МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В.В. СЕЛЮТИН

ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ

Учебное пособие

Ростов-на-Дону

2016

2

Учебное пособие разработано зав. лабораторией математического моделирования

эколого-экономических систем ИММ и КН им. И.И. Воровича, доцентом кафедры эко-

номической кибернетики экономического ф-та, В.В. Селютиным

Ответственный редактор - канд. физ.-мат. наук, доцент Ф.А. Сурков (ЮФУ)

Печатается в соответствии с решением кафедры _________________ протокол

№____ от _______ 2016.

Рекомендовано для передачи и хранения в банк изданий ЮФУ на заседании

учебно-методического совета _________________(протокол №___ от ______2016)

Учебное пособие предназначено для изучения теоретических основ и прикладных аспек-

тов измерения и управления рисками (риск-менеджмента) студентами старших курсов акаде-

мического бакалавриата, магистрантами и аспирантами, специализирующимися в области при-

менения математических методов в управлении экономическими и эколого-экономическими

системами различного уровня, инвестициями и финансами, а также в смежных областях.

3

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………..5

ЧАСТЬ 1. НЕОПРЕДЕЛЁННОСТЬ И РИСК: МЕТОДЫ СРАВНЕНИЯ

И ИЗМЕРЕНИЯ

1.1. Причины, факторы и уровни неопределённости в микроэкономике. Экономи-

ческий риск: различные определения..……………………..………………………...7

1.2. Риск как мера потерь (односторонние меры риска)...…………………...…..…12

1.3. Меры риска как критерии выбора рисковых альтернатив. Ординальные мето-

ды…………………...............................................................…………………………18

1.4. Меры риска, основанные на принципе замещения (trade-off). Аксиоматика

рисков……………………………………………………………................................23

1.5. Теория ожидаемой полезности Неймана-Моргенштерна. Премия за риск «в

большом» и «в малом». …………………………………..…………………………..27

1.6. Связи, сходство и различие между мерами риска. Основные теоремы.

……..……………………………………………………..…………………………….35

1.7. Парадоксы принятия решений в условиях неопределённости. Теория проспек-

тов Тверского-Канемана. ……………………………...………………….…………40

Тестовые задания.……………………….……………………………………..…….47

ЧАСТЬ 2. ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИЁМЫ ФОРМАЛИЗА-

ЦИИ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ. БАЙЕСОВСКАЯ СХЕМА ПРИНЯТИЯ РЕ-

ШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ

2.1. Методы оценивания вероятностей и принятия решений при дефиците инфор-

мации. …………………………………………………………...…………………….50

2.2. Статистические (байесовские) процедуры принятия решений в условиях веро-

ятностной неопределённости. ………………………………….……………………54

2.3. Примеры нахождения байесовских решений в микроэкономике…………….58

2.4. Последовательные (многоэтапные) байесовские процедуры принятия реше-

ний в условиях неопределённости. ………………………………….………………62

Тестовые задания. …………………………………………………….………….…64

4

ЧАСТЬ 3. МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ. РИСК-

МЕНЕДЖМЕНТ

3.1. Методы управления экономическими рисками. Предпринимательские риски,

сопутствующие хозяйственной деятельности производственных предприятий.

……………………………………….………………………………….……………...65

3.2. Фактор времени и методы управления рисками в бизнес-планировании и ин-

вестиционном проектировании. …………………………….………….……………68

3.3. Риски, сопутствующие деятельности кредитно-финансовых организаций.

Особенности управления банковскими рисками. ……………………..….………..70

3.4. Дюрация как инструмент хеджирования риска изменения процентной ставки.

Правила хеджирования и задача иммунизации портфеля…………………………78

3.5. Диверсификация и хеджирование рисков. Устранимый и неустранимый риск

портфеля. …………………….………………………………………………………..81

3.6. Задача формирования оптимального инвестиционного портфеля. Портфели

Марковица и Тобина. Модель CAPM Шарпа-Линтнера. .………………………...84

3.7. Снижение рисков с помощью производных финансовых инструментов (дери-

ватов). Дельта-хеджирование. ……………………….………………………………87

Тестовые задания…….….………………………………………….……………….90

Литература..……………………………………………………….…………………92

Глоссарий …………………………………………………………………………….97

5

ВВЕДЕНИЕ

Неопределённость – это имманентное свойство сложных многокомпонент-

ных активных систем, к которым относятся экономические, экологические и со-

циальные системы. Проблема принятия решений в условиях риска и неопреде-

лённости существовала всегда, однако её экономические аспекты начали активно

обсуждаться после выхода в США книги Фрэнка Найта (F. Knight, 1921). Он вы-

сказал революционную для того времени идею, что получение рыночной прибыли

возможно лишь благодаря присутствию факторов неопределённости, сопоставил

и разграничил понятия «неопределённость» и «риск», а также выделил основные

способы управления рисками: консолидация, разделение, принятие, передача, ук-

лонение и снижение за счёт получения дополнительной информации.

К числу основателей теории принятия решений в условиях риска и неопре-

делённости можно отнести Джона фон Неймана, Кеннета Эрроу, Леонарда Сэ-

виджа, Милтона Фридмана, Пола Самуэльсона, и других известных экономистов-

математиков. Они предлагали различные модели микроэкономического поведе-

ния, объясняющие субъективный выбор, совершаемый в условиях неполной ин-

формации. Уже в начале 50-х годов прошлого века стало очевидным, что этот вы-

бор далеко не всегда является рациональным с позиций формальной логики. Бла-

годаря работам Эймоса Тверски, Дэниэла Канемана, Герберта Саймона и др. стало

очевидным, что ключевую роль в микроэкономическом поведении в условиях не-

определённости играют психологические и социальные факторы.

В первой части (главы 1-7) детально излагаются современные концепции и

подходы к измерению экономических рисков. Большая часть рассматриваемых

здесь вопросов слабо, либо вообще не представлена в отечественной литературе.

Во второй части (главы 8-12) описываются практические методы и приёмы оце-

нивания вероятностей в условиях неопределённости и кратко излагается байесов-

ская теория принятия решений в рисковых ситуациях. Третья часть посвящёна

вопросам применения теории риска в различных сферах экономики (производство

товаров и услуг, банковская деятельность, управление финансами, инвестиции в

6

основной капитал). Страховые риски и страхованиодин из методов управления

рисками в рамках данного пособия не рассматриваются.

В качестве внеаудиторной работы студентами, согласно списку рекомен-

дуемой литературы, осуществляется знакомство с накопленным практическим

опытом учёта неопределённостей и риск-менеджмента российских и зарубежных

компаний.

7

ЧАСТЬ 1. НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ И РИСКИ: МЕТОДЫ СРАВНЕ-

НИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ, МЕРЫ РИСКА

Цель: Дать знание теоретических основ и современных подходов и методов

измерения рисков в микроэкономике.

1.1. Причины, факторы и уровни неопределённости в микроэкономике.

Экономический риск: различные определения.

В экономической теории выделяются две основные концепции риска: клас-

сическая и неоклассическая. В классической концепции английские экономисты

Милль и Сениор отождествляли риск с математическим ожиданием потерь, кото-

рые могут произойти в результате того или иного решения. Основным положени-

ем классической теории является определение риска как вероятности понести

убытки и потери от выбранного решения. Такое одностороннее толкование риска

явилось основой критики, что повлекло за собой становление в 20–30-е годы XX

столетия неоклассической теории риска, основоположниками которой считаются

Ф. Найт, А. Маршалл и А. Пигу. Они считали, что предприниматель, работающий

в условиях неопределённости, должен руководствоваться в своей деятельности

двумя критериями: размером ожидаемой прибыли и величиной её возможных от-

клонений. Поведение предпринимателя, согласно этой теории, обусловливается

концепцией предельной полезности, то есть при наличии альтернатив предпочте-

ние отдаётся тому варианту, в котором вариабельность прибыли наименьшая. До-

полнения в неоклассическую теорию риска были внесены и Дж. Кейнсом, кото-

рый предложил учитывать субъективный фактор склонности к риску, суть кото-

рого состоит в том, что ради большей ожидаемой прибыли предприниматель идёт

на больший риск. Таким образом, в неоклассической теории категория риска свя-

зывалась с вероятностью отклонения от поставленных целей.

8

ИСТОЧНИКИ, ПРИЧИНЫ И ФАКТОРЫ

НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ (РИСКА)

Объективные (онтологические)

Субъективные

(гносео/эпистемологические, психологиче-

ские и др.)

Естественная (природная) изменчи-

вость и стохастичность

Неизученность систем, незнание или недопо-

нимание законов функционирования, пове-

дения отдельных элементов

Вариабельность среды функциони-

рования объекта принятий решений

(социальной, рыночной, политиче-

ской)

Отсутствие, неполнота и ошибки в информа-

ции, задержки и искажения в каналах пере-

дачи и системах обработки данных

Технические и технологические

сбои, отказы, аварии

Принципиальная или практическая неизме-

римость, невозможность описания в эконо-

мических терминах

Структурно-динамическая слож-

ность систем (нелинейность, много-

значность, эмерджентность)

Противоречивость информации, получаемой

из разных источников, экспертных суждений

Недостаток времени для принятия решений

Конфликт интересов, целей, многокритери-

альность

Недостаточная квалификация исполнителей

и ЛПР

Перечисленные факторы ограничивают возможности прогнозирования от-

дельных исходов или направлений развития ситуаций, последствий принятия ре-

шений и, как следствие, выбора оптимального (в классическом смысле) варианта

решения, альтернативы. Поэтому в условиях неопределённости можно говорить

только о субоптимальности решений.

В целях анализа и управления рисками полезно различать:

причины риска - возможные нежелательные (незапланированные) события (те,

которые можно предвидеть заранее и непредсказуемые - не имеющие преце-

дентов), которые приводят к ухудшению конечного результата, отклонению от

цели

факторы риска - условия, вызывающие или способствующие проявлению при-

чин риска.

9

Для интерпретации неопределённости в вероятностных терминах необхо-

димы либо наблюдения (статистика), либо вероятностная модель, либо эксперт-

ные оценки.

Можно выделить различные уровни (степени) неопределённости:

A) Полная или частичная неизвестность отдельных исходов и их вероятностей

B) Известен диапазон значений для непрерывной с.в. или возможные исходы для

дискретной с.в, но неизвестны все или некоторые вероятности исходов

C) Для дискретных с.в. - известны вероятности исходов, но неизвестны точные

размеры потерь и выгод

D) Известны как исходы, так и вероятности (т.е. дана функция распределения)

В качестве с.в. в микроэкономике чаще всего рассматриваются доходы, за-

траты, прибыль, сальдированный финансовый результат, потери, убытки, упу-

щенная выгода, доходность, рентабельность, ликвидность, платежёспособность.

При моделировании и исследовании рисков чаще всего используются сле-

дующие теоретические распределения: Гаусса-Лапласа (нормальное), логнор-

мальное, бета, гамма, равномерное, треугольное, эспоненциальное, биномиальное,

Пуассона, геометрическое, Парето, Стьюдента.

Доходы (валовые), выгоды, поступления, приобретения. Y0 - случайный до-

ход с функцией плотности вероятностей g(y)

Расходы, затраты, издержки. Z0 - случайные затраты с функцией плотности

вероятностей h(z)

Прибыль, чистый доход, финансовый результат, сальдо доходов и расходов.

X=Y-Z - случайная прибыль, сальдированный финансовый результат; f(x) -

свёртка плотностей вероятности с.в. Y и Z

f(x) = gh = 0xg(x+z)h(z)dz = 0

xh(y-x)g(y)dy

Потери, убытки. В узком смысле потери - это чистые убытки. В широком

смысле потери включают упущенную выгоду. Можно также говорить о сверх-

прибылях, если >EX и сверхубытках, если <0.

10

Обычно подразумевается, что убытки L= -X=Z-Y - алгебраическая величи-

на, то есть могут менять знак, но иногда под убытками понимают отклонения от

некоторого целевого значения L=-X или чистые убытки L0:

L = max{-X,0}= (-X)+ = (-X)I(X)

<0 =0 0<EX =EX >EX

L=max(-

X,0)

сверхубытки

(excess loss)

L=max(0, -

X) убытки

(loss)

L=max(-X,0)

страхуемые потери

(за вычетом фран-

шизы)

L=max(0, EX-

X)

потери (loss)

L=max(-X,0)

упущенная

сверхприбыль,

сожаления

(regrets)

Очевидно, что если L= -X, то имеет место

FX(x)=P(Xx)=P(-L-l)=P(Ll}=1-FL(l),

FX(x)+FL(l)=1, FL(l)=S(x),

где S(x)=1-FX(x) - функция выживания (обеспеченность) или декумулятивная

функция. Если L = max{-X,0}= (-X)I(X) , то FL(l) = 1- FX(-l)/FX(), l0.

В ряде случаев удобнее рассматривать безразмерные (относительные) с.в.,

например

Рентабельность деятельности (отдача затрат) R=X/Z

Доходность (активов), rt=S

t/S

t, где S

t=S

t+1-S

t, S

t - стоимость акции в момент

времени t (stock, share, securities)

Ликвидность (мгновенная, текущая) и платёже/кредитоспособность

Существуют отдельные виды предпринимательства, которые принципиаль-

но ориентированы на использование ситуаций и возможностей, возникающих в

условиях неопределённости и связанного с ней риска (страхование, финансовые

спекуляции). В большинстве других видах экономической деятельности, таких

как производство товаров и услуг, агробизнес, строительство и инвестиции, кре-

дитование и финансовое посредничество, транспорт и логистика и др. желательно

избегать или минимизировать риски.

Риск - один из ключевых атрибутов (факторов) рыночной экономики, кото-

рый должен приниматься во внимание при оценке будущих доходов, затрат, при-

11

были, рентабельности, ликвидности, платёжеспособности и др. Обычно риск (и не

только экономический) связывается ЛПР с возможными с некоторой вероятно-

стью (p) потерями (z) рассматриваемой альтернативы.

Если разграничить возможные исходы на две категории (благоприятные и

неблагоприятные - A), то ожидаемые потери EL рассчитываются как скалярное

произведение вероятностей исходов на их ожидаемые значения

ELA = (p,z) = pizi = E(Z|A)pA

Данный показатель можно принять в качестве меры риска, однако исполь-

зовать его в качестве критерия выбора рисковой альтернативы можно далеко не

всегда. Оценка альтернативы в целом, когда одновременно принимаются во вни-

мание как нежелательные zi, так и благоприятные исходы (выгоды) yi

EA = (p,z)+(p,y) = pizi + piyi

также не всегда приводит к однозначному выбору.

Следует также принимать во внимание, что разные ЛПР по разному оцени-

вают риск в одних и тех же ситуациях и могут выбирать неодинаковые решения.

Поэтому любая оценка степени риска всегда включает элемент субъективизма.

В современной экономической литературе термин "риск" трактуется по-

разному, единого устоявшегося определения не существует. Помимо вышеска-

занного (риск как возможные потери), под риском иногда понимают вероятность

неблагоприятного события (вероятность разорения).

Риск можно рассматривать в узком смысле (риск 1-го рода, классическая

теория) как меру неопределённости или меру потерь [риск - субъективная харак-

теристика возможных потерь в ситуации принятия решения в условиях неопреде-

лённости] и в широком смысле (риск 2-го рода, неоклассическая теория) [риск -

целостная характеристика некоторой альтернативы с учётом субъективных пред-

почтений ЛПР по отношению к возможным издержкам (потерям) и выгодам (при-

обретениям)]. Вторая трактовка, по сути, определяет меру риска как критерий

принятия решений в условиях неопределённости.

Таким образом, в определении риска участвуют четыре элемента: неопреде-

лённость (случайность) исходов; величина возможных потерь и выгод; субъек-

12

тивный фактор, характеризующий индивидуальное отношение ЛПР к рискам

(возможным потерям) и шансам (возможным приобретениям); а также необходи-

мость принятия наилучшего в некотором смысле решения (выбора одной из рас-

сматриваемых альтернатив).

Мы будем придерживаться нейтрального (по отношению к приведенным

выше трактовкам) определения риска как субъективной характеристики (каче-

ственной или количественной) ситуации принятия решения в условиях неопреде-

лённости, когда присутствуют альтернативы с неоднозначными исходами. Тер-

минологически будем также различать рисковое решение (принимаемое в услови-

ях риска) и рискованное решение (сопряжённое с высоким риском).

1.2. Риск как мера потерь (односторонние меры риска)

В том случае, когда риск связывается с вариабельностью (т.е., отклонением от

цели в ту или иную сторону) в качестве меры риска чаще всего используются

стандартные характеристики рассеяния (масштаба) с.в.: дисперсия или СКО,

среднее абсолютное отклонение (САО), размах, межквантильное расстояние, ко-

эффициент фондов.

Напомним, что D=VAR=E{(X-EX)2}=E{X

2}-(EX)

2, SD=MSD=VAR и

MAD=E{|X-EX|}.

В случае максимальной (в вероятностном смысле) неопределённости (равно-

мерного или прямоугольного распределения) для характеристики с.в. использует-

ся размах (при этом СКО вычисляется как размах, делённый на 23).

Перечисленные показатели, по сути, измеряют не риск (потери), а степень не-

определённости (неоднородности). Поэтому дисперсия и СКО не являются коге-

рентными мерами риска (см. Лекцию 4). Однако в случае симметричных распре-

делений они могут выступать и в качестве меры потерь.

В качестве информационной меры неопределённости обычно используется

энтропия (C. Shannon)

H = -ipilog(pi) = -Xlog{f(x)}dF(x)

13

В качестве меры неравенства (которую можно рассматривать и как меру

неопределённости) часто используется коэффициент K. Gini (К. Джини) (площадь

"линзы", образуемой кривыми Лоренца внутри единичного квадрата).

G = (1/2)XY|x-y|dF(x)dF(y)

Чем ближе этот коэффициент к нулю, тем ближе распределение F(x) к сту-

пенчатому (все исходы одинаковы).

В случае асимметричных распределений более адекватной характеристикой

риска служат односторонние меры риска - downside/upside risk measure). Здесь мы

исходим из того, что с понятием "риск" обычно ассоциируются возможные поте-

ри, в то время как понятие "неопределённость" включает как риск (возможность

проигрыша), так и шанс (возможность выигрыша).

Если обозначить L =max(-X,0) - чистые потери, то в качестве меры риска

можно предложить достаточно общую конструкцию - ожидаемое восприятие

(perception) потерь

(L) = E{w(L)} = 0w(l)dFL(l), (*)

где w(l) - положительная весовая функция, учитывающая субъективное отноше-

ние ЛПР к потерям. Если w(l) - линейная, то риск сводится к ожидаемым потерям

(L)=E{L}.

В работах (Bawa, 1975, 1978, Fishburn, 1977) в качестве обобщённой меры

риска предложены нижние (верхние) частные моменты (lower-upper partial

moments) LPMk(), UPMk(), которые можно рассматривать как частный случай

(*)

(X;,k)=LPMk()=E{Lk}=

-(-x)

kdF(x)=E{(-X)

k I(X)}=E{(-X)

k|X}P(X)

При k1 для обеспечения линейной размерности можно извлечь корень

(X;,k)=[LPMk()]1/k

Указанные меры риска можно рассматривать как математические ожидания

функций от случайных величин или как условные математические ожидания.

Как отмечалось в предыдущих лекциях, целевая величина выбирается в

зависимости от субъективных установок ЛПР и связывается с убытками, потеря-

14

ми, сверхприбылями или сверхубытками. Однако сам факт использования нижних

частных моментов в качестве мер риска (то есть придание нулевого веса отклоне-

ниям в положительную сторону - выгодам) свидетельствует о несклонности ЛПР

к риску. Дополнительным показателем, отражающим субъективизм ЛПР, является

степень k (чем выше k, тем больший вес придаётся возможным потерям - откло-

нениям от целевого значения).

Используя показатель LPM, можно вывести различные меры риска, пред-

ставленные ниже в Табл.

I. При k=0 LPM0()=F()=P(X), то есть риск измеряется вероятностью по-

терь (убытков). Эта мера риска опирается на принцип "safety first" (Roy, 1952).

II. При k=1 LPM1() = E{-XX}P(X) = E(L|L>0)P(L>0), то есть в каче-

стве меры риска выступают ожидаемые убытки, потери, упущенная выгода (здесь

L=-X).

С другой стороны, LPM1() можно рассматривать как м.о. нелинейной

функции от с.в. Интегрируя по частям, получаем

LPM1() = E{max(-X,0)} = -(-x)dF(x) = F() -

-xdF(x) =

-F(x)dx = F

(2)()

D{max(-X,0)}= E{[max(-X,0)-F(2)

()]2}=2F

(3)() - [F

(2)()]

2

Если =EX=, то получаем среднее абсолютное полуотклонение (semi-

deviation) MASD=LPM1()=*=/2;

если =(1-f)EX, то данная мера риска совпадает со страховым тарифом T0

(ожидаемые средние выплаты).

III. При k=2 и =EX= получаем полудисперсию LPM2()=2*

(Markowitz,

1959) или среднеквадратическое полуотклонение MSSD=*.

Интегрируя по частям, получаем

LPM2()=-(-x)

2dF(x)=2

-(-x)F(x)dx=2F

(2)()-2[F

(2)()-F

(3)()]=2F

(3)()

15

LPMk() K=0 k=1 k=2

<0 Вероятность сверхубытков,

Ожидаемые сверхубытки,

EEL=MEL

-

=0 =P(X0)=F(0) - вероят-

ность убытков (разорения)

Ожидаемые убытки,

EL=ML

-

=EX q=P(XEX)=F(EX) - веро-

ятность потерь (q=0,5 для

симметрично распределён-

ной с.в.)

Ожидаемые потери, сред-

нее абсолютное полуот-

клонение, *=/2

Полудис-

персия 2*

,

СКПО *

=(1-f)EX =1-=F() - вероятность

страхового события (слу-

чая) при безусловной

франшизе 0<f<1

T0 - основная часть пре-

мии-нетто при безуслов-

ной франшизе 0<f<1

-

- произ-

вольное

P(X)=F()F(1)

() F(2)

() 2F(3)

()

(b) Меры риска, основанные на вероятностях и квантилях, т.е. случай k=0,

LPM0().

Из F(x)=P(Xx)=p при монотонной функции F(x) (т.е., непрерывной с.в. X)

следует qp(X)=xp=F-1

(p), p-квантиль (иногда удобнее обозначать квантиль qX(p))

вероятность получения дохода (прибыли) ниже некоторого установленного

уровня (принцип "safety first" A.Roy, 1952) LPM0()=F(). Если =0 (нулевой

уровень прибыли, порог окупаемости), то =F(0) - вероятность разорения, =1-

- доверительная вероятность (вероятность неразорения).

VaR - value at risk - рисковая стоимость (стоимость под риском) как мера фи-

нансового (рыночного или кредитного) риска; VaR как актуарная мера риска

(тариф-нетто). Введение данной меры может быть приписано (Baumol, 1963),

предложившему измерять риск выражением X-k, где k-коэффициент не-

склонности к риску, что для эллиптически симметричных распределений экви-

валентно VaR. Применяется с 1980-х годов, данное название впервые получила

в отчёте группы тридцати (1993), а в виде RiskMetrics впервые раскрыта для

всеобщего пользования с октября 1994 года (J.P. Morgan). Рекомендована со-

16

глашением "Базель-I" для оценки достаточности капитала ещё в конце 90-х го-

дов, согласно нового Соглашения по капиталу (New Basel Capital Accord), ко-

ротко - «Базель-II», которое введено в 2006 году, стала стандартом оценки бан-

ковских рисков (достаточности капитала, кредитного и рыночного риска).

V@R(X) -q(X) = -x

V@R1-(L) q1-(L)

Вычисление VaR в явном виде (через параметры и ) в случае гауссова рас-

пределения.

Для любой с.в. X со средней =X и ско =X имеет место X=X+X0X, где X

0 -

стандартизованная с.в. X. Поэтому, если X - гауссова, т.е. X=N(,), то

xp=X+upX, где up= -u1-p=Ф-1

(p) - квантили стандартного гауссова распределения

N(0,1).

VaR(X)= -X-u = -X+u1-;

VaR1-(L) = L+u1-,

Значение u1->0 (определяемое вероятностью ) характеризует субъектив-

ное отношение ЛПР к риску. Чем осторожнее ЛПР, тем меньшее значение и

большее значение u1- он выбирает. Данная формула идентична предлагаемой по

методу trade-off, если принять, что коэффициент несклонности к риску a=u1-.

(c) Меры риска, основанные на условных ожиданиях потерь, убытков или

сверхубытков (случай k=1, LPM1()).

Обозначим ML(X)=E{-XX} - mean loss (средние потери). Подставляя в

( ), получаем

LPM1() = ML(X) P(X)=F(2)

()

Пусть =-VaR(X)=q(X)=x. Тогда, согласно определению,

F()=F(x)=F(VaR)=.

Назовём Expected Shortfall (ES) (ожидаемый дефицит, ожидаемое отклоне-

ние) (Rappoport, 1993)

17

ES(X) E{XXq(X)} =E{XX VaR(X)}=E{LLVaR1-(L)} = x-

xdF(x)/ (условное м.о. сверхубытков). Здесь L= X.

Так как --xdF(x)=F

(2)()F(), то при =x. получаем

ES(X)=F(2)

(x)/ -x=MEL(X)+VaR(X) (*)

где MEL=E(x-X|Xx)- средние сверхубытки (mean excess loss).

Этот результат легко проверить, отложив соответствующие величины слева

от нуля на оси абсцисс графика функции распределения F(x).

Свойства ES и VaR

A. Теорема. ES(X) = -0F

-1(p)dp/=

0VaRp(X)dp/ - следует из графика

(площадь под функцией распределения) и (*). Из (*) вытекает, что ES согласуется

с правилом SSD (см. теоремы Леви-Кролла и Адара-Рассела).

B. ES(X)VaR(X) - вытекает из определения ES(X)

C. d[VaR(X)]/d<0 - следует из определения (см. график функции распре-

деления)

D. d[ES(X)]/d<0 - доказывается прямым дифференцированием интеграла

в (A), далее используется свойство (B).

Вычисление ES в явном виде (через параметры и ) в случае гауссова рас-

пределения X=N(, )

В этом случае

ES(X)=(u)/ - X, (**)

где (u)=exp(-u2/2)/(2) - плотность стандартного распределения N(0,1) с.в.

U=(X-X)/. Формула (**) идентична предлагаемой по методу trade-off, если при-

нять, что коэффициент несклонности к риску a=(u)/>u (сравнить с VaR(X)).

Доказательство:

X-E{XIXq(X)} = -1/[(2)] -q(X)

(x-X)exp{-(x-X)2/2

2]dx =

-/[(2)] -u

uexp(-u2/2)du = (u)/;

18

Используя формулы для ES и VaR, можно получить выражения и для дру-

гих мер риска в случае гауссова распределения:

F(2)

()=EEL=(ES-VaR)=[(u)-u1-]

*=/2=F

(2)()=(0)=/(2)

В отличие от VaR и ES они не содержат параметра положения (EX) и прямо

пропорциональны с.к.о.

(d) Обобщение ES и VaR на случай дискретных с.в. (со ступенчатой

функцией распределения Fn(x)=P(Xx)=(1/n)kI(Xkx). Согласно данной конструк-

ции, эта функция непрерывна справа.

В силу неоднозначности отображения F-1

() в этом случае приходится вво-

дить верхний и нижний квантили. Нижний квантиль будем называть обобщённой

обратной функцией F

(p).

xp=qp(X)=F-1

(p)=F

(p)=inf{x|F(x)p} (обратная ф-ия непрерывна слева)

xp=q

p(X)=inf{x|F(x)>p}=sup{x|F(x)p} (обратная ф-ия непрерывна справа)

Тогда VaR(X)= -x

()=q1-(-X)=q1-(L); VaR(X)= -q(X);

ES(X)= -0F

(p)dp/ = -

0qp(X)dp/

1.3. Меры риска как критерии выбора рисковых альтернатив. Орди-

нальные методы

Для того, чтобы сравнивать рисковые альтернативы, желательно знать не

только "риски" (возможные потери), но и "шансы" (возможные выгоды). Пусть

даны две лотереи [l, p | g1,1-p] и [l, p | g2,1-p], где g1<g2. Очевидно, что при равных

потерях (рисках "в узком смысле") рациональный выбор, с учётом больших воз-

можных выгод, производится в пользу второй лотереи.

В качестве возможных выгод можно использовать характеристики положе-

ния (математическое ожидание, медиану, моду) или верхние частные моменты.

Заметим, что меры риска в широком смысле имеет смысл определять только для

с.в. с двух-трёхпараметрическими или эмпирическими распределениями. Для од-

19

нопараметрических распределений риски жестко связаны с шансами. Подчеркнём

также, что только в распределении Гаусса-Лапласа МО и СКО одновременно вы-

ступают в качестве независимых параметров.

Найдём "риски" и "шансы" при k=1 (абсолютные лево- и правосторонние

отклонения).

EL = - (-x)dF(x) = ML p = p - -

xdF(x) = F

(2)()

EG = (x-)dF(x) = MG (1-p) =

xdF(x) - (1-p) = F

*(2)()

EX = - xdF(x) +

xdF(x)= p - EL + EG +(1-p)

EG = EL + EX - (*)

(y=-EX - нижняя асимптота для EL при , см. диаграмму O-R, Ogryczak,

Ruszynski, 1999)

Так как из трёх входящих в (*) параметров распределения лишь два могут

выбираться независимо, то в качестве меры выгод (ординаты на плоскости "выго-

ды-риски") можно брать как EG, так и EX. Очевидно, что математическое ожида-

ние (среднее) - более удобный показатель.

Определение множества эффективных (Парето-оптимальных) решений в сис-

теме координат "среднее-риск" ("mean -risk" или "expectation-variance")

Впервые анализ с.в. на плоскости "среднее-риск" с помощью параметров

распределений (моментов или полумоментов) был выполнен в работах

(Markowitz, 1952, 1959) и (Roy, 1952), хотя данная идея была высказана ещё в ра-

боте немецкого актуария J.Tetens (1789).

Определение правила доминирования (предпочтений) в системе "среднее-

риск": X>/rYXY & rXrY и хотя бы одно из этих неравенств - строгое. Если

имеют место два равенства, то данная ситуация характеризуется как «ничья». В

этом случае для окончательного выбора между альтернативами X и Y необходи-

мы более тонкие инструменты (например, моменты более высоких порядков).

Система "среднее-риск", использующая в качестве риска параметры вариа-

бельности, без оговорок применима только к эллиптически симметричным

20

распределениям (двухпараметрическим, с конечными моментами, в частности,

к многомерному распределению Гаусса-Лапласа), в общем случае она не со-

гласуется с правилом SSD (Ingersoll, 1987).

Определение. Говорят, что правило доминирования (предпочтения) "среднее-

риск" согласуется с SSD, если X>SSDYX>/rY.

В случае негауссовых распределений при оценке риска необходимо учитывать

влияние формы, то есть асимметрию; тяжёлые хвосты - heavy/fat tail в сочетании с

заострением в области максимума (leptokurtosis); полимодальность. Для этого, в

частности, могут использоваться коэффициенты асимметрии и эксцесса

(skewness, kurtosis).

Если "нейтральные" меры риска EL или MAD не позволяют произвести од-

нозначный выбор, то для несклонного к риску ЛПР следует воспользоваться чув-

ствительными к большим отклонениям вторыми нижними моментами (лексико-

графическое упорядочение). Аналогично, можно переходить от критерия "safety

first" (риска как вероятности дефолта) к EL.

Ординальные (непараметрические) меры риска. Правила стохастического

доминирования. Ординальные меры основаны на прямом сравнении с.в. путём

введения предпочтений (правил доминирования) на множестве вероятностных

распределений. Стохастическое доминирование базируется на аксиоматической

модели предпочтений, основанных на нерасположенности (несклонности) к риску

(Fishburn, 1964). Эта модель берёт начало в теории мажоритизации (Hardy et al.,

1934) для дискретного случая и распространена позже на распределения общего

вида (Hanoch, Levy, 1969, Rothschild, Stiglitz, 1970). На практике применяются три

правила стохастического доминирования: FSD, SSD, TSD. (SSD - Hadar, Russell,

1969, Hanoch, Levy, 1969, Rothschild, Stiglitz, 1970; TSD - Whitmore, 1970).

Пусть FX(s) и GY(s) -функции распределения финансовых результатов

двух проектов X и Y, причём F(s1)=G(s1)=0; F(s2)=G(s2)=1; s[s1, s2].

F

G

z1 z2

z

21

Обозначим

F(n)

(s)=s1sF

(n-1)(s)ds. Говорят, что X>FSDY (X>SSDY; X>TSDY), если F(s)G(s)

(F(2)

(s)G(2)

(s); F(3)

(s)G(3)

(s)) для всех s[s1, s2] и хотя бы для одного s неравенство

строгое.

Определение. Будем говорить, что утверждение В согласуется с утвер-

ждением А, если из А следует В (A=>B) (т.е. выполнение А достаточно для вы-

полнения B и выполнение В необходимо для выполнения A). Иначе, из выполнения В

не следует выполнение А, однако имеет место обратная логическая импликация:

невыполнение В автоматически влечёт невыполнение А (B=>A). Заметим, что

если одновременно А согласовано с B (B=>A), то утверждения A и B эквивалент-

ны, АВ.

Согласно данному определению, SSD согласуется с FSD, а TSD - с SSD и

FSD (FSD=>SSD=>TSD) (так как знаки неравенств при интегрировании сохраня-

ются). Имеет место также транзитивность, то есть X>nSDY & Y>nSDZ => X>nSDZ.

Исследуем, как ПСД соотносятся с подходами, рассмотренными выше.

Во-первых, легко видеть, что с ПСД согласуются соответствующие нижние

частные моменты LPMk() (при k=n-1), так как ПСД предусматривают выполне-

ние условий, диктуемых LPMk() в диапазоне изменения значений сравниваемых

с.в. Таким образом, ПСД предъявляют более жесткие требования к альтернати-

вам, чем LPMk().

Далее,

(a) X>FSDY => EX>EY (обратное неверно! - графическая иллюстрация); Доказа-

тельство проводится путём интегрирования разности интегралов EY-EX по

частям:

EY-EX=s1s2

(G-F)ds>0.

Таким образом, с правилом FSD согласуется выбор, основанный на сравнении

математических ожиданий.

(b) X>SSDY => {EX>EY, либо EX=EY и DX<DY}. Доказательство проводится пу-

тём двухкратного интегрирования по частям E{Y2}-E{X

2}

22

DY-DX=(EX)2-(EY)

2 + s1

s2[G

(2)-F

(2)]ds =>

2Y-

2X>

2X-

2Y

(с) Аналогичная импликация (с привлечением 3-го центрального момента и соот-

ветствующей характеристики асимметрии ) имеет место для TSD.

LPM0()=F(1)

() X>FSDY X>Y

LPM1()=F(2)

() X>SSDY X>Y X=Y, X<Y

LPM2()=2F(3)

() X>TSDY X>Y X=Y, X<Y X=Y,

X=Y, x>Y

При использовании FSD выбор ЛПР основан на сравнении только вероят-

ностей потерь (получении прибыли ниже некоторого целевого значения), при ис-

пользовании SSD - на сравнении ожидаемых потерь (произведений вероятностей

потерь на их средний размер), при использовании TSD - на сравнении линейно-

взвешенных (квадратичных) ожидаемых потерь. Таким образом, на каждой оче-

редной ступени ПСД используются дополнительные аргументы (критерии) в

пользу выбора альтернативы с позиции неприятия риска.

С помощью ПСД путём парных сравнений (имеет место транзитивность)

можно осуществить лексикографическое упорядочение альтернатив (без прида-

ния им каких-либо числовых характеристик, непараметрическое).

Пример. Использование ПСД для выбора наилучшей (с точки зрения не-

склонного к риску ЛПР) альтернативы.

X Y

p1 = 0,8; x1 = 0 p1 = 0,2; y1 = -30

p2 = 0,2; x2 = 50 p2 = 0,8; y2 = 20

EX=10 EY=10

DX=400 DX=400

-30

0,2

20

0,8 1

F, G G

F

50

23

P(X) X F(1)

F(2)

F(3)

0,8 0 0,8 0 0

20 1 16 160

0,2 50 1 40 1000

P(Y) Y G(1)

G(2)

G(3)

0,2 -30 0,2 0 0

0 0,2 6 90

0,8 20 1 10 250

50 1 40 1000

1.4. Меры риска, основанные на принципе замещения (trade-off). Ак-

сиоматика рисков

Для упорядочения рисковых альтернатив в плоскости (,r) кажется естествен-

ным использовать скалярный (интегральный) критерий - свёртку частных по-

казателей (правило "trade-off").

Чаще всего используется аддитивная (линейная) свёртка (абсолютное заме-

щение, аналог прибыли):

(X)=arX - X или u(X)=X - arX,

где X=EX, rX - некоторая мера риска "в узком смысле", a>0 - коэффициент не-

склонности к риску (risk aversion).

В ряде случаев применяется мультипликативная свёртка (относительное за-

мещение, аналог рентабельности). В частности, в теории оптимального портфеля

в качестве одного из критериев выбора используется отношение Шарпа (Sharpe

Ratio, Sharpe, 1966) SR=(X -0)/X, где 0 - безрисковая (гарантированная) доход-

ность. Аналогичным по смыслу критерием является коэффициент вариации, од-

нако при малых им пользоваться неудобно.

G(2)

F(2)

50 20 -30

16

40

200,8 = 16

24

Очевидно, что основанное на линейной свёртке правило "trade-off" [X>t/oY: X-

arX>Y-arY a>0] согласуется с правилом "/r-среднее-риск" [X>/rY: XY &

rXrY], X>/rYX>t/oY. В самом деле,

X-arX>Y-arY (X-Y)+a(rY-rX)>0, так как XY, rXrY и хотя бы одно нера-

венство - строгое. Это означает, что решение задачи X-arX=>max даёт прямая

X=Сmax+arX, при любом угловом коэффициенте а>0 проходящая через вершину

"уголка" "/r-среднее-риск". Меняя угол наклона a=tg, получаем эффективное

множество или огибающую.

Замечание. Если для сравниваемых с.в. среднее и риск совпадают, то для

окончательного выбора следует использовать более чувствительные меры риска.

Пример (использование мер риска более высокого порядка в случае неэф-

фективности критериев, использующих более "мягкие" меры риска).

X =[-20;0,5 | 20;0,5] и Y=[-1000;0,01 | 0;0,98 | 1000;0,01]

EX=EY=0; *X=

*Y=10; но X=20; Y=141 и X>SSDY

Следует иметь в виду, что выбор, основанный на правилах "среднее-риск" и

"trade-off", особенно для асимметричных распределений, может не совпадать с

выбором, диктуемым правилом FSD, который является наилучшим для всех кате-

горий ЛПР (численный и графический примеры).

Пример (нарушения правила FSD при использовании "trade-off"). X=[1;0 |

0;1]; Y=[1;p | 0;1-p] EX=0, DX=0, EY=p, Y=p(1-p)

u(X)=0 u(Y)=EY-aY=p-ap(1-p)<u(X)=0 при 0<p<a2/(1+a

2)

Пример. Применение FSD и "trade-off" для сравнения с.в., распределённых

по экспоненциальному закону F(x)=1-exp(-x/), где (EX=; DX=2)

Для гауссовой с.в. ранее были получены выражения для двух мер риска, кото-

рые при изменении знака можно рассматривать как линейные свёртки

u(X)=X-u1- [-VaR(X)]

u(X)=X-(u)/ [-ES(X)]

В отличие от VaR и ES, ожидаемые потери не содержат параметра положе-

ния (EX) и прямо пропорциональны с.к.о.

25

u(X)= {-(u)+u1-] [-F(2)

()= -EEL=(-ES+VaR)]

u(X)= -/(2) [-F(2)

(X)= -*]

(При =EX =0,5, u=0, (0)=0,4 и F(2)

()=*=0,4)

Если подставить все эти меры риска в линейную свёртку, то получаем об-

щую формулу

u(X)=-A,

где A= au1-/(1+a) для [-VaR(X)], A= a(u)/[(1+a)] для [-ES(X)],

A=a[(u)-u1-] для [-F(2)

()= -EEL] и A=a/(2) для [-F(2)

(X)= -*]

Отсюда следует, что в случае гауссовых с.в.

FSD => LPM0 = VaR (а также ES) => "/" => "-a"

Для негауссовских и, в особенности, асимметричных с.в., подобная импли-

кация не гарантирована.

С увеличением несклонности ЛПР к риску угловой коэффицент, естествен-

но, должен увеличиваться. Однако при одних и тех же вероятностях , целевых

значениях и коэффициенте несклонности к риску "a" угловой коэффициент А

при использовании гауссовских EEL и MAD значительно меньше, чем при ис-

пользовании VaR и ES. Это объясняется резким снижением вероятности больших

отклонений для гауссовских с.в. (тонкий хвост). В реальной экономике, в частно-

сти на финансовых рынках, это далеко не так.

Пример (дисперсии и СКО, как и полуотклонения, могут давать разные ре-

зультаты при использовании в качестве мер риска в критерии "trade-off").

1) Рассмотрим две с.в. X{X =0, *X=1} и Y{Y=1, *

Y=2} при а=0,4.

Тогда X - a(*X)

2= -0,4 > -0,6=Y - a(*

Y)2, но X - а*

X = -0,4 < 0,2=Y - a*Y

2) Рассмотрим две с.в. X{X =0, *X=1} и Y{Y=1, *

Y=3} при а=0,4.

Тогда X - a*X = -0,4 < -0,2=Y - a*

Y, но X - аX = -0,8 > -1,4=Y - aY

Аксиоматика рисков. Как и для любого функционала, вводимого на веро-

ятностном пространстве, желательно, чтобы мера риска отвечала некоторому ес-

тественному набору аксиом. В 1998-2002 годах были предложены различные ак-

26

сиоматики мер риска. Наибольшую известность приобрела (ADEH, 1999), соглас-

но которой риск не сводится к традиционным показателям неопределённости типа

размаха, дисперсии, среднеквадратического или среднего абсолютного отклоне-

ния.

(1) Инвариантность к сдвигу

Если a>0, то

(X+a)=(X)-a или (L+a)=(L)+a

Очевидно, что (X+(X))=0. Таким образом, экономический смысл (X) - раз-

мер компенсации (или резервный капитал), обеспечивающий безрисковость про-

екта. Заметим, что эта аксиома допускает, что риск может выражаться отрица-

тельным числом. Следовательно, риск здесь понимается в более широком смысле,

чем неопределённость. Поэтому дисперсия и ско не удовлетворяют данной ак-

сиоме.

(2) Монотонность

Если X1X2, то (X1)(X2)

Если L1L2, то (L1)(L2)

(2a) Положительность

Если X0, то (X)0

Если L0, то (L)0

(3) Положительная гомогенность (однородность)

>0, (X)=(X) или (L)=(L)

(4) Субаддитивность

(X1+X2)(X1)+(X2),

(L1+L2)(L1)+(L2),

Следствие. Из (3)+(4) => выпуклость (вниз) 0<<1

(X+(1-)Y)(X)+(1-)(Y)

Имеет место нарушение принципа субаддитивности VaR для распределений

общего вида, но когерентность VaR в случае гауссовых (эллиптически симмет-

ричных) распределений. Легко видеть, что некогерентны (неинвариантны и немо-

27

нотонны) дисперсия и СКО (дисперсия к тому же не обладает свойством гомоген-

ности-однородности первой степени).

Пример. Пусть имеются две облигации различных компаний с одинаковыми

вероятностными характеристиками. Каждая из них может рассматриваться

как лотерея L=[0;0,96| 100;0,04], где в качестве неблагоприятного исхода вы-

ступает стоимость облигации, теряемая в случае дефолта. Так как 95%-VaR

каждой из облигаций равен нулю, то

VaR0,95(L1)=VaR0,95(L2)=VaR0,95(L1)+VaR0,95(L2)=0.

Предположим, что дефолты независимы. В случае портфеля из 2-х облигаций

возможны три исхода: (a) отсутствие потерь с вероятностью 0,962=0,9216, (b)

дефолт по обеим облигациям с потерей 200 у.е. с вероятностью 0,042=0,0016 и

(c) дефолт по одной из облигаций с потерей 100 у.е. с вероятностью 1-0,9216-

0,0016=0,0768. Отсюда VaR0,95(L1+L2)=100. Итак,

VaR0,95(L1+L2)=100 > VaR0,95(L1)+VaR0,95(L2)=0,

что свидетельствует о нарушении принципа субаддитивности.

1.5. Теория ожидаемой полезности Дж. фон Неймана, О. Моргенштер-

на. Премия за риск «в большом» и «в малом»

Петербургский парадокс и идея Д. Бернулли (1738).

E(X)= 2 + 4 + …+ (1/2n)2

n=> при n=>

U(x)=b ln[(c+x)/c] – функция полезности, предложенная Д. Бернулли, при

этом ряд E{U(X)} сходится, а приращение полезности dU(x)=[b/(c+x)]dx обратно

пропорционально достигнутому доходу.

Если U(x)=log2(x), то E{U(X)} = 1 + 2 + …+n/2n => q/(1-q)

2 =2 при n=> (т.к.

q=1/2)

С.в. длины игры K, очевидно, подчиняется геометрическому закону распре-

деления f(k)=pqk-1

, F(k)=1-qk, E{K}=1/p, D{K}=q/p

2, q=1-p, где p - вероятность

ожидаемого события.

28

Очевидно, что проблема установления цены игры в данном случае обуслов-

лена субъективным неравноправием (и неопредёленностью оценки) в бесконеч-

ной сумме единиц членов, получаемых путём умножения исчезающе малых веро-

ятностей выигрыша на соответственно бесконечно растущие величины выигры-

ша. Согласно современным теоретическим исследованиям, при достаточно боль-

шом количестве игр средний выигрыш растёт пропорционально логарифму n, то

есть kсрlog2n (при стартовом выигрыше, равном двум).

Аксиоматический подход к сравнению и оценке микроэкономических ре-

шений в условиях неопределённости (теория ожидаемой полезности) предложен

выдающимся математиком Джоном фон Нейманом (1903-1957). Объектом иссле-

дования теории полезности являются так называемые лотереи, то есть случайные

величины, обобщающие бернуллиевскую с.в. X=[x1,q| x2,1–q]. В качестве отдель-

ных исходов лотерей xi могут выступать не только числа (скаляры), но и вербаль-

ные описания (предметы-товары, действия-услуги), а также другие лотереи

(сложные лотереи).

Правило вычисления для сложной лотереи (вероятности на ветвях, обра-

зующих цепочки, перемножаются):

X=[x1,q1| X2,1–q1] = [x1,q1| [x2,q2| x3,1–q2],1–q1] =

[x1,q1| x2,(1-q1)q2| x3,(1-q1)(1–q2)].

X2 = [x2,q2| x3,1–q2]

Предполагается, что рациональное поведение ЛПР при выборе альтернатив

должно отвечать следующим аксиомам:

1. Cравнимость: x1x2 или x2x1, или x1~x2.

2. Транзитивность: x1x2, x2x3 => x1x3

3. Непрерывность: если x1>x2>x3, то q (0<q<1): [x1,q| x3,1–q]~x2

4. Ограниченность: xxkx – существуют наихудшее и наилучшее значения.

5. Доминирование: если x1>x2, и q1>q2, то при сравнении двух лотерей выбира-

ется та, в рамках которой более предпочтительный исход достигается с боль-

29

шей вероятностью, то есть из X1=[x1,q1| x2,1–q1] и X2=[x1,q2| x2,1–q2] выбирается

X1

Теорема Н-М. Если поведение ЛПР подчиняется приведенным выше 5 ак-

сиомам, то для него существует ординалистская функция полезности U(x), по-

зволяющая упорядочить множество исходов X (ввести нестрогое упорядочение),

то есть

x1>x2 <=> U(x1)>U(x2)

x1~x2 <=> U(x1)=U(x2)

Добавим ещё одну аксиому, характеризующую поведение ЛПР:

6. Независимость (по предпочтениям): Добавление новой альтернативы (исхо-

да) не меняет ранее установленных предпочтений между x1 и x2.

Пусть x1>x2 => [x1,q| x3,1–q]>[x2,q| x3,1–q]

Пусть x1~x2 => [x1,q| x3,1–q]~[x2,q| x3,1–q]

Теорема Н-М. Если признаются приведенные выше 6 аксиом, то существует

кардиналистская функция полезности EU, позволяющая измерить полезности

лотерей (а не только отдельных исходов!). А именно, к двум свойствам ординаль-

ности добавляется ещё одно свойство (полезность лотереи):

U([x1,q| x2,1–q])=qU(x1)+(1–q)U(x2)=E{U(X)}

Помимо измерения полезности лотерей, это свойство позволяет выразить по-

лезность одних исходов через полезность других (ранее мы могли только упоря-

дочить исходы). В самом деле, из аксиомы непрерывности (если взять функцию

полезности от обоих частей) следует

U([x1,q| x3,1–q])=U(x2).

Применяя к левой части формулу полезности лотереи, окончательно имеем

U(x2)=qU(x1)+(1–q)U(x3)

Итак, вещественная функция, заданная на множестве Х, называется функци-

ей полезности, если она удовлетворяет перечисленным 6 аксиомам. В общем слу-

чае приведенным аксиомам удовлетворяет функция полезности Неймана-

Моргенштерна (ожидаемая полезность EU):

E{U(X)} =

30

Иными словами, полезность вероятностного распределения F(x) - это ожи-

даемая полезность дохода, получаемого при этом распределении, или

U(X|F(x))=E{U(X)}=. В этом состоит ключевое отличие теории ожидаемой по-

лезности фон Неймана-Моргенштерна от теории предельной полезности Гер-

мана Госсена (1810-1858).

Основные классы функций полезности (линейная, вогнутая, выпуклая, сигмо-

идная или S-образная, двояковогнутая - Фридмана-Сэвиджа, 1948).

Если U(x)=x, то =X. Таким образом, если U(x)=a+bx – линейная функция, то

U``(x)=0 и ЛПР нейтрально к риску (то есть ориентируется только на ожидаемые

доходы и не принимает во внимание возможные отклонения в ту или иную сторо-

ну). Если U``(x)<0, то есть функция вогнутая, то ЛПР не склонно к риску, если

U``(x)>0, то есть функция выпуклая, то ЛПР склонно к риску. Графическая иллю-

страция.

Премия за риск «в большом» и «в малом».

Напомним, что имеет место неравенство Йенсена

U(E(X))>E{U(X)}, U”<0 (1)

U(E(X))<E{U(X)}, U”>0

U(E(X))=E{U(X)}, U”=0

Чтобы превратить (1) в равенство, необходимо либо уменьшить левую

часть, либо увеличить правую. Обозначим "y" - некоторый стартовый капитал.

Так как E(y+X)=y+EX, то E{U(y+X)}=U(y+EX-). Не снижая общности, положим

EX=0. Тогда

U(y-)=E{U(y+X)}, (2)

где - плата ЛПР за уклонение от риска.

Решая это уравнение относительно , получаем M=y–U-1

[E{U(y+X)}] – пре-

мия за риск по Марковицу ("в большом"). Полученная величина имеет смысл

страховой премии, выплачиваемой страхователем страховщику за принятие на

себя риска, то есть готовности ЛПР платить за избежание риска (WTP).

31

Назовём СE=Сx=y+EX-M - детерминированным эквивалентом. Заметим, что

эта формула аналогична свёртке (trade-off), где M выступает в качестве меры

риска. Фиксированный (гарантированный) доход, равный CE, ЛПР считает рав-

ным по полезности случайному доходу (пример). СE может выступать в качестве

меры риска (полезности), то есть, чем больше для рисковой альтернативы СЕ, тем

она предпочтительнее (см. пример).

Другой способ перевести (1) в равенство - повысить ожидаемый рисковый

доход. Данный способ приводит нас к уравнению E{U(y+X+)}=U(y). Это инте-

гральное уравнение относительно , которое в общем случае не имеет аналитиче-

ского решения. Корень этого уравнения ` имеет смысл платы за принятие риска

или готовности ЛПР (например, страховщика) принять компенсацию за взятие

риска на себя (WTA). Обычно ЛПР демонстрируют стремление получить боль-

шую компенсацию за риск, чем желание заплатить за его избежание, то есть

WTA>WTP.

Премия за риск Пратта-Эрроу ("в малом").

Формула Пратта (Pratt, 1964).

Если X=0 и =0, то U(y)E{U(y)}. Пусть EX=0 и с.в. X мала (в смысле мало-

сти дисперсии). Тогда, в силу непрерывности U(y), мала и премия . Разложим

обе части выражения U(y-)=E{U(y+X)} в ряд Тейлора в окрестности точки y:

U(y)- U’(y)=E{U(y)+XU’(y)+(1/2)X2U”(y)}=

E{U(y)}+U’(y)EX+(1/2)U”(y)E(X2)=U(y) + (1/2)U”(y)

2,

так как EX=0, E{U(y)}=U(y) и E(X2)=

2 в силу DX=

2=E(X

2)–(EX)

2.

Из полученного уравнения находим :

π= −(2/2)U(y)/U(y)

- формула Пратта-Эрроу (премия за риск "в малом"). Полудисперсия 2/2 яв-

ляется объективной компонентой риска, в то время как первый сомножитель

представляет субъективную компоненту.

Очевидно, что если с.в. Х – мала (в смысле малости дисперсии), то M`

(см. Пример).

32

-U``(y)/U`(y) =RA(y) – коэффициент абсолютной несклонности к риску

(ARA), имеющий размерность 1/y. Очевидно, что для ЛПР, несклонного к риску,

этот коэффициент положителен, а для склонного - отрицателен.

-yU``(y)/U`(y)=RR(y) – безразмерный коэффициент относительной несклон-

ности к риску (RRA).

[Заметим, что ранее введённый безразмерный коэффициент несклонности к

риску "a" выражается через коэффициенты Пратта следующим образом: a=RA/2

и a=RR/(2y). Если положить y=EX=, то a=RR/(2)=RRcv/2]

Определим характер несклонности к риску для основных видов функций по-

лезности (экспоненциальной, логарифмической, степенной и их комбинаций).

1. Пусть RA= -U``(y)/U`(y) =. Найдём функцию полезности, которой характери-

зуется ЛПР с постоянной абсолютной несклонностью к риску (CARA) (то есть

не зависящей от размера начального капитала или дохода). Решая дифферен-

циальное уравнение U``+U`=0, получаем U=A1–A2e-y

, где A2>0, A1 - произ-

вольная константа.

2. Найдём функцию полезности ЛПР с постоянной относительной несклонно-

стью к риску (CRRA). Пусть RR=k.

yU``+kU`=0 => U(y) = где либо A2>0 и 0<k<1, либо A2<0 и k>1, A1- произ-

вольная константа.

3. Убывающая абсолютная несклонность к риску (DARA).

Продифференцируем R`A=[-U```U`+(U``)2}/[U`]

2= -U```/U`+R

2A= -(-

U```/U``)RA+ R2

A=RA(RA-). Для того, чтобы R`A<0 (DARA), необходимо, чтобы

U```>0, где = -U```/U`` - индекс осторожности, благоразумия, предусмотритель-

ности (prudence) (Kimball, 1990). DARATSD, если EX=EY.

Примеры функций полезности с переменной несклонностью к риску:

U(y)= -exp(-ay) -bexp(-cy) - убывающая абсолютная несклонность к риску - DARA

(см. TSD) (U`>0, U``<0, U```>0).

U(y)=[1/(b-1)](a+by)1-1/b

=>RA=1/(a+by) -убывающая абсолютная несклонность к

риску - DARA (см. TSD)

33

U(y)=y-(1/2)by2 =>RA=b/(1-by) - возрастающая абсолютная несклонность к риску

(U`>0, U``<0, U```=0).

В случае гауссовой с.в. N(,) и экспоненциальной функции полезности

U(x)=1-exp(-ax) (CARA) премии за риск "в малом" и риск "в большом" совпа-

дают

EU(X)= - U(x)(x)dx= 1/(2)-

[1-exp(-ax)]exp[-(x-)

2/(2

2)]dx= …

…Можно сразу вынести единицу за знак интеграла и переписать подинте-

гральное выражение

exp(a2

2/2-a)exp{-[x-(-a

2)]

2/(2

2)}

Вынося теперь постоянный множитель, под интегралом получаем гауссову

плотность со сдвигом по оси

EU(X)=1-exp(a2

2/2-a)/(2)-

exp{-[x-(-a

2)]

2/(2

2)}dx=

=1-exp(a2

2/2-a)=1-exp[-a(-a

2/2)]=U(CE)

Заметим, что отсюда также следует, что задача максимизации ожидаемой

полезности EU(Y) портфеля Y=wTX, где X(,V) - многомерная гауссова с.в. с ко-

вариационной матрицей V, w - вектор весовых коэффициентов, эквивалентна за-

даче минимизации противоположной по знаку функции риска (в широком смыс-

ле)

g(y) = awTVw/2 - w

T

Пример вычисления премии за риск "в большом" и "в малом".

А) Премия Марковица

Рассматривается лотерея X=[100; 0,5| -20; 0,5]. Ожидаемый результат

EX=40.

Пусть U(x)= x (что соответствует постоянной относительной несклонно-

сти к риску CRRA), а гарантированный доход (капитал) y=50.

Найдём ожидаемую полезность лотереи

E{U(y+X)}=0,5(50+100) + 0,5(50-20)=8,86

Найдём детерминированный эквивалент из уравнения

U(CE)= CE=8,86 =>CE=8,862=78,54

34

С другой стороны, CE= U-1

(E{U(y+X)}. Тогда

=y+EX-U-1

(E{U(y+X)}=50+40-78,54=11,46

С учётом платы за риск стоимость лотереи для данного (несклонного к рис-

ку) ЛПР составляет

=EX-=40-11,46=28,56

Другая возможная интерпретация - готовность заплатить данную величину

премии за страхование предпринимательского риска.

B1) Премия Марковица

Пусть X=[3; 0,4|-2;0,6], EX=0, y=50, U(x)=x.

Тогда CE= U-1

(E{U(y+X)}=0,453+0,648)2=49,97

=50+0-49,97=0,03 (премия за страхование от возможных потерь)

B2) Премия "в малом" Пратта-Эрроу

U(y)=y-1/2

/2, U(y)= -y-3/2

/4, RA(y)=1/(2y), RR=1/2

Если y=50, то RA(50)=0,01, DX=0,432+0,6(-2)

2=6

=DXRA(y)/2=0,560,01=0,03 (отметим, что вариабельность в данном слу-

чае незначительна: коэффициент вариации cv=5%)

При использовании функции полезности (как и правил СД) для асимметрич-

ных распределений выбор может существенно отличаться от диктуемого пра-

вилом "/r-среднее-риск".

Пример. (полезность распределения с меньшим значением м.о. и большим

СКО оказывается выше, Hanoch, Levy, 1969)

X=[1;0,8| 100;0,2]; Y=[10;0,99| 1000;0,01]; Z=[10;1| 1000;0]; U(x)=lg(x)

EX=20,8 DX=1468,

=38

EU(X)=0,4 X>/Y

EY=19,9 DY=9703,

=99

EU(Y)=1,02 Y>FSDZ Y>TSDX

EZ=10 DZ=0, =0 EU(Z)=1,0 Z>SSDX

Пример. (принятия инвестиционного решения с использованием детермини-

рованного эквивалента).

35

Проект может оказаться более привлекательным, если финансировать его не

полностью, а путём долевого участия. При этом выгодным может стать и заведо-

мо невыгодный проект, если он участвует в формировании портфеля. Объясне-

ние: зависимость м.о. от долевого участия - линейная, а дисперсии - квадратичная.

U(x)=1-exp(-x/R) R=60

A B

p1 = 0,3; x1 = 33 p1 = 0,15; x1 = 107

p2 = 0,7; x2 = - 8,5 p2 = 0,85; x2 = -11

E{NPV}=4,0 E{NPV}=6,7

CE=1,2 CE= -2,7

CE= -Rln[piexp(-xi/R)]

Найдём оптимальное долевое участие.

CE(z)= -Rln[piexp(-xiz/R)]=>max

Приравнивая нулю dCE(z)/dz=0, получаем уравнение p1x1exp(-x1z/R)+p2x2(-

x2z/R)=0, откуда

z*=R[ln(-p1x1/p2x2)]/(x1-x2)

Отметим, что z*>0 только при условии разных знаков исходов xi (пусть x2<0)

и p1x1>p2|x2|)

A (z=0,736) B (z=0,275)

E{NPV}= 2,94 E{NPV}= 1,84

CE= 1,4 CE= 0,9

1.6. Связи, сходство и различие между мерами риска. Основные теоре-

мы

Правила стохастического доминирования и ожидаемая полезность.

Легко убедиться, что правила стохастического доминирования (ПСД) экви-

валентны некоторому классу порядковых функций полезности. Поэтому можем

дать новое определение правилам СД.

Определим следующий класс функций полезности: Un={UUn-1 &

(-1)nU

(n)0}. Ранее мы рассмотрели случай n=1 (FSD), n=2 (SSD), n=3 (TSD).

36

Говорят, что с.в. X доминирует над с.в. Y в соответствии с ПСД n-го порядка

(степени) X>nSDY, тогда и только тогда, когда E{U(X)}E{U(Y)} UUn (для всех

U!) и U*Un такая что E{U(X)}>E{U(Y)}.

Докажем эквивалентность EUn и nSD для n=1,2.

(а) Правило FSD эквивалентно критерию ожидаемой полезности для любой

неубывающей (возрастающей) функции полезности, то есть

X>FSDY <=> E(U(X))>E(U(Y)), U’0

Доказательство (достаточность):

Обозначим H(z)F(z)–G(z). По условию, H(z1)=H(z2)=0. FSD означает, что

H(z)0. В силу аддитивности оператора математического ожидания

E{U(X)}-E{U(Y)}=x1x2

U(z)dH(z)= (интегрируем по частям) =

U(x)H(x)|x1x2

- x1x2

U`(z)H(z)dz>0.

Ранее было показано, что X>FSDY => x>y (что соответствует частному слу-

чаю U(x)=x, E{U(X)}=x, E{U(Y)}=y).

Необходимость доказывается тем, что если имеется участок, где H(z)>0, то

всегда можно построить такую функцию полезности, что EU(X)<EU(Y) (см.

Hannoch, Levy, 1969).

(б) Аналогично доказывается случай n=2 (Hannoch, Levy, 1969, Hadar,

Russell, 1969).

EU(X)>EU(Y) X>SSDY UU2

Теорема Адара-Рассела (Hadar, Russell, 1969)

Пусть F(z) и G(z) – функции распределения с.в. X и Y, характеризующие неко-

торый финансовый показатель, который мы стремимся увеличить (доход, при-

быль). Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(a) Каждый несклонный к риску участник рынка (ЛПР) предпочитает распределе-

ние F(z), а не G(z)

(b) X>SSDY

Каждый несклонный к риску участник рынка предпочитает доход F(z), а не

G(z) <=> X>SSDY.

37

Теорема Ротшильда-Стиглица (Rothschild, Stiglitz,1970)

Пусть F и G – функции распределения с.в. X и Y и H=F-G. Тогда следующие

утверждения эквивалентны:

(a) X>SSDY

(b) Найдётся такая стохастическая переменная с E(|X)=0, что с.в. Y распреде-

лена так же, как X+ (YX+ или YX+ )

(с) Распределения F и G (или с.в. X и Y) имеют одинаковые средние и все не-

склонные к риску участники рынка предпочитают F (или Х), а не G (или Y).

Связь мер риска (ожидаемой полезности, квантиля и ES).

Теорема Леви-Кролла (Levy, Kroll, 1978, Levy, 1992)

Пусть U1 - класс возрастающих функций полезности, U2 - класс возрастающих

вогнутых функций полезности или U1={U(x)|U`>0}, U2={U(x)|U`>0, U``<0}. Тогда

верны следующие два утверждения:

(a) E[U(X)]E[U(Y)] UU1 (тогда и только тогда, когда) q(X)q(Y)

(0,1) и хотя бы для одного значения данное неравенство строгое.

(b) E[U(X)]E[U(Y)] UU2 (тогда и только тогда, когда)

E[X|Xq(X)]E[Y|Yq(Y)] (0,1) и хотя бы для одного значения данное

неравенство строгое. [В современной терминологии ES(X)ES(Y)]

Доказательство:

(a) Следует из определения квантиля и эквивалентости FSD и ожидаемой

полезности для неубывающей функции

(b) Следует из формулы ES(X)=F(2)

(x)/-x и теоремы Адара-Рассела.

Сводная таблица (система показателей) (мер) риска и критериев принятия рис-

ковых решений

В предыдущих пунктах были рассмотрены различные меры риска на основе

LPMk() (см. табл.), выражение ES и VaR через параметры положения и мас-

штаба для гауссова (эллиптически симметричного) распределения (см. пп. 3b и

3c), найден явный вид EU в случае экспоненциальной функции полезности и га-

уссова распределения. Кроме того, нетрудно убедиться, что ожидаемая полез-

38

ность и метод замещения эквивалентны при любом распределении с конечными

первым и вторым моментами, если функция полезности - квадратичная, а именно

u(x)=x-ax2/2 при 0<x1/a и u(x)=1/(2a) при x>1/a.

Напомним, что согласованность мер, критериев, условий A и B означает,

что при выполнении вышестоящего утверждения (A) автоматически выполняется

и нижележащее B (AB, достаточность, следствие).

Меры риска "в широком смысле"

Стохастическое домини-

рование H=F-G FSD: H

(1)()<0

SSD: H

(2)()<0 TSD: H

(3)()<0

Ожидаемая полезность

EU, классы функций по-

лезности

U`>0 U`>0, U``<0 U`>0, U``<0,

U```>0

Доминирование (частич-

ное упорядочение) в про-

странстве моментов X>Y

X>Y X=Y,

X<Y

X>Y

X=Y, X<Y

X=Y, X=Y,

X>Y

Метод замещения (trade-

off)- адекватен только для

гауссовских (эллиптиче-

ски симметричных, 2-х

параметр.) с.в.

EU=X EU=X-aX EU=X-aX+bX

Метод замещения (муль-

типликативная свёртка),

отношение Шарпа

- EU=(X-0)/X -

Детерминированный эк-

вивалент как метод заме-

щения, премия за риск "в

большом"

CX=y+EX,

M=0

CX = U-

1[E{U(y+X)}],

M=y+EX-CX

CX = U-

1[E{U(y+X)}],

M=y+EX-CX

Ожидаемая (линеаризо-

ванная) полезность и

премия за риск "в малом" EU=

EU=-(-

U``/U`)2/2

EU=-(-

U``/U`)2/2+

(U```/U`)3/6

Ожидаемая полезность и

премия за риск в случае

экспоненциальной функ-

ции полезности U(x)=1-

exp(-ax) и гауссова рас-

пределения N(,)

EU=-a2/2 EU=-a

2/2 EU=-a

2/2

Меры риска "в узком смысле"

Нижние частные моменты

(EX)

=LPM0()=F(1

)()

EL=LPM1()=F(2)

(

) LPM2()=2F

(3)()

39

Средние полуотклонения

(=EX) 1/2

*=/2

*,

*2

Критические (пороговые),

закритические и суммар-

ные потери (<0)

=q= -VaR

MEL=EEL/

ES=MEL+VaR

-

То же, в случае гауссова

распределения N(,)

u1--=VaR

MEL=[(u)/-u1-

]

EEL=[(u)-u1-]

=/2

ES=(u)/-

-

Центрированные крити-

ческие и суммарные по-

тери

VaR0=VaR+

ES

0=ES+ -

То же, в случае гауссова

распределения N(,) VaR

0=u1- ES

0=(u)/ -

Двухсторонние меры рис-

ка (меры рассеяния, ва-

риабельности)

- , 2

Плотность вероятности f(r) эллиптически симметричного распределения

(для многомерной случайной величины R) определяется выражением: f(r)=g[(r-

)T

-1(r-)]/[det()], где g:

+=>

+

Для эллиптически симметричных распределений функция полезности явля-

ется функцией двух параметров: EX и DX (Chamberlain, 1983).

k=n-1

в случае симметрии

Lex(,,)

nSD

LPMk()

,VaR EL,*=/2 */2

-M

-a2/2

ES

EUn

40

1.7. Парадоксы принятия решений в условиях неопределённости. Тео-

рия проспектов Тверского-Канемана

Парадоксы принятия решений в условиях неопределённости.

Треугольник решений (рациональные, то есть обдуманные и логичные=> см.

аксиомы, нерациональные - необдуманные и потому нелогичные, иррацио-

нальные - обдуманные, но заведомо алогичные решения). Парадоксы принятия

решений в условиях риска (неопределённости), связанные с различным отно-

шениям к маловероятным потерям и приобретениям, а также неопределённо-

стям.

Треугольник решений:

Рациональное решение – решение, которое удовлетворяет аксиомам теории

полезности;

Нерациональное решение – следствие необдуманности;

Иррациональное решение – следствие асимметричной информации.

Неопределённые вероятности и парадокс Эллсберга (Ellsberg, 1961).

Предположим, что в урне содержится 30 красных шариков и 60 шариков

двух других цветов (чёрных и белых), количество которых по отдельности неиз-

вестно.

Предлагается следующая альтернатива:

рациональное

иррациональное нерациональное

41

A B

Получить $100, вытянув красный ша-

рик

Получить $100, вытянув чёрный ша-

рик

Теперь рассмотрим другую альтернативу в той же ситуации:

C D

Получить $100, вытянув красный или

белый шарик

Получить $100, вытянув чёрный или

белый шарик

Вы предпочтёте игру A игре B, если считаете, что вытащить красный шарик

более вероятно, чем чёрный (в соответствии с ТОП). Аналогично, вы предпочтёте

игру C игре D в том случае, если надеетесь, что вытащить красный или белый ша-

рик более вероятно, чем чёрный или белый. Если вытащить красный шарик более

вероятно, чем чёрный, то вытащить красный или белый шарик также более веро-

ятно, чем вытащить чёрный или белый шарик. Итак, предпочитая игру A игре B,

вы должны предпочесть игру C игре D. И наоборот, из вашего предпочтения игры

D игре C следует, что вы предпочтёте игру B игре A. По опросам, однако, боль-

шинство явно предпочитает игру A игре B и игру D игре C. Таким образом, не

выполняются некоторые аксиомы ТОП.

Обозначим вероятности появления шаров разного цвета (red, white, black)

PR, PW and PB. Очевидно, что PR=1/3. Если ЛПР предпочитает игру A игре B, то,

согласно ТОП, это предпочтение отражает его оценку ожидаемой полезности.

Следовательно, имеет место неравенство:

1/3U($100)>PBU($100)

где U(*) - функция полезности ЛПР. Отсюда вытекает, что 1/3>PB.

Если ЛПР предпочитает игру D игре C, то приходим к неравенству:

PBU($100)+PWU($100)>1/3U($100)+PWU($100)

Отсюда вытекает, что PB>1/3. Таким образом, приходим к противоречию.

Маловероятные исходы и парадокс Алле (M. Allais, 1953).

Парадокс Алле демонстрировал неспособность теории Неймана-

Моргенштерна объяснить некоторые решения

Рассмотрим две лотереи:

42

0,6

0,4

50

-20

0,5

0,5

44

0

Обозначим: U(5 млн)=1; U(l млн)=U; U(0)=0. В левой лотерее есть выбор

между действиями А (получить 1 млн) и В (согласиться на лотерею). По опро-

сам, подавляющее большинство предпочитает А. Из этого следует U>0,l

1+0,89U или U>10/11.

В правой лотерее есть выбор между действиями С и D (две лотереи). По-

давляющее большинство людей предпочитает действие С (почти та же вероят-

ность проиграть, но выигрыш больше). Тогда 1 0,1>0,11U, т.е. U<10/11.

Совершая такой выбор, люди действуют не в соответствии с функцией по-

лезности.

Приведем еще один пример. Рассмотрим две лотереи, показанные на сле-

дующем рисунке.

Легко убедиться в том, что средняя цена лотерей одинакова. Но это не

означает, что людям безразлично, какую из них выбрать. Подчеркнем, что сво-

бода выбора остается за ЛПР. Предъявление различным группам людей пар

лотерей показало, что люди предпочитают правую лотерею, где при той же

средней цене риск проигрыша исключен.

Такое поведение также не согласуется с рациональным поведением. Один из

выходов из такой ситуации предлагает теория проспектов.

А

B

1 млн

5 млн

1 млн

0 0,01

0,1

0,89

С

D

0,9

0,11

0,89 0

1 млн

0

5 млн

0,1

43

Теория проспектов Тверского-Канемана (Kahneman, Tversky, 1973).

Объяснение парадокса Алле. Теория проспектов была разработана для того,

чтобы учесть реальные черты человеческого поведения в задачах с субъективны-

ми вероятностными оценками. Ставилась цель заменить теорию ожидаемой

полезности в качестве средства, позволяющего человеку выбирать предпочти-

тельные варианты действий.

Теория проспектов позволяет учесть три поведенческих эффекта:

1. эффект определённости, то есть тенденцию придавать больший вес де-

терминированным исходам;

2. эффект отражения, то есть тенденцию к изменению предпочтений при

переходе от выигрышей к потерям;

3. эффект изоляции, то есть тенденцию к упрощению выбора путем ис-

ключения общих компонентов вариантов решений.

Рассмотрим игру (х, р, у, q), где исход х осуществляется с вероятностью

р, исход у — с вероятностью q, а нулевой исход — с вероятностью 1-p-q. В тео-

рии проспектов игра, представленная на рисунке, называется проспектом. Оце-

нивается ценность (а неожидаемая полезность) этой игры по следующей форму-

ле:

V=V(x)П(р)+V(у) П(q),

где V(х), V(y) — ценность исходов х, у соответственно, V(0)=0 и П(р), П(q)

— вес (важность) вероятностей р, q соответственно.

Мы видим первое отличие теории проспектов: вместо вероятностей ис-

пользуется функция от вероятностей.

Проанализируем другие отличия теории проспектов от теории полезности.

Во-первых, полезность в теории полезности определялась как прибавление (мо-

0

1-p-q

p

q

x

y

44

жет быть, и отрицательное) к первоначальному благосостоянию человека. Цен-

ность же отсчитывается от любого уровня, принятого за исходный. Во-вторых,

предполагается (для учета поведенческих аспектов), что функция V(x) ценности

— выпуклая для выигрышей и вогнутая для потерь, причем ее наклон для по-

терь будет более крупным, чем для выигрышей.

Важное различие двух теорий состоит в

учете вероятностей исходов. Если в теории по-

лезности вероятность умножается на полезность

исхода, то в теории проспектов используется

функция вероятности П(p). Эта функция так-

же построена специальным образом для учета

поведенческих аспектов:

)1()(

ppc

pcpП

, где c, γ – некоторые

параметры

Прежде всего П(p) не подчиняется законам теории вероятностей. Отме-

тим следующие свойства П(p):

1. П(0)=0, П(1)=1;

2. П(p) +П(1-p) < 1;

3. при малых вероятностях П(p) > р;

4. отношение П(p)/ П(q) ближе к 1 при малых вероятностях,

чем при больших;

5. П(p) плохо определена у крайних значений. Теперь мы

можем привести последовательность этапов, рекомендуемую

при применении теории проспектов для выбора между различными ва-

риантами действий.

1. Осуществляется редактирование проспекта; этап определен достаточ-

но неформально. В него входит следующее:

выбирается опорная точка;

одинаковые исходы объединяются, и их вероятности суммируются;

П(p)

0 вероятность 1

45

одинаковые исходы с равными вероятностями в сравниваемых играх уда-

ляются;

доминируемые исходы удаляются;

округляются значения ценностей и вероятностей.

2. Подсчитываются значения ценности для разных вариантов действий по

формуле, приведенной выше, после чего выбирается вариант с наибольшей

ценностью.

Теория проспектов и парадокс Алле. Применим теорию проспектов для

анализа парадокса Алле. Из левой лотереи следует:

U>1П(0,1)+UП(0,89)

или

)89,0(1

)1,0(

П

ПU

Из правой лотереи следует

)11,0()1,0( ПUП

или

UП

П

)11,0(

)1,0(

Нетрудно убедиться, что из перечисленных выше пяти свойств функ-

ции П(р) вытекает возможность выполнения неравенств

)89,0(1

)1,0(

)11,0(

)1,0(

П

ПU

П

П

,

так как 1-П(0,89)>П(0,11) и 1>П(0,11)+П(0,89).

Следовательно, теория проспектов позволяет разрешить парадокс Алле.

Означает ли это, что теория проспектов дает возможность разрешить все проти-

воречия между нормативной теорией, предписывающей нормы рационального

поведения, и особенностями реального поведения людей? К сожалению, нет.

Недостаточно формальный характер описанной выше процедуры редактирова-

ния проспекта допускает неоднозначное толкование и применение противоре-

чивых эвристик. Приведем следующий пример.

46

Пусть необходимо сделать выбор между двумя лотереями: R=($100,0,5;

$51,0,25) и S=($101,0,5; $50;0,3).

Если мы округлим $101 до $100, то первые части лотереи идентичны, и

остается выбор между оставшимися частями. Здесь более естественным

представляется округление вероятности в R до 0,3, и тогда лотерея R является

более предпочтительной ($51 против $50). Если же мы начнем со второй части

лотерей, причем округлим как вероятность, так и полезность, то S становится

более предпочтительной.

Имеется немало примеров, в которых процедуры редактирования про-

спектов приводят к противоречиям. Несмотря на это, теория проспектов явля-

ется интересной аксиоматической теорией, стремящейся объединить дескрип-

тивное знание о поведении людей и нормативные правила их рационального

поведения.

Искривляющая функция и другие нелинейные меры риска.

distortion ("искривляющая") мера риска (Denneberg, 1990, Wang, 1996). Истоки

этого подхода лежат в двойственной теории риска (Yaari, 1987).

Назовём "искривлением" неубывающую функцию g(u): [0,1]=>[0,1], g(0)=0,

g(1)=1. В качестве с.в. будем рассматривать потери L= -X. Вместо F(l) - функции

распределения потерь будем использовать её деформацию F*(l)=g(F(l)). Тогда

g(L)=0F*(l)dl--

0[1-F*(l)]dl

или F*(x)=g(S(x)), где S(x)=1-F(x). Тогда g(X)=0g(S(x))dx--

0[1-g(S(x))]dx.

С математической точки зрения - это интеграл Шоке (Choquet) с неаддитив-

ной мерой.

Хорошая "искривляющая" функция должна быть непрерывной, вогнутой и

дифференцируемой. Непрерывность необходима и достаточна для когерентности

меры риска, вогнутость - достаточна (Wang, 1997, Darkiewicz et al., 2003).

Пусть - малая вероятность убытков, дефолта, =1- - доверительная

(близкая к 1) вероятность.

47

Если g(u) - кусочно-постоянная (ступенька), то есть g(u)=1 при u и g(u)=0

при u<, то g=VaR.

Если g(u) - кусочно-линейная (уголок), то есть g(u)(u-)/(1-) при u и

g(u)=0 при u<, то g=ES. g(u)=min(u/(1-),1)

Другие нелинейные меры риска (Quiggin, 1982). Недостаток нелинейных мер -

в общем случае не выполняется фундаментальное правило FSD.

Необходимо отметить, что основным недостатком нелинейной теории явля-

ется то, что в общем случае нелинейные меры риска не согласуются с правилом

первого стохастического доминирования.

Тестовые задания

Тестовое задание 1. Ранжировать рисковые альтернативы по предпочти-

тельности.

Варианты А B C D (F)

потери выгоды потери выгоды потери выгоды потери выгоды

Вер-ти 0,1 0,9 0,01 0,99 0,01 0,99 0,02 0,98

Исходы -100 0 -1000 0 -1000 +10 -1000 +10 (+20)

Тестовое задание 2. Случайные доходы оцениваются в диапазоне (a,b), а

случайные расходы - в диапазоне (c,d). Найти распределение чистой прибыли, ес-

ли (I) c<a<d<b и (II) a<c<d<b. Определить вероятность и средний размер чистых

убытков, ожидаемые убытки.

Тестовое задание 3. В предыдущем примере найдено распределение с.в.

прибыли для двух вариантов диапазонов доходов и расходов. Найти для этих же

вариантов среднюю прибыль, СКО, САО и коэффициент вариации прибыли.

Тестовое задание 4. Пусть Х – планируемый объём производства, Y – с.в.

спроса на продукцию с известным дискретным распределением вероятностей

g(y). На каждом реализованном изделии получаем 50 ед. прибыли (чистого дохо-

да), но если оно не продано, то теряем 45 ед. Тогда финансовый результат - слу-

чайная величина, которая рассчитывается по формуле

48

U(x,Y) = 50min{Y,x} - 45max{x-Y,0} = 50xI(xY)+(95Y-45x)I(x>Y)

или U(x,Y) = 95Y–45x, если x>Y и U(x,Y) = 50x, если xY

g(y) 0,1 0,3 0,5 0,1

Значения

X,Y

Y-спрос

6 7 8 9

X-

план

6 300 300 300 300

7 255 350 350 350

8 210 305 400 400

9 165 260 355 450

a) Выбрать наилучший вариант, используя принцип "trade-off". Построить

множество Парето на плоскости (, r) и выбрать наилучшее решение, установив

некоторый коэффициент несклонности к риску а: u=-armax. Сравнить резуль-

таты, выбирая в качестве r различные показатели риска (,, ,).

b) Выбрать наилучшее решение на множестве Парето, воспользовавшись

ПСД.

Тестовое задание 5. Стартовый отрицательный капитал (долг) составляет

50 у.е. Имеются два проекта X,Y с различными распределениями чистых доходов

(NPV). Стоимость вложений в каждый из проектов - 30 у.е., которые можно за-

нять (тогда долг увеличивается до 80 у.е.).

Проект X Проект Y

0,2 0,6 0,2 EX DX SD 0,4 0,2 0,4 EY DY SD

40 50 60 50 40 6,3 0 50 100 50 2000 44,7

Осуществить выбор, пользуясь различными критериями риска.

Тестовое задание 6. Изобразить и исследовать эффективные множества на

плоскостях - и -2 для альтернатив со случайными исходами, подчиняющи-

мися следующим законам распределения:

а) Экспоненциальное F(x)=1-exp(-x/) EX=; DX=2

б) Равномерное (прямоугольное) F(x)=(x-a)/b EX=a+b/2; DX=b2/12

49

в) Пуассона f(x) =xexp(-)/x! EX=; DX=

г) Парето F(x)=1-x-c (x>1) EX=c/(c-1) (при c>1); DX=c/[(c-2)(c-1)

2] (при

c>2)

д) Степенное F(x)=xc (0x1) EX=c/(c+1); DX=c/[(c+2)(c+1)

2] (c>0)

Проектное задание. Применить теорию ожидаемой полезности для приня-

тия решения в условиях тестового задания 1 при логарифмической и экспонен-

циальной функциях полезности. Сравнить результаты, полученные при использо-

вании нижних частных моментов и правил стохастического доминирования.

50

ЧАСТЬ 2. ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И ПРИЁМЫ ФОРМАЛИЗА-

ЦИИ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ. БАЙЕСОВСКАЯ СХЕМА ПРИНЯТИЯ РЕ-

ШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ

Цель: познакомить с практическими методами построения вероятност-

ных моделей в условиях неопределённости и научить методам принятия решений

в рисковых ситуациях

2.1. Методы оценивания вероятностей и принятия решений при дефи-

ците информации

Существуют три подхода к определению понятия вероятность:

1) Частотный (основан на законе больших числе и теореме Бернулли);

2) Основанн на теории меры, развит А.Н. Колмогоровым – вероятность как мера

на сигма-алгебре борелевских множеств;

3) Вероятность как степень уверенности (субъективная вероятность) – этот под-

ход связан с именами Ф. Рамсея, Б. де Финетти, Л. Сэвиджа (F. Ramsey - 1931,

B. de Finetti - 1937, L. Savage - 1954).

Рассмотрим, как определяется субъективная вероятность. Пусть необходи-

мо определить стоимость игры:

spc

где p – степень уверенности.

Если играть во много игр одновременно:

n

k

kkii spsG1

, ni :1

si – сумма выигрыша.

kkk spC - ставки данной игры.

Если G = 0, то никто не в выигрыше.

Пусть есть матрица:

n

n

p

p

p

p

p

pp

...

...2

1

1

,

тогда s=ps

, а ранг матрицы p: n-(n-1)=1.

-с

0

s c

0

-s

tgα=p

s

c

51

Для того, чтобы система (1) имела решения при s нужно, чтобы 1ip .

Gsps

Оказывается, что субъективные оценки p должны подчиняться тем же пра-

вилам, что и вероятности.

Интервальное оценивание распределений.

Если экспертно оценены только диапазоны вероятностей отдельных исхо-

дов

10 iii bpa

то для построения искомой экспертной функции распределения можно использо-

вать следующий алгоритм, основанный на максимизации энтропии Н, что соот-

ветствует наихудшей ситуации максимальной неопределённости (метод Гиббса).

piii

i

iii

i

ii apappbpbH max)ln()()ln()(

1i

ip

Для решения применяем метод множителей Лагранжа:

)1(),( ipHpL

0

0

L

p

L

iap

pb

ii

ii

, (1)

Отсюда следует

1

i

i

abp (2)

Подставим (2) в (1) и сложим:

A

B

1

1 (3)

где ibB и iaA

Подставим (3) в (2) и получим окончательное решение:

AB

AbBaabp iiii

i

52

Метод -распределений.

- функция:

1

0

11

1),( dxxxVU

VUB, U, V>0

- распределение:

,),(

),(1

11

VUBvu

xxVU

описывает поведение сл. величины Х на

[0,1]

Если под х понимать вероятность, то – распределение можно интерпрети-

ровать как вероятностное распределение.

2

1mod

VU

UX

Если выбрано априорное бета– распределение, то апостериорное также ос-

таётся бета-распределением.

),(

)1(

)(

1

xuB

dxxx

bxaP

b

a

uu

Если имеется стартовое распределение (априорное) с параметрами U,V, то

можно задать математическое ожидание и дисперсию:

)1()( 2

2

VUVU

UVDX

Если мы проводим n испытаний и в k случаях событие произошло, то

nVU

KUEX

По априорной информации Коррекция в ходе испытаний

u=1, v

0 1

u=v

0 1

u<1

v<1

0 1

53

В случае, если есть статистика, то мы пользуемся статистическими проце-

дурами для оценивания математического ожидания и других параметров распре-

делений.

Экспертное оценивание систем событий (байесовские сети BBN (Bayesian be-

lief network, элементы AHP)

BN= < <V, E>, p >

DAG – прямой ациклический граф;

V-множество событий (вершин, углов)

E (edge) – множество дуг (ребер, граней),

p – вероятности;

Строится дерево событий. Оно может иметь нерегулярную структуру.

Эта сеть строится как дерево событий (events tree)

n

i

iin xxxpxxxP1

1121 ),...()...,(

Если события независимые, то возникает такая схема:

1) A(i) B(j) 2) Z

C(k) X Y

P(X, Y|Z)=P(X|Z)P(Y|Z)

A имеет i исходов, B имеет j исходов, C имеет k исходов

)()(),()( jijikk BPAPBACPCP

Для оценки распределения вероятностей можно использовать конструкцию

метода парных сравнений, лежащую в основе метода анализа иерархий.

P(B)

P(A|B)

P(C|A)

54

где P(Ck) – вероятность k-го исхода события C, P(Ai) and P(Bj) – вероятности

i-го и j-го исходов событий A и B соответственно, и P(Ck|Ai, Bj) – условная веро-

ятность k-го исхода события C в случае реализации i-го и j-го исходов событий A

и B.

Пример. Оценка уровня спроса на товар.

Для каждого изменения уровня цен рассматриваются возможные изменения

величины спроса. Х – спрос, - уровень цен. Строим матрицу парных сравнений

уровней спроса для 3-х значений цен и производим свёртку:

)()( iikk PxPx

Возможные уровни цен: -5% 0 5%

Возможные уровни спроса: -10% -5% 0% 5% 10%

Для экспертного оценивания вероятностей можно также использовать метод

нечётких множеств (fuzzy set).

2.2. Статистические (байесовские) процедуры принятия решений в

условиях вероятностной неопределённости

Пусть некоторое множество A (aA) – пространство действий. про-

странство состояний природы. Имеется функция потерь L(a, ). Если ЛПР ори-

ентирован на функцию потерь вида L= )( x , то он не склонен к риску.

X – пространство выбора, x – некоторое наблюдение, xX.

D (decision) – пространство решений. d(x) – принимаемое решение. dD

d – решающее правило (правило поведения).

a – решение, d(x)=a;

Введём функцию риска. Функцией риска от принятия решения d при со-

стоянии природы называется:

)|())(,(),( X

dxxfxdLdR EX|θ{L(θ,d(X))},

55

),( dR - мера ожидаемых потерь при использовании решающей функции d(x), ес-

ли природа находится в состоянии .

Пусть имеется несколько вариантов рисковых решений.

Если ЛПР принимает решение d1, то он max хочет уменьшить свои потери

(когда мы не знаем как распределены вероятности). Байесовское решение:

min)(),()(

dgdRdr

r(d) = EθEX|θ{L(θ,d(X)}

Оказывается, что можно сделать это проще ,если воспользоваться функцией

Байеса.

Имеется случай, когда используется рандомизированное решение:

min)(),()(

dgRdr

)1(21 dd

Теорема. Байесовская решающая ф-ия δ* по отношению к априорному распреде-

лению g(θ) задается равенством: δ*(х) = а*, в котором а* ищется из условия:

dxdGaLa

)|(),(min )},({min | aLEX

a,

d1

d2

),( dR

*

56

где

dgxf

xfxg

)()|(

)|()|(

,

f(x|θ)g(θ)=g(θ|x)f(x),

Доказательство.

x

dxxfxdLdgdr )())(,()()({должно выполняться свойство сходимости

для того, чтобы поменять местами интегралы}

dxgxdLdxxfx

)())(,()( .

Внешний интеграл – некоторое наше наблюдение. Решающее правило, ко-

торое мы принимаем, не должно зависеть от выборки (наблюдаемого значения),

поэтому получим

dxgaL )(),(min

xEEEE )},({min)}(,({min dLExdLEE

xd

xd

Пример. Задача управления запасами (newsboy problem – задача продавца газет)

- спрос на товар;

а – объём заказа (запаса);

k2 – коэффициент потерь в случае, если спрос больше, чем запас (упущенная вы-

года);

- а – потери, связанные с тем, что спрос превысил предложение;

k1 – коэффициент потерь в случае, если спрос меньше, чем запас (остатки товара);

- случайная величина, состояние природы, рынка;

X – случайная величина, некоторая переменная, связанная с

)()( gxg ;

Будем считать, что имеется наблюдение x и мы можем воспользоваться апо-

стериорным распределением G.

a

a

ax

axdGakxdGakdLE )()()()(min)},({min 2

0

1

d(x)=a

57

)),((')),(('),(

)(

)(

)(

)(

aavhvaauhudxda

dhdxaxh

da

dau

av

au

av

a

a

a

aGkkaGkdGkdGkdGkda

dr

0

221

0

221 0)()(

21

2)(kk

kxaG

;

0

1dG ;

Если 21 kk , то в качестве оптимального решения необходимо использовать

медиану. Медиана является оптимальным решением и в случае, когда L=| -a|.

Пусть функция потерь 2)( aL ; x

dGaar

2)()(

0)(2' dGar решение )( xdGa

)( xXEa - условное математическое ожидание;

Итак, решающее правило: )()( xExd (регрессия на x) при 2)( aL и

)|()( xmedxd при || aL

G

),( aL

a

G

G

),( xG

58

Если

a

aaL

,1

,0),( , то решающее правило mod)( xd

2.3. Примеры нахождения байесовских решений в микроэкономике

Пример. Принятие решения в агробизнесе. Пусть фермерское хозяйство имеет

сложный рельеф. У фермера весной имеется возможность посадить картофель ли-

бо во влажной низине, либо на сухом пригорке. При этом в случае дождливого

лета низкую урожайность и убытки принесёт первое решение (a1), а засушливого

– второе (a2).

1 - дождливое лето; 2 - засушливое лето;

Пусть функция потерь определяется как: maxUUL .

С учётом метеостатистики, зная весеннюю погоду (x1 или x2 ) можно улучшить

априорный вероятностный прогноз летней:

)( xg :

сухаявеснаx

еснадождливаявxX

,

,

2

1

)()()(),(),( gxfxfxgx

L 1

2

1a

2a

20 5

0 17

1a -влажное место

V 1

2

1a

2a

5 20

25 8

Возможная урожайность 2a -сухое ме-

сто

59

6,0)( 11 xf | 3,0)( 21 xf

4,0)( 12 xf | 7,0)( 22 xf

2/1)( 1 g ; 2/1)( 2 g ;

1. Классический метод

Рассмотрим, к каким результатам приводят различные решения, которых всего 4:

41,...dd

axd )( - набор решений;

Чтобы найти оптимальное правило принятия решений мы должны построить

функцию риска для разных решений, в зависимости от состояния природы.

8,44,0206,020),( 11 dR ;

57,053,05),( 12 dR ; и т.д.

Окончательный выбор производится путём минимизации байесовского риска

),()(),()( 2211 iii dRgdRgr

1d

),( dR 1d 2d

3d

4d

1

2

r

20 12 8 0

5 13,4 8,6 17

12,5 8,3 8,5

1d 3d

1x

2x

1a 1a 2a

2a

1a 2a

1a 2a

2d

4d

60

Если ydR ),( 2 , а xdR ),( 1 , то ygxgr )1( 11 .

),( 2 dR

),( 1 dR

Решение Rd

maxmin

Байесовское

решение

10

20

20

1d

2d

3d

),( 2 dR

),( 1 dR

седло

61

3d - является оптимальным в смысле байесовского решения, если решение прини-

мается многократно.

Сравним байесовское оптимальное решение с минимаксным решением, исполь-

зуемым в теории игр. Для того, чтобы найти смешанную стратегию, надо решить

систему :

20

1d

8

3d: v

31

6,8

8

5

20 ; такая стратегия является оптимальной в

131 случае байесовского решения;

04,01 ; 96,03 ;

v=8,46;

2. Решение с помощью экстенсивной формулы.

Найдем апостериорные вероятности:

67,0)( 11 xg 36,0)( 21 xg

33,0)( 12 xg 64,0)( 22 xg

11 xa

21 xa

12 xa

22 xa

11 xa 05,15)(5)(20 1211 xgxg

21 xa 04,10)(5)(20 2221 xgxg

12 xa 5,6

22 xa 10,88

1

2

1a

2a

20 5

0 17

62

2.4. Последовательные (многоэтапные) байесовские процедуры приня-

тия решений в условиях неопределённости

Рассматривается цепочка принятия решений:

),,,( )2()1()2()1( aaU

)2()2()1()2()1()2()1()1()2()1()1( ),,,(),,(max),()2(

daaUaagaUa

UdaUag

a

)1()1()1()1()1( ),()(max)1(

1 -спрос, который может как подняться, так и опуститься;

1x - прогноз роста; 2x - прогноз того, что будет падение; с – деньги, которые мы

платим за консалтинговую услугу.

a(1)

a(2)

θ(1)

θ(2)

- пункты принятия решений

- узлы неопределенности

63

Прогноз подъема

8,0)( 11 xf компания угадывала подъемы риска с вероятность 0,8

2,0)( 21 xf

Прогноз падения

3,0)( 12 xf

7,0)( 22 xf

Найдём апостериорные вероятности:

8,0)( 11 xg 3,0)( 21 xg

2,0)( 12 xg 7,0)( 22 xg

Будем производить свёртку, двигаясь с конца. 1-я свертка:

Выбираем подчеркнутые решения. 2-я свертка:

Сворачиваем далее:

В итоге получаем оценку трёх вариантов решения:

1007,2 - c

1004 - c

1000 - c

)1(

1a)1(

2a

)1(

3a

64

Тестовые задания

Тестовое задание 1. Спрос на товар аппроксимируется функцией Q=100-5p+5d,

где p - цена товара, d - заранее неизвестный (случайный) уровень доходов покупа-

телей. Согласно экспертной оценке, d=[2; 0,6| 4; 0,4]. Затраты на производство Q

единиц товара аппроксимируются Z=5+4Q-0,05Q2. Сколько товара производить и

по какой цене для максимизации прибыли?

Тестовое задание 2. Определить оптимальный запас при заданном распределении

вероятностей спроса и функции потерь.

Тестовое задание 3. Графически найти байесовское и минимаксное (вальдовское)

решения на заданном множестве альтернатив. Исследовать устойчивость выбора.

Тестовое задание 4. Дана априорная плотность вероятности, условное распреде-

ление и функция потерь. Найти байесовское решение.

Проектное задание. Спроектировать систему для экспертного построения веро-

ятностных распределений спроса на товар при изменении факторов, влияющих на

цены, с использованием техники метода анализа иерархий.

65

ЧАСТЬ 3. МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ РИСКАМИ. РИСК-

МЕНЕДЖМЕНТ

Цель: ознакомить с практическим применением изученных теоретиче-

ских методов и моделей в различных сферах микроэкономики (производственная

деятельность, банковская деятельность, управление финансами, инвестиции)

3.1. Методы управления экономическими рисками. Предприниматель-

ские риски, сопутствующие хозяйственной деятельности производственных

предприятий

Можно выделить 7 принципов управления рисками:

1) Осознанность: менеджер должен осознанно идти на риск, так как без риска нет

дохода (F. Knight, 1921);

2) Управляемость: менеджер должен идти только на те риски, которые поддаются

измерению и управлению, то есть те, которые можно контролировать и сни-

зить;

3) Сопоставимость уровня принимаемых рисков с уровнем доходности данного

бизнеса и сопоставимость уровня принимаемых рисков с возможностями

предприятия (капиталом предприятия);

4) Эффективность: затраты по снижению риска не должны превышать сумму

возможных потерь;

5) Принцип учёта фактора времени: Учет периода операции (проекта): чем длин-

нее период осуществления операции (проекта), тем выше степень неопреде-

лённости (шире диапазон возможностей), следовательно, выше риск;

6) Принцип учёта стратегии (особенностей) предприятия: менеджер должен при-

держиваться той степени склонности к риску, которой придерживается пред-

приятие;

7) Системность (связанность): следует учитывать, что избегание (снижение) од-

ного риска может привести к другому (и наоборот – дать двойной эффект сни-

66

жения). То есть к управлению рисками необходимо применять системный под-

ход.

Методы управления рисками:

1) методы уклонения (избегания):

- отказ от вызывающих подозрение партнёров, скоринг;

- отказ от рисковых сделок;

- требование гарантий (залога);

- требование предоплаты;

- передача риска путём страхования предпринимательских рисков;

- осуществление встречных сделок (хеджирование);

- заключение форвардных контрактов (покупка фьючерсов);

2) методы локализации (ограничения):

- выделение деятельности, связанной с рисками, в относительно самостоятель-

ные структурные подразделения (внутренний венчур);

- образование дочерних венчурных предприятий;

3) методы диссипации (рассеяния, распределения):

- диверсификация видов деятельности; рынков; каналов сбыта и зон хозяйство-

вания; каналов снабжения (поставщиков сырья и материалов); портфеля инве-

стиций;

- распределения риска по этапам работы (по времени);

- распределение ответственности между участниками (например, сострахова-

ние, создание акционерных обществ, обмен акциями между смежниками);

4) методы компенсации (упреждения):

- изолирование, т.е. создание материальных и финансовых резервов;

- премия за риск, т.е. планирование с учетом риска;

- приобретение дополнительной информации;

- мониторинг социально-экономической и нормативно-правовой среды;

- стратегическое планирование, т.е. анализ сценариев прогнозирования;

- активный маркетинг;

67

- лоббирование законопроектов, нормативных актов, нейтрализующих или ком-

пенсирующих предвидимые факторы риска;

- организационные мероприятия, которые предусматриваются в случае наступ-

ления неблагоприятного события;

Риски, сопутствующие хозяйственной деятельности. Источники. Факторы.

Способы снижения.

Риски, связанные с внешней средой:

- политические;

- социальные;

- институциональные (связанные с законами);

- связанные с рынками;

Риски, связанные с внутренней средой:

- внештатные ситуации (аварии, пожары и т.д.);

- связанные с персоналом;

- связанные с инвестициями;

Риски, связанные с поставщиками:

- риск, связанный с незаключением договора;

- расторжение контракта;

- низкое качество сырья;

- задержка поставки (чтобы снизить риск нужно иметь запасы)

Риски, связанные с покупателями, заказчиками:

Внешнее воздействие

Производство

Внутреннее воздействие

Покупатели Поставщики

Производство

Воспроизводство

Упр-е производством

68

- риск незаключения договора по реализации продукции;

- риск неполучения оплаты;

- расторжение договора, возврат продукции;

3.2. Фактор времени и методы управления рисками в бизнес-

планировании и инвестиционном проектировании

Можно предложить следующую классификацию методов расчёта инвестици-

онных рисков

(1) базируется на введении премии за риск:

t

t

i

CFINPV

)1( ; (увеличивает ставку дисконта на премию за риск);

- премия за риск выбирается на основе рейтингов, которые основаны на эксперт-

ных оценках стратегий;

- CAPM (capital assets pricing model, Sharpe):

Ищем доходность нашего актива:

i – сектор рынка, который мы инвестируем;

)( fmifi rrrr ; модель оценивания капитальных активов;

ir - средняя доходность в данном секторе;

fr - безрисковая доходность;

mr - средняя доходность по рынку (рост биржевого индекса);

2

),cov(

i

mii

rr

;

косвенные прямые

укрупненная

оценка устой-

чивости

(1)

расчет границ и

уровня безубы-

точности

(2)

вариация

параметров

(3)

имитационное

моделирование

(4)

69

Если 1 - ваша доходность = средней доходности;

1 - выше;

1 - ниже; (чем больше , тем больше риск);

i - может оцениваться экспертами по определенной шкале рейтингов;

- WACC (weighted average cost of capital)

)1(**

DE KED

DK

ED

EWACC

E (equity) – собственный капитал;

D (debt) – заемный капитал;

)1( - поправка, связанная с налоговой скидкой на использование заемного

капитала;

ED KK , -стоимость заемного и собственного капиталов;

t

t

i

qCFEX

)1(

)1(- вероятность не получить прибыль на t-ом этапе;

(2) Y – выручка;

Z – затраты;

P – объём производства;

Z

P

Y

Z

Точка безубыточности

Y

Если проект рас-

считан до этого

уровня, то проект

устойчив

прибыль отрица-

тельна

70

(3) варьируем параметры CF для NPV.

(4) анализируем структуру потоков, задаем, некоторые вероятности распределе-

ний, задаем ковариационные матрицы: многократно рассчитываем NPV, а потом

ранжируем значения NPV и строим функцию распределения для NPV.

3.3. Риски, сопутствующие деятельности кредитно-финансовых органи-

заций. Особенности управления банковскими рисками.

Кредитные организации – банки и ОВК - общества взаимного кредитования;

Для банков характерен следующий состав активов и пассивов:

В настоящее время принята следующая система принципов оценки рисков GARP

(generally accepted risk principles).

1) credit risk

- прямой кредитный риск (direct credit risk) – риск, связанный с непогашени-

ем выданной ссуды, части выданного кредита;

- риск кредитного эквивалента (credit equivalent exposure) – риск, связанный с

неполучением дохода в связи с форвардными сделками;

Активы Пассивы

- Кредиты, выданные юрлицам ;

- Потребительские кредиты;

- Ипотечные кредиты

-Межбанковские кредиты

Нераспределенная прибыль

Уставной капитал

Инвестиционные ц.б.

Торговые ц.б.

Денежные средства, касса

Обязательные резервы

Основные средства

Срочные депозиты

Депозиты до востребования

Межбанковские кредиты (получен-

ные)

equity

debt

71

- расчетный или операционный риск (settlement) -риск встречного неплате-

жа, риск непоставки товаров.

2) market risk – рыночный риск.

- корреляционный или систематический риск, связанный с коррелированно-

стью активов на рынке (неустранимый);

- риск акций (equity);

- риск процентной ставки (interest rate);

- валютный риск (currency);

- товарный риск (commodity);

- риск изменения спреда (spread – некоторая моржа, разность между ценой

покупки и продажи) – рассматриваем кредитный spread.

3) риски чрезмерной концентрации портфеля: portfolio concentrated risk. Синдици-

рованный кредит – кредит, который дается заёмщику несколькими банками.

- по инструментам:

А) кредиты;

Б) облигации;

- по видам деятельности;

- по кредитным сделкам;

4) риски ликвидности (liquidity)

- риск ликвидности рынка;

- prudential – пруденциальный контроль, риск благоразумной ликвидности;

связан с сроками обеспечения;

5) операционный риск (operation)

- риск ошибок при заключении сделок (transaction risk) и исполнения сделок;

- риск нарушения системы контроля (operational control risk0;

- системный риск, риск инфраструктуры, т.е. связывает с работой, системой

банка.

6) событийный риск (business event risk) (риск бизнес-событий):

- риск нарушения валютной конвертации;

- риск сдвига (shift) кредитного рейтинга;

72

- риск потери репутации;

- риск изменения налогообложения (taxation);

- риск изменения нормативной базы (legal);

- риск наступления форс-мажорных ситуаций (disaster);

- риск потери прав деятельности;

Задача банка: одновременное обеспечение доходности и сохранение финан-

совой устойчивости (ликвидности, платёжеспособности).

Capital Accord – соглашение по размеру капитала. Главным элементом явля-

ется взвешивание по риску. Основывалось на том, что разные виды ссуд имеют

разные риски.

Basel-II – разрабатывался с 1999-2006 гг. Были изменены правила (pillars).

Всего 3 pillars’а компонента: 1) требования к min размеру капитала; 2) надзор за

достаточностью (adequacy) капитала (т.е. коэффициент Кука A

CK , взвешенный

pA

CK ); 3) публичное раскрытие информации, повышение прозрачности (trans-

parency).

Если Basel-I предполагал стандартный подход к банку, то Basel-II предпола-

гает еще и оценку внешних и внутренних показателей: рейтингов экспертных

оценок, т.е. отдельные банки могут сами определить степень достаточности капи-

тала, при этом веса заданы в Basel-II.

Рейтинг отражает степень надёжности банка как заёмщика. В зависимости от

рейтинга заёмщик получает определенный процент. В кредитную ставку входит

премия за риск, причем, чем надёжнее заемщик, тем меньше премия за риск (т.е.

меньше %).

В России в настоящее время применяются нормы Базельского соглашения по

капиталу («Базель II»), согласно которому достаточность капитала оценивается с

учётом рисков отдельных активов. В соответствии с этим Соглашением норматив

достаточности капитала установлен на уровне 8%. Капитал банков делится на ка-

73

питал «первого уровня» (4% от активов, взвешенных по уровню риска) и «второго

уровня» (также 4% от активов). Первый необходимо держать, главным образом, в

форме ценных бумаг, второй — в виде ряда долговых инструментов, резервов по

ссудам и 45% нереализованной прибыли по ценным бумагам.

Классификация кредитных рейтингов

Название,

объяснение

Standard &

Poor’s

Moody’s Fitch Числовая шкала

Высший AAA Aaa AAA 1

Высокий AA(-,*,+) Aa(1,2,3) AA(-,*,+) 2-4

Выше среднего A(-,*,+) A(1,2,3) A(-,*,+) 5-7

Средний BBB(+,*,-) Baa(1,2,3) BBB(+,*,-) 8-10

Ниже среднего BB(+,*,-) Ba(1,2,3) BB(+,*,-) 11-13

Спекулятивный B(+,*,-) B(1,2,3) B(+,*,-) 14-16

Плохое состояние CCC(+,*,-) Caa(1,2,3) CCC(+,*,-) 17-19

Высокоспекуля-

тивный

CC Ca CC 20

Низшее состояние C C C 21

Состояние дефолта D - 21-23

Матрица миграции рейтингов

AAA AA A BBB BB B CCC D

AAA 90,8 8,3 0,7 0,06 0,12 0 0 0

AA 0,7 90,6 7,8 0,6 0,06 0,14 0,02 0

A 91,0

BBB 86,9

BB

B

CCC 0,22 0 0,2 1,3 2,4 11,2 64,9

D 19,8

74

Каждая строка матрицы – это плотность распределения вероятностей нахож-

дения в одном из рассматриваемых состояний (в процентах)

Существуют несколько систем, по которым которые определяют внутренние

рейтинги банков, одна из них – CAMEL(S).

Capital adequacy

Assets quality

Management factors

Earning

Liquidity

Sensitivity (to market risk) – чувствительность к рыночному риску.

1 – самый хороший; …5 – самый плохой;

Расшифровка:

1) - можно не менять систему управления в банке;

- нет необходимости вмешательства органов надзора;

2) - банк практически здоров и может не менять стиль управления;

- вмешательство органов надзора необходимо только для устранения некоторых

недостатков;

3) - наличие финансовых, операционных или тех слабостей, варьирующих от до-

пустимых уровней до удовлетворительных: банк подвержен риску (уязвим), по-

этому может легко разориться ,если принимаемые меры неэффективны;

- требуется вмешательство органов надзора;

4) - серьезные финансовые проблемы, отсутствие к ним должного внимания и к

их решению: большая вероятность разорения, поэтому требуется немедленное

вмешательство органов надзора;

5) - очень большая вероятность разорения в ближайшее время, требуется срочная

поддержка акционеров;

- без проведения антикризисных мероприятий банк будет кем-то куплен, либо

произойдет объединение (слияние) с другим банком.

75

Другие рейтинговые системы:

CALE-SCORE

PATROL (с 1993г.) – в Италии.

ORAP-Франция:

1) ликвидность;

2) банковская и внебанковская;

3) рыночный риск, доходы и качественные критерии, связанные с контролем и

управлением.

МЕТОДЫ УПРАВЛЕНИЯ БАНКОВСКИМИ РИСКАМИ

Виды риска Методы оценки и

моделирования

Управление рис-

ком Примечания

Риск банкротст-

ва (дефолта)

В сравнении с одно-

родными банками,

построение банков-

ского рейтинга, рас-

чет достаточности

капитала, VaR, ES,

RAROC (risk adjusted

return on capital),

расчет норматива

достаточности капи-

тала (Н1 10-11%).

Создание обяза-

тельных резервов,

система страхова-

ния вкладов, ми-

ним. Размер капи-

тала (180 млн.

руб)

Норматив достаточности капитала

(Н1) есть ни что иное, как коэфф.

Кука:активы

капиталК . Главная идея в

Н1 заключается в том, что берутся

активы, взвешенные по рискам:

gдмkiii PPPKPCKPBОPAKp

KH

)(%1001

В работающих активах выделяются

группы активов по степени надежно-

сти, например, 1 группа надежности:

средства на счете банка России,

средства в фондах, резервах; 5 груп-

па: заемщики физ. Лица, малый биз-

нес. Обозначения:

i-номер группы;

Pki –резервы;

Ai – актив группы;

KPB – условные обязательства, бан-

ковская гарантия;

Одм – обязат-ва, выраженные в драг.

металлах;

KPC – риски по срочным сделкам;

PP – рыночные риски;

Pд – резервы на возможные потери

по прочим сделкам.

76

Рыночный риск

(РР)

VaR, ES, Risk Met-

rics, GARCH, взве-

шивание активов по

степени риска, риск

– анализ портфеля.

Резервирование

рыночных потерь,

диверсификация

активов, хеджиро-

вание рыночных

рисков, контроль

дюрации (ПР).

РР=12,5(ПР+ФР+ВР), где

РР- рыночный риск;

ПР – процентный риск, связанный с

курсом ЦБ;

ФР – фондовый риск;

ВР – валютный риск.

ПР: 8%, 1.6%, 1%, 0-0.25%

Кредитный риск

Скоринг, Credit Met-

rics, EDF(KMV),

взвешивание активов

по надежности, рей-

тингу заемщика,

расчет концентрации

риска, систематиза-

ция кредитов по ви-

дам размещения,

деятельности, сро-

кам, анализ инвести-

ционных рисков,

нормативы кредито-

вания.

Ведение кредит-

ной истории, рей-

тинг заемщиков,

нормативы ЦБ,

резервирование

потерь по ссудам,

диверсификация

кредитов, иерар-

хия ответственно-

сти менеджмента

банка, деление от-

ветственности

(образование син-

дицированных

кредитов), полу-

чение залогов и

гарантий, страхо-

вание риска не-

возврата ссуды.

Нормативы кредитования:

Н6 – максим. размер риска на одного

заемщика;

Н7максим. размер крупных рисков;

Н9.1 – максим. размер кредитования

акционеров;

Н10.1 – максим. размер кредитова-

ния инсайдеров.

Риск неликвид-

ности

Риск обязательств по

срокам и размерам,

анализ сбалансиро-

ванности активов с

обязательствами

(анализ дюрации),

стресс – тестирова-

ние, нормативы (Н2,

Н3, Н4).

Диверсификация

портфеля, управ-

ление дюрацией,

резервирование по

привлеченным

средствам, огра-

ничения.

Н2 – мгновенная ликвидность;

Н3 – текущая ликвидность;

Н4 – долгосрочная ликвидность. Из-

меряется за день.

Кредитные риски имеют резкую асимметрию. Если имеет место близость Х

к нормальному распределению, то VaR определяется, исходя из следующих мето-

дов:

1) Параметрический метод. Основан на квантилях нормального распределения

VaR TtPTu 11 , где Рt-T – начальная стоимость портфеля.

Можно исследовать чувствительность портфеля к изменению риска, в зави-

симости от рисков отдельных активов, входящих в портфель: jiijр xx .

2) Исторический метод. Для активов строятся функции распределения. Если рас-

пределение негауссово, то используется свёртка для построения функции распре-

деления портфеля.

77

3) Сценарный метод. Используются сценарии изменения параметров отдельных

активов. Можно выделить следующие сценарные схемы изменения средних вели-

чин доходности и дисперсии активов:

4) Имитационное моделирование. Метод Монте – Карло. Разыгрывается стои-

мость портфеля, получаем распределение портфельной стоимости. Некоторые ак-

тивы при этом могут быть скоррелированы. Достичь этого при имитационном мо-

делировании можно с помощью преобразования Холецкого, которое в случае

двух активов имеет вид:

y

x

y

x21

01~

~

Модель кредитного риска. Заемщики в данном подходе моделируются как пуас-

соновский процесс невозврата кредита. Используется методика Credit Portfolio

View (McKinsey), похожая на процедуру скоринга.

Пусть имеется функция распределения:

1

0

Вероятность невозврата кредита

у

SHIFT TWIST

78

Вводится у -комплексный показатель, характеризующий заемщика. Чаще

всего используются две модели параметризации (logit и probit). Probit-анализ ис-

пользует формулу распределения Гаусса-Лапласа.

Logit-анализ заключается в нахождении параметров логистической регрес-

ссии, то есть регрессионного уравнения вида: iizaay 0, где z- вектор частных

характеристик заемщика

y

y

ye

e

eP

11

1

y= ln[P/(1-P)]

По методике CPV в качестве zi используются макроэкономические факторы.

3.4. Дюрация как инструмент хеджирования риска изменения процент-

ной ставки. Правила хеджирования и задача иммунизации портфеля

Дюрация – взвешенная по размерам срочность платежей (позволяет управ-

лять соотношением требований и обязательств). Плохо, если обязательства (lia-

bilities) необходимо погашать раньше, чем предъявлять требования по активам

(assets).

T

tt

t

r

CFPV

1 )1( - настоящая (приведенная) стоимость; где CFt –потоки плате-

жей. По этой формуле можно рассчитать активы и пассивы. Разделим на PV:

T

t

T

t

tt

t WPVr

CF

1 1

1*

)1(1 , где Wt – вес.

Введём показатель

T

t

tWtD1

* – дюрация, средневзвешенная срочность пла-

тежей (среднее время платежа), где весом является CFt с учетом дисконта.

Продиференцируем по ставке доходности, чтобы найти соответствующую

чувствительность PV к ставке %.

T

tt

t

r

C

dr

PVd

1

)')1(

()(

T

ttt

t

r

PVD

rr

Ct

1 1

*

)1(

1*

)1(

79

r

rdDdrD

PV

PVdM

1

)1()(,

где D – эластичность PV к изменению % ставки (показывает на сколько % умень-

шится текущая стоимость при увеличении % ставки на 1%). Чем больше дюрация,

тем больше PV. DM = r

D

1– модифицированная дюрация.

Если предполагается поступление платежей, но ставка возрастает, то мы те-

ряем и, наоборот, если мы должны, то при возрастании ставки выигрываем. Зная

дюрацию наших активов и пассивов, можем узнать: выиграем или проиграем при

росте ставки. Дюрация позволяет сбалансировать по срокам поступления и обяза-

тельства, и тем самым хеджироваться от риска потерь, связанным с изменением

%-ной ставки.

Пусть PA, PL -активы и пассивы в настоящее время. PVt=PAt-PLt Дюрация

активов и пассивов: DA , DL.

drDPV

PVdG

)(

,

Gap – разрыв дюраций активов и пассивов. Можно показать, что имеет место со-

отношение:

t

tL

t

tAG

PV

PLD

PV

PADD

** ,

Если DG>0, то PV реагирует на изменение % ставки. За счет управления дю-

рациями по A и L можно добиться, чтобы PV была нечувствительна к изменению

процентной ставки, то есть, чтобы DG=0 и PV=const.

На рис. показана ситуация полного хеждирования (иммунизации) портфеля,

так как кривые доходности при движении ставки в обе стороны лежат по одну

сторону от касательной. Чтобы так получилось, необходимо совпадение дюра-

ций→совпадение производных→общая касательная→не пересекается.

PV

r

D0

D= dPV

PV*dr касательная

B A

Рис.

80

Пример.

Имеются два денежных потока:

А: t=10 c=109 r0=0,12

В: t1=2 t2=18; c1=22, c2=135

Wt1=Wt2=0,5

DB=0,5*18+0,5*2=10

DA=10

Посмотрим далее, что будет, если изменить r.

Правила хеджирования.

Правило нулевого уровня. PVA = PVL

Если не выделять актив, совпадающий по текущей стоимости с долгом, то долг

невозможно будет закрыть.

Правило первого уровня. DA = DL

У кривых активов и пассивов касательные должны совпадать в базовой точке.

Если выполняются эти 2 правила, то мы осуществляем неполное хеджирование (в

малой окрестности точки). Чтобы осуществить полное хеджирование необходимо,

чтобы выполнялось правило 2-го уровня.

Правило второго уровня VA VL (V – дисперсия дюрации).

T

t

At DWV1

2)1(

Иммунизация портфеля – когда создали портфель, сбалансированный по срокам,

хеджированный от рисков. Это техника защиты от изменения % ставки.

r PVA PVB DA DB PVB-PVA

0.06 60.86 66.88 10 13.32 6.02

0.12 35.09 35.09 10 10 0

0.18 20.83 22.66 10 6.84 1.83

81

3.5. Диверсификация и хеджирование рисков. Устранимый и неустрани-

мый риск портфеля.

Пусть

iY - некоторые активы;

iX - доля в портфеле i-ого актива;

.0,1 ii xx

2

y - дисперсия i-ого актива;

ij - ковариация между i и j активами;

N

i

ii IxI1

;

N

i

N

j

ijjiy xxxx1 1

2 ;

2

iii ;

i j

ijiyNN

2

2

2

2 11;

ij

N

N

N *

1*

1 2

2

;

индивидуальный риск неустранимый риск портфеля (системный риск)

ijij

NN

)1(

1;

Если мы при помощи диверсификации сбираемся уменьшить риск портфеля,

то мы можем влиять только на устранимый или ликвидируемый риск, т.е. умень-

шать его.

Рассмотрим более подробно ситуацию с двумя активами.

Пусть имеется 2 актива, которые мы рассмотрим в пространстве параметров

/ .

82

Построим портфель ,который состоит из этих двух активов:

21 ; 21 ;

10 x ;

х – доля бумаг (денег, средств) вложенная в I-ый актив,

(1-х) – во II-ой актив.

Тогда: 21 )1( xx ;

21

2

2

22

1

22 )1(2)1( xxx x ;

dx

d

dx

d

2

2

;

Рассмотрим следующую ситуацию:

1 ; 0 ; 1 ;

- коэффициент корреляции;

1) если 0 ;

)21(2)1(22/

/

21

2

2

2

1

21

xxxd

d

dxd

dxd

; (7)

Посмотрим как меняется производная ,когда меняется х, а также может ли знаме-

натель превратиться в ноль.

0)( 2

2

2

2

2

1 x ; (8)

если х=0

если х=1

1ый случай

2ый случай

3ий случай

83

2

2

2

1

2

x ; при некотором х знаменатель превращается в 0;

Если х=1, то (2)<0, а (1)>0;

Если х=0, то (2)>0, а (1)<0;

2) пусть 1 :

2

21

2 ))1(( xx ;

21 )1( xx ; в этом случае получаем отрезок прямой;

3) пусть 1 :

2

21

2 ))1(( xx ; эта ситуация характеризует хеджирование;

))1(( 21 xx ;

Для диверсификации необходимо, чтобы N было как можно больше, а для

хеджирования достаточно 2-х активов.

3.6. Задача формирования оптимального инвестиционного портфеля.

Портфели Марковица и Тобина. Модель CAPM Шарпа-Линтнера

Имеется набор активов, из которых можно сформировать ряд портфелей:

))((

)(

ln

22

)

11

1

tt

t

t

t

t

t

tt

rE

rE

P

Pr

P

PP

,

где Pt -цена актива в момент t; средний доход, t волатильность актива.

Из некоторого подмножества этих точек образуется линия эффективных

портфелей, которая является множеством Парето в пространстве «доходность –

риск». На множестве эффективных портфелей выделяется специальные точки, ко-

торые называются угловыми портфелями. В них происходит смена хотя бы одно-

го актива в портфеле (х1,х2)→(х1,х3) и так далее. Любой портфель на линии между

угловыми представляет собой линейную комбинацию соответствующих угловых

портфелей.

А. Рой и Г. Марковиц (1952) независимо сформулировали и решили задачу

определения оптимального портфеля.

Возможны две постановки задачи:

1) Портфель максимальной эффективности:

µ

σ

84

pмах; =р; (e,x)=Xi=1 На графике задаемся точкой на оси Х, по ней ищем

оптимальный портфель.

2) Портфель минимального риска:

=p; рмin; (e,x)=Xi=1 На графике задаемся точкой на оси Y.

Есть облигации, которые выпускает государство. Они малодоходные, но

безрисковые (гарантируется государством). Тобин предложил строить портфель

на основе не только рисковых, но и безрисковых активов (на графике µ0 ):

Пусть ставится следующая оптимизационная задача

tgα= (µp-µ0)/σp = θ→max,

тогда наилучший портфель соответствует точке касания и называется тангенци-

альным.

Capital Market Line, на ней µp=µ0+d*σp (*),

где d (расстояние Махалонобиса) - аналог премии за риск. Чем больше d, тем

больше выгод получаем при том же риске. Из формулы видно, что доходность

линейно связана с риском: чем выше доходность, тем с большим риском она со-

пряжена.

Доходность на Securities Market Line:

ri = rf + βi(rm-rf),

где ri-доходность i-го актива, rf-безрисковая доходность, rm-средняя доходность

по рынку, 0<βi<2 – характеристика доходности/риска данного актива,

βi=cov(ri,rm)/σ2

m → (σi/σm,)

так как ri и rm коррелированы.

Задача поиска оптимального решения сводится к решению задачи матема-

тического программирования в различных постановках. Если не накладываем ог-

раничений вида x≥0 (все доли ≥0), то решаем задачу на нахождение экстремума

методом множителей Лагранжа. Если имеем условие x≥0 , то имеем задачу квад-

ратичного программирования, применяем к ней условия Куна-Таккера.

µ0 α

CML

βi<1

βi>1

βi<0

µp

σp

85

В точке пересечения d имеет max, когда d=(µp-µ0)/σp, d можно интерпрети-

ровать как количество единиц доходности, приходящихся на единицу риска.

Можно решать две эквивалентные задачи: искать портфель Тобина max эф-

фективности и min риска.

Найдем структуру портфеля max эффективности Тобина. Пусть Y=∑xi*ri –

случайная величина, (xi-доля, ri-случайная величина доходности). S=E{Y0Y

Т}=ij

– ковариационная матрица,Y – доходность, Y0=Y-EY - центрированная доход-

ность.

Задача имеет вид:

p=0х0 + (,х)мах при

дисперсия портфеля (сумма долей).

σp и S заданы.

Решаем оптимизационную задачу методом Лагранжа:

L=х00+(,х)+0,5*λ0(хTSx-р

2)+λ1(х0+(е,х)– -1)

Далее берем производные:

dL/dx=µ+λ0Sx+λe= 0

dL/dx0=µ0+λ1=0 → λ1= -µ0

Подставим в предыдущее уравнение, получим μ-μ0e = - λ0Sx. Отсюда:

x*=-1/λ0S

-1(μ-μ0e) (**) . Подставим в первое ограничение:

р2=(-1/λ0)(μ-μ0e)

ТS

-1 S (-1/λ0)S

-1(μ-μ0e)

р2=(-1/λ0)

2 (μ-μ0e)

ТS

-1 S S

-1(μ-μ0e); S

-1 S=I

Обозначим d2=(μ-μ0e)

ТS

-1(μ-μ0e) – скаляр→ р

2=(-1/λ0)

2 d

2 → р=(-1/λ0) d →

λ0= -d/р , тогда х*=

S

-1(μ-μ0e) р/d

где d=√(…)TS

-1(…) – расстояние Махаланобиса.

µ0

βi<1

βi>1

βi<0

x0<0

x0=1

x0=0

µm

σm

1),(0

2

xex

Sxx p

T

86

Преобразуем формулу для доходности:

p=х0*0 +(,х

*)

Подставим x0*=1-∑xi

* :

p=0+(-0e)Tx*

Подставляем х* и получаем

p=0 +(μ-μ0e)ТS

-1(μ-μ0e) р/d→p - 0=р/d→ p - 0=рd, d=(p - 0)/р

Это то же самое d. Пара (p,р)–портфель Тобина, точки на линии CML.

Можем задавать р, получать p, и, наоборот.

Мы нашли портфель общего вида. Найдем далее тангенциальный портфель.

Здесь х0=0 → ∑xi*=1. Поэтому, чтобы найти х*, необходимо нормировать:

x*tg= S-1

(μ-μ0e) / eTS

-1(μ-μ0e).

Если воспользоваться отношением Шарпа (Sharpе ratio):

0SR

То есть переписать:

)(,

1

,

2

0

00

ijp

i

iip

xx

x

xx

Решив данную систему методом множителей Лагранжа, получаем рыноч-

ный тангенциальный портфель, полученный с использованием отношения Шарпа:

))),((,(

)),((

),( 0

1

0

1

*

***

ee

e

xe

xx

Модель Шарпа.

fmifi rrErrE )(()( - уравнение SML, где 2

m

imi

87

imfi

m

fm

rrE

rrE

2

)(

- (SML)

mfp

m

fm

rrE

rrE

)(

)(

- (CPM)

3.7. Снижение рисков с помощью производных финансовых инстру-

ментов (дериватов). Дельта-хеджирование

Опцион – род форвардного контракта, который состоит в том, что держатель

опциона имеет право через некоторое время купить (call) или продать (put) неко-

торый актив, который называется базисным, по заранее оговоренной цене (E).

Имеется значительное количество различных опционных схем, среди которых

наиболее часто используются:

1) Европейский опцион - выполняется строго по окончании срока;

2) Американский опцион – выполняется в любой момент в течение оговоренного

срока.

Put: P=max(0,E-S) Call: C=max(0,S-E)

rf

E(rm)

β>1

β=1

β<1

β<0

1

Рисунок 7

88

Опцион put имеет предел дохода – Е. Опцион call дороже, так как не имеет

такого предела. Опционы можно использовать как для спекуляции, так и для хед-

жирования от риска.

Теорема паритета опционов put и call.

Рассмотрим портфель П=S+P-C (1 акция - базовый актив, 1 put, 1 call).

Если акции поднялись в цене (S>E), то сработал опцион call: П=S+E-S+0=Е

– доход. Если цена снизилась (S<E), то сработал put: П=S+0+E-S=Е, то есть доход:

П=S + max(0,E-S) - max(0,S-E)

Данный портфель хеджирован, то есть, независимо от изменения курса ак-

ций, доход не меняется.

Можно также купить облигацию с фиксированными процентами:

В = S+P-C = Ее -r ( - t )

(с учётом дисконта).

Если знаем, сколько стоит Put – найдем Call, и наоборот. Поэтому:

С= P+S Ее -r t

где S Ее -r t

>0 →

С Р – Теорема паритета опционов Р и С.

Хеджирование с помощью опцинов «call». Дельта–хеджирование.

Создавая портфель облигаций вида: П=S-kC, мы можем обезопасить себя от

потерь. Можно показать, что имеется возможность захеджировать портфель с по-

мощью некоторого количества опционов call: S – kC. А именно,

89

S

C

kC

1 (производная стоимости опциона по стоимости акции).

Рассмотрим следующий пример, поясняющий данную ситуацию.

Цены могут либо подняться (Sd), либо опуститься (Su).

Условия: Sd = 20, Su = 40 , E = 30.

Пусть имеем портфель: покупаем акцию, потом продаем ее по опциону call: П=S-

kC

К моменту исполнения надо подобрать такое k, чтобы стоимость портфеля не из-

менилась.

Если цены выросли, доход равен 40-k(40-30), если цены упали, то ничего не

меняется – 20. Приравниваем результаты: 20 = 40-k(40-30) k = 2

kC = 10 (отклонение от равновесия), следовательно стоимость опциона call = 5

Таким образом, имеем: Sd - kCd = Su – kCu = E (стоимость портфеля при па-

дении равна стоимости при росте).

Отсюда:

C

S

CC

SSk

DU

DU

И далее,

S

C

k

1, или

S

C

Стоимость опциона зависит от: - начальной стоимости акций Sо;

- безрисковой ставки r;

- будущей стоимость Su;

90

- цены исполнения Е.

Формула для расчета стоимости опциона Блэка – Шоулза.

)(*)( 21 deEdSС rT (Call),

где Ф-функция распределения Гаусса – Лапласа (стандартная)

Tdd 12

T

TE

S

d

2

2,1

2

12ln

)( 1d

Это решение основано на стохастическом уравнении динамики стоимости S

подлежащего актива:

tdWdtS

dS

где Wt – винеровский случайный процесс (броуновское движение).

Тестовые задания

Тестовое задание 1. Построить множество эффективных портфелей, состоящих

из двух активов. Выбрать оптимальный портфель, руководствуясь одним из ука-

занных критериев.

Тестовое задание 2. Выбрать один из предложенных портфелей, используя кри-

терии VaR и ES.

Тестовое задание 3. Рассчитать предельный срок инвестирования для портфеля,

состоящего из рисковых активов, используя параметрический VaR.

Тестовое задание 4. Составить безрисковый портфель с помощью дельта-

хеджирования.

Проектное задание 1. Предприятие производит водку и ликёро-водочные изде-

лия. Какие риски наиболее характерны и как ими управлять?

91

Проектное задание 2. На фабрике шьют летнюю и зимнюю женскую одежду. Ка-

кие риски наиболее характерны для швейного производства и как ими управлять?

Проектное задание 3. На заводе производится сборка легковых автомобилей на

основе импортных комплектов. Какие риски наиболее характерны для этого

предприятия и как ими управлять?

92

ЛИТЕРАТУРА

1. Основная литература

1. Дубров А.М., Лагоша Б.А., Хрусталёв Е.Ю., Барановская Т.П. Моделирование рисковых си-

туаций в экономике и бизнесе. М.: Финансы и статистика. 2001. 223 с.

2. Шапкин А.С., Шапкин В.А. Теория риска и моделирование рисковых ситуаций. Учебник.

М.: Дашков и К°. 2010. 880 с.

3. Шоломицкий А.Г. Теория риска: Выбор при неопределённости и моделирование риска. М.:

ГУ ВШЭ, 2005. 397 с.

4. Белов П.Г. Управление рисками, системный анализ и моделирование в 2 т. Учебник и прак-

тикум для бакалавриата и магистратуры. 2-е изд. М.: Юрайт, 2015. 729 с.

5. Ларичев О.И. Теория и методы принятия решений. 2-е изд. М.: Логос, 2002, 2007, 391 с.

6. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. Спб: Питер, 2000. 400 с.

7. Качалов Р.М. Управление хозяйственным риском. М.: Наука, 2002. 191 с.

8. Страхование и управление рисками. 2-е изд., пер. и доп. Учебник для бакалавров. /Под ред.

Черновой Г.В./ М.: Юрайт, 2016. 768 с.

9. Виленский П.Л., Лившиц В.Н., Смоляк С.Л. Оценка эффективности инвестиционных проек-

тов. Теория и практика. М.: Дело, 2004 (3-е изд.), 832 с.

10. Грачёва М.В., Бабаскин С.Я., Волков И.М. и др. Риск-анализ инвестиционного проекта. М.:

ЮНИТИ-ДАНА, 2001. 352 с.

11. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции. М.: Инфра-М. 2001. 1028 с.

2. Дополнительная литература по отдельным вопросам

Теория риска и общие вопросы управления рисками

1. Пикфорд Дж. Управление рисками. Вершина. 2004. 352 с.

2. Бернстайн П. Против богов: укрощение риска. М., Олимп-Бизнес, 2000, 400 с.

3. Найт Ф.Х. Риск, неопределённость и прибыль (Risk, Uncertainty and Profit). М., Дело. 2003,

360 с.

4. Королёв В.Ю., Бенинг В.Е., Шоргин С.Я. Математические основы теории риска. М. Физ-

матлит, 2007, 544 с.

5. Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М. Наука, 1970,

703 с.

6. Фишберн П. Теория полезности для принятия решений. М., Наука, 1978. 352 с.

7. Кини Р.Л., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения.

М., Радио и связь, 1981, 560 с.

8. Рогов В.А., Чудаков А.Д. Управление рисками. М., ТНТ, 2012. 340 с.

9. Арсеньев Ю.Н., Сулла М.Б., Минаев В.С. Управление экономическими и финансовыми рис-

ками. М., Высшая школа, 1997.

10. Гранатуров В.М. Экономический риск: сущность, методы измерения, пути снижения. М.

Дело и сервис, 2002, 160 с.

11. Хохлов Н.В. Управление риском. М., ЮНИТИ, 1999, 239 с.

12. Вяткин В.Н., Гамза В.А., Екатеринославский Ю.Ю., Хэмптон Дж.Дж. Управление риском в

рыночной экономике. М., Экономика, 2002. 195 с.

93

13. Клейнер Г.Б., Тамбовцев В.И., Качалов Р.М. Предприятия в нестабильной экономической

среде: риски, стратегии, безопасность. М., Экономика. 1997, 287 с.

14. Воронцовский А.В. Управление рисками: Учебное пособие для вузов. СпбГУ. Изд. 2-е,

испр., доп. 2004, 458 с.

15. Крушвиц Л. Инвестиционные расчёты. Спб, Питер, 2001. 432 с.

16. Шефер Д., Крушвиц Л., Шваке М. Финансирование и инвестиции. Задачник. Спб, Питер,

2001, 320 с.

17. Шапкин А.С. Экономические и финансовые риски. Оценка, управление, портфель инвести-

ций. М., Дашков и К0. 2003, 544 с.

Риск инвестиций и инноваций в реальном секторе, риск управления проектами

18. Смоляк С.А. Оценка эффективности инвестиционных проектов в условиях риска и неопре-

делённости (теория ожидаемого эффекта). М.: Наука, 2002, 182 с.

19. Островская Э. Риск инвестиционных проектов. М., Экономика. 2004, 269 с.

20. Грачёва М.В. Анализ проектных рисков. М., Финстатинформ. 1999, 216 с.

21. Дамодаран А. Инвестиционная оценка. Инструменты и методы оценки любых активов. М.

Альпина Бизнес Букс. 2005. 1344 с.

22. Управление проектами (Project Management). Предмет: Управление рисками. "I know!" (на

CD). АСС-Бюро, 2004.

23. Лещенко М.И., Марущак И.И., Бочков В.Е. Менеджмент инвестиционных рисков. М.,

МГИУ, 2003, 187 с.

24. Москвин В.А. Управление рисками при реализации инвестиционных проектов: Рекоменда-

ции для предприятий и коммерческих банков. М., Финансы и статистика, 2004, 351 с.

25. Пилипенко П.П. Корпоративное венчурное инвестирование: методы анализа высокориско-

ванного бизнеса. Триада Лтд. 2001, 184 c.

26. Селюков В.К., Гончаров С.Г. Управление рисками. Ипотечная сфера. М., Изд-во МГТУ им.

Н.Э. Баумана. 2001. 360 с.

27. Антонов В.Г., Масленников В.В., Скамай Л.Г., Вачегин А.М. Управление рисками приори-

тетных инвестиционных проектов. Концепция и методология. Монография. М., Палеотип,

2014, 188 с.

28. Доронкина Л.Н. Формирование системы управления рисками в инвестиционно-

строительном бизнесе. Монография. М. Палеотип. 2005.138 с.

29. Петровская М.В. Риски в инвестиционно-строительном комплексе: теория и методология

управления. М. Палеотип. 2007.176 с.

30. Балдин К.В., Передеряев И.И., Голов Р.С. Управление рисками в инновационно-

инвестиционной деятельности предприятия. Учебное пособие - 3 изд. М., Дашков и К, 2015,

420 с.

31. Болотин С.А., Грабовый К.П., Грабовый П.Г. Управление рисками в недвижимости. Учеб-

ник. М., Проспект, 2012, 424 с.

Управление рисками предпринимательской деятельности, риск –менеджмент

32. Воробьёв С.Н., Балдин К.В. Управление рисками: Учебное пособие для вузов. М., ЮНИТИ-

ДАНА, 2005. 511 с.

94

33. Воробьёв С.Н., Балдин К.В. Управление рисками в предпринимательстве. ИД "Дашков и К".

2005, 770 с.

34. Воробьев С.Н. Системный анализ и управление рисками в предпринимательстве: Учеб. по-

собие. М. Изд. МПСИ, 2009, 760 с.

35. Балдин К.В. Риск-менеджмент. Учебное пособие. - М.: Эксмо, 2006. - 368 с.

36. Бартон Т., Шенкир У., Уокер П. Риск-менеджмент. Практика ведущих компаний - М.: Виль-

ямс, 2008. - 208 с.

37. Алёшин А.В. Управление рисками совместных проектов зарубежной кооперации в России.

М., Консалтинговое Агентство "КУБС Групп - Кооперация", 2001, 228 с.

38. Боков В.В., Забелин П.В., Федцов В.Г. Предпринимательские риски и хеджирование в оте-

чественной и зарубежной экономике. М., Приор. 2000. 128 с.

39. Чернова Г.В. Практика управления рисками на уровне предприятия. Спб., Питер. 2000, 176

с.

40. Чернова Г.В., Кудрявцев А.А. Управление рисками. Проспект, 2007, 158 с.

41. Фомичёв А. Риск-менеджмент. - М.: ИД "Дашков и К", 2007. - 374 с.

42. Ступаков В.С., Токаренко Г.С. Риск-менеджмент. М. Финансы и статистика. 2005, 281 с.

43. Вяткин В.Н. Управление рисками фирмы. Программы интегративного риск-менеджмента. -

М.: Финансы и статистика, 2006. - 400 с.

44. Гончаренко Л., Филин С. Риск-менеджмент: Учебное пособие - М.: КноРус, 2007. - 216 с.

45. Холмс Э. Риск-менеджмент. - М.: Эксмо, 2007. - 304 с.

46. Васин С.М., Шутов В.С. Управление рисками на предприятии. Учебное пособие. М. КноРус,

2015. 300 с.

47. Покровский А.К. Риск-менеджмент на предприятиях промышленности и транспорта. М.

КноРус, 2015, 160с.

48. Рыхтикова Н.А. Анализ и управление рисками организации. Учебное пособие - 2 изд. М.

ФОРУМ, 2012. 240 с.

49. Дегтярёва О.И. Управление рисками в международном бизнесе. Учебник. М.: ФЛИНТА,

2014, 390 с.

50. Тепман Л.Н., Эриашвили Н.Д. Управление рисками в условиях финансового кризиса: Учеб.

пособие. М., ЮНИТИ-ДАНА, 2014, 295 с.

51. Воробьёв И.П. Организация производства и управление хозяйственными рисками. Курс

лекций. Минск: Беларуская навука. 2015, 179 с.

52. Плошкин В.В. Оценка и управление рисками на предприятиях. М., ТНТ, 2015, 448 с.

53. Гиротра К., Нетесин С. Оптимальная бизнес-модель: Четыре инструмента управления рис-

ками. М.: Альпина бизнес букс, 2014. 216 с.

54. Бадалова А.Г., Пантелеев А.В. Управление рисками деятельности предприятия. Учебное по-

собие. 2016

55. Макаревич Л.М. Управление предпринимательскими рисками. М. ДиС, 2006, 448 с.

Риски в торговле и в сфере услуг

56. Боровкова В.А. Управление рисками в торговле. Спб, Питер, 2004, 288 с.

57. Саркисова Е.А. Риски в торговле. Управление рисками. Практическое пособие. М. Дашков и

К, 2014, 242 с.

95

58. Косолапов А.Б. Управление рисками в туристском бизнесе. Учебн. пособие. М., КноРус,

2014, 286 с.

59. Ахтамова Г.А. Управление рисками в сфере услуг. Монография. М., Палеотип, 2004, 120 с.

60. Октябрьский Р.Д. Управление риском в системах жизнеобеспечения городской застройки.

Примеры и задачи. М, ИД ВШЭ, 2014, 110 с.

61. Авдошин С.М., Песоцкая Е.Ю. Информатизация бизнеса. Управление рисками. М., ДМК

Пресс, 2011, 176 с.

62. Петренко С.А., Симонов С.В. Управление информационными рисками. Экономически оп-

равданная безопасность. 2005.

63. Порошин Ю.Б. Управление внешнеторговой деятельностью на основе оценки рисков. М.,

Научная книга. 2007, 117 с.

Банковские риски, риски в бухучёте и в аудите

64. Беляков А.В. Банковские риски: проблемы учёта, управления и регулирования - 2-е изд.

БДЦ-Пресс, 2004, 256 с.

65. Банковские риски (под ред. Лаврушина О.И., Валенцевой Н.И.). 3-е изд. М., КноРус, 2016,

292 с.

66. Ермасова Н.Б. Система управления банковскими рисками. М.: Высшая школа. 2004.

67. Кабушкин С.Н. Управление банковским кредитным риском. Новое знание. 2004, 336 с.

68. Алескеров Ф.Т., Андриевская И.К., Пеникас Г.И. и др. Анализ математических моделей Ба-

зель-2. М., Физико-математическая литература, 2010, 268 с.

69. Мешкова Е. Стресс-тестирование в коммерческом банке. Практическое пособие. 2014. —

246 с.

70. Живетин В.Б. Управление рисками банковских систем (математическое моделирование).

Учебное пособие. М. ИПР, 2009, 480 с.

71. Бобыль В. Альтернативное управление банковскими рисками (монография). LAP Lambert

Academic Publishing, 2014, 192 с.

72. Волков А.В. Управление рисками в коммерческом банке. Практическое руководство. 3-е

изд., испр. и доп. М., Омега-Л , 2015, 156 с.

73. Бычкова С.М., Растамханова Л.Н. Риски в аудиторской деятельности. М., Финансы и стати-

стика. 2003. 416 с.

74. Шевелев А.Е., Шевелева Е.В. Риски в бухгалтерском учёте. 2-изд., М. КноРус, 2015, 304 с.

Риски в сфере финансов и на финансовых рынках

75. Кандинская О.А. Управление финансовыми рисками: поиск оптимальной стратегии. М.,

Консалтбанкир. 2000, 272 с.

76. Бланк И.А. Управление финансовыми рисками. Киев, Ника-Центр, 2005, 600 с.

77. Бланк И.А. Управление финансовыми рисками: учебный курс. Киев, Ника-Центр, 2006, 448

с

78. Рогов М.А. Риск-менеджмент. М., Финансы и статистика. 2001, 120 с.

79. Рэдхэд К., Хьюс С. Управление финансовыми рисками. М., Инфра-М, 1996. 288 с.

80. Фабоцци Ф. Управление инвестициями. М., Инфра-М, 2000, 932 с.

96

81. Чекулаев М. Риск-менеджмент: управление финансовыми рисками на основе анализа вола-

тильности. М., Альпина Паблишер. 2002. 344 с.

82. Винс Р. Математика управления капиталом: Методы анализа риска для трейдеров и порт-

фельных менеджеров. М., Альпина Паблишер. 2013. 408 с.

83. Энциклопедия финансового риск-менеджмента (под ред. Лобанова А.А., Чугунова А.В.). 2-е

изд., испр. и доп. М. Альпина Бизнес Букс. 2006, 878 с.

84. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчёт и риск. М., Инфра-М,

1994, 191с.

85. Меньшиков И.С. Финансовый анализ ценных бумаг. М., Финансы и статистика, 1998, 360 с.

86. Малюгин В.И. Рынок ценных бумаг: Количественные методы анализа. М., Дело. 2003, 320 с.

87. Ван Хорн Джеймс К., Вахович Джон М., мл. Основы финансового менеджмента. 12-е изда-

ние. М. Вильямс. 2007. 1232 с.

88. Струченкова Т.В. Валютные риски: анализ и управление. КноРус, 2010, 210с.

89. Шапкин А.С., Шапкин В.А. Управление портфелем инвестиций ценных бумаг. М., ИД Даш-

ков и К, 2010, 512 с.

90. Ширяев В.И. Модели финансовых рынков: Оптимальные портфели, управление финансами

и рисками. М. ЛИБРОКОМ, 2015, 216 с.

91. Гибсон Р. Формирование инвестиционного портфеля: управление финансовыми рисками.

Альпина Паблишер, 2015, 274 с.

92. Уколов А.И., Гупалова Т.Н. Управление корпоративными рисками: инструменты хеджиро-

вания. М. Директ-Медиа 2014. 553с.

93. Управление финансовыми рисками в системе экономической безопасности. Учебник и

практикум. Отв. ред. Авдийский В.И. – М.: Юрайт, 2016, 413 с.

94. Новиков А.И., Солодкая Т.И. Теория принятия решений и управление рисками в финансо-

вой и налоговой сферах: учеб. пособие — М.: ИТК "Дашков и К", 2013, 288 с.

3. Статьи в журналах и в научных изданиях

1. Walls M.R, Clyman D.R. Risky choice, risk sharing and decision analysis: Implications for man-

agers in the resource sector. Resources Policy, 1998, Vol.24, N.1, 49–57.

2. Palma-dos-Reis A., Zahedi F.M. Designing personalized intelligent financial decision support sys-

tems. Decision Support Systems, 1999, Vol. 26, 31–47.

3. Grootweld H., Hallerbach W. Variance vs downside risk: Is there really that much difference?

European Journal of Operational Research, 1999, Vol. 114, 304-319.

4. Ogryczak W., Ruszczynski A. From stochastic dominance to mean-risk models: Semideviations as

risk measures. European Journal of Operational Research, 1999, Vol. 116, 33-50.

5. Kenyon C.M., Savage S., Ball B. Equivalence of linear deviation about the mean and mean abso-

lute deviation about the mean objective functions. Operations Research Letters, 1999, Vol. 24,

181-185.

6. Parkan C., Wang L.-F., Wu M.-L. Decision making under partial probability information using

pair-wise comparisons. European Journal of Operational Research, 1999, Vol. 112, 220-235.

7. Szegö G. Measures of risk. European Journal of Operational Research, 2005, Vol. 163, N.1, 5-19.

8. Rambaud S.C. et al. Theory of portfolios: New considerations on classic models and the Capital

Market Line. European Journal of Operational Research, 2005, Vol. 163, N.1, 276-283.

97

9. Santos J.R., Haimes Y.Y. Applying the Partitioned Multiobjective Risk Method (PMRM) to Port-

folio Selection. Risk Analysis, 2004, Vol. 24, N.3, 697-713.

10. Artzner P., Delbaen F., Eber J.-M., Heath D. Coherent measures of risk. Mathematical Finance,

1999, Vol. 9, 203–228.

11. Acerbi C. Spectral measures of risk: a coherent representation of subjective risk aversion. Journal

of Banking and Finance, 2002, Vol. 26, 1505-1518.

12. Meyfredi J.-C. History of the Risk Concept and Risk Modeling. EDHEC Business School, 2004, 1-

8.

13. Albrecht P. Risk Measures. Encyclopedia of Actuarial Science. John Wiley & Sons, 2004

14. Bertsimas D., Lauprete G.J., Samarov A. Shortfall as a risk measure: properties, optimization and

applications. J. of Economic Dynamics & Control. 2004, Vol. 28, 1353-1381.

15. Smimou K., Bector C.R., Jacoby G. A subiective assessment of approximate probabilities with a

portfolio application. Research in International Business and Finance. 2007. Vol. 21, 134-160.

ГЛОССАРИЙ

ВИДЫ РИСКОВ

Факторы риска

Risk factors

Факторы риска - условия, которые сами по себе не являются непосредственными источниками

появления нежелательных результатов, но увеличивают вероятность их возникновения.

Систематический риск

Рыночный риск; Недиверсифицируемый риск

Systematic risk; Market risk; Beta-risk; Non-diversifiable risk

Систематический риск - риск, который характерен для всех ценных бумаг и не может быть уст-

ранен за счет диверсификации.

Систематический риск обусловлен общим движением рынка или его сегментов и не связан с

конкретной ценной бумагой.

Несистематический риск

Диверсифицируемый риск; Остаточный риск; Уникальный риск

Non-systematic risk; Unsystematic risk; Diversifiable risk; Residual risk; Unique risk; Specific risk

Несистематический риск - специфический для конкретной компании риск, который может быть

в значительной степени уменьшен посредством диверсификации

Риск процентной ставки

Процентный риск

Interest rate risk; Rate risk

Риск процентной ставки - риск потерь из-за негативных изменений процентных ставок, вклю-

чающий:

- непосредственные изменения процентных ставок;

- изменения в форме кривой доходов;

- изменения в неустойчивости процентных ставок;

- изменения во взаимоотношениях или распределении между различными индексами процент-

ной ставки;

- досрочное погашение основной суммы долга.

98

Операционный риск

Operational risk

Операционный риск - риск, связанный с недостатками в системах и процедурах управления,

поддержки и контроля.

Операционный риск - риск небрежных или некомпетентных действий, в результате которых

может быть причинен материальный ущерб.

Нефакторный риск

Idiosyncratic risk

Нефакторный риск - несистематический риск, не связанный с риском всего рынка в целом. Не-

факторный риск может быть диверсифицирован посредством составления портфеля акций.

Инвестиционный риск

Investment risk

Инвестиционный риск - риск обесценивания капиталовложений в результате действий органов

государственной власти и управления.

Валютный риск

Currency risk; Exchange risk; Foreign exchange risk; Foreign exchange exposure

Валютный риск - риск убытков от непредвиденных изменений валютных курсов, включающий:

- непосредственные изменения обменных курсов;

- неустойчивость обменного курса;

- изменения размеров прибыли, полученной за рубежом в результате операций конвертации.

Различают операционный, бухгалтерский и экономические валютные риски.

Трансляционный валютный риск

Транзакционный риск

Translation exposure; Translation risk; Transaction exposure

Трансляционный валютный риск - риск негативного влияния изменений обменных курсов ва-

лют на финансовую отчетность фирмы.

Трансляционный валютный риск - риск несоответствием между активами и пассивами, выра-

женными в валютах разных стран.

Трансляционный валютный риск - риск валютных потерь при пересчете суммы из одной валю-

ты в другую.

Предпринимательский риск

Enterprises risk

Предпринимательский риск - риск, связанный с конкретным бизнесом в его рыночной нише.

Риск волатильности

Volatility risk

Риск волатильности - риск того, что держатель или продавец стандартного или встроенного оп-

циона будет подвержен потерям в случае действительного или связанного с рыночными ожида-

ниями изменения волатильности.

Риск дефицита

Shortfall risk

Риск дефицита - риск дефицита при преследовании какой-либо инвестиционной цели.

Риск законодательных изменений

Risk of legislative change

99

Риск законодательных изменений - риск финансовых потерь от вложений в ценные бумаги в

связи с изменением их курсовой стоимости, вызванной изменением законодательных норм.

Риск компании

Риск конкретной компании

Company risk; Company-specific risk; Firm-specific risk

Риск компании - инвестиционные риски, специфичные для каждой отдельно взятой компании:

опасность потери основных клиентов, отсутствие новых рынков сбыта и т.п.

Риск концентрации

Portfolio concentration risk

Риск концентрации - риск потерь из-за:

- концентрации риска на конкретном инструменте;

- концентрации риска на отдельных операциях;

- концентрации риска в конкретном секторе экономики.

Кредитный риск

Credit risk

Кредитный риск - риск невыполнения обязательств одной стороной по договору и возникнове-

ния, в связи с этим, у другой стороны финансовых убытков.

Кредитный риск связан с неплатежеспособностью покупателя, с военными действиями, с кон-

фискацией, с введением ограничений и т.д.

Отраслевой риск

Brunch risk

Отраслевой риск - риск, связанный с циклическими колебаниям, стадиями жизненного цикла,

венчурными разработками и другими особенностями отраслей реального производства.

Риск ликвидности

Liquidity risk

Риск ликвидности - риск, возникающий при появлении затруднений с продажей актива. Риск

ликвидности рассчитывается как разница между "истинной стоимостью" актива и его возмож-

ной ценой с учетом комиссионных выплат.

Риск актива

Риск актива - возможность частичной или полной потери стоимости (обесценения) актива при

наступлении определенных событий.

Риск рыночной ренты

Market rental risk

Риск рыночной ренты - вероятность изменения рыночных ставок арендной платы, что влияет на

стоимость собственности, арендная ставка по которой фиксирована.

Риски, связанные с арендой актива

Risks associated with a leased asset

Риски, связанные с арендой актива - возможности потерь из-за

- неиспользования или неполного использования мощностей; или

- технологического устаревания актива;

- колебаний в прибыли в связи с изменением экономических условий.

Риск падения кредитного рейтинга

Shift in credit rating risk

100

Риск падения кредитного рейтинга - риск потерь из-за неспособности привлечь средства по

приемлемой цене или получить доступ на рынки.

Риск потока денежных средств

Cash flow risk

Риск потока денежных средств - риск изменения величины будущих поступлений и платежей

денежных средств, связанных с денежными финансовыми инструментами.

Риск снижения

Downside risk

Риск снижения - оценка возможного снижения стоимости инвестиций и при учете всех факто-

ров, влияющих на курс ценных бумаг.

Риски при покупке обыкновенных акций

Риски при покупке обыкновенных акций - риск инвестора понести убытки:

- от возможного падения курса акций;

- из-за слишком медленного роста курса;

- из-за сильных колебаний курса;

- из-за невыплаты дивидендов или из-за их малых размеров;

- из-за банкротства акционерной компании

Гарантийный риск

Underwriting risk

Гарантийный риск - риск того, что вновь приобретенные ценные бумаги не найдут покупателя

или понизятся в цене до периода размещения.

Деловой риск

Business risk

Деловой риск - риск, обусловленный неопределенностью в отношении объема инвестиций, де-

нежных потоков от производственной деятельности и ликвидационных стоимостей активов, вне

зависимости от того, как осуществляется финансирование инвестиций.

Страновой риск

Country risk

Страновой риск - риски, связанные с инвестициями в конкретной стране и одинаковые для всех

компаний: инфляционный риск, риск возникновения социальной нестабильности и т.п.

Финансовый риск

Financial risk; Additional risk

Финансовый риск - риск того, что потоки наличности окажутся недостаточными для выполне-

ния финансовых обязательств предприятия.

Финансовый риск - риск, которому подвергаются акционеры компании, использующей заемные

средства и собственный капитал.

Экономический риск

Economic risk

Экономический риск - в проектном финансировании - риск того, что продукция проекта не

сможет быть продана по цене, покрывающей операционные и эксплуатационные издержки про-

екта, а также расходы по обслуживанию долга.

101

Производственный риск

Production risk

Производственный риск - предпринимательский риск, связанный с производством конкретного

продукта в определенных рыночных условиях; риск, порожденный неустойчивостью спроса и

цен на готовую продукцию, сырье и энергию, а также вероятностью не обеспечить нормальную

массу, норму и динамику прибыли.

Ценовой риск

Price risk

Ценовой риск - риск потерь из-за будущих изменений рыночной цены товара или финансового

инструмента. Различают три типа ценовых рисков: валютный риск, риск ставки процента и ры-

ночный риск.

Риск аутсорсинга

Outsourcing risk

Outsourcing risk - риск, связанный с привлечением третьих лиц для выполнения определенных

работ или услуг.

Имущественный риск

Property risk

Имущественный риск - кредитный риск, связанный с состоянием или качеством собственности

заимодавца.

Коммерческий риск

Commercial risk

Коммерческий риск - риск того, что иностранный должник не сможет погасить задолженность в

силу каких-либо коммерческих причин.

Предрасчетный риск

Pre-settlement risk

Предрасчетный риск - риск потерь из-за невыполнения обязательств контрагентом или клиен-

том, когда размер потерь зависит от преобладающих ставок или курсов на рынке.

Прямой кредитный риск

Direct credit risk

Прямой кредитный риск - риск потерь из-за невыполнения обязательств контрагентом по кре-

дитам или иным долговым обязательствам, при условии нахождения под риском всего обяза-

тельства.

Риск Херштатта

Расчетный риск

Herstatt risk; Settlement risk

Риск Херштатта - риск потерь из-за невыполнения обязательств контрагентом по транзакциям в

процессе расчетов, когда обязательство перед контрагентом было выполнено, а обязательство

контрагента не выполнено.

Риск банкротства

Риск неплатежеспособности

Bankruptcy risk; Insolvency risk

Риск банкротства - риск невыполнения компанией своих долговых обязательств.

102

Риск банкротства партнера

Counterparty risk

Риск банкротства партнера - риск того, что вторая сторона, заключающая соглашение, окажется

неплатежеспособной

Риск дефолта

Кредитный риск

Default risk; Credit risk

Риск дефолта - риск того, что эмитент долгового обязательства (заемщик) окажется не в состоя-

нии производить своевременные выплаты по процентной и основной части долга.

Риск ипотечного периода

Mortgage-pipeline risk

Риск ипотечного периода - риск, сопряженный с получением заявки от потенциальных ипотеч-

ных заемщиков, которые затем могут отказаться принять объявленную ипотечную ставку в те-

чение определенного льготного периода.

Риск кастодиана

Custody risk

Риск кастодиана - риск утери ценных бумаг, переданных на хранение кастодиану, вызванный

неплатежеспособностью, небрежностью или мошенническими действиями кастодиана или суб-

кастодиана.

Риск кредитного спрэда

Credit spread risk

Риск кредитного спрэда - риск потерь в результате неблагоприятных изменений в распределе-

нии ценных бумаг различного кредитного качества.

Риск кредитного эквивалента

Credit equivalent exposure

Риск кредитного эквивалента - риск потерь из-за невыполнения обязательств контрагентом по

забалансовым статьям с ненаступившим сроком погашения.

Риск ликвидности

Liquidily risk

Риск ликвидности - риск временной задержки исполнения своих обязательств одним из участ-

ников сделки с ценными бумагами или риск того, что участник-контрагент не выполнит свои

обязательства полностью на требуемую дату, но сможет это сделать в некоторое время после

этой даты.

Риск нарушения окончательности перевода

Finality risk

Риск нарушения окончательности перевода - риск того, что условленный перевод денежных

средств или поставка ценных бумаг будут отменены.

Риск неблагоприятных действий суверенного правительства

Суверенный риск; Страновой риск

Sovereign risk

Риск неблагоприятных действий суверенного правительства - вероятность того, что действия

суверенного правительства могут оказать прямое и/или косвенное воздействие на способность

должника своевременно исполнять свои обязательства. Различают прямые и косвенные риски

неблагоприятных действий суверенного правительства.

103

Риск потери основной суммы

Principal risk

Риск потери основной суммы - риск того, что продавец ценных бумаг поставит ценные бумаги,

но не получит денежные средства, или того, что покупатель ценных бумаг осуществит платеж,

но не получит ценные бумаги.

Устранение риска потери основной суммы происходит, если применяется принцип "Поставка

против платежа".

Риск потери репутации

Reputation risk

Риск потери репутации - риск потерь из-за снижения репутации на рынке, приводящего к поте-

рям в бизнесе.

Риск потерь по возмещению

Replacement cost risk

Риск потерь по возмещению - риск того, что контрагент по невыполненной еще транзакции

окажется не в состоянии выполнить ее на дату расчетов, что может оставить платежеспособно-

го участника с незастрахованной или открытой позицией или без прибыли от этой позиции. Ве-

личина риска потерь по возмещению равна стоимости замещения исходной транзакции по те-

кущим ценам рынка.

Риск события

Event risk

Риск события - риск того, что в силу редких, непостоянных и очень сильных непредвиденных

изменений рыночной ситуации, изменится способность эмитента производить процентные и

основные выплаты.

Риск хранения денежных средств

Cash deposit risk

Риск хранения денежных средств - кредитный риск, связанный с хранением денежных средств в

организации-посреднике для расчетов по ценным бумагам.

Риск, связанный с переводом средств за границу

Риск, связанный с переводом средств за границу - вероятность введения суверенным прави-

тельством мер валютного контроля, которые ограничат возможности должников по получению

и использованию иностранной валюты, необходимой для своевременного исполнения обяза-

тельств, выраженных в иностранной валюте.

Риски страховании кредитов

Риски страховании кредитов - до 50 отдельных рисков, которые группируются в две основные

категории:

- экономические, коммерческие риски: банкротство частного покупателя, отказ от платежа или

принятия товара, неоплата долга в обусловленный срок и др.;

- политические риски: война, революция, запрет на платежи за границу, консолидация долгов,

национализация, конфискация, неплатеж покупателя, являющегося государственной организа-

цией, отмена импортной лицензии, введение эмбарго и т.д.

Системный риск

Systemic risk

Системный риск -

- либо риск, связанный с неспособностью одного из участников выполнить свои обязательства

и приводящий к нарушению функционирования других участников;

104

- либо риск того, что неспособность одного участника выполнить свои обязательства должным

образом станет причиной того, что и другие участники не смогут выполнить свои обязательства

должным образом.

Риск кредитного эквивалента Credit equivalent exposure

Риск потерь из-за невыполнения обязательств контрагентом по забалансовым статьям с нена-

ступившим сроком погашения, таким как свопы или опционы, когда размер риска зависит от

цен, сложившихся на рынке.

Незащищённость

Exposure

Открытость риску, подверженность риску.

Трансляционный валютный риск

Translation exposure

Риск убытков при пересчете статей баланса (например, балансов дочерних компаний за рубе-

жом) в национальную валюту, риск возникновения курсовых убытков.

Несвязанная подверженность риску

Uncorrelated exposure

Подверженность фактору риска, при которой все остальные факторы риска не изменяются.

УПРАВЛЕНИЕ РИСКАМИ

Риск-менеджмент

Управление рисками

Risk management

Риск-менеджмент - в широком смысле - процесс выявления и оценки рисков, а также выбор ме-

тодов и инструментов управления для минимизации риска. Риск менеджмент включает:

- идентификацию, анализ и оценку рисков;

- превентивную разработку программы мероприятий по ликвидации последствий кризисных

ситуаций;

- разработку механизмов выживания;

- создание системы страхования;

- прогнозирование развития предприятия с учетом возможного изменения конъюнктуры и дру-

гие мероприятия.

Ситуационный план

Alignment

Ситуационный план - план, который содержит конкретные предписания, что должен делать ка-

ждый участник рисковых правоотношений в той или иной ситуации и какие последствий сле-

дует ожидать. Имея конкретный ситуационный план, стороны, реализующие рисковые решения

получают возможность быстро действовать в непредвиденных обстоятельствах. При этом

уменьшается неопределенность в действиях хозяйствующих субъектов при ситуации риска.

Диверсификация

Diversification

От лат.Diversus - разный + Facere - делать

Диверсификация - в широком смысле - стратегическая ориентация на создание многопрофиль-

ного производства или портфеля ценных бумаг.

105

Диверсификация - распределение инвестиционного фонда между ценными бумагами с различ-

ными рисками, доходностями и корреляциями, с целью минимизации несистематического рис-

ка.

Стратегия иммунизации

Immunization strategy

Стратегия иммунизации - стратегия составления портфеля облигаций, основной целью которой

является устранение риска портфеля против общего изменения процентных ставок с помощью

"дюрации".

Чистый хедж

Чистый хедж - покупка опциона колл, с целью зафиксировать ссудный процент.

Хеджирование

Hedging

От англ.Hedge - ограждать, страховать

Хеджирование - страхование от риска изменения цен путем занятия на параллельном рынке

противоположной позиции.

Хеджирование:

- дает возможность застраховать себя от возможных потерь к моменту ликвидации сделки на

срок;

- обеспечивает повышение гибкости и эффективности коммерческих операций;

- обеспечивает снижение затрат на финансирование торговли реальными товарами;

- позволяет уменьшить риски сторон: потери от изменения цен на товар компенсируются выиг-

рышем по фьючерсам.

Хеджирование

Хеджирование - на фьючерсных рынках - форма страхования цены и прибыли при совершении

фьючерских сделок, когда продавец (покупатель) одновременно производит закупку (продажу)

соответствующего количества фьючерских контрактов.

Хеджирование

Хеджирование - на рынках срочных контрактов - защита открытых позиций под риском, цена

на которые должна колебаться в течение периода, пока позиция остается под риском.

Хеджирование

Хеджирование - на рынках реальных товаров - снижение риска от потерь, обусловленных не-

благоприятными изменениями рыночных цен на товары, которые надлежит продать или купить

по будущим ценам.

При хеджировании продавец (покупатель) товара заключает договор на его продажу (покупку)

и одновременно осуществляет фьючерсную сделку противоположного характера. В этом случае

любое изменение цены приносит продавцам (покупателям) проигрыш по одному контракту и

выигрыш по другому.

Хеджирование в портфельном инвестировании

Hedging

Хеджирование в портфельном инвестировании - включение в портфель (производных) финан-

совых инструментов, доходность которых противоположна доходности основных активов

портфеля. Хеджирование используется для того, чтобы ограничить потери при неблагоприят-

ном развитии ситуации. При этом снижение риска портфеля достигается за счет снижения его

ожидаемой доходности.

106

Дельта-хеджирование

Delta hedge

Дельта-хеджирование - динамичная стратегия хеджирования, предполагающая использование

опционов и постоянную корректировку количества используемых опционов в качестве функ-

ции дельты опциона.

Хеджевый фонд

Хедж-фонд

Hadge fund

Хеджевый фонд - организационно - частное инвестиционное партнерство.

Хеджевый фонд - by George Soros - взаимный фонд, который применяет левередж и использует

различную технику хеджирования.

Хеджевый фонд использует все возможные инструменты для получения абсолютной прибыли.

Длинный хедж

Хедж на покупку; Хедж потребителя; Хэдж с фиксацией цены; Длинное хеджирование; Хеджи-

рование покупкой

Long hedge; Consumer's hedge; Price fix hedge; Buying hedge

Длинный хедж - покупка фьючерсного контракта для защиты от возможного повышения цен.

Длинный хедж - покупка фьючерсов по будущей цене покупки в ожидании продажи наличного

товара.

Короткий хедж

Продажный хедж; Хедж на продажу; Хедж производителя; Короткое хеджирование; Хеджиро-

вание продажей

Short hedge; Sell hedge; Produser's hedge; Selling hedge

Короткий хедж - продажа фьючерсного контракта для защиты от возможного снижения цен.

Короткий хедж - продажа фьючерсов по будущей цене продажи в ожидании покупки наличного

товара.

Коэффициент хеджирования

Hedge ratio

Коэффициент хеджирования - отношение стоимости купленных или проданных фьючерсных

контрактов к стоимости хеджируемого товара по текущей стоимости.

Коэффициент хеджирования

Hedge ratio

Коэффициент хеджирования - отношение изменения цены опциона колл к изменению цены ба-

зового актива.

Хеджированный портфель

Hedged portfolio

Хеджированный портфель - портфель, составленный из длинной позиции в акциях и короткой

позиции в опционе колл.

Норматив максимального размера риска на одного заемщика или группу связанных за-

емщиков (Н6)

Норматив максимального размера риска на одного заемщика или группу связанных заемщиков

- норматив, утверждаемый Центральным банком для коммерческих банков. Рассчитывается как

отношение совокупной суммы требований кредитной организации к заемщику или группе

взаимосвязанных заемщиков по кредитам в рублях и иностранной валюте и суммы, не взыскан-

ные по банковским гарантиям, а также 50% забалансовых требований кредитной организации в

107

отношении данного заемщика (заемщиков) к собственным средствам (капиталу) кредитной ор-

ганизации.

МИКРОЭКОНОМИЧЕСКИЕ ФИНАНСОВЫЕ ПОКАЗАТЕЛИ

Возможные обязательства или выгоды

Contingent liabilities or gains

Возможные обязательства или выгоды - возможные выгоды или убытки, которые могут быть у

предприятия в случае, если в будущем произойдут некоторые события: предъявление иска и

т.п.

Доходы предприятия

Earnings; Revenue; Income; Gains

Доходы предприятия - экономический показатель работы предприятия, отражающий финансо-

вые поступления от всех видов деятельности.

Доходы предприятия - общая сумма денег, полученная от продаж.

Рентабельность текущих активов

Return on current assets (ROCA)

Рентабельность текущих активов - произведение рентабельности продаж на оборачиваемость

текущих активов за период.

Рентабельность собственных средств

Рентабельность собственного капитала

Return on net assets (RONA)

Рентабельность собственных средств - отношение прибыли, полученной предприятием за пери-

од, к среднему уровню собственных средств.

Рентабельность собственного капитала

Return on equity (ROE)

Рентабельность собственного капитала - чистая прибыль компании, выраженная в процентах к

собственному капиталу.

Рентабельность инвестиций

Return on investment (ROI)

Рентабельность инвестиций - показатель эффективности инвестиций; чистая прибыль, деленная

на объем инвестиций. Иногда рентабельность инвестиций определяется как отношение чистой

прибыли к сумме акционерного капитала и долгосрочного долга.

Бухгалтерская рентабельность инвестиций

Простая рентабельность инвестиций

Accounting rate of return (ARR)

Бухгалтерская рентабельность инвестиций - показатель оценки рентабельности инвестиционно-

го проекта, рассчитываемый делением среднего по годам реализации проекта чистого дохода

(после налогообложения) на средний по годам объем инвестиций.

Рентабельность инвестированного капитала

Return on invested capital (ROIC)

Рентабельность инвестированного капитала - ОТНОШЕНИЕ величины прибыли до выплаты

процентов и налогов, умноженной на (1 минус налоговая ставка), к сумме заемного и собствен-

ного капитала. Рентабельность инвестированного капитала характеризует прибыльность ком-

пании при инвестировании за счет собственных и заемных средств.

108

Рентабельность активов

Return on assets (ROA); Return on total assets (ROTA)

Рентабельность активов - показатель, характеризующий эффективность использования всех ак-

тивов предприятия.

Рентабельность активов - частное от деления чистой прибыли на среднегодовую величину ак-

тивов.

Золотое правило банков

Baking golden rule

Золотое правило банков - условие банковской кредитно-финансовой политики, по которому

кредиты и депозиты должны быть сбалансированы по срокам.

Валовая прибыль

Gross margin; Gross margin from sales; Gross profit; Gross income; Contribution margin; Earnings

before interest and taxes (EBIT); Profit before interest and taxes (PBIT)

Валовая прибыль - сумма превышения чистой выручки от продаж над прямыми переменными

затратами на производство продукции или оказания услуг: затратами на материалы, затратами

труда и производственными накладными затратами.

Нераспределенная прибыль

Retained earnings; Earned surplus; Retained profits; Undistributed profit

Нераспределенная прибыль - чистая прибыль предприятия, не распределенная среди акционе-

ров, а направленная в резервы и на другие нужды развития предприятия.

Прибыль

Profit

Прибыль - в экономической науке - доход тех, кто предлагает экономике предпринимательские

способности. В экономикс различают нормальную и экономические прибыли.

Прибыль - в бухгалтерском учете - превышение доходов от продажи товаров и услуг над затра-

тами на производство и продажу этих товаров.

Прибыль исчисляется как разность между выручкой от реализации продукта хозяйственной

деятельности и суммой затрат факторов производства на эту деятельность в денежном выраже-

нии.

В бухгалтерском учете различают общую (валовую, балансовую), чистую и бухгалтерскую

прибыли.

Чистая прибыль

Чистые поступления; Чистый доход; Остаточная прибыль; Нетто-прибыль

Net income; Net earnings; Net profit; Pure profit

Чистая прибыль - часть балансовой прибыли предприятия, остающаяся в его распоряжении по-

сле уплаты налогов, сборов, отчислений, обязательных платежей в бюджет.

Из чистой прибыли выплачиваются дивиденды акционерам, производятся реинвестиции в про-

изводство и формирование фондов и резервов.

Экономическая прибыль

Сверхприбыль; Чистая прибыль

Economic profit

Экономическая прибыль - разница между доходами и экономическими издержками, включаю-

щими наряду с общими издержками альтернативные издержки.

Экономическая прибыль - разность между бухгалтерской и нормальной прибылью.

109

Бухгалтерская прибыль

Расчётная прибыль; Учётные доходы

Accounting earnings; Accounting profit; Accounting income

Бухгалтерская прибыль - общая валовая прибыль предприятия за счет всех источников за выче-

том платы за ресурсы и процентов за краткосрочные кредиты.

Бухгалтерская прибыль - разница между общим доходом и денежными издержками, рассчитан-

ная по бухгалтерским документам без учета документально не зафиксированных издержек са-

мого предприятия.

Бухгалтерская прибыль отличается от чистой экономической прибыли на величину вмененных

издержек.

Доход от основной деятельности

Прибыль от основной деятельности; Прибыль от операций

Operating income; Income from operations

Доход от основной деятельности - валовая прибыль за вычетом издержек, которые не связаны с

увеличением себестоимости продукции: торговые, общие и административные издержки.

Рентабельность

Выгодность; Доходность; Прибыльность

Profitability; Return

Рентабельность - показатель эффективности деятельности предприятия, характеризующий уро-

вень отдачи от затрат и степень использования средств.

Рентабельность - отношение прибыли к затратам.

Различают рентабельность производства, рентабельность продукции, рентабельность инвести-

ций.

Ликвидность

Liquidity

Ликвидность - легкость реализации, продажи, превращения материальных или иных ценностей

в денежные средства для покрытия текущих финансовых обязательств.

Ликвидность - способность активов превращаться в деньги быстро и легко, сохраняя фиксиро-

ванной свою номинальную стоимость.

Ликвидность недвижимости

Immovable property liquidity

Ликвидность недвижимости - возможность осуществления любого способа превращения объек-

та недвижимости в деньги.

Ликвидность недвижимости обратно пропорциональна времени, которое требуется для превра-

щения недвижимости в деньги. Обычно ликвидность объектов недвижимости ниже ликвидно-

сти ценных бумаг.

Ликвидность баланса предприятия

Ликвидность баланса предприятия - степень покрытия обязательств предприятия его активами,

срок превращения которых в денежную форму соответствует сроку погашения обязательств.

Ликвидность баланса банка

Ликвидность банка

Bank liquidity

Ликвидность баланса банка - соотношение между активами и пассивами баланса банка по оп-

ределенным срокам. При достижении равенства активов и пассивов баланс банка считается ли-

квидным, что означает способность банка погашать в срок свои обязательства перед клиентами:

- за счет имеющихся у него денежных средств; или

110

- за счет продажи активов; или

- за счет привлечения дополнительных денежных ресурсов из внешних источников по прием-

лемой цене.

Ликвидность определяется степенью соответствия активов и пассивов банка по объемам и сро-

кам.

ФИНАНСОВЫЕ ИНСТРУМЕНТЫ

Производные финансовые инструменты

Derivative financial instruments

Производные финансовые инструменты - финансовые инструменты, порождающие права и

обязанности, исполнение которых ведет к передаче от одной стороны финансового инструмента

к другой одного или более финансовых рисков, присущих базисному финансовому инструмен-

ту. Производные финансовые инструменты не имеют своим результатом передачу базисного

финансового инструмента на этапе заключения договора, причем такая передача не обязательно

имеет место по истечении срока договора.

Деривативная ценная бумага

Деривативный инструмент; Деривативы; Производная ценная бумага; Производный инстру-

мент

Derivative security; Derivative instrument; Derivative

От лат.Derivatus - отведенный

Деривативная ценная бумага - финансовая ценная бумага, стоимость которой является произ-

водной от стоимости и характеристик другой ценной бумаги (базового актива).

Базовый актив

Базисный актив

Underlying asset

Базовый актив - биржевой товар, который поставляется или стоимость которого является базой

для расчета при исполнении срочного контракта.

Базовый актив - ценные бумаги, акции, товары, фондовые индексы или фьючерсы, лежащие в

основе срочных контрактов.

Барьерный опцион

Опцион с препятствиями

Barrier option

Барьерный опцион - опцион, выплата по которому зависит от того, достигла ли цена базового

актива некоторого уровня за определенный период времени или нет.

Валютный опцион

Foreign currency option; Currency option; Option of exchange

Валютный опцион - опцион, дающий право на покупку или продажу определенного объема

иностранной валюты по определенной цене в течение определенного периода времени.

Свопцион

Swaption

Свопцион - опцион на своп процентных ставок.

Покупатель свопциона получает право заключить соглашение о свопе процентных ставок на

определенную дату в будущем. В соглашении на свопцион указывается, будет ли покупатель

свопциона получателем фиксированного курса или его плательщиком.

Продавец свопциона становится противоположной стороной в свопе, если его покупатель при-

нимает решение реализовать свое право.

111

Своп

Swap

Своп - соглашение об обмене активов и пассивов на аналогичные активы или пассивы с целью

продления или сокращения сроков погашения или с целью повышения или снижения процент-

ной ставки с тем, чтобы максимально увеличить доходы или минимизировать издержки финан-

сирования.

Операция своп

Swap transaction

Операция своп - сделка купли-продажи определенного либо актива на условиях немедленной

поставки с заключением обратной форвардной сделки.

Простая ваниль

Plain vanilla

Простая ваниль - своп, выпущенный на обычных условиях

Своп "актив на актив"

Asset-for-asset swap

Своп "актив на актив" - обмен задолженности одного неплатежеспособного заемщика на за-

долженность другого неплатежеспособного заемщика.

Своп "коктейль"

Cocktail swap

Своп "коктейль" - соглашение с разными партнерами, включающее несколько разнотипных

свопов.

Своп долговых обязательств

Обмен долговых обязательств на акции

Debt swap; Debt-equity swap

Своп долговых обязательств - ряд сделок, подразумевающих покупку валютных банковских

обязательств страны с дисконтом и их обмен через центральный банк на национальную валюту,

которая затем используется для приобретения акций, выпускаемых эмитентами-резидентами.

Варрант

Warrant (WT); Stock purchase warrant

Варрант - ценная бумага, дающая ее владельцу право на покупку некоторого количества акций

на определенную будущую дату по определенной цене. Обычно варранты используются при

новой эмиссии ценных бумаг.

Варрант торгуется как ценная бумага, цена которой отражает стоимость лежащих в его основе

ценных бумаг.

В отличии от опционов колл варранты выпускаются на более длительные сроки.

Опционный контракт

Опцион

Options contract; Option

лат.Optio - выбор

Опционный контракт - контракт, который, в обмен на премию, предоставляет покупателю пра-

во (без обязательства) на покупку или продажу финансового актива по цене исполнения у про-

давца опциона в течение определенного периода времени или на определенную дату (дату ис-

течения срока опциона).

112

Срочный контракт

Срочный инструмент

Срочный контракт - договор на поставку конкретного актива в установленный срок в будущем

на согласованных условиях. К срочным контрактам относятся: фьючерсные, форвардные и оп-

ционные контракты.

Фьючерсный контракт

Фьючерс

Futures contract; Futures

Фьючерсный контракт - контракт на покупку или продажу товара (финансового актива) с по-

ставкой на будущую дату. Фьючерсный контракт предусматривает строго определенное коли-

чество товара установленного вида с минимально допустимыми отклонениями, поставляемого

на определенных условиях оплаты накладных или транспортных расходов.

Сделка по продаже (покупке) фьючерсного контракта обязательно регистрируется расчетной

палатой биржи.

Опцион колл

Опцион покупателя; Опцион на покупку

Call option; Buyer's option

Опцион колл - опцион, покупатель которого приобретает право купить определенное количест-

во базового актива по оговоренной цене по истечении срока опциона или ранее. Продавец колл

опциона предоставляет это право в обмен на полученную при продаже опциона премию.

Премия колл

Call premium

Премия колл - стоимость опциона колл.

Непокрытый опцион колл

Голый опцион колл

Uncovered call

Непокрытый опцион колл - короткая позиция по опциону колл, в которой пакет базисных акти-

вов продавцу не принадлежит. Если покупатель исполняет опцион досрочно, то продавец непо-

крытого опциона колл вынужден покупать активы по рыночной цене.

Покрытый опцион колл

Покрытая позиция

Covered call

Покрытый опцион колл - короткая позиция по опциону колл, в которой продавцу опциона при-

надлежат все обеспечивающие активы, представленные в контракте.

Обычно покрытые позиции снижают риск, которому подвергается продавец опциона, посколь-

ку в этом случае нет необходимости покупать акции по рыночной цене, если держатель опцио-

на решит его исполнить.

Опцион пут

Опцион продавца

Put option; Seller's option

Опцион пут - опцион, в соответствии с которым покупатель имеет право на продажу опреде-

ленного актива в течение (через) определенный срок по определенной цене, уплатив за это пра-

во продавцу, обязующемуся выкупить актив на этих условиях, денежную премию.

113

Цена исполнения опциона пут

Put price

Цена исполнения опциона пут - цена, по которой актив будет продан при исполнении опциона

пут.

Непокрытый опцион пут

Голый опцион пут

Uncovered put

Непокрытый опцион пут - короткая позиция по опциону пут, в которой у продавца опциона нет

соответствующей короткой позиции в активах, или он не депонировал на наличном счете сум-

му, равную стоимости исполнения опциона.

Покрытый опцион пут

Covered put

Покрытый опцион пут - короткая позиция по опциону пут, в которой продавец опциона также

имеет или короткую позицию в соответствующих активах или депозиты, в сумме равные цене

исполнения опциона.

Открытие длинной позиции путем покупки опциона

Opening purchase

Открытие длинной позиции путем покупки опциона - сделка, посредством которой покупатель

намерен создать или увеличить длинную позицию по определенной серии опционов.

Открытие короткой позиции путем продажи опциона

Opening sale

Открытие короткой позиции путем продажи опциона - сделка, посредством которой продавец

намерен создать или увеличить короткую позицию по определенной серии опционов.

Паритет опционов пут и колл

Паритет

Put-call parity relationship; Parity

Паритет опционов пут и колл - состояние опциона, при котором цена соответствующего актива

есть

- цена реализации плюс премия (для колл-опциона)

- цена реализации минус премия (для пут-опциона);

Состояние паритета исключает возможность арбитража.

Свопцион пут

Put swaption

Свопцион пут - свопцион, обеспечивающий покупателю право на заключение сделки своп в ка-

честве плательщика по ценной бумаге с плавающей ставкой процента. При этом продавец оп-

циона становится или получателем плавающего процента, или плательщиком фиксированного

процента.

Спрэд

Спрэд - пара открытых позиций клиента, имеющих противоположную направленность и/или

разные базовые активы и/или различные сроки исполнения.

Сделка спрэд

Spread

Сделка спрэд - одновременная покупка и продажа фьючерсных или опционных контрактов на

один и тот же товар или финансовый актив для поставки в разные сроки либо на разных, но

114

родственных рынках. Для спрэдера важна не общая тенденция изменения цен на рынке, а лишь

разница между курсами соответствующих контрактов.

Фьючерсный спрэд

Futures spread

Фьючерсный спрэд -

- одновременная покупка фьючерсов с поставкой в одном месяце и продажа фьючерсов с по-

ставкой в другом месяце;

- одновременная покупка фьючерсов на один товар и продажа фьючерсов на другой товар;

- одновременная покупка фьючерсов на товар одного качества и продажа фьючерсов на тот же

товар, но отличного качества.

Чистый спрэд

Net spread

Чистый спрэд - разность между процентами, полученными по активным операциям, и процен-

тами, выплаченными по пассивным операциям.

Тактическое распределение активов

Активное управление

Tactical Asset Allocation (TAA)

Тактическое распределение активов - стратегия распределения активов, которая допускает не-

которые отступления от обычной комбинации активов, основанной на строгих специфических

целях инвестиционной компании или взаимного фонда. Составляющими стратегии является:

- прогнозирование доходности,

- прогнозирование изменчивости доходности,

- прогнозирование корреляции доходности различных активов.

Стратегия спрэда

Использование спрэдов

Spread strategy; Spreading

Стратегия спрэда - стратегия, при которой инвестор, работающий с опционами, финансирует

покупку опциона полностью или частично за счет продажи другого опциона на тот же вид фи-

нансового инструмента.

Стратегия Барбелла

Barbell strategy

Стратегия Барбелла - стратегия, в соответствии с которой сроки погашения ценных бумаг, со-

ставляющих портфель, концентрируются на двух крайних значениях.

Стратегии непокрытых опционов

Naked option strategies

Стратегии непокрытых опционов - нехеджированные стратегии, предполагающие исключи-

тельное использование:

- либо стратегии длинного опциона колл - покупка опционов колл;

- либо стратегии короткого опциона колл - продажа опционов колл;

- либо стратегии длинного опциона пут - покупка опционов пут;

- либо стратегии короткого опциона пут - продажа опционов пут.

Буллет-стратегия

Bullet strategy

115

Буллет-стратегия - стратегия, подразумевающая составление портфеля таким образом, чтобы

сроки погашения входящих в него ценных бумаг были сконцентрированы вокруг одной точки

кривой доходности.

Лестничная стратегия

Ladder strategy

Лестничная стратегия - стратегия управления портфелем облигаций, согласно которой порт-

фель составляется таким образом, чтобы объемы инвестиций в бумаги с каждым сроком пога-

шения в рамках заданного диапазона были приблизительно одинаковыми.

Эффект Харвея

Эффект Харвея - Harvey, 1991 - за последние 30 лет обратная временная структура кривой до-

ходности всегда предшествовала снижению спроса на ценные бумаги. Фактически кривая до-

ходности может точно предсказать поворотные точки экономического цикла.

Обратная временная структура кривой доходности

Обратная временная структура кривой доходности - ситуация, когда процентные ставки долго-

срочных облигаций оказываются ниже ставок краткосрочных облигаций.

Кривая доходности

Временная структура процентных ставок

Yield curve; Term structure of interest rates

Кривая доходности - график изменения доходности ценных бумаг с одинаковыми качествен-

ными характеристиками в зависимости от сроков их погашения.

Модели ценообразования опционов, исключающие арбитраж

Arbitrage-free option pricing models

Модели ценообразования опционов, исключающие арбитраж - модели определения стоимости

опциона посредством кривой доходности.

Биноминальная модель ценообразования опциона

Модель ценообразования опциона, допускающая только два значения

Binominal option pricing model; Two-state option pricing model

Биноминальная модель ценообразования опциона - модель назначения цены опциона, подразу-

мевающая, что активы, лежащие в основе опциона, могут принимать только два возможных

(дискретных) значения стоимости в следующем периоде времени для каждого значения стои-

мости, которое они могли принимать в предыдущий период времени.

Модель Кокса-Росса-Рубинштейна

Cox-Ross-Rubinstein Model

Модель Кокса-Росса-Рубинштейна - алгоритм установления цен на опционы, разработанный

Дж.Коксом, С.Россом и М.Рубинштейном, приспособленный для учета факторов, не учитывае-

мых моделью Блэка-Шоулза.

Модель ценообразования опциона Блэка-Шоулза

Black-Scholes option pricing model

Модель ценообразования опциона Блэка-Шоулза - модель назначения цены опциона колл, ос-

нованная на арбитражных аргументах. Согласно модели Блэка-Шоулза премия опциона колл

европейского стиля находится

- в прямой зависимости от цены базисного актива, волатильности, оставшегося срока до исте-

чения контракта, безрисковой процентной ставки и

- в обратной зависимости от цены исполнения.

116

Модель ценообразования опциона Гармена-Кольхагена

Garmen-Kohlhagen option pricing model

Модель ценообразования опциона Гармена-Кольхагена - популярная модель ценообразования

валютных опционов.

Модели ценообразования опционов на базе кривой доходности

Модели безарбитражного опционного ценообразования

Yield curve option pricing models; Arbitrage-free option pricing models

Модели ценообразования опционов на базе кривой доходности - модели, включающие различ-

ные допущения колебаний кривой доходности, в том числе модель Блэка-Дермана-Тоя.

Эластичность опциона

Каппа

Elasticity of an option; Option elasticity; Kappa

Эластичность опциона - процентное изменение стоимости опциона при условии 1%-го измене-

ния стоимости его базисного актива.

Метод ценообразования

Pricing method

Метод ценообразования - метод расчета цены товара с учетом издержек производства, средней

прибыли, а также с учетом спроса и предложения. Наиболее употребительными методами це-

нообразования являются:

- метод полных затрат;

- метод предельных затрат;

- метода прямых затрат;

- метод определения цены на базе стандартных издержек производства;

- метода целевой нормы прибыли.

Премия за ликвидность

Liquidity premium

Премия за ликвидность - форвардный курс минус ожидаемая будущая краткосрочная процент-

ная ставка.

Волатильность

Изменчивость

Volatility

Неустойчивость цен - разброс цен на рынке и их движения в пределах этого разброса. Обычно

неустойчивость цен выражается в процентах.

Волатильность - статистический показатель, характеризующий тенденцию рыночной цены или

дохода изменяться во времени.

Волатильность - переменная в формулах опционного ценообразования, обозначающая колеба-

ние доходности базисного актива с настоящего момента до даты истечения срока опциона.

Волатильность - для инвестиционных фондов - показатель риска, основанный на стандартном

отклонении эффективности фонда в течение трех лет. Для отражения волатильности использу-

ется шкала от 1 до 9. Более высокий рейтинг указывает на больший риск.

Индикаторы изменчивости

Индикаторы изменчивости - индикаторы, предназначенные для измерения меры изменчивости

цены базисного актива. Индикаторы изменчивости используются для прогнозирования смены

тренда. К индикаторам изменчивости относятся: Chaikin's volatility, Standard deviation, Bollinger

bands.

117

Коэффициент вега

Vega

Коэффициент вега - коэффициент чувствительности рассчитываемой цены опциона к незначи-

тельным изменениям в степени ценовой неустойчивости (волатильности). Коэффициент вега

принимает максимальное значение для опционов "при деньгах" и стремится к 0 для опционов

"глубоко в деньгах" или "глубоко вне денег".

Гамма

Gamma

Гамма - отношение изменения дельты опциона к изменению цены актива, на который продается

опцион.

Коэффициент тэта

Коэффициент течения времени

Theta; Time decay

Коэффициент тэта - коэффициент изменения цены опциона в зависимости от времени, оставше-

гося до истечения срока его действия.

Коэффициент дельта

Хеджевый коэффициент

Delta coefficient; Hedge ratio

Коэффициент дельта - показатель отношения цены опциона к наличной цене финансового ин-

струмента, лежащего в его основе.

Коэффициент дельта изменяется в интервале от 0 до 1 для опционов колл и в интервале от -1 до

0 для опционов пут. Чем глубже опцион пут в деньгах, тем ближе его дельта к -1, соответствен-

но, чем глубже в деньгах опцион колл, тем ближе его дельта к 1.

Греки

Greeks

Греки - коэффициенты, название которым дали буквы греческого алфавита, являются промежу-

точными результатами расчетов по модели Блэка-Шоулза и используются для оценки различ-

ных рисков опционных сделок.

Дельта-нейтральная позиция

Нейтральная дельта

Delta neutral

Дельта-нейтральная позиция - состояние минимальной ценовой уязвимости, при котором сум-

марный коэффициент дельта равен нулю.

Дельта-нейтральная позиция - независимость стоимости инвестиционного портфеля от измене-

ния стоимости актива, на который продаются опционы.

Корректировка

Adjustments

Корректировка - покупка или продажа некоторого числа опционов с определенным коэффици-

ентом дельта с целью приведения позиции к дельта-нейтральному состоянию.

Инвестиционный портфель банка

Bank investment portfolio

Инвестиционный портфель банка - совокупность ценных бумаг, приобретенных банком в ходе

активных операций.

Формирование инвестиционного портфеля осуществляется банками с учетом обеспечения при-

быльности, регулирования ликвидности, необходимости диверсификации активов.

118

Ценные бумаги, входящие в инвестиционный портфель, подразделяются:

- на собственно инвестиции; и

- на вторичные ликвидные резервы (ликвидные активы).

Защитный портфель

Защитный портфель - портфель ценных бумаг, содержащий относительно надежные акции дос-

таточно высокой рентабельности, чей биржевой курс стабилен и не подвержен конъюнктурным

колебаниям.

Эффективный портфель

Efficient portfolio

Эффективный портфель - портфель, обеспечивающий самую высокую ожидаемую доходность

при заданном уровне риска, или, соответственно, самый низкий риск при заданной ожидаемой

доходности.

Оптимальный портфель

Optimal portfolio

Оптимальный портфель - эффективный портфель, которому инвестор отдает предпочтение, по-

скольку параметры риска/вознаграждения этого портфеля приближены к функции полезности

инвестора.

Оптимальный портфель - портфель, максимизирующий предпочтения инвестора в отношении

доходности и риска.

Дюрация Маколея

Macaulay duration

Дюрация Маколея - средневзвешенный срок до погашения потоков наличности от облигации, в

котором в качестве весов выступают текущие стоимости потоков наличности, деленные на це-

ну.

Современная портфельная теория

Портфельная теория

Modern portfolio theory; Portfolio theory

Современная портфельная теория - принципы, лежащие в основе анализа и оценки рациональ-

ного выбора инвестиционного портфеля на базе компромиссного соотношения риска и доход-

ности и эффективной диверсификации.

Избыточная доходность рыночного портфеля

Excess return on the market portfolio

Избыточная доходность рыночного портфеля - разница между доходностью рыночного порт-

феля и безрисковой ставкой.

Индекс Трейнора

Treynor index

Индекс Трейнора - мера избыточной доходности на единицу риска.

Доходность ценных бумаг

Ставка дохода по ценной бумаге; Текущий доход

Yield (YLD); Current return; Current yield

Доходность ценных бумаг - доход по ценной бумаге, выраженный в форме процентной ставки.

Ставка дохода по ценной бумаге определяется как годовой доход (дивиденд или сумма процен-

тов) в процентном отношении к рыночной цене актива.

119

Премия за риск

Risk premium

Премия за риск - дополнительный доход, на который рассчитывает инвестор, вкладывающий

средства в рискованные проекты.

Премия за риск - награда за держание рискового рыночного портфеля вместо безрискового ак-

тива.

Бумажная прибыль

Бумажный убыток; Нереализованная прибыль

Paper gain; Parer loss; Unrealized income

Бумажная прибыль - нереализованная прибыль или убыток по ценным бумагам, составляющим

инвестиционный портфель, на основе сравнения текущей рыночной цены ценных бумаг с их

первоначальной стоимостью.

Рыночная доходность

Market return

Рыночная доходность - доходность рыночного портфеля.

Линия рынка капитала

Capital market line (CML)

Линия рынка капитала - линия, каждая точка которой определяется соотношением безрисково-

го актива и рыночного портфеля.

Линия рынка ценных бумаг

Market line; Securities market line (SML)

Линия рынка ценных бумаг - графическое изображение соотношения ожидаемого дохода по

ценным бумагам и рыночного риска.

Коэффициент Шарпа

Sharpe ratio

Коэффициент Шарпа - показатель эффективности инвестиционного портфеля, который вычис-

ляется как отношение среднего дохода к среднему отклонению от этого дохода.

Коэффициент бета

Beta weight; Beta coefficient

Бета-вес - стандартизованный коэффициент частной регрессии, применяемый для сравнения

результатов влияния различных независимых переменных на зависимую переменную.

Коэффициент бета - в США - характеристика риска, с которым связано владение теми или

иными акциями. Коэффициент бета является показателем относительной неустойчивости курса

акций по сравнению с остальным рынком:

- для сводного индекса 500 агентства Standard & Poor's коэффициент бета равен 1;

- для более неустойчивых акций коэффициент бета больше 1;

- для менее устойчивых акций коэффициент бета меньше 1.

Коэффициент бета рассматривается как индекс систематического риска вследствие общих ус-

ловий рынка. Осторожные инвесторы предпочитают акции с низким уровнем коэффициента

бета.

Пассивная портфельная стратегия

Passive portfolio strategy

Пассивная портфельная стратегия - стратегия, основанная на диверсификации портфеля ценных

бумаг с тем, чтобы обеспечить совпадение его с доходности с доходностью какого-либо рыноч-

120

ного индекса. Пассивная стратегия не ставит своей целью нахождение неверно оцененных цен-

ных бумаг.

Пассивная инвестиционная стратегия

Пассивное управление финансовым инструментом

Passive investment strategy; Passive instrument management

Пассивная инвестиционная стратегия - покупка диверсифицированного портфеля ценных бу-

маг, в котором широко представлен рыночный индекс, без попыток найти неверно оцененные

ценные бумаги.

Стратегия "покупать и держать"

Buy-and-hold strategy

Стратегия "покупать и держать" - пассивная инвестиционная стратегия, не предполагающая ак-

тивной покупки или продажи ценных бумаг с момента создания портфеля до окончания перио-

да инвестирования.

Диверсификация портфеля ценных бумаг

Diversification

Диверсификация портфеля ценных бумаг - образование инвестиционного портфеля из широко-

го круга ценных бумаг с целью избежания серьезных потерь, в случае падения цен одной или

нескольких ценных бумаг.

Хорошо диверсифицированный портфель

Well diversified portfolio

Хорошо диверсифицированный портфель - инвестиционный портфель, составленный из боль-

шого количества ценных бумаг таким образом, что доля каждой бумаги сравнительно невелика.

Риск хорошо диверсифицированного портфеля приближен к систематическому риску рынка в

целом. При этом несистематический риск каждой бумаги ликвидируется посредством диверси-

фикации.

Диверсификация ликвидности

Liquidity diversification

Диверсификация ликвидности - инвестирование в ценные бумаги с различными сроками пога-

шения с целью снижения ценового риска, которому подвергается держатель долгосрочных об-

лигаций.

Факторный портфель

Factor portfolio

Факторный портфель - хорошо диверсифицированный портфель, составленный таким образом,

что если бета одного фактора составляет 1.0, то бета любого другого фактора будет равна 0.

Эффективная диверсификация

Efficient diversification

Эффективная диверсификация - организующий принцип современной портфельной теории, ко-

торый утверждает, что любой избегающий риска инвестор будет искать самую высокую ожи-

даемую доходность при любом уровне портфельного риска.

Мера кредитного риска

Capital at risk

Мера кредитного риска - величина финансовых средств, которую руководство компании готово

рискнуть потерять при заданном уровне достоверности на определенный период времени в

процессе осуществления своей деятельности.

121

Безрисковая ставка

Risk free rate; Riskless rate

Безрисковая ставка - ставка дисконтирования, равная доходности безрисковых инвестиций. В

США векселя Министерства финансов считаются вложениями с нулевым уровнем риска, их

доходность практически не подвергается риску.

Перевод риска

Risk transfer

Перевод риска - использование финансовых инструментов для изменения схем потока денеж-

ных средств в портфеле активов или пассивов.

Показатель финансового риска

Leverage ratio

Показатель финансового риска - показатель финансового риска при инвестировании в проект:

соотношения размеров активов и кредита, соотношения кредита и капитализации и т.д.

Пул рисков

Risk pool

Пул рисков - набор рисков, связанных с определенными обязательствами и финансируемых че-

рез особое соглашение между андеррайтерами.

Рыночная цена риска

Market price of risk

Рыночная цена риска - показатель дополнительного дохода или премия, которую инвестор тре-

бует за определенный риск.

Рыночная цена риска - отношение вознаграждения к риску рыночного портфеля.

Склонность к риску

Risk tolerance

Склонность к риску - уровень риска, приемлемый для компании. В материальном выражении

склонность к риску представляет собой сумму, которую предприятие может себе позволить

безболезненно потерять.

Коэффициент неприятия риска (несклонность к риску)

Risk aversion coefficient

Рейтинг облигации

Bond rating

Рейтинг облигации - оценка платежеспособности эмитента облигаций специальным рейтинго-

вым агентством.

ИНВЕСТИЦИИ

Инвестиционный менеджмент

Управление капиталовложениями

Investment management; Money management

Инвестиционный менеджмент - управление инвестициями в конкретную отрасль экономики

либо в развитие предприятия. Инвестиционный менеждмент включает в себя четыре стадии:

- исследование, планирование и разработка проекта;

- реализация проекта;

- текущий контроль и регулирование в ходе реализации проекта;

- оценка и анализ достигнутых результатов.

122

Теорема разделения

Separation theorem

Теорема разделения - теорема, утверждающая, что стоимость инвестиции для каждого индиви-

дуального инвестора не зависит от его потребительских предпочтений. Любой инвестор примет

или отвергнет инвестиционный проект, руководствуясь правилом чистой текущей стоимости,

независимо от индивидуальных предпочтений.

Принцип независимого выбора

Stand-alone principle

Принцип независимого выбора - инвестиционный принцип, в соответствии с которым инвести-

ционный проект следует принять или отклонить на основе сравнения его результатов с резуль-

татами инвестирования в ценные бумаги того же класса риска.

Основное правило риска процентной ставки

Basic IRR rule

Основное правило риска процентной ставки - инвестиционный принцип, согласно которому

проект принимается, если риск процентной ставки выше учетной ставки, и проект отклоняется,

если риск процентной ставки ниже учетной.

Чистая современная стоимость

Net present value (NPV)

Чистая современная стоимость - современная стоимость будущих денежных поступлений, дис-

контированная по рыночной процентной ставке, минус современная оценка стоимости инве-

стиций. Чистая современная стоимость используется для оценки проектов, требующих капита-

ловложений.

Индекс прибыльности

Benefit-cost ratio; Profitability index

Индекс прибыльности - отношение приведенной стоимости будущих денежных потоков от реа-

лизации инвестиционного проекта к приведенной стоимости первоначальных инвестиций.

Бухгалтерская рентабельность инвестиций

Простая рентабельность инвестиций

Accounting rate of return (ARR)

Бухгалтерская рентабельность инвестиций - показатель оценки рентабельности инвестиционно-

го проекта, рассчитываемый делением среднего по годам реализации проекта чистого дохода

(после налогообложения) на средний по годам объем инвестиций.

Внутренний коэффициент рентабельности

Internal rate of return (IRR)

Внутренний коэффициент рентабельности - норма внутренней рентабельности инвестиций,

рассчитываемая путем нахождения ставки дисконтирования, при которой приведенная стои-

мость будущих денежных потоков равняется первоначальной сумме инвестиций.

Внутренняя норма прибыли

Внутренняя норма прибыли - ставка дисконтирования, при которой чистая текущая стоимость

инвестиций равна нулю. Внутренняя норма прибыли используется для оценки проектов, тре-

бующих капиталовложений.

123

Дисконтирование будущей прибыли

Discounting of future income

Дисконтирование будущей прибыли - метод сравнения альтернативных вариантов инвестиро-

вания, который позволяет оценить планируемую прибыль с учетом современной стоимости де-

нежных средств.

Индекс прибыльности

Benefit-cost ratio; Profitability index

Индекс прибыльности - отношение приведенной стоимости будущих денежных потоков от реа-

лизации инвестиционного проекта к приведенной стоимости первоначальных инвестиций.

Срок окупаемости

Период окупаемости; Период возврата капитала

Payback period (PP); Recoupment period; Capital recovery period

Срок окупаемости - период, в течение которого восстанавливается первоначальная стоимость

проекта независимо от временной стоимости денег.

Средневзвешенная стоимость капитала

Weighted average cost of capital (WACC)

Средневзвешенная стоимость капитала - ожидаемая доходность портфеля всех ценных бумаг

компании.

Средневзвешенная стоимость капитала используется в качестве минимальной ставки доходно-

сти капиталовложений.

Метод аннуитета

Annuity method

Метод аннуитета - метод оценки инвестиционного проекта, при котором все поступления и вы-

платы приводятся к современной стоимости таким образом, что они становятся равновеликими

в каждом году в течение экономического срока службы. Оценка проекта производится посред-

ством сравнения поступлений и выплат одного года. Если при этом аннуитет выше нуля, то

проект считается рентабельным.

Метод чистой приведенной стоимости

Правило чистой современной стоимости; Правило чистой текущей стоимости

Net present value method (NPV method); Net present value rule

Метод чистой приведенной стоимости - инвестиционное правило, согласно которому инвести-

ции следует производить, если их чистая приведенная стоимость имеет положительное значе-

ние. Проекты с негативной чистой приведенной стоимостью следует отвергать.

Чистая приведенная стоимость определяется с учетом факторов времени и риска, а также вы-

ступает в качестве обобщающего измерителя ожидаемых в будущем финансовых результатов с

позиций сегодняшнего дня или другого выбранного момента приведения.

Ангел

Angel

Ангел - облигация, имеющая рейтинг, приемлемый для инвесторов.

Безопасные облигации

Безопасные облигации - облигации с высокой надежностью, стабильностью, регулярностью

выплат процентов, твердыми сроками погашения.

124

Младшая облигация

Junior bond

Младшая облигация - облигация, с относительно невысоким рейтингом.

Мусорная облигация

Бросовая облигация; Высокодоходная облигация

Junk bond; High-yield bond

Мусорная облигация - высокодоходная облигация компании с рейтингом ниже инвестиционно-

го уровня. Обычно мусорные облигации выпускаются компаниями, не имеющими истории и

солидной деловой репутации.

Облигация инвестиционного уровня

Облигация высокого качества

Investment grade bond; Investment grade security

Облигация инвестиционного уровня - облигация, которой присвоен

- рейтинг Ваa или выше агентством Moody's; или

- рейтинг ВВB или выше агентством S&P.

Рейтинг ценных бумаг

Rating

Рейтинг ценных бумаг - система условных показателей оценки ценных бумаг по степени их на-

дежности, разработанные специализированными рейтинговыми агентствами. Рейтинги исполь-

зуется инвесторами и аналитиками.

Рейтинги S&P облигаций

Рейтинги S&P облигаций - рейтинги агентства Standard & Poor's, присваиваемые облигациям и

привилегированным акциям:

- высшее качество: AAA;

- приемлемый уровень риска: AA, A, BBB;

- задержки с выплатой процентов: BB, B, CCC, CC;

- платежи прекращены: C;

- полная неплатежеспособность: D;

- нет рейтинга: NR.

Спекулятивная облигация

Облигация спекулятивного рейтинга

Speculative grade bond

Спекулятивная облигация - облигация без рейтинга или облигация, которой присвоен

- рейтинг Ва или ниже агентством Moody's; или

- рейтинг ВВ или ниже агентством S&P.

Скорректированная на риск доходность на капитал

Return on risk adjusted capital (RORAC)

Скорректированная на риск доходность на капитал - метод анализа рисков и оценки инвестици-

онных проектов, требующий более высоких уровней чистой доходности для более рискованных

проектов. При этом ставка доходности оценивается без корректировки риска, а отчисления из

капитала изменяются в зависимости от риска, связанного с данным инструментом или проек-

том. Корректировка по риску осуществляется посредством снижения подверженной риску до-

ходности проекта или посредством снижения уровня доходности инструмента.

125

RARORAC

RARORAC - метод анализа рисков и оценки инвестиционных проектов, при котором выполня-

ются корректировки риска в отношении потока доходности, а отчисления из капитала изменя-

ются в зависимости от ожидаемых рисков в различных видах деятельности.

RARORAC - комбинация методов RAROC и RORAC.

Анализ затрат и выгод

Анализ затрат и результатов

Cost-benefit analysis

Анализ затрат и выгод - сопоставление издержек и выгод при принятии решения о направлении

ресурсов на строительство предприятия или на программу по производству определенного то-

вара или услуги.

Анализ риска стандартного инвестиционного портфеля (АРСИП)

Standart portfolio analysis of risk (SPAN)

Анализ риска стандартного инвестиционного портфеля - маржевая система, основанная на ана-

лизе риска стандартного инвестиционного портфеля.