Uit de ivoren toren: rekenen in beroepscontexten

Nieuwe Wiskrant 31-1/september 2011 39

InleidingEr wordt veel geklaagd over de rekenvaardighedenvan leerlingen in het beroepsonderwijs. Maar wat is nuprecies het probleem? En vooral: hoe lossen we hetop? In dit artikel bespreken we één manier omberoepsspecifiek rekenen te oefenen, namelijk meteen computerprogramma dat rekenen integreert meteen beroepstaak.

Er zijn uiteraard leerlingen die niet goed hebben lerenrekenen in het basisonderwijs of bij wie het is weggezaktin het voortgezet onderwijs. Maar dat is niet het hele ver-haal. Zelfs als een leerling redelijk heeft leren rekenen,kan hij zijn rekenvaardigheden niet altijd goed toepassenin een beroepscontext. De wetenschappelijke literatuurlaat zien dat er grote verschillen zijn tussen schools enberoepsgericht rekenen en dat de transfer van het enetype naar het andere verre van triviaal is. Zodra je gaatrekenen in een beroepscontext, kan het namelijk inge-wikkeld worden. Dat komt meestal niet doordat hetrekenen op zichzelf zo moeilijk is, maar doordat deoplossing van een probleem op de werkvloer veel meervergt dan het oplossen van een rekensom. Een authen-tiek probleem vraagt om mathematiseren of modellerenen het afwegen van allerlei verschillende factoren. Steen(2003, p. 55) vult aan: “Mathematics in the workplacemakes sophisticated use of elementary mathematicsrather than, as in the classroom, elementary use ofsophisticated mathematics.”

Wat heeft dit voor consequenties voor het beroepson-derwijs? De kracht van abstractie en generalisatie is dathet toepassingsbereik groot is, maar de meeste studen-ten in het beroepsonderwijs vinden rekenen en wis-kunde lastig, abstract en vaak ook irrelevant (Onstenk,2002). Dat suggereert dat we voor hen het rekenenmoeten koppelen aan hun complexe praktijk. Dan zienze het nut ervan in en kunnen ze het ook toepassen.

In dit artikel illustreren we een voorbeeld vanberoepsgericht rekenen uit het middelbaar laboratori-

umonderwijs. Ons doel is om te laten zien hoe studen-ten effectief en efficiënt beroepsgerichterekenvaardigheden kunnen ontwikkelen. Zoals onsonderzoek laat zien, kan dit met een computerpro-gramma dat wij hebben ontwikkeld, de ‘verduntool’.Deze tool is gratis toegankelijk op internet.1

fig. 1 Prepareren van verschillende bekende concentraties alsvoorbereiding op het maken van een kalibratielijn.

Verdunnen Het rekenen dat we onder de loep nemen, is gekop-peld aan het verdunnen van vloeistoffen. Studentenvan de middelbare laboratoriumopleidingen leren omconcentraties van allerlei stoffen in water te bepalen.Daarvoor kun je een spectrofotometer gebruiken. Diemeet de extinctie (uitdoving) van het laserlicht datdoor de vloeistof schijnt en wordt tegengehoudendoor de te meten stof, maar dit werkt alleen nauwkeu-rig bij lage concentraties. Je moet dus meestal flinkverdunnen voordat je een concentratie kunt meten.Veel studenten vergeten vervolgens om de gemetenconcentratie terug te rekenen naar de oorspronkelijkeconcentratie. Een veel gebruikte manier is om metverdunningsfactoren te werken: als je met een factortien verdunt, moet je uiteindelijk ook met een factortien vermenigvuldigen om de oorspronkelijke concen-tratie te bepalen. Zie bijvoorbeeld opgave 2 uit devoortoets (figuur 2). Een veelgemaakte fout is dat stu-denten verdunningsfactoren optellen in plaats vanvermenigvuldigen (zie opgave 3 in de voortoets).

Uit de ivoren toren: rekenen in beroepscontextenRubriek

De rubriek Uit de ivoren toren wil een bijdrage leveren aan het overbruggen van de klooftussen onderzoek en onderwijs door de resultaten van recent wetenschappelijk onder-zoek te vertalen in bruikbare conclusies voor de praktijk van het wiskundeonderwijs. Indeze aflevering beschrijven Arthur Bakker, Monica Wijers, Djonie Groenveld enHuub Nilwik tot welke concrete bevindingen hun PROO-onderzoek naar rekenen in be-roepscontexten heeft geleid.

40 Uit de ivoren toren: rekenen in beroepscontexten

fig. 2 Deel van de voortoets van het onderwijsexperiment. Deantwoorden worden gegeven aan het eind van dit artikel.

Om een onbekende concentratie te vinden, is over hetalgemeen een kalibratielijn nodig, maar die is alleenbruikbaar in het zogenaamde ‘lineaire gebied’ – waar deextinctie in de spectrofotometer lineair afhankelijk isvan de concentratie van de stof. Aan de hand vanbekende concentraties kunnen we metingen doen, endoor de gevonden punten stellen we een kalibratielijnop met behulp van regressie. Daartoe is enig rekenwerknodig, zoals in opgave 5 van de voortoets (figuur 2).

fig. 3 Meten van de verschillende bekende concentraties met eenspectrofotometer en daaraan gekoppeld computerprogramma.

Het werken met verdunningsfactoren is een vorm vanverhoudingsgewijs redeneren en het is bekend dat leer-lingen vaak moeite hebben met verhoudingsgewijsrekenen. Maar, zoals eerder aangekondigd, dit is slechtseen deel van het verhaal. Hoewel wij als auteurs menengoed te kunnen rekenen, moesten we toch steeds weerhard nadenken over het beroepsgerichte rekenen van

de analisten. Wij wisten aanvankelijk niet genoeg overhet meten met een spectrofotometer om te begrijpenwat het lineaire gebied en detectiegrenzen zijn waarbin-nen precies gemeten kan worden. Een term als ‘salicyl-zuur’ maakte ons onzeker: wat doet zo’n chemischestof als je er water bij doet? Dit soort omringende ken-nis en bijkomende onzekerheid maken het beroepsge-richte rekenen lastig. Alle geïnterviewde docentenbenadrukten dat studenten en veel analisten het reken-werk rondom verdunningen moeilijk blijven vinden,terwijl het toch heel belangrijk is in het beroep. Webesloten daarom een applet te maken waarmee ze ditkonden oefenen.

Verduntool Computerprogramma’s bieden de mogelijkheid omberoepsgericht rekenen aantrekkelijk te maken. Teneerste kan een applet de situatie visueel en tastbaarmaken. Het abstracte rekenen kan worden gekoppeldaan handelingen die studenten gewend zijn van hetlabwerk, bijvoorbeeld pipetteren, met gedeminerali-seerd water aanvullen, en het cuvet in de spectrofoto-meter doen. Ten tweede kunnen studenten ermeewerken waar en wanneer ze maar willen, ook als ergeen medestudent, docent of stagebegeleider is die zekan helpen. Ten derde kan een applet meteen feed-back geven. De verduntool geeft niet alleen aan of hetantwoord goed is, maar biedt ook een hulpfunctie metuitleg over bepaalde rekenstappen.

Het overkoepelende leerdoel is dat studenten de con-centratie van stoffen in een monster kunnen bepalen.De subdoelen zijn:a. Kunnen kiezen of berekenen van een geschikte

verdunningsfactor;b. Uitslagen van kleurstrips en spectrofotometer

kunnen interpreteren;c. Extinctieformule (extinctie = constante k * con-

centratie) correct kunnen toepassen;d. Uit de concentratie van een meetmonster de con-

centratie van het oorspronkelijke monster kunnenberekenen;

e. Kalibratielijn kunnen opstellen met vastgesteldegrenzen.

We hebben in ons onderzoek de hypothese getoetst ofstudenten van de laboratoriumopleidingen met deverduntool het rekenen rond verdunningen effectiefen efficiënt kunnen leren. Met effectief bedoelen wedat ze de belangrijkste rekenvaardigheden goed leren,en dit maten we met voor- en natoetsen. Met efficiëntbedoelen we dat het onderwijs weinig tijd en geldkostte: het waren korte interventies van 50-90 minu-ten met weinig docentinspanning. Bovendien was het

Opgave 2Je wilt de concentratie nitraat in een monster vijverwaterweten. Hiertoe pipetteer je 10 ml in een maatkolf van 250ml en vult aan met demiwater. De concentratie nitraat dieje vindt, is 0,03 mg/L. Wat was de concentratie nitraat inhet oorspronkelijke monster? Geef je berekening en geef jeeindantwoord in twee significante cijfers!

Opgave 3Je wilt de concentratie kalium in een monster slootwaterweten. Hiertoe pipetteer je 10 ml in een maatkolf van 100ml en vult aan met demiwater. Hieruit pipetteer je nog-maals 10 ml in een maatkolf van 50 ml en vult aan met de-miwater. De concentratie kalium die je vindt, is 0,021 mg/L. Wat was de concentratie kalium in het oorspronkelijkemonster? Geef je berekening en geef je eindantwoord indrie significante cijfers!

Opgave 5Je hebt een standaardoplossing calcium-ionen van 1000mg/L en je wilt bij het maken van een verdunningsreekseen concentratie maken van 250 mg/L in een maatkolf van100 ml. Hoeveel ml standaardoplossing moet je pipetterenen waarom?


programmeren van de verduntool niet erg duur (300uur programmeertijd). Verder wilden we weten wat destudenten en docenten van het werken met de ver-duntool vonden.

Beschrijving van de verduntoolEr zijn verschillende typen opgaven mogelijk, vanmakkelijk naar moeilijk. De rode draad in het pro-gramma vormt de kleurschakering: een lichte kleurgeeft een lage concentratie aan, of het nu om een stofin een maatkolf gaat of om de kleur langs de as van eengrafiek.

fig. 4 Oplossing 10 keer verdund; de resulterende kleur past bijde concentratie van 30 mg/L op de meetstrip (zie pijl).

In het eerste type opgaven hoeven studenten alleeneen kleur van een kleurstrip af te lezen. In het tweedetype moeten ze eerst verdunnen, aflezen en vervol-gens terugrekenen naar de oorspronkelijke concentra-tie (figuur 4).

In het derde type opgaven moeten ze geschikte ver-dunningen kiezen om binnen het meetbereik van eenspectrofotometer te komen (figuur 5).

De opgave wordt moeilijker als er twee keer achterelkaar verdund moet worden. Het aflezen van degemeten concentratie kan eerst nog in een grafiek,maar in het vierde type opgaven moeten studenten dieberekenen aan de hand van de extinctieformule(figuur 6).

Tot slot oefenen studenten in het vijfde type opgavenmet berekeningen rond het opstellen van een kalibra-tielijn (figuren 7 en 8).

fig. 5 Oplossing is vijf keer verdund om binnen meetbereik tekomen.

fig. 6 De extinctiewaarde is gemeten en met de formule kan nude concentratie worden berekend.


fig. 7 Verdunningen zijn gemaakt. De concentratie van maat-kolf 3 moet nog worden ingevuld voordat een kalibratielijn kanworden opgesteld.

fig. 8 Bij de verdunningsreeks is de kalibratielijn (regressielijn)gemaakt.

Aanpak De verduntool is eerst uitgetest met tweetallen stu-denten van het Drenthe College en twee eerste klassenvan ROC Midden Nederland. Hierbij waren steedsenkele onderzoekers aanwezig. Er zijn ook monde-linge en schriftelijke uitspraken van studenten verza-meld om een indruk te krijgen van hun motivatie ommet de verduntool te werken. Op basis van de ervarin-gen is de tool verbeterd. Zie tabel 1 voor informatieover de deelnemers aan het onderzoek en de gevolgdeprocedure. De schriftelijke voor- en natoetsen beston-den uit vijf opgaven (figuur 2) die zonder applet wer-den opgelost. Vier docenten van de labopleidingenmeenden onafhankelijk van elkaar dat de voor- en

natoets even moeilijk waren. De antwoorden staanaan het eind van het artikel. In ROC Midden Neder-land heeft de docent kort klassikaal enkele opgavenbesproken maar in alle andere gevallen hebben stu-denten zelfstandig aan de verduntool gewerkt.

Meningen over het werken met de verduntoolVan de 123 verzamelde uitspraken waren er 79opmerkingen positief (64%). We citeren enkele veelvoorkomende termen en zinsneden: “Leuk, grappig,goed verzonnen, veel geleerd, je weet meteen of je hetgoed hebt, ik zie het voor me, kan het beter onthou-den, duidelijker dan leraar.” Hieruit spreekt dat de stu-denten, zelfs met de eerste versie van de verduntool,over het algemeen gemotiveerd waren en het visuelekarakter met de feedback waardeerden. Een voor-beeld van een negatieve uitspraak (vooral van studen-ten die goed konden rekenen): “Het is steeds

Tabel 1: Informatie over de deelnemers en procedure

Opleiding (periode) en aantalstudenten (eerstejaars behalvein Groningen)

Procedure

Drenthe College (2009-2010)10 studenten

- acht opgaven in tweetallenachter de computer

ROC Midden Nederland(2009-2010)44 studenten

- voortoets (25 minuten)- les 1 (45 min.)- les 2 (discussie en 45 minu-ten tool)- natoets (25 minuten)

ROC Zeeland (winter 2010)24 studenten

- voortoets, aansluitend 50zelfstandig werken aan ver-duntool en natoets de weekerna

ROC Zeeland (winter 2011)32 studenten

- voortoets, aansluitend zelf-standig werken aan verdunt-ool, natoets week erna

Noorderpoort Groningen(voorjaar 2011) 30 derdejaars

- voortoets- 90 minuten verduntool (natwee weken)- natoets (weer 12 dagen later)

ROC Leiden (winter 2010)Klassen met vooropleidingvmbo-kader en basisberoeps17 respectievelijk 15 studen-ten

Experimentele groep:- Voortoets, uur werken metverduntool en natoets de weekerna

Controlegroep: - voortoets, gewone les (nietover verdunningen)- natoets week erna

ROC Midden Nederland(winter 2011)18 respectievelijk 15 studen-ten

Experimentele groep:- voortoets, uur werken metverduntool en natoets de weekerna

Controlegroep: - voortoets, gewone les oververdunningen (uur)- natoets week erna


hetzelfde.” Een neutrale uitspraak was: “Het ging welgoed.”

Ook docenten meldden spontaan hun enthousiasme.Een docent wiskunde en chemie emailde ons: “Ik hebdit jaar in mijn eerste klas echt het idee dat het werkt. Erzijn minder problemen met berekeningen via verdun-ningen.” De Stichting Consortium Beroepsonderwijsheeft de verduntool opgenomen in twee projectwijzersvoor de labopleidingen. Docenten – ook uit de chemie-en biologiesecties – prezen het visuele en modernekarakter van de verduntool, en de directe feedback. Stu-denten gaan zo voor hun gevoel niet af voor de docentof voor elkaar, en als ze meer willen oefenen, kunnen zethuis verder. Bovendien brengt de tool wiskunde- enchemiestof samen terwijl die normaal verspreid overhet jaar aan de studenten wordt aangeboden. Dat laatsteis relevant gezien het karakter van beroepsgericht reke-nen: de moeilijkheid zit niet alleen in het verhoudings-gewijs rekenen maar vooral ook in de verbinding metde – in dit geval chemische – context.

LeerresultatenDe leerwinst is gemeten met voor- en natoetsen. Deresultaten (tabel 2) laten zien dat de vaak als moeilijkervaren berekeningen toch effectief en efficiëntgeleerd werden. In 50 tot 90 minuten boekten studen-ten gemiddeld een statistisch significante leerwinst inalle klassen die met de verduntool gewerkt hebben.

Er is op twee opleidingen ook met controlegroepengewerkt. In Leiden volgde de controlegroep een regu-liere les waarin de verduntool niet gebruikt werd enwaarin geen aandacht voor verdunnen was. Hoewel deklassen niet significant verschilden op de voortoets,scoorde de experimentele groep ondanks de korte erva-ring met de verduntool significant hoger dan de contro-legroep. Beide (vergelijkbare) klassen hadden eenvooropleiding in het VMBO kaderberoeps; dat verklaartvermoedelijk hun lagere score op de voortoets.

Maar wat is de meerwaarde van het computerpro-gramma nu boven een reguliere les over verdunnen?Om dit te onderzoeken hebben we het jaar erna eendocent van ROC Midden Nederland gevraagd in deene groep de verduntool te gebruiken en in de andere

(vergelijkbare) groep het verdunnen op de gebruike-lijke wijze te onderwijzen (eigen lesmateriaal, pen-en-papier, schoolbord). Ook nu bleek de experimentelegroep het significant beter te doen dan de controle-groep (tabel 3). De controlegroep was niet significantvooruitgegaan (6,0 naar 6,5), terwijl de experimentelegroep van 5,7 naar 8,1 steeg.

Conclusies en discussieDe resultaten laten zien dat het mogelijk is om effectiefen efficiënt beroepsgericht rekenen te oefenen metbehulp van geschikte software. Verder waren de stu-denten en hun docenten over het algemeen positiefover de verduntool en het werken ermee. We vindenhet opvallend dat het werken met de verduntool zelfstot significant betere resultaten leidde dan in de contro-legroep, die uitleg kreeg van de docent en oefende methet gebruikelijke lesmateriaal. Dit wijst er vermoedelijkop dat het visuele karakter van de tool en de koppelingaan praktijkhandelingen de studenten helpen om tebegrijpen wat ze doen en te onthouden hoe de bereke-ningen werken. Verder denken we dat een sterk punt isdat wiskunde en chemie worden samengebracht. In demeeste curricula blijken de berekeningen rond verdun-ningen en gerelateerde begrippen als correlatie enregressie verspreid over het eerste jaar voor te komen,en verspreid te zijn over de wiskunde- en chemieboe-ken. Het bijeenbrengen in één computerprogrammaheeft volgens de betrokken docenten grote voordelen.

Hoewel rekenen lastig blijft voor veel leerlingen, laatons onderzoek zien dat onderwijs met speciaal ont-worpen computerprogramma’s tot grote leerwinst opberoepsspecifieke berekeningen kunnen leiden, zelfsals de docent geen instructie geeft. Dit wil niet zeggendat de docent overbodig wordt in lessen met zulkeprogramma’s. Wij denken dat de leerwinst nog groterkan zijn als de docenten specifieke problemen bespre-ken met hun leerlingen.

Tot slot: de verduntool is alleen onderzocht in enkelelabopleidingen, maar verschillende docenten en onder-zoekers hebben aangegeven dat de tool ook geschikt zouzijn voor scheikundelessen in het voortgezet onderwijs.

Arthur Bakker, Monica Wijers,Djonie Groenveld, Huub Nilwik

Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht

Tabel 2: Experimenten met voor- en natoetsen maar zonder controlegroepen

Voortoets gemiddeld

Natoets gemid-deld

Midden Nederland 2010 4,4 7,5

ROC Zeeland 2010 4,4 6,6

ROC Zeeland 2011 5,8 7,3

Groningen 2011 6,1 8,2

Tabel 3:

ROC Leiden experimenteel (N=15) 3,0 5,7

ROC Leiden controlegroep (N=17) 3,3 3,5

ROC Midden Nederland (2011) experimenteel 5,7 8,1

ROC Midden Nederland controlegroep 6,0 6,5


DankwoordHet onderzoek is gesubsidieerd door de Programmaraad voor On-derwijsonderzoek (PROO) van de Nederlandse Stichting voor We-tenschappelijk Onderzoek (NWO) onder nummer 411-06-205. Wijdanken alle betrokken docenten en studenten voor hun deelnameaan het onderzoek, in het bijzonder Ruud van Iterson (Drenthe Col-lege) en Paul Rutten voor hun belangrijke ideeën over de verduntool.

Antwoorden voor figuur 1

Opgave 2De verdunningsfactor is 250:10 = 25. Dus: 0,03 x 25 = 0,75 mg/L.

Opgave 30,021 x 5 = 0,105 mg/L (tweede verdunningsfactor was 50 : 10 = 5)

0,105 x 10 = 1,05 mg/L (eerste verdunningsfactor was 10)

Opgave 5Van 1000 mg/L naar 250 mg/L is de verdunningsfac-tor 4. Dus 100 ml : 4 = 25 ml

Noot[1] http://www.fi.uu.nl/toepassingen/00464/

toepassing_algemeen.html.

LiteratuurOnstenk, J. (2002). Beroepscompetenties, kernproble-

men en exacte vakken. In H. Sormani, J. Onstenk,R. Mulder, H. Van der Kooij, & E. Payens (Eds.),Exacte vakken en competenties in het beroepsonderwijs(pp. 7-26). ‘s-Hertogenbosch: CINOP.

Steen, L. A. (2003). Data, shapes, symbols: Achieving abalance in school mathematics. In B. Madison & L. A.Steen (Eds.). Quantitative Literacy: Why Numeracy Mattersfor Schools and Colleges (pp. 53-74). National Council onEducation and the Disciplines: Princeton, NJ.

Uit de ivoren toren: rekenen in beroepscontexten

Documents

Transcript of Uit de ivoren toren: rekenen in beroepscontexten