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Theory of Elasticity 弹性力学

朱鸿鹄南京大学地球科学与工程学院

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第六章用有限单元法解平面问题

早在二十世纪四十年代初，欧拉等人就提

出了有限单元法（finite element method，简称FEM）的基本思想，但一直没有引起人们的足够重视。直到五十年代中期，才开始有人利用这种思想对航空工程中的飞机结构进行矩阵分析。

一、有限单元法是随着电子计算机的应用而发展起来的一种有效的离散化数值解法

有限单元法的发展简介

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有限单元法的分析思路是，将整个结构看作是由有限个力学小单元相互连接而形成的集合体，每个单元的力学特性组合在一起便可提供整体结构的力学特性。这种处理问题的思路，在1960年被广泛用于求解弹性力学的平面应力问题，并开始使用“有限单元法”这一术语。

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几十年来，有限单元法已在各个工程领域得到了广泛的应用，相应的大型软件已成为现代工程设计中一个重要的不可缺少的计算工具。特别是近年来，由于计算机辅助设计在工程设计中日益广泛的应用，有限元程序包亦已成为CAD常用计算方法库中不可缺少的重要内容之一，并且与优化设计技术结合，形成了大规模的集成系统。工程设计人员使用这些系统，就可以高效而正确合理地确定

佳设计方案。

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刚架位移法的解体思路-弹性力学平面问题

平衡问题-稳定问题与动力问题

弹性问题-弹塑性与粘性问题、土力学与岩石力学

结构计算-结构优化设计问题

工程力学-力学的其它领域

固体力学-流体力学、渗流与固结理论、热传导

与热应力、磁场及建筑声学与噪生问题

二、有限元法的发展带动了其他领域的发展

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1、新型单元的研究

2、有限元法数学基础的奠定

3、向新领域的扩展

4、通用程序编制和设计自动化的研究

三、近年来的研究前沿课题

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随着有限元法的不断应用和计算机的高速

发展,很多工程软件已成为有效的科学计算手段并大量用于世纪工程中. 如：ANSYS 、ADINA、ABAQUS、SAP等。

这些软件虽仅是计算工具，但他们的发展也

为有限元法的应用拓宽了领域，趋近于多元化、多角度、多功能的计算。特别是前、后处理的不断更新和优化，使得软件的功能越来越强大。

四.有限元法的成就

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下面是著名软件ANSYS的介绍：

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ANSYS创始人：John A. Swanson 博士

有限元界著名权威，匹兹堡大学工学院以他命名

美国康奈尔大学机械工程学士(1962)、硕士(1963)，匹兹堡大学应用力学系博士(1966)

1963-1969 年在西屋电气公司实验室（ WestinghouseAstronuclear Laboratory）应力分析组工作

2009年成为美国工程院院士

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ANSYS公司（原名Swanson Analysis Systems, Inc.）成立于1970年，总部位于美国宾西法尼亚州的匹兹堡市

ANSYS= Analysis System

1995年5月在设计分析类软件中第一个通过了ISO9001质量体系认证

2002年9月被美国《Business2.0》杂志评为100家发展快的科技公司

2002年10月“福布斯200” 佳小型企业名单中位居第56位

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ANSYS软件是融结构、热、流体、电磁、声学于

一体的大型通用有限元分析软件，可广泛用于核

工业、铁道、石油化工、航空航天、机械制造、

能源、汽车交通、国防军工、电子、土木工程、

造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电

等一般工业及科学研究。

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• 热分析

• 流体分析 (CFD)

• 电磁分析

• 耦合场分析 - 多物理场

ANSYS功能概览

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ANSYS软件多物理场耦合的功能,允许在统

一模型上进行各式各样的耦合计算,如：

热—流体耦合,磁—电耦合,以及电—磁—

流体—热耦合，确保了所有的ANSYS用户的

多领域多变工程问题的求解。

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ANSYS/ FLOTRAN

ANSYS/

Emag

ANSYS/

Structural

ANSYS/ Multiphysics ANSYS/

LS-DYNA

ANSYS/

Mechanical

ANSYS/

LinearPlus

ANSYS/

Thermal

ANSYS家族产品www.slope.com.cn

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ANSYS命令流/prep7

et,1,plane42

KEYOPT,1,3,2 !平面应变选项

mp,ex,1,20e9 !岩体弹性模型

mp,prxy,1,0.22 !岩体泊松比

mp,dens,1,2600 !岩体密度

k,1,0,0,0 !根据坐标生成关键点

k,2,0,505,0

……

solve

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ANSYS 结构分析概览

静力分析 - 用于静态载荷. 可以

考虑结构的线性及非线性行为，

例如:大变形、大应变、应力刚

化、接触、塑性、超弹及蠕变等

结构分析的类型:

模态分析 - 计算线性结构的自振

频率及振形.谱分析是模态分析的扩

展，用于计算由于随机振动引起的

结构应力和应变 (也叫作响应谱).

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谐响应分析 - 确定线性结构对

随时间按正弦曲线变化的载荷

的响应.

瞬态动力学分析 - 确定结构对

随时间任意变化的载荷的响应

. 可以考虑与静力分析相同的

结构非线性行为.

特征屈曲分析 - 用于计算线性

屈曲载荷并确定屈曲模态形状

. (结合瞬态动力学分析可以

实现非线性屈曲分析.)

专项分析: 断裂分析, 复合材

料分析，疲劳分析Courtesy: Sikorsky Aircraft

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用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所有的非线性行为.

它的显式方程求解冲击、碰撞、快速成型等问题，是目前求解这类问题有效的方法.

ANSYS除了提供标准的隐式动力学分析以外，还提供了显式动力学分析模块ANSYS/LS-DYNA.

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ANSYS热分析概览

热分析之后往往进行结构分析,计算由于热膨胀或收缩不均匀引起的应力.

ANSYS功能:

相变 (熔化及凝固), 内热源 (例如电阻发热等)

三种热传递方式 (热传导、热对流、热辐射)

ANSYS 热分析计算物体的稳态或瞬态温度分布，以及热量的获取或损失、热梯度、热通量等.

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ANSYS电磁分析概览

磁场分析中考虑的物理量

是磁通量密度、磁场密度

、磁力、磁力矩、阻抗、

电感、涡流、能耗及磁通

量泄漏等.

磁场可由电流、永磁体、

外加磁场等产生.

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磁场分析的类型:

静磁场分析 - 计算直流电

（DC)或永磁体产生的磁

场.

交变磁场分析 - 计算由于

交流电(AC)产生的磁场.

瞬态磁场分析- 计算随时

间随机变化的电流或外

界引起的磁场.

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电场分析用于计算电阻或电容系统的电场. 典型的物理

量有电流密度、电荷密度、电场及电阻热等.

高频电磁场分析用于微波及RF无源组件，波导、雷达系

统、同轴连接器等分析.

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ANSYS 流体分析概览流体分析用于确定流体的流动及热行为. 流体分析分以下几类:

CFD - ANSYS/FLOTRAN 提供强大的计算

流体动力学分析功能，包括不可压缩或可压

缩流体、层流及湍流，以及多组份流等.

声学分析 - 考虑流体介质与周围固体的相

互作用, 进行声波传递或水下结构的动力学

分析等.

容器内流体分析 - 考虑容器内的非流动流

体的影响. 可以确定由于晃动引起的静水压

力.

流体动力学耦合分析 - 在考虑流体约束质

量的动力响应基础上，在结构动力学分析中

使用流体耦合单元.

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ANSYS 耦合场分析概览耦合场分析考虑两个或多个物理场之间的相互作用。如果两个物理场

之间相互影响，单独求解一个物理场是不可能得到正确结果的，因此

你需要一个能够将两个物理场组合到一起求解的分析软件。

例如：在压电力分析中，需要同时求解电压分布（电场分析）和应变

（结构分析）.

两根热膨胀系数不同的棒焊接在一起，图示为加热后的变形.

其他需要耦合场分析的典型情况有：

热—应力分析

流体—结构相互作用

感应加热（电磁—热）, 感应振荡

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ANSYS应用的成功案例摩托车车架的ANSYS分析（重庆大学机械学院）

有限元模型

高应力区域

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高尔夫球杆击打过程模拟

高尔夫球杆模型

击打过程中整体结构的动态响应

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平板轧制过程的有限元模拟(东北大学)

三维弹性辊轧制过程计算模型

辊轧制过程动画演示

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电视机抗跌落分析

电视机连带外包装的模型

瞬态动力响应

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1 弹性力学与结构力学的区别

§ 6-1 基本量和基本方程的矩阵表示

l

q

4

lh

q

4

lh

浅梁

深梁

平截面假设成立

x

y y

z

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2 几何方程---位移与应变之间的关系

x

ux

y

vy

x

v

y

uxy

v

u

xy

y

x

xy

y

x

0

0

xy

yxA0

0

dA T ----几何方程

微分算子矩阵

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3 物理方程---应力与应变关系

广义虎克定律

0 zxyzz 对于平面应力问题

)(1

yxx E

)(1

xyy E

xyxy

xy EG

)1(2

)(1 2 yxx

E

)(1 2 xyy

E

xyxy

E

2

1

1 2

xx

y

y

yxyx

xy

xy

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对于平面应变问题

D

其中:

xy

y

x

xy

y

x

应力向量应变向量

2

100

01

01

1 2

E

D

弹性矩阵

将平面应力问题的弹性矩阵中的E换成换成。

21

E

1

,

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§6-2 有限单元法的概念

一、有限单元法的基本思想

假想的把一连续体分割成数目有限的小体（单元），彼此间只在数目有限的指定点（结点）出相互连结，组成一个单元的集合体以代替原来的连续体，再在结点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。选择一个简单的函数来近似地表示位移分量的分布规律，建立位移和节点力之间的关系。

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有限元法的实质是：把有无限个自由度

的连续体，理想化为只有有限个自由度的单

元集合体，使问题简化为适合于数值解法的

结构型问题。

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二、经典解与有限元解的区别：

微分数目增到∞ 建立一个描述连续体

经典解法 ——

（解析法）大小趋于 0 性质的偏微分方程

有限单元离散化集合总体分析解

有限元法——连续体——单元——代替原连续体

（近似法）（单元分析）线性方程组

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x

y

为平面应力问题，由于结构的对称性可取结构的1/4来研究，故所取的力学模型

三、有限元法算题的基本步骤

1. 力学模型的选取（平面问题，平面应变问题，平面应力问题，轴对称问题，空间问题，板，梁，杆或组合体等，对称或反对称等）

例如：

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根据题目的要求，可选择适当的单元把结

构离散化。对于平面问题可用三角元、四边元等。

2. 单元的选取、结构的离散化

例如：

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eNf

3. 选择单元的位移模式

（6-1）

f ——单元内任一点的位移列阵； e ——单元的结点位移列阵； N ——单元的形函数矩阵；（它的元素是

任一点位置坐标的函数）

在有限元法中，通常都是假定单元的位移模

式是多项式，一般来说，单元位移多项式的项数应与单元的自由度数相等。它的阶数至少包含常数项和一次项。至于高次项要选取多少项，则应视单元的类型而定。

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eB

eBD

4. 单元的力学特性分析

把（6-1）式代入几何方程可推倒出用单元结点位移表示的单元应变表达式：

（6-2）

式中： ——单元内任一点应变列阵； B ——单元的应变矩阵；（它的元素仍为位置坐标的函数）

再把（6-2）式代入物理方程，可导出用单元结点位移列阵表示的单元应力表达式：

（6-3）

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后利用弹性体的虚功方程建立单元结点力阵与结点位移列阵之间的关系，即形成单元的刚度方程式：

——单元内任一点的应力列阵； D ——单元的弹性矩阵，（它与材料的

特性有关）

式中：

——单元刚度矩阵

ee eF k （6-4）

v

Te dxdydzBDBk式中：

（6-5）

eBD www.slope.com.cn

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考虑整体结构的约束情况，修改整体刚度方程之后，（6-6）式就变成以结点位移为未知数的代数方程组。解此方程组可求出结点位移。

用直接刚度法将单刚组集成总纲，并将组集成总载荷列阵，形成总体结构的刚度方程：

ek K

eF F

（6-6） K F

5. 建立整体结构的刚度方程

6. 求解修改后的整体结构刚度方程

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求解出整体结构的位移和应力后，可有选

择地整理输出某些关键点的位移值和应力值，特别要输出结构的变形图、应力图、应变图、

结构仿真变形过程动画图及整体结构的弯矩、剪力图等等。

8. 计算结果输出

解出整体结构的结点位移列阵后，再

根据单元结点的编号找出对应于单元的位移列阵，将代入（6-3）式就可求出各单元的应力分量值。

e e

7. 由单元的结点位移列阵计算单元应力www.slope.com.cn

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§ 6-3 单元的位移模式与解答的收敛性

一、离散化

在运用有限单元法分析弹性力学平面问

题时，第一步就是要对弹性体进行离散化，把一个连续的弹性体变换为一个离散的结构物。对于平面问题，三角形单元是简单、也是常用的单元，在平面应力问题中，单元为三角形板，而在平面应变问题中，则是三棱柱。

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假设采用三角形单元，把弹性体划分为

有限个互不重叠的三角形。这些三角形在其顶点（即节点）处互相连接，组成一个单元集合体，以替代原来的弹性体。同时，将所有作用在单元上的载荷（包括集中载荷、表面载荷和体积载荷），都按虚功等效的原则移置到节点上，成为等效节点载荷。由此便得到了平面问题的有限元计算模型，如图6-1所示。

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图6-1 弹性体和有限元计算模型

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图6-2 平面三角形单元

ui (Ui )

um (Um )

uj (Uj )

vj (Vj )

vi (Vi )um (Um )

j

i

m

x

y

o

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二、位移

首先，我们来分析一下三角形单元的力学特性，即建立以单元节点位移表示单元内各点位移的关系式。设单元e的节点编号为i、j、m，如图6-2所示。由弹性力学平面问题可知，每个节点在其单元平面内的位移可以有两个分量，所以整个三角形单元将有六个节点位移分量，即六个自由度。

ui (Ui )

um (Um )

uj (Uj )

vj (Vj )

vi (Vi ) um (Um )

j

i

m

x

y

o

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Tmmjjii

TTm

Tj

Ti

e vuvuvu

Tiii vu其中的子矩阵

（i，j，m 轮换） (a)

式中 ui、vi 是节点i在x轴和y轴方向的位移。

(6-7)

在有限单元法中，虽然是用离散化模型来代替原来的连续体，但每一个单元体仍是一个弹性体，其内部依然是符合弹性力学基本假设的，弹性力学的基本方程在每个单元内部都适用。

位移用列阵可表示为：

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从弹性力学平面问题的解析解法中可知，如果

弹性体内的位移分量函数已知，则应变分量和应力分量也就确定了。但是，如果只知道弹性体中某几个点的位移分量的值，那么就不能直接求得应变分量和应力分量。

因此，在进行有限元分析时，必须先假定一个位移模式。由于在弹性体内，各点的位移变化情况非常复杂，很难在整个弹性体内选取一个恰当的位移函数来表示位移的复杂变化，但是如果将整个区域分割成许多小单元，那么在每个单元的局部范围内就可以采用比较简单的函数来近似地表示单元的真实位移，将各单元的位移式连接起来，便可近似地表示整个区域的真实位移函数。

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u x y

v x y

1 2 3

4 5 6

这种化繁为简、联合局部逼近整体的思想，正是有限单元法的绝妙之处。

基于上述思想，我们可以选择一个单元位

移模式，单元内各点的位移可按此位移模式由单元节点位移通过插值而获得。线性函数是一种简单的单元位移模式，故设

(b)

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式中 1、2、…6是待定常数。因三角形单元共有六个自由度，且位移函数u、v在三个

节点处的数值应该等于这些点处的位移分量的数值。假设节点i、j、m的坐标分别为(xi ,yi )、 (xj , yj) 、 ( xm , ym)，代入 (b) 式，得：

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

,

,

,

i i i j i i

j j j j j j

m m m m m m

u x y v x y

u x y v x y

u x y v x y

(c)

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2

1

1

1

x y

x y

x y

i i

j j

m m

由 (c) 式左边的三个方程可以求得

mm

jj

ii

mm

jj

ii

mmm

jjj

iii

ux

ux

ux

yu

yu

yu

yxu

yxu

yxu

1

1

1

2

1 ,

1

1

1

2

1 ,

2

1121

(d)

其中 (6-8)

从解析几何可知，式中的就是三角形i、j、m的面积。为保证求得的面积为正值，节点i、j、m的编排次序必须是逆时针方向，如图6-2所示。

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图6-2 平面三角形单元

ui (Ui )

um (Um )

uj (Uj )

vj (Vj )

vi (Vi )um (Um )

j

i

m

x

y

o

将 (d) 式代入 (b) 式的第一式，经整理后得到

1

2 i i i i j j j j m m m mu a b x c y u a b x c y u a b x c y u

(e)

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mjm

ji

mjm

ji

jmmjmm

jji

xxx

xc

yyy

yb

yxyxyx

yxa

1

1

1

1

其中

同理可得

若令 N a b x c yi i i i 1

2（i , j , m轮换）(6-10)

（i , j , m轮换） (6-9)

v a b x c y v a b x c y v a b x c y vi i i i j j j j m m m m 1

2(f)

u a b x c y u a b x c y u a b x c y ui i i i j j j j m m m m 1

2www.slope.com.cn

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式中 I是二阶单位矩阵；Ni 、Nj 、Nm

是坐标的函数，它们反映了单元的位移状态，所以一般称之为形状函数，简称形函数。矩阵 [N] 叫做形函数矩阵。

u N u N u N u

v N v N v N vi i j j m m

i i j j m m

(6-11)

eemji NINININ

v

uf

也可写成矩阵形式

(6-12)

这样，位移模式 (e) 和 (f) 就可以写为www.slope.com.cn

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形函数的性质

N a b x c yi i i i 1

2

在前面的分析中，提出了形函数的概念，即

2

1

1

1

x y

x y

x y

i i

j j

m m

其中

（i , j , m轮换）

现在我们来讨论一下形函数所具有的一些性质。

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第六章用有限单元法解平面问题 N a b x c yi i i i

1

2

根据行列式的性质：行列式的任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零，并注意到（6-9）式中的常数ai 、bi 、ci ，aj 、bj 、cj 和am 、bm 、cm 分别是行列式2的第一行、第二行和第三行各元素的代数余子式，我们有

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⒈ 形函数在各单元节点上的值，具有“本点是1、它点为零”的性质，即

在节点i上，

在节点j、m上，

N x y a b x c yi i i i i i i m , 1

21

(a)

N x y a b x c yi j j i i j i j , 1

20

(b)

N x y a b x c yi m m i i m i m , 1

20

(c)

N a b x c yi i i i 1

2www.slope.com.cn

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类似地有

N x y N x y N x y

N x y N x y N x y

j i i j j j j m m

m i i m j j m m m

, , , , ,

, , , , , 1

0 1 0

0 0(d)

, 1i i iN x y , 0i j jN x y , 0i m mN x y

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⒉ 在单元的任一节点上，三个形函数之和等于1，即

N x y N x y N x y

a b x c y a b x c y a b x c y

a a a b b b x c c c y

i j m

i i i j j j m m m

i m m i j m i j m

, , ,

1

21

21

(e)

简记为 N N Ni j m 1 (6-22)

这说明，三个形函数中只有二个是独立的。

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⒊三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端节点坐标有关、而与其它节点坐标无关。例如，在i j 边上，有

, 1

,

, 0

ii

j i

ij

j i

m

x xN x y

x x

x xN x y

x x

N x y

(6-23)

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推导过程：因i j 边的直线方程方程为

yy y

x xx x

b

cx x yi j

i ji

m

mi i

(f)

代入（6-10）式中的Nm (x , y) ，有

N x y a b x cb

cx x y

a b x c y

m m m mm

mi i

m m i m i

,

1

2

1

20

(g)

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代入（6-10）式中的Nj (x , y)，有

N x y a b x cb

cx x y

a b x c y b x xb c

cx x

b c b c

cx x

j j j jm

mi i

j j i j i j im j

mi

j m m j

mi

,

1

2

1

2

1

2

(h)

故有 N x yx x

x xji

j i

,

(g)

yy y

x xx x

b

cx x yi j

i ji

m

mi i

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另外可求得

, 1 1 ii j m

j i

x xN x y N N

x x

(h)

利用形函数的这一性质可以证明，相邻单元的位移分别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的。

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第六章用有限单元法解平面问题www.slope.com.cn

这样，不论按哪个单元来计算，根据（6-11）式，公共边ij上的位移均由下式表示

j

i

n

m

x

y

o图6-3

式中 Ni , Nj 的表达形式如（6-23）式所示。

(i)

例如，对图6-3所示的单元jm和ijn，具有公共边ij。

i i j j

i i j j

u N u N u

v N v N v

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由此可见，在公共边上的位移u、v 将完全由公共边上的两个节点i、j 的位移所确，因而

相邻单元的位移是保持连续的。为了在以后讨论问题中能够比较方便地确定单元中任意一点处的形函数数值，这里引入面积坐标的概念。

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在图6-4所示的三角形单元ijm中，

任意一点P(x , y)的位置可以用以下三个比值来确定

o

y

x

Li =0

Li =1/4

Li =1/2

Li =3/4

Li =1

Pj

i

m

图6-4

式中为三角形单元ijm的面积，i 、j 、m分别是三角形Pjm、Pmi、Pij的面积。这三个比值就叫做P点的面积坐标。

mm

jj

ii LLL (6-24)

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mji

1 mji LLL

显然这三个面积坐标并不是完全独立的，由于

所以有：

o

y

x

Li =0

Li =1/4

Li =1/2

Li =3/4

Li =1

Pj

i

m

图6-4

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ycxba

yx

yx

yx

iii

mm

iii 2

1

1

1

1

2

1

ycxbaL iiii

i

2

1

而三角形pjm的面积为：

故有：

类似地有 L a b x c yj

jj j j

1

2(6-25)

L a b x c ymm

m m m

1

2(6-26)

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由此可见，前述的三角形常应变单元中的形函数Ni 、Nj 、Nm 就是面积坐标Li 、Lj 、Lm 。

根据面积坐标的定义，我们不难发现，在平行jm边的直线上的所有各点，都有相同的坐标Li ，并且该坐标就等于“该直线至jm边的距离”与“节点i至jm边的距离”之比，图6-4中给出了Li 的一些等值线。

o

y

x

Li =0

Li =1/4

Li =1/2

Li =3/4

Li =1

Pj

i

m

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容易看出，单元三个节点的面积坐标分别为

节点 i： Li =1 Lj =0 Lm =0节点 j： Li =0 Lj =1 Lm =0

节点m： Li =0 Lj =0 Lm =1

不难验证，面积坐标与直角坐标之间存在以下变换关系： x x L x L x L

y y L y L y L

L L L

i i j j m m

i i j j m m

i j m

1

(6-27)

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求面积坐标的幂函数在三角形单元上的积分时，有

L L L dxdyi j m

! ! !

( )!22 (6-29)

式中、、为整常数。若求面积坐标的幂

函数在三角形某一边上的积分值时，则可用下式

L L ds li j

l

! !

( ) !1(6-30)

式中 l为该边的长度。

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收敛准则

对于一个数值计算方法，一般总是希望随着网格的逐步细分所得到的解答能够收敛于问题的精确解。根据前面的分析，我们知道，在有限元分析中，一旦确定了单元的形状之后，位移模式的选择将是非常关键的。由于载荷的移置、应力矩阵和刚度矩阵的建立等等，都依赖于单元的位移模式，所以，如果所选择的位移模式与真实的位移分布有很大的差别，那么就很难获得良好的数值解。

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可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系数的数值比精确值要大。所以，在给定的载荷之下，有限元计算模型的变形将比实际结构的变形小。因而，当单元网格分得越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到真实解的下界。

为了保证解答的收敛性，要求位移模式必须满足三个条件。

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⑴ 位移模式必须包含单元的刚体位移。也

就是说，当节点位移是由某个刚体位移所引起时，弹性体内将不会产生应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过节点位移引起单元刚体位移的能力。例如，在§6-2节的位移模式(b)中，常数项1、4 就是用于提供刚体位移的。

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⑵ 位移模式必须能包含单元的常应变。每个

单元的应变一般都是包含着两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标位置有关的应变（即所谓各点的变应变）；另一部分是与位置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。

从物理意义上看，当单元尺寸无限缩小时，每个单元中的应变应该趋于常量。因此，在位移模式中必须包含有这些常应变，否则就不可能使数值解收敛于正确解。很显然，在前面的位移模式(b)中，与2、3、5、6 有关的线性项就是提供单元中的常应变的。

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⑶ 位移模式在单元内要连续、且在相邻

单元之间的位移必须协调。当选择多项式来构成位移模式时，单元内的连续性要求总是得到满足的，单元间的位移协调性，就是要求单元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。通常，当单元交界面上的位移取决于该交界面上节点的位移时，就可以保证位移的协调性。

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在有限单元法中，把能够满足条件1和2的单元，称为完备单元；满足条件3的单元，叫做协调单元或保续单元。

前面讨论过的三角形单元和矩形单元，均能同时满足上述三个条件，因此都属于完备的协调单元。

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在某些梁、板及壳体分析中，要使单元满足条件3比较困难，所以实践中有时也出现一些只满足条件1和2的单元，其收敛性往往也能够令人满意特别是放松条件3的单元，即完备而不协调的单元，已获得了很多成功的应用。

对于不协调单元，其主要的缺点是不能事先确定其刚度与真实刚度之间的大小关系。但值得指出的是，不协调单元一般不象协调单元那样刚硬（即比较柔软），因此有可能会比协调单元收敛得快。

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在选择多项式作为单元的位移模式时，其阶次的确定，要考虑解答的收敛性，即单元的完备性和协调性要求。实践证明，这两项确实是所要考虑的重要因素，但并不是唯一的因素。

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选择多项式位移模式阶次时，需要考虑的另一个因素是，所选的模式应该与局部坐标系的方位无关，这一性质称为几何各向同性。对于线性多项式，各向同性的要求通常就等价于位移模式必须包含常应变状态。对于高次位移模式，就是不应该有一个偏惠的坐标方向，也就是位移形式不应该随局部坐标的更换而改变。经验证明，实现几何各向同性的一种有效方法是，根据图6-10所示的巴斯卡三角形来选择二维多项式的各项。在二维多项式中，如果包含有对称轴一边的某一项，那么就必须同时包含有另一边的对称项。

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选择多项式位移模式时，还应该要考虑的一个因素就是，多项式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外节点的自由度数。通常是取项数与单元的外节点的自由度数相等，取过多的项数是不恰当的。

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1

2 2

3 2 2 3

4 3 2 2 3 4

5 4 3 2 2 3 4 5

x y

x xy y

x x y xy y

x x y x y xy y

x x y x y x y xy y

常数项

线性项

二次项

三次项

四次项

五次项

对称轴

图6-10巴斯卡三角形

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§6-4 应变和应力列阵

x

y

xy

u

xv

yu

y

v

x

有了单元的位移模式，就可以利用平面问题的几何方程

求得应变分量。将 (e) 、(f) 两式代入上式，即得：

1

2

0 0 0

0 0 0

b b b

c c c

c b c b c b

i j m

i j m

i i j j m m

e (g)

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可简写成

其中 [B] 矩阵叫做单元应变矩阵，可写成分块形式

而子矩阵

由于和bi 、bj 、bm 、ci 、cj 、cm 等都是常量，所以矩阵[B]中的

诸元素都是常量，因而单元中各点的应变分量也都是常量，通常称这种单元为常应变单元。

B

b

c

c bi

i

i

i i

1

2

0

0 （i , j , m轮换） (6-15)

B B B Bi j m (6-14)

Be

(6-13)

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D求得应变之后，再将（6-13）式代入物理方程，便可推导出以节点位移表示的应力。即

D Be

(6-16)

S D B (h)

Se

(6-17)

令

则

其中 [S]叫做应力矩阵，若写成分块形式，有

S D B B B S S Si j m i j m (6-18)

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对于平面应力问题，弹性矩阵[D]为

DE

1

1

1

0 01

2

2

对

称 (i)

所以，[S]的子矩阵可记为

S D BE

b c

b c

c b

i i

i i

i i

i i

2 1 1

2

1

2

2

（i , j , m轮换） (6-19)

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对于平面应变问题，只要将 (i) 式中的E换成E/1-2 ，换成 /1-，即得到其弹性矩阵

DE

1

1 1 2

1

11

0 01 2

2 1

对

称 (j)

（i , j , m轮换）(6-20)

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1

1

2 1 1 2 1

1 2 1 2

2 1 2 1

i i

i i i i

i i

b c

ES D B b c

c b

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注意到（6-7）式，则有

S S Si i j j m m(6-21)

由（6-19）、（6-20）式不难看出，[S]中的诸元素都是常量，所以每个单元中的应力分量也是常量。

可见，对于常应变单元，由于所选取的位移模式是线性的，因而其相邻单元将具有不同的应力和应变，即在单元的公共边界上应力和应变的值将会有突变，但位移却是连续的。

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一. 单元刚度矩阵

Te T T Ti j m

T

i i j j m m

R R R R

U V U V U V

§6-5 单元的结点力列阵与劲度（刚度）矩阵

为了推导单元的节点力和节点位移之间的关系，可应用虚位移原理对图6-2中的单元e进行分析。单元e是在等效节点力的作用下处于平衡的，而这种节点力可采用列阵表示为

(a)

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e

i i j j m m

Tu v u v u v

假设在单元e中发生有虚位移，则相应的三个节点i、j、m 的虚位移为

且假设单元内各点的虚位移为{f *}，并具有与真实位移相同的位移模式。

故有 f Ne (c)

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参照（6-13）式，单元内的虚应变{ *}为

于是，作用在单元体上的外力在虚位移上所做的功可写为

Be

(d)

({ } ) e T eR (f)

而单元内的应力在虚应变上所做的功为

T

tdxdy (g)

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({ } ) e T T eB D B tdxdy

({ } ) ({ } ) e T e e T T eR B D B tdxdy

R B D B tdxdye T e

这里我们假定单元的厚度t为常量。把（d ）式及（6-16）式代入上式，并将提到积分号的前面，则有

根据虚位移原理，由（f）和（h）式可得到单元的虚功方程，即

注意到虚位移是任意的，所以等式两边与相乘的项应该相等，即得

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记 tdxdyBDBk Te

(6-32)

则有 eee kR (6-33)

上式就是表征单元的节点力和节点位移之间关系的刚度方程，[k]e就是单元刚度矩阵。如果单元的材料是均质的，那么矩阵[D] 中的元素就是常量，并且对于三角形常应变单元，[B]矩阵中的元素也是常量。当单元的厚度也是常量时，因，所以（6-28）式可以简化为

[k]e =[B]T [D][B]t (6-34)

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与前面讨论过的情况类似，单元刚度矩阵[k]中任一列的元素分别等于该单元的某个节点沿坐标方向发生单位位移时，在各节点上所引起的节点力。单元的刚度取决于单元的大小、方向和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。

将（6-30）式写成分块形式，即可得到平面应力问题中三角形单元的刚度矩阵

mmmjmi

jmjjji

imijii

mjiT

m

Tj

Ti

e

kkk

kkk

kkk

tBBBD

B

B

B

k (6-35)

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k B D B t

Et b b c c b c c b

c b b c c c b b

rs r

T

s

r s r s r s r s

r s r s r s r s

4 1

1

2

1

21

2

1

2

2

kE t

b b c c b c c b

c b b c c c b brs

r s r s r s r s

r s r s r s r s

1

4 1 1 2

1 2

2 1 1

1 2

2 1

1

1 2

2 1

1 2

2 1

其中

( r = i、j、m；s = i、j、m ) (6-36)对于平面应变问题，只要将上式中的E、分别换成E / 1- 2 和 / 1-即可。于是

( r = i、j、m；s = i、j、m ) (6-37)

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