Universiteit Gent

Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur

Wiskundige Analyse

Tweede bachelor Ingenieurswetenschappen: architectuur

Hendrik De Bie

Vakgroep Elektronica en Informatiesystemen

Academiejaar 2020-2021

Voorwoord

Het opleidingsonderdeel Wiskundige Analyse bestaat uit twee grote delen.Het eerste deel omvat zowel meetkunde als analyse. Er is een eerste kort luik meet-

kunde met behulp van analyse, namelijk de studie van krommen en oppervlakken in dedriedimensionale euclidische ruimte. Dit eerste luik valt aldus onder wat men analytischemeetkunde zou moeten noemen, maar de gebruikelijke terminologie is (lokale) differenti-aalmeetkunde. Het tweede luik is analyse met behulp van meetkunde: studie van specifiekefuncties (velden) op krommen en oppervlakken. Deze onderwerpen vallen onder wat menmeetkundige analyse zou kunnen noemen, maar de gebruikelijke term is vectoranalyse ofvectorcalculus.

Het tweede deel van de cursus handelt over differentiaalvergelijkingen. Na een korteherhaling omtrent complexe getallen, behandelen we eerst gewone (lineaire) differentiaal-vergelijkingen, met aandacht voor een aantal belangrijke fysische toepassingen. Vervolgensrichten we de aandacht op de fouriermethode voor de oplossing van begin- en randwaarde-problemen voor partiele differentiaalvergelijkingen, beperkt tot de drie traditionele typesvan lineaire partiele differentiaalvergelijkingen van de tweede orde, zijnde: de warmtever-gelijking, de golfvergelijking en de laplacevergelijking.

De voorkennis voor de studie van Wiskundige Analyse omvat zowel calculus als meet-kunde en lineaire algebra uit het eerste jaar van de opleiding ingenieur architect. Stu-denten worden verwacht zelf de benodigde begrippen, eigenschappen en stellingen in dedesbetreffende syllabi op te zoeken.

Het leermateriaal voor Wiskundige Analyse omvat:

• onderhavige cursusnota’s;

• Maple-werkbladen van een aantal hoorcolleges en oefeningenzittingen;

• slides van presentaties gebruikt in de hoorcolleges;

• opgaven van werkcolleges en pc-klassen.

Het bijkomende materiaal (naast de syllabus) wordt beschikbaar gesteld via Ufora. Hierbijwil ik u met aandrang vragen om aan het milieu te denken en enkel af te drukken wat uwerkelijk nodig heeft.

De doelstellingen en de inhoud van, en andere nuttige informatie over het vak Wiskun-dige Analyse kan teruggevonden worden in de studiefiche. Deze is eenvoudig toegankelijkvanop het Ufora-platform.

Hendrik De Bie01.08.20

ii

Inhoudsopgave

I Vectorcalculus 1

1 Krommen en oppervlakken 21.1 Krommen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 De raaklijn en het osculatievlak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 De booglengte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 De osculatiecirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 De trieder van Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Oppervlakken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Velden 122.1 Scalair veld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Vectorveld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3 Richtingsafgeleide van een scalair veld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Divergentie van een vectorveld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Rotatie van een vectorveld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.6 Conservatieve vectorvelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Solenoıdale vectorvelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.8 De helmholtzontbinding van vectorvelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.9 Divergentie- en rotatievrije vectorvelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.10 Nabla-rekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Lijnintegralen 273.1 Lijnintegraal van een scalair veld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2 Lijnintegraal van een vectorveld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Praktische rekenvoorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Lijnintegraal van een conservatief vectorveld . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5 De stelling van Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Oppervlakintegralen 374.1 Oppervlakintegraal van een scalair veld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Oppervlakintegraal van een vectorveld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Praktische rekenvoorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

iii

4.4 De divergentiestelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5 Aanvullende formules op de divergentiestelling . . . . . . . . . . . . . . . . 434.6 Stelling van Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

II Differentiaalvergelijkingen 48

5 Complexe getallen 495.1 Basisdefinities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2 Polaire vorm en formule van Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3 Verdere eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.4 Hoofdstelling van de algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 Lineaire differentiaalvergelijkingen 546.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2 Lineaire DV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.3 Lineaire DV: de complete vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.4 Beginvoorwaardenproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.4.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.4.2 Het malthusiaans populatiemodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 646.4.3 De harmonische oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7 Partiele differentiaalvergelijkingen 697.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.2 Fourierreeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.3 De warmtevergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.3.1 Modelprobleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.3.2 Eerste veralgemening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.3.3 Tweede veralgemening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.4 Trillingen van een elastische snaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.5 Vergelijking van Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.5.1 Dirichletprobleem op een rechthoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.5.2 Dirichletprobleem op een schijf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.5.3 Neumanprobleem op een schijf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

III Oefeningen 100

8 Oefeningen vectorcalculus 1018.1 Velden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1018.2 Lijnintegralen en oppervlakintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

iv

9 Oefeningen differentiaalvergelijkingen 1169.1 Complexe getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1169.2 Lineaire differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

9.2.1 Theoretische opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1179.2.2 Vraagstukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

9.3 Partiele differentiaalvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.3.1 Fourierreeksen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1249.3.2 Warmtedistributie in een staaf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1259.3.3 Trillende snaar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1289.3.4 De laplaciaan en aanverwante differentiaaloperatoren . . . . . . . . 129

v

Deel I

Vectorcalculus

1

Hoofdstuk 1

Krommen en oppervlakken

1.1 Krommen

We vertrekken van volgende basisdefinitie.

Definitie 1.1.1. De vectorfunctie P (t) = (P1(t), P2(t), P3(t)), a < t < b, bepaalt eengladde boog in R3 als

• P is injectief

•−→P ′ = (P ′1(t), P

′2(t), P

′3(t)) is continu

• ||−→P ′(t)|| 6= 0.

Hier is de norm gedefinieerd als

||−→P ′(t)|| =

√(P ′1(t))

2 + (P ′2(t))2 + (P ′3(t))

2,

dit is een functie die van t afhangt en waarden aanneemt in R+.

1.1.1 De raaklijn en het osculatievlak

Beschouw in de driedimensionale euclidische ruimte, betrokken op een rechtshandig or-thonormaal assenstelsel, de gladde boog C met parametervergelijking:

P (t) := [x(t), y(t), z(t)]= x(t)−→e1 + y(t)−→e2 + z(t)−→e3 , t ∈]a, b[.

In het punt P (t0), t0 ∈]a, b[, wordt de raaklijn aan de boog C bepaald door de raakvector−→P ′(t0), en heeft als parametervergelijking:

Q(u) := P (t0) +−→P ′(t0) u, u ∈]−∞,+∞[.

2

Meestal tekent men een representant van de raakvector met aangrijpingspunt in het be-schouwde punt van de boog.

Onderstel nu dat de boog C niet alleen glad is, maar k-maal continu differentieerbaar.Dit betekent dat P (t) k-maal continu differentieerbaar is in ]a, b[. Beschouw dan in een

punt P (t0), t0 ∈]a, b[, de vector−→P ′′(t0). Het vlak bepaald door de vectoren

−→P ′(t0) en

−→P ′′(t0)

noemt men het osculatievlak in het punt P (t0) aan de boog C. De parametervergelijkingvan dit vlak luidt:

Q(u, v) := P (t0) +−→P ′(t0)u+

−→P ′′(t0)v, u ∈]−∞,+∞[, v ∈]−∞,+∞[

Meestal tekent men een representant van de vector−→P ′′(t0) met aangrijpingspunt in het

beschouwde punt van de boog. Op die manier wordt het osculatievlak aanschouwelijkvoorgesteld.

1.1.2 De booglengte

Een gladde boog heeft oneindig veel parametervergelijkingen. Inderdaad, als P (t), t ∈]a, b[ een parametervergelijking is, dan bekomt men een andere door een substitutie t =

t(τ), τ ∈]α, β[, waarbij t(τ) bijectief is tussen ]α, β[ en ]a, b[,dt

dτcontinu is in ]α, β[ en

dt

dτ6= 0 in ]α, β[.

Een speciale parameter langs een gladde boog is de booglengte, notatie s. Deze wordtals volgt gedefinieerd.

Definitie 1.1.2.Gegeven de gladde boog P (t), t ∈]a, b[, met beginpunt P (a). De booglengte in elk puntP (t) wordt gegeven door:

s(t) =

∫ t

a

∥∥∥−→P ′(τ)∥∥∥ dτ, t ∈]a, b[.

Opmerkingen

(i) de totale booglengte van C : P (t), t ∈]a, b[ wordt gegeven door s(b); het beginpuntheeft booglengte nul.

(ii) afhankelijk van de gekozen parameter langs de boog kan de definierende integraalvan de booglengte een oneigenlijke integraal zijn; men kan het begrip booglengtepas invoeren als deze oneigenlijke integraal convergeert.

(iii) aangezien−→P ′(t) een continue functie is in ]a, b[ en ook de norm een continue functie

is, geldt ook:ds

dt=∥∥∥−→P ′(t)∥∥∥ ;

hieruit volgt dat s(t) een monotoon stijgende functie is. Deze functie is steedspositief (zoals men van een “lengte”-functie kan verwachten).

3

(iv) het begrip booglengte is een intrinsiek begrip van een gladde boog. Dit wil zeggendat het onafhankelijk van de gekozen parametervergelijking is. Inderdaad, ondersteldat de gladde boog C wordt beschreven door de parametervergelijking P (t), t ∈]a, b[,en eveneens door Q(u) := P (t(u)), u ∈]α, β[, waarbij de functie t(u) voldoet aan devoorwaarden vermeld in het begin van deze paragraaf. Stel bovendien dat t(u0) = t0,u0 ∈]α, β[, t0 ∈]a, b[. Dan is:∫ t0

a

∥∥∥−→P ′(t)∥∥∥ dt =

∫ u0

α

∥∥∥−→P ′(t(u))∥∥∥ dtdu

du

= ±∫ u0

α

∥∥∥−→Q′(u)∥∥∥ du.

Is dt/du > 0 dan geldt het plusteken en is ook u0 > α. Is daarentegen dt/du < 0 dangeldt het minteken, maar is ook u0 < α. Het geval dt/du = 0 in ]α, β[ is uitgesloten.

Het gebruik van de booglengte als parameter langs een gladde boog biedt verschillendevoordelen. Zo wordt een raakvector in een punt P (s0) aan de gladde boog C : P (s),s ∈]0, L[, gegeven door

−→dP

ds(s0).

Maar per definitie van booglengte is

ds

ds=

∥∥∥∥∥−→dP

ds

∥∥∥∥∥ , s ∈]0, L[,

zodat in elk punt van C deze raakvector een eenheidsvector is. Standaardnotatie voor

deze raakeenheidsvector is−→T . Men definieert aldus:

−→T (s) :=

−→dP (s)

ds.

Wordt C voorgesteld door de algemene parametervergelijking P (t), t ∈]a, b[, dan geldtuiteraard:

−→T =

−→P ′(t)∥∥∥−→P ′(t)∥∥∥ =

1

ds

dt

−→P ′(t).

De raaklijn in een punt aan een gladde boog, georienteerd volgens de raakeenheids-

vector−→T , noemt men de positieve raaklijn in dat punt aan de boog.

Een tweede voordeel van de keuze van de booglengte als parameter langs een gladdeboog komt tot uiting bij het beschouwen van het osculatievlak. Het osculatievlak in elkpunt P (s) van een gladde boog wordt opgespannen door de vectoren

−→dP

dsen

−−→d2P

ds2.

4

In de eerste vector herkennen we uiteraard de raakeenheidsvector−→T . De tweede vector is

dan

−→dT

ds. Nieuw is nu dat deze beide vectoren loodrecht op elkaar staan. Inderdaad, uit

het feit dat−→T een eenheidsvector is, volgt dat

−→T −→T = 1. Door afleiding naar s krijgen

we−→T −→dT

ds= 0.

De rechte door een punt van de gladde boog P (t), t ∈]a, b[, bepaald door de vector−→dT

ds, noemt men de hoofdnormaal aan de boog in het beschouwde punt. De hoofdnormaal

ligt in het osculatievlak in het beschouwde punt en staat daarbij loodrecht op de raaklijn.

Orienteert men de hoofdnormaal volgens de vector

−→dT

ds, dan spreekt men van de positieve

hoofdnormaal.

Let op,

−→dT

dsis geen eenheidsvector. De lengte ervan noemt men de kromming van de

boog in het beschouwde punt; standaardnotatie is1

ρ(s). Per definitie geldt dus:

1

ρ(s):=

∥∥∥∥∥−→dT

ds

∥∥∥∥∥ =

∥∥∥∥∥−−→d2P

ds2

∥∥∥∥∥ .Merk op dat de kromming een positieve functie is. De functie ρ(s) noemt men de krom-testraal. Langs de hoofdnormaal voert men ook een eenheidsvector in. Men stelt perdefinitie:

−→N (s) := ρ(s)

−→dT

ds.

Deze hoofdnormaaleenheidsvector is gericht volgens de positieve hoofdnormaal.Van een begrip als “kromming” verwacht men dat het een maat is voor de sterkte

waarmee een boog in een bepaald punt gekromd is, m.a.w. afwijkt van een rechte, diehelemaal niet gekromd is. We testen dit uit op twee eenvoudige voorbeelden.

Voorbeeld 1.1.1.Beschouw de gladde boog met parametervergelijking:

P (t) :=

[R√

2cos t, R sin t,

R√2

cos t

], 0 < t < 2π.

Hiervoor is:−→P ′(t) =

[− R√

2sin t, R cos t, − R√

2sin t

]en dus

ds

dt=∥∥∥−→P ′(t)∥∥∥ = R

5

waaruit volgt dat s(t) = Rt, 0 < t < 2π. De totale lengte van de boog is dus 2πR.Verder is:

−→T (s) =

[− 1√

2sin

s

R, cos

s

R, − 1√

2sin

s

R

], 0 < s < 2πR

waaruit: −→dT

ds=

[− 1√

2

1

Rcos

s

R, − 1

Rsin

s

R, −√

2

1

Rcos

s

R

]en dus

1

ρ(s)=

∥∥∥∥∥−→dT

ds

∥∥∥∥∥ =1

R.

De kromming langs deze boog is dus constant, wat te verwachten viel van een cirkel; dekromtestraal is precies de straal van de cirkel.

Voorbeeld 1.1.2.Beschouw de gladde boog met parametervergelijking:

P (t) := (1− t)A+ tB, 0 < t < 1,

waarbij A en B gegeven vaste punten zijn. (Merk op: barycentrische combinatie van tweepunten, dus wel degelijk een punt.) Het betreft hier duidelijk een lijnstuk; we verwachtendat de kromming nul is.

We berekenen eerst −→P ′ = B − A,

waarbij we opmerken dat een verschil van twee punten een vector is. Voor de booglengtekomt er dan: s(t) = ‖B − A‖ t, 0 < t < 1, waaruit

−→T (s) =

B − A‖B − A‖

een constante eenheidsvector langs het lijnstuk, uiteraard. Meteen is

1

ρ(s)=

∥∥∥∥∥−→dT

ds

∥∥∥∥∥ = 0

langs het lijnstuk. Merk op dat osculatievlak en hoofdnormaal van een rechte onbepaaldzijn.

Opmerking 1.1.1.Zoals raaklijn, hoofdnormaal, osculatievlak en booglengte is ook kromming een intrinsiekeeigenschap van een gladde boog, d.w.z. onafhankelijk van de gekozen parameter langs deboog.

6

1.1.3 De osculatiecirkel

Als men lokaal, d.w.z. in de onmiddellijke omgeving van een punt op een gladde boog,de boog “vervangt” door de raaklijn in het beschouwde punt, dan benadert men in dieomgeving de boog door een rechte. Deze eerste-orde-benadering of lineaire benadering isuiteraard erg grof. Een betere, tweede-orde benadering van een gladde boog in de omge-ving van een punt wordt gegeven door de osculatiecirkel aan de boog in het beschouwdepunt. Dit intrinsiek begrip wordt als volgt gedefinieerd.

Definitie 1.1.3.De osculatiecirkel in een punt aan een gladde boog is de cirkel gelegen in het osculatievlak,met middelpunt op de hoofdnormaal in positieve zin t.o.v. het punt op de boog, en metstraal het omgekeerde van de kromming in dat punt, de kromtestraal.

In elk punt P (s), s booglengte, van een gladde boog luidt de parametervergelijkingvan de osculatiecirkel dus:

P (s) + ρ(s)(1− cosα)−→N (s) + ρ(s)

−→T sinα, 0 < α < 2π.

Voorbeeld 1.1.3.Herneem de cirkel uit voorbeeld 1.1.1. We hebben geconstateerd dat de kromming con-stant is langs de cirkel, nl. 1/R, met R de straal van de cirkel. In elk punt van de cirkelis dus de kromtestraal dezelfde en gelijk aan de straal van de cirkel. Merk nu op dat:

−→N (s) =

[− 1√

2cos

s

R, − sin

s

R, − 1√

2cos

s

R

]en de plaatsvector van elk punt op de cirkel:

−→OP (s) =

[R√

2cos

s

R, R sin

s

R,R√

2cos

s

R

]zodat

−→N (s) = − 1

R

−→OP (s).

Hieruit volgt dat het osculatievlak in elk punt van de cirkel samenvalt met het vlak van decirkel en de hoofdnormaal in elk punt door het middelpunt van de cirkel gaat (uiteraard,want loodrecht op de raaklijn) en tenslotte dat het middelpunt van de osculatiecirkelsamenvalt met het middelpunt van de cirkel. De conclusie luidt dus dat in elk punt vaneen cirkel de osculatiecirkel de cirkel zelf is.

Voorbeeld 1.1.4.Herneem het lijnstuk uit voorbeeld 1.1.2. Langs het lijnstuk is de kromming constant engelijk aan nul. Symbolisch kan men zeggen dat in elk punt van een lijnstuk de kromtestraaloneindig is. De osculatiecirkel heeft hier, strikt genomen, geen betekenis.

Opmerking 1.1.2.Het middelpunt van de osculatiecirkel in een punt aan een gladde boog wordt het krom-mingsmiddelpunt van de boog in het beschouwde punt genoemd.

7

1.1.4 De trieder van Frenet

In elk punt van een voldoend continu differentieerbare boog kan men de raaklijn en dehoofdnormaal beschouwen; ze spannen het osculatievlak in het beschouwde punt op.

De binormaal in een punt aan een boog is per definitie de rechte in dat punt, dieloodrecht staat op het osculatievlak aldaar. Deze rechte wordt gedragen door de een-

heidsvector−→B die gedefinieerd wordt door:

−→B :=

−→T ×

−→N .

De drie eenheidsvectoren in een punt van een gladde boog,−→T ,−→N en

−→B , vormen, in deze

volgorde, een rechtshandige eenheidstrieder, die men de trieder van Frenet noemt.Als een punt P (s) een gladde boog doorloopt, dan varieert deze frenettrieder mee.

Daarbij geldt steeds dat

−→T −→dT

ds= 0,

−→N −→dN

ds= 0,

−→B −→dB

ds= 0,

betrekkingen die men bekomt door afleiding naar s van respectievelijk:

−→T −→T = 1,

−→N −→N = 1,

−→B −→B = 1.

Het vlak opgespannen door−→N en

−→B noemt men het normaalvlak aan de boog in het

beschouwde punt. Het vlak opgespannen door−→T en

−→B heet het binormaalvlak.

Leidt men de betrekking−→B =

−→T ×

−→N af naar s, dan bekomt men:

−→dB

ds=

−→dT

ds×−→N +

−→T ×

−→dN

ds,

waarbij echter

−→dT

ds×−→N = 0, want

−→dT

ds=

1

ρ

−→N . Er volgt dus dat

−→dB

ds=−→T ×

−→dN

ds.

De vector

−→dB

dsstaat loodrecht op de vector

−→B en op de vector

−→T ; de vector

−→dB

dsligt dus

evenwijdig met de hoofdnormaal. Men stelt per definitie:

−→dB

ds:= − 1

τ(s)

−→N (s).

Dit definieert het intrinsieke begrip1

τdat men de wringing van de boog in het beschouwde

punt noemt. Het is een maat voor de grootte van de plaatselijke “verwringing” van deboog ten opzicht van een vlakke boog (zie hoofdstuk 2).

8

Van de vector

−→dN

dsweten we reeds dat ze loodrecht staat op

−→N , m.a.w. evenwijdig is

met het binormaalvlak. Meer precies geldt er

−→dN

ds=

d

ds

(−→B ×

−→T)

=

−→dB

ds×−→T +

−→B ×

−→dT

ds

= −1

τ

−→N ×

−→T +

−→B × 1

ρ

−→N

=1

τ

−→B − 1

ρ

−→T .

De formules voor de afgeleiden naar de booglengte van de eenheidsvectoren−→T ,−→N en

−→B

noemt men de frenetformules. Ze kunnen worden samengevat in matriciele vorm:

−→dT

ds−→dN

ds−→dB

ds

=

01

ρ0

−1

ρ0

1

τ

0 −1

τ0

−→T

−→N

−→B

.

Merk op dat de optredende vierkante matrix anti-symmetrisch is.

1.2 Oppervlakken

Starten we opnieuw met de basisdefinitie. Beschouw daartoe Ω, een open en samenhan-gend gebied in R2. Hierbij identificeren we R2 met de tweedimensionale euclidische ruimtevan de punten met coordinaten (u, v). Dan stellen we

Definitie 1.2.1. De vectorfunctie

P (u, v) := [x(u, v), y(u, v), z(u, v)]

= x(u, v)−→e1 + y(u, v)−→e2 + z(u, v)−→e3 , (u, v) ∈ Ω;

met (u, v) ∈ Ω, bepaalt een glad oppervlak in R3 als

• P is injectief

• P heeft continue partiele afgeleiden naar u en v

• ||−→Pu ×

−→Pv|| 6= 0, ∀(u, v) ∈ Ω.

9

Merk op dat−→Pu(u0, v0) en

−→Pv(u0, v0) raakvectoren zijn aan S in punt P (u0, v0). Met

behulp van deze vectoren definieren we het raakvlak

Definitie 1.2.2. Het vlak

Q(s, t) = P (u0, v0) + s−→Pu(u0, v0) + t

−→Pv(u0, v0)

met −∞ < s < +∞ en −∞ < t < +∞ is het raakvlak in P (u0, v0) aan S.

We concluderen dus dat −→Pu ×

−→Pv

een normaalvector is aan het oppervlak!

Stelling 1.2.1.Als S het glad oppervlak is met parametervergelijking P (u, v), (u, v) ∈ Ω, en C is eengladde boog in Ω met parametervergelijking Q(t), t ∈]a, b[, dan is P (u(t), v(t)) ,t ∈]a, b[ de parametervergelijking van een gladde ruimteboog C die op S is gelegen.

Bewijs. De voorwaarden van bijectiviteit en continu afleidbaarheid zijn meteen duidelijkvervuld. Met behulp van de kettingregel komt er:

−−→d

dtP (u(t), v(t)) =

−→Puut +

−→Pvvt.

De functies ut en vt zijn nergens in ]a, b[ samen nul, want C is een gladde boog. Aldus

kan

∥∥∥∥∥−→dP

dt

∥∥∥∥∥ = 0 enkel en alleen als−→Pu en

−→Pv lineair afhankelijk zijn, dus

−→Pu ×

−→Pv = 0, wat

echter uitgesloten is omdat S glad is.

Een bijzonder geval van stelling 1.2.1 wordt gevormd door de zogenaamde parameter-krommen op S, geınduceerd door de lijnstukken u = u0 en v = v0 in Ω.

Stelling 1.2.2.De raaklijnen in een punt P van een glad oppervlak S, aan de gladde bogen door P op Sgelegen, liggen alle in het raakvlak in P aan S.

Bewijs. Herneem het bewijs van stelling 1.2.1 en merk op dat de raaklijnvector aan de

gladde boog C op S, een lineaire combinatie is van de vectoren−→Pu en

−→Pv die in het

beschouwde punt het raakvlak aan S opspannen.

Opmerking 1.2.1.Een glad oppervlak heeft oneindig veel parametervergelijkingen. Is P (u, v), (u, v) ∈ Ωeen parametervergelijking van S en

u = u(u, v)v = v(u, v)

10

een continu differentieerbare bijectie tussen Ω en Ω, dan is P (u(u, v), v(u, v)) , (u, v) ∈ Ωeen parametervergelijking van S.

De begrippen raakvlak en oppervlaknormaal aan een glad oppervlak zijn intrinsiek,dit wil zeggen onafhankelijk van de gekozen parametervergelijking van het glad oppervlak.

11

Hoofdstuk 2

Velden

2.1 Scalair veld

We beschouwen een open gebied Ω van de driedimensionale ruimte van punten, rechtenen vlakken. Als we in deze euclidische ruimte een bevoorrecht punt, de oorsprong kiezen,dan kunnen we gebruik maken van de een-eenafbeelding tussen de punten P en de ge-

bonden vectoren, ook soms plaatsvectoren genoemd,−→OP die aangrijpen in die oorsprong.

Kiezen we daarenboven een orthonormale basis (−→e1 , −→e2 , −→e3 ), of, equivalent hiermee, een

orthonormaal assenstelsel, en zijn (x, y, z) de drie componenten van−→OP t.o.v. deze basis,

dan kunnen we gebruik maken van de een-eenafbeelding tussen de gebonden vectoren−→OP

en de geordende drietallen (x, y, z) ∈ R3, die we dan de coordinaten van het punt P t.o.v.het assenstelsel noemen. We zullen constant beroep doen op deze identificaties:

punt P ←→ plaatsvector−→OP ←→ coordinaten (x, y, z).

Een scalair veld in Ω is een functie gedefinieerd in Ω die scalaire (reele of complexe)waarden aanneemt. Aan elk punt P van Ω wordt dus door het scalair veld f , een reeel ofcomplex getal f(P ) gehecht. Een scalair veld is dus een spreekwijze voor de functie

f : Ω −→ R of C : P 7−→ f(P ).

Door de identificatie van een punt met de geassocieerde plaatsvector, of het geassocieerddrietal coordinaten, kunnen we dus ook de functiewaarde van een scalair veld schrijven

als f(−→OP ) of f(x, y, z), m.a.w. het scalair veld vereenzelvigen met de functie

f : Ω ⊂ R3 −→ R of C : (x, y, z) 7−→ f(x, y, z),

waarbij in de praktijk geen onderscheid wordt gemaakt tussen Ω enΩ = (x, y, z) ∈ R3 : P = (x, y, z) ∈ Ω.

Een klassieke grafiek van een scalair veld is uitgesloten, vermits men over vier dimensiesdient te beschikken. Een scalair veld wordt grafisch voorgesteld m.b.v. niveauoppervlak-ken. Een voorbeeld als toelichting. Meet in elk punt van een gebied Ω de temperatuur

12

T . Dan is T functie van de plaats: T (P ) of T (x, y, z), m.a.w. T is een scalair veld.Beschouw in Ω alle punten waar eenzelfde temperatuur a heerst. Al deze punten liggenop een oppervlak met cartesiaanse vergelijking

T (x, y, z) = a.

Voor de temperatuursfunctie heet een dergelijk oppervlak een isothermisch oppervlak =“een oppervlak van gelijke temperatuur”. Door een aantal isothermische oppervlakken tetekenen, telkens voor een andere temperatuur, krijgt men een beeld van het scalair veldT .

In het algemeen noemt men het oppervlak met cartesiaanse vergelijking

f(x, y, z) = a

een niveauoppervlak van het scalair veld f .Onderstellen we dat f voldoende continu differentieerbaar is in Ω met ∂zf 6= 0 in Ω;

dan is de vergelijking f(x, y, z) = a lokaal oplosbaar naar z = g(x, y, a). Onderstellen wedat het niveauoppervlak met cartesiaanse vergelijking f(x, y, z) = a en parameterverge-lijking

P (x, y) = [x, y, g(x, y, a)] , (x, y) ∈ D

glad is, dan wordt in elk punt van dit niveauoppervlak de oppervlaknormaal gedragendoor de vector

−−→∂xP ×

−−→∂yP = [1, 0, ∂xg]× [0, 1, ∂yg]

= [−∂xg,−∂yg, 1]

=

[∂xf

∂zf,∂yf

∂zf, 1

]of dus ook door de vector

[∂xf(P ), ∂yf(P ), ∂zf(P )] ,

m.a.w. de vector met als componenten de waarden van de partiele afgeleiden - in degeijkte volgorde - in het beschouwde punt. Deze vector wordt kortweg geschreven als

−→∇f(P )

(lees: “nabla”). Maar dit is meer dan een notatie. Nabla is de vectoriele differentiaalope-rator van de 1ste orde: −→

∇ = (∂x, ∂y, ∂z) .

“Operator” betekent dat−→∇ inwerkt op functies; “differentiaaloperator” betekent dat die

inwerking gebeurt via (partiele)afleiding; “van de eerste orde” betekent dat bij de in-werking (partiele)afgeleiden van de eerste orde optreden; “vectorieel” betekent dat het

13

resultaat van de inwerking op een scalair veld een vectorveld is [voor vectorveld: zie vol-

gende paragraaf]. Als het scalair veld f continu differentieerbaar in Ω is, dan is−→∇f een

continue functie in Ω waarvan de functiewaarden vectoren zijn; deze functie noemt menook “gradient f” en vaak wordt ook de notatie grad f gebruikt.

Deze overwegingen leiden tot het volgende besluit. Als in het open gebied Ω eencontinu differentieerbaar scalair veld f is gedefinieerd, en beschouwt men in elk punt Pvan Ω enerzijds het niveauoppervlak van f dat door P gaat, en anderzijds de vector−→∇f(P ), dan staan beide loodrecht op elkaar, m.a.w.

−→∇f(P ) heeft de richting van de

oppervlaknormaal in P aan het niveauoppervlak door P .

2.2 Vectorveld

Een vectorveld in een open gebied Ω van de driedimensionale euclidische ruimte is eenfunctie die aan elk punt P van Ω als functiewaarde een vector hecht, m.a.w. een vectorveldis een functie van (een deel van) de euclidische ruimte van punten in de ruimte van devectoren. De functiewaarde van een gegeven vectorveld in het punt P kan dus wordengeschreven als

f1(P )−→e1 + f2(P )−→e2 + f3(P )−→e3of als

[f1(P ), f2(P ), f3(P )] ,

waarbij f1, f2, f3 drie scalaire velden zijn, of dus ook nog als

[f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, x)] ,

waarbij we het punt P identificeren met zijn drie coordinaten t.o.v. de orthonormale basis(−→e1 , −→e2 , −→e3 ).

Noteren we het vectorveld als−→F , dan kan

−→F worden beschouwd als een functie

−→F : R3 −→ R3

waarbij P = (x, y, z) wordt afgebeeld op

−→F (P ) =

−→F (x, y, z) = (f1(x, y, z), f2(x, y, z), f3(x, y, z)) .

De scalaire velden f1, f2, f3 noemt men de componenten van het vectorveld−→F .

Een klassieke grafiek van een vectorveld vereist zes dimensies. Om een vectorveldaanschouwelijk voor te stellen gaat men als volgt te werk. Een voorbeeld ter toelichting.In elk punt van een zeker gebied meet men de windsnelheid (richting, zin en grootte),

m.a.w. een vector die de plaatselijke windsnelheid voorstelt. Deze vector−→W (P ) tekent

men in het punt P . Meestal zal men zelfs de pijl waarmee men de vector voorstelt, dikkerof langer tekenen naargelang haar grootte. Zo ontstaat reeds een eerste beeld “hoe de wind

14

eruit ziet” in het beschouwde gebied. Men tekent meestal ook de luchtstromen, dit zijn debanen waarlangs de lucht zich verplaatst. Bij een bewegend deeltje is de snelheidsvectorsteeds gelegen volgens de raaklijn aan de baan; de windsnelheidsvectoren zijn dus in elkpunt gericht volgens de raaklijn aan de luchtstroom die door dit punt passeert. In hetalgemeen noemt men de gladde boog waarvoor in elk punt de raaklijn gericht is volgensde functiewaarde van een gegeven vectorveld in het beschouwde punt, een veldlijn van hetvectorveld. Het geheel van veldlijnen met raakvectoren is een aanschouwelijke voorstellingvan een vectorveld.

In de vorige paragraaf hebben we reeds kennis gemaakt met een vectorveld. Vertrekt

men van een continu differentieerbaar scalair veld f in Ω, dan is−→∇f een continu vectorveld

in Ω met componenten (∂xf, ∂yf, ∂zf). De veldlijnen van het vectorveld−→∇f zijn gladde

bogen in Ω waarvoor in elk punt P ervan de raaklijn gericht is volgens−→∇f(P ), die

loodrecht staat op het niveauoppervlak van f in P . We besluiten dus dat, gegeven eencontinu differentieerbaar scalair veld f in Ω, in elk punt P van Ω de veldlijn van het

vectorveld−→∇f door P het niveauoppervlak van f door P loodrecht snijdt.

Aansluitend bij het voorbeeld van deze paragraaf is het zo dat de windveldlijnen or-thogonaal zijn met de niveauoppervlakken van het scalaire luchtdrukveld (waarbij andereeffecten zoals de corioliskrachten buiten beschouwing zijn gelaten).

Aansluitend bij het voorbeeld van de vorige paragraaf is het zo dat de convectiestromenorthogonaal zijn met de isothermische oppervlakken.

2.3 Richtingsafgeleide van een scalair veld

Beschouw in een open deel Ω van de driedimensionale euclidische ruimte een scalair veld f ,dat we voldoend continu differentieerbaar onderstellen. Verder is een vaste eenheidsvector−→u gegeven. Men noemt richtingsafgeleide van f volgens −→u in het punt P :

∂−→u f(P ) := −→u −→∇f(P ).

Merk meteen op dat voor −→u = −→ei , i = 1, 2, 3:

∂−→eif(P ) = −→ei −→∇f(P ) = ∂if(P ),

m.a.w. de partiele afgeleiden zijn bijzondere gevallen van richtingsafgeleiden volgens depositieve coordinaatassen.

Een klassiek vraagstukje is het volgende. Beschouw in Ω een continu differentieerbaarscalair veld f en een punt P . Vraag: in welke richting en zin is de richtingsafgeleide vanf in P extremaal. Uit de definitie van richtingsafgeleide volgt meteen het antwoord:

∂−→u f(P ) is extremaal als −→u de richting van−→∇f(P ) bezit; maximaal als −→u ook de

zin van−→∇f(P ) heeft, minimaal als −→u tegengesteld aan

−→∇f(P ) georienteerd is.

15

De extremale waarden van de richtingsafgeleide van een scalair veld in een punt wordendus bekomen in de richting van de oppervlaknormaal in het beschouwde punt aan hetniveauoppervlak van het scalair veld door dit punt.

De gradient van een continu differentieerbaar scalair veld f zou dus ook als volgtkunnen worden gedefinieerd:

−→∇f is het vectorveld waarvan de functiewaarde in elk punt P de vector is:

• met richting: de oppervlaknormaal in P aan het niveauoppervlak van f door P ;

• met orientatie: in de zin van toenemende functiewaarden van f ;

• met grootte:

|∂−→u f(P )| =∣∣∣∣limh→0

1

h(f(P + h−→u )− f(P ))

∣∣∣∣waarbij −→u een eenheidsvector is langs de bewuste oppervlaknormaal.

Hieruit blijkt duidelijk dat de gradient van een scalair veld intrinsiek is, d.w.z. onaf-hankelijk van de gebruikte (cartesiaanse) coordinaten, dus onafhankelijk van het gekozenorthonormaal assenstelsel. Toon ditzelfde resultaat ook aan door gebruik te maken vaneen coordinatentransformatie en lineaire algebra!

2.4 Divergentie van een vectorveld

Gegeven is een continu differentieerbaar vectorveld

−→F = (f1, f2, f3)

in een open deel Ω van de driedimensionale euclidische ruimte. De drie componentenf1, f2, f3 zijn dan uiteraard continu differentieerbare scalaire velden in Ω.

Door in elk punt P van Ω de volgende functiewaarde te berekenen:

∂xf1(P ) + ∂yf2(P ) + ∂zf3(P )

en die reele of complexe waarde aan het punt P te hechten, definieert men een scalairveld in Ω, dat men noteert −→

∇ −→F

en noemt de divergentie van het vectorveld−→F . Ook hier duikt de “nabla”-operator weer

op, de eerste orde vectoriele differentiaaloperator

−→∇ = ∂x

−→e1 + ∂y−→e2 + ∂z

−→e3= [∂x, ∂y, ∂z] ,

16

waarbij de inwerking op het vectorveld−→F geschiedt via het scalair product (vandaar de

“bolletje”-notatie) zodat het resultaat van de inwerking een scalair veld is.De inwerking van “nabla” als divergentie op een voldoend continu differentieerbaar

vectorveld kan dus symbolisch worden gezien als het algebraısche scalaire product van de“nabla”-operator met het bewuste vectorveld:

−→∇ −→F = [∂x

−→e1 + ∂y−→e2 + ∂z

−→e3 ] [f1−→e1 + f2

−→e2 + f3−→e3 ]

= ∂xf1 + ∂yf2 + ∂zf3.

Als in Ω een vectorveld−→F voldoet aan:

−→∇ −→F = 0,

dan noemt men het vectorveld−→F divergentievrij in Ω. Let op: het begrip “divergentievrij”

is gebiedsafhankelijk. Divergentievrije vectorvelden zijn bijzonder, zoals zal blijken uitsectie 2.7.

Merken we nog het volgende op. Vertrek in Ω met een scalair veld f dat er ten minste

tweemaal continu differentieerbaar is. Construeer het vectorveld−→∇f – men noemt dit

het gradient-veld van f – dat in Ω ten minste continu differentieerbaar is. We bepalen dedivergentie van het gradient-veld van f :

−→∇ −→∇f =

−→∇ [∂xf, ∂yf, ∂zf ]

= ∂x (∂xf) + ∂y (∂yf) + ∂z (∂zf)

= ∂2xf + ∂2yf + ∂2zf

=(∂2x + ∂2y + ∂2z

)f.

Hierbij ontstaat de 2de orde scalaire differentiaaloperator

∆ := ∂2x + ∂2y + ∂2z = ∂xx + ∂yy + ∂zz,

die men de laplaciaan noemt. De formule−→∇ −→∇f = ∆f,

voor een ten minste tweemaal continu differentieerbaar scalair veld f in Ω, kan symbolischworden uitgedrukt als −→

∇ −→∇ = ∆,

wat meer in overeenstemming is met de algebraısche rekenregels voor vectoren en kan gele-zen worden als “de laplaciaan is het scalaire product van de nabla-operator met zichzelf”,of nog korter en krachtiger: “de laplaciaan is het kwadraat van de nabla”:

−→∇2 =

−→∇ −→∇

= [∂x−→e1 + ∂y

−→e2 + ∂z−→e3 ] [∂x

−→e1 + ∂y−→e2 + ∂z

−→e3 ]

= (∂x)2 + (∂y)

2 + (∂z)2

= ∆.

De bovenstaande leeswijzen worden, om vergissingen te vermijden, beter vervangen door:

17

“de divergentie van de gradient is de laplaciaan”.

2.5 Rotatie van een vectorveld

Gegeven is opnieuw een continu differentieerbaar vectorveld

−→F = (f1, f2, f3)

in een open deel Ω van de driedimensionale euclidische ruimte. De drie componentenf1, f2, f3 zijn dan uiteraard continu differentieerbare scalaire velden in Ω.

Door in elk punt P van Ω de volgende vectoriele functiewaarde te berekenen:

[∂yf3 − ∂zf2, ∂zf1 − ∂xf3, ∂xf2 − ∂yf1]

en die aan het punt P te hechten, definieert men een vectorveld in Ω, dat men noteert:

−→∇ ×

−→F .

Dit nieuwe vectorveld heet de rotatie van het vectorveld−→F .

Louter algebraısch bekeken is het alsof de vectoroperator “nabla” inwerkt op het vec-

torveld−→F onder de vorm van een vectorproduct van twee vectoren. Dit is ook de manier

waarop men de definitie van “rotatie van een vectorveld” onthoudt.

Als in Ω een vectorveld−→F voldoet aan:

−→∇ ×

−→F = 0,

dan noemt men het vectorveld−→F rotatievrij in Ω. Let op: dit begrip is gebiedsafhankelijk.

Rotatievrije vectorvelden zijn bijzonder, zoals zal blijken uit sectie 2.6.Merken we nog het volgende op. Vertrek in Ω met een scalair veld f dat er ten minste

tweemaal continu differentieerbaar is. Construeer in Ω het gradient-veld van f :−→∇f ; het

is in Ω ten minste continu differentieerbaar. We bepalen de rotatie van het gradient-veldvan het scalaire veld f :

−→∇ ×

−→∇f =

−→∇ × [∂xf, ∂yf, ∂zf ]

= [∂y(∂zf)− ∂z(∂yf), ∂z(∂xf)− ∂x(∂zf), ∂x(∂yf)− ∂y(∂xf)]

= [0, 0, 0].

De formule −→∇ ×

−→∇f =

−→0

voor een ten minste tweemaal continu differentieerbaar scalair veld f in Ω, kan het bestsymbolisch gelezen worden als

de rotatie van de gradient is nul.

18

Louter symbolisch komt dit erop neer dat het vectorproduct van de vector-operator “na-bla” met zichzelf, nul is. Dergelijke interpretatie dient met zeer veel omzichtigheid gehan-teerd.

We hebben dus aangetoond:

Als het scalair veld f tweemaal continu differentieerbaar is in Ω, dan is zijn gradient-veld rotatievrij in Ω.

Hieruit blijkt dat gradient-velden van scalaire velden belangrijk zijn, zoals zal blijken uitvolgende paragraaf.

2.6 Conservatieve vectorvelden

Definitie 2.6.1.Een gebied Ω in de driedimensionale euclidische ruimte is samenhangend als elke tweepunten van Ω kunnen worden verbonden door een continue kromme.

Een gebied Ω in de driedimensionale euclidische ruimte is enkelvoudig samenhangendals het samenhangend is en als men bovendien elke gesloten kromme in Ω kan doen ineen-krimpen op continue wijze tot een punt, zonder dat daarbij het gebied Ω wordt verlaten.

Definitie 2.6.2.Een vectorveld

−→F in een open, samenhangend gebied Ω noemt men conservatief als het

continu in Ω is en als er in Ω een continu differentieerbaar scalair veld φ bestaat waarvan

het gradient-veld precies−→F is: −→

∇φ =−→F .

Het scalaire veld φ noemt men de (scalaire) potentiaal van het conservatief vectorveld−→F

in Ω.

Opmerking 2.6.1.

Een convervatief vectorveld−→F in een open, samenhangend gebied Ω, bezit oneindig veel

potentialen, die alle met een constante van elkaar verschillen.

Voorbeeld 2.6.1.Het vectorveld

−→F =

−→OP∥∥∥−→OP∥∥∥ =

[x, y, z]

(x2 + y2 + z2)12

is conservatief in E0\−→0 , want

−→∇∥∥∥−→OP∥∥∥ =

−→F

in het beschouwde open, samenhangend gebied.

19

Voorbeeld 2.6.2.Het vectorveld

−→F =

−→OP∥∥∥−→OP∥∥∥3 =

[x, y, z]

(x2 + y2 + z2)32

is conservatief in E0\−→0 , want

−→∇ (−1)∥∥∥−→OP∥∥∥ =

−→F

in het beschouwde open, samenhangend gebied.

Uit definitie 2.6.2 volgt meteen dat het gradient-veld van een tweemaal continu dif-ferentieerbaar scalair veld in een open, samenhangend gebied, er conservatief is. In devorige paragraaf hebben we gezien dat een dergelijk gradient-veld rotatievrij is in hetbeschouwde gebied. We besluiten dus meteen.

Stelling 2.6.1.Als een continu differentieerbaar vectorveld conservatief is in een open, samenhangendgebied, dan is het er rotatievrij.

Als ook de omgekeerde stelling zou gelden, dan zouden we meteen beschikken overeen criterium voor conservatieve vectorvelden en dus over een handig middel om conser-vatieve vectorvelden te herkennen. Deze “omgekeerde stelling” geldt echter niet in vollealgemeenheid. De geometrie van het gebied speelt hierin een belangrijke rol. Men bewijstbijvoorbeeld het volgende:

Stelling 2.6.2.

Als het vectorveld−→F continu differentieerbaar en rotatievrij is in het open, enkelvoudig

samenhangend gebied Ω, dan is−→F conservatief in Ω.

We zullen een speciaal geval van deze stelling bewijzen en de corresponderende poten-tiaal expliciet construeren in hoofdstuk 3.

2.7 Solenoıdale vectorvelden

Definitie 2.7.1.Een vectorveld

−→F in een open, samenhangend gebied Ω noemt men solenoıdaal als het

continu is in Ω en als er in Ω een continu differentieerbaar vectorveld−→A bestaat waarvan

de rotatie precies−→F is: −→

∇ ×−→A =

−→F .

Het vectorveld−→A noemt men de vectorpotentiaal van het solenoıdaal vectorveld

−→F in Ω.

20

Opmerking 2.7.1.

Een solenoıdaal vectorveld−→F in een open, samenhangend gebied Ω bezit oneindig veel

vectorpotentialen. Inderdaad, deze zijn slechts op een gradient-veld na bepaald, want als−→∇ ×

−→A =

−→F dan is ook

−→∇ ×

(−→A +

−→∇f)

=−→∇ ×

−→A +

−→∇ ×

−→∇f =

−→∇ ×

−→A =

−→F

en dit gelet op “de rotatie van de gradient is nul” (zie paragraaf 5).

Voorbeeld 2.7.1.Het vectorveld

−→F = [z, x, y] is solenoıdaal in E0, vermits

−→∇ × [xz, yx, zy] =

−→F in E0

(controleer dit!).

Stelling 2.7.1.Als een continu differentieerbaar vectorveld solenoıdaal is in een open, samenhangendgebied, dan is het er divergentievrij.

Bewijs. Onderstel dat−→F solenoıdaal is in het open, samenhangend gebied Ω. Dan bestaat

er een continu differentieerbare vectorpotentiaal−→A in Ω met

−→∇×−→A =

−→F . Als

−→F continu

differentieerbaar is in Ω, geldt er vervolgens:

−→∇ −→F =

−→∇

(−→∇ ×

−→A)

= ∂x (∂yA3 − ∂zA2) + ∂y (∂zA1 − ∂xA3) + ∂z (∂xA2 − ∂yA1)

= 0.

Merk op dat vereist is dat de optredende vectorvelden voldoende continu differentieerbaarzijn in het beschouwde gebied.

Meteen rijst de vraag of het divergentievrij karakter van een vectorveld een criteriumvoor solenoıdaliteit is. Het antwoord is opnieuw afhankelijk van de geometrie van hetbeschouwde gebied. We hebben bijvoorbeeld volgend resultaat.

Stelling 2.7.2.

Als het vectorveld−→F continu differentieerbaar en divergentievrij is in een open interval

Ω, dan is−→F er solenoıdaal.

Bewijs. We geven een constructief bewijs, d.w.z. we construeren expliciet een vectorveld

in Ω dat de vectorpotentiaal van het gegeven vectorveld−→F is.

Een dergelijke vectorpotentiaal−→A moet in Ω voldoen aan

−→∇ ×

−→A =

−→F .

21

Deze vectoriele vergelijking met−→F gekend en

−→A onbekend in Ω is equivalent met het

stelsel in Ω: ∂yA3 − ∂zA2 = f1∂zA1 − ∂xA3 = f2∂xA2 − ∂yA1 = f3

met gekende scalaire velden f1, f2, f3 en onbekende scalaire velden A1, A2, A3.

We weten dat er bij de bepaling van de vectorpotentiaal−→A = [A1, A2, A3] een zeer

grote vrijheidsgraad is (zie opmerking 2.7.1). We zoeken daarom een vectorpotentiaalwaarbij A3 = 0 in Ω. Uit de eerste vergelijking van het stelsel volgt:

A2 = g2(x, y, z) + h2(x, y)

waarbij g2 en h2 tweemaal continu differentieerbare scalaire velden in Ω zijn met ∂zg2 =−f1. Dit is een “partiele primitivering” naar de variable z waarbij de variabelen x en ytijdelijk als parameters worden beschouwd.

Uit de tweede vergelijking van het stelsel volgt:

A1 = g1(x, y, z) + h1(x, y)

waarbij g1 en h1 continu differentieerbare scalaire velden in Ω zijn met ∂zg1 = f2.Om de voorlopig arbitraire functies h1(x, y) en h2(x, y) te bepalen, beschikken we nog

over de derde vergelijking van het stelsel. Dit levert

∂xh2(x, y)− ∂yh1(x, y) = f3 − ∂xg2 + ∂yg1.

Ogenschijnlijk is dit onmogelijk, want het rechterlid is functie van de drie variabelenx, y, z, terwijl het linkerlid enkel functie is van de variabelen x en y. Maar, het rechterlidbevat de variabele z niet:

∂zf3 − ∂z∂xg2 + ∂z∂yg1 = ∂zf3 − ∂x(−f1) + ∂y(f2) =−→∇ −→F = 0.

Het divergentievrij karakter van−→F is dus inderdaad cruciaal in de constructie van de

vectorpotentiaal−→A in Ω.

Kies nu nog h1(x, y) = 0 in Ω en neem h2(x, y) zodat

∂xh2(x, y) = f3 − ∂xg2 + ∂yg1

waarbij in het rechterlid een gekend scalair veld in Ω staat. Daarmee is een vectorpoten-

tiaal−→A van

−→F bepaald in Ω.

Merk nog op dat we in het bewijs van stelling 2.7.1 de volgende formule hebbenbewezen: −→

∇ (−→∇ ×

−→A)

= 0

in een open gebied waarin het vectorveld tweemaal continu differentieerbaar is. We kunnensymbolisch stellen

22

“de divergentie van de rotatie is nul”.

Louter algebraısch bekeken, zien we een gemengd product van drie “vectoren”: “nabla”,

“nabla” en “−→A” waarvan er twee evenwijdig (zelfs gelijk) zijn, wat dus in een nul resulteert.

2.8 De helmholtzontbinding van vectorvelden

Gegeven een vectorveld−→F dat we voldoende continu differentieerbaar onderstellen in

een open, samenhangend gebied Ω, bijvoorbeeld voor de eenvoud, een open interval. We

veronderstellen dat−→F in Ω noch divergentievrij, noch rotatievrij is. Dan kan

−→F ontbonden

worden in de zgn. helmholtzontbinding:

−→F =

−→∇φ +

−→∇ ×

−→A, met

−→∇ −→A = 0

waarbij het scalaire veld φ op een harmonisch scalair veld na bepaald is, en het vectorveld−→A op de gradient van een harmonisch scalair veld na.

Merk meteen op dat de eerste term van de ontbinding rotatievrij is:

−→∇ ×

(−→∇φ)

= 0,

terwijl de tweede term divergentievrij is:

−→∇

(−→∇ ×

−→A)

= 0

in het beschouwde gebied.Het constructief bewijs van deze formule verloopt in twee stappen.Eerste stap

We nemen in Ω de divergentie van−→F en bekomen:

−→∇ −→F =

−→∇ −→∇φ = ∆φ.

Het onbekend scalaire veld φ moet dus voldoen aan de vergelijking:

∆φ =−→∇ −→F

in Ω, met in het rechterlid een scalair veld in Ω dat niet nul is bij onderstelling. Dezevergelijking is in feite een “lineare partiele differentiaalvergelijking van de tweede ordemet rechterlid niet nul”. Het speciale type hier met de laplaciaan in het linkerlid, noemtmen de vergelijking van Poisson. Men kan bewijzen dat de vergelijking van Poisson inhet open interval Ω een oplossing φ bezit, die bepaald is op een zgn. harmonisch veld na,dit is een scalair veld in Ω dat er voldoet aan de zgn. vergelijking van Laplace: ∆χ = 0.We kiezen een welbepaalde oplossing φ van de poissonvergelijking

∆φ =−→∇ −→F

23

en gaan over tot de tweede stap.Tweede stap

Met de gekozen oplossing φ uit stap 1, construeren we in Ω−→∇φ en stellen:

−→G =

−→F −

−→∇φ.

Dit nieuwe vectorveld−→G is divergentievrij in Ω. Inderdaad, er geldt

−→∇ −→G =

−→∇ −→F −

−→∇

(−→∇φ)

=−→∇ −→F −∆φ = 0.

Bij onderstelling is Ω een open interval zodat we wegens stelling 2.7.2 verzekerd zijn van

het bestaan van een vectorpotentiaal−→A in Ω voor het solenoıdaal vectorveld

−→G :

−→∇ ×

−→A =

−→G

en dus ook: −→F −

−→∇φ =

−→∇ ×

−→A.

Hiermee is de structuur van de ontbinding van−→F aangetoond.

Echter, is het vectorveld−→A divergentievrij? Over het algemeen niet, maar

−→A is slechts

bepaald op een gradient-veld na. Neem dus

−→A ∗ =

−→A +

−→∇f

met f nader te bepalen zodanig dat−→A ∗ divergentievrij is in Ω:

−→∇ −→A ∗ =

−→∇ −→A +

−→∇ −→∇f

=−→∇ −→A + ∆f.

Het scalaire veld f moet dus in Ω voldoen aan:

∆f = −−→∇ −→A,

weerom de poissonvergelijking. Elke oplossing in Ω van deze vergelijking zal voldoen.

2.9 Divergentie- en rotatievrije vectorvelden

In het licht van de voorgaande paragrafen is het meteen duidelijk dat vectorvelden die ineen open, samenhangend gebied en divergentievrij en rotatievrij zijn, zeer bijzonder zijn.

Een dergelijk vectorveld−→F voldoet dus in Ω aan het stelsel −→

∇ −→F = 0

−→∇ ×

−→F =

−→0 .

24

Dit stelsel wordt het rieszstelsel genoemd.Nemen we voor de eenvoud een open interval Ω – de nu volgende resultaten zijn ook

geldig in een open, enkelvoudig samenhangend gebied – dan is−→F in Ω zowel conservatief

als solenoıdaal. Er bestaat in Ω een scalaire potentiaal φ waarvoor in Ω:

−→F =

−→∇φ.

Dit scalair potentiaalveld φ moet in Ω dan voldoen aan:

−→∇ −→∇φ = 0

of∆φ = 0,

m.a.w. het scalair potentiaalveld φ van een vectorveld dat aan het rieszstelsel voldoet, isharmonisch in het beschouwde gebied.

Dit bijzondere vectorveld−→F kan dus worden geschreven als:

−→F = [∂xφ, ∂yφ, ∂zφ]

waarbij in Ω:∆φ = ∂2xφ+ ∂2yφ+ ∂2zφ = 0.

Maar er bestaat in Ω ook een vectorpotentiaal−→A waarvoor in Ω:

−→∇ ×

−→A =

−→F =

−→∇φ

waaruit volgt dat−→∇ ×

(−→∇ ×

−→A)

=−→0

of −→∇(−→∇ −→A)−∆−→A =

−→0 ,

waaruit−→A harmonisch, vermits een vectorpotentiaal steeds divergentievrij kan worden

gekozen.

Merk op dat de drie componenten van deze−→F , harmonische scalaire velden zijn in

Ω. Aangezien de laplaciaan een scalaire differentiaaloperator is, kunnen we zelfs stellen

dat−→F een harmonisch vectorveld in Ω is. Automatisch is

−→F daardoor onbeperkt continu

differentieerbaar in Ω, aangezien men kan bewijzen dat elke harmonische functie steedsonbeperkt continu differentieerbaar is.

Het is bijzonder belangrijk het tweedimensionale geval te bestuderen. Beschouw dusin een open, enkelvoudig samenhangend gebied Ω van het euclidische vlak een continu

25

differentieerbaar vectorveld−→F = (f1(x, y), f2(x, y)) dat en divergentievrij en rotatievrij

is, m.a.w. in Ω voldoet aan het rieszstelsel: −→∇ −→F = ∂xf1 + ∂yf2 = 0

−→∇ ×

−→F = [0, 0, ∂xf2 − ∂yf1] = 0.

In het tweedimensionaal geval herleidt het rieszstelsel zich dus tot∂xf1 + ∂yf2 = 0∂xf2 − ∂yf1 = 0,

het zogenaamde cauchy-riemannstelsel dat een cruciale rol speelt in het vakgebied com-plexe analyse.

2.10 Nabla-rekening

In de voorgaande paragraaf is duidelijk gebleken dat het vlot omspringen met de “nabla”-operator een te verwerven vaardigheid is in de vectoranalyse. Dit nabla-rekenen zit tepaard op de vectorrekening en het analytisch partieel afleiden, met voornamelijk oog voorhet zinvolle van mogelijke inwerkingen van nabla op scalaire- of vectorvelden.

De basisformules zijn

−→∇ (φ+ χ) =

−→∇φ+

−→∇χ

−→∇

(−→F +

−→G)

=−→∇ −→F +

−→∇ −→G

−→∇ ×

(−→F +

−→G)

=−→∇ ×

−→F +

−→∇ ×

−→G

−→∇

(φ−→F)

=−→∇φ

−→F + φ

−→∇ −→F

−→∇ ×

(φ−→F)

=−→∇φ×

−→F + φ

−→∇ ×

−→F

−→∇

(−→F ×

−→G)

=−→G

(−→∇ ×

−→F)−−→F

(−→∇ ×

−→G)

−→∇ ×

(−→∇φ)

=−→0

−→∇

(−→∇ ×

−→F)

= 0−→∇ ×

(−→∇ ×

−→F)

=−→∇(−→∇ −→F)−(−→∇ −→∇)−→F .

Verifieer al deze formules!

26

Hoofdstuk 3

Lijnintegralen

3.1 Lijnintegraal van een scalair veld

In een open, samenhangend gebied Ω van de driedimensionale euclidische ruimte beschou-wen we enerzijds een continu scalair veld φ en anderzijds een gladde boog C : P (t), a ≤t ≤ b met begin- en eindpunt. Noemt men s de booglengte langs C, gemeten vanaf hetbeginpunt, dan voert men het begrip “lijnintegraal van het scalair veld φ langs de gladdeboog C” in, door te definieren:∫

Cφ ds :=

∫ b

a

φ (P (t))

∥∥∥∥∥−→dP

dt

∥∥∥∥∥ dt.Een dergelijke definitie is uiteraard pas zinvol als aangetoond wordt dat het rechterlidonafhankelijk is van de keuze van de parametervergelijking van de gladde boog C. Dit isinderdaad het geval. Beschouw de continu afleidbare bijectie t = t(τ) tussen de intervallen

[a, b] en [α, β] metdt

dτ6= 0 in [α, β], dan geldt:

(i) alsdt

dτ> 0 in [α, β], dan zal

∣∣∣∣ dtdτ∣∣∣∣ =

dt

dτen zal α < β; vandaar:

∫ β

α

φ (P (t(τ)))

∥∥∥∥∥−−−−−−→d P (t(τ))

dτ

∥∥∥∥∥ dτ =

∫ β

α

φ (P (t(τ)))

∥∥∥∥∥−→dP

dt(t(τ))

∥∥∥∥∥ dtdτ dτ

=

∫ b

a

φ (P (t))

∥∥∥∥∥−→dP

dt(t)

∥∥∥∥∥ dt;(ii) als

dt

dτ< 0 in [α, β], dan zal

∣∣∣∣ dtdτ∣∣∣∣ = − dt

dτ, maar zal α > β zodat

∫ α

β

φ (P (t(τ)))

∥∥∥∥∥−−−−−−→d P (t(τ))

dτ

∥∥∥∥∥ dτ27

leidt tot hetzelfde resultaat.

Voorbeeld 3.1.1.Als C : P (t), a ≤ t ≤ b, een gladde boog is, dan is, per definitie, de totale booglengte vanC de lijnintegraal langs C van het constant scalair veld φ = 1:∫

Cds =

∫ b

a

∥∥∥∥∥−→dP

dt

∥∥∥∥∥ dt.Voorbeeld 3.1.2.Is ρ(P ) het scalaire veld van de soortelijke massa van een dunne draad gelegen langs degladde boog C : P (t), a ≤ t ≤ b, dan is, per definitie, de totale massa van deze draad:

M :=

∫Cρ(P ) ds.

T.o.v. een orthonormaal assenstelsel worden dan de statische momenten van de draadt.o.v. de coordinaatvlakken gedefinieerd als:

Myz :=

∫Cρ(P ) x ds,

Mzx :=

∫Cρ(P ) y ds,

Mxy :=

∫Cρ(P ) z ds.

Het massamiddelpunt van de draad is dan het punt met coordinaten (x, y, z) gegeven door

x :=Myz

M, y :=

Mzx

M, z :=

Mxy

M.

3.2 Lijnintegraal van een vectorveld

In een open samenhangend gebied Ω van de driedimensionale euclidische ruimte beschou-

wen we een continu vectorveld−→F = [f1, f2, f3] en een gladde boog C : P (t) met beginpunt

P (a) en eindpunt P (b). Let op: het is niet noodzakelijk zo dat a < b; het is dus beter tenoteren t : a −→ b. Door expliciet een begin- en een eindpunt te vermelden, kunnen wede gladde boog C orienteren. Dat kan op twee manieren: de positieve zin van beginpuntnaar eindpunt, de negatieve zin omgekeerd. Het begrip “lijnintegraal van het vectorveld−→F langs de boog C doorlopen in positieve zin” wordt gedefinieerd door:∫

C

−→F −→dP :=

∫ b

a

(f1(P (t))x′(t) + f2(P (t))y′(t) + f3(P (t))z′(t)) dt

=

∫ b

a

−→F (P (t))

−→dP

dtdt.

28

Deze definitie wordt gemakkelijk onthouden en toegepast door de notatie−→F −→dP symbo-

lisch te interpreteren als een scalair product van twee “vectoren”:

−→F −→dP = (f1

−→e1 + f2−→e2 + f3

−→e3 ) (dx−→e1 + dy−→e2 + dz−→e3 )

= f1dx+ f2dy + f3dz,

daarna de symbolen dx, dy, dz te interpreteren als differentialen, waarbij het punt P deboog C doorloopt met parametervergelijking

P (t) = x(t)−→e1 + y(t)−→e2 + z(t)−→e3 , t : a −→ b

en dusdx = x′(t)dt, dy = y′(t)dt, dz = z′(t)dt

om, steeds louter symbolisch, te komen tot:

−→F −→dP = f1x

′(t)dt+ f2y′(t)dt+ f3z

′(t)dt.

Voor de lijnintegraal van hetzelfde vectorveld−→F langs dezelfde gladde boog C maar nu

doorlopen in de negatieve zin, definieert men:∫−C

−→F −→dP = −

∫C

−→F −→dP .

Voorbeeld 3.2.1.De arbeid nodig om een deeltje met massa m langs een pad C = AB van het punt A naar

het punt B te brengen in een krachtveld−→F is, per definitie,∫

AB

−→F −→dP .

Zo kost het niet de minste moeite om een zeer zware last m over een horizontaal traject

C = AB : P (x) = x−→e1 , x : a −→ b

te verplaatsen in het zwaartekrachtveld

−→F = −mg−→e3 ,

vermits ∫AB

−→F −→dP =

∫AB

(−mg−→e3 ) (dx−→e1 ) = 0.

29

Voorbeeld 3.2.2.Een satelliet met massa m draait moeiteloos in een cirkelvormige baan omheen de aardemet massa M in het newtoniaans zwaartekrachtveld van de aarde:

−→F = −Mm

R2−→er

(R: afstand satelliet tot middelpunt van de aarde; −→er : eenheidsvector radiaal gericht vande aarde weg), vermits ∫

C

−→F −→dP =

∫C

−→F −→T ds

=

∫C

(−Mm

R2−→er)−→T ds = 0

want in elk punt van een cirkel staan −→er en−→T loodrecht op elkaar.

3.3 Praktische rekenvoorbeelden

In deze paragraaf geven we een voorbeeld van de expliciete berekening van de lijnintegraalvan een scalair veld enerzijds, en een vectorveld anderzijds, langs een gegeven gladde boog.

Beschouw de gladde boog C gegeven door de parametervoorstelling

P (t) = [a sin(t), a cos(t), ct]

= a sin(t)−→e1 + a cos(t)−→e2 + ct−→e3

met parameter t ∈]0, 2π[ en a, c zekere reele getallen. Deze gladde boog wordt ook deschroeflijn genoemd. Verifieer dit door een schets te maken. Beschouw verder het scalaireveld

φ(x, y, z) = x2y + z

en het vectorveld

−→F = [z2, x, 1]

= z2−→e1 + x−→e2 +−→e3 .

We willen nu eerst de volgende integraal uitrekenen:∫Cφ ds =

∫ 2π

0

φ (P (t))

∥∥∥∥∥−→dP

dt

∥∥∥∥∥ dt.Het eerste ingredient hiervoor is

φ (P (t)) = (a sin(t))2a cos(t) + ct.

30

We berekenen ook

−→dP

dt= [a cos(t),−a sin(t), c]

waaruit ∥∥∥∥∥−→dP

dt

∥∥∥∥∥ =√

(a cos(t))2 + (−a sin(t))2 + c2 =√a2 + c2.

Merk op dat deze norm in dit specifieke geval constant is. Dit geldt uiteraard niet vooreen willekeurige gladde boog. Onze integraal wordt nu∫

Cφ ds =

∫ 2π

0

((a sin(t))2a cos(t) + ct

)√a2 + c2dt

= 2cπ2√a2 + c2,

waarbij de laatste stap met behulp van Maple kan gevonden worden.We kunnen nu ook de volgende integraal beschouwen:∫

C

−→F −→dP =

∫ 2π

0

−→F (P (t))

−→dP

dtdt.

waarbij we een omloopzin t : 0→ 2π langs C hebben gekozen. Er geldt

−→F (P (t)) = [(ct)2, a sin(t), 1]

en dus−→F (P (t))

−→dP

dt= (ct)2a cos(t)− a2 sin2(t) + c.

Hiermee wordt de integraal∫C

−→F −→dP =

∫ 2π

0

((ct)2a cos(t)− a2 sin2(t) + c

)dt

= 4c2aπ − a2π + 2cπ.

3.4 Lijnintegraal van een conservatief vectorveld

In een open, samenhangend gebied Ω van de driedimensionale ruimte beschouwen we eengladde boog C : P (t), t : a −→ b, positief georienteerd van het beginpunt P (a) naar het

eindpunt P (b), en een conservatief vectorveld−→F =

−→∇φ, met een continu differentieerbaar

scalair potentiaalveld in Ω. Voor de lijnintegraal van−→F langs C komt er, door gebruik te

31

maken van de kettingregel voor functies van meerdere veranderlijken,∫C

−→F −→dP =

∫C

−→∇φ

−→dP

=

∫ b

a

−→∇φ (P (t))

−→dP

dtdt

=

∫ b

a

d

dtφ (P (t)) dt

= φ (P (b))− φ (P (a)) .

Dit is een merkwaardig resultaat: “de lijnintegraal van een conservatief vectorveld langseen gladde boog C is gelijk aan de functiewaarde van zijn potentiaal in het eindpunt vanC min de functiewaarde van zijn potentiaal in het beginpunt van C”. Het merkwaardigeis dus dat deze lijnintegraal niet beınvloed wordt door de boog zelf tussen het begin- eneindpunt. Meteen is de volgende stelling aangetoond.

Stelling 3.4.1.In een open, samenhangend gebied Ω is de lijnintegraal van een conservatief vectorveldtussen elke twee punten van Ω onafhankelijk van de gevolgde weg tussen deze twee punten.

Gevolg 3.4.1.In een open, samenhangend gebied is de lijnintegraal van een conservatief vectorveld langseen gesloten kromme steeds nul.

Bewijs. Neem in het open, samenhangend gebied Ω een gesloten kromme C en daaroptwee punten A en B. Men kan via de kromme C langs twee wegen van A naar B; wenoteren deze wegen C1 en C2, beide positief georienteerd van A naar B. Dan geldt viastelling 3.4.1 dat ∫

C1

−→F −→dP =

∫C2

−→F −→dP

of ∫C1

−→F −→dP −

∫C2

−→F −→dP = 0

of nog ∫C1

−→F −→dP +

∫−C2

−→F −→dP = 0

of tenslotte ∫C

−→F −→dP = 0.

Nog merkwaardiger is dat ook het omgekeerde geldt.

32

Stelling 3.4.2.

Als in een open, samenhangend gebied Ω de lijnintegraal van een continu vectorveld−→F

tussen elke twee punten van Ω onafhankelijk is van het integratiepad tussen deze punten,

dan is−→F conservatief in Ω.

Bewijs. Het bewijs is constructief: we construeren in Ω een continu differentieerbaar

scalair potentiaalveld φ voor−→F = [f1, f2, f3]. We stellen voor elk punt P0 in Ω:

φ(P0) =

∫AP0

−→F −→dP ,

waarbij A een willekeurig vast punt is in Ω en AP0 een willekeurige kromme tussen A enP0, die per onderstelling, de lijnintegraal toch niet beınvloedt. We tonen aan dat in Ω:

∂xφ = f1.

Beschouw het punt Q0 = P0 + h−→ex en neem als integratiepad tussen A en Q0, de boogAP0 gevolgd door het lijnstuk P0Q0 evenwijdig met de X-as. Dan is:

φ(Q0)− φ(P0) =

∫P0Q0

−→F −→dP .

Neem als parametervergelijking voor het lijnstuk P0Q0:

P (t) = P0 + t−→ex , t : 0 −→ h,

zodat ∫P0Q0

−→F −→dP =

∫ h

0

f1 (P0 + t−→ex) dt

= hf1 (P0 + ξ−→ex)

waarbij ξ tussen 0 en h is gelegen.Er komt:

limh→0

1

h(φ(P0 + h−→ex)− φ(P0)) = f1(P0).

Op analoge wijze toont men aan dat voor elk punt P0 in Ω:

∂yφ(P0) = f2(P0)

en∂zφ(P0) = f3(P0).

33

Opmerking 3.4.1.

Indien men weet dat in een open, samenhangend gebied Ω een vectorveld−→F conservatief

is, dan leveren de voorgaande stellingen meteen de constructie van de scalaire potentiaal

van−→F , nl.

φ(P ) =

∫AP

−→F −→dP , P ∈ Ω

met A een willekeurig vast punt in Ω. Verandering van punt A doet de potentiaal veran-deren met een constante.

3.5 De stelling van Green

In een open gebied Ω van de tweedimensionale euclidische ruimte beschouwen we een

continu differentieerbaar vectorveld−→F = [f1, f2]. We beschouwen ook een normaalgebied

G in Ω. Dit is een gebied dat

* compact is;

* projecteerbaar op de X-as:

G = (x, y) : x ∈ Gx, α(x) ≤ y ≤ β(x),

waarbij Gx de projectie van G op de X-as voorstelt;

* projecteerbaar op de Y -as.

Met deze gegevens kunnen we de volgende zeer belangrijke stelling aantonen.

Stelling 3.5.1.

Als−→F continu differentieerbaar is in het open gebied Ω en G is een normaalgebied in Ω,

dan geldt ∫∂G+

−→F −→dP =

∫G

(∂xf2 − ∂yf1) dA

waarbij de rand ∂G van G doorlopen wordt in de positieve zin t.o.v. het binnengebied G.

Bewijs. We projecteren het normaalgebied G op de X-as; de rand ervan omvat een “bo-vendeel”, een “benedendeel” en eventueel een “zijdeel”. Langs de zijdelen is steeds dx = 0want die zijdelen lopen evenwijdig met de Y -as. Vandaar dat, als Gx = [a, b],∫

∂G+

f1 dx =

∫ b

a

f1 (x, α(x)) dx+

∫ a

b

f1 (x, β(x)) dx.

Anderzijds is ∫G

∂yf1 dA =

∫ b

a

dx

∫ β(x)

α(x)

∂yf1 dy

=

∫ b

a

(f1(x, β(x))− f1(x, α(x))) dx,

34

zodat we vaststellen dat ∫∂G+

f1 dx = −∫G

∂yf1 dA.

Op analoge wijze toont men aan dat projectie op de Y -as resulteert in:∫∂G+

f2 dy =

∫G

∂xf2 dA.

Merk tot slot op dat we een sterker resultaat hebben aangetoond dan geformuleerd inde stelling.

Opmerking 3.5.1.De stelling van Green kan meteen worden uitgebreid tot gebieden die de unie zijn vaneen eindig aantal normaalgebieden. De stelling van Green geldt in het algemeen voor eengebied omsloten door een simpele gesloten kromme.

Opmerking 3.5.2.

In het bijzonder geval van het vectorveld−→F = [−y, x] komt er:∫

∂G+

(−ydx+ xdy) = 2

∫G

dA

of dus

oppervlakte G =1

2

∫∂G+

(xdy − ydx).

Pas deze formule nu toe om de oppervlakte te berekenen van het gebied ingesloten tussende x-as en de kromme y = f(x), x ∈]a, b[. Vindt u het verwachte resultaat?

Opmerking 3.5.3.

Gegeven het continu differentieerbaar vectorveld−→F = [f1, f2] in Ω, beschouw het vector-

veld−→F ∗ = [−f2, f1]. De stelling van Green toegepast op het vectorveld

−→F ∗ levert:∫

∂G+

−→F ∗

−→dP =

∫G

(∂xf1 + ∂yf2) dA.

Het rechterlid wordt meteen herschreven als∫G

−→∇ −→F dA.

Voor het linkerlid gaan we als volgt te werk. Veronderstel dat ∂G+ beschreven wordt door

35

de parametervoorstelling P (t), t : a→ b. Dan komt er∫∂G+

−→F ∗

−→dP =

∫ b

a

[−f2(P (t)), f1(P (t))] [dP1

dt,dP2

dt

]dt

=

∫ b

a

[f1(P (t)), f2(P (t))] [dP2

dt,−dP1

dt

]dt

=

∫ b

a

[f1(P (t)), f2(P (t))] −→N u

∥∥∥∥∥−→dP

dt

∥∥∥∥∥ dt=

∫∂G

−→F −→N u ds.

Hierbij is−→N u =

1∥∥∥−→dPdt ∥∥∥[dP2

dt,−dP1

dt

]een eenheidsvector (waarom?), loodrecht op

−→dP

dt

en uitwendig gericht tegenover het gebied G.Aldus hebben we de volgende variant van de stelling van Green bekomen:∫

∂G+

−→F −→N u ds =

∫G

−→∇ −→F dA.

In het bijzonder geval dat−→F een gradient-veld is in Ω en φ een scalaire potentiaal ervan

is in Ω, komt er: ∫∂G+

∂−→Nuφ ds =

∫G

∆φ dA.

Als bovendien−→F divergentievrij is in Ω en dus φ harmonisch, dan geldt:∫

∂G+

∂−→Nuφ ds = 0.

Dit is een zeer belangrijke eigenschap van harmonische functies in het vlak.

36

Hoofdstuk 4

Oppervlakintegralen

4.1 Oppervlakintegraal van een scalair veld

In een open, samenhangend gebied Ω van de driedimensionale euclidische ruimte beschou-wen we enerzijds een continu scalair veld φ en anderzijds een glad oppervlak S : P (u, v),(u, v) ∈ D. Men definieert “de oppervlakintegraal van het scalair veld φ over het gladoppervlak S” als volgt:∫

S

φ dσ :=

∫D

φ (P (u, v))∥∥∥−−→∂uP ×−−→∂vP∥∥∥ du dv.

Een dergelijke definitie is uiteraard pas zinvol als wordt aangetoond dat het rechterlidonafhankelijk is van de keuze van de parametervergelijking van het glad oppervlak S. Ditis inderdaad het geval. Beschouw de continu differentieerbare bijectie tussen D en D:

u = u(ξ, η)v = v(ξ, η)

,

dan is −−→∂uP ×

−−→∂vP = (∂uξ ∂vη − ∂uη ∂vξ)

−−→∂ξP ×

−−→∂ηP

zodat ∫D

φ (P (u, v))∥∥∥−−→∂uP ×−−→∂vP∥∥∥ du dv

=

∫D

φ (P (u(ξ, η), v(ξ, η))) |∂uξ ∂vη − ∂uη ∂vξ|∥∥∥−−→∂ξP ×−−→∂ηP∥∥∥ ∣∣∣∣∂(u, v)

∂(ξ, η)

∣∣∣∣ dξ dη=

∫D

φ(P (ξ, η)

)∥∥∥∥−−→∂ξP ×−−→∂ηP∥∥∥∥ dξ dη,

want wegens de stelling van de inverse functies (of impliciete functies) geldt er dat

|∂uξ ∂vη − ∂uη ∂vξ|∣∣∣∣∂(u, v)

∂(ξ, η)

∣∣∣∣ = 1.

37

Voorbeeld 4.1.1.Als S : P (u, v), (u, v) ∈ D, een glad oppervlak is, dan is, per definitie, de oppervlaktevan S de oppervlakintegraal over S van het constant scalaire veld φ = 1:∫

S

dσ =

∫D

∥∥∥−−→∂uP ×−−→∂vP∥∥∥ du dv.

Voorbeeld 4.1.2.Is ρ(P ) het scalaire veld van de soortelijke massa van een dunne plaat die het glad opper-vlak S vormt, dan is, per definitie, de massa van deze plaat:

M :=

∫S

ρ(P ) dσ.

T.o.v. een orthonormaal assenstelsel worden dan de statische momenten van de plaatt.o.v. de coordinaatvlakken gedefinieerd als:

Myz :=

∫S

ρ(P )x dσ,

Mzx :=

∫S

ρ(P )y dσ,

Mxy :=

∫S

ρ(P )z dσ.

Het massamiddelpunt van de plaat is dan het punt met coordinaten (x, y, z) gegeven door

x :=Myz

M, y :=

Mzx

M, z :=

Mxy

M.

4.2 Oppervlakintegraal van een vectorveld

In een open, samenhangend gebied Ω van de driedimensionale euclidische ruimte be-

schouwen we een continu vectorveld−→F = [f1, f2, f3] en een glad oppervlak S : P (u, v),

(u, v) ∈ D, met eenheidsvector langs de oppervlaknormaal

−→n =−−→∂uP ×

−−→∂vP

∥∥∥−−→∂uP ×−−→∂vP∥∥∥−1Men definieert: ∫

S

−→F −→dσ :=

∫S

−→F −→n dσ.

Maken we gebruik van de definitie van oppervlakintegraal van een scalair veld, dan komter: ∫

S

−→F −→dσ =

∫D

−→F

(−−→∂uP ×

−−→∂vP

)du dv.

38

Het is duidelijk dat het resultaat van deze oppervlakintegraal beınvloed wordt door devolgorde van de parameters (u, v) die de zin van de eenheidsvector volgens de oppervlak-normaal bepaalt. Inderdaad, omkering van u en v resulteert in een tekenverandering vande oppervlakintegraal.

Let erop dat de zopas ingevoerde oppervlakintegraal van een vectorveld scalairwaardigis. Het is niets anders dan de oppervlakintegraal van het scalaire veld dat men bekomt

door van het gegeven vectorveld−→F de component volgens de oppervlaknormaal

−→F −→n te

nemen. De “som” van de producten van deze normale componenten van het vectorveld−→F met de plaatselijke elementaire oppervlakte, kortom de oppervlakintegraal∫

S

−→F −→n dσ

noemt men de flux van het vectorveld−→F door het oppervlak S.

4.3 Praktische rekenvoorbeelden

In deze paragraaf geven we een voorbeeld van de expliciete berekening van de oppervlak-integraal van een scalair veld enerzijds, en een vectorveld anderzijds, langs een gegevenglad oppervlak.

Beschouw het glad oppervlak S gegeven door de parametervoorstelling

P (u, v) = [cosu cos v, sinu cos v, sin v]

met parameters (u, v) ∈]− π, π[×]− π/2, π/2[. Herkent u dit oppervlak?Beschouw verder het scalaire veld

φ(x, y, z) = z

en het vectorveld

−→F = [x, y, z].

We wensen eerst volgende integraal te berekenen:∫S

φ dσ =

∫D

φ (P (u, v))∥∥∥−−→∂uP ×−−→∂vP∥∥∥ du dv.

We vinden achtereenvolgens

−−→∂uP = [− sinu cos v, cosu cos v, 0]−−→∂vP = [− cosu sin v,− sinu sin v, cos v]

−−→∂uP ×

−−→∂vP = [cosu cos2 v, sinu cos2 v, sin v cos v]

39

waaruit ∥∥∥−−→∂uP ×−−→∂vP∥∥∥ = cos v.

Verifieer dat de laatste uitdrukking steeds positief is. Vervolgens hebben we∫S

φ dσ =

∫ π

−π

∫ π/2

−π/2φ (P (u, v))

∥∥∥−−→∂uP ×−−→∂vP∥∥∥ du dv

=

∫ π

−π

∫ π/2

−π/2sin v cos v du dv

=

(∫ π

−πdu

)(∫ π/2

−π/2sin v cos v dv

)= 0.

Bekijken we nu ∫S

−→F −→dσ =

∫D

−→F

(−−→∂uP ×

−−→∂vP

)du dv.

We vinden onmiddellijk dat, op het oppervlak S,

−→F

(−−→∂uP ×

−−→∂vP

)= cos v

waarmee ∫S

−→F −→dσ =

∫ π

−π

∫ π/2

−π/2

−→F

(−−→∂uP ×

−−→∂vP

)du dv

=

(∫ π

−πdu

)(∫ π/2

−π/2cos v dv

)= 4π.

4.4 De divergentiestelling

In een open gebied Ω van de driedimensionale euclidische ruimte beschouwen we een

continu differentieerbaar vectorveld−→G .

We onderstellen ook te beschikken over een zogenaamd normaalgebied V in Ω. Ditbetekent dat V aan de volgende meetkundige condities voldoet:

* V is compact;

* de rand van V , genoteerd ∂V , bestaat uit een eindig aantal gladde oppervlakken;

* V is projecteerbaar op het XY -vlak:

V = (x, y, z) : (x, y) ∈ Vxy, α(x, y) ≤ z ≤ β(x, y)

waarbij Vxy de projectie van V op het XY -vlak voorstelt;

40

* V is eveneens projecteerbaar op het Y Z-vlak en het ZX-vlak.

Met deze gegevens kunnen we een zeer belangrijke stelling formuleren, de divergentie-stelling genaamd:

Stelling 4.4.1.

Als−→G continu differentieerbaar is in het open gebied Ω, en V is een normaalgebied in Ω,

dan is ∫∂V

−→G −→n u dσ =

∫V

−→∇ −→G dV

waarbij −→n u de eenheidsvector langs de oppervlaknormaal aan ∂V die uitwendig t.o.v. Vgericht is, voorstelt.

Bewijs. We zullen een sterker resultaat bewijzen dan strikt noodzakelijk.

Noteren we de componenten van−→G : [g1, g2, g3] en van −→n u : [nu1 , n

u2 , n

u3 ], dan tonen

we aan dat ∫∂V

gjnuj dσ =

∫V

∂xjgj dV, j = 1, 2, 3.

We geven het bewijs voor j = 3.We projecteren V op het XY -vlak, projectie Vxy. Het rechterlid van de te bewijzen

formule wordt dan:∫V

∂z g3 dV =

∫Vxy

dx dy

∫ β(x,y)

α(x,y)

∂z g3 dz

=

∫Vxy

(g3(x, y, β(x, y))− g3(x, y, α(x, y))) dxdy.

De rand van V valt uiteen in een “bovendeel”, een “benedendeel” en mogelijks een“zijdeel”. Om met dit laatste te beginnen, op een dergelijk zijdeel is de oppervlaknormaalhorizontaal, d.w.z. evenwijdig met het XY -vlak. De component nu3 is dus nul op eendergelijk zijdeel en de bijdrage in de oppervlakintegraal is nul.

Een parametervergelijking van het “bovendeel” luidt:

P (x, y) = x−→e1 + y−→e2 + β(x, y)−→e3 , (x, y) ∈ Vxy,

waarbij we de cartesiaanse coordinaten (x, y) als parameters gebruiken. Langs dit boven-deel hebben we achtereenvolgens:

−−→∂xP = [1, 0, ∂xβ];−−→∂yP = [0, 1, ∂yβ];

−→n u =1∥∥∥−−→∂xP ×−−→∂yP∥∥∥ [−∂xβ,−∂yβ, 1] ;

dσ =∥∥∥−−→∂xP ×−−→∂yP∥∥∥ dxdy.

41

Hierbij is ervoor zorg gedragen dat −→n u inderdaad uitwendig aan V is gericht, want dederde component is positief.

De oppervlakintegraal uit de te bewijzen formule, langs het “bovendeel” wordt hier-mee: ∫

Vxy

g3 (x, y, β(x, y)) dxdy.

De bijdrage van het “benedendeel” is, analoog:

−∫Vxy

g3 (x, y, α(x, y)) dxdy.

Opmerking 4.4.1.Stelling 4.4.1 kan worden uitgebreid tot gebieden die de unie zijn van normaalgebiedenwaarbij in elk punt van de gemeenschappelijke grensoppervlakken de respectieve normaal-vectoren tegengesteld zijn, en de normaalvector aan de rand van het gehele gebied continuis.

Opmerking 4.4.2.

Onderstel dat het gegeven vectorveld−→G continu differentieerbaar en divergentievrij is in

een open gebied Ω. Voor elk normaalgebied V , of een unie van normaalgebieden zoalsvermeld in opmerking 4.4.1, geldt dan:∫

∂V

−→G −→n udσ = 0.

Opmerking 4.4.3.

Men voert soms de notatie−→dσu in voor het vectorieel oppervlakelement:

−→dσu = −→n udσ.

De divergentiestelling stelt ons in staat een fysische betekenis te geven voor het begrip“divergentie van een vectorveld” en meteen aan te tonen dat dit begrip intrinsiek is, d.w.z.onafhankelijk van de keuze van een coordinatenstelsel.

Onderstel dat er in het gebied Ω een vloeistofstroom heerst, afkomstig uit een bron diegelegen is in het punt P0 inwendig aan het normaalgebied V . De banen van de vloeistof-deeltjes ontspringen dus in P0 en gaan door de wand ∂V van V naar “buiten” stromen.Als we als vectorveld −→v het veld van de snelheidsvectoren van de vloeistofdeeltjes nemen,dan is in elk punt van Ω, P0 uitgezonderd, −→v rakend aan de vloeistofbanen, m.a.w. devloeistofbanen zijn de veldlijnen van het snelheidsvectorveld −→v .

De hoeveelheid vloeistofmassa die per tijdseenheid door de wand ∂V naar buitenstroomt, is ∫

∂V

ρ−→v −→n u dσ,

42

waarbij ρ de soortelijke massafunctie van de vloeistof voorstelt.Na toepassing van de divergentiestelling en limietovergang waarbij men het gebied V

laat ineenkrimpen tot het punt P0, komt er:(−→∇ (ρ−→v )

)P0

= limV→P0

1

volume V

∫∂V

ρ−→v −→n u dσ.

De divergentie van ρ−→v in het punt P0 is dus de hoeveelheid vloeistofmassa die per tijds-eenheid en per volume-eenheid in de bron wordt geproduceerd.

Algemener is voor een continu differentieerbaar vectorveld−→F :(−→

∇ −→F)P0

= limV→P0

1

volume V

∫∂V

−→F −→n u dσ

zodat de divergentie van−→F in een punt P0 de limiet is van de flux per volume-eenheid,

de zgn. fluxdichtheid. Hiermee is aangetoond dat de divergentie van een vectorveldeen intrinsiek begrip is. Toon dit ook rechtstreeks aan, door over te gaan op een nieuworthonormaal assenstelsel.

Onderstel nu dat de vloeistofbron P0 buiten het gebied V is gelegen. Dan vertrekkende vloeistoflijnen uit P0, dringen V binnen aan de ene kant en stromen V weer buiten aande andere kant. Er komt dus per tijdseenheid evenwel vloeistofmassa binnengestroomd inV als er buitenstroomt uit V . Dus moet in dit geval∫

∂V

ρ−→v −→n u dσ = 0.

Anderzijds bevinden zich geen bronnen binnen V , m.a.w. in elk punt van V is−→∇ (ρ−→v ) = 0,

waaruit ∫V

−→∇ (ρ−→v ) dV = 0.

In het geval het gebied V geen vloeistofbronnen bevat, zijn beide leden van de formuleuit de divergentiestelling nul.

Op basis van voorgaande beschouwingen ligt het voor de hand om een vectorveld−→F

waarvoor−→∇−→F = 0 in een zeker gebied, in dit gebied “bronvrij” te noemen. In hoofdstuk

2 hebben we gesproken van een “divergentievrij” vectorveld. De begrippen divergentievrijen bronvrij voor een vectorveld in een zeker gebied vallen dus samen.

4.5 Aanvullende formules op de divergentiestelling

Onderstel dat in het open gebied Ω het vectorveld−→G een gradient veld is. Dan bestaat

er een continu differentieerbaar scalair potentiaalveld φ waarvoor

−→G =

−→∇φ

43

in Ω. Er geldt dus ook in Ω: −→∇ −→G = ∆φ.

Als V een normaalgebied is in Ω en −→n u de eenheidsvector langs de oppervlaknormaal aan∂V uitwendig gericht aan V , dan is ook langs ∂V :

−→G −→n u =

−→∇φ −→n u = ∂−→n uφ

met in het laatste lid de richtingsafgeleide van φ naar −→n u. De divergentiestelling levertdan de volgende formule: ∫

∂V

∂−→n uφ dσ =

∫V

∆φ dV.

Is het vectorveld−→G niet alleen een gradient-veld, maar is het ook nog divergentievrij, dan

is de scalaire potentiaal harmonisch in het beschouwde gebied, en er komt:∫∂V

∂−→n uφ dσ = 0.

Dit is een zeer belangrijke eigenschap van harmonische scalaire velden.

Onderstel nu dat in Ω het vectorveld−→G de vorm heeft:

−→G = χ

−→∇φ,

waarbij φ en χ continu differentieerbare scalaire velden in Ω zijn. Er geldt in Ω:

−→∇ −→G =

−→∇χ

−→∇φ+ χ∆φ.

Uiteraard is ook: −→∇

(φ−→∇χ)

=−→∇φ

−→∇χ+ φ∆χ,

en na aftrekking:−→∇

(φ−→∇χ− χ

−→∇φ)

= φ∆χ− χ∆φ.

Met de klassieke onderstellingen uit de divergentiestelling, volgt hieruit:∫∂V

(φ ∂−→n uχ− χ ∂−→n uφ) dσ =

∫V

(φ∆χ− χ∆φ) dV.

In het bijzonder geval dat de beide scalaire velden φ en χ harmonisch zijn in Ω, komt er:∫∂V

(φ∂−→n uχ− χ∂−→n uφ) dσ = 0,

wat opnieuw een zeer belangrijke eigenschap van harmonische functies is.

44

4.6 Stelling van Stokes

In een open Ω van de driedimensionale euclidische ruimte beschouwen we een continu

differentieerbaar vectorveld−→F . Verder onderstellen we een glad oppervlak S dat projec-

teerbaar is op een van de coordinaatvlakken, bijvoorbeeld:

S : P (x, y), (x, y) ∈ D

metP (x, y) = x−→e1 + y−→e2 + α(x, y)−→e3

waarbij, in het XY -vlak, ∂D een simpele gesloten kromme is.We kunnen nu volgende zeer mooie stelling bewijzen:

Stelling 4.6.1.

Als−→F continu differentieerbaar is in een open Ω en S is een glad oppervlak dat bevat is

in Ω en dat projecteerbaar is op een van de coordinaatvlakken, dan geldt:∫∂S

−→F −→dP =

∫S

(−→∇ ×

−→F) −→n k dσ

met −→n k de eenheidsvector langs de oppervlaknormaal aan S, zodanig gericht dat de zinvan −→n k overeenstemt met de doorloopszin van ∂S volgens de kurkentrekkerregel.

Bewijs. Veronderstel dat het glad oppervlak S projecteerbaar is op het XY -vlak. Dan is:

S : P (x, y) = [x, y, α(x, y)] , (x, y) ∈ D.

De rand van D, ∂D, is een simpele gesloten kromme met parametervergelijking:

∂D : Q(t) = [x(t), y(t), 0] , t : a −→ b

waarbij we onderstellen dat de omloopszin op ∂D geınduceerd door t : a −→ b, depositieve zin is op ∂D t.o.v. het binnengebied D.

Dan beschrijft de parametervergelijking

P (Q(t)) = [x(t), y(t), α (x(t), y(t))] , t : a −→ b

de rand ∂S van S, waarbij de orientatie van ∂S rechtstreeks volgt uit deze op ∂D.We beschouwen nu het linkerlid van de te bewijzen formule. Deze lijnintegraal wordt:∫ b

a

[f1 (x(t), y(t), α (x(t), y(t)))x′(t) + f2 (x(t), y(t), α (x(t), y(t))) y′(t)

+ f3 (x(t), y(t), α (x(t), y(t)))dα

dt

]dt

45

wat ook gelijk is aan:∫∂D

f1 (x, y, α(x, y)) dx+ f2 (x, y, α(x, y)) dy

+f3 (x, y, α(x, y)) ∂xα dx+ f3 (x, y, α(x, y)) ∂yα dy.

Beschouw nu het rechterlid van de formule. We hebben:−−→∂xP = [1, 0, ∂xα] ;−−→∂yP = [0, 1, ∂yα] ;

−→n =1∥∥∥−−→∂xP ×−−→∂yP∥∥∥ [−∂xα, −∂yα, 1] ;

dσ =∥∥∥−−→∂xP ×−−→∂yP∥∥∥ dxdy

zodat de oppervlakintegraal wordt:∫D

(−→∇ ×

−→F)z=α(x,y)

[−∂xα, −∂yα, 1] dxdy.

Merk op dat −→n inderdaad gericht is overeenkomstig de kurkentrekkerregel toegepast op∂S.

We doen nu beroep op de stelling van Green (stelling 3.5.1). Daartoe berekenen we:

∂x [f2 + f3 ∂yα]− ∂y [f1 + f3 ∂xα]

= ∂1f2 + ∂3f2 . ∂xα + ∂1f3∂yα + ∂3f3 . ∂xα . ∂yα + f3 ∂2xyα

−[∂2f1 + ∂3f1 . ∂yα + ∂2f3 . ∂xα + ∂3f3 . ∂yα . ∂xα + f3 ∂

2yxα]

= (∂1f2 − ∂2f1) + (∂2f3 − ∂3f2) (−∂xα) + (∂3f1 − ∂1f3) (−∂yα)

=(−→∇ ×

−→F)z=α(x,y)

[−∂xα, −∂yα, 1] ,

waarmee de formule bewezen is.

Opmerking 4.6.1.De stelling van Stokes kan meteen uitgebreid worden tot een unie van projecteerbareoppervlakken voor zover de oppervlaknormalen derwijze kunnen worden georienteerd datde gemeenschappelijke randen telkens tweemaal doorlopen worden in tegengestelde zinnen.

Opmerking 4.6.2.

Als het vectorveld−→F rotatievrij is in het open gebied Ω dan geldt voor elk projecteerbaar

oppervlak S in Ω dat ∫∂S

−→F −→dP = 0.

Dit resultaat is in overeenstemming met gevolg 3.4.1.

46

Opmerking 4.6.3.De stelling van Stokes betekent ook dat de oppervlakintegraal∫

S

(−→∇ ×

−→F) −→n k dσ

niet afhangt van de vorm van het oppervlak, maar enkel van de rand.Voor twee gladde oppervlakken S1 en S2 met dezelfde rand C geldt dus:∫

S1

(−→∇ ×

−→F) −→n k dσ =

∫S2

(−→∇ ×

−→F) −→n k dσ.

Als S1 en S2 samen de rand vormen van een lichaam G, dan komt er:∫∂G

(−→∇ ×

−→F) −→n u dσ = ±

∫S1

(−→∇ ×

−→F) −→n k dσ ∓

∫S2

(−→∇ ×

−→F) −→n k dσ

= 0

wat in overeenstemming is met de divergentiestelling gelet op−→∇

(−→∇ ×

−→F)

= 0 in Ω.

Opmerking 4.6.4.

Men gebruikt soms de notatie−→dσk voor het vectorieel oppervlakelement

−→dσk = −→n k dσ.

47

Deel II

Differentiaalvergelijkingen

48

Hoofdstuk 5

Complexe getallen

In dit korte hoofdstuk herhalen we de opbouw van de complexe getallen, om uiteindelijkde formule van Euler af te leiden. Deze zullen we later gebruiken om bepaalde standaard-oplossingen van lineaire gewone differentiaalvergelijkingen op een alternatieve manier tekunnen schrijven.

5.1 Basisdefinities

Een complex getal λ ∈ C heeft de vorm

λ = a+ ib, a, b ∈ R.

Hierbij zijn

a = Rλb = =λ

het reeel en imaginair deel.De optelling van twee complexe getallen is als volgt gedefinieerd:

(a+ ib) + (c+ id) = (a+ c) + i(b+ d).

De vermenigvulding volgt door toepassing van de klassieke distributionele wetten, waarbijwe gebruik maken van de basisidenteit

i2 = −1

Er volgt:(a+ ib)(c+ id) = (ac− bd) + i(ad+ bc).

Optelling en vermenigvuldiging voldoen aan alle voorwaarden om een veld te definieren.Met andere woorden, C is een veld. Dit betekent in het bijzonder dat elk complex getalinverteerbaar is, met

(a+ ib)−1 =a− iba2 + b2

.

49

Inderdaad, er geldt

(a+ ib)−1(a+ ib) =(a− ib)(a+ ib)

a2 + b2=a2 + b2

a2 + b2= 1.

Hierbij hebben we meteen een belangrijke operatie op complexe getallen ingevoerd, decomplexe toevoeging, gedefinieerd als

λ = a− ib, als λ = a+ ib.

5.2 Polaire vorm en formule van Euler

Aangezien er een bijectief verband bestaat tussen complexe getallen λ = a+ ib en koppelsreele getallen (a, b), kunnen we een complex getal grafisch voorstellen als een punt inhet vlak R2. De meetkundige betekenis van de complexe toevoeging is dan die van eenspiegeling tegenover de X-as.

We definieren nu nog de modulus van λ ∈ C als

|λ| =√

(λλ),

of concreet|a+ ib| =

√a2 + b2 ≥ 0.

Dit is dus de afstand van het punt λ = (a, b) tot de oorspong. Let op, verwar de modulusniet met de absolute waarde van een reeel getal!

Bewijs zelf als oefening dat de modulus multiplicatief is. Dit wil zeggen dat

|λµ| = |λ||µ|, ∀λ, µ ∈ C.

De grafische interpretatie van complexe getallen leidt tot een nieuwe voorstellingswijze,de zogenaamde polaire vorm van een complex getal. Inderdaad, een complex getal λ =a+ ib is uniek gekarakteriseerd door zijn modulus r = |λ| ∈ R+ en de poolhoek θ ∈ [0, 2π[als λ 6= 0. De poolhoek definieren we als de hoek ingesloten door λ en de positieve X-as.

We concluderen

λ = a+ ib

= r cos θ + ir sin θ

of

a = r cos θ

b = r sin θ.

50

Laten we nu het product van twee complexe getallen

λ = r(cosα + i sinα)

µ = s(cos β + i sin β)

uitdrukken met behulp van hun polaire vorm. We vinden

λµ = rs (cosα cosα− sinα sin β + i(cosα sin β + sinα cos β))

= rs ((cos (α + β) + i sin (α + β))

of met andere woorden we moeten de moduli vermenigvuldigen en de poolhoeken bijelkaar optellen. Maak op basis van deze interpretatie nu zelf een schets van het productvan twee complexe getallen in het vlak.

De polaire vorm vereenvoudigt het werken met complexe getallen, zeker wanneer hetde vermenigvuldiging betreft, enorm. Het kan echter nog beter. Hiervoor bewijzen weeerst het verband tussen de exponentiele functie en goniometrische functies.

Stelling 5.2.1 (Formule van Euler). Voor elk reeel getal x geldt

eix = cosx+ i sinx.

Bewijs. Beschouw de functie

f(x) = e−ix(cosx+ i sinx),

dan volstaat het te bewijzen dat f(x) = 1.We berekenen de afgeleide van f(x):

f ′(x) = −ie−ix(cosx+ i sinx) + e−ix(− sinx+ i cosx) = 0

waaruit we mogen besluiten dat f(x) inderdaad constant is. Deze constante kunnen webepalen door f(0) uit te rekenen:

f(0 = e−i0(cos 0 + i sin 0) = 1,

waarmee het bewijs compleet is

Opmerking 5.2.1. Er bestaan verschillende alternatieve bewijzen van dit resultaat. Zokan men bijvoorbeeld elke optredende functie vervangen door haar Taylorreeks, wat ook deidentiteit oplevert.

We kunnen nu de polaire vorm van λ herschrijven als

λ = r(cos θ + i sin θ) = reiθ,

wat bijvoorbeeld de vermenigvuldiging van λ = reiθ en µ = seiψ reduceert tot

λµ = rsei(θ+ψ)

wegens de eigenschappen van de exponentiele functie.Teken nu zelf een goniometrische cirkel en duid de punten aan die overeenstemmen

met eiπ/n voor n = 1, 2, 3, 4 en 6.

51

5.3 Verdere eigenschappen

Uiteix = cosx+ i sinx

ene−ix = cosx− i sinx

vinden we dat

cosx =eix + e−ix

2

sinx =eix − e−ix

2i.

Laten we tot slot nog de beroemde formule van De Moivre neerschrijven. Deze formulezegt, voor n ∈ N, dat

cosnx+ i sinnx = (cosx+ i sinx)n

wat onmiddellijk volgt uit de formule van Euler of via een inductiebewijsje.Uit het gelijkstellen van reeel, resp. imaginair deel van linker- en rechterlid in de

formule van De Moivre volgen belangrijke goniometrische identiteiten. Inderdaad, neembijvoorbeeld n = 2. Dan volgt uit De Moivre

cos 2x = cos2 x− sin2 x

sin 2x = 2 sin x cosx.

Stel zelf de analoge formules op voor n = 3 en n = 4.

5.4 Hoofdstelling van de algebra

Een van de belangrijkste redenen voor het invoeren van complexe getallen is de toepassingbij het oplossen van veeltermvergelijkingen. Dit resultaat wordt in de volksmond vaak dehoofdstelling van de algebra genoemd, en kan als volgt geformuleerd worden.

Stelling 5.4.1. Elke veelterm van graad n in de complexe veranderlijke z

P (z) = anzn + an−1z

n−1 + . . .+ a1z + a0

waarbij aj ∈ C en an 6= 0, kan ontbonden worden in precies n factoren als

P (z) = an(z − b1)(z − b2) . . . (z − bn).

Hierbij zijn de complexe getallen bj de nulpunten of wortels van P (z).

52

Een eenvoudig voorbeeld van een veelterm die niet in factoren kan ontbonden wordenover de reele getallen, maar wel over de complexe getallen is

z2 + 1 = (z − i)(z + i).

Met behulp van deze stelling kan u nu voor elke vierkantsvergelijking twee oplossingenzoeken. Beschouw daarvoor volgende vergelijking

az2 + bz + c = 0

met a, b en c reele getallen. De oplossingen van deze vergelijking worden bepaald door(het teken van) de discriminant

D = b2 − 4ac.

Onderstel nu dat D < 0 en schrijf de twee nulpunten van de vierkantvergelijking neer alscomplexe getallen. Wat merkt u op als u die twee nulpunten meetkundig interpreteert?

53

Hoofdstuk 6

Lineaire differentiaalvergelijkingen

6.1 Inleiding

Een (gewone) differentiaalvergelijking [(G)DV] is een vergelijking waarin de “onbekende”een functie van een reele variabele, traditioneel genoteerd y(x), is; in een DV komen naastde onbekende functie y(x) en eventueel andere gekende functies van de variabele x, ookeen aantal afgeleiden van y voor, wat meteen de naamgeving van dit soort vergelijkingenverklaart. De orde van een DV is de hoogste orde van afleiding van y die optreedt in deDV; de orde is minimaal 1. De meest algemene vorm van een DV van de nde orde is dan:

F(x, y, y′, ..., y(n)

)= 0.

Een DV oplossen is het bepalen, in een vooropgegeven of zelf gekozen interval, van allemogelijke functies y(x) die aan de DV voldoen, d.w.z. die na substitutie in de DV dezeomzetten in een identiteit. Een DV bezit in een bepaald interval een “oneindig” aantaloplossingen, dit “oneindig” zal naderhand worden gespecifieerd.

Ter illustratie: alle functies van de vorm

y(x) = C1 cosx+ C2 sinx,

waarin C1 en C2 willekeurige constante zijn, voldoen aan de DV:

y′′ + y = 0

in het interval ]−∞,+∞[. Deze DV van de tweede orde bezit dus in ]−∞,+∞[ oneindigveel oplossingen die alle bekomen worden door aan de arbitraire constanten C1 en C2, losvan elkaar, numerieke waarden toe te kennen.

Een tweede voorbeeld ter illustratie. Beschouw de DV van de tweede orde in hetinterval ]0,+∞[:

x2y′′ = y′2.

Alle functies van de vorm:

y(x) =1

2x2 + C1,

54

C1 arbitraire constante, zijn oplossing in ]0,+∞[ (controleer dit!).Maar ook alle functies van de vorm

y(x) =1

C2

(x− 1

C2

ln

∣∣∣∣x+1

C2

∣∣∣∣)+ C3,

C2 arbitraire constante die niet nul is, C3 arbitraire constante, zijn oplossing in ]0,+∞[(controleer!).En uiteindelijk zijn ook alle functies van de vorm:

y(x) = C4,

C4 arbitraire constante, oplossingen in ]0,+∞[.Het onderscheid tussen de oplossingverzamelingen van de beide voorbeeld-DVn is op-

vallend, hoewel ze beide van de dezelfde orde, nl. 2, zijn.De eenvoudige “vorm” van de oplossingverzameling van de eerste DV ligt aan het feit

dat deze DV, in tegenstelling tot de tweede, een zogenaamde lineaire DV is. Dit is preciesde grote opdeling die kan worden gemaakt van alle mogelijke DVn: lineair versus niet-lineair. De lineaire DVn geven een oplossingverzameling die sterk gestructureerd is; deniet-lineaire DVn hebben, algemeen gesproken, een avontuurlijke oplossingverzameling.Dit hoofdstuk handelt enkel over lineaire DV.

6.2 Lineaire DV

De standaardgedaante van een lineaire DV van de n-de orde in een interval ]a, b[ is

y(n) + p1(x)y(n−1) + ...+ pn(x)y = g(x)

waarbij de functies g, p1, ..., pn continu in ]a, b[ worden ondersteld. Merk op dat in dezestandaardgedaante de coefficient van de hoogste orde afgeleide van de onbekende functiey(x) op 1 is gesteld.

Noteren we afleiding naar x als D en voeren we de afleidingsoperator L(D) in d.m.v.

L(D) = Dn + p1(x)Dn−1 + ...+ pn−1(x)D + pn(x)

dan kan de lineaire DV eenvoudig geschreven worden als:

L(D)y = g(x) in ]a, b[

Door het rechterlid van deze vergelijking nul te stellen, bekomt men de zgn. gereduceerdevergelijking

L(D)y = 0 in ]a, b[.

Ter onderscheid spreekt men van de complete vergelijking als men de originele DV bedoelt.

55

De lineaire DV ontleent haar naam aan het feit dat de afleidingsoperator L(D) eenlineaire operator is. Er geldt immers voor functies f en g, die voldoende afleidbaar in]a, b[ zijn, en constanten α en β dat:

L(D)(αf + βg) = αL(D)f + βL(D)g.

Hieruit volgt meteen een eerste, fundamentele, eigenschap van lineaire DVn:

Eigenschap 2.1Elke lineaire combinatie van oplossingen van de gereduceerde DV van een lineaire DV,

is weerom een oplossing van de gereduceerde DV in hetzelfde interval.

Voorbeeld 6.2.1.We hernemen het eerste voorbeeld uit de inleiding.De DV

y′′ + y = 0 in ]−∞,+∞[

is een lineaire DV van de tweede orde; het rechterlid is nul, zodat de DV samenvalt metde gereduceerde vergelijking. De corresponderende lineaire afleidingsoperator is

L(D) = D2 + 1;

de coefficienten hierin zijn constant, dus continue functies in ]−∞,+∞[.We stellen vast dat y1 = cosx en y2 = sin x beide oplossingen zijn van deze DV in]−∞,+∞[. Meteen is ook elke functie van de vorm:

y = C1y1 + C2y2

= C1 cosx+ C2 sinx,

waarin C1 en C2 constanten, een oplossing van de gegeven DV in ] −∞,+∞[. Wat nuniet betekent dat we alle oplossingen hebben gevonden: in dit stadium zou de gegevenDV nog andere oplossingen kunnen bezitten in ]−∞,+∞[.

Eigenschap 2.1 kan als volgt worden herformuleerd:

Eigenschap 2.1’De oplossingruimte, i.e. de oplossingverzameling uitgerust met de bewerkingen: optel-

ling van functies en vermenigvuldiging van functies met scalairen, van een gereduceerdelineaire DV, is een lineaire ruimte (ook vectorruimte genoemd).

Men zal dus alle oplossingen van een gereduceerde lineaire DV kennen, van zodra menbeschikt over een basis voor de lineaire oplossinguimte.

Stelling 6.2.1.De lineaire oplossingruimte van een gereduceerde lineaire DV van de n-de orde, is n-dimensionaal, i.e. deze oplossingruimte wordt voortgebracht door n lineair onafhankelijke

56

basisoplossingen.

Als y1, ..., yn n lineair onafhankelijke oplossingen zijn van de gereduceerde lineaire DV

van de nde ordeL(D)y = 0, x ∈]a, b[,

dan noemt men het voorschrift waarbij elke oplossing wordt uitgedrukt als een lineairecombinatie van de basisoplossingen:

y = C1y1 + ...+ Cnyn, x ∈]a, b[,

de zorgenaamde algemene oplossing van de DV. Elke specifieke oplossing wordt dan beko-men door aan de arbitraire constanten een specifieke numerieke waarde toe te kennen.

Vraag: wanneer weet men of n oplossingen van een gereduceerde lineaire DV van den-de orde, een basis voor de oplossingruimte vormen, m.a.w. of ze lineair onafhankelijkzijn? Antwoord:

Stelling 6.2.2.Als de wronskiaanse determinant

W (y1, ..., yn) := det

∣∣∣∣∣∣∣∣∣y1 y2 · · · yny′1 y′2 · · · y′n...

......

y(n−1)1 y

(n−1)2 · · · y

(n−1)n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣verschillend van nul is in ten minste 1 punt van ]a, b[, dan zijn de oplossingen y1, ..., ynvan de gereduceerde lineaire DV

L(D)y = 0, x ∈]a, b[

lineair onafhankelijk.

Voorbeeld 6.2.2.We hernemen voorbeeld 2.1:

y′′ + y = 0 in ]−∞,+∞[.

De functies y1(x) = cos x en y2(x) = sin x zijn oplossingen van deze gereduceerde lineaireDV in ]−∞,+∞[. De wronskiaan ervan is

W (y1, y2) = det

∣∣∣∣ cosx sinx− sinx cosx

∣∣∣∣ = 1,

en dus niet nul in ] − ∞,+∞[. De oplossingen y1 en y2 zijn dus lineair onafhankelijke

oplossingen in ] −∞,+∞[ en aangezien de DV van de 2de orde is, vormen zij een basisvoor de oplossingruimte. De algemene oplossing van deze DV luidt dus

y(x) = C1 cosx+ C2 sinx, x ∈]−∞,+∞[.

57

Vraag: hoe bepaalt men nu de basisoplossingen van een gegeven gereduceerde lineaireDV? Het klassieke antwoord luidt: u gebruikt een symbolische wiskunde-pakket zoalsMaple, ofwel slaat u een naslagwerk erop na; indien u deze klus met de pen-en-papier-methode wil klaren dan wordt uw actieterrein beknot tot de lineaire DV van de eersteorde, de lineaire DVn met constante coefficienten van modeste orde (al eens een algemenederdegraadsvergelijking met pen-en-papier opgelost?) en de lineaire DVn die kunnenworden getransformeerd tot de voormelde.

Lineaire DV van de 1ste orde:

y′ + p1(x)y = 0 in ]a, b[.

Een basisoplossing luidt:

y(x) = exp (−P1(x)) met P ′1 = p1 in ]a, b[.

Lineaire DV met constante coefficienten:

L(D) = Dn + a1Dn−1 + ...+ an−1D + an

waarbij a1, a2, ..., an ∈ R of C.Beschouw de geassocieerde veelterm in z en ontbind deze in factoren:

L(z) = (z − α1)m1 ...(z − αp)mp

waarbij de som van de multipliciteiten:

m1 +m2 + ...+mp = n.

Met elke wortel αj met multipliciteit mj, j = 1, ..., p, corresponderen mj basisoplossingengegeven door

exp(αjx)xk, k = 0, 1, ...,mj − 1

(controleer dit!).Merk op dat als een wortel α van L(z) complex is, en de coefficienten a1, a2, ., , , an reeel,

dan ook de complex toegevoegde α een wortel is. De corresponderende basisoplossingenkunnen dan ook geschreven worden met behulp van de circulaire functies cos en sin.

Voorbeeld 6.2.3.

y′′ + y′ + y = 0 in ]−∞,+∞[

De geassocieerde veelterm in z, meestal karakteristieke veelterm genoemd, luidt:

z2 + z + 1

58

of, ontbonden in factoren over C:(z +

1

2+ i

√3

2

)(z +

1

2− i√

3

2

).

Basisoplossingen in ]−∞,+∞[ zijn dus

exp

(−1

2x− i

√3

2x

)en exp

(−1

2x+ i

√3

2x

).

Merk op dat de coefficienten in de karakteristieke veelterm reeel zijn en dat de com-plexe wortels dus elkaars toegevoegde zijn. De vermelde basisoplossingen kunnen wordengecombineerd tot de alternatieve basis in ]−∞,+∞[:

exp

(−1

2x

)cos

√3

2x en exp

(−1

2x

)sin

√3

2x.

Lineaire DV van Euler:

xny(n) + a1xn−1y(n−1) + ...+ an−1xy

′ + any = 0.

De standaardgedaante ervan is

L(D) = Dn +a1xDn−1 + ...+

an−1xn−1

D +anxn

zodat de eulerse DV kan worden opgelost hetzij in ] −∞, 0[, hetzij in ]0,+∞[. Door desubstitutie

t = lnx, x ∈]0,+∞[

oft = ln(−x), x ∈]−∞, 0[

wordt de eulerse DV getransformeerd in een lineaire DV met constante coefficienten,waarvan de basisoplossingen producten van exponentiele functies van t met machten vant zijn. De basisoplossingen van de eulerse DV zullen dus producten van machten van xmet machten van ln |x| met eventueel cos en sin van ln |x|.

Voorbeeld 6.2.4.

x2y′′ + xy′ + y = 0 in ]0,+∞[

We voeren de substitutie door: t = lnx, x ∈]0,+∞[; dan is x = exp(t) en

• y (x(t)) = φ(t)

• dy

dx.dx

dt= φ′(t) of x

dy

dx= φ′(t)

59

•(dy

dx+ x

d2y

dx2

)dx

dt= φ′′(t) of x2

d2y

dx2+ x

dy

dx= φ′′(t).

De getransformeerde DV luidt:

φ′′ + φ = 0, t ∈]−∞,+∞[

met basisoplossingen: cos t en sin t in ]−∞,+∞[. De corresponderende basisoplossingenvoor de gegeven eulerse DV zijn dus: cos(lnx) en sin(lnx) in ]0,+∞[.

6.3 Lineaire DV: de complete vergelijking

Beschouw een complete lineaire DV:

L(D)y = g(x), x ∈]a, b[.

Stel dat men beschikt over een specifieke - men zegt doorgaans particuliere - oplossingy(x) ervan:

L(D)y(x) ≡ g(x), x ∈]a, b[.

Voor elke oplossing y van de complete vergelijking geldt dan in ]a, b[:

L(D)(y − y) = L(D)y − L(D)y

= 0

m.a.w. y − y is oplossing van de gereduceerde lineaire DV. Hieruit volgt dat in ]a, b[:

“de algemene oplossing van de complete lineaire DV gelijk is aan de algemene op-lossing van de gereduceerde DV plus een particuliere oplossing van de completeDV”.

Voorbeeld 6.3.1.Beschouw de lineaire DV

y′′ + 4y = 3 cos 2x, x ∈]−∞,+∞[.

De algemene oplossing van de gereduceerde DV luidt:

y = C1 cos 2x+ C2 sin 2x, x ∈]−∞,+∞[

(controleer dit!).Een particuliere oplossing van de complete DV luidt:

y(x) =3

4x sin 2x, x ∈]−∞,+∞[

(controleer dit!).De algemene oplossing van de gegeven DV luidt dus:

y(x) = C1 cos 2x+ C2 sin 2x+3

4x sin 2x, x ∈]−∞,+∞[.

60

De vraag is nu uiteraard hoe men een particuliere oplossing van een complete lineaireDV vindt. Hier brengt het symbolische wiskunde-pakket hulp, naslagwerken niet. Erbestaat een klassieke pen-en-papier-methode, de lagrange-methode, die tegenwoordig enkeleen theoretisch belang heeft. We zetten deze methode uiteen aan de hand van een tweedeorde lineaire DV:

y′′ + p1y′ + p2y = g(x), x ∈]a, b[.

We onderstellen dat de algemene oplossing van de gereduceerde DV reeds is bekomen:

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x), x ∈]a, b[.

Hierin worden nu de arbitraire constanten C1 en C2 vervangen door functies:

y(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x);

deze functies u1 en u2 moeten nu bepaald worden zodanig dat y een oplossing wordt vande complete DV. Substitutie van de vooropgestelde gedaante voor y(x) in de completeDV levert:

• voor de eerste afgeleide:

y′ = u′1y1 + u1y′1 + u′2y2 + u2y

′2;

stellen we:u′1y1 + u′2y2 = 0 (∗)

dan herleidt de eerste afgeleide zich tot:

y′ = u1y′1 + u2y

′2.

• voor de tweede afgeleide:

y′′ = u′1y′1 + u′2y

′2 + u1y

′′1 + u2y

′′2

• voor de complete DV:

u1 (y′′1 + p1y′1 + p2y1) + u2 (y′′2 + p1y

′2 + p2y2) + u′1y

′1 + u′2y

′2 = g(x), x ∈]a, b[;

aangezien y1 en y2 oplossingen zijn van de gereduceerde vergelijking, herleidt ditzich tot

u′1y′1 + u′2y

′2 = g(x). (∗∗)

De vergelijkingen (*) en (**) vormen een stelsel van twee lineaire vergelijkingen metonbekenden u′1 en u′2; de oplossing hiervan luidt:

u′1(x) = − y2(x)g(x)

W (y1(x), y2(x)), u′2(x) =

y1(x)g(x)

W (y1(x), y2(x))

mede in acht genomen dat de determinant van het stelsel de wronskiaanse determinantvan de basisoplossingen y1 en y2 is, welke verschillend van nul is in ]a, b[. De functies u1(x)en u2(x) zijn dan primitieven in ]a, b[ van de gekende functies in de rechterleden van debovenstaande uitdrukkingen.

61

Voorbeeld 6.3.2.Beschouw de lineaire DV:

y′′ + y = g(x), x ∈]−∞,+∞[

waarbij de functie g in het rechterlid continu in ]−∞,+∞[ wordt ondersteld.De algemene oplossing van de gereduceerde vergelijking luidt:

y(x) = C1 cosx+ C2 sinx, x ∈]−∞,+∞[.

Een particuliere oplossing van de complete vergelijking zal van de vorm zijn (lagrangeme-thode):

y(x) = u1(x) cosx+ u2(x) sinx, x ∈]−∞,+∞[.

Het hierboven geschetste algoritme volgend, komen we tot:

u′1(x) = − sinx g(x), u′2(x) = cos x g(x).

De rechterleden zijn primitiveerbaar in ]−∞,+∞[. Schrijven we deze primitieven als:

u1(x) = −∫ x

0

sin t g(t) dt, u2(x) =

∫ x

0

cos t g(t) dt, x ∈]−∞,+∞[,

dan luidt de algemene oplossing van de complete DV:

y(x) = cosx

(C1 −

∫ x

0

sin t g(t) dt

)+ sinx

(C2 +

∫ x

0

cos t g(t) dt

), x ∈]−∞,+∞[

= C1 cosx+ C2 sinx+

∫ x

0

(sinx cos t− cosx sin t) g(t) dt, x ∈]−∞,+∞[

= C1 cosx+ C2 sinx+

∫ x

0

sin(x− t)g(t) dt, x ∈]−∞,+∞[

Deze vorm van de particuliere oplossing is bijzonder en belangrijk.

6.4 Beginvoorwaardenproblemen

6.4.1 Inleiding

De grote kracht van differentiaalvergelijkingen is hun vermogen tot modellering van be-paalde reele fysische, chemische, biologische,... processen, waarbij het treffend is dat zeeruiteenlopende dergelijke processen uiteindelijk gevat worden onder eenzelfde type DV.Een modellering is hoe dan ook een benadering van de werkelijkheid die des te scherperis naarmate de voorspellingen die aan de hand van de oplossingen van de DVn wordengemaakt, overeenstemmen met de experimenten. Vaak is het zo dat in eerste orde een li-neaire benadering van het probleem wordt gemaakt, waardoor een model met een lineaire

62

DV ontstaat. Als we verder denken in het kader van een lineaire DV als model voor eenfysisch probleem, dan is het meteen duidelijk dat dit model onvolledig is; immers van eenfysisch proces verwacht men uiteraard een unieke oplossing. Als men bvb. een metalenstaaf opwarmt dan stelt men vast dat de warmte zich in die staaf verspreidt op een enkelemanier als de omgevingsfactoren dezelfde blijven. Een lineaire DV van de n-de orde heeftdaarentegen oneindig veel oplossingen, de algemene oplossing bevat n arbitraire constan-ten. Om tot een unieke oplossing van de lineaire DV te komen, moeten deze arbitraireconstanten specifiek worden vastgelegd. Dit vereist extra voorwaarden die aan de DVdienen toegevoegd, en wel n voorwaarden om de n arbitraire constanten in de algemeneoplossing van een n-de orde lineaire DV vast te leggen. Als deze n voorwaarden hetvooropgeven is van de functiewaarden van de onbekende functie en haar afgeleiden tot enmet de orde (n− 1), in steeds hetzelfde punt van het oplossingsinterval, dan spreekt menvan een beginvoorwaardenprobleem. Daarbij denkt men aan de tijd als de onafhankelijkevariabele en de kennis van de vermelde functiewaarden op een zgn. begintijdstip.

Stelling 6.4.1.Het beginvoorwaardenprobleem bestaande uit de n-de orde lineaire DV:

L(D)y = g(t), t ∈]a, b[

gekoppeld aan de beginvoorwaardeny(t0) = y0y′(t0) = y1

...y(n−1)(t0) = yn−1

, t0 ∈]a, b[

waarbij y0, y1, ..., yn−1 gegeven getallen zijn, bezit een unieke oplossing in ]a, b[. Hierbij isstilzwijgend ondersteld dat de optredende functies in L(D) en de functie g in het rechterlid,continu in ]a, b[ zijn.

BewijsEr bestaan in ]a, b[ n lineair onafhankelijke basisoplossingen van de gereduceerde verge-lijking: y1(t), y2(t), ..., yn(t), waarmee de algemene oplossing van de complete DV wordtopgebouwd

y(t) = C1y1(t) + ...+ Cnyn(t) + y(t). t ∈]a, b[;

hierbij is y(t) een particuliere oplossing van de complete DV. Drukken we uit dat degezochte oplossing van het beginvoorwaardenprobleem aan de beginvoorwaarden moetvoldoen, dan komt er:

y0 = C1y1(t0) + ... + Cnyn(t0) + y(t0)

y1 = C1y′1(t0) + ... + Cny

′n(t0) + y′(t0)

...yn−1 = C1y

(n−1)(t0) + ... + Cny(n−1)(t0) + y(n−1)(t0).

63

Dit lineair stelsel in de onbekenden (C1, ..., Cn) bezit een unieke oplossing als de determi-nant van het stelsel verschillend is van nul. De determinant van dit stelsel is precies defunctiewaarde van de wronskiaan in het punt t0 ∈]a, b[. Aangezien (y1, ..., yn) een basis isvoor de oplossingruimte van de gereduceerde DV is de wronskiaan ervan niet nul in ]a, b[.Er bestaan dus unieke (C∗1 , ..., C

∗n) die aan het bovenstaande stelsel voldoen. De functie

y∗ gegeven door:y∗(t) = C∗1y1(t) + ...+ C∗nyn(t) + y(t)

is dan de unieke oplossing van het gegeven beginvoorwaardenprobleem in ]a, b[.

6.4.2 Het malthusiaans populatiemodel

De Britse econoom Thomas Malthus poneerde in 1798 dat een biologische populatie toe-neemt op deze wijze dat “op elk ogenblik de toename van de populatie per tijdseenheidevenredig is met de grootte van de populatie op dat ogenblik”Stelt men y(t) gelijk aan de populatie op het ogenblik t, dan komt de “wet van Malthus”neer op:

y′(t) = ry(t),

waarbij r een evenredigheidsfactor. Is r > 0 dan neemt de populatie toe; is r < 0 danneemt de populatie af; is r = 0 dan blijft de populatie constant.Deze lineaire DV van de eerste orde, gekoppeld aan een enkele beginvoorwaarde, nl.de populatiegrootte op een zeker (begin-)tijdstip t0, levert het volgende zeer simpele,populatiemodel:

y′(t) = ry(t), t ∈ [t0,+∞]y(t0) = y0

waarvan de unieke oplossing luidt:

y(t) = y0 exp (r(t− t0)) , t ∈ [t0,+∞[.

Deze exponentiele groei (r > 0) van een populatie is enkel aanvaardbaar over korte tijd-spannes; onderlinge competitie voor voedsel, e.d. zullen de groei temperen. Het modelvan Verhulst (1837) houdt met dat laatste rekening:

y(t) = εy(t)− σy2(t), t ∈ [t0,+∞[y(t0) = y0

De optredende DV is niet langer lineair.Het malthusmodel is ook toepasselijk op het proces van radioactief verval: het aantal

atomen dat desintegreert per tijdseenheid is op elk moment evenredig met het aantalaanwezige atomen; dit resulteert in het model

y′(t) = −λy(t), t ∈ [t0,+∞[y(t0) = y0

64

waarbij y(t) het aantal radioactieve atomen op het tijdstip t voorstelt en de evenredig-heidsfactor λ > 0. De halfwaardentijd τ is de tijd nodig om de helft van de hoeveelheidradioactieve atomen te laten desintegreren; men vindt (controleer dit!)

τ =1

λln 2.

6.4.3 De harmonische oscillator

De wet van Hooke stelt dat het uiteinde van een uitgerekte veer wordt teruggeroepen meteen kracht die evenredig is met de uitrekking; de evenredigheidsfacor k noemt men deveerconstante (k > 0).

Onderstel dat een veer die verticaal hangt, wordt uitgerekt over een afstand l dooreen massa m onder invloed van de zwaartekracht. Aangezien de massa in rust verkeert,neutraliseren de veerkracht en de zwaartekracht elkaar:

mg = kl.

Noemen we u(t) de uitrekking van de veer op tijdstip t t.o.v. de evenwichtstoestand zoalshierboven beschreven (met u(t) > 0 voor een positie onder de evenwichtstoestand), dangeldt op elk ogenblik t de wet van Newton:

m u(t) = f(t), t ∈ [0,+∞[

waarbij f(t) de som is van alle krachten die op het massadeeltje inwerken. De componentenvan deze kracht zijn:

* het gewicht van het massadeeltje: mg;

* de terugroepende veerkracht: −k (u(t) + l);

* de wrijving, die evenredig is met de snelheid en tegengesteld gericht aan de beweging:−Cu(t), C de zgn. dempingsconstante (C > 0);

* eventueel een uitwendige kracht F (t) die op het massadeeltje inwerkt.

Dit leidt tot de DV:mu+ Cu+ ku = F (t), t ∈ [0,+∞[

waarin we meteen een lineaire DV van de tweede orde met constante coeefficienten her-kennen. De uiteindelijke beweging van het massadeeltje zal mede bepaald worden doorde begincondities:

u(0) = u0u(0) = u1

i.e. de beginpositie en de beginsnelheid. In dit verband betekent het begrip “initielerust” dat op het begintijdstip t = 0 het deeltje zich in de evenwichtsstand bevindt en in

65

rust verkeert, dwz. dat de beginsnelheid nul is; initiele rust wordt dus gemodelleerd dooru(0) = 0, u(0) = 0.

We bespreken enkele gevallen.

1ste geval: geen wrijving, geen uitwendige krachtHet model luidt hier:

u + ω20 u = 0, t ∈ [0,+∞[

u(0) = u0u(0) = u1

waarbij ω20 =

k

mis gesteld; ω0 noemt men de eigenfrequentie van het veersysteem.

De unieke oplossing is:

u(t) = u0 cosω0t+u1ω0

sinω0t, t ∈ [0,+∞[.

Merk op dat in geval van initiele rust, er helemaal geen beweging is, uiteraard.Stelt men nog

u0 = A cosϕ, u1 = ω0A sinϕ

dan is de oplossing te schrijven als

u(t) = A cos(ω0t− ϕ), t ∈ [0,+∞[.

Men noemt A de amplitude en ϕ de fase(hoek) van de immer oscillerende beweging diebegrensd blijft.

2de geval: geen wrijving, een oscillerende uitwendige krachtHet model luidt hier:

u+ ω20 u = a sin ρt, t ∈ [0,+∞[

u(0) = 0u(0) = 0

mits de veronderstelling van initiele rust. De unieke oplossing is (controleer!)

u(t) =a

ω20 − ρ2

(sin ρt− ρ

ω0

sinω0t

), t ∈ [0,+∞[,

eveneens een immer oscillerende beweging die begrensd blijft. Hierbij is stilzwijgendondersteld dat de frequentie ρ van de oscillerende uitwendige kracht verschilt van deeigenfrequentie ω0 van het veersysteem.

In het geval de beide vermelde frequenties gelijk zijn, is het model, bij initiele rust,gegeven door:

u+ ω20 u = a sinω0t, t ∈ [0,+∞[

u(0) = 0u = 0

66

waarvan de unieke oplossing luidt:

u(t) =1

2

a

ω20

(sinω0t− ω0t cosω0t) , t ∈ [0,+∞[.

De beweging is wel oscillerend maar de amplitude neemt onbeperkt toe (resonantie!).

3de geval: wel wrijving, geen uitwendige krachtHet model luidt hier:

u+ 2ρ u+ ω20 u = 0, t ∈ [0,+∞[

u(0) = u0u(0) = u1

waarbij we ρ =C

2mhebben gesteld.

Indien ρ > ω0 is de beweging exponentieel gedempt (overdemping). Dit is ook hetgeval indien ρ = ω0 (kritische demping). Indien ρ < ω0 dan is de beweging oscillerendgedempt. (Ga dit expliciet na!)

4de geval: wel wrijving, oscillerende uitwendige kracht, initiele rust.Het model luidt hier:

u+ 2ρ u+ ω20u = a cosωt, t ∈ [0,+∞[

u(0) = 0u(0) = 0

Uit het voorgaande geval weten we dat de algemene oplossing van de gereduceerde DVgedempt is; dit gedeelte van de oplossing zal dus na verloop van voldoende tijd uitgestor-ven zijn, m.a.w. de beweging zal dan bepaald worden door de particuliere oplossing vande complete DV. Deze wordt gegeven door:

u(t) =a

m

1√(ω2

0 − ω2)2 + 4ρ2ω2cos(ωt− δ)

waarbij de fasehoek δ is ingevoerd via:

cos δ =ω20 − ω2√

(ω20 − ω2)2 + 4ρ2ω2

, sin δ =2ρω√

(ω20 − ω2)2 + 4ρ2ω2

.

De uiteindelijke beweging - na voldoend grote tijd - loopt dus een fase δ achter op depulserende uitwendige kracht.

Voor zeer kleine frequentie ω van de uitwendige kracht is δ zeer klein, m.a.w. de respon-sie van het veersysteem is bijna in fase met de excitatie. Voor ω = ω0, de eigenfrequentievan het veersysteem, loopt de responsie een fase 90 achter op de excitatie.

67

Voor een grote frequentie ω van de excitatie wordt de fase π en is de responsie tegen-gesteld gericht t.o.v. de excitatie.

De amplitude van de uiteindelijke beweging vertoont een maximum voor

ω2max = ω2

0 − 2ρ2.

• Indien ω20 < 2ρ2 dan is er geen maximale amplitude.

• Indien ω20 = 2ρ2 dan ligt de maximale amplitude bij ω = 0.

• Indien ω20 > 2ρ2 dan vertoont de amplitude een maximum voor een excitatiefre-

quentie kleiner dan de eigenfrequentie.Merk op dat de amplitude oneindig groot wordt voor ρ = 0 (geen wrijving) enω = ω0 (resonantie).

68

Hoofdstuk 7

Partiele differentiaalvergelijkingen

7.1 Inleiding

In veel belangrijke fysische problemen duiken functies op die afhankelijk zijn van verschei-dene grootheden, zodat de corresponderende wiskundige modellen doorgaans zogenaamdepartiele differentiaalvergelijkingen zullen bevatten.

In dit hoofdstuk beschouwen we de drie belangrijkste prototypes van dergelijke verge-lijkingen: de warmtevergelijking, de golfvergelijking en de vergelijking van Laplace.

We zullen hier niet ingaan op de voorwaarden waaronder een dergelijk probleem eenunieke oplossing bezit. We zullen enkel laten zien hoe men met een specifieke oplos-singsmethode, namelijk de methode van scheiding der veranderlijken, die oplossing kanvinden als een (reeks)som. Hierbij zullen we veelvuldig geconfronteerd worden met reek-sen van cosinussen en sinussen, zodat we dankbaar gebruik zullen maken van de theorieder fourierreeksen, die we derhalve als eerste onderwerp in dit hoofdstuk behandelen.

7.2 Fourierreeksen

We schetsen kort het schema van de zogenaamde fouriertransformatie, waaraan we defourierinversie toevoegen; deze inversie stelt ons in staat uit het fourierbeeld of spectrumde originele functie terug op te bouwen:

• f(t), t ∈ R

=⇒ f(t) exp(−iωt), t ∈ R, ω ∈ R

=⇒ f(ω) =

∫ ∞−∞

f(t) exp(−iωt)dt, ω ∈ R

69

• f(ω), ω ∈ R

=⇒ f(ω) exp(itω), ω ∈ R, t ∈ R

=⇒ 1

2(f(t+ 0) + f(t− 0)) =

1

2πlim

R→+∞

∫ R

−Rf(ω) exp(itω)dω, t ∈ R

Hierbij denkt men vaak aan een signaal f(t), met t de tijdsvariabele, in de tijdsruimte,

en aan het frequentiespectrum van dit signaal, f(ω), met ω de frequentievariabele, in defrequentieruimte.

We zullen nu een discrete versie van deze fouriertransformatie invoeren, waarbij devariabele ω discrete waarden zal aannemen, namelijk ω = k ∈ Z. De rechtstreekse trans-formatie zal ons dan, via een integratie over de tijd t, de amplitudes van de basistrillingenmet frequenties k ∈ Z opleveren. De inverse transformatie zal dan uit de kennis van debasisfrequenties k ∈ Z met bijhorende amplitudes, het oorspronkelijk signaal reconstrue-ren. Hieruit volgt dat het oorspronkelijk signaal periodiek moet zijn met periode 2π. Hetcorresponderend schema wordt dus

• f(t), periode 2π, t ∈ R

=⇒ f(t) exp(−ikt), t ∈ R, k ∈ Z

=⇒ ck =1

2π

∫ π

−πf(t) exp(−ikt)dt, k ∈ Z

• ck, k ∈ Z

=⇒ ck exp(ikt), k ∈ Z, t ∈ R

=⇒ 1

2(f(t+ 0) + f(t− 0)) =

+∞∑k=−∞

ck exp(ikt), t ∈ R

Merk hierbij op dat bij de inverse transformatie de integratie over de discrete frequentieva-riabele k een reeks wordt. Merk ook op dat t.o.v. het schema van de fouriertransformatiede factor 1/(2π) hier optreedt bij de rechtstreekse transformatie.

Definitie 7.2.1. Als de functie f(t), t ∈ R in het tijddomein periodiek is met periode 2πen voor k ∈ Z de integralen

ck =1

2π

∫ π

−πf(t) exp(−ikt) dt

bestaan (eventueel in uitgebreide zin), dan noemt men de tweezijdige numerieke rij (ck :k ∈ Z) het fourierspectrum van f , of ook nog de fouriercoefficienten van f .

70

Merk op dat, zelfs voor reeelwaardige f(t), de fouriercoefficienten complex zijn. Vooreen reeelwaardige functie f(t) gaat men van de complexe fouriercoefficienten vaak over opde reele fouriercoefficienten. Dit gaat als volgt. Merk op dat voor elke k ∈ Z

ck =1

2π

∫ π

−πf(t)(cos kt− i sin kt) dt,

en

c−k =1

2π

∫ π

−πf(t)(cos kt+ i sin kt) dt

zodat enerzijds

ck + c−k =1

π

∫ π

−πf(t) cos kt dt

en anderzijds1

i(−ck + c−k) =

1

π

∫ π

−πf(t) sin kt dt.

Definitie 7.2.2. Men noemt

a0 = 2c0

ak = ck + c−k

bk =1

i(−ck + c−k) = i(ck − c−k)

de reele fouriercoefficienten van f(t), waarbij k ∈ N.

Voorbeeld 7.2.1. Beschouw de functie f(t) = cos t, die duidelijk periodiek is met periode

2π. Bepalen we de fouriercoefficienten, dan vinden we c0 = 0, c1 = c−1 =1

2, en alle andere

coefficienten nul. Het complexe fourierspectrum van cos t is dus(..., 0, ..., 0, c−1 =

1

2, c0 = 0, c1 =

1

2, 0, ..., 0, ...

).

Het reele fourierspectrum bestaat uit a1 = 1 en alle andere reele fouriercoefficienten nul.Dit resultaat was uiteraard voorspelbaar: het gegeven signaal is een basistrilling waarinenkel de frequenties k = 1 en k = −1 voorkomen.

Voorbeeld 7.2.2. Beschouw de functie f(t) = sin t, periodiek met periode 2π. Hetcomplexe fourierspectrum is:(

..., 0, ..., c−1 =i

2, c0 = 0, c1 = − i

2, ..., 0, ...

)

(controleer dit); het reele fourierspectrum is dan: b1 =1

i

(i

2+i

2

)= 1, en alle andere

reele fouriercoefficienten nul.

71

Voorbeeld 7.2.3. Beschouw de functie f met periode 2π die in [−π, π] wordt gegevendoor:

f(t) :=

−π − t, −π ≤ t ≤ −π

2

t, −π2≤ t ≤ π

2

π − t, π2≤ t ≤ π

.

Het reele fourierspectrum ervan is:

ak = 0, k = 0, 1, 2, 3...

terwijl b2m = 0, m ∈ N

b2m−1 =4(−1)m−1

π(2m− 1)2, m ∈ N

Controleer dit en schrijf het complexe spectrum op.

Ga na op bovenstaande voorbeelden en bewijs als oefening dat de volgende eigenschapgeldig is.

Propositie 7.2.1. Als f oneven is, dan is in het complexe fourierspectrum c−k = −ck, k ∈Z; als daarentegen f even is, dan is c−k = ck.Aldus geldt in het reele fourierspectrum voor oneven f dat ak = 0, k = 0, 1, 2, . . ., terwijlvoor even f geldt dat bk = 0, k = 1, 2, . . ..

De punstgewijze convergentie van de resulterende reeks wordt besproken in de volgendestelling.

Stelling 7.2.1. Als de functie f(t), periodiek met periode 2π, stuksgewijs glad is enfourierspectrum (ck : k ∈ Z) bezit, dan is

1

2(f(t+ 0) + f(t− 0)) =

+∞∑k=−∞

ck exp(ikt), t ∈ R

met puntsgewijze convergentie in R.

Merk meteen op dat de reeks in het rechterlid van bovenstaande formule, puntsgewijsin R convergeert naar f(t) in deze punten t waar f continu is.

De reeks in het rechterlid noemt men traditioneel de (complexe) fourierreeks van f .Vaak maakt men gebruik van de reele fourierreeks, gebaseerd op het reele fourierspectrum.

72

De omzetting verloopt als volgt:

1

2(f(t+ 0) + f(t− 0)) =

+∞∑k=−∞

ck exp(ikt)

=+∞∑

k=−∞

ck(cos kt+ i sin kt)

=−1∑

k=−∞

ck(cos kt+ i sin kt) + c0 ++∞∑k=1

ck(cos kt+ i sin kt)

= c0 ++∞∑k=1

(c−k + ck) cos kt++∞∑k=1

i(ck − c−k) sin kt

=1

2a0 +

+∞∑k=1

ak cos kt++∞∑k=1

bk sin kt.

Hieruit blijkt dat een periodiek signaal met periode 2π kan worden samengesteld uitbasistrillingen cos kt, sin kt : k ∈ N ∪ 0 met frequenties k die alle veelvouden zijnvan 1, de zgn. grondfrequentie. De trillingen met frequentie k, k 6= 1 noemt men deboventonen of harmonieken. Het zijn de boventonen en dus de fouriercoefficienten die de“klankkleur” of het “timbre” van de “toon” f(t) bepalen.

De amplitudes en fases van de basistrillingen van een reeelwaardig periodiek signaalf met periode 2π worden bepaald door het definieren van constanten Ak > 0 en φk,k = 0, 1, 2, ..., waarvoor geldt dat:

12a0 = A0 cosφ0

ak = Ak cosφk, k ∈ Nbk = Ak sinφk, k ∈ N

met bijvoorbeeld 0 ≤ φk < 2π, k = 0, 1, 2, .... Dan is

1

2(f(t+ 0) + f(t− 0)) = A0 cosφ0 +

+∞∑k=1

Ak cosφk cos kt+ Ak sinφk sin kt

=+∞∑k=0

Ak cos(kt− φk).

De constante Ak noemt men de amplitude van de basistrilling met frequentie k, de con-stante φk is de bijhorende fase(hoek).

De fourierreeks van een periodieke functie met periode 2π kan worden beschouwd als deontwikkeling van deze functie ten opzichte van een basis met oneindig veel basisvectoren,namelijk de basis exp(ikt) : k ∈ Z of de basis 1, cosnt, sinnt : n ∈ N. Deze basissen

73

zijn zelfs orthogonaal voor een specifiek inproduct. Er geldt immers voor k, l ∈ Z en k 6= l∫ π

−πexp(ikt) exp(ilt) dt =

∫ π

−πexp (i(k − l)t) dt = 0

of anderzijds: ∫ π

−πcos kt cos lt dt = 0,∫ π

−πcos kt sin lt dt = 0,∫ π

−πsin kt sin lt dt = 0.

Deze orthogonale bases kunnen worden georthonormeerd tot(φk(t) =

1√2π

exp(ikt) : k ∈ Z)

enerzijds, en (1√2π,cos t√π,sin t√π, ...,

cos kt√π,sin kt√π, ...

)anderzijds.

Voor een periodiek signaal f(t), met periode 2π, wordt de energie gegeven door

1

2π

∫ π

−π|f(t)|2 dt.

Op formele wijze berekenen we nu deze energie als functie van het complexe fourierspec-trum:

1

2π

∫ π

−π|f(t)|2 dt =

1

2π

∫ π

−πf(t)f(t) dt

=1

2π

∫ π

−π

(+∞∑

k=−∞

ck exp(ikt)

)(+∞∑l=−∞

cl exp(−ilt)

)dt

=1

2π

+∞∑k=−∞

+∞∑l=−∞

ckcl

∫ π

−πexp(ikt) exp(−ilt)dt

=1

2π

+∞∑k=−∞

ckck2π

=+∞∑

k=−∞

|ck|2.

74

De formule voor de energie:

1

2π

∫ π

−π|f(t)|2 dt =

+∞∑k=−∞

|ck|2

die we hier enkel formeel hebben afgeleid, noemt men de stelling van Parseval.Onder redelijk ruime voorwaarden mag een fourierreeks termsgewijs worden afgeleid.

De volgende stelling is gemakkelijk te bewijzen (doe dit als oefening).

Stelling 7.2.2. Als de periodieke functie f met periode 2π continu is in R met eenafgeleide f ′ die stuksgewijs glad is, dan convergeert de termsgewijs afgeleide fourierreeksvan f naar f ′ in elk punt waar f ′ continu is.

Voorbeeld 7.2.4. Beschouw de periodieke functie f met periode 2π die in ] − π, π[gegeven wordt door:

f(t) := t, −π < t < π.

Deze functie f is oneven; we verwachten dat in het reele fourierspectrum alle fouriercoefficientenak, k = 0, 1, 2, ... nul zijn. We vinden voor het reele fourierspectrum

ak = 0, k = 0, 1, 2, ...bk = (−1)k−1 2

k, k ∈ N

De functie f voldoet aan de voorwaarden van Stelling 7.2.1. Er geldt dus

1

2(f(t+ 0) + f(t− 0)) =

+∞∑k=1

2(−1)k−1

ksin kt, t ∈ R

en in het bijzonder

t =+∞∑k=1

2(−1)k−1

ksin kt, −π < t < π.

Leiden we deze fourierreeks termsgewijze af, dan ontstaat de reeks

2+∞∑k=1

(−1)k−1 cos kt,

die voor alle t ∈ R divergeert! Dit is echter niet in strijd met de gegeven Stelling 7.2.2,want de functie f voldoet niet aan de voorwaarden ervan.

Wat betreft de termsgewijze integratie van een fourierreeks geldt de volgende, merk-waardige, stelling.

Stelling 7.2.3. Als de periodieke functie f met periode 2π stuksgewijs continu is en hetreele fourierspectrum (a0, ak, bk : k ∈ Z) bezit, dan geldt voor alle x0 en x in R:∫ x

x0

f(t)dt =1

2a0

∫ x

x0

dt++∞∑k=1

ak

∫ x

x0

cos kt dt+ bk

∫ x

x0

sin kt dt.

75

Merk dus op dat, onder de vermelde voorwaarden, het onnodig is te weten of de fou-rierreeks van f al dan niet convergeert naar f , om tot de convergentie van de termsgewijsgeıntegreerde fourierreeks te mogen besluiten!

Tot nu toe werd voor de convergentie van de fourierreeks naar de originele periodiekefunctie enkel gewag gemaakt van puntsgewijze convergentie. Voor uniforme convergen-tie in een bepaald interval zullen de voorwaarden, die aan de periodieke functie wordenopgelegd, zeker verstrengd moeten worden, want een uniform convergente reeks van ex-ponentiele of circulaire functies convergeert, in het aangegeven gebied, naar een continuefunctie (waarom?).

Stelling 7.2.4. Als de periodieke functie f met periode 2π continu is in R met afgeleidef ′ die stuksgewijs continu is, dan convergeert haar fourierreeks absoluut en uniform in Rnaar f .

In het bewijs van deze stelling wordt aangetoond dat voor elke partieelsom

Sn(t) =1

2a0 +

n∑k=1

ak cos kt+ bk sin kt

geldt dat voor alle t ∈ R:

|f(t)− Sn(t)| ≤ C√n

waarbij

C2 =1

π

∫ π

−π|f ′(t)|2 dt.

Hoe meer afgeleiden van f continu in R zijn, hoe sneller de partieelsommen naar f zul-len convergeren. Dit blijkt uit de volgende stelling, die een veralgemening is van hetvoorgaande resultaat.

Stelling 7.2.5. Als de periodieke functie f met periode 2π continu is in R en de afgeleidenf ′, f ′′, ..., f (m−1) zijn continu in R terwijl f (m) stuksgewijs continu is, dan geldt voor elkepartieelsom Sn(t):

|f(t)− Sn(t)| ≤ C

nm−12

waarbij

C2 =1

(2m− 1)π

∫ π

−π

∣∣f (m)(t)∣∣2 dt.

Van zodra de periodieke functie f een discontinuıteit vertoont, verloopt de convergentievan haar fourierreeks traag en in de omgeving van het sprongpunt is de convergentie slecht(het zogenaamde gibbsverschijnsel). Er bestaan technieken om de convergentie van defourierreeks te verbeteren, maar zulks valt buiten het bestek van deze inleiding.

76

Tot slot nog een opmerking over de periode. Tot nu toe hebben we steeds de standaard-periode 2π ondersteld. Voor een periodieke functie f met periode 2L worden de analogeresultaten en formules bekomen met behulp van de substitutie

g(t) = f

(L

πt

)waarbij g dan periode 2π vertoont.

7.3 De warmtevergelijking

7.3.1 Modelprobleem

We beschouwen een probleem van warmtegeleiding voor een rechte staaf met lengte L enuniforme doorsnede, vervaardigd uit homogeen materiaal, en waarvan de mantel geısoleerdis.

We kiezen de X-as langsheen de as van de staaf, zodanig dat de uiteinden ervan cor-responderen met x = 0 en x = L. Onderstellen we de afmetingen van de dwarsdoorsnedevoldoende klein, dan zal de temperatuursfunctie u enkel afhangen van x en van de tijd t.

De (tijdsafhankelijke) temperatuur u in de staaf wordt bepaald middels een partieledifferentiaalvergelijking van de vorm

α2uxx = ut, (x, t) ∈]0, L[×]0,+∞[, (7.3.1)

warmtevergelijking genoemd, waarin α is een positieve materiaalconstante is. We veron-derstellen dat de uiteinden x = 0 en x = L van de staaf op een constante temperatuurworden gehouden, die we zonder aan de algemeenheid te schaden gelijk kunnen stellenaan nul. Aldus wordt het vraagstuk aangevuld met twee zogenaamde randcondities

limx→0+

u(x, t) = 0, en limx→L−

u(x, t) = 0, t ∈]0,+∞[. (7.3.2)

Tot slot nemen we aan dat de initiele temperatuursdistributie in de staaf gekend is, watleidt tot de volgende beginconditie

limt→0+

u(x, t) = f(x), x ∈]0, L[, (7.3.3)

met f een gegeven functie.De te zoeken functie u beschrijft op elk tijdstip t > 0 de temperatuur in elk punt van

de staaf.Het geheel van de vergelijkingen (7.3.1)–(7.3.3) kan beschouwd worden als een zoge-

naamd randvoorwaardenprobleem in een half-oneindige strip in het xt-vlak.We zullen hier niet ingaan op de voorwaarden waaronder een dergelijk probleem een

unieke oplossing bezit. We zullen enkel laten zien hoe men met de methode van scheidingder veranderlijken en met behulp van fourierreeksen die oplossing kan vinden.

77

Aan de basis van onze oplossingsmethode ligt het volgende fundamentele principe,gekend als het superpositiebeginsel, dat eigen is aan alle lineaire en homogene problemen.Het kwam dan ook reeds aan bod bij de studie van gewone differentiaalvergelijkingen inde cursus Wiskundige Analyse I.

Propositie 7.3.1. Beschouw het vraagstuk, gevormd door (7.3.1)–(7.3.2). Indien defuncties u1, u2, ..., uN oplossingen zijn van dit probleem, dan is s1u1 + s2u2 + ... + sNuNer eveneens een oplossing van, onverschillig de constanten s1, s2, ..., sN .

Voor de andere problemen die we in dit hoofdstuk nog zullen behandelen, zal dit prin-cipe eveneens gelden, mutatis mutandis. Wel moeten we het gekende superpositiebeginsel,dat hierboven werd geformuleerd, uitbreiden tot oneindige sommen (reeksen), zie verder.

De oplossingsmethode zal telkens bestaan uit twee strikt te onderscheiden stappen.

• In een eerste stap gaat men op zoek naar oplossingen van de lineaire en homogenevoorwaarden. Dit zal hier telkens gebeuren door scheiding van de veranderlijken.

• In de tweede stap worden lineaire combinaties gemaakt van de eerder gevondenoplossingen om te pogen aldus ook aan de andere vergelijkingen van het probleemte voldoen. Het is hier dat men wordt geconfronteerd met de moeilijkheid dat erdoorgaans oneindig veel oplossingen uit de eerste stap nodig zijn. Precies op ditmoment zal men de theorie van de fourierreeksen kunnen gebruiken.

Bemerk dat de nuloplossing steeds voldoet aan alle lineaire en homogene vergelijkingen.Deze is natuurlijk niet langer bruikbaar in de tweede stap en zal dus in hetgeen volgtzonder verdere commentaar weggelaten worden.

Stap 1We proberen een oplossing te vinden van (7.3.1-7.3.2), die van de volgende vorm is:

u(x, t) = X(x)T (t).

Het is deze vooropgestelde gedaante voor de oplossingen die leidt tot de benaming schei-ding der veranderlijken. Substitutie van deze gedaante in (7.3.1) leidt dadelijk tot

X ′′

X=

T ′

α2T.

Een dergelijke gelijkheid kan maar gelden voor alle (x, t) uit het domein, indien beideleden gelijk zijn aan een en dezelfde constante σ, de zogenaamde scheidingsconstante.

Merk op dat het niet vanzelfsprekend is dat we enkel bruikbare oplossingen zullenvinden voor σ reeel. De –uiteraard reele– uiteindelijke oplossing u(x, t) kan immers ookontstaan door combinatie van complexwaardige functies. Daarom zullen we bij dit eersteprobleem expliciet aantonen dat σ wel degelijk reeel is.

De onbekende functies X en T zijn aldus oplossing van het stelsel:X ′′ − σX = 0T ′ − σα2T = 0.

(7.3.4)

78

Verder moet X voldoen aan de vergelijkingen die volgen uit (7.3.2), namelijkX(0+) = 0X(L−) = 0.

(7.3.5)

De bespreking valt uiteen in twee stukken: σ = 0 en σ 6= 0.Eerste mogelijkheid: σ = 0

Dan is klaarblijkelijkX(x) = k1 + k2x,

waaruit dadelijk, wegens (7.3.5)k1 = k2 = 0.

Tweede mogelijkheid: σ ∈ C\0We kunnen steeds σ = −λ2 stellen, met λ ∈ C\0, wat de notaties vereenvoudigt. Dealgemene oplossing voor X, ook voor complexe λ, kan geschreven worden als

X(x) = k1 sinλx+ k2 cosλx.

Gebruik makend van de randcondities vinden we achtereenvolgens

k2 = 0 en k1 sinλL = 0.

Zoals bekend worden de complexe nulpunten van sin z gegeven door

z = nπ, ∀n ∈ Z.

Aldus is aangetoond dat λ en dus ook σ reeel is. Verder vinden we meteen oneindig veelwaarden voor λ, namelijk

λn =nπ

L, ∀n ∈ N\0.

(waarom kunnen we n tot N\0 beperken?). De corresponderende waarden van σ, waar-voor er bijgevolg niet-triviale oplossingen bestaan, noemen we de eigenwaarden van hetbeschouwde randwaardenprobleem.

Op een arbitraire multiplicatieve constante na volgen hieruit oneindig veel oplossingenXn(x):

Xn(x) = sinnπ

Lx,

die we de eigenfuncties noemen. Substitutie van de gevonden waarden voor λ in de ver-gelijking voor T levert, eveneens op een arbitraire constante na, oneindig veel oplossingenTn(t):

Tn(t) = exp

(−(nπα)2

t

L2

).

We vinden derhalve dat alle functies van de vorm

un(x, t) = Xn(x)Tn(t) = exp

(−(nπα)2

t

L2

)sin

nπ

Lx, ∀n ∈ N\0,

79

voldoen aan de vergelijkingen (7.3.1)–(7.3.2). Ze zijn bepaald op een arbitraire constantefactor na; we noemen ze de fundamentele oplossingen van het probleem.

Stap 2We gaan nu over tot superpositie van de in stap 1 gevonden fundamentele oplossingen un.We weten dat elke lineaire combinatie van een eindig aantal functies uit de verzamelingun |n ∈ N\0 nog steeds oplossing van (7.3.1)-(7.3.2) is.

Er moet echter nog voldaan worden aan de niet-homogene conditie (7.3.3). Het is dui-delijk dat dit met behulp van een eindig aantal fundamentele oplossingen doorgaans nietzal kunnen. Daarom zullen we ons superpositiebeginsel op heuristische wijze uitbreidentot oneindige sommen. We onderstellen dus dat ook

u(x, t) =∞∑n=1

snun(x, t) =∞∑n=1

sn exp

(−(nπα)2

t

L2

)sin

nπ

Lx, (7.3.6)

een oplossing van (7.3.1)–(7.3.3) is. De constanten sn dienen dan bepaald te wordenzodanig dat

∞∑n=1

sn sinnπ

Lx = f(x), ∀x ∈]0, L[.

Uit de theorie van fourierreeksen weten we dat dit laatste kan, indien men f stuksgewijzeglad onderstelt in [0, L]. In de eventuele discontuıteitspunten van f wordt de reekssom

dan uiteraard1

2[f(x+) + f(x−)].

Samenvattend dient men dus voor sn de fouriercoefficienten van de sinusreeks van fte kiezen:

sn =2

L

∫ L

0

f(x) sinnπ

Lx dx, ∀n ∈ N\0.

De resulterende reekssomfunctie u(x, t), (7.3.6) noemen we een formele oplossing van hetvolledige probleem (7.3.1)–(7.3.3). De benaming formeel betekent dat naar de vorm allesin orde is: elke term van de som voldoet aan de lineaire en homogene vergelijkingen; steltmen t = 0 dan bekomt men f(x) zodat ook de niet-homogene beginconditie vervuld lijkt.

Er dient dus nog nagegaan dat (7.3.6) wel degelijk oplossing is van het gestelde pro-bleem. Men kan aantonen dat in de beschouwde half-oneindige strip in het xt-vlak degevonden reeks convergeert naar een continue reekssomfunctie, waarvan de partiele afgelei-den uxx en ut kunnen bepaald worden door termsgewijze afleiding. Eenvoudige substitutiein de originele vergelijkingen leert ons dan dat u(x, t) inderdaad een oplossing is.

Het strenge bewijs van de convergentie van u(x, t) is niet eenvoudig en valt buiten hetbestek van deze cursus. We volstaan met de opmerking dat het grotendeels steunt opde aanwezigheid van een dalende exponentiele functie in elke term, die de convergentieverzekert.

Verder merken we nog op dat u(x, t) continu is, zelfs als f(x) sprongpunten vertoont.Dit correspondeert met het feit dat warmtegeleiding een diffusief proces is, dat eventuelediscontinuıteiten in het initieel temperatuursprofiel uitvlakt.

80

Om een en ander te concretiseren, beschouwen we het voorbeeld van een gietijzerenstaaf met lengte 2. De waarde voor α2 is voor gietijzer 0.12. Als beginprofiel kiezen wede functie f(x) die de waarde 1−x aanneemt in [0, 1] en de waarde 0 in [1, 2]. De formeleoplossing neemt dan de volgende vorm aan:

u(x, t) =4

π2

∞∑n=1

nπ2− sin nπ

2

n2exp

(−nπα)2

t

4

)sin

nπx

2.

7.3.2 Eerste veralgemening

In wat voorafgaat hebben we de constante temperatuur waarop de uiteinden van de staafwerden gehouden gelijk aan nul gesteld. Dit klopt uiteraard doorgaans niet met de fysi-sche werkelijkheid. Daarom beschouwen we in deze paragraaf een lichtjes veralgemeendprobleem, waarbij de uiteinden van de staaf op constante temperaturen T1 en T2 wordengehouden.

De warmtevergelijking blijft gegeven door (7.3.1), de beginconditie door (7.3.3); derandcondities worden echter

limx→0+

u(x, t) = T1, limx→L−

u(x, t) = T2, t ∈]0,+∞[ (7.3.7)

waarbij T1 en T2 gegeven constanten zijn.We zullen zien dat dit probleem door een eenvoudige manipulatie herleid kan worden

tot het eerste probleem.Het ligt voor de hand te onderstellen dat na (relatief) lange tijd u(x, t) een stationaire

toestand of evenwichtstoestand zal bereiken, d.w.z. een vorm zal aannemen die niet langerexpliciet tijdsafhankelijk is. Noteren we deze gedaante door v(x), dan zal deze functiederhalve oplossing zijn van

α2v′′(x) = 0, x ∈]0, L[,

met de randconditieslimx→0+

v(x) = T1, limx→L−

v(x) = T2.

De enige functie v die hieraan voldoet is:

v(x) = T1 +T2 − T1L

x. (7.3.8)

Los van de ietwat intuıtieve redenering die leidde tot de evenwichtstoestand v(x),splitsen we de gevraagde oplossing u(x, t) op in twee termen, namelijk

u(x, t) = v(x) + w(x, t).

Hierbij is v(x) de functie (7.3.8) en is w(x, t) de nieuwe onbekende die klaarblijkelijk moetvoldoen aan het stelsel bestaande uit de vergelijking

α2wxx = wt, (x, t) ∈]0, L[×]0,+∞[,

81

de randcondities

limx→0+

w(x, t) = 0, limx→L−

w(x, t) = 0, t ∈]0,+∞[,

en de beginconditie

limt→0+

w(x, t) = f(x)− v(x), x ∈]0, L[.

Dit vraagstuk is echter niets anders dan het modelprobleem, waarbij de begintemperatuurg(x) = f(x)− v(x) is in plaats van f(x).

Het is dus onnodig de berekening over te doen; de formele oplossing kan direct wordenneergeschreven:

u(x, t) = T1 +T2 − T1L

x+∞∑n=1

ζn exp

(−(nπα)2

t

L2

)sin

nπ

Lx.

Hierin zijn ζn, n ∈ N\0, de fouriercoefficienten van de sinusreeks met periode 2L vande functie g(x):

ζn =2

L

∫ L

0

g(x) sinnπ

Lx dx

=2

L

∫ L

0

[f(x)− T1 −

T2 − T1L

x

]sin

nπ

Lx dx, ∀n ∈ N\0.

We beschouwen meteen een voorbeeld, met dezelfde α2 en dezelfde beginstand f(x)als bij het eerste probleem. Verder stellen we T1 = 1

2en T2 = 2. Na bepaling van de

coefficienten ζn vindt men

u(x, t) =1

2+

3

4x+

4

π2

∞∑n=1

nπ4

(1 + 4(−1)n)− sin nπ2

n2exp

(−(nπα)2

t

4

)sin

nπx

2.

7.3.3 Tweede veralgemening

Als tweede veralgemening van het model-warmteprobleem beschouwen we opnieuw degewone warmtevergelijking (7.3.1) met beginconditie (7.3.3), deze keer echter aangevuldmet de volgende randcondities:

limx→0+

ux(x, t) = 0, limx→L−

ux(x, t) = 0, t ∈]0,+∞[. (7.3.9)

Deze randvoorwaarden zijn nu van een fundamenteel andere aard, die fysisch betekentdat de randpunten geısoleerd zijn.

82

We passen opnieuw de methode van scheiding der veranderlijken toe. Dit wil zeggendat we nu een oplossing zoeken van (7.3.1) en (7.3.9) die van de vorm u(x, t) = X(x)T (t)is. Zoals hierboven leidt dit tot het stelsel

X ′′ − σX = 0T ′ − σα2T = 0

(7.3.10)

waarbij de randvoorwaarden (7.3.9) nu uiteraard andere vergelijkingen voor X(x) ople-veren:

X ′(0+) = 0X ′(L−) = 0.

(7.3.11)

Verder volgt er een analoge bespreking.

Eerste mogelijkheid: σ = 0Dan is

X(x) = k1 + k2x,

waaruit dadelijk, wegens (7.3.9)

k2 = 0 en k1 arbitrair.

De tweede vergelijking in (7.3.10) levert voor σ = 0 dat ook T (t) zich herleidt tot eenarbitraire constante. Bijgevolg is

u0(x, t) = s0, s0 arbitrair,

een eerste fundamentele oplossing.

Tweede mogelijkheid: σ ∈ C\0Stellen we opnieuw σ = −λ2, dan vinden we de algemene oplossing

X(x) = k1 sinλx+ k2 cosλx,

terug, zodatX ′(x) = k1λ cosλx− k2λ sinλx.

Substitutie van de randvoorwaarden (7.3.9) in bovenstaande uitdrukking voor X ′ leertons dat

k1 = 0 en λ = λn =nπ

L, ∀n ∈ N\0.

Bijgevolg is

Xn(x) = cosnπ

Lx,

op een arbitraire multiplicatieve constante na. De functie T (t) wordt bepaald zoals voor-heen.

83

We vinden aldus dat alle functies van de vorm

u0(x, t) = 1

un(x, t) = Xn(x)Tn(t) = exp

(−(nπα)2

t

L2

)cos

nπ

Lx, ∀n ∈ N\0,

voldoen aan de vergelijkingen (7.3.1)en (7.3.9). Ze zijn bepaald op een arbitraire constantefactor na.

We gaan vervolgens over tot superpositie van de bekomen fundamentele oplossingenen stellen

u(x, t) = s0u0(x, t) +∞∑n=1

snun(x, t) = s0 +∞∑n=1

sn exp

(−(nπα)2

t

L2

)cos

nπ

Lx,

met als voorwaarde dat de constanten s0 en sn zo gekozen worden dat

s0 +∞∑n=1

sn cosnπ

Lx = f(x), x ∈]0, L[.

Opnieuw dient men dus f stuksgewijze glad in [0, L] te onderstellen. Men dient dan voors0 en sn de waarden

s0 =1

L

∫ L

0

f(x) dx, sn =2

L

∫ L

0

f(x) cosnπ

Lx dx, ∀n ∈ N\0,

te nemen, opdat de gevonden reekssomfunctie u(x, t) een formele oplossing van het ge-stelde probleem zou zijn. Merk op dat de eerste term de limiet is van u(x, t) als t −→ +∞.Dit is wat in vorige paragraaf gedefinieerd werd als de stationaire toestand.

Deze stationaire toestand wordt hier dus gegeven door de uitmiddeling van de initıeletemperatuursdistributie f(x). Dit resultaat kon men verwachten aangezien de randpuntenbij onderstelling geısoleerd zijn: er kan dus geen thermische energie in of uit de staaf. Wekunnen dit ook wiskundig hard maken. Definieer de totale thermische energie aanwezigin de staaf op tijdstip t als

W (t) :=

∫ L

0

u(x, t)dx.

Dan tonen we aan dat W (t) een constante functie is. Dit kan op twee manieren. Ener-zijds, door substitutie van de reekssomfunctie u(x, t) in de integraal volgt na explicieteuitrekening het gevraagde (doe dit!). Anderzijds, en meer elegant, gaan we als volgt te

84

werk. Bereken de afgeleide van de thermische energie als

dW

dt=

d

dt

∫ L

0

u(x, t)dx

=

∫ L

0

ut(x, t)dx

= α2

∫ L

0

uxx(x, t)dx

= α2 (ux(L, t)− ux(0, t))= 0

waarbij we gebruik hebben gemaakt van de PDV (7.3.1) en de randvoorwaarden (7.3.9).Hieruit volgt onmiddellijk dat W (t) constant is.

Opnieuw illustreren we dit aan de hand van een voorbeeld, waarbij we doelbewustnogmaals dezelfde waarde voor α2 beschouwen en dezelfde beginwaarde f(x). Deze keerhebben we echter de cosinusreeks met periode 4 nodig. Aldus wordt de oplossing u(x, t):

u(x, t) =1

4+

4

π2

∞∑n=1

1− cos nπ2

n2exp

(−(nπα)2

t

4

)cos

nπx

2.

7.4 Trillingen van een elastische snaar

Een tweede type partiele differentiaalvergelijking dat in de toepassingen veelvuldig voor-komt is de zogenaamde golfvergelijking. Zoals de naam al suggereert, treedt deze ver-gelijking, of een veralgemening ervan, op bij elke wiskundige beschrijving of analyse vande voortplanting van golven in een continu medium (zoals akoestische, mechanische ofelektromagnetische golven). De meest eenvoudige voorstelling van zaken doet zich voorwanneer men de trillingen onderzoekt van een elastische snaar.

Beschouw derhalve een elastische snaar van lengte L die vastgemaakt is tussen tweegefixeerde punten op dezelfde hoogte. We kiezen de X-as langsheen de snaar, zodanig datde uiteinden ervan corresponderen met x = 0 en x = L.

Onderstel nu dat de snaar in beweging wordt gebracht, zodanig dat ze een golfbewegingmaakt in een vertikaal vlak. Door u(x, t) noteren we de vertikale verplaatsing van desnaar op de positie x en het tijdstip t. Indien dempingseffecten (zoals weerstand) buitenbeschouwing worden gelaten en indien de amplitude van de golfbeweging niet te groot is,dan voldoet u(x, t) aan de vergelijking

α2uxx = utt, (x, t) ∈]0, L[×]0,+∞[, (7.4.12)

die de golfvergelijking wordt genoemd; de optredende constante α2 is gerelateerd tot devoortplantingssnelheid van golven doorheen de snaar. Om de beweging volledig te be-schrijven, moeten we uiteraard ook hier geschikte rand- en begincondities opleggen. Aan-gezien de uiteinden verondersteld worden vast te zijn, worden de randcondities gegeven

85

doorlimx→0+

u(x, t) = 0, limx→L−

u(x, t) = 0, t ∈]0,+∞[. (7.4.13)

Aangezien de gegeven differentiaalvergelijking nu ook van de tweede orde is in de tijdsver-anderlijke, moeten er twee begincondities worden opgelegd. Deze zijn de initiele positievan de snaar,

limt→0+

u(x, t) = f(x), x ∈]0, L[, (7.4.14)

en zijn beginsnelheidlimt→0+

ut(x, t) = g(x), x ∈]0, L[, (7.4.15)

met f en g gegeven functies.Ook dit vraagstuk pakken we aan met de techniek van scheiding van de veranderlijken.Stap 1

We proberen een oplossing te vinden van het stelsel gevormd door (7.4.12)–(7.4.13), vande vorm

u(x, t) = X(x)T (t).

Substitutie van deze gedaante voor u in (7.4.12) leidt dadelijk tot

X ′′

X=

T ′′

α2T= σ,

waaruit we het volgende stelsel bekomen:X ′′ − σX = 0T ′′ − σα2T = 0.

(7.4.16)

Verder moet X voldoen aan de vergelijkingen die volgen uit (7.4.13), namelijkX(0+) = 0X(L−) = 0.

(7.4.17)

Dit zijn dezelfde voorwaarden als in het modelprobleem voor de warmtevergelijking. Bij-gevolg vinden we hier dezelfde eigenfuncties

Xn(x) = sinnπ

Lx,

op een arbitraire multiplicatieve constante na. De differentiaalvergelijking voor T (t) moetworden opgelost voor elke gevonden eigenwaarde σ. Dit levert

Tn(t) = sn sinnπα

Lt+ tn cos

nπα

Lt,

met sn en tn arbitrair voor elke n ∈ N\0.

86

Aldus zijn alle functies van de vorm

un(x, t) = sinnπ

Lx(sn sin

nπα

Lt+ tn cos

nπα

Lt),

met n ∈ N\0, fundamentele oplossingen van (7.4.12)–(7.4.13).

Stap 2We hernemen ons uitgebreid superpositiebeginsel voor de gevonden oplossingen un enstellen derhalve als formele oplossing de volgende gedaante voorop:

u(x, t) =∞∑n=1

un(x, t) =∞∑n=1

sinnπ

Lx(sn sin

nπα

Lt+ tn cos

nπα

Lt),

met als voorwaarde dat de constanten sn, tn zo worden bepaald dat ook aan de begincon-dities (7.4.14)–(7.4.15) is voldaan. Aldus moet

∞∑n=1

tn sinnπ

Lx = f(x), x ∈]0, L[,

∞∑n=1

snnπα

Lsin

nπ

Lx = g(x), x ∈]0, L[.

Om te verzekeren dat sn en tn kunnen bepaald worden, gebruik makend van de theorievan fourierreeksen, dient men f en g stuksgewijs glad in [0, L] te onderstellen.

Stelt men dan

tn =2

L

∫ L

0

f(x) sinnπ

Lx dx, sn

nπα

L=

2

L

∫ L

0

g(x) sinnπ

Lxdx,

voor elke n, dan is de gevonden reeksvoorstelling u(x, t) een formele oplossing van hetprobleem (7.4.12)–(7.4.15).

Met de definitieβn =

√s2n + t2n

en met ψn een oplossing (bijvoorbeeld in [0, 2π[) van de vergelijkingen

sinnπα

Lψn = − tn

βn, cos

nπα

Lψn =

snβn,

kunnen we deze oplossing ook nog als volgt schrijven:

u(x, t) =∞∑n=1

βn sinnπ

Lx sin

nπα

L(t− ψn).

Bovenstaande uitdrukking noemt men de fasevorm van de formele oplossing (zie ook deparagraaf over fourierreeksen).

87

Anders dan bij de warmtevergelijking ziet men niet dadelijk in dat de convergentie vande voorgestelde reeks, samen met haar partiele afgeleiden naar x en t onder de gesteldevoorwaarden voor f en g vervuld is. Zouden we bijvoorbeeld ook hier uxx willen berekenendoor termsgewijze afleiding, dan komt er

uxx(u, t) = −∞∑n=1

(nπL

)2sin

nπ

Lx(sn sin

nπα

Lt+ tn cos

nπα

Lt).

Het verschijnen van een factor n2 laat voor de convergentie van deze afgeleide reeks hetergste vermoeden. Dit blijkt ook uit volgende voorbeeld. Stel even L = 2 en g(x) = 0.Voor f kiezen we

f(x) =

x , 0 < x ≤ 1,

2− x , 1 < x ≤ 2.

De coefficienten tn worden dan gegeven door (controleer zelf)

tn =8

π2

sin nπ2

n2.

De reeks in de verwachte uitdrukking voor uxx(x, t) wordt hiermee, bijvoorbeeld in hetpunt x = 1:

−2∞∑n=1

cos(2n− 1)πα

2t.

Deze reeks divergeert voor elke t aangezien de algemene term niet naar nul convergeert.Hieruit concluderen dat de gevonden formele oplossing in realiteit geen oplossing is

van het gestelde probleem, zou echter foutief zijn. Onze bevindingen tonen enkel aan datde reeksvoorstelling geen goede uitgangspositie biedt voor het bepalen van de betrokkenpartiele afgeleiden.

We dienen derhalve een andere methode te volgen voor het controleren van de oplos-sing. Merk hiertoe vooreerst op dat de reeksvoorstelling voor u(x, t) kan worden uitge-schreven als

1

2

∞∑n=1

[tn

(sin

nπ(x+ αt)

L+ sin

nπ(x− αt)L

)− sn

(cos

nπ(x+ αt)

L− cos

nπ(x− αt)L

)].

Dit resultaat is in overeenstemming met volgende belangrijke stelling.

Stelling 7.4.1. De algemene oplossing in R2 van de eendimensionale golfvergelijking

α2uxx = utt

is van de vormu(x, t) = φ(x+ αt) + ψ(x− αt)

waarbij φ en ψ arbitraire functies zijn uit C2(R).

88

Bewijs. Via de kettingregel controleert men dadelijk dat elke functie van de voorgesteldevorm φ(x + αt) + ψ(x − αt) inderdaad oplossing is van α2uxx = utt. Omgekeerd, ziju(x, t) ∈ C2(R2) een willekeurige oplossing van deze differentiaalvergelijking. Stel dan

r = x+ αts = x− αt en u(x, t) = v(r, s)

zodat ook v(r, s) ∈ C2(R2).Met de kettingregel vinden we

ux = vrrx + vssx = vr + vs,

enuxx = vrrrx + vrssx + vsrrx + vsssx = vrr + 2vrs + vss,

mede steunend op de stelling van Schwarz. Volkomen analoog vindt men

utt = α2 (vrr − 2vrs + vss) .

Bijgevolg is 4α2vrs = α2uxx − utt = 0, zodat vrs = 0. Hieruit haalt men eerst

(vr)s = 0 =⇒ vr(r, s) = f(r) voor een welbepaalde f ∈ C1(R).

Vervolgens vinden we, met φ ∈ C2(R) een primitieve van f in R:

(v − φ)r = 0 =⇒ v(r, s)− φ(r) = ψ(s) voor een welbepaalde ψ ∈ C2(R).

Bijgevolg geldt er dat v(r, s) = φ(r) + ψ(s), met φ, ψ ∈ C2(R). Vervangt men tenslotte ren s door hun waarde, dan is de stelling bewezen.

We leggen nu het verband met de oplossing die we gevonden hebben door scheidingder veranderlijken.

Beschouw hiertoe vooreerst het gestelde probleem (7.4.12)–(7.4.14) met g(x) = 0.Fysisch correspondeert dit met een getokkelde snaar, zoals van bijvoorbeeld een gitaar.De hierboven gevonden reeks herleidt zich dan tot

v(x, t) =∞∑n=1

tn sinnπ

Lx cos

nπα

Lt

=1

2

∞∑n=1

tn

(sin

nπ(x+ αt)

L+ sin

nπ(x− αt)L

).

Hierbij zijn de coefficienten tn bepaald door de beginstand f(x), namelijk

f(x) =∞∑n=1

tn sinnπ

Lx, x ∈]0, L[; tn =

2

L

∫ L

0

f(x) sinnπ

Lx dx.

89

Noemen we f ∗ de oneven periodieke uitbreiding van f met periode 2L dan is v(x, t) dusgegeven door:

v(x, t) =1

2[f ∗(x+ αt) + f ∗(x− αt)] , x ∈]0, L[; t ∈]0,+∞[.

Laten we hieruit de voorwaarden halen, op te leggen aan f , opdat vxx en vtt continuzouden zijn in ]0, L[×]0,+∞[. Het feit dat f ∗ de oneven periodieke uitbreiding is van f ,is hierbij van essentieel belang. Er weze eerst opgemerkt dat het oneven karakter van f ∗

voor gevolg heeft dat (f ∗)′ even is en (f ∗)′′ opnieuw oneven. Vandaar volgende conclusies:

• v continu in ]0, L[×]0,+∞[ ⇔ f ∗ continu in R⇔ f continu in [0, L] en f(0) = f(L) = 0

• vx, vt continu in ]0, L[×]0,+∞[ ⇔ (f ∗)′ continu in R⇔ f ′ continu in [0, L]

• vxx, vtt continu in ]0, L[×]0,+∞[ ⇔ (f ∗)′′ continu in R⇔ f ′′ continu in [0, L] en f ′′(0) = f ′′(L) = 0

De voorwaarden opgelegd aan f zijn bijgevolg vrij zwaar; de functie uit het beschouwdevoorbeeldje voldoet er bijvoorbeeld helemaal niet aan.

Indien niet voldaan is aan alle continuıteitsvoorwaarden dan is v(x, t) geen functie metvxx en vtt continu in heel het domein Ω =]0, L[×]0,+∞[. We kunnen dan toch zeggen dat

v(x, t) =1

2[f ∗(x+ αt) + f ∗(x− αt)] , x ∈]0, L[; t ∈]0,+∞[

een oplossing is, zij het dat haar geldigheid beperkt is.Stel, om de gedachten te vestigen, dat f in een welbepaald punt x0 ∈]0, L[ niet aan de

voorwaarden voldoet, dan zal v geen continue partiele afgeleiden bezitten in alle punten(x, t) waarvoor:

x+ αt =

x0 + 2nL−x0 + 2nL

of x− αt =

x0 + 2nL−x0 + 2nL

Hierbij is n telkens een willekeurig geheel getal met de natuurlijke beperking dat, bij eenbepaalde x ∈]0, L[, enkel die n-waarden relevant zijn waarvoor t > 0. Voor de fysischeinterpretatie van een en ander verwijzen we naar de cursussen Natuurkunde.

Beschouwen we vervolgens het gestelde probleem met f(x) = 0. Fysisch correspon-deert dit met een aangeslagen snaar, bijvoorbeeld van een piano. De hierboven gevonden

90

reeks herleidt zich in dit geval tot

w(x, t) =∞∑n=1

sn sinnπ

Lx sin

nπα

Lt

=1

2

∞∑n=1

sn

(cos

nπ(x− αt)L

− cosnπ(x+ αt)

L

)=

1

2

∞∑n=1

nπsnL

∫ x+αt

x−αtsin

nπ

Lξ dξ.

Verwisselt men (zonder rechtvaardiging) reekssom en integratie, dan komt er

w(x, t) =1

2α

∫ x+αt

x−αt

[∞∑n=1

snnπα

Lsin

nπ

Lξ

]dξ.

Tussen de rechte haken staat nu precies de sinusreeks van g(ξ). Noemen we g∗ de onevenperiodieke uitbreiding van g met periode 2L, dan is w(x, t) dus gegeven door:

w(x, t) =1

2α

∫ x+αt

x−αtg∗(ξ)dξ, x ∈]0, L[; t ∈]0,+∞[.

Men ziet gemakkelijk in dat de oplossing van het originele probleem (7.4.12)–(7.4.15)gegeven wordt door superpositie van v en w. Bijgevolg luidt die oplossing

u(x, t) =1

2[f ∗(x+ αt) + f ∗(x− αt)] +

1

2α

∫ x+αt

x−αtg∗(ξ)dξ, x ∈]0, L[; t ∈]0,+∞[.

Opmerking 7.4.1.Evenals voor de warmtevergelijking kunnen we voor de golfvergelijking andere randvoor-waarden beschouwen. Zo kan men bijvoorbeeld het linkeruiteinde van de snaar vrij ver-onderstellen, door te eisen dat

limx→0+

ux(x, t) = 0.

Dit betekent dat het linkeruiteinde vrij mag bewegen langs een verticale rechte, maardat de raaklijn steeds horizontaal moet gericht zijn in dat punt van de snaar. Analoogkan men ook het rechteruiteinde vrij veronderstellen. Ga zelf na hoe de oplossing van degolfvergelijking er dan uitziet.

7.5 Vergelijking van Laplace

Een van de belangrijkste partiele differentiaalvergelijkingen voor de toepassingen is devergelijking van Laplace in twee dimensies

uxx + uyy = 0, (7.5.18)

91

of in drie dimensiesuxx + uyy + uzz = 0. (7.5.19)

Een functie u die in een zeker gebied waar ze tweemaal continu differentieerbaar is aan devergelijking van Laplace voldoet, noemen we een harmonische functie (zie ook Hoofdstuk4).

We keren eerst even terug naar de fysische context. Bijvoorbeeld, in een tweedimen-sionaal warmteprobleem, zal de temperatuursfunctie u(x, y, t) moeten voldoen aan

α2(uxx + uyy) = ut

Beschouwen we voor dit probleem de evenwichtstoestand v(x, y), dan zal deze functiemoeten voldoen aan een gerelateerde vergelijking waaruit de tijdsafgeleide is verdwenen;deze vergelijking is precies (7.5.18). Ook de elektrische potentiaal in een medium dat geenelektrische lading bevat, zal aan (7.5.18) of (7.5.19) moeten voldoen.

Daar de verschijnselen, beschreven door (7.5.18) of (7.5.19), geen tijdsafhankelijkheidvertonen, zullen we uiteraard ook geen begincondities moeten opleggen. Wel moet devergelijking worden aangevuld met zekere randcondities. Deze moeten nu niet langer,zoals bij de eendimensionale warmte- en golfvergelijking, vervuld zijn in bepaalde onder-scheiden punten, maar zijn daarentegen van kracht op de volledige rand van het twee- ofdriedimensionale gebied waarbinnen het probleem wordt gesteld.

Gezien de vergelijking van Laplace van de tweede orde is, is het verleidelijk te stellendat er ook twee randcondities zullen moeten worden opgelegd. Bij nader toezien is ditechter niet het geval. Beschouwen we opnieuw de eendimensionale warmtevergelijking,dan dienden er inderdaad twee voorwaarden opgelegd, namelijk een in het beginpunten een in het eindpunt van de staaf. In elk punt van de rand was er dus een enkelevoorwaarde.

Veralgemenen we derhalve deze vaststelling naar meerdimensionale problemen, danzullen we dus een conditie opleggen aan de functie u in elk punt van de rand van hetgebied. De meest voor de hand liggende randconditie is het voorschrijven van de waardevan u in elk randpunt; vult men de laplacevergelijking aan met een dergelijk voorschrift,dan spreken we van een dirichletprobleem.

In sommige toepassingen zal men echter eerder de waarde voorschrijven van de rich-tingsafgeleide van u, in de richting van de uitwendige normaal op de rand van het gebied.Een dergelijk probleem noemt men een neumannprobleem. Uiteraard kunnen ook meercomplexe vraagstukken met gemengde dirichlet- en neumannrandcondities worden be-schouwd.

In deze paragraaf zullen we eerst de oplossing construeren van een dirichletprobleem,gesteld op een rechthoek of op een schijf. Vervolgens zullen we ook een neumannprobleemoplossen, opnieuw op een schijf geformuleerd.

Formuleren we vooreerst het beschouwde probleem. Gegeven zijn een begrensd, openen samenhangend gebied Ω ⊂ R2 en een continue functie h : ∂Ω → R. Het dirichlet-probleem bestaat erin een continue functie u : Ω → R te vinden die harmonisch is in Ω

92

en samenvalt met h op ∂Ω. Er is helemaal geen garantie dat het dirichletprobleem, ineen dergelijke algemeenheid gesteld, een oplossing zou bezitten. Men kan echter algemeenbewijzen:

Stelling 7.5.1. Als het begrensde, open en samenhangende gebied Ω een C1-rand bezit,dan bezit het dirichletprobleem voor Ω een (unieke) oplossing.

De condities vermeld in bovenstaande stelling, waaronder het dirichletprobleem eenunieke oplossing bezit, kunnen echter afgezwakt worden. Zo volstaat het dat de rand vanhet beschouwde gebied stuksgewijze glad is, en dat de randwaardenfunctie stuksgewijzecontinu is. Uiteraard zal dan de oplossing van het dirichletprobleem harmonisch zijn inhet binnengebied, maar niet langer continu in het afgesloten gebied.

Een en ander wordt geıllustreerd in de drie specifieke tweedimensionale vraagstukkendie we hieronder behandelen.

7.5.1 Dirichletprobleem op een rechthoek

We beschouwen de rechthoek ]0, a[×]0, b[ en de randwaardenfunctie h(x, y), waarbij

h(0, y) = h(x, 0) = h(x, b) = 0

h(a, y) = f(y) continu in ]0, b[.

We wensen de harmonische functie u in ]0, a[×]0, b[ te bepalen waarvoor u|rand = h.Aansluitend bij de werkwijze van voorgaande paragrafen, lossen we ook dit dirichletpro-bleem op met de methode van scheiding der veranderlijken.

Stap 1We stellen voorop dat u(x, y) = X(x)Y (y). Substitutie in de laplacevergelijking

(7.5.18) levert

X ′′(x)Y (y) +X(x)Y ′′(y) = 0, in 0 < x < a, 0 < y < b,

wat onmiddellijk tot het stelsel

X ′′

X= −Y

′′

Y= σ (scheidingsconstante)

leidt. Ook hier toont men gemakkelijk aan dat de scheidingsconstante σ reeel is. Degevallen σ = 0 en σ < 0 leveren enkel de nuloplossing op.

Stellen we derhalve σ = λ2, dan vinden we dat enkel de waarden

λ = nπ

b, n ∈ N\0

–de zogenaamde eigenwaarden van het probleem– een niet-triviale oplossing geven. Voorelke n ∈ N\0 vindt men als corresponderende fundamentele oplossing

un(x, y) = sinhnπx

bsin

nπy

b.

93

Stap 2Het dirichletprobleem is geen lineair probleem. De hierboven geconstrueerde oplos-

singen zijn oplossingen van het deelprobleem dat ontstaat door de niet-homogene rand-conditie h(a, y) = f(y), 0 < y < b, te schrappen; dit deelprobleem is wel lineair, zodatwe opnieuw het uitgebreide superpositiebeginsel kunnen toepassen. Aldus stellen we alsoplossing voor het dirichletprobleem voorop:

u(x, y) =∞∑n=1

sn sinhnπx

bsin

nπy

b,

met nader te bepalen coefficienten sn, n ∈ N. Hiertoe beschikken we nog over de niet-homogene randconditie

u(a, y) = f(y), 0 < y < b,

of

f(y) =∞∑n=1

sn sinhnπa

bsin

nπy

b, 0 < y < b

In het rechterlid herkent men de fourierreeks van een oneven periodieke functie met pe-riode 2b, die in het interval ]0, b[ moet convergeren naar f(y). Men kan derhalve defouriercoefficienten

sn sinhnπa

b

bepalen door de oneven periodieke extensie van f met periode 2b in fourierreeks te ont-wikkelen. Men vindt

sn sinhnπa

b=

2

b

b∫0

f(y) sinnπy

bdy, n ∈ N

Van de bekomen reekssomfunctie u(x, y) kan men aantonen dat ze inderdaad de oplossingvan het gestelde dirichletprobleem is.

7.5.2 Dirichletprobleem op een schijf

De methode van scheiding der veranderlijken kan worden toegepast op gebieden waarvande randen delen zijn van de coordinaatnetten. We verklaren deze uitspraak: gebruiktmen cartesiaanse coordinaten dan kan de methode worden toegepast op gebieden metranden x = constante, y = constante, m.a.w. rechthoekige gebieden, zoals in voorgaandeparagraaf en ook bij de warmte- en de golfvergelijking. Dit is noodzakelijk om ook bij derandcondities de scheiding van de veranderlijken te kunnen doorvoeren.

Gebruiken we echter vlakke poolcoordinaten, dan kunnen we dus gebieden beschouwenmet randen r = constante, θ = constante, m.a.w. (delen van) schijfvormige gebieden.

94

Als eenvoudige toepassing zullen we de eenheidsschijf beschouwen, waarbij we delaplaciaan in poolcoordinaten zullen uitdrukken. Gegeven is aldus de eenheidsschijfD = B(0; 1) en de randwaardenfunctie h(θ), stuksgewijze continu in ]− π, π] ondersteld.

We wensen de harmonische functie u in B(0, 1) te bepalen, waarvoor u|∂B(0, 1) = h.De oplossing van dit probleem verloopt opnieuw in twee stappen.

Stap 1Gebruik makend van de symmetrie van het probleem, stellen we voor om oplossingen

van de vormu(r, θ) = R(r)Θ(θ)

van ∆u = 0 in B(0, 1) te zoeken. In eerste instantie herschrijven we de laplaciaan, doormiddel van de kettingregel, in poolcordinaten als volgt

∆φ = ∂2rrφ +1

r2∂2θθφ+

1

r∂rφ. (7.5.20)

De laplacevergelijking wordt dan omgezet in

R′′Θ +1

rR′Θ +

1

r2RΘ′′ = 0,

waaruit het stelsel Θ′′ + σΘ = 0

r2R′′ + rR′ − σR = 0

volgt, met σ de scheidingsconstante.Bij dit vraagstuk zijn er geen homogene randcondities, maar we beschikken wel over

andere restricties die aan de oplossing moeten worden opgelegd. Zo moet u begrensd zijn(continue functie in een compact gebied) en bovendien periodiek in θ, met periode 2π.

Eerste mogelijkheid: σ < 0Voor negatieve σ, stel σ = −λ2, heeft de vergelijking voor Θ als algemene oplossing

Θ(θ) = k1 exp(λθ) + k2 exp(−λθ).

Een dergelijke functie kan enkel periodiek zijn als k1 = k2 = 0, zodat dit geval alleen denuloplossing oplevert.

Tweede mogelijkheid: σ = 0Hier bekomen we voor Θ de vergelijking Θ′′ = 0 en dus als algemene oplossing

Θ(θ) = k1 + k2θ.

De periodiciteitseis levert hier k2 = 0 en k1 arbitrair, zodat Θ(θ) constant is. Beschouwenwe dus in dit geval ook de vergelijking voor R:

r2R′′ + rR′ = 0.

95

Dit is een zogenaamde differentiaalvergelijking van Euler, met als algemene oplossing

R(r) = c1 + c2 ln r.

De noodzakelijke begrensdheid van u leert ons hier dat c2 = 0, zodat ook R(r) constantis. Dit geval levert dus reeds een fundamentele oplossing op, namelijk u(r, θ) = s0.

Derde mogelijkheid: σ > 0Hier stellen we σ = λ2, zodat de vergelijkingen voor R en Θ worden:

Θ′′ + λ2Θ = 0r2R′′ + rR′ − λ2R = 0.

De vergelijking voor R is opnieuw een Eulervergelijking, met als algemene oplossing

R(r) = c1rλ + c2r

−λ

terwijl we voor Θ vinden

Θ(θ) = k1 sin(λθ) + k2 cos(λθ).

Dit levert oplossingen, verschillend van de nuloplossing, indien λ = n ∈ N\0. Dezeoplossingen luiden:

un(r, θ) = rn(sn cosnθ + tn sinnθ), n ∈ N\0

met sn en tn voorlopig onbepaalde coefficienten.Stap 2Het (uitgebreide) superpositieprincipe leidt dan tot het volgende voorstel voor formele

oplossing:

u(r, θ) = s0 ++∞∑n=1

rn(sn cosnθ + tn sinnθ), 0 ≤ r < 1, −π < θ < π

Om de coefficienten sn, n = 0, 1, 2, . . . en tn, n = 1, 2, . . . te bepalen, beschikt men nogover de niet-lineaire randconditie

u(1, θ) = h(θ), −π < θ < π

of

h(θ) = s0 +∞∑n=1

(sn cosnθ + tn sinnθ) , −π < θ < π

96

In het rechterlid herkent men de fourierreeks van een periodieke functie met periode 2π,die in het interval ] − π, π[ convergeert naar de functie h. Dit is de fourierreeks van deperiodieke extensie van h met periode 2π. Vandaar

s0 =1

2π

π∫−π

h(t) dt

sn =1

π

π∫−π

h(t) cosnt dt, n ∈ N\0

tn =1

π

π∫−π

h(t) sinnt dt, n ∈ N\0

en dus, na termsgewijze integratie van de reeksoplossing:

u(r, θ) =1

2π

π∫−π

h(t)

[1 + 2

∞∑n=1

(cosnt cosnθ + sinnt sinnθ)rn

]dt

of

u(r, θ) =1

2π

π∫−π

[1 + 2

∞∑n=1

rn cosn(θ − t)

]h(t) dt.

Deze laatste formule noemt men de formule van Poisson. De functie tussen rechte haken isde Poissonkern. Men kan aantonen dat de gevonden functie u(r, θ) inderdaad de oplossingis van het gestelde dirichletprobleem.

7.5.3 Neumanprobleem op een schijf

Als laatste voorbeeld bestuderen we een neumannprobleem. Een probleem van dit typeverschilt van een dirichletprobleem door de randcondities. Bij een neumannprobleemwordt een waarde voorgeschreven aan de richtingsafgeleide van u, in de richting van deuitwendige normaal.

Beschouw de schijf met straal a, D = B(0; a), en de randwaardefunctie h(θ), diestuksgewijze continu in ] − π, π] ondersteld wordt. Merk op dat de richtingsafgeleidevolgens de uitwendige normaal aan de rand van een schijf niets anders is dan de afge-leide naar r. We wensen dus de harmonische functie u in B(0, a) te bepalen, waarvoor∂ru(r, θ)|∂B(0, a) = h(θ).

Stap 1We gebruiken opnieuw de methode van scheiding der veranderlijken en gaan op zoek

naar oplossingen van de vormu(r, θ) = R(r)Θ(θ)

97

van de differentiaalvergelijking ∆u = 0 in B(0, a). Door middel van formule (7.5.20),kunnen we opnieuw de laplacevergelijking uitdrukken in poolcoordinaten:

R′′Θ +1

rR′Θ +

1

r2RΘ′′ = 0.

Hieruit volgt het stelsel Θ′′ + σΘ = 0

r2R′′ + rR′ − σR = 0

met σ de scheidingsconstante. Aangezien we op zoek gaan naar een continue functie u opeen compact gebied kunnen we stellen dat u begrensd moet zijn. Bovendien moet u ookperiodiek zijn in θ met periode 2π.

Eerste mogelijkheid: σ < 0Stel σ = −λ2, dan kunnen we opnieuw gebruik maken van de algemene oplossing van devergelijking voor Θ:

Θ(θ) = k1 exp(λθ) + k2 exp(−λθ).

Door de periodiciteitseis moeten beide constanten k1 en k2 gelijk zijn aan 0. We kunnendus besluiten dat deze mogelijkheid enkel de nuloplossing oplevert.

Tweede mogelijkheid: σ = 0In dit geval reduceert de vergelijking voor Θ zich tot Θ′′ = 0, wat enkel de verzamelingvan lineare en constante functies in θ als oplossing heeft. Dus

Θ(θ) = k1θ + k2.

Door de periodiciteit van u is k1 = 0, en is k2 een willekeurige constante. De vergelijkingvoor R wordt in dit geval

r2R′′ + rR′ = 0,

met als algemene oplossingR(r) = c1 + c2 ln r.

De natuurlijke logaritmische functie is onbegrensd in de oorsprong, dus moet c2 = 0. Hetgeval σ = 0 levert dus de fundamentele oplossing u(r, θ) = s0 ∈ R op.

Derde mogelijkheid: σ > 0Stel σ = λ2. De algemene oplossing van de vergelijking voor Θ is dan

Θ(θ) = k1 sin(λθ) + k2 cos(λθ).

Door de periodiciteitseis moet λ = n ∈ N\0. Bovendien is deze functie altijd begrensd.De eulervergelijking voor R heeft dan de oplossing

R(r) = c1rn + c2r

−n.

98

Omdat r−n onbegrensd is in de oorsprong, moet c2 = 0. We bekomen dus de fundamenteleoplossingen

un(r, θ) = rn(sn cosnθ + tn sinnθ), n ∈ N\0waarbij sn en tn voorlopig onbepaalde coefficienten zijn.

Stap 2Superpositie leidt dan tot de algemene oplossing

u(r, θ) = s0 ++∞∑n=1

rn(sn cosnθ + tn sinnθ),

waarbij 0 ≤ r < a en −π < θ < π. We brengen nu de randconditie in rekening om deonbekende coefficienten sn en tn te bepalen:

∂ru(a, θ) = h(θ), −π < θ < π.

Er moet dus gelden dat

h(θ) =∞∑n=1

nan−1 (sn cosnθ + tn sinnθ) , −π < θ < π.

In het rechterlid herkent men een fourierreeks van een periodieke functie met periode 2π,die in het interval ] − π, π[ convergeert naar de functie h. Merk op dat de fourierreeksniet volledig is. De constante fouriercoefficient is gelijk aan 0. Dit wil zeggen dat ditneumannprobleem enkel een oplossing heeft als de voorwaarde

1

2π

π∫−π

h(θ) dθ = 0 (7.5.21)

voldaan is. De coefficienten sn en tn worden dan gegeven door

sn =1

nan−11

π

π∫−π

h(θ) cosnθ dθ, n ∈ N\0

tn =1

nan−11

π

π∫−π

h(θ) sinnθ dθ, n ∈ N\0.

Merk op dat door de Neumann randconditie geen voorwaarde voor s0 geldt. Voor elkewaarde s0 ∈ R bekomen we dus een andere oplossing van het neumannprobleem.

Samengevat, de laplacevergelijking ∆u = 0 op de schijf B(0, a) met randconditie∂ru(a, θ) = h(θ) heeft oneindig veel oplossingen als (7.5.21) voldaan is, en geen enkeleoplossing als (7.5.21) niet voldaan is.

99

Deel III

Oefeningen

100

Hoofdstuk 8

Oefeningen vectorcalculus

8.1 Velden

1. Onderzoek het vectorveld

F(x, y) = (10x4 − 2xy3) ex − 3x2y2ey

op zijn conservatief karakter ; bepaal desgevallend zijn scalaire potentiaal in hetgepaste gebied.

2. Onderzoek het vectorveld

F(x, y) = x(x2 − y2) ex − y(x2 − y2)eyop zijn conservatief karakter ; bepaal desgevallend zijn scalaire potentiaal in hetgepaste gebied.

3. Onderzoek het vectorveld

F(x, y) =y

x2ex −

1

xey

op zijn conservatief karakter ; bepaal desgevallend zijn scalaire potentiaal in hetgepaste gebied.

4. Onderzoek het vectorveld

F(x, y) = exp x (sin y ex + cos y ey)

op zijn conservatief karakter ; bepaal desgevallend zijn scalaire potentiaal in hetgepaste gebied.

5. Onderzoek het vectorveld

F(x, y, z) = (a ·OP) b , a,b constante vectoren

op zijn conservatief karakter ; bepaal desgevallend zijn scalaire potentiaal in hetgepaste gebied.

101

6. Onderzoek het vectorveld

F(x, y, z) = (a · b) OP , a,b constante vectoren

op zijn conservatief karakter ; bepaal desgevallend zijn scalaire potentiaal in hetgepaste gebied.

7. Onderzoek het vectorveld

F(x, y, z) = (a ·OP) b + (b ·OP) a , a,b constante vectoren

op zijn conservatief karakter ; bepaal desgevallend zijn scalaire potentiaal in hetgepaste gebied.

8. Gegeven het tweedimensionaal vectorveld

F =

[x2 − y2

(x2 + y2)2,

2xy

(x2 + y2)2

]Gevraagd:(i) Onderzoek dit vectorveld F op zijn conservatief karakter; bepaal desgevallendeen scalaire potentiaal in een nader te bepalen gebied.(ii) Onderzoek dit vectorveld F op zijn solenoıdaal karakter; bepaal desgevallendeen vectorpotentiaal van de vorm [0, 0, A3(x, y)] in een nader te bepalen gebied.

9. Gegeven het tweedimensionaal vectorveld

F =

[x+ 1

x2 + y2 + 2x+ 1,

y

x2 + y2 + 2x+ 1

]Gevraagd:(i) Onderzoek dit vectorveld F op zijn conservatief karakter; bepaal desgevallendeen scalaire potentiaal in een nader te bepalen gebied.(ii) Onderzoek dit vectorveld F op zijn solenoıdaal karakter; bepaal desgevallendeen vectorpotentiaal van de vorm [0, 0, A3(x, y)] in een nader te bepalen gebied.

10. Gegeven het tweedimensionaal scalair veld φ(x, y) = x2−y2+2x+1(x2+y2+2x+1)2

.

Gevraagd:(i) Bepaal het scalair veld ψ in een nader te bepalen gebied Ω derwijze de niveau-lijnen van ψ in Ω loodrecht staan op de niveaulijnen van φ; bepaal daarbij een “zogroot mogelijke” Ω.(ii) Schets een exemplaar van elk van beide scharen.(iii) Beschouw φ en ψ nu als scalaire potentialen in Ω van de respectieve vectorveldenF en G. Welke eigenschappen vertonen deze vectorvelden?

102

11. Gegeven het tweedimensionaal scalair veld φ(x, y) = ln√x2 + y2 − 2x+ 1.

Gevraagd:(i) Bepaal het scalair veld ψ in een nader te bepalen gebied Ω derwijze de niveau-lijnen van ψ in Ω loodrecht staan op de niveaulijnen van φ; bepaal daarbij een “zogroot mogelijke” Ω.(ii) Schets een exemplaar van elk van beide scharen.(iii) Beschouw φ en ψ nu als scalaire potentialen in Ω van de respectieve vectorveldenF en G. Welke eigenschappen vertonen deze vectorvelden?

12. Gegeven is het vectorveld

F(x, y, z) = [−y, x, k] , (k : constant) .

(i) Bepaal de veldlijnen.(ii) Onderzoek dit vectorveld op zijn solenoıdaal karakter en bepaal desgevallendeen divergentievrije vectorpotentiaal in het gepaste gebied.

13. Bepaal de helmholtzontbinding van het vectorveld F = [z + x, x+ y, y + z].

14. Gegeven het vectorveld

F(x, y, z) = [x2(x+ y − z), y2(y + z − x), z2(z + x− y)] .

Bepaal zijn helmholtzdecompositie:

F = ∇φ+∇×A met ∇ ·A = 0 .

In welk deel van R3 is deze decompositie geldig? Uniciteit van φ en A?

15. Bepaal een helmholtzdecompositie van het vectorveld−→F = [y2, x2, zy].

16. Bepaal een helmholtzdecompositie van het vectorveld−→F = [sin y, cosx, z].

17. Bepaal een helmholtzdecompositie van het vectorveld−→F = [sinh y, coshx, z].

18. Werk uit (nabla-rekening):

(i) ∇× (f ∇g)

(ii) ∇ · (∇f ×∇g)

(iii) ∇ · (f(|OP|) OP)

19. Onderstel dat het vectorveld V gegeven wordt door

V = ω ×OP

waarbij ω een constante vector is.Bereken ∇×V.

Antwoord: 2ω

103

20. Onderstel dat het elektrisch veld E(x, y, z, t) en het magnetisch veld H(x, y, z, t)(x, y, z : plaatscoordinaten, t : tijd) voldoen aan de volgende Wetten van Maxwell:

∇ · E = 0, ∇ ·H = 0, ∇× E = −∂tH, ∇×H = ∂tE

Toon aan dat beide velden voldoen aan de golfvergelijking :

∆U = ∂2t U .

21. Gegeven het vectorveld

F(x, y) = exp x (cos y ex − sin y ey) .

In welk gebied Ω van het vlak voldoet F aan het riesz-stelsel, m.a.w. is het zoweldivergentie- als rotatievrij?Bepaal voor F een scalaire potentiaal en een divergentievrije vectorpotentiaal in Ωen controleer dat beide velden harmonisch zijn.Bepaal de veldlijnen van F. De orthogonale banen van deze veldlijnen zijn op hunbeurt de veldlijnen van een vectorveld G; bepaal G.

22. Zelfde oefening als voorgaande vertrekkend van het vectorveld

F(x, y) =x

x2 + y2ex +

y

x2 + y2ey .

23. Gegeven de functie u(x, y) = x2 − y2.Gevraagd:In welk gebied Ω is u harmonisch?

24. Gegeven zijn een open, samenhangend gebied Ω in het vlak en een tweedimensionaalcontinu differentieerbaar vectorveld F. Waar of vals: als de kringintegraal∫

CF • N ds = 0

voor elke gesloten kromme C in Ω, dan is F solenoıdaal in Ω ?

8.2 Lijnintegralen en oppervlakintegralen

1. Bereken de lijnintegraal ∫C

xdx+ ydy

(x2 + y2)5/2

waarbijC : P (t) = exp t sin t ex + exp t cos t ey, 0 ≤ t ≤ 2π .

Antwoord: 13(1− exp (−6π))

104

2. Bereken de lijnintegraal ∫CF · dP

waarbijF(x, y) = (x2 − 2xy) ex + (y2 − 2xy) ey

en C het stuk van de parabool y = x2 van (−2, 4) tot (1, 1) .

Antwoord: −36910

3. Bereken de lijnintegraal ∫Cxy dP

waarbij C(i) het stuk van de parabool y = x2 van (0, 0) tot (1, 1);(ii) het lijnstuk van (0, 0) tot (1, 1).

Antwoord: (i) (1/4, 2/5); (ii) (1/3, 1/3)

4. Bereken de lijnintegraal ∫CF · dP

waarbij

F(x, y, z) = −y ex + x ey −z

2ez

enC : P (t) = cos t ex + sin t ey + 2t ez, 0 ≤ t ≤ 2π .

Antwoord: 2π(1− 2π)

5. Bereken de lijnintegraal ∫CF · dP

waarbij

F(x, y) =OP

|OP|en C de cirkel met vergelijking x2 + y2 = 4 doorlopen in tegenwijzerzin.

Antwoord: 0

6. Bereken de lijnintegraal ∫Cz ds

waarbijC : P (t) = t cos t ex + t sin t ey + t ez, 0 ≤ t ≤ 1 .

Antwoord: 13(33/2 − 23/2)

105

7. Bereken de lijnintegraal ∫Cy2 sin3 x

√1 + cos2 x ds

waarbij

C : y = sinx, 0 ≤ x ≤ π

2.

Antwoord: 64105

8. Bereken de lijnintegraal ∫Cy2 ds

waarbij C: de cirkel met vergelijking x2 + y2 = 1.

Antwoord: π

9. Bepaal de coordinaten van het massamiddelpunt van een homogene (dichtheid ρ =1) draad gelegen langs het stuk van de cardioıde met poolvergelijking:

r(θ) = a(1 + cos θ), 0 ≤ θ ≤ π, a > 0 .

Antwoord: (45a, 4

5a)

10. Bepaal de coordinaten van het massamiddelpunt van een draad gelegen langs hetgedeelte van de schroeflijn

C : P (t) = [a cos t, a sin t,pt

2π], t : 0→ 2π

als de massadichtheid evenredig is met de hoogte boven het (x, y)-vlak.

Antwoord: (0,−a/π, 2p/3)

11. Gegeven is de ruimtekromme C met parametervoorstelling:

P (t) = [1

2(t− sin t cos t), sin t,

1

2sin2 t] , 0 ≤ t ≤ 2π .

Gevraagd:

(i) schets deze kromme; merk op dat C gelegen is op een cilinderoppervlak, wat isde cartesiaanse vergelijking van dit cilinderoppervlak?

(ii) langs de kromme C ligt een draad; bepaal de coordinaten van het massamid-delpunt als de massadichtheid evenredig is met de afstand tot het (y, z)-vlak.

Antwoord: x = 516

1π

+ 23π, y = − 1

π, z = 1

4

106

12. Gegeven is de vlakke kromme C met parametervoorstelling:

P (t) = [sin t− t cos t, cos t+ t sin t] , −π ≤ t ≤ π .

Gevraagd:

(i) schets deze kromme

(ii) langs de kromme C ligt een draad; bepaal de coordinaten van het massamid-delpunt als de massadichtheid evenredig is met de afstand tot de oorsprong.

Antwoord: x = 0, y = 0.6127

13. Volgens de Wet van Biot-Savart wordt de kracht uitgeoefend op een magneet metmagneetsterkte m geplaatst in de oorsprong, door een geleider C waardoor eenstroom met stroomsterkte I vloeit, gegeven door:

mI

∫C

OP× dP

|OP|3

waarbij C doorlopen wordt in de zin van de stroom.

Stel een uitdrukking op voor de kracht uitgeoefend op een magneet m geplaatst inde oorsprong, door een geleider C : r = r(θ), θ0 ≤ θ ≤ θ1, waardoor een stroom Ivloeit in de positieve zin.

Pas de gevonden uitdrukking toe op de ellipsvormige geleider:

r(θ) =p

1 + e cos θ, 0 ≤ θ ≤ 2π .

14. Bereken, met behulp van de Stelling van Green,∫Cxdy − ydx

waarbij C de cirkel x2 + y2 = a2 doorlopen in tegenwijzerzin.

Antwoord: 2πa2

15. Bereken, met behulp van de Stelling van Green,∫∂G+

expx cos y dy − expx sin y dx

waarbij G de rechthoek −2 ≤ x ≤ 2,−π ≤ y ≤ π.Antwoord: 0

107

16. Bereken, met behulp van de Stelling van Green,∫∂G+

(cosx sinh y − xy2) dx+ (sinx cosh y + x2y) dy

waarbij G = x2 + y2 ≤ a2.Antwoord: 0

17. Bereken, met behulp van de Stelling van Green,∫∂G+

x exp (−y2) dx+

(1

x2 + y2− x2y exp (−y2)

)dy

waarbij G het vierkant −1 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2.Antwoord: 0

18. Bereken, met behulp van de Stelling van Green,∫∂G+

xdy

waarbij G het gebied gelegen tussen x2 + y2 = 1 en y = x2 − 2, y = 2.

Antwoord: 323− π

19. Gegeven is het tweedimensionaal normaalgebied D en het scalaire veld φ dat continudifferentieerbaar is in een open Ω dat het gesloten gebied D volledig omvat.Geef en bewijs de formule die de lijnintegraal∫

∂D

φ Nu ds

uitdrukt als een dubbelintegraal over D.

20. Bepaal de coordinaten van het massamiddelpunt van de halve sfeer x2 + y2 + z2 =a2 (z > 0) als de massadichtheid evenredig is met de hoogte boven het (x, y)-vlak.

Antwoord: (0, 0, 2a3

)

21. Gegeven het oppervlak S met parametervoorstelling:

Q(u, v) = [u sin v, 2u, u cos v] 0 ≤ u ≤ a, 0 ≤ v ≤ 2π

Gevraagd:

(i) bepaal in elk punt van S de oppervlaknormaal

(ii) een uniforme metalen plaat heeft de vorm van het oppervlak S; bepaal decoordinaten van het massamiddelpunt.

108

Antwoord: x = 0, y = 43a, z = 0

22. Bereken de oppervlakintegraal ∫S

F · n dσ

waarbijF(x, y, z) = x ex + y ey ,

S het gedeelte van de sfeer x2 + y2 + z2 = 1 gelegen in het eerste octant, en nde eenheidsvector volgens de oppervlaknormaal uitwendig gericht aan de bol omvatdoor de gegeven sfeer is.

Antwoord: π3

23. Bereken de oppervlakintegraal ∫∂G

OP · n dσ

waarbij G een kubus met lengte ribbe 1 en n de eenheidsvector volgens de opper-vlaknormaal uitwendig gericht aan het lichaam omvat door G is.

Antwoord: 3

24. Gegeven zijn een scalair veld Φ dat harmonisch is in een open gebied Ω van het vlaken een normaalgebied D bevat in Ω.Toon aan dat ∫

∂D+

∂Φ

∂nds = 0 .

25. Gegeven is de bolkap S afgesneden van de sfeer x2 + y2 + z2 = 25 door het vlakz = 3. De projectie van S op dat vlak noemt men D. De eenheidsvector n volgensde oppervlaknormaal is steeds uitwendig gericht aan het gebied G ingesloten doorS en D.De vectorfunctie F wordt gegeven door: F(x, y, z) = xz ex + yz ey + ez.

Bereken de oppervlakintegralen:

(i)∫S F · n dσ

Antwoord: 144π

(ii)∫D

F · n dσ

Antwoord: −16π

(iii)∫S∪D F · n dσ

Antwoord: 128π

109

26. S is het gedeelte van de cilindermantel x2 + y2 = a2 begrepen tussen de vlakkenz = 0 en z = b (a > 0, b > 0); D1 is het grondvlak van de cilinder, en D2 hetbovenvlak.Verder is F(x, y, z) = x3 ex + x2y ey + x2zez en n de eenheidsvector langs deoppervlaknormaal uitwendig gericht t.o.v. het gebied G ingesloten door S, D1 enD2.

Bereken de oppervlakintegralen:

(i)∫S F · n dσ

Antwoord: πa4b

(ii)∫D1

F · n dσ

Antwoord: 0

(iii)∫D2

F · n dσ

Antwoord: 14πa4b

(iv)∫S∪D1∪D2

F · n dσ

Antwoord: 54πa4b

27. Door het vlak η met cartesiaanse vergelijking y = β wordt een bolkap S afgesnedenvan de sfeer met cartesiaanse vergelijking x2 + y2 + z2 = α2 (0 < β < α). Voor depunten van S geldt: y ≥ β.D is de projectie van S op η, en G is het lichaam ingesloten tussen S en D, terwijlnu de eenheidsvector langs de oppervlaknormaal voorstelt uitwendig gericht aan hetlichaam G.Bereken:

(i) ∫S

OP · nu dσ

Antwoord: 2πα2(α− β)

(ii) ∫D

OP · nu dσ

Antwoord: πβ(β2 − α2)

(iii) ∫∂G

OP · nu dσ

Antwoord: π(α− β)2(2α + β)

110

28. Onderstel dat een glad oppervlak S bijectief kan worden afgebeeld, door een centraleprojectie vanuit de oorsprong, op een deel Σ van de eenheidssfeer.Per definitie noemt men de oppervlakte van Σ de ruimtehoek van S t.o.v. de oor-sprong, genoteerd ω(S).

Toon aan dat

ω(S) =

∫S

1

|OP|3OP · nu dσ

waarbij nu de eenheidsvector volgens de oppervlaknormaal aan S georienteerd “wegvan de oorsprong”.

29. Bereken de ruimtehoek t.o.v. de oorsprong van de schijf bepaald door:

x2 + y2 ≤ a2, z = b (a > 0, b > 0) .

Antwoord: 2π(1− b√a2+b2

)

30. Gegeven is een gesloten oppervlak S = ∂G.Toon aan dat de ruimtehoek van S t.o.v. de oorsprong nul is als de oorsprong buitenG ligt, en 4π is als de oorsprong binnenin G ligt.

31. Gegeven is het driedimensionaal normaalgebied V en het scalaire veld φ dat continudifferentieerbaar is in een open Ω dat het gesloten gebied V volledig omvat.Geef en bewijs de formule die de oppervlakintegraal∫

∂V

φ nu dσ

uitdrukt als een drievoudige integraal over V .

32. Bereken, met behulp van de Stelling van Stokes, de lijnintegraal∫CF · dP

waarbijF(x, y, z) = −z ey + y ez

en C de rand is van het oppervlak S gegeven door:

Q(u, v) = u cosu ex + u sinu ey + v ez, 0 ≤ u ≤ π

2, 0 ≤ v ≤ u .

Antwoord: op het teken na, 2− π2

2

111

33. Bereken, met behulp van de Stelling van Stokes, de lijnintegraal∫CF · dP

waarbijF(x, y, z) = y ex + z ey + x ez

en C de rand is van het oppervlak S gegeven door:

Q(u, v) = cosu ex + sinu ey + v ez, 0 ≤ u ≤ π, 0 ≤ v ≤ 1 + sinu .

Antwoord: −2− π2

34. Gegeven zijn het oppervlak S, zijnde het gedeelte van de sfeer x2 + y2 + z2 = 1dat boven het (x, y)-vlak is gelegen, en de scalaire functies u(x, y, z) = x3 − y3 +z2, v(x, y, z) = x+ y + z.Bereken de oppervlakintegraal ∫

S(∇u×∇v) · n dσ

met behulp van de Stelling van Stokes.

Antwoord: 32π

35. Beschouw het trapoppervlak S dat ontstaat door uit elk punt van het gedeelte vande schroeflijn

C : P (t) = [a cos t, a sin t,pt

2π], t : 0→ 2π

de loodlijn neer te laten op de as van de rechte circulaire cilinder geconstrueerd opC. Verder is ook gegeven het vectorveld F = [z, x, y].Bereken de oppervlakintegraal ∫

S

(∇× F) · n dσ

waarbij de eenheidsvector volgens de oppervlaknormaal aan S een scherpe hoekinsluit met de z-as(i) rechtstreeks;(ii) met behulp van de Stelling van Stokes.

Antwoord: πa2

36. Onderstel, hypothetisch, dat de Stelling van Stokes bewezen is.Bewijs de stelling van Green in het vlak met behulp van de Stelling van Stokes.

112

37. Gegeven het oppervlak S met parametervoorstelling:

Q(u, v) = [v sinu, −v cosu, u] , 0 ≤ u ≤ α, 0 ≤ v ≤ β

en het vectorveldF(x, y, z) = [y2, z2, x2].

Bereken ∫∂S

F · dP

waarbij uzelf de zin op ∂S kiest en duidelijk aanduidt op een figuur.

Antwoord:

1

6β(3β cosα sinα− 4β2 sinα− 12α sinα− 3αβ − 12 cosα + 12

)38. De kromme C is de doorsnede van het oppervlak met cartesiaanse vergelijking x2 +

y2 + z2 = a2, met het vlak met vergelijking x+ y = 0.Gegeven is het vectorveld F(x, y, z) = [z, x, y].Bereken ∫

CF · dP

waarbij de zin op C door uzelf mag worden gekozen maar duidelijk aangegeven opeen figuur.

Antwoord: πa2√

2

39. Bereken de oppervlakintegraal∫Sxz dσ waarbij S het gedeelte is van het oppervlak

met cartesiaanse vergelijking z = x2, dat wordt afgesneden door de paraboloıde metcartesiaanse vergelijking z = 1− 3x2 − y2 en in het eerste octant ligt.

Antwoord: 196

40. Bereken de oppervlakte van het gedeelte van het kegeloppervlak met cartesiaansevergelijking z =

√x2 + y2 dat gelegen is tussen de cilinderoppervlakken met verge-

lijking x2 + y2 = 1 en 9x2 + 4y2 = 36.

Antwoord: 5√

2π

41. De coulombpotentiaal V opgewekt door een puntlading ter grootte Q geplaatst inde oorsprong O wordt in vacuo gegeven door:

V (P ) = − Q

4πε0

1

ρ

waarbij ρ = ||OP|| en ε0 de zgn. dielektrische constante in vacuo voorstelt.Het corresponderend elektrisch veld wordt gegeven door:

F = ∇V

113

Gevraagd:(i) onderzoek de continu differentieerbaarheid van het vectorveld F ;(ii) bepaal de veldlijnen van F ;(iii) onderzoek het conservatief karakter van F ;(iv) bepaal de buitenwaartse flux van F door ∂B(O,R) ;(v) bepaal de flux van F door een gesloten oppervlak ∂G dat de rand is van eennormaalgebied G.

42. Het oppervlak S is het gedeelte van x2 + y2 + z2 = 1 dat gelegen is in het eersteoctant (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).Het scalair veld φ wordt gegeven door φ(x, y, z) = x+ y + z.

Bereken∫∂S

φ dP waarbij de door u gekozen zin wordt aangegeven op een figuur.

Antwoord: ~0

43. Het oppervlak S is het gedeelte van x2 + y2 + z2 = 1 dat gelegen is in het eersteoctant (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0).

Bereken∫∂S

OP × dP waarbij de door u gekozen zin wordt aangegeven op eenfiguur.

Antwoord: (π/2, π/2, π/2)

44. Het oppervlak S is het gedeelte van x2 + y2 − z2 = 0 dat gelegen is in het eersteoctant (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) en tussen de vlakken met vergelijking z = 0 en z = 1.Het scalair veld φ wordt gegeven door φ(x, y, z) = x2 + y2 + z2.

Bereken∫∂S

φ dP waarbij de door u gekozen zin wordt aangegeven op een figuur.

Antwoord: (−4/3, 4/3, 0)

45. Het oppervlak S is het gedeelte van y2 + z2 − x2 = 0 dat gelegen is in het eersteoctant (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0) en tussen de vlakken met vergelijking x = 0 en x = 1.

Bereken∫∂S

OP × dP waarbij de door u gekozen zin wordt aangegeven op eenfiguur.

Antwoord: (π/2,−1,−1)

46. Het lichaam G is omhuld door het oppervlak y2 + z2 − x + 3 = 0 en ligt tussen devlakken x = 3 en x = 4.Het scalaire veld φ wordt gegeven door φ(x, y, z) = x+ y + z.

Bereken∫∂G

φ n dσ waarbij de eenheidsvector n langs de oppervlaknormaal uit-wendig gericht is t.o.v. het lichaam G.

Antwoord: (π/2, π/2, π/2)

114

47. Het lichaam G is omhuld door het oppervlak x2 + y2 − z + 2 = 0 en ligt tussen devlakken z = 1 en z = 3.Het vectorveld F wordt gegeven door F(x, y, z) = [z, x, y].

Bereken∫∂G

n × F dσ waarbij de eenheidsvector n langs de oppervlaknormaaluitwendig gericht is t.o.v. het lichaam G.

Antwoord: (π/2, π/2, π/2)

48. Het lichaam G is omhuld door het oppervlak x2 + y2 − z2 + 3 = 0 en ligt tussen devlakken met vergelijking z =

√3 en z =

√5.

Het vectorveld F wordt gegeven door F(x, y, z) = [y, z, x].

Bereken∫∂G

F × n dσ, waarbij de eenheidsvector n langs de oppervlaknormaaluitwendig gericht is t.o.v. het lichaam G.

49. Het lichaam G is omhuld door het oppervlak y2 + z2 − x2 + 3 = 0 en ligt tussen devlakken met vergelijking x =

√3 en x =

√7.

Het scalaire veld φ wordt gegeven door φ(x, y, z) = x+ y + z.

Bereken∫∂G

φ n dσ, waarbij de eenheidsvector n langs de oppervlaknormaal uit-wendig gericht is t.o.v. het lichaam G.

115

Hoofdstuk 9

Oefeningendifferentiaalvergelijkingen

9.1 Complexe getallen

1. Teken in het complexe vlak de verzameling van de complexe getallen z die voldoenaan:

(a)∣∣ z−3z+3

∣∣ = 2

(b) 1 < |z + i| ≤ 2

(c) |z + 3 i| > 4

(d) |z + 2− 3 i|+ |z − 2 + 3 i| < 10.

2. Gegeven de definities van de volgende functies van een complexe variabele z via hunTaylorreeksontwikkeling:

exp(z) = 1 +z

1!+z2

2!+z3

3!+ · · ·+ zn

n!+ . . .

cos(z) = 1− z2

2!+z4

4!− z6

6!+ · · ·+ (−1)n

z2n

(2n)!+ . . .

sin(z) =z

1!− z3

3!+z5

5!− · · ·+ (−1)n

z2n+1

(2n+ 1)!+ . . .

Bewijs de eulerformule exp(i θ) = cos θ + i sin θ, θ ∈ R.

3. Bewijs met de eulerformule dat voor θ ∈ R geldt :

cosθ

3+ cos

θ + 2 π

3+ cos

θ + 4 π

3= 0.

116

4. Los de volgende complexe veeltermvergelijkingen op, d.w.z. bepaal telkens allecomplexe getallen z ∈ C die voldoen aan de gegeven vergelijking :

(a) z3 + 2 z2 + z + 2 = 0

(b) z3 − z2 − 8 z + 12 = 0

(c) z2 − 2 i z + 4 = 0

(d) z2 − 2 i z + 2 = 0

(e) (5− i) z2 + 2 i z + i = 0

(f) i z2 + 2 i z + i = 0

(g) (20 + 40 i) z2 − 20 i z + 3− 6 i = 0

(h) z4 + 2 z3 + 20 z + 12 = 0

9.2 Lineaire differentiaalvergelijkingen

9.2.1 Theoretische opgaven

1. Bepaal in ]−∞,+∞[ de algemene oplossing van

yIV − y = g , g continu in ]−∞,+∞[ .

2. Stel een nodige en voldoende voorwaarde voor de functies p en q op, opdat de LDV

y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0

zou kunnen worden herleid d.m.v. een verandering van onafhankelijke variabele, toteen LDV met constante coefficienten.

3. Toon aan dat elke oplossing van de LDV

xy′′ − 2y′ + xy = 0

tevens oplossing is van een differentiaalvergelijking van de vierde orde met constantecoefficienten.Los deze laatste op en leid hieruit de algemene oplossing van de gegeven LDV af.

4. Toon aan dat voor elke N ∈ N de LDV

xy′′ − (x+N)y′ +Ny = 0

een exponentiele en een veeltermfunctie als basisoplossingen bezit.

117

5. De studie van een uniforme vloeistofstroom om een circulaire cilinder leidt tot deLDV

y′′ + δ(xy′ + y) = 0 (δ: constante).

Bepaal de algemene oplossing; waar is die geldig?

6. Onderstel dat de LDVy′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0

in het interval ]a, b[ waar de functies p en q continu zijn, de oplossing y1 bezit die ernergens nul wordt.Toon aan dat een tweede, lineair onafhankelijke oplossing y2 voldoet aan(

y2y1

)′=W (y1, y2)

y21.

Leid hieruit y2 af (in integraalgedaante).

Toon aan dat de wronskiaanse determinant van twee lineair onafhankelijke oplos-singen voldoet in ]a, b[ aan de DV:

W ′ + p(x) W = 0

Hieruit volgt dat de wronskiaanse determinant van twee lineair onafhankelijke oplos-singen kan worden bepaald, op een multiplicatieve constante na, zonder de gegevenDV op te lossen.

7. Gegeven is de LDVay′′ + by′ + cy = 0

(i) Onderstel dat a, b en c positieve constanten zijn.Toon aan dat alle oplossingen tot nul naderen als t→ +∞.

(ii) Onderstel dat a en c positieve constanten zijn en dat b = 0.Toon aan dat alle oplossingen begrensd zijn als t→ +∞.

(iii) Onderstel dat a en b positieve constanten zijn en dat c = 0.Toon aan dat alle oplossingen naderen tot een constante afhankelijk van de begin-voorwaarden als t→ +∞.Bepaal deze constante voor de beginvoorwaarden y(0) = y0 , y

′(0) = y1.

8. Bepaal de algemene oplossing van de LDV

y′′ + λ2y =N∑m=1

am sinmπx

118

waarbij λ > 0 en λ 6= mπ voorm = 1, . . . , N .Waar is deze algemene oplossing geldig?

9. In welk gebied bezit het beginvoorwaardenprobleemy′′ + y = h(x)

y(0) = 0

y′(0) = 1

waarbij

h(x) =

x , x ≤ π

π exp (π − x) , π < x

een oplossing die er tweemaal continu differentieerbaar is?Bepaal deze oplossing.

10. In welk gebied bezit het beginvoorwaardenprobleemy′′ + 2y′ + 5y = h(x)

y(0) = 0

y′(0) = 0

waarbij

h(x) =

1 , x ≤ π/2

0 , π/2 < x

een continu afleidbare oplossing?Bepaal deze oplossing.

9.2.2 Vraagstukken

1. (i) Een kamer met volume V bevat op het ogenblik t = 0 geen CO.Van dan af blaast men in de kamer lucht die p% CO bevat, met een snelheidvan s dm3 per seconde.Het homogeen mengsel verlaat de kamer met dezelfde snelheid.Bepaal op elk ogenblik t de concentratie c(t) aan CO in de kamer.

(ii) Op een bepaald moment bedraagt de concentratie aan CO in de kamer c0; vandan af bevat de instromende lucht geen CO meer. Hoe lang duurt het voor deconcentratie aan CO in de kamer op de helft is teruggevallen?

2. Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V0 liter water waarinZ0 kilogram zout is opgelost.Er stroomt zuiver water de tank binnen met een debiet van s liter per minuut. Het

119

(door roeren) homogeen mengsel verlaat de tank met een debiet van r liter (r < s)per minuut.

Gevraagd:

(i) bepaal op elk ogenblik t de hoeveelheid zout in de tank;

(ii) na hoeveel tijd is de concentratie zout op de helft van de initiele concentratieteruggevallen?

3. Een vloeistoftank met een capaciteit van W liter, bevat aanvankelijk V liter (V <W ) water waarin Z kilogram zout is opgelost.Tijdens de eerste fase stroomt zuiver water de tank binnen met een debiet van s literper minuut. Het (door roeren) homogeen mengsel verlaat de tank met een debietvan r liter (r < s) per minuut. De eerste fase stopt op het ogenblik dat de tankvolledig gevuld is.Tijdens de tweede fase bevat het instromend water zout met een concentratie vank kilogram per liter. Het uitstroomdebiet blijft onveranderd, terwijl het instroom-debiet teruggebracht wordt op eveneens r liter per minuut.

Gevraagd:

(i) Bepaal op elk ogenblik van de eerste fase de hoeveelheid zout in de tank.

(ii) Hoelang moet de tweede fase duren om de hoeveelheid zout in de tank op heteinde van de eerste fase, te verdubbelen?

(iii) Schets de grafiek van het volledige verloop (eerste en tweede fase) van de hoe-veelheid zout in de tank in het concrete geval waar W = 500, V = 100, s =10, r = 5, Z = 30, k = 1/2.

4. In een meer met constant volume V m3 stroomt water dat een concentratie k kg/m3

aan polluerende bestanddelen bevat, met een debiet van r m3/min; water stroomtook uit het meer met hetzelfde debiet. Bovendien worden polluanten rechtstreeksin het meer geloosd met een constante snelheid P kg/min. Er wordt ondersteld datde verontreiniging zich steeds homogeen over het meer verspreid.

Gevraagd:(i) Bepaal de concentratie aan polluanten in het meer c(t) als functie van de tijd t,aangenomen dat c(0) = c0.(ii) Op een bepaald ogenblik wordt het lozen van alle polluerende bestanddelenstopgezet (k = P = 0). Bereken de tijd nodig opdat de concentratie aan polluantenzou teruggevallen op de helft, respectievelijk een tiende.

5. De temperatuur van een voorwerp verandert met een snelheid die op elk ogenblikrecht evenredig is met het verschil tussen de omgevingstemperatuur en de tempera-tuur van het voorwerp.Een verse kop koffie heeft een temperatuur 70 graden; na 10 minuten in een eerste

120

kamer met constante temperatuur 20 graden te hebben gestaan, is de temperatuurvan de koffie teruggevallen op 40 graden.Hierna zet men het kopje koffie in een tweede kamer waar de constante temperatuurW heerst.

Gevraagd:

(i) Bepaal op elk ogenblik t ∈ [0, 10] de temperatuur van de koffie in de eerstekamer.

(ii) Hoe hoog dient de temperatuur W in de tweede kamer te zijn, opdat na 10minuten in de tweede kamer te hebben gestaan, het kopje koffie terug zijnoorspronkelijke temperatuur 70 zou bereiken?

(iii) Schets de grafiek van het volledig temperatuursverloop van het kopje koffie in0 ≤ t ≤ 20.

6. De verandering per tijdseenheid van de temperatuur aan het oppervlak van eenlichaam is op elk moment recht evenredig met het verschil tussen de omgevingstem-peratuur en de temperatuur van het lichaam op dat moment.

Vraagstuk 1In een omgeving van 21 graden celsius vindt men het lichaam van een overledene enstelt vast dat het een temperatuur van 33 graden celsius heeft, en twee uur daarnanog 30 graden. Bepaal het tijdstip van overlijden onder de aanname dat een normalelichaamstemperatuur 37 graden celsius bedraagt.

Vraagstuk 2Men vindt hetzelfde lichaam met een temperatuur van 33 graden, maar men bergthet ogenblikkelijk op in een koelkast met een temperatuur van 3 graden. Bepaal detemperatuur van het stoffelijk overschot twee uur na de ontdekking ervan.

7. Een populatie bacterien neemt in aantal toe recht evenredig met het aantal aanwe-zige bacterien (evenredigheidsfactor a). De aanwezigheid van een toxine veroorzaaktde dood van bacterien met een snelheid evenredig met het aantal bacterien en even-redig met de hoeveelheid toxine (evenredigheidsfactor b).Op het begintijdstip is de populatie bacterien N en is er geen toxine aanwezig in devoedingsbodem. Van dan af neemt de hoeveelheid toxine toe met constante snelheidc.Bepaal de populatie bacterien op elk tijdstip t > 0 en voor t→ +∞.

8. Een vat met een capaciteit van 100 ` is volledig gevuld met water waarin 10 kgzout is opgelost. Per minuut wordt 5 ` zuiver water aan het vat toegevoegd. Watoverloopt, na volledige menging, wordt in een ander vat met dezelfde capaciteitgeleid, dat oorspronkelijk volledig met zuiver water was gevuld. De vloeistof in hettweede vat wordt eveneens volledig gemengd. Wanneer zal de hoeveelheid zout inhet tweede vat maximaal zijn?

121

9. Een radioactief isotoop vervalt derwijze op elk moment de hoeveelheid materiaal dieper tijdseenheid desintegreert recht evenredig is met de beschikbare hoeveelheid opdit moment. Men constateert dat van 100 mg radioactief thorium 234 na een weeknog 82.04 mg rest.

Vraagstuk 1Bepaal de halfwaardentijd van thorium 234, dit is de tijdspanne waarin de helft vande hoeveelheid radioactief materiaal is gedesintegreerd (en dus de helft overblijft).

Vraagstuk 2Als men initieel (t = 0) beschikt over 100 mg thorium 234 en dagelijks 1 mg eraantoevoegt, bepaal dan de hoeveelheid radioactief materiaal na een week.

Vraagstuk 3Als men initieel (t=0) beschikt over 100 mg thorium 234, hoeveel moet men dandagelijks eraan toevoegen (constante hoeveelheid per dag), om steeds over 100 mgthorium 234 te beschikken?

10. In een zeker gebied zijn er op een bepaald ogenblik N muggen.Indien er geen belagers zouden zijn, zou de populatie muggen aangroeien met eensnelheid die op elk ogenblik recht evenredig is met de grootte van de populatie;daarbij zou de populatie muggen om de week verdubbelen.In het gebied zijn echter vogels actief; elke dag worden m muggen door de vogelsopgepeuzeld.

Gevraagd:

(i) Bepaal de grootte van de populatie muggen op elk ogenblik t > 0.

(ii) Voor welke waarde(n) van m zal de populatie muggen afnemen in de tijd?

(iii) Schets de grafiek van het verloop van de muggenpopulatie in het concrete gevalwaar N = 100.000,m = 5.000.

11. Bepaal de vergelijking van de kromme die door het punt (0, 1) gaat en waarvoorde oppervlakte van elke driehoek begrensd door een raaklijn aan die kromme, devoerstraal naar het raakpunt en de x-as, een constante oppervlakte a2 bezit.

12. Op een terrein leven muizen en katten; op elk ogenblik t stellen K(t) en M(t) derespectieve aantallen katten en muizen voor.Op elk ogenblik t wordt de aangroei van de katten en muizen bepaald door:

dK

dt= 0.001K(t) + 0.0001M(t)

dM

dt= 0.01M(t)−K(t) .

Gevraagd:(i) Op het begintijdstip t = 0 zijn er 3000 muizen en 15 katten op het terrein;

122

wanneer zijn er geen muizen meer?(ii) Hoeveel katten moeten we op t = 0 op het terrein uitzetten om na 100 dagenvan de muizen verlost te zijn?

[Aanwijzing: stel een beginvoorwaardenprobleem op voor de functie M(t) met eendifferentiaalvergelijking van de tweede orde.]

13. Een voorwerp met massa m = 1 beweegt aan een veer (veerconstante k = 2) in eenvisceuze middenstof (weerstandscoefficient γ = 3) onder invloed van een uitwendigekracht gegeven door F (t) = sin 2t.Op het ogenblik t = 0 bevindt het voorwerp zich in initiele rust.

Gevraagd:

• Bepaal de transiente beweging.

• Bepaal de evenwichtsbeweging; bepaal amplitude en fase ervan.

14. Een voorwerp met massa m = 1 beweegt aan een veer (veerconstante k = 9) in eenmiddenstof zonder weerstand (weerstandscoefficient γ = 0) onder invloed van eenuitwendige kracht gegeven door F (t) = sin 3t.Op het ogenblik t = 0 bevindt het voorwerp zich in initiele rust.

Gevraagd:

(i) bepaal op elk ogenblik t de uitwijking u(t) van het voorwerp t.o.v. de even-wichtsstand;

(ii) hoe gedraagt het voorwerp zich voor t→ +∞?

15. Een voorwerp met massa m = 1 beweegt aan een veer (veerconstante k = 4) inhet vacuum (weerstandscoefficient γ = 0) onder invloed van een uitwendige krachtgegeven door F (t) = cos 2t.Op het ogenblik t = 0 bevindt het voorwerp zich in initiele rust.

Gevraagd:

(i) Bepaal op elk ogenblik t > 0 de uitwijking u(t) van het voorwerp t.o.v. deevenwichtsstand.

(ii) Hoe gedraagt het voorwerp zich voor zeer grote tijdswaarden?

16. Een massa van 8 kg trekt een veer 1, 5 dm uit. Het verticaal opgehangen veersysteemheeft een dempingselement dat een weerstandskracht uitoefent die recht evenredigis (evenredigheidsconstante γ) met de grootte van de snelheid van het voorwerp. Eris geen externe aandrijvingskracht.Op het begintijdstip wordt het voorwerp 2 dm omhoog geduwd en zonder meerlosgelaten. Bepaal de beweging van het voorwerp met bespreking naargelang γ.

123

17. De beweging van een voorwerp aan een veer wordt beschreven doory′′ + 0.125 y′ + y = 0

y(0) = 2

y′(0) = 0 .

Na hoeveel tijd gaat het voorwerp voor de eerste keer door zijn evenwichtspunt?

18. Een veersysteem met veerconstante k = 3 N/m hangt verticaal in een mediumdat een weerstandskracht uitoefent die recht evenredig is met de grootte van desnelheid van het voorwerp met een massa van 2 kg dat aan de veer is opgehangen.Het veersysteem wordt verder nog aangedreven door een externe kracht (3 cos 2t−2 sin 3t) N . bepaal de evenwichtsbeweging (de zg. “steady state”).

19. Een voorwerp met een massa van 5 kg rekt een veer 10 cm uit. Op dit voorwerpwerkt een uitwendige kracht gegeven door 10 sin t

2N . De visceuze middenstof

veroorzaakt een dempingskracht die gelijk is aan 2 N op het ogenblik dat de snelheidvan het voorwerp 4 cm per seconde bedraagt. Het voorwerp wordt vanuit zijnevenwichtspunt in beweging gebracht met een opwaarts gerichte snelheid van 3 cmper seconde.(i) Bepaal de beweging van dit voorwerp.(ii) Bepaal de transiente en de “steady-state” gedeelten van de oplossing.

20. Een veersysteem voldoet aany′′ + 1

4y′ + 2 y = 2 cosωt

y(0) = 0

y′(0) = 2 .

(i) Bepaal het “steady-state”-gedeelte van de oplossing.(ii) Bepaal de amplitude A van dit “steady-state”-gedeelte als functie van ω.(iii) Voor welke frequentie ω bereikt de amplitude A de grootste waarde?

9.3 Partiele differentiaalvergelijkingen

9.3.1 Fourierreeksen

1. Beschouw volgende functies in hun basisinterval

• f(x) = x/π voor x ∈]− π, π[

• f(x) = x2 voor x ∈]− 2, 2[

• f(x) = sin4(x) voor x ∈]− π, π[

124

• f(x) = (x− 1)2 voor x ∈]− 3, 3[

die periodiek verder gezet worden tot de volledige reele rechte.

Bepaal voor elke functie een Fourierreeksontwikkeling. Plot elke functie samen methaar Fourierreeksbenadering. Doe dit voor 3, 9 en 27 termen in de reeks. Watgebeurt er in de buurt van discontinuıteiten?

Hoe beınvloedt de symmetrie van de functie de fourierreeks?

2. Gegeven een continue functie f(x) in een interval ]0, L[. We willen voor deze functieeen reeksontwikkeling opstellen van volgende vorm

f(x) =∞∑k=0

ak sin(2k + 1)πx

2L

Hoe moeten we f(x) extenderen tot de volledige reele rechte opdat dit mogelijk zouzijn? Geef tevens een uitdrukking voor de fourierreekscoefficienten ak als integraalover het interval ]0, L[.

Pas dit vervolgens toe op f(x) = x in het interval ]0, 2[ en maak de nodige grafieken.

3. Zij f(t) een continue functie en

f(t) =+∞∑k=0

ak cos kt, ak ∈ C

haar convergente fourierreeks. Zoek dan een formule die de reeks (met n een na-tuurlijk getal)

g(t) =+∞∑k=0

ank cos kt

expliciet geeft in termen van f(t).

Hint: probeer eerst de gevallen n = 2 en n = 3.

9.3.2 Warmtedistributie in een staaf

1. Een uniforme staaf (materiaalconstante α2) met lengte ` wordt aan beide uiteindenop temperatuur 0 gehouden.De begintemperatuur (t = 0) wordt gegeven door de functie f(x) = 2 sin 3πx

`, 0 <

x < `.Gevraagd:

• Bepaal de initiele thermische energie in de staaf.

• Bepaal de evenwichtstoestand voor t→ +∞ vooraf.

125

• Bepaal de temperatuur in de staaf op elke plaats x ∈ [0, `] en elk tijdstip t > 0.

• Controleer de reeds gevonden evenwichtstoestand voor t → +∞ aan de handvan de oplossing.

• Bepaal de thermische energie in de staaf voor de evenwichtstoestand t→ +∞;conclusie?

2. Een uniforme staaf (materiaalconstante α2) met lengte ` is aan beide uiteindengeısoleerd.De begintemperatuur (t = 0) wordt gegeven door de functie f(x) = 3 cos2 πx

2`, 0 <

x < `.Gevraagd:

• Bepaal de initiele thermische energie in de staaf.

• Bepaal de evenwichtstoestand voor t→ +∞ vooraf.

• Bepaal de temperatuur in de staaf op elke plaats x ∈ [0, `] en elk tijdstip t > 0.

• Controleer de reeds gevonden evenwichtstoestand voor t → +∞ aan de handvan de oplossing.

• Bepaal de thermische energie in de staaf voor de evenwichtstoestand t→ +∞;conclusie?

3. Een uniforme dunne staaf (materiaalconstante α2) met lengte ` is aan beide uitein-den geısoleerd.De begintemperatuur (t = 0) wordt gegeven door de functie f(x) = 1 + cos 3πx

`, 0 <

x < `.

Gevraagd:

(i) Bepaal de initiele thermische energie in de staaf.

(ii) Bepaal de evenwichtstoestand voor t→ +∞ vooraf.

(iii) Bepaal de temperatuur in de staaf op elke plaats x ∈ [0, `] en elk tijdstip t > 0.

(iv) Controleer de reeds gevonden evenwichtstoestand voor t → +∞ aan de handvan de bekomen oplossing.

(v) Bepaal de thermische energie in de staaf voor de evenwichtstoestand t→ +∞;conclusie?

(vi) Schets, op dezelfde grafiek, de begintemperatuur en de evenwichtstemperatuur.

4. Een uniforme staaf (materiaalconstante α2) met lengte ` is aan beide uiteindengeısoleerd.De begintemperatuur (t = 0) wordt gegeven door de functie f(x) = 3 cos2 πx

2`, 0 <

x < `.Gevraagd:

126

• Bepaal de initiele thermische energie in de staaf.

• Bepaal de evenwichtstoestand voor t→ +∞ vooraf.

• Bepaal de temperatuur in de staaf op elke plaats x ∈ [0, `] en elk tijdstip t > 0.

• Controleer de reeds gevonden evenwichtstoestand voor t → +∞ aan de handvan de oplossing.

• Bepaal de thermische energie in de staaf voor de evenwichtstoestand t→ +∞;conclusie?

5. Een gietijzeren staaf met lengte L = 2 heeft initieel temperatuursprofiel f(x) = 1−x.Vanaf t > 0 worden beide uiteinden op temperatuur u = 0 gehouden.Bepaal de temperatuur in elk punt x van de staaf op elk tijdstip t.

6. Een gietijzeren staaf met lengte L = 2 heeft initieel temperatuursprofiel f(x) = 1−xvoor x ∈]0, 1[, f(x) = 0 voor x ∈ [1, 2[. Vanaf t > 0 worden beide uiteinden optemperatuur u = 0 gehouden.Bepaal de temperatuur in elk punt x van de staaf op elk tijdstip t.

7. Een gietijzeren staaf met lengte L = 2 heeft initieel temperatuursprofiel f(x) = 1−xvoor x ∈]0, 1[, f(x) = 0 voor x ∈ [1, 2[. Vanaf t > 0 wordt het linkeruiteinde optemperatuur u1 = 1

2gehouden, het rechteruiteinde op temperatuur u2 = 2.

Bepaal de temperatuur in elk punt x van de staaf op elk tijdstip t.

8. Een gietijzeren staaf met lengte L = 2 heeft initieel temperatuursprofiel f(x) = 1−xvoor x ∈]0, 1[, f(x) = 0 voor x ∈ [1, 2[. Beide uiteinden zijn geısoleerd.Bepaal de temperatuur in elk punt x van de staaf op elk tijdstip t.

9. Een homogene staaf met lengte π2

heeft een initieel temperatuursprofiel gegevendoor f(x) = 100 voor 0 < x < π

4en f(x) = −100 voor π

4≤ x < π

2. Vanaf t > 0

wordt het linkeruiteinde op temperatuur 300 graden Celsius gehouden, terwijl hetrechteruiteinde geısoleerd is.Gevraagd:

• Bepaal de evenwichtstoestand.

• Bepaal de temperatuur in elk punt van de staaf op elk ogenblik t.

• Wat gebeurt er met het sprongpunt van f(x) in x = π4, voor t > 0? Leg uit.

10. Een homogene staaf met lengte π2

heeft een initieel temperatuursprofiel gegeven doorf(x) = 100 voor 0 < x < π

4en f(x) = −200 voor π

4≤ x < π

2. Vanaf t > 0 wordt

het linkeruiteinde op temperatuur 400 graden gehouden, terwijl het rechteruiteindegeısoleerd is. De warmtevergelijking luidt uxx = ut.Gevraagd:

127

• Bepaal de temperatuur in elk punt x van de staaf op elk tijdstip t; maak eenschets van de oplossing op t = 1, samen met de beginstand.

• Vanaf welk tijdstip zal de temperatuur in het midden van de staaf minder dan1% van de evenwichtstemperatuur afwijken?

9.3.3 Trillende snaar

1. Een elastische snaar met lengte ` ligt op de x-as; de uiteinden x = 0 en x = ` zijnvast. Op het tijdstip t = 0 heeft de snaar de vorm sin 7πx

`terwijl er geen initiele

snelheid is.

Gevraagd:Bepaal op elk tijdstip t de uitwijking u(x, t) van het punt x van de snaar t.o.v. dex-as.Hoe gedraagt de snaar zich voor t→ +∞?

2. Een theoretische elastische snaar met lengte 1 ligt op het interval [0, 1] van de X-asen heeft vaste uiteinden; op t = 0 wordt de beginstand gegeven door de functief(x) = 8x voor 0 < x < 1

4, f(x) = 4x − 2 voor 1

4≤ x < 3

4, f(x) = 4 − 4x voor

34≤ x < 1, terwijl de beginsnelheid nul is. De golfvergelijking luidt: uxx = utt.

Bepaal de uitwijking t.o.v. de evenwichtsstand voor elk punt van de snaar op elkogenblik t > 0.

3. Een theoretische elastische snaar met lengte 2 ligt op het interval [0, 2] van deX-as en heeft vaste uiteinden; op t = 0 wordt de beginstand gegeven door defunctie f(x) = cos(π(1−x)

2), terwijl de beginsnelheid nul is. De golfvergelijking luidt:

4uxx = utt.Bepaal de uitwijking t.o.v. de evenwichtsstand voor elk punt van de snaar op elkogenblik t > 0.

4. Beschouw een theoretische elastische snaar met lengte 4 en α = 0.7. Het linkerui-teinde is vastgezet, terwijl het rechteruiteinde vrij is. De snaar wordt in beweginggebracht zonder initiele snelheid, vanuit de beginstand gegeven door f(x) = x.Bepaal de uitwijking t.o.v. de evenwichtsstand voor elk punt van de snaar op elkogenblik t > 0.

5. Beschouw dezelfde snaar als in voorgaande oefening, waarbij men nu, i.p.v. de gege-ven functie f(x) een niet nader gespecifieerde functie g(x) als beginconditie gebruikt.Stel dat u(x, t) dan op t = 10 een discontinuiteit vertoont in x = 3, wat weet u overde functie g(x)?

6. Een snaar met lengte 1, vaste uiteinden, beginstand f(x) = 0 en beginsnelheidg(x) = 2x voor x ∈ [0, 1

2] en g(x) = 2(1 − x) voor x ∈ [1

2, 1] beweegt volgens de

golfvergelijking uxx = utt.

128

Bepaal u(x, t) m.b.v. de methode van scheiding der veranderlijken en onderzoek deeventuele discontinuıteiten van u, ux en uxx.

7. Een theoretische snaar met vrije uiteinden ligt op t = 0 horizontaal langs het in-terval [0, 1] van de X-as en krijgt een beginsnelheid mee, gegeven door ut(x, 0) =sin2(πx) cos(2πx). De golfvergelijking luidt uxx = utt.Bepaal de oplossing d.m.v. scheiding der veranderlijken.

8. Een snaar met lengte l, vaste uiteinden, beginsnelheid g(x) = 0 en beginstand

f(x) = hxa

voor x ∈ [0, a] en f(x) = h(l−x)l−a voor x ∈ [a, l] beweegt volgens de

golfvergelijking α2uxx = utt.Bepaal u(x, t) m.b.v. de methode van scheiding der veranderlijken.Onderzoek de discontinuıteiten van ux.

9. Een snaar met lengte 1, vrije uiteinden, beginstand f(x) = 0 en beginsnelheidg(x) = 2x voor x ∈ [0, 1

2] en g(x) = 2(1 − x) voor x ∈ [1

2, 1] beweegt volgens de

golfvergelijking uxx = utt.Bepaal u(x, t) m.b.v. de methode van scheiding der veranderlijken.Onderzoek de eventuele discontinuıteiten van u, ux en uxx.

10. Een gedempte snaar met lengte π ligt op het interval [0, π] van de X-as. Het linker-uiteinde is vast, het rechteruiteinde is vrij. Op t = 0 wordt de beginstand gegevendoor de functie f(x) = (sin(x

2))3, terwijl de beginsnelheid nul is. De vergelijking

van de gedempte snaar luidt: uxx = utt + ut.Bepaal in elk punt x van de snaar en op elk ogenblik t de uitwijking van de snaar;gebruik de fouriermethode.

9.3.4 De laplaciaan en aanverwante differentiaaloperatoren

1. Beschouw het dirichletprobleem op het vierkant [0, 1]× [0, 1], met randvoorwaarde

u(x, 0) = sin(πx)3, u(x, 1) = 0, u(0, y) = 0, u(1, y) = sin(2π(1− y))

Bepaal de oplossing d.m.v. de fouriermethode.

2. Beschouw het dirichletprobleem op de rechthoek [0, 2]× [0, 1], met randvoorwaarde

u(x, 0) = sin3(πx), u(x, 1) = 0, u(0, y) = 0, u(2, y) = cos(π

2(2y + 1))

Bepaal de oplossing d.m.v. de fouriermethode en maak een schets van de gevondenoplossing.

3. Beschouw het dirichletprobleem op de rechthoek [0, 1]× [0, 2], met randvoorwaarde

u(x, 0) = cos(π

2(2x+ 1)), u(x, 2) = 0, u(0, y) = 0, u(1, y) = sin3(2πy)

129

Bepaal de oplossing d.m.v. de fouriermethode en maak een schets van de gevondenoplossing.

4. Beschouw in de open eenheidsschijf de differentiaalvergelijking: ∆T+9T = 0, samenmet de randconditie op de eenheidscirkel: h(θ) = cos(θ)3. Bepaal de oplossing d.m.v.de fouriermethode.

5. Beschouw in de open eenheidsschijf de differentiaalvergelijking: ∆u+25u = 0, samenmet de randconditie op op de eenheidscirkel: u(1, θ) = sin2(θ) + sin(θ). Bepaal deoplossing d.m.v. de fouriermethode en maak een schets van de contourkrommen vande gevonden oplossing.

6. Bepaal in de rechthoek ]0, a[×]0, b[ een harmonische functie u(x, y) die voldoet aande randcondities

• ux(0, y) = 0; 0 < y < b;

• ux(a, y) = 0; 0 < y < b;

• ux(x, 0) = f(x); 0 < x < a;

• ux(x, b) = g(x); 0 < x < a.

Aan welke voorwaarden moeten de functies f en g voldoen opdat er een oplossingzou bestaan?

7. Bepaal een harmonische functie u(r, θ) op het complement van de gesloten schijfmet middelpunt in de oorsprong en straal a, die bovendien voldoet aan volgendevoorwaarden:

• u(r, θ) is begrensd in het beschouwde gebied;

• ur(a, θ) = sin3(θ).

8. Bepaal een harmonische functie u(r, θ) op het complement van de gesloten schijfmet middelpunt in de oorsprong en straal a, die bovendien voldoet aan volgendevoorwaarden:

• u(r, θ) is begrensd in het beschouwde gebied;

• u(a, θ) = f(θ).

Breng de oplossing in een gesloten gedaante. Maak de oefening eveneens voor despecifieke randcondities f(θ) = sin2(θ) en f(θ) = cos3(θ).

9. Bepaal de evenwichtstemperatuur T (x, y) in een rechthoekige plaat Ω = [0, a] ×[0, b], waarbij de onderste horizontale en de beide verticale randen op temperatuur

130

nul worden gehouden, en de bovenste horizontale rand, y = b, 0 < x < a, optemperatuur g(x) gegeven door

g(x) =

x, 0 < x ≤ a/2a− x, a/2 ≤ x < a

Gebruik de fouriermethode.

Antwoord:

T (x, y) =∞∑m=0

(−1)m4a

(2m+ 1)2π2

1

sinh (2m+1)πba

sin2m+ 1

aπx sinh

2m+ 1

aπy

10. Bepaal de evenwichtstemperatuur T in de schijf Ω = B(0, ρ), waarvan de randgeısoleerd is, d.w.z. dat op ∂Ω geldt: ∂T

∂n= 0 (neumann-randconditie).

Gebruik de fouriermethode.

Antwoord: T = constante

11. Bepaal de evenwichtstemperatuur T in de schijf Ω = B(0, ρ), met neumann-randconditie:op ∂Ω geldt: ∂T

∂n= g , g stuksgewijze continu op ∂Ω.

Bepaal een nodige voorwaarde waaraan g moet voldoen opdat dit probleem een op-lossing zou bezitten.Gebruik de fouriermethode.

Antwoord: vorm van de oplossing:

T (r, θ) = c0 +∞∑n=1

rn(cn cosnθ + dn sinnθ)

131

Bibliografie

[1] S. Axler, P. Bourdon en W. Ramey, Harmonic function theory. Graduate Texts inMathematics 137. Springer-Verlag, New York, 1992.

[2] J. Marsden en A. Tromba, Vector calculus, W.H. Freeman and Company, 1988.

[3] M. Spiegel, Vector analysis and an introduction to tensor analysis, Schaum’s outlineseries, McGraw-Hill, 1959.

132