Tuibruggen in Voorgespannen Beton Deel II

TECHNISCHE HOGESCHOOL DELFT Afdeling der Civiele Techniek

Vakgroep Beton

Rapport 5-80-D6

TUIBRUGGEN

IN VOORGESPANNEN BETON

DEELI DEEL II DEEL III (FIGUREN)

IR. J. BRAKEL JUNI 1981

ONDERZOEKRAPPORT Betonkonstrukties

/ Q 3 ^^^c>

Technische Hogeschool Delft

Afdeling Civiele Techniek

Vakgroep Betonconstructies

Stevinweg 1, 2528 CN Delft

Rapportnr. DR-6

juni 1981

Technische Universiteit Delft Bibliotheek Faculteit der Civiele Techniek

(Bezoekadres Stevinweg 1) Postbus 5048

2600 GA DELFT TUIBRUGGEN

IN VOORGESPANNEN BETON

Deel II - tekst

STL

I r . J . Brakel

ai

Technische Hogeschool Delft

Afdeling der Civiele Techniek

^i|??.i U56113

3o^V 6e>t/

/ 6, —

I-l

TUIBRUGGEN IN VOORGESPANNEN BETON

Inhoudsopgave

TUIBRUGGEN• ALGEMENE INLEIDING

Afgetuide constructies

Wat verstaat men onder een tuibrug?

Stalen tuibruggen •-

Betonnen tuibruggen

Vergel i jk ing s t a a l - b e t o n b i j tuibruggen

Vergelijking harp-waaier

Vergelijking met hangbruggen.

Het onderzoek van betonnen tuibruggen aan de T.H. Delft.

TUIBRUGGEN• STATISCHE SYSTEMEN

Statische systemen bij tuibruggen

De enkelvoudige tuibrug

De dubbele en meervoudige tuibrug

De asymmetrische tuibrug.

TUIBRUGGEN. ONTWERP EN BEREKENING

Globale dimensionering. Grootste overspanning.

1. Harptuien

2. Waaiertuien

Bepaling van de krachtsverdeling met behulp van de computer.

Bepaling invloedslijnen (gecombineerd met 3.2)

Gewichtsbeschouwingen

De tuibrug als ontwikkeling uit de steigerloze uitbouw

met hulptuien.

Andere mogelijkheden van grote overspanningen te bereiken.

0. De invloed van afwijkende tuikrachtgrootte op de

krachtsverdeling

1. Toepassing van de Monte-Carlomethode op een brug met

een gering aantal tuien

2. De invloed van tuikrachtvariaties bij een tuibrug met

veel tuien

3. Conclusies.

1-2

TUIBRUGGEN. STIJFHEIDSVARIATIES

Stijfheidsvariaties. Algemeen

Variatie van de tuistijfheid

Variatie tuiconfiguratie (waaier-harp)

Invloedslijnen liggermomenten en tuikrachten bij

veel waaiertuien.

De tuibrug met veel waaiertuien en doorgaande,

vrij zwevende, ligger.

Variatie liggerstijfheid. Variatie pyloonstijfheid

Variatie in de elasticiteitsmodulus van het beton

Vaste steunpunten bij tuibruggen

Asymmetrische tuibruggen

Effect van verlengde zijoverspanningen (extra eindvelden)

Wel of geen inhangligger?

Effect van een scharnier in het midden

De doorgaande varstijvingsligg"er

De verbinding van ligger en pyloon

TUIBRUGGEN. TWEEDE-ORDE EFFECTEN

TIJDSAFHANKELIJKE EFFECTEN

Tweede-orde effecten. Algemeen

Tweede-orde effecten bij tuibruggen

Tweede-orde effect bij een uitkragende, afgetuide ligger

Tijdsafhankelijke effecten bij tuibruggen

Be invloeden van krimp- en kruipverschijnselen bij betonnen

tuibruggen en de mogelijkheid tot eliminatie ervan.

Het krimp- en kruipgedrag van de pyloon onder invloed

van de uitwendige voorspanning (door de tuien)

TUIBRUGGEN. WINDEFFECTEN

V/indeffecten bij tuibruggen .

Statische windbelasting _ ' • .

Dynamische windbelastingen

Resonantietrillingen

Fladdertrillingen (flutter)

1-3

5.4.1, Fluttertheorieën

6.'+.2. Flutteranalyse van de als ideale vliegtuigvleugel

geïdealiseerde brugligger

5.4.3. Positieve en negatieve demping

Toeneming bewegingsenergie bij flutter

5.4.4. De bewegingsvergelijking voor de flutterbeweging

van een brug

5.5. De eigen frequenties van^tuibruggen

5.5. Trilling van de tuikabel

6.5.1. De eigen frequenties van een tuikabel

6.5.2. Trillingen van tuikabels door loslaten van Karmanwervels

5.5.3. Trillingsdempers voor (tui)kabels

5.7, Samenvatting

5.8. Aanvullende literatuur .over windeffecten

7. DE TUIKABELS

7.0. Tuikabels. Algemeen .

7.1. Tuikabels, bestaande uit voorspankabels

7.2. De veerconstante van de gewichtsloze, rechte staaf of kabel

7.3. De effectieve rekmodulus van een tuikabel

7.3.1. De vervorming van de tuikabel

7.3.2. Afleiding van de ideële kabelrek

7.3.3. De hoekverandering van de doorhangende kabel

7.4. Variatie van de tuistijfheid door verkeersbelasting, e.d.

7.5. Vergroting van de kabelstijfheid door een stalen omhulling

7.5. Vergroting van de kabelstijfheid door een betonomhulling

7.7. Toelaatbare spanningen. Spanningswissellngen.DIN 1073

7.8. Keuze van de tuikabel

7.9. Bescherming van tuikabels

7.10. Tuiverankeringen

7.10.1. De HiAm-verankering

7.10.2. De Dyividag-verankering

7.10.3. Geprefabriceerde tuikabelverankeringen

7.11. Tuikabelopleggingen in de pyloon

7.12. Nastelbaarheid en verwisselbaarheid van tuikabels

7.13. Het aanbrengen en spannen van de tuien

I-If

8. DE VERSTIJVINGSLIGGER

8.0. De verstijvingsligger. Algemeen

8.1. De dwarsdoorsnede van de verstijvingsligger

8.1.1. De dwarsdoorsnede bij één centraal tuivlak

8.1.2, De dwarsdoorsnede bij twee tuivlakken

8.2. De langsdoorsnede van de verstijvingsligger

8.2.1. Verstijvingsligger met^inhangligger: zie 4.7

8.2.2. Verstijvingsligger met scharnier: zie 4.8

8.2.3. Doorgaande verstijvingsligger: zie 4.9

Verbinüing ligger-pyloon: zie 4.10 en 9.2,

8.2.4. Ligger vrij opgelegd ter plaatse van pyloon: zie 9,2,2. en 9.3.1.

8.2.5. Ligger vrij ingeklemd ter plaatse van pyloon: zie 9.2.3. en 9.3.1,

8.2.6. Ligger vrij zwevend ter plaatse van pyloon: zie 9.2.1.

8.2.7. Vaste steunpunten in de zij overspanningen: zie 4,4,

Korte zijoverspanningen: zie 4,5,

Doorgaande zijoverspanningen: zie 4.5

8.2.8. Langsvoorspanning bij tuibruggen

3.3. De.stabiliteit van de brugligger

9. DE PYLOON

9.0. Pyloonvormen

9.1. De vormgeving van de pyloon

9.1.1. Beschouwingen over de pyloondoorsnede

9.1.2. De vormgeving van de pyloon

9.1.3. De A^-vormige pyloon

9.1.4. De A-vormige pyloon

9.1.5. De buigstijfheid van de pyloon in langsrichting van de brug

9.2. De verbinding van de pyloon met de verstijvingsligger

9.2.1. De stijve verbinding

9.2.2. De scharnierende verbinding

9.2.3. Geen verbinding tussen pyloon en ligger

9.3. Verbinding van pyloon met pijler

9.3.1. Scharnierende of buigstijve verbinding

1-5

9.4. De stabiliteit van de pyloon

9.4.1. 'De stabiliteit van de pyloon in langsrichting

9.4.1.1. De kniklast van de aan de voet ingeklemde pyloon,

die aan de top verend wordt vastgehouden. Voorbeeld.

9.4.1.2. De kniklast van de pyloon, waarvan de voet verend

in de fundering is ingeklemd en de top verend wordt

vastgehouden

9 . 4 . 1 . 3 . Vergel i jk ing met E I = co p p

9.4.2. De stabiliteit van de pyloon in dwarsrichting

9.4.2.1. Ue e"nkele pyloon met voetscharnier en centraal tuivlak

a. met waaiertuien

b. met harptuien

9.4.2.2. De (gedeeltelijk) ingeklemde pyloon

9.4.2.3. De (gedeeltelijk) ingeklemde pyloon, waarbij de

normaalkracht in uitgebogen stand naar een vast punt

is gericht.

9.4.2.4. De portaalvormige pyloon met volledige inklemming aan

de voet

9.4.2.5. De portaalvormige pyloon met gedeeltelijke inklemming

aan de voet

9.4.3. Sterkteberekening van de pyloon

9.4.3.1. Principe van de berekening van een pyloon m;et variabele

doorsnede en wapening.

9.4.3.2. De initiële uitbuiging van een staaf met variërende

stijfheid

9.4.3.3. De berekening van tweede- en hogere-orde momenten

en -vervormingen.

9.4.3.4. Het in rekening brengen van het eigen gewicht

9.4.3.5. De niet-prismatische pyloon

9.4.3.5. "Gebruiksaanwijzing" voor de stabiliteitsberekening

van een tuibrugpyloon (in langs- en dwarsrichting).

9.4.4. Stabiliteit van de pyloon tijdens de bouw

9.4.5. De wapening van een zware pyloon.

10. TUIBRUGGEN. BEZWIJKGEDRAG

10.1. Algem.ene veiligheidsbeschouwingen

10.1.1. Statistische benadering

10.1.2. De sem.i-probabilistische benadering

10.1.3. Methode van toelaatbare spanningen en belastingfactor

10.1.4. Belastingen en belastingeffecten

10.1.5. Variaties in eigen gewicht.

1-6

10.2. Beschouwingen over de veiligheid van tuibruggen

10.2.1. Aantal en afstand van de tuikabels

10.2.2, Aërodynamische stabiliteit

10.2.3, Vermoeiing

10.2.4. Brand en aanrijding

10.3. Onderzoek van het draagvermogen van een tuibrug

10.3.0. Beschrijving van de Constructie

10.3.1. Elastisch ontwerp van de brug

10.3.2. Berekening van de bezwijkbelasting

10.3.2.1. Uitgangspunten

10.3.2.2. Fysische en geometrische niet-lineariteit

10.3.2.3. Toeneming van de verkeersbelasting tot bezwijken

10.3.2.4. De benadering volgens de.CEB-FIP Model Code 1978

10.3.3. Andere bepaling van de bezwijkbelasting

10.3.4. Conclusies.

11. TUIBRUGGEN. UITVOERINGSPROBLEMEN

11.1. Inleiding

11.2. Steigerloze uitbouw

11.3. Uitbouvjen van een deel van de dwarsdoorsnede

11.4. Uitbouwen m.et hulptuien, met of zonder hulpligger

11.5. Uitbouwen met geprefabriceerde onderdelen

11.5. Bijzondere uitvoeringsmethoden

11.7. Het aanbrengen van de tuien

11.8. De invloed van variabele tuiafstanden op de krachts

verdeling in een tuibrug bij verschillende bouwstadia.

12. TUIBRUGGEN. BIJLAGEN

Bijlage 3.1: Door kabels ondersteunde liggers

1. Algemeen

2. Vrij opgelegd met puntlast in het midden

3. Vrij opgelegd met gelijkm.atig verdeelde belasting

4. Voorspanning van de tuikabel (in het midden)

5. Ligger met tui en puntlast op v/illekeurige plaatsen

5. De veerconstante van de schuine tuikabel

7. Vergelijking van de elastisch ondersteunde ligger

met een door tuien ondersteunde li^-ger.

1-7

Bijlage 3.2: Berekening van de krachtsverdeling in tuibruggen

met behulp van de com.puter

1. Inleiding

2. Opbouw computersysteem

3. Computerkosten

4. Programma's

5. Werking van het "rekongedeelte in een program.ma.

Bijlage 3.7.0: Methoden om de kracht in een tuikabel te meten;

nauwkeurigheid.

Bijlage 7.01

7.02

7.03

Staalhoeveelheid bij harptuien

" " waaiertuien

" voor de kabels van een hanp'orug

Bijlage 7.3: Afleiding van de formule voer de ideële ver-

vormingsmodulus E. van een doorhangende, schuine

kabel, bel;ist door een normaalkraciit "i en het

eigen gcv;icht g (Ernst)

Bijlage 7.3.3: Staaf, belast op buiging en normaalkracht (trek)

Bijlage 9.4.3.4: Benadering van de kniklast door eigen gewicht

Bijlage 9.4.3.5-1 : Tweede-orde effecten bij lineair-elastisch gedraj

iijlage 9.4.3.5-II : De eerste- en tv/eede-orde vervorming van een

pyloon met v/aaiertuien,

13, TUIBRUGGEN, LITERATUURLIJST

8. DE VERSTIJVINGSLIGGER

8.0. De verstijvingsligger. Algemeen

8.1. De dwarsdoorsnede van de verstijvingsligger

8.1.1. De dwarsdoorsnede bij één centraal tuivlak

8.1.2. De dwarsdoorsnede bij twee tuivlakken

8.2. De langsdoorsnede van de verstijvingsligger

8.2.1. Verstijvingsligger met inhangligger: zie 4.7.


8.2.3. Doorgaande verstijvingsligger: zie 4,9

Verbinding ligger-pyloon: zie 4.10 en 9,2

8.2.4. Ligger vrij opgelegd ter plaatse van pyloon: zie 9,2.2 en 9,3,1

zie 9,2,2 en 9.3.1

8.2.5. Ligger ingeklemd ter plaatse van pyloon: zie 9.2.3 en 9.3.1

8,2,5. Ligger vrij zwevend ter plaatse van pyloon: zie 9.2.1

8.2.7. Vaste steunpunten in de zij overspanningen: zie 4.4.

Korte zij overspanningen: zie 4.5.

Doorgaande zij overspanningen: zie 4.6.

8.2.8. Langsvoorspanning bij tuibruggen

8.3. De stabiliteit van de brugligger.

8.0.1

8.0 De verstijvingsligger

De verstijvingsligger van een betonnen tuibrug is altijd gecombineerd

met de rij vloerconstructie tot een samenwerkend geheel.

De verstijvingsligger dient

- om de belastingen tussen de tuiaansluitingen (eigen gewicht en

verkeersbelasting) naar deze aansluitingen over te dragen (zowel

in langs- als in dwarsrichting; zie ook fig.8.1.1.1);

- voor het opnemen van de buigende momenten door de verkeersbelasting,

ontstaan door de vormveranderingen van de tuien en de pyloon;

- voor het opnemen van de drukkrachten, veroorzaakt door de tui

krachten (eigen gewicht en verkeersbelasting);

- voor het opnemen van de buigende momenten tengevolge van temperatuur

(tuien, pyloon, ligger), krimp en kruip (pyloon, ligger);

- voor het opnemen van wringende momenten tengevolge van excentrische

belasting van de rijvloerconstructie, voor zover de tuien hiertoe

niet in staat zijn (één of twee tuivlakken);

- om een vloeiend verloop van de doorbuiging te waarborgen, zodat het

verkeer zo weinig mogelijk hinder ondervindt.

Daarvoor moet de verstijvingsligger dus aan minimale eisen van buig

en wringstijfheid voldoen.

Het opnemen van de belastingen tussen de tuien en van de drukkracht uit

de tuien is bijv. ook mogelijk met een ligger met scharnieren ter plaatse

van de tuien, mits de ligger voldoende gewicht heeft, zodat hij niet

(naar boven) kan uitknikken.

Bij het berijden ontstaan dan echter wel problemen (grote onderlinge

hoekverdraaiingen, grote plaatselijke doorbuigingen), afgezien nog van

de praktische problemen bij het realiseren van de scharnierende ver

bindingen en de kosten van de overgangsconstructies.

Daarom zal de verstijvingsligger zoveel mogelijk continu worden uitge

voerd, zeker het afgetuide deel ter weerszijden van de pyloon.

Daartussen worden soms scharnieren of inhangliggers toegepast.

Hierover is reeds het een en ander gezegd in 4.7 t/m 4.9.

Op de verbinding van ligger en pyloon is in 9.2 nader ingegaan.

Hier zal eerst iets over de dwarsdoorsnede worden gezegd, daarna over

de langsdoorsnede.

- 8.1.1. -

8 . 1 De dwarsdoorsnede van de verstijvingsligger

Bij het ontwerp van de dwarsdoorsnede spelen de volgende

aspecten een rol:

- statische eisen (sterkte en stijfheid in langs- en dwars

richting) ;

- aërodynamische eisen;

- tuiaanslui ting;

- pyloonontmoeting;

- ui tvoeri ng.

Het ontwerp van de dwarsdoorsnede kan niet los worden gezien

van de krachtswerking in dwars- en langs richting. De dwars

doorsnede moet in staat zijn grote normaalkrachten en

buigende momenten in langsri cht ing op te nemen; zie ook 3,1,1, 3.1.

i+. 1 . 1 en U.1,3. In vele gevallen moet hij ook in staat zijn

aanzienlijke wringende momenten over te brengen. Voor al deze

gevallen is het gunstig het materiaal ver van het zwaartepunt

van de doorsnede aan te brengen. Dit leidt in het algemeen

tot één- of meercellige kokerdoorsneden, waarbij de dwars

kracht door de lijven wordt overgebracht.

Verder moet de doorsnede in staat zijn krachten in dwars-

richting over te brengen. Voor het opnemen van de hieruit

voortvloeiende buigende momenten is de kokerdoorsnede - in

de vorm van een Vierendeeliigger - ook zeer geschikt, maar

voor het opnemen van dwarskrachten moet deze "Vierendeeliigger"

I meestal worden voorzien van dwars verst ij vingen in de vorm

van diagonalen of dwars s chot ten (met of zonder openingen); fig.8. 1.1.

Veelal wordt de doorsnede zo ontworpen dat de hier beschreven

functies in langs- en dwarsrichting niet apart, door afzonder

lijke onderdelen, worden vervuld, maar dat alle onderdelen in

meerdere of mindere mate aan alle functies meedoen en als

een geheel samenwerken (vergelijk orthotr ope-plaat i de e ).,

Bij niet te grote brugbreedten zal de hoogte van de doorsnede

meer worden bepaald door de eisen voor sterkte en stijfheid

in langsrichting dan door die in dw.arsrichting (zie ook hierna).

Er zal onderscheid worden gemaakt tussen:

- tuibruggen met een centraal tuivlak;

- tuibruggen met twee tuivlakken (wel of niet geheel buiten

de dwarsdoorsnede gelegen).

, • - ; • > . , . '

- 8.1.1.1 -

1 Dwarsdoorsnede bij één centraal tuivlak

Bij één centraal tuivlak kan de dwarsdoorsnede in principe

opgebouwd worden gedacht uit twee elementen (fig.8.1.1.1):

1. een symmetrische uitkraging, die de belasting in dwars-

richting overbrengt naar

2. een centrale langsligger (a.h.w. de ruggegraat ) , die de

belasting in langsri cht ing overbrengt naar de tuiaansluitingen

Voor een goed begrip van de krachtswerking is deze eenvoudige

wijze van voorstellen erg geschikt. Bovendien is het een

constructievorm, die zeker in aanmerking komt, en, in aangepaste

vorm, ook is toegepast (fig,8.1 , 1 .9) •

Gaan we (voorlopig) alleen van de dwarsdoorsnede uit, dan is,

bij aanname van een over de hele breedte gelijke totale opoer-2 vlakte van de doorsnede, het gewi cht g (per m ) over de breedte

constant en neemt het buigend moment naar het midden kwadra

tisch toe (fig.8,1.1.2).

M. = l gy^ \ ,. =1/8 gb-.

wil men bij de veronderstelling van een overal even dikke

onderen bovenflens (met doorsnede 3) de spanning a constant 2 houden, dan moet de hoogte h. evenredig met y verlopen, dus

ook narabolisch:

y B.h ^ ^ = c

y B.h

onstant (fig.8.1.1.2)

Hierin is h de afstand tussen de middens van onderen boven-y

flens ter plaatse y.

De spanning a tengevolge van eigen gewicht g moet laag worden

aangenomen, omdat hij door de verkeersbelasting nog aanzienlijk

kan worden vergroot. Bovendien kan bij grote breedte b de

doorbuiging aan de einden aanzienlijk zijn, als voor \ een

kleine waarde wordt gekozen.

Alleen rekening houdend met de krachtswerking in dwars ri chting

is een aanvaardbaar minimum voor h in het midden van de breedte

y = b = -iö-Doorgaans echter zal men een hogere waarde kiezen, omdat de

eisen voor sterkte en stijfheid in langs ri chting doorslaggevend

zijn (bij niet te grote brugbreedten).

- 8.1.1.2 -

Bij tuiafstanden in dezelfde orde van grootte als de brug-

breedte is een hoogte h ::: O , 1 b een goed uitgangspunt; bij

smalle bruggen gaat men wel tot h ~ 0 , 2 b. Deze hoogte wordt

echter meestal bepaald door de eisen voor de langsrichting

en dan uitgedrukt in de hoofdoverspanning L .

De zo verkregen dwarsdoorsnede (fig.8 . 1 .1 .2) is voor het moment

in dwarsrichting zonder meer gunstig, en bij toepassing van

dwarsschotten op geschikte afstanden (en passende dikte)

ook voor het opnemen van dwarskracht.

Voor het opnemen van drukkrachten in langsrichting is deze

doorsnede evenmin ongunstig (ofschoon de einden van de uit-

kragingen weinig bij zullen dragen tot de weerstand tegen

uitknikken). De doorsnede is echter vooral ongunstig voor

het opnemen van buiging in langsrichting, met name van druk

in de onderflens. De materiaalverdeling hiervan is wel zeer

ongunstig, waardoor er hoge drukspanningen in zullen optreden,

Hieraan wordt tegemoet gekomen door de onderflens over een

zekere breedte horizontaal te laten lopen en hem, indien nodig,

zoveel dikker te maken, dat de drukspanning kan worden opgenomen,

Men verkrijgt zo de doorsnede volgens fig.8.1.1.3, die o.a. in

Engeland voor verschillende brugontwerpen - geen tuibruggen -

is toegepast.

De dwarskracht in dwarsrichting kan worden opgenomen door de

reeds genoemde dwarsschotten, die echter geen bijdrage tot de

stijfheid in langsrichting leveren. De dwarskracht kan ook

worden opgenomen door een vakwerk van vertikalen en diagonalen,

als ges chets t in f ig.8 . 1 . 1 . i+. Als deze in langsrichting van de

brug plaatvormig doorlopen, leveren ze tevens een bijdrage

tot de langsstijfheid. Dit doorlopen heeft vooral zin voor

de vertikalen, omdat die tevens het brugdek ondersteunen en

zo de overspanning ervan reduceren. Het heeft veel minder zin

voor de diagonalen, waarvoor met een plaatselijke geconcen

treerde doorsnede kan worden volstaan, zowel voor trek als

voor druk,

- 8,1.1,3 -

Bovendien levert het storten van een doorgaand, schuin plaat-

vlak in een koker grote moeilijkheden op en wordt de koker

- vooral bij kleine hoogte - erdoor verdeeld in een aantal

vrijwel ontoegankelijke ruimten, die niet alleen het aan

brengen en weghalen van de bekisting bemoeilijken, maar ook

het eventueel aanbrengen van langs- en dwarsvoorspanning en

het verankeren van de tuikabels zeer lastig tot vrijwel

onmogelijk kunnen maken. Dit geldt ook voor de schuine buiten

wand van de kokerdoorsnede van fig, 8,1,1,5 bijv. als gewerkt

wordt met de steigerloze uitbouwmethode met ter plaatse storten.

Men geeft dan meestal de voorkeur aan rechthoekige kokercellen 3 2 ( fig .0 , 1 . 1 , 6).Men komt zo tot bet onhoeveelheden van 0,6-0,3 m /m ,

2 2 of liggergewichten van 15 a 20 kN/m (grindbeton) of 11-15 kN/m (lichtbeton), Aan tuiaansluiting, afwerking, asfalt, e.d. kan

2 . . hier nog 3 a 6 kN/m bijkomen.

Een goede toepassing van het voorgaande is de dwarsdoorsnede

van de Pont de Brotonne |33M , schematisch weergegeven in

fig. 8.1.1.7J een kokervormige doorsnede, die goed wringing

op kan nemen, in dwarsrichting verstijfd met geprefabriceerde

drukdiagonalen in voar-gespannen beton.

Bij toepassing van een centraal tuivlak zijn ook de doorsneden

van fig. 8.1.1.8 en 8.1.1.9 (vgl. Hoechst) logische vormen.

De vrij geringe stijfheid van een grote uitkraging van het

brugdek tegen doorbuiging tengevolge geconcentreerde lasten

kan gunstig worden beinvloed door toepassing van een lichte

randbalk, waardoor de plaatselijke vervorming door een gecon

centreerde last overeen grotere afstand in langsrichting

wordt gespreid ( f ig .3 .1. 1. 10 ), Als de randbalk onder het brugdek

wordt aangebracht, kan hij tegelijk hiermee worden gestort,

Dit is niet mogelijk - of erg lastig - als hij boven het

brugdek wordt aangebracht,.Wel kan hij dan tevens dienst

doen om uit de koers geraakte auto's op de brug te houden,

eventueel in combinatie met een vangrail (vgl, o.a.

Kleinpolderplein ;Cement 2, 1969 ).

8.1.2.1

8.1.2. De dwarsdoorsnede bij twee tuivlakken

Bij toepassing van één centraal kabelvlak moet de gehele wringing van

de ligger tengevolge van excentrische belasting in dwarsrichting

door de dwarsdoorsnede worden opgenomen, en wel over de afstand tussen

de punten, waar de wringing aan een andere constructie (of onderdeel)

kan worden afgedragen, bijv. de landhoofden, de pyloonpijlers of de

tussenpijlers. De meest geschikte doorsnede hiervoor is de één- of

meercellige kokerligger (fig.8.1.1.3 t/m 8.1.1.9).

Bij toepassing van twee tuivlakken is overdracht van wringing door de

ligger in principe niet nodig. De krachten, opgewekt door een in

dwarsrichting excentrische belasting, worden door de beide tuivlakken

opgenomen in de vonn van een vergroting van de tuikrachten aan de ene kant

en een verkleining van de tuikrachten aan de andere kant (fig.8.1.2.1). Dit

veroorzaakt dus ongelijke verlengingen van de tuien aan weerszijden,

dus dwarsvervorming van de ligger. Afhankelijk van zijn wringstijfheid

zal hij ook een deel van de wringing overbrengen.

Dit is ook afhankelijk van de afstand van de tuivlakken. Hoe groter

deze is des te meer wringing zullen de tuien opnemen.

Ook de stijfheid tegen vertikale verplaatsing van de tuien is van

invloed (dus de tuihoek). Naarmate deze groter wordt (meer naar 90 ),

zal de tui meer opnemen, en omgekeerd. In dit opzicht zijn waaier

tuien meestal gunstiger dan harptuien, hoewel bij de laatste de tui

lengte nabij de pyloon korter is.

Meestal worden bij twee tuivlakken de tuien buiten het rijbaangedeelte

aangebracht; voet-, rijwiel- en inspectiepaden mogen er buiten steken.

Dit betekent doorgaans een grote afstand van de tuivlakken en dus een

doorsnede die weining op wringing wordt belast.

Hiermee kan bij het ontwerp van de dwarsdoorsnede rekening worden

gehouden door het kiezen van een (grotendeels) open doorsnede in plaats

van een gesloten doorsnede (bijv. veel T-liggers naast elkaar in

plaats van een meercellige kokerligger).

Bij toepassing van twee tuivlakken kunnen eigen gewicht en verkeers

belasting op verschillende wijzen naar de tuien worden overgebracht

(fig. 8.1.2.2 ):

- door langsliggers, die hun belasting, overbrengen op dwarsdragers

tussen elk tuienpaar (fig. 8.1.2.2-a);

- door dwarsdragers, die hun belasting overbrengen op hoofdlangs-

liggers ter plaatse van de tuivlakken (fig. 8,1,2,2-b).

8.1.2.2

In het eerste geval heeft het zin de dwarsdragers wringstijf uit te

voeren (bijv. als kokerliggers), zodat bij plaatselijke belasting van

een langsligger de andere langsliggers niet alleen door de onderlinge

verbinding van de bovenflens meedoen aan de krachtsoverdracht, maar ook

door de wringweerstand van de dwarsdragers; fig. 8.1.2.2-a . Ook de tui-

verankering kan zo beter worden aangebracht.

In het tweede geval heeft het zin de hoofdlangsliggers wringstijf uit te

voeren, zodat bij plaatselijke belasting van een dwarsdrager de andere

dwarsdragers niet alleen via de gemeenschappelijke bovenflens meedoen

aan de krachtsoverdracht, maar ook via de wringstijve langsliggers;

fig. 8.1 .2.2-b.-Ket zal duidelijk zijn dat dit niet geldt voor een belasting,

die over de hele lengte aanwezig is. Ook hier geldt dat de tuiverankering

beter in een kokerligger kan worden ondergebracht.

In het eerste geval zullen alle langsliggers meedoen om de normaalkrachten

en de buigende momenten in langsrichting op te nemen; in het tweede geval

zijn hiervoor alleen de beide hoofdliggers beschikbaar, met een gedeelte

.van de bovenflens van de dwarsdragers; de hoofdliggers zullen op deze

krachten moeten worden gedimensioneerd. Bij kleine tuiafstand zijn de

buigende momenten relatief gering en kan met een geringe hoogte van de

doorsnede worden volstaan (TTT: a - -r— van de overspanning) .

De hoogte wordt dan meer bepaald door de toestand tijdens de bouw (•'/rije

uitkraging over iets meer dan de tuiafstand) dan door de bedrijfstoestand.

De tuibrug met twee hoofdliggers (ter plaatse van de beide tuivlakken),

verbonden door vele dwarsdragers, leent zich goed voor prefabricage, of

voor een combinatie van prefabricage en ter plaatse storten. Voor de beide

hoofdliggers komt zowel prefabricage als ter plaatse storten (bijv. steiger

loze uitbouw in moten van U a 5 m) in aanmerking. Dit beperkt tevens het

kraagmoment vlak voor de aansluiting van de volgende tui, omdat de tussen-

constructie (dwarsdragers) pas naderhand wordt aangebracht; die loopt als

het ware tenminste één tuiafstand achter. Voor deze dwarsdragers is

prefabricage welhaast aangewezen. De verbinding met de hoofdligger geschiedt

met een geringe hoeveelheid ter plaatse gestort beton en voorspanning.

Wel moet worden gezorgd dat de krachten uit onderen bovenflens (moment)

en lijf (dwarskracht) door de kokerligger kunnen worden opgenomen; hiervoor

zullen soms verstijvingen nodig zijn (zie ook hierna en fig. 11.3.2).

8.1 .2.3

De tuibrug met dwardragers ter plaatse van de tuien en vele langsliggers

leent zich minder goed voor prefabricage of zelfs steigerloze uitbouw, zonder

speciale maatregelen. De vrij lichte langsliggerconstructie staat geen grote

uitkraging, c.q. tuiafstand toe, waarbij tevens bedacht moet worden dat ook

de aansluitende dwarsdrager reeds geheel of grotendeels aanwezig moet zijn

om de tuiaansluiting te kunnen realiseren. Ook hier zou een tweetal verzwaarde

langsliggers ter plaatse van de tuivlakken het mogelijk kunnen maken deze -

met de tuiaansluiting - vooruit te bouwen en, na aansluiting van de tuien,

eerst de dwarsdrager te voltooien (bijv. als prefab element) en daarna de

overige geprefabriceerde) langsliggers aan te brengen (fig. 8.1.2.3).

Een goed voorbeeld van een tuibrug met twee tuivlakken en twee hoofdliggers

is de Pasco-Kennewickbrug over de Columbia River in Washington, U.S.A. [ SOj •

De doorsnede bestaat uit twee driehoekige kokers, aan de buitenzijde waarvan

de tuien zijn bevestigd (fig. 8.1.2.4), verbonden door geprefabriceerde,

wringslappe, T-vormige dwarsdragers. De wringstijfheid van het geheel in

langsrichting is vrij gering, maar die van de afzonderlijke kokers is wel

voldoende om te zorgen dat alle dwarsdragers ten naaste bij evenveel meedoen

bij het opnemen van het buigend moment in dwarsrichting tussen twee tui

aansluitingen. De buigstijfheid in langsrichting is, ondanks de vrij geringe

hoogte (.. „ van de overspanning), meer dan voldoende.

Een soortgelijke oplossing is toegepast door Ir. Van den Bronk in zijn

afstudeerwerk lAlS , een variant van de Willemsbrug in Rotterdam in voorge

spannen beton; fig. 8.1.2.5. De zeer geringe beschikbare constructiehoogte

van de middenoverspanning (1 ,6o m) leidde tot de aangegeven doorsnedevorm.

Tussen de kokervormige hoofdliggers zijn contactdwarsdragers aangebracht, die

met het oog op gewichtsbesparing van een met styropoorblokken opgevulde

holte zijn voorzien. Gebleken is dat de breedteafmetingen van de kok-ers

eigenlijk iets groter hadden moeten zijn om de langsvoorspanning beter te

kunnen bergen. De geringe beschikbare hoogte leverde overigens geen problemen op.

Het meewerken van een groot aantal dwarsdragers bij plaatselijke belasting van

één dwarsdrager kan ook worden verkregen door de hoofdligger te voorzien van

een brede onderflens, die een grote buigstijfheid heeft in dwarsrichting;

fig. 8.1.2.5. Ook hier is het effect bij belasting over de hele bruglengte nihil.

Hoewel iets minder effectief dan een kokerligger, kan deze doorsnedevorm uit een

oogpunt van vervaardiging voordelen bieden (eenvoudiger te maken dan een koker

ligger) .

8.1.2.^

Worden de tuien niet nabij de buitenzijde van de brugdoorsnede bevestigd,

maar veel meer naar het midden (fig. 8.1.2.7), dan kan de wringing minder

goed alleen door de tuien worden opgenomen en kan ondersteuning met een

wringstijve hoofdligger worden overwogen (tuibrug over de Main bij

Hoechst [255] ).

8.2.1

De langsdoorsnede van de verstijvingsligger

Uit een oogpunt van economisch bouwen is een prismatische verstijvings

ligger, met constante hoogte en doorsnede, het aantrekkelijkst (zie

ook 11.2).

Vaak is dit ook zeer goed mogelijk. In de doorsneden nabij de pyloon

overheerst weliswaar denorraaalkracht en in de doorsneden ver van de

pyloon overheerst het buigend moment, maar de combinaties van buiging

en normaalkracht kunnen vaak door eenzelfde doorsnede - zij het met

verschillende wapening - worden opgenomen.

Bij een combinatie van groot moment en grote normaalkracht (nabij de

pyloon dus) kan een aangepaste doorsnede uitkomst bieden (ook wat

sommige bouwmethoden betreft; zie o.a. 3.6).

In 8.0 is reeds aangegeven waarvoor de verstijvingsligger dient.

Bij een groot aantal tuien zijn de momenten uit eigen gewicht gering;

die uit de verkeersbelasting zijn van dezelfde orde van grootte als

bij een (relatief) gering aantal tuien. De liggerhoogte kan dan vrij

klein zijn ten opzichte van de overspanning: bij een dubbele tuibrug

(2 pylonen) tot ca. —-- van de afstand tussen de pylonen; bij een 200 ..

enkele tuibrug (1 pyloon) tot ca. ——r- van de grootste afstand tussen

pyloon en landhoofd.

Een grotere hoogte betekent een stijvere doorsnede, die een plaatselijke

belasting over een grotere lengte (dus over meer tuien ) verdeelt.

Omdat de verkeersbelasting echter maar in de orde van grootte van 10%

van de totale belasting is, is deze verdeling van de belasting in

langsrichting niet zo belangrijk (behalve bij het uitvallen of bezwijken

van een tui; zie 7.12 en 10.2.1),

De stijfheid van de ligger heeft ook geen grote invloed op de door

buiging in langsrichting. Deze wordt veel meer bepaald door de tui-

rekstijfheid en de buigstijfheid van de pyloon.

Grote invloed op de doorbuiging van een veld hebben vaste steunpunten

in de aangrenzende velden; ter plaatse van de vaste steunpunten kan

de afgetuide ligger niet opbuigen (bij belasting van het veld ernaast)

en dit komt de stijfheid van het geheel zeer ten goede. Dit is

behandeld in 4,4.

8.2.2

Bij de 2B"'-!B°® iBi_Y§B_YSEË!ÈiiY- ' SS-'- SS2-' ËB_2Yi22B nioet worden gezorgd

dat de krachten in de onderdelen zoveel mogelijk ongestoord door kunnen

lopen.

Bij een stijve verbinding van ligger en pyloon betekent dit dat zowel

de lijven als de flenzen van de verstijvingsligger door de pyloon heen

lopen (overbrengen . M, N en T) en dat de wanden van de pyloondoorsnede

door de ligger heen doorlopen (overbrengen N en M; geringe T); fig.8.2.1.

In het algemeen zal de pyloon veel kleinere dwarsafmetingen hebben dan

de ligger. Het overbrengen van een moment van de pyloon op de ligger en

omgekeerd - gebeurt dan ook in eerste instantie plaatselijk, in de

gemeenschappelijke doorsnede; dus beslist niet direct over de volle

liggerbreedte. Dit is pas het geval als de afstand ten naaste bij gelijk

is aan de liggerbreedte (principe van De St. Venant); zie ook 9.2.1 en 9.3.

Het meest ideaal is natuurlijk als de wanden van de pyloon samenvallen

met de lijven en/of dwarsschotten van de verstijvingsligger; fig.8.2.2.

Is dit niet het geval, dan kan een verlenging van de dwarswanden van de

pyloon over de hoogte van de verstijvingsligger een oplossing zijn lfig.8.2.3).

Als de pyloon en de ligger los van elkaar worden gehouden, bijv. zoals

schematisch voorgesteld in fig.8.2.4, zal moeten worden gezorgd dat de

krachten in de ligger om de pyloon heen kunnen lopen. Een centraal lijf

van de ligger - bijv. voor tuibevestiging - zal bijv. kunnen worden

gesplitst als aangegeven in fig.8.2.5, zodat de lij fkrachten om de pyloon

heen lopen. De hierdoor ontstane spatkrachten moeten natuurlijk ook

worden opgenomen. De krachten in de onderbroken flensgedeelten zullen

door plaatselijke verdikkingen kunnen worden opgenomen. Ook hier zullen

de trekkrachten, veroorzaakt door de richtingsveranderingen van de

normaalkrachten in de flenzen, op passende wijze - bijv. door voorspanning -

moeten worden opgenomen.

Als de lijven van de verstijvingsligger wel door kunnen lopen (.fig.8.2.5),

behoeft alleen de kracht in de flenzen te worden omgeleid.

Dit kan door een geleidelijke flensverdikking, maar ook kan de kracht

door een geleidelijke lijfverdikking in de lijven worden geleid (fig.8.2.5).

Als de ligger ter plaatse van de pyloon op een pijler is opgelegd, zal

een dwarsdrager ter plaatse ervoor kunnen zorgen dat de belasting gelijk

op de verschillende opleggingen wordt overgebracht (fig.8.2.5).

8.2.3

Voor de dubbele_gYloon is in fig.8.2.7 een stijve verbinding van ligger

en pyloon aangegeven; in fig.8.2.9 is de ligger opgelegd op een koppel-

balk van de dubbele pyloon. Hier kan nog weer gekozen worden tussen een

vaste, scharnierende verbinding (bijv. bij toepassing van een inhang

ligger) of een in langsrichting beweeglijke oplegging (roloplegging).

Zie ook fig.4.10.8 enn 4.10.9.

Soms wordt de voorkeur gegeven aan een zogenaamde "zwevende oplegging"

van de ligger ter plaatse van de pyloon (bijv. bij veel waaiertuien;

vooral om de verstoring van het momentenverloop door een starre oplegging

te vermijden). Hierbij is dus vertikale beweging mogelijk. Vaak zal men

echter wel de horizontale beweging willen beperken, in langsrichting of

in dwarsrichting, of in beide. Dit is mogelijk met een soortgelijke op

legging als wordt toegepast bij de scharnierende verbinding van de uiteinden

van twee kraagliggers (het zogenaamde dwarskrachtscharnier), maar nu

niet horizontaal, maar vertikaal. Het principe hiervan is weergegeven in

fig.8.2.8, twee korte buiseinden, het ene bevestigd aan de brugligger,

het andere aan de pyloon. De kunststof geleidestrip laat vertikale beweging

en (geringe) hoekverdraaiing toe, maar geen horizontale beweging.

In fig.8.2.10 is de toepassing aangegeven voor een tuibrug met dubbele

pyloon (zie ook fig.4.10.10), in fig. 8.2.11 is aangegeven hoe de

verbinding bij een enkele pyloon kan worden toegepast. Bij toepassing aan

weerszijden van de pyloon wordt ook een moment van de ligger op de pyloon

overgebracht. Als het scharnier van fig.8.2.8 onder en boven de ligger

wordt toegepast, kan ook wringing worden overgebrachr; zie ook fig.4.10.6

en 4.10.7.

Het toepassen van een variant oplegging tussen ligger en pyloon, voor het

opnemen van horizontale krachten, wordt in 9.2.3 behandeld.

Als de ligger ter plaatse van de pyloon niet is opgelegd - dus bijv. alleen

aan de tuien hangt jA.lö1 -, kan de pyloon onder de brug doorlopen.

Met het oog op het naar de pyloonvoet sterk toenemende buigend moment

verdient het echter aanbeveling de pyloondoorsnede naar onderen toe te

vergroten (zie 9.1.5 en fig.8.2.1 en 8 . 2 . 2 ) .

Hier werden alleen de gevolgen voor de ligger behandeld. Op de consequenties

voor de pyloon wordt in 4.10, 9.2 en 9.3 nader ingegaan.

Soms wordt de hoekverdraaiing door verkeersbelasting ter plaatse van het

landhoofd te groot, vooral bij spoorbruggen. Dit kan worden verbeterd

door de verstijvingsligger over één of twee velden voorbij het (oor

spronkelijke) landhoofd door te laten lopen (zie 4.6).

8.2.4

Zijoverspanningen, korter dan de helft van de hoofdoverspanning (bij

dubbele tuibruggen) of korter dan de hoofdoverspanning (bij enkele

tuibruggen), maar met dezelfde doorsnede als de hoofdoverspanning,

maken geen evenwicht met het brugdeel aan de andere kant van de pyloon.

Dit probleem is behandeld in 4.5.

De aanwezigheid van een inhangligger, een scharnier of een doorgaande

verbinding in de hoofdoverspanning (van een dubbele tuibrug) heeft

eveneens een grote invloed op het stijfheidsgedrag. Dit is behandeld

in de hoofdstukken 4.7 t/m 4.9.

Omdat de problematiek echter typisch betrekking heeft op het gedrag in

langsrichting van de brug, worden de hoofdstukken hier ook aangehaald,

onder verwijzing naar de plaats waar er meer over wordt gezegd.

8.2. 5

8.2.1. Verstijvingsligger met inhangligger: zie 4,7


8.2.3. Doorgaande verstijvingsligger: zie 4.9

Verbinding ligger-pyloon: zie 4.10 en 9.2

8.2.4. Ligger vrij opgelegd ter plaatse van pyloon: zie 9,2,2. en 9.3.1

8.2.5. Ligger ingeklemd ter plaatse van pyloon: zie 9.2.3 en 9.3.1

8.2.6. Ligger vrij zwevend ter plaatse van pyloon: zie 9.2.1

8.2.7. Vaste steunpunten in de zij overspanningen: zie 4.4.

Korte zijoverspanningen:' zie 4.5.

Doorgaande zij overspanningen: zie 4.6

8.2.8.1

2,8 Langsvoorspanning bij tuibruggen

In de verstijvingsligger van een tuibrug met een groot aantal

tuien - dus Kleine tuiafstanden - treden meestal door verkeers

belasting positieve en negatieve buigende momenten op die ten

naaste bij gelijk zijn. Onder deze omstandigheden zijn de buigende

momenten door eigen gewicht relatief gering tan opzichte van

die door verkeersbelasting, zodat een centrische voorspanning

het meest in aanmerking komt.

Vanzelfsprekend kan de centrische voorspankracht vaar alleen

buigende momenten worden verminderd met de drukkracht, die door

de horizontaal ontbondene van de tuikrachten wordt uitgeoefend,

Hierbij moet er wel rekening mee worden gehouden dat deze druk

kracht aangrijpt ter plaatse van de tuibevestiging als gecon

centreerde kracht, maar pas na een zekere afstand als ten naaste

bij gelijkmatig verdeeld over de doorsnede mag worden aangenomen.

Deze afstand is zowel bij een centraal tuivlak als bij twee tui

vlakken aan de buitenkant globaal gelijk aan de halve breedte

van de verstijvingsligger [spreiding onder 45 ]; veiliger is

misschien hiervoor 3/4 van de breedte te nemen (zie ook art, r-21'1

VB 1974],

Een gedeelte van de voorspanning kan gebogen worden uitgevoerd

(fig. 3,2.8.1], om de buigende momenten door eigen gewicht geheel

of gedeeltelijk door de krommingsdruk te compenseren.

Naarmate ds tuiafstand groter wordt en het aandeel van het eigen

gewicht in het totale moment toeneemt, heeft toepassing van gebogen

voorspanning meer zin. Zie ook 10.3.3.

Het effect van gebogen voorspanning kan in rekening worden gebracht

als vertikale belastingen op de verstijvingsligger, veroorzaakt

door de krommingsdrukken van de gebogen voorspankabels. Verder

moet rekening worden gehouden met de excentriciteitsmomenten,

normaal- en dwarskrachten op plaatsen waar voorspankabels ophouden

(c.q. beginnen; fig. 8.2.8.2].

Het gaat er hier dus om alléén de krachten die door de voorspan

kabels op de betonnen ligger worden uitgeoefend, in rekening te

brengen (op her geheel van de tuibrug].

8.2.8.2

Het effect van alleen de voorspanning kan ook in rekening worden

gebracht door de verstijvingsligger te berekenen als een gewichts

loze ligger op vaste steunpunten, alleen belast door voorspanning,

en de reacties hiervoor te bepalen (dus tengevolge van de zgn,

"parasitaire" momenten); dan deze reacties als acties - dus

omgekeerd - ter plaatse van de tuiaansluitingen te laten aan

grijpen en het effect op de krachtsverdeling in het geheel te

bepalen.

Voor tuibruggen met veel tuien, dus kleine tuiafstanden, zijn de

buigende momenten in de verstijvingsligger door eigen gewicht

gering ten opzichte van de momenten door de verkeersbelasting,

en heeft toepassing van gebogen voorspanwapening weinig zin,

Centrische voorspanning zal in het algemeen veel voordeliger zijn

(rechte kabels; geen bochtverliezen].

Ten behoeve van de bouw zal eventueel van een tijdelijke, extra

voorspanning gebruik kunnen worden gemaakt.

Opgemerkt wordt dat het effect van excentrische of gebogen voor

spanning bij tuibruggen met 9neindig_veel_tuien overeenkomt met

dat van centrische voorspanning van gelijke grootte (afgezien

van bochtverliezen]; alleen aan de einden zijn er [kleine] storings

zones [fig. 3.2.8.3] waarvan de grootte afhankelijk is van de

buigstijfheid van de ligger en de veerstijfheid van de tuien. Het

komt overeen met het probleem van de elastische ondersteunde

ligger van grote lengte, die aan de einden belast wordt door een

moment (bijv. tengevolge van excentrische voorspanning! en/of

door een dwarskracht (bijv. tengevolge van een vaste oplegging);

het overgrote deel van de ligger ter weerszijden van het midden

blijft recht (de kromming is nul); fig. 6.2.8.3.

Voorbeeld: in een voorgespannen wegdekplaat van grote lengte

veroorzaakt excentrische voorspanning alleen centrische druk,

behalve nabij de einden.

Gok als een verend ondersteunde ligger aan de einden star

ondersteund is (fig. 8.2.8.4], zal er in het midden - weer bij

voldoende lengte - een recht of nagenoeg recht deel zijn, (vrijwel)

zonder kromming, dus met alleen centrische druk tengevolge van

excentrische voorspanning (verend ondersteunde ligger met dwars

kracht aan de einden].

8.2.8.3

Een soortgelijk effect als excentrische voorspanning wordt veroorzaakt

door een temperatuurgradient in de ligger. Hierdoor wil de gewichts

loze ligger gaan krommen, wordt echter door zijn eigen gewicht weer

op de [verende] steunpunten gedrukt [of getrokken] en blijft over

een groot deel aan weerszijden van het midden recht of nagenoeg

recht (fig. 8.2.8.5]. Omdat hier de vrije temperatuurvervorming [in

de vorm van een kromming] geheel wordt belet, treedt het volle

temperatuurmoment op ffig. 8.2.8.B]. Naar de vaste eindopleggingen

toe neemt dit moment tot nul af; ter plaatse van de vaste tussen-

opleggingen ontstaan overgangsmomenten.

8.3.1

8.3 De stabiliteit van de brugligger

De brugligger van een tuibrug wordt belast door normaalkrachten,

samengesteld uit de horizontale ontbondenen van de tuikrachten. De

normaalkracht in de ligger neemt toe naar de pyloon toe, afhankelijk

van de tuiconfiguratie (rechtlijnig bij harptuien, parabolisch bij

waaiertuien; zie ook 1.5 en fig. 1.5.1-a.).

Bij een voldoende stijve pyloon, en ook bij een pyloon die wordt

vastgehouden door tuien naar een vast steunpunt (fig.8.3.1), kan de

ligger op zichzelf niet uitknikken in het vlak van de tuien; elke

"poging" daartoe wordt direct verhinderd door de tuien. Doordat de

tuien altijd op trek worden belast, kunnen ze zowel trek als druk

- het laatste in de vorm van een vermindering van de trekkracht -

opnemen. Het naar beneden uitknikken wordt belet door het toenemen

van de tuitrekkracht, het naar boven uitknikken wordt door het eigen

gewicht belet. Theoretisch kan zo zelfs een scharnierende ligger

(scharnieren ter plaatse van de tuiaansluitingen) niet uitknikken.

Een zekere kans op uitknikken bestaat bij grote tuiafstand, als het

deel van de ligger tussen twee tuien zou willen uitknikken. De kans

hierop is het grootste voor liggerdelen nabij de pyloon zonder tui

aansluitingen; daarin heerst de grootste drukkracht (fig. 8.3.2). In

het algemeen is reeds met een eenvoudige berekening aan te tonen dat

knikgevaar niet reëel aanwezig is. De zeldzame gevallen waarin dit

niet kan worden aangetoond, moeten nauwkeuriger worden onderzocht.

De kans op uitknikken van de ligger is reëel aanwezig bij een buigslappe

of scharnierende pyloon, zonder tui(en) naar een vast punt (fig.8.3.3).

De pyloon verzet zich niet (of onvoldoende) tegen het optreden van de

getekende vervorming, die onder zekere voorwaarden tot instabiliteit

kan leiden (slappe ligger, grote drukkracht, lange brug). Het is echter

duidelijk dat een dergelijke slappe constructie wegens de grote ver

vormingen in de praktijk zeker niet zal worden toegepast. Gezorgd

zal worden dat de pyloontop - of een ander punt op de pyloon daar in

de buurt - door tenminste één tui wordt gefixeerd aan een vast punt

(zie ook 9.4.1). De ligger kan eigenlijk alleen uitknikken in samenhang

met de pyloon; zie 9.4.1.

De ligger kan in principe wel op zichzelf uitknikken in zijn eigen

horizontale vlak. Dit belastinggeval is vrijwel identiek met dat van

een kolom, die alleen wordt belast door eigen gewicht of door een andere,

over de hoogte toenemende belasting. De behandeling van dit knikgeval

staat in elk goed mechanicaboek over stabiliteit (zie ook 9.4.3.4).

8.3.2

De kans op deze vorm van uitknikken is niet groot, omdat de brugbreedte

meestal aanzienlijk is, en daarmee het traagheidsmoment, dat, tezamen

met de lengte, de kans op uitknikken bepaalt (fig.8.3.4).

Uit deze figuur blijkt ook dat de kans op uitknikken ti2dens_de_bouw

veel groter is dan in de bedrijfstoestand, wanneer de ligger in het

algemeen zijdelings door de eindopleggingen wordt vastgehouden.

Eigenlijk hoeft dus alleen de bouwtoestand vlak voor het bereiken van

de eindopleggingen te worden nagegaan. Elke brughelft kan afzonderlijk

uitknikken en tussenopleggingen in een zij veld hebben dan ook geen

effect op het uitknikken van de hoofdoverspanning.

Als echter de oplegging ter plaatse van de pyloon een hoekverdraaiing

in het horizontale vlak toelaat (fig.8.3.5), wordt de kniklengte van

vrij uitkragende deel vergroot en de kniklast verkleind.

Voor bruggen met geringe breedte - bijv. enkel- en dubbelsporige

spoorbruggen -, relatief groot eigen gewicht en grote lengte is de kans

op instabiliteit tijdens de bouw niet denkbeeldig. Dit is onafhankelijk

van het aantal tuivlakken (één centraal tuivlak of twee symmetrische

tuivlakken).

De kans op zijdelings uitknikken wordt vergroot als de pyloon in dwars

richting duidelijk mee kan buigen (fig.8.3.5). Dit is vrijwel uitgesloten

bij een A-vormige pyloon in dwarsrichting. Hierbij blijven de tuikrachten

naar de pyloontop gericht en is het liggermoment in het snijpunt van

ligger- en pyloonas nul,

De kans op uitknikken tijdens de bouw kan worden gereduceerd door het

einde van de ligger door middel van nagenoeg horizontale tuien te

verbinden aan twee vaste punten op de andere oever (fig.8,3,7). Dit kan

bezwaren opleveren bij eventuele scheepvaart.

De hier bedoelde stabiliteitsgevallen zijn niet nader onderzocht.

Ze zijn zelden van betekenis. Daarom is hier volstaan met een aanduiding

van enige gevallen waarin er wèl aandacht aan moet worden besteed en

van factoren, die een ongunstige invloed kunnen hebben.

Op basis van de in 9.4 aangegeven stabiliteitsberekeningen voor de

pyloon zal het mogelijk zijn ook voor deze gevallen een verantwoorde

stabiliteitsberekening op te zetten.

8.3.3

Bij zeer lange uitkragingen met één centraal tuivlak bestaat tijdens

de bouw kans op instabiliteit door een combinatie van buiging en

torsie, vooral als de doorsnede vrij wringslap is. Deze kan bijv.

door windbelasting worden ingeleid, eventueel gecombineerd met een

excentrische belasting in dwarsrichting. De ligger gaat dan torderen

om zijn as, het buigtraagheidsmoment van de gedraaide doorsnede neemt

af, de horizontale uitbuiging neemt toe en instabiliteit kan het

gevolg zijn (fig.8.3.8). Het verschijnsel is verwant aan kippen.

Verwezen wordt naar het artikel: Das Biegedrillknickproblem des

Kragtragers; Bauingenieur 6/1972,' p.200-203.

9. DE PYLOON

9.0. Pyloonvormen

9.1. De vormgeving van de pyloon

9.1.1. Beschouwingen over de pyloondoorsnede

9.1.2. De vormgeving van de pyloon

9.1.3. De A -vormige pyloon

9.1.4. De A-vormige pyloon

9.1.5. De buigstijfheid van de pyloon in langsrichting van de brug





9.3. Verbinding van pyloon met pijler


9.4. De stabiliteit van de pyloon

9.4.1. De stabiliteit van de pyloon in langsrichting

9.4.1.1, De kniklast van de aan de voet ingeklemde pyloon, die

aan de top verend wordt vastgehouden. Voorbeeld

9.4.1.2, De kniklast van de pyloon, waarvan de voet verend in de

fundering is ingeklemd en de top verend wordt vastgehouden

9.4.1.3, Vergelijking met EI = c pp

9.4.2. De stabiliteit van de pyloon in dwarsrichting

9.4.2.1. De enkele pyloon met voetscharnier en centraal tuivlak

a. met waaiertuien

b. met harptuien

9.4.2.2. De (gedeeltelijk) ingeklemde pyloon

9.4.2.3. De (gedeeltelijk) ingeklemde pyloon, waarbij de normaal-

kracht in uitgebogen stand naar een vast punt is gericht.

9.4.2.4. De portaalvormige pyloon met volledige inklemming aan de voet

9.4.2.5. De portaalvormige pyloon met gedeeltelijke inklemming aan de voet

9.4.3. Sterkteberekening van de pyloon

9.4.3.1. Principe van de berekening van een pyloon met variabele

doorsnede en wapening.

9.4.3.2. De initiële uitbuiging van een staaf met variërende stijfheid

9.4.3.3. De berekening van tweede- en hogere-orde momenten en vervormingen

9.4.3.4. Het in rekening brengen van het eigen gewicht

9.4.3.5. De niet-prismatische pyloon

9.4.3.5. "Gebruiksaanwijzing" voor de stabiliteitsberekening

van een tuibrugpyloon (in langs- en dwarsrichting).

9.4.4. Stabiliteit van de pyloon tijdens de bouw

9.4.5. De wapening van een zware pyloon

9.0.1.

9.0 Pyloonvormen

A. Ingedeeld naar de statische werking in langsrichting:

1. ingeklemd in de pijler 1.1 los van de ligger 1.2 één geheel met de ligger

2. scharnierend op de pijler 2.1 los van de ligger 2.2 één geheel m.et de ligger

3. scharnierend op de ligger 3.1 ligger scharnierend op pijler 3.2 ligger één geheel met pijler

B. Ingedeeld naar de statische werking in dwarsrichting:

1, ingeklemd in de pijler 1.1 los van de ligger - meestal samen met A-1.1 1.2 één geheel met de ligger - meestal samen met A-1,2,

2, scharnierend op de pijler 2.1 los van de ligger 2.2 één geheel met de ligger

3, scharnierend op de ligger 3.1 ligger scharnierend op pijler - heeft in dwarsrichting geen zin, 3.2 ligger één geheel met pijler

C. Ingedeeld naar de vorm in dwarsdoorsnede:

1. enkele pyloon, in het midden van de dwarsdoorsnede

2. V-of Y-pyloon, in het midden van de .dwarsdoorsnede

3. dubbele pyloon 3.1 geheel buiten de dwarsdoorsnede van de brug; 3.2 binnen de dwarsdoorsnede van de brug (maar wel symmetrisch)

k. portaalpyloon met verticale of schuine stijlen (n, /A of H): U,1 buiten de dwarsdoorsnede k.2 binnen de dwarsdoorsnede

5, A - , A - of A-pyloon 5.1 b u i t e n de dwarsdoorsnede 5.2 b innen de dwarsdoorsnede

6. vormen 1 t /m 5 , asymmetr isch t , o , v , dwarsdoorsnede

D. I n g e d e e l d n a a r de vorm in l a n g s d o o r s n e d e :

1. v e r t i c a l e s t i j l ( e n )

2. s c h u i n e s t i j l ( e n ) 2 .1 voorover h e l l e n d

2 .2 a c h t e r o v e r h e l l e n d

3 . A - , A - of A-vorm

h. V- of Y-vorm

E. Combinat ies van A, B, C, D

N.B. Nie t a l l e combina t i e s z i j n moge l i jk of l o g i s c h l

9.1.1.1

9,1,1 Pyloondoorsnede bij centraal tuivlak

De doorsnede van een pyloon voor een betonnen tuibrug van flinke af

metingen (enige honderden meters lengte, enige tientallen meters 2

breedte) bedraagt al gauwlS a 25 m (of meer; zie ook blz. 3.1.3 en 2 2

fig. 3.1.3),, dus als massieve doorsnede bijv. 3 x 5 m tot ca. 4 x 5 m .

Dit zijn enorme afmetingen, die vooral uit betontechnologische over

wegingen - afvoer hydratatiewarmte, krimp - bij voorkeur niet als mas

sieve doorsnede zullen wórden uitgevoerd. Door de wanddikte te beper

ken tot 1 a 2 m en de doorsnede te voorzien van één of twee vertikale

schachten, kunnen warmte-ontwikkeling, warmte-afvoer en uitdrogings-

krimp voldoende in de hand worden gehouden, vooral als ook nog andere

methoden wórden toegepast om de warmte-ontwikkeling te beperken (bijv.

koeling toeslag, aanmaakwater; bescherming tegen zonbestraling, even

tueel koeling verhardend beton, e.d.).

Het sparen van vertikale kanalen betekent wél dat de buitenwérkse afme

tingen van de doorsnede groter wórden. Uit statisch oogpunt is dit •

meestal een voordeel, omdat het materiaal meer naar buiten gaat, waar

door de buigtraagheidsmomenten groter worden (bij gesloten doorsneden

ook het torsietraagheidsmoment), wat meestal gunstig is. Uit verkeers

technisch oogpunt is,een verbreding van de centrale pyloon een nadeel,

omdat de brugbreedte met eenzelfde bedrag moet wórden vergroot. Ook het

windoppervlak wórdt erdoor vergroot, maar dit is meestal niet van grote

betekenis.

Vertikalen kanalen hebben ook het voordeel van een goede toegankelijk

heid van het inwendige van de pyloon, niet alleen tijdens de bouw, bij

het aanbrengen en aanspannen van de verankeringen, maar ook later, bijv.

voor inspectie van het beton, naspannen en controle van de tuiveranke-2

ringen, e.d. Er kunnen - mits ze voldoende groot zijn: min 1,5 a 2 m

ladders, trappen of liften in wórden aangebracht; verder de nodige bor

dessen voor werkzaamheden aan de kabels en hun verankeringen, inclusief

onderhoud, naspannen, verwisselen e.d.

Bij een massieve pyloondoorsnede (fig.9,1,1 - 1 en - 2) zijn de boven

bedoelde handelingen tijdens de bouw misschien nog mogelijk via hulp

bordessen en een tijdelijke trap of lift aan de buitenlant, maar na vol

tooiing is inspectie, e,d, vrijwel onmogelijk geworden, omdat de bordes

sen, e.d. uit een oogpunt van aesthetica, onderhoud, e.d. moeilijk ge

handhaafd kunnen wórden.

9.1.1.2

Ook het beklimmen via bijv. klimijzers langs de buitenkant is

bepaald geen genoegen en inspectie van daaruit zal dan ook niet

erg grondig kunnen zijn (laat staan onderhoudl).

Dit is in het geheel geen probleem langs de binnenkant, vooral als

de klimschachten regelmatig door bordessen zijn onderbroken en daar

door de klimijzers niet vertikaal onder elkaar hoeven te zijn gele

gen. Vaak echter zal er ruimte zijn voor een lift of een trap, of

voor beide. Dit wat betreft de toegankelijkheid tijdens de bouw en

in de bedrijfstoestand. Ook het doorvoeren en verankeren van de ka

bels in een massieve doorsnede van de geschetste afmetingen is niet

eenvoudig. De kanalen in het beton zijn vele meters lang; afhankelijk

van de tuihelling tussen de 8 en 12 m in doorsnede 1 en 2 van fig.

9.1.1.

Als - na het op spanning brengen van de tui - het kabeldeel in de py

loon geïnjecteerd wordt, zullen de variaties in kabelkrachten door de

verkeersbelasting niet door de verankering wórden opgenomen, maar

door de injectiespecie aan het begin van het kabelkanaal. Het is niet

zoals bij een nagespannen balk met geïnjecteerde kabelkanalen, waar

beton en kabel evenveel willen vervormen, en het geringe verschil in

kracht gemakkelijk (en geleidelijk) via aanhechting kan wórden overge

bracht .

Hier moet de toeneming van de tuikracht door verkeer geheel door de

injectiespecie wórden overgebracht, en de kans dat deze door herhaalde

belasting geleidelijk scheurt en losraakt, is niet denkbeeldig. Dit

verschijnsel doet zich echter zowel bij een lang als bij een kort ka

belkanaal in de pyloon voor.

Dit kan men voorkomen door de kabel in het kanaal los te houden van

het beton van de pyloon, maar wél de kabelomhulling geheel tot aan de

verankering door te laten lopen. Deze kan op de normale wijze met in

jectiespecie wórden geïnjecteerd, waardoor de kabel goed is beschermd,

terwijl de ruimte tussen omhulling en kabelkanaal met een plastisch

blijvende vulling (vet of kit, o.d,) kan worden volgeperst. Dan wórdt

de hele kracht - permanent + variabel deel - op de verankering over

gebracht. Deze moet hiertegen dan wél zijn bestand, (vermoeiingI),

De massieve pyloon komt echter alleen bij relatief kleine pyloondoor-

sneden in aanmerking (max, dikteafmeting 1,5 a 2 m). De doorsneden 1

en 2 van fig, 9,1.1, zijn dan ook niet voor toepassing gegeven; alleen

als illustratie.

Meestal zal de pyloon hol wórden gemaakt.

9.1.1.3

Een pyloon in de vorm van een enkele, vertikale koker (doorsnede 3 en

4 van fig. 9.1.1")..) is in statisch opzicht goed te verdedigen; het ma

teriaal zit ver naar buiten; buigen wringstijfheden zijn groot. De

kabelbevestiging is ook eenvoudig; alles is van binnen uit te regelen.

Om echter te vermijden dat de koker door de horizontale ontbondenen

van de tuikrachten uit elkaar wórdt getrokken, moet hij wórden voor

zien van een voorspanning, die tenminste gelijk is aan deze horizon

taal ontbondene. Bovendien zal in dwarsrichting ook nog de nodige

voorspanning moeten wórden aangebracht om de splijtkrachten van de

verankeringen op te vangen. De verankeringen van de pyloonvoorspanning

zitten alle aan de buitenkant, en voor het aanbrengen en voorspannen

hiervan zijn toch wéér hulpconstructies nodig.

Het bovenstaande geldt ook voor de I-doorsnede 5 van fig. 9.-1.1 waar

bovendien de tuiverankeringen aan de buitenkant zitten.

Om de dure voorspanning van de pyloon in langsrichting te vermijden

(korte kabels, veel verankeringen), kunnen de kabels ook hier door de

wanden wórden gevoerd en aan de buitenkant worden verankerd, op de

zelfde wijze als in doorsnede 1 en 2 van fig. 9.1.1- De kokerdoorsnede

staat dan onder druk en er is geen aparte voorspanning in langsrichting

nodig. Het bezwaar is wéér de tuiverankering aan de buitenkant en de

grote overlaplengte van de tuikabels.

Hieraan wórdt tegemoet gekomen op de wijzen als aangegeven in de door

sneden 6 t/m 10 van fig. 9,1.1.

Hier is de doorsnede in principe voorzien van twéé vertikale schachten,

die bij de doorsneden 9 en 10 naar één kant open zijn. De tuikabels

wórden los door de buitenwand gevoerd en verankerd in de middenwand,

waarbij ze elkaar over de wanddikte overlappen. De verankeringen zijn

goed bereikbaar van binnen uit, voor aanbrengen, spannen, injectie,

onderhoud, e.d.

Het elkaar snijden van de kabels in één vlak wórdt voorkomen door de

delen van een kabel aan te brengen volgens de principes aangegeven

in fig. 9.1.2. Gezorgd moet wórden voor een symmetrische aansluiting,

zodat de pyloon niet blijvend op wringing wórdt belast.

Voor tuikabels, die aan weerszijden van de pyloon gelijk zijn (en ook

uit een gelijk aantal delen bestaan), zijn de mogelijkheden van een sym

metrische, kruisingsvrije aansluiting beperkt (fig.9.1.2 ). De aan

sluiting (2+2) is toegepast bij de pyloon van de tuibrug Hoechst over

de Main [255].

9.1.1.4

Om de splijtkrachten achter de verankeringen op te nemen is een

lichte dwarsvoorspanning van het tussenschot wél gewénst.

In vertikale zin wórdt de doorsnede door de vertikaal ontbondenen

van de tuikrachten voorgespannen. Met de overdracht van deze krach

ten uit de middenwand naar de rest van de doorsnede (schuifkrach

ten I ) moet rekening wórden gehouden. Dit komt vooral tot uitdruk

king bij doorsnede 11, waar de vertikaal ontbondene van de tuikracht

door een nok aan de pyloon (korte console)moet wórden overgebracht.

Het is hier de bedoeling dat de kabel aan weerszijden van de pyloon

ononderbroken doorloopt, en dat het verschil in kabelkracht ter

weerszijden door wrijving van de oplegging wordt opgenomen. Het aan

brengen van de kabel is hier kennelijk erg eenvoudig. Het spannen

moet vanzelfsprekend in de ligger gebeuren. Bij stalen bruggen plaatst

men wél vijzels onder de dan toegepaste oplegstoel, en spant zo de

kabel. In principe kan dit bij betonnen tuibruggen ook. Zie ook fig.7.11.3.

De open doorsneden 9 en 10 van fig. 9.1..1 hebben vrijwel dezelfde

buigstijfheden als de gesloten doorsneden, maar een veel kleinere

wringstijfheid (Dit geldt ook voor doorsnede 5). Het aanbrengen van

de kabels is eenvoudiger (geen doorvoer door de buitenwanden), maar

de bescherming tegen weersinvloeden is gering. Doorsnede 10 is wat

dat betreft wél een verbetering.

Het voorgaande had vooral betrekking op de pyloondoorsnede bij centraal

tuivlak en toepassing van harptuien; de doorsneden kunnen echter ook

worden overwogen bij twee tuivlakken en harptuien.

In het volgende wordt nader ingegaan op de vormgeving van de pyloon

in het algemeen,

9.1.2.1

9 .1.' 2. De vormgeving van de pyloon

De vormgeving van de pyloon wordt beïnvloed door:

- de belastingen (vooral N en M) en het verloop ervan over de hoogte;

- de tuiconfiguratie;

- de plaats van de pyloon ten opzichte van de dwarsdoorsnede van

de brug;

- de wijze van tuikabeloplegging, c.q. tuikabelverankering.

Bij waaiertuien grijpt de belasting (N) grotendeels in de pyloontop

aan; door het eigen gewicht van de pyloon wordt hij naar beneden toe

groter, soms aanzienlijk (fig. 3.1.1.4). Het buigend moment heeft

in principe een driehoekig verloop (fig.9.1.5.8; H-kracht aan de top).

Bij harptuien zijn zowel de belasting (uit de tuien) als het eigen

gewicht min of meer gelijkmatig over de hoogte verdeeld terwijl het

buigend moment in de regel een sterk gebogen verloop heeft (fig.9.1.5.7).

Bij waaiertuien zijn de tuibevestigingen in de pyloontop geconcentreerd

(dit kan in de praktijk nog wel over vele meters zijn gespreid; soms

wel 10 a 20 m!). Dit pyloontopgedeelte wordt geheel ontworpen op het

onderbrengen van de tuiverankeringen. De pyloontop kan dan ook zonder

bezwaar aanzienlijk grotere afmetingen hebben dan de rest van de

pyloon. De doorsnede daarvan kan geheel worden afgestemd op de

combinaties van N en M, die ter plaatse moeten kunnen worden opgenomen.

Zoals ook in 9.1.1 is uiteengezet, moet bij harptuien bij het kiezen

van de pyloondoorsnede rekening worden gehouden met de tuiverankeringen,

die over de hele pyloonhoogte zijn verdeeld. In dit geval zijn holle,

kokervormige doorsneden minder geschikt (zie fig.9.1.1, dsn. 3 t/m 5)

en kunnen de doorsneden 5 t/m 9 van fig.9.1.1 worden overwogen. Bij

weinig tuien—dus grote tuiafstanden, ook in de pyloon— kunnen de

doorsneden 9 en 10 plaatselijk worden gesloten.

Ook de plaats van de pyloon ten opzichte van de dwarsdoorsnede van de

brug beïnvloedt de vormgeving. Zo zal men de breedteafmetingen van

een centrale pyloon zo gering mogelijk willen houden om zo weinig

mogelijk "verloren" brugbreedte te hebben. Dit geldt ook voor een

dubbele pyloon, voor zover de pyloonpoten binnen de brugbreedte zijn

zijn gelegen. Worden de pyloonpoten echter buiten de brugdoorsnede

gehouden, dan is er geen beperking van de pyloonbreedte en kan

hiervoor de meest gunstige waarde worden gekozen.

9.1.2,2

Ook anderszins moet onderscheid worden gemaakt tussen een enkelvoudige

of centrale pyloon (één centraal tuivlak) en een dubbele pyloon (twee

tuivlakken). Weliswaar is de belasting van een enkelvoudige pyloon

ten naaste bij gelijk aan die van een dubbele pyloon (zowel N als M),

maar in het laatste geval is hij over twee pyloonstijlen verdeeld.

Bij waaiertuien is mien vrij in het kiezen van de pyloondoorsnede onder

de tuiverankeringszone in de pyloontop. Bij niet te grote belastingen

zal dit een massieve, rechthoekige of I-vormige doorsnede kunnen zijn 2

(fig.9.1.5.10; doorsnede tot ca. 5 m ); bij grotere belastingen zal

een holle doorsnede meer in aanmerking komen. In principe kunnen de

afmetingen in twee richtingen over de hoogte aan de krachten worden

aangepast; in de praktijk wordt dit met het oog op de uitvoering wel

beperkt tot de afmetingen in één richting; bij kleine afmetingen wordt

de doorsnede wel over de hele hoogte constant gehouden. Een andere

mogelijkheid om de doorsnede aan te passen is het variëren van de

wanddikte over de hoogte.

Een goed voorbeeld zijn de pylonen van de tuibruggen (waaiertuien) r -f

over de Rio Parana in Argentinië I 435j . Deze ca. 10 5 m hoge, dubbele

pylonen steken ca. 60 m boven de brug uit; ze hebben aan de voet een

doorsnede van 9 x 5 m, aan de top 3,2 x 4,0 m; de dikte van de lange

wanden is 0,50 m, die van de korte wanden neemt toe van 0,80 m boven

tot 1,00 m onder. Elke pylonenpaar is gekoppeld op twee hoogten; aan

de top door twee stalen diagonalen; onder de brugligger door een

betonnen kokerligger. De stalen brugligger ligt ca. 50 m boven het

water in verband met zeescheepvaart.

De pyloonstijlen van een dubbele pyloon kunnen als geheel afzonderlijke

stijlen worden uitgevoerd. Dit is o.a. het geval bij de Nordbrücke

en de Kniebrücke over de Rijn in Düsseldorf [019; 126j. Afzonderlijke

stijlen komen in aanmerking bij grote brugbreedte, waarbij de koppeling

van de stijlen erg zwaar zou worden.

Ze vragen aanzienlijk meer materiaal dan gekoppelde stijlen, vooral

met het oog op de stabiliteit in dwarsrichting. Deze is bij harptuien

gunstiger dan bij waaiertuien, waar de belasting grotendeels in de

pyloontop aangrijpt.

Daarom, komt koppeling van de stijlen vooral in aanmerking bij waaier

tuien en grote pyloonhoogte, en bij niet te grote afstand van de stijlen.

9.1.2.3

Koppeling kan plaats vinden op één of meer hoogten boven het brugdek;

de laagste koppeling moet vanzelfsprekend boven de doorrijhoogte zitten.

Bij grote pijlerhoogte onder de brug wordt veelal ook nog een koppelbalk

onder de brug toegepast, die dan tegelijk dient als vaste ondersteuning

van de brugligger (fig.9.3.05).

Door een juiste koppeling van de stijlen kunnen de afmetingen hiervan -

met name in breedterichting - zodanig worden gereduceerd, dat het

verantwoord is de pyloonstijlen binnen de brugbreedte te plaatsen. Dit

is gedaan bij de tuibrug over de Main van de Farbwerke Hoechst f 255; 2561 .

Betonnen pylonen worden doorgaans gebouwd met behulp van een glij- of

klimbekisting; het gelijk blijven over de hoogte van één of beide

afmetingen kan daarbij voordelig zijn, maar is niet noodzakelijk. Voor

stabiliteit tijdens de bouw en wapening van de pyloon zie 9.4.4 en 9.4.5.

In 9.1.3 en 9.1.4 worden nog enige bijzondere pyloonvormen behandeld;

in 9.1.5 wordt de stijfheid in langsrichting beschouwd.

9.1.3.1

3 De A-vormige pyloon (omgekeerde Y, fig.9-1 •5-5; zie ook fig.9-3.07)

Deze pyloonvorm komt in aarmierking bij toepassing van één centraal

tuivlak, waarbij men de brugbreedte niet door een centrale pyloon

- die al gauw een breedte van 6 a 8 m voor zich opeist - wil

vergroten.

Bovendien is de zijdelingse stijfheid, met name van de fundering,

veel groter dan van de enkele pyloon.

Het betekent wel dat de benen van de omgekeerde Y voldoende moeten

kunnen worden gespreid om het brugdek ongehinderd door te laten

lopen. Het spreekt vanzelf dat men daarbij rekening houdt met het

profiel van vrije ruimte van de verkeersbelasting. Dit geldt zowel

voor de schuine benen van de pyloon als voor de schuine tuivlalcken.

De pyloonpoten zullen toch zeker geen kleinere helling dan 2:1

mogen hebben, vooral uit aesthetische overwegingen. Bij een weg

breedte van Uo m komt het punt van samenkomst zo al gauw ca. 50 m

boven het brugdek te liggen. Hierbij komt nog zeker zo'n 10 m voor

de tuibevestigingen. Bij een kleinste tuihelling van 1:2 ligt

derhalve de overspanning van een enkele tuibrug - één pyloon -

bij 120 a 130 m, bij een dubbele tuibrug - twee pylonen - in de

buurt van 250 m.

Als de fundering ver onder bovenkant brugdek ligt, heeft het zin

de schuine poten over te doen gaan in vertikale of zelfs naar

binnen geknikte (Köhlbrandbrücke; | 311 ), wat aesthetisch zeer

bevredigend kan werken. Er kan dan worden overwogen een gemeen

schappelijke fundering toe te passen. De grote, naar buiten gerichte

kracht ter plaatse van de knik kan het beste worden opgenomen door

een trekstang.

Door deze tot een balk te verzwaren kan een ondersteuning van de

brugligger ter plaatse van de pyloon worden verkregen (fig.9.3.07).

Bij vrij geringe hoogte van het brugdek boven de fundering is het

eenvoudiger de poten recht door te laten lopen tot de fundering .

Wegens de grote horizontale ontbondene van de kracht in de poten

verdient het aanbeveling de afzonderlijke pootfunderingen te

koppelen (tenzij de ondergrond voldoende in staat is deze horizontale

kracht op te nemen, bijv. goede rotsgrond).

9.1.3.2

Een goed voorbeeld van een dergelijke pyloonvorm is de gewapend

betonnen pyloon van de stalen tuibrug Over de Rijn bij Düsseldorf-Flehe

{_"'-3" J , met een hoogte van rond 150 m. De uitvoering van deze

pyloon staat uitvoerig beschreven in litt. [ 396 j . Vooral de bouw

. van de schuine poten is interessant in dit opzicht.

De uitvoering als scharnierende pyloon (in langsrichting) is hier

veel eenvoudiger dan bij de enkele pyloon; de afstand van de

scharnieren is veel groter.

9.1.il De ^ -vormige pyloon (fig.9-3.06 en 3.6.U)

Deze pyloonvorm komt in aanmerking voor tuibruggen met twee tui

vlakken en waaiertuien, waarbij de tuien echter niet in een plat

vlak liggen, maar in een gebogen vlak (fig.l.o.U en 5.U.1). De tuien

zijn verdeeld over de bovenregel en daarin ook verankerd (hoewel

doorlopen over zadels zeker ook mogelijk is).

De bovenregel moet vanzelfsprekend in staat zijn de zo uitgeoefende

zeer hoge belasting te dragen (bijna het hele bruggewicht I).

De tuien naar het midden van de bovenregel moeten voldoende ver

buiten het profiel van vrije ruimte voor het verkeer blijven om

aanrijden te voorkomen. Bij een voet- en/of fietspad aan weers

zijden van de autoweg is de kans hierop zeer klein geworden.

Deze pyloonvorm is toegepast bij de Willemsbrug in Rotterdam

(stalen tuibrug).

9.1.5.1

1.5 De buigstijfheid van de pyloon in langsrichting van de brug

Bij symmetrische_belasting ten opzichte van de pyloon treden

theoretisch - in het ideale geval van fig.9.1.5.1 - geen momenten

op in de pyloon; de buigstijfheid van de pyloon is niet interessant

(wel de stabiliteit; zie 9.4). Door de in de regel ongelijke wijze

van ondersteuning aan weerszijden van de pyloon gaat de symmetrie

verloren en treden wel - zij het geringe - momenten op.

De buigstijfheid van de pyloon speelt wel een grote rol bij asYmme-

trische_belastingen ten opzichte van de pyloon en bij de vervormingen,

die daarvan het gevolg zijn. Deze buigstijfheid kan variëren van

nul of zeer klein (scharnierende pyloon) tot zeer groot (omgekeerde

V-vorm); fig. 9.1.5.2.

Een scharnierende pyloon wordt alleen door de tuien vastgehouden.

Voor zover deze alleen aan de - als regel weinig buigstijve -

brugligger zijn bevestigd, is de stijfheid tegen asymmetrische

belasting vrij gering en zijn grote vervormingen mogelijk (fig. 9.1.5.2).

Dit verandert zodra één of meer tuien aan een vast steunpunt (pijler

of landhoofd) zijn bevestigd (fig. 9.1.5.3). Hierdoor worden de

horizontale verplaatsingen van de pyloon sterk beperkt en daarmee

de vervormingen van de hele brugconstructie.

Het stijfheidsgedrag van de scharnierende.pyloon in langsrichting

wordt dus geheel bepaald door de rekstijfheid van de tuien en de

wijze van bevestiging hiervan: vast (aan pijlers of landhoofden) of

verend (aan niet ondersteunde punten van de brugligger).

Naarmate de eigen buigstijfheid van de pyloon toeneemt, neemt het

aandeel van de tuien in het totale stijfheidsgedrag af. De ver

houding kan v/orden bepaald door de verplaatsingen te bepalen ten

gevolge van een horizontale eenheidskracht, in het ene geval

werkend op de pyloon alleen, in het andere geval op het samenstel

van tuien en ligger (fig. 9.4.1.1.4). Zoals in 9.4.1.1 ook wordt

gesteld, mogen de tuien worden beschouwd als staven, die niet

kunnen knikken, zolang de drukkracht tengevolge van de horizontale

kracht voldoende wordt overheerst door de trekkracht tengevolge van

het eigen gewicht van de ligger (wat vrijwel altijd het geval is).

9.1.5.2

Bij een in langsrichting onvervormbare (dus oneindig buigstijve)

pyloon kunnen de liggerdelen aan weerszijden van de pyloon via

de tuien geen krachten op elkaar uitoefenen; dit is alleen mogelijk

via de buigstijfheid van de ligger zelf. Omdat de brugligger bij

tuibruggen in de regel relatief buigslap is (liggerhoogte in de

orde van 1/100 van de overspanning), zal deze overdracht gering

zijn en zich bovendien beperken tot de naaste omgeving van de pyloon.

Hierbij is ervan uitgegaan dat de tuien vast aan de pyloon zijn

bevestigd.

Ongelijke belastingen aan weerszijden van de pyloon beïnvloeden

elkaar dus niet of nauwelijks. Dit is zeer gunstig voor het ver

vormingsgedrag van de constructie.

Een in langsrichting zeer stijve pyloon wordt verkregen door een

omgekeerde V-vorm (fig. 9.1.5.2). Deze is voor zowel enkele als

dubbele tuivlakken geschikt.

In principe is de omgekeerde V-vorm alleen geschikt voor waaiertuien,

met als bezwaar een concentratie van verankeringen in de top (bij

veel tuien).

Door de pyloontop te verlengen, kunnen de tuiverankeringen verder

uit elkaar worden gebracht (omgekeerde Y-vorm; fig. 9.1.5.4). Hierdoor

neemt de stijfheid echter af. Een dergelijke pyloon is toegepast

bij de stalen tuibrug over de Rijn tussen Neuwied en Weissenthurm (1978).

Door de pyloon in dwarsrichting als omgekeerde V uit te voeren,

wordt een in dwarsrichting zeer stijve pyloon verkregen, die wind

krachten en andere krachten loodrecht op de brugas gemakkelijk op

kan nemen. Ook deze pylonen worden wel verlengd tot een omgekeerde

Y om meer ruimte te hebben voor de tuiverankeringen (fig. 9.1.5.5).

Dit is toegepast bij de betonnen pylonen van de stalen tuibrug over

de Rijn bij Düsseldorf-Flehe (1979) [393].

Door de omgekeerde V in langs- en dwarsrichting te combineren, krijgt

men een pyloon, waarvan de poten de ribben van een pyramide vormen.

Dit kan nog weer op twee manieren (fig. 9.1.5.5): geheel buiten het

brugdek en in langsrichting in het midden van het brugdek.

Een dergelijke pyloon is toegepast bij de stalen tuibrug over de

Rijn bij Ludwigshafen (1976) [248].

9.1.5.3

Als bij een oneindig stijve pyloon de tuien via pendelogleggingen

door de pyloon worden geleid, zal een belasting op het liggerdeel

links van de pyloon via de tuien wèl een invloed van betekenis

uitoefenen op het liggerdeel rechts van de pyloon, en omgekeerd;

de constructie als geheel is veel minder stijf geworden. Door toe

passing van enige vaste steunpunten in de zij overspanningen wordt

de stijfheid direct veel groter.

Buigstijve pylonen zijn dus gunstig om de vervormingen te beperken.

Dit hoeven echter niet altijd pylonen in de vorm van een omgekeerde

V of Y te zijn. Ook prismatische of naar boven toe verjongde pylonen

kunnen aan de eisen van sterkte en stijfheid voldoen. Een bijkomend

voordeel is de eenvoudiger bouw ten opzichte van de omgekeerde V of Y;

de bouwkosten kunnen wel ongeveer een factor twee verschillen.

Bij (veel) harptuien neemt de normaalkracht in de pyloon practised

evenredig met de hoogte toe; de toeneming van het moment is meestal

sneller (fig. 9.1.5.7).

Bij waaiertuien is de normaalkracht veel meer constant over de hele

pyloonhoogte (op het eigen gewicht na), en neemt het moment recht

lijnig toe (fig. 9.1.5.8).

In beide gevallen komt een pyloon met een over de hoogte verlopende

buigstijfheid in aanmerking. Bij waaiertuien zou een doorsnede met

een over de hoogte /rijwel constante oppervlakte A (vrijwel constante N)

kunnen worden overwogen, maar met een naar beneden toe toenemend

traagheidsmoment I^ (fig. 9.1.5.9). Bij harptuien zou een doorsnede

met naar beneden toe toenemende A en I meer op zijn plaats zijn,

bijv. volgens fig. 9.1.5.10.

Bij centrale pyloon heeft het zin de afmetingen in breedterichting

constant en minimaal te houden (het gaat van de nuttige brugbreedte afI)

en de variatie te zoeken in de afmeting in lengterichting. Dit is

ook uit een oogpunt van uitvoering gunstiger dan variatie van de

afmetingen in twee richtingen.

9.2.01


De pyloon kan stijf of scharnierend met de verstijvingsligger zijn

verbonden, of hij kan er geheel los van zijn (fig.9.2.01). In de

eerste twee gevallen kan het geheel nog weer stijf of scharnierend

met de pijler zijn verbonden (fig.9-2.01). In de hier genoemde

volgorde draagt de verbinding in afnemende mate bij tot de stijfheid

van de tuibrug als geheel.


Deze wordt in de technische mechanica aangeduid met het schema van

fig.9.2.1.1 (stijve knoop). De knoop wordt oneindig stijf gedacht

en de aansluitende staafdelen hebben (theoretisch) geen afmetingen

loodrecht op het vlak van tekening (c.q. alleen het traagheids

moment telt, niet de afmetingen).

In de praktijk is de knoop echter nooit oneindig stijf, zelfs niet

als massieve doorsnede, en de aansluitende delen hebben, met name

bij tuibruggen, sterk verschillende breedten, waardoor de krachts

overdracht van het ene op het andere deel niet direct over de

volle breedte van het breedste deel plaats vindt. Daardoor is de

verbinding minder stijf dan uit het in rekening brengen van de volle

stijfheden zou volgen.

Het is een probleem dat vergelijkbaar is met de inklemming van een

kolom in een vlakke plaatvloer. Bij buiging van de kolom zullen de

plaatdelen nabij de kolom meer vervormen dan de plaatdelen verder

er vandaan (fig.9.2.1.2).

Ook bij een in een (brede) brugligger ingeklemde (smalle) pyloon

zullen de liggerdelen nabij de pyloon meer vervormen dan die aan

de rand van de ligger, (fig.9.2.1.2). Bij de samenkomst van ligger

en pyloon ontstaan - bij buiging van de pyloon in het vertikale

vlak van de brugas- buigende en wringende momenten (fig.9.2.1.3)•

In het geval van een kokervormige brugligger worden de buigende

momenten opgenomen door onderen bovenflens.

Bij een massieve pyloondoorsnede levert het „doorstromen" van deze

krachten geen problemen op. Bij een holle pyloondoorsnede is het

echter mogelijk, dat de pyloonwanden de trek- en drukkrachten

uit de flenzen van de ligger niet op kunnen nemen. Dit kan wel als

de flenzen in de vorm van horizontale schotten in de pijler worden

voortgezet (fig.9.2.1.U).

9.2.02

De •' ringende momenten aan de zijkanten van de pyloon kunnen niet

door alleen de onderen bovenflens van de ligger worden opgenomen;

wel door twee lijven toe te voegen, zodat een kokerligger in

dwarsrichting ontstaat (fig.9-2.1.U).

Als de ligger ter plaatse van de pyloon geen oplegging op de pijler

heeft, dienen deze lijven tevens om de dwarskracht van de ligger

delen buiten de pyloon over te brengen.

Een goed voorbeeld van een stijve verbinding van ligger en pyloon

is de Pont de Brotonne [ 334 ] ; fig.9.2.1.5-

Het geheel van ligger en pyloon kan scharnierend of stijf met de

pijler worden verbonden (fig.9.2.01).

Bij betonnen tuibruggen zal een .scharnierende verbinding niet gauw

in aanmerking komen wegens de zeer hoge belasting door eigen gewicht

en de relatief kleine krachten uit de verkeersbelasting, die niet

of nauwelijks in staat zijn het scharnier als zodanig te laten

werken (zie ook 9-3-1)-

Bij een buigstijve verbinding met de pijler kan deze bestaan uit

alleen een voortzetting van de pyloon in de pijler of uit een stijve

verbinding met de pijler over de hele breedte van de brugligger-

In het eerste geval moet de ligger vrij van de pijler worden gehouden,

dus geen opleggingen; de belastingafdracht zou toch bijna geheel

via de (veel stijvere) pyloon gaan. In het tweede geval moet gezorgd

worden voor een momentvaste verbinding tussen brugligger en pijler,

bijv. door de wanden van de (holle) pijler in de brugligger door te

laten lopen (en de lijven van de ligger als schotten in de holle

pijler), om de soms hoge dwarskracht op te nemen.

De pyloon kan in de pijler doorlopen (zie ook fig.9.3-02).


Deze komt vrijwel uitsluitend voor bij stalen tuibruggen, om de

redenen, die reeds in 9-2.1 zijn genoemd (zie ook 9-3)• Het voornaamste

voordeel is dat de pyloon veel minder op buiging wordt belast, zodat

de afmetingen kunnen worden gereduceerd, wat weer het aesthetisch

aanzien ten goede komt (zie ook 9-3).

9.2.03

Uit overwegingen van constructie en inspectie zal men het scharnier

bij voorkeur boven het brugdek aanbrengen, ofschoon het in de ligger

natuurlijk beter beschermd ligt. Bij een enkele pyloon kan een

dergelijk scharnier (boven het brugdek) nooit een taats (bolscharnier)

zijn, omdat dan instabiliteit in dwarsrichting zou optreden

(zie ook 9-3.1 en 9.^).

Een goed voorbeeld van een scharnierende verbinding tussen pyloon en

brugligger is de stalen tuibrug bij Ewijk f 36 + J ,


De pyloon loopt door de ligger heen of aan weerskanten ervan (A-of

portaalvorm). De ruimte tussen ligger en pyloon moet zodanig zijn

dat beide geheel vrij van elkaar kunnen bewegen (buiging en horizontale

beweging van de ligger; geringe buiging van de pyloon).

De ligger kan ter plaatse van de pyloon op de pijler zijn opgelegd

of vrij zwevend aan de tuien zijn opgehangen; in het laatste geval

moet hij ook vertikaal ten opzichte van de pyloon kunnen bewegen.

Soms worden nog wel horizontale krachten (bijv. wind, remkrachten)

op de pyloon overgebracht, hetzij in langsrichting, hetzij in dwars

richting, meestal via één van de flenzen (bijv. door middel van één

of meer vertikale rubber opleggingen).

Bij een vrij zwevende ligger kan het gewenst zijn dat deze in staat

is wringende momenten (tengevolge van excentrische belasting) op

de pyloon over te brengen (in de vorm van trek- en drukkrachten),

omdat anders de hoekverdraaiing door wringing te groot wordt

(bijv. bij grote lengte). Dit is mogelijk door ter plaatse van onder

en bovenflens stijve vertikale rubberopleggingen aan te brengen

tussen ligger en pyloon, die horizontale normaalkrachten opnemen

(voor trek rubber oplegging voorspannen) en door middel van tefIon-

schijven beweging van de ligger toelaten (fig.9.2.3.1).

In 9.3. wordt verder op de verbinding van pyloon en pijler ingegaan,

waarbij verondersteld is dat ligger en pyloon niet rechtstreeks

verbonden zijn.

9.3.01

9.3- Verbinding van pyloon met pijler

Onder de pyloon wordt hier verstaan het gedeelte boven het brugdek,

onder de pijler het gedeelte eronder. De pijler draagt dus de

pyloon en het gedeelte van het brugdek nabij de pyloon, dat niet

door de tuien op de pyloon wordt overgebracht (maar rechtstreeks,

via de brugligger zelf). Be pijler wordt daarom meestal verbreed

ten opzichte van de pyloon om een goede afdracht van de brugbelasting

te bewerkstelligen (fig-9-3-01).

Vaak is de afmeting in langsrichting van de centrale pyloon (veel)

groter dan de dikte van de pijler. Het heeft dan zin de pyloon naar

beneden toe in de pijler door te laten lopen (fig.9-3-01 en 9-3-02).

In zo'n geval zal er rekening mee moeten worden gehouden dat de

plotselinge doorsnedevergroting bij de overvang van pyloon naar pijler

statisch als een veel geleidelijker overgang in rekening moet worden

gebracht (zie ook 9.-^-2-2).

Als de pyloon portaal- ofA-vormig wordt uitgevoerd, zal meestal worden

getracht de pyloonpoten buiten de brugdoorsnede te houden, zodat de

volle brugbreedte voor het verkeer beschikbaar is; fig.9.3-O 3 - Bij

zeer grote brugbreedten (meer dan ca. 30 m) leidt dit tot zeer hoge

pylonen, of sterk hellende poten, kortom tot een aesthetisch weinig

fraaie oplossing (tenzij de pyloon vanwege de grootte van de overspanning

toch zo hoog moet worden) . Bij portaalvormige pylonen leidt dit tot

zware bovenregels als koppeling van de stijlen. Dan kan worden overwogen

de pyloonpoten door de brugdoorsnede te voeren en een deel van de weg

buiten deze poten om te leiden (fig.9-3-0^+) . Dit heeft bijv. zin bij

bruggen met twee [of meer) duidelijk verschillende verkeerssoorten,

bijv. spoorweg- en autoverkeer; autoverkeer en fietsers en/of

voetgangers. Vertikale pyloonpoten staan dichter bij elkaar en zijn

veel beter te koppelen tot een portaal, hetzij bovenaan, hetzij lager,

of op twee hoogten (fig.9-3.05)-

Zo is bijv. bij de Mainbrücke Hoechst ["255 1 het spoorwegverkeer over

het midden van de brug geleid, in de ruimte tussen de tuivlakken, het

autoverkeer erbuiten (fig.9.3.05). Het is dan aangewezen de afmetingen

van de pyloonpoten loodrecht op de brugas zo klein mogelijk te kiezen

om zo weinig mogelijk van de brugbreedte voor het verkeer verloren te

laten gaan.

9-3.02

Als de brugligger ter plaatse van de pyloon alleen aan tuien is

opgehangen (vrij zwevend), is een verbreding van de pyloon onder

de brug tot een pijler overbodig, en is het logischer de pyloon

onder het brugdek tot de fundering door te laten lopen, zo nodig

met de constructief benodigde verzwaring van de doorsnede. Dit geldt

zowel voor de centrale als de portaal- ofA-vormige pyloon (fig.9.3-OU).

In het laatste geval is het wel gewenst de fundering van de afzonder

lijke poten te koppelen of tot één geheel te maken (o.a. om de

horizontale ontbondene van de schuine pyloonkrachten op te nemen).

Als de ruimte onder de brug hoog is, heeft het weinig zin de zware pijler-

doorsnede over de hele hoogte door te zetten. Het is dan veel beter

de pyloon (enkel of dubbel) tot de fundering door te laten lopen en

het brugdek ter plaatse te laten rusten op een zware dwarsbalk, c.q.

een uitkraging (fig.9.3.06). Voorbeeld: Bruggen over de Rio Parana I 4361.

Bij A-vormige pylonen wordt de breedte van de fundering vaak onnodig

groot, vooral bij grote hoogte onder de brug (fig.9.3.0^). Het heeft

dan zin de pyloonpoten ter plaatse van de koppelbalk te knikken tot

vertikale of zelfs naar binnen gerichte stand (fig.9-3-07); vooral

het laatste kan aesthetisch zeer bevredigend zijn. Het behoeft geen

betoog dat de koppelbalk op buiging en trek wordt belast, die echter

door een adequate voorspanning kunnen worden opgenomen.

Het voordeel van deze oplossing is vooral de veel compactere fundering.

Voorbeeld: Köhlbrandbrücke, Hamburg j3061.

9.3.1.1


Bij een buigstijve overgang van pyloon naar pijler zal ter plaatse

een aanzienlijk buigend moment op kunnen treden bij ongelijke

belasting van de brugdelen ter weerszijden van de pyloon m lengte

richting) .

De hiervoor benodigde afmetingen van de pyloon kunnen worden gere

duceerd door toepassing van een voetscharnier (met een as loodrecht

op de lengteas van de brug); fig.9.3.1.1. Bij waaiertuien treedt

(theoretisch) hierdoor alleen een (horizontale) dwarskracht op in

de pyloon (naast de noiTnaalkracht natuurlijk), maar ook bij harp

tuien zullen de maximale momenten in het algemeen sterk worden

gereduceerd.

Voor het verkrijgen van een slanke nyloon is een voetscharnier dus

gunstig. De kniklast wordt er echter ongunstig door beinvloed

(zie 9. .1 ) -

Bij toepassing van een voetscharnier in een centrale pyloon (met

scharnieras loodrecht brugas) moet dit scharnier in dwarsrichting

voldoende breed zijn om de stabiliteit in dwarsrichting te verzekeren;

eventueel moet het scharnier vertikale trek op kunnen nemen (zie

ook 9-^-2). Voorbeeld: brug Ewijk f 364 1 .

Wordt het voetscharnier van een centrale pyloon uitgevoerd als

taats (bolscharnier), dan leidt een ligging hiervan boven het brug

dek tot instabiliteit, ter hoogte van het brugdek levert een labiel

evenwicht en alleen een plaats voldoende ver onder het brugdek kan

in dit geval een stabiele constructie verzekeren (zie ook 9-^-2).

Bij een portaal- of A-'vormige pyloon is een taatsoplegging van de

pyloonpoten op elke hoogte ten opzichte van het brugdek mogelijk

zonder dat dit als zodanig tot instabiliteit hoeft te leiden.

P;/loonscharnieren worden bijna uitsluitend bij stalen tuibruggen

toegepast. • . ' . • . '

Bij betonnen tuibruggen zijn de gewichten en de afmetingen in het

algemeen zodanig dat een scharnier vrijwel niet in aarjnerking komt,

enerzijds wegens de zeer grote benodigde afmetingen, anderzijds

omdat het scharnier nauwelijks als zodanig zal werken voor de

gevallen waarvoor het bedoeld is : de verkeersbelasting zal zelden

in staat zijn de wrijving in het scharnier te overwinnen (het eigen

gewicht overheerst met een factor U a 6 of meeri).

9.3.1.2.

Vergelijk ook de werking van een glijoplegging voor doorgaande

tuikabels in een pyloon (zie 7.11)-

Voor betonnen tuibruggen komt dus bijna alleen de buigstijve

verbinding van de pyloon met de pijler in aanmerking.

Een uitzondering vormt de Pont de Brotonne f 33^ J , waarvan de

met het brugdek star verbonden pyloon via rubber opleggingen

op de pijler eronder is opgelegd. Door het grote eigen gewicht

en vertikale voorspanning kan deze verbinding toch ook aanzienlijke

momenten opnemen (fig. 9.2.1.5).

9.il.001

9.^. De stabiliteit van de pyloon

De pyloon van een tuibrug is geen op zichzelf staande constructie, maar

is door middel van de tuien verbonden met de vrij buigslappe ligger,

vaak zelfs ook met het veel stijvere landhoofd of met één of meer tussen

pijlers.

De verbinding met de onderbouw - pijler of fundering - kan variëren van

scharnierend tot (vrijwel) volledig ingeklemd. Bij scharnieren om een

as is slechts buiging mogelijk in het vlak loodrecht op die as; de

andere richting is als (gedeeltelijk) ingeklemd te beschouwen, zolang

de drukresuitante binnen de kern blijft. Ook daarna is nog wel evenwicht

mogelijk, vooral als de verbinding ook trek op kan nemen.

Om scharnieren van de pyloonvoet in alle richtingen mogelijk te maken,

is een taatsoplegging nodig; deze wordt echter zelden toegepast bij de

hier optredende zeer grote krachten.

Volledige inklemming treedt nooit op, kan echter wel dicht worden

benaderd. Het is beter altijd met gedeeltelijke inklemm.ing te rekenen;

zoveel moeilijker is dit niet.

De pyloon kan zowel uitknikken in het vertikale vlak door liggeras en

pyloon als in het vertikale vlak loodrecht erop (zie 9.'+.1 en 9-4.2).

Door de vervorming van de ligger zal de pyloon mee vervormen en zo

enerzijds het knikgevaar vergroten, anderzijds zal de vervormde ligger

de pyloon tegenhouden en zo het uitknikken beletten.

De pyloon moet ook in staat zijn met voldoende veiligheid weerstand

te bieden aan de krachten, die in elke doorsnede ervan werken (sterkte-eis)

hij mag door deze krachten niet zodanig vervormen - ook niet op de lange

duur -, dat zijn stabiliteit gevaar loopt (stijfheidseis). Hiertoe is

het nodig te rekenen met het geometrisch en physisch niet-lineair gedrag

(zie 9-^.3).

De stabiliteit tijdens de bouw verdient speciale aandacht (zie 9-^-^),

evenals de wapening van de soms vele m.eters dikke doorsnede (9-'+-5)-

Omdat een centrale pyloon de nuttige brugbreedte vermindert met een breedte,

gelijk aan de pyloonbreedte plus ca. l m naar weerszijden, moet worden

getracht vooral de dwarsafmeting van de pyloon zo gering mogelijk te

houden (tenminste over de hoogte van het verkeer).

De stabiliteit van de ligger - die ook op druk wordt belast'. - wordt in

8.3 behandeld.

• • 9.i .1.01

9.U.I

De stabiliteit in langsrichting

De stabiliteit van de pyloon in langsrichting wordt, behalve door de

belastingen (M, N, T) die rechtstreeks (c.q. via de tuien) op de pyloon

werken, bepaald door de weerstand tegen horizontale verplaatsing in

langsrichting van het veersysteem, gevormd door het systeem van tuien

en ligger (dus zonder de pyloon; fig.9.U.1.OU). Hierbij is uitknikken

van de "tuistaven" uitgesloten; immers, omdat de tuien door eigen gewicht

en/of voorspanning gespannen zijn, kunnen ze zowel druk als trek opnemen

en doen ze dus aan weerszijden van de pyloon mee. De vervorming van dit

systeem onder een horizontale eenheidslast is gemakkelijk met de computer

te berekenen.

De veerconstante ter plaatse van een tuiaansluiting is de horizontale

kracht, die nodig is om een horizontale eenheidsverplaatsing van het

systeem daar ter plaatse tot stand te brengen. Deze is dus afhankelijk

van de rekstijfheid van de tuien, van de tuihelling, van de buigstijfheid

van de ligger en (vanzelfsprekend) van de plaats van het aansluitpunt

op de pyloon.

Als de ligger oneindig buigstijf wordt gedacht, heeft de veerstijfheid

alleen betrekking op de tuien en kunnen de formules voor de veerstijfheid

tegen horizontale verplaatsing van het tuieinde worden toegepast (zie 7-2).

Dit is het geval voor tuien, die van de pyloon naar een vaste ondersteuning

lopen, bijv. naar een landhoofd of naar een tussenpijler in één van de

zijvelden (fig.9-^•1-OU); het geldt algemeen voor een afgetuide mast; fig.9.^.1.07

De veerstijfheid van een tui, die bevestigd is aan een niet-rechtstreeks

ondersteund punt van de ligger, is kleiner dan de eigen veerstijfheid k .

De "veren" van ligger en tui zijn namelijk in serie geschakeld en dan

geldt: 1/k^ = 1/k + 1/k^, (1)

waarbij k de veerstijfheid van de ligger en k de resulterende veer

stijfheid voorstelt (tegen horizontale verplaatsing).

Hierbij is de veerstijfheid k van de ligger een functie van de buig

stijfheid EI van de ligger en van de overspanning L: k = n ~ ^ (2) L^

Hierbij hangt n af van de randvoorwaarden van de ligger (vrij opgelegd,

doorgaand, ingeklemd, e.d.) en van de plaats van de last (c.q. tui) op

de ligger. De vertikale zakking Av van het betreffende ptuat van de

ligger moet worden uitgedrukt in de horizontale verplaatsing Ah ter

plaatse van de pyloonaansluiting: Ah = Av.tga (fig.9 . 4.1.02).

9.U.1 .02

Het gaat er hierbij dus om hoeveel de ligger vervormt (doorbuigt) tengevolge

van een vertikale kracht V = 1 ter plaatse van een tuiaansluiting; .dit V 1

komt op hetzelfde neer als de vervorming door een tuikracht N^ = —:— = —:— t sma sina

(in een tui onder een hoek a),c.q. door een horizontale kracht H = Vcotga = cotga

ter plaatse van de tuiaansluiting met de pyloon (fig.9.U.1.02).

Bij waaiertuien kunnen de veerstijfheden k t/m k van de n afzonderlijke

tuien en de ligger parallel worden geschakeld tot de vervangende stijfheid

k = k, + k„ + + k . Deze kan echter ook rechtstreeks met de r 1 2 n computer worden berekend door een horizontale kracht H = 1 op het systeem van tuien en ligger ter plaatse van de pyloontop aan te brengen (fig.9.U.1.OU).

Uit formule (l) blijkt, dat door de bevestiging van een tui aan een vast

punt de veerstijfheid k wordt vergroot, omdat voor de liggerstijfheid k =co

wordt ingevoerd. Vooral bij relatief slappe liggers kan het aanbrengen van

één of meer tussensteunpunten in de zijoverspanningen gunstig zijn, niet

alleen voor de tuien aan die zijde, maar ook voor die aan de andere zijde;

de ligger als geheel is stijver geworden (geringere doorbuigingen).

Het is duidelijk, dat de invloed van tuien onder geringe helling gunstiger

is dan van die onder steile helling (fig.9.U.1.05),ofschoon dit ook afhangt

van de plaats op de ligger.

Alvorens dit in een voorbeeld uit te werken (blz.9-U. 1.1.U) , wordt eerst

dé..kniklast berekend van een aan de top verend vastgehouden pyloon, die

aan de voet volledig is ingeklemd (9.4.1.1) en vervolgens aan de voet

verend is ingeklemd (9.U.1.2). Het is duidelijk dat het eerste geval een

uitzonderingsgeval is van het tweede, maar voor de eenvoud wordt dit

eerst behandeld.

9.U.I .1,1

9.U.I .1.

De kniklast van de aan de voet ingeklemde pyloon, die aan de top verend

wordt vastgehouden (fig.9-U.1.1.1).

In een willekeurig punt, op afstand x van de top A:

dx 2 . . ...

Met N = a EI wordt de differentiaalvergelijking:

d y 2 2 ^ ^ + a y = a y -dx

k V

EI

Algemene oplossing : y = A cosax + B sinax ÂyA A'Â

Particuliere oplossing : y = yA " ~ 2 — ' ~ • A ~ ~~N— a EI k

ÂÂ Algehele oplossing: y = Acosax + B sinax - —— x + y .

k Randvoorwaarden:

X = O y = y^ = A + y^ -Â = 0

x = h - > - y = 0 = aB cosah -VA N,

^B =

y = B smax

k y A-Â

aN. cosah K

y = O = VA . , VA smah -aN, cosah

k / A A (— tgah - -^ h + 1 = O aN. N.

K. K

\Â ^ + y,

(1)

Met N, = a E I gaat deze formule over in k P P

5 E I ^ k 1 - ^ M = ah (1- (ah)^ ^ } = ah {1-p^ (ah)'^ }

h^ Â ^Â *

tgah = ah {1- (ahl

3E I P P Hierin is k = -

P .,3 de veerstijfheid van de ingeklemde pyloon

(2)

(zonder horizontale veerondersteuning) en p = k /3k de veerstijfheids-

parameter.

Formule (2) is in fig.9.U.1.1.3 weergegeven voor verschillende waarden

van de veerstijfheidsparameter p^. De snijpunten van de p,-krommen en de u t

tangenskromme in het 2e en 3e kwadraat geven de waarden aan van ah,

waarbij uitknikken optreedt (te berekenen uit a^h = _iiL_} . E I P P

9.U.I.1 .2

Voor p = 0 , dus k =co, gaat (2) over in

tgah = ah, (2a)

de bekende formule voor de kniklast van de onder ingeklemde en boven

scharnierend vastgehouden staaf (fig.9.U.1.1.2)

Hiervoor is ah = U,U9 of N = 20,2 E I 2i\'^Y. I n n D n

n h

Voor p =^, dus k = O (geen horizontale ondersteuning) gaat (2) over in U Pi.

tgah = -co. (2b)

De kleinste waarde van h, die hieraan voldoet, is ah = IT/2; of ^l I n n

TT E I

bh

de bekende formule voor de kniklast van de vrijstaande, aan de voet

ingeklemde staaf.

Uit fig.9-U.1 -1.3 blijkt dat voor p, 1 de waarden van N dicht bij t ri

deze laatste (minimale) waarde van N, liggen, terwijl voor p ,< 0,02

de waarden van N dicht bij de eerste (maximale) waarde liggen. k

Fonnule (1) kan ook worden uitgezet als functie van k , uitgedrukt

in N, /h (fig.9.U.1.1.5). Er blijkt een grote variatie in N, op te K iC

treden voor 0,5 N, /h^: k < 2 N /h. Daar is de constructie dus erg iC A iC

gevoelig voor een kleine variatie in de veerstijfheid k (vergelijk

ook het gebied tussen p = 0,02 en p = 1,0 in fig.9-U.1.1.3).

Het is dus zaak dit gebied zoveel mogelijk te vermijden en te trachten met de veerstijfheid het gebied k,>.-2 N, /h te bereiken.

^ ^ A K In hoeverre dit mogelijk is zal uit het hierna volgende blijken.

2 2 Opgemerkt wordt nog dat voor k, = N, /h de waarde van N, = T: E I /h is.

A k k p p

9 . U . 1 . 1 .-2

Voor een afgetuide mast (die niet kan uitknikken buiten het vlak van

de twee gelijke tuien) is de horizontale veerstijfheid k van twee tuien,

elk onder een hoek 8 met het horizontale vlak, en met een geprojecteerde

lengte 1 (fig. 9.U.1.07): 3

2E_^A cos 8 k^ = ^^^ = k^ (zie ook 7.2), zodat '(2) overgaat in:

^ E I 1 k tgah = ah ( 1 - (ah)'^ - ^ ^/= ah / 1 - (ah)"^ — ^ '

^ h- 2E A cos^B ^ ^S '

= ah [l - p^ (ah)^j (3)

met p^ = 1/3 k /k^. • (3a) t P t

Deze formule is identiek met (2) en de waarden ah voor variërende p.

kunnen dan ook uit dezelfde fig.9-U.1.1.3 worden afgelezen.

Ook hier blijkt dat oneindig slappe tuien (k = 0->p._ = co) de kniklast

verlagen tot die van de vrijstaande, ingeklemde mast (formule (,2b),

terwijl oneindig stijve tuien (k. =««; p. = 0) de maximale waarde opleveren

van de boven vastgehouden, onder ingeklemde mast (formule 2a).

Over de horizontale veerstijfheid van de tuien kan nog worden gezegd 3 .

dat deze evenredig is met cos 8, dus maximaal voor 8= O en minimaal voor

8= 90 (bij eenzelfde geprojecteerde lengte l). Bij een constante hoogte h

neemt bij afnemende hoek 8 de lengte 1 voortdurend toe en is er een

optimale waarde voor S = ~ 35 (zie ook fig.7.2.2).

De veerstijfheid k in formule (2) kan voor een tuibrug samengesteld

worden gedacht uit een tuiaandeel k en een liggeraandeel k-, ; voor

waaiertuien zijn deze veren in serie geschakeld, zodat gesteld kan

worden: — = :;— + -;— (4 k, k, k., h t 1

Hiermee wordt formule (2): E I

tgah =ah{l - (ah)2 -f^ (^ + ^)j 3 t

k

= ah(l -(ah)^ (3^. ±^]--H'- ^ ) W (5) t

k k k (k_ + k J _ t . _P _ P t 1 / N met p^ , = ^r- + ^ = —^.—r (5a ' tot 3k 3k 3k k

u 1 t l

k Voor een oneindig stijve ligger is k =co en wordt p, , = ^ -; het

geval van de afgetuide mast (3) en (3a). k

Voor oneindig stijve tuien is k. =co en wordt p, , = -rr^ , zodat alleen

de liggerstijfheid bepalend is.

9.U.I .1, U

Voor k = k, =eowordt p, ^ = 0 en wordt weer de van boven vastgehouden t 1 tot °

staaf verkregen.

Voor oneindig slappe ligger en/of oneindig slappe tuien is p =cQ en

wordt de staaf van boven niet vastgehouden.

De waarde van de veerstijfheid van het geheel van ligger en tuien kan

gemakkelijk worden gevonden door in de pyloontop op het systeem zonder

pyloon een horizontale eenheidskracht H = 1 te laten werken en de

daardoor veroorzaakte horizontale verplaatsing & te berekenen. De

verhouding H/ö, = 1/6, is dan de gezochte veerstijfheid,

Voor systemen met meer dan één tui ter weerszijden van de pyloon gaat

de berekening het best met de computer.

Formule (1) kan ook worden uitgezet als functie van k , uitgedrukt in

N /h (fig. 9-U. 1.1.5). Er blijkt een grote variatie in P op te treden K. iC

voor 0,5 N /h $ k, -$ 2 N, /h. Daar is de constructie dus erg gevoelig K. n JüC

voor een kleine variatie in de veerstijfheid k, (vergelijk ook het

gebied tussen p = 0,0U en p^ = 0,5 in fig. 9-U.1.1.3). Het is dus t o

zaak dit gebied zoveel mogelijk te vermijden en zoveel mogelijk in het gebied k, >. 2 N /h te gaan zitten.

n K ° 2 TT ^ I

Opgemerkt wordt nog da t voor k = N, / h de waarde van N = 3- i s .

9.U.I.1.5

De vertikale veerstijfheid k van een ligger op twee steunpunten, belast

door F = 1 op een afstand x van een steunpunt, kan worden uitgedrukt door U U

3EI 1 3EI ^ 1 k = —r— ^ — = a^ — 7 " met a = r-^ 1 ,3 , ^ , ^ 2 x 3 x , ^ s 2 2

1 (1-x) X 1 (1-x) X

Dit is weergegeven in fig.9.U.1.1.6.

Deze veerstijfheid geldt ook voor een over drie steunpunten doorgaande

ligger met antimetrische belasting (, fig.9-U . 1 .1 .U) .

Wordt de belasting F beschouwd als de vertikaal ontbondene van een tui

onder een helling 8 met de ligger, dan is deze vertikaal ontbondene voor H = 1

aan de pyloontop gelijk aan F = tgg (fig.9.U.1.1.U). Hiermee wordt de veer

stijfheid van de ligger

3EI 3EI ^1 k = a —r- = a -^— = z~o • ^ ^ Fl^ ^ l\g8 ^^^

Voor H = 1 aan de top van een door twee tuien verstijfde, symmetrische

ligger (fig.9.U.1.1.U) is F = Jtgg , zodat

1 tg8

Dit is uitgezet in fig.9-U.1.1.7 voor tgB =0,5.

Duidelijk blijkt het gunstig effect van een tuibevestiging dicht bij een

vast steunpunt. De grote veerstijfheid bij tuibevestiging nabij het landhoofd

wordt echter wel gereduceerd door de grotere slapheid van de lange, door-

hangende tui onder een kleine hoek 3 (zie ook 7-3.).

De vertikale verplaatsing 6 van het aangrijpingspunt van de tui (met de

ligger) is voor H = 1 ter plaatse van de pyloontop (fig.9.U.1.1.U):

^ Flf (l-x)^.x^ ^ Hl\gg _L = J_ V 3EI ,U 6EI • a k,

1 X 1

De horizontale verplaatsing 6 ter plaatse van de pyloontop is

«h = VS6-

De bijdrage van de ligger aan de horizontale veerstijfheid in de pyloontop

is dus k^^ = k^/tg8 = 2k^/tg^8-

Dit is eveneens uitgezet in fig.9.U.1.1.7 voor tgg = 0,5.

Hieruit blijkt nog duidelijker het gunstig effect van een tui van de pyloontop

naar het landhoofd of naar een punt op de ligger nabij het landhoofd. Een vertikalt

of nagenoeg vertikale tui da.arentegen levert geen of een zeer geringe bijdrage

tot de horizontale veerstijfheid van de pyloontop.

Voor systemen met twee pylonen en/of asymmetrische tuien (bijv. rechter deel

van fig.9.U.1.OU) gaat de berekening het best met de computer.

9. U. 1.1.6

Voorbeeld

Teneinde een idee te krijgen van de orde van grootte van de veerstijf-

heidsparameter p wordt het voorbeeld van fig.9.U.1.1.U uitgewerkt.

De horizontale kracht H = 1 in de top A veroorzaakt tuikrachten

N^ = + i \f2.

Deze veroorzaken verlengingen, resp. verkortingen

^\ = WW = ^ ^-^1^ /Vt = i/2E \-IV^ Hiermee wordt de horizontale verplaatsing van A: Ah = . .

He tuien oefenen een trek- en een drukkracht op de ligger uit, waarvan

de vertikaal ontbondenen ± g zijn. De vertikale doorbuiging van de Ll3 l3

ligger ter plaatse bedraagt f = ± i g ^ = ± g^^ - •

De horizontale verplaatsing van A tengevolge hiervan is .Ah_ = f = ^~ . 2 yot^1^

De totale horizontale verplaatsing van A is dus: "

' - = N " ^ '2= ir!/ 9e , H 1

De horizontale veerstijfheid van het geheel is dus k, = --— = -r-, 96E^I^ . Vt^2

De bijdrage hiertoe van de ligger is k = ^^^ ; die van de tuien k = ^ '•>

de betrekking is 1/k = 1/k + l/k .

Neem nu 1 = -100 m; brugbreedte b = 20 m; liggerhoogte d = 2,75 m;

gemiddelde dikte onderen bovenflens, inclusief lijven: 0,30 m.

e.g. ca. 2.0,30.20.25 = 300 kN/m.

Elke t u i k r i j g t g l o b a a l 50.300 = 15.OOO kN ( v e r t i k a a l ) .

N = 15000V2kN;CT = 600 .10^ kN/m^ A = ' ' ^ ' ^^ ^ = 0 ,035 m^. o n ^ * 600 .10^

E = 2 .10 kN/m E A = 7.IO kN b u t

2 . U U I ^ ~ 2 . 0 , 3 0 . 2 0 . 1 , 2 5 = 18,75 m - > r e k e n I^ = 20 m .

E = 30.10 kN/m^ E I = 600 .10° kN/m^. • •- • •

P y l o o n b e l a s t i n g N = c a . 2 .50 .300 = 3.10 kN; 5 = 1 0 kN/m^. y ^

u 4 2 A^ = 3 . 1 0 : 10 = 3m . Neem 1,5 x 2 m.

P ? il -- p h ? - ' I = 5 . 1 , 5 . 2 = l m . E = 3 0 . 1 0 ° kN/m E I = 30.10 kNm

^ 96E I g g P 6 P ^ E A^V^ 6 ^ k^ = ^ ^ = ^ " • ' ' " " : ' ^ = 570OO kN/m; k, = ^ ^; = ' • ^ " ^^ . ^ IQO.000 kN/m

1 1-^ 100-^ t l lUU

9.U.I.. 1-.7

= 2,75-10 ^ m/kN (k =-'36U00 kN/m). 00000 -,.-•- '-/ "• ^ ^ k, 57600 1

^ T 6 ^p p 1 30.10 -5 _ 825 -„-3 ^ ^ .„-3 „ /- in~2

p = ^ ' . - = ^—. 2,75,10 = T^-10 = 6,0,10 = 0,66,10 , h^ ^h 50- ' ^

Uit fig,9-U.1.1.3 volgt dat de hierbij behorende waarde van ah practisch

gelijk is aan die van de van boven vastgehouden nyloon (p = O), zodat

N 2 0 ^ = 2 0 . ^^^=2U.10^kN. ^ h^ 50^

u Ten opzichte van de berekende pyloonbelasting van ca. 3.10 kN betekent

dit dus een ca. 8-voudige veiligheid. _2

Met een tweemaal zo kleine I wordt p = 1,08.10 ; met een twee maal -2

zo kleine I wordt p = 0,33-10 ; met een twee maal zo grote I wordt Pg . _ . P

p = 1,32.10 . Het is niet eenvoudig om veel grotere waarden voor p dan 0,01 a 0,02 te vinden zonder de constructie "geweld aan te doen".

Op grond van het bovenstaande kan voorzichtig worden geconcludeerd dat

voor tuibruggen de waarden van de veerstijfheidsparameter p in de buurt

liggen van 0,01 en dat de kniklast van de pyloon niet veel zal verschillen

van die van de boven volledig - in horizontale zin - vastgehouden staaf.

Dit is zeker het geval als de top van de pyloon door middel van een of

meer tuien aan een vast punt - landhoofd of pijler - is verbonden.

N.B. Hierbij is geen rekening gehouden met het eigen gewicht van de

pyloon, dat in dit geval (voor een prismatische pyloon) bedraagt:

3.25.50 = 3750 kN (dus 12,5% van de brugbelasting van 3.10 kN).

Ook is geen rekening gehouden met de verkeersbelasting, waardoor de

pyloonbelasting met globaal 50.U,12 = 2UOO kN zal toenemen (8^),

Door eenzijdige verkeersbelasting kan misschien een voor de pyloon

ongunstiger situatie ontstaan, die in deze eenvoudige berekening echter

niet past.

9.U.I.2.1

9.U.I.2

De kniklast van de pyloon, waarvan de voet verend in de fundering is

ingeklemd en de top verend wordt vastgehouden (in het horizontale

vlak; fig.9.U.1 .2.1).

Randvoorwaarden:

aan de top A: yn = "^J^^

aan de voet B: y = O

M^ = - EI - ^ = O dx

% = EI d'

dx = k (^)]

2 ^B dx ^

(1)

(2)

Bovendien: T = T = M^/h, zodat y = M^/k .h (3)

In een willekeurig punt x: j 2 jj

"x = -^" - i =^ ^ - A " \ ' " ^ \ ' ^ - ^ k-h " ' ïï dx A

(U)

Met a =N/EI wordt de differentiaalvergelijking:

2

2 d > 2 '\ X ^ N ^ ^ X 2 '' — " k + a y = - tr:;r- — + -r- -—, = - -;;r .— + a

^ EI h "*" EI k.h EJ.-.-h dx ^^ .. ^^ . ^

Algemene oplossing: y = Acosa x + Bsina x

V

Particuliere oplossing: y = - h a il

M_

V Mg ^ Mg Algehele oplossing: y = Acosa x + Bsinax - - — — + -;—

^ iC.- n i. n

Randvoorwaarden: ^

X = O-y = y^ = ^

X = h->-y = O

->-A = 0^y = B s inax

.a SI A'

2 a EI

h k.n

Mg Mg B sinah - —TT + :;—, = O

2„^ k„h a EI A

^ = ^B ^S^B' | ï = B a c o s a x - -a Elh

X = h^M^ = k a B cosah -^ B ^

a Elh

B cosah - akg a Elh

(5)

(6)

(T)

(8)

De homogene, lineaire vergelijkingen (7) en (8) (in B en M^) hebben

alleen een van nul verschillende oplossing als de determinant van

het stelsel nul is:

sinah (- —— -ak.

)- cosah (• 'B a-'EIh

2 a EI V

) = o

9.U.I.2.2

Uitgewerkt: _ _ ahk.k.„-a Elk. ah - (ah)^ El/k.h-^

, , A B a A / n \ tgah = = (9a)

k^kg +a Elh k^ 1+ (ah) El/k^h

Met p = • o en p = :;—, gaat (9a) over in: ^ Â^ * B""

1 - p^^(ah)^ tgah = ah .

1 + P^(ah) (9)

Voor k =cois p = 0 en gaat (9) over in: tgah = ah|l - p (ah) I (lO)

Dit is de volledig in de fundering ingeklemde pyloon; zie ook 9.U.I.I.

Voor k =cOis p_ = O en gaat (9) over in: tgah = ^ (ll) ^ 1 + P^(ah)'^

Dit stelt de aan de top scharnierend vastgehouden pyloon voor.

Voor k = k =co(p^ = Pj. = O) gaat (9) over in: tgah = ah, (12) A ij I t

de bekende vergelijking voor de onder ingeklemde en boven scharnierend 2TT2EI vastgehouden knikstaafj ah/^»U,5; N = ~ — - —

k . ^ 2

Voor k = O wordt tgah = -co-> ah =IT/2-»N, = — ^ (13) 4h

de onder ingeklemde, boven vrij bewegende knikstaaf. TT F T

Voor k_ = O wordt tgah = 0 âh =IT-»-N = — — , (lU)

de aan beide zijden scharnierend vastgehouden knikstaaf.

Formule (lO) is voor verschillende waarden van de veerstijfheidsparameter ET

aan de top: p = weergegeven in fig.9-U. 1 .1 .3 ; zie ook 9.U.I.I. K^h

Formule (11) is voor verschillende waarden van de veerstijfheidsparameter EI

van de fundering: p = -r—. weergegeven in fig.9.U. 1 .2.2. I K.j n

Formule (12) is een speciaal geval van fig.9-U. 1 .1 .3 en 9-U.1.2.2 (ah = U,U9)

Het verloop van p en p als functie van ah is ook weergegeven in fig.

9.U.1.2.3. Hieruit blijkt dat ah voor zowel p als p voor waarden van T* X

p >10 en p<iO,01 vrijwel constant is. Voor p = p <0,01 is ah/><4,U9 P t I ^

^ \ = '" 2"*" ' °°^ Pt ^^° ^'^ p^<0,01 is ah.. TT/2 (N^ = ^^^-^) ; h 4h

TTÊI voor p > 10 en p < 0,01 is ah/-']T(N = — 5 — )

I " t K ^ h

Formule (9) is vo r vier verschillende waarden van p en een aantal waarden van p weergegeven in de fig.9.U.1.2.4 t/m 9.U.1,2.7.

9.U.I .2.3

De invloed van de f^deringsstijfheid wordt geïllustreerd met het voorbeeld

van.blz. 9.U.1.1.6. De pyloonbelasting is 3.10 kN.

2 Gekozen wordt een funderingsplaat met afmetingen 9 x 12 m ; de bedding-constante k, =2.10 kN/m3;I^ = 1/12.9.12^ = 1296 m ; k„ = k, .I„ = 2592.10'kNm/rad.

D I ij O t

E I = 3.1o'''kNm ; h = 50 m. Hiermee wordt: P P ' P

Pf

p-t

E I n n

E I P P,

v' A p

3.10'' '

u 2592.10 .50

3.10'' ' 36U00.50^

U 3 ! 2 = ° ' ° 2 3 -

3 = ^ = 0 U55 152 ^ '

Uit fig..9.U. 1 .-2.U (voor Pt = 0,0l).;valt te concluderen dat ah =-^ U ,U0 , zodat ET 3 10* 3

N =~19,5 ~5~ = 19 >5. — '—5" = 23U.IO kN, dus maar iets kleiner dan de eerst .. b 50 berekende 2UO.IO kN.

Met een twee maal zo grote beddingconstante wordt p de helft (0,0115)

en komt de waarde van N, nog dichter bij die van de volledig ingeklemde

pyloon.

Met een twee maal zo kleine beddingconstante - die niet erg waarschijnlijk is -

wordt p^ = 0,0U6ixh =~U,3, dus N, =~l8,5. ^ =-^ 222.10 kN, een ^ K ,2

vermindering van nauwelijks 10^. 2 .

Als we de funderingsplaat bijv. 6 x 8 m kiezen, bij dezelfde beddingconstante, wordt k^ = 2.10' . 1/12.6.8^ = 512.10 en p^ = — l d £ . ^ = -J_ = 0,12.

% . , ^ 512.10\50 25,6 o<h='-U,1; N =-17 ^ =-200.10-^kN.

n Dit betekent nog een 200/30 = meer dan 6-voudige veiligheid ten opzichte

van de gebruiksbelasting. Het betekent ok een zeer goede funderingsgrond, 3.10^ ^ 2 , '?

waarop een druk van —r = .^óOO kN/m ("6 kg/cm^) mag worden toegelaten. 6 .8

Een funderingsplaat van deze afmetingen is ook al gauw nodig bij een fundering op palen, maar hier is de stijfheid ve e malen groter dan bij een fundering

U 2 op staal met beddingconstantenvan 2 a 3.10 kN/m .

Onder enigszins "normale" funderingsomstandigheden zal daarom de eindige

veerstijfheid van de fundering van geringe invloed zijn op de stabiliteit

van de pyloon.

9.U.I.3 9.U.1.3.1

Vergelijking met E I = CO . £ £.

Het is interessant de pyloon met eindige stijfheid E I te vergelijken y y

met die met E I =oo. De veerconstante van de fundering is kx.= k, .1^; p p ° I D f

die van de top is k (fig.9.U. 1 .3.1). Hierin is k. de beddingconstante

van de fundering^ I het traagheidsmoment van het funderingsoppervlak.

Momentenevenwicht: Hh + N.(f>h = k . 4)+ k tfih (fig.9-U. 1 .3 .2) .

Hh

k +k h^ - Nh (1)

2 De hoek (J) wordt oneindig groot voor k„ + k h - Nh = O

k I t

\ = ïr^ V = ^f-^^t' 2) d.w.z. N is de som van de knikkrachten van de oneindig stijve, in de

K.

fundering verend ingeklemde staaf en van de oneindig stijve, boven

verend vastgehouden staaf (en onder scharnierend). Zie ook dictaat

"Knik en Stabiliteit" van Prof. Dicke, p.U8,U9.

Het verloop van N als functie van de pyloonhoogte h is uitgezet in fig.

9.U.1.3.1 voor verschillende waarden van k en k . Het blijkt dat N

voor een bepaalde combinatie van k en k een minimum heeft voor een t I

zekere hoogte h.

Met behulp van formule (2) wordt de stabiliteit van de oneindig stijve

pyloon vergeleken met die van de pyloon met eindige stijfheid uit het

voorbeeld vanblz.9-U.1.1.6. Hiervan is k = k = 36U0O kN/m. Tj n

U . 9

De pyloonbelasting was 3.10 kN. Met een funderingsoppervlak 9 x 12 m'

wordt de gronddruk ' ^ = 277 kN/m^ ; I^ = 1/12.9.12^ = 1296 m^ (blz .9-U -1 .2.3)

U , 3 U Met een beddingconstante k^ = 2.10 kN/m wordt k = k .1^ = 2592.10 kNm/rad. Met de pyloonhoogte h = 50 m volgt uit formule (2):

= 2592.10 ^ 36UOO.5O = 52.10 + 182.10 = 23U.IO kN.

Dit is bijna 10 maal zoveel als de kniklast van de pyloon (2U.10 kN),

met oneindig grote funderingsstijfheid. Met de hier aangehouden funderings

stijfheid loopt

blz. 9.U.I.2.2.

stijfheid loopt de kniklast iets terug (tot ca. 23.10 kN) ; zie formule 9-.

U Met een twee maal zo grote beddingconstante k neemt N toe met 52.10 kN

1 o k tot 286.10 N; met een twee maal zo kleine beddingconstante neemt N af

U . k • met 26.10 kN. Om een veel kleinere waarde van N, te vinden, moet k veel

k ' t

kleiner worden, maar dit is niet reëel, omdat de tuidoorsnede bepaald wordt

door het liggergewicht en dit is bij betonnen tuibruggen relatief hoogi

Ofschoon de controle van de stabiliteit van de oneindig stijve pyloon altijd

raadzaam is, en bovendien erg eenvoudig, kan wel worden geconcludeerd dat deze

stabiliteit practisch nooit maatgevend zal zijn.

9.U.2.01

9.U.2

De stabiliteit van de pyloon in dwarsrichting

Bij een uitwijking van de pyloon in dwarsrichting ontwikkelen zich horizon

tale krachten ter plaatse van de tuiaansluitingen met de pyloon, die de

vertikale stand van de pyloon willen herstellen. Elk tuienpaar blijft

namelijk in het vlak door het aansluitingspunt met de pyloonas en de lijn

door de aansluitpunten met de ligger (fig.9.U.2.01 ).

Daarbij wordt verondersteld dat de ligger in dwarsrichting zo stijf is,

dat hij door de horizontaal ontbondene van de tuikrachten geen (of een te

verwaarlozen) horizontale verplaatsing ondergaat. Dit zal in de meeste

gevallen zo zijn, behalve bij zeer smalle en lange bruggen, zonder horizontale

tussenondersteuningen.

De stabiliteit in dwarsrichting hangt ook af van de plaats van de (gedeelte

lijke) inklemming van de pyloon in ligger, pijler of fundering. Bij een

eventueel scharnier aan de pyloonvoet is de hoogte hiervan ten opzichte van

de lijn door de tuiaansluitingen met de ligger doorslaggevend voor stabiliteit

of instabiliteit (zie hierna); zie ook fig.9-U.2.02.

Verder hangt de stabiliteit af van de tuiconfiguratie (harp, waaier, e.d.),

het aantal tuivlakken en de vorm van de pyloon (enkel, portaal. A-vorm, e.d.).

Zo zal eenA- of A.-vormige pyloon in het algemeen zeer stabiel zijn in

dwarsrichting, zelfs met scharnieren aan de voet (fig.9-U.2.05).

Voor de eerste orde-uitbuiging van de pyloon moet worden gerekend met wind,

temperatuur, krimp, kruip, toevallige excentriciteit van de tuikrachten,

scheefstand van de pyloon (bijv. door onnauwkeurigheden bij de uitvoering)

en met de veerstijfheid van de fundering (en van een eventuele tussen-

constructie, bijv. pijler); verder met eventuele scheurvorming en niet-

lineair materiaalgedrag. Zie ook 9.U.3-

Achtereenvolgens worden hierna behandeld:

- de enkele pyloon met voet scharnieren en centraal tuivlak (waaier en harp);

- dezelfde pyloon, gedeeltelijk ingeklemd in ligger, pijler of fundering;

- de portaalvormige pyloon met volledige inklemming aan de voet;

- de portaalvormige pyloon met gedeeltelijke inklemming aan de voet;

De stabiliteit van andere pyloonvormen kan volgens hetzelfde principe

worden onderzocht (zie ook 9,U.3.6).

9.U.2.1,1

9.U.2.1

De enkele pyloon met voetscharnier en centraal tuivlak

a. Met waaiertuien

Bij uitgebogen stand van de pyloon zijn de tuikrachten gericht van de

pyloontop naar het snijpunt van bovenkant ligger en pyloonas (fig.9.U.2.02).

Uit fig.9-U.2.02 blijkt, dat als het voetscharnier van de pyloon boven

de plaats van de tuibevestiging in de ligger ligt, de constructie

instabiel is; bij gelijke hoogten verkeert hij in labiel evenwicht en

alleen bij een voetscharnier onder de ligger is een stabiele constructie

mogelijk.

Bij een uitwijking aan de top ontwikkelt zich een hiermee evenredige

horizontaal ontbondene van de tuikrachten, die de pyloontop weer terug

wil trekken.

De pyloon kan alleen als tweezijdig scharnierende staaf uitknikken en de 2 ?

kniklast is derhalve N, = TT EI/1 , K p '

waarbij 1 > h, de hoogte van de pyloon boven het brugdek (fig.9.U.2.02).

De verhouding 1 /h moet duidelijk groter dan 1 zijn, d.w.z. zeker ca. ir

20^ groter, om voldoende marge te hebben ten opzichte van een even

tueel labiel evenwicht , ook in verband met mogelijke onvolkomenheden in de

vormgeving.

Er moet ook worden gerekend met de eventuele kromming van de ligger in

het vertikale vlak, waardoor de ontmoetingspunten van tuien en ligger

lager komen te liggen dan de ontmoeting van ligger en pyloon (fig.9.U.2.03).

In deze situatie is het uitgebogen tuivlak dan ook niet meer nauwkeurig

een plat vlak, maar bij vervanging door een "gemiddeld" plat vlak is de

fout verwaarloosbaar klein.

9.U.2.1.2

b. Met harptuien

In de uitgebogen stand van de pyloon zijn alle tuikrachten van de

respectievelijke aansluitpunten in de pyloon gericht naar de aansluit-

punten in de ligger (fig, 9-U,2.0U).

Ten aanzien van de invloed van de plaats van het scharnier op de

stabiliteit geldt hetzelfde als bij waaiertuien.

De pyloon blijft echter niet recht (in tegenstelling met het voorgaande);

hij kromt in de richting van de kortste tuien. Theoretisch zou een

zeer kort stel tuien, zeer dicht bij de pyloon, de uitwijking daar ter

plaatse (vrijwel) geheel belemmeren. Eveneens theoretisch, zullen bij

een oneindig buigstijve pyloon de tuien ongelijke horizontale krachten

uitoefenen, d.w.z. de bovenste zullen kleinere horizontale krachten

uitoefenen dan de onderste, omdat ze (relatief) minder hoeven te rekken.

Alleen als de pyloon om het snijpunt van ligger en pyloon scharniert,

zijn de horizontale krachten gelijk - en ook de vertikale - en blijft

de pyloon recht (maar hij is wel labiel).

De horizontale krachten, die bij een bepaalde uitwijking 6. van de

pyloontop door de tuien op de pyloon worden uitgeoefend, kunnen door

het opstellen van compatibiliteitsvergelijkingen worden berekend;

hieruit volgt tevens de uitgebogen vorm van de pyloon.

De stabiliteitsberekening geschiedt het beste door de pyloon in moten

te verdelen, bijv. gelijk aan de afstand van de tuiaansluitingen, en

daarop zowel het eigen gewicht als de vertikale resultanten van de

tuikrachten te laten aangrijpen; verder natuurlijk de horizontale

resultanten van de tuikrachten en windkrachten in de ongunstigste

richting (d.w.z. zodat de doorbuiging wordt vergroot).

9.U.2.2.1

9.U.2,2

De (gedeeltelijk) ingeklemde pyloon

De pyloon kan gedeeltelijk zijn ingeklemd in de brugligger, in de pijler

of in de fundering (fig. 9.^.2.2.1).

Zoals hierna ook zal worden aangetoond is hier wel een stabiele pyloon

mogelijk als het inklemmingspunt van de pyloon in de onderbouw op gelijke

hoogte ligt met de lijn door de tuiaansluitingen met de ligger (of zelfs

hoger), hoewel een lager punt gunstiger is.

In tegenstelling met het vorige geval blijft de pyloon bij een zijdelingse

uitwijking niet recht, maar neemt hij een gebogen vorm aan (fig.9.U.2.3 • 1) .

De berekening wordt vereenvoudigd als de verbinding van de pyloon met de

ligger of de onderbouw als volledig ingeklemd mag worden beschouwd.

Is bij een in de ligger ingeklemde pyloon de ligger ter plaatse van een

brede, zware dwarsdrager voorzien, die op een zware, even brede pijler is

opgelegd (fig.9.U.2.2.2), dan is de inklemming bijna volledig (zelfs

als de dwarsdrager door tussenkomst van oplegmateriaal - staal of rubber -

op de pijler rust). Het kan echter geen kwaad altijd met een zekere veer

constante van de onderbouw te rekenen; zoveel moeilijker wordt de

berekening er niet door (zie ook hierna).

De in de ligger ingeklemde pyloon is toegepast bj.j de Pont de Brotonne f 33U 1.

Vaak zal het ook zo zijn dat de pyloon door de brugligger steekt en

eronder één geheel vormt met de pijler, waarop de brugligger daar ter

plaatse rust (fig.9-U.2.2.3).Dit betekent in de regel een aanzienlijke

vergroting van de doorsnede, maar veel minder van het traagheidsmoment,

omdat de pyloonafmeting in de lengterichting van de brug vaak veel

groter (moet) zijn dan de pijlerafmeting in die richting.

Bij een ligger, die ook nabij de pyloon aan tuien is opgehangen, is geen

oplegging op een pijler nodig, en kan de pyloon rechtstreeks doorlopen

naar de fundering (met een aan het krachtsverloop aangepaste vorm, bijv.

volgens fig.9.U.2.2.U).

De pijlers onder de brug kunnen soms een aanzienlijke hoogte hebben,

vooral als het gaat om bruggen voor de zeescheepvaart (vergelijk Pont

de Brotonne, met een pijlerhoogte van meer dan 50 m).

Het inklemmingspunt van een pyloon in een even dikke, maar bredere pijler

moet op een voldoende afstand onder de ontmoeting van beide worden gekozen

(fig.9 .U .2 .2 . 5 ),-omdat op de plaats van de ontmoeting de volle pijler

stijfheid nog bij lange na niet in rekening mag worden gebracht. Beter

zou het zijn te rekenen met een verlopende stijfheid, bijv. onder U5 .

9.U.2.2.2

Met de elementenmethode zal zeker een meer verantwoorde benadering

mogelijk zijn.

Als bij grote stijfheid van de onderbouw uit de benadering als volledige

inklemming een grote knikveiligheid volgt, dan is verdere controle in

de regel niet nodig. Is de uitkomst twijfelachtig, dan moet een nauw

keuriger berekening uitwijzen in hoeverre de veiligheid tegen instabili

teit gewaarborgd is.

In het hierna volgende wordt het algemene geval behandeld van een verend

in de onderbouw (of fundering) ingeklemde pyloon met lengte 1, die een

hoogte h$l boven de ligger uitsteekt.

9.U.2.3.1 9.U.2.3.

De ingeklemde pyloon, waarbij de normaalkracht in uitgebogen stand naar

een vast punt is gericht (fig. 9.U.2.3.I)

Dit is het geval bij een pyloon met waaiertuien, waarvan de bevestiging

in de ligger bij uitbuiging van de pyloon in horizontale zin op zijn plaats

blijft. Theoretisch is dit alleen het geval bij een horizontaal oneindig

buigstijve ligger, maar praktisch kam de horizontale uitbuiging van de

ligger vrijwel altijd verwaarloosd worden, behalve bij smalle tuibruggen

met een scharnier of inhangligger in het midden.

Hieronder wordt de afleiding zonder commentaar gegeven.

M = - Ely" = - N{ö(l-x/h) - y} x N __ _ N ./, Xv ... .2 y" + y = lï<5(T-f) Met a =N/EI:

2 2 y" + a y = a ö(l-x/h) Oplossing:

y = C sinax + C cosax + 6 (l-x/h).

x = 0-+y=6= 0 + 6 ^ 0 = 0

y = O sinax + & (l-x/h) y' = aC cosa x -6/h

^ • ^ X '51 n - -6 + 51/h x = l^y = 0 = C.sma + 6 - -7- C, = —. :;

•' ^ h l sinal

X = l^y' = O = aC cosal -6/h = aöcotgal (TT -l) -6/h

.cotgal = f, , . -»• tgal = a(l-h) = al (I - — ) . a(l-h) 1

Deze transcendente functie is in fig,9.U.2.3.2 voor verschillende waarden

van de verhouding h/l weergegeven. Enige grensgevallen:

h/l = 0: tgal = al ->• al = U,U9 ->N =-^2fr^El/l2 ? ?

h/l = 1 : tgal = 0 -^al = T T - , N = TT EI/1 9 •?

h/l =cQ: tgal = -</3^ al = T:/2->N, = 0,25TT EI/1

Het geval h/l = O is de van boven vastgehouden pyloon; voor h/l < 1 is N gericht

naar een punt links van de pyloonvoet (fig.9.U.2.3.1 ); voor h/l = 1 is N naar

de pyloonvoet gericht, terwijl voor h/l =co N vertikaal staat.

Ook voor de ingeklemde pyloon wordt een grotere kniklast verkregen als

het inklemmingspunt onder het vaste punt ligt waarnaar de tuikrachten

zijn gericht.

9.U.2.3.2

Met verende inklemming aan de voet van de pyloon (fig.9.U.2.3.3):

y" + a^y = a^ ó (l-x/h) y = O sinax + C cosax + ö (l-x/h)

X = O ->y =6= C^ + 6^ C^ = O

y = 0 sinax +6 (1-x/h) 1

= l^y = O

= l^y' = i

y = aC cosax - ö/h

0 sinal +S- % C= -J— i ^ - ^) 1 h 1 s m 1 h JL k„

f ^ (1-1/h) = a6(^ - 1) cotgal - Ö/h. k n

a (l-h) cotgal = 1 + (1-h)

- - t^- .J - ^ 1 ^ -. . t , . l - ^( l_h) ' 1,^^ -

ak ( l -h ) +- , i -r i "1

t g a l - p k^ + a EI ( l - h )

k^ + a EI ( l - h )

ak^ ( l - h )

a l ( 1 - h / l )

1 . ( a l ) 2 EI .^1-^) "" 1

a l ( 1 - h / l )

1 + p ( a l ) 2

EI (l-h) met p = —

ka

Voor k^ =00 wordt p = O en gaat de formule over in tgal = al (1-h/l), de

formule van de volledig ingeklemde pyloon.

Voor 1 = h wordt p eveneens O en gaat de formule over in tgal = O; 2 , 2

al = TT; N, = TT EI/1 . Dus bij verende mklemmmg is de kniklast voor 1 = h

dezelfde als bij volledige inklemming.

2_ , ? Voor k., = O wordt p =C0 en is weer tgal = 0; al = TT ; N, = TT ÜI/I .

Dus bij een voetscharnier is de kniklast die van de aan beide einden

scharnierend vastgehouden staaf, mits 1> h.

2 Voor h/l >1 wordt tgal negatief (mits p (al ) < l), d.w.z. al <Tr.

k^ ak„ Voor h/l=oo is N vertikaal en tgal =

2 a EJ

N of

N = ak cotgal = al.cotgal.

Er is afgezien van het tekenen van grafieken voor deze gevallen.

Voor zover nodig is het vrij eenvoudig te doen aan de hand van het

bovenstaande.

9.U.2.U.I

9.U.2.U

De portaalvormige pyloon met volledige inklemming aan de voet (fig.9.U.2.U,1

De tuivlakken vallen samen met de stijlen; de tuien zijn waaiertuien,

De stijlen zijn ter hoogte van A in de fundering ingklemd; AB = 1,

Het brugdek bevindt zich ter hoogte van 0; CB = h. Het is in dwarsrichting

zeer stijf, zodat O niet horizontaal verplaatst,

De stijlen zijn gelijk belast en zullen dus gelijktijdig uitknikken,

De normaalkracht en de dwarskracht in de regel zijn nul op het moment van

uitknikken. Voor de bepaling van de kniklast kan daarom het uiteinde van

de stijl AB als verend ingeklemd worden beschouwd met een veerstijfheid 6EIJ.

r

Geef aan B een horizontale uitwijking 6{6 << h)

De tuivlakken blijven in het vlak door B en C, dus de kracht N is gericht

volgens BC. De afstand a is: a = • Q'^ I" (l-h) Vl + (h/5)^ ^

Het moment in B is ML = k_.^

Het moment in A is M = NL - Na = k .J ^ - N6 ^ .

M^ = - Ely" = N (y - 6 ) + M^ M

V + — V - 6 — — + — = O Met a = — : y EI • EI h EI iicu a g^.

M -' 2 2. X _ 2 ''A _ , y + a y - a d - + a ~f"=0

De onlossing hiervan is: ,, M, X A y = C sinax + C cosax + 6— - -^

Randvoorwaarden:

x = 0 j = o = c^ - M^/N ^Cg = M^/N 5 ^ . 6 .. 6 y = O = aC. cosax - aC_ sinax + 7 = aC, + 7 -.> C, = -•' 1 2 h 1 h 1 ah

M, M„ TI- .;,4- ó . , A .fX A Hiermee wordt: y = - —r smax + —r cosax + 6— - -r-ah N h N

, 5 « A . 6 y = - — cosax - —r— smax + — • h N h X « M, . M„ „ ao . A a6 . A y = —;— sinax - — - — cosax = -— smax - 777 cosax

•' h N h EI 5 M^ 1 M^

x = l y = 5 = - — smal + — cosal + 5- - —

^^ cosal -1) + - (1 - h - ) = 0 1) N h a

9.U.2.U.2

'aM. X = 1 y = - - = - - ^ ^ = - Sinal - - cosal

I 'S -, A , _ 6 3 = B = - h '°"^^ - ^r =°=" "- h

6 5 "^A 6 EI — sinal - M, cosal = - k_.< „ = k„ — cosal + k„ — n — sinal - k_ — n A B ' B B h B N B h

M — (ak^sinal + a Elcosal) + - (k cosal - k - Elasinal) = O (2),

De vergelijkingen (l) en (2) hebben alleen een van O verschillende

oplossing als de determinant O is:

(1 - cosal) +(k^cosal - k - Elasinal)+ (l-h - —) (ak sinal + a Elcosal)= O

Uitgewerkt levert dit:

B _ alsinal -p(al) cosal ^ l-h , h — *—— met X) — = 1 — — EI pal3inal + 2 cosal - 2 " 1 1'

De waarde —;rr is voor enige waarden van p (0.s:p^ l) uitgezet in fig.9.U.2.U.2

als f'unctie van al.

TT E-T

Voor k_ = O en p = O (l=h) is al =Tr en N, = — ,

Dit is het portaal met scharnierende bovenregel, waarbij de richting van de

kracht N naar de voet van de stijl is gericht (zie ook 9.U.2.3). 2

Voor k _ = 0 e n p = 1 (h = 0 ) i s a l c 5 U , 5 e n N «; •^ .

Dit is het portaal met scharnierende bovenregel, waarbij het scharnier niet

horizontaal kan verplaatsen (het brugdek daar ter plaatse belet dit ;

dit is dus een vrij hypothetisch gevall). 2

U TT E-I Voor k =«o is al = 2Tr voor alle waarden van p; N = 5—,

Dit is het portaaJ. met oneindig buigstijve bovenregel, die voor p = 1

bovendien niet kan verplaatsen. Voor p = O verplaatst de bovenregel wel. In

beide gevallen is de kniklengte inderdaad ll (fig. 9.U.2.U.3).

Bij gelijke 1 neemt de kniklast toe bij toenemende p, c.q. afnemende h;

het zijdelings uitwijken van de bovenregel wordt in toenemende mate belet.

Negatieve waarden van k^l/EI komen niet in aanmerking. SEIj-lü lü

Een grote waarde van k„l /EI = —rr ^ -^ wordt bereikt voor grote I of ^ B p p E I l ' ^ r P r _ k le ine 1 (voor vaste waarden van EI en 1 ) ; hierdoor neemt de k n i k l a s t t o e .

r P P

9.U.2.5.1

9.U.2.5.

De portaalvormige pyloon met gedeeltelijke inklemming aan de voet (fig.9-U.2.5•1)

De differentiaalvergelijking hiervan is geheel identiek aan die van de

pyloon met volledige voetinklemming (zie 9-U-2.U), alleen de randvoorwaarde

bij A verschilt. De oplossing van de differentiaalvergelijking is: X M^

y = O, sinax + C^cosax + 6 7- - —rr •' ^ 2 h N

Randvoorwaarden:

X = O (in A) 1) y^ = O = C^ - M^/N ^ C^ = M^/N (zelfde)

Nu is echter niet 2) y' = 0 , maar y' = -'P = - M /k = aC + —

1 a ^k h^ X M„ M„ M„

H i e r m e e w o r d t : y = ( - —r - —r ) s m a x . + - r r c o s a x + 0 — - -— • a h a k N- h N

M, M„ -' , 5 As A . _ 5

y = ( - - - — ) c o s a x - —^ s m a x + -A

M a M y = (-— + ——) s m a x - —-— c o s a x

n K.. IM

A l; M M M

x = l ( i n B ) 1) y ^ = 6 = ( - - - ^ ^ ) s i n a l . - ^ c o s a l . 6 ^ - ^

M» ^ T X • 1 A , ^ , a t l . ^ , , ö ,^ , s m a l , „ , , ,

—r ( c o s a l - 1 - s m a l ) + — ( l - h - ) = 0 ( 1 ) N k h a

P^ • . ^ , 6 ^A . , «^A . , 6

A

Met M^ = M„ + Na = M„ + N6 ^ ^ en N = a ^ E I w o r d t d i t l - h ,, 2 ,

. ^ , ^ _ ^.^ + IM n - - J.T

A A

M N 5 - M aM . ^ t - - ( l - h ) M - - ^ ) c o s a l . ^ s i n a l - f = O

M, 2 ^ ^ 2 ^ ^ . 2^_ A , a E I , g E I , ^ . - , \ _ ^ ó - , _ ^ , ^ a E I /. ,^< r, / o ^

r— (—; + — c o s a l + a s m a l ) + 7 - ^ - 1 + c o s a l + — • ( l - h = O ( 2 ) N kg k^ h . ^B '

Voor een reële oplossing moet de determinant van (I) en (2) nul zijn.

Uitgewerkt levert dit:

K^ 2 k,l TTT; (pal cosal - sinal) - p (al) sinal , , A _ EI - (3)

E I

E I »• a l ^ • ^ ƒ2 ( 1 - c o s a l ) • A / • n -, . N •^rf~ \ 7 - P s m a l j + ( s m a l - p a l c o s a l )

9 ' .U ,2 .5 .2

Deze v e r g e l i j k i n g (3) kan worden u i t g e z e t a l s f u n c t i e van a l voor k „ i 6 E I , T h

B r 1 ^ - n v e r s c h i l l e n d e waarden van r~r- = • • . — en p = ,

El El o 1

Voor k, = °° (volledige inklemming bij A) moet de noemer O zijn A

(de teller kan niet =0 worden.'); d.w.z.

k 1 B sinal - palcosal

EI . , 2 cosa - 2 psinal +

al

Dit is de vergelijking uit 9.U.2.U. Dit klopt dus,

Voor k. = O (scharnier in A) moet de teller O zijn (de noemer kan A

aJ-leen maar » worden voor al = O en dit is geen reële oplossing).

3 _ p(al) sinal p(al) EI palcosal - sinal palcotgal - 1

EI k 1 a l t g a l p ( a l ) ' ^

' M 2 V 1 ^^'B-^ a l t g a l = ^^" ;^ - ;3^ t g a l = a l ^ ^ - 7 — - r ^ - — — r

E l p ( a l ) ' ^ + k g l S l p ( a l j + i g i

k g l Voor p = 1 : t g a l = a l :^,— x^ (h=0; p o r t a a l i n 3 v a s t g e h o u d e n ) ,

j _ i j . ^ (Jt-L / "^ c,.-r^-i.

Voor k = ^ wordt d i t : t g a l = + a l , de k n i k l a s t van de i n 3 ingek lemde , . . 2TrÊI - \

i n A s c h a r n i e r e n d b e v e s t i g d e k n i k s t a a f ; N ~ —-rf ( f i g . 9 -U.2 , 5 , 2 - a / . k 1

TTÊI Voor k_ = 0: t g a l = 0 - a l = O, TT , 2Tr, enz , N, • = —7-7— ,

B 5 ) 5 k m m 1^ de k n i k l a s t van de i n 3 en A s c h a r n i e r e n d b e v e s t i g d e k n i k s t a a f ; f i g . 9 . U . 2 . 5 . 2 - b

kBl Voor p = 0: t g a l - a l gj((^^)2V"k l / p = O ^ a l = O, TT, 2Tr, enz .

TTÊI N, . = ^ '>• . De stijlen knikken uit, maar de bovenregel blijft recht; kmm 1" ' o o 5

de krachten blijven naar het punt A gericht; fig. 9.U.2.5.2-C.

9.U.2.5.3

In fig.9.U.2.5.3 is de kniklast aangegeven voor een scharnierend portaal

met p = O (scharnieren ter hoogte van het brugdek), voor het geval dat

de kniklast N vertikaal blijft.

In tegenstelling tot het geval, waarbij N, naar het voetscharnier gericht p ^

TT T?T . . b l i j f t (waarbij N, - = —7~~i , i s h i e r N, wel afhankel i jk van de

kmm •j_2 __ _ k El^.b verhoud ing van s t i j l - en r e g e l s t i j f h e i d ( ^„%.—;—) . De g r o o t s t e waarde

TT*- EI - r i s :r— en wordt b e r e i k t voor c o t g ah = O, dus ah = Tr/2. Di t b e t e k e n t

Uh^ I = <- , dus een oneindig stijve bovenregel.

Deze knikbelasting is echter nog een factor U kleiner dan de constante

waarde van de knikbelasting N , als N naar het voetscharnier gericht

blijft. Deze waarde is theoretisch onafhankelijk van de uitbuiging van

het portaal. In werkelijkheid zal de beperkte vervormbaarheid van de regel

grenzen stellen aan de uitwijking van het portaal, zonder dat in de

stijlen de kniklast bereikt behoefte te worden.

9-U.3.01

9.U.3

Sterkteberekening van de pyloon

Behalve op stabiliteit moet de pyloon van een tuibrug ook worden gecontro

leerd op sterkte. Hierbij zijn afmetingen, wapening, beton- en staal-

kwaliteit bekend.

Daarbij wordt nagegaan of de spanningen in de pyloon tengevolge van de

(met zekere factoren vergrote) karakteristieke belastingen beneden de

(met andere factoren gereduceerde) karakteristieke materiaalsterkten

blijven, en of de hierdoor veroorzaakte vervormingen begrensd of onbegrensd

zijn (onder 2e en hogere orde-effecten).

Volgens de TO 197U moeten hiervoor alle karakteristieke belastingen - of

hun belastingeffecten - met eenzelfde factor 1,7 worden vermenigvuldigd,

terwijl de karakteristieke sterkten niet worden gereduceerd (hoewel voor

druk met geringe excentriciteit een lagere waarde voor de betonsterkte

moet worden ingevoerd dan voor zuivere buiging of druk met grote excentriciteit;

zulks in verband met de mate van herverdeling van spanningen over de

doorsnede).

Volgens de CEB-FIP Model Code 1978 worden de karakteristieke belastingen

in principe met verschillende factoren vermenigvuldigd (soms ook gereduceerd),

die afhangen van de kans op het optreden van een hogere (of lagere) belasting,

en van de spreiding, terwijl de karakteristieke materiaalsterkten worden

gereduceerd met in principe eveneens verschillende factoren, die ook

weer rekening houden met de kans op een kleinere sterkte.

Uiteindelijk moet worden aangetoond dat het effect van de met verschillende

factoren y vergrote karakteristieke belastingen Q (uitgedrukt in M, q ic

N, T, M of hun spanningen) kleiner is dan de met verschillende factoren y

gereduceerde karakteristieke materiaalsterkten S :

ri

q k ^ k m

Voor meer informatie over deze veiligheidsbenadering wordt verwezen naar de aangehaalde CEB-FIP Model Code 1978 en naar hoofdstuk 12 van de Handleiding Betonnen Bruggen van schrijver dezes.

Bij de berekening van een pyloon moet niet alleen rekening worden gehouden

met de berekende krachtsverdeling tengevolge van de uitwendige belastingen

(eigen gewicht, verkeersbelasting, wind, e.d.), maar ook met de mogelijk

heid van ongelijkheid van de gewichten van de ligger ter weerszijden van

de pyloon bij theoretisch gelijke doorsnedeafmetingen en volumegewichten);

verder met krachten tengevolge van onvolkomenheden in de vormgeving tijdens

de uitvoering (niet vertikaal; toevallige excentriciteit van een tui

aansluiting, e.d.), maar ook met krachten tengevolge van vervormingen door

temperatuur, kruip en krimp (van ligger, tuien en pyloon); zie ook 5-2 t/m 5.4.

9.U.3.02

Ongelijkheid in de gewichten van de ligger ter weerszijden van de pyloon

kan bijv. een gevolg zijn van een kleine afwijking in de afzonderlijke

bekistingen, verschillende stortploegen aan weerszijden (ongelijke ver

dichting, afwerking, o.d.), ongelijke uitdroging (ene deel in de volle

wind, andere deel in de luwte van een bebouwing, bos, o.d.), e.d. Hiervoor V 3

zou een verschil van 2 a 3% kunnen worden aangehouden (0,5 a 0,75 kN/m ).

Voor uit het lood staan van de pyloon wordt wel een maat van 0,001 van

de pyloonhoogte aangehouden (d.i. 0,1 m op een hoogte van 100 m). Eenzelfde

maat wordt wel aangehouden voor de pijl van een eventuele kromming op

halve hoogte (maar niet beide tegelijk).

Voor de excentriciteit van een tuiaansluiting ten opzichte van het hart

van de pyloon is 0,01 m een aanvaardbare maat, maar het is onjuist bij veel 1 )

tuiaansluitingen alle afwijkingen naar één zijde te rekenen .

De temperatuurvervormingen door zonsbestraling kunnen worden berekend,

(zie A.07 en A.08). Daarbij moet er wel mee worden gerekend dat de dagelijkse

temperatuurvariaties maar zeer ondiep in het - vaak vele m dikke - beton

van de pyloon doordringen (enige dm), maar dat in een warme zomer het effect

aan de zonzijde op de duur veel groter kan zijn. Tot veel meer dan het

effect van een rechtlijnig temperatuurverval van U è 5 C zal men zelden

komen bij een enige m dikke pyloon (zie ook A.07 en A.08). Naarmate de

pyloonafmetingen kleiner worden, wordt het temperatuurverval groter en

daarmee de temperatuurvervorming van de pyloon.

1) In de V.B. 197U, art. E-30U.1.6 wordt gesteld dat maatafwijkingen ten

gevolge van bouwfouten alleen in rekening behoeven te worden gebracht

als de afwijking groter is dan Qyi (in mm; 1 in m) .

Gezien de grote krachten en afmetingen waar het bij tuibruggen om gaat,

lijkt het verstandig bij de stabiliteitsberekening tenminste deze afwijking

als excentriciteit in rekening te brengen (zie ook 9.U.3.6).

9.U.3.1.1

9.U.3.T

Principe van de berekening van een pyloon met variabele doorsnede en wapening

Dit wordt toegelicht aan de hand van het vereenvoudigde voorbeeld van fig,

9,U.3,1,1, De pyloon is onder volledig ingeklemd en boven vrij. De breedte

h varieert rechtlijnig met de pyloonhoogte; de dikte b is constant.

Op de pyloontop werken een normaalkracht N met excentriciteit e en een

horizontale kracht H.

De pyloon wordt nu verdeeld in een aantal moten van gelijke (of ongelijke)

lengte 1 t/m 1_, elk met een breedte h t/m h gelijk aan de gemiddelde

mootbreedte. Het eigen gewicht grijpt op halve hoogte van de moten aan.

Verondersteld wordt dat de doorsnede en de wapening overal bekend zijn,

alsmede-de materiaaleigenschappen (a- e-diagrammen voor beton en staal),

zodat voor elke doorsnede M-N-K-diagrammen kunnen worden getekend.

Het heeft zin bij het hierna volgende gebruik te maken van de volgende

dimensieloze grootheden (fig. 9 .U.3.1 .2) 331__ : N

- de relatieve normaalkracht u = r Tti ; c

- de excentriciteitsfactor e = e/h; waarbij e = M/N;

- de krommingsfactor Kh = h/R.

In deze figuur zijn krommen uitgezet voor verschillende waarden van u

(van 1,0 tot 0,075), als functie vaneen h/R. Verder is de grafiek opgezet 2 - s s 2

voor a = UOO N/mm enü = -, , =0,2. Dit laatste komt voor <J = UOO N/mm s bhf s

p ^ DO

en f = 2 0 N/mm neer op een wapeningspercentage w = -r-f— . 100 = ^%, of aan

weerszijden 0,5^.

Langs de krommen is N, c.q. u , constant. De afstand van de symmetrische

wapeningen is 0,8 h.

De a-e-diagrammen voor beton en staal zijn eveneens aangegeven in fig. 9.U.3.1.1-

Het o- E-diagram van beton is dat van de CEB-FIP Model Code 1978 (parabool

rechthoek) .

De waarden van de krachten doorsnedegrootheden van de moten 1 t/m 3 zijn

aa.ngegeven in tabel I (zie volgende bladzijde).

Met de aldus berekende waarden van uen e kunnen uit fig.9.U.3.1.2 de waarden

h/R worden afgelezen, waaruit de kromtestralen R. t/m R van de moten

kunnen worden berekend.

Tabel I

9.U.3.1.2

normaalkrachten N

relatieve N

momenten

excentriciteiten

excentr. factoren

moot 1

"l

^

"l

1

1 = N / b h ^ f ;

= Ne +E.ll^ o 1

= M^N^

= e/h^

moot 2

^2

2 = 2/^^2<

M^ = Ne^ + H (1 + 1^)

'2 = ^2/^2

^2 = 2/''2

moot 3

^3

M3

"3

= 3

'5 ' = N3/bh3f^

= Ne^+H(l + l2+5l3

= M3/N3

= 3 / ^

Met de veronderstelling dat deze kromtestralen over de lengte van een moot

constant zijn, kunnen de verschillende cirkelsegmenten op elkaar worden

aangesloten en kunnen de uitwijkingen F aan de top van elke moot worden

bepaald, alsmede de uitwijkingen in het hart van elke moot.

De bepaling hiervan wordt op de volgende bladzijden uiteengezet.

Soortgelijke M-N-K-diagrammen als in fig.9.U.3.1.2 kiinnen worden opgezet

voor andere waarden vanü3(f en f ) , voor een andere afstand van de wapening

dan 0,8h, voor een andere verdeling van de wapening over de doorsnede, voor

andere doorsnedevormen en voor andere a-e-relaties voor beton en staal.

Het zal duidelijk zijn dat de M-N-<-relaties van een bepaalde doorsnede

ook op andere wijze kunnen worden weergegeven (zie o.a. 10.3.3 en CUR-rapport 77]

1) Omdat het voor elke moot om gemiddelde krommingen en kromtestralen gaat,

worden deze berekend uit het moment op halve hoogte van de moot.

9 . U. 3. 2.1

9.U.3-2

De initiële uitbuiging van een staaf met variërende stijfheid

De staaf met variërende stijfheid wordt verdeeld in n moten, waarvan de

stijfheid over de mootlengte constant wordt verondersteld en gelijk wordt

genomen aan de gemiddelde stijfheid van de moot (bijv. de stijfheid op

halve hoogte).

In het voorbeeld van fig.9.U.3.2.1 is de staaf verdeeld in n = 3 moten

met lengten 1 , 1 en 1_ en met stijfheden EI , EI en EI .

Het geheel buigt uit onder invloed van een horizontale kracht H en een

normaalkracht N met een excentriciteit e , beide aan de top.

o

Als de afmetingen en wapening van de verschillende doorsneden bekend

zijn, is het mogelijk hiervoor M-N-K -diagrammen te tekenen voor ver-

scïiillende verhoudingen M/N = e (excentriciteit), bijv. voor constante N.

De diagrammen kunnen dimensieloos worden gemaakt door de excentriciteit

te delen door de hoogte van de doorsnede (e = e/h), de kromming — te

vermenigvuldigen met de hoogte van de doorsnede (—) en de normaalkracht N

te delen door het produkt van doorsnedeoppervlakte (bxh) en de beton

sterkte f' :u = •c •" bhf' • C T l )

Dit is gedaan in fig. 9-U-3 - 1 - 2 (uit litt. [331j ) .

Omdat we dus beschikken over M-N-krommingsdiagrammen, gaat het erom de

uitbuigingen F ter plaatse van de overgangen in stijfheid uit te drukken

in de krommingen —. (fig.9.U.3.2.1). n

Daarbij is verondersteld dat de lengte van de moten zodanig is dat de

eigen kromming over die lengte kan worden verwaarloosd, en dat de krommingen

worden geconcentreerd in de mootovergangen als hoekverdraaiingen. Zo is

bijv. de kromming van het deel 1 geconcentreerd in de voet van dit deel 1 ll . 1 lp 1 ^3

m de vorm van de hoeky= 2a.| = r^. Evenzo is ^ = ga = -^ ; a? = ja = —

Voor n moten wordt ^ = la = 777 / n n 2R .

n

De uitbuigingen f aan het einde van elke moot worden:o 1,2 1^2 1 2 1 2

1 = iÏÏ ' 2 = 2R^ = S = • ^°°'' ^ " '' ^^ ^ 2 ^ •

1) Zie ook fig.2U uit CUR-Rapport 77-

9-U.3.2.2

Hiermee worden de uitbuigingen 6 (ten opzichte van de vertikaal dus): 6 = f =i3l 3 3 2R3

^2^ ^-^ V 3 6 = f + < / ' l +03 ( 1 + l ) = f + f + 2 « ? 1 = ^^— + -^— + ' 2 2 / 3 2 /3 ^ 3 2^ 2 3 ' 3 2 2R2 2R R

6 = f + (fi ± +'P [1 + 1 ) + (fi ( 1 + 1 ) +(^ ( 1 + 1 + 1 ) 1 1 '^2 1 12 ^2 r / 3 2 r /3 3 2 r

l 2 i 2 1 2 ^ 1 j^2 . 1 1 1 P ^ 1 P 1 T P X

= f + f + f + 2 ü ! » l + 2 C 0 ( 1 + 1 „ ) = 777— + - ^ - + 77^ + + —^^- + " ^ 1 2 3 ^ 2 1 r3 ' 1 2^ 2R^ 2R2 2R R^ R R

Met n moten:

'1 = 1 1 ^^2^1 V2^1l"^2^ ^3(11^12) T3 ^ ^ 1 " V l 3 ^ ^ ... ^Y u + l ,+ . . .+ l / n 1 2 n -

' 1 = ^ 1 ^ 1 ^ ^ 2 ^ 2 1 i - l 2 ) - ^ 3 ( 2 1 , - 2 I 2 + I 3 ) + t ^^ (21^ + 2 l 2 . . . . + 2 1 ^ _ ^ + l

= f + f + - . . - f, + 2f^l^ t 2^3 (1^ t I g ) t . . . t 2^0^ (1^ t 1^ . . . , + 1^_^)

De uitbuiging in een pTint tussen twee "knopen" kan worden verkregen door

rechtlijnige interpolatie; zo is bijv. op halve hoogte van 1 de uitbuiging 2

Bij moten van niet te grote lengte (tot ca. 5 maal de 5 ^ 02+ ^3 2-3 2

doorsnedehoogte) is dit zonder meer toegestaan.

De eerste-orde momenten kunnen in elk punt op een afstand x van de top

worden bepaald: M = Hx + Ne . X o

Omdat de kromming over de mootlengte constant is aangenomen, moet het maat

gevend moment hierbij worden aangepast. Uit de in fig. 9-U.3.2.2 aangegeven

M-figuur volgt, dat voor de berekening van deze krommingen het beste het

moment halverwege de hoogte kan worden gekozen. Bij grote variatie in M over

de mootlengte kan deze lengte kleiner worden gekozen.

Ook het eigen gewicht kan zo per moot worden ingevoerd, als geconcentreerde

last, werkend op halve hoogte van de moot. Voor de eerste-orde momenten

heeft het nog geen betekenis (tenzij scheefstand wordt aangenomen), maar

voor de tweede- en hogere- ordemomenten levert het eigen gewicht ook zijn

bijdrage.

Opmerking: Het bovenstaande is niet anders dan de differentiemethode, o.a.

beschreven in CUR-rapport 77.

Verdeling in 3 a U delen is doorgaans voldoende nauwkeurig,

maar bij computerberekeningen is verdeling in een groter aantal

delen m.ogelijk.

9.U.3.3.1

9.U.3.3.

De berekening van tweede- en hogere orde momenten en -vervormingen

Uit de normaalkracht N, de doorsnedeafmetingen b x h en de oetondruksterkte

f' wordt de relatieve normaalkracht u= N/bhf' berekend. c c

Uit het eerste orde moment M_ met bijbehorende N worden de excentriciteit MI . . 1

e = — en de excentriciteitsfactor e = e /h bepaald.

Daarna wordt uit de grafiek vanfig..9 •U.3.1 .2. de bijbehorende waarde van h/R

afgelezen en hieruit de kromming l/R-j. bepaald.

Met de hiervoor op blz. 9.U.3.1.2. ontwikkelde formules kunnen de waarden van

de eerste orde uitbuigingen 5j worden berekend.

Nu moeten met de nieuwe excentriciteiten (e + 'S ) van N de momenten o I

opnieuw worden berekend: M =Hx + N(e +6-^); hieruit worden weer e en e^T bepaald en via de grafiek weer de kromming :r— en zo de tweede

^^. . . ^11 orde uitouigmgen ó--j.; enz.

Uit het vrij snel afnemen van de aangroeiingen A 5 van de tweede en hogere

orde uitbuigingen kan worden geconcludeerd dat de constructie stabiel is.

Een snelle toeneming van de uitbuiging wijst op instabiliteit, terwijl

een weifelend gedrag aangeeft dat het gevaar voor instabiliteit groot is;

zo'n gedrag is zeker niet toelaatbaar.

De snelheid van afnemen van de uitbuiging is een maat voor de veiligheid 2

tegen instabiliteit (vergelijk de reeks 1, 1/n, 1/n bij lineair

elastisch gedrag, die leidt tot een verhouding — tussen de werkelijke

belasting en de kniklast).

Aangezien bij de hier beschouwde gewapend betondoorsneden het gedrag in

principe niet lineair-elastisch is (spanningsverdeling, scheTirvorming),

zal de reden van de 1/n-reeks niet constant zijn, en is het vaak nodig

de derde of hogere orde uitbuigingen te bepalen alvorens in staat te

zijn een oordeel te vellen over het wel of niet convergeren van de

uitbuigingsreeks.

Als de doorsnede onder de met Y vergrote belastingen niet gescheurd is -

wat bij pylonen van tuibruggen vrij vaak voorkomt -, is het verloop van

de krommen in het M-N-K-, c.q. e-u- — - diagram (vriJTrf-el) rechtlijnig en

is het gedrag (ten naaste bij) lineair-elastisch (afgezien van het

kruipgedrag), zodat dan de reden van de reeks wel (zo goed als) constant

is en meestal met een tweede orde berekening kan worden volstaan.

9.U.3.3.2

Meestal verkeert de pyloon van een tuibrug niet in de eenvoudige belasting

toestand van fig.9-U- 3-2.1 ; alleen tijdens de bouw wordt deze wel eens

benaderd.

In de definitieve constructie wordt de pyloon aan zijn top - bij harp

tuien ook nog op andere plaatsen - verend vastgehouden door de combinatie

van tuien en brugligger (zie 9.U.1); ook de eventuele inklemming in de

fundering dient als een veer te worden opgevat.

Voor de eerste orde uitbuigingsvorm van de pyloon kan dan worden uitgegaan

van de vorm, die hoort bij de Y-voudig vergrote belastingen (bij elke

soort belasting in principe een andere Y ) , rekening houdend met de veer

stijfheid van de fundering, mogelijke ongelijkheden in eigen gewicht,

excentrisch aangrijpen van de tuibelasting, windbelasting, bouwonnauwkeurig-

heden, temperatuur, krimp en kruip (zie ook 9.U.3.6). De hieruit voort

vloeiende krachtsverdelingen en vervormingen kunnen met de computer worden

berekend (in eerste instantie lineair elastisch gedrag). Voor zover de

krachtsverdeling leidt tot plaatselijke scheurvorming, moet het betreffende

deel van ligger of pyloon met aangepaste stijfheid in de berekening worden

ingevoerd.

Als de pyloon onder de Y-' 'oudige belasting en de met y gereduceerde sterkten

nog stabiel is, kan een idee van de extra beschikbare veiligheid worden

verkregen door de belasting in stappen verder op te voeren, tot bezwijken

of instabiliteit optreedt. Dit zal meestal wel het werken met gescheurde

doorsneden betekenen.

9.U.3.U.1

9.U.3.U

Het in rekening brengen van het eigen gewicht

Het eigen gewicht van een pyloon van een betonnen tuibrug varieert van

enige tientallen procenten van het liggergewicht bij relatief kleine over

spanningen tot meer dan 100^ van het liggergewicht bij zeer grote over

spanningen (fig- 3-1)- Het kan dan ook bij de stabiliteitsberekening

van de pyloon niet worden verwaarloosd.

De kniklast onder alleen eigen gewicht van een ingeklemde, prismatische,

vertikale staaf is Nj = g .1 = 7,83 ~ °^ ST^ = ^ ^^^ 3-

Voor de afleiding van deze formule wordt verwezen naar een boek over

technische mechanica (bijv. Timoshenko: Theory of Elastic Stability).

De kniklast van eenzelfde staaf met alleen belasting aan de top is Tji-T- y-r- —

N, = 0,25 •'f ^ p = 2,U7 -^ , dus ruim 30% van alleen eigen gewicht. k ^d ^d

Onder een combinatie van eigen gewicht en belasting aan de top zal de ET 2

laatste steeds kleiner worden en verminderen tot N, = m ^r (m <: 0,25IT ), TT2EI 1

afhankelijk van de verhouding n = gl: (-—5—) (tabel l).

Tabel I. Waarden van m in N, = m „ k ^2

Ui

EI

2

n

m

0

TT /U

0,25

2 ,28

0,50

2 ,08

0,75

1,91

1,0

1,72

2,0

0,96

3,0

0,15

3,18

0

Het effect van het gelijkmatig verdeelde eigen gewicht gl is dus equivalent

aan dat van een belasting aan de top van 0,315 gl (n = 3,l8 = 7,83: 2,U7).

Dit is een aanvaardbare benadering voor een pyloon met waaiertuien, waar

de rest van de belasting ook in de top aangrijpt.

Het gaat echter niet op voor pylonen met harptuien.

Het is dan ook aangewezen in zo'n geval het eigen gewicht in evenveel delen

te verdelen als er (dubbele) tuiaansluitingen zijn en het ook daar ter

plaatse aan te laten grijpen. Dan kan ook met variërende pyloonafmetingen

en - gewichten rekening worden gehouden.

Gecontroleerd moet dan weer worden of een (aangenomen of berekende) eerste-

orde uitwijking leidt tot begrensde of onbegrensde vervormingen, bijv. op

de wijze zoals beschreven in 9.U.3.3.

Deze methode kan ook worden toegepast voor een pyloon met waaiertuien, als

de benadering van het eigen gewicht door een equivalente belasting aan de

top te onnauwkeurig wordt geacht,

. • 9.U.S.5.1

9.U.3.5.

De niet-prismatische pyloon

In verband met de variatie in krachtswerking (M, N, T) over de hoogte heeft

het zin de doorsnede van de pyloon aan het krachtenverloop aan te passen.

Bij harptuien is een vergroting van de pyloondoorsnede naar beneden logisch

omdat de normaalkracht (tengevolge van ligger- en pyloongewicht) naar

beneden toe voortdurend toeneemt.

Bij waaiertuien zal vergroting van de pyloondoorsnede naar onderen toe meer

het gevolg zijn van het toenemend moment door verkeersbelasting (bij een

zijdige belasting), hoewel ook de toeneming van het eigen gewicht van

betekenis kan zijn, vooral bij grote overspanningen. Het met de hoogte

toenemend moment treedt niet op bij pylonen met een voetscharnier.

Vaak wordt slechts één doorsnede-afmeting naar onderen toe vergroot, soms

beide.

Bij tuibruggen met een centraal tuivlak wordt meestal de afmeting dwars op

de brugas constant gehouden, en zo klein mogelijk, om zo weinig mogelijk

brugbreedte verloren te laten gaan. Bij tuibruggen met twee tuivlakken en

de pylonen buiten de brugdoorsnede geldt deze overweging niet.

Meestal gebeurt variatie van de variabele pyloonafmeting rechtlijnig, zodat

de grootte van de doorsnede op een zekere afstand x van de top (met afmetingen

b en h ) kan worden voorgesteld door A = b.h^ , en het traagheidsmoment

door I =1/12 b.h , met h = h + — (h, - h ); hierin is h, de afmeting h X X X o 1 1 o 1

aan de voet van de pyloon en 1 is de pyloonhoogte.

De berekening van de uitwijking tengevolge van het eerste orde moment kan

het beste gebeuren door gebruik te maken van het gereduceerd momentenvlak, 3 waarbij meestal het kleinste traagheidsmoment I = 1/12bh als referentie

wordt aangehouden. Hieruit kunnen de 2e en hogere orde uitbuigingen worden

berekend. Als deze onbegrensd toenemen is er sprake van instabiliteit;

naderen ze tot een limiet, dan is de snelheid, waarmee deze limiet wordt

bereikt, een maat voor de veiligheid van de constructie tegen instabiliteit

(zie ook 9.U.3.3).

Vanzelfsprekend kan hier ook de methode van 9-U.S. worden toegepast,

waarbij de pyloon in een aantal delen met constante stijfheid wordt verdeeld,

en waarbij rekening kan worden gehouden met geometrisch en physisch niet-

lineair gedrag, In principe is dit voor gewapend betonnen pylonen de beste

methode.

9.U.3.5.2

In Timoshenko: "Theory of Elastic Stability" wordt afgeleid dat de grootte

van de kniklast voor een -"nrijstaande kolom met variërende afmetingen kan 2

worden uitgedrukt door de formule N = mEI^/1 . (1)

Hierin is m een functie van de verhouding I /I , waarbij I het traagheids

moment aan de top, I^ dat aan de voet is. De verhouding tussen 1, en I 2 ° 1 X

wordt aangegeven met n: I = 1 (—) .

X I a

Voor een staaf met lineair toenemende breedte en constante dikte is n = 1.

Hiermee is uit de gegeven tabellen voor de kniklast van deze staaf de

volgende tabel af te leiden: Tabel A. Waarden van m in vgl. (l) voor n = 1

i / i g ! O5I O52 o,u 0 ,6

m 1,62 : 1,75 , 1,97 2 ,15 1 !

0,8

2,32

1,0

2,U7

De laatste waarde (voor I,/lp = 1) is de kniklast voor de prismatische, 2

ingeklemde staaf met een puntlast aan het eind (m = TT /4 = 2,U7).

In het bedoelde boek van Timoshenko staan nog uitdrukkingen voor andere

staafvormen, maar deze komen voor pylonen nauwelijks in aanmerking, vooral

omdat het eigen gewicht in de regel zo'n grote rol speelt.

9.4.3.6.1

"Gebruiksaanwijzing" voor de stabiliteitsberekening van een

tuibrugpyloon

Tuibrugpylonen kunnen over het algemeen niet worden geschematiseerd

en berekend volgens de VB 1974, art. E-304. De randvoorwaarden

verschillen vaak aanzienlijk (verend vastgehouden op één of meer

hoogten); ook variëren de afmetingen en de wapening doorgaans over

de hoogte. Daarom zal meestal een volledige stabiliteitsberekening

nodig zijn, waarbij de vervormingen door eerste- en tweede-orde

effecten een grote rol spelen en derhalve nauwkeurig moeten worden

berekend onder inachtneming van geometrische en physische niet-

lineaire effecten (tweede-orde vervormingen; gescheurde doorsnede;

niet-lineaire a-e-diagrammen van beton en staal).

Ter verduidelijking worden daarom de voorgaande beschouwingen samen

gevat in een soort "recept" voor de stabiliteitsberekening van een

tuibrugpyloon.

Uitgangspunt is de krachtsverdeling in de lineair-elastische,

ongescheurde, ongewapende constructie, belast met karakteristieke

belastingen. Van deze constructie zijn de afmetingen en stijfheden

zo goed mogelijk voorlopig geschat, bijv. met behulp van de globale

methode, beschreven in 3.1. Hieruit kunnen ook de horizontale

veerstijfheden worden bepaald waarmee de pyloon op diverse hoogten

door de tuien wordt vastgehouden (zie o.a. fig.9.4.1.03). Verder

moet de veerstijfheid van de fundering worden bepaald (eventueel

tussen grenzen).

Eerst wordt het "recept" gegeven voor een pyloon met waaiertuien,

waarbij dus een groot deel van de belasting in de top aangrijpt.

Daar de pyloontop door middel van de tuien verend wordt vastgehouden,

zal de pyloon kunnen vervormen zoals in fig.9.4.3.6.1. en 9.4.3.5.2

is aangegeven. Zoals in 9.4.1.1 en 9.4.1.2 is aangetoond, hoort de

eerste uitbuigingsvorm meer bij relatief slappe tuien, de tweede

meer bij zeer stijve tuien. Dit wordt nader toegelicht in bijlage

B-9.4.3.6-II.

9.4.3.6.2

Voor het onderzoeken van de stabiliteit in langsrichting kan nu de

volgende procedure worden toegepast:

1. Bepaal de uitwijkingen ó van de pyloon in langsrichting ten gevolge OK

van de verschillende karakteristieke belastingen (eigen gewicht,

verkeersbelasting, eventueel wind). Houdt rekening met eenzijdige

verkeersbelasting en mogelijk ongelijk eigen gewicht aan weers

zijden van de pyloon. Houdt voor permanente belasting rekening met

kruipeffecten (zie o.a. 5.2 t/m 5.4). Houdt ook rekening met krimp

en temperatuur. Breng een eventuele excentriciteit van de vertikale

resultante van de tuikrachten in rekening (zie ook punt 10).

2. Bepaal de bijbehorende momenten, normaal- en dwarskrachten in de

pyloon en ga na welke combinaties van 6 , , N' en M waarschijnlijk OK K k

in aanmerking komen voor nader onderzoek. In elk geval zijn dit 6 , met de bijbehorende N, en M, , N, met de bijbehorende ok,max k k k.max M, en 6 , en M, met de bijbehorende N, en 5 , . K ok k,max •' k ok

In het algemeen zal het voorgaande reeds bekend zijn uit de berekening

van de krachtsverdeling met behulp van de computer.

3. Vermenigvuldig de aandelen van de grootheden 6 , , N en M tengevolge OK K K

van de verschillende karakteristieke belastingen met de bijbehorende

belastingcoëfficiënten Y en bepaal zo de rekenwaarden ö ,, N, en M,. ^ q " od d d

Het constructiegedrag wordt (nog) lineair-elastisch verondersteld.

Maak weer combinaties volgens 2.

De voorkeur wordt hier gegeven aan een Y'^^oudige vergroting van

krachten en vervormingen van de pyloon in plaats van de berekening

van deze grootheden door het belasten van de hele constructie met de

Y-voudige belastingen, inclusief het Y~voudige eigen gewicht van

de ligger. Voor de (Y-D-voudige vergroting van het eigen gewicht

van de ligger gedragen de tuien zich namelijk niet meer als vaste,

maar als verende steunpunten, waardoor in de ligger zeer grote

buigende momenten en vervormingen optreden (zie ook 10.1), vooral

bij grote Y (bijv. Y = 1,7).

Hierdoor wordt ook de pyloon op een weinig realistische manier belast,

vooral bij ongelijke liggerlengten aan weerszijden van de pyloon,

of bij vaste ondersteuningen in de zijvelden.

9.4,3,5,3

4. Breng de normaalkracht N aan op de volgens 3 vervormde pyloon (zie

o.a. fig.9.4.3.6.1 en 9.4.3.5.2) en bepaal met een handberekening

of een eenvoudig computerprogramma de hierdoor veroorzaakte, bijkomende

vervormingen 6 van de pyloon; bepaal ook de verandering van de

horizontale kracht in de pyloontop en van de momenten in de pyloon

(vooral het voetmoment).

Deze kracht en momenten veranderen namelijk niet evenredig met de aan

groeiing van de verplaatsing van de top (dus met — ) , zoals bij een

voudige knikgevallen, maar anders; ze kunnen zelfs van teken veranderen.

Deze werkwijze is nader uiteengezet in bijlage B-9.4.3.5-I en II.

Bepaal bij grote vervorming 5 , en/of groot eigen gewicht van de

pyloon ook de invloed hiervan op de bijkomende vervorming 6 .

De verhouding n, = 6 ,/5, verschaft een - weliswaar niet al te nauw-1 od 1

keurige, maar alleszins bruikbare - basis voor de vergrotingsfactor

— ^ , waarmee de momenten M, moeten worden vermenigvuldigd voor het T n

berekenen van de wapening van de door N, en M, belaste doorsneden. — ^ — a n-1 d

Deze wapening is nodig voor de later toe te passen nauwkeurige vorm

veranderingsberekening, waarbij door middel van M-N-K-diagrammen

rekening wordt gehouden met het physisch niet-lineaire materiaalgedrag

(scheurvorming; niet-lineaire a-e-diagrammen voor staal en beton).

Vanzelfsprekend moet naderhand vrarden gecontroleerd of deze voorlopige

waarde van de vergrotingsfactor juist is geweest.

5. Uit deze doorsnedeberekeningen volgt ook of de doorsnede-afmetingen

van de pyloon moeten worden gewijzigd en in welke zin. Als dit wordt

gedaan, moet de berekening van de krachtverdeling met de gewijzigde

stijfheden worden herhaald, evenals de procedure 1 t/m 4.

In het algemeen zal n niet te klein mogen zijn. Een waarde n > 3 a 4

zal meestal wel voldoen; kleinere waarden van n. kunnen riskant zijn

(kans op bezwijken door overschrijden van e' ). ^ -> CU

Uit het voorgaande is ook het verloop van N, en M, over de hoogte

van de pyloon bekend.

Bepaal het verloop van de wapening over de hoogte van de pyloon.

6. Voor het bepalen van de pyloonvervormingen onder geometrisch en

physisch niet-lineair gedrag wordt nu de pyloon over de hoogte in een

aantal moten verdeeld met constant veronderstelde eigenschappen over

de hoogte van elke moot. Een verdeling in 3 a 5 moten is vaak voldoende

nauwkeurig, maar bij berekening met de computer is een groter aantal

geen bezwaar (zie ook 9.4.3.1 en 9.4.3.2).

9.4.3.6.4

Met behulp van de a-e- diagrammen uit de voorschriften worden nu

voor elke moot M-N'-K-diagrammen bepaald (bij voorkeur met een -

computerprogramma). Indien gewerkt wordt volgens de CEB-FIP Model

Code 1978 (zie ook 10.1 en 10.3.2), moeten gereduceerde a - e-diagrammen

worden toegepast (f, = f, ly ). Bij toepassing van de VB 1974 worden d k s

ongereduceerde a-e- diagrammen gebruikt (art. A-204); daar worden

immers alleen de karakteristieke belastingen met een factor 1,7

vergroot; de sterkten worden niet gereduceerd; zie ook art. E-304.

7. Bepaal, met behulp van de M-N-K-diagrammen uit 6 en de krachtsverdeling

uit 3, opnieuw de eerste-orde vervormingen 5 van de pyloon onder J1

invloed van de kracht AH (zie 9.4.3.7). Als de pyloon gescheurd is, zullen deze groter zijn dan eerst; 6 > 6 , .

^ •' ' o si De verhouding van de vervormingen 6/5 is omgekeerd evenredig met

^ *= s os *= ° de ovloonstijfheden (EI) : (EI) . De stijfheid van de pyloon als

'' o s («; o

geheel is dus in de verhouding 6 /6 afgenomen tot (EI) = -;— (EI) . o os s o o

os De veerstijfheid van het geheel van tuien en pyloon is afgenomen van

3(EI) 3(EI) K t T — = k + k tot k^ + — = k + k t j3 t p t ^3 t ps.

Hierin stelt k de veerstijfheid van de pyloon in ongescheurde toestand

voor; k de veerstijfheid in (gedeeltelijk) gescheurde toestand. ps

De oorspronkelijke uitbuiging ö van de pyloon neemt dus toe in de k + k °k + k

u ^ • t to , X ^ P'3

verhouding -. r-— ; o = ó r-^— . ^ k ^ t k ' os o k + k

t ps t ps Als k >> k , is dit een klein bedrag, dat vaak verwaarloosd kan

t po ^ worden.

8. Bepaal, met behulp van de M-N-K-diagrammen uit 6 en de krachts

verdeling uit 7, de tweede-orde uitbuiging 6 door N op de volgens OQS

7 vervormde pyloon aan te brengen. Vergelijk de verhouding n = - — Is met de oorspronkelijke n (zie 4).

Is de nieuwe waarde groter dan de oude, terwijl ook al behoorlijke

scheurvorming is opgetreden, dan zal de vervorming tot een limiet

naderen.

Is de nieuwe waarde kleiner dan de oude, dan moet N' nogmaals op de

vervormde pyloon worden aangebracht, en de opvolgende extra ver

vormingen 5 , 5„ , enz. worden berekend, tot duidelijk blijkt dat

de totale vervorming tot een limiet nadert, of onbepaald toeneemt.

9.4,3,6,5

In L331J wordt een voorbeeld gegeven, waarbij pas bij de 4e a 5e

stap duidelijk wordt welke kant het opgaat,

Behalve de vervorming van de pyloon als geheel moet bij elke stap

in de afzonderlijke doorsneden worden nagegaan of ergens de beton-

Stuik e wordt overschreden, dus of de doorsnede of sterkte bezwijkt. CU

9. Zoals uit fig.9.4.3.6.2 blijkt, zal het grootste moment niet altijd

aan de voet van de kolom optreden (zie ook bijlage 3-9.4.3.6-11).

Bovendien is de wapening niet constant over de hoogte.

Ook zullen vaak één (of beide) kolomafmetingen over de hoogte variëren;

dit geldt ook voor de wanddikten. Daarom zullen verschillende door

sneden op sterkte moeten worden onderzocht.

10. De knikvorm volgens fig,9.4.3.5.1 kan alleen optreden als de pyloon

top weinig door de tuien wordt tegengehouden (geringe tuiveerstijfheid). 2 2

Als de tuiveerstijfheid tot O nadert, nadert N tot TT EI/4h ; f ig.9 .4.1.1.3. K

(bij volledige inklemming van de pyloonvoet).

In de regel is dit niet het geval en wordt de pyloontop juist stijf

vastgehouden door de tuien (vooral als één of meer aan een vast

punt zijn verbonden). Dan zal de knikvorm van fig.9.4.3.6.2 moeten

optreden (vergelijk ook fig.9.4.1.1.3). Deze treedt ook op bij kleine ^55E^ËB_Y5D_B (l$n$ 2), dus als de bezwijklast dicht wordt genaderd

(zie ook bijlage B-9.4.3.6-11).

De initiële uitbuiging voor het onderzoek van deze knikvorm kan ook

worden verkregen door de pyloon te belasten met een geringe horizontale

belasting over de hoogte (de wind alleen is meestal niet voldoende),

of door» de normaalkracht in de top een zekere excentriciteit e te ^ o

geven, dus een moment in de top aan te brengen (fig.9.4.3.5.3).

De excentriciteit kan afhankelijk worden gesteld van de pyloonhoogte,

bijv. volgens de formule e = 10\/h (e in mm; h in m; vergelijk

art. E-304.1.6 van de VB 1974). De berekening van de vervormingen •

kan geheel volgens het hierover uiteengezette principe worden uitgevoerd.

11. Bij de uitbuigingsvorm van fig.9.4.3.6.1 is er nog de kans op het

overschrijden van e . Als de uitwijking aan de top echter wordt C U J o ir-

beperkt door de tuien tot in de buurt van 0,01 van de pyloonhoogte,

is de kans hierop ook erg gering.

12. Door alleen de normaalkracht N' te laten toenemen tot bezwijken

optreedt (bereiken e of onbeperkt toenemende uitbuiging), kan de

reserve ten aanzien van een vergroting van N worden bepaald bij

constant gehouden moment (bijv. M,).

9.4.3.5.5

Door alleen het buigend moment te laten toenemen tot bezwijken

optreedt, kan worden bepaald bij welke verhouding M /M^ bezwijken ' ° u d

optreedt bij constant gehouden N .

Door M en N evenredig te laten toenemen tot bezwijken optreedt,

kan een idee worden verkregen van de reserve aan draagvermogen als

M en N (ten naaste bij) evenredig.toe zouden kunnen nemen.

Het tweede geval kan interessant zijn als N hoofdzakelijk wordt

veroorzaakt door de grote eigen gewichtsbelasting en M grotendeels

wordt veroorzaakt door de relatief geringe verkeersbelasting. Bij

toeneming van de laatste zal N' vrijwel niet toenemen, terwijl M

nagenoeg evenreidg met de grootte van de verkeersbelasting toeneemt.

13. Uit het voorbeeld op blz.9.4.1.1.5 en 9.4.1.1.7 blijkt dat de

pyloontop praktisch volledig wordt vastgehouden door een tui naar •

een vast punt (mits niet te steil). De knikvorm benadert dus die

van de boven scharnierend vastgehouden en onder (gedeeltelijk)

ingeklemde pyloon. Deze krijgt een initiële uitbuiging door een

geringe, aangenomen excentriciteit van N ; zie ook punt 10.

14. Uit het voorbeeld op blz.9.4.1.2.3 blijkt dat de veerstijfheid van

de fundering in het algemeen zodanig is, dat de invloed op de

stabiliteit gering is (behalve bij hoge pylonen). In eerste instantie

zou dus met een volledige inklemming kunnen worden gerekend.

Volgt hieruit echter een "twijfelachtige" stabiliteit, dan moet wel

met de ongunstige invloed van de beperkte funderingsstijfheid worden

gerekend.

Dit is ook het geval als n vrij klein, dus n/n-1 vrij groot is. Het

aldus vergrote moment kan een niet te verwaarlozen hoekverdraaiing

van de fundering veroorzaken.

21. Gecontroleerd moet worden hoe door scheurvorming en plasticiteit in

ligger en pyloon bij toenemende belasting de stijfheidsverhoudingen

worden gewijzigd en in welke mate dit invloed heeft op de krachts-

verdeling. In principe zal het zo zijn dat een door scheurvorming

slagper geworden pyloon niinder moment zal aantrekken, zodat de •

berekening met het oorspronkelijke moment aan de veilige kant is.

Het is vrijwel altijd voldoende nauwkeurig te werken met een vrij

klein aantal moten (bijv.5) en de stijfheden van deze moten over

de lengte ervan constant aan te nemen (verstandige gemiddelden kiezen;

ook voor de scheurvorming).

9.4.3.6.7

Voor de stabiliteit in dwarsrichting van de pyloon met waaiertuien kan

een soortgelijke procedure worden gevolgd. Toch zijn er enige belangrijke

verschillen (zie ook 9.4.2.3):

1. Er is geen horizontale veer in de pyloontop en ook geen horizontale

kracht.

2. De initiële uitbuiging van de pyloon in dwarsrichting wordt hoofd

zakelijk veroorzaakt door de windbelasting en door eenzijdige

temperatuurverhoging. Deze uitbuiging kan nog worden vergroot door

een aangenomen excentriciteit van de resultante van de tuikrachten

en door een - eveneens aangenomen - scheefstand tengevolge van

onnauwkeurigheden tijdens de bouw (bijv. volgens de formule 8 Ui

(in mm, 1 in m) uit art. E-304.1.6 van de VB 1974).

3. De in de pyloontop aangrijpende resultante van de tuikrachten is niet

gelegen in een verticaal vlak door de top, evenwijdig aan de brugas,

maar in het (nagenoeg verticale) vlak door pyloontop en brugas

(f ig.9 .4. 3 .6 .4'). Bij voldoende liggerstijfheid in het horizontale

vlak is dit een (vrijwel) plat vlak, bij beperkte horizontale

liggerstijfheid is het licht gebogen.

De krachten tengevolge van het eigen gewicht van de pyloonmoten

blijven vanzelfsprekend altijd vertikaal gericht.

4. De grootste waarde van het tweede-orde moment treedt hier meer

halverwege de hoogte op en niet aan de voet van de pyloon (tenzij

de pyloon onder de brugligger doorloopt; fig.9.4.2.3.1).

De grootste waarde van het totale buigend moment (zie punt 2) kan

echter wel aan de pyloonvoet optreden.

Voor de stabiliteitsberekening van de pyloon met harptuien moet ook

weer worden uitgegaan van bekende doorsnede- en materiaalgegevens,

met behulp waarvan voor elke doorsnede M-N-<-diagrammen kunnen worden

bepaald (bij voorkeur met een computerprogramma).

In principe kan dezelfde procedure worden gevolgd als bij de pyloon met

waaiertuien, zowel in langs- als in dwarsrichting.

Hieronder wordt op enige verschillen gewezen:

1. De vervorming in langsrichting onder verkeersbelasting (eenzijdig)

is anders dan bij de waaierpyloon (fig.9.4.3.6.5); de tuien oefenen

ter hoogte van de tuiaansluitingen YËEËEI^IIIËB^Ê horizontale krachten

op de pyloon uit (dus niet alleen aan de top, zoals bij waaiertuien).

9.4.3.5.8

2. De pyloon wordt in langsrichting ter hoogte van de tuiaansluitingen

verend vastgehouden (dus niet alleen aan de top). Hierbij zijn de

veren van tuien naar vaste steunpunten veel stijver dan die van

tuien naar tussengelegen punten op de verstijvingsligger (zie ook

fig.9.4.1.03 en 9.4.1.1.4).

3. De vertikale resultanten van de tuikrachten grijpen aan op ver

schillende punten, verdeeld over de hoogte van de pyloon (dus niet

alleen aan de top).

4. De pyloon wordt in principe verdeeld in evenveel moten als er tuien

zijn (maar tenminste 3 a 4 moten). Bij veel tuien kunnen twee of

drie tuiaansluitingen samen worden gevoegd tot één moot. Bij berekening

met de computer zal dit niet nodig zijn.

5. De kans op instabiliteit in langsrichting is bij de pyloon met harp

tuien veel geringer dan bij waaiertuien. In de eerste plaats is de

belasting bijna gelijkmatig over de hoogte verdeeld (bij veel tuien),

in de tweede plaats wordt de pyloon op een groot aantal plaatsen over

de hoogte verend gesteund. Ook zwakke veren zijn vaak voldoende om

uitknikken te beletten.

6. In dwarsrichting vertoont de pyloon met harptuien veel overeenkomst

met geval (^ van tabel E-2 van de VB 1974. Toch zijn beide niet

geheel identiek, want de krachten, die door de tuien op de pyloon

worden uitgeoefend, blijven in de uitgebogen stand van de pyloon

niet vertikaal, maar zijn gericht naar het snijpunt van brugligger-

en pyloonas (evenals bij de waaierpyloon, maar nu meer over de

hoogte verdeeld; zie ook blz.9.4.2.1.2 en fig.9.4.

Dit is gunstiger dan geval (^ van tabel E-2 van de VB 1974.

Voor de pyloon wordt als vergrotingsfactor Y voor de vrij nauwkeurig

bekende eigen gewichtsbelasting een factor 1,25 voorgesteld (bij een

reductiefactor voor de staalsterkte van 1,15 en voor de betonsterkte

van 1,4; zie CEB-FIP Model Code 1978).

Voor de overige belastingen, inclusief afwerking en verkeersbelasting,

wordt een vergrotingsfactor 1,5 voorgesteld ten opzichte van de

karakteristieke waarden.

Bij berekening volgens de VB 1974 wordt voor het eigen gewicht een

vergrotingsfactor 1,5 voorgesteld, voor de overige belastingen 1,7.

9.4.3.6.9

In beide gevallen moet wel zorgvuldig rekening worden gehouden met

alle oorzaken, die mogelijkerwijs ongunstig kunnen werken, zoals:

- ongelijke eigen gewichtsbelasting aan weerszijden van de pyloon

(1 a 2% van het gewicht); dit veroorzaakt een vrij groot moment

in de pyloon;

- excentrisch aangrijpen van de krachten uit de tuien; in rekening

brengen door één stel tuien een excentriciteit te geven van Syi mm

of iets meer, bijv. lo\/T mm (1 in m; formule uit VB 1974, art. E-304.1.6).

- kromming of scheefstand van de pyloon door eenzijdige temperatuur-

belasting, eenzijdige uitdroging (krimp) of bouwfouten. De eerste

twee kunnen vrij goed worden berekend; voor de laatste kan een

uitwijking van sUl (in mm; 1 in m) worden aangehouden (zie VB 1974,

art. E-304.1,6).

- zettingen;

- asymmetrische wapening en daardoor de mogelijkheid van scheefstand

door tijdsafhankelijke effecten (krimp en kruip).

In het voorgaand is de stabiliteit in langs- en dwarsrichting afzonderlijk

behandeld. In principe is dit juist en beïnvloeden de beide vormen

elkaar, meestal in ongunstige zin (dubbele buiging; hoog oplopen van

de spanningen in tegenovergestelde hoeken van een rechthoek; fig.9.4.3.5.6).

Het is duidelijk dat dit in de zwaarst belaste punten van een doorsnede

eerder tot bezwijken kan leiden dan het onderzoek van de stabiliteit in

elke richting afzonderlijk. Er moet aan deze mogelijkheid dus wel

degelijk aandacht worden besteed.

Nu is het wel zo dat voor de stabiliteit in langsrichting meestal een

andere doorsnede bepalend is dan voor de stabiliteit in dwarsrichting.

Voor een pyloon met waaiertuien bijv. is dit voor de langsrichting

veelal de voetdoorsnede, voor de dwarsrichting een doorsnede op ongeveer

halve hoogte (althans wat de tweede-orde momenten aangaat).

Ook zal het vaak zo zijn dat de ongunstigste belastingcombinatie in de

ene richting niet behoeft te worden gecombineerd met de ongunstigste

belastingcoiT±)inatie in de andere richting (de wind kan bijv. maar

uit één richting waaien).

Als de excentriciteit in de ene richting klein is ten opzichte van

die in de andere richting, kan meestal worden volstaan met een stabili

teitsberekening van de zwaarst belaste richting.

9.4.3.6.10

Art. E-304.4 van de VB 1974 geeft aanwijzingen voor de werkwijze,

die bij de berekening op normaalkracht met dubbele buiging kan

worden gevolgd. Deze zijn echter niet zonder meer op tuibrugpylonen

van toepassing.

Over normaalkracht met dubbele buiging is ook iets te vinden in

CEB-Bulletin 101 (1974) en in CEB-Bulletin 103: Flambement-Instabilité;

oct. 1974.

Verwezen wordt ook naar een artikel van Menegotto en Pinto: Slender

R.C. Compressed Members in Biaxial Bending; Transactions of the ASCE,

Journal Struct.Div., Vol.10 3, New York, March 1977.

9.U.U.01 9.U.U.

Stabiliteit van de pyloon tijdens de bouw

Als een tuibrug wordt gebouwd door uitbouwen van de ligger van de pyloon

uit naar weerszijden, zal de stabiliteit van de pyloon in principe moeten

worden nagegaan voor alle bouwstadia, met name vlak voor en na het aan

brengen van de successieve tuien. De pyloon ondervindt nu geen steun in

langsrichting van tuien en ligger, zolang de laatste althans niet op een

tijdelijk of definitief tussen- of eindste\inpunt rust. Meestal zal het

stadium vlak voor het bereiken van een (tussen) steunpunt het gevaarlijkst

zijn; fig.9.U.U.01.

Bij de vrij aan de tuien hangende ligger - die wel al ter plaatse van de

pyloon op een oplegging mag rusten - moet rekening worden gehouden met

ongelijke belasting aan weerszijden door (fig.9.U.U.01):

- verschil in eigen gewicht van enigeprocenten,ook bij gelijke lengte aan

weerszijden (verschil in volumegewicht, bijv door uitdroging);

- verschil in opgeslagen materiaal aan weerszijden;

- niet gelijktijdig storten van de moten ter weerszijden;

- niet gelijktijdig verrijden van de uitbouwwagens;

- het niet gelijktijdig aanspannen van de tuien;

- ongelijkheid in de tuikrachten, enz.

Ook wind kan aan één zijde een andere vertikale kracht uitoefenen dan aan

de andere zijde (T*rindvlagen; verschil in omgeving, e.d.).

De stabiliteit van de (nu) vrijstaande pyloon met de eraan hangende ligger

moet onder de hier geschetste excentrische belastingen voldoende verzekerd

zijn, rekening houdend met de veerstijfheid van de onderbouw en/of de

fundering (zie ook 9.U.1 en9.U.2).

Ook de stabiliteit in dwarsrichting dient te worden gecontroleerd, rekening

houdend met de vrije uitkragingen van de verstijvingsligger, waardoor de

dwarsvervorming wel eens niet meer verwaarloosbaar kan zijn, vooral bij

smalle bruggen.

In dit verband wordt nog de aandacht gevestigd op de horizontale wind

kracht dwars op de ligger, die door de onderbouw moet worden opgenomen.

Bij ongelijke windkrachten aan weerszijden oefenen deze een torsiemoment

uit, dat eveneens door de onderbouw moet worden opgenomen. In beide gevallen

moet de verbinding tussen ligger en onderbouw in staat zijn deze krachten

over te brengen; dit slaat dus met name op de opleggingen. Als de pyloon

door de ligger heen loopt, maar deze laatste wel zijn horizontale krachten

eraan af kan geven, wordt de pyloon ter plaatse belast op dwarskracht en/of

wringing.

9.U.U.02

Dreigt de langsstabiliteit tijdens de bouw onvoldoende te worden, dan

kan een tijdelijke aftuiing of verankering van de ligger aan landhoofd

of tussensteunpunt deze verzekeren tot de definitieve constructie het

over kan nemen; fig.9.U.U.02 .

Bij hoge pijlers kan de ligger ook naar de pijlervoet worden afgetuid

'(fig.9-U.U.03),mits de pijler hiervoor stijf genoeg is. Ook kan een tijdelijke

aftuiing van de pyloontop naar landhoofd of tussensteunpunt worden over

wogen. In al deze gevallen werkt een dergelijke aftuiing alleen als de tui

voldoende gespannen blijft; daarom moet de afgetuide kant van de brug

lichter zijn dan de andere zijde. Dit geldt niet als aan beide zijden een

gespannen tui wordt aangebracht, wat in de meeste gevallen echter niet

mogelijk is (behalve bij aftuiing naar de pijlervoet bij hoge pijlers).

Ook de stabiliteit in dwarsrichting kan door (tijdelijke) aftuiing worden

verbeterd.

Bij ongelijke belasting van de brug ter weerszijden van de pyloon worden

door de tuien resulterende horizontale krachten op de pyloon uitgeoefend,

die weer terug worden gevonden in de horizontale reactie van de ligger

tegen zijn oplegging op de pijler of tegen de pyloon (meestal ook d.m.v.

een oplegconstructie) ; fig.9.U.U.05.

Zou de ligger alleen aan de pyloon hajigen (fig.9 .U .U.c6) , dan neemt hij bij

ongelijke belasting aan weerszijden een zodanige stand in dat de (vertikale)

resultante van de belastingen door de pyloontop gaat.

9.U.5.01

9.U.5.

De wapening van een zware pyloon

Bij een hoofdoverspanning van ca. 300 m en een brugbreedte van ca. 30 m

worden de pyloonafmetingen al gauw in de orde van grootte van U x 5 m

of meer.

Een pyloon met afmetingen van U x 5 m is qua wapening niet een tienvoudig

vergrote kolom van 0,U0 x 0,50 m, beide bijv. met een symmetrische wapening

van ca. 2% (1^ aan elke zijde).

Voor de kolom 0,U0 x 0,50 m zou dit neerkomen op een symmetrische wapening

van 2 X 5 i'22 (2 x 1900 mm^),

Voor de pyloon U x 5 m wordt de wapeningsdoorsnede aan elke kant ca. 0,2 m ,

d.w.z. 250 (}) 32 of 160 (})U0 mm (aan de U m lange zijde gerekend).

Deze staven kunnen niet in één laag; de 250 (j) 32 zouden in U a 5 lagen moeten;

de 160 (|) Uo in 3 a U lagen; in beide gevallen over een afstand van 0,35 a 0,U0 m.

Dan blijft ertussen een doorsnedegedeelte van ca. U x U m over dat ongewapend is.

De pyloon moet echter ook in de andere richting worden gewapend,afhankelijk

van de krachten, die erin optreden. Zelfs bij een minimum wapening van 0,2^ 2

aan elke zijde is dit nog een doorsnede van 0,2.0,2 = 0,0U m (50 (j) 32 of 32 (j) UO) .

Deze kunnen in één laag (5 m lange zijde).

Nu is echter het middengedeelte van globaal 3,5 x U m nog ongewapend.

Als hierin een wapening van 0,1^ wordt aangebracht, betekent dit een doorsnede 2

van 0,1.0,35.0,U = 0,01 U m (ca. 20 (}> 32) . Dit wordt een stramien van ca.

0,75 X 0,75 m. Hierin is nog te werken (vlechten, trillen).

De beugels zullen qua afmetingen moeten worden aangepast en toch zeker <{)l6 a

(|)20 moeten zijn. Ze zullen niet alleen langs de omtrek moeten worden gelegd,

maar ook om de 6 a 7 staven naar binnen over de volle pyloondikte doorlopen,

zodat het beton ook horizontaal gewapend is. Ze verhinderen zo het uitknikken

van de vertikale wapening en leveren bovendien een gunstige bijdrage tot de

vergroting van de oetondruksterkte doordat ze de uitzetting in dwarsrichting

(in geringe mate) beletten. Voor een vergroting van betekenis is echter vrij

veel horizontale wapening nodig (of voorspanning).

In het binnenste van het beton ontstaat zo een soort kubuswapening in drie

richtingen.

Het verlengen van de zware wapening door overlaplassen geeft aanleiding tot

grote overlaplengten; bovendien wordt de ruimte tussen de staven (/v staafdikte)

zodanig gereduceerd, dat in vele gevallen een goede omhulling met beton niet

meer verzekerd is (ook niet als de staven om en om op verschillende hoogten

worden gelast). Men zal daarom een meer moderne methode van staafverlenging

toepassen, bijv. een omgeklemde buis, een mofverbinding met schroefdraad

(Gewi-Stahl), o.d. In de meeste gevallen zal deze verbinding ook trek op

moeten kunnen nemen.

9.U.5.02

Ook hier is een verbinding op verschillende hoogten aan te bevelen om

grote discontinuïteiten te vermijden.

Voor het stellen van de wapening (en voor het bevestigen van de bekisting)

kan met voordeel gebruik worden gemaakt van een stalen vakwerkconstructie,

die in zichzelf stabiel is en waartegen de wapening, bijv. in de vorm van

geprefabriceerde matten, kan worden bevestigd. De vertikale staven van de

staalconstructie kunnen als wapening worden meegerekend.

Fig. 9.U.5.01 geeft een voorbeeld van een pyloonwapening zoals deze door

één van de deelnemers aan de tuibruggengroep is ontworpen (A 2U).

De doorsnede van de wapening over de hoogte van de pyloon moet aan het

krachtsverloop worden aangepast. Aangezien het hier om grote hoeveelheden

gaat is een nauwkeurige bepaling van de vereiste doorsneden een lonende zaak.

Is plaatselijk in de pyloon een grote trekzone mogelijk (enige m ) , dan

verdient het aanbeveling deze trekzone niet alleen aan de rand van de

benodigde wapening te voorzien (dus over ca. 0,5 m ) , maar ook verder naar

binnen nog enige wapening aan te brengen om het ontstaan van plaatselijk

grote scheuren te voorkomen (vergelijk de toepassing van huidwapening in

hoge T-balken voor hetzelfde doel).

Door de ontwikkeling van de hydratatiewarmte kan de temperatuur in een

U a 5 m dikke betondoorsnede hoog oplopen. Bij ongelijkmatige afkoeling

kan dit tot scheurvorming leiden. Daarom is het aan te bevelen in het 2

midden van een zware pyloon een opening van enige m te laten, waardoor

ook afkoeling plaats kan vinden, en waardoor de maximale wanddikte wordt

beperkt tot ca. 2 m (fig.9.U.5.01 ).

10. TUIBRUGGEN. BEZWIJKGEDRAG

10.1. Algemene veiligheidsbeschouwingen


10.1.2. De semi-probabilistische benadering

10.1.3. Methode van toelaatbare spanningen en belastingfactor


10.1.5. Variaties in eigen gewicht

10.2. Beschouwingen over de veiligheid van tuibruggen


10.2.2. Aërodynamische stabiliteit

10.2.3. Vermoeiing

10.2.4. Brand en aanrijding


10.3.0. Beschrijving van de constructie

10.3.1. Elastisch ontwerp van de brug

10.3.2. , Berekening van de bezwijkbelasting

10.3.2.1. Uitgangspunten

10.3.2.2. Fysische en geometrische niet-lineariteit

10.3.2.3. Toeneming van de verkeersbelasting tot bezwijken

10.3.2.4. De benadering volgens de CEB-FI? Model Code 1978


10.3.4. Conclusies.

- 10,1,1,1 -

10. BEZWIJKGEDRAG VAN TUIBRUGGEN -

10.1. Algemene veiligheidsbeschouwingen


Uit een statistisch oogpunt zijn er geen absoluut veilige constructies.

Elke constructie heeft statistisch een kans op bezwijken, hoe klein

die ook mag zijn. Een zogenaamd "veilige" constructie heeft een lage -7 bezwijkkans, bijv. 10 ; dit betekent dat één op de 10 miljoen

identieke constructies gedurende de levensduur van de constructie

statistisch zal bezwijken. Een "onveilige" constructie heeft een veel -3

grotere bezwijkkans, bijv. 10

Het is duidelijk dat de bezwijkkans van de hele constructie - of van

een onderdeel ervan - lager moet zijn dan deze waarde; en ook dat

deze kans dient af te hangen van de belangrijkheid van de constructie

en van de mogelijke gevolgen van bezwijken (verlies aan mensenlevens,

economische verliezen, e.d.).

Het is daarom, strikt genomen, niet goed over de "veiligheid" van

een constructie te spreken; deze kan niet door een getal worden aan

gegeven.

Alleen de kans op bezwijken (of meer algemeen de kans op het bereiken

van een bepaalde grenstoestand - limit state) kan door een getal

worden uitgedrukt, maar hiervoor moet dan wel de statistische

verdeling van alle variabelen - vooral belastingen en sterkten -

bekend zijn. En met betrekking hiertoe is er in de meeste gevallen

nog steeds een aanzienlijk gebrek aan kennis.

Een eerste aanzet in deze richting is gedaan in de CEB-Richtlijnen 196U,

later uitgebreid tot de CEB-FIP-Richtlijnen 1970 en thans opnieuw

verbeterd en uitgegeven als CEB-FIP Model Code 1978.

Voor een volledige kans- of waarschijnlijkheidsberekening is echter

de kennis nodig van de statistische verdeling van alle belastingen en

belastingeffecten (M, N, T, enz.), van de mechanische eigenschappen

van de materialen en van de geometrie van de constructie. Omdat een

algehele statistische benadering van alle variabelen nog niet mogelijk

is - behalve in enkele eenvoudige gevallen -, beperkt de CEB-FIP

Model Code zich tot een semi-probabilistische benadering, waarbij

een beperkt aantal variabelen zo goed mogelijk statistisch in rekening

wordt gebracht, terwijl de rest wordt gedekt door de invoering van

"onzekerheids" - of misschien beter "onwetenheids"-factoren; zie hierna.

10.1.2.1

10.1.2. De semi-probabilistische benadering

a. Met de statistische verdeling van belastingen en sterkten wordt

rekening gehouden door de invoering van karakteristieke waarden,

waarbij de kans op het bereiken van een hogere of lagere waarde

vast ligt; bijv. een over- of onderschrijdingskans van 5/»-

b. Met de onzekerheden (waarvan de statistische verdeling onbekend

of zelfs onmogelijk is) wordt rekening gehouden door de karak

teristieke waarden om te zetten in rekenwaarden. Hiertoe worden

de karakteristieke belastingen en belastingeffecten vermenig

vuldigd met coëfficiënten Y ; de karakteristieke materiaal

sterkten worden gedeeld door coëfficiënten Y m

Belastingen : Q = Y -Q, (Y < 1 of >l) CL S iC S

Sterkten : f = f, /Y (Y > 1 ) -d K m m

c. De zo berekende effecten S (Q ) van de rekenbelastingen (M, N, T, enz.

mogen niet de waarden R (f-,) overschrijden, die door de con

structie met de rekensterkte f, kunnen worden opgenomen: d

opgenomen: S (Q^) R (f^)

De waarden Y en Y hangen af van de ernst van de beschouwde grens-s m ^

toestand, van het materiaal- en constructiegedrag en van de kans

op gecombineerde belastingen.

Deze benadering is verder uitgewerkt in de CEB-FIP Model Code van

1978.

Daarin wordt ook gesteld dat, bij gebrek aan statistische gegevens,

de nominale waarden uit de belastingvoorschriften als karakteristieke

waarden mogen worden aangenomen.

Op dit onderwerp zal in enige van de volgende hoofdstukken worden

teruggekomen,

10.1.3.1

10.1.3. Methode van toelaatbare spanningen en belastingfactor (load factor)

Twee andere methoden om een constructie met een zekere mate van

veiligheid te ontwerpen, zullen hier kort worden vermeld:

- de methode van toelaatbare spanningen, waarbij de spanningen

tengevolge van de optredende belastingen worden vergeleken met

vooraf vastgestelde toelaatbare waarden, die in de voorschriften

staan en die op hun beurt weer een bepaald deel a zijn van de

materiaalsterkten f : a <a = af (a = ^ a 2/3)• Deze methode m m

wordt nog steeds in een aantal landen toegepast (hoewel dit wel steeds meer afneemt).

Het is voldoende bekend dat de verhouding materiaalsterkte tot

toelaatbare spanning (—=—) dikwijls een volkom.en verkeerd idee a

geeft van het werkelijke draagvermogen van een constructie, vooral

wanneer de geometrische en fysische niet-lineariteit een belangrijke

rol spelen.

- de "load factor" - methode, waarbij het eigen gewicht en de

nuttige belasting (bijv. uit voorschriften) elk met hun eigen

"load factor" worden vermenigvuldigd, waarvan de waarde kan af

hangen van de belastingcombinatie, van het belang van de constructie,

enz. De belastingeffecten (M, N, T, e.d.) worden vergeleken met

het draagvermogen van de doorsnede, of meer algemeen, maar ook

meer bewerkelijk, met het draagvermogen van de constructie.

Aangetoond zal worden dat deze methode onaanvaardbare gevolgen

heeft, wanneer hij wordt toegepast op constructies die een mengeling

van vaste en elastische ondersteuningen hebben, zoals tuibruggen.

1Q, 1 . 4 .1 .


Er zal hier niet ter discussie worden gesteld in hoeverre de

belastingen van bruggen, zoals die voorkomen in de belasting

voorschriften van de verschillende landen van Europa (en van

de wereld) de werkelijkheid benaderen. Er wordt alleen gecon

stateerd dat de brugbelastingen dikwijls veel verschillen,

zelfs in buurlanden, ofschoon het verkeer dat erover gaat

heel Europa doorkruist (of zelfs meer).

Wat meer uniformiteit in de zwaarste belastingklasse lijkt

daarom niet overbodig, want de belastingeffecten (M, N, T, enz.)

tengevolge van verkeersbelasting kunnen grote verschillen

vertonen. In Stuvo-rapport nr. 22 zijn de buigende momenten

tengevolge van de zwaarste belastingklasse in 10 landen berekend

voor overspanningen tussen 10 en 100 m; daarna zijn deze omgerekend

in gelijkmatig verdeelde belastingen, zodat het mogelijk is ze te

vergelijken. Het resultaat is weergegeven in fig. 10.1.U.1.

Kommentaar lijkt overbodig.

Deze teleurstellend grote verschillen worden echter grotendeels

gecompenseerd als eigen gewicht en verkeersbelasting samen worden

genomen, en deze compensatie neemt toe met toenemende overspanning.

Bij lange betonnen bruggen is de verkeersbelasting slechts een

fractie van de totale belasting (doorgaans minder dan 10^ voor

overspanningen boven de 100 m), en een grote variatie in de

verkeersbelasting heeft maar een geringe invloed op het totale

buigend moment (fig. 10.1.U.2).

Met betrekking tot de verhouding eigen gewicht tot verkeersbelasting

is bekend dat de spanningen in een brug met een hoge waarde van

deze verhouding minder veranderen dan die in een brug met een lage

verhoudingswaarde, vooropgesteld dat beide zijn berekend voor

dezelfde verkeersbelasting, hetzij met gelijke toelaatbare

spanningen, hetzij met gelijke belastingfactoren (load factors),

In hoeverre dit de veiligheid kan beïnvloeden wordt verder niet

ter discussie gesteld,

10,1,5,1

10.1,5 Variaties in eigen gewicht

Het eigen gewicht G van een tuibrug wordt berekend uit de theoretische

afmetingen van de onderdelen (zoals ze op de tekeningen staan) en het

aangenomen volumegewicht van de materialen:

G = V.p = l.b.h.p

Dit zijn echter alle grootheden die aan spreiding onderhevig zijn; de

werkelijke afmetingen van de voltooide brug wijken af van die op de

tekeningen; de werkelijke volumegewichten verschillen van de aangenomen

(vaak gemiddelde) waarden; beide verschillen zullen in het algemeen

geringer zijn naarmate het toezicht en de controle intensiever zijn.

Omdat de afwijkingen van het theoretische eigen gewicht echter door

de verend ondersteunde ligger worden gedragen, zullen de variaties in

momenten tengevolge hiervan veel groter zijn dan uit de veronderstelling

van een evenredigheid tussen afwijking en momenten door (theoretisch)

eigen gewicht zou volgen.

Wat zijn nu aanvaardbare waarden voor deze gewichtsvariaties?

Het volume V wordt bepaald door: V = l.b.h.

Voor de plaat- en schijfvormige elementen, waaruit een brugligger (koker

ligger) meesral is samengesteld, is de lengte 1 meestal enige tot vele

malen groter dan de brugbreedte b, terwijl deze op zijn beurt vaak vele

malen groter is dan de dikte h.

Nu zijn weliswaar de maatafwijkingen op zich bij grote afmetingen groter

dan bij kleine, maar de procentuele afwijkingen zijn bij grote afmetingen

kleiner dan bij grote. Dit geldt vooral voor dikte-afmetingen, die

moeilijk nauwkeurig te meten zijn, zoals de vrije oppervlakten van brug

dekken, de dikte van een onderflens, e.d.

Om de gedachte te bepalen zal bij een afmeting van 100 m de variatie zich

beperken tot de orde van grootte van + 1 /oo (0,10 m); bij een afmeting

van 10 m tot ± 2,5 /oo (25 mm), bij een afmeting van 1 m tot + 10%

(10 mm), bij een afmeting van 0,10 m tot ± 50 /oo (5 mm).

Dit komt voor een reële brugbreedte van 20 m neer op 2 /oo; voor een

gemiddelde dikte van 0,25 m op ca. 2 5 /oo. De volumevariatie van een

brug met 1 = 100 m, b = 20 m en h = 0,25 m (gemiddeld) is dan van de

orde van grootte van [1 ± 0,001) (1 ± 0,002) (1 ± 0,025) = 1 ± 0,03

(afgerond). 3

Het volumegewicht p van beton kan globaal 500 N/m variëren (vocht,

wapening, verdichting, cementgehalte, e.d.), of rond 2%.

10 .1. 5.2

Voor licht beton kan hiervoor beter een grotere waarde (2,5 a 3%)

worden aangehouden (grotere variatie in vochtgehalte).

Gecombineerd met de volumevariatie wordt aldus de gewichtsvariatie

(1 ± 0,03) (1 ± 0,02) = 1 ± 0,05, of rond 5% (voor licht beton 5%).

Dit betekent een even grote variatie in tuikrachten en in horizontale

en vertikale krachten in resp. ligger en pyloon.

Geldt dit nu ook voor de liggergedeelten t_er _weerszij den van de pyloon?

Hiervoor zal zoveel mogelijk beton van dezelfde samenstelling worden

gebruikt, dus van een systematische fout kan nauwelijks sprake zijn.

Variaties in afmetingen en volumegewicht kunnen echter wel voorkomen,

door allerlei oorzaken.

De ploeg aan de ene kant van de pyloon werkt bijv. iets anders dan die

aan de andere kant; zij verdichten iets zorgvuldiger of rijen iets

nauwkeuriger af; ook kan de ene bekisting nauwkeuriger zijn gesteld dan

de andere, of anderszins een geringe afwijking vertonen; de dikte van

het asfalt kan verschillen, enz.

Zo is het denkbaar dat een verschil in eigen gewicht ontstaat in de

orde van grootte van ± 1%, ter weerszijden van de pyloon.

Wegens de grote invloed die een afwijking van het eigen gewicht heeft op

de momentenverdeling in ligger en pyloon, moeten deze kleine verschillen

in rekening worden gebracht.

De hierboven berekende afwijkingspercentages zouden als karakteristieke

waarden kunnen worden opgevat. Om de Rekenwaarden te krijgen, moeten ze

nog met een factor Y^1 worden vermenigvuldigd. Stellen we Y = 2, dan

wordt de rekenwaarde voor de variatie in eigen gewicht 1 ± 0,10; die

voor het verschil in eigen gewicht ter weerszijden van de pyloon 1 + 0,02.

Het is duidelijk dat de hier bedoelde waarden afhangen van de nauwkeurigheid

van de maatvoering en van het toezicht op het werk. Hiermee zal bij het

vaststellen van de waarden, waarmee gerekend wordt, rekening moeten

worden gehouden.

10.2.1.1

10.2 Beschouwingen over de veiligheid van tuibruggen


De tuikabels kunnen zo worden gespannen dat de brugligger zich

gedraagt als een doorgaande ligger op vaste steunpunten voor alleen

eigen gewicht, of voor eigen gewicht en een deel van de verkeers

belasting. Voor de verkeersbelasting gedragen de kabels zich als

elastische ondersteuningen, elk met hun eigen veerconstante (zie

ook 7-2 ). Deze situatie wordt over het algemeen nagestreefd.

Bij een groot aantal kabels kan de ligger ten naaste bij worden

beschouwd als een ligger op elastische bedding (met variërende

beddingconstante). De buigende momenten uit eigen gewicht zijn

klein en het grootste deel van de totale buigende momenten wordt

veroorzaakt door de verkeersbelasting.

Bij een gering aantal kabels kunnen de tuien nog steeds zo worden

ontworpen dat ze als stijve steunpunten werken voor eigen gewicht

en als verende ondersteuningen voor verkeersbelasting, maar nu

overheersen de buigende momenten tengevolge van eigen gewicht en

die tengevolge van verkeersbelasting zijn minder belangrijk

(fig. 10.2.1.1). Dit heeft verschillende consequenties voor de

veiligheid.

Wanneer van een groot aantal tuikabels één kabel vloeit of bezwijkt

(om de één of andere reden, bijv. doorsnedeverlies door corrosie,

sterkteverlies door brand), zal het deel van de belasting dat niet

langer door deze kabel kan worden gedragen, door de verstijvings

ligger (brugligger) worden overgebracht naar twee of meer aangrenzende

kabels, afhankelijk van de stijfheidsverhoudingen van de constructie

(zie ook U.1 ). De betrekkelijk geringe toeneming van de buigende

momenten in de ligger en van de trekkrachten in de tuien ligt over

het algemeen voldoende binnen de toelaatbare grenzen, als voor zo'n

uitzonderlijk geval met een gereduceerde veiligheid wordt gerekend.

Anderzijds, als zulk een ernstige schade wordt geconstateerd, zal

de brug doorgaans voor het verkeer worden gesloten (maar zelfs dit

is niet altijd nodig).

10.2.1.2

Wanneer daarentegen van een gering aantal kabels (tussen 1 en 3)

één kabel vloeit of zelfs bezwijkt, zal de ligger doorgaans niet

in staat zijn het verlies aan vertikale kabelreactie naar de

aangrenzende kabel of het steunpunt over te brengen. De positieve

momenten in de ligger nemen sterk toe en de negatieve momenten worden

gereduceerd of zelfs omgekeerd (fig. 10.2.1.1). De wapening of voor

spanning kan niet op dit extreme belastinggeval worden gedimensioneerd,

althans niet op economische wijze.

Bovendien, als van een groot aantal kabels er één vloeit, zal de

vervorming zo klein zijn dat de kabel niet breekt; hij neemt nog

steeds de vloeibelasting op. Bij een gering aantal kabels zal het

vloeien van één kabel niet door de ligger worden gestopt en bezwijken

is bijna onvermijdelijk.

De conclusie is dat om redenen van veiligheid de voorkeur moet worden

gegeven aan een groot aantal kabels boven een gering aantal van 1

tot 3 kabels. Er zijn ook andere redenen - bijv. uitvoering - die

pleiten voor een groot aantal kabels met horizontale afstanden

globaal tussen 10 en 20 m (zie ook 11.8 ). Bovendien is het een

voudiger (en minder gevaarlijkI) bij een groot aantal kabels één

kabel te vervangen.

Een ander gevolg van een groot aantal kabels kan zijn dat de buigende

momenten zo klein zijn dat onder de gebruiksbelastingen er geen of

slechts geringe trekspanningen in de liggerdoorsnede optreden, omdat

de drTikkracht in de ligger tengevolge van de horizontale componenten

van de tuikrachten, de buigtrekspanningen onderdrukt (vooral nabij

de pyloon).

Theoretisch is geen wapening of voorspanning nodig, of erg weinig.

Maar hoe staat dit met betrekking tot de veiligheid?

Moet niet het gevaar voor brosse breuk onder de ogen worden gezien

bij geen of weinig wapening?

De hierboven bedoelde dimensionering, met geen of weinig wapening in

de ligger, berustte op de gebruikstoestand en de vergelijking met

toelaatbare spanningen.

We zullen nu nagaan hoe het wordt bij toepassing van de "load factor"-

methode, waarbij elke belasting met zijn eigen load factor wordt

vermenigvuldigd, waarna de hieruit volgende krachtsverdeling wordt

vergeleken met de sterkte van de doorsnede, of beter van de constructie.

10.2.1.3

Als bij een veeltuiensysteem de verkeersbelasting toeneemt (bijv. met

een load factor 2), nemen de buigende momenten ten naaste bij evenredig

toe, maar de normaalkracten veel minder.

Het eigen gewicht veroorzaakt namelijk slechts kleine buigende momenten,

maar de erdoor veroorzaakte normaalkrachten zijn groot; ze worden weinig

beïnvloed door de toeneming van de verkeersbelasting die gering is ten

opzichte van de totale belasting van de brug; fig. 10.2.1.2.

Als het eigen gewicht met zijn load factor wordt vermenigvuldigd (bijv. 1,6),

zullen de geringe buigende momenten tengevolge van eigen gewicht veel

meer dan evenredig toenemen (een factor 5 a 10 of meer is zeer goed mogelijk),

terwijl de normaalkrachten ten naaste bij evenredig toenemen; fig. 10.2.1.3.

Zowel door de toeneming van het eigen gewicht als van de verkeersbelasting

kunnen nu wel trekspanningen in het beton optreden die scheuren tot gevolg

kunnen hebben; om de doorsnede heel te houden is dus wapening of voor

spanning nodig.

Ook treden grote drukspanningen op, die de karakteristieke sterkte kunnen

benaderen of overschrijden.

Nu is het echter nog de vraag of de rotatiecapaciteit van de doorsneden

voldoende is om een voldoende herverdeling van krachten in de in hoge mate

statisch onbepaalde constructie te bewerkstelligen. De rotatiecapaciteit

is namelijk in het algemeen gering als gevolg van de grote normaalkracht.

Hierop wordt in 10.3.3 nader ingegaan.

Bij toepassing van de bezwijkmethode volgens de VB 1974 worden zowel eigen

gewicht als verkeersbelasting met eenzelfde factor 1,7 vermenigvuldigd.

Ook dit leidt tot een relatief grote toeneming van de buigende momenten

en een veel kleinere toeneming van de norraaalkrachten, zodat ook hier

weer een deel van de doorsnede op trek kan worden belast en dienovereen

komstig gewapend moet worden.

Men kan zich echter afvragen of een vermenigvuldiging van het goed bekende

eigen gewicht met een zo grote "veiligheidsfactor" reëel is, vooral om.dat

de erdoor veroorzaakte buigende momenten een veelvoud zijn van de werkelijk

optredende eigen gewichtsmomenten (die bij veel tuien erg gering zijn).

10.2.1.4

De grote toeneming van het buigend moment komt door de verende onder

steuning van de ligger door de tuien; elk verschil ten opzichte van

het eigen gewicht van de doorgaande ligger op vaste steunpunten

veroorzaakt relatief grote buigende momenten, omdat voor dit verschil

de ligger zich gedraagt als een ligger op verende steunpunten.

Wanneer nu wordt aangenomen dat de spreiding in het eigen gewicht

gering is - wat doorgaans het geval is -, en de semi-probabilistische

methode van de CEB-FIP Model Code 1978j J wordt toegepast, moeten

de spanningen worden vergeleken met de gereduceerde sterkte f, = f, : Y -—^ ^— d k m

In dit geval zijn de spanningen tengevolge van eigen gewicht (ten naaste bij)

constant en verschillen ze niet (of nauwelijks) van die in de gebruiks-

toestand.

Als er geen trekspanningen tengevolge van eigen gewicht zijn, komen die

er ook niet (of nauwelijks). Hier kunnen trekspanningen in de bezwijk-

toestand wel worden veroorzaakt door een toeneming van de verkeersbelasting,

maar niet door het eigen gewicht (behalve die tengevolge van secundaire

effecten).

Het is duidelijk dat temperatuur, krimp, kruip en zettingen ook trek

spanningen kunnen veroorzaken (zowel in de gebruikstoestand als in de

uiterste grenstoestanden).

10.2.2.1

10.2.2. Aërodynamische stabiliteit (zie ook 6.)

Bij het ontwerp van een brugconstructie op wind moeten in hoofdzaak

twee soorten windtrillingen worden onderzocht; resonantie en flutter.

Met name hangbruggen en tuibruggen zijn gevoelig voor windtrillingen;

de laatste doorgaans (veel) minder dan de eerste.

Er zijn theorieën ontwikkeld waarmee het mogelijk is om het gedrag

van tuibruggen onder windtrillingen bij benadering te voorspellen,

maar in alle gevallen worden de resultaten van de theorie gecontroleerd

door modelproeven in een windtunnel, waarin de hele brug of een deel

ervan worden beproefd.

Belangrijke onderzoekingen over dit onderwerp zijn gedaan sinds 19UO

(instorting Tacoma Bridge) in de VS, Engeland, Duitsland en Frankrijk;

in het laatste geval werd het ontwerp van een tuibrug in staal verge

leken met eenzelfde ontwerp in.beton (Pont de Brotonne; [ 278, 279, 28oJj

Uit de proeven blijkt dat resonantietrillingen in het algemeen van

geringe betekenis zijn, maar dat fluttertrillingen soms tot gevaarlijke

toestanden kunnen leiden. Tengevolge van de grotere massa is de

gevoeligheid van een betonnen tuibrug in de regel veel geringer dan

die van een stalen tuibrug.

De vorm van de dwarsdoorsnede speelt een belangrijke rol, evenals de

eigen frequenties van de brug (buiging en torsie).

Meer over dit onderwerp is te vinden in hoofdstuk 6.

10.2.3.1

10.2.3 Vermoeiing

Bij een stalen tuibrug is het gewicht van de rijvloerconstructie van dezelfde 2

orde van grootte (ca. 4 kN/m ) als de gelijkmatig verdeelde verkeersbelasting

Dit betekent dat de spanningsvariatie in de tuien van dezelfde orde van

grootte is als de spanning tengevolge van eigen gewicht.

Bij vermoeiing wordt de verhouding tussen laagste en hoogste spanning veelal

uitgedrukt door x = '^'y^'^^ ^'^'

Theoretisch zou de spanningsvariatie in de tui erg hoog kunnen zijn (x«0,2),

maar in de praktijk zal altijd een kleinste spanning van ca. 50% van de

hoogste waarde worden aangehouden (x50,5; fig.lO .2 . 3 .1).

Bij een betonnen tuibrug is het gewicht van de rijvloerconstructie ongeveer •

5 maal zo groot als dat van de gelijkmatig verdeelde verkeersbelasting.

Hier is de spanningsvariatie in de tuien tengevolge van verkeersbelasting

slechts ongeveer het zesde deel van de spanning tengevolge van alleen eigen

gewicht; de spanningsvariatie ligt in de buurt .van 20% van de gemiddelde

spanning a . ^ m

In het Smith-diagram van fig. 10.2.3.1, volgens de Duitse norm DIN 1073, is

het gebied van stalen en betonnen tuibruggen globaal aangegeven. Er blijkt

uit dat de toelaatbare hoogste spanning a in de tuien van een betonnen

tuibrug ongeveer 25% hoger is dan die in de tuien van een stalen tuibrug,

maar dat de gemiddelde spanning in de eerste aanzienlijk hoger (ca. 50%)

is dan die in de laatste.

Bij een betonnen tuibrug is de kans op bezwijken van de tuien op vermoeiing

zeer onwaarschijnlijk; alleen bij een gemiddelde spanning, die ten naaste

bij gelijk is aan de toelaatbare spanning, is het denkbeeldig.

Dit verschil ten gunste van een betonnen tuibrug wordt echter bij lange na

niet gecompenseerd door de vereiste tuidoorsnede, die voor een betonnen

tuibrug globaal drie maal zo groot is als voor een stalen tuibrug.

De spanningsvariatie in de stalen tuikabel kan verder worden verminderd -

en a verhoogd - door een omhulling van staal of beton (zie ook 7.5 en 7.5). m

Als een voorstander van betonnen omhullingen kan Prof. Morandi worden

beschouwd, getuige de tuibruggen van Maracaibo, Polcevara, Wadi Kuf, etc.

[042; 244|. Ook in Japan zijn betonnen kabelomhullingen toegepast [209],

evenals bij de Waalbrug Tiel [l84] ; zie ook 7.5.

10.2.3.2

Stalen omhullingen zijn toegepast bij de Pont de Brotonne [334j ; zie ook

ook 7.5.

Een bijkomend voordeel van betonnen of stalen omhullingen is dat de

stijvere kabels minder vervorming van de ligger toelaten, zodat de

buigende m.omenten kleiner zijn. Zoals ook reeds in 7.6 is opgemerkt

wordt de verhoogde doorsnedestijfheid grotendeels teniet gedaan door de

grotere doornanging door het verhoogde eigen gewicht van de kabel, waardoor

de effectieve stijfheid sterk terugloopt.

De economie van met beton omhulde tuien moet sterk worden betwijfeld.

10.2.u.1

10.2.U. Brand en aanrijding (zie ook 7.9)

De kans op ernstige schade aan een brug door brand is veel groter

dan de kans op schade door overbelasting, vooral bij lange bruggen.

Er zijn verschillende gevallen bekend van ernstige schade aan

bruggen door brand, bijna uitsluitend door het in brand raken van

voertuigen met brandbare inhoud, op of onder de brug

Ook in Nederland is enige jaren geleden een spoorbrug over een

verkeersweg ernstig beschadigd, toen een vrachtauto na een botsing

onder de brug in brand raakte .

Bij een tuibrug zijn vooral de kabels zeer gevoelig voor brand en

zij moeten dienovereenkomstig worden beschermd, vooral de lage

delen. De omhulling van de kabel moet niet alleen brandbestendig

zijn, maar moet ook de kabel beschermen tegen mechanische be

schadiging door aanrijding.

Een stalen omhulling met een asbesten vulling zal een aanrijding

beter doorstaan dan een brosse asbesten omhulling. Een goede

bescherming voor brand en aanrijding is ook een plaatselijke beton

omhulling van voldoende afmetingen (maar een betonomhulling over

de hele lengte van de kabel is een dure aangelegenheid; zie ook 7-6).

Bovendien moet een direc öe aanrijding werden voorkomen of afgeleid

door een vangrail aan één of beide zijden van het tuivlak (resp.

twee of één tuivlak(ken). Zeer effectief is ook het onderste deel

van de kabel onder te brengen in een sterke betonnen "tand" op de

brugconstructie (fig.7-9-U ).

De hoge sterktekwaliteit van het kabelmateriaal wordt door een

brand van voldoende intensiteit en duur gereduceerd tot een waarde

in de buurt van de sterkte van gewoon zachtstaal, zodat de sterkte

van de kabel als geheel met een factor U tot 6 kan teruglopen;

in elk geval een veel groter bedrag dan de veiligheidsfactor

(2 a 2,5).

Het hangt van de afstand van de tuien en de wapening van de

verstijvingsligger af of de brug zo'n grote sterktereducutie van

één of meer kabels kan verdragen.

10.2.U.2

Met een beperkte tuiafstand en voldoende doorgaande langswapening

onder en boven in de ligger is het zeer goed denkbaar dat de

constructie in staat is de krachten volgens het nieuwe statische

systeem op te nemen, zij het in onbelaste toestand en met een

lagere veiligheid. Met een grote tuiafstand is het echter bijna

onmogelijk om de brugligger zo te ontwerpen dat één kabel (van

de twee of drie tuikabels) kan uitvallen en dat de brug toch heel

blijft; het zou in elk geval een zeer oneconomische constructie

worden (zie ook 10.2.1).

Het plotselinge breken van een kabel zal worden vergezeld door

een sterk dynamisch effect. Hierover is weinig bekend, maar uit

proeven op kabels is altijd een aanzienlijke vervorming en het

breken van een aantal draden geconstateerd alvorens algeheel

bezwijken optrad; de kabel waarschuwt flink. Plotselinge tuibreuk

zou kunnen worden veroorzaakt door botsing met een vliegtuig,

of door een explosie, maar het is vrijwel ondoenlijk bij het

ontwerp met gebeurtenissen van deze aard rekening te houden.

10.3.0.1


10.3.0 Beschrijving van de constructie

De hier onderzochte tuibrug bestaat uit een middenoverspanning

tussen de pylonen van 300 m en twee zijoverspanningen van elk

120 m (fig. 10.3.1). De brugligger is aan de einden vrij opgelegd

op de landhoofden; in het midden van elke zij overspanning en

ter plaatse van de pylonen op pijlers. De pyloonpijlers nemen

ook horizontale krachten op. De middenoverspanning heeft een

inhangdeel van 40 m. Het dek heeft een breedte van 43,60 m en

bestaat uit een driecellige kokerligger met een breedte van 18 m

en een hoogte van 3,50 m; het dek kraagt 12,80 m naar weerszijden

uit.

De horizontale afstand tussen de evenwijdige harptuien is 60 m;

de helling ervan 2:3. Elke tuikabel heeft een netto staaldoorsnede 2

van 0,177 m ; hij bestaat uit 38 kabels van 121 paralleldraden 2

(j) 7 mm, met een breuksterkte van 1500 N/mm .

De tuikabels zijn zo gespannen dat onder eigen gewichtsbelasting

de snijpunten van brugliggeras en tuikabels op één horizontale

rechte lijn liggen; hierbij is rekening gehouden met de elastische

verkorting van ligger en pyloon.

De brugligger gedraagt zich voor eigen gewicht als een ligger op

vaste steunpunten.

De vervormingen tengevolge van krimp en kruip worden gecompenseerd

door een lengtecorrectie van de tuien.

De pyloon heeft een hoogte van 80 m boven het brugdek; hij heeft

een over de hoogte constante doorsnede van 7 x 3,5 m, waarbij de

afmeting van 3,5 m evenwijdig is aan de brugas.

Onder de brug worden pyloon en brugligger gesteund door een 20 ra

brede pijlerconstructie, gefundeerd op betonpalen.

De hele constructie is ontworpen in gewoon grindbeton, behalve

de (geprefabriceerde) uitkragingen van het brugdek, die in licht

beton zijn gedacht.

10.3.1.1

10.3.1 Elastisch ontwerp van de brug

De afmetingen, stijfheden, gewichten, enz. zijn geschat uit een

voorlopige ontwerpberekening en ze zijn gecorrigeerd als de

resultaten van de computerberekening daartoe aanleiding gaven.

Dè brugconstructie is berekend als een elastisch, vlak raamwerk

met behulp van een ICES-STRUDL-programma.

De verkeersbelasting is volgens klasse 60 van de V0S3.

Toen de krachten, momenten, enz. uit eigen gewicht, verkeers

belasting, temperatuur, krimp, kruip, wind, enz. bekend waren,

zijn de betondoorsneden van ligger en pyloon zodanig gewapend

en/of voorgespannen, dat onder de gebruiksbelasting de toelaatbare

spanningen in het beton en staal niet werden overschreden.

De methode van het berekenen van betondoorsneden volgens de

bezwijkmethode geeft alleen een betrouwbare indruk van de veiligheid

voor stat_isch bepaalde constructies (de zgn. load-factor; zie 10.1.3

Hij geldt niet voor statisch onbepaalde constructies, zoals tui

bruggen .

Daarom is het alleen mogelijk een meer betrouwbaar idee van de

bezwijkbelasting van de brug - en daarmee van de veiligheid - te

krijgen door de verkeersbelasting geleidelijk te verhogen tot

bezwijken optreedt, daarbij rekening houdend met de invloeden van

scheurvorming en plastische scharnieren op de krachtsverdeling

gedurende het aanbrengen van de belasting.

10.3.2.1 •

10.3.2 Berekening van de bezwijkbelasting

10.3.2.1 Uitgangspunten

Om het gedrag van een constructie onder toenemende belasting

te kunnen volgen, is het nodig rekening te kunnen houden met

alle invloeden die een verandering teweeg kunnen brengen in

het statisch gedrag van de constructie of zijn onderdelen,

zoals: elastische en plastische vervormingen, scheurontwikkeling,

plastische scharnieren, excentriciteiten, e.d. Het werkelijke

materiaalgedrag moet zo goed mogelijk in rekening worden gebracht.

Daartoe kon worden beschikt over een computerprogramma, waarmee

het mogelijk was rekening te houden met de fysische en geometrische

niet-lineariteit tijdens het stapsgewijze opvoeren van de belasting.

(Cement XXI (1969), nr.9).

De mogelijkheden van dit programma zijn sterk vergroot door een

methode, waarmee het mogelijk is met vrij realistische M-N-K-

relaties te rekenen, die zijn afgeleid op grond van gegeven a-e -

diagrammen van de materialen (Cement XXIV (1972), nr.ll; Cement XXV

(1973) , nr.l).

De liggerdelen van 60 m tussen de tuien zijn verdeeld in 10

elementen (van ongelijke lengte), elk met hun eigen doorsnede

grootheden (EA, EI, neutrale lijn, liggeras, hoeveelheid en plaats

van de wapening, excentriciteit, kromming, plaats en grootte van

de voorspankracht, enz.).

10.3,2.2

10.3.2.2 Fysische en geometrische niet-lineariteit

Er zijn twee soorten van niet-lineair gedrag:

- de fysische niet-lineariteit van de spannings-rekrelatie

van de materialen;

- de geometrische niet-lineariteit van de constructie-onderdelen_,

die een niet te verwaarlozen verandering van de geometrie

(vorm) van de constructie veroorzaakt, en die kan leiden tot

belangrijke secundaire effecten (momenten, doorbuigingen)

en tot verlies van stabiliteit, vooral bij aanwezigheid van

grote normaalkrachten; superpositie is niet meer toegestaan.

De fysische niet-lineariteit is benaderd met de bilineaire a-e-

diagrammen voor beton en staal (fig. 10.3.2). Het beton kan geen

trek opnemen.

Met deze geïdealiseerde o- e -diagrammen en de doorsnede-

eigenschappen berekent de computer het M-N-K-diagram voor de

gegeven combinatie van M en N. Bij lage N-waarden heeft het

M-N-K-diagram een nagenoeg horizontale tak voor hoge M-waarden.

Een lang horizontaal deel wijst op een grote rotatiecapaciteit.

Met toenemende waarde van N neemt de rotatiecapaciteit van de

doorsnede af, en bij een zekere (lage) waarde ervan wordt

bezwijken van de doorsnede niet meer voorafgegaan door plastische

rotatie, maar treedt het op als plotseling bros bezwijken.

Met kruip is rekening gehouden door invoering van de effectieve

E-modulus : E = -—-. 9 l+q)

Dit geldt eigenlijk alleen voor permanente belasting, niet voor

verkeersbelasting.

Het programma houdt rekening met de excentriciteit tussen de

aangenomen as van de ligger en het inelastische stijfheids

zwaartepunt van een doorsnede, waarbij alleen het beton onder

druk met zijn echte E-waarde wordt gerekend, en het trek- en

dr'ukstaal, eveneens met hun bijbehorende E-waarden, afhankelijk

van hun spanningstoestand (fig. 10.3.2.).

Het programma houdt geen rekening met herverdeling van krachten

tengevolge van veranderde stijfheden.

10.3.2.3

10.3.2.3 Toeneming van de verkeersbelasting tot bezwijken

De constructie werd eerst alleen belast met permanente belasting (PB),

inclusief voorspanning, en alle krachten, momenten, spanningen, rekken en

vervormingen tengevolge hiervan werden in een groot aantal punten van

ligger en pyloon berekend.

Deze belastingtoestand is in fig.lO.3.3 met O aangeduid.

Daarna werd de constructie belast met een fictieve verkeersbelasting, achter

eenvolgens gelijk aan 1, 2, 4, 8, 12 en 16 maal de ontwerpwaarde van de

verkeersbelasting VB =0,05 MN/m. Dit is in fig.lO.3.3 met 1, 2, 4, 8, 12, 16

aangegeven. In de tekening is doorgaans maar een beperkt aantal stadia aan

gegeven om het geheel overzichtelijk te houden.

De verkeersbelasting werd aangebracht als in fig.lO.3.3-a aangegeven, dus

over de hele middenoverspanning en de beide buitenste zijoverspanningen;

dit bleek de ongunstigste toestand te zijn.

Voor elke belastingstap werden de specifieke rekken in boven- en ondervezel

berekend (fig.lO.3.3-d en e) en vergeleken met de "vloeirek" (fig.lO.3.3,links)

om daaruit af te leiden, wanneer een stijfheidsverandering moest worden

ingevoerd. Daarbij werd aangenomen dat het beton bij een trekspanningO scheurde.

Aangetoond kan worden dat in werkelijkheid de scheurvorming tot boven 4VB

zou worden uitgesteld, omdat de daarbij optredende trekspanning nog steeds

beneden de treksterkte was. Spanningen tengevolge van temperatuur en krimp

zouden echter het optreden van scheuren kunnen versnellen; deze spanningen

zijn van dezelfde orde van grootte als die tengevolge van de verkeersbelasting.

De vervormingen van de constructie bleken tot BVB nagenoeg lineair te zijn;

verder werd voor die belasting nog nergens de uiterste spanning (f' of f ; c sy

zie o-e-diagram) bereikt en bleven de tuien geheel in het elastisch stadium.

De zeer geringe toeneming van de tuistijfheid tengevolge van het strekken

(vermindering van de doorhanging van de tuikabel bij verhoogde spanning) werd

niet in rekening gebracht, maar dit was zonder veel extra werk mogelijk geweest.

Zelfs bij 12VB waren de verplaatsingen nog vrijwel lineair, ofschoon er

rekening was gehouden met sterke scheurvorming op een aantal plaatsen (trek

sterkte O!) en met het feit dat de betonstuik plaatselijk de "vloei"-waarde

(1,59 /oo) had overschreden (fig.10.3.3-d). Wel kon hieruit worden afgeleid

dat het bezwijken spoedig moest plaatsvinden.

Uit fig.10.3.3-d kon worden geconcludeerd dat bezwijken moest optreden tussen

12 en 16VB, omdat bij 16VB de betonstuik op twee plaatsen de grenswaarde van

3,5 /oo overschreed, nl. in het midden van het eerste veld, in de bovenvezel,

en even rechts van het tweede steunpunt, in de ondervezel; bovendien vloeide

in het eerste geval ook de wapening. Het a-e-diagram voor de computer eindigde

namelijk niet bij 3,5 /oo, maar liep door.

10.3.2.4

Proberenonderwijs was het zeker mogelijk geweest de waarde van de fictieve

verkeersbelasting te vinden, waarbij voor het eerst de grenswaarde van de

betonstuik werd overschreden. De conclusie dat bezwijken zou optreden

tussen 12 en 15V3 werd echter voldoende nauwkeurig geacht.

Het bleek ook dat een geringe plaatselijke vergroting van de wapening

voldoende zou zijn geweest om het bezwijken tot boven 16VB uit te stellen.

Voor de bezwijkbelasting BB is daarom gesteld:

PB + 12 VB <BB <PB + 16VB (1)

De verhouding PB:VB is ongeveer 12.

Volgens onze vroegere RVB 1968 moet de bezwijkbelasting tenm.inste zijn:

BB > 1,75 PB + 2,25 VB (2)

Met PB = 12VB wordt vergelijking (1):

PB + 12 VB = PB + PB = 1,75 PB + 0,25 PB = 1,75 PB + 3 VB <BB (3)

BB <PB + 16VB = 1,75 PB + 7VB ' (3)

In beide gevallen wordt aan het (oude) voorschrift voldaan.

Volgens de huidige VB 19 74 geldt algemeen dat

BB > 1,7 (PB + VB) (4)

Hieraan wordt in dit geval zonder meer voldaan.

Hoewel in beide gevallen met een geringere voorspanwapening had kunnen

worden volstaan, is hieraan niet verder gerekend.

Wel wordt nog opgemerkt dat, als het mogelijk is de bezwijkbelasting te

vergroten door een geringe, plaatselijke vergroting van de (voorspan)-

wapening (zoals hier in het eerste veld), dit altijd aanbeveling verdient,

ook al is het niet strikt nodig. Men verkrijgt dan een constructie met een

meer homogeen verdeeld bezwijksterkte. Vanzelfsprekend moet dit niet tot

in het extreme worden doorgevoerd.

Maar hoe staat het met de geldigheid van de hier getrokken conclusies ten

aanzien van de veiligheid?

De bezwijkbelasting is verkregen door het laten toenemen van de verkeers

belasting in de eindvelden en in de hoofdoverspanning, tussen de pylonen

(fig.10.3 .3-a), maar niet in de tweede velden. De permanente belasting

werkt echter (vrijwel) over de hele lengte.

Daarom kan verkeersbelasting niet worden omgezet in permanente belasting,

of omgekeerdI Dit is alleen mogelijk als zowel verkeersbelasting als

permanente belasting over de hele lengte aanwezig zijn.

De enige reële conclusie is dat de constructie een draagvermogen heeft

tussen PB + 12VB en PB + 15VB.

Een betere benadering wordt gegeven in het volgende hoofdstuk.

10.3.2.5

10.3.2,1^ De benadering volgens de CEB-FIP Model Code 1978

Is het reëel het eigen gewicht (c,q, de permanente belasting) van een

constructie met een veel van 1 verschillende factor, bijv. 1,75 of 1,7

in rekening te brengen?

Als een constructie alleen door eigen gewicht wordt belast, is een toe

neming van betekenis van deze belasting praktisch onmogelijk; de meeste

eigen- gewichtsbelastingen van constructies zijn binnen een marge van

± 4 a 5% bekend; een onzekerheidsfactor van 1 ± 0,10 is reeds een zo

hoge waarde, dat de zo berekende eigen gewichtsbelasting als een ont'/zerp-

waarde kan worden beschouwd, waarvan de kans op een hogere of lagere

waarde praktisch te verwaarlozen is.

Bezwijken wordt echter niet alleen veroorzaakt door de kans op het toe

nemen van het eigen gewicht, het kan ook een gevolg zijn van een (plaatselijke)

sterktevermindering.

De sterkte van een materiaal is een statistische waarde. In de CEB-FIP

Model Code wordt de karakteristieke sterkte f gedefinieerd als de sterkte

waarbij de kans op een lagere waarde 5% is. Uitgedrukt in gemiddelde waarde f

en standaardafwijking s- komt dit neer op:

\ -- m - 1'^^ =f ^1^

Voor ontwerpberekeningen wordt deze karakteristieke sterkte f, gereduceerd

tot de ontwerpsterkte f, door f te delen door een "onzekerheidsfactor"

Y >1, die rekening houdt met de kans op een lagere waarde dan f, , maar

ook met eventuele kleine fouten in de afmetingen, de plaats van de wapening,

het statisch gedrag, e.d.:

d = V^m (2) Volgens de CEB-FIP Model Code is een gemiddelde waarde van Y voor beton

1,4, voor staal 1,15.

Daarom moet de karakteristieke sterkte van beton worden gereduceerd met

een factor ^j— = 0,7; van staal met -—T- - 0,87:

f' = 0,7 f' ; f , = 0,87 f , (3) cd ck sd sk

Het a-e-diagram voor beton wordt dan als in fig.10.3.4. Dit betekent dat

het "vloeien" van het beton eerder wordt bereikt.

Het blijkt dat de staalsterkte niet doorslaggevend is.

Het draagvermogen van de constructie, berekend met de gereduceerde beton

sterkte, moet voldoende zijn om het eigen gewicht en de nuttige belasting,

elk vermenigvuldigd met hun eigen vergrotingsfactor Y , te dragen.

10.3.2.5

Voor de eigen-gewichtsbelasting, waarvan de variatie afhangt van de nauw

keurigheid waarmee het volumegewicht (vocht, o.a.) en de afmetingen bekend

zijn (en die weer samenhangen met de mate van toezicht en controle tijdens

de bouw of de fabrikage), is een waarde Y = 1 ± 0,1 aangenomen.

Voor de verkeersbelasting lijkt een waarde van Y tussen 1,5 en 2,0 aan

vaardbaar; ook deze hangt af van de nauwkeurigheid waarmee de verkeers

belasting kan worden voorspeld of geschat.

De aanduiding Y .PB + Y -VB wordt toegepast voor de permanente belasting

over de hele lengte en de verkeersbelasting op de meest ongunstige plaats

(fig.10.3 .3-a) . Het bleek dat de krachten tengevolge van de combinatie

1,1.PB + 2,0.VB gemakkelijk door de constructie konden worden opgenomen,

als deze werd berekend met de ontwerpsterkte f , = 0,7 f', . cd cK

Het extra draagvermogen kan worden uitgedrukt als de factor, waarmee de

vereiste bezwijkbelasting (BB = 1,1.PB + 2,0VB) moet worden vermenigvuldigd

om tot bezwijken te leiden.

Het zal duidelijk zijn dat ook de combinatie BB = 0,9.P3 + 2,0VB moet

worden beschouwd, evenals BB = 1,1.PB en BB = 0,9.PB.

Tot nu toe is aangenomen dat de maximale of de minimale waarde van de

permanente belasting optrad over de hele lengte van de brug. Het is echter

ook mogelijk dat de permanente belasting over de lengte varieert tussen

deze - dichter bijeenliggende - waarden, waardoor een veel ongunstiger

toestand dan de eerste zou kunnen optreden, bijv. op dezelfde wijze als

de meest ongunstige verdeling van de verkeersbelasting (fig.10.3.3-a).

Daarom is de permanente belasting verhoogd met 0,1 PB in het eerste veld

en tussen de pylonen en verlaagd met 0,1.PB in het tweede veld.

Volgens fig.10.3.5 kan dit worden omgezet in een gelijkmatig verdeelde

permanente belasting O,9.PB over de hele lengte, en een belasting op het

"belaste" deel gelijk aan O,2.PB + 2VB. Dit kan worden omgezet in 2,4.

2,4.VB + 2,0.VB = 4,4.VB.

Daarom moet het belastingeffect van 0,9 PB + 4,4 VB worden vergeleken met

het draagvermogen van de constructie, berekend met de ontwerpsterkten. Het

bleek dat dit weer eenvoudig te doen was, hoewel met minder reserve.

Er wordt echter op gewezen dat de waarschijnlijkheid van een toevallige,

gelijktijdige variatie van permanente en verkeersbelasting in dezelfde

ongunstige zin in de verschillende delen veel geringer is dan een gelijk

tijdige variatie van belastingen in dezelfde zin over de hele lengte.

Bij het vergelijken van belastingen moet met deze geringere waarschijnlijk

heid rekening worden gehouden.

10.3.2.7

Hetzelfde geldt voor de kans op afwisselend belaste en niet-belaste delen,

ten aanzien van verkeersbelasting. De kans op volbelasting over de hele

lengte zal in het algemeen groter zijn dan die op een toevallige combinatie

van belaste en onbelaste delen, die de ongunstigste toestand oplevert.

Het is nog niet mogelijk dit op een wetenschappelijke wijze in rekening

te brengen door het ontbreken van voldoende statistische gegevens over

werkelijke brugbelastingen.

Brosse breuk

De verstijvingsligger bezwijkt niet in eerste instantie door het vloeien

van het staal, maar door het verbrijzelen van het beton (fig.lO.3.3-d en e).

Tengevolge van de grote normaaJkracht is de rotatie-capaciteit van de

betreffende doorsneden gering (zie ook 10.3.3). Zulke brosse breuken

zijn dikwijls van plotselinge aard, zonder waarschuwing door sterke

scheurvorming of doorbuiging.

Uit fig.10.3.3 kan echter worden afgeleid dat beide "waarschuwingen" ver

voor het bezwijken optreden: zowel ernstige scheurvorming als een door

buiging van meer dan 1,5 m in het midden ( > 1). Dit moet duidelijk

zichtbaar zijn. Nog duidelijker echter is de doorbuiging in het eindveld:

ca. 0,50 m bij een overspanning van 50 m, dus ca. -—r— 11

Er is dus voldoende waarschuwing en er hoeft dus geen rekening te worden

gehouden met een kleinere veiligheid door het optreden van brosse breuk.

IC. 3.3.1


Volgens een iets afwijkende methode is de bezwijkbelasting bepaald van

het ontwerp van de symmetrische tuibrug volgens fig.10.3.3.1.

Deze brug is ontworpen met toelaatbare spanningen in de tuien en in het

beton. De ligger is voorgespannen met gebogen voorspanelementen (fig.10.3.3.2 ) ,

maar wel zodanig dat de doorsnede van de voorspanwapening volgens

de klassieke bezwijkberekening (1,7.M ) van de maatgevende doorsnede(n) max *=

aan de zuinige kant was, zodat verwacht mocht worden dat ook de veilig

heidsmarge volgens de CEB-FIP-benadering maar net voldoende was.

De voorspanning heeft in alle velden een identiek verloop, behalve in de

buitenste halve eindvelden. Ter vereenvoudiging is aangenom.en dat de

voorspankracht over de hele lengte gelijk blijft. Daardoor kan worden vol

staan met het bepalen van de M-N- en M-K-relaties voor een viertal iden

tieke doorsneden I t/m IV (fig. 10 . 3. 3.2. , waarvan er in fig. 10 . 3. 3 .3., twee

zijn gete.kend (I en IV). Deze zijn gebaseerd op de a-e-diagrammen van de

VB 1974, gereduceerd met de bijbehorende materiaalcoefficient Y (fig.10,3 .3 .4.

terwijl rekening is gehouden met de plaats en de grootte van de voorspan

kracht F , welke laatste wordt beïnvloed door de grootte van de aange

brachte normaalkracht N.

Met de gereduceerde a-e-diagrammen zijn in de eerste plaats de M-N-diagrammen

bepaald voor de lineair-elastische, ongescheurde fase (dus e = O en

e' = 2,5 /oo; resp. f = O en f' = f',); verder de M-N-diagrammen bij het c ' c c cd c j

bereiken van de vloeigrens f , in het staal (niet getekend) en tenslotte

de M-N- en M-K-relaties voor de bezwijktoestand (fig.10.3.3 .3).

De stijfheidsvariaties, die het gevolg zijn van scheurvorming (f = O) en

het bereiken van één van de boven bedoelde toestanden, zijn bij de berekening

van de krachtsverdeling in rekening gebracht.

Uitgegaan is van de combinatie van M en N tengevolge van eigen gewicht en

voorspanning. Omdat volbelasting over de hele lengte maatgevend bleek,

is het eigen gewicht met een Y = 1,1 in rekening gebracht.

Eigenlijk had dan de voorspanning met een factor Y < 1 in rekening moeten

worden gebracht, maar dit ging voor een afstudeerontwerp te ver; bovendien

mag worden betwijfeld of de kans op het tegelijk optreden van een 10%

groter eigen gewicht èn van een gereduceerde voorspanning nog reëel is.

De momentenverdeling tengevolge van eigen gewicht en voorspanning is in

fig.10.3.3.5 weergegeven; de normaalkracht in het gedeelte tussen de tuien

is dan N = 25 MN. In de fig.lO.3.3.3-a en b is deze toestand met (T) aangegeven.

10.3.3.2.

Het aanbrengen van de (karakteristieke) verkeersbelasting q levert

punt (2) en de momentenlijn van fig.10,3.3.5-b. De punten (T) en (T)liggen

voor elke doorsnede binnen het M-N-diagram voor de lineair-elastische,

ongescheurde fase.

De punten voor de ontwerpwaarde voor de verkeersbelasting (q = 1,5 q ) Q k

liggen voor alle doorsneden binnen het M-N-diagram voor het bereiken van

de vloeirek van het staal (niet getekend in fig.10.3.3.3-a en b) en (dus)

ook binnen het M-N-diagrara voor bezwijken. Dit betekent dat de veiligheid

volgens de hier toegepaste semi-probabilistische benadering (CEB-FIP 1978)

voldoende is.

Teneinde een idee te krijgen van de marge tegen bezwijken, v.'ordt de be

lasting opgevoerd. Het eerste plastisch scharnier ontstaat bij een belasting,

gelijk aan l,73.q , en wel in het midden (punt 11) bij M = +172 MNm en N =O K

(geen normaalkracht door de tuienl).

Het bijbehorende momentenverloop is in fig.10.3,3,5-c weergegeven.

Uit fig.lO.3.3.3-b blijkt dat dit scharnier een grote rotatiecapaciteit heeft

(K =/>'20.10""^).

De volgende twee plastische scharnieren ontstaan tegelijk in de ligger ter

plaatse van de pyloonoplegging (punt 5) bij l,85.q, (M = -220 MNm, N = -38MN;

punt (4) in fig.lO.3 .3.3. Voor momentenverloop zie fig.lO.3.3.5-d.

Uit fig.10.3.3.3-a blijkt dat de bij dit scharnier behorende rotatiecapaciteit -3 -3

erg klein is; K = 'V1,5.10 (van ongescheurd — K = 0,5.10 —tot bezwijken

- K= 2.10"^).

Toch kan de belasting nog flink worden opgevoerd alvorens de grens van deze

beperkte rotatiecapaciteit is bereikt. Dit is het geval bij een belasting van ca. 3,4.q over de hele lengte. Het bijbehorend momentenverloop is

k in fig.10.3.3.5-e weergegeven. De bijbehorende vervorming is in fig.10.3.3.5-f weergegeven. Het feit dat 11 niet gelijk is aan cfi wordt verklaard door het in rekening brengen van de

elastische vervormingen; door de ondersteuning door de tui in punt 9 buigt

het liggergedeelte 5-11 zodanig door dat t^ wordt vergroot en <^ wordt

verkleind.

Het moet echter niet uitgesloten worden geacht dat bij volbelasting van

alleen het brugdeel tussen de pylonen reeds eerder in de eindvelden een

tweede plastische scharnier zou zijn ontstaan, maar dan door een negatief

moment; er zit namelijk geen voorspanwapening bovenin de eindvelden.

10.3.3.3.

Het momentenverloop voor dit geval is weergegeven in fig.10.3.3.6. Het vloei-

moment in doorsnede 11 wordt bereikt bij l,8.q .

Bij vergroting van de belasting tot 2,54.q treedt het tweede plastisch

scharnier op in doorsnede 5. Het blijkt dat de momentnormaalkrachtcombinatie

in doorsnede 4 (M = -64 MNm; N = -45 MN) ruim binnen het bijbehorende M-N-

diagram (hier niet getekend) ligt, zodat het voortijdig ontstaan van het

hier bedoelde plastisch scharnier in (of nabij) doorsnede 4 niet zal plaats

hebben. Trouwens, dan zou er nog geen mechanisme zijn ontstaan (fig.lO.3.3.5-a);

daarvoor is nog een plastisch scharnier nodig.

Ook andere combinaties van afwisselend belaste en niet-belaste velden zijn

nagegaan, maar volbelasting over de hele lengte bleek de kleinste bezwijk-

waarde te geven (3,4.q ). Weliswaar is ook hier nog geen mechanisme ontstaan,

maar de rotatiecapaciteit van doorsnede 5 is ten einde; de grens van' de

betonstuik (3,5 /oo) is bereikt.

Deze beperkte rotatiecapaciteit is een gevolg van de normaalkracht N, de

horizontaal ontbondene van de tuikracht.

Wordt N kleiner, dan neemt de rotatiecapaciteit direct sterk toe (fig.10.3.3.3-a); -3

voor N = O ligt de kronmiing in de buurt van 10.10

Uit fig.10.3.3,3-a blijkt dat een aangroeiende normaalkracht N aanvankelijk het

ontstaan van trekscheuren uitstelt en het bezwijkmoment vergroot, maar de

rotatiecapaciteit verkleint. Overschrijdt N een bepaalde waarde, dan neemt

het bezwijkmoment weer af, maar ook de rotatiecapaciteit loopt terug, tot

hij bij de maximale normaalkracht en een kleine waarde van M (snijpunt

links in figuur) nul is; N en M leveren dan, tezamen met F , een gelijk-, P

matige spanningsverdeling in de doorsnede (a = f' ),

Als de kans op het bereiken van het 1,1-voudige eigen gewicht voldoende

klein wordt geacht, is een 1,73-voudige vergroting van de karakteristieke

verkeersbelasting q nodig om het eerste plastische scharnier te doen K

ontstaan; bij l,85,q ontstaan de twee volgende plastische scharnieren en

bij 3,4,q is de rotatiecapaciteit van deze plastische scharnieren uitgeput,

Er is dan echter nog geen mechanisme ontstaan. Er bestaan echter nog geen

rekenregels om de invloed van het bezwijken van de drukzone in rekening te

brengen op het vermogen van de doorsnede om momenten en normaalkrachten

op te nemen, zodat met deze (gereduceerde) opnamecapaciteit verder gerekend

zou kunnen worden. Stellen we deze O voor het moment - wat veel te ongunstig

is -, dan bezwijkt de constructie door het ontstaan van plastische scharnieren

in 3 en - waarschijnlijk - in 7, waardoor een mechanisme ontstaat,

10,3.3.4.

Aangetoond is dat de ligger altijd eerder bezwijkt dan de tuien of

de pyloon (voor dit geval).

Men kan zich afvragen of de rotatiecapaciteit van doorsnede I niet kan

worden vergroot.

Zonder iets aan de doorsnede te veranderen, is dit alleen mogelijk door

de normaalkracht te verkleinen (fig.lO.3.3.3-a).

Dit is mogelijk door steilere tuien toe te passen. Dit betekent echter

wel langere tuien en een hogere pyloon.

Het is ook mogelijk door lichtbeton toe te. passen in plaats van grindbeton.

Hierdoor worden zowel M als N tengevolge van eigen gewicht gereduceerd,

zodat punt ^F) in de richting van de oorsprong beweegt.

Een plaatselijke vergroting van de doorsnede van de onderflens zal de

resultante N doen zakken en daarmee de neutrale lijn (kleinere x), zodat c

de kromming (K = e' /x) groter wordt. ° max °

Een verkleining van de hoogte van de doorsnede heeft eenzelfde effect,

maar het opneembaar moment wordt veel kleiner.

10.3.4.1

10.3.4 Conclusies (gedeeltelijk geldig voor alle brugtypen).

1. Voor zowel stalen als betonnen bruggen dient naar meer uniformiteit

in brugbelastingen te worden gestreefd; dit geldt ook voor dynamische

effecten, belastingreductie als functie van de lengte en het aantal

rijstroken, e.d. De gegevens dienen te worden verkregen uit waar

nemingen van werkelijke brugbelastingen.

2. Voor alle soorten bruggen moet hetzelfde veiligheidsbeginsel worden

toegepast.

3. De belastingfactormethode levert onaanvaardbare resultaten bij

combinaties van vaste en verende steunpunten. De variatie van het

eigen gewicht moet met zijn werkelijke waarde in rekening worden

gebracht.

4. De semi-waarschijnlijkheidsbenadering van CEB-FIP is een aanvaardbare

basis voor het ontwerp van brugconstructies met een bepaalde mate van

veiligheid.

5. In de stabiliteits- en bezwijkberekening moet het werkelijk materiaal

gedrag in rekening worden gebracht, evenals tweede-orde effecten

tengevolge van doorbuigingen (elastische en plastische vervormingen,

scheurvorming, tijdsafhankelijke invloeden, enz.).

Speciaal voor betonnen tuibruggen:

6. Aan een groot aantal tuien moet de voorkeur worden gegeven boven een

gering aantal, om verschillende redenen (uitvoering, veiligheid;

progressive collapsel).

7. Brand en botsingen vormen een reëel gevaar voor stalen kabels; ze zijn

ernstiger dan overbelastingI

8. Vermoeiing vormt nauwelijks een gevaar voor de tuien,

9. Wind is zelden gevaarlijk.

10. Ér moet nog veel onderzoek worden gedaan op het gebied van de veiligheid

van bruggen in het bijzonder en vooral op dat van tuibruggen, die nog

aan het begin van hun ontwikkeling staan.

11. TUIBRUGGEN. UITVOERINGSPROBLEMEN

11.1. Inleiding

11.2. Steigerloze uitbouw

11.3. Uitbouwen van een deel van de dwarsdoorsnede

11.4. Uitbouwen met hulptuien, met of zonder hulpligger

11.5. Uitbouwen met geprefabriceerde onderdelen

11.6. Bijzondere uitvoeringsmethoden

11.7. Het aanbrengen van de tuien

11.8. De invloed van variabele tuiafstanden op de krachts

verdeling in een tuibrug bij verschillende bouwstadia

11.1.1

11. Uitvoeringsproblemen

11.1. Inleiding

Het is natuurlijk mogelijk de ligger van een tuibrug op de traditionele

manier ter plaatse te storten op een plaatsvaste of verschuifbare

bekisting, die rust op een steigerwerk, dat de belasting op de onder

grond overbrengt.

Het is ook mogelijk de ligger op te bouwen uit geprefabriceerde

elementen, die op eenzelfde steigerwerk worden opgelegd; hierbij is

de dure bekisting op de bouw vervangen door de veel effectievere

bekisting in de fabriek.

Meer hierover is te vinden in de handleiding Betonnen Bruggen van

schrijver dezes.

In vele gevallen is het bovenstaande echter een veel te dure en soms

onmogelijke werkwijze. Bij grote hoogte onder de brug, slechte

ondergrond, diep water, grote stroomsnelheid, e.d. wordt de steiger-

constructie economisch of technisch zeer onaantrekkelijk of zelfs

(vrijwel) onmogelijk.

Druk scheepvaartverkeer, eisen van waterafvoer e.d. kunnen zelfs

het plaatsen van steigerconstructies geheel verbieden. Maar ook in

uiterwaarden kan het risico van overstroming, ijsafvoer, o.d. het

toepassen van een steigerwerk onaantrekkelijk maken.

Redenen genoeg om aan andere uitvoeringsmethoden te denken, waarbij

bijna vanzelfsprekend wordt uitgegaan van de voor "gewone" bruggen

gebruikelijke uitvoeringsmethoden. Het ligt daarbij voor de hand te

trachten van de aanwezigheid van de tuien een nuttig gebruik te maken.

Dat dit tot aantrekkelijke mogelijkheden leidt, maar ook de nodige

problemen meebrengt, zal uit het volgende blijken.

Een algemeen probleem wordt reeds hieronder gesignaleerd.

Een tui wordt normaal gedimensioneerd op het eigen gewicht van een

liggerdeel met een lengte (ten naaste bij) gelijk aan de tuiafstand,

vermeerderd met de maximale verkeersbelasting. Bij het uitbouwen

echter zal de laatste tui, vlak voordat de volgende wordt aangebracht,

globaal een liggerdeel met een lengte gelijk aan tenminste tweemaal

de tuiafstand, krijgen te dragen; de voorlaatste tui daarentegen

wordt ontlast (zie ook 11.8).

11.1.2.

Voor een betonnen tuibrug, waarvan het eigen gewicht al gauw 90%

van de totale belasting is, betekent dit dat de laatste tui bij de

bouw tot tenminste 180% van zijn ontwerpbelasting wordt belast, wat

zelfs bij de gebruikelijke 2,5-voudige veiligheid van stalen tui

kabels toch wel een rigoureuze reductie van de veiligheid betekent I

Maar ook zal de vervorming van de zo zwaar belaste tui evenredig toe

nemen, wat weer consequenties voor de liggermomenten inhoudt.

In het volgende wordt aangegeven hoe aan deze en andere bezwaren

tegemoet kan worden gekomen. Deel 11.8 is geheel gewijd aan de vraag

hoe groot de tuiafstand bij toepassing van steigerloze uitbouw ten

hoogste mag zijn om deze methode nog economisch toe te kunnen passen.

De brug kan worden ontworpen op de gebruikstoestand alsof hij in één

keer gebouwd was (iets anders is trouwens bijna niet mogelijk). Hij

moet worden gecontroleerd op alle fasen in de bouwtoestand, rekening

houdend met alle belastingen die daarbij kunnen optreden, en met de

tijdsafhankelijke invloeden. Naar aanleiding daarvan moeten eventueel

sommige afmetingen worden aangepast, de voorspanning (tijdelijk)

worden vergroot of verplaatst, enz.

In het navolgende worden achtereenvolgens behandeld:

- steigerloze uitbouw van de pyloon uit (11.2);

- uitbouwen van een deel van de dwarsdoorsnede (11.3);

- uitbouwen met hulptuien, met of zonder hulpligger (11.4);

- uitbouwen met geprefabriceerde onderdelen (11.5);

- bijzondere uitvoeringsmethoden (11.6).

Verder wordt in 11.7 het aanbrengen van de tuien behandeld, terwijl in

11.8 wordt nagegaan, welke tuiafstanden zonder hulpconstructies haalbaar

zijn en hoe de krachtsverdeling in de brug tijdens de bouw kan worden

bepaald door de brug als het ware te "demonteren".

11.2.1

11.2 Steigerloze uitbouw

Het lijkt voor de hand liggend bij tuibruggen, die nagenoeg symmetrisch

zijn ten opzichte van de pyloon, de ligger van de pyloon uit naar

weerszijden uit te bouwen, en telkens als een gedeelte, gelijk aan

de tuiafstand, gereed is, het volgend stel tuien aan te brengen;

een soort steigerloze uitbouw dus, met ter plaatse gestorte of gepre

fabriceerde moten, maar zonder gebruik te maken van de traditionele,

op de ondergrond steunende steiger- en bekistingsconstructie.

Trouwens, bij steigerloze uitbouw van "normale" bruggen wordt soms

wel een tijdelijke tuiafspanning toegepast; bijv. bij steigerloze

uitbouw van over meer steunpunten doorgaande bruggen (fig.11.2.1).

Zie ook de handleiding Betonnen Bruggen van schrijver dezes, waarin

de hier bedoelde uitvoeringsmethoden uitvoerig worden beschreven.

Zo eenvoudig als het lijkt, is het echter niet.

Zo is voor het vlot verlopen van de steigerloze uitbouw bij voorkeur

een constante dwarsdoorsnede nodig, zodat de bekisting over de hele

lengte gelijk is; of anders een doorsnede, die geleidelijk verloopt,

zodat de bekisting eenvoudig aangepast kan worden. Dit geldt zowel

voor steigerloze uitbouw met ter plaatse gestorte als met geprefa

briceerde moten.

Bij tuibruggen wordt de dwarsdoorsnede verstoord door de tuiaan

sluitingen en (soms) door dwarsdragers daar ter plaatse. Voor de

tuiaansluitingen kan meestal worden volstaan met een vrij beperkte,

plaatselijke aanpassing van de bekisting. Verder kan gebruik v/orden

gemaakt van geprefabriceerde tuiverankeringen, die in de bekisting

worden gemonteerd (zie ook 7.10.3). Het onderbrengen van de tui

verankeringen in een voldoende dik lijf over de hele lengte kan een

oplossing zijn voor een gelijkblijvende bekisting, maar het vereist

wel meer materiaal over de hele lengte; en ook blijft het feit dat

het inbouwen van de verankering het regelmatige patroon van het

aanbrengen van de wapening verstoort.

Zoals in 8.1 is aangegeven kan de belasting (eigen gewicht en

verkeersbelasting) in langs- of in dwarsrichting op de tuien worden

overgebracht. In het laatste geval zijn ter plaatse van de tuien

dwarsdragers nodig over de volle breedte, in de vorm van schijven

(volle wand) of diagonalen (trek of druk).

11.2.2

Deze verstoren de uitvoering sterk en voor toepassing van de steigerloze

uitbouwmethode komt een oplossing met belastingoverdracht in langs

richting het meest in aanmerking. Bij een centraal tuivlak betekent dit

dus een centrale hoofdligger (kan ook kokerligger zijn), bij twee

tuivlakken twee hoofdliggers ter plaatse van de tuivlakken (wat ook

weer kokerliggers mogen zijn; zie o.a. A.18).

Bij brede bruggen zal een uit twee of meer kokers bestaande dwarsdoorsnede

in dwarsrichting moeten worden verstijfd, voor zover althans geen dwars

dragers worden toegepast. De dwarsdoorsnede gedraagt zich als een Vierendeel-

constructie en deze is bij grote breedte relatief buigslap. Dit is te

verbeteren door in elke rechthoekige koker trek- of drukdiagonalen aan

te brengen, waarbij de verstijving door de laatste effectiever zal zijn

dan door de eerste (minder vervorming; zie ook 8.1.1).

Als trekdiagonalen kan worden gedacht aan Dywidag-voorspanstaven, maar

ook voorspankabels komen in aanmerking. Daar het eigen gewicht ook hier

weer het grootste aandeel in de totale belasting heeft, is dè spannings

variatie door verkeersbelasting niet groot (orde van grootte 20%), zodat

de vervormingen van de trekdiagonalen- en daarmee de buigende momenten

in de onderdelen van de Vierendeeliigger - beperkt blijven. De staven

zijn na het passeren van de uitbouwbekisting snel en eenvoudig aan te

brengen. Ze moeten ook in de koker wel worden beschermd.

De trekdiagonalen kunnen aanzienlijk worden verstijfd door een omhulling

met beton, die tevens onder voorspanning wordt gebracht. Dit vereist

echter wel veel meer werk, en het is de vraag of de zo bereikte ver

stijving nodig is.

Het aanbrengen van (geprefabriceerde) drukdiagonalen is veel moeilijker,

vooral als ze onder druk moeten worden aangebracht. Dit is wel aan te

bevelen, omdat anders vrij grote vervormingen moeten optreden, voordat

de diagonalen hun optimale kracht leveren. Nu is het wel zo dat de

aldus opgewekte momenten aan relaxatie onderhevig zijn, maar de druk-

diagonaal kruipt ook onder invloed van de druk, zodat van een belangrijke

herverdeling van krachten geen sprake zal zijn.

Een andere verschil met steigerloze uitbouw zonder aftuien is het volgende.

Zonder aftuien ontstaat boven het steunpunt een met de vrij uitkragende

lengte (bijna kwadratisch) toenemend buigend moment, waaraan de meeste

bruggen volgens deze methode gebouwd hun karakteristieke vorm ontlenen;

grote hoogte boven het steunpunt; relatief kleine hoogte in het veld.

De voorspanning zit hoofdzakelijk bovenin.

11.2.3

Bij tuibruggen wordt na het passeren van de eerste tuiaansluiting

de bijbehorende tui aangebracht en op een zekere kracht gespannen,

waardoor het buigende moment bij het pyloonsteunpunt nog slechts

weinig verandert. Het gewicht van de brugverlengingen wordt telkens

door een stel tuien opgenomen.

Doorgaans echter zal ook de tuiafstand groter zijn dan de bij

steigerloze uitbouw normale mootlengte van 3 a 4 m. Het gewicht

van de moten zonder tuiaansluiting zal dan eerst door voorspanning

moeten worden gedragen. Tot 3 a 4 mootlengten is dit meestal wel

mogelijk zonder (veel) meer dan de voorspanning die toch al voor de

gebruikstoestand nodig is (zie ook 11.8). Bij grotere tuiafstanden

moet extra voorspanning worden toegepast (eventueel ten dele tijdelijk)

of moeten andere maatregelen worden genomen (zie 11.3 en 11.4).

Bij vrij grote afstand tussen de ondersteuning ter plaatse van de

pyloon en de eerste tui (zie o.a. fig.3.6.1 t/m 3.6.3) kan dit

eerste deel geheel als een brug in steigerloze uitbouw worden uitge

voerd, zo nodig met variabele hoogte, waarna na het passeren van de

eerste tui op constante hoogte kan worden overgegaan. De stabiliteit

van dit brugdeel kan op de "gebruikelijke" manier worden verkregen

door afstempeling op de pijler/pyloonfundering.

Soms wordt alleen de hoofdoverspanning in steigerloze uitbouw uitgevoerd,

uitgaande van de reeds gebouwde zij overspanningen. Dit komt vooral in-

aanmerking als in de zij overspanningen één of meer extra steunpunten

mogelijk zijn, zodat (ten naaste bij) dezelfde overspanningen worden

verkregen als voor de aansluitende aanbruggen, waardoor de zij overspanningen

op dezelfde - meestal voordeliger - wijze kunnen worden gemaakt als de

aansluitende aanbruggen (fig. 11.2.2). Na het aanbrengen van de tuien

kunnen eventueel de extra steunpunten worden weggenomen (fig. 11.2.2-rechts).

Dit gaat echter wel ten koste van de stijfheid van het geheel.

11.3.1

11.3 Uitbouwen van een deel van de dwardoorsnede

Een methode om een te grote tuibelasting te voorkomen is de ligger

niet over de volle doorsnede uit te bouwen, maar slechts over een

deel ervan, bijv. de middelste koker(s), en de doorsnede later te

voltooien, bijv. met een nakomende uitbouwwagen of met geprefabri

ceerde onderdelen (fig.11.3.1). Dit vooruitgebouwde deel van de

dwarsdoorsnede moet dan wel in staat zijn zichzelf, de eventuele

uitbouwwagen en de tuiaansluiting als vrije uitkraging te dragen;

eventueel kan een hulptui worden overwogen (zie 11.4). De belasting

op de laatste tui wordt in elk geval geringer. Bij het voltooien

van de doorsnede hebben we te doen met een door tuien ondersteunde

uitkragende ligger.

Wel ontstaat het probleem in hoeverre het naderhand aangebrachte

beton met het eerder aanwezige (beide gestort en/of geprefabriceerd)

samenwerkt, omdat beide waarschijnlijk ongelijke eigenschappen

(ouderdom, kruip, E-modulus, krimp) en spanning zullen hebben.

Verwacht mag worden dat kruip en relaxatie een nivellerende invloed

hebben.Het probleem kan worden opgelost met de door Ir. Roelfstra

bij zijn eindstudie ontwikkelde methode FCement, mei + juni 1980J ,

die waarschijnlijk nog verder zal worden vervolmaakt. Ook in de

aan het eind van dit stuk opgenomen artikelen staan bruikbare aan

wijzingen voor de bouw van bruggen waarvan de dwarsdoorsnede niet

in één keer wordt voltooid.

Met het bovenstaande moet bij het ontwerpen van de dwarsdoorsnede

rekening worden gehouden. De vooruit te bouwen koker(s) moet(en)

voldoende sterkte en stijfheid hebben tegen buiging en wringing,

en de naderhand aan ze brengen delen moeten ermee tot één samen

werkend geheel kunnen worden verbonden. Dat dit bepaald geen

eenvoudige zaak is, is wel bij een aantal studieontwerpen gebleken,

o.a. A.18 (fig.11.3.2). Het door middel van voorspanning in dwars

richting verbinden van de kokers en de geprefabriceerde liggers

ertussen heeft veel hoofdbrekens gekost en een alleszins bevredigende

oplossing is eigenlijk niet bereikt.

Het probleem is het goed bevestigen van een ligger in dwarsrichting

aan een koker, als beide ongelijke hoogte hebben. De onderflens

van de ligger trekt of drukt dan tegen het lijf van de koker, dat

daartegen over de hele lengte bestand moet zijn.

11.3.2

Verbinding door voorspanning stuit op moeilijkheden bij het plaatsen

van de verankeringen, zodanig dat er gespannen kan worden. Door het

plaatsen van de liggers tussen de kokers zullen deze willen ver

draaien, wat verhinderd moet worden, bijv. door de einden tijdelijk

door middel van een staalconstructie wringstijf te koppelen (fig.11.3.2).

Een lijm- of contactvoeg komt niet in aanmerking, want voor het

monteren van de ligger is speling nodig. Dit maakt specie- of beton-

voegen nodig; het verharden daarvan kost echter tijd.

De lijm- of contactvoeg komt wel in aanmerking voor het verbinden van

de liggers in langsrichting van de brug, op dezelfde wijze als dit

bijv. bij het SDK-systeem gebeurt (contactvoeg met voorspanning).

Tijdens het verharden van het beton kunnen temperatuurvariaties ver

vormingen veroorzaken die het voegenbeton doen scheuren. Vroegtijdige,

beperkte voorspanning, zonwering en verstijvende maatregelen van

tijdelijke aard kunnen het gevaar hiervoor zoveel mogelijk verkleinen.

Hier worden helaas meer de problemen gesignaleerd dan dat één of

meer aanvaardbare oplossingen worden gegeven. Misschien moet de

oplossing in een andere richting worden gezocht. Deze wordt in het

volgende hoofdstuk aangegeven, maar brengt, naast goede ideëen, ook

weer de nodige problemen meel

Er zijn ook ontwerpen geweest, waarbij het middelste deel van de

doorsnede, bij toepassing van een centraal tuivlak werd uitgebouwd

(fig.11.3.3) en de doorsnede naderhand met geprefabriceerde elementen

werd voltooid (o.a. A-05).

Literatuur over spanningsveranderingen in betonconstructies, die uit

verschillende delen zijn samengesteld.

1. Walser: Kriech- und Schwindeinflüsse bei den spater betonierten Gesimsen von Spannbetonbrücken. Bauingenieur 10/1964, p.409-414.

2. Schade/Haas: Elektronische Berechnung der Auswirkungen von Schwinden und Kriechen bei abschnittsweise hergestellten Verbundstabwerken. Heft 244 Deutscher Ausschug für Stahlbeton.

3. Trost/Wolf: Zur wirklichkeitsnahen Ermittlung der Beanspruchungen in abschnittsweise hergestellten Spannbetontragwerken. Bauingenieur 5/1970, p. 155-169.

4. P. Schroder: Spannungsumlagerungen infolge zeitabhangigen Beton-verhaltens in Koppelfugen abschnittsweise hergestellter Spannbeton-tragwerke. Beton- und Stahlbetonbau 6/1978, p. 145-151.

5. Tadros, Gali, Dilger: Longterm Stresses -and Deformations of Segmental Bridges. Journal Prestressed Concrete Institute, 7/8/1979, p.66-87.

11.4.1

11.4. Uitbouwen met hulptuien met of zonder hulpligger

Hulptuien worden niet alleen toegepast bij tuibruggen. Ze komen

in aanmerking voor alle gevallen waarin een ligger door zijn

beperkte hoogte niet in staat is een bepaald zeer groot, maar

tijdelijk, moment in de bouwtoestand op te nemen. Hierbij wordt

een sterke vergroting van de hefboomsarm toegepast; de trekkracht

wordt geleverd door één of meer hulptuien en de drukkracht door

de ligger zelf. De afstand tussen hulptuien en ligger - de hef

boomsarm - wordt in stand gehouden door een drukelement tussen

ligger en hulptuien, bij een tuibrug pyloon genoemd (fig.11.4.1).

Een voorbeeld van toepassing van hulptuien is het al in 11.2

genoemde geval van steigerloze uitbouw van een over meerdere

steunpunten doorgaande brug (van één of beide landhoofden uit;

fig.11.2.1). -sx

Bij tuibruggen komen hulptuien in de eerste plaats in aanmerking

om de laatste, zwaar belaste tui bij toepassing van de steigerloze

uitbouwmethode te ontlasten (zie 11.2). Ze kunnen bijv. aan

ingestorte Dywidag-ankerstaven worden bevestigd (zowel in ligger

als in pyloon) ; de Dywidagstaven kunnen in verzonken moffen worden

geschroefd, zodat na verwijdering het gat eenvoudig kan worden

gedicht (fig.11.4.2). De hulptuien zelf moeten op eenvoudige wijze

kunnen worden gespannen, bijv. met een spanvijzel aan één kant.

Ook is het mogelijk de hulptui met een vrij lichte kabel (onder

een grote hoek met de tui, ca. 90 ) onder spanning te brengen

door de kabel aan te trekken (fig.11.4.3).

De methode van uitbouwen met hulptuien en hulpligger komt in

aanmerking bij relatief grote tuiafstanden, als de uitkraging,

gelijk aan de tuiafstand (of iets meer) niet meer door de ligger

kan worden gedragen. Het behoeft nauwelijks te worden betoogd

dat dan de laatste tui zeker te zwaar zou worden belast, zodat

toepassing van alleen hulptuien niet in aanmerking komt. De •

grens ligt hier bij een tuiafstand van 15 a 20 m (zie ook 11.8).

Bij grotere tuiafstanden kan het liggerdeel, gelijk aan de tui

afstand, worden gestort in een bekisting, die wordt ondersteund

door een stalen hulpliggerconstructie, die aan de ene kant

scharnierend aan het reeds gestorte brugdeel is bevestigd, en aan

de andere kant is opgehangen aan een aantal hulptuien (fig.11.4.4).

11,4,2

Tijdens het storten zal de belasting van de hulptuien voortdurend toenemen,

waardoor ze langer worden en het gestorte brugdeel aan dat einde zakt,

Ze zullen dus of bijgesteld moeten kunnen worden of van tevoren zoveel

worden ingekort dat het brugdeel na het storten de juiste

hoogte heeft. Dit laatste is waarschijnlijk het eenvoudigst te realiseren.

Teneinde te vermijden dat de voeg met het gereed zijnde deel tijdens het

storten open gaat staan (door verlenging van de hulptui en/of doorbuiging

van de hulpligger), moet het storten plaatsvinden naar de voeg toe

(zodat deze dus het laatste wordt gesloten).

Maar ook na het storten zal de lengte van de hulptuien aan variatie onder

hevig zijn als gevolg van temperatuurwisselingen, zodat een mogelijkheid

van bijregelen van de tuikracht wel gewenst is.

In het pas gestorte brugdeel moet zo gauw mogelijk enige voorspanning

worden aangebracht. Hiertegen mag de stalen hulpligger zich niet teveel

verzetten.

Na het volledig voorspannen van de ligger en het aansluiten van de

definitieve tui(en) kan de kracht in de hulptuien geleidelijk worden

afgelaten en tegelijkertijd die in de definitieve tui(en) worden opgevoerd.

Daar de hulptuien aan de bekistingconstructie zijn bevestigd, zal bij

het verder aflaten van de hulptuien de bekisting los komen van het

gestorte brugdeel en verwijderd kunnen worden om voor het volgende deel

te worden gebruikt.

In het geval van de Waalbrug bij Tiel is de hulptui voor het tweede

brugdeel ondersteund door een schoor (fig.7.5.4), om een in vertikale

zin stijver geheel te krijgen dan bij toepassing van een rechte hulptui;

een eenvoudige Williot-figuur maakt dit direct duidelijk; zie ook fig. 11,4,4.

De kracht in de relatief dunne hulptuien kan veel gemakkelijker worden

geregeld dan die in de veel dikkere tuien. De kracht in de combinatie van

tui en hulptui(en) kan dan ook het beste via de hulptui worden geregeld

(mits de variatie niet te groot is).

11.5.1

11.5 Uitbouwen met geprefabriceerde onderdelen

Geprefabriceerde onderdelen moeten getransporteerd en gemonteerd

kunnen worden. Dit legt beperkingen op aan de afmetingen en het

gewicht, afhankelijk van de wijze van transport en de hijsapparatuur.

Waar dit algemeen geldt voor de toepassing van geprefabriceerde

(brug) onderdelen - en dus niet specifiek voor tuibruggen - wordt

er hier niet verder op ingegaan en wordt verwezen naar de handleiding

"Prefabricage in beton" van Prof. Bruggeling, e.a. of naar de hand

leiding Betonnen Bruggen van schrijver dezes.

Wel spelen transport en montage een belangrijke rol bij de toepassing

van prefabricage van betonnen tuibruggen en in het volgende zal een

aantal aspecten ter sprake komen.

Wat de lengte betreft komen voor tuibruggen het meest in aanmerking

geprefabriceerde onderdelen ter lengte van de tuiafstand, omdat dan

elk onderdeel direct na het plaatsen door de bijbehorende tui(en) kan

worden gedragen.

Met het oog op een hanteerbaar gewicht mag dus de tuiafstand niet te 2

groot zijn. Bij een gewicht van 15 a 20 kN/m is het gewicht van een

10 m lange en 20 ra brede moot 3000 a 4000 kN, en dit gewicht kan

vrijwel alleen door middel van een dri2vende kraan worden geplaatst,

waardoor de mogelijkheden van toepassing sterk worden beperkt. Ook

zou een dergelijk gewicht eventueel met behulp van hijsapparatuur

02_de brug kunnen worden opgehesen (fig.ll.5.1). Het nadeel is dan

wel dat de belasting van de laatste tui weer tot het bijna tweevoudige

van de eigen gewichtsbelasting toeneerat (zie ook 11.1 en 11.8). Dit

is niet het geval bij plaatsing met een drijvende (of rijdende) kraan,

raits deze het element zolang vasthoudt tot de bijbehorende tui is

aangebracht.

Geprefabriceerde onderdelen kunnen tijdelijk worden ondersteund met

een hulpconstructie op of onder de brug. Ook tijdelijke ondersteuning

met het hijswerkpuig is mogelijk, raaar duur als het lang duurt (vooral

bij drijvende kranen; in iets raindere mate bij raobiele kranen; af

hankelijk van de kraancapaciteit). De beweeglijkheid van het hijs

werktuig (golven, wind, e.d.) kan de toepassing in sommige gevallen

in de weg staan.

11.5.2

De hier bedoelde zware elementen kunnen vrijwel alleen over water

worden aangevoerd. Als dit niet mogelijk is (bijv. boven uiter

waarden), zouden ze eventueel op de bouwplaats kunnen worden

geprefabriceerd, maar ook dit vereist weer zware transportapparatuur,

Het voordeel van elementen met een lengte gelijk aan de tuiafstand

is dus dat ze direct na het plaatsen aan de tui(en) kunnen worden

opgehangen. Wel moet bij het verzorgen van de voeg rekening worden

gehouden met tuibewegingen tengevolge van dagelijkse temperatuur

variaties .

Met het oog daarop kan het nodig zijn dat het element tijdens het

uitvoeren van de voeg door een tijdelijke verstijvingsconstructie

wordt vastgehouden. Na het verharden van de voeg (lijm of beton)

kan de taak van deze verstevigingsconstructie door blijvende langs

voorspanning worden overgenomen.

Het meest aantrekkelijk zijn lijmvoegen, omdat de voorspanning

hierbij vrijwel onmiddellijk na het sluiten van de voeg kan worden

aangebracht (in elk geval gedeeltelijk). Lijmvoegen zijn o.a. toegepast

bij de montage van de elementen van de Pasco-Kennewickbrug in de

staat Washington (V.S.)i 427J ; zie ook fig. 8.1.2.4. De elementen hadden een

lengte gelijk aan de tuiafstand (8,23 ra) en een breedte gelijk aan 2

de volle brugbreedte. Ze wogen ca. 14 kN/ra en werden geplaatst •

door ophijsen met behulp van hijsapparatuur op de.brug.

Contraraallen zou ook kunnen (contactvoegen dus), maar voor zover

bekend is het nog niet toegepast. De voeg moet dan wel zodanig worden

voorgespannen dat er tijdens de bouw en erna geen trek van betekenis

in kan optreden.

Betonvoegen komen minder in aanmerking; ze vragen veel tijd en moeten

tijdens de verharding worden gevrijwaard. tegen vervormingen (voornamelijk

tengevolge van temperatuur).

Moten, korter dan de tuiafstand, wegen minder en zijn daarom aan

trekkelijker. Ze kunnen tot een lengte van ca. 2,5 ra over de weg

worden aangevoerd. Ze wegen dan in de buurt van 1000 kN (bij een brug

breedte van 20 a 25 m) en kunnen dus met behulp van één of twee

mobiele kranen worden geplaatst. Ook ophijsen raet behulp van hijs

apparatuur op de brug is mogelijk. De moten moeten tijdelijk door

voorspanning en/of een hulpconstructie worden vastgehouden tot de

aansluitraoot voor de volgende tui is geplaatst en deze tui kan worden

aangesloten.

11.5.3

Dit betekent echter weer een aanzienlijke overbelasting van de

laatste tui (evenals bij grote moten; zie hiervoor), tenzij elke

moot wordt voorzien van een tijdelijke aftuiing, die na het aanbrengen

van de definitieve tui wordt verwijderd. Zie ook 11.8.

Het bezwaar kan ook worden ondervangen door de toepassing van gepre

fabriceerde moten ter lengte van de tuiafstand, maar met een breedte,

die maar een deel is van de totale brugbreedte; de rest wordt ter

plaatse gestort of aangevuld met andere geprefabriceerde delen (fig.ll..3.1 ).

Het voordeel is dat deze moten met betrekkelijk lichte apparatuur kunnen

worden geplaatst en direct daarna door de tui(en) worden gedragen.

Het zal daarbij niet altijd mogelijk zijn de tui(en) direct op de

juiste kracht of lengte aan te spannen; na het voltooien van de doorsnede

kan een correctie nodig zijn.

Uitbouw van slechts een deel van de dwarsdoorsnede betekent voor een

tuibrug met centraal tuivlak uitbouw van het middelste deel van de

brugdoorsnede; voor een tuibrug met twee tuivlakken zullen de delen van

de doorsnede ter plaatse van de tuivlakken worden uitgebouwd (zie ook 8.1.1

en 3.1.2). Bij de dimensionering van deze delen moet erop worden gerekend

dat ze het gewicht van de later aan te brengen delen naar de tuiaan-

i sluitingen over kunnen brengen. In de regel zal dit neerkomen op een

één- of tweecellige kokerligger.

Ook bij geprefabriceerde moten heeft het zin de dwarsdoorsnede over de

lengte zoveel mogelijk gelijk te houden, zodat de (dure) bekisting zo

weinig mogelijk behoeft te worden aangepast. Daarom kunnen de tui

aansluitingen het beste in een apart deel van de dwarsdoorsnede worden

ondergebracht, waarvan de bekisting met weinig kosten kan worden

aangepast, terwijl de rest van de dwardoorsnede gelijk blijft. De tui

aansluitingen kunnen bijv. worden ondergebracht in een verbreed lijf,

aan de zijkanten van de brug, enz. (fig.11.5 .2 ) . ) . Ook heeft het zin

gegrefabriceerde_tuiverankeringen toe te passen van hoge betonkwaliteit,

die in de te storten prefabmoot worden ingebouwd (zie ook 7.10.3 ).

Het voordeel van harptuien is hierbij dat alle tuiaansluitingen gelijk

kunnen zijn; bij waaiertuien wisselt de hoek voortdurend en meestal

zijn de krachten ook niet gelijk. Ook tuiverankeringen, waarbij de tui

boven de ligger wordt aangesloten, komen in aanmerking (fig.7.10.4).

Bij prefabricage is toepassing van een dwarsdrager ter plaatse van de

tuiaansluiting minder bezwaarlijk dan bij toepassing van steigerloze

uitbouw (zie 11.2), vooral als het gaat om elementlengten gelijk aan

de tuiafstand. Weliswaar zal de bekisting iets duurder worden dan zonder

dwarsdrager, maar het verwijderen van de bekisting levert geen probleem op.

11.5.4

Bij toepassing van elementlengten kleiner dan de tuiafstand kan een

aparte bekisting worden toegepast voor het element dat de dwarsdrager -

en meestal ook de tuiaansluiting - bevat (fig.ll.5.3 ).

Ook combinaties van ter plaatse storten en geprefabriceerde onderdelen

komen in aanmerking, vooral als de brugbreedte groot is. Zo kan men bijv.

de liggerdelen ter plaatse van de tuivlakken met de steigerloze uitbouw-

methoden uitbouwen (zie ook 11.2) en - na voorspannen van het uitgebouwde

deel en aftuien ervan - de doorsnede voltooien met geprefabriceerde

onderdelen (zie ook 8.1.1 en 8.1.2). Dit is o.a. toegepast in het afstudeer

onderzoek .A.18(variant Willerasburg, Rotterdam).

Bij de Pont de Brotonne [334j zijn de schuine zijwanden van de kokerligger

(ter lengte van 3,0 m) met de aanzetten van dek en onderflens, op de

bouwplaats geprefabriceerd; na het monteren ervan in de ligger is. de dwars

doorsnede voltooid met ter plaatse gestort beton (fig. 8.1.1.11).

Aanvoer van de geprefabriceerde onderdelen oY E_' Ë"'-_Y2l!È22i Ê_ EyS§Ë Ë l'*-®

komt vrijwel alleen in aanmerking bij twee tuivlakken; bij één tuivlak

wordt het wringend moment al gauw ontoelaatbaar groot (tenzij speciale

maatregelen worden genomen, bijv. tijdelijk aftuien van de belaste zijde).

Onderdelen van de volle brugbreedte moeten bij het transport over de brug

worden gedraaid, zodat ze de tuien kunnen passeren; voor het aanbrengen

moeten ze weer in de goede stand terug worden gedraaid.

Variaties van de hier genoerade methoden zijn door verschillende af

studeerders voorgesteld en gedeeltelijk uitgewerkt, zowel voor als na

het tot stand komen van de uitgevoerde bruggen.

11.6.1

5 Bijzondere uitvoeringsmethoden

Bij grote tuiafstanden is het moeilijk of bijna onmogelijk de

brug van de pyloon naar weerszijden uit te bouwen; de vrije uit

kragingen worden te groot en het is alleen mogelijk ze op te

vangen met dure hulpconstructies, bijv. vele hulptuien op korte

afstand, of een sralen bekistingligger met één of twee zware

hulptuien, zoals in Tiel is gedaan [184; 185 ]; fig. 1.4.3 en 7.6.4.

Toch is de constructie met grote tuiafstanden aantrekkelijk, niet

alleen omdat het aantal tuien en tuibevestigingen gering is, maar

vooral als de vereiste hoogte van de ligger toch al zodanig is

dat een grote tuiafstand uit dien hoofde geen bezwaar is. In Tiel

bijv. was de liggerhoogte van het tuibruggedeelte min of meer

bepaald door de hoogte (3,50 m) van de aansluitende bruggedeelten

over de uiterwaarden raet overspanningen van 78,5 ra, dus veel

groter dan de tuiafstand van 47,5 m.

De kostbare uitbouwconstructie is nodig als in de rivier geen

tijdelijke ondersteuningen kunnen of mogen worden geplaatst (water

afvoer, scheepvaart). Zou dat wel kunnen, dan zou de brugconstructie

veel goedkoper kunnen worden gemaakt raet behulp van een plaatsvaste

of verschuifbare bekisting. Nog minder kostbaar dan een onder

steuningsconstructie in de rivier is een ondersteuning van de

bekisting op het land, maar dit is alleen mogelijk voor de gedeelten

boven de uiterwaarden.

Deze gedachte heeft één van de studenten ertoe aangezet naar een

methode te zoeken, waarbij deze goedkope bouwwijze raet onder

steuning op het land mogelijk was I A-05J. Hij stelt voor elke

brughelft te bouwen op een steigerwerk op de oever, evenwijdig aan

de rivier- of kanaalas, en het geheel, na het aanspannen van de

tuien, te draaien in het horizontale vlak tot in de definitieve

stand, met de as van de pyloon als vertikale draaiingas (fig.ll.6.1

Het tot pijler verbrede ondereinde van de pyloon glijdt hierbij over

cirkelvormige teflon glijopleggingen en wordt geleid door een vrij

lichte as in het hart van de pyloon.

Het landeinde van de brug loopt hierbij over een kwartcirkelvormige

rail, ongeveer halverwege de uitkraging (fig.ll.5.1).

11.5.2

Omdat de brug ten opzichte van de pyloon in evenwicht is, is de druk

op deze rail gering; alleen voor het verzekeren van de stabiliteit

tijdens het draaien is het nodig het landeinde tijdelijk te verzwaren

(bijv. door middel van ballast), zodat de brug raet een zekere positieve

reactie op de rail drukt. Ter plaatse van deze rail bevindt zich ook

de trekinrichting, waarmee de brug gedraaid wordt.

De tijdelijk draaiconstructie van de pijler wordt na afloop met beton

aangestort, zodat de definitieve constructie zich niet onderscheidt

van een ter plaatse gestorte pijler.

De praktische realiseerbaarheid van deze werkwijze werd door berekeningen

voldoende aangetoond. Voorwaarde is wel dat de bouw op de oever evenwijdig

aan de rivieras gerealiseerd kan worden en niet in gevaar komt door hoog

water, o.d.

Voor zover ons tot dan toe (eind 19 72) bekend, was een soortgelijke

werkwijze nog nooit in de bruggenbouw toegepast. Voor andere dan tui

bruggen korat hij dan ook nauwelijks in aanraerking.

Groot was dan ook onze verrassing toen op het FlP-congres in New York

(1974) door de Oostenrijkse delegatie een ontwerp werd gepresenteerd

van een tuibrug over het Donaukanaal, die op een vrijwel identieke wijze

zou worden gebouwd (en inraiddels is gebouwd; fig.1.4.7) I 350J .

Hier zijn twee constructeurs bijna op hetzelfde raoraent, maar geheel

onafhankelijk van elkaar, op hetzelfde originele idee gekoraen, de

tweede waarschijnlijk raeer ervaren dan de eerste, maar ervaring is

klaarblijkelijk geen voorwaarde voor het bedenken van oorspronkelijke

oplossingen. Ook jonge ingenieurs - in dit geval nog niet afgestudeerd -

blijken soms onverwachte en originele ideëen te hebben, die op grond van

hun onervarenheid vaak niet au serieux worden genomen of als te

fantastisch van de tafel worden geveegd, maar waartussen toch enkele

blijken te kunnen zitten, die serieuze nadere overweging verdienen.

Zo was er ook het op zichzelf gezonde idee de pyloon en de uitkragende

brughelften in vertikale stand naast elkaar te bouwen met behulp van

een glijbekisting (fig.11.6.2), een zeer econoraische werkwijze

voor constructies met gelijkblijvende doorsnede. Hierbij dient de pyloon

als stabiliserend element tijdens de bouw. Na voltooiing van het glij-

proces laat men de brughelften door middel van de tuikabels in horizontale

stand zakken, waarbij ze draaien om het verbindingspunt met de pyloon.

• 11.6.3

De enorme krachten die daarbij optreden, kunnen echter door geen

enkele lier, o.d. worden opgenomen, zeker niet als daarbij nog de

(uiteindelijke) tuikabels als lierkabels moeten worden gebruikt. Ook

het draaipunt van de brughelften en de pyloon leverde onoverkomelijke

moeilijkheden op. Dit wil niet zeggen dat in de toekorast hiervoor

wellicht nog eens een oplossing wordt gevonden.

Soms kan de situatie aanleiding geven tot het toepassen van een

bepaalde bouwmethode. De ontwerpers van de tweede tuibrug (A-02) hadden

een situatie, waarbij het kanaal, waarover de tuibrug moest worden

gemaakt, nog gegraven moest worden (fig. 11.5.3).

Zij hebben van deze omstandigheid gebruik gemaakt door de brug ter

plaatse te bouwen op een zandlichaam, en aan dit zandlichaam een zodanig

langsprofiel te geven dat de brug na het aanbrengen van de tuien en het

weggraven van het zandlichaam juist de goede vorm aannam, waarbij de -

aanvankelijk spanningsloze en rechte - tuien automatisch op de juiste

spanning kwamen. De methode bleek zeer eenvoudig en economisch, temeer

daar de brugligger ontworpen was als een raassieve plaat met een grootste

dikte van slechts 0,90 m; ook het dwarsprofiel kon dus gemakkelijk in

het zandlichaam worden gecontramald.

Het is duidelijk dat dergelijke methoden slechts in uitzonderingsgevallen

kunnen worden toegepast.

' ^r:

11.7.1

11.7 Het aanbrengen van de tuien

Kabels voor tuien kunnen vooraf geheel gereed worden geraaakt (in

de fabriek of op de bouwplaats) en zo worden gemonteerd, of ze

kunnen tijdens het aanbrengen worden opgebouwd (uit draden,

strengen of kabels); zie ook 7.0 en 7.1. Zo nodig kunnen hierbij

meerdere kabels worden verenigd tot een kabelbundel of kabelgroep,

die dan de tui vormt (fig.7.0.5 en 7.0.6).

Geheel gereed gemaakte kabels kunnen zowel geslagen kabels zijn

(uitsluitend in de fabriek gemaakt) als paralleldraadkabels

(vervaardiging in de fabriek of op de bouwplaats). Ze zijn vrijwel

altijd aan beide einden voorzien van inrichtingen voor verankering

of bevestiging (zie 7.10). Ze moeten nauwkeurig op lengte worden

geraaakt; de correctiemogelijkheden zijn gering (max. 5 a 10 cm);

zie ook 7.10.

Ter plaatse gevormde kabels worden raeestal in de vorm van draden,

strengen of kabels (bijv. van een voorspansysteem) door een vooraf

aangebrachte orahullingsbuis van kunststof, staal of beton getrokken.

De verankeringen zitten niet aan de kabels, maar zijn - raeestal

in de vorra van normale of aangepaste voorspanverankeringen - in

de betonconstructie ingestort, eventueel onder gebruikmaking van

geprefabriceerde elementen (zie 7.10.3). In principe is het later

aanbrengen van de orahullingsbuis ook mogelijk, bijv. door deze

overlangs in tweeen te delen. Ook omwikkelen is raogelijk [427J -

Het aanbrengen en bevestigen op grote hoogte kan bezwaarlijk zijn

voor het verkrijgen van goed werk en voor het uitoefenen van een

goede controle.

Eerst zullen enige probleraen bij het aanbrengen en spannen van

geheel gereed gemaakte kabels worden behandeld, daarna zal iets

worden gezegd over ter plaatse gevormde kabels.

Bij stalen tuikabels is het niet zozeer het eigen gewicht (enige

honderden kN), dat problemen oplevert bij het aanbrengen, maar

meer de grote lengte en de relatief grote buigstijfheid, die de

tuikabel onhandelbaar of raoeilijk hanteer raaken. Wat buigzaaraheid

betreft zijn geslagen kabels duidelijk in het voordeel ten opzichte

van paralleldraadkabels met dezelfde staaldoorsnede; in de eerste

plaats door de kabelopbouw, in de tweede plaats door het (meestal)

ontbreken van een beschermende orahullingsbuis van staal of kunststof.

11.7.2.

Vooral bij vulling van de orahullingsbuis raet injectiespecie voor

het aanbrengen wordt een zeer stijve kabel verkregen, die met veel

zorg moet worden gehanteerd. Vullen met injectiespecie na het aan- •

brengen maakt weliswaar de kabel beter hanteerbaar, raaar het

injecteren tot hoogten van 100 ra en raeer is niet eenvoudig, vooral

als niet of raoeilijk op tussengelegen hoogten kan worden geïnjecteerd.

Over de toelaatbare kroraming van zowel geslagen als paralleldraadkabels

is iets te vinden in de voorlopige Amerikaanse voorschriften voor

tuibruggen 1 374; 375 1 ; ook de kabelleverancier zal goede aanwijzingen

kunnen geven.

Een eenvoudige methode om niet te zware en lange tuikabels aan te

brengen is het ophijsen aan één einde raet behulp van aan kraan of

lier vanaf het dek. Het gaat hier wel om tuien die reeds voorzien zijn

van verankeringseinden (zie 7.10). Na het op hoogte trekken wordt de

tuikabel met het boveneinde in de pyloon bevestigd op één van de

wijzen als in 7.10 beschreven. Daarna wordt het ondereind - dat nog

op het dek ligt - raet behulp van een lier in de verankeringsbuis in

de ligger getrokken tot het door de trekstang van de verankerings-

vijzel kan worden gepakt.

Hierna wordt de kabel op spanning gebracht en verankerd.

Meestal is nog nastelling mogelijk en/of noodzakelijk.

Deze methode wordt voor de gesloten, geslagen kabels van stalen

tuibruggen veel toegepast, bijv. voor Ewijk [333; 364j en Düsseldorff-

Flehe ^421; 422j .

Voor zwaardere of stijvere tuikabels kan een lichte hulpkabel worden

toegepast, die iets boven de ermee te plaatsen tuikabel wordt aange

bracht en met behulp van een lier, vijzel, o.d. wordt gespannen.

De definitieve tuikabel wordt langs deze hulpkabel omhoog getrokken

met behulp van een lier of kraan, waarbij hij op vrij korte afstand

wordt opgehangen aan lussen, die over de hulpkabel kunnen rollen

(fig.11.7.1).

De hulpkabel zal door het gewicht van de tuikabel flink gaan door-

hangen, waardoor de hoek aan het begin en eind toch nog te groot

zou kunnen worden, of de kabel niet voldoende recht zou zijn om

door het eigen gewicht van de brug op spanning te komen (zie hierna).

11.7.3

Door toepassing van ophanglussen raet variabele, vooraf berekende

lengte kan de tuikabel vrijwel recht aan de hulpkabel worden op

gehangen (fig.11.7.2).

Het spannen van de tuikabels kan gebeuren door middel van vijzels

(zie ook 7.10). Hierbij zijn vijzels ter hoogte van het dek beter

bereikbaar dan vijzels in de pyloon.

De tuikabels kunnen ook worden gespannen door de brugligger bij het

bouwen een zodanige opwaarts gebogen vorm te geven dat bij het

overbrengen van het gewicht op de ongespannen, nagenoeg rechte kabel

(zie hiervoor) het geheel zodanig vervormt dat de kabel (tenslotte)

de goede spanning krijgt. Daar elke volgende bouwphase invloed heeft

op de kracht in een bepaalde tui, vereist dit wel uitgebreide en

zorgvuldige berekeningen, waarbij de invloeden van de tijdsafhankelijke

vervormingen van het beton en - in mindere mate - van . de kabels

niet mogen worden verwaarloosd.

Doorgaande tuikabels kunnen ook worden gespannen door het opvijzelen

van het kabelzadel in de pyloon. In fig. 11.7.3 is deze mogelijkheid

aangegeven. Er racet natuurlijk zijn gerekend op ruirate voor het aan

brengen van de vijzels en voor het opvijzelen van hex kabelzadel.

Het is ook denkbaar kabels te verankeren aan een losse, opvijzelbare

staal- of betonconstructie in de pyloon, waarmee ze dus ook kunnen

worden gespannen.

Spannen van tuikabels door opvijzelen van de pyloon is praktisch alleen

goed mogelijk met één tui aan elke kant van de pyloon. Het is theoretisch

ook raogelijk met meer tuien, maar dan raceten deze wel alle de op deze

wijze van spannen afgestemde lengte hebben, terwijl ook de plaats van

de verankeringen in ligger en pyloon nauwkeurig moet vastliggen. Hieruit

zou de vorm van de ligger kunnen worden berekend die deze vlak voor

het spannen zou raceten hebben.

Het lijkt vooralsnog een raethode waarvan de practische uitvoerbaarheid

strandt op een vrijwel onbereikbare nauwkeurigheid bij de uitvoering.

Het opvijzelen van de pylonen is wel eens toegepast bij hangbruggen;

daarvoor gelden de bovenbedoelde bezwaren niet. Men kan er o.a. de

momentenverdeling in de ligger mee wijzigen. 2

Gezien de grote doorsnede van tuibrugpylonen (10 a 20 ra en raeerI) en de

zeer hoge belastingen (orde van grootte 100.000 kNl) is opvijzelen van

de pyloon een kostbare zaak, niet alleen vanwege het grote aantal

benodigde vijzels, maar ook vanwege de opvullende constructie die na

het opvijzelen de dragende functie van de vijzels moet overnemen.

.• ' 11.7.4

Dit betekent niet maar even opvullen met beton, maar het één voor één

vervangen van de vijzels door hoogwaardig beton of ander materiaal, dat

naast grote drukspanningen waarschijnlijk ook aanzienlijke trek op moet

kunnen nemen, met name in de bezwijktoestand (zie ook fig. 10.3.3-a en b).

Zeer zware, met beton omhulde tuikabels kunnen niet in hun geheel worden

aangebracht; ze zijn veel te zwaar en te stijf. De betonomhulling racet

daarom op betrekkelijk korte afstanden worden ondersteund. Hiervoor zijn

tot nu toe twee methoden toegepast:

- ondersteuning door de tuikabel (Wadi Kuf; Morandi ["244]);

- ondersteuning door een steigerwerk (Waalbrug Tiel; [l84; 185j ).

Beide methoden zijn nader beschreven in 7.5 (fig.7.5.2 en 7.6.3).

In beide gevallen zijn het constructies, die ongetwijfeld een goede corrosie-

bescherming en brandbeveiliging vormen voor de stalen kern; ook verstijven

ze de stalen kern raet een factor 3 a 4, waardoor de vervormingen onder

veranderlijke belasting worden gereduceerd, raaar al deze voordelen wegen

waarschijnlijk niet op tegen de zeer hoge kosten van vervaardiging en

vooral raontage. Ze zullen dan ook waarschijnlijk niet meer worden toegepast.

Een bijzonderheid bij de tuibrug Tiel is het toepassen van gewone Freyssinet-

voorspankabels (bestaande uit l "strengen") als tuikabelkernen.

Deze worden door in de betonnen tuien gespaarde kanalen (fig.7.5.3) getrokken,

van de verankering in de ligger aan de ene kant van de pyloon, via de

pyloontop naar de verankering in de ligger aan de andere kant van de pyloon.

Ze worden aan twee zijden gespannen en met gewone voorspanverankeringen

verankerd. De kabelkanalen worden ook gewoon geïnjecteerd.

De vele kabelverankeringen (eenheden van 3120 kN breukkracht) nemen wel erg

veel ruimre in en de kabels raceten dan ook flink worden gespreid (fig. 11.7.5 )

Dit veroorzaakt aan flinke spreiding onderhevige wrijvingsverliezen (dus

een niet nauwkeurig bekende tuikracht, maar dat is hier niet erg wegens

de grote tuistijfheidl), terwijl voor het opnemen van de spreidkrachten

flink wat voorspanning nodig is (fig.11.7. 5).

Freyssinet-voorspankabels zijn ook toegepast voor de tuikabels van de

Pont de Brotonne I 334j. Deze -zijn door vooraf aangebrachte stalen om-

hullingsbuizen getrokken en aan beide einden in de ligger verankerd

(fig.11.7.4). Deze tuien waren veel lichter dan bij Tiel en de verankeringen

namen betrekkelijk weinig ruimte in, zodat raet een vrij eenvoudige constructie

kon worden volstaan (fig.ll.7.4 K

Het aanbrengen van de buizen voor de volgende tui, door "afstempelen"

op de beide voorafgaande, gespannen tuien, is weergegeven in fig.7.5.1.

De toepassing van Dywidag voorspanstaven voor de tuibrug van de Farbwerke

Hoechst is beschreven in 7.10.2.

11.8.1,

11,8, De invloed van variabele tuiafstanden op de krachtsverdeling

in een tuibrug bij verschillende bouwstadia

(naar het gelijknamige artikel van Ir. J. Brakel en Ir. H.B. Monster in

Cement XXIX (1977), nr.lO; p.486 en 487; Uit de Researchlaboratoria).

Inleiding

Zijn tot nog toe in de- afstudeergroep Tuibruggen van de vakgroep

Betonconstructies de meeste tuibruggen ontworpen naar de krachts

verdeling in de eindtoestand en is slechts achteraf naar de uit

voering gekeken, bij dit onderzoek was de krachtsverdeling tijdens

het bouwen het uitgangspunt.

Het blijkt namelijk dat de tuikrachten en de liggermoraenten tijdens

de steigerloze uitbouw van de ligger aanzienlijke waarden kunnen

aannemen (eigen gewicht van de brug vaak raeer dan 90% van de

totale belastingen), die veel hoger kunnen zijn dan de waarden

die in de bedrijfstoestand optreden. Daarora is onderzoek verricht

naar de grootte van deze invloeden om zo tot econoraisch verant

woorde tuiafstanden te komen.

De studie betrof een symmetrische tuibrug raet een middenoverspanning

van 300 ra en een centraal kabelvlak. De brug is berekend volgens

klasse 50 voor een autosnelweg met 2 x twee rijstroken plus

vluchtstroken. De breedte bedraagt 33,50 m. Van deze gegevens is

uitgegaan omdat aan dit type brug al diverse aspecten zoals ligger-

vorm en oplegcondities, onderzocht zijn.

Het schema is in fig.11.8.1 weergegeven. Voor de ligger is een 2

kokerconstructie genomen met een betondoorsnede van 21,5 ra en Lj.

een traagheidsraoment van 15,55 m . De tui-afstanden waren 5, 10

of 15 ra, omdat de econom.ische grens waarschijnlijk in dit gebied ligt.

Daar de tuidoorsnede binnen vrij enge grenzen vastligt, is alleen

de liggerstijfheid nog gevarieerd, en wel vier maal zo slap, om

zodoende inzicht te verkrijgen in de invloed van de verhouding

tuistijfheid-liggerstijfheid op het krachtenspel tijdens het uit

bouwen van de ligger.

Berekeningsopzet

Om de verschillende brugtypen in het bouwstadiura te kunnen berekenen,

is uitgegaan van de gerede brug. De tuikrachten zijn voor de eigen

gewichtsbelasting berekend en de tuidoorsneden voorlopig bepaald.

Daarna is de ligger als het ware moot voor moot afgebroken.

11.8.2.

Omdat de berekening lineair-elastisch is, levert dit dezelfde

resultaten op als bij het vrij uitbouwen van de ligger vanuit de

pyloon. Uit de computerberekeningen volgen de tuikrachten en de

liggermomenten, benevens de verplaatsingen van de ligger. Deze

waarden kunnen nu bij de bouw worden aangehouden, zodat de tuien

bij het verder uitbouwen van de ligger niet nagespannen behoeven

te worden.

Al "kronkelend" wordt zo de ligger uitgebouwd en pas bij het spannen

van de laatste tuien komt hij in zijn definitieve vorra.

De maximale uitkragingen tijdens de bouw bedragen voor de drie typen

de tuiafstand plus 2,5 ra ora de tuien aan te kunnen sluiten, dus

respectievelijk 7,5 ra, 12,5 ra en 17,5 ra voorbij de laatst aangesloten tui.

Tuien om de vijf meter

De resultaten van de computerberekeningen voor de normale ligger

zijn in fig.ll.8.2 weergegeven. Omdat de brug ook tijdens het uitbouwen

van de ligger symmetrisch is, kan volstaan worden met het berekenen van

i; gedeelte van de totale brug.

De tuien zijn genummerd van 101 tot 125 en bestaan uit voorspanstaal 2

FeP 1760 met een doorsnede van 8835 rara . De verhouding tussen de

maximale tuikracht en de tuikracht in het eindstadium bedraagt gemiddeld

1,25. Bij een vier maal slappere ligger wordt dit 1,35.

Tuien om de tien meter

Hier is ten opzichte van het 5-m-systeem om de andere tui een tui

2

weggelaten. De tuidoorsnede bedraagt nu 17670 mm . De berekenings

resultaten voor een aantal tuien zijn weergegeven in fig.ll.8.3.

Het beeld is ongeveer gelijk aan dat van fig.11.8.2, alleen schoraraelt

de verhouding tussen maximale kracht en ontwerpkracht nu rond de 1,5 5.

De momenten in de ligger tijdens het uitbouwen kunnen behoorlijk

oplopen en wel tot ongeveer 83.000 kNm bij een maximaal raoraent ten

gevolge van de verkeersbelasting van ca. 60.000 kNm.

Dit liggermoraent bij het uitbouwen is voor alle bouwstadia nagenoeg

even groot en treedt op bij de op twee na laatst aangesloten tui; het

is het 1,75-voudige van het zuivere kraagmoment ter plaatse van de

laatst aangesloten tui.

11.8.3.

Tuien om de vijftien meter

Nu zijn in vergelijking met het 5-ra-systeera elke keer twee tuien 2

weggelaten. De tuidoorsnede is aangehouden op 35340 ram (omdat de

tuikrachten bij het uitbouwen raeer dan evenredig raet de tuiafstand

toenemen). De resultaten van de berekeningen voor enkele tuien zijn

weergegeven in fig.ll.8.4.

De tuikrachten zijn hier aanmerkelijk hoger en wisselen ook sterk

tijdens het uitbouwen. De verhouding tussen maximale kracht en ont

werpkracht ligt gemiddeld voor alle tuien rond de 1,5 en met de slappe

ligger rond de 1,95.

Het maximale raoraent in de ligger treedt op bij de op één na laatst

aangesloten tui en bedraagt raaximaal 136.000 kNm ofwel het 1,5-voudige

van het kraagmoment ter plaatse van de laatst aangesloten tui. Ten

opzichte van het raaxiraale liggerraicraent van ca. 53.000 kNm in de

bedrijfstoestand is dit dus wel erg hoog, zodat geconcludeerd kan

worden dat de 15 m uitbouw economisch niet raeer verantwoord is.

Conclusies

Bij een slappe ligger zullen, bij toeneraende tuiafstand, de tuikrachten

tijdens het uitbouwen sterk toenemen en de liggermoraenten in de

bedrijfstoestand klein blijven, terwijl bij een stijve ligger het

omgekeerde het geval is.

Gebleken is dat bij de gekozen tuiconfiguraties de ligger ten naaste

bij als een verend ondersteunde ligger raet een uniforme veerstijfheid

berekend kan worden voor wat betreft de axiale tuikrachten (dus niet

de verticaal ontbondene). Volstaan kan worden met het berekenen van de

kracht in het uitbouwstadiura voor een raiddentui, zodat niet alle

bouwfasen doorgerekend behoeven te worden.

Uit de berekeningen blijkt verder dat steigerloze uitbouw met tuien

om de 10 ra nog wel raogelijk is, maar dat bij grotere tuiafstanden

speciale voorzieningen raceten worden getroffen. Bij een uitvoering

in lichtbeton kan deze afstand wel vergroot worden.

In het algeraeen kan gesteld worden dat gestreefd moet worden naar

een buigslappe ligger om de raoraenten tijdens de bouw klein te houden,

daar de rekstijve tuien beter een extra belasting op kunnen nemen

omdat ze normaal maar tot 40 a 50% van hun breukkracht belast worden.

12. TUIBRUGGEN, BIJLAGEN

Bijlage 3,1: Door kabels ondersteunde liggers

1. Algemeen

2. Vrij opgelegd met puntlast in het midden

3. Vrij opgelegd met gelijkmatig verdeelde belasting

4. Voorspanning van de tuikabel (in het midden)

5. Ligger met tui en puntlast op willekeurige plaatsen

6. De veerconstante van de schuine tuikabel

7. Vergelijking van de elastische ondersteunde

ligger met een door tuien ondersteunde ligger.

Bijlage 3.2: Berekening van de krachtsverdeling in tuibruggen

met behulp van de computer

1. Inleiding

2. Opbouw computersysteem

3. Computerkosten

4. Programma's

5. Werking van het rekengedeelte in een programma.

Bijlage 3.7.0: Methoden om de kracht in een tuikabel te meten;

nauwk eurigh e i d.

Bijlage 7.01

7.02

7.03


" " waaiertuien

" voor de kabels van een hangbrug

Bijlage 7.3: Afleiding van de formule voor de ideële ver

vormingsmodulus E. van een doorhangende, schuine

kabel, belast door een normaalkracht N en het

eigen gewicht g (Ernst)

Bijlage 7,3.3: Staaf, belast op buiging en normaalkracht (trek)

Bijlage 9.4.3.4: Benadering van de kniklast door eigen gewicht

Bijlage 9.4.3.6-1 : Tweede-orde effecten bij lineair-elastisch gedraj

Bijlage 9.4.3.6-II : De eerste- en tweede-orde vervorming van een

pyloon met waaiertuien.

Bijlage 3.1

B-3.1.1

Door kabels ondersteunde liggers

Het gedrag van door kabels ondersteunde liggers (fig.1.1) ) wijkt in zoverre

af van dat van liggers op vaste steunpunten, dat de vervorming van de

kabel invloed kan hebben op de krachtsverdeling in de ligger.

Een ligger op twee ondersteuningen; waarvan één of beide bestaan uit een

kabel (fig.1.2 ), is statisch bepaald. De vormverandering van de kabel(s)

heeft geen invloed op de krachtsverdeling.

De vormveranderingen van de kabel(s) heeft wel invloed op de krachtsverdeling

bij statisch onbepaald opgelegde constructies. De kabelondersteuningen

kunnen worden beschouwd als verende steunpunten van de ligger. De krachts-

verdeling in de ligger wordt dan ook bepaald door de veerstijfheid k van de

kabel en de buigstijfheid (EI) van de ligger, zoals in het hierna volgende

zal worden aangetoond.

De veerstijfheid van de kabel of tui is niet alleen afhankelijk van de

lengte 1 en van de rekstijfheid E A maar ook van de hoek 8 tussen kabel

en ligger (zie pt.5). Het is duidelijk, dat bij eenzelfde doorsnede de

verticale kabel (S = 90 ) de stijfste ondersteuning vormt en dat de veer

stijfheid bij afnemende hoek S (en toenemende kabellengte I) sterkt afneemt

(fig.6.2 en 6.4). E A t t 2

De rekstiifheid E A en de daarbij behorende veerstijfheid — — sin B (zie 6) horen t t 1^

bij een gewichtsloze kabel. Door de werking van het eigen gewicht wil de

kabel gaan doorhangen en dit heeft weer invloed op de reken veerstijfheid,

en wel des te meer, naarmate de lengte en het gewicht groter zijn, en de

helling en de spanning kleiner zijn. Dit verschil in gedrag met een gewichts

loze kabel wordt uitgedrukt met de effectieve rekmodulus E < E , zoals

afgeleid door Ernst (zie ook bijlage 7.3).

Voor het inzicht in de werking van een tuibrug is het van groot belang het

principe van de door een kabel ondersteunde ligger goed te begrijpen. Dit

zal hierna aan de hand van een aantal voorbeelden worden toegelicht.

Fis.1.1 Fig.1.2

r ^

kakel

i - ^

Ka.lci^l

Fig.1.3

^ET

\k?0 ?0-oC)

T--t

-c

<xr

B-3.1.2

2. Een ligger met lengte 1 en buigstijfheid EI wordt

in het midden elastisch ondersteund door een

tuikabel met lengte 1^ en rekstijfheid E A

TTV" Hoe groot worden de buigende momenten in de

—>f ligger en de normaalkracht m de tui tengevolge van een puntla.st P = 1 ter plaatse van de tui?

tui'

aPl^ De tui verlengt Al, = zri—

* ^ t t w voorstelt: k = —r ,

Stel dat het deel aP door de tui wordt gedragen,

dan draagt de ligger (l-a)P; de beide reacties

worden jP (1-a) en het majc, buigend moment Jpl (1-a)

aP — , als k de veerstijfheid van de tui ^t *

TN T • ^^ X ( P - a P ) l / , N^ 1 ( l - a ) P , , , ^ - - ^ -^ De ligger zakt ö^ = ^Q^ , = ( 1-a)P \^Q-^-J_ = —^ , als k^ de veerstijfheid

van de ligger voorstelt: k = —r— (voor P in ' t midden). 1

Uit de voorwaarde 6 = Al volgt: • .

Xt o

„^ o 1 - g

^t ^1 ak = k - a k

X O u

a(k^+k^) = k a = V^i

Uitersten (zie ook fig,2,1):

a = O k^ = 0

k^ = 0

k = c<3 1

\\ = ° E A = CO a = 1 t t

EI

EI

= O

= CO

a = 1

•a = O

1+n 1+-y

^1 " U8EI

6^ = O

met n = 1/u =

L = R = 2?

L = R = O PI.

^ t= 1 = FI^ = « = ° TJ U

6^ = 0 L = R = 0,5?

1 (fig-2.1)

M = 5PI

M = O

M = O

M = 0,25P1

^ = ^1

k = Uk (stijve tui)

k = ck (slappe tui)

a = 0,5 5^ = 0,5 fl^j 'L = R = .0,25P M=0,125P1

3 - O,

= 0,2 5, = O,

6^ = 0,2 ^ L = R = 0,TP M = 0,05P1

Pl_ U8EI L = R = 0,UP M = 0,20P1

Hierbij is ervan uitgegaan dat de gewichtsloze ligger recht is.

Wil men dat het verbindingspunt tui-ligger niet zakt, dan moet de tui

worden voorgespannen, d.w.z. verkort; zie blz.B-3.1.U.

^^T-

h^ XI

fi i

't

B-3.1.3

3.' Een ligger met lengte 1 en buigstijfheid EI

wordt in het midden elastisch ondersteund

- door een vertikale tuikabel met lengte 1 en

f

_ ^ u o c

1 ^ ^^t

ÏÏTTT]

t

4

ekstijfheid S A .

Hoe groot worden de buigende momenten in de

ligger en'de normaalkracht in de tui tengevolge

van een gelijkmatig verdeelde belasting g cp

de ligger (bijv. eigen gewicht)?

De totale belasting op de ligger is gl.

Stel dat hiervan het deel agl door de tui wordt

gedragen, dan draagt de ligger (l-a)gl, of

g(l-a) per lengte-eenheid.

De beide reacties worden jgl (1-a); het buigend moment in het midden:

M = l gl^ (1-a) - 1/8 gl^ = 1/8 gl^ (l-2a) m

De tui verlengt Al = a g l . 1 ^ ctsl

^ t = " t ^

5 °-l De l i g g e r zakt 6^ = ^gij- | ^ ''Si isËï = üfeï 8 s^-' sD = ^

Voorwaarde: Alj_ = 5 a g l _ g l ( 5 / 8 - a ) '

1

g l ( 5 / 8 - a : k, met k =

U8EI

ak = 5/8 k - ak a(k^+ k^) = 5/8 k^

U i t e r s t e n ( z i e ook f i g . 3 . 1 ) :

E, A^ = 0 a = O t u

a = 5/^

k. = O t

^ t ^ '^^

0-1

a= 5/8

U

E A = oo Xj X

\ " 38U E Ï "

^ 1 = ° = ^ l t

i f - T T = 5/8a ( f i g . 3 . 1 t 1

L = R = 5gl M = 1/8 g l

L = R = 3 / l 6 g l M^ = - ^ g l ^

k^= O

k, = co

^t = ^1

EI = O ; deze ligger kan geen belasting dragenI Niet reSelI

EI = co

k = Uk (stijve tui!

k = 5 k,(slappe tui!

k, = 8 k

a = O

a = 5/16

a = 0,5

a = 1/8

a = 5/9

6^ = O

^^t = T6 f: = ^1

Al, =0,5|i= 6

= -i^i6. Al t 8 k.

Al, = 5/9 f^ =

1

= 5.

L = R = 3gl M = 1/8 gl

^=^=isl M"=|^gl2

L = R = ^ g l M^ = O

L = R = T/l6gl M^ = 1^ gl^

L = R = 2/9gl M^ = Y^ gl^

?

Hierbij is ervan uitgegaan dat de .gewichtsloze ligger recht is. Het verbindings

punt tui-ligger zakt 5 = Al . Wil men dit niet, dan moet de tui worden voor

gespannen; zie blz. 3-3.l.U.

Fig.2.1. a, 6, en M als 1 m

functie van k /k = n,

voor P in bet midden.

T-EtAt' /EI k

¥ kt/ki=Tl

I •P

Fig.3.1,a, Al^(6) en M als t m

functie van n = '+./k-i vooi'

gelijkmatig verd. belasting g.

»-k,/ki=1

Et At-'

^ l l l l l l i r i l l l l t n T T T

u EI L

k t A l t A 1 n _L i.u -t

ft 0,8-1

0.5^ n ^-L

4

0,2 +

n J u -•]

F A l t ^

, ^

K \^^"^^^^^ \ ^^u \

\ ^

1

V/ >c ^ ^^^^

i

-^

/ E; M F — ^ —

i £

L F/kt

1 n

^ - 8 - 7 - 5 _ c

- ^

- 3 - 2

f"' *

\

Fig.4.1.F en Al als functie

van n = 4./' -, (voorspanning)

F M„ = -i Fl.

-^

EtAt EI

IF

I •A

B-3,1.7

5 . Een ligger met lengte 1 en buig

stijfheid EI wordt in C, op een

afstand.a van A elastisch ondersteund

door een tuikabel met lengte 1 en X

rekstijfheid E A . X o

De belasting P = 1 staat in D op een

afstand x links van B.

Gevraagd: de kracht in de tui en de

buigende momenten in de ligger als

functie van x, de liggerstijfheid

en de tuistijfheid.

Maak tui en ligger los van elkaar.

Onder invloed van P (x) zakt de

ligger ter plaatse van C:

3 - _ PI X a f l ; ^ , x^ /ax2j

Dl 3 ,2 2 2 Pl ax /l -X -a •,

l2 l2 ^ 6EI

%F = Pl3 U8EI •

c ; = ax:

1

c = ax

Pc ^ ( f i g . 5 . 1 , e

"A ""• M 2 2 2 ^ ' öax (1 -x -a ) i

1 ^ i

;.v.)

(fig. 5.5)

Stel dat in de tui een kracht txP ontstaat. aPl,

De tui verlengt Al = aP E.A,

t t

De ligger stijgt (t.g.v. aP in C): 5

Voorwaarde van samenhang:

6 _ = Al, + 6 CP t COC

aPr (f)^ (lra)2 ca

2 c aa

3EI

= 16 -

^1' ^

a^d-a)^!

1 1

aPl^ 2 U8EI ' aa

(fig-5-U)

= ap aoc

Pl-U8EI ax

aP aPl k^ U8EI

c k, = a (k, + c - k, ! ax t 1 aa t

aa ax

a =

i.

c k, ax t

c k, + k, aa t 1

ac

ax

/ 1 ^ ac< = a l — +

^t ^1

ax 2 KI C + :;— aa k

2 c + y aa

Het gedeelte aP, dat door de tui wordt opgenomen, is in de fig.5.6, 5.7 en

5.8 uitgezet voor drie verschillende waarden van a.

Fig.5.1.Zakking van de ligger in C (a = 0,5 1) bij variabele plaats X van de last P:

Pl3 6 = c 48EI ax

(invloedslijn voor 6 ) c

a=1/3 l kabel

1,0 0.9 0.8 0.7 0,6 0,5 O.L 0,3 0,2 0,1

X 1,0 0,9 0,8 t

0.410

0.5

—^ Fig.5.2.Zakking van de ligger in C (a = 1/3 1) bij variabele

_J plaats X van de last P: ' 3

"0,2

^ = PI c 48EI ' ax

(invloedslijn voor 6 )

Fig.5.3,Zakking van de ligger Tft_ in C (a = 0,2 1) bij variabele

plaats X van de last P: 3

PI c 48EI ax

(invloedslijn voor 6 ) •' c

B-3,1,9

1 2 ,, a2 c =16 — aa

a = 0,1 1

0,2 1

0,3 1

! 0,4 1

0,5 1

0,051

0 1

(l-a)

1^

2 c aa

2

= 0,1296

0,4096

0,7056

0,9216

1,0

0,036

0

a = 0,9 1

0,8 1

0,7 1

0,5 1

0,5 1

0,951

1

•>a/l 0,2 0, 0,6 0,8 1,0

Fig ,5 ,4 c^ en c a l s ° aa aa func t ie van a / l ,

a / l

^f(f-p)

B-3,1,10

arO.51 •

- ^

X

Fig,5,6.Gedeelte aP, dat door de tui (op a = 0,5 1) wordt opgenomen bij variabele verhouding n van ligger- en tuiveerstijfheid.

_ ''ax ^1

a / l

u u

li

u

V

2 c

aec = 0

= 0

= 0 ,

= 1

= 4

= co

+ V

5

25

a<K

0,25

1

c ax 0,8 c

ax = 0,5 c

ax 0,2 c

ax = O

, a = 0 .33 l

i

i

't

1

*

p

1

•f.

X I r '

Fig.5.7 Gedeelte aP van P (x) dat door de tuie (op a = 1/31) wordt opgemomen bij variabele verhouding van ligger- en tuiveerstijfheid.

ax 1 Ci -

a / l

u y

u u u u

2 c + u aa = 0,33

= 0

= 0,25

= 1

= 4

= co

= 0,21

' - \

c ax a o

"o,25

°'l «4

a

"0 ,21

=

~

-

-

—

-

-

0,79

1,265 c

0,96 c ax 0,56 c ax 0,21 c ax 0

c ax

B-3.1.11

^

a = 0,2l

Fig.5.8. Gedeelte aP van P dat door de tui (op a = 0,21) wordt opgenomen bij variabele verhouding

-*j ding y van ligger-' en tuiveer-—^ stijfheid.

ax 2

c + \i d.

a/l = 0,2

= O

aa 0,41

2,45 c ax

= 0,25 a = 1,52 c 0,25 ax

= 0,59 a

= 1

= 4

= CO

0,59 ax 0,71 c

ax 0,225 c

ax

co = O

B-3.1.12

6. De veerconstante van een schuine tuikabel r^V^

h= C.S'vfi

Verondersteld wordt dat van de verticale

last P ter plaatse van de tuikabel een

bedrag P (verticaal gezien) door de

schuine tui wordt opgenomen. aP ' Dit betekent een tuikracht N^ = . ,

t smS

en een tu ive r l eng ing

cscPl^ E A sinÉ •X Ph

E A sin '3

Der verticale zakking Av bedraagt;

Al, Av = t aPh

sing E A sin36 X X

=aP h E A sin^B

Als veerstijfheid van de schuine tui moet dus de waarde

= — sin B worden genomen. t •'

E^A ^ 1 t t . 3_ k, = —; sm B

t h

,.„3, Bij waaiertuien is h constant en is dus k evenredig met sin B (fig. 6.1 )

De veerstijfheid neemt bij kleiner wordende jï sterk af, vooral voor S < TT/U (U5 )

Voor tgS = 2/3 is hij nog maar 0,l65, voor tgB = 5 nog maar 0,090 van de

waarde voor de verticale tui (S = TT/2) ; fig. 6.2.

00 n

,-•„3. Fig,6,1 Waarde van sin B als

functie van B • •• •

Fig.6.2 Verloop van de tuiveerstijfheid

'. voor tg^ = 2/3 als functie van

de afstand tot de pyloon.

B-3.1.13

Bij harptuien is ü constant en is k. omgekeerd evenredig met h:

k, = ^ ^ s i n 3 3 = c ^ (fig.6.3). th , o h

h

Dit betekent een hyperbolisch verloop over de lengte van de ligger, van een V-I- /\ -H 'i

waarde c>o bij de pyloon aflopend tot —-— sin ji , met h^ = pyloonhoogte. o

Vergelijken we dit met de basisstijfheid van de vertikale tui met lengte E.A E^A^

= — i — — = 1; Vgl. waaiertuien), dan wordt c — resp. Ua h

h = U a ( ^ o h

o h = a \ h "" 0' 5.U = 0,66

" 2a 0,165.2 = 0,33

3a O,165.U/3 = 0,22

Ua 0,165.1 = 0,165

2/3a 0,165.6 =~1,0

Dit is grafisch weergegeven in fig.o

Daarin is tevens de veerstijfheid van de waaiertuien getekend, zodat beide

nu vergeleken kunnen worden. ,

h.

Om zeer grote stijfheid van harptuien nabij de pyloon te vermijden, dient

de afstand tenminste a = 5h te zijn (voor tgB = 2/3).

De waaier is dus duidelijk stijver in vrijwel het hele praktisch toepasbare

gebied.

t3 - 'h

C ^ O; i 6 Ö h^^a

Fig. 6.3 De veerstijfheid van de tuien als functie van de afstand tot de pyloon (harptuien).

Fig. 6.U De veerstijfheid van de tuien als functie van de afstand tot de pyloon (vergelijking harp-waaier) .

B-3.1.1U

Uit de figiuren blijkt ook duidelijk dat de ontlastende werking van tuien

afneemt naarmate de afstand tot de pyloon groter wordt; bij harptuien

sneller dan bij waaiertuien (tot L = 6a bij tg 3= 2/3).

Hiermee is ook het relatief grote buigend moment te verklaren, dat vlak

bij het landhoofd optreedt (in beide gevallen); fig.6.5.

y- be( jstcn<j t i i i i i i i i i : r , i i m i i i m i r M i i i i i i / i i i / i i /

Fig .6 .5

H

De veerstijfheid van de tuien kan natuurlijk ook worden beinvloed door

de tuidoorsnede A te variëren; een tweemaal zo grote doorsnede levert X

een tweemaal zo grote veerstijfheid op. Het materiaal wordt dan echter

maar tot de helft van zijn capaciteit benut.

Het bovenstaande geldt voor gewichtsloze,rechte tuien,

Door het eigen gewicht echter buigen de tuien door, en wel des te meer

naarmate het gewicht groter en de (voor)spanning geringer is. Hierdoor

wordt de stijfheid van de rechte kabel E^A^ gereduceerd tot S . -A ,

waarbij E een functie is van E , tuispanning, tuigewicht en tuilengte. SI I X

De uitdrukking hiervoor is afgeleid door Ernst in [ 06lJ .

Vergroting van de tuidoorsnede heeft tot gevolg dat de doorhanging toeneemt

omdat het eigen gewicht toeneemt en de tuispanning afneemt. Het verstijvend

effect is dus veel geringer dan uit de toeneming van de tuidoorsnede zou

volgen. In het volgende zal hierop nader worden ingegaan.

B-3.1 .15

7. Vergelijking van de elastisch ondersteunde ligger met een door tuien

ondersteunde ligger

De vergelijking van de elastisch ondersteunde ligger luidt:

4 4 — 4 "^4x7 = ? (belaste deel) of — ^ - 4A y = o (onbelaste deel) dx dx

4 k Hierin is 4x = — met k = bedding constante; EI = liggerstijfheid.

De maat ^/\ wordt de karakteristieke lengte 1 genoemd. De karakteristieke k

lengte is een maat voor de afstand, waarover de invloed van een belasting

zich uitstrekt. Bij constante beddingconstante k neemt hij toe bij toe

nemende liggerstijfheid EI; bij constante liggerstijfheid EI neemt hij

af bij toenemende beddingconstante k. PA • 3

De veerconstante van een tuikabel is k = — t h

Voor kabels op eindige afstand Aa lan de beddingconstante gelijk worden . , , , , . , , , . I I '^t EAsin-i geste ld aan het oiemiddelde van k over Aa: k = — = ;

t Aa Aa.h

Bij een zeer groot aantal tuien op afstand dx is de kabeldoorsnede dN qdx

dA = — = en gaat de formule voor k over in: a asina

3 3 2 _ E .dA. sin a_ Eqdx.sin g _ Eqsin g , -,

hdx h.a.sina.dx h g

Voor een tuibrug met liggerstijfheid E I en een beddingconstante van de

E .qsin' a „ E .qsin a „„ ^.2 E I . 1 t ,, .,4 t nq.sina . t Kabel —--= wordt 4X = -^^—•—=— = --4-^—r met n = 7:-.

h.Q El.n.a I.n.a E s c c s c s c

Hoewel bij tuibruggen de veerstijfheid van de tuien (c.q. de bedding

constante) varieert met a en h, geeft toch de grootte van de karakteristieke

lengte op een bepaalde plaats (a,h) een aanwijzing voor het meewerken

van de tuien in de buurt aan het opnemen van een geconcentreerde belasting

ter plaatse.

Een kleine variatie in één van de factoren heeft weinig invloed cp de

karakteristieke lengte 1 = 1/A, omdat het om een vierdemachtswortel gaat. k

Een afwijking van 20% in één van de factoren komt neer op een afwijking van ca. 5% van 1 ( Vl ,20 = ~1,05;\/o,8D ='-0,95).

4 2

A is evenredig met de liggerbelasting q en met sin a, omgekeerd evenredig

met de liggerstijfheid E I , de pyloonhoogte h en de toegelaten staal-

spanning o .

1) q = liggergewicht per m .

B-3.1 .16

Dit betekent dat 1 = y omgekeerd evenredig is met\/q en met \/ sina,

en recht evenredig met \ Y E I , met Yh en metWag.-

1 Voor een n maal zo grote waarde van q neemt 1 dus af in de verhouding -—;

voor een n maal zo grote liggerstijfheid, pyloonhoogte of toelaatbare

staalspanning neemt 1 toe in de verhouding \jr\ .Voor elke vergroting \4/-

(verkleining) met bijv. een factor 2 wordt 1 met een factor 1/2 vergroot.

of verkleind.

Dit is in fig. B-3.1.7.1 weergegeven voor basiswaarden 1, , (E I ) , h en q k o c c o o ^ ü

De be t rekk ing tussen I en a i s weergegeven i n f i g , B-3 .1 ,7 .2 a ls f u n c t i e k

van de tuihelling tga.

B-3,1 ,17

Voorbeeld: liggergewicht q = 400 kN/m; E = 2,10 kN/m ; a= 6,10 kN/m ;

h = 100 m; E = 3.10'' kN/m^; I = 25 m^; |tga = 2/3 ; sin^a = -^ = Q,30t C C j I 1 3

k = " f " "- 2.10^400.0,308^ 2464 __ ^^^ ^^/^3_ ha 1GG.S.10"

E I = 3.10^.25 = 75,10^ KNm^, c c

4A 411

E I 7 c c 75,10^

X^ = 13,7.10 ^ A-= 1,92.10 m''' 1, = = 52 m. k A

. 2 tga = 4/3 (steilere tui); sina = 4/5 sin a = 0,64

2,10 .400.0,64 5120 „„„ ,,,, 3 k = p — = —— = 833 kN/m

100.6.10 4A

833

75.10 7

A" = 27,8.10'^ A= 2,3.10' m'' 1, = 43,5 m k

tga : CO (vertikale tui]; sina = 1

^ ^ = 1333 kN/m^ ^ 1333

75.10

A= 2,58.10

sin a = 1

A = 44,4.10

1, = 38,3 m k

Met 4 X 20 grote liggerstijfheid (en tga = 2/3)

4 13 7 3,4,10 A =

1,92 -2 -1

4 ••" •' \ / r

Met 16 X zo grote liggerstijfheid :

Met 4 zo kleine liggerstijfheid :

Met 16 X zo kleine liggerstijfheid :

3 Met h = 50 m:

Met h = 25 m:

k = 822 kN/m"

A = 2,3,10'^m

k = 1644 kN/m" 3

Met h = 200 m: k = 205 kN/m

.10 =1,35.10 m

1, = 2.52 = 104 m

52

52

37 m

1, = 5- = 26 m. k 2

A = 2.13,7.10

1 = 43,8 m ^ 52 1, = rr= = 37 m k VT

1, = 74 m k

27,4.10

k 5 2 ^ = 61,8 m.

-3.2.1

iijlage 3.2;

Berekeningen van de krachtsverdeling in tuibruggen met behulp

van de computer

B-3.2.1 Inleiding

De berekening van de krachtsverdeling in tuibruggen met de hand is

een bijzonder tijdrovende, zo niet vrijwel ondoenlijke zaak. Het

menselijk vernuft onderkent en analyseert de grote problemen, maar

het menselijk kunnen is niet in staat de routinematige rekenkundige

uitwerking tot een goed einde te brengen.

Een ideale "symbiose" is derhalve het menselijk vernuft en "iets"

wat razendsnel routinematige rekenkundige bewerkingen kan uitvoeren.

Dit "iets" wordt gevonden in de vorm van de computer.

Wel moet worden bedacht, dat hier geen sprake is van echte symbiose.

Een computer doet n.l. eerst iets na een commando, derhalve is

een computer niets meer dan een werktuig, of een stuk gereedschap.

Om op een juiste wijze met een computer te werken is enig inzicht

in de opbouw en werking van dit werktuig noodzakelijk.

B-3.2.2 Opbouw computersysteem

Een computersysteem bestaat meestal uit de volgende componenten:

1. De centrale verwerkingseenheid (Central Processing Unit);

afkorting:CPU.

2. Het hoofdgeheugen (Main Memory)

3. De in- en uitvoerverwerkingseenheden (Input/Output Processors);

afkorting: I/O processors.

4. De in- en uitvoerapparaten (Input/Output Devices)

I/O orocessor Input/Output

Devices

B-3.2.2

De werking of werkzaamheden van de verschillende componenten komen

in het kort hierop neer:

1. De centrale verwerkingseenheid (CPU) is samengesteld uit:

a. Het besturingsorgaan (Control Unit), dat verantwoordelijk is

voor het ophalen, analyseren en uitvoeren van de in het

hoofdgeheugen opgeslagen instructies;

b. Het rekenen beslissingsorgaan (Arithmetic and Logical Unit;

afkorting: ALU), dat dient voor het uitvoeren van berekeningen

(zoals optellen) en het verrichten van andere bewerkingen

(zoals vergelijken).

c. De registers, welke dienen voor het tijdelijk opslaan van

resultaten van rekenkundige bewerkingen en voor het bijhouden

van bepaalde besturingsinformatie.

Een belangrijk register is de instructieteller (program counter)

waarin de volgorde van de instructies wordt bijgehouden en

welke instructie moet worden uitgevoerd.

2. Het hoofdgeheugen (Main memory) verzorgt de opslag van de

instructies, die door de CPU moeten worden uitgevoerd (Een reeks

instructies in een bepaalde volgorde wordt een programma genoemd).

In het hoofdgeheugen worden tevens de gegevens (data) opgeslagen,

waarop de CPU de geïnstrueerde bewerkingen moet uitvoeren.

De resultaten van de bewerkingen worden meestal eveneens in het

hoofdgeheugen opgeslagen.

3. De in- en uitvoerverwerkingseenheden (I/O) processors) dienen

voor het omzetten van instructies en gegevens van een hogere

programmeertaal naar machinetaal en van het tientallig stelsel

naar het binaire stelsel (het geheugen kent slechts een O of een 1).

De omgevormde instructies en gegevens worden daarna naar het

hoofdgeheugen getransporteerd.

De resultaten ondergaan een zelfde omzetting en worden daarna

naar de uitvoerapparaten getransporteerd.

De I/O processors verrichten deze werkzaamheden parallel met de

CPU.(De I/O processors worden door de CPU geïnstrueerd).

B-3.2.3

4. De in- en uitvoerapparaten (Input/Output Devices)

Met behulp van invoerapparaten kunnen instructies en gegevens

worden ingelezen. Het bekendste invoerapparaat is de kaartlezer

(card-reader).

Met behulp van uitvoerapparaten worden de resultaten zichtbaar

gemaakt. De meest bekende zijn:

de i'egeldrukker (line-printer) en de tekenmachine (plotter).

Apparaten, die zowel de invoer als de uitvoer verzorgen, zijn

magneetbandeenheden (Tape Units) en magneetschijfeenheden

(Disk Units). '

De invoer wordt van deze eenheden gelezen en de uitvoer wordt

hierop weer weggeschreven.

Om de uitvoer weer zichtbaar te maken is echter weer een

line printer of een plotter nodig.

Apparaten die vaak op grote afstand de in- en uitvoer verzorgen

zijn de zo geheten terminals. Zij zijn door telefoonlijnen met

de computer verbonden.

Terminals kunnen zijn: schrijfmachine-terminals, telex-terminals,

beeldbuis-terminals (Display-terminals), eindstations met

kaartlezer, regeldrukkers en beeldbuis (Remote Batch Terminals).

B-3.2.3 Computerkosten

Nu bekend is welke delen van een computer bij een bepaalde bewerking

worden geactiveerd, is het tevens interessant de kostenverhouding

• te kennen van de verschillende onderdelen, zodat de juiste maat

regelen kunnen worden genomen om de kosten zoveel mogelijk te beperken.

De declaratie van een computerserviceburo zal er in de meeste

gevallen (afgezien van basiskosten) als volgt uitzien:

1. De tijd, dat de centrale verwerkingseenheid met het probleem

bezig is geweest (CPU time);

2. De ruimte in het geheugen, die ten behoeve van de oplossing van

het probleem gebruikt is, uitgedrukt in b^tes (geheugen plaatsen);

3. Het aantal regels op de regeldrukker, uitgedrukt in lines.

De belangrijkste factor hierin is de CPU time-

De kostenfactor geheugenruimte ligt beduidend lager, terwijl de

kosten voor het aantal lines in verhouding te verwaarlozen is.

Computerkosten kunnen gereduceerd worden door:

1. De opdrachten die de Centrale Verwerkingseenheid moei; uitvoeren

zoveel mogelijk te beperken;

2. Het geheugen zo optimaal mogelijk te gebruiken;

3. Alleen essentiële informatie af te drukken. Op welke wijze bovenstaande maatregelen kunnen worden genomen zal later worden toegelicht.

B-3.2.4

B-3.2.4 Programm.a's

Indien een rekenkundige bewerking door een computer moet worden

verricht, moet er, zoals reeds eerder is gesteld, een reeks van

instructies (een programma), gevolgd door een aantal gegevens,

waarop de bewerking moet worden uitgevoerd, in de computer worden

ingevoerd.

Ter illustratie dient het volgende eenvoudige probleem.

Van een balk A-B, belast met een gelijkmatig verdeelde belasting q,

moet het moment op een willekeurige plaats x vanuit A worden berekend.

Achtereenvolgens moeten worden ingevoerd:

1. het programma, dat er als volgt uitziet:

lees: lengte AB, belasting q, afstand x

bereken: R = 0,5.q_.l 2

Mx = R.x - 0,5 qx

schrijf: Mx

2. De gegevens AB, q en x.

In een programmeertaal (bijv. Fortran) ziet het er dan als volgt uit:

xREAD (5,*) LAB, BELQ, AFSTX

REAC =0.5 * BELQ'* LAB

EMIX = REAC « AFSTX -0.5 * 3EIQ * AFSTX * * 2 .

WRITE (5,*) EMIX

STOP

END

$ ENTRY

Hierna kunnen gegevens worden ingelezen b.v.

20. 10. 5. (resp. AB, q en x).

Mx is dan: 375 (Eenheid afhankelijk van de invoerde eenheden).

Bovenstaand programma kan steeds opnieuw worden gebruikt voor

andere waarden van AB, q en x.

Indien een tuibrug met behulp van een computer wordt berekend,

is uit het voorgaande duidelijk, dat, alvorens de computer in

staat is iets te doen, er een programma moet zijn.

B-3.2.5

Er zijn nu twee mogelijkheden:

1. Zelf een programma maken, dat geheel is toegespitst op het probleem;

2. Gebruik maken van een reeds bestaand programma, dat door diverse

computerserviceburo's wordt aangeboden.

ad 1 Het zelfmaken van een programma is een nogal tijd- en kosten

vergende aangelegenheid en verdient slechts aanbeveling

wanneer er geen programma, dat voor het onderhavige probleem

kan worden gebruikt, beschikbaar is.

Wel kan het zelfmaken van een programma een zinvolle zaak zijn,

indien een bepaald probleem een dagelijks weerkerend iets is.

Ook kan het zinvol zijn, indien een bestaand programma op

een bepaald moment niet aan de gestelde eisen beantwoordt,

zelf een aangepast programma te maken.

Met voordeel kan dit echter in de regel aan het computer

serviceburo worden overgelaten, daar het in dit soort gevallen

vaak gaat om het toevoegen van voor- of naprogrammadeeltjes,

of om het toevoegen van een subroutine (een stukje aangeplakt

programma).

Het grote geheel kan dus in deze gevallen geheel worden over

genomen.

Als voorbeeld is te noemen de rekmodulus van een tuikabel.

De tui wordt in alle programma's ingevoerd als een staaf EA

met een rekstijfheid — .

De effectieve rekenmodulus (E _ _) is echter afhankelijk van de eff -

kabelspanning, het kabelgewicht en de kabellengte (zie 7.3).

De tuikrachten worden nu eerst bepaald met een zo goed

mogelijk geschatte E ^_^. ° •> ° eff

Op dat moment wordt een tussenstukje programma geactiveerd,

dat met de nu bekende kabelspanning, E bepaalt en

controleert, of de geschatte E binnen gestelde grenzen

ligt. Zo niet, dan wordt de berekening opnieuw gestart

met de nieuwe E __. De rekengang wordt zo vaak herhaald ert

tot de E _c waarmee de berekening is uitgevoerd, binnen e j-1

bepaalde grenzen gelijk is aan de E^ welke wordt bepaald

aan het einde van de rekengang.

Geschematiseerd zouden het oude en nieuwe programma er als

volgt kunnen uitzien:

B-3.2.6

Oud Nieuw

START

programma

START

programma

Inlezen

gegevens

Inlezen

gegevens

Bereken krachts

verdeling

Bereken krachts-

verdeling

Druk de staaf-

krachten af

Voldoet E ^^? eff

:^\

Wijzig E eff

( STOPj

ja ne

Druk de staaf-

krachten af

( STOP j

Opgemerkt wordt, dat de rekentijd (kosten) sterk afhankelijk

is van de grenzen die gesteld worden aan de afwijking die

de berekende E ^^ mag vertonen ten opzichte van de E ,. eff ^ ^ eff

die in de berekeningsgang is gebruikt.

2 Vooral indien slechts een enkele maal een tuibrug moet

worden berekend zal over het algemeen gebruik worden gemaakt

van bestaande programmatuur. Wat het kostenaspect betreft

dient eerst goed te worden nagegaan wat het doel van de

betreffende (deel)berekening is en welke resultaten we

willen verkrijgen om een juiste keuze te maken uit de aange

boden programmatuur.

Van de bestaande programma's is n.l. de volgende indeling

te maken:

1. General Purpose programs;

2. Special Purpose programs.

Beide programmatypen zijn weer te splitsen in twee- of drie-

dim.ens ionale programma ' s .

Met de "general purpose" programma's kunnen vrijwel alle

sterkteberekeningen worden uitgevoerd.

B-3.2,7

De overgrote meerderheid van de konstrukties is te schematiseren

tot vlakke staafkonstrukties en kan derhalve met een twee

dimensionaal programma worden berekend.

Voor de overige problemen zullen we een driedimensionaal

programma moeten gebruiken.

Voor een speciaal konstruktietype, dat veel voorkomt zijn vaak

aangepaste programma's gemaakt (Special purpose programs).

Het grote voordeel van deze programma's is, dat ze consument-

vriendelijker zijn dan de general purpose programs. Over het

algemeen zijn het general purpose programs met een speciaal

voor- en naprogramma, waardoor veel op de invoer kan worden

bespaard en eventuele voorberekeningen óók door de computer

worden uitgevoerd.

De vorm van de uitvoer wordt met het naprogramma aangepast

aan de, voor die speciale konstruktie, gebruikelijke vorm.

Geschematiseerd ziet een special purpose program er dan als

volgt uit:

voorprogramma

general purpose

naprogramma

In het vorenstaande werd gesuggereerd, dat er twee programma

vormen zijn, n.l. voor twee-resp. driedimensionale konstrukties

Over het algemeen zal de gebruiker dit echter niet merken

en voor beide konstruktievormen hetzelfde programma gebruiken.

Door gebruik van elementen (staven), die een bepaalde

verplaatsing kunnen ondergaan, zal de computer een keus maken,

of het twee- of driedimensionale deel van het programma

moet worden gebruikt. In schemavorm:

i inlezen elementen

twee- of driedimensionaal?

twee drie

Berekening Berekening

uitvoer

B-3.2,

B-3.2.5 Werking van het rekengedeelte in een programma

Daar vrijwel alle programma's voor het oplossen van de sterkte

berekening van een konstruktie gebruik maken van de zogenaamde

verplaatsingsmethode, wordt alleen deze methode hier behandeld.

Verder zullen slechts de essentiële punten van de verplaatsings

methode worden behandeld, zodat de gebruiker voldoende inzicht

krijgt in de keuze van programma- en elementtype.

Bij de verplaatsingsmethode wordt de konstruktie verdeeld in een

aantal konstruktiedelen van eenvoudige vorm, de zogenaamde elementen.

Deze elementen kunnen bestaan uit een staaf- (ééndimensionaal) of

een vlak element (tweedimensionaal) terwijl in veel programma's

deze elementen ook nog gekromd mogen zijn (Deze kromming moet dan

wel aan een bepaalde vergelijking voldoen).

De staven of de vlakke elementen staan in hun uiteinden door middel

van de knopen met elkaar in verbinding.

Voorbeeld staafkonstruktie:

777777-

IC

7V7-777

s t aa f knoop

Voorbeeld plaatkonstruktie

knoop

De knopen kunnen worden beschouwd als oneindig kleine en oneindig

stijve elementjes.

Bij iedere konstruktie krijgen we met 3 voorwaarden te maken:

1. De aansluitvoorwaarden (compatibiliteit) ter plaatse van de

knopen;

2. De spanning-rekrelaties (vervormingsgedrag van de elementen);

3. De evenwichtsvergelijkingen (onder de belastingen van de

elementen op de knoop, dat wil zeggen de inwendige krachten en

de uitwendige belasting, moet de knoop in evenwicht zijn).

B-3.2.9

Voor een staafelement komt dit op het volgende neer;

z

•X

mogelijke verplaatsingen:

n ^ 1 — ' " i IT- u.

mogelijke krachten door de knopen op de staaf uitgeoefend:

M. C M. j/M.

«j

'] De verplaatsingen vormen samen de verplaatsingsvector v

en de krachten de krachtenvector k . Het lineaire verband e e e

dat bestaat tussen v en k is de stijfheidsmetrix S . „e e _ e S V = k

Bij een prismatische staaf met doorsnede A, traagheidsmoment I,

elasticiteitsmodulus E en lengte 1 wordt dit geheel uitgeschreven:

EA 1

O

0

12EI

1^

5EI

0

6EI

l'

4EI

EA

12EI _ 5EI ,3 2

6EI 2EI

EA

1

0

0

0

12EI

1^

6EI ,2

EA 1 T- O

12EI

6EI

O

6EI

l'

2EI

1

5EI

4EI

^i

V . 1

* i

V.

1

*j

H. 1

V. 1

M. 1

H. 3

V.

M. 1

of korter in gepartitioneerde vorm geschreven:

S S - ii - .ij

11 ]]

e V. -1

V^ L~ _

k^l -1

1 e K .

-J J

B-3.2.10

Hieruit blijkt,dat de grootte van de stijfheidsmatrix afhankelijk

is van de verplaatsingsmogelijkheden aan de staafeinden.

Zijn er aan de staafeinden 3 vrijheidsgraden, dan is de element-

Stijfheidsmatrix (S ) een 5 x 6 matrix.

Zouden ook de verplaatsing in z-richting en de rotatie om de x-

en y-as vrij worden gelaten (driedimensionaal geval), dan zijn er

6 vrijheidsgraden per staafeinde en dus een 12 x 12 element

stij fheidsmatrix.

Een en ander zal de rekentijd sterk beïnvloeden.

In het algemeen geldt, dat de grootte van de elementstijfheids-

matrix wordt bepaald door het product van het aantal vrijheids

graden in een knoop en het aantal knopen waarmee het element in

de constructie is opgesloten.

Om van de stijfheidsmatrix van het elem.ent naar .de stijfheidsmatrix

van het systeem te gaan, moeten we het statisch evenwicht van de

knopen beschouwen.

Met andere woorden, de krachten, die door de elementen op de knopen

worden uitgeoefend moeten evenwicht maken met de uitwendige krachten

op die knopen (knoopevenwicht).

M, V ^^y^^

M 1,2,3

H 1,2,3

V 1,2,3

krachten op de elementen

rr>. Hsyst

Msyst

M syst

H syst

V syst

Uitwendige krachten

Daar de krachten, die de elementen op de knopen uitoefenen tegen

gesteld van teken zijn, kan voor het knoopevenivicht worden geschreven:

Ml + M2 + M3 = Msyst

VI + V2 H- V3 = Vsyst of Ek® = k

Hl + H2 + H3 = Hsvst

syst

,syst syst _ , syst

,syst waarbij S -^ de sommatie is van de afzonderlijke stijfheidsmatrices

van de elementen.

2

B-3.2.11

Voorbeeld

syst

syst

syst

syst

syst

| s ^ " + s ^ 1 s -11 1 1 ^ 12

^ ^ -

k s i ^ ^ s ^ +s^ ^22 ^^22 ^^22

6 ^32

0 0 ""^

: \

= 13 ,

< 3

^ 3

'^

0

s2 " ^

^24

2 4 0 ^

II 0 1

1

^ 1

d 0

-s^ 1

Opgemerkt wordt, dat de verplaatsingsvector nog een bev/erking moet

ondergaan in verband met de hoek waarmee de staven elkaar ontmoeten.

Met de bekende knoopbelastingen zijn nu de knoopverplaatsingen te

bepalen. Uit de knoopverplaatsingen van een element zijn via de

spanning-rekrelatie de krachten in de elementen te bepalen en dus de

krachten welke de elementen op de knopen uitoefenen.

Bij de opleggingen zijn echter de verplaatsingen bekend en de knoop-

krachten (reacties) onbekend. Dit wijzigt echter de berekening op

zich niet.

Uit de stijfheidsmatrix van het systeem kunnen enige belangrijke

conclusies worden getrokken:

1. De matrix heeft de afmeting van het product van het aantal knopen

en het totaal aantal vrijheidsgraden van de knopen;

2. Van linksboven naar rechtsonder kunnen we een lijn trekken.

De waarden op deze lijn stellen de hoofddiagonaal voor.

De overige waarden kunnen worden gespiegeld om deze hoofddiagonaal.

Immers S^^ = S^r ^^3 = S^^ enz.

3. Op een bepaalde afstand bultende hoofddiagonaal verschijnen nullen.

De afstand waarover reële waarden verschijnen is de bandbreedte.

De breedte van de band is 2 x (het grootste knoopnummerverschil van

een element in de konstruktie) + 1. In dit geval staaf (2), (3), (.5); het

verschil is 2, dus is de bandbreedte 2 x 2 + 1 = 5 .

B-3.2.12

Met bovenstaande punten houdt de computer rekening om geheugenruimte

te besparen. De gegevens worden nu als volgt opgeslagen.

K\-L P22^4^4

' 2 3 3 ^ 4 ^ 4 ^ 4 2 4

4s

4. 4^ 4.

0

4. 4. 4

Het aantal geheugenplaatsen wordt op deze wijze gereduceerd van

5 X 5 = 25 tot 12.

Om rekentijd en geheugenruimte te besparen kan het volgende worden gedaan;

A. Besparing rekentijd: Zo weinig mogelijk vergelijkingen (onbekende

verplaatsingen) d.v/.z. beperking van het aantal knopen en van het

aantal vrijheidsgraden per knoop;

B. Besparing geheugenruimte: Buiten datgene, wat onder A is genoemd nog:

door een goede knoopnummering het knoopnummerverschil aan een element

zo klein mogelijk maken.

ad A) 1. Beperking van het aantal knopen

Om een goed inzicht te krijgen in het krachtenverloop (M-D en N-1

in een staaf wordt vaak geadviseerd een staaf onder te verdelen

in verschillende elementen door middel van tussenknopen, aange

zien de krachten bij de knopen worden bepaald en deze waarden

dus worden uitgevoerd.

Indien echter op een bepaalde staaf geen belasting voorkomt, is

het verdelen in meer elementen onnodig, daar het krachtenverloop

in de staaf lineair is.

Bij eenvoudige belastingvormen, zoals een gelijkmatig verdeelde

belasting of een enkele puntlast, is het krachtenverloop eveneens

eenvoudig te bepalen.

Bij minder eenvoudige belastingvormen is het nuttig om de staaf

door middel van tussenknopen in meer elementen te verdelen en

de knopen op die plaatsen te leggen waar het krachtenverloop

knikken of sprongen vertoont, dus bijvoorbeeld ter plaatse van

puntlasten.

B-3.2.13

2. Beperking van het aantal vrijheidsgraden per knoop.

In principe heeft iedere knoop 6 vrijheidsgraden (een verplaatsing

in de x-, y- en z-richting en een rotatie om de x-, y- en z-as).

Of van deze vrijheidsgraden gebruik wordt gemaakt is sterk

afhankelijk van de konstruktie die moet worden berekend.

Nu zijn de meeste konstr\ikties ruimtelijke konstrukties en er

zullen dan dus 6 vrijheidsgraden per knoop nodig zijn.

Kan deze konstruktie echter tot een vlakke staafkonstruktie

worden geschematiseerd, die in zijn vlak wordt belast, dan zijn

slechts 3 vrijheidsgraden per knoop vereist (verplaatsing in

x- en y-richting en rotatie om de z-as). Het aantal vergelijkingen

in de systeemmatrix is nu tot de helft gereduceerd.

Evenzo geldt dit voor een vlakke staafkonstruktie, die loodrecht

op zijn vlak wordt belast (balkrooster).

De vrijheidsgraden zijn nu verplaatsingen in de y-richting en

rotatie om de x- en z-as.

Daar de krachten in de staven worden gevonden uit het verschil

in de verplaatsingen van de aansluitende knopen, is het

nodig de elementen met de juiste stijfheden in te voeren. In

het geval van een vlakke staafkonstruktie, in zijn vlak belast,

dus EA en EI en bij de vlakke staafkonstruktie, loodrecht

op zijn vlak belast, EI.; en EI .

Een beperking van het aantal vrijheidsgraden verkrijgt men dus

in de eerste plaats door een dusdanige schematisering van de

konstruktie, dat een aantal verplaatsingen nul blijven.

Daarnaast moet dan een element worden gekozen dat aansluit bij

de overgebleven vrijheidsgraden per knoop.

Een element met teveel eigenschappen geeft te veel vergelijkingen,

verplaatsingen en krachten die nul zijn, terwijl een element

met te weinig eigenschappen geen resultaten geeft.

B-3.2.14

ad B) Beperking van de geheugenruimte door goede knoopnummering.

Zoals reeds eerder is gesteld, is de benodigde geheugenruimte

afhankelijk van het grootste knoopnummerverschil in een element.

Een en ander zal hier worden verduidelijkt aan de hand van een

voorbeeld van een tuibrug.

A. Een "logische" knoopnummering (in de velden 5 tussenknopen)

3 77777-777

Grootste knoopnummerverschil 34-6 = 28 ; plaatsruimte in geheugen

(28+1) X 34 = 9 86 plaatsen.

B. Betere knoopnummering:

-JX- i , , , ::> .—, , , J 1 l « ". J ^S l' 3./ li- 'J -ii is ii if 3t -••

77777777777

Grootste knoopnummerverschil is nu 5; plaatsruimte in geheugen

(6+1) X 34 = 238 plaatsen. •

B-3.7.0.1

Bijlage 3.7.0

Methoden om de kracht in een tuikabel te meten; nauwkeurigheid

Als zodanig komen in aanmerking rA.2lJ:

1. Vijzel + manometer;

2. Drukdoos (tussen vijzel en kabel);

3. Trillingsmeting;

4. Meting doorhanging.

De beide eerste methoden zijn directe methoden, waarbij de kabelkracht

tijdens het spannen wordt gemeten en geregeld; de beide laatste methoden

zijn indirecte methoden, waarbij de kabelkracht aan de gespannen kabel

wordt gemeten. Alleen in combinatie met 1 en eventueel 2 kan de kracht

worden bijgesteld.

Alle meetmethoden vertonen onnauwkeur^^gheden door verschillende oorzaken.

Zowel bij manometer als drukdoos is er de ijkonnauwkeurigheid, die vooral

bij manometers tot enige procenten kan bedragen. In beide gevallen is

er ook de wrijving van de kabel in de verankering. Bij de meting volgens

1 is er verder de wrijving in de vijzel, die door de vloeistofdruk

(manometer) moet worden overwonnen en verder het moment van het loskomen

van de verankering, als het gaat om het meten van de kracht in een reeds

verankerde kabel.

Dit leidt bij 1 tot onnauwkeurigheden tot ± 2 a 3%; de afwijkingen van

een drukdoos blijven in de regel beperkt tot ± 1%.

Bij de trillingsmeting wordt de kabel in trilling gebracht en wordt de

tijd gemeten die nodig is voor een bepaald aantal trillingen. De nauw

keurigheid van de meting neemt toe met het aantal trillingen. Gedacht

moet.worden aan 50 tot 100 trillingen.

De kabelkracht N kan dan worden berekend uit de eerste eigen frequentie

f met behulp van de snaarvergelijking: 2 2

N, = 4 1 .f^ . y

Hierin is 1 de kabellengte en y = p A het gewicht van de kabel per lengte;

p is het volumegewicht van het kabelmateriaal en A de doorsnede ervan.

De snaarvergelijking geldt exact voor een ideale, buigslappe kanel (EI = 0),

die scharnierend bevestigd is.

Nu zal een tuikabel altijd een zekere buigstijfheid hebben (parallel

draadkabels meer dan geslagen kabels) en ook zullen de einden in de regel

niet zuiver scharnierend zijn bevestigd.

B-3.7.0.2

De buigstijfheid EI en de mate van inklemming van de kabel bij de

verankeringen kunnen in rekening worden gebracht met de formule: 2

2 Deze formule geldt alleen voor EI<^ NI .

Opmerking: De formule kan niet geheel juist zijn omdat de term achter 2

de 1 in (1-....) niet dimensieloos is; waarschijnlijk moet er r- staan.

^1^

Het traagheidsmoment I van de kabel beweegt zich tussen dat van de som " 1 4 n 1 2

van de n afzonderlijke draden Z -rr— TT d = Z A . -—.ird en dat van de als 1 o4 n 1 s 16

n 1 u n 1 2 een geheel werkende doorsnede, waarbij de waarde E TTT f d = E A .-r^'T^d

" 5 j 1 54 2 s 15 n 2

wordt vergroot met Z A a , waarin a de afstand tot een as door het 1 ^

zwaartepunt van de kabel is. Bij de berekeningen is met beide uiterste n 2

waarden van I rekening gehouden. De vergroting met Z A .a kan ten 1 ^

naaste bij optreden bij een op korte afstand stijf samengeperste kabel

of bij een sterk geroeste kabel.

Ondanks de grote spreiding in deze stijfheidsinvloeden is de invloed

op de trillingstijd en daarmee op de kabelkracht gering, zeker bij lange

kabels. De trillingsmeting is daarom, naast die met de drukdoos, de

nauwkeurigste meting van de kabelkracht, met een spreiding van ca. + 1,5%.

Uit de meting van de doorhanging f in het midden volgt de kabelkracht — - m *

N uit: N^ = 1/8 ql /f . t t m ^

waarin q het gewicht van de kabel per lengte voorstelt; q = pgA, met

g = versnelling van de zwaartekracht, p= soortelijke massa van het

kabelmateriaal en A de kabeldoorsnede.

De doorhanging wordt meestal verkregen als het verschil van twee grote

waarden: de theoretische hoogte van het midden van de rechte kabel,

verkregen door de bekende hoogten van de kabelaansluitingen in ligger

en pyloon door een rechte te verbinden, en de gemeten hoogte van het

midden van de doorhangende kabel (bijv. aangegeven met een verfstreep).

De onnauwkeurigheid van dit kleine verschil is veel groter dan de onnauw

keurigheden van de afzonderlijke, grote waarden. Dit korat vooral tot

uiting bij korte kabels. Bovendien hangt de doorhanging af van de tui-

temperatuur, die ook verre van nauwkeurig bekend is. Meting van de

doorhanging is derhalve een onnauwkeurige methode ter bepaling van de

kabelkracht.

1) Zie Der Stahlbau 1973, p.97 e.v., 138 e.v. en 151 e.v. (Rheinbrücke

Mannheira-Ludwigshafen).

B-3.7.0.3

De afleesonnauwkeurigheden van de aflezer van de instrumenten zijn

niet beschouwd.

Zij kunnen variëren van een onnauwkeurige schatting van de naald

stand tussen de eenheden van de schaalverdeling (bijv. 547,2 i.p.v.

547,3) tot echt foutieve aflezingen (verkeerde schaalstreep in een

heden of zelfs tientallen; bijv. 547 i.p.v. 548; of 547 i.p.v. 557).

Het afleiden van de tuikracht uit de uitrekking van_de_kabel aan de

spanzijde(n) is verre van nauwkeurig, zeker als dit gebeurt bij een

vrij doorhangende kabel. Maar zelfs als de kabel spanningsloos en (zo

goed als) recht is opgelegd en daarna wordt gespannen, is de methode

onnauwkeurig, omdat de aansluitpunten in pyloon en ligger bij het

spannen naar elkaar toe bewegen. Dit kan weliswaar worden berekend,

maar de uitwerking kost veel tijd, tenzij alles geprogrammeerd wordt

(ook de andere tuikrachten veranderenI). Het kan ook worden gemeten,

maar dan als het resultaat van het verschil van twee grote getallen,

dus onnauwkeurig. Een verschil van 10 mm in lengte maakt op een 100 m

lange kabel al gauw 3% in kracht uit.

Bijlage 7.0.1 B-7.0.1


Veronderstel een oneindig aantal evenwijdige tuien, die elk een lengte dx

van de ligger dragen, met een eigen gewicht g en een verkeersbelasting p

per lengte; de totale belasting q = g- p. De hoek a is constant.

Belasting van liggerelement dx: dQ = q.dx

-r . ( ,_ _,., dC qdx Tuikracht: dN. = —r=- = ^=^-7—

t sina sina o o

Tuidoorsnede: dA = —_— = -; o osina

o Tuilengte: 1 X cosa

Volume van één tui: dV = dA, .1 t t x

qxdx

asina cosa o o

'-1 qxdx _ zq 11 2• Volume van alle tuien: V, = 2 / = 2 x t 7 - . - . ' 'o

o asina cosa asina cosa 0 0 G O

4asina cosa G o

2„ _, 2.. sina^ qL Y oL Y ainu^ ^ Gewicht van alle tuien: G, = V. .Y = - - - ' --

t t ." . .- CGsa . 2 4Csina cosa 4a o sin a

0 0 o

2 2 = 3 k _ I t g a [1+tg^a ) = ^ ^ ^ ( t g a + c t g a )

4a ^ 0 ^ o 4a ^ = 0 * ^ 0

Met tga = h/sL = 2h/L = a wordt d i t :

G, = a k ! l [a- ^ ] = a i i . rnet c , = k ia^^ - 0,5a - - ^ . t ^- a 25 h h a 2a

De uitdrukking —: heeft een minimum voor a = 45 , sina cosa o

G o 2 2

GL Y qL Y Het minimum gewicht is G . = -^— = 0,5. -^^—

tmin 2a ^

1 2h De factor c, = |(a+ —)is voorgesteld in fig.B-701^lB functie van a = —

n a L

Andere afleiding:

Totale liggerbelasting Q = qL

qL Totale tuikracht N, t sina

,0 Totale tuidoorsnede A =

t asina^, -L 5L

Gemiddelde tuilengte L = —^— [max. - — ; min.o) gem CGsaQ cosag

QL^ Totale tuivolome V, = A, . L = r-

t t gem 4asina(-,cosaQ

•- 8-7.0.2

Bijlage 7.0.2

Staalhoeveelheid bij waaiertuien

Veronderstel een oneindig aantal tuien, die elk een lengte dx van de

ligger dragen, met een eigen gewicht g en een verkeersbelasting p per

lengte; de totale belasting q = g- p. De hoek a is een functie van x.

Belasting van liggerelement dx : dO = q.dx

dQ _ qdx na )

dN+

Tuikracht: dN, = t sina sina

x X

T -^ H ^A t qdx Tuidoorsnede: dA. = = —^

t - - . a a sina

Tuilengte: 1 = X cosa

qdx Volume van één tui: dV^ = dA^.1

t t X asina cosa X X

Volume van a l l e t u ien : V = 2 /

sL qxdx

asina cosa x x

1 ^"^"°' 1 2 1 Nu i s : —; = . =— = tga [1 + c tg a ) = tga +

sina cosa cosa . 2 x x x tga X X x s in a '^ >

Omdat tga = —, wordt d i t : —•<-—. Hiermee wordt : X X x h

-L -L V^ = 1 ^ / ' xdx ( - + r^ = — / thdx + x^dx/h) t a / X h - y

qLh qL" qL^ ,2h L , qL" , 1 , qL^ = -^ + -^ = ^ f-r- "" "St: = la + - - ) = ^ ^ .Cn

a 12ah 2 a 2 o 2 a

1 met a = 2h/L = tga en c„ = a - ^r— .

o f 3a qL Y Gewicht van a l l e t u i e n : G = V .Y = .c .

^ ^ 2 a " ' '

De u i t d rukk ing c , = (a • -r—] heeft een minimum voor a = 1/3 1/3 = 0,578

Het minimum i s g e l i j k aan c„ . = 1/3 1/3 + 77^ = 2 /3V3 voor a = 30^ f min ' ' 1 / 3 ' o

1

2 2 Hiermee wordt G . = - - .2/3 l/T = 0,578 ^ ^ -

tmin „- ' 2a a

De factor c = a - :r— is voorgesteld in f ig.B-701 als functie van a = —— = tga T J 3 L O

B-7,0.3 Bijlage 7.0.3

Staalhoeveelheid voor de kabels van een hangbrug

Hierbij wordt onderscheid gemaakt tussen de hangkabels en de (hoofdjdraag-

kabels.

a. De hangkabels

Veronderstel een oneindig aantal evenwijdige, vertikale hangkabels, die

elk een lengte dx van het brugdek (incl. verstijvingsligger) dragen,

met een eigen gewicht g en een verkeersbelasting p; de totale belasting

is q = g-t-p.

4h 2 Vergelijking van de hoofddraagkabel: y = -^ ^

L 2

. ^L

1 '

0

1 3

qLh -a

Kabelkracht dN = qdx ,x ^ 1 -, • j„ dN q d x Kabeldoorsnede dA, = —=— = - -^

h a a

w u m - T 4h 2 Kabellengte 1 = —-— x

X |_Z -iqh 2

Volume van één kabel dV,_ = dA.l = — T : , — x dx h X , 2-

L a

Totaal kabelvolume (één helft) V. = 2 f ^^ x^dx = ^^P- |l/3 x I n J ,2- I 2 -

o L a L p

Totaal kabelgewicht [één helft] G, = V^.Y = ^ ^ ^ h 3 -

2 2 x 4 - - , i u T - . i - f i u - n 2 qLhY qL Y 2 h qL Y Totaal kabelgewicnt [nele brugj : G,_ = — = — r- = . c ,_

h 3 - - o L - s h a a a

1 • ^ -K 1 2h 1

Naar analogie van tuibruggen: c , = —. -— = — a.

^ ^^ sh 3 L d

Indien verondersteld wordt dat het hangergewicht van de zijoverspanningen

evenredig is met de overspanningslengte L [L < jL) - wat ten naaste bij

het geval is -, dan wordt het totale gewicht van de hangkabels:

2 2 X _ qL Y L + 2L^ _ qL Y * h " - 2L ^sh ^ - "• " sh'

a o * L • 2L^

waarbij c , = -- '- .c , sh 2L sh

b. De draagkabels

Vergelijking van de draagkabel: y = —^ x a = -— L

2 Horizontale component H van de kabelkracht: H = -1— = constant,

o n

Kabelkracht N^ = - ^ = Hseca = H \/l - tg^a = H \/l + [^)^ d cosa V V L

2

^ V ^ ' -

B-7,0.4

2 Kabeldoorsnede A = — = Si_ \/i - 4a^

d a öho

Kabellengte tussen_de_gylonen: 1 = LCsl/l - 4a • — In [2a - \/l + 4a ]}

= L,c P

q 2

Volume d r a a g k a b e l (s) : V_, = A ^ , l ^ = 3 ^ . c \ / 1 - 4a^ = ^ 4 - ^ c \|^ + 4a^ d d d 8 ha p v a 8 h p \ /

= 34! c , J - l / r r ; ? ^ qLi_ ^ \r^ __ qL 5 p ' 4a V • •" a • 4 V ' • a2 a " ^sd I 2

K a b e l g e w i c h t : G^ = V ^ . Y = S i ^ - ^ . ^ ^ d d ö s d ,

1 1 / ï" met C , = - - p C / 4 + - ; r -

sd 4 p y a2

Met ove rspann ingen L -^L-^ L =

. L ^ 2L-1 qL^Y ^ ^ 2L-, ^2 ^ b - • b , = zr-.C . ; = —^ .C , ,

d L a a sd L g sd » L + 2L']

met c _, = — ; c , , sd L sd

c. Totale kabelgewicht [hangkabels -i- draagkabels]

G = G;; . G;; = a i ( , ; ; . ^ =B^.C , st h d g 3h sd ^ 3

, * * L • 2Li , o 1 met c = c , • ^ c ^ = —r^ •- [c ^ -1- 2c ,]

3 sh sd 2L sh sd

1 2 h 1 \ /. 1 met c = - a = - - en c = - c \ / 4 - f - —

sh 3 3 L sd 4 p y ^2

d. Afleiding van de kabellengte 1 , van een parabolisch gebogen kabel

1/ I, 1 -1 • -u- 4h 2 Kabelvergelijking: y = —^ x L 2

^ i;_, 2 ^ 2 . \L ray.2 dy 8h ds = / d x • dy = dx \n - [-/-] t r " = -=r x

" V dx dx L 2

2 ^ , , , , 8h ,2 2 L I A , 8 h , 2 2 ^ ,8h , L \ / , - , -d x l / 1 . [.-2] X = _ ^ 1 . [ ^ ] X . d [ ^ X] = - \ / l . X dx

8h - ,, - 4h ^ x . : -

Nu i s bekend d a t :

met X = -zrr X, x = o - > - x = o x = 5 L - > - x = •;— = 2a L 2 L

/ U i -f x^ dx = l x l ' V + > < + U n (x *\J^ + x ^ ]

èL ,2 Ana loog : ,, ^ . 2a

1 ^ = 2 / ds = - ^ | x \ / 1 -H x^ + I n (x -^\/ 1 -H X d l 8h

o

= - ^ { 2 a l / l + 4a^ ^ I n [2a + \ / l T 4 a ^ ] }

= L (è \ / l * 4a^ + ^ In (2a -^^ 1 - 4a^ ) } = c , L

3-7.05

a = tgao = 2h/L

O 0.1 0.2 0.3 OZ, 05 05

'Fig.B-701. De factoren c^ en c als funct ie van a = tg ao= h / l / 2 L.

B-7.05

Cf

0.9(C,,+ 2C,J = C,

(L,=O.^L)

Fig. B-702 De factoren C^, C, en C als functie van de verhouding a h/L.

B-7.3.1 Bijlage 7.3:

Afleiding van de formule voor de ideële vervormingsmodulus E-;

van een doorhangende, schuine kabel, belast door een normaal-

kracht N en het eigen gewicht g (vrij naar Ernst ToOlJ ].

Symbolen [zie ook fig. 73,I-a):

g = kabelgewicht per lengte FkN/m/ï T 2^

A = kabeldoorsnedelm J;

N = kabelkracht TkNJ in het verlengde van de koorde;

H = horizontaal ontbondene van N;

1 = lengte van de koorde van de doorhangende kabelfml;

L = lengte van de doorhangende kabel rml;

V = L-1 = verschil in lengte tussen kabel en koorde fml; o L j

f = pijl van de doorhangende kabel (in het midden, loodrecht

koorde Imj;

a = hoek van de kabelkoorde met het horizontale vlak;

a = 1 cos a= geprojecteerde kabellengte op het horizontale vlak Tm]

E = vervormingsmodulus van de rechte [gewichtsloze] kabelikN/m^; e ^ L j

E = fictieve vervormingsmodulus van de kabel tengevolge van

alleen de doorhanging [kN/m J;

E. = ideële vervormingsmodulus van de doorhangende kabel, belast

door eigen gewicht g en normaalkracht N TkN/m J.

Veronderstelling: het vrije kabeluiteinde kan alleen verplaatsen

in de richting van de koorde [fig.73-1a].

De verplaatsing Al van het vrij beweegbare uiteinde van een

buigslappe, schuine, doorhangende kabel, die aan het andere

einde wordt vastgehouden en waarbij de aanwezige trekkracht N

met een bedrag AN wordt vergroot, kan opgebouwd worden gedacht

uit twee componenten:

1. de elastische uitrekking Al van de rechte, gewichtsloze

kabel met [eindige] rekstijfheid E .A_:

Al = f, (AN, 1, E , A ] = § ^ ; fig. 73.1-b; e 1 e s t . A

e s

2. de elastische verplaatsing Al door het zich strekken van de

doorhangende, buigslappe kabel met rekstijfheid EA =co(onn

alleen het effect van de düorhanging in rekening te brengen):

Al_ = f_ (AN, 1, A , g, a). f 2 s

B-7.3.2

Deze verplaatsing kan als een fictieve uitrekking worden

opgevat en gelijk worden gesteld aan:

Al, = ^ (fig. 73.1-c],

waarbij E .A een ficiteve kabelstijfheid tegen verandering

van de doorhanging voorstelt. In tegenstelling met E is E_p

geen constante,

Door de verplaatsingen Al en Al te delen door de lengte 1,

vinden we rekken,

De eerste. Al /l, is de toeneming van de normale, lineair-

elastische rek £ , die evenredig is met AN: Al /I ^^ ^ A a , ^ Aa Al /l = - —7- = —p— = Ae -• E = , e E A E e 9 AE

e s e e

De tweede. Al /l, komt overeen met een toeneming Ae„ van de T t

fictieve rek £„ van de kabel (deze rekt immers zelf niet;

hij strekt zich alleen): ,1 /i A AN Aa r: Aa

Al„/1 = Ae, = - . = •= »• E, = f f E,A E, f Ae-f s f f

Hier is E de fictieve vervormingsmodulus van de doorhangende,

oneindig rekstijve kabel bij een bepaalde spanning a, c,q,

normaalkracht N,

Onder invloed van een toeneming van de spanning met Aa onder

gaat de kabel dus een ideële rek Ae. =Ae ' Ae,. 1 e f

De ideële vervormingsmodulus kan nu worden voorgesteld door P _ Ag _ Aa i Ae. Ae + Ae_ 1 e f

1 ^ê ^^f 1 1 ê " ^f ô^^^ E. Aa Aa E E^ E E i E - E 1 e f a f e f

Zoals hierna zal worden aangetoond is het verschil tussen de

lengte L van de doorgebogen kabel, belast door een normaal-

kracht N, en de lengte 1 van de koorde gelijk aan

V = L-1 = _j!il£££«= c.N-2, (2) • 24 N

dus V is een functie van N.

(negatieve -rr- betekent, dat v afneemt als N toeneemt; dit klopt] dN . '

B-7.3.3

Met N = A ,a;

dg

de,

dN/A s_

dv/1

dN = A .da s

- dN dv • F

Av = 1.Ae [ = Al ]; dv l.de f

12 H" 12 N [met a=l cosa) 2,2 2 „

g 1 cos a.A 2 2„ g a A

Met g/A = Y= [gemiddeld] specifiek volumegewicht van de kabel ^ 12a3

en a= N/A : E^ = „ (3) s t , , z

(Ya]'

Uit (1) en [3] volgt nu de ideële vervormingsmodulus

(4)

Deze is voor E 3 2 3 2

170.10 N/mm = 170.10 MN/m (voorgerekte geslagen kabel] uitgezet in fig.73,4 als functie van de geprojec

teerde kabellengte a, voor een aantal waarden van de kabel-3

spanning a en voor Y= g/A = 34 kN/m (een voor geslagen kabels

gebruikelijke waarae, inclusief vulling van de holten met

menie, o.d.].

3 7 In fig.73.5 is hetzelfde gedaan voor E = E = 205.10 N/mm

e - m [paralleldraadkabels], voor Y = 78,5 kN/m [onbeschermde kabel);

3 in fig.73.B is voor y = ^S7 kN/m [kabel, waarvan het gewicht

van de bescherming even groot is als het kabelgewicht].

Als het gewicht g [van kabel + bescherming] groter is dan dat

van de staaldoorsnede alleen, moet in y = z/f^ de waarde A

worden betrokken op de netto werkzame staaldoorsnede [vergelijk

ook 7.5 en 7.6).

Soms is het nuttig met één waarde van E. te kunnen werken voor 1

een zeker spanningsgebied, bijv.a <a<a_. Voor relatief kleine

spanningsverschillen, zoals ze meestal in de tuien van betonnen

tuibruggen voorkomen, kan men dan het gemiddelde nemen van de

waarde van E. tussen a. en o , voor een bepaalde waarde van a.

Voor grote spanningsverschillen [o /a groter dan ca. 1,25]

leidt rechtlijnige interpolatie tot te grote afwijkingen en

is het beter gebruik te maken van de eveneens door Ernst in

r T ^e IQB1J ontwikkelde formule: E. = ;; ;;— [5]

1-fE

^ 12a^ 16u^ m

Hierin is a = h (a^ +a_) sn p= — m I z a.

B-7.3.4

Hierna volgt de berekening van het lengteverschil v tussen

kabel en koorde voor een constante kabelkracht N: v = L-1

[fig. 73.I-a).

De vorm van de kabel onder eigen gewichtsbelasting is een

kettinglijn.

Bij een verhouding f/l 40,1 is de fout die men maakt door

hiervoor een tweedegraads parabool aan te nemen, te verwaar-

lazen klein [ 06l] .

4f Parabool: y = —=— [l-x)x

1

1 1 I—= 5 1 / 2 1 H - ' Kabellengte L = ƒ ds = f |/dx - dy = / dx'wM + (^] = ƒ dx{1 + [^)''}'

•'o -'o o o

Formule voor L ontwikkelen in een binomiaalreeks levert:

L = Al.| (^]' -1 (^]^ }dx = U f\ï [^]'-^ [^]^ } d 7 dx 8 dx y dx 8 dx o o

= 1 -t- V .

1 ^ 2 4 Lengteverschil v = L-1 = / ( (• ] - [^] + } dx

° / dx 8 dx o

Met 4^ = ^ (1-2X] wordt [^] ^ ^ [1^- 41x ^ 4x2]. dx ..2 dx 2

Voor kleine -r- mogen de hogere machten van -r- ten opzichte dx ° dx

I - ^

van [—=] worden verwaarloosd, zodat dx

1 2 1 2 3 2 , f^ .dy,2 ^ 8f /• ,.,2 ., ^ 2. 8f^ 1" 8 f ,,, o 1 o 1

Hierin is f nog onbekend. Deze volgt uit de voorwaarde dat voor

elk punt van de buigslap veronderstelde kabel het buigend

moment M = 0; dus ook voor x = ïl: ^ . 2

M , = -N.f + g cosa.l^ = 0 — f = ^ "r*^ ^7] X = 5 1 o OlM

Subsitutie van [7] in [6] levert: 2 2 4 2 2 3 „

8 g cos g. 1 _ g cos a.l _ ^ .,-2 , . V = :;• • —2 - 2 - C.N [8J

64 N I 24 N

1 2 2 ^3 met c = g cos a.l .

B'7.3.5

Dit is het lengteverschil tussen een kabel (met rekstijfheid

EA =6Q] en de bijbehorende koorde bij een constante kabel

kracht N. Het is O voor N =co[vlakke kabel]. Bij toeneming

van N metAN zal de doorhanging f afnemen met Af, terwijl v

zal toenemen met Av.

Bij overgang naar lopende N en v en differentialen:

V = C.N"2 ^ = -2c.N'^ dN

Negatieve —• betekent dat v afneemt als N toeneemt. Dit klopt.

B-7,3,3.1

H^N

Bijlage 7.3.3 Staaf, belast op buiging en normaal-kracht (trek) [simulatie van de niet oneindig buigslappe kabel].

M = l/agL^ = N.f - EIK = N.f f- ^ ^ 1,2

N.f 48 Elf

5 L2 f [N.il^]

5 L2

N = O ^ f = 384 EI

|\| =co . M = O [f = K= 0]

5gL^

EI = O ^ f = 8N

40NL -f 384EI H N « 0

EI =co ^ |\j = o [f

2

V = kb

(M, = 0] u

= K = 0]

o in 7

Voorbeeld: horizontale trekstang; L = 10G m; A = 2x8 = 16 cm ; E = 2.10 kg/cm ;

I = 1/12.2.8"^ = 85,3 cm^j W = 1/6.2,8^.= 21,3 cm ; g = 0.2.0,8,10,7,85 = 12,5 kg/m

M = 1/8.12,5.100^ = 15625 kgm = f (N + ''' '^^'^ = f (N + 16,36] g . ^ 100002

12,5.12,5.100 = 15625 kg. Met N = "1^ = 12,5 gL (voor f = ] : N

15625 = f [15625 + 16,4] = f.15641,4 ^ f = Y||||-4 = 0,99895 m « ^ L •

M, = f. ^ = 99,895.9,6. l^^^^l^l = 1636 kgcm. a, - ^ ^ = 76,8 kg/cm^ 5 L2

15625 10'

M 21,3

= 976,6 kg/cm "N " 16

Voor 2 X zo grote N: N = 31250 kg 15625 = (31250 - 16,4] f

f = 0,49974 m M^ = 49,974.9,6. — '^ ' = 818,45 kgcm; a^ b -jQÜ II

31250 ,^_„ ^ ^ , 2 % - ^ 6 - = '""'2 ^g/""^ •

818 21,3

=38,4 kg/cm'

Voor 2 x zo kleine N: N = 7812,5 kf 15625 = (7812,5 -f 16,4] f

f = 1,9959 m. («c^L] M = 199,59 . 8,6 .170^S . 1o'^ = 3268,§ kgcm.

^M= ^ P ^ = 153,47 kg/cm , N 7812,5 16

488,3 kg/cm

Voor 4 X zo grote N: N = 625G0 kg

2 f = 0,2499 m a = 3906 kg/cm M

15525 = [62500 + 16,4].f

0,24.99.1638,35 = 409,5 kgcm

409,5 21,33

19,2 kg/cm'

Voor 4 zo kleine N: N = 3906 kg. 15625 = (3906 + 16,4] f

^ ^ = 244 kg/cm^ M^ = 398,33.16,38 = 6526 kgcm, 16 b f = 3,9633 m a^

6526 one- I / _2

M = 2T33 = '°' ' /" • a , a en f zijn in fig, B-7.33,1 als functie van N aangegeven,

':ii

B-7,3.3.2

9 c y

Voorbeeld: hor. trekstang; L = 10 m ; A = 2x8 = 16 cm E = 2,10 kg/cm

I = 85,3 cm" W = 21,3 cm^ g = 12,5 kg/m M = 1/8,12,5.10^ = 156,25 kgm

Met N = -1^ = 12,5 gL [f/L = 1/100] : N = 12,5.12,5.10 = 1562,5 kg. 8 f

a

3f 1562,5 r.-. n , , 2 97,7 kg/cm 15625 = f [1562,5 • 1638] = 3200,5 f

N 16

6 [•^-^ = 9,6. •''° '^^'^ = 1638 f = 0,0488 = 4,88 cm ^ l_2 10002

M, = 4,88.1638 = 7979 kgcm, a„ = 1 ^ \ = 375,4 kg/cm

Met N de helft; N = 781,25 kg, a = 48,9 kg/cm

156,25 = f [781,25 ^ 1638] = f,2419,25 f = 0,0646 m

M = 6,46.1638 = 10579 kgcm. a = "^^1^ = 496,7 kg/cm^.

9 R 9

Voorbeeld: hor. trekstang; L = 100 m A = 20x80 = 1600 cm E = 2.10 kg/cm

I = 1/12.20.80'^ = 853333 cm^ W = 21333 cm^ g = 2.8.10.7,85 = 1250 kg/m

M = 1/8.1250.100^ = 1552500 kgm

Met N = 12,5 gL = 12,5.1250.100 = 1562500 kg (f/L al/100]; a = ^^gg^°° = 977 kg/cm^

5 4 •^ ^ = 9,6. 2.10 .85.3.10 ^ 163800 1562500 = f [1562500-^163800] = f.1.726,300 = L2 ^^3

f = 0,9051 m < 1/100 L. M^ = f. ^ = 90,51.163800 = 14.825.783 kgcm M b 5 L 2

^M = lïisï = ^ '2/"^^-

Met 2 x zo grote N [ 2 x zo kleine f]: N = 3125000 kg; a = ' ' = 1953 kg/cm^

1.562.500 = -= [3.125.000 ^ 163.800] = f.3.288.800. f = 0,4751 m (< kn M

M^ = 47-,51 .163800 = 7782094 kgcm a = 2TI33= 365 kg/cm^.

Met 2 x zo kleine N] [ 2 x zo grote f]: N = 781.250 kg a = 488 kg/cm

1.562.500 = f [781.250 •<- 163.800] = f.945,050 f = 1,6534 m [<1/50L]

"b 2 M = 165,34.163800 = 27081900 kgcm a = " = 1269,5 kg/cm

Met 4 X zo grote N: N = 6250.000 kg a„ = °2^^°°° = 3906 kg/cm^ N 1b

1.562.500 = f [6.250.000 - 163800] = f 6.413800 f = 0,2436 m 1<^^U .

"b 2 M^ = 24,36.163800 = 3990419 kgcm a = ^ = 187 kg/cm .

B-7.3,3.3

Met a X zo grote N: N = 12.500.000 kg a = 7812 kg/cm^

1.562.500 = f. 12.663.800 f = 0,1234 m. [sr1/800L)

"b 2 Mj = 12,34.163800 = 2.021.017 kgcm. a^ = 2^^^ = 94.7 kg/cm^

Met 2 X zo groot buigend moment (bijv. t.g.v. e.g. -•- omhullingj :

M = 3.125.000 kgm N = 3.125.000 kg a = 1953 kg/cm^

3.125.000 = f (3,125.000 + 163800) = f. 3.288.800 f = 0,9502 m.

^b 2 M = 95,02. 163800 = 15.564,186 kgcm a^ = • " = 730 kg/cm

N = 1 .562.500 kg a = 977 kg/cm^

3.125.000 = f (1.562.500 - 163800] = f.1.726.300 f = 1.8012 m M

M^ = 180.12 163800 = 29651567 kgcm a„ = .., ^ „ = 1390 kg/cm^ b M 2133J *=

N = 6.250.000 kg o = 3906 kg/cm^

3.125.000 = f (5.250.000 ^ 163800) f = 0,4872 m.

M| = f.163.800 = 7980838 kgcm a^ = ÏTsF " " " kg/cm^

Conclusie: Als het moment verdubbeld wordt, en N blijft gelijk, dan

blijft a gelijk, a wordt verdubbeld, evenals de doorbuiging f.

De waarden a , a en f zijn in fig.B-7.3.3.2 als functie van N aangegeven.

B-7,3.3.4

Verlenging van een staaf met een lengte L die parabolisch een bedrag f = aL

doorbuigt [onwrikbaar in de einden vastgehouden verondersteld),

Booglengte L u

4f :L. ~ ln{ 4f ^ L

r 4f 2 1 + (-^]^

f/L = 0,01

L = 100 m

f/L = 0,02

f/L = 0,04

f/L = 0,08

f/L = 0,01

f/L =0,02

^^ = L.M/1 + 0,04 + i.25 In {0,04+\/1 + 0,G4^ L [0,50039984

0,43986675) = 1.0002666L

AL = L^ - L + Q,0002666L = 26,66 mm = 5a

a = 5,33 kg/mm^ = 533 kg/cm^

AL = 0,0010656.L = 106,56 mm = 5a ^a= 21,3 kg/mm'

= 2130 kg/cm^

AL = 0,0Q425043L Voor L = 100 m: AL = 425,043 mm

Al = 5a 425 2 7 c= —E- = S^ kg/mm = 8500 kg/cm

AL = 0,01681L = 1,681 m = 1681 mm = 5a -v a = 336 kg/mm'

AL = 0,0260606.10 = 2,606 m

AL = 9823 mm = 9,823 m.

2606 ü= - _ — = 521

33600kg/cm

2

2.

kg/mm"

= 52100 kg/cm :

De spanningen bij f/L = 0,08 en groter zijn veel te groot, zelfs voor

hoogwaardig staaL De grens ligt bij f/L =~0,05 voor hoogwaardig staal

("sïlO.OOO kg/cm^) .

Een kabel, c.q. staaf, die aan de einden wordt vastgehouden, kan dus

nooit meer dan ca. 1/20 L doorbuigen.

De doorbuiging kan natuurlijk wel veel groter worden als de staaf langer

kan worden [laten vieren door de verankering) of als de doornangenoe

staaf geleidelijk wordt gespannen.

B-9.^.3.i+.1

Bijl.9.i+.3.U

Benadering van de kniklast door eigen gewicht

Verdeel de staaf als eerste benadering in twee oneindig stijve delen,

elk lang g 1, aan elkaar verbonden door veren met een zodanige veer

stijfheid, dat de punten A, B en O op de uitbuigingslijn van de door

een horizontale kracht H belaste staaf liggen (fig.B-9.^.3.^)• Tengevolge

van H in A:

,3 2 '^ El f = Mii^ = (p li ^(p =

1 3EI M 2- Tl 3EI /1 '1 12EI

f =Hli =y,.i +,« Ji =« 1 Hl! ^ « =m? = M^1L1^^^2UEI 2 3EI '2 Tl-2^ '2 2UEI '2 24EI c c Tl

Mst het eigen gewicht 5gl van elk deel aangrijpend op halve hoogte, wordt

het moment ten opzichte van de voet 0:

M = H.l + Igl.f^.ll + Igl {f^.ll +fyll) = Hl + gl-^2 I Sl^p2 i ^'^f\

= Hl + 1^2 i gl"- Jf2 = 1 " i S1V2 = ^^2-

Hl = cj.2-iglV2=r2 ^^-i^l') > 2 = - "" 15 .2 " - 28 Si

15 2 CP wordt oneindig groot als c - -::K gl = 0

24EI_ 15 ,j.2 11 gi3 2^,, 71 " 28 " U

n = 96 EI = 6 1, EI ^iC- 15-^2 ' -,2

EI De exacte uitkomst is g 1 = 7,83 -^; de fout is ca. l8^.

Verdeel als volgende benadering de staaf in drie oneindig stijve delen,

elk lang 1/3 1, en op dezelfde manier als hiervoor verbonden door veren

in de knooppunten. Tengevolge van H in A(fig.-b):

^i=W^^'=fr^/3i -f,=^ i-if,)

'2 - ^ ^ ^ - 2-2/31 . .1/31 = 2-2/31 fïïiï -5 2 = Ü ï = §^3)

'3-W1- ^3-^ ^2 • 2/31 - r^/31 =^31 . ' . fi!^ -f^l . | § '

CO = 11^ _ SHI^ 19H1 = M = Hl = 81 EI '3 BEI 81 EI 81 EI G c ^^ 191

B-9.^.3.U.2

M = Hl + 1/3gl. f3.1/61 + gl ( 3.51 +^2-1/^1) + 1/3 1 ( 3.5/61+^2-^1 + 1 -1/^1^

= Hl + gl2 (^^^.^J. .Ig^^. _|^^,^9,^,_^^^) =Hl + gl2(^;.3+|^2tlQ^^

= Hl - gl' ilf^ - 4 ^ 3 ^T^kf^^ = 1 gl'-Tf 3 = - 3

Hl = c 3 - f gl2^3 = 3 ( c - f gl^

(p = Hl M 12 ,2 c — — ""l

19

12,2 „ „ 8IEI _ J_2 191 19

(p^ wordt oneindig als c - — gl" =0 of T^T" = -rS" RI"

De afwijking van de exacte uitkomst is nu nog —' Z —'— x 100 = ca. ^h%. I 5 00

De exacte uitkomst wordt op deze wijze nooit bereikt, omdat wordt uit

gegaan van de uitbuigingsvorm van de door een puntlast belaste kraag

ligger, en dit is niet de uitbuigingsvorm van de knikstaaf.

Er wordt echter wel een enigszins redelijke benadering verkregen, die

echter ca. 15% beneden de exacte waarde ligt.

Zelfs met de oneindig stijve staaf, die alleen onderaan met een stijve veer

aan de fundering vastzit, wordt een redelijke benadering van de orde van

grootte van de kniklast verkregen (fig. -c) .

M = H.l -I- gl.JO l = Hl -H i_ gl cö = c.(fi-*Y= — — c - ggl

_ 3EI 1,2 1 -1 3 C-n-r -1 c - 1

c = - ^ = 2gl 2gl = 6EI -• gj l = 6 —

Dit verschilt ca. 23^ van de goede waarde.

B-9.4.3.6.1

Bijlage B-9.4.3.5.-I

Tweede-orde effecten bij lineair-elastisch gedrag

Een staaf heeft een (ten naaste bij) sinusvormige uitbuiging & - 5^sin - p ,

zie fig.

Wordt nu op deze staaf een

normaalkracht N' aangebracht

in de richting van de oorspronkelijke / 'w:^—'r .„y

staafas, dan oefent N een buigend moment < ^ * -C . TTX

N ,ö sin — op de staaf uit. Hierdoor wordt de uitbuiging vergroot

^ X - N I „ . TTX _ 1 . TTX . _ j _ X ( 1^ l^ • '^^ met ó, - -^— o s m —— - — ö s m — t o t ó- 6 (l-i- —) s m ——

1 2^^ o l n o i o n 1 TT E I

„ . , . . . TT EI Hierbij is n = -.

N'I Wordt op de aldus vervormde constructie weer de kracht N aangebracht,

dan wordt de doorbuiging vergroot met 2

N'l . . T T X 1 ^ . T T X 1 . . T T X

TT EI n

Dit kan worden herhaald. De totale uitbuiging van de staaf wordt nu: /• 1 1 1 . . TTX

5^ ^ = 5 (1+ - + -^ t ) s m ^-tot o 2 1

n n Dit is een meetkundige reeks met eerste term 1 en reden — .

n Voor — <1, dus n >1, heeft deze een limiet en wel Ó = — , ó sin -p •

n tot n-1 o 1

TTX Tl

De oorspronkelijke doorbuiging 6 sin — wordt dus - —- maal zo groot.

De factor ——r wordt de vergrotingsfactor genoemd. Dit betekent, dat voor

n >1 een evenwichtstoestand wordt bereikt; de vervormingen naderen tot een

limiet.

Voor n<l nemen de vervormingen onbeoerkt toe en is de staaf instabiel. 2FT

De grenswaarde n = 1 leidt tot de waarde N' = , de Eulerse knikkracht. « k T 2

^ \ l N'k 1 Ook is n = r- = , de verhouding tussen de Eulerse knikkracht en

N'l^ N'

aanwezige kracht. Het getal n geeft dus een aanduiding voor de veiligheid. Een getal n > l wijst op een stabiele constructie, maar voor kleine waarden van n ontstaan wel grote bijkomende vervormingen.

B-9.4.3.5.2

Aangetoond kan worden dat de reeks & = 6 (It — + -—- + ) tot o 2

n n ook optreedt bij niet geheel sinusvormige doorbuigingen, maar dat

TT EI het getal n niet precies gelijk is aan — . Het verschil is echter

N'I zelden meer dan enige procenten.

Voor het onderzoek van de stabiliteit van een lineair-elastische

constructie is het dus voldoende de eerste-orde uitbuiging 6 te

bepalen (bijv. tengevolge van een bepaalde belasting, maar ook ten

gevolge van temperatuur, o.d.), vervolgens op de aldus vervormde

constructie de normaalkracht N aan te brengen de de hierdoor ver

oorzaakte uitbuiging 6., te berekenen. Wegens de lineariteit zijn alle 1

volgende uitbuigmgen 6„, 6 , enz. — van de vorige; de verhouding n is dus direct te berekenen uit de verhouding n = ó /ö,.

o 1 Hiermee is ook de vergrotingsfactor n/n-1 voor de bepaling van de uiteindelijke uitbuiging 5 = — - 5 bekend; hiermee kan ook het

tot n-1 o uiteindelijke moment M ^ = — , M , worden berekend, als M het

tot n-1 o o eerste-orde moment tengevolge van een zekere belasting is.

Voor niet-elastisch materiaalgedrag is de verhouding — van de toe

nemingen van de doorbuiging niet constant en vooral scheurvorm.ing kan

leiden tot een zo sterke toeneming van de vervormingen dat de stabiliteit

in gevaar komt. Daar scheurvorming vooral door een grote toeneming van

het buigend moment wordr veroorzaakt, zijn kleine waarden van n "riskant"

(zoals ook hierboven werd aangetoond).

Daarom kan bij niet-elastisch materiaalgedrag in principe niet worden

volstaan met alleen de berekening van ö , maar moeten ook waarden 6^, 5„

enz. worden berekend, tot duidelijk blijkt of de uitbuiging wel of niet

tot een limiet nadert.

B-9.4.3.6.1

Bijlage B-9.4.3.5-II

De eerste- en tweede-orde vervorming van een pyloon met waaiertuien

Hierbij wordt verondersteld dat onder invloed van de permanente belasting

de ligger recht en horizontaal is en de pyloon recht en vertikaal. Op

de pyloon werken in deze toestand geen buigende momenten, d.w.z. de

horizontaal ontbondenen van de tuikrachten ter weerszijden van de pyloon

zijn gelijk en tegengesteld gericht (fig.a van fig.B-9.4.3.5.1).

Als het liggerdeel rechts van de pyloon wordt belast door verkeersbelasting,

wordt de horizontaal ontbondene van de tuikrachten rechts vergroot met AH

(fig.b). Deze kracht AH wordt opgenomen door de pyloon en door de tuien

links van de pyloon, in evenredigheid met hun horizontale veerstijfheden. 3

De horizontale veerstijfheid van de pyloon is k = 3EI/h ; die van de P

tuien links wordt samengevat in k (zie ook 9.4.1). Bij een horizontale

verülaatsing 5 van de nvloontOD naar rechts is de toeneming van de o " " '

horizontale resultante van de tuikrachten links van de pyloon AH = 6 k ; t o t

de horizontale kracht in de top van de pyloon neemt toe van O tot A H = 6 k = 3EI6 /h^.

p o p o

Nu is dus AH = AH^ + AH = 5 (k^ + k ). (fig.c) (1) t p o t p

De vergelijking van de elastische lijn van de pyloon met AH aan de top ^ i ^ K L - . ^ AH.x3 3 P IS nu dus ook bekend: , . p _r,i'2<x , ^z- j \ 6 - 6 r^nr— -6 (1- -^) . (fig.d)

X o 3EI o ,3 '^ 3 ^

AH .h AH AH De uitwijking aan de top is ö = — : ^ — = —r^ - — j — (2)

p t

In de uitgebogen stand is de top van de pyloon horizontaal in evenwicht.

Door de verplaatsing van de pyloontop over 6 naar rechts verplaatst de

resultante N van de vertikale krachten eveneens over ö naar rechts. o

Hierdoor werkt op een willekeurige afstand x onder de top van de pyloon een buigend moment M = N (6 - y ) ; aan de voet van de oyloon is M , = N.5

° X o x = h o

(fig.d).

Hierdoor wil de pyloontop verder uitbuigen naar rechts, wat door de

weerstand van de pyloon zelf en door de tuien links wordt tegengewerkt (fig.e)

Als de pyloontoD vrij kan uitbuigen, bedraagt de verolaatsing aan de ff Mxdx ff N(0Q-y)dx

top: ^11 i - ri ~ // TT (naar rechts) (3)

B-9.4.3.5.2

Deze verplaatsing wordt gereduceerd door een naar links gerichte kracht

in de pyloontop, groot AH , en een naar rechts gerichte kracht in de

tuiveer, groot AH (fig.e). Deze krachten zijn gelijk en tegengesteld

gericht: AH, = - AH, . Verder is: lp It

AH AH , ., k t k

't- 'u- N,i ---Y^-^-- 'ht^t' t^ '- ""it ^ T - ' ^°^^^ t p t p p t

k k AH,^ = r^rV- 5,, , = - AK . (4)

it k + k N,l lp p t •

Op de tu iveer werkt nu een kracht naar rech ts (tengevolge van H en N):

AH + AH., = 6 k^ + r-^-~- 5,, , (5) t I t o t k + k N , l

P t

OD de pyloontoo werkt een hor izonta le kracht k k

AH - AH., = 6 k - J l . S„ , (6) p lp o p k + k N , l

De som van deze krachten i s ( n a t u u r l i j k ) : 6 (k + k ) = AH. o p t

k De t o t a l e u i twi jking van de tu ivee r i s (AH + AH,_): k = 6 + ; ^,— 6,, , (7)

^ t It t o k + k N, 1 De totale uitwijking van de Dyloontoo is hieraan gelijk: ,

* 't -D 6 + 6„ , - AH., /k =6 + 6^. , - -. — r — 6,, . = 6 + • ^ 5., ^ 0 N,l I p p o N,l k t . K N,l o k + k N , l

p t p t k

De uitwijking van de pyloontoo is toegenomen met 6 = —; ^M i ^ ) 1 k + K M, 1

P ^ Dit is ook de toeneming van de uitrekking van de tuiveer. De verhouding van de uitbuigingen ó^ en öj_ is

6 5 k + V 6 n, = ö /6., = • = : = - j — (1 + k^/k ) (9) l o l K ó„ . k 5 t o

P X N,l p N,l k -H k^ N,l P t

Met een parabolische uitbuigingslijn tengevolge van AH wordt No P 2

M _, = N.6 6,, . = // 7 ^ dx = -=2- . £ h. I h = --I If- 6 (10)

X =h o N,l JJ EI EI 3 8 12 EI o

Hiermee wordt

n, = ^ - (1 + K/k) ^ ~ ^ (1 + k /k )= 2,4 - ^ (1 + k^/k ) (11) 1 ö„ , t o 5 ,,2 t p KTi, t D

N, 1 Nh ^ Nh Met de werkelijke u i t b u i g i n g s l i j n wordt

3~ ~ 6 = 1 ^ 6 = 5 (1-x^/h^) M = N5 (1-x^/h^) o 3EI X o X o

f^ 3 3 3 A„ = N6 / (1-x /h )dx :: -^ N 6 h = 0,75 N6 h

M o / 4 o o ^o

/h 3 S„ = N6 / (x- • - - , ) d x = 0,45 Nó h

M o / 4 3 o -'o h

B - 9 . 4 . 3 . 6 . 3

O "PT "PT

Hiermee wordt n, = -r^— (1 + k^/k ) = „ (1+k /k ) = 2,22 —„(1+k /k ) (1 1 ^N,l ^ P 0,45Nh2 ^ P Nh- ^ P

De knikbelasting N, kan zo worden benaderd uit

n = N,'/N' = 2,22 - ^ (1 + k^/k ) = 1

^ Nh2 ^ P

Hieruit volgt N' = 2,22 (1 -h k /k ) ( K , ^ "CD

h 1 EI

Voor k = O is dit N = 2,22 —r- (geen veer aan de top), ^ ' h^

2 t TT EI EI

Dit verschilt ca. 10% van de exacte waarde N = =^«2,45 — r , 4h h

Volgens formule (13) neemt de kniklast N onbegrensd toe als functie

van de verhouding k /k ; fig. 3-9.4.3.6.2.

In deze figuur is ook de theoretische waarde van N uitgezet, die K

in 9.4.1.1 is berekend (eveneens als functie van k /k ).Hieruit blijkt t P

dat voor k /k < 5 de overeenstemming vrij goed is; voor k /k <4 is t P , t p

de berekening van N met formule (13) zelfs aan de veilige kant. Voor

k /k > 4 is de berekening echter aan de onveilige kant, en wel des te

meer naarmate k /k groter wordt.

Dit is echter niet zo'n groot probleem, omdat een pyloon, waarvoor

k /k > 4 a 5 is, zelden voorkomt. Voor zeer grote k /k nadert de ^ P 2 2 * P

bezwijkbelasting tot de waarde N = 2-r El/h . Volgens (6) is de horizontale kracht AH op de pyloontop afgenomen en

k k^ P wel met AH, = —r^ — 6^, ,

lp k + K^ N,l P t

De resultante van de horizontale en vertikale krachten op de pyloontop,

die eerst onder een helling AH /N naar rechts was gericht, krijgt nu

een meer vertikale stand: AH - AH, P lp

Voor AH, = AH is deze stand vertikaal; voor AH, > AH wordt hij zelfs lp p lp p -'

tegengesteld.

In het voorgaande is alleen de 5erste_term 6 beschouwd van de vergroting van

de uitbuiging 6 van de pyloon door N; hierna zullen ook de tweede en hogere

termen worden onderzocht, evenals de lim.iet.

Voor de berekening van de toeneming 5„ van de uitwijking 6 +6. van de

pyloontop wordt dezelfde procedure gevolgd als voor de berekening van o .

Maak de pyloontop los van de tuiveer en breng op de uitgebogen pyloon

top weer de vertikale kracht N aan. De pyloontop is ó verder uitge

bogen dan eerst.

B-9.4.3.5.4

De toeneming van het moment M bedraagt AM„ = N(6,-y); de toeneming

van de uitbuiging aan de top 6 ^ ~ /l pj dx (.naar rechts).

Als de pyloontop weer wordt vastgemaakt aan de tuiveer, ontstaat in

de tuiveer een naar rechts gerichte kracht AH en in de pyloontop

een gelijke, naar links gerichte kracht AH ; AH = - AH .

AH AH AH AH ^ + k 5 = 5 - 5 = — 2 1 2D ^ 2t _2t ^ j 1_ ^^^^ N,2 °t p k k k^ k ' 2t k k

^ t p t p p t

k k

«2t = kHr^ N,2 - - 'W k k , k k_

Op de tuiveer werkt nu AH + AK-, +• AH„^ = 6 k^ + -r-^ •— 6„, , + T- ^ —r &^r r,', ^ t 1^ 2t o t k - i - k N , l k - i - k ^ N , 2

p t ' p t '

k k k k op de pyloontOD AH - AH, - AH,., = 5 k ." "f , 6„ , - , • ^ , 6., „. ' - - p l p 2p o p k + k N , l k + k^ N,2

^ ^ ^ ^ p t p t

De t o t a l e u i t w i j k i n g van de t u i v e e r i s : , k k

(AH + AH_ + AH,^^): k^ = 6 t - — - 2 . — 6., ^ + ^ 5„ _ = uitwijking t It 2t t o k + k ^ N , l K - t - k N , 2

p t p t ' pyloontop. ,

De uitwijking van de pyloontop is toegenomen met 6 -k t k N,2 P ^

De verhouding van de uitbuigingen ö en 5 is n = 5/6 - 8 T/6, 1 Z z 1 2 N,llM,z

NU is 6^ -.Jjl^^^ -. J.JJ^s^-yU.

De ODoervlakken N / (6 -v)dx en N/(5,-y) dx zijn evenredig met 5 en ó, Vo" J 1 " o l

(fig.f); ook de statische momenten verhouden zich als o /'S . 6

Derhalve is n„ = 6,, ,/ö., .. - 6 /6. = n, = -;— (1 + k^/k ), dus dezelfde 2 N,l N,2 o 1 1 6,, , t p

N,l ^ verhouding als eerst; zie (9). Dit geldt ook voor n , n , enz.

De vergrotingsfactor voor de uitbuiging aan de top wordt dus 5 (k + k^)

o n-1 ó-,k 6 (k + k^)- ó,,,k .. _ N p o p t N p

• ö (k + k) o p t

Na de toeneming van de uitbuiging van de pyloontop tot 6 + 6 + 6 (fig.h)

werkt OD de pyloontoo de horizontale kracht AH - AH, - AH„ ; in de ^ ^^ - p lp 2p tuiveer werkt de kracht AH + AH, + AH,., . Omdat AH, = - AH, en AH^^ = - AH,.,

t It zt lp It 2t 2t is de som van deze krachten AH + AH^ = AH = constant.

P t

B-9.4.3.5.5

De horizontale kracht op de pyloontop neemt dus af en kan zelfs van

teken veranderen.

AH = AH - AH, - -AH- -poa op lp 2p

k k k k k k ' = ^ V - P t ^ _ P ^ X, _ P t

o p k + k^ °N,1 k + k^ °N,2 k + k °N,3 '^ p t p t p t

k k = 6 k - , ^^. (6,, , + 6., ,, + 6,, , + )

o p k + k N,l N,2 N,3

Zoals hiervoor is aangetoond, is de verhouding n = -—^— = -: —-— = - — (1+k /k ) ^N,2 ''N,3 ^N,1 * P

Hiermee wordt , , , , k k k k

AH = 5 k - J l . ó,, , (1+ - + -% + ) = 6 k - • P ^ ^ 6 . ^ pco o p k + k^ N , l 2 o p k + k N , l n - i ^ ^ p t n n ' ^ p t

k = 6 k - 5 . k ^ - ^ met 5 , = :; -Pr— 6,, ,

o p 1 t n - 1 1 k,. + k N , l p t '

k 5 k^ k^ = 6 k ( 1 - • J. - 4 ^ -^) = 6 k (1 - r- - ^ ) = 6 (k - -^).

o p k + k 5 n - 1 o D k n - 1 o p n - 1 p t o ' p ^

Voor k = 0 wordt AH = 5 k = AH ; de kracht verandert niet, maar t p o p op

de uitwijking van de cyloontoo door N kan wel onbegrensd toenemen. kt"

AH = 0 voor k = of n = 1 + k /k . pe<9 p n-1 t p

Er is dan alleen een vertikale kracht N. De uitwijking van de pyloontop

is dan — ^ 6 = (1+ k /k ) 6 . De knikkracht is ; de kniklengte 1, = 2h. n-1 o p t o nY^2 ^ k

kp AH is negatief (naar links gericht) voor k <—- of n < 1 + k /k .

peo p n-1 t p AH 6

o cö Dc^ Als de verhouding — - r — = — f — (voor negatieve AH ) , dan is de resultante

N h poo van AH en N naar het voetpunt van de pyloon gericht en is de knikkracht

pC/9

— T — ; de kniklengte 1 = h. h^ k

Voor nog grotere negatieve AH snijdt de resultante het horizontale

vlak door de voet van de pyloon links van deze voet; de knikkracht 27T2EI

nadert tot - ^ — (kniklengte 1 ^ i h V 2 ) ; zie ook 9.4.1.3. h-" k

Een en ander is weergegeven in fig. B-9.4.3.6.3.

Het bovenstaande kan ook worden uitgewerkt voor een verend aan de voet

ingeklemde pyloon met veerstijfheid k ; zie ook 9.4.1.4 en fig.9 .4 .1.4 . 2. 1

B-9.4.3.6.6

Het moment in de oyloonvoet is M . = AH .h + N.5 '^ « pso o . k H h M h

AH = AH (l - TT - ^ ) '5 = ^. «5 = = ^ Dto DO k • n-1 " n-1 o o 3EI 3EI P

n = 1 ^ U + k /kp M = AH h Nh "^ y

N = l ^ i p L (1 + V /k ) ,2 t p nn 2

M h 1 , 2,22EI , , ^ , , _n o _

AH_ h (1 - k^/k_ :—r) + - - ^ U + k^/k_) h

'6ö "po t p n-1 ,2 t p n-1 3EI

= M (1-^ -4) .M (^.°^ ^) o k n-1 o n-1 n-1 k

P P

n-1 + 0,74 - 0,26 k^/k n-0,25 (1+k^/k ) -_ M ( £-^) = M ( , ^ P )

o n-1 o n-1

M^ n-0,26 (l+k_ /k ) 0,74 - 0,26 k^/k^ — - = : ^ = 1 + :; — - "vergrotingsfactor" voor M n-1 n-1 ^ ^ o

verhouding k_ /k en van n. L D

Het uiteindelijke moment in de pyloonvoet is dus een functie van de

verhouding k^i L

De verhouding ... . . o. • JT- n ^ ., O C ,, -I r 4-• ^ n ° MQ is uitgezet m fig. B-9.4.3.6.4 als functie van k /k ,

voor een aantal waarden van n. Hieruit blijkt dat M.-.= M = constant O 74 " " o

voor k^/k = -—^TT- = 2,85 t p 0,26

Voor k^/k < 2,85 neemt de verhouding toe als functie van n. '- ?

Voor k /k > 2,85 neemt de verhouding af als functie van n, en v/el des

te meer naarmate n kleiner wordt; hij kan ook negatief worden.

Het moment M^draait alleen van teken om bij lage waarden van n en/of

hoge waarden van k /k (maar k /k > 5 is een "onzeker" gebied, vandaar — ^ - t p '' P .

dat de lijnen voor gelijke n daar zijn gestippeld; zie ook fig. B-9.4.3.

Het van teken omslaan van Mj^vindt dus vooral plaats bij kleine n,

dus vlak voor het bezwijken. Het gebeurt alleen voor k /k > 2,85. 't P

De knikvorm volgens de rechter figuur van fig. B-9.4.3.6.3 treedt dus in de regel pas op vlak voor het bezwijken (kleine n ) . Hij treedt ook op voor k /k = oO , dus bij de aan de top scharnierend vastgehoyden pyloon.

-9.4.3.6.7

k k Uit f ig.9.4.1.3 volgt dat voor t— - -r- (-f

2TrT k 3 3k r - ^ EI r u - ^ P t N = — . (ah =TT). -

0,1) de kniklast

AH Dit is hier het geval voor

)ca 'co

N

n k k - ^ ) = 6 k ( 1 - i :^ - \ )

pc/a o p n - 1 o p k n - 1 AH = 6 (k

oo n - 1 o

]^

Met T- = ^ wordt AH = 6 k ( 1 - T ^ ) k 3 poo o p 3n-3

P

AH ï>e/i

ö k (1- 4 ^ ; o p 3n-o

« « o n N N

( n - 1 ) ( 1 -N = k h

P

1° ) 3 ( n - l ) ^

n

h . h n - 1

, , n - 1 3 / 3 = k n

D n k h ( 1 - i ^ )

p 3n

13 10 Instabiliteit treedt op voor n = 1: N = k n (1- :;r-) = - —- k h

p 3 3 p 10 3EI j,

' h^

h h

Het negatieve teken komt door het omkeren van de richting van AH

k _ t k

Voor —^ = 10 wordt AH 5 k ( 1 - - 4 ) pe/3 O p n - 1

AH P co

De h e l l i n g van de r e s u l t a n t e i s ..* = N

6 (1-^°-.) O n-1

N

Deze snijdt de vertikaal door de pyloon op een afstand h van de top.

6 ^ 6 6k(l--4) peo _ n-1 o _ o p n-1

Nu is h, k k N

10 k h, (1- ) (n-1) ,, D k n-1 , , n-11

N = = k h, n p k n

k h, (1- — ) p k n

Voor n = 1 is N, = k h, (1-11) = - 10 k h, k p k p K

30EI

Door dit gelijk te stellen aan TT EI lOEI

2 , wor dt h = ~ I hy3 =-'0,59 h.

30EI „ ^„, 20,7EI

h h

Jit fig.9.4.1.1.3 voor k /k = 10 of p ^ t D t 3k

l p i"]

0,033: ah ="4,25 -> N, = '-^ '^ k , z

De overeenstemm.ing is nog vrij goed, hoewel aan de onveilige kant.

Volgens fig.B-9.4.3.5.2 nemen de afwijkingen voor k /k >• 5 sterk toe;

de benadering mag dan ook niet meer worden toegepast. Bovendien is de

veerstijfheid van de tuien zelden meer dan 5 maal de veerstijfheid van de pyloon (tenzij de funderingsstijfheid zeer gering is, zodat de pyloon nadert tot een aan de voet scharnierende staaf; maar dit is een ander ^eval).

L-00

Literatuurlijst

In deze literatuurlijst zijn niet alleen betonnen tuibruggen opgenomen,

maar ook stalen tuibruggen, omdat de problematiek in velerlei opzicht

dezelfde is. De literatuurlijst bevat vrijwel alle belangrijke artikelen

en publikaties die in de laatste 25 jaar tuibruggen - zowel in staal

als in beton - zijn verschenen.

De nimmiering van de publikaties is als volgt;

nrs. 001-030

nrs. 031-060

061-120

" 121-150

151-180

" 18I-2U0

" 2U1-270

" 271-300

" 301-330

331-360

" 361-390

" 39i_ii20

" U2I-U50

" 451-i+80

publikaties van voor 196O

1960-1965

1965-1970

1970

1971

1972

1973

197 +

1975

1976

1977

1978

1979

1980

In elke serie zijn nog enige nummers vrij voor het bijschrijven

van niet opgenomen publikaties.

Op blz. L-50 zijn artikelen verzameld over bepaalde onderwerpen

op het gebied van tuibruggen.

Op de blz. L-51 en L-52 zijn de artikelen verzameld, die handelen

over bepaalde, belangrijke tuibruggen (staal en beton).

Geen van beide maakt aanspraak op volledigheid.

L-01

001. Mehrtens, G.C.

Eisenbrückenbau, p.231

Verlag Engelmann, Leipzig, 1908.

002. Melan, J.

Der Brückenbau III, 2. Eiserne Brücken II. Teil

003. Dischinger, F.

Hangebrücken für schwerste Verkehrslasten.

Bauingenieur, H.3, 19^9, p.65- ; H. , p.107-

OOU. Schleicher, F.

Die Verankerung von Drahtseilen.

Bauingenieur 19^9, H.5, H.6.

005. Sievers, H.

Der Wettbewerb für den Wiederaufbau der StraSenbrucke über den

Rhein zwischen Duisberg-Ruhrort und Homberg.

Stahlbau 22 (1953), H.l, p.1-6.

006. Wenk, H.

Die Strömsundbrücke

Stahlbau 23 (195^), H.U, p.73-76.

007. Borner, H.

Die Gestaltung von Stahlbrücken

Stahlbau 23 (195^+), H.9, p. 19^-201.

008. Beyer, E., Tussing, F.

Nordbrücke Düsseldorf. Projektbearbeitung und Wettbewerb für eine

weitere (Jberbrückung des Rheins im Stadtbereich Düsseldorfs.

Stahlbau 2k (1955), H.2, p.25-33; H.3, p.63-67; H.U, p.79-88.

009. Homberg, H.

EinfluBlinien von Schragseilbrücken.

Stahlbau 2U (1955), H.2, p.UO-i+U.

010. Klingenberg, W., Plum, A.

Versuche an den Drahten und Seilen der neuen Rheinbrücke in Rodenkirchen

bei Köln.

Stahlbau 2k (1955), H.12, p.265-272.

L-02

Oil. Sievers, H., Görtz, W.

Der Wiederaufbau der Strassenbrucke über den Rhein zwischen Duisburg-

Ruhrort und Homberg.

Stahlbau 25 (1956), H.U, p.77-88.

012. Ernst, H.J.

Montage eines seilverspannten Balkens im Grogbrückenbau.

Stahlbau 25 (1956), H.5, p.101-108.

013. Brown, C D .

Design and Construction of the George Street Bridge over the River

Usk, at Newport, l^onmouthshire.

The Inst. of Civil Engineers 1956, Paper no.68U0.

OlU. Godfrey, G.3.

Post-War Development in Germany: Steel Bridges and Structures

Structural Engineer 35 (1957), Febr. p.53-68. See also discussion

Oct.1957, p.390-309.

015. Kunz, R., Trappman, H., Tröndle, E.

Die Büchenauer Brücke in Bruchsal,

Stahlbau 26 (1957), H.U, p.98-102.

016. Beyer, E., Ernst, H.J.

Erfahrungen und Seilversuche an einer seilunterspannten Verbundkonstruktion

Stahlbau 26 (1957), H.7, p.177-183.

017. Schüssler, K., Braun, F.

Wettbewerb 195^ zum Bau einer Rheinbrücke oder eines Tunnels in Köln

im Zuge Klappergasse-Gotenring.

Stahlbau 26 (1957), H.8, p.205-217; H.9, p.253-27i+; H.10, p.29^-312. H.11, P.326-3U8

018. Feige, A.

Stahlbrückenbau. Stahlbau; ein Handbuch für Studium und Praxis.

Stahlbauverlag GmbH, Köln, 1957-

019. Beyer, E.

Nordbrücke Düsse ldo r f I . Gesamtanlage und JVIontage de r neuen Rhe inb rücke .

S t a h l b a u 27 ( 1 9 5 8 ) , H . l , p . 1 - 6 .

020. Hadley, H.M.

Tied Cantilever Bridge - Pioneer Structure in U.S.

Civil Engineering, ASCE, Jan.1958, p.48-50.

L-03

021. Fuchs, D. ' '

Der FuBgangersteg auf der Brüsseler Weltausstellung 1958.

Stahlbau 27 (1958), H.U, p.91-97. • •

022. Vogel, G. ^ . • /

Erfahrungen mit geschweissten Mcntagestossen beim Bau der Severinsbrucke

in Köln.

Schweissen und Schreiden 12 (i960), H.5, p.l89-19U.

023. Beyer, E., Grassel, H., Wintergerst, L.

Nordbrücke Düsseldorf

Stahlbau 27 (1958), H.l, p.1-6; H.3, p.57-62; H.4, p.103-107;

H.6, p.li;7-15l+; H.7, P.I8U-I88.

02U. Schreier, G.

North Bridge at Düsseldorf; Analysis, Design, Fabrication and Erection

of the Bridge Spanning the River.

Acier-Stahl-Steel, Sept.1958, p.367-381; Nov.1958, p . 1+87- 99 .

025. Tamms, F., et al.:

Nordbrücke Düsseldorf.

Springer Verlag. Berlin/Göttingen/Heidelberg; 1958.

026. Schöttgen, J.

Ergebnis der öffentlichen A.ussschreibung für die StraSenbrucke

über den Rhein bei Speyer.

Stahlbau 2k (1955), p.102- 109; p.135-lUO

027. Braun, 0.

Neues zur Berechnung statisch unbestimmter Tragwerke

Stahlbau 25 (1956), p.2U3-2U5

L-04

031. Fischer, G.

Die Severinsbrucke in Köln.

Acier-Stahl-Steel, no.3 (I960), p.101-111 (Fr.)

032. Hess, H.

Die Severinsbrucke Köln. Entwurf und Fertigung der Strombrucke.

Stahlbau 29 (1960), p.225-261.

032a. Vogel, G.:

Die Montage des Stahlüberbaues der Severinsbrucke Köln.

Stahlbau 29 (1960), H.9, p.269-293.

033. Michalos, J., Birnstiel, C.

Movements of a Cable due to Changes in Loading.

Journal Structural Division, ASCE, Vol.86, Dec.1960, p.23-38.

03U. Dean, D.L.

Static and Dynamic Analysis of Guy Cables.

Journal of the Structural Division, ASCE, Jan.196l, p.1-21.

03Ua. Morandi, R.;

Bridge Spanning Lake Maracaibo.

J. Prest.Conor.Inst., June 1961, p.12-27.

035. Dotzauer, H.K., Hess, H.

Belastungsprobe der Severinsbrucke Köln.

Stahlbau 30 (1961), H.10, p.303-311.

036. Leonhardt, F., Andra, W.

FuBgangersteg über die SchillerstraSe in Stuttgart.

Bautechnik 39 (I962), H.U , p.110-116. ••

037. Havemann, H.K.

Die Seilverspanning der Autobahnbrucke über die Nordereibe.

Bericht über Versuche zur Dauerfestigkeit der Drahtseile,

Stahlbau 31 (1962), H.8, p.225-232.

L-05

038. Dimel, E. "

Schragseilbrücken aus Beton als Sonderfall vorgespannter Beton-

konstruktionen.

U*^ Congress of FIP, Rome 1962, paper 20, p.l60.

039. Klöppel, K., Weber, G.

Teilmodellversuche zur Beurteilung des aerodynamischen Verhaltens

von Brücken.

Stahlbau 32 (1963), H.3, p.65-79; H.U, p.113-121.

OUO. Poskitt, T.J., Livesley, R.H.

Structural Analysis of Guyed Masts.

Proc.Inst.Civil Eng.2U, March 1963, p.373-386.

OUl. Brotton, D.M., Williamson, N.W.W., Millar, M.

The Solution of Suspension Bridge Problems by Digital Computers.

Structural Eng. Ul, April 1963, p.121-126 (part. l).

Structural Eng. Ul, July 1963, p.213-222 (part. II).

0U2. Dimel, E.

Die Brücke über den Maracaibo See.

Beton- und Stahlbetonbau 1963, p.9U-102; 201-210; 230-239; 255-265-

0U3. Poskitt, T.J.

The Application of Elastic Catenary Functions to the Analysis of

Suspended Cable Structures.

Structural Eng.Ul, May 1963, p.167-170.

OUU. Braun, F., Moors, J.

Wettbewerb zum Bau einer Rheinbrücke im Zuge der inneren Kanalstrasse

in Köln (Zoobrücke).

Stahlbau 32 (1963), H.6, p.17U-l83; H.7, p.20U-213; H.8, p.2U8-25U.

0U5. Havemann, H.K., Aschenberg, H., Freudenberg, G.

Die Brücke über die Nordereibe im Zuge der Bundesautobahn Sudliche

Umgehung Hamburg.

Stahlbau 32 (1963), p.193-198; 2U0-2U8; 281-287; 310-317-

0U6. Reimers, K.

FuSgangersteg über die Glacisschaussee in Hamburg.

SchweiBen und Schneiden 15 (1963), H.6. p.262-26U.

L-o6

0U7. The Bridge Spanning Lake Maracaibo in Venezuela; the General Rafael

Urdaneta Bridge.

Bauverlag GmbH, Wiesbaden/Berlin; I963.

0U8. Feige, A.

Steel Motorway Bridge Construction in Germany.

Acier-Stahl-Steel nr.3, March 196U, p.113-126.

0U9. O'Brien, W.T., Francis, A.J.

Cable Movements under Twodimensional Loads.

Journal Struct.Div., ASCE, V.90, June 196U, p.89-123.

050. Havemann, H.K.

Spannungs- und Schwingungsmessungen an der Brücke über die Nordereibe

im Zuge der Bundesautobahn Sudliche Umgehung Hamburg.

Stahlbau 33 (196U), H.10, p.289-297-

051. Lohmer, G.

Brückenbaukunst

Stahlbau 33 (196U, H.11, p.321-331.

052. Beyer, E., Ernst, H.J.

Brücke Jülicher Strage in Düsseldorf.

Bauingenieur 39 (I96U), H.12, P.U69-U77.

053. Leonhardt, F.

Aërodynamisch stabile Hangebrücke für grosse Spannweiten.

lABSE, Preliminary Publication, 7 Congress, Rio de Janeiro, ''96U,

p.165-167.

05U. Leonhardt, F.

Kabel mit hoher Ermüdungsfestigkeit für Hangebrücken.

lABSE, Preliminary Publication, 7 Congress, Rio de Janeiro, 196U,

p.1055-1060.

055- Homberg, H.

Fortschritt im Deutschen Stahlbrückenbau. Bericht über „StahlkongreS

196U" der hohen Behörde der Europaischen Gemeinschaft.

056. Stahlbau. Ein Handbuch für Studium und Praxis. II, 2e Ausgabe, p.58U-590

Seilverspannte Balken.

Stahlbauverlag GmbH, Köln, I96U.

L-07

061. Ernst, H.J.

Der E-Modul von Seilen under Berücksichtigung des Durchhanges

Bauingenieur UO (1965), H.2, p.52-55-

062. Daniel, H.

Die Bundesautobahnbrucke über den Rhein bei Leverküsen. Planung, Wettbewerb

und Ergebnisse.

Stahlbau 3U (1965), H.2, p.33-36; H.3, p.83-86; H.U, p.115-119;

H.5, p.153-158; H.12, p.362-368.

063. Moses advocates bridge over Long-Island sound

Civil Engineering ASCE U (1965) , p.95.

06U. Brown, C D .

Design and Construction of the George Street Bridge over the River

Usk, at Newport, Morjnouthshire.

Proc.Inst.Civil Eng. V.32, Sept.1965, p.31-52

See also discussion V.33, March I966, p.552-561.

065. Klöppel, K., Esslinger, M., Kollmeier, H.

Die Berechnung eingespannter und fest mit dem Kabel verbundener

Hangebrückenpylonen bei Beanspruchung in Brückenlangsrichtung.

Stahlbau 3U (1965), H.12, p.358-361.

066. The Severn Bridge, General information, including details of the Wye

Bridge and Viaduct.

Ministry of Transport, London (gebouwd 1965) .

067. Poskitt, T.J.

The Structural Analysis of Suspension Bridges

Journal Struct.Div., ASCE, V.92, Febr.1966, p,U9-73.

068 . Thul, H.

Stahlerne StraSenbrücken in der Bundesrepublik

Bauingenieur U3 (1966), H.5, p.l69-l89.

069. Daniel, H., Urban, J.

Die Bundesautobahnbrucke über den Rhein bei Leverkusen.

Stahlbau 35 (1966), H.7, p.193-196.

L-08

070. Protte, W., Tross, W.

Simulation als Vorgehensweise bei der Berechnung von Schragseilbrücken.

Stahlbau 35 (1966), H.7, p.208-211.

071. Reinitzhuber, F.

Entwicklungstendenzen im Bauwesen (bouwkosten)

Bautechnik U3 (1966), H.7, p.221-22U.

072. Freudenberg, G., Ratka, 0.

Die Zoobrücke über den Rhein in Köln.

Stahlbau 35 (1966), H.8, p.225-235; H.9, p.269-277; H.11, p.337-3U6.

073. Thul, H.

Cable-Stayed Bridges in Germany. Proc. Conf. on Structural Steelwork.

Inst, of Civil Eng. Sept. 26-28, 1966. The British Constructional

Steelwork Association, Ltd. London, p.69-8l.

OTU. Feige, A.

The Evolution of German Cable-Stayed Bridges. An Overall Survey.

Acier-Stahl-Steel, no.12, Dec.1966, p.531-5U0. Reprinted in AISC-

Engineering Journal, July I967, p.113-122.

075. Thul, H.

Seilverspannte Brücken. Stahlbautagung München 1966. Veröffentlichungen

des Deutschen Stahlbauverbandes, no.19.

Stahlbauverlag GmbH, Köln, 1966.

076. Lohmer, G. et al,

Kölner Rheinbrücken 1959-1966.

Herausgegeben vom Wasser- und Brückenbauteilung der Stadt Köln,

Verlag W. Ernst u. Sohn, Berlin/München 1966.

077- Heeb, A-, Gerhold, W., Dreher, W.

Die Stahlkonstruktion der Neckarbrücke Untertürkheim

Eine mit Zugstaben überspannte Eisenbahnbrücke im Schragseilsystem

Stahlbau 1967, H.2, p.33-38.

078. Morandi-style design allows constant suspended spans.

Consulting Engineer, March I967.

L-09

079. Stafford Smith, B.

The Single Plane Cable-Stayed Girder Bridge. A Method of Analysis

Suitable for Computer Use.

Proc.Inst.Civil Eng., 1967 (May), p.l83-19U.

080. Daniel, H., Schumann, H.

Die Bundesautobahnbrucke über den Rhein bei Leverkusen. Stahlerner

Uberbau der Strombrucke.

Stahlbau (1967), H.8, p.225-236,

081. Klingenberg, W.

Ideenwettbewerb für eine feste Verbindung über den grogen Belt,

Bauingenieur U2 (1967), H,11, p,389-U07- Zie ook 090.

082. Klöppel, K., Thiele, F.

Modelversuch im Windkanal zur Bemessung von Brücken gegen die Gefahr

winderregter Schwingungen.

Stahlbau 36 (1967), H.12, p.353-365.

083. Schöttgen, J., Wintergerst, L.

Die StraSenbrucke über den Rhein bei Msixau.

Stahlbau 37 (1968), H.l, p.1-9; H.2, p.50-57.

O8U. Tung, D.H.H., Kudder, R.J.

Analysis of Cables as Equivalent Two-Force Members.

Eng. JournaJ-, Am.Inst, of Steel Construction, Jan.1968, p.12-19.

085. Morandi, R.

II viadotto dell'Ansa della Magliana per la Autostrada Roma-Aeroporto

di Fiumicino.

L'Industria Italiano del Cemento (Roma), Anno XXXVIII, March I968,

P.1U7-I62.

086. Stafford Smith, B.

A Linear Method of Analysis for Double-Plane Cable-Stayed Girder

Bridges.

Proc.Inst.Civil Eng., 1968, 38, p.85-9U.

087. Patentschau: Oberer Verankerungskorper für Schragseilbrücken, u.s.w.

Stahlbau 37 (1968), p.125.

L-1 o

088. The Expo-Bridge: Study in Steel Quality

Acier-Stahl-Steel, V.33, May 1968, p.238-2U0.

089. Tesar, A.

Das Projekt der neuen StraSenbrucke über die Donau in Bratislava/CSSR-

Bauingenieur H.6, .Juni 1968, p. 189-198.

090. Klingenberg, W., Thul, H.

Ideenwettbewerb für einen Brückenschlag über den GroSen Belt.

Stahlbau 37 (1968), H.8, p.225-236. Zie ook O81.

091. Moser, K.

Der EinfluBdes zeitabhangigen Verhaltens bei Hange- und Schragseil-

brückensystemen.

lABSE, Final Report, 8th Congress, New York, Sept.1968, p.119-129.

092. Murakami, E., Okubo, T.

Wind Resistant Design of a Cable-Stayed Girder Bridge.

IA3SE, Final Report, 8th Congress, New York, Sept.1968, p.1263-127^.

093. Thul, H.

Die Rheinbrücke Rees-Kalkar.

Stra en und Tiefbau 1968, H.9, P.6U7-656.

09U. Leonhardt, F.

Zur Sntwickl^ong aërodynamisch stabiler Hangebrücken

Bautechnik U5 (1968), p.325-336; 372-379-

095. Gad, W.

Die Schragseilbrücke Kiew

Bauingenieur 1968, H.11, p.U26-U27.

096. Die neue Oberkasseier Rheinbrücke. Publ. Oberstadtdirektor der

Landeshauptstadt Düsseldorf, Baudezernat 1968.

097- Feige, A.

Die seilverspannten Balkenbrücken in der Bundesrepublik Deutschland.

Stahlbautaschenkalender I968, p.233.

L-11

098. Balbachevsky, G.N.

Study Tour of the A.F.P.C.

Acier-Stahl-Steel, V.3U, Febr.1969, p.73-82.

099. Erskine Bridge

Building with Steel, V.5, June I969, p.28-32.

100. Andra, W., Zellner, W.

Zugglieder aus Paralleldrahtbündeln und ihre Verankerung bei

hoher Dauerschwellbelastung

Bautechnik U6 (1969), H.8, p.263-268; H.9, p.309-315.

101. Morley, G.W.

The Erskine Bridge over the River Clyde

Civil Engineering and Public Works Review 6U (1969), no.75U, P.U39-UU3

102. Tschemmernegg, F.

Uber die Aerodynamik 'ond Statik von Monokabelhangebrücken

Bauingenieur, V.UU (1969), H.10, p.353-362

103. Scalzi, J.B., Podolny, W., Teng, W.C.

Design Fundamentals of Cable Roof Structures

United States Steel Corporation, ADUSS 55-3580-01, Oct.1969, p.l6

IOU. British Constructional Steelwork Association Ltd., London:

The Batman Bridge, Tasmania.

Building with Steel, nov.1969, p.6-9.

105. Taylor, P.R.

Cable-Stayed Bridges and Their Potential in Canada

The Engineering Journal (Canada), Vol. 52/11, N0V.I969, p.15-21

106. Van Neste, A.J.

Tien jaar stalen bruggen in Rotterdam (o.a. Harmsenbrug)

Bouwen met staal, dec.1969, p.1-32.

107- Olnhausen, W. von

Steel Bridges in Sweden

Acier-Stahl-Steel, 1969, H.12, p.519-526.

L-1 2

108. Morandi, R.

Some Types of Tied Bridges in Prestressed Concrete

First International Symposium, Concrete Bridge Design, ACI-Publication

SP-23, Paper SP 23-25, Am. Concrete Inst. Detroit, 1969, P.UU7-U65.

109- Tamms, F., Beyer, E.

Kniebrücke Düsseldorf

Betonverlag GmbH, Düsseldorf 1969

110. West Gate Bridge - The Biggest Bridge in Australia. Brochure; I969.

111. Troitsky, M.S., Lazar, B.E.

Model investigation of cable-stayed bridges

Sir George Williams University, Montreal. Report no.1, 1969

Id. Influence lines. Report no.2, 1970.

Id. Structural analysis of the prototype. Report no.3, 1970

Id. Non-linear behaviour. Report no.U, 1970.

Id. Post-tensioning of cables. Report no.5, 1970

L-13

Arnold, H.

Neue MeS- und Prüfverfahren für dynamisch und geometrisch hoch

beanspruchte Seile, insbesondere für Schacht- und Streckenforderseile.

Stahlbau 39 (1970), H.2, p.33-U6

Japanese Try Shop Fabricated Bridge Cables

Eng. News Record, 26 Febr.1970, p.lU , ;

Schumann, R., Fahlbusch, A.

Die Bundesautobahnbrucke über den Rhein bei Leverkusen

Stahlbau 39 (1970), H.U, p.97-105.

Bachelart, H.

Pont de la Bourse, Footbridge over the Bassin de Commerce Le Havre (France

Acier-Stahl-Steel, V.35, April 1970, p.l67-l69.

Borelly, W.

Die Nordbrücke Mannheim-Ludwigshafen im Bau

Stahlbau 39 (1970), H.5, p.156-157.

Beyer, E.

Die Kniebrücke in Düsseldorf

Stahlbau 39 (1970), H.6, p.185-189.

Chamoin, Marchetti,

The Paris-Masséna Bridge: a Cable-Stayed Structure

Acier-Stahl-Steel 35, June (1970), p.278-28U.

Record All-Welded, Cable-Stayed Span Hangs from Pylons

Engineering News Record, 3 Sept.1970, p.20-21.

Freudenberg, C

Die StahlhochstraSe über den neuen Hauptbahnhof in Ludwigshafen

Stahlbau 39 (1970), H.9, p.257-267, H.10, p.306-312.

Van Neste, A.J.

Ten years of steel bridges at Rotterdam. Harm.sen Cable-Stayed Bridge

Acier-Stahl-Steel 9 (1970), D.388-396.

L-lU

131. Schröter, H.J.

Zwei neue stahlerne Hochbrücken in Norddeutschland

Stahlbau 39 (1970), H.10, p.3lU-3l6.

132. Simpson, C.V.J.

Modern Long Span Steel Bridge Construction in Western Europe.

Proc. The Institution of Civil Engineers, Supplement (ii), 1970.

133. Borelly, W.

Nordbrücke Mannheim-Ludwigshafen

Mannheimer Hefte 1970, H.l

13U. Leonhardt, F., Zellner, W.

Cable-Stayed Bridges. Report on Latest Developments.

Canadian Structural Engineering Conference, 1970. Canadian Steel

Industries Construction Council, Toronto, Ontario, Canada.

135. Kondo, K., Komatsu, S., Inoue, H., Matsukawa, A.

PWS Parallel Wire Strand.

Prospekt der Firma KOBE-Steel, Kobe, Japan 1970.

L-15

151. de Miranda, F.

Il ponte strallato., soluzione attuale del problema di ponti di grande luce.

Costruzioni Metalliche, no.1, 1971-

152. Brinkhorst, J. • ;-•

De nieuwe Galecopperbrug.

Bouwen met staal (1971) , nr.15, p.9-lU.

153. Van Neste, A.J., Noorlander, K., Berenbak, J.

Suurhoffbruggen.

Bouwen met staal (I97l), nr.l8, p.5-l6 (afgetuide spoorbrug)

I5U. Troitsky, M.S., Lazar, B.E.

Model analysis and design of cable-stayed bridges

Proceedings (The Institution of Civil Engineers), March 1971, V0I.U8,

P.U39-U6U.

155. Meier, U., Rösli, A.

Versuchseinrichtungen für Zugschwellbeanspruchungen an grogen Spannkabeln.

Schweizerische Bauzeitung, H.U, 1971, p.8l-86.

Zie ook H.16 (1971), p.375-380. Zie ook EMPA-Bericht nr.67537-

•156. Feige, A., Idelberger, K.

Long-Span Steel Highway Bridges Today and Tomorrow.

Acier-Stahl-Steel 5/1971, p.210-222.

157. Tang, M.C

Analysis of Cable-Stayed Girder Bridges.

Journal of the Structural Division, ASCE, Vol.97, May 1971, P.IU8I-IU96.

See also Oct.1971, p.2631-2632; March 1972, p.770-77U; April 1973, p.787.

158. FuSgangerbrücken - leicht und schlank durch Stahl.

Acier-Stahl-Steel 36 (1971), nr.6, p.263-267.

159. Donnelly, J.A.

Beauty of Steel Foot Bridges

Acier-Stahl-Steel, June 1971, p.263-267.

160. Longest Concrete Cable-Stayed Span Cantilevered over Tough Terrain (Wadi-Kuf)

Engineering News Record, July 15, 1971, p.28-29.

L-16

Daniel, H.

Die Rheinbrücke Duisburg-Neuenkamp.

Stahlbau Uo (1971), H.7, p.193-200; Ui (1972), H.l, p.7-lU; Ul (1972),

H.3, p.73-78.

River Foyle Bridge

Civil Eng. and Public Works Review (London), Vol.66, no.780,

July 1971

Demers, J.G., Simonsen, O.F.

Montreal Boasts Cable-Stayed Bridge (Papineau-Leblanc)

Civil Eng. ASCE, Aug.1971, p.59-63

Morandi, R.

Il ponte sul Wadi Kuf nell'Altopiano Cirenaico (Libia)

L'Industria Italiana del cemento. Ui (1971), Sept. p.613-632.

Thul, H.

Die Friedrich-Ebertbrücke in Bonn

Bauingenieur 1971, H.9, p.327-333

Erskine road bridge; U334 ft long cable-stayed bridge

Civil Engineering and Public Works Review 66 (1971), no.773,

p.505-510.

Tschemmernegg, F.

Zur Berechnung der Pylonen der Rheinbrücke Duisburg-Neuenkamp

Stahlbau Uo (1971), H.11, p.337-3U3.

Scalzi, J.B., Mc. Grath, W.K.

Mechanical Properties of Structural Cables

Journal of the Structural Division, ASCE, dec.1971, p.2837-28UU;

disc. Aug.1972, P.1883-I88U; April 1973, p.790.

Birdsall, 3.

Main Cables of Newport Suspension Bridge

Journal of the Structural Division, ASCE, Dec.1971, p.2825-2836.

L-17

170. Podolny, W.

Static Analysis of Cable-Stayed Bridges '

PhD Thesis, University of Pittsburgh, 1971

171• O'Connor, 0.

Design of Bridge Superstructures.

Wiley-Interscience, John Wiley, New York, 1971, p.U55-U88.

172. Rockey, K.C., Bannister, J.L., Evans, H.R.

Developments in Bridge .Design and Construction

Crosby Lockwood, London, 1971

P.45U-U78 A.F. Gee

Cable-Stayed Concrete Bridges

173. Idelberger, K.

Autobahnbrucke über rollende Eisenbahn lanciert

Stahlbau 8/1971, p.2U6-2U9-

L-l8

181. Hanel, J.J.

Die Erskine-Brücke- eine 1321 m lange Schragseilbrücke in Schotland

Stahlbau l/l972, p.26-29.

182. Lowy, S.H.

Approxim.ate stress analysis for guyed towers

Civil Engineering-A.S.CE. , March 1972, p.80-8l

183. Kerensky, O.A., Henderson, W., Brown, W.C

The Erskine Bridge

The Structural Engineer, April 1972, no.U, Vol.50, p.lU7-170.

See also discussion Nov.1972. See also Stahlbau 1/1972.

18U. Van Duyvendijk, G.J., Van Es, H., Saveur, J.

Tuibrug over de Waal bij Tiel (l)

Cement XXIV, april 1972, p.157-165.

185. Van Es, H., Otto, M.J., Snieder, W.

Tuibrug over de Waal bij Tiel (II)

Cement XXIV, mei 1972, p.171-l80

186. Cable-stayed bridges with bolted galvanized joints

Civil Engineering-ASCE, May 1972, p.98

187- Schreier, G.

Bridge over The Rhine at Düsseldorf

Acier-Stah-Steel 1972, H.5, p.209-223.

188. Hossdorf, H.

Modellversuche im Hinblick auf die Bemessung. IVBH/AIPC 9e Congres,

Amsterdam, 8-13 mei 1972: Einführungsbericht

189. Finsterwalder, U., Finsterwalder, K. .'.•.'

Neue Entwicklung von Paralleldrahtseil für Schragseil- und Spannbandbrücken

Preliminary Report, 9th lABSE Congress, Amsterdam, May 1972, p.877-883.

190. Leonhardt, F.

Seilkonstruktionen und seilverspannte Konstriiktionen

Introductory Report, 9th lABSE Congress, Amsterdam, May 1972.

••-.;, L-19 . *.. . .

191. Thul, H. -..•••

Schragseilbrücken . — •

Preliminary Report, 9th lABSE Congress, Amsterdam, May 1972, p.2U9-258

192. Lazar, B.E., Troitsky, M.S.

A Model Technique for Analysis of Nonlinear Structures

Experimental Mechanics, May 1972, p.2U3-2U6

193. Kondo, K., Komatsu, S., Inoue, H., Matsukawa, A.

Design and Construction of Toyosato-Ohhashi Bridge

Stahlbau, H.6, Juni 1972, p.l8l-l89- See also: Bridges in

Japan 197O-I97I ; p.38:p.U0. • .• •

19U. First U.S. Stayed Girder Span is a Slim, Economical Crossing

Engineering News Record 29-6-1972, p.lU-15. -" •

195. Dywidag-Spannverfahren, Paralleldrahtseil

Bericht Nr.lU, herausgeben von der Abteilung für Entwicklung

New York, Dyckerhoff and Widmann, Inc. June 1972.

196. Thul, H. •

Entwicklungen im Deutschen Schragseilbrückenbau

Stahlbau, H.6, Juni 1972, p.l6l-171; H.7, Juli 1972, p.20U-215.

197. Weisskopf, F.

World's longest span cable-stayed girder bridge over the Rhine

near Duisburg

Acier-Stahl-Steel, 1972, H.7, H.8

198. Lazar, B.E.

Stiffness Analysis of Cable-Stayed Bridges

Journal of the Structural Division, ASCE, o uly 1972, p.l605-l6l2

Disc. July 1973, p.1661-1663; Febr.197U, p.U67

199. Meuzelaar, L.C, Smit, D.R.

Ontwerp voor een betonnen tuibrug met als hoofdligger een

isotrope plaat.

Cement XXIV, 1972, nr.7, p.28U-287.

L-20

200. Lazar., B.E., Troitsky, M.S., Mc. Douglass, M.

Load Balancing Analysis of Cable-Stayed Bridges

Journal of the Structural Division, ASCE, Aug.1972, p.1725-17U0

201. Tang, Man-Chung

Design of Cable-Stayed Girder Bridges

Journal of the Structural Division, ASCE, Aug.1972, p.1789-l802

See also July 1973, p.1666-1667

202. Zenobi, G.

Die Veranker^ongen der Haupttragseile für die Olympia-Zeltdach-

konstruktion in München

Schweizerische Bauzeitung, 90. Jahrgang, H.35, 31 Aug.1972, p.8U3-850

203. Podolny, W., Fleming, J.F.

Historical Development of Cable-Stayed Bridges

Journal of the Structural Division, ASCE, Sept.1972, p.2079-2095

See also Discussion, April 1973, p.797-8; July 1973, p.n69-l672

20U. Borelly, W.

Nordbrücke Mannheim-Ludwigshafen

Bauingenieur U7 (1972),H.8, p.275-278; H.9, p.333-3U3.

205- Tschemmernegg, F.

Modellversuche und Entwurf von Schragseilbrücken

Bauingenieur U7 (1972), H.11, p.Ul6-Ul7

206. Kerensky, O.A., Henderson, W., Brown, W.C

The Erskine Bridge. Discussion

The Structural Engineer, Nov.1972, nr.ll, Vol.50, p.U51-U62

(see paper April 1972 ; litt.nr.l83)

207. Leonhardt, F., Zellner, W.

Vergleiche zwischen Hangebrücken und Schragkabelbrücken für

Spannweiten über 6OO m.

Publications lABSE-AIPC; vol.32-1, 1972, p.127-165.

L-21

208. Cullimore, M.S.G.

The fatigue strength of high tensile wire cable subjected to

stress fluctuations of small amplitude.

Mémoires AIPC 32-1; 1972, p.U9-56.

209. Morakami, Okubo

Wind Resistant Design of a Cable-stayed Girder Bridge

9e Congres AIPC, 1972, Amsterdam

210. Kavanagh, T.C

Cable Supported Bridges

Structural Designers Handbook. F.S. Merrit, ed. ., Mc. Graw-Hill

Book Co., New York, 1972, Section 14.

211. Wittfoht, H.

Triumph der Spannweiten

Betonverlag 1972

212. Der Bau der 2. Mainbrücke der Farbwerke Hoechst A.G.

New York, Dyckerhoff and Widmann, Inc. 1972.

213. Grupta, S.P.

Model Investigation and Analysis of Cable Stayed Bridge

Ph.D. Thesis, Brigham Young University, 1972 (l73p).

L-22

Wianecki, J.

Etude aêrodynamique sur modèle partiel du punt de Meules

Document CE.B.T.P. non publié; Paris, 17 jan. 1973.

Ditthardt, K.

Schragseilbrücke in Kanada (Papineau-Leblanc)

Stahlbau 1973, H.l, p.28-29. Zie ook 163.

Podolny, Jr., W.

Cable-Stayed Bridges of Prestressed Concrete

PCI Journal, Jan.-Febr. 1973, p.68-79. Comment Sept.-Oct.1973

Dompieri, I.

Der Bau der Wadi-el-Kuf-Brücke in Libyen.

Schweizerische Bauzeitung, 91- Jahrgang, H.11, 15 Marz 1973,

p.257-272.

vervallen

Tiel Bridge

STUP' Bulletin of Information, March-April 1973, p.7-13

Volke, E.

Die Strombrucke im Zuge der Nordbrücke Mannheim-Ludwigshafen

Stahlbau, U2 (1973), H.U, p.97-105, H.5, p.138-152.

Rademacher, C.H.

Die Strombrucke im Zuge der Nordbrücke Mannheim-Ludwigshafen

Stab.lbau U2 (1973), H.6, p.l6l-172.

Meuzelaar, L.C., Smit, D.R.

Krimp- en kruipverschijnselen. De invloeden van krimp- en kruip

verschijnselen bij betonnen tuibruggen en de mogelijkheid tot

eliminatie hiervan.

Cement XXV, 1973, nr.6, p.2U9-255.

L-23

250. Naruoka, M., Sakamato, T.

Ponts haubanês au Japon. Cable-Stayed Bridges in Japan

Acier-Stahl-Steel 1973, H.10, p.Ul3-Ul8.

251. Burgholzer, L., Garn, E., Schimetta, 0.

Die 2. Donaubrücke Linz.

Stahlbau 1973, H.11, p.321-332

252. Gute, W.L.

First vehicular cable-stayed bridge in the U.S.

Civil Engineering-ASCE, Nov.1973, p.50-55.

253. Loiseau, H., Szechenyi, E.

Etude aêrodynamique du pont de St. Nazaire

N.T.2/30UU RY, 3/30U4 RY et U/30UU RY.

Documents ONERA non publiés; Paris, nov. et dec.1973

25U. de Bok, R.

Brug der zuchten in het land van Maas en Waal (Tuibrug Tiel)

Elsevier Magazine no. U8, 1 dec. 1973, p.l03-10i+.

255- Kreher, K., Schambeck, H.

Bau der zweiten Mainbrücke der Farbwerke Hoechst AG.

Vortrage Betontag 1973. Wiesbaden, D.B.V., 1973, p.3U9-372.

256. Prestressed Concrete Cable-Stayed Bridges in Frankfurt.

FIP-Notes UU (1973), p-6 (Tuibrug Hoechst over de Main)

257. Kajita, T., Cheung, Y.K.

Finite Element Analysis of Cable-Stayed Bridges

Mémoires AIPC, 33-11-1973, p.101-112.

258. Heckel,

Some Remarks on Box Girder Erection

International Conference 1973, London on Steel Box Girder Bridges

259. Schambeck, H., Finsterwalder, K.

Spannbetonschragseilbrücken

Festschrift U. Finsterwalder-50 Jahre für Dywidag. Karlsruhe 1973.

L-2U

271 - Cable-Stayed Span will set U.S. Record

Engineering News Record 3-1/197U, p.lö

272. Rothmann, H.B., Fu-Kuei Chang

Longest precast concrete box-girder bridge in Western Hemisphere

Civil Engineering-ASCE, March 197U, p.56-60.

273. Wilson, A.J., Wheen, R.J.

Direct Design of Taut Cables under Uniform Loading

Journal of the Structural Division, ASCE, March 197U, p.565-578.

27U. Chaco-Corrientes, Latin America's Longest Cable-Supported Bridge

World Construction, V.27, March 197U, p.18-20.

275- Cable-stayed bridge will have record 98l-ft span

Sng. News Record, 21 March 197U, p.39

276. Meuzelaar, L.C, Smit, D.R.

Phénomènes de retrait et de fluage. L'influence au comportement

des ponts a haubans et la possibilite de son elimination.

Journées AFPC, 22-23 Avril 197U, p.183-190.

277- Brakel, J., Swart, J.J.

Considerations sur le projet et 1'execution des ponts a haubans

en béton prêcontraint.


278. Wianecki, J.

Etude aêrodynamique du pont des Meules (Pont de Brotonne)

Journées AFPC, 22-23 Avril 197U, p.96-10U.

279. Loiseau, H., Szechenyi, E.,

Etude du comportement aéroélastique du tablier d'un pont a haubans


280. Roche, J.

Les methodes d'étude aêrodynamique des ponts a haubans.


L-25

281. Bacarrère, J. '

Pont de Saint-Nazaire-Saint Brévin •

Journées AFPC, 22-23 Avril 197U, p.70-7U

282. Foucriat, J.

Conception et calcul du pont a haubans de Saint-Nazaire-Saint-Brévin


283. Ciolina, M.

Les ponts a haubans. Formes nouvelles et problemes spécifiques

Journées AFPC, 22-23 Avril 197U, p.51-59-

28U. Morris, N.F.

Dynamic Analysis of Cable-Stiffened Structures

Journal of the Structural Division ASCE, May 197U, p.971-981.

285. Mohsen, H.

Trends in the construction of steel highway-bridges

Acier-Stahl-Steel, 197U, H.6, p.267-278.

286. Burns, CA. , Fotheringham, W.D.

Deck panels for West Gate Bridge (Australia)

Acier-Stahl-Steel 197U, H.6, p.2U7-2U9.

287. DIN 1073. Stahlerne StraSenbrücken. Berechnungsgrundlagen. Juli 197U

288. Andra, W., Saul, R.

Versuche mit Bündeln aus parallelen Drahten und Litzen für

die Nordbrücke Mannheim-Ludwigshafen und das Zeltdach in München

Bautechnik 9/197U, p.289-298; 10/197U, p.332-3U0; 11/197U,

p.371-373.

289. Allan Firmage, A.

Europe's dramatic cable-stayed bridges

Civil Engineering ASCE, Sept.197U, p.108-112.

L-26

290. Cable-Stayed Bridge over the Columbia River

Engineering News Record 12/197U, p.39

291. Beyer, E., Lange, K.

Brücken aus Düsseldorf

Betonverlag 197U

292. Podclny, W.

Design Considerations in Cable-Stayed Bridges

Proc. Spec.Conf. on Metal Bridges

ASCE, 12-13 N0V.I97U; St. Louis, Missouri.'

293. Realisations Francaises en Béton Prêcontraint. Pont de Meules

FlP-congres 197U, New York, p.6-7

29U. Leonhardt, F.

The new Frontiers for Prestressed Concrete Design and Construction

Proc. 7th Congress of FIP, New York 197U, Vol.2

295. Kreher, K.

Kriterien und Methoden zur Beurteilung von Ingenieurbauwerken,

dargestellt am Beispiel einer Schragseilbrücke. Diss. Darmstadt 197U.

296. Leonhardt, F., Zellner, W.

Entwicklungen von weitgespannten Schragseilbrücken

p-77-95 uit boek van Beyer, E., Lange, L. Verkehrsbauten

Entwicklungstendenzen aus Düsseldorf

Betonverlag GmbH, Düsseldorf, 197U.

297. F. Leonhardt

Latest Developments of Cable-Stayed Bridges for Long Spans

Bygningsstatiske Meddelelser V0I.U5 (l97U), no.4, Kopenhagen, p.89-lU3

298. F. Leonhardt, W. Andra, W. Zellner

Entwicklung von weitgespannten Schragseilbrücken

Verkehrsbauten, p.78-95, Düsseldorf, Beton-Verlag, 197U.

299- Podolny, W.

Cable-Stayed Bridges

AISC Eng. Jounral, V.11, nr.l, 197U, p.1-11; zie ook V.11, nr.U, p.99-11

L-27

301. Kabelversteifte Spannbetonbrucke mit 300 m weiter Hauptöffnung

Bauingenieur 50 (1975), H.2, p.72

302. Brinkhorst, J., Spoelstra, J.S.

Brug over de Waal bij Ewijk

Bouwen met staal, febr.1975, p.2U-32

303. Van Neste, A.J.

Constructie Suurhoffbrug

Bouwen met staal febr.1975, p.13-l6

30U. Warolus, L.

Cable-Stayed Bridge over the Meuse at Heer-Agimont

Acier-Stahl-Steel, 5/1975, p.l6l-l66

305. Schwab, R.

Die Kö.hJ-brandkreuzung, U"oerbrückung einer Schiffahrtstrasse

im Hamburger Hafen

StraSe und Autobahn, May 1975, p.179-189-

306. Schwab, R., Homann, H.

<• Der Bau der Köhlbrandbrücke

Bautechnik, 1975, H.5, P.1U5-156.

307- Beyer, E-, Ramberger, G.

Die Franklinbrücke in Düsseldorf. Ein Langsverschub über

die Bundesbahn.

Stahlbau UU (1975), H.5, p.129-lUo.

308. The Danube Canal Bridge (Austria)

STUP Bulletin May-June 1975, p.11-15

309. Rabe, J., Baumer, H.

Die Gründungen und Pfeiler der Köhlbrandbrücke

Bautechnik, 1975, H.6, p.181-197

L-28

310. Brakel, J., Stroo, J., Stuurstraat, N.

Temperatuureffecten in tuibruggen

Cement XXVII, 1975, nr.6, p.270-272.

311. Boué, P., Höhne, K.J.

Der Stromüberbau der Köhlbrandbrücke

Stahlbau 1975, H.6, p.l6l-17U; H.7, p.203-211.

312. Kadlec, B.

De tuibrug over de Donau bij Bratislava

Bouwen met staal, aug.1975, p.31-36.

313. Homberg, H.

Le pont de Brotonne

Stahlbau 1975, H.8, p.235-2U3.

31U. Pont de Meules

FIP-Notes 5U (1975), p.13. Nu: Pont de Brotonne

315. Brakel, J.

On the Safety of Cable-Stayed Concrete Bridges

International Conference on Safety of Bridges, Wroclaw,

september 1975, p.61-82.

316. W. Zellner

Kunststoffe als Hilfsmittel für Hochfesten SeilkopfverguS und

als Korrosionsschutz

VDI-Berichte 1975, nr.225, p.51-62

317- W. Borelly

Diskussionsbeitrag zu Zellner

VDI-Berichte 1975, nr.225, p.63-69

318. F. Kehlbeck

EinfluS der Sonnenstrahlung bei Brückenbauwerken

Technische Universitat Hannover, Lehrstuhl für Massivbau

Düsseldorf, Werner-Verlag, 1975

319. A. Capra

Flambement des poteaux en béton arm.é soumis a des forces horizontales,

Annales ITBTP, jan. 1975, p.28-35-

L-29

331. Morisset, A.

Stabilité des piles et des pylones

Annales ITBTP, jan.1976, p.U9-6U

332. Bianchi, J., Sanson, R.

Le pont de St. Nazaire-St. Brevin

Travaux 1/1976, p.12-30

333. Van der Schaaf, T.

Cable-Stayed Bridge over the Waal near Ewijk

Acier-Stahl-Steel 1/1976, p.10-21

33U. Brault, J.L. , Mathivat, J.

Le pont de Brotonne; Conception; Enseignem.ents acquis après 18 mois

Travaux, febr. 1976, p.22-UU

335. Fernandez Casado, C , Montercia, J., Fernandez Troyano

Cable-Stayed Footbridge in Barcelona (E.CCS. Prize 1975)

Acier-Stahl-Steel, 2-1976, p.UU-53

336. Scheuch, G.

Moving the "Oberkasseier Brücke" at Düsseldorf

Acier-Stahl-Steel 2-1976, p.60-6U.

337- Bisch,

Les phénomènes d'aêroélasticitê dans les ponts élancês

Annales ITBTP, Mars 1976, p.35-U7

338. Kuang-Han Chu, Chia-Chium Ma, D.

Nonlinear Cable and Frame Interaction

Proc. ASCE, Journal Struct.Div. March 1976, p.569-589.

339. Morris, N.F.

Analysis of Cable-Stiffened Space Structures

Proc. ASCE, Journal Struct.Div. March 1976, p.501-515.

L-30

3U0. Sanson, R.

St. Nazaire-St. Brévin Bridge over the Loire Estuary (France)

Acier-Stahl-Steel 5-1976, p.l6l-l67-

3UI. Toth, I.

Pont de Saint Nazaire. Le plus long pont en France: 3356 m

Record mondial de portee pour les ponts a haubans: UoU m

La Technique des Travaux, mai-juin 1976, p.123-1 UU.

3U2. BBR: Cable-Stayed Structures. Some applications of BBR prestressing

technology. Report no. 760U, Bureau BBR Ltd., Zurich; June 1976.

3U3. Van der Put, T.A.C.M.

Stijfheid van constructies bij aërodynamische krachten

Polytechnisch Tijdschrift b31 (1976), nr.7, P.U3U-U39

3UU. Hatano, Y., Okamato, T., Yamaguchi, K.

Suchiro Bridge, Japan's Longest Cable-Stayed Bridge

Acier-Stahl-Steel, 7-8/1976, p.270-27U.

3U5. Schambeck, H.

Brücken aus Spannbeton: Wirklichkeiten, Möglichkeiten

Bauingenieur 51 (1976), H.8, p.285-298

3U6. Man-Chung-Tang

Buckling of Cable-Stayed Girder Bridges

Proc. ASCE, Journal Struct.Div. Sept. 1976, p.l675-l68U

3U7. Weitz, F.R.

tJberspannungen aus Stahlseilen. Konstruktionskomponenten für

den modernen GroSbrückenbau.

Bauingenieur 51 (1976), H.10, p.357-369

3U8. Joegoslavië bouwt een eerste tuispoorbrug ter wereld

Raadgevend Ingenieur 10/1976, p.U7 (kort bericht)

3U9. Contractor rides the tides to construct record stayed girder

Engineering News Record 16/1976, p.28

L-31

350. Pauser, A., Beschorner, K.

Betrachtungen über seilverspannte Massivbrücken, ausgehend

vom Bau der Schragseilbrücke über den Donaukanal Wien.

Beton- und Stahlbetonbau 71 (1976), H.11, p.261-265;

H.12, P.298-30U.

351. Podolny, Jr., W., Scalzi, J.B.

Construction and Design of Cable-Stayed Bridges

Wiley series of practical construction guides.

John Wiley & Sons, New York, London, Sydney, Toronto; 1976

352. R. Sanson:

Loire-Mündungsbrücke zwischen Saint Nazaire und Saint Brevin

Acier-Stahl-Steel Ul (1976), p.l6l-l67

353. Le pont de Saint Nazaire-Saint Brévin

Construction 10/1976, p.383-U22.

35U. J.S. Spoelstra

De stalen brug over de Waal bij Ewijk

Polytechnisch Tijdschrift nr.9 (1976), p.551-558

355a. J. Blaauwendraad"

Ontwerpsystemen voor (staal)constructeurs

Bouwen met staal juli 1976, p.13-lU

b. Th. N. Kayser, M.J. van Koetsveld

Stalen bruggenprogramma; hoe verder?(Voorbeeld: brug Ewijk)

Bouwen met staal juli 1976, p.lU-19.

356. N. Hajdin

Vergleich zwischen den Paralleldrahtseilen und verschlossenen

Seilen am Beispiel der Eisenbahnschragseilbrücke über die Save

in Belgrad.

Kongress IVBH, Tokyo 1976 (Vorbericht)

357. H. Daiguji, Y. Yamada

Optimum design of cable-stayed bridges, using an optimality

parameter.

Final Report 10th Con.gress lABSE, Tokyo, sept. 1976.

http://Con.gr

L-32

358. Podolny, W.

Cable-Stayed Versus Classical Suspension Bridges

Transp.Eng. Journal, ASCE, V.102, May 1976, p.291-311.

359. Scanlan, R.H.

Modern Approaches to Solution of the Wind Problems of Long

Span Bridges.

AISC Eng.Journal, V.13:2, 1976, p.26-3U.

360. Gade, R.H.; Bosch, H.R., Podolny, W.

Recent Aerodynamic Studies of Long-Span Bridges

ASCE, J.Struct.Div. V.102, July 1976, p.1299-1315.

360a. Gimsing, N.J.

Multispan Stayed Girder Bridges

ASCE,J.Struct.Div. V.102, Oct.1976, p.1989-2003.

L-33

361. M. Vanbourdolle, J. Ciolina, J. Bacarrère

Le pont de Saint Nazaire-Saint Brévin

Annales ITBTP 3U7 (1977), p.l3-U3

362. J. Bacarrère

Montage de l'ouvrage mêtallique (St. Nazaire-St. Brévin)

Annales ITBTP nr.3U7 (1977), p.28-U3

363. R. Grafe

Brücke über die Mündung der Loire zwischen Saint Nazaire und

Saint Brévin als Schragseilbrücke mit UoU m Spannweite der

Schiffahrtsöffnung.

Der Stahlbau U6 (1977), p.120-122.

36U. C S . Kleinekoort

Berekeningsaspecten van de stalen tuibrug bij Ewijk

1. De tuiwerking

Polytechnisch Tijdschrift nr.l (1977), p.U3-51

2. De kokerwerking


3. Stabiliteit van de koker


365. E. Völkel, W. Zellner, A. Dornecker

Die Schragseilbrücke für FuSganger über den Neckar in Mannheim

Beton- und Stahlbetonbau 2/1977, p.29-35; 3/1977, p.59-6U

366.

Europe's First Cable-Stayed Prestressed Railroad Bridge (near London)

PCI Journal, Sept.-Oct. 1977, p-119

367.

Unique Bridge (Ruck-A-Chucky Bridge)

U.S. Government Printing Office 1977-2U0-962/2 1-3

L-3U

368. T.Y. Lin

Design for a Suspended Arc Bridge (Ruck-A-Chucky Bridge)

FIP Notes 68, may, June 1977, P-U, 5-

369- Brotonne Bridge, France, World record concrete span

FIP Notes, sept., oct. 1977, p.7, 8

370.

Le pont de Brotonne

Annales des Ponts et Chaussees, no.U, 4e trimestre 1977, p.Ul-U5

371. -

Kwang Fu Bridge, Taiwan

Freyssinet International FI. 1092 A 12/77

372.

Pasco-Kennewick Bridge

Freyssinet International FI. 1039A 12/77

373.

World's first cable-stayed precast segmental bridge (Pasco-Kennewick)

Concrete Products, nov.1977

37U.

Tentative Recommendations for Cable-Stayed Bridge Structures.

Proc.ASCE., J.Struct.Div., May 1977, p-929-939-

375.

Commentary on the Tentative Recommendations for Cable-Stayed

Bridge Structures.

Proc. ASCE, J. Struct.Div. May 1977, p.9U1-959.

376. B. Hafke

Die Randebrucke

Stahlbau 5/1977, p.155-156.

377. K. Idelberger

Aussichtskorb am Seilmast: StraSenbrucke über Donau in Pregburg,

Tsjechoslowakei

Stahlbau 5/1977, p.156.

L -35

378. A. Grant

Pasco-Kennewick Bridge- The Longest Cable-Stayed Bridge

in North Am.erica.

Civil Eng. V.U7, Aug.1977, p.63-66

379-

Biblipgraphy and Data on Cable-Stayed Bridges

Proc. ASCE, J.Struct.Div. Oct.1977, p.1971-200U

380. G. Epple, E. Rössing, E. Schaber, L. Wintergerst,

Die neue Rheinbrücke für die Bundesautobahn bei Speyer

Stahlbau 11/1977, p.3Ul- 353; 12/1977, p-372-383-

Zie ook Stahlbau 12/1978, p.38U.

381. - • .

Verschuiving van de Oberkasselerbrug te Düsseldorf

Bouwen met staal, jan.1977, p.19-22; zie ook I 336j.

382. M.S. Troitsky

Cable-stayed bridges. Theory and design.

Crosby Lockwood Staples, London, 1977-

383. Temple, M.C.

Buckling of Stayed Columns

ASCE, J.Struct.Div. V.103, April 1977, p.839-851

38U. Beyer, E., Volke, E., Gottstein, F.V., Ramberger, G.

Neubau und Querverschub der Rheinbrücke Dusseldorf-Oberkassel.

Stahlbau Mrt.1977, p.65-80, April 1977, p.113-122; Mei 1977,

P.1U8-I5U; Juni 1977, p.176-188.

385. Komatsu, S., Torii, Y., Okada, S.

Cable-Stayed Bridge "Rokko Okkashi" at Kobe (Japan)

Acier-Stahl-Steel, March 1977, p.101-106.

L-36

391. C Sedlacek

Montage der stahlernen Schragseilbrücke über die Loiremundung

zwischen St. Nazaire und St. Brévin.

Bauingenieur 1/1978, p.7-8

392. W. Fuchs

Die Loire-Brücke bei St. Nazaire

Bauingenieur 1/1978, p. 19-20.

393. A. Onlemutz

Schragseil- und Stragenbrucke mit einseitiger Eisenbahnbelastung

Stahlbau 1/1978, p.29-30; zie ook p.352.

39U. C C Ulstrup

Natural frequencies of axially loaded bridge members.

Proc. ASCE, J.Struct.Div. Febr.1978, p.357-36U.

395- H.M. Irvines

Free vibrations of inclined cables,

Proc. ASCE, J.Struct.Div. Febr.1978, p.343-3U7.

396.

Betonieren des Pylons der Rheinbrücke Düsseldorf-Flehe

Beton- und Stahlbetonbau 3/1978, p. Al 7-19-

397. N. Hajdin, L. Jevtovic

Eisenbahnschragseilbrücke über die Save in Belgrad

Stahlbau 4/1978, p.97-106.

398. F. StandfuB

Spannbeton im Stragen-Brückenbau (.FIP-Kongress London 1978)

Beton- und Stahlbetonbau U/1978, p.77-82.

399.

De brug over de Rio Magdalena in Barranquila, Columbia

L'Industria Italiana del Cemento U/1978, p.280-288.

400.

Luling bridge

Freyssinet International mei/juni 1978, p.11

401. A. Grant and Ass.

Segments of cable stayed bridge adhesive bounded (Pasco Kennewick)

Construction, May 1970, p.3.

L-37

U02. -

Corrosion forces bridge cable repair (Köhlbrandbrücke)

Eng. News Record, 18-5-1978, p. 41.

U03. -

The Intercity Bridge over the Columbia River between Pasco and

Kennewick, Washington.

P.C.I. Journal 9/10 1978, p.58-59.

40U. H. Wittfoht:

Brücken-Vortragsveranstaltung und Seminar (FlP-congres Londen 1978)

(o.a. tuibruggen Brotonne, Ebro, Pasco-Kennewick, Rio Magdalena,

Ganterbrücke, Ruck-A-Chucky).

Beton- und Stahlbetonbau 10/1978, p.23U-238.

405. K. Idelberger

Die Schragseilbrücke mit A-Pylon über den Rhein bei Neuwied

Stahlbau 10/1978, p.302-307.

Uo6. J. Brunner, R. Schonnagel, D. Feder

Die Donaubrücke Deggerau

Stahlbau 10/1978, p.289-29U; 11/1978, p.339-347.

407. A. Linse, K. WöSner.

Kochertalbrücke-Entwürfe einer GroSbrücke (ook enige tuibruggen)

Bauingenieur 1978, •p.U53-463-

U08. R. Walther

BemerKenswerte Spannbetonbrücken

Schweizerische Bauzeitung 96 (1978), H.lU, p. 236-2U4.

U09- -

Omstogawa-spoorbrug (Japan; tweesporig).

Journal of Japan Prestressed Concrete Eng.,Ass. Vol.20, p.78

410.

La Technique Francaise du Béton Prêcontraint (o.a. Pont de Brotonne)

London; AFB Paris 1978.

L-38

Uil.a. K. Iwamura, F. Newoto, Y. Nojivi

Hamana Bridge

FIP 78 Proceedings, part.2, p.136-143

b. F. Leonhardt, W. Zellner, H. Svensson

Columbia River Bridge

FIP 78 Proceedings, part.2, p.lU4-153

c. A. Fried

The Rip Bridge

FIP 78 Proceedings, part. 2, p.l5U-l63.

d. J. Mathivat

The Brotonne Bridge

FIP 78 Proceedings, part.2, p.l6U-172.

412.

Tentative Recommendations for Cable Stayed Bridge Structures.

Closure of discussion (see also 37U, 375)

Proc. ASCE, J. Struct.Div. nov.1978, p.l801-l802.

U13.a. J.H. Clark

Relation of Erection Planning to Design

b. C P . Bridges

Erection Control of Pasco-Kennewick Intercity Bridge

Cable-Stayed Bridges, Structural Eng. Series, nr.U, Bridge

Division, Federal Highway Administration, Washington DC, -June 1978.

UlU. Y. Yamada, H. Daiguji, K. Imamura

Extended study of the optimality parameter design for cable-stayed

bridges.

Bridge and Foundation Eng. Jan./Febr. 1978.

L-39

U21. J. Modemann, K. Thönnissen

Die neue Rheinbrücke Düsseldorf-Flehe/Neuss-Uedesheim

Planung, Entwurf, Ausschreibung, u.s.w.

Bauingenieur 1/1979, p.1-12.

U22. G. Scheuch

Die neue Rheinbrücke Neuwied-Weissenthurm und ihr Verschub

Bautechnik 1/1979, p-32-33-

U23. A. Chajes, Wen-Sen Chen

Stability of Guyed Towers

Proc. ASCE, J.Struct.Div. Jan.1979, p.l63-17U.

U2U. H.W. Bennenk

Zuidelijke voetgangersbrug in Alkmaar-Huiswaard (houten tuibrug)

Houttechniek 3/1979, p- 56-60 ; U/1979, p. 81-86.

U25- G. Dittmann, K.G. Bondre

Die neue Rheinbrücke Düsseldorf-Flehe/Neuss-Uedesheim

Statische Berechnung des Gesamtsystems.

Bauingenieur 1979, p.59-66.

U26. W. Zellner, P. Schmidts

Rheinbrücke Düsseldorf-Flehe/Neuss-Uedesheim

Spannbeton-Vorlandbrücke


U27- K. Gossow

Seilverspannte Pylonbrücke im Sport-, Freizeit- und

Erhohlungsgebiet "Salzgittersee"

Stahlbau 4/1979, p.115-117,

428, W. Andra, R. Saul

Die Festigkeit, insbesondere Dauerfestigkeit langer Paralleldrahtbündel,

Bautechnik 4/1979, p.128-130.

U29. H. Schambeck, H. Forst, N. Honnefelder.

Der Betonpylon der Rheinbrücke Düsseldorf-Flehe/Neuss-Uedesheim

Konstruktion, Berechnung, Ausführung.

Bauingenieur 1979, p.111-117-

U30. A. Ohlemutz

Neue Schragseilbrücke über die Missisippi

Stahlbau 5/1979, p.151-152.

L-UO

U3I. A. Grant

The Pasco-Kennewick Intercity Bridge

P.C .I.-Journal, may/june 1979, p.90-109.

U32. B.E. Gurth

The Bridge (Pasco-Kennewick)

PCI-Journal, may/june 1979, p. 110-112

U33. C P . Bridges, C S . Coulter

Geometry Control for the Intercity Bridge

PCI-Journal, may/june 1979, p.113-12U.

43U. R. Kahmann, E. Koger

Rheinbrücke Düsseldorf-Flehe/Neuss-Uedesheim

Koordination der Gesamtbaumagnahmen und Beschreibung des Stahluberbaus

Bauingenieiur 1979, p. 177-187.

U35. K. Roik, J. Haensel

Die Entwurfsüberarbeitung der West Gate Brücke in Melbourne

(n.a.v. instorting tijdens bouw)

Stahlbau 7/1979, p.197-20U.

U36. F. Leonhardt, W. Zellner, R. Saul

Zwei Schragkabelbrücken für Eisenbahn- und StraSenverkehr über

den Rio Parana (Argentinien)

Stahlbau 8/1979, p.225-236; 9/1979, p.272-277.

U37- C Menn, H. Rigendinger

Ganterbrücke

Schweizer. Ing.u.Arch. 20-9-1979, p.733-738.

U38. F. Ciolina

Un nouveau pont sur le Rhin, le pont de Reiffeisen

Travaux, sept. 1979, P.U9-5U.

U39- Zung-An Lu

Dynamic Analysis of Cable-Hung Ruck-A-Chucky Bridge

Proc. ASCE, J.Struct.Div. Oct. 1979, p.2009-2068.

UUO. F. Leonhardt, W. Zellner, R. Saul

Modellversuche für die Schragseilkabelorucken Zarate-Braza

Largo über den Rio Parana (.Argentinien)


L-Ul

UUi. F.R. Weitz

Die Komplexitat von Konstruktionssystem und Fertigungstechniek

am Beispiel der Stahlbrückenmontage (ook enige tuibruggen)

Bauingenieur 1979, p.355-36U.

UU2. T.Y. Lin, H.K. Lu, 0. Redfield ' '•

The Design of the Ruck-A-Chucky Bridge

Concrete Int. July 1979, p.31-37- •

U43.

U.K. Rail Crossing. Cable-stayed bridge

Constr.Ind.Int.-Roads and Bridges 1979, p.U2-U3.

UUU. -

All-concrete cable-stayed railway bridge

Concrete, april 1979, p- 12-13.

UU5, M. Virlogeux:

Les ponts de portee moyenne

M, Placidi:

Les ponts mis en place par rotation

Journées d'études CEIFICI-AFPC, 2U-25 oct. 1979-

L-U2

U51. F. Leonhardt, W, Zellner, H, Svensson

Die Spannbeton-Schragkabelbrücke über den Columbia River zwischen

Pasco 'und Kennewick im Staat Washington, U.S,A,

Beton- und Stahlbetonbau 2/1980, p,29-36; 3/1980, p,6U-70; U/1980,

P.9O-9U,

U52, J, Scheer, J. Falke

Zur Berechnung geneigter Seile

Bauingenieur 5/1980, p.l69-17U.

U53. W. Fuchs

Spannbeton-Schragkabelbrücke in Segmentbauweise (Pasco-Kennewick)

Bauingenieur 5/1980, P.17U-I83.

U5U. -

Argentina. Major cable-stayed bridges provide vital link

(Parana River Crossings)

Construction Industry International, Sept.1980, p.U7-55.

U55. -

Hannibal's way - A major Swiss bridge (Ganter bridge)

International Construction, Sept. 198O, p.23-2U.

U56. Final Report 11th Congress lABSE, Wenen, sept.l980

a. M.S. Causevic

Computing intrinsic values of flexural vibrations of cable-stayed bridges;

p. 603-608.

b. Y. Yamada, D. Okui, H. Daiguji

Interactive and automated design of cable-stayed bridges, p.615-620.

c. D. Sfintesco

Evolution dans la conception des grands ponts en acier; p.717-726.

d. N.J. Gimsing

Cable systems for bridges, p.727-732.

e. E. Kalhauge, G. Haas, K. Ostenfeld

Great Belt bridge - Tender projects; p.785-790.

f. F.D. Sears

The Luling Bridge (USA); p.791-796.

g. P. Moreau, M. Placidi, M. Virlogeux

La construction des passerelles de Meylan et de I'lllhof; p.821-822.

h. P. Xercavins, P.E. Mondorf:

Parallel Strand Cable Stays. Static and fatigue Strength.

L-43

457. F. Leonhardt, W. Zellner, R. Saul

Die Betonpylonen und Unterbauen der Schragseilbrücken

Zirate-Brazo Largo über den Rio Parana (Argentinië)

Bauingenieur 55 (1980), p.1-10

L-50

Boeken en algemene artikelen over tuibruggen (volgens nummers van de

bibliografie); (B) = boek.

001(3) 002(3) 003 007 OlU 0l8(3) 038 0U8 055 056(B) 068 071 073

075 096 098 106 107 130 132 13U 156 170(B) 171(B) lt2(B) 190

191 196 203 207 210(B) 211(3) 2U3 250 259 277 283 285 289

29U 296 3U5 350 351(B) 379 382(B) 398 UoU U07 U08 U10 Uil

UUi U56

Artikelen over de berekening van tuibruggen (volgens nummers van de

bibliografie)

a. Statische berekening:

009 OUO OUl 0U3 061 065 067 070 079 086 103

111 15U 157 192 198 200 201 205 257 292 338

355 36U U56.b

b. Wind (aërodynamische berekening; zie ook aanvullende litt. in 6.8):

039 053 082 092 09U 102 209 2Ul 253 278 279 280 337 3U3

c. Tijdsafhankelijke effecten (krimp en kruip):

091 2U9 276

d. Temperatuur: g. Dynamische effecten; trillingen

310 365 • 3U3 39U 395 U39 U56.a

e. Veiligheid h. Voorschriften (Am.)

315 • 37U 375 U12 .... .

f. Stabiliteit: i. Corrosiebescherming

331 3U6 365 396 U23 U29 U02

251 33U

Artikelen over kabels van tuibruggen (ook over tuikabels algemeen):

OOU 010 016 033 03U 05U O8U 100 121 122 135 155

168 169 189 195 202 208 288 3U7 356 U02 U28 U52

Meting kabelkrachten: 121

Voetbruggen: 021 036 O88 158 159 335 3U2 365 U56.g

Spoorbruggen: 3U2 3U8 356 36U 393 397 U09

Ruimtelijke tuiconstructies: 103 l82 339 U52

Systeem BBRV: 3U2

Systeem Dywidag: 195; zie ook 212 255 256

Systeem Freyssinet: 18U 185 2U6

L-51

Artikelen over individuele tuibruggen (volgens nummers van de bibliografie)

Nr. Aanduiding brug Rivier, kanaal. Stad, Land, Artikelnr. o.d. o.d.

1.

2.

3.

U.

5-

6.

7-

8.

9.

10.

11 .

12.

13.

1U.

15.

16.

17.

18.

19-

20.

21 .

22.

23.

Strömsundbrug

Nordbrücke

Usk-bridge

Severinsbrucke

Norderelbebrücke

Maracaibobrug

Zoobrücke

Leverküsen

Rijnbruggen

Grote Belt

Rijnbrug

Donaubrug

Rijnbrug

Oberkasseier Brücke

Erskine brug

Batman

Kniebrücke

Pont de la Bourse

Nordbrücke

Rijn

Rijn

Meer van Maracaibo

Rijn

Rijn

Rijn

Grote Belt

Rijn

Donau

Rijn

Dnjepr

Rijn

Rijn

Rijn (Kurt Schumacherbrücke)

Massenabrug

Galecopperbrug

Suurhoffbruggen

Seine

A'dam-Rijnkan.

Zweden

Düsseldorf

Engeland

Keulen

Hamburg

Venezuela

Keulen

Leverküsen

Keulen

Denemarken

Maxaii (Did)

Bratislava

Rees-Kalkar

Kiew

Düsseldorf

Engeland

Tasmania

Düsseldorf

Le Havre

Mannheim-Ludwigshafen

Parijs

Utrecht

006

008 025

013

022

037

0U2

OUU

062

076

081

033

089

093

095

096

099 183

lOU

109

12U

125 2U8

127

152

153

019

064

031

OU5

OU7

072

069

090

312

336

101 206

126

133 288

303

023

031

050

080

377

381

166

20U 3U2

02U

035

123

181

2U7

L-52

Nr. Aanduiding brug Rivier, kanaal, o.d.

Stad, Land, o.d.

Artikelnr.

2U. Wadi Kufbrug

25. Papineau-Leblanc

26. Rijnbrug

27. Friedrich Ebert Brücke

28. Waalbrug

29 • Mainbrücke.

30. 2e Donaubrücke

31. Chaco-Corrientes

32. St. Nazaire-St . Brévin

33. Pont de Brotonne ( " " Meules)

3U. Pasco-Kennewick

35. Rijnbruggen

36. Waalbrug

37• Maasbrug

38. Köhlbrandbrücke

39 - Franklinbrücke

Uo. Donaukanalbrücke

Wadi Kuf

Rijn

Rijn

Waal

Main

Donau

Loiremonding

Seine

Columbia River

Rijn

Waal

Maas

Köhlbrand (Süderelbei

Donaukanal

Ui. Japanse tuibruggen

U2. Zarate-Braza Largo Parana River

U3. Düsseldorf-Flehe Rijn

UU. Neuwied-Weissenthurm Rijn

U5. Barranquila Rio Magdalena

U6. Rheinbrücke Rijn

U7. Ruck-A-Chucky Br. American River

Libye 16O 16U 2UU

Canada(Montreal)l63 2U2

Duisburg Neuenkamp

Bonn

Tiel

Farbwerke Hoechst

Linz

Z.Am.

Frankrijk

161

165

18U

212

251

27^^

281

167

185

255

282

197

2U6

256

332

25U

3UO 3U1 352 353 362 361 363 391 392

Ca.udebec- 278 293 313 31U en- Caux 33U 369 370

Wash.(USA) 290, 372, 373, 378, U03, UoU, Ui 1 .0, Ui3.a en b; U31, U32, U51, U53

Düsseldorf 291

Ewijk 302 333 35U 355 36U

Heer- 30U Agimont(Bl

Hamburg 305 306 309 311

Düsseldorf 307 .

Wenen 308 350

Japan 122 193 250 3UU U09

Argentinië U36 UUO U5U

Düsseldorf 396 U21 U25 U26 U29 U3U

Neuwied U05 U22

Columbia 399 UoU

Speyer 38O

California 367 368 U39 UU2

Verwijderd uit catalogus

TU Delft Library

Tuibruggen in Voorgespannen Beton Deel II

Documents

Transcript of Tuibruggen in Voorgespannen Beton Deel II