Precalculus

Cursus wiskunde vijfde jaar 6u-8u

c© Koen De Naeghel 1

OLVA, schooljaar 2009 - 2010

1Dit werk is beschermd onder het auteursrecht en is geregistreerd bij de Federale Overheidsdienst Financien. Verboden afte drukken zonder schriftelijke toestemming van de auteur.

Deel I

Analyse: Reele functies - Precalculus

I

Inhoudsopgave

I Analyse: Reele functies - Precalculus I

0 Herhaling 10.1 Cartesische coordinaten en grafieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Basisbegrippen in verband met functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.3 Elementaire functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.4 Transformaties van functies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1 Veeltermfuncties 151.1 Definitie en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2 Algebraısch bepalen van nulwaarden en tekentabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3 Gedrag op oneindig van veeltermfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Rationale functies 252.1 Rationale vormen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Rationale vergelijkingen en ongelijkheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.3 Definitie rationale functie en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Algebraısch bepalen van domein, nulwaarden en tekentabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5 Homografische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6 Asymptoten van rationale functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Irrationale functies 473.1 Definitie irrationale functie en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 Bepalen van domein en nulwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Interludium 531. Machtswortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532. Machten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553. Bewerkingen met functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574. Inverse functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605. Soorten functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4 Exponentiele functies 684.1 Lineaire groei, lineaire functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2 Exponentiele groei, exponentiele functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5 Logaritmische functies 775.1 Inleiding en motivatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2 Definitie logaritmische functie en eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.3 Rekenregels voor logaritmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6 Exponentiele en logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden 886.1 Modelvoorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

i

7 Goniometrische en cyclometrische functies 917.1 Periodieke functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917.2 Goniometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.3 Bewerkingen met periodieke functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1007.4 Cyclometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.5 Cyclometrische vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Herhalingsoefeningen 116

ii

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Hoofdstuk 0

Herhaling

0.1 Cartesische coordinaten en grafieken

Rene Descartes(1596 - 1650)

• Definities en notaties. Een orthogonaal assenstelsel (of Cartesisch 1

assenstelsel) bestaat uit twee getallenassen in het vlak die loodrecht op elkaarstaan, de x-as en de y-as. Het snijpunt van de assen noemen we de oorsprong O.

y

xO1

1

P (a, b)

a

b

Elk punt P in het vlak is uniek bepaald door een koppel reele getallen (a, b). We noemen a en b de (Cartesische)coordinaten van P , waarbij a staat voor de abscis en b voor de ordinaat van P . We noteren 2

P (a, b) of co(P ) = (a, b)

Een grafiek (in het vlak) is een verzameling van punten ten opzichte van het assenstelsel.

• Voorbeeld 1. Stel de grafiek G = {P (2, 1), Q(−1, 3), R(2,−1)} voor ten opzichte van een Cartesisch assenstelsel.

Oplossing. We duiden de punten van de verzameling G aan ten opzichte van het assenstelsel

1

2

3

−1

1 2 3−1−2

y

xO

1Genoemd naar Descartes 1637. De gelatiniseerde naam voor Rene Descartes was “Renatus Cartesius”, vandaar de term Cartesisch.2. . . en we noteren NIET “P = (a, b)”.

1

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Voorbeeld 2. Stel de grafiekG = {P (x, y) | y = 2x− 3}

voor ten opzichte van een Cartesisch assenstelsel. Welke meetkundige figuur stelt deze grafiek voor?

Oplossing. Om de grafiek te tekenen is het handig om enkele elementen van de verzameling G op te sommen

G = . . .

Aanduiden van enkele punten van de grafiek volstaat om een idee te krijgen van de volledige grafiek

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

xO

De meetkundige figuur van deze grafiek is . . .

• Voorbeeld 3. Stel de grafiek

G ={

P

(n,

1n

)| n ∈ N0

}voor ten opzichte van een Cartesisch assenstelsel.

Oplossing.

2

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

0.2 Basisbegrippen in verband met functies

Johann Dirichlet(1805 - 1859)

• Definitie (Reele functie) 3. Een (reele) functie f is een verband dat aan elkreeel getal x hoogstens een reeel getal y associeert. Dit getal y hangt (meestal)af van het getal x. Daarom noteren we

y = f(x)

en noemen we f(x) het functievoorschrift van de functie f . Een functie f noteertmen soms ook als volgt

f : R → Rx 7→ f(x)

• Opmerking. Meestal zullen we een functie f identificeren met zijn (func-tie)voorschrift f(x).

• Voorbeeld 1. Beschouw de functie f(x) =√

x. Om een zicht te krijgen op defunctie maken we

∗ Tabel van enkele functiewaarden

x −1 0 1 2 3 4

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∗ Grafiek

1

2

1 2 3 4−1

y

xO

De grafiek van f komt overeen met de verzameling

G = . . .

Met behulp van het grafisch rekenmachine controleren we

Y= 2ND TABLE WINDOW GRAPH

• Definitie. De grafiek van een functie f is de verzameling van alle punten P in het vlak van de vorm P (x, f(x)).We noteren deze verzameling met graf f .

In symbolen

graf fdef= {P (x, y) | y = f(x)}

We noemen y = f(x) de vergelijking van graf f .

3Dirichlet 1837. De term “functie” (Latijnse benaming: “functio”) werd vooropgesteld door Leibniz en Joh. Bernoulli in de 17de eeuw,de notatie y = f(x) is afkomstig van Euler 1734.

3

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Opmerkingen.

1. De drie voorstellingswijzen van een functie f en hun interactie kan als volgt worden voorgesteld

functievoorschrift

f(x)

tabel van enkele functiewaarden

x . . . −1 0 1 . . .

f(x) · · · · ·

>invullen

<“raden”

grafieky

xO1

1graf f

>tekenen

<aflezen

2. Niet elke grafiek is de grafiek van een functie f . Nemen we bijvoorbeeld als grafiek de cirkel C(O, 1) metmiddelpunt de oorsprong O en straal 1, dan is dit niet de grafiek van een functie f .

y

xO 1

1 C(O, 1)Inderdaad, uit de vergelijking van de cirkel C(O, 1) volgt

De volgende eigenschap zegt ons wanneer een grafiek ook de grafiek van een functie is.

• Eigenschap. Gegeven een willekeurige grafiek G. Dan is

G de grafiek van een functie f ⇔ bij elke x-waarde hoort hoogstens een y-waarde zodat P (x, y) ∈ G

• Voorbeeld 2. Gegeven zijn de volgende grafieken.

Bepaal telkens wanneer de grafiek ook de grafiek van een functie is.

1

2

−1

−2

1 2 3−1−2−3

y

xO

1

2

−1

−2

1 2 3−1−2−3

y

xO

Oplossing.

4

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Definitie. Het domein van een functie f is de verzameling van alle x-waarden waarbij er een y-waarde hoort.We noteren deze verzameling met dom f .In symbolen

dom fdef= {x ∈ R | f(x) bestaat }

Meetkundige betekenis. Het domein van f is de loodrechte projectie van graf f op de x-as.

y

xO dom f

graf f

• Definitie. Het beeld (of bereik) van een functie f is de verzameling van alle y-waarden die bereikt wordendoor f . We noteren deze verzameling met bld f (of met 4 im f of ber f).In symbolen

bld fdef= {y ∈ R | ∃x ∈ R : y = f(x)}

Meetkundige betekenis. Het beeld van f is de loodrechte projectie van graf f op de y-as.

y

xO

bld f

graf f

• Definitie. De nulwaarden (of nulpunten) van een functie f zijn alle x-waarden waarvoor f(x) = 0.De verzameling van alle nulwaarden noemt men ook wel de kern van f , we noteren deze verzameling met ker f .In symbolen

ker fdef= {x ∈ R | f(x) = 0}

Meetkundige betekenis. De nulwaarden van f zijn de x-waarden van de snijpunten van graf f met de x-as.

y

xO

graf f

nulwaarden van f

Merk op dat elke nulwaarde behoort tot het domein van f , want de schrijfwijze “f(x) = 0” betekent eigenlijk“f(x) bestaat en is gelijk aan 0”.

4De Engelse term voor beeld is “image”, vandaar de notatie im f .

5

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

0.3 Elementaire functies

In de volgende voorbeelden bespreken we enkele elementaire 5 functies.

• Voorbeeld 1 (De parabool).

∗ Functievoorschrift f(x) = x2


x −2 −1, 5 −1 −0, 5 0 0, 5 1 1, 5 2

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∗ Grafiek

1

2

3

4

1 2−1−2

y

xO

∗ Eigenschappen van de functie f(x) = x2

1. Domein.

2. Beeld.

3. Nulwaarden.

4. Tekentabel.

5. De functie f voldoet aan∀x ∈ dom f : f(−x) = f(x)

Inderdaad,

Omdat f voldoet aan deze eigenschap zeggen we dat f een even functie is.Meetkundige betekenis. De y-as is een symmetrie-as van graf f .

5In de volksmond ook wel “moederfuncties” genoemd.

6

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Voorbeeld 2 (De kubische parabool).

∗ Functievoorschrift f(x) = x3

∗ Tabel van enkele functiewaarden ∗ Grafiek

x −2 −1, 5 −1 −0, 5 0 0, 5 1 1, 5 2

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2

3

4

5

6

7

8

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−7

−8

1 2−1−2

y

xO

∗ Eigenschappen van de functie f(x) = x3

1. Domein.

2. Beeld.

3. Nulwaarden.

4. Tekentabel.

5. De functie f voldoet aan

∀x ∈ dom f : f(−x) = −f(x)

Inderdaad,

Omdat f voldoet aan deze eigenschap zeggen we dat f een oneven functie is.Meetkundige betekenis. De oorsprong O is een symmetrie-middelpunt van graf f .

7

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Voorbeeld 3.

∗ Functievoorschrift f(x) =√

x

∗ Tabel van enkele functiewaarden ∗ Grafiek

x −2 −1 0 1 2 3 4

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2

1 2 3 4−1

y

xO

∗ Eigenschappen van de functie f(x) =√

x

1. Domein.

2. Beeld.

3. Nulwaarden.

4. Tekentabel.

• Voorbeeld 4.

∗ Functievoorschrift f(x) = 3√

x

∗ Tabel van enkele functiewaardenx −8 −4 −1 0 1 4 8

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∗ Grafiek

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7−1−2−3−4−5−6−7

y

xO

∗ Eigenschappen van de functie f(x) = 3√

x

1. Domein.

2. Beeld.

3. Nulwaarden.

4. Tekentabel.

8

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Voorbeeld 5 (Hyperbool).

∗ Functievoorschrift f(x) =1x


x −4 −2 −1 −0, 5 −0, 25 0 0, 25 0, 5 1 2 4

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∗ Grafiek

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

xO

∗ Eigenschappen van de functie f(x) =1x

1. Domein.

2. Beeld.

3. Nulwaarden.

4. Tekentabel.

5. De functie f is een even/oneven/noch even, noch oneven functie (schrappen wat niet past).Inderdaad,

9

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Voorbeeld 6 (Rechte).

∗ Functievoorschrift f(x) = x. Deze bespreking laten we over als oefening voor de leerling.

• Voorbeeld 7 (Absolute waarde).

∗ Functievoorschrift f(x) = |x|∗ Tabel van enkele functiewaarden

x −3 −2 −1 0 1 2 3

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∗ Grafiek

1

2

3

1 2 3−1−2−3

y

xO

∗ Eigenschappen van de functie f(x) = |x|1. Domein.

2. Beeld.

3. Nulwaarden.

4. Tekentabel.

5. De functie f is een even/oneven/noch even, noch oneven functie (schrappen wat niet past).Inderdaad,

10

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

0.4 Transformaties van functies.

Verschuiven

• Op ontdekking. Gegeven is de functie f(x) = x2. Voer de volgende stappen uit op het functievoorschrift vanf en observeer wat er gebeurt met de grafiek van f .

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

y

xO

y = x2

∗ y = x2

vervang x door x − 2:

verschuif volgens . . .-as met . . . naar . . .

y = (x − 2)2

∗ y = x2

vervang x door x + 3:


y = . . .

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

y

xO

y = x2

∗ y = x2

vervang y door y + 1:


y = x2 + 1

∗ y = x2

vervang y door y − 4:


y = . . .

vervang x door x + 2:


y = . . .

11

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Algemeen. We kunnen de grafiek van een functie f verschuiven door de volgende transformaties uit te voeren.

∗ y = f(x)

verschuif volgens x-as met k naar rechts:

vervang x door x − k

y = f(x − k)

∗ y = f(x)

verschuif volgens y-as met k naar boven:

vervang y door y + k

y = f(x) + k

• Voorbeeld 1. Gegeven is functie f(x) =1x

. Vul de volgende transformaties aan. Schets bij elke stap de nieuwegrafiek ten opzichte van het assenstelsel.

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

y

xO

y =1

x∗ y =

1

x

vervang . . . door . . . . . .


y =1

x− 3

vervang . . . door . . . . . .


y =1

x − 2− 3

• Voorbeeld 2. Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y =√

x om de functie y =√

x + 7− 13 tebekomen? Wees volledig.

Oplossing.

12

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Uitrekken en spiegelen

• Op ontdekking 1. Gegeven is de functie f(x) = x2. Voer de volgende stappen uit op het functievoorschriftvan f en observeer wat er gebeurt met de grafiek van f .

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

y

xO

y = x2

∗ y = x2

vervang x doorx

2:

rek uit volgens . . .-as met factor . . .

y =(x

2

)2

∗ y = x2

vervang y door 3y:

rek uit volgens . . .-as met factor . . .

y = 3 x2

• Op ontdekking 2. Gegeven is de functie f(x) =√

x. Voer de volgende stappen uit op het functievoorschriftvan f en observeer wat er gebeurt met de grafiek van f .

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

y

xO

y =√

x

∗ y =√

x

vervang x door −x:

spiegel om de . . .-as

y = . . .

∗ y =√

x

vervang y door −y:

spiegel om de . . .-as

y = . . .

13

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Algemeen. We kunnen de grafiek van een functie f uitrekken door de volgende transformaties uit te voeren.

∗ y = f(x)

rek uit volgens x-as met factor k:

vervang x doorx

k

y = f( x

k

)

∗ y = f(x)

rek uit volgens y-as met factor k:

vervang y door k y

y = k f(x)

We kunnen de grafiek van een functie f spiegelen door de volgende transformaties uit te voeren.

∗ y = f(x)

spiegel om de x-as:

vervang y door −y

y = −f(x)

∗ y = f(x)

spiegel om de y-as:

vervang x door −x

y = f(−x)

• Voorbeeld. Gegeven is functie f(x) = x. Vul de volgende transformaties aan. Schets bij elke stap de nieuwegrafiek op het assenstelsel.

1

2

3

4

−1

−2

−3

−4

1 2 3 4−1−2−3−4

y

xO

y = x

∗ y = x

vervang . . . door . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y = x − 3

vervang . . . door . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y = 2x − 3

vervang . . . door . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y = −2x + 3

14

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Hoofdstuk 1

Veeltermfuncties

1.1 Definitie en voorbeelden

• Definitie. Een (reele) veelterm A(x) is van de vorm

A(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anxn waarbij n ∈ N en a0, a1, a2, . . . , an ∈ R

Als an 6= 0 noemen we n de graad van de veelterm A(x), notatie n = grA(x).De graad van de nulveelterm wordt niet gedefinieerd 1.Elke veelterm A(x) bepaalt een functie

A : R → Rx 7→ A(x) = a0 + a1x + a2x

2 + · · ·+ anxn

Een functie van deze vorm noemt een veeltermfunctie, die men dan meestal noteert met f in plaats van A.

• Voorbeeld 1. Gegeven is de veeltermA(x) = x3 − 3x2 − x + 3

Hier is a0 = . . . , a1 = . . . , a2 = . . . en a3 = . . . .De graad van de veelterm is grA(x) = . . . .De corresponderende veeltermfunctie heeft als

∗ Functievoorschrift f(x) = x3 − 3x2 − x + 3∗ Tabel van enkele functiewaarden

x −3 −2 −1 0 1 2 3

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∗ Grafiek

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1

y

xO

graf f

We lezen af uit de grafiek:

dom f = . . .

We kunnen dit ook algebraısch aantonen:

dom f = {x ∈ R | f(x) bestaat }

= . . .

1In hogere wiskunde stelt men gr 0 = −∞ omdat op deze manier rekenregels in verband met de graad van een veelterm geldig blijven(bijvoorbeeld de rekenregel “de graad van het product van twee reele veeltermen is gelijk aan de som van de graden van de veeltermen”).

15

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Eigenschap. Zij f een veeltermfunctie. Dan is dom f = R.

• Voorbeeld 2 (Eerstegraadsfunctie). Gegeven is de functie

f(x) = −0, 17 x + 28

(a) Teken, zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine, de grafiek van de functie f .

(b) Plot de grafiek van f (dat wil zeggen: teken de grafiek met behulp van je grafisch rekenmachine).

(c) Bepaal dom f en bld f .

(d) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y = x om de functie y = −0, 17 x + 28 te bekomen?

Oplossing.

(a) De functie f is een veeltermfunctie van graad 1, ook wel een eerstegraadsfunctie genoemd. In het derdejaar heb je gezien dat de grafiek van een eerstegraadsfunctie een stijgende of dalende rechte is.Om de grafiek van een eerstegraadsfunctie op te bouwen, doorlopen we de volgende stappen.

Stap 1. Vorm: . . .

Teken vorm.

Stap 2. Snijpunt met de y-as: dan is . . .

Teken de y-as, daarna de x-as.

Stap 3. Snijpunt met de x-as: dan is . . .

(b) Dankzij (a) kunnen we geschikte vensterinstellingen kiezen

Y= WINDOW GRAPH

(c) We lezen af uit de grafiek van f dat dom f = . . . en bld f = . . .

(d) y = x

vervang . . . door . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y = . . .

vervang . . . door . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y = . . .

vervang . . . door . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y = −0, 17x + 28 16

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Voorbeeld 3 (Tweedegraadsfunctie). Gegeven is de functie

f(x) = 0, 4 x2 + 4x− 8

(a) Schets, zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine, de grafiek van de functie f .(b) Controleer je grafiek in (a) door de grafiek van f te plotten.(c) Bepaal dom f en bld f .(d) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y = x2 om de functie y = 0, 4 x2 +4x−8 te bekomen?

Oplossing.

(a) De functie f is een veeltermfunctie van graad 2, ook wel een tweedegraadsfunctie genoemd. In het vierdejaar heb je gezien dat de grafiek van een tweedegraadsfunctie een parabool is.Om de grafiek van een tweedegraadsfunctie op te bouwen, doorlopen we de volgende stappen.

Stap 1. Vorm: . . .

Schets vorm.

Stap 2. Symmetrie-as: x = − b

2adus x = . . .

Schets symmetrie-as, daarna de y-as.

Stap 3. Top: T (. . . , . . . )

Schets top.

Stap 4. Snijpunt met de y-as: dan is . . .

Schets de x-as.

Stap 5. Snijpunt(en) met de x-as: dan is . . .

(b)

(c) We lezen af uit de grafiek van f dat dom f = . . . en bld f = . . .

(d) y = x2

vervang . . . door . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y = . . .

vervang . . . door . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y = . . .

vervang . . . door . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y = 0, 4x2 + 4x − 8 17

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Voorbeeld 4 (Gebruik van grafisch rekenmachine). Karel maakt eenvlucht met een luchtballon. De ballon vliegt volgens de functie

h(t) = 40− 2t +130

t3 − 1250

t4

met h de hoogte van de ballon boven de grond (uitgedrukt in meter) en t detijd (uitgedrukt in veelvoud van 10 minuten), met t = 0 het tijdstip waarop deballon boven het stadhuis van Damme vliegt.

Los de volgende vragen op met behulp van je grafisch rekenmachine (hoogtesafronden op 1 cm nauwkeurig, tijdstippen afronden op 1 seconde nauwkeurig).

(a) Plot de grafiek met behulp van je grafisch rekenmachine, en neem een schets over op je blad. Noteer devensterinstellingen die je gebruikt hebt.

(b) Bepaal het theoretisch domein en het praktisch domein van de functie.

(c) Hoe lang vliegt Karel al voordat hij boven het stadhuis van Damme vliegt?

(d) Hoe lang duurt de volledige vlucht?

(e) Op welke hoogte vliegt de ballon op het ogenblik dat hij boven het stadhuis van Damme vliegt?

(f) Hoe lang vliegt de ballon hoger dan 40 meter?

(g) Op welk tijdstip bereikt de ballon zijn maximale hoogte? Wat is deze maximale hoogte?

Oplossing.

(a) Y= 2ND TABLE ∨ WINDOW GRAPH

Gebruikte vensterinstellingen: Xmin= . . . Xmax= . . . Ymin= . . . Ymax= . . .

(b) Theoretisch domein: dom f = . . .

Praktisch domein: de t-waarden waarvoor h(t) ≥ 0. We zoeken de nulwaarden met behulp van het grafischrekenmachine.

2ND CALC 2:zero < ENTER > ENTER ENTER

Antwoord. Het praktisch domein is . . .

(c)

(d)

18

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

(e)

(f) We plotten de rechte y = 40, en bepalen de snijpunten van de grafiek van h met deze rechte.

Y= GRAPH 2ND CALC 5: intersect

< ENTER ENTER ENTER

Antwoord. De ballon vliegt ongeveer . . . minuten en . . . seconden op een hoogte hoger dan 40 meter.

(g) 2ND CALC < ENTER > ENTER ENTER

Antwoord. De ballon bereikt zijn maximale hoogte ongeveer . . . minuten en . . . seconden alvorens deballon boven het stadhuis van Damme vliegt.

De maximale hoogte is ongeveer . . . meter.

19

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

1.2 Algebraısch bepalen van nulwaarden en tekentabel

Om de nulwaarden van een veeltermfunctie algebraısch te bepalen, maken we gebruik van de deling van veeltermenuit het vierde jaar. We herhalen de belangrijkste resultaten.

• Euclidische deling. Gegeven twee veeltermen A(x) en B(x) waarbij B(x) 6= 0. Dan bestaat er precies eenveelterm Q(x) en een veelterm R(x) zodat

A(x) = Q(x) ·B(x) + R(x) en waarvoor grR(x) < grB(x) of R(x) = 0

We noemen Q(x) het quotient en R(x) de rest. Als R(x) = 0 dan zeggen we dat A(x) deelbaar is door B(x).

• Reststelling. De rest bij deling van een veelterm A(x) door x− a is gelijk aan A(a).

• Kenmerk van deelbaarheid door x− a.Een veelterm A(x) is deelbaar door x− a als en slechts als A(a) = 0.

• Staartdeling. Te gebruiken bij deling van twee veeltermen.

Voorbeeld. Deling van A(x) = 4x5 − 2x4 − 3x2 − 2x + 2 door B(x) = 2x3 + x− 1

4x5 −2x4 −3x2 +2x +2 2x3 + x− 1

±4x5 ±2x3 ∓2x2 2x2 − x− 1

−2x4 −2x3 −x2 +2x +2∓2x4 ∓x2 ±x

−2x3 +x +2∓2x3 ∓x ±1

+2x +1

Dus4x5 − 2x4 − 3x2 + 2x + 2︸︷︷︸

A(x)

= (2x2 − x− 1︸︷︷︸Q(x)

) · (2x3 + x− 1︸︷︷︸B(x)

) + 2x + 1︸︷︷︸R(x)

• Schema van Horner 2. Te gebruiken bij deling van een veelterm door x− a.

Voorbeeld. Deling van A(x) = x5 − 2x4 − 3x3 − 2x + 31 door B(x) = x− 2

1 −2 −3 0 −2 312 ↓ 2 0 −6 −12 −28

1 0 −3 −6 −14 3

Dusx5 − 2x4 − 3x3 − 2x + 31︸︷︷︸

A(x)

= (x4 − 3x2 − 6x− 14︸︷︷︸Q(x)

) · (x− 2︸︷︷︸B(x)

) + 3︸︷︷︸R(x)

• Voorbeeld 1. Bepaal algebraısch de nulwaarden van de veeltermfunctie

f(x) = x3 − 3x2 + 2x− 6

Oplossing.

Los op: f(x) = 0 ⇔ x3 − 3x2 + 2x− 6 = 0

kanshebbers gehele nulwaarden: delers van −6we vinden f(3) = 0 dus f(x) is deelbaar door x− 3 (waarom?)Horner:

1 −3 2 −63 ↓ . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

dus x3 − 3x2 + 2x− 6 = . . .

⇔ . . .

2Genoemd naar William George Horner die deze methode beschreef in 1819, maar reeds bekend bij Isaac Newton 1669 en Ch’inChiu-Shao 13de eeuw.

20

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Voorbeeld 2. Gegeven is de veeltermfunctie

f(x) = x4 + 2x3 − 2x2 − 6x− 3

(a) Bepaal algebraısch de nulwaarden van f .

(b) Bepaal de tekentabel van f .

(c) Voor welke x-waarden ligt de grafiek van f onder de x-as?

Oplossing.

• Voorbeeld 3. Gegeven zijn de veeltermfuncties

f(x) = x3 + 2x2 en g(x) = 4x

(a) Plot beide grafieken, en neem een schets over op je blad (beide grafieken tekenen in een assenstelsel).

(b) Bepaal algebraısch alle x-waarden waarvoor graf f boven graf g ligt.

(c) Controleer je uitkomst in (b) met behulp van je grafisch rekenmachine.

Oplossing.

21

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

1.3 Gedrag op oneindig van veeltermfuncties

• Voorbeeld 1. Gegeven is de functief(x) = x3 − 2x2 − x + 2

We plotten de grafiek van f met behulp van het grafisch rekenmachine

Uit de grafiek van f lezen we af

∗ Als x evolueert naar +∞ dan evolueert f(x) naar +∞. We noteren in symbolen

als x → +∞ dan f(x) → +∞ of nog limx→+∞

f(x) = +∞

Dit kunnen we ook inzien door de functiewaarde van enkele grote x-waarden te nemen

f(10) = . . .

f(100) = . . .

of aan de hand van het grafisch rekenmachine

VARS Y-VARS 1:Function 1:Y1

We kunnen deze limiet ook “berekenen”

limx→+∞

f(x) = limx→+∞

(x3 − 2x2 − x + 2) = . . .

∗ Als x evolueert naar −∞ dan evolueert f(x) naar −∞. We noteren in symbolen

als x → −∞ dan f(x) → −∞ of nog limx→−∞

f(x) = −∞


limx→−∞

f(x) = limx→−∞

(x3 − 2x2 − x + 2) = . . .

• Voorbeeld 2. Onderzoek het gedrag op oneindig van de veeltermfunctie

f(x) = −7x4 + 100x− 8

Oplossing.

22

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefeningen bij §1.1Oefening 1. Welke van de volgende veeltermfuncties zijn even, oneven of geen van beide? Ga algebraısch na.

(a) f(x) = x4 − x2 (c) f(x) = 6

(b) f(x) = 1 + x3 (d) f(x) = (1− x)2 + 2x

Oefening 2. Gegeven is de functie f(x) = −x2 + 7x− 8

(a) Schets, zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine, de grafiek van de functie f .

(b) Controleer je grafiek in (a) door de grafiek van f te plotten.

(c) Bepaal dom f en bld f .

(d) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y = x2 om de functie y = −x2 + 7x− 8 te bekomen??Oefening 3. Toon aan: niet elke derdegraadsfunctie kan bekomen worden door transformaties uit te voeren op y = x3.

Oefening 4. Een bedrijf produceert draadloze fietscomputers. De bedrijfsleiding wilweten hoeveel computers er per uur moeten geproduceerd worden om winst te maken.Het verband tussen de winst W (in euro) en de productie x (aantal geproduceerdecomputers) per uur wordt gegeven door

W (x) = −12

x3 + 8x2 − 24x

Winst kan ook negatieve waarden aannemen, dan spreken we van verlies.Los de volgende vragen op met behulp van je grafisch rekenmachine.

(a) Bepaal het theoretisch domein van de functie W (x).

(b) Bepaal het praktisch domein van de functie W (x).

(c) Hoeveel eenheden moet het bedrijf produceren om een maximale winst te maken?

(d) Bij welke productie is de winst groter dan 36 euro per uur?

Oefening 5. De doorsnede van een rivier in China kan beschreven worden door het functievoorschrift

d(x) =x4 − 10x3 − 400x2 + 1600x− 48000

12000met d de diepte (in meter) en de x-as de huidige waterspiegel. Los de volgende vragen op met behulp van je grafischrekenmachine (lengtes afronden op 1 cm nauwkeurig).

(a) Plot de grafiek met behulp van je grafisch rekenmachine, en neem een schets over op je blad. Noteer de venster-instellingen die je gebruikt hebt.

(b) Hoe breed is de rivier nu?

(c) In het droge seizoen daalt de rivier met 4 meter ten opzichte van de huidige waterstand. Er vormt zich eeneilandje in het midden van de rivier. Hoe hoog steekt het eilandje dan boven het waterpeil uit?

(d) In het regenseizoen stijgt de rivier met 3 meter ten opzichte van de huidige waterstand. Hoeveel breder is derivier dan ten opzichte van zijn laagste peil in het droge seizoen?

Oefening 6. Een firma produceert taartdozen in de vorm van een balk. Men vertrekt van het onderstaand patroonwaarbij de machine het karton plooit langs de stippellijnen, om zo de doos rechts te bekomen.

64 cm

39 cm

x x

x

x

Voor welke x is de inhoud van de taartdoos maximaal? Maak gebruik van je grafisch rekenmachine.

23

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefeningen bij §1.2-§1.3

Oefening 7. Bepaal van de volgende functies algebraısch de nulwaarden en de tekentabel.

(a) f(x) = x4 − 16

(b) f(x) = x(2− x)(3 + x)2

(c) f(x) = 3x3 + 3x

(d) f(x) = 2x3 − 5x2 − 28x + 15

Oefening 8. Bepaal algebraısch de nulwaarden van de functie

f(x) =14

x4 +54

x3 +94

x2 + 2 x + 1

Oefening 9. Bepaal algebraısch de oplossingenverzameling van de ongelijkheid

x4 + 6x3 + 8x2 − 6x ≤ 9

Controleer je antwoord met behulp van je grafisch rekenmachine.

Oefening 10. Bepaal grafisch (dat wil zeggen, met behulp van je grafisch rekenmachine) de oplossingenverzamelingvan de ongelijkheid

16x3 + 332x + 210 > 168x2

Oefening 11. Bepaal algebraısch de x-waarden waarvoor de grafiek van functie f(x) = x4 − 3x2 + 2 boven de x-asligt.

Oefening 12. Bepaal algebraısch de snijpunten van functies

f(x) = x3 − 3x2 + x + 3 en g(x) = (x− 1)2

Oefening 13. Onderzoek het gedrag op oneindig van de veeltermfunctie f(x) = −12x5 + 81x3 + 120.?Oefening 14. Bepaal het voorschrift van een veeltermfunctie f(x) waarvoor

• x = −12

is een nulwaarde van f , en

• graf f raakt aan de x-as in het punt (6, 0), en

• graf f snijdt de y-as in het punt (0,−3).

Oefening 15 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 3 1998 eerste ronde).Hoeveel van de volgende veeltermen zijn een deler van de veelterm x7 − x?

x2 + x + 1, x3 − 1, x2 − 1, x4 + x2 + 1, x4 + x, x2 − x

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

?Oefening 16 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 1999).Welke van de volgende beweringen over de veeltermfunctie

f(x) = 6acx3 + 4bcx2 + 9adx + 6bd waarbij a, b, c, d ∈ R

is niet juist?

(A) Als a = 0 en bcd 6= 0 dan heeft de veeltermfunctie f hoogstens twee nulwaarden.

(B) Als 2c + 3d = 0 dan heeft de veeltermfunctie x = 1 en x = −1 als nulwaarden.

(C) Als cd > 0 dan heeft de veeltermfunctie twee tegengestelde nulwaarden.

(D) Als a = 2 dan heeft de veeltermfunctie − b

3als nulwaarde.

Oefening 17 (Toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1984).Gegeven zijn de volgende twee reele functies

f(x) = x2 − 5x + 1 en g(x) = −x + 2

Bepaal algebraısch de snijpunten van de grafiek van f(x) met de grafiek van g(x).

3De Vlaamse Wiskunde Olympiade, afgekort VWO, is een wiskundewedstrijd voor scholieren die jaarlijks in Vlaanderen wordt georga-niseerd. Eerdere wedstrijdvragen zijn te vinden op de website http://www.vwo.be/vwo/vorige-edities

24

http://www.vwo.be/vwo/vorige-edities

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Hoofdstuk 2

Rationale functies

2.1 Rationale vormen

• Definitie. Een rationale vorm is een quotient van veeltermen

R(x) =T (x)N(x)

met T (x) een veelterm en N(x) 6= 0 een veelterm

We noemen de rationale vorm R(x) echt indien grT (x) < grN(x) of T (x) = 0.

We noemen de rationale vorm R(x) onecht indien grT (x) ≥ grN(x).

• Voorbeeld 1. De uitdrukking

R(x) =x + 1302x5 − 2009

is een echte/onechte rationale vorm (schrappen wat niet past).

• Voorbeeld 2. Gegeven is de veelterm A(x) = 7x2 − 6x + 1. Dan is

A(x) = 7x2 − 6x + 1 =7x2 − 6x + 1

1

dus A(x) is een rationale vorm. In het bijzonder is grT (x) ≥ grN(x) dus A(x) is een onechte rationale vorm.

In het algemeen is elke veelterm verschillend van de nulveelterm een onechte rationale vorm (waarom?).

• Voorbeeld 3. De uitdrukking

R(x) =x5 − 7x + 12

x3 − 4is een onechte rationale vorm. Voeren we de staartdeling (zie pagina 20) uit dan verkrijgen we (vul aan)

x5 − 7x + 12 x3 − 4

zodatx5 − 7x + 12 = . . . . . .︸︷︷︸

Q(x)

(x3 − 4) + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .︸︷︷︸R(x)

Op deze manier kunnen we de onechte rationale vorm herschrijven als

R(x) =x5 − 7x + 12

x3 − 4= . . .

= . . .

Dus we hebben de onechte rationale vorm R(x) herschreven als de som van een veelterm en een echte rationalevorm. Deze eigenschap blijkt ook in het algemeen waar te zijn.

25

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Eigenschap. Elke onechte rationale vorm kan men (op een unieke manier) schrijven als de som van een veeltermen een echte rationale vorm.

Bewijs. Zij R(x) =T (x)N(x)

een onechte rationale vorm. Wegens de Euclidische deling bestaat er juist een veelterm

Q(x) en een veelterm R′(x) zodat

T (x) = Q(x) ·N(x) + R′(x) en waarvoor grR′(x) < grN(x) of R′(x) = 0

Op deze manier kunnen we de onechte rationale vorm R(x) herschrijven als

R(x) =T (x)N(x)

= . . .

= . . .

2.2 Rationale vergelijkingen en ongelijkheden

• Modelvoorbeeld 1. Bepaal algebraısch alle oplossingen van de rationale vergelijking

8x− 3x + 3

− 2x = 4− 3x2

x + 3

Oplossing.

• Modelvoorbeeld 2. Bepaal algebraısch alle oplossingen van de rationale ongelijkheid

2 + x

x2 − 2≥ 1

Oplossing.

26

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

2.3 Definitie rationale functie en voorbeelden

• Definitie. Een rationale functie is een functie y = f(x) waarbij f(x) een rationale vorm is, i.e.

f(x) =T (x)N(x)

met T (x) een veelterm en N(x) 6= 0 een veelterm

• Voorbeelden.

(a) f(x) =−x2 − 3x + 2

2x− 1en g(x) =

√3 x− 5

√7

x2 − 4πzijn rationale functies.

(b) f(x) = x3 − 7x is een rationale functie. Algemeen is elke veeltermfunctie een rationale functie.

(c) f(x) =√

x is geen rationale functie (waarom?).

• Voorbeeld. De temperatuur in een koele berging wordt gegeven door de functie

T (t) =3t2 − 6t + 3t2 − 2t + 2

met T de temperatuur (in graden Celsius) en t de tijd (in uren). Het tijdstipt = 0 komt overeen met 3 uur ’s nachts. Los de volgende vragen op met behulpvan je grafisch rekenmachine.

(a) Schets de grafiek van de functie T .

(b) Op welk tijdstip was de temperatuur het laagst? Hoe laag was deze tem-peratuur dan?

(c) Als de temperatuur lager wordt dan 1◦ C dan is er gevaar voor schade aanhet voedsel. Hoe lang bevond de temperatuur zich onder 1◦ C?

(d) Naar welke waarde evolueert de temperatuur in de berging?

Oplossing.

(d) Uit de grafiek van T vermoeden we dat naarmate de tijd toeneemt de temperatuur naar een constantewaarde zal evolueren. Door de functiewaarde van een groot getal te berekenen kunnen we deze constantewaarde “raden”.

Antwoord. De temperatuur evolueert naar T = . . .

27

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

2.4 Algebraısch bepalen van domein, nulwaarden en tekentabel

• Algemeen. Zij f(x) =T (x)N(x)

een rationale functie.

∗ Het domein van f vinden we viadom f = {x ∈ R | f(x) bestaat }

= . . .

= . . .

We besluiten dat dom f = R \ { nulpunten noemer}

Voorbeeld. Bepaal algebraısch het domein van f(x) =8x

x2 − 4x

∗ De nulwaarden van f vinden we vialos op: f(x) = 0

⇔ . . .

⇔ . . .

Besluit: De nulwaarden van f zijn de nulpunten van de teller die geen nulpunten zijn van de noemerDe nulpunten van de noemer noemt men de polen van de rationale functie f .

Voorbeeld. Bepaal algebraısch alle nulpunten en polen van f(x) =8x

x2 − 4x

∗ De tekentabel van f vinden we door de tekentabel van teller en noemer door elkaar te “delen”

Voorbeeld. Bepaal algebraısch de tekentabel f(x) =8x

x2 − 4x

28

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de functief(x) =

x

x2 − 1

(a) Bepaal algebraısch het domein, alle nulpunten, polen en de tekentabel van de functie f .(b) Plot de grafiek van f , en neem een schets over op je blad.

Oplossing. Hoewel eerst gevraagd wordt algebraısch te bepalen, is het toch verstandig om eerst de grafiek van fte plotten om zo een idee te krijgen van de te bekomen resultaten.

• Opmerking bij modelvoorbeeld 1. Uit de grafiek van f lezen we af

∗ Als x evolueert naar +∞ dan nadert f(x) naar 0. We noteren in symbolen

als x → +∞ dan f(x) → 0 of nog limx→+∞

f(x) = 0

Daarom noemen we de rechte y = 0 een horizontale asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f .Analoog, als x evolueert naar −∞ dan nadert f(x) naar 0.

∗ Als x nadert naar 1 van links dan nadert f(x) naar −∞. We noteren in symbolen

als x→<

1 dan f(x) → −∞ of nog limx→

<1f(x) = −∞

Daarom noemen we de rechte x = 1 een verticale asymptoot aan de grafiek van f .Analoog, als x nadert naar 1 van rechts dan nadert f(x) naar +∞.

∗ Analoog is de rechte x = −1 een verticale asymptoot.

29

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Modelvoorbeeld 2. Gegeven is de functie

f(x) =x2 − 4

x2 + 5x + 6(a) Bepaal algebraısch het domein, alle nulpunten, polen en de tekentabel van de functie f .(b) Plot de grafiek van f , en neem een schets over op je blad.(c) Beschrijf de eventuele asymptoten aan de grafiek van f , gebruik de correcte notaties.

Oplossing.

• Opmerking bij modelvoorbeeld 2.

∗ Wanneer we de grafiek van f plotten met behulp van het grafisch rekenmachine, vertoont de grafiek schijn-baar geen onderbreking voor x = −2. Dat er wel degelijk zo’n “gaatje” is blijkt uit bovenstaande tekentabelen het commando 2ND TABLE

We zeggen dat de grafiek van f een perforatie vertoont voor x = −2.∗ Hoe verleidelijk ook, “schrappen” in het functievoorschrift is uit den boze wanneer het domein beınvloed

wordt, omdat men zo de grafiek van de functie wijzigt. Zo zijn bijvoorbeeld de volgende functies verschillendomdat hun domein verschillend is (en dus ook hun grafiek).

f(x) =(x− 1)2

(x− 1)6= g(x) = x− 1

dom f = . . . dom g = . . .

Algemeen kunnen we dus stellen dat voor twee functies f en g

f = g ⇔ dom f = dom g en ∀x ∈ dom f : f(x) = g(x)

30

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

2.5 Homografische functies

• Voorbeeld 1. Gegeven is de elementaire functie

f(x) =1x

met als grafiekx

y


∗ Als x → +∞ dan f(x) → . . . of nog limx→+∞

1x

= . . .

Dus de rechte . . . . . . is horizontale asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f .De uitkomst van deze limiet kunnen we ook inzien met behulp van het grafisch rekenmachine

Daarom schrijven we deze limiet in het vervolg als volgt uit

limx→+∞

1x

=1

+∞= 0

Analoog is limx→−∞

1x

=1−∞

= 0 dus de rechte y = 0 is een horizontale asymptoot voor x → −∞.

∗ Als x→>

0 dan f(x) → . . . of nog limx→

>0

1x

= . . .

Dus de rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van f . De uitkomst van deze limiet kunnenwe ook inzien met behulp van het grafisch rekenmachine

Daarom schrijven we deze limiet in het vervolg als volgt uit

limx→

>0

1x

=10+

= +∞

Analoog is limx→

<0

1x

=1

0−= −∞

31

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Voorbeeld 2. Gegeven is de functie

f(x) =2x− 1

x

We plotten de grafiek van f met behulp van het grafisch rekenmachine

De grafiek van f heeft de zelfde vorm als de grafiek van de elementaire functie f(x) =1x

Om in te zien waarom de grafiek van f deze vorm heeft, herschrijven we het functievoorschrift van f als volgt

f(x) =2x− 1

x=

2x

x− 1

x= 2− 1

x(∗)

Op deze manier wordt het duidelijk dat we y = f(x) kunnen bekomen uit y =1x

door middel van de volgendetransformaties

y =1

x

vervang . . . door . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y = . . .

vervang . . . door . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y = 2 −

1

x

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

xO

Opmerking. In (∗) hebben we f(x) herschreven als de som van een veelterm en een echte rationale vorm. Bij delaatste gelijkheid in (∗) “schrappen” we x in teller en noemer. Nochtans zagen we in de opmerking op pagina30 dat we niet zomaar mogen “schrappen” in het functievoorschrift. Waarom mogen we dit hier wel doen?

Omdat . . .

32

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be


∗ Als x → +∞ dan f(x) → . . . of nog limx→+∞

f(x) = . . .

Dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f .De uitkomst van deze limiet kunnen we ook inzien met behulp van het grafisch rekenmachine (rechtsreeks,of handiger met behulp van Y1)


limx→+∞

f(x) = limx→+∞

(2− 1

x

)= . . .

Analoog islim

x→−∞f(x) = . . .

∗ Als x→>


>0f(x) = . . .

Dus de rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van f . De uitkomst van deze limiet kunnenwe ook inzien met behulp van het grafisch rekenmachine


limx→

>0f(x) = lim

x→>

0

(2− 1

x

)= . . .

Analoog islimx→

<0f(x) = . . .

33

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be


f(x) =6x + 22x− 3

Om de grafiek van f te begrijpen, schrijven we f(x) eerst als de som van een veelterm en een echte rationalevorm

en we kunnen y = f(x) bekomen uit y =1x

door middel van de volgende transformaties

y =1

x

vervang . . . door . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y = . . .

vervang . . . door . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y = . . .

vervang . . . door . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y =6x + 2

2x− 3

y

x


∗ limx→+∞

f(x) = . . . dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f .

limx→−∞

f(x) = . . . dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot voor x → −∞ aan de grafiek van f .

Opmerking. Behouden we van f(x) enkel de hoogstegraadstermen, dan krijgen we

hoogstegraadsterm tellerhoogstegraadsterm noemer

=

∗ limx→

>...

f(x) = . . . dus de rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van f .

Analoog is limx→

<...

f(x) = . . .

Opmerking. Berekenen we het domein van f , dan hebben we

dom f =

34

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be


f(x) =5x + 102x + 4

(a) Plot de grafiek van f met behulp van je grafisch rekenmachine, en neem een schets over op je blad.

(b) Kunnen we y = f(x) bekomen uit y =1x

door middel van transformaties? Leg uit.

Oplossing.

• Definitie. Een homografische functie is een functie y = f(x) waarbij

f(x) =ax + b

cx + dwaarbij a, b, c, d ∈ R met c 6= 0 en ad 6= bc

• Opmerking. In de bovenstaande definitie is

∗ c 6= 0 want anders is de grafiek van f . . .

∗ ad 6= bc want anders is de grafiek van f . . .

• Eigenschap. Zij f(x) =ax + b

cx + deen homografische functie. Dan kunnen we y = f(x) bekomen uit y =

1x

door

middel van transformaties.

Bijgevolg is de grafiek van f van de vorm

y =ax+b

cx+d

y = . . .

x = . . .

of

y =ax+b

cx+d

y = . . .

x = . . .

• Opmerking. Hoe men in de praktijk het onderscheid maakt tussen deze twee vormen, wordt duidelijk aan dehand van het volgend modelvoorbeeld.

35

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Modelvoorbeeld. Gegeven is de functie

f(x) =3x− 23x + 2

(a) Toon aan dat f een homografische functie is.

(b) Schets, zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine, de grafiek van de functie f .

(c) Controleer je grafiek in (b) door de grafiek van f te plotten.

(d) Bepaal dom f en bld f .

(e) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y =1x

om de functie y = f(x) te bekomen?

Oplossing.

(a)

(b) Om de grafiek van een homografische functie op te bouwen, doorlopen we de volgende stappen.

Stap 1. H.A.: y = . . .

Teken H.A. daarna de x-as.

Stap 2. V.A.: x = . . .

Teken V.A. daarna de y-as.

Stap 3. Snijpunt met de x-as: dan is . . .

Teken snijpunt, daarna de grafiek van f .

(c)

(d)

(e)

36

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

2.6 Asymptoten van rationale functies

Verticale asymptoten en perforaties

• Algemene regel 1. Gegeven is een functie f . Voor een verticale asymptoot of perforatie voor x = a zijn dekanshebbers voor a de randpunten van dom f die niet tot dom f behoren.

In de volgende voorbeelden ontdekken we criteria hoe we bij rationale functies alle verticale asymptoten enperforaties kunnen vinden.

• Op ontdekking 1. Gegeven is de functie

f(x) =x− 1x2 − 4

Om de alle verticale asymptoten en perforaties te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk.

∗ dom f = . . .

∗ De kanshebbers voor een V.A. of perforatie zijn . . .

∗ Plot de grafiek van f met behulp van je grafisch rekenmachine.

x

y

∗ Uit de grafiek van f lezen we af

Als x→<


<2f(x) = . . .

Als x→>


>2f(x) = . . .

Dus de rechte . . . . . . is een V.A. aan de grafiek van f .

∗ We kunnen dit ook berekenen

limx→

<2f(x) = lim

x→<

2

x− 1x2 − 4

= . . .

limx→

>2f(x) = lim

x→>

2

x− 1x2 − 4

= . . .

∗ Besluit. De reden waarom de rechte x = 2 een V.A. is aan de grafiek van f is

aantal keer x = 2 nulpunt teller︸︷︷︸...

< aantal keer x = 2 nulpunt noemer︸︷︷︸...

1Voor de meest courante functies - inclusief degene die we in Deel Precalculus behandelen - is deze regel van toepassing. Toch bestaaner functies waarbij x = a een verticale asymptoot is, en toch a ∈ dom f . Voor een expliciete behandeling van de begrippen asymptoot enperforatie, en een algemene werkwijze om deze te bepalen zal de leerling geduld moeten uitoefenen tot Deel Calculus.

37

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be


f(x) =x2 − 1x− 1

Om de alle verticale asymptoten en perforaties te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk.

∗ dom f = . . .

∗ De kanshebbers voor een V.A. of perforatie zijn . . .


x

y


Als x→<


<1f(x) = . . . 6= ±∞

Als x→>


>1f(x) = . . . 6= ±∞

Dus de rechte x = 1 is geen V.A. aan de grafiek van f . Daarom is x = 1 een perforatie aan de grafiekvan f .

∗ We kunnen dit ook berekenen

limx→

<1f(x) = lim

x→<

1

x2 − 1x− 1

= . . .

limx→

>1f(x) = lim

x→>

1

x2 − 1x− 1

= . . .

∗ Besluit. De reden waarom de grafiek van f een perforatie vertoont voor x = 2 is

aantal keer x = 1 nulpunt teller︸︷︷︸...

≥ aantal keer x = 1 nulpunt noemer︸︷︷︸...

• Algemene werkwijze. Gegeven is een rationale functie f . Om alle verticale asymptoten en perforatiesx = a aan de grafiek van f te vinden gaan we als volgt te werk.

Stap 1. Bepaal dom f . De kanshebbers voor a zijn de randpunten van dom f die niet tot dom f behoren.

Stap 2. Voor elke kanshebber gaan we na

∗ als aantal keer x = a nulpunt teller < aantal keer x = a nulpunt noemer dan is de rechte x = a een V.A.aan de grafiek van f

∗ als aantal keer x = a nulpunt teller ≥ aantal keer x = a nulpunt noemer dan vertoont de grafiek van f

een perforatie voor x = a

38

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Modelvoorbeeld. Bepaal alle eventuele verticale asymptoten en/of perforaties aan de grafiek van de functie

f(x) =2x3 − 8x2

x(x− 4)2

Oplossing.

Horizontale asymptoten en schuine asymptoten


f(x) =−3x + 5

2x2 + x + 1Om alle horizontale en schuine asymptoten van f te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk.


x

y

∗ Uit de grafiek van f lezen we afAls x → +∞ dan f(x) → . . . of nog lim

x→+∞f(x) = . . .

Dus de rechte . . . . . . is een H.A. voor x → +∞ aan de grafiek van f .

Als x → −∞ dan f(x) → . . . of nog limx→−∞

f(x) = . . .

Dus de rechte . . . . . . is een H.A. voor x → −∞ aan de grafiek van f .∗ We kunnen dit ook berekenen

limx→+∞

f(x) = limx→+∞

−3x + 52x2 + x + 1

= . . .

limx→−∞


−3x + 52x2 + x + 1

= . . .

∗ Besluit. De reden waarom de rechte y = 0 een H.A. is aan de grafiek van f is

graad teller︸︷︷︸...

< graad noemer︸︷︷︸...

39

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be


f(x) =3x2 + 5x2 − x

Om alle horizontale en schuine asymptoten van f te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk.


x

y


Als x → +∞ dan f(x) → . . . of nog limx→+∞

f(x) = . . .

Dus de rechte . . . . . . is een H.A. voor x → +∞ aan de grafiek van f .


f(x) = . . .

Dus de rechte . . . . . . is een H.A. voor x → −∞ aan de grafiek van f .

∗ Om in te zien waarom de rechte y = 3 een H.A. is, schrijven we f(x) als de som van een veelterm en eenechte rationale vorm

f(x) =3x2 + 5x2 − x

= . . .

Zo kunnen we eenvoudig de volgende limieten berekenen

limx→+∞

f(x) = limx→+∞

3x2 + 5x2 − x

= . . .

limx→−∞


3x2 + 5x2 − x

= . . .

Een alternatieve manier om deze limieten te berekenen is

limx→+∞

f(x) = limx→+∞

3x2 + 5x2 − x

= . . .

∗ Besluit. De reden waarom de rechte y = 3 een H.A. is aan de grafiek van f is


= graad noemer︸︷︷︸...

enhoogstegraadsterm teller

hoogstegraadsterm noemer= 3

40

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be


f(x) =x2 + 2x

x− 1Om alle horizontale en schuine asymptoten van f te vinden, gaan we voorlopig als volgt te werk.


x

y


Als x → +∞ dan f(x) → . . . of nog limx→+∞

f(x) = . . . 6∈ R

Dus er is geen H.A. voor x → +∞ aan de grafiek van f .


f(x) = . . . 6∈ R

Dus er is geen H.A. voor x → −∞ aan de grafiek van f .

∗ Toch heeft deze functie f een specifiek gedrag als x → ±∞. Om dit gedrag te ontdekken schrijven we f(x)als de som van een veelterm en een echte rationale vorm

f(x) =x2 + 2x

x− 1= . . .

Op deze manier zien we in dat

limx→+∞

(f(x)− (x + 3)

)= lim

x→+∞. . .

Dus als x → +∞ dan f(x) → x + 3Daarom noemen we de rechte y = x + 3 een schuine asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f .Analoog berekenen we

limx→−∞

(f(x)− (x + 3)

)= lim

x→−∞. . .

Dus als x → −∞ dan f(x) → x + 3Daarom noemen we de rechte y = x + 3 een schuine asymptoot voor x → −∞ aan de grafiek van f .

∗ Besluit. De reden waarom er een S.A. is aan de grafiek van f is


= graad noemer︸︷︷︸...

+1

41

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Algemene werkwijze. Gegeven is een rationale functie f . Om alle horizontale en schuine asymptoten aande grafiek van f te vinden gaan we als volgt te werk.

∗ Als graad teller < graad noemer dan is er een H.A. voor x → ±∞, namelijk de rechte y = 0.

∗ Als graad teller = graad noemer dan is er een H.A. voor x → ±∞, namelijk de rechte y = a met

f(x) = a︸︷︷︸veelterm graad 0

+ g(x)︸︷︷︸echte rationale vorm

Praktisch vinden we het getal a door

a =hoogstegraadsterm teller

hoogstegraadsterm noemer

∗ Als graad teller = graad noemer +1 dan is er een S.A. voor x → ±∞, namelijk de rechte y = ax+ b met

f(x) = ax + b︸︷︷︸veelterm graad 1

+ g(x)︸︷︷︸echte rationale vorm

Praktisch vinden we de getallen a en b door de Euclidische deling van de teller met de noemer uit te voeren(staartdeling).

∗ Als graad teller > graad noemer +1 dan is er geen H.A. en geen S.A.

• Modelvoorbeeld. Bepaal de eventuele horizontale en/of schuine asymptoten aan de grafiek van de volgendefuncties.

(a) f(x) =2x2 − 5x + 20, 3 x2 − 5

(b) f(x) =x2 + 32x + 4

Oplossing.

• Opmerking. De grafiek van een functie kan niet tegelijk een horizontale asymptoot voor x → +∞ en eenschuine asymptoot voor x → +∞ bereiken. Immers, mocht dit toch het geval zijn dan zou . . .

42

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefeningen bij §2.1Oefening 1. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Indien vals, geef een tegenvoorbeeld of argumenteerwaarom vals.

(a) Elke rationale vorm is een veelterm.

(b) Een constante veelterm is een echte rationale vorm.

(c) Elke rationale vorm is te schrijven als de som van een veelterm en een echte rationale vorm.

(d) Elke rationale vorm is te schrijven als de som van een echte en een onechte rationale vorm.

Oefening 2. Schrijf de volgende rationale vormen als de som van een veelterm en een echte rationale vorm.

(a)x5 − 3x

x(c)

x2 − 3x

x3 − 7

(b)2x4 + 5x3 − 4x2 − 7x + 2

x2 + x− 3(d) 5x2 − 17

Oefening 3. Vereenvoudig zoveel mogelijk de volgende rationale vormen.

(a)x2 + 5x + 6

7(x + 3)(c)

8− x3

x2 − 4x + 4

(b)25− x2

x + 5(d)

−x3 + x2 + 9x− 92x2 + 6x− 8

Oefening 4. Herleid tot een rationale vorm en vereenvoudig zoveel mogelijk.

(a)4

x− 2+

3x

x + 3− 1− 2x

x2 + x− 6(c)

1− x− 2x + 2

x + 2x− 2

− 1

(b)1x

+2x2

− 3x2 − x

(d)

1x2

− 1a2

1x− 1

a

waarbij a ∈ R0

Oefeningen bij §2.2Oefening 5. Bepaal algebraısch de oplossingen van de volgende rationale vergelijkingen.

(a)1

x + 4+

1x− 4

=8

x2 − 16(b)

x + 3x + 2

− x + 2x + 3

=x2 − 75

x2 + 5x + 6

Oefening 6. Bepaal algebraısch de oplossingen van de volgende rationale ongelijkheden.

(a)x

2x− 1≥ 2x + 1

x(c)

(3x− 1)(x + 2)x3 + 8

≤ 0

(b)6x2 + 5x + 5x2 + x + 1

< 7 (d)x3 − 1

4x3 + 4x2 + x< 0

?Oefening 7. Karel is een gedreven roeier, en wil zijn kunsten tonen op een rivier waarvan de stroomsnelheid 3 km / uis. Om een afstand van 2 km stroomopwaarts en daarna 2 km stroomafwaarts te roeien aan constante snelheid heeftKarel in totaal 42 minuten nodig. Aan welke snelheid roeit Karel, mocht hij in stilstaand water roeien?

Oefeningen bij §2.3

Oefening 8. Bepaal grafisch alle snijpunten van de grafiek van f(x) = 4− x2 met de grafiek van g(x) =1x3

.

Oefening 9. In een plaatselijke krant betaal je voor een advertentie 20 euro per cm2. De marges tussen tweeadvertenties zijn boven en onder 0, 5 cm, links en rechts 0, 25 cm. Die marges worden uiteraard in de prijs verrekend.We wensen een rechthoekige advertentie te plaatsen die 30 cm2 (exclusief marges) inneemt. Bepaal grafisch de afme-tingen van de rechthoek waarvoor de kostprijs het laagst is.

43

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 10. Een sporter krijgt injecties met een spierversterkend product. De concentratie in het bloed wordtgegeven door

C(t) =15t

t2 + 3met C de concentratie (in milligram per liter) en t de tijd (in uren). Het tijdstip t = 0 stelt het moment van inspuitingvoor. Indien de concentratie lager dan 2mg/l wordt dan treedt een omgekeerd effect op (spieratrofie). Indien deconcentratie van het middel minder dan 0, 1mg/l bedraagt dan is het spierversterkend product moeilijk opspoorbaar.

(a) Na hoeveel tijd is er een nieuwe injectie nodig, wil men geen versnelde spierafbraak bekomen? Afronden tot op1 seconde nauwkeurig.

(b) Hoe lang blijft het product opspoorbaar?

Oefeningen bij §2.4Oefening 11. Gegeven is de functie

f(x) =x2 − 1x2 − x

(a) Bepaal algebraısch het domein, alle nulpunten, polen en de tekentabel van de functie f .

(b) Plot de grafiek van f , en neem een schets over op je blad.

(c) Bepaal het beeld van de functie f .

Oefening 12. Gegeven is de functie

f(x) =−x3 + 9x2 − 22x + 56

x3 − 2x2 − 5x + 6

(a) Bepaal algebraısch het domein, alle nulpunten en polen van de functie f .

(b) Bepaal algebraısch de x-waarden waarvoor de grafiek van f boven de x-as ligt.

(c) Beschrijf de eventuele asymptoten aan de grafiek van f , gebruik de correcte notaties.

Oefening 13. Gegeven is een rationale functie

f(x) =x2 + 12x + 35

x3 − 6x2 + 11x + mwaarbij m ∈ R

Bepaal de waarde(n) van m zodat −5 6∈ dom f .

Oefeningen bij §2.5

Oefening 14. Welke van de volgende functies zijn homografische functies? Motiveer je antwoord.

(a) f(x) =4x− 4x + 1

(c) f(x) = 2− 73(x− 2)

(b) f(x) =(

2x− 115x− 9

)2

(d) f(x) =3x− 29− 6x


f(x) =−4x + 27x− 6

(a) Toon aan dat f een homografische functie is.

(b) Schets, zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine, de grafiek van de functie f .

(c) Controleer je grafiek in (b) door de grafiek van f te plotten.

(d) Bepaal dom f en bld f .

(e) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y =1x

om de functie y = f(x) te bekomen?

Oefening 16. Bepaal domein, beeld en alle asymptoten aan de grafiek van de volgende homografische functies.

(a) f(x) =2x + 5x + 3

(c) f(x) =−7x

2x + 3

(b) f(x) =3x− 7x− 3

(d) f(x) =−5x + 23− x

44

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 17. Bepaal bij elk van de homografische functies in Oefening 16 welke transformaties je moet uitvoeren op

de functie y =1x

om de functie y = f(x) te bekomen. Wees volledig.

Oefening 18. Bepaal telkens het voorschrift van de homografische functie f die voldoet aan de gegeven voorwaarden.

(a) Bepaal f zodat −4 een pool is, 3 een nulpunt is en de rechte y = 2 een asymptoot is.

(b) Bepaal f zodat −1 een nulwaarde is, de rechte x = 5 een asymptoot is en P (4, 10) ∈ graf f .

Oefening 19. De volgende grafieken stellen de grafiek van een homografische functie y = f(x) voor. Bepaal telkenseen mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken).

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

xO

(a)

y = f(x)

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3−4

y

xO

(b)

y = f(x)

Oefeningen bij §2.6Oefening 20. Gegeven is de functie

f(x) =5x2 − 25x + 30

x2 − 6x + 9(a) Bepaal het domein van f .

(b) Vereenvoudig - indien mogelijk - het functievoorschrift van f .

(c) Bepaal alle eventuele perforaties en/of verticale asymptoten aan de grafiek van f . Laat zien hoe je te werk gaat.

(d) Bepaal alle eventuele horizontale en/of schuine asymptoten aan de grafiek van f . Laat zien hoe je te werk gaat.


f(x) =x3 − 3x2 − 4x + 12

x2 − 4x + 3(a) Bepaal het domein van f .

(b) Vereenvoudig - indien mogelijk - het functievoorschrift van f .

(c) Bepaal alle eventuele perforaties en/of verticale asymptoten aan de grafiek van f . Laat zien hoe je te werk gaat.

(d) Bepaal alle eventuele horizontale en/of schuine asymptoten aan de grafiek van f . Laat zien hoe je te werk gaat.

Oefening 22 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 1997).Welke van de volgende beweringen is juist? De rationale functie

f : x 7→ y(x) =x2 − 2x + 1

x

(A) heeft de rechte y = 0 als asymptoot.

(B) vertoont geen (relatieve) extrema.

(C) heeft de rechte y = x + 2 als schuine asymptoot.

(D) heeft de rechte y = 2x als schuine asymptoot.

45

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be


f(x) =x2 − x + 5 + p

x− 3waarbij p ∈ R

(a) Bepaal de waarde(n) van p waarvoor de grafiek van f een perforatie bereikt.

(b) Bepaal voor de waarde van p die je vond in (a) alle eventuele asymptotenaan de grafiek van f .

?Oefening 24. Caroline houdt van sporten. Ze fietst een helling op, aan de top blijkthaar gemiddelde snelheid (over de rit van beneden naar boven) 6 km / u te zijn. Hoesnel moet Caroline terug naar beneden fietsen om ervoor te zorgen dat haar totalegemiddelde snelheid (dus over de ganse rit, van beneden naar boven en terug) gelijkis aan 12 km / u?

?Oefening 25 (Toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1984).

Gegeven is f(r) =1r2

(a) Bepaal f(r)− f(r + 1)

(b) Bepaaln∑

r=1

2r + 1r2(r + 1)2

Oefening 26 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven 2000).Welke van de volgende beweringen is juist? De rationale functie

f : x 7→ y(x) = x2 − 27x

(A) heeft de rechte y = 0 als asymptoot.

(B) vertoont een (relatief) minimum.

(C) heeft de rechten y = x en y = −x als schuine asymptoot.

(D) heeft een schuine asymptoot.

Oefening 27 (Toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1988).Werk uit en vereenvoudig

x2 − 6x + 9x2 − 4

:x2 − 5x + 6−x + 2

+1

x + 2

Oefening 28 (Toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).Los het volgend stelsel op in R (duid de oplossingsverzameling aan op een getallenas).

(−x + 5)(x2 + 5x− 6)−x2 + 4x− 5

≤ 0

x + 5x− 2

>x + 26x2 − 4

Oefening 29 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008 eerste ronde).

De oplossingenverzameling van 4x≤ 2 is

(A) R \ [0, 2] (B) ]0, 2] (C) [2,+∞[ (D) ]−∞,−2] ∪ ]0,+∞[ (E) ]−∞, 0[ ∪ [2,+∞[

?Oefening 30 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005 tweede ronde).Als x, y en z > 0 en xyz = 1, dan is

11 + x + xy

+1

1 + y + yz+

11 + z + xz

gelijk aan

(A)x + y + z

3(B) 1 (C)

32

(D) 2 (E)xy + yz + xz

3

46

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Hoofdstuk 3

Irrationale functies

3.1 Definitie irrationale functie en voorbeelden

• Definitie. Een irrationale functie is een functie y = f(x) waarbij in f(x) de variabele x onder een worteltekenvoorkomt (na vereenvoudiging met behulp van algebraısche operaties).

• Voorbeelden.

(a) f(x) =√

x en g(x) = 3√

16− x2 en h(x) =√

169− x2 − x− 7√x

zijn irrationale functies.

(b) f(x) = −3x2 + 2x− 6 en g(x) =7x2 − 3x−

√2

zijn geen irrationale functies want . . .

(c) f(x) = 3√

x3 is geen irrationale functie want . . .

(d) f(x) =√

x2 is een irrationale functie want . . .

• Voorbeeld. De families Jacobs en Swinnen bezitten beide een appartement aan zee. Ze willen samen eenstrandcabine huren. De familie Jacobs woont op 500 m van het strand, de familie Swinnen op 1 km. Hunappartementen liggen in vogelvlucht op 1, 3 km van elkaar. Ze willen een strandcabine op de kustlijn, die opgelijke afstand van de twee appartementen ligt. Waar op de kustlijn moet de strandcabine komen? Los eerst opmet behulp van je grafisch rekenmachine, daarna algebraısch.

kustlijn

500 m

1, 3 km

1 kmJacobs

Swinnen

cabine

x

Oplossing.

47

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

3.2 Bepalen van domein en nulwaarden

• Modelvoorbeeld 1. Gegeven is de irrationale functie

f(x) =x +

√2x− 4

3√

3x− 9

(a) Bepaal grafisch het domein van f . Schets de grafiek van f op je blad.

(b) Bepaal algebraısch het domein f .

Oplossing.

48

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be


f(x) =√

169− x2 − x− 7√x

(a) Bepaal algebraısch het domein f .

(b) Controleer je resultaat in (a) met behulp van je grafisch rekenmachine. Schets de grafiek van f .

Oplossing.


f(x) =√

169− x2 − x− 7

(a) Bepaal algebraısch de nulwaarden van f .

(b) Controleer je resultaat in (a) met behulp van je grafisch rekenmachine. Schets van de grafiek van f .

Oplossing.

49

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefeningen bij §3.1Oefening 1. Een olieplatform op zee is 10 km van de kustlijn verwijderd. Door een menselijke fout lekt olie uit hetplatform aan een snelheid van 90000 m3 per uur, en vormt een cirkelvormige laag met een dikte van 1 cm.

(a) Tot welke afstand van het boorplatform reikt de olievlek vijf uur na het ontstaan van het lek?

(b) Toon aan dat de straal r (in meter) van de olievlek in functie van de tijd t (in uur) gegeven wordt door hetvoorschrift

r(t) = 3000

√t

π

(c) Na hoeveel uur spoelt de eerste olie aan de kust? Bepaal algebraısch, en controleer met je grafisch rekenmachine.

Oefening 2. Beschouw de functie f(x) =∣∣∣∣x +

1x

∣∣∣∣(a) Is f een irrationale functie? Verklaar.

(b) Bepaal algebraısch de oplossingen van f(x) ≤ 6, en controleer met je grafisch rekenmachine.

Oefeningen bij §3.2Oefening 3. Gegeven is de functie f(x) =

√−3x + 2− 6.

(a) Bepaal algebraısch het domein van f .

(b) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y =√

x om de functie y = f(x) te bekomen?

(c) Schets de grafiek van f met behulp van (b). Controleer door de grafiek van f te plotten.

(d) Bepaal bld f .

Oefening 4. Bepaal zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine welke functie bij welke grafiek hoort.

(a) f(x) =

√1

9− x2(c) f(x) =

√x3 − 3x2 + 2x

(b) f(x) =√−2x + 6 (d) f(x) =

√3x2 − x + 2

Grafiek 1

1

2

3

1 2 3−1−2−3

y

xO

Grafiek 2

1

2

3

1 2 3−1−2−3

y

xO

Grafiek 3

1

2

3

1 2 3−1−2−3

y

xO

Grafiek 4

1

2

3

1 2 3−1−2−3

y

xO

50

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 5. Los de volgende irrationale vergelijkingen algebraısch op.

(a) x +√

5x + 10 = 8 (f)√

2 +√

x− 5 =√

13− x

(b) x−√

7− x = 3 (g)√

x + 5−√

x− 2 = 1

(c)√

2x2 + 2 = 2x + 2 (h)√

x− 3 = 3−√

x

(d) x− 2 =√

x2 − x + 1 (i)√

2x + 1−√

x− 1 = 2

(e)√

6x + 1 =√

7x + 4 (j) 1 +x + 1√x2 + 2x

= 0

Oefening 6. Bepaal algebraısch het domein, de nulwaarden, snijpunten met de assen en het tekentabel van de volgendefuncties. Controleer je resultaten met behulp van je grafisch rekenmachine. Maak een schets van de grafiek op je blad.

(a) f(x) =√

x2 − 4 (d) f(x) =√

x− 3√2x + 2−

√x− 1− 2

(b) f(x) =∣∣5−√

8 + 2x∣∣ (e) f(x) =

√50− x2 + x− 6√

36− x2

(c) f(x) =1

x√

x2 − 4(f) f(x) =

√2x2 − 3x− 2

3√

x3 + 3x2 + 7− x− 1

Oefening 7. Onderzoek algebraısch of f en g gelijke functies zijn.

(a) f(x) =

√x− 2x + 3

en g(x) =√

x− 2√x + 3

(b) f(x) =

√x2 − x− 20

x2 − 9en g(x) =

√x2 − x− 20√

x2 − 9

(c) f(x) =

√x2 − 4x2 + 9

en g(x) =√

x2 − 4√x2 + 9

Oefening 8 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998 eerste ronde).Beschouw volgende drie uitspraken over de reele functie

f(x) =

√1x− 1

I. f is gedefinieerd voor alle x groter dan 0.

II. f is gedefinieerd voor sommige negatieve waarden van x.

III. f neemt alle positieve waarden aan.

De enige correcte uitspraken zijn:

(A) I (B) II (C) III (D) I en III (E) II en III

Oefening 9. Gegeven zijn de functies

f(x) =√

16− x2 en g(x) =12

x + 3


(b) Bepaal algebraısch de snijpunten van graf f en graf g.


Oefening 10. Gegeven zijn de functies

f(x) =

√x3 + 8

xen g(x) = x− 2


(b) Bepaal algebraısch alle x-waarden waarvoor graf f boven graf g ligt.


51

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 11. Een oliepijplijn moet punt A met punt B verbinden. Het punt A ligt aan de ene oever van een stroomdie 25 km breed is, punt B aan de andere kant van de oever. De afstand van A tot B is 50 km. Een leiding trekkenonder water kost 25000 euro per kilometer, aan land is de kostprijs 13000 euro per kilometer.

2550

A

C BD

x

(a) Bepaal de kostprijs voor het leggen van de pijplijn volgens het traject AB.

(b) Bepaal de kostprijs voor het leggen van de pijplijn volgens het traject ACB.

(c) Waar moet het punt D aan de andere kant van de oever liggen opdat de kostprijs voor het leggen van de pijplijnvolgens het traject ADB zo klein mogelijk is? Los op met behulp van je grafisch rekenmachine.

?Oefening 12. Gegeven is de functie f(x) =x2 + 1x2 − 1

Toon aan, zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine, dat bld f = ]−∞,−1] ∪ ]1,+∞[.

Oefening 13 (Toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Katholieke Universiteit Leuven).Bepaal de oplossingen in R van 3

√x + 3

√x2 + x = 0

Oefening 14 (Toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1988).Los de volgende vergelijking op naar x ∈ R √

x2 − 3x + 2 = |x| − 2

?Oefening 15 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008 tweede ronde).De grafieken van de reele functies met functievoorschrift

g1(x) =√−(x2 + 2x) +

√8x3 + 4x2 g3(x) =

√−(x2 + 2x)−

√8x3 + 4x2

g2(x) = −√−(x2 + 2x) +

√8x3 + 4x2 g4(x) = −

√−(x2 + 2x)−

√8x3 + 4x2

vormen samen het trifolium van De Longchamps (zie figuur).y

x

Het deel van de kromme bepaald door g1 is

y

x

(A)

y

x

(B)

y

x

(C)

y

x

(D)

y

x

(E)

52

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Interludium

1. Machtswortels

• Definitie. Zij n ∈ N0 en b ∈ R.Elke (reele) oplossing van de vergelijking xn = b noemt een (reele) n-de machtswortel van b.

De bespreking van n-de machtwortels valt uiteen in twee wezenlijk verschillende gevallen.

• Geval 1: n-de machtswortels met n even.

∗ Voorbeelden.

(a) 3 is een 2-de machtswortel (of vierkantswortel) van 9 want 32 = 9.Ook −3 is een vierkantswortel van 9 want (−3)2 = 9.2 is een 6-de machtswortel van 64 want 26 = 64.Ook −2 is een 6-de machtswortel van 64 want (−2)6 = 64.

(b) −16 heeft geen reele vierkantswortels want de vergelijking x2 = −16 heeft geen oplossingen in R.−64 heeft geen reele 6-de machtswortels want de vergelijking x6 = −64 heeft geen oplossingen in R.

∗ Eigenschap. Zij n ∈ N0 even en b ∈ R.

1. Als b ≥ 0 dan heeft b reele n-de machtswortels,en als x een n-de machtswortel is van b dan is ook −x een n-de machtswortel van b.

2. Als b < 0 dan heeft b geen reele n-de machtswortels.

∗ Meetkundige betekenis. We kunnen deze eigenschap verklaren aan de hand van de grafiek van de functief(x) = xn met n even (duid aan)

x

yf(x) = xn met n even

∗ Definitie en notatie. Zij n ∈ N0 even. Elk positief reeel getal b heeft dus twee n-de machtswortels, waarvande ene het tegengestelde is van de andere. De positieve van de twee noemen we de positieve n-de machtswortel

van b, en we noteren deze met n√

b

De negatieve van de twee n-de machtswortels heten we de negatieve n-de machtswortel van b. Omdat deze

het tegengestelde is van de positieve n-de machtswortel is die gelijk aan − n√

b

∗ Voorbeelden (vervolg).

(a) Het getal 9 heeft twee vierkantswortels, namelijk 3 en −3. De positieve vierkantswortel van de tweenoteren we met 2

√9 of kortweg

√9. Dus

√9 = 3. De negatieve van de twee is dan gelijk aan het

tegengestelde van de positieve, dus −√

9 = −3. Analoog is 6√

64 = 2 en − 6√

64 = −2.(b) Het symbool “

√−16 ”heeft geen betekenis. Immers, de notatie √ heeft enkel betekenis voor positieve

reele getallen. Analoog voor “ 6√−64 ”.

53

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Geval 2: n-de machtswortels met n oneven.

∗ Voorbeelden.

(a) 2 is een 3-de machtswortel (of kubische wortel) van 8 want 23 = 8.−2 is geen 3-de machtswortel van 8 want (−2)3 6= 8.3 is een 5-de machtswortel van 243 want 35 = 243.−3 is geen 5-de machtswortel van 243 want (−3)5 6= 243.

(b) −8 heeft een reele 3-de machtswortel want de vergelijking x3 = −8 heeft een oplossing in R,

namelijk x = . . .

−2187 heeft een reele 7-de machtswortel want de vergelijking x7 = −2187 heeft een oplossing in R,

namelijk x = . . .

∗ Eigenschap. Zij n ∈ N0 oneven en b ∈ R. Dan heeft b precies een n-de machtswortel.

∗ Meetkundige betekenis. We kunnen deze eigenschap verklaren aan de hand van de grafiek van de functief(x) = xn met n oneven (duid aan)

x

yf(x) = xn met n oneven

∗ Definitie en notatie. Zij n ∈ N0 oneven. Elk reeel getal b heeft dus een n-de machtswortel, en we noteren

deze met n√

b

∗ Voorbeelden.

(a) 3√

8 = 2 want 8 = 23

(b) 11√

0 = 0 want 0 = 011

(c) 3√−8 = −2 want − 8 = (−2)3

∗ Eigenschap. Zij n ∈ N0 oneven en b ∈ R. Dan is

n√−b = − n

√b

• Gebruik van het grafisch rekenmachine.

54

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

2. Machten

• Definitie. Een macht is een uitdrukking van de vorm ar met a, r ∈ R. Men noemt a het grondtal en r deexponent.

Voorbeelden van machten met grondtal 2 zijn

25, 20, 2−5, 213 , 2−

73 , 2π

De betekenis van elk van deze machten wordt hieronder duidelijk, waarbij we eerst machten met natuurlijke engehele exponent herhalen, om dit dan uit te breiden naar machten met rationale en reele exponent.

• Machten met natuurlijke exponenten.

∗ Voorbeelden.

(a) 25 = . . .

(b) 71 = . . .

(c) 40 = . . .

(d) 00 = . . .

∗ Definitie (natuurlijke macht).

∀a ∈ R : ∀n ∈ N0 : an def= a · a · . . . · a︸︷︷︸

n keer

∀a ∈ R0 : a0 def= 1

∗ Op ontdekking.

(a) 22 · 23 = . . .

(b)25

22= . . .

(c)(25)3

= . . .

(d) (2 · 7)3 = . . .

(e)(

27

)3

= . . .

∗ Rekenregels (de vijf rekenregels voor machten).

∀a ∈ R0 : ∀n, m ∈ N : am · an = am+n

am

an= am−n

(am)n = am·n

∀a, b ∈ R0 : ∀n ∈ N : (a · b)n = an · bn(a

b

)n

=an

bn

55

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Machten met gehele exponenten.

∗ Op ontdekking. 2−5 =?Wat dit ook is, we wensen wel dat de vijf rekenregels voor machten nog steeds blijven gelden.Dus dan moet

2−5 = 20−5 = . . .

Zo komen we vanzelf tot de geschikte∗ Definitie (gehele macht).

∀a ∈ R0 : ∀n ∈ N0 : a−n def=

1an

∗ Opmerking. De vijf rekenregels voor machten blijven gelden voor machten met gehele exponenten.

• Machten met rationale exponenten.

∗ Op ontdekking. 213 =? en 2−

73 =?

Wat dit ook is, we wensen wel dat de vijf rekenregels voor machten nog steeds blijven gelden.Dus dan moet (

213

)3

= 2 dus 213 = . . .

en2−

73 =

(2−7) 1

3 = . . .

Zo komen we vanzelf tot de geschikte∗ Definitie (rationale macht).

∀a ∈ R0 : ∀n ∈ N0 : a1n

def= n

√a

∀a ∈ R+0 : ∀n ∈ N0 : ∀m ∈ Z : a

mn

def= n

√am

∗ Opmerking. De vijf rekenregels voor machten blijven gelden voor machten met rationale exponenten.∗ Voorbeeld. Vereenvoudig (a stelt een niet-negatief reeel getal voor)

√a−5 · 3

√a7√

4√

a= . . .

∗ Opmerking. De eis a > 0 is cruciaal in de definitie van amn , zo toont het volgend voorbeeld

(−2)124 6= 4

√(−2)12

• Machten met reele exponenten.

∗ Op ontdekking. 2π =?Merk op 1 dat π 6∈ Q, dus 2π is geen macht met een rationale exponent.Wat dit ook is, we wensen wel dat als q ∈ Q en q ≈ π dan 2q ≈ 2π. Dus om de waarde van 2π te vinden,kunnen we in principe als volgt te werk gaan

q 2q

3 . . .

3, 1 . . .

3, 14 . . .

3, 141 . . .

3, 1415 . . .

3, 14159 . . ....

...

↓ ↓

π 2π = . . .

∗ Opmerking. De formele definitie van een reele macht steunt op het bovenstaand idee, maar valt buiten hetbestek van Deel Precalculus.

∗ Opmerking. De vijf rekenregels voor machten blijven gelden voor machten met rationale exponenten.

1Johann Heinrich Lambert 1761.

56

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

3. Bewerkingen met functies

• Som en verschil van functies. De som (resp. verschil) van twee functies f en g is de functie

f + g : R → R

x 7→ (f + g)(x)def= f(x) + g(x)

resp.f − g : R → R

x 7→ (f − g)(x)def= f(x)− g(x)

Voorbeeld. Voor f(x) = x2 − 2 en g(x) =√

x + 2 is

(f + g)(x) = . . . (f − g)(x) = . . .

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

xO

y = x2− 2

y =√

x + 2

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

xO

y = x2− 2

y =√

x + 2

• Product en quotient van functies. Het product (resp. quotient) van twee functies f en g is de functie

f · g : R → R

x 7→ (f · g)(x)def= f(x) · g(x)

resp.

f

g: R → R

x 7→(

f

g

)(x)

def=

f(x)g(x)


x + 2 is

(f · g)(x) = . . .

(f

g

)(x) = . . .

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

xO

y = x2− 2

y =√

x + 2

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

xO

y = x2− 2

y =√

x + 2

57

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Veelvoud en macht van een functie. Het veelvoud (resp. macht) van een functie f met r ∈ R is de functie

r · f : R → R

x 7→ (r · f)(x)def= r · f(x)

resp.fr : R → R

x 7→ fr(x)def= f(x)r

(als r 6= 0)

Voorbeeld. Voor r = − 12 en f(x) = x2 − 2 is

(r · f)(x) = . . . fr(x) = . . .

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

xO

y = x2− 2

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

xO

y = x2− 2

• Samenstellen van functies. De samenstellingen van twee functies f en g zijn de functies

f ◦ g : R → R

x 7→ (f ◦ g)(x)def= f (g(x))

eng ◦ f : R → R

x 7→ (g ◦ f)(x)def= g (f(x))


x + 2 is

(f ◦ g)(x) = . . . (g ◦ f)(x) = . . .

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

xO

y = x2− 2

y =√

x + 2

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

xO

y = x2− 2

y =√

x + 2

58

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Absolute waarde van een functie De absolute waarde van een functie f is de functie

|f | : R → R

x 7→ |f | (x)def= |f(x)|

Voorbeeld. Voor f(x) = x2 − 2 is |f | (x) = . . .

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

xO

y = x2− 2

• Gebruik van grafisch rekenmachine. Bovenstaande voorbeelden kunnen we als volgt controleren.

59

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

4.

Invers

efu

nct

ies

•O

pon

tdek

kin

g.G

egev

enis

defu

ncti

ef(x

)=

2x+

1.

(a)

Vul

delin

kerk

olom

aan.

Hoe

kunn

enw

eui

tde

grafi

ekva

nf

aflei

den

dat

fee

nfu

ncti

eis

?

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

....

..

(b)

De

func

tie

fis

bijz

onde

rin

die

zin

dat

erbi

jelk

ey-w

aard

eho

ogst

ens

een

x-w

aard

eho

ort

waa

rvoo

rP

(x,y

)∈

graf

f.

Daa

rom

noem

enw

ef

een

inve

rtee

rbar

efu

ncti

e.O

pde

zem

anie

rku

nnen

we

een

nieu

we

func

tie

gm

aken

,na

mel

ijkhe

tve

rban

dda

taa

nel

key-w

aard

edi

ex-w

aard

eas

soci

eert

.V

ulnu

dem

idde

lste

kolo

maa

n.

(c)

De

mid

dels

teko

lom

stel

tee

nni

euw

efu

ncti

eg(y

)=

xvo

or,d

iew

ede

inve

rse

func

tie

van

fno

emen

.O

mda

tw

ege

woo

nzi

jnom

een

func

tie

inde

lett

erx

tezi

en,e

nni

etin

y,ve

rwis

sele

nw

ede

lett

ers

xen

y.

Vul

dere

chte

rkol

omaa

n.

Func

tiev

oors

chri

ftf(x

)=

2x+

1Fu

ncti

evoo

rsch

rift

...

Func

tiev

oors

chri

ft..

.

Tab

elva

nen

kele

func

tiew

aard

enTab

elva

nen

kele

func

tiew

aard

enTab

elva

nen

kele

func

tiew

aard

en

x−

2−

10

12

f(x

)..

...

...

...

...

.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

Gra

fiek

Gra

fiek

Gra

fiek

123

−1

−2

−3

12

3−

1−

2−

3x

y

123

−1

−2

−3

12

3−

1−

2−

3y

x

123

−1

−2

−3

12

3−

1−

2−

3x

y

60

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Definitie. Een functie f noemt inverteerbaar als er bij elke y-waarde hoogstens een x-waarde hoort waarvoorP (x, y) ∈ graf f . In dat geval is het verband dat met elke y-waarde die x-waarde associeert een nieuwe functie

g : R → Ry 7→ x = g(y)

die we de inverse functie van f noemen.

• Eigenschap. Zij f een inverteerbare functie en g de inverse functie van f . Dan geldt

f(x) = y ⇔ x = g(y) ∀x ∈ dom f,∀y ∈ bld f

Meetkundige betekenis. De grafieken van de functies f en g zijn elkaars spiegelbeeld om de eerste bissectrice (derechte y = x).

• Opmerkingen.

1. Zij f een inverteerbare functie. Vaak noteert men de inverse functie van f met f−1 in plaats van met g.Ongelukkig genoeg valt deze notatie dan samen met het omgekeerde van f . In het vervolg zal de contextsteeds duidelijk moeten maken welke van de twee men bedoelt. Om verwarring te voorkomen gebruiken wein het vervolg van deze cursus liever de notatie g in plaats van f−1.

2. De interactie tussen een inverteerbare functie f en zijn inverse functie g kan als volgt worden voorgesteld.

functievoorschrift

f(x) = y


x . . . −1 0 1 . . .

f(x) · · · · ·

>

<

grafieky

xO1

1

y = f(x)

x

yO1

1

x = g(y)

>

<

functievoorschrift

x = g(y)


y . . . −1 0 1 . . .

g(y) · · · · ·

>

<

grafiek

>

<

∨oplossennaar x

∧oplossennaar y

∨tabel

omdraaien∧

tabelomdraaien

∨spiegelenom y = x

∧spiegelenom y = x

61

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

5. Soorten functies

• Definitie. Functies die opgebouwd worden door de algebraısche operaties optelling, vermenigvuldiging, deling,machten en n-de machtswortels heet men algebraısche functies 2. Alle functies die we tot nu toe besproken heb-ben vallen onder deze categorie. Functies die niet algebraısch zijn, noemen we transcendent.

veeltermfuncties

• x

• −x7 + 5x

• . . .

rationale functies

• 1

x

• 8x − π

x3

• . . .

irrationale functies

•√

x

•√

7x3 − 8

x5

• |x|• . . .

• sign(x)

• bxc

• exponentiele functies

• logaritmische functies

• goniometrische functies

• cyclometrische functies

• . . .

︸︷︷︸

algebraısche functies

︸︷︷︸

transcendente functies

We bespreken twee voorbeelden van transcendente functies, namelijk sign(x) en bxc. De andere vermelde functiesbehandelen we uitvoerig in de volgende hoofdstukken.

• Voorbeeld 1 (De “sign” functie). Voor x ∈ R stellen we

sign(x)def=

−1 als x < 0

0 als x = 01 als x > 0

Zo komen we tot een nieuwe functie.

∗ Functievoorschrift f(x) = sign(x)∗ Tabel van enkele functiewaarden

x −2 −1 −0, 01 0 0, 01 1 2

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∗ Grafiek

1

−1

1 2 3−1−2−3

y

xO

2Al is deze beschrijving een oversimplificatie. In hogere wiskunde noemt men een functie f algebraısch indien a0(x) · f(x) + a1(x) ·f2(x)+ . . .+an(x) ·fn(x) = 0 voor een zekere n ∈ N en veeltermen a0(x), . . . , an(x). Dit impliceert dat alle rationale en irrationale functiesalgebraısch zijn. Dat dit niet de enige zijn volgt uit het feit dat niet alle algebraısche functies uitgedrukt kunnen worden door middel vanradicalen.

62

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Voorbeeld 2 (De “floor” functie) 3. Voor x ∈ R stellen we

bxc def= het grootste geheel getal dat kleiner of gelijk is aan x

Zo komen we tot een nieuwe functie.

∗ Functievoorschrift f(x) = bxc∗ Tabel van enkele functiewaarden

x −1 −0, 99 −0, 01 0 0, 01 0, 99 1 1, 01 1, 99 2

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∗ Grafiek

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3

y

xO

• Opmerking. Deze functies staan niet rechtstreeks in het grafisch rekenmachine.

∗ De functie sign(x) voert men in aan de hand van de definitie.

∗ In het grafisch rekenmachine staat een functie “iPart” voorgeprogrammeerd. Deze functie neemt van elkreeel getal het geheel deel. De grafiek van “iPart” lijkt op de grafiek van de “floor” functie.

Hoe kunnen we nu de grafiek van de “floor” functie plotten?Oplossing.

3De tegenhanger van de “floor” functie is de “ceiling” dxe, zijnde het kleinste geheel getal groter of gelijk aan x. De benamingen flooren ceiling voor deze functies zijn afkomstig van K.E. Iverson 1962.

63

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefeningen bij §1 - §2Oefening 1. Gegeven zijn de volgende decimale getallen. Vul in met ∈ of 6∈. Is het decimaal getal rationaal, schrijfhet dan als een breuk.

(a) 1, 321322323324 . . . . . . R \Q (d) π = 3, 141592 . . . . . . Q

(b) 3, 333 . . . . . . Q (e)√

2 = 1, 414213 . . . . . . Q(c) 5, 74245245245 . . . . . . R \Q (f) 0, 999 . . . . . . R \Q

Oefening 2. Bereken zonder grafisch rekenmachine. Exacte waarde noteren.

(a) 412 (g) 81−0,25

(b) 16−12 (h)

(3√

16− 3√

4)3

(c)(

132

)−5

(i) 3

√(64

1000

)2

(d) 6√

9 3√

243 (j) 100000−25

(e) 3√

27a6b12 (k) 4√

(−3)12

(f)(2 4√

25− 3√

5)2

(l) n√

a3nbn met a, b ∈ R+ en n ∈ N

Oefening 3. Welke van de volgende uitdrukkingen zijn gelijk?

4x17 x

47

14

x−7 7x−4 14x7

7 4√

x 4 7√

x7x4

4√

x7 7√

x4

Oefening 4. Los algebraısch de volgende vergelijkingen op.

(a) 0, 7 x4 = 58 (c) 3x5 = 7x2

(b) (3x + 2)5 = 74 (d)3

4√

5x= 6

Oefening 5. Bereken met behulp van je grafisch rekenmachine.

(a)(− 3

50

)− 119

(b) 1302√

20092010

Oefening 6. Schrijf als n-de machtswortels van de letters a, b, c (die steeds niet-negatieve reele getallen voorstellen).

(a) a−76 (d)

(4

√(a−

32 b

12

))− 83

(b)(√

a) 4

3 (e)5√

a3b√

ab3

a10√

ab7

(c)(a−1b−

13 c

12

)6 (a−2b−4c6

)− 12 (f)

(16−2a

12 b−3

81−1a−12 b3

) √ab

94

(ab

32

) 12

Oefening 7 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1991 tweede ronde).

Als x ≥ 0 dan is√

x√

x√

x =

(A) x√

x (B) x 4√

x (C) 8√

x (D) 8√

x3 (E) 8√

x7

Oefening 8 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1998 eerste ronde).√254a2 =

(A) 252a (B) 252|a| (C) 252a2(D) 52|a| (E) 52a2

Oefening 9 (Toelatingsexamen Koninklijke Militaire School 1987).Werk uit en vereenvoudig

(x2)3x−4 3√

x5

3√

x2 3

√4√

(x2)3

64

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Johannes Kepler(1571 - 1630)

Oefening 10. De planeten van ons zonnestelsel bewegen in ellipsvormige banen rondde zon. Noemen we a de halve grote as van deze ellips (in miljoen km) en T deomlooptijd rond de zon (in dagen), dan geldt volgens de derde wet van Kepler 4

a3 = 2, 9277 · T 2

(a) Van de volgende planeten is de omlooptijd T gegeven. Bepaal de halve grote asa van de ellips die ze om de zon beschrijven (in miljoen km, op twee cijfers nade komma).

planeet Mercurius Venus Aarde

omlooptijd T (in dagen) 87, 969 224, 701 365, 250

(b) Van de volgende planeten is de halve grote as a van de ellips, die ze om de zonbeschrijven, gegeven. Bepaal de omlooptijd T in jaren en dagen (gebruik 1 jaar≈ 365, 25 dagen).

planeet Mars Jupiter Saturnus

halve grote as a (in miljoen km) 227, 939 778, 294 1429, 373

Oefeningen bij §3Oefening 11. Bepaal telkens het functievoorschrift van f · g, f

g , 3 · g, f ◦ g en g ◦ f .

(a) f(x) = x− 1 en g(x) = x−1

(b) f(x) = x + 2 en g(x) =1√x

(c) f(x) = 2x− π

4en g(x) = x2

Oefening 12. Gegeven is de functie f(x) = x2. Bepaal (f ◦ f ◦ f ◦ f)(3).

Oefening 13. Gegeven is de functie f(x) = x− 1 en een functie g waarvoor (g ◦ f)(x) = x2 − 1.

(a) Bepaal g(3).

(b) Bepaal g(x).

Oefening 14. De volgende grafieken stellen de grafiek van een functie f voor. Teken telkens de grafiek van |f |.

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

xO

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3−1−2−3

y

xO

4Kepler 1619.

65

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 15. Gegeven zijn twee functie f en g en een reeel getal r. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken.Indien vals, verbeter tot een ware uitspraak.

(a) dom(r · f) = dom f (d) dom(f · g) = dom f ∩ dom g

(b) dom(fr) = dom f (e) dom(

f

g

)= dom f ∩ dom g

(c) dom(f + g) = dom f ∩ dom g (f) dom |f | = dom f

?Oefening 16. Gegeven is een functie f met dom f = R. Bewijs dat er een even functie g(x) en een oneven functieh(x) bestaat waarvoor

f(x) = g(x) + h(x)

Aanwijzing. Gebruik

f(x) =f(x) + f(−x)

2+

f(x)− f(−x)2

Oefening 17 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2002 eerste ronde).Als f(x) = x + 1

x dan is f(f(f(x))) gelijk aan

(A)(

1 +1x

)3

(B) 3 +1x

(C) 1 +1

1 +1

1 +1x

(D) 1 +3x

(E) 1 +3x3

Oefening 18 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2005 eerste ronde).Met de functies f : x 7→ x2 en g : x 7→

√x construeert men vijf nieuwe functies:

f

g: x 7→ f(x)

g(x); f ◦ g : x 7→ f(g(x)); f · g : x 7→ f(x) · g(x); g ◦ f : x 7→ g(f(x)); g ◦ f : x 7→ g(f(x))

Twee van deze vijf functies hebben hetzelfde domein. Twee andere functies hebben ook hetzelfde domein. Welke is deoverblijvende functie?

(A)f

g(B) f ◦ g (C) f · g (D) g ◦ f (E)

g

f

Oefening 19. Gegeven is de grafiek van een functie

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

y

xO

Bepaal algebraısch welke van de volgende vijf voorschriften bij deze functie hoort.

|x− 1|+ 1 ||x| − 1|+ 1 |x− 1|+ |x + 1| ||x|+ 1|+ 1∣∣x2 − 1

∣∣+ 1

Oefening 20 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2000 eerste ronde).Het aantal oplossingen in R van de vergelijking ∣∣1− x2

∣∣ = 1− x

is gelijk aan(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

66

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 21 (Meervoudig functievoorschrift). Beschouw de functie

f(x) =

{x + 2 als x < 34 als x ≥ 3

Omdat het functievoorschrift niet enkelvoudig is, zeggen we dat f een meervoudig functievoorschrift heeft.

(a) Schets zonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine de grafiek van de functie f .

(b) Controleer je resultaat in (a) met je grafisch rekenmachine.

Aanwijzing bij (b).

Opmerking. Bij het grafisch rekenmachine staat “X < 3” voor de functie g(x) =

{1 als x < 30 als x ≥ 3

Oefening 22 (Meervoudig functievoorschrift). Gegeven is de grafiek van een functie. Bepaal het (meervoudig)functievoorschrift dat bij deze functie hoort.

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

y

xO

Oefeningen bij §4Oefening 23. Ga telkens na of de functie inverteerbaar is. Zo ja, bepaal het functievoorschrift van de inverse functie.

(a) f(x) = −3x + 2 (d) f(x) = x3

(b) f(x) = x2 (e) f(x) = (x− 1)3 − 5

(c) f(x) =x− 2x + 2

(f) f(x) =√

x2 − 25

Oefeningen bij §5Oefening 24. Schets de grafiek van de functie f(x) = sign(1+x)+sign(1−x). Controleer met je grafisch rekenmachine.

Oefening 25 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995 eerste ronde).Beschouw de volgende 4 uitspraken:

b7xc = 7 b7xc = 7bxc b7 + xc = 7 + x b7 + xc = 7 + bxc

Hoeveel van deze uitspraken zijn waar voor alle x ∈]1, 11

10

[?

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

67

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Hoofdstuk 4

Exponentiele functies

4.1 Lineaire groei, lineaire functies

• Op ontdekking. Een bepaalde soort bamboe groeit in de zomer aan eensnelheid van 1, 4 cm per dag. In het begin van de zomer is een bamboeplant 1mlang.

Noem f(x) de lengte van de bamboe (in cm) op x dagen na het begin van dezomer. Om het functievoorschrift te ontdekken maken we eerst een tabel vanenkele functiewaarden.

∗ Functievoorschrift f(x) = ?

∗ Tabel van enkele functiewaardenx 0 1 2 3

f(x) . . . . . . . . . . . .

∗ Grafiek

x

y

Om de y-waarde van een volgende dag te vinden, moeten we bij de vorige dag de waarde a = . . . optellen.Daarom noemt men a de groeiterm. Omdat a > 0 zegt men dat de lengte van de bamboe lineair stijgt.

Dankzij het functievoorschrift kunnen we nu de volgende vragen beantwoorden.

(a) Bepaal de lengte van de bamboe na drie maanden.

(b) Hoeveel groeit de bamboe elke twee dagen (de groeiterm elke twee dagen)?

(c) Wat is de groeiterm elke halve dag?

(d) Wat is de lengte van de bamboe na√

2 aantal dagen?

(e) Indien we veronderstellen dat de groei van de bamboe op hetzelfde tempo verloopt voor het begin van dezomer, bepaal dan de lengte van de bamboe 20 dagen voor het begin van de zomer.

(f) Op de hoeveelste dag van de zomer is de lengte van de bamboe precies 2 m? Bepaal algebraısch, en duidde betekenis aan op de grafiek.

68

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oplossing.

• Definitie. Een lineaire functie is een functie y = f(x) waarbij

f(x) = ax + b met a, b ∈ R en a 6= 0

• Opmerking. In de bovenstaande definitie is a 6= 0 want anders is f(x) = . . . dus de functie f is een . . .

• Eigenschap. Zij f(x) = ax + b een lineaire functie. Dan is de grafiek van f van de vorm

y

xO

a < 0

lineaire daling

b

+a

+1

of

y

xO

a > 0

lineaire stijging

b

+a

+1

• Eigenschap. Zij f(x) = ax een lineaire functie. Dan geldt

f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) voor elke x1, x2 ∈ R

Bewijs.

69

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

4.2 Exponentiele groei, exponentiele functies

• Op ontdekking 1. Een bepaalde soort waterlelie groeit in de zomer zo sneldat de totale bladoppervlakte elke dag 18% groter wordt. In het begin van dezomer is de totale bladoppervlakte van een plantje 3 cm2.

Noem f(x) de oppervlakte van de plant (in cm2) op x dagen na het begin vande zomer. Om het functievoorschrift te ontdekken maken we eerst een tabel vanenkele functiewaarden.

∗ Functievoorschrift f(x) = ?

∗ Tabel van enkele functiewaardenx 0 1 2 3

f(x) . . . . . . . . . . . .

∗ Grafiek

x

y

Om de y-waarde van een volgende dag te vinden, moeten we bij de vorige dag de waarde a = . . . vermenigvuldigen.Daarom noemt men a de groeifactor. Omdat a > 1 zegt men dat de oppervlakte van de lelie exponentieel stijgt.

Het verband tussen de procentuele toename p = 18 en de groeifactor a wordt gegeven door

a = 1 +p

100


(a) Bepaal de oppervlakte van de waterlelie na drie maanden.

(b) Mocht de waterlelie het ganse jaar aan dit tempo groeien, wat zou dan de oppervlakte na een jaar zijn?Vergelijk met de oppervlakte van de aarde (neem aan dat de aarde bolvormig is met straal 6357 km).

(c) Hoeveel groeit de waterlelie elke twee dagen (de groeifactor elke twee dagen)? En elke 10 dagen?

(d) Wat is de groeifactor elke halve dag? En elk uur?

(e) Wat is de oppervlakte van de waterlelie na√

2 aantal dagen?

(f) Indien we veronderstellen dat de groei van de waterlelie op hetzelfde tempo verloopt voor het begin van dezomer, bepaal dan de oppervlakte van de waterlelie 20 dagen voor het begin van de zomer.

(g) Op de hoeveelste dag van de zomer is de oppervlakte van de waterlelie precies 1 m2? Bepaal (indienmogelijk) algebraısch, en duid de betekenis aan op de grafiek.

Oplossing.

70

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Op ontdekking 2. Een bepaalde soort waterlelie krimpt in de winter zo snel dat de totale bladoppervlakteelke dag 15% kleiner wordt. In het begin van de winter is de totale bladoppervlakte van een waterlelie 900m2.

Noem f(x) de oppervlakte van de plant (in m2) op x dagen na het begin van de winter. Om het functievoorschriftte ontdekken maken we eerst een tabel van enkele functiewaarden.

∗ Functievoorschrift f(x) = ?∗ Tabel van enkele functiewaarden

x 0 1 2 3

f(x) . . . . . . . . . . . .

∗ Grafiek

x

y

Om de y-waarde van een volgende dag te vinden, moeten we bij de vorige dag de waarde a = . . . vermenigvuldigen.Daarom noemt men a de groeifactor. Omdat a < 1 zegt men dat de oppervlakte van de lelie exponentieel daalt.

Het verband tussen de procentuele afname p = 15 en de groeifactor a wordt gegeven door

a = 1− p

100


(a) Bepaal de oppervlakte van de waterlelie na drie maanden.(b) Wat is de groeifactor elke twee dagen? En elke maand?(c) Wat is de groeifactor elke halve dag? En elke minuut?(d) Indien we veronderstellen dat de groei van de waterlelie op hetzelfde tempo verloopt voor het begin van de

winter, bepaal dan de oppervlakte van de waterlelie 10 dagen voor het begin van de winter.

71

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oplossing.

• Definitie. Een exponentiele functie is een functie y = f(x) waarbij

f(x) = b · ax met a ∈ R+0 \ {1} en b ∈ R0

• Opmerking. In de bovenstaande definitie is

∗ a ≥ 0 want anders is bijvoorbeeld f

(12

)= . . .

∗ a 6= 0 want anders is f(x) = . . . dus de functie f is een . . .

∗ a 6= 1 want anders is f(x) = . . . dus de functie f is een . . .

∗ b 6= 0 want anders is f(x) = . . . dus de functie f is een . . .

• Eigenschap. Zij f(x) = b · ax een exponentiele functie. Dan is de grafiek van f van de vorm (voor b > 0)

y

xO

y = b · ax

0 < a < 1

exponentiele daling

b

·a

+1

of

y = b · ax

y

xO

a > 1

exponentiele stijging

b

·a

+1

en uit de grafiek van f lezen we de volgende eigenschappen af.

(a) dom f = . . . en bld f = . . .

(b) Voor 0 < a < 1 is limx→−∞

f(x) = . . . en limx→+∞

f(x) = . . .

dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot voor x → +∞ aan de grafiek van f .(c) Voor a > 1 is lim

x→−∞f(x) = . . . en lim

x→+∞f(x) = . . .

dus de rechte . . . . . . is een horizontale asymptoot voor x → −∞ aan de grafiek van f .

72

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefeningen bij §4.1Oefening 1. Een bepaalde soort bamboe krimpt in de winter aan een snelheid van 0, 8 cm per dag. In het begin vande winter is de bamboeplant 7 m lang. Noem f(x) de lengte van de bamboe (in cm) op x dagen na het begin van dewinter.

(a) Bepaal het voorschrift van f(x).

(b) Bepaal de lengte van de bamboe na drie maanden.

(c) Hoeveel krimpt de bamboe elke drie dagen?

(d) Hoeveel krimpt de bamboe elk uur?

(e) Op de hoeveelste dag van de winter is de lengte van de bamboe precies 6, 5 m? Bepaal algebraısch, en duid debetekenis aan op de grafiek.

Oefening 2. De volgende grafieken stellen de grafiek van een lineaire functie y = f(x) voor. Bepaal telkens hetfunctievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken).

1

2

3

4

5

−1

1 2 3 4 5−1

y

xO

(a)

y = f(x)

1

2

3

4

5

−1

1 2 3 4 5−1

y

xO

(b)

y = f(x)

Oefeningen bij §4.2Oefening 3. Bepaal telkens de gevraagde groeifactor en/of procentuele toename of afname.

(a) Een spaarrekening groeit met 2, 1% netto per jaar. Bepaal de groeifactor per jaar.

(b) In een bepaalde streek neemt de populatie mussen af met 4% per jaar. Bepaal de groeifactor per jaar.

(c) Het aantal klanten van een firma verdubbelt elk jaar. Bepaal de groeifactor en de procentuele toename per jaar.

(d) Door een gunstige belegging neemt een kapitaal toe met 15% per jaar. Bepaal de groeifactor en de procentueletoename per week.

Oefening 4. In een tank is door een fout 10 kg zout toegevoegd. Men spoelt de tankdoor het toevoegen van zuiver water en lozen van het verontreinigd product. Op dezemanier verdwijnt er per minuut 20% van het aanwezige zout.

(a) Bepaal de groeifactor per minuut.

(b) Bepaal de groeifactor en de procentuele afname per 5 minuten.

(c) Bepaal de groeifactor en de procentuele afname per 20 seconden.

(d) Hoeveel kilogram zout blijft er over na een half uur spoelen? Los algebraısch op.

(e) Hoe lang moet men spoelen opdat er minder dan 1 gram zout overblijft? Los grafisch op.

73

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 5. Bij samengestelde intrestberekening zet je een kapitaal uit aan p% per jaar. Daarbij laat je jaar na jaarde verworven intrest ongemoeid. Stel een formule op die het totale kapitaal berekent na n jaar.

Oefening 6 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven).Als een handelaar de prijs van een product met p% verhoogt, met hoeveel procent moet hij dan de nieuwe prijs verlagenom terug bij de oorspronkelijke prijs te komen?

(A)p

1− p100

(B) p (C)100p

100− p(D)

100p

100 + p

Oefening 7 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven).In 1995 voorziet het Ministerie van Sociale Zaken dat het aantal bejaarden met psychische problemen in de komende 15jaar zal verdubbelen van 200000 tot 400000. Hierdoor moeten meer hulpverleners opgeleid worden. In een voorstudiestelt een socioloog voor de groei van het aantal bejaarden met psychische problemen twee modellen voorop (telkensin functie van t, het aantal jaar na 1995)

• Model I: lineaire groei

• Model II: exponentiele groei

Beoordeel de volgende uitspraken (juist of fout).

(a) Voor t = 22, 5 voorspelt model I precies 500000 bejaarden met psychische problemen.

(b) Voor t = 22, 5 voorspelt model II precies√

2 · 400000 bejaarden met psychische problemen.

(c) Voor t = 10 voorspelt model I precies 333333, 33 . . . bejaarden met psychische problemen.

(d) Voor t = 10 voorspelt model II precies 200000(

15√

2)10

bejaarden met psychische problemen.

(e) Volgens model II zouden er in 2005 meer bejaarden met psychische problemen zijn dan volgens model I.

(f) Volgens model II zouden er in 2015 meer bejaarden met psychische problemen zijn dan volgens model I.

Oefening 8 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven).Veronderstel dat de concentraties in het bloed van stof A en van stof B omgekeerd evenredig zijn. Als de concentratievan stof A met p% toeneemt, met hoeveel procent zal de concentratie van stof B dan afnemen?

Oefening 9. Zij f(x) = ax een exponentiele functie. Bewijs

f(x1 + x2) = f(x1) · f(x2) voor elke x1, x2 ∈ R

Oefening 10. De volgende grafieken stellen de grafiek van een exponentiele functie y = f(x) voor. Bepaal telkenseen mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten of aangeduide punten gebruiken).

1

2

3

4

5

6

1 2 3−1−2−3

y

xO

(a)

y = f(x)

2

4

6

8

10

12

2 4 6−2−4−6

y

xO

(b)

y = f(x)

P(

−2, 45

4

)

Q(0, 5)

74

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 11. David en Katrijn hebben een job gevonden. David verdient 20 euro per uur en krijgt jaarlijks eenloonsverhoging van 1 euro per uur. Katrijn verdient 16 euro per uur en krijgt jaarlijks 10% opslag.

(a) Noem f(x) het loon (in euro per uur) van David in jaar x. Bepaal het functievoorschrift van f . Welke soortgroei is dit?

(b) Noem g(x) het loon (in euro per uur) van Katrijn in jaar x. Bepaal het functievoorschrift van g. Welke soortgroei is dit?

(c) Schets de grafieken van f en g in een assenstelsel. Vanaf welk jaar verdient Katrijn meer dan David (uiteraardafronden op 1 jaar nauwkeurig)? Los grafisch op. Hoeveel verdienen beide dan?

Oefening 12. Bart K. Ell koopt een nieuwe auto ter waarde van 20000 euro. Perjaar verliest deze auto 20% van zijn waarde.

(a) Noem f(x) de waarde van de auto na x jaar. Bepaal het functievoorschrift vanf . Welke soort groei is dit?

(b) Schets de grafiek van f zonder grafisch rekenmachine. Duid duidelijk de begin-waarde en de groeifactor aan.

(c) Wat is de waarde van de auto na 10 jaar? Gebruik je grafisch rekenmachine.

(d) Na hoeveel jaar is de auto van Bart minder dan 1000 euro waard? Afronden op1 jaar nauwkeurig.

Oefening 13. De volgende tabel geeft de groei weer van een aantal grootheden tijdens vijf opeenvolgende tijdseen-heden. In welke gevallen is er sprake van lineaire groei of daling? In welke gevallen is er sprake van exponentiele groeiof daling?

t 0 1 2 3 4 5

f(t) 1701 567 189 63 21 7

g(t) 105 118 131 146 163 182

h(t) 29, 7 27, 1 24, 5 21, 9 19, 3 16, 7

Oefening 14. Bij een gitaar zijn zogenaamde frets geplaatst, plaatjes bevestigd aande hals waarop een gitarist zijn vingers plaatst, om zo de snaarlengte te veranderenen de klanktoon te beınvloeden. De snaren zijn bevestigd aan de klankkast via hetbrugzadel. In totaal zijn er 20 frets, enkele afstanden tussen de frets en het brugzadelworden in de volgende tabel gegeven.

fret afstand tot brugzadel (in cm)

1 242 25, 43 26, 94 28, 55 30, 2

Blijkbaar nemen de afstanden van frets tot brugzadel exponentieel toe.

(a) Bepaal met behulp van je grafisch rekenmachine de best passende exponentiele functie (afstand van fret totbrugzadel in functie van fret) waarvan de grafiek door deze punten gaat.

(b) Bepaal, uitgaande van de exponentiele functie in (a), de groeifactor.

(c) Bepaal de afstand van de laatste fret tot het brugzadel.

Aanwijzing bij (a).

∗ Invoeren van de gegevens in een lijst: STAT EDIT 1:Edit

75

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

∗ Plotten van de gegevens: 2ND STAT PLOT 1: Plot1 wijzigen, daarna GRAPH

∗ Berekenen van de exponentiele functie door de punten: STAT CALC 0: ExpReg

∗ Plotten van de exponentiele functie: Y= VARS 5:Statistics. . . EQ 2:a etc.

Oefening 15. Bij het inschenken van een glas bier ontstaat een schuimkraag. In deonderstaande tabel staat per 20 seconden de hoogte 1 van de schuimkraag.

tijd (in seconden) hoogte van de schuimkraag (in cm)

0 320 2, 5540 2, 1760 1, 8480 1, 56100 1, 33120 1, 13140 0, 96

(a) Bepaal met behulp van je grafisch rekenmachine de best passende exponentielefunctie (hoogte van de schuimkraag in functie van tijd) waarvan de grafiek door deze punten gaat.

(b) Bepaal, uitgaande van de exponentiele functie in (a), de groeifactor per 20 seconden.

(c) Bepaal de hoogte van de schuimkraag na 5 minuten.

1Volledigheidshalve dienen we op te merken dat de hoogte van de schuimkraag afhangt van heel wat parameters, zoals biersoort, kwaliteitvan het bier, zuiverheid van het glas en de leiding, etc.

76

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Hoofdstuk 5

Logaritmische functies

Students usually find the concept of logarithmsvery difficult to understand.

B.L. van der Waerden 1957

5.1 Inleiding en motivatie

Salvina Molesta overwoekertde Finniss rivier, Australie

• Op ontdekking 1. “Salvinia Molesta” is een snelgroeiende waterplant. Inoptimale omstandigheden verdubbelt de omvang van deze plantjes iedere week.Een visser ontdekt op een dag 1 dm2 van deze plantjes.

Noem f(x) de totale oppervlakte van de plantjes (in dm2) op x weken na deontdekking. We hebben

∗ Functievoorschrift f(x) = . . .


x −2 −1 0 1 2 3

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∗ Grafiek

1

2

3

4

5

6

7

8

1 2 3 4 5 6 7 8−1−2x

y

Los de volgende vragen op, indien mogelijk algebraısch.

(a) Na hoeveel weken bedraagt de totale oppervlakte van de waterplantjes 8 dm2?

(b) Na hoeveel weken bedraagt de totale oppervlakte van de waterplantjes 128 dm2?

(c) Na hoeveel weken bedraagt de totale omvang van de waterplantjes 5 dm2?

Oplossing.

77

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Opmerking. Vraag (c) kunnen we (voorlopig) niet algebraısch oplossen. Met behulp van het grafisch rekenma-chine vinden we de oplossingen door het snijpunt van f(x) = 2x met g(x) = 5 te zoeken.

Antwoord op vraag (c). Na ongeveer . . . weken en . . . dagen is de totale omvang van de waterplantjes 5 dm2

Besluit. We kunnen dit soort vragen altijd grafisch oplossen. Maar telkens de grafieken plotten, zinvolle venster-instellingen bepalen en snijpunt laten berekenen is tijdrovend. Daarom zoeken we naar een alternatieve manierom dit soort vragen op te lossen.

De functie f(x) = 2x is wel/niet inverteerbaar (schrappen wat niet past) want . . .

We zoeken de inverse functie van de functie f .

∗ Functievoorschrift f(x) = 2x ∗ Functievoorschrift: g(y) = ?

∗ Tabel van enkele functiewaarden ∗ Tabel van enkele functiewaarden

x −2 −1 0 1 2 3

f(x) = y 0, 25 0, 5 1 2 4 8

y

x = g(y)

∗ Grafiek ∗ Grafiek

1

2

3

4

5

6

7

−11 2 3 4 5 6 7−1

y

x

y = 2x

1

2

3

4

5

6

7

−11 2 3 4 5 6 7−1

x

y

∗ Uit de overgang van tabel f naar tabel g volgt

f(x) = y ⇔ x = g(y)

De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de logaritmische functie met grondtal 2 en we schrij-ven 1 g(y) = 2log y. Zo wordt bovenstaande formule

2x = y ⇔ x = 2log y x ∈ R, y ∈ R+0

In woorden: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1In de literatuur noteert men naast 2log y ook log2 y. Lees: “de 2-logaritme van y”.

78

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Voorbeelden. Bereken met behulp van bovenstaande formule.

(a) 2log 8 = . . . (e) 2log 1 = . . .

(b) 2log 32 = . . . (f) 2log 0 = . . .

(c) 2log 1024 = . . . (g) 2log(

14

)= . . .

(d) 2log 2 = . . . (h) 2log (−8) = . . .

• Logaritme berekenen met behulp van grafisch rekenmachine.

Het getal 2log 12 berekenen we met het grafisch rekenmachine als volgt 2

• Voorbeelden. Bereken met behulp van je rekenmachine

(a) 2log 8 = . . . (c) 2log 4096 = . . .

(b) 2log 0, 000001 = . . . (d) 2log (−3) = . . .

• Op ontdekking 1 (vervolg). “Salvinia Molesta” is een snelgroeiende waterplant. In optimale omstandighedenverdubbelt de omvang van deze plantjes iedere week. Een visser ontdekt op een dag 1 dm2 van deze waterplantjes.

(a) Bepaal algebraısch na hoeveel weken de totale omvang van de waterplantjes 5 dm2 bedraagt.

(b) Bepaal algebraısch na hoeveel weken de totale omvang van de waterplantjes 100 m2 bedraagt.

Oplossing.

2Deze werkwijze steunt op een formule die we in §5.3 zullen aantonen.

79

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Op ontdekking 2. Een gevaarlijke ziekte tast het waterplantje Salvinia Molesta aan. Elke week blijft er slechtsde helft over van de vorige week. Een biologisch instituut meet op een dag 1 km2 van deze plantjes.Noem f(x) de totale oppervlakte van de plantjes (in km2) op x weken na de meting door het instituut. Ook nuheeft de grafiek van f een inverse.

∗ Functievoorschrift f(x) = . . . ∗ Functievoorschrift: g(y) = ?


x −3 −2 −1 0 1 2

f(x) = y . . . . . . . . . . . . . . . . . .

y

x = g(y)


1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7−1

y

x

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7−1

1

2

3

4

5

6

−11 2 3 4 5 6 7−1

x

y


f(x) = y ⇔ x = g(y)

De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de logaritmische functie met grondtal12

en we

schrijven g(y) =12 log y. Zo wordt bovenstaande formule(

12

)x

= y ⇔ x =12 log y x ∈ R, y ∈ R+

0

• Voorbeelden. Bereken met behulp van bovenstaande formule.

(a)12 log

(116

)= . . . (c)

12 log (−1) = . . .

(b)12 log

(164

)= . . . (d)

12 log (16) = . . .

• Op ontdekking 2 (vervolg). Een gevaarlijke ziekte tast het waterplantje Salvinia Molesta aan. Elke weekblijft er de helft over van de vorige week. Een biologisch instituut meet op een dag 1 km2 van deze plantjes.

(a) Bepaal algebraısch na hoeveel weken de totale omvang van de waterplantjes 0, 1 km2 bedraagt.(b) Aangenomen dat de waterplant al een tijd is aangetast, bepaal algebraısch hoeveel weken voor de meting

de omvang van de plantjes 5 km2 was.

Oplossing.

80

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

5.2 Definitie logaritmische functie en eigenschappen

• Opbouw. Beschouw een exponentiele functie met grondtal a ∈ R+0 \ {1} en beginwaarde b = 1

f : R → Rx 7→ f(x) = ax

Uit de grafiek blijkt dat f een inverteerbare functie is, want . . .Noem g de inverse functie van f . Uit de overgang van tabel f naar tabel g volgt

f(x) = y ⇔ x = g(y)

We noemen de functie g de logaritmische functie met grondtal a en we schrijven g(y) = alog y. Zo wordt debovenstaande formule

• Eigenschap (Grondformule van logaritmen). Voor a ∈ R+0 \{1} is ax = y ⇔ x = alog y ∀x ∈ R,∀y ∈ R+

0

Samengevat komen we tot de volgende

• Definitie. Zij a ∈ R+0 \ {1}. De logaritmische functie met 3 grondtal a

g : R → Rx 7→ g(x) = alog x

is de inverse functie van de exponentiele functie met grondtal a

f : R → Rx 7→ f(x) = ax

• Opmerking. Elimineren we y (resp. x) uit de grondformule dan verkrijgen we de handige formules

x = alog ax resp. aalog y = y

• Eigenschap. Zij g(x) = alog x een logaritmische functie. Dan is de grafiek van g van de vorm

y = alog xy

xO

0 < a < 1

logaritmische daling

1

·a

+1

of

y

xO

y = alog x

a > 1

logaritmische stijging

1

·a

+1

en uit de grafiek van g lezen we de volgende eigenschappen af.

(a) dom g = . . . en bld g = . . .

(b) Nulwaarden: . . .

(c) De rechte . . . . . . is een verticale asymptoot aan de grafiek van g.

(d) Voor 0 < a < 1 is limx→

>0g(x) = . . . en voor a > 1 is lim

x→>

0g(x) = . . .

3Men gebruikt ook de term “basis” in plaats van “grondtal”. In de literatuur noteert men naast alog y ook loga y. Lees: “de a-logaritmevan y”.

81

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

5.3 Rekenregels voor logaritmen

Uit de tabel van enkele functiewaarden lezen we af dat een exponentiele functie y = ax een som omzet in een product(zie ook Hoofdstuk 4 Oefening 9). Dit betekent blijkbaar dat een logaritmische functie een product omzet in een som.

∗ Functievoorschrift f(x) = ax ∗ Functievoorschrift: g(y) = alog y


x −1 0 1 2 3

ax = y . . . . . . . . . . . . . . .

y

x = alog y

In deze paragraaf bewijzen we deze en soortgelijke rekenregels.

• Rekenregel 1 (Logaritme van een product).

alog(y1 · y2) = alog y1 + alog y2

Bewijs.

Voorbeeld. 4log 32 + 4log 2 = . . .

• Rekenregel 2 (Logaritme van een quotient).

alog(

y1

y2

)= alog y1 − alog y2

Bewijs.

Voorbeeld. 7log 63− 7log 9 = . . .

82

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Rekenregel 3 (Logaritme van een macht).

alog(yr) = r · alog y

Bewijs.

Voorbeeld. 5log 40− 3 5log 2 = . . .

Leonhard Euler(1707 - 1783)

• Rekenregel 4 (Verandering van grondtal) 4.

blog y =alog yalog b

Bewijs.

Voorbeeld. 4log 8 = . . .

Bijzonder geval. Uit Rekenregel 4 volgtblog a =

alog aalog b

=1

alog b

• Bijzondere logaritmen.

∗ De logaritme met grondtal 10 noemen we de Briggse 5logaritme, en noteren we korter door 10log x = log x

∗ De logaritme met grondtal e = 2, 7182818 . . . noemen we de natuurlijke logaritme (of Neperiaanse 6logaritme),en noteren we korter door elog x = ln x

• Toepassing. In §5.1 zagen we hoe je de bijvoorbeeld het getal 2log 12 kan berekenen met het grafisch reken-machine. Deze werkwijze berust op Rekenregel 4, omdat

2log 12 =10log 1210log 2

=log 12log 2

4Ook wel “Euler’s Golden Rule” genoemd. Het verband tussen logaritmen, de afstand van breedtecirkels in een kaartprojectie vanMercator, de exponentiele functie ex, de natuurlijke logaritme ln x en de integraal van 1

xis langzaam ontdekt, en wordt voor het eerst door

Euler in 1748 helder uiteengezet.5Henry Briggs 1617.6Genoemd naar John Napier 1614, alhoewel zijn opbouw van logaritmen geen verband houdt met het getal e.

83

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefeningen bij §5.1Oefening 1. Bereken algebraısch de volgende logaritmen. Controleer je resultaat met je grafisch rekenmachine.

(a) 5log 625 (c)23 log

(8116

)(b) 3log

(3 ·

√3)

(d) 125log(533)

Oefeningen bij §5.2Oefening 2. Schrijf de oplossing van 3x = 7 als een logaritme.

Oefening 3. Bepaal telkens het grondtal a.

(a) alog 9 = 2 (c) alog 5 =12

(b) alog 64 = 3 (d) alog 3 = −1

Oefening 4. Gegeven is de functief(x) = 3log (−x + 5)


(b) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y = 3log x om de functie y = f(x) te bekomen?


(d) Bepaal bld f en alle asymptoten aan de grafiek van f .

Oefening 5. Gegeven is de functief(x) = 0,5log (x + 3) + 2


(b) Welke transformaties moet je uitvoeren op de functie y = 0,5log x om de functie y = f(x) te bekomen?


(d) Bepaal bld f en alle asymptoten aan de grafiek van f .

Oefening 6. Schrijf 2 als een macht van 5.?Oefening 7. Bereken 5273.

Oefeningen bij §5.3Oefening 8. Bereken algebraısch de volgende logaritmen met behulp van de rekenregels. Tussenstappen opschrijven!

(a) 2log 12 + 2log(

13

)(e) 7log 63− 7log 9

(b) 2log(

18 6√

32

)(f) 2log

(52)

+ 2log 12− 2log 75

(c) 9log 27 (g) 5log 40− 3 5log 2

(d)log(10√

10)

log 0, 1(h) 0,04log 3

√5

Oefening 9. Gegeven zijn de afschattingen log 2 ≈ 0, 301 en log 3 ≈ 0, 477. Bereken algebraısch (bij benadering) devolgende logaritmen met behulp van de rekenregels en deze afschattingen. Tussenstappen opschrijven!

(a) log 1, 5 (d) log√

2(b) log 0, 16 (e) log 500

(c) log(

109

)(f) log

(13 +

13

)Oefening 10. Als gegeven is dat xlog a = 2, xlog b = 3, xlog c = 4 en xlog d = 5, bereken dan

xlog 3

√ab2

cd4

84

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 11. Bewijs de volgende logaritmische identiteiten (we veronderstellen dat alle uitdrukkingen bestaan).

(a) aln b = bln a

(b)1

alog c+

1blog c

=1

ablog c

(c) mnlog x =nlog x

1 + nlog m

(d) b2 log a · x2log b =

14

xlog a

(e) xylog a =xlog a · ylog a

xlog a + ylog a

(f) alog x · blog x + blog x · clog x + clog x · alog x =alog x · blog x · clog x

abclog x

Oefening 12. Gegeven is de functief(x) = 3log

(3x2)

Kunnen we y = f(x) bekomen door transformaties uit te voeren op de functie y = 3log x? Verklaar.

Oefening 13. De volgende grafieken stellen de grafiek van een functie van de vorm f(x) = alog x + b voor. Bepaaltelkens een mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken).

1

2

3

−1

−2

−3

1 2 3 4 5−1

y

xO

(a)

y = f(x)1

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5−1

y

xO

(b)

y = f(x)

Oefening 14. Bereken algebraısch met behulp van de rekenregels voor logaritmen. Tussenstappen opschrijven!

(a) e5 ln 3 (c) e3 ln 7 · ln 49√

e

(b) e−2 ln 5 · ln 5√

e2 (d) 72 · 7log 3 · 3log 3133

Oefening 15. Bewijs algebraısch de volgende uitdrukkingen.

(a)12

log 5 = log(√

6 + 2√

5 +√

6− 2√

5)− log

(√6 + 2

√5−

√6− 2

√5)

(b) log√

5 = log(√

9 + 3√

5 +√

9− 3√

5)− log

(√9 + 3

√5−

√9− 3

√5)

Oefening 16. Vereenvoudig ab

log abc

Oefening 17. Schrijf log

√5(x− 3)3

x + 2als een som van logaritmen.

Oefening 18. Schrijf12

(log 125 + 8 log 6− 3 log 121) als een logaritme.

Oefening 19. Bepaal x als je weet dat3√2log

√2 = x.

85

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Willard Frank Libby(1908 - 1980)

Oefening 20 (Koolstof 14-datering). Elk levend organisme (mens, plant, dier,. . . ) bevat een zekere hoeveelheid van de radioactieve stof koolstof-14, een isotoopvan koolstof die in onze atmosfeer uit stikstofkernen gevormd wordt door kernreactiesten gevolge van de kosmische straling waaraan de aarde voortdurend blootstaat. Nahet afsterven van het organisme neemt de hoeveelheid

14C exponentieel af, wegens

radioactief verval. Dit fenomeen wordt in de archeologie gebruikt 7om de ouderdomvan een vondst te bepalen. De methode is bruikbaar voor materialen tot circa 60.000jaar oud. De halfwaardetijd van

14C is 5736 jaar.

(a) In opgegraven beenderen meet men nog 70% van de oorspronkelijke hoeveelheid14C. Wat is de ouderdom van de beenderen? Los grafisch op (afronden tot op 1

jaar nauwkeurig).

(b) Men heeft met de14C de leeftijd van de lijkwade van Turijn (de zogenaamde

lijkwade van Christus) trachten te achterhalen. In 1988 trof men in het plant-aardig weefsel van het doek 92, 2% van de oorspronkelijke hoeveelheid

14C aan.

Hoe oud zou de lijkwade zijn volgens dit resultaat?

Oefening 21. Onderzoek heeft uitgewezen dat het risico op het hebben van een auto-ongeval exponentieel stijgt metde hoeveelheid alcohol in het bloed.

(a) Schrijf een functie op die het verband aangeeft tussen R (risico, uitgedrukt in een percentage) en b (hoeveelheidalcohol in het bloed, uitgedrukt in promille).

(b) Indien bij b = 0 (helemaal geen alcoholische dranken genuttigd) het risico R = 1 en bij b = 1, 4 het risico R = 20is, bereken dan het risico bij 0, 5 promille en bij 0, 8 promille.

Salmonella typhimurium

Oefening 22. Het aantal salmonellabacterien op een stuk vis dat niet koel bewaardwordt neemt exponentieel toe. Na 3 uur vindt men 2500 bacterien, na 8 uur zo’n7000.

(a) Bepaal de groeifactor en de procentuele toename per uur.

(b) Hoeveel bacterien bevinden zich op de vis na 20 uur?

?Oefening 23. Voor n ∈ N0 houdt log n verband met het aantal cijfers in de decimalevoorstelling van n, zo blijkt uit de onderstaande tabel (vul aan).

n log n aantal cijfers van n

1 . . . . . .

9 . . . . . .

10 . . . . . .

99 . . . . . .

100 . . . . . .

999 . . . . . .

1000 . . . . . .

(a) Geef het verband tussen log n en het aantal cijfers van n ∈ N0.

(b) Bepaal het aantal cijfers van het getal 1324 en 5273.

(c) Het grootste priemgetal tot op heden 8 bekend werd ontdekt op 4 september 2006 en is gelijk aan

232582657 − 1

Bepaal het aantal cijfers van dit getal.

7Ontwikkeld door Libby 1949.8Op het moment dat deze cursus geschreven werd (5 juli 2008). De Electronic Frontier Foundation looft 100000 dollar uit voor de

ontdekker van een priemgetal met tenminste 10 miljoen cijfers. Voor meer informatie omtrent priemgetallen verwijzen we naar de websitehttp://en.wikipedia.org/wiki/Prime−number

86

http://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_Frontier_Foundation

http://en.wikipedia.org/wiki/Prime_number

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Stockton StreetSan Francisco 1906

Oefening 24. De intensiteit van een aardbeving wordt weergegeven op de schaal vanRichter 9. Het verband tussen deze intensiteit M en de vrijgekomen energie E (injoules) wordt gegeven door log E = 4, 4 + 1, 5 M .

(a) Bepaal de energie E die vrijgekomen is na de aardbeving in San Francisco op18 april 1906 die een intensiteit had van 7, 8 op de schaal van Richter.

(b) Als de vrijgekomen energie van een eerste aardbeving 10 keer groter is dan diebij een tweede aardbeving, wat is dan het verband tussen de intensiteit van dezetwee aardbevingen?

(c) Onderstel dat de intensiteit van twee aardbevingen met 1 verschilt op de schaalvan Richter, wat is dan de verhouding van de vrijgekomen energie van de krach-tigere aardbeving ten opzichte van de minder krachtige aardbeving?

Aanwijzing bij (b) en (c). Noteer M1 resp. M2 voor de intensiteit en E1 resp. E2 voor de vrijgekomen energie bij deeerste resp. tweede aardbeving.

?Oefening 25. Gegeven is de functie f(x) = a · bcx met a, b, c ∈ R en a > 0, b > 0, b 6= 1 en c 6= 0. Toon aan dat ln feen eerstegraadsfunctie is in x.

?Oefening 26. Gegeven is de functie

f(x) =alog xblog x

waarbij a, b ∈ R+0 \ {1}


(b) Toon aan dat f(x) onafhankelijk is van x ∈ dom f .

(c) Maak een schets van de grafiek van f .

Oefening 27. Toon aan dat de uitdrukking√alog 27 + alog (275)− 3 · alog 0, 125

alog 3 + alog 6onafhankelijk is van a ∈ R+

0 \ {1}.Oefening 28 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1993 tweede ronde).Als log2 (log2 (log2 (x))) = 2, hoeveel cijfers bevat de decimale voorstelling van het getal x dan?

(A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 11 (E) 13

?Oefening 29 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 1990 tweede ronde). Als x, y > 0, logy x + logx y = 103 en

xy = 144, dan is x+y2 =

(A) 12√

2 (B) 13√

3 (C) 24 (D) 30 (E) 36

?Oefening 30 (Betekenis van de natuurlijke logaritme lnx.). De oppervlakte onder de grafiek van de functie

f(x) =1x

gedraagt 10 zich als een logaritme, zo blijkt uit de volgende stappen.

Voor t ≥ 1 noemen we A(t) de oppervlakte tussen de grafiek van f , de x-as en de rechten x = 1 en x = t.

(a) Schets de grafiek van f(x) =1x

en duid A(2) aan.

(b) Voer op de functie f(x) =1x

de volgende transformaties uit:

• rek uit volgens x-as met factor 13

• rek uit volgens y-as met factor 3

en schets bij elke transformatie de grafiek van de nieuwe functie, alsook de getransformeerde oppervlakte uit (a).

(c) Leid uit (b) af datA(2 · 3) = A(2) + A(3)

waaruit blijkt dat de oppervlaktefunctie A : R → R : t 7→ A(t) zich gedraagt zoals een logaritmische functiealog t.

Opmerking. Men kan aantonen dat het grondtal a van de logaritmische functie uit (c) gelijk is aan e = 2, 7182818 . . ..Dit betekent dat de oppervlakte onder de hyperbool zich gedraagt zoals de natuurlijke logaritme lnx. Vandaar debenaming “natuurlijke” logaritme.

9Charles Francis Richter en Beno Gutenberg, 1935.10Ontdekt door Gregoire de Saint-Vincent 1647.

87

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Hoofdstuk 6

Exponentiele en logaritmischevergelijkingen en ongelijkheden

6.1 Modelvoorbeelden

• Modelvoorbeeld 1 (Exponentiele vergelijking). Bepaal algebraısch alle x-waarden die voldoen aan

3x+1 − 2 = 9x

Controleer met behulp van je grafisch rekenmachine.

Oplossing.

• Modelvoorbeeld 2 (Exponentiele vergelijking). Bepaal algebraısch alle x-waarden die voldoen aan

3x−1 =(

14

)3x+1


Oplossing.

88

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Modelvoorbeeld 3 (Logaritmische vergelijking). Bepaal algebraısch alle x-waarden die voldoen aan

3log (x + 2) + 1 +13 log (x2 + 4x) = 0


Oplossing.

Controle met behulp van het grafisch rekenmachine.

Oefeningen

Oefening 1. Los algebraısch de volgende exponentiele en logaritmische vergelijkingen op.

(a) 34x+1 = 9√

3 (g) 81 · 3√

x − 3x−2 = 0

(b)1

52x= 1252−x (h) 3x + 3x−1 + 3x−2 + 3x−3 + 3x−4 = 121

(c)2x + 3

2x+1 − 15= 11 (i) 4log x · xlog 7 = 3 · 2log x + 8log x3

(d) 5x4−2x2+1 = 3x4−2x2+1 (j) x+1log 8 = log(500x + 500)

(e) 8x+1 + 8 · 4x = 5 · 2x−1 (k) 2log (x + 2) + 2log18

=12 log (7− x)

(f) 25 · (125)−x = (0, 04)x− 12 (l) 0,5log

(0,5log x

)=0,5 log

(2− 1

3· 0,5log x

)+ 1

+0,5log 2

89

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 2. Los op met behulp van je grafisch rekenmachine.

(a)(32)x

= 3(2x) (c) xx = 0, 8

(b)12 log (x + 3) + 2 ≥ 3log (−x + 5) (d) 2x − 5 < 3 ·

(12

)x−2

− 1

Oefening 3. Los algebraısch de volgende exponentiele en logaritmische ongelijkheden op.

(a) −(

13

)2x−1

< −1 (e)13 log (x− 2) ≥ −2

(b) 4x−1x+4 ≤ 1

256(f) 3log (x2 − 3) > 0

(c) 23x−x2>

(18

)1−x

(g) xlog 2 > 8

(d) 9−x <2 + 3x+1

3x(h)

13 log (4x) <

13 log (x− 1)− 2

Oefening 4. Luchtschepen kunnen gebruikt worden om reclame te maken. Het gaswaarmee een luchtschip gevuld is moet regelmatig aangevuld worden. Stel het verbandtussen de hoeveelheid gas in een luchtschip en de tijd in dagen wordt gegeven door

f(t) = 3000 · (0, 98)0,1 x

(a) Bepaal de procentuele afname per tien dagen.

(b) Om te kunnen vliegen moet er minimaal 2400 m3 gas aanwezig zijn. Bepaalalgebraısch na hoeveel dagen het gas aangevuld moet worden.

Oefening 5. Een kopje koffie heeft onmiddellijk na het inschenken een temperatuur van 80◦ C. De temperatuur T(in graden Celsius) in functie van de tijd t (in minuten) van de koffie kan berekend worden met de functie

T (t) = 20 + 60 · (0, 881)t

(a) Ga algebraısch na dat de begintemperatuur inderdaad 80◦ C is.

(b) Bereken de temperatuur van de koffie na 10 minuten.

(c) Eva vindt koffie lekker als de temperatuur tussen 45◦ C en 55◦ C is. Bepaal algebraısch hoeveel seconden Eva dekoffie lekker vindt.

(d) Bepaal de kamertemperatuur.?Oefening 6. Een fout bij het aanmaken van brandstof voor de nucleaire opwerkingsfabriek in Tokai-Mura heeft op 30september 1999 het ergste nucleaire ongeval ooit veroorzaakt op Japanse bodem. Bij deze kernramp is een hoeveelheidvan het radioactief isotoop jodium 131 vrijgekomen. In een straal van 2 kilometer rondom de centrale werd tien keerde normale radioactieve waarde gemeten. De autoriteiten evacueerden 130 mensen uit de buurt. Hoeveel dagen moetmen die mensen uit de buurt verwijderd houden, als je weet dat jodium 131 per 4 dagen 30% van zijn waarde verliest?

Oefening 7 (Toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).Los de volgende vergelijking op

10log (7x− 9)2 + 2 · 10log (3x− 4) = 2?Oefening 8 (Toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).Los het volgend stelsel op {

10log x + 3 · 1000log y = 2

y2 − 300 = 4x2

?Oefening 9 (Toelatingsexamen Burgerluchtvaartschool).Los de volgende logaritmische vergelijking op(

5log x)2

+ 55log 30− 5log 3 = 5log

(x6)

+ 26

?Oefening 10 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2002 tweede ronde).Voor hoeveel gehele getallen is

log(

x(10− x)16

)< 0

(A) 1 (B) 2 (C) 5 (D) 9 (E) oneindig veel

90

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Hoofdstuk 7

Goniometrische en cyclometrischefuncties

Mathematics compares the most diverse phenomenaand discovers the secret analogies that unite them.

Joseph Fourier (1768-1830)

7.1 Periodieke functies

In de natuur komen veel verschijnselen voor die zich op geregelde tijdstippen herhalen volgens een vast patroon. Wenoemen ze periodieke verschijnselen. Ze kunnen vaak beschreven worden door een functie.

• Voorbeeld 1. De hartslag van een mens in rust is een periodiek verschijnsel,ruwweg tussen 60 en 100 slagen per minuut (30-40 voor sporters in topconditie,en 80 of meer voor mensen die weinig of niet aan sport doen, 70 is een gemiddeldewaarde). Theoretisch gezien blijft het basispatroon zich voortdurend herhalen.

• Voorbeeld 2. De waterstand aan de kaai van Oostende is een periodiek ver-schijnsel. Elke 12 uur bereikt de waterstand een piek en een dal. De volgendegrafiek geeft de waterstand op dinsdag 22 januari 2008.

Theoretisch gezien blijft herhaalt deze golf zichzelf voortdurend.

• Voorbeeld 3. De propeller van een vliegtuig maakt 1 omwenteling per seconde, in tegenwijzerzin. Teken dehoogte van het vast punt P op de propeller in functie van de tijd t. In de afbeelding van de propeller is t = 0, 125.

0.5 1.0 1.5 2.0t

h

P

91

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Defintie. Een periodieke functie is een functie y = f(x) waarbij er een strikt positief reeel getal p bestaatwaarvoor 1

∀x ∈ dom f : f(x− p) = f(x) = f(x + p)

Indien er een kleinste strikt positief reeel getal p bestaat met die eigenschap dan noemen we p de periode van f .

• Voorbeeld. Welke grafiek is de grafiek van een periodieke functie? Bepaal indien mogelijk ook de periode.

(a)

1

2

−1

−2

1 2 3 4 5 6−1

y

x

(d)

1

2

−1

−2

1 2 3−1

y

x

(b)

1

−1

y

xπ

2

(e)

1

−1

1 2 3−1

y

x

(c)

1

−1

1 2 3 4 5 6−1

y

x

(f)

1

−1

1 2 3−1

y

x

1Merk op: de schrijfwijze “f(x− p) = f(x)” impliceert dat f(x− p) bestaat en gelijk is aan f(x). In het bijzonder is dus x− p ∈ dom f .Analoog voor f(x + p).

92

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

7.2 Goniometrische functies

Elementaire goniometrische functies

• De sinusfunctie.

∗ Functievoorschrift f : R → R

x 7→ f(x)def= sinx met sinx

def= sin(x rad)


x 0 π6

π4

π3

π2 π 3π

2 2π

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∗ Grafiek

1

−1

y

x−

π

2

π

2

π 3π

22π 5π

2

∗ Eigenschappen van de functie f(x) = sin x

1. Domein.

2. Beeld.

3. Periodieke functie met periode . . .Inderdaad,

4. De functie f is even/oneven/noch even, noch oneven functie (schrappen wat niet past).Inderdaad,

5. Nulwaarden.

6. Tekentabel.

7. Gedrag op oneindig. limx→+∞

sinx = . . . limx→−∞

sinx = . . .

want

93

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• De cosinusfunctie.


x 7→ f(x)def= cos x met cos x

def= cos(x rad)


x 0 π6

π4

π3

π2 π 3π

2 2π

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∗ Grafiek

1

−1

y

x−

π

2

π

2

π 3π

22π 5π

2

∗ Eigenschappen van de functie f(x) = cos x

1. Domein.

2. Beeld.



5. Nulwaarden.

6. Tekentabel.


cos x = . . . limx→−∞

cos x = . . .

want

94

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• De tangensfunctie.


x 7→ f(x)def= tanx met tan x

def= tan(x rad)

∗ Tabel van enkele functiewaardenx −π

2 −π3 −π

4 −π6 0 π

6π4

π3

π2

f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∗ Grafiek

1

2

3

−1

−2

−3

y

x−

π

2

π

2

π 3π

22π 5π

2

∗ Eigenschappen van de functie f(x) = tanx

1. Domein.

2. Beeld.



5. Nulwaarden.

6. Tekentabel.


tanx = . . . limx→−∞

tanx = . . .

want

8. Verticale asymptoten.

95

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Goniometrische functies plotten met behulp van grafisch rekenmachine.

∗ Instellen op radialen: MODE RADIAN

∗ De sinusfunctie invoeren. Stel de schaal op de x-as in opπ

2, via 2ND WINDOW

∗ Analoog plot je cosinusfunctie en de tangensfunctie.

∗ De cotangensfunctie plot je met de formule cot x =1

tanx. Analoog voor secans- en cosecansfunctie.

∗ Je kan ook functies tegelijk plotten. Je kan de grafieken onderscheiden door je cursor op \Y2 te plaatsen

en te wijzigen met ENTER

96

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

De algemene sinusfunctie

• Op ontdekking. Voer de transformaties uit op de sinusfunctie, en maak telkens een schets van de bekomengrafiek.

1

−1

y

xπ

2

π 3π

22π

y = sin x

y = sin x

rek uit volgens y-as met factor 2:

vervang . . . door . . .

y = . . .

1

−1

y

xπ

2

π 3π

22π

rek uit volgens x-as met factor 1

3:


y = . . .

1

−1

y

xπ

2

π 3π

22π

verschuif volgens x-as met π

2naar rechts:


y = . . .

1

−1

y

xπ

2

π 3π

22π

verschuif volgens y-as met 1 naar boven:


y = . . .

1

−1

y

xπ

2

π 3π

22π

97

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Algemeen. We kunnen de volgende transformaties uitvoeren op de sinusfunctie

y = sin x

rek uit volgens y-as met factor a:


y = . . .

rek uit volgens x-as met factor 1

b:


y = . . .

verschuif volgens x-as met c naar rechts:


y = . . .

verschuif volgens y-as met d naar boven:


y = . . .

• Definitie. Een algemene sinusfunctie is een functie y = f(x) waarbij

f(x) = a sin (b(x− c)) + d met a, b, c, d ∈ R en a, b > 0

De grafiek van een algemene sinusfunctie is van de gedaante (duid de betekenis van a, b, c, d aan)

O

y

x

y = f(x)

. . .

. . .

. . .

. . .

Uit het bovenstaande leiden we af dat de periode van f(x) gelijk is aan p =2π

bVerder noemen we

∗ a de amplitude,

∗ c het faseverschil,

∗ de rechte y = d de evenwichtsas (of evenwichtslijn).

98

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Modelvoorbeeld. De volgende grafiek stelt de grafiek voor van een algemene sinusfunctie y = f(x). Bepaaleen mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken). Controleer je antwoord met je grafisch reken-machine.

1

2

3

4

5

6

−1

−2

1 2 3 4 5 6 7−1

y

x

y = f(x)

Oplossing.


• Opmerking. Een andere mogelijkheid voor het startpunt is bijvoorbeeld . . .

In dat geval wordt het functievoorschrift . . .

99

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

7.3 Bewerkingen met periodieke functies

• Voorbeeld 1. Gegeven zijn de functies

f(x) = 2 sin(

12

x + 1)

en g(x) = 3 sin(

13

x + 2)

Is f + g een periodieke functie? Indien ja, bepaal de periode van f + g. Controleer met je grafisch rekenmachine.Oplossing.

• Voorbeeld 2. Gegeven zijn de functies

f(x) = cos(√

2 x)

en g(x) = cos x

Is f + g een periodieke functie? Indien ja, bepaal de periode van f + g. Controleer met je grafisch rekenmachine.Oplossing.

100

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Stelling. Zij 2 f een periodieke functie met periode p en g een periodieke functie met periode q. Dan is

f + g is een periodieke functie ⇔ p

q∈ Q

In dat geval vinden we de periode van f + g als volgt:

Stap 1. schrijf pq = m

n met m,n ∈ N0 zodat mn een onvereenvoudigbare breuk is.

Stap 2. Dan heeft f + g periode np = mq.

Bewijs. Het bewijs valt buiten het bestek van de cursus.

• Modelvoorbeeld. Ga algebraısch na of de volgende functies periodiek zijn. Indien periodiek, bepaal de periode.

(a) f(x) = tan(

2x

3

)+ 2 sin(3x + 1)

(b) f(x) = sin x + cos(2πx)

Oplossing.

2. . . en f is begrensd en er bestaat een interval waarover f continu is. Ook deze voorwaarden kunnen nog afgezwakt worden. Voor meerinformatie verwijzen we naar het artikel “On the Sum of Two Periodic Functions”, John M. H. Olmsted, Carl G. Townsend, The Two-YearCollege Mathematics Journal, Vol. 3, No. 1 (Spring, 1972), pp. 33-38.

101

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

7.4 Cyclometrische functies

De boogsinusfunctie

• Op ontdekking. Beschouw de sinusfunctie f(x) = sin x.

1

−1

y

x−

π

2

π

2

π 3π

22π 5π

2

y = sin x

De sinusfunctie is wel/niet inverteerbaar (schrappen wat niet past) want . . .

Daarom beperken we de sinusfunctie. Bij afspraak kiezen we op de x-as het interval[−π

2 , π2

].

We noemen dit de beperkte sinusfunctie en noteren f(x) = Sin x. We zoeken de inverse functie van de beperktesinusfunctie.

∗ Functievoorschrift f(x) = Sin x ∗ Functievoorschrift: g(y) = ?


x −π2 −π

4 0 π4

π2

f(x) = y /// ///

y

x = g(y)


1

−1

y

x−

π

2

π

2

y = Sinx

1−1y

x

−

π

2

π

2


f(x) = y ⇔ x = g(y)

De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de boogsinusfunctie (of de arcsinusfunctie) en weschrijven 3

g(y) = Arcsin y

Zo wordt bovenstaande formule

sinx = y ⇔ x = Arcsin y x ∈[−π

2,π

2

], y ∈ [−1, 1]

∗ Elimineren van x respectievelijk y levert

sin(Arcsin y) = y voor alle y ∈ [−1, 1] en Arcsin(sinx) = x voor alle x ∈[−π

2,π

2

]3In de literatuur noteert men naast Arcsin x ook Bgsin x. Lees: “de arcsinus van y” of “de boogsinus van y”.

102

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

• Voorbeelden. Bepaal zonder grafisch rekenmachine (exacte waarde noteren).

(a) Arcsin(

12

)= . . .

(b) Arcsin(−1) = . . .

(c) Arcsin

(√3

2

)= . . .

• Boogsinusfunctie plotten met behulp van grafisch rekenmachine.

Opmerking. Ongelukkig genoeg wordt de notatie voor Arcsin x in het grafisch rekenmachine gegeven door“sin−1(x)”. Toch is duidelijk

Arcsinx 6= (sinx)−1 =1

sinx

• Voorbeelden (vervolg). Bepaal met behulp van je grafisch rekenmachine.

(d) Arcsin(−0, 275) = . . .

(e) Arcsin(1, 3) = . . .

• Meetkundige betekenis van de boogsinus.

Uit de formule sin(Arcsin y) = y voor alle y ∈ [−1, 1] volgt

de boogsinus van een getal y is de hoekwaarde x ∈[−π

2,π

2

]︸︷︷︸

lengte van de boog!

waarvan de sinus van die hoek gelijk is aan y

y

xO

1

x

y

x = Arcsin y

C(O, 1)

103

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

De boogcosinusfunctie

• Op ontdekking. Beschouw de cosinusfunctie f(x) = cos x.

1

−1

y

x−

π

2

π

2

π 3π

22π 5π

2

y = cosx

De cosinusfunctie is wel/niet inverteerbaar (schrappen wat niet past) want . . .

Daarom beperken we de cosinusfunctie. Bij afspraak kiezen we op de x-as het interval [0, π].

We noemen dit de beperkte cosinusfunctie en noteren f(x) = Cos x. We zoeken de inverse functie van de be-perkte cosinusfunctie.

∗ Functievoorschrift f(x) = Cos x ∗ Functievoorschrift: g(y) = ?


x 0 π4

π2

3π4 π

f(x) = y /// ///

y

x = g(y)


1

−1

y

xππ

2

y = Cosx

1−1y

x

π

π

2


f(x) = y ⇔ x = g(y)

De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de boogcosinusfunctie (of de arccosinusfunctie) enwe schrijven 4

g(y) = Arccos y

Zo wordt bovenstaande formule

cos x = y ⇔ x = Arccos y x ∈ [0, π] , y ∈ [−1, 1]


cos(Arccos y) = y voor alle y ∈ [−1, 1] en Arccos(cos x) = x voor alle x ∈ [0, π]

4In de literatuur noteert men naast Arccos x ook Bgcos x. Lees: “de arccosinus van y” of “de boogcosinus van y”.

104

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be


(a) Arccos(

12

)= . . .

(b) Arccos(−1) = . . .

(c) Arccos

(√3

2

)= . . .

• Boogcosinusfunctie plotten met behulp van grafisch rekenmachine.

Opmerking. Ook nu is

Arccos x 6= (cos x)−1 =1

cos x


(d) Arccos(−0, 275) = . . .

(e) Arccos(1, 3) = . . .

• Meetkundige betekenis van de boogcosinus.

Uit de formule cos(Arccos y) = y voor alle y ∈ [−1, 1] volgt

de boogcosinus van een getal y is de hoekwaarde x ∈ [0, π]︸︷︷︸lengte van de boog!

waarvan de cosinus van die hoek gelijk is aan y

y

xO

1

x

y

x = Arccos yC(O, 1)

105

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

De boogtangensfunctie

• Op ontdekking. Beschouw de tangensfunctie f(x) = tanx.

1

2

3

−1

−2

−3

y

x−

π

2

π

2

π 3π

22π 5π

2

y = tanx

De tangensfunctie is wel/niet inverteerbaar (schrappen wat niet past) want . . .Daarom beperken we de tangensfunctie. Bij afspraak kiezen we op de x-as het interval

]−π

2 , π2

[.

We noemen dit de beperkte tangensfunctie en noteren f(x) = Tanx. We zoeken de inverse functie van de be-perkte tangensfunctie.

∗ Functievoorschrift f(x) = Tanx ∗ Functievoorschrift: g(y) = ?∗ Tabel van enkele functiewaarden ∗ Tabel van enkele functiewaarden

x −π2 −π

4 0 π4

π2

f(x) = y /// ///

y

x = g(y)


1

2

3

−1

−2

−3

y

x−

π

2

π

2

y = Tan x

1 2 3−1−2−3y

x

−

π

2

π

2

∗ De functie g(y) is een nieuwe functie. We noemen die de boogtangensfunctie (of de arctangensfunctie) enwe schrijven 5 g(y) = Arctan y. Zo volgt uit bovenstaande tabel

tanx = y ⇔ x = Arctan y x ∈]−π

2,π

2

[, y ∈ [−1, 1]


tan(Arctan y) = y voor alle y ∈ [−1, 1] en Arctan(tanx) = x voor alle x ∈]−π

2,π

2

[5In de literatuur noteert men naast Arctan x ook Bgtan x. Lees: “de arctangens van y” of “de boogtangens van y”.

106

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be


(a) Arctan (−1) = . . .

(b) Arctan(√

3) = . . .

• Boogtangensfunctie plotten met behulp van grafisch rekenmachine.

Opmerking. Ook nu is

Arctanx 6= (tanx)−1 =1

tanx


(c) Arctan(−12) = . . .

(d) Arctan(0, 12) = . . .

• Meetkundige betekenis van de boogtangens.

Uit de formule tan(Arctan y) = y voor alle y ∈ [−1, 1] volgt

de boogtangens van een getal y is de hoekwaarde x ∈]−π

2,π

2

[︸︷︷︸

lengte van de boog!

waarvan de tangens gelijk is aan y

y

xO 1

y

arctan y

x

C(O, 1)

107

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

7.5 Cyclometrische vergelijkingen

• Modelvoorbeeld 1. Bepaal de oplossingsverzameling van de cyclometrische vergelijking

Arccos(1− 2x) =π

6


Oplossing.


Arctan(−x)−Arctanx = Arctan(−1

2

)Controleer met behulp van je grafisch rekenmachine.

Oplossing.

108

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be


Arctan(

x

x− 1

)+ Arctan

(x

x + 1

)+ Arctan 16 = 0


Oplossing.


109

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefeningen bij §7.1Oefening 1. Omschrijf drie periodieke verschijnselen uit het dagelijks gegeven die niet in de cursus vermeld worden.

Oefening 2. Een fietswiel rolt voorbij. Welke baan beschrijft het fietsventiel?

Oefening 3. Waar of vals? Indien vals, geef een tegenvoorbeeld.

(a) Elke periodieke functie heeft een periode.

(b) Geen enkele veeltermfunctie is periodiek.

(c) Geen enkele rationale functie is periodiek.

(d) Geen enkele irrationale functie is periodiek.

(e) Geen enkele exponentiele functie is periodiek.

(f) Geen enkele logaritmische functie is periodiek.

Oefening 4. Schets een periodieke functie met periode 3.

Oefeningen bij §7.2Oefening 5. Welke transformaties moet je uitvoeren op de sinusfunctie om de volgende functies te bekomen? Weesvolledig.

(a) f(x) = 3 sin (2x− 5)− 8(b) f(x) = cos x

Oefening 6. Geef telkens de amplitude, periode, faseverschil, verticale verschuiving, nulpunten en evenwichtsas.

(a) y = 3 sin( x

2π

)(c) y = sin

(10π

(x +

12

))+ 3

(b) f(x) =23

sin(

23

(x− π

4

))− 11 (d) y = −2 sin(2− 3x) + 1

Oefening 7. Bepaal een voorschrift van een algemene sinusfunctie met periode8π

5, amplitude 1, 75; evenwichtslijn

y = −2, 23 en faseverschil3π

5.

Oefening 8. De volgende grafieken stellen de grafiek van een algemene sinusfunctie y = f(x) voor. Bepaal telkenseen mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken).

1

2

3

4

5

6

−1

−2

y

x−

π

2

π

2

π

y = f(x)

(a)

1

2

3

4

5

6

−1

−2

y

x−

π

2

π

2

π

y = f(x)

(b)

110

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 9. De volgende grafieken stellen de grafiek van een algemene sinusfunctie y = f(x) voor. Bepaal telkenseen mogelijk functievoorschrift (enkel roosterpunten gebruiken).

1

2

−1

−2

1 2 3−1−2

y

x

y = f(x)

(a)

1

2

−1

−2

y

x−

π

2

π

2

π

y = f(x)

(b)

Oefening 10. Van een fietser merkt men in het donker enkel de zijwaardse reflectorenvan de pedalen op. Voor het linkerpedaal wordt de beweging beschreven door

h(t) = 11 sin (πt) + 38

met h de hoogte (in cm) en t de tijd (in seconden).

(a) Bepaal een voorschrift van de functie die de beweging van het rechterpedaalbeschrijft.

(b) Bij elke omwenteling legt de fietser 10m af. Hoe snel rijdt de fietser? Zet omin kilometer per uur.

Oefening 11. Herleid de volgende functies tot een algemene sinusfunctie. Bepaal op deze manier de amplitude,periode, faseverschil en evenwichtsas.

(a) y = sinx + cos x (d) y = sin(2x) +√

33

cos(2x)

(b) y = −3 cos(5x) (e) y = 5 cos(3x) + 12 sin(3x) + 1(c) y = −2 sin(6− 2x) + 3 (f) y = sin(2− x)

Oefening 12. Een draaimolen op de kermis maakt horizontale en verticale bewegingen. De hoogte (in meter) van devloer van de attractie in functie van de tijd t (in seconden) is

h(t) = 1, 8 sin(

π

3(t− 3)

)+ 2, 3

(a) Hoe hoog bevindt de vloer zich bij de start?

(b) Plot de grafiek van h(t) met behulp van je grafisch rekenmachine. Noteer de vensterinstellingen waarvoor degrafiek duidelijk op je grafisch rekenmachine verschijnt, en neem een schets over op je blad.

(c) Een toeschouwer laat zijn tas (met hoogte 20 cm) vallen. Dreigt de tas verpletterd te worden? Los algebraıschop.

(d) Hoe lang bevindt de vloer zich hoger dan 3 m per draaibeweging? Los op met behulp van je grafisch rekenmachine.

Oefening 13. Het tijverschil (verschil tussen hoogste en laagste waterstand) aan de Belgische kust bedraagt 3, 90meter. De getijdenbeweging te Oostende wordt benaderd door h(t) = 1, 95 sin(0, 52 t) met h de hoogte (in meter) tenopzichte van de gemiddelde waterstand en t de tijd (in uur).

(a) Wat is de minimale en maximale waterhoogte ten opzichte van de gemiddelde waterstand?

(b) Bepaal algebraısch hoeveel uur er verstrijkt er tussen twee ebstanden?

111

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 14. De tijd die verloopt tussen zonsopgang en zonsondergang noemt men daglengte. Voor de daglengte in2007 hebben we 6

datum dag van het jaar daglengte

10 juli 191 16u2910 augustus 222 15u0110 september 253 13u0210 oktober 283 11u0210 november 314 9u0510 december 344 7u50

(a) Bepaal met behulp van je grafisch rekenmachine de best passende algemene sinusfunctie (daglengte in functievan de tijd) waarvan de grafiek door deze punten gaat.

(b) Bepaal, uitgaande van de algemene sinusfunctie in (a), de periode.

(c) Valt resultaat (b) binnen de verwachtingen? Waarom (niet)?

Aanwijzing bij (a).

∗ Invoeren van de gegevens in een lijst: STAT EDIT 1:Edit

∗ Plotten van de gegevens: 2ND STAT PLOT 1:Plot1 wijzigen, daarna GRAPH

∗ Berekenen van de algemene sinusfunctie door de punten: STAT CALC C:SinReg

∗ Plotten van de algemene sinusfunctie: Y= VARS 5:Statistics. . . EQ 2:a etc.

6Te Uithoorn (Nederland), gegevens beschikbaar op http://www.weerstationuithoorn.nl/Weer/Daglengte.htm

112

http://www.weerstationuithoorn.nl/Weer/Daglengte.htm

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 15. Een volwassene ademt gemiddeld 12 keer per minuut. De luchtstroomsnelheid L (in liter per seconde)is positief bij het inademen, negatief bij het uitademen. De luchtstroomsnelheid in functie van de tijd t (in seconden)wordt gegeven door de volgende grafiek.

1

−1

1 2 3 4 5 6−1−2

y

t

y = L(t)

Bij een grote inspanning wordt de periode van de ademhaling gedeeld door drie en wordt de luchtstroom vier keer zogroot. Geef een functievoorschrift van beide functies. Controleer met je grafisch rekenmachine. Enkel roosterpuntengebruiken!

Oefeningen bij §7.3Oefening 16. Ga na of de volgende functies periodiek zijn. Zoja, bepaal indien mogelijk de periode.

(a) y = sin(

5πx

2

)+ cos (2πx) (d) y = sinx · cos x

(b) y = sinx + cos(2x) + tan(3x) (e) y = −12

tan(

πx− 15

)(c) y = 3 sin(12x− 5)− 2 tan(18x− 7) (f) y = −8 cot

(√5 x +

76

)?Oefening 17. In §7.1 hebben we reeds opgemerkt dat er periodieke functies bestaan zonder periode, bijvoorbeeld eenconstante functie. Er bestaan 7 echter ook niet-constante periodieke functies zonder periode.Beschouw bijvoorbeeld de Dirichlet functie 8

f : R → R

x 7→ f(x) ={

1 als x ∈ Q0 als x 6∈ Q

Toon aan dat voor elke q ∈ Q geldt∀x ∈ R : f(x− q) = f(x) = f(x + q)

Hieruit volgt dat f een periodieke functie zonder periode is (waarom?).

Oefeningen bij §7.4Oefening 18. Vereenvoudig algebraısch (tussenstappen opschrijven en exacte waarde noteren).

Arcsin(−√

32

)+ Arctan

(√3

3

)Arctan(−

√3)−Arccos 0

Oefening 19. Bepaal zonder grafisch rekenmachine.

(a) Arccos

(−√

32

)(d) sin

(2 Arctan

(12

))(b) tan

(Arccos

(−1

2

))(e) cos

(2 Arcsin

(35

))(c) sin

(Arctan

(√3

3

))(f) Arccos (sin(Arctan(−1)))

7Het is wel zo dat de enige continue periodieke functies zonder periode de constante functies zijn.8Dirichlet 1829. Het is een voorbeeld van een functie die nergens continu is, zie Deel Calculus.

113

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 20. Bepaal het domein van de volgende functies.

(a) f(x) = Arccos(x2 − 3)

(b) f(x) = Arcsin(

1x

)(c) f(x) = Arctan(x3 + 1)

Oefening 21. Bewijs∀y ∈ [−1, 1] : Arcsin y + Arccos y =

π

2Aanwijzing. Gebruik de meetkundige betekenis van boogsinus en boogcosinus.

Oefening 22. BewijsArctan 1 + Arctan 2 + Arctan 3 = π

Aanwijzing. Maak gebruik van onderstaande figuur.

A

B C D

E

Oefening 23. Bewijs de volgende eigenschappen

Arcsinx Arccos x Arctanx

sin x√

1− x2 x√1+x2

cos√

1− x2 x 1√1+x2

tan x√1−x2

√1−x2

x x

Oefening 24. Bereken zonder grafisch rekenmachine.

(a) cos(

Arctan(

34

)+ Arcsin

(45

))(d) sin

(Arccos

(2853

)+ Arctan

(5633

))(b) sin

(Arctan

(512

)+ Arcsin

(1213

))(e) sin

(−Arccos

(8089

))+ cos

(−Arcsin

(8089

))(c) tan

(Arcsin

(817

)−Arctan

(815

))(f) tan

(Arcsin

(1√5

)−Arctan(−3)

)

Oefeningen bij §7.5Oefening 25. Bepaal algebraısch de oplossingsverzameling van de volgende cyclometrische vergelijkingen. Controleerje oplossingen nadien met je grafisch rekenmachine.

(a) Arctanx = Arccos(

12

)+ 2 Arctan

(13

)(d) Arcsinx + Arcsin

(35

)=

π

2

(b) Arcsinx + Arcsin(

817

)=

π

6(e) Arctan

(x + 1x + 2

)−Arctan

(x− 1x− 2

)= Arccos

3√

1313

(c) Arctanx + Arctan(x

2

)=

π

4(f) Arccos

(√2− x

)+ Arcsin

(2x√

7)

=π

2

114

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 26 (Toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Universiteit Gent 1985).Los de volgende vergelijking op in R

Arcsin(x

2

)−Arcsin (2x) =

π

6Oefening 27 (Toelatingsexamen burgerlijk ingenieur Katholieke Universiteit Leuven).Bereken x uit de vergelijking

4 Arctan(

15

)−Arctan

(1

239

)= Arctan x

?Oefening 28. De beperkte cotangensfunctie f(x) = Cot x is de functie die men bekomt door de cotangensfunctie tebeperken tot het interval [0, π]. De boogcotangensfunctie (of arccotangensfunctie) is dan de inverse functie van debeperkte cotangensfunctie. Je gaat eenvoudig na dat

cot x = y ⇔ x = Arccot y x ∈]0, π[, y ∈ R

(a) Bewijs dat

∀y ∈ R : Arccot y = Arccos

(y√

1 + y2

)Op deze manier kun je toch de boogcotangensfunctie plotten met behulp van je grafisch rekenmachine

Opmerking. Alhoewel cot y =1

tan yis

Arccot x 6= 1Arctan y

(b) Bewijs dat∀y ∈ R : Arctan y + Arccot y =

π

2

Oefening 29. Bewijs voor elke x ∈ R+0

Arctan(

1x

)= Arctan

(1

1 + x

)+ Arctan

(1

1 + x + x2

)?Oefening 30. In een Amerikaanse staat snijden de wegen Highway 20 en Highway 32 elkaar loodrecht. In het land-schap ligt een boerderij, op 256 voet van Highway 20 en 108 voet van Highway 32. Men wil nu een nieuwe (rechte)weg aanleggen die Highway 20 en Highway 32 met elkaar verbindt, en die de boerderij bereikt. Voor welke hoek α isde lengte van de nieuwe weg het kortst? Maak gebruik van je grafisch rekenmachine.

Highway 32

Hig

hw

ay

20

boerderij

256 voet

108

voet

α

115

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Herhalingsoefeningen

Herhalingsoefeningen bij Hoofdstuk 0

Oefening 1 (Symmetrie-as van de grafiek van een functie). Zij f een functie. Een rechte x = a is eensymmetrie-as van de grafiek van f indien

∀x ∈ R : f(a− x) = f(a + x)

Toon aan dat de rechte x = −1 een symmetrie-as is van de grafiek van de functie

f(x) =x(x + 2)(x + 1)4

en maak een schets van de grafiek van f op je blad waarop je de betekenis van de symmetrie-as aanduidt.

Oefening 2 (Symmetrie-middelpunt van de grafiek van een functie). Zij f een functie. Een punt S(a, b) iseen symmetrie-middelpunt van de grafiek van f indien

∀x ∈ R :f(a− x) + f(a + x)

2= b

Toon aan dat het punt S(5, 0) een symmetrie-middelpunt is van de grafiek van de functie

f(x) = x5 − (10− x)5

en maak een schets van de grafiek van f op je blad waarop je de betekenis van het symmetrie-middelpunt aanduidt.


Oefening 1. Welke van de volgende veeltermfuncties zijn even, oneven of geen van beide? Ga algebraısch na.

(a) x3 − 5x (b) x4 − 5x2 + 1

Oefening 2. Schrijf de functie f(x) = 5x5−3x4 +x2−8x+6 als de som van een even functie met een oneven functie.

Oefening 3. Bepaal van de volgende functies algebraısch de nulwaarden en de tekentabel.

(1) f(x) = 2x3 + 6x2 + 4x (6) f(x) = 12x5 − 26x4 + 2x3 + 4x2

(2) f(x) = 2x3 + x2 − 13x + 6 (7) f(x) = 2x3 + 2x

(3) f(x) = −6x3 − 17x2 + 4x + 3 (8) f(x) = x4 + 2x3 − 8x2

(4) f(x) = x(2− x)(1 + x)2 (9) f(x) = 16x4 − 1

(5) f(x) = 9x4 + 9x3 − 19x2 − x + 2 (10) f(x) = (3x− 1)(4− x)2

Oefening 4. Bepaal telkens algebraısch de oplossingenverzameling van de ongelijkheid.

(a) x4 + x3 + 24 ≤ 10x2 + 4x (d) − 2(−3x− 1)(4x2 − x− 3) ≥ 0

(b) x3 − 2x ≤ 2x2 + 3 (e) (x + 2)3 ≥ 0

(c) (x2 − 4)(−2x2 + 5x− 2) > 0 (f) (x2 + x + 1)3 ≤ 0

Oefening 5. Gegeven is de veeltermfunctie

f(x) = 2x3 + ax2 + bx + 15 waarbij a, b ∈ R

Bepaal de waarde(n) voor a, b ∈ R zodat −5 een nulwaarde van f is en f(x) deelbaar is door x− 3.

116

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 6. Gegeven is de veeltermfunctie

f(x) = x3 − 8ax + 2 waarbij a ∈ R

Bepaal de waarde(n) voor a ∈ R zodat de rest bij deling van f(x) door x + 1 gelijk is aan 2.

?Oefening 7. Gegeven is de functie

f(x) = x2 + 2mx + n waarbij m,n ∈ R

Bepaal de waarde(n) voor m,n ∈ R waarvoor

• de grafiek van f twee nulwaarden p en q heeft zodat de afstand tussen p en q gelijk is aan 2, en

• de top van de grafiek van f op de grafiek van de functie g(x) = −x2 ligt.

Oefening 8. Gegeven is de grafiek van een veeltermfunctie. Welk functievoorschrift hoort bij deze grafiek? Los opzonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine.

(A) f1(x) = x(x + 2)(x− 1)(x− 3) (B) f3(x) = −(x + 2)2(x− 1)(x− 3)2

(C) f2(x) = (x− 2)3(x + 1)(x + 3) (D) f4(x) = (x + 2)2(x− 1)(x− 3)3

1 2 3−1−2

y

x

Oefening 9 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009 eerste ronde).De vergelijking a2x2 + ax + 2 = 0 heeft voor elk reeel getal a

(A) 0 reele oplossingen(B) 1 reele oplossing(C) 2 reele oplossingen(D) oneindig veel reele oplossingen(E) een aantal reele oplossingen dat afhangt van a

Oefening 10 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven).We beschouwen twee parabolen met vergelijkingen y = −3x2 + x + 5 en y = 2x2 − 3x + 2. Hoeveel punten hebbendeze twee gemeenschappelijk?

(A) 0 (C) 2(B) 1 (D) 4

Oefening 11 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven).Beschouw de veelterm f(x) = x4 − 3x3 + px2 + qx + r. Deze veelterm is deelbaar door x + 1 en x2 − 2x + 2. Dan is(p + q) · r gelijk aan

(A) − 16 (B) 0(C) − 4 (D) 16

117

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be


Oefening 1. Bepaal algebraısch de oplossingen van de volgende rationale ongelijkheden.

(a)x2 − 2x− 3

x + 1< 0 (d)

2x− 2x− 3

<2x

x− 3+ x

(b)x2 + 9

x3 + 12x2 + 11x≤ 1

x(e)

x

x− 1≥ 20

(x− 1)2

(c)13

(5x + 1)2> 0 (f)

x3 − 6x2 − x + 6x2 − 4x + 4

> 0

?Oefening 2. Bepaal algebraısch de oplossingen van de volgende rationale vergelijking (waarbij a ∈ R)

2a

(x− 2a)2− x− a

x2 − 5ax + 6a2− 2

3a− x= 0


f(x) =2x2 + 12x + 10−3x2 + 9x + 12


(b) Bepaal algebraısch de x-waarden waarvoor de grafiek van f boven de x-as ligt.

(c) Beschrijf de eventuele asymptoten en perforaties aan de grafiek van f , gebruik de correcte notaties.


f(x) =x3 − 8

4x2 + 4x− 3


(b) Bepaal algebraısch de x-waarden waarvoor de grafiek van f onder de x-as ligt.



f(x) =x2 − 1

(x3 − 1)(x + 1)3


(b) Bepaal algebraısch de x-waarden waarvoor de grafiek van f onder de x-as ligt.


Oefening 6. Bepaal telkens het domein, de nulpunten, de tekentabel en het eventueel even oneven zijn van de gegevenfunctie.

(a) f(x) =x3 + x2 − 6x

x(d) f(x) =

x2 − 18x + 77x3 − 5x2 + 3x− 15

(b) f(x) =x4 − 13x2 + 36

x2 + 1(e) f(x) =

−x3 + 3x2 − x + 3x

(c) f(x) =x4 − 121

−x2 − 2x + 8(f) f(x) =

x3

−x2 + 1

Oefening 7. In de leraarskamer staat een koffiezetapparaat. Voor dat apparaat moetde school 100 euro huur betalen per maand. Per kop koffie bedragen de materiaal-kosten 20 eurocent.

(a) Schrijf de kosten K van een kop koffie in functie van het aantal maandelijksgedronken koppen koffie x.

(b) Ten tijde van de financiele crisis overweegt de directie om 30 eurocent per kopkoffie te vragen. Hoeveel koppen koffie moeten er dan minstens gedronkenworden per maand opdat de school geen verlies maakt?

Oefening 8. Bepaal welke transformaties je moet uitvoeren op de functie y =1x

om

de functie y =−4x + 63x + 2

te bekomen. Wees volledig.

118

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 9. Bepaal het voorschrift van de homografische functie f zodat f(−1) = −8, de waarde13

een nulwaardeis en de rechte y = 2 een asymptoot is.

Oefening 10. Gegeven is een homografische functie

f(x) =ax + b


Toon aan dat het punt S(−d

c , ac

)een symmetrie-middelpunt is van de grafiek van f .

Oefening 11. Bepaal het symmetrie-middelpunt van de grafiek van de functie

f(x) =3x− 52x− 1

Oefening 12. Bepaal het voorschrift van de homografische functie waarvoor de grafiek als symmetrie-middelpuntS(√

3,−6) heeft en waarvoor de grafiek het punt P (5,−8) bevat.

Oefening 13. Gegeven is de rationale functie

f(x) =ax2 + bx + 4

x− 2waarbij a, b ∈ R

Bepaal de waarde(n) voor a, b ∈ R waarvoor de rechte y = 5x + 4 een asymptoot is aan de grafiek van f .

Oefening 14 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven).

De rationale functie f(x) =7x2 − 5x + 2

2x + 1heeft

(A) een schuine asymptoot

(B) een verticale asymptoot

(C) een schuine en een verticale asymptoot

(D) geen van beide

Oefening 15 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven).

Wat heeft de rationale functie f(x) =2x2 + 2x− 243x2 − x + 7

niet?

(A) Een horizontale asymptoot

(B) Een verticale asymptoot

(C) Een positief nulpunt

(D) Een negatief nulpunt

Campbell’s Soup CansAndy Warhol 1962

?Oefening 16. Een fabrikant van conservenblikken maakt cilindervormige blikjes (metstraal r en hoogte h) met een inhoud van 1 dm3. Het materiaal van de onder-enbovenkant kost 0, 20 euro per dm2 en het materiaal van de cilindermantel kost 0, 10euro per dm2. Voor welke afmetingen zijn de materiaalkosten minimaal? Los op metbehulp van je grafisch rekenmachine, afronden op 1mm nauwkeurig.

119

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be


Oefening 1. Los de volgende irrationale vergelijkingen algebraısch op.

(1)√

x + 12 = x (6)√

5x− 1 + x− 5 = 0

(2)√

3− 3x−√

5 + 2x = 2 (7)√

1 + x =√

1− x

(3)√

2x + 5−√

4x + 3 =√

2x + 2 (8)√

3x + 1−√

x− 4 =√

x + 1

(4)√

x2 − 16 =√

59− 2x2 (9)√

x + 2 +√

x + 7 = 5

(5) 5−√

x2 + 16 = 0 (10) 2√

x + 2 = 3 +√

4x− 7

Oefening 2. Bepaal telkens algebraısch de snijpunten van de grafiek van f met de grafiek van g.

(a) f(x) = 1 +√

5− x2 en g(x) = x

(b) f(x) =√

2x + 8− 1 en g(x) =√

x + 5

(c) f(x) =√

2x2 − 2x + 4− 3x + 1 en g(x) = 1− x

Oefening 3. Bepaal algebraısch het domein van de volgende functies. Maak telkens een schets van de grafiek op jeblad.

(a) f(x) =√

x2 − 9 (c) f(x) = 3√

x2 − 9

(b) f(x) =1√

x2 − 9(d) f(x) =

13√

x2 − 9

Oefening 4. Onderzoek algebraısch of f en g gelijke functies zijn.

(a) f(x) =

√x− 2x + 1

en g(x) =√

x− 2√x + 1

(b) f(x) =

√x2 − 4x + 3

x2 − 9en g(x) =

√x2 − 4x + 3√

x2 − 9

Oefening 5. Gegeven is de grafiek van een irrationale functie. Welk functievoorschrift hoort bij deze grafiek? Los opzonder gebruik te maken van je grafisch rekenmachine.

(A) f1(x) =

√x2 − 7x + 12(x + 1)(x− 4)

(C) f3(x) =√

x2 − 2x− 3−√

5x2 − 4x

(B) f2(x) =√

x2 − 2x− 3x2 − 1

(D) f4(x) =√

x2 − 2x− 3−√

5(x + 1)(x− 4)

1 2 3 4 5−1−2−3−4

y

x

120

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 6. Bepaal welke van de volgende functies gelijk zijn aan de functie f(x) = |x− 2|.

(A) f1(x) =√

x2 − 4x + 4

(B) f2(x) =

√(x− 2)3

x− 2

(C) f3(x) =|x− 2|2

|x− 2|

(D) f4(x) =|12− 6x|

6

(E) f5(x) =∣∣∣∣x2 + x− 6

x + 3

∣∣∣∣Oefening 7. Waar of vals? Beoordeel de volgende uitspraken. Verklaar telkens algebraısch je antwoord.

(a) De grafiek van f met voorschrift f(x) = x + 2−√−x2 − 5x− 6 heeft twee snijpunten met de x-as.

(b) De functies f(x) =

√2− x

x + 2en g(x) =

√2− x√x + 2

zijn gelijk.

(c) De functies f(x) =

√x− 2x + 2

en g(x) =√

x− 2√x + 2

zijn gelijk.

Oefening 8. Een punt P ligt op de grafiek van de functie f(x) =√

3− x

2. De punten P en O(0, 0) zijn de hoekpunten

van een vierkant met de assen als zijden. Bereken de coordinaten van P .

Oefening 9 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009 eerste ronde).De oplossingenverzameling in R van |x + 3| < |3− x| is

(A) ]−3, 0[ (B) ]−∞,−3[ (C) R (D) ]−∞, 0[ (E) ]0,+∞[

Herhalingsoefeningen bij Interludium

Oefening 1. Bereken zonder grafisch rekenmachine. Exacte waarde noteren.

(a)3√

2√

2 4√

85√

16 3√

32

(b)

(81−

34 + 3−4

3 · 9− 32 − 27−1

)2

(c)4√

17−√

33 · 4√

17 +√

33

Oefening 2. Bereken met behulp van je grafisch rekenmachine

3√

2 +√

3 ·3

√2−

√2 +

√3 ·

√2 +

√2 +

√3

Oefening 3 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009 eerste ronde).

Voor elk natuurlijk getal n is1

2( n50 )

gelijk aan

(A) 0, 50,02 n (B) 0, 50,002 n (C) 20,02 n (D) 2( 50n ) (E) 2−( 50

n )

Oefening 4 (Vlaamse Wiskunde Olympiade 2009 eerste ronde).Als je van de vier getallen a = 2666, b = 3444, c = 5333, d = 6222 het grootste en het kleinste weglaat, dan blijven devolgende twee getallen over:

(A) a en b (B) a en c (C) a en d (D) b en c (E) b en d

Oefening 5. Gegeven zijn de functies f(x) =√

1− x en g(x) =√

x2 − 1. Bepaal algebraısch het domein van defunctie f ◦ g.

121

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 6. Beschouw de functie f met als domein [−3, 2] waarvoor

f(x) =

2 als − 3 ≤ x < 0x als 0 ≤ x < 12− x als 1 ≤ x < 2

(a) Schets de grafiek van f .

(b) Bepaal het bereik van f .

(c) Hoeveel oplossingen zijn er voor de vergelijking f(x) = 0? En voor de vergelijking f(x) = 1? En voor devergelijking f(x) = 2?

Oefening 7. Ga telkens na of de functie inverteerbaar is. Zo ja, bepaal het functievoorschrift van de inverse functie.

(a) f(x) =√

3x + 5

(b) f(x) = 1− 2x2 waarbij x ≤ 0

(c) f(x) =ax + b


Oefening 8 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven).Wat is het domein van de functie f(x) = 7− 3

√x2 − 12x + 35?

(A) R (C) [5; 7](B) {} (D) R \ [5; 7]

Oefening 9 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven).Welke uitspraak over de functie f(x) = 5 + 2

√−x2 − 4x + 10 klopt?

(A) f is nergens gedefinieerd.

(B) Het domein van f is niet leeg, maar f heeft geen nulpunten.

(C) f heeft 1 nulpunt.

(D) f heeft twee nulpunten.


Oefening 1. Een zeester groeit exponentieel. Bij een eerste meting (31 juli) heeft heteen diameter van 2 cm. Vervolgens wordt het tot en met 70 dagen later (9 oktober)iedere tien dagen zo’n 25% groter.

(a) Bepaal de groeifactor van de zeester per dag.

(b) Bereken de afmetingen van de zeester op 9 oktober.

Oefening 2. Het aantal inwoners van stad A is vanaf 1995 elk jaar met 420 inwonerstoegenomen. Op 1 januari 1995 telde deze stad 32154 inwoners.Het aantal inwoners van stad B is vanaf 1995 elk jaar met 4% inwoners toegenomen. Op 1 januari 1995 telde dezestad 24380 inwoners.

(a) Vul de volgende tabel aan

aantal jaar na 1995 0 1 2 3 4 5

stad A . . . . . . . . . . . . . . . . . .

stad B . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(b) Met welke soort groei hebben we te maken in stad A? En in stad B?

(c) Geef het voorschrift voor het aantal inwoners f(x) van stad A en het aantal inwoners g(x) van stad B, waarbijx het aantal jaar na 1995 voorstelt.

(d) Wat was het aantal inwoners van beide steden op 1 januari van dit jaar?

(e) Schets de grafieken van f en g in een assenstelsel. In welk jaar hebben stad A en stad B evenveel inwoners?

122

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 3. Thijs koopt een veulen van 50kg dat volgens hem 10% per 14 dagen (dus per halve maand) groeit.Groeit dit veulen even snel als dat van Jonathan, dat 20% per maand groeit?

Oefening 4 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven).Een populatiegrootte wordt aangeduid met n en ze varieert in de tijd volgens het voorschrift N(t) = 70 − 25 e−0,1 t.Wat gebeurt er op lange termijn met deze populatie?

(A) De populatie daalt naar de evenwichtswaarde 70.

(B) De populatie stijgt naar de evenwichtswaarde 70.

(C) De populatie sterft uit.

(D) De populatie groeit onbegrensd.


Oefening 1. Bereken 653502.

Oefening 2. Bereken algebraısch72· 7log 3 · 3log 3

133

Oefening 3. De sterkte van het geluid dat we horen, noemen we het geluidsniveau N . Dit wordt uitgedrukt in 9

decibel dB. Om het geluidsniveau te bepalen wordt de geluidsintensiteit I gemeten in Watt per vierkante meter W/m2.Het geluidsniveau N kan je berekenen met de formule

N = 120 + 10 log I

Van het geluid op een rustige dag buiten is de intensiteit ongeveer

(a) Bij de gehoordrempel is de geluidsintensiteit ongeveer I = 10−12W/m2. Hoeveel decibel is dat?

(b) De pijngrens ligt bij ongeveer I = 100W/m2. Hoeveel decibel is dat?

(c) Bij 180dB treedt er onherstelbare gehoorschade op. Wat is de intensiteit I dan?

Mount Everest

Oefening 4. De (gemiddelde) atmosferische druk p (in hectopascal hPa) is afhan-kelijk van de hoogte h boven de zeespiegel (in meter). Het verband wordt gegevendoor

h = 18400 log(

1013p

)(a) Als de (gemiddelde) luchtdruk p = 1013hPa is, op welke hoogte bevinden we

ons dan?

(b) Als de (gemiddelde) luchtdruk p = 500hPa is, op welke hoogte bevinden we onsdan?

(c) Wat is de gemiddelde luchtdruk op het topje van de Mount Everest, op een hoogte van 8848m?

Oefening 5 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven).Als je weet dat log 2 ≈ 0, 301 en log 3 ≈ 0, 477, hoeveel is dan log

(11 + 1

4

)ongeveer?

(A) 1, 395 (C) 1, 051(B) 1, 147 (D) 0, 934


Oefening 1. Los algebraısch de volgende exponentiele en logaritmische vergelijkingen op.

(a) 41

2x+1 = 32x+3 (d)(

3log x)2 − 3

3log 10 = 3log(x6)− 9

3log√

3

(b) 2−x+2 − 2−2x + 5 = 0 (e)(

3log x)2 − 10 = 6 · 3log x− 32· 3log

√3

(c) 2log(

7log x)

= −1 (f) 4xlog 3 − 4 = 16

xlog 4√3 + 2xlog (3x)

9Een decibel is een tiende van een bel, genoemd naar Alexander Graham Bell (1847-1922).

123

c©Koe

nDeNae

ghel

OLV

A, sch

oolja

ar20

09- 2

010

www.koe

nden

aegh

el.be

Oefening 2. Los algebraısch de volgende exponentiele en logaritmische ongelijkheden op.

(a) 2x − 5 < 3 ·(

12

)x−2

(c) xlog(

13

)≥ 2

(b)(

13

)8x

> 6 (d) xlog x−2· log 0,4 > 23·(2−log 2)

Oefening 3 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven).Wat zijn de oplossingen van de vergelijking 6log (x− 3) + 6log (x + 2)− 6log 6 = 0?

(A) Er zijn geen oplossingen.

(B) x = 4

(C) x = 4 en x = −3

(D) x = −4 en x = −3


Oefening 1. Bepaal het voorschrift van een algemene sinusfunctie f met als periode 8π/5, amplitude 1, 75, even-wichtslijn de rechte y = −2, 23 en waarvoor P (3π/5;−2, 23) een punt is op de grafiek van f .

Oefening 2 (Toelatingsexamen arts Katholieke Universiteit Leuven).Bij een volwassene in rust pompt het bloed in de grote bloedsomloop. De bloedstroomsnelheid kan benaderd wordendoor het positieve deel van een sinusoıde: (zie figuur)

100

200

0.5 1.0 1.5

Bloedstroomsnelheid (in m/s)

t (in sec)

Bij inspanning verdubbeld de frequentie van de cyclus en wordt de bloedstroomsnelheid vier keer zo groot. Bij welkevan de volgende sinusoıden is het positieve deel de beste benadering van de bloedstroomsnelheid bij inspanning?

(A) 1000 sin(2πt)

(B) 1000 sin(4πt)

(C) 1000 sin(8πt)

(D) 2000 sin(πt)

Oefening 3. Bewijs

(a) Arccos(−x) = π −Arccos(x) voor elke x ∈ [−1, 1](b) Arctan(−x) = −Arctanx voor elke x ∈ R

(c) cos(2 Arctan a) =1− a2

1 + a2voor elke a ∈ R

(d) Arctan(

1a

)= Arctan

(1

a + 1

)+ Arctan

(1

a2 + a + 1

)voor elke a ∈ R+

0

Oefening 4. Bereken zonder grafisch rekenmachine

cos(

Arccos(− 8

17

)−Arctan

(1235

))

124

Precalculus

Documents

Transcript of Precalculus