Voorpagina en inhoudsopgave LPO na feedback · Hoofdstuk 3 Onderzoeksvragen Blz. 18 3.1 Hoofdvraag...

Onderzoek jaar 4 bachelor docent wiskunde 2e graads, HvA, DOO

Probleemoplossend denken

Kan ik het probleemoplossend denken van mijn leerlingen verbeteren met behulp van een lessenserie?

Naam student: Ruby Klos Studentnummer: 500614600 Begeleider: Sjaak Schoen Tweede beoordelaar: Desiree van den Bogaart Stageschool: Scholengemeenschap Tabor, locatie

Oscar Romero, Hoorn

Wat zijn de gegevens?

Wat wordt er

gevraagd?

Hebben we de vraag

beantwoord?

Hebben we aan de

voorwaarden voldaan?

Ken je een gerelateerd probleem?

Wat kun je met de

gegevens?

2

Inhoudsopgave

Hoofdstuk 1 Inleiding Blz. 4

Hoofdstuk 2 Theoretisch kader Blz. 5 t/m 17 2.1 Wat is probleemoplossend denken?

2.1.1 Problemen 2.1.2 Algoritmen 2.1.3 Heuristieken

2.1.4 Soorten problemen 2.1.4.1 Problemen om te vinden

2.1.4.2 Problemen om te bewijzen 2.1.4.3 Hulpproblemen 2.1.4.4 Analoge problemen 2.1.4.5 Routineproblemen

2.1.4.6 Open-einde problemen 2.1.4.7 Instapproblemen 2.1.4.8 Toepassingsproblemen 2.1.4.9 Toegepaste problemen 2.1.4.10 Grote problemen 2.1.5 Geschikte problemen 2.1.6 Wat houdt probleemoplossen precies in?

2.2 Probleemoplossen in de wiskundelessen 2.2.1 Waarom probleemoplossend denken? 2.2.2 Waarom zo weinig probleemoplossend denken in de wiskundelessen?

2.3 Welke strategieën bestaan er om probleemoplossend denken te verbeteren? 2.3.1 Pólya’s probleemoplossingsstrategie 2.3.1.1 Stap 1: Het probleem begrijpen 2.3.1.2 Stap 2: Een plan maken 2.3.1.3 Stap 3: Het plan uitvoeren 2.3.1.4 Stap 4: Terugblikken 2.3.1.5 Opmerkingen bij Pólya’s probleemoplossingsstrategie 2.3.2 Schoenfeld’s probleemoplossingsstrategie

2.4 Conclusie

Hoofdstuk 3 Onderzoeksvragen Blz. 18 3.1 Hoofdvraag 3.2 Deelvragen Hoofdstuk 4 Onderzoeksopzet Blz. 19 t/m 21 4.1 De deelvragen

4.1.1 Deelvraag 1: Wat is probleemoplossend denken? 4.1.2 Deelvraag 2: Welke strategieën bestaan er om probleemoplossend denken te

verbeteren? 4.1.3 Deelvraag 3: In hoeverre beschikken mijn leerlingen op dit moment over het

vermogen om probleemoplossend te denken? 4.1.4 Deelvraag 4: In hoeverre en hoe besteedt Moderne Wiskunde aandacht aan

probleemoplossend denken? 4.1.5 Deelvraag 5: Welke strategieën om het probleemoplossend denken te stimuleren

ontbreken in de methode? 4.1.6 Deelvraag 6: Hoe kan ik de strategieën voor het probleemoplossend denken in mijn

lessen verwerken?

3

4.2 De hoofdvraag 4.2.1 Hoofdvraag: Kan ik het probleemoplossend denken van mijn leerlingen verbeteren

met behulp van een lessenserie? 4.2.1.1 Beschrijving van de toetsingsmethode

Hoofdstuk 5 Resultaten Blz. 22 t/m 31 5.1 Deelvraag 3: In hoeverre beschikken mijn leerlingen op dit moment over het

vermogen om probleemoplossend te denken? 5.2 Deelvraag 4: In hoeverre en hoe besteedt Moderne Wiskunde aandacht aan

probleemoplossend denken? 5.3 Deelvraag 5: Welke strategieën om het probleemoplossend denken te stimuleren

ontbreken in de methode? 5.4 Deelvraag 6: Hoe kan ik de strategieën voor het probleemoplossend denken in

mijn lessen verwerken?

Hoofdstuk 6 Conclusies, discussie en aanbevelingen Blz. 32 t/m 37 6.1 Statistische vergelijking van de resultaten van de nulmeting en de eindmeting 6.2 Conclusies 6.3 Discussie

6.3.1 Zijn de nulmeting en de eindmeting wel echt van vergelijkbaar niveau? 6.3.2 Is de normering van de nulmeting van vergelijkbaar niveau als de normering

van de eindmeting? 6.3.3 Is het gebruik van kangoeroe-opgaven betrouwbaar genoeg? 6.3.4 Zijn er wellicht andere factoren van invloed geweest op het resultaat?

6.4 Aanbevelingen 6.4.1 Zijn de nulmeting en de eindmeting wel echt van vergelijkbaar niveau? 6.4.2 Is de normering van de nulmeting van vergelijkbaar niveau als de normering

van de eindmeting? 6.4.3 Is het gebruik van kangoeroe-opgaven betrouwbaar genoeg?

6.4.4 Zijn er wellicht andere factoren van invloed geweest op het resultaat?

Hoofdstuk 7 Reflectie Blz. 38 t/m 40 7.1 Reflectie op de vraagstelling 7.2 Reflectie op de uitwerking van het onderzoek 7.3 Reflectie op de uitkomsten van het onderzoek 7.4 Reflectie op de leerwinst van het onderzoek

7.4.1 De invloed van dit onderzoek op mijn visie op het onderwijs 7.4.2 De invloed van dit onderzoek op mijn didactisch handelen

Hoofdstuk 8 Literatuurlijst Blz. 41

Hoofdstuk 9 Bijlagen Blz. 42 t/m 139 9.1 Bijlage 1: Kangoeroetoets 1, de nulmeting 9.2 Bijlage 2: Normering kangoeroetoets 1 9.3 Bijlage 3: Leerlingboekje lessenserie probleemoplossend denken 9.4 Bijlage 4: Uitwerkingen van de problemen uit de lessenserie 9.5 Bijlage 5: Enquête-uitslag leerlingboekje probleemoplossend denken 9.6 Bijlage 6: Kangoeroetoets 2, de eindmeting 9.7 Bijlage 7: Normering kangoeroetoets 2 9.8 Bijlage 8: Resultaten kangoeroetoets 1 en kangoeroetoets 2

4

Hoofdstuk 1 Inleiding Er zijn een heleboel mensen die wiskunde een stom vak vinden en mij vol onbegrip aankijken wanneer ik aangeef dat ik bijna afgestudeerd ben als wiskundedocent. Veel mensen geven aan zelf nooit iets van wiskunde gesnapt te hebben en vragen aan mij wat ik er nou zo leuk aan vind. Ik antwoord standaard met: ,,Het puzzelen!” Vaak moet ik mij nader toelichten. In één van mijn lessen werd mij ook door een leerling gevraagd wat ik nou zo leuk vind aan wiskunde. Ik antwoordde dat ik het puzzelen erg leuk vind, waarop meerdere leerlingen mij niet-begrijpend aankeken en de link tussen wiskunde en ‘puzzelen’ blijkbaar niet zagen. Ik begon mij af te vragen hoe het nou kon dat leerlingen juist van datgene wat ik zo leuk vind aan wiskunde niet inzagen wat dit met wiskunde te maken heeft. Toen tijdens de bijeenkomsten van het afstudeeronderzoek het onderwerp ‘probleemoplossend denken’ voorbij kwam, moest ik meteen denken aan dit voorval. Ik realiseerde mij dat het puzzelen, wat ik zo leuk vind aan wiskunde, over probleemoplossend denken gaat. Want wat ik onder het puzzelen versta en zo leuk vind aan wiskunde, is het volgende: er wordt mij een wiskundige opgave voorgelegd waarvan ik niet meteen kan zeggen hoe ik de opdracht aan moet pakken. Ik lees de opgave aandachtig door en probeer voor mezelf duidelijk te krijgen wat er van me wordt gevraagd, wat ik met de gegeven informatie kan en hoe ik uiteindelijk tot een antwoord kan komen. Ik ga aan de slag en stel zo nodig mijn in eerste instantie gekozen aanpak bij. Geweldig als ik na heel wat ‘gepuzzel’ op een antwoord uit kom dat bij controle ook nog blijkt te kloppen! Nu ik wist dat mijn vraag te maken heeft met probleemoplossend denken, begon ik mij af te vragen of het mogelijk zou zijn om, door mijn lessen op een bepaalde manier vorm te geven, ervoor te zorgen dat ook mijn leerlingen datgene wat ik zo leuk aan wiskunde vind gaan ervaren (in plaats van het herhaaldelijk ‘nadoen’ van wat ze is uitgelegd). Met dit onderzoek wil ik er achter komen of ik met behulp van een lessenserie die ik samen zal stellen aan de hand van de bestudeerde literatuur het probleemoplossend denken van mijn leerlingen kan verbeteren.

5

Hoofdstuk 2 Theoretisch kader ,,In staat zijn wiskunde te doen, betekent het kunnen oplossen van moeilijke problemen” (Pólya, 1965-69) 2.1 Wat is probleemoplossend denken? Probleemoplossend denken, dat is waar dit onderzoek over gaat. Ter inleiding op het onderzoek zullen eerst de relevante begrippen worden gedefinieerd. Deze zullen worden beschreven in de sub paragrafen 2.1.1 t/m 2.1.6. 2.1.1 Problemen In de loop der jaren hebben meerdere onderzoekers het begrip probleem gedefinieerd en opvallend hierbij is dat deze definities nogal verschillend en soms zelfs tegenstrijdig zijn.

Schoenfeld (1992) citeert in zijn onderzoek twee verschillende definities van het begrip probleem volgens Webster (1970, zoals geciteerd in Schoenfeld, 1992), die de twee uitersten met betrekking tot de verschillende definities die in verscheidene onderzoeken worden gegeven goed illustreren : Definitie 1: ,,In wiskunde, iets wat gedaan moet worden, of het doen van iets.” Definitie 2: ,,Een vraag….die onbegrijpelijk of moeilijk is.” Schoenfeld (1992) typeert de eerste definitie als de traditionele wijze waarop het begrip probleem in wiskunde instructies wordt gebruikt en geeft aan dat zulke verzamelingen van taken allesbehalve problemen zijn zoals die in de tweede definitie beschreven wordt. Het zijn in dit geval vooral routine oefeningen om een bepaalde wiskundige techniek te oefenen die net aan de leerling is gedemonstreerd. In het geval van deze eerste definitie wordt een opgave gebruikt om een techniek te introduceren, vervolgens wordt de techniek toegelicht en worden er meer opdrachten gegeven zodat de leerling met de reeds gedemonstreerde techniek kan oefenen. Het uitgangspunt bij deze aanpak is dat de leerling aan het einde van het maken van deze opgaven een nieuwe techniek in zijn ‘wiskundige gereedschapskist’ heeft (Schoenfeld, 1992). In de tweede definitie gaat het niet om routine opgaven waarbij het doel is om een zojuist gedemonstreerde techniek te oefenen, maar om opgaven waar de leerling niet zomaar de zojuist gedemonstreerde techniek kan toepassen.

Ook in de twee definities die door de Oxford American Dictionary (Ehrlich & Flexner, 1980, zoals geciteerd in Jarret & McIntosh, 2000) worden gegeven, komen deze twee uiterste interpretaties tot uitdrukking. Zij geven de volgende definities van het begrip probleem: Definitie 1: Iets wat moeilijk te behandelen of te begrijpen is. Definitie 2: Een oefening in een tekstboek of toets

Hoewel er verschillende interpretaties zijn van het begrip probleem, komt in vrijwel ieder onderzoek naar probleemoplossend denken het relatieve karakter van het begrip probleem ter sprake: ,,Wel of geen probleem zijn is niet iets wat samengaat met een wiskundige taak. Het is eerder een bijzondere relatie tussen het individu en de taak wat de taak tot een probleem maakt voor die persoon. Het woord probleem wordt hier in relatieve zin gebruikt, als een taak die moeilijk is voor het individu die het probeert op te lossen.” (Schoenfeld, 1985). Pólya (1990) geeft aan dat het wel of niet hebben van een eerder opgelost gerelateerd probleem met dezelfde onbekende al het verschil maakt tussen een makkelijk en een moeilijk probleem. Hieruit volgt dat wat voor de ene leerling een probleem is, soms voor de andere leerling slechts een oefening is. Drijvers (2011) geeft aan dat een opgave die nieuw is voor een leerling of een originele combinatie van stappen vraagt en daarmee denkactief is, vervolgens kan worden geoefend en daarmee veranderen in een routine opgave. Of een opgave een beroep doet op denkactiviteiten hangt af van de voorkennis van de leerling, die zelf weer afhangt van het moment van aanbieden, het curriculum en de oefeningen in de schoolboeken. Daarnaast moet het niveau van een denkactieve opgave natuurlijk aangepast zijn aan het niveau en talent van de leerling. Wanneer er in dit onderzoek over een probleem wordt gesproken, wordt er verwezen naar de tweede definitie van Webster (1970, zoals geciteerd in Schoenfeld, 1992) en de eerste definitie van Ehrlich & Flexner (1980, zoals geciteerd in Jarret & McIntosh, 2000): een vraag waarbij iemand, gebruikmakend van zijn eerder verworven kennis, na moet denken over een geschikte aanpak, omdat hij geen geschikt algoritme voor handen heeft.

6

2.1.2 Algoritmen Algoritmen, ook wel vindregels genoemd, geven een beschrijving van een opeenvolging van handelingen die gegarandeerd tot een oplossing leiden. Een voorbeeld hiervan met betrekking tot wiskunde is het toepassen van de abc-formule of het maken van een staartdeling. In het dagelijks leven vormen de stappen volgens welke een wasmachine geprogrammeerd is een algoritme (Konings, 1996). Algoritmen komen vooral voor in het zoals Schoenfeld (1992) dit noemt, ‘traditionele’ wiskundeonderwijs: de docent demonstreert een kant-en-klaar stappenplan (het algoritme) en vervolgens gaan de leerlingen aan de slag met opgaven waarin ze steeds weer dit algoritme toe moeten passen. Wanneer dit juist gedaan wordt, leidt dit altijd tot de goede oplossing. Bij het werken met algoritmen gaat het dus vooral om het nadoen van een ‘kunstje’ en hoeven leerlingen niet zelf na te denken over de manier waarop ze een opgave aan moeten pakken. 2.1.3 Heuristieken Heuristieken, ook wel zoekregels genoemd, zijn vragen die iemand kunnen helpen om tot de juiste aanpak van een opgave te komen. Het gaat om vragen als: ,,Wat zijn de gegevens?” ,,Wat wordt er gevraagd? / Wat is de onbekende?” ,,Lijkt het op iets dat ik al eerder ben tegengekomen?”. Heuristieken worden gebruikt wanneer iemand geen geschikt algoritme voor handen heeft die tot de oplossing leidt. In tegenstelling tot algoritmen garanderen heuristieken niet het vinden van de oplossing van een opgave maar helpen ze om zelf tot een geschikte aanpak te komen (Drijvers, 2011). Het toepassen van heuristieken vindt plaats bij de problemen volgens de definitie van dit onderzoek: een vraag waarbij iemand, gebruikmakend van zijn eerder verworven kennis, na moet denken over een geschikte aanpak, omdat hij geen geschikt algoritme voor handen heeft. Opgaven die in deze categorie vallen zijn non-routine opgaven. Volgens Pólya (1990) moet ervaring op het gebied van probleemoplossen en onderzoek naar hoe andere mensen problemen oplossen de basis zijn waarop een heuristiek is gebouwd. Dit omdat het bij heuristieken gaat om ‘gezond verstand’ vragen die bij het oplossen van ieder probleem gesteld moeten kunnen worden en die een ervaren probleemoplosser zich (onbewust) bij het oplossen van ieder probleem stelt. 2.1.4 Soorten problemen Hieronder volgt een overzicht van verschillende problemen die in verschillende onderzoeken worden gedefinieerd. Pólya (1990) definieert in zijn boek ‘How to solve it’ vijf soorten problemen: problemen om te vinden, problemen om te bewijzen, hulpproblemen, analoge problemen en routineproblemen. Deze problemen worden besproken in paragraaf 2.1.4.1 t/m 2.1.4.5. Jarret & McIntosh (2000) bespreken in hun onderzoek open-einde problemen. Deze worden besproken in paragraaf 2.1.4.6. Konings (1997) spreekt in zijn boek ‘Leren effectief lesgeven’ over Instapproblemen en toepassingsproblemen, die besproken zullen worden in paragraaf 2.1.4.7 en 2.1.4.8. In zijn onderzoek bespreekt Schoenfeld (1992) twee soorten problemen: toegepaste problemen en grote problemen. Deze problemen worden besproken in paragraaf 2.1.4.9 en 2.1.4.10. 2.1.4.1 Problemen om te vinden Bij problemen om te vinden gaat het erom de onbekende van het probleem te vinden. Een voorbeeld van een probleem om te vinden is de volgende opgave: Een rechte lijn gaat door de punten (3,9) en (7, 17). Wat is de waarde van a in de formule y = ax + b ? 2.1.4.2 Problemen om te bewijzen Bij problemen om te bewijzen is het doel om overtuigend aan te tonen (te bewijzen) dat een duidelijke stelling waar is, of anders om aan te tonen dat het niet waar is. Een voorbeeld van een probleem om te bewijzen is de volgende opgave: Bewijs dat in een parallellogram de overstaande hoeken gelijk zijn. 2.1.4.3 Hulpproblemen Wanneer het niet (meteen) lukt om het originele probleem op te lossen, kan het helpen om het oorspronkelijke probleem zo aan te passen, bijvoorbeeld door het weglaten van bepaalde voorwaarden of beperkingen of het veranderen van de onbekende, dat er een probleem ontstaat dat makkelijker op te lossen is en helpt bij het oplossen van het ‘echte’ probleem.

7

2.1.4.4 Analoge problemen Twee problemen zijn analoog als de oplossing van de een de oplossing van de ander beïnvloedt, zoals bijvoorbeeld het hulpprobleem en het originele probleem. 2.1.4.5 Routineproblemen Routine problemen, bijvoorbeeld het berekenen van een onbekende zijde met behulp van de stelling van Pythagoras, zijn nodig bij het leren en onder de knie krijgen van een bepaalde vaardigheid. Zoals al eerder is aangegeven, behoren deze vragen niet tot de problemen waar dit onderzoek zich op toespitst. 2.1.4.6 Open-einde problemen Dit zijn problemen met meerdere mogelijke antwoorden die gevonden kunnen worden door meerdere oplossingsmethodes. De focus ligt niet op het antwoord van het probleem, maar op de manier waarop het antwoord wordt gevonden. Bij het oplossen van open-einde probleem zijn de leerlingen verantwoordelijk voor veel van de keuzes die in het verleden de verantwoordelijkheid van de docent en het tekstboek waren. Om te beslissen welke methode of procedure moet worden ondernomen om een open-einde probleem op te lossen, zal de leerling gebruik maken van zijn voorkennis en ervaring met gerelateerde problemen. De leerling zal wellicht zijn eigen procedure ontwikkelen en het een en ander proberen voordat hij de oplossing vindt. Hij zal dan reflecteren en aan anderen zijn bevindingen uitleggen, zijn denkproces opsporen en de strategieën die hij heeft geprobeerd herzien, om er zo achter te komen waarom sommige werkten en andere niet. Deze periode van reflectie vergroot zijn begrip van het probleem en helpt zijn manier van denken over effectieve oplossingsmethoden te verduidelijken. Ook wordt zo duidelijk hoe het probleem en de methoden die hij heeft gebruikt verband hebben met andere problemen of wiskundige gebieden. 2.1.4.7 Instapproblemen Een instapprobleem is een probleem dat zoveel mogelijk:

-‐ uitdaagt, nieuwsgierigheid opwekt; -‐ aanleiding is tot actief bezig zijn; -‐ tot een herkenbare context behoort; -‐ een aanzet geeft tot volgende wiskundestof; -‐ niet te ingewikkeld, maar ook niet te gemakkelijk is.

Instapproblemen worden vaak ter introductie op een nieuw hoofdstuk gebruikt. Vaak zijn dit open problemen. Of een opgave wel of niet open is, hangt sterk af van het moment waarop de opgave gemaakt wordt. De opgave ‘Bereken de lengte van de lichaamsdiagonaal van deze balk’ is na een hoofdstuk over de stelling van Pythagoras geen open opgave meer. Maar zonder deze voorkennis, bijvoorbeeld als instapopgave op het hoofdstuk over de stelling van Pythagoras, kunnen leerlingen er behoorlijk mee aan het denken gezet worden. Open opdrachten zijn in het bijzonder geschikt als introductie op een nieuw hoofdstuk. Als een klas gewerkt heeft aan het oplossen van een probleem dat veel te maken heeft met het onderwerp van het hoofdstuk, kan een docent gemakkelijker duidelijk maken waar het om gaat in het hoofdstuk. Konings (1997) geeft twee manieren om instapproblemen te ‘maken’:

1. opgaven naar voren halen In de samenvatting van een hoofdstuk staan opgaven die tot instapproblemen voor het hoofdstuk zouden kunnen leiden.

2. opgaven opener maken Door bij bepaalde opgaven de vragen a en b weg te laten, wordt vraag c een stuk opener.

2.1.4.8 Toepassingsproblemen Voor toepassingsproblemen gelden vergelijkbare criteria als voor instapproblemen, maar in dit geval gaat het er om dat de geleerde leerstof gebruikt wordt voor de oplossing van het probleem. Opgaven aan het eind van een hoofdstuk over de stelling van Pythagoras vragen om toepassing van die stelling. De complexiteit van de situatie en de openheid kunnen er een toepassingsprobleem van maken. 2.1.4.9 Toegepaste problemen Dit zijn problemen die gemotiveerd worden door praktische of theoretische vraagstukken uit het

8

dagelijks leven, zoals het berekenen van de benodigde hoeveelheid verf bij het schilderen van een bepaalde ruimte. 2.1.4.10 Grote problemen In deze categorie bevinden zich problemen die decennia lang onopgelost zijn gebleven en die de vermelding van de oplosser verdienen. 2.1.5 Geschikte problemen Zoals in paragraaf 2.1.1, ‘Problemen’, is aangegeven, is het begrip probleem een relatief begrip. Dit houdt in dat het afhankelijk is van de kennis waar iemand over beschikt of een opgave een probleem is of niet. Een opgave die voor een brugklasleerling een probleem is, zal voor een leerling uit de derde klas slechts een (routine)oefening zijn, omdat deze leerling al over de benodigde voorkennis beschikt. Vanwege de relativiteit van problemen is het belangrijk dat probleemoplossingsopdrachten zorgvuldig worden gekozen bij het onderwijzen en beoordelen van leerlingen, zodat ze op het juiste niveau van moeilijkheid zitten voor de leerling. Hoe selecteer je als docent de goede problemen? Verschillende onderzoekers hebben criteria gegeven waar volgens hen goede problemen aan moeten voldoen. Bij het bespreken van deze criteria wordt uitgegaan van de definitie van een probleem zoals deze aan het eind van paragraaf 2.1.1 is gegeven.

Becker & Shimada (1997, zoals geciteerd in Jarret & McIntosh, 2000) stellen dat echt probleemoplossen een probleem vergt dat net boven het vaardighedenniveau van de leerling is, zodat hij niet meteen weet welke oplossingsstrategie hij moet gebruiken. Het probleem moet niet routinematig zijn, zodat de leerling het probleem ervaart als uitdagend en onbekend, maar niet onoverkomelijk. Bij het beoordelen van de probleemoplossingsvaardigheden van de leerlingen moet er gebruikt gemaakt worden van voor de leerling onbekende taken waarvoor hij geen vooraf bepaalde procedure of algoritme heeft geleerd.

Volgens Jarret & McIntosh (2000) is één van de kerntaken van de docent om goede problemen te selecteren en aan te bieden. Door goede problemen te kiezen, creëert de docent optimale omstandigheden voor zijn leerlingen om betrokken te zijn bij betekenisvol probleemoplossen. Zij geven vier kenmerken waaraan een goed probleem zou moeten voldoen:

1. Het probleem is een open-einde probleem, waarbij meerdere oplossingsstrategieën en antwoorden mogelijk zijn.

2. Het probleem gaat in op belangrijke wiskundige begrippen. 3. Het probleem daagt uit en interesseert leerlingen. 4. Het probleem sluit aan bij de voorkennis van de leerling.

Uit bovenstaande kan geconcludeerd worden dat er, vanwege het relatieve karakter, niet gesproken kan worden van het geschikte probleem, maar dat het van de leerling afhankelijk is of een opgave een probleem vormt. Wel zijn er algemene kenmerken waaraan een probleem zou moeten volden. 2.1.6 Wat houdt probleemoplossen precies in? Nu de belangrijkste begrippen zijn besproken en toegelicht, zal ik proberen in kaart te brengen wat probleemoplossen precies inhoudt. De reden dat ik aangeef dat ik dit zal proberen, is omdat er uit verschillende onderzoeken zeer verschillende resultaten en definities komen. Met andere woorden: er is op het gebied van probleemoplossen nog erg weinig eenduidigheid. Ook wordt probleemoplossen gebruikt met meerdere betekenissen die variëren van ‘Oefeningen uit het hoofd maken’ tot ‘Wiskunde als een professional doen’ (Schoenfeld, 1992).

Zoals in paragraaf 2.1.1, ‘Problemen’, aangegeven, richt dit onderzoek zich op non routine problemen, waarvoor de leerling geen direct algoritme voor handen heeft en zelf op zoek zal moeten gaan naar een geschikte oplossingsstrategie. Bij het zoeken naar een geschikte oplossingsstrategie spelen eerder opgeloste problemen een essentiële rol, omdat deze kunnen helpen bij het oplossen van het huidige probleem. Ook heuristieken spelen een belangrijke rol, omdat deze helpen bij het vinden van een geschikte aanpak. Wanneer het probleem te lastig is om op te lossen, kan er gebruik gemaakt worden van hulpproblemen en kan het resultaat hiervan gebruikt worden bij het oplossen van het oorspronkelijke probleem. Wanneer iemand meerdere problemen uit dezelfde categorie op heeft weten te lossen, kunnen deze opgaven, die eerst nog als problemen werden ervaren, uiteindelijk ‘veranderen’ in routine opgaven. Waar een geschikt probleem aan zou moeten voldoen is in paragraaf 2.1.5, ‘Geschikte problemen’, besproken. Maar wat houdt probleemoplossen precies in? Volgens Pólya (1990) is een probleem oplossen het vinden van de connectie tussen de gegevens en de onbekende. Er zijn volgens hem zekere mentale

9

handelingen handig bij probleemoplossen. Als zo’n mentale handeling werkt, voelt dit succes als een vooruitgang.

Bij het oplossen van problemen spelen emoties een grote rol. Wanneer een leerling merkt dat zijn aanpak niet lijkt te werken en hij niet verder komt, zal hij gaan aarzelen en een andere aanpak proberen. Is deze andere aanpak ook niet succesvol, dan neemt het zelfvertrouwen van deze leerling af en verliest hij langzamerhand moed. Ervaart een leerling succes, dan neemt het vertrouwen toe en wordt er vooruitgang geboekt (Pólya, 1990).

Jarret & McIntosh (2000) geven in hun onderzoek aan dat recent onderzoek laat zien dat er een aantal belangrijke eigenschappen zijn die leerlingen laten zien als ze op een hoog niveau van probleemoplossen zitten. Het wiskundig probleemoplossingsmodel dat hierbij gehanteerd wordt, is gebaseerd op de volgende eigenschappen met ieder een controlevraag waarop het antwoord ja zou moeten zijn:

-‐ Fundamentele inzichten Reflecteert de leerling bij zijn interpretatie van het probleem, gebruikmakend van wiskundige verklaringen en procedures, nauwkeurig op de belangrijkste wiskundige begrippen?

-‐ Strategieën en redenaties Is er bewijs dat de leerling werkt vanuit een plan, geschikte strategieën heeft toegepast en een logisch en controleerbaar proces heeft gevolgd?

-‐ Communicatie Kan een ander de manier van denken van de leerling duidelijk begrijpen?

-‐ Berekening en uitvoering Gegeven de benadering die de leerling heeft gebruikt om het probleem op te lossen, is de oplossing (inclusief alle stappen van het proces) uitgevoerd op een nauwkeurige manier?

-‐ Wiskundige inzichten Begrijpt de leerling de dieper liggende structuur van het probleem en ziet hij hoe het door hem gebruikte proces in connectie staat tot andere problemen of toepassingen in ‘het echte leven’?

Schoenfeld (1992) benadrukt dat de inhoud van de kennisbasis van cruciaal belang is bij het oplossen van problemen, omdat iemand gedurende het probleemoplossen maar een beperkt aantal gegevens in zijn korte-termijn-geheugen kan opslaan. Er zal dus vooral een beroep gedaan moeten worden op de kennis die opgeslagen is in het lange-termijn-geheugen. Deskundigheid in verschillende domeinen is afhankelijk van de toegang tot ongeveer vijftig duizend stukjes kennis in het lange-termijn-geheugen. Omdat het enige tijd duurt voordat kennis daadwerkelijk is opgeslagen in het lange-termijn-geheugen (voor de meest simpele onderdelen kost dit zo’n tien seconden van oefening) en het nog langer duurt voordat er connecties tussen deze ‘stukjes’ kennis zijn ontstaan, duurt het lang voordat deskundigheid, bijvoorbeeld in het oplossen van problemen, ontwikkeld is.

Kortom, bij probleemoplossen gaat het er om met behulp van reeds aanwezige kennis tot een geschikte oplossingsstrategie te komen bij opgaven waarvoor iemand geen kant-en-klaar stappenplan (algoritme) heeft. Het gaat hier dus niet om de standaardopgaven uit het boek, waarbij leerlingen oefenen met de zojuist gedemonstreerde vaardigheden en algoritmen. Heuristieken kunnen helpen bij het vinden van een geschikte aanpak. Eerder opgeloste problemen zijn van cruciaal belang, omdat eerder verkregen oplossingen kunnen helpen bij het oplossen van het huidige probleem. De inhoud van de kennisbasis is tevens van cruciaal belang, omdat men slechts een beperkte hoeveelheid kennis in zijn korte-termijn-geheugen kan opslaan en hierdoor vooral afhankelijk is van de kennis die in het lange-termijn-geheugen is opgeslagen. Dit vergt veel oefening en kost tijd. Wanneer een leerling op hoog niveau van probleemoplossen zit, vertoont hij bepaalde kenmerken die door de docent getoetst kunnen worden aan de hand van sleutelvragen. 2.2 Probleemoplossen in de wiskundelessen Nu in kaart is gebracht wat probleemoplossen is, zal ingegaan worden op de vraag waarom het wenselijk is om als wiskundedocent aandacht te besteden aan probleemoplossend denken. Voordat er op deze vraag in wordt gegaan, nog even wat achtergrondinformatie: de manier van lesgeven en de didactische handelingen zijn afhankelijk van het beeld dat de docent van wiskunde heeft en wat het volgens hem betekent om wiskunde te begrijpen. Zulke opvattingen variëren wijd. Aan het ene uiteinde van het spectrum wordt wiskundekennis gezien als een geheel van feiten en procedures met betrekking tot hoeveelheden, grootheden en vormen en relaties hiertussen; het beheersen van wiskunde wordt gezien als het onder de knie hebben van deze feiten en procedures. Aan het andere

10

uiteinde van het spectrum wordt wiskunde opgevat als de wetenschap van patronen, waarin het gaat om het herkennen van patronen en regelmatigheden als basis voor wiskundige bewijzen. De opvatting van de docent over wat wiskunde is, bepaalt zijn manier van lesgeven en dus het soort wiskundig begrip dat zijn leerlingen zullen ontwikkelen (Schoenfeld, 1992). Uit meerdere onderzoeken is gebleken dat leerlingen wiskunde veelal associëren met zekerheid: voor iedere opgave zou een algoritme zijn die snel het antwoord op de vraag levert. Deze culturele veronderstellingen worden gevormd door ervaringen met het ‘traditionele’ wiskundeonderwijs. In dit traditionele wiskundeonderwijs betekent wiskunde ‘doen’ het volgen van de regels die vastgesteld zijn door de docent; wiskunde ‘kennen’ betekent het onthouden en toepassen van de juiste regel wanneer de docent een vraag stelt en wiskundige ‘waarheid’ wordt verkregen als de docent het antwoord goedkeurt (Lampert, 1998, zoals geciteerd in Schoenfeld, 1992). Volgens Schoenfeld (1992) heeft deze opvatting over wiskunde te maken met het feit dat veel lessen over het algemeen van het type dat Burkhart (1988, zoals geciteerd in Schoenfeld, 1992) “tentoonstelling, voorbeelden, oefeningen” noemt zijn: de docent introduceert het nieuwe onderwerp, behandelt klassikaal een aantal voorbeelden en vervolgens gaat de leerling aan de slag met oefeningen waarin hij gaat oefenen met datgene wat zojuist door de docent is gedemonstreerd. 2.2.1 Waarom probleemoplossend denken? In de verschillende onderzoeken die naar probleemoplossend denken zijn gedaan, benadrukken de auteurs dat het besteden van aandacht aan probleemoplossen om meerdere redenen van belang is.

Schoenfeld (1992) geeft in zijn onderzoek aan dat een consequentie van het ervaren van het lesprogramma in hapklare stukken is, dat leerlingen leren dat ze in antwoorden en methoden voor problemen worden voorzien. Van de leerlingen wordt niet verwacht dat ze de methode zelf uitzoeken. Na verloop van tijd accepteren de meeste leerlingen hun passieve rol en zien wiskunde als ‘gegeven’ door experts en aan hun de taak om dit te onthouden. Als consequentie van het niet-problematische karakter van de opgaven uit het lesboek, dit zijn over het algemeen namelijk routineopgaven waar de leerlingen algoritmen voor leren, zouden leerlingen volgens Schoenfeld (1992) gaan geloven dat bij wiskunde iemand een kant-en-klare methode voor de oplossing van een gegeven probleem zou moeten hebben en dat de methode snel een antwoord op het probleem zou moeten opleveren. Leerlingen die de middelbare school hebben afgerond, hebben duizenden van deze ‘problemen’ doorgewerkt – vrijwel geen waarvan van de leerlingen werd verwacht er meer dan enkele minuten aan te besteden om het op te lossen. De veronderstelling die ten grondslag aan deze opdrachten ligt, is als volgt: als je het materiaal begrijpt, kun je de oefeningen maken. Als je de opdrachten niet in een redelijke tijd kunt maken, dan begrijp je de stof niet. Dat is een teken dat je hulp moet zoeken. Deze opvattingen van leerlingen hebben serieuze problemen tot gevolg. Leerlingen met deze opvatting zullen problemen waar ze geen kant-en-klare methode voor hebben niet eens proberen of geven het werken aan een probleem na een paar onsuccesvolle minuten op, terwijl ze het op hadden kunnen lossen als ze volgehouden zouden hebben. Bovendien gaan leerlingen geloven dat wiskunde niet iets is waar zij van betekenis in kunnen zijn, maar eerder iets dat compleet willekeurig is (of in ieder geval iets waarvan de zinvolheid niet toegankelijk is voor hen) en wat onthouden moet worden zonder te zoeken naar betekenis – als ze het al aankunnen (Schoenfeld, 1992).

Jarret & McIntosh (2000) verwijzen in hun onderzoek naar Hiebert et al. (1997, zoals geciteerd in Jarret & McIntosh, 2000), die stellen dat wanneer studenten wiskundige problemen tegenkomen die hen interesseren en uitdagen, ze meer kans hebben om de soorten interne beloningen te ervaren die ze betrokken houden. Leerlingen die hun toevlucht moeten nemen tot het onthouden, zullen een gebrek aan begrip hebben en zullen waarschijnlijk maar een klein gevoel van tevredenheid hebben of zich helemaal terugtrekken uit het leren. Hiebert et al. (1997, zoals geciteerd in Jarret & McIntosh, 2000) zeggen tevens dat onderzoek aantoont dat wanneer leerlingen procedures herhaaldelijk uit het hoofd onthouden en oefenen, het moeilijk voor ze is om hier later op terug te komen en een beter inzicht te krijgen van de wiskundige begrippen die ten grondslag liggen aan deze procedures. Leerlingen hebben volgens Jarret & McIntosh (2000) namelijk zelden de mogelijkheid om de creativiteit van onderzoeken en ontdekken te ervaren in rijke, non routine en intellectueel uitdagende problemen. Als gevolg zien veel leerlingen wiskunde als een sleur: een vaste set van feiten en regels die geleerd moeten worden door het onthouden.

Ook benadrukken Schoenfeld (1992) en Jarret & McIntosh (2000) de grote maatschappelijke toepassing van probleemoplossingsvaardigheden, van dagelijkse huishoudtaken zoals het plannen van een lange autorit, tot grote managementproblemen zoals het plannen van het luchtverkeer of het beheer van de beleggingsgelden. Het proces van wiskunde ‘doen’ is volgens hen veel meer dan optellen of aftrekken: het gaat over de waarneming van patronen, het testen van vermoedens en schatting van de resultaten. Ervaring met wiskundige denkmethoden bouwt wiskundige kracht – een

11

capaciteit van geest van toenemende waarde in dit technologische tijdperk die het mogelijk maakt om kritisch te lezen, om denkfouten te identificeren, om vertekening te detecteren, om risico’s te beoordelen en om alternatieven voor te stellen. Wiskunde stelt ons in staat om de met informatie beladen wereld waarin we leven beter te begrijpen. Wiskundig sterke leerlingen zijn in staat de enorme hoeveelheden gegevens die ze dagelijks tegenkomen te interpreteren en om weloverwogen beslissingen te maken op basis van deze interpretaties. Ze gebruiken wiskunde in praktische zin, van simpele toepassingen zoals het gebruiken van verhoudingen voor recepten of schaalmodellen, tot ingewikkelde begrotingsplannen, statistische analyses en computersimulaties. Het zijn flexibele denkers met een breed repertoire van technieken en perspectieven om om te gaan met nieuwe problemen en situaties (Schoenfeld, 1992). ,,Leren door open-einde probleem oplossen helpt leerlingen om begrip te ontwikkelen dat flexibel is, dat toegepast kan worden in nieuwe situaties en wordt gebruikt om nieuwe dingen te leren. Dingen die geleerd zijn met begrip, zijn de meest nuttige dingen om te weten in een veranderende en onvoorspelbare wereld.” (Hiebert et al., 1997, zoals geciteerd in Jarret & McIntosh, 2000)

Moyer, Cai & Grampp (1997, zoals geciteerd in Jarret & McIntosh, 2000) geven aan dat wiskunde leren door te worstelen met open-einde en uitdagende problemen de basis biedt voor diverse leerstijlen. Het actieve en gevarieerde karakter van probleemoplossen helpt leerlingen met diverse leerstijlen om wiskundig begrip te ontwikkelen en te demonstreren. De traditionele manier van lesgeven, waarbij het gaat om uit het hoofd leren en leerkracht-gerichte instructieve strategieën, voldoet vaak niet aan de leerbehoeften van veel leerlingen die ijverig zijn of die meer baat zouden hebben bij een andere aanpak en/of werkwijze.

Drijvers (2011) geeft aan dat het blindelings toepassen van algoritmen niet zonder risico’s is: ,,Je zult toch ook moeten weten wat je moet doen als de situatie iets van de standaardsetting afwijkt of als je een onverwacht resultaat vindt. Bovendien, hoe zijn die standaardalgoritmen ooit ontdekt? Toch door mensen die bereid waren de ongebaande paden van het denken te betreden? En is het nut van wiskundeonderwijs voor velen, die in hun verdere leven wiskundige toepassingen niet nodig zullen hebben, niet vooral gelegen in het ‘leren denken’?” (Drijvers, 2011).

Ook geeft Drijvers (2011) aan dat op het toekomstig Centraal Examen, misschien meer dan nu het geval is, opgaven voor zullen komen die een beroep doen op denkactiviteiten en die verder gaan dan het toepassen van standaardalgoritmen ‘op de automatische piloot’. ,,Voor het werken in de klas en het voorbereiden op het examen is het zinvol om denkactieve opgaven te zoeken en het denken van leerlingen te stimuleren door het stellen van goede uitdagende vragen die zich richten op het ‘weten hoe’ en het ‘weten waarom’” (Drijvers, 2011). Kortom, het besteden van aandacht aan probleemoplossend denken in de wiskundelessen zorgt ervoor dat leerlingen wiskunde zullen begrijpen en in nieuwe situaties tot een geschikte aanpak kunnen komen. Ze zullen wiskunde eerder als uitdagend ervaren, vaker succeservaringen meemaken en de mogelijkheid krijgen een leerstijl te ontwikkelen die bij hen past. Bovendien zorgt het probleemoplossen voor een bepaalde manier van denken die in dit technologische en continu veranderende tijdperk van essentieel belang is, ook voor degenen die in hun verdere leven weinig met wiskunde te maken zullen hebben. 2.2.2 Waarom zo weinig probleemoplossend denken in de wiskundelessen? Ondanks alle bovengenoemde voordelen van probleemoplossend leren denken, wordt er in wiskundelessen over het algemeen zeer weinig tot geen aandacht besteed aan probleemoplossend denken. Volgens Jarret & McIntosh (2000) komt dit vooral doordat veel docenten niet overtuigd zijn van het feit dat traditionele methoden dienen te worden afgeschaft. De manier van het onderwijzen van wiskunde weerspiegelt de opvatting van de docent over wat wiskunde is als een vakgebied. Als de docent wiskunde karakteriseert als het geven van de juiste antwoorden en onfeilbare procedures, dan is de kans groot dat zijn instructie de presentatie van wiskundige begrippen, procedures, feiten en theorieën zal blijven benadrukken met bij de leerlingen de focus op het oefenen en het onthouden.

Van de docenten die willen veranderen zijn er veel onzeker over hoe hiermee om te gaan. Om over te gaan op een andere aanpak, moet de docent eerst een verschuiving van zijn eigen opvatting maken. Dit vereist dat hij oog in oog komt met diep gekoesterde persoonlijke opvattingen over doceren en leren en om de neiging om initiatief te nemen onder ogen te zien. Veel docenten voelen zich onvoorbereid om over te gaan op een probleemoplossende aanpak: weinig docenten leerden zelf

12

op deze manier wiskunde. De weg van een docent die wil veranderen moet beginnen met erkenning van zijn eerdere ervaringen. De docent zal verder bouwen op zijn eerdere ervaringen door hierop te reflecteren in het licht van nieuwe ideeën over effectieve onderwijsstrategieën (Richardson, 1990, zoals geciteerd in Jarret & McIntosh, 2000).

Volgens Burkhart (1988, zoals geciteerd in Schoenfeld, 1992) komt daarbij dat echt probleemoplossen voor de docent net zo veeleisend is als voor de leerlingen, zowel op inhoudelijk, didactisch en persoonlijk vlak:

-‐ Inhoudelijk: de docent moet de gevolgen zien van de verschillende benaderingen van de leerlingen, of deze succesvol zijn en, als dit niet het geval is, wat ze onsuccesvol maakt.

-‐ Didactisch: De docent moet besluiten wanneer hij ingrijpt en welke suggestie de leerlingen zal helpen, terwijl de oplossing hoofdzakelijk in handen van de leerling blijft, en dit voor iedere leerling, of groep leerlingen, in de klas.

-‐ Persoonlijk: De docent zal vaak in de ongewone en oncomfortabele positie zijn van het niet weten; om goed te werken zonder het antwoord te weten vereist ervaring, vertrouwen en zelfbewustzijn.

Leerlingen in frustratie zien worstelen is vaak erg lastig voor docenten. Weten wanneer je een hint moet geven en hoeveel hulp je moet bieden, vereist het vinden van een geschikte balans, die komt met ervaring en het kennen van de mogelijkheden van de leerlingen. Wellicht hebben docenten extra training nodig in methodes om probleemoplossen te onderwijzen (Schoenfeld, 1992).

Wat het verder ingewikkeld maakt, is het gebrek aan overeenstemming over wat er wordt bedoeld met probleemoplossen. Schoenfeld (1992) geeft aan dat in vrijwel alle gewone teksten ‘probleemoplossen’ een gescheiden activiteit is en ook zo wordt benadrukt. Probleemoplossen is meestal op twee manieren in de teksten opgenomen. Ten eerste kunnen er toevallig ‘probleemoplossingsproblemen’ verspreid zijn over de tekst (en afgebakend als een dergelijke opgave), als beloning of ontspanning. De stilzwijgende boodschap hierin is: ,,Je mag een adempauze nemen van het echte wiskunde doen en vermaak jezelf even”. Ten tweede bevatten veel teksten ‘probleemoplossingsonderdelen’ waarin leerlingen gaan oefenen met simpele strategieën die besproken zijn in de voorafgaande sectie. In vrijwel alle boeken wordt de leerlingen een strategie getoond, worden oefenopgaven gegeven waarbij de strategie gebruikt wordt, wordt huiswerk gegeven waarbij de strategie gebruikt wordt en aan het eind van het hoofdstuk worden leerlingen getest op het beheersen van deze strategie. Wanneer de strategieën op deze manier worden onderwezen, zijn ze geen heuristieken, zoals door Pólya (1990) omschreven, maar eerder algoritmen. Ook al zijn de boeken aan het verbeteren, veel voorzien niet in een voldoende hoeveelheid non routine problemen waaruit docenten kunnen kiezen. Dit blijkt uit het onderzoek van Hans Krabbendam (1993, zoals geciteerd in Konings, 1997) naar probleemoplossingsopgaven in de wiskundeboeken. Krabbendam (1993, zoals geciteerd in Konings, 1997) heeft van verschillende wiskundemethoden het hoofdstuk over grafieken bestudeerd en aangegeven welke soorten vragen er voorkomen. Hij kwam tot de volgende conclusie: ,,De diversiteit in soorten opdrachten en vragen die aan leerlingen gesteld worden is niet zo groot. Er is bij alle methoden een duidelijk zwaartepunt in de richting van vragen die je iets leren over het nieuwe gereedschap dat je moet leren gebruiken. Daar is oefening voor nodig en dat gebeurt op ruime schaal. (…….) Er is ten opzichte van het oude leerplan een duidelijke verschuiving te zien, voor dit onderwerp, bij deze indeling van categorieën vragen. De openheid en de vrijheid voor leerlingen is wat groter geworden. Misschien minder dan je zou verwachten op grond van de doelstellingen van basisvorming en nieuwe leerplan, maar voor nu toch wellicht al een hele stap.” Krabbendam’ s conclusietabel luidt als volgt: Uit ‘’Bladeren in de nieuwe schoolboeken wiskunde”, door H. Krabbendam, 1993, APS, p. 28-33

Met: 1 Vragen gericht op het leren beheersen van het gereedschap, de techniek 2. Vragen gericht op het gebruik, de toepassing van het gereedschap 3. (Denk) vragen gericht op het reflecteren op een probleem met behulp van het gereedschap 4. Vragen die een probleem stellen zonder het gereedschap voor te schrijven 5. Vragen die geen wiskunde vereisen.

Volgens Pólya (1990) is probleemoplossen het leren worstelen met nieuwe en onbekende opgaven wanneer de betreffende oplossingsmethoden niet bekend zijn.

Soort vraag 1 2 3 4 5 WiskundeLijn VBO (i) 86 14 0 0 0 Getal en Ruimte 74 20 2 0 4 Piramide 54 19 13 1 12 Moderne Wiskunde 74 19 5 0 2 Realistische Wiskunde 62 21 8 3 6 Netwerk 73 20 4 0 2

13

Toch moet er toe worden blijven gezien op de manier waarop leerlingen te werk gaan: tegenwoordig is het heel gangbaar dat leerlingen flinke stukken van de wiskundeles zelfstandig aan het werk zijn, maar dit garandeert nog niet dat leerlingen een onderzoekende houding krijgen (Konings, 1996). Kortom, het onderwijzen van probleemoplossen vergt een verschuiving van de opvattingen die docenten over het wiskundeonderwijs hebben. Deze verschuiving kan pas plaatsvinden nadat docenten diep gekoesterde persoonlijke opvattingen over doceren en leren en de neiging om initiatief te nemen onder ogen durven te zien. Veel docenten voelen zich onvoorbereid om over te gaan op een probleemoplossende aanpak. Dit omdat het onderwijzen van echt probleemoplossen voor de docent net zo veeleisend is als voor de leerlingen, zowel op inhoudelijk, didactisch en persoonlijk vlak. Ten slotte speelt het gebrek aan overeenstemming over wat er wordt bedoeld met probleemoplossen een belemmerende rol. Uit onderzoek is gebleken dat in de wiskundemethodes die in Nederland gebruikt worden zeer weinig of geen probleemoplossingsopgaven voorkomen: opgaven die een probleem stellen zonder een geschikte strategie voor te schrijven. Om bovenstaande redenen houden de meeste docenten liever vast aan de traditionele manier van lesgeven. 2.3 Welke strategieën bestaan er om probleemoplossend denken te verbeteren? Meerdere onderzoekers hebben strategieën opgesteld om probleemoplossend denken te onderwijzen. Opvallend is dat in veel onderzoeken wordt verwezen naar de probleemoplossingsstrategieën van Pólya (1990) en Schoenfeld (1985). Omdat andere strategieën grotendeels gebaseerd zijn op deze twee, beperkt dit onderzoek zich tot het bespreken van de strategieën van Pólya (1990) en Schoenfeld (1992). 2.3.1 Pólya’s probleemoplossingsstrategie De probleemoplossingsstrategie van Pólya (1990) is gebaseerd op een aantal heuristieken die door de docent gebruikt moeten worden om de leerling op weg te helpen bij het vinden van een geschikte oplossingsstrategie. Het gaat in dit geval over ‘gezond verstand’ vragen zoals: ,,Wat is de onbekende?” ,,Wat wordt er gevraagd?” ,,Kijk naar de onbekende!” die bij ieder probleem werken en die iedereen die serieus begaan is met een probleem zich volgens Pólya (1992) af zou moeten vragen. Bij het stellen van deze vragen heeft de docent twee doelen:

1. De leerling het probleem op laten lossen. 2. Ervoor zorgen dat het vermogen van de leerling zich zo ontwikkelt dat hij of zij toekomstige

problemen zelf op kan lossen. Het is de bedoeling dat de docent de leerling niet te veel en onopvallend helpt, zodat de leerling een redelijk deel van het werk zelf doet. Omdat de heuristieken (zoals: ,,Wat wordt er gevraagd?”) heel algemeen zijn en in veel situaties toegepast kunnen worden, zal de leerling steeds weer bij een probleem deze vraag te horen krijgen en de kans is groot dat de leerling op een gegeven moment zichzelf deze vragen zal gaan stellen. Werkt dit succesvol, dan heeft de leerling de heuristieken eigen gemaakt. Op deze manier zal de leerling zich een aantal van deze heuristieken eigen maken zodat hij zichzelf op het juiste moment de juiste vragen kan stellen. Bij het oplossen van een probleem hanteert Pólya (1990) het volgende stappenplan:

1. Het probleem begrijpen. 2. Een plan maken. 3. Het plan uitvoeren. 4. Terugblikken.

Wanneer een wiskundedocent besluit om aandacht aan probleemoplossend denken te besteden, is het van belang om eerst klassikaal meerdere problemen op te lossen om enige interesse voor problemen bij zijn leerlingen op te wekken en de leerlingen veel mogelijkheden geven om na te doen en te oefenen. Als de docent de denkstappen die corresponderen met de heuristieken bij zijn leerlingen wil ontwikkelen, moet hij deze vragen en suggesties zo vaak en zo natuurlijk mogelijk aan zijn leerlingen stellen. Wanneer de docent een probleem klassikaal oplost, moet hij zijn ideeën een beetje dramatiseren en zichzelf dezelfde vragen stellen die hij gebruikt als hij de leerlingen helpt. Op deze manier zal de leerling uiteindelijk de juiste manier ontdekken om deze vragen en suggesties te gebruiken. Pas na een aantal klassikaal opgeloste problemen kunnen de leerlingen met Pólya’s stappenplan aan de slag.

14

2.3.1.1 Stap 1: Het probleem begrijpen De leerling moet duidelijk zien wat er van hem verlangd wordt en hij moet het probleem willen oplossen. Het probleem moet geschikt gekozen worden (zie paragraaf 2.1.5) en interesse opwekkend gepresenteerd worden. Of de leerling daadwerkelijk het probleem begrijpt, kan de docent tot op zekere hoogte controleren door aan de leerling te vragen het probleem nog eens te formuleren. Dit zal de leerling vlot moeten kunnen doen. Ook zal de leerling in staat moeten zijn om de belangrijkste delen van het probleem aan te geven: het gevraagde, de gegevens en de voorwaarden. De leraar kan dus moeilijk buiten de vragen: ,,Wat wordt gevraagd?” ,,Wat zijn de gegevens?” en ,,Wat zijn de voorwaarden?”. De leerling moet de belangrijkste delen van het probleem aandachtig bekijken. Als er bij het probleem een figuur hoort, zal hij een tekening moeten maken en daarin het gevraagde en de gegevens aan moeten geven. Als het nodig is om deze dingen een naam te geven, moet hij een geschikte notatie invoeren. Er is nog een vraag die nuttig kan zijn in dit voorbereidende stadium mits we geen definitief maar slechts een voorlopig antwoord, een gissing, verwachten: ,,Is het mogelijk om aan de voorwaarden te voldoen?”. 2.3.1.2 Stap 2: Een plan maken De weg van het begrijpen van het probleem naar het opstellen van een plan kan lang en kronkelig zijn. In feite is het belangrijkste resultaat van de oplossing het verkrijgen van het idee voor een plan van aanpak. Dit idee kan geleidelijk ontstaan of plotseling optreden, als een helder idee. Het beste wat de docent voor zijn leerlingen kan doen, is het heldere idee door onopvallende hulp ‘aan te leveren’. Goede ideeën zijn gebaseerd op eerdere ervaringen en voorheen verworven kennis. Bepaalde relevante onderdelen van eerder verkregen wiskundekennis, zoals eerder opgeloste problemen of eerder bewezen theorieën zijn nodig bij probleemoplossen. Vandaar dat het vaak gepast is om te beginnen met de vraag: ,,Ken je een gerelateerd probleem?”. Een manier om een geschikt gerelateerd probleem te vinden, is door te kijken naar de onbekende en proberen te denken aan een bekend probleem met dezelfde of gelijksoortige onbekende. Als docent zou je om je leerling(en) te helpen de vraag kunnen stellen: ,,Hier is een probleem gerelateerd aan die van jou, kun je hier gebruik van maken?”. Met het herinneren van een eerder opgelost probleem met dezelfde of soortgelijke onbekende, hebben we een goede kans in de goede richting te beginnen en kunnen we een plan bedenken. In simpele gevallen, wat het vaakst voorkomt in de minder ver gevorderde klassen, zijn de meest elementaire (eenvoudigste) problemen met dezelfde onbekende meestal voldoende. Als dit niet lukt, zou de leerling kunnen proberen het probleem te herformuleren of eerst een gerelateerd probleem op te lossen. Vaak wordt het gegeven probleem ‘versimpeld’ en van hieruit wordt dan weer naar het oorspronkelijke probleem gekeken. Variatie van het probleem kan tot nieuwe inzichten leiden, helpen geconcentreerd te blijven of een hulpprobleem creëren waardoor het probleem eenvoudiger op te lossen wordt (zie eventueel paragraaf 2.1.4.3, ‘Hulpproblemen’). Voor deze variatie geeft Pólya een drietal richtlijnen:

1. Houd de onbekende en verander de rest (de gegevens en de voorwaarden). 2. Houd de gegevens en verander de rest (de onbekende en de voorwaarden). 3. Verander de gegevens en de voorwaarden.

Bij het veranderen van het probleem zijn er twee wenselijkheden: 1. De ‘nieuwe’ onbekende is toegankelijker. 2. Het oplossen van het ‘nieuwe’ probleem draagt bij aan de oplossing.

Het veranderde probleem vormt als het ware een opstapje naar de uiteindelijke oplossing. We hebben een plan als we in ieder geval globaal weten welke berekeningen of constructies we moeten uitvoeren om het gevraagde te krijgen. 2.3.1.3 Stap 3: Het plan uitvoeren Wanneer de leerling eenmaal een plan van aanpak heeft, heeft de docent even rust. Maar het gevaar bestaat dat de leerling zijn plan vergeet, vooral als hij het plan van de docent ‘gekregen’ heeft en er niet echt zelf voor heeft gewerkt. Het is belangrijk dat de leerling elke stap controleert, eventueel met hulp van de docent. De docent zou tijdens deze controle de volgende vragen kunnen stellen: ,,Kun je duidelijk zien dat de stap correct is?” ,,Kun je dat bewijzen?”. Als de leerling vordert, heeft hij geen hulp van de docent nodig en moet de docent geen vragen stellen, om zo de onafhankelijkheid van de leerling te bevorderen. Maar de docent moet passende vragen / suggesties bedenken voor als de leerling vast loopt. De docent zal vaak dezelfde vragen (op verschillende manieren) moeten stellen om de leerling op weg te helpen. Als er verschillende bekende problemen gebruikt worden, allerlei varianten bekeken worden en er met hulpproblemen geëxperimenteerd wordt, kan de leerling zo ver van het eigenlijke probleem

15

afdwalen dat hij gevaar loopt het helemaal uit het oog te verliezen. Toch is er een goede vraag die de aandacht weer naar het gegeven probleem terug kan brengen: ,,Gebruikte je alle gegevens? Gebruikte je alle voorwaarden?”. Bovendien wordt bij het opstellen van een plan vaak gebruik gemaakt van voorlopige en aannemelijke veronderstellingen. Bij de uitvoering moet elke stap daarom streng gecontroleerd worden. Als elke stap correct is, is de conclusie dat ook. Het komt nog al eens voor dat de leerling vastloopt bij de uitvoering van het plan en maar niet verder komt. In deze gevallen helpt het vaak om even afstand te nemen van het werk, het onderbewuste zijn werk te laten doen en er later weer eens naar te kijken. 2.3.1.4 Stap 4: Terugblikken Leerlingen zijn vaak geneigd om de eerste en de laatste fase te vergeten, maar achteraf terugblikken is heel belangrijk om het probleemoplossend vermogen te ontwikkelen en dit moet de docent dan ook benadrukken. Het terugblikken laat namelijk de connecties zien: ,,Kun je het resultaat of de methode / aanpak voor een ander probleem gebruiken?”. Voorbeelden van controlevragen zijn: ,,Kun je het resultaat controleren?” ,,Heb je alle gegevens gebruikt?” ,,Heb je aan alle voorwaarden voldaan?” en ,,Laat jouw formule zien dat…..?”. Dit zijn belangrijke vragen om zwakke punten te vinden en te wijzen op missende onderdelen. Bovendien krijgen details door deze vragen nieuwe betekenis en worden ze verbonden met verschillende feiten. Hierdoor is de kans groter dat de leerling de aanpak zal onthouden en de kennis vast wordt. Ten slotte kunnen deze vragen makkelijk worden overgebracht naar gelijksoortige problemen. Na enige ervaring met gelijksoortige problemen zal een intelligente leerling de onderliggende ideeën waarnemen: het gebruik van alle relevante gegevens, variatie van de gegevens en overeenkomsten. Als hij de gewoonte krijgt zijn aandacht op deze punten te vestigen, zal zijn vermogen om problemen op te lossen toenemen. Leerlingen komen soms met onnodig ingewikkelde oplossingen voor een probleem en de docent moet de leerlingen in ieder geval één of twee keer niet alleen laten zien hoe het probleem sneller opgelost kan worden, maar ook hoe in de oplossing zelf indicaties gevonden kunnen worden voor een snellere oplossing. Eén van de belangrijkste plichten van de leraar is zijn leerlingen niet de indruk te geven dat wiskundeproblemen onderling weinig met elkaar te maken hebben en helemaal geen verband met iets anders hebben. Wanneer er terug wordt gekeken op de oplossing van het probleem, kunnen relaties worden ontdekt. Om als docent het probleemoplossend vermogen van de leerlingen te vergroten, zou je, nadat het ene probleem is opgelost, een ‘vervolgprobleem’ kunnen stellen waarbij het eerder verkregen resultaat gebruikt kan worden. Wanneer de docent het werk van een leerling gaat beoordelen, is het volgens Pólya (1990) van belang dat dit niet alleen maar met een cijfer gebeurt, maar dat er wordt gereflecteerd op de vier fasen van het oplossingsproces om zo handvaten te bieden bij het verbeteren van het probleemoplossend vermogen van een leerling. 2.3.1.5 Opmerkingen bij Pólya’s probleemoplossingsstrategie Pólya (1990) benadrukt in zijn boek ‘How to solve it’ dat het van essentieel belang is om goede vragen te stellen. Zelf geeft hij als voorbeeld de volgende twee vragen: ,,Ken je een gerelateerd probleem?” (goed) en: ,,Kun je de stelling van Pythagoras toepassen?” (slecht). Deze tweede vraag is volgens Pólya een slechte vraag, omdat:

-‐ Als de leerling dicht bij de oplossing is, zal hij de vraag begrijpen maar als hij dat niet is zal hij totaal niet inzien waarom de docent deze vraag stelt.

-‐ Als de vraag begrepen is, is de oplossing gegeven en blijft er maar weinig denkwerk voor de leerling over.

-‐ De vraag is te specifiek en niet instructief en zelfs als de leerling het voor dit probleem kan gebruiken, zal hij er niets van leren voor toekomstige problemen.

-‐ Zelfs als de leerling de suggestie begrijpt, zal hij nauwelijks begrijpen hoe de docent op het idee is gekomen om deze vraag te stellen.

Pólya (1990) benadrukt tevens dat leerlingen hun gevoel voor wiskunde – en dus hoe ze wiskunde gebruiken – op basis van hun ervaring met wiskunde ontwikkelen. Omdat deze ervaring grotendeels in het klaslokaal plaatsvindt, volgt dat het klaslokaal uit zou moeten stralen dat wiskunde een activiteit is die er to doet.

16

Silver (1979, 1981, zoals geciteerd in Schoenfeld, 1992) toonde aan dat het benutten van gerelateerde problemen zoals in Pólya’s werk omschreven, veel ingewikkelder is dan het op het eerste gezicht lijkt. Dit omdat het, zeker voor beginnende probleemoplossers, erg moeilijk blijkt om te beoordelen of een bepaald probleem gerelateerd is of niet en of de eerder gebruikte methode ook bij het huidige probleem van toepassing zal zijn. Pólya (1990) geeft in zijn werk echter wel al aan dat er veel oefening nodig is om uiteindelijk gelijksoortige problemen te kunnen herkennen. 2.3.2 Schoenfeld’s probleemoplossingsstrategie Net als Pólya (1990) heeft ook Schoenfeld (1985) een probleemoplossingsstrategie geformuleerd. In tegenstelling tot de strategie van Pólya (1990), geeft Schoenfeld (1985) geen stappenplan. Schoenfeld’s probleemoplossingslessen hebben als hoofddoel het ontwikkelen van uitvoerende of controlevaardigheden. Tijdens zijn lessen stelt Schoenfeld (1985) problemen niet in de ,,Bewijs dat…” vorm, maar het zijn allemaal ,,Wat denk je dat waar is en waarom?” vragen. Schoenfeld (1985) schakelt de autoriteit van de docent expliciet door naar de leerlingen, zowel in het achterhouden van zijn eigen interpretaties van oplossingen voor problemen (aan veel problemen werkte de klas dagen of zelfs weken, waarvoor de docent in tien minuten de oplossing zou kunnen presenteren) als in het in de klas ontwikkelen van een kritische benadering van wiskundige argumentatie dat er toe leidt om als groep op passende wiskundige gronden de voorstellen van klasgenoten te accepteren of te verwerpen. Grofweg een derde van de tijd van Schoenfeld’s probleemoplossingslessen wordt besteed aan het werken aan problemen in kleine groepjes. De klas is verdeeld in groepjes van drie of vier leerlingen die werken aan een probleem terwijl de docent als ‘rondtrekkende adviseur’ door het lokaal loopt. Terwijl hij door het lokaal beweegt, behoudt de docent zich het recht voor om op elk moment de volgende drie vragen te stellen:

1. Wat ben je (precies) aan het doen? (Kun je het precies beschrijven?) 2. Waarom doe je dat? (Hoe past dit bij de oplossing?) 3. Hoe helpt het je? (Wat ga je met de uitkomst doen als je deze verkregen hebt?)

Hij stelt deze vragen al vroeg in de lessenserie. Als hij dit doet, weten de leerlingen meestal niet hoe ze deze vragen moeten beantwoorden. Wetend dat de docent ondanks hun ongemak doorgaat met het stellen van deze vragen, beginnen de leerlingen zichzelf te verdedigen tegen deze vragen door vooraf de antwoorden te bespreken. Aan het eind van de lessenserie is dit gedrag een gewoonte geworden en stellen de leerlingen zichzelf tijdens het oplossen van een probleem de juiste vragen. Schoenfeld (1985) en anderen hebben aangetoond dat er twee belangrijke eigenschappen zijn die een expert in probleemoplossen van een beginner onderscheidt:

-‐ De mogelijkheid om kenmerken van problemen die dezelfde onderliggende structuur hebben te zien;

-‐ De mogelijkheid tot zelfsturing en herkenning als een benadering of tactiek niet productief is, ook wel zelfregulering genoemd.

2.4 Conclusie Als gevolg van verschillende onderzoeken naar probleemoplossend denken en de voordelen hiervan is een algemene acceptatie ontstaan van het idee dat het primaire doel van wiskunde-instructie het ervoor zorgen dat de leerlingen competente probleemoplossers worden zou moeten zijn. Ondanks deze algemene acceptatie is het concrete doel nauwelijks duidelijk. Dit, vanwege de meerdere interpretaties van het begrip probleemoplossen. Problemen en probleemoplossen hebben door de jaren heen meerdere en vaak tegenstrijdige betekenissen gekregen – een feit dat interpretatie van de literatuur moeilijk maakt. Fundamentele zaken blijven liggen of blijven onopgelost met betrekking tot probleemoplossen. Ten eerste moet er veel meer duidelijkheid komen over de betekenis van probleemoplossen. De term heeft gediend als een paraplu waaronder totaal verschillende onderzoeken zijn uitgevoerd. Er moet op zijn minst een algemene vereiste komen dat iedere discussie of studie naar probleemoplossen vergezeld door een werkbare omschrijving van het begrip en voorbeelden van wat de auteur hiermee bedoelt. Er ontstaat grote verwarring wanneer hetzelfde begrip naar een veelheid aan soms tegenstrijdige en niet duidelijk gespecificeerd gedrag verwijst. Er moet tevens veel meer duidelijkheid komen met betrekking tot onderzoeksmethoden (Schoenfeld, 1992). Ook is onduidelijk welke rol probleemoplossen, eenmaal voldoende gekenmerkt, zou moeten spelen in de bredere context van schoolwiskunde. Wellicht is dit de reden waarom veel docenten sceptisch

17

tegenover de verandering van hun ‘traditionele’ onderwijsmethode naar een probleemoplossingsgerichte methode staan. Het is aangetoond dat probleemoplossingsstrategieën in detail en op een leerbaar niveau beschreven kunnen worden. Nu hebben we nauwkeurig gecontroleerde gegevens nodig over de aard en hoeveelheid training en over welke soorten problemen resulteren in het verwerven van de gewenste strategieën. Dit is volgens Schoenfeld (1992) een veeleisende taak, maar geen moeilijke. Voor het ontwerpen van een lessenserie over probleemoplossend denken betekent bovenstaande dat er duidelijk vooraf vastgesteld zal moeten worden van welke definitie er uit wordt gegaan als het over problemen en probleemoplossen gaat. Vanuit deze definitie kan er worden vastgesteld in hoeverre de leerlingen op dit moment probleemoplossend kunnen denken en in welke mate de gebruikte methode aandacht besteedt aan probleemoplossend denken. Deze resultaten vormen vervolgens de richtlijnen voor de inhoud van de lessenserie.

18

Hoofdstuk 3 Onderzoeksvragen Uit het theoretisch kader monden de hoofd- en deelvragen van dit onderzoek: 3.1 Hoofdvraag Kan ik het probleemoplossend denken van mijn leerlingen verbeteren met behulp van een lessenserie? 3.2 Deelvragen

1. Wat is probleemoplossend denken? 2. Welke strategieën bestaan er om probleemoplossend denken te verbeteren? 3. In hoeverre beschikken mijn leerlingen op dit moment over het vermogen om

probleemoplossend te denken? 4. In hoeverre en hoe besteedt Moderne Wiskunde aandacht aan probleemoplossend denken?1 5. Welke strategieën om het probleemoplossend denken te stimuleren ontbreken in de

methode? 6. Hoe kan ik de strategieën voor het probleemoplossend denken in mijn lessen verwerken?

1 Moderne Wiskunde is de gebruikte methode op mijn stageschool, Oscar Romero

19

Hoofdstuk 4 Onderzoeksopzet In dit hoofdstuk zal beschreven worden hoe de verschillende deelvragen beantwoord zullen worden en welke onderzoeksmethoden hiervoor gebruikt zullen worden. 4.1 De deelvragen 4.1.1 Deelvraag 1: Wat is probleemoplossend denken? Deze deelvraag wordt beantwoord in paragraaf 2.1 van het theoretisch kader. 4.1.2 Deelvraag 2: Welke strategieën bestaan er om probleemoplossend denken te verbeteren? Deze deelvraag wordt beantwoord in paragraaf 2.3 van het theoretisch kader. 4.1.3 Deelvraag 3: In hoeverre beschikken mijn leerlingen op dit moment over het vermogen om probleemoplossend te denken? Deze deelvraag zal beantwoord worden aan de hand van de resultaten van een uit kangoeroe-opgaven bestaande toets die de leerlingen maken voordat er in de lessen aandacht besteed zal worden aan probleemoplossend denken. Deze toets vormt de nulmeting voor dit onderzoek. 4.1.4 Deelvraag 4: In hoeverre en hoe besteedt Moderne Wiskunde aandacht aan probleemoplossend denken? Deze deelvraag zal beantwoord worden aan de hand van een analyse van het boek Moderne Wiskunde dat in de 2 mavo-klas gebruikt wordt. Per hoofdstuk zullen de opgaven die in de studieplanner zijn opgenomen worden bestudeerd en ingedeeld in één van Krabbendams (1993, zoals geciteerd in Konings, 1997) beschreven categorieën. 4.1.5 Deelvraag 5: Welke strategieën om het probleemoplossend denken te stimuleren ontbreken in de methode? Ook deze deelvraag zal beantwoord worden aan de hand van een analyse van het boek Moderne Wiskunde dat in de 2 mavo-klas gebruikt wordt. De methode zal naast de in het theoretisch kader beschreven strategieën om het probleemoplossend denken te stimuleren gelegd worden en er zal bekeken worden in hoeverre deze probleemoplossingsstrategieën terugkomen in de methode. 4.1.6 Deelvraag 6: Hoe kan ik de strategieën voor het probleemoplossend denken in mijn lessen verwerken? Deze deelvraag zal beantwoord worden aan de hand van de in het theoretisch kader beschreven strategieën om het probleemoplossend denken te verbeteren. In dit hoofdstuk zal beschreven worden op welke manier de verschillende aspecten van deze probleemoplossingsstrategieën in mijn lessen verwerkt kunnen worden. 4.2 De hoofdvraag 4.2.1 Hoofdvraag: Kan ik het probleemoplossend denken van mijn leerlingen verbeteren met behulp van een lessenserie? Aan de hand van de beantwoording van de zes deelvragen zal een lessenserie ontworpen worden waarin aandacht wordt besteed aan probleemoplossend denken. Aan het einde van deze lessenserie zal wederom een toets bestaande uit kangoeroe-opgaven afgenomen worden. Deze toets bestaat uit problemen die niet in de lessen zijn behandeld en niet in de eerste kangoeroetoets voorkomen. Deze tweede kangoeroetoets is van vergelijkbaar niveau als de eerste kangoeroetoets en vormt de eindmeting van dit onderzoek. De resultaten van de nul- en eindmeting zullen statistisch met elkaar vergeleken worden om uiteindelijk antwoord op de hoofdvraag te kunnen geven. De toetsingsmethode die hiervoor gebruikt zal worden, wordt hieronder beschreven.

20

4.2.1.1 Beschrijving van de toetsingsmethode Om naar aanleiding van de nulmeting, de uitgevoerde lessenserie en de tweede kangoeroetoets te kunnen concluderen of het probleemoplossend vermogen van mijn leerlingen echt is verbeterd, zal gebruik gemaakt worden van de binomiaal verdeelde verschiltoets met gepaarde waarnemingen. Bij deze verschiltoets zal gelden: n = 24 (in totaal hebben 24 leerlingen aan dit onderzoek deelgenomen) H0: µV = 0 (Er is gemiddeld geen verschil in toetsresultaten tussen de eerste en de tweede kangoeroetoets)

H1: µV > 0 (De resultaten van de tweede kangoeroetoets zijn beter dan de resultaten van de eerste

kangoeroetoets) Om de toets uit te voeren, wordt gebruik gemaakt van de variabele v

−, die wordt beschreven door een

t-verdeling met µV = 0 en met variantie sv2 . Deze t-verdeling heeft df = n−1= 23 vrijheidsgraden.

Omdat ik alleen maar wil weten of de resultaten significant zijn verbeterd, zal er eenzijdig worden getoetst. Er zal gebruik gemaakt worden van een betrouwbaarheidsinterval van 95%. Omdat er eenzijdig wordt getoetst, zal gebruik gemaakt worden van de t0,05-waarde met 23 vrijheidsgraden. t0,05 =1, 714 De onderzoekspopulatie, de 2 mavo-klas, wordt bij de uitvoering van de verschiltoets voor het gemak de A-groep genoemd. De uitkomsten van de eerste kangoeroetoets (de nulmeting) zullen worden weergegeven met Ani .

De uitkomsten van de tweede kangoeroetoets (de eindmeting) zullen worden weergegeven met Aei . Hierin geldt dat i = 1 t/ 24 (n=24) De uitkomsten zullen paarsgewijs onder elkaar gezet worden. Vervolgens zal per leerling het verschil tussen de eerste en de tweede kangoeroetoets ( Avi ) bepaald worden. Is het cijfer van de tweede kangoeroetoets hoger dan het cijfer van de eerste kangoeroetoets, dan is er vooruitgang geboekt en zal het verschil met een positief getal worden aangegeven. Is het cijfer van de tweede kangoeroetoets lager dan het cijfer van de eerste kangoeroetoets, dan is er geen vooruitgang geboekt en zal het verschil met een negatief getal worden aangegeven. Omdat ik deze uitkomsten als normaal verdeeld beschouw, kan de t-toets voor gepaarde waarnemingen gebruikt worden.

Hierna bereken ik het gemiddelde van deze verschillen, V−

.

Er geldt dus: V−

= gemiddelde van Avi = ∑Avi

n.

De Variantie (V = sv2 ) zal berekend worden met de formule: s2

v =∑(Avi −V

−

)2

n−1

Vervolgens zal de standaarddeviatie (σ = sv ) van de verschillen tussen de eerste en de tweede

kangoeroetoets ( Avi ) berekend worden door de wortel van de variantie te nemen:

σ (Avi ) = V

De variantie van het gemiddelde van deze verschillen (V−

) wordt berekend door de standaarddeviatie

van de verschillen tussen de eerste en de tweede kangoeroetoets te delen door n :

21

σ (V−

) =Vn

Het interval voor onze nulhypothese luidt: µV ;µV + t0,05 ×σ (V−

)#$%

&'(

Indien de eerder gevonden waarde voor V−

in dit interval zit, dan geldt H0. In dit geval is het probleemoplossend vermogen van de onderzoekspopulatie niet verbeterd.

Indien de eerder gevonden waarde voor V−

niet in dit interval zit, dan wordt H0 verworpen en geldt H1. In dit geval is het probleemoplossend vermogen van de onderzoekspopulatie echt verbeterd.

22

Hoofdstuk 5 Resultaten 5.1 Deelvraag 3: In hoeverre beschikken mijn leerlingen op dit moment over het vermogen om probleemoplossend te denken? Om deze deelvraag te kunnen beantwoorden, zal gebruik gemaakt worden van een zorgvuldig samengestelde toets, bestaande uit geselecteerde kangoeroe-opgaven uit de categorie ‘wizSMART’. De Kangoeroewedstrijd is een wiskundewedstrijd die jaarlijks wordt georganiseerd om leerlingen kennis te laten maken met probleemoplossend denken en het oplossen van creatieve wiskundige puzzels2. Bij deze kangoeroetoetsen wordt onderscheid gemaakt in vier niveaus:

1. wizKID voor groep 5 en 6 van het basisonderwijs 2. wizSMART voor groep 7 en 8 van het basisonderwijs, VMBO 1 en 2 en VMBO 3/4 BB 3. wizBRAIN voor VMBO 3 en 4, HAVO 1, 2 en 3 en VWO 1 en 2 4. wizPROF voor HAVO 4 en 5 en VWO 3, 4, 5 en 6

In bovenstaande indeling is te zien dat voor de 2 MAVO klas gebruik gemaakt moet worden van een kangoeroetoets uit de categorie ‘wizSMART’. Wat ook te zien is, is dat groep 7 en 8 van het basisonderwijs en klas 1 VMBO en klas 3/4 VMBO BB ook in dit niveau zijn ingedeeld. Dit betekent dat een kangoeroetoets uit de categorie wizSMART nooit helemaal perfect geschikt is voor een 2 MAVO klas, omdat leerlingen die zo’n drie jaar jonger zijn en in groep 7 van het basisonderwijs zitten deze toets ook zouden moeten kunnen maken. Om tot een geschikte toets te komen voor het vaststellen in hoeverre mijn leerlingen op dit moment beschikken over het vermogen om probleemoplossend te denken, zijn de criteria voor geschikte problemen volgens Becker & Shimada (1997, zoals geciteerd in Jarret & McIntosh, 2000) en Jarret & McIntosh (2000) naast de kangoeroetoetsen uit voorgaande jaren gelegd. Deze criteria staan in het theoretisch kader vermeld, maar voor de duidelijkheid hier nogmaals gegeven. Becker & Shimada (1997, zoals geciteerd in Jarret & McIntosh, 2000) stellen dat echt probleemoplossen een probleem vergt dat net boven het vaardighedenniveau van de leerling is, zodat hij niet meteen weet welke oplossingsstrategie hij moet gebruiken. Het probleem moet niet routinematig zijn, zodat de leerling het probleem ervaart als uitdagend en onbekend, maar niet onoverkomelijk. Jarret & McIntosh (2000) geven vier kenmerken waaraan een goed probleem zou moeten voldoen:

1. Het probleem is een open-einde probleem, waarbij meerdere oplossingsstrategieën en antwoorden mogelijk zijn.

2. Het probleem gaat in op belangrijke wiskundige begrippen. 3. Het probleem daagt uit en interesseert leerlingen. 4. Het probleem sluit aan bij de voorkennis van de leerling.

Bij het beoordelen van kangoeroe-opgaven aan de hand van deze criteria, werd al snel duidelijk dat de kangoeroe-opgaven niet voldoen aan het eerstgenoemde kenmerk van Jarret & McIntosh (2000). Voor de kangoeroe-opgaven zijn wel meerdere oplossingsstrategieën mogelijk, maar het zijn allemaal meerkeuzevragen waarbij uiteindelijk maar één antwoord juist is. Ik ben echter van mening dat het ook wel erg lastig is om dergelijke wiskundige opgaven te maken waarbij meerdere antwoorden juist zijn. Het gaat er bij wiskunde immers over het algemeen om een onbekende, zoals de omtrek, het te betalen bedrag of een groeifactor te vinden. Er is in deze situaties nu eenmaal maar één antwoord goed. Wel moet de leerling zelf op zoek gaan naar een van de geschikte oplossingsstrategieën. Door de meerkeuzeantwoorden weg te laten, ligt de focus meer op de manier waarop de leerling tot zijn antwoord is gekomen omdat er minder snel een antwoord gegokt zal worden. Bovendien geven de meerkeuzeantwoorden vaak al aan van welke grootte het eindantwoord moet zijn en wanneer deze antwoorden ontbreken moet de leerling dit helemaal zelf ontdekken. Wat tevens opviel, is dat bepaalde opgaven naar mijn idee onder het niveau van mijn 2 MAVO leerlingen zijn. Dit heb ik eerder in dit hoofdstuk al aangegeven. Wel zitten er in de verschillende kangoeroetoetsen uit voorgaande jaren voldoende opgaven die met betrekking tot de 2 MAVO klas uitdagen en interesseren, aansluiten bij de voorkennis van de leerlingen, niet-routinematig zijn, ingaan op belangrijke wiskundige begrippen en net boven het vaardighedenniveau van de leerlingen zijn. De toets die afgenomen zal worden om vast te stellen in hoeverre mijn 2 MAVO leerlingen op dit moment beschikken over het vermogen om probleemoplossend te denken, is samengesteld uit opgaven uit verschillende kangoeroetoetsen van voorgaande jaren, die naar mijn idee voldoen aan (vrijwel) alle kenmerken van een geschikt probleem volgens Becker & Shimada (1997, zoals geciteerd in Jarret &

2 Bron: http://www.mabobrussel.be/33/wetenschap-olympiades , geraadpleegd op 23-02-13

23

McIntosh, 2000) en Jarret & McIntosh (2000). Hiervoor ben ik in de methodes, ook die van de brugklas, nagegaan of de opgave aansluit bij de voorkennis, of er in wordt gegaan op belangrijke wiskundige begrippen en of het niveau niet te hoog maar ook zeker niet te laag is. Omdat de vragen in deze toets geen meerkeuzevragen zijn en er van de leerlingen wordt gevraagd op te schrijven hoe ze aan hun antwoord zijn gekomen, zal er vermoedelijk meer tijd nodig zijn voor het maken van alle opgaven. Om deze reden is besloten om in plaats van 24 opgaven (de hoeveelheid opgaven die bij de kangoeroewedstrijd in vijftig minuten gemaakt moeten zouden kunnen worden) 15 opgaven in de toets op te nemen. De toets die de leerlingen hebben gemaakt, vindt u in bijlage 1. De normering die ik bij het nakijken heb gehanteerd vindt u in bijlage 2. Uit de afgenomen nulmeting blijkt het volgende:

- De leerlingen waren gefrustreerd en verontwaardigd over het soort opgaven dat ze moesten maken omdat ze dit volgens eigen zeggen nog nooit eerder hadden gehad;

- De meeste leerlingen gaven het proberen na korte tijd op en leverden hun werk voor de bel en onafgemaakt in;

- Ook de meeste leerlingen die wel alle opgaven hadden gemaakt leverden ruim voordat de bel ging hun werk in;

- Zeventien van de vierentwintig leerlingen kwamen op een onvoldoende uit; - Bij veel leerlingen ontbrak bij meerdere antwoorden een berekening of toelichting.

5.2 Deelvraag 4: In hoeverre en hoe besteedt Moderne Wiskunde aandacht aan probleemoplossend denken? Voor het beantwoorden van deze deelvraag zijn de volgende twee boeken bestudeerd: Moderne Wiskunde 2A vmbo-gt/havo Leerboek, 9e editie (2009), Groningen/Houten: Noordhoff Uitgevers. Moderne Wiskunde 2B vmbo-gt/havo Leerboek, 9e editie (2009), Groningen/Houten: Noordhoff Uitgevers. Dit zijn de twee boeken die dit schooljaar gebruikt worden in de 2 MAVO klas die als populatie voor dit onderzoek dient. Om een overzichtelijk geheel te krijgen van de soorten opgaven die in deze methode voorkomen, maak ik gebruik van de indeling volgens Krabbendam (1993, zoals geciteerd in Konings, 1997):

1. Vragen gericht op het leren beheersen van het gereedschap, de techniek 2. Vragen gericht op het gebruik, de toepassing van het gereedschap 3. (Denk) vragen gericht op het reflecteren op een probleem met behulp van het gereedschap 4. Vragen die een probleem stellen zonder het gereedschap voor te schrijven 5. Vragen die geen wiskunde vereisen

Bij de beschrijving van opgaven die in Krabbendams vierde categorie vallen, de ‘echte’ problemen, zal gebruik gemaakt worden van de verschillende soorten problemen die in het theoretisch kader genoemd worden. Er geldt:

4.1 Problemen om te vinden 4.2 Problemen om te bewijzen 4.3 Hulpproblemen 4.4 Analoge problemen 4.5 Open-einde problemen 4.6 Instapproblemen

De reden dat ik van deze indeling gebruik maak, is om niet alleen in kaart te brengen of er probleemoplossingsopgaven in de methode zijn opgenomen, maar om ook specifieker te bekijken wat voor soort opdrachten er zoal in de methode voorkomen. Dit om goed in kaart te kunnen brengen welke strategieën om het probleemoplossend denken te stimuleren ontbreken in de methode. Bij het bestuderen van de methode zal ik mij richten op de opgaven die ook daadwerkelijk worden behandeld. Paragrafen die wij overslaan zal ik niet bestuderen.

Voordat er wordt overgegaan op de tabel met voorkomende opgaven per hoofdstuk, bespreek ik de globale opbouw van een hoofdstuk in Moderne Wiskunde. Ieder hoofdstuk in Moderne Wiskunde begint met de ‘Opstap’: een paragraaf die is bedoeld om de voorkennis die bij het hoofdstuk nodig is

24

op te helderen. Dit kan om kennis gaan die opgedaan is in het voorgaande hoofdstuk, maar ook over voorkennis die al veel eerder, bijvoorbeeld in het eerste jaar, is opgedaan. Van deze paragraaf worden over het algemeen slechts enkele opgaven in de planning opgenomen. Na de opstap volgen gemiddeld vijf paragrafen waarin in iedere paragraaf een deel van de theorie wordt behandeld. Iedere paragraaf begint met één of twee opgaven waarbij de theorie van de vorige paragraaf moet worden toegepast, gevolgd door een theorieblok met een uitgewerkt voorbeeld. Na dit theorieblok volgen één of twee opgaven die analoog zijn aan het uitgewerkte voorbeeld dat in het theorieblok behandeld is en daarna volgen opgaven waarin de leerling oefent met het toepassen van de zojuist behandelde theorie. Het gaat hier veelal om opgaven waarin net iets minder gegevens gegeven worden, maar waarin de deelvragen (a,b,c, etc.) de leerling sturen om de zojuist behandelde theorie juist toe te passen. In veel paragrafen worden twee theorieblokken behandeld. Ook na het tweede theorieblok volgen één of twee opgaven die analoog zijn aan het behandelde voorbeeld. Iedere paragraaf wordt afgesloten met een opgave die net iets moeilijker is dan de rest van de opgaven uit de paragraaf. Dit omdat de leerling wat vrijer wordt gelaten in het vinden van de juiste aanpak en er net wat minder wordt gestuurd dan bij de overige opgaven. Deze theorieparagrafen worden over het algemeen in hun geheel in de planning opgenomen. Slechts een enkele keer worden enkele van deze opgaven overgeslagen, bijvoorbeeld door tijdsdruk. Na deze theorieparagrafen volgt een samenvatting van het hoofdstuk, verspreid over twee pagina’s. In de samenvatting staan de theorieblokken met bijbehorende voorbeelden. In de samenvatting komen geen opgaven voor. Na de samenvatting volgt ‘Test jezelf’, een paragraaf met opgaven die net wat lastiger zijn dan de opgaven die als huiswerk zijn gemaakt en het maken ervan zou een goede toets voorbereiding zijn. Deze paragraaf is echter nooit in de studieplanner opgenomen en wordt dus overgeslagen. Na ‘Test jezelf’ komt de ‘Extra oefening’-paragraaf met opgaven die van vergelijkbaar niveau zijn als de opdrachten die in de theorieparagrafen worden behandeld. Leerlingen die met een bepaald deel van de theorie moeite hebben, kunnen aan de hand van deze opgaven extra oefenen. In de theorieparagrafen wordt ook verwezen naar deze extra oefening. Ook deze ‘Extra oefening’-paragraaf is niet in de studieplanner opgenomen. Na de ‘Extra oefening’ komen de ‘Gemengde opdrachten’. Aan de hand van de opgaven in deze paragraaf wordt de theorie van het hele hoofdstuk gecombineerd en herhaald. Deze paragraaf is wel altijd in de planning opgenomen. Meestal in zijn geheel, soms worden enkele van deze opgaven overgeslagen. Na de ‘Gemengde opdrachten’ volgen één of twee ‘+’-paragrafen. Afhankelijk van het hoofdstuk zijn geen, één of twee ‘+’-paragrafen in de planning opgenomen. Van de hoofdstukken 1 t/m 12 zijn de volgende opgaven bestudeerd: H1, Getallen: O1 t/m O9; 1 t/m 57; G1 t/m G8; P1 t/m P3; P7 t/m P17 H2, Formules: O1, O2, O5 en O6; 1 t/m 25; 29 t/m 33 H3, Oppervlakte en omtrek: O1, O2, O5, O6; 1 t/m 7; 10 t/m 41; G1 t/m G7; P1 t/m P5 H4, Statistiek: O1 t/m O7; 1 t/m 27; G1 t/m G5 H5, Vergroten: Hoofdstuk overgeslagen H6, Lineaire formules: O1, O2, O4; 1 t/m 31; G1 t/m G5; P1 t/m P5 H7, De stelling van Pythagoras: O1, O2, O4, O5; 1 t/m 37; G1 t/m G6; P3, P4 H8, Procenten: O5 t/m O7; 1 t/m 32; G1 t/m G8; P1 t/m P19 H9, Vergelijkingen: O5 t/m O7; 1 t/m 37; G1 t/m G7; P6, P7 H10, Inhoud: O6, O7; 1 t/m 26; G1 t/m G6; P2, P3, P5 t/m P7 H11, Verbanden: O5, O6; 1 t/m 31; G1 t/m G4; P1 t/m P14 H12, Doorsneden: O7; 1 t/m 31; G1 t/m G6; P1 t/m P17 Soort opgave 1 2 3 4 5 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Hoofdstuk 1 Getallen

32 37 14 2 0 0 0 0 0 5

Hoofdstuk 2 Formules

17 20 6 0 0 0 0 0 0 0

Hoofdstuk 3 Oppervlakte en omtrek

18 23 7 6 0 0 0 0 1 0

Hoofdstuk 4 Statistiek

15 16 2 2 0 0 0 0 3 8

25

Hoofdstuk 5 Vergroten

n.v.t. n.v.t. n.v.t. n.v.t. n.v.t. n.v.t. n.v.t. n.v.t. n.v.t. n.v.t.

Hoofdstuk 6 Lineaire formules

16 25 5 0 0 0 0 0 0 1

Hoofdstuk 7 De stelling van Pythagoras

14 28 3 3 0 0 0 0 0 1

Hoofdstuk 8 Procenten

21 33 7 0 0 0 0 1 1 1

Hoofdstuk 9 Vergelijkingen

19 21 16 2 0 0 0 0 0 0

Hoofdstuk 10 Inhoud

10 26 3 1 2 0 0 0 0 0

Hoofdstuk 11 Verbanden

8 24 11 0 0 0 0 0 1 0

Hoofdstuk 12 Doorsneden

14 20 10 0 0 0 0 0 0 2

Totaal 184 273 84 16 2 0 0 1 6 18

In de tabel staan een aantal getallen in het rood. Dit is om de volgende reden: in het desbetreffende hoofdstuk komen wel opgaven van deze categorie voor (opgaven die tot de problemen volgens de definitie van dit onderzoek horen), maar die worden in de door mijn collega gemaakte studieplanner, die ik met mijn 2 MAVO klas ook volg, overgeslagen. In Moderne Wiskunde komen dus wel enkele probleemoplossingsopgaven voor, maar deze worden nog al eens weggelaten uit de studieplanner. Enkele zijn, zoals u in de tabel kunt zien, wel opgenomen in het lesprogramma. De indeling van de opgaven was niet in alle gevallen even eenvoudig. Een instapprobleem kan bijvoorbeeld tegelijkertijd een probleem om te vinden, een probleem om te bewijzen of een open-einde-probleem zijn. Bovendien vind ik het in sommige gevallen lastig te bepalen of een opgave tot de problemen behoort of toch tot de vragen die gericht zijn op het leren beheersen van het gereedschap, de techniek. Een voorbeeld uit hoofdstuk 3, ‘Oppervlakte en omtrek’:

Bovenstaande opgave is een typische opgave uit categorie 2, ‘Vragen gericht op het gebruik, de toepassing van het gereedschap’. Dit is geen standaard oefenvraag uit categorie 1, maar de leerling wordt door de deelvragen zo gestuurd dat uiteindelijk het juiste antwoord wordt verkregen. Zouden de deelvragen a t/m c weggelaten zijn, dan zou deze opgave naar mijn idee een probleem om te vinden (categorie 4.1) zijn. Nu komt toevallig in de gemengde opgaven van dit hoofdstuk de volgende opgave voor:

26

Dit is eigenlijk opgave 41 zonder de sturende deelvragen. Echter, omdat de leerlingen opgave 41 al hebben gemaakt, zou men kunnen stellen dat opgave G-1 niet tot de problemen behoort. In feite hebben ze een vraag als deze namelijk al beantwoord. Toch denk ik dat deze opgave voor de leerlingen uit de 2 MAVO klas een ‘probleem’, zoals gedefinieerd in het theoretisch kader, is. Dit omdat verreweg de meeste leerlingen niet de link met opgave 41 zagen omdat de deelvragen weggelaten waren. Bovendien gaat het hier om drie cirkels en veel meer gegeven afmetingen waar mee gerekend moet worden dan in opgave 41, waar het gaat over een vierkant met een cirkel erin. Ik beschouw opgave 41 in dit geval als onderdeel van de voorkennis die nodig is bij het oplossen van opgave G1 en niet als een analoge opgave waardoor G1 geen probleem zou zijn. Verder zou er discussie kunnen ontstaan over de indeling in de categorieën 4.1 t/m 4.6 omdat een opstapprobleem tegelijkertijd een probleem om te vinden, een probleem om te bewijzen of een open-einde-probleem kunnen zijn. Ik heb er voor gekozen om de problemen aan het begin van een paragraaf in te delen in categorie 4.6 ‘Instapproblemen’. In de tabel is te zien dat er van alle opdrachten uit Moderne Wiskunde die ik dit jaar in de 2 MAVO klas zal behandelen, 584 in totaal, er slechts 21 ‘problemen’ voorbij zullen komen (er komen 25 problemen in de boeken voor, maar vier hiervan worden overgeslagen). 5.3 Deelvraag 5: Welke strategieën om het probleemoplossend denken te stimuleren ontbreken in de methode? In het hoofdstuk ‘In hoeverre en hoe besteedt Moderne Wiskunde aandacht aan probleemoplossend denken?’ is de opbouw van Moderne Wiskunde besproken. Ook kunt u hier in de tabel met voorkomende opgaven zien dat het grootste deel van de behandelde opgaven tot categorie 1 (vragen gericht op het leren beheersen van het gereedschap, de techniek) en categorie 2 (vragen gericht op het gebruik, de toepassing van het gereedschap) behoren. Slechts 25 van de 584 (4,28%) bestudeerde opgaven behoren tot de ‘problemen’ volgens de definitie van dit onderzoek. Zie eventueel paragraaf 2.1.1 van het theoretisch kader voor deze definitie. Omdat er volgens Schoenfeld veel oefening nodig is om deskundigheid, bijvoorbeeld in het oplossen van problemen, te ontwikkelen, kan geconcludeerd worden dat de opgavekeuze in de bestudeerde methode niet stimulerend is voor het probleemoplossend vermogen van de leerlingen (zie eventueel paragraaf 2.1.6 van het theoretisch kader). In het theoretisch kader van dit onderzoek zijn twee bestaande strategieën om probleemoplossend te denken te verbeteren besproken: die van Pólya (1990) en die van Schoenfeld (1985). Ik zal beide probleemoplossingsstrategieën kort samenvatten en aan de hand van deze samenvatting reflecteren op de inhoud van de twee bestudeerde boeken van Moderne Wiskunde.

Pólya’s probleemoplossingsstrategie Pólya’s probleemoplossingsstrategie komt er op neer dat de docent onopvallend ‘gezond verstand’ vragen, zoals ,,Wat wordt er gevraagd?”, ,,Wat zijn de gegevens?” en ,,Ken je een verwant probleem?” stelt. Op deze manier zal de leerling zich een aantal van deze heuristieken eigen maken zodat hij zichzelf op het juiste moment de juiste vragen kan stellen. Het achterliggende doel van deze

27

oplossingsstrategie is dat de leerling zoveel mogelijk zelf het probleem oplost en dat het vermogen van de leerling zich zo ontwikkelt dat hij of zij toekomstige problemen zelf op kan lossen. Bij het oplossen van een probleem onderscheidt Pólya vier fasen:

1. Het probleem begrijpen. ,,Wat wordt er gevraagd?”, ,,Wat zijn de gegevens?”, ,,Wat zijn de voorwaarden?”

2. Een plan maken. ,,Ken je een verwant probleem waar je bij het oplossen van dit probleem gebruik van kunt maken?”, eventueel een hulpprobleem creëren.

3. Het plan uitvoeren. ,,Kun je duidelijk zien dat de stap correct is?”, ,,Kun je dat bewijzen?”

4. Terugblikken. ,,Heb je alle gegevens gebruikt?”, ,,Heb je aan de voorwaarden voldaan?”, ,,Kun je het resultaat / de methode gebruiken bij het oplossen van een ander probleem?”

Volgens Pólya is het van belang dat de leerling eerst klassikaal meerdere problemen opgelost heeft zien worden voordat hij daadwerkelijk met probleemoplossen aan de slag gaat. Wanneer de docent een probleem klassikaal oplost, moet hij zijn ideeën een beetje dramatiseren en zichzelf dezelfde vragen stellen die hij gebruikt als hij de leerlingen helpt. Op deze manier zal de leerling uiteindelijk de juiste manier ontdekken om deze vragen en suggesties te gebruiken. Pas na een aantal klassikaal opgeloste problemen kunnen de leerlingen met Pólya’s stappenplan aan de slag. Als de leerling vordert, heeft hij geen hulp van de docent nodig en moet de docent geen vragen stellen, om zo de onafhankelijkheid van de leerling te bevorderen. Maar de docent moet passende vragen / suggesties bedenken voor als de leerling vast loopt. De docent zal vaak dezelfde vragen (op verschillende manieren) moeten stellen om de leerling op weg te helpen. Zie voor meer informatie over Pólya’s probleemoplossingsstrategie paragraaf 3.1 van het theoretisch kader. In hoeverre komt Pólya’s probleemoplossingsstrategie terug in de methode? De probleemoplossingsstrategie van Pólya komt neer op vragen die de docent zou moeten stellen om de leerling verder te helpen, in de hoop dat de leerling uiteindelijk zichzelf op de juiste momenten deze vragen kan stellen. Hieruit volgt dat het stimuleren van het probleemoplossend denken vooral vanuit de docent moet komen. Het zou echter kunnen zijn dat de opgaven in de methode zo opgebouwd zijn dat aan het begin van de methode, aan het begin van een hoofdstuk of aan het begin van een paragraaf steeds dezelfde, algemene, deelvragen gesteld worden en dat deze deelvragen naarmate de methode, het hoofdstuk of de paragraaf vordert achterwege gelaten worden omdat de leerling zichzelf deze vragen zou moeten kunnen stellen. Een voorbeeld van een vraag met de genoemde algemene deelvragen ter illustratie:

De gele stukken van de klok worden bedekt met een laagje bladgoud. De prijs van dat bladgoud is € 2,85 per cm2. Hoeveel gaat dit kosten?

a) Wat wordt er gevraagd? b) Wat zijn de gegevens?

c) Wat kun je met deze gegevens? d) Welk deel van de theorie heb je hier bij nodig, denk je?

e) Ken je een opgave die hier op lijkt en die je zou kunnen gebruiken bij het oplossen van deze opgave?

Echter, in de twee bestudeerde boeken van Moderne Wiskunde worden bij iedere opgave verschillende deelvragen gesteld. Er is dus geen sprake van algemene deelvragen die bij elke opgave gesteld zouden kunnen worden en die in de methode steeds weer terug komen. Dit maakt het onmogelijk dat de leerling zich aan de hand van de methode een aantal heuristieken eigen zal maken zodat hij zichzelf op het juiste moment de juiste vragen kan stellen. Schoenfeld’ s probleemoplossingsstrategie Bij de oplossingsstrategie van Schoenfeld is de autoriteit van de leraar expliciet doorgeschakeld naar de leerlingen en loopt de docent als ‘rondtrekkende adviseur’ door het lokaal. Terwijl hij door het

28

lokaal beweegt, behoudt de docent zich het recht voor om op elk moment de volgende drie vragen te stellen:


Als de docent dit doet, weten de leerlingen meestal niet hoe ze deze vragen moeten beantwoorden. Wetend dat de docent, ondanks hun ongemak, doorgaat met het stellen van deze vragen, beginnen de leerlingen zichzelf te verdedigen tegen deze vragen door vooraf de antwoorden te bespreken. Uiteindelijk is dit gedrag een gewoonte geworden en stellen de leerlingen zichzelf tijdens het oplossen van een probleem de juiste vragen. Zie voor meer informatie over Schoenfeld’s probleemoplossingsstrategie paragraaf 3.2 van het theoretisch kader. In hoeverre komt Schoenfeld’s probleemoplossingsstrategie terug in de methode? Net zoals bij de probleemoplossingsstrategie van Pólya (1990) gaat het bij de oplossingsstrategie van Schoenfeld om standaardvragen die een docent constant zou moeten stellen in de hoop dat de leerling ze uiteindelijk op het juiste moment aan zichzelf stelt. Het stimuleren van het probleemoplossend denken zal ook nu vooral vanuit de docent moeten komen. Ook de probleemoplossingsstrategie van Schoenfeld zou in de wiskundemethode opgenomen kunnen worden door het terug laten komen van algemene deelvragen en deze later weg te laten zodat de leerling deze zichzelf zal moeten stellen. Echter, de vragen die Schoenfeld stelt zijn een stuk minder sturend dan de vragen die Pólya stelt; als een vastgelopen leerling niet op weg geholpen wordt, heeft het weinig zin om te vragen wat hij precies aan het doen is, waarom hij dat doet en hoe dat hem helpt bij het vinden van de oplossing. Het zou naar mijn idee dus weinig zin hebben om de volgende opgave aan leerlingen voor te leggen:


a) Wat doe je precies om tot je antwoord te komen? b) Waarom doe je dat?

c) Hoe helpt het je bij het vinden van het antwoord?

Opgaven als bovenstaand voorbeeld komen niet voor in Moderne Wiskunde, maar zoals ik reeds heb aangegeven ben ik van mening dat het ook weinig zin heeft om dergelijke opgaven in de methode op te nemen. Wel lijkt het mij zinnig om deze vragen te stellen wanneer een leerling goed op weg (geholpen) is. Bijvoorbeeld:

29


a) Wat wordt er gevraagd? b) Wat zijn de gegevens?

c) Wat kun je met deze gegevens? d) Wat doe je precies om tot je antwoord te komen?

e) Waarom doe je dat? f) Welk deel van de theorie heb je hier bij nodig, denk je? g) Ken je een opgave die hier op lijkt en die je zou kunnen gebruiken bij het oplossen van deze opgave? h) Hoe helpt het je bij het vinden van het antwoord?

Zoals ik reeds heb aangegeven worden bij iedere opgave in Moderne Wiskunde verschillende deelvragen gesteld, wat het onmogelijk maakt dat de leerling zich aan de hand van de methode een aantal heuristieken eigen zal maken zodat hij zichzelf op het juiste moment de juiste vragen kan stellen. Ook Schoenfeld’s oplossingsstrategie ontbreekt in de methode. Conclusie Uit bovenstaande kan geconcludeerd worden dat:

- De opgaven in Moderne Wiskunde niet stimulerend zijn voor het probleemoplossend vermogen van leerlingen;

- Pólya’s probleemoplossingsstrategie ontbreekt in de methode; - Schoenfeld’s probleemoplossingsstrategie ontbreekt in de methode.

Kortom: alle (besproken) strategieën om het probleemoplossend denken te stimuleren ontbreken in de methode. 5.4 Deelvraag 6: Hoe kan ik de strategieën voor het probleemoplossend denken in mijn lessen verwerken? Bij zowel de probleemoplossingsstrategie van Pólya (1990) als de probleemoplossingsstrategie van Schoenfeld (1985) (zie eventueel theoretisch kader paragraaf 2.3) komt het er op neer dat de docent onopvallend constant dezelfde, algemene vragen stelt tijdens het oplossen van problemen of om de leerlingen te helpen bij het vinden van een geschikte oplossingsstrategie wanneer ze vastlopen. Het doel van beide probleemoplossingsstrategieën is dat de leerling zichzelf na loop van tijd op het juiste moment de juiste vragen stelt. In Pólya’s probleemoplossingsstrategie wordt gesproken over heuristieken in plaats van vragen. Met het stellen van deze vragen en het inzetten van deze heuristieken moet volgens Pólya (1990) en Schoenfeld (1985) al aan het begin van de lessenserie begonnen worden. Pólya (1990) geeft aan dat wanneer een wiskundedocent besluit om aandacht aan probleemoplossend denken te besteden het van belang is om eerst klassikaal meerdere problemen op te lossen om enige interesse voor problemen bij de leerlingen op te wekken en de leerlingen veel mogelijkheden geven om na te doen en te oefenen. Als de docent de denkstappen die corresponderen met de heuristieken bij zijn leerlingen wil ontwikkelen, moet hij deze vragen en suggesties zo vaak en zo natuurlijk mogelijk aan zijn leerlingen stellen. Wanneer de docent een probleem klassikaal oplost, moet hij zijn ideeën een beetje dramatiseren en zichzelf dezelfde vragen stellen die hij gebruikt als hij de leerlingen helpt. Op deze manier zal de leerling uiteindelijk de juiste manier ontdekken om deze vragen en suggesties te gebruiken. Pas na een aantal klassikaal opgeloste problemen kunnen de leerlingen met Pólya’s stappenplan aan de slag. Rekening houdend met bovenstaande, zal ik in de eerste paar probleemoplossingslessen vooral klassikaal problemen oplossen en mijzelf hardop vragen als ,,Wat wordt er gevraagd?” ,,Wat zijn de gegevens?” ,,Komt dit probleem mij bekend voor?” en ,,Wat kan ik met de gegevens?” stellen. Tijdens het klassikaal behandelen van deze problemen zal ik aandacht besteden aan alle vier de stappen die Pólya (1990) beschrijft:

1. Het probleem begrijpen 2. Een plan maken

30

3. Het plan uitvoeren 4. Terugblikken

Pólya (1990) geeft aan dat de leerlingen vaak geneigd zijn om de eerste en de laatste stap te vergeten terwijl deze erg belangrijk zijn voor de ontwikkeling van het probleemoplossend vermogen. Ik zal daarom tijdens het klassikaal behandelen van problemen de stappen 1 en 4 extra benadrukken. Om te controleren of de leerlingen het probleem begrijpen, zal ik bijvoorbeeld een leerling in eigen woorden laten vertellen wat er precies gevraagd wordt en wanneer er naar bijvoorbeeld de omtrek gevraagd wordt, zal ik controleren of iedereen nog weet wat er met de omtrek bedoeld wordt. Het terugblikken zal ik benadrukken door het stellen van vragen als ,,Hebben we echt antwoord gegeven op de vraag?”, ,,Hebben we alle gegevens gebruikt?”, ,,Hebben we aan alle voorwaarden voldaan?”, ,,Kunnen we het antwoord controleren?”, ,,Had dit probleem ook anders / sneller opgelost kunnen worden?” en ,,Kunnen we het resultaat of de aanpak gebruiken voor een ander probleem?”. Tijdens het klassikaal behandelen van problemen zal ik de leerlingen mee laten denken (bijvoorbeeld door het laten beantwoorden van de zojuist genoemde vragen) en mee laten schrijven, om ze actief te betrekken bij het oplossen van de eerste problemen. Omdat de leerlingen uiteindelijk zelf problemen op zullen gaan lossen en de autoriteit van de docent grotendeels doorgeschakeld zal worden naar de leerlingen (de docent zal steeds meer een rondtrekkende adviseur worden), zal ik ervoor zorgen dat de inbreng van de leerlingen steeds groter wordt. Na meerdere problemen klassikaal (met inbreng van de leerlingen) opgelost te hebben, zullen de leerlingen in tweetallen aan de slag gaan met het oplossen van nieuwe problemen. De reden waarom ik ervoor heb gekozen om de leerlingen in tweetallen aan problemen te laten werken, is omdat Schoenfeld (1985) in zijn probleemoplossingslessen de leerlingen in kleine groepjes aan problemen laat werken. Mijn klas kennende wordt het al snel te gezellig als ik de leerlingen in viertallen laat werken. Wanneer de leerlingen in tweetallen werken, kunnen ze met elkaar overleggen en elkaar helpen. Uit eerdere werkvormen is gebleken dat werken in tweetallen in deze groep prima kan. Terwijl de leerlingen in tweetallen met problemen aan de slag gaan, zal ik rondlopen. Ik zal regelmatig de drie standaardvragen van Schoenfeld (1985) stellen:

1. Wat zijn jullie (precies) aan het doen? (Kunnen jullie het precies beschrijven?) 2. Waarom doen jullie dat? (Hoe past dit bij de oplossing?) 3. Het helpt het jullie? (Wat gaan jullie met de uitkomst doen als jullie deze verkregen hebben?)

Wanneer leerlingen mijn hulp vragen omdat ze vast lopen, zal ik Pólya’s heuristieken inzetten: ,,Wat wordt er precies gevraagd?” ,,Wat is er gegeven?” ,,Wat kun je hier mee?” ,,Wat zou je nog moeten weten?” ,,Hoe kom je daar achter?” etc. Ik zal alleen deze vragen stellen en zo de oplossing in handen van de leerlingen laten. Hoewel ik tijdens het rondlopen zo min mogelijk inhoudelijk op de problemen in ga, zal ik in de volgende les bij het nabespreken van de problemen waar de leerlingen in tweetallen of individueel aan gewerkt hebben laten zien hoe het probleem sneller of makkelijker opgelost had kunnen worden. Ook tijdens het nabespreken van problemen zal ik aan iedere stap die Pólya (1990) beschrijft aandacht besteden. Omdat het te veel tijd zal kosten om alle problemen klassikaal na te bespreken, heb ik antwoordmodellen van alle problemen gemaakt. In deze antwoordmodellen maak ik expliciet onderscheid tussen de vier stappen die door Pólya (1990) beschreven worden en stel ik ook dezelfde vragen als bij het klassikaal behandelen van problemen. Ook laat ik in deze antwoordmodellen bij een aantal problemen meerdere mogelijke oplossingsmethoden zien, onder de vraag: ‘Had dit probleem ook anders / sneller opgelost kunnen worden?’. Zie voor dit antwoordmodel bijlage 4. Wanneer blijkt dat het toch nog teveel gevraagd is om de leerlingen al helemaal zelf met de problemen aan de slag te laten gaan, kan ik altijd besluiten om nog wat problemen klassikaal op te lossen. Uiteindelijk zullen de leerlingen individueel de tweede Kangoeroetoets moeten maken, dus ik zal de leerlingen ook individueel aan problemen laten werken. Dit zal in ieder geval het geval zijn voor de problemen die als huiswerk opgegeven worden. Omdat de kans bestaat dat bepaalde duo’s zo snel in de les werken dat ze vrijwel geen huiswerk hebben, zal ik de leerlingen zo nu en dan ook in de les individueel aan problemen laten werken. Bij het ontwerpen van de lessenserie heb ik voornamelijk gebruik gemaakt van kangoeroe-opgaven uit de categorie wizSMART.3. Ik heb de problemen geselecteerd volgens de eisen waar volgens Becker & Shimada (1997, zoals geciteerd in Jarret & McIntosh, 2000) en Jarret & McIntosh (2000) een

3De categorie binnen de kangoeroe-wedstrijd waarin een 2 MAVO-klas valt.

31

geschikt probleem aan zou moeten voldoen (zie eventueel paragraaf 2.1.5 van het theoretisch kader). Tevens heb ik geprobeerd om zo’n opbouw aan te houden, dat verschillende eerder opgeloste problemen gebruikt kunnen worden bij problemen die later in de lessenserie aan de orde komen. Zo heb ik meerdere keren zelf een vervolgprobleem op een kangoeroe-opgave gemaakt om de vervolgproblemen waar Pólya (1990) in zijn probleemoplossingsstrategie over spreekt aan bod te laten komen. Deze problemen zijn aangegeven met de titel (Vervolg)probleem. Ook heb ik de problemen zo gerangschikt dat de lastigste problemen (waar voor het oplossen de meeste oefening vereist is) aan het eind van de lessenserie aan bod komen. Omdat zowel Pólya (1990) als Schoenfeld (1985) het belang van het vele oefenen met het oplossen van verschillende problemen benadrukken, heb ik in totaal 25 problemen in de lessenserie opgenomen waardoor er voor vrijwel iedere les huiswerk in de planning staat. Het boekje dat ik voor deze lessenserie samengesteld heb, is te vinden in bijlage 3. De uitwerkingen van de problemen die in de lessen zijn opgenomen zijn te vinden in bijlage 4. Tijdens de uitvoering van de lessenserie:

- Verliep de eerste les nogal chaotisch omdat enkele leerlingen meteen de oplossing van het probleem zagen en maar moeilijk het geduld op konden brengen om klassikaal de vier stappen van Pólya (1990) te doorlopen, terwijl andere leerlingen aangaven er niets van te begrijpen;

- Verliepen de hierop volgende lessen steeds beter omdat steeds meer leerlingen plezier kregen in het oplossen van de problemen en steeds actiever meededen. Wanneer een leerling meteen de oplossing zag, mocht hij/zij zijn of haar gedachtegang aan de klas uitleggen;

- Werd er erg hard gewerkt in de lessen dat de leerlingen in tweetallen aan de slag gingen met het oplossen van problemen;

- Lukte het leerlingen steeds vaker om tot de juiste aanpak en de juiste oplossing van het probleem te komen en beleefden de leerlingen steeds meer plezier aan het oplossen van de problemen;

- Is uit de ingevulde enquêtes gebleken dat veel leerlingen beter dan voorheen weten hoe ze problemen aan moeten pakken en is deze lessenserie door veel leerlingen met een ruime voldoende beoordeeld.

De resultaten van de enquête die de leerlingen in hebben gevuld, vindt u in bijlage 5.

32

Hoofdstuk 6 Conclusies, discussie en aanbevelingen 6.1 Statistische vergelijking van de resultaten van de nulmeting en de eindmeting Zoals in de beschrijving van de toetsingsmethode al is aangegeven, zal bij deze binomiaal verdeelde verschiltoets met gepaarde waarnemingen gelden: n = 24 (in totaal hebben 24 leerlingen aan dit onderzoek deelgenomen) H0: µV = 0 (Er is gemiddeld geen verschil in toetsresultaten tussen de eerste en de tweede kangoeroetoets)

H1: µV > 0 (De resultaten van de tweede kangoeroetoets zijn beter dan de resultaten van de eerste

kangoeroetoets) Om de toets uit te voeren, wordt gebruik gemaakt van de variabele v

−, die wordt beschreven door een

t-verdeling met µV = 0 en met variantie sv2 . Deze t-verdeling heeft df = n−1= 23 vrijheidsgraden.

Omdat ik alleen maar wil weten of de resultaten significant zijn verbeterd, zal er eenzijdig worden getoetst. Er zal gebruik gemaakt worden van een betrouwbaarheidsinterval van 95%. Omdat er eenzijdig wordt getoetst, zal gebruik gemaakt worden van de t0,05-waarde met 23 vrijheidsgraden. t0,05 =1, 714 In bijlage 2 vindt u de normering van de eerste kangoeroetoets (de nulmeting), de tweede kangoeroetoets (de eindmeting) vindt u in bijlage 6, de normering van deze tweede kangoeroetoets in bijlage 7 en de tabel met de behaalde punten en de bijbehorende cijfers voor zowel de nulmeting als de eindmeting vindt u in bijlage 8. Aan de hand van de behaalde resultaten van de eerste en de tweede kangoeroetoets (de nulmeting en de eindmeting) geldt nu:

Voor V−

geldt:

V−

=∑Avi

n=

(−0,2 + 4, 7+ 4,0 +1, 7+....+ 5,3+1,6− 0, 7+3,3)24

= 55,924

2,3292

Dus V−

= 2,3292 Voor de variantie (V = sv

2 ) geldt:

V = s2v =

∑(Avi −V−

)2

n−1=

(−0,2− 2,3292)2 + (4, 7− 2,3292)2 +....+ (−0, 7− 2,3292)2 + (3,3− 2,3292)2

24−1

=58,50958336

23≈ 2,5439

Dus V = 2,3292

Ani 4,7 3,3 4,0 5,3 6,3 3,0 2,0 3,3 8,0 5,0 3,3 4,3 4,7 4,0 7,3 6,0 3,7 2,7 5,0 6,0 3,7 5,7 6,0 3,0

Aei 4,5 8,0 8,0 7,0 7,5 7,3 6,0 7,0 8,0 7,3 6,0 7,7 7,0 6,0 7,7 7,3 7,0 5,0 6,3 7,7 9,0 7,3 5,3 6,3

Avi -0,2 4,7 4,0 1,7 1,2 4,3 4,0 3,7 0 2,3 2,7 3,4 2,3 2,0 0,4 1,3 3,3 2,3 1,3 1,7 5,3 1,6 -0,7 3,3

33

Voor de standaarddeviatie (σ = sv ) van de verschillen tussen de eerste en de tweede kangoeroetoets ( Avi ) geldt: σ (Avi ) = V = 2,5439 ≈1,5950 Dus σ (Avi ) = 1,5950

Voor de variantie van het gemiddelde van deze verschillen (V−

) geldt:

σ (V−

) =Vn

=2,5439

24≈ 0,3256

Dus σ (V−

) = 0,3256

Het interval voor onze nulhypothese luidt: µV ;µV + t0,05 ×σ (V−

)#$%

&'(

Met de hierboven berekende gegevens wordt dit interval: 0;0 +1, 714×0,3256[ ] = 0;0, 5581[ ]

De eerder gevonden waarde voor V−

, namelijk V−

= 2,3292, valt niet binnen dit interval. Dit betekent dat H0 wordt verworpen en H1 geldt. De resultaten van de tweede kangoeroetoets (de eindmeting) zijn dus echt beter dan de resultaten van de eerste kangoeroetoets (de nulmeting). 6.2 Conclusies De hoofdvraag van dit onderzoek is: Kan ik het probleemoplossend denken van mijn leerlingen verbeteren met behulp van een lessenserie? Allereerst heb ik een theorieonderzoek gedaan naar wat probleemoplossend denken inhoudt. Uit de bestudeerde theorie kan ik concluderen dat het er bij probleemoplossen om gaat om met behulp van reeds aanwezige kennis tot een geschikte oplossingsstrategie te komen bij opgaven waarvoor iemand geen kant-en-klaar stappenplan (algoritme) heeft. Het gaat hier dus niet om de standaardopgaven uit het boek, waarbij leerlingen oefenen met de zojuist gedemonstreerde vaardigheden en algoritmen. Nadat ik voor mezelf duidelijk had wat probleemoplossend denken precies inhoudt, ben ik een theorieonderzoek gestart naar de reeds bestaande strategieën om probleemoplossend denken te verbeteren. Al snel kwam ik er achter dat veel onderzoekers in de beschrijving van hun strategie om probleemoplossend denken te stimuleren verwijzen naar de probleemoplossingsstrategieën van Pólya (1990) en Schoenfeld (1985). Omdat andere strategieën grotendeels gebaseerd zijn op deze twee, heb ik mijn in dit onderzoek beperkt tot het bespreken van de strategieën van Pólya (1990) en Schoenfeld (1992).

Samengevat komt de probleemoplossingsstrategie van Pólya (1990) neer op het doorlopen van vier stappen bij het oplossen van problemen:

1. Het probleem begrijpen. ,,Wat wordt er gevraagd?”, ,,Wat zijn de gegevens?”, ,,Wat zijn de voorwaarden?”

2. Een plan maken. ,,Ken je een verwant probleem waar je bij het oplossen van dit probleem gebruik van kunt maken?”, eventueel een hulpprobleem creëren.

3. Het plan uitvoeren. ,,Kun je duidelijk zien dat de stap correct is?”, ,,Kun je dat bewijzen?”

34

4. Terugblikken. ,,Heb je alle gegevens gebruikt?”, ,,Heb je aan de voorwaarden voldaan?”, ,,Kun je het resultaat / de methode gebruiken bij het oplossen van een ander probleem?”

Als de docent de vier stappen maar vaak genoeg klassikaal doorloopt, zal de leerling volgens Pólya (1990) uiteindelijk de juiste manier ontdekken om deze vragen en suggesties te gebruiken bij het oplossen van problemen.

Samengevat komt de probleemoplossingsstrategie van Schoenfeld (1992) neer op het stellen van de volgende drie algemene vragen terwijl de leerlingen, bij voorkeur in kleine groepjes, bezig zijn met het oplossen van problemen:


Als de docent dit doet, weten de leerlingen meestal niet hoe ze deze vragen moeten beantwoorden. Wetend dat de docent, ondanks hun ongemak, doorgaat met het stellen van deze vragen, beginnen de leerlingen zichzelf te verdedigen tegen deze vragen door vooraf de antwoorden te bespreken. Uiteindelijk wordt dit gedrag volgens Schoenfeld (1992) een gewoonte en stellen de leerlingen zichzelf tijdens het oplossen van een probleem de juiste vragen. Na het theorieonderzoek naar wat probleemoplossend denken precies inhoudt en welke strategieën er reeds bestaan om het probleemoplossend denken te verbeteren, ben ik door middel van een uit kangoeroe-opgaven bestaande toets nagegaan in hoeverre mijn leerlingen voor de aanvang van de lessenserie over het vermogen om probleemoplossend te denken beschikken. Uit de afgenomen nulmeting bleken de volgende zaken:

- De leerlingen waren gefrustreerd en verontwaardigd over het soort opgaven dat ze moesten maken omdat ze dit volgens eigen zeggen nog nooit eerder hadden gehad;

- De meeste leerlingen gaven het proberen na korte tijd op en leverden hun werk voor de bel en onafgemaakt in;

- Ook de meeste leerlingen die wel alle opgaven hadden gemaakt leverden ruim voordat de bel ging hun werk in;

- Zeventien van de vierentwintig leerlingen kwamen op een onvoldoende uit; - Bij veel leerlingen ontbrak bij meerdere antwoorden een berekening of toelichting.

Uit de analyse van Moderne wiskunde kunnen de volgende conclusies worden getrokken:

- Verreweg de meeste opgaven die in deze methode zijn opgenomen behoren tot de eerste en tweede categorie van Krabbendams indeling van opgaven, met: 1. Vragen gericht op het leren beheersen van het gereedschap, de techniek 2. Vragen gericht op het gebruik, de toepassing van het gereedschap;

- Van de enkele opgaven die tot de categorie problemen behoren, zijn er enkele niet in de planning opgenomen;

- De opgaven in Moderne Wiskunde zijn niet stimulerend voor het probleemoplossend vermogen van leerlingen;

- Pólya’s probleemoplossingsstrategie ontbreekt in de methode; - Schoenfeld’s probleemoplossingsstrategie ontbreekt in de methode.

Aan de hand van de in het theoretisch kader besproken probleemoplossingsstrategieën ben in nagegaan hoe ik deze strategieën in mijn lessen kan verwerken:

- Ik zal onopvallend constant dezelfde, algemene vragen stellen tijdens het oplossen van problemen of om de leerlingen te helpen bij het vinden van een geschikte oplossingsstrategie;

- Ik zal eerst klassikaal meerdere problemen oplossen om enige interesse voor problemen bij de leerlingen op te wekken en om de leerling veel mogelijkheid te geven om na te doen en te oefenen;

- Omdat de leerlingen volgens Pólya (1990) vaak geneigd zijn de eerste en de laatste stap over te slaan, zal ik de stappen 1 en 4 extra benadrukken;

- Na een aantal problemen klassikaal behandeld te hebben, zal ik, gehoor gevend aan Schoenfeld’s probleemoplossingsstrategie, de leerlingen in tweetallen aan de slag laten gaan met het oplossen van nieuwe problemen;

- Tijdens het rondlopen zal ik regelmatig de drie standaardvragen stellen die door Schoenfeld (1992) beschreven worden;

- Wanneer de leerlingen mijn hulp vragen omdat ze vastlopen, zal ik Pólya’s heuristieken inzetten;

35

- Bij het nabespreken van de problemen waar de leerlingen in tweetallen aan gewerkt hebben, zal ik laten zien hoe het probleem sneller of makkelijker opgelost had kunnen worden.

Met behulp van de eerder beantwoordde deelvragen en de analyse van Moderne Wiskunde, heb ik een lessenserie samengesteld. Hiervoor heb ik voor de leerlingen een boekje met allemaal kangoeroe-opgaven samengesteld. Dit boekje vindt u in bijlage 3. In het antwoordmodel, deze is te vinden in bijlage 4, is te zien hoe ik de vier stappen van Pólya (1990) heb verwerkt in het oplossen van de problemen en bij het helpen van leerlingen die vastlopen. Bij de uitvoering van deze lessenserie:

- Verliep de eerste les nogal chaotisch omdat enkele leerlingen meteen de oplossing van het probleem zagen en maar moeilijk het geduld op konden brengen om klassikaal de vier stappen van Pólya (1990) te doorlopen, terwijl andere leerlingen aangaven er niets van te begrijpen;

- Verliepen de hierop volgende lessen steeds beter omdat steeds meer leerlingen plezier kregen in het oplossen van de problemen en steeds actiever meededen. Wanneer een leerling meteen de oplossing zag, mocht hij/zij zijn of haar gedachtegang aan de klas uitleggen;

- Werd er erg hard gewerkt in de lessen dat de leerlingen in tweetallen aan de slag gingen met het oplossen van problemen;

- Lukte het leerlingen steeds vaker om tot de juiste aanpak en de juiste oplossing van het probleem te komen en beleefden de leerlingen steeds meer plezier aan het oplossen van de problemen;

- Is uit de ingevulde enquêtes gebleken dat veel leerlingen beter dan voorheen weten hoe ze problemen aan moeten pakken en is deze lessenserie door veel leerlingen met een ruime voldoende beoordeeld.

Als laatste onderdeel van dit onderzoek heb ik na afloop van de lessenserie wederom een toets bestaande uit allerlei kangoeroe-opgaven afgenomen om na te gaan of het probleemoplossend denken van mijn leerlingen verbeterd is. Deze toets is van vergelijkbaar niveau als kangoeroetoets 1 (de nulmeting) en de opgaven die in deze toets zijn opgenomen zijn niet in de lessenserie en ook niet in kangoeroetoets 1 aan bod gekomen. Bij het afnemen en nakijken van de tweede kangoeroetoets (de eindmeting), zijn mij een aantal zaken opgevallen:

- De leerlingen gingen meteen aan de slag met de opgaven en geen van de leerlingen leek gefrustreerd en/of verontwaardigd over het soort opgaven;

- Slechts enkele leerlingen leverden ruim voor tijd hun werk in, verreweg de meeste leerlingen waren tot net voor de bel bezig;

- Veel leerlingen leverden hun toets met een grote glimlach in en gaven aan een goed cijfer te verwachten;

- Bij geen van de leerlingen ontbrak het aan berekeningen en/of toelichtingen: alle opdrachten waren zeer netjes uitgewerkt en toegelicht.

De toets die ik heb gebruikt voor de eindmeting vindt u in bijlage 6. In bijlage 7 vindt u de gehanteerde normering en in bijlage 8 vindt u zowel de resultaten van de nulmeting als van de eindmeting. Uit de statistische vergelijking van de resultaten van de nulmeting en de eindmeting is gebleken dat de resultaten van de eindmeting echt beter zijn dan de resultaten van de nulmeting. Om de hoofdvraag nu daadwerkelijk te beantwoorden heb ik het ingeleverde werk van de leerlingen bekeken en de resultaten van de tweede kangoeroetoets (de eindmeting) zeer aandachtig vergeleken met de resultaten van de eerste kangoeroetoets (de nulmeting). Omdat ik een duidelijk verschil kan waarnemen tussen de aanpak en beantwoording van de opgaven van de eerste en de tweede kangoeroetoets én omdat de resultaten van de eindmeting met een gemiddelde toename van 2,3292 punten significant beter zijn dan de resultaten van de nulmeting, kan ik concluderen dat ik het probleemoplossend denken van mijn leerlingen kan verbeteren met behulp van een lessenserie. 6.3 Discussie Uit de uitvoering van dit onderzoek volgen een aantal punten ter discussie. In het theoretisch kader is onder andere terug te vinden dat het onderwijzen van probleemoplossen een verschuiving van de opvattingen die docenten over het wiskundeonderwijs hebben vergt, dat het

36

van belang is dat een leerling eerst meerdere problemen klassikaal opgelost heeft zien worden voordat hij hier daadwerkelijk zelf mee aan de slag gaat en dat de leerling uiteindelijk, na veel oefenen, de juiste manier zal ontdekken om de vragen en suggesties die continu door de docent worden aangedragen te gebruiken. Dit heeft bij aanvang van mijn onderzoek bij mij de indruk gewekt dat het vermogen om probleemoplossend te denken niet zomaar met zes lessen te verbeteren is. Echter, het cijfer van de eindmeting blijkt gemiddeld 2,3292 punten hoger te liggen dan het cijfer van de nulmeting. Hoewel ik blij verrast ben door dit resultaat, vloeien hier een aantal discussiepunten uit voort:

1. Zijn de nulmeting en de eindmeting echt wel van vergelijkbaar niveau? 2. Is de normering van de nulmeting van vergelijkbaar niveau als de normering van de

eindmeting? 3. Is het gebruik van kangoeroe-opgaven betrouwbaar genoeg? 4. Zijn er wellicht andere factoren van invloed geweest op het resultaat?

Ik zal bovenstaande punten stuk voor stuk toelichten. 6.3.1 Zijn de nulmeting en de eindmeting wel echt van vergelijkbaar niveau? Het is over het algemeen ontzettend moeilijk om twee verschillende toetsen van vergelijkbaar niveau samen te stellen. De ene opgave is net iets moeilijker dan de andere opgave en het is de kunst om niet in de ene toets net wat meer hele moeilijke opgaven te stoppen. Hoewel ik de toetsen zeer zorgvuldig heb samengesteld en ik uitsluitend gebruik heb gemaakt van door experts geselecteerde kangoeroe-opgaven, zou het zomaar kunnen zijn dat de toets die ik heb gebruikt voor mijn eindmeting minder lastig is dan de toets die ik heb gebruikt voor mijn nulmeting. Dit, omdat ik blijkbaar minder lastige opgaven voor de tweede kangoeroetoets heb geselecteerd dan voor de eerste kangoeroetoets. In dit geval zou de oorzaak van de sterke toename in resultaten niet (alleen) bij de lessenserie gezocht moeten worden. 6.3.2 Is de normering van de nulmeting van vergelijkbaar niveau als de normering van de eindmeting? Hoewel ik ook de normering van de nulmeting en de eindmeting zeer nauwkeurig heb samengesteld en vergeleken, is het lastig vast te stellen of twee verschillende toetsen precies even streng worden nagekeken. Het zou kunnen zijn dat de eindmeting ondanks de nauwkeurige samenstelling van de normeringen soepeler is nagekeken dan de nulmeting. Ook in dit geval zou de oorzaak van de sterke toename in resultaten niet (alleen) bij de lessenserie gezocht moeten worden. 6.3.3 Is het gebruik van kangoeroe-opgaven betrouwbaar genoeg? Kangoeroe-opgaven worden door specialisten op het gebied van probleemoplossend ontworpen en geselecteerd. Om deze reden zouden kangoeroe-opgaven een zeer betrouwbaar middel moeten zijn om het probleemoplossend vermogen van de leerlingen te onderzoeken. Echter, deze opgaven zijn openbaar en dus ook toegankelijk voor leerlingen. Nu lijkt het mij sterk dat de leerlingen alle negen wizSMART-toetsen die op de site gepubliceerd staan uit hun hoofd hebben geleerd, maar het is wel een factor waar naar mijn mening rekening mee gehouden moet worden. Daarnaast zou het zo kunnen zijn dat (ijverige) leerlingen thuis extra hebben geoefend met het oplossen van problemen door op de kangoeroesite oude kangoeroetoetsen te maken. In dit geval zullen er ongetwijfeld ook opgaven die in de tweede kangoeroetoets zijn opgenomen voorbij zijn gekomen. Als dit het geval is, dan zal dat zeer waarschijnlijk van invloed zijn geweest op het resultaat van de eindmeting. 6.3.4 Zijn er wellicht andere factoren van invloed geweest op het resultaat? Bij de uitvoering van dit onderzoek heb ik enkel gebruik gemaakt van een experimentele groep en niet van een controlegroep. Door het ontbreken van een controlegroep kan ik niet uitsluiten dat het waargenomen effect niet per ongeluk te wijten is aan andere factoren. 6.4 Aanbevelingen De in hoofdstuk 6.3 benoemde discussiepunten leiden tot concrete aanbevelingen voor bijstelling van het ontwerp van het onderzoek. Ook nu zal ik de vier punten stuk voor stuk langslopen en toelichten.

37

6.4.1 Zijn de nulmeting en de eindmeting wel echt van vergelijkbaar niveau? Uit dit discussiepunt volgt de volgende aanbeveling voor het herontwerp van het onderzoek: voer het onderzoek in twee parallelklassen uit en gebruik in de ene groep kangoeroetoets 1 als nulmeting en gebruik in de andere groep kangoeroetoets 2 als nulmeting. Voer in beide klassen exact dezelfde lessenserie op exact dezelfde wijze uit. De groep die kangoeroetoets 1 als nulmeting heeft gemaakt maakt als eindmeting kangoeroetoets 2 en de groep die als nulmeting kangoeroetoets 2 heeft gemaakt maakt als eindmeting kangoeroetoets 1. Pas aan de hand van deze resultaten kan geconcludeerd worden of beide toetsen van vergelijkbaar niveau zijn. Voor een zeer betrouwbaar antwoord op de vraag of beide toetsen van vergelijkbaar niveau zijn, zou er gebruik gemaakt moeten worden van vier parallelklassen zodat elk van de zojuist beschreven aanpakken in twee parallelklassen uitgevoerd kan worden. Op deze manier wordt ook het probleem dat de ene klas misschien over het algemeen wat sterker is dan de andere klas grotendeels ondervangen. 6.4.2 Is de normering van de nulmeting van vergelijkbaar niveau als de normering van de eindmeting? Uit dit discussiepunt volgt de volgende aanbeveling voor het herontwerp van het onderzoek: laat, aan het einde van de lessenserie, beide toetsen (dus de nulmeting en de eindmeting) door in ieder geval één andere docent nakijken. Hoe meer docenten afzonderlijk van elkaar deze twee toetsen nakijken, des te betrouwbaarder het resultaat wordt. De reden waarom beide toetsen vlak na elkaar nagekeken moeten worden, is omdat de docent dan ‘in het ritme zit’ en de kans groot is dat beide toetsen even streng worden nagekeken. Bereken van alle docenten die hebben meegewerkt afzonderlijk het

gemiddelde verschil tussen de nulmeting en de eindmeting (V−

, zie eventueel de beschrijving van de toetsingsmethode) en neem hier het gemiddelde van. Voer met dit gemiddelde de statistische vergelijking zoals die eerder in dit onderzoek beschreven staat uit. Het voordeel van deze methode is dat het niet uit maakt als de ene docent strenger nakijkt dan de andere docent: het gaat om het verschil tussen de twee cijfers en het verschil tussen twee hoge cijfers kan net zo hoog zijn als het verschil tussen twee lagere cijfers. Het gaat erom dat beide toetsen even streng (of even soepel) worden nagekeken. Het spreekt voor zich dat het resultaat met iedere extra docent betrouwbaarder wordt. 6.4.3 Is het gebruik van kangoeroe-opgaven betrouwbaar genoeg? Uit dit discussiepunt volgt de volgende aanbeveling voor het herontwerp van het onderzoek: maak bij het samenstellen van de toetsen voor de nulmeting en de eindmeting gebruik van problemen die niet openbaar en dus ook niet beschikbaar voor leerlingen zijn of die uit een boek komen waarvan de kans zeer klein is dat de leerlingen hier beschikking over zullen hebben. Gezien het vele onderzoek dat al naar probleemoplossend denken is verricht, ga ik er van uit dat er voldoende andere bronnen zijn waaruit geschikte problemen geselecteerd kunnen worden. Blijkt dit niet zo te zijn, dan lijkt het mij een goede optie om bestaande kangoeroe-opgaven aan te passen of om aan de hand van de theorie zelf problemen te ontwerpen. Het zou in deze laatste twee gevallen wenselijk zijn om ook nog iemand anders die verstand heeft van probleemoplossen naar deze opgaven te laten kijken en de geschiktheid te beoordelen. Naar mijn idee kan in de lessen prima gebruik gemaakt worden van kangoeroe-opgaven, omdat het oefenen van deze opgaven op internet en/of het opzoeken van antwoorden niet in het voordeel kan werken als op de toets geen kangoeroe-opgaven voorkomen. 6.4.4 Zijn er wellicht andere factoren van invloed geweest op het resultaat? Uit dit discussiepunt volgt de volgende aanbeveling voor het herontwerp van het onderzoek: zorg dat een parallelklas die van dezelfde docent les krijgt als controlegroep dient. Deze controlegroep maakt net als de experimentele groep de nulmeting en de eindmeting, maar in deze groep wordt de lessenserie over probleemoplossend denken niet uitgevoerd. Door het gebruiken van een controlegroep kan uitgesloten worden dat het waargenomen effect niet per ongeluk te wijten is aan andere factoren.

38

Hoofdstuk 7 Reflectie 7.1 Reflectie op de vraagstelling Ik denk dat ik mijn onderzoeksvragen specifiek heb geformuleerd. Aan de hand van de formulering wist ik precies wat ik moest onderzoeken en werd mijn onderzoek niet te breed. Al mijn deelvragen bleken met de theorie uit mijn theoretisch kader als basis goed te beantwoorden Tijdens mijn literatuuronderzoek bleek echter wel dat de kennis over probleemoplossend denken nog zo in ontwikkeling is, dat er vele en vaak tegenstrijdige interpretaties van de begrippen problemen en probleemoplossen bestaan. Voor de verdere uitvoering van het onderzoek betekende bovenstaande dat ik vooraf duidelijk vast moest stellen van welke definitie er uit wordt gegaan als het over problemen en probleemoplossen gaat. Dit eenmaal helder geformuleerd, kon ik mijn deelvragen prima beantwoorden. Daarnaast kwam ik er tijdens mijn literatuuronderzoek achter dat er veel probleemoplossingsstrategieën zijn beschreven maar dat in vrijwel al deze strategieën werd verwezen naar de probleemoplossingsstrategieën van twee onderzoekers, Pólya (1990) en Schoenfeld (1992). Om te voorkomen dat mijn theoretisch kader nog een aantal A4’tjes langer zou worden en mijn onderzoek te groot, heb ik besloten mij enkel te richten op de probleemoplossingsstrategieën van Pólya (1990) en Schoenfeld (1992). Deze twee strategieën zijn in mijn ogen erg handzaam en helder geformuleerd; bij het lezen van de theorie had ik al snel een idee hoe ik hier bij het beantwoorden van mijn deelvragen en uiteindelijk mijn hoofdvraag gebruik van zou kunnen maken. 7.2 Reflectie op de uitwerking van het onderzoek Per deelvraag ben ik nagegaan op welke manier(en) deze het beste te beantwoorden is. Hierbij ben ik nagegaan of deze manieren efficiënt en tevens mogelijk waren. De literatuur die ik tot mijn beschikking had was grotendeels in het Engels. Omdat mijn Engels nooit erg goed is geweest, heeft dit ervoor gezorgd dat ik veel meer tijd dan gepland aan mijn literatuuronderzoek heb besteed. Echter, het feit dat ik zoveel tijd in het literatuuronderzoek heb gestoken, heeft naar mijn idee zeker zijn vruchten afgeworpen: toen ik mijn theoretisch kader eenmaal af had, had ik voor vrijwel alle deelvragen al helder in mijn hoofd hoe ik deze zou kunnen beantwoorden en kon ik dus meteen aan de slag met het uitwerken van mijn deelvragen. Omdat ik had besloten het onderzoek uit te voeren in de 2 mavo-klas die ik niet met één van mijn stagebegeleidsters deel en zelf drie uur per week les geef, was ik behoorlijk vrij in het inplannen van de lessenserie over probleemoplossend denken. Omdat het naar mijn idee niet mogelijk was een hoofdstuk te vervangen door een lessenserie over probleemoplossend denken, moest ik er wel rekening mee houden dat ik hierdoor niet teveel achter kwam te lopen op de planning van de parallelklassen. Om deze achterstand beperkt te houden, heb ik besloten om het hoofdstuk waar ik in de overige lessen aandacht aan besteedde in te korten. Waar ik van te voren niet bij stil had gestaan, is dat de mavo-klas die als experimentele groep dient zich over het algemeen lastig langer dan zo’n tien minuten kan concentreren. Helemaal tijdens de eerste twee lessen waarin ik vooral klassikaal problemen aan het behandelen was, zorgde dit voor onrust. Daarnaast werd het al snel onrustig wanneer een leerling tijdens het klassikaal behandelen van een probleem de oplossing al zag: hij of zij kon het maar moeilijk opbrengen om nog even op te letten en te luisteren naar de stappen die ik doorliep en de vragen die ik stelde. Vaak zagen meerdere leerlingen de oplossing al voordat ik alle stappen had doorlopen, waardoor de aandacht snel afnam. Omdat dit voor onrust in de klas zorgde waardoor ik toch wat moeilijk mijn rust kon houden, heb ik niet ieder klassikaal probleem zo uitgebreid behandeld als ik van plan was. De lastigere problemen waarbij geen een leerling meteen de oplossing zag, heb ik wel ‘volgens plan’ behandeld. Toen de leerlingen in tweetallen bezig waren met het oplossen van problemen, heb ik meerdere duo’s erop moeten wijzen dat ze samen aan de problemen aan het werken zijn en dat ze elkaar moeten helpen wanneer de een het nog niet helemaal heeft begrepen. Verder ben ik tevreden over de uitvoering van de lessenserie: de leerling zijn serieus met de problemen aan de slag gegaan en vrijwel iedereen bleef bij met het huiswerk.

39

7.3 Reflectie op de uitkomsten van het onderzoek Omdat er nog zo weinig eenduidigheid over probleemoplossen bestaat, heb ik bij het uitvoeren van dit onderzoek bij de definities problemen en probleemoplossen zelf uit de verschillende beschreven definities een uitgangspunt voor dit onderzoek gekozen. Omdat er binnen de verschillende onderzoeken naar probleemoplossend denken ook veel tegenstrijdigheid bestaat, is het heel aannemelijk dat er ook onderzoekers zijn die het niet eens zijn met het door mij gekozen uitgangspunt van de begrippen problemen en probleemoplossen. Wellicht zou iemand met deze onderzoeksopzet maar met een ander uitgangspunt van de begrippen problemen en probleemoplossen op andere resultaten zijn uitgekomen. Desalniettemin denk ik dat ik mij voldoende in mijn literatuur heb verdiept om uiteindelijk tot een weloverwogen uitgangspunt te komen dat door meerdere onderzoekers wordt onderbouwd. Daarnaast heb ik besloten mij bij het bestuderen van de reeds bestaande probleemoplossingsstrategieën te beperken tot die van Pólya (1990) en Schoenfeld (1992). Ongetwijfeld zal ik hierdoor met bepaalde aspecten op het gebied van probleemoplossen die niet door deze twee onderzoekers maar wel door anderen worden besproken geen rekening hebben gehouden. Omdat er op dit moment nu eenmaal nog weinig eenduidigheid op het gebied van probleemoplossen is, denk ik dat er bij een onderzoek dat niet te breed mag worden niets anders op zit dan je te beperken tot enkele van deze beschreven probleemoplossingsstrategieën. Omdat er in vrijwel elke probleemoplossingsstrategie van een andere onderzoeker wordt verwezen naar de probleemoplossingsstrategieën van Pólya (1990) en Schoenfeld (1992), denk ik dat ik een goede keuze heb gemaakt bij het beperken van mijn literatuuronderzoek tot deze twee probleemoplossingsstrategieën. Het komt geregeld voor dat er een leerling ziek is, en zo zijn er ook een aantal leerlingen die één of zelfs meer lessen over probleemoplossend denken hebben gemist. Helemaal bij de leerlingen die meerdere lessen hebben gemist (dit zijn er in totaal twee), is het moeilijk vast te stellen of de geboekte vooruitgang geheel te danken is aan de lessenserie. Echter, omdat deze leerlingen delen van de uitleg hebben gemist en minder gelegenheid hebben gehad zich de heuristieken van Pólya (1990) en de vragen van Schoenfeld (1992) eigen te maken, zou dit vooral in het nadeel van de gemiddelde vooruitgang moeten werken. Gezien het feit dat 21 van de 24 leerlingen de tweede kangoeroetoets beter hebben gemaakt dan de eerste kangoeroetoets en de gemiddelde vooruitgang 2,3292 punten is, kan naar mijn idee overtuigend genoeg worden gesteld dat het probleemoplossend vermogen van de experimentele groep is verbeterd. 7.4 Reflectie op de leerwinst van het onderzoek Dit onderzoek heeft mij zowel met betrekking tot mijn onderwijsvisie als mijn didactisch handelen leerwinst opgeleverd. Daarnaast is de wiskundesectie op het Oscar Romero erg enthousiast over de lessenserie, helemaal omdat er jaarlijks veel aandacht wordt besteed aan de kangoeroewedstrijd en deze lessenserie of delen ervan wellicht als vaste voorbereiding op deze wedstrijd in de planning opgenomen kunnen worden. Ik zal hieronder toelichten op welke manier dit onderzoek van invloed is geweest op mijn visie en op mijn didactisch handelen. 7.4.1 De invloed van dit onderzoek op mijn visie op het onderwijs Zoals ik in de inleiding van dit onderzoek heb aangegeven, vroeg ik mij af hoe het nou kon dat leerlingen juist van datgene wat ik zo leuk vind aan wiskunde niet inzagen wat dit met wiskunde te maken heeft. Later, tijdens de bijeenkomsten van het afstudeeronderzoek, werd mij duidelijk dat het puzzelen, wat ik zo leuk vind, over probleemoplossend denken gaat. Ik begon mij af te vragen of het mogelijk zou zijn om, door mijn lessen op een bepaalde manier vorm te geven, ervoor te zorgen dat ook mijn leerlingen datgene wat ik zo leuk aan wiskunde vind gaan ervaren. Naast het feit dat de leerlingen inderdaad plezier hebben beleefd aan het puzzelen bij het oplossen van de problemen (veel leerlingen gaven aan het veel leuker te vinden dan ‘les’), ben ik mij nog meer bewust geworden van de voordelen van het besteden van aandacht aan probleemoplossend denken. Ik ben nu zelfs van mening dat het besteden van aandacht aan probleemoplossend denken in wiskundelessen van essentieel belang is, omdat het ervoor zorgt dat leerlingen wiskunde zullen begrijpen en in nieuwe situaties tot een geschikte aanpak kunnen komen. Ze zullen wiskunde eerder als uitdagend ervaren en vaker succeservaringen meemaken. Hierdoor zullen de leerlingen bovendien niet zomaar opgeven als ze niet direct zien hoe een opgave aangepakt moet worden, omdat ze met

40

de heuristieken die ze zich eigen hebben gemaakt een heel eind komen. Bovendien zorgt het probleemoplossen voor een bepaalde manier van denken die in dit technologische en continu veranderende tijdperk van essentieel belang is, ook voor degenen die in hun verdere leven weinig met wiskunde te maken zullen hebben. Het is van belang dat wiskundedocenten hun didactisch handelen hierop af (gaan) stemmen zodat de leerlingen wiskunde ook daadwerkelijk als uitdagend gaan ervaren en flexibelere denkers zullen worden. Hoewel de lessenserie die ik heb ontworpen veel beter dan de gebruikte methode (Moderne Wiskunde) bijdraagt aan het verbeteren van het probleemoplossend vermogen, weet ik inmiddels dat de wiskundedocent ook met de huidige methodes relatief eenvoudig aandacht kan besteden aan probleemoplossend denken, bijvoorbeeld door het weglaten van enkele deelvragen (a,b,c) en meteen over te gaan tot de laatste deelvraag. 7.4.2 De invloed van dit onderzoek op mijn didactisch handelen De invloed van dit onderzoek op mijn didactisch handelen volgt logischerwijs uit de invloed die dit onderzoek op mijn onderwijsvisie heeft gehad. Omdat ik heb ervaren hoe leuk verreweg de meeste leerlingen het vonden om met de problemen te worstelen, welk effect dit heeft gehad op hun houding en hun prestaties en omdat ik inmiddels van nog meer voordelen van het besteden van aandacht aan probleemoplossend denken op de hoogte ben, ben ik van mening dat het van essentieel belang is om in de wiskundelessen aandacht te besteden aan probleemoplossend denken. Hoewel ik altijd al veel gebruik maak van de inbreng van leerlingen en de leerlingen actief bij de les betrek aan de hand van een onderwijsleergesprek, besef ik dat ik mij altijd zo verantwoordelijk voor de leerlingen heb gevoeld, dat ik eigenlijk te veel samen doe en ik de leerlingen te weinig zelf laat ‘worstelen’. Ik heb er eigenlijk altijd voor gezorgd dat de leerlingen meteen lekker met de opdrachten aan de slag kunnen en niet constant vast lopen. Vaak behandel ik klassikaal een opgave en leg ik bepaalde onderdelen soms wel op vier verschillende manieren uit totdat iedereen het heeft begrepen. Tijdens het zelfstandig werken ben ik over het algemeen druk met het beantwoorden van alle vragen. Nu, na afloop van de uitvoering van deze lessenserie, realiseer ik me dat deze goedbedoelde aanpak er eigenlijk voor heeft gezorgd dat de leerlingen inderdaad verwachten dat ik ze in antwoorden voorzie, ze zelf nauwelijks moeite doen om tot een geschikte aanpak te komen als ze niet meteen zien hoe een opgave aangepakt moet worden en meteen mijn hulp inschakelen. Dit was goed te zien tijdens het afnemen van de eerste kangoeroetoets: veel leerlingen leverden gefrustreerd en boos hun werk ruim voor tijd in zonder dat ze alle vragen hadden beantwoord. Toen ik ze hier op wees, gaven ze aan het niet te snappen en er niet meer naar te willen kijken. Tijdens de lessenserie over probleemoplossend denken heb ik mij heel bewust gehouden aan de strategieën van Pólya (1990) en Schoenfeld (1992) en heb ik de leerlingen op een andere manier geholpen en begeleid dan hoe ik dat voorheen deed. Hoewel de leerlingen hier aan het begin erg aan moesten wennen, werd mijn hulp steeds minder vaak ingeschakeld en bleven de leerlingen veel langer worstelen met opgaven dan voorheen. Wanneer ze dan eindelijk op het goede antwoord uit kwamen, ging deze succeservaring gepaard met trots en een extra motivatie om ook het volgende probleem op te lossen. Ik heb er enorm van genoten om dit te zien gebeuren en helemaal nu ik weet hoe ik ook met de huidige methode relatief eenvoudig aandacht kan besteden aan probleemoplossend denken, zal ik hier in het vervolg en in al mijn klassen zeker (meer) aandacht aan besteden.

41

Hoofdstuk 8 Literatuurlijst Drijvers, P. (2011). Wat bedoelen ze toch met… denkactiviteiten? Nieuwe Wiskrant, December 2011 (2), 31. Ook beschikbaar via http://www.fisme.science.uu.nl/wiskrant/artikelen/312/312december_drijvers.pdf Jarret, D., McIntosh, R. (2000). Teaching Mathematical Problem Solving: Implementing the Vision: a Literature Review. Northwest Regional Educational Laboratory, 2000, 29 pagina’s. Konings, T. (1996). Leren effectief lesgeven. Probleemoplossen 1. Voor de lerarenopleiding wiskunde. Utrecht: Algemeen Pedagogisch Studiecentrum. Konings, T. (1997). Leren effectief lesgeven. Probleemoplossen 2. Voor de lerarenopleiding wiskunde. Utrecht: Algemeen Pedagogisch Studiecentrum. Pólya, G. (1990). How to solve it. The classic introduction to mathematical problem-solving – with a foreword by Ian Stewart. Londen: Penguin Mathematics. Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense-making in mathematics. In: D. Grouws (Ed.), Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 334-370). New York: MacMillan. Skemp, R.R. (1977). Wiskundig denken. Utrecht/Antwerpen: Uitgeverij Het Spectrum Geraadpleegde website http://www.mabobrussel.be/33/wetenschap-olympiades , geraadpleegd op 23-02-13

42

Hoofdstuk 9 Bijlagen 9.1 Bijlage 1: Kangoeroetoets 1, de nulmeting Kangoeroetoets 1 2 MAVO Antwoorden zonder berekening of uitleg krijgen geen punten!

1

2

3

4

5

43

6

7

8

9

-EINDE-

44

9.2 Bijlage 2: Normering kangoeroetoets 1 Kangoeroetoets 1 2 MAVO Uitwerkingen en normering

Schrijf al je berekeningen op! Laat duidelijk zien hoe je aan je antwoord bent gekomen!!! Antwoorden zonder berekening of uitleg krijgen geen punten!

(3) 1

De Omtrek van het vierkant = 4 x 4 = 16 / 4 + 4+ 4 + 4 = 16

De basis van de driehoek heeft dezelfde lengte als de zijden van het vierkant, dus de basis van de

driehoek is 4.

Omdat de totale omtrek van de driehoek net als bij het vierkant 16 is, blijft er nog 16 – 4 = 12 cm over voor

de twee andere zijden van de driehoek. De lengte van elke zijde is 12 : 2 = 6.

De totale omtrek van de vijfhoek is dus 4 + 4 + 4 + 6 + 6 = 24.

Helemaal goed: 3 punten

Zijden van de driehoek goed, maar alle zijden (7 in totaal) opgeteld (4 + 4 + 4 + 4 + 6 + 6): 1 punt.

Wel vijf zijden, maar allemaal met lengte 4 opgeteld: 1 punt.

Teveel zijden en allemaal met een lengte van 4 opgeteld: 0 punten

(3) 2

Kleinste en enige optie is:

1 + 1 + 1 = 3 2 + 2 + 2 = 6 3 + 6 = 9

(10 is al geen cijfer meer en 0 + 0 + 0 = 0 kan niet). De pijl is dus 9.

De leerlingen hadden dit of helemaal goed: 3 punten

Of niets ingevuld: 0 punten

(3) 3

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 17 gehele

getallen.


45

Alleen het antwoord ‘17’ zonder uitleg: 2 punten

Alleen het antwoord en fout (16 of 18 bijvoorbeeld): 0 punten

Niet de getallen uitgeschreven, maar de berekening 19− 2 =17 : 3

punten

Van 2 tot 9 (ipv 19) geteld, maar wel met hele getallen: 1 punt

Geen antwoord of een (totaal) verkeerde berekening / uitleg: 0 punten

(3) 4

0 + 0 = 0 0 + 3 = 3 6 + 2 = 8

2 + 2 = 4 2 + 0 = 2 6 + 3 = 9

6 + 6 = 12 2 + 6 = 8 3 + 0 = 3

3 + 3 = 6 2 + 3 = 5 3 + 2 = 5

0 + 2 = 2 6 + 0 = 6 3 + 6 = 9

0 + 6 = 6

0, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 12 Dus 9 verschillende scores


Wel 9 scores, maar één score dubbel en één vergeten: 1 punt

3 x 4 = 12 mogelijkheden: 0 punten

10 verschillende scores, waarvan één dubbel voorkomt: 2 punten

Verkeerd aantal scores zonder toelichting: 0 punten

Meerdere scores dubbel: 0 punten

4 scores: 0, 2, 3 en 6 : 0 punten

Alle scores uitgeschreven (zoals hierboven) maar verder geen conclusie: 0 punten

2 scores vergeten, geen dubbele scores genoteerd: 1 punt

(3) 5

Per week (7 dagen) lees Francine 49 bladzijden ( 4×6 + 25 = 49 )

290 : 49 = 5,9183.....

Na 5 weken nog 290− 5× 49 = 45 bladzijden over.

45 – 25 = 20 (zo)

20 – 4 = 16 (ma) Francine leest het boek in 5 weken en 6

dagen uit. Dit zijn in totaal 41 dagen

16 – 4 = 12 (di)

46

12 – 4 = 8 (woe)

8 – 4 = 4 (do)

4 – 4 = 0 (vr)

Of zo:

Zon: 25 Zon: 74 Zon: 123 Zon: 172 Zon: 221 Zon: 270

Ma: 29 Ma: 78 Ma: 127 Ma: 176 Ma: 225 Ma: 274

Di: 33 Di: 82 Di: 131 Di: 180 Di: 229 Di: 278

Woe: 37 Woe: 86 Woe: 135 Woe: 184 Woe: 233 Woe:282

Do: 41 Do: 90 Do: 139 Do: 188 Do: 237 Do: 286

Vr: 45 Vr: 94 Vr: 143 Vr: 192 Vr: 241 Vr: 290

Za: 49 Za: 98 Za: 147 Za: 196 Za: 245

Na 41 dagen is het boek uit


290 : 49 = 5,92. Dus ongeveer 6 weken: 1 punt

Kleine rekenfouten, maar goede aanpak: 2 punten

41 dagen zonder / met onduidelijke toelichting: 1 punt

Niet in hele dagen (maar weken) geantwoord: 2 punten

290 : 49 = 5,91 , dus 6 dagen: 1 punt

In één week 25 + 4 = 29 bladzijdes, maar verder goede berekening: 1

punt

(3)6

De Omtrek van het vierkant is 20 cm dus elke zijde is 5 cm.

Rechthoek 1 heeft een omtrek van 16 cm. Twee zijden van deze rechthoek zijn 5 cm.

(16−10) : 2 = 3 cm. De breedte van deze rechthoek is dus 3 cm.

Dit betekent dat de breedte van de andere rechthoek 2 cm is ( 5−3 = 2 ). De totale omtrek van

deze tweede rechthoek is 2 + 5+ 2 + 5 =14 cm.


20 – 16 = 4: 0 punten (had bijna iedereen)

47

4 x 20 = 80 cm2 80 – 16 = 64 cm2: 0 punten

20 + 20 = 40 40 -16 = 24: 0 punten

Alleen het goede antwoord zonder toelichting: 0 punten (was het enige goede antwoord! Leerling snapte

haar eigen uitleg niet meer)

20 : 4 = 5 maar verdere berekening helemaal fout: 1 punt

7 (3)

⅓ deel = 3× 7+ 2 = 21+ 2 = 23 cd’s.

23×3 = 69 cd’s.


Op het laatst pas de 2 cd’s erbij (dus eerst 21 x 3 en dan pas + 2): 1 punt

Alleen maar berekend wat ⅓ is: 1 punt

Kleine rekenfout, maar verder goede berekening: 2 punten

De 2 cd’s helemaal vergeten, dus 21 x 3 = 63 cd’s: 1 punt

8 (3)

Ze maakte er tijdens het gevecht 17. Deze zijn allemaal gebruikt, plus nog 4 sneeuwballen die

ze al had liggen ( 21−17 = 4 ).

15+ 4 =19 , dus Fiona had vóór het gevecht 19 sneeuwballen gemaakt.


15 + 17 + 21 = 53 sneeuwballen: 0 punten

17 + 15 = 32 sneeuwballen: 0 punten

21 + 15 = 36 sneeuwballen: 0 punten

15 + 17 – 21 = 11: 0 punten

21 + 15 = 36 21 – 17 = 4 , ze maakt er 36: 0 punten

48

(3) 9

Als je de route van 12 en 17 km één keer hebt gereden, heb je de route van 20 km + de

onbekende route gereden. De onbekende route is dus (12 +17)− 20 = 29− 20 = 9 km.


1 blokje is zoveel km (gegokt?) en die route bestaat uit zoveel blokjes: 0 punten

12 : 2 = 6 km: 0 punten

2 + 2 + 2 + 2 = 8 km: 0 punten

29 – 6 = 23 km: 0 punten

Rekenfoutje, verder goed: 2 punten

12 : 6 = 2 20 : 5 = 4 6 km: 0 punten

- EINDE -

Totaal 27 punten.

cijfer =behaalde_ punten

27×9 +1

49

9.3 Bijlage 3: Leerlingboekje lessenserie probleemoplossend denken

Probleemoplossend denken MAVO 2

Naam: ...........................................................

50

Inhoudsopgave Inhoudsopgave Blz. 2 Introductie Blz. 3 Studiewijzer Blz. 4

Les 2 Introductie + de eerste problemen Blz. 5 en 6 Les 3 Nog meer oefenen Blz. 7 en 8 Les 4 Nu ook zelf! Blz. 9 en 10 Les 5 Meer zelf, minder samen Blz. 11 t/m 13 Les 6 Nog meer problemen Blz. 14 en 15 Les 7 Nog meer problemen Blz. 16 en 17 Afsluiting (evaluatie en enquête) Blz. 18 en 19

51

Introductie Beste M2A’er, De komende weken zullen we één of twee lesuren per week aan de slag gaan met dit boekje over probleemoplossend denken. Bij probleemoplossen gaat het erom om met de kennis waar je al over beschikt tot een geschikte oplossingsmethode te komen bij opgaven die nieuw voor je zijn en waar je geen kant-en-klaar stappenplan (zoals de stelling van Pythagoras) voor hebt. Het gaat dus niet om opgaven zoals die in het wiskundeboek voorkomen, maar om wiskundige ‘puzzeltjes’ waarbij je gebruik zult moeten maken van je voorkennis. Dit boekje sluit aan bij de kangoeroetoets die jullie hebben gemaakt. De opgaven die in deze toets voorkwamen zijn voorbeelden van de problemen waar we in dit boekje aandacht aan zullen besteden. Het doel van deze lessen is om eens met een andere blik naar wiskunde te kijken en om jullie vermogen om in onbekende situaties tot een geschikte oplossingsmethode te komen te verbeteren. De lessen waarin we met dit boekje werken, zullen er anders uit zien dan de lessen waarin we gewoon uit het boek werken. De eerste paar lessen zullen we klassikaal gaan oefenen met het oplossen van problemen en daarna zal je vooral veel zelf (en in tweetallen) aan het ‘worstelen’ zijn met allerlei wiskundige problemen. Ik zal in deze lessen rondlopen en hints geven wanneer je vastloopt. Om na te gaan of de lessen ervoor hebben gezorgd dat jullie beter zijn geworden in het oplossen van problemen, zal in de laatste les (les 8) en toets worden afgenomen met vergelijkbare opdrachten als in de kangoeroetoets. Het resultaat van deze toets, samen met dit boekje en je (nagekeken!!) uitwerkingen vormen een cijfer dat twee keer meetelt. Zorg dus dat je dit boekje iedere keer bij je hebt en dat je hem netjes houdt! Zorg dat je al je uitwerkingen netjes in een mapje bij elkaar houdt! We zullen veel in de les doen, maar er wordt ook van je verwacht dat je thuis aan de opdrachten werkt. Houd het huiswerk goed bij, anders kan ik geen cijfer geven en kun je het niet met een voldoende afronden!

52

Studiewijzer Hieronder vind je een schema met de planning van de lessen. Op de volgende pagina’s in dit boekje kun je een uitgebreide beschrijving van de lessen vinden met de problemen die in de lessen behandeld zullen worden. In de lessen maak je de opdrachten die per les beschreven staan. Dit doe je op een apart ruitjesblaadje. Zorg dat dit aan het eind van deze lessenserie netjes bij elkaar wordt ingeleverd! Zorg dat je de opdrachten aan het eind netjes hebt uitgewerkt en dat je je aan het huiswerk dat in het schema staat houdt. Figuur 1 Schema planning probleemoplossingslessen Les nr.

Onderwerp Datum Huiswerk voor de volgende keer

1 Kangoeroetoets 1 3 april 2013 Geen 2 Introductie + de eerste problemen 10 april 2013 De problemen 1 t/m 3

netjes uitwerken 3 Nog meer oefenen 17 april 2013 De problemen 4 t/m 7

netjes uitwerken 4 Nu ook zelf! 22 april 2013 De problemen 8 t/m 11

netjes uitwerken 5 Meer zelf, minder samen 24 april 2013 De problemen 12 t/m 16

netjes uitwerken en probleem 10 en 11 nakijken

6 Nog meer problemen 8 mei 2013 De problemen 17 t/m 20 netjes uitwerken en probleem 13 t/m 16 nakijken

7 Nog meer problemen 13 mei 2013 De problemen 21 t/m 25 netjes uitwerken, probleem 17 t/m 20 nakijken en de enquête op bladzijde 18 en 19 invullen.

8 Kangoeroetoets 2, evaluatie en enquête

15 mei 2013 Aan het eind van deze les lever je je boekje en alle (nagekeken!!) uitwerkingen in.

Hierna volgt de beschrijving van de lessen en de bijbehorende opdrachten. Veel succes!

53

Les 2 Introductie + de eerste problemen Voordat ik zal beginnen met het uitleggen van wat we deze les gaan doen, is het de bedoeling dat je de introductie op bladzijde 3 goed doorgelezen hebt, zodat je weet wat er van je verwacht wordt, wat je uiteindelijk moet inleveren en wat we in deze lessenserie gaan doen. Lees de introductie op bladzijde 3 dus eerst goed door. Tijdens deze les zullen we klassikaal de eerste problemen bekijken (en oplossen!). Het is de bedoeling dat je goed meedenkt en meeschrijft. Uiteindelijk ga je het namelijk zelf doen! Op de volgende bladzijde vind je de problemen die bij les 1 horen (probleem 1 t/m 3) Het is de bedoeling dat je tijdens het klassikaal oplossen van deze problemen goed meedoet. Schrijf niet zomaar over wat er op het bord staat, maar denk mee en stel vragen. Schrijf ook op wat je hoort (welke vragen stel ik?): hoe kom ik uiteindelijk tot de juiste aanpak? Het is de bedoeling dat je voor de volgende les (17 april) alle drie de problemen netjes uitgewerkt hebt en dat je deze uitwerkingen bij je hebt.

54

Probleem 1 (klassikaal)



Wat moet er op de plek van het vraagteken komen te staan?

55

Les 3 Nog meer oefenen Tijdens deze les zullen we beginnen met een terugblik op les 2: wat hebben we in les 2 gedaan? Heb je de problemen netjes uitgewerkt? Deze les zullen we net als tijdens les 2 een aantal problemen klassikaal behandelen, maar nu verwacht ik een grote inbreng van jullie tijdens het oplossen van deze problemen! Het is de bedoeling dat je voor de volgende les (22 april) alle vier de problemen netjes uitgewerkt hebt en dat je deze uitwerkingen bij je hebt.

56

Probleem 4 (klassikaal) (Vervolg)probleem 5 (klassikaal) Voor het schilderen van de voorkant van het figuur van probleem 4 is € 80,- in in rekening gebracht. Wat kost het schilderen per dm2? Probleem 6 (klassikaal)

(Vervolg)probleem 7 (klassikaal) De oudere broer van de jarige job uit probleem 6 komt ook even kijken op het feest. Met zijn leeftijd erbij wordt de gemiddelde leeftijd precies 8 jaar. Hoe oud is de broer van de jarige job?

57

Les 4 Nu ook zelf!

Net als in les 2 en les 3 zullen we deze les klassikaal problemen bekijken, maar nu zal je ook zelf aan de slag gaan met probleemoplossen. Tijdens deze les zullen we klassikaal twee problemen bekijken (en oplossen!) en ga je vervolgens in tweetallen proberen de problemen 10 en 11 op te lossen. Opdracht: Denk nog eens terug aan de afgelopen twee lessen en kijk eens goed naar jouw uitwerkingen van de problemen 1 t/m 7. Welke vragen stelde ik tijdens het klassikaal oplossen van deze problemen? Schrijf deze vragen op. Doe dit eerst drie minuten zelfstandig en vergelijk daarna jouw antwoorden met degene naast je. Vul je lijstje daarna eventueel nog aan. …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………… We zullen nu klassikaal de problemen 8 en 9 bekijken. Hierna ga je in tweetallen aan de slag met de problemen 10 en 11. Het is de bedoeling dat je de volgende les (24 april) de problemen t/m 11 netjes hebt uitgewerkt.

58



Het is de bedoeling dat je probleem 10 en probleem 11 in tweetallen gaat proberen op te lossen. Lopen jullie vast, blader dan nog eens terug naar de vragen die je aan het begin van dit lesuur hebt opgeschreven (bladzijde 9 van dit boekje)! (Vervolg)probleem 10 (zelf) Kijk nog eens terug naar probleem 9. Hoeveel ballonnen zijn er minstens nodig voor het tillen van iemand van 50 kg? Probleem 11 (zelf)

59

Les 5 Meer zelf, minder samen We zullen beginnen met een korte terugblik op de afgelopen lessen waarin we met probleemoplossen bezig zijn geweest. Hoe is het oplossen van de problemen 10 en 11 gegaan? Heb je de uitwerkingen netjes opgeschreven? Ik zal een rondje lopen om na te gaan of je de problemen inderdaad hebt gemaakt en als dit het geval is, krijgen jullie in tweetallen een antwoordmodel van de problemen 10 en 11. Zorg dat je goed nakijkt (met een andere kleur pen dan de pen waarmee je de opdrachten hebt gemaakt) en dat je vragen stelt als blijkt dat het niet (helemaal) goed is gegaan. We zullen deze les nog één probleem klassikaal behandelen (probleem 12) en hierna gaan jullie zelf (in tweetallen) aan de slag met de problemen 13 t/m 16. Krijgen jullie dit niet allemaal in de les af, dan is het de bedoeling dat je dit thuis af maakt. Het is de bedoeling dat je volgende les (8 mei) de opdrachten t/m 16 netjes hebt uitgewerkt en dat je deze uitwerkingen bij je hebt.

60


Probleem 13 (zelf) Probleem 14 (zelf)

61

Probleem 15 (zelf)

(Vervolg)probleem 16 (zelf) Hoeveel verschillende molentjes zou je bij probleem 15 kunnen maken als je er bij ieder blaadje ook voor zou kunnen kiezen om hem niet te schilderen?

62

Les 6 Nog meer problemen Ook deze les zullen we starten met een korte terugblik op de vorige les (is het gelukt om de problemen 13 t/m 16 op te lossen?) en zal ik antwoordmodellen uitdelen. Afhankelijk van hoe het probleemoplossen jullie af is gegaan, zal probleem 17 klassikaal of in tweetallen behandeld worden. De problemen 18 t/m 20 zijn huiswerk voor de volgende les. Alles wat niet in de les af komt maak je dus thuis!

63

Probleem 17 (?)

(Vervolg)probleem 18 (zelf) In plaats van de ster en het rondje wil Anne op deze plaats één hanger hebben. Welke hanger(s) kan zij hier voor gebruiken zonder dat de mobiel uit zijn evenwicht raakt? Probleem 19 (zelf) Probleem 20 (zelf)

64

Les 7 Nog meer problemen Ook deze les zullen we starten met een korte terugblik op de vorige les (is het gelukt om de problemen 17 t/m 20 op te lossen?) en zal ik antwoordmodellen uitdelen. Afhankelijk van hoe het probleemoplossen jullie af is gegaan, zal probleem 21 klassikaal of in tweetallen behandeld worden. De problemen 22 t/m 25 zijn huiswerk voor de volgende les. Alles wat niet in de les af komt, maak je dus thuis! Het is de bedoeling dat je volgende les (15 mei) alle opdrachten netjes hebt uitgewerkt, dat je deze uitwerkingen bij je hebt en dat je de enquête op bladzijde 18 hebt ingevuld. Omdat volgende les de laatste les over probleemoplossen is en je dan alles in moet leveren, is het erg belangrijk dat je dan alles bij je hebt!

65

Probleem 21 (?) Probleem 22 (zelf)

Probleem 23 (zelf) Stel dat de juffrouw uit probleem 22 eerst alle jongens evenveel en zoveel mogelijk snoepjes zou geven, hoeveel snoepjes zou zij dan overhouden? Probleem 24 (zelf)

(Vervolg)probleem 25 (zelf) Hoeveel lijntjes zou Anton (zie probleem 24) krijgen als hij in de bovenste rij zeven en in de onderste rij acht stippen zou tekenen?

66

Afsluiting Nu de lessen over probleemoplossen erop zitten, ben ik niet alleen erg benieuwd of jullie vermogen om in onbekende situaties tot een geschikte oplossingsmethode te komen verbeterd is, maar ook wat je van deze lessen vond. Ik wil je daarom vragen om de hieronder staande enquête in te vullen. Lever vervolgens het boekje en al je (nagekeken!) uitwerkingen in. Enquête probleemoplossen

1. Ik vond de lessen over probleemoplossen leuk: ☐ Mee eens ☐ Mee oneens

2. Ik vond de lessen over probleemoplossen leerzaam: ☐ Mee eens ☐ Mee oneens

3. Ik vond de lessen over probleemoplossen: ☐ Heel makkelijk ☐ Makkelijk ☐ Goed te doen ☐ Moeilijk ☐ Heel moeilijk

4. Ik vond de instructie van Mevrouw Klos: ☐ Heel duidelijk ☐ Duidelijk ☐ Soms duidelijk, soms onduidelijk ☐ Onduidelijk ☐ Heel onduidelijk

5. Ik wist iedere les precies wat er van mij verwacht werd: ☐ Mee eens ☐ Mee oneens

6. Ik vond de problemen:

☐ Heel makkelijk ☐ Makkelijk ☐ Goed te doen ☐ Moeilijk ☐ Heel moeilijk

7. Ik heb voldoende tijd gekregen voor het maken van de problemen: ☐ Mee eens ☐ Mee oneens

67

8. Ik vond het samenwerken in tweetallen: ☐ Prettig, ik werk liever samen dan alleen ☐ Leuk, maar ik vind het ook prima om alleen te werken ☐ Vervelend, ik werk liever alleen

9. Ik denk dat ik nu beter in staat ben om bij opgaven die nieuw voor mij

zijn tot een geschikte aanpak te komen: ☐ Ja, ik weet nu precies hoe ik zulke opgaven aan moet pakken ☐ Ongeveer wel, ik zal in ieder geval verder komen dan voor deze lessen ☐ Niet echt, ik heb het probleemoplossen nog niet voldoende onder de knie ☐ Nee, dat is mij tijdens de lessen over probleemoplossen niet goed duidelijk geworden ☐ Helemaal niet, ik heb er niets van begrepen

10. Ik vond de lessen: ☐ Heel leuk ☐ Leuk ☐ Saai ☐ Heel saai

11. Ik vond de begeleiding van Mevrouw Klos: ☐ Te veel ☐ Goed ☐ Te weinig

12. Op een schaal van 1 tot 10 (waarbij 1 heel slecht en 10 heel goed is) geef ik de lessen over probleemoplossen een: ………………………………………………………………………………………

13. Heb je nog opmerkingen of verbeterpunten voor deze lessen, schrijf ze dan hier onder op! ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… Lever nu het boekje en al je (nagekeken!) uitwerkingen in.

68

9.4 Bijlage 4: Uitwerkingen van de problemen uit de lessenserie

Probleemoplossend denken MAVO 2

Uitwerkingen

69

Les 2

70

Wat moet er op de plek van het vraagteken komen te staan?

Probleem 1 (klassikaal) Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? De onbekende lengte, de hoogte van de rechthoek. Wat zijn de gegevens? Het vierkant heeft zijden van 9 cm. De driehoek heeft drie gelijke zijden Wat zijn de voorwaarden? Alle drie de figuren hebben dezelfde omtrek, dus (ook) de omtrek van de rechthoek moet even groot zijn als de omtrek van het vierkant. Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? Ik kan de omtrek van het vierkant berekenen. De lengte van de rechthoek is even lang als de zijden van de driehoek. Ik weet dat de zijden van de driehoek allemaal even lang zijn en dat de omtrek van de driehoek even groot is als de omtrek van het vierkant. Als ik de omtrek van het vierkant weet, kan ik berekenen hoe lang iedere zijde van de driehoek is. Als ik dit heb berekend, weet ik de lengte van de rechthoek. Omdat ik weet dat de omtrek van de rechthoek even groot is als de omtrek van het vierkant en van de driehoek, kan ik vervolgens de hoogte van de rechthoek berekenen. Stap 3: Het plan uitvoeren De omtrek van het vierkant is 4×9 = 36 cm. De omtrek van de driehoek is dus ook 36 cm. Elke zijde is dan 36 :3 =12 cm. De lengte van de rechthoek is dus 12 cm (net zo lang als de zijden van de driehoek). 12 cm ? ? 12 cm 12 +?+12 +? = 36 cm 24 +?+? = 36 cm ?+? = 36− 24 =12 cm ?+? =12 cm ? =12 : 2 = 6 cm Dus de hoogte van de rechthoek is 6 cm.

71

Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? Er werd gevraagd naar het getal dat bij het vraagteken moet komen te staan (de hoogte van de rechthoek). Deze vraag hebben wij beantwoord, want dit moet 6 zijn. Hebben we alle gegevens gebruikt? Ja, we hebben met behulp van de gegeven lengte van de zijde van het vierkant de omtrek berekend. Vervolgens hebben we deze omtrek gebruikt om de zijden van de driehoek te berekenen. Hebben we aan de voorwaarde(n) voldaan? Is de omtrek van ieder van de figuren gelijk? Vierkant: 4×9 = 36 cm Driehoek: 3×12 = 36 cm Rechthoek: 12 + 6 +12 + 6 = 24 +12 = 36 cm Ja, we hebben aan de voorwaarde voldaan!

72

Probleem 2 (klassikaal) Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? Het gaat over een ranglijst van de plaatsen 1 t/m 4 en er wordt gevraagd wie van de vier (Agnes, Bernadet, Carmen en Diana) nummer 1 is geworden: 1. ? 2. 3. 4. We werken bij dit probleem dus met de getallen 1 t/m 4. Bovendien komt elk van deze getallen één keer voor, omdat iedere plaats door één iemand is gehaald. Wat zijn de gegevens? De plaats van Agnes + de plaats van Bernadet + de plaats van Diana = 6. Met andere woorden: drie van de vier getallen 1,2,3 en 4 zijn bij elkaar opgeteld 6. De plaats van Bernadet + de plaats van Carmen = 6. Met andere woorden: twee van de vier getallen 1,2,3 en 4 zijn bij elkaar opgeteld 6. Wat zijn de voorwaarden? Bernadet was in dit toernooi beter dan Agnes. Dit houdt in dat Bernadet hoger in de rangschikking staat en er dus een kleiner getal bij haar hoort dan bij Agnes. Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? Ik kan er door puzzelen achter komen welke drie plaatsen worden ingenomen door Agnes, Bernadet en Diana. De plaats die over blijft is de plaats van Carmen. Nu ik de plaats van Carmen weet, kan ik berekenen welk getal ik daarbij op moet tellen om op 6 te komen en dat is dan de plaats van Bernadet. Er blijven nu nog twee plaatsen en Agnes en Diana over. Omdat ik weet dat Bernadet beter was dan Agnes, zal Anges de plaats onder Bernadet krijgen en Diana de plaats boven Bernadet. Stap 3: Het plan uitvoeren Stel ik neem de plaatsen 1, 2 en 3: 1+ 2 +3 = 6 Dat klopt! Zullen er nog andere mogelijkheden zijn? Als er een andere mogelijkheid is, dan zit de vierde plaats daar in ieder geval bij: 4 +1+ 2 = 7 Is te groot! En iedere andere optie heeft ook de 4, maar dan ook de 3 en dat is sowieso te groot. Het gaat dus om de plaatsen 1, 2 en 3 en plaats 4 blijft over voor Carmen: 1. ? 2. 3. 4. Carmen

73

4 +? = 6 ? = 2 Dus Bernadet heeft de tweede plaats behaald: 1. ? 2. Bernadet 3. 4. Carmen Bernadet was beter dan Agnes, dus Agnes zal op de derde plaats zijn geëindigd: 1. ? 2. Bernadet 3. Agnes 4. Carmen Nu blijft de eerste plaats over voor Diana: 1. Diana 2. Bernadet 3. Agnes 4. Carmen Dus Diana won de eerste plaats! Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? De vraag was wie de eerste plaats heeft gewonnen en wij hebben aangegeven dat Diana de eerste plaats heeft gewonnen. We hebben de vraag dus beantwoord. Hebben we alle gegevens gebruikt? Klopt het dat de plaats van Agnes + de plaats van Bernadet + de plaats van Diana = 6? Plaats Agnes = 3 Plaats Bernadet = 2 Plaats Diana = 1 3+ 2 +1= 6 Dus dat klopt! Klopt het dat de plaats van Bernadet + de plaats van Carmen = 6? Plaats Bernadet = 2 Plaats Carmen = 4 2 + 4 = 6 Dus dat klopt! Hebben we aan de voorwaarde(n) voldaan? Was Bernadet beter dan Agnes? Plaats Bernadet = 2 Plaats Agnes= 3 Bernadet is hoger geëindigd dan Agnes en dus was Bernadet beter dan Agnes. Dus ook aan deze voorwaarde is voldaan!

74


Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? Hoeveel rondjes het vierde tandwiel draait als het eerste tandwiel één keer rond draait. Dus als we aan het eerste wiel gaan draaien en na precies één rondje weer stoppen, hoe veel keer is het vierde wiel dan rond gegaan? Wat zijn de gegevens? Het eerste tandwiel heeft 30 tanden, het tweede tandwiel heeft 15 tanden, het derde tandwiel heeft 60 tanden en het vierde tandwiel heeft 10 tanden: Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? Alle wielen staan met elkaar in contact, dus als je aan één van de wielen draait, gaat de rest van de wielen op dezelfde snelheid meedraaien We weten hoeveel tanden ieder wiel heeft, dus we kunnen beredeneren hoeveel rondjes wiel 2 heeft gedraaid als wiel 1 één keer rond is gegaan. Wiel 2 staat in verbinding met wiel 3 en dus kunnen we ook beredeneren hoeveel rondjes wiel 3 dan heeft gemaakt. Omdat wiel 3 in verbinding staat met wiel vier, kunnen we ten slotte ook beredeneren hoeveel rondjes wiel 4 dan heeft gedraaid. Stap 3: Het plan uitvoeren Wiel 1 heeft 30 tanden en wiel twee heeft er 15. Na 15 tanden heeft wiel 1 een half rondje gedraaid en wiel 2 al een heel rondje. Na nog eens 15 tanden (we zitten nu op 30 tanden) heeft wiel 1 | precies één rondje gedraaid en wiel 2 twee rondjes. Als wiel 2 twee rondjes heeft gedraaid, zijn er 30 tanden van wiel 3 voorbij gekomen. Omdat wiel 3 in totaal 60 tanden heeft, is dit dus een half rondje. Als wiel 3 een half rondje heeft gemaakt, zijn er 30 tanden van wiel 4 voorbij gekomen. Omdat wiel

30 tanden

15 tanden

60 tanden

10 tanden

75

4 in totaal 10 tanden heeft, zijn dit dus 3 rondjes. Als wiel 1 één keer rond draait, draait wiel 4 dus drie keer rond. Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? De vraag was hoeveel rondjes wiel 4 draait als wiel 1 één keer rond draait. Wij hebben aangegeven dat wiel 4 drie keer rond draait als wiel 1 één keer rond draait. We hebben dus antwoord gegeven op de vraag. Hebben we alle gegevens gebruikt? Als we terugkijken op de uitvoering van het plan, zien we dat we per wiel van het juiste aantal tanden uit zijn gegaan. We hebben hiermee alle gegevens gebruikt. Kon dit probleem sneller / anders opgelost worden? Ja! Als je weet dat ieder tandwiel even snel draait en dat tandwiel 1 30 tanden heeft, dan zijn er na één rondje van tandwiel 1 dus bij ieder ander tandwiel ook 30 tanden voorbij gekomen. Omdat tandwiel 4 in totaal 10 tanden heeft, zijn dit dus 30 :10 = 3 rondjes.

76

Les 3

77

Probleem 4 (klassikaal) Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? De omtrek van het figuur, dus hoeveel dm het is om er omheen te ‘lopen’. Wat zijn de gegevens? De hoogte van de treden is 2 dm De breedte van de treden is 5dm Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? Ik weet van iedere trede de hoogte en de breedte, alleen de totale breedte van de trap is niet gegeven. Als ik nu de totale breedte van de trap (de basis van dit figuur) weet, dan kan ik de omtrek berekenen. Voor het berekenen van deze breedte heb ik de breedte van de treden nodig. De breedte van de trap is namelijk de breedte van alle treden samen (de treden verschillen wel in hoogte, maar als je ze allemaal naar beneden zou ‘duwen’, past het precies op de totale breedte van de trap). Stap 3: Het plan uitvoeren In bovenstaande afbeelding is te zien dat de totale breedte van de trap 35 dm is. De omtrek is 2 + 5+ 2 + 5+ 2 + 5+ 2 + 5+ 2 + 5+ 2 + 5+ 2 + 5+ 2 +35 = 86 dm. Dus de omtrek van de figuur is 86 dm. Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord?

78

De vraag was hoeveel dm de omtrek van de figuur is. Wij hebben aangegeven dat de omtrek van de figuur 86 dm is. Hiermee hebben wij de vraag beantwoord. Hebben we alle gegevens gebruikt? Ja, we hebben met behulp van de gegeven hoogte en breedte van een trede de overige maten ingevuld en berekend. Kon dit probleem sneller / anders opgelost worden? Ja, de berekening had een stuk korter gekund! We weten inmiddels dat de totale breedte van de trap gelijk is aan de som van de breedten van de afzonderlijke treden. We ‘lopen’ dus twee keer deze breedte: één keer over de treden zelf en één keer langs de basis. We moeten nu alleen nog de hoogteverschillen erbij optellen. In totaal gaan we acht keer omlaag of omhoog, dus acht keer 2 dm en dat is gelijk aan 16 dm. De som wordt nu: 35+35+16 = 70 +16 = 86 dm.

79

(Vervolg)probleem 5 (klassikaal) Voor het schilderen van de voorkant van het figuur van probleem 4 is € 80,- in in rekening gebracht. Wat kost het schilderen per dm2? Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? Hoeveel euro het schilderen per dm2 kost. We hebben het bij deze vraag over de oppervlakte van het figuur. Wat zijn de gegevens? Het schilderen van de voorkant van het figuur heeft €80,- gekost. Wat zijn de voorwaarden? Dit bedrag is voor de gehele voorkant. Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? Vanuit probleem 4 weet ik alle afmetingen van het figuur. Ik kan niet in één keer de oppervlakte van deze figuur berekenen, maar in de tekening bij probleem 4 is te zien dat de trap door de stippellijntjes in allemaal rechthoeken is verdeeld. Van rechthoeken kan ik met behulp van de formule: oppervlakte = lengte×breedte de oppervlakte berekenen. De breedte van al deze rechthoeken is gelijk, alleen de hoogte verschilt. Omdat ik de hoogte van de treden weet, kan ik de hoogten van de verschillende rechthoeken berekenen. Als we de oppervlakten van de rechthoeken hebben berekend, kunnen we de oppervlakte van de hele trap berekenen. We weten dat voor het schilderen van deze hele oppervlakte €80,- betaald moest worden. Met een verhoudingstabel kunnen we vervolgens berekenen wat het schilderen per 1 dm2 kost. Stap 3: Het plan uitvoeren In bovenstaande afbeelding is te zien dat de trap is verdeeld in zeven rechthoeken met allemaal een breedte van 5 dm en een verschillende hoogte. Omdat we weten dat iedere trede 2 dm hoog is, kunnen we de volgende afmetingen invullen:

80

Rechthoek I is een rechthoek van 5 dm bij 2 dm. De oppervlakte van deze rechthoek is: 5×2 =10 dm2 Rechthoek II is een rechthoek van 5 dm bij 4 dm. De oppervlakte van deze rechthoek is: 5× 4 = 20 dm2 Rechthoek III is een rechthoek van 5 dm bij 6 dm. De oppervlakte van deze rechthoek is: 5×6 = 30 dm2 Rechthoek IV is een rechthoek van 5 dm bij 8 dm. De oppervlakte van deze rechthoek is: 5×8 = 40 dm2 Rechthoek V is een rechthoek van 5 dm bij 6 dm. De oppervlakte van deze rechthoek is: 5×6 = 30 dm2

Rechthoek VI is een rechthoek van 5 dm bij 4 dm. De oppervlakte van deze rechthoek is: 5× 4 = 20 dm2 Rechthoek VII is een rechthoek van 5 dm bij 2 dm. De oppervlakte van deze rechthoek is: 5×2 =10 dm2 De totale oppervlakte van de trap is de som van de oppervlakten van de rechthoeken: 10 + 20 +30 + 40 +30 + 20 +10 =160 dm2 Voor het schilderen van 160 dm2 wordt dus €80,- in rekening gebracht. Voor 1 dm2 is dit: : 160 : 160 Dus het schilderen kost € 0,50 per dm2

Oppervlakte in dm2 160 1 Prijs in € 80 0,50

81

Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? Er werd gevraagd hoeveel het schilderen per dm2 kost. Wij hebben aangegeven dat het schilderen €0,50 per dm2 kost, dus we hebben de vraag beantwoord. Hebben we alle gegevens gebruikt? Ja, we hebben met behulp van de gegeven hoogte en breedte van een trede de overige maten ingevuld en berekend. Vervolgens hebben we de €80,- die voor het schilderen van de voorkant in rekening is gebracht gedeeld door de totale oppervlakte van de voorkant. De uitkomst hiervan is de prijs van het schilderen per dm2

Kon dit probleem sneller / anders opgelost worden? In afbeelding …. Is te zien dat rechthoek I even groot is als rechthoek VII, dat rechthoek II even groot is als rechthoek VI en dat rechthoek III even groot is als rechthoek V:

Nu hoeft er maar van vier rechthoeken de oppervlakte berekend te worden en wordt de berekening: oppervlakte = 2×10 + 2×20 + 2×30 + 40 = 20 + 40 + 60 + 40 =160 dm2

Er is ook een aanpak voor het berekenen van de oppervlakte die meer inzicht vraagt: als we de trap in tweeën delen, het rechterdeel ‘omklappen’ en op het linkerdeel plaatsen, ontstaat een rechthoek van 8 dm bij 20 dm. Zie onderstaande tekening:

82

Voor de oppervlakte van deze rechthoek geldt: oppervlakte = lengte×breedte = 8×20 =160 dm2. In de verhoudingstabel voor het berekenen van de schilders kosten per dm2 is te zien dat er alleen maar door 160 hoeft te worden gedeeld. Dit sommetje had ook makkelijk zonder verhoudingstabel gekund.

83


Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? De gemiddelde leeftijd van de twaalf kinderen. We hebben al vaker geoefend met het berekenen van het gemiddelde bij het berekenen van het gemiddelde cijfer. Wat zijn de gegevens? Er zijn 12 kinderen De kinderen zijn 6, 7, 8, 9 en 10 jaar oud. Wat zijn de voorwaarden? Elk van deze leeftijden komt voor. Er is dus in ieder geval één kind 6 jaar, één kind 7 jaar, één kind 8 jaar, één kind 9 jaar en één kind 10 jaar. Vier van de kinderen zijn 6 jaar oud. Er zijn nog meer kinderen 8 jaar oud. Dit betekent dat er dus meer dan vier kinderen 8 jaar oud moeten zijn. Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? We weten dat iedere leeftijd in ieder geval één keer voorkomt en dat er vier kinderen 6 jaar oud zijn. Aan de hand hiervan kunnen we berekenen hoeveel kinderen er nog ‘over’ zijn. Dit moeten er in ieder geval vijf zijn, want één van de voorwaarden is dat er meer kinderen 8 jaar oud zijn dan het aantal kinderen dat 6 jaar oud is. Omdat er verder niets gegeven is over de verdeling van de leeftijden, gaan we er van uit dat de ‘overgebleven’ kinderen 8 jaar oud zijn. Als we alle leeftijden weten, kunnen we het gemiddelde uitrekenen door alle leeftijden bij elkaar op te tellen en te delen door het totaal aantal kinderen. Stap 3: Het plan uitvoeren We weten dat in ieder geval de volgende leeftijden voorkomen: 6, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 10. Dit zijn al acht kinderen. Er blijven dus vier kinderen over. Omdat we weten dat er meer dan vier kinderen 8 jaar oud zijn, moeten alle vier deze kinderen wel 8 jaar oud zijn. Er zijn dan nu in totaal vijf kinderen 8 jaar oud en dat zijn er inderdaad meer dan vier. Nu hebben we de twaalf leeftijden: 6, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 10. We kunnen nu de gemiddelde leeftijd berekenen door alle leeftijden bij elkaar op te tellen en te delen door het totaal aantal kinderen: gemiddelde leeftijd = (6 + 6 + 6 + 6 + 7+8+8+8+8+8+ 9 +10) :12 = 90 :12 = 7,5 jaar Dus de gemiddelde leeftijd van de twaalf kinderen is 7,5 jaar. Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? Er werd gevraagd naar de gemiddelde leeftijd van de twaalf kinderen. Wij hebben aangegeven dat de gemiddelde leeftijd van de twaalf kinderen 7,5 jaar is, dus we hebben de vraag beantwoord.

84

Hebben we alle gegevens gebruikt? Zijn er in totaal 12 kinderen? Ja! Komt elk van de leeftijden 6, 7, 8, 9 en 10 in ieder geval één keer voor? Ja! Zijn er precies vier kinderen 6 jaar? Ja! Zijn er meer kinderen 8 jaar? Ja! (namelijk 5 kinderen)

85

(Vervolg)probleem 7 (klassikaal) De oudere broer van de jarige job uit probleem 6 komt ook even kijken op het feest. Met zijn leeftijd erbij wordt de gemiddelde leeftijd precies 8 jaar. Hoe oud is de broer van de jarige job? Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? De leeftijd van de broer van de jarige Job. Wat zijn de gegevens? Met de leeftijd van deze broer erbij wordt de gemiddelde leeftijd van de kinderen uit probleem 6 precies 8 jaar. Wat zijn de voorwaarden? In de vraag staat ‘oudere broer’, dus de leeftijd van de broer zal hoger moeten zijn dan de leeftijd van de kinderen op het feestje. Stap 2: Een plan maken Kunnen we gebruik maken van een eerder opgelost probleem? Bij het oplossen van dit probleem komt (de oplossing van) probleem 6 heel goed van pas! We weten namelijk al de leeftijden van de twaalf kinderen uit probleem 6. De gemiddelde leeftijd bereken je door alle leeftijden bij elkaar op te tellen en te delen door het totaal aantal kinderen. We weten dat het totaal aantal kinderen nu 13 is, dus we zullen moeten delen door 13. We weten ook dat als we alle leeftijden bij elkaar optellen en dit delen door 13 er 8 uit moet komen. Aan de hand hiervan kunnen we berekenen wat die totale leeftijd (alle leeftijden bij elkaar opgeteld) moet zijn en wat dan de leeftijd van de oudere broer van de jarige job moet zijn. Stap 3: Het plan uitvoeren We weten dat de twaalf kinderen op het feestje de volgende leeftijd hebben: 6, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9 en 10 jaar We kunnen nu de gemiddelde leeftijd berekenen door alle leeftijden bij elkaar op te tellen en te delen door het totaal aantal kinderen, dat zijn er nu 13. We weten de leeftijd van de broer niet, maar we weten wel dat als we alle leeftijden bij elkaar optellen en vervolgens delen door 13 er 8 uit komt: Totale leeftijd : 13 = 8 jaar Totale leeftijd = 13×8 =104 jaar De totale leeftijd van de twaalf kinderen plus de leeftijd van de oudere broer is dus 104 jaar. We weten al de leeftijden 6, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9 en 10 jaar, alleen de leeftijd van de broer is nog onbekend: 6 + 6 + 6 + 6 + 7+8+8+8+8+8+ 9 +10 +? =104 90 +? =104 ? =14 jaar Dus de oudere broer van de jarige job is 14 jaar Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? Er werd gevraagd naar de leeftijd van de oudere boer van de jarige job. Wij hebben aangegeven dat de oudere broer van de jarige job 14 jaar is, dus we hebben de vraag beantwoord.

86

Hebben we alle gegevens gebruikt? Is de gemiddelde leeftijd precies 8 jaar? (6 + 6 + 6 + 6 + 7+8+8+8+8+8+ 9 +10 +14) :13 =104 :13 = 8 jaar. Klopt! Is de broer ouder dan de kinderen op het feestje? Ja! Kon dit probleem sneller / anders opgelost worden? In de uitwerking van vraag 6 is al te zien dat de totale leeftijd van de twaalf kinderen op het feestje 90 jaar is. We hadden nu dus al meteen van start kunnen gaan met: (90 +?) :13 = 8 (90 +?) =13×8 =104 ? =104− 90 =14 jaar

87

Les 4

88

Probleem 8 (klassikaal) Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? De oppervlakte van het gele gebied. Bij de oppervlakte gaat het om wat er op past. Wat zijn de gegevens? Het vierkant heeft zijden van 10 cm. De kleine vierkantjes hebben zijden van 2 cm. Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? Ik kan met de formule oppervlakte = lengte×breedte de oppervlakte van het hele vierkant berekenen. Ik kan met de formule oppervlakte = lengte×breedte ook de oppervlakte van de kleine vierkantjes berekenen. Omdat ik de zijden van het grote vierkant en de zijden van de kleine vierkantjes weet, kan ik de basis van de driehoeken berekenen. De vier driehoeken vormen samen een vierkant met zijden zo groot als de basis. Van dit vierkant kan ik de oppervlakte berekenen met behulp van de formule oppervlakte = lengte×breedte . Als ik de oppervlakte van de witte delen van de totale oppervlakte van het vierkant af haal, heb ik de oppervlakte van het gele gedeelte. Stap 3: Het plan uitvoeren De zijden van het vierkant zijn 10 cm. De oppervlakte van het hele vierkant is: 10×10 =100 cm2 De kleine vierkantjes hebben zijden van 2 cm. De oppervlakte van zo’n vierkantje is: 2×2 = 4 cm2. We hebben vier van deze vierkantjes, dus de totale oppervlakte van deze vierkantjes is 4× 4 =16 cm2. De zijden van het grote vierkant zijn 10 cm en de zijden van de kleine vierkantjes zijn 2 cm. Voor de basis van de driehoeken blijft dus nog 10− 2− 2 = 6 cm over:

89

De vier driehoeken (I, II, III en IV) kunnen zo gelegd worden, dat ze een vierkant met zijden van 6 cm vormen: Voor de oppervlakte van dit vierkant geldt: oppervlakte = 6×6 = 36 cm2. De totale oppervlakte van de witte delen is dus de 16 cm2 van de kleine vierkantjes plus de 36 cm2 van de vier driehoeken. 16 +36 = 52 cm2. De oppervlakte van het gele gebied is de oppervlakte van het hele vierkant (100 cm2) min de oppervlakte van de witte gebieden (52 cm2): 100− 52 = 48cm2. Dus de oppervlakte van het gele gebied is 48 cm2 Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? Er werd gevraagd naar de oppervlakte in cm2 van het gele gebied. Wij hebben aangegeven dat de oppervlakte van het gele gebied 48 cm2 is en hebben de vraag dus beantwoord. Hebben we alle gegevens gebruikt? Bij het berekenen van de oppervlakte van het hele vierkant hebben we voor de zijden 10 cm aangehouden. Bij het berekenen van de oppervlakte van de kleine vierkantjes hebben we voor de zijden 2 cm aangehouden. Ook voor het berekenen van de basis van de witte driehoeken zijn we van deze afmetingen uit gegaan. De totale oppervlakte van het vierkant is 100 cm2. We zien in de afbeelding dat het gele gebied ongeveer de helft van deze oppervlakte in beslag neemt. De 48 cm2 waar wij op uit zijn gekomen kan dus zeker kloppen.

90


Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? Het gewicht (in kg) van het mandje dat onder de ballon(nen) hangt. Het gaat nu dus niet om de gewichten in het mandje, maar het gewicht van het lege mandje. Wat zijn de gegevens? Een ballon blijft net zweven als er een mandje met 8 kg onder hangt. Twee van deze ballonnen blijven zweven als hetzelfde mandje met 18 kg er onder hangt. Wat zijn de voorwaarden? Het gaat om de gewichten waarop de ballon(nen) nog net blijven hangen. Zwaarder kunnen de ballonnen niet tillen. We gaan bij dit probleem uit van twee dezelfde ballonnen die allebei precies evenveel gewicht kunnen dragen. We gaan er bij dit probleem bovendien van uit dat het mandje hetzelfde blijft (en het gewicht van het mandje dus ook) Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? Omdat ik weet bij welk gewicht één ballon nog net aan blijft zweven en bij welk gewicht twee ballonnen nog net aan blijven zweven, kan ik berekenen hoeveel kg die ene ballon extra kan tillen. Dit is meteen het gewicht dat één ballon kan tillen. Als ik van dit gewicht de 8 kg die in het mandje onder die ene ballon zit af haal, houd ik het gewicht van het mandje over. Stap 3: Het plan uitvoeren Eén ballon blijft net zweven als er een mandje met 8 kg onder hangt. Twee van deze ballonnen blijven nog net zweven als in dit zelfde mandje 18 kg zit. Die ene extra ballon zorgt er dus voor dat er 18−8 =10 kg extra getild kan worden. Eén ballon kan dus blijkbaar maximaal 10 kg dragen. Omdat de meest linker ballon net aan blijft zweven en dus het maximale gewicht draagt, hangt hier in totaal 10 kg onder. Het gewicht in het mandje vormt 8 kg van deze 10 kg, dus blijft er 10−8 = 2 kg over voor het mandje. Dus het mandje weegt 2 kg. Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? De vraag was hoeveel kg het mandje weegt. Wij hebben aangegeven dat het mandje 2 kg weegt, dus we hebben de vraag beantwoord.

91

Hebben we alle gegevens gebruikt? Ja, we hebben alle gegevens gebruikt om tot het gewicht van het mandje te komen.

92

(Vervolg)probleem 10 (zelf) Kijk nog eens terug naar probleem 9. Hoeveel ballonnen zijn er minstens nodig voor het tillen van iemand van 50 kg? Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? Hoeveel ballonnen er minstens nodig zijn om iemand van 50 kg te kunnen tillen? Met minstens wordt bedoeld dat het gaat om het aantal ballonnen dat het nog net kan tillen. Meer ballonnen kan altijd, maar we willen nu het minst aantal ballonnen dat het nog net kan tillen. Wat zijn de gegevens? Het gaat hier om dezelfde gegevens als bij probleem 9. We weten inmiddels: Elke ballon kan maximaal 10 kg dragen Het mandje weegt 2 kg Wat zijn de voorwaarden? Het gaat om de gewichten waarop de ballon(nen) nog net blijven hangen. Zwaarder kunnen de ballonnen niet tillen. We gaan bij dit probleem uit van twee dezelfde ballonnen die allebei precies evenveel gewicht kunnen dragen. We gaan er bij dit probleem bovendien van uit dat het mandje hetzelfde blijft (en het gewicht van het mandje dus ook) Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? Omdat ik vanuit probleem 9 weet hoeveel kg één ballon maximaal kan tillen en hoe zwaar het mandje weegt, kan ik het minimale aantal ballonnen berekenen door het gewicht van het mandje bij het te tillen gewicht op te tellen en uit te rekenen hoeveel ballonnen voor het tillen hiervan nodig zijn. Stap 3: Het plan uitvoeren Samen met het mandje moet er in totaal 50 + 2 = 52 kg getild worden. We weten dat iedere ballon maximaal 10 kg kan dragen. Vijf ballonnen kunnen dus maximaal 5×10 = 50 kg dragen. Dit is net niet genoeg voor 52 kg! Zes ballonnen kunnen maximaal 6×10 = 60 kg dragen. Dit is voldoende voor het dragen van 52 kg. Er zijn dus minimaal zes ballonnen nodig voor het tillen van iemand van 50 kg. Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? Er werd gevraagd hoeveel ballonnen er minimaal nodig zijn voor het tillen van iemand van 50 kg. Wij hebben aangegeven dat er minimaal zes ballonnen nodig zijn voor het tillen van iemand van 50 kg en daarmee hebben we de vraag beantwoord. Hebben we alle gegevens gebruikt? Zijn we uit gegaan van 10 kg per ballon? Ja! Hebben we rekening gehouden met het gewicht van het mandje (instinker!)? Ja!

93

Probleem 11 (zelf) Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? De oppervlakte (in cm2) van de figuur. Bij de oppervlakte gaat het er om hoeveel er op past. Wat zijn de gegevens? De figuur bestaat uit acht even grote vierkanten. De omtrek van de figuur is 42 cm. Bij de omtrek gaat het om het aantal cm als je er omheen zou ‘lopen’. Wat zijn de voorwaarden? Omdat het over vierkanten gaat, moet iedere zijde van het vierkant even groot zijn. Omdat alle acht de vierkanten even groot zijn, moet iedere zijde van elk vierkantje even groot zijn. Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? Omdat ik weet dat alle vierkantjes even groot zijn en dus alle zijden gelijk en dat de omtrek bestaat uit veertien even lange stukjes (zijden van de vierkanten), kan ik de lengte van één zo’n zijde berekenen door de omtrek te delen door veertien. Vervolgens kan ik met behulp van de formule oppervlakte = lengte×breedte de oppervlakte van één zo’n vierkant berekenen. Omdat ik weet dat de figuur uit acht even grote vierkanten bestaat, kan ik de totale oppervlakte bereken door de oppervlakte van één zo’n vierkantje te vermenigvuldigen met acht. Stap 3: Het plan uitvoeren Zoals in onderstaande afbeelding is te zien, bestaat de omtrek van de figuur uit veertien even lange stukjes.

94

Deze stukjes zijn de zijden van de vierkanten. Bij elkaar opgeteld is dit 42 cm (omdat is gegeven dat de omtrek van de figuur 42 cm is). Omdat ieder stukje even lang is, vinden we de lengte van één zo’n stukje door de totale omtrek (42 cm) te delen door het aantal stukjes (14): 42 :14 = 3 cm. De acht vierkantjes in de figuur zijn dus vierkantjes met zijden van 3 cm. De oppervlakte van één zo’n vierkantje is dan 3×3 = 9 cm2. Omdat de hele figuur uit acht van deze vierkantjes bestaat, berekenen we de oppervlakte van de hele figuur door de oppervlakte van één zo’n vierkantje (9 cm2) met acht te vermenigvuldigen: oppervlakte = 9×8 = 72 cm2. Dus de oppervlakte van de figuur is 72 cm2. Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? Er werd gevraagd naar de oppervlakte in cm2 van de figuur. Wij hebben aangegeven dat de oppervlakte van de figuur 72 cm2 is en daarmee hebben we antwoord gegeven op de gestelde vraag. Hebben we alle gegevens gebruikt? Zijn we uit gegaan van acht gelijke vierkanten? Ja! Zijn alle zijden even lang? Ja! Hebben we gebruik gemaakt van de omtrek (42 cm) van de figuur? Ja!

95

Les 5

96

Probleem 12 (klassikaal) Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? De kleur van de inktvis die de waarheid spreekt. Wat zijn de gegevens? In het meer leven 6-, 7- en 8-armige inktvissen. Op het strand liggen vier inktvissen bij elkaar: een blauwe, een groene, een gele en een rode Wat zijn de voorwaarden? De 7-armige inktvissen liegen altijd. De 6-armige inktvissen spreken altijd de waarheid. De 8-armige inktvissen spreken ook altijd de waarheid. Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? Ik weet dat inktvissen die liegen 7 armen hebben en dat inktvissen die niet liegen 6 of 8 armen hebben. Omdat alle vier de inktvissen verschillende aantallen noemen, weten we dat er in ieder geval drie van de vier liegen, of ze liegen alle vier. Door te puzzelen met het aantal armen en de gegevens, denk ik uiteindelijk op het juiste antwoord uit te komen. Stap 3: Het plan uitvoeren Stel dat alle vier de inktvissen liegen, dan hebben ze alle vier 7 armen en zijn er in totaal 4× 7 = 28 armen. Maar dit kan niet, want dan zou de blauwe inktvis de waarheid spreken, terwijl alle vier de inktvissen zouden liegen. Omdat alle vier de inktvissen een ander aantal armen noemen, maar ze blijkbaar niet allemaal liegen, liegen dus drie van de vier inktvissen. Omdat we weten dat drie van de vier inktvissen liegen, weten we nu ook dat drie van de vier inktvissen 7 armen hebben. Dit zijn bij elkaar al 3× 7 = 21armen. Omdat de andere optie 6- of 8-armen is en er geen 29 armen ( 21+8 = 29 ) worden genoemd, blijft alleen de optie van 27 armen ( 21+ 6 = 27 ) over. Dit aantal wordt door de groene inktvis genoemd. Dus de inktvis die de waarheid spreekt heeft de kleur groen. Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? Er werd gevraagd naar de kleur van de inktvis die de waarheid spreekt. Wij hebben aangegeven dat de inktvis die de waarheid spreekt de kleur groen heeft en daarmee hebben we de vraag beantwoord. Hebben we alle gegevens gebruikt? Zijn we uit gegaan van vier inktvissen? Ja!

97

Hebben we aan de voorwaarde(n) voldaan? Zijn we er van uit gegaan dat de 7-armige inktvissen liegen of dat liegende inktvissen 7 armen hebben? Ja! Zijn we er van uit gegaan dat de 6- en 8-armige inktvissen de waarheid spreken of dat inktvissen die de waarheid spreken 6 of 8 armen hebben? Ja!

98

Probleem 13 (zelf) Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? Wie van de vijf (Jo, Kim, Leo, Mik en Nik) is begonnen met het aftelversje. Wat zijn de gegevens? Jo, Kim Leo, Mik en Nik staan in een kring en doen het aftelversje KAN-GOE-ROE-JIJ-BENT-AF Nadat iemand KAN heeft gezegd, zegt de volgende GOE, diegene daarna zegt ROE en dit gaat door tot iemand AF zegt. Het kind dat AF zegt, gaat uit het spel en de anderen gaan verder. Zij beginnen weer opnieuw met KAN. Wat zijn de voorwaarden? Nik blijft als laatste over De beginvolgorde is zoals die in de afbeelding staat. Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? Uit de gegevens kunnen we opmaken dat er iedere ronde iemand afvalt (namelijk degene die “AF” zegt). Hieruit volgt dat er na vier rondes nog één iemand over is. Omdat het versje uit zes lettergrepen bestaat, is steeds de zesde persoon af. Omdat ik de volgorde, het versje en de ‘spelregels’ weet, kan ik het spel op papier nadoen en er zo achter komen wie er moet zijn begonnen. Stap 3: Het plan uitvoeren In de eerste ronde zijn ze met zijn vijven en is de zesde persoon degene het versje is begonnen: Ter illustratie, stel dat Jo begint: Jo Kim Leo Mik Nik Jo KAN GOE ROE JIJ BENT AF Hieruit volgt dat Nik niet is begonnen, want dan zou hij er na de eerste ronde uit liggen. Laten we ervan uit gaan dat Jo is begonnen. Het spel zal er dan als volgt uit komen te zien: Ronde 1: Jo Kim Leo Mik Nik Jo KAN GOE ROE JIJ BENT AF Ronde 2: Kim Leo Mik Nik Kim Leo Kan GOE ROE JIJ BENT AF

99

Ronde 3: Mik Nik Kim Mik Nik Kim KAN GOE ROE JIJ BENT AF Ronde 4: Mik Nik Mik Nik Mik Nik KAN GOE ROE JIJ BENT AF Mik blijft over. Jo is dus niet begonnen. Stel dat Kim is begonnen. Het spel zal er dan als volgt uit komen te zien: Ronde 1: Kim Leo Mik Nik Jo Kim KAN GOE ROE JIJ BENT AF Ronde 2: Leo Mik Nik Jo Leo Mik Kan GOE ROE JIJ BENT AF Ronde 3: Nik Jo Leo Nik Jo Leo KAN GOE ROE JIJ BENT AF Ronde 4: Nik Jo Nik Jo Nik Jo KAN GOE ROE JIJ BENT AF Nik blijft over! Kim is dus begonnen. Maar stel dat er nog een optie is, bijvoorbeeld wanneer Leo begint: Ronde 1: Leo Mik Nik Jo Kim Leo KAN GOE ROE JIJ BENT AF Ronde 2: Mik Nik Jo Kim Mik Nik Kan GOE ROE JIJ BENT AF Nik is na de tweede ronde af, dus we hoeven niet verder te gaan. Nu nog even kijken wat er gebeurt als Mik begint: Ronde 1: Mik Nik Jo Kim Leo Mik KAN GOE ROE JIJ BENT AF Ronde 2: Nik Jo Kim Leo Nik Jo Kan GOE ROE JIJ BENT AF Ronde 3: Kim Leo Nik Kim Leo Nik KAN GOE ROE JIJ BENT AF

100

Nik is na de derde ronde af, dus we hoeven niet verder te gaan. Dus de enige optie is dat Kim het aftelversje is begonnen. Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? Er werd gevraagd wie het aftelversje is begonnen. Wij hebben aangegeven dat Kim het aftelversje is begonnen en daarmee hebben we de vraag beantwoord. Hebben we alle gegevens gebruikt? Hebben we steeds de juiste volgorde aangehouden? Ja! Is iedere ronde degene die AF zei afgevallen? Ja! Hebben we aan de voorwaarde(n) voldaan? Blijft Nik over? Ja! Had dit probleem sneller / anders opgelost kunnen worden? We begonnen met het spelverloop waarbij Jo met het aftelversje begint en zagen dat Mik overblijft. Als nu Kim begint, één verder dus, blijft ook degene die één verder dan Mik staat, en dat is Nik, over. Op deze manier hadden we veel sneller tot de conclusie kunnen komen dat Kim het aftelversje moet beginnen zodat Nik over blijft.

101

Probleem 14 (zelf) Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? Hoeveel cm2 de oppervlakte van de groene figuur is. Bij de oppervlakte gaat het erom hoeveel er op past. Wat zijn de gegevens? De zijden van het vierkant zijn 3 cm. Twee zijden worden verdeeld in een groen stukje van 1 cm en een wit stuk van 2 cm. Lijkt dit probleem op een eerder opgelost probleem? Dit probleem heeft wel iets weg van probleem 8 uit les 4, waarbij we de oppervlakte van het gele gebied hebben berekend. De aanpak van dat probleem kan bij dit probleem zeker van pas komen! Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? Bij het oplossen van probleem 8 hebben we eerst de oppervlakte van het hele vierkant berekend en vervolgens de oppervlakte van de witte delen. De oppervlakte van de witte delen hebben we van de totale oppervlakte af gehaald en toen bleef de oppervlakte van het gele gebied over. Ook in dit geval kunnen we eerst de oppervlakte van het hele vierkant berekenen (de lengte van de zijden is immers gegeven) en vervolgens de oppervlakte van de twee witte delen. Als we de oppervlakte van de twee witte delen van de oppervlakte van het hele vierkant af halen, hebben we de oppervlakte van het groene figuur. Stap 3: Het plan uitvoeren Het vierkant heeft zijden van 3 cm. Voor de oppervlakte geldt: oppervlakte = 3×3 = 9 cm2. De witte delen zijn twee rechthoekige driehoeken met een basis van 3 cm en een hoogte van 2 cm. Voor de oppervlakte van een driehoek geldt: oppervlakte = basis×hoogte : 2 . De oppervlakte van één zo’n witte driehoek is 3×2 : 2 = 3 cm2. Omdat het witte gebied wordt gevormd door twee van zulke driehoeken, is de totale oppervlakte van het witte gebied 2×3 = 6 cm2. Zoals aangegeven berekenen we de oppervlakte van de groene figuur door de oppervlakte van het witte gebied (6 cm2) van de totale oppervlakte van het vierkant (9 cm2) af te halen. Hieruit volgt dat de oppervlakte van de groene figuur 9− 6 = 3 cm2 is. De oppervlakte van de groene figuur is dus 3 cm2. Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? De vraag was hoeveel cm2 de oppervlakte van de groene figuur is. Wij hebben aangegeven dat de oppervlakte van de groene figuur 3 cm2 is en daarmee hebben we de vraag beantwoord. Hebben we alle gegevens gebruikt? Hebben we de juiste maten gebruikt? Ja!

102

In de tekening is te zien dat het witte gebied duidelijk groter is dan de groene figuur. In ons antwoord is terug te zien dat de oppervlakte van het witte gebied (6 cm2) inderdaad groter is dan de oppervlakte van de groene figuur (3 cm2) (namelijk twee keer zo groot). Had dit probleem sneller / anders opgelost kunnen worden? Net zoals in probleem 8 de driehoeken samen een ander figuur konden vormen (bij probleem 8 was dit een vierkant met zijden van 6 cm), kunnen de witte driehoeken uit dit probleem zo gelegd worden dat ze samen een rechthoek van 3 cm bij 2 cm vormen. In dit geval kan in één keer de oppervlakte van het gele gebied berekend worden met de formule: oppervlakte = lengte×breedte . Ingevuld geeft dit: oppervlakte = 3×2 = 6 cm2 en dit is dezelfde oppervlakte van het witte gebied waar we bij het oplossen van dit probleem op uit kwamen.

103

Probleem 15 (zelf) Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? Hoeveel verschillende molentjes Anton kan maken als hij elk van de vier blaadjes van het molentje helemaal geel of helemaal rood verft. Wat zijn de gegevens? Elk van de vier blaadjes wordt helemaal geel of helemaal rood geverfd. Wat zijn de voorwaarden? Ieder blaadje wordt óf geel óf rood geverfd. De kleuren worden niet gemengd en er blijft geen blaadje onbeschilderd. Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? Ik kan de mogelijke molentjes tekenen en de verschillende opties tellen. Stap 3: Het plan uitvoeren Eén van de opties is om alle blaadjes geel te verven. Een andere optie is om alle blaadjes rood te verven. Nog een andere optie is om de blaadjes om en om rood en geel te verven. Het is ook een optie om twee blaadje naast elkaar rood te verven en de andere twee (die ook naast elkaar zitten) geel te verven. Een andere mogelijkheid is om één blaadje rood te verven en de andere drie blaadjes geel. De laatste optie is om één blaadje geel te verven en de andere drie blaadjes rood.

104

Dit zijn alle zes de opties. Anton kan dus zes verschillende molentjes maken. Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? De vraag was hoeveel verschillende molentjes Anton kan maken. Wij hebben aangegeven dat Anton in totaal zes verschillende molentjes kan maken en daarmee hebben we de vraag beantwoord. Hebben we alle gegevens gebruikt? Is elk van de blaadjes geel of rood geverfd? Ja! Hebben we aan alle voorwaarden voldaan? Klopt het dat er geen blaadjes onbeschilderd zijn gebleven en elk blaadje of helemaal geel of helemaal rood is? Ja!

105

(Vervolg)probleem 16 (zelf) Hoeveel verschillende molentjes zou je bij probleem 15 kunnen maken als je er bij ieder blaadje ook voor zou kunnen kiezen om hem niet te schilderen? Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? Hoeveel verschillende molentjes Anton kan maken als hij elk van de vier blaadjes van het molentje of geel, of rood of niet verft. Wat zijn de gegevens? Elk van de vier blaadjes wordt of helemaal geel, of helemaal rood of helemaal niet geverfd. Wat zijn de voorwaarden? Ieder blaadje wordt óf helemaal geel óf helemaal rood óf helemaal niet geverfd. De kleuren worden niet gemengd. Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? Ik kan de mogelijke molentjes tekenen en de verschillende opties tellen. Dit is waarschijnlijk erg veel werk, wellicht kunnen we gebruik maken van (de oplossing van) probleem 15. We hebben bij probleem 15 alle mogelijkheden gegeven wanneer ieder blaadje of helemaal rood of helemaal geel wordt geverfd. In totaal zijn dit zes mogelijkheden. Als we in plaats van geel wit hadden gebruikt (dus dan zou ieder blaadje of helemaal wit of helemaal rood zijn), dan zijn er ook zes mogelijkheden en die zijn gemakkelijk te vinden door in de oplossing van probleem 15 alle gele blaadjes wit te maken. De oplossing van probleem 15 geldt dus eigenlijk gewoon voor alle mogelijkheden wanneer er gebruik wordt gemaakt van twee kleuren. Zo kunnen we snel aan de opties komen wanneer er twee in plaats van alle drie de kleuren (geel, rood en wit) slechts twee kleuren worden gebruikt en dan hoeven we vervolgens alleen nog na te gaan of hier geen dubbele oplossingen bij zitten en hoeveel mogelijkheden er zijn als we alle drie de kleuren gebruiken. Stap 3: Het plan uitvoeren Nog even de 6 mogelijkheden wanneer ieder blaadje of helemaal rood of helemaal geel wordt geverfd (+6):

106

Als we nu in plaats van geel wit gebruiken, krijgen we precies dezelfde mogelijkheden alleen is dan ieder blaadje die in bovenstaande afbeelding nog geel was, wit. Echter de optie om alle blaadjes rood te doen, die hadden we al bij bovenstaande mogelijkheden staan en die is dus dubbel! Er komen dus geen zes, maar vijf nieuwe mogelijkheden bij (+5). Als we nu in plaats van rood wit gebruiken en geel houden, dan krijgen we wederom zes mogelijkheden, maar zijn de opties om alle blaadjes geel of om alle blaadjes wit te maken dubbel. Omdat twee van de zes mogelijkheden dubbel zijn, komen er vier nieuwe mogelijkheden bij (+4). Als we twee van de drie kleuren gebruiken, hebben we dus in totaal 6 + 5+ 4 =15 mogelijkheden. Nu moeten we alleen nog kijken naar de mogelijkheden wanneer we alle drie de kleuren gebruiken. Omdat we bij ieder windmolentje vier bladeren hebben en drie kleuren gebruiken, wordt steeds één van de drie kleuren twee keer gebruikt en de andere twee kleuren één keer. Hieronder zijn de opties uitgewerkt voor als rood twee keer wordt gebruikt en geel en wit één keer:

Als we nu in plaats van rood wit of geel twee keer gebruiken, krijgen we wederom vier mogelijkheden, alleen is de plaats van rood met geel of wit verwisseld. Omdat we hier geen dubbele mogelijkheden krijgen, zijn er in totaal 3× 4 =12 mogelijkheden voor het gebruiken van drie kleuren. In totaal zijn er dus 12 +15 = 27 verschillende molentjes mogelijk als elk blaadje of helemaal rood, of helemaal geel of helemaal niet wordt geschilderd. Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? De vraag was hoeveel verschillende molentjes Anton kan maken. Wij hebben aangegeven dat er in totaal 27 verschillende molentjes mogelijk zijn en daarmee hebben we de vraag beantwoord. Hebben we alle gegevens gebruikt? Is elk van de blaadjes helemaal geel, helemaal rood of helemaal niet geverfd? Ja! Hebben we aan alle voorwaarden voldaan? Hebben we de dubbele mogelijkheden van de opties af gehaald? Ja!

107

Les 6

108

40 gram 40 gram

Totaal 80 gram

Probleem 17 (?) Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? Hoeveel gram de ster weegt. De ster waar het om gaat hangt aan de rechterkant van de mobiel, aan het onderste staafje. Wat zijn de gegevens? Het totale gewicht van de mobiel is 80 gram. De mobiel in het plaatje is in evenwicht. Dit betekent dat de linkerkant van de mobiel precies even zwaar is als de rechterkant van de mobiel. Wat zijn de voorwaarden? De staafjes en de draadjes wegen niets. Omdat te zien is dat ook de linker en de rechterkant van de mobiel in evenwicht zijn, moet het gewicht in de hele mobiel zo verdeeld zijn, dat overal sprake van evenwicht is. Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? We weten het totale gewicht van de mobiel (80 gram) en we weten dat de mobiel in evenwicht is. Wij weten dan dat de ene kant van de mobiel precies even zwaar moet zijn als de andere kant van de mobiel. Omdat we weten dat ook alle andere delen van de mobiel in evenwicht zijn, kunnen we zo al ‘puzzelend’ op het antwoord uit komen. Stap 3: Het plan uitvoeren We weten dat de mobiel in totaal 80 gram weegt en dat hij in evenwicht is. Dit moet betekenen dat de linkerkant precies even zwaar is als de rechterkant. En dat de 80 gram (het totale gewicht) dus ‘eerlijk’ verdeeld is over de twee kanten. Hieruit volgt dat de linkerkant en de rechterkant allebei 80 : 2 = 40 gram wegen:

Omdat de ster aan de rechterkant van de mobiel hangt, gaan we ons nu richten op de rechterkant van de mobiel, die in totaal 40 gram weegt. Omdat de rechterkant in evenwicht is, moet de 40 gram (het totale gewicht van de rechterkant) ‘eerlijk’ verdeeld zijn over het vierkantje en de twee andere hangers. Beide kanten wegen dus 40 : 2 = 20 gram:

109

Totaal 40 gram

20 gram

20 gram

Totaal 20 gram

10 gram

10 gram

Omdat de ster aan de rechterkant hangt, ‘zoomen’ we hier verder op in. De rechterkant weegt in totaal 20 gram en is in evenwicht. Dat betekent dat de 20 gram ‘eerlijk’ verdeeld is over het staafje met het rondje en de ster en de driehoek. Allebei de kanten wegen dus 20 : 2 =10 gram: Het staafje waar het rondje en de ster aan hangen weegt in totaal 10 gram en is in evenwicht. Omdat het staafje in evenwicht is, moet gelden dat het rondje en de ster precies even zwaar zijn. Dit betekent dat het rondje en de ster allebei 10 : 2 = 5gram wegen. De ster weegt dus 5 gram. Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? De vraag was hoeveel gram de ster weegt. Wij hebben aangegeven dat de ster 5 gram weegt. Hebben we alle gegevens gebruikt? Zijn we uit gegaan van een totaal gewicht van 80 gram? Ja! Is de linkerkant van de mobiel even zwaar als de rechterkant? Ja! Het totaalgewicht van de mobiel is 80 gram. In de afbeeldingen is te zien dat er behoorlijk wat aan deze mobiel hangt, dus een gewicht van 5 gram voor de ster kan goed kloppen. Hebben we aan alle voorwaarden voldaan? Klopt het dat we geen gewicht hebben gerekend voor de staafjes en de touwtjes? Ja!

110

Totaal 20 gram

10 gram

10 gram

(Vervolg)probleem 18 (zelf) In plaats van de ster en het rondje wil Anne op deze plaats één hanger hebben. Welke hanger(s) kan zij hier voor gebruiken zonder dat de mobiel uit zijn evenwicht raakt? Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? Welke hanger(s) Anne kan gebruiken om op de plaats van het rondje en de ster nog maar één hanger te hebben zonder dat de mobiel uit zijn evenwicht raakt. Dus het rondje en de ster worden weg gehaald en hier komt één hanger voor terug. Wat zijn de gegevens? Het rondje en de ster worden weggehaald en hier komt één hanger voor terug. Wat zijn de voorwaarden? De mobiel mag niet uit zijn evenwicht raken, dus het gewicht van die ene hanger die het rondje en de ster vervangt moet precies even groot zijn als deze twee gewichten samen. Stap 2: Een plan maken Kan ik gebruik maken van een eerder opgelost probleem? In probleem 17 ging het over precies dezelfde mobiel en bij het oplossen van dit probleem hebben we al onderzocht wat de verschillende onderdelen van de mobiel wegen. We weten bijvoorbeeld al wat de ster en het rondje (samen) wegen dus dit hoeven we niet opnieuw te onderzoeken. Nu is het alleen nog de taak om alle hangers te vinden die hetzelfde gewicht hebben als de ster en het rondje samen. Wellicht kunnen we ook hiervoor gedeeltelijk gebruik maken van de oplossing van probleem 17. Omdat we bij opdracht 17 vooral de rechterkant van de mobiel hebben onderzocht, moeten we nu nog wel kijken naar de gewichten van de figuren aan de linkerkant van de mobiel. De andere gewichten vinden we op dezelfde wijze als waarop we probleem 17 hebben opgelost. Stap 3: Het plan uitvoeren Vanuit probleem 17 weten we dat het rondje en de ster allebei 5 gram wegen en dat ze samen een gewicht hebben van 10 gram. We moeten dus op zoek naar de figuren van 10 gram. In de oplossing van probleem 17 is ook al te zien dat de driehoek even zwaar is als de ster en het rondje samen:

111

Totaal 40 gram

20 gram 20 gram

De driehoek weegt dus 10 gram en zou gebruikt kunnen worden om de ster en het rondje te vervangen. Verder hanger er aan de rechterkant geen hangers van 10 gram (de enige hanger die verder nog aan de rechterkant van de mobiel hangt is het vierkant en deze weegt 20 gram). Nu nog even de linkerkant van de mobiel onderzoeken. Vanuit probleem 17 weten we dat de linkerkant van de mobiel in totaal 40 gram weegt. Omdat dit deel van de mobiel in evenwicht is, moet het gewicht ‘eerlijk’ verdeeld zijn over de vijfhoek en het staafje met de rechthoek en de ruit. Beide kanten wegen dus 40 : 2 = 20 gram: Het staafje met de ruit en de rechthoek weegt 20 gram en is in evenwicht. Dit betekent dat de 20 gram ‘eerlijk’ is verdeeld over beide hangers. De ruit en de rechthoek wegen dus allebei 20 : 2 =10 gram. Dus ook de ruit en de rechthoek kunnen het rondje en de ster vervangen. De hangers die het rondje en de ster kunnen vervangen zonder dat de mobiel uit zijn evenwicht raakt, zijn: de driehoek, de ruit en de rechthoek. Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? De vraag was welke hanger(s) de ruit en het rondje kunnen vervangen zonder dat de mobiel uit evenwicht raakt. Wij hebben aangegeven dat het rondje en de ster door drie hangers vervangen kunnen worden, namelijk: de driehoek, de ruit en de rechthoek. Met dit antwoord hebben wij antwoord gegeven op de vraag. Hebben we alle gegevens gebruikt? Klopt het dat er één hanger voor het rondje en de ster in de plaats komt? Ja! Hebben we aan alle voorwaarden voldaan? Klopt het dat deze hanger(s) precies even zwaar is / zijn als het rondje en de ster samen? Ja!

112

Probleem 19 (zelf) Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? Hoeveel ml melk Poes Minou in de afgelopen twee weken in totaal heeft gedronken. Wat zijn de gegevens? In de afgelopen twee weken heeft Poes Minou alleen op de zaterdagen en zondagen muizen gevangen. Wat zijn de voorwaarden? Als Poes Minou de hele dat luiert, drinkt ze 60 ml melk. Als Poes Minou muizen vangt, drinkt ze éénderde meer melk. Het gaat hier dus om éénderde meer dan 60 ml. Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? We weten dat Poes Minou in de afgelopen twee weken (=14 dagen) alleen op de zaterdagen en zondagen muizen heeft gevangen en dat ze alleen op deze dagen éénderde meer dan 60 ml melk heeft gedronken. De zaterdagen en zondagen zijn in totaal vier van de veertien dagen (twee weekenden). Op de overige (10) dagen heeft Poes Minou geen muizen gevangen en dronk ze iedere dag 60 ml melk. Met deze gegevens kan het totale aantal ml melk berekend worden. Stap 3: Het plan uitvoeren Op vier ven de veertien dagen (twee weekenden) dronk Poes Minou éénderde meer dan 60 ml

melk. Éénderde van 60 ml is 13×60 = 20 ml. Op deze dagen dronk poes Minou dus 60 + 20 = 80

ml melk. Dit heeft ze op vier dagen gedaan, wat in totaal 4×80 = 320 ml melk is (voor de dagen waarop ze muizen heeft gevangen). Op de overige tien dagen heeft Poes Minou geen muizen gevangen en dronk ze dus 60 ml melk per dag. Voor tien dagen is dit in totaal 10×60 = 600 ml melk. In de afgelopen twee weken (=14 dagen) heeft Poes Minou in totaal 320 + 600 = 920 ml melk gedronken. Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? De vraag was hoeveel ml melk Poes Minou in de afgelopen twee weken heeft gedronken. Wij hebben aangegeven dat Poes Minou in de afgelopen twee weken in totaal 920 ml melk heeft gedronken en daarmee hebben we de vraag beantwoord.

113

Hebben we alle gegevens gebruikt? Zijn we er van uit gegaan dat Poes Minou alleen op de zaterdagen en zondagen muizen heeft gevangen? Ja! Hebben we aan alle voorwaarden voldaan? Zijn we uit gegaan van 60 ml melk op een luierdag en 60 ml plus éénderde op een dag dat Poes Minou muizen heeft gevangen? Ja!

114

Probleem 20 (zelf) Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? Hoeveel witte tegels er nodig zijn voor een vloer met 16 grijze tegels. Wat zijn de gegevens? In deze vloer die wij gaan maken liggen in totaal 16 grijze tegels. Wat zijn de voorwaarden? In ieder hoekpunt ligt een grijze tegel. Rondom elke grijze tegel heb je alleen maar witte tegels (zie het patroon in de afbeeldingen). Het gaat om vierkante tegelvloeren. Wij weten inmiddels dat bij een vierkant alle zijden even lang zijn. Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? Omdat we twee voorbeeldplaatjes hebben waarop we goed kunnen zien hoe de tegelvloeren opgebouwd zijn. Omdat ik weet dat de tegelvloeren vierkant zijn (dus alle zijdes even lang) en dat i ik in totaal 16 grijze tegels gebruik, kan ik de tegelvloer uittekenen en de witte tegels tellen. Stap 3: Het plan uitvoeren De tegelvloer met 16 grijze tegels moet er zo uit komen te zien:

Witte tegels tellen: 33 Er zijn dus 33 witte tegels nodig voor een tegelvloer met 16 grijze tegels.

115

Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? De vraag was hoeveel witte tegels er nodig zijn voor een tegelvloer met 16 grijze tegels. Wij hebben aangegeven dat er 33 witte tegels nodig zijn voor een tegelvloer met 16 grijze tegels en daarmee hebben we de vraag beantwoord. Hebben we alle gegevens gebruikt? Liggen er 16 grijze tegels in te tegelvloer? Ja! Hebben we aan alle voorwaarden voldaan? Ligt op ieder hoekpunt een grijze tegel? Ja! Liggen rondom iedere grijze tegel alleen maar witte tegels? Ja! Is de tegelvloer vierkant? Ja! Kon dit probleem anders / sneller opgelost worden? In de afbeeldingen is te zien dat de vloeren als volgt zijn opgebouwd: eerst een rij met om en om grijze en witte tegels, beginnend en eindigend met een grijze tegel. Dan een hele rij witte tegels. Dan weer een rij om en om, dan weer wit, etc. Eindigend met een rij om en om witte en grijze tegels. Omdat er in onze vloer 16 grijze tegels komen te liggen, betekent dit vier rijen van 4 grijze tegels, want 4× 4 =16 , In de bovenste rij met om en om witte en grijze tegels komen dus 4 grijze tegels te liggen: grijs-wit-grijs-wit-grijs-wit-grijs. In totaal zijn dit zeven tegels, waarvan er drie wit zijn. De rij hieronder bestaat uit allemaal witte tegels, net zo breed als de rij erboven, dus 7 witte tegels. De rij hierna weer om en om wit en grijs, dus 3 witte tegels erbij. De volgende rij weer 7 witte tegels en daarna weer een rij om en om wit en grijs met 3 witte tegels. Hierna nog één rij met alleen maar wit en als laatst nog een rij met om en om witte en grijze tegels. Per om en om rij komen er 3 witte tegels bij en per witte rij komen er 7 witte tegels bij. In totaal zijn dit 3+ 7+3+ 7+3+ 7+3 = 33 witte tegels.

116

Les 7

117

4

4

4

Probleem 21 (?) Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? Hoeveel keer het getal 4 er komt te staan. Wat zijn de gegevens? Bij drie punten is al een getal geschreven Wat zijn de voorwaarden? Bij elk van de acht punten moet één van de getallen 1, 2, 3 of 4 komen te staan. Aan de einden van elk lijntje moeten verschillende getallen komen te staan. Elk streepje in de figuur is een lijntje, ook de streepjes die in de rand staan. Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? Dit is puur een opgave waarbij het aankomt op puzzelen en er goed opgelet moet worden of er aan de gestelde voorwaarden wordt voldaan. Er zijn al drie getallen gegeven en vanuit hier kunnen we gaan puzzelen. Stap 3: Het plan uitvoeren Laten we beginnen met het puntje links van de 1. Deze staat in verbinding met punt 1 (het kleine lijnstukje in de rand), dus er mag geen 1 bij komen te staan. Ook staat dit punt in verbinding met punt 3 (schuine lijn) en punt 2 (ook een schuine lijn). Dit heeft als gevolg dat voor dit punt alleen nog het getal 4 over blijft: Laten we nu eens kijken naar het puntje tussen de 1 en de 2. Deze staat door middel van korte lijntjes in de rand in verbinding met de punten 1 en 2, dus er komt in ieder geval geen 1 en geen 2 bij te staan. Ook staat dit punt door middel van een schuine lijn in verbinding met punt 3. Omdat ook te zien is dat dit punt niet in verbinding staat met punt 4, komt ook bij dit punt een 4 te staan:

118

4

4

4

4

4

4

4

Laten we nu eens kijken naar het puntje tussen de 2 en de 3. Deze staat door middel van korte lijntjes in de rand in verbinding met de punten 2 en 3, dus er komt in ieder geval geen 2 en geen 3 bij te staan. Ook staat dit punt door middel van een schuine lijn in verbinding met punt 1. Omdat ook te zien is dat dit punt niet in verbinding staat met een punt 4, komt ook bij dit punt een 4 te staan: Laten we nu eens kijken naar het puntje naast de 3. Deze staat door middel van een kort lijntje in de rand in verbinding met de punt 3, dus er komt in ieder geval geen 3 bij te staan. Ook staat dit punt door middel van schuine lijnen in verbinding met punt 1 en punt 2. \ Omdat ook te zien is dat dit punt niet in verbinding staat met een punt 4, komt ook bij dit punt een 4 te staan: Nu blijft er nog één punt over. Dit punt staat door middel van korte lijntjes in de rand twee keer in verbinding met een punt 4. Er komt dus geen 4 bij dit punt te staan. Omdat ook de twee schuine lijnen vanuit dit punt in verbinding staan met vieren, maakt het niet uit of er een 1, 2 of een 3 bij dit punt komt te staan. In de tekening is te zien dat het getal 4 er vier keer komt te staan. Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? De vraag was hoeveel keer het getal 4 er kwam te staan. Wij hebben aangegeven dat dit vier keer is en daarmee hebben we de vraag beantwoord. Hebben we alle gegevens gebruikt? Hebben we gebruik gemaakt van de getallen die al geschreven waren? Ja! Hebben we aan alle voorwaarden voldaan? Staat bij elk van de acht hoekpunten één van de getallen 1,2,3 of 4? Alleen bij het laatste puntje niet, want hier kunnen alle drie de getallen 1, 2 en 3 ingevuld worden. Staan aan de einden van elk lijntje verschillende getallen? Ja! Hebben we elk streepje in de figuur, ook de streepjes die in de rand staan, als lijntje geteld? Ja!

119

Probleem 22 (zelf)

Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? Hoeveel jongens er in de klas zitten. Wat zijn de gegevens? Er zitten 10 leerlingen in de klas De juf heeft in totaal 80 snoepjes Wat zijn de voorwaarden? Als de juf eerst alle meisjes hetzelfde aantal snoepjes geeft, houdt zij 3 snoepjes over. Meisjes is meervoud, dus er zitten meerdere meisjes in de klas. Het gaat om hele snoepjes. Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? Ik weet dat de juf in totaal 80 snoepjes heeft en dat zij er nog 3 over heeft als zij alle meisjes hetzelfde aantal snoepjes heeft gegeven. Met deze gegevens kan ik berekenen hoeveel snoepjes de juf in totaal aan de meisjes heeft gegeven. Omdat ik weet dat alle meisjes evenveel snoepjes hebben gekregen, moet het aantal snoepjes dat de juf aan de meisjes heeft gegeven te delen zijn door het aantal meisjes dat in de klas zit. Omdat ik weet dat er in totaal 10 leerlingen in de klas zitten, kunnen er maximaal 10 meisjes in de klas zitten. Het aantal snoepjes dat de juf aan de meisjes heeft gegeven moet dus deelbaar zijn door in ieder geval één van de getallen van 2 t/m 10 (want we weten dat er meer dan één meisje in de klas zit). Als ik het aantal meisjes heb gevonden, kan ik het aantal jongens berekenen door dit aantal van 10 (het totaal aantal leerlingen) af te trekken. Stap 3: Het plan uitvoeren De juf heeft in totaal 80 snoepjes en zij heeft er nog 3 over als zij alle meisjes hetzelfde aantal snoepjes heeft gegeven. In totaal heeft de juf 80−3 = 77 snoepjes aan de meisjes gegeven. Stel dat er twee meisjes in de klas zitten ( 77 : 2 = 38,5 ) dan zouden ze allebei 38 snoepjes kunnen krijgen, maar dan is er nog één over, want 38×2 = 76 . Dat ene snoepje kan niet eerlijk over twee leerlingen verdeeld worden.

Stel dat er drie meisjes in de klas zitten ( 77 :3 = 25 23

) dan zouden ze alle drie 25 snoepjes

kunnen krijgen, maar dan blijven er twee snoepjes over, want 3×25 = 75 . Die twee snoepjes kunnen niet eerlijk over drie leerlingen verdeeld worden. Stel dat er vier meisjes in de klas zitten ( 77 : 4 =19,25 ) dan zouden ze alle vier 19 snoepjes kunnen krijgen, maar dan blijft er één snoepje over, want 4×19 = 76 . Dat ene snoepje kan niet eerlijk over vier leerlingen verdeeld worden. Stel dat er vijf meisjes in de klas zitten ( 77 : 5 =15, 4 ) dan zouden ze alle vijf 15 snoepjes kunnen krijgen, maar dan blijven er twee snoepjes over, want 5×15 = 75 . Die twee snoepjes kunnen niet eerlijk over vijf leerlingen verdeeld worden.

120

Stel dat er zes meisjes in de klas zitten ( 77 : 6 =12 56

) dan zouden ze alle zes 12 snoepjes kunnen

krijgen, maar dan blijven er vijf over, want 6×12 = 72 . Deze vijf snoepjes kunnen niet eerlijk over zes leerlingen verdeeld worden. Stel dat er zeven meisjes in de klas zitten ( 77 : 7 =11 ) dan zouden ze alle zeven precies 11 snoepjes kunnen krijgen, want 7×11= 77 . Het zou dus heel goed kunnen dat er zeven meisjes in de klas zitten. Bij het controleren van acht, negen en tien meisjes zal je zien dat zeven meisjes de enige optie is. Als zeven van de tien leerlingen meisjes zijn, dan zitten er 10− 7 = 3 jongens in de klas. Er zitten dus drie jongens in de klas. Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? De vraag was hoeveel jongens er in de klas zitten. Wij hebben aangegeven dat er drie jongens in de klas zitten en daarmee hebben we de vraag beantwoord. Hebben we alle gegevens gebruikt? Zitten er in totaal 10 leerlingen in de klas? Ja! ( 7+3 =10 ). Zijn we uit gegaan van een totaal van 80 snoepjes? Ja! Hebben we aan alle voorwaarden voldaan? Houdt de juf 3 snoepjes over als ze eerst alle meisjes hetzelfde aantal snoepjes geeft? Ja! Zit er mee dan één meisje in de klas? Ja! (zeven) Hebben we alleen hele snoepjes verdeeld? Ja! Kon dit probleem anders / sneller opgelost worden? De snelle rekenaar ziet meteen dat 77 alleen deelbaar is door 1, 7, 11 en 77. Omdat alleen 7 ‘meedoet’ (het is meer dan één meisje en het kunnen er maximaal 10 zijn), weet je meteen hoeveel meisjes er in de klas zitten. Het aantal jongens bereken je vervolgens met 10− 7 = 3 .

121

Probleem 23 (zelf) Stel dat de juffrouw uit probleem 22 eerst alle jongens evenveel en zoveel mogelijk snoepjes zou geven, hoeveel snoepjes zou zij dan overhouden? Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? Hoeveel snoepjes de juf over zou houden als zij eerst alle jongens evenveel en zoveel mogelijk snoepjes zou geven. Het gaat bij dit probleem om dezelfde klas als in probleem 22. Wat zijn de gegevens? Er zitten 10 leerlingen in de klas De juf heeft in totaal 80 snoepjes Wat zijn de voorwaarden? De juf geeft alle jongens hetzelfde aantal snoepjes De juf geeft alle jongens zoveel mogelijk snoepjes Het gaat om hele snoepjes. Stap 2: Een plan maken Kunnen we gebruikmaken van een eerder opgelost probleem? Ja, we moeten hier zelfs gebruik van maken! Bij probleem 22 hebben we berekend hoeveel jongens er in totaal in de klas zitten. Wat kan ik met de gegevens? Ik weet dat de juf in totaal 80 snoepjes heeft en dat zij alle jongens evenveel en zoveel mogelijk snoepjes zal geven. Omdat ik het aantal jongens in de klas weet, kan ik berekenen hoeveel snoepjes ik iedere jongen maximaal kan geven, met een maximum van totaal 80 snoepjes. Als ik weet hoeveel snoepjes ik iedere jongen maximaal kan geven waarbij geldt dat iedere jongen er evenveel krijgt en het totale aantal snoepjes maximaal 80 is, dan kan ik door dit totaal van 80 af te halen berekenen hoeveel snoepjes er dan nog over blijven. Stap 3: Het plan uitvoeren Vanuit probleem 22 weten we dat er in totaal drie jongens in de klas zitten. Als alle jongens 20 snoepjes zouden krijgen, dan geeft de juf in totaal 3×20 = 60 snoepjes aan de jongens. Er zijn er nu nog 20 over (80− 60 = 20 ), dus de juf kan de jongens meer dan 20 snoepjes geven. Als alle jongens 30 snoepjes krijgen, dan geeft de juf in totaal 3×30 = 90 snoepjes aan de jongens. Dit kan niet, want de juf heeft maar 80 snoepjes. Het aantal snoepjes dat iedere jongen krijgt, zal dus tussen de 20 en de 30 zitten. Als de juf iedere jongen 25 snoepjes krijgt, dan geeft de juf in totaal 3×25 = 75 snoepjes aan de jongens. Ze houdt er nu 5 over (80− 75 = 5 ) en van die 5 snoepjes kan ze alle drie de jongens nog een snoepje geven, waardoor de jongens allemaal 26 snoepjes hebben. Hierna zijn er nog twee snoepjes ( 5−3 = 2 ) over en dat is net niet genoeg om alle jongens nog een snoepje te geven. Alle drie de jongens krijgen dus 26 snoepjes. In totaal geeft de juf 3×26 = 78 snoepjes aan de jongens. Omdat de juf in totaal 80 snoepjes had, blijven er nog 80− 78 = 2 snoepjes over. Dus als de juf alle jongens evenveel en zoveel mogelijk snoepjes zou geven, Zou zij nog twee snoepjes overhouden.

122

Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? De vraag was hoeveel snoepjes de juf zou overhouden als ze alle jongens evenveel en zoveel mogelijk snoepjes zou geven. Wij hebben aangegeven dat dit twee snoepjes zijn en daarmee hebben we de vraag beantwoord. Hebben we alle gegevens gebruikt? Zitten er in totaal 10 leerlingen in de klas? Ja! ( 7+3 =10 ). Zijn we uit gegaan van een totaal van 80 snoepjes? Ja! Hebben we aan alle voorwaarden voldaan? Heeft de juf alle jongens hetzelfde aantal snoepjes gegeven? Ja! (alle drie 26 snoepjes) Heeft de juf alle jongens zoveel mogelijk snoepjes gegeven? Ja! Zijn er alleen maar hele snoepjes verdeeld? Ja! Kon dit probleem anders / sneller opgelost worden? De snelle rekenaar ziet meteen dat als iedere jongen 20 snoepjes krijgt ( 3×20 = 60 ) en er dus 20 snoepjes overblijven (80− 60 = 20 ), je iedere jongen nog maximaal 6 snoepjes kunt geven ( 3×6 =18 ) en er dan uiteindelijk twee snoepjes over zullen blijven.

123

Probleem 24 (zelf) Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? Hoeveel lijntjes Anton in totaal heeft getekend. Wat zijn de gegevens? Anton heeft van elk punt aan de bovenkant naar elk punt aan de onderkant lijntjes getekend. In de afbeelding is te zien dat er aan de bovenkant 5 puntjes zijn getekend en aan de onderkant 6 puntjes. Wat zijn de voorwaarden? Anton van ieder bovenste puntje naar ieder onderste puntje één lijntje. Anton trekt alleen lijntjes van de bovenste puntjes naar de onderste puntjes, niet van de onderste naar de bovenste puntjes. Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? In het plaatje zijn alle lijntjes die Anton heeft getekend te zien. Als we deze allemaal tellen, hebben we het antwoord op de vraag. Stap 3: Het plan uitvoeren Als je de lijntjes goed hebt geteld kom je op dertig lijntjes. Anton heeft dus dertig lijntjes getekend. Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? De vraag was hoeveel lijntjes Anton heeft getekend. Wij hebben aangegeven dat Anton 30 lijntjes heeft getekend en daarmee hebben we de vraag beantwoord. Hebben we alle gegevens gebruikt? Ja, we hebben alleen de getekende lijnen geteld. Hebben we aan alle voorwaarden voldaan? Ja, we hebben alleen de getekende lijnen geteld. Kon dit probleem anders / sneller opgelost worden? Is het tellen van de lijntjes wel zo’n handige aanpak? Alle lijntjes staan door elkaar getekend waardoor je makkelijk telfouten maakt. Bovendien kan het veel makkelijker en sneller… Omdat we weten dat van ieder bovenste puntje naar ieder onderste puntje een lijn wordt getekend en we ook precies weten hoeveel puntjes er boven en hoeveel puntjes er onder staan, kunnen we het totale aantal lijntjes berekenen: we weten dat vanuit alle vijf de bovenste punten lijnen gaan naar alle onderste punten. Vanuit één zo’n punt in de bovenste rij gaat naar 6 punten in de onderste rij een lijn:

124

Er ‘vertrekken’ dus 6 lijnen uit ieder punt in de bovenste rij. Omdat we in totaal vijf punten in de bovenste rij hebben met uit ieder punt zes lijnen, zijn er in totaal 5×6 = 30 lijnen getekend.

125

(Vervolg)probleem 25 (zelf) Hoeveel lijntjes zou Anton (zie probleem 24) krijgen als hij in de bovenste rij zeven en in de onderste rij acht stippen zou tekenen? Stap 1: Het probleem begrijpen Wat wordt er gevraagd? Hoeveel lijntjes Anton in totaal zal tekenen als hij in de bovenste rij zeven stippen tekent en in de onderste rij acht. Net als in probleem 24 tekent Anton lijntjes van elk punt in de bovenste rij naar elk punt in de onderste rij. Wat zijn de gegevens? Anton heeft van elk punt aan de bovenkant naar elk punt aan de onderkant lijntjes getekend. Anton tekent in de bovenste rij zeven stippen en in de onderste rij acht stippen. Wat zijn de voorwaarden? Anton van ieder bovenste puntje naar ieder onderste puntje één lijntje. Anton trekt alleen lijntjes van de bovenste puntjes naar de onderste puntjes, niet van de onderste naar de bovenste puntjes. Stap 2: Een plan maken Wat kan ik met de gegevens? In het plaatje hieronder is te zien dat tellen eigenlijk geen optie is: Kan ik gebruikmaken van een eerder opgelost probleem? bij de uitwerking van probleem 24 heb ik laten zien hoe je het aantal lijntjes kunt berekenen. De situatie bij dit probleem lijkt erg op de situatie bij probleem 24 alleen staat er in de bovenste en in de onderste rij één stip meer. Omdat tellen geen optie is, komt deze berekening goed van pas. Stap 3: Het plan uitvoeren

126

In bovenstaand plaatje is te zien dat vanuit een punt in de bovenste rij acht lijnen ‘vertrekken’: naar ieder punt in de onderste rij (dit zijn er in totaal acht) één. Omdat er vanuit ieder punt in de bovenste rij (zeven in totaal) acht lijnen ‘vertrekken’, zullen er in totaal 7×8 = 56 lijnen getekend worden. Anton zou in dit geval dus 56 lijntjes krijgen. Stap 4: Terugblikken Hebben we de vraag beantwoord? De vraag was hoeveel lijntjes Anton zou krijgen als hij in de bovenste rij zeven stippen tekent en in de onderste rij acht. Wij hebben aangegeven dat Anton in dit geval 56 lijntjes zou krijgen en daarmee hebben we de vraag beantwoord. Hebben we alle gegevens gebruikt? Heeft Anton van ieder puntje in de bovenste rij een lijn getekend naar ieder puntje in de onderste rij? Ja! Staan er in de bovenste rij zeven stippen en in de onderste rij acht? Ja! Hebben we aan alle voorwaarden voldaan? Wordt er vanuit ieder puntje in de bovenste rij één lijn getekend naar ieder puntje in de onderste rij? Ja! Worden de lijntjes alleen van de bovenste naar de onderste rij getrokken? Ja!

127

9.5 Bijlage 5: Enquête-uitslag leerlingboekje probleemoplossend denken Enquête probleemoplossen

1. Ik vond de lessen over probleemoplossen leuk:

2. Ik vond de lessen over probleemoplossen leerzaam:

3. Ik vond de lessen over probleemoplossen:

128

4. Ik vond de instructie van Mevrouw Klos:

5. Ik wist iedere les precies wat er van mij verwacht werd:

6. Ik vond de problemen:

129

7. Ik heb voldoende tijd gekregen voor het maken van de problemen:

8. Ik vond het samenwerken in tweetallen:

9. Ik denk dat ik nu beter in staat ben om bij opgaven die nieuw voor mij

zijn tot een geschikte aanpak te komen:

130

10. Ik vond de lessen:

11. Ik vond de begeleiding van Mevrouw Klos:

12. Op een schaal van 1 tot 10 (waarbij 1 heel slecht en 10 heel goed is) geef

ik de lessen over probleemoplossen een: 8; 6; 7; 8; 7,5; 7; 7,5; 7; 7,5; 7,5; 6,1; 5; 4; 8; 7; 6,5; 5; 8; 7,5; 7,5; 4; 8; 8; 8

Gemiddeld cijfer =165,6

24= 6,9

13. Heb je nog opmerkingen of verbeterpunten voor deze lessen, schrijf ze

dan hier onder op! ,,T ging goed!” ,,Nee, gaat goed (-:” ,,Minder lange nakijk antwoorden iets makkelijkere opgaven duidelijker praten. Je kan geen antwoorden lezen mij niet negeren!” ,,Nee, ik vond het goed zoals het was”

131

,,Nee, ik vond dat mevrouw Klos het allemaal goed heeft uitgelegd” ,,Ik heb geen opmerkingen” ,,Nee!” ,,Deze lessen zijn saai en de sommen zijn een beetje te moeilijk. En ik kan geen antwoorden aflezen” ,,Ik vond de problemen erg leuk!!! Ik heb goed overlegd met m’n klasgenootje: Amber en hebben samen de problemen met erg veel plezier gemaakt” ,,Ik vond de problemen erg leuk!!! Ik heb goed overlegd met m’n klasgenootje: Noëlle en we hebben samen de problemen met erg veel plezier gemaakt!” ,,Ik was er een paar lessen niet dus ik heb geen opmerkingen” ,,Ligt er aan of het regent”

132

9.6 Bijlage 6: Kangoeroetoets 2, de eindmeting

Kangoeroetoets 2 2 MAVO


1

2

3

4

5

133

6

7

8

9

- EINDE -

134

60

30 30

15 15 15

15 30

9.7 Bijlage 7: Normering kangoeroetoets 2

Kangoeroetoets 2 2 MAVO Uitwerkingen en normering


(3)1

Zie afbeelding In bak B komt 30 + 15 = 45 liter water Helemaal goed: 3 punten

15 L + 15 L = 30 L in bak B: 0 punten

Het water na de eerste stap opgedeeld in twee keer 40 liter, verder goed doorgerekend: 1 punt

Goed antwoord maar met een onduidelijke uitleg: 1 punt

30 liter, want er zijn twee bakken, dus 60:2=30: 0 punten

(3)2

Kan met omgekeerde pijlenketting:

:3 +3 x3

X ……. ……. 33

x3 -3 :3

24 8 11 33

Controle: 24 :3 = 8

8+3 =11

11×3 = 33 Klopt!

Dus Lise is met 24 begonnen.

135

Kan ook ‘gewoon’ met terugrekenen:

33 :3 =11

11−3 = 8

8×3 = 24


Door invullen laten zien dat 24 klopt, maar niet laten zien hoe je aan die 24 gekomen bent: 2 punten

Keer en gedeeld door ‘tegen elkaar wegstrepen’ en er alleen 3 af halen: 0 punten

9, want 9 :3+3×3 = 9 : 0 punten

Klein snelheidsfoutje (14 ipv 24), verder goede berekening: 2 punten

Fout antwoord, maar twee van de drie stappen goed: 2 punten

(3) 3

167 of 96 komt onderaan, want dit zijn de grootste twee uitkomsten.

Als 96 onderaan komt, doet 167 niet mee (= te groot) en zouden de overige drie bij elkaar opgeteld

op 96 uit moeten komen:

17+30 + 49 = 96 Klopt! Dus 167 blijft over.


Goede optelling, maar vergeten te vermelden welk getal overblijft: 2 punten

Het water na de eerste stap opgedeeld in twee keer 40 liter, verder goed doorgerekend: 1 punt

Goed antwoord maar met een onduidelijke uitleg: 1 punt

30 liter, want er zijn twee bakken, dus 60:2=30: 0 punten

(3) 4

Zie tekening er zijn nog zes wegen getekend om de kaart af te

maken.

136


Eén lijn vergeten, vijf goed: 2 punten

Twee lijnen vergeten, vier goed: 1 punt

Goed antwoord, maar niet helemaal duidelijke uitleg: 2 punten

Alleen de twee lijnen langs de rand die ervoor zorgen dat er een gesloten cirkel ontstaat: 0 punten

Verkeerd antwoord zonder tekening: 0 punten

(3) 5

In Amsterdam is het 17−8 = 9 uur later dan in San Francisco.

Als het in San Francisco 21.00 uur is, dan is het in Amsterdam dus negen uur later. Drie uur later is

het 00.00 uur en nog eens zes uur later is het 06.00 uur. Het is in Amsterdam dus 06.00 uur op de

woensdag.


Goed geredeneerd, maar een kleine rekenfout gemaakt: 2 punten

Verkeerd tijdstip zonder of met een onduidelijke uitleg: 0 punten

Kleine rekenfout en niet laten zien hoe het tijdsverschil is berekend: 1 punt

Niet laten zien hoe het tijdsverschil is berekend en niet aangegeven welke dag: 1,5 punt

Tijdsverschil verkeerd berekend en hier verder goed mee verder gerekend: 1,5 punt

Vergeten aan te geven welke dag, verder goed: 2 punten

(3) 6

1 2 3 4 5

16 1 2 3 6

15 4 5 6 7

14 7 8 9 8

13 12 11 10 9

Zie bovenstaande tekening Negen kubussen nodig voor het opvullen.


Kubus met zijden van 16 getekend en hiermee gerekend: 0 punten

Kubus van 4 bij 4 gemaakt (dus 12 kubussen in de rand): 0 punten

137

(3) 7

25 stuks in totaal in het mandje.

Er uit: 4 appels en 5 peren in totaal 9 stuks eruit.

25− 9 =16 stuks over. Omdat er nu even veel appels als peren zijn, zitten er acht appels en acht

peren in de mand.

Acht peren plus de vijf peren die al zijn opgegeten maakt in totaal dertien peren.

Grootmoeder heeft de kinderen dus 13 peren gegeven.


2×3 = 6 dus 6 peren: 0 punten

Wel op 8 peren die nu nog in het mandje zitten gekomen, maar niet verder gerekend: 1 punt

(3) 8

In de hoogte van het papier passen precies twee rechthoeken op elkaar. Iedere rechthoek is dus

28 : 2 =14 cm lang. De breedte van de rechthoek is 32− (14 +14) = 32− 28 = 4 cm . De

oppervlakte van één zo’n rechthoek is 14× 4 = 56 cm2. Omdat het kruis uit vier gelijke rechthoeken

bestaat, is de totale oppervlakte 4×56 = 224 cm2.


De oppervlakte van twee van de rechthoeken goed berekend, maar een andere oppervlakte voor de

andere twee: 1 punt

Oppervlakte hele vierkant gedeeld door vier: 0 punten

Oppervlakte hele vierkant gedeeld door vijf: 0 punten

9

138

De rode nummers zijn de huizen met voortuin, de zwarte nummers zijn de huizen zonder voortuin:

1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43,45,47 nr. 47 is het 15e huis zonder

voortuin.


Het 15e oneven huisnummer genomen en geen rekening gehouden met wel/geen voortuin: 0 punten

Wel enkel oneven nummers en wel de huizen met voortuin aangegeven maar alsnog gewoon het 15e huis

genomen: 1 punt

De nummers in de 30 niet over geslagen, verder goed: 1 punt

Wel goed tuinen aangegeven en hier rekening mee gehouden, maar ook even nummers genomen: 1 punt

Het 7e huis genomen: 0 punten

- EINDE -

Totaal 27 punten.

cijfer =behaalde_ punten

27×9 +1

139

9.8 Bijlage 8: Resultaten kangoeroetoets 1 en kangoeroetoets 2 Leerling Punten

Kangoeroetoets 1 Cijfer Kangoeroetoets 1

Punten Kangoeroetoets 2

Cijfer Kangoeroetoets 2

1 11 4,7 10,5 4,5 2 7 3,3 21 8,0 3 9 4,0 21 8,0 4 13 5,3 18 7,0 5 16 6,3 19,5 7,5 6 6 3,0 19 7,3 7 3 2,0 15 6,0 8 7 3,3 18 7,0 9 21 8,0 21 8,0 10 12 5,0 19 7,3 11 7 3,3 15 6,0 12 10 4,3 20 7,7 13 11 4,7 18 7,0 14 9 4,0 15 6,0 15 19 7,3 20 7,7 16 15 6,0 19 7,3 17 8 3,7 18 7,0 18 5 2,7 12 5,0 19 12 5,0 16 6,3 20 15 6,0 20 7,7 21 8 3,7 24 9,0 22 14 5,7 19 7,3 23 15 6,0 13 5,3 24 6 3,0 16 6,3

Voorpagina en inhoudsopgave LPO na feedback · Hoofdstuk 3 Onderzoeksvragen Blz. 18 3.1 Hoofdvraag...

Documents

Transcript of Voorpagina en inhoudsopgave LPO na feedback · Hoofdstuk 3 Onderzoeksvragen Blz. 18 3.1 Hoofdvraag...