Wiskunde en zorg: achtergronden voor een betere planning

NVZ/VLM Masterclass patiëntenlogistiek

Prof.dr. Ger KoolePICA, kenniscentrum

patiëntenlogistiek VU/VUmc

Doel bijdrage masterclass

• Inzicht relatie vraag en aanbod onder fluctuaties en onzekerheid

• Inzicht vermogen en onvermogen wiskundig modelleren in de zorg

• Enkele beginpunten voor een meer rationele planning en capaciteitsmanagement

• Weten hoe de vervolgstappen te zetten

Wiskunde in de zorg is in

Institute for Healthcare Improvement (IHI), VS

Inhoud

• Wat is plannen? • Rol van fluctuaties en onzekerheid bij plannen• Enkele wiskundige modellen voor plannen en het

managen van capaciteit

• Geïllustreerd a.d.h.v. voorbeelden uit de zorg• Zelf er mee aan de slag

Wat is plannen in de zorg?

“Een plan is een bedenksel dat een intentie weergeeft om iets te bereiken“ (wikipedia)

• Afstemming zorgvraag en aanbod (van behandelingen, bedden, MRI-slots, enz.)

• Het “iets”, het doel van de planning, moet duidelijk zijn

• Vb: minder dan 5% weigeringen, wachtlijst korter dan 4 weken

Lange en korte termijn

• Lange vs. korte termijn

• Vb: – aantal bedden vs. toewijzen MRI slots– OK, van lang naar kort: sessieindeling /

patiënttoewijzing / operationele bijsturing

• Strategisch/tactisch vs. operationeel

• Capaciteitsbepaling vs. capaciteitsbenutting

De “ideale” wereld

• Geen fluctuaties• Voorbeeld

– vraag naar exact 2 OHO´s per dag– elke patiënt precies 1 dag IC– 2 “geoormerkte” IC bedden voor OHO’s– Geen weigeringen, 100% bezetting OK en IC

• Is dit realistisch?• Nee: aantal OHO’s fluctueert in realiteit, en soms IC

bed bezet door spoedpatiënt

Fluctuaties• Voorbeelden:

– Weekend minder operaties– ‘s Nachts minder spoed– ‘s Zomers minder afspraken– Variatie in ligduren

• Classificatie: Intern/kunstmatig/vermijdbaar vs. Extern/natuurlijk/onvermijdelijk

– Kunstmatig– Natuurlijk– Kunstmatig– Natuurlijk (?)

Onzekerheid• Soms zijn fluctuaties vantevoren bekend

(dag/nacht patroon SEH), soms niet (exacte aantal aankomsten): onzekerheid

• “Onzekerheid is informatie die je nog niet hebt maar die wel nodig is” (Galbraith)

• Voorbeelden: – aantal aankomsten acute patiënten– operatieduren– ligduren (LoS)– Beschikbaarheid personeel (ziekte, te laat)

• Informatie nodig om capaciteit af te stemmen op vraag

Fluctuaties & onzekerheidon

zeke

r

niet

onz

eker

extern intern

Alle OK’s op 1 dag

Overdag meer spoeddan ’s nachts

Ligduren, aantal spoed, enz.

Geen communicatie

Vermijden fluctuaties

• Interne fluctuaties vermijden

• Focused factories voor voorspelbare electieve zorg

• Planning op basis van rationele argumenten, geen verworven rechten

• Hoe om te gaan met externe fluctuaties?

Omgaan met fluctuaties in vraag

• Antwoord logistiek: vooruitwerken• Korte termijn onzekerheid:

veiligheidsvoorraad (meer op de plank dan gemiddelde dagelijkse behoefte)

• Lange termijn fluctuatie: seizoensvoorraad (bijv. kerstartikelen)

• Relevant voor logistiek disposables en medicijnen

Omgaan met fluctuaties in vraag

Vooruitwerken onmogelijk in zorg (want dienst)

Dus:• of aanbod afstemmen op maximum vraag,

gevolg: lage produktiviteit/hoge kosten• of aanbod tussen gemiddelde en maximum

vraag met wachttijden (nawerken) en/of afzeggingen/doorverwijzingen als gevolg

Wiskundige modellen

• Wiskundige modellen om:– afweging capaciteit – wachttijd/weigeringen te

kwantificeren– Planning te optimaliseren en/of planningsmethoden te

vergelijken

• Benaderingen van de werkelijkheid• Controle of benadering goed (genoeg) is heet

validatie• Vaak te implementeren in rekenhulpen (in bijv

Excel)

Wiskundige modellen

• Bouwstenen: aankomstproces, proceslogica, behandelingsduren

• Wiskundige beschrijving van onzekerheid: kansrekening

• Oplossen:– Soms een formule– Vaak alleen computersimulatie

Wat is simulatie?

• Voorbeeld: bereken de oppervlakte van een cirkel met straal 1

• Methode: kies willekeurige punten in een vierkant van 2x2, bereken % in een cirkel met straal 1 die in vierkant valt

• Bepalen of punt in cirkel valt m.b.v. Pythagoras: c<1 als a²+b²<1

• Demo m.b.v. Excela

b

c

Wat is simulatie?

• Vb: 79 keer van 100 in cirkel• Dan: cirkel beslaat 79% van 4, dus opp.

ong. 0.79 x 4 = 3.16 • Maar ook: formule voor opp. cirkel:

π r², met r=1 de straal van de cirkel

• Conclusies: – Oppervlakte = 3.141592654…..– We kunnen nu π berekenen– Simulatie is niet erg nauwkeurig, gebruik een formule

als je kan

ab

c

Wiskundige modellen

Achtereenvolgens:

• Ligduren + OK planning

• Geplande aankomsten + poliplanning

• Ongeplande aankomsten + capaciteitsberekeningen verpleegeenheden

Lig- en behandelduren

• Lig- en behandelduren zijn onvoorspelbaar (behalve bij bijv. fysiotherapeut)

• Karakteriseren duren:– Gemiddelde, ALOS (average length of stay)

– Met standaard deviatie, maar voor afwijking van gemiddelde

– Vb: 2,3,2,3: gem 2.5, std dev 1

– 1,4,5,0: gem ook 2.5, std dev 2.38

– Zelf proberen in Excel mbv STDEV

Lig- en behandelduren

• Ligduren (LOS) hebben vaak “dikke staart” (hoge std.dev): veel korte en enkele heel lange liggers

• Voorbeelden zonder en met dikke staart: links ALOS 67, std.dev 47, rechts 18 en 47

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0_

12

12

_2

4

24

_3

6

36

_4

8

48

_6

0

60

_7

2

72

_8

4

84

_9

6

96

_1

08

10

8_

12

0

12

0_

13

2

13

2_

14

4

14

4_

15

6

15

6_

16

8

16

8_

18

0

18

0_

19

2

19

2_

20

4

20

4_

21

6

21

6_

22

8

22

8_

24

0

24

0_

25

2

Me

er

Fre

qu

en

tie

N =575ALOS = 67Median = 48CT = 0,99

LOS [hr]

0

50

100

150

200

250

0_

4

4_

8

8_

12

12

_1

6

16

_2

0

20

_2

4

24

_2

8

28

_3

2

32

_3

6

36

_4

0

40

_4

4

44

_4

8

48

_5

2

52

_5

6

56

_6

0

60

_6

4

64

_6

8

68

_7

2

72

_7

6

76

_8

0

80

_8

4

84

_8

8

88

_9

2

92

_9

6

96

_1

00

Me

er

Fre

qu

en

tie

N =494 ALOS = 18 Median = 5 CT = 2,6

LOS [hr]

OK planning

• Vast aantal, variabiliteit operatieduren van belang

• Vraag: gegeven geplande operaties op een OK, wat is kans/duur van overschrijding?

• Van belang: gem. operatieduur maar ook variabiliteit

• Wiskundetool: normale verdeling

Rekenregels normale verdeling• Gekarakteriseerd door gemiddelde μ en standaard

deviatie σ

• μ ± σ bedekt ca. 68%, μ ± 2σ bedekt ca. 95%

• NORMDIST functie in Excel: bijvoorbeeld =NORMDIST(1,0,1,TRUE) = 0.84

Normale verdeling

0

50

100

150

200

250

-2.611984081 -1.565407818 -0.518831555 0.527744708 1.574320971

Fre

qu

en

cy

Rekenregels sommen en OK duren

• Elk som is ongeveer normaal verdeeld

• Voor lengte som kan je gemiddeldes en varianties = σ* σ optellen

• Bruikbaar voor berekenen OK duren

• Voorbeeld: – sessielengte 8 uur

– 2 operaties van gem 2 uur met σ 1 uur

– 2 operaties van gem 1 uur met σ 0.5 uur

– Kans op overschrijding?

• Excel berekening

Aankomstproces

• Gepland– Op afroep beschikbaar (OK planning, gedaan)– Ingeplande afspraken (polibezoeken)

• Ongepland– Spoed– Inloopspreekuur– Maken van afspraken

Ingeplande afspraken

• Aankomstmomenten niet helemaal voorspelbaar (no shows, niemand exact op tijd)

• Wat zijn de beste afspraakmomenten?

• Het beste voor wie?

• Experimenteren met obp.math.vu.nl/healthcare/software/ges

Ongeplande aankomsten

• Spoed: grote populatie met elk kleine kans Poisson verdeling

• Histogram Poisson verdeling met gemiddelde 6:

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Vb Poisson verdeling

• CT scan met 10 vrije slots voor klinische patiënten• Aantal klinische CT-patiënten is Poisson verdeeld

met historisch gemiddelde 8.5• Wat is de kans dat er meer dan 10 zijn?• Oplossingen:

– Formule doorrekenen– Excel het laten doen: “=1-POISSON(10,8.5,TRUE)”

= 0.236638021– Monte Carlo simulatie (demo Crystal ball)

Aankomsten EHH VUmc

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Aantal arrivals op de EHH per dag

Ka

ns

2003 Poisson

Het Erlang B “wachtrij”model

• Modelleert verpleegeenheid met weigeringen

• Poisson aankomsten, willekeurige LOS

• Webtool: obp.math.vu.nl/healthcare/masterclass

Het Erlang B “wachtrij”model

• Invoer: 3 van:– Gemiddelde vraag per dag– ALOS– Aantal bedden– % Weigeringen– Bezetting

• Uitvoer: andere 2

Het Erlang B “wachtrij”model

• Vraag vaak onbekend, wel bezetting (=instroom * ALOS / aantal bedden)

• Experiment: neem willekeurige input voor vraag, ALOS, # bedden. Bekijk output. Verdubbel nu vraag en # bedden: schaaleffecten

Validatie Erlang B model

Erlang B modelleert niet:

• Seizoenseffecten

• Weekeffecten

• Ad hoc beslissingen t.a.v. LOS en capaciteit

Ook Erlang C met wachten i.p.v. weigeren (supermarktmodel)

Complexere processen

• Wachtrijmodellen alleen voor eenvoudige systemen

• Discrete-event simulatie voor o.a. zorgpaden

Refused

Admission

Emergency

patient

Coronary Care Unit

CCU

First CardiacAidFCA

Normal Careclinicalward

Home

Other nursing unit

Rest

Emergency PTCA

Re-admission

Conclusies• Capaciteitsmanagement rationeel te

onderbouwen

• Kennis van relevante wiskundige kennis schaars in ziekenhuizen

• Verder lezen: – obp.math.vu.nl/healthcare – www.vumc.nl/pica– www.ihi.org