pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚...

68
!" #"#"" $# % !&!’ $# ( )** %’’ (+ , **-). ! % ’!/’$ $# ( !’% ’’’ !$#’’$! 0 !$ ( 123 4%5 + *4

Transcript of pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚...

Page 1: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� �

���������������� ����������

������������������� �� ����

�������� ������������

���� �����

�������

�������������� !�� "�#�"#�""�����$#��%��!�&��!�����'�$#�

(� ���)** � � %�'�'�

(+�

���� �,����

*��*- ��).��

����!��%��'���!/�'�$��$#�

���(���� !'% ��''�'� ����!$#�''$!�

���0�����!$���

(������� � � ����� ���������������������

������1�2� ��3�

�4�%5� +�*��4�

Page 2: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� .

���������������� ����������

������������������� �� ����

�������� ������������

���� �����

�������

�������������� !�� "�#�"#�""�����$#��%��!�&��!�����'�$#�

(� ���)** � � %�'�'�

(+�

���� �,����

*��*- ��).��

����!��%��'���!/�'�$��$#�

���(���� !'% ��''�'� ����!$#�''$!�

���0�����!$���

(������� � � ����� ���������������������

������1�2� ��3�

�4�%� +5�*��4�

Page 3: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� *

�,���������� ���

��6�'%��$��7�!�''��+�8! ��������$��!$#9� ���(���� !'% ��#$!�8�/��8���� ��$��$!�����+��$�

��!'����%�'� %�'�'�6$!:�����!�%�'�'���!/�'�$�5� ��� "'$�#$!�����8� �;$�'� ���'$�!;��$#�

��'��! ��$�� ���8��� �;���%!$�8%$����%��;$�!'��$#��%�'�6$!:9�

�� "'$�'��;�!�"+��% �:��!9��9���!�� ! + � �� ���!9�� 6 ���% !� �#$!��!$/����8����

6��%� ;;�''��$��%���7;�""����# ;�"����'� / �" �"�� ���%���+'��!<� ��#$!��%����!�$'��$#��%�'�

6$!:9�

�� �� "'$�8! ��#�"��$�� ��'%� 9�9� ���� :�'%�,�#$!��%������!$�'��$���<;"� !��8�� �"'�

���;% �'9�

���%��:���6�""���#� ���%��'$"����!�$'��$#��%�'� ;:�$6"��8�����'��7�!;�'���#���# �"��$��% �:�

�+�#!����'��'��;� ""+������: �5�� =�'%�5���! =�5�'%�'%� ����% :!��#$!��%��!�'���$!�� ���

;$$��! ��$����!��8��%������!��'���'��!9��$�>""���/�!�:�$6�%$6�� �+���##�!�����!$�"��'�

��'$"/��� ���;$�;���'������"�� ���!�<���"�� #��!���% ��� :��� ��!� :��$�% �8�$���6��%�+$��

#$!� �;$��"��$#�%$�!'9����

Page 4: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� ?

��� ���� ��

� %�'� �'� �$� ;�!��#+� �% �� �%�� %�'�'� ���"��5� @������� ��� �� ����������� ��� �� �������

�������� ������������� ���� �������������� ����� ����������>5� '��������� �+� ������

��� 5� ����$9�� ��!"# $%5� ���� !�� "�#�"#�""�����$#� �%��!�&��!�����'�$#�(� ���)** �

%�'�'5����$���'��%��6$!:��$����+�%�������!��+�'���!/�'�$�9�

4�%� +5�*��4�

1����!/�'$!3�

���(���� !'% ��

''�'� ����!$#�''$!�

����0�����!$���

Page 5: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� )

��� ������(�������((���� �����

���� ���"���!$8! �� �"��� ���!! +�

���'� � !�6 !����';!����$��� �8� 8�'�

�<A� �'' 8����8�'�5���!'�$��A�

��<*A4� ��;�!��� '%�"8$!��%�5���!'�$��*�

�����<

.4��

��������8!��+��!�����/�'��/ "� ��$���'' 8����8�'�5�.4��

(���

�,�� ��;!���,�+��!+��$8! �%+�

�,�� ���"�;�,�+��!+��$8! �%+�

��� ����� "�� "���

��� �% ����8�� !� �"�'�

���� �!$8! �� �"���� ����"+���$!+�

����� �! ' �"���!$8! �� �"���� ����"+���$!+�

������ �"�;�!�; ""+��! ' �"���!$8! �� �"���� ����"+���$!+�

��� �� ��;�� ��$��;;�''���$!+�

��� �!$8! �� �"���$8�;�!! +�

���� �!$8! �� �"���$8�;���/�;�'�

���� ���"���!$8! �� �"����/�;�'�

��� ':����!$8! �� �"��� ���!! +�

���� �$��"����� !+��� "��7��������;$���;�$!�

� �� ���� �����!$8! �� �"��

��� ���!$8! �� �"��

��� �$�����!��������'�8��

����� ����"���!$8! �� �"���$8�;���/�;�'�

����� �$��"�7��!$8! �� �"���$8�;���/�;�'�

����� ��!+���8%�����������8! ������!;����� !�6 !����';!����$��

� �8� 8��

��!�"$8� ��!�#+��8��$8�;�

���� ��"�; ��$�����;�#�;�����8! ������!;���'�

����� ����;�����'�!�;��$�������$������8�

���� �!+��$8! �%�;���������� ��� ;%����

� �� ��8�'��!� ! �'#�!���/�"�

Page 6: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� A

"������"�� ����'�8�� ������"����� ��$��$#� ����#����� !�6 !��

!;%���;��!��#$!��!+��$8! �%�;�� '%��!�����/�'�

#���������� ���(���� !'% ��

#�������� ��;$��� #������� *��A�0�*��4�

&�������#������ �$%���,$�"� ��&�'� *��*- ��).�

�'�! ;��

���%��%����;!� '��8��!$�����;��$#��%������!���� '� ��$$"�$#�;$���!;�5�

'�;�!��+�% '���;$��� ��!�����$�'"+����$!� ����''��9������''���� "� '��;��

#$!�'�;�!��;$�����; ��$��$/�!����6$!:'��'��% ��$#�;!+��$8! �%+9������'�!�'�

�% ���%�� ��%����; ��$�5��!�/ ;+5�����8!��+� ����$�<!����� ��$�� '��;�'�$#�

;$�����; ��$�� !���$��;$��!$��'��9�� %����;!� '��8��!$�����;��$#��$��"��

��/�;�'�% '���;!� '����%����;�''��+�#$!�% !�6 !�����"����� ��$�'�$#�

;!+��$8! �%+� "8$!��%�'9� %�!�� !���%!���;" ''�'�$#�;!+��$8! �%+�

"8$!��%�'5�'�;!���:�+5����"�;�:�+� ���$���6 +�% '%��� '%�"8$!��%�'� !�� �

;" ''�$#�;!+��$8! �%�;��!�����/�'��'���#$!�#�"#�""��8��%��!�&��!�����'�$#�

����8!��+� ��� ��%����; ��$�����;!+��$8! �%+9� %�'��%�'�'� ��'� ���!$�$'��8�

������"�������8� ����#���� !;%���;��!��#$!�'�/�! "��$��" !�$���6 +�% '%�

"8$!��%�'�'�;%� '��<A5���<*A45������<.4�� ��� �8�!�$�� �

�!$8! �� �"��"$8�;���/�;��;$����'�! �"�����;$��"�7��+��$����'9��

Page 7: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� 4

(��������� �� ��

�������� ���� 1*3�

���������� ��������������������� 1)3�

��������� 1AB3�

� �

.9����!$��;��$�� C�

� �

*9��!+��$8! �%+�"8$!��%�'� .��

� *9.�( '�;'�$#��!+��$8! �%+� .��

� *9*� +��'�$#��!+��$8! �%+�"8$!��%�'� ..�

� *9?��!+��$8! �%�;�"8$!��%�'�����! ;��;�� .*�

� *9)������ +�� '%�"8$!��%�'� .)�

� � *9)9.�����! "�$��"�#$!����! ��/��� '%����;��$�'� .A�

� � *9)9*��'' 8����8�'�5���!'�$��A�1�<A3� .4�

� � *9)9?���;�!��� '%�"8$!��%�5���!'�$��*�1��<*A43� .D�

� � *9)9)���������8!��+��!�����/�'��/ "� ��$���'' 8����8�'�<

.4��

**�

� � *9)9A� �8�!�"8$!��%��� *A�

� � *9)94��$�� !�'$��$#��<A5���<*A4�5�����<.4��E�

�8�!�

*C�

?9���<�$�#�8�! �"���$������8� ?��

� �����������?9.9.���<�$�#�8�! �"���$������8�!;%���;��!�� ?��

� �����������?9.9*���$�� !�'$�� �����"�; ��$�'� ?*�

� �����������?9.9?��$����8� �����<;$�#�8�! �"��'+'���'� ?)�

� ?9*����"���!$8! ����8�� ���!! +'� ?A�

)9��!+��$8! �%�;��!�����/�'�$��� !�6 !�� )*�

� )9.�$��/ ��$��#$!��!+��$8! �%+�� !�6 !�� )*�

� � �

� � �

A9�����#����!;%���;��!��#$!��!+��$8! �%+�� '%�"8$!��%�'� )A�

Page 8: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� -

� A9.���8�� "��+'������'�8�������"���'� )A�

� A9*�� '%�"8$!��%���% ! ;��!�'��;'� )-�

� A9?�� � � �%��$��$����'� )C�

� A9)����"����� ��$��E��$��"����� � � �%� A.�

� A9A��7���'�$���$���;"���� �8�!� '�6�""� AA�

� A9A���!�"$8�� ���$���8������"���'� A-�

49��$�;"�'�$�'�E�����!���$!:� AD�

� �

����������� ������������� 4��

���������� ��������� ��!�� 4.�

������������"�#������ 4-�

Page 9: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� C

�% ���!��� ���!$��;��$��

%������!�����!$/���'��''���� "�;$�����; ��$�����6������""�$�'�$#���$�"�� ����'�����8�

��;!� '��8"+��'��� '� ��$$"�$#�;$���!;�9�����%�'�;$���7�5�'�;�!��+���;$��'� �

�!�����$�'"+����$!� ����''����$��� "�6��%�9 %�� �"�8! �%5���"��%$��5�! ��$5� ���

�'��;� ""+��%��;$�����!�% /�������/�!+$���$���%��8"$���6��%���� !'%$�<<<< ���%���!�;��$#�

$�!��!�/ ;+9����� +�#��"�"�:��6�� !����!#$!���8� ������� ��� ;��6%��5�'�&��'��!������$�!�

!$$�'� ���;���;"�'5�6��; '� ""+��'��$�!�;�""��%$��'� ���;$�����!'��$��! �'����$�!�

�%$�8%�'5�;$�#����;�'5���'���''��" �'5� ����/���$�!��$��+9�(���;"�/�!�� /�'�!$���!'�

���'$������'��/����$�<'$<;"�/�!�$��'�; ��%� !���� ""9�����%��:�6�� !��6%�'��!��85�����

6��!� ""+� !���!$ �; '���8FFFF�

��$����� "� ����$����7�'�'G�H�!+��$8! �%+I5��%���'��$#�'�;!���;$��'� ���;��%�!'��$�

';! ��"����#$!� ��$��'$��% ����J'�6$!�%"�''��$� �+$��������%�����������!�;������'9�������

�'��%!$�8%��%��� 8�;�$#�;!+��$8! �%+��% ��� �+�;$�����; ��$��;$�/����$�'�$#��%��!� "�

6$!"�<<'�;%� '�'�8� ��!�'5�;$��! ;�'5�!�;����'5� ����/����$:�!�8 ��'<<% /��#$�����%��!�

6 +��$��%�����&���$�'��"�;�!$��;�;$��$�'9� %�!�� !��� �+� '��;�'��$�'�;�!��+� ���� �+�

��"�; ��$�'5�! �8��8�#!$��'�;�!��;$���!;�� ���� +����'��$��!�/ ���;$�����; ��$�'�

����!$��;���8�� ''6$!�'9������''���� "� '��;��#$!�'�;�!��;$�����; ��$�'��'��% ��$#�

;!+��$8! �%+9����%���;!� '��8��!$�����;��$#�;$�����; ��$�'�$���$��"����/�;�'5��%��

'$#�6 !�����"����� ��$�'�$#��%��/ !�$�'� "8$!��%�'� !��#$�����$������' �/ �� 8�$�'����

��!�'�$#�'����5��$6�!�;$�'�����$�� ���$�%�!�'�;%�# ;�$!'9� %�!�#$!�5��%����;�''��+�#$!�

% !�6 !�����"����� ��$��$#�;!+��$8! �%+� "8$!��%�'�% '���;!� '���� ��#$"�9� %��

��� �"'�$#��%��;!+��$8! �%�;� "8$!��%�'� !���!�'����������% ���!���9�

%�� ��"�; ��$�'� $#� ;!+��$8! �%�;� % !�6 !�� ��;"���5� ���� !�� �$�� !�'�!�;���� �$5� ����!����

!$���!'5��"�;�!$��;�#�� �;� "��! �' ;��$�'5�!��$��� ;;�''�'�!/�!'5�/�!�� "��!�/ ������6$!:'5�

�$��"�� ��"��%$��� ���6$!:'� ��� ' ��""���� ;$�����; ��$�'9� ���"�������8� ;!+��$8! �%+�

"8$!��%�'� $�� �!$8! �� �"�� % !�6 !�� 8�/�'� �'� � %$'�� $#� �/ �� 8�'� "�:�� "8$!��%��

8�"��+5� "8$!��%�� ��"$ ���85� "8$!��%�� �$��#�; ��$�5� !;%���;��!�� �##�;���;+� ��� ;$'��

�##�;���;+5� ��� �����$�� �$� ����8� !�;$�#�8�! �"�9���;$�#�8�! �"���$������8� ������'�

!��;$/�!�������% ���!����9�

%���!�'����'� ��'�$#�!�'� !;%�6$!:������'�8���8�;!+��$8! �%+� "8$!��%�'�$��% !�6 !���'�

Page 10: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� D

�!�'����������% ���!���9��% ���!����7�" ��'������� �"� �%���!$�$'������#���� !;%���;��!��

#$!� �%�� #$�!� % '%� "8$!��%�'9� ��'�8���8� ;!+��$8! �%�;� "8$!��%�'� $�� % !�6 !�� �'�

� '�; ""+� ���8�� "� '+'������'�8���!$;�''9� %�!�#$!�5� ;$/�! 8��$#���8�� "� '+'������'�8��

8����"���'� '�6�""� '� ;$���8� #$!� '+��%�'�K ��"��+� �����!�"$8�% '�������$��9��% ���!����

;$�;"���'��%��!��$!��6��%� ��!$�!� ���8����"���'�#$!�#���!��6$!:9�

������7��8�/�'���� �"'�$#��%���������� $$"'��'��� "$�8�6��%��%���!$=�;��#�"��"�'���8�

6%�"��������7�(��7�" ��'��%��8����"���'�#$!�'���" ��$�� ���'%$6'�;�!� ���';!����'%$�'�

$#��%������" ��$�9�

Page 11: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� .�

�% ���!���� �!+��$8! �%�;�"8$!��%�'��

*9.�( '�;'�$#��!+��$8! �%+�

�!+��$8! �%+� �'� �%�� ';���;�� $#� 6!����8� ��� '�;!��� ;$��� ��� �'� �� �;����� !�L� �%�� #�!'��

�$;�������� �'�� $#� ;!+��$8! �%+� ��� 6!����8� � ��'� � ;:� �$� ;�!; � .D��� (9�9� 6%��� ��

�8+��� ��';!�����'����$�<'� �� !��%��!$8"+�%'���� ����';!����$�9��$����7��!�'� !8����% ��

;!+��$8! �%+� ��� !��� '�$�� ��$�'"+� '$������� #��!� 6!����8� 6 '� ��/�����5� 6��%�

��"�; ��$�'�! �8��8�#!$�����"$� ��;���''�/�'��$�6 !<������ ��"���" �'9�����'��$�'�!�!�'�5�

�%��5� �% �� ��6� #$!�'�$#� ;!+��$8! �%+� ; ��� '$$�� #��!� �%��6���'�!� �� ��/�"$������ $#�

;$�����!� ;$�����; ��$�'9� ��� � � � ��� ��"�;$�����; ��$�'5� ;!+��$8! �%+� �'� ��;�'' !+�

6%��� ;$�����; ���8� $/�!� �+� �$�� �!�'���� ������5� 6%�;%� ��;"���'� =�'�� �$��� ����

���6$!:5�� !��;�" !"+��%������!���9��

���%��� �%�� ;$���7�� $#� �+� ��"�; ��$�<�$< ��"�; ��$�� ;$�����; ��$�5� �%�!�� !�� '$���

'��;�#�;�'�;�!��+�!�&��!�����'5���;"����8G��

• �!�����������$� %�� �!$;�''� $#� �!$/��8� $��J'� �������+9� 1 %�� �!�� !+� #$!�'� $#�

%$'�<�$<%$'�� ��%����; ��$�� $�� �%�� ����!���� �$� +� !�� � ��<� '��� $!� ��!�''<

� '��5��$�%�$#�6%�;%� !���$�$!�$�'"+�6� :93��

• %������"�������������$���'�!��8� �% �� �$� $��� ; �� !� �� �%�� ��'' 8�� �7;���� �%��

���������!�;��/�!9��

• &�������$�''�!��8��%��!�;��/�!��% ���%��!�;��/�����'' 8��% '��$������� "��!������

�+�6 +�#!$���%��$!�8�� "9��

• '��(��!�������$����;% ��'���$��!$/���% ���%��'����!�!� ""+�'�����%�'���'' 8�9��

�!+��$8! �%+5��%��5��$��$�"+��!$��;�'�� � �#!$���%�#��$!� "��! ��$�5�����; �� "'$�����'���

#$!��'�!� ��%����; ��$�9��

%�!�� !�5����8���! "5��%!����+��'�$#�;!+��$8! �%�;�';%���'��+��; ""+��'����$� ;;$��"�'%�

�%�'�� 8$ "'G� '�;!��� :�+� 1$!� '+����!�;3� ;!+��$8! �%+5� ���"�;<:�+� 1$!� '+����!�;3�

;!+��$8! �%+5� ��� % '%� #��;��$�'5� � ;%� $#�6%�;%� �'� ��';!����� ��"$69� ��� ""� ; '�'5� �%��

����� "�����;!+������ � ��'�!�#�!!����$� '��������9�����'���;!+��������$���������5�6%�;%�

6�""������!��1�'� ""+3������;!+��������$��' �"���" ����7�9�

Page 12: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� ..

*9*� +��'�$#��!+��$8! �%�;�"8$!��%�'�

%�!�� !�� '�/�! "� 6 +'� $#� ;" ''�#+��8� ;!+��$8! �%�;� "8$!��%�'9� �$!� ��!�$'�'� $#� �%�'�

�%�'�'5� �%�� ; ��8$!�K ��$�� 6�""� ��� � '��� $�� �%�� �����!� $#� :�+'� �% �� !�� ���"$+��� #$!�

��;!+���$�� ��� ��;!+���$�9� %�� �%!��� �+��'� $#� "8$!��%�'� �% �� 6�""� ��� ;$�'���!��� !��

1��8�!��*9.3G��

• ��;!���,�+��!+��$8! �%+G��'�'� �'��8"��:�+�#$!��$�%���;!+���$�� �����;!+���$��

• ���"�;� ,�+� �!+��$8! �%+G� �'�'� $��� :�+� #$!� ��;!+���$�� ��� �$�%�!� #$!�

��;!+���$��

• � '%� ���;��$�'G� �'�'� � � �%�� ��; "� �! �'#$!� ��$�� �$� �!!�/�!'��"+� M��;!+��M�

��#$!� ��$���

�����������������������5� �'��8"��:�+��'��'���#$!��$�%���;!+���$�� �����;!+���$�9�'�

'%$6�������89�*9.5��%��'����!��'�'��%��:�+�1$!�'$���'���$#�!�"�'3��$���;!+����%���" ����7��

���'���'��%��;��%�!��7���$��%��!�;��/�!9� %��!�;��/�!� ��"��'��%��' ���:�+�1$!�!�"��'��3��$�

��;!+��� �%����'' 8�� ��� !�;$/�!� �%�� �" ����7�9� (�; �'�� � '��8"�� :�+� �'� �'��� #$!� �$�%�

#��;��$�'5�'�;!���:�+�;!+��$8! �%+��'� "'$�; ""����� ��������������9� %�!�� !��'�/�! "�

6���"+��'���'�;!���:�+�;!+��$8! �%+�';%���'� ����%�+� !��8���! ""+�; ��8$!�K��� '�����8�

��

�������������� �������������������� �������

Page 13: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� .*

���%�!����� ��������$!������������9��7 ��"�'�$#�'�;!���:�+�;!+��$8! �%+� "8$!��%�'�

��;"�������5����5���A5�("$6#�'%���;9�

%!���(��� ������������� )%*�+� % '� ����� ' ��� �$� ��� �%�� �$'�� '�8��#�; ��� ��6�

��/�"$���������;!+��$8! �%+�����%��" '��?��<)���+� !'9����6 '�$!�8�� ""+�;$�;���� "�K���

'� � �6$<:�+� ;!+��$� '+'���� ��� 6%�;%� �6$� � !���'� ;$�"�� ��8 8�� ��� � '�;�!��

;$�����; ��$�� $/�!� � �$�<'�;�!�� ;$�����; ��$�'� ;% ���"� 6��%$��� % /��8� �$� '% !�� �

'�;!���:�+9�:�+��'��'����$���;!+����%���" ����7�� ����%��$�%�!�:�+��'��'����$���;!+����%��

;��%�!��7�9� %�����$!� ����$����%�!���'��% ������$�'��$��� ���!�6%�;%�:�+��'� ��"����#�!'�5�

���� �% �� �$�%� :�+'� !�� !�&��!��� #$!� �%�� �!$;�''� �$�6$!:� 1��89� *9.(39�(�; �'�� � � �!� $#�

:�+'��'�!�&��!��5� �%�'� ��!$ ;%��'� "'$�; ""������ �����������������9� ����,�5�$���$#�

�%�� :�+'� �'� ��'�8� ���� �%�� �!���� ��� ��� � +� ��� �/�!��'��� '� 6���"+� '� �%�� $6��!�

6 ��'9� %��$�%�!�:�+��'���'�8� �����%������������ ����'���/�!�!�/� "����$� �$�%�!�� !�+9�

%���$'��;$��$���7 ��"��$#��,���'��%����� "8$!��%�9�

,�����!�������5� "'$�; ""��� ������������ �����(�������������5� !�� "8$!��%�'��% �5�

��� '$��� '��'�5� �'�� �$�:�+� 1��89� *9.�39� ��'�� �5� � #�7��<"��8�%�% '%�/ "��� �'� ;$�������

� '�����$���%���" ����7���% ��� :�'�������$''��"��#$!����%�!��%��;$�����'�$!�"��8�%�$#��%��

�" ����7�� �$� ��� !�;$/�!��9� ��!�%�!�$!�5� �%�!�� �'� �� "�$'�� K�!$� �!$� ��"��+� �% �� �6$�

��##�!���� �" ����7�� ��'' 8�'� 6�""� +��"�� �%�� ' ��� % '%� / "��9� � '%� "8$!��%�'� !��

�+��; ""+��'����$��!$/���� �������������������$#� �#�"�J'�;$�����'�$#�����'����$���'�!���% ��

�%��#�"��% '��$������� "��!����+� �����!���!�$!�/�!�'9�� '%�#��;��$�'� !�� "'$�;$��$�"+�

���"$+��� �+�� �+� $��! ���8� '+'���'� �$� ��;!+��� � ''6$!�'9��7 ��"�'� $#� �$��" !� $���

6 +�% '%� "8$!��%�'���;"�����<*5��<)5��<A5���<.5������<.4����;9��

*9?��!+��$8! �%+�"8$!��%�'�����! ;��;���

� ;%�;!+��$8! �%+�';%�����'�$�����K���#$!�'$���'��;�#�;� ��"�; ��$�1'39�� '%�#��;��$�'5�

#$!��7 ��"�5� !��6�""<'������#$!���'�!��8�� � �����8!��+���; �'�� �+�;% �8��� ����$��%��

;$�����'�$#� ���'' 8��6�""�!�'�"�� ��� �%��!�;��/�!�; ";�" ���8� ���##�!����% '%�/ "��� �% ��

�%�� $��� �" ;��� ��� �%�� �! �'��''�$�� �+� �%�� '����!9� ���;�� ��� �'� %�8%"+� ��"�:�"+� �% �� �6$�

��##�!���� ��'' 8�'�6�""� +��"�� �%�� ' ��� % '%� / "��5� � � � ����8!��+� �'� ��'�!��� �$� � %�8%�

��8!��� $#� ;$�#����;�9� ��;!��<:�+� ;!+��$8! �%+5� $�� �%�� $�%�!� % ��5� �'� ��� ""+� '������ �$�

��;!+����8���'' 8�'9� %��'����!�; ��8���! ��� �����������$�� ���!<��'' 8��� '�'� �$�

Page 14: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� .?

��;!+����%����'' 8�L��%��!�;��/�!5�$#�;$�!'�5�����'��%��' ���'�''�$��:�+��$���;!+����%��

��'' 8�9� ,�+� �7;% �8�5� $#� ;$�!'�5� �'� � :�+� ��"�; ��$�� $#� ���"�;<:�+� ;!+��$8! �%+9�

'+����!�;�';%���'�; �� "'$�����'���#$!��$�<!����� ��$�L��#��%��!�;��/�!�; ��$�� ����%��

'�''�$��:�+���;!+�����6��%��%��'����!J'��!�/ ���:�+5��%���$�"+��%�'�'����!�;$�"��% /��'����

�%�� ��'' 8�9� ���"�;<:�+� ;!+��$8! �%+� ;$�"�5� �%�$!���; ""+5� "'$� ��� �'��� �$� ��;!+���

��'' 8�'� "�%$�8%� �%�'� �'� ! !�"+� �$��� ��; �'�� '�;!��<:�+� ;!+��$8! �%+� $��! ��'� �$���

.��������'�# '��!��% �����"�;<:�+�;!+��$8! �%+9��

��89�*9*����'� ""�$#��%�'��$8��%�!� ���'%$6'�%$6� ����������������������';%����;$�����'�

""� $#� �%�'�� #��;��$�'� �$� #$!�� � '�;�!�� �! �'��''�$�� ;$��!�'��8� ������� ������!�� ���

�����������9�����%�'��7 ��"�5��%��'����!�$#��%����'' 8���'�"�;�� ����%��!�;��/�!��'�

($�9����8�� "���/�"$���;$��!�'�'� ����;!+�������'' 8�� ��� ����;!+�����'�''�$��:�+9�

"�;���'�'�'�;!���:�+�;!+��$8! �%+��$���;!+���%�!���'' 8���'��8��%�����������5�6%�;%�

'%�� 8���! ��'� �� ! ��$��6��%� � ;%� '�''�$�9� "�;�� �%��� ��;!+��'� �%�� '�''�$�� :�+� �'��8�

($�J'����"�;�:�+9� %����;!+�������'' 8�� �����;!+����� '�''�$��:�+� �$8��%�!� #$!�� �%��

��8�� "���/�"$��9���$��!�;����5�($��!�;$/�!'��%��'�''�$��'�;!���:�+��'��8�%�'��!�/ ���:�+�

��� �%�����;!+��'� �%����;!+�������'' 8�9� %����8�� "� '�8� ��!�� �'� #$!���� ��� �6$�'���'9�

��!'�5�"�;��;$�����'� �%��% '%�/ "���$#�%�!���'' 8�L���7�5� '%����;!+��'� �%��% '%�/ "���

6��%�%�!��!�/ ���:�+9���$��!�;�����$#��%����8�� "�'�8� ��!�5�($��!�;$/�!'��%��% '%�/ "���

; ";�" �����+�"�;���+���;!+����8��%����8�� "�'�8� ��!��6��%�"�;�J'����"�;�:�+9�($��; ��

�%��� ��"+��%��% '%�#��;��$���$�"�;�J'�$!�8�� "���'' 8�5�6%�;%�%��% '� "!� �+���;!+����9�

�#� �%�� !�'�"� ��� % '%� / "��� �'� �$�� �%�� ' ��� '� �%�� / "��� '���"���� �+� "�;�5� �%��� ($��

��

�������������������� ������������������

Page 15: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� .)

:�$6'� �% �� �%����'' 8��% '������ "��!��L� �#� �%��% '%�/ "��'� !�� �%�� ' ��5�($�� '%$�"��

��"��/���% ���%����'' 8��%��!�;��/����'�������; "��$��%��$����% ��"�;��'���9� %�'�';%����

"'$� �!$/���'� �$�<!����� ��$�� '��;�� ��� �!$/�'� �% ��"�;�� '���� �%����'' 8�L� �#� �%�� % '%�

/ "���!�;$/�!����+�($���'��8�"�;�J'����"�;�:�+��!$/�'� �% �� �%����'' 8��% '��$�������

"��!��5��%���$�"+�"�;��;$�"��% /��;!� �����%����8�� "�'�8� ��!�9�($�� "'$�% '��!$$#��% ��

%�� �'� �%�� ���������!�;��/�!L� �#�%��; ��;$!!�;�"+���;!+��� �%����'' 8�5� �%���%����'��% /��

;$!!�;�"+� ��;!+����� �%�� '�''�$�� :�+��� ���8� �% �� %�'� �'� �%�� ;$!!�;�� �!�/ ��� :�+9�$!��

��� �"'�; �����% ��#!$��N.O9�

%�� !�'�� $#� �%�� !��$!�� 6�""� '$"�"+� ;$�;���! ��� $�� �%�� �%�!�� ;" ''� $#� ;!+��$8! �%+�

"8$!��%�'5�� ��"+5�$���6 +�% '%�#��;��$�'9�

*9)������ +�� '%�"8$!��%�'�

�������������� ����� �!���������" +� � #��� ���� "� !$"�� ����$��!�� ;!+��$8! �%+9��%�"��

!�" ���� �$� ;$�/����$� "� % '%� #��;��$�'� ;$��$�"+� �'��� ��� �$�<;!+��$8! �%�;� ;$�����!�

��"�; ��$�'�0�����$�%�; '�'5�" !8�!��$� ��'� !��� ������$�'� ""�!�! �8�'�0��%�+���##�!����

'�/�! "� ���$!� ��� '��;�'9� ��!� #$;�'� �'� !�'�!�;���� �$� ;!+��$8! �%�;� % '%� #��;��$�'�

1%�!� #��!5� '���"+� % '%� #��;��$�'35� ��� ��� � !��;�" !� �$� �%��!� �'�� #$!� � � � ����8!��+� ���

��'' 8�� ��%����; ��$�9�

� '%�#��;��$�'�� :�� ���'' 8�� '������� ����!$��;�� ��$������!�#�!!����$� '� ��������5�

����(��!�5� ����(��!5� $!� '���"+� ����9� $!�� �!�;�'�"+5� � % '%� #��;��$�� %� � �'�

���'�!��8'�$#� !���! !+�#������"��8�%��$�'�!��8'�$#�#�7���"��8�%5�' +������'9��$!� ��$� �����

���! �8����6��%�%�G��→�� ���P�P�Q�P�P5��%��#��;��$���'�� �+<�$<$��5����"+��8��% ���%��

�7�'���;�� $#� ��������� 1� �!'� $#� �����'� 6��%� ������; "� $�����3� �'� �� /$�� �"�9� ������5�

!�'�!�;���8�%��$� ��$� ���$#��<���� �����'�1��Q��35��#�%�6�!��H! ��$�I�����%��'��'���% �� ""�

$�����'�6�!���''���� ""+��&���!$� �"�5��%��� �$���*�<�� �����'�6$�"��� ���$�� ;%�$�����5�

��� �6$� ! ��$�"+� ;%$'��� �����'� 6$�"�� +��"�� �%�� ' ��� $������ 6��%� �!$� ��"��+� *<��

1������������$#��39�

%��� '�;���� �$#�;!+��$8! �%�;�% '%�#��;��$�'��'��% �� �% '%</ "���'�!/�'� '� �;$�� ;��

!��!�'��� ��/�� �� 8�� 1'$������'� ; ""��� �� � �����5� ������� ����������5� $!� �����

Page 16: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� .A

�����3�$#� �� ������ '�!��85� ���; ������'��� '� �#� ���6�!�����&��"+� ������#� �"��6��%� �% ��

'�!��89��$!�#�!�%�!�� �%�� ��; "��!� ������$#��%��$���6 +�% '%�#��;��$�'5�!�#�!��;��; ��

���� ����$�N*O9�

�'$'%�(����� �)�� �����������������*���������

$'����:�+���% '%�#��;��$�'�%� !����'�8���� '����! ��/���!$;�''�'�6%�;%�% '%� !���! !+�

"��8�%������'��+��!$;�''��8�'�;;�''�/��#�7��<'�K���"$;:'�$#��%�������5� '��""�'�! ���������89�

*9?�

�% '%�������7�$#� !���! !+�#������"��8�%��'���/��������$�#�7��<"��8�%�!<�����"$;:'�7�9� %�'�

�!��!$;�''��8��+��; ""+���/$"/�'� �������8��7�! ����'�1�������3� '���;�'' !+��$� �� ��� ��

$/�! ""� ���� "��8�%� 6%�;%� �'� � ��"���"�� $#� �%�� �"$;:� "��8�%� !5� ��� $#���� ��;"���'� 1#$!�

��

�������������� ����� �������������������� �������

Page 17: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� .4

'�;�!��+�!� '$�'3� ��"$;:�$!�� !�� "��"$;:�����; ���8��%������"��8�%�$#��%����� ����������9�

� ;%� �"$;:� 7�� �%��� '�!/�'� '� ������ �$� �� ����!� "� #�7��<'�K�� % '%� #��;��$�� #5� �%��

�� ���������!�������$#�%5�6%�;%�;$�����'� ���6�����!���� ���!�'�"��$#�����"��8�%���#$!�

'$���#�7����5� '� � #��;��$��$#� �%���!�/�$�'��<���� ����!���� ��� !�'�"�� ��� �%����7�� ������

�"$;:� 7�9� ������8� ��� ���$��� �%�� � !�� "� !�'�"�� #��!� '� 8�� �5� �%�� 8���! "� �!$;�''� #$!� ��

���! ����% '%�#��;��$��6��%�������7�R�7.7*SS7��; ������$��"��� '�#$""$6'G�

���R����L����R�#1��<.L�7�3L�.�T���T��L�%173�R�81��3�

��<.�'�!/�'� '��%���<�����������������������6����'� 8����<�.� ���'� 8���5� �������'� ��!�<

��#�����'� !���8�/ "���$!��������-������!�1��39���$���$� "�$�������! �'#$!� ��$��8�1'���

��89�*9?3��'��'������ �#�� "�'�����$�� ���%���<����;% ����8�/ !� �"���$� ���<����!�'�"��81��3L�

8��'�$#�����%���������+�� ����8�81��3�R���9�

� !��;�" !� % '%� #��;��$�'� !�� ��'���8��'%��� �+� �%�� � ��!�� $#� �%�� �!��!$;�''��85�

;$��!�''�$�� #��;��$�5� ��� $������ �! �'#$!� ��$�9� ��� �%�'� �%�'�'5� �%!��� � =$!� $��� 6 +�

% '%� "8$!��%�'� !��;$�'���!��5�� ��"+5��<A5���<.� ��������<.4�9� %����� �"'�$#�

� ;%� !���!�'��������"$69�

�'$'��)�������������+�,�������-�.)�/-0�

�A�N?O��'� ���'' 8����8�'�� "8$!��%����/�"$�����+��$����/�'�� ��� 9�����'�� '�; ""+� �

'�;�!��/�!'�$��$#�%�'��!�/�$�'� "8$!��%�5��)�6%�;%��'� �"���"��# '��!��% ���A9� %�'�% '�

����� �%�� �$'�� 6���"+� �'��� '�;�!�� % '%� "8$!��%�� � !��;�" !"+� ��� ����!���<'� �� !��

��'' 8�� ��%����; ��$�9� %�� "8$!��%��� :�'� '� ������ ���'' 8��$#� !���! !+�"��8�%� ���

�!$��;�'� '� $������ � .*C<������'' 8�� ��8�'�� $#� �%�� �����9� %�'� �'�� ��"+� ��������� #$!�

��8�� "�'�8� ��!�� ��"�; ��$�'�6%�!�� �" !8��#�"����'�����;$��!�''������ �'�;�!��� ���!�

��#$!������8���;!+�����6��%� ��!�/ ���1'�;!��3�:�+�����!� ����"�;�:�+�;!+��$'+'���9�

''�����% ���%�!���'� �� !���! !�"+�" !8����'' 8�� '������� ����% ����'���'' 8����8�'���'��$�

�������!�����9� %���!$;�''��8���/$"/�'��%��#$""$6��8�'���'9�

1.3�� ����8�

%����'' 8���'�� ������$���'�!���% ����'�"��8�%�������'��"�'�4)��'���/�'��"���+�A.*9� % ��

�'5� ��'� "��8�%��'�;$�8!����� �$�))C��$��"$�A.*9�� ����8��'� "6 +'���!#$!�����/����#� �%��

"��8�%� $#� �%����'' 8�� �'� "!� �+� ;$�8!����� �$� ))C��$��"$� A.*9� � ����8� ;$�'�'�'� $#� �

'��8"��.<����#$""$6����+��%����;�'' !+������!�$#��<���'9�

1*3��������8�"��8�%�

Page 18: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� .-

�4)<������� !+� !��!�'��� ��$��$#� �%��$!�8�� "� "��8�%�$#� �%����'' 8�� �'�;$�; ��� ���� �$�

�%��!�'�"��$#�'����1.39�1�� '����8��#�; ���(+���#�!'�39� %���7� �������'' 8�� ���%�'� "�/�"�

6�""� �7 ;�"+� ��� � ��"���"�� $#� A.*<���'9� ���� �%�� �7� �������'' 8�� ��� !��!�'������ '� �

'�&���;��$#���A.*<�����"$;:'�./0�.10��0.20��0.�(1� '�'%$6�������89�*9)�N)O9��$����% ������%��

#�8�!�5���� ������!��!�'��������� "�/ "��� ���;% ����8�/ !� �"��!�'��;��/�"+9�

1?3������ "�K���%������##�!�

%�� / !� �"�'� ��� ��� ��� !�� !��!�'������ �+� � #$�!06$!�� ��##�!� 1(��3� �'��� �$�

;$������ �%�� ��'' 8�� ��8�'�9� ��!�� � ;%� 5� (5� �5� �� �'� � ?*<���� !�8�'��!� ��� �%�+� !��

����� "�K��� '�����$��%��#$""$6��8�/ "��'����%�7 ��;�� "9��$6<$!��!��+��'� !������#�!'�9�

�$!��G��.�*?�)A�4-�

�$!��(G�CD�(�������

�$!���G�������(�DC�

�$!���G�-4�A)�?*�.��

1)3��!$;�''���'' 8�����.4<6$!���"$;:'�

%�'� �'� �%�� %� !�� $#� �%�� "8$!��%�5� 6%�;%� ��;"���'� #$�!� H!$���'I� $#� �!$;�''��89� ��� �'�

!��!�'�������+���A������89�*9)� �����'�"$8�;��'�8�/��������89�*9A9� %��#$�!�!$���'�% /��

'���" !�'�!�;��!������� ;%��'�'���##�!���� �7�"� !+�#��;��$�'�30�40�,� ���&��

�������!���������"���������������� ������"#$�

Page 19: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� .C�

��������%�& ���������"$�'��������

()��� ��)���*�

��1U5��5�V3�R�1UW�3�W�1U>W�3�

��1U5��5�V3�R�1UWV3�W�1�WV>3�

��1U5��5�V3�R�UW�WV�

��1U5��5�V3�R��W1UWV>3�

6%�!�� W5� W5� W� ��� @� !��!�'���� �%�� "$8�; "� ��5� ��5� U��� ��� �� � $��! ��$�'5�

!�'��;��/�"+9�� ;%�!$����;$�'�'�'�$#�.4�'���'� ���� ;%�'�����'�'� �4)<�"������� �"����N.�

999�4)O�;$�'�!�;����#!$���%��'����#��;��$�9������N�O����$��� �%�� �<�%��"������$#� �%�� � �"�5�

6%�;%� �'��&� "� �$� �%�� ����8�!�� !��$#�*?*�X �'1'��1�335�6%�!�� �� �'� ��� ! �� �'9�� ;%� !$����

"'$�� :�'� '��������%��;�!!����A.*<�����"$;:�1.23� ����%��.*C<����;% ����8�/ !� �"��1��&39�

�� !! +�5�$#�?*<����6$!�'�%$"�'��%��;�!!����A.*<����.29��$!��

�%�� #�!'�� !$���� �%�� 6$!�'� !��

�'�������%��!�$!�8�� "�$!��!9� %��

#$""$6��8� ��!��� ��$�'� $#� �%��

6$!�'� !����#�����#$!�!$���'�*�

�%!$�8%�)G�

W*1�3�R�1.Y�A�3��$��.4�

W?1�3�R�1AY�?�3��$��.4�

W)1�3�R�-���$��.4�

%��$������$#� �%�� #$�!�%� !$����

�'� ������$��%��������$#��%��#�!'��

!$����1��&3��$��!$��;����&Y.9�

1A3��������

#��!� ""���A.*<�����"$;:'�% /��

����� �!$;�''��5� �%�� $������ #!$�� ��%�

'� 8���'��%��.*C<������'' 8����8�'�9���89�

*94� '%$6'� �%�� $��! ��$�'� ��/$"/��� ��� �

'��8"�� '���9� %�� �����$�'� !�� �$��"$�

*?*9��$�!���##�!����;�!;�" !�'%�#�� �$���'�

��

�������$���"$�+�����"$������������� �������

Page 20: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� .D

1'3� !�� �'��� � ;%� !$���� ��� !�� ��##�!���� #!$�� !$���� �$� !$���9� � ;%� '���� �'� $#� �%��

#$""$6��8�#$!��N)OG�

�←���

(�←�(�Y�11�Y�81(5��5��3�Y�UN:O�Y� N�O3�ZZ�'3�

��←�(�

��←���

� ;%�$#� �%��4)�?*�����6$!���"�����'�$#� � �'��'����7 ;�"+�$�;�5���!��8�$���'����$#�$���

!$���9��$!�� ;%�'���5�$�"+�$���$#��%��)��+��'�$#��%��(�����##�!��'���� ���9� %�'5�� ;%�

�+���8��'���� ����#$�!�����'���!��8��%��!$���� ����%��� �#�� "������ ���%�������$��!$��;��

�%�� #�� "� $������ #$!� �%�'� �"$;:9� �$�!� ��##�!���� ;�!;�" !� "�#�� '%�#�� �$���'� !�� �'��� � ;%�

!$���5� ����%�+� !����##�!����#!$��!$�����$�!$���9� %���$����$#� ""��%�'�;$��"�7��+��'��$�

� :�� ��� /�!+���##�;�"�� �$�8���! ��� ;$""�'�$�'� 1�6$�A.*<�����"$;:'� �% ���!$��;�� �%�� ' ���

$�����39�

�'$'1�#������������ �������+�,���������.#��/�-20�

�/�!����;��;�!� ��� �� ;:'�% /�������!��$!����$����<.��7�"$����8���'��6$�#��� ���� "�

6� :��''�'�1�����'��% ���%��#�"���!��!$;�''��8�'�����'��$��;$��"�; ������$�8%L� �$�%�!��'�

�% ��;�!� ���� �%�$��! ��$�'�����%��#�!'��*��!$���'�% /�����7��;����'�;�!��+��!$�"��'3�

�%��';�����#�;�;$������+��'�"$$:��8�#$!6 !���$� �$����8���<*� '��%���(������'� �� !�9�

��� �1�� ��$� "���'�������$#��� �� !�'� ��� �;%�$"$8+3����"�'%���#$�!� �����$� "�% '%�

#��;��$�'�����%�����# ��"+5�� ;%�6��%�"$�8�!���8�'�'5�;$""�;��/�"+�:�$6�� '���<*9�

%������/��� "�/ !� ��'� !��� ���� #��!��%��!���8�'��"��8�%'�1������'3G�M��<*A4M5�M��<

?C)M5� ���M��<A.*M9� %�+�6�!��#�!'�����"�'%������*��.�����%���! #���������(�.C�<*5� ��

6%�;%������!�/��6� ���;$������6�!�� ;;�����9���<*A4� �����<A.*� !���$/�"�% '%�

#��;��$�'�;$�������6��%�?*<� ���4)<����6$!�'5�!�'��;��/�"+9� %�+��'����##�!����'%�#��

�$���'� ��� �����/��;$�'� ��'5������%��!�'�!�;��!�'� !��$�%�!6�'��/�!�� ""+�������; "5�

��##�!��8�$�"+�����%�������!�$#�!$���'9���<**)� �����<?C)� !��'���"+��!��; ����

/�!'�$�'�$#��%��#�!'���6$5�;$�������6��%���##�!��������� "�/ "��'9�

�!��!$;�''��8�G�

����$'���% ���%��"��8�%�$#��%����'' 8�5� 5��'�"����'9��������%������H.I��$��%������$#��%��

Page 21: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� *�

��'' 8�5�#$""$6����+���K�!$����'5�6%�!�����'��%��'� ""�'�5��$�<��8 ��/��'$"���$���$��%��

�&� ��$��"�Y.�Y�:�R�A.*��$��))C�9� %��� �������%��4)<�����"$;:��% ���'��&� "��$��%��

�����!�"��7�!�''����'��8� ���� !+�!��!�'��� ��$�9��$!��7 ��"�5��%��1C<��������3�

��'' 8��H�3�I�% '�"��8�%�*)�R?�7�C�[5�'$��%����'' 8���'�� �����6��%� �$������5��%���))C<

1*)<.3R�)*?�K�!$����'5� ����%����%����'' 8��"��8�%5��$���;$����%��A.*<����� �����

��'' 8�9�

%��"��8�%�$#��%��� �������'' 8���$6���;$��'� ���"���"��$#�A.*�

� !'��8��%����'' 8��G�

������8��%�������� "�% '%�/ "���G�

�%������� "�% '%�/ "��5�,1�35�'% ""�;$�'�'��$#��%��#$""$6��8���8%��?*<����6$!�'5����

%�7G�

������

�,��R�4 �D�44-��,1�R���4- �CA��,6�R�?;4�#?-*���,7�R� A)##A? �

������

,8�R�A.��A*-#��,9�R�D��A4CC;���,:�R�.#C?�D ����,;�R�A���;�.D9�

%�'��6$!�'�� !��$�� ������+�� :��8��%��#�!'��4)����'�$#��%��#! ;��$� "�� !�'�$#��%��'&� !��

!$$�'�$#��%��#�!'����8%���!���������!'9�

%���$���� ��$�G�

�!$;�''���'' 8�����.4<6$!���"$;:'�

%�'��'��%��%� !��$#��%�� "8$!��%�5�6%�;%���;"���'�#$�!�H!$���'I�$#��!$;�''��89���'�"$8�;��'�

8�/��������89�*9-9� %��#$�!�!$���'�% /��'���" !�'�!�;��!������� ;%��'�'���##�!����#��;��$�'�

Page 22: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� *.

�������� �

��������������8�*9-�� %�����;��$�'��'��������<*A4�

6%�!�� W5� W5� W� ��� @� !��!�'���� �%�� "$8�; "� ��5� ��5� U��� ��� �� � $��! ��$�'5�

!�'��;��/�"+9�� ;%�!$����;$�'�'�'�$#�.4�'���'� ���� ;%�!$�����'�'� �)<�"������� �"��,��N.�

999� )O9� � ;%� !$���� "'$� � :�'� '� ������ �%�� ;�!!���� A.*<���� �"$;:� 1.23� ��� �%�� *A4<����

;% ����8�/ !� �"�� 1��&39��� !! +�5�$#�?*<����6$!�'�%$"�'� �%�� ;�!!���� A.*<����.29� %��

$������$#��%��#$�!�%�!$�����'� ������$��%��������$#��%��#�!'��!$����1��&3��$��!$��;����&Y.9�

1A3��������

#��!� ""���A.*<�����"$;:'�% /��������!$;�''��5��%��$������#!$����%�'� 8���'��%��*A4<�

������'' 8����8�'�9���89�*9C�'%$6'��%��$��! ��$�'���/$"/������ �'��8"��'���9� %�� �����$�'�

!���$��"$�*?*9�� ;%�'�����'�$#��%��#$""$6��8�#$!��N)OG�

.R%Y\1�3Y�%1�5#583Y,�Y���

*R\1 3Y =1 5�5;3�

1 5�5;5�5�5#585%3R1 .Y *5 5�5;5�Y .5�5#583�

Page 23: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� **

��������,������������%!�-������ ��)�. ��������)��#�$%�����������

�����)��� ��/ ��0�

��89�*9C��"����� !+����*A4����! ��$��1���8"������3�

��� !�� ��'� �$���� ����; ����%$6��%��?*�����6$!��/ "��'���� !����!�/��� #!$�� �%��A.*�����

��'' 8�9���89�*9D��""�'�! ��'��%��� ����89� %��#�!'��'�7�����/ "��'� !��� :�����!�;�"+�#!$��

�%�� ��'' 8�� �"$;:5� ��� �%�� !�� ����8� / "��'� !�� ����!������ �'��8� �%�� #$""$6��8�

��#�����$��

5���"�:���A� ��������.4�5���<*A4��7� ��'��%��.4��"$;:�6$!�'��$�4)�6$!�'�#$!�

�'�� ��� �%�� ;$��!�''�$�� #��;��$�9� %�'� ���!$��;�'� � 8!� �� �� "� $#� !����� �;+� ���

����!��������;�� ���$� �%����'' 8���"$;:'5�� :��8� �%���!$� ��"��+�$#� #�����8� � ;$""�'�$��

/�!+�"�''9�

�'$'$����4���������������������4�� �������)�������������/%2 �.��4)�/%2 0�

�����<.4�� 1���� ����8!��+��!�����/�'��/ "� ��$���'' 8����8�'�3� N4O� �'� �.4�<����

��'' 8�� ��8�'�� "8$!��%�� 1 ��� ;!+��$8! �%�;� % '%� #��;��$�3� ��/�"$���� ��� ��!$��� �+�

� �'��$���!���5���$$��($''�" �!'� ���( !���!����"5� ���#�!'�����"�'%������.DD49�����'� ��

���!$/���/�!'�$��$#������5�6%�;%������!��6 '�� '�����$���%����'�8���!��;��"�'��'���

����)5� ����'�'���" !�����$�%�'�!��8�%� �����!#$!� �;���$��%���$!���$��" !���<.9�

Page 24: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� *?���������1�2��&�"#�%1����������������)��� ��

$���/���/ ��0�

''�����% ���%�!���'� �� !���! !�"+�" !8����'' 8�� '������� ����% ����'���'' 8����8�'���'��$�

�������!�����9� %���!$;�''��8���/$"/�'��%��#$""$6��8�'���'�

1.3�� ����8�

%����'' 8���'�� ������$���'�!���% ����'�"��8�%�������'��"�'�4)��'���/�'��"���+�A.*9� % ��

�'5� ��'� "��8�%��'�;$�8!����� �$�))C��$��"$�A.*9�� ����8��'� "6 +'���!#$!�����/����#� �%��

"��8�%� $#� �%����'' 8�� �'� "!� �+� ;$�8!����� �$� ))C��$��"$� A.*9� � ����8� ;$�'�'�'� $#� �

'��8"��.<����#$""$6����+��%����;�'' !+������!�$#��<���'9�

1*3��������8�"��8�%�

�4)<������� !+� !��!�'��� ��$��$#� �%��$!�8�� "� "��8�%�$#� �%����'' 8�� �'�;$�; ��� ���� �$�

�%��!�'�"��$#�'����1.39�1�� '����8��#�; ���(+���#�!'�39� %���7� �������'' 8�� ���%�'� "�/�"�

6�""� �7 ;�"+� ��� � ��"���"�� $#� A.*<���'9� ���� �%�� �7� �������'' 8�� ��� !��!�'������ '� �

'�&���;��$#���A.*<�����"$;:'�./0�.10��0.20��0.�(1��

1?3������ "�K���%������##�!�

%�� / !� �"�'� ��� ��� ��� !�� !��!�'������ �+� � #�/�06$!�� ��##�!� 1(���3� �'��� �$�

;$������ �%����'' 8����8�'�9���!��� ;%�5�(5��5��5��� �'� �?*<���� !�8�'��!� ��� �%�+� !��

����� "�K��� '�����$��%��#$""$6��8�/ "��'����%�7 ��;�� "9� %�'��6$!�'� !���%��' ��� '��%��

����� "�/ "��'�#$!��A5������%�+� !��'�$!������(�8����� ��#$!� �9��

�$!��G��.�*?�)A�4-�

�$!��(G�CD�(�������

�$!���G�������(�DC�

�$!���G�-4�A)�?*�.��

�$!���G�����.��*��?�

1)3� �!$;�''� ��'' 8�� ��� .4<

6$!���"$;:'�

%�'� �'� �%�� %� !�� $#� �%��

"8$!��%�5� 6%�;%� ��;"���'�

#$�!� H!$���'I� $#� �!$;�''��89�

��'�"$8�;��'�8�/��������89�*9.�9�

%�� ���� !$���'� % /�� '���" !�

'�!�;��!�� ���� � ;%� �'�'�

��##�!���� �7�"� !+� #��;��$�'�

�10��60��70��8������9��

�.�1U5�5V3RUW�WV�

Page 25: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� *)

�����������& ��������2��&�"#�%1�

'��������()��� ��)���*�

�*�1U5�5V3R1UW�3�W�1U>WV3��

�?�1U5�5V3R1UW�>3[WV�

�)�1U5�5V3R�1UWW3�W�1�WV>3�

�A�1U5�5V3RUW1�WV>3�

6%�!�� W5� W5� W� ��� @� !��!�'���� �%�� "$8�; "� ��5� ��5� U��� ��� �� � $��! ��$�'5�

!�'��;��/�"+9�� ;%� !$����;$�'�'�'�$#�.4�'���'� ���� ;%� !$�����'�'� ���##�!����;$�'� ��9�

6$�!$���'�; ��!������� ! ""�"� '�'%$6�������89�*9.�9�� ;%�!$���� "'$�� :�'� '��������%��

;�!!����A.*<�����"$;:�1.23� ����%��.4�<����;% ����8�/ !� �"��1��&39��� !! +�5�$#�?*<����

6$!�'�%$"�'��%��;�!!����A.*<����.29� %��$������$#��%���6$�� ! ""�"��"$;:'>�#�#�%�!$�����'�

������$��%��������$#��%��#�!'��!$����1��&3� '�'%$6�������89�*9.���$��!$��;����&Y.9�

1A3��������

#��!� ""���A.*<�����"$;:'�% /��������!$;�''��5��%��$������#!$����%�'� 8���'��%��.4�<����

��'' 8����8�'�9���89�*9..�'%$6'��%��$��! ��$�'���/$"/������ �'��8"��'���9� %�� �����$�'�

!���$��"$�*?*9�� ;%�'�����'�$#��%��#$""$6��8�#$!��N)OG�

�←����

(�←���Y�11�Y�#1�5(5�5�3�Y�UN�O�Y�

,N=O3�ZZ�'3��

��←�(�

��←��.�1�3�

��←���

�$!���� �"'�$�� �%��'%�#�� �$���'� ���

�%����'' 8��6$!�� �$� '�"�;�� #$!� � ;%�

'���� ���� ;%�!$���5�!�#�!��;��; �����

� ��� �$� N)O9� 6$�� ! ""�"� "���'�$#�A�

!$���'�� ;%� ��;!� '�� �%��;$��"�7��+�

$#�#�����8�;$""�'�$�'����6����!$���'9�

%�� �6$� � ! ""�"� !$���'5� �%$�8%� $#�

�%�� ' ��� '�!�;��!�5� % /�� '$���

#��� ���� "���##�!��;�'5�6%�;%�� :���%����$!��'�;�!�9� %�'����;"�����%����##�!��;�����

�%��#��;��$�'� ��� �����/��;$�'� ��'��'��5� '�6�""� '��%��$!��!�$#��!$;�''��8�$#��%��6$!�'�

����%���"$;:9��

Page 26: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� *A

������������� �����

�!+��$8! �%�;�% '%�#��;��$�'� !��/�!+����$!� ���#$!�;!+��$8! �%�;��!$�$;$"'9��$���% '%�

#��;��$�'� !�� � '��� $�� #���� #$!6 !���$��'� $#� �"$;:� ;��%�!'5� ���� �%��� ��� ;$������!'�

% /��������%��#��;��$�'�� '���$���)5�6%�;%���;"�����A5�����<�5���� �����<

.9� �$�%�!� # ��"+� 6 '� ���#!�5� ��� ��'� ��!�/ ��/�� ���#!�<C9� �$6�/�!5� ;$""�'�$�'� #$!�

���#!��6�!��#$�������.DD�5� ���!�;���"+� �;$""�'�$��$#��)�% '� "'$������#$���9� %�'��

�� ;:'� ; '�� �$���� $�� �%�� '�;�!��+� $#� �%�� $�%�!� �����!'� $#� �%�'�� # ��"��'9� �!$�� �%��

��!#$!� �;���$����$#�/��65� ""� �%��#��;��$�'������$���� �$/��6�!����'�8����#$!�?*<����

�!$;�''$!'9� %����7��8���! ��$��$#��!$;�''$!'�% '�4)<����6$!�'5� ��� ��;"���'� �%������

"�% � '�!��'� '� 6�""� '� #$!�%;$���8� �!$;�''$!'� #!$�� ����"5� ��� ��� �(9� �!$�� �%�'��

;$�'���! ��$�'5����6 '���"��/����% �� ���7��8���! ��$��% '%�#��;��$�G��

• '%$�"�� ��� '�;�!�9� �� �%�� /�!+� "� '�� ��� ��'�� ��� $��<6 +5� ;$""�'�$�<#!��� ���

��"���"�; ��$�<#!��L��

• '%$�"��!���&��;:"+�$��4)<�����!$;�''$!'5� ���+����$��!����$$�'"$6"+�$���%�� "!� �+�

#��"����?*<����� ;%���'�'�;%� '�����"J'�C�)C4L��

• '%$�"�5� ��'$# !� '��$''��"�5�����' �"�� '� ��!$�<��� !��" ;������ #$!��)5��A5�

��� �����<.9��

%�!�#$!�5�"����� �# '����6�% '%�#��;��$��6 '��!$�$'��9�����'���'�8�����$����/�!+�# '��$��

�$��!��;$�����!'5� ������� !��;�" !�$���%��'� ��<$#<�%�< !��4)<����;$�����!'�1"�:�����<

"�% 35� 6%�"�� ��� �'� '��""� �$�� '"$6�!� �% �� $�%�!� '�88�'���� % '%� #��;��$�'� $�� ?*<����

� ;%���'9�������<"�% 5� �8�!�% '%�'��$!�� �% ��.?*���'���!�'�;$��� 1�� '�!���$��

"�% � -���5�$��"� 44�5� $�� $��� �!$;�''$!39���� �%�� ' ���� ;%���5��A� % '%�'� $�"+�

�$��� ?-��'9� ��� ?*<���� � ;%���'5� �%�� ;$��� $#� �8�!� �'� �$�� #�""+� $�����K��9� ���""� ���

% '%�'� # '��!� �% �� �A� $�� )C4'� ��� �������'9� �8�!� % '� �$� �' 8�� !�'�!�;��$�'� �$!�

� ����'9� ��� ; �� ��� �'��� #!��"+5� 6��%� �%�� !�#�!��;�� ���"����� ��$�5� 6��%� $�%�!�

���"����� ��$�'� $!�6��%� ��$��#�; ��$�� �$� �%�� !�#�!��;�� ���"����� ��$�� 1 '� "$�8� '� ���

'��""����"�����'� �8�!39�

��'�� ���$��! ��$���'�� �"��"$$:������$�#$�!��<�$7�'5�� ;%�#!$����8%�����'��$�4)����'9� %��

$�%�!� $��! ��$�'� !�� 4)<���� �����$�'� ��� '���! ;��$�'5� 4)<���� ��"���"�; ��$�� �+� '� ""�

;$�'� ��'�1A5�-� ���D35�4)<����'%�#�'� ���"$8�; "�$��! ��$�'�'�;%� '�U��� ����� 9��$!�

Page 27: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� *4

�!$�<��� ;$�� ����"��+5�6�� �$��� �%�� $���!� '�!�;��!��$#� �%���)� # ��"+G� �%����'' 8�� �'�

� ������+� �'��8"��B.J�����#$""$6����+� �'�!��8�$#�B�J'� ���#�� ""+��%����'' 8��"��8�%� '� �

4)<����6$!�9� %��!�'�"���'���/��������$���A.*<�����"$;:'9� %��!�'�"���'���/��������$���A.*<

�����"$;:'9��

%��'�K��$#��%��% '%�/ "��5� ���$#��%������!���� ���'� ��5��'��%!���6$!�'5�$!�.D*����'9� %�'�

/ "���6 '�;%$'���#$!��%��#$""$6��8�!� '$�'G��

.9� ���;��6���'��4)<����6$!�'5��%��'�K��'%$�"����� ���"���"��$#�4)L��

*9� $����;$�� ���"��6��%� ��"�; ��$�'��'��8���<.5��%��% '%�'�K��'%$�"����� ��"� '��

.4�����'L��

?9� ""� �%�� '�;;�''#�"� '%$!�;��� �� ;:'� $�� �7�'���8� % '%� #��;��$�'� �� ;:� �%��

����!���� ���'� ��5�! �%�!��% ���%��#�� "�% '%�/ "��9� %�� �� ;:�!��+��; ""+�;%$$'�'�

�6$�;$""����8�/ "��'�#$!� ������!���� ����"$;:5� ����%�'��!$� 8 ��'��$� �;$""�'�$��

$#� �%�� #�""� #��;��$�9��$6�/�!5� �%�'�� �� ;:'�6$�"���$��6$!:� �#� �%�� ����!���� ���

% '%�/ "��'�6�!��" !8�!9��

�8�!�6��%� �%�� #�""�.D*����'�$#�$������ ����'��� +����; ""��� �8�!].D*9��%��� !��" ;��8�

$�%�!�#��;��$�'�����7�'���8� ��"�; ��$�'5�6��'�88�'���6$�'%$!��!�/ !� ��'G��

.9� �8�!].4�G� �%��% '%�/ "��� �'� �%�� #�!'�� .4�����'�$#� �%�� !�'�"�� $#� �8�!].D*5� ��� �'�

�'���#$!�;$�� ����"��+�6��%���� �����<.L��

6�� ����"16<$� ����������!� ��� ��� ������16<��������� �����!���������"1=60����� ���

!��������� ��������������� �80� �90�#&%>( ���

%���##�;���;+�$#��%�'�#��;��$���'�� !�� ""+�� '���$���%���$����� "�� ! ""�"�'�������'���'�8�9�

��� � ;%� !$���� $#� �8�!5� �%�� ��8%�� � �"�� "$$:��� $��! ��$�'� ; �� ��� �$��� ��� � ! ""�"5� '$�

;$���"�!'� ; ��� :�� ��'�� �'�� $#� ����"����89� %�� ��'�8�� "'$� ""$6'� �##�;����� % !�6 !��

���"����� ��$�9� %�����$!+�'�K��!�&��!����+� �8�!��'�$�"+�'"�8%�"+��$!���% ���%��'�K��$#�

�%�� #$�!� �� �$7�'9� �#� �%�'� ; �� ��� ;;$��$� ����6��%��� �%�� ; ;%�� $#� �%�� �!$;�''$!5� �%��

;$���� ��$��!��'� �$����6�;�� '�# '��1�� '�!���$������"�% 39� %��'�K��$#��%��#$�!���

�$7�'� �'� ,�+��'5� 6%�;%� �'� �$��� �%�� '�K�� $#� �%�� ; ;%�� $�� �$'��

� ;%���'9��#���8%�����$7�'�6�!���'��5�.4�,�+��'�6$�"�����!�&��!��5�6%�;%��'��6�;�� '��%��

'�K��$#��%��; ;%��$��"�% 9��

Page 28: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� *-

�'$'-'%�5��6�������"������ ��������

��� �8�!� ""� �%�� ;$���� ��$�'� !�� $�� 4)<���� 6$!�'5� ��� "���"�<���� �]*<;$��"������

!��!�'��� ��$�9�����'���%!���4)<���� !�8�'��!'�; ""��� 5��5� ���;� '� �%�� ����!���� ���% '%�

/ "��'9� %�'��!�8�'��!'� !������� "�K����$� 6%�;%��'G��

������ �R��7�.*?)A4-CD(�����

��������R��7����(DC-4A)?*.��

������;�R��7��D4A()�?(*�.C-�

� ;%�'�;;�''�/��A.*<������'' 8���"$;:��'���/��������$���8%��4)<����6$!�'�7�5�7.5�9995�7-5�

����%��#$""$6��8�;$���� ��$���'���!#$!�����$���� ��� �$� 9��

%�'� ;$���� ��$�� ;$�'�'�'� $#� �%!��� � ''�'5� ��� ���6���� � ;%� $#� �%��� �%�!�� �'� � ���

����!� <<<� �� ��/�!���"�� �! �'#$!� ��$�� $#� �%�� ������ � � � 6%�;%� �!�/���'� �� �� ;:�!�

#$!;��8�'� !'�������'���� ""��%!���!$���'9���� ""+��%�!���'� �#���#$!6 !��'� 8�����6%�;%��%��

��6�/ "��'�$#� 5��5� ���;� !��;$�������6��%��%��!������ "�/ "��'��$�8�/�� 9�

%��'���'�$#��%����8�!� "8$!��%�� !�G�

.3�' /�^ �;�

*3�� ''1 5�5;5A3�

?3�:�+^';%���"��

)3�� ''1;5 5�5-3�

A3�:�+^';%���"��

43�� ''1�5;5 5D3�

-3�#���#$!6 !��

6%�!���

.3�' /�^ �;�' /�'��%��/ "���$#� �

� �R� �L�

� ���R���L�

� ;;�R�;�L�

*3�� ''1 5�5;5��"3��'��

� !$���1 5�5;57�5��"3L�

� !$���1�5;5 57.5��"3L�

Page 29: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� *C

� !$���1;5 5�57*5��"3L�

� !$���1 5�5;57?5��"3L�

� !$���1�5;5 57)5��"3L�

� !$���1;5 5�57A5��"3L�

� !$���1 5�5;5745��"3L�

� !$���1�5;5 57-5��"3L�

6%�!��!$���1 5�5;575��"3��'��

��;�_R�7�L�

�� �<R��.N;^�O�_��*N;^*O�_��?N;^)O�_��)N;^4O�L�

����YR��)N;^.O�_��?N;^?O�_��*N;^AO�_��.N;^-O�L�

����XR���"L�

���6%�!��;^���'��%����%��+���$#���1 39�

���:�+^';%���"���'��

� 7��<R�7-�_��7AAAAAAAAL��

� 7.�_R�7�L��

� 7*�YR�7.L��

� 7?�<R�7*�_�11`7.3ZZ.D3L��

� 7)�_R�7?L��

� 7A�YR�7)L��

� 74�<R�7A�_�11`7)3QQ*?3L��

� 7-�_R�74L��

� 7��YR�7-L��

� 7.�<R�7��_�11`7-3ZZ.D3L��

� 7*�_R�7.L��

� 7?�YR�7*L��

� 7)�<R�7?�_�11`7*3QQ*?3L��

� 7A�_R�7)L��

� 74�YR�7AL��

� 7-�<R�74�_��7�.*?)A4-CD(����L�

6%�!��ZZ� ���QQ� !��"$8�; "�1! �%�!��% �� !��%����;3�'%�#��"�#�� ���'%�#��!�8%��

$��! �$!'9��

Page 30: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� *D

���#���#$!6 !���'��

�_R� �L�

��<R����L�

;�YR�;;�L�

%��!�'�"� ���!�8�'��!'� 5��5�;� !���%��.D*����'�$#��%��1����!���� ��3�% '%�/ "��� 9��

�8�!��'���'�8�����$�����$�%�# '�� ���'�;�!�9���'�;$!���'��%!���!$���'5�� ;%�$#�6%�;%��'�'�

��8%�� "$$:��'� ���$� C<�$<4)<���� �<�$7�'� �$� �!$/���� � '�!$�8� �$�"��� !� / " �;%�� �"�'� �

�����!�$#�!�8�'��!�$��! ��$�'��$���;!� '����##�'�$�� ���� :����##�!���� "� �� ;:'�% !��!9�

���; ��������"���������##�;����"+�$��?*<���� ���4)<����� ;%���'9�

�'$'2�����������)�/-+�#��/�-2�+���4)�/%2 ����"�����

��� ��!�'� $#� !�'�'� �;�� �$� �!���� #$!;�� �� ;:'� N)O5� ""� "8$!��%�'� !�� ��/�"��! �"�� 6��%�

!�8 !���$�6� :�;$""�'�$��!�'�'� �;�9���.*C����'5��<A��'�%�8%"+�/�"��! �"���$� ���!�%� +�

�� ;:� N)O5�6%�!� '� �$�%� ��<*A4� � ��������<.4�� �� .4�� ���'� � ;%� !�� ' #�� ��� �%��

#$!�'�� �"��#���!�9�

""��'%$!�;��� �� ;:'�$���X]����#!��� !8���$���$#��%������!���� ����"$;:'9���� �8�!�

��;!� '��8��%������!���� ���/ "����$�.D*����'�%�"�'��%6 !���%�'�� �� ;:'9��

%��:�+�';%���"����'�!�'��% ��;% �8��8� �'� ""������!�$#����'���� ���'' 8�� ##�;�'�

� �+����'���!��8��%��/ !�$�'�� ''�'9� $8��%�!�6��%��%��'�!$�8� / " �;%�5����%�"�'� �8�!��$�

!�'�'�� �� ;:'�'���" !��$��$���!���J'���##�!���� "� �� ;:�$���)9�

%����"���"�; ��$�� $#� �%�� !�8�'��!� �� ��� � ;%� !$���� "'$� ;$��!�����'� �$� �%�� !�'�'� �;�� �$�

'�;%� �� ;:'5� '��;�� ��� ��'�!�'� �% �� ���'� 6%�;%� 6�!�� �'��� '� �����'� �$� �� �$7�'� ��� �%��

�!�/�$�'� !$���'� !����7��� ���$�$�%�!����$7�'� '�6�""5� ��� �$� �%��' ������$7�'�6��%� �

��##�!���� ������ ��##�!��;�9� %�'� ��"���"�; ��$�� "'$� �!�/���'� !�" ���<:�+� �� ;:'� $�� �%��

% '%�#��;��$�5�'��;���%��;$�'� �����##�!'����� ;%�!$���9�

�"$��$#��!$8!�''�% '������� �������%��;!+�� � "+'�'�$#��A9������<.4���'��7��;����

�$�# !�������!����;$�� !�'$���$���<*A45��/����%$�8%��%��" ���!� ��� !'��$����%�8%"+�

!�'�'� ����$�;!+�� � "+��;� �� ;:'9��

Page 31: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� ?�

�����$��%�� �����;$��"�7��+�$#���<*A4� ��������<.4�5��%�+� !��'"$6�!����

$��! ��$� "�'��������;$�� !�'$���$��<A9���� �8�!� %�!���'� �'�!$�8� / " �;%�5�����% ��

� ;%���'' 8������ ##�;�'� ""��%���%!���!�8�'��!'� #��!��%!���!$���'�<<<���;%�# '��!��% �����

�+�$�%�!�% '%�#��;��$�9� %�� / " �;%�����4)<����6$!�'�1 ���4)<�������$7�'3��'���;%�

# '��!��% ��6%���'%$!��!�6$!�'� !���'��9��

�A� ��������<.4���'������"������ ���;%����6%�"����<*A4� �����'�$�%�!�/ !� ��'�

�'��(�8����� ���;%����#$!�����!�!����8� ���'' 8�� '� �'�&���;��$#�?*�����6$!�'9�

��

Page 32: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� ?.

�% ���!����� ��<�$�#�8�! �"���$������8��

1'��������������������������3 ���������������*�� ����������3 ��(�����������

1'%������������3 ������������

%�!�� !���6$��!�� !+����%$�'�����! ����$� "�;$������8�#$!��%���7�;���$��$#� "8$!��%�'9�

%�� #�!'�� �'� �$� �'�� ����"�; ��$�����;�#�;� ����8! ������!;���5� $!����5� �$���!#$!�� �%��

$��! ��$�'� ��� % !�6 !�9� (�; �'�� �%�'�� ���'� !�� ��'�8���� '��;�#�; ""+� �$� ��!#$!�� �

8�/���;$���� ��$�5��%�+� !��/�!+�# '�� ����##�;�����6%����7�;����8��%���7 ;��;$���� ��$��

#$!�6%�;%� �%�+�6�!����'�8���9��$6�/�!5� #��!� # �!�; ��$�� �%��;�!;���� ; ��$����� "��!��9�

�;!$�!$;�''$!'� !�� �# !��$!��#"�7��"��'$"���$�9��!$;�''$!'��7�;���� �'���$#���'�!�;��$�'�

�$���!#$!�� �;$���� ��$�9�(+�;% �8��8��%��'$#�6 !����'�!�;��$�'5��%��#��;��$� "��+�$#��%��

'+'���� �'� "��!��� 6��%$��� ;% �8��8� �%�� % !�6 !�9� �$6�/�!5� �%�� �$6�'���� $#� �%�'�

#"�7���"��+� �'� �% �� �%�� ��!#$!� �;�� '�##�!'5� ��� �'� # !� ��"$6� �% �� $#� �� ���9� %��

�!$;�''$!���'��!� ��� ;%���'�!�;��$��#!$�����$!+5�����!�������'��� ���85� ���$�"+��%���

�7�;���� ��9� %�'� !�'�"�'� ��� � %�8%� �7�;���$�� $/�!%� �� #$!� � ;%� ����/��� "� $��! ��$�9�

��;$�#�8�! �"�� ;$������8� �'� ��������� �$� #�""� �%�� 8 �� ���6���� % !�6 !�� ��� '$#�6 !�5�

;%��/��8� �$����� ""+� ��;%� %�8%�!� ��!#$!� �;�� �% �� '$#�6 !�5� 6%�"�� � ��� ����8� �

%�8%�!�"�/�"�$#�#"�7���"��+��% ��% !�6 !�9�

1'%'%������������3 ��������������������������

%�!�� !�� � �+� ��##�!���� !;%���;��!�'� ��'�8���� #$!� �'�� ��� !�;$�#�8�! �"�� ;$������89�

����$#��%���!�� !+�/ !� ��$�'����6�����%�'���'��%����8!���$#�;$��"��8�1�#� �+3�6��%� �%$'��

��;!$�!$;�''$!9� �!$8! �� �"�� "$8�;� ����'� �$� ��� ���##�;����� �� ���"�������8� ;�!� ���

*���1'%�7�,���������������������

Page 33: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� ?*

�+��'�$#�$��! ��$�'5�'�;%� '�"$$�� ����! �;%�;$��!$"'�&���������� ��������������!�����

�����������������������!������ �!��������� 0��������������������� �������������

�� ����� ����� ��� ��� �������!���� ����� ��� ��!��� ��� �� ����� ��������������

�����0� ��� ����� ����� �� ����� ������� ��� �� �!������� ����� ���� ������ ��� �

� � �������� ��� �������� ��� ����� ��� ��� �������!���� ������ 3��� ��� ���� ��

����� !�� �� ������������� ��� ���?!������� ����� �������!���� ����0� ���� ��� �����

������������������������ �!����������!��!��� �������!���)��3��!��1+��

3����0��������!������������������!������� �����������������!�����!��������

!������������ �� ����� ���������� ����� ����� ���� �� ����������� ������ ���� ������ ���

����� ��� ��������� ��� �!��� � �����!������� ����� ��� ������ ���� �� �� ,�0� ���

�������!����!����� ��!�� ��� �!�������� !����� ��� ��� ���� ������������� ��������0�

�������������!����������������!�������!��!�����������

������0� �� �������!���� !���� ��� �� !��� ��� �� ������������ �� ����������� ��� ���

����� ����� ������� �!��������!���0����� ������ �������� ��� �!�������������!�� ���

��������� �!������ ��� ��� ��� ����� ���������� &�����0� ��� ��������� �������-�� ���

�������!��������������������� ����� ���������������� ��� ��� ����0������������

����� ����������������������� ���������!������ ������

�����0� ��� �������� �������!���� ���������� !���� ������ ��� ��� ��� ��� ��� ����������

��������� ����� !��������������� ������������������@������������ ������������� ���

��� �������� �������!���� ���������� !����� ���� ��0� ������0� �� ������ ���� ���

�� !��������� ����� ��� ����� ��������� ���� ��� �������!���� �������0� �!��� ���

���� �� !��������� ������!������� ����� �����0� ���!�� ����0����� ��!����,����0� �����

���� ��� �������!���� �������� ���� ���� ���� �� ����� ��� ��� �� �!�������

��������0� ��� ��������� ���� ��!���� ��� �� �� �!������� ���� ��� ��� �������!����

����������

��� ""+5��%���$'��"$$'�"+�;$��"���#$!��$#�!�;$�#�8�! �"��% !�6 !���'��% ��$#� ���7��!� "�

'� �� "$��� �!$;�''��8� ����9� %�'� �+��� $#� !�;$�#�8�! �"�� % !�6 !�� ;$�����; ��'�

��#!�&����"+�6��%� �%$'���!$;�''$!�1�#��!�'���39� %�'��$��"��'�'���" !��$��% ��$#����6$!:���

6$!:'� ��$�'5�6%�!���!$;�''��8�� +�$;;�!�#$!�/�!+�"$�8���!�$�'�$#������6��%$��� �8!� ��

�� "�$#�;$�����; ��$�9��

1'%'�'������������������ ���������

� ;%�$#� �%�'��'�+"�'�% '���'���;������#��'� ����! 6� ;:'9� %�� ��8%��!� �%�� ����8! ��$��$#�

�%��!�;$�#�8�! �"��% !�6 !�5��%���$!��#!�&����"+����; ������'���6��%��� �� ��"�; ��$��$!�

Page 34: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� ??

'���$#� ��"�; ��$�'����� �$� � "$6�!� ;$�����; ��$��$/�!%� �9��$6�/�!5� �%��% !�6 !�� �'�

�� �"�� �$� $��! ��� #$!� '�8��#�; ��� �$!��$�'� $#� ����� 6��%$��� ����!/����$�� #!$�� � %$'��

�!$;�''$!5� ��� �%�� �$����$#� !�;$�#�8�! �"�� "$8�;� / �" �"�� �'� $#����&����� "������9� %��

�$!�� "$$'�"+� ;$��"��� '�+"�'� ""$6� #$!� 8!� ��!� � ! ""�"�'�� ��� �!$8! �� �7�;���$�5� ����

'�##�!�#!$��%�8%�!�;$�����; ��$�'�$/�!%� �9���� ��"�; ��$�'��% ��!�&��!�� �8!� ���� "�$#�

;$�����; ��$�5��%�'�; ��!���;��$!�!��$/�� �+� ;;�"�! ��$������#��'�8 ������%!$�8%��%�'�

�+���$#� !�;$�#�8�! �"��% !�6 !�9� ��� �����$�� �$� �%�� "�/�"�$#�;$��"��85� �%����'�8��$#� �%��

;�� "� ;$���� ��$�� �"$;:'� 6��%��� �%�� !�;$�#�8�! �"�� % !�6 !�� / !��'� #!$�� '+'���� �$�

'+'���9�� ;%������$#�;$���� ��$�5�$!�"$8�;��"$;:5�; ����� '�'���"�� '� �?<������"$$:����

� �"��1�� 35�$!� '�;$��"�7� '� �)<������9� %�'���##�!��;������"$;:�'�K���'�;$��$�"+�

!�#�!!����$� '���������� ������$#��%��"$8�;��"$;:5�6%�!���%��?<������ ��'� ���7 ��"��$#� �

/�!+� #���� 8! ����� ;$���� ��$� "� �"�����5� ��� � )<���� ��� �'� �� �7 ��"�� $#� � &�����

;$ !'��8! ���������9� %��#���!�8! ������"$;:'� !���'�#�"�#$!����<"�/�"�� ����" ��$�'5�6%�"��

�%��;$ !'��8! ������"$;:'� !�������!�$�����K���#$!�'� �� !��� � � �%� ��"�; ��$�'9�

��!+�#���<8! �����"$8�;��"$;:'�1'�;%� '��%$'��$��! ���8�$�"+�$��*�$!�?�$��<����/ "��'3� !��

�'�#�"� #$!����� "�/�"�� ����" ��$��$#�� � 5� '� ; �� #!�&����"+���� #$���� ��� ��;!+���$�� ���

�� 8�� �!$;�''��8� ��"�; ��$�'9� "'$5� ��; �'�� �%�� ;�""'� !�� #���� 8! ����5� ;$���� ��$��

'�!�;��!�'� $#� !���! !+� ����6���%'� ; �� ��� ;!� ���9� %�'� ; �� ��� �'�#�"� #$!� ���"�������8�

� � � �%�;�!;���'��% �� !��� '���$��� � <6���%'��$�����"��������$���%��%$'���!$;�''$!�1A�

���� ��"���"+5� .*C� ���� �����$�5� ��;39� ��!#$!���8� �%�'�� �+��'� $#� ;$���� ��$�� $�� �

�! ����$� "���;!$�!$;�''$!�6 '��'�; ";�" ��$���##$!��#$!��%��; '��$#�/�!+�'� ""�$��! ��'5�

��� ��;�!'� ��"��<��'�!�;��$�� $/�!%� �� #$!� �%�� ; '�� $#� /�!+� " !8�� $��! ��'9� %��

!�;$�#�8�! �"��"$8�;���!#$!�'��7 ;�"+��%��; ";�" ��$���% ���'�������9��

��/�! "�!�;$�#�8�! �"��'+'���'��'�� �������<'�K���8! ��" !��+�$#�"$8�;��"$;:9�������!�

$#��%�'�� !;%���;��!�'�$��! ���$���6$�$!��$!��)<����6����� � �6$!�'5����� !��;�" !9� %�'�

��;!� '�'� �%�� �$� "� �����!� $#� ������ "���'� �$� �%�� ;�!;���5� ��� �!$/���'� �$!�� �##�;�����

;$���� ��$� "�'�!�;��!�'�#$!��$!��;$��"�7��!$�"��'9������<8! �����"$8�;��"$;:'�� +�

����'����$����"������� � � �%�;�!;���'�$#�/ !+��8�����6���%'5�'���" !��$��%��#���<8! �����

'�!�;��!�'9��$6�/�!5�6��%� �%�� ��"��+� �$� ��!#$!���$!�� ;$��"�7�$��! ��$�'� $#� � 8!� ��!�

�����!�$#� �����'5� �%�'� �+���$#�'�!�;��!��; �� "'$�����'����$��##�;����"+����"�������$!��

;$��"�7�$��! ��$�'�'�;%� '�#������'� ���� ;%���'9��

��!+�;$ !'�<8! ����� !;%���;��!�'� !���!�� !�"+����������#$!��%�����"����� ��$��$#�6$!�<

6���%� � � � �%� ;�!;���'9� (�; �'�� �%�� "$8�;� �"$;:'� �'��� !�� $�����K��� #$!� " !8��

Page 35: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� ?)

;$���� ��$�'5��%�+�6�""���!#$!���%�'��$��! ��$�'���;%��$!��&��;:"+�1 ���;$�'����"�''�

;%��� !� 3� �% �� � '��� $#� '� ""�!� ;�""'� ;$���;���� �$� #$!�� �%�� ' ��� �+��� $#� '�!�;��!�9�

�$6�/�!5���; �'���%��!�;$��$'���$���'�'� ��;5� �%�+� !���� �"�� �$�"�/�! 8��$�����K ��$�'�

����%��'�K��$#�$��! ��'9��$!��7 ��"�5��%��� ���� !;%���;��!��N4O5� �'�;$��$'���$#�.4<����

���!'5���"���"��!'5� ���!�8�'��!'9��#�$�"+��%!���.<����/ "��'� !��!�&��!��5��%����%���'��$#�

�%�'� !;%���;��!�� '�##�!'� �� ����;�'' !+� !� � ��� '����� $/�!%� �5� '� ""� .4� ���'� !��

;$������9��$6�/�!5��%�'��;$ !'��8! ����� !;%���;��!�'�; �������;%��$!���##�;������% ��

#���<8! ����� !;%���;��!�'�#$!����"�������8�#��;��$�'�;"$'�!��$��%��!�� '�;�6$!��'�K�9�

1'%'1�����������������������3 ��#�������

%��!$����8����6�����%��"$8�;��"$;:'�6��%����%��!�;$�#�8�! �"��% !�6 !���'� "'$�$#�8!� ��

���$!� �;�9� �$����8� ;$��!�����'� '�8��#�; ��"+� �$� �%�� $/�! ""� !� � $#� �%�� !�;$�#�8�! �"��

% !�6 !�9����5�6%����%����!;��� 8��$#�"$8�;��"$;:'��'������ ��������;$��'�/�!+�%�8%5�

��$� ��;� !$����8� �$$"'� #!�&����"+� % /�� ��##�;�"�+� ;%��/��8� �%�� ��;�'' !+� ;$���;��$�'�

���6���� �%�� �"$;:'9� �$$�� !$����8� '�!�;��!�'� !�� �%�!�#$!�� �''���� "� �$� ��'�!�� �% �� �

��'�8��; �����'�;;�''#�""+��" ;��� ���!$�����$��$��%��!�;$�#�8�! �"��% !�6 !�9��

%�!�� !�� �6$��!�� !+����%$�'� �$��!$/�����$�%� "$; "� ���8"$� "� !$����8� !�'$�!;�9� %��

#�!'�� �'� �%�� �'�� $#� '�8������� !$����89� ��� '�8������� !$����85� '%$!��6�!�'� ;;$��$� ���

"$; "� ;$�����; ��$�'� �! ##�;9� %�'�� '%$!�� 6�!�'� ; �� ��� ;$���;���� �$8��%�!� �'��8�

'6��;%�$7�'��$����" ���"$�8�!�6�!�'9�����$� ""+5�"$�8�!�6�!�'�� +� "'$������;"����5� ���

'�8� "'� � +� �! �'#�!� ���6���� "$; "� ��� ��'� �;�� !$����8� �� ;$���;��$�� �"$;:'9�

���! !;%�; "� !$����8� �!$/���'� "$; "� !$����8� 6��%��� � ;"�'��!5� ��� "$�8�!� 6�!�'� �� �%��

�$��� !��'�;$���;�� �%����##�!����;"�'��!'��$8��%�!9����! !;%�; "�'�!�;��!�'� !��$�����K���

#$!�'��� ��$�'�6%�!���%���$'��;$�����; ��$��'%$�"�����"$; "� ���$�"+� �"������� �$����

$#�;$�����; ��$��6�""��! /�!'��"$�8���'� �;�'9��

��;$�#�8�! �"��'+'���'��% �� !��;$��$'���$#���"���"������;%��'�����!;$���;����$�� �

'��8"���!$;�''��8��$ !��% /�� �����$� "�% !�6 !��;$�;�!�'�$/�!�'��8"�<;%���'+'���'9����

� !��;�" !5��%�!���'� ������#$!� ���##�;�����;$���;��$��';%�������6�����%��;%��'5� '�6�""�

'� �$� �7��!� "����$!+� ��� �%�� '+'���� ��'9� %�'� �'� �$� �!$/���� #$!� ;�!;���'� �% �� !�� �$$�

" !8�� �$� #��� 6��%��� � '��8"�� ���5� ���� � +� ��� � !����$���� $/�!� �%�� ��"���"�� ���'�

/ �" �"�9� � �����!� $#� ��##�!���� ����!;$���;��$�� ';%���'� % /�� ����� �7�"$!��� N*O5�

��;"����8���'%�'5� ;!$''� !'5� ��� / !� ��'� $�� �%�'�� '�!�;��!�'9�(�; �'�� $#� �%�� ����� #$!�

�##�;����� ;$�����; ��$�� ���6���� �%�� ���'5� �%�� ����!�����8� �%�� ����!<;%��� !$����8�

�$�$"$8+��'� �/�!+����$!� ���'��������%����'�8��$#� ���"��<����'+'���9���;�� �;�!;����

Page 36: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� ?A

% '������;$�#�8�!���$��$��%��!�;$�#�8�! �"��% !�6 !�5�����'�!� �+��$�����'����+��%��%$'��

�!$;�''$!���!��8��!$8! ���7�;���$�9��

%�� !������� $��! ��$�� $#� � !�;$�#�8�! �"�� '+'���� $;;�!'� ��� �6$� ��'���;�� �% '�'G�

;$�#�8�! ��$�� ����7�;���$�9� %��;$�#�8�! ��$��$#��%��!�;$�#�8�! �"��% !�6 !���'�����!�

�%��;$��!$"�$#� �%��%$'���!$;�''$!9� %�'�%$'���!$;�''$!���!�;�'� � '�!� ��$#�;$�#�8�! ��$��

� � � �$� �%�� !�;$�#�8�! �"�� % !�6 !�5� ��� �%�'� ;$�#�8�! ��$�� � � � �'� �'��� �$� ��#���� �%��

;�� "� $��! ��$�� $#� �%�� % !�6 !�9� �$�#�8�! ��$�'� ; �� ��� "$ ���� '$"�"+� �� '� !���� $#� �

�!$8! �5�$!���!�$��; ""+���!��8� !������5���������8�$�� �%����'�8��$#� �%�� '+'���9�$!��

;$�;���'� ��/$"/��� ��� !��<����� !�;$�#�8�! ��$�� 1�%�� �+� ��;� !�;$�#�8�! ��$�� $#� ��/�;�'�

��!��8� ;$���� ��$�� �7�;���$�3� !�� ��';�''��� ��� � " ��!� '�;��$�9� %�� ;�� "� �7�;���$��

�$��"� $#� �%�� !�;$�#�8�! �"�� % !�6 !�� / !��'� #!$�� '+'���� �$� '+'���9� �$��� '+'���'�

'�'����� �%�� �7�;���$�� $#� �%�� %$'�� �!$;�''$!� ��!��8� �7�;���$�� $�� �%�� !�;$�#�8�! �"��

% !�6 !�9���%�!'� ""$6�#$!�'���"� ��$�'��7�;���$��6��%���;%��&��'�'���" !��$��%���'��$#�

#$!:]=$����!�����/�'������"���!$;�''$!��!$8! ����89�

1'��*�� ����������3 ��(�����������

��� �%������.DC�'� ���6� ��;%�$"$8+� #$!� ���"�������8���8�� "� "$8�;�6 '� ���!$��;��5� �%��

#��"�<�!$8! �� �"��8 ��� !! +�1���39� %�'����/�;�'�;$�"�����%�!����/��6��� '�'� ""5�

'"$6�� ':��!$8! �� �"��8 ��� !! +'�1��'3�$!�" !8�5��7���'�/���!$8! �� �"��"$8�;�

��/�;�'� 1���'39� ���'� 6�!�� ; � �"�� $#� ���"�������8� '�8��#�; ��"+� �$!�� "$8�;� �% ��

���'5��'��;� ""+���; �'���%�+�;$�"�����"��������"��<"�/�"�"$8�;5�6%�"���$'�����'�6�!��

$�����K���#$!��6$<"�/�"�"$8�;9�"�%$�8%��%�+������$��% /���%��; � ;��+�$#���'5��%�+�

"'$� ���� �$�� % /�� �$� ��� ;�'�$�� # �!�; ���5� 8!� �"+� "$6�!��8� �%�� ;$'�'� #$!� "$6</$"����

� !�'5� ��� /$����8�"$�8�# �!�; ��$����" +'9��%�"��� �+�$#��%�����'�6�!��;$�#�8�!���

�+� '� ��;���;�""'� ��� �%�� !! +� 1��35� �%�'�6 '� 8���! ""+� /��6��� '� � "� ��"��+� �+�

�$����� "�;�'�$��!'�6%$�6$!!����$/�!� �%��;%��>'�/$" ��"��+9����#�'�<� '������'� "'$�

6�!����/�"$���5� ���#$!�� �+� ��"�; ��$�'�6�!����;%��$!�� ��! ;��/�5��$�%���; �'���%�+�

��������$����'� ""�!� ���# '��!������$�"�''��!$8! ����8�$/�!%� �5� ��� "'$���; �'���%�!��

6 '��$�/$" ��"��+��$��%��;$�#�8�! ��$�9�

��� �%�� " ���.DC�'� ���� !"+�.DD�'� �%�!��6 '� �8!$6��8� !� "�K ��$�� �% �� �%��/$" ��"��+�$#�

��<� '������'�6 '��$�� � "� ��"��+5�����6 '����# ;�� �%��:�+��$�� �+���6��+��'�$#�

��"�; ��$�'9����;���%���!$8! ����8�$#�'�;%� ������;$�"�����;% �8����+� �;$��"���"+�

�"�;�!�; "� �!$;�''5� ��;%� '� � '� �� !�� �!$;�''$!� ; �� ��� ;$�#�8�!��� �$� !��� � �+�

�!$8! �'5� ��<� '��� ���'� % /�� ��;$��� �%�� 6$!:%$!'�� $#� � �+� ��6�

Page 37: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� ?4

!��!$8! �� �"�� ��"�; ��$�'9� �$��� $#� �%�� �$'�� �7;����8� ��6� �'�'� $#� ���'� �$/��

��+$����%�����"����� ��$��$#���8�� "�"$8�;5� �����'�� ��% !��''�" !8�������!'�$#����'�

'� �8���! "<��!�$'��;$���� ��$��������9� %��;�!;����� �����$��$��%�����'�������$��

���'� �� !��% !�6 !���&� ��$�'5�����; ���/������$��! ��$�'�#!$�� "8$!��%�'� ���8���! "�

;$���� ��$�'9�

1'�'%�*�(��"����� ����

����$#� �%���$'�� ;$��$�� #��"�<�!$8! �� �"���"�����'� �'��!$8! �� �"�� "$8�;���/�;�'�

1���'39����'�;$�;���! ����!�� !�"+�$�� �6$<"�/�"5� '��<$#<�!$��;�'� ���"����� ��$�'�$#�

"$8�;�#��;��$�'9� %�+�% /��'���"��!$����8�'�!�;��!�'�6��%��!���;� �"����" +'9����;���%�+�

!��;$��"���"+��!�# �!�; ���5��%�+� !��!� �+��$��'�����'�;$��'5� /$����8�"$�8���" +'�#$!�

;%��� # �!�; ��$�9� ���"�<�!$8! �� �"�� � ��� !! +'� 1���'3� !�� "'$� ;$��"���"+�

�!�# �!�; ���5����� ��'�� ��$#� �6$<"�/�"� "$8�;� �%�+� !��$�����K��� #$!���"��<"�/�"�;�!;���'9�

%�'� ""$6'� �%��� �$�% ��"����;%��$!�� ;$��"�7� ;�!;���'� $�� � '��8"�� ;%��5� ���� ��� $#����

' ;!�#�;�'� �%�� �!���;� �"�� ��" +'� $#� ���'9� 2�'�� '� ��� ���'5� ���'� !�� ;$��"���"+�

�!�# �!�; ���5� ���;$�� ���'��;� "�#� ��!�'�#$!�;�'�$��K ��$�9� %�'��;$�#�8�! ��$���$���'�

!�� �$!� ""+� ���%�!� ��� ;�""'5� ����5������5� $!� ���#�'�'9����#�'�'� !�� $��<

����� �!$8! �� �"�� ��/�;�'� 5� 6%�;%� 6%��� H�"$6�I� ;!� ��� � ;$���;��$�5� 6%�"�� 6%���

H���"$6�I��$�;�!!����; ��#"$6����6�����%��!���!��� "'9�(�; �'���%��;$�#�8�! ��$��$#� ��

���#�'���'���!� ����5� ���#�'�<� '������'� !��$��<������!$8! �� �"�5�6%�"����<

� '������'� !��!��!$8! �� �"�5��/�������%��� !8���'+'���9����;����'� !��/$" ��"�5�

�� ��<� '��� ������'�� ��� !��!$8! ����� �/�!+� ����� �%�� '+'���� �'� �$6�!��� ��5�

�'� ""+�#!$�� ������;"���������%��;�!;�����$�%$"��;$�#�8�! ��$��#�"�'9����;�""'� !��

" !8�!� �% �� ���#�'�'� ��� �����]����5� �� ���8� �% �� ��<� '��� ���'� 6�""�

% /�� #�6�!� ;$�#�8�! ��$�� �$���'� �% �� ���'� �'��8� $�%�!� �!$8! ����8� ��;%�$"$8��'9�

�$6�/�!5� ��<� '��� ���'� % /�� ����!$�'� �/ �� 8�'9� ���;�� �%�+� !�� � '�"+�

!��!$8! �� �"�5� �%��!� ;$�#�8�! ��$�'� ; �� ��� ;% �8��� #$!� ��8� #�7�'� $!� ��8! ��'9� %�'�

�%�+��!$/���� ����� "��!$�$�+���8�������9�"'$5��%�'����/�;�'�; ������'������'��� ��$�'�

6%�!�� �%�+� ; �� �7��;�� �$� % /�� ����!$�'� ��##�!���� ;$�#�8�! ��$�'5� '�;%� '���"��<�$���

'+'���'� ���!�;$�#�8�! �"��;$������8�� ;%���'9�

Page 38: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� ?-

*��'1'��������������3�������#��)�3����*�(���

�����<� '������'����$!+�;�""'� !��'; ���!����%!$�8%$����%�����9�'�'%$6�����

��8�!�� *5� � � �!� $#� ;!$''<;$��"��� ��/�!��!'�6�""� '�'� ���6% ��/�!� / "��� �'� �!$8! �����

$��$��%��9��'��8"���<�! �'�'�$!�8 ����'��!$/�����#$!����%�!�6!����8� �/ "���$!�!� ���8� �

/ "���� ;:�$��9� %��! ��$�$#�'�K�'����6�����%���! �'�'�$!� ����%������!���/�!��!��'�'����$�

""$6� / "��'� '���� �%!$�8%� �%�� �<�! �'�'�$!� �$� $/�!�$6�!� �%�� ��/�!��!9� %�� !� �� � ;:�

#� ��!���'��'�����!��8�����88��8��$�����!������%��;�!!����'� ���$#��%��'+'���9� %�� ;�� "�

;$��!$"�$#� �%�������'�% ��"����+� �%��A� ���A�$�����'9�����'���"�� ��"�; ��$��$#� ��

������� �'� �$� % /�� �%��a� ��!��� "� ;$���;���� �$� �%�� 8 ��� $#� �� �<�! �'�'�$!9� �#� � .� �'�

''�8�����$��%���!$8! ����8����5��%���! �'�'�$!��'�;"$'��5� ���/ "��'�; ��� ''����6�����%��

'$�!;�� ��� �! ��9� �#� � �� �'� ''�8���5� �%�� �! �'�'�$!� �'� $�����5� ��� / "��'� ; ��$�� � ''9�

%�'5��%�'�;$�'�!�;��$��! ��'�'���" !"+��$� �� ���#�'�5��%$�8%����!�&��!�'���;%��$!�� !� 9�

����$#��%���$'���'�#�"���<� '���'�!�;��!�'��'��%��"$$:���� �"��1�� 39�(+�;$���;���8�

*���!$8! ����8����'� �$� ���"���"�7�!� 1��8�!�� *35� �+��� ������ ;$���� ��$� "�($$"� ��

#��;��$�� ; ����� ���"�������9�"�%$�8%� ��� ; �� !�&��!�� � " !8�������!�$#��!$8! ����8�

���'� #$!� " !8�� �5� �� '� $#� ��� �$� A� �����'� ; �� �!$/���� � #"�7��"�5� �$6�!#�"� #��;��$��

���"����� ��$��������9�

1'�'��*�(���������������

$'�� ;$���!;� "� ��<� '��� ���� !;%���;��!�'� % /�� �%�� ' ��� � '�;� '�!�;��!�5� �

�6$<�����'�$� "� !! +� $#� �!$8! �� �"�� "$8�;� �"$;:'5� �% �� ; �� ���"������ � / !���+� $#�

���<6�'��"$8�;�#��;��$�'5�'�!!$�������+�;% ���"'�$#�6�!��'�8����'��$�����!;$���;��"$8�;�

�"$;:��]�9�����$'��; '�'5�����"$8�;��"$;:'�;$�� ���$���$!��$!���!$8! �� �"��"$$:���

� �"�'5�% ��; ������!$8! ������$���!#$!�� �+�($$"� ��"$8�;�#��;��$��$#� �'� ""������!�

$#������'�1�+��; ""+�)<A35� �'� ""������!�$#�'���"��($$"� ��"$8�;�8 ��'5� ���$���$!��$!��

Page 39: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� ?C

�����'<$�����'9� �'�!<�!$8! �� �"�� '6��;%�'� ;$��!$"� ����!;$���;��$�� ���6���� �= ;����

6�!��'�8����'� ���6�!��'�8����'� ���"$8�;��"$;:'9��

%!��� � ��� ;" ''�'� $#� ��<� '��� ���� !;%���;��!�� % /�� �/$"/��� $/�!� �%�� � '��

��; ��G� ;�""<� '��5� %��! !;%�; "5� ��� �'" ��<'�+"�9� � ;%� !;%���;��!�� �'� ��#����� �+� �%��

�$���� $#� "$8�;� �% �� ; �� ��� ���"�������� ��� �� !! +� "$8�;� �"$;:� ��� �%�� "��8�%� ���

����!;$���;��$��� ���!��$#���'�;% ���"�6�!��'�8����'9�

��������� ���� !;%���;��!�'5� ;$�'�'�� $#� � �6$<�����'�$� "� !! +� $#� '���"�� "$8�;�

�"$;:'� 6%�;%� �+��; ""+� ;$�� ��� �6$� $!� �%!��� �6$<������ "$8�;� '�!�;��!�'� '�;%� '� U��5�

��5� ��� ���� 8 ��'9� ����!<"$8�;� �"$;:� ;$�����; ��$�� �'� �!�� !�"+� � ��� �%!$�8%�

��!�;�<6�!��� ;$���;��$�'� #!$�� �"$;:� $�����'� �$� �����'� $�� �= ;���� "$8�;� �"$;:'9� �� ""�

�����!'� $#� 6�!�� '�8����'� �% �� '� ����"���"�� "$8�;� �"$;:'� $/�!� � ����� "� �$���� $#�

8"$� "� ;$�����; ��$������ �+��; ""+��$����$�8%� �$� ���"������;�!;���'�6��%� ! ��$��K���

;$�����; ��$�� � ���!�'9� %�'�� !$����8� !�'�!�;��$�'� #!�&����"+� "����� �%�� ��"�; ��$��

�$� ���$#��%�'����/�;�'��$�;�!;���'�6��%��!�� !�"+��� !�'�<���8%�$!�;$���;��/��+�'�;%� '�

���<'�!� "� !��%����;�����'� ���!�8�" !*<��#�"��!� !! +'9�

��/�;�'�6��%� ����������� !;%���;��!�5� ;$�� ��� � *<�� !! +�$#� ;$��"�7� "$8�;� �"$;:'�

6��%�� �+�"$$:���� �"�'� ��������'<$�����'�1�+��; ""+�C�$!��$!�3���!��"$;:9�����!<"$8�;�

�"$;:� '�8� "'� !�� ; !!���� $�� 6�!�� '�8����'� �% �� '� �� �%�� ����!�� ��/�;�� �!$/����8�

����!$�'� %�8%<'����� � �%'� ���6���� ��/�;�� �]�� ��� ����!� "� "$8�;9� %�'� !;%���;��! "�

;%$�;�� "� �'� �$� �� ��� "� ���"����� ��$�� '�����8� #$!� ��'�8�'� 6��%� � �+� %�8%<# �$���

'�8� "'9� %�'����/�;�'�; ��'�"�;��/�"+�����'����$����"������� �+��+��'�$#�"$8�;�;�!;���'�

�7%������8� �/ !���+�$#�����!;$���;��$��� ���!�'9�

������������ ��/�;�'� �!$/���� �� !;%���;��! "� ;$��!$��'�� ���6���� ;�""<� '��� ���

%��! !;%�; "� !;%���;��!�'9� �'" ��<'�+"�� ��/�;�'� !�� ;% ! ;��!�K��� �+� "$8�;� �"$;:'� $#�

�$��! ���;$��"�7��+�8���! ""+�;$�� ����8� �'� ""������!�$#�"$$:���� �"�'�1�+��; ""+�*<

)3� ��!� �"$;:9� �$����8� ;% ���"'�6��%� � ! �8�� $#�6�!�� '�8����� "��8�%'� !�� / �" �"�� �$�

'���$!���$�%�"$; "� ���8"$� "���/�;��!$����89�

1'�'1������������3 ������������3�������*�(���

��;$�#�8�! �"�� ;$�����!'� � '��� $�� ���'� % /�� '%$6�� ���!�''�/�� '������'� #$!� �

�����!�$#�;$������8� ��"�; ��$�'��+�;�'�$��K��8��%������!"+��8�"$8�;�$#��%��;$������8�

�" �#$!���$�;!� ����7 ;�"+��%��% !�6 !��#��;��$� "��+�!�&��!��9� +��; ""+5������$��%��'�K��

$#��%��;�!;����;!� �����$���!#$!���%��;$���� ��$�5���"���"��������/�;�'� !���������#$!�

��'�8�� ���"����� ��$�9� � �����!� $#� !�;���� �!$=�;�'� % /�� �'��� %���!��'� $#� ����

Page 40: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� ?D

��/�;�'� ��� ;$�;�!�� '� � !�;$�#�8�! �"�� ;$������8� �" �#$!�� �$� '$"/�� ;$���� ��$� "�

;% ""��8�'� '�;%� '� '%$!��'�<� �%� '� !;%�; ";�" ��$�5� !! +� '$!���85��� �; ";�" ��$�5� ���

'��;� "<��!�$'�� �!$;�''$!� ���"����� ��$�9� '� �%�� ;$��"�7��+� $#� !�;$�#�8�! �"��

;$������8� ��"�; ��$�'� ���� !8����" �#$!�'�8!$6'5��%�� ��"��+�$#� ��"�; ��$����'�8��!'��$�

� ����'�8�'��+�% ����$�!�;$�#�8�! �"��% !�6 !����;$��'�"��������+��%�� �$����$#������

��������$� � "+K���%��;$��"�7�/ !���+�$#�% !�6 !�����"����� ��$���! ���$##'� / �" �"�9�

%�'��"���� ��$�'�% /��8�/���!�'���$� ��$� ����%�8%<"�/�"���'�8��#"$6'�#$!���"��<����

!�;$�#�8�! �"�� ;$������8� �" �#$!�'9� �%�"�� �%�� '��;�#�;� ��� �"'� $#� ����/��� "� '+'���'�

/ !+5��$'��#$""$6��%��8���! "�'+��%�'�'�#"$6��% ���'�$��"����������8�!��?9�

� ��

*���1'1'������������3 ������������#���������* ���

�����8��� �#���������

��'�!� "8$!��%���'��+��; ""+�'��;�#������� �%�8%<"�/�"�" �8� 8��1'�;%� '���$!��YY3�$!����

���% /�$! "�% !�6 !����';!����$��" �8� 8��1�����$!���!�"$839� %�'�!��!�'��� ��$���$��

Page 41: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� )�

$�"+� '�!/�'� '� �� '�'� #$!� '+��%�'�'� ���� "'$� ; ����� '���" ����$�� ���;!$�!$;�''$!� #$!�

/�!�#�; ��$�9� ��"�:�� ��;!$�!$;�''$!� '+'���'� 6%�;%� !�&��!�� ;$�/�!'�$�� $#� �%�� ��7�� "�

!��!�'��� ��$���$� �'�&���;��$#�'���"���!$;�''$!���'�!�;��$�'5�!�;$�#�8�! �"��;$������8�

'+'���'� !�&��!�� �%�� 8���! ��$�� $#� � ;$��"���� % !�6 !�� ;�!;���9� %�'� '+��%�'�'� '����

�+��; ""+�!�&��!�'��%�����������$#�� � � �%�% !�6 !��!�'$�!;�'�����%��#$!��$#�%�8%<"�/�"�

�"$;:'� '�;%� '� ��'5� ��"���"��!'5� ��� ���$!+� ;$��$����'5� ��� �%�� ����!���� $#�

;$�����; ��$�� ���6���� �%�'�� ;$��$����'9� �$��!$"� $#� ';%���"��� ;$�����; ��$�� �'�

� ��� ����� �%!$�8%� �%�� ;!� ��$�� $#� ;$��!$"� ;�!;���!+9� %�'� '��� $#� � � � �%� ��� ;$��!$"�

'�!�;��!�'�#$!�� �!�8�'��!��! �'#�!�"�/�"�1� �3�!��!�'��� ��$��$#��%�� ��"�; ��$�9�

����%����7��'����$#��%���! �'" ��$���!$;�''5��$!��$�'�$#��%����'�8������%��;$��!$"�'�!�;��!��

��� � � � �%� !�� $�����K��� �$� � ������K��� '��� $#� ($$"� �� "$8�;� 8 ��'� �%!$�8%� "$8�;�

$�����K ��$�9� �!�&����"+5� �%�'� $�����K ��$�� �'� �%�� ' ��� #$!� ���'� '� #$!� $�%�!� �����

��;%�$"$8��'5� '�;%� '� #�""<;�'�$�� ��'�8�5� ��� ��/$"/�'� �/ "� ��$�� $#� �''��'� '�;%� '�

!�&��!�����'�8����!#$!� �;�� ��� / �" �"��;�!;���� !� 9� %��!�'�"��$#�"$8�;�$�����K ��$��

�'� � '�!�;��! "� ���"�'�� $#� 8 ��<"�/�"� ;$��$����'� 8!$����� 6��%��� �%�� ;$ !'�<8! �����

� � � �%�� ;!$<�"$;:'���#������+�%�8%<"�/�"�'+��%�'�'9�

*�(��#����������* ���

�$""$6��8�;!� ��$��$#� �� ;!$<� '���;�!;����!��!�'�����8� ��"�; ��$����% /�$!5��%��;�!;����

��'������ ������$� �% !�6 !��'+'����;$�'�'���8�$#���"���"��������/�;�'9� %��'���'�

�+�6%�;%� �'��;�#�;�!�;$�#�8�! �"��;$������8�'$#�6 !��'+'������!#$!�'��%�'��! �'" ��$��

�!$;�''�/ !��'� '$��6% �� #!$��'+'���� �$�'+'�������� ���8���! "� �%��� ;!$<� '������"�'��

;!� �����+�%�8%<"�/�"�'+��%�'�'���'���������������� ���$�'� ""�!����"�'�'�#$!�� ;%�����

��/�;�� ��� ����!<���� '�8� "'� ��'�� ��� 8"$� ""+� ��!��� �'��8� '+'���<"�/�"� !$����8�

!�'$�!;�'9� ��� �%�� � !����$���8� '���5� �%�� ���"�'�� 8���! ���� �+� "$8�;� $�����K ��$�� �'�

'����/����� ���$� ���;�'� $#� ;�!;���!+� '� ""� ��$�8%� �$� ����� �%�� "$8�;� ��� ����!<;%���

;$�����; ��$�� ; � ;����'� $#� �%�� � !8��� ���� ��/�;�'9� ����!<���� ;$���;��$�'� !��

''�8���� �$�'��;�#�;����'�$�� �%��������/�;�� ��� ����!<����'�8� "'� !�� !$������'��8�

'+'���<"�/�"�!$����8�!�'$�!;�'9�

*�(�������������* ���

��� �%�� ��;%�$"$8+� � ����8� '���� $#� ���� ;$���" ��$�5� �%�� #��;��$� "��+� $#� �!�����/��

"$8�;�8 ��'5�8���! ������!��8� "$8�;�$�����K ��$�5� �'� !�'�!�;��!��� ���$�'��'�$#� �%�'��� '�;�

�"$;:'9� �#� � �!�����/�� 8 ��� % '��$!�� �����'� �% �� � '��8"�� "$$:��� � �"�5� ��'� #��;��$� "��+�

Page 42: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� ).

��'�� ��� '�!� �� ;!$''� '�/�! "� �� '9� "��!� ��/�"+5� �#� �!�����/�� 8 ��'� ;$�� ��� �$$� #�6�

�����'5� '� ""� �����!'� $#� 8 ��'� � +� ��� ;"�'��!��� �$8��%�!� ���$� 8!$��'� #$!� �! �'" ��$�9�

#��!� ��;%�$"$8+�� ����85� ""� ��'�8�� "$8�;� % '� ����� � ����� ���$� "$8�;� �"$;:'� �� �%��

&� ���K ��$�� "�/�"� $#� �%�� � '�;� �"$;:� $#� �%�� �'" ��<'�+"�� ��/�;�9� %�� ��7�� '���� ��� �%��

�! �'" ��$���!$;�''��'��$� ''�8���%��� ;:����"$;:'�$#�"$8�;��$�'��;�9;�"$8�;��"$;:�"$; ��$�'�

��� �%�� �!�# �!�; ���� �6$<�����'�$� "� !! +9� %�� 8$ "� $#� �" ;������ #$!� �'" ��<'�+"��

���'� �'� �$� ;!� ��� � �" ;��� ;$�#�8�! ��$�� $#� "$8�;� �"$;:'� �% �� ; �� ��� '�;;�''#�""+�

����!;$���;���� ��� � '��'�&����� !$����8� '���� 8�/��� �%�� !$����8� !�'$�!;�'� / �" �"�9�

�$����8� �'� �%�� �!$;�''� $#� ������#+��8� �7 ;�"+� 6%�;%� !$����8� '�8����'� ��� '6��;%�'�

'%$�"������'����$�;!� ���;$���;����� �%'�#!$������'$�!;�'��$�������'��� ��$�'�#$!� ""����'�

��� � ;�!;���9��$����8� #$!� ���'� �'� ;$��"�; ���� �+� �%�� # ;�� �% �� �%�� �$���� $#� !$����8�

!�'$�!;�'� ��� �%�� ������/�;�� �'� #�7��9� ��� 8���! "5� !$����8� !�'$�!;�'� ��� �$�<;$�8�'����

�$!��$�'�$#��%����/�;��6�""����6 '����6%�"��!�'$�!;��$/�!�'�����;$�8�'����� !�'�� +�"� ��

�$�# �"�!���$� ;%��/�� �'�;;�''#�"�!$���9�

�������* ���#�������

�#��%��� ':'�"�'���������8�!��*5�D�b�$#��%��;$���" ��$�������#$!�!�;$�#�8�! �"��;$������8�

'+'���'��'��+��; ""+�'�������!#$!���8������" ;�� ���!$���9� %�'��'������$��%��# ;���% ��

6%�"���%��$�%�!�'���'�����%��'+��%�'�'��!$;�''��+��; ""+�$�����K�� ���%��� ;!$<�"$;:�"�/�"5�

��� "��� �" ;������ $#� ����/��� "� "$8�;� ��'�8�'� � :�'� �" ;�� �� �%�� 8! ��� '�K�� $#� �%��

�!�����/��"$8�;��"$;:'�$#��%����/�;�9��$��$�"+��$�'��%�'� ��!$ ;%�!�&��!���%���" ;������

�$$"� �$� !�;$�'�!�;�� "$; "��+� ��#$!� ��$�� #$!� � ��'�8�� 6%�;%� � +� ;$�� ��� %�8%<"�/�"�

'�!�;��!��� ;%�������" ;�������'���!#$!���5����� "'$�!�&��!�'��% �� ""����'� ����%����'�8��

���!$�����#!$��';! �;%�� ;%�����9�

Page 43: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� )*

��

�����!������ ������������ ����������

����������� �������

�% ���!���� �!+��$8! �%�;��!�����/�'�$��� !�6 !���

%�� ;!+��$8! �%+� "8$!��%�'� ��';�''��� ��� �% ���!� ��5� "$�8�6��%� �%��!� '+����!�;� ���

'+����!�;� ;$����!� !�'5� % /�� '�/�! "� ���"����� ��$�� �" �#$!�'9� (!$ �"+� '�� :��85�

�%�'�� �" �#$!�'� ; �� ���%�!� ��� % !�6 !�� $!� '$#�6 !�9� ��� % !�6 !�5� �%�� ;" ''�; "�

���"����� ��$�� % '� �����

$�� ���� 1��"�; ��$��

���;�#�;� ����8! ����

��!;���'35� ���� !�;���"+5�

!�;$�#�8�! �"�� �" �#$!�'�

'�;%� '� ���"��

�!$8! �� �"��� ���!! +'�

% /�� ����� 8 ����8� ���

�$��" !��+9� �$6�/�!5� �%��

� '+�'$"���$���'��$����"�������%�� "8$!��%�'�$��'$#�6 !�9�����%�'�; '�5��%��;$�����8%�����

�� ��� #$!� �� ����"� �+��� $!� ����� �+��� 8���! "� ��!�$'�� �!$;�''$!5� $!� ��� ��8%�� ��� ��� �

;$�'�! ����� ��/�!$������ '�;%� '� �� �����������;!$�!$;�''$!� $!���;!$;$��!$""�!� ��� �

����$!�'� !��; !�5�#$!��7 ��"�9� %�'��'��!$�8%��$�����;�$!� ""+������89�)9.9�

$'%�)������������������������������������

%�� ;%$�;�� $#� �%�� ���"����� ��$�� �" �#$!�� �'� ���������� $�� � / !���+� $#� # ;�$!'9�

���$!� ��� �$�8'�� �%��� !�� �%�� !�&��!�����!#$!� �;��$#� �%�� "8$!��%��6%�;%� �'� �$����

���"�������5� �%�� ; ��� "� / �" �"�� ��� ��!�'� $#� ��!� ����� '� 6�""� '� ��/�"$������ ;$'�5�

�$6�!� ;$�'�����$�� # ;�$!'� 1/�!+� ���$!� ��� ��� ; '�� $#� 6�!�"�''� ��/�;�'F3� ��� �%��

#"�7���"��+� $#� �%�� ���"����� ��$�� ��� ��!�'� $#� ;% �8�'� ��� � ! ����!'5� :�+� 8�"��+� ���

"8$!��%�� 8�"��+5� ����%�����$!� �;��$#��%+'�; "�'�;�!��+�$#��%�����"����� ��$����'�"#9����

�$� "5� 6�� ; �� �$�� ' +� �% �� � � !��;�" !� �" �#$!�� �'� ��'�� '������ #$!� �%�� ���"����� ��$�5�

��; �'�5����������'�%� /�"+�$���%��!�&��!�����'9�

Page 44: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� )?

��

�����!����������������� �������������������

��89� )9*� ;$�� !�'� �%�� �" �#$!�� ;% ! ;��!�'��;'� $#� �%�� �%!��� � =$!� ;" ''�'� $#�

���"����� ��$�5� � ��"+5� % !�6 !�5� '$#�6 !�� ��� !�;$�#�8�! �"�� % !�6 !�9� ��� ; �� ���

����!������#!$���%��;$�� !�'$���% ��!�;$�#�8�! �"���" �#$!�'�'�;%� '����'�� � 8���$�

;$�������%�� �/ �� 8�'�$#�% !�6 !�� ���'$#�6 !�����"����� ��$�'9�

���;$�� !��8��%��% !�6 !�� ���'$#�6 !�����"����� ��$�'�#$!�;!+��$8! �%�;��!�����/�'5�

��� ; �� ��� ����!������ �% �� �%�!�� �7�'�'� '$��� ��"�; ��$�'� #$!� 6%�;%� �%�� '$#�6 !��

���"����� ��$�'� !�� �$$� '"$69�

��!�%�!5��%�!�� !�� "'$� ��"�; ��$�'�

6%�!�� �%+'�; "� '�;�!��+� �'� $#�

� ! �$���� ���$!� �;�9� � !�6 !��

���"����� ��$�'� !�� ���!��'�; ""+�

�$!�� �%+'�; ""+� '�;�!�5� '��;�� :�+�

;;�''� ��� "8$!��%���$��#�; ��$��

�'�;$�'���! �"+�% !��!9�

��� � !��;�" !5� ;!+��$� "8$!��%�'�

���"�������� $�� !�;$�#�8�! �"�� �" �#$!�'� $##�!� � %$'�� $#� �/ �� 8�'9� %�'�� ��;"����

"8$!��%�� 8�"��+5� "8$!��%�� ��"$ � ��"��+5� !;%���;��!�� �##�;���;+5� !�'$�!;�� �##�;���;+5�

"8$!��%���$��#�; ��$�'5� ��;!� '��� �%!$�8%����1!�" ��/���$�'$#�6 !�3� ���;$'���##�;���;+�

1!�" ��/���$����'39�

"8$!��%�� 8�"��+�!�#�!'��$��%��# ;���% ���$��!��� +�'�;�!��+��!$�$;$"'� !����#������$����

"8$!��%�� �����������9� %�� "8$!��%�� �'� ��8$�� ���� $�� � ��!� '�''�$�� � '�'� ��� �6����

/ !���+� $#� ;��%�!'� ; �� ��� !�&��!��9� ����!�� �7���'�$�'� $#� �%�� "8$!��%�� 6�""� "'$� ���

""$6��9� ��#$!��� ��"+5� ���'� ; �� �!$/���� "8$!��%�� 8�"��+� $�"+� �� � %�8%� ;$'�9�

"8$!��%����8! � ��"��+� ���"��'� �% �� �� ��"�; ��$����8%�� !�&��!�� ����8! ��� �$� ���6�

"8$!��%�������$�/ !�$�'�!� '$�'�1�!� : 8��$#�;�!!���� "8$!��%�5��7��! ��$��$#�'� �� !�5�

;!� ��$��$#���6�'� �� !�5��7���'�$��$#� "8$!��%��"�'��$#� "8$!��%���������������!$�$;$"'9�

��8! ���8� $#����� ���"�������� "8$!��%�'� !�� �! ;��; ""+� ��#� '��"�� �#�� �+���/�;�'�

!�� ##�;����$!��#��%�� !� �$#� ��"�; ��$���'�' ��""����;$�����; ��$�� ����%��"�:�9���!�%�!5�

!�;$�#�8�! �"�� ;$������8� � +� ""$6� !;%���;��!�'� $�����K��� #$!� '��;�#�;� "8$!��%��

��'� �;�'9��'��8� !������� !�;$�#�8�! ��$�5� �%��' �������; ������'��� #$!��$�%��!�/ ���

:�+� '�6�""� '����"�;�:�+� "8$!��%�'� ���$��� '�''�$����; �'�� �� =$!��+�$#� �%�� '�;�!��+�

Page 45: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� ))

�!$�$;$"'��$��$���'���$�%�$#� �%���'���"� ��$�'"+5�6%�;%� ���!$/�'� !�'$�!;���##�;���;+�

� ��#$"�9�"8$!��%���$��#�; ��$�� ; �� ��� !� ��"+� ���"�������� $�� ���'� �#� �%�!�� �'� �

����5� '�����%��; '��$#�;!+�� � "+��;�% !�6 !�9����;�5����;$��'� '��$�'�!�!�'���% ���%�!���'�

�$� �� !�%� $#� !�'� !;%� ���$� !�;$�#�8�! �"�� �" �#$!�'� #$!� ���"�������8� ;!+��$8! �%+�

"8$!��%�'9��

Page 46: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� )A

�% ���!���

����#����!;%���;��!��#$!�

�!+��$8! �%�;�� '%�"8$!��%�'��

%��'���+�$#�/ !�$�'�;!+��$8! �%�;� "8$!��%�'� ����%��% !�6 !�� !;%���;��!�'�#$!��%��5�

"$�8� 6��%� �%�� :�$6"��8�� $#� �%�� " ��'�� !�'� !;%� �!���'� ��� �%�� !� � �� �"��� �%��

��/�"$������ $#� �� ���#���� !;%���;��!�� #$!� �%!��� % '%� "8$!��%�'� ;$/�!��� ��� ��� �"� ���

�% ���!� ��5� � ��"+5� �<A5� ��<*� ��� �����<.4�9� �!�'���� � +� ;!+��$8! �%�;�

;$�!$;�''$!'� ; �� ���"������ ��"���"�� "8$!��%�'5� ���5� ��#$!��� ��"+5� �%�+� !�� �$��

!�;$�#�8�! �"�9� %���!�'�������"����� ��$���'�#$!��%!�����##�!����% '%� "8$!��%�'�$���%��

' ��� ���� 6%�;%� �!$/���'� ��;%� �$!�� #"�7���"��+� #$!� �%�� ���� �'�!5� '� 6�""� '�

!�;$�#�8�! ��$��$���$�'9��

%���!�/�$�'�6$!:� "!� �+��$�������%�'�#��"���'��%������8! ��$��$#������<.4��5��<A�

�����<.9���!�����!$�$'���%��;% �8�'�����%�� !;%���;��!���$���'�8�� �$�%�!�% '%<;%���

6��%������<.4��5��<A� �����<*� ����%����%���7���'�$��$#��%��' ���?*<����;%����$�

��;$�� ''� �4)<���� "8$!��%�� �8�!9�

(�#$!�� �!$;�����8� 6��%� �%�� ��';!����$�� $#� �%�� �!$�$'��� !;%���;��!�5� �%�� 8����"���'�

6%�;%�6�!��#$""$6���N.*O������'�8���8���� !���!�'��������"$69��

-'%������� �#�������������(��� �����

��'�8���8� �%�� % !�6 !�� #$!� �%�� ;!+��$8! �%+� "8$!��%�'� ��';!����� ��� �% ���!� ��� �'�

���$�����"+� �&��'��$��$#��!$��!"+� #$""$6��8� �%����8�� "� '+'������'�8���!$;�''9���/���

���� �%��'��%���!$ ��#! ��6$!:����6%�;%��%����'�8��6 '�; !!����$��9�

• �$8�;���'�8�� �'��$�� �%��' ��� '���!�"$8�;$���89�����;$��$����'� :��$#�'$���

���7��!���;�� "$8�;� ��'�8��!'� �'� �$� �!� �� "$8�;� ��'�8�� '� ���!�"$8� �!$8! ����8�

� ':9� %�'� $#���� !�'�"�'� ��� ��!�"$8� ;$��� �% �� �'� % !�� �$� ����!'� ��5� % !�� �$�

���"�����5� ���% !���$�����89��$8�;���'�8���'� ��!$;�''�6%�!��$�������'��$G�

�� ����!'� ����%���!$�"��9�

�� �#� ��;�'' !+5� ��/���� �%�� �!$�"��� ���$� ��"���"�� �$��"�'� 6��%� ;"� �� ���

6�""���#���������!# ;�'9�

�� �$!�� ;%��$��"�G�

� ��'�8���%��� � � �%��% ��; ���!$;�''��%��� � �#$!��% ���$��"�9�

Page 47: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� )4

� ��'�8�� �%��;$��!$""�!� �$�;$��!$"� �%��� � � �%� ����!$��;��;$��!$"�

$�����'�1�#� �+3��$�$�%�!� �= ;�����$��"�'9�

��!�"$8�;$���85�$���%��$�%�!�% ��5��'� ��$��"��8�� ':9�$!��'��;�#�; ""+5� #��!�$���

% '��$���'$����!�"���� !+���'�8�'�$���%��� � � �%'� ���;$��!$""�!'5���!�"$8�;$���

�'��%����'����$G�

�� $��"��%��� � � �%'� ����%��;$��!$""�!'9�

�� �$���;���%��� � � �%� ���;$��!$""�!��$8��%�!��$�#$!���$��"�'9�

�� �$���;���%���$��"�'��$8��%�!��$�#$!���%��#�� "���'�8�9�

• %����'�8���� ���� '�'���"�� '��$''��"�� ���� '+��$�����!'� ��F��#� ���'�8���'�

% !���$�����!'� ��5��%����$�$�+�6�""���� �"���$�%�"���%��$!�8�� "���'�8��!�6��%�%�'�

$!� %�!� 6$!:9� "'$� '� ����� � ''�'5� �%�� % !�� �$� ����!'� ��� ��'�8�� 6�""� ��;$���

���$''��"�� �$� � ��� ��� ��� ����8� �/��� #$!� �%�� $!�8�� "� ��'�8��!9� %�!�#$!�5� �

"$8�;���'�8��!���'��:����%�'�$!�%�!���'�8��'���"�� ���� '+��$�����!'� ����/����#�

�% ���� �'��%����'�8���'�'"�8%�"+���88�!�$!�'"�8%�"+�'"$6�!� '�"$�8� '��%����'�8���'�

'��""�'� ""���$�8%� ���# '����$�8%��$�������%��'��;�#�; ��$�9�

• �'�� �� %��! !;% "� '�! ��8+� �% �� �!� :'� �%�� ��'�8�� ���$��$��"�'� �% �� ;$�'�'�'� $#�

� � � �%'� ���;$��!$""�!'9�$!��'��;�#�; ""+G�

�� ��/���� �%�� �!$�"��� ���$� ��"���"�� �$��"�'� 6��%� ;"� �� ��� 6�""� ��#�����

����!# ;�9�

�� �$!�� ;%��$��"�G�

� ��'�8���%��� � � �%��% ��; ���!$;�''��%��� � �#$!��% ���$��"�9�

� ��'�8�� �%��;$��!$""�!� �$�;$��!$"� �%��� � � �%� ����!$��;��;$��!$"�

$�����'�1�#� �+3��$�$�%�!� �= ;�����$��"�'9�

• ,���� ��##�!���� ;"$;:� �$� ��'� '�� ! ��� ��� % /�� �� �7�"�;��� '+�;%!$��K ��$��

�$��"��#$!�'�8� "'��% ��;!$''��%��;"$;:��$� ��9�

• %����'��6 +��$�'���+��%���##�;��$#� �%��� � � �%J'�����"����!�8�'��!'� �'��$��! 6� �

�����8��� 8! ��'%$6��8�� ;%�!�8�'��!J'��##�;��$����'�$�����'�6��%�!�'��;���$�!�'��8�

$!�# ""��8���8��$#��%��!�8�'��!J'�������;"$;:9�

• %�� �"$;:� �� 8! �� $#� �%�� � � � �%� '%$�"�� '%$6� ��� !�8�'��!'5� ��;"����8� �%��

���"�;���!�8�'��!�$#��%����&����� "�� � � �%��"�����9�

• �%�"����'�8���8��%����&����� "�� � � �%��"�����'5�'�� ! ��'��%���"���������$��%��

�6$�� !�'G�

�� %��;$���� ��$� "�"$8�;�

Page 48: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� )-

�� %��!�8�'��!9�

• %����'��6 +� �$���;����6%��� ���6%�!�� �$� �'�� ����"���� !�8�'��!� $!� !�8�'��!'� �$�

'� 8���%��;$��!$""�!������'� ���$�����'��'��$��! 6� ������8��� 8! ��'%$6��8�� ;%�

!�8�'��!J'� �##�;�� $�� ��'� $�����'� 6��%� !�'��;�� �$� !�'��8� $!� # ""��8� ��8�� $#� �%��

!�8�'��!J'�������;"$;:9�

• %���"$;:��� 8! ��$#��%��;$��!$""�!�'%$�"��'%$6����!�8�'��!'��7�"�;��"+�6%�"��

�%��! ��$��"$8�;�; �����!��!�'�������+� �'���"���" ;:��$79�

• �#��$''��"�5��'��$��<%$����;$���8�#$!��%��#������'� ���� ;%���J'�'� �����;$���8��$�

'���"�#+��%����������$8�;� '�6�""� '��%����7���� ����$8�;9�

• ��'�� ��$#���'�8���8� �;$��!$""�!�6��%� �8� ��� ���;$��"�7�#������'� ���� ;%���� ��

��'�;$!�5����� +����� '��!��$��!� :��%��;$��!$""�!����$���"���"��'� ""�!�;$��!$""�!'5�

� ;%�6��%� �'� ""�!� ���'���"��!�#������'� ���� ;%���� ����'�;$!�9�

• �$!� #������ '� ���� ;%������'�8�5� :���� �%����7���� ����$8�;� �"$;:� '�� ! ��� #!$��

�%����������$8�;��"$;:9�

• ��� �� "+� ;%���� ��'�8�5� ��� �'� �$''��"�� �$� �'�� �%�� ��7�� �� ��� �$8�;� �"$;:J'�

$������ '������'��$��%����������$8�;��"$;:9� %�'���'������$���6��%�; ���$��'��;��

�%�� �$� "� ��" +� $#� �%�� �6$� "$8�;� �"$;:� � +� ��;$��� �%�� ;!���; "� � �%� $#� �%��

;$��!$""�!9�

• �#������'� ���� ;%����;$�� ����8�'� ��'�6%$'�� �! �'���$�� �$� �%��!���7��'� ��'� !��

8$/�!���� $�"+� �+� �%�� �����!� $#� ;+;"�'� ��� % '� �$� 6 ��� ; �� ��� '���"�#���� �+�

���"���8� ���"���"�7�!� �!��� �$� '�"�;�� �%�������!�$#�;+;"�'� �;$����!���'��;$����

��#$!��8���! ���8� ��M�7��!�M�'�8� "��$��!�88�!��%��'� ����! �'���$�9�

-'�������� ������������������������

%�'� '�;��$�� �!�'���'� �%�� '���" !����'� ��� ��''���" !����'� ���6�����<A5� ��<*A4� ���

�����<.4�� 6%�;%� % �� � � =$!� ��#"���;�� $�� �%�� ��'�8�� $#� �%�� !;%���;��!�� #$!� �%��

"8$!��%�'9�

• �%�"�� �<A� % '� � .*C� ���� ��'' 8�� ��8�'�� $�����5� ��<*A4� % '� *A4� ���� ���

�����<.4�� % /�� � .4�� ���� ��'' 8�� ��8�'�� $�����9� ���;�5� ��� �'� ��;�'' !+� �$�

% /�� �7�! � ?*� ���� @�>� !�8�'��!'� ��� �%�� ��a� �"$;:5� '� 6�""� '� �%�� ����!���� ���

!�8�'��!�'��'9�

Page 49: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� )C

• �/��� �%$�8%� ��<*A4� ��� �����<.4�� !�&��!�� /�!+� #�6� ;$�'� ��'� #$!� �%��!�

$��! ��$�5��<A�!�&��!�'� �� �"��$#�4)�/ "��'9����;�5����6 '���;������$�'�$!�� ""�

�%��;$�'� ��'���� ���9�

• ���;� "� ; !�� % �� �$� ��� � :��� ��� �%�� � ����8� �"$;:5� ��; �'�� �%�� � ����8� $#� �%��

;$����#$!���<*A4�% ���$��������%����8����� ��#$!� �5�6%�"�� ���6 '�����%��"���"��

���� ��#$!� ��#$!��<A� ��������<.4�9�

• ��<*A4� % '� � /�!+� ;$��"�7� ���%$�� $#� � :��8� �����'� �$� �%�� �"����� !+� '����

#!$�� �%�� ��'' 8�� �"$;:'9��%�"���<A� ��� �����<.4�� ;%$$'�� �%�� ��'' 8��

6$!�'� ��!�;�"+� '� �����'� �$� �%�� ;$��!�''�$�� #��;��$�5� ��<*A4� ; ";�" ��'� 4)�

��##�!���������'�#!$���%��8�/���.4�6$!�'9� %�'�!�&��!��� �� �����$� "�!�8�'��!�#�"��

�'��;� ""+�����; �����$�'�$!��8��%����<*A4��!$;�''�����'' 8��6$!�'�#$!�#���!��

'�"�;��$�'9�

• �<A� ��� ��<*A4� % /�� $�"+� $��� !$���� �7�;����8� �� � ����9� �$6�/�!5�

�����<.4��% '��6$�!$���'��7�;����8����� ! ""�"5� '�6 '��!�'����������% ���!�

��9� ���;�5� �%�!�� �'� � ��;�''��+� �$� ���"�; ��� '$��� $#� �%�� !�'$�!;�'� ��� � � ! ""�"�

�"$;:9�

• ���"�������8� �%!��� "8$!��%�'� ��� �%��' ���;%���% '�!�'�"���� ��� �/�!+�;$��"�7�

��;!$;$��������#$!��%�� !;%���;��!�9�

-'1���������������������

%�� ����!�� !;%���;��!�� �'� ;$��$'��� $#� � ��"������� $#� ;$��$����'5� � ;%� $#� 6%�;%� �'�

�!�'��������"$69�

• ��89�A9.� �""�'�! ��'� �;�!;�" !� "�#��'%�#��!5�6%�;%�; ����!#$!��'%�#���8��+�/ !� �"��

'%�#�� �$���'9� ��� !� "��+5� ��� 6$�"�� ��� � � !!�"� '%�#��!� #��!� '+��%�'�'9� � � ��� �'�

;�!;�" !�"�#��'%�#�����+��%�#��$���� ���� ''���$���$�� � ���9�

Page 50: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� )D

��

�����$������ ��3����)�����

��

�����$���!4��� ��� �5��

��

�����$���������6��� �������

/ ��0�

��

�����$�!�2'����7 ��

• ��89�A9*��""�'�! ��'� �)G.���"���"�7�!5�6%�;%�

�! �'#�!'��%�� ��!$�!� ����������$��%��$������

��������8�$���%��/ "��'�����%��'�"�;��"���'9�

• ��89� A9?� �""�'�! ��'� �%�� �!�����/��

#��;��$�� �"$;:� 6%�;%� 8���! ��'� �

� !��;�" !�($$"� ��#��;��$��1$���$#�

�%�� -� / �" �"�3� $#� �%�� ������

/ !� �"�'� ��������8� $�� �%�� / "��'�

����%����"�;�������9�

• ��89�A9)��""�'�! ��'��%����� �"��

�"$;:� 6%�;%� '���"��'� �6$�

;$�'� ��'� �$� �%�� �6$� � ! ""�"�

� � � �%'���������8�$�� �%��/ "��'�

���%�� ��!�''����'9�

• ��89� A9A� �""�'�! ��'� �%�� ��8�'��!� #�"��

6%�;%� '���"��'� �%�� ��;�'' !+�

��'' 8��6$!�'���!��8�� ;%����! ��$�5�

#$!� �$�%� �%�� ����!� ��� "$6�!�

� � � �%'9�

• ��89� A94� �""�'�! ��'� �%�� ���

�!$;�''��8� ("$;:� 6%�;%� ��!#$!�'� �%�� '��;� "� $��! ��$�� �$��� $�� �%�� '�"�;����

��'' 8��6$!�'9�

• ��89�A9-��""�'�! ��'��%�������8�'��!�#�"��6%�;%�%$"�'��%��!�'�"�'�$#��%����� ��$��

$#��%����'' 8��6$!�'��+��%������!$;�''��8�("$;:9�

Page 51: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� A�

��

�����$�$�2��������� ��

������$�%�)�������������

/ ��0�

�����$�8�)���2��������� ��

��

�����$�,�������� �������

• ��89� A9C� ��� ��89� A9D� �""�'�! ��� �%�� '�!�;��!�� $#� �%�� �6$� ��� �%!��� ������ ���!'�

!�'��;��/�"+9� %�� �����$����!#$!�����'��$��"$�*?*9�

• ��89� A9.�� '%$6'� � *G.�

��"���"�7�!� �'��� �� / !�$�'�

�" ;�'� ��� �%�� � � � �%� '�

'%$6��" ��!9�

Page 52: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� A.

��

�����$�9��:����� �������

��

�����$��1��4��� ��� �5��

��

�����$������������/ ��0������)������� ��

��

�����$������������������ �;����

• ��89� A9..� �""�'�! ��'� �%�� '�8� "'� $#� �%��

� ����8� ("$;:� ;��� ��� �$��!$""�!9�

%��� ����8��"$;:�����!����'�6%����%��

��'' 8�� ;�� ""+� '�$�'5� ��� �$�'� �%��

� ����8�$#� �@.>�����#$""$6����+�@�>����'5�

#�� ""+� �����8� 6��%� �%�� � ����8� $#� �%��

;$���� ��� �%�� �!$��!� #$!� �� 1��8� $!� "���"��

���� �39� %��'� ���� ;%����#!$��6%�;%�����'���'�8�����'��!�'������" ��!9�

• ��89� A9.*� �""�'�! ��'� �%�� '�8� "'� $#� �%����;!$;$��� ;$��!$"� ����5�6%�;%� �'� �'��� �$�

������ �������������������������������������������������� �'�

-'$��� ������������������ �������������

Page 53: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� A*

��� �%�� �$/�� "�'��$#�� � � �%� ;$��$����'5� �/�!+�%��8��7;���� �%��� ����8�("$;:� ]� ���

�$��!$""�!� ��� �%�� �;!$;$��� �$��!$"� ����� �'� '�! �8%�#$!6 !�� �$� ���"�����9� ��� �%�'�

'�;��$�5��%�����#$!��%��� ����8�("$;:� �������$��!$""�!��'��!�'�����5� "$�8�6��%��%��

��� �"'� $#� �%�� ��;!$;$��� ;$��!$"� ����� ��� �%�� ;$��"���� � � � �%� $#� �%�� �!$�$'���

!;%���;��!�9�

��� ;$�'�!�;���8� �%�� ��� #$!� �%�� � ����8� �"$;:5� ��� �'� ''����� �% �� �%�� ;%���6$�"�� ���

����!# ;���6��%� ����$!+�� �:� ��� ����$!+�;$��!$""�!����6%�;%� ��� ��'�8� "�6$�"��

��� ;:�$6"��8���6��%� �'��8"���+���$#�� � 9���!�%�!5��%����'' 8���������$��%�� "8$!��%��

�'� ''������$����% /��8� �"��8�%�6%�;%��'� ���"���"��$#�C����'9� %����'' 8�����'�6%���

�%�� ������ � � � #!$�� �%�� ���$!+� � �:� �'� ���9� %�� $�%�!� ��� �"'� $#� �%�� ��� ; �� ���

$�� ������+�!�#�!!��8��$��%��;$�����';�''�������%�� ������79���89�A9.?��!�'���'��%�����

#$!��%��� ����8��"$;:9�

Page 54: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� A?

�����$�����)����������������/ ��0������ ��

%�� ��;!$;$��� ;$��!$"� ����� �'� ��/�' 8��� '� � ��� � �"�� $#� / "��'5� 6%�;%� #���� �%��

;$��!$"� '�8� "'� �� / !�$�'� �$���'� $#� �7�;���$�9� $� ��� �$!�� �!�;�'�5� �%�� � � � �%�

;$��$����'� !��;$��!$""����+�/ "��'�6%�;%�;% �8��6��%��%��;% �8������%��!$���� ���'����

$#�� ;%�$#��%�� "8$!��%�9� %�'5�#$!��/�!+�'��8"��'����$#�� ;%�$#��%�� "8$!��%�'5��%�!���'� �

;$��!$"� ����� ���!+9� ��� �����$�5�6�� % /�� ���!��'� #$!� ��/ "��� �����'5� !�'��� '� ��'� ��;9� %��

�!�'����;$��"�7��+�$#��%����'�8����;$��!$"�������'�*?A�"���'�$#�D?����'�� ;%F� %�'�6$�"��

;% �8�� 6��%� �%�� ��� ���8� $#� �%�� ��'�8�� �$� ��;"���� !�;$�#�8�! ��$�� ��"��+� ��� �$!��

"8$!��%�'�

Page 55: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� A)

-'-�49�������������������������� ���"���������� '�

���;$�� !��8� �8�!�6��%��%��!�'��$#� �%�� "8$!��%�'9� ���; �����'�����% �� �%��'�!�;��!��$#�

��8�!� �'�/�!+���##�!���� #!$�� �%��$�%�!'� ��� '� '�;%� ��;"����8�4)<���� �8�!�$�� �%��?*<����

!;%���;��!��6��%�'$���;%���''���" !����'��'�������� �;% ""��8��8�� ':9�

%��$�"+�'���" !��+��'��%��� ����8��"$;:�9�$�'$�����6��"$;:'�% ���$�������!$��;���

�%�;%� !����';!����� '�����!�G<�

#/: ��67�� %���!�8�� "�#$�!�C�U�4)��<�$7�'� !�����"���������'��8���8%��C�U�?*��<�$7�'�

6%�;%��'��%������"�; ���9�

%������!��<($7��"$;:�8��'���!'��?*<���'�$#����9���%���+��'��^��5��^.�5��^*� ����^?� ���

'� '�;%� �'� ; � �"�� $#� ��!#$!���8� �%�� "$$:��'� ��!� ����8� �$� �%�'�� �+��'9� 1� �.N�^�O� ���

�*N;^*O�#$!�� ����)N�^.O� ����?N�^?O�#$!�(�39� %��#$�!�4)�����6$!�'�'$�$�� �����;$���

$��� '���8%��?*<����"���'�#!$���%���$79�

%���$6�!��<�$7��8��'��%��� '��?*<���'�$#��� ���8���! ��'��%���?N�^)O5�)N�^4O�� !�'�#$!�

� ��� �*N�^AO5� �.N�^-O�� !�'� #$!�(9� �""� �%�'�� "���'� !�� �%���'���� �$� � �8�!��!$;�''��8�

("$;:9�

"����������������: ��6�

�8�!��!$;�''��8��"$;:�����!� ""+�;$�'�'�'�$#�'$���U����"$;:'�5����!� ��� ����� !;�$!9�

����.�

����*�

����?�

����)�

����.�

����*�

����?�

����)�

�($7��("$;:���8�A9A9.�����!��<($7�("$;:�1�4)�����6$!�'�'�$!���

����6$�?*<����6$!�'�3�

Page 56: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� AA

��8�A9A9*� �""�'�! ��'� �%�� ;$��"�������8��"$;:� �% �� ;$�'�'�'�$#�?*� �6$<������U���8 ��'�

�% �� #��;��$�� '��!$8! �� �"���� �8 ��'5�;$��"�������8� �%��������� � �6%���;$��!$"�

�������'�.9��

*���-'-'������ ���������: ��6�

��8� A9A9?� �""�'�! ��'� � 4)� ����

���!]'���! ;�$!� ����� 6%�;%�

��!#$!�'��%��4)����$��! ��$������6$�

;"$;:�;+;"�9� ���;$�'�'�'�$#� �*� ������

���!� 5� � ?� ������ ���!5� � *G.�

��"���"�7�!� ��� �6$� �� �"��� �"$�'9�

%�� ����� �'� !�'��� �$� K�!$� 6%���

��!#$!���8� �����$�� ��� '��� �$� .�

6%��� ��!#$!���8� '���! ;��$�9� %�� #�!'�� ������ $#� �%�� *<���� ���!� 1� � ��.3� � �'� � ?*� ����

�����9� %�� '�;$��� ������ ;$��'� #!$�� ��� #"��� #"$��6%�;%� % '� ����� '��� �$� $��� $!� K�!$�

��������8�$�� �%��$��! ��$�� 1 �����$��$!� '���! ;��$�3� �$���� ��!#$!���9� %�'��� #"��� #"$��

"'$�'�$!�'��%��; !!+�$������$#��%��*����� ���!9� %��'���$������$#��%��*<���� ���!�8$�'��$�

�%�� #�!'�� ������ $#� �%��?������ ���!9 %�� '�;$��� ������ �'�� � ��*9� %�� �%�!�� ������ ;$��'�

#!$�� � *G.� ��"���"�7�!� 6%$'�� �����'� !�� V�!$� $!� �%�� ; !!+� '�$!��� ��� �%�� �� �"��� �"$��

��������8�$���%��6%��%�!��%��$��! ��$���'���!#$!����$���%������!�$!�"$6�!�?*����'9� %��

#�� "�� � �����'��%��'���$������$#��%��?<������ ���!9��

*���-'-'1����;#�3��������<�2$�3���

Page 57: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� A4

#� ��������������: ��6�

%�'��"$;:�'�"�;�'�6% ��� ''� ���!$��������'� ���;% �8�'��%��$!��!�$#��%��� ! ����!'�

;;$!���8"+9�����!� ""+����;$�'�'�'�$#�'$����7�'�$�"+9�

���8�A9A9)�� '']�$������"�;��("$;:�

8 ���6��% /���6$�'�;%��"$;:'�5�� ;%�� :��8�=�'��?*<���� 5�5;� '������� ���8���! ���8��%��

;$!!�'�$����8�#�!'��$!�" '��?*<���'�$#��%��6$!�9�

� !��#!$���%�'��'$���$�%�!��"$;:'��$�����'�����;"���� �'��;� "�!�8�'��!�#�"��#$!� �8�!�

="����������� �I�6��%�����/��� "�!� �� ���6!������ �"��'�8� "'�#$!��/�!+�!�8�'��!9�

���;$�� ��'��%��U�<U-�!�8�'��!'�1�.4�U�?*�3��5� �5�5;�1�4�U�?*�3� ��� 5��5;;�1�4�U�?*�3�

!�8�'��!'9����;���%���$� "�'�K��$#��%����8���"��6�""����*C�U�?*9�

��%�!��"$;:'���;"����'$�����;$��!�]�����7�'� ��� �;$��"��$#��%�#��!'9�

��

��8� A9A9A� �""�'�! ��'� � 4)<����

�%�#��!�("$;:� �% �� ; �� '%�#�� "�#��

��� !�8%�� ��������8� $�� �%��

;$��!$"� �����9� ��� ; '��$#��<A5�

��<*A4� ��� �����<.4�5�

�%�� "$6�!�?*����'�$#�� � ��� ���

� � ���� !���'��9�

*���-'-'-�#�������: ��6�

Page 58: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� A-

����#���� ��: ��6�

8 ����6$�'�;%��"$;:'�% /���$�����'��9�

� �

��8�A9A94�,�+��;%���"��("$;:9�

-'2�,��� ����"8�������(��� �����

����'�$#�� ! �$�������$!� �;���$���'�!���% ���%������;$���6%�;%��'�����8�6!������#$!��%��

��!�$'��$#����"�������8��%�� !;%���;��!��$�� ���������'+��%�'�K �"�9� %�!�� !��&�����

� �����!� $#� 8����"���'� �$� ��� #$""$6��� N.?O5� ���$!� ��� $��'� $#� 6%�;%� !�� �!�'������

��"$69�

Page 59: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� AC

• �! 6� �'���"���"$;:��� 8! �5�" ��"��8� ""�'�8� "'5�6���%'���;9�

• �! 6� ������8��� 8! ��6��%� '���;%���� �"� '��$''��"��

• �$����%������ ;;$!���8��$��%��'+��%�'�K �"������" ��'�

• �$� � &��;:5� "$6� �##$!�5� ;$���"�<� =�'�� �$� '��� �#� ��� �'� '+��%�'�K �"�� �����

'���" ���89��$�� !���%�'��$��%���"$;:��� 8! �9��$$:� ���%����#�!��;��!��$!�G�

�� �$�����%�������!�$#�#"���#"$�'�<��'�����%��' ��� '��%�������!�$#�#"���#"$�'�

����%��;$��9�

�� �%�;:� #$!� " �;%�'� <� ���� +$�� 6 ��� �%��9� �#� �$�5� " �;%�'� !�� ��#�!!��� ���

;$���� ��$� "� �!$;���!�'� <� �%�� ��#�!��;�� !��$!�� ��""'� +$�� 6%�;%�

;$���� ��$� "� �!$;���!�� ��� �%�� � ��� $#� �%�� " �;%9� ��""+� '��;�#+� ""�

/ !� �"�'���� ""�; '�'��$��"���� ���" �;%�'9�

• �%�;:��%��; '��'� ���������#�!��;�9�� '����#�""]� ! ""�"c�

• �%�;:� �+���;$��"�����/����"�'��6 !���8'c�

• �%�;:��$�'����#��%�!�� !�� �+�;$���� ��$� "�#���� ;:�"$$�'�1�+��; ""+�$�"+� #��!� �

;$���"�39��$���� ��$� "�#���� ;:�"$$�'�; �����������#�����+��%��'�8� "�� ��'����

�%�������8�"$$�9�

• �%�;:��%��';%�� ��;�<� �+��$!�'���;$���;���c�

• ��/�!��8�$!�� �+�6 !���8��% �� �%��'+��%�'�'� �$$"�#" 8'9�""�6 !���8'�������$����

����!'�$$�� ����+��; ""+�'�8����$##9�

• ����" ��� ���;$�� !��6��%��%�������8��� 8! ��

�$���8��� ��� ;%���'�

• �! 6� �'� ����� 8! �9�� ��"��%��'� ��'9�""$; ���'� �����;$���89�

• � ��"��%���! �'���$��;$�����$�'� ���" ��"��%��$������/ "��'9�

• �'��� ! ����!'�#$!��%��'� ���/ !� �"�'9�

• �'���6$��!$;���!�'�1$���;"$;:���#$!��%��'� ���!�8�'��!� ���$���;$���� ��$� "�#$!�

�%����7��'� ���"$8�;� ����%��$��������;$���"$8�;39�

• �'�� �; '��'� �����������%��;$���� ��$� "��!$;���!�9�

• � /�� �!�'���'�! ��8+�1 '+�;%!$�$�'�$!�'+�;%!$�$�'39�

• �'����# �"�� ''�8�����'� ����%���;$!��!�; '�'9�

• ,����'� ���� ;%����;$���'�� ! ���#!$��$�%�!�;$���1�9�9��$�>����7�$�%�!� "$8�;����

6��%��%��'� ���� ;%����;"$;:��� ���;$���� ��$� "��!$;���!�'39�

Page 60: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� AD

�% ���!���� �$�;"�'�$��E�����!���$!:��

�� !���8�#!$���%��8!$������5� ���6� !;%���;��!��% '�������!$�$'��� '� ����#����'$"���$��

#$!��%!�����##�!����;!+��$8! �%+� "8$!��%�'9�1�����<.4��5��<A� �����<*A4�3�� %��

!;%���;��!�� % '� ����� ;$���� �'��8� '+��%�'�K �"�� ��!�"$8� � �� ;$�'�!�;�'5� ��� ""� �%��

;$��$����'� % /�� ����� ��'���� #$!� '+��%�'�K ��"��+� $�� � / !���+� $#� ���'9� �'����;%�'�

% /�������6!������#$!�� ;%�$#��%���$��"�'� ����%��!�#��;��$���8�/�!�#���9� %�!���'���;%�

';$���#$!� ���!$/�����5� �%$�8%9� %��#$""$6��8� !��8����"���'�#$!�#���!��6$!:�� '���$��

�%�'��%�'�'�

• ����8! ��� ""��$��"�'��$8��%�!��$�� :���%��;$��"����'+'����

• �!����$�����'����;%�'�6%�;%��7% �'��/�"+�;$/�!�$��� ""��$''��"��; '�'��

• ��!#$!�� �%�� /�!+� ���$!� ��� '���� ��� �%�� ��'�8�� #"$65� � ��"+5� � ;:� ��$� ��$�5�

6%�!���� �%�� #�� "� ���"�'�� �'� 8 ��� '���" ���� �$� ;%�;:� #$!� �!�� '+��%�'�'� ��� �$'��

'+��%�'�'�'���" ��$����'� �;%�'�

• ����8! ��� �$!�� % '%� "8$!��%�'� ���$� �%�� ;%��9� �%�"�� �%�'� '%$�"�� �!$/�� � '+5�

���"�������8� �;!+��$8! �%+�;$�!$;�''$!�"�:��'+'����$�� �!�;$�#�8�! �"��# �!�;�

6$�"���!$/���$����;% ""��8��89�

%�� �!$�$'��� � � � �%� "$�8� 6��%� �8�!� ����8! ��$�� % '� �$� ��� ;$���� ��� ��'����

�7% �'��/�"+9�

Page 61: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� 4�

������7�� �$���8���� �"'�

%�� ;$��� #$!� ���"�������8� �%�� !;%���;��!�� % '� �����6!������ ��� ��!�"$8����9�$��"�

�;%�$"$8��'>� $��"���� /A9-�� 6 '� �'��� �7���'�/�"+� #$!� '���" ��$�� ��!�$'�'9� �$!�

'+��%�'�'5��7���" !��$8�;>'���$� !�$���;�!���/*��.9?�6 '��'��� "$�8�6��%��+��"�;��+�

�+��"�#+��!$�/-9?9?9� %����� �"'�$#��%��;$��� !�� '��!�'��������"$6G�

• ���!9��0��$�� ��'��$��"�'� $#� �6$� ������ ��� �%!��� ������ ?*����� ���!'�6%�;%�

��!#$!���$��"$�*?*� �����$�9�

• ���%�#��!9��0��$�� ��'��%��;�!;�" !�"�#��'%�#���$��"��

• �"���"�7�!9��0��$�� ��'��%����';!����$�'�$#�?*�����*G.� ���)G.���"���"�7�!'�

• � �("$;:9��0��$�� ��'��%��� ����8^("$;:^��^�$��!$""�!��$��"��

• �!�����;9�� 0��$�� ��'� �%�� ���"����� ��$�� $#� �%�� '�/��� �!�����/�� #��;��$�'� ���

�%���!�����/�^���;��$�^("$;:��$��"��

• ��8��"�9��0��$�� ��'��%����8�'��!^��"���$��"��6%�;%�%$"�'��%����'' 8��6$!�'�

�����!�'�$#�.4�?*�����6$!�'�

• �� �"�9��0��$�� ��'��%����^ �"���$��"��6%�;%��'�� '�; ""+� ��� "��$!��

������"����� ��$��#$!��%��;$�'� ��'�!�&��!�������%�� "8$!��%�'�

• ��("$;:9��0��$�� ��'��%���$��"���$���!#$!���%��$��! ��$��!�&��!�����#$!���%��

��'' 8��6$!�'�; ������'�����'�����%����� "8$!��%����'�"#9�

• ����8��"�9��0��$�� ��'��%��!�8�'��!�#�"��!�&��!����+����6%�;%�;$�����'�C��

��##�!����6$!�'�#!$���%��.4���'' 8��6$!�'� / �" �"���$��������%��$!�8�� "�!�8�'��!�

#�"�9�

• �;!$;$��9��0��$�� ��'��%����;!$�!$8! �����;$��!$"�'�$!��#$!��%��'+'��������%��

�;!$;$��^����$��"��

• � '%�%��9��0��$�� ��'��%���$��"�/�"�����!;$���;��$�'��$����"���%��6%$"��'+'����

Page 62: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� 4.

������7�(� %����'�8���

%�� ����$��!�''$!�("$;:�

� ! ""�"��$��!�''$!��"$;:�

Page 63: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� 4*

��8�'������! ��$��("$;:�

��<��� ��$��("$;:�

&#"�"88�">&��&��#)�8�">&�

���$!��!��$�!����%��'���" ��$�5�6��������$�% /��$��"����A9-��$!�%�8%�!���'� ""���

Page 64: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� 4?

$��$�!�;$�����!9�''����8���%��#�"�'�$#��%��!�"� '�� !��;$���������$� ���!�;�$!+�$���%��

;$�����!5�' +5��Gd;%��d9��

''����8��% ���%���7�! ;��$��6 '���!#$!�������$��Gd�$%��d� '%�%��d�$'�$�5��%��

��!�;�$!��'���'����6�""����% /��8��%��!�#�""�� �%� '��Gd�$%��d� '%�%��d�$'�$���

����� !���8��$��"����A9-�5�8$��%����"������ ���;"�;:�$��@�"$'�>����$!��!��$�;"$'���%��

;�!!�����!$=�;�9�#��!��%�'5�����%��� ���6���$65��+�������%��#$""$6��8�;$�� ��'� ���%��

@$��"���Q>�;$�� ����!$���� '�'%$6����"$65�

$��"���Q�;���G]�$%��]� '%�%��]�$'�$��

$��"���Q��$�� '%�%��9�$�

%�'�6�""�'� !���%���7�;���$��$#��%��� ;!$�6!������#$!��%��;!� ��$��$#��%���!$=�;�� ���

��'�;$���" ��$�9� %�� ;"] :�';!����6!������#$!�;!� ���8� �����#$!��%��'���" ��$���'� "'$�

����!�!����� ����7�;����9�

��!��#�8������$��%��'���" ��$�������'�8�/���%�!�9� %��" +$���$#��%�������'� '�'%$6��

�����89��.9� %��� ���6���$6��'� ��$��!�'�K �"��$���$#�8�$���!+�1C���U�4��39����% '�

8$�� �� ���#$!���'�" +��8�;$�+!�8%�� ��� ��%$!���#$!� ��$�� ���%���$�9������� ��"+�

��"$6��%�'� !���6$�� ��'5��%��"�#��$���;$�� ����8�! ��$�����$�'�#$!�;%$$'��8��%��

� !��;�" !� "8$!��%���$�'���" ��� ����%��!�8%��$���;$�� ����8� ���7���$7� ��� �����$��

#$!�;%$$'��8��%��#�"���$�% '%9� %�� !� ���"$6��%�'��'� "'$�'�"������$��6$�� ��'5��%��"�#��

$���#$!���'�" +��8� ""���#$!� ��$��6%�;%�% /�������;$������!�;�"+����$��%�� �'�(��;%�

�$��"�5�'�;%� '��%��;"$;:���!�$�5�� 7�����#�"��'�K��6%�;%�; �����% '%��5� ����%��

#�"�����$�6%�;%� ""��%��'���" ��$��!�'�"�'� !��6!�����9� %���7 ;����� �"'�6%�;%� !��

!�&��!����$����6!���������$��%��"$8�#�"��; ������$��#�����+�'�����8�$!�;"� !��8�

� !��;�" !����'�����%�� �'�(��;%��$��"�9���!�%�!���� �"'�; �����% ��#!$���%��

;$�����'��!$/�������� �'�(��;%9�9�"'$5���#$!� ��$�� �$����%��! �8��$#���;!$;$���

����� ��!�''�'�#$!�� ;%� "8$!��%���'��!$/���������%��' ���� ��9�

Page 65: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� 4)

��89��.�����#$!�� '%�%�������" ��$��<�� ��"���;!���'%$��

%��� ��������� ��"+��$��%��!�8%��8�/�'��%��/ "��'�$#��%���$'�����$!� ���/ !� �"�'�

��!��8��%��'���" ��$�9������'�" +'��%��;�!!����'� ���$#��%�����;$��!$""�!�$#��%��

� ����8��"$;:5�#$""$6����+��%�� ��!�''�$#��%����;!$;$��������;$��!$"�'�8� "'�6%�;%�

!������8�;�!!���"+��7�;����9� %��5��%���$'�����$!� ���$#��%��� ""5��%��/ "���$#��%��

��'' 8����8�'�� ���%���!�'����'���" ��$������5��'���'�" +��9�(�"$6��%�'���7��$7� !��

�6$�@'�8� "'>5�6%�;%�����; ����%��/ "����+�$#��%����'' 8����8�'����'�" +���=�'�� �$/��

��9��#��%��!���'�8� "��'� ;��/�5������ �'��% ���%����8�'���'�+����$����;$�������#�""+9�

��;���%�'�8��'�8! +���$��� ����%��8!����'�8� "���!�'�$��1 '�����'������89��.35������ �'�

�% ���%����'' 8����8�'����'�" +����'� �/ "���$��5�$�� ����� #��!�;$�'���!��8� ""�

���! ��$�'�#$!� ""��%����'' 8���+��'9�(�"$6��%�'��'�8� "'5�6��% /����#$!� ��$�� �$���

�%���!$;�''��8�'� ��'�$#��%����'' 8���$����% '%��9������'�" +'�%$6�� �+��+��'�% /��'$�# !�

������ :������$��%������!���� ���!�8�'��!'�$���$#��%���$� "�'�K��$#��%��#�"�9���� "'$���'�" +'�

�%��;�!!����'���" ��$������9�

���%���$��$��$#��%��6���$65�6��% /������$�'��$�;$��!$"��%��'���" ��$�9�����$�'�

��;"������8�����8��%��'���" ��$�5�!�����8������""� �/ "�����'' 8����8�'���'�8���! ���5�

!�����8����#$!�.����'�1����;+;"�'5� ;;$!���8��$��%���!�'����'�����8�$#��%��;"$;:���!�$��

Page 66: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� 4A

��

����%����'�����;%35� ��� "'$��$��7����%��'���" ��$�9��!�'��������7���'���� �"'�$#�%$6��$�8$�

�%!$�8%��%��'���" ��$�9�

#��!��%������'� !�'5�;%$$'���%�� "8$!��%���$�'���" ��5��+�;"�;:��8�$���%��!�&��!���

! ��$�����$�9�����'�'����$��A��+���# �"�9��$""$6��%�'�����+��+���8�����%��� ���$#��%��

#�"���$�% '%9�����'�� ��"�.9�7���+���# �"�9��"� '���$����% ������'���;�'' !+��$�"������%��

'�K��$#��%��#�"���$�"�''��% ��.,(�1; ����� "��!����+�;% �8��8��%����;�'' !+�� ! ����!����

��( �:9�39�

"'$�5�6��������$�� :��'�!���% �5��#�6�� !��8$��8��$�;%$$'�� ���##�!����#�"���$�% '%5�����'����

�%��@�$'�$��d>���!�;�$!+�$�"+9��"�;:�$���%��@�$ ��� � >�����$�����$!��!��$�;$�/�!��������$�

�#$!��!� � �"���+��%����!�"$8�'���" �$!9���;���%�'�% '�������$��5��%������$�'� ���%��

�$��$��$#��%��6���$6���;$��� ;��/�9��%$$'��@�� !��� '%��8>����$!��!��$������ "�K���%��

'���" ��$�5�!�'����%��� '%�%��� ���"$ ���%��#�"��� � ����$��%������!� "����$!+�� �:9�

���; ���%���#$""$6�����%��'���" ��$���+����%�!�;"�;:��8�$���%��@����"">�����$��$!�

@����.�'>�����$�9� $��!$/���� ����� �$#�%$6�� �+�;+;"�'� !��� :���#$!�'���" ��$�5� ��

Page 67: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� 44

����+���'' 8��� :�'� !$����*)��;+;"�'�1*)�'� ���%���!�'����;"$;:�! ��3��$�8���

�!$;�''��� ���8�/��$����%����8�'�5�6%�"������'�..)��;+;"�'�#$!� �*�4��+�����'' 8��1 '�

�����89��.3� ���?)D��;+;"�'�#$!� �-)���+�����'' 8�9��� ""+5����% /�� ��@�7��>�����$�����

$!��!��$�&�����%��'���" ��$�� ���!���!���$��%��@$��"���Q>��!$��������%��� ���6���$69�

Page 68: pages.cs.wisc.edupages.cs.wisc.edu/~rkoul/files/Rohit_Crypto_Thesis.pdf4 ( 1*3 ˘ 1)3 1ab3.9˚ ˙!$˛ ;˙ˆ$˚ c *9 !+˜˙$8! ˜%+ "8$!ˆ˙%ˇ’. *9.( ’ˆ;’$ # !+˜˙$8! ˜%+.

� 4-

(�(���������]������������

N.O� � !+� �9� ,�''"�!5� � ���$$:� $#� �$; "� !� � ���6$!:'9� � ��!��8�5� 9L�

��!� ;%����"�; ��$�'5�.DDC�

N*O� 9� ���K�'5� �9� / �� �$!';%$�5� ��� �9� � �'�$��5� � ���$$:� $#� ��"����

�!+��$8! �%+9�� ��!��8�5�9L������!�''5�.DD4�

N?O� �9� ��/�'�5� ���� .?*.9�� � � �$! �$!+� #$!� �$�����!� �;���;�� ��� ��� � � �

��;�!��+5���;9L�.DD*�

N)O� ��""� �� �� ""��8'5� �!+��$8! �%+� ��� ���6$!:� ��;�!��+� 0� �!��;��"�'� ���

�! ;��;�'�?!�������$�9���6���"%�5����� L��� !'$�����; ��$��1���8 �$!�35�*��?�

NAO� �9�� '�" :�� ����9�2$��'5�����?.-)9���';$��+'���'���;9L�*��.�

N4O� �9��$���!���5�9�($''�" �!'5�(9��!����"5������<.4�5� �'�!��8�%�����/�!'�$��

$#� �����9� � '�� �$#�6 !�� ��;!+���$�5� ����� .�?D5� �9� �$""� ��5� ��95�

��!��8�!<��!" 85�.DD45���9�-.<C*9�

N-O� �9�(!$6�� ���29��$'�5����� ��������!;%���;��!�'G�� ��$!� "9��������'�8��

E� �'��$#��$�����!'5�/$"9�.?5��$9�*5���9�)*<A-5�.DD4�

NCO� 2$ ���� ������� "95��� !�6 !����'�8��$��"� #$!��!+��$8! �%+�"8$!��%�'9�

, �%$"��:�����/�!'���������/��5�(�"8���5�.DD?�

NDO� �9� ����� +"$!� ��� "95� � ��8%� ��!#$!� �;�� �"�7��"�� !;%���;��!�� #$!�

�!+��$8! �%+9������� !�����5�� !��8����""$�����/�!'��+5�.DD49�

N.�O� �$"��� �9�� "��!5� �+'�$"�;�$��" !� �"���"�; ��$�5� �%�� %�'�'5� ���/�!'��+� $#�

�;%�'��!5� �;%�'��!5���8" ��5� !9�D*�

N..O� 929��"��!�� ����9� � !5� $6 !�'� �� ����!;%���;��!��������'��� #$!����"�;�

,�+� "8$!��%�'5� ��� %�� ����>'� �+��$'���� $�� �$�;�5� ����$5� ���

�$�����; ��$�'5���������!�*�5�.DDD5�($'�$�5�5����

N.*O� �%��8� ,$�8� 1 !;%� *��.3� �!�/ ��� �$�����; ��$�5� !;%�/��� ��

%���G]]6669;'96�';9���]`� !:%�""]:$�8�