IV Jornadas de Ingeniería del AguaLa precipitación y los procesos erosivosCórdoba, 21 y 22 de Octubre 2015

Efecto del índice NAO sobre el comportamiento de un modelo estocástico de precipitación diaria en el Valle

del Guadalquivir

M.F. Moreno Pérez, J. Roldán CañasDepartamento de Agronomía. Área de Ingeniería Hidráulica.

Universidad de Córdoba. Campus de Rabanales. Edificio Leonardo da Vinci. 14071 Córdoba

David A. WoolhiserFort Collins, Colorado, USA

1. IntroducciónLa complejidad de los procesos naturales y el desconocimiento de las causas que determinan los fenómenos meteorológicos han obligado a renunciar a estudios analíticos y a usar series cronológicas de sucesos observados de dichos fenómenos. Los modelos de precipitación diaria describen tanto la ocurrencia de la precipitación como la distribución de la cantidad en un punto en el espacio de una forma mucho más concisa (Katz, 1977). Sin embargo, estos modelos también tienen en cuenta algunos aspectos físicos del proceso como, por ejemplo, la persistencia observada en las rachas consecutivas de días secos y lluviosos que se describe mediante una cadena de Markov.

Los sistemas asociados atmósfera-océano se han mostrado muy eficientes describiendo el modelo de comportamiento de la precipitación y de su variabilidad tanto espacial como temporal.En Europa, los mejores resultados se han alcanzado estudiando la conexión entre el régimen de lluvias y el índice de la Oscilación del Atlántico Norte (NAO) (Altava-Ortiz et al., 2011). Un alto valor del índice NAO ha sido correlacionado con mayores precipitaciones en el norte de Europa y un descenso en el sur (Hurrell y van Loon, 1997). Sin embargo, la gran variabilidad espacio-temporal de la lluvia debida a la orografía y a la presencia del océano dificulta la identificación de estos efectos en España (Trigo et al., 2004). En el caso concreto de Andalucía, Ruiz Sinoga et al. (2011) encontró una fuerte correlación negativa de octubre a mayo en zonas interiores de esta región.

Aunque, como se acaba de comentar, ha sido suficientemente probada la influencia del índice NAO en el régimen pluviométrico de la Península Ibérica, queda aún por identificar sus efectos. El objetivo de este trabajo es analizar los impactos del NAO sobre la precipitación en el sur de España usando similares procedimientos estocásticos a los de

Woolhiser et al. (1993). También se tratará de buscar la existencia de un retraso temporal entre ambas series lo que ayudaría a hacer predicciones de lluvias a medio y/o largo plazo.

2. Modelo estocástico de precipitación diaria2.1 Descripción del modelo

El proceso de precipitación considerado es descrito mediante una secuencia de dos variables aleatorias e independientes {(Xt, Yt); t = 1, 2, . . . , 365}, donde:

- Xt: variable discreta que representa el estado del proceso en el día t. Su valor es igual a la unidad si la lluvia es igual o mayor que un umbral T, y cero en caso contrario.

- Yt: variable continua que representa la cantidad de lluvia en el día t, cuando Xt es lluvioso. La variable a usar es U(t) = Y(t) – T. En este estudio, se ha usado un valor de T = 0,1 mm.

En nuestro caso, se usa una cadena Markov de segundo orden con dos estados y definida por las probabilidades de transición:

Pijm (t )=P( X t=m |X t−1= j , X t−2=i ) [1]

i, j, m = 0, 1; t = 1, 2,..., 365; Pij1 ( t )=1−pij 0( t )

En los casos de climas como el del sur de España, donde un período relativamente seco es seguido, sin transición, por una estación húmeda, es más recomendable el uso de la transformación logarítmica:

gijm ( t )=Lnpijm (t )1− pijm (t ) i, j, m = 0, 1 [2]

Para describir la cantidad de precipitación en un día lluvioso, Yt, asumimos que es independiente y se acepta que su distribución depende sólo de Xt y no de Xt-1. Se va a utilizar la distribución mixta exponencial cuya función de densidad queda definida como sigue:

f t (u )=α (t )β (t )

exp(− uβ (t ) )+ 1−α ( t )

θ ( t )exp(− u

θ ( t ) ) [3]

con: u > 0; 0 ≤ (t) ≤ 1; 0 <(t) <(t); t = 1, 2, ..., 365

Cambiando el parámetro (t) por una nueva variable más estable, (t), media de U(t), se mejora el ajuste:

μ( t )=α ( t ) β ( t )+ [1−α ( t )]θ ( t ) [4]

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La variación estacional de los parámetros que determinan el modelo ha sido explicada ajustando series finitas de Fourier a los valores de un período (se han agrupado los días del año en 26 períodos de 14 días cada uno):

q ( n )=q+∑i=1

m

c i sen( 2π in365

+φ i)[5]

donde: q(n) es el valor del parámetro en el periodo n (n = 1, 2, ..., 26); q es su media y ci y ison la amplitud y el ángulo de fase del armónico i.

2.2 Perturbación de los parámetros del modelo

Los logaritmos de las probabilidades de transición la cadena de Markov de segundo (CM2) han sido perturbados usando una relación lineal (Woolhiser, 2008), de la siguiente forma:

G´ij0 ( t )=Gij 0( t )+b ij0NAO ( t−τ ij0 ) [6]i = 0, 1; j = 0,1; t = 1, 2,..., (365)N; N = número de años,

dondeG´ij0 ( t )es el parámetro perturbado el día t, Gij0 ( t )es la media anual de los parámetros representados por una serie de Fourier,b ij0 son los coeficientes de la perturbación, NAO(t)es el valor diario del índice NAO, y ij0 es el retraso (lag) de NAO en días.

En el caso de la distribución mixta exponencial (ME) se ha utilizado una variación de la expresión anterior con la que se obtienen mejores resultados:

μ ´ ( t )=μ ( t ) [1+C μ NAO ( t−τμ )] [7]

i = 0, 1; j = 0,1; t = 1, 2,..., (365)N; N = número de años,

dondeμ´ ( t )es la media perturbada en el día t, μ( t )es la media periódica anual representada por una serie de Fourier, Ces el coeficiente de perturbación y el retraso en días.

Una técnica simplex se usó para estimar los coeficientes de perturbación que maximizan las funciones de verosimilitud apropiadas para los diferentes retrasos (Neldery Mead, 1.965).

2.3 Criterio para selección del modelo

Se ha utilizado el AIC (Akaike, 1974) para determinar el modelo óptimo que resulta de perturbar los parámetros con NAO:

AIC( k )=−2 log L( f ,θk )+2 k [8]

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dondeL( f , θk)es la función de verosimilitud para el proceso apropiado, F, y θk es el vector de parámetros de longitud k. El mejor modelo es aquel con el mínimo AIC.

3. Análisis de datos3.1 Datos de precipitación diaria

Se han usado 35 estaciones con registros de 54 años de precipitación diaria (1953-2006) situadas en el Sur de España (ver figura 1). Dichas estaciones han sido suministradas por la Agencia Estatal de Meteorología (AEMET), y han sido elegidas por tener registros de gran longitud y datos de calidad (Moreno-Pérez y Roldán-Cañas, 2008).

Figura 1. Mapa de situación de las estaciones

En las figuras 2 y 3 se muestran los mapas de isolíneas de precipitación media anual y de número medio de días lluviosos, respectivamente, construidos a partir de las 35 estaciones disponibles utilizando el Krigeado como método de interpolación.

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Figura 2. Mapa de isoyetas de precipitación Figura 3. Mapa de isolíneas del número demedia anual (mm) días lluviosos (días)

3.2 Datos del índice NAO

El índice NAO se calcula como la diferencia de la presión normalizada en Gibraltar y la presión normalizada en Reykjavik (Islandia) Las series mensuales de NAO para el periodo comprendido entre enero de 1953 y diciembre de 2006 se obtuvieron de la página Web del Climate & Global Dynamics Division of the National Center for Atmospheric Research Earth Systems Laboratory (http://www.cgd.ucar.edu/cas/). Al disponer solamente de valores mensuales, NAO(t) se ha representado como una “stepfunction” en la que se asigna el valor mensual del índice para todos los días de ese mes.

4. Perturbación de los parámetros del modelo Cadena de Markov de segundo orden –Mixta Exponencial4.1 Comportamiento de los parámetros del modelo de CM2ME

En la figura 4 se muestra el mapa de isolíneas del coeficienteG000 de la CM2. El coeficiente G000 es el más estable de la Cadena de Markov, variando entre 2.1076 y 2.9702, y es el que mejor representa el clima del sur de la Península Ibérica, ya que describe la persistencia de los días secos característicos de este clima.

También se puede observar que el comportamiento del coeficiente G000 está relacionado

con el número medio de días lluviosos ya queG001=1−G000 siendo el coeficiente de correlación de Pearson entre ambos (R2) de 0.64. El resto de los coeficientes de la CM2 no guardan una correlación significativa con el número medio de días lluviosos, debido a que el número de transiciones ijk es relativamente pequeño, no siendo lo suficientemente significativo estadísticamente hablando.

La figura 5 muestra el mapa de isolíneas del coeficiente μ de la ME. Obviamente, el

coeficiente de correlación de Pearson entre μ y la precipitación media en un día lluvioso es muy alta (R2 = 0.97).

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Figura 4. Mapa de isolíneas del valor medio del Figura 5. Mapa de isolíneas del

valorparámetro: G000(G000 ). medio del parámetro µ(μ ).

4.2 Perturbación de los parámetros del modelo CM2ME

En la tabla 1 se muestran los resultados con los que se obtienen los valores más bajos de AIC al perturbar las medias de los coeficientes de Fourier para la Cadena de Markov de segundo orden. Se han examinado 12 retrasos, coincidentes con los meses del año, expresados en días acumulados. Se muestran los valores de los coeficientes de perturbación anuales(bij0), el valor del retraso obtenido para dichos coeficientes y el incremento de la función log-likelihood, LogLannual. El término “consistente” se ha utilizado cuando los coeficientes de perturbación tienen signo positivo, ya que implican una menor probabilidad de tener un día húmedo cuando el valor de NAO es positivo o al contrario cuando es negativo (Ruiz-Sinoga, 2011).

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1 Palos 0.256 0 30.19* 0.256 0 7.24* 0.077 0 0.90ns 0.101 31 1.03 -0.038 122 1.48*

2 Trigueros 0.247 0 23.90* 0.170 0 3.06* 0.059 0 0.56ns 0.153 31 3.57* -0.104 31 8.77*

3 La Palma 0.231 0 27.16* 0.152 0 3.13* 0.066 0 0.80ns 0.143 0 4.90* -0.066 0 5.00*

4 Alosno 0.200 0 18.99* 0.196 0 4.79* 0.157 0 4.14* 0.180 0 6.91* -0.053 0 2.72*

5 Valverde 0.211 0 24.06* 0.116 0 1.89* 0.078 31 1.24* 0.169 0 6.99* -0.061 0 4.31*

6 Escacena 0.221 0 23.72* 0.141 0 2.45* 0.119 0 2.53 0.141 0 4.60* -0.093 0 12.45*

7 Almonaster 0.172 0 18.04* 0.091 0 1.30*,ns 0.084 0 1.44 0.165 0 9.05* -0.068 0 7.47*

8 Jabugo 0.160 0 14.40* 0.164 0 3.65* 0.024 0 0.12ns 0.199 0 10.23* -0.090 0 13.30*

9 Sanlúcar 0.246 0 29.69* 0.119 31 1.56 0.142 0 3.14 0.176 31 4.87* -0.051 0 2.80*

10 Chiclana 0.202 0 18.73* 0.135 0 2.06 0.254 0 10.26* 0.157 0 4.08* -0.003 0 0.02ns

11 Medina Sidonia 0.189 0 17.62* 0.103 0 1.29* 0.129 92 2.85* 0.206 0 9.48* -0.064 0 5.41*

12 Grazalema 0.162 0 14.60* 0.107 0 1.86* 0.096 0 1.88* 0.134 0 5.46* -0.118 0 19.53*

13 Jerez 0.203 0 21.28* 0.137 31 2.50* 0.108 0 2.10 0.142 0 4.45* -0.083 0 7.31*

14 Lebrija 0.264 0 32.34* 0.126 61 1.67* 0.079 0 0.95ns 0.105 0 1.67 -0.061 0 4.02*

15 Alcalá 0.215 0 19.16* 0.217 0 4.44* 0.118 0 1.99 0.115 0 2.07* -0.067 0 4.97*

16 Sevilla 0.198 0 21.30* 0.145 0 2.75* 0.103 0 1.96 0.167 0 8.34* -0.078 0 8.09*

17 Cantillana 0.225 0 24.81* 0.195 31 4.71* 0.093 0 1.50* 0.168 0 6.00* -0.095 0 11.19*

18 Aguadulce 0.163 0 12.23* 0.110 0 1.48 0.214 0 7.41* 0.141 0 4.20* -0.042 31 3.48

19 Puente Genil 0.180 0 17.78* 0.062 0 0.48ns 0.111 0 2.24* 0.212 0 7.71* -0.040 31 1.86*

20 Écija 0.214 0 21.15* 0.181 0 4.13 0.142 0 3.43* 0.185 0 5.84* -0.063 0 4.98*

21 Hornachuelos 0.253 0 22.62* 0.180 0 2.68* 0.039 0 0.20ns 0.039 92 0.15ns -0.088 0 6.64*

22 Aguilar 0.176 0 14.87* 0.109 0 1.44 0.106 0 1.90 0.188 0 5.58* -0.038 31 1.95*

23 Córdoba 0.201 0 22.73* 0.114 31 1.96 0.080 0 1.29 0.175 0 7.65* -0.100 0 13.88*

24 Castro 0.180 0 16.63* 0.230 0 6.67* 0.084 31 1.31 0.131 0 2.99* -0.056 0 4.48*

25 Bujalance 0.173 0 16.92* 0.187 0 4.98* 0.091 0 1.62 0.141 0 9.42* -0.066 0 6.79*

26 Montoro 0.178 0 17.18* 0.151 0 2.82* 0.085 31 1.05 0.157 0 5.43* -0.089 0 10.44*

27 Cazalla 0.191 0 18.12* 0.159 0 3.06* 0.162 0 4.48* 0.171 0 6.49* -0.079 0 7.82*

28 Alanís 0.161 0 12.43* 0.097 31 1.09 0.149 0 3.55* 0.215 0 8.07* -0.091 0 11.66*

29 Fuente Obejuna 0.182 0 18.07* 0.139 0 2.52* 0.086 0 1.40 0.283 0 16.85* -0.042 0 3.11*

30 Espiel 0.159 0 14.16* 0.160 0 3.79* 0.149 0 4.38* 0.161 0 5.62* -0.060 0 5.79*

31 Carcabuey 0.188 0 19.13* 0.068 31 0.74*,ns 0.091 0 1.62 0.156 0 6.43* -0.076 0 10.36*

32 Priego 0.209 0 22.86* 0.109 0 1.65 0.069 31 0.92ns 0.226 0 12.06* -0.039 31 2.55*

33 Jimena 0.194 0 22.57* 0.059 0 0.58ns 0.085 0 1.53 0.131 31 4.10* -0.069 0 6.94*

100

(days)LogLannual b010

010

(days)Station

G 000 G 100 G 010

b000

000

(days)LogLannual b100

μ

(days)C LogLannualLogLannual b110110

(days)LogLannual

G 110

* significa mínimo AIC. ns significa incremento no significativo de acuerdo con AIC

Tabla 1.Coeficientes de perturbación, retrasos e incremento del valor de la función LogL de los coeficientes de la Cadena de Markov y de la media de la distribución mixta exponencial.

El índice NAO ha mejorado significativamente la logL del coeficiente G000 . El signo de los coeficientes de perturbación es consistente en todos los casos variando su valor entre 0.2635 y 0.1589. Los signos positivos de los coeficientes de perturbación indican que la probabilidad de un día húmedo seguido de dos días secos disminuye para índices NAO

positivos, (G001=1−G000 ). En consecuencia, el efecto de la perturbación del coeficiente G000 es real, ya que además de tener coeficientes de perturbación consistentes y el mismo retraso para todas las estaciones, la mejoría del modelo al perturbar los parámetros disminuye conforme la influencia de las borrascas atlánticas que entran desde el Océano Atlántico es menor.

Con respecto al resto de los coeficientes del modelo MC2, se han encontrado resultados muy dispares. Por esta razón, se han elegido los mayores valores de la función logL con

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retrasos comprendidos entre 0 y 92 días, y eligiendo finalmente coeficientes de perturbación que mantengan la consistencia de los resultados del modelo.

En las tabla 1 también se muestran los valores de los coeficientes de perturbación para la media de la distribución mixta exponencial y los retrasos obtenidos para dichos coeficientes y LogLannual. Al igual que se ha hecho con el modelo MC2, se han elegido los valores de los coeficientes de perturbación anuales que hacen mínima la AIC pero buscando, en este caso, los valores más bajos del retraso que se ha acotado entre 0 y 122 días dada su alta variabilidad. Ahora, el término “consistente” se ha utilizado cuando los coeficientes de perturbación tienen signo negativo, ya que implica que disminuye la cantidad de precipitación cuando el valor de NAO es positivo o al contrario cuando es negativo (Ruíz-Sinoga, 2011).

El índice NAO ha mejorado significativamente la logL del coeficiente μ para todas las estaciones, exceptuando la estación 10-Chiclana. El valor de retraso 0 se obtiene en 26 de las 35 estaciones, y los coeficientes de perturbación son consistentes para todas las estaciones.

En consecuencia, el efecto de la perturbación del coeficiente μ es real, ya que los coeficientes son consistentes y los valores de los retrasos homogéneos.

5.ConclusionesEn este trabajo los efectos del índice NAO sobre la precipitación en el sur de España se han incorporado en un modelo Cadena de Markov de segundo orden-Mixta Exponencial (CM2ME) mediante la perturbación de sus coeficientes con una función lineal de dicho índice que incluye también un posible retraso. Los resultados obtenidos demuestran que dicha perturbación mejora el grado de ajuste del modelo ya que la logL de ambas distribuciones se incrementa significativamente.

Solo el coeficiente G000 , de los cuatro que conforman la CM, está relacionado con el

número de días lluviosos (coeficiente de Pearson de 0,64). Obviamente, el coeficiente μ de la ME está mucho más correlacionado con la precipitación media en un día lluvioso (coeficiente de Pearson de 0,97).

El índice NAO ha mejorado significativamente la logL del coeficiente G000 , y los signos de los coeficientes de perturbación son consistentes ya que tienen signo positivo, es decir, implican una menor probabilidad de tener un día húmedo cuando el valor de NAO es positivo o al contrario cuando es negativo. El retraso es 0 días para todas las estaciones. El índice NAO

también ha mejorado significativamente la logL del coeficiente μ para todas las estaciones, excepto una. El signo negativo de los coeficientes de perturbación indica que la precipitación media en un día lluvioso aumenta para índices NAO negativos. Una amplia mayoría tiene un retraso de cero días.

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Agradecimientos

Este trabajo se integra en el proyectoCSO2011-29425 “Directiva Marco del Agua y Riesgos Hídricos: Gestión y Mitigación de Sequias” financiado por la Comisión Española de Ciencia y Tecnología. La Agencia Española de Meteorología ha proporcionado los datos de lluvias.

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