giasuthanhtai.com.vngiasuthanhtai.com.vn/uploads/document/toan-lp-9-bai-ging... · Web view+...

PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 9

CHƯƠNG 2: ĐƯỜNG TRÒN

CHỦ ĐỀ 1: SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Định nghĩa: Đường tròn tâm bán kính là hình gồm các điểm cách điểm một khoảng kí hiệu là hay

+ Đường tròn đi qua các điểm gọi là đường tròn ngoại tiếp đa giác

+ Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của đa giác gọi là đường tròn nội tiếp đa giác đó.

Những tính chất đặc biệt cần nhớ:

+ Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm vòng tròn ngoại tiếp

+ Trong tam giác đều , tâm vòng tròn ngoại tiếp là trọng tâm tam giác đó.

+ Trong tam giác thường:

Tâm vòng tròn ngoại tiếp là giao điểm của 3 đường trung trực của 3 cạnh tam giác đó

Tâm vòng tròn nội tiếp là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác đó

PHƯƠNG PHÁP: Để chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn ta chứng minh các điểm cách đều điểm cho trước.

Ví dụ 1) Cho tam giác đều có cạnh bằng . là các đường trung tuyến. Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó.

Giải:

Vì tam giác đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao . Suy ra lần lượt vuông góc với .

17


Từ đó ta có các tam giác là tam giác vuông

Với là cạnh huyền, suy ra

Hay: Các điểm cùng thuộc đường tròn

Đường kính , tâm đường tròn là

Trung điểm của

Ví dụ 2) Cho tứ giác có Gọi lần lượt là trung điểm của . Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm đường tròn đó .

Giải:

Kéo dài cắt nhau tại điểm thì tam giác vuông tại .

+ Do là đường trung bình của tam giác nên

18

P N

M CB

A

OQ

P

N

M

D C

B

A

T


+ là đường trung bình của tam giác nên . Mặt khác . Chứng minh tương tự ta cũng có:

. Suy ra là hình chữ nhật.

Hay các điểm thuộc một đường tròn có tâm là giao điểm của hai đường chéo

Ví dụ 3) Cho tam giác cân tại nội tiếp đường tròn . Gọi là trung điểm của

là trọng tâm của tam giác . Gọi là giao điểm của và . Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác .

Giải:

Vì tam giác cân tại nên tâm của vòng tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường trung trực của .Gọi là giao điểm của và

Dưng các đường trung tuyến của tam giác cắt nhau tại trọng tâm .Do . Gọi là giao điểm của

và thì là trọng tâm của tam giác suy ra .

Mặt khác ta có suy ra hay là trực tâm của tam giác . Như vậy tam giác vuông tại . Do đó tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của .

Ví dụ 4). Cho hình thang vuông có . Gọi là hình chiếu vuông góc của lên

19

QI

P

N

O

M

K

G

CB

A


là trung điểm của . Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Giải:

Gọi là trung điểm của thì là đường trung bình của tam giác suy ra , mặt khác là trực tâm của tam giác suy ra .

Do nên là hình bình hành suy ra

. Từ đó ta có: hay tam giác vuông tại nên tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của

.

Ta có .

Bài toán tương tự cho học sinh thử sức.

Cho hình chữ nhật , kẻ vuông góc với . Trên

ta lấy các điểm sao cho . Chứng minh điểm

nằm trên một đường tròn.

Gợi ý: , hãy chứng minh

Ví dụ 5).Cho lục giác đều tâm . Gọi là trung điểm của . cắt tại . Chứng minh rằng các điểm

nằm trên một đường tròn.

Giải:

20

OEN

M

H

D

CB

A


H1

D

K1

K

N

O

J

E

BA

O

IH

N

M

F E

D

CB

A

Do là lục giác đều nên nằm trên đường tròn đường kính . Vì tam giác nên điểm cách đều suy ra là phân giác trong của góc

.

Kẻ (Do là đường trung bình của tam

giác

Kẻ (Do với )

Do suy ra cách đều hay là phân giác ngoài của . Vậy 5 điểm cùng nằm trên một đường tròn đường kính .

Ví dụ 6) Cho hình vuông . Gọi là trung điểm là

điểm thuộc đường chéo sao cho . Chứng minh 4

điểm nằm trên cùng một đường tròn.

Giải:

Ta thấy tứ giác có nên để chứng minh 4 điểm cùng nằm trên một đường tròn ta sẽ chứng minh

21


Cách 1: Kẻ đường thẳng qua song song với cắt tại . Xét hai tam giác vuông và

từ đó suy ra do đó

Hay tam giác vuông tại . Suy ra 4 điểm cùng nằm trên đường tròn đường kính

Cách 2: Gọi là trung điểm của với là giao điểm của hai đường chéo. Dễ thấy là hình bình hành nên suy ra

. Mặt khác do là trực tâm của tam giác .

Ví dụ 7) Trong tam giác gọi lần lượt là trung điểm của . lần lượt là các chân đường cao hạ từ đỉnh

đến các cạnh đối diện. là trung điểm của . Khi đó điểm cùng nằm

trên một đường tròn gọi là đường tròn Ơ le của tam giác

Giải:

22

K

F

E

IN

M

D

CB

A


P

N

M

IQ

C2B2

A2

HC1

B1

A1C

B

A

a). Thật vậy ta có mà

suy ra là hình chữ nhật, tương tự ta có , là hình chữ

nhật nên điểm cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm của các đường chéo của 3 hình chữ nhật trên. Từ đó ta suy ra tâm đường tròn Ơ le là trung điểm

của

Ví dụ 8) Cho tam giác nội tiếp đường tròn là đường kính của . là trung điểm của là trực tâm

của tam giác. Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm lên . Chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn

Giải:

Phân tích: là trung điểm cũng là trung điểm của (Bài toán quen thuộc). lần lượt là hình chiếu vuông góc của

23

M

D

EOK

J

ZY

XH

CB

A

I


điểm lên kết hợp tính chất điểm làm ta liên tưởng đến đường tròn Ơ le của một tam giác: Từ những cơ sở đó ta có lời giải như sau:+ Giả sử cắt tại cắt tại , là trung điểm của

. Ta dễ chứng minh được là hình bình hành suy ra hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vì

suy ra là trực tâm của tam giác nên

(chú ý và (cùng phụ với góc ). Từ đó suy ra

+ Mặt khác là hai trung tuyến tương ứng của tam giác và , như vậy ta có . Từ đó suy ra

tại hay thuộc đường tròn đường kính . Theo bài toán ở ví dụ , đường tròn đường kính là đường tròn Ơ le của tam giác . Từ đó ta có: đều cùng nằm trên đường tròn đường kính . Đó là điều phải chứng minh. Ví dụ 9) Cho tam giác có trực tâm . Lấy điểm thuộc tia sao cho và nằm giữa . Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên . Chứng minh cácđiểm

cùng thuộc một đường tròn.

Giải:

Giả sử cắt tại . Ta có do cùng vuông góc với suy ra ( góc đồng vị) .

Tương tự ta cũng có kết hợp với giả thiết . Mặt khác ta có

nên hay thuộc đường tròn đường tròn đường

24

N

E

M

D

K

CB

A

H


kính . Dễ thấy nên cácđiểm cùng thuộc một đường tròn.

Ví dụ 10) Cho tam giác . là điểm bất kỳ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại . Gọi là các điểm đối xứng với qua trung điểm của . Chứng minh rằng: và trực tâm của tam giác cùng thuộc một đường tròn.

Giải:

+ Gọi là trọng tâm của tam giác ,theo bài toán quen thuộc về đường

tròn Ơ le thì thuộc đoạn và . Gọi lần

lượt là trung điểm của . Theo giả thiết là trung điểm của , vậy là trọng tâm của tam giác và . Gọi

lần lượt là trung điểm của . Vì là trọng

tâm của tam giác nên . Gọi là trung điểm của

vì là dây cung của thuộc đường tròn tâm đường kính hay

25

C4

B4

I

K

B3

A4

P

C3

C2

C1

B2 B1

A3

A2

A1

GH

O

CB

A


(2)

+ Gọi là điểm thuộc tia đối sao cho (3). Từ (1) và (3)

suy ra và . Từ (2) và (3) ta dễ thấy và . Từ đó suy ra hay . Tương tự

ta có . Hay thuộc đường tròn tâm bán kính ta có điều phái chứng minh.

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

1.Khi một đường thẳng có hai điểm chung với đường tròn ta nói đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. Khi

đó ta có những kết quả quan trọng sau:

HM BA

O

H

O

BAM

+ . Theo định lý Pitago ta

có: Mặt khác ta cũng có: nên suy

ra

+ Nếu nằm ngoài đoạn thì + Nếu nằm trong đoạn thì

Mối liên hệ khoảng cách và dây cung:

26


2. Khi một đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn , ta nói đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, hay là tiếp tuyến của đường tròn . Điểm gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn

Như vậy nếu là tiếp tuyến của thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

Ta có

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

+ Tia kẻ từ điểm đó đến tâm là tia phân giác góc tạo bởi 2 tiếp tuyến

+Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó thì vuông góc với đoạn thẳng nối hai tiếp điểm tại trung điểm của đoạn thẳng đó.

OHM

B

A

O

H Δ

3. Khi một đường thẳng và đường tròn không có điểm chung ta nói đường thẳng và đường tròn không giao nhau. Khi đó

27


ΔH

O

4. Đường tròn tiếp xúc với 3 cạnh tam giác là đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn nội tiếp có tâm là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác

5. Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và phần kéo dài hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác

Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác trong góc là giao điểm của hai đường phân giác ngoài góc và góc

Mỗi tam giác có 3 đường tròn bàng tiếp.

CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN

Ví dụ 1) Cho hình thang vuông có là trung điểm của và góc . Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn đường kính .

Giải:

28

Đường tròn bàng tiếp trong góc AĐường tròn nội tiếp ΔABC

OO

B

CA

P

N

MF

E

D

CB

A

E

H

D

C

O

B

A


Kéo dài cắt tại vì suy ra . Xét tam giác và ta có chung

. Suy ra hay tam

giác cân tại . Kẻ thì mà hay thuộc đường tròn . Do đó

là tiếp tuyến của đường tròn đường kính .

Ví dụ 2) Cho hình vuông có cạnh bằng . Gọi là hai điểm trên các cạnh sao cho chu vi tam giác bằng . Chứng minh đường thẳng luôn tiếp xúc với đường tròn cố định.

Giải:

29

H

N

M E

D C

BA


Trên tia đối của ta lấy điểm sao cho . Ta có . Theo giả thiết ta có:

. Suy ra .

Từ đó ta suy ra . Kẻ . Vậy thuộc đường tròn tâm bán kính

suy ra luôn tiếp xúc với đường tròn tâm bán kính bằng .

Ví dụ 3) Cho tam giác cân tại đường cao . Trên nửa mặt phẳng chứa bờ vẽ cắt đường tròn tâm bán kính tại . Chứng minh là tiếp tuyến của

Giải:

Vì tam giác cân tại nên ta có: . Vì

. Mặt khác ta cũng có .

Hai tam giác và có chung, , suy

ra suy ra . Nói cách khác là tiếp tuyến của đường tròn

Ví dụ 4) Cho tam giác vuông tại

đường cao . Gọi là điểm đối xứng với qua . Đường tròn tâm đường kính cắt tại . Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn .

30

α21

xD

H

CB

A


Giải:

Vì tam giác có một cạnh là đường kính của nên . Kẻ suy ra từ đó ta có tam

giác cân tại . Do đó ( cùng phụ với góc hai góc

bằng nhau là ). Mặt khác ta cũng có: ( do tam

giác cân tại ). Mà suy ra

hay là tiếp tuyến của .

Ví dụ 5) Cho tam giác vuông tại đường cao . Vẽ đường tròn tâm bán kính kẻ các tiếp tuyến với ( là các tiếp điểm khác ). Chứng minh tiếp xúc với đường tròn đường kính .

Giải:

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: . Suy ra

hay thẳng hàng. Gọi là trung điểm của thì là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

31

3

21

IK

OEHCB

A

COH

D

E

B

A


. Mặt khác nên là đường trung bình của hình thang vuông suy ra tại . Nói cách khác là tiếp tuyến của đường tròn . Đường kính

Ví dụ 6) Cho tam giác ngoại tiếp đường tròn tâm bán kính . Giả sử tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại .

Đặt .

a) Hãy tính theo

b) Chứng minh (trong đó là diện tích tam giác là nữa chu vi tam giác, r là bán kính vòng tròn ngoại tiếp tam giác.

c) Chứng minh: trong đó lần lượt là

đường cao kẻ từ các đỉnh của tam giác .

Giải:

32

z

y

x

z

y

x

r I

F

E

D

CB

A


a). Từ giả thiết ta có . Từ đó suy

ra . Lần lượt trừ từng vế phương trình (4) của

hệ cho các phương trình ta thu được:

b). Ta có

c). Ta có

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN.

Xét hai đường tròn

A). Hai đường tròn tiếp xúc nhau:

Khi hai đường tròn tiếp xúc nhau, thì có thể xảy ra 2 khả năng. Trường hợp 1: Hai đường tròn tiếp xúc ngoài:

+ Điều kiện . Tiếp điểm nằm trên đường nối tâm của hai đường tròn. Đường nối tâm là trục đối xứng của hai đường tròn.

33

A

D

C

O'O


Ví dụ 1: Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại . Qua kẻ một cát tuyến cắt tại , cắt đường tròn tại

a) Chứng minh

b) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài , gọi , lần lượt là các điểm đối xứng với qua . Chứng minh là hình thang cân và

c) Tính góc . Gọi là giao điểm của với . Chứng minh thẳng hàng.

Giải:

a). Do hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại nên nằm trên .Ta có . Lại có vì các tam giác là tam giác cân. Từ đó suy ra

b). + Vì là hình thang . Vì đối xứng với qua , đối xứng với qua và luôn

đối xứng với qua nên . Mặt khác cùng phụ với các góc nên suy

ra là hình thang cân.

34

YX

S

R

Q

P

K

N

M

O O'

C

D

A


(Chú ý: Từ đây ta cũng suy ra là tiếp tuyến chung của hai đường tròn)

+ Kẻ tiếp tuyến chung qua của hai đường tròn cắt tại thì ta có: suy ra . Mặt

khác cũng là đường trung bình của hình thang nên hay

c). Từ câu ta có nên tam giác vuông tại , từ đó suy ra là đường kính của , hay thẳng hàng.

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn và tiếp xúc ngoài tại với . Đường nối tâm cắt lần lượt tại . Dây

của vuông góc với tại trung điểm của

a) Chứng minh là hình thoi

b) Gọi là giao điểm của và . Chứng minh thẳng hàng

c) Chứng minh là tiếp tuyến của .

Giải:

Vì vuông góc với đường thẳng nên (theo giả thiết) do đó tứ giác là hình bình hành, lại có nên là hình thoi.

b) Vì tam giác nội tiếp đường tròn có là đường kính nên vuông tại . Gọi là giao điểm của với thì

35

5

43

2

1

E I

O2O1

K

D

CB A


(1) (vì so le trong với ). Lại có nội tiếp đường tròn có là đường kính nên tam giác vuông tại , hay

(2).

Từ (1) và (2) suy ra . Vậy thẳng hàng.

c) Vì tam giác vuông tại có là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên (1). Lại có (2) do

cùng phụ với và (3), vì là bán kính của

đường tròn .

Từ (1),(2),(3) suy ra hay do đó

vuông góc với bán kính của đường tròn . Vậy là

tiếp tuyến của đường tròn .

Ví dụ 3) Chứng minh rằng: Trong một tam giác tâm vòng tròn ngoại tiếp trọng tâm trực tâm nằm trên một đường thẳng và (Đường thẳng Ơ le) . Gọi lần lượt là bán kính vòng tròn ngoại tiếp nội tiếp và khoảng cách giữa hai tâm chứng minh (Hệ thức Ơ le)

Giải:

36

E

H'

M

O

H

G

D

CB

A

K

IO

N

F

CB

A


+ Kẻ đường kính của đường tròn thì mặt khác , tương tự ta có: là hình bình hành do đó hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Suy ra là đường trung bình của tam giác .

Giả sử thì là trọng tâm tam giác

và

Nhận xét: Nếu kéo dài đường cao cắt tại ta sẽ có đối xứng nhau qua . Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác đối xứng với tâm đường tròn ngoại tiếp qua .

+ Ta có : (Xem phần tính chất tiếp tuyến, cát tuyến). Mặt khác là phân giác trong góc . Kẻ

đường kính . Tam giác

là hai tam giác vuông có góc nhọn bằng nhau nên đồng dạng với

nhau. Từ đó suy ra . Hay

B. Hai đường tròn cắt nhau:

Khi hai đường tròn cắt nhau theo dây thì tại trung điểm của . Hay là đường trung trực của

37

H

B

A

O2O1


Khi giải toán liên quan dây cung của đường tròn, hoặc cát tuyến ta cần chú ý kẻ thêm đường phụ là đường vuông góc từ tâm đến các dây cung.

Ví dụ 1. Cho hai đường tròn cắt nhau tại ( nằm khác phía so với đường thẳng ). Một cát tuyến xoay quanh sao cho nằm giữa và . Hãy xác đinh vị trí của cát tuyến trong mỗi trường hợp.

a) là trung điểm của

b) có độ dài lớn nhất

c) Chu vi tam giác lớn nhất

d) lớn nhất.

Lời giải:

a) Giả sử đã xác định được vị trí của cát tuyến sao cho .

Kẻ vuông góc với dây thì .

Kẻ vuông góc với dây thì .

Nên .

38

I O2O1

QKAHP


Kẻ cắt , tại thì và . Từ đó suy ra cách xác định vị trí của cát tuyến đó là cát tuyến

vuông góc với tại với là trung điểm của đoạn nối tâm .

b) Trên hình, ta thấy .

Kẻ thì tứ giác có ba góc vuông nên là hình chữ nhật do đó . Lúc đó là đường vuông góc kẻ từ

đến đường thẳng là đường xiên kẻ từ đến đường thẳng . Nên hay

(không đổi). dấu đẳng thức xảy ra hay . Vậy ở vị trí cát tuyến thì

có độ dài lớn nhất.

c) Qua kẻ cát tuyến vuông góc với .

Thì tam giác và vuông tại lần lượt nội tiếp các đường tròn , nên là trung điểm của và là trung điểm của . Lúc đó là đường trung bình của tam giác nên suy ra (1) (theo câu b). Lại có (2), (3). Từ (1),(2),(3) suy ra chu vi tam giác (không đổi). Dấu bằng có khi .

Vậy chu vi tam giác đạt giá trị lớn nhất khi cát tuyến vuông góc với dây tại .

39

Q

P

O2O1

DC

B

A


d) Kẻ thì .

Lúc đó không đổi.

Vậy đạt giá trị lớn nhất khi cát tuyến vuông góc với dây chung tại .

Ví dụ 2. . Cho hai đường tròn cắt nhau tại đường thẳng cắt tại cắt tại , cắt tại cắt

tại . Chứng minh ba đường thẳng đồng quy tại một điểm.

Lời giải:

Gọi giao điểm của với là . Các tam giác nội tiếp đường tròn có cạnh là đường kính nên tam giác

vuông tại , tam giác vuông tại suy ra (1), (2).

Lại có tam giác nối tiếp dường tròn có cạnh là đường kính nên tam giác vuông tại , tam giác vuông tại suy ra:

40

O2

H

K D

E

CB

A

O1


(3), (4).

Từ (2) và (3) suy ra thẳng hàng nên (5).

Từ (1) và (4)suy ra là trực tâm của tam giác , do đó (6).

Từ (5) và (6) suy ra (vì qua ở ngoài đường thẳng chỉ kẻ được một đường thẳng vuông góc với ).

Vậy đồng quy tại là giao điểm của và .

41

giasuthanhtai.com.vngiasuthanhtai.com.vn/uploads/document/toan-lp-9-bai-ging... · Web view+...

Documents

Transcript of giasuthanhtai.com.vngiasuthanhtai.com.vn/uploads/document/toan-lp-9-bai-ging... · Web view+...