HTW Berlin Tanja Opitz

SS 13 LZM

Algebraische Normalform

Trigonometrische Normalform

Exponentielle Normalform � � � � � ∗ �

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Kenngrößen:

Wichtige Formeln zur Umformung: � � ����

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Rechenoperationen:

z1 = a1 + i*b1 oder z1 = |z1|*exp(ϕ1*i) und z2 = a2 + i*b2 oder z2 = |z2|*exp(ϕ2*i)

Addition/ Subtraktion:

Multiplikation/ Division:

→ algebraische Normalform

z1 ± z2 = (a1 ± a2) + i*(b1 ± b2)

→ algebraischen Normalform

z1 * z2 = (a1a2 – b1b2) + i*(a1b2 + b1a2)

z1 =

a1a2 + b1b2 + i*

b1a2 – a1b2 z2 (a2)² + (b2)² (a2)² + (b2)²

→ trigonometrische + exponentielle Normalform

Multiplikation Division

Produkt der Beträge + Summe der Winkel Quotient der Beträge + Differenz der Winkel

z1*z2 = |z1|*|z2|*exp(i*(ϕ1+ϕ2)) z1: z2 = |z1|:|z2|*exp(i*(ϕ1-ϕ2))

z1*z2 = |z1|*|z2|*(cos(ϕ1+ϕ2)+ i*(sin(ϕ1+ϕ2)) z1: z2 = |z1|:|z2|*(cos(ϕ1-ϕ2)+ i*(sin(ϕ1-ϕ2))

→ BEACHTE: ϕ sollte im Intervall 0 ≤ ϕ < 2π liegen

Konjugiertes Komplex:

Potenzen:

Wurzeln:

Logarithmus:

z* = �̅ = a – b*i mit z = a+b*i

Formel von MOIVRE:

zn = |z|n * exp(i*n*ϕ) zn = |z|n * (cos(n*ϕ)+ i*(sin(n*ϕ))

→ Gleichung hat genau eine Lösung

√�R � :|�|R ∗ �S∗TU;VWX

k = {0; 1; 2; … ; n-1}

→ Gleichung hat genau n Lösungen

ln(z) = ln(|z|) + i*ϕ

→ input: exponentielle Normalform

→ output: algebraische Normalform

FORMELSAMMLUNG - KOMPLEXE ZAHLEN