) en u, v, w ∈ T 10 (M)) afbeeldt op σ(Riem(u, v)w) noemen we de

krommingstensor of riemanntensor. Zijn componenten zijn

Rdcab = ω

d(Riem(ea, eb)ec) (5-5.2)

en dusσaw

bucvdRabcd = σ(Riem(u, v)w). (5-5.3)

Bijgevolg geldt ∀σ, u, v en w:

σawbucvdRa

bcd =σa[(wa;cv

c);dud − (wa

;cuc);dv

d − wa;c(u

dvc;d − vduc;d)]

=σa(wa;c;d − wa

;d;c)vcud, (5-5.4)

zodat ∀w ∈ X (M)wa

;c;d − wa;d;c = Ra

bdcwb, (5-5.5)

wat we de ricci-identiteit noemen.Oefening: bewijs zelf dat voor een 1-vorm σ de volgende uitdrukking geldt:

σa;c;d − σa;d;c = Rbacdσb. (5-5.6)

Stel eveneens een uitdrukking op voor T ab;c;d − T ab

;d;c. Met 5-1.14 vinden we hieruit

Rabcd = Γa

bd|c − Γabc|d + Γe

bdΓaec − Γe

bcΓaed −De

cdΓabe. (5-5.7)

Deze betrekking volgt ook rechtstreeks uit de definitie 5-5.1 en uit

Riem(ea, eb)ec = Rmcabem. (5-5.8)

In een coordinaatbasis laat 5-5.5 zich ook herschrijven als

(∇i∇j −∇j∇i)wk = Rk

lijwl. (5-5.9)

Let op de positie van de (ij)-indices!Men verifieert onmiddellijk dat de componenten van de riemanntensor voldoen aan de betrekkingen

Rab(cd) = 0 en Ra

[bcd] = 0. (5-5.10)

65

Bewijs zelf (oefening!), bij voorkeur door over te gaan op normale coordinaten, de bianchi-identiteiten

Rab[cd;e] = 0. (5-5.11)

C12 -contractie van de riemanntensor levert de riccitensor, waarvan we de componenten eveneens aan-

duiden met het symbool R:Rbd = Ra

bad. (5-5.12)

Toon eveneens aan datRa

abc = 2R[bc]. (5-5.13)

We bewijzen nu de volgende belangrijke stelling:

een nodige en voldoende voorwaarde opdat een connectie lokaal integreerbaar zou zijn, is dat deriemanntensor = 0 is.

Het nodig zijn van de voorwaarde volgt onmiddellijk uit de opmerking aan het einde van vorigeparagraaf. Het klassieke bewijs dat de voorwaarde ook voldoende is, toont aan dat de verander-ing ∆X = X ′−X van een vector onder parallel transport over een gesloten kromme te schrijven is alsde som van ‘N2 bijdragen’ over willekeurig kleine gesloten krommen γ gelegen in een convexe normaleomgeving (cf. het klassieke bewijs van de stelling van Stokes). Het volstaat dan om aan te tonen datRa

bcd = 0 impliceert dat de verandering onder parallel transport over een willekeurig kleine geslotenkromme klein is van orde O(δx3), opdat ∆X(= limN→∞ δx) = 0 zou zijn.

P

x1

X

Ndx

Figure 5.1:

Voor dit laatste deel van het bewijs beschouwen we het parallel transport van een vector X overeen kleine gesloten kromme γ gelegen in een convexe normale omgeving U van p (met xi(p) = 0 en

Γkij |p = 0): langs γ (bepaald door xi = xi(τ) en γ(0) = p) geldt dXi

dτ = −ΓikjX

k dxj

dτ , zodat we met

Γikj = xm ∂

∂xmΓikj |0 +O(x2) en Xk(x) = Xk(0) +O(x2) (dit laatste omdat dXk

dτ |τ=0 = 0) bekomen

X i(τ) = X i(0)−∫ τ

0

xm(

∂

∂xmΓi

kj

)

0

Xk(0)dxj

dτdτ +O(x3).

Bijgevolg is δX i = X i(τ1)−X i(τ0) = − ∂∂xmΓi

kj |0Xk(0)∮xmdxj +O(x3). De kringintegraal is echter

66

antisymmetrisch in m en j, vermits∮d(xmxj) = 0, zodat

δX i = −1

2

[(∂

∂xmΓi

kj

)

0

−(

∂

∂xjΓi

km

)

0

]

Xk(0)

∮

xmdxj +O(x3)

=1

2Ri

kmj(0)Xk(0)

∮

xmdxj +O(x3), (5-5.14)

wat inderdaad klein is van 3de orde als Rikmj = 0.

Een zeer efficiente methode om de componenten van de riemanntensor te bepalen in een willekeurigebasis, maakt gebruik van de krommings-2-vormen Θa

b gedefinieerd door

Θab =

1

2Ra

bcdωc ∧ ωd. (5-5.15)

Toon zelf aan (oefening!) dat 5-5.7 dan equivalent is met de tweede structuurvergelijkingen vanCartan:

dΓab + Γa

c ∧ Γcb = Θa

b. (5-5.16)

Uitgewerkte voorbeelden van deze methode zullen gegeven worden na de invoering van de metrischestructuur in het volgende hoofdstuk.

67

Hoofdstuk 6

Metrieken

6-1 Algemeenheden

Een metriek of metrische tensor op M is een symmetrische tensor g van type (0, 2). Een metriek laattoe om aan elk tweetal vectoren u, v ∈ Tp(M) een scalair g(u,v) te associeren, het inwendig productvan u en v genoemd. Ook kunnen we aan elke vector v ∈ Tp(M) een scalair |g(v,v)|1/2 toekennen(soms ook wel de lengte van v genoemd, zelfs al is de met g geassocieerde kwadratische vorm nietpositief definiet).Twee vectoren u en v zijn orthogonaal als g(u,v) = 0.De componenten van g t.o.v. een basis ea noteren we

gab = g(ea, eb) (6-1.1)

en in lokale coordinaten geldt dusg = gijdx

i ⊗ dxj , (6-1.2)

of g = gijdxidxj , met dxidxj een notatie voor het symmetrische product

dxidxj =1

2(dxi ⊗ dxj + dxj ⊗ dxi). (6-1.3)

Als er geen verwarring mogelijk is, zullen we voor vectoren u en v vaak noteren

u.v = g(u,v) = gabuavb,

evenals u2 = u.u en |u| = |u2|1/2.Als voor een kromme γ (met coordinaatvoorstelling xi = xi(t)) de raakvector u = ∂

∂t de eigenschapheeft dat u2 niet van teken verandert, dan kan de metrische afstand tussen twee willekeurige puntena = γ(t1) en b = γ(t2) van de kromme bepaald worden als

s =

∫ t2

t1

|u|dt. (6-1.4)

Bijgevolg is dsdt = |gij dxi

dtdxj

dt |1/2, wat symbolisch ook genoteerd wordt als

ds2 = gijdxidxj . (6-1.5)

We onderstellen altijd dat de metriek niet-ontaard is, m.a.w.

als ∀v g(u,v) = 0 dan u = 0. (6-1.6)

68

In dat geval is de matrix gab inverteerbaar, wat toelaat een symmetrische tensor van type (2, 0) tebepalen met componenten gab zo dat

gabgbc = δac. (6-1.7)

M.bv. de tensoren gab en gab (tot dit soort foutief taalgebruik worden we verplicht, vermits we hetzelfde symbool g voor beide tensoren gebruiken) kan nu een isomorfisme geconstrueerd worden tussenT r+ps (M) en T r

s+p(M): als bv. T ∈ T 02 (M) componenten Tab heeft, dan bepaalt g unieke tensoren in

T 11 (M) en T 2

0 (M) door T ab = gacTcb en T ab = gbdT a

d = gacgbdTcd.Voor sommige van deze objecten zullen we een bijzondere notatie gebruiken1: is bv. σ ∈ T 0

1 (M) enu ∈ T 1

0 (M), dan noteren we met −→σ (soms ook σ♯) en u de elementen van resp. T 10 (M) en T 0

1 (M)bepaald door −→σ a = gabσb en u

a = gabub. (6-1.8)

Omwille van deze notatie wordt het bovenstaande isomorfisme ook wel eens het muzikale isomorfismegenoemd.

Voor σ en τ ∈ T 01 (M) definieren we dan

σ.τ = g(σ, τ ) = −→σ .−→τ , (6-1.9)

wat, in overeenstemming met notatie 3-3.2, ook te schrijven is als σ(−→τ ) = τ (−→σ ). Meer algemeenzullen we, als bv. S = Sabω

a ⊗ ωb en T = Tabωa ⊗ ωb, de tensor S.T definieren door

(S.T )ab = SamTm

b. (6-1.10)

De signatuur s van een metriek is het aantal positieve eigenwaardenmin het aantal negatieve eigenwaar-den van de matrix gab. We zijn vooral geınteresserd in lorentzmetrieken (zie ook §9-2), m.a.w. metriekenmet constante signatuur n− 2.Een vierdimensionale (samenhangende hausdorff-) varieteit voorzien van een lorentzmetriek noemenwe voortaan een ruimtetijd2.Voor een lorentzmetriek kan dus een orthonormale basis ea geconstrueerd worden zo dat

gab = diag (−1, +1, . . . , +1). (6-1.11)

We maken hierbij de onderstelling dat de componenten eai van de eigenvectoren voldoend differen-

tieerbare functies zijn op M.Passen we de in 6-1.8 vermelde operatie toe op een van de basisvectorvelden ea, dan bekomen weeen 1-vorm ea

, met componenten gijeaj , die in de literatuur meestal zonder meer genoteerd wordt als

eai. Voor deze 1-vormen geldt dusea

(eb) = gab, (6-1.12)

in tegenstelling tot de duale basis ωa waarvoor ωa(eb) = δab . De basis gevormd door de vectorveldenωa♯ wordt ook de reciproke basis van (e1, . . . , en) genoemd.Orthonormale basissen zijn niet uniek: de automorfismen van Tp(M) die 6-1.11 invariant laten, zijnprecies de lorentztransformaties.Een lorentzmetriek laat toe om de vectoren u 6= 0 in Tp(M) te verdelen in tijdachtige vectoren, nul-vectoren en ruimteachtige vectoren, naargelang u2 < 0, u2 = 0 of u2 > 0. De nulvectoren generereneen dubbele kegel in Tp(M), met top in p.

1Voor meer algemene tensoren is het hanteren van een dergelijke intrinsieke notatie vrijwel ondoenbaar, zodat wevaak ook de z.g. abstracte index notatie zullen gebruiken. Wanneer we dan bv. spreken van de tensor Ta

b dan bedoelenwe hiermee de tensor T waarvan de componenten gegeven zijn door Ta

b.2Merk op dat bestaan van een lorentzmetriek niet impliceert dat het lijnelement ds2 noodzakelijk moet geschreven

worden in termen van een tijdachtige en drie ruimteachtige coordinaten.

69

Oefeningen

Bewijs de volgende eigenschappen:

1. Twee nulvectoren zijn parallel als en slechts als ze orthogonaal zijn. Terzijde: hoe verklaren wedan het 1+1-diagram van figuur 6.1, waarin de vectoren k = e0 + e1 en l = e0 − e1 duidelijk nietparallel zijn?

Figure 6.1: twee niet-parallelle nulvectoren

2. Twee ruimteachtige vectoren zijn nooit tegelijk parallel en orthogonaal.

3. Twee tijdachtige vectoren zijn nooit orthogonaal.

4. Een ruimteachtige vector en een nulvector kunnen wel orthogonaal zijn, maar nooit parallel.

5. Een tijdachtige vector en een nulvector kunnen noch parallel, noch orthogonaal zijn.

Een 3d-deelruimte van Tp(M) wordt tijdachtig, ruimteachtig of nul genoemd, naargelang haar normaalruimteachtig, tijdachtig of nul is.

Voor de classificatie van bivectoren en van het gravitatieveld is ook de aard van 2d-deelruimten vanTp(M) van belang: als Σ een 2d-deelruimte is dan noemen we Σ

• ruimteachtig (Σ = S2), als Σ geen nulrichtingen bevat,

• nul (Σ = N2), als Σ precies een nulrichting bevat,

• tijdachtig (Σ = T2), als Σ precies twee nulrichtingen bevat.

Toon zelf aan, gebruik makend van vorige oefening, dat er geen andere mogelijkheden zijn (m.a.w. 3of meer verschillende nul-richtingen kunnen niet voorkomen in een 2d-deelruimte). Een gevolg is (gana!) dat

• een S2 enkel ruimteachtige vectoren bevat,

• een N2 op de unieke nulrichting k na enkel ruimteachtige vectoren bevat, die bovendien ortho-gonaal zijn met k; de richting bepaald door k wordt de principal null direction (PND) van Σgenoemd,

• een T2 vectoren van elk type bevat; de twee nulrichtingen worden eveneens PND’s genoemd.

70

Oefening:

Toon aan dat het orthogonaal complement van een S2 een T2 is en omgekeerd. Toon aan dat hetorthogonaal complement van een N2 eveneens een N2 is en dat de doorsnede van beide precies degemeenschappelijke unieke nulrichting bepaalt (dus N2 +N⊥

2 6= Tp(M)!).

Beschikken we over een metriek, dan kunnen we ook het inwendig product van twee p-vormen definierendoor

g(σ1 ∧ . . . ∧ σp, τ 1 ∧ . . . ∧ τ p) = det(σi · τ j) (6-1.13)

te stellen en door deze definitie via bilineariteit uit te breiden tot gans Ωp(M).Ga zelf na dat, als (ω1, . . . ,ωn) een orthonormale basis is van 1-vormen, met

ωi.ωi = ǫi (ǫi = ±1), (6-1.14)

dan een orthonormale basis van Ωp(M) gegeven wordt door de uitwendige producten

ωi1 ∧ . . . ∧ ωip (1 6 i1 < . . . < ip 6 n), (6-1.15)

waarbijg(ωi1 ∧ . . . ∧ ωip , ωi1 ∧ . . . ∧ωip) = ǫi1 . . . ǫip . (6-1.16)

Voorbeeld: op R3 met de standaard euclidische metriek en met

H = H1 dy ∧ dz +H2 dz ∧ dx+H3 dx ∧ dy

geldtH2 = g(H ,H) = H2

1 +H22 +H2

3 . (6-1.17)

Oefening

Toon aan dat in een z.g. minkowskiruimtetijd met metriek ds2 = −dt2+dx2+dy2+dz2, met H zoalshierboven, E = E1dx+ E2dy + E3dz en

F =H +E ∧ dt (6-1.18)

voldaan is aan

− 1

2F 2 =

1

2(E2 −H2), (6-1.19)

waarbij we in het rechterlid de lagrangiaan van het elektromagnetisch veld herkennen.

Tot nu toe onderstelden we geen enkel verband tussen de metrische en de affiene structuur op M: zijkunnen inderdaad volkomen onafhankelijk van elkaar gekozen worden. Belangrijk is echter dat bij eengegeven metriek g een unieke symmetrische connectie ∇ bestaat zo dat ∇g = 0, d.w.z.

gab;c = 0 (6-1.20)

(wat impliceert dat hoeken en lengtes behouden blijven onder parallel transport).Inderdaad, voor de basisvectoren geldt ea.eb = gab zodat3

gab|c = ∇c(gab) = (∇cea).eb + ea.(∇ceb). (6-1.21)

Verwisseling van b en c, respectievelijk a en c geeft

gac|b =(∇bea).ec + ea.(∇bec)

gcb|a =(∇aec).eb + ec.(∇aeb)

3 bekijk de dubbele contractie van ∇(g ⊗ ea ⊗ eb)

71

zodat we, na optellen van de laatste twee betrekkingen en aftrekken van 6-1.21, bekomen

gac|b + gcb|a − gab|c =eb.(∇aec −∇cea) + ea.(∇bec −∇ceb)

+ ec.(∇aeb −∇bea) + 2ec.(∇bea). (6-1.22)

M.bv. 5-1.10 en 5-4.3 herschrijven we het rechterlid als

ea.[eb, ec] + eb.[ea, ec] + ec.[ea, eb] + 2ec.(Γdabed)

Definieren weΓabc = gadΓ

dbc en Dabc = gadD

dbc (6-1.23)

(let op de volgorde van de indices!) dan volgt hieruit

Γcab =1

2(gac|b + gcb|a − gba|c +Dacb +Dcba −Dbac). (6-1.24)

Hiermee is i.h.b. aan 5-4.3 identiek voldaan.

oefening: toon aan dat 6-1.24 in indexvrije notatie (u,v,w ∈ X (M)) de gedaante aanneemt van dez.g. koszulformule4,

g(∇uv,w) =1

2[u(g(v,w)) + v(g(w,u)) −w(g(u,v)) + g(v, [w,u]) + g(w, [u,v])− g(u, [v,w])].

(6-1.25)De unieke symmetrische connectie die hierdoor bepaald wordt, noemt men de metrische connectie enwe zullen ons hiertoe voortaan beperken.Twee bijzondere gevallen van de betrekkingen 6-1.24 zijn van belang

(i) het geval van een coordinaatbasis (ei =∂

∂xi ):

we hebben dan Dijk = 0 en 6-1.24 reduceert zich tot de christoffelbetrekkingen

Γijk =1

2(gij,k + gik,j − gjk,i). (6-1.26)

Er geldt danΓijk = Γikj (6-1.27)

en, vermits Γijk = gimΓmjk, dus ook

Γijk = Γi

kj . (6-1.28)

(ii) het geval van een stijve basis (gab constanten):

dan is gab|c = 0, zodat uit 6-1.24 en Dabc = −Dacb volgt

Γ(ab)c = 0 (6-1.29)

MetΓab = gacΓ

cb (6-1.30)

geldt danΓ(ab) = 0. (6-1.31)

Toon aan (oefening) dat het verband tussen de commutatiecoefficienten en de connectiecoefficientenin dit geval gegeven wordt door

Dcab = Γc

ba − Γcab (6-1.32)

en

Γ cab =1

2(D cba +D acb −D bac) . (6-1.33)

4Jean-Louis Koszul 1921–

72

Oefeningen

1. Toon aan dat gij ,k = −gimgjℓgmℓ,k.

2. Toon aan dat voor een 1-vorm σ en vectoren u,v geldt dat

(∇σ)(u,v) = ∇vσ(u). (6-1.34)

3. Introduceren we voor een stijve basis ea = eai ∂∂xi de 1-vormen ea met componenten eai = gijea

j ,dan kunnen we hiermee de z.g. riccirotatiecoefficienten5

γabc = eai;jeibe

jc (6-1.35)

definieren. Toon aan, steunend op de stijfheid van de basis, dat de rotatiecoefficienten antisym-metrisch zijn in het eerste indexpaar:

γ(ab)c = 0. (6-1.36)

4. Toon het volgende verband aan tussen de rotatie- en commutatiecoefficienten:

Dcab = γbca − γacb. (6-1.37)

5. Toon aan dat voor een stijve basisγabc = Γbac. (6-1.38)

6. Toon aan dat in een willekeurige basis ea de voorwaarde 6-1.20 (of dus 6-1.24) te schrijven is als

dgab = Γab + Γba. (6-1.39)

7. Bekijk terug oefening 3 op p. 43 en onderstel dat de gegeven basis orthonormaal is; bereken de Γab

uit de Dabc en verifieer de eerste structuurvergelijkingen van Cartan.

Het voordeel van het werken met een stijve basis i.p.v. met een coordinaatbasis is nu duidelijk: terwijl

er in het algemeen in een coordinaatbasis n2(n+1)2 onafhankelijke christoffel-symbolen zijn (nl. 40 als

n = 4), zijn er in een stijve basis slechts n2−n2 onafhankelijke connectievormen (elk met n componenten),

wat voor n = 4 nog slechts 24 onafhankelijke componenten oplevert.Noteer ook dat we de connectiecoefficienten niet expliciet dienen te berekenen, indien we bv. enkelgeınteresseerd zijn in de vergelijkingen van de metrische geodeten. Deze vergelijkingen kunnen door-gaans snel bekomen worden m.b.v. een variationele methode: in een convexe normale omgeving is demetrische geodeet tussen twee punten immers precies de kromme waarvoor de metrische ‘afstand’ eenextremum is onder variaties van de verbindende krommen.Deze eigenschap is eenvoudig in te zien: bekijk een 1-parameter familie van bv. tijdachtige krommengegeven door xi = xi(t, u) met u ∈]− ǫ, ǫ[, zo dat ∀t1, t2 en u

xi(t1, u) =xi(t1)

xi(t2, u) =xi(t2)

xi(t, 0) =xi(t) (6-1.40)

en herschrijf 6-1.4 als s =∫ t2t1Ldt met L = (−gij xixj)1/2 en xi = ∂xi

∂t . Stellen we dan de variationele

afgeleide δs = ∂s∂u |u=0 = 0, dan bekomen we de euler-lagrangevergelijkingen

∂L

∂xi− d

dt(∂L

∂xi) = 0. (6-1.41)

5sommige auteurs definieren de riccirotatiecoefficienten ook gewoon als de commutatiecoefficienten Dabc

73

Dat deze niets anders zijn dan de geodetische vergelijkingen 5-2.5, verifieren we door 6-1.41 met 2L tevermenigvuldigen:

0 =∂L2

∂xi− d

dt(∂L2

∂xi) + 2

dL

dt

∂L

∂xi

=− ∂

∂xi(gklx

kxl) +d

dt

∂

∂xi(gklx

kxl) + 2d2s

dt2∂

∂xi(−gklxkxl)1/2

=d

dt(2gij x

j)− gkl,ixkxl − 2

d2s

dt2(−gklxkxl)−1/2gij x

j

=2gij xj + 2gij,kx

j xk − gkl,ixkxl − 2

d2s

dt2.(ds

dt)−1gij x

j

=2gij xj + 2xj xk(

1

2gij,k +

1

2gik,j −

1

2gkj,i)− 2

s

sgij x

j .

We bekomen dus

xi + Γijkx

j xk =s

sxi (6-1.42)

en herparametrizering van t naar s levert dan inderdaad 5-2.5.Deze methode werkt uiterst efficient voor een in lokale coordinaten gegeven metriek. Ze heeft alsbijkomend voordeel dat eerste integralen onmiddellijk te identificeren zijn aan de hand van cyclischecoordinaten!Nog eenvoudiger wordt alles door op te merken dat het extremaliseren van de actie

−1

2

∫ t2

t1

L2dt =1

2

∫ t2

t1

gij xixjdt

precies dezelfde vergelijkingen oplevert, met als bonus dat t nu ineens ook de eigentijd τ blijkt tezijn! Het grootste voordeel van het gebruik van de ‘slechte’ lagrangiaan −L2/2 is echter dat eenhamiltoniaanse vorm van de vergelijkingen kan worden opgesteld6: het moment toegevoegd aan xi isimmers

pi =∂(−L2/2)

∂xi= gij x

j ,

zodat

H = pixi − 1

2gij x

ixj =1

2gij x

ixj =1

2gijpipj .

De hamiltonvergelijkingen

pi = −∂H∂xi

(6-1.43)

xi =∂H

∂pi(6-1.44)

leveren dan onmiddellijk de bewegingsvergelijking.

Voorbeeld: we construeren de geodeten van de statisch en sferisch symmetrische metriek (zie ookhoofdstuk 6)

ds2 = −B(r)dt2 +A(r)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2.

Met (gij) = diag(−B−1, A−1, r−2, r−2 sin−2 θ) is

H =1

2(−B−1p20 +A−1p21 + r−2p22 + r−2 sin−2 θp23), (6-1.45)

6dit mislukt bij de lagrangiaan L, omdat de hamiltoniaan dan identiek 0 is!

74

waaruit

p0 = p3 = 0,

p1 = r−3(p22 + sin−2 θp23) +1

2(B−1)′p20 −

1

2(A−1)′p21,

p2 = r−2 sin−3 θ cos θp23,

en

t = −B−1p0,

r = A−1p1,

θ = r−2p2,

φ = r−2 sin−2 θp3.

Kiezen we de coordinaten zo dat de beweging begint in het θ = π2 -vlak (θ0 = 0 en θ0 = π

2 ), dan isp2 = 0 zodat de beweging beperkt blijft tot dit vlak. Verder zijn p0 en p3 = J constanten, waarbijwe p0 = −1 kunnen stellen, zodat H = 1

2 (−B−1 + A−1p21 + r−2J2) een constante van de bewegingoplevert. De baanvergelijking wordt bijgevolg gegeven door

−B−1 +AJ2r−4(dr

dφ)2 + r−2J2 = 2H. (6-1.46)

Noteer dat voor een statische metriek de lagrangiaan niet expliciet van de tijd afhangt, zodat H eenconstante van de beweging is (i.h.b. H=0 voor een nulgeodeet, nl. een geodeet waarvan de snelheidsvec-tor in elk punt rakend is aan de lichtkegel).

6-2 Eigenschappen van de riemanntensor

Het ligt voor de hand dat bij het gebruik van een metrische connectie ook de riemanntensor aanbijkomende eigenschappen zal voldoen. Bekijken we hiertoe normale coordinaten in een omgevingvan een punt p ∈ M: er geldt dan Γi

jk|p = 0 en dus∂gij∂xk |p = 0. Onder een lineaire transformatie

met constante coefficienten blijven deze relaties behouden, zodat we bovendien gij |p tot ±δij kunnenherleiden.Met normale coordinaten in een (convexe normale) omgeving van p bedoelen we voortaan dus coordinatenwaarvoor, naast de voorwaarden besproken in § 5-3, tevens voldaan is aan

gij |p = ±δij en∂gij∂xk

|p = 0. (6-2.1)

Deze coordinaten kunnen in een punt p praktisch geconstrueerd worden door (1) een tijdachtige geodeetγ door p te beschouwen en e0 te definieren als de eenheidsraakvector aan γ in p, m.a.w. door eenvrijvallende waarnemer te beschouwen (2) e0 aan te vullen tot een orthonormaal referentiestelsel ea

in p (3) alle geodeten te beschouwen vertrekkend vanuit p in willekeurige ruimteachtige richtingenn = nαeα en ten slotte door de punten langs deze geodeten de coordinaten xα = snα toe te kennen(dit laatste kan slechts in een voldoend kleine omgeving waar deze geodeten elkaar niet snijden).Geldt nu bovendien dat, in elk punt van elke lokale coordinatenomgeving, gij |p = ±δij dan noemenwe de metriek g (lokaal) vlak. Aangezien 0 = gij;k = gij,k − gimΓm

jk − gjmΓmik levert de stelling op

het einde van paragraaf 5-5 dan onmiddellijk het volgende resultaat:

Een nodige en voldoende voorwaarde opdat een metriek lokaal vlak zou zijn, is dat de riemann-tensor 0 is.

75

In het algemeen geldt voor de riemanntensor in normale coordinaten in het punt p

Rijkl |p =(Γijl,k − Γijk,l)|p=(gil,jk − gjl,ik + gjk,il − gik,jl)|p,

waaruit blijkt dat de symmetrieen 5-5.10 kunnen uitgebreid worden tot

Rabcd = Rcdab (6-2.2)

enR(ab)cd = Rab(cd) = Ra[bcd] = 0. (6-2.3)

Uit 5-5.13 volgt nu ook dat de riccitensor symmetrisch is:

R[ab] = 0. (6-2.4)

Contractie van de bianchi-identiteiten 5-5.11 levert

Rbd;e −Rbe;d +Rabde;a = 0. (6-2.5)

We definieren nu de ricciscalar als de contractie van de riccitensor en noteren deze functie eveneensmet het symbool R:

R = Raa. (6-2.6)

We bekomen dan, door 6-2.5 nogmaals te contracteren, de belangrijke betrekking

(Rab −

1

2Rδab);a = 0. (6-2.7)

De tensor

Gab = Rab −1

2Rgab (6-2.8)

die hierin optreedt, noemen we de einsteintensor.Toon zelf aan dat

Rab = ieaiem

Θmb (6-2.9)

enR = Θab(ea, eb). (6-2.10)

Oefening: gebruik de resultaten van oefening 7 van p. 73 om de componenten van de riccitensor tebepalen voor de metriek ds2 = dx2 + e−2xdz2 + e−2x(dy− xdz)2 t.o.v. de gegeven orthonormale basis.

Het aantal algebraisch onafhankelijke componenten van de riemanntensor kan gevonden worden doorRabcd te bekijken als een symmetrische tensor in de N = 1

2n(n − 1) indexkoppels (ab) en (cd). Dezetensor heeft 1

2N(N + 1) componenten, waartussen nog de betrekkingen Ra[bcd] = 0 bestaan. Hetlinkerlid van deze laatste gelijkheid is echter antisymmetrisch in elk paar indices en bevat dus (n4 )onafhankelijke termen. Het aantal onafhankelijke componenten van de riemanntensor wordt bijgevolg

1

2.1

2n(n− 1)[

1

2n(n− 1) + 1]− n(n− 1)(n− 2)(n− 3)

4!=

1

12n2(n2 − 1) :

• als n = 1, dan is Rabcd = 0

• als n = 2, dan is er slechts 1 onafhankelijke component, namelijk de ricciscalar R. Er geldt dan

Rabcd = Rga[cgd]b, (6-2.11)

• als n = 3, dan is de riemanntensor volkomen bepaald door de 6 componenten van de riccitensor

76

• als n > 3, dan wordt slechts een deel van de componenten van de riemanntensor (b.v. 10 van de20 als n = 4) bepaald door de riccitensor. De overblijvende componenten worden bepaald doorde weyltensor Cabcd, gedefinieerd door

Rabcd = Cabcd +2

n− 2(ga[cRd]b + gb[dRc]a)−

2

(n− 1)(n− 2)Rga[cgd]b. (6-2.12)

De weyltensor heeft dezelfde symmetrieen als de riemanntensor, maar bovendien zijn al zijncontracties 0 (Ca

bca = 0).

Oefeningen

1. Toon aan dat als X(ab)cd = Xab(cd) = 0, dan

Xa[bcd] = 0 ⇒ Xabcd = Xcdab. (6-2.13)

2. Gebruik de symmetrieen van de weyltensor om aan te tonen dat Cabcd = 0 voor elke 3-dimensionale

ruimte.

Veruit de belangrijkste eigenschap van de weyltensor is zijn invariantie onder conforme transfor-maties : dit zijn overgangen van een metriek g naar een metriek g = Ω2g, met Ω (6= 0) ∈ F(M),zodat de nulkegelstructuur van beide lorentzmetrieken identiek is. Met enig rekenwerk bepaalt mende connectievormen en de riemanntensor van de metriek g in functie van deze van de metriek g,wat met 6-2.12 leidt tot

Cabcd = Ca

bcd. (6-2.14)

Een metriek wordt conform vlak genoemd, als een functie Ω bestaat zodat g een vlakke metriek is.De volgende stelling geldt:

een nodige en voldoende voorwaarde opdat een metriek op een n (n > 3) dimensionale varieteitconform vlak zou zijn is dat de weyltensor 0 is.

3. Het luik ‘nodig’ hierboven kan met wat rekenwerk gecontroleerd worden: doe dit! Het ‘voldoende’luik (het zg. weyl-schoutentheorema) is een ander paar mouwen . . .

4. Toon aan dat een 2-dimensionale varieteit altijd conform vlak is.

Het geval n = 3 vereist de studie van 3de orde afgeleiden van de metriek (net zoals de riemanntensorbevat de weyltensor enkel 2de orde afgeleiden). Een nodige en voldoende voorwaarde is dan dat decotton-yorktensor Ca

d = (Rab − 14gabR);cǫ

bcd 0 is.

5. Een voor de algemene relativiteitstheorie niet onbelangrijk resultaat (J. Ehlers, F. Pirani en A. Schild)is een stelling van H. Weyl, die zegt dat (voor n > 2) twee metrieken g en g′ conform en projectiefequivalent zijn als en slechts als ze homothetisch zijn: g′ = kg met k een constante. Bewijs dit!

6-3 Uitgewerkte voorbeelden

In deze paragraaf laten we zien hoe, voor een gegeven metriek, de riemanntensor, riccitensor enz., snelkunnen bepaald worden. Een handige eigenschap hierbij is (toon zelf aan) dat voor een hypervlak-orthogonale basis 7 met diagonale metriek de Γabc = 0 zijn, van zodra de indices a, b, c onderlingverschillend zijn, zodat de Γab lineaire combinaties zijn van ωa en ωb.

7d.w.z. elke basis 1-vorm is te schrijven als ωa = fdg, of, equivalent hiermee, ∀a : ωa ∧ dωa = 0

77

1)

ds2 = dx2 + f(x)2dy2. (6-3.1)

Kies een orthonormale basis met

ω1 =dx

ω2 =fdy (6-3.2)

zodat g = ω1 ⊗ ω1 + ω2 ⊗ ω2. Dan is dω1 = 0 en dω2 = fxdx ∧ dy = fxf ω

1 ∧ ω2. Van deconnectievormen dient enkel Γ12 beschouwd te worden, vermits Γ11 = Γ22 = 0. Uit de eerste struc-tuurvergelijkingen dωa = −Γa

b ∧ ωb leiden we af (voor a = 1) dat Γ12 = λ(x)ω2. De coefficient λvolgt uit dezelfde vergelijkingen met a = 2 en levert Γ12 = −fx/fω2. De kromming bepalen we metde tweede structuurvergelijkingen:

Θ12 = dΓ12 + Γ1c ∧ Γc2 = dΓ12

= −d(fx dy) = −fxxfω1 ∧ ω2.

De enige niet-triviale component van de riemanntensor is de ricciscalar

R = 2Θ12(e1, e2) = −2fxxf

(6-3.3)

(= 2× de gaußkromming). M.a.w. we bekomen een constante krommingsmetriek als f lineair is of eenlineaire combinatie van sin, cos of sinh, cosh. Dit zijn echter lang niet de enige mogelijkheden:

Oefening: toon aan dat b.v. ook ds2 = dx2+sin2(x+φ(y))dy2 een constante krommingsmetriek voorwillekeurige φ!

2)

ds2 = e2t(−dt2 + dx2) + dy2 + dz2. (6-3.4)

Kies een orthonormale basis zodat g =∑3

α=1 ωα ⊗ ωα − ω4 ⊗ ω4 en stel

ω1 =etdx,

ω2 =dy,

ω3 =dz,

ω4 =etdt. (6-3.5)

Er volgt dω2 = dω3 = dω4 = 0 en dω1 = e−tω4∧ω1. Na een blik op de eerste structuurvergelijkingengokken we dat Γ2a = Γ3a = 0 en Γ14 = λ(t)ω1. Hiermee is inderdaad dω4 = 0, terwijl dω1 = −Γ1

b∧ωb

= −Γ14 ∧ ω4 resulteert in λ = e−t. De enig mogelijke niet-triviale component van de kromming is

Θ14, waarvoor de tweede structuurvergelijkingen geven Θ14 = dΓ14 = d(e−t etdx) = 0, wat betekentdat de metriek 6-3.4 vlak is. Inderdaad, de coordinaattransformatie

t→ t′ = et coshxx→ x′ = et sinhx

(6-3.6)

zet 6-3.4 om in de minkowskimetriek ds2 = −dt′2 + dx′2 + dy2 + dz2.N.B. Als men weet dat een metriek vlak is (bv. door berekening van de kromming), dan is het vindenvan een gepaste coordinaattransformatie, zoals 6-3.6, niet altijd even gemakkelijk. Zo is de metriek

ds2 = dx2 + dy2 − 2dudv +4v

xdudx+

v2

x2du2 (6-3.7)

vlak (zie verder), maar is het vinden van een coordinaattransformatie naar de minkowskivorm niettriviaal...

78

3)

ds2 = −f(r)dt2 + h(r)dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2) (6-3.8)

(f en h > 0 ondersteld). Dit is een z.g. statische en sferisch symmetrische metriek ; zie ook hoofdstuk 13.Kies opnieuw een orthonormale basis met nu ω1 = h1/2dr, ω2 = rdθ, ω3 = r sin θdφ en ω4 = f1/2dt.Met ′ = d

dr geldt dan

dω1 =0, (6-3.9)

dω2 =r−1h−1/2ω1 ∧ ω2, (6-3.10)

dω3 =r−1(h−1/2ω1 + cot θω2) ∧ ω3, (6-3.11)

dω4 =1

2h−1/2 f

′

fω1 ∧ω4. (6-3.12)

Uit 6-3.9 en dω1 = −Γ1b ∧ ωb zouden we ons kunnen laten verleiden tot het besluit Γ1b = 0. Dan

is echter ook Γ21 = Γ31 = Γ41 = 0, wat niet consistent is met 6-3.10 - 6-3.12! Een betere gok lijktdaarom Γ1b ∼ ωb (hiermee blijft nog steeds dω1 = 0). Analoog stellen we op basis van 6-3.10 en6-3.11 dat Γ23 ∼ ω3 (dan is er immers geen ω2 ∧ω3 term in dω2 = −Γ2

b ∧ ωb, maar wel een ω2 ∧ω3

term in dω3 = −Γ3b ∧ ωb). We stellen dus Γ12 = Uω2, Γ13 = V ω3, Γ14 = Wω4 en Γ23 = Xω3.

De coefficienten U , V , W en X halen we onmiddellijk uit de eerste structuurvergelijkingen (let op:Γ4

1 = +Γ14).

Γ12 =− r−1h−1/2ω2,

Γ13 =− r−1h−1/2ω3,

Γ14 =1

2h−1/2 f

′

fω4,

Γ23 =− r−1 cot θω3. (6-3.13)

De tweede structuurvergelijkingen geven nu

Θ12 =1

2r−1h−2h′ω1 ∧ ω2,

Θ13 =1

2r−1h−2h′ω1 ∧ ω3,

Θ14 =1

2(fh)−1/2

(

(fh)−1/2f ′)′ω1 ∧ ω4,

Θ23 =r−2(1− h−1)ω2 ∧ ω3,

Θ24 =1

2r−1h−1 f

′

fω2 ∧ω4,

Θ34 =1

2r−1h−1 f

′

fω3 ∧ω4, (6-3.14)

waaruit, m.bv. 6-2.9, onmiddellijk volgt

R11 =r−1h−2h′ − 1

2(fh)−1/2

(

(fh)−1/2f ′)′,

R22 = R33 =1

2r−1h−1(

h′

h− f ′

f) + r−2(1− h−1),

R44 =(rfh)−1f ′ +1

2(fh)−1/2

(

(fh)−1/2f ′)′

(6-3.15)

en alle andere Rab = 0.Bepaal voor bovenstaande metriek (oefening!) opnieuw de componenten van de riccitensor t.o.v. deduale basis dt, dr, dθ, dφ, maar nu gebruik makend van de christoffelsymbolen en de relaties 5-5.7.Vergelijk de hoeveelheid rekenwerk met de hierboven gebruikte methode.

79

4)

In de vorige voorbeelden werd uitsluitend gebruik gemaakt van orthonormale basissen. In vele toepas-singen in de relativiteitstheorie maakt men ook gebruik van stijve basissen, waarin de basisvectorennulvectoren zijn. Stel n = 4 en s = 2 en bekijk de orthonormale basis E1, E2, E3, E4. Degeınduceerde metriek op de vectorruimte voortgebracht door E3 en E4 is lorentz, zodat we als basisin deze deelruimte ook twee nulvectoren e3 en e4 kunnen gebruiken, gewoonlijk genoteerd als l en k:

k = e4 =1√2(E4 +E3),

l = e3 =1√2(E4 −E3). (6-3.16)

Anderzijds is de geınduceerde metriek op de vectorruimte voortgebracht doorE1 enE2 positief definiet,zodat we voor een basis van nulvectoren noodzakelijk beroep moeten doen op complexe vectoren e1en e2, die we gewoonlijk noteren als m en m:

m =e1 =1√2(E1 − iE2),

m =e2 =1√2(E1 + iE2). (6-3.17)

We noemen ea dan een (complex) nultetrad. Is θa de duale basis van Ea en ωa de duale basisvan ea, dan geldt dus

ω4 =1√2(θ4 + θ3),

ω3 =1√2(θ4 − θ3),

ω2 =1√2(θ1 − iθ2),

ω1 =1√2(θ1 + iθ2). (6-3.18)

Met αβ een korte schrijfwijze voor 12 (α⊗ β + β ⊗α)) kan de metriek dan geschreven worden als

g = θ12+ θ2

2+ θ3

2 − θ42

= 2ω1ω2 − 2ω3ω4 (6-3.19)

en heeft t.o.v. ωa de componenten

gab = gab =

0 1 0 01 0 0 00 0 0 −10 0 −1 0

. (6-3.20)

Dit impliceert dat alle contracties van de basisvectoren 0 zijn, behalve

kala = −1 en mama = 1. (6-3.21)

Noteer dat uit g12 = −g34 = 1 volgt

ω1 =m,ω2 =m,ω3 = −k,ω4 = −ℓ.

Nultetrads zijn in de eerste plaats handig omwille van de eenvoudige gedaante die wordt aangenomendoor de lorentztransformaties:

80

Oefening:

1. Toon aan dat de volgende transformaties lorentztransformaties zijn:

• boostsk′ = Ak, ℓ′ = A−1ℓ,m′ =m (A > 0)

• rotatiesm′ = eiθm,k′ = k, ℓ′ = ℓ (θ ∈ R)

• nulrotaties omheen ℓ:

k′ = k + Em+ Em+ |E|2l,m′ =m+ Eℓ, ℓ′ = ℓ (6-3.22)

nulrotaties omheen k:

ℓ′ = ℓ+ Bm+Bm+ |B|2k,m′ =m+Bk,k′ = k. (6-3.23)

2. Toon aan dat elke eigenlijke lorentztransformatie te schrijven is als een product van boosts, rotatiesen nulrotaties.

Complexe nultetrads zijn verder van belang omdat ze, bij het berekenen van connectiecoefficienten, dehoeveelheid rekenwerk aanzienlijk verder reduceren, omdat

Γ24 = Γ14,Γ13 = Γ23

en bovendienΓ34 ∈ R,Γ12 ∈ iR.

We illusteren dit met de metriek 6-3.7, die we herschrijven als

ds2 = dx2 + dy2 − 2du(− v2

2x2du− 2v

xdx+ dv) (6-3.24)

zodat

ω1 = ω2 =1√2(dx+ idy),

ω3 = du,

ω4 = dv − 2v

xdx− v2

2x2du. (6-3.25)

Er volgt dan

dω1 = 0,

dω3 = 0,

dω4 =− 2

xdv ∧ dx− v

x2dv ∧ du+

v2

x3dx ∧ du

=

(

v

x2ω3 +

√2

x(ω1 + ω2)

)

∧ ω4. (6-3.26)

Schrijven we de eerste structuurvergelijkingen uit (let op: nu is Γ44 = −Γ34 en Γ2

2 = Γ12), danbekomen we

dω1 =Γ12 ∧ ω1 − Γ23 ∧ ω3 − Γ24 ∧ ω4,

dω3 =− Γ14 ∧ ω1 − Γ24 ∧ ω2 − Γ34 ∧ω3,

dω4 =− Γ13 ∧ ω1 − Γ23 ∧ ω2 + Γ34 ∧ω4, (6-3.27)

81

wat, na enig wikken en wegen, suggereert dat de niet-triviale connectievormen gegeven zijn door

Γ14 =αω3,

Γ13 =βω4,

Γ34 =γω1 + γω2 + aω3, (6-3.28)

met α, β, γ ∈ C en a ∈ R. Subsitutie toont dat hiermee aan 6-3.26 voldaan is, op voorwaarde datα = β = γ = 1√

2x−1 en a = vx−2. Berekening van Θ12, Θ13, Θ14 en Θ34 (alle andere Θab zijn triviale

combinaties van deze vier!) toont dat Θab = 0, zodat de metriek vlak is.

Oefening

ds2 = 2dζdζ − 2dudv − 2Hdu2 (6-3.29)

met H een reele functie waarvoor geldt

H = H(u, ζ, ζ) en ζ =x+ iy√

2(6-3.30)

is de metriek van z.g. vlakke gravitatiegolven (zie ook hoofdstuk 11).Herschrijf ds2 in de vorm 6-3.19 met

ω1 =dζ

ω3 =du

ω4 =dv +Hdu (6-3.31)

Als (m, m, l, k) de duale basis is van ωa, bewijs dan dat de riccitensor voldoet aan

Rab = 2H,ζζkakb. (6-3.32)

Toon ook aan dat ka;b = 0 (we noemen k dan een constant vectorveld).

6-4 Geodetische afwijking en kinematische grootheden

6-4.1 Geodetische afwijking

De volgende geometrische interpretatie van de riemanntensor speelt een fundamentele rol bij het op-stellen van de einsteinveldvergelijkingen en bij de studie van singulariteiten:

bekijk een familie van tijdachtige geodeten γs(t) (met t een affiene parameter) en onderstel dat deafbeelding (t, s) 7→ γs(t) een diffeomorfisme is tussen een open deel van R

2 en een 2-dimensionaledeelvarieteit Σ ⊂ M (m.a.w. Σ wordt ‘opgespannen door de familie van geodeten’).Kiezen we t en s als twee van de lokale coordinaten in M en stellen we T = ∂

∂t en X = ∂∂s . Deze

vectoren zijn niet uniek bepaald t.g.v. de resterende vrijheid in de keuze van de affiene parameter:t → u(s)t + v(s). We maken nu gebruik van deze vrijheid om T en X zo te definieren dat T 2 =T aTa constant is over Σ (door middel van een herschaling t 7→ t′ = u(s)t van de t-coordinaat)8.Hiermee is dan ook TaX

a langs elke geodeet constant, want ∇T (T .X) = T .∇TX = (vermits X en Tcommuteren) T .∇XT = 1

2∇X(T 2) = 0.Met een translatie t 7→ t′ = t+ v(s) kan vervolgens T .X = 0 gemaakt worden langs een willekeurigekromme C die de gegeven familie geodeten transversaal snijdt, zodat uiteindelijk T .X = 0 over

8 T 2 is reeds constant langs elke geodeet afzonderlijk, want ∇T (T .T ) = 2T .∇TT = 0.

82

T

X

gs1

g

gs4

gs2

Ss3

Figure 6.2:

gans Σ. Het zo geconstrueerde connecterende vectorveld X noemen we het deviatievectorveld env = ∇TX de relatieve snelheid van een infinitesimaal nabije geodeet (va = T b∇bX

a is een maat voorde snelheid waarmee het deviatievectorveld verandert langs een gegeven geodeet). Analoog definierenwe de relatieve versnelling a = ∇T v. Er geldt dan

a =∇T∇TX

=∇T∇XT

=∇T∇XT −∇X∇TT −∇[T ,X]T

=R(T ,X)T (6-4.1)

of, in componenten,aa = Ra

bcdTbT cXd, (6-4.2)

ook wel de geodetische deviatievergelijking genoemd. Oplossingen X van 6-4.2 worden jacobi-veldengenoemd en spelen een belangrijke rol in de z.g. singulariteitstheorema’s. We kunnen, aangezien |T |constant is, ook een orthonormale basis construeren waarvoor e0 = T zodat we, met een voor de handliggende notatie voor de versnelling, ook nog kunnen schrijven

Xa = Ra00bX

b. (6-4.3)

In een vlakke ruimte blijven initieel parallelle geodeten dus parallel; in een gekromde ruimte bewegeninitieel parallelle geodeten zich daarentegen naar elkaar toe of van elkaar weg. De tensor Ea

b =Ra

cdbTcT d die optreedt in het rechterlid (t.o.v. de vast gegeven tijdachtige congruentie) noemen we

de getijdentensor van de congruentie en is het algemeen relativistische analogon van de newtoniaansegetijdentensor.

6-4.2 Kinematische grootheden van een tijdachtige congruentie

Een familie van krommen zoals hierboven wordt een congruentie in een open deel U ⊂ M genoemd.Meer algemeen is dit dus een familie met de eigenschap dat door elk punt van U precies een kromme vande familie gaat. We noemen de congruentie tijdachtig, ruimte-achtig of nul al naargelang alle krommenuit de congruentie deze eigenschappen bezitten. We zullen ons verder beperken tot congruenties vantijdachtige geodeten, waarbij de raakvectoren u genormalizeerd zijn zo dat u2 = −1 (m.a.w. u = ∂

∂τmet τ de eigentijd langs elke geodeet). Hieruit volgt dat het tensorveld B = ∇u ruimte-achtig is, inde zin dat

Bab = ua;b (6-4.4)

83

voldoet aan uaBab = ubBab = 0. Is nu X de hierboven geconstrueerde deviatievector, waarvoor dusLuX = 0, dan kunnen we B interpreteren als een maat voor het falen van parallel transport van X:

X = ∇uX = ∇Xu = B ·X. (6-4.5)

Een vrij vallende waarnemer zal m.a.w. een wolk van testdeeltjes in zijn nabije omgeving onderhevigzien aan een rotatie, en expansie (of contractie) en een afschuiving. Introduceren we de orthogonaleprojector hab = gab + uaub in de ogenblikkelijke rustruimte loodrecht op u, dan wordt deze beweginggekarakterizeerd door de (ruimteachtige) tensoren

ωab = B[ab] (rotatie of vorticity), (6-4.6)

σab = B(ab) −1

3θ (afschuiving of shear), (6-4.7)

en de scalaire functieθ = Babh

ab = ua;a (expansie), (6-4.8)

zodat

ua;b = σab + ωab +θ

3hab. (6-4.9)

Herschrijven we met 6-4.5 de geodetische deviatievergelijking 6-4.3 als (B ·X ) = E ·X en houdenwe rekening met het feit dat dit geldt voor elke ruimteachtige deviatievector X, dan volgt voor de(ruimteachtige) tensor B dat

B +B2 = E.

Het spoor van deze matrixvergelijking wordt hierdoor

θ +BabBab = tr(Ra

bcdubuc) = −Rbcu

buc,

of

θ = −1

3θ2 − σabσ

ab + ωabωab −Rbcu

buc, (6-4.10)

wat de raychaudhurivergelijking genoemd wordt.Merk op dat de bijdragen σabσ

ab en ωabωab (doorgaans 2σ2 en 2ω2 genoteerd) > 0 zijn. Voor een

niet-roterende congruentie die voldoet aan de voorwaarde Rbcubuc > 0 of, gebruik makend van de

einsteinvergelijkingen Rab − 12Rgab = Tab, Tabu

aub − 12T > 0 (de z.g. sterke energievoorwaarde, zie

p. 142), betekent dit dat steeds

θ +1

3θ2 6 0, (6-4.11)

of, na integratie, θ−1(τ) > θ0−1 + 1

3τ . Indien de congruentie dus op een initieel tijdstip convergeert

(θ0 < 0), dan volgt dat θ−1 nul wordt (en dus θ = −∞) na een eindige eigentijd τ ∈[

0, 3|θ0|

]

.

84

Hoofdstuk 7

Hypervlakken

7-1 Inleiding

Een deelverzameling Σ ⊂ M wordt een hyperoppervlak of korter een hypervlak van de n-dimensionalevarieteit M genoemd, als Σ in de spoortopologie van M homeomorf is met een (n − 1)-dimensionalevarieteit S (Σ = θ(S)) en wel zo dat θ : S → M een diffeomorfisme is tussen open delen U ⊂ S enθ(U) ⊂ Σ (we noemen de afbeelding θ dan een inbedding).

n

pq T*

X

(p)q

q*

q

pTp

S

x

Figure 7.1:

Voor elke p ∈ S is θ∗TpS dan een (n−1)-dimensionale deelvectorruimte in Tθ(p)M, waarvan de normaaln loodrecht staat op elke θ∗X (X ∈ TpS).Kaarten invoerend op omgevingen van p en θ(p), toont men aan dat Σ lokaal gegeven wordt door eenvergelijking f = 0 (f ∈ F(M)) met n ∼ df 6= 0.In wat volgt zullen we steeds S identificeren met Σ, m.a.w. voor v ∈ S schrijven we in plaats van θ∗(v)gewoon v en analoog voor tensoren. In het bijzonder zullen we de pull-back op S van de metriek gop M de geınduceerde metriek op Σ noemen, of ook de eerste fundamentele vorm van Σ, of ook de3-metriek op Σ:

h := θ∗g. (7-1.1)

Merk op dat

∀u,v ∈ Tp(Σ), u · v = g(u,v) = h(u,v). (7-1.2)

Is g een lorentzmetriek op M dan noemen we

• Σ een tijdachtig hypervlak, als n een ruimteachtige vector is,

85

• Σ een nulhypervlak, als n een nulvector is,

• Σ een ruimteachtig hypervlak, als n een tijdachtige vector is.

De verklaring voor deze terminologie is te zoeken in de aard van de door g geınduceerde metriek hop Σ: in de drie bovenstaande gevallen heeft, voor n = 4, h respectievelijk de signatuur (−,+,+),(0,+,+) of (+,+,+). Onderstel bv. dat n tijdachtig is, nl. n2 < 0. We construeren dan in M debasis (n, θ∗(e2), . . . , θ∗(en)) met (e2, . . . , en) een basis in S. Vermits n en θ∗(ea) orthogonaal zijn,

wordt g hierin voorgesteld door de matrix

[n2 00 h(ea, eb)

]

. Deze matrix heeft signatuur n− 2, zodat

h positief definiet is, wat de benaming ruimteachtig hypervlak rechtvaardigt.Merk ook op dat in lokale coordinaten (x1, . . . xn−1) op S en (y1, . . . yn) op M, met Σ gegeven doorde vergelijkingen yi = yi(xj), we de geınduceerde metriek gewoon vinden door ‘substitutie’:

ds2S = gij(y(x))∂yi

∂xk∂yj

∂xmdxkdxm. (7-1.3)

Voor een ruimteachtige of tijdachtige n nemen we de gewoonte aan n te normaliseren zo dat n2 = ±1.

Oefening

Toon aan dat een lid van een nulcongruentie gelegen in een nulhypervlak altijd een nulgeodeet is.

Voor later gebruik is de volgende terminologie nog van belang: een vectorveld u ∈ X (M) heet hyper-vlakorthogonaal (afgekort: HSO) als door elk punt p van M een hypervlak Σp kan gevonden worden,zodat, in een voldoend kleine omgeving van p, voor alle punten x ∈ Σp ux loodrecht staat op Tx(Σp).Merk op dat bij een gegeven willekeurig vectorveld u weliswaar in elk punt p een (n− 1)-dimensionaledeelruimte Wp ⊂ Tp(M) kan geconstrueerd worden, zodat Wp loodrecht staat op elke up, maar datdeze deelruimten niet noodzakelijk ‘glad aan elkaar te sluiten zijn’, in de zin dat ze de rakende ruimtenvormen van een hypervlak!Stel nu dat voor een gekozen punt p Σp bepaald is door f = 0, met normaal df . Als u hypervlako-rthogonaal is, dan is voor alle v ∈ TpΣp

u(v) = 0 = df(v),

waaruit onmiddellijk volgt dat een functie h bestaat zo dat u = hdf en dus u∧du = 0. Omgekeerdvolgt uit deze laatste betrekking en de frobeniusstelling dat u loodrecht staat op de hypervlakken metvergelijking f = 0. We bekomen dus volgend resultaat:

een vectorveld is hypervlakorthogonaal als en slechts als voor de geassocieerde 1-vorm u geldtdat

u ∧ du = 0 (7-1.4)

(merk op dat in twee dimensies dus elk vectorveld hypervlakorthogonaal is: in klassieke terminologiebetekent dit dat er voor elke differentiaalvergelijking u(x, y)dx+ v(x, y)dy = 0 een integrerende factorλ bestaat die het linkerlid exact maakt).Uitgedrukt in componenten betekent dit

u[aub;c] = 0. (7-1.5)

7-2 Intrinsieke kromming

Is Σ ruimte– of tijdachtig, dan is de geınduceerde metriek h niet-ontaard en bestaat er dus een unieketorsievrije connectie D op Σ waarvoor

D h = 0. (7-2.1)

86

De krommingstensor geassocieerd met D is de z.g. intrinsieke kromming van (Σ,h). We zullen dezenoteren als Riem en de componenten als Rk

lij . De bijhorende riccitensor noteren we als Ric en decomponenten als Rij . Voor de ricciscalar, ook wel de gaußkromming van Σ genoemd, schrijven we R.Uit de ricci-identiteit 5-5.9

∀v ∈ T (Σ), (DiDj −DjDi)vk = Rk

lij vl (7-2.2)

bekomen we het verband tussen D en Riem.Vermits Σ 3-dimensionaal is, is Riem volledig bepaald door Ric (zie 6-2.12):

Rijkl = 2(hi[kRl]j + hj[lRk]i)−Rhi[kgl]j . (7-2.3)

7-3 Uitwendige kromming

Terwijl de intrinsieke kromming onafhankelijk is van de manier waarop Σ is ingebed in M, kunnenwe de kromming van Σ in M proberen te bestuderen aan de hand van de variatie van de normaal inp op Σ, wanneer het punt p van plaats verandert. Daartoe introduceren we de vormoperator χ, ookwel de weingartenafbeelding genoemd, als het endomorfisme van Tp(Σ) dat aan elke rakende vector uitTp(Σ) de variatie van de normaal langs deze vector toekent, waarbij de variatie bepaald wordt t.o.v. deruimtetijd connectie ∇:

χ : Tp(Σ) −→ Tp(Σ) : v 7−→ ∇v n. (7-3.1)

Dat het beeld χ(v) terug tot Tp(Σ) behoort, volgt uit n2 = constant

n · χ(v) = n ·∇v n =1

2∇v(n · n) = 0. (7-3.2)

(n is een eenheidsnormaal).Dat deze afbeelding lineair is, spreekt vanzelf. Als Σ een nulhypervlak is, dan is de vormoperator nietuniek bepaald en treden bijkomende complicaties op.Een fundamentele eigenschap van de vormoperator is dat hij zelftoegevoegd is m.b.t. de geınduceerdemetriek h :

∀u,v ∈ T (M) : u,v ∈ T (Σ) ⇒ u · χ(v) = χ(u) · v, (7-3.3)

waarbij · staat voor het inwendig product m.b.t. h. Inderdaad, uit de definitie van χ bekomen we

u · χ(v) = u ·∇v n = ∇v (u · n︸ ︷︷ ︸

=0

)− n ·∇v u = −n · (∇u v − [u,v])

= −∇u (n · v︸︷︷︸

=0

) + v ·∇un+ n · [u,v]

= v · χ(u) + n · [u,v]. (7-3.4)

De commutator [u,v] van twee rakende vectoren uit T (Σ) behoort echter opnieuw tot T (Σ): met Σbepaald door f = constant geldt

∇f · [u,v] = ∇µf (uν∇νv

µ − vν∇νuµ)

= uν [∇ν(∇µf vµ

︸ ︷︷ ︸

=0

)− vµ∇ν∇µf ]− vν [∇ν(∇µf uµ

︸ ︷︷ ︸

=0

)− uµ∇ν∇µf ]

= uµvν (∇ν∇µf −∇µ∇νf) = 0, (7-3.5)

omdat de connectie ∇ symmetrisch is. Een kortere werkwijze maakt gebruik van 4-2.8:

0 = ddf(u,v)

= u(df(v))− v(df(u))− df([u,v])

= 0− 0− df([u,v]). (7-3.6)

87

Vermits n parallel is aan ∇f , geldt dus ook n · [u,v] = 0.De eigenwaarden κi van de vormoperator (die reeel zijn als gevolg van de zelftoegevoegdheid van χ)zijn de z.g. hoofdkrommingen van Σ en de corresponderende eigenvectoren zijn de hoofdrichtingen vanΣ in p. We definieren de gemiddelde kromming van Σ in p als het gemiddelde van de hoofdkrommingenvan χ:

H :=1

3tr(χ) =

1

3(κ1 + κ2 + κ3) . (7-3.7)

In tegenstelling tot de intrinsieke kromming zijn de hoofdkrommingen en de gemiddelde krommingafhankelijk van de manier waarop Σ is ingebed in M.Het zelf-toegevoegd zijn van χ t.o.v. h laat verder toe om op Tp(Σ) een symmetrische bilineaire vormte definieren:

K : Tp(Σ)× Tp(Σ) −→ R : (u,v) 7−→ u · χ(v) (7-3.8)

of dus∀u,v ∈ Tp(Σ) : K(u,v) = u ·∇vn. (7-3.9)

We noemen dit de tweede fundamentele vorm of de uitwendige (extrinsieke) kromming van Σ. Deuitwendige kromming bevat dezelfde informatie als de vormoperator en is dus eveneens afhankelijkvan de manier waarop Σ is ingebed in M.Het spoor van de bilineaire vorm K m.b.t. h zullen we noteren als K. Er geldt dus

K := habKab = 3H. (7-3.10)

Opmerking: in numerieke algemene relativiteit wordt de voorgaande uitdrukking voor de uitwendigekromming meestal voorzien van een extra - teken.

7-4 Voorbeelden van hypervlakken in R3

We illustreren voorgaande definities aan de hand van enkele hypervlakken ingebed in de vlakke eu-clidische ruimte M = R3 m.a.w. g heeft signatuur (+,+,+). De hypervlakken zijn dan gewone2-dimensionale oppervlakken. We spreken af dat in de volgende voorbeelden griekse indices behorentot 1, 2, 3 en latijnse indices tot 1, 2.

een vlak in R3

Is Σ een vlak met eenheidsnormaal n en kiezen we coordinaten (Xα) = (x, y, z) in R3 zo dat Σ wordt

voorgesteld door de vergelijking z = 0, dan vormt (xi) = (x, y) een coordinaatstelsel op Σ en heeft deeerste fundamentele vorm h de componenten hij = diag(1, 1). Uiteraard is de intrinsieke krommingdan 0: Riem(h) = 0. Omdat n als componenten nα = (0, 0, 1) heeft (en omdat covariante afleidingzich in M reduceert tot gewone partiele afleiding), geldt echter ook dat de uitwendige kromming 0 is,∇n = 0. Zowel de tweede fundamentele vorm als de uitwendige kromming zijn dus 0.

een cilinder in R3

Als Σ een cilinder is gedefinieerd door t := ρ−R = 0, met yα = (ρ, ϕ, z) standaard cilindercoordinatenop R3, dan vormen (xi) = (ϕ, z) een coordinaatstelsel op Σ. De componenten van de eerste funda-mentele vorm zijn dan

ds2S = hij dxi dxj = R2dϕ2 + dz2, (7-4.1)

wat duidelijk een lokaal vlakke metriek is.

88

Figure 7.2: de eenheidsnormaal heeft een constante richting zodat χ = K = 0.

Om de uitwendige kromming van Σ te bepalen beschouwen we de eenheidsnormaal n. T.o.v. decoordinaten (Xα) = (x, y, z) worden de componenten van n gegeven door

nα =

(

x√

x2 + y2,

y√

x2 + y2, 0

)

. (7-4.2)

Berekening van ∇βnα = ∂nα/∂Xβ levert

∇βnα = (x2 + y2)−3/2

y2 −xy 0−xy x2 00 0 0

. (7-4.3)

T.o.v. de coordinaten (xi) = (ϕ, z) bekomen we hiermee

Kij =K(∂i,∂j) = ∇βnα (∂i)α (∂j)

β , (7-4.4)

waarbij (∂i) = (∂ϕ, ∂z) = (∂/∂ϕ, ∂/∂z) = (−y∂x + x∂y, ∂z) en dus (controleer!)

Kij =

(Kϕϕ Kϕz

Kzϕ Kzz

)

=

(R 00 0

)

. (7-4.5)

Vermits hij = diag(R−2, 1), wordt het spoor van K dan gegeven door

K =1

R. (7-4.6)

een 2-sfeer in R3

Als laatste voorbeeld beschouwen we een 2-sfeer met straal R en vergelijking r −R = 0, met (Xα) =(r, θ, ϕ) standaard sferische coordinaten in R3 en met (xi) = (θ, ϕ) coordinaten op Σ. De eerstefundamentele vorm h wordt dan gegeven door

hij dxi dxj = R2

(dθ2 + sin2 θdϕ2

). (7-4.7)

89

Figure 7.3: een cilinder Σ in R3. Noteer dat de eenheidsnormaal n niet verandert met z: de uitwendige kromming isdus 0 in de z richting.

Zoals aangetoond op p. 78 is dit een constante-kromming metriek met ricciscalar, riccitensor enriemanntensor resp. gegeven door

R =2

R2, Rij =

1

R2hij , Ri

jkl =1

R2

(δi khjl − δi lhjk

). (7-4.8)

De uitwendige eenheidsnormaal n op Σ heeft t.o.v. (Xα) = (x, y, z) de componenten :

nα =

(

x√

x2 + y2 + z2,

y√

x2 + y2 + z2,

z√

x2 + y2 + z2

)

, (7-4.9)

waaruit we ∇βnα = ∂nα/∂Xβ bekomen:

∇βnα = (x2 + y2 + z2)−3/2

y2 + z2 −xy −xz−xy x2 + z2 −yz−xz −yz x2 + y2

. (7-4.10)

De coordinaatbasis geassocieerd aan (xi) = (θ, ϕ) op Σ is

∂θ = (x2 + y2)−1/2[xz ∂x + yz ∂y − (x2 + y2) ∂z

], (7-4.11)

∂ϕ = −y ∂x + x∂y, (7-4.12)

zodat de componenten van de uitwendige kromming in deze basis gegeven worden doorKij =K(∂i, ∂j) =∇βnα (∂i)

α (∂j)β :

Kij =

(Kθθ Kθϕ

Kϕθ Kϕϕ

)

=

(R 00 R sin2 θ

)

=1

Rhij , (7-4.13)

wat te verwachten was gezien de isotropie van Σ. Het spoor van K m.b.t. h wordt ten slotte gegevendoor

K =2

R. (7-4.14)

90

Figure 7.4: een 2-sfeer als hypervlak Σ in R3.

7-5 Orthogonale projector op een ruimteachtig hypervlak

Notaties en conventies

We bekijken nu het geval van een ruimteachtig hypervlak meer in detail (een analoge behandelingkan gegeven worden voor het tijdachtige geval): de eerste fundamentele vorm h van Σ is dan positiefdefiniet en de eenheidsnormaal n is tijdachtig.Voor elk punt p ∈ Σ bestaat de volgende orthogonale decompositie van Tp(M),

Tp(M) = Tp(Σ)⊕ Rn, (7-5.1)

wat toelaat om de tensor h♯ ∈ T 11 (M), met componenten

h♯a

b = δab + nanb, (7-5.2)

i.e.h♯(v, τ ) = τ (v) + (n · v)τ (n), (7-5.3)

te interpreteren als orthogonale projector op Σ. Met deze tensor correspondeert immers in elk puntp ∈ Σ een uniek endomorfisme van Tp(M), dat we eveneens noteren als h♯ en dat gedefinieerd is door

h♯(v) = v + (n · v)n. (7-5.4)

Er geldt dan duidelijkh♯(n) = 0 (7-5.5)

(wat een gevolg is van n2 = −1), terwijl h♯ de identiteit is op Tp(Σ):

∀v ∈ Tp(Σ), h♯(v) = v. (7-5.6)

Samen met de push-forward θ∗ van de afbeelding θ, die we gebruiken om contravariante tensorenover te hevelen van Σ naar M, laat voorgaand endomorfisme toe om in elk punt p gelijk welk (3-D)tensorieel object T (gedefinieerd op Σ) te beschouwen1 als een 4-D object op M, de extensie van T

1We zullen deze afspraak vanaf nu stilzwijgend hanteren. Dit vermijdt het invoeren van ‘3-D indices’ vs. ‘4-D indices’en brengt een aanzienlijke vereenvoudiging van de notatie met zich mee.

91

genoemd. Zo is bv. met τ ∈ Ω1(Σ) de extensie van τ gegeven door τ ∈ Ω1(M), met τ (v) = τ (h♯(v)).

Oefening:

Ga na dat de extensie van h, de eerste fundamentele vorm van Σ, gegeven is door h = h♯∗h, metcomponenten bepaald door hab = gab + nanb. Meestal laten we het symbool ˜ weg en noteren wegewoon hab = gab + nanb. Dit toont trouwens aan dat de h♯ notatie voor de orthogonale projectorconsistent is met de ♯ operatie zoals geıntroduceerd op p. 69: ‘ophalen’ van de a-index in voorgaandebetrekking leidt opnieuw tot 7-5.2.

K en ∇n herbekeken

We veronderstellen nu dat Σ een niveau-oppervlak is van een scalaire functie t, zodat de normaal nook gedefinieerd is in een omgeving van Σ, wat toelaat om een betekenis te hechten aan het object∇n (mogelijk afhankelijk van de gekozen foliatie). Dit is i.h.b. het geval als Σ een cauchyhypervlak is,nl. een ruimteachtig hypervlak met de eigenschap dat elke causale (d.w.z. tijdachtige of nul) krommeΣ precies in een punt snijdt. Een dergelijke ruimtetijd M wordt globaal hyperbolisch genoemd enmen kan aantonen dat M dan gefolieerd wordt door een familie (Σt)t∈R van cauchyhypervlakken, dieelk een niveau-oppervlak zijn van de scalaire functie t. De gradient van t is tijdachtig en met n deeenheidsnormaal op Σt, definieren we een positieve functie N , de z.g. lapse functie, door

n = −Ndt, of n = −N(dt)♯ (7-5.7)

(het − teken houdt in dat n toekomstgericht is als we M tijdorienteren m.b.v. de functie t).

Een handig concept is de normale evolutievector m = Nn, waarvoor geldt dat dt(m) = − 1NNn

(n) =1, of

Lmt =m(t) = 1. (7-5.8)

Anderzijds is (−N∇ndt)a = −Nnbt;a;b = −Nnbt;b;a = −Nnb(− 1N nb);a = −N 1

N2nbnbN;a, zodat

−∇mdt = dlogN. (7-5.9)

Vermits n2 = −1, is het vectorveld n te beschouwen als de 4-snelheid van een familie waarnemers, somsde eulerse waarnemers genoemd, die bij constructie een hypervlakorthogonale congruentie bepalen. Dehypervlakken Σt zijn dan de ogenblikkelijke rustruimtes van deze waarnemers en voor twee naburigeevents p(t) en p′(t+ δt) op de wereldlijn van een eulerse waarnemer geldt dat p′ = p+mδt (correcter:de meesleepafbeelding met parameter t is precies de stroming geassocieerd aan het vectorveldm). Decorresponderende eigentijd verlopen tussen p en p′ is dan (−g(mδt,mδt))1/2 = Nδt. We definierennu de versnelling van de eulerse waarnemers door

a := ∇nn. (7-5.10)

Er geldt dan dat a ⊥ n en dus rakend is aan Σ:

n · a = n ·∇nn =1

2∇n(n · n) = 1

2∇n(−1) = 0.

Bekijken we nu, met de afspraken uit voorgaande paragraaf, de extensie van de tweede fundamentelevorm van Σ, h♯

∇n, die we voor de eenvoud eveneens K zullen noteren. Laten we deze werken op

92

een willekeurig koppel vectoren (u,v), dan bekomen dwe

∀u,v ∈ Tp(M), K(u,v) = K(h♯(u),h♯(v)) = h♯(u) ·∇h♯(v)n

= h♯(u) ·∇v+(n·v)nn

= [u+ (n · u)n] · [∇vn+ (n · v)∇nn]

= u ·∇vn+ (n · v)u ·∇nn︸ ︷︷ ︸

=a

+(n · u)n ·∇vn︸ ︷︷ ︸

=0

+(n · u)(n · v)n ·∇nn︸ ︷︷ ︸

=0

= u ·∇vn+ (a · u)(n · v),= ∇n(u,v) + a(u)n(v). (7-5.11)

Vermits 7-5.11 geldig is voor elk koppel vectoren (u,v) in Tp(M)2, besluiten we dat

K = ∇n + a ⊗ n, (7-5.12)

of, in componenten,Kbc = ∇c nb + ab nc. (7-5.13)

Nemen we het spoor van voorgaande betrekking m.b.t. de metriek g, dan zien we dat de gemiddeldekromming niets anders is dan 1/3 van de divergentie van n:

H =1

3∇ · n. (7-5.14)

Verband tussen ∇ en D

We tonen nu aan dat voor een willekeurige tensor T op Σ, de (intrinsieke) covariante afgeleide DT uitte drukken is in functie van de covariante afgeleide op M door middel van de betrekking

DT = h♯∇T , (7-5.15)

of, in componenten t.o.v. een willekeurige basis,

DρTa1...ap

b1...bq= ha1

m1· · ·hap

mphn1

b1· · ·hnq

bqhσ ρ∇σT

m1...mpn1...nq

. (7-5.16)

Het bewijs van de betrekking 7-5.15 verloopt in twee stappen. Vooreerst is het gemakkelijk om nate gaan dat h♯

∇ voldoet aan alle voorwaarden om een torsievrije connectie te zijn op Σ. Vervolgensmoeten we bewijzen dat deze connectie de levi-civitaconnectie is geassocieerd aan h: dit volgt, steunendop de uniciteit van de levi-civitaconnectie, uit

(h♯

∇h)

abc= hmah

kbh

rc∇rhmk

= hmahkbh

rc(∇r gmk︸ ︷︷ ︸

=0

+∇rnm nk + nm∇rnk)

= hrc(hma h

kbnk

︸ ︷︷ ︸

=0

∇rnm + hmanm︸ ︷︷ ︸

=0

∇rnk)

= 0. (7-5.17)

Wanneer u,v rakend zijn aan Σ bekomen we uit 7-5.15 nog de volgende uitdrukking voor Duv:

(Duv)a = usDsv

a = ushks︸ ︷︷ ︸

=uk

ham∇kvm = uk (δam + nanm)∇kv

m

= uk∇kva + nauk nm∇kv

m

︸ ︷︷ ︸

=−vm∇knm

= uk∇kva − naukvm∇mnk, (7-5.18)

93

waar we gebruik maakten van nmvm = 0 (v is rakend aan Σ) om te besluiten dat nm∇kv

m =−vm∇knm. Uit 7-3.9 volgt echter ukvm∇mnk =K(u,v), zodat

∀u,v ∈ T (Σ), K(u,v)n = ∇uv −Duv. (7-5.19)

Aldus zien we dat de uitwendige kromming ook kan geınterpreteerd worden als het verschil tussen deruimtetijd connectie ∇ en de intrinsieke connectie D (voor zover beide werken op vectoren in Tp(Σ))en dat dit verschil steeds loodrecht staat op Σ.Gebruik makend van 7-5.9 en 7-5.15 zien we ook dat de 4-versnelling van de eulerse waarnemers nietsanders is dan de logarithmische gradient (t.o.v. Σ) van de lapse N :

a = ∇n(n) = ∇n(−Ndt)

= n∇n logN + d logN = h♯d logN

= D logN. (7-5.20)

Uit 7-5.12 bekomen we hiermee de volgende uitdrukkingen voor de covariante afgeleiden van de normaalen de normale evolutievector in functie van de uitwendige kromming en de afgeleide van de lapse:

∇n = K −D logN ⊗ n (7-5.21)

∇m = NK −DN ⊗ n + n ⊗∇N. (7-5.22)

oefening: Ga na dat hiermee de lie-afgeleide t.o.v. m van de eerste fundamentele vorm van Σ zichherleidt tot 2N× de tweede fundamentele vorm:

Lmh = 2NK, (7-5.23)

of

K =1

2Lnh. (7-5.24)

Vooral deze laatste uitdrukking is van belang voor de z.g. beginvoorwaardenformulering van de Einsteinveldvergelijkingen. In tegenstelling tot de uitdrukkingen 7-3.9 en 7-5.19 is ze uiteraard enkel geldigvoor hypervlakken Σ die behoren tot een foliatie (Σt)t∈R.

oefening: Bepaal op dezelfde manier als hierboven (maar nu door berekening van de lie-ageleiden vanhab) de lie-afgeleiden van de orthonormale projector:

Lm(h♯) = 0, (7-5.25)

wat de benaming normale evolutievector rechtvaardigt: een tensorveld T dat rakend is aan Σ (T =h♯T ) blijft, onder propagatie langs de integraalkrommen van m, rakend aan Σt. Dit in tegenstellingtot n, waarvoor Ln(h

♯) 6= 0!

Beschouwen we ten slotte een geodeet γ in (Σ,h) met snelheidsvector u zo dat Duu = 0. Uit (7-5.19)vinden we dan ∇uu =K(u,u)n. Dit betekent dat γ tevens een geodeet is van (M, g), op voorwaardedat K(u,u) = 0. Wanneer de uitwendige kromming 0 is, dan vallen beide betekenissen van ‘geodeet’samen en spreken we van een totaal geodetisch oppervlak Σ.Voorbeeld: een vlak in de 3-d euclidische ruimte is een totaal geodetisch oppervlak, een 2-sfeer duidelijkniet.Dat vlakken de enige totaal geodetische oppervlakken zijn in R3 volgt uit het theorema egregium vanGauß, dat we in de volgende paragraaf in een veralgemeend kader behandelen.

94

7-6 3+1 splitsing van de krommingstensor

De volgende paragraaf vormt de basis voor het z.g. 3+1 formalisme (of, naargelang de gebruiktevariabelen, ADM formalisme) van algemene relativiteitstheorie. Het laat toe om de kromming van deruimtetijd te bestuderen aan de hand van de inwendige en uitwendige kromming van ruimteachtigehypervlakken die een foliatie vormen van M. De eerste twee sub-paragrafen leiden tot de formulesvan Gauß en Codazzi en zijn geldig voor een willekeurig hypervlak (niet noodzakelijk behorend tot eenfoliatie). In de derde subparagraaf (formule van Ricci) wordt twee keer op n geprojecteerd en tweekeer op Σ en is het bestaan van een foliatie essentieel.

Formule van Gauß

We beginnen met de ricci-identiteit 7-2.2 voor de kromming van Σ te beschouwen:

(DaDb −DbDa)vc = Rc

mab vm, (7-6.1)

waarbij v een vectorveld is in T (Σ). Steunend op 7-5.16 wordt de 4-d versie van deze betrekking

DaDbvc = Da(Dbv

c)

= hmahnbh

cr∇m(Dnv

r)

= hmahnbh

cr∇m

(hsnh

rl∇sv

l). (7-6.2)

Steunend op 7-5.2 vinden we ∇mhsn = ∇m (δsn + nsnn) = ∇mn

s nn+ns∇mnn, zodat met hnbnn = 0,

DaDbvc = hmah

nbh

cr

(

ns∇mnn hrl∇sv

l + hsn∇mnr nl∇sv

l

︸ ︷︷ ︸

=−vl∇snl

+hsnhrl∇m∇sv

l

)

= hmahnbh

cl∇mnn n

s∇svl − hmah

sbh

crv

l∇mnr ∇snl + hmah

sbh

cl∇m∇sv

l

= Kab hcl n

s∇svl −Kc

aKbl vl + hmah

sbh

cl∇m∇sv

l, (7-6.3)

waarbij we op de tweede lijn gebruik gemaakt hebben van de idempotentie van de projectie-operatorh♯, nl. hc rh

rl = hc l, evenals van h

mah

nb∇mnn = Kba (zie 7-5.13). Permuteren we de indices a en b en

trekken we beide vergelijkingen van elkaar af, dan valt de eerste term in het rechterlid weg wegens desymmetrie van de tweede fundamentele vorm en blijft er

DaDbvc −DbDav

c = (KamKcb −KbmK

ca) v

m + hrahsbh

cl

(∇r∇sv

l −∇s∇rvl). (7-6.4)

Steunend op de ricci-identiteit voor de connectie ∇ volgt hieruit

DaDbvc −DbDav

c = (KamKcb −KbmK

ca) v

m + hrahsbh

clR

lmrsv

m = 0, (7-6.5)

wat na substitutie in 7-6.1 leidt tot

(KamKcb −KbmK

ca) v

m + hrahsbh

clR

lmrsv

m = Rcmab v

m, (7-6.6)

of,hmah

nbh

crh

slR

rsmnv

l = Rclab v

l + (KcaKlb −Kc

bKal) vl. (7-6.7)

Aangezien deze betrekking geldt voor willekeurige v ∈ T (Σ) en vermits zowelK als Riem rakend zijnaan Σ, bekomen we uiteindelijk de formule van Gauß :

hmahnbh

crh

sdR

rsmn = Rc

dab +KcaKdb −Kc

bKad. (7-6.8)

Contractie over de indices a en c leidt, gebruik makend van hmahar = hmr = δmr + nmnr, tot de

gecontracteerde formule van Gauß, die een verband geeft tussen de 4-d en 3-d riccitensoren:

hmahnbRmn + hamn

nhrbnsRm

nrs = Rab +KKab −KamKmb. (7-6.9)

95

Nemen we hiervan het spoor m.b.t. h en houden we rekening met Kmm = K dan bekomen we

habhamnnhrbn

sRmnrs = hrmn

nnsRmnrs = Rm

nms︸ ︷︷ ︸

=Rns

nnns +Rmnrsn

rnmnnns

︸ ︷︷ ︸

=0

= Rmnnmnn, (7-6.10)

wat leidt tot de volgende veralgemening van Gauß’ theorema egregium

R+ 2Rmnnmnn = R +K2 −KijK

ij . (7-6.11)

De oorspronkelijke versie van het theorema egregium had betrekking op 2d-oppervlakken in de 3-deuclidische ruimte R3. Het linkerlid van (7-6.11) is dan 0 en bovendien hebben we te maken met eenriemannse ruimte i.p.v. met een pseudoriemannse: als gevolg hiervan2 heeft de term K2 − KijK

ij

in het rechterlid een ander teken, zodat het theorema egregium de gedaante R − K2 + KijKij = 0

aanneemt.Ten slotte kunnen we in twee dimensies gemakkelijk de bijdrage van de uitwendige kromming berekenenin termen van de hoofdkrommingen κ1, κ2 van Σ: diagonalseren we K dan volgt immers K = κ1 + κ2en KijK

ij = κ21 + κ22 zodat voorgaande betrekking zich verder vereenvoudigt tot R = 2κ1κ2.Voorbeeld: in het geval van een vlak of een cilinder in R3 (dus κ1 en/of κ2 = 0) geldt inderdaad R = 0,terwijl voor een 2-sfeer met straal r geldt dat R = 2/r2 en κ1 = κ2 = 1

r .

Formule van Codazzi

Opnieuw beschouwen we de ricci-identiteit (maar nu 4-D) en passen deze toe op (een extensie van) hetnormaalvectorveld n op Σ:

Rcmab n

m = (∇a∇b −∇b∇a)nc. (7-6.12)

Na projectie op Σ bekomen we

hmahnbh

crR

rsmnn

s = hmahnbh

cr (∇m∇nn

r −∇n∇mnr) . (7-6.13)

Gebruik makend van 7-5.13, namelijk

hmahnbh

cr∇m∇nn

r = hmahnbh

cr∇m (Kr

n − arnn)

= hmahnbh

cr (∇mK

rn −∇ma

r nn − ar∇mnn)

= DaKcb − acKab, (7-6.14)

waarbij we gesteund hebben op 7-5.16, evenals op hnbnn = 0, hc rar = ac en hmah

nb∇mnn = Kab,

bekomen we uiteindelijk uit 7-6.13 de formule van Codazzi :

hc r ns hmah

nbR

rsmn = DaK

cb −DbK

ca. (7-6.15)

Contractie van de formule van Codazzi over de indices a en c resulteert in

hmr nshnbR

rsmn = DmK

mb −DbK. (7-6.16)

Schrijven we nu hmr nshnbR

rsmn = (δmr + nmnr)n

shnbRrsmn = nshnbRsn + hnbR

rsmnnrn

snm, danvolgt wegens de antisymmetrie van de riemanntensor in het eerste index-paar uiteindelijk de gecon-tracteerde formule van Codazzi,

hmannRmn = DmK

ma −DaK. (7-6.17)

Voorbeeld: in het geval van een vlak, een cilinder of een 2-sfeer in R3 is K constant en is aan dezelaatste betrekking triviaal voldaan.

2de orthogonale projector is dan hab= δa

b− nanb i.p.v. ha

b= δa

b+ nanb

96

Riccivergelijking

We projecteren ten slotte 7-6.12 twee keer op n en twee keer op Σ en bekomen, gebruik makend van7-5.21 en 7-5.20, (verifieer!)

hamnrhnbn

sRmrns = −KasK

sb +

1

NDbDaN − hmah

nbn

s∇sKmn. (7-6.18)

Herschrijven we met 7-5.22 de lie-afgeleide van K als

LmKab = Nnm∇mKab + 2NKamKm

b −KamDmNnb −KbmD

mNna, (7-6.19)

of, gebruik makend van h♯LmK = LmK, als

LmKab = Nhmahnbn

s∇sKmn + 2NKamKm

b, (7-6.20)

dan reduceert 7-6.18 zich tot de riccivergelijking,

hamnrhnbn

sRmrns = − 1

NLmKab +

1

NDaDbN +KamK

mb. (7-6.21)

Met 7-6.9 laat dit zich verder herschrijven als

hmahnbRmn =

1

NLmKab −

1

NDaDbN +Rab +KKab − 2KamK

mb. (7-6.22)

Nemen we hiervan het spoor, dan bekomen we (verifieer!)

R +Rmnnmnn = R+K2 +

1

Nm(K)− 1

NDaD

aN. (7-6.23)

Na elimimatie, m.b.v. de gecontracteerde formule van Gauß, van de kwadratische riccitermen volgthieruit ten slotte een uitdrukking voor de 4d ricciscalar:

R = R+K2 +KabKab +

2

Nm(K)− 2

NDaD

aN. (7-6.24)

97

Hoofdstuk 8

Dualiteit

8-1 Inleiding

In paragraaf 4-3 merkten we reeds op dat we, om scalaire functies f ∈ F(M) over een varieteit teintegreren, dienen te beschikken over een volumevorm op M. Op zichzelf is het construeren vanvolumevormen geen probleem: neem een willekeurige basis ea, construeer de duale basis ωa en bekijkbv.

σ = ω1 ∧ · · · ∧ωn. (8-1.1)

Deze vorm is echter niet invariant onder basistransformaties. Inderdaad, als ωa′

= La′

aωa een andere

basis is, dan isσ′ = det(La′

a)σ. (8-1.2)

Beschikken we nu over een metriek g, dan geldt

det(ga′b′) = det (La′a)2det(gab),

of korterg′ = det(La′

a)2g.

Zijn beide basissen gelijkgeorienteerd (d.w.z. detL > 0) en stellen we |g| de absolute waarde vandet gab, dan is dus

|g′|1/2 = det(La′

a)−1|g|1/2, (8-1.3)

wat m.bv. 8-1.2 volgende z.g. canonieke volumevorm ǫ oplevert

ǫ = |g|1/2σ, (8-1.4)

ook de levi-civitatensor genoemd (bij een basistransformatie naar een gelijkgeorienteerde basis geldtdan ǫ′ = ǫ). Het is helemaal niet evident dat globaal een dergelijke volumevorm ǫ kan geconstrueerdworden: dit komt immers neer op de globale constructie van een ‘positieve’ orthonormale basis en, zoalshet voorbeeld van de mobius-strip aantoont, is dit niet altijd mogelijk! Kan dit wel gebeuren, danzeggen we dat M orienteerbaar is. Orthonormale basissen, nl. basissen met gab = saδab en sa = ±1)waarvoor

ω1 ∧ · · · ∧ωn = +ǫ, (8-1.5)

worden dan positieve orthonormale basissen genoemd.

98

Oefening:

Toon aan dat t.o.v. de metrische connectie

∇ǫ = 0.

Aanwijzing: gebruik een (bij voorkeur normale) coordinaatbasis!Het bestaan van de volumevorm ǫ laat verder nog toe om in een n-dimensionale varieteit aan eenp-vorm ω een unieke (n− p)-vorm te associeren, de hodgeduale (of kortweg de duale) van ω genoemd.We noteren deze (n− p)-vorm als ∗ω: hij wordt op een basis-onafhankelijke manier gedefinieerd door

µ ∧ ∗ω = g(µ,ω) ǫ, ∀µ ∈ T p(M), (8-1.6)

of, in componenten, door

(∗ω)a1...an−p=

1

p!ωb1...bpǫb1...bpa1...an−p

. (8-1.7)

Is (ω1, . . . ,ωn) een positieve orthonormale basis1, dan bestaat er voor de duale van de basis-p-vormenωi1 ∧ . . .ωip een eenvoudige uitdrukking: met 1 6 i1 < . . . < ip 6 n is

∗(ωi1 ∧ . . . ∧ ωip) = (−1)σsi1 . . . sipωip+1 ∧ . . . ∧ ωin . (8-1.8)

Hierbij is (ip+1, . . . , in) de rij die ontstaat uit (1, . . . , n) door er (i1, . . . , ip) uit weg te laten:

(ip+1, . . . , in) = (1, . . . , n)− (i1, . . . , ip) (8-1.9)

en is σ de permutatie die (1 . . . n) afbeeldt op (i1 . . . in).Ga na dat, met n− 2s de signatuur van de kwadratische vorm g, voor een p-vorm ω geldt

∗∗ω = (−1)s+p(n−p)ω, (8-1.10)

zodat 8-1.6 ook kan geschreven worden als

µ ∧ ω = (−1)sg(∗µ,ω) ǫ, ∀µ ∈ T p(M). (8-1.11)

In R2 met de standaard euclidische metriek is dualiteit dus niets anders dan de afbeelding gedefinieerddoor

∗dx = dy, ∗dy = −dx. (8-1.12)

Verder geldt in R2 ook∗1 = dx ∧ dy, ∗(dx ∧ dy) = 1. (8-1.13)

Ga ook na dat de 2d-laplace-operator geschreven kan worden als

∆ = ∗d∗d, (8-1.14)

terwijl, steunend op de cauchy-riemannvergelijkingen, holomorfe functies f gekarakteriseerd wordendoor de eigenschap dat hun uitwendige afgeleiden zelfduaal zijn:

∗df = −idf. (8-1.15)

oefening

Toon aan dat op de eenheidssfeer S2 in R3 de laplace(-beltrami)-operator ∆ gegeven wordt door

∗d∗d f = fθθ + cotan(θ)fθ + cosec(θ)2fφφ (8-1.16)

(aanwijzing: gebruik de orthonormale basis ω1 = dθ, ω2 = sin(θ)dφ).

1Let op: de betrekkingen 8-1.8 zijn dus bv. niet geldig in een nul-tetrad!

99

oefening

Toon aan dat de standaardmetriek op de eenheidssfeer ook geschreven kan worden als

ds2 = sech(w)2(dv2 + dw2), 0 < w <∞, |v| < π (8-1.17)

(de z.g. mercatormetriek) en dat in deze coordinaten de laplace-beltrami-operator gegeven wordt door

∗d∗d f = cosh(w)2(fvv + fww). (8-1.18)

In R3 met de standaard euclidische metriek is dualiteit de afbeelding die toelaat om aan de 1-vormendx, dy en dz de 2-vormen

∗dx = dy ∧ dz, ∗dy = dz ∧ dx, ∗dz = dx ∧ dy (8-1.19)

te associeren en omgekeerd:

∗(dx ∧ dy) = dz, ∗(dy ∧ dz) = dx, ∗(dz ∧ dx) = dy. (8-1.20)

Tevens geldt dan∗1 = dx ∧ dy ∧ dz en ∗(dx ∧ dy ∧ dz) = 1. (8-1.21)

In het 3-d euclidische geval is dus∗∗ = 1. (8-1.22)

Bovenstaande eigenschappen tonen expliciet aan dat het uitwendig product een directe veralgemeningis van het vectorieel product: in de standaard euclidische ruimte R3 kunnen we immers (vermitsgij = gij = δij) vectoren u

i∂i identificeren met 1-vormen uidxi. Indien we beide objecten aanduiden

met hetzelfde symbool u, dan kunnen we dus de eigenschap

(u1dx+ u2dy + u3dz) ∧ (v1dx+ v2dy + v3dz) = (8-1.23)

(u2v3 − u3v1)dy ∧ dz + (u3v1 − u1v3)dz ∧ dx+ (u1v2 − u2v1)dx ∧ dy (8-1.24)

herschrijven als∗(u ∧ v) = u× v. (8-1.25)

De analogie met de vectoranalyse gaat nog veel verder: vermits

∗u = ∗(u1dx+ u2dy + u3dz) = u1dy ∧ dz + u2dz ∧ dx+ u3dx ∧ dy,

is

d∗u = (∂u1∂x

+∂u2∂y

+∂u3∂z

)dx ∧ dy ∧ dz

waaruit,∗d∗u = ∇ · u. (8-1.26)

Anderzijds is (ga na)

d(u1dx+ u2dy + u3dz) = (∂u3∂y

− ∂u2∂z

)dy ∧ dz + (∂u1∂z

− ∂u3∂x

)dz ∧ dx+ (∂u2∂x

− ∂u1∂y

)dx ∧ dy,

waaruit volgt∗du = ∇× u. (8-1.27)

De twee befaamde identiteiten uit de vectoranalyse, rot grad = 0 en div rot = 0 blijken alzo bijzonderegevallen te zijn van de eigenschap d2 = 0! Hiermee wordt ook duidelijk dat de klassieke stellingen vanStokes en Gauß bijzondere gevallen zijn van de eigenschap 4-3.9.

100

Oefening

1. Beschouw in een 3-d euclidische ruimte de z.g. prolate spheroidal coordinates, gedefinieerd in functievan standaard cilindercoordinaten r, φ, z door

z = Axy, r = A√

x2 − 1√

1− y2 (8-1.28)

(1 < x <∞,−1 < y < 1, |φ| < π). Toon aan dat de metriek dan gegeven wordt door

ds2 = A2(x2 − y2)(dx2

x2 − 1+

dy2

1− y2) +A2(x2 − 1)(1− y2)dφ2 (8-1.29)

en dat de laplaciaan gegeven wordt door

∗d∗df =[(x2 − 1)fx]x + [(1 − y2)fy]y

A2(x2 − y2)+

1

A2(x2 − 1)(1− y2)fφφ. (8-1.30)

2. Toon aan dat de divergentie van een vectorveld, ∇ · u = ua;a kan geschreven worden als

∇ · u = (−1)s ∗d∗u. (8-1.31)

8-2 Bivectoren en dualiteit in een ruimte-tijd

Wordt in een ruimte-tijd met signatuur (− + ++) een positieve orthonormale basis (E0,E1,E2,E3)gekozen met duale basis θ0, . . . , θ3, dan is, met E4 := E0 en θ4 := θ0

θ1 ∧ θ2 ∧ θ3 ∧ θ4 = −θ0 ∧ θ1 ∧ θ2 ∧ θ3,zodat, in plaats van 8-1.5, dikwijls de canonieke volumevorm gedefinieerd wordt als

ǫ = −θ1 ∧ · · · ∧ θ4 (8-2.1)

en dus ookǫ1234 = −1. (8-2.2)

Let op: dit betekent dat, wanneer we dualen berekenen m.bv. de betrekkingen 8-1.8, ook daar eenextra − teken moet worden in acht genomen!

Definieren we vervolgens een complex nultetrad (ea) = (m,m, ℓ,k) zoals op p. 80, met duale (ωa),dan volgt (ga na!)

ǫ = iω1 ∧ ω2 ∧ ω3 ∧ ω4 en ǫabcdmambℓckd = i. (8-2.3)

en dus ook 2

ǫ1234 = ǫ1234 = i. (8-2.4)

Oefening:

Toon aan dat (ook in een complex nultetrad) voldaan is aan de volgende betrekkingen:

ǫabcdǫefgh =− 24δ

[e[aδ

fb δ

gc δ

h]d] , (8-2.5)

ǫabcdǫafgh =− 6δ

[f[b δ

gc δ

h]d] , (8-2.6)

ǫabcdǫabgh =− 4δ

[g[c δ

h]d] , (8-2.7)

ǫabcdǫabch =− 6δhd , (8-2.8)

ǫabcdǫabcd =− 24. (8-2.9)

2Voor een orthonormale basis geldt daarentegen met signatuur (− + ++) dat ǫ1234 = −ǫ1234

101

In het algemeen kan deze betrekking geschreven worden als (metM,N, I lijsten van indices, van lengten− p, n− p, p en met n− 2s de signatuur van de kwadratische vorm g):

ǫIMǫIN = (−1)sp!(n− p)!δ[M ][N ] . (8-2.10)

Een bijzondere rol wordt gespeeld door 2-vormen, X = 12Xabω

a ∧ ωb, ook soms bivectoren genoemd.De duale van X moet volgens 8-1.6 voldoen aan (ωa ∧ ωb) ∧ (∗X) = g(ωa ∧ ωb,X)ǫ voor alle a, b,wat impliceert dat (ga na!)

∗Xab =1

2ǫabcdX

cd. (8-2.11)

Merk op dat in een 4d ruimte-tijd voldaan is aan

∗∗X = −X ∀X ∈ Ω2(M). (8-2.12)

Definieren we dus voor elke 2-vorm X de complexe 2-vorm X+ door

X+ =X + i∗X, (8-2.13)

dan is X+ duidelijk zelf-duaal, in de zin dat:

∗X+ = −iX+ (8-2.14)

en omgekeerd: als X+ zelf-duaal is, dan bestaat een reele X zo dat X+ =X + i ∗X.

Oefening:

1. Toon aan dat voor twee bivectoren X,Y geldt dat

XacYbc − ∗Y ac∗Xbc =1

2XmnYmnδ

ab . (8-2.15)

2. Toon aan dat voor elke bivector X

1

2X+

abX+ab

= XabXab + iXab

∗Xab. (8-2.16)

3. Toon aan dat de rang van een bivector X 6= 0 (i.e. van de corresponderende matrix Xab) 2 of 4 is.Is de rang 2, toon dan aan dat X simpel is,

X = u ∧ v ⇔ Xab = 2u[avb] ⇔ rang(Xab) = 2.

X kan dan geınterpreteerd worden als het oppervlakte-element opgespannen door u,v en de span vandeze twee vectoren wordt het eigenblad genoemd van X (het eigenblad is een invariante deelruimtevan Xa

b). Een simpele bivector voldoet uiteraard aan de voorwaarde dat Xa[bXcd] = 0, maar het

omgekeerde geldt ook: contractie van deze betrekking met een vector ra waarvoor ua = Xabrb 6= 0

geeft immers u[bXcd] = 0, waarna contractie met een vector vb waarvoor ubvb 6= 0 aantoont dat

Xab ∼ u[awb] met wc = Xcbvb. Merk verder op dat, t.g.v. 8-2.15, ∗XabX

ab = 0 ⇒ ∗XabXbc = 0: uit

deze laatste betrekking volgt dat een q 6= 0 bestaat zo dat Xabqb = 0 (contracteer met een vector

r waarvoor qa = ∗Xabrb 6= 0) en dus X simpel is. De omgekeerde eigenschap is triviaal. Deze

beschouwingen leiden tot de volgende equivalente eigenschappen:

X(6= 0) is simpel ⇔rang Xab = 2, (8-2.17)

⇔detXab = 0, (8-2.18)

⇔∃v 6= 0 : Xabvb = 0, (8-2.19)

⇔Xa[bXcd] = 0, (8-2.20)

⇔∗XabXbc = 0, (8-2.21)

⇔∗XabXab = 0, (8-2.22)

⇔X ∧X = 0, (8-2.23)

⇔X+abX

+abis reeel. (8-2.24)

102

Oefening:

1. Toon aan dat X simpel is als en slechts als ∗X simpel is en dat dan de eigenbladen van beidebivectoren loodrecht op elkaar staan.

2. Een reele simpele bivector3 X wordt ruimteachtig, tijdachtig of nul genoemd naargelang XabXab >

0, < 0 of = 0. Toon aan dat dit betekent dat de corresponderende eigenbladen ruimteachtig, tijdachtigresp. nul zijn.

Voor een reele bivector X volgt dan dat

i) X nul is (en dus ook simpel) ⇔ (8-2.25)

ii) ∃k 6= 0 : Xabkb = 0 = ∗Xabk

b ⇔ (8-2.26)

iii) XabXab = Xab

∗Xab = 0 ⇔ (8-2.27)

iv) X ∧ ∗X =X ∧X = 0. (8-2.28)

3. Ga na dat de volgende bivectoren zelf-duaal zijn: m ∧ ℓ, k ∧m, m ∧m − k ∧ ℓ.Het is ook gemakkelijk na te gaan dat deze drie bivectoren een basis vormen voor de 3-dimensionale(complexe) vectorruimte van de zelfduale bivectoren. We noteren ze als

Z1 = U =m ∧ ℓZ2 = V =k ∧mZ3 =W =m ∧m− k ∧ ℓ. (8-2.29)

Er geldt dus

Uab =− ℓamb + ℓbma

Vab =kamb − kbma

Wab =mamb −mbma − kaℓb + kbℓa. (8-2.30)

Ga na dat alle contracties van deze drie tensoren 0 zijn, met uitzondering van

UabVab = 2, WabW

ab = −4, (8-2.31)

waarbij de laatste betrekking expliciet toont dat W niet simpel is.

oefening:

Toon aan dat de nulrotaties 6-3.23,6-3.22 het volgende effect hebben op de bivectoren Zα:

U ′ab = Uab, V

′ab = Vab − EWab + E2Uab,W

′ab =Wab − 2EUab (8-2.32)

V ′ab = Vab, U

′ab = Uab −BWab +B

2Vab,W

′ab =Wab − 2BVab. (8-2.33)

Voor een gegeven tijdachtig vectorveld u (u2 = −1)4 bepaalt elke zelfduale bivector X+ een unieke(complexe) vector

Xa = X+abu

b (8-2.34)

in het orthogonaal complement van u: Xaua = 0. Omgekeerd bepaalt ook elke vector Xa, loodrecht

op u een zelf-duale bivector met componenten (ga na):

X+ab = 2u[aXb] + iǫabcdu

cXd. (8-2.35)

3een complexe X wordt nul genoemd als X+abX

+ab= 0

4m.a.w. voor een gegeven congruentie van waarnemers

103

Hiervoor geldt dan

X+abX

+ab= −4XaX

a. (8-2.36)

We proberen nu om een gegeven bivector X zo eenvoudig mogelijk voor te stellen door een gepastekeuze van waarnemers te maken (d.w.z. door in elk punt een geschikte lorentz-transformatie uit tevoeren). Beginnen we met de geassocieerde zelf-duale 2-vorm X+ uit te schrijven t.o.v. de basisU ,V ,W als 5

1

2X+ = Φ0U +Φ1W +Φ2V . (8-2.37)

Als de invariantX+

abX+ab

= 16(Φ0Φ2 − Φ21) (8-2.38)

verschillend is van 0, dan zeggen we dat X niet-nul is. Is de invariant 0 dan spreken we van eennul-bivector. Een reele nul-bivector wordt dus gekarakteriseerd door de eigenschappen dat

XabXab = Xab

∗Xab = 0

en is dus simpel. De nul-eigenvectoren van een bivector spelen een belangrijke rol bij de verdereclassificatie: we zeggen dat een nul-vector k een principal null direction (PND) is van X, als

Xa[bkc]ka = 0, (8-2.39)

wat betekent dat k een eigenvector is van Xab. Is k een reele PND, dan volgt (gebruik makend van

het hierboven geıntroduceerde nul-tetrad) dat Φ0 = 0. Omgekeerd volgt uit Φ0 = 0 dat Xabka in de

span van (k, ℓ) ligt, wat enkel mogelijk is (ga na!) als k een eigenvector is van Xab. Bestaan zulke

reele PND’s wel? Inderdaad, want m.bv. een lorentztransformatie kunnen we altijd Φ0 = 0 stellen:vertrekken we van een willekeurig nul-tetrad waarin 1

2X+ = Φ′

0U′ + Φ′

1V′ + Φ′

2W′, dan volgt onder

een nul-rotatie 6-3.22 omheen ℓ dat

1

2X+ = (Φ′

0 − 2EΦ′1 + E2Φ′

2)U + . . . ,

zodat we de coefficient van U kunnen 0 maken door een oplossing te construeren van

Φ′0 − 2EΦ′

1 + E2Φ′2 = 0.

Deze vergelijking heeft uiteraard twee complexe wortels: is de invariant Φ0Φ2 −Φ21 6= 0 dan resulteren

er twee verschillende reele PND’s (dit zijn dan dan precies de vectoren k en ℓ uit het canonieke tetrad)en is de invariant 0, dan is er slechts 1 (dubbele) PND k.De volgende mogelijkheden treden dus op:

• X is niet-nul : het nultetrad kan dan verder gespecifieerd worden (ga na!) zodat

1

2X+ = Φ1W . (8-2.40)

Dit nultetrad is –op boosts in het (k, ℓ)-vlak en rotaties in het (m,m)-vlak na— uniek, met devectoren k, ℓ precies de reele eigenvectoren van Xa

b.

• X is nul en dus1

2X+ = Φ2V . (8-2.41)

Het canonieke nul-tetrad is in dit geval slechts bepaald op een nulrotatie na. Bovendien blijkt dat deuniek bepaalde nulrichting k precies ook de gemeenschappelijke PND is (volgens de discussie op p. 70)van de onderling loodrechte nul-eigenbladen van X en ∗X.

5De labels hebben betrekking op het z.g. boost-gewicht van de basisvormen: uit de definities 8-2.29 en 6-3 blijkt datonder een boost U → A−1U , W → A0W en V → A1V . De factor 1/2 in het linkerlid is zuiver conventioneel.

104

Oefening:

Toon aan dat een (reele) niet-nul bivector een uniek (modulo boosts in het (k, ℓ)-vlak en rotaties inhet (m,m)-vlak) complex nultetrad bepaalt waarin

Xab = αk[aℓb] + βm[amb].

8-3 Maxwellveld

We verwijzen terug naar het hoofdstuk 2-6.1 over maxwellvelden in de minkowskiruimte-tijd enproberen om de maxwellvergelijkingen te herschrijven in termen van 2-vormen. Bekijken we eersthet paar vergelijkingen (2-6.3, 2-6.4),

∇ · −→H =0, (8-3.1)

∇×−→E =− ∂

−→H

∂t.

Bedenken we dat, om het magnetisch veld te defini”eren, we het verschil moeten kennen tussen ‘links’

en ‘rechts’, dan suggereert dit dat we met−→H een 2-vorm laten overeenkomen en met

−→E een 1-vorm:

E = E1dx+ E2dy + E3dz en H = H1dy ∧ dz +H2dz ∧ dx+H3dx ∧ dy. (8-3.2)

In het statische geval zijn dan de vergelijkingen ∇ · −→H = 0 en ∇ ×−→E = 0 eenvoudig te schrijven als

dH = dE = 0. Wat wordt dit in het niet-statische geval? Beschouwen we daartoe de volgende 2-vorm,(de maxwell-2-vorm van het elektromagnetisch veld

F =H +E ∧ dt. (8-3.3)

Splitsen we de uitwendige afgeleide van een p-vorm ω op in een ruimteachtig deel en tijdachtig deel,door

dω = d(3)ω + dt ∧ ∂ω

∂t, (8-3.4)

dan blijkt dat

dF = dH + dE ∧ dt

= d(3)H + dt ∧ ∂tH + (d(3)E + dt ∧ ∂tE) ∧ dt

= d(3)H + (∂tH + d(3)E) ∧ dt.

Het koppel vergelijkingen 8-3.1 kan dus geschreven worden als

dF = 0(⇔ ∇[aFbc] = 0). (8-3.5)

Noteer dat, volgens de poincarestelling (zie p. 53), lokaal dan een 1-vorm A bestaat, de elektromag-netische potentiaal genoemd, waarvoor (zie ook 2-6.14)

F = dA. (8-3.6)

Merken we ten slotte nog op dat A slechts op een totale differentiaal dϕ na bepaald is, aangezienF = d(A+dϕ) en dat een willekeurige waarnemer met snelheid u in een elektromagnetisch veld F een

electrisch veld ~E en een magnetisch veld ~H zal waarnemen, met

Ei = F ijuj en Hi = ∗F ijuj , (8-3.7)

zoals gemakkelijk te verifieren valt door ui = −δ0i te kiezen.

105

Oefening

Ga na dat, met de stroomdichtheid J gedefinieerd als de 1-vorm

J = jαdxα − ρdt, (8-3.8)

het tweede koppel maxwellvergelijkingen kan geschreven worden als

∗d∗F = 4πJ(⇔ ∇mFam = 4πJa), (8-3.9)

waaruit dan weer de continuıteitsvergelijking d∗J = 0 volgt!In een willekeurige gekromde ruimte-tijd wordt een maxwellveld als gevolg van het minimale koppel-ingsbeginsel (zie p. 136) op precies dezelfde wijze beschreven, met name door een 2-vorm F die voldoetaan de vergelijkingen 8-3.5 en 8-3.9.Definieren we F = F+ dan wordt de energie-impulstensor van het maxwellveld gegeven door 10-6.18en kan herschreven worden (ga na!) als

4πTab = FacFbc − 1

4gabFcdF

cd =1

2(FacFb

c + ∗F ac∗F b

c) =1

2FacFb

c.

Omdat maxwellvelden beschreven worden m.bv. bivectoren, blijft de classificatie uit voorgaande para-graaf van toepassing:

• Als F niet-nul is, dan bestaat een nul-tetrad met de eigenschap dat F = Φ1W en is de energie-impuls tensor van het maxwellveld te schrijven als

4πTab = 4|Φ1|2(m(amb) + k(aℓb)). (8-3.10)

T heeft dan segre6-type [(11), (1, 1)]. Er zijn twee dubbele eigenwaarden, λ1 = λ2 = −λ3 =−λ4 = 2|Φ1|2.

Oefening

Bepaal voor het veld 8-2.40 t.o.v. de orthonormale basis Eα (u = E4) de componenten van deelectrische en magnetische veldvector, gedefinieerd door

Ea + iBa = +Fabub, (8-3.11)

• Als F een nul-veld is, F = Φ2V , dan volgt

4πTab = 2|Φ2|2kakb. (8-3.12)

T heeft nu duidelijk 0 als 4-voudige eigenwaarde en heeft segretype [(11, 2)]. Elke dergelijkeenergie-impulsverdeling (met k2 = 0) (ook als ze niet afkomstig is van een maxwellveld7) wordtgedefinieerd als zuivere straling. Het canonieke nultetrad is dan enkel bepaald op nulrotatiesomheen k, boosts en rotaties in het (m,m)-vlak na.

Oefening:

1. Toon aan dat een maxwellveld nul is als en slechts als, met E en B gedefinieerd door 8-3.11,E2 −B2 = 0 en E ⊥ B.2. Toon aan dat voor een zuiver stralingsveld ∇bT

ab = 0 impliceert dat de integraalkrommen van knulgeodeten zijn.

6Corrado Segre, Torino 1863–19247bv. van een massaloos scalair veld

106

8-4 Petrovclassificatie van de weyltensor

De voorgaande classificatie van bivectoren (en van het maxwellveld) staat model voor de classificatievan de weyltensor C (zie 6-2.12). Omdat het ricci-gedeelte van de kromming rechtstreeks bepaaldwordt via de einstein-veldvergelijkingen (zie verderop) door de energie-impulsverdeling, zeggen we ookdat de weyltensor het z.g. vrije deel8 van het gravitatieveld bepaalt. Doorgaans is een algebraischeclassificatie vanC een van de eerste stappen die ondernomen wordt om een ruimte-tijd te karakteriserenof te identificeren. De analogie met de voorgaande paragrafen steunt op de eigenschap dat de weyltensordezelfde symmetrieen heeft als de riemanntensor, met als bijkomende eigenschap dat elk spoor ervan0 is. C heeft bij gevolg twee paren van bivector-indices, wat toelaat om een linksduale zowel als eenrechtsduale te definieren:

∗Cabcd =1

2ǫabefC

efcd, C

∗abcd =

1

2ǫcdefCab

ef , (8-4.1)

die echter, omwille van de vermelde symmetrie-eigenschappen, aan elkaar gelijk zijn (ga na!). Net zoalsvoorheen geeft dit dan aanleiding tot de constructie van een zelf-duale tensor

C+ = C + i∗C, (8-4.2)

die, omwille van de antisymmetrie in de beide indexparen en het spoorvrij zijn, te schrijven is in termenvan de zelfduale bivectoren U ,V ,W als

1

2C+

abcd =Ψ0UabUcd +Ψ1(UabWcd +WabUcd) + Ψ2(UabVcd + VabUcd +WabWcd)

+ Ψ3(VabWcd +WabVcd) + Ψ4VabVcd, (8-4.3)

met de vijf complexe coefficienten Ψi gedefinieerd door

Ψ0 =Cabcdkambkcmd, Ψ4 = Cabcdℓ

ambℓcmd, (8-4.4)

Ψ1 =Cabcdkaℓbkcmd, Ψ3 = Cabcdℓ

akbℓcmd, (8-4.5)

Ψ2 =Cabcdkambmcℓd =

1

2Cabcdk

aℓb(kcℓd −mcmd), (8-4.6)

waarin Cabcd mag vervangen worden door 12C

+abcd. Gebruik makend van de geodetische deviatiev-

ergelijkingen 10-7.6 kan aangetoond worden9 dat (in vacuum) Ψ0,Ψ4 een transversale componentvoorstellen van het gravitatieveld in resp. de ℓ en k richting, Ψ1,Ψ3 een longitudinale component inresp. de ℓ en k richting en Ψ2 een coulombcomponent voorstelt.Onder de lorentztransformaties 6-3.23 en 6-3.22 transformeren deze coefficienten als volgt:

nulrotaties omheen ℓ:

Ψ′4 =Ψ4, Ψ′

3 = Ψ3 + EΨ4, (8-4.7)

Ψ′2 =Ψ2 + 2EΨ3 + E2Ψ4, (8-4.8)

Ψ′1 =Ψ1 + 3EΨ2 + 3E2Ψ3 + E3Ψ4, (8-4.9)

Ψ′0 =Ψ0 + 4EΨ1 + 6E2Ψ2 + 4E3Ψ3 + E4Ψ4, (8-4.10)

nulrotaties omheen k:

Ψ′0 =Ψ0, Ψ′

1 = Ψ1 +BΨ0, (8-4.11)

Ψ′2 =Ψ2 + 2BΨ1 +B

2Ψ0, (8-4.12)

Ψ′3 =Ψ3 + 3BΨ2 + 3B

2Ψ1 +B

3Ψ0, (8-4.13)

Ψ′4 =Ψ4 + 4BΨ3 + 6B

2Ψ2 + 4B

3Ψ1 +B

4Ψ0. (8-4.14)

8wat niet betekent dat dit deel van de kromming willekeurig te kiezen is . . .9P. Szekeres, J.Math.Phys. (1965) 6, 1387:The Gravitational Compass

107

Net zoals voor bivectoren (zie 8-2.34 en 8-2.35) kunnen we voor een gegeven tijdachtige congruentie(u2 = −1) een spoorvrij endomorfismeQ definieren van de (complexe) span van u⊥, doorXa 7→ Qa

bXb

met−Qac = C+

abcdubud ≡ Eac + iHac. (8-4.15)

De matrix Qab bepaalt de weyltensor eenduidig aangezien

− 1

2C+

abcd = 4u[aQb][duc] + ga[cQd]b − gb[cQd]a + iǫabefueu[cQ

fd] + iǫcdefu

eu[aQfb]. (8-4.16)

Omdat (zie 8-2.35) Cu⊥ isomorf is met de complexe ruimte S+ van zelfduale bivectoren, bepaalt

de matrix Qab ook een endomorfisme van S+ door X+ab 7→ − 1

4C+ab

cdX+

cd. In analogie met hetmaxwellveld worden de tensoren E,H het electrisch en magnetisch deel van de weyltensor genoemd.Q (en dus ook E en H) voldoet aan de betrekkingen

Qab = Qba, Qaa = 0, Qabu

b = 0. (8-4.17)

Drukken we Q uit t.o.v. de orthonormale basis (Eα,E4 = u), dan bekomen we de complex sym-metrische matrix (omwille van de eenvoud eveneens Q genoteerd)

Q =

Ψ2 − 12 (Ψ0 +Ψ4)

i2 (Ψ4 −Ψ0) Ψ1 −Ψ3

i2 (Ψ4 −Ψ0) Ψ2 +

12 (Ψ0 +Ψ4) i(Ψ1 +Ψ3)

Ψ1 −Ψ3 i(Ψ1 +Ψ3) −2Ψ2.

(8-4.18)

De petrovclassificatie (van de weyltensor in een gegeven punt van de ruimte-tijd) is nu niets andersdan de jordanclassificatie van deze matrix. De eigenwaarden zijn de wortels van de karakteristiekevergelijking

λ3 − Iλ− 2J = 0, (8-4.19)

waarbij I en J de volgende weyl polynomiale invarianten zijn:

I =1

2trQ2

=Ψ0Ψ4 − 4Ψ1Ψ3 + 3Ψ22

=1

2(λ21 + λ22 + λ23) = −(λ1λ2 + λ2λ3 + λ3λ1) (8-4.20)

J =1

6trQ3

=det

Ψ4 Ψ3 Ψ2

Ψ3 Ψ2 Ψ1

Ψ2 Ψ1 Ψ0

=1

6(λ31 + λ32 + λ33) =

1

2λ1λ2λ3. (8-4.21)

De drie diagonaliseerbare gevallen worden petrovtypes I (drie verschillende eigenwaarden, segretype[111]), D (λ1 = λ2 = −λ3/2, segretype [(11)1]) en O (Q = 0) genoemd. De niet-diagonaliseerbaregevallen zijn

• petrovtype II, met minimale veelterm (x+ λ/2)2(x− λ), segretype [21]

• petrovtype III, met minimale veelterm x3, segretype [3]

• petrovtype N, , met minimale veelterm x2, segretype [(21)].

108

De types II, III,D,N,O worden algebraisch speciaal genoemd en het type I algebraisch algemeen. Dealgebraisch speciale gevallen worden gekarakteriseerd (ga na!) door

I3 − 27J2 = 0 (8-4.22)

en types III,N en O door I = J = 0.Voor elk petrovtype kan nu, door middel van lorentztransformaties, in elk punt een canonieke vormvan de weyltensor geconstrueerd worden:

• voor types I en D: Q = diag(λ1, λ2, λ3) (met λ1 = λ2 voor D), d.w.z.

Ψ0 = Ψ4 = (λ2 − λ1)/2,Ψ1 = Ψ3 = 0,Ψ2 = −λ3/2

• voor types II en N:

Q =

1− λ/2 −i 0−i −λ/2− 1 00 0 λ

(met λ = 0 voor type N)

d.w.z. Ψ0 = Ψ1 = Ψ3 = 0,Ψ2 = −λ/2,Ψ4 = −2

• voor type III:

Q =

0 0 i0 0 1i 1 0

d.w.z. Ψ0 = Ψ1 = Ψ2 = Ψ4 = 0,Ψ3 = −i.

Voor de niet-ontaarde gevallen (I, II en III) geeft dit aanleiding tot een uniek bepaald canoniek tetrad(Ea), het z.g. weyl principal tetrad. Voor gevallen D en N is het tetrad dat de canonieke vorm bepaaltniet uniek (ga na!): voor type N is er een residuele vrijheid van nulrotaties omheen k, terwijl voortype D er een vrijheid blijft van boosts in het (k, ℓ) vlak en ruimtelijke rotaties in het (m,m) vlak.De voorgaande classificatie weerspiegelt zich in de classificatie van de principal null directions van deweyltensor (die parallel loopt aan de classificatie van bivectoren zoals gegeven op p. 104). Beginnenwe met, voor een gegeven nulvector k de tensor C(k) te definieren door

C(k)ad = Cabcdkbkc.

In analogie met 8-2.39 zeggen we dan dat k een weyl-PND is als

k[cC(k)a][bkd] = 0 (8-4.23)

Net zoals 8-2.39 voor de geassocieerde bivector betekent dat Φ0 = 0, kan men aantonen, steunend op8-4.3, dat 8-4.23 equivalent is met Ψ0 = 0. Het bepalen van de weyl-PND’s komt dus neer op hetzoeken van een nultetrad waarin Ψ0 = 0: d.m.v. een nulrotatie omheen ℓ kunnen we dit bewerkstelligen(zie 8-4.3) door het oplossen van de vergelijking

Ψ0 + 4EΨ1 + 6E2Ψ2 + 4E3Ψ3 + E4Ψ4 = 0.

Elk van de vier wortels van deze vergelijking geeft aanleiding tot de constructie van een PND k

(rekening houdend met de multipliciteiten). Voor elk van de hierboven besproken canonieke vormenkunnen we deze multipliciteiten berekenen en we bekomen:

• type I: 4 enkelvoudige PND’s

• type II: 2 enkelvoudige PND’s, 1 dubbele PND

109

• type D: 2 paren van dubbele PND’s

• type III: 1 enkelvoudige en 1 drievoudige PND

• type N: 1 viervoudige PND

• type O: conform vlak.

Algebraisch speciale ruimte-tijden worden dus gekenmerkt door het optreden van 1 of 2 meervoudigePND’s en hebben dan, na k te aligneren met een meervoudige PND, Ψ0 = Ψ1 = 0. Kiezen we voorpetrovtype D i.h.b. k, ℓ parallel aan de dubbele PND’s van de weyltensor, dan is enkel Ψ2 6= 0, metΨ2 reeel voor een zuiver electrische weyltensor en imaginair voor een zuiver magnetische.

110

Hoofdstuk 9

Isometrieen

9-1 Inleiding

Symmetrieen spelen een fundamentele rol bij de constructie en de classificatie van oplossingen van deeinsteinvergelijkingen. We beginnen met op te merken dat elke (surjectieve) transformatie L tussentwee inwendig-productruimten, met metrieken g1 en g2, die de metrische eigenschappen behoudt,noodzakelijk een lineaire transformatie is:

∀x,y : g1(x,y) = g2(Lx, Ly) =⇒ L lineair.

Het bewijs is eenvoudig:

g2(L(x+ λy), Lz) = g1(x+ λy, z)

= g1(x, z) + λg1(y, z)

= g2(Lx, Lz) + λg2(Ly, Lz)

= g2(Lx+ λLy, Lz),

waaruit, wegens het niet-ontaard zijn van de metriek en de surjectiviteit van L, volgt dat

L(x+ λy) = Lx+ λLy

en dit voor alle x,y.Wanneer we spreken over een isometrie tussen twee varieteiten, dan moet er dus in elk punt een lineaireafbeelding bestaan die de metrische structuur van de ene rakende ruimte overhevelt naar de andere.Vandaar de volgende definitie: een isometrie is een diffeomorfisme φ : M → M waaronder de metriekinvariant is, in de zin dat φ∗g = g.M.a.w. φ is een isometrie als voor alle u en v ∈ Tp(M) en voor alle p

g(u, v)|p = g(φ∗u, φ∗v)|φ(p). (9-1.1)

In 4-4 hebben we gezien hoe met elk vectorveld X een lokale 1-parametergroep van diffeomorfismenΦt geassocieerd is, en omgekeerd. Onderstel nu dat deze Φt isometrieen zijn, zodat we beschikken overeen lokale 1-parameter groep van isometrieen of een 1-dimensionale symmetriegroep. Er geldt dan dat

LXg = limt→0

1

t(Φt

∗g − g) = 0 (9-1.2)

en we noemen X dan een killingvectorveld. Ook zeggen we dat X de generator is van de symme-triegroep Φt. Intuıtief betekent dit dus dat in elk punt p alle metrische betrekkingen onveranderdblijven onder een infinitesimaal kleine translatie in de richting Xp.

111

Voorbeeld

Beschouw de schwarzschildmetriek

g = −(

1− 2M

r

)

dt2 +

(

1− 2M

r

)−1

dr2 + r2(dθ2 + (sin2 θ)dφ2

).

Deze metriek heeft duidelijk ∂t en ∂φ als killingvectoren. We zeggen dat deze ruimtetijd daarom(lokaal) stationair en axisymmetrisch is1. Merk op dat deze vectoren commuteren, [∂t, ∂φ] = 0, en datelke (constante) lineaire combinatie van beide uiteraard opnieuw een killingvector is. De schwarzschild-metriek bevat nog meer (onafhankelijke) symmetrieen, waarop we verder nog in detail zullen ingaan.M.bv. 4-4.12 bekomen we uit 9-1.2 dat 0 = LXgab = gab;cX

c + gmbXm

;a + gamXm

;b, nl.

X(a;b) = 0, (9-1.3)

wat we de killingvergelijkingen noemen.Omgekeerd kan men aantonen dat elk vectorveld dat voldoet aan de killingvergelijkingen ook de gener-ator is van een lokale 1-parameter groep van isometrieen. De integraalkrommen worden dan ook wel dekillingtrajecten (Killing trajectories) genoemd. Een aanschouwelijker voorstelling van killingvectoren

V

b’

q’

p’

b

p

q

n

Figure 9.1:

wordt verkregen door een hypervlak Σ te kiezen, met p ∈ Σ zo dat Σ niet rakend is aan Xp (watmogelijk is in elk punt p waar Xp 6= 0). Definieren we in Σ coordinaten (x2, . . . xn), dan zijn in eenvoldoend kleine omgeving V van p alle punten a′ ∈ V uniek te karakteriseren m.bv. de parameter x1 = ten de coordinaten x2(a), . . . xn(a) van a, waarbij Φ−ta

′ = a ∈ Σ. M.a.w. we kiezen de coordinaten zodat de eerste coordinaatkrommen precies de integraalkrommen zijn vanX. M.bv. 4-4.1 vinden we dan

voor de componenten van X dat X1 = dx1

dt = 1, X2 = dx2

dt = 0 enz. :

X i = δi1 of X =∂

∂t. (9-1.4)

Gesubstitueerd in 9-1.2 levert dit∂gij∂t = 0 en dus

gij = gij(x2 . . . xn), (9-1.5)

wat expliciet toont dat de metrische componenten niet veranderen langs de integraalkrommen van X.Als voorbeeld bekijken we de minkowskiruimtetijd.

1Dikwijls wordt verondersteld dat de corresponderende stroming φt gedefinieerd is voor alle t ∈ R: de killingtrajectenzijn dan compleet. Deze veel sterkere eis speelt o.a. een belangrijke role in de z.g. black hole uniciteitstheorema’s

112

9-2 Isometrieen van de minkowskiruimtetijd

We tonen aan dat de isometrieen van de minkowskiruimtetijd precies gegeven zijn door de inhomogenelorentztransformaties (een klassiek bewijs werd reeds gegeven op p. 23):we bepalen eerst de generatoren van deze isomorfismen, namelijk de oplossingen van de killingverge-lijkingen X(i,j) = 0 in de minkowskiruimtetijd:

Toon zelf aan dat de oplossingen van deze vergelijkingen gegeven worden door

X0 = −X0 =a1x1 + a2x

2 + a3x3 + c0,

X1 = X1 =a1x0 + b1x

2 − b3x3 + c1,

X2 = X2 =a2x0 + b2x

3 − b1x1 + c2,

X3 = X3 =a3x0 + b3x

1 − b2x2 + c3,

met ai, bi en ci constanten.De killingvectoren liggen bijgevolg in de opspanning van de volgende 10 vectoren:

T =∂

∂x0,

Sα =∂

∂xα,

Rα =ǫαβγ(xβ ∂

∂xγ− xγ

∂

∂xβ),

Bα =− x0∂

∂xα− xα

∂

∂x0. (9-2.1)

Elk van deze vectoren genereert een isomorfisme φt (in de notatie van par. 4-4), dat we nu noteren alsT , Sα, Rα en Bα. We bepalen deze isomorfismen m.bv. de in 4-4 besproken methode.

(1) Voor T lossen we eerst dy0/dλ = 1, dyα/dλ = 0 op onder de beginvoorwaarden yi(0) = X i (X i

zijn de coordinaten van een gegeven punt P ) en vinden y0(λ) = λ+X0 en yα(λ) = Xα. Hieruit volgtdat

T (P (X0, Xα)) = P ′(X0 + λ, Xα)

Bijgevolg is T een tijdstranslatie.(2) Analoog zijn Sα de drie ruimteachtige translaties.(3) We bekijken bv. R3: oplossen van dy1/dλ = −y2, dy2/dλ = y1, dy0/dλ = dy3/dλ = 0 geeft, onderdezelfde beginvoorwaarden als hierboven, y1 = X1 cosλ−X2 sinλ, y2 = X1 sinλ+X2 cosλ, y3 = X3,y0 = X0. Bijgevolg geldt dat

R3(P (X0, Xα)) = P ′(X0, X1 cosλ−X2 sinλ,X1 sinλ+X2 cosλ,X3)

zodat R3 een rotatie voorstelt in het (1, 2)-vlak, en analoog voor R1 en R2.(4) Bekijken we ten slotte B1: oplossen van dy0/dλ = −y1, dy1/dλ = −y0, dy2/dλ = dy3/dλ = 0geeft y0 = X0 coshλ−X1 sinhλ, y1 = −X0 sinhλ+X1 coshλ, y2 = X2, y3 = X3, zodat

B1(P (X0, Xα)) = P ′(X0 coshλ−X1 sinhλ,−X0 sinhλ+X1 coshλ,X2, X3)

Dit zijn precies de lorentztransformaties (i.h.b. boosts langs de x-as), want met v = tanhλ is γ =1/

√1− v2 = coshλ, zodat inderdaad X0′ = γ(X0 −X1v) en X1′ = γ(X1 −X0v).

113

De verzameling van alle lorentztransformaties heeft duidelijk een groepsstructuur, voor ci 6= 0 depoincaregroep of de inhomogene lorentzgroep genoemd. Voor ci = 0 bekomen we de homogene lorentz-groep. Een deelgroep hiervan, de eigenlijke lorentzgroep genoemd, wordt gevormd door die matri-ces Li′

j waarvoor detLi′j = +1 en L0′

0 ≥ 1 (noteer dat −1 = η00 = ηi′j′Li′0L

j′0 impliceert dat

(L0′0)

2 = 1+∑3

α′=1(Lα′

0)2 ≥ 1). Deze eigenlijke lorentztransformaties zijn volkomen gekarakteriseerd

door het feit dat ze (1) orientatie behoudend zijn en (2) toekomst gerichte vectoren afbeelden optoekomst gerichte vectoren: u.Lu < 0 voor alle tijdachtige u. Eigenlijke lorentztransformaties die detijdsas behouden (Le0 = e0) vormen precies de speciale rotatiegroep SO(3, R). Alle andere eigen-lijke lorentztransformaties zijn producten van een boost en een dergelijke rotatie. Voor twee gegevenlorentztetrads (e0, eα) en (e0′′ , eα′′) kunnen we immers eerst e0 op e0′′ afbeelden d.m.v. een boost,om vervolgens de tetrad (e0′′ , eα′) d.m.v. een rotatie af te beelden op (e0′′ , eα′′ ).

Oefening

1. Toon aan datLug = Lvg = 0 => L[u, v]g = 0 (9-2.2)

waaruit volgt dat de killingvectorvelden een lie-algebra vormen t.o.v. de bewerking [ , ].

2. Toon aan dat symmetriegroepen aanleiding geven tot behoudswetten, in de zin dat, als u = ∂∂s de

raakvector is aan een geodeet (s is een affiene parameter) en X een killingvectorveld is, dan u.Xeen constante van de beweging is: d

ds (uaXa) = 02.

3. Maak gebruik van de symmetrie-eigenschappen van de riemanntensor om aan te tonen dat elkkillingvectorveld voldoet aan

Xa;b;c = RmcbaXm. (9-2.3)

4. Bepaal in minkowskiruimte-tijd de algemene oplossing van de killingtensor -vergelijkingen,

∇(cKab) = 0

(met K symmetrisch). Wat is de dimensie van de oplossingsruimte?

5. Toon aan dat een killingvectorveld X in een vacuum ruimte-tijd (Ric = 0) een tensor Fab = Xb;a

bepaalt die voldoet aan de vacuum maxwellvergelijkingen: dF = d∗F = 0.

6. Zij X een killingvectorveld en stel F = X2(= XaXa). Toon aan dat, als de killingtrajecten γ

gegeven zijn door dxi

dλ = X i, dan

X(F ) = 0 , (9-2.4)

DF,a

dλ= −F,bX

b;a , (9-2.5)

DXa

dλ= −1

2F ,a . (9-2.6)

Leid hieruit af dat

• X2 constant is langs de killingtrajecten van X,

• een killingtraject een geodeet is als en slechts als (dX2)♯ ‖X,

• als dX2 = 0 in een punt van γ, dan dX2 = 0 op gans γ (voor analytische functies xi(λ)).

2Niet alle behoudswetten zijn af te leiden uit een isometrie. Als bv. een tensor Kab bestaat met Kab = Kba enK(ab;c) = 0 (een z.g. killingtensor), dan bekomen we behoudswetten van de gedaante d

ds(Kabu

aub) = 0. We noemen

een killingtensor triviaal als hij is opgebouwd uit killingvectoren: bv. Kab = K(1)a K

(2)b

; er bestaan echter ruimtetijdendie niet-triviale killingtensoren bevatten. Dit leidt bv. in het geval van de kerrmetriek tot een extra behoudswet die devolledige integratie van de bewegingsvergelijkingen toelaat.

114

7. Zij X een tijdachtig killingvectorveld. Definieer de twistvector ω door

ωa = ǫabcdXb∇cXd (9-2.7)

en stel F = XaXa. Toon aan dat

2∇bXa =1

F(2X[a∇b]F + ǫabcdX

cωd). (9-2.8)

9-3 Maximaal symmetrische varieteiten

Vermits t.g.v. 9-2.3 ook alle hogere orde afgeleiden ∇(∇(. . . (∇X) . . . )) kunnen gevonden worden infunctie van X en ∇X, is een killingvectorveld lokaal volledig bepaald door het vastleggen van degetallen Xa en Xa;b in een willekeurig punt. Voor een gegeven lie-algebra bepalen deze n+ 1

2n(n− 1)getallen dus het maximum aantal lineair onafhankelijke vectoren in de algebra. Is de dimensie van delie-algebra r, dan zeggen we dat de varieteit een groep Gr van isometrieen bezit. Er geldt dus

r = dim Gr ≤ 1

2n(n+ 1). (9-3.1)

Voor de deelgroep H ⊂ Gr van isotropieen (nl. de isometrieen die een gegeven punt p vast laten:Φt(p) = p) toont men analoog aan dat

dim H ≤ 1

2n(n− 1). (9-3.2)

Als r = 12n(n+ 1) dan noemen we de varieteit maximaal symmetrisch.

We vermelden drie belangrijke eigenschappen van maximaal symmetrische varieteiten (voor de bewij-zen zie bv. Weinberg):

(i) Elke maximaal symmetrische varieteit is homogeen, d.w.z. voor elk tweetal punten p en q ∈ Mbestaat een isometrie Φt zodat Φt(p) = q(ii) Een varieteit is maximaal symmetrisch als en slechts als ze een constante kromming heeft:

Rabcd = K(gacgbd − gadgbc) = 2Kga[cgd]b (9-3.3)

met K constant. Ga na dat de ricciscalar dan gegeven wordt door R = n(n− 1)K.Gevolg: elke maximaal symmetrische varieteit is conform vlak (wat niet triviaal is in 3 dimen-sies!).(iii) Elke maximaal symmetrische varieteit is (lokaal en op diffeomorfismen na) uniek bepaalddoor haar dimensie n, de signatuur s van haar metriek g en de constante K.

Tengevolge van deze laatste eigenschap volstaat het om voor elke n, s en K een voorbeeld vaneen maximaal symmetrische varieteit te construeren. Vermits 9-3.3 impliceert dat de weyltensor0 is, ligt het voor de hand om lokale coordinaten te gebruiken waarvoor gij = e2U gij met gij =diag (±1, ±1, · · · ± 1)3. Substitutie in de voorwaarden 9-3.3 levert dan de vergelijkingen

2(e−U ),ij = Kgij,

gij(e−U ),i(e−U ),j = K(e−U − 1), (9-3.4)

waaruit we oplossen e−U = 1 + K4 gijx

ixj , zodat

ds2 =gijdx

idxj

(1 + K4 gijx

ixj)2. (9-3.5)

3Dat dit ook mogelijk is voor n = 3 wordt gegarandeerd door 9-3.3

115

De corresponderende maximaal symmetrische ruimtes kunnen alle bekomen worden door inbeddingvan een (pseudo-) sfeer in een (n + 1)-dimensionale vlakke ruimte (voor een gedetailleerde discussie,zie Weinberg).

Enkele bijzondere gevallen, die in de algemene relativiteitstheorie een belangrijke rol spelen, zijn

(i) (n = 2)ds2 = a2[(dx1)2 ± Σ(x1, ǫ)2(dx2)2] (9-3.6)

met K = ǫa−2 en Σ(x1, ǫ) als in 9-3.10. Vaak voorkomende vormen voor signatuur 2 en K < 0 zijnook

ds2 = a2(dx2 + cosh2 xdy2) (9-3.7)

ofds2 = a2(dx2 + e2xdy2) (9-3.8)

(ii) n = 3, s = 3 (bv. een ruimteachtig hypervlak in een 4-dimensionale lorentzvarieteit)

ds2 =dx2 + dy2 + dz2

[1 + K4 (x

2 + y2 + z2)]2(9-3.9)

of, na overgaan op sferische coordinaten ρ, θ, φ door x = ρ sin θ cosφ, y = ρ sin θ sinφ, z = ρ cos θ:

ds2 = a2[dr2 +Σ(r, ǫ)2(dθ2 + sin2 θdφ2)], (9-3.10)

met K = ǫa−2 en

Σ(r, ǫ) =

sin r (ǫ = +1)r (ǫ = 0)

sinh r (ǫ = −1).

Hierbij is r een functie van de sferische coordinaat ρ gedefinieerd door ρ = 2a tan r2 (ǫ = 1), ρ = 2atanh r

2(ǫ = −1) of ρ = ar (ǫ = 0). Bovenstaande metrieken 9-3.10 spelen een fundamentele rol in de kos-mologie.

(iii) n = 4, s = 2

ds2 =−dx4

2+ dx1

2+ dx2

2+ dx3

2

[1 + K4 (x

12 + x22 + x32 − x42)]2. (9-3.11)

Voor K = 0 is dit de minkowski-ruimtetijd. Voor K 6= 0 blijkt dat, gebruik makend van de

coordinaattransformatie xa = 2Xa/1+[1−K(X12+X22+X32−X42)]1/2, dit precies de geınduceerde

metriek is in het hyperoppervlak X12 +X22 +X32 −X42 + kX52 = kα2 (met K = kα−2 en k = ±1)

van een 5-d vlakke ruimte met metriek ds2 = dX12 + dX22 + dX32 − dX42 + kdX52.Voor k = +1 bekomen we de de sitter-ruimte. Vermeld hyperoppervlak wordt dan een 4-dimensionalehyperboloıde, waarop we coordinaten kunnen invoeren door

X5 =α cosh(α−1t) cosχ,

X4 =α sinh(α−1t),

X3 =α cosh(α−1t) sinχ cos θ,

X2 =α cosh(α−1t) sinχ sin θ cosφ,

X1 =α cosh(α−1t) sinχ sin θ sinφ. (9-3.12)

116

We bekomen dan een friedmann-lemaıtre-robertson-walker (FLRW) metriek (zie ook Hoofdstuk 12),

ds2 = −dt2 + α2 cosh2(α−1t)[dχ2 + sin2 χ(dθ2 + sin2 θdφ2)]. (9-3.13)

Met −∞ < t < ∞, 0 < χ < π, 0 < θ < π, 0 ≤ φ ≤ 2π overdekken deze coordinaten de gansehyperboloıde (met uitzondering van de coordinaatsingulariteiten bij χ of θ = 0 of π). De t = constantruimtelijke hypervlakken hebben een constante positieve kromming en de topologie van de FLRW-ruimtes wordt dan doorgaans gekozen als R × S3. Met een andere keuze van coordinaten kan (eendeel van) de de sitterruimte echter ook geschreven worden als een FLRW-metriek waarvoor de t =constant secties een constante negatieve kromming hebben. Een coordinatenstelsel dat slechts de helft

(X4 + X5 ≥ 0) van de sitter overdekt, is gegeven door t = α log X4+X5

α , xi = αXi

X4+X5 (i = 1, 2, 3),zodat

ds2 = −dt2+ exp(2α−1t)(dx1

2+ dx2

2+ dx3

2). (9-3.14)

Dit is de metriek van het z.g. steady state heelal met topologie R × R3. Eveneens interessant zijn decoordinaten (T,R, θ, φ (0 < R < α bepaald doorX4 =

√α2 −R2 sinh(Tα−1), X5 =

√α2 −R2 cosh(Tα−1),

X3 = R cos θ, X2 = R sin θ cosφ, X1 = R sin θ sinφ, waardoor een deel van de de sitterruimteisometrisch wordt met de metriek

ds2 = −(1− Λ

3R2)dT 2 + (1− Λ

3R2)−1dR2 +R2(dθ2 + sin2 θdφ2) (9-3.15)

(Λ = 3α−2), die voor 0 < R < α duidelijk een statische, sferisch symmetrische ruimtetijd voorstelt. InHoofdstuk 13 zullen we zien dat dit deel op een natuurlijke manier uit te breiden is (door niet-statischeblokken toe te voegen) tot de ganse de sitterruimte.

Voor k = −1 bekomen we de anti-de sitterruimte, die eveneens wordt voorgesteld als een 4-dimensionalehyperboloide ingebed in een 5-dimensionale vlakke ruimte. De coordinaten zijn dan b.v.

X5 =α coshχ cos(α−1t),

X4 =α coshχ sin(α−1t),

X3 =α sinhχ cos θ,

X2 =α sinhχ sin θ cosφ,

X1 =α sinhχ sin θ sinφ. (9-3.16)

en de metriek wordt

ds2 = − cosh2 χdt2 + α2[dχ2 + sinh2 χ(dθ2 + sin2 θdφ2)]. (9-3.17)

Omdat t en t+2πα dezelfde punten op de hyperboloide voorstellen, is de natuurlijke topologie van deanti-de sitterruimte deze van S1 × R3. Omdat er dan gesloten tijdachtige krommen optreden wordtdoorgaans voor de onderliggende varieteit van (9-3.16) de universele overdekking gekozen. Stellenwe ten slotte R = α sinhχ, dan bekomen we dezelfde (statische) metriek als (9-3.15), maar nu metΛ = −3α−2.

117

Hoofdstuk 10

Beginselen en experimentele testen

Na de mathematische fundamenten bekijken we nu de fysische en filosofische grondslagen. Hierbijwordt geen historische volgorde gerespecteerd: de besproken beginselen zijn dus geenszins vergelijk-baar met de beginselen die Einstein zelf hanteerde bij de opbouw van de theorie. Wat volgt is ookgeen axiomatische of formele benadering: er wordt enkel getracht om binnen een zo breed mogelijkreferentiekader een plausibele weg te schetsen, die naar de algemene relativiteitstheorie leidt.

10-1 Beginsel van Mach

Een der belangrijkste pijlers van de klassieke mechanica (in haar gangbare, moderne formulering) isde eerste wet van Newton, die het bestaan postuleert van een bijzondere klasse van waarnemers, deinertiele waarnemers, die t.o.v. elkaar in eenparig rechtlijnige beweging verkeren. Enkel en alleen

voor deze waarnemers geldt de tweede wet van Newton (~F = m~a): deeltjes waarop geen kracht werktbewegen bijgevolg eenparig en rechtlijnig t.o.v. de inertiele waarnemers. Voor willekeurige waarnemers

treden correctieversnellingen op, zoals de sleepversnelling ~aS, de centripetale versnelling ~a

cen de

coriolisversnelling ~aC, die toelaten de tweede wet te herschrijven als

~F −m~aS−m~a

c−m~a

C= m~a. (10-1.1)

De extra termen in het linkerlid worden in de klassieke mechanica de fictieve of schijnbare krachtengenoemd en de eerste wet is essentieel om hen te onderscheiden van de ‘werkelijke’ krachten. Er bestaatm.a.w. geen dynamisch onderscheid tussen beide grootheden. Newton probeerde dit op te vangen doorde inertiele waarnemers zelf een dynamische status te geven en ze te definieren door de ‘afwezigheid van

118

krachten’. Om niet in een cirkelredenering gevangen te raken —en zeer tegen zijn zin, want hij is eengalileaan in hart en nieren— verplichtte dit hem om het concept van een absolute ruimte in de theorie inte voeren, waardoor hij zich blootstelde aan de kritieken van relationisten, zoals Leibniz en Berkeley. Zijbetoogden dat enkel relatieve bewegingen betekenisvol waren en weigerden het bestaan te aanvaardenvan een niet-observeerbare absolute ruimte, die enerzijds op geen enkele manier beınvloed werd doorde materie, maar anderzijds wel alle materie kon beınvloeden. Een bekend tegenargument, waarmeeNewton het belang probeerde te benadrukken van absolute, eerder dan van relatieve bewegingen, ligtvervat in het gedachten-experiment, waarbij een met water gevulde emmer aan het draaien wordtgebracht rond een vertikale as. Na een poosje stelt men vast dat het wateroppervlak gekromd is enNewton merkt op

• dat op het ogenblik waarop de relatieve rotatie van emmer en water het grootst is, het waterop-pervlak nog horizontaal is

• dat, wanneer de relatieve rotatie van emmer en water klein is, het wateroppervlak daarentegengekromd is

en besluit dat niet de relatieve beweging van water en emmer het oppervlak doen krommen, maarwel de absolute beweging van het water! Het zal meer dan 200 jaar duren voor iemand op dezespitsvondigheid correct weet te reageren ...We moeten wachten op de Oostenrijkse wetenschapsfilosoof Ernst Mach (1893), die net als Leibnizde opvatting verdedigt dat enkel relatieve bewegingen zinvol zijn. Ernst Mach was een van de lei-dinggevende figuren van de positivistische school van de 19de eeuw en Einstein werd hierdoor sterkbeınvloed. I.h.b. zal Mach’s vraag naar de observationele status van de inertiaalwaarnemer in deklassieke mechanica hem rechtstreeks leiden naar het equivalentiebeginsel. Voor Mach was het zinloosom te spreken over de beweging van een testdeeltje in een leeg universum. In een niet-leeg universumdaarentegen, zou het volgens Mach mogelijk zijn om inertiaalwaarnemers te definieren als waarnemers,die in rust zijn of eenparig rechtlijnig bewegen t.o.v. de ‘gemiddelde materie-verdeling’ in dit universum(de ‘vaste sterren’ zijn hiervoor een goede benadering). M.b.t. bovenstaand gedachtenexperiment vanNewton stelt Mach dat het wateroppervlak enkel gekromd is, omdat het water roteert t.o.v. de vastesterren.We kunnen ook het volgende (gedachten)experiment uitvoeren: stellen we een foucaultslinger op aande noordpool, dan blijkt dat de slinger precies 24 uur nodig heeft om over 360o te draaien. In New-ton’s wereldbeeld betekent dit dat de aarde 24 uur nodig heeft om over 360o te draaien t.o.v. deabsolute ruimte. Nu blijkt dit ook precies de tijd te zijn om over 360o te draaien t.o.v. de vaste ster-ren. Deze coıncidentie (ook het samenvallen genoemd van het locaal inertiaal kompas met het locaallichtkompas) is binnen het newtoniaanse beeld zuiver toeval (en wordt alleszins niet verklaard), maarvindt daarentegen binnen de standpunten van Mach een natuurlijke verklaring! Mach’s opvattingen—alhoewel vrij vaag en zonder expliciete uitwerking van b.v. de manier waarop inertiele massa zoumoeten afhangen van de materieverdeling in het universum— hadden een zeer diepe invloed op Ein-stein. Hij probeerde deze ideeen in zijn theorie te verwerken, maar lukte hierin slechts gedeeltelijk(het z.g. lense-thirringeffect). Zo zal bij een algemeen relativistische analyse van Newton’s gedachten-experiment, met een voldoend zware emmer, blijken dat het wateroppervlak inderdaad reeds in hetbegin (wanneer relatieve rotatie van water en emmer maximaal is) lichtjes gekromd is: de rotatie vande draaiende emmer zal het locaal inertiaal kompas rechtstreeks beınvloeden (gebruik makend vanNewtoniaanse terminologie zouden we zeggen dat de rotatie van materie een extra bijdrage levert tothet gravitatieveld)!Het lense-thirringeffect werd voor een eerste keer waargenomen bij de analyse van de banen van deLageos I en II satellieten. Steunend op de informatie van de Grace-satellieten (Gravity RecoveryAnd Climate Experiment, maart 2002) over het gravitatieveld van de aarde, blijkt dat de pertur-baties op Lageos ‘vrij goed’ in overeenstemming zijn met de voorspelde waarde (Ciufolini en Pavlis,Nature 2004). Meer precieze informatie werd bekomen met Gravity Probe B : deze satelliet werd in2004, na tientallen jaren van oponthoud, gelanceerd. Het betreft een ‘drag-free satellite’, waarin vier

119

kwartsgyroscopen met een spinfrequentie van 150 Hz in een polaire baan op 640 km hoogte wordengebracht. De ‘vrij vallende’ gyroscopen (die ondertussen een laboratorium testperiode van ongeveer105 uur achter de rug hadden) hebben een geodetische precessie gemeten van 6601.8± 18 milliarcsecper jaar (door A.R. voorspelde waarde 6606) en een meesleep-effect t.g.v. de rotatie van de aarde (hetlense-thirringeffect) van 37.2± 7.2 milliarcsec per jaar (door AR voorspelde waarde 39.2).

10-2 Zwak Equivalentiebeginsel

Figure 10.1: WEP

Aan het equivalentiebeginsel werd de openingsparagraaf van Newton’s Principia gewijd, terwijl Einsteinhet in 1907 gebruikte als hoeksteen voor de algemene relativiteitstheorie. Vandaag beschouwen we ditbeginsel als fundament van een ganse klasse van gravitatietheorieen, die gebaseerd zijn op de brede,onderliggende gedachte dat de ruimtetijd gekromd is.Het zwak equivalentiebeginsel (Weak Equivalence Principle, WEP) is het beginsel waar Newton opdoelde, toen hij stelde dat de eigenschap ‘massa’ (van een lichaam) evenredig was met de eigenschap‘gewicht’. Vandaag zeggen we dat inertiemassa mI evenredig is (en dus, door een geschikte keuze vaneenheden, gelijk is) aan passieve gravitationele massamP . In een gravitatieveld V vallen beide massa’sdan t.o.v. elkaar weg in de bewegingsvergelijking

−mP .∇V = mI .a, (10-2.1)

zodat alle testdeeljes bij gelijke beginvoorwaarden dezelfde baan volgen. We bekomen alzo de volgendeformulering:

• als een ongeladen testdeeltje in een punt P van de ruimtetijd geplaatst wordt en er een wel-bepaalde beginsnelheid krijgt, dan is de daarop volgende beweging onafhankelijk van de internestructuur en samenstelling van dit deeltje.

Het principe oogt —op eerste zicht— vrij vanzelfsprekend en onschuldig, maar is een van de belang-rijkste peilers van de theorie. Het is aan het equivalentiebeginsel te danken dat de algemene rela-tiviteitstheorie, vertrekkend van Einstein’s eerste pogingen om gravitatie ‘a la Maxwell’ in de beperkterelativiteitstheorie in te bouwen, is uitgegroeid tot een conceptuele revolutie in ons denken over ruimteen tijd.

120

Alhoewel de eerste kwalitatieve testen van WEP worden toegeschreven aan Simon Stevin en GalileoGalilei op het einde van de 16de eeuw, moeten we voor de eerste quantitatieve resultaten wachten opNewton. Newton besefte dat de inertiele massa mI , die optreedt als maat voor de ‘traagheid’ van eendeeltje (mI~a = ~F ), en de passieve1 gravitationele massamP , die de kracht bepaalt waarmee een deeltje

wordt aangetrokken in een gravitationeel veld (~F = −mP∇V ), een verschillende rol speelden in zijntheorie. Om over de massa van een deeltje te kunnen spreken, was het essentieel dat de verhoudingmI/mP constant was voor deeltjes van verschillende samenstelling. Pas dan kon de wet mIa = mP ger voor zorgen dat de baan van dergelijke deeltjes onafhankelijk was van hun samenstelling. Newtoncontroleerde dit m.b.v. een slinger: de bewegingsvergelijking mI lθ + sin θmP g = 0 geeft een periodeT ≈ 2π

√

mI l/mPg, wat toeliet om met een relatieve nauwkeurigheid van ongeveer 10−3 te verifierendat mI/mP onafhankelijk was van de samenstelling der gebruikte testmassa’s:

2

∣∣m

(1)P /m

(1)I −m

(2)P /m

(2)I

∣∣

m(1)P /m

(1)I +m

(2)P /m

(2)I

. 10−3. (10-2.2)

Aan het linkerlid van bovenstaande uitdrukking kunnen we een interpretatie geven, door b.v. te veron-derstellen dat de verschillende inwendige energievormen (rustenergie en bindingsenergieen t.g.v. dewisselwerkingen) op verschillende wijzen bijdragen tot mP en mI . We kunnen dan in het algemeenschrijven dat

mP = mI +∑

A

ηAEA

c2, (10-2.3)

met EA de bindingsenergie t.g.v. wisselwerking A en met ηA een dimensieloze parameter, die een maatis voor de WEP-verbreking. Twee deeltjes, geplaatst in een zelfde gravitationeel veld ~g, ondervindendan een relatieve versnelling

η ≡2

∣∣a(1) − a(2)

∣∣

∣∣a(1) + a(2)

∣∣= 2

∣∣m

(1)P /m

(1)I −m

(2)P /m

(2)I

∣∣

m(1)P /m

(1)I +m

(2)P /m

(2)I

≈∣∣∑

A

ηA(E

(1)A

m(1)c2− E

(2)A

m(2)c2)∣∣

≤∑

A

ηA∣∣E

(1)A

m(1)c2− E

(2)A

m(2)c2

∣∣.

(10-2.4)

De parameter η wordt de eotvosparameter genoemd, naar Lorand von Eotvos (1848-1919), die er ophet einde van de 19de eeuw in slaagde Newton’s resultaten te verbeteren met 5 grootte-ordes2. In hetexperiment van Newton was de rotatie van de slinger verantwoordelijk voor de termen in het linkerlidvan de bewegingsvergelijking, zodat variaties in de slingerlengte een natuurlijke limiet plaatsten op denauwkeurigheid van het experiment. Eotvos daarentegen gebruikte de rotatie van de aarde om haaras en een torsiebalans, waarvan de arm loodrecht stond op een meridiaanvlak: op de deeltjes (1) en

(2), opgehangen aan de balans, worden dan nettokrachten ~f = −mPGMr3 ~r +mI~aS uitgeoefend, zodat

een nettomoment ontstaatn = (~d1 × ~f1 + ~d2 × ~f2).~s .

Met ~s ∼ ~f1 + ~f2 en ~d1 ≈ −~d2 ≈ ~d, is dan

n =2~f1 × ~f2

|~f1 + ~f2|.~d

≈− ηm1m2

m1 +m2

GMω2d

rgsin θ cos θ.

1De actieve gravitationele massa is de grootheid mA, die optreedt in V = −GmA/r2Gebruik makend van de torsiedraden van Charles Vernon Boyce (1855-1944), die erin geslaagd was om tot 9m lange

kwartsdraden te produceren met een doormeter van 10−2 tot 2 · 10−3 mm!

121

m1 m2d2d1

f2f1

as

q

GMrr

3

= )( as2w qr sin

S ( f + f )1 2~

Figure 10.2: eotvosexperiment

Natuurlijk is de resulterende afwijking van de torsiebalans niet direct waarneembaar, maar door deganse opstelling over 180o te draaien, kan wel een waarneembaar effect ontstaan (want ~n → −~n):de eerste resultaten op deze manier bekomen (η . 10−8) werden door Eotvos in 1890 gepubliceerd.Een belangrijk nadeel van het experiment was de noodzaak om het ganse instrumentarium over 180o

te moeten omkeren: daarom werd door Eotvos voorgesteld om de balans vast op te stellen in eenmeridiaanvlak. Weliswaar verdwijnt dan het nettomoment t.g.v. de dagelijkse rotatie van de aarde,maar de aantrekkingskracht van de zon zorgt nu voor een moment, dat bovendien t.g.v. de dagelijkserotatie een duidelijk herkenbaar signaal vertoont. Eotvos en zijn medewerkers bereikten hiermeeη . 6 10−9 en recentere versies van het experiment resulteerden in η . 10−11 (3), η . 10−12 (4) enη . 10−13 (5). Een verbetering met nogmaals 2 tot 6 grootte-ordes mag verwacht worden van hetMICROSCOPE (2016) en het STEP-experiment (Satellite Test of the Equivalence Principle, 20xx?),waarbij in een z.g. ‘drag-free satellite’ de beweging rond de aarde zal gevolgd worden van deeltjes metverschillende samenstelling.

10-3 Covariantiebeginsel

In de klassieke mechanica zijn alle inertiele waarnemers equivalent en zijn de wetten invariant ondergalileitransformaties. Ook in de beperkte relativiteitstheorie zijn alle inertiele waarnemers equivalent,maar zijn de wetten invariant onder lorentztransformaties. Wensen we nu gravitatie in de theorie in tebouwen, dan heeft het geen enkele zin meer om aan de inertiele waarnemers nog een bijzondere statuste geven (zie figuur 10.3): Newtoniaans geredeneerd zou de linker waarnemer (in rust op een statischeaarde) immers een inertiele waarnemer zijn, terwijl de rechter waarnemer (een eenparig versnelde)dit zeker niet is. Beseffend dat er geen enkel experiment bestond 6, zag Einstein in dat men geen

onderscheid kon maken tussen het labo in rust in het uniform gravitatieveld ~g, en het labo dat wordt

voortgestuwd met uniforme versnelling −~g. Het klassieke begrip ‘inertiele waarnemer’ moest dus zijnbetekenis verliezen in een relativistische gravitatietheorie. Hij stelde daarom het volgende algemenerelativiteitsbeginsel voor:

• alle waarnemers zijn equivalent.

Deze versie staat enigszins open voor kritiek, aangezien in nogal wat oplossingen van A.R. waarnemersduidelijk niet equivalent zijn. Dit is b.v. het geval in elke stationaire ruimtetijd, waar de integraal-krommen van de tijdachtige killingvectoren gepriviligieerde families van waarnemers vormen! Ook

3Roll, Krotkov en Dicke, 19644Braginsky en Panov, 19685Anderson en Williams, 20016Zie de paragrafen i.v.m. de equivalentiebeginsels!

122

g

g

Figure 10.3: Einstein’s gedachten-experiment

laten uiterst nauwkeurige metingen van de dipool-anisotropie in de kosmische microgolf achtergrond-straling toe om een vorm van ‘absolute rust’ te definieren, namelijk die bewegingstoestand waarvoorde straling isotroop is.Het is dus van belang om niet zozeer de nadruk te leggen op equivalentie van waarnemers (of coordi-naatsystemen), maar eerder op de mogelijkheid om de theorie zo te formuleren dat de wetten invariantzijn onder willekeurige coordinaattransformaties. Vandaar dat men het relativiteitsbeginsel soms her-formuleert als het covariantiebeginsel :

• de wetten van de fysica moeten7 een tensoriele vorm aannemen.

Het covariantiebeginsel heeft een vreemde geschiedenis achter de rug: reeds kort na de publicatie in1905 van de beperkte relativiteitstheorie had Einstein al de belangrijkste ingredienten klaar voor dealgemene theorie (equivalentiebeginsel, covariantiebeginsel) en wijdde hij zich aan een studie van dedifferentiaalmeetkunde om een stel covariante veldvergelijkingen voor het gravitatieveld op te stellen.In 1912, op het ogenblik dat alle stukjes van de puzzel op tafel lagen, nam hij echter opnieuw afstandvan de algemene covariantie8! De verklaring was in de eerste plaats te zoeken bij de hierna volgende(maar in moderne terminologie geformuleerde) bedenking (het z.g. ‘Loch argument ’):

stel dat men beschikt over een ruimtetijd varieteit M bestaande uit een materieverdeling met bi-jhorende metriek en dat zich daarin een ‘gat’ L bevindt (een Loch), waarbij men zich tot doel steltde metriek in het gat te bepalen op basis van een stel covariante veldvergelijkingen, uitgaande vanrandvoorwaarden die vastliggen op de rand van het gat. Stel dat deze procedure als resultaat demetriek g oplevert. Beschouw nu een punt p ∈ L en een actief diffeomorfisme Φ (zie paragraaf 3-4)van het gebied L, dat zich buiten en op de rand van L tot de identiteit reduceert. Als g een oplossingis van het randwaardenprobleem, dan is t.g.v. algemene covariantie, ook g′ = Φ∗(g) een oplossing.Men vindt dan voor de metriek in p twee, in het algemeen verschillende uitdrukkingen, gp en g′

p,leidend tot verschillende observationele consequenties (de ricciscalar in p kan b.v. voor de ene metriek

7‘Moeten’ is met een korrel zout te nemen, aangezien fermionen beschreven worden met spinoren en niet met tensoren.Beide begrippen zijn wel nauw aan elkaar verwant

8Des te merkwaardiger omdat op dat ogenblik een nek aan nek race aan de gang was met David Hilbert, die eveneensop zoek was naar een formulering van de veldvergelijkingen.

123

0 zijn en voor de andere niet). Zulk gedrag hoort op eerste zicht niet thuis in een deterministischetheorie en Einstein formuleerde pas in 1915 een bevredigend antwoord. Zijn oplossing kwam er —ineen moderne formulering— op neer dat het zinloos is om een fysische betekenis toe te kennen aan het(mathematische) punt p van de ruimtetijd varieteit M: lokalisatie van punten heeft enkel en alleenzin m.b.t. de aanwezige deeltjes (en velden)! Bekijken we b.v. terug hetzelfde probleem, waarbij we nuin L twee wereldlijnen van deeltjes γ1 en γ2 beschouwen, die elkaar snijden in het punt p: onder hetdiffeomorfisme Φ worden deze wereldlijnen afgebeeld op nieuwe wereldlijnen Φ γ1 en Φ γ2 die elkaarsnijden in het punt p′ = Φ(p). Als b.v. de ricciscalar voor de metriek g 0 was in het punt p, dan ishij ook 0 voor de metriek g′ in het punt p′: Rp = R′

p′ . De twee oplossingen (L,g) en (L,g′) zijn dusequivalent in de zin dat ze dezelfde fysische situatie beschrijven. Een vergelijkbaar fenomeen doet zichvoor in de theorie van het elektromagnetisme, in de zin dat we te maken hebben met ijkinvariantie(gauge invariance):de ijkgroep is nu de groep van de actieve diffeomorfismen! Einstein brengt hiermeede genadestoot toe aan de newtoniaanse fysica en verwezenlijkt in zekere zin de oude droom van Leib-niz en Descartes: niet alleen tijd en ruimte worden opzij geschoven, maar de ruimtetijd varieteit zelf.Deze varieteit op zichzelf is een wiskundige artefact zonder enige fysische betekenis: fysische velden endeeltjes leven niet ‘in’ een ruimtetijd varieteit, maar vormen samen met hun onderlinge betrekkingende ruimtetijd zelf.

Door een aantal critici van Einstein (b.v. E. Kretschmann) werd aangevoerd dat het covariantiebegin-sel eigenlijk ‘leeg’ is, aangezien elke theorie (ook de newtoniaanse mechanica) in tensoriele vorm kangegoten worden. Dit is ten dele correct: de newtoniaanse fysica kan inderdaad in algemeen covari-ante vorm gegoten worden, net zoals het mogelijk is om de algemene relativiteitstheorie op een niet-covariante manier te formuleren (door op een of andere manier een coordinaatstelsel te fixeren). Beidetheorieen (covariante newtoniaanse en niet-covariante A.R.) zijn echter conceptueel weinig aantrekke-lijk . . . . Dat covariantie dus wel degelijk een leidraad is (het was Einstein’s belangrijkste leidraad!)blijkt dan ook uit dit zelfde voorbeeld: als men zich tot taak zou stellen om de newtoniaanse fysica opalgemeen covariante wijze te omschrijven, dan zou men extra dynamische velden moeten introduceren(corresponderend met tijd en ruimte) en vervolgens de dynamica van deze velden op een vreemdemanier moeten beperken om tot een absolute tijd te komen en een foliatie van absolute rustruimtes.Het zou op dat ogenblik een natuurlijke stap zijn om deze beperkingen op de dynamica te laten varenen een volledig dynamische theorie te ontwikkelen: Kretschmann’s argument toont dus eerder de grotecognitieve sterkte aan van het covariantiebeginsel, dan de zwakte ervan!

10-4 Einstein’s Equivalentiebeginsel

Einstein ging nog een stap verder dan WEP, door te stellen dat, in een vrij vallend labo, niet alleende wetten van de mechanica zich gedragen alsof er geen gravitatie aanwezig is, maar dat alle wettenvan de fysica zich zo gedragen. Hij noemde dit later ‘der glucklichste Gedanke meines Lebens’ en hetvormt, samen met het covariantiebeginsel, inderdaad de hoeksteen van de ganse theorie. Tegenwoordigformuleren we Einstein’s Equivalentiebeginsel (Einstein Equivalence Principle, EEP) als volgt:

(i) WEP geldt,

(ii) het resultaat van elk locaal en niet-gravitationeel experiment is onafhankelijk van de snelheidvan het vrijvallend referentiestelsel waarin dit experiment wordt uitgevoerd,

(iii) het resultaat van elk locaal en niet-gravitationeel experiment is onafhankelijk van de plaats enhet tijdstip waarop het experiment wordt uitgevoerd.

Delen (ii) en (iii) noemen we, respectievelijk, het LLI–beginsel (Local Lorentz Invariance) en het LPI–beginsel (Local Position Invariance). In de formulering hierboven slaat de term ‘locaal’ op het feit dathet experiment wordt uitgevoerd in een voldoend kleine omgeving, zodat b.v. effecten t.g.v. getijden-werking verwaarloosbaar zijn. De term ‘niet-gravitationeel’ spreekt voor zichzelf: de meting van b.v. de

124

elektrostatische aantrekkingskracht tussen twee geladen deeltjes is een niet-gravitationeel experiment,terwijl de meting van de cavendishconstante G een voorbeeld is van een gravitationeel experiment.LLI wordt in principe getest door elk experiment dat B.R. test, zoals b.v. het michelson-morley-experiment. Experimenten die LLI testen door anisotropieen te zoeken, die aanleiding zouden geventot opsplitsing van de grondtoestand van een Li7 kern in een magneetveld9, bereikten reeds in 1960een precisie van 10−16. Recente verbeteringen hebben de ‘anisotropieparameter’ δ verder gereduceerdtot δ . 10−20, waarmee LLI een der best geverifieerde hypothesen uit de fysica geworden is.De voorwaarden (i, ii, iii) staan niet geheel los van elkaar. Het is zelfs vrij waarschijnlijk dat elkevolledige en zelfconsistente gravitatietheorie, die aan WEP voldoet, noodzakelijk ook EEP impliceert.Dit is de z.g. schiffconjectuur10. Een theorie wordt hierbij volledig genoemd, als ze voorzien is vande nodige basisprincipes om het resultaat van een willekeurig experiment effectief te voorspellen. Hetvolstaat b.v. niet dat een theorie postuleert dat twee deeltjes met verschillende samenstelling even snelvallen in een gravitatieveld: dergelijk gedrag moet afleidbaar zijn uit de wetten die de verschillendeinwendige structuren vastleggen! Strikt beschouwd verdient vandaag geen enkele gravitatietheorie hetetiket ‘volledig’. In de praktijk blijkt echter dikwijls, dat het al voldoende is om over een gravitationeelgemodifieerd stel maxwellvergelijkingen te beschikken om experimenteel verifieerbare uitspraken tekunnen doen over het gedrag van deeltjes met een verschillende chemische samenstelling.De eigenschap van zelfconsistentie slaat op de uniciteit van de voorspellingen voor een gegeven exper-imentele situatie. Zo wordt gewoonlijk geeist dat de berekening van de afbuiging van het licht nabijde zon (zie verder) hetzelfde resultaat moet opleveren, zowel in de geometrische-optica-limiet van demaxwellvergelijkingen, als in de m0 = 0-limiet van massieve testdeeltjes.Schiff’s conjectuur is moeilijk —zoniet onmogelijk— te bewijzen. We beschikken immers niet overeen algemeen model van volledige en zelfconsistente gravitatietheorieen, waarin van LLI of LPI wordtafgeweken. Gedeeltelijke bewijzen zijn geformuleerd, waarin afwijkingen van EEP b.v. gemodelleerdwerden, door op zeer algemene wijze lorentzinvariantie verbrekende termen in de actie-integraal van hetelektromagnetisch veld te introduceren. Het blijkt dan dat lichamen met een verschillende chemischesamenstelling (waarvoor dus de elektromagnetische bindingsenergie op verschillende wijze bijdraagttot de totale relativistische energie) inderdaad een verschillend valgedrag vertonen in een gegevengravitationeel veld!

Het belang van EEP ligt in het feit dat het het bestaan impliceert van een unieke symmetrische tensorg van type (2, 0), die zich in elk vrij vallend referentiestelsel reduceert tot de minkowskimetriek endie instaat voor de koppeling tussen gravitatie en de niet-gravitationele velden. Onderstel immers hetbestaan van twee zulke metrieken: een die het gedrag bepaalt van neutrale testdeeltjes, en een dieoptreedt in de gravitationeel gemodifieerde maxwellvergelijkingen: tenminste voor theorieen gebaseerdop een actiebeginsel, zou dit resulteren in een plaatsafhankelijke verhouding van elektromagnetischebindingsenergie tot totale energie en dus, zoals hiervoor, in een verbreking van EEP.De uniciteit van de tensor g laat nu toe om de niet-gravitationele wetten van de fysica in de aan-wezigheid van gravitatie te bepalen, door op covariante wijze over te gaan van hun beperkt relativis-tische vorm naar de algemene vorm. We vatten dit samen in de volgende twee regels11:

• vervang η door g.

• vervang partiele afgeleiden door covariante afgeleiden.

We stellen dus vast dat er een vrij nauw afgebakend pad bestaat dat, van WEP via EEP, leidt naarde z.g. metrische gravitatietheorieen. Deze theorieen gaan ervan uit dat

(i) de ruimtetijd voorzien is van een lorentzmetriek,

9Hughes-Sherwin-Drever10L. Schiff, 196011Zoals zal blijken in de volgende paragraaf, verloopt dit proces echter niet altijd op triviale wijze . . .

125

(ii) de banen van ongeladen testdeeltjes gegeven worden door de geodeten van deze metriek,

(iii) de niet-gravitationele wetten van de fysica uitsluitend via deze metriek (en evt. de ervan afgeleidegeometrische objecten) gekoppeld zijn aan de structuur van de ruimtetijd, en wel zo dat dezewetten in geodetische normale coordinaten hun standaard B.R. vorm aannemen (supersnaartheorie b.v. is geen metrische gravitatietheorie).

Het principe dat slechts een metriek verantwoordelijk is voor de koppeling tussen de ruimtetijd ende lokale fysica, wordt soms ook het universeel koppelingsbeginsel genoemd. Gebruik makend vannewtoniaanse terminologie zeggen we dat gravitatie een ‘universele kracht’ is. De universaliteit isprecies wat toelaat om gravitatie te promoveren tot een eigenschap van de ruimtetijd, eerder daneen extra fysisch veld op de ruimtetijd! Hieromtrent bestaan nog steeds misvattingen, b.v. m.b.t. hetgedrag van klokken in een gravitatieveld (zie verder).Voorbeelden van enkele klassieke metrische theorieen zijn, naast A.R., de Brans-Dicke en de ermeeverwante scalar-tensor theorieen, de vector–tensor theorieen (Nordtvedt) en Rosen’s bimetrische theo-rieen. Op de laatste na, zijn dit bovendien gevallen van z.g. zuiver dynamische theorieen: de optredende

materie

g

g

F

ruimte - tijd

Figure 10.4: zuiver dynamische theorie

tensorvelden (φ, g, v, . . . ) beınvloeden (samen met de ‘conventionele’ materievormen) via de veld-vergelijkingen de structuur van de ruimtetijd, terwijl deze laatste op zijn beurt—maar uitsluitend viag—het gedrag van de materie bepaalt.Hiertegenover staan de absolute theorieen, waarin z.g. absolute elementen voorkomen. Dit zijn b.v. veldenwaarvan de structuur of de evolutie onafhankelijk is van de evolutie van de overige velden uit de the-orie: dit kan een vlakke achtergrondmetriek zijn (Rosen), een kosmische tijd t, of zelfs algebraischebetrekkingen van de vorm gab = hab + kakb met h en k dynamische velden.

EEP wordt in de eerste plaats getest door middel van gravitationele frequentieverschuivingsexperi-menten: deze werden door Einstein beschouwd als een der drie belangrijkste testen van A.R., maarvandaag zien we ze eerder als testen van EEP (i.h.b. van LPI), omdat ze in alle metrische gravitati-etheorieen identieke resultaten opleveren. Het mag dan ook geen verwondering wekken dat Einsteinal in een vroeg stadium —nog voor de meeste wiskundige details van de theorie geformuleerd waren—in staat was om enkel op basis van het equivalentiebeginsel de frequentieverschuiving te voorspellen.We herhalen eerst Einstein’s redenering en reproduceren vervolgens het resultaat vertrekkende van eenstatische en gekromde ruimtetijd, waarbij we ook rekening houden met mogelijke afwijkingen van EEP.

In een gravitationeel frequentieverschuivingsexperiment wordt de frequentie– of golflengteverschuivingz = ∆ν/ν = −∆λ/λ gemeten tussen twee frequentiestandaarden (ideale klokken, atomen, . . . ), diegeplaatst zijn op verschillende hoogtes in een gravitatieveld. Is het hoogteverschil tussen de tweewaarnemers (b.v. A op het oppervlak van de aarde en B op een hoogte h) niet te groot, dan zegt het

126

equivalentiebeginsel dat het effect van het gravitationeel potentiaalverschil ∆V = VA − VB = −ghop het gedrag van elektromagnetische signalen, uitgewisseld tussen A en B, identiek moet zijn aanhet effect dat ontstaat wanneer we A (achteraan) en B (vooraan) in een space shuttle plaatsen dieonderhevig is aan een versnelling van 1g. Kiezen we de z-as van A naar B en zorgen we ervoor dat Azich in de oorsprong bevindt op t = 0, dan wordt de positie van A en B resp. gegeven door

zA =1

2gt2 en zB = h+

1

2gt2.

Zendt nu B twee signalen met een tussenpauze van ∆τB naar A (vertrekkend op resp. t = 0 en ∆τBen aankomend op resp. t1 en t1 +∆τA), dan legt het eerste signaal een afstand

zB(0)− zA(t1) = t1

af en het tweede signaal een afstand

zB(∆τB)− zA(t1 +∆τA) = t1 +∆τA −∆τB .

Invullen van de uitdrukkingen voor zA en zB geeft

h− 1

2gt21 = t1 en h− 1

2gt21 − gt1∆τA = t1 +∆τA −∆τB ,

waarna lid aan lid aftrekken resulteert in

∆τA = ∆τB(1 − gh) = ∆τB(1 + ∆V ).

Is b.v. ∆τB de periode van een elektromagnetisch signaal vertrekkend uit B naar A, dan blijkt dat ditsignaal in A ontvangen wordt met een kleinere periode (m.a.w. een grotere frequentie en een grotereenergie: we spreken dan van een gravitationele blauwverschuiving). Definieren we de frequentiever-schuiving z door

1 + z =∆τA∆τB

=ωB

ωA

dan is dusz = ∆V.

(wordt het signaal van A naar B gestuurd, dan treedt er analoog een gravitationele roodverschuivingop).We leiden nu dit resultaat af op een meer wiskundige manier, gebruik makend van een statisch gravi-tatieveld, met killingvector ξ = ∂

∂t en met twee statische waarnemers A en B die de eigentijd metenverlopen langs hun wereldlijn tussen de tijdstippen t1 en t2 (t.t.z. tussen de twee hypervlakken t = t1en t = t2). De wereldlijnen van deze waarnemers zijn dus precies de integraalkrommen van ξ: als(t, xα) aangepaste coordinaten zijn, dan worden deze wereldlijnen gegeven door xα = constant. Allegebeurtenissen in de hypervlakken t = constant zijn voor zulke waarnemers gelijktijdig. Als A en Bbeschikken over ideale klokken, die de eigentijd meten tussen t1 en t2, dan is voor A

∆τA =

∫ t2

t1

√

−gijdxi

dt

dxj

dtdt

=√

−gtt(xαA)(t2 − t1),

(10-4.1)

terwijl voor B een analoge betrekking geldt. Bijgevolg vinden we

∆τA∆τB

=

(gtt(x

αA)

gtt(xαB)

)1/2

. (10-4.2)

127

(A) (B)

a ax = x Aa ax = x B

t = t1

t = t2

Figure 10.5: gelijktijdigheid

Is EEP geldig, dan gaat bovenstaande redenering op voor een eigentijd ∆τ gemeten door om het evenwelke frequentiestandaard (veer-, atoom- of biologische klok . . . ). Voor het bijzonder geval van deaarde zullen we in het volgend hoofdstuk afleiden dat gtt = −(1− 2m/r), zodat

∆τA∆τB

=

(1− 2m/rA1− 2m/rB

)1/2

≈ 1 +m(1

rB− 1

rA), (10-4.3)

wat < 1 is als rA < rB. Voor de z.g. gravitationele frequentieverschuiving z = ωB/ωA − 1 vinden wedan opnieuw

z = VA − VB , (10-4.4)

met V = −m/r de gravitationele potentiaal.NB: een gemakkelijke manier om in te zien dat in de Newtoniaanse benadering gtt ≈ −1− 2V , is van

gebruik te maken van de geodetische vergelijking: uit d2xα

dt2 ≈ − ∂V∂xα en

d2xα

dt2= −Γα

ij

dxi

dτ

dxj

dτ≈ −Γα

44 =1

2

∂g44∂xα

volgt immers onmiddellijk dat g44 ≈ −2V + const (zie ook p. 145).De populaire vertaling van het resultaat (10-4.3) is dat ‘identieke klokken trager lopen in A dan in B’.Dit zorgt voor redelijk wat verwarring: de correcte interpretatie is dat de klokken even snel lopen, maarverschillende wereldlijnen volgen en tussen de in de figuur aangeduide tijdstippen tA en tB verschillendeeigentijden meten. Een moeilijkheid bij dit experiment is dat de waarnemer in A, noch de waarnemerin B, weet wanneer de tijdstippen t1 en t2 zijn aangebroken en dus ook niet weet wanneer hij zijn klokmoet starten of stoppen . . . . Een mogelijke oplossing bestaat erin beide klokken eerst te synchroniserenin A, vervolgens een der klokken te transporteren naar B en ze na voldoend lange tijd terug naar Ate brengen: gebruiken we, bij wijze van illustratie, radioactief verval als frequentiestandaard, danzou men—na terugkomst in A—kunnen vaststellen dat, van twee identieke hoeveelheden radioactiefmateriaal, b.v. 49 % vervallen is van het materiaal dat was achtergebleven in A en 50 % van hetmateriaal dat de trip naar B gemaakt heeft. Nogmaals: dit is niet omdat de zwakke wisselwerkingzich in A en B anders zouden gedragen, maar omdat ∆τA < ∆τB ...Experimenten die dit effect verifieren zijn reeds uitgevoerd, maar blijven erg onnauwkeurig omdat,tijdens de verplaatsing van een frequentiestandaard een niet te verwaarlozen dopplereffect optreedt.In principe kan dit opgevangen worden door het ‘verblijf’ in B lang genoeg te maken, zodat het(cumulatief) gravitationeel effect het dopplereffect gaat domineren. Helaas zijn de meest precieze fre-quentiestandaarden waarover we vandaag beschikken, slechts stabiel over korte tijdspannes12: daarom

12Cs-fountain klokken zoals NIST-F1 bereiken een nauwkeurigheid van 10−15 over een periode van enkele 103 s maarzijn niet erg transporteerbaar

128

wordt gewoonlijk gebruik gemaakt van een meer indirect experiment, waarbij de frequentiestandaardin B b.v. lichtsignalen uitzendt naar A, waar deze vergeleken worden met de signalen van een in A

geplaatste referentiestandaard. Voor de frequentie van de in B uitgezonden golf, ω(e)B , vinden we dan

A receiver referentie-standaard

B emitter

Figure 10.6: gravitationele verschuiving

uit 2-6.25:

ω(e)B = −(kiu

i)B = −(kiξ

i

‖ξ‖ )B (10-4.5)

Omdat langs de nul-geodeten kiξi behouden blijft (zie 1-12), zal in A een signaal ontvangen worden

met frequentie ω(r)A gegeven door

ω(r)A .‖ξ‖A = ω

(e)B .‖ξ‖B (10-4.6)

zodatω(e)B

ω(r)A

=

(gtt,Agtt,B

)1/2

= 1 + VA − VB (10-4.7)

Nu kunnen we in de praktijk ω(r)A niet vergelijken met ω

(e)B , maar wel met ω

(e)A , zodat voor de

waargenomen frequentieverschuiving z geldt dat

1 + z =ω(e)A

ω(r)A

=ω(e)A

ω(e)B

ω(e)B

ω(r)A

. (10-4.8)

In de eerste factor van deze uitdrukking kunnen bijdragen optreden, die te wijten zijn aan afwijkingenvan EEP, zodat we bekomen dat

z = (1 + δ)(VA − VB) (10-4.9)

met δ een parameter die 0 is in metrische gravitatietheorieen.Bestaan er afwijkingen van EEP, door b.v. een plaatsafhankelijke fijnstructuurconstante α, dan zalb.v. een experiment met SCSO-klokken (Superconducting Cavity Stabilised Oscillators, waarvoor deperiode een veelvoud is van de bohr-straal en dus van α) leiden tot

z =αB

αA(1 + VA − VB)− 1

=(1 + δ)∆V,(10-4.10)

met δ = ∆α/α∆V . De eerste succesvolle experimenten werden door Pound, Rebka en Snider uitgevo-erd in Harvard (1960-65), door de frequentieverschuiving te meten van γ-fotonen afkomstig uit eenFe57 kern: men bewam hierbij dat |δ| . 10−1. Tot vandaag blijft het meest precieze experiment het

129

Vessot-Levine (Gravity Probe A, 1976) experiment, waarbij de frequentie van een in een raket ver-plaatste H-maser vergeleken werd (gedurende een vlucht tot op 10.000 km hoogte) met de frequentievan een identieke H-maser op de grond: dit resulteerde in de beperking |δ| . 2 10−4. Tegenwoordigworden gravitationele correcties (zowel als de meer vertrouwde dopplercorrecties) courant gebruiktbij Global Positioning Systems. De gravitationele correctie is hierbij zelfs groter dan de correctiet.g.v. de tijdsdilatatie: voor een satelliet in een cirkelvormige baan op een hoogte van 18000 km isimmers de gravitationele correctie gegeven door GM/r(= v2) ≈ 16 10−11 terwijl v ≈ 1.3 10−5 en dus√1− v2 − 1 ≈ 8 10−11. Dit lijkt futiel, maar bedenk dat zonder deze kleine correctietermen na 5

minuten de door een GPS ontvangen klokdata al zouden resulteren in een positie-fout van 15 m!Wijzen we er ten slotte nog op dat de uitdrukking 10-4.4 voor de roodverschuiving, die optreedt wanneereen elektromagnetische golf zich beweegt van A naar B, ook te bekomen is door toepassing van de wetvan behoud van energie op een foton dat uit de gravitationele potentiaalput klimt. Het effect werdtrouwens waargenomen bij het onderzoek van de spectraallijnen van witte dwergen.

10-5 Sterk Equivalentiebeginsel

Bekijken we nu, binnen de klasse van zuiver dynamische theorieen, een z.g. locaal gravitationeel ex-periment. Zulk experiment speelt zich per definitie af in een omgeving, die klein genoeg is ominhomogeniteiten—veroorzaakt door de ‘uitwendige’ gravitatievelden— te verwaarlozen, maar die grootgenoeg is om een locaal gravitationeel systeem te bevatten. Dergelijk systeem kan b.v. een cavendish-opstelling zijn in het labo of, desgewenst, het zonnestelsel . . . . Om het resultaat van zulk experimentte berekenen zijn twee stappen nodig:

1) bepaal het gedrag van het ‘uitwendig’ systeem en leg zo de randvoorwaarden vast voor het lokalesysteem,

2) los m.b.v. de bekomen randvoorwaarden de veldvergelijkingen op voor het lokale systeem.

Via de randvoorwaarden kunnen lokale resultaten (b.v. de cavendishconstante of de evolutie-eigenschappenvan een ster) dus beınvloed kunnen worden door het uitwendig systeem. Dit geldt niet voor A.R.,omdat in het grensgebied van de twee deelsystemen steeds een coordinatenstelsel kan gekozen wor-den13 waarin g ≈ η, zodat de randvoorwaarden onafhankelijk zijn van de positie of de snelheid vanhet lokale systeem t.o.v. zijn omgeving. Binnen andere theorieen kan dit fenomeen echter leiden totz.g. preferred frame of preferred location effects. Zo zal in b.v. Brans-Dicke-theorie de locaal gemetencavendishconstante evolueren in functie van de tijd, onder invloed van de kosmische evolutie van eenscalair veld φ(t).Vandaar dat nog een sterker beginsel dan EEP geıntroduceerd wordt, namelijk het Sterk Equivalen-tiebeginsel (Strong Equivalence Principle, SEP), waarin gesteld wordt dat:

(i) WEP geldt voor neutrale testdeeltjes en voor zelfgraviterende lichamen,

(ii) het resultaat van elk locaal experiment onafhankelijk is van de snelheid van de vrij vallendewaarnemer,

(iii) het resultaat van elk locaal experiment onafhankelijk is van de plaats en het tijdstip waarop hetwerd uitgevoerd.

Op het ogenblik is, op A.R. na, geen enkele zuiver dynamische theorie gekend die aan SEP voldoet.Bovendien leveren experimenten binnen het zonnestelsel en waarnemingen van binaire pulsars uiterststerke beperkingen op ‘preferred frame’ of ‘preferred location’ parameters van mogelijke andere theo-rieen14. We geven een korte bespreking van twee van deze testen (de twee ‘klassieke testen’ binnen deklasse van metrische gravitatietheorieen):

13Kan dit wel globaal over de ganse rand, b.v. voor niet enkelvoudig samenhangende gebieden?14wat geen van deze andere theorieen uitsluit: dikwijls komen hierin parameters voor, die zodanig aan te passen zijn,

dat de theorie elke SEP test —samen met A.R.— glansrijk doorstaat

130

10-5.1 Metrische theorieen en het zonnestelsel: inleiding

Metrische gravitatietheorieen verschillen in hun voorspellingen voor het gedrag van testdeeltjes en fo-tonen in het zonnestelsel enkel in de vorm van de metriek die dit gedrag bepaalt. Voor elke metrischetheorie kan de metriek van het zonnestelsel (bekomen via oplossing van de corresponderende veld-vergelijkingen), ontwikkeld worden als taylorreeks in grootheden, die zijn opgebouwd uit de newton-iaanse potentiaal en de materieverdeling van het zonnestelsel: dit leidt tot het z.g. PPN-formalisme(Parametrised Post Newtonian formalism). Aangezien een bespreking van dit formalisme veel te verzou voeren, beperken we ons in deze paragraaf tot een model van een sferisch symmetrisch en statischzonnestelsel15, met als enige variabele de newtoniaanse potentiaal V = −m/l, met m de massa van dezon. Ontwikkelen we de metriek naar deze variabele, dan kan aangetoond worden dat

ds2 = −(1− 2m

l+ 2β

m2

l2+ · · · )dt2 + (1 + 2γ

m

l+ · · · )(dx12 + dx2

2+ dx3

2) (10-5.1)

met l2 = x12+ x2

2+ x3

2. Voor de meeste testdeeltjes in het zonnestelsel geldt dat v2 ≈ m/l: termen

als gαβ treden dus in de bewegingsvergelijking enkel op in de combinatie gαβml , zodat we de coefficient

van dt2 moeten ontwikkelen tot op tweede orde in V , als we eerste-orde correcties op het ruimtelijkdeel van de metriek in acht willen nemen.Vervolgens voeren we z.g. standaardcoordinaten in, door de substitutie r = l(1 + γm/l). Dit leidt totde metriek (zie ook hoofdstuk 13)

ds2 = −B(r)dt2 +A(r)dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2 (10-5.2)

met

B(r) ≈1− 2m

r+ 2(β − γ)

m2

r2(10-5.3)

en

A(r) ≈1 + 2γm

r.

In elke metrische theorie hebben β en γ (de z.g. eddington-robertsonparameters) welbepaalde numeriekewaarden16. Voor het bijzonder geval van A.R. tonen we in hoofdstuk 13 dat β = γ = 1.Om de beweging van testdeeltjes in een ruimtetijd met metriek 10-5.2 na te gaan, construeren we eersteen volledig stel integralen van de geodetische vergelijkingen, zonder deze vergelijkingen echter explicietop te stellen! We maken daartoe gebruik van de behoudswetten uiξ(A)

i = constant, met ui = dxi/dλ(λ een affiene parameter) en met ξ(A) de vier killingvectoren van een statische en sferische symmetrische

metriek17: ξ(1) = ∂∂t , ξ(2) = ∂

∂φ , ξ(3) = cosφ ∂∂θ − sinφ cot θ ∂

∂φ en ξ(4) = sinφ ∂∂θ + cosφ cot θ ∂

∂φ . Deeerste drie killingvectoren leveren de volgende behoudswetten:

Bdt

dλ=constant, (10-5.4)

r2 sin2 θdφ

dλ=constant, (10-5.5)

r2 cosφdθ

dλ− sinφ cot θ

dφ

dλ=constant. (10-5.6)

(de vierde killingvector geeft geen extra informatie).Kiezen we het θ = π

2 -vlak zo dat de initiele positie– en snelheidsvectoren in dit vlak liggen, dan volgtuit 10-5.6 dat de beweging steeds beperkt blijft tot dit vlak (wat intuıtief te verwachten was als gevolg

15zie volgend hoofdstuk voor een verklaring van de terminologie16dat de eerste orde coefficient in gtt dezelfde is voor alle metrische theorieen, is een gevolg van EEP!17zie hoofdstuk 13

131

van de sferische symmetrie). Normaliseren we dan de affiene parameter zo dat op oneindig λ = t, danreduceren de vergelijkingen 10-5.4 en 10-5.5 zich tot

Bdt

dλ=1 (10-5.7)

en

r2dφ

dλ=J. (10-5.8)

Een laatste integraal van de bewegingsvergelijkingen volgt ten slotte uit het feit dat uiui constant is:

gijuiuj = −B(

dt

dλ)2 +A(

dr

dλ)2 + r2(

dφ

dλ)2 = −E, (10-5.9)

met E = 0 voor massaloze en E > 0 voor massieve deeltjes. Noteer dat λ voor deze laatste niet deeigentijd is, want (dτ/dλ)2 = E.M.b.v. 10-5.7 en 10-5.8 bekomen we dan

r2dφ

dt=JB (10-5.10)

en

− 1

B+J2A

r4(dr

dφ)2 +

J2

r2=− E. (10-5.11)

Voor trage beweging in een zwak gravitatieveld reduceren deze vergelijkingen zich tot de newtoniaansevergelijkingen

r2dφ

dt=J (10-5.12)

en

1

2[(dr

dt)2 + r2(

dφ

dt)2]− m

r=1− E

2(10-5.13)

waarbij J het draaimoment per eenheidsmassa is en 1−E2 de kinetische + gravitationele energie per

eenheidsmassa. Noteer dat we met het concept ‘energie’ voorzichtig moeten omspringen: de ‘echte’(i.e. behouden) totale energie per eenheidsmassa is voor een statische waarnemer (met killingvector

ξ = ∂∂t ) gegeven door −g(ξ,u) = −gijξi dx

j

dτ = B dtdτ = dλ

dτ = E−1/2. Als nu E−1/2 ≈ 1 + ǫ met ǫ klein,

dan is ǫ ≈ 1−E2 , zodat de gravitationele + kinetische energie per eenheidsmassa = (totale energie −

rustenergie) per eenheidsmassa = E−1/2 − 1 ≈ 1−E2 .

Definieren we, net zoals in het newtoniaanse geval, u = m/r, dan bekomen we

(du

dφ)2 +

1

AQ = 0 (10-5.14)

metQ = u2 −m2J−2

(1− E + 2u+ 2(2 + γ − β)u2)

). (10-5.15)

Met A = 1 en Q = u2 −m2J−2(1 − E + 2u) bekomen we de newtoniaanse baanvergelijking met alsoplossing

u = m2J−2(1 + e cosφ)

en

2a = r+ + r− = m(u−1± + u−1

− ) =2m2J−2

1− e2.

132

10-5.2 Geval van gebonden beweging

Voor een gebonden beweging wordt de kwadratische vorm Q nul voor precies twee waarden van u,namelijk u = u± = m/r±, met r± de afstanden tot respectievelijk aphelium en perihelium. Er geldtdan

Q = k(u− u−)(u − u+) (10-5.16)

met

k =1− 2m2

J2(2 + γ − β) (10-5.17)

en

k =2m2J−2

u+ + u−(10-5.18)

Uit 10-5.14 bekomen we dan, na een halve ‘omwenteling’18,

φ+ − φ− =

∫ u−

u+

∣∣A

Q

∣∣1/2

du =1√k

∫ u−

u+

(1 + γu) du√

(u− u+)(u− − u), (10-5.19)

of, met u = 12 (u+ + u−)− 1

2 (u− − u+) sinψ,

φ+ − φ− =1√k

∫ π/2

−π/2

[1 +γ

2(u+ + u−)−

γ

2(u− − u+) sinψ] dψ

≈ π√k(1 + γm2J−2) ≈ π[1 +m2J−2(2 + 2γ − β)].

(10-5.20)

Hierbij werd de benaderingk ≈ 1− (u+ + u−)(2 + γ − β) (10-5.21)

gebruikt, die volgt uit het feit dat de parameter ǫ = m2/J2 in het zonnestelsel erg klein is (voorMercurius is ǫ ≈ 10−7) en dus m2J−2 ≈ 1

2 (u+ + u−). Per omwenteling vinden we hiermee eenprecessie van het perihelium

∆φ =6πm2

J2.2 + 2γ − β

3, (10-5.22)

waarbij in A.R. de tweede factor van het rechterlid precies = 1 is.Vermits

m2J−2 ≈ u+ + u−2

=m

2a(

1

1 + e+

1

1− e) =

m

a(1− e2),

met a de halve lange as en e de excentriciteit van de (in benadering) ellipsvormige baan, kunnen wedit ook nog schrijven als

∆φ =6πm

a(1− e2).2 + 2γ − β

3. (10-5.23)

Voor Mercurius, met 415 omwentelingen per eeuw, geeft A.R. dan een precessie van 43.03′′ per eeuw,wat exact in overeenstemming is met de experimentele gegevens19. Voor de andere planeten wordt heteffect snel kleiner en worden, t.g.v. de kleine excentriteiten, de onnauwkeurigheden bij de bepaling vanhet perihelium groter. Alleen met Icarus (e = 0.827) wordt een vergelijkbare nauwkeurigheid bereikt.

133

Icarus

Aarde

Venus

Mercurius

Planeet a(10 km)6 e

p6 ma(1-e )

2 aantal omwentelingeneeuw (A.R.)

161.0

149.60

108.21

57.91

0.827

0.0167

0.0068

0.2056

0.115”

0.038”

0.058”

0.1038”

0.115”

0.058”

0.1038”

100

89

149

415

3.8

10.3

8.6

43.03

(”/eeuw)Df

5.0 1.2

9.8 0.8

8.4 4.8

43.11 0.45

(waargenomen)

Figure 10.7: precessie

m

r

r bo

F Fh

Figure 10.8: afbuiging van het licht

10-5.3 Geval van ongebonden beweging

Bekijken we ten slotte de ongebonden beweging van een deeltje met impactparameter b ≈ r sin(φ∞ −φ) ≈ r(φ∞ − φ) en met snelheid v ≈ dr/dt: de integratieconstante E in 10-5.11 is dan gegeven doorE = 1 − v2 en, als we de afstand van dichtste benadering r0 noemen (zodat (dr/dφ)|r0 = 0), volgt erdat

J = r0

(1

B(r0)− 1 + v2

)1/2

(10-5.24)

Voor een nulgeodeet (v = 1) is i.h.b. J−2 = r0−2B(r0), zodat 10-5.15 gereduceerd wordt tot

Q = u2 − u02B(r0)(1 + 2u+ 2(2 + γ − β)u2) (10-5.25)

Vermits nu B(r0) ≈ 1− 2u0 + 2(β − γ)u02, is

Q ≈ (u2 − u02).(1 − 2u0

2

u+ u0) (10-5.26)

18we gebruiken deze term alhoewel de banen nu geen gesloten krommen zijn19De anomalie in de precessie van Mercurius was ontdekt door Urbain Jean Joseph Le Verrier (1811–1877) en de

overeenstemming van het experimentele resultaat met de door AR voorspelde waarde was een van de grootste initielesuccessen van de thoerie.

134

(let op de tweede factor!) en dus

dφ

du≈

1 + γu+ u02

u+u0√u02 − u2

. (10-5.27)

Na integratie wordt de afbuiging van het licht, ∆φ, dan uiteindelijk gegeven door

∆φ =2|φ(u0)− φ∞| − π

≈4m

r0.1 + γ

2.

(10-5.28)

Voor de zon betekent dit een maximale afwijking (namelijk als r0 = R⊙) van

∆φ ≈ 1.75′′.1 + γ

2. (10-5.29)

Deze hoek wordt gemeten door de onderlinge hoekafstand te vergelijken van twee ‘vaste’ hemellichamen,tussen een tijdstip waarop een van beide zich ‘dicht’ bij de zon bevindt en een tijdstip waarop beidezich ‘ver’ van de zon bevinden (b.v. zes maanden later). Voor waarnemingen in het optisch vensterimpliceert dit dat het eerste stel waarnemingen moet gebeuren tijdens een volledige eclips. Omdat inde praktijk r0 niet kleiner mag zijn dan ongeveer 2R⊙ en omdat het oplossend vermogen van telescopenvan de orde 0.1′′ is, mogen we van dergelijke waarnemingen geen hoge nauwkeurigheid verwachten.Desondanks waren de resultaten van Arthur Stanley Eddington’s 1919 eclips expeditie zo prachtig inovereenstemming met de voorspellingen van A.R., dat de theorie er in een klap mee in het centrumvan de toenmalige belangstelling raakte.

Na 1945 werd meer en meer overgestapt op het gebruik van radio-interferometrie, zodat we met eenveel hogere nauwkeurigheid (het oplossend vermogen bedraagt dan 3 10−4′′), de hoekafstanden kunnenvolgen tussen QSO’s (Quasi Stellaire Objecten). Op deze wijze was men ook niet langer beperkt toteclipswaarnemingen. Tegenwoordig is het zelfs mogelijk om met z.g. Very Long Baseline Interferometryhet effect van de lichtafbuiging te meten voor bronnen, die zich op een hoek van 90o van de zon bevinden(∆φ is dan ≈ 4 10−3′′)! De gecumuleerde metingen van de laatste decennia hebben alzo geleid tot hetresultaat

γ = 1.000± 0.004. (10-5.30)

Een vergelijkbare nauwkeurigheid wordt bereikt met de tijdoponthoud experimenten. Hierbij wordteen radarsignaal vanop aarde doorheen het zonnestelsel gezonden en, na reflectie op het oppervlak vaneen planeet, weer ontvangen. Met 10-5.2 kan de precieze tijd berekend worden, die verloopt tussenemissie en ontvangst van het signaal. Het verschil met de newtoniaanse ‘heen-en-terug-tijd’ is hetz.g. relativistische tijdoponthoud. Voor Mercurius in bovenconjunctie bedraagt dit ongeveer 240µs opeen totaal van 20 minuten. Dergelijke experimenten werden lang bemoeilijkt door onzekerheden inde ephemeris van de reflecterende planeet en onzekerheden m.b.t. het reflecterende oppervlak. Beidemoeilijkheden werden opgevangen met de plaatsing van de Viking-landingstoestellen op het oppervlakvan Mars. Hiermee kon een uiterst betrouwbare ephemeris voor Mars worden opgesteld (door radar-waarnemingen ver van bovenconjunctie), waarna een kleinste-kwadratenanalyse van voorspelde enwaargenomen heen-en-terug-tijd uiteindelijk leidde tot γ − 1 = ±0.002 (Reasenberg, 1979). De meestprecieze data werden bekomen uit dopplermetingen van de CASSINI-satelliet (2002): γ − 1 = (6 ±4) 10−5.

Oefening

Toon aan dat in de schwarzschildmetriek (B = A−1 = 1− 2mr in 10-5.2) een cirkelvormige nulgeodeet

bestaat bij r = 3m. Toon ook aan dat, voor een welbepaalde waarde van J , er nulgeodeten bestaanwaarvoor

1− 3u

(√3±

√1 + bu)2

= aeφ (10-5.31)

(a, b constanten). Omschrijf het gedrag van dergelijke geodeten voor φ→ −∞.

135

10-6 Minimale koppeling

Beperkt men zich binnen de klasse van zuiver dynamische theorieen tot de meest eenvoudige —enwellicht ook tot de enige theorie waarin strikt aan SEP voldaan is— dan belandt men bij de algemenerelativiteitstheorie. We merkten reeds eerder echter al op dat de overgang van B.R. naar A.R. nietuniek vastligt. Bekijken we b.v. de behoudswetten van B.R., namelijk

∂bTab = 0, (10-6.1)

dan is de eenvoudigste covariante veralgemening weliswaar

∇bTab = 0, (10-6.2)

maar anderzijds reduceren ook de vergelijkingen

∇bTab +Rabcd∇cTbd = 0 (10-6.3)

zich, in afwezigheid van gravitatie, tot 10-6.1.Een bijkomend principe is dus nodig om de stap van B.R. naar A.R. op eenduidige wijze te kunnenzetten. We aanvaarden daarom volgend z.g. minimale koppelingsbeginsel :

• bij de overgang van B.R. naar A.R. mogen geen termen gebruikt worden waarin de kromming-stensor expliciet optreedt.

Dit beginsel is erg vaag: een preciezere formulering kan gegeven worden voor theorieen gebaseerd opeen actiebeginsel (door in de lagrangiaan voor de niet-gravitationele velden enkel bijdragen in g en zijneerste afgeleiden toe te laten), maar dient zelfs dan met de nodige omzichtigheid gehanteerd te wor-den20. Dat neemt niet weg dat het minimale koppelingsbeginsel een leidraad geeft om de wetten van defysica op te stellen in de aanwezigheid van gravitatie. We bekijken in de volgende paragrafen achtereen-volgens het gedrag van testdeeltjes, van perfecte vloeistoffen en van elektromagnetische velden.

10-6.1 Testdeeltjes

Net zoals in B.R. stellen we de beweging van massieve en van massaloze testdeeltjes voor d.m.v.tijdachtige, respectievelijk nulkrommen. Voor tijdachtige krommen normeren we de snelheid u steedszo dat

u2 = gabuaub = −1, (10-6.4)

i.e. ui = dxi/dτ met τ de eigentijd langs de kromme. Vrije deeltjes bewegen op geodeten:

a = ∇uu = 0, (10-6.5)

wat, in componenten uitgedrukt, betekent dat

ua∇aub = 0, (10-6.6)

ofd2xi

dτ2+ Γi

jkdxj

dτ

dxk

dτ= 0. (10-6.7)

Is a 6= 0, dan zeggen we dat er op het deeltje een kracht f werkt met, per definitie, f = ma (voortaangebruiken we m voor de rustmassa). Voor een geladen deeltje in een elektromagnetisch veld bekomenwe dan b.v. de lorentzwet

ua∇aub =

q

mF b

aua. (10-6.8)

20In vele modellen wordt hier trouwens vandaag bewust van afgeweken!

136

Het impuls van het deeltje blijft gedefinieerd door

p = mu (10-6.9)

en een waarnemer (waarvan de baan deze van het deeltje snijdt in een punt P ) met snelheid v (v2 = −1)schrijft aan het deeltje in P een energie

E = −pava (10-6.10)

toe.

Tot besluit van deze paragraaf weze opgemerkt dat een beperkt aantal fysisch plausibele hypothesenm.b.t. het gedrag van massieve en massaloze testdeeltjes volstaat om het bestaan aan te tonen vaneen —op een constante schaalfactor na— unieke lorentzmetriek g met de eigenschap dat testdeeltjesbewegen op resp. geodeten en nulgeodeten van g21. Hypothesen over het gedrag van fysische klokkenen meetstaven zijn dus totaal overbodig bij het opstellen van de fundamenten van de theorie!

10-6.2 Perfecte vloeistoffen

De ganse bespreking van 2-5.2 kan nu herhaald worden, mits ηab te vervangen door gab. We herhaleneven de hoofdpunten:

een perfecte vloeistof wordt gekenmerkt door een energie-impulstensor

Tab = ρuaub + p(gab + uaub) (10-6.11)

die voldoet aan de behoudswetten∇bTa

b = 0. (10-6.12)

Hieruit volgen dan de algemeen relativistische versies van

i) de continuıteitsvergelijkingρ+ (ρ+ p)Θ = 0, (10-6.13)

waarbij we de notaties ρ = ρ|aua en Θ = ∇au

a gebruiken, en

ii) de navier-stokesvergelijkingen:

(p+ ρ)ab + (gab + uaub)∇ap = 0. (10-6.14)

10-6.3 Elektromagnetisme

In een gekromde ruimtetijd worden de maxwellvergelijkingen gegeven door

F ab;b =4πJa (10-6.15)

en

F[ab;c] =0, (10-6.16)

of resp. ∗d ∗ F = 4πJ en dF = 0 in een 2-vorm formalisme. T.g.v. de antisymmetrie van F is danautomatisch voldaan aan de behoudswet

Jb;b = 0. (10-6.17)

De energie-impulstensor van het elektromagnetisch veld is gegeven door

T ab =1

4π(F a

cFbc − 1

4gabFcdF

cd) (10-6.18)

21Ehlers-Pirani-Schild 1971

137

en voldoet, t.g.v. 10-6.15 en 10-6.16, aan

∇bTab = −F a

bJb, (10-6.19)

zodat voor een vrij maxwellveld (J = 0) opnieuw de behoudswetten 10-6.12 geldig zijn. Voeren we netzoals in 2-6 de vectorpotentiaal A in, zodat Fab = 2A[b;a], dan volgt nu echter dat in de z.g. lorentzijk

(Ab;b = 0)

−4πJb =∇a(Ab;a −Aa;b)

=∇a∇aAb −∇a∇bAa

=∇a∇aAb −∇b∇aAa + gac(∇b∇c −∇c∇b)Aa

=∇a∇aAb + gacRmabcAm

=∇a∇aAb −RmccbAm

=∇a∇aAb −RmbAm,

(10-6.20)

wat wijst op dubbelzinnigheden bij de toepassing van de minimale koppelingsregel. Een ander gevolg isdat de standaard behandeling van elektromagnetische golven zoals in beperkte relativiteit enkel geldtin de algemene theorie op voorwaarde dat de kromming slechts weinig verandert over afstanden dievergelijkbaar zijn met de golflengtes!

10-6.4 Behoudswetten

We blijven de vergelijkingen 10-6.12 de behoudswetten voor de energie-impulstensor noemen. Een be-langrijk onderscheid met beperkte relativiteit is echter, dat met deze wetten niet zonder meer behoudengrootheden te construeren zijn! Begrippen als ‘totale energie’ of ‘totaal impuls’ van b.v. een wolk niet-interagerende deeltjes zijn dus, in het algemeen, niet meer gedefinieerd. Dit in tegenstelling tot eenbegrip als b.v. ‘totale lading’, dat zijn oorsprong vindt in het divergentievrij zijn van een vectorielegrootheid: als J ∈ Ω1(M) en d ∗ J = 0, dan volgt uit de wet van Gauß (zie p. 56) dat

∫

∂U

∗J = 0.

Integratie over de rand van een ‘wereldbuis’ met randen Σ1 ⊂ x0 = const1, Σ2 ⊂ x0 = const2,levert dan voor J → 0 op de tijdachtige rand van de buis en met dV =

√−g|Σdx1dx2dx3, dat

−∫

Σ1

J0dV1 +

∫

Σ2

J0dV2 = 0,

m.a.w.∫

ΣJ0dV is een behouden grootheid! Als de ruimtetijd symmetrieen toelaat (zoals het geval

is in de minkowskiruimte), dan kunnen behouden grootheden echter ook geconstrueerd worden uit deenergie-impulstensor zelf:

is immers K een killingvector, dan voldoet P a = T abKb, t.g.v. 10-6.12 en de anti-symmetrie van Ka;b,aan

P a;a =T ab

;aKb + T abKb;a

=0.(10-6.21)

M.b.v. de stelling van Gauß resulteert dus voor elke generator K van een isometrie een behoudswet,in de zin dat de ‘K-flux van energie-impuls doorheen een gesloten oppervlak verdwijnt’:

∫

∂U

Pa dσa = 0 (10-6.22)

voor elk compact en orienteerbaar gebied U met rand ∂U .

138

10-7 Correspondentiebeginsel

Een laatste beginsel heeft te maken met het feit dat (succesvolle) fysische theorieen over een welbepaaldgeldigheidsgebied beschikken en dat nieuwe theorieen consistent dienen te zijn met de voorspellingenvan oude, binnen het geldigheidsgebied van deze laatste. I.h.b. verwachten we van A.R. dat ze overeen-stemt met B.R. in de afwezigheid van gravitatie en overeenstemt met Newton’s gravitatietheorie inde limiet van traag bewegende lichamen en zwakke gravitationele velden. Dit is de inhoud van hetcorrespondentiebeginsel, dat bij het opstellen van de veldvergelijkingen een belangrijke rol speelt: wegebruiken de studie van geodeten, i.h.b. van de geodetische deviatie, hierbij als leidraad. Het is immershet optreden van deviatie dat karakteristiek is voor gravitatie!Stellen we eerst de newtoniaanse deviatievergelijking op voor twee testdeeltjes, die in vacuum bewegenlangs naburige krommen C1 en C2. Stel dat de vergelijkingen van deze krommen respectievelijk gegevenzijn door ~r1 = ~ρ(t) en ~r2 = ~ρ(t) + ~X(t), met ~X de deviatievector: noemen we Φ de gravitationele

X

C1

C2

Figure 10.9: geodetische afwijking

potentiaal, dan is

~ρ =−∇Φ|C1 (10-7.1)

en

~ρ+ ~X =−∇Φ|C2 . (10-7.2)

Nu is, voor | ~X | voldoende klein, ∇Φ|C2 ≈ ∇Φ|C1 + ~X.∇(∇Φ)|C1 , zodat

~X + ~X.∇(∇Φ) = 0. (10-7.3)

In componenten uitgedrukt betekent dit (met α, β = 1, 2, 3)

Xα +KαβX

β = 0, (10-7.4)

waarbij K (de getijdentensor genoemd) de symmetrische tensor is met

Kαβ = ∇α∇βΦ. (10-7.5)

139

Bekijken we nu terug de relativistische deviatievergelijkingen uit 1-11 en noteren we ˙= ∇T, met T deeenheidsvector rakend aan de deeltjesbaan:

Xa −RabcdT

bT cXd = 0. (10-7.6)

Kiezen we een orthonormale basis met e0 = T, dan worden de ruimtelijke componenten van dezevergelijkingen gegeven door

Xα −Rα00βX

β = 0, (10-7.7)

wat precies van dezelfde vorm is als 10-7.4, mits we de tensor Kαβ identificeren met −Rα

00β . Nureduceren in newtoniaanse gravitatie de vacuumvergelijkingen zich tot de laplacevergelijking, i.e. tothet spoor-vrij zijn van K:

tr(K) = ∇α∇αΦ = 0, (10-7.8)

zodat het correspondentiebeginsel suggereert om aan de krommingstensor de eis op te leggen datRα

00α = 0. Met 5-5.12 betekent dit dat R00 = 0 voor elke keuze van de tijdachtige eenheidsvectore0, waaruit we afleiden dat de volledige riccitensor 0 moet zijn: stel t ∼ e0 + λeα met λ klein genoegopdat t2 < 0. Uit Rabt

atb = 0 volgt dan

∀λ : λRαα + 2Raαea0 = 0

en dus R0α = 0. Bijgevolg bestaat er een basis waarin Rab diagonaal is22 en een herhaling van dezelfde

redenering toont dat dan ook de diagonaal-elementen Rαα = 0 zijn.We besluiten dus, op basis van het correspondentiebeginsel, dat de vacuumvergelijkingen van A.R. gegevenzijn door Rab = 0, of, volkomen equivalent hiermee, door

Gab ≡ Rab −1

2Rgab = 0. (10-7.9)

Opmerking: een eerste lezing van de paragrafen over het equivalentiebeginsel suggereert wellicht dat’echte’ gravitationele effecten (m.a.w. effecten die niet weg te transformeren zijn door over te gaanop een locaal vrij vallend referentiestelsel) eenduidig herkend kunnen worden aan het niet 0 zijn vande getijdentensor Kα

β = −Rα00β . Dit is een heikel punt —zelfs in vacuum— omdat de weyltensor

nog een ander, zogenaamd ’magnetisch’, deel bevat dat zich onafhankelijk van het ’coulombgedeelte’Kα

β gedraagt. Het al dan niet bestaan van dergelijke ’zuiver magnetische’ vacuum oplossingen of’gravitomagnetische monopolen’ is nog steeds een open probleem.

10-8 Veldvergelijkingen in de aanwezigheid van materie

In de inleiding beklemtoonden we reeds dat de energie-impulsverdeling in de ruimtetijd moet leidentot het ontstaan van kromming. Op basis van de in vorige paragraaf bekomen vacuumvergelijkingenen van het feit dat de energie-impulstensor een symmetrische tensor is, die net zoals de einsteintensorvoldoet aan de behoudswetten ∇bTa

b = 0, ligt het voor de hand om voor de volledige veldvergelijkingente postuleren dat

Gab = κTab (10-8.1)

met κ een constante. De waarde van κ volgt dan opnieuw uit het correspondentiebeginsel en denewtoniaanse limiet:

herschrijven we 10-8.1 eerst als

Rab = κ(Tab −1

2Tgab) (10-8.2)

22Dit is niet triviaal: de signatuur van de metriek maakt dat een symmetrische tensor, zoals Rab, niet zonder meer tediagonaliseren is: er bestaat dus niet noodzakelijk een lorentztransformatie zodat RabΛ

aa′Λb

b′ diagonaal is!

140

en bekijken we, t.o.v. een bepaalde waarnemer met snelheid = e0, een energie-impulsverdeling waarvoordruk en energie-impulsstroom verwaarloosbaar zijn t.o.v. T00 = ρ. Er geldt dan T ≈ −ρ, zodat 10-8.2impliceert dat R00 ≈ 1

2κρ. Stellen we dan, zoals hiervoor, Kαβ = −Rα

00β , dan is dus tr(K) =−Rα

00α = Rα0α0 = 1

2κρ. Nu voldoet in newtoniaanse gravitatietheorie K aan de poissonvergelijking,

tr(K) = ∇α∇αΦ = 4πρ, (10-8.3)

zodat het correspondentiebeginsel impliceert dat κ = 8π. We bekomen dus voor de volledige veld-vergelijkingen de gedaante

Gab = 8πTab. (10-8.4)

N.B. Dit is de vorm van de vergelijkingen in z.g. gravitationele eenheden (zie bijgevoegde tabel),namelijk G = 1 en c = 1. In willekeurige eenheden geldt dat

Gab =8πG

c2Tab, (10-8.5)

met G en c de waarden van de cavendishconstante en van de lichtsnelheid in de gekozen eenheden(G ≈ 6, 67 10−11m3kg−1s−1 en c ≈ 3 108ms−1). In onderstaande tabel geven we enkele standaardg-rootheden in gravitationele eenheden:

massa straal

elektron 2.10−66 s . 10−26 sproton 4.10−61 s 10−23 saarde 1, 5.10−11 s 2.10−3 szon 5.10−6 s 2, 3 ssterrenstelsel ≈ 105 s ≈ 1013 sHubble-volume van het heelal & 6.1015 s & 5.1017 s

Men kan zich de vraag stellen of de einstein-tensor de enige divergentie-vrije tensor is, die is opgebouwdm.b.v. de metriek en zijn eerste en tweede orde partiele afgeleiden (op de triviale veralgemening Gab +Λgab na, met Λ een constante). Het antwoord op deze vraag is bevestigend, op voorwaarde dat dedimensie van de ruimtetijd = 4 is (in tegenstelling tot wat beweerd wordt in [Weinberg], is het nietnodig de bijkomende eis op te leggen dat de tweede orde partiele afgeleiden hoogstens lineair optreden).Pas als de dimensie groter is dan 4, ontstaan er problemen met de uniciteit van de einsteintensor .

10-8.1 Energievoorwaarden

Niet elke symmetrische en divergentievrije tensor Tab stelt een fysisch zinvolle ‘energie-impulstensor’voor. We vermelden een aantal voorwaarden waarvan wordt aangenomen dat een klassieke23 energie-impulstensor er moet aan voldoen.

De eerste twee voorwaarden beperken de grootte van mogelijke negatieve drukken:

• de zwakke energievoorwaarde stelt dat de locaal gemeten energiedichtheid T 00 niet negatief magzijn: voor alle tijdachtige ξ is

T (ξ, ξ) ≡ Tabξaξb > 0.

Aangezien nulvectoren te beschouwen zijn als limieten van tijdachtige vectoren, volgt hieruit ookde nul-energievoorwaarde, namelijk

T (ξ, ξ) > 0 ∀ξ met ξ2 = 0.

23Afwijkingen van deze voorwaarden kunnen optreden onder zeer extreme situaties, b.v. wanneer quantum effectenniet langer te verwaarlozen zijn

141

Voor het bijzonder geval van een perfecte vloeistof is Tab = (ρ + p)uaub + pgab, zodat uit u2 =

ξ2 = −1 volgt dat T (ξ, ξ) = (p+ ρ)(u · ξ)2 − p. Aangezien |u · ξ| > 1 ( want ξ02= 1+

∑

α ξα2)

impliceert de zwakke energievoorwaarde dus

ρ > 0 en ρ+ p > 0.

De nul-energievoorwaarde zegt dus enkel dat

p+ ρ > 0.

• de sterke energievoorwaarde stelt dat voor alle tijdachtige ξ met ξ2 = −1 geldt Ric(ξ, ξ) > 0 of,equivalent hiermee,

(Tab −1

2ηabT )ξ

aξb > 0.

Zoals aangetoond op p. 84 drukt dit het ‘attractief’ karakter uit van gravitatie.

Voor een perfecte vloeistof wordt deze voorwaarde (p+ρ)(u ·ξ)2 > 12 (ρ−p), wat voldaan is voor

alle ξ met ξ2 = −1 alsρ+ 3p > 0 en ρ+ p > 0.

Merk op dat de zwakke energievoorwaarde geen gevolg is van de sterke energievoorwaarde!

• ten slotte drukt de dominante energievoorwaarde uit dat de locaal gemeten energie-impuls-stromen niet sneller dan het licht bewegen:

voor elke tijdachtige en toekomstgerichte ξ (i.e. ξ0 > 0) is de waargenomen energie-impulsflux−T a

bξb tijdachtig of nul en toekomstig gericht.

Voor perfecte vloeistoffen reduceert deze voorwaarde zich tot

ρ > |p|.

Is p = ρ dan spreken we van een ‘stijve vloeistof’. Perturbatieanalyse toont aan dat kleine

perturbaties zich in een vloeistof voortbewegen met de ‘geluidssnelheid’ cs =(

∂p∂ρ

)1/2

. Voor een

stijve vloeistof is de geluidssnelheid dus maximaal: cs = 1.

Oefening

Ga na of een massaloos en minimaal gekoppeld scalair veld,

Tab = φ,aφ,b −1

2gabφ,mφ

,m,

voldoet aan de energievoorwaarden. Maak een onderscheid tussen ∇φ ruimte-achtig of tijdachtig.

142

Hoofdstuk 11

De veldvergelijkingen nader

bekeken

Om enige intuıtie te verkrijgen voor de inhoud van de veldvergelijkingen beginnen we dit hoofdstuk meteen kijkje op de lineaire benadering. De geometrie van de ruimtetijd wordt bepaald door de energie-impulsverdeling. We verwachten daarom dat een kleine ‘verandering’ in de energie-impulsverdeling, bijniet stationaire fenomenen, aanleiding kan geven tot kleine ‘rimpeltjes’ in de geometrie. In tegenstellingtot de newtoniaanse action at a distance verwachten we —bij gebrek aan een andere karakteristiekesnelheid die in de theorie optreedt— dat de rimpeltjes zich golfsgewijs verplaatsen met de lichtsnel-heid. Als gevolg van de zwakte van gravitatie verwachten we ook dat gravitationele straling een zeerzwak verschijnsel is. Dit heeft als nadeel dat de straling zeer moeilijk detecteerbaar is (een interna-tionaal netwerk van laser-interferometers staat nog steeds in zijn kinderschoenen en resultaten zijntot dusver amper geboekt), maar dit maakt het fenomeen precies ook weer interessant: moeilijke de-tecteerbaarheid gaat hand in hand met zwakke absorptie, zodat gravitatiestraling in principe een heelnieuwe en ‘doordringende’ kijk op het heelal kan leveren. Er zijn immers heel wat bronnen in hetheelal die dergelijke gravitatiegolven kunnen veroorzaken, zoals binaire sterren, niet-sferische collaps ofbotsingen van zwarte gaten. We beperken ons in de eerste paragraaf tot zwakke gravitatiegolven in eenz.g. asymptotisch vlakke ruimtetijd, waarvoor de lineaire benadering van de veldvergelijkingen volstaat.

Vervolgens bekijken we de structuur van de veldvergelijkingen vanuit een algemener standpunt: webeginnen met enkele inleidende beschouwingen in paragraaf 2 en behandelen vervolgens in paragraaf3 de 3+1 splitsing van de veldvergelijkingen.

11-1 De lineaire benadering

Onderstel dat de metriek g kan geschreven worden als een vlakke metriek η + een kleine perturbatie:

g = η + ǫh (11-1.1)

met |ǫ| ≪ 1 en |h| ≈ 1 (we bedoelen hiermee dat coordinaten x bestaan zo dat

gij = ηij + ǫhij , (11-1.2)

met |ǫ| ≪ 1 en |hij | ≈ 1 ∀xi, xj).

Een eerste moeilijkheid hierbij is dat een ruimtetijd eigenlijk een equivalentieklasse is van lorentz-varieteiten (M, g) die slechts op een diffeomorfisme na bepaald zijn. Herinneren we ons dat, met Φeen diffeomorfisme van M, de metrieken g′ = Φ∗g en g dezelfde fysische eigenschappen hebben: dat

143

geldt i.h.b. voor de 1-parametergroepen van diffeomorfismen geassocieerd aan een vectorveld ξ (zieparagraaf 4-4) waarvoor

Lξg = limǫ→0

1

ǫ(Φ∗

ǫg − g) (11-1.3)

en dus

Φ∗ǫg ≈ g + ǫLξg ≈ η + ǫh+ ǫLξη. (11-1.4)

Nu is (Lξη)ij = ηimξm,j + ηjmξ

m,i = ξi,j + ξj,i, wat impliceert dat de metrieken gij = ηij + ǫhij en

g′ij = ηij + ǫ(hij + ξi,j + ξj,i) dezelfde ruimtetijd representeren. M.a.w. hij en

h′ij = hij + ξi,j + ξj,i (11-1.5)

stellen dezelfde fysische perturbatie voor.

We spreken nu verder af indices te ‘verhogen’ en te ‘verlagen’ met de tensor η, m.a.w.

hij = ηimηjnhmn, (11-1.6)

zodat (alle gelijkheden dienen nu gelezen te worden als geldend tot op orde 1 in ǫ)

gij = ηij − ǫhij . (11-1.7)

Voor de christoffelsymbolen resulteert dit in

Γijk =

1

2ǫ(hij,k + hik,j − h,ijk) (11-1.8)

en dus voor de riemanntensor in

Rijkl =1

2ǫ(hil,jk + hjk,il − hik,jl − hjl,ik). (11-1.9)

Opmerking:

1) Dit toont nogmaals dat h′ij en hij dezelfde fysische perturbatie voorstellen, aangezien tot op 1steorde in ǫ

R′ijkl = Rijkl + ǫ(LξR)ijkl (11-1.10)

= Rijkl + ǫ(ξmRijkl,m +Rmjklξ

m,i + . . .

)(11-1.11)

= Rijkl +O(ǫ2). (11-1.12)

2) 11-1.9 voldoet automatisch aan de bianchi-identiteiten.

Hiermee bekomen we voor de riccitensor

Rij =1

2ǫ(hmi ,jm + hmj ,im

−hij − h,ij), (11-1.13)

met h = hmm en = ηij∂i∂j en dus

R = ǫ(hmn,mn −h). (11-1.14)

Enige vereenvoudiging treedt op door over te gaan op de nieuwe veranderlijke

ψij = hij −1

2ηijh, (11-1.15)

144

(de z.g. trace-reversed amplitudes, vanwege ψ = −h). We bekomen dan

Rij =1

2ǫ(ψm

i ,jm + ψmj ,im

− hij), (11-1.16)

R =1

2ǫ(2ψmn

,mn −h) (11-1.17)

en dus

Gij(= 8πTij) =1

2ǫ(

ψmi ,jm + ψm

j ,im−ψij − ηijψ

mn,mn

)

. (11-1.18)

De volgende stap is cruciaal: merk op dat voorgaande vergelijking zich reduceert tot een gewonegolfvergelijking

ǫψij = −16πTij, (11-1.19)

mits we aan ψ de bijkomende voorwaarde opleggen dat

ψmi ,m = 0. (11-1.20)

Aan deze voorwaarde kan nu altijd voldaan worden door middel van een transformatie 11-1.5, of, intermen van ψ,

0 = ψ′mi ,m = ψm

i ,m −ξi. (11-1.21)

Naar analogie met het electromagnetisme noemen we zulke keuze van het diffeomorfisme Φ de lorentz-ijk1. Het diffeomorfisme is daarmee vastgelegd op transformaties 11-1.5 na, die nog voldoen aan devoorwaarden ξi = 0.

Merk nog op dat 11-1.19 te herschrijven is als

ǫhij = −16π(Tij −1

2ηijT )

en dus

ǫh00 ≈ −16π(ρ+1

2(−ρ)) = −8πρ.

In de newtoniaanse benadering reduceert dit zich tot

ǫ∆h00 = 8πρ,

wat aantoont dat ǫh00 ≈ 2φ (φ de newtoniaanse gravitationele potentiaal) en dus

ds2 ≈ −(1 + 2φ)dt2 + dx2 + dy2 + dz2. (11-1.22)

11-2 Vlakke gravitatiegolven

In vacuum reduceren de vergelijkingen 11-1.19 zich tot

hij = 0, (11-2.1)

waarbij h tevens moet voldoen aan de ijkvoorwaarden

Yi ≡ hmi ,m − 1

2h,i = 0. (11-2.2)

1ook wel de ijk van Einstein, de Donder, Hilbert of Fock genoemd

145

De oplossingen van 11-2.1 zijn superposities van vlakke golven

hij = aijeik.x, (11-2.3)

met aij de constante amplitudematrix en met k2 = 0: de golfvector k is een nulvector en gravi-tatiegolven planten zich dus voort met de lichtsnelheid. Men kan nu aantonen dat de resterendediffeomorfismevrijheid (met ξi = 0) kan gebruikt worden om aan de amplitudematrix de volgendevoorwaarden op te leggen (waarbij de coordinaten x0 = t, x1 = x, x2 = y, x3 = z zo gekozen zijn datηijdx

idxj = −dt2 + dx2 + dy2 + dz2):

h = h0α = 0 (α = 1, 2, 3) (11-2.4)

(vanwege de keuze h = 0 noemt men dit ook de spoorvrije ijk). De voorwaarden Yi = 0 reduceren zichhiermee tot

Y0 ≡ ∂

∂th00 = a00iωe

ik.x = 0, (11-2.5)

waarbij we k = (ω,−→k ) gesteld hebben en ω = |−→k |, zodat a00 = 0. De voorwaarden

Yα ≡ ∂

∂xmhmα =

∂

∂xβhβα = aαβk

βeik.x = 0 (11-2.6)

tonen dan aan dat, na orientatie van het assenstelsel zo dat de golf zich in de z-richting voortplant,aα3 = 0.

Er blijven dus slechts twee fysische vrijheidsgraden over en de amplitudematrix neemt de volgendegedaante aan,

aij =

0 0 0 00 a b 00 b −a 00 0 0 0

. (11-2.7)

De corresponderende golf bestaat uit een superpositie van twee lineair gepolariseerde golven, e1 en e2,

hij = aeij1 + beij2 , (11-2.8)

met

e1 =

0 0 0 00 1 0 00 0 −1 00 0 0 0

eiω(z−t) en e2 =

0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 0

eiω(z−t). (11-2.9)

Dat we hier werkelijk met een fysisch golfverschijnsel (en niet met een artefact van het coordinaten-stelsel) te maken hebben, blijkt uit de studie van het onderling gedrag van testdeeltjes. Men kangemakkelijk nagaan dat Γα

00 = 0 zodat de wereldlijnen xα = constante geodeten beschrijven. Bekijkenwe echter twee testdeeltjes met constante xα coordinaten en met coordinaatsafstand dα = ∆xα, danwordt hun onderlinge eigenafstand d gegeven door

d2 = gαβdαdβ = dαdβ + ǫhαβd

αdβ . (11-2.10)

Dit betekent dat voor deeltjes gelegen langs de z-as d een constante is, terwijl deeltjes gelegen in hetxy-vlak een tijdsafhankelijke d vertonen: we spreken daarom van de transverse-traceless gauge of de TTgauge. De beweging in het xy-vlak is het gemakkelijkst voor te stellen door invoering van een euclidischvlak, waarin de positie van de deeltjes gegeven wordt door de coordinaten Xα = dα+ ǫ/2h

βαdβ (immers

d2 = XαXα tot op eerste orde in ǫ). De golven h = e1 geven dan aanleiding tot het volgende gedrag

in het XY -vlak,

146

[X(t)Y (t)

]

=

[X(0)(1 + ǫ

2 cosωt)Y (0)(1− ǫ

2 cosωt)

]

. (11-2.11)

Een op t = 0 cirkelvormige ring van testdeeltjes zal dus in de X en Y richtingen samengetrokkenresp. uitgerekt worden tot een ellips. Onder invloed van de e2 golf treedt een analoog effect op, maarnu met ellipsen waarvan de assen gelegen zijn langs de bissectrices van de X , Y assen:

[X(t)Y (t)

]

=

[X(0) + ǫ

2Y (0) cosωt)Y (0) + ǫ

2X(0) cosωt)

]

. (11-2.12)

Het bestaan van dergelijke golven werd recent bevestigd door gebruik te maken van laserinterferometrie(LIGO, februari 2016).

11-3 Structuur van de veldvergelijkingen

11-3.1 Inleiding

Voor een gegeven energie-impulstensor vormen de veldvergelijkingen een stelsel van 10 niet-lineairepartiele differentiaalvergelijkingen voor de 10 metrische componenten gab. Deze vergelijkingen zijnechter niet onderling functioneel onafhankelijk, t.g.v. de gecontracteerde bianchi-identiteiten:

∇bGab = 0 (11-3.1)

De resulterende onderbepaaldheid van 10-8.4 was te verwachten, aangezien dit een tensorvergelijkingis en dus invariant is onder diffeomorfismen F : M → M. Als g een oplossing is van de veldverge-lijkingen, dan is ook F∗g een oplossing: stellen we F voor door het stel vergelijkingen x′a = x′a(x),dan komt deze uitspraak gewoon neer op het feit dat de componenten gij slechts bepaald zijn opcoordinaattransformaties xa → x′a na.M.b.v. deze coordinaattransformaties kunnen we 4 van de 10 metrische componenten vrij kiezen. Eenmogelijke keuze (de z.g. gauß-normale coordinaten, zie verder) kan b.v. leiden tot g00 = 1 en g0α = 0(α = 1, 2, 3). De zes componenten gαβ kunnen dan in principe uit de zes resterende onafhankelijkevergelijkingen bepaald worden. We leggen de nadruk op ‘in principe’, omdat —zelfs voor vacuum—een algemene oplossing van de veldvergelijkingen niet gekend is. De grote moeilijkheid ligt in deniet-lineariteit van de vergelijkingen, wat resulteert in het ontbreken van een superpositieprincipe.Een aanzienlijk aantal bijzondere oplossingen (voor vacuum, zowel als voor verschillende materievor-men) is nochtans gekend: de meeste van deze oplossingen werden bekomen door het opleggen van sterkesymmetrievoorwaarden. Op een aantal van deze oplossingen komen we in de volgende hoofdstukkenterug.Ook via benaderingsmethoden werden belangrijke resultaten geboekt, vooral dan in het domein vande hemelmechanica (PPN– en PPPN-formalismen), de astrofysica van neutronensterren en van zwartegaten. Recent numeriek onderzoek concentreert zich vooral op de interacties tussen zwarte gaten ende hierbij gegenereerde gravitationele straling. Een belangrijke rol hierbij wordt gespeeld door eenherformulering van de veldvergelijkingen als een beginwaardenprobleem. Hiertoe wordt arbitrair eenruimtelijk hyperoppervlak Σ gekozen evenals een tijdscoordinaat t = x0 en worden de veldvergelijkingengeschreven als een stel evolutievergelijkingen voor g met beginwaarden g|Σ en ∂tg|Σ. Een moeilijkheiddie hierbij ontstaat blijkt duidelijk wanneer we de identiteiten 11-3.1 herschrijven als

∂0G0i = −∂αGαi − Γj

mjGmi − Γi

mjGjm

(α = 1, 2, 3). Het rechterlid bevat geen derde orde afgeleiden van gij naar t, zodat de termen G0i inhet linkerlid hoogstens 1ste orde afgeleiden naar t kunnen bevatten. De corresponderende (0i) vergelij-kingen zijn bijgevolg geen evolutievergelijkingen, maar wel bindingsvoorwaarden (constraints)op de

147

beginwaarden. Dit toont opnieuw aan dat er slechts 6 ‘echte’ evolutievergelijkingen zijn, namelijk2

Gαβ = 8πTαβ voor 10 onbekenden, waarvan er 4 vrij te kiezen zijn.

Een gevolg van de invariantie van de veldvergelijkingen onder diffeomorfismen, is dat —zoals eerderreeds beklemtoond— een ruimtetijd gezien moet worden als een equivalentieklasse van koppels (M, g),waarbij (M, g) ∼ (M, g′) als g′ = F∗g. Dit leidt onmiddellijk tot de vraag of, voor twee gegevenmetrieken een methode bestaat om te bepalen of ze al dan niet representanten zijn van dezelfdeklasse. Dit is het z.g. equivalentieprobleem (dat in 1869 reeds door E.B. Christoffel gesteld was).Door E. Cartan werd een methode ontwikkeld, die o.a. de berekening inhoudt van alle covarianteafgeleiden van de beide riemanntensoren, tot en met de 10de orde! Recent werd, m.b.v. tetradmethodes,een verbetering bekomen door A. Karlhede, waarbij in het slechtst denkbare geval maximaal 7deorde afgeleiden berekend dienen te worden. Met computeralgebrapakketten en speciaal ontworpenprogramma’s, zoals SHEEP, CLASSI en STENSOR, is momenteel een database samengesteld vanexacte oplossingen, die toelaat om de originaliteit van elke ‘nieuwe’ oplossing op invariante wijze tecontroleren3. Dat de karlhedebovenlimiet p = 7 wel degelijk ‘scherp’ is, werd onlangs aangetoond4.

11-3.2 3+1 splitsing van de veldvergelijkingen

We veronderstellen dat de ruimte-tijd globaal hyperbolisch is, met een foliatie (Σt)t∈R van ruimtelijkehypervlakken. In het 3+1 formalisme ontbinden we de veldvergelijkingen 10-8.1, of 10-8.2, door ortho-gonaal te projecteren op deze hypervlakken en hun normale congruentie (zie hoofdstuk 7). Voor deeenvoud bekijken we in deze paragraaf enkel de vacuumvergelijkingen Rab = 0.

Een volledige projectie op Σt resulteert met 7-6.22 in

LmK =DDN −N(Ric +KK − 2K2), (11-3.2)

(merk op dat elke term een tensor is in Σt).Volledige pojectie loodrecht op Σt resulteert met de gecontracteerde vergelijking van Gauß, 7-6.11, inde z.g. hamiltoniaanse bindingsvoorwaarde

R+K2 − tr(K2) = 0, (11-3.3)

terwijl m.b.v. de gecontracteerde codazzivergelijking 7-6.15 de gemengde projectie leidt tot de z.g. mo-mentum bindingsvoorwaarde

D ·K −DK = 0. (11-3.4)

In overeenstemming met wat eerder al is opgemerkt, zijn er dus slechts 6 evolutievergelijkingen (11-3.2),aangevuld met 1 scalaire (11-3.3) en 1 vectorele (11-3.4) bindingsvoorwaarde.

We introduceren nu ruimtelijke coordinaten (xα) = (x1, x2, x3) in elk hypervlak Σt, zo dat (xi) = (t, xα)

een (glad) coordinaatstelsel wordt op M5. Let op: alhoewel de gradient van t, dt♯, een tijdachtigevector is, is de t-coordinaat zelf niet noodzakelijk tijdachtig: dit is enkel het geval als (∂t)

2 < 0. Hetverschil tussen ∂t en m noemen we de shift vector :

β = ∂t −m = ∂t −Nn. (11-3.5)

Er geldt dan, gebruik makend van dt(∂t) = 1 en 7-5.8 dat dt(β) = 0, zodat β rakend is aan Σt.M.a.w. t is enkel een tijdachtige coordinaat als β2 < N2. Noteer dat, met β = βα∂α, de contravariante

2Elk van de gedaante g00gαβ,00 = φαβ(g, g)3De gevolgde procedure is niet volledig algorithmisch: de enige niet-algorithmische stap kon—tot op heden—echter

steeds ‘op zicht’ genomen worden.4R. Milson en N. Pelavas, Class. Quantum Grav. 25, 012001, 20085We nemen verder aan dat griekse indices steeds lopen over 1,2,3, terwijl latijnse indices lopen over 1,2,3 en 4

148

componenten van n gegeven worden door

(ni) =1

N(1,−βα), (11-3.6)

terwijl de covariante componenten onmiddellijk volgen uit n = −Ndt:

(ni) = (−N, 0, 0, 0). (11-3.7)

Definieren we de xα componenten van g als γακ := gακ = g(∂α, ∂κ), met γκµ bepaald door γκµγµν = δκν ,evenals βα := γαµβ

µ, β2 := βµβµ, dan kan men nagaan (oefening) dat

[gij ] =

[β2 −N2 βj

βi γij

]

, [gij ] =

[−N−2 βjN−2

βiN−2 γij −N−2βiβj

]

, (11-3.8)

terwijl

[hij ] =

[β2 βjβi γij

]

, [hij ] =

[0 00 γij

]

, [hij ] =

[0 00 I3

]

. (11-3.9)

Het lijnelement kan dan geschreven worden als

ds2 = −N2dt2 + γµν(dxµ + βµdt)(dxν + βνdt), (11-3.10)

en met g en γ de determinanten van resp. de matrices [gij ] en [γαβ ]) geldt dat

√−g = N√γ. (11-3.11)

We bekomen ten slotte de veldvergelijkingen als een systeem van tweede orde partiele differenti-aalvergelijkingen in de coordinaten (t, xα), door in 11-3.2 de lie-afgeleide naar m te herschrijven alsLm = ∂t − Lβ en door Kµν m.b.v. 7-5.23 te herschrijven als (ga na!)

Kµν =1

2N(∂t − Lβ)γµν =

1

2N(∂tγµν − 2D(µβν)). (11-3.12)

Noteer dat alle optredende Lβ afgeleiden enkel functies zijn van de eerste en tweede fundamentelevorm van Σt, de connectie van D en de partiele afgeleiden van de tweede fundamentele vorm naar xα

en dat er geen evolutievergelijkingen optreden voor de lapse en shift variabelen (in overeenstemmingmet het feit dat deze vrij te kiezen zijn). De vergelijkingen voor β = 0 werden opgesteld doorA. Lichnerowicz in 1939 en Y. Choquet-Bruhat in 1948. Gebruiken we in plaats van K de toegevoegdeimpuls π =

√γ(Kγ−K), dan bekomen we de vergelijkingen van het z.g. ADM-formalisme (Arnowitt,

Deser en Misner 1962). De gedaante van de vergelijkingen voor β = 0 en N = 1 (de z.g. gauß-normalecoordinaten) werd al eerder gevonden door Darmois in 1927: we bekomen dan

γαβ = −2Rαβ − 1

2γµν γµν γαβ + 2γµν γαµγβν , (11-3.13)

R+1

4(γµν γµν)

2 − 1

4γαβγµν γαµγβν = 0, (11-3.14)

Dβ(γβµγµα)− ∂α(γ

µν γµν) = 0. (11-3.15)

Merk op dat gauß-normale coordinaten het nadeel hebben dat ze altijd aanleiding geven tot de vorm-ing van coordinaatsingulariteiten: uit bovenstaande vergelijkingen is immers eenvoudig af te leiden(oefening!) dat K, het spoor van de uitwendige kromming, voldoet aan de ongelijkheid

∂K

∂t6 −1

3K2 (11-3.16)

en dus divergeert binnen een eindige tijd t!

149

Aangezien de tweede afgeleiden van γαβ in 11-3.13 lineair optreden en de eerste afgeleiden polynomi-aal, zou men in afwezigheid van de bindingsvoorwaarden de stelling van Cauchy-Kovalevski kunnengebruiken om de (lokale) existentie van oplossingen van 11-3.13 aan te tonen voor beginvoorwaardenγαβ , γαβ die analytische functies zijn van de coordinaten xα op Σ0. De beginvoorwaarden moetenechter voldoen aan de bindingsvoorwaarden en de vraag stelt zich of deze wel behouden blijven ondertijdsevolutie. Darmois en Lichnerowicz toonden aan dat het antwoord op deze vraag bevestigend is,tenminste voor vacuum en voor analytische beginvoorwaarden. Dit betekent dus dat, gegeven een stel(γ,K), met γ de metriek van een 3D-riemannse ruimte Σ0, zo dat voldaan is aan de bindingsvoorwaar-den 11-3.3, 11-3.4, er een ruimtetijd (M, g) bestaat waarin Σ0 in te bedden is, zo dat γ de geınduceerdemetriek en K de extrinsieke kromming is van Σ0 in M. De grote doorbraak in dit domein kwam erin 1952 met het afzwakken van de analyticiteitsvoorwaarden door Choquet-Bruhat tot gladde begin-voorwaarden (Ck met k > 5, naderhand door Hawking en Ellis verder afgezwakt tot k > 4), waarbijtevens werd aangetoond dat het corresponderende cauchyprobleem goed gesteld (well posed) was in dezin dat de oplossingen continu afhangen van de beginvoorwaarden. Het globaal existentie– en uniciteit-stheorema ten slotte werd bewezen (steunend op het keuzeaxioma) door Choquet-Bruhat en Gerochin 1969. Dit theorema impliceert dat in de verzameling van alle globaal hyperbolische ruimtetijdenmet (Σ0,γ,K) als ingebed cauchy-hypervlak, een maximaal6 element (M∗, g∗) bestaat dat bovendienuniek is. We noemen dit dan de maximale globaal hyperbolische cauchy-ontwikkeling (MGHCD) van(Σ0,γ,K). Een bewijs van het bestaan van dit maximaal element, zonder beroep te doen op hetkeuzeaxioma, werd onlangs geleverd door J. Sbierski (2015). Binnen de klasse van niet globaal hyper-bolische extensies is, zoals we later zullen zien, de MGHCD zeker niet uniek; of ze al dan niet uniek isvoor generieke beginvoorwaarden binnen asymptotisch vlakke ruimtetijden, is het onderwerp van dez.g. (sterke) cosmic censorship conjectuur.Veralgemeningen van al deze resultaten bestaan voor verschillende materievormen (maxwellvelden,‘Λ-type’ materie, scalaire velden, yang-millsvelden, perfecte vloeistoffen, . . . ).

6maximaal in de zin dat elke andere ruimtetijd die aan de voorwaarden voldoet isometrisch is met een open deel van(M∗,g∗)

150

Hoofdstuk 12

Inleiding tot de kosmologie

12-1 Standaard model

Twee soorten van waarnemingen liggen aan de basis van de moderne kosmologie: (1) waarnemingenvan individuele bronnen (sterrenstelsels, radiobronnen, QSO’s, . . . ) en (2) waarnemingen van destralingsachtergrond (radio–, microgolf–, infrarood–, . . . ). Het oerknal (of big bang) model is hetresultaat van deze waarnemingen en wordt algemeen aanvaard als het standaardmodel waarbinnenkosmologisch onderzoek zich dient te situeren.De meest in het oog springende kenmerken van het heelal, zoals beschreven door het standaardmodel,zijn:

• dat het een sterke symmetrie vertoont (het heelal ziet er ‘overal’ ongeveer hetzelfde uit),

• dat het zeer groot is,1

1op het eerste zicht een vrij triviale opmerking; cf. echter de ‘small universe’ theorie van Ellis, recent terug in debelangstelling (J.P. Luminet)

151

• dat het evolueert in de tijd,

• dat het een eindige ouderdom heeft.

Het standaardmodel dient bekeken te worden als een 0-de orde-model dat toelaat om welbepaaldefysische vragen over het heelal te formuleren. Waarnemingen kunnen vervolgens binnen dit model aan-wijzingen verstrekken over bepaalde aspecten die verder moeten verfijnd worden2. Als eerste stap bijde constructie van zulk 0-de orde-model, vertrekken we van de hypothese dat het heelal kan beschrevenworden als een 4–dimensionale differentiaalvarieteit, voorzien van een lorentzmetriek g en een energie-impuls tensor T. We stellen T =

∑TM , met TM de bijdragen van alle materievelden in het heelal

aanwezig. Voor elke component dienen de noodzakelijke toestandsvergelijkingen afzonderlijk gegevente worden. De metriek wordt bekomen door oplossen van de einsteinvergelijkingen

Gab + Λgab = 8πTab. (12-1.1)

Voor de algemeenheid houden we ook rekening met een eventuele kosmologische constante Λ. Dekosmologische constante werd door Einstein in de veldvergelijkingen ingevoerd om een statische enhomogene oplossing mogelijk te maken: nadat de waarnemingen van Hubble 3 hadden aangetoond dathet heelal niet in een toestand van statisch evenwicht verkeerde, maar onderhevig was aan een expan-sie, werd deze modificatie van de veldvergelijkingen door Einstein enkele jaren later bestempeld als ‘degrootste blunder van zijn leven’. De kosmologische constante heeft een bewogen geschiedenis achterde rug: hij werd regelmatig ingevoerd en naderhand afgevoerd al naargelang de stand van zaken inde observationele kosmologie. De kosmologische constante kan geınterpreteerd dient te worden als deenergiedichtheid van het vacuum: deze energiedichtheid is de som van een groot aantal op eerste zichtniet gecorreleerde bijdragen, die elk op zich echter vele grootte-ordes groter zijn dan de (astronomischbepaalde) observationele bovenlimiet van Λ. Het vinden van een verklaring van dit gigantische verschiltussen de voorspelde en de waargenomen waarde van de energiedichtheid van het vacuum is uitge-groeid tot een van de grootste problemen van de hedendaagse fysica. Vandaag lijkt het er sterk opdat de waarnemingen opnieuw suggereren dat er wel degelijk rekening moet worden gehouden met een‘effectieve’ kosmologische constante in de veldvergelijkingen. We zullen dus in de volgende paragrafenstelselmatig de veldvergelijkingen hanteren in de gedaante 12-1.1.

We aanvaarden verder dat in elk punt van het model een geprefereerd tijdachtig vectorveld u aanwezigis, met

u2 = uaua = −1, (12-1.2)

dat de ‘gemiddelde beweging’ van de materie voorstelt.De integraalkrommen van het vectorveld u worden de wereldlijnen van de fundamentele waarnemersgenoemd. Noemen we τ de eigentijd van deze waarnemers, dan geldt dus ui = dxi/dτ . De bewegingvan individuele sterrenstelsels valt in goede benadering samen met de beweging van de fundamentelewaarnemers.Fundamentele waarnemers beschikken in elk punt over een ogenblikkelijke rustruimte, die het ortho-gonaal complement zijn in Tp(M) van u. De projectie op deze ogenblikkelijke rustruimte wordtbeschreven door de projectietensor

hab = gab + uaub. (12-1.3)

M.b.v. 12-1.3 kan de metriek dan geschreven worden als

ds2 = gijdxidxj = −(uidx

i)2 + hijdxidxj (12-1.4)

2Zonder theoretisch model zijn er geen waarnemingen!3E.P. Hubble, Proc. Natl. Acad. Sci., 168 (1929)

152

12-2 Symmetrie en geometrie

Ondanks de respectabele ouderdom van de astronomie, hebben we het heelal —naar kosmische maat-staven althans— tot nu toe eigenlijk maar in een punt P (‘nu’) waargenomen:

Big Bang

2.10 sec4D yX

100 à 3000 jaarD yt

P

15 à 20.10 jaar9D yt

Figure 12.1: ons beeld van het heelal

Deze waarnemingen suggereren om, na uitmiddeling op een gepaste schaal, dat het heelal isotroop ist.o.v. dit punt P . In het bijzonder blijkt uit waarnemingen van de kosmische microgolfachtergrondstra-ling (COBE 1990, WMAP 2006, Planck 2013) dat de relatieve anisotropie in de temperatuursverdelingvan deze straling kleiner is dan 10−5.Gaan we er van uit dat het punt P geen bevoorrechte plaats inneemt op zijn wereldlijn, dan kunnen webovenstaand resultaat extrapoleren en bekomen we dat het heelal isotroop is t.o.v. de ganse wereldlijnvan P . Deze redenering is een voorbeeld van toepassing van het kosmologisch beginsel. We extrapolerennu nogmaals door te veronderstellen dat P ’s wereldlijn al evenmin een bevoorrechte wereldlijn is enbesluiten dat het heelal dus isotroop is t.o.v. de wereldlijn van elke fundamentele waarnemer.Beschouwen we nu de covariante afgeleide van u, dan kunnen we hiermee de versnellingsvector u = ∇uudefinieren. Aangezien u2 = −1 is u.u = 0, zodat u een ruimte-achtige vector is, die de isotropie zalverbreken, tenzij

u = 0. (12-2.1)

Schrijven we vervolgens ua;b als

ua;b = σab + ωab +1

3Θhab (12-2.2)

(zie 6-4.9), dan volgt uit u2 = −1 dat de tensoren σ en ω orthogonaal zijn met u: σabub = ωabu

b = 0 endus in een gepaste basis (met e0 = u) kunnen voorgesteld worden door 3×3 matrices σαβ (symmetrischen spoorvrij) en ωαβ (antisymmetrisch). Beide matrices zullen de isotropie verbreken, tenzij huneigenwaarden 0 zijn, waaruit σαβ = ωαβ = 0. Isotropie t.o.v. elke fundamentele waarnemer leidt dustot

ua;b =Θ

3hab, (12-2.3)

waarbij we Θ de expansiescalar noemen. Bovendien volgt uit ωab = 0 dat u hyperoppervlakorthogonaalis, m.a.w. er bestaat een scalaire functie t zodat

ua = −t,a, (12-2.4)

met dus i.h.b. t0 = t,aua = 1.

De op een constante na bepaalde functie t noemen we de kosmische tijd : t.g.v. 12-2.4 meet t de eigentijdlangs de wereldlijnen van de fundamentele waarnemers. De hyperoppervlakken t = constant zijn precies

153

de hyperoppervlakken Σt die de ogenblikkelijke rustruimten glad aan elkaar sluiten: u.v = 0 als enslechts als v rakend is aan Σt. We noemen deze voortaan zonder meer de rustruimten.Er zijn nog andere manieren om in deze kosmologische modellen ruimtelijke hyperoppervlakken teconstrueren. We vermelden er twee:

1) Vertrekkend vanuit een punt P construeren we alle ruimte-achtige geodeten, die in P loodrechtstaan op uP . Deze hyperoppervlakken worden soms wel de ‘private rest spaces’ van de funda-mentele waarnemers genoemd:

p

Figure 12.2: private rest space

2) Vertrekkend vanuit een punt P construeren we de verzameling van alle gebeurtenissen E die‘gelijktijdig’ zijn met P . Gelijktijdigheid bepalen we door een lichtsignaal uit te zenden op tA,het in E gereflecteerde signaal op te vangen op tB en aan E de radartijd 1

2 (tA+tB) toe te kennen:gelijktijdige gebeurtenissen zijn dan gebeurtenissen met dezelfde radartijd en de resulterendehyperoppervlakken noemt men soms de ‘radar spaces’.

In een evoluerend heelal (Θ 6= 0) zullen noch de private spaces, noch de radar spaces samenvallenmet de rustruimten t = constant! Zo is b.v. in een FLRW-model (zie verder) met R(t) = t2/3 r1 =

3(t1/3B − t

1/31 ) en r1 = 3(t

1/31 − t

1/3A ) (ga na!), zodat de tA + tB = constante hypervlakken voldoen aan

3t1 + r21t1/31 = constante en niet aan t1 = constante . . .

Voeren we nu coordinaten in door x0 = t te stellen en x1, x2, x3 als labels te gebruiken voor defundamentele wereldlijnen, dan is xα (α = 1, 2, 3) constant langs elke wereldlijn, i.e. xα = 0. Webekomen hiermee dat

ui = δi0 (12-2.5)

en dus (zie 12-1.4)ds2 = hαβdx

αdxβ − dt2. (12-2.6)

Voor elke fysisch waarneembare grootheid Φ moet nu gelden dat Φ = Φ(t), zoniet zou de ruimtelijkegradient van Φ opnieuw de isotropie van de rustruimten verbreken. In het bijzonder geldt dan

Θ = Θ(t). (12-2.7)

154

pE

tA

tB

Figure 12.3: radar rest space

Nu is echter 13Θhαβ = uα;β = −uiΓi

αβ = Γ0αβ = 1

2∂∂thαβ , zodat

hαβ = S2(t)fαβ(xρ), (12-2.8)

met

Θ = 3S

S. (12-2.9)

De op een constante factor na bepaalde functie S noemen we de schaalfactor van het heelal:Zij d1 de afstand in Σt1 tussen twee fundamentele waarnemers, gemeten langs een kromme γ1 (t =t1, x

α = φα(λ)) en d2 de afstand in Σt2 tussen dezelfde twee waarnemers, gemeten langs ‘dezelfde’kromme γ2 (t = t2, x

α = φα(λ)), dan is

d2d1

=S(t2)

S(t1). (12-2.10)

Men noemt 12-2.10 de wet van Hubble en de verhouding

H ≡ S

S(12-2.11)

(zie 12-2.9) de hubbleparameter.Uit de isotropie van de hyperoppervlakken Σt kunnen we afleiden (zie hoofdstuk 1.12) dat de rust-ruimten een constante kromming hebben en dus homogeen zijn. Een andere manier om dit in te zienis de volgende:voor elke 3–dimensionale ruimte is de weyltensor 0, zodat uit 1.11.35 volgt dat

R(3)αβγδ = 2hα[γR

(3)δ]β + 2hβ[δR

(3)γ]α −R(3)hα[γhδ]β. (12-2.12)

Vermits de riccitensor van de 3–ruimten isotroop moet zijn, is

R(3)αβ =

1

3R(3)hαβ (12-2.13)

155

d2

d1

t1

t2

S

S

Figure 12.4: schaalfactor

en vinden we dat

R(3)αβγδ =

R(3)

3hα[γhβ]δ, (12-2.14)

wat inderdaad toont dat de hyperoppervlakken Σt een constante kromming hebben.Noeen we k de kromming van de hyperoppervlakken met metriek fαβdx

αdxβ , dan is R(3)/6 = K =k/S2 de kromming van de hyperoppervlakken met metriek hαβdx

αdxβ = S2fαβdxαdxβ . We zullen

hierbij, als k 6= 0, S steeds zo herschalen dat k = ±1.Gebruik makend van de resultaten van hoofdstuk 1.12 bekomen we ten slotte de metriek

ds2 = −dt2 + S2(t)[dr2 +Σ2(r, k)(dθ2 + sin2 θdφ2)) (12-2.15)

wat, na transformatie van de r−coordinaat de friedmann-lemaıtre-robertson-walkermetriek oplevert

ds2 = −dt2 + S2(t)

(dr2

1− kr2+ r2(dθ2 + sin2 θdφ2)

)

(12-2.16)

Meestal herschrijft men de ‘FLRW-metriek’ in een genormalizeerde gedaante, gebruik makend vana(t) = S(t)/S0, waarbij een grootheid voorzien van een benedenindex 0 altijd betrekking heeft op haarmomenteel gemeten waarde. Zo bekomen we dus

ds2 = −dt2 + a2(t)S20

(dr2

1− kr2+ r2(dθ2 + sin2 θdφ2)

)

(12-2.17)

Als k = 0, zijn de rustruimten vlak en kan men euclidische coordinaten invoeren zodat

ds2 = −dt2 + a2(t)S20 (dx

2 + dy2 + dz2) (12-2.18)

Doorgaans kent men aan deze coordinaten het domein ]−∞, ∞[ toe, zodat de rustruimten een oneindigvolume hebben en dus ook de totale hoeveelheid materie in het heelal oneindig is (hetzelfde geldt ookvoor k = −1, wat aan de k = 0 en k = −1 modellen de naam open modellen verleent). We kunnen derustruimten echter ook de topologie van een torus geven door de punten (x+ma, y+ nb, z+ pc) metelkaar te identificeren (m, n, p ∈ Z). De rustruimten worden dan compact en de totale hoeveelheidmaterie in het heelal is eindig.

156

Als k = −1 hebben de rustruimten een lobachevskigeometrie en wordt, net zoals bij k = 0, de topologiedoorgaans zo gekozen dat ze een oneindig volume hebben. Verschillende andere topologieen kunnenechter gekozen worden, zodat ook hier een eindig volume tot de mogelijkheden behoort4 .Als k=+1 verschilt de situatie grondig van beide voorgaande gevallen: twee, uit een willekeurig puntP , in tegengestelde zin vertrekkende geodeten zullen elkaar steeds ontmoeten in P ’s antipode Q. Deruimtelijke hypervlakken zijn dan compact, tenzij we het domein van de coordinaten artificieel inperken.Deze modellen worden dan ook gesloten modellen genoemd. Het totale volume van het heelal is in datgeval5

2× 4πS30a

3

∫ 1

0

r2√1− r2

dr = 2π2a3S30 .

Ondanks deze problemen met de topologie van de rustruimten, houden we ons verder aan de inge-burgerde benamingen van open en gesloten modellen. De termen ‘oneindige’ respectievelijk ‘eindige’modellen (voor k = 0, −1 of voor k = +1) dienen echter beter vermeden te worden.Merk ten slotte nog op dat 12-2.18 duidelijk conform vlak is:

ds2 = S20a(τ)

2(−dτ2 + dx2 + dy2 + dz2) (12-2.19)

met dt = S0adτ . Deze eigenschap geldt ook als k = ±1 (alhoewel de gepaste coordinaattransformatiein deze gevallen niet op eerste zicht te herkennen is).

Metingen van de hubbleconstante H0 gebeuren op basis van de roodverschuiving: een fundamentelewaarnemer zal de frequentie van een lichtsignaal met propagatievector k meten als ω = |u · k| (zie2-6.25). Omdat k een nulvector is, heeft de projectie van k op u dezelfde grootte als de projectie vank in de ogenblikkelijke rustruimte van de waarnemer. Noemen we ξ een van de killingvectoren in dezeruimte, dan is dus

ω =|ξ · k|||ξ|| . (12-2.20)

Vermits de propagatievector verder nog voldoet aan de nulgeodetische vergelijking Dkdλ = 0, is (zie

p. 75) k · ξ echter een behouden grootheid langs elke nulgeodeet zodat

ω ∝ ||ξ||−1 ∝ S(t)−1, (12-2.21)

ofλ ∝ S(t). (12-2.22)

Definieren we de roodverschuiving z als in 10-4.8 opnieuw door

1 + z =λ(r)0

λ(e)0

=λ(r)0

λ(e)1

λ(e)1

λ(e)0

, (12-2.23)

dan geldt dus

1 + z =S0

S1

λ(e)1

λ(e)0

. (12-2.24)

Gaan we er van uit dat de fundamentele constanten van de fysica onveranderd blijven in de loopvan de kosmische tijd t (een hypothese waarover de discussie regelmatig opnieuw opflakkert), dan is

λ(e)1 = λ

(e)0 en dus

1 + z =S0

S1=

1

a(t1). (12-2.25)

4Lachieze-Rey en Luminet, gr/qc/9605010, Phys. Rept. 254,19955bedenk dat r = sinχ met χ van 0 tot π

157

Voor kleine roodverschuivingen geldt in goede benadering

a(t) ≈ 1 +H0(t− t0)−1

2q0H

20 (t− t0)

2 + . . . (12-2.26)

met H0 de hubbleconstante en q0 de z.g. vertragingsparameter

q0 = −a0H−20 , (12-2.27)

zodat

z ≈ H0(t0 − t1) +H20 (1 +

1

2q0)(t0 − t1)

2 + . . . (12-2.28)

De lineaire betrekkingz ≈ H0∆t (12-2.29)

wordt de hubblewet genoemd en wordt meestal geınterpreteerd als een dopplerverschuiving z ≈ v/cmet v de recessiesnelheid van de lichtbron. Vermits c∆t in goede benadering de ‘afstand’ is van debron, verklaart dit waarom H0 dikwijls gegeven wordt in eenheden van km s−1 Mpc−1.Iets preciezer wordt ∆t (de z.g. terugkijktijd) gegeven door de reeks 12-2.28 te inverteren:

t0 − t1 ≈ H−10 (z − (1 +

1

2q0)z

2 + . . . ). (12-2.30)

De coordinaatafstand r1 waar het lichtsignaal werd uitgezonden volgt dan uit

0 = −dt2 + S2(t)dr2

1− kr2, (12-2.31)

namelijk

r1 ≈ 1

H0S0(z − 1

2(1 + q0)z

2). (12-2.32)

De grootheid r1 is echter niet direct fysisch observeerbaar; evenmin geldt dit voor de eigenafstand dpgedefinieerd door

dp = S0

∫ r1

0

dr√1− kr2

=

Arcsinr1 k = +1r1 k = 0

Arcsinhr1 k = −1. (12-2.33)

Meer algemeen kunnen we ook dp(t) definieren als dp(t) = dpS(t)S0

: dit is dus de afstand tussen dewaarnemer op r = 0 en een object op r = r1, gemeten langs een ruimtelijke geodeet in het ruimtelijkhyperoppervlak van constante t.Daarom wordt in de astronomie gebruik gemaakt van andere ‘afstanden’, zoals dpar, dpm, da en dl,respectievelijk de parallax distance, proper motion distance, angular diameter distance en luminositydistance genoemd. Met b de afstand tussen twee (naburige) waarnemers in het zonnestelsel en θ degemeten parallactische hoek, v⊥ de snelheid van de bron (loodrecht op de zichtlijn en gemeten door eenwaarnemer in rust in r1), µ de in r0 gemeten eigenbeweging, D de (eigen) doormeter van de lichtbron, δde waargenomen schijnbare doormeter en met L en ℓ de absolute respectievelijk schijnbare lichtkrachtvan de bron, gelden de volgende definities (gebaseerd op de corresponderende eigenschappen in eeneuclidische ruimte):

dpar =b

θ,

dpm =v⊥µ,

da =D

δ,

dL =(L

4πℓ)1/2. (12-2.34)

158

Omdat een bron op (t1, r1) met schijnbare doormeter δ een boogje opspant met eigenlengte D = r1S1δ,geldt dan bv. da = r1S1. Analoog kan men aantonen dat de andere afstanden in een FLRW-modelgegeven worden door (zie bv. Weinberg)

dpar =S0r1

√

1− kr21,

dpm =S0r1,

da =S1r1,

dL =S0

S1S0r1. (12-2.35)

Er geldt dus da = (1 + z)−2dL en dpm = (1 + z)−1dL. De factor S0/S1 ∝ 1 + z resulteert in eenverkleining van de schijnbare lichtkracht met een factor (1 + z)−2: dit is een gevolg van een (1 + z)factor optredend in (1) het energieverlies van de individuele fotonen en (2) in de verhouding van detijdsintervallen waarbinnen elk foton wordt uitgezonden en ontvangen. In principe kan enkel dparrechtstreeks informatie verschaffen over q0 en H0: helaas is dit momenteel technisch onhaalbaar enwordt dpar samen met dpm enkel gebruikt om de ‘eerste treden’ van de kosmische ‘afstandsladder’ tecalibreren. De hieruit bekomen informatie wordt vervolgens gebruikt om afschattingen te bekomenvan de absolute lichtkracht L van verschillende klassen van objecten. Uit 12-2.32 en 12-2.34 bekomenwe de relatie

dL ≈ H−10 (z +

1

2(1− q0)z

2), (12-2.36)

waaruit ten slotte afschattingen van H0 en q0 bekomen worden. Verschillende soorten van waarnemin-gen (sterrenstelsels, radiobronnen en QSO’s) lijken momenteel te convergeren naar een waarde voor H0

van ongeveer 70±7 km s−1 Mpc−1, i.e. H−10 ≈ 14 109 jaar. Over q0 blijven de gegevens eerder beperkt:

nochtans lijkt er een consensus te ontstaan (vooral gebaseerd op de type Ia supernova waarnemingen)dat alleszins q0 < 0.

Kijken we terug naar 12-2.31, dan zien we dat de verleden lichtkegel van (t = t0, r = 0), evenals detoekomstige lichtkegel van (t = t1, r = 0), gegeven worden door de vergelijking r1 = r1(t1, t0) met

∫ r1

0

dr

(1− kr2)1/2=

∫ t1

t0

dt′

R(t′). (12-2.37)

Gebeurtenissen buiten deze twee nul-oppervlakken hebben “wij” (in r = 0) nooit waargenomen of,vice versa, zullen nooit een lichtsignaal uit r = 0 kunnen ontvangen. Als de integraal in het rechterlidconvergeert voor t0 → ∞, dan zijn er dus gebeurtenissen in het heelal die wij nooit zullen waarnemen,hoe lang we ook wachten: het oppervlak r1 = r1(t1,∞) wordt dan een kosmologische event horizongenoemd. Dit treedt niet op in de standaard FLRW modellen gedomineerd door straling en/of stof enmet niet-positieve kosmologische constante (zie verder), maar bv. wel in modellen met λ > 0, zoals inhet de sitter heelal. Anderzijds kan het rechterlid van 12-2.37 convergeren voor t1 → 0 (bij een big bang)(of naar −∞ bij een eeuwig expanderend model). In dat geval zijn er fundamentele waarnemers die wijsinds het ontstaan van het heelal nog nooit hebben waargenomen: het nul-oppervlak r1 = r1(0, t0) (detoekomstige lichtkegel van (t = 0, r = 0) wordt dan een deeltjeshorizon genoemd. Deze naam wordt ookgegeven aan het corresponderende getal r1, of ook (voor enige verwarring zorgend) aan de eigenafstand(op het tijdstip t) van 0 tot r1 en doorgaans genoteerd als dph(t): in een vlak big bang model geldt

dus dph(t) = S(t)∫ t

0dt′

R(t′) . Nog een begrip dat voor enige verwarring zorgt is de z.g. hubblestraal van

het heelal, gedefinieerd als de (eigen)afstand van objecten die zich met recessiesnelheid vrec = c vanons verwijderen: met vrec = S(t)r1 = H(t)dp(t) vinden we dat deze eigenafstand gegeven wordt doordhubble(t) = c/H(t). De hubblestraal is dus geen horizon! Deeltjeshorizons spelen een belangrijke rol inde standaard FLRW modellen, aangezien zij aanwezig zijn in stof– en stralingsgedomineerde modellen(zie verder) en liggen aan de basis van het z.g. horizonprobleem en het inflatie-idee.

159

12-3 Energie-impulstensor

In een orthonormale basis (e0, eα) met e0 = u, zijn de vectoren eα bepaald op rotaties in de rustruimtena. Bijgevolg zijn 8πT00 = G00 en 8πT11 = G11 (= G22 = G33) twee scalaire grootheden, die werespectievelijk de (fenomenologische) materiedichtheid ρ en druk p noemen. In een willekeurige basisgeldt dan

Tab = ρuaub + phab, (12-3.1)

waarbij ρ en p constant zijn in elke rustruimte, zodat

ρ = ρ(t) en p = p(t). (12-3.2)

De FLRW–metriek leidt dus tot de conclusie dat de materie-inhoud van het universum te beschrijvenis —althans op fenomenologische wijze— als een perfecte vloeistof. Deze vloeistof kan echter bestaanuit verschillende fysische componenten, die zich elk afzonderlijk niet noodzakelijk als perfecte vloeistofmoeten gedragen.Om de veldvergelijkingen op te lossen moet nog een relatie tussen p en ρ gegeven worden (de toestands-vergelijking). Een vaak voorkomende toestandsvergelijking voor een model met een enkele vloeistof-component is de z.g. ‘γ-wet’

p = (γ − 1)ρ, (12-3.3)

met γ een constante. Dit bevat o.a. het geval van ‘stof’ of drukvrije materie:

p = 0 (γ = 1) (12-3.4)

en het geval van ‘zuivere straling’:

p =ρ

3(γ =

4

3), (12-3.5)

waarbij ρ gegeven wordt de stralingswet van Stefan-Boltzmann, ρ = σT 4 met T de stralingstempera-tuur is.Substitutie van 12-3.1 in T ab

;b = 0 leidt nu tot de enige behoudswet

ρ+ (ρ+ p)3a

a= 0, (12-3.6)

i.e. ρ+ (ρ+ p)Θ = 0, wat met een toestandsvergelijking van de gedaante 12-3.4 resulteert in

ρ = ρ0a−3γ . (12-3.7)

Voor een stofmodel geeft dit i.h.b.

ρ(m) = ρ(m)0 a−3 (12-3.8)

en voor een zuiver stralingsmodel

ρ(r) = ρ(r)0 a−4, (12-3.9)

zodatT = T0a

−1. (12-3.10)

Voor een gemengd model met ρ = ρ(m) + ρ(r) en p = 13ρ

(r) leiden huidige schattingen tot

10−27kg m−3 < ρ(m) < 10−26 kg m−3, (12-3.11)

terwijl de temperatuur van de microgolfachtergrondstraling T0 ≈ 2.73oK en dus

ρ(r) ≈ 10−30kg m−3. (12-3.12)

160

Als laatste voorbeeld bekijken we het geval van een scalair veld Φ met massa m en potentiaal V (Φ),waarvoor

Tab = ΦaΦb −1

2gab(ΦeΦ

e + 2V (Φ) +m2Φ2). (12-3.13)

De behoudswetten resulteren dan in

Φ−m2Φ ≡ Φ;a;a +m2Φ =

∂V

∂Φ, (12-3.14)

wat precies de veldvergelijking voor Φ is.

oefening: Bewijs dat in een FLRW–model noodzakelijk geldt dat Φ = Φ(t).Identificatie van 12-3.13 met 12-3.1 levert dan onmiddellijk

2ρΦ = Φ2 +m2Φ2 + 2V (Φ), (12-3.15)

2pΦ = Φ2 −m2Φ2 − 2V (Φ), (12-3.16)

terwijl de behoudswet 12-3.14 zich laat herschrijven als

a−3(a3Φ) = m2Φ− ∂V

∂Φ. (12-3.17)

Voor m = V = 0 bekomen we hiermee de toestandsvergelijking van een stijve vloeistof : p = ρ.

12-4 Veldvergelijkingen

We bekijken nuGab + Λgab = 8πTab, (12-4.1)

metTab = ρuaub + phab. (12-4.2)

Noteer dat we desgewenst Λ in Tab kunnen absorberen door p en ρ te herdefinieren:

p′ =p− 1

8πΛ,

ρ′ =ρ+1

8πΛ.

(12-4.3)

Voor de componenten van de riccitensor t.o.v. een orthonormale basis (e0, eα) met e0 = u vinden we

R00 =− 3a

a, (12-4.4)

Rαα =a

a+ 2

a2

a2+ 2

k

a2(12-4.5)

en dus voor de ricciscalar

R = 6(a

a+a2

a2+

k

S20a

2). (12-4.6)

De veldvergelijkingen reduceren zich hiermee tot twee differentiaalvergelijkingen voor a:

3a2

a2+ 3

k

S20a

2= 8πρ+ Λ, (12-4.7)

− 2a

a− a2

a2− k

S20a

2= 8πp− Λ. (12-4.8)

161

De eerste vergelijking wordt de friedmannvergelijking genoemd. Eliminatie van de ruimtelijke krom-ming uit 12-4.7 en 12-4.8 levert anderzijds de raychaudhurivergelijking:

3a

a+ 4π(ρ+ 3p)− Λ = 0. (12-4.9)

Deze vergelijkingen zijn niet onafhankelijk: de som van 12-4.7 en 12-4.8 geeft

(3a2

a2+ 3

k

S20a

2) ˙= −24π(ρ+ p)

a

a, (12-4.10)

waaruit blijkt dat, als p en ρ aan elkaar gekoppeld zijn door de behoudswet 12-3.6, dan 12-4.7 eeneerste integraal is van 12-4.8.Merk op dat uit de raychaudhurivergelijking en uit de z.g. sterke energievoorwaarde (ρ+3p en ρ+p ≥ 0)volgt dat het heelal voor Λ ≤ 0 een singuliere oorsprong (a = 0) heeft (want a(t) < 0 voor alle t), deoerknal of big bang genoemd, terwijl de friedmannvergelijking impliceert dat voor open modellen metρ en Λ ≥ 0 de expansie onbeperkt verder gaat. Noteer ook dat, met a(t) < 0 voor alle t de leeftijd vanhet heelal zowiezo kleiner is dan H−1

0 = 1/a0, de z.g. hubble-leeftijd van het heelal.Om oplossingen van de veldvergelijkingen te bepalen, zoekt men gewoonlijk bij een gegeven toestands-vergelijking eerst een oplossing ρ = ρ(a), p = p(a) van de behoudswet, en lost hiermee de friedman-nvergelijking op (dit is niet altijd mogelijk: b.v. voor een scalair veld leveren 12-3.17 en de friedman-nvergelijking een gekoppeld stelsel eerste-orde differentiaalvergelijkingen in Φ en a). We illustrerendeze methode in de volgende paragraaf.

Oefening

Toon aan dat de FLRW-metriek kan herschreven worden als

ds2 = −(8πρ+ Λ

3− ke2τ )−1dτ2 + e−2τ (1 + kr2/4)−2(dx2 + dy2 + dz2), (12-4.11)

met τ = τ(t) en r2 = x2 + y2 + z2. Toon aan dat de druk gegeven wordt door

ρ+ p =1

3

dρ

dτ.

12-5 Oplossingen

Statisch einsteinheelal

Uit 12-4.7 en 12-4.8 volgt met a = 0 dat ρ en p constanten zijn waarvoor geldt dat

8π(ρ+ p) = 2k

S20a

2.

Uit de z.g. zwakke energievoorwaarde (ρ ≥ 0 en ρ + p ≥ 0) volgt dan noodzakelijk dat k = +1. Uit12-4.8 blijkt bovendien dat de druk p enkel ≥ 0 kan zijn, als we het bestaan onderstellen van eenpositieve kosmologische constante (het was precies om zulk model mogelijk te maken dat Einstein dekosmologische constante aan de oorspronkelijke veldvergelijkingen had toegevoegd).

12-5.1 Niet-statische modellen

Het is nuttig om de vergelijkingen verder te vereenvoudigen door de introductie van de z.g. kritischedichtheid

ρcrit =3H2

8π. (12-5.1)

162

Dit is (zie 12-4.7) de totale energiedichtheid (gewone materie + Λ term) van een k = 0 heelal. Voorelke mogelijke bijdrage tot de energiedichtheid, ρ(i) = ρ(m), ρ(r), ... , Λ/8π, kunnen we vervolgens eendimensieloze parameter Ω(i) definieren door

Ω(i) =ρ(i)

ρcrit. (12-5.2)

Noteren we de totale energiedichtheidparameter als Ω =∑

Ω(i) dan volgt uit de friedmannvergelijking12-4.7 onmiddellijk een verband tussen de geometrie en de huidige totale energiedichtheid:

k

H20S

20

= Ω0 − 1, (12-5.3)

waarbij H0 de huidige waarde van de hubbleparameter voorstelt: H0 = (a/a)0.Uit het gedrag van de individuele energiedichtheden (12-3.7) volgt voor de dichtheidsparameters

Ω(i) =Ω

(i)0 H2

0

H2a−3γi (12-5.4)

en dusΩ(i)

Ω(j)∼ a−3(γi−γj). (12-5.5)

Men definieert soms ook een effectieve krommingsenergiedichtheid ρ(k) = −3k/(8πS20a

2), waarmee defriedmannvergelijking zich laat herschrijven als

H2 =8π

3

∑

i,k

ρ(i) = H20

∑

i,k

Ω(i)0 a−3γi , (12-5.6)

waarbij de som nu loopt over alle bijdragen, inclusief de Λ-term en de kromming, met

Ω(k)0 = − k

S20H

20

. (12-5.7)

Deze schrijfwijze heeft als voordeel dat ze duidelijk maakt op welke manier de verschillende compo-nenten van het model bijdragen tot de expansie:

3 γi

stof 3straling 4Λ 0kromming 2

Dit toont b.v. dat de bijdrage van de fotonen, voornamelijk via de kosmische achtergrondstraling,in de uitdrukking 12-5.6 momenteel weliswaar verwaarloosbaar is, aangezien 12-3.12 impliceert datΩ(r) ≈ 5 10−5, maar dat de fotonen in de vroegste fasen van het heelal de dynamica duidelijk zullendomineren.Een andere parameter die in principe observeerbaar is, is de vertragingsparameter

q0 = −H−20 (

a

a)0. (12-5.8)

Uit de raychaudhurivergelijking volgt dan voor een mengsel van stof, straling en Λ-term dat

q0 =1

2(Ω

(m)0 + 2Ω

(r)0 )− Ω

(Λ)0 . (12-5.9)

163

Een positieve kosmologische constante zorgt dus voor een versnelling van de expansie. De combinatie

van verschillende soorten waarnemingen leidt momenteel tot een schatting van Ω(Λ)0 ≈ 0.7 en van

Ω(m)0 ≈ 0.3. Bovendien blijkt slechts een fractie (1/3 ?) van Ω

(m)0 te bestaan uit gekende materievor-

men.Samen met de friedmannvergelijking 12-5.6, evenals 12-3.11 en 12-3.12, namelijk 0.04 < Ω(m) < 1 enΩ(r) ≈ 5 10−5, toont dit hoe we —in principe althans— uit waarnemingen van q0 en H0 de waardenkunnen bepalen van Λ en van de ruimtelijke kromming k/S2

0 .

Modellen met Λ = 0

12-5.6 toont onmiddellijk dat de gesloten modellen expanderen tot een maximale straal bereikt wordten vervolgens terug samentrekken, terwijl de open modellen onbeperkt expanderen.Voor een mengsel van stof en straling wordt 12-5.6 gegeven door

a2 = H20

(

Ω(m)0

a+

Ω(r)0

a2− k

S20H

20

)

(12-5.10)

en zijn de oplossingen het eenvoudigst te bekomen door de introductie van een z.g. conforme tijd

τ =∫dt/S. We vinden dan met α = 1

2S20H

20Ω

(m0 en β = (S2

0H20Ω

(r)0 )1/2:

i) voor k = +1

a =α(1 − cos τ) + β sin τ,

t =S0[α(τ − sin τ) + β(1 − cos τ)],(12-5.11)

ii) voor k = 0

a =α

2τ2 + βτ,

t =S0[α

6τ3 +

β

2τ2],

(12-5.12)

iii) voor k = −1:

a =α(coshτ − 1) + βsinhτ,

t =S0[α(sinhτ − τ) + β(coshτ − 1)].(12-5.13)

Belangrijke bijzondere gevallen zijn (waarbij we telkens een integratieconstante elimineren d.m.v. eentijdstranslatie)

a) ρ(r) = 0, k = 0, q0 = 12 :

a ∝ t2/3. (12-5.14)

Dit is het z.g. einstein-desittermodel, dat een goede benadering is voor de ‘late’ evolutie van het heelal,wanneer de effecten van de straling verwaarloosbaar klein zijn. De leeftijd van dit model bedraagtt0 = 2

3H−10 .

b) ρ(m) = 0, k = 0, q0 = 1:a ∝ t1/2. (12-5.15)

164

k = –1

k = 0

k = +1

0

1

2

3

4

5

a

1 2 3 4 5 6t

Figure 12.5: evolutie van de Λ = 0 modellen met stof en straling

Dit model geeft een goede benadering voor de ‘vroege’ evolutie van het heelal, wanneer de materie-inhoud gedomineerd wordt door relativistische deeltjes en straling. De leeftijd bedraagt t0 = 1

2H−10 .

c) ρ(m) = ρ(r) = 0, k = −1, q0 = 0:a ∝ t. (12-5.16)

Dit laatste is het z.g. milnemodel, met leeftijd t0 = H−10 : dit is niets anders dan de minkowskiruimte in

bijzondere coordinaten! Dit heelal beschrijft het asymptotisch gedrag van alle open modellen waarinde materiedichtheid sneller afneemt dan S−2 (zoals het geval is in de hoger vermelde stof-stralingmengsels).

Oefening

Toon aan dat in een k = 1,Λ = 0 model met zuiver stof (p = 0) een lichtsignaal uitgezonden op t = 0precies een keer omheen het heelal kan reizen. Toon ook aan dat in het geval van zuivere straling(p = ρ/3) het lichtsignaal slechts tot in de helft raakt.

Modellen met Λ 6= 0

Exacte oplossingen kunnen nu enkel gegeven worden voor een aantal bijzondere toestandsvergelij-kingen. Zo kunnen b.v. alle modellen met ρ(r) = 0 opgelost worden met elliptische functies. Overhet algemeen leren we echter met deze analytische uitdrukkingen weinig of niets bij. Een kwalitatievediscussie aan de hand van het a = a(a) gedrag is doorgaans instructiever. We onderscheiden volgendegevallen:

i) Λ < 0. Een negatieve kosmologische constante kan via de friedmannvergelijking geınterpreteerdworden als een extra aantrekkende kracht (zie ook 12-4.3) die de expansie van het heelal tegen-werkt. De Λ–term zal uiteindelijk in de friedmannvergelijking domineren en zorgen voor eensamentrekking van het heelal.

165

ii) Λ > 0. Een positieve kosmologische constante impliceert een extra repulsieve kracht die deexpansie van het model versterkt. Het uiteindelijke resultaat hangt echter af van de ruimtelijkekromming:

a) Voor k ≤ 0 wordt a nooit 0 en gaat de expansie onbeperkt verder. Al deze modellen hebbenbovendien, voor ‘normale’ materie, een singulariteit in het verleden. Een belangrijke uitzon-

dering is het desitterheelal met a ∝ exp(√

Λ3 t) en ρ

(m) = ρ(r) = 0, dat model stond voor het

z.g. steady state universe van Bondi, Gold en Hoyle.

b) Voor k = +1 bestaat een rijk gevarieerde verzameling van oplossingen:1) het statisch einsteinheelal (a = ac) is een van deze mogelijkheden, met ac een constante,afhankelijk van de gekozen toestandsvergelijking en van Λ.

2) Voor a < ac (> ac) is a < 0 (> 0). Er bestaan bijgevolg modellen die in het verleden‘asymptotisch’ vertrekken zoals het einsteinheelal, om vervolgens onbeperkt te expanderenofwel samen te trekken tot een singulariteit.

Een andere mogelijkheid wordt geboden door modellen die, vertrekkend van a = ∞ in hetverleden:

• samentrekken tot een singulariteit in de toekomst,

• asymptotisch samentrekken tot a = ac,

• samentrekken tot am > ac om vervolgens onbeperkt te expanderen.

Ten slotte zijn er de modellen die, vertrekkend van een singulariteit in het verleden:

• opnieuw samentrekken tot een singulariteit in de toekomst,

• asymptotisch tot a = ac expanderen,

• onbeperkt expanderen.

In dit laatste geval wordt de expansiesnelheid vertraagd nabij a = ac en ontstaat de mogelijk-heid om het heelal gedurende lange tijd te laten ‘sudderen’ nabij ac. Dit zijn de z.g. eddington-lemaıtremodellen.

166

Hoofdstuk 13

Enkele bijzondere oplossingen

13-1 Inleiding

Vermits de einsteinvergelijkingen partiele differentiaalvergelijkingen zijn, ligt het voor de hand om, voorde constructie van exacte oplossingen, eerst te kijken naar situaties waarin het aantal veranderlijkenzo klein mogelijk is (in sommige gevallen zullen we de vergelijkingen dan zelfs kunnen reduceren totgewone differentiaalvergelijkingen, zoals in het vorige hoofdstuk). Daartoe maken we gebruik vanopgelegde symmetrie-eisen.Een van de eigenschappen die we kunnen opleggen is dat de oplossingen stationair zijn. Intuıtief houdtdit in dat coordinaten (t, xα) kunnen gekozen worden, zo dat de componenten van de metriek enkelfuncties zijn van de xα. Gebruik makend van wat we in hoofdstuk 1.12 gezien hebben, herformulerenwe dit op coordinaatonafhankelijke wijze als volgt:

Een ruimtetijd (M, g) is stationair als en slechts als een tijdachtig killingvectorveld ξ bestaat,met de eigenschap dat LξΨ = 0 voor alle materievelden Ψ gedefinieerd op M.

Met ξ = ∂∂t geldt dan inderdaad dat

∂gij∂t = 0 ∀ i, j. Noteer de extra eis dat de materievelden de

symmetrie overerven: als∂gij∂t = 0 dan volgt uit de veldvergelijkingen weliswaar dat

∂Tij

∂t = 0, maar

dit impliceert geenszins dat de materievelden, waaruit T is opgebouwd, voldoen aan ∂Ψ∂t = 0 (tegen-

voorbeelden zijn gekend o.a. voor een maxwellveld).

Analoog wordt een ruimtetijd axisymmetrisch genoemd als er een killingvectorveldK bestaat waarvande banen 2π-periodische gesloten krommen zijn, waarvoor de verzameling p ∈ M; Kp = 0 (deomwentelingsas) niet leeg is en waarvoor de materievelden de symmetrie overerven.Is (M, g) stationair, dan geldt in lokale coordinaten dat gij = gij(x

α). In het algemeen zullen inhet lijnelement dus nog kruistermen dt dxα optreden. De aanwezigheid van deze termen impliceert(1) dat g niet noodzakelijk invariant is onder de reflectie t → −t (wat gewoonlijk duidt op de aan-wezigheid van rotaties) en (2) dat waarnemers verbonden aan de integraalkrommen van ξ = ∂

∂t nietnoodzakelijk eensgezinde uitspraken kunnen maken over de gelijktijdigheid van gebeurtenissen. Voordit laatste moeten eerst de lokale rustruimtes (de orthogonale complementen in Tp(M) van ∂

∂t ) vandeze waarnemers glad aan elkaar gesloten worden. Volgens de discussie in 1-11.3 vereist dit dat ξhyperoppervlakorthogonaal is. Dit brengt ons tot de volgende definitie:

Een ruimtetijd (M, g) is statisch als en slechts als een tijdachtig hyperoppervlakorthogonaalkillingvectorveld bestaat, met de eigenschap dat LξΨ = 0 voor alle op M gedefinieerde ma-terievelden Ψ.

Is (M, g) statisch, dan bestaan lokale coordinaten zodat

ds2 = −e2U(xν)dt2 + hαβ(xν)dxαdxβ (13-1.1)

167

met −e2U = ξ2. De metriek is dan duidelijk invariant onder de reflectie t → −t. Bovendien kan menaantonen (c.f. Weinberg) dat de metriek ds(3)

2 = hαβ(xν)dxαdxβ kan gediagonaliseerd worden, zodat

voor een statische ruimtetijd steeds geldt dat

ds2 = −e2U(xν)dt2 +

3∑

α=1

fα(xν)dxα2 (13-1.2)

Zelfs met deze vereenvoudigingen blijven de einsteinvergelijkingen nog altijd een uiterst gecompliceerdstelsel: van de vacuum vergelijkingen (Rij = 0) zijn alle zogenaamd algebraisch ontaarde1 statischeoplossingen gekend, maar slechts een handvol van de niet-ontaarde oplossingen is tot dusver gevonden!

13-2 Sferische symmetrie

De veldvergelijkingen kunnen nog sterker vereenvoudigd worden door, i.p.v. het bestaan op te leggenvan een killingvectorveld (dus het bestaan van een een-dimensionale symmetrie-groep), het bestaante eisen van een r-dimensionale symmetrie-groep met r > 1. Een van de fysisch meest relevantegevallen is dat van sferische symmetrie, waarbij we eisen dat een ruimtetijd een met SO(3) isomorfe3–dimensionale groep van isometrieen bezit, zo dat

a) de generatoren van deze groep ruimte-achtige vectoren zijn en

b) de banen Op van de groep diffeomorf zijn met de 2–sfeer (de baan van een symmetrie-groep Gin een punt p van M is de verzameling van alle punten p′ die bekomen worden door willekeurigeelementen van G op p te laten werken).

Net zoals in vorige paragraaf eisen we bovendien dat alle materievelden de symmetrie van de groepovererven.Als we de voorwaarde (b) verzwakken en enkel opleggen dat de banen 2–dimensionaal zijn, dan zijn(zie p.115) de banen maximaal symmetrisch en hebben dus een geınduceerde metriek hebben van devorm 9-3.6,

ds2(2) = Y 2(dx2 +Σ2dy2) met Σ = sinx, x, of sinhx. (13-2.1)

Naargelang de vorm van Σ spreken we dan respectievelijk van een sferisch symmetrische, planairsymmetrische of pseudo-sferisch symmetrische varieteit.Vervolgens kan men aantonen2 dat bovenstaande voorwaarden leiden tot het bestaan van een coordinaatstelselwaarin de metriek te schrijven is als

ds2 = f(u, v)du2 + g(u, v)dv2 + h(u, v)dudv + Y 2(u, v)(dx2 +Σ2dy2). (13-2.2)

Beperken we ons verder tot het sferisch symmetrische geval en diagonaliseren we de metriek van de(u, v)-ruimte, dan bekomen we uiteindelijk

ds2 = −e2νdt2 + e2λdr2 + Y 2(dθ2 + sin2 θdφ2), (13-2.3)

met ν, λ en Y functies van r en t. De killingvectoren worden dan gegeven door

ξ1 =cosφ∂

∂θ− sinφ cot θ

∂

∂φ,

ξ2 =∂

∂φ,

ξ3 =sinφ∂

∂θ+ cosφ cot θ

∂

∂φ.

(13-2.4)

1Levi-Civita, 19202B.G. Schmidt, Isometry Groups with Surface-Orthogonal Trajectories, Z. Naturforschg. 22a 1351 (1967)

168

Voeren we een orthogonale basis in met ω1 = Y dθ, ω2 = Y sin θdφ, ω3 = eλdr en ω4 = eνdt en noterenwe met ˙ en ′ respectievelijk de partiele afgeleiden naar t en r, dan kan geverifieerd worden dat deconnectievormen gegeven worden door

ΓN3 =e−λY

′

YωN (N = 1, 2),

ΓN4 =e−ν Y

YωN (N = 1, 2),

Γ43 =e−λν′ω4 + e−ν λω3,

Γ21 =

1

Ycot θω2.

(13-2.5)

Hiermee vinden we voor de componenten van de einsteintensor

G11 =G22 = e−2λ(ν′′ + ν′2 − ν′λ′ +

Y ′′

Y+Y ′

Yν′ − Y ′

Yλ′)

− e−2ν(λ+ λ2 − λν +Y

Y+Y

Yλ− Y

Yν), (13-2.6)

G33 =− 1

Y 2− 2

Ye−2ν(Y − Y ν +

Y 2

2Y) +

2

Ye−2λ(Y ′ν′ +

Y ′2

2Y), (13-2.7)

G44 =1

Y 2− 2

Ye−2λ(Y ′′ − Y ′λ′ +

Y ′2

2Y) +

2

Ye−2ν(Y λ+

Y 2

2Y), (13-2.8)

G34 =− 2

Ye−ν−λ(Y ′ − Y ν′ − Y ′λ). (13-2.9)

Vermits Y −2 de kromming is van de maximaal symmetrische 2–ruimte, is Y een invariant en bestaat ereen fysisch onderscheid tussen gebieden waar (∇Y )2 ≡ gijY,iY,j = e−2λY ′2 − e−2ν Y 2 > 0 (R–gebied),< 0 (T–gebied), of = 0.Merk ook op dat de vorm 13-2.3 niet uniek is: coordinaattransformaties die het diagonale karaktervan de metriek van de (r, t) ruimte behouden zijn nog steeds toegelaten: zo kunnen in de R–gebiedencoordinaten gekozen worden zodat Y = r. Bekijken we hiermee het bijzonder geval van vacuumoplossingen, dan blijkt onmiddellijk uit 13-2.9 dat λ = 0, zodat 13-2.7 impliceert dat ν′ = 0. Bijgevolgis eν separabel in r en t en kan dus, mits een herdefinieren van de t coordinaat, eν onafhankelijkvan t gekozen worden. In de T–gebieden komen we, mits omwisselen van r en t, tot precies dezelfdeconclusie. Anderzijds kan men aantonen dat er geen open delen van (M, g) bestaan waarin (∇Y )2 = 0en Gab = 0. Dit is het makkelijkst te verifieren door 13-2.3 te herschrijven als ds2 = 2H(u, v)dudv +Y 2(u, v)(dθ2 + sin2 θdφ2): de voorwaarde (∇Y )2 = 0 vereenvoudigt zich dan tot Y = f(u) of g(v).Samenvattend bekomen we het volgende belangrijke jebsen-birkhofftheorema, doorgaans enkel genoemdnaar G.D. Birkhoff 1923, maar reeds twee jaar eerder gepubliceerd door Jorg Tofte Jebsen:

Elke sferisch symmetrische vacuumoplossing van de einsteinvergelijkingen bevat een 4–dimen-sionale isometriegroep. De extra killingvector is tijdachtig in het R–gebied en ruimteachtig inhet T–gebied.

De oorspronkelijke formulering dat sferisch symmetrische vacuum oplossingen statisch zouden zijngeldt dus enkel voor het R–gebied! De stelling kan veralgemeend worden (a) tot planaire en pseudo-sferisch symmetrische oplossingen en (b) tot oplossingen voor energie-impulstensoren van het ‘Λ type’(Tab = Λgab) of van maxwellvelden. Voor deze laatste moet dan wel de extra voorwaarde (∇Y )2 6= 0toegevoegd worden.

13-3 Schwarzschildoplossing

We maken nu gebruik van de jebsen-birkhoffstelling om een unieke familie vacuumoplossingen van13-2.6 tot 13-2.9 te bekomen. Om de gedachten te vestigen kijken we eerst naar het R–gebied (Y = r):

169

Figure 13.1: cover van Arkiv for Matematik, Astronomi och Fysik 1921

optellen van G33 en G44 toont dat λ′+ν′ = 0 zodat, mits herdefinieren van de tijdcoordinaat, λ = −ν.Hiermee geeft 13-2.7 (re2ν)′ = 1, wat we (met m een constante) integreren tot e2ν = 1 − 2m

r . Webekomen dan de schwarzschildmetriek3

ds2 = −(1− 2m

r)dt2 + (1− 2m

r)−1dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2) (13-3.1)

met killingvectoren gegeven door 13-2.4 en ξ4 = ∂∂t en r > 2m.

N.B.: Schwarzschild gebruikte bij het oplossen van de veldvergelijkingen een radiale coordinaat ρgekoppeld aan r door

r3 = 3ρ+ (2m)3 (13-3.2)

3 Karl Schwarzschild was een bekende duitse sterrenkundige, directeur van het Astrofysisch Observatorium in Potsdamen lid van de Pruissische Academie der Wetenschappen. Bij het uitbreken van de eerste wereldoorlog meldde hij zich,ondanks zijn leeftijd (40 jaar) als vrijwilligger en deed dienst in Frankrijk en Rusland. Aan het oostfront belandde hijin het hospitaal met en vreemde huidziekte (pemphigus) en vulde zijn tijd met het zoeken naar exacte oplossingen vande net in november 1915 gepubliceerde theorie van Einstein. Hij ontdekte zowel de hier beschreven vacuumoplossing,alsook de eveneens naar hem genoemde inwendige oplossing voor een ster met uniforme dichtheid. Beide oplossingenwerden ingediend ter publikatie in december 1915 en verschenen, net voor het overlijden van Schwarzschild, in mei 1916.

170

en interpreteerde ρ = 0 als de positie van de centrale graviterende massa. Deze interpretatie wasin de hand gewerkt door Einstein’s vasthouden4 aan de z.g. unimodulaire gravitatiemodellen waarindetg = −1 (ga zelf na wat detg is in Schwarzschild’s coordinaten x4 = t, x1 = ρ, x2 = cosθ, x1 = φ).Een analoge redenering in het T–gebied levert dezelfde vorm 13-3.1 op, maar met omwisseling van ren t (en t < 2m). Vermits de naamgeving van coordinaten volstrekt irrelevant is, stelt 13-3.1 de uniekeoplossing voor van de vacuum einsteinvergelijkingen met sferische symmetrie (op diffeomorfismen na).Verliezen we hierbij echter niet uit het oog dat een ruimtetijd gedefinieerd werd als een varieteitvoorzien van een niet-ontaarde en gladde metriek: vermits de coefficient grr singulier is voor r = 2m,geldt dat 13-3.1 —ondanks de unieke schrijfwijze voor de twee gebieden— de metriek bepaalt van tweeverschillende varieteiten: (M(1),g) met r > 2m en (M(2),g) met r < 2m. De extra killingvector

is in beide gevallen ξ = ∂∂t , met ξ tijdachtig in (M(1),g) en ruimte-achtig in (M(2),g). Deze twee

ruimtetijden corresponderen dus precies met de hiervoor reeds vermelde R– en T–gebieden, vermits(∇Y )2 = gijr,ir,j = grr = 1− 2m

r . De naam gebieden is enigszins misleidend, omdat dit suggereert dat(M(1),g) en (M(2),g) deelvarieteiten zouden zijn (de ene ‘binnen’ de andere) van een zelfde varieteit(M,g). Deze indruk wordt nog versterkt door het feit dat we dezelfde symbolen (r, t,...) gebruikenvoor de coordinaatfuncties in beide varieteiten, met r > 2m in de ene en r < 2m in de andere.

Oefening

Toon aan dat, wanneer een kosmologische constante in acht genomen wordt, de corresponderendeoplossing van de veldvergelijkingen (de z.g. Kottler metriek) bekomen wordt door in de Schwarzschildmetriek de factoren 1− 2m

r te vervangen door 1− 2mr − Λ

3 r2.

Een opmerkelijke eigenschap is dat het R–gebied asymptotisch vlak is, d.w.z. voor r → ∞ benaderende componenten van g deze van de minkowskimetriek, uitgedrukt in sferische coordinaten. Dit laatons toe het R–gebied te beschouwen als het uitwendig gravitatieveld van een geısoleerd lichaam: deintegratieconstante m kan dan geınterpreteerd worden door het gedrag van testdeeltjes te vergelijkenmet hun gedrag in newtoniaanse gravitatie. Een studie van de geodeten van de schwarzschildmetriek(zie hoofdstuk 10) toont aan dat, voor r voldoende groot, het gedrag van een testdeeltje correspondeertmet dat van een testdeeltje in een newtoniaanse potentiaal Φ = −m

r (gebruik makend van eenhedenwaarinG = 1 en c = 1; met de gebruikelijke eenheden zouden we in 13-3.1 1−2m/rmoeten substituerendoor 1− 2Gm/c2r). We identificeren daarom voortaan m met de massa van het centrale, graviterendelichaam en definieren de schwarzschildstraal als rS = 2Gm

c2 , of, in eenheden van zonsmassa’s, rS ≈3( m

m⊙)km. Voor ‘gewone’ objecten, zoals de aarde, de zon, ... is rS dus veel kleiner dan hun straal R.

Voor de studie van het uitwendig gravitationeel veld komt bijgevolg enkel het R–gebied in aanmerkingen, meer in het bijzonder, dan nog enkel het r > R deel van dit gebied. Op het eerste zicht lijkt hetdus vanuit fysisch standpunt weinig zinvol om de eigenschappen van het R gebied te onderzoeken nabijr = rS . Aan de andere kant is een blik op 13-3.1 voldoende om in te zien dat dit precies de plek is waarwat boeiends te beleven valt . . . . Een handig hulpmiddel, dat we hierbij vaak zullen gebruiken, is eenruimtetijd-diagram, waarbij een of meer dimensies worden weggelaten. We zijn i.h.b. geınteresseerd inhet gedrag van nulgeodeten (lichtsignalen), omdat deze ons immers ook een kwalitatief inzicht geven inhet gedrag van tijdachtige geodeten, die op hun beurt corresponderen met de banen van testdeeltjes.We beginnen met het eenvoudigste geval te bekijken, nl. de radiale nulgeodeten, waarvoor we θ = π

2en φ = 0 kunnen stellen. Uit ds2 = 0 volgt onmiddellijk

dt

dr= ± r

r − 2m(13-3.3)

en dust = ±(r + 2m log |r − 2m|) + constante (13-3.4)

De familie met, in het R–gebied, dtdr > 0 noemen we de uitgaande familie van radiale nulgeodeten

en die met dtdr < 0 de inkomende familie. In een ruimtetijd-diagram waarin twee dimensies (θ en φ)

4Sitzber. Deut. Akad. Wiss 18.11.1915

171

zijn weggelaten (en waarin elk punt dus een 2–sfeer met oppervlakte 4πr2 voorstelt), worden de tweefamilies als volgt voorgesteld:

Figure 13.2: R–gebied in standaardcoordinaten

In het T–gebied bekomen we met dezelfde conventies de figuur 13.3:

t

0

r = 2m

r

Figure 13.3: T–gebied in standaardcoordinaten

Een vraag die bij deze figuren onmiddellijk rijst, is of het singuliere gedrag van grr (in 13-3.1) wijstop een of andere fysische ‘barriere’, die ons belet van de ene varieteit (R–gebied) naar de andere(T–gebied) te raken, dan wel op de aanwezigheid van een z.g. coordinaatsingulariteit.Met het begrip coordinaatsingulariteit zijn we reeds vertrouwd n.a.v. de introductie van poolcoor-dinaten in het euclidische vlak: we definieren dan op M = R2\(0, 0) een niet-ontaarde metriekg = dr⊗dr+ r2dθ⊗ dθ en bekijken een radiale geodeet γ(λ) ≡ (r = r0 +λ, θ = constant), met λ eenaffiene parameter. Het domein I van γ is dus I =]− r0, ∞[: bewegen we ons naar de oorsprong toe,dan bevinden we ons, na een eindige afstand r0 te hebben afgelegd, niet meer in de varieteit M! Wezeggen dat de geodeet γ —ondanks zijn eindige lengte— geen beginpunt heeft en dus niet volledig is

172

(een punt p ∈ M wordt een beginpunt (eindpunt) van een kromme γ : I → M genoemd, als voor alleomgevingen V van p een t0 ∈ I bestaat zodat voor alle t < t0 (t > t0) γ(t) ∈ V ).De oorzaak van deze pathologische toestand is gekend: de oorsprong was immers artificieel uit hetvlak verwijderd om de metriek in poolcoordinaten te kunnen definieren! Gaan we over op standaardcartesische coordinaten, dan stellen we vast dat (M, g) een deelvarieteit is van de euclidische ruimte(R2, η) die geodetisch volledig is5. We zeggen daarom dat, bij het gebruik van poolcoordinaten, deoorsprong een coordinaatsingulariteit is, of ook wel een verwijderbare singulariteit.

Bekijken we als tweede voorbeeld een lorentzvarieteit (M, g1), met 0 < t <∞, −∞ < x <∞ en

g1 = − 1

t4dt⊗ dt+ dx⊗ dx (13-3.5)

Beschouw in (M, g1) de beweging van een testdeeltje, voorgesteld door een tijdachtige geodeet γ(λ) ≡((t0 − λ)−1, x0) met λ een affiene parameter. Het domein van γ is ]−∞, t0[, wat opnieuw betekentdat na een eindige tijd λ = t0 het testdeeltje niet meer tot M behoort! We noemen (M, g1) dan(toekomstig) geodetisch onvolledig. We zien echter onmiddellijk dat, onder de coordinaattransformatiet → t′ = 1/t, (M, g1) isometrisch equivalent is met (M, g2), waarbij g2 = −dt′ ⊗ dt′ + dx ⊗ dx(met 0 < t′ < ∞ en −∞ < x < ∞). In de nieuwe coordinaten (t′, x) wordt γ gegeven doorγ(λ) = (t0 − λ, x0) en is nog steeds onvolledig vermits (0, x0) 6∈ M. Nu is echter de onvolledigheidvan (M, g2) duidelijk te verklaren omdat we (M, g2) herkennen als slechts de helft (t′ > 0) van de2–d minkowskiruimte (R2, η): in (R2, η) houdt niets ons tegen om de affiene parameter voort te zettenin het interval ]−∞, 0]. Daarom zeggen we opnieuw dat we de oorspronkelijke coordinaatsingulariteitvan (M, g1) verwijderd hebben door (M, g1) uit te breiden naar (R2, η): In het algemeen is het erg

( g )1 1

X0

t0

X

t

( g )1 2

X0X

t’

t’0

C ( R ,n)2

m m

Figure 13.4: extensies

moeilijk coordinaatsingulariteiten in een varieteit te herkennen, behalve door de hierboven beschrevenconstructie van uitbreiding van de oorspronkelijke varieteit. Hiervoor bestaan echter geen kant en klarerecepten. Een vaak gebruikte methode bestaat erin langs een goed gekozen familie geodeten naar dekandidaat-singulariteit toe te bewegen en de affiene parameter langs de geodeten te gebruiken als eender coordinaten aan de ‘andere’ zijde van de singulariteit.Een aanwijzing dat deze werkwijze enige kans op slagen zal hebben, is de afwezigheid van singulariteiten(in de gewone betekenis van divergerende uitdrukkingen) in de invarianten van (M, g). Stel b.v. dateen scalaire uitdrukking S (zoals R of RabcdR

abcd) singulier wordt in een punt p met xi(p) = xi0, in dezin dat6 limxi→xi

0S = ∞. De aanwezigheid van zulke krommingssingulariteiten verhindert duidelijk de

constructie van een uitbreiding van (M, g) (tenminste binnen de klasse van de C2-metrieken), waarin

5De Hopf-Rinow-de Rham stelling —zie b.v. Kobayashi en Nomizu of Spivak, hoofdstuk 9— zegt dat voor positiefdefiniete metrieken geodetische volledigheid equivalent is met cauchyvolledigheid. Het wegvallen van deze eigenschapvoor lorentzmetrieken is de oorzaak van grote moeilijkheden bij de definitie van singulariteiten in de relativiteitstheorie.

6p kan dan strikt gezien niet tot M behoren, zodat de terminologie ‘S is singulier in p’ eigenlijk foutief is.

173

de singulariteit niet langer voorkomt. Daarentegen biedt de afwezigheid van krommingssingulariteitengeenszins een garantie voor de afwezigheid van pathologisch gedrag7.

13-4 Eddington-finkelsteinmetriek

Passen we nu de ideeen uit de vorige paragraaf toe op de schwarzschildoplossing 13-3.1: berekeningvan de invariant

RabcdRabcd = 48m2r−6 (13-4.1)

(1) toont aan dat in het T–gebied r = 0 een niet te verwijderen krommingssingulariteit is (en dusessentieel verschilt van de standaard coordinaatsingulariteit die optreedt bij het gebruik vansferische coordinaten)

(2) suggereert dat r = 2m een coordinaatsingulariteit kan zijn.

Ook een studie van de radiale tijdachtige geodeten wijst in deze richting8: we vinden dan met ˙ = ddτ

de afgeleide naar de affiene parameter en met l een integratieconstante

t = (1− 2m

r)−1l (13-4.2)

en

(1− 2m

r)t2 − (1− 2m

r)−1r2 = 1. (13-4.3)

Hierbij volgt 13-4.2 uit de behoudswet ξ.u = constant met ξ = ∂∂t en u = ∂

∂τ = ∂t∂τ .

∂∂t +

∂r∂τ .

∂∂r , terwijl

13-4.3 uitdrukt dat u2 = −1.

Het eenvoudigste geval (l = 1) levert r2 = 2mr en laat zich onmiddellijk integreren tot

2

3√2m

(r3/20 − r3/2) = τ, (13-4.4)

waaruit blijkt dat r = 2m in een eindige eigentijd door vallende testdeeltjes bereikt wordt.

Om duidelijkheid te verkrijgen over de mogelijke uitbreidbaarheid van het R–gebied, bekijken we deinkomende nulgeodeten: uit 13-4.2 en 13-4.3 (met in het rechterlid 0 i.p.v. 1) volgt dat de affieneparameter λ dan voldoet aan dr

dλ = constante en dus, op een translatie na, evenredig is met r. Uit13-3.4 weten we echter dat t+2m log(r−2m)+constante = −r, zodat λ evenredig is met t+2m log(r−2m) + constante. In navolging van de hiervoor uiteengezette methode om varieteiten uit te breiden,construeren we dan een nieuwe tijdachtige coordinaat

t = t+ 2m log(r − 2m). (13-4.5)

Het R–gebied van de schwarzschildoplossing wordt hierdoor isometrisch afgebeeld op het gebied r > 2mvan een varieteit met metriek

ds2 = −(1− 2m

r)dt

2+

4m

rdtdr + (1 +

2m

r)dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2), (13-4.6)

of, met een nulcoordinaat v gedefinieerd door v = t+ r,

ds2 = −(1− 2m

r)dv2 + 2drdv + r2(dθ2 + sin2 θdφ2), (13-4.7)

7Hiermee hebben we nog steeds niet gezegd wat een singulariteit is, of wat een singulariteit-vrije varieteit is. Eenprecieze definitie van deze concepten is uiterst moeilijk — tenminste toch voor lorentzvarieteiten — en valt buitenhet kader van deze cursus. Eenvan de eerste rigoureuze pogingen werd gemaakt in G. Szekeres’ 1960 artikel over deanalytische uitbrieding van de schwarzschildmetriek.

8zie hoofdstuk 5 voor een meer gedetailleerde bespreking van de geodeten in de schwarzschildgeometrie

174

wat de z.g. Kerr-Schild gedaante van de schwarzschildmetriek oplevert,

ds2 = ds2Minkowski +2m

r(dt+ dr)2.

De bovenstaande uitbreiding 13-4.6 van het oorspronkelijke R–gebied is de z.g. eddington-finkelsteingedaantevan de schwarzschildoplossing, waarin de familie van inkomende geodeten eenvoudig wordt voorgestelddoor v = constant.

NB: reeds in 1921 werd door Paul Painleve (en onafhankelijk hiervan in 1923 door Allvar Gullstrand,een Zweedse ophthalmoloog) een andere oplossing van de sferisch symmetrische vacuumvergelijkingenvoorgesteld9,

ds2 = −(1− 2m

r)dτ2 + 2

√

2m

rdrdτ + r2(dθ2 + sin2 θdφ2), (13-4.8)

waaruit had kunnen blijken dat r = 2m geen ‘echte’ singulariteit was, indien men de moeite gedaanom de equivalentie van 13-3.1 en 13-4.8 te verifieren (de verwarring werd mee in de hand gewerkt doorSchwarzschild’s ongelukkige interpretatie van de ρ coordinaat 13-3.2). Beiden gingen echter —net zoalsArthur Eddington drie jaar later— aan dit opmerkelijke feit voorbij en het duurde tot 1933 vooraleerhet verband tussen beide metrieken, namelijk

dt = dτ −√

2m/r

1− 2m/rdr, (13-4.9)

door Georges Lemaıtre gevonden werd: hij was wellicht ook de eerste die het fictieve karakter van der = 2m singulariteit opmerkte, maar publiceerde dit in een vrij onbekend tijdschrift (Ann. Soc. Sc.de Brux. A53,51) en zijn opmerking verdween in het stof van de geschiedenis. Als gevolg bleef de‘schwarzschildsingulariteit’ — met alle implicaties aan de naam verbonden — de vakliteratuur teis-teren, tot er opheldering kwam met het werk van Christian Fronsdal (1959), George Szekeres en MartinKruskal (1960).

Door de coordinaattransformatiet = t+ 2m log(2m− r) (13-4.10)

wordt bovendien het T–gebied van de schwarzschildoplossing isometrisch afgebeeld op het 0 < r < 2mgebied van 13-4.6, zodat 13-4.6 een uitbreiding blijkt te zijn van zowel het R- als het T–gebied! Hiermeekunnen figuren 13.2 en 13.3 verenigd worden in figuur 13.5.Hieruit blijkt duidelijk dat het hyperoppervlak r = 2m werkt als een half-doorlaatbaar membraan:toekomstgerichte (dtdt > 0) tijdachtige geodeten en nulgeodeten worden enkel van ‘buiten’ (r > 2m)naar ‘binnen’ (r < 2m) doorgelaten. Dit oppervlak wordt een event horizon genoemd, aangezienhet de grens vormt van alle gebeurtenissen die door een waarnemer uit het R–gebied kunnen wordenwaargenomen. We benadrukken dat het fenomeen van een event horizon gekoppeld is aan het feit datr = 2m een nulhyperoppervlak is (grr = 0): het feit dat in de schwarzschildoplossing toevallig ookgtt = 0 heeft hier dus niets mee te maken!Dat zelfs lichtsignalen niet uit het gebied r < 2m kunnen ontsnappen, heeft aanleiding gegeven totde naam van zwarte gaten (black holes). Figuur 13.5 suggereert dat testdeeltjes, vanaf het ogenblikwaarop ze het T–gebied binnendringen, een eindige levensduur hebben. Er is echter meer: zelfs eenwaarnemer, die niet op een geodeet beweegt (en b.v. probeert om met een krachtige motor ‘rond’ desingulariteit r = 0 te vliegen), zal zijn radiale coordinaat r zien kleiner worden met een snelheid

|drdτ

| ≥ (2m

r− 1)1/2. (13-4.11)

Hieruit kan afgeleid worden dat de maximale levensduur van om het even welke waarnemer in hetT–gebied gegeven wordt door

∆τ = πm ≈ 10−5(m

m⊙)s. (13-4.12)

9wat aanleiding gaf tot enig dispuut tussen Painleve en Einstein m.b.t. de uniciteit van het uitwendige gravitatieveld

175

r = 0 2mr

Inkomende familie

Uitgaande familie

t

Figure 13.5: advanced eddington-finkelstein-extension

Oefening

1. Bewijs beide voorgaande betrekkingen.

2. Beschouw de 2-dimensionale ruimte-tijd met metriek

ds2 = −z2dt2 + dz2 (0 6 z <∞, −∞ < t <∞). (13-4.13)

Toon aan dat zet constant is langs de ingaande nulgeodeten (dz/dt < 0) en ze−t constant is langsde uitgaande nulgeodeten. Bepaal de affiene parametervoorstelling voor een ingaande nulgeodeetvertrekkend met snelheid dz/dλ = u in het punt z0 = z(0). Toon aan dat het punt z = 0 bereiktwordt na een eindige affiene parametertijd. Voor welke waarde van t gebeurt dit? Druk de metriek uitin termen van de coordinaten T,X bepaald door

T −X = −zet, T +X = ze−t

en interpreteer uw voorgaande resultaten in termen van T en X .

3. Toon aan dat er in gebied I nulgeodeten bestaan die gelegen zijn in een tijdachtige cilinder r =constant.

13-5 Statische en sferisch symmetrische perfecte vloeistoffen

Alhoewel de mogelijkheid van zwarte gaten reeds voorspeld werd (a) op basis van zuiver newtoniaanseargumenten door John Michell in 1784 en door Pierre Simon de Laplace in 1796 en (b) op basis van deeinsteinvergelijkingen door Robert Oppenheimer en Herman Snyder in 1939, duurde het tot ongeveer1960–1970 vooraleer het bestaan ervan min of meer algemeen aanvaard was!Een eerste mogelijke verklaring hiervoor is de grootte (ρ ≈ 1021kg m−3) die de materiedichtheidvan een ster van een tiental zonsmassa’s moet bereiken, opdat ze zou kunnen inkrimpen tot haarstraal de schwarzschildstraal rS ≈ 3( m

m⊙) km benadert: dergelijke enorme dichtheden werden door

de meeste astronomen gedurende lange tijd als volslagen onrealistisch van de hand gewezen10. Een

10tegenwoordig hanteren astronomen zonder schroom massaconcentraties van 108 m⊙, zodat een samendrukking totrS reeds wordt bereikt bij een dichtheid van 103 kg m−3, wat vanuit microfysisch standpunt zeker geen fundamenteleproblemen stelt!

176

bijzonder langzaam proces was nodig om (hand in hand met de ontwikkeling van de kwantumme-chanica) via de vertrouwdheid met witte dwergen (1926: ρ ≈ 109 kg m−3) en met neutronensterren(1968: ρ ≈ 1018 kg m−3), uiteindelijk te leiden tot het vandaag alom aanvaarde scenario van z.g. totalegravitationele collaps (zie verder).Een tweede reden was de 19de eeuwse visie van een geordend universum, waarin de materie uitein-delijk evolueert naar stationaire of statische evenwichtstoestanden. Einstein zelf was een der felleverdedigers van dit geloof, alhoewel dit hem reeds eerder parten had gespeeld bij de introductie vande kosmologische constante (nl. om een statisch heelal model als oplossing van de veldvergelijkingente bekomen: zie hoofdstuk 12). Twintig jaar na de invoering van de kosmologische constante brachtdezelfde overtuiging hem er opnieuw toe een (foutief) bewijs te leveren dat (in de toenmalige termi-nologie) ‘schwarzschildsingulariteiten’ in werkelijkheid niet kunnen voorkomen. Hiertoe beschouwdehij een stationair roterende wolk van deeltjes en toonde dat een evenwichtsoplossing enkel mogelijkwas voor een straal > 3

2rS , zoniet zouden de buitenste deeltjes van de wolk zich moeten bewegen meteen snelheid groter dan de lichtsnelheid. De redenering was volledig consistent, maar de conclusie wasfout omdat opnieuw werd voorbij gegaan aan de mogelijkheid van een niet-stationaire eindtoestandvan de materie!Een derde reden ten slotte is dat pas na de tweede wereldoorlog voldoend krachtige computers op hettoneel verschenen om het uiterst complexe probleem van gravitationele collaps in detail te volgen. Inwat volgt zullen we het eigenlijke probleem van de collaps niet aansnijden, maar ons beperken tot hetermee verwante probleem van gravitationeel evenwicht. In het bijzonder zullen we de voorwaardenonderzoeken waaraan een sferisch symmetrisch systeem moet voldoen om een statische oplossing tekunnen zijn van de einsteinvergelijkingen. We zullen hierbij een z.g. inwendige oplossing (met Tab 6= 0)in een hyperoppervlak r = R ‘lijmen’ aan een uitwendige oplossing (Tab = 0), die een deel is van hetR–gebied van de schwarzschildoplossing (R > RS)

11.

Het hyperoppervlak r = R noemen we het matching surface en we onderstellen dat de metriek samenmet zijn eerste normale afgeleiden continu is doorheen dit oppervlak.We vertrekken met de hypothese dat het inwendige deel beschreven wordt door een perfecte vloeistof,

Tab = ρuaub + p(gab + uaub) (13-5.1)

en dat de inwendige en uitwendige oplossingen samen worden voorgesteld door de metriek 13-2.3 metY = r en λ = ν = 0. De perfecte vloeistof beschreven door 13-5.1 is statisch als u parallel is met dekillingvector ∂

∂t , t.t.z.

u = e−ν ∂

∂t. (13-5.2)

Hierdoor worden de van 0 verschillende componenten van Tab gegeven door

T00 = ρ en T11 = T22 = T33 = p (13-5.3)

en de einsteinvergelijkingen worden

8πp =e−2λ(ν′′ + ν′2 − ν′λ′ + (ν′ − λ′)r−1), (13-5.4)

8πpr2 =− 1 + e−2λ(1 + 2rν′), (13-5.5)

8πρr2 =(r(1 − e−2λ))′. (13-5.6)

Uit 13-5.6 bekomen we onmiddellijk

e2λ = (1− 2µ(r)

r)−1, (13-5.7)

11verwar zulke inwendige oplossing dus niet met het T–gebied van de schwarzschildoplossing!

177

met

µ(r) = 4π

∫ r

0

ρ(x)x2dx+ constante. (13-5.8)

Leggen we de eis op dat de metriek voor voldoend kleine waarden van r in benadering vlak moetzijn (wat we uitdrukken door de eis dat de oppervlakte van een sfeer met straal r gegeven is door4π × (eigenstraal)2 ), dan moet limr→0 λ(r) = 0 en is de integratieconstante optredend in 13-5.8noodzakelijk 0.Lijmen van inwendige en uitwendige oplossing in r = R betekent dan dat de constante m, optredendin de uitwendige oplossing, gegeven is door

m = 4π

∫ R

0

ρ(x)x2dx. (13-5.9)

Alhoewel dit identiek is met de uitdrukking voor de totale massa in newtoniaanse gravitatie, dienen wete bedenken dat het ruimtelijk volume-element gegeven is door

√(3)gd3x = eλr2 sin θdrdθdφ, zodat

de totale massa mp (de eigenmassa) in werkelijkheid gegeven wordt door

mp = 4π

∫ R

0

ρ(x)x2eλ(x) dx .

Noteer dat mp > m, waarbij het verschil kan geınterpreteeerd worden als de (negatieve) gravitationelebindingsenergie.Uit 13-5.5 bekomen we nu

ν′ =8πpr3 + 2µ(r)

2r(r − 2µ(r)). (13-5.10)

In de newtoniaanse limiet, met pr3 << µ en µ << r, reduceert dit zich tot de poissonvergelijking,zodat we ν kunnen interpreteren als de veralgemening van de newtoniaanse gravitationele potentiaal.Substitutie van 13-5.7 en 13-5.10 in 13-5.4 levert een vergelijking voor p′. We kunnen echter ditrekenwerk vermijden door gebruik te maken van de behoudswetten T ab

;b = 0: met 13-5.1 en 13-5.2reduceren deze zich tot precies een vergelijking, nl.

p′ = −(p+ ρ)ν′. (13-5.11)

Oefening

Verifieer voorgaande betrekking.Op deze manier bekomen we onmiddellijk de tolman-oppenheimer-volkov-vergelijking voor hydro-statisch evenwicht:

p′ = −(p+ ρ)8πpr3 + 2µ(r)

2r(r − 2µ(r)), (13-5.12)

waaruit we, samen met 13-5.8 en een gekozen toestandsvergelijking p = p(ρ), p(r) en ρ(r) kunnenbepalen:

(a) kies een centrale dichtheid ρc: via de toestandsvergelijking ligt dan ook pc vast,

(b) integreer 13-5.8 en 13-5.12 buitenwaarts, tot het oppervlak (p = 0) van de ster bereikt wordt:dit bepaalt de constante m (13-5.9) die optreedt in de uitwendige oplossing,

(c) integreer 13-5.10 binnenwaarts vanaf r = R.

Het essentiele verschil met newtoniaanse gravitatie is dat het rechterlid van 13-5.12 in absolute waardesteeds groter is dan de newtoniaanse term ρµ(r)/r2, zodat hydrostatisch evenwicht in A.R. ‘moeilijker’

178

te behouden is dan in de newtoniaanse theorie. Dit blijkt duidelijk uit b.v. de exacte oplossing diebekomen wordt voor een ster met uniforme dichtheid ρ(r) = ρ0. Uit 13-5.8 volgt dan

µ(r) =4

3πr3ρ0. (13-5.13)

Integreren we hiermee de newtoniaanse vergelijking voor hydrostatisch evenwicht, dan bekomen we

p(r) =2

3πρ20(R

2 − r2), (13-5.14)

zodat de centrale druk pc = 23πρ

20R

2 = (π6 )1/3m2/3ρ

4/30 willekeurig groot kan zijn (m.a.w. voor elke

waarde van m en ρ0 bestaat een newtoniaanse evenwichtsconfiguratie). Integratie daarentegen van derelativistische vergelijking 13-5.12 levert (Karl Schwarzschild 1916)

p = ρ1− k(1− 2mr2/R3)1/2

k(1− 2mr2/R3)1/2 − 3,

met m = 4/3πρR3 en met k een integratieconstante te bepalenuit p(R) = 0:

p(r) = ρ0

[(1− 2m/R)1/2 − (1− 2mr2/R3)1/2

(1− 2mr2/R3)1/2 − 3(1− 2m/R)1/2

]

, (13-5.15)

zodat

pc = ρ0

[1− (1 − 2m/R)1/2

3(1− 2m/R)1/2 − 1

]

. (13-5.16)

Wil de centrale druk eindig blijven, dan moet een ster met uniforme dichtheid dus een massam hebbenmet

m <4

9R, (13-5.17)

of

mmax =4

9(3π)1/2ρ1/20 . (13-5.18)

Men kan aantonen dat, onder de hypothese dρdr ≤ 0, de voorwaarde 13-5.17 onafhankelijk van de gekozen

toestandsvergelijking geldt en dat de maximum waarde 4R9 precies bereikt wordt voor het geval van

uniforme dichtheid. Dit resultaat is belangrijk omdat het aantoont dat, van zodra een sferisch sym-metrische materieverdeling is ingekrompen tot een straal ≤ 9

8rS , de z.g. Buchdahl-limiet, geen enkeletoestandsvergelijking nog bij machte is om verdere collaps tegen te houden!

Dergelijk scenario kan zich afspelen als een ster al haar nucleaire brandstof heeft opgebruikt en eenFe-Ni kern heeft opgebouwd: is de massa van de ster op dat ogenblik kleiner dan de chandrasekharlim-iet mc ≈ 1.4M⊙, dan trekt de ster verder samen tot een stabiele evenwichtstoestand van witte dwergbereikt wordt, waar de gravitationele aantrekking gecompenseerd wordt door ontaarde elektronendruk.Is de massa groter dan mc dan gaat de gravitationele samentrekking verder tot in de kern nucleairemateriedichtheden bereikt worden. Is de totale massa van de samentrekkende kern op dat ogenblikkleiner dan een kritische massa mn ≈ 3M⊙, dan kan verdere samentrekking worden tegengehoudendoor de ontaarde neutronen druk en door de kernkrachten. Het resultaat is dan een neutronenster : bijde afremming van de kern ontstaat een schokgolf die verantwoordelijk is voor het wegslingeren van debuitenste lagen van de ster, wat dan aanleiding geeft tot de vorming van een supernova. Is echter demassa van de samentrekkende kern groter dan mn, dan tonen numerieke simulaties aan dat de collapsonbeperkt verder gaat en de vorming van een zwart gat onvermijdelijk is. Men schat dat de Melkwegongeveer 108 van dergelijke zwarte gaten bevat. Daarnaast is er een consensus dat de kern van demeeste — of bijna alle— sterrenstelsels bestaat uit zwarte gaten van 106 tot 1010 m⊙. Het zwarte

179

EVENT HORIZON

TRAPPED SURFACES

SURFACE OF STAR

SINGULARITY r = 0

O

P

Q

OUTGOING PHOTON

INFALLING PHOTONv = const.

r = 2 M

Figure 13.6: collaps van een ster

gat in het centrum van de Melkweg (nabij Sgr A) wordt geacht een massa van ongeveer 4 106 m⊙ tehebben12.

Een statische waarnemer buiten r = 2m, waarvoor de eigentijd dus op een constante factor na gegevenwordt door de schwarzschildtijd t, zal de samentrekkende ster nooit doorheen het oppervlak r = 2mzien verdwijnen: ten eerste geschiedt dit op een welbepaalde eddington-finkelsteintijd t0 en bijgevolgop een oneindige tijd t en, ten tweede, zal het oppervlak van de ster reeds kort voor r = 2m bereikt isvolledig uit het zicht verdwenen zijn. Het oppervlak r = 2m is immers niet alleen een event horizon(grr = 0), maar ook een oneindig roodverschuivingsoppervlak : op pagina 128 hebben we gezien dateen elektromagnetische golf, vertrekkend vanuit positie r, op oneindig wordt waargenomen met een

roodverschuivingsfactor 1 + z ∼ g−1/2tt . Vermits gtt = 1 − 2m/r, divergeert deze uitdrukking voor

r → 2m.

Bij het hier geschetste scenario bestaan nog een aantal onzekerheden: ten eerste is er de onzekerheidi.v.m.mn: in de oorspronkelijke berekeningen van Oppenheimer en Volkov werdmn ≈ 0.7M⊙ bekomen,uitgaande van een ideaal gas van neutronen als model voor een neutronenster. Meer realistischemodellen kunnen deze massa opdrijven tot 5M⊙ (afhankelijk van de keuze van toestandsvergelijking,de rol van kernkrachten, de aanwezigheid van elektromagnetische velden, . . . ). Nemen we bovendienrotatie in acht, dan kan de limiet zelfs opgedreven worden tot 6M⊙.

12Voor een animatie van de banen van sterren binnen de centrale 0.4 pc (≈ 1′′), gebaseerd op waarnemingen metde Keck telescoop tussen 1995 en 2013, zie www.galacticcenter.astro.ucla.edu/animations.html. Voor sommige vandeze sterren zal in 2018 een tweede (sedert het begin van de waarnemingen) pericentrum doorgang plaatsvinden, wateen meting van de pericentrumprecessie kan toelaten.

180

Ten tweede is er de onzekerheid i.v.m. de te gebruiken gravitatietheorie: andere gravitatietheorieendan A.R. voorspellen andere maximale massa’s voor neutronensterren. Deze zelfde opmerking geldtin nog sterkere mate voor de uiteindelijke fase van de collaps, t.t.z. nadat de ster zich binnen rS heeftsamengetrokken: deze fase treedt binnen een aantal alternatieve theorieen zelfs helemaal niet op.Blijven we echter binnen het kader van A.R., dan kunnen we nog opmerken dat het alles behalveverwonderlijk is dat, bij zuiver sferisch symmetrische collaps, uiteindelijk een singulariteit optreedtin r = 0. Men kan zich i.h.b. afvragen of een niet-singuliere eindtoestand van de materie misschienmogelijk wordt als we afwijkingen van de sferische symmetrie beschouwen. Een gedeeltelijk antwoordop deze vraag wordt gegeven door de z.g. singulariteitstheorema’s (Roger Penrose en Stephen Hawking,1965–1970), die aantonen dat, onafhankelijk van de precieze vorm van de veldvergelijkingen of van deenergie-impuls tensor, de belangrijkste eigenschappen van sferisch symmetrische collaps worden overge-dragen naar het geval van algemene collaps. Deze theorema’s vertrekken van een beperkt aantal ‘voorde hand liggende’ hypothesen betreffende het gedrag van de materie (de z.g. energie voorwaarden) enbetreffende de causale structuur van de ruimtetijd en tonen aan dat onder deze algemene voorwaar-den singulariteiten altijd optreden. De singulariteitstheorema’s zijn echter zuivere existentietheorema’sen ze geven geen enkele informatie over de plaats of de aard van de resulterende singulariteiten: ditmoeten dus niet noodzakelijk (zoals o.a. in het sferisch symmetrische geval) krommingssingulariteitenzijn!

13-6 FKS-extensie van de schwarzschildmetriek

In paragraaf 13-4 slaagden we er reeds in om m.b.v. de eddington-finkelsteinmetriek (13-4.6) zowelhet R–gebied als het T–gebied van de schwarzschildoplossing te bekijken als deelvarieteiten van eenzelfde varieteit. We gebruikten hiervoor de familie van inkomende geodeten en zorgden ervoor dat hunaffiene parameter kon voortgezet worden aan beide zijden van r = 2m.Een blik op figuur 13.5 doet echter vermoeden dat hiermee nog niet alle problemen uit de weg geruimdzijn. De uitgaande nulgeodeten in het R–gebied kunnen onmogelijk uit het T–gebied afkomstig zijn:elk punt heeft slechts een eindige parameterafstand tot r = 2m, wat wijst op onvolledigheid nabijr = 2m, t = −∞! Inderdaad, met τ een affiene parameter zijn de radiale nulgeodeten gegeven doordrdτ = ±l en dt

dτ = (1 − 2mr )−1l, i.e.

dt

dr= l

r + 2m

r − 2m.

De oplossingen hiervan zijn

r =r0 − lτ,

t+ r =t0 + r0(13-6.1)

voor de inkomende familie en

r =r0 + lτ,

t− r =t0 − r0 + 4m logr − 2m

r0 + 2m

(13-6.2)

voor de uitgaande familie.Als alternatief kunnen we ook de uitgaande familie ‘recht trekken’: i.p.v. 13-4.10 voeren we nu eennieuwe tijdcoordinaat in,

t∗ = t− 2m log(r − 2m) (13-6.3)

en bekomen hiermee de gedaante

ds2 = −(1− 2m

r)dt∗2 − 4m

rdt∗dr + (1 +

2m

r)dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2) (13-6.4)

181

t*

r = 0 r = 2m r

Figure 13.7: retarded eddington-finkelstein-extension

wat precies de tijdsomkering is van 13-4.613. Figuur 13.5 wordt dan figuur 13.7, zodat we hoger vermeldprobleem uiteindelijk slechts verschoven hebben van de uitgaande naar de inkomende geodeten!Om de onvolledigheid bij r = 2m te vermijden dienen we blijkbaar op een of andere manier simultaande uitgaande en inkomende families recht trekken. C. Fronsdal (Phys. Rev. 1959)14, M. Kruskal (1960)en G. Szekeres (1960) losten dit probleem onafhankelijk van elkaar op door twee nulcoordinaten v enw te definieren door

w = t∗ − r =t− r − 2m log |r/2m− 1|,v = t+ r =t+ r + 2m log |r/2m− 1|. (13-6.5)

Hierdoor worden beide families nulgeodeten dan eenvoudig bepaald door

w = constant (uitgaande familie)

env = constant (inkomende familie) (13-6.6)

en vinden we de metriek door 13-6.5 op te lossen naar r en t:

r + 2m log | r2m

− 1| = v − w

2, t = (v + w)/2. (13-6.7)

Hiermee wordt de schwarzschildmetriek 13-3.1 herschreven als

ds2 =− 2me−r/2m

re(v−w)/4mdwdv + r2(dθ2 + sin2 θdφ2) (13-6.8)

=− (1 − 2m

r)dvdw + r2(dθ2 + sin2 θdφ2) (13-6.9)

13Men noemt dit de retarded eddington-finkelstein extension van gebied I, in tegenstelling tot 13-4.6, die ook deadvanced eddington-finkelstein extension van gebied I genoemd wordt

14Fronsdal gebruikte de inbedding van de schwarzschildmetriek —gevonden door Kasner— in een 6 dimensionaleeuclidische ruimte, om de analytische extensie te construeren. Hij merkte op dat Kruskal de extensie ook al hadgevonden (Kruskal had dit echter niet de moeite gevonden om te publiceren!) en merkwaardig genoeg is Fronsdal’s naamvervolgens in het stof van de geschiedenis verdwenen.

182

De metriek bevat nog steeds een coordinaatsingulariteit bij r = 2m, maar men kan deze singulariteitopheffen door een nieuwe keuze van nulcoordinaten v′ = v′(v) en w′ = w′(w): met de keuze

v′ = ev/4m =√

|r/2m− 1| exp(r + t

4m),

w′ = −e−w/4m = −ǫ√

|r/2m− 1| exp(r − t

4m), (ǫ = sgn(r − 2m)) (13-6.10)

bekomen we

ds2 = −32m3 e−r/2m

rdv′dw′ + r2(dθ2 + sin2 θdφ2), (13-6.11)

of nog, na invoering van T = 12 (v

′ + w′) en X = 12 (v

′ − w′)

ds2 = 32m3 e−r/2m

r(−dT 2 + dX2) + r2(dθ2 + sin2 θdφ2), (13-6.12)

wat we de FKS-extensie van de schwarzschild metriek zullen noemen.Hierin is r(X, T ) impliciet bepaald door 13-6.7, i.e.

(r

2m− 1)er/2m = X2 − T 2, (13-6.13)

terwijl de oorspronkelijke t coordinaat gegeven wordt door t = 4m tanh−1 TX . Noteer in 13-6.13 het

verdwijnen van de absolute waarde van r − 2m en van ǫ: de uitdrukking is geldig in beide gebieden Ien II en de functie in het linkerlid is strikt stijgend in ]0, ∞[.De coordinaten T en X worden enkel beperkt door de voorwaarde r > 0, vermits r = 0 een niet teverwijderen krommingssingulariteit is. Uitgedrukt in X en T betekent dit

X2 − T 2 > −1, (13-6.14)

wat het coordinaatdomein beperkt tot het in figuur 13.8 voorgestelde gebied van de hyperbool X2 −T 2 = −1. Bovendien is T wel degelijk een tijdachtige coordinaat, aangezien g(∂T , ∂T ) = gTT < 0.In dit diagram worden de krommen r = constant voorgesteld door gelijkzijdige hyperbolen en dekrommen t = constant door rechten door de oorsprong. Nulgeodeten worden voorgesteld door rechtendie een hoek van ±45o maken met de X-as, wat de conforme structuur uiterst eenvoudig maakt.De unie van de gebieden I en II van het z.g. FKS-diagram is isometrisch equivalent met de advancededdington-finkelstein extension 13-4.6, terwijl de unie van de gebieden I en III isometrisch equivalentis met de retarded eddington-finkelstein-extension 13-6.4. Men kan aantonen dat de FKS-metriek deunieke analytische uitbreiding is van de schwarzschildoplossing, die maximaal is in de zin dat ze geendeelvarieteit is van een andere lokaal niet-uitbreidbare uitbreiding van de schwarzschildoplossing.Het gebied I kan geınterpreteerd worden als het uitwendige van een statisch en sferisch symmetrischlichaam. In gebied II eindigt elke nulgeodeet—en dus ook elke tijdachtige kromme—noodzakelijk ophet singuliere oppervlak r = 0: dit gebied correspondeert dus met de in vorig hoofdstuk besprokenzwarte gaten. De tijdsomkering van gebied II is gebied III. Elke nulgeodeet begint er noodzakelijk ophet singuliere oppervlak r = 0 en de eigenschappen ervan zijn volkomen analoog aan deze van gebiedII: men noemt dit daarom ook wel een wit gat.

Zeer vreemd in de FKS-extensie is het optreden van een tweede asymptotisch vlak gebied IV, waarvande eigenschappen analoog zijn aan deze van gebied I. Gebieden I en IV zijn echter causaal volledig vanelkaar losgekoppeld: elk signaal dat tussen beide zou verzonden worden, wordt door de r = 0 singular-iteit opgeslokt. Het is ver van duidelijk of de ganse extensie, i.h.b. gebied IV, enige fysische betekenisheeft: geen enkel fysisch proces is gekend, dat aanleiding kan geven tot de vorming van de vier gebieden.

Merk nog op dat de killingvectorK = ∂t in gebied I te schrijven is alsK = 14m (v′∂v′ +w′∂w′), waarbij

het rechterlid een killingvector is in de volledige FKS-ruimtetijd. Omdat K op de hypervlakken v′=0

183

T

X

II

III

IV

I

t = 2m

t = m

t = 0

t = -m

t =- 2m

r = 4

m

r = 3

mr =

0

r = 0r = 2m, t=-

r = 2m, t=

h

h

Figure 13.8: FKS-extensie

en w′ = 0 een nulvector is, loodrecht op (en rakend aan) deze hypervlakken, voeren we het begripkillinghorizon in:

we noemen een killinghorizon elk nulhypervlak Σ dat invariant is onder de stroming van een killingvec-torveldK en dat een samenhangende component is van de verzameling p ∈ M; g(Kp,Kp) = 0, K 6=0. De FKS ruimte-tijd bezit dus vier killinghorizons. De doorsnede van hun afsluiting, de 2-sfeerv′ = w′ = 0, is het bifurcatie-oppervlak. De unie van dit 2-dimensionaal ruimte-achtig oppervlak(waarop K = 0) met de vier nulhypervlakken gegenereerd door de nulgeodeten loodrecht op Σ (in deFKS ruimte-tijd dus de unie van de verzamelingen v′ = 0 en w′ = 0) wordt een gebifurceerde killinghori-zon genoemd (dit is zelf geen killinghorizon omdat K = 0 wordt op het bifurcatie-oppervlak). Eensoortgelijk voorbeeld wordt geleverd door de nulhypervlakken t ± z = 0 in de minkowski ruimtetijd,gegenereerd door de boost killing vector K = z∂t + t∂z . Ook hier is er een bifurcatie-oppervlak, nl. deverzameling t = z = 0.

Killinghorizons danken hun belang aan het z.g. rigiditeitstheorema van Hawking, dat zegt dat de eventhorizon van een stationaire asymptotisch vlakke ruimtetijd noodzakelijk een killinghorizon is.

Is Σ een killinghorizon horend bij een killingvector K, dan volgt, met ν = g(K,K), uit ν|Σ = 0dat dν♯ ⊥ Σ en dus (omdat de nulvectoren van Σ op een veelvoud na uniek bepaald zijn, dat, op Σ,dν♯ ‖K. Dit rechtvaardigt de volgende definitie,

dg(K,K) =Σ−2κK, (13-6.15)

184

waarbij κ de oppervlaktegravitatie15 van de killinghorizon genoemd wordt16.

oefening:

1. Toon aan dat de oppervlaktegravitatie van de boost killinghorizons in minkowski-ruimtetijd gelijkis aan ±1 (een dergelijke killinghorizon, waarop κ niet identiek 0 is, wordt niet-ontaard genoemd.

2. Toon aan dat in de minkowski-ruimtetijd het killingvectorveld y∂t+ t∂y+x∂y−y∂x aanleiding geefttot een ontaarde killinghorizon t+ x = 0, y 6= 0, waarop κ identiek 0 is.

3. Toon aan dat de vier killinghorizons van de FKS-ruimtetijd eveneens niet-ontaard zijn en datκ = 1

2m17.

Dat de oppervlaktegravitatie in deze drie voorbeelden constant is, is geen toeval: men kan aantonen datκ constant is 1) voor elke gebifurceerde killinghorizon en 2) op elke killinghorizon van een ruimtetijdwaarin voldaan is aan de dominante energievoorwaarde. Eigenschap (1) is niet moeilijk om zelf tebewijzen:

oefening:

1. is Σ een killinghorizon horend bij een killingvectorK, gebruik dan de hypervlak-orthogonaliteit vanK (K[a;bKc] = 0) om aan te tonen dat

κ2 =Σ−1

2Ka;bK

a;b. (13-6.16)

2. Leid hieruit (of door evaluatie van LK van 13-6.15) af dat κ constant is langs elk killingtraject.

3. Beschouw, in het geval van een gebifurceerde killinghorizon, met K en eA (A = 1, 2) rakend aanΣ, de afgeleide LeA

van 13-6.16. Steun vervolgens op 9-2.3 en op het bestaan van het bifurcatie-oppervlak om aan te tonen dat κ ook constant is in elk 2D-deeloppervlak van Σ dat de killingtra-jecten transversaal snijdt.

We kunnen proberen ons een voorstelling te vormen van de FKS ruimtetijd door de ruimtelijke hy-peroppervlakken t = constant (i.e. T/X = constant) in te bedden in een 4-dimensionale euclidischeruimte met metriek ds2 = dz2 + dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2). De metriek geınduceerd op de z = z(r)oppervlakken, (z′2 + 1)dr2 + r2dφ2 valt dan samen met

ds2 = (1− 2m

r)−1dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2), (13-6.17)

mits

z′ = ±(2m

r − 2m)1/2. (13-6.18)

De doorsnede hiervan met het θ = π2 vlak is dan een 2-dimensionale omwentelingsparaboloide (de

z.g. Flamm paraboloide), waarin we de verbindende ‘tunnel’ tussen beide asymptotisch vlakke ruimtende einstein-rosenbrug noemen18: Het is duidelijk dat deze hypervlakken enkel een foliatie vormen vanhet r > 2m gedeelte van de FKS-extensie (nl. van gebieden I en IV). De einstein-rosenbrug kan ook

15Sommige auteurs gebruiken een factor 4 i.p.v. 2.16Uiteraard is κ afhankelijk van de normalisatie van K. In b.v. asymptotisch vlakke ruimtetijden kan deze gekozen

worden zodat g(K,K) = ±1 op oneindig en wordt het dus zinvol om te spreken over ‘de oppervlaktegravitatie van eenkillinghorizon’

17De benaming oppervlaktegravitatie vindt haar oorsprong in de eigenschap dat κ precies de versnelling is van eendeeltje dat in r = 2m+ ǫ (0 < ǫ << 1) op zijn plaats wordt gehouden door een waarnemer op oneindig.

18naar A. Einstein en N. Rosen 1935, Phys. Rev. 48, 73

185

r= 2m op T = 0

Figure 13.9: einstein-rosenbrug

worden voorgesteld a.d.h.v. een metriek waarin aan r > 2m automatisch voldaan is: passen we b.v. decoordinaattransformatie

r = (1 +m

2ρ)2ρ (13-6.19)

toe op de gebieden I of IV, dan bekomen we de metriek in isotrope coordinaten,

ds2 = −(m− 2ρ

m+ 2ρ

)2

dt2 + (1 +m

2ρ)4(dρ2 + ρ2dθ2 + ρ2 sin2 θdφ2), (13-6.20)

waarin de t = constante hypervlakken duidelijk conform vlak zijn en waar de transformatie ρ → m2

4ρeen isometrie bepaalt die I op IV afbeeldt.

Aangezien de einsteinvergelijkingen enkel de lokale structuur van de oplossingen bepalen, behoortechter ook de topologie geıllustreerd in fig. 13.10 tot de mogelijkheden. De einstein-rosenbrug verbindt

Figure 13.10: wormgat

dan twee gedeelten van een zelfde asymptotisch vlakke ruimte: we spreken in dit geval van een wormgat.Onderzoek naar z.g. tijdmachines houdt zich o.a. met de vorming van dergelijke wormgaten bezig. 19

19Afgezien van enkele toeristische attracties, zoals de Poll na bPeist op Inis Mor (Aran, Ierland) zijn er tot dusvergeen indicaties dat wormgaten bestaan.

186

13-7 Conforme compactificatie

Alhoewel figuur 13.8 reeds een inzicht geeft in de causale structuur van de FKS-extensie, is het gedrag‘op oneindig’ er niet onmiddellijk uit af te lezen. In het bijzonder is de structuur van de oplossing opz.g. nul-oneindig moeilijk te herkennen: het is deze structuur —eerder dan de structuur op ruimtelijk-oneindig— die van belang is, als we bij meer gecompliceerde oplossingen b.v. het asymptotisch gedragvan straling wensen te onderzoeken. Om dergelijke vragen te bestuderen werden door Roger Penroseeen aantal belangrijke technieken ontwikkeld. Het is de bedoeling om in deze paragraaf enkele vandeze technieken, samen met de ermee gepaard gaande terminologie, te illustreren aan de hand van deminkowski– en FKS-metrieken.Zoals hierboven gesuggereerd, is het opzet een compactificatie van het ruimtetijdmodel te bekomen,waarbij we ‘bewerkingen op oneindig’ kunnen vervangen door bewerkingen bij eindige waarden vande coordinaten (door gebruik te maken van functies zoals tan−1). Tijdens zulke procedure wordenechter meestal nieuwe coordinaatsingulariteiten ingevoerd, die we proberen op te vangen door eenandere metriek op de gegeven varieteit te definieren: omdat we op zijn minst verlangen dat de causalestructuur van de nieuwe metriek (de onfysische metriek gab) identiek zou zijn aan deze van de oudemetriek (de fysische metriek gab), stellen we

gab = Ω2gab, (13-7.1)

waarbij Ω ∈ F(M) zo gekozen is dat de door de compactificatie geıntroduceerde coordinaatsingulari-teiten verdwijnen.Bekijken we eerst het geval van de minkowskimetriek, die we m.b.v. nulcoordinaten v = t + r enw = t− r herschrijven als

ds2 = −dvdw +1

4(v − w)2(dθ2 + sin2 θdφ2). (13-7.2)

Aangezien −∞ < t <∞ en 0 < r <∞ geldt

−∞ < v <∞,

−∞ < w <∞,

v > w.

(13-7.3)

Definieren we nu coordinaten v′ en w′ door v′ = tan−1 v en w′ = tan−1 w dan geldt

−π2< v′ <

π

2,

−π2< w′ <

π

2,

v′ > w′

en wordt de metriek

ds2 =1

4sec2 v′ sec2 w′ [−4dv′dw′ + sin2(v′ − w′)(dθ2 + sin2 θdφ2)

]. (13-7.4)

De coordinaatsingulariteiten bij ±π2 kunnen we nu opheffen door een onfysische metriek 13-7.1 in te

voeren met Ω = 12 sec v

′ secw′. Stellen we bovendien t′ = v′ + w′ en r′ = v′ − w′, dan bekomen we

ds2 = −dt′2+ dr′

2+ sin2 r′(dθ2 + sin2 θdφ2), (13-7.5)

met

−π < t′ + r′ < π,

−π < t′ − r′ < π,

r′ > 0.

(13-7.6)

187

De metriek 13-7.5 met −∞ < t′ <∞, 0 < r′ < π, 0 < θ < π, 0 < φ < 2π is de metriek van het statischeinsteinheelal (zie ook 12-5): dit kan beschouwd worden als de inbedding van een cilinder x2 + y2 +z2+w2 = 1 in een 5–dimensionale euclidische ruimte met metriek ds2 = −dt2+dx2+dy2+dz2+dw2

(stel x = cos r′, y = sin r′ sin θ cosφ, z = sin r′ sin θ sinφ en w = sin r′ cos θ).Elk hyperoppervlak t′ = constant is een 3–sfeer, zodat het einsteinheelal de topologie R × S3 heeft.Laten we de w− en z−coordinaten weg, dan kan de minkowskiruimte dus conform voorgesteld wordenals de ‘ruit’ −π < t′ ± r′ < π van de einsteincilinder x2 + y2 = 1, gelegen in een 3–dimensionaleruimte met metriek ds2 = −dt2+dx2+dy2: We noemen de resulterende varieteit de gecompactifieerde

r’=p

t’=-p

t’=0

t’=p

r’=0

i-

J+

J-

i+

io

Figure 13.11: einsteincilinder en gecompactifieerde minkowskiruimte

minkowskiruimte. De conforme structuur ‘op oneindig’ van de minkowskiruimte wordt nu voorgestelddoor de rand van de ruit.Deze rand bestaat uit de volgende delen:

• een nulhyperoppervlak v′ = π2 (ℑ+),

• een nulhyperoppervlak w′ = −π2 (ℑ−),

• een punt v′ = w′ = π2 (i+),

• een punt v′ = π2 , w

′ = −π2 (i0),

• een punt v′ = w′ = −π2 (i−).

Men kan aantonen dat

(1) alle tijdachtige geodeten van de originele metriek beginnen in i− en eindigen in i+,

(2) alle nulgeodeten beginnen op ℑ− en eindigen op ℑ+ en

188

(3) alle ruimte-achtige geodeten beginnen en eindigen in i0. Vandaar dat men i+ en i− respectievelijktoekomstig en verleden tijdachtig oneindig noemt, ℑ+ en ℑ− respectievelijk toekomstig en verledennul oneindig en i0 ruimte-achtig oneindig.

In een penrosediagram wordt, met weglating van de θ− en φ− coordinaten, slechts de halve ruit r′ > 0voorgesteld (r′ = 0 is de standaard coordinaatsingulariteit die steeds optreedt bij poolcoordinaten). Inonderstaande figuur zijn bovendien de r− en t−coordinaatkrommen getekend. De nulgeodeten (i.e. dev′ = constant en w′ = constant krommen) zijn precies de rechten die een hoek van ±45o maken metde horizontale.

i+

i-

io

J+

J-

t

O

J+

J-

i-

i+

r=o

p

-p

io r’

t = konstant

r = konstant

p

Figure 13.12: penrosediagram van minkowskiruimte

Voor de de sitter-metriek, 9-3.13, bekomen we door middel van de coordinaattransformatie sin η =sech t

a de gedaante

ds2 =a2

sin2 η(−dη2 + dχ2 + sin2 χ(dθ2 + sin2 θdφ2)), (13-7.7)

waaruit onmiddellijk kan afgelezen worden dat de de sitterruimte conform is is met het 0 ≤ η ≤ πgedeelte van de einsteincilinder. Het penrosediagram krijgt dan de volgende structuur:Verleden en toekomstig oneindig i+ en i− zijn nu duidelijk ruimte-achtige hypervlakken, aangezien denormaal na = gabΩ,b tijdachtig is.

Met een penrosediagram kan ook de asymptotische structuur van niet-conform vlakke metrieken wordenvoorgesteld, op voorwaarde dat ze aan bijkomende eigenschappen —zoals sferische symmetrie— vol-doen. Zo wordt b.v. de asymptotische structuur van de radiale nulgeodeten in 6.2.3 volkomen bepaalddoor de 2–vlakken met (conform vlakke) metriek ds(2)

2 = −e2νdt2 + e2λdr2. Dit suggereert om deFKS-metriek als volgt te vervormen: eerst definieren we nulcoordinaten v′′ en w′′ door v′′ = tan−1 v′

en w′′ = tan−1 w′. Er geldt dan

−π2< v′′ <

π

2

−π2< w′′ <

π

2

−π2< v′′ + w′′ <

π

2

(13-7.8)

en de metriek van de θ = constant, φ = constant deelvarieteit van 6.6.11 wordt

ds(2)2 = −32m3 sec2 v′′ sec2 w′′ e

−r/2m

rdv′′dw′′. (13-7.9)

189

Figure 13.13: penrosediagram van de sitterruimte

Met Ω = sec v′′ secw′′ en T ′′ = v′′ + w′′, X ′′ = v′′ − w′′ bekomen we dan voor de onfysische metriek

ds(2)2 = 8m3 e

−r/2m

r(−dT ′′2 + dX ′′2). (13-7.10)

Hieruit wordt volgend diagram afgeleid voor de FKS-extensie: de figuur toont nogmaals overduidelijkdat r = 0 een ruimte-achtig singulier oppervlak is, waarop alle nulgeodeten eindigen die vertrekkenvanuit gebied II.

190

...............................................................................................................................................................................................................................................................................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

.........................................................

...............................................................................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

.........................................................

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................

....................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................

.................................

..............................................................................

....................................... . . .. ....

.

......................................

.

.

.

.

.

.

.

................

......................................

.................... .. . . . . .

i0

i−

i+

ℑ+

ℑ−

I

II

III

IV

toekomstige en verleden singulariteit r = 0

r = 2m

r constant > 2m

r constant < 2m

Figure 13.14: de ‘penrosediamant’

13-8 Reissner-nordstrøm-metriek

In deze paragraaf stellen we het penrosediagram op van een maximale uitbreiding van de reissner-nordstrømruimtetijd: deze kan als model dienen voor een sferisch symmetrische, geladen en graviterendepuntmassa. Het model is echter vooral van belang omdat, met nog relatief eenvoudig rekenwerk,eigenschappen bekomen worden, die een sterke gelijkenis vertonen met deze van het veel ingewikkelderkerrmodel voor roterende zwarte gaten.We beginnen met de einstein-maxwellvergelijkingen te beschouwen, Gab = 8πTab, met T de energie-impulstensor voor een vrij maxwellveld (zie 2-6.3):

Tab =1

4π(Fa

mFbm − 1

4gabFmnF

mn) (13-8.1)

F dient hierbij tevens een oplossing te zijn van de maxwellvergelijkingen

∇bFab = 0, (13-8.2)

∇[aFbc] = 0. (13-8.3)

Opnieuw beperken we ons tot sferische symmetrie, zodat de metriek geschreven kan worden als 13-2.3.Zoals vroeger reeds opgemerkt, geldt ook nu de jebsen-birkhoffstelling op voorwaarde dat (∇Y )2 6= 0.Aangezien men kan aantonen dat de enige oplossing met (∇Y )2 = 0 eigenlijk een bijzonder geval isvan het algemene reissner-nordstrømmodel (zie b.v. Misner, Thorne en Wheeler), laten we dit verderbuiten beschouwing en schrijven dus de metriek in het R-gebied als

ds2 = −e2νdt2 + e2λdr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2), (13-8.4)

met λ en ν functies van r.Bekijken we eerst het rechterlid van de veldvergelijkingen: de voorwaarde 13-8.3 leidt m.b.v. depoincarestelling tot het bestaan van een potentiaal A, zodat F = dA. Veronderstellen we nu dat hetmaxwellveld zuiver elektrostatisch is: A = A(r)dt en dus F = A′dr ∧ dt. Met E = A′ de elektrischeveldsterkte, herleidt 13-8.2 zich tot

(e−ν−λr2E)′ = 0, (13-8.5)

191

wat het bestaan impliceert van een constante Q zodat

E = eν+λQ

r2. (13-8.6)

In een asymptotisch vlakke ruimte geldt limr→∞ ν = limr→∞ λ = 0, zodat we, naar analogie methet klassieke resultaat voor het elektrisch veld van een geladen puntdeeltje, Q kunnen interpreterenals de lading van het veld. Hiermee is de energie-impuls tensor volkomen gekend en kunnen we develdvergelijkingen oplossen: weer vinden we ν′+λ′ = 0 (dus λ = −ν) en vervolgens (re2ν)′ = 1−Q2/r2.Met een integratieconstante m bekomen we alzo de reissner-nordstrømmetriek

ds2 = −(1− 2m

r+Q2

r2)dt2 + (1− 2m

r+Q2

r2)−1dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2. (13-8.7)

Dit is duidelijk een veralgemening van de schwarzschildmetriek en uit de studie van de beweging vanneutrale testdeeltjes voor r >> 2m volgt opnieuw dat we m kunnen interpreteren als de massa vanhet veld. Een berekening van de invariant RabcdR

abcd toont, zoals te verwachten was, dat r = 0 ookhier weer een krommingssingulariteit is. Voor een verdere studie van de oplossing dienen we een on-derscheid te maken tussen Q2 ≤ m2 en Q2 > m2.

Als Q2 > m2 dan is de metriek 13-8.7 regulier voor alle r ∈]0, +∞[; dit is o.a. het geval wanneer weeen elektron zouden bekijken als klassiek puntdeeltje. In gravitationele eenheden is de lading van hetelektron immers 1.38×10−36 mP en de massa van het elektron 6.77×10−58 mP , zodat Q/m ≈ 2 1021.De metriek 13-8.7 met 0 < r <∞, −∞ < t <∞ is reeds maximaal (op de coordinaatsingulariteiten inθ = 0 en θ = π na) en het penrosediagram lijkt op dat van de minkowskiruimte (net zoals de maximaleanalytische extensie van de schwarzschildmetriek met negatieve massa). Nu is echter het tijdachtig op-pervlak r = 0 geen coordinaatsingulariteit; bovendien is r = 0 niet afgeschermd van waarnemers dooreen event horizon. We noemen de krommingssingulariteit r = 0 daarom een naakte tijdachtige singu-lariteit. Ook de verleden singulariteit (de r = 0 singulariteit van het wit gat) in de FKS-ruimtetijd,zie fig. 13.14, is een naakte singulariteit, maar ze is ruimte-achtig.

Een interessantere structuur ontstaat wanneer we macroscopische lichamen (sterren, planeten, . . . )beschouwen, waarvan we kunnen aannemen dat ze in goede benadering neutraal zijn, t.t.z. Q/m << 1.De discriminant van de kwadratische vorm r2−2mr+Q2 is dan positief, zodat gtt = −(grr)−1 0 wordtvoor r = r±, met

r± = m± (m2 −Q2)1/2. (13-8.8)

Waar we bij de schwarzschildoplossing twee gebieden (R en T) afzonderlijk dienden te bestuderen,moeten we nu drie gebieden onderscheiden:

I) r+ <r <∞,

II) r− <r < r+,

III) 0 <r < r−,

(13-8.9)

Als Q2 = m2 is gebied (II) afwezig. De metriek 13-8.7 neemt dan in isotrope coordinaten de vorm aan(verifieer!)

ds2 = −H−2dt2 +H2(dρ2 + ρ2dθ2 + ρ2 sin2 θdφ2), H = 1 +m

ρ. (13-8.10)

Dit is een bijzonder geval van de z.g. majumdar-papapetrou ruimtetijden (waarvoor de killinghorizonsallemaal ontaard zijn), waarbij ds2 = −H−2dt2 +H2(dx2 + dy2 + dz2), met H = H(x, y, z) een op-

lossing van de laplacevergelijking ∆H = 0: H = 1 +∑N

i=1mi

|−→x−−→xi| stelt dan een superpositie voor van

N reissner-nordstrøm ‘deeltjes’, waarbij de onderlinge gravitationele aantrekkingen en electrostatische

192

afstotingen mekaar precies in evenwicht houden20.

Is Q2 < m2 dan kunnen we, net zoals bij de schwarzschildoplossing, aantonen dat de drie oplossingenisometrisch equivalent zijn met deelvarieteiten van een zelfde ruimtetijd. De drie gebieden wordenvan elkaar gescheiden door de nulhyperoppervlakken r = r+ en r = r−. Bij r = r+ is de situatievergelijkbaar met wat zich afspeelt bij r = rS in de schwarzschildoplossing: de coordinaten t en r,respectievelijk tijdachtig en ruimte-achtig in gebied I worden ruimte-achtig en tijdachtig in gebied II.Bij r = r− treedt de omgekeerde eigenschap op, zodat gebieden I en III statisch zijn. Vooral het feitdat gebied III (waar de r = 0 singulariteit gelegen is) statisch is, heeft merkwaardige gevolgen.Voeren we echter eerst, volkomen in analogie met hoofdstuk 7, de eddington-finkelsteincoordinaten in:opstellen van de vergelijking der inkomende radiale nulgeodeten suggereert in gebied I de definitie vaneen nieuwe tijdcoordinaat

t = t+r2+

r+ − r−log(r − r+)−

r2−r+ − r−

log(r − r−). (13-8.11)

Substitutie hiervan in 13-8.7 geeft

ds2 = −(1− ψ)dt2+ 2ψdtdr + (1 + ψ)dr2 + r2(dθ2 + sin2 θdφ2), (13-8.12)

met

ψ =2m

r− Q2

r2. (13-8.13)

Voor de radiale nulgeodeten kunnen we 13-8.12 factoriseren:

0 = (dr + dt)((1 + ψ)dr − (1− ψ)dt

)= 0,

wat voor de ingaande familie resulteert in

t+ r = constant (13-8.14)

en voor de uitgaande familie indt

dr=

1 + ψ

1− ψ. (13-8.15)

Een schets van de functies 1+ψ en 1−ψ geeft dan onmiddellijk voldoende informatie om een kwalitatiefbeeld te verkrijgen van de uitgaande familie.Uit fig. 13.15 blijkt duidelijk dat r = r+ opnieuw een event horizon is: geen enkel signaal kan zich vangebied II naar gebied I bewegen.Elk deeltje dat zich in gebied II bevindt, zal na verloop van een eindige eigentijd het gebied IIIbinnendringen of zal het oppervlak r = r− asymptotisch benaderen. Deeltjes die zich in gebied IIIbevinden moeten echter niet noodzakelijk naar de r = 0 singulariteit toe bewegen:vermits ξ = ∂

∂t een tijdachtige killingvector is in gebied III, is < ξ, u >= −(1 − ψ) dtdτ een constante

van de beweging (τ is een affiene parameter en u = dxµ

dτ∂

∂xµ ). Een tweede constante van de bewegingvolgt uit

1 = (1− ψ)(dt

dτ)2 − (1 − ψ)−1(

dr

dτ)2 (13-8.16)

zodat de radiale bewegingsvergelijking gegeven wordt door

(dr

dτ)2 = l2 − 1 + ψ. (13-8.17)

20Men kan aantonen dat de majumdar-papapetrou ruimtetijden, samen met de reissner-nordstrøm ruimtetijden (on-taarde zowel als niet-ontaarde) de enige statische asymptotisch vlakke einstein-maxwell oplossingen zijn met een niet-singulier uitwendig gebied (Chrusciel en Nadirashvili, 1995, evenals Chrusciel en Tod, 2005).

193

r

t

I

IIIII

Figure 13.15: Reissner-Nordstrøm met Q < m

Deze vergelijking beschrijft de een-dimensionale beweging van een deeltje met kinetische energie ( drdτ )2

in een potentiaal 1 − ψ. De oneindige potentiaalmuur bij r = 0 zorgt er dus voor dat alle neutraletestdeeltjes door de singulariteit zelfs worden afgestoten!Figuur 13.15 wekt opnieuw de indruk dat deeltjes vertrekkend uit gebied III niet naar gebied II kunnenontsnappen en r = r− enkel asymptotisch kunnen benaderen. Men kan echter aantonen dat zij r = r−in een eindige eigentijd bereiken, zodat figuur 13.15 het verband tussen de gebieden II en III misleidendvoorstelt. Net zoals bij de schwarzschildoplossing verhelpen we hieraan door de FKS-techniek toe tepassen. We kiezen dus nulcoordinaten

v =t+ r +r+

2

r+ − r−log(r − r+)−

r−2

r+ − r−log(r − r−),

w =t+ r − r+2

r+ − r−log(r − r+) +

r−2

r+ − r−log(r − r−)

(13-8.18)

en bekomen met de hulp van 13-8.7

ds2 = (1− 2m

r+Q2

r2)dvdw − r2(dθ2 + sin2 θdφ2). (13-8.19)

Oefening:Toon aan dat de oppervlaktegravitatie van de buitenste horizon (en met de gepaste normalisatie vande tijdachtige killingvector in gebied I) gegeven wordt door

κ =r+ − r−2r+2

=

√

m2 −Q2

r+2. (13-8.20)

We definieren nu verder

v′′ =tan−1(expr+ − r−4r+2

v)

w′′ =tan−1(−expr− − r+4r+2

w)

en herschrijven 13-8.19 als

ds2 =− 64(1− 2m

r+Q2

r2)

r+4

(r+ − r−)2cosec2v′′cosec2w′′ dv′′dw′′

− r2(dθ2 + sin2 θdφ2)

(13-8.21)

194

waarbij r = r(v′′, w′′) impliciet bepaald is door

tan v′′ tanw′′ = −exp(r+ − r−2r+2

)(r − r+)1/2(r − r−)

−r−2/2r+

2

. (13-8.22)

Net zoals de FKS-extensie de maximale analytische uitbreiding is van de schwarzschildmetriek, is demetriek 13-8.21 de maximale analytische uitbreiding van de reissner-nordstrømmetriek. Op eerstezicht is dit verwonderlijk: de functie r(v′′, w′′) is immers niet analytisch in r = r− (ze is er wel C2).Men kan echter nieuwe coordinaten definieren, waarvoor de metriek analytisch wordt in r = r− (maardan weer niet analytisch in r = r+). Enkel door beide kaarten te gebruiken, kan een analytischeatlas geconstrueerd worden (zie b.v. Hawking & Ellis). Constructie van het penrosediagram levert tenslotte, door topologische identificatie van de r = r+ en r = r− randen, de voorstelling van de maxi-male uitbreiding getoond in fig.13.16: het oneindig aantal asymptotisch vlakke gebieden I, aan elkaarverbonden d.m.v. de gebieden II en III, (waarbij III telkens een tijdachtige singulariteit bevat), opentschijnbaar de deur voor een topologisch science fiction scenario, waarin b.v. (1) een reiziger vertrektin gebied I, (2) doorheen de lokale event horizon r = r+ in gebied II binnendringt, (3) zich doorheenr = r− toegang verschaft tot gebied III (en een kijkje neemt nabij de tijdachtige singulariteit r = 0),(4) tot het besef komt dat terugkeer naar het eigen universum onmogelijk is, maar (5) erin slaagt omvia II en I in een ‘ander’ universum te belanden.21 In ‘de praktijk’ is zulk scenario echter niet uit-voerbaar: het blijkt immers dat, wanneer we elektromagnetische straling of gravitationele straling inhet model introduceren, de flux van deze straling divergeert in r = r−, zodat de reiziger gevaporiseerdwordt (Chandrasekhar en Hartle, 1982). Het oppervlak r = r− heeft nog een andere merkwaardigeeigenschap: om het even welke vorm van informatie die wordt vastgelegd op een ruimtelijk hyperop-pervlak S (zie figuur 13.16), kan uitsluitend de gebeurtenissen voorspellen die gelegen zijn in de vlak‘boven’ S gelegen I en II gebieden. Wat gebeurt in III of in alle ‘hoger’ gelegen gebieden, is op geenenkele causale manier bepaald door de beginvoorwaarden (m.a.w. de cauchydata) gedefinieerd op S.We zeggen dat r = r− een cauchyhorizon vormt. Een waarnemer die de cauchyhorizon overschrijdt,ziet binnen een eindige eigentijd de ganse geschiedenis van een der asymptotisch vlakke gebieden I!Deze eigenschap, samen met het divergeren van de stralingsflux op de cauchyhorizon, doet vermoedendat de cauchyhorizon wellicht instabiel is. Of in een voldoend algemene ruimtetijd zich al dan nietcauchyhorizons vormen, is echter nog steeds een open probleem en houdt direct verband met R. Pen-rose’s Cosmic Censorship Conjecture.

Oefening: Ga na dat de coordinaattransformatie r = ρ[(1 + m2ρ)

2 − Q2

4ρ2 ) de metriek 13-8.7 omzet in

− a2b−2dt2 + b2(dρ2 + ρ2dΩ2), (13-8.23)

met a = 1 − m2−Q2

4ρ2 en b = (1 + m2ρ )

2 − Q2

4ρ2 , wat invariant is onder de inversie ρ → m2−Q2

4ρ . Er is nu

slechts een horizon, namelijk bij√

m2 −Q2/2. Wat is er met de Cauchy-horizon gebeurd?

21Dit nieuwe universum kan desgewenst met het oorspronkelijke universum van de reiziger geıdentificeerd worden,maar dit geeft aanleiding tot causale problemen i.v.m. gesloten tijdachtige krommen.

195

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..........

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

...................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

.....

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..........

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

...................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

..................

.....

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................

.............................................................

.............................................................

...........................................

...................................

.............................................................

.............................................................

..............................................................

.......

...............................................................

...............................................................

................................................................

...........................................

...................................

................................................................

...............................................................

................................................................

.......

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..............................

.......... .......... ....

......

.............................

............................

.. . .. .. . . . . . . .

. .

......................................

...........

. . . . ..... ...

......................................

.......

....

........

....

...................................... .................. ..............................

...........

......

.......

.........................................

............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

......................................

.................

..... .

. . ... . . . . .

.. . . . . . . .. . . . . .

.......

......

.........................

......................................................

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

...............

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

.....

....................................... . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .............

II

II

II

i0

ℑ−

ℑ+

i+

i0

II

I

II

I

r = 0 singulariteit

r = 0 singulariteit

‘intern’ruimtelijk ∞

pad met r, θ, φconstant

nieuw asymptotisch vlakuitwendige

ℑ+

ℑ−

III III

radiaal inkomendenulgeodeet eindigendop r = 0

r=r−

r = r+ event horizon

Figure 13.16: maximaal analytische uitbreiding van de reissner-nordstrømmetriek met Q < m

196