TỔNG HỢP CÔNG THỨC HÌNH HỌC LỚP 10 + Quy tắc hình bình …

VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack

Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official

TỔNG HỢP CÔNG THỨC HÌNH HỌC LỚP 10

CHƯƠNG 1. VÉC-TƠ

+ Quy tắc hình bình hành:

Cho hình bình hành ABCD, ta có: AD AB AC+ =

(Tổng hai vectơ cạnh chung điểm đầu của một hình bình hành bằng vectơ đường

chéo có cùng điểm đầu đó.)

+ Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ a ,b,c tùy ý ta có

a b b a+ = + (tính chất giao hoán)

( ) ( )a b c a b c+ + = + + (tính chất kết hợp)

a 0 0 a a+ = + = (tính chất của vectơ - không)

+ Quy tắc ba điểm

Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta luôn có: AB BC AC+ =



+ Quy tắc trừ: AB AC CB− =

+ Với 4 điểm A, B, C, D bất kì, ta luôn có: AB CD AD CB+ = +

+ Công thức trung điểm:

- Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi IA IB 0+ =

- Với mọi điểm M bất kì ta có: MA MB 2MI+ =

+ Công thức trọng tâm

- G là trung điểm của tam giác ABC khi và chỉ khi GA GB GC 0+ + =

- Với mọi điểm M bất kì ta có: MA MB MC 3MG+ + =

+ Tính chất tích của vectơ với một số

Với hai vectơ a và b bất kì, với mọi số h và k, ta có

( )k a b ka kb+ = +

( )h k a ha ka+ = +

( ) ( )h ka hk a=

( )1.a a, 1 .a a= − = −

+ Điều kiện để hai vectơ cùng phương:

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ a và b ( )b 0 cùng phương là có một số k để

a kb=

+ Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ a và b không cùng phương. Khi đó mọi vectơ x đều phân tích

được một cách duy nhất theo hai vectơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao

cho x ha kb= +

+ Hệ trục tọa độ

- Hai vectơ bằng nhau:

Nếu ( )u x;y= và ( )u x ;y = thì x x

u uy y

==

=



- Tọa độ của vectơ

Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) thì ta có ( )B A B AAB x x ;y y= − −

- Cho ( )1 2u u ;u= và ( )1 2v v ;v= . Khi đó

( )1 1 2 2u v u v ;u v+ = + +

( )1 1 2 2u v u v ;u v− = − −

( )1 1ku ku ;ku ,k=

- Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng

Cho đoạn thẳng AB có A(xA; yA), B(xB; yB) và I(xI; yI) là trung điểm của AB

Khi đó ta có

A BI

A BI

x xx

2

y yy

2

+=

+ =

- Tọa độ trọng tâm của tam giác

Cho tam giác ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC). Khi đó tọa độ trọng tâm

G(xG; yG) của tam giác ABC là:

A B CG

A B CG

x x xx

3

y y yy

3

+ +=

+ + =

CHƯƠNG 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

1. Tích vô hướng của hai vectơ

- Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 . Tích vô hướng của hai vectơ a và b là

một số, kí hiệu là a.b và

( )a.b a . b cos a,b=

- Nếu a hoặc b bằng 0 thì a.b = 0

- Với a và b khác vectơ 0 ta có a.b 0 a b= ⊥



+ Tính chất của tích vô hướng

Với ba vectơ a,b,c bất kì và mọi số k ta có:

a.b b.a= (tính chất giao hoán)

( )a. b c a.b a.c+ = + (tính chất phân phối)

( ) ( ) ( )ka .b k a.b a. kb= =

2 2

a 0,a 0 a 0. = =

+ Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho ( ) ( )1 2 1 2a a ;a ,b b ;b= =

Khi đó: 1 1 2 2a.b a b a b= +

+ Hai vectơ vuông góc: 1 1 2 2a b a b a b 0.⊥ + =

+ Độ dài của vectơ ( )1 2a a ;a= là: 2 2

1 2a a a= +

+ Góc giữa hai vectơ

Cho ( ) ( )1 2 1 2a a ;a ,b b ;b= = đều khác vectơ 0 thì ta có:

( ) 1 1 2 2

2 2 2 2

1 2 1 2

a.b a b a bcos a;b

a . b a a . b b

+= =

+ +

+ Khoảng cách giữa hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB):

AB = ( ) ( )2 2

B A B Ax x y y− + −

2. Các hệ thức lượng trong tam giác

+ Hệ thức lượng trong tam giác vuông

BC2 = AB2 + AC (định lý Py-ta-go)



AB2 = BH.BC; AC2 =CH.BC

AH2 = BH.CH

AH.BC = AB.AC

2 2 2

1 1 1

AH AB AC= +

+ Định lý côsin

Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c thì

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c 2bccosA

b a c 2accosB

c a b 2abcosC

= + −

= + −

= + −

Hệ quả định lý côsin

2 2 2b c acosA

2bc

+ −=

2 2 2a c bcosB

2ac

+ −=

2 2 2a b ccosC

2ab

+ −=

+ Công thức độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi ma, mb, mc là độ dài các đường

trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác. Khi đó ta có



( )2 2 2

2

a

2 b c am

4

+ −=

( )2 2 2

2

b

2 a c bm

4

+ −=

( )2 2 2

2

c

2 a b cm

4

+ −=

+ Định lý sin

Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đường

tròn ngoại tiếp, ta có:

a b c2R

sin A sin B sinC= = =

3. Công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c.

ha; hb; hc lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ A, B và C của tam giác ABC.

R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và a b c

p2

+ +=

là nửa chu vi của tam giác ABC. Khi đó ta có

S = a b c

1 1 1ah ah ah

2 2 2= =

S = 1

absinC2

= 1

bcsin A2

= 1

casinB2

S = abc

4R

S = pr

S = ( )( )( )p p a p b p c− − − (công thức Hê-rông)

+ Đặc biệt

Tam giác vuông: S = 1

x2

tích hai cạnh góc vuông



Tam giác đều cạnh a: S = 2a 3

4

Hình vuông cạnh a: S = a2

Hình chữ nhật: S = dài x rộng

Hình bình hành ABCD: S = đáy x chiều cao hoặc S = AB.AD.sinA

Hình thoi ABCD: S = đáy x chiều cao

S = AB.AD.sinA

S = 1

2x tích hai đường chéo

Hình tròn: S = 2R (R là bán kính)

CHƯƠNG III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

1. Các dạng phương trình đường thẳng

a) Phương trình tổng quát của đường thẳng

+) Đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và nhận vectơ ( )n a;b= làm VTPT với

2 2a b 0+ có phương trình là: a(x - x0) + b(y - y0) = 0

Hay ax + by - ax0 - by0 = 0

Đặt -ax0 - by0 = c

Khi đó ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d nhận ( )n a;b= làm VTPT

là: ax + by + c = 0 ( 2 2a b 0+ ).

+) Các dạng đặc biệt của phương trình đường thẳng

- (d): ax + c = 0 (a 0): (d) song song hoặc trùng với Oy

- (d): by + c = 0 (b 0): (d) song song hoặc trùng với Ox

- (d): ax + by = 0 ( )2 2a b 0+ : (d) đi qua gốc tọa độ

- Phương trình đoạn chắn: x y

a b+ = 1 nên (d) đi qua A(a; 0) và B(0; b) (a, b 0)

b) Phương trình tham số của đường thẳng



Đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và nhận ( )1 2u a ;a= làm VTCP có phương

trình tham số là: 0 1

0 2

x x a t

y y a t

= +

= + (với t là tham số, 2 2

1 2a a 0+ )

c) Phương trình chính tắc của đường thẳng

Có dạng: 0 0

1 2

x x y y

a a

− −= ( )a,b 0 là đường thẳng đi qua điểm M(x0; y0) và nhận

( )1 2u a ;a= làm VTCP.

d) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB) có dạng:

+ Nếu A B

A B

x x

y y

thì đường thẳng AB có PT chính tắc là: A A

B A B A

x x y y

x x y y

− −=

− −

+ Nếu xA = xB thì AB: x = xA

+ Nếu yA = yB thì AB: y = yA

e) Phương trình đường thẳng theo hệ số góc

- Đường thẳng d đi qua điêm M(x0; y0) và có hệ số góc là k.

Phương trình đường thẳng d là: y - y0 = k(x - x0)

- Rút gọn phương trình này ta được dạng quen: y = kx + m

với k là hệ số góc và m là tung độ gốc.

2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2x + c2 = 0

+ Cách 1. Áp dụng trong trường hợp a1.b1.c1 0

Nếu 2 2 2

1 1 1

a b c

a b c= = thì 1 2d d

Nếu 2 2 2

1 1 1

a b c

a b c= thì d1 // d2

Nếu 2 2

1 1

a b

a b thì d1 cắt d2



+ Cách 2. Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 (nếu có) là nghiệm của hệ

phương trình

1 1 1

2 2 2

a x b y c 0

a x b y c 0

+ + =

+ + = (I)

- Hệ (I) có một nghiệm (x0; y0). Khi đó d1 cắt d2 tại điểm M0(x0; y0)

- Hệ (I) có vô số nghiệm, khi đó d1 trùng với d2

- Hệ (I) vô nghiệm, khi đó d1 và d2 không có điểm chung, hay d1 song song với d2.

3. Góc giữa hai đường thẳng


Gọi là góc giữa hai đường thẳng d1 và d2. Kí hiệu = (d1; d2)

Khi đó ta có: 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a a b bcos

a b . a b

+ =

+ +

4. Phương trình phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2


Phương trình phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 là

1 1 1 2 2 2

2 2 2 2

1 1 2 2

a y b y c a y b y c

a b a b

+ + + +=

+ +

(góc nhọn lấy dấu -, góc tù lấy dấu +)

5. Khoảng cách

+ Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng ( ) : ax + by + c = 0

d(M, ) = 0 0

2 2

ax by c

a b

+ +

+

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d1: ax + by + c1 = 0 và

d2: ax + by + c2 = 0 là

d(d1; d2) = 1 2

2 2

c c

a b

−

+



6. Phương trình đường tròn

+ Dạng 1:

Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R có dạng

(x - a)2 + (y - b)2 = R2

+ Dạng 2:

Phương trình có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 với a2 + b2 - c > 0 là phương trình

đường tròn tâm I(a, b) và bán kính R = 2 2a b c+ − .

7. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(x0; y0) của đường tròn tâm I(a; b) có dạng

( )( ) ( )( )0 0 0 0x a x x y b y y 0− − + − − =

8. Elip

a) Hình dạng của elip

+ F1, F2 là hai tiêu điểm

+ F1F2 = 2c là tiêu của của Elip

+ Trục đối xứng Ox, Oy

+ Tâm đối xứng O

+ Tọa độ các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0), B1(0; –b), B2(0; b).

+ Độ dài trục lớn A1A2 = 2a. Độ dài trục bé B1B2 = 2b.

+ Tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0).



b) Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: 2 2

2 2

x y1

a b+ = với 2 2 2b a c= −

9. Hypebol

a) Phương trình chính tắc của hypebol

Với F1(-c; 0), F2(c; 0)

M(x; y) (H) 2 2

2 2

x y1

a b− = với 2 2 2b c a= − là phương trình chính tắc của

hypebol.

b) Tính chất

+ Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(-c; 0), tiêu điểm phải F2(c; 0)

+ Các đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0)

+ Trục Ox gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo của hypebol.

Độ dài trục thực 2a

Độ dài trục ảo 2b

+ Hypebol có hai nhánh:

- Nhánh phải ứng với x a

- Nhánh trái ứng với x a −

+ Hypebol có hai đường tiệm cận, có phương trình y = b

xa

+ Tâm sai: e = c

1a .

10. Parabol



a) Phương trình chính tắc của parabol

Parabol (P) có tiêu điểm F(p

;02

) (với p = d(F; ) được gọi là tham số tiêu) và các

đường chuẩn là : x = p

2− (p > 0)

M(x; y) (P) 2y 2px = (*)

(*) được gọi phương trình chính tắc của parabol (P).

b) Tính chất

+ Tiêu điểm F(p

2; 0)

+ Phương trình đường chuẩn : x = p

2−

+ Gốc tọa độ O được gọi đỉnh của parabol

+ Ox là trục đối xứng.

TỔNG HỢP CÔNG THỨC HÌNH HỌC LỚP 10 + Quy tắc hình bình …

Documents

Transcript of TỔNG HỢP CÔNG THỨC HÌNH HỌC LỚP 10 + Quy tắc hình bình …