vwo B Samenvatting Hoofdstuk 10

Riemannsommen

De oppervlakte van het vlakdeel V in figuur a is te benaderen met behulp van rechthoeken. Daartoe verdeel je het interval [1, 5] in even lange deelintervallen.Hiernaast is gekozen voor rechthoeken met lengte ∆x = 1.Voor de hoogte van de rechthoeken kun je• de kleinste functiewaarde op het deelinterval nemen, je krijgt dan de ondersom, zie figuur b• de grootste functiewaarde op het deelinterval nemen, je krijgt dan de bovensom, zie figuur c• de functiewaarde van een willekeurig getal xk van

het deelinterval nemen, zie figuur d

In het algemeen wordt de som van de oppervlakten

van rechthoeken genoteerd als

Dit heet een Riemannsom. Ook de ondersom en bovensom zijn Riemannsommen.Er geldt ondersom ≤ O(V) ≤ bovensom.

1

( )n

kk

f x x

10.1

IntegralenDoor bij een Riemannsom de limiet voor ∆x naar 0 te nemen krijg je een integraal.De oppervlakte van het vlakdeel V dat boven de x-as ligt en wordt ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x = a en x = b

is

Met de GR kun je integralen nauwkeurig benaderen.

Zo is de oppervlakte van het vlakdeel V dat wordt ingesloten door de grafiek van f(x) = , de x-as en de y-as gelijk aan

dx

De optie fnInt(TI) of ∫dx (Casio) geeft O(V) ≈ 1,89.De oppervlakte van het vlakdeel W dat wordt ingesloten door de grafiek van f en delijnen x = 2 en y = √2 bereken je met O(W) = O(rechthoek) – O(V).Dus O(W) ≈ 2 · √2 – 1,89 ≈ 0,94.

2 x2

0

2 x

( )b

a

f x dx

10.1

Oppervlakte van een vlakdeel tussen grafieken

In de figuur hiernaast is f(x) ≥ g(x) op het interval [a, b].Daarom kan de oppervlakte van het vlakdeel V benaderd

worden met behulp van de Riemannsom

Voor de exacte oppervlakte neem je hiervan de limiet

voor ∆x naar 0. Je krijgt O(V) =

vb.Het vlakdeel W wordt ingesloten door de grafieken vanf(x) = 2x – 8 en g(x) = -x2

Voer in y1 = 2x – 8 en y2 = -x2

Optie intersect geeft x ≈ -2,80 en x = 2.De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft

O(W) ≈

1

( ( ) ( ))n

k kk

f x g x x

( ( ) ( ))b

a

f x g x dx

2

2,80

( ( ) ( ))g x f x dx

≈ 22,85

10.2

Inhoud van een omwentelingslichaam

Door het vlakdeel U in de figuur hiernaast te wentelenom de x-as ontstaat het lichaam L.

I(L) =

Door het vlakdeel V in de figuur hiernaast te wentelen om de x-as ontstaat het lichaam M.

I(M) =

vb.Het lichaam N ontstaat door het vlakdeel W,ingesloten door de grafieken van f(x) = 2x – 8 en g(x) = -x2 , te wentelen om de x-as.De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft

I(N) ≈

2( ( ))b

a

f x dx

2 2( ( )) ( ( )) .b b

a a

g x dx f x dx

2 22 2

2,80 2,80

( ( )) ( ( ))f x dx g x dx

≈ 593,410.2

Primitieven

O’(x) =

O(x + h) – O(x) = O(groene vlakdeel) ≈ f(x) · h

O’(x) =

De functie F is een primitieve van de functie f als F’ = f.

Als F een primitieve van f is,dan zijn alle functies F + c primitieven van f.Het getal c heet de integratieconstante.Voor elke constante a geldt dat a · F een primitieve is van a · f.

0lim

( ) ( )h

O x h O xh

0lim

( )( )

h

f x hf x

h

10.3

Regels voor primitiveren

Verder geldt dat als F een primitieve is van f,dan is een primitieve van f(ax + b).

1( )F ax b

a

10.3

Oppervlakte en primitieve

O(V) =

O(x) = F(x) + c

= O(b) – O(a)= (F(b) + c) – (F(a) + c)= F(b) – F(a)

= = F(b) – F(a)

( )b

a

f x dx

( )b

a

f x dx

( )b

a

f x dx [ ( )]baF x

10.3

Kegel en Bol

Door het vlakdeel ingesloten door de lijn y = de x-as en de lijn x = h te wentelen om de x-asontstaat een kegel met straal r en hoogte h.

I(kegel) = ⅓πr2h

Door de cirkel c: x2 + y2 = r2 te wentelen om de x-asontstaat een bol met straal r.

I(bol) = 1⅓πr3

Door het vlakdeel ingesloten door de cirkel c, de y-as en de lijnx = ⅔r te wentelen om de x-as ontstaat een bolschijf.

I(bolschijf) =

rx

h

2

32 2

0

( )

r

r x dx 2

32

0

r

y dx 2

2 3 30

1[ ( )]

3

rr x x 346

81r

10.4

Booglengte

De booglengte van het deel van de grafiek van een functie f tussen

x = a en x = b is

Bij de functie f(x) = krijg je de booglengte van het deel van de grafiektussen x = 1 en x = 4 als volgt.

f(x) = geeft

booglengte =

De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft booglengte ≈ 3,150.Dus de omtrek van het vlakdeel V in de figuur hiernaast is3 + f(1) + f(4) + booglengte ≈ 7,400.

1

x

21 ( '( ))b

a

f x dx

11x

x 2

2

1'( )f x x

x

24

21

11 dx

x

10.4

Wentelen om de y-as

Het vlakdeel V ligt rechts van de y-as en wordt ingesloten door de grafiek van de functie f, de y-as en de lijnen y = a en y = b.

De inhoud van het lichaam L dat ontstaat als V om de y-as wentelt is

I(L) = 2

b

a

x dy

10.4