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Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Facultad de Ciencias

Instituto de Matemáticas  

 

 

 

 

 

  

 

"Una visión Socioepistemológica del rol de la argumentación gráfica en la resignificación del conocimiento matemático en torno a la noción de

polígono"

Trabajo final para optar al grado de Magíster en Didáctica de las Matemáticas.

Alumna: Lorena Rosas Profesor guía: Astrid Morales S.

2013  

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Agradecimientos

Agradezco a mi profesora guía Astrid Morales, por sus importantes aportes a mi investigación. Agradezco su apoyo brindado cuando la meta se veía lejana y siempre

confiar en que lo lograría.

A mi familia, mi madre María, mi hijo Martín y a Pablo por el apoyo incondicional, por el tiempo que no pude estar con ustedes y debí dedicar a este importante proyecto.

A mi padre Juan Carlos, por motivarme siempre a ser mejor, a cultivar no sólo el

alma sino el intelecto, para ser cada día una mejor profesional. Gracias por apoyarme en todas las metas que me he propuesto y por supuesto por confiar en mis

capacidades.

A mis alumnas de Pedagogía en Educación Parvularia ingreso 2012 por haberme inspirado a realizar un aporte a la educación preescolar, por su importante

cooperación en mi investigación y por haberme mostrado que tienen grandes capacidades.

A la comisión nacional de ciencia y tecnología CONICYT, por haber confiado en mis

capacidades y financiado mis estudios de magíster y poder así aportar a mejorar la calidad de la educación matemática de nuestro país, Chile.

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Índice 

Agradecimientos ....................................................................................................... 2 Resumen .................................................................................................................... 5 Introducción ............................................................................................................... 6 Capítulo 1: Antecedentes y Problemática ............................................................... 8 1. Problemática y Objetivos de la Investigación. .................................................... 9 1.1. Problemática de investigación. ......................................................................... 9 1.2. Importancia del tema de investigación. .......................................................... 12 1.3. La investigación. .............................................................................................. 12 1.4. Noción de Polígono en el DME y algunas preguntas formuladas ................ 13 1.5. Objetivos ........................................................................................................... 14 1.6. Estado del arte. ................................................................................................. 15 Capítulo 2: ................................................................................................................ 19 2.1 Análisis histórico epistemológico ................................................................... 20 2.1.1 Orígenes de la Geometría .............................................................................. 20 2.1.2 Los Prehistóricos ........................................................................................... 21 2.1.3 Diferentes Civilizaciones ............................................................................... 22 I. Egipto ................................................................................................. 22 II. Mesopotamia ...................................................................................... 24 III. Grecia .................................................................................................. 25 2.1.4 Reflexiones del análisis histórico epistemológico ...................................... 26 2.2 La noción de polígono en el discurso matemático escolar ........................... 29 Capítulo 3: Marco Teórico ...................................................................................... 43 La Socioepistemología ........................................................................................... 43 La matemática educativa. ....................................................................................... 44 La Socioepistemología ........................................................................................... 44 Discurso matemático escolar (DME). .................................................................... 45 La Resignificación. .................................................................................................. 46

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Práctica Social. ........................................................................................................ 46 La Modelación como práctica social. .................................................................... 47 La argumentación gráfica ....................................................................................... 48 Capítulo 4: Diseño de Situación y puesta en escena. .......................................... 50 4.1 ASPECTOS METODOLÓGICOS. ...................................................................... 51 Escenario y actores ................................................................................................ 51 Recogida de datos. ................................................................................................. 52 Pasos realizados para recoger la información. .................................................... 52 4.2 EL DISEÑO ......................................................................................................... 53 4.3 ANALISIS DE DATOS ........................................................................................ 54 4.3.1. Análisis a priori: Momentos y Objetivos de la puesta en escena ............. 54 4.3.2. Análisis a posteriori. ..................................................................................... 56 4.2.3. CONFRONTACIÓN. ........................................................................................ 63 4.2.3. Discusión ....................................................................................................... 66 Conclusiones finales. ............................................................................................. 68 Referencias Bibliográficas. .................................................................................... 74

Anexo 1: .............................................................................................................. 77 Anexo 2: .............................................................................................................. 85

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Resumen En la actualidad existen grandes problemas asociados al proceso de enseñanza y

aprendizaje de las nociones pertenecientes a la Geometría Euclidiana, en especial el conocimiento en torno a las nociones basales. En nuestra investigación se ha abordado como problemática la resignificación de los conocimientos asociados a la noción de polígono bajo el marco teórico de la Socioepistemológica, que nos permitió dar una mirada distinta a estos fenómenos, centrando nuestra mirada en las prácticas y no en el objeto en sí, y así indagar en los fenómenos de producción, adquisición y difusión de este conocimiento matemático desde una perspectiva múltiple (epistemológica, social, didáctica y cognitiva) en escenarios socioculturales.

Nuestro interés será dar a conocer la importancia en la construcción y/o

resignificación de este conocimiento matemático de las argumentaciones gráficas que emergen del uso que se dio a la figura geométrica en una situación en que se ha intencionalizado la aparición de las prácticas de modelación y predicción por medio de la variación de los elementos de figuras geométricas, es por ello, que lo realizamos desde la perspectiva de la teoría Socioepistemológica. Para lograr tal resignificación se realizó un diseño de situación que pone en evidencia aquellos argumentos que están presentes en la construcción de estos conocimientos y que en la actualidad no son validados en el DME por carecer de la lógica aristotélica como se verá continuación

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Introducción 

 La presente investigación aborda un fenómeno de la enseñanza y aprendizaje

de la Geometría Euclidiana, específicamente, la problemática de la resignificación de los conocimientos asociados a la noción de Polígono bajo el marco teórico de la Socioepistemología. Este marco nos permite entender los fenómenos de producción, adquisición y difusión de este conocimiento matemático desde una perspectiva múltiple (epistemológica, social, didáctica y cognitiva) en escenarios socioculturales.

Nuestro interés en particular es mostrar que los procesos argumentativos asociados a la modelación considerada como una práctica social, es decir, como un hacer del estudiante en un contexto, genera conocimiento matemático en términos de construcción y enriquecimiento de significados. Para lograr tan fin se diseñó una situación que permite la construcción y/o reconstrucción de estos conocimientos pasando por tres momentos: Momento I : “Establecimiento de relaciones entre figuras por medio de la clasificación” Momento II : “Construcción de un modelo matemático” Momento III : Funcionalidad del modelo. Dicha situación de aprendizaje, fue creada tomando en consideración el planteamiento fundamental de la Socioepistemología, el que tiene relación con que el conocimiento matemático se construye en base a prácticas sociales, en nuestro caso la modelación y predicción, que emergen como argumentos en una situación específica. Además hemos considerado una revisión al discurso matemático escolar para conocer el estatus actual de la noción de polígono y un análisis histórico epistemológico basado en prácticas sociales presentes en la construcción de estos conocimientos con el fin de encontrar aspectos que permitan la resignificación a través de su incorporación en la situación de aprendizaje. A continuación presentamos la organización de este trabajo: En el Capítulo I se desarrolla la problemática que da origen a este trabajo de investigación, como también sus características generales y antecedentes de investigaciones realizadas previamente que nos sirven de referencias, algunas de ellas desde la Socioepistemología y otras desde la didáctica de la geometría. Además se incluye las preguntas de investigación, el objetivo general, objetivos específicos e hipótesis que nos hemos trazado para lograr la resignificación de los conceptos asociados a la noción de Polígono.

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En el Capítulo II se abordan dos aspectos importantes para el desarrollo de la investigación, el primero es plasmar un recorrido histórico epistemológico de la noción de polígono con el objeto de ubicar al polígono en términos de su epistemología para así brindar elementos que pueden ser puestos en juego al momento de diseñar la situación que posteriormente se pondrá a prueba, el segundo se refiere a revisar su estatus en la enseñanza y aprendizaje de esta noción con el propósito de analizar cómo es que habita en el discurso matemático escolar en los niveles educativos que esta investigación abordará (Primer nivel de transición a sexto año básico) .

En el Capítulo III se da a conocer los aspectos principales de la teoría Socioepistemológica que sirve de sustento teórico a nuestra investigación, debido a que permite analizar y/o dar explicaciones sobre los fenómenos de producción, adquisición y difusión del conocimiento matemático desde una perspectiva múltiple (epistemológica, social, didáctica y cognitiva) en escenarios socioculturales. Enfocándonos en aquellos aspectos que hemos incorporado en nuestra investigación. En el Capítulo IV se realiza una descripción de los procesos metodológicos realizados en nuestra investigación al momento de elaborar e implementar el diseño de situación de modelación de la noción de polígono. Además se dará a conocer el diseño, la puesta en escena y la organización de la situación aplicada a un grupo de estudiantes, además de un análisis de los datos recogidos al momento de su aplicación. Finalmente, en el Capítulo V se entregan las conclusiones y proyecciones del trabajo realizado, de acuerdo a los objetivos de investigación y preguntas planteadas.

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Capítulo1:AntecedentesyProblemática

 

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El presente capítulo tiene por objetivo desarrollar la problemática que da origen a este trabajo de investigación, como también sus características generales y antecedentes.

1. Problemática y Objetivos de la Investigación.

1.1. Problemática de investigación.

“La matemática está siempre presente en la vida cotidiana, explícita o implícitamente, y juega un papel fundamental en la toma de decisiones. Es una herramienta imprescindible en las ciencias naturales, la tecnología, la medicina y las ciencias sociales, entre otras. Es, asimismo, un lenguaje universal que trasciende fronteras y abre puertas para comunicarse con el mundo”

(Matemática, Educación básica, Bases curriculares 2012, p.1). ¿Por qué iniciar este trabajo de investigación con este planteamiento de las

Bases Curriculares para la Educación Básica? (en adelante, BCEB), porque nos pareció un buen comienzo para adentrarnos en el discurso matemático escolar de los programas de estudio de Chile, el cual señala que los conocimientos matemáticos tengan significado dentro y fuera del ámbito escolar, es decir, sean conocimientos funcionales. Pero, ¿Se estarán logrando estos niveles de funcionalidad en la actualidad?

En la actualidad el Marco Curricular para la Educación Escolar y Preescolar de

Chile experimenta continuos ajustes con el fin de mejorar la calidad de la educación. Estos apuntan a que el estudiante adquiera conocimientos, actitudes y habilidades que deben ser de utilidad para comprender el mundo que lo rodea. Lo anterior, claramente favorece el desarrollo de una matemática funcional, desde el punto de vista de la teoría Socioepistemológica, es decir, aquel conocimiento incorporado orgánicamente en el humano que le transforme su realidad, en oposición al conocimiento utilitario (Cordero, 2006). Apostamos a que estos niveles de funcionalidad esperados, permiten que el conocimiento matemático adquiera significados dentro y fuera del ámbito escolar y en definitiva permitan que el conocimiento matemático sea valorado por los estudiantes y no se quede al nivel de fórmulas que no es capaz de extrapolar a otras situaciones y luego simplemente olvida.

Sin embargo, creemos que el actual Discurso Matemático Escolar1 (en adelante,

DME) no está logrando estos niveles de funcionalidad que nuestro país requiere en torno al conocimiento matemático, debido a que se privilegia a los conceptos matemáticos por sobre las circunstancias que le dieron origen y que son, en definitivas cuentas, aquellas prácticas que posibilitan la adquisición de los mismos.

                                                            1 En Cordero y Flores (2007) El discurso matemático escolar es la manifestación del conocimiento matemático normado 

por creencias de los actores del sistema didáctico de lo que es la enseñanza y lo que es la matemática. 

 

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Como lo señala Arrieta (2003) se presenta al conocimiento matemático como algo abstracto y acabado, carente de significado para el estudiante. Es necesario que el conocimiento adquiera nuevos significados en la actividad misma del hombre, a lo que llamaremos resignificación.

En los programas de estudio se menciona que están involucradas cuatro

habilidades para el desarrollo del pensamiento matemático: resolver problemas, representar, modelar y argumentar y comunicar. Argumentando que “todas ellas tienen un rol importante en la adquisición de nuevas destrezas y conceptos en la aplicación de conocimientos para resolver los problemas propios de la matemática y de otros ámbitos” (Matemática, BCEB, 2012, p.3) sin embargo creemos que la visión que se tiene es muy distinta a lo que esperamos para lograr la resignificación del conocimiento. De estas habilidades, la Modelación se encuentra en pleno auge dentro de la Matemática Educativa dado su rol en la construcción de conocimiento matemático, es por ello, que las distintas concepciones que se tengan de ella juegan un rol relevante. En las BCEB (2012) “Modelar es considerado como el proceso de utilizar y aplicar modelos, seleccionarlos, modificarlos y construir modelos matemáticos, identificando patrones característicos de situaciones, objetos o fenómenos que se desea estudiar o resolver, para finalmente evaluarlos”. (Matemática, BCEB 2012, p.3). La concepción anterior de la modelación, creemos es comprendida como una aplicación de la matemática, lo que implica, enseñar primero el conocimiento matemático y luego buscar una explicación de tal conocimiento (Cordero, 2006b).

Contrariamente a esta idea, en nuestra investigación asumiremos a la Modelación

en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas como práctica social. La modelación como lo señala Cordero (2010), debe ser considerada como una construcción teórica que un individuo realiza al enfrentar una tarea matemática en la que pone en juego sus conocimientos. Además, “tiene que ser algo más robusto que una representación o una aplicación matemática, tiene que ser una práctica plasmada específicamente como la argumentación de la situación en cuestión” (Cordero, 2006b, p. 5). Es por ello, que apostamos que la modelación como práctica social es un aspecto que debe ser incluido en las situaciones de aprendizaje que se postulan para ser introducidas al aula y creemos de gran relevancia potenciarla con el fin de que sea considerada en los planes de estudio como un conocimiento que debe ser enseñado y no sólo tenga el estatus de objeto paramatemático en que vive en los programas actuales. (en el sentido de Chevallard).

Las Bases Curriculares para la Educación Básica 2012, vigentes al inicio de esta

investigación, plantean que los Objetivos de Aprendizaje para la matemática escolar se organizan en torno a cinco ejes temáticos, a saber: “Números y Operaciones”, “Patrones y Álgebra”, “Geometría”, “Medición” y “Datos y probabilidades”. Dentro de estos ejes, Geometría el que cuenta con mayores dificultades, presentando el rendimiento más bajo en las mediciones nacionales e internacionales. Evidencia de lo anterior lo constituyen los resultados generales de la prueba TIMSS (2003) que revelan que Geometría y álgebra, son menos enfatizadas en el currículo de la Educación Básica de Chile que lo definido como adecuado internacionalmente.

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En el aula, por medio de un estudio exploratorio se pudo constatar que las

estudiantes que ingresan al primer año presentan grandes dificultades al resolver problemas de Geometría Euclidiana. Nos encontramos con que en muchas ocasiones, las estudiantes tienen escasos conocimientos previos en relación a los elementos y propiedades de los polígonos, en otras ocasiones, si los tienen, éstos no se encuentran en un nivel funcional.

Al ingreso, en la carrera de Educación Parvularia, las estudiantes deben rendir

una evaluación diagnóstica de conocimientos matemáticos. Los resultados del año 2013 revelan que sólo 3 de 17 estudiantes puede abordar con éxito un problema de Geometría Euclidiana básico. Como parte de nuestro trabajo de investigación se realizó un estudio exploratorio2, que arroja como evidencia que la mayoría de las estudiantes se encuentra en un nivel bastante básico dentro del desarrollo del pensamiento Geométrico, lo que podríamos clasificar como un nivel de reconocimiento3 de forma de las figuras geométricas solamente, en el que no se conocen ni comprenden sus propiedades. Lo que hace necesario, crear e implementar experiencias de aprendizaje que les permita comprenderlas, pues por medio del modelo de enseñanza tradicional no se ha logrado.

El hecho de que las estudiantes se encuentren en un nivel de sólo reconocimiento

de las formas de las figuras geométricas no permite que internalicen la noción de figura geométrica, y por lo tanto no comprendan sus propiedades y elementos que las definen progresar en el estudio de la geometría que lo puedan incorporar orgánicamente a su vida y mucho menos realizar un proceso de enseñanza aprendizaje efectivo a sus futuros estudiantes. Sin embargo, en la actualidad su proceso de enseñanza y aprendizaje se ha quedado en nivel muy utilitario, donde lo que se aprende en la escuela sólo sirve en la escuela y peor aún lo que se aprende en la clase de Geometría se queda en la clase de Geometría, no logrando alcanzar un nivel de funcionalidad que permita al estudiante extrapolar lo que allí se aprende a otros planos distintos al que le dio origen. Esto es debido a que en las clases de Geometría se privilegia la aplicación de fórmulas y ciertos aspectos memorísticos, lo que trae como consecuencia que los procesos de visualización, argumentación y justificación no tengan un papel preponderante en la enseñanza de la disciplina (Ballestero y Gamboa, 2010). Es por ello que en esta investigación analizaremos el rol de las argumentaciones que emergen del uso de la figura y que en el discurso matemático escolar no son validadas por carecer de la lógica aristotélica y apostamos que permiten la construcción de conocimiento matemático en torno a la noción de polígono.

                                                            2 Ver anexo 1 3 Según los niveles del desarrollo del pensamiento geométrico de Van Hiele. 

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1.2. Importancia del tema de investigación.

La importancia de nuestra investigación radica en aportar un marco de referencia que permita la resignificación de la noción de Polígono, sus elementos y propiedades, a través de la argumentación gráfica como hilo conductor de la construcción del conocimiento matemático. Todo ello con el fin de que el estudiante construya una base de conocimiento para progresar en el estudio de la Geometría, la rama de la matemática que presenta mayores debilidades en el proceso de enseñanza y aprendizaje a nivel país, según las evaluaciones ya mencionadas.

La importancia de aplicar la experiencia de aprendizaje a educadoras de párvulos en su formación profesional, radica en que ellas son las encargadas de aportar las primeras nociones de Geometría Euclidiana a los estudiantes de nuestro país en el primer Nivel de Transición, Prekinder. Debido a que entendemos que para el logro de la calidad de la educación, es de suma importancia la formación de los profesionales a cargo de su enseñanza, esta investigación pretende que la educadora de párvulos adquiera conocimiento funcional sobre los conocimientos asociados a la noción de polígono para contribuir al logro de la calidad de oportunidades de los niños y niñas chilenos desde la edad preescolar.

Además, los Estándares para formación de profesionales de la Educación

Parvularia (2012) señalan que la educadora de párvulos que ha finalizado su formación base debe contar con una comprensión profunda sobre los aprendizajes matemáticos que busca favorecer en las niñas y los niños a su cargo. Con respecto a la Geometría Euclidiana, la educadora de párvulos que ha finalizado su formación inicial debe comprender y manejar nociones teóricas fundamentales y elementos de la geometría: Figuras planas y figuras geométricas básicas, sus propiedades, su visualización y su medición. Lo que creemos no está ocurriendo en la actualidad.

1.3. La investigación.

La teoría que guiará esta investigación es la Socioepistemología, la que a través de diversos resultados de investigación, señala la conveniencia de hacer estudios del uso del conocimiento matemático y su desarrollo para crear un marco de referencia donde se resignifique a la matemática.

La investigación realiza una ampliación del constructo teórico de la

argumentación gráfica desarrollado en el Instituto de Matemática de la Pontifica Universidad Católica de Valparaíso, cuyos trabajos se han realizado en torno a la gráfica de funciones ahora se ampliará entendiendo a la gráfica, no sólo como la gráfica cartesiana, sino como “Toda figura que trasmite una información”.

En este sentido, en esta investigación se plantea enfocar la atención a los

argumentos que surgen del uso de las figuras geométricas de polígonos en material impreso, con el fin de construir un marco de referencia que ponga de manifiesto la

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construcción de conocimiento como elemento fundamental en la resignificación del conocimiento de esta noción. La situación descrita nos obliga a enfocar el papel de la práctica social de Modelación y los argumentos que derivan de ella y no propiamente la del concepto de polígono.

El resultado de la investigación nos brindará un marco de referencia compuesto

por un diseño en el que se promueve el uso de la figura geométrica por medio de la variación de sus elementos, con el fin de que el estudiante desarrolle argumentos en base a la variación, necesarios para la resignificación de este conocimiento y su significado, fortaleciendo con ello la tesis Socioepistemológica que consiste en ampliar la visión de la problemática de la enseñanza de la matemática, donde las prácticas sociales son los elementos medulares para la construcción del conocimiento matemático. Para ello hemos tomado elementos del análisis histórico epistemológico, en que hemos encontrado elementos importantes que ayudan a conformar el diseño que se pondrá a prueba posteriormente.

A raíz de los antecedentes antes mencionados y la experiencia docente, esta

investigación asumirá como problemática de investigación: “La Argumentación Gráfica permite la resignificación del conocimiento matemático en torno a la noción, elementos y propiedades de la noción de Polígono”

1.4. Noción de Polígono en el DME y algunas preguntas formuladas

Tradicionalmente, las clases de Geometría se han basado en secuencias de aprendizaje que siguen el esquema: Definiciones – teoremas – ejemplos - ejercicios de aplicación (Ballestero y Gamboa, 2010). Con lo cual, se presenta las nociones a los estudiantes como un conjunto de definiciones, fórmulas y teoremas que no tienen ninguna relación con la realidad. Es decir, se ve a la Geometría Euclidiana como un producto acabado, carente de significados propios, que se puedan construir y reconstruir.

El estatus tradicional que se le da a las figuras geométricas de los Polígonos en los textos de estudio 4 está ligado al de representación de un enunciado o de aplicación de un contenido, dejando de lado, otros usos que podrían constituir nuevos marcos de referencia donde se resignifique a la noción de polígono. Creemos que el dibujo de las figuras geométricas no es utilizado para modelar y construir conocimiento. Es por ello, que nuestra investigación pretende dotar de nuevo significado a este objeto y así contribuir a su resignificación.

Durante las clases de Geometría comúnmente se observa que las estudiantes

aprenden de memoria los elementos y propiedades de los Polígonos, no logrando una comprensión real de la noción, lo que tiene sus consecuencias a la hora de resolver problemas, donde se obvian situaciones generales llegando, así a conclusiones erróneas o incompletas. Además, según señala Chamorro (2007) se

                                                            4 Ver capítulo 2. 

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enseña la geometría de una forma ostensiva, de manera que el estudiante, debe asumir que lo que se enseña es la verdad absoluta y el único trabajo que se le deja es el de aplicar los conocimientos “aprendidos en la clase”. En nuestra investigación, por el contrario, creemos que el aportar con situaciones en las que las argumentaciones que derivan del convencimiento de unos estudiantes a otros sea necesario, permite que se resignifique algunas propiedades, elementos y noción de los Polígonos.

Por tal motivo, frente a dicho problema han surgido preguntas que se intentará

dar respuesta en esta investigación. Estas preguntas son: • ¿Cuáles son los argumentos matemáticos que desarrollan los estudiantes en la

construcción de la noción de polígono? • ¿Estos argumentos posibilitan la construcción de la noción de polígono? • ¿La modelación y/o la predicción constituyen un argumento que permite la

construcción social del contenido de polígonos en los estudiantes?

1.5. Objetivos

Objetivo General Resignificar la noción de Polígono mediante el uso de las figuras geométricas,

analizando el rol de la argumentación gráfica en el proceso de construcción de conocimiento matemático de los estudiantes cuando la noción es puesta en juego en una situación de variación de sus elementos.

Objetivos Específicos • Crear un diseño que permita resignificar la noción de polígono a través del uso

del dibujo en Geometría. • Identificar los argumentos matemáticos que surgen del uso de la figura

geométrica de polígono y analizar si permiten su construcción. • Identificar a la modelación y a la predicción como prácticas habituales en el

trabajo con dibujos de figuras en Geometría Euclidiana, con el fin de proponer un rediseño del DME.

Hipótesis

Dada una situación de variación de los elementos del dibujo de Polígonos, la argumentación gráfica en un contexto de modelación permite la resignificación de la noción de Polígono, logrando articular sus elementos y propiedades, mediante la reconstrucción de significados asociados a ese saber, permitiendo que adquiera un nuevo sentido para el estudiante, favoreciendo así su carácter funcional.

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1.6. Estado del arte.

Los antecedentes de nuestra investigación se encuentran en torno a tres ámbitos, a saber:

2.1. Socioepistemología de la modelación y graficación. 2.2. Argumentación en Didáctica de la Matemática. 2.3. Didáctica de la geometría.

1.6.1. Antecedentes desde la Socioepistemología, uso de las gráficas.

A continuación se analizará estudios realizados desde la Socioepistemología, relativos a las gráficas. A pesar que estos trabajos se encuentran centrados en el estudio de gráficas de funciones, de igual forma contribuyen de antecedentes para la presente investigación ya que se intenta entender el uso de las gráficas.

Cordero (2006) declara que “la graficación de funciones de R en R es una argumentación del Cálculo” por tal motivo, en su trabajo, se debate sobre su funcionamiento y su forma desde una mirada socioepistemológica. Para tal fin, se estudia los trabajos de Oresme y Euler, además de analizar los libros de texto, y cómo se presentan las gráficas en ellos. Llegando, así, a la conclusión de que “la graficación puede llevar a cabo múltiples realizaciones y hacer ajustes en su estructura para producir un patrón o generalización deseable, es un medio que soporta el desarrollo del razonamiento y de la argumentación”.

En su artículo encontramos un aporte a esta investigación en torno a la importancia de la gráfica en la educación como un medio que soporta el desarrollo del razonamiento y la argumentación. Plantea que la modelación es un conocimiento y no una aplicación de la matemática (como es tratada en la educación actual), y que el uso de la gráfica es un tipo de modelación, por lo tanto, debe ser considerada como un conocimiento y no así una representación de un objeto matemático.

Propone que en la variación de parámetros de una función, la graficación puede llevar a cabo múltiples realizaciones y hacer ajustes en su estructura para producir un patrón deseable. Y además es un medio que soporta el desarrollo de la argumentación y el razonamiento.

El que se vea a la modelación como una aplicación de la matemática conlleva a que sea percibida por los estudiantes como una herramienta a utilizar en otros contextos, y propone que si se quiere que los estudiantes valoren socialmente el conocimiento matemático en necesario eliminar la concepción del nivel utilitario de la matemática, y llevarla a un nivel funcional, es decir, integrar el conocimiento a la vida del estudiante.

En consecuencia, Cordero señala: “La modelación en la matemática escolar tiene que ser algo más robusto que una representación o una aplicación matemática, tiene que ser una práctica plasmada específicamente como la argumentación de la situación en cuestión” (2006).

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Es en este punto, donde puede verse la relación que existe entre dichas gráficas referidas al Cálculo y las figuras geométricas, tema central de la presente investigación, pues la modelación que surge del uso de los dibujos de las figuras geométricas debería ser considerada también como un conocimiento y no sólo las definiciones y teoremas.

Cordero y Flores (2007) realizan un estudio del uso de las gráficas en el discurso matemático escolar (DME) del nivel básico5, el cual consiste en comprender a la graficación como una práctica social en su proceso institucional y no como una representación del concepto de función, con el fin de ir creando un marco de referencia que ayude a resignificar este conocimiento matemático.

Este estudio también es considerado una contribución al planteamiento fundacional de la Socioepistemología, al crear marcos de referencia que permitan desarrollar una matemática funcional con el hecho de considerar a las prácticas sociales como los elementos constituyentes del conocimiento matemático.

Flores aporta a nuestra investigación, por medio de diferentes imágenes o expectativas de lo que es una gráfica, en su artículo se consideran como gráficas a mapas de ubicación, pictogramas, gráficas de barras y figuras a escala, como gráficas en los diferentes niveles escolares, e identifican los distintos usos que cumplen.

Dolores (2007) realiza una investigación sobre el uso de las gráficas y sus repercusiones en el aprendizaje de la matemática. En el estudio se caracterizan sus usos en la enseñanza tradicional, en los medios de comunicación, para el desarrollo del pensamiento y el uso social que se les da en las comunidades profesionales o en la vida diaria de la gente, para finalmente ofrecer un marco de referencia que permite realizar un acercamiento sobre el uso social de las gráficas.

Micelli (2010) realiza una investigación en torno a las figuras de análisis en geometría desde una perspectiva socioepistemológica, entendiendo por ellas, aquellos dibujos realizados a mano alzada por los estudiantes para resolver problemas geométricos, figuras que no poseen rigurosidad geométrica y vuelcan la información dada.

El objetivo de Micelli es dar a conocer la naturaleza de las figuras de análisis tanto en el discurso matemático escolar como en escenarios no académicos, con el fin de comprender e interpretar sus características, usos y funcionamientos.

Dentro de los aportes de esta investigación, señala que las figuras de análisis tienen varias funciones en la construcción del conocimiento matemático, entre ellas funciones didácticas y sociales como la de apoyar la transmisión de ideas entre docentes y estudiantes o entre autores y lectores de los textos de matemática. Lo anterior supone una fuerte componente argumentativa, que significa un antecedente importante para nuestra investigación. Por otra parte, también señala que las figuras

                                                            5 Del sistema educativo de México. 

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de análisis actúan facilitando procesos como la visualización, tanto en actividades académicas como no académicas.

1.6.2. Antecedentes sobre la argumentación en Didáctica de la Matemática.

Balacheff (2009) en su artículo “¿Es la argumentación un obstáculo?” propone que la argumentación surgiría de manera natural del estudio de la interacción social entre los estudiantes. Esta interacción se perfila claramente como un potente instrumento que permite devolver la responsabilidad matemática a los estudiantes sobre sus actividades y producciones, abriendo el camino a una auténtica construcción de conocimiento.

En su artículo aborda los posibles orígenes de las dificultades del estudiante para

aprender la demostración en matemática. El autor pone de manifiesto que un primer diagnóstico sería la naturaleza del contrato didáctico, donde es el docente quien garantiza la legitimidad y validez epistemológica de lo que se construye en la clase, negándole al alumno la posibilidad de acceder a la verdad y la prueba.

No obstante, declara que esta dificultad podría ser superada devolviendo al

estudiante la responsabilidad matemática sobre sus producciones por medio de situaciones donde el docente desaparece de los procesos de toma de decisiones en la resolución de problemas, lo cual posibilitaría la construcción de medios de prueba por parte los propios alumnos.

Sin embargo, Balacheff no desconoce que existen otros autores que desconocen

estos tipos de interacción por fomentar procesos y comportamientos sociales que se oponen a la construcción de una problemática científica de la prueba por parte de los alumnos. Estos procesos sociales se pueden organizar a la luz de la argumentación, planteando una problemática de la argumentación opuesta a la problemática matemática de la prueba.

Balacheff declara que la argumentación es una problemática que surge de las

producciones verbales, donde es comprendida como una actividad discursiva, en la que el discurso el concebido como una actividad social. Balacheff plantea que el estudio naturista de las interacciones en la clase realizado por Paul Cobb y su equipo (1996) (extraído de Balachef 1999), sugiere la posibilidad de una argumentación matemática a la cual los alumnos accederían mediante la práctica de discusiones reguladas por normas sociomatemáticas que emergerían de las interacciones entre el docente y los alumnos.

Lo anterior, es un antecedente de gran relevancia para nuestra investigación,

puesto que es una contribución que reafirma la importancia de los procesos de interacción social en la construcción de conocimiento, en los cuales surge de manera natural la argumentación para justificar o validar hipótesis que nacen de dichas interacciones entre los estudiantes.

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1.6.3. Antecedentes en la Didáctica de la Geometría.

Chamorro (2007) en su artículo “Matemáticas para la cabeza y las manos”, aporta a nuestra investigación entregando lineamientos sobre los obstáculos epistemológicos didácticos más frecuentes dentro de la geometría. La autora declara que un aspecto crucial dentro de la enseñanza de la geometría tiene que ver con los usos de las figuras y dibujos, lo que requiere por parte del estudiante de complejos procesos semióticos para lograr su interpretación. Procesos que no son del todo innatos, como muchos profesores creemos y que deben ser enseñados.

Chamorro declara que “la geometría ha sido y sigue siendo la cenicienta de las

matemáticas” (pp.1), argumentando que su estudio siempre se deja al final del programa, y siempre en total desconexión con los demás contenidos del mismo y privilegiando ciertos aspectos donde abundan las definiciones y reglas memorísticas. Declarando entre otros que la visión de la geometría que se enseña es muy estática, usando tan solo materiales clásicos como la regla y el compás.

Chamorro declara que los niños “Modelizan el espacio mediante la manipulación de formas geométricas” (pp. 9) agregando que el trabajo con materiales debe estar muy presente en los primeros niveles, lo que constituye un referente de suma importancia para nuestra investigación, ya que dentro de nuestra propuesta se utiliza material concreto para que los estudiantes puedan adquirir las propiedades de los polígonos convexos. Agrega que “el dominio de ciertas técnicas por parte de los alumnos del primer ciclo: plegado, recortado, ensamblado de piezas, de barras de mecano, etc., es necesario para poder realizar actividades posteriores de tipo práctico sobre las que fundamentar los conocimientos geométricos (matemáticas para la cabeza), por lo que creemos que la manipulación de materiales (matemáticas para las manos) es realmente necesaria. Sin esta experiencia sensible, cualquier intento de formalización es inútil y está destinado al fracaso.

Con respecto a la construcción social del conocimiento, Chamorro menciona que

el lenguaje de la geometría no es lenguaje natural de las personas, por lo que constituye en sí un objetivo de aprendizaje. Por lo cual, las situaciones de aprendizaje en las que se dan situaciones de comunicación, van a permitir fijar el lenguaje, pues la comunicación exigirá al alumno plantear un lenguaje común.

Ante los antecedentes aportados por Chamorro, destacamos que nuestra

investigación pretende dotar a los estudiantes de técnicas empíricas por medio de la manipulación de las representaciones gráficas de las figuras geométricas, las que obviamente en nuestra investigación, no son sólo un medio, sino que generan conocimiento. Con respecto al último punto, creemos que la argumentación produce conocimiento y la aproximación Socioepistemológica entrega herramientas para estudiarlas científicamente.

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Capítulo2:Unrecorridohistóricoepistemológicodelanocióndepolígonoysuestatusenel

discursomatemáticoescolar 

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En este capítulo se abordan dos aspectos importantes para el desarrollo de la investigación, el primero es plasmar un recorrido histórico epistemológico de la noción de polígono con el objeto de ubicar al polígono en términos de su epistemología para así brindar elementos que pueden ser puestos en juego al momento de diseñar la situación que posteriormente se pondrá a prueba, el segundo se refiere a revisar su estatus en la enseñanza y aprendizaje de esta noción con el propósito de analizar cómo es que habita en el discurso matemático escolar en el nivel educativo que esta investigación abordará .

2.1 Análisis histórico epistemológico

En esta sección presentaremos un estudio histórico epistemológico de la evolución de la noción de polígono y sus propiedades a través de la historia de la humanidad con el objeto de poder tener presente las variables, orígenes y entender cómo surge la noción de polígono y su posterior evolución. El análisis estará enfocado principalmente en Mesopotamia, Egipto y Grecia, por ser éstas el origen y fundamento de todo el desarrollo posterior. En las dos primeras civilizaciones surge el estudio de la figura geométrica y el descubrimiento de sus primeras propiedades basado en casos concretos. En Grecia este estudio anterior se hace formal, consolidándose la geometría como ciencia y se pasa de enunciados de problemas particulares a enunciados generales y a una geometría axiomática en la que de unos pocos enunciados se deducen todos los demás mediante razonamiento general. Se ha de prestar mayor atención al uso de las figuras geométricas, el tipo de argumentaciones y los modelos construidos en los distintos escenarios socioculturales a través de la historia.

2.1.1 Orígenes de la Geometría Según Boyer (1998) los orígenes de la Geometría son incluso anteriores, a los de la escritura, es por ello que toda afirmación que se haga al respecto deberá ser considerada una suposición. Específicamente, las evidencias que se tienen del uso de figuras geométricas en la prehistoria, están basadas en los hallazgos de la antropología actual y en las interpretaciones de los utensilios y vestigios del arte rupestre que se han encontrado.

Heródoto y Aristóteles sitúan los orígenes de la geometría como ciencia en la civilización egipcia, sin embargo, se piensa que tiene sus raíces en una antigüedad mayor, lo que como ya se mencionó tendrá que ser dejado al nivel de conjetura. Por su parte, el historiador Heródoto creía que había surgido allí a partir de la necesidad práctica de trazar los lindes de las tierras después de la inundación anual del valle del río Nilo, lo que especificaremos más adelante cuando estudiemos esa cultura. En cambio, Aristóteles sostenía que el cultivo y desarrollo de la geometría en Egipto se había visto impulsado por la existencia allí de una amplia clase sacerdotal ociosa. Estos puntos de vista considerados opuestos, orígenes prácticos versus origen del ocio sacerdotal, tienen un punto que apoya a ambos, el que tiene relación con que a

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los geómetras de Egipto se les llamaba “los tensadores de la cuerda” debido a que utilizaban las cuerdas tanto para bosquejar los planos de los templos como para reconstruir las fronteras borradas entre los terrenos (Ver Figura 2.1).

Figura 2.1: Tensadores de la cuerda egipcios.

2.1.2 Los Prehistóricos

El hombre del neolítico realizaba dibujos y diseños que revelan su interés en las relaciones espaciales que prepararon el camino a la geometría. Sin embargo, éste no la necesitaba para el ocio o para resolver problemas de agrimensura, sin embargo, su alfarería, cestería y tejidos muestran dibujos con forma de figuras geométricas, en los que existen congruencias y simetrías, que son una evidencia de su interés por las formas. Además, ciertas sucesiones sencillas de diseños, (ver figura 2.2 y 2.3).

figura 2.2 figura 2.3

Tablillas con motivos geométricos Alfarería del 3.000 A.c. 75.000 años de antigüedad.

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Se cree que el interés del hombre prehistórico por los diseños y las relaciones espaciales puede haber surgido de su sentido estético, por el sólo afán de disfrutar la belleza de la forma. Sin embargo, debido a que no existen documentos disponibles de la época prehistórica, no es posible asegurar si estos diseños eran construidos utilizando propiedades de las figuras geométricas. Otras teorías apuestan a que el origen de la geometría, tendría su origen en prácticas rituales primitivas. La evidencia de geometría más antiguas, fueron descubiertas en la India y la constituyen lo que se llamó los sulvasutras o “reglas de la cuerda” las que consistían en relaciones sencillas que al parecer se utilizaban en la construcción de altares y de templos para realizar sacrificios (ver figura 2.4).

Imagen 2.4: sulvasutras o “reglas de la cuerda”.

Los hombres prehistóricos medían y dibujaban esquemas, lo que puede ser

considerado como un desarrollo de la geometría. Este desarrollo puede haberse visto estimulado tanto por las necesidades prácticas de la construcción y de la agrimensura, como por un sentimiento estético de diseño y orden. Sin embargo, estas sólo serán suposiciones, debido a que no existe evidencia escrita.

2.1.3 Diferentes Civilizaciones

I. Egipto El conocimiento de geometría de las antiguas civilizaciones ha llegado hasta

nosotros mediante unos pocos documentos que han logrado resistir al paso del tiempo. Entre los documentos egipcios más importantes que tienen que ver con matemáticas se encuentran el papiro de Ahmes (1650 A.C.) y el papiro de Moscú (1890 A.C.). El historiador griego Heródoto nos dice que el hecho de que todos los años con ocasión del desbordamiento del Nilo, se borraban las límites de los campos fue el que acentuó la necesidad de los geómetras egipcios como se verá a continuación. Papiro de Ahmes.

Existen varios problemas geométricos en el papiro de Ahmes, su nombre viene en honor del escriba que lo copió hacia el año 1650 A.C. En el problema 51 se muestra el cálculo del área de un triángulo isósceles, para ello se debe multiplicar la mitad de la medida de la base por la medida de la altura. Ahmes justificaba este método para calcular el área sugiriendo que el triángulo isósceles se podría

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considerar formado por dos triángulos rectángulos, uno de los cuales puede desplazarse para dar lugar a un rectángulo.

En el problema 52, se calcula el área de un trapecio isósceles, considerando un caso particular en que la base mayor es 6, la menor 4 y la distancia entre ellos es 20. Ahmes toma la semisuma de las dos bases de manera que convierta en un rectángulo y la multiplica por 20 para hallar el área.

Figura 2.5. Figura 2.6.

Problemas de áreas de triángulos. En estos tipos de problemas donde se pueden ver transformaciones se hace

presente la idea de demostración en geometría, debido a que se desea probar la veracidad de los cálculos realizados y del resultado que se muestra al convertir triángulos isósceles y trapecios en rectángulos. Esto constituye un punto de gran relevancia para nuestra investigación, debido a que en esta época histórica no se contaba con la lógica aristotélica y por lo tanto la idea de demostración a la que se hace referencia es no deductiva, lo que sugiere la idea de convencer a un lector de un argumento basado en el uso de una figura.

Por otra parte, existe una crítica hacia la geometría desarrollada por los egipcios,

al no hacer distinción clara y precisa entre las relaciones que son exactas y las aproximadas. En una escritura de contrato procedente de Edfu que data de un período posterior a Ahmes unos 1.500 años, ofrece ejemplos de áreas de triángulos, trapezoides, rectángulos y otros cuadriláteros más generales. La regla para calcular el área de un cuadrilátero cualquiera consiste en tomar el producto de las medias aritméticas de los pares de lados opuestos. Sin embargo, de que utilizaran una regla incorrecta, nosotros creemos que hay construcción de conocimiento, pues el autor del documento intenta deducir de ella un corolario, que el área de un triángulo es igual a la semisuma de dos de sus lados por la mitad del tercer lado, lo que obviamente es tan incorrecto como la regla anteriormente mencionada. Pero sin embargo, es un ejemplo sorprendente de búsqueda relaciones entre figuras geométricas de los egipcios para generar conocimiento.

Los egipcios también tenían un método para hallar el área de un círculo se ha

venido considerando desde hace mucho tiempo como uno de los progresos más notables de la época, sin embargo no haremos alusión a él, debido a que esta

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investigación sólo considera un estudio de las figuras de los polígonos. En la matemática egipcia no nos encontramos con ningún teorema o demostración formal por carecer de la lógica aristotélica, pero lo que si es cierto es que algunas de las comparaciones geométricas que hicieron, tales como las que se refieren a las áreas y perímetros de figuras geométricas, están entre las primeras propiedades exactas relativas a figuras que se han formulado a lo largo de la historia. Los egipcios descubrieron bastantes relaciones mutuas entre figuras geométricas que ha sido frecuentemente pasado por alto, y sin embargo es allí donde llegaron a aproximarse más en su actitud de a la de sus ilustres sucesores los griegos.

II. Mesopotamia En geometría, la contribución de los babilonios se cree fue menor que la de los

egipcios, su aporte fue principalmente el cálculo de áreas de distintos polígonos. Los documentos babilónicos se escribían en tablillas de arcilla utilizando un tipo de escritura llamada cuneiforme. El material sobre el que escribían permitió que estos documentos se hayan conservado mejor que los papiros egipcios y se dispone así de una mayor cantidad de información de la matemática mesopotámica que de la egipcia. Los mesopotámicos tenían la tendencia a hacer listas y tablas de ejercicios para comparar resultados. En 1936 se desenterró una colección de tablillas procedentes de Susa y en algunas de ellas se compara por medio de estas listas y tablas las áreas y los cuadrados de los lados de los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6, y 7 lados. Este acto de comparar es una persistente tendencia Mesopotámica y permite considerar a esta tablilla como un excelente ejemplo de comparación sistemática de figuras geométricas.

Se cree que para los babilónicos, la geometría no era una teoría matemática, sino un cierto tipo de aritmética o álgebra aplicada en la que las figuras eran representadas y estudiadas por medio de casos concretos, dando números.

Los problemas de medidas de figuras geométricas constituyen el núcleo de la geometría desarrollada en Mesopotamia, sin embargo, al igual que en Egipto, no existía una distinción clara entre resultados exactos y aproximados. Los textos mesopotámicos contaban con gran cantidad de ejercicios de geometría en los que por ejemplo, debían dividir un terreno en forma de triángulo rectángulo en partes iguales.

Se calcularon áreas de diversos tipo de triángulos y cuadriláteros, también se utilizó el teorema de Pitágoras. Se cree también que conocían muchas otras más relaciones geométricas importantes en polígonos, por ejemplo, sabían al igual que los egipcios que la altura de un triángulo isósceles lo divide en dos partes iguales.

El desarrollo de la geometría en Mesopotamia, específicamente del estudio de figuras de polígonos, fue en algunos casos más extenso que el de Egipto, incluso hay evidencia de que ciertos teoremas cuyo descubrimiento fue atribuido a los griegos, fueron utilizados por ellos desde mucho tiempo antes. Lo anterior unido al hecho que las tablillas de arcilla de esta civilización, tienen mayores posibilidades de conservación que los papiros y que las últimas fueron escritas hasta comienzos de las era cristiana, nos hace pensar la idea de que sus sucesores los griegos, hayan tomado ideas en geometría de esta cultura y por lo tanto, sus desarrollos formen parte de un conocimiento que se heredó y sirvió de base para su desarrollo y estudio posterior, que como sabemos fue más formal.

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Sobre las deficiencias de su estudio de las figuras geométricas, está el hecho de

trabajar sólo con problemas concretos y casos especiales, sin ninguna formulación general. Sin embargo un estudio de los cientos de ejercicios muy parecidos presentes en las tablillas de arcilla tiene el aspecto de ser resueltos siguiendo alguna regla general o métodos conocidos. El hecho estaría en que no se haya conservado ninguna tablilla que tuviera esas leyes generales, hace pensar que las que existen se tratan de problemas que debían ser resueltos por escolares de la época. Es por ello, que se cree que no debe ser producto del azar que en problemas similares se procediera del mismo modo.

Por otro lado, no existen hallazgos sobre ideas de demostración en geometría. Al respecto, Boyer (1986, p.67) señala que la misma palabra demostración ha significado cosas distintas en las diferentes culturas, es por ello, que resulta arriesgado señalar que los pueblos prehelénicos no llegaron a elaborar una idea de demostración y sentir su necesidad.

III. Grecia La geometría en Grecia, dejó de ser un conjunto de recetas prácticas, de

enunciados empíricos o concretos, para convertirse en una ciencia racional y formal. El estudio de las figuras geométricas se transforma en una ciencia que se estructura con un razonamiento lógico deductivo. El anterior pensamiento geométrico de las culturas prehelénicas aplicado a la solución de problemas concretos prácticos y concretos va a pasar a un plano más general. El desarrollo de la geometría comienza con Tales de Mileto (624 - 545 A.C.) y con Pitágoras (580 - 500 A.C.). Se cree que ellos debido a que vivían en las costas jónicas, que se encuentran muy próximas al oriente, viajaban a Mesopotamia y Egipto, lugares donde recibieron sus primeras influencias sobre los avances de estas culturas, dándoles un desarrollo más formal, general y teórico.

El primer geómetra griego destacado fue Tales de Mileto, el que es considerado

el padre de la organización deductiva de la geometría, atribuyéndole en primer lugar la proposición que hoy se conoce como el teorema de Tales. Tales se formó en Egipto y, aunque se cree que sus demostraciones buscaban el convencimiento más que el rigor, su aportación consistió en introducir en la geometría la noción de demostración.

Entre sus aportes están cuatro teoremas siguientes y su demostración respectiva:

Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por el diámetro. Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales. Los ángulos opuestos que se forman al cortarse dos rectas son iguales Teorema de Tales. Los lados de los triángulos semejantes son proporcionales

aunque no lo sean sus áreas. Pitágoras, se cree tuvo influencia egipcia y mesopotámica. Pitágoras, referente a

los polígonos, formuló el teorema que lleva su nombre, lo que le llevó a descubrir números irracionales y las relaciones métricas del lado del pentágono regular. Euclides aportó con su obra los Elementos. Los elementos están divididos en trece

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libros o capítulos de los cuales, los primeros seis corresponden a geometría plana elemental, los tres siguientes a teoría de número y el libro X sobre los inconmensurables y los tres últimos sobre geometría de sólidos. El primer libro comienza con una lista de 23 definiciones, las cuales describen los entes geométricos: puntos, líneas, superficies. Por ejemplo aparecen las siguientes definiciones: “Una figura es lo que se halla contenido por cualquier límite o límites”, “Una línea recta es una línea que se extiende plana con los puntos sobre sí misma”. A continuación de las definiciones vienen cinco postulados, que son enunciados necesariamente supuestos para la deducción geométrica pero que no son demostrables, más bien tienen como finalidad justificar ciertas construcciones. A continuación de los postulados, siguen cinco axiomas que son principios iniciales (o “nociones comunes”) o los enunciados más universales, que también pueden ser principios de la lógica o de la aritmética.

Aristóteles había hecho una distinción entre axiomas y postulados; los primeros,

según él, deben ser convincentes por sí mismos, por ser verdades comunes a todas las ciencias, es decir son supuestos necesarios que no requieren demostración, mientras que los segundos son menos evidentes aunque son supuestos necesarios. Esta primera tentativa de axiomatización fundó la geometría sobre bases consideradas indiscutibles durante muchos siglos. Euclides, como Aristóteles con la lógica formal, y posteriormente Pascal, Leibniz y Newton con la física clásica, expresó el ideal de organización axiomática de una disciplina.

2.1.4 Reflexiones del análisis histórico epistemológico En esta sección se realizó un análisis histórico epistemológico de la noción de

polígono. Su origen está ligado al surgimiento de la geometría como ciencia, es por ello, que en todo momento nos hemos referido indistintamente a la historia de la geometría en el sentido de la ciencia que nace del estudio de las propiedades de las figuras geométricas.

Dentro de los antecedentes históricos se incluyó solamente a 3 civilizaciones, por

ser esas la fuente de todo desarrollo posterior. Sin embargo existen grandes diferencias en el desarrollo del estudio realizado por cada una de ellas en el sentido de la noción de demostración y el uso de las figuras geométricas, en específico los polígonos. Es por ello, que se suele diferenciar el desarrollo de la geometría en geometría prehelénica (desarrollada en las civilizaciones anteriores a Grecia, en nuestro estudio Egipto y Mesopotamia) y helénica (desarrollada en Grecia).

Según los historiadores de la época, la geometría como ciencia surge en el valle

del Nilo de la necesidad práctica de delimitar los terrenos de los súbditos del faraón por el cual pagaban impuesto de acuerdo a su superficie, surgiendo los geómetras o agrimensores. Para el cálculo de áreas de estos terrenos que en primera instancia eran de forma de rectángulo y con la inundación quedaban convertidos en otras figuras, nace la necesidad de estudiar sus propiedades y surge así la geometría.

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Durante muchos años se rechazó la hipótesis de que los griegos habían aprendido los elementos de su geometría de los egipcios, sin embargo, Aristóteles pensaba que la geometría había surgido en el valle del Nilo debido a que allí los sacerdotes disponían del ocio necesario para desarrollar cualquier conocimiento teórico. Por lo cual, creemos que es muy probable que los griegos tomaran prestados elementos de la geometría elemental de Egipto como base para su desarrollo posterior, lo cual, para nuestra investigación constituye un gran precedente en el sentido que el estudio realizado por los egipcios basado en la búsqueda de regularidades entre figuras para formular propiedades y el inicio o paso previo a la compresión de la demostración rigurosa, podría ser visto desde los hallazgos de esta cultura y el previo uso de demostraciones no deductivas para poder comprender finalmente las propiedades generales y demostraciones formales.

En primera instancia las figuras de polígonos que se estudian en Egipto son

triángulos y cuadriláteros, las relaciones más exactas se hicieron a partir de figuras curvas, sin embargo no se incluyó en el análisis debido a que el foco está puesto en las figuras de los polígonos. Luego en Mesopotamia se extiende al estudio de los polígonos regulares y en Grecia se hace un estudio general de la generalidad de la figura geométrica en dos dimensiones.

La búsqueda de relaciones deriva de la necesidad de conocer el área de la forma

de los terrenos que quedaba después del desborde del río Nilo con el fin de pagar el tributo correspondiente al faraón. El uso de la figura geométrica es una modelación como práctica social, pues a partir de él se desprenden las propiedades como se observa en la figura 2.6 donde todo el análisis teórico parte del dibujo, del cual se puede llegar a formulación de carácter general. Los demás polígonos, creemos que no se estudiaron porque todos los descomponían para llegar a rectángulos, que debe ser, sin lugar a dudas una figura muy estudiada por ellos. Los principios de la geometría egipcia son una colección de principios empíricamente descubiertos en relación con las longitudes, ángulos, áreas, y volúmenes, y que fueron desarrollados para satisfacer algunas necesidades en la agrimensura, la construcción, la astronomía, y diversas artesanías.

Ni los Mesopotámicos, ni los egipcios desarrollaron un edificio matemático

teórico. En general, su matemática, era más bien utilitaria y las reglas de cálculo que utilizaban estaban referidas a casos concretos. Por otra parte, no hay claridad sobre lo que consideraban como resultados exactos o aproximaciones. Sin embargo, existía la necesidad de justificar las técnicas y relaciones encontradas de los análisis de carácter práctico y con casos concretos, lo que creemos, constituye una construcción de conocimiento, pues es una parte de la epistemológica de la construcción de las propiedades de las figuras geométricas.

Como lo señala Boyer (1986, p. 66) “Hay un cierto número de deficiencias obvias

en la matemática prehelénica. Tanto los papiros egipcios como las tablillas mesopotámicas que han llegado hasta nosotros contienen únicamente problemas concretos y casos especiales sin ningún tipo de formulación general. Sin embargo, el hecho de que no se haya conservado ninguna formulación de estas reglas no

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significa necesariamente que no existiera el pensamiento antiguo generalidad de dichas reglas o principios.

Con respecto al proceso de prueba, en el análisis epistemológico de la figura de

polígono se ve el tránsito entre lo informal a lo formal y de lo particular a lo general a medida que transcurre la historia. La geometría desarrollada por las civilizaciones previas a la griega, ostentaban de una geometría menos rigurosa e informal. Estas desarrollaron un tipo de justificación no deductiva. Fue en Grecia, donde la Geometría se transforma en una ciencia que se estructura con un razonamiento lógico deductivo. Se cree que los egipcios trasmitieron parte de lo que sabían a los griegos, por lo cual, estos constituyen la base del estudio de la geometría. Los egipcios, establecieron relaciones entre figuras, aportaron con las primeras propiedades. El estudio de las propiedades de las figuras geométricas surge del cálculo de área. Al parecer en Egipto, el faraón daba a los súbditos terrenos rectangulares. Cuando el río crecía, borraba los bordes de los terrenos y surgían nuevas formas que debían estudiar para calcula sus áreas.

Un punto de interés para nuestra investigación, lo constituye el hecho de que se

cree que los primeros griegos que desarrollaron la geometría como ciencia tomaron ideas de las culturas anteriores. Esto desde el punto de vista epistemológico constituye quizás un parámetro ausente en la reconstitución de sus objetos, pues de ser así, las prácticas desarrolladas por las civilizaciones prehelénicas nos pueden ayudar a reconstruir el desarrollo de la noción de polígono.

Se cree que en las civilizaciones prehelénicas no existía la idea de generalidad.

Sin embargo, los hallazgos de listas de ejercicios resueltas de manera similar hace pensar, que quizás esas reglas generales no se conservaron y que si existían. En Mesopotamia destacamos la práctica habitual de hacer listas y tablas con el fin de comparar polígonos regulares, desde esta práctica se formulan propiedades con respecto a la medida de los lados.

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2.2 La noción de polígono en el discurso matemático escolar La modelación y argumentación en los programas de estudio.

En esta sección se realizará un análisis del discurso matemático escolar (en adelante DME) vigente al año 2012 en Chile. Este análisis contempla la revisión de los Programas y textos de estudios de Matemática otorgados por el Ministerio de Educación (MINEDUC) con el fin de establecer qué aspectos de este discurso están o no logrando los niveles de funcionalidad requeridos para la construcción de conocimiento de la noción de Polígono, poniendo atención a la modelación y argumentación.

Se hará una revisión de la noción polígono en la educación formal obligatoria

considerando ¿Cuándo surge como objeto matemático?¿Cuál es el uso que se le da a la figura para la construcción de conocimiento?, presencia o ausencia de actividades de modelación como práctica social6, análisis de las actividades en que se aprecia algún tipo de modelación y de las que se hace presente la actividades de argumentación. El análisis anterior, nos llevará a tomar una postura con respecto al estatus de esta noción y sus propiedades en el DME vigente en Chile al año 2012 y proponer un rediseño del discurso matemático escolar considerando a la modelación y a la argumentación como generadoras de conocimiento matemático.

2.1. BASES CURRICULARES. En las Bases Curriculares para la Educación Matemática en la enseñanza Básica se determinan los objetivos de aprendizaje que se espera que el estudiante logre desde primero a sexto año básico. Estos objetivos incluyen el desarrollo de habilidades, actitudes y conocimientos. Contemplando como habilidades el modelamiento, la argumentación, la representación y la comunicación. Nuestra investigación toma como objetivo general determinar si las argumentaciones que derivan de una situación de modelación contribuyen a la generación de conocimiento matemático, es por ello que analizaremos lo que se entiende por cada una de ellas en el DME.

En los programas de estudio la habilidad de modelar tiene relación con “lograr que el estudiante construya una versión simplificada y abstracta de un sistema capturando los patrones claves y lo exprese mediante lenguaje matemático” a su vez “Constituye el proceso de utilizar y aplicar modelos, seleccionarlos, modificarlos y construir modelos matemáticos, identificando patrones característicos de situaciones, objetos o fenómenos que se desea estudiar o resolver, para finalmente evaluarlos”. (Matemática, Educación básica, Bases curriculares 2012, p.3). Por su parte, señala que la habilidad de argumentar se expresa al descubrir inductivamente regularidades y patrones en sistemas naturales y matemáticos y tratar de convencer a otros de su validez.

                                                            6 Según las ideas aportadas por el doctor Francisco Cordero. 

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Contrariamente a estas ideas nuestra visión desde la Socioepistemología, concibe a la modelación y argumentación desde una perspectiva distinta a lo anteriormente expuesto, pues la actividades de modelación no deberían ser vistas como actividades de representación, sino como algo más robusto, deben ser vistas como un conocimiento que debe ser incluido como tal en los programas de estudio (Cordero, 2010).

2.2. ANALISIS DE LOS PROGRAMAS DE ESTUDIO.

Los programas de estudio de Matemática están estructurados en torno a Objetivos de Aprendizaje organizados en torno a cinco ejes temáticos, a saber:

1) Números y operaciones. 2) Patrones y algebra. 3) Geometría. 4) Medición. 5) Datos y probabilidades. En el eje de geometría, el objetivo que se espera respecto a las figuras en el

plano es que los estudiantes “aprendan a reconocer, visualizar y dibujar figuras, describiendo sus características y propiedades en situaciones estáticas y dinámicas” (Matemática, Educación básica, Bases curriculares 2012, p.5) además se incluye la entrega de conceptos para entender la estructura del espacio y describir con un lenguaje más preciso lo que ya conocen en su entorno. Creemos que este objetivo no obedece a la construcción de un conocimiento funcional, pues el sólo hecho de reconocer no implica construir, creemos que el estudiante aprende cuando experimenta él mismo con una situación, lo que unido a la declaración de entregar conceptos no permite que el mismo estudiante los construya y se apropie de ellos porque le son entregados y no descubiertos por él.

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE DE LOS PROGRAMAS DE ESTUDIO.

A continuación, con el fin de ver la progresión del estudio de la noción de Polígono, se presenta un cuadro resumen de los objetivos de aprendizaje de educación Parvularia y Básica, hasta sexto año en torno a esta noción.

EDUCACION PARVULARIA. Nivel Objetivos de Aprendizaje. Primer Nivel de Transición. Prekinder.

• Reconocer el nombre y algún atributo de tres figuras geométricas bidimensionales, asociándolas con diversas formas de objetos, dibujos y construcciones del entorno.

Segundo Nivel de Transición. Kinder.

• Reconocer el nombre y algunos atributos de cuatro figuras geométricas bidimensionales, asociándolas con diversas formas de objetos, dibujos y construcciones del entorno.

EDUCACION BASICA.

Nivel Objetivos de Aprendizaje. Primero Básico. • Identificar y dibujar líneas rectas y curvas.

• Identificar en el entorno figuras 3D y figuras 2D y relacionarlos, usando material concreto.

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Segundo Básico. • Describir, comparar y construir figuras 2D (triángulos, cuadrados, rectángulos y círculos) con material concreto.

Tercero Básico. • Demostrar que comprenden la relación que existe entre figuras 3D y figuras 2D.

• Reconocer en el entorno figuras 2D que están trasladadas, reflejadas y rotadas.

• Demostrar que comprenden el concepto de ángulo. Cuarto Básico. • Construir ángulos con el transportador y compararlos. Quinto Básico. • Describir y dar ejemplos de lados de figuras 2D:

- que son paralelos. - que se intersectan. - que son perpendiculares.

Sexto Básico. • Construir y comparar triángulos de acuerdo a la medida de sus lados y /o sus ángulos con instrumentos geométricas o software geométrico.

• Construir ángulos con instrumentos geométricos y software geométrico.

• Demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º y de un cuadrilátero es 360º.

Los programas de estudios destacan que es de gran importancia desarrollar las

habilidades de modelar, representar, argumentar y resolver problemas para lograr un conocimiento cabal de la matemática, sin embargo, nos damos cuenta que hasta sexto año básico la práctica de modelación no es considerada como una habilidad que contribuye al estudio de la noción de polígono. En general, se incluye actividades para desarrollar la resolución de problemas, pero todas ellas tienen el objetivo de reconocer y representar, lo que hace alusión a volver a presentar lo que ya fue presentado e implica que primero se debe enseñar un objeto y luego crear un modelo o representación del mismo sin tener el alumno la posibilidad de ser partícipe de su proceso de construcción o reconstrucción. Las actividades de modelación no son reconocidas como tal y se tratan como de representación, lo cual desde el punto de vista de la teoría Socioepistemológica no conlleva a la construcción de conocimiento debido a que no existe un trabajo de creación y de exploración necesarios para que el estudiante se apropie de la situación.

Con respecto a la noción de polígono, ésta surge en quinto año básico como

objeto de estudio, sin embargo, los estudiantes ya han trabajado con triángulos y cuadriláteros desde la Educación Parvularia. En el primer nivel de transición y hasta segundo año de educación básica ya se ha trabajado con figuras de triángulos, cuadrados y rectángulos, repitiendo las actividades propuestas. Creemos que esta presentación de la noción no contribuye a la generación de conocimiento debido a que se realiza de manera ostensiva, presentando las nociones y luego mostrando su figura como una representación de un objeto, con lo cual la figura es dejada como una representación de un concepto, no dándole el papel preponderante que tiene para el desarrollo de la visualización y soporte para la argumentación.

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Hasta segundo año básico se observa la presencia de obstáculos didácticos con respecto a la visualización, incorporando sólo figuras de triángulos, cuadrados y rectángulos y recurriendo a una sola representación visual, es decir, se trabaja sólo con el triángulo representado como equilátero apoyado sobre un lado, el cuadrado y el rectángulo apoyados sobre un lado, sin recurrir a variación de formas, con lo cual el estudiante se queda con la idea que existen solo esas formas y toda otra representación no será una figura geométrica o específicamente un polígono. En segundo básico ocurren algunas variaciones con respecto a que se rotan la figura presentada el año anterior.

Las actividades de clasificación se presentan una vez ya se han estudiado las figuras y sus propiedades sin dar al estudiante la posibilidad de utilizar sus conocimientos previos y agruparlas de acuerdo a los criterios que surjan espontáneamente. En quinto año básico comienza un estudio de los polígonos como objeto de estudio y aparecen más representaciones y en sexto básico se les a un nombre a las clasificaciones que el estudiante debe replicar para volver a clasificar de acuerdo a los criterios presentados. A continuación se incluye evidencias del análisis presentado:

EDUCACIÓN PARVULARIA.

Los programas de estudio contemplan la introducción de las primeras nociones de formas geométricas que corresponden a polígonos y algunas de sus propiedades desde el Primer Nivel de Transición (Prekinder) partiendo con el estudio del triángulo, cuadrado y rectángulo, desde su comprensión de la forma para transitar posteriormente a niveles superiores de abstracción donde lo más importante es la propiedad.

Primer nivel de transición.

En el primer nivel de transición, el estudiante debe reconocer el nombre y algún atributo de tres figuras geométricas bidimensionales, asociándolas con diversas formas de objetos, dibujos y construcciones del entorno. Los indicadores de evaluación tienen que ver con que describan figuras, señalando uno o dos atributos (relacionados con la forma, color, tamaño, lados). Luego se sugiere las distingan en ilustraciones y las reproduzcan siguiendo indicaciones orales.

Las experiencias de aprendizaje sugeridas tienen que ver con reconocer, construir y dibujar figuras con formas similares a cuadrados, rectángulos y triángulos. Todas ellas requieren de utilizar una idea ya construida.

Segundo nivel de transición.

En el segundo nivel de transición deben reconocer el nombre y algunos atributos de cuatro figuras geométricas bidimensionales asociándolas con diversas formas de objetos, dibujos y construcciones del entorno.

Los indicadores de evaluación tienen que ver con nombrar figuras geométricas de 2D mostradas e indicar algunos atributos tales como: forma, color, tamaño, cantidad de lados, cantidad de esquinas. En los ejemplos de experiencias de aprendizaje sugiere que los estudiantes confeccionen objetos utilizando figuras geométricas y

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actividades lúdicas relacionadas con formar figuras en geoplanos y que descubran como unas se pueden transformar en otras.

En general, se observa que se da mayor preponderancia en este nivel al estudio de figuras geométricas tridimensionales y las actividades sugeridas tienen que ver con asociar una figura 3D una 2D según la vista en que se observe. Las actividades para 3d son las mismas que en el nivel anterior para dos 2D. EDUCACIÓN BÁSICA.

Primer año básico. Se inicia al alumno en la geometría, con actividades relativas a la identificación

de figuras 3D y figuras 2D y a relaciones que se dan entre estas figuras, usando material concreto. Se espera que sean capaces de mostrar las diferencias que se dan entre dos figuras 2D, que las clasifiquen y expliquen el criterio de clasificación usado.

Actividad sugerida.

Las actividades propuestas hacen necesario conocer previamente la noción en

juego, pues se pide identificar figuras con formas pedidas, por lo tanto no se puede hablar de construcción de conocimiento, sino de representación. Como se observa a un costado de la actividad, se desarrolla las habilidades de representación y la de argumentación y comunicación, no así la modelación.

Segundo año básico.

En este nivel se espera que el estudiante logre describir, comparar y construir figuras bidimensionales (triángulos, cuadrados, rectángulos y círculos) con material concreto con el fin de desarrollar una visión geométrica de su entorno, su imaginación y ampliar su visualización. Los alumnos deben describir figuras 2D con sus propias palabras y determinan sus diferencias. Además de construir figuras 2D (triángulo, cuadrado, rectángulo y círculo) con material concreto.

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Actividad propuesta:

Las actividades propuestas tienen que ver con reconocer, describir, comparar,

construir e identificar lo que ya fue construido desde el primer nivel de transición, por lo cual no se puede hablar de construcción o reconstrucción de conocimiento con actividades en las que se pide volver conocer, lo que ya se conoce.

Tercer año básico.

En este nivel se hace mayor énfasis en el estudio de las figuras tridimensionales, identificando a figuras 2D de acuerdo a las vistas de las 3D, reconocer en el entorno figuras 2D que están trasladadas, reflejadas y rotadas y comprender el concepto de ángulo, que surge en este nivel.

Los estudiantes deben: • Clasifican figuras 2D. • Dibujan y elaboran figura 2D con material concreto. • Elaboran un cuadrado, plegando una hoja de papel.

En este curso surge el concepto de ángulo, con lo cual se puede iniciar un estudio de las figuras más allá de la forma. Se comienza a hablar de de figuras regulares y no regulares, ampliando la visualización.

Cuarto año básico.

Este nivel se dedica con mayor fuerza al estudio de las figuras 3D. Las figuras 2D se estudian por medio del estudio de Identifican por medio las relaciones existentes en las vistas de figuras 3D. Comienza el estudio de las simetrías en figuras 2D.

Quinto año básico.

En este nivel surge el concepto de polígono como objeto de estudio, antes sólo se hablaba de figuras 2D. Sin embargo, no existen actividades tendientes a marcar una diferenciación entre estos y el resto de figuras bidimensionales. Por lo cual, no se da la oportunidad al estudiante de construir o reconstruir la noción. Se espera que los estudiantes describan y den ejemplos de lados de figuras 2D que son paralelos, que se intersectan o que son perpendiculares.

En este nivel se comienza a hablar de generalidades con respecto a los

polígonos, se habla de cuadriláteros de manera general. Se trabaja fuertemente la comprensión del concepto de ángulo, utilizando el transportador para realizar mediciones de ellos en contextos diversos.

Dentro de los conocimientos previos, se menciona que los estudiantes deben

saber describir triángulos y cuadriláteros, sin embargo en los niveles anteriores no se habló de este último concepto.

Los criterios de evaluación sugeridos son mostrar líneas paralelas, perpendiculares, además de intersecciones entre ellas, en figuras 2D del entorno y

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describir lados de figuras 2D, usando términos como paralelas, perpendiculares, intersecciones.

Se destaca en este nivel que los polígonos comienzan a ser nombrados dando una letra a sus vértices.

Actividad sugerida. 5. Dibujan figuras 2D de acuerdo a características dadas. Por ejemplo,

dibujan figuras que tengan seis lados y los lados opuestos sean paralelos. Esta actividad también es de representación por lo cual no constituye una

actividad de modelación que permita construir una noción.

Sexto año básico. En este nivel los estudiantes deben construir y comparar triángulos de acuerdo a

la medida de sus lados y /o sus ángulos con instrumentos o software geométrico. Además de demostrar de manera concreta, pictórica y simbólica que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º y de un cuadrilátero es 360º.

En este nivel se profundiza aún más el concepto de ángulo, construyéndolos mediante transportador o con regla y compás. Se inicia al estudiante en la construcción de triángulos de manera manual, con regla y compás o con procesadores geométricos, a partir de la medida de sus lados y/ o ángulos interiores.

Los criterios de evaluación sugeridos son: • Comparar la longitud de los lados de triángulos de acuerdo a la medida de sus

ángulos interiores opuestos. • Construir triángulos conociendo la longitud de sus lados y/o la medida de sus

ángulos interiores, usando instrumentos geométricos o procesadores geométricos • Clasificar y comparar triángulos, explicando el criterio de clasificación.

En este nivel se construyen, describen y comparan triángulos, los clasifican de

acuerdo a la medida de lados y de ángulos. En las teselaciones surge el polígono regular para teselar el plano. Se estudian formalmente otros polígonos más allá de triángulos y cuadriláteros, se hace mención a los polígonos regulares.

Actividad sugerida.

Al igual que las actividades de los cursos anteriores se habla de actividades de

representación, en las que es necesario conocer una definición para luego representarla.

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2.3. ANALISIS DE LOS TEXTOS DE ESTUDIO. Se tomó como referencia los textos de estudio desde el primer de transición hasta sexto básico otorgados por el MINEDUC el año 2012. En general, se observa que las secuencias didácticas de los conocimientos asociados a la noción de polígono de cada curso comienzan con una contextualización en la vida cotidiana donde se debe reconocer diversas formas geométricas, las que luego se estudian con más profundidad. Creemos que estas actividades son importantes al acerca el conocimiento a la vida de los estudiantes, sin embargo, creemos no contribuyen a una verdadera construcción de conocimiento, como señala cordero (2006,b) si queremos que los estudiantes valoren socialmente la matemática es necesario que la utilidad del conocimiento este en sí mismo y no en sus aplicaciones, es por ello, que creemos que para comenzar el estudio de la noción es necesario acudir a actividades donde el estudiante sea quien construya su conocimiento, tome datos, haga conjeturas, utilice sus conocimientos anteriores y sean funcionales para lograr la resignificación del conocimiento. Continuando con las secuencias de estudio de los textos, estas continúan la presentación de las nociones con definiciones, ejemplos, ejercicios y problemas, estos últimos, referidos a actividades en las que los estudiantes deben construir modelos para aplicar lo que ya se le mostró en las páginas anteriores, en este sentido, se le pide, reconocer, representar, lo que ya conoció, y desde el punto de vista de la teoría socioepistemológica son actividades que no contribuyen a crear conocimiento. A continuación, destacamos algunos aspectos relevantes del texto de cada curso. PRIMER NIVEL DE TRANSICIÓN en este nivel, se inicia a los estudiantes en el mundo de las formas geométricas y se presenta únicamente la siguiente actividad, donde se les pide a los niños reconocer en una lámina figuras geométricas en una lámina de una situación cotidiana. Los programas de estudio dicen que en este nivel el estudiante debe conocer 3 figuras geométricas en dos dimensiones (triángulos, cuadrados, rectángulos) y algunas propiedades, sin embargo, creemos que con esta actividad no se consigue tal objetivo. Reconocer como ya se mencionó no es una actividad que permita crear un objeto y mucho menos cuando la variedad de formas no es amplia, como ocurre en esta actividad. Imagen Texto primer nivel de transición (2012), p. 147.

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SEGUNDO NIVEL DE TRANSICIÓN. En este nivel no se continúa el estudio de las figuras en dos dimensiones, pese a que el programa expresa que se debe estudiar una más que el año anterior (triángulos, cuadrados, rectángulos) y algunos atributos. El texto sólo se dedica a las actividades de figuras tridimensionales. PRIMERO BÁSICO. Destacamos la siguiente actividad introductoria, donde se le presenta una situación cotidiana al estudiante y luego se le da un nombre a cada figura, que son las mismas que conoce desde Prekinder y les pide que las describa. El estudiante ya trae una imagen asociada a estas figuras desde niveles anteriores, si se le presentan bajo ese nombre él las describirá recurriendo a las características de la de “ese nombre” que ha aprendido en niveles anteriores, por lo tanto, repetirá la definición y aplicará lo que ya sabe, coartando toda posibilidad de construcción de conocimiento.

Imagen Texto primero básico (2012), P.60

Imagen Texto primero básico (2012), P.61

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SEGUNDO BÁSICO. En el este nivel, al igual que el anterior, el estudiante comienza la unidad “reconocimiento” figuras geométricas en su entorno. Observemos que la actividad es exactamente igual en cuento a objetivos que la anterior. Destacamos positivamente, que se les pregunte que características tienen en común entre ellas, pero esto es precisamente lo que se preguntó al final del texto del año anterior. Destacamos una segunda actividad exactamente igual a la actividad 2 de primer año básico. Actividad 1

Imagen Texto Segundo básico (2012), P.78

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Actividad 2

Actividad 3.

Destacamos esta actividad porque presenta errores en el lenguaje geométrico. “Tenemos los mismos lados”, en lugar de decir, la misma cantidad de lados. TERCERO BÁSICO. Sólo actividades para el estudio de figuras tridimensionales. CUARTO BÁSICO. Sólo actividades para el estudio de figuras tridimensionales. QUINTO BÁSICO Se inicia la unidad con una evaluación diagnóstica en la sección “¿Cuánto sabes?”

Imagen Texto Quinto Básico (2012), P.128

Comentarios: Los dos años anteriores, no se estudia propiedades de figuras geométricas y hasta segundo básico los estudiantes sólo conocían, cuadrados, rectángulos, triángulos y círculos. En esta actividad se les pide recordar otras figuras como rombo y romboide, según sus formas sin tener un instrumento de medición.

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Las actividades continúan dando al estudiante, las características de triángulos y cuadriláteros para solucionar el problema de no tener los conocimientos previos. Aparecen símbolos para indicar ángulos rectos.

Imagen Texto Quinto Básico (2012), P. 129

No hay actividades de modelación. Se comienzan a estudiar los ángulos, incorporando actividades donde el estudiante los debe medir, con lo cual, en este nivel o el próximo se debe abandonar el nivel forma y avanzar al estudio de las figuras según sus elementos. SEXTO BÁSICO. Se comienzan a estudiar los triángulos y cuadriláteros en base a sus ángulos. Se estudia el teorema de la suma de los ángulos interiores y exteriores. Aparecen definiciones y teoremas. Se inicia el estudio de los polígonos con la actividad que aparece a continuación (ver actividad 1) se ubica al objeto en un contexto y luego se describe. Actividad 1

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Imagen Texto Sexto Básico (2012), P.130

En la actividad 2, ocurre lo mismo y se dan las definiciones y clasificaciones, sin tener el alumno la oportunidad de aportar en estos nuevos conocimientos que se están enseñando.

Imagen Texto Sexto Básico (2012), P.132

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Al final del capítulo se incluye un ítem de resolución de problemas, donde el estudiante debe aplicar los conocimientos adquiridos anteriormente.

REFLEXIONES DEL ANÁLISIS DE TEXTOS Y PROGRAMAS. Se ha realizado un estudio del DME vigente en nuestro país chile al año 2012, se ha encontrado evidencias que existen aspectos que se deben mejorar y no están ayudando a lograr los niveles de funcionalidad requeridos para lograr la construcción y/o resignificación del conocimiento asociado a la noción de polígono. Los programas de estudio, demandan de los textos ciertas secuencias que sean acorde a los aprendizajes esperados, sin embargo, ni los unos ni los otros, incluyen en sus secuencias o sugerencias actividades donde el estudiante sea el que construya su conocimiento en base a actividades donde pueda en entornos sociales realizar modelos, realizar conjeturas, establecer relaciones entre los datos, estudie invariantes, especule sobre posibles efectos, en el fondo, echar mano a diversos argumentos que trae y permiten la construcción del conocimiento matemático. Además se ha encontrado la presencia de obstáculos didácticos en torno al uso de imágenes típicas, donde los estudiantes crean imágenes mentales relativas a ciertas formas que no le permite entender la noción de los polígonos que se estudian, pues desde el sentido de Duval, al existir representaciones estereotipo el estudiante termina confundiendo el objeto con su representación. Además en los textos nos encontramos con niveles en los que se repite exactamente las mismas secuencias didácticas y en otros niveles en los que se abandona el estudio de las figuras. Las secuencias didácticas finalmente se reducen a definiciones, ejercicios, problemas de aplicación.

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Capítulo3:MarcoTeóricoLaSocioepistemología

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A continuación describiremos el marco teórico que sustenta nuestra investigación, la Socioepistemología. Esta teoría nos permite abordar nuestra problemática de investigación, debido a que toma como foco a los fenómenos de producción y difusión del conocimiento matemático, concibiendo al proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática como una construcción social. En esta sección se abordan los elementos primordiales que esta teoría posee los cuales tienen directa relación con nuestra problemática de investigación.

Lamatemáticaeducativa. La Socioepistemología comparte la problemática fundamental de la Matemática

Educativa, la cual tiene relación con que la obra matemática y la matemática escolar son diferentes, debido a que ambas responden a distintas necesidades a pesar de ser igual de importantes, lo que provoca una confrontación entre ellas. La obra matemática se refiere a la matemática creada por los matemáticos para aportar a la disciplina, en cambio, la matemática escolar requiere de un saber que no responde a los mismas necesidades, en ella predomina la actividad humana en cambio en la obra matemática predomina la actividad matemática. La obra matemática no puede ser enseñada tal cual fue concebida, por lo cual debe ser sometida a un conjunto de trasformaciones, lo cual hace que no sea la misma matemática que se construyó, debido a que no se da cuenta de su origen, ni las necesidades que provocaron su surgimiento. Es por ello, que el discurso escolar suele estar centrado en los conceptos en lugar del proceso de transposición de este conocimiento.

Es en este sentido que la Socioepistemología, toma una postura de esta problemática fundamental cuyo centro será la matemática escolar, tomando en consideración que hay un saber que ha sido transformado y que debe ser enseñado, preguntándose ¿Cómo habita allí el conocimiento matemático escolar?, surgiendo de esta manera como pregunta fundacional ¿Cómo los fenómenos de producción y difusión del conocimiento matemático viven en la matemática escolar?

 

LaSocioepistemología

La Socioepistemología es “una teoría de naturaleza sistémica que permite tratar los fenómenos de producción y difusión del conocimiento desde una perspectiva múltiple, al incorporar el estudio de las interacciones entre la epistemología del conocimiento, su dimensión sociocultural, los procesos cognitivos asociados y los mecanismos de institucionalización vía la enseñanza” (Cantoral, 2003 citado en Morales 2012 p. 3). Concibiendo al conocimiento matemático como una construcción social. Al respecto, Cordero (2006) señala que el planteamiento fundamental de la Socioepistemología consiste en asumir que el conocimiento matemático se construye en base a prácticas sociales.

Lo anterior, nos lleva a tomar una postura en la forma de entender la realidad, a saber, como una realidad que preexiste al conocimiento matemático o una realidad que se construye a la par del conocimiento matemático. Es por ello, que la Socioepistemología comparte los supuestos teóricos de la semiótica cultural, la que

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confiere a la actividad humana la función de producción del objeto. Aunque el énfasis, como señala Cantoral (2006) no está puesto en el objeto preexistente o construido, sino más bien, se interesa en modelar el papel de la práctica social en la producción de conocimiento a fin de diseñar situaciones para la intervención didáctica.

La Socioepistemología aborda la construcción social del conocimiento matemático en un escenario donde, además de las variables didácticas, cognitivas y epistemológicas, juegan un rol fundamental las variables sociales, lo que permite tratar los fenómenos de producción y difusión del conocimiento desde una perspectiva múltiple. A diferencia de otros marcos teóricos de corte epistemológico, la Socioepistemología, toma en consideración el papel que los escenarios históricos, culturales e institucionales desempeñan en la actividad humana. Planteando un examen del conocimiento social, histórica y culturalmente situado, a la luz de la circunstancias de su construcción y difusión. (Cantoral, 2005).

Arrieta (2003), señala que la Socioepistemología marca una manera distinta de hacer investigación en Matemática Educativa, debido a que se reconocen y estudian científicamente las herramientas y los argumentos presentes en la construcción del conocimiento matemático. Lo anterior permite concebir a la matemática como un conocimiento que se construye a la par de la actividad del ser humano permite concebir a la matemática más allá de un saber fijo y preestablecido, sino como un conocimiento con significados propios que se construyen y reconstruyen en el contexto mismo de la actividad que realiza el hombre.

El tema de estudio de las investigaciones socioepistemológicas es la construcción social del conocimiento matemático, preguntándose se construye el conocimiento. Lo anterior ha llevado a preguntarse por el rol de los grupos humanos en contextos socioculturales, para conocer como los grupos humanos se organizan y como el contexto social interviene en la construcción del conocimiento matemático.

La Socioepistemología se cuestiona como el conocimiento se ha ido construyendo e insertando en la sociedad. Para lo cual se hace necesario mirar de forma crítica al discurso matemático escolar (DME), resaltando el hecho de que éste se centra en los conceptos y no en las prácticas sociales. El DME deja la matemática en un nivel utilitario y no a un nivel funcional (cordero, 2006b), provocando que el aprendiz no logre hacer suyos los conocimientos ya que estos se le presentan de una manera acabada y con escasa posibilidad de que él logre construir o generarlos, de tal manera que frente a diversas situaciones pueda lograr articular y movilizar dichos conocimientos.

Es así que uno de los objetivos es realizar un rediseño del discurso matemático escolar (RDME), donde las prácticas sociales juegan un rol fundamental, pues ellas generan conocimiento, para ello, se deben crear marcos de referencia que permitan la resignificación del conocimiento matemático.

Discursomatemáticoescolar(DME). En la actualidad el modelo actual de enseñanza está centrado en los conceptos

matemáticos, a partir de ellos se entregan ejemplos, aplicaciones, etc. La Socioepistemología plantea que el DME es la manifestación del conocimiento

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matemático de los participantes en el sistema didáctico, donde se ejerce la enseñanza y aprendizaje considerando a la matemática como un conocimiento acabado y tratando a los conceptos matemáticos en las acciones de enseñar como actos repetitivos o de memorización (Morales, 2012). Para Cordero y Flores (2007) El discurso matemático escolar es la manifestación del conocimiento matemático normado por creencias de los actores del sistema didáctico de lo que es la enseñanza y lo que es la matemática. Lo funcional tiene relación con un conocimiento incorporado orgánicamente en el humano que le transforma su realidad. Todo ello en oposición al conocimiento utilitario.

La crítica a este DME es que no ha logrado un nivel funcional del conocimiento

matemático sino más bien se ha dejado en un nivel utilitario, es decir, el modelo de conocimiento basado en la centración en los conceptos no ha podido atender a lo funcional (entendiendo funcional como un conocimiento incorporado orgánicamente en el ser humando que lo transforma y que le transforme su realidad), porque no rinde cuentas de la construcción social del conocimiento matemático.

LaResignificación. 

La resignificación se refiere a la construcción del conocimiento mismo en la organización del grupo humano, normado por lo institucional. Cordero señala que la resignificación es un constructo Socioepistemológico que quiere decir la construcción del conocimiento mismo en la organización del grupo humano, normado por lo institucional, es decir, será el uso del conocimiento en la situación donde se debate entre su funcionamiento y forma de acorde con lo que organizan los participantes. (Cordero 2006, en Morales 2009). Para Briceño (2010), la resignificación es la función de la práctica social, dado que es lo que norma el conocimiento, da evidencias de construcciones de conocimiento matemático en situaciones específicas. De tal forma que una situación decimos que se resignifica un conocimiento matemático donde el participante desarrolla una matemática que sea funcional. Para lograr la resignificación se debe estudiar el uso del conocimiento, viendo este como algo que se va organizando y cambiando, es decir, se va desarrollando en la situación o escenario que se enfrente. Esto va generando nuevos usos del conocimiento a través de su funcionamiento y forma.

PrácticaSocial. Dentro de la Socioepistemología existen varios trabajos de investigación que

entregan diversas consideraciones teóricas sobre lo que se entiende como práctica social, todos ellos coinciden en ver a las prácticas sociales como generadoras del conocimiento matemático. A continuación, analizaremos algunos trabajos realizados desde la Socioepistemología, que contribuirán a robustecer dicha concepción.

Arrieta (2003) aporta un análisis de la relación entre prácticas sociales y el conocimiento matemático, entendiendo a las prácticas sociales como “un conjunto de acciones voluntarias que, intencionalmente, desarrolla el individuo para construir conocimiento”.

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Como ya se mencionó, Cordero (2006b), expone que el planteamiento fundamental de la Socioepistemología consiste en asumir que el conocimiento matemático se construye en base a prácticas sociales.

Camacho (2006), analiza la naturaleza de las prácticas sociales, viéndolas como eje central de la Socioepistemología y como generadoras de resignificaciones de conocimiento matemático, a través de una serie de revisiones de proyectos realizados desde esta perspectiva. Este trabajo da como resultado el reconocimiento de distintos tipos de prácticas sociales y sus implicaciones en los diseños instruccionales de la matemática escolar. Para Camacho la Práctica Social se refiere a “la actividad del ser humano sobre el medio en el que se desenvuelve. A través de ellas el hombre da sentido a los problemas fundamentales de la ciencia, sometiéndolos a complejas relaciones entre ellos y su entorno”. (Camacho, 2006, p.133). Finalmente concluye, “En las prácticas sociales, los objetos son sometidos gradualmente por los sujetos en interacciones donde el conocimiento se obtiene como resultado de la actividad. Las prácticas sociales, colocadas en situación didáctica, establecen ámbitos de posibilidades de cambio que modifican los valores intelectuales de los seres humanos, concebidos éstos en un medio educativo” (Camacho, 2006, p.153).

Para Cantoral (2006) la práctica social es entendida como “normativa de la actividad, más que como una actividad humana reflexiva o reflexión sobre la práctica”. Citando a Radford (2004), como “interiorización reflexiva de prácticas sociales históricamente constituidas”

LaModelacióncomoprácticasocial.

En la actualidad, la práctica de Modelación se encuentra en pleno auge dentro de la Matemática Educativa dado su rol en la construcción de conocimiento matemático, es por ello, que las distintas concepciones que se tengan de ella juegan un rol relevante, debido a que no todas coinciden en la forma de entender cómo se construye el conocimiento matemático.. En las BCEB (2012) “Modelar es considerado como el proceso de utilizar y aplicar modelos, seleccionarlos, modificarlos y construir modelos matemáticos, identificando patrones característicos de situaciones, objetos o fenómenos que se desea estudiar o resolver, para finalmente evaluarlos”. (Matemática, BCEB 2012, p.3). La concepción anterior de la modelación, creemos es comprendida como una aplicación de la matemática, lo que implica, enseñar primero el conocimiento matemático y luego buscar una explicación de tal conocimiento (Cordero, 2006b).

Contrariamente a esta idea, en nuestra investigación asumiremos a la Modelación en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas como práctica social. La modelación como lo señala Cordero (2010), debe ser considerada como una construcción teórica que un individuo realiza al enfrentar una tarea matemática en la que pone en juego sus conocimientos. Además, “tiene que ser algo más robusto que una representación o una aplicación matemática, tiene que ser una práctica plasmada específicamente como la argumentación de la situación en cuestión” (Cordero, 2006b, p. 5). Es por ello, que apostamos que la modelación como práctica

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social es un aspecto que debe ser incluido en las situaciones de aprendizaje que se postulan para ser introducidas al aula y creemos de gran relevancia potenciarla con el fin de que sea considerada en los planes de estudio como un conocimiento que debe ser enseñado y no sólo tenga el estatus de objeto paramatemático en que vive en los programas actuales. (en el sentido de Chevallard).

Elroldelaargumentacióngráfica Con respecto a la argumentación, Balacheff (1999) realiza un trabajo en el que

sostiene que la interacción social entre los alumnos se manifiesta como un potente instrumento para favorecer los procesos de devolución de su responsabilidad matemática sobre sus actividades y producciones. Agregando, que de estos procesos sociales, surge espontáneamente el tema de la argumentación. Pero ¿Qué se entiende por ella? Veremos a continuación algunas concepciones sacadas de su trabajo:

Según Jean-Blaise Grize (citado por Balacheff, 2009), "argumentar es sin duda una actividad con propósitos, pero es una actividad discursiva (donde el discurso sin embargo es concebido como una actividad social)” (P. 2). Para Perelman (citado también por Balacheff, 2009), “la argumentación se caracteriza menos por la consideración de su objetivo que por la consideración de su auditorio; la argumentación no busca tanto establecer la validez de un enunciado como obtener la adhesión del auditorio” (p.3). Plantin agrega que “un enunciado tiene un valor de razón, hasta de verdad, tan pronto como un individuo lo acepta” (p.4). Finalmente, del trabajo de Balacheff tomaremos lo que este sostiene “la argumentación pretende llevarse la adhesión de un auditorio y tiene como objetivo la validez de un enunciado” (p.5).

Por su parte, otro autor destacado que realiza trabajos sobre los procesos argumentativos es Duval (1999), éste considera como argumento “todo aquello que se ofrece, o todo lo que es utilizado para justificar o para refutar una proposición”. Con esto la argumentación sería un medio para convencer, sea a uno mismo o a los otros. (p.3)

Desde la perspectiva de la Socioepistemología, Crespo, Farfán y Lezama (2011) sostienen que los estudiantes no comprenden la necesidad de la demostración en el aula de matemática, apareciendo otras formas de argumentar no deductivas que son consideradas erróneas por el discurso. Los autores sostienen que por el contrario, estas argumentaciones deben ser analizarlas para saber cómo utilizarlas, conscientes de su utilidad y limitaciones. Concluyen que “No se deben ignorar sino por el contrario se deben aprovechar a la hora de lograr construir nuevos conocimientos en nuestros estudiantes” (p. 726)

Por nuestra parte, creemos que considerar a los procesos argumentativos como parte de la construcción social de los conocimientos permite mirar a la matemática como una construcción social, como un saber en construcción que se reconstruye en la actividad del hombre y por siguiente permite su resignificación desde el punto de vista de la Socioepistemología. Estos argumentos será el conocimiento mismo que

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surge de la situación de aprendizaje y estarán de acuerdo al conocimiento intencionado por medio del diseño.

Con respecto al uso de la gráfica. En este trabajo de investigación se ha realizado una ampliación, considerando a la gráfica no sólo como en el sistema cartesiano, sino que como “toda figura que trasmite una información”. En este sentido, el trabajo es referido a la argumentación gráfica entendida como las argumentaciones que surgen del uso de la figura geométrica. En el DME hemos visto que la figura geométrica es considerada como una representación de un concepto lo que hace alusión a volver a presentar lo que ya fue presentado. En este sentido la figura geométrica es vista como una aplicación de conceptos abstractos como el triángulo, cuadrado, pentágono, etc. En esta investigación se plantea lo contrario, es decir, estudiar otros usos de la figura para la resignificación del conocimiento asociado a la noción de polígono, debido a que por medio de la situación de aprendizaje las figuras adquieren un rol argumentativo en la situación específica planteada en esta investigación lo que las posiciona en un estatus diferente, que no es reconocido en DME.

La figura, asociadas a una situación de modelación-predicción, permite entender las propiedades matemáticas de los polígonos, donde el estudiante visualiza lo que ocurre cuando se varía en ellas algún parámetro como el número y medida de lados o ángulos, lo que en el DME generalmente es enseñando vía fórmulas, privando al estudiante de acceder a la problemática de la verdad y la prueba, pues estas son prácticamente impuesta.

Morales (2012) señala que los profesores de matemática no promueven y peor aún no validan la argumentación grafica ya que consideran a las figuras como representaciones de objetos matemáticos, privilegiando el uso de fórmulas, expresiones algebraicas. Es así que la argumentación gráfica debe ser ubicada en un estatus privilegiado en la matemática que se enseña, ya que se considera como una herramienta muy útil que permite poner los conocimientos en juego a un nivel funcional.

El estudiante aprende a identificar relaciones en la figura y a reconocer patrones de comportamientos entre ellas para el establecimiento de propiedades como la de la suma de sus ángulos interiores, en este caso particular y a extrapolarlo a otro tipo de figuras especiales como las regulares por medio de su visualización.

En conclusión, para nuestra investigación es de suma importancia analizar y ver como funcionan los argumentos que emergen de los procesos de interacción social. Esto debido a que no debemos desconocer que existen en el aula de matemática y deben ser utilizarlos para la construcción y/o resignificación del conocimiento matemático. Especialmente, analizar como los argumentos que surgen del uso de la figura permiten llevarlo a un nivel funcional, como la se mencionó anteriormente.

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Capítulo4:DiseñodeSituaciónypuestaenescena.

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En este capítulo se realizará una descripción de los procesos metodológicos realizados en nuestra investigación al momento de elaborar e implementar el diseño de situación para resignificar la noción de polígono.

Se dará a conocer el diseño, la puesta en escena y la organización de la situación aplicada a un grupo de estudiantes, además de un análisis de los datos recogidos al momento de su aplicación, con el fin de dar respuesta a las preguntas que nos planteamos al comienzo de la investigación: ¿Cuáles son los argumentos matemáticos que desarrollan los estudiantes en la construcción de la noción de polígono? ¿Estos argumentos posibilitan la construcción de la noción de polígono? ¿La modelación y/o la predicción constituyen un argumento que permite la construcción social del contenido de polígonos en los estudiantes?

4.1ASPECTOSMETODOLÓGICOS.

La metodología que utilizaremos en nuestra investigación es de corte cualitativo, debido a que se desea conocer y explicar los procesos de construcción de conocimiento matemático que ocurren en escenarios escolares cuando la noción de polígono es puesta en juego en una situación de modelación, indagando específicamente en datos cualitativos como los argumentos que emergen del uso de la figura geométrica en la puesta en escena en un grupo de estudiantes. Hemos elegido esta metodología dado que el hecho educativo es esencialmente un hecho social y la investigación cualitativa es potencialmente útil para estudiarlo, debido a que se está buscando generar conocimiento de una manera holística a partir de hechos complejos que no pueden ser concebidos como cosas, reduciéndolos a sus dimensiones externas, observables y mensurables (Angulo, 1991).

Se ha optado por realizar un estudio de caso, específicamente un estudio de caso instrumental, que permite el estudio de la particularidad y de la complejidad de un caso singular en un contexto dado, debido a que se aplicará el instrumento a estudiantes de educación superior de una sola carrera y se desea una descripción detallada de la situación, de los comportamientos, de cómo interactúan los estudiantes, sus creencias, y principalmente los argumentos matemáticos.

EscenarioyactoresLos actores elegidos son estudiantes de Pedagogía en Educación Parvularia del

Instituto Profesional de Chile sede San Joaquín de primer año, debido a los siguientes criterios de selección: • Estudiantes de primer año de la carrera de pedagogía en Educación

Parvularia: Nuestro estudio tiene como objetivo ofrecer un marco de referencia para resignificar la noción de polígono. Desde este sentido el que sea aplicado a estudiantes de pedagogía implicaría poner en un nivel funcional sus conocimientos y como consecuencia que puedan ser transmitidos de la misma forma a sus futuros estudiantes. Por otra parte, creemos que es de suma importancia aportar marcos de referencia para mejorar los aprendizajes en geometría desde los niveles preescolares y la mejor manera es realizarlo por

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medio de las futuras educadoras, las primeras educadoras que enseñan están encargadas de la base de estos conocimientos. En concordancia con nuestro de investigación referido a la construcción de

conocimiento, la unidad de estudio debe estar conformada por estudiantes que no han cursado asignaturas de geometría en su malla curricular dentro de su formación profesional. No es relevante que éstos ya tengan estos conceptos adquiridos en su educación escolar obligatoria (enseñanza básica), pues existen evidencias del estudio exploratorio que indican que no poseen en su mayoría conocimientos previos de geometría funcionales, es decir, creemos que los tienen pero no de la manera que deberían estar.

• Accesibilidad: Un factor importante al momento de recolectar datos es la

accesibilidad que se tiene a ellos. En nuestro caso, la investigadora imparte clases en este centro de Educación superior en las asignaturas de matemática del área de educación por lo que existe la posibilidad de acceder a los estudiantes de Pedagogía.

Recogidadedatos.La toma de datos fue de tres tipos: entrevista abierta, observación y diseño de situación. Las entrevistas serán realizadas a todos los grupos que se formen en cada curso y las situaciones de aula (grabadas y digitadas como evidencia, avisadas previamente con los informantes) serán planteadas a los dos cursos de primer año (primer semestre) de Pedagogía en Educación Parvularia a quienes se les pedirá que trabajen en grupos de no más de tres personas. El tiempo destinado a la realización del diseño de situación es de aproximadamente 180 minutos, es decir, dos clases de dos horas pedagógicas.

Pasosrealizadospararecogerlainformación.Para recoger la información se aplicará un diseño de situación que contiene 4 momentos a dos cursos de estudiantes de la carrera de Pedagogía en Educación Parvularia a través de la siguiente secuencia metodológica: • Se les pide a los estudiantes que formen grupos de tres personas. • Se dan las indicaciones generales para realizar la actividad. • Se entrega un diseño de situación que consta de tres momentos y la lámina de

figuras como apoyo. • Se toman registros de video por cada grupo con cámaras de video, las que van

registrando todos los procesos de construcción de los estudiantes. • Se toman registros de observación de la aplicación de la actividad, en el que se

registra todo lo relacionado con los comportamientos, motivación, ideas, discusiones y argumentaciones que van saliendo en la actividad y no son registradas por los otros medios de recolección.

• El investigador recorre los grupos de estudiantes con el fin de tomar datos. • Se realizan entrevistas a los grupos de estudiantes con respecto a los hallazgos y

/o obstáculos encontrados una vez terminada cada actividad.

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• Una vez terminado cada momento se realiza una puesta en común de lo construido en la actividad y posteriormente siguen con el momento siguiente, con los mismos pasos ya descritos.

4.2ELDISEÑO

El diseño de situación propuesto está basado en la modelación como práctica social, según los aportes de Cordero (2010) y pone en juego el aspecto de la variación de los elementos de las figuras geométricas de polígonos (medidas de lados y medida de ángulos). Su objetivo fundamental es la recolección de los argumentos gráficos que surgen del uso de las figuras geométricas con el fin de resignificar la noción de polígono a través de la variación y la búsqueda de regularidades desde la variación de parámetros. Por lo tanto, al dar un rol protagonista a la figura en nuestro modelo, se pretende explicar desde la teoría Socioepistemológica lo que ocurre cuando la figura comienza a ser funcional para el estudiante y no sólo es mirada como una representación del objeto polígono según el análisis del discurso matemático actual. El diseño tiene la intencionalidad de proporcionar un contexto en el que la modelación y la predicción consideradas como prácticas sociales permiten emerger herramientas, procedimientos y nociones matemáticas, que se evidencian cuando los estudiantes describen el comportamiento de un fenómeno utilizando el conocimiento que tienen previamente y construyen argumentos a través de conjeturas, utilizando en nuestro caso la figura geométrica y/o datos numéricos para validarlos (Arrieta 2003, en Pezoa 2012)

El diseño intenta sacar a relucir los argumentos proporcionados por los estudiantes en el proceso de construcción, a través de la modelación de una situación de variación de las características (parámetros) de figuras geométricas en dos dimensiones por medio del uso de figuras impresas en papel.

En este diseño se pretende analizar los elementos y propiedades que definen a los Polígonos, para luego avanzar al reconocimiento de clases de figuras que presentan invariantes de acuerdo a la medida y número de lados y/o ángulos. Se trabaja con el aspecto periódico y la regularidad que presentan las figuras geométricas concretas para poder clasificarlas y llegar a la generación de conocimiento en torno a la noción de polígono.

El estudiante deberá utilizar la lámina de polígonos para realizar las actividades (ver anexo 1). Esta lámina presenta una colección de figuras geométricas, puntualmente sólo polígonos (figuras geométricas cerradas) con variación de parámetros, es decir, distinto número de lados y/ o ángulos, distinta medida de lados y/o ángulos. Con el fin de realizar clasificaciones que les permitan generar conocimiento. Las preguntas plasmadas en el diseño juegan un rol fundamental, pues están especialmente formuladas para recoger aquellos aspectos que nos interesan, que son la variación y la regularidad.

El diseño está compuesto por tres momentos y cada momento posee actividades en las que se pueden apreciar preguntas abiertas que pretenden aportar a la construcción de conocimiento, además de una lámina de figura geométricas

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como apoyo visual para el establecimiento de las relaciones pedidas en dicho cuestionario (ver anexo 1)

Las nociones trabajadas en el diseño de situación, a través de sus momentos son:

Momento I. Noción de polígono. Figura geométrica limitada por segmentos. Momento II. Algunas propiedades de polígonos especiales: triángulos y

cuadriláteros, polígonos regulares e irregulares. Momento III. Propiedad de la suma de los ángulos interiores de los polígonos.

4.3ANALISISDEDATOS

En esta sección daremos cuenta de las puesta en escena del diseño de situación y el análisis de los datos, para ello se presentarán cuatro momentos: el análisis a priori (lo que creemos harán los alumnos), el análisis a posteriori (lo que hicieron efectivamente los estudiantes), la confrontación y una discusión de lo obtenido.

4.3.1.Análisisapriori:MomentosyObjetivosdelapuestaenescena A continuación describiremos el objetivo y posibles respuestas de los estudiantes ante el diseño, abordando cada uno de los momentos en concordancia con el objetivo general que nos planteamos al inicio de esta investigación, el cual es analizar el rol de argumentación grafica en una situación de modelación con el fin de determinar si permiten la construcción de conocimiento matemático. Recordemos que el diseño consta de tres momentos y cada momento de dos actividades respectivamente. Momento I: “Establecimiento de relaciones entre figuras por medio de la clasificación” En este momento se pretende que los estudiantes En la primera actividad se pretende poner al estudiante frente a la lámina de figuras de polígonos todas distintas que presentan variación de sus elementos (distinto número y medida de lados y ángulos) y que clasifique libremente. Creemos que el hecho de ponerlo frente a esta actividad acentúa la posibilidad de que al clasificar por número de lados, ángulos o vértices, o por el criterio que estime conveniente hace que el estudiante empiece a mirar la figura ya no como un simple dibujo sino como parte de un grupo que reúne ciertas propiedades. Posteriormente para que pueda entender que todas estas figuras presentan una cualidad invariante, se les pregunta cuál es esa característica, con lo cual creemos debería surgir como respuesta al menos que todas son figuras geométricas que están limitadas por líneas rectas, surgiendo la noción de polígono. En la segunda actividad se pregunta específicamente por colecciones que reúnen características en común y también diferencias, se les pide que describa esas características con lo cual estaríamos frente a la generación de propiedades de

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específicas de distintos tipos de figuras como polígonos cóncavos, convexos, triángulos, cuadrados, rombos, etc. a través de la búsqueda de regularidades. Momento II: “Construcción de un modelo matemático” En este momento se pretende que los estudiantes encuentren un modelo matemático que relaciona el número de lados de un polígono con la suma de sus ángulos interiores. Para ello, en la actividad 1 se le solicita la suma de los ángulos de polígonos de 3, 5 y 9 lados. Los primeros dos están presentes en la lámina, por lo cual deberán recurrir a la figura, sin embargo el último no y se espera que recurran a alguna estrategia para resolver el problema. Dentro de las estrategias que creemos ocurrirán es que dibujen una figura de 9 lados, por lo cual, estarían recurriendo a la modelación para construir conocimiento o que recurrir a la predicción como argumento dándose cuenta que existe una variación en la suma de la medida de sus ángulos interiores a medida que la figura tiene mayor cantidad de lados. En la segunda actividad se pretende que las estudiantes, encuentren un modelo matemático explicito que modele esta situación, preguntando para la suma de un polígono de 116 lados u luego por uno de n lados. Si en la actividad anterior no recurrió a la predicción como argumento, en esta parte debe hacerlo para poder resolver la situación. Momento III: Funcionalidad del modelo. Se ha incluido esta actividad final con el propósito de que el estudiante ponga en juego el conocimiento construido a través de las actividades anteriormente abordadas. Se le proporciona un conjunto de figuras que corresponden a polígonos regulares y él debe determinar la característica que tienen común, respondiendo que es que tienen sus lados y ángulos de igual medida por medio de la manipulación de la figura. Finalmente se le pide construir una figura de estas características y determinar cuál sería la medida de sus ángulos, con lo cual su argumento debería estar basado en la modelación recurriendo a la medida de las figuras presentes o a la predicción haciendo cálculos sobre la medida utilizando la expresión matemática del momento II.

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4.3.2.Análisisaposteriori. A continuación se analizará las respuestas de los estudiantes con el fin de

identificar aquellos argumentos empleados para resolver las actividades planteadas. Este análisis no pretende verificar si las respuestas son correctas o no, se enfoca principalmente en los procesos de construcción de conocimiento que surgen de las actividades en grupo. Momento I: “Establecimiento de relaciones entre figuras por medio de la clasificación” ACTIVIDAD 1. A) Cuando se les pide una primera clasificación de las figuras de la lámina, todas las

estudiantes las agrupan de acuerdo a número de lados, de vértices y/o ángulos. Dentro de los argumentos escuchados en la observación destacamos que clasificar de acuerdo a cantidad de ángulos es igual a clasificar de acuerdo a cantidad de lados. Para escribir los criterios discuten sobre cuántos lados se comienza a plantear y después de una conversación llegan a que es tres el mínimo número de lados de la figura.

G1: Asocia las figuras por cantidad de ángulos, luego etiqueta las figuras y realiza una tabla resumen.

B) Cuando se les pide que vuelvan a clasificar las figuras por algún otro criterio,

todos los grupos se dan cuenta de que hay polígonos cóncavos y convexos, dos grupos responden por forma y el otro comprueba la relación midiendo y marcando los ángulos. Destacamos las siguientes respuestas:

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Las alumnas de G1 clasifican en figuras que tienen al menos un ángulo interior mayor a 180º lo que hace notar una precisión en el lenguaje geométrico empleado) y figuras que tienen todos sus ángulos interiores menores a 180º. Lo anterior lo justifican por medio de la medición, una de las estudiantes del grupo sale con esta idea y el resto no la entiende y les demuestra mediante la medición de los ángulos de las figuras con lo que logra convencer a las demás estudiantes. Grupo 3: Agrupan las figuras por medida de lados, diciendo que hay algunas que tienen lados de igual medida y otros no. Grupo 4: Se pueden clasificar en dos categorías: figuras geométricas “naturales” y figuras geométricas “compuestas”, las ultimas se componen de de más de figuras dentro de ellas. Explicando que las “compuestas” son las cóncavas.

C) Cuando se le pide que escriban al menos 2 características que reúna a todas las

figuras geométricas de la lámina 1 en un solo grupo, todos los grupos coinciden en que todas las figuras son de dos dimensiones, poseen lados, vértices y ángulos, además uno agrega que sus lados son rectos a diferencia del círculo.

G1

G2

G3

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ACTIVIDAD 2. Cuando se les presenta cinco grupos de figuras, cuando deben encontrar sus similitudes, hablan de número del lados, pero cuando se le pregunta por las diferencias encuentran clasificaciones más finas y encuentran más relaciones entre las figuras. Resultados del grupo 1. Grupo de polígonos cóncavos. G1

Marcan los ángulos para formular con bastante precisión que todas las figuras tienen 1 o más ángulos cuya medida es mayor a 180º. Grupo de Rombos.

Momento II: “Construcción de un modelo matemático” ACTIVIDAD 1. Respuestas de los estudiantes: Cuando se les pregunta la suma de los ángulos de los polígonos de 3 y 5 lados, todos los grupos miden figuras y descubren que sus ángulos suman 180º y 540º respectivamente, miden más de una figura para comprobar sus resultados. Cuando se les pregunta por la suma de los ángulos del polígono de 9 lados, un integrante de un grupo se da cuenta que hay una relación inmediatamente y la comienza a buscar, el resto de los grupos dibujan una figura de 9 lados y miden sus ángulos. Cuando se les pregunta ¿Cómo obtuviste los datos en cada caso? Un grupo, el que se dio cuenta inmediatamente que había una relación, busca la regularidad y escribe como la sacó. Los demás grupos, argumentan que lo hicieron por medio de medir los ángulos de una figura dibujada.

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G1

G2

Argumentos. Predicción. G1 construye tabla de datos para estudiar las regularidades observadas.

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Modelación. G2 mide una figura construida.

Todos los grupos miden todas las figuras de un mismo tipo para encontrar invariantes.

ACTIVIDAD 2. Respuestas de los estudiantes: Cuando se les pregunta ¿Cuál es la suma de la medida de los ángulos interiores de un polígono de 116 lados?, todos los grupos se plantean una forma más sencilla de encontrar la respuesta y comienzan a buscar regularidades con los datos que tienen poniéndolos en una tabla y completándola. Algunas piensan en dibujar, pero es una tarea imposible. Cuando comienzan a buscar las regularidades, realizan tablas de número de lados versus suma de sus medidas de ángulos interiores, encontrando que había una diferencia de 180º a medida que aumentaba en un lado la figura. Se observa que no miden sólo una figura de cada tipo sino que prueban con más de una para asegurarse de que la medida que encontraron estaba correcta. En los grupos que encontraron la relación exacta fue (116-2) x180º. Esta pregunta les hace surgir la inquietud de si sobre habrá alguna forma más sencilla de sacar el resultado en vez de dibujar o realizar una tabla hasta 116, con lo cual recurren a la predicción.

Cuando se les pregunta ¿Cómo podrías calcular la suma de la medida de los ángulos interiores de un polígono de “n” lados?, lo que se necesita en que modelar una relación general, para la pregunta anterior no era necesario modelar porque podían plantear una relación en función de lo que tenían, ahora deben ir a la búsqueda de la generalidad. Las respuestas son las siguientes:

Primero piensan en 180 x número de lados y al comprobar se dan cuenta que no sirve. Luego piensan en cantidad de lados – 2 x 180º, pero no se dan cuenta de que

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es necesario poner un paréntesis, finalmente dos grupos llegan a (n-2) x180º, luego de una conversación entre ellos. En otro grupo una alumna llega a la relación “180º x número de lados -360º”. G3 muestra su tabla de datos.

G2 intenta establecer una relación, pero da cuenta de la variación.

G1

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Otra relación Descubierta.

Momento III: Funcionalidad del modelo. ACTIVIDAD 1. En este momento se les pide trabajar con un grupo de figuras de polígonos regulares que están en la lámina. Cuando se les pregunta por las características que tienen estas figuras, ellas responden midiendo las figuras en cuestión, para la figura de 9 lados que no existe en la lámina, dos grupos realizan una figura y miden sus ángulos y otro grupo toma la decisión de analizar los datos anteriores y ver lo que pasa en otras figuras de menos lados hasta 5 para encontrar una relación. G2

ACTIVIDAD 2. Cuando se les pide construir una figura que pertenezca a la categoría de las anteriores, empiezan a analizarlas más fondo y estudian las características de cada una de ellas. Encontrando una relación entre las medidas de los lados relacionado con la fórmula de la suma de los ángulos anteriores que sacaron en el momento III. Cuando se les pregunta cómo se puede calcular la medida de cada ángulo para una figura como las anteriores de “n” lados, es un asunto que ya solucionaron en la primera parte de esta actividad y sólo lo escriben.

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G1

 

4.2.3.CONFRONTACIÓN. A continuación se realizará un análisis entre lo que se esperaba obtener de la situación y lo que realmente ocurrió en cada uno de los tres momentos. En el desarrollo de la situación, nos damos cuenta que los estudiantes sienten la necesidad de justificar sus conjeturas. Entre los argumentos más utilizados está el recurrir a la forma, medir la figura, tabular, crear modelos de relaciones matemáticas y predecir. Además, el uso de la figura ayuda a las estudiantes a encontrar importantes relaciones y propiedades. Momento I : “Establecimiento de relaciones entre figuras por medio de la clasificación”

En esta situación se proporciona a los estudiantes instrumentos de medición para que los puedan utilizar libremente si lo estiman necesario. Sin embargo, en las estudiantes surge la necesidad de medir ángulos y lados para comprobar o justificar sus hipótesis y convencer al resto del grupo. Además se observa que miden más de una figura para corroborar sus conjeturas y asegurar lo que dicen. Por lo tanto, la medición es un argumento para justificar sus conjeturas. Además, durante el proceso de medir, se observa que al darse cuenta que las los lados de la figura no alcanzan a llegar a los números del transportador, extienden los segmentos con lo que surge el concepto de ángulo exterior de manera natural.

Los estudiantes para clasificar las figuras las etiquetan marcando las que pertenecen a una u otra categoría con un signo respectivo. Por ejemplo, cuando categorizan por número de lados, ángulos o vértices, las marcan con números.

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Existe la tendencia a ordenar la información por medio de tablas o un orden secuencial para luego encontrar regularidades y establecer modelos de un cierto comportamiento.

En este momento la figura deja de ser un dibujo y comienza a ser una figura

geométrica que está compuesta de lados, vértices y ángulos. El trabajo entre figuras permite acentuar las relaciones que existen entre ellas, llegando a la formulación de propiedades. En principio algunas alumnas pensaban que algunas figuras como la estrella no eran figuras geométricas, pero cuando se dan cuenta que tiene características en común con las demás figuras, en el sentido que todas tienen lados, vértices y ángulos, donde además estos lados son rectos, nace la noción de polígono.

Es importante destacar que en el desarrollo de las actividades desarrollan lenguaje geométrico para expresar sus conclusiones al resto del grupo y anotar sus conclusiones para que el profesor las entienda.

En este momento también nos encontramos con la presencia de argumentos gestuales, donde tratan de explicar las regularidades que han encontrado entre los integrantes del grupo, por ejemplo una integrante de un grupo trata de convencer a las demás de las regularidades del grupo de la actividad 2 diciendo que se ha dado cuenta que todas las figuras tienen sus lados opuestos de iguales medida al referirse a los romboides de la actividad 2 del momento I: Alumna: “Este lado con este lado miden lo mismo (refiriéndose a los lados de mayor medida), lo mismo pasa con los otros dos (refiriéndose a los de menos medida) pero como lo escribimos para que se entienda?” Esto lo explica por medio de gestos que sus compañeras comprenden, lo cual creemos es un aporte al proceso de construcción de conocimiento matemático sobre los polígonos.

Las estudiantes utilizan argumentos visuales, gestuales y también basados en la lógica (reducción al absurdo) para convencer al resto de sus compañeros. Dentro de los argumentos dados por las alumnas se encuentra la presencia de demostraciones al absurdo. Por ejemplo, cuando van a construir la tabla, una alumna de un grupo dice que para construir la tabla que relaciona el número de lados con la medida de los ángulos interiores partan del número 1, a lo que otra alumna contesta, “no podemos partir la tabla del número 1 porque no existe una figura de un lado, así sería una línea y tampoco de dos porque no se cerraría”, por lo que deciden partir de tres lados la tabla, a lo que otra alumna contesta, lo cual es lógico porque la figura más pequeña es el triángulo, refiriéndose a la figura de menos cantidad de lados”. Otra situación similar ocurre en el momento I en el mismo grupo, donde al encontrar que tenían en común todas las figuras de la lámina duna alumna justifica su respuesta frente a sus compañeras, fíjense que estas figuras se diferencian de otras como el circulo porque tienen lados rectos, ángulos y vértices. El círculo lo tiene lados y no está acá en la lámina.

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Cada vez que dan una idea, si está estaba basada en un argumento visual, la

justifican para convencer al resto del grupo, si no la dan, en resto del grupo dice si está segura de lo que dice y pide explicación o prueba.

En el primer momento se pide que lleguen y/o analicen clasificaciones más allá de lo que comúnmente se ve en el discurso matemático escolar que es número de lados o ángulos. Logrando así establecer más relaciones entre las figuras. Cuando se les pide que vuelvan a clasificar las figuras por algún otro criterio, permite que analicen nuevamente la lámina y busquen más relaciones aparte de lo que traen de sus experiencias previas. Momento II : “Construcción de un modelo matemático”

En este momento II se esperaba que las estudiantes se percatasen de la relación existente entre el número de lados y/o ángulos de la figura y la suma de sus ángulos interiores, por lo tanto esperábamos que recurrieran a la predicción para conocer los resultados futuros que se le pedían y llegar así a la construcción de un modelo matemático de forma espontánea.

En primera instancia nos dimos cuenta que la figura fue un soporte para sus razonamientos y en todos los grupos la utilizaron para sacar la suma de los ángulos de la figura de 3 y 5 lados, luego cuando se les pide la de 9 lados que no está en la lámina, pensamos que recurrirían a la predicción, pero sólo un grupo se pudo percatar de esa situación, todo el resto recurrió a crear una figura y medir sus ángulos, por lo cual creemos que la modelación es un argumento espontáneo en todos los grupos en la actividad 1, cuando aún no se dan cuenta de la periodicidad y argumentan que la suma de las medidas es un cierto número porque lo ven en la figura y si la figura no está, la dibuja y lo comprueba.

En la actividad dos cuando se le pregunta por un número de lados bastante mayor, es decir, 116 lados todos los grupos buscan regularidades entre los datos que obtuvieron del uso de la figura y fueron estableciendo relaciones, esta tarea no fue sencilla pero lograron darse cuenta de que, sin importa el tamaño de la figura a medida que aumentaba el número de lados aumentaba la suma de sus ángulos interiores en una cantidad fija, es decir, 180º. Sólo tres grupos llegaron a obtener un modelo matemático, pero todos se dieron cuenta de la periodicidad. Desde el punto de vista de la teoría socioepistemológica, esto constituye ya una construcción de conocimiento en sí, debido a que el objeto no es nuestro interés en sí. Momento III : Funcionalidad del modelo. En este momento se le pide que utilice el conocimiento que adquirió en el momento I y II, se espera que lo aprendido sea funcional para ella y no quede solamente en una aplicación de la matemática. Lo que ocurre es que los estudiantes determinan que las figuras presentes en la clasificación que les entregó tenían todos la característica de poseer sus lados de y ángulos de igual medida. Cuando se les pide que determinen la medida de un ángulo interior ocurre el momento en que todo el modelo es funcional en todos los grupos, se dan cuenta que para determinar la medida de cada lado de la figura deben primero conocer la medida de la suma de sus ángulos interiores, lo que espontáneamente en todos los grupos dicen que ya lo vieron en el

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momento II y por lo tanto como la figura tiene todos sus lados y ángulos iguales deben dividir por la suma de los ángulos interiores por el número de lados, con lo cual llegan a un nuevo modelo matemático.

4.2.3.Discusión De la experimentación de la situación podemos destacar que cuando es el mismo estudiante el que construye su propio conocimiento a través de la toma datos y búsqueda de relaciones a través de la experimentación, el conocimiento comienza a ser funcional. Lo funcional tiene que ver con que el estudiante es capaz de movilizar el conocimiento a otro tipo de situaciones, lo que le da significado a la matemática que trae, lo que permite pueda ser utilizada de manera distinta en la situación planteada en el diseño. Además, los argumentos que emergen de las interacciones sociales intencionadas por la situación permiten que el conocimiento en cuestión adquiera un nuevo significado para ellos, debido a que en la búsqueda de relaciones comienzan a poner atención en aspectos que el discurso le entrega vía formulas y no tienen la posibilidad de validar por ellos mismos la legitimidad de lo que se les está proporcionando. Lo anterior puede constituir un gran paso hacia la devolución de la responsabilidad matemática de los estudiantes sobre sus producciones por medio de los procesos argumentativos, que como ya hemos visto, a pesar de carecer de la lógica aristotélica si contribuyen a la construcción de conocimiento asociado a la noción de polígono. Además, en esta situación la figura deja de ser un simple dibujo y comienza a ser una figura geométrica que está compuesta de lados, vértices y ángulos. El trabajo en y entre figuras permite acentuar las relaciones que existen entre ella y ellas, llegando a la formulación de propiedades. La diversidad de argumentos planteados permiten la resignificación de los conocimientos en cuestión, es especial aquellos argumentos asociados a prácticas sociales, como son la modelación y predicción.  

               

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Capítulo5:Conclusiones

  

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Conclusionesfinales.

En la actualidad existen grandes problemas asociados al proceso de enseñanza y aprendizaje de las nociones pertinentes a la geometría euclidiana, evidencia de ello lo constituyen los resultados de las evaluaciones nacionales y la preocupación del Ministerio en apoyar con fuerza este eje en los planes y programas. En esta investigación hemos abordado específicamente un fenómeno asociado a la noción de polígono, fundamental dentro de esta área de la matemática. Los antecedentes encontrados y la experimentación llevada a cabo, nos ayudaron a darnos cuenta que su proceso de enseñanza y aprendizaje se encuentra a un nivel utilitario, basado en el aprendizaje de fórmulas, en el cual los estudiantes no tienen la oportunidad de ser partícipes de los procesos de construcción, debido a que se les presenta como un conocimiento acabado carente de significados que se construyen y/o reconstruyen en su misma actividad.

En este sentido en nuestra investigación se ha abordado como problemática la

resignificación de los conocimientos asociados a la noción de polígono por medio de los argumentos gráfico, bajo el marco teórico de la Socioepistemológica, que nos permitió dar una mirada distinta a estos fenómenos, centrando nuestra atención en las prácticas y no en los objetos en sí, y así indagar en los fenómenos de producción, adquisición y difusión de este conocimiento matemático desde una perspectiva múltiple (epistemológica, social, didáctica y cognitiva) en escenarios socioculturales.

Nuestro objetivo fue dar a conocer la importancia en la construcción y/o

resignificación de conocimiento matemático, de las argumentaciones gráficas que emergen del uso que se dio a la figura geométrica en una situación en que se ha intencionalizado la aparición de las prácticas de modelación y predicción por medio de la variación de los elementos de figuras geométricas, es por ello, que desde la perspectiva de la teoría Socioepistemológica hemos llegado a las conclusiones que expondremos a continuación.

Para lograr la resignificación se realizó un diseño de situación que pone en

evidencia aquellos argumentos que están presentes en la construcción de estos conocimientos por medio del uso de la figura y que en la actualidad no son validados en el discurso matemático escolar por carecer de la lógica aristotélica. Estos argumentos han salido a la luz por medio del análisis histórico epistemológico basado en prácticas. Es por ello que por medio del recorrido histórico epistemológico unido al análisis del discurso matemático actual, hemos visto que existen aspectos que están ausentes y que deben ser enfatizados para lograr la funcionalidad del conocimiento y que hemos incluido en nuestra situación de aprendizaje.

Mediante la revisión del discurso matemático escolar de nuestro país vigente al

año 2012 nos encontramos con escasa presencia de situaciones de aprendizaje que

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permitan la construcción y/o resignificación de los conceptos asociados a la noción de polígono, debido a que privilegian su nivel utilitario, por medio de situaciones de aplicación de conceptos. Los programas de estudio y textos no incluyen en sus secuencias, actividades donde el estudiante sea el que construya su conocimiento en base a actividades donde realice modelos, conjeturas, establezca relaciones entre datos, estudie invariantes, especule sobre posibles efectos, en el fondo, echar mano a diversos argumentos que trae de sus experiencias en escenarios escolares y no escolares y permiten la construcción del conocimiento matemático.

Hemos encontrado que las secuencias didácticas de los textos desde Prekinder

hasta Sexto año básico están basadas en definiciones, ejemplos, ejercicios y “problemas”, estos últimos, referidos a actividades en las que los estudiantes deben construir modelos para aplicar lo que ya se le mostró en las páginas anteriores, en este sentido, se le pide, reconocer, representar lo que ya conoce, lo que hace alusión a volver a presentar lo que ya fue presentado e implica que primero se debe enseñar un objeto y luego crear un modelo o representación del mismo sin tener el alumno la posibilidad de ser partícipe de su proceso de construcción o reconstrucción. Las actividades predominantes son de representación, lo cual desde el punto de vista de la teoría Socioepistemológica no conlleva a la construcción de conocimiento debido a que no existe un trabajo de creación y de exploración necesarios para que el estudiante se apropie de la situación.

Desde el punto de vista cognitivo, hasta segundo año básico se observa la presencia de obstáculos didácticos con respecto a la visualización, incorporando sólo figuras de triángulos, cuadrados y rectángulos y recurriendo a una representación visual típica, sin recurrir a variación de formas, sin sacar un mayor provecho de la figura en los procesos de aprendizaje, con lo cual el estudiante se queda con la idea que existen solo esas formas y toda otra representación no será una figura geométrica o específicamente un polígono.

La revisión del discurso matemático escolar, nos lleva a plantear un rediseño

en el cual hemos incorporado aspectos presentes en la construcción social del conocimiento matemático asociado a la noción de polígono encontrados en el estudio epistemológico social, que a diferencia de las epistemologías tradiciones, permite estudiar al hombre haciendo matemática y no sólo su producción matemática (Arrieta, 2003), a continuación algunos de los hallazgos encontrados.

En la revisión histórico-epistemológica se encontró evidencias de aspectos

socioepistemológicos en la construcción del conocimiento matemático asociado a la noción de polígono que hemos incorporado a nuestro diseño. Hemos tomado la versión de Boyer (1986) con respecto a los orígenes de la geometría, los que toma de historiadores griegos de la época como Heródoto, que sitúan sus orígenes como ciencia en el antiguo Egipto.

Encontramos que el estudio de los polígonos y sus propiedades surge de la

necesidad práctica del cálculo de área. Hemos visto que en Egipto, el faraón entregaba a sus súbditos terrenos rectangulares sobre los cuales debían tributar con respecto a su área. Cuando el río crecía, borraba los bordes de los terrenos y

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surgían nuevas formas que debían estudiar para calcula sus áreas y así pagar sólo la superficie utilizada. Surgiendo así, las primeras propiedades exactas de polígonos básicos que surgen en Egipto fueron descubiertas por medio de la búsqueda de relaciones entre figuras comparándolas con las que ya conocían. Posteriormente en Mesopotamia se estudia propiedades de otros polígonos por medio de la realización de tablas de donde estudiaban la regularidad, por lo cual creemos que está muy fuerte la idea de predicción para la construcción de conocimiento.

Ni los Mesopotámicos, ni los egipcios desarrollaron un edificio matemático teórico. Los principios de la geometría egipcia son una colección de principios empíricamente descubiertos referidos a casos concretos. Por otra parte, no hay claridad sobre lo que consideraban como resultados exactos o aproximaciones. Sin embargo, existía la necesidad de justificar las técnicas y relaciones encontradas de los análisis de carácter práctico y con casos concretos, lo que creemos, constituye una construcción de conocimiento, pues es una parte de la epistemológica de la construcción de las propiedades de las figuras geométricas. Se cree que en las civilizaciones prehelénicas no existía la idea de generalidad. Sin embargo, el hecho de que no se haya conservado ninguna formulación de estas reglas no significa necesariamente que no existiera el pensamiento antiguo generalidad de dichas reglas o principios.

En Egipto existen evidencias de procesos de prueba, donde los escribas

justificaban los procedimientos utilizados por medio de establecer relaciones y comparaciones con otras figuras conocidas desarrollando un tipo de justificación no deductiva. Posteriormente, Tales de Mileto, el griego que es considerado el padre de la demostración, comienza a realizar justificaciones con mayor grado de precisión sin embargo, se cree que sus demostraciones tenían más bien la función de convencer. Fue en Grecia, donde la Geometría se transforma en una ciencia que se estructura con un razonamiento lógico deductivo.

Un punto de interés para nuestra investigación, lo constituye el hecho de que se

cree que los primeros griegos que desarrollaron la geometría como ciencia tomaron ideas de las culturas anteriores. Lo anterior desde el punto de vista epistemológico constituye un hecho de gran interés, debido a que las prácticas desarrolladas por las civilizaciones prehelénicas, están presentes en la construcción de estos conocimientos y en la actualidad no son validadas por carecer de la lógica aristotélica.

Estos aspectos encontrados como la búsqueda de regularidades, el uso de argumentos que no están basados en la lógica aristotélica y el uso de la figura para la construcción de sus propiedades nos llevan a realizar un modelo basado en estas prácticas encontradas para la resignificación de los conocimientos en cuestión. La experimentación de la situación diseñada nos permitió dar respuesta las preguntas de investigación que nos planteamos al inicio: ¿Cuáles son los argumentos matemáticos que desarrollan los estudiantes en la construcción de la noción de polígono? ¿Estos argumentos posibilitan la construcción de la noción de polígono? ¿La modelación y/o la predicción constituyen un argumento que permite la construcción social del contenido de polígonos en los estudiantes? A las que daremos respuesta en las siguientes líneas.

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Como hemos visto en el capítulo III, la teoría Socioepistemológica permite

estudiar científicamente los argumentos. Es por ello que hemos analizado su rol en la construcción de conocimiento matemático de la noción de polígono. En esta situación no se parte de fórmulas que el estudiante debe aplicar, sólo se parte de la figura y un cuestionario que debe ser realizado en grupos de estudiantes que permite recoger sus argumentos desde la Socioepistemología.

De la experimentación de la situación podemos destacar que cuando se le

devuelve la responsabilidad matemática al estudiante sobre sus producciones, surgen argumentos a través de los cuales el estudiante desea validar su conocimiento para convencerse a sí mismo y a su grupo, una vez realizado un hallazgo. Estos argumentos nacen de la toma datos y búsqueda de relaciones que derivan de la experimentación con la figura, por lo cual este conocimiento comienza a ser funcional, porque es el mismo él que lo ha descubierto, el que lo ha construido o reconstruido. A partir de ese momento, es capaz de movilizarlo a otro tipo de situaciones como se observó en el momento III, donde el estudiante debió utilizar conocimientos de las situaciones anteriores para llegar a un modelo matemático que nace de forma espontánea.

Estos argumentos que emergen de las interacciones sociales intencionadas por la situación a pesar de carecer de la lógica aristotélica permiten que el conocimiento en cuestión adquiera un nuevo significado para ellos, debido a que en la búsqueda de relaciones comienzan a poner atención en aspectos que el discurso le entrega vía formulas, dándoles la posibilidad de validar por ellos mismos la legitimidad del conocimiento que se pone a su disposición.

Morales (2012) señala que los profesores de matemática no promueven y peor aún no validan la argumentación gráfica, ya que consideran a las figuras como representaciones de objetos matemáticos, privilegiando el uso de fórmulas y expresiones algebraicas. Es así que la argumentación gráfica debe ser ubicada en un estatus privilegiado en la matemática que se enseña, ya que se considera como una herramienta muy útil que permite poner los conocimientos en juego a un nivel funcional. El estudiante aprende a identificar relaciones en la figura y a reconocer patrones de comportamientos entre ellas para el establecimiento de propiedades como la de la suma de sus ángulos interiores, en este caso particular y a extrapolarlo a otro tipo de figuras especiales como las regulares por medio de su visualización.

A continuación, expondremos algunos de los argumentos de los estudiantes: • Entre los argumentos más utilizados está el recurrir a la figura, medir, tabular,

crear modelos de relaciones matemáticas y predecir. Existe la tendencia a ordenar la información por medio de tablas o un orden secuencial para luego encontrar regularidades y establecer modelos de un cierto comportamiento. Además surge la necesidad de medir ángulos y lados para comprobar o justificar sus hipótesis y convencer al resto del grupo, pues se observa que sienten la necesidad de justificar. Todo lo anterior contribuyó incluso a la formulación de propiedades matemáticas, aunque nuestro foco no está en ellas, sino en los procesos argumentativos ya comentados.

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• En el momento I se pide a los estudiantes que lleguen y/o analicen clasificaciones más allá de lo que comúnmente se ve en el discurso matemático escolar que es número de lados o ángulos. Logrando así establecer relaciones entre las figuras. Cuando se les pide que vuelvan a clasificar las figuras por algún otro criterio, permite que analicen nuevamente la lámina y busquen más relaciones aparte de lo que traen de sus experiencias previas.

• Dentro de los argumentos que surgen están los argumentos visuales y gestuales, que en el discurso matemático escolar no son considerados como válidos y en algunas ocasiones son incluso rechazados por los docentes. Los argumentos gestuales tienen que ver con actividades donde tratan de explicar las regularidades que han encontrado entre los integrantes del grupo, por ejemplo una integrante de un grupo trata de convencer a las demás de las regularidades del grupo de la actividad 2 diciendo que se ha dado cuenta que todas las figuras tienen sus lados opuestos de iguales medida al referirse a los romboides de la actividad 2 del momento I por medio de gestos, lo cual es un aporte al proceso de construcción de conocimiento matemático sobre los polígonos. Desde el punto de vista cognitivo, la figura es un soporte intuitivo indudable,

representa una herramienta de análisis que proporciona información visual de las propiedades de los polígonos. En esta investigación se le dio nuevos usos, no sólo para la representación de un enunciado, sino una herramienta para modelar y predecir, la figura en sí fue un argumento que permitió la resignificación del conocimiento que ayuda a las estudiantes a encontrar importantes relaciones y propiedades. La figura deja de ser un simple dibujo y comienza a ser una figura geométrica que está compuesta de lados, vértices y ángulos. El trabajo en y entre figuras permite acentuar las relaciones que existen en ella y entre ellas, llegando incluso a la formulación de propiedades.

Para nuestra investigación es de suma importancia analizar y ver cómo funcionan los argumentos que emergen de los procesos de interacción social. Esto debido a que no debemos desconocer que existen en el aula de matemática y deben ser utilizarlos para la construcción y/o resignificación del conocimiento matemático. Especialmente, analizar como los argumentos que surgen del uso de la figura permiten llevarlo a un nivel funcional, como la se mencionó anteriormente.

Proponemos como proyección a nuestro trabajo, seguir implementando

situaciones de aprendizaje en las que se utilice la figura para la resignificación del conocimiento matemático y prestar mayor atención a los argumentos que los estudiantes construyen a partir de la situación.

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ReferenciasBibliográficas

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Anexo1: 

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Anexo 1. El instrumento Hoja de Instrucciones Cuestionario Materiales: • Lámina de figuras. • Transportador. • Compás. • Regla. • Escuadra. MOMENTO I. Consigna: Utiliza la “lámina de figuras” para responder las siguientes preguntas. Puedes

utilizar los instrumentos y/o procedimientos que estimes convenientes. Justifica tus respuestas.

ACTIVIDAD 1.

A) Agrupa las figuras de la lámina de acuerdo a uno o más criterios que estimes

conveniente. Escriba el o los criterios y las figuras de cada grupo.

B) Vuelve a clasificar las figuras por algún otro u otros criterios diferentes a los anteriores. Escribe el o los criterios que encontraste y las figuras de cada grupo.

C) Escribe al menos 2 características que reúna a todas las figuras geométricas de la lámina 1 en un solo grupo. ACTIVIDAD 2. A continuación se presentan cinco grupos de figuras pertenecientes a la lámina

que reúnen ciertas características en común. Para cada uno de ellos contesta las siguientes preguntas:

A) ¿Cuáles son las similitudes entre todas las figuras de cada grupo? Escribe al

menos 3 y justifica tu respuesta.

B) ¿Cuáles son las diferencias de las figuras de cada grupo? justifica tu respuesta.

• GRUPO 1. Figura3 Figura11 Figura13 Figura22 Figura32

• GRUPO 2.

Figura6 Figura16 Figura26

• GRUPO 3. Figura1 Figura8 Figura9 Figura23

80  

• GRUPO 4. Figura17 Figura21 Figura24

GRUPO 5. Figura10 Figura30

MOMENTO II. Consigna: Utiliza la “lámina de figuras” para responder las siguientes preguntas. Puedes utilizar los instrumentos y/o procedimientos que estimes convenientes. Justifica tus respuestas.

ACTIVIDAD 1. Preguntas:

a) ¿Cuál es la suma de la medida de los ángulos interiores de un polígono de 3 lados?

b) ¿Cuál es la suma de la medida de los ángulos interiores de un polígono de 5 lados?

c) ¿Cuál es la suma de la medida de los ángulos interiores de un polígono de 9 lados?

d) ¿Cómo obtuviste los datos en cada caso?

ACTIVIDAD 2. Preguntas:

81  

a) ¿Cuál es la suma de la medida de los ángulos interiores de un polígono de 116 lados?

b) ¿Cómo podrías calcular la suma de la medida de los ángulos interiores de un polígono de “n” lados?

c) ¿Cómo obtuviste los datos en cada caso? MOMENTO III. ACTIVIDAD 1. Utiliza las siguientes figuras pertenecientes a la lámina para responder las preguntas que

encontrarás a continuación. A continuación se indica el siguiente grupo de figuras: Figura2 Figura6 Figura7

Figura20 Figura24 Figura31

¿Cuáles son las características que tienen estas figuras en común para pertenecer a una categoría específica? Justifica tu respuesta.

82  

ACTIVIDAD 2.

1. Construya figuras que pertenezcan a esta categoría en la hoja blanca anexa de lado 3 cm. Describe el procedimiento utilizado en las construcciones.

2. ¿Cómo se puede calcular la medida de cada ángulo para una figura como las anteriores de “n” lados?

Lámina figuras.  Figura1 Figura2 Figura3 Figura4

Figura5 Figura6 Figura7 Figura8

Figura9 Figura10 Figura11 Figura12

83  

Figura13 Figura14 Figura15 Figura16

Figura17 Figura18 Figura19 Figura20

 

Figura21 Figura22 Figura23 Figura24

84  

Figura25 Figura26 Figura27 Figura28

Figura29 Figura30 Figura31 Figura32

85  

              

Anexo2:    

86  

B- RESPUESTA DE LOS ESTUDIANTES

Grupo 1.

87  

88  

89  

90  

Grupo 2.

91  

92  

93  

94  

95  

Grupo 3.

96  

97  

98  

Grupo 4.

99