ERGEBNISSE

TECHNISCHE MECHANIK I-IIELEMENTE DER TECHNISCHEN MECHANIK I-II

Lehrstuhl fur Technische Mechanik, TU Kaiserslautern

SS 2015, 01.08.2015

1. Aufgabe: (TMI, TMI-II, ETMI, ETMI-II)

masselosmasselos

GS

6

5a

y

3

4a

x

, t

4a 3a

3a

2a

a

, t

g

5a

2a

A B

Ein Pritschenwagen wird wie abgebildet vereinfacht als ebener Korper betrachtet. Die Masse des

Pritschenwagens ist im dunkelgrau eingefarbten Bereich homogen verteilt (Dichte , Dicke t). Die

Masse der Reifen sei vernachlassigbar.

a) Berechnen Sie bezuglich des gegebenen Koordinatensystems die Schwerpunktskoordinaten des

Pritschenwagens ohne die Sandlast.

b) Ermitteln Sie die Kontaktkrafte in den Punkten A und B ohne die Sandlast.

Der Pritschenwagen wird nun wie skizziert mit einem Sandhaufen mit der abgebildeten (resultieren-

den) Gewichtskraft GS beladen.

c) Wie groß muss die resultierende Sandlast GS sein, damit die Kontaktkraft im Punkt B genau

20% der in b) berechneten Kontaktkraft (unbeladener Zustand) betragt?

Gegeben: a, , g, t

a)

xs =

3∑

i=1

xiAi

3∑

i=1

Ai

=25

6a

ys =

3∑

i=1

yiAi

3∑

i=1

Ai

=61

72a

b)

Bv =13

2a2g

Av =5

2a2g

c)

GS =39

2a2g

2. Aufgabe: (TMI, ETMI)

z

x

M0 = 4q0a2

B

q0

A

a a a a a a

Der dargestellte Trager wird wie abgebildet durch ein Einzelmoment M0 = 4q0a2 und eine orts-

abhangige Streckenlast mit dem Maximalwert q0 belastet.

a) Drucken Sie die Streckenlast q(x) mithilfe des Foppl-Symbols aus.

b) Berechnen Sie die Verlaufe von Querkraft Q(x) und Biegemoment M(x) mithilfe des Foppl-

Symbols durch unbestimmte Integration.

Hinweis: Losungswege ohne Foppl-Integration werden nicht gewertet.

c) Skizzieren Sie die Verlaufe von Querkraft Q(x) und Biegemoment M(x). Geben Sie ausge-

zeichnete Werte an.

Gegeben: a, q0, M0 = 4q0a2

a)

q(x) =q0

2a〈x− 2a〉1 − q0

2a〈x− 4a〉1

b)

Q(x) = − q0

4a〈x− 2a〉2 + q0

4a〈x− 4a〉2 + C1 +B 〈x− 4a〉0

M(x) = − q0

12a〈x− 2a〉3 + q0

12a〈x− 4a〉3 + C1x+B 〈x− 4a〉1 + 4q0a

2 〈x− a〉0 + C2

c)

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6

Q/q

0a

x/a

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 6

−4.66667

−2.66667

M/q

0a2

x/a

3. Aufgabe: (TMI, TMI-II)

q0

F = q0 aF = q0 a

C

a

a

2 a a a 2 a

B

A

Das skizzierte dreiteilige masselose Tragwerk wird durch zwei Einzelkrafte F = q0 a und eine

Streckenlast q0 belastet.

Berechnen Sie durch Anwendung des Prinzips der virtuellen Verruckungen

a) die vertikale Lagerkraft in A,

b) die horizontale Lagerkraft in A,

c) das Biegemoment in Punkt B.

Hinweise: Losungen ohne Verwendung des Prinzips der virtuellen Verruckungen werden nicht beruck-

sichtigt! Fur alle Aufgabenteile sind die entsprechenden Verruckungsfiguren zu skizzieren.

Gegeben: a, q0, F = q0a

a)

AV = q0 a

b)

AH =3

2q0a

c)

MB = 2q0a2

4. Aufgabe: (TMII, TMI-II, ETMI, ETMI-II)

a

C

starr

3a 2a

FEI EI

x

F

B

z, w

A

D

Der dargestellte dehn- und schubstarre Balken mit der Lange 5a und der Biegesteifigkeit EI ist mit

einem starren Balken der Lange a verbunden. Das System wird in den Punkten C und D jeweils durch

eine Kraft F belastet.

a) Ermitteln Sie die Biegelinie w(x) im Bereich 0 ≤ x ≤ 5a.

b) Wie groß sind die Verschiebungen in den Punkten C und D?

c) Skizzieren Sie die Schnittgroßenverlaufe N(x), Q(x) und M(x) im horizontalen Balken im

Bereich 0 ≤ x ≤ 5a.

Gegeben: F , a, EI

a)

w(x) =1

EI

(

− 5

12F 〈x− 3a〉3 − Fa

2〈x− 3a〉2 + 1

4Fx3 − 3

4Fax2

)

b)

wC =43

6

Fa3

EI

wD =9

4

Fa3

EI

c)

N

Q

M

F

F

−32F

32Fa

−3Fa

−2Fa

5. Aufgabe: (TMII, TMI-II)

x

2a a

(1) (2)

E, ν

σ0

h

E, ν,

αT,∆T

y

Zwei elastische, homogene Scheiben gleicher Dicke und gleichen Materials sind passgenau in eine

starre Offnung eingesetzt. Es sei angenommen, dass an den Randern der Scheiben keinerlei Reibung

auftritt, und dass sich in beiden Scheiben ein homogener, ebener Spannungszustand einstellt. Im un-

belasteten Ausgangszustand sind beide Scheiben spannungsfrei.

a) Berechnen Sie die Spannungen σx und σy in beiden Scheiben infolge der konstanten Span-

nung σ0 (∆T = 0).

b) Nun wird die Scheibe (2) zusatzlich erwarmt. Wie groß muss die Temperaturanderung ∆T sein,

so dass die Verschiebung der Trennflache der beiden Scheiben insgesamt Null ist?

Gegeben: a, h, E, αT > 0, σ0, ν > 0

a)

σ(1)y = −σ0

σ(1)x = σ(2)

x = − 2νσ0

3 − ν2

σ(2)y = − 2ν2σ0

3− ν2

b)

∆T =ν(1 − ν)

EαT

σ0

6. Aufgabe: (TMII)

4a 6a 6a 6a

3a 12a

4a

3aE

A

B

G

C

D

q0

1

2 3

4F = q0a

EAEA

5

EA

EA

EA,EI = EAa2

Gegeben ist das dargestellte schubstarre Tragwerk, welches aus vier Staben (1-4) und einem Balken

(5) besteht. Die Belastung erfolgt durch die skizzierte dreiecksformige Streckenlast mit dem Maxi-

malwert q0 in Feldmitte des Balkens 5 und die Einzellast F = q0a im Punkt E. Die Dehnsteifigkeit

der Stabe betragt EA. Der Balken hat die Biegesteifigkeit EI = EAa2 und die Dehnsteifigkeit EA.

a) Geben Sie eine geeignete Aufteilung in”0“- und

”1“- System an, mit deren Hilfe die Stabkraft

im Stab 4 mit dem Prinzip der virtuellen Krafte berechnet werden kann.

b) Ermitteln Sie die Stabkraft im Stab 4 mit dem Prinzip der virtuellen Krafte mit Hilfe der unter

Punkt a) gewahlten Hilfssysteme. Berechnen Sie hierbei zuerst das”1“- System, dann das

”0“-

System.

Hinweis: Losungswege in b) ohne Verwendung des Prinzips der virtuellen Krafte werden nicht

berucksichtigt.

c) Berechnen Sie die Verschiebung des Punktes G in horizontaler und vertikaler Richtung.

Gegeben: a, q0, EA, EI = EAa2, F = q0a

a)”0“- System:

E

A

B

G

C

C

A

B

F

q0

5

32

1

”1“- System:

E

A

B

G

C

X X

D

D

CB

A

5

4

32

1

b)

N4 = −5

23· aq0

c)

uH =30

23

a2q0

EA

uV = 12a2q0

EA

7. Aufgabe: (ETMII, ETMI-II)

ϕ1 ϕ2

g

4m

x1

x3

r

2r r

Mb

m m

2m

12m

A B

r

2r

m

(1)(2)

(3)

Frontansicht Korper (1)

Der in der Abbildung skizzierte Korper (1) besteht aus einem großen Zylinder (Radius 2r, Masse 2m)

sowie zwei kleinen seitlich befestigten Zylindern (jeweils Radius r und Masse m). Korper (1) rollt

auf einer horizontalen Unterlage ohne zu gleiten und ist durch ein Seil mit dem Korper (3) (Mas-

se m) verbunden, der sich nach dem Loslassen nach unten bewegt. An der zylindrischen Umlenkrolle

(2) (Radius r, Masse 12m) wirkt ein Bremsmoment Mb. Das Seil ist undehnbar, masselos und stets

gespannt.

a) Ermitteln Sie das Massentragheitsmoment Θ des Korpers (1) bezuglich der Achse A-B.

b) Ermitteln Sie die Beschleunigung x3 in Abhangigkeit der gegebenen Großen.

c) Das Bremsmoment sei nun Mb = kϕ2, wobei k > 0 eine Konstante ist. Berechnen Sie die

Winkelgeschwindigkeit ϕ2(t) als Funktion der Zeit. Zur Zeit t = 0 befindet sich das System in

Ruhe.

Gegeben: r, m, Mb, g fur c): k > 0

a)

Θ1 = 5mr2

b)

x3 =4

9

[

g − Mb

mr

]

c)

ϕ2 =gmr

k

(

1− e−(4

9

k

mr2t))

8. Aufgabe: (ETMII)

ξω

r

P

ϕ

η

Scheibe

ω

z

Gondel

O

a

Π

6WΠ

2WΠ

W

3 Π2W

2 ΠW

t

-Π

- Π2

Π

2

ΠjHtL

Bei einem Karussell dreht sich eine horizontale Scheibe mit der konstanten Winkelgeschwindigkeitω.

Auf der Scheibe sind Gondeln montiert, die sich um ihre vertikale Achse relativ zur Scheibe drehen.

Die Bewegung eines in der abgebildeten Gondel fest angeschnallten Fahrgastes wird bezuglich des

scheibenfesten ξ − η - Koordinatensystems durch den Radius r und den Winkel ϕ(t) = π sin(Ωt)beschrieben, wobei r und Ω konstant sind.

Hinweis: Geben Sie bei den folgenden Aufgabenteilen alle Großen durch Vektorkomponenten

bezuglich des scheibenfesten ξ − η - Koordinatensystems an.

In der abgebildeten Position P des Fahrgastes gelte ϕ > 0. Berechnen Sie fur diese aktuelle Position

a) die Relativgeschwindigkeit ~vr ,

b) die Fuhrungsgeschwindigkeit ~vf ,

c) die Relativbeschleunigung ~ar ,

d) die Fuhrungsbeschleunigung ~af ,

e) die Coriolisbeschleunigung ~ac .

Gegeben: a, r, ω, Ω, ϕ(t) = π sin(Ωt), ϕ > 0 (in skizzierter Lage)

a)

~vr = −√3

2rπΩ~eξ

b)

~vf = ωa~eη + (ω~eζ)× (r~eη) = −rω~eξ + ωa~eη

c)

~ar =1

2rπΩ2~eξ −

3

4rπ2Ω2~eη

d)

~af = −aω2~eξ − rω2~eη

e)

~ac = −√3rπωΩ~eη

9. Aufgabe: (ETMII, ETMI-II)

vS

S

Stoß 2, e

m2

, v0

m

l

Stoß 1, e = 1

P

Umleger

Fur einen Produktionsprozess soll ein Umleger, der das Produkt um 90 dreht, ausgelegt werden. Zur

Berechnung wird das Produkt als schlanker Stab (Lange l, Masse m) idealisiert. Im Prozess stoßt

zunachst ein Stab mit der Stoßzahl e = 1 horizontal zentral gegen das Produkt. Dadurch gleitet das

Produkt reibungsfrei uber die Oberflache und stoßt schließlich mit der Stoßzahl e im Punkt P gegen

den fest mit der Wand verbundenen Umleger.

a) Berechnen Sie die Schwerpunktsgeschwindigkeit des vertikalen Stabes unmittelbar nach dem

ersten, elastischen Stoß (e = 1).

Die Schwerpunktsgeschwindigkeit des vertikalen Stabes nach dem ersten Stoß sei nun vS .

b) Fertigen Sie ein Freikorperbild des zweiten Stoßes (Stab mit Umleger) an und kennzeichnen

Sie das verwendete Koordinatensystem.

c) Berechnen Sie die Schwerpunktsgeschwindigkeit und die Winkelgeschwindigkeit des Stabes

unmittelbar nach dem Stoß mit dem Umleger im Punkt P (Stoßzahl e).

d) Berechnen Sie die Stoßkraft im Umleger.

Gegeben: m, l fur a): v0, e = 1 fur b) - d): vS , e

a)

v2x =2

3v0

b) FKB

−→FxFx

←−

xω

x

y

c)

ω =3

2

v1x

l(1 + e)

v1x =1

4vx (3− e)

d)

Fx =m

4(1 + e) vs