INLEIDING GROEPENTHEORIE - homepages.vub.ac.behomepages.vub.ac.be/~efjesper/cursus.pdf · Dit...

$: INLEIDING GROEPENTHEORIE - homepages.vub.ac.behomepages.vub.ac.be/~efjesper/cursus.pdf · Dit hoofdstuk is gebaseerd op de brugcursus \Wiskunde I" (VUB uit-gaven), Discrete Wiskunde$
INLEIDINGGROEPENTHEORIE

2013-2014

webstek:http://homepages.vub.ac.be/∼efjesper

HOC: woensdag 8-10 uur, sem 2WPO: donderdag 13-15 uur, sem 2

E. Jespers

Vakgroep WiskundeVrije Universiteit BrusselFaculteit Wetenschappen

ii

Inhoudsopgave

1 Inleiding 1

2 Een beetje brugcursus 5

2.1 Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Kwantoren en negaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Deelverzamelingen en gelijke verzamelingen . . . . . . . . 9

2.5 Bewerkingen met verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6 Cartesisch product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.7 Relaties en Functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.8 Geınduceerde functies, restrictie en corestrictie . . . . . . 16

2.9 Injecties en surjecties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.10 De samenstelling van functies en Inverse functies . . . . . 18

2.11 Enkele welbekende resultaten uit getaltheorie . . . . . . 21

3 Groepen 23

3.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3 Ringen en meer voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . 27

iii

iv INHOUDSOPGAVE

3.4 Vermenigvuldigingstabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.5 Elementaire Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.6 De orde van een element . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.7 Vergelijkingen in Groepen . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.8 Directe producten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Deelgroepen 47

4.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2 Speciale Deelgroepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3 Voortbrengers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Nevenklassen 57

5.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2 Stelling van Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.3 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6 Normale deelgroepen 63

6.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2 Elementaire eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7 Quotientgroepen 67

7.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.2 Deelgroepen van quotientgroepen . . . . . . . . . . . . . 71

8 Homomorfismen 73

8.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

8.2 Isomorfismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

8.3 Homomorfismestellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

INHOUDSOPGAVE v

9 Permutatiegroepen 85

9.1 Stelling van Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.2 Eindige Permutatiegroepen . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

10 Eindige Abelse Groepen 95

10.1 Directe Producten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

10.2 Fundamentele Stelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

11 Acties 101

11.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

11.2 Orbiet-Stabilisator Stelling . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

11.3 Sylowstellingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

11.4 Semidirecte producten van groepen . . . . . . . . . . . . 112

12 Oefeningen 115

Bibliografie 131

Index 132

vi INHOUDSOPGAVE

Hoofdstuk 1

Inleiding

Het concept “groep” is een van de meest fundamentele in “recente”wiskunde. De oorsprong van dit concept kan men reeds impliciet terugvinden in de studie van congruente meetkundige figuren en afstandbewa-rende functies (bewegingen) in de ruimte.

Abel (1802-1829)

Het is pas sedert de eerste helft van de 19-de eeuwdat het idee duidelijk werd gedefinieerd en erkend alseen belangrijke wiskundige gedachte. In die tijd washet begrip groep reeds prominent aanwezig in het werkvan Abel en Galois, en dit dan via de oplosbaarheidvan polynoomvergelijkingen van graad groter dan 4.

Later werd het begrip “beweging” veralgemeend endit verduidelijkte een belangrijk verband tussen de ver-schillende meetkunden en de transformatiegroepen vanhun meetkundige objecten. Het werk van Lie (1842-1899)

1

2 HOOFDSTUK 1. INLEIDING

Galois (1811-1832)

omtrent continue groepen versterkte het belang van het “groep” con-cept. Rond het einde van de 19-de eeuw werd het fundamentele belangvan groepen bijzonder duidelijk. Rond deze tijd werden transforma-tiegroepen en permutatiegroepen veralgemeend en kwam de abstractetheorie van groepen tot stand. Een eerste belangrijk boek met een over-zicht van de stand van zaken in het begin van de 20-ste eeuw is dat vanBurnside “Theory of Groups of Finite Order”,

Lie (1842-1899)

Burnside(1852-1927)

gepubliceerd in 1911. Tot in 1955 evolueerde groe-pentheorie gestadig, maar vanaf 1955 kwam er een ex-plosie in het onderzoek. Dit vanwege de publicatie vanenkele fundamentele ontdekkingen.

In deze cursus geven wij een inleiding in de groepen-theorie. Een ander belangrijk aspect is om de studentende “kunst” van “abstracte” bewijzen maken te leren ap-precieren en aan te leren.

De studiebenadering in deze cursus verschilt mis-schien van wat je tot nut toe gewoon bent in anderewiskunde cursussen. Tot op heden heb je waarschijn-lijk veel oefeningen/problemen kunnen oplossen door naar ”gelijkaardige

3

problemen”te zoeken in de tekst en dan wat de oplossingsmethode aante passen. In deze cursus zal deze methode slechts eventueel doenbaarzijn voor een zeer beperkt aantal opgaven/problemen, maar het zal voorde meeste problemen niet werken. Het is van belang dat je de materiezeer goed verstaat, en dat je dus problemen pas aanpakt na een eerstegrondige studie van de relevante theorie.

De cursus staat vol van definities, stellingen, eigenschappen en voor-beelden. De definities zijn van uiterst belang omdat wij moeten overeen-komen wat er precies (en dus eenduidig) bedoeld wordt me de gebruikteterminologie. Dikwijls wordt een definitie gevolgd door voorbeelden dieeen concept illustreren. Voorbeelden zijn het belangrijkste hulpmiddelin de tekst: geef er dus veel aandacht aan. Een nuttige hint voor destudie van deze cursus is om stellingen eerst grondig te lezen. Sla ineerste instantie het bewijs over, maar tracht te verstaan wat de stel-ling precies zegt. Dit kan je o.a. doen door na te gaan wat de inhoudvan een stelling betekent voor een concreet voorbeeld. Na een goedbegrip van de stelling lees je grondig een bewijs en probeer elke stapte verstaan. Bewijzen in algebra zijn dikwijls ”moeilijker”dan b.v. inanalyse en meetkunde omdat je meestal geen suggestieve tekening kanmaken. Een bewijs is meestal echter ”gemakkelijkals je het ”juiste ver-trekpunt/benadring”vindt.

4 HOOFDSTUK 1. INLEIDING

Hoofdstuk 2

Een beetje brugcursus

Dit hoofdstuk is gebaseerd op de brugcursus “Wiskunde I” (VUB uit-gaven), Discrete Wiskunde en Lineaire algebra: stelsels, matrices enafbeeldingen.

2.1 Logica

De wiskunde is opgebouwd uit “logische redeneringen”. Deze redene-ringen worden in het algemeen bestudeerd in de wiskundige disciplinedie “logica” heet. Logica komt uitgebreid aan bod in de cursus “Grond-slagen van de informatica I” (Prof. De Troyer). Wij zullen de taal ennotatie van de zogenaamde predikatenlogica gebruiken om redeneringenneer te schrijven. We herhalen hier enkele notaties en begrippen:

• de implicatie: p⇒ q (“Als p dan q”).

Voorbeeld 2.1.1 “x is deelbaar door 10 ⇒ x is even”.

• de negatie: ¬p.

Voorbeeld 2.1.2 De negatie van “Het regent” is “Het regent niet”.

5

6 HOOFDSTUK 2. EEN BEETJE BRUGCURSUS

• de contrapositie van de implicatie: p⇒ q is equivalent met ¬q ⇒¬p. Dit is zeer belangrijk! p ⇒ q is ook equivalent met ¬p ∨ q(het symbool ∨ lees je als “of”).

Voorbeeld 2.1.3 Om te bewijzen dat “n2 even ⇒ n even” is hetgemakkelijker te bewijzen dat “n oneven ⇒ n2 oneven”.

• de equivalentie: “p ⇔ q (p is equivalent met q”). p ⇔ q isequivalent met (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p). Het is ook equivalent met(p⇒ q) ∧ (¬p⇒ ¬q) (het symbool ∧ lees je als “en”).

Voorbeeld 2.1.4 “n2 even ⇔ n even”.

• negatie van de implicatie: ¬(p⇒ q) is equivalent met p ∧ ¬q.

Opmerking 2.1.5 De negatie van de implicatie is niet hetzelfdeals contrapositie!

2.2 Verzamelingen

Een fundamenteel begrip in de wiskunde is verzameling. Het is ech-ter moeilijk dit begrip precies te definieren. Verzamelingen laten toealle (wiskundige) objecten met dezelfde kenmerken te groeperen of teverzamelen.

Voorbeeld 2.2.1 De verzameling priemgetallen groepeert alle positievegehele getallen die juist twee verschillende delers bezitten.

Een object uit een gegeven verzameling heet een element. We note-ren verzamelingen meestal met Latijnse hoofdletters: A,B,C, . . . , X, Y, Z.Sommige verzamelingen verdienen een speciaal symbool:

• N = 0, 1, 2, . . .: de natuurlijke getallen

• Z = . . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, . . .: de gehele getallen

• Q = ab| a, b ∈ Z, b 6= 0: de rationale getallen

2.2. VERZAMELINGEN 7

• R: de reele getallen

• C = a+ bi | a, b ∈ R: de complexe getallen

Een verzameling kan gedefinieerd worden door haar elementen op tesommen tussen accolades. We kunnen ook een algemene beschrijvinggeven van haar elementen zoals in het voorbeeld van Q. Hierbij moet jehet verticale streepje “|” lezen als “waarvoor geldt”. Soms schrijft men“:” in plaats van “|”. Het symbool “∈” betekent “is element van” of“behoort tot”. Meer voorbeelden:

• R0 = x ∈ R | x 6= 0

• R+ = x ∈ R | x ≥ 0

• R+0 = x ∈ R | x > 0

• Mn(R): de verzameling van de n×n-matrices over R.. Zo’n matrixnoteren wij dikwijls als volgt

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

an1 an2 · · · ann

of kortweg als

(aij) .

• Mn(C): de verzameling van de n× n-matrices over C..

De lege verzameling ∅ bevat geen elementen. Een verzameling metminstens 1 element wordt een niet-lege verzameling genoemd.

¬(x ∈ A) korten we af tot x 6∈ A, “x behoort niet tot A”.


2.3 Kwantoren en negaties

Sommige uitspraken of eigenschappen zijn geldig voor alle objecten ineen gegeven verzameling. Om dit te noteren gebruiken we de kwantor“voor alle”: ∀.

Voorbeeld 2.3.1 ∀ x ∈ R : x2 ≥ 0.

Het dubbelpunt “:” betekent in een logische uitspraak “geldt”.

Er is ook een kwantor “er bestaat” indien men wil zeggen dat eeneigenschap geldt voor minstens een element in een gegeven verzameling.

Voorbeeld 2.3.2 ∃ x ∈ R : x2 = x.

Soms wil men benadrukken dat er slechts een element bestaat metde gegeven eigenschap.

Voorbeeld 2.3.3 ∃! x ∈ R+0 : x2 = x.

De volgorde van kwantoren heeft belang! Bijvoorbeeld

∀ x ∈ R∃ y ∈ R+ : x2 = y

is waar, terwijl

∃ y ∈ R+∀ x ∈ R : x2 = y

onwaar is.

Opmerking 2.3.4 De letters die we gebruiken als variabelen hebbenuiteraard geen belang:

∀ β ∈ R∃ b ∈ R+ : β2 = b

is dezelfde uitspraak als de eerste, maar anders geschreven.

2.4. DEELVERZAMELINGEN EN GELIJKE VERZAMELINGEN 9

Negaties van uitspraken zijn zeer belangrijk. Denk bijvoorbeeld aanhet bewijs door contrapositie.

De negatie van ∀ x ∈ X : p(x) is ∃ x ∈ X : ¬p(x) en de negatie van∃ x ∈ X : p(x) is ∀ x ∈ X : ¬p(x).

Voorbeeld 2.3.5 De negatie van

∀ x ∈ X∀ ε ∈ R+0 ∃ δ ∈ R+

0 : (|x− a| < δ) ⇒ (|f(x)− f(a)| < ε)

is

∃ x ∈ X∃ ε ∈ R+0 ∀ δ ∈ R+

0 : (|x− a| < δ) ∧ (|f(x)− f(a)| ≥ ε)

2.4 Deelverzamelingen en gelijke verzame-

lingen

Indien elk element van een verzameling A ook behoort tot een verza-meling B, zeggen we dat A een deelverzameling is van B of dat B deverzameling A omvat.

Symbolisch:A ⊆ B ⇔ ∀ a ∈ A : a ∈ B

Voor A ⊆ B schrijven we ook B ⊇ A. We hebben steeds B ⊆ Ben ∅ ⊆ B. Alle andere deelverzamelingen heten echte deelverzamelingenvan B.

Voorbeelden 2.4.1

1, 2, 3 ⊆ N ⊆ Z ⊂ Q ⊆ R ⊆ C.

Z 6⊆ R+

Twee verzamelingen A en B zijn gelijk indien ze dezelfde elementenhebben. Dit is het geval als en slechts als

(A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A).


We noteren dit alsA = B.

Er volgt dat A 6= B indien (A 6⊆ B) ∨ (B 6⊆ A), d.w.z. (∃ a ∈ A : a 6∈B) ∨ (∃ b ∈ B : b 6∈ A).

Dus, in vele bewijzen van de gelijkheid van twee verzamelingen wordteen bewijs gegeven in twee gedeelten.

Wij bewijzen nu de volgende gelijkheid van verzamelingen:

r ∈ R | r − 1 ≥ 0 = a2 + 1 | a ∈ R

Inderdaad, stel A = r ∈ R | r − 1 ≥ 0 and B = a2 + 1 | a ∈ R.Wij tonen eerst aan dat A ⊆ B. Zij daarom r ∈ A. Dus r − 1 ≥ 0.Bijgevolg r − 1 = a2 voor een a ∈ R. Er volgt dat r = a2 + 1 and dusr ∈ B. Bijgevolg hebben wij aangetoond dat als r ∈ A dan r ∈ B,m.a.w. A ⊆ B. Voor de omgekeerde inclusie, zij b ∈ B. Dus b = a2 + 1voor een a ∈ R. Dan b − 1 = a2 ≥ 0. Bijgevolg b ∈ A. Wij hebbendus aangetoond dat als b ∈ B dan b ∈ A, m.a.w. B ⊆ A. De inclusiesA ⊆ B en B ⊆ A tonen aan dat A = B.

Het is ook evident dat r ∈ R | r2 < 0 = ∅ en r ∈ R | r2−3r+2 =0 = 1, 2.

De verzameling van alle deelverzamelingen van een gegeven verza-meling X noteren we P(X). Er geldt dus

P(X) = S verzameling | S ⊆ X

2.5 Bewerkingen met verzamelingen

De doorsnede van A en B is de verzameling

A ∩B = x ∈ A | x ∈ B.

Twee verzamelingen A en B heten disjunct indien A ∩B = ∅, d.w.z. zehebben geen elementen gemeenschappelijk.

De unie van A en B is

A ∪B = x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B).

2.5. BEWERKINGEN MET VERZAMELINGEN 11

Het verschil van A en B is de verzameling

A \B = x | (x ∈ A) ∧ (x 6∈ B).

Voorbeeld 2.5.1 Stel A = 1, 2, 3 en B = 2, 3, 4, 5. Dan geldt:A ∩B = 2, 3, A ∪B = 1, 2, 3, 4, 5, A \B = 1 en B \ A = 4, 5

Als A ⊆ B, dan heetB \ A

het complement van A t.o.v. B. Soms speelt een wiskundige theoriezich volledig af in een gegeven verzameling U . In dat geval wordenalle complementen berekend t.o.v. U (tenzij anders vermeld natuurlijk).Voor A ⊆ U noteert men dan kort Ac, A of A voor het complementU \ A. De verzameling U noemt men het universum van de theorie.

Zij I een verzameling. Onderstel dat voor elke i ∈ I een verzamelingAi gegeven is. Zo bekomen we een verzameling A = Ai | i ∈ I vanverzamelingen geındexeerd door I.

Voorbeeld 2.5.2 Stel I = 3, 4, 5, 6, 7 en Ai = 1, 2, 3, . . . , i. Danis A3 = 1, 2, 3, A4 = 1, 2, 3, 4, enz. Stel J = N0, Bj = [0, 1

j], een

gesloten interval in R. Dan is B1 = [0, 1], B2 = [0, 12], enz.

De doorsnede van alle verzamelingen geındexeerd door I definierenwe als ⋂

A =⋂i∈I

Ai = x | ∀ i ∈ I : x ∈ Ai

en analoog definieren we de unie⋃A =

⋃i∈I

Ai = x | ∃ i ∈ I : x ∈ Ai.

Voorbeeld 2.5.3 We keren terug naar de vorige voorbeelden. Er geldt:⋃i∈I

Ai = A7 ,⋂i∈I

Ai = A3

⋃j∈J

Bj = [0, 1] ,⋂j∈J

Bj = 0.


2.6 Cartesisch product

Zijn A, B twee verzamelingen. Het cartesisch product van A en B is deverzameling

(a, b) | a ∈ A, b ∈ B.

Wij noteren deze als

A×B

De elementen vanA×B heten koppels. Als (a, b), (c, d) ∈ A×B dan geldt(a, b) = (c, d) ⇐⇒ (a = c) ∧ (b = d). Als a 6= b geldt (a, b) 6= (b, a). Inhet algemeen zijn dus A×B en B ×A verschillend. Als A,B ⊆ U dangeldt A×B ⊆ U × U en niet A×B ⊆ U !

Als A eindig is (d.w.z. A bevat een eindig aantal elementen) noterenwe het aantal elementen in A met |A| of #A. Als A en B eindig zijngeldt |A×B| = |A| · |B|.

Voorbeelden 2.6.1

Stel A = 2, 3 en B = 4, 5, 6. Dan

A×B = (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)

en

B × A = (4, 2), (4, 3), (5, 2), (5, 3), (6, 2), (63, ).

Stel A = [1, 3] en B = [1, 2]. Dan geldt A×B ⊆ R× R = R2.

Het Cartesisch product A× A noteren we kort A2.

Op een evidente manier definieert men algemener het Cartesischproduct van n verzamelingen A1, . . . , An als volgt

A1 × · · · × An = (a1, a2, . . . , an) | a1 ∈ A1 ∧ · · · ∧ an ∈ An

Het Cartesisch product A×A×· · ·×A van n keer dezelfde verzamelingschrijven we An.

2.7. RELATIES EN FUNCTIES 13

2.7 Relaties en Functies

Een relatie van een verzameling A naar een verzameling B is per definitieeen deelverzamelingR van het cartesisch product A×B. Als (a, b) ∈ R,schrijven we aRb.

Voorbeeld 2.7.1 Beschouw de verzameling A = 1, 2, 3, 4 en de re-latie “is kleiner dan of gelijk aan” op A. Dan is:

R = (a, b) ∈ A× A | a ≤ b= (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4), (4, 4)

De inverse relatie R−1 van R is per definitie

R−1 = (b, a) | (a, b) ∈ R.

Dit is een relatie van B naar A.

Voorbeeld 2.7.2 Terugkerend naar het vorige voorbeeld geldt:

R−1 = (1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (3, 3), (4, 3), (4, 4).

Zijn A,B verzamelingen. Een functie van A naar B is een relatievan A naar B waarbij elk element van A precies een keer voorkomtals eerste component van een koppel in de relatie. De verzameling Aheet het domein van de functie en B is het codomein. Meestal note-ren we functies met kleine letters en vermelden we duidelijk domein encodomein. Als f ⊆ A×B een functie is, noteren we

f : A −→ B

Dus f ⊆ A×B is een functie als aan de volgende eigenschap voldaanis:

als (a, b) en (a, b′) ∈ f dan b = b′.

M.a.w.,f ⊆ S × T

en∀a ∈ A ∃!b ∈ B : (a, b) ∈ f.


Voorbeeld 2.7.3 Als A = 1, 2, 3 en B = a, b, c, d, dan is f =(1, a), (2, b), (3, b) een functie en R = (1, a), (2, b), (2, a), (3, d) iseen relatie maar geen functie.

Het woord afbeelding is een synoniem voor functie.

Zij f : A −→ B een functie. Indien (a, b) ∈ f noteren we

f(a) = b.

Het element b ∈ B heet beeld van a door f en a heet een origineel vanb voor f . We zeggen ook dat f het element a op het element b stuurt,notatie:

a 7→ b.

Merk op dat niet alle elementen van het codomein een origineel hebben,maar elk element van het domein heeft wel een beeld.

Voor vele functies bestaat er een “formule” om het beeld van eenwillekeurig element van het domein te berekenen. Dit heet het functie-voorschrift. De volledige notatie voor een functie wordt dan:

f : A −→ B : a 7−→ f(a)

waarbij f(a) het functievoorschrift is.

Voorbeelden 2.7.4

f : R −→ R : x 7→ x2 + 5

g : R −→ R : x 7→

5x als x ≥ 0−2x als x < 0

Een functie wordt dus gedefinieerd door drie gegevens: domein, co-domein en functievoorschrift. Deze gegevens zijn alle even belangrijk!

Voor een functie f : A −→ B en S ⊆ A definieren we het beeld vanS door f als

f(S) = f(s) | s ∈ S= b ∈ B | ∃ s ∈ S, f(s) = b

2.7. RELATIES EN FUNCTIES 15

Dus geldt zeker f(S) ⊆ B.

f(A), het beeld van het hele domein van f , noemen we het beeldvan f . We noteren dit soms ook Im f . Im f is dus een deel van hetcodomein.

Voorbeeld 2.7.5 Zij f : R −→ R : x 7→ x2. Dan is f([−1, 2]) =[0, 4] en Im f = R+. Uit dit voorbeeld leren we dat Im f dus in hetalgemeen niet gelijk is aan het codomein van f . Verwar dus niet beelden codomein!

Nog steeds voor f : A −→ B maar nu T ⊆ B, definieren we hetinvers beeld f−1(T ) van T onder f als

f−1(T ) = a ∈ A | f(a) ∈ T.

Merk op dat f−1(T ) een notatie is en niet impliceert dat er voor f eeninverse functie bestaat.

Als T een singleton b is, schrijven we f−1(b) i.p.v. f−1(b).

Voorbeeld 2.7.6 Met f zoals in het vorige voorbeeld hebben we: f−1(4) =−2, 2, f−1(−1) = ∅ en f−1(f([0, 1])) = f−1([0, 1]) = [−1, 1].

In het algemeen geldt:

∀ S ⊂ A : f−1(f(S)) ⊇ S

en, zoals het voorbeeld toont, niet f−1(f(S)) = S. We bewijzen diteven. Zij dus f : A −→ B een functie en S ⊆ A. We moeten bewijzen:

∀ s ∈ S : s ∈ f−1(f(S)).

Maar dit is equivalent met

∀ s ∈ S : f(s) ∈ f(S) = f(t) | t ∈ S,

wat duidelijk voldaan is.


2.8 Geınduceerde functies, restrictie en co-

restrictie

Als een functie f : A −→ B gegeven is, kan je gemakkelijk een functievan A × A naar B × B definieren. We beelden (a, a′) gewoon af op(f(a), f(a′)). Algemeen kan je functies An −→ Bn maken voor allemachten n. Je kan ook een functie maken op de delenverzameling P(A)van A. Door P(A) −→ P(B) : S 7−→ f(S).

We noteren al deze functies afgeleid uit f meestal nog altijd met fen noemen ze de functies door f geınduceerd op A× A (of op An of opP(A)).

We kunnen ook beslissen om de functie f : A −→ B te bekijkenop een deelverzameling X van A. Dan spreken we van de restrictie ofbeperking van f tot X. We noteren deze functie met f |X . Er geldt dus

f |X : X −→ B : x 7−→ f(x)

We kunnen ook het codomein van de functie f beperken. Zij Y ⊆ Bzo dat ∀ a ∈ A : f(a) ∈ Y . Dan is de corestrictie van f tot Y de functie

f |Y : A −→ Y : x 7−→ f(x)

We kunnen natuurlijk ook domein en codomein tegelijk beperken zo-dat we een functie f |YX : X −→ Y bekomen met voor elke x ∈ X : f |YX(x) =f(x).

2.9 Injecties en surjecties

Definitie 2.9.1 Een functie f : A −→ B heet injectief indien elk ele-ment van B hoogstens een keer voorkomt als tweede component van eenkoppel in f .

Anders gezegd: elk element van B heeft hoogstens n origineel. Noganders gezegd: indien twee elementen van A hetzelfde beeld hebben,

2.9. INJECTIES EN SURJECTIES 17

moeten ze gelijk zijn. In symbolen:

f : A −→ B

is injectief als en slechts als

∀ a, b ∈ A : (f(a) = f(b))⇒ (a = b).

Voorbeeld 2.9.2 f : R −→ R : x 7→ x2 is niet injectief. Immers12 = (−1)2 maar 1 6= −1. Anderzijds is g : R+ −→ R : x 7→ x2 welinjectief want a2 = b2 ⇐⇒ a = ±b, maar aangezien a, b ∈ R+ geldta = b.

We zien dat we een functie injectief kunnen maken door punten uithet domein weg te laten. De functie g uit het voorbeeld is gewoon derestrictie van f tot R+, of f |R+ .

Definitie 2.9.3 Een functie f : A −→ B is surjectief indien Im f = B.

Anders gezegd: elk element van het codomein heeft minstens eenorigineel. Symbolisch:

∀ b ∈ B : ∃ a ∈ A : f(a) = b.

Voorbeeld 2.9.4 g : R+ −→ R : x 7−→ x2 is niet surjectief. Decorestrictie g|R+

is dat wel.

Door het codomein te beperken kan je een functie dus surjectiefmaken.

Een functie die tegelijk surjectief en injectief is, heet bijectief. Eenfunctie is bijectief als en slechts als

∀ b ∈ B : ∃! a ∈ A : f(a) = b.

Voorbeeld 2.9.5 h : R+ −→ R+ : x 7−→ x2 is bijectief.


Een bijectie van een verzameling naar zichzelf heet een permutatie.Een zeer belangrijke permutatie is de identieke permutatie of de identi-teit. Deze beeldt elk element af op zichzelf. We noteren de identieke per-mutatie van een verzameling X als 1X . Er geldt dus ∀x ∈ X : 1X(x) = xof

1X : X −→ X : x 7−→ x

Andere notaties voor de identieke permutatie op X zijn iX , IdX ofidX .

2.10 De samenstelling van functies en In-

verse functies

Beschouw twee functies f : A −→ B en g : B −→ C, waarbij hetdomein van g het codomein van f is. Dan kunnen we op elk beeld f(a)de functie g toepassen. Zo definieren we een nieuwe functie van A naarC die we

g fnoteren (lees “g na f” omdat we eerst f toepassen en dan g). Dus:

g f : A −→ C : a 7→ g(f(a)).

Voorbeeld. Stel f : R −→ R : x 7→ x − 1 en g : R −→ R : x 7→ x2.Dan zijn:

g f : R −→ R : x 7→ g(x− 1) = (x− 1)2

f g : R −→ R : x 7→ x2 − 1f f : R −→ R : x 7→ x− 2g g : R −→ R : x 7→ x4

We merken op dat f g 6= g f , dus de volgorde heeft belang.

Eigenschap 2.10.1 De samenstelling van functies is associatief: voorelke drie functies

Af−→ B

g−→ Ch−→ D

geldth (g f) = (h g) f

2.10. DE SAMENSTELLING VAN FUNCTIES EN INVERSE FUNCTIES19

Bewijs. Domeinen en codomeinen zijn duidelijk gelijk. Zij a ∈ A, dan

(h (g f))(a) = h((g f)(a))

= h(g(f(a)))

= (h g)(f(a))

= ((h g) f)(a).

Als gevolg van vorige eigenschap noteren wij h (g f) eenvoudigals h g f .

Definitie: Zij f : A −→ B een functie. Indien een functie g : B −→A voldoet aan

f g = 1B en g f = 1A

dan heet g een invers voor f . We zeggen dan ook dat f inverteerbaaris.

Niet alle functies hebben een invers. Een inverse g van f : A −→ Bmoet een functie zijn van B naar A. Dus moet voor elke b ∈ B precieseen beeld g(b) ∈ A voorzien worden. Bovendien moet gelden (f g)(b) =1B(b) = b. Bijgevolg moet g(b) ∈ f−1(b). Opdat g : B −→ A een functiezou zijn is dus nodig dat ∀ b ∈ B : f−1(b) 6= ∅. Dit komt erop neer datf surjectief moet zijn.

Als f : A −→ B surjectief is, zouden we als volgt een inverse g :B −→ A kunnen construeren: voor elke b ∈ B kiezen we een beeld g(b)in f−1(b). Maar is zulke g dan een invers van f?

De voorwaarde g f = 1A dwingt de injectiviteit van f . Inderdaad:als f niet injectief is, bestaan er a 6= a′ ∈ A met f(a) = f(a′). Stelb = f(a), dan geldt a, a′ ∈ f−1(b). Kiezen we dan als beeld van b door ghet element a, dan hebben we g(b) = g(f(a)) = (g f)(a) = 1A(a) = a,maar ook g(b) = g(f(a′)) = (g f)(a′) = 1A(a′) = a′. Dus a = a′, watin tegenspraak is met a 6= a′.

Als f een bijectie is, is ∀ b ∈ B : f−1(b) een singleton. Er is dus geenkeuze voor het construeren van de inverse g. De functie g : B −→ A isdan wel degelijk een inverse van f .

We hebben bewezen:


Stelling 2.10.2 Enkel bijectieve functies hebben een invers.

Eigenschap 2.10.3 Een functie heeft hoogstens een invers.

Bewijs. Zij f : A −→ B en zijn g : B −→ A en g′ : B −→ A tweeinversen. Dan geldt, ∀ b ∈ B:

g(b) = g(1B(b))

= g((f g′)(b))= (g f g′)(b)= (g f)(g′(b))

= 1A(g′(b))

= g′(b).

Vermits de domeinen en codomeinen van g en g′ gelijk zijn, hebben weg = g′.

Nu we weten dat elke inverteerbare functie juist een invers heeft,kunnen we spreken over het invers van een functie f in plaats van overeen invers. We noteren de inverse functie

f−1

Verwar dit niet met inverse beelden die voor alle functies gedefinieerdzijn, niet enkel voor bijecties.

Voorbeeld 2.10.4 h : R+ −→ R+ : x 7→ x2 is een bijectie. Haarinverse kennen we goed. Het is h−1 : R+ −→ R+ : x 7→

√x.

Zij X een verzameling en Sym(X) de verzameling van alle bijectiesf van X naar X (men noemt f ook een permutatie op X).

Eigenschap 2.10.5 Zij X een verzameling. De volgende eigenschap-pen zijn voldaan:

1. voor alle f, g ∈ Sym(X): f g ∈ Sym(X).

2.11. ENKELEWELBEKENDE RESULTATEN UIT GETALTHEORIE21

2. Sym(X)× Sym(X)→ SymX : (f, g) 7→ f g is een functie.

3. voor alle f, g, h ∈ Sym(X): f (g h) = (f g) h.

4. 1X ∈ Sym(X) en voor alle f ∈ Sym(X): f 1X = f = 1X f .

5. voor alle f ∈ Sym(X) bestaat g ∈ Sym(X) zodat fg = 1X = gf .Er volgt dat g = f−1.

Dan is (Sym(X), ) een groep (zie volgend hoofdstuk voor de defini-tie) met als neutraal element 1X . Men noemt dit de symmetrische groepop de verzameling X (of de permutatiegroep op X)

2.11 Enkele welbekende resultaten uit ge-

taltheorie

Vooreerst is het welbekend dat elke niet-lege verzameling van natuurlijkegetallen een kleinste natuurlijk getal bevat. Dus

Als ∅ 6= X ⊆ N dan ∃x ∈ X ∀y ∈ X : x ≤ y.

Als a, b ∈ Z dan noteren wij met

a|b

het feit dat er een c ∈ Z bestaat zodat ac = b. Men zegt “a is een delervan b”, of “b is een veelvoud van a”.

Een priemgetal p is een geheel getal p ≥ 2 zodat als a|p met a ∈ Zen a ≥ 0 dan a = 1 of a = p.

Een belangrijke stelling zegt dat elk geheel getal a ≥ 2 het productis van priemgetallen en dit op een unieke manier, in de volgende zin.Veronderstel dat

a = p1 · · · pn en a = q1 · · · qm,

waarbij alle pi’s en qj’s priemgetallen zijn. Dan n = m en de qj’s kunnengeherindexeerd worden zodat qi = pi voor alle i met 1 ≤ i ≤ n.


Als toepassing kan men dan bewijzen dat er oneindig veel priemge-tallen zijn.

Een andere belangrijke eigenschap is het delingsalgoritme. Zij a enb gehele getallen met a > 0. Dan bestaan er unieke gehele getallen q enr zodat

b = qa+ r met 0 ≤ r < a.

Wij vermelden ook een formulering van wiskundige inductie. ZijS(n) een verklaring voor elke n ∈ N0. Veronderstel dat

1. S(1) waar is en

2. als S(n) waar is dan is S(n+ 1) waar.

Er volgt dat S(n) waar is voor elke n ∈ N0.

Wiskundige inductie is dikwijls een handige manier om allerlei re-sultaten te bewijzen. Zo kan men bijvoorbeeld de binomiaalontbindingop deze manier bewijzen. Voor alle complexe getallen a en b en vooralle niet-nul natuurlijke getallen geldt dat

(a+ b)n =n∑i=0

n!

i! (n− i)!aibn−i.

Het getal n!i! (n−i)! noteert men als(

n

i

),

en men leest dit als “n kies i” en men noemt dit een binimiaalcoefficient.Dus

(a+ b)n =n∑i=0

(n

i

)aibn−i.

Het is welbekend dat (n

0

)= 1 en

(n

n

)= 1

en, voor i ≥ 1, (n+ 1

i

)=

(n

i− 1

)+

(n

i

).

Hoofdstuk 3

Groepen

3.1 Definitie

In de volgende definitie geven wij de essentie van wat wij een “product”noemen. In voorbeelden kan zo’n product een optelling zijn, soms eenvermenigvuldiging, soms een samenstelling van functies, er zijn velemogelijkheden.

Definitie 3.1.1 Zij S een niet-lege verzameling en ∗ : S × S → S eenfunctie (wij noemen dit ook een binaire bewerking op S, of eenvoudigeen bewerking op S ). Voor s, t ∈ S noteren wij het beeld ∗(s, t) door

s ∗ t.

Als ∗ voldoet aan de volgende eigenschap:

voor alle s1, s2, s3 ∈ S : s1 ∗ (s2 ∗ s3) = (s1 ∗ s2) ∗ s3 (associativiteit)

dan noemen wij (S, ∗) een semigroep (als de bewerking ∗ duidelijk isuit de context dan noteren wij deze semigroep eenvoudig door S). Wijnoteren s1 ∗ (s2 ∗ s3) dan eenvoudig als

s1 ∗ s2 ∗ s3.

Als er bovendien een element e ∈ S bestaat zodat

voor alle s ∈ S : e ∗ s = s ∗ e = s

23

24 HOOFDSTUK 3. GROEPEN

dan noemen wij (S, ∗) een monoıde . Men noemt e het eenheidselement(of neutraal element). Soms noteren wij deze informatie ook als (S, ∗, e).

Indien (S, ∗) een monoıde is met eenheidselement e dan noemen wijdit een groep als bovendien voldaan is aan de volgende voorwaarde:

voor alle s ∈ S bestaat een h ∈ S zodat s ∗ h = h ∗ s = e.

Een abelse semigroep (respectievelijk, monoıde of groep) is een se-migroep (S, ∗) (respectievelijk, monoıde of groep) zodat

s ∗ t = t ∗ s

voor alle s, t ∈ S. (Dikwijls gebruikt men het woord “commutatief” inplaats van “abels”.)

Net zoals voor de vermenigvuldiging van getallen zullen wij dikwijlsde bewerking ∗ niet schrijven (vooral als de bewerking duidelijk is uitde context). Dus a ∗ b schrijft men dan eenvoudig als ab.

Abelse groepen zijn genoemd naar de Noorse wiskundige Niels Hen-drik Abel (1802-1829). Hij was o.a. geinteresseerd in de oplosbaarheidvan polynoomvergelijkingen. In 1928 bewijs hij het volgende. Als de wor-tels van zo’n vergelijking kunnen uitgedrukt worden als rationale functiesf, g, . . . , h in een van de wortels, zeg x, en als voor elke twee wortels,f(x) and g(x), geldt dat f(g(x)) = g(f(x)), dan is de vergelijking oplos-baar door radikalen. Abel toonde aan dat deze functies een permutatiegeven van de wortels van de vergelijking; dus deze functies zijn elemen-ten van de groep van permutaties van de wortels. Het was die commu-tativiteitseigenschap in deze permutatiegroep die geleid heeft tot de ter-minologie “abelse groep”. Later kan je dit alles in detail bestuderen in decursus Galois Theorie.

Abel (1802-1829)

3.2 Voorbeelden

(1) De verzameling van de natuurlijke getallen N voor-zien van de optelling is een commutatieve monoıde metneutraal element 0. Het is echter geen groep.

3.2. VOORBEELDEN 25

(2) Zij Q0 de verzameling van niet-nul elementenvan Q, d.w.z. de niet-nul rationale getallen. Als ∗ degewone vermenigvuldiging · is, dan is (Q0, ·) een abelsegroep met neutraal element 1.

(3) Zij C = a + bi | a, b ∈ R de verzameling vande complexe getallen. Dan is (C,+) een abelse groepmet als bewerking de optelling:

(a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i,

waarbij a, b, c, d ∈ R. Dus (C,+) is een abelse groep.

(4) Het vlak R2 is abelse groep voor de optelling van vectoren, d.w.z.(a, b) + (a′, b′) = (a + a′, b + b′). Meer algemeen is een vectorruimte Veen abelse groep voor de optelling van vectoren.

(5) Ook is de verzameling C0 van alle niet-nul complexe getallen,voorzien van de gewone vermenigvuldiging als bewerking, een abelsegroep. Herinner dat, voor a, b, c, d ∈ R,

(a+ bi)(c+ di) = (ac− bd) + (ad+ bc)i,

en als 0 6= a+ bi ∈ C dan is

(a+ bi)

(a

a2 + b2− b

a2 + b2i

)= 1,

dus in de groep (C0, ·),

(a+ bi)−1 =a

a2 + b2− b

a2 + b2i.

De complex toegevoegde van z = a+ bi (met a, b ∈ R) is

z = a− bi

en de modulus van z is

|z| = |a+ bi| =√a2 + b2.


Dus als z 6= 0 (of equivalent |z| 6= 0) dan

z−1 = |z|−2z.

(6) De verzameling 1,−1 voorzien van de vermenigvuldiging is eenabelse groep, (1,−1, ·).

(7) Zij Afb(X) de verzameling van alle functies met domein en doelde verzameling X. Dus

Afb(X) = f | f : X → X.

Dan is (de samenstelling van functies) een binaire bewerking opAfb(X):

Afb(X)× Afb(X)→ Afb(X) : (f, g) 7→ f g.

Bovendien is (Afb(X), ) een monoıde met als neutraal element 1X , deidentieke functie op X (dus 1X(x) = x voor alle x ∈ X). Als X meerdan een element bevat dan is (Afb(X), ) geen groep. In dit geval zijx, y ∈ X met x 6= y. Zij dan

cx : X → X : a 7→ x,

de constante functie op x. Dan is cx geen bijectie en er bestaat dus geenfunctie g ∈ Afb(X) zodat cx g = 1X = g cx.

(8) Zij X een verzameling. Wegens Eigenschap 2.10.5 is (Sym(X), )een groep. Men noemt dit de symmetrische groep op de verzameling X(of de permutatiegroep op X). Het neutraal element is 1X .

(9) Zij s een spiegeling van het vlak R2 dan is (1, s, ) een abelsegroep.

(10) Beschouw een rotatie R om de oorsprong in het reele vlak R2.Dan is (Rn | n ∈ Z, ) een abelse groep.

(11) Zij X een verzameling. De Boolse groep

3.3. RINGEN EN MEER VOORBEELDEN 27

Boole 1815-1864

(P(X),+) bestaat uit de verzameling P(X) waar-van de elementen alle deelverzamelingen van X zijn dus

P(X) = Y | Y is een deelverzameling van X,

en de bewerking “het symmetrisch verschil”, genoteerd+. Voor A,B ∈ P(X) is per definitie:

A+B = (A \B) ∪ (B \ A).

Het neutraal element is de lege verzameling ∅. Merk op dat A+A = ∅.Dus A−1 = A.

3.3 Ringen en meer voorbeelden

Om nog meer voorbeelden van groepen te behandelen, geven wij nu dedefinitie van een ring.

Definitie 3.3.1 Zij R een verzameling met twee bewerkingen + en ·die voldoen aan de volgende eigenschappen:

1. (R,+) is een abelse groep (het neutraal element noteert men meestal0 en men noemt dit het nulelement van R),

2. (R, ·) is een monoıde,

3. voor alle a, b, c ∈ R:

a · (b+ c) = (a · b) + (a · c)

en(b+ c) · a = (b · a) + (c · a)

(de distributiviteitswetten).

Dan noemt men (R,+, ·) een ring. Indien bovendien (R \ 0, ·) eenabelse groep is, dan noemt men R een lichaam (of een veld). Het neu-traal element van (R, ·) noemt men het eenheidselement van de ring ennoteert men meestal als 1.


Wij geven enkele voorbeelden.

(1) Duidelijk zijn (Q,+, ·), (R,+, ·) en (C,+, ·) lichamen, en is (Z,+, ·)een commutatieve ring (d.w.z. een ring met (Z, ·) een abelse monoıde)die geen lichaam is.

(2) Als R een ring is dan noteren wij met Mn(R) de verzameling vanalle n× n-matrices over R. Een n× n-matrix met op de (i, j)-de plaatshet element rij noteren wij meestal als volgt

(rij)

De som en product van matrices werd in lineaire algebra als volgt ge-definieerd:

(aij) + (bij) = (aij + bij)

en(aij) (bij) = (cij)

met

cij =n∑k=1

aikbkj.

Er volgt dat (Mn(R),+, ·) een ring is met als eenheidselement In, deidentiteitsmatrix.

Zij F een lichaam. De determinant van een matrix A ∈ Mn(F )noteren wij met det(A). De verzameling van alle matrices A ∈ Mn(F )met det(A) 6= 0 noteert men als GLn(F ). Met SLn(F ) noteert mende verzameling van alle A ∈ Mn(F ) met det(A) = 1. Er volgt dat(Mn(F ), ·) een monoıde is en dat beide

(GLn(F ), ·)

en(SLn(F ), ·)

groepen zijn (men noemt deze, respectievelijk, de lineaire groep vangraad n over F en de speciaal lineaire groep van graad n over F ).Beiden hebben als neutraal element In.

(3) Als R een ring is dan noteren wij

U(R) = a ∈ R | er bestaat b ∈ R zodat ab = ba = 1


Er volgt dat (U(R), ·) een groep is. Men noemt dit de groep van deinverteerbare elementen van R. Zo is bijvoorbeeld

U(Mn(F )) = GLn(F ),

voor een lichaam F .

(4) Men noemt een inverteerbare matrix A ∈Mn(R) stochastisch alselk van zijn kolomsommen gelijk is aan 1. D.w.z., als A = (aij), dan

n∑i=1

aij = 1, voor elke j met 1 ≤ j ≤ n.

De verzameling van alle zulke stochastische matrices noteren wij als∑(n,R).

Deze verzameling voorzien van de vermenigvuldiging van matrices is eengroep. Men noemt dit de stochastische groep van graad n.

(5) Zij a, b ∈ R met a 6= 0 en zij fa,b : R→ R de functie gedefinieerdals volgt:

f(x) = ax+ b.

De affiene groep GA(1,R) is de verzameling van alle zulke functies, dus

GA(1,R) = fa,b | a, b ∈ R, a 6= 0.

De bewerking is de samenstelling van functies. Merk op dat

fa,b fc,d = fac,ad+b.

(6) Ook is de verzameling

A =

[a b0 1

]| a, b ∈ R, a 6= 0


een groep voor de matrixvermenigvuldiging. Bovendien is de functie

ψ : GA(1,R)→ A : fa,b 7→[a b0 1

]een bijectie zodat

ψ(fa,b fc,d) = ψ(fa,b)ψ(fc,d).

(7) Zij Q =

[1 01 1

]. Definieer dan

ϕ :∑

(2,R)→ A : A 7→ QAQ−1.

Dit is een bijectie die voldoet aan

ϕ(AB) = ϕ(A)ϕ(B).

(8) Herinner dat elk complex getal z = a + bi (met a, b ∈ R) kangeschreven worden als

z = r (cos θ + i sin θ),

met θ ∈ R en θ ∈ [0, 2π) en r = |z|. Men noemt θ het argument van z.De getallen r en θ noemt men de poolcoordinaten van z. Merk op dat

cos θ =a√

a2 + b2

en

sin θ =b√

a2 + b2.

Wij gebruiken ook dikwijls de volgende notatie:

eiθ = cos θ + i sin θ.

Indien r > 0 dan bestaat er een getal y ∈ R zodat r = ey. Dus schrijftmen ook

ey+iθ = ey(cos θ + i sin θ).


Met deze notatie verkrijgt men de volgende welbekende formules een-voudig herschrijven (α, β ∈ R):

sin(α + β) = sinα cos β + cosα sin β

cos(α + β) = cosα cos β − sinα sin β

alsei(α+β) = eiαeiβ.

Een bewijs door inductie geeft dan, voor n ∈ N en α ∈ R:

einα =(eiα)n,

of duscosnα + i sinnα = (cosα + i sinα)n,

de formule van De Moivre (1667-1754).

Zij n een niet-nul natuurlijk getal en zij

ξn = e2πi/n = cos (2π/n) + i sin (2π/n) .

Merk op date2kπi/ne2lπi/n = e2(k+l)πi/n,

voor alle k, l ∈ Z, en(ξn)n = 1,

men zegt dat ξn een n-de (complexe) eenheidswortel is. Zij

En = e2kπi/n | k ∈ N, 1 ≤ k ≤ n = ξkn | k ∈ N, 1 ≤ k ≤ n,

de verzameling van alle complexe n-de eenheidswortels. Dan

En = e2kπi/n | k ∈ N, 1 ≤ k ≤ n= e2kπi/n | k ∈ Z

Er volgt dat (En, ·) een abelse groep is.

(10) Nemen wij nu in het vorige n = 5 en zij

A =

[ξ5 00 ξ−15

]k| k ∈ Z

.


Dan is (A, ·) een abelse groep met vijf elementen. Zij

a =

[ξ5 00 ξ−15

]en b =

[0 −1−1 0

]Zij

B = 1, b.

Dan is (B, ·) een abelse groep met twee elementen en B = bk | k ∈ Z.Zij

D10 = ak, akb | 1 ≤ k ≤ 5

Dan is (D10, ·) een groep met 10 elementen en

a5 = 1, b2 = 1 en ba = a−1b.

Uiteraard kunnen wij voor elke n een analoge groep (van matrices)construeren. Wij krijgen dus

D2n = ak, akb | k ∈ N, 1 ≤ k ≤ n ⊆ GL2(C)

metan = 1, b2 = 1, ba = a−1b.

Men noemt dit de diedergroep van orde 2n.

(11) Beschouw de Euclidische ruimte R2. Zij I(R2) de aftandsbe-warende bijecties (isometrieen), d.w.z. f : R2 → R2 behoort tot I(R2)als

‖f(a, b)− f(c, d)‖ = ‖(a, b)− (c, d)‖.

Herinner dat ‖(a, b)‖ =√a2 + b2. Zulke functies behoren uiteraard tot

Sym(R2). Dus: (I(R2), ) is een groep bevat in Sym(R2). Voorbeeldenvan functies die tot deze groep behoren zijn de rotaties, reflecties entranslaties.

Zij nu een Ω een figuur in het reele vlak (bijvoorbeeld een driehoekof een vierkant). Dan noteert men met Σ(Ω) de symmetriegroep inhet reele vlak van de figuur Ω, d.w.z Σ(Ω) is de verzameling van allef ∈ I(R2) zodat

f(Ω) = Ω.


Duidelijk is Σ(Ω) een groep bevat in I(R2).

Nemen wij nu voor Ω een vierkant (met zijden van lengte 1, enmet de oorsprong als doorsnede van de diagonalen), dan permuteert elkelement van Σ(Ω) de hoekpunten v1, v2, v3, v4 van Ω en bovendien iseen element van Σ(Ω) bepaald door de beelden van de hoekpunten. Duszijn er ten hoogste 24 mogelijkheden voor elementen van Σ(Ω). Dochniet elke permutatie van de hoekpunten is afkomstig van een elementin Σ(Ω). Inderdaad als ‖vi − vj‖ = 1 dan moeten ook de beeldpuntenvan vi en vj op een afstand 1 van elkaar liggen. Dit levert dan nog 8mogelijkheden en

Σ(Ω) = 1, R,R2, R3, s1, s2, s3, s4

met R een rotatie over 90 graden en elke si een reflectie. Als s1 dereflectie over een van de diagonalen is dan volgt er

Σ(Ω) = 1, R,R2, R3, s1, Rs1, R2s1, R

3s1

en deze elementen voldoen aan de volgende relaties:

R4 = 1, s21 = 1, s1R = R3s1.

Dus (op benaming van de elementen na) is deze groep precies de diedergroepD8 van orde 8.

Algemener is D2n de symmetriegroep van een reguliere n-gon metcentrum in de oorsprong.

Om het volgende voorbeeld van een abelse groep te construeren her-halen wij even het begrip relatie.

Definitie 3.3.2 Zij R een relatie op een verzameling X (dus R is eendeelverzameling van X × X). Voor x, y ∈ X, noteren wij (x, y) ∈R ook als xRy. Men noemt R een equivalentierelatie als de volgendevoorwaarden voldaan zijn, voor alle x, y, z ∈ X:

1. xRx (reflexiviteit),

2. als xRy dan yRx (symmetrie),


3. als xRy en yRz dan xRz (transitiviteit).

Voor x ∈ X noteren wij

[x]R = y ∈ X | xRy,

de equivalentieklasse van x. (In de cursus lineaire algebra noteert men[x]R als Ex.)

De verzameling van alle equivalentieklassen noteren wij X/R. Dus

X/R = [x]R | x ∈ X.

Merk op dat de equivalentieklassen van R (op een niet-lege verzame-ling X) een partitie vormen van X, d.w.z.,

1. elke [x]R 6= ∅,

2. ∪x∈X [x]R = X,

3. als [x]R ∩ [y]R 6= ∅ dan [x]R = [y]R.

Zij n een geheel getal groter dan 1. Op de verzameling Z definierenwij een equivalentierelatie≡n, de congruentierelatie modulo n. Wij doendit als volgt:

x ≡n y als en slechts als n|(x− y).

De notatie n|(x − y) wil zeggen dat n een deler is (in Z) van x − y.D.w.z., er bestaat een m ∈ Z zodat nm = x − y. De equivalentie-klasse van x noteren wij als [x]n, of ook als [x]. De verzameling van deequivalentieklassen Z/ ≡n noteren wij als Zn. Wij willen nu op dezeverzameling twee bewerkingen + en · definieren. Maar om na te gaandat deze bewerkingen inderdaad functies zijn (men zegt dikwijls “goedgedefinieerd” zijn) moet men eerst het volgende lemma bewijzen.

Lemma 3.3.3 Zij a1, a2, b1, b2 ∈ Z. Als

[a1]n = [a2]n en [b1]n = [b2]n

dan[a1 + b1]n = [a2 + b2]n

en[a1b1]n = [a2b2]n.

3.4. VERMENIGVULDIGINGSTABEL 35

Bewijs. Omdat [a1]n = [a2]n en [b1]n = [b2]n bestaan er r, s ∈ Z zodat

a1 − a2 = rn en b1 − b2 = sn.

Dus

(a1 + b1)− (a2 + b2) = (a1 − a2) + (b1 − b2) = (r + s)n.

Bijgevolgn| ((a1 + b1)− (a2 + b2))

en daarom [a1 + b1]n = [a2 + b2]n.

Analoog bewijst men het tweede gedeelte.

Men definieert nu als volgt twee bewerkingen op Zn:

+ : Zn × Zn → Zn : ([a]n, [b]n) 7→ [a]n + [b]n = [a+ b]n

en· : Zn × Zn → Zn : ([a]n, [b]n) 7→ [a]n [b]n = [ab]n.

Eigenschap 3.3.4 Zij n een geheel getal groter dan 1. Dan is (Zn,+, ·)een commutatieve ring met nulement [0]n en eenheidselement [1]n.

3.4 Vermenigvuldigingstabel

Men noemt een groep G eindig als de verzameling G eindig veel elemen-ten bevat. Het aantal elementen in de verzameling G noteert men als|G| (men noemt dit ook de orde van de groep).

Voor eindige groepen stelt men de bewerking dikwijls voor in een ta-bel, die men de Cayleytabel (of vermenigvuldigingstabel) noemt.

Cayley (1821-1895)

Zij (G, ∗) een eindige groep en zij g1, . . . , gn een lijst(zonder herhalingen) van al de elementen van G. Eenvermenigvuldigingstabel van G is een tabel als volgt


∗ g1 g2 · · · gj · · · gng1 g1 ∗ g1 g1 ∗ g2 · · · g1 ∗ gj · · · g1 ∗ gng2 g2 ∗ g1 g2 ∗ g2 · · · g2 ∗ gj · · · g2 ∗ gn...

......

... · · · ...gi gi ∗ g1 gi ∗ g2 · · · gi ∗ gj · · · gi ∗ gn...

......

... · · · ...gn gn ∗ g1 gn ∗ g2 · · · gn ∗ gj · · · gn ∗ gn

De Cayleytabel van (Z3,+) is

+ [0]3 [1]3 [2]3[0]3 [0]3 [1]3 [2]3[1]3 [1]3 [2]3 [0]3[2]3 [2]3 [0]3 [1]3

De viergroep van Klein is de groep G =e, a, b, c met de bewerking gedefinieerd via devolgende Cayleytabel.

e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

Klein (1849-1925)

Vervolgens geven wij de Cayleytabel van dediedergroep D6 van orde 6

· e a a2 b ab a2be e a a2 b ab a2ba a a2 e ab a2b ba2 a2 e a a2b b abb b a2b ab e a2 aab ab b a2b a e a2

a2b a2b ab b a2 a e

3.5. ELEMENTAIRE EIGENSCHAPPEN 37

3.5 Elementaire Eigenschappen

In deze sectie bewijzen wij enkele belangrijke eigen-schappen van groepen.

Eigenschap 3.5.1 Zij G een groep. Dan gelden de vol-gende eigenschappen:

1. G bevat slechts een neutraal element. Wij noterendit element meestal e of eG.

2. Voor een element g ∈ G bestaat slechts een ele-ment h ∈ G zodat gh = hg = e. Men noemt h het inverse elementvan g en noteert dit element g−1.

3. als g, h ∈ G dan (gh)−1 = h−1g−1.

4. als g ∈ G dan (g−1)−1 = g.

5. Voor g1, g2, h ∈ G: als g1h = g2h of hg1 = hg2dan g1 = g2, de vereenvoudigingswetten.

Bewijs. Bewijs van (1). Veronderstel dat e en f twee neutrale elemen-ten zijn. Dus voor alle g ∈ G,

eg = g = ge en fg = g = gf.

Bijgevolg, als wij de eerste vergelijking toepassen met g = f dan ef = fen uit de tweede vergelijking (met g = e) volgt ef = e. Dus e = f .

Bewijs van (2). Zij g ∈ G en zij h1, h2 ∈ G zodat

gh1 = gh2 = e en h1g = h2g = e.

Danh2(gh1) = h2e = h2

enh2(gh1) = (h2g)h1 = eh1 = h1.

Dus h1 = h2.


Bewijs van (3).

(gh)(h−1g−1) = g(h(h−1g−1)

)= g

((hh−1)g−1

)= g(eg−1)

= gg−1

= e

Analoog bewijst men (h−1g−1)(gh) = e. Dus (gh)−1 = h−1g−1.

Bewijs van (4). Omdat (g−1) ((g−1))−1

= e = ((g−1))−1

(g−1) eng−1g = e = gg−1 volgt er wegens (2) dat (g−1)−1 = g.

Bewijs van (5). Veronderstel g1h = g2h, dan

(g1h)h−1 = (g2h)h−1.

Wegens de associativiteit volgt er dan

g1 = g1eG = g1(hh−1) = (g1h)h−1 = (g2h)h−1 = g2(hh

−1) = g2eG = g2.

Eigenschap 3.5.2 (Veralgemeende associativiteit)Zij S een semigroep. Als s1, . . . , sn ∈ S dan is het element s1s2 · · · snuniek bepaald in S (d.w.z. dit element is onafhankelijk van de plaatsingvan de haakjes).

Bewijs. Wij bewijzen dit door inductie. De basisstap is n = 3, en dezegeldt wegens de associativiteit. Veronderstel nu dat het resultaat geldtvoor producten van minder dan n factoren. Beschouw nu het products1s2 · · · sn op twee verschillende manieren

(s1 · · · si)(si+1 · · · sn) en (s1 · · · sj)(sj+1 · · · sn)

(wij mogen veronderstellen dat i ≤ j). Elk van de vermelde productentussen haakjes kan zelf veel haakjes bevatten, maar wegens de induc-tiehypothese zijn deze haakjes niet nodig. Als i = j dan zijn beide


producten dezelfde. Veronderstel dus dat i < j. Weer wegens de induc-tiehypothese mogen wij de eerste uitdrukking herschrijven als

(s1 · · · si)([si+1 · · · sj][sj+1 · · · sn])

en de tweede uitdrukking als

([s1 · · · si][si+1 · · · sj])(sj+1 · · · sn).

Elk van de uitdrukkingen x = s1 · · · si, y = si+1 · · · sj en z = sj+1 · · · snis onafhankelijk van haakjes. De eerste uitdrukking is nu van de vormx(yz) en de tweede (xy)z. Wegens de associativiteit zijn deze dezelfde.

Wegens de veralgemeende associativiteit kunnen wij nu machten de-finieren in een semigroep.

Definitie 3.5.3 Zij S een semigroep. Als s ∈ S en 0 6= n ∈ N, dandefinieert men de n-de macht van s inductief als volgt:

s1 = s en sn+1 = sns.

Indien S een monoıde is met neutraal element e, dan is

s0 = e.

Weer wegens de veralgemeende associativiteit is de volgende eigen-schap duidelijk.

Eigenschap 3.5.4 Zij S een semigroep. Als s ∈ S en m,n ∈ N0 dan

sn+m = snsm en (sn)m = snm.

In een groep kunnen wij ook negatieve machten definieren.

Definitie 3.5.5 Zij G een groep. Als g ∈ G en n ∈ N, dan

g−n = (g−1)n.


Eigenschap 3.5.6 Zij G een groep en g ∈ G. Als n,m ∈ Z dan

gn+m = gngm, (gn)m = gnm en (g−1)n = (gn)−1.

Als g en h twee commuterende elementen zijn van G (d.w.z. gh =hg) dan (gh)n = gnhn.

Bewijs. Veronderstel eerst dat g en h commuteren. Voor n ∈ N, bewijsdoor inductie dat hgn = gnh en ook (gh)n = gnhn. Merk op dat ookg−1 en h−1 commuteren. Als n negatief is, dan is −n ≥ 0 en dus

(gh)n =((gh)−1

)−n=

(h−1g−1

)−n=

(g−1h−1

)−n=

(g−1)−n (

h−1)−n

= gnhn

Dus is het laatste gedeelte van de eigenschap bewezen.

Het eerste gedeelte van de eigenschap is reeds gekend voor n,m ≥ 0.De andere gevallen laten wij als oefening.

De notatie sn, met n positief, ontstaat door de bewerking s ∗ t mul-tiplicatief st te schrijven, inderdaad sn = ss · · · s (er zijn n factoren).Wanneer de bewerking de optelling + is dan betekent dit s+s+ · · ·+s,en dan zou dit beter geschreven worden als sn. Deze notatie gaan weslechts gebruiken wanneer wij met abelse (semi)groepen werken. Ei-genschap 3.5.6 wordt dan (n + m)g = ng + mg, m(ng) = (mn)g enn(g + h) = ng + nh.

3.6 De orde van een element

Definitie 3.6.1 Zij G een groep en g ∈ G. De orde van het element gis het kleinste niet-nul natuurlijk getal n zodat gn = e. Als er zo geennatuurlijk getal bestaat dan zegt men dat g oneindige orde heeft. Deorde van g noteert men als o(g).

3.6. DE ORDE VAN EEN ELEMENT 41

Merk op dat als g ∈ G eindige orde n heeft dan g−1 = gn−1.

Eigenschap 3.6.2 In een eindige groep heeft elk element eindige orde.

Bewijs. Zij g ∈ G en beschouw de deelverzameling

e, g, g2, . . . , gn, · · · = gn | n ∈ N.

Omdat G een eindige verzameling is moet er herhaling in de lijst voorko-men. Dus bestaan m > n zodat gm = gn. Bijgevolg gm−n = gmg−n = e.Er bestaat dus een niet nul natuurlijk getal k zodat gk = e, bijgevolgheeft g eindige orde.

Duidelijk heeft het neutraal element van een groep steeds orde 1.In een oneindige groep kunnen er elementen bestaan van eindige orde.

Bijvoorbeeld het element

(0 11 0

)∈ GL2(R) heeft orde 2 en duidelijk

is GL2(R) een oneindige groep.

Eigenschap 3.6.3 Zij G een groep en g ∈ G. Zij n,m ∈ Z. Veron-derstel dat g eindige orde k heeft. Dan

1. gn = gm als en slechts als k|(n−m).

2. gn = e als en slechts als k|n.

Bewijs. Veronderstel o(g) = k < ∞. Zij n ∈ Z en schrijf n = qk + rmet q, r ∈ Z en 0 ≤ r < k. Dan gn = e als en slechts als gn = gqkgr =(gk)qgr = e, of equivalent, gr = e. Omdat r < k, verkrijgen wij aldusgn = e als en slechts als r = 0, d.w.z. k|n. Dit bewijst (2).

(1) volgt nu eenvoudig omdat gn = gm als en slechts als gn−m =gn(gm)−1 = e.

Definitie 3.6.4 Een groep G is cyclisch als er een g ∈ G bestaat zodatG = gn | n ∈ Z. Men noemt g een voortbrenger van G.


Merk op dat een cyclische groep abels is. De groep (Z,+) is cyclischmet voortbrenger 1. Merk op dat ook −1 een voortbrenger is. Degroep En bestaande uit de complexe n-de eenheidswortels is cyclisch metvoortbrenger e2πi/n. Er zijn echter nog andere mogelijke voortbrengers,namelijk alle elementen van de vorm e2πki/n, met 1 < k < n en (k, n) =1.

Eigenschap 3.6.5 Zij G een groep. Dan:

1. Zij G een eindige groep van orde n. Dan, G is cyclisch als enslechts als G een element g van orde n bevat. (In dit geval G =1, g, . . . , gn−1.)

2. G is cyclisch van oneindige orde als en slechts G een element gvan oneindige orde bevat zodat G = gn | n ∈ Z. In dit geval isgn 6= gm als n 6= m.

Bewijs. Bewijs van (1). Veronderstel dat G een eindige cyclische groepis van orde n. Dan, bestaat er een g ∈ G zodat G = gk | k ∈ Z.Omdat G eindig is weten wij dat g eindige orde heeft, zeg o(g) = m.Dus volgt er gk | k ∈ Z = 1, g, . . . , gm−1, met gi 6= gj voor 0 ≤i, j ≤ m − 1 en i 6= j. Bijgevolg G = 1, g, . . . , gm−1 en dus o(g) =m = |G| = n.

Omgekeerd, als |G| = n en g ∈ G met o(g) = n dan is

e, g, g2, . . . , gn−1 ⊆ G.

Al de machten e, g, g2, · · · , gn−1 zijn verschillend. Omdat |G| = n volgter dus dat e, g, g2, . . . , gn−1 = G.

Bewijs van (2). Dit laten wij als oefening.

3.7 Vergelijkingen in Groepen

Omdat in een groep elk element een invers element heeft, kunnen wijvergelijkingen in een veranderlijke oplossen. Dit gaat als volgt.

3.7. VERGELIJKINGEN IN GROEPEN 43

Eigenschap 3.7.1 Zij G een groep. Als g, h ∈ G dan bestaat er eenunieke x ∈ G zodat gx = h, en er bestaat een unieke y ∈ G zodatyg = h.

Bewijs. Zij x = g−1h dan is gx = h en dus bestaat er minstens eenoplossing voor de vergelijking. Dat er precies een oplossing bestaat volgtuit het volgende: als gx1 = gx2 dan x1 = x2.

Analoog bewijst men de uniciteit van de oplossingen voor de verge-lijking yg = h.

Als dus G een eindige groep is dan is elke rij en elke kolom van deCayleytabel een permutatie van de elementen van G. Een tabel die aandeze laatste voorwaarde voldoet noemt men een Latijns vierkant. Dusde Cayleytabel van een eindige groep is een Latijns vierkant. Doch hetomgekeerde is niet waar.

Door gebruik te maken van deze eigenschap kan men groepen vanorde twee, drie en vier eenvoudig bepalen. Bijvoorbeeld zij G een groepvan orde drie. Wij noteren het neutraal element e en de twee andereelementen a en b. Dan zien wij dat er slechts een mogelijkheid voor deCayley tabel is, namelijk

e a be e a ba a b eb b e a

Er bestaat dus ten hoogste een groep met drie elementen (op be-naming van de elementen na). Doch (Z3,+) is een groep met drieelementen. Bijgevolg is er precies een groep met drie elementen.

Zij nu G = e, a, b, c een groep met vier elementen. Dan bevat Geen element van orde twee. Inderdaad, veronderstel dat dit niet zo is.Dan heeft a ofwel orde drie ofwel orde vier (ga dit na). Dit laatste gevalis echter onmogelijk want dan is a2 van orde twee. In het andere geval ishet element van G dat niet behoort tot e, a, a2 een element dat gelijkis aan zijn inverse (ga dit na) en dus een element van orde twee. Dussteeds verkrijgen wij een contradictie.


Veronderstel dan dat b een element van orde twee is. Dan zijn erfundamenteel twee overblijvende mogelijkheden: ofwel is elk elementverschillend van e van orde twee, ofwel is er een element van orde niettwee. Op benaming na zijn er dan slechts twee mogelijke Cayleytabellen:

e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

en

e a b ce e a b ca a b c eb b c e ac c e a b

De laatste groep is cyclisch e, a, a2, a3 en de eerste is de Viergroepvan Klein.

3.8 Directe producten

Wij geven nu een methode om uit twee (of meerdere groepen) een nieuwegroep te construeren.

Zij (G, ∗) en (H, ) groepen. Dan is

G×H = (g, h) | g ∈ G, h ∈ H

een groep voor de volgende bewerking

(g1, h1)(g2, h2) = (g1 ∗ g2, h1 h2).

Men noemt dit het direct product van G en H. De groepen G en Hnoemt men de factoren van het direct product. Het neutraal elementvan deze groep is (eG, eH), met eG het neutraal element van G en eHhet neutraal element van H.

Algemener, zij I een indexverzameling en, voor elke i ∈ I, zij Gi eengroep. Dan is het direct product van deze groepen de verzameling∏

i∈I

Gi = (gi)i∈I | gi ∈ Gi voor i ∈ I

voorzien van de bewerking

(gi)(g′i) = (gig

′i).

3.8. DIRECTE PRODUCTEN 45

Merk op dat dit direct product commutatief is als en slechts elke groepGi commutatief is.

Als (G, ∗) en (H, ) telkens de abelse groep (R,+) is, dan is G×Hde groep (R2,+).

Beschouw de abelse groepen (Z2,+) en (Z3,+). Dan is Z2×Z3 ookeen abelse groep en het element ([1]2, [1]3) heeft orde 6. Dus is dit directproduct een cyclische groep van orde 6.

De groep Z2×Z2 heeft geen element van orde 4. Elk element verschil-lend van het neutraal element heeft orde 2. Deze groep is de Viergroepvan Klein.

Eigenschap 3.8.1 Zij G = G1 ×G2 × · · · ×Gn een direct product vangroepen. Als gi ∈ Gi eindige orde mi heeft dan is

o(g1, g2, . . . , gn) = kgv(m1,m2, . . . ,mn).

Bewijs. Wij merken op dat

(g1, . . . , gn)k = e als en slechts als gki = eGi(voor elke) 1 ≤ i ≤ n.

Dit laatste is equivalent met mi|k. Dus het kleinste niet nul natuurlijkgetal k dat deze voorwaarden vervult is kgv(m1,m2, . . . ,mn).

Hoofdstuk 4

Deelgroepen

Net zoals in andere takken van de wiskunde behandelen wij in dit hoofd-stuk deelobjecten van de bestudeerde objecten.

4.1 Definitie

Definitie 4.1.1 Zij (G, ∗) een groep. Een deelverzameling H van Gdie een groep is voor de bewerking ∗ (beperkt tot H) noemt men eendeelgroep van G.

Eigenschap 4.1.2 Zij (G, ∗) een groep. De volgende voorwaarden zijnequivalent voor een deelverzameling H van G:

1. H is een deelgroep van G;

2. de volgende voorwaarden zijn voldaan:

(a) H 6= ∅,(b) als h1, h2 ∈ H dan h1 ∗ h2 ∈ H,

(c) als h ∈ H dan h−1 ∈ H;

3. de volgende voorwaarden zijn voldaan:

(a) H 6= ∅,

47

48 HOOFDSTUK 4. DEELGROEPEN

(b) als h1, h2 ∈ H dan h1 ∗ h−12 ∈ H.

Bewijs. (1) ⇒ (2). Omdat eH ∈ H is H 6= ∅. Ook als h1, h2 ∈ H danis h1 ∗ h2 ∈ H.

Omdat eHeG = eH en eHeH = eH volgt er dat eHeG = eHeH . DuseH = eG.

Zij nu h ∈ H. Zij h−1 de inverse van h in G en zij h′ de inverse vanh in H. Dan

hh−1 = eG = eH = hh′

en dus (door vereenvoudiging) h−1 = h′ ∈ H.

(2) ⇒ (1). Wegens voorwaarde (2.b) definieert ∗ een bewerking opde niet-lege verzameling H. Omdat (G, ∗) associatief is is ook (H, ∗)associatief. Wegens voorwaarden (2.a) en (2.c) bestaat er een h ∈ H enen dus ook h−1 ∈ H. Bijgevolg is hh−1 = eG ∈ H. Dus is eG ook hetneutraal element van (H, ∗). Wegens voorwaarde (2.c) heeft elk elementvan H een inverse in H. Dus is (H, ∗) een groep.

De equivalentie van (2) en (3) laten wij als oefening.

Gevolg 4.1.3 Zij G een eindige groep. De volgende voorwaarden zijnequivalent voor een niet lege deelverzameling H van G:

1. H is een deelgroep,

2. als h1, h2 ∈ H dan h1 ∗ h2 ∈ H.

Bewijs. Wegens de vorige eigenschap is het voldoende dat uit (2) volgtdat h−1 ∈ H als h ∈ H. Welnu, omdat G eindig is heeft elk elementh ∈ H eindige orde. Zij k de orde van h ∈ H. Dan h−1 = hk−1 ∈ H.

4.2 Speciale Deelgroepen

Er zijn heelwat belangrijke deelgroepen in een groep. Wij behandelenhier slechts enkele.

4.2. SPECIALE DEELGROEPEN 49

Definitie 4.2.1 Zij G een groep en zij g ∈ G. De centralisator vang ∈ G is de verzameling

CG(g) = x ∈ G | xg = gx.

Het centrum van G is de verzameling

Z(G) = x ∈ G | xg = gx voor alle g ∈ G =⋂g∈G

CG(g).

Eigenschap 4.2.2 Zij G een groep en g ∈ G. Dan zijn CG(g) en Z(G)deelgroepen van G.

Bewijs. Omdat, eg = g = ge verkrijgen wij e ∈ CG(g); i.h.b., CG(g) 6=∅. Als h1, h2 ∈ CG(g) dan

(h1h2)g = h1(h2g)

= h1(gh2)

= (h1g)h2

= (gh1)h2

= g(h1h2)

Dus h1h2 ∈ CG(g).

Ook volgt uit h1g = gh1 dat h−11 h1gh−11 = h−11 gh1h

−11 . Dus gh−11 =

h−11 g, m.a.w., h−11 ∈ CG(g).

Er volgt dat CG(g) een deelgroep is van G. Analoog bewijst mendat het centrum een deelgroep is.

Een groep G is commutatief als en slechts als G = Z(G).

Het centrum van GLn(F ) (F een lichaam) is de groep fIn | 0 6=f ∈ F.

Het centrum van D8 is de deelgroep 〈a2〉 = 1, a2. In het algemeen,voor n ≥ 3,

Z(D2n) =

1 als n oneven〈an/2〉 als n even


4.3 Voortbrengers

In deze sectie beschouwen wij een van de belangrijkste manieren omdeelgroepen te construeren: via voortbrengers.

Eigenschap 4.3.1 Zij G een groep en Hi | i ∈ I een verzamelingdeelgroepen van G. Dan is⋂

i∈I

Hi = g ∈ G | g ∈ Hi, voor alle i ∈ I

een deelgroep van G.

Bewijs. Zij D =⋂i∈I Hi. Omdat e ∈ Hi voor elke i volgt er dat

e ∈ D. Dus D 6= ∅. Verder, als g1, g2 ∈ D dan g1g−12 ∈ D. Dus is D een

deelgroep.

Definitie 4.3.2 Zij X een deelverzameling van een groep G dan is dedoorsnede van alle deelgroepen die X omvatten een deelgroep van G,namelijk de kleinste (voor de inclusierelatie) die X omvat. Men noteertdeze groep als 〈X〉 en noemt dit de deelgroep voortgebracht door X. In-dien X = x1, x2, · · · , xn dan noteert men 〈X〉 ook als 〈x1, x2, · · · , xn〉.

Als X = x dan noemt men 〈x〉 de cyclische deelgroep van G voort-gebracht door x.

Merk op dat een groep G cyclisch is als en slechts als er een g ∈ Gbestaat zodat G = 〈g〉.

Ook 〈∅〉 = e.

Eigenschap 4.3.3 Zij (G, ∗) een groep en X een niet lege deelverza-meling van G. Dan

〈X〉 = x1 ∗ x2 ∗ · · · xn | n ∈ N0, xi ∈ X of x−1i ∈ X, 1 ≤ i ≤ n.

Indien G een eindige groep is dan

〈X〉 = x1 ∗ x2 ∗ · · ·xn | n ∈ N0, xi ∈ X, 1 ≤ i ≤ n.

4.3. VOORTBRENGERS 51

Bewijs. Omdat, per definitie, 〈X〉 de kleinste deelgroep van G is diealle elementen van X bevat, behoren alle elementen x1 ∗ x2 ∗ · · ·xn tot〈X〉 (met n ∈ N0 en xi of x−1i ∈ X). Stel

D = x1 ∗ x2 ∗ · · · xn | n ∈ N0, xi ∈ X of x−1i ∈ X, 1 ≤ i ≤ n

dan is D omvat in alle deelgroepen die X omvatten. Verder, als d1, d2 ∈D dan verifieert men eenvoudig dat d1d

−12 ∈ D. Omdat D niet leeg

is volgt er dus dat D reeds een deelgroep is die X omvat. Het eerstegedeelte van het resultaat volgt dan.

Het tweede gedeelte bewijst men analoog en men maakt gebruik vanhet feit dat in eindige groep G een niet lege deelverzameling D eendeelgroep is als d1d2 ∈ D voor d1, d2 ∈ D.

We geven enkele voorbeelden.

De groep van de complexe n-de eenheidswortels is cyclisch:

En = 〈e2πi/n〉.

Een andere cyclische groep is

Zn = 〈[1]n〉.

De diedergroep van orde 2n,

D2n = 〈a, b〉.

Ook weten wijan = 1, b2 = 1 en ba = a−1b.

Met behulp van deze relaties (en de associativiteit) kan men alle moge-lijke producten in D2n berekenen. Men schrijft dit als

D2n = 〈a, b | an = 1, b2 = 1, ba = a−1b〉.

Dit is een voorbeeld van een groep G die gegeven is via voortbrengers(a en b in dit geval) en relaties (ba = a−1b, an = 1 en b2 = 1 in ditgeval); men noemt dit een presentatie van G. Dus de elementen van de


groep G bestaan uit producten van machten van de generatoren en menmaakt identificaties via de gegeven lijst relaties. Bijvoorbeeld in D2n

zijn de elementen aib en ba−i gelijk.

Men moet echter wel voorzichtig zijn dat men alle mogelijke identi-ficaties maakt die volgen uit de gegeven relaties. Bijvoorbeeld

〈a | a2 = 1, a3 = 1〉 = 1.

Inderdaad 1 = a3 = a2a = 1a = a.

Wij geven nog twee voorbeelden. Eerst beschouwen wij de groep

V = 〈a, b | ab = ba, a2 = 1, b2 = 1〉.

Uit de relatie ab = ba volgt dat elk element van V kan geschrevenworden als aibj met i, j ∈ Z. Omdat a2 = 1 en b2 = 1 is het voldoendedat i, j ∈ 0, 1. Dus

V = 1, a, b, ab.

Nu moet men nog aantonen dat deze vier elementen verschillend zijn.Men kan dit bijvoorbeeld aantonen door een “model” van deze groepte geven. De Viergroep van Klein is zo een model (het is voortgebrachtdoor twee elementen die voldoen aan de vermelde relaties).

Wij definieren nu een groep van orde acht, de quaternionengroepvan orde 8. In GL2(C) nemen wij de matrices

J =

(i 00 −i

), K =

(0 1−1 0

)en L = JK =

(0 ii 0

).

ZijQ8 = I,−I, J,−J,K,−K,L,−L.

Dit is een deelgroep van GL2(C). Om dit aan te tonen, en aangezienQ8 eindig is, is het voldoende te bewijzen dat Q8 multiplicatief geslotenis. Dit volgt uit de volgende relaties:

J2 = K2 = L2 = −I


en

JK = L, KJ = −L, KL = J, LK = −J, LJ = K en JL = −K.

DusQ8 = 〈J,K〉.

In een latere cursus geven wij de theoretische fundering voor pre-sentaties. Wij vermelden nog dat de groep voortgebracht door een ver-zameling X die aan geen verdere relaties voldoet de vrije groep op Xgenoemd wordt. Dus deze groep bestaat uit alle producten van mach-ten van elementen in X. Als X 6= ∅ dan bevat deze groep oneindig veelelementen en als |X| ≥ 2 dan is deze groep ook niet commutatief.

Eigenschap 4.3.4 Een deelgroep van een cyclische groep is cyclisch.

Bewijs. Zij G = 〈g〉 een cyclsiche groep. Dus G = gk | k ∈ Z. ZijH een deelgroep. Als H = 1 dan is H = 〈1〉, en dus is H cyclisch.Veronderstel dat H 6= 1 en zij gk ∈ H met k minimaal in N0. Wijtonen nu aan dat H = 〈gk〉. Inderdaad, zij gn ∈ H. Schrijf n = qk + rmet q, r ∈ Z en 0 ≤ r < k. Dan

gr = gng−qk = gn(g−k)q ∈ H.

Wegens de keuze van k volgt er dat r = 0. Bijgevolg gn ∈ 〈gk〉 en dusH = 〈gk〉.

Eigenschap 4.3.5 Zij G = 〈g〉 een cyclische groep van eindige orde nen zij k een geheel getal. Dan is de orde van de cyclische deelgroep 〈gk〉gelijk aan n

ggd(n,k). I.h.b. is de orde van elke deelgroep van een eindige

cyclische groep G een deler van de orde van G.

Bewijs. Omdat G = 〈g〉 eindige orde n heeft weten wij reeds dato(g) = n. Zij nu k ∈ Z. Dan is gk van orde l als en slechts als l ishet kleinste niet nul natuurlijk getal zodat (gk)l = 1, of equivalent, l ishet kleinste niet nul natuurlijk getal zodat n|(kl). Duidelijk l = n

ggd(n,k).

Bijgevolg is de orde van 〈gk〉 gelijk aan o(gk) = nggd(n,k)

.


Eigenschap 4.3.6 Zij G = 〈g〉 een eindige cyclische groep van orde nen d ∈ N een deler van n. Dan heeft G precies een deelgroep van orded, namelijk 〈gn/d〉.

Bovendien zijn er precies d oplossingen voor xd = 1 in G, en dit zijnprecies de elementen van 〈gn/d〉.

Bewijs. Duidelijk is 〈gn/d〉 = 1, gn/d, g2(n/d), · · · , g(d−1)(n/d). Dus erbestaat minstens een deelgroep van orde d. Wij bewijzen nu dat er tenhoogste een is. Zij daarom H ook een deelgroep van orde d. Wegenseen vorige eigenschap is H ook cyclisch, en dus H = 〈gk〉 voor een0 ≤ k < n. Dus gkd = 1. Omdat g orde n heeft volgt er n|(kd). Erbestaat dus een v ∈ Z zodat vn = kd, m.a.w., k = v(n/d). Er volgtH = 〈gk〉 ⊆ 〈gn/d〉. Omdat beide groepen van orde d zijn volgt erH = 〈gn/d〉.

De vorige redenering toont aan dat (gk)d = 1 als en slechts alsgk ∈ 〈gn/d〉. Omdat |〈gn/d〉| = d zijn er precies d oplossingen van devergelijking xd = 1 in G.

Voor een geheel getal a noteren wij met aZ de verzameling az |z ∈ Z. Dit is de cyclische deelgroep van (Z,+) voortgebracht door hetelement a. Voor een ring R schrijf R∗ := R \ 0.

Eigenschap 4.3.7 Zij a en b niet nul gehele getallen. Dan

〈a, b〉 = aZ + bZ = ggd(a, b)Z.

Indien p een priemgetal is dan is Zp een lichaam, i.h.b. is de verza-meling van niet nul elementen Z∗p een abelse groep voor de vermenigvul-diging.

Bewijs. In de cyclische groep (Z,+) is 〈a, b〉 = aZ + bZ een deelgroep.Bijgevolg is 〈a, b〉 = aZ + bZ een cyclische groep en dus bestaat er eend ∈ Z zodat

〈a, b〉 = aZ + bZ = dZ.

Omdat a ∈ dZ volgt er d|a. Analoog d|b en dus d|ggd(a, b). Als nuc ∈ Z en c|a en c|b, dan bestaan v, w ∈ Z zodat cv = a en cw = b.


Schrijf d = xa + yb. Dan d = xcv + ycw en dus c|d. Dit toont aan datd = ggd(a, b).

Zij nu p een priemgetal en [0]p 6= [a]p ∈ Zp. Dan ggd(a, p) = 1. Dus,bestaan er (wegens het eerste gedeelte van de eigenschap) v, w ∈ Zzodat

va+ wp = 1.

Bijgevolg[v]p[a]p = [v]p[a]p + [w]p[p]p = [1]p,

en is [v]p de inverse van [a]p. Er volgt dat Z∗p een abelse groep voor devermenigvuldiging is en dus is Zp een lichaam.

Hoofdstuk 5

Nevenklassen

Zij G een eindige groep, d.w.z., G is een groep met eindig veel elementen.Zij H een deelgroep. In dit hoofdstuk bewijzen wij dat de orde van Heen deler is van de orde van G (Stelling van Lagrange). Om dit te bewij-zen voeren wij het begrip nevenklasse in.

Lagrange(1736-1813)

5.1 Definitie

Definitie 5.1.1 Zij G een groep en H een deelgroep.Als g ∈ G dan is de linkernevenklasse van g de verza-meling

gH = gh | h ∈ H.De rechternevenklasse van g is de verzameling

Hg = hg | h ∈ H.

Duidelijk is eH = H = He en g ∈ gH. Dus is gH 6= H als g 6∈ H.Ook gH ∩H = ∅ als g 6∈ H.

Eigenschap 5.1.2 Zij H een deelgroep van een groep G. Zij R derelatie op G gedefinieerd door

aRb als en slechts als a−1b ∈ H.

57

58 HOOFDSTUK 5. NEVENKLASSEN

Dan is R een equivalentierelatie op G en de equivalentieklasse die g ∈ Gbevat is de linkernevenklasse gH.

Bewijs. Wij moeten drie eigenschappen bewijzen om aan te tonen datR een equivalentierelatie is.

Omdat H een deelgroep is geldt voor g ∈ G dat g−1g = 1 ∈ H. DusgRg. Dit toont aan dat R reflexief is.

Veronderstel dat aRb, d.w.z. a−1b ∈ H. Omdat H een deelgroep isvolgt er b−1a = (a−1b)−1 ∈ H. Bijgevolg bRa. Dus is R symmetrisch.

Veronderstel aRb en bRc, dan a−1b, b−1c ∈ H en dus

a−1c = (a−1b)(b−1c) ∈ H.

Bijgevolg aRc en dus is R transitief.

Wij bepalen nu de equivalentieklasse van g ∈ G. Zij daarom x ∈G. Dan, x ∈ G is in de equivalentieklasse van g als en slechts alsg−1x ∈ H, of equivalent x ∈ gH. Dus is de equivalentieklasse van g delinkernevenklasse gH.

Uit de vorige eigenschap volgt onmiddellijk het volgende resultaat.

Eigenschap 5.1.3 Zij H een deelgroep van een groep G, en zij a, b ∈ G.Dan

1. aH = bH als en slechts als a−1b ∈ H (dus aH = H als en slechtsals a ∈ H).

2. als aH 6= bH dan aH ∩ bH = ∅.

3.⋃g∈G gH = G.

Bovendien, |aH| = |H|.

5.2. STELLING VAN LAGRANGE 59

5.2 Stelling van Lagrange

Stelling 5.2.1 (Stelling van Lagrange)Zij H een deelgroep van een eindige groep G. Dan is |H| een deler van|G| en het aantal linker (respectievelijk rechter) nevenklassen van H in

G is gelijk aan |G||H| .

Bewijs. Wij weten reeds dat de linkernevenklassen gH (g ∈ G) deequivalentieklassen zijn voor de relatie R en |gH| = |H|. Omdat deequivalentieklassen een partitie vormen van de eindige verzameling Gvolgt het resultaat.

Uit de vorige eigenschap weten wij dat het aantal linker nevenklassengelijk is aan het aantal rechter nevenklassen. Wij noemen dit aantal deindex.

Definitie 5.2.2 Het aantal linker (of rechter) nevenklassen van eendeelgroep H van een groep G noemt men de index van H in G. Ditwordt gewoonlijk genoteerd als [G : H].

Eigenschap 5.2.3 Zij G een eindige groep.

1. Als g ∈ G dan is o(g) een deler van |G|.

2. Als H en K deelgroepen zijn van G met H ⊆ K, dan [G : H] =[G : K] [K : H].

Bewijs. Wij weten dat |〈g〉| = o(g). Dus wegens de Stelling van La-grange, o(g) deelt |G|.

Wegens de Stelling van Lagrange,

[G : H] =|G||H|

=

|G||K||H||K|

= [G : K] [K : H].


5.3 Toepassingen

Eigenschap 5.3.1 Elke groep van priem orde is een cyclische groep.

Bewijs. Zij G een groep van orde p, een priemgetal. Zij e 6= g ∈ G,dan is H = 〈g〉 een deelgroep van G. Wegens de Stelling van Lagrangeis |H| een deler van p. Dus |H| = 1 of |H| = p. Omdat H 6= 1 volgter |H| = p en dus H = G. Bijgevolg is G cyclisch.

Eigenschap 5.3.2 (Fermat)Zij p een priem getal. Als a ∈ Z dan

ap ≡p a.

Fermat (1601-1665)

Bewijs. Als [a]p = [0]p dan [a]pp = [a]p = [0]p, dusap ≡p a. Veronderstel nu dat [a]p 6= [0]p. Dan is[a]p ∈ Z∗p. Omdat Z∗p een groep is met p − 1 ele-menten verkrijgen wij uit de Stelling van Lagrangedat o([a]p)|(p − 1). Dus [a]p−1p = [1]p. Vermenig-vuldig dan met [a]p en wij verkrijgen [a]pp = [a]p.

Wiles

Een andere welbekende stelling van Fermat (Fer-mat’s Last Theorem) : voor alle gehele getallen n ≥ 3,bestaan er geen strikt positieve gehele getallen a, b, c zo-dat an + bn = cn. Fermat beweerde dat hij een “mooi”bewijs had van dit resultaat maar dat de marge te kleinwas om het bewijs op te schrijven. Hij bewees het el-ders voor n = 4 en, later, bewezen anderen het voorkleine waarden van n. Het is een bijzondere uitdaginggeworden om het algemene resultaat te bewijzen. Velewiskundigen hebben zich hierover gebogen en heel watnieuwe technieken zijn ontwikkeld. Pas in 1995 bewees Andrew WilesFermat’s Last Theorem.

Eigenschap 5.3.3 (Wilson)Zij p een priem getal. Dan

(p− 1)! ≡p −1.

5.3. TOEPASSINGEN 61

Bewijs. Als p = 2 dan is dit resultaat duidelijk. Veronderstel dus datp 6= 2. Als a1, a2, · · · , an alle elementen zijn in een eindige abelse groepG, dan is a1a2 · · · an gelijk aan het product van alle elementen van orde2 (elk ander element wordt “geschrapt” met zijn inverse). Nu heeft Z∗pslechts [−1]p als element van orde 2. Er volgt dus dat het product vanalle elementen van Z∗p, namelijk [(p − 1)!]p, gelijk is aan [−1]p. Dus(p− 1)! ≡p −1.

De Euler ϕ-functie wordt als volgt gedefinieerd:

ϕ(1) = 1

en voor m ∈ N, m > 1,

ϕ(m) = |r ∈ N | (r,m) = 1 en 1 ≤ r < m|.

Eigenschap 5.3.4 (Euler)Zij m ∈ N0. Dan

|U(Zm)| = ϕ(m).

Zij r ∈ N0. Als (r,m) = 1 dan

rϕ(m) ≡m 1.

Bewijs. Beschouw de multiplicatieve groep U(Zm) van de inverteerbareelementen in de ring Zm. Als a een niet nul geheel getal is dan aZ+mZ =ggd(a,m)Z. Er volgt dat [a]m ∈ U(Zm) als en slechts als (a,m) = 1.Dus |U(Zm)| = ϕ(m).

Als nu [r]m ∈ U(Zm) volgt er [r]ϕ(m)m = [1]m. Dus volgt ook het

laatste gedeelte van de eigenschap.

Euler (1707-1783)

Hoofdstuk 6

Normale deelgroepen

In dit hoofdstuk bestuderen wij speciale deelgroepen, namelijk dezewaarvoor een linkerenevenklasse steeds een rechternevenklasse is. Inhet volgende hoofdstuk kunnen wij uit zulke groepen nieuwe groepenconstrueren.

6.1 Definitie

Voor twee deelverzamelingen X en Y van een groep G noteert men

XY = xy | x ∈ X, y ∈ Y .

Als X = x dan noteren wij XY ook als xY .

In het algemeen is XY verschillend van Y X. Maar merk op datgelijkheid wel kan optreden, ook als de elementen van X en Y nietnoodzakelijk commuteren. Inderdaad, in D2n geldt a 1, b = a, abmaar 1, b a = a, an−1b. Ook 〈a〉b = b〈a〉.

Definitie 6.1.1 Zij N een deelgroep van een groep G. Men noemt Neen normale deelgroep van G als en slechts als gN = Ng voor alle g ∈ G.Met N CG noteert men dat N een normale deelgroep is van G.

63

64 HOOFDSTUK 6. NORMALE DEELGROEPEN

Als N een normale deelgroep is van een groep G, dan noteert men deverzameling van de nevenklassen van N in G (dus equivalentieklassen)als G/N .

Eigenschap 6.1.2 Zij N een deelgroep van een groep G. Dan zijn devolgende voorwaarden equivalent:

1. N is een normale deelgroep,

2. gNg−1 = N voor alle g ∈ G,

3. gNg−1 ⊆ N voor alle g ∈ G,

4. elke rechter nevenklasse van N is een linker nevenklasse.

Bewijs. Als gN = Ng dan gNg−1 = Ngg−1 en dus gNg−1 = N . Dusvolgt (2) uit (1). Dat (3) uit (2) volgt is evident.

Veronderstel nu (3). Dan gNg−1 ⊆ N voor elke g ∈ G. Nu is ookg−1 ∈ G en dus g−1N(g−1)−1 ⊆ N , voor elke g ∈ G. Dit laatste isequivalent met N ⊆ gNg−1. Bijgevolg N = gNg−1 en dus Ng = gN ,dit bewijst (1).

Uiteraard volgt (4) uit (1). Er blijft dus te bewijzen dat (1) volgtuit (4). Gegeven is dus dat voor elke g ∈ G een h ∈ G bestaat zodatNg = hN . Dus g ∈ hN . Omdat hN een equivalentieklasse is volgt erhN = gN . Dus Ng = gN (voor elke g ∈ G). Dit toont aan dat N CG.

Normale deelgroepen werden in 1831 geintroduceerd door EvaristeGalois, dit in het kader van het probleem wanneer een polynoomverge-lijking oplosbaar is door radikalen. Galois merkte op dat een deelgroepH van een groep G van permutaties twee ontbindingen van G gaf (wijnoemen dit linkse en rechtse nevenklassen). Als de twee ontbindingensamenvallen, dus als de linkse nevenklassen dezelfde zijn als de rechtse,dan noemde Galois de ontbinding “echt”. Dus een deelgroep met eenechte ontbinding noemen wij een normale deelgroep. Camille Jordanging verder met deze ideeen, in 1865 en 1869. Hij definieerde ook nor-male deelgroepen (zonder de term te gebruiken) en was de eerste die eendefinitie gaf van een simpele groep.


6.2 Elementaire eigenschappen

Eigenschap 6.2.1 Zij N een deelgroep van een groep G. Als [G : N ] =2 dan is N een normale deelgroep van G.

Bewijs. Gegeven is [G : N ] = 2, d.w.z. er bestaan slechts twee linker-nevenklassen. Omdat deze een partitie vormen van G en omdat N =eN een van de linkernevenklassen is, volgt er dat G \ N de anderelinkernevenklasse is. Dus, als g 6∈ N , dan gN 6= N en bijgevolg gN =(G \N).

Er zijn ook slechts twee rechternevenklassen. Men bewijst dan ana-loog dat Ng = (G \ N) voor g 6∈ N . Dus voor zo een element g,gN = (G \ N) = Ng. Indien g ∈ N dan gN = N = Ng. BijgevolgN CG.

Omdat 〈a〉 een deelgroep is van index twee in D2n volgt er dat 〈a〉een normale deelgroep is van D2n. Doch 1, b is niet normaal in D2n.

Ook is het centrum Z(G) steeds een normale deelgroep van een groepG.

In een abelse groep zijn alle deelgroepen normale deelgroepen.

Eigenschap 6.2.2 Zij N een normale deelgroep van een groep G. AlsH een deelgroep is van G, dan

〈H ∪N〉 = HN = NH.

Bewijs. Omdat 〈H ∪ N〉 de kleinste deelgroep is van G die H en Nomvat is het duidelijk dat HN ⊆ 〈H∪N〉. Wij bewijzen nu dat HN eendeelgroep is. Omdat deze H en N omvat volgt er dan 〈H ∪N〉 = HN .

Inderdaad, e = ee ∈ HN . Als h1, h2 ∈ H en n1, n2 ∈ N , dan

(h1n1)(h2n2) = h1h2(h−12 n1h2)n2.

66 HOOFDSTUK 6. NORMALE DEELGROEPEN

Omdat N een normale deelgroep is, n3 = h−12 n1h2 ∈ N . Bijgevolg

(h1n1)(h2n2) = h1h2(n3n2) ∈ HN.

Ook(h1n1)

−1 = n−11 h−11 = h−11 (h1n−11 h−11 ) ∈ HN.

Dus is inderdaad HN een deelgroep.

Analoog bewijst men dat 〈H ∪ N〉 = NH. (Of men bewijst recht-streeks, met methoden zoals in de voorgaande redenering, dat NH =HN .)

In het algemeen is een willekeurige deelgroep H van een groep Ggeen normale deelgroep. Daarom definieert men de normalisator vanH in G als de verzameling

NG(H) = g ∈ G | gHg−1 = H.

Eigenschap 6.2.3 Zij H een deelgroep van een groep G. Dan is NG(H)een deelgroep van G en het is de grootste deelgroep (voor de inclusierelatie) waarin H een normale deelgroep is.

Bewijs. Duidelijk is e ∈ NG(H). Als g1, g2 ∈ NG(H) dan

(g1g2)H(g1g2)−1 = (g1g2)H(g−12 g−11 )

= g1(g2Hg−12 )g−11

= g1Hg−11

= H

Ook, omdat g1Hg−11 = H volgt er

H = g−11 g1Hg−11 g1 = g−11 Hg1

Dus g1g2, g−11 ∈ NG(H). Bijgevolg is NG(H) een deelgroep die H bevat,

en uiteraard is H CNG(H).

Als D een deelgroep is van G die H omvat en H C D dan is, voorelke d ∈ D, dHd−1 = H. Dus D ⊆ NG(H). Er volgt dat NG(H) degrootste deelgroep is die H omvat en waarin H normaal is.

Hoofdstuk 7

Quotientgroepen

In dit hoofdstuk gebruiken wij normale deelgroepen om nieuwe (klei-nere) groepen te vormen.

7.1 Definitie

Stelling 7.1.1 Zij G een groep en N een normale deelgroep. Dan is

G/N = gN | g ∈ G


(gN)(hN) = (gh)N,

voor g, h ∈ G. Men noemt dit de quotientgroep van G door N . Hetneutraal element van deze groep is eN en (gN)−1 = g−1N .

Bewijs. Wij moeten eerst en vooral aantonen dat de bewerking goedgedefinieerd is. D.w.z., als g1N = g2N en h1N = h2N dan moeten wijaantonen dat g1h1N = g2h2N . Dat dit inderdaad zo is volgt uit de

67

68 HOOFDSTUK 7. QUOTIENTGROEPEN

volgende redenering.

g1h1N = g1h1NN

= g1(h1N)N

= g1(Nh1)N

= (g1N)(h1N)

= (g2N)(h2N)

= g2(Nh2)N

= g2(h2N)N

= g2h2NN

= g2h2N

Men toont nu eenvoudig aan dat al de groepvoorwaarden voldaanzijn. Bovendien, eG/N = eGN , (gN)−1 = (g−1)N .

Merk op dat G/N abels is als G abels is. Maar er zijn voorbeel-den van niet abelse groepen zodat G/N abels is voor sommige normaledeelgroepen N of G.


Zij Z de additieve groep van de gehele getallen en zij n > 1 eennatuurlijk getal. Dan is nZ een normale deelgroep van Z. De elementenvan de quotientgroep Z/nZ zijn de nevenklassen

a+ nZ,

met a ∈ Z. Duidelijk is

a+ nZ = [a]n.

Dus heeft Z/nZ precies dezelfde elementen als de verzameling Zn. Ook,voor a, b ∈ Z,

[a]n + [b]n = (a+ nZ) + (b+ nZ) = (a+ b) + nZ = [a+ b]n.

Er volgt dat (Z/nZ,+) precies de groep (Zn,+) is.

7.1. DEFINITIE 69

Zij F een lichaam. De groep SLn(F ) is een normale deelgroep vanGLn(F ). De elementen van de quotientgroep zijn de nevenklassen

A · SLn(F ),

met A ∈ GLn(F ). Zij det(A) = a, dan bestaat een B ∈ GLn(F ) zodat

A = D(a) B,

met

D(a) =

a 0 · · · 00 1 · · · 0...

...0 0 · · · 1

Er volgt dat det(B) = 1 en dus B ∈ SLn(F ). Bijgevolg

A · SLn(F ) = D(a)B · SLn(F ) = D(a) · SLn(F ).

Duidelijk is D(a) ·SLn(F ) 6= D(b) ·SLn(F ) als a 6= b, a, b ∈ F ∗. Er volgtdat

GLn(F )/SLn(F ) = D(a) · SLn(F ) | 0 6= a ∈ F .

Beschouw de diedergroep D6 = 〈a, b〉 van orde 6. Herinner data3 = 1, b2 = 1 en ba = a2b.


a2b a2b ab b a2 a e

Zij N = 〈a〉 = 1, a, a2. Dan is [D6 : N ] = 2 en dus is N een nor-male deelgroep van D6. De quotientgroep D6/N heeft twee elementen:N en bN . De Cayleytabel van deze quotientgroep is:


N bNN N bNbN bN N

Dus D6/N = 〈bN〉, een cyclische groep van orde 2.

Merk op dat we de Cayleytabel van D6 kunnen opdelen in blokkenzodat de elementen in een blok precies deze zijn van een nevenklassevan N . Dit is mogelijk omdat N CD6.


a2b a2b ab b a2 a e

In D8 = 〈a, b〉 met a4 = b2 = 1 en ba = a3b is N = 〈a2〉 = 1, a2een normale deelgroep en de elementen van D8/N zijn de nevenklassenN = 1, a2, Na = a, a3, Nb = b, ba2 en Nab = ab, a3b. DeCaleytabel van deze groep is

N Na Nb NabN N Na Nb NabNa Na N Nab NbNb Nb Nab N NaNab Nab Nb Na N

In blokvorm komt dit overeen met

7.2. DEELGROEPEN VAN QUOTIENTGROEPEN 71

· e a2 a a3 b a2b ab a3be e a2 a a3 b a2b ab a3ba2 a2 e a3 a a2b b a3b aba a a3 a2 e ab a3b a2b ba3 a3 a e a2 a3b ab b a2bb b a2b a3b ab e a2 a3 a

a2b a2b b ab a3b a2 e a a3

ab ab a3b b a2b a a3 e a2

a3b a3b ab a2b b a3 a a2 e

7.2 Deelgroepen van quotientgroepen

Stelling 7.2.1 Zij N een normale deelgroep van een groep G. Dangelden de volgende eigenschappen:

1. Als D een deelgroep is van G die N omvat dan is D/N = dN |d ∈ D een deelgroep van G/N .

2. Elke deelgroep D van G/N is van de vorm D/N met D een deel-groep van G die N omvat. Een voorbeeld van zo een deelgroep Dis g ∈ G | gN ∈ D.

Dus definieert de correspondentie

D 7→ D/N

een bijectie tussen de verzameling van de deelgroepen van G/N en deverzameling van deelgroepen van G die N omvatten.

Onder deze bijectie worden normale deelgroepen van G die N om-vatten afgebeeld op normale deelgroepen van G/N .

Bewijs. (1) is eenvoudig te bewijzen.

(2) Zij D een deelgroep van G/N . Zij D = g ∈ G | gN ∈ D.Men bewijst dan dat D een deelgroep is van G. Omdat, voor n ∈ N ,nN = N ∈ D hebben wij dat N ⊆ D. Ook is D/N = D.


(2) toont aan dat de afbeelding D 7→ D/N surjectief is. Deze af-beelding is ook injectief. Inderdaad, zij D1, D2 deelgroepen van G dieN bevatten. Als D1/N = D2/N , dan bestaat voor elke d2 ∈ D2 eend1 ∈ D1 zodat d2N = d1N . Dus, d2 ∈ d1N ⊆ D1. Bijgevolg D2 ⊆ D1.Analoog volgt de omgekeerde inclusie. Dus D1 = D2.

Hoofdstuk 8

Homomorfismen

In dit hoofdstuk bestuderen wij afbeeldingen tussen groepen die de al-gebraısche structuur bewaren.

8.1 Definitie

Definitie 8.1.1 Zij (G, ∗) en (H, ) groepen. Een afbeelding

f : G→ H

is een (groep) homomorfisme als, voor alle a, b ∈ G,

f(a ∗ b) = f(a) f(b).


(1) Zij F een lichaam. Dan is F ∗ = F \ 0 een abelse groep voorde vermenigvuldiging in F . De afbeelding

det : GLn(F )→ F ∗ : A 7→ det(A).

is een homomorfisme.

73

74 HOOFDSTUK 8. HOMOMORFISMEN

(2) De afbeelding

En → Zn : e2kπi/n 7→ [k]n

is een homomorfisme.

(3) Zij GA(1,R) de verzameling van alle functies

f : R→ R

van de vormf(x) = ax+ b,

met a, b ∈ R en a 6= 0. Wij noteren deze functie als fa,b. Dan is GA(1,R)een groep voor de samenstelling van functies. Zij A de verzameling vanalle reele matrices van de vorm[

a b0 1

].

Dit is een deelgroep van GL2(R). Bovendien is

ϕ : GA(1,R)→ A : fa,b 7→[a b0 1

]een bijectief homomorfisme.

(4) De afbeelding

(R,+)→ (R+0 , ·) : x 7→ ex

is een bijectief homomorfisme. De inverse afbeelding

(R+0 , ·)→ (R,+) : x 7→ lnx

is ook een bijectief homomorfisme.

(5) Zij N een normale deelgroep van een groep G. De afbeelding

nat : G→ G/N : g 7→ gN = g

is een surjectief groephomomorfisme. Men noemt dit het natuurlijkegroephomomorfisme van G naar G/N .

8.2. ISOMORFISMEN 75

Eigenschap 8.1.2 Zij f : G → H een groephomomorfisme. Dan gel-den de volgende eigenschappen, voor alle g ∈ G:

1. f(eG) = eH ,

2. f(g−1) = f(g)−1,

3. f(gn) = (f(g))n, voor alle n ∈ Z.

Bewijs. (1) Omdat eGeG = eG volgt er f(eG)f(eG) = f(eG) = eHf(eG).Dus f(eG) = eH .

(2) Uit gg−1 = eG = g−1g volgt f(g)f(g−1) = f(eG) = eH =f(g−1)f(g). Dus f(g) heeft als inverse f(g−1) in H.

(3) Ga dit zelf na.

8.2 Isomorfismen

Definitie 8.2.1 Een groephomomorfisme f : G→ H dat injectief (res-pectievelijk surjectief) is noemt men een monomorfisme (respectievelijkepimorfisme).

Een groephomomorfisme f : G→ H dat een epimorfisme en mono-morfisme is noemt men een isomorfisme. Men zegt dan dat de groepenG en H isomorf zijn; men noteert dit als G ∼= H.

Een isomorfisme f : G→ G noemt men een automorfisme.

Twee cyclische groepen van dezelfde orde zijn isomorfe groepen.

Zij G een groep en g ∈ G, dan noemt men de afbeelding

ϕg : G→ G : x 7→ gxg−1


de conjugatie door g (of het inwendige automorfisme bepaald door g).Deze afbeelding is een automorfisme. De verzameling

C(x) = gxg−1 | g ∈ G

noemt men de conjugatieklasse van x in G. Deze verzameling is ookeen equivalentieklasse voor de equivalentierelatie ∼ op G gedefinieerdals volgt:

x ∼ y als en slechts als y = gxg−1 voor een g ∈ G.

Definitie 8.2.2 Zij G een groep. Dan noteert men met Aut(G) deverzameling van alle automorfismen van G. Voorzien van de bewerking“de samenstelling van functies” is dit een groep en men noemt dit deautomorfismegroep van G. Met Inn(G) noteren wij de verzameling vanalle inwendige automorfismen van G.

Eigenschap 8.2.3 Zij G een groep, dan is Inn(G) een normale deel-groep van Aut(G).

Bewijs. Duidelijk is ϕe ∈ Inn(G). Ook

ϕg ϕ−1h = ϕgh−1 .

Dus is Inn(G) een deelgroep van Aut(G).

Zij nu f ∈ Aut(G) dan

f ϕg f−1 = ϕf(g).

Dus is Inn(G) een normale deelgroep van Aut(G).

Eigenschap 8.2.4 Zij f : G → H een groepisomorfisme. Als g ∈ G,dan hebben g en f(g) dezelfde orde.

8.3. HOMOMORFISMESTELLINGEN 77

Bewijs. Bewijs dit zelf.

Deze laatste eigenschap is dikwijls nuttig om aan te tonen dat tweegroepen niet isomorf zijn. Beschouw bijvoorbeeld de groepen D8 enQ8. Beiden zijn van orde 8. De groep D8 heeft twee elementen vanorde vier (al de anderen zijn van orde twee of een). De groep Q8 heeftzes elementen van orde vier. Dus wegens de vorige eigenschap zijnbeide groepen niet isomorf. Man kan aantonen dat dit de enige (opisomorfisme na) niet abelse groepen van orde acht zijn.

8.3 Homomorfismestellingen

Definitie 8.3.1 Zij f : G → H een groephomomorfisme. De kern vanf is de verzameling

ker(f) = g ∈ G | f(g) = eH.

Eigenschap 8.3.2 Zij f : G→ H een groephomomorfisme.

1. ker(f) is een normale deelgroep van G,

2. f is een monomorfisme als en slechts als ker(f) = eG.

3. Im(f) = f(G) is een deelgroep van H.

Bewijs. (1) Omdat f(eG) = eH hebben wij dat eG ∈ ker(f). Alsg1, g2 ∈ ker(f) dan

f(g1g−12 ) = f(g1)f(g−12 ) = f(g1)f(g2)

−1 = eHeH = eH

en dus g1g−12 ∈ ker(f). Dit toont aan dat ker(f) een deelgroep is van

G. Ook, voor g1 ∈ ker(f) en g ∈ G,

f(gg1g−1) = f(g)f(g1)f(g)−1 = f(g)eHf(g)−1 = eH ;


d.w.z. gg1g−1 ∈ ker(f). Bijgevolg is ker(f)CG.

Bewijs zelf dat Im(f) = f(g) | g ∈ G een deelgroep is van H.

Wij bewijzen nu (2). Veronderstel dat f een monomorfisme is eng ∈ ker(f). Dan f(g) = eH = f(eG). Wegens de injectiviteit van fverkrijgen wij aldus dat g = eG. Dus ker(f) = eG.

Omgekeerd, veronderstel dat ker(f) = eG. Zij g1, g2 ∈ G zodatf(g1) = f(g2). Dan

f(g1g−12 ) = f(g1)f(g2)

−1 = f(g1)f(g1)−1 = eH .

Dus g1g−12 ∈ ker(f) = eG. Bijgevolg g1g

−12 = eG en dus g1 = g2.

Wij zien dus dat elke kern van een groephomomorfisme een normaledeelgroep is. Omgekeerd is een normale deelgroep N van een groep Gde kern van het natuurlijke epimorfisme nat : G → G/N . Dus is ereen een-een correspondentie tussen normale deelgroepen en kernen vangroephomomorfismen.

Stelling 8.3.3 (Eerste Isomorfismestelling)Zij f : G→ H een groephomomorfisme. Dan

G/ ker f ∼= f(G).

Bewijs. Definieerψ : G/ ker(f)→ f(G)

als volgtψ(g ker(f)) = f(g).

Eerst en vooral moeten wij aantonen dat ψ goed gedefinieerd is. Zijdaarom g1, g2 ∈ G zodat g1 ker(f) = g2 ker(f), d.w.z., g−12 g1 ∈ ker(f).Dus

f(g1) = f(g2g−12 g1) = f(g2)f(g−12 g1) = f(g2)eH = f(g2).

Bijgevolg is ψ inderdaad goed gedefinieerd.


Dat ψ een homomorfisme is volgt uit het volgende:

ψ ((g1 ker(f)) (g2 ker(f))) = ψ(g1g2 ker(f))

= f(g1g2)

= f(g1)f(g2)

= ψ(g1 ker(f)) ψ(g2 ker(f))

Als g ∈ G, dan f(g) = ψ(g ker(f)). Dus is ψ surjectief. Om aan tetonen dat ψ injectief is is het voldoende om aan te tonen dat ker(ψ) =eG/ ker(f). Zij daarom g ker(f) ∈ ker(ψ). Dus f(g) = eH en bijgevolgg ∈ ker(f). Er volgt g ker(f) = ker(f) = eG/ ker(f).

Wij geven enkele toepassingen van de homomorfismestelling.

(1) Beschouw het epimorfisme

det : GLn(F )→ F ∗.

Dan is ker(det) = SLn(F ) en dus

GLn(F )/SLn(F ) ∼= F ∗.

(2) Beschouw het epimorfisme (van additieve groepen)

f : Z→ Zn : z 7→ [z]n.

Dan is ker(f) = nZ en dus

Z/nZ ∼= Zn.

(3) Zij E = c ∈ C | |c| = 1. Dan is E een abelse groep voor devermenigvuldiging van complexe getallen en

E = ex2πi | x ∈ R.

Beschouwϕ : R→ E


gedefinieerd als volgtϕ(x) = e2πix.

Dan is ϕ een groepepimorfisme van de groep (R,+) naar de groep (E, ·).Omdat ker(ϕ) = Z verkrijgen wij

E ∼= R/Z.

(4) Beschouw G1 × G2, het direct product van de groepen G1 endG2. Definieer

p1 : G1 ×G2 → G1 : (g1, g2) 7→ g1.

Dan is p1 een groepepimorfisme met ker(p1) = eG1 ×G2. Dus

(G1 ×G2)/(eG1 ×G2) ∼= G1.

Analoog isp2 : G1 ×G2 → G2 : (g1, g2) 7→ g2

een groepepimorfisme en ker(p2) = G1 × eG2. Dus

(G1 ×G2)/(G1 × eG2) ∼= G2.

Eigenschap 8.3.4 Zij G een groep. Dan is (Aut(G), ) een groep metals normale deelgroep Inn(G). Bovendien,

G/Z(G) ∼= Inn(G).

Bewijs. Beschouw de afbeelding

ϕ : G→ Inn(G) : g 7→ ϕg.

Verifieer dat ϕ een groepepimorfisme is. Zij nu g ∈ G, dan is g ∈ ker(ϕ)als en slechts als ϕg = 1G, d.w.z., voor alle x ∈ G,

gxg−1 = x.

Dit laatste is equivalent met gx = xg voor alle x ∈ G. M.a.w. g ∈ Z(G).Dus ker(ϕ) = Z(G) en het resultaat volgt uit de eerste homomorfisme-stelling.


Enkele toepassingen van de homomorfismestellingen zijn gegeven inde volgende stelling.

Gevolg 8.3.5 Zij H en N deelgroepen van een groep G.

1. (Tweede Isomorfismestelling)Als N een normale deelgroep is van G, dan is

(a) N een normale deelgroep van HN ,

(b) H ∩N een normale deelgroep van H, en

(c) H/(N ∩H) ∼= HN/N .

(d) Als G ook eindig is dan |HN | = |H| |N ||H∩N | .

2. (Derde Isomorfismestelling)Als N en H normale deelgroepen zijn van G met N ⊆ H, dan

(a) H/N is een normale deelgroep van G/N , en

(b) (G/N)/(H/N) ∼= G/H.

Bewijs. (1) Uit een vorige eigenschap weten wij reeds dat 〈H ∪N〉 =HN = NH. Omdat N een normale deelgroep is van G is uiteraard Neen normale deelgroep van HN . Definieer

f : H → HN/N : h 7→ hN.

Dan, voor h1, h2 ∈ H,

f(h1h2) = h1h2N = (h1N)(h2N) = f(h1)f(h2).

Dus is f een groephomomorfisme. Omdat voor h ∈ H en n ∈ N ,

hnN = hN

volgt er dat f surjectief is. Verder is h ∈ ker(f) als en slechts alshN = N , d.w.z. h ∈ N . Dus is ker(f) = H ∩ N en i.h.b. is H ∩ Neen normale deelgroep van H. Wegens de eerste isomorfismestellingverkrijgen wij ook H/(N ∩H) ∼= HN/N .


Als G bovendien eindig is, dan volgt uit H/(N ∩H) ∼= HN/N dat

[H : (N ∩H)] = [HN : N ]

en dus|H||N ∩H|

=|HN ||N |

.

Bijgevolg

|HN | = |H| |N ||H ∩N |

.

(2) Omdat H en N normale deelgroepen zijn met N ⊆ H bestaande quotientgroepen G/N en G/H. Definieer de afbeelding

ψ : G/N → G/H : gN 7→ gH.

Ga na dat dit goed gedefinieerd is en dat ψ een epimorfisme is. Nu isgN ∈ ker(ψ) als en slechts als ψ(gN) = gH = H, d.w.z. g ∈ H. Bijge-volg ker(ψ) = gN | g ∈ H = H/N . I.h.b. is H/N CG/N . Wegens deeerste isomorfismestelling verkrijgen wij aldus (G/N)/(H/N) ∼= G/H.

Beschouw de additieve groep Z. Zij n,m ∈ Z dan

nZ/(nZ ∩mZ) ∼= (nZ +mZ)/mZ.

DusnZ/kgv(n,m)Z ∼= ggd(n,m)Z/mZ.

Merk op dat beide groepen cyclisch zijn van orde kgv(n,m)/n.

Wij vermelden nog een nuttige eigenschap (wij hebben deze al ver-schillende keren impliciet gebruikt).

Eigenschap 8.3.6 Zij f : G→ H een groephomomorfisme. Zij D eennormale deelgroep van G. Als D ⊆ ker(f) dan bestaat er een uniekgroephomomorfisme

f : G/D → H


zodatf nat = f

metnat : G→ G/D : g 7→ g = gD.

Hoofdstuk 9

Permutatiegroepen

In dit hoofdstuk bestuderen wij permutatiegroepen en tonen aan datelke groep als een deelgroep kan beschouwd worden van een permuta-tiegroep.

Het idee van het tellen van het aantal herschikkingen van de lettersvan een alfabet gaat ver terug in de geschiedenis. In de 13de eeuwwerden “herschikkingen” reeds als een “abstract object” aanvaard. Dewiskundige Abu-l-Abbas ibn al-Banna (1256-1321, uit Marrakech) gaf aleen volledig bewijs dat het aantal herschikkingen van een verzamelingmet n elementen gelijk is aan n!. Het was pas in de 18de eeuw, o.a.door Lagrange, dat er aan herschikkingen werd gedacht als functies vaneen verzameling naar zichzelf. Het was Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) die de fundering van de theorie van permutatiegroepen legde ennotatie invoerde.

9.1 Stelling van Cayley

Stelling 9.1.1 (Stelling van Cayley)Een groep G is isomorf met een deelgroep van de symmetrische groepSym(G).

85

86 HOOFDSTUK 9. PERMUTATIEGROEPEN

Bewijs. Beschouw de afbeelding

ψ : G→ Sym(G) : g 7→ ψg

met

ψg : G→ G : x 7→ gx.

Wegens de vereenvoudigingseigenschappen in een groep is ψg injectief.Voor y ∈ G geldt dat ψ(g−1y) = y. Dus is elke ψg ook surjectief, enbijgevolg ψg ∈ Sym(G). Bijgevolg is ψ inderdaad een functie van G naarSym(G). Omdat ψg ψh = ψgh is ψ een groephomomorfisme. Als g ∈ker(ψ) dan ψg = 1G. Dus gx = x voor alle x ∈ G. Bijgevolg g = eG endus is ψ een monomorfisme. Wegens de eerste isomorfismestelling volgter dat G ∼= ψ(G) en deze laatste is een deelgroep van de symmetrischegroep Sym(G).

In een artikel van 1854 gaf Arthur Cayley (1821-1895) een abstractklinkende definitie van het begrip groep: “een verzameling symbolen,1, α, β, . . . ,” allen verschillend en zodanig dat het product van elke tweevan hen (in gelijk welke volgorde) of het product van elk een van henmet zichzelf, tot de verzameling behoort, noemt men een groep.” Desymbolen die Cayley gebruikte waren, echter, steeds operatoren op eenverzameling. Waarschijnlijk was hij zich niet bewust van een andersoort groep. Cayley schreef dat artikel, en vele andere, toen hij aaneen advocaat was. In 1863 werd hij professor aan de Universiteit vanCambridge en hij schreef toen verschillende belangrijke artikels die geleidhebben tot een axiomatische definitie (1882) van een abstracte groep,door Walter Van Dyck. Zijn vroegere opemerking/definite is dus vooreen kwart eeuw niet opgemerkt.

9.2 Eindige Permutatiegroepen

Zij X een verzameling met n elementen. Meestal beschouwen wij X alsde verzameling 1, 2, . . . , n en wij noteren dan Sym(X) als Sn. Dikwijls

9.2. EINDIGE PERMUTATIEGROEPEN 87

schrijft men dan een permutatie f : X → X in de vorm

f =

(1 2 3 · · · n

f(1) f(2) f(3) · · · f(n)

)Het is dan ook eenvoudig na te gaan dat

|Sn| = n!

Inderdaad, elk element van de verzameling 1, 2, . . . , n komt precieseenmaal voor in de tweede rij. Er zijn n keuzes voor het eerste elementin de rij. Bijgevolg zijn er n − 1 keuzes voor het tweede element in derij, enz. Dus zijn er in totaal n(n− 1) · · · 2 1 mogelijkheden.

Definitie 9.2.1 Een permutatie f is een k-cyclus als er er k verschil-lende elementen i1, i2, . . . , ik in 1, 2, . . . , n bestaan zodat f(i) = i voori 6∈ i1, · · · , ik en

f(i1) = i2, f(i2) = i3, · · · , f(ik−1) = ik, f(ik) = i1.

Men schrijft deze k-cyclus als

(i1 i2 · · · ik).

Men noemt k de lengte van de cyclus.

Een 2-cyclus noemt men een transpositie.

Twee permutaties π en ϕ noemt men disjunct als ϕ(i) = i voor elkei ∈ X met π(i) 6= i. Wij merken op dat zulke permutaties commuteren,d.w.z., π ϕ = ϕ π.

Lemma 9.2.2 Zij f ∈ Sn en i ∈ 1, . . . , n. Als k het kleinste getal isin N0 zodat fk(i) ∈ i, f(i), . . . , fk−1(i) dan fk(i) = i.

Bewijs. Veronderstel dat fk(i) = f l(i) voor een 0 < l < k danfk−l(i) = f−l(fk(i)) = i. Dit is echter in contradictie met de keuzevan k.


Er volgt dus dat f ∈ Sn een k cyclus is als k ∈ N0 en een i ∈1, . . . , n bestaan zodat

1. k is het kleinste getal in N0 zodat fk(i) = i, en

2. f(j) = j voor alle j 6∈ i, f(i), . . . , fk−1(i).

Eigenschap 9.2.3 Elke permutatie is een product van disjuncte cyclus-sen. Dit product is uniek op de volgorde van de cyclussen na. Wenoemen dit de (disjuncte) cyclus ontbinding van de permutatie (meestalschrijft men niet de cyclussen van lengte een).

Bewijs. Zij X = 1, . . . , n en F = i ∈ X | f(i) = i. Voor elke i ∈ Fvormen wij de 1-cyclus (i). Zij nu i het kleinste getal in X \ F en zij khet kleinste getal in N0 zodat fk(i) ∈ i, f(i), . . . , fk−1(i). Wegens devorige eigenschap, fk(i) = i en wij vormen de k-cyclus

(i f(i) · · · fk−1(i)).

Als er nog een getal j bestaat in X dat niet behoort tot

F ∪ i, f(i), · · · , fk−1(i),

zij dan l het kleinste getal in N0 zodat f l(j) ∈ j, f(j), . . . , f l−1(j) envorm de l-cyclus (j f(j) · · · f l−1(j)). Er volgt dat f het product is vanalle aldus gevormde cyclussen.

Ga zelf na dat deze ontbinding uniek is.

De ontbinding van

f =

(1 2 3 4 5 6 7 8 9 107 3 5 6 2 4 8 9 1 10

)in S10 is

(1 7 8 9)(2 3 5)(4 6)(10).


Aangezien wij een cyclus van lengte een meestal niet schrijven, noterenwij deze permutatie dus meestal eenvoudiger als (1 7 8 9)(2 3 5)(4 6)

Wij weten dat S3 zes elementen heeft en het is gemakkelijk na tegaan dat

S3 = 1, (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2).

Merk op dat de inverse van een k-cyclus terug een k-cyclus is

(i1 i2 · · · ik)−1 = (ik ik−1 · · · i2 i1).

De orde van een k-cyclus in de groep Sn is precies de lengte van decyclus.

Eigenschap 9.2.4 Zij f ∈ Sn en f = c1c2 · · · cl, een product van dis-juncte cyclussen ci van respectievelijke lengte ki. Dan is

o(f) = kgv(k1, k2, . . . , kl).

Bewijs. Wij moeten dus het kleinste getal k ∈ N0 bepalen zodat

fk = 1.

Welnu, omdat disjuncte cyclussen commuteren verkrijgen wij

fk = (c1c2 · · · cl)k

= ck1ck2 · · · ckl

Dus, weer omdat de betrokken cyclussen disjunct zijn, volgt er dat fk =1 als en slechts als elke cki = 1 (voor 1 ≤ i ≤ l). Maar omdat o(ci) = kiverkrijgen wij dus dat elke ki|k. Bijgevolg kgv(k1, k2, . . . , kl)|k. Omdat

fkgv(k1,k2,...,kl) = 1

volgt het resultaat.


Duso((1 7 8 9)(2 3 5)(4 6)(10)) = kgv(4, 3, 2) = 12.

Beschouw nu π = (1 7 8 9)(2 3 5)(4 8). Dan

o(π) = o((1 7 8 4 9)(2 3 5)) = 15.

Eigenschap 9.2.5 Elke k-cyclus (met k ≥ 2) in Sn is een product vank − 1 transposities. Bijgevolg is de groep Sn voortgebracht door alletransposities (i j), met i 6= j en i, j ∈ 1, 2, · · · , n.

Bewijs. Ga na dat

(i1 i2 · · · ik) = (i1 ik) · · · (i1 i3)(i1 i2).

De ontbinding van een permutatie in transposities is niet uniek. Bij-voorbeeld, (1 2) = (3 4)(1 2)(3 4). Doch wij zullen aantonen dat depariteit van het aantal transposities in de ontbinding eenduidig bepaaldis.

Om dit aan te tonen benodigen wij het volgende. Zij f(X1, X2, . . . , Xn)een polynoom in n veranderlijken X1, X2, . . . , Xn over R. Als ϕ ∈ Sndan is ϕf per definitie de polynoom

f(Xϕ(1), Xϕ(2), . . . , Xϕ(n)).

Bijvoorbeeld, als

f(X1, X2, X3, X4) = X1X2 + 3X4 − 7X2X3X4

enϕ = (1 3)(2 4)

danϕf = X3X4 + 3X2 − 7X4X1X2.


Eigenschap 9.2.6 Zij ϕ, π ∈ Sn en f een polynoom in de veranderlijk-en X1, X2, . . . , Xn. Zij e de identiteit van Sn. Dan

1. ef = f ,

2. (ϕπ)f = ϕ(πf)

3. voor elke r ∈ R, ϕ(rf) = r(ϕf).

Bewijs. Ga dit zelf na.

Wij beschouwen nu de volgende polynoom in de veranderlijkenX1, X2, · · · , Xn:

∆n =∏

1≤i<j≤n

(Xi −Xj).

Definitie 9.2.7 Voor elke ϕ ∈ Sn is ofwel ϕ∆n = ∆n, ofwel is ϕ∆n =−∆n. In het eerste geval noemt men ϕ een even permutatie en in hettweede geval noemt men ϕ een oneven permutatie.

Beschouw nu de afbeelding

sgn : Sn → 1,−1

gedefinieerd als volgt

sgn(ϕ) =

1 als ϕ even is,−1 als ϕ oneven is.

Eigenschap 9.2.8 1. De afbeelding sgn is een groephomomorfisme.De kern van dit homomorfisme noemt men de alternerende groepvan graad n, en deze wordt genoteerd An.

2. Elke transpositie is oneven.


3. Een k-cyclus is even als en slechts als k oneven is.

4. An is een normale deelgroep van Sn, en van index 2 indien n ≥ 2.

5. Sn/An ∼= Z2 als n ≥ 2.

Bewijs. (1) Wij moeten bewijzen dat sgn(fg) = sgn(f)sgn(g) voorf, g ∈ Sn. Dit volgt uit de volgende redenering

sgn(fg)∆n = fg∆n

= f(g∆n)

= f(sgn(g)∆n)

= sgn(g)(f∆n)

= sgn(g)sgn(f)∆n

(2) Uit de definitie merken we eerst op dat sgn(1 2) = −1. Dus (1 2)is oneven. Neem nu k ∈ 3, . . . , n. Dan

(1 k) = (2 k)(1 2)(2 k)−1.

Omdat (1 2) oneven is en sgn een groephomomorfisme is volgt er dat(1 k) ook oneven is. Neem nu een willekeurige transpositie (l k) dan

(l k) = (1 l)(1 k)(1 l)−1.

Omdat (1 k) oneven is en sgn een groephomomorfisme is volgt er dat(l k) oneven is.

(3) Wij weten dat een k-cyclus het product is van k−1 transposities.Weer omdat sgn een homomorfisme is volgt er dus dat een k-cyclus evenis als en slechts als k oneven is.

(4) en (5) An is de kern van sgn en sgn is surjectief (als n ≥ 2). Dusvolgt het resultaat uit de eerste isomorfismestelling.

Wij weten reeds dat Sn voortgebracht is door transposities. Wijhebben aangetoond dat elke transpositie een product is van transpositiesvan de vorm (1 k). Dus verkrijgen wij onmiddellijk het eerste gedeeltevan de volgende eigenschap. Het tweede gedeelte bewijst men analoog.


Eigenschap 9.2.9 1. Sn = 〈(1 2), (1 3), · · · , (1 n)〉,

2. Sn = 〈a1 = (1 2), a2 = (2 3), · · · , an−1 = (n − 1 n)〉 en devolgende relaties zijn voldaan

a2k = 1, (1 ≤ k ≤ n− 1);(ak ak+1)

3 = 1, (1 ≤ k ≤ n− 1);(ai aj)

2 = 1, (1 ≤ i, j ≤ n− 1 en |i− j| > 1).

Eigenschap 9.2.10 Zij f, g ∈ Sn. Zij g = c1 · · · ck, de ontbinding indisjuncte cyclussen. Dan wordt de ontbinding in disjuncte cyclussen van

fgf−1

bekomen door in elke cyclus cj een getal i te vervangen door f(i).

Twee permutaties zijn geconjugeerd als en slechts als het type vanhun cyclus ontbinding hetzelfde is.

Hoofdstuk 10

Eindige Abelse Groepen

In dit hoofdstuk classificeren wij de eindige abelse groepen.

10.1 Directe Producten

Eigenschap 10.1.1 Zij G een groep. Als G1 en G2 deelgroepen zijnzodat:

1. G1 en G2 zijn normale deelgroepen van G,

2. G1G2 = G,

3. G1 ∩G2 = e,

dan is G isomorf met het direct product G1 ×G2.

Bewijs. Voorwaarde (2) zegt dat elk element g van G kan geschrevenworden in de vorm g = g1g2 met g1 ∈ G1 en g2 ∈ G2. Wij tonen nu aandat deze uitdrukking uniek is. Veronderstel dus dat

g1g2 = g′1g′2

95

96 HOOFDSTUK 10. EINDIGE ABELSE GROEPEN

met g′i ∈ Gi. Dan (g′1)−1g1 = g′2g

−12 ∈ G1 ∩G2. Wegens voorwaarde (3)

verkrijgen wij (g′1)−1g1 = g′2g

−12 = e en dus g1 = g′1 en g2 = g′2.

Wij tonen nu aan dat de elementen van G1 commuteren met deelementen van G2. Zij dus gi ∈ Gi. Dan, omdat Gi CG,

g1g2g−11 ∈ G2

eng2g−11 g−12 ∈ G1.

Dusg1g2g

−11 g−12 ∈ G2 ∩G1

en bijgevolgg1g2g

−11 g−12 = e.

Dus g1g2 = g2g1.

Er volgt dat de afbeelding

f : G = G1G2 → G1 ×G2 : g1g2 7→ (g1, g2)

goed gedefinieerd is. Ook is dit een isomorfisme van groepen.

Het omgekeerde van de vorige stelling is uiteraard ook waar. In-derdaad als G = G1 × G2 dan G = H1H2 met H1 = G1 × eG2 enH2 = eG1 ×G2. De groepen Hi zijn normaal in G en H1 ∩H2 = e.

De Viergroep van Klein e, a, b, c is isomorf met e, a × e, b, endus isomorf met Z2 × Z2.

De cyclische groep Z6 is isomorf met [0]6, [2]6, [4]6×[0]6, [3]6; endus met Z3 × Z2.

10.2 Fundamentele Stelling

Lemma 10.2.1 Zij G een abelse groep.

10.2. FUNDAMENTELE STELLING 97

1. Als m ∈ N dan is G(m) = g ∈ G | gm = e een deelgroep van G.

2. Als |G| = mn en (m,n) = 1, dan G ∼= G(m)×G(n).

Bewijs. (1) Duidelijk is e ∈ G(m). Als g1, g2 ∈ G(m), dan (omdat Gabels is),

(g1g−12 )m = gm1 (gm2 )−1 = ee = e.

Dus g1g−12 ∈ G(m).

(2) Omdat (m,n) = 1 bestaan er v, w ∈ Z zodat vm+ wn = 1. Alsg ∈ G, dan

g = g1 = gvm+wn = gvmgwn.

Verder is g|G| = gmn = e. Dus gvm ∈ G(n) en gwn ∈ G(m). BijgevolgG = G(m)G(n). Omdat G abels is zijn beide groepen G(n) en G(m)normale deelgroepen van G. Ook is G(n)∩G(m) = e. Inderdaad, zijg in de doorsnede. Dan gn = gm = e. Dus ook

g1 = gvmgwn = (gm)v(gn)w = ee = e.

Er volgt datG = G(m)G(n) ∼= G(m)×G(n).

Definitie 10.2.2 Zij G een groep en p een priemgetal. Als de orde vanelk element van G een macht van p is dan noemt men G een p-groep.

Een voorbeeld van een p-groep is de cyclische groep (Zpn ,+). Ookeindige directe producten van p-groepen zijn p-groepen. De groep (Z6,+)is geen p-groep.

Eigenschap 10.2.3 Zij G een eindige abelse p-groep. Dan:

1. het homomorf beeld van G is ook een p-groep.


2. de orde van G is een macht van p.

Bewijs. (1) Zij N een (normale) deelgroep van G. Zij gN ∈ G/N . Dangp

n= e voor een n ∈ N0. Dus ook (gN)p

n= gp

nN = eN = N . Dus is

o(gN) een macht van p.

(2) Als G = e dan is dit resultaat triviaal. Veronderstel dusdat e 6= g ∈ G. Dan is N = 〈g〉 een normale deelgroep van G en

|N | = o(g) = pn voor een n ∈ N0. Nu |G/N | = |G||N | < |G|. Dus door

inductie mag men veronderstellen dat |G/N | = pm voor een m ∈ N.Dus |G| = pm|N | = pn+m.

Stelling 10.2.4 (Fundamentele Stelling van Eindige Abelse Groepen)Zij G een niet triviale eindige abelse groep. Dan is G isomorf met eendirect product van cyclische groepen, elk van orde een macht van eenpriemgetal. De priemen die voorkomen zijn delers van de orde van G,en elke priemdeler van |G| komt voor in de ontbinding. Bovendien alsp zo een priemgetal is, en als pt1 ≥ pt2 ≥ · · · ≥ ptr de orden vande cyclische p-groepen zijn die voorkomen in deze ontbinding, dan zijndeze getallen uniek bepaald (men noemt deze de invarianten van G).

Bewijs. Wij geven een bewijs in drie stappen:

1. G is het product van eindige abelse p-groepen

2. Elke eindige abelse p-groep is isomorf met een direct product vancyclische p-groepen.

3. De vorige twee stappen tonen aan dat G isomorf is met het directproduct van cyclische p-groepen. Wij bewijzen dan vervolgens datdeze ontbinding uniek is.

Veronderstel dat |G| = pn11 p

n22 · · · p

nkk , met p1, · · · , pk verschillende

priemgetallen. Door inductie volgt uit een vorige eigenschap dat

G ∼= G(pn11 )× · · · ×G(pnk

k ).

10.2. FUNDAMENTELE STELLING 99

Dit bewijst stap (1).

Merk op dat de orde van elke G(pnii ) 6= e een macht van pi is.

Omdat ook |G| = |G(pn11 )| · · · |G(pnk

k )| volgt er dat |G(pnii )| = pni

i .

(2) Veronderstel nu dat G een eindige abelse p-groep is, met p eenpriemgetal. Wij bewijzen door inductie op |G| dat G isomorf is met eendirect product van cyclische groepen van orde een macht van p.

Als G = e dan is dit weer triviaal. Veronderstel dus dat hetresultaat geldig is voor elke eindige abelse p-groep van orde minder dan|G|.

We zoeken nu een e 6= x ∈ G zodat G ∼= 〈x〉 ×B voor een deelgroepB van G. Aangezien |B| < |G| volgt (2) dan uit de inductiehypothese.

Wij maken een speciale keuze voor x. Inderdaad kies x ∈ G zodato(x) ≥ o(y) voor elke y ∈ G (dus x is een element van maximale orde).Zij A = 〈x〉. Wegens de inductiehypothese,

G/A ∼= 〈x1A〉 × · · · × 〈xmA〉

en xiA heeft orde pti .

Wij tonen nu aan dat er een yi ∈ G bestaat zodat o(yi) = pti enxiA = yiA. Om de notatie te vereenvoudigen, zij yA een element vanorde pt. Wij zoeken een representant van yA die orde pt heeft in G.Merk op dat pt|o(y). Nu (yA)p

t= A en dus

ypt

= xn

voor een n < o(x). Zij o(x) = pi en o(y) = pj. Omdat pt|o(y) hebbenwij j ≥ t. Omdat n < o(x) hebben wij ook w < i met w het grootstenatuurlijk getal zodat pw|n. Wij wensen dat w ≥ t. Inderdaad wantdan n = cpt voor een c ∈ N en dus yp

t= (xc)p

tzodat (yx−c)p

t= e en

Ay = A(yx−c) (en yx−c heeft orde pt). Nu

o(ypt

) =pj

(pj, pt)=pj

pt= pj−t,

en

o(xn) =pi

(pi, n)=

pi

(pi, pw)= pi−w.


Dus pj−t = pi−w en bijgevolg j − t = i− w. Er volgt

w = t+ i− j.

Omdat, bij keuze, o(x) = pi ≥ o(y) = pj volgt er i ≥ j en dus w ≥ t,zoals gewenst.

Er bestaan dus yi ∈ G zodat o(yi) = pti en xiA = yiA. Stel B =〈y1, · · · , ym〉 = yr11 · · · yrmm | 0 ≤ ri < pti. Nu is AB = G. Wij tonennu aan dat A ∩ B = e. Zij daarom a ∈ A ∩ B. Dan a = yr11 · · · yrmmmet 0 ≤ ri < pti . Dan, in G/A,

eG/A = aA = (y1A)r1 · · · (ymA)rm .

Omdat G/A het direct product is van de 〈yiA〉 en o(yiA) = pti volgt erdat elke ri = 0. Dus is a = e.

Er volgt dat G ∼= A×B, zoals gewenst.

Er blijft te bewijzen dat de ontbinding uniek is. Eerst verifieert mendat het probleem kan herleid worden naar p-groepen. Zij daarom

〈x1〉 × · · · × 〈xr〉 ∼= 〈y1〉 × · · · × 〈ys〉

met o(xi) = pti , t1 ≥ t2 ≥ · · · ≥ tr ≥ 1, en o(yj) = puj , u1 ≥ u2 ≥ · · · ≥us ≥ 1. Er volgt dat de p-machten isomorf zijn en dus

〈xp1〉 × · · · × 〈xpr〉 ∼= 〈yp1〉 × · · · × 〈yps〉.

Omdat deze groepen van kleinere orde zijn mag men per inductie veron-derstellen dat de ontbinding uniek is. Gebruik deze informatie en toonvervolgens aan dat het aantal i met ti = 1 hetzelfde is als het aantal jmet uj = 1. Dit alles bewijst het gewenste resultaat.

Hoofdstuk 11

Acties

Door het abstraheren van de fundamentele eigenschappen van permuta-ties is men tot het begrip groep gekomen. Een belangrijk kenmerk datdeze groepeigenschappen niet vermelden is dat groepen ingebed zijn inpermutatiegroepen. Wij zullen deze eigenschap nu terug herstellen.

11.1 Definitie

Definitie 11.1.1 Zij X een verzameling en (G, ∗) een groep. Dan voertG een (linker) actie uit op X als er een groephomomorfisme

π : G→ Sym(X) : g 7→ πg

bestaat.

Uiteraard is π een groephomomorfisme als

πg∗h = πg πh,

voor alle g, h ∈ G. Dus in het bijzonder, πe = 1X , de identiteit opX. Voor x ∈ X, noteren wij πg(x) als g · x. Wij verkrijgen aldus eenafbeelding

G×X → X : (g, x) 7→ g · x

101

102 HOOFDSTUK 11. ACTIES

die voldoet aan de volgende eigenschappen:

1. voor g, h ∈ G, x ∈ X, (g ∗ h) · x = g · (h · x),

2. voor x ∈ X, e · x = x.

Net zoals in het bewijs van de stelling van Cayley bewijst men dathet bestaan van zulke afbeelding een actie definieert van G op X.

Wij geven nu enkele voorbeelden van acties.

• De identieke afbeelding Sym(X) → Sym(X) definieert een actievan Sym(X) op X.

• De stelling van Cayley zegt dat een groep (G, ∗) een actie voertop G. In dit geval, voor elke g, x ∈ G:

πg(x) = g ∗ x

en dusg · x = g ∗ x.

Dit is de linkse translatie actie.

• Een ander voorbeeld is de conjugatie op een groep G:

G×G→ G : (g, x) 7→ g ∗ x ∗ g−1.

• Zij G een groep en P(G) de verzameling van alle deelverzameling-en van G. Dan is

G× P(G)→ P(G) : (g,D) 7→ gD

een actie van G op P(G) (de linkse translatie op deelverzame-lingen). Ook voert G een actie uit op de verzameling van alledeelgroepen van G, dit door middel van de conjugatie.

• Zij V een vectorruimte over een lichaam F , dan voert F× een actieuit op V .

11.1. DEFINITIE 103

Definitie 11.1.2 Veronderstel dat de groep G een actie voert op deverzameling X. De orbiet van x ∈ X is de verzameling

O(x) = g · x | g ∈ G,

de stabilisator van x is de verzameling

Gx = g ∈ G | g · x = x.

De stabilisatoren zijn deelgroepen van G.

Zij XG = x ∈ X | gx = x voor alle g ∈ G.

Beschouw de actie van Sn op X = 1, 2, · · · , n. Dus,

Sn ×X → X : (f, i) 7→ f(i).

Dan, voor elke i ∈ X, O(i) = X en de stabilisator van i zijn al depermutaties f ∈ Sn met f(i) = i. Dus de stabilisator is een deelgroepisomorf met Sn−1.

Voor de conjugatie actie in een groep G zijn de orbieten de conju-gatieklassen en de stabilistor van g ∈ G is de centralisator CG(g).

Voor de conjugatie actie op de deelgroepen van een groep G is destabilisator van een deelgroep D de normalisator NG(D) = g ∈ G |gDg−1 = D.

Voor de linkse translatie op de deelverzamelingen van een groep Gis de orbiet van een deelgroep H de verzameling van alle linkse neven-klassen van H. De stabilisator van H is H zelf.

In het geval van de linkse translatie actie op een groep G is er slechtseen orbiet, de groep G zelf.

Definitie 11.1.3 Veronderstel dat de groep G een actie voert op de ver-zameling X. Als X de enige orbiet is dan noemt men de actie transitief.


Wij beschouwen nog een voorbeeld. De groep GLn(R) voert eenactie uit op Rn (wij schrijven de elementen van Rn in kolomvorm).

GLn(R)× Rn → Rn : (A,X) 7→ AX.

De stabilisator van X 6= 0 is de verzameling van alle matrices A ∈GLn(R) die X als eigenvector hebben met eigenwaarde 1 en de stabili-sator von X = 0 is GLn(R).

Schrijven wij de elementen van Rn in rijvorm dan verkrijgen wij eenafbeelding

GLn(R)× Rn → Rn : (A,X) 7→ A ·X = XA.

Deze voldoet aan, voor alle A,B ∈ GLnR en X ∈ Rn,

1. (AB) ·X = B · (A ·X),

2. 1X = X

Schrijft men echter XA als X ∗A dan worden de vorige twee eigenschap-pen als volgt herschreven,

1. X ∗ (AB) = (X ∗ A) ∗B,

2. X ∗ 1 = X

Men noemt een afbeelding

X ×G→ X : (x, g) 7→ x ∗ g

die voldoet aan (voor alle x ∈ X, g, h ∈ G)

1. x ∗ (gh) = (x ∗ g) ∗ h,

2. x ∗ e = x

een rechteractie. Dit is equivalent met

ψ : G→ Sym(X) : g 7→ ψg,

11.2. ORBIET-STABILISATOR STELLING 105

waarbijψg : X → X : x 7→ x ∗ g,

is een antihomomorfisme, d.w.z. voor alle g, h ∈ G,

ψ(gh) = ψ(h) ψ(g).

11.2 Orbiet-Stabilisator Stelling

Eigenschap 11.2.1 Veronderstel dat de groep G een (linker) actie voertop de verzameling X. Zij ∼ de relatie op X gedefinieerd als volgt:

x1 ∼ x2 als er een g ∈ G bestaat zodat g · x1 = x2.

Dan is ∼ een equivalentierelatie met de orbieten als equivalentieklassen.Dus de orbieten vormen een partitie van de verzameling X.

Bewijs. Ga dit zelf na.

Stelling 11.2.2 (Orbiet-Stabilisator Stelling) Veronderstel dat degroep G een (linker) actie voert op de verzameling X. Voor x ∈ X,

|O(x)| = [G : Gx].

Bewijs. Het is voldoende om aan te tonen dat de volgende afbeelding

f : O(x)→ gGx | g ∈ G : gx 7→ gGx

een bijectie is.

Eerst tonen wij aan dat de afbeelding goed gedefinieerd is. Veron-derstel daarom dat gx = hx, met g, h ∈ G. Dan h−1gx = x en dush−1g ∈ Gx. Bijgevolg hGx = gGx en dus is de afbeelding inderdaadgoed gedefinieerd.


De afbeelding is duidelijk surjectief. Om aan te tonen dat f injectiefis veronderstellen wij dat f(gx) = f(hx). Dan gGx = hGx en dush−1g ∈ Gx. Bijgevolg h−1gx = x en dus hx = gx, zoals gewenst.

Gevolg 11.2.3 Veronderstel dat de groep G een (linker) actie voert opde verzameling X. Als G eindig is dan is het aantal elementen in eenorbiet een deler van de orde van de groep G.

Gevolg 11.2.4 Voor een groep G en a ∈ G,

|C(a)| = [G : CG(a)].

Bewijs. Beschouw de conjugatieactie op G. Voor a ∈ G is de stabilisa-tor precies de centralisator CG(a) en de orbiet van a is de conjugatiek-klasse C(a). Dus volgt het resultaat.

Wij analyseren nu de conjugatieklassen van S5 en A5. Herinnerdat in S5 twee permutaties geconjugeerd zijn als en slechts als zij vanhetzelfde cyclus type zijn.

S5 Cyclus type Aantal Orde Teken

1 1 1 even

(1 2) 10 2 oneven

(1 2 3) 20 3 even

(1 2 3 4) 30 4 oneven

(1 2 3 4 5) 24 5 even

(1 2)(3 4 5) 20 6 oneven

(1 2)(3 4) 15 2 even

11.2. ORBIET-STABILISATOR STELLING 107

A5 Conjugatieklasse Aantal Orde Teken

C(1) 1 1 even

C(1 2 3) 20 3 even

C(1 2 3 4 5) 12 5 even

C(1 2 3 5 4) 12 5 even

(1 2)(3 4) 15 2 even

Wij merken dus op dat in S5 de conjugatieklasse van (1 2 3 4 5)precies 24 elementen bevat, maar dat deze verzameling splitst in tweeverzamelingen (twee verschillende conjugatieklassen) in A5.

De volgende stelling geeft een middel om het aantal orbieten van eenactie van een eindige groep G op een eindige verzameling te bepalen.Voor g ∈ G noteren wij Xg = x ∈ X | gx = x.

Stelling 11.2.5 Zij G een eindige groep die een linker actie voert opde eindige verzameling X. Zij r het aantal orbieten in X. Dan

r |G| =∑g∈G

|Xg|.

Bewijs. Zij n = |(g, x) | g ∈ G, x ∈ X, gx = x|. Voor elke g ∈ Gzijn er |Xg| paren met g als eerste component. Dus

n =∑g∈G

|Xg|.

Voor elke x ∈ X zijn er |Gx| paren met x als tweede component. Dus

n =∑x∈X

|Gx|.

Wegens de orbiet-stabilisator stelling weten wij |O(x)| = [G : Gx]. Dus

n =∑x∈X

|G||O(x)|

= |G|∑x∈X

1

|O(x)|.


Nu,∑

y∈O(x)1O(y) =

∑y∈O(x)

1|O(x)| = 1 en dus∑

g∈G

|Xg| = n = |G|(aantal orbieten in X) = |G| r.

Veronderstel dat de eindige groep G een linker actie voert op deeindige verzameling X. Merk op dat als Y een deelverzameling is vanX die precies 1 element bevat uit elke orbiet die meer dan 1 elementbevat, dan

|X| = |XG|+∑y∈Y

|O(y)|.

Stelling 11.2.6 Zij G een groep van orde pn (p een priemgetal) enveronderstel dat G een linker actie voert op X. Dan

|X| ≡ |XG| (mod p).

Bewijs. Met notaties zoals in de opmerking voor de stelling. We wetendat |O(y)| een deler is van |G| = pn. Dus is p een deler van elke |O(y)|.Uit de vergelijking voor de stelling volgt dan |X|−|XG| deelbaar is doorp.

Wij zullen nu bewijzen dat elke eindige p-groep als orde een machtvan p heeft (dus een resultaat zoals in het commutatieve geval). Devolgende stelling bevat hiervoor de essentie.

Stelling 11.2.7 (Stelling van Cauchy) Zij p een priemgetal en G eeneindige groep. Als p een deler is van |G| dan heeft G een element vanorde p.

Bewijs. Zij X = (g1, g2, . . . , gp) | g1g2 · · · gp = e, gi ∈ G, 1 ≤ i ≤ p.Merk op dat X = (g1, g2, . . . , gp) | gp = (g1g2 · · · gp−1)−1, gi ∈ G, 1 ≤i ≤ p− 1. Dus |X| = |G|p−1. Omdat |G| deelbaar is door p, volgt dat|X| deelbaar is door p.

11.3. SYLOWSTELLINGEN 109

Zij σ = (1, 2, 3, · · · , p) ∈ Sp. Wij hebben duidelijk een actie

〈σ〉 ×X → X

gedefinieerd door

σ(g1, · · · , gp) = (g2, g3, · · · , gp, g1)

en definieer dat σi(g1, · · · , gp) iteratief.

Wegens Stelling 11.2.6, |X| ≡ |X〈σ〉| mod p. Omdat p | |X| volgter dus dat p | |X〈σ〉|. Omdat (e, e, · · · , e) ∈ X volgt er dat |X〈σ〉| ≥ p.Zij dan (e, e, · · · , e) 6= (g1, · · · , gp) ∈ X〈σ〉. Dus, σ(g1, g2, · · · , gp) =(g1, g2, · · · , gp) en bijgevolg g1 = g2 = · · · = gp. er volgt dat gp1 =g1g2 · · · gp = e.

Gevolg 11.2.8 Zij G een eindige groep. Dan is G een p-groep als enslechts als |G| een macht van p is.

Bewijs. Bewijs dit als een oefening.

11.3 Sylowstellingen

Lemma 11.3.1 Zij H een deelgroep van een eindige groep G. Als Heen p-groep is (p priem) dan

[NG(H) : H] ≡ [G : H] mod p.

I.h.b., als p een deler is van [G : H] dan NG(H) 6= H.

Bewijs. Zij L = gH | g ∈ G en beschouw de volgende actie

H × L→ L : (h, gH) 7→ hgH.

Merk op dat LH = gH | hgH = gH voor alle h ∈ H = gH |g−1hg ∈ H | voor alle h ∈ H = gH | g ∈ NG(H) = gH | gH ⊆NG(H). Dus |LH | = [NG(H) : H].

Omdat H een p-groep, weten wij wegens Gevolg 11.2.8 dat |H| eenmacht is van p. Ook weten wij uit Stelling 11.2.6 dat |L| ≡ |LH | mod p.Dus, [G : H] ≡ [NG(H) : H] mod p.


Stelling 11.3.2 (Eerste Sylow stelling) Zij G een eindige groep en |G| =pnm met n ≥ 1 en (p,m) = 1 (p een priemgetal). De volgende eigen-schappen gelden.

1. G heeft een deelgroep van orde pi met i zodat 1 ≤ i ≤ n.

2. elke deelgroep H van orde pi is een normale deelgroep van eendeelgroep van orde pi+1 voor 1 ≤ i < n.

Bewijs. Wegens Stelling 11.2.7 weten wij dat G een deelgroep heeft vanorde p. Wij bewijzen nu door inductie dat als G een deegroep H heeftvan orde pi, met 1 ≤ i < n, dan heeft G een deelgroep van orde pi+1

(met H als normale deelgroep). Inderdaad, omdat i < n weten wij datp | [G : H]. Wegens Lemma 11.3.1 weten wij ook dat p | [NG(H) : H].Omdat H een normale deelgroep is in NG(H) kunnen wij de quotient-groep NG(H)/H vormen. Weer wegens Stelling 11.2.7 verkrijgen wij eendeelgroep K van NG(H)/H van orde p. Uit de Isomorfismestellingenweten wij dat K = K/H met K een deelgroep van NG(H) (en dus vanG) die H omvat. Duidelijk is |K| = pi+1, zoals gewenst. Omdat H eennormale deelgroep is van NG(H) en H ⊆ K ⊆ NG(H) is duidelijk ookH een normale deelgroep van K. Dus volgt het resultaat.

Definitie 11.3.3 Een Sylow p-deelgroep P van een groep G is een maxi-male p-deelgroep van G, d.w.z. dit is een p-deelgroep die niet omvat isin een echt grotere p-deelgroep.

Stelling 11.3.4 (Tweede Sylow stelling) Zij P1 en P2 Sylow p-deelgroepenvan een eindige groep G. Dan zijn P1 en P2 geconjugeerd, d.w.z., er be-staat een g ∈ G zodat P1 = gP2g

−1.

Bewijs. Zij L = gP1 | g ∈ G en beschouw de volgende actie

P2 × L→ L : (y, gP1) 7→ (yg)P1.

Wegens Stelling 11.2.6, |LP2| ≡ |L| mod p. Omdat p 6 ||L| = [G : P1]volgt er dat |LP2| 6= 0. Zij gP1 ∈ LP2 . Dan ygP1 = gP1 voor alley ∈ P2. Dus g−1P2g ⊆ P1. Omdat |P1| = |P2| en |g−1P2g| = |P2| moetP1 = g−1P2g. Dus zijn P1 en P2 geconjugeerd.

11.3. SYLOWSTELLINGEN 111

Stelling 11.3.5 (Derde Sylow Stelling) Als G een eindige groep is en pdeelt |G| (met p een priemgetal) dan is het aantal Sylow p-deelgroepencongruent met 1 modulo p en deelt |G|.

Bewijs. Zij P een Sylow p-deelgroep van G. Zij L de verzameling vanalle Sylow p-deelgroepen van G. Beschouw de volgende actie

P × L→ L : (g,H) 7→ gHg−1.

Wegens Stelling 11.2.6, |L| ≡ |LP | mod p.

Nu als H ∈ LP dan gHg−1 = H voor alle g ∈ P . Dus P ⊆ NG(H).Duidelijk, H ⊆ NG(H). Omdat P en H Sylow p-deelgroepen zijn vanG, zijn dit dus ook Sylow p-deelgroepen van NG(H). Maar, wegens Stel-ling 11.3.4, bestaat g ∈ NG(H) zodat P = gHg−1. Omdat H normaalis NG(H) volgt er P = H. Dus, LP = P en dus |L| ≡ 1 mod p,zoals gewenst.

Beschouw vervolgens de actie

G× L→ L : (g,H) 7→ gHg−1.

Omdat alle Sylow p-deelgroepen geconjugeerd zijn is er slechts een orbiet(de actie is transitief). Als P ∈ L dan |L| = |orbiet van P | = [G :GP ], wegens de orbiet-stabilisatorstelling (merk op dat GP = NG(P )).Omdat [G : GP ] een deler is van G, volgt er dat |L| een deler is van |G|.

De Sylow stellingen zijn te danken aan de Noorse wiskundige Pe-ter Ludvig Mejdell Sylow (1832-1918). Hij publiceerde die stellingen in1872. Sylow formuleerde zijn stellingen voor permutatiegroepen (omdatde abstracte definitie van groep nog niet bekend was). In 1887 herbe-wees Georg Grobenius de stellingen voor abstracte groepen; alhoewel hijopmerkte dat elke groep kan beschouwd worden als een permutatiegroep(Stelling van Cayley). Sylow gaf toepassingen van zijn stellingen vooroplossingen van algebraische vergelijkingen. Hij bewees o.a. dat elke ver-gelijking wiens Galois-groep een p-groep is oplosbaar is door radikalen.Pas in 1898 werd Sylow Professor aan de Christiana Universiteit. Voor-dien was hij een leraar.


Sylow (1832-1918)

11.4 Semidirecte producten van

groepen

Eigenschap 11.4.1 Zij N en G groepen en

π : G→ Aut(N) : g 7→ πg

een groephomomorfisme. Dan is

S = N ×G


(n1, g1)(n2, g2) = (n1πg1(n2), g1g2).

Bovendien zijn N0 = N × eG en G0 = eN × G deelgroepen van S.Verder, N0

∼= N en G0∼= G en

1. S = N0G0,

2. N0 C S,

3. N0 ∩G0 = eS.

Men noteert deze groep meestal als N oπ G.

Bewijs. Wij verifieren eerst dat S een groep is. Het product definieertduidelijk een bewerking. De associativiteit volgt uit het volgende:

((n1, g1)(n2, g2)) (n3, g3) = (n1πg1(n2), g1g2)(n3, g3)

= (n1πg1(n2)πg1g2(n3), (g1g2)g3)

= (n1πg1(n2πg2(n3)), g1(g2g3))

= (n1, g1)(n2πg2(n3), g2g3)

= (n1, g1) ((n2, g2)(n3, g3))

11.4. SEMIDIRECTE PRODUCTEN VAN GROEPEN 113

Verifieer zelf dat (eN , eG) het neutraal element is.

Verder,

(n, g)(π−1g (n−1), g−1) = (eN , eG) = (π−1g (n−1), g−1)(n, g).

Dus heeft elk element een invers en is S een groep. De andere voor-waarden zijn eenvoudig te verifieren.

Definitie 11.4.2 Een groep S is een semidirect product van een deel-groep N bij een deelgroep G als aan de volgende voorwaarden voldaanis:

1. S = NG,

2. N C S,

3. N ∩G = eS.

Eigenschap 11.4.3 Zij S het semidirect product van N bij G. Dan isde afbeelding

π : G→ Aut(N) : g 7→ πg

metπg : N → N : n 7→ gng−1

een groephomomorfisme.

Bewijs. Omdat N C S is elke πg een automorfisme van N (het is debeperking van een conjugatie tot N). Duidelijk is π een groephomo-morfisme.

Een voorbeeld van een semidirect product is D6 = 〈a, b | a3 =1, b2 = 1, ba = a2b〉. Inderdaad

D6∼= C3 o C2,


met C3 = 〈a〉 en C2 = 〈b〉. Dus men “ontbindt” de groep D6 in “een-voudigere groepen”, bovendien hebben deze eenvoudigere groepen geenechte normale deelgroepen.

Definitie 11.4.4 Een groep G noemt men enkelvoudig (simpel) als Gen e de enige normale deelgroepen zijn van G.

Voorbeelden van enkelvoudige groepen zijn de cyclische groepen vanorde een priemgetal en ook de alternerende groepen An met n ≥ 5. Al deeindige eenvoudige groepen zijn geklassificeerd. Dit was enorm projecten het uiteindelijke bewijs omvat meer dan 10000 blz in vele interna-tionaal gepubliceerde artikels (meestal verschenen in de periode 1955-1985). Momenteel schrijft men een reeks boeken die een een volledigoverzichtelijk bewijs en strategie zouden moeten geven. Belangrijke me-dewerkers aan dit project zijn o.a. Chevalley,

Chevalley(1909-1984)

Tits, Steinberg, Suzuki, Ree, Mathieu, Burn-side, Conway, Janko, Fischer, Brauer, GorensteinFeit, Aschbacher, Thompson.

Gorenstein(1923-1992)

Hoofdstuk 12

Oefeningen

1. Zij p(x) =“x is deelbaar door 10” en q(x) =“x is even”.

• schrijf p(x) en q(x) met symbolen

• Geef de negatie van p(x)

• Geef de conjunctie van p(x) en q(x)

• Schrijf “q(x) impliceert p(x)”, en de contrapositie ervan

• Schrijf de equivalentie van p(x) en q(x) op

Zeg van deze uitspraken of ze waar zijn of niet.

2. Stel de waarheidstafel op van de exclusieve of (Xor). Ken je eenuitdrukking die equivalent is?

3. Geef de waarheidstafels van

• (p rightarrowq)⇒ (q ⇒ p)

• q ⇔ (¬p ∨ ¬q)• [(p⇒ q) ∧ (q ⇒ r)]⇒ (p⇒ r)

4. Toon aan dat ¬(p∨ q) en ¬p∧¬q logisch equivalent zijn. Wat kanje zeggen over ¬(p ∧ q) en ¬p ∨ ¬q?

5. Toon aan dat p⇔ q en (p⇒ q) ∧ (q ⇒ p) logisch equivalent zijn.

115

116 HOOFDSTUK 12. OEFENINGEN

6. Het aantal rijen van een waarheidstabel hangt af van het aantalsamenstellende uitspraken. Wat is het verband?

7. Schrijf de waarheidstafels op voor volgende logische uitspraken enleid er een equivalente vorm voor de uitspraak uit af:

(a) ¬(¬p)(b) ¬(p ∧ q)(c) ¬(p ∨ q)(d) ¬(p⇐ q)

(e) ¬(p⇔ q)

8. Een tautologie (of logische wet) is een uitspraak die steeds waaris. Toon aan dat volgende beweringen tautologieen zijn en inter-preteer:

(a) ¬(p ∧ (¬p))(b) p ∨ (¬p)(c) (p ∧ p)⇔ p

(d) (p ∧ q)⇔ (q ∧ p)(e) (p ∨ (q ∨ r))⇔ ((p ∨ q) ∨ r)(f) ¬(¬p)⇔ p

(g) p⇒ (q ⇒ p)

(h) ¬p⇒ (p⇒ q)

(i) (p⇒ q) ∨ (q ⇒ p)

9. Is p⇒ (q ⇒ p) logisch equivalent met (p⇒ q)⇒ p?

10. Noteer volgende oefeningen met behulp van kwantoren. Bepaaleventueel of de bewering waar of vals is. Schrijf de negatie van debewering op met kwantoren en met woorden.

(a) “Alle mensen zijn slim.”

(b) “Er zijn mensen die groot zijn.”

(c) “Er zijn mensen die groot zijn en lang haar hebben.”

117

(d) “Niet alle mensen hebben kort haar.”

(e) “Alle wegen leiden naar Rome.”

(f) “Voor elke mens geldt: als hij groot is, dan is hij niet klein.”

(g) “Een geheel getal is positief.”

(h) “Elk natuurlijk getal is even.”

(i) “Sommige reele getallen zijn positief.”

11. Schrijf alle deelverzamelingen van 1, 2, 3.

12. Hoeveel deelverzamelingen heeft een verzameling met 2 elemen-ten? Met 3 elementen? Met n elementen?

13. Wanneer behoort een element niet tot A ∩ B? Vul aan: x 6∈A ∩B ⇔ . . .

14. analoog: x 6∈ A ∪B ⇔ . . .

15. analoog: x 6∈ A\B ⇔ . . .

16. Toon aan dat

• B ⊇ A⇔ A ∪B = B ⇔ A ∩B = A

• A ∪ (A ∩B) = A

• A ∩ (A ∪B) = A

17. Wanneer is x 6∈⋃i∈I Ai?

18. Geef de betekenis in woorden van de volgende uitspraken. Zeg ofze waar of onwaar zijn. Geef de negatie in symbolen en woorden.

• ∀ x ∈ Z,∃ y ∈ Z : x < y

• ∃ x ∈ Z,∃ y ∈ N : x > y

• ∃ x ∈ Z,∀ y ∈ Z : x < y

• ∀ ε > 0, ∃ δ > 0,∀ x ∈ R |x− a| < δ ⇒ |f(x)− f(a)| < ε

19. Zij A = 2, 3, B = 4, 5, 6 en C = a, b, c, d. Geef A × B,B × A, A× C, C×B, A2, C× a.


20. Zij A = 1, 2, 3, 4 en beschouw de relatie ≤: “is kleiner dan ofgelijk aan” op A. Geef de elementen van ≤. Geef de inverse relatievan ≤.

21. Zij f : A −→ B een functie en S1, S2 ⊆ A. Bewijs dat

(a) f(S1 ∪ S2) = f(S1) ∪ f(S2)

(b) f(S1 ∩ S2) ⊂ f(S1) ∩ f(S2)

Zoek voorbeelden die dit illustreren.

22. Zij f : A −→ B een functie die niet noodzakelijk inverseerbaar is,en S ⊂ A en T, T1, T2 ⊂ B. Bewijs dat

(a) f−1(T1 ∪ T2) = f−1(T1) ∪ f−1(T2)(b) f−1(T1 ∩ T2) = f−1(T1) ∩ f−1(T2)(c) f(f−1(T )) ⊆ T

(d) f−1(f(S)) ⊇ S

Zoek voorbeelden die dit illustreren.

23. Toon aan: f : A −→ B is injectief ⇐⇒ ∀b ∈ B : f−1(b) bevathoogstens n element.

24. (a) Zij f : A −→ B. Toon aan dat f 1A = f = 1B f .

(b) Toon aan dat de samenstelling van 2 injecties opnieuw eeninjectie is.

(c) Toon aan dat de samenstelling van 2 surjecties opnieuw eensurjectie is.

25. Zij f(x) =√x, g(x) = x/4 en h(x) = 4x − 8. Zoek het functie-

voorschrift voor:

(a) h g f(b) h f g(c) g h f(d) g f h(e) f g h

119

(f) f h g

26. Zij f(x) = x − 3, g(x) =√x, h(x) = x3 en j(x) = 2x. Schrijf de

volgende functies als een samenstelling van de bovenstaande:

(a)√x− 3

(b) 2√x

(c) x1/4

(d) 4x

(e)√

(x− 3)3

(f) (2x− 6)3

(g) 2x− 3

(h) x3/2

(i) x9

(j) x− 6

(k) 2√x− 3

(l)√x3 − 3

27. Toon aan voor inverteerbare functies f en g:

(a) (f−1)−1 = f

(b) (g f)−1 = f−1 g−1

28. Onderzoek of volgende functies inverteerbaar zijn. Zo ja, bepaalde inverse functies. Zo nee, definieer een bijectie f met hetzelfdevoorschrift als f en bepaal (f)−1.

(a) f : R→ R : x 7→ |x|(b) f : R→ R : x 7→ x+ 1

(c) f : R→ R : x 7→ 2x+ 3

(d) f : R+ → R+ : x 7→√x

(e) f : R→ R : x 7→ 3√

2x+ 2

(f) f : R→ R : x 7→ 1

(g) f : R0 → R : x 7→ 2x−3x


(h) f : R→ R : x 7→ sinx

29. Zij h : Z× Z→ Z : h(x, y) = 2x+ 3y. Bepaal het beeld van h. Ish injectief? Surjectief?

30. Bewijs: f(S1 ∩ S2) = f(S1) ∩ f(S2) als f injectief is (zie oef. 21).Geef een voorbeeld van een functie waarbij f(S1 ∩ S2) 6= f(S1) ∩f(S2).

31. Bepaal of volgende functies injectief zijn. Geef hun beeld.

(a) f : Z→ Z : x 7→ 2x+ 1

(b) f : Q→ Q : x 7→ 2x+ 1

(c) f : Z→ Z : x 7→ x3 − x(d) f : R→ R : x 7→ ex

(e) f : [−π/2, π/2]→ R : x 7→ sinx

(f) f : [0, π]→ R : x 7→ sinx

32. Stel f : A → B, met A = X ∪ Y en X ∩ Y = ∅. Als f|X en f|Yinjectief zijn, wat kan je dan zeggen van f?

33. Bepaal voor elk van de volgende functies f : Z→ Z of ze injectiefof surjectief zijn. Indien niet surjectief, bepaal f(Z):

(a) f(x) = x+ 7

(b) f(x) = 2x− 3

(c) f(x) = −x+ 5

(d) f(x) = x2

(e) f(x) = −x2 + x

(f) f(x) = x3

34. Zelfde vraag als oefening 33, waarbij f als een functie van R naarR beschouwd wordt.

35. Toon aan: als A en B verzamelingen zijn, dan geldt: (A × B) ∩(B × A) = (A ∩B)× (A ∩B). [examen augustus 2005]

121

36. Vul aan (gebruik ⊆, ⊇ of =) en bewijs: als A en B verzamelingenzijn, dan geldt:

(A×B) ∪ (B × A) . . . (A ∪B)× (A ∪B).

37. Voor welke bewerkingen wordt Z een semigroep? Een monoıde?Een groep? Welke bewerkingen zijn commutatief?

(a) a ∗ b = ab

(b) a ∗ b = a+ b

(c) a ∗ b = a− b(d) a ∗ b = |a− b|(e) a ∗ b = max(a, b)

(f) a ∗ b = a

38. Zij X een verzameling en stel c(X) de verzameling van alle con-stante functies X → X. Is c(X) uitgerust met de samenstellingvan functies een semigroep? Een monoıde? Een groep? Commu-tatief?

39. Beschouw de verzameling van alle functies N→ N uitgerust met desamenstelling van functies. Is dit een semigroep? Een monoıde?Een groep? Commutatief? Beschouw f : N → N : x 7−→ 2x eng : N→ N : x 7−→ [x

2]. Bepaal f g en g f .

40. Zij (S, ∗) een monoıde met neutraal element e.

(a) Veronderstel dat a ∗ b = b ∗ c = e. Toon aan dat a = c.

(b) Veronderstel dat f voldoet aan a ∗ f = a voor alle a. Kunje iets besluiten over f? Geldt hetzelfde besluit als (S, ∗)slechts een semigroep is?

(c) Veronderstel dat f voldoet aan f ∗ f = f (we noemen f eenidempotent). Kun je iets besluiten over f? Geldt hetzelfdebesluit als (S, ∗) een groep is?

41. Vind een struktuur van monoıde op N die zo is dat voor elke n ∈ Ngetallen a en b in N bestaan waarvoor de vergelijking a ∗ x = bprecies n oplossingen x ∈ N heeft.


42. Zij G een groep en c een element van G. Toon dat de bewerkingx ∗ y = xcy een groepsstruktuur op G definieert.

43. Zij G een groep.

(a) Als x2 = e voor elke x ∈ G, dan is G abels.

(b) Als (xy)2 = x2y2 voor alle x, y ∈ G, dan is G abels.

(c) Geef een voorbeeld van een niet abelse G met (xy)6 = x6y6

voor alle x, y ∈ G.

44. Zijn de volgende structuren ringen, commutatieve ringen, scheeflichamen, lichamen:(N,+, ·), (Z,+, ·), (Q,+, ·), (C,+, ·), (Z5,+, ·), (Z6,+, ·), (P(E),4,∩),(H,+, ·)?Wat kan je over (M2(Z),+, ·) zeggen?

45. Bereken de groep van de inverteerbare elementen van de volgenderingen:(Z,+, ·), (Z5,+, ·), (Z6,+, ·), (Z8,+, ·), (M2(Z),+, ·), (M2(R),+, ·)?

46. De diedergroep D2n is de symmetriegroep van een regelmatige n-hoek in het vlak.

(a) Bepaal de symmetriegroep van een niet vierkantige recht-hoek.

(b) Bepaal de symmetriegroep van de verzameling Z in de 1-dimensionale ruimte. Deze groep wordt de oneindige diedergroepD∞ genoemd.

47. Bespreek het verband tussen volgende eigenschappen van een groepG.

(a) G is een eindige groep;

(b) Elk element van G heeft eindige orde.

48. Toon dat in een groep G geldt dat o(h) = o(g−1hg).

49. In de groep GL2(R), bepaal de orde van a =

(0 −11 0

), van b =(

0 1−1 −1

)en van ab.

123

50. De groepen Z2 × Z6 en Z3 × Z4 bestaan allebei uit 12 elementen.Zijn ze cyclisch? Vind een criterium voor de situatie dat Zn×Zmcyclisch is.

51. (a) Zij G cyclisch van orde n met een voortbrenger a. Wanneeris ak ook een voortbrenger van G?

(b) Vind een groeptheoretisch bewijs dat ggd(n− 1, n) = 1.

52. Is de unie van twee deelgroepen opnieuw een deelgroep?

53. Als G een groep is, stel

T = g ∈ G | o(g) <∞ = g ∈ G | gn = e voor een n ∈ N0

(a) Als G abels is, ga na dat dit een deelgroep van G is (mennoemt dit de torsiedeelgroep van G). Wat als G niet abels is?

(b) Indien G = (C∗, ·), welke g = ρeiθ behoren tot T?

54. Bepaal het centrum van de Diedergroep D2n (n ≥ 1).

55. Bepaal:

(a) de linker- en rechternevenklassen van de deelgroep R × 0in de groep (R2,+).

(b) de linker- en rechternevenklassen van de deelgroep R+0 × R+

0

in de groep (R20, ·).

(c) de partitie van de groep (Z,+) in nevenklassen van de deel-groep 6Z en de partitie van de groep (Z12,+) in nevenklassenvan de deelgroep voorgebracht door het element 3 ∈ Z12.

56. Kan je een groep van 21 elementen construeren zodat er een ele-ment in deze groep van orde 6 bestaat?Kan je een niet cyclische groep van orde 59 vinden?

57. Toon dat een deelgroep bevat in het centrum van een groep steedsnormaal is.

58. Vind in S3 een deelgroep van orde 2 en een van orde 3. Bepaalhun linker en rechter nevenklassen. Zijn de deelgroepen normaal?


59. De quaternionengroep Q8 bestaat uit de acht elementen

1,−1, i,−i, j,−j, k,−k.

(a) Vul de volgende tabel aan:

1 −1 i −i j −j k −k

1 1 · · · · · · ·−1 · 1 −i i −j j −k ki · −i −1 1 k −k −j ·−i · i · −1 −k k · ·j · −j −k k −1 1 i −i−j · j k −k 1 · −i ·k · −k j −j −i i −1 ·−k · k −j j i −i 1 −1

(b) Geldt (−i · j)i = −i(j · i)? jk = kj?

(c) Vind alle deelgroepen van Q8. Welke zijn normaal?

60. Beschouw de deelgroep

G = 1, (ab)(cd), (da)(bc), (ac)(bd), (abcd), (adcb), (bd), (ac)

van S4. ZijH = 1, (ab)(cd), (da)(bc), (ac)(bd), K1 = 1, (ab)(cd)en K2 = 1, (ac)(bd). Is H normaal in G? Ki normaal in H? Ki

normaal in G?

61. Beschrijf het quotient (R0, ·)/(R+0 , ·).

62. Bepaal de torsiedeelgroep van de abelse groep (R,+), van de deel-groep (Z,+) en van het quotient (R/Z,+).

63. Bestaat er een groep G met centrum Z

(a) zodat het quotient G/Z cyclisch van orde 13 is?

(b) zodat G/Z abels is maar G niet?

64. Bewijs eigenschap 8.3.6.

65. Zijn de volgende functies groep homomorfismen? Als zo, bepaalhun kern en beeld.

125

(a) (R,+)→ (R,+) : x 7→ x2

(b) (R,+)→ (R+0 , ·) : x 7→ ex

(c) (R2,+)→ (R0, ·) : (x, y) 7→ ex+y

(d) (R,+)→ (C0, ·) : x 7→ e2πx

(e) (Z,+)→ (Z,+) : z 7→ z + 1

(f) (R0, ·)→ (R0, ·) : x 7→ x3

(g) (C0, ·)→ (C0, ·) : x 7→ x2

(h) (Z2,+)→ (R,+) : (a, b) 7→ a+ bπ

66. (a) Vind een isomorfisme tussen (R0, ·) en (Z2,+)× (R+0 , ·).

(b) Construeer een isomorfisme tussen (C0, ·) en (S, ·)× (R+0 , ·),

waar S = z ∈ C | |z| = 1.

67. Beschouw het endomorfisme f van S3 dat 1,(123) en (132) afbeeldtop 1 en de overige elementen op (12).

(a) Is f injectief? Surjectief?

(b) Zijn ker f en Beeldf (normale?) deelgroepen van S3?

(c) Ga de eerste isomorfismestelling na op dit voorbeeld.

68. Beschouw een homomorfisme f : G → H. Toon dat als g ∈ Geindige orde heeft, dan deelt de orde van f(g) de orde van g.Kunnen we meer zeggen als f een monomorfisme is?

69. Zij f : (R,+) → (R0, ·) een homomorfisme dat afleidbaar is alsfunctie R→ R. Toon aan:

(a) f(x) > 0 ∀x ∈ R;

(b) ∃a ∈ R : f(x) = eax ∀x ∈ R.

70. Stel p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5,. . . ,pn = het n-de priemgetal. Dankan elk strikt positief rationaal getal q geschreven worden als eenprodukt q =

∏∞n=1 p

mnn waar mn ∈ Z nul wordt voor n voldoende

groot. Is

f : (Q+0 , ·)→

∏n∈N0

(Z,+) : q 7−→ (mn)n

een homomorfisme? Een monomorfisme? Een epimorfisme?


71. Volgens de stelling van Cayley (8.1.1) bestaat er een monomor-fisme Z6 → S6. Bestaat er ook een monomorfisme Z6 → S5?

72. (a) Zoek een isomorfisme tussen A4 en de groep van de rotatiesvan de ruimte die een tetraeder invariant laten.

(b) Toon aan dat A4 geen deelgroep van index 2 heeft.

(c) Ga na datK = 1, (12)(34), (13)(24), (14)(23) een deelgroepis van A4.

(d) Is A4 enkelvoudig?

73. Zij GL(2,R) de groep van matrices van determinant veschillendvan 0 en SL(2,R) de groep van matrices van determinant 1. Ge-bruik de feit dat de determinant een groepshomomorfisme is en deeerste isomorfisme stelling om de quotient (GL(2,R)/SL(2,R), ·)te bepalen.

74. Zij S = z ∈ C | |z| = 1 en µCn = z ∈ S | zn = 1.

(a) Bewijs dat ϕ : (R,+) → (S, ·) : x 7→ e2πix een groepshomo-morfisme is.

(b) Bepaal (R/Z,+).

(c) Bewijs dat (S, ·) → (S, ·) : z 7→ zn een homomorfisme is.Wat is de kern? Wat is het beeld?

(d) Bepaal (S/µCn , ·)!

75. Bepaal volgende quotienten:

(a) (Z/5Z,+),

(b) (Z/nZ,+) voor een n ∈ N0,

(c) (Z2/(2Z× 5Z),+),

(d) (Z2/(mZ× nZ),+) voor n,m ∈ N0.

76. Bepaal de quotient (R20/(x, y) ∈ R2

0 | y = x2, ·).

77. Bepaal in (S100, )

(a) |q ∈ S100 | q (123) q−1 = (456)|(b) |q ∈ S100 | q (123) q−1 = (123)|

127

(c) |q ∈ S100 | q (123)(45) q−1 = (345)(67)|(d) |q ∈ S100 | q (12)(34) q−1 = (12)(34)|(e) |q ∈ S100 | q (123) q−1 = (12)|

78. Geef een voorbeeld (als mogelijk) van

(a) een even permutatie van even orde,

(b) een even permutatie van oneven orde,

(c) een oneven permutatie van even orde,

(d) een oneven permutatie van oneven orde.

79. Bewijs dat een permutatie even is als en slechts als de aantal vancyclussen van even lengte even is. Bewijs dan dat een onevenpermutatie altijd van even orde is.

80. Toon aan dat de 3-cyclussen in (A4, ) twee conjugatieklassen vor-men, maar dat de 3-cyclussen in (A5, ) alle in een conjugatieklasszijn.

81. (a) Welke groepen zijn isomorf onder Z18, Z2 × Z9, Z3 × Z6,Z2 × Z3 × Z3?

(b) Ga na dat elk van deze groepen een (juist een?) deelgroepvan orde 1, 2, 3, 6, 9 en 18 omvat.

82. (a) Hoeveel rotaties van de ruimte laten een kubus invariant?

(b) Ken je de groep van deze rotaties?

83. Zij G een groep en p een priemgetal.

(a) Toon, door gebruik te maken van de Orbiet-stabilisator stel-ling, dat als |G| = pn, dan heeft G een niet-triviaal centrum.

(b) Als |G| = p, dan is G abels;

(c) Als |G| = p2, dan is G abels;

(d) Is dit ook het geval als |G| = p3?

84. Veronderstel dat een groepG een actie uitvoert op een verzamelingX. Toon dat voor x ∈ X en g ∈ G de stabilisatoren van x en g ·xgeconjugeerde deelgroepen van G zijn.


85. Zij G een eindige groep met precies twee conjugatieklassen. Toondat G precies twee elementen telt.

86. Zij G een eindige groep met |G| = pnm met n ≥ 1 en (p,m) = 1.Zij N E G met |N | = pk met k ≤ n. Bewijs dat N een normaledeelgroep is van elke Sylow p-deelgroep van G.

87. Zij G een niet cyclische groep van orde 21.

(a) Hoeveel Sylow 3-deelgroepen heeft G?

(b) Bewijs dat G exakt 14 elementen van orde 3 heeft.

88. Zij G een groep van order 56. We willen bewijzen dat G nietenkelvoudig is.

(a) Bewijs dat G ofwel 1, ofwel 8 Sylow 7-deelgroepen heeft.

(b) Bewijs dat G niet enkelvoudig is, als er exakt een Sylow 7-deelgroep is.

Veronderstel nu dat het aantal Sylow 7-deelgroepen gelijk aan 8is.

(a) Bewijs dat elke Sylow 7-deelgroep cyclisch is.

(b) Bewijs dat de doorsnede van twee Sylow 7-deelgroepen trivi-aal is.

(c) Bewijs dat er dus 48 elementen van orde 7 in G zijn.

(d) Bewijs dat in deze geval enkel een Sylow 2-groep kan bestaan.

(e) Bewijs dat dus G niet enkelvoudig is.

89. Beschouw C2 =< b | b2 = 1 > en C3 =< a | a3 = 1 >.

(a) Vind al de automorfismen van C3;

(b) Vind al de homomorfismen van C2 naar Aut(C3);

(c) Als π : C2 → Aut(C3) triviaal is, dan geldt C3 oπ C2∼=

C3 × C2;

(d) Als π : C2 → Aut(C3) niet triviaal is, dan geldt C3 oπ C2∼=

D6.

129

90. Als G een groep is, H een normale deelgroep, H ∼= Z6, en G/H ∼=Z2, uit hoeveel elementen bestaat G dan? Is G noodzakelijk com-mutatief? Is G noodzakelijk cyclisch?

91. Schrijf de oneindige diedergroep als een semidirect produkt.

Bibliografie

[1] M. Artin, Algebra, Prentice Hall, London, 1991. (ISBN: 0-13-004763-5)

[2] J. Fraleigh, A first course in abstract algebra, Pearson Education,London, 2003. (ISBN 0-321-15608-0)

[3] I.N. Herstein, Abstract algebra, Prentice Hall, 1996.

[4] J.F. Humphreys, A course in group theory, Oxford Science Publi-cations, Oxford, 1996.

[5] D. Saracino, Abstract algebra: a first course, Addison Wesley Com-pany, London, 1980.

131

Index

n× n-matrices over C, Mn(R), 7n× n-matrices over R, Mn(R), 7eenheidselement, 24, 27eenheidswortel, 31

Abel, 1abels, 24actie, 101

linker, 101linkse translatie, 102rechter, 104transitief, 103

affiene groep, 29alternerende groep, 91argument, 30associatief

veralgemeend, 38associativiteit, 23automorfisme, 75

inwendig, 76automorfismegroep, 76

bewerking, 23binaire bewerking, 23binimiaalcoefficient, 22Boole, 26Boolse groep, 26Burnside, 2

Cauchy, 108Cayley, 35, 85Cayleytabel, 35

centralisator, 49, 103centrum, 49commutatief, 24complex toegevoegde, 25congruentierelatie, 34

modulo n, 34conjugatie, 76, 102conjugatieklas, 103conjugatieklasse, 76cyclisch, 41cyclus, 87

lengte, 87

deelgroep, 47normaal, 63normalisator, 66

deler, 21diedergroep, 32direct product, 44distributiviteitswetten, 27

elementinvers, 37

epimorfisme, 75equivalentieklasse, 34equivalentierelatie, 33Euler, 61Euler ϕ-functie, 61even permutatie, 91

Fermat, 60Fundamentele Stelling, 98

132

INDEX 133

Galois, 1groep, 24

affien, 29alternerend, 91automorfisme, 76Boolse, 26cyclisch, 41diedergroep, 32eindig, 35enkelvoudig, 114Fundamentele Stelling, 98homomorfisme, 73inwendige automorfismen, 76lineair, 28p-groep, 97presentatie, 51relaties, 51semidirect product, 113simpel, 114speciaal lineaire, 28stochastisch, 29symmetrisch, 21, 26van de inverteerbare elementen,

29voortgebracht door, 50vrij, 53

homomorfisme, 73automorfisme, 75epimorfisme, 75isomorfisme, 75kern, 77monomorfisme, 75natuurlijk, 74

identiteitsmatrix, 28index, 59inductie, 22invarianten, 98

invers element, 37inwendig automorfisme, 76isomorfisme, 75isomorfismestelling

derde, 81eerste, 78tweede, 81

kern, 77Klein, 36

Lagrange, 59Latijns vierkant, 43lengte van een cyclus, 87lichaam, 27Lie, 1lineaire groep, 28

macht, 39matrix

stochastisch, 29modulus, 25monomorfisme, 75

neutraal element, 24nevenklasse, 57

linker, 57rechter, 57

normale deelgroep, 63normalisator, 66, 103nulelement, 27

oneven permutatie, 91orbiet, 103orde, 40

van een element, 40van een groep, 35

p-groep, 97partitie, 34

134 INDEX

permutatie, 20even, 91oneven, 91

permutatiegroep, 21, 26poolcoordinaten, 30presentatie, 51priemgetal, 21product

direct, 44, 95

quaternionengroep, 52quotientgroep, 67

reflexief, 33relatie, 33relaties, 51ring, 27

semidirect product, 113semigroep, 23speciaal lineaire groep, 28stabilisator, 103stochastische groep, 29stochastische matrix, 29Sylow, 110Sylow deelgroep, 110symmetrie, 33symmetriegroep, 32symmetrisch verschil, 27symmetrische groep, 21, 26

transitief, 34transpositie, 87

veelvoud, 21veld, 27veralgemeende associativiteit, 38vereenvoudigingswetten, 37vermenigvuldigingstabel, 35Viergroep, 36, 45, 52

voortbrenger, 41vrije groep, 53

Wilson, 60

INLEIDING GROEPENTHEORIE - homepages.vub.ac.behomepages.vub.ac.be/~efjesper/cursus.pdf · Dit...

Documents

Transcript of INLEIDING GROEPENTHEORIE - homepages.vub.ac.behomepages.vub.ac.be/~efjesper/cursus.pdf · Dit...