• Veel kansexperimenten bestaan uit 2 of meer experimenten, denk maar aan:- het gooien met 3 dobbelstenen- het gooien met een dobbelsteen en een geldstuk- uit 2 vazen elk één knikker pakken

• De experimenten in deze voorbeelden zijn onafhankelijk van elkaar, omdat ze elkaars uitkomsten op geen enkele wijze beïnvloeden.

• Om bij dit soort samengestelde kansexperimenten kansen te berekenen, kun je gebruik maken van een boomdiagram.

Kansbomen

Kansberekening en combinatoriek

Een deel van de statistiek is het berekenen van de kans dat iets kan gebeuren.

Dit wordt de rekenkundige statistiek genoemd.

De andere vorm is de beschrijvende statistiek. Deze beschrijft hoe een populatie eruit ziet.

bv. Gemiddelde, modus e.d.

Een populatie is een verzameling van te onderzoeken elementen b.v. personen of dingen

Systematiek

Systematisch opschrijven is belangrijk bij het bepalen van kansen.

Voor het bepalen van een kans is het belangrijk te weten hoeveel mogelijke antwoorden er in totaal zijn.

En hoeveel van alle mogelijke antwoorden er de juiste zijn.

Vb.

Stel je hebt twee loten gekocht van in totaal 80 loten en er is maar 1 prijs.

Jij hebt dan 2 goede mogelijkheden op de in totaal 80 mogelijkheden we zeggen nu:

2 op de 80 dat je wint.

Absolute kans

De kans op iets is als volgt gedefinieerd:

aantal gunstige mogelijkheden

totaal aantal mogelijkhedenKans =

De kans op het trekken van een harten kaart uit een volledig pak kaarten (52) is :

13

52Pharten =

1

4=

De P staat voor het franse woord probabilité

Relatieve kans(1)

Soms weet je alleen hoeveel procent van een groep aan de eisen van een experiment voldoet.

Deze kan bepaald worden door een relatieve frequentie verdeling van een steekproef te bepalen. (te berekenen uit een frequentie verdeling die je kent uit de beschrijvende statistiek)

De zo gevonden kans heet dan de relatieve kans.

P.S. Een kans ligt altijd tussen 0 en 1 of

tussen de 0 en 100%

Relatieve kans(2)

We nemen steekproeven omdat het niet mogelijk is om alle elementen van een groep te onderzoeken. Dit is te tijdrovend en meestal erg kostbaar.

Vb. Uit een steekproef is gebleken dat 6 openingsstrippen van 120 rollen beschuit niet goed werken.

De kans dat het openen van een door jou gekochte rol beschuit fout gaat is 1/20 = 5% , is een kans van 0,05

Onafhankelijke gebeurtenis

Stel je hebt een rad van fortuin in een rad van fortuin. Beide draaien los van elkaar. We zeggen dan dat de kansen onafhankelijk zijn van elkaar

De kans dat de pijl blijft staan op licht blauw en paars is :

1/4 * 1/2 = 1/8

De kans dat de pijl blijft staan op geel en rood :

1/4 * 1/4 = 1/16

Afhankelijke gebeurtenis

Stel je hebt een rad van fortuin in een rad van fortuin. Beide zijn vast gemaakt aan elkaar. We zeggen dan dat de kansen afhankelijk zijn.

De kans dat de pijl blijft staan op licht blauw en paars is :

1/4

De kans dat de pijl blijft staan op geel en rood is :

0 = nul

Kans bij een boomdiagram

Je staat 8 plaatsen verwijdert van het einde van ganzenbord.

Hoe groot is te kans dat je bij de volgende worp hebt gewonnen?

Het experiment is hier: het gooien met twee dobbelstenen.

Er zijn 5 juiste uitkomsten van in totaal 36 mogelijke uitkomsten, dus de kans dat je in één beurt wint is : 5/36

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

Zonder terugleggen

Hoe groot is de kans op het trekken van een harten kaart uit een volledig pak kaarten?

Hoe groot is de kans op het trekken van nog een harten kaart uit hetzelfde pak kaarten?

Hoe groot is de kans op het trekken van nog een harten kaart uit hetzelfde pak kaarten?

Hoe groot is de kans op het trekken van een zwarte kaart uit hetzelfde pak kaarten?

13/52

12/51

11/50

26/49

Kansboom

3

1

3

2

3

2

In een vaas zitten 3 rode en 1 witte bal.In een andere vaas zitten 2 rode en 1 zwarte bal.

3

1

4

3

4

1

P(rr)=2

1

12

6

3

2

4

3

4

1

12

3

3

1

4

3

6

1

12

2

3

2

4

1

12

1

3

1

4

1

P(rz)=

P(wr)=

P(wz)=

P(minstens 1 rode) = 1-P(geen rode) =12

11

12

11

Bij het draaien van de schijven hoort de volgende kansboom.

Draaiende schijven

6.1

We gaan er bij het draaien van de schijven vanuit dat de kansexperimenten onafhankelijk zijn.Dat betekent dat ze elkaar niet beïnvloeden, alleen dan mag je de kansen in de kansboom vermenigvuldigen.Als de kansen afhankelijk zijn (elkaar beïnvloeden) mag je de kansen in de kansboom niet vermenigvuldigen.

Afhankelijke experimenten komen in dit boek niet voor.

Onafhankelijke kansexperimenten

6.1

a P(ba,ba,ba) = 2/4 × 1/3 × 1/4= 2/24 ≈ 0,083

b P(ke,ke,ke) = 3/4 × 2/3 × 1/2 = 6/24 = 0,25

c P(ci,ci,ba) = ¼ × 1/3 × 1/2= 1/24 ≈ 0,042

d P(ci,ci,ci) = 1/4 × 1/3 × 0= 0

Voorbeeld

De productregelVoor de gebeurtenis G1 bij het ene kansexperiment en de gebeurtenis G2 bij het

andere experiment geldt:P(G1 en G2) = P(G1) . P(G2)

De somregelVoor elkaar uitsluitende gebeurtenissen G1 en G2 geldt:

P(G1 of G2) = P(G1) + P(G2)

De complementregelP(gebeurtenis) = 1 – P(complement–gebeurtenis)

De product-, de som- en de complementregel

6.1

P(gebeurtenis + P(complement-gebeurtenis) = 1

P(gebeurtenis) = 1 – P(complement-gebeurtenis)

P(minder dan 8 witte) = P(0 w)+P(1 w)+P(2 w)+ P(3 w)+P(4 w)+P(5 w)+ P(6 w)+P(7 w) = 1 – P(8 witte)

De complementregel

6.1

a P(3 keer doorlopen) = P(g,g,g)= (1 - 0,4) × (1 - 0,7) × (1 - 0,2)= 0,144

b P(één keer wachten, niet voor de derde)= P(r,g,g) + P(g,r,g)= (0,4 × 0,3 × 0,8) + (0,6 × 0,7 × 0,8)= 0,432

VoorbeeldOp weg naar huis komt Marieke 3 voetgangersstoplichten tegen.De kansen dat ze op rood staan is achtereenvolgens 0,4 ; 0,7 en 0,2.

Bereken de kans dat Marieke:a 3 keer kan door lopenb 1 keer moet wachten, maar niet voor de derde.

Het 4 keer gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld van het herhaald uitvoeren van hetzelfde kansexperiment.Ook in zo’n situatie gebruik je de productregel om kansen te berekenen

De productregel gebruik je ook als je hetzelfde experiment 2 of meer keren uitvoert.

Een experiment 2 of meer keer uitvoeren

6.2

Ellen gooit 5 keer met een viervlaksdobbelsteen.a P(geen enkele keer 2)

= ≈ 0,237

b P(drie keer 2)

= · · ≈ 0,088

c P(drie keer 2 en twee keer 1)

= · · ≈ 0,010

d P(minstens twee keer 1)= 1 – P(geen 1) – P(één keer 1)

= 1 - - · · ≈ 0,367

34

5

53

14

334

2

53

14

3 14

2

34

51

514

134

4

Voorbeeld

Anne gooit met 6 dobbelstenena P(drie keer 4)

= · · ≈ 0,054

b P(minstens één 6) = 1 - P(geen 6)

= 1 - ≈ 0,665

c P(zes verschillende) =

=6! · · · · · · ≈ 0,015

d P(twee zessen en geen vijf)

= · · ≈ 0,082

63

56

6

16

16

16

62

16

2 56

4

16

3 56

3

16

16

16

Voorbeeld 2

In het volgende voorbeeld pak je één voor één knikkers uit de vaas met 3 rode en 5 witte knikkers. Je gaat net zo lang door tot je een rode knikker pakt. Elke keer pak je als het ware uiteen nieuwe vaas. De kansen in de kansboom veranderen daardoorper keer.

Experimenten herhalen totdat succes optreedt

a P(Lotte wint in 2 sets)

= P(LL)

= 0,6 × 0,6

= 0,36

b P(Gijs wint de 1e en

Lotte de volgende twee sets)

= P(GLL)

= 0,4 × 0,6 × 0,6

= 0,144

c P(de partij duurt 3 sets)

= P(LGL) + P(LGG) + P(GLL) + P(GLG)

= 0,6 × 0,4 × 0,6 + 0,6 × 0,4 × 0,4 + 0,4 × 0,6 × 0,6 + 0,4 × 0,6 × 0,4

= 0,48

VoorbeeldLotte en Gijs spelen een tenniswedstrijd, best of three.De kans dat Lotte een set wint is 0,6.

Is bij het kiezen van 4 dingen uit 7 dingen de volgorde niet van belang, dan spreken we van het aantal combinaties van 4 uit 7.

Het aantal combinaties van 4 uit 7 noteren we als

Spreek uit : 7 boven 4.

Het aantal combinaties van 4 uit 7, dus het aantal manieren om 4 dingen te kiezen uit 7 dingen zonder op de volgorde te

letten, is

7 4

7 4

Ook bij het pakken van knikkers uit een vaas heb je met combinaties te maken.P(2r,2w,1b) = ?volgens de kansdefinitie van Laplace is die kans

Het aantal mogelijke uitkomsten is het aantal manieren om

5 knikkers uit de totaal 15 knikkers te pakken, dat kan op manierenHet aantal gunstige uitkomsten is het aantal manieren om 2r uit de 8r, 2w uit 4w en 1b uit 3b te pakken.

Dat kan op

P(4r,1w,2b) = ≈ 0,168

aantal gunstige uitkomsten aantal mogelijke uitkomsten

15 5

8 2

4 2

3 1

8 2

4 2

3 1

15 5

. .

. .

manieren

8+4+3=15 2+2+1=5

Kansen en combinaties

Bij veel kansberekeningen kan het handig zijn het kansexperiment om te zetten in het pakken van knikkers uit een geschikt samengestelde vaas vaasmodel.

Het vaasmodel

6.3

probleemgloeilampen in dozen van 20 stukswillekeurig worden 4 lampen uit de doos gecontroleerdalle 4 goed dan wordt de doos goedgekeurdin een doos zitten precies 2 defecte lampen

vaasmodelvaas met 20 knikkers waarvan 2 rood (de defecte lampen) en 18 groen

antwoord

P(goedkeuring) = P(4 goed) =

18 4

20 4

≈ 0,632

voorbeeld

2

0

Trekken met en zonder terugleggen

Bij een kleine steekproef uit een grote populatie mag jetrekken zonder terugleggen opvattenals trekken met terugleggen.

Kleine steekproef uit grote populatie

Bij het kansexperiment wordt aselect (= willekeurig)een leerling uit de klas gekozen.Je kunt daarbij geïnteresseerd zijnin de leeftijd van de leerling.De leerling geven we aan met de letter XDus X = de leeftijd van de leerling.Omdat de waarde van X afhangt van het toeval heet X een toevalsvariabele.Er is nog een toevalsvariabele gedefinieerd, Y = het aantal keer sporten per week

complementregel P(Y ≥ 1) = 1 – P(Y = 0) somregel P(Y < 2) = P(Y = 0) + P(Y = 1)

Toevalsvariabelen

In een grabbelton zitten 20 doosjes.In 8 van deze doosjes zit een briefje van 10 euro,de overige 12 doosjes zijn leeg.Arjan pakt 2 doosjes uit de grabbeltonX = het totale bedrag in de 2 doosjes

P(X = 20) = P(2 doosjes met 10 euro)

= ≈ 0,147

P(X > 0)= 1 – P(X = 0)= 1 – P(2 lege doosjes)

= 1- ≈ 0,653

82

202

122

202

Voorbeeld

De kansverdeling van X ( het positieve verschil van het aantal ogen van twee dobbelstenen) is een tabel waarin bij elke waarde van X de bijbehorende kans is vermeld.

De som van de kansen in een kansverdeling is altijd 1.

kanshistogram

Uniform verdeelde toevalsvariabele kansverdeling waarin alle kansen gelijk zijn.

Kansverdelingen

In een vaas zitten 8 rode, 4 blauwe en 6 witte knikkersJantine pakt met terugleggen 3 knikkers uit de vaasX = het aantal rode knikkers dat Jantine paktY = het aantal verschillende kleuren dat Jantine pakt

P(X = 2) = P(2r)

= · P(rrr) = · · ≈ 0,329

P(Y = 3) = P(rbw) + P(rwb) + P(brw) + P(bwr) + P(wrb) + P(wbr)

= 6 · P(rbw) = 6 · · · ≈ 0,198

32

32

818

1018

818

418

618

2

voorbeeld

De gebeurtenissen G1 en G2 zijn onafhankelijk als

P(G1 onder de voorwaarde G2) = P(G1).

P(X = 1 onder de voorwaarde Y = 0) = P(X = 1)dus de gebeurtenissen X = 1 en Y = 0 zijn onafhankelijk.

P(X = 0 onder de voorwaarde Y = 0) ≠ P(X = 0)We zeggen dat de toevalsvariabelen X en Y afhankelijk zijn.

De toevalsvariabelen X en Y zijn onafhankelijk als voor elkemogelijke x en y geldt :

P(X = x onder de voorwaarde Y = y) = P(X = x).

Onafhankelijke toevalsvariabelen

64

X = de leeftijd van de leerlingY = het aantal keer dat de leerlingin Griekenland op vakantie was.

a P(X = 15 onder de voorwaarde Y = 0) = = 0,5

b P(X = 17 onder de voorwaarde Y = 0) = = 0

c P(X = 15 onder de voorwaarde Y = 1) = = 0

d P(X = 17) = ≈ 0,188

P(X = 17 onder de voorwaarde Y = 0) = 0

2550

050

025

1580 Niet gelijk, dus X en Y zijn niet

onafhankelijk.

Voorbeeld

opgave D 1

Eline gooit met vier zuivere dobbelstenenBereken de kans dat zij:

a) Met elke dobbelsteen meer dan 4 ogen gooit.b) Geen enkele zes gooit.c) Met minstens 1 dobbelsteen meer dan twee ogen gooit.

a P(5of 6 , 5of 6, 5 of 6, 5of 6)

b P( geen 6,geen 6,geen 6,geen 6)

c 1 - P(0 keer 2 ogen of 1 maal 2 ogen)

Vertaal de opgave eerst naar een ‘Kans op’ notatie, dus

P( ………… )

opgave D 5

Een vaas bevat zeven groene en vijf blauwe knikkers.Lisette pakt 1 voor 1 knikkers uit de vaas. Ze gaat daarmee door totdat zij een groene knikker pakt.Bereken de kans dat zij:

a) Twee knikkers moet pakken.b) Vijf knikkers moet pakken.

a P( b g)

b P( b b b b g)

opgave D 6

Jeroen gooit een aantal keer met drie dobbelstenen.

a) Bereken de kans dat hij bij 20 keer gooien precies 2 keer ‘som 4’ krijgt.

b) Bereken de kans dat hij bij 10 keer gooien precies 1 keer minstens 17 ogen gooit.

c) Jeroen wil zo vaak met de drie dobbelstenen gooien, dat de kan op minstens 1 keer som is 17 groter is dan 0,4.Bereken hoe vaak Jeroen minstens moet gooien.

a P( som = 4) =Bij 20 keer gooien P ( 2 keer som 4) =

b P( minstens 17) = P (17) of P(18) =

Bij 10 keer gooien P( 1 keer minstens 17) =

c P (som = 17 ) =P( minstens 1 keer ) = 1 – P( geen keer)

opgave D 7

Cees en Jan poolen al jaren tegen elkaar. Uit ervaring is bekend dat de kandat Cees wint 0,7 is. Dus de kans dat Jan wint is 0,3. Cees en jan spelen eenwedstrijd over maximaal vijf partijen. Degene die als eerste drie partijenwint is de winnaar.Bereken de kans dat:

a) De wedstrijd na 4 partijen is afgelopen.b) Cees de wedstrijd wint.

a P( ccjc) + P( cjcc) + P(jccc) + P(jjcj) + P(jcjj) + P(cjjj) =

b P( ccc) + 3 x P( ccjc) + 6 P( jjccc) =

opgave D 8

De sectie wiskunde bestaat uit negen mannen en zeven vrouwen.

a) Voor een bijscholingscursus worden willekeurig 5 sectie leden gekozen. Bereken de kans dat er precies 3 vrouwen bij zijn.

b) Elk jaar wordt door loting de sectie voorzitter aangewezen.Bereken de kans dat in vijf opeenvolgende jaren 3 keer een vrouw sectievoorzitter uit de bus komt.

a P( 3v 2m) = zonder teruglegging

b P( 3v 2m) = met teruglegging

opgave D 10

Robert laat de schijf uit figuur 6.27 twee keer draaien. Hierbij is:X = de som van de aangewezen getallen.Y =het niet negatieve van de aangewezen getallen.

a) Bereken exact P( X = 10), P(x <= 8 ) en P( Y> 0 ).b) Zijn X en Y onafhankelijke variabelen? Licht toe.

a P( 3v 2m) = zonder teruglegging

b P( 3v 2m) = met teruglegging