Phillip J. Cornwell Parçacık Kinematiği · 2016. 2. 22. · MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR...

MÜHENDİSLER İÇİN

VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK

10.Basım

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

Phillip J. Cornwell

Lecture Notes:

Brian P. SelfCalifornia Polytechnic State University

BÖLÜM

© 2013 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.

11Parçacık Kinematiği

Çeviri: Mühendisler için Vektör

Mekaniği: Dinamik kitabından

faydalanılmıştır.

Yrd. Doç. Dr. Cihan MIZRAK

Karabük Üniversitesi

Mekatronik Mühendisliği Bölümü


MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR MEKANİĞİ:DİNAMİK

10

.B

as

ım

Contents

11 - 2

Giriş

Parçacıkların Doğrusal Hareketi:

Konum, Hız ve İvme

Parçacığın Hareketinin

Belirlenmesi

Örnek Problem 11.2

Örnek Problem 11.3

Düzgün Doğrusal Hareket

Sabit İvmeli Doğrusal Hareket

Birden Fazla Parçacığın Hareketi:

Bağıl Hareket

Örnek Problem 11.4

Birden Fazla Parçacığın Hareketi :

Bağımlı Hareket

Örnek Problem 11.5

Doğrusal Hareket Problemlerinin

Grafik Çözümleri

Diğer Grafik Yöntemleri

Parçacığın Eğrisel Hareketi: Konum,

Hız ve İvme

Vektör Fonksiyonlarının Türevleri

Hız ve İvmenin Dik Bileşenleri

Ötelenen Bir Çerçeveye Göre Hareket

Teğetsel ve Normal Bileşenler

Radyal ve Enine Bileşenler

Örnek Problem 11.10

Örnek Problem 11.12



10

.B

as

ım

ÖNEMLİ HATIRLATMALAR

• Ders, sınıfın kapısı kapandığı andan itibaren

başlayacaktır. Kapıyı kapalı görenler bir sonraki

derse gelebilir.

• Ders süresince kendi aranızda

konuşmak yasaktır. Bir sorunuz

olursa bana yöneltin.

• Ders süresince telefonlar sessiz

konumda olmalıdır.

• Ders dahil tüm soru ve görüşleriniz için;

Eposta: [email protected]

http://web.karabuk.edu.tr/cihanmizrak/



10

.B

as

ım


Ders Kitabı (Türkçe) :

Beer, Johnston, Cornwell-Mühendisler

için Vektör Mekaniği: Dinamik Çevirisi

(Ömer Gündoğdu, Osman Kopmaz)

Yaşar Pala-Mühendislik Mekaniği

Dinamik



10

.B

as

ım


• Temel matematik bilgilerinizi

tazeleyin (trigonometrik dönüşümler,

türev, integral)

• Bunun yanında Mühendislik

Mekaniği-STATİK (Birim

vektör, Serbest Çizim

Diyagramı)



10

.B

as

ım

DİNAMİK NEDİR

Türk Dil Kurumu’na göre;

Mekaniğin KUVVET, HAREKET,

ENERJİ arasındaki ilişkilerini inceleyen

dalı.

Diğer bir deyiş ile;

HAREKET’e sebep olan ve

hareketi değiştiren unsurlar

ile HAREKETin sonuçlarını

inceler.

Öyle ise

HAREKETolmasaydı



10

.B

as

ım

MEKANİK NEDİR

KUVVETlerin etkisi

altındaki cisimlerin HAREKET

li ve DURAĞAN hâllerini

inceleyen bilim dalıdır.

MÜHENDSİLİK MEKANİĞİ

STATİK

MÜHENDSİLİK MEKANİĞİ

DİNAMİK

KİNEMATİKKİNETİK

HAREKETin sebebiHAREKETin sonucu

Katı

Elastik

Akışkan



10

.B

as

ım

HAREKET NEDİR

HAREKETKUVVET

ENERJİ

MOMENTUM

Sebep

İVME

YER

DEĞİŞTİRME

HIZ

Sonuç

KİNETİK KİNEMATİK

∫

Dönme

T=Iα

Öteleme

F=ma

Yada;

Dönme+Öteleme

Şeklindedir.



10

.B

as

ım

HAREKET NEREDE GERÇEKLEŞİR

HAREKETTek Boyutta

(Doğrusal)

İki Boyutta

(Düzlemsel)

Üç Boyutta

(Uzay)

Dört Boyutta



10

.B

as

ım

ÜÇ BOYUTTA KOORDİNAT SİSTEMLERİ

x

y

z

ij

k.

.

.

KOORDİNAT

SİSTEMLERİKartezyen Silindirik

Küresel

x

y

z

r

z

θ

θ

ϕr

x

z

y



10

.B

as

ım

Ne hareket Eder

KÜTLESİ OLAN HERŞEY

Peki

IŞIKO zaman;

Parçacık:Cismin kütlesinin bir noktada toplandığı

varsayılarak işlem yapılan cisimlerdir.

Bu cisimlerin ataleti

Katı Cisim:İç ve dış etkilerle şeklini değiştirmeyen (Kabul. N.Ş.A’da böyle

değildir), yani esnemeyen ve ataleti olan cisimdir.



10

.B

as

ım

Göreceğİmİz konular

TOPARLAYACAK OLURSAK;

Parçacıkların

Katı Cisimlerin

KİNEMATİK KİNETİKAnalizi



10

.B

as

ım

Parçacıkların Doğrusal Hareketi: Konum, Hız ve İvme

11 - 13

• Doğrusal hareket: Bir doğru

boyunca parçacığın hareketi.

• Konum koordinatı: Bir doğru

üzerinde parçacığın orijinden pozitif

yada negatif olan uzaklığı belirtir.

• Bir parçacığın yer koordinatı her t

zamanı için biliniyorsa, parçacığın

hareketi biliniyordur deriz.

• Hareketin zaman tablosu x ve t

cinsinden mesela;326 ttx

gibi bir denklem yada yandaki şekilde x

ve t ye bağlı grafik olarak verilebilir.



10

.B

as

ım


11 - 14

• Anlık hız pozitif yada negatif değer alabilir.

Ani hızın şiddeti ise parçacığın süratini

verir.

• Parçacığın t zamanında işgal ettiği P yerini

ve buna karşılık gelen x koordinatını göz

önüne alalım. Aynı zamanda parçacığın

t+Dt, zamanında bulunduğu P’ yerini

düşünelim. Buna göre;

t

xv

t

x

t D

D

D

D

D 0lim

Ortalama hız

Anlık hız

• Türevin tanımından;

dt

dx

t

xv

t

D

D

D 0lim

e.g.,

2

32

312

6

ttdt

dxv

ttx



10

.B

as

ım


11 - 15

• Parçacığın t anındaki hızı v ve daha sonraki

bir t+Dt anındaki hızı v+Dv ise parçacığın;

Anlık ivmesit

va

t D

D

D 0lim

tdt

dva

ttv

dt

xd

dt

dv

t

va

t

612

312e.g.

lim

2

2

2

0

D

D

D

• Türevin tanımından;

• Anlık ivme;

- Pozitif: Pozitif hız artabilir yada

Negatif hız azalabilir.

- Negatif: Pozitif hız azalabilir yada

Negatif hız artabilir.



10

.B

as

ım

İçerik Quiz

2 - 16

Parçacığın kinematiği için aşağıdakilerden hangisi

doğrudur?

a) Parçacığın hızı daima pozitiftir.

b) Konum-zaman grafiğinin eğimi hızı verir.

c) Parçacığın konumu sıfır ise hız sıfır olmak

zorundadır.

d) Parçacığın hızı sıfır ise ivmesi sıfır olmak

zorundadır.



10

.B

as

ım


11 - 17

• Örneğimizden,

326 ttx

2312 ttdt

dxv

tdt

xd

dt

dva 612

2

2

- at t = 2 s, x = 16 m, v = vmax = 12 m/s, a = 0

- at t = 4 s, x = xmax = 32 m, v = 0, a = -12 m/s2

• t = 2 s için x, v, ve a nedir?

• Dikkat edilirse a=0 olduğunda vmax olur. Bu

nedenle hız-zaman eğrisinin türevi bu noktada

sıfırdır. • t = 4 s için x, v, ve a ne olur ?



10

.B

as

ım


11 - 18

• İvme genellikle uygulanan kuvvetten yola çıkarak elde

edilmektedir. (Bu konu kinetik kısmında detaylı

anlatılacaktır) Generally have three classes of motion

- ivme, zamanın bir fonksiyonu olarak, a = f(t)

- ivme, konumun bir fonksiyonu olarak, a = f(x)

- ivme, hızın bir fonksiyonu olarak, a = f(v)

ifade edilebilir.

• Kuvvetin pozisyonun bir fonksiyonu olduğu fiziksel

bir örnek düşünebilirmisiniz?

yay sürtünme



10

.B

as

ım

İvme, zamanın, konumun ve hızın birer fonksiyonu ise;

2 - 19

a a t 0 0

v t

v

dv a t dt ( )dv

a tdt

vdv a x dx

0 0

v x

v x

v dv a x dx a a x

and dx dv

dt av dt

dv

v a vdx

0 0

v t

v

dvdt

a v

0 0

x v

x v

v dvdx

a v

a a v

( )dv

a vdt

Eğer… Kinematik ilişki İntegral



10

.B

as

ım

Örnek Problem 11.2

11 - 20

• Herhangi bir t anında ve herhangi bir

yükseklikteyken v hızını ve y yüksekliğini,

• Topun ulaştığı maksimum yüksekliği ve

buna karşılık gelen t zamanını,

• Topun yere çarptığı zamanı ve bu sıradaki

hızı belirleyip v-t ve y-t eğrilerini çiziniz.

Bir top yerden 20 m yukarıdaki bir

pencereden düşey olarak yukarı doğru

10 m/s’lik bir hızla atılıyor. Topun

ivmesinin sabit ve aşağı doğru 9.81 m/s2

olduğu bilindiğine göre;

SOLUTION:

• v(t) ve y(t) değerleri için sabit

ivmeden yola çıkılarak integre

edilecek

• Hızın sıfır olduğu noktada maksimum

yükseklik olur ve buradan bu noktaya

çıkmak için gerekli olan t süresi ve y

mesafesi bulunur.

• Top yere çarptığında ise y=0 olur ve

buradan gerekli süre ile topun hızı

bulunur.



10

.B

as

ım

Örnek Problem 11.2

11 - 21

tvtvdtdv

adt

dv

ttv

v

81.981.9

sm81.9

00

2

0

ttv

2s

m81.9

s

m10

2

21

00

81.91081.910

81.910

0

ttytydttdy

tvdt

dy

tty

y

2

2s

m905.4

s

m10m20 ttty

ÇÖZÜM:

• v(t) ve y(t) için integrasyon işlemleri



10

.B

as

ım

Örnek Problem 11.2

11 - 22

• Hızın sıfır olduğu noktada t;

0s

m81.9

s

m10

2

ttv

s019.1t

• Bu zaman süresince topun aldığı mesafe ve pozisyonu;

22

2

2

s019.1s

m905.4s019.1

s

m10m20

s

m905.4

s

m10m20

y

ttty

m1.25y



10

.B

as

ım

Örnek Problem 11.2

11 - 23

• Topun son pozisyonu sıfır olduğundaki t;

0s

m905.4

s

m10m20 2

2

ttty

s28.3

manasiz s243.1

t

t

s28.3s

m81.9

s

m10s28.3

s

m81.9

s

m10

2

2

v

ttv

s

m2.22v

• Bu noktadaki hızı;



10

.B

as

ım

Örnek Problem 11.3

11 - 24

Belli tipteki silahlarda geri tepmeyi

azaltmak için kullanılan bu fren

mekanizması, esas itibari ile namluya

bağlı ve yağla doldurulmuş sabit bir

silindir içinde hareket eden bir pistondan

ibarettir. Namlu v0 hızı ile geri teptiğinde

piston hareket eder ve yağ, piston ve

namlunun hızlarıyla orantılı

yavaşlamasına neden olacak tarzda,

pistondaki deliklerden geçmeye zorlanır.

Yani a=-kv’dir. Buna göre v’yi t

cinsinden, x’i t cinsinden, v’yi t cinsinden

ifade ediniz ve hareket eğrilerini çiziniz.

kva

ÇÖZÜM:

v(t)’yi bulmak için;

• Integrate a = dv/dt = -kv

v(x)’yi bulmak için;

• Integrate a = v dv/dx = -kv

x(t)’yi bulmak için;

• Integrate v(t) = dx/dt



10

.B

as

ım

Örnek Problem 11.3

11 - 25

ÇÖZÜM:

• v(t) için Integrate a = dv/dt = -kv

000

ln

v t

v

v tdv dva kv k dt kt

dt v v

ktevtv 0

• x(t) için Integrate v(t) = dx/dt.

0

0 0

00 0

1

kt

tx t

kt kt

dxv t v e

dt

dx v e dt x t v ek

ktek

vtx 10



10

.B

as

ım

Örnek Problem 11.3

11 - 26

• v(x) için Integrate a = v dv/dx = -kv.

kxvv

dxkdvdxkdvkvdx

dvva

xv

v

0

00

kxvv 0

• Alternatif,

0

0 1v

tv

k

vtx

kxvv 0

00 or

v

tveevtv ktkt

ktek

vtx 10with

and

then



10

.B

as

ım

Group Problem Çözümü

2 - 27

Bir bovling topu, bir bottan gölün yüzeyine 8 m/s’lik

hızla çarpacak şekilde bırakılıyor. Su içindeyken

topun aşağıya doğru a=3-0.1v2 ivmesine sahip

olduğunu kabul ederek topun gölün tabanına

vurduğundaki hızını bulunuz.

Hangi integrasyonu kullanmak gerekir?

0 0

v t

v

dv a t dt 0 0

v x

v x

v dv a x dx

0 0

v t

v

dvdt

a v

0 0

x v

x v

v dvdx

a v

(a)

(b)

(c)

(d)

+y



10

.B

as

ım


11 - 28

ÇÖZÜM:

• Uygun kinematik ilişkileri kullanarak

zamana, konuma yada hıza bağlı

ivme ifadesini belirleyin.

• Aracın yolun yarısına kadar olan kat

ettiği mesafeyi bulun.

• Hızı bulmak için integrasyon yapın.

Durgun pozisyondan harekete geçen

otomobil hızla orantılı olarak

23 0.001a v

eşitliği ile ivmelenmektedir. 200 m

yarıçapa sahip dairesel bir yol üzerinde

ilerleyen aracın yolun yarısına geldiği

andaki hızı ne olur?



10

.B

as

ım

Grup Problem Çözümü

2 - 29

dv

v a vdx

0 0

x v

x v

v dvdx

a v

Uygun kinematik ilişkiyi seç.

Verilen: 23 0.001a v

vo = 0, r = 200 m

Bulunacak: v, ½ yol

Maximum hız

İvme hızın bir fonksiyonu olduğundan

katedilen mesafe, aşağıdaki kinematik ilişki

yardımıyla elde edilir. Onun için zamana

bağlı kinematik ilişkileri kullanmaya gerek

yoktur.

Yolun yarısına kadar olan toplam

yerdeğiştirme

3.14(200) 628.32 mx r



10

.B

as

ım


2 - 30

0 0

x v

x v

v dvdx

a v

Verilenlere göre integral ve sınırları

628.32

2

0 03 0.001

vv

dx dvv

İntegralin hesaplanması ve hızın elde edilmesi

2

0

1628.32 ln 3 0.001

0.002

v

v

2628.32( 0.002) ln 3 0.001 ln 3 0.001(0)v

2ln 3 0.001 1.2566 1.0986= 0.15802v

2 0.158023 0.001v e Her iki taraf e tabanında yazılmasıyla



10

.B

as

ım


2 - 31

2 0.158023 0.001v e Buradan v

0.158022 3

2146.20.001

ev

46.3268 m/sv

Maksimum hız nasıl hesaplanacak?

23 0.001a v Hızın maksimum olduğu yerde

ivme sıfırdır.

Buradan 20.001 3v

30.001maxv

max 54.772 m/sv



10

.B

as

ım

Düzgün Doğrusal Hareket

11 - 32

Düzgün doğrusal hareket

yapan parçacık için hız

sabit ve bu nedenle de

ivme sıfıra eşittir.

vtxx

vtxx

dtvdx

vdt

dx

tx

x

0

0

00

constant

Serbest düşüş esnasında

paraşütlünün sahip olduğu

maksimum hız, paraşütlünün

ağırlığının havanın direnç

kuvvetine eşit olduğu zaman

gerçekleşir. Bu hareket düz bir

çizgi boyunca devam ederse

buna düzgün doğrusal hareket

denir.

BU DURUM SADECE

DÜZGÜN DOĞRUSAL

HAREKETTE GEÇERLİDİR.



10

.B

as

ım


11 - 33

Eğer cisim üzerine

uygulanan kuvvet sabit ise

bu cisim için sabit ivmeli

doğrusal hareket yapıyor

denir.

Sürtünmenin ihmal

edildiği durum için serbest

düşme hareketi.



10

.B

as

ım


11 - 34

Sabit ivmeli doğrusal hareket yapan bir parçacığın ivmesi sabittir.

Gördüğünüz Fizik I dersinden tanıdık gelecek ifadeler;

0

0

0

constant

v t

v

dva dv a dt v v at

dt

0

210 0 0 0 2

0

x t

x

dxv at dx v at dt x x v t at

dt

0 0

2 2

0 0constant 2

v x

v x

dvv a v dv a dx v v a x x

dx

BU DURUM SADECE SABİT İVMELİ

DOĞRUSAL HAREKETTE GEÇERLİDİR.



10

.B

as

ım

Birden Fazla Parçacığın Hareketi

2 - 35

Birden fazla parçacığın hareketini düşünecek olursak, bu parçacıklar

birbirinden bağımsız yada bağımlı olarak hareket edebilmektedirler.



10

.B

as

ım

Birden Fazla Parçacığın Hareketi: Bağıl Hareket

11 - 36

• İki parçacığın aynı doğru üzerindeki hareketi

için zaman aynı başlangıç anından itibaren

kaydedilmeli ve yer değiştirmelerde aynı

orijinden ve aynı doğrultuda ölçülmelidir.

ABAB xxx B’nin A’ya göre bağıl

yer değiştirmesiABAB xxx

ABAB vvv B’nin A’ya göre bağıl

hızıABAB vvv

ABAB aaa B’nin A’ya göre bağıl

ivmesiABAB aaa



10

.B

as

ım

Örnek Problem 11.4

11 - 37

Bir top asansör boşluğunda 12 m’den

düşey doğrultuda 18 m/s’lik bir

başlangıç hızıyla yukarıya fırlatılıyor.

Aynı anda açık platformlu bir asansör,

yukarı doğru 2 m/s’lik sabit hızla

hareket halinde 5 m yükseklikten

geçiyor. (a) Topun ne zaman ve nerede

asansöre çarpacağını (b) top asansöre

çarptığı anda topun asansöre göre bağıl

hızını bulunuz

ÇÖZÜM:

• Topun hareketin sabit ivmeli doğrusal

bir hareket olduğu görülüp, başlangıç

anındaki konum, hız ve ivme

değerlerinin belirlenmesi

• Asansörün hareketinin sabit hızla

doğrusal hareket olduğu ve buradan yer

değiştirmesinin belirlenmesi

• Top asansöre çarptığında birbirlerine

göre bağıl yer değiştirmelerinin aynı

olduğu ve buradan çarpma zamanının

belirlenmesi

• Topun asansöre göre bağıl hızını

bulmak için topun hızı ve asansörün

hızının bağıl hız ifadesinde yerlerine

konulması



10

.B

as

ım

Örnek Problem 11.4

11 - 38

ÇÖZÜM:

• O orijini yer seviyesinde yerleştirip pozitif yönü

yukarı doğru seçersek, topun başlangıç konumu,

y0=+12 m, başlangıç hızı v0=+18 m/s ve ivme a=-

9.81 m/s2 ‘den;

2

2

2

21

00

20

s

m905.4

s

m18m12

s

m81.9

s

m18

ttattvyy

tatvv

B

B

• Tekrardan O orijini yer seviyesinde yerleştirip

pozitif yönü yukarı doğru seçersek, asansörün

başlangıç konumu, y0=+5 m, başlangıç hızı v0=+2

m/s ‘den;

ttvyy

v

EE

E

s

m2m5

s

m2

0



10

.B

as

ım

Örnek Problem 11.4

11 - 39

• Topun asansöre göre bağıl konumu çarpma anında aynı

olduğundan;

025905.41812 2 ttty EB

s65.3

smeaningles s39.0

t

t

• Çarpma zamanı elde edildikten sonra asansörün som

konumu ve topun asansöre göre olan bağıl hızı;

65.325Ey

m3.12Ey

65.381.916

281.918

tv EB

s

m81.19EBv



10

.B

as

ım

Birden Fazla Parçacığın Hareketi: Bağımlı Hareket

11 - 40

• Parçacığın konumu bir yada birden fazla parçacığın

konumuna bağlı olabilir.

• B kütlesinin konumu A kütlesinin konumuna bağlıdır.

Halat esnemeyen sabit uzunlukta olduğu için her bir

kütlenin referans düzlemine göre olan mesafelerinin

toplamı sabittir.

BA xx 2 sabit (tek serbestlik dereceli)

• A, B ve C kütleleri birlikte bağımlı hareket gerçekleştirir.

CBA xxx 22 sabit (iki serbestlik dereceli)

• Konumun doğrusal hareketi için hız ve ivme ifadeleri

de benze şekildedir.

022or022

022or022

CBACBA

CBACBA

aaadt

dv

dt

dv

dt

dv

vvvdt

dx

dt

dx

dt

dx



10

.B

as

ım

Örnek Problem 11.5

11 - 41

A bileziği ve B bloğu şekilde gösterildiği

gibi C, D ve E gibi üç makaradan geçen

bir kabloyla bağlanmışlardır. C ve E

makaraları sabittir. Buna karşılık D

makarası 75 mm/s’lik sabit bir hızla

aşağıya doğru çekilen bir bileziğe

tutturulmuştur. t=0’da A bileziği K

yerinden itibaren sabit bir ivmeyle ve ilk

hızsız olarak aşağıya doğru hareket

etmeye başlamaktadır. L noktasından

geçerken A bileziğinin hızının 300 mm/s

olduğu bilindiğine göre tam bu sırada B

bloğunun yüksekliğindeki değişim, hız ve

ivmesini bulunuz.

ÇÖZÜM:

• Orijin üst yatay yüzeye yerleştirilir ve

pozitif yönü aşağı doğru seçilir.

• A bileziğinin sabit ivmeli doğrusal

hareketinden L mesafesini alması için

gerekli t bulunur.

• D makarasının sabit ivmeli doğrusal

hareketinden t zamanındaki son konumu,

• B bloğunun hareketi A bileziği ve D

makarasına bağlı olduğundan t zamanı

için bloğun bağımlı hareketi,

• Konumun türevlendirilmesi ile B bloğunun

hızı ve ivmesi elde edilmiş olur.



10

.B

as

ım

Örnek Problem 11.5

11 - 42

ÇÖZÜM:

• Orijin üst yatay yüzeye yerleştirilir ve pozitif yönü

aşağı doğru seçilerek

• A bileziğinin sabit ivmeli doğrusal hareketinden

sırasıyla ivme ve t zamanı;

2

2

0

2

0

2

s

mm2252002

s

mm300

2

AA

AAAAA

amma

xxavv

s 333.1s

mm225

s

mm300

2

0

tt

tavv AAA



10

.B

as

ım

Sample Problem 11.5

11 - 43

• D makarasının düzgün doğrusal hareketinden t

zamanı için konumu;

mm 100s333.1s

mm75

0

0

DD

DDD

xx

tvxx

• B bloğunun A ve D’ye göre olan bağımlı

hareketinden, halatın boyu sabit olacağından t

zamanı için orijine göre olan herbirinin konumları

toplamı;

0in.42in.8

02

22

0

000

000

BB

BBDDAA

BDABDA

xx

xxxxxx

xxxxxx

mm4000

BB xx



10

.B

as

ım

Örnek Problem 11.5

11 - 44

• B bloğunun konum ifadesi türevlendirilerek hız ve

ivme;

0s

mm752

s

mm300

02

sabit2

B

BDA

BDA

v

vvv

xxx

s

mm450Bv

0s

mm225

02

2

B

BDA

v

aaa

2s

mm225Ba



10

.B

as

ım

Grup Problemi

2 - 45

A bloğu 6 m/s’lik sabit hızla sola doğru

hareket ediyor. Buna göre B bloğunun

hızını bulunuz.

Çözüm adımları

• Serbest çizim diagramı çizilir ve

koordinat ekseni tanımlanır.

• Kısıt eşitliği yazılır.

• Kısıt eşitliği türevlendirilerek hız

değeri elde edilir.



10

.B

as

ım


2 - 46

Verilenler: vA= 6 m/s sol tarafa hareket

Bulunacak: vBxA

yB

Bloğun ne kadar hareket ettiği önemsiz.

Çünkü halatın boyu sabit.

Serbest Çizim diagramı çizilir ve koordinat

eksenleri tanımlanır.

Kısıt eşitliğinin birinci mertebeden

türevi;

const nts3 aA Bx y L

Kısıt eşitliğinden;

6 m/s + 3 0Bv

2 m/sB v

Burada xA ‘nın büyük, yB’nin diğerine göre küçük değer aldığı görülmektedir. NEDEN



10

.B

as

ım

Doğrusal Hareket Problemlerinin Grafik Çözümleri

2 - 47

Mühendisler genellikle konum, hız ve ivme değerlerini

sensörler aracılığı ile veri şeklinde elde ederler. Grafik

çözüm yöntemi bu verilerin analiz edilmesinde sıklıkla

kullanılmaktadır. Data Fideltity / Highest Recorded Punch

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

47.76 47.77 47.78 47.79 47.8 47.81

Time (s)

Accele

rati

on

(g

)

Boksörün vuruş

anında yumruğundan

ivme sensörü aracılığı

ile alınmış zamana

göre ivmelenme

değerleri



10

.B

as

ım


11 - 48

• Verilen x-t eğrisinin eğiminden elde

edilen, v-t eğrisi

• Verilen v-t eğrisinin eğiminden elde

edilen, a-t eğrisi



10

.B

as

ım


11 - 49

• Verilen a-t eğrisin t1 ve t2 zaman aralığı için altında kalan

alanın hesaplanması ile elde edilen v-t eğrisi

• Verilen v-t eğrisin t1 ve t2 zaman aralığı için altında kalan

alanın hesaplanması ile elde edilen x-t eğrisi



10

.B

as

ım

Diğer Grafik Metodları

11 - 50

• Moment-alan metodu bir parçacığın her hangibir andaki

yerini a-t grafiğinden elde etmek için kullanılır.

1

0

110

01 eğğisinin alan altıltınd

v

v

dvtttv

tvxx

dv = a dt eşitliğinden

1

0

11001

v

v

dtatttvxx

1

0

1

v

v

dtatt a-t eğrisinin t = t1 çizgisine göre

birinci eylemsizlik momenti under.

Ct

tta-ttvxx

centroid of abscissa

curve under area 11001



10

.B

as

ım

Diğer Grafik Metodları

11 - 51

• Parçacığın ivmesinin v-x eğrisi yardımıyla bulunması:

BC

AB

dx

dvva

tan

subnormal to v-x curve



10

.B

as

ım

Parçacığın Eğrisel Hareketi: Konum, Hız ve İvme

11 - 52

Bezbol ve otomobilin eğrisel hareketi

• Parçacığın doğrusal hareketten farklı olarak

bir eğri boyunca iki boyutta gerçekleştirdiği

hareket eğrisel hareket.



10

.B

as

ım


11 - 53

• Parçacığın verilen bir t anında işgal ettiği P yerini tanımlamak için

öncelikle x, y, z gibi sabit referans sistemi seçilir ve O orijiniyle P noktasını

bağlayan r vektörü çizilir. Bu r vektörüne t zamanında parçacığın yer

vektörü de denilir.

• Parçacığın t + Dt anında işgal ettiği P’ yerini tanımlayan r’ vektörünü ele

alacak olursak



10

.B

as

ım


11 - 54

0limt

s dsv

t dtD

D

D

Ani hız

(Vektör)

Ani Sürat

(skaler)

0limt

r drv

t dtD

D

D



10

.B

as

ım


11 - 55

0limt

v dva

t dtD

D

Danlık ivme (vektör)

• Parçacığın herhangi bir t anında sahip olduğu hız, ve t+∆t anında sahip

olduğu hız ise;

v

v

• İvme vektörünün doğrultusu genellikle

parçacığın yörüngesine ve hızına teğet değildir.

• Parçacığın herhangi bir t anında ve t+∆t anındaki hızı düşünüldüğünde;



10

.B

as

ım


11 - 56

• Parçacığın hız vektörünün zamana göre değişiminden elde edilen

yörüngeye parçacığın ivmesi her zaman teğettir. Bu yörüngeye hodograf

denir.



10

.B

as

ım

Vektör Fonksiyonlarının Türevleri

11 - 57

uP

• u, skaler değişkenine bağlı vektör fonksiyonu olsun

u

uPuuP

u

P

du

Pd

uu D

D

D

D

DD

00limlim

• Türevlerin toplamı

du

Qd

du

Pd

du

QPd

du

PdfP

du

df

du

Pfd

• Skaler ve Vektörel fonksiyonların çarpımların türevi

• İki fonksiyonun skaler ve vektörel çarpımlarının türevleri

du

QdPQ

du

Pd

du

QPd

du

QdPQ

du

Pd

du

QPd



10

.B

as

ım


11 - 58

• P parçacığının r yer vektörünü dik bileşenlere

ayırarak

kzjyixr

• Hız vektörü,

kvjviv

kzjyixkdt

dzj

dt

dyi

dt

dxv

zyx

• İvme vektörü,

kajaia

kzjyixkdt

zdj

dt

ydi

dt

xda

zyx

2

2

2

2

2

2



10

.B

as

ım


11 - 59

• Mesela bir top mermisinin hareketi düşünüldüğünde

hava direnci ihmal edildiğinde her bir eksen için ayrı

ayarı ivme ifadeleri düzenlenebilir.

00 zagyaxa zyx

Başlangıç koşullarından,

0,,0 000000 zyx vvvzyx

İki kere integrasyon işleminden sonra,

0

0

2

21

00

00

zgtyvytvx

vgtvvvv

yx

zyyxx

• Hareketin yatay bileşeni sabit hızlı doğrusal hareket

• Hareketin dikey bileşeni sabit ivmeli doğrusal hareket

• Eğik atış hareketinde dik bileşenler üzerindeki

hareket dik bileşenler üzerinde ayrı ayrı

değerlendirilir.



10

.B

as

ım

Örnek Problem 11.7

11 - 60

Bir top mermisi 150 m

yükseklikteki bir uçurumun

kenarından yatayla 30 açıda 180

m/s’lik bir başlangıç hızıyla

ateşleniyor. Hava direncini ihmal

ederek (a) Topla merminin yere

düştüğü nokta arasındaki uzaklığı

(b) merminin yerden itibaren

ulaşabileceği en fazla yüksekliği

bulunuz.

ÇÖZÜM:

• Yatay ve dikey bileşenlerdeki hareketler

ayrı ayrı düşünülür.

• y-yönündeki hareket denklemleri yazılır

• x-yönündeki hareket denklemleri yazılır.

• Yatay doğrultudaki mesafeden yola

çıkarak merminin toplam uçuş süresi

hesaplanır.

• vy=0 anında merminin çıkabileceği azami

yükseklik hesaplanır.



10

.B

as

ım

Örnek Problem 11.7

11 - 61

ÇÖZÜM:

Verilenler: (v)o =180 m/s (y)o =150 m

(a)y = - 9.81 m/s2 (a)x = 0 m/s2

Dikey hareket– sabit ivmeli

Yatay hareket – sabit hızlı:

Choose positive x to the right as shown



10

.B

as

ım

Örnek Problem 11.7

11 - 62

ÇÖZÜM:

Yatay mesafe için,

Merminin zeminde ulaşacağı son

konumu

Merminin toplam havada kalma zamanı t bulunur.

Azami yükseklik vy=0 olduğu anda gerçekleşir.

(2) nolu denklemde yerine yazılırsa,

(4) nolu denklemde bulunan t zamanı yerine yazıldığında

Merminin zeminden ulaşabileceği azami yükseklik=



10

.B

as

ım

Concept Quiz

2 - 63

Eğer mermi 150 m

yükseklikten tekrar ateşlenirse

yatay yönde alabileceği mesafe

aşağıdaki durumlardan

hangisinde daha fazla olur?

a) Fırlatma açısı 45 olma durumunda

b) Fırlatma açısı 45 ’den küçükse

c) Fırlatma açısı 45 ’den büyükse

d) Başlangıç hızını dikey bileşeni artırıldığında



10

.B

as

ım


11 - 64

Bir beyzbol makinesi, beyzbol

toplarını yatay v0 hızıyla

fırlatıyor. h yüksekliğinin 788

mm olması istendiğine göre (a)

v0 bulunuz.

ÇÖZÜM:

• Yatay ve dikey bileşenlerdeki hareketler

ayrı ayrı düşünülür.

• y-yönündeki hareket denklemleri yazılır

• x-yönündeki hareket denklemleri yazılır

• Topun 788 mm deki pozisyonu için varış

zamanı bulunur

12.2 m

1.5 m



10

.B

as

ım


2 - 65

y-yönündeki

hareketin analizi

Verilenler : x= 12.2 m,

yo = 1.5 m, yf= 788 mm.

Bulunacak: vo

20

1(0)

2fy y t gt

x-yönündeki

hareketin analizi

0 00 ( )xx v t v t

2

2

15.1788.0 gt

2905.4712.0 tm

st 047.2

svm 047.2)(2.12 0

smv /96.50

Phillip J. Cornwell Parçacık Kinematiği · 2016. 2. 22. · MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR...

Documents

Transcript of Phillip J. Cornwell Parçacık Kinematiği · 2016. 2. 22. · MÜHENDİSLER İÇİN VEKTÖR...