Fractals Thomas van den Hoek en Korneel Moerbeek

Inleiding

Vormen en figuren komen overal voor in de natuur en in ons dagelijks leven. We hebben veel te maken met regelmatige figuren zoals bijvoorbeeld een cirkel in ons fietswiel om maar een basaal voorbeeld te geven. Veel grilliger vormen lijken in ons dagelijks leven nauwelijks voor te komen. Toch zijn er wel degelijk vormen die heel grillig lijken maar toch een structuur verbergen. Niemand zou zeggen dat een pakje Droste, een bloemkool en een varenblad een wiskundige overkomst met elkaar zouden hebben. Toch komen ze meer overeen met elkaar dan je zou verwachten. In alle drie zitten vormen van fractals verborgen. Fractals zijn de meest grillige figuren die er bestaan die toch als meetkundig worden beschouwd. Ook herhaling is een typische kenmerk voor een fractal.Fractals staan daarom bekend als meetkundige figuren met eindeloze herhaling.

Het varenblad

Zoals te zien in de afbeelding hierboven blijft de standaardvorm van het blad zicht herhalen. De vorm is eerst terug te vinden in de bladeren van de hoofdtak, die op hun beurt ook weer een hoofdtak hebben waarin zich weer een blad met dezelfde structuur bevindt: wederom met een hoofdtak. Zo is de fractale structuur als terug te vinden in een varenblad. Dit is een voorbeeld van de eindeloze herhaling.

De fractale krommingEen ander voorbeeld van een zeer grillige figuur uit de natuur is de kust van Noorwegen. Als je deze kust meet door er een touwtje langs te leggen en dan met verschillende kaarten aan de hand van de schaal de lengte van de kust berekend kom je steeds zeer verschillend uit. De kust blijft maar groeien omdat steeds geavanceerdere computerprogramma’s steeds beter kunnen inzoomen op de fractale kromming.

De definitie van deze kromming valt te vinden in de een omschrijving van de kustlijn van Noorwegen: hij is grillig en blijft grillig, hoe vaak je hem ook uitvergroot. Om greep te krijgen op de eindeloosheid van de krommingen bekijken we de algemene eigenschappen en de wiskundig geconstrueerde fractale kromming.

De algemene eigenschappen van een fractal

Een grillig figuur hoeft niet per definitie een fractal te zijn. Er moet toch iets van structuur in zitten. Deze structuur blijf je herkennen op welke schaal dan ook. Daarmee ben je gelijk gekomen bij een basiseigenschap. Fractals hebben structuur op iedere schaal. Dat wil zeggen hoe je ook vergroot of verkleint: de structuur blijft.Een mogelijk eigenschap van een fractal kan dan ook de zelfgelijkendheid zijn. Dat wil zeggen dat de standaardafbeelding, zeg maar voor het gemak de ‘kleinste’ en meest ‘eenvoudige’ afbeelding, steeds terugkeert. Dit word ook wel het Droste-effect genoemd. Dit is afgeleid van de afbeelding die op een pakje droste cacao staat. De verpleegster met het dienblad blijft terugkeren. Een belangrijk verschil met het droste-effect en een fractal met zelfgelijkendheid dat deze zelfgelijkendheid overal valt terug te zien. Op het droste pak is dat slechts op een punt.

Naast de structuur op iedere schaal en de zelfgelijkendheid als mogelijk bijkomstigheid vertonen fractals doorgaans een kronkelig bestaan. Deze vormen zijn zo kronkelig dat ze een fractale dimensie hebben die niet een geheel hoeft te zijn. Dit zorgt er onder andere voor dat fractals vaak moeilijk te meten.

In de afbeelding hierboven is duidelijk de zelfgelijkendheid te zien. De gelijkbenige driehoek die op aan het begin te zien is keert voortdurend terug. Zoals je kan zien blijft de structuur van deze gelijkbenige driehoek alsmaar terugkeren. De ‘sneeuwvlok’ blijft steeds ontleedbaar in deze gelijkbenige driehoek.

Het peano eiland: een algemeen voorbeeld

De in het voorafgaande stuk besproken eigenschap van structuur op iedere schaal en de zelfgelijkendheid geven ons geen volledig beeld van de fractal. Veel dingen die drastische veranderen naarmate de fractal ingewikkelder word zijn daarmee nog niet besproken. In het onderstaande stuk komen de omtrek, de oppervlakte, de begrensdheid en de zelfdoorsnijdingen aan bod. Ook zullen ze generaties van de fractal worden besproken.