G 8787

Z62 •

opdrachtgever:

Rijkswaterstaat Directie Zuid-Holland

de numerieke aspekten van het inregelsysteem ZWENDL-ZOUT

numerieke aspekten

december 198y

waterloopkundig laboratorium

C&^s?"

de numerieke aspekten van het inregelsysteem ZWENDL-ZOUT

waterloopkundig laboratorium|WL

DE NUMERIEKE ASPEKTEN VAN HET INREGELSYSTEEM ZWENDL-ZOUT

INHOUD: 1. Inleiding 1 2. Nomenklatuur 2

2.1 Symbool definities 2 2.2 Molekuul-koppelings-koefficienten 6

3. De numerieke aspekten van het ZWENDL-Zout model . . 8 3.1 'Gewone' knooppunten 8 3.2 'Dode' knooppunten 12 3.3 Randpunten 14

3.3.1 Interne rand 14 3.3.2 RZ rand 16

3.3.2.1 Vaste randvoorwaarde 16 3.3.2.2 Zwakke randvoorwaarde . . . . 16 3.3.2.3 Thatcher-Harleman randvoorwaarde. . 17

4. De numerieke aspekten van het geadjungeerde ZWENDL-Zout model . . . 20

4.1 De Hamiltoniaan en variatierekening . . . . 20 4.2 Het diskrete geadjungeerde systeem 22 4.3 Interne rand 24 4.4 Vaste randvoorwaarde 24 4.5 Zwakke randvoorwaarde 25 4.6 Thatcher-Harleman randvoorwaarde 25 4.7 Samenvatting geadjungeerde systeem 27

5. De diskrete funktionele afgeleide 28 6. De gradiënt 31 7. Quasi-Newton 32 8. Referenties 33

- 1 -

1.INLEIDING

In deze notitie komen de numerieke aspekten aan de orde van het ZWENDL Zout-transportmodel dat is uitgebreid met een inregelfaciliteit voor de dispersiekoefficient.

In het 'zoute' deel van ZWENDL wordt op een vertakt netwerk de vol­gende advektie-diffusie vergelijking opgelost:

d d d de — Ac + — Qc - — EA — (1) dt dx dx dx

Omdat de koefficienten in deze vergelijking op een ingewikkelde manier van plaats x en tijd t afhangen kan deze vergelijking in het algemeen niet analytisch worden opgelost maar moet een beroep worden gedaan op numerieke methoden.

In deze notitie worden deze numerieke aspekten uitgewerkt. Daarbij wordt speciaal aandacht besteed aan het inregelen van de dispersie­koefficient E. De schattingsprocedure die wordt gebruikt is gebaseerd op optimale besturingstheorie. Voor het toepassen van deze techniek worden de volgende onderwerpen in de opvolgende hoofdstukken uitgewerkt.

Na het in hoofdstuk 2 samenstellen van een lijst met gebruikte symbo­len worden in hoofstuk 3 de numerieke aspekten geinventariseeerd die van belang zijn bij het oplossen van vergelijking (1). Deze inventarisatie is gebaseerd op de modelbeschrijvingen die elders in de literatuur [1,2] zijn gegeven.

In hoofdstuk 4 worden de numerieke aspekten van het model vertaald naar die van het geadjungeerde systeem, en, in hoofdstuk 5 naar die van de funktionele afgeleide. Het geadjungeerde systeem en de funktionele afgeleide zijn extensies die voortkomen uit de optimale besturing. Zij vormen een essentieel onderdeel van de inregelprocedure. Voor de theoretische achtergrond van het geadjungeerde systeem en funktionele afgeleide en hun rol bij het inregelen van numerieke modellen wordt verwezen naar [3].

In eerste instantie richt het inregelen zich op de parameters die voor­komen in de formulering van de dispersiekoefficient. Echter, 'en pas­sant' wordt aan het rechterlid van (1) een afbraakterm -gAc toegevoegd. De afbraakkonstante g wordt eveneens als een in te regelen modelparame­ter opgevat. Deze uitbreiding is weliswaar niet van belang voor het zouttransport maar kan wel van belang zijn in waterkwaliteitstoepas­singen waar vaak gerekend wordt met niet-konservatieve stoffen.

In hoofdstuk 6 wordt getoond hoe de funktionele afgeleide moet worden vertaald naar de afgeleide van de kostenfunktie naar de modelparameters.

De afgeleide wordt gebruikt om de kostenfunktie te minimaliseren. Bij dit minimaliseren wordt gebruik gemaakt van een Quasi-Newton algoritme. In hoofdstuk 7 wordt het koncept van een dergelijke methode kort toege­licht.

- 2 -

2. NOMENKLATUUR

In deze notitie wordt de naamgeving aangehouden zoals die in de para­grafen 2.1-2.3 wordt vastgelegd.

2.1 SYMBOOL DEFINITIES

symbool

m

ml|m2

dimensie | omschrijving

n

dt

a

dx(ml|m2)

dx(j)

c(m,n)

cA(m,n)

w(m,n)

Qb(j,n)

Qe(j,n)

Q(ml|m2,n)

Ab(j,n)

Ae(j,n)

sek

m

m

kg/m 3

kg/m 3

m3/sek

m3/sek

m3/sek

m2

m2

Index (teller) die verwijst naar de knooppunten in het netwerk. Deze notatie is een indicering, die de afhanke­lijkheid van een grootheid aangeeft, van een kop­peling VAN knooppunt m2 NAAR knoop ml. Als voor­beeld zie de definities van dx(ml|m2), Q(ml|m2,.) en A(ml|m2,.) die verderop in deze lijst worden gegeven, zoveel mogelijk wordt bij het gebruik van A(ml|m2,.), Q(ml|m2,.), dx(ml|m2), ... ook de definitie van de omgekeerde indicering m2|ml gegeven. Index (teller) die verwijst naar een vak in het netwerk. Elk vak is begrensd door twee knooppunten. In een knoop kunnen meerdere vakken samenkomen. Index (teller) die verwijst naar een gediskreti-seerde tijd. Het tijdsinkrement; tussen de diskrete tijdstip­pen n en n+1 ligt dus een tijdsverschil dt. Wegingsfaktor in het numeriek schema, is a=0 dan is er een volledig voorwaartse differentie, is a«0.5 dan is de differentie centraal. De afstand van knooppunt m2 tot knooppunt ml. Vanwege de symmetrie in de afstand van twee punten is dx(ml|m2)=dx(m2|ml). De lengte van vak j. Wordt vak j begrensd door de knooppunten ml en m2 dan is dx(j) - dx(ml|m2) = dx(m2|ml). de koncentratie volgens het model in knooppunt m op het diskrete tijdstip n. De waargenomen koncentratie in knooppunt m op het diskrete tijdstip n. Gewichtsfaktor bij de waargenomen koncentratie c* in knooppunt m en tijd n. Het debiet op het diskrete tijdstip

j (index b staat voor het diskrete tijdstip j (index e staat voor het diskrete tijdstip m2 met knooppunt

wordt gevonden door de debieten aan het

begin van vak Het debiet op einde van vak Het debiet op dat knooppunt Q(ml|m2,n) deling van en aan het Q(ml|m2,n) Q(ml|m2,n) De dwarsdoorsnede het Begin van vak

n aan het begin). n aan het einde). n in het vak

ml verbindt, een uniforme mid-begin van een vak

De dwarsdoorsnede op het Einde van vak j.

einde van een vak. Definitie: - (Qb(j,n)+Qe(j,n))/2. Er geldt: •» -Q(m2|ml,n).

op het diskrete tijdstip n aan 3

het diskrete tijdstip n aan

- 3 -

A(ml|m2,n)

E<j,n) T(m,n)

K(m,n)

9 L H

p(m,n)

vE(j,n)

vg

m2

ra2/sek m3/sek

kg/sek

1/sek kg2/m6 kg2/m6

kg/m6

kg2.sek/m8

kg2.sek/m6

De dwarsdoorsnede 'bij' knooppunt ml. Deze wordt gevonden uit een gewogen gemiddelde van de dwars­doorsnede aan het begin en aan het einde van een vak. Definitie:A(ml|m2,n) = (3Ab(j,n)+Ae(j,n))/4 waar j het vak van knooppunt ml naar knooppunt m2 is. Door deze asymmetrische definitie geldt NIET dat A(ml|m2,.) - A(m2|ml,.) De dispersiekoefficient van vak j op tijd n. Een tijdsafhankelijke debietonttrekking in een knooppunt m. Een tijdsafhankelijke zout-lozing in een knoop­punt m. Afbraakkonstante De kwadratische kostenfunktie ('Lagrangiaan'). ('Hamiltoniaan'). De kostenfunktie L uitgebreid met de met de Lagrange parameters p(,) gewogen model'constraints'. De Lagrange parameters waarmee de kostenfunktie L wordt uitgebreid naar de 'Hamiltoniaan' H. De p(,) met een daarop door variatierekening opge­legde onderlinge afhankelijkheid vormen het be­roemde (diskrete) geadjungeerde systeem. p(m,n) is het geadjungeerde systeem in knooppunt m op tijdstap n. De funktionele afgeleide van de kostenfunktie L naar de dispersiekoefficient. D.w.z. vE(j,n) -dL/dE(j,n) De afgeleide van de kostenfunktie L naar de afbraakkonstante D.w.z. vg = dL/dg

Naast deze min of meer elementaire grootheden worden de volgende begrip­pen gedefinieerd. Deze komen in de volgende hoofdstukken veelvuldig ter sprake bij de numerieke schema's van model en diens geadjungeerde.

(a) DE KNOOPPUNT-KOPPELINGS-TABEL M(m,i).

Met M(.,.) wordt een tabel aangegeven waarmee de 'kommunikatie' tussen knooppunten is vastgelegd. Kortweg wordt dit in het vervolg de KKT genoemd. De KKT is een funktie (m,i)—>M(m,i) die het nummer geeft van de i-de knoop die aan m grenst. De index i doorloopt 1, 2, 3,..., tot N(m). Hierbij geeft N(m) het aantal knooppunten aan dat aan m grenst,

Anders gezegd: {M(m,i) | i=l,N(m) } is de verzameling knooppunten die via een vak met knooppunt m verbonden zijn. Er wordt hierbij nog niet op de richting van dat vak gelet. Zie figuur 1.

- 4 -

19 *.

45 *

\ \ i=2

\ \23

•i=3 *--i=l-

i=4

12 •i-2—*—i-1-

\ i=3 \ \ \

33 .*

* 13 FIGUUR 1

* 7

In knoop m=»23 komen 4 vakken samen. Aan knoop 23 grenzen de knopen 7, 12, 19, 45. In dit geval is dan de KKT voor m=23 gegeven door:

N(m) » 4, want er komen in m vier vakken samen, en, M(m,l) • 12, dus 12 wordt beschouwd als de Ie knoop die aan m grenst, M(m,2) = 45, dus 45 wordt beschouwd als de 2e knoop die aan m grenst, M(m,3) - 19, dus 19 wordt beschouwd als de 3e knoop die aan m grenst, M(m,4) - 7, dus 7 wordt beschouwd als de 4e knoop die aan m grenst.

Voor i>4 is M(m,i) voor deze m dus niet gedefinieerd omdat er in m maar vier vakken samenkomen.

Voor knoop m = 12 luidt N(m)=3 en de KKT luidt: M(m,l) = 33, dus 33 wordt beschouwd als de Ie knoop die aan m grenst, M(m,2) * 23, dus 23 wordt beschouwd als de 2e knoop die aan m grenst, M(m,3) • 13, dus 13 wordt beschouwd als de 3e knoop die aan m grenst,

Het doet nauwelijks ter zake in welke volgorde de vakken die in m uitkomen a.d.h.v. de i-teller worden genummerd. Er moet in het begin, dwz bij de netwerkdefinitie, per knoop een keuze worden gemaakt die daarna verder vast ligt.

Merk op dat de M(m,i) dus naar een knooppunt refereert met een een­duidig, 'globaal' nummer. De in de figuur met i-geindiceerde vakken hebben zowel een 'globale' nummering (nl. die met de netwerkdefinitie door de gebruiker is opgegeven) en een 'lokale' nummering (n.1. via de i in de M(m,i)-adressering).

T.a.v, N(ra) =

N(m) N(m)

N(m) kan worden opgemerkt dat 0 indien m een geisoleerde knoop is; in een stoftransport model heeft een dergelijke knoop geen zin en in het vervolg wordt er vanuit gegaan dat N(m) > 0.

1 indien m een punt op de rand van het netwerk is. 2 indien m geen splitsingspunt is (en geen randpunt).

N(m) > 2 indien m een splitsingspunt is.

- 5 -

(b) DWARSDOORSNEDEN

In het numerieke schema van het ZWENDL-zouttransport worden niet zo­zeer de dwarsdoorsnedes in de knooppunten gebruikt dan wel in punten die feitelijk in het vak liggen. Deze worden verkregen uit de knoop-puntdwarsdoorsnedes d.m.v. weging, is bijvoorbeeld vak j gedefinieerd van knooppunt ml naar m2 (zie figuur 2)

ml *-

I A(mlIm2,.) A(ra2|ml,.) FIGUUR 2

dan wordt in de zoutbalans rond knoop ml gerekend met ( 3.Ab(j,n) + Ae(j,n) )/4 en soms zelfs ook met een over de tijd gewogen vorm: ( 3.Ab(j,n-l) + Ae(j,n-1) + 3.Ab(j,n) + Ae(j,n) )/8

Dit leidt tot de volgende definities:

A(ml|m2,n) A(ml|m2,n-l) A(ml|m2,n-l/2)

= ( 3Ab(j,n ) + = ( 3Ab(j,n-l) + • ( A(ml|m2,n-l) • ( 3Ab(j,n-l) +

Ae(j,n ) )/4 Ae(j,n-1) )/4 + A(ml|m2,n) )/2 = Ae(j,n-1) + 3Ab(j,n)

(2)

+ Ae(j,n) )/8

A(ml|m2,.) is dus de dwarsdoorsnede in het vak van m2 naar ml op een kwart van de lengte t.o.v. knoop ml. Analoog is A(m2|ml,.) de dwarsdoorsnede in het vak van ml naar m2 op een kwart van de lengte t.o.v. knoop ml.

(C) DEBIETEN

De debieten die in het 'zoute' deel van ZWENDL worden gebruikt hebben betrekking op de middens van de vakken. Bovendien wordt in de bereke­ning van de koncentratie op tijd n gebruik gemaakt van het over tijd n en tijd n-1 gemiddelde debiet.

Dit leidt tot de volgende definities, knooppunt ml maar m2.

Het vak j is gedefinieerd van

Q(ml|m2,n ) Q(ml|m2,n-1 ) Q(mljm2,n-l/2)

- ( = ( = (

Qb(j,n ) Qb(j,n-1) Qb(j,n-1)

Qe(j,n ) Qe(j,n-l) Qe(j,n-l)

)/2 )/2 + Qb(j,n)

(3)

+ Qe(j,n) )/4

(d) DISPERSIEKOEFFICIENT

Konform de definities onder (b) en (c) wordt t.a.v. dispersiekoef-ficient de volgende notatie gehanteerd: Wordt vak j begrensd door de knooppunten ml en m2 dan is E(ml|m2,n+l/2) de dispersiekoefficient van vak j op de diskrete tijd n+1/2. E(j,n+l/2) is een aan E(ml|m2,n+l/2) equivalente notatie. Er geldt dat E(ml|m2,n+1/2) = E(m2|ml,n+1/2).

- 6 -

2.2 MOLEKUUL-KOPPELINGS-KOEFFICIENTEN

Bij het numeriek oplossen van de stoftransportvergelijking wordt aan de hand van rekenmolekulen een stelsel (lineaire) vergelijkingen opgesteld waarbij het 'rechterlid' is uitgedrukt in de toestand van het systeem op het oude tijdstip, en de nieuwe toestand bevat is in de op te lossen onbekenden.

Ter illustatie, in een knooppunt van het ZWENDL-Zout model dat geen splitsingspunt is kan met een zespuntsmolekuul de koncentratie worden uitgedrukt in die van zijn 'buren'. Van die rekenpunten wordt zowel de waarde van het huidige als het vorige tijdstip gebruikt. In een figuur,

n + _ _ _ _ + _ _ _ _ _ + I I I

| I I I FIGUUR 3 tijd n-1 + _ _ _ _ + _ _ _ _ _ +

m-1 m m+1

plaats — >

Voor c(m,n) volgt dan een vergelijking van de vorm:

S(m,n|m+l,n ) c(m+l,n ) + S(m,n|m ,n ) c(m,n ) + S(m,njm-l,n ) c(m-l,n )

(4) S(m,n|m-l,n-l) c(m-l,n-l) + S(m,n|m ,n-l) c(m,n-l)

+ S(m,njm+l,n-l) c(m+l,n-l) + R(m,n)

Hierin is R(m,n) een term die niet afhangt van de koncentratie. Deze niet 'autonome' term kan bijvoorbeeld optreden bij lozingen. R(m,n) kan een 'mix' zijn van grootheden van zowel tijd n als tijd n-1. Voor elke knoop moet ten tijde n zo'n vergelijking worden opgelost. Het geheel vormt dan een vergelijking van de vorm Mx • y. Hierin is M een vierkante matrix, x de onbekende vektor, en y de bekende vektor. De molekuul-koppelings koefficienten (MKK) vormen een band in de matrix M rond de diagonaal.

Bij gegeven rekenpunt (ml,nl) geven de MKK S(ml,nl|.,.) aan van welke andere rekenpunten de koncentratie c(ml,nl) afhankelijk is (volgens het numerieke schema).

In bovengenoemd schema werd uitgegaan van een knooppunt m dat geen splitsingspunt of randpunt is waardoor het twee buren heeft: knoop m-1 en knoop m+1.

Bij een veralgemenisering naar willekeurige knooppunten moet gebruik worden gemakt van de knooppunts koppeling tabel (KKT) en dat leidt tot de volgende formulering van de MKK.

Laat knoop m verbonden zijn met N(m) andere knopen: M(m,l), M(m,2),... ..., tot en met knoop M(m,N(m)). Dan is de volgens de zoutbalans van ZWENDL-Zout de vergelijking voor c(m,n) van de volgende vorm:

- 7 -

S(m,n|m,n ) c(m,n ) + SOM S(m,n|M(m,i),n ) c(M(m,i), n ) i=l,N(m)

S(m,n|m,n-1) c<m,n-l) + SOM S(m,n|M(m,i),n-l) c(M(m,i), n-1) + i=l,N(m)

R(m,n) (5)

Deze vergelijking heeft betrekking op een rekenmolekuul van 2( N(m)+1 ) punten. Merk bij het vergelijken van (4) en (5) op, dat het zespuntsmolekuul (4) een 'konkrete vorm' van de 'algemene' vorm (5) is, namelijk, met N(m)=2 en met een knooppunt-koppelingstabel gegeven door M(m,l) = m-1, en M(m,2) - m+1.

In het volgende hoofdstuk worden de numerieke aspekten van ZWENDL-Zout geïnventariseerd. Dit komt er op neer dat de MKK voor elke knoop en tijdstap vastgelegd moeten worden door hun uit te drukken in de dwars-doorsnedes, debieten, dispersiekoefficient, lozingen en onttrekkingen.

Zoals eerder in deze paragraaf al is vermeld wordt voor elke diskrete tijdstap n de koncentraties c(m,n) (m=l,2,...,NX) berekend uit de 'oude' koncentraties c(m,n-l), en de debieten, dwarsdoorsneden en dispersieko­eff icienten van zowel de diskrete tijd n als n+1. In deze berekening moet een stelsel lineaire vergelijkingen Mx*y worden opgelost. Hierin is M(,) een vierkante matrix van omvang NX*NX en x() en y() zijn kolom vektoren van lengte NX. In deze vergelijking vormen de MKK S(.,n|.,n) de 'matrix-entries' van M(,) terwijl de MKK S(.,n|.,n-1) samen met R(.,n) het rechterlid y() vormen. De x() is de kolom vektor (c(l,n), c(2,n),...,c(NX,n)}. Zo zijn de diagonaalelementen M(ml,ml) gelijk aan S(ml,n|ml,n), is M(ml,m2) • S(ml,n|m2,n) en M(m2,ml) - S(m2,n|ml,n). M(,) wordt dus op die entries (ml,m2) gevuld waarvoor geldt dat er vak j is dat ml met m2 verbindt (of andersom, als er rekening met de rich­ting van het vak wordt gehouden). Het rechterlid y(m) wordt gevormd door het rechterlid van vergelijking (5).

Er wordt opgemerkt dat vergelijking (5) de basis vormt van een brede klasse van modelformuleringen. Vanuit deze basis kan voor een bepaald rekenmodel worden gekozen door middel van een konkrete invulling van de MKK. Die invulling vindt plaats door de keuze voor een bepaald numeriek schema en vervolgens de MKK uit te drukken in dwarsdoorsneden, debieten, dispersiekoefficienten en eventueel nog andere grootheden.

In het volgende hoofdstuk worden de MKK S() voor het gangbare ZWENDL Zout model gegeven. Nadat de MKK ingevuld zijn kunnen het geadjungeer-de systeem en de funktionele afgeleide worden berekend.

- 8 -

3. DE NUMERIEKE ASPEKTEN VAN HET ZWENDL-ZOUT MODEL.

Aan de hand van de molekuul-koppelings koefficienten worden in dit hoofdstuk de numerieke aspekten van het 'zoute' deel van ZWENDL be­handeld. Deze MKK zijn niet alleen voor het 'gewone' ZWENDL-Zout model van belang. Zij spelen eveneens een belangrijke rol in het geadjungeerde systeem (hoofdstuk 4) en de funktionele afgeleide (hoofdstuk 5).

De numerieke aspekten van het ZWENDL-zout model volgen uit het per knooppunt opstellen van de zoutbalans.

Konform voorgaande literatuur (zie [1]) wordt achtereenvolgens onder­scheid gemaakt naar 'gewone' knooppunten, dode punten en randpunten. Hierbij zijn 'gewone' knooppunten die punten die meer dan een vak begrenzen.

3.1 'GEWONE' KNOOPPUNTEN

Een 'gewoon' knooppunt is een knooppunt m waarin twee of meer meer vakken samenkomen. Zie figuur 4 voor een voorbeeld.

M(m,2) *

\ \ i»2 \ \m M(m,l)

i«3 *—i=i * — l\

i=...\ | i=N(m) I \ I \ I \ j * M(m,N(m)) * FIGUUR 4

M(m,i)

Voor knooppunt m volgt dan t.a.v. de zoutbalans (zie hoofdstuk 10 van [1] en hoofdstuk 4.2 van [2]):

SOM ACC(m|i) = SOM ADV(m|i) + SOM DISP(m|i) i-l,N(m) i-l,N(m) i-l,N(m)

(6) + LOZ(m) - ONTR(m) - SOM AFBR(m|i)

i=l,N(m)

In vergelijking 6 zijn tijdsargumenten weggelaten. Met de ACC(),...., AFBR() worden de de diverse bijdrages aan de zoutbalans over het tijds­interval van t naar t+dt bedoeld. Met in gedachten dat met de notatie m|i de richting 'via vak i naar knoop m' wordt bedoeld, hebben de diverse termen de volgende betekenis:

ACC(m|i) = de toename van de hoeveelheid chloride in het kontrole volume(m) gedurende een tijdsinkrement dt met herkomst het vak dat knoop M(m,i) met m verbindt.

*

M(m,3)

- 9 -

ADV(m|i) - de hoeveelheid chloride die gedurende een tijdsinkrement dt in het kontrole volume(m) wordt toegevoerd door advektief transport uit het vak dat knoop M(m,i) met m verbindt.

DÏSP(m|i)= de hoeveelheid chloride die gedurende een tijdsinkrement dt in het kontrole volume(m) wordt toegevoerd door dispersief transport uit het vak dat knoop M(m,i) met m verbindt.

LOZ(m) - de hoeveelheid chloride die gedurende een tijdsinkrement dt in het kontrole volume(m) wordt toegevoerd door lozingen van zout in knooppunt m.

ONTR(m) - de hoeveelheid chloride die gedurende een tijdsinkrement dt in het kontrole volume(m) verdwijnt t.g.v. onttrekking van een debiet in knooppunt m.

AFBR(m|i)= de hoeveelheid chloride die gedurende een tijdsinkrement dt in het kontrole volume(m) verdwijnt t.g.v. afbraak. Voor chloride zal deze term (natuurlijk) geen rol spelen. Deze term wordt hier echter toch in beschouwing genomen aangezien deze later nodig kan zijn bij toepassingen op niet konservatieve stoffen.

Uitwerken van bovenstaande balans over het tijdsinterval van (n-l).dt tot n.dt geeft,

ACC(m|i) - 1/2 . dx(m|M(m,i)) . c(M(m,i), n) + 2c(m, n)

{ A(m|M(m,i), n) . 3

(7a) c(M(m,i),n-l) + 2c(m,n-l)

A(m|M(m,i),n-l) . } 3

ADV(m|i) - dt.Q(m|M(m,i),n-l/2).

(7b)

c(m,n) + c(M(m,i),n) + c(m,n-l) + c(M(m,i),n-l)

4

DISP(m|i)= dt . E(m|M(m,i),n-l) . A(m|M(m,i),n-l/2) .

[ a { c(M(m,i),n-l) - c(m,n-l) } + (7c) (l-a){ c(M(m,i),n ) - c(m,n ) } ] / dx(m|M(m,i))

LOZ(m) = dt . { K(m,n-1) + K(m,n) }/2 (7d)

ONTR(m) = dt . { T(m,n-1) + T(m,n) }.{ c(m,n-l) + c(m,n) }/4 (7e)

- 10 -

AFBR(m|i)= 1/2. g. dt. dx(m|M(m,i)) . {A(m|M(m,i),n-l).c(m,n-l) + A(m|M(m,i),n).c(m,n) }/2 (7f)

Bij de debietterm Q(m|M(m,i),.) moet rekening worden gehouden met de oriëntatie van het vak dat m en M(m,i) verbindt. In (7b) is de oriën­tatie van het debiet Q(m|M(m,i),n-l/2) "instromend", d.w.z. opgevat in de richting van M(m,i) naar m. Wordt expliciet rekening gehouden met de richting van het vak dan moet Q(m|M(m,i),n-l/2) als volgt wor­den geïnterpreteerd.

Als de richting van het vak j van m naar M(m,i) is, moet de term Q(m|M(m,i),.) gekorrigeerd dient te worden door een - teken, dwz:

Met j het vak van m naar M(m,i) is: (8) Q(m|M(m,i),n-l/2) - - ( Qe(j,n)+Qe(j,n-l)+Qb(j,n)+Qb(j,n-l) ) / 4

Anderzijds, als de richting van het vak is gedefinieerd door 'van M(m,i) naar m' dan hoeft t.a.v. de oorspronkelijke term niet gekor­rigeerd te worden, dus in dat geval:

Met j het vak van M(m,i) naar m is (9) Q(m|M(m,i),n-l/2) •= ( Qe( j ,n)+Qe( j ,n-l )+Qb( j ,n)+Qb( j ,n-l) ) / 4

Door het bij elkaar voegen van korresponderende termen volgt een verge­lijking van het 'format' (5) voor c(m,n). Dus, als alle c(.,n)-termen (van het 'nieuwe' tijdstip) links van het gelijkteken worden verzameld, en alle c(.,n-l) termen (van het 'oude' tijdstip) rechts, dan wordt de volgende vergelijking gevonden:

S(m,n|m,n ) c(m,n ) + SOM S(m,n|M(m,i),n ) c(M(m,i), n ) = i=l,N(m)

S(m,n|m,n-1) c(m,n-l) + SOM S(m,n|M(m,i),n-l) c(M(m,i), n-1) + i=l,N(m)

R(m,n) (10)

Uit het herschikken van de termen uit vergelijking (6) en (7) kunnen nu de de molekulaire koppelingskoefficienten worden afgeleid. Er wordt gevonden:

S(m,n|m,n) - SOM { A(m|M(m,i),n).dx(m|M(m,i))/3 i«=l,N(m)

- Q(m|M(m,i),n-l/2).dt/4 + (1-a).E(m|M(m,i),n-l).A(m|M(m,i),n-l/2).dt/dx(m|M(m,i)) + g.dt.dx(m|M(m,i)).A(m|M(m,i),n)/4 } + T(m,n-l/2).dt/2 (11a)

S(m,n|M(m,i),n) = A(m|M(m,i),n).dx(m|M(m,i))/6 (11b) - Q(m|M(m,i),n-l/2).dt/4 - (1-a).E(m|M(m,i),n-l).A(m|M(m,i),n-l/2).dt/dx(m|M(m,i))

- 11 -

S(m,n|mfn-1) = SOM { A(m|M(m,i),n-l).dx(m|M(m,i))/3 (lic) i-l,N(m)

+ Q(m|M(m,i),n-l/2).dt/4 - a.E(m|M(m,i),n-l).A(m|M(m,i),n-l/2).dt/dx(m|M(m,i)) - g.dt.dx(m|M(m,i)).A(m|M(m,i),n-l)/4 } - T(nt,n-l/2) .dt/2

S(m,n|M(m,i),n-l) - A(m|M(m,i),n-l).dx(m|M(m,i))/6 (lid) + Q(m|M(m,i),n-l/2).dt/4 + a.E(m|M(m,i),n-l).A(m|M(m,i),n-l/2).dt/dx(m,M(m,i))

R(m,n) - dt.K(m,n-l/2) (11e)

Hierbij is:

~ De balans is in kg uitgedrukt. Derhalve is de eenheid van alle S(,): m3. De eenheid van R(,) is kg.

~ De onttrekking T(m,n-l/2) is gedefinieerd door (T(m,n-1) + T(m,n))/2. De eenheid van T(,) is m3/sek. Aangezien een onttrekking T(,) invloed heeft op debieten moet de T(,) eveneens in de debieten Q(,) verwerkt zijn. Impliciet wordt hier en overal elders in deze notitie aangenomen dat de Q(,) zoals die uit de waterbeweging wordt 'binnengehaald', het resultaat is van alle effekten op het debiet, dus inklusief alle onttrekkingen/lozingen.

~ De lozing K(m,n-l/2) is gedefinieerd door (K(m,n-1) + K(m,n))/2 en heeft als eenheid kg/sek.

Als er in een knoop zout water van buiten het systeem wordt geloosd met een debiet van, zeg, Q~() [m3/sek] en een koncentratie c~ [kg/m3], dan is K() - c~.Q~() Vindt een lozing plaats van de ene knoop in een andere knoop (dus binnen het netwerk), dan wordt dit opgevat als een 'positieve' ont­trekking in het knooppunt waar onttrokken wordt, en een 'negatieve' onttrekking in het knooppunt waar geloosd wordt. Deze situatie kan optreden bij interne randen. Hierop wordt terugge­komen in paragraaf (3.3.1).

~ T.a.v. lozingen en ontrekkingen geldt in ZWENDL dat de tekenkonventie als volgt luidt. Het 'netwerk in' qua teken als positief wordt be­schouwd, terwijl 'het netwerk uit' qua teken als negatief wordt opge­vat. In deze zin zijn 'echte' lozingen K(,) positief van teken en 'echte' onttrekkingen T(,) negatief van teken.

~ E(m|M(m,i),.) is de dispersiekoefficient van het vak j dat knoop m met knoop M(m,i) verbindt. Dus E(m|M(m,i),n-l) = E(j,n-1) = E(M(m,i)|m,n-l).

- 12 -

3.2 'DODE' KNOOPPUNTEN

In de vorige paragraaf werden de MKK uitgerekend voor de 'gewone' knooppunten, d.w.z. punten waarin twee of meer vakken samenkomen. In deze paragraaf worden de 'dode' knooppunten behandeld. Dit zijn knoop­punten waarin maar een vak aangrijpt. In figuur 5 is in het dode vak j knoop m een voorbeeld van zo'n punt.

FIGUUR 5

*

Aan de hand van figuur 5 en de literatuur (zie [1], [2]) worden de molekulaire koppelingskoefficienten voor knoop m (en tijd n) bepaald. Analoog aan de vorige paragraaf vormt de massabalans de basis van deze berekening. De massabalans luidt hier:

ACC(m|ml) - ADV(m|ml) + DISP(m|ml) + LOZ(m)

- ONTR(m) - AFBR(m|ml) (12)

invullen van de diverse termen leidt tot:

c(ml,n) + 5c(m,n) l/2.dx(m|ml).{ A(ra|ml,n)

6 c(ral,n-l) + 5c(m,n-l)

- A(m|ml,n-1) } 6

c(m,n) + c(m,n-l) + c(ml,n) + c(ml,n-l) Q(m|ml,n-l/2) . . dt

4

+ dt.E(m|ml,n-l).A(m|ml,n-l/2). [ a{ c(ml,n-l)-c(m,n-l) } + (l-a){ c(ml,n) - c(m,n) } ]/dx(m|ml)

c(m,n)+c(m,n-l) - dt T(m,n-l/2)

2 - 1/2. g.dt.dx(m|ml).{ A(m|ml,n-1).c(m,n-l) + A(m|ml,n),c(m,n) }/2

+ dt K(m,n-l/2) (13)

Herschrijven van vergelijking (13) naar de vorm,

S(m,n|m,n )c(m,n ) + S(m,n|ml,n )c(ml,n ) » (14) S(m,n|m,n-l)c(m,n-l) + S(m,njml,n-l)c(ml,n-l) + R(m,n)

levert de volgende uitdrukkingen voor de MKK:

S(m,n|m,n) = dx(m|ml).A(m|ml,n).r/2 - Q(m|ml,n-l/2).dt/4 + (1-a).E(m|ml,n-1).A(m|ml,n-l/2),dt/dx(m|ml) (15a) + g.dt.dx(mjml).A(m|ml,n)/4 + T(m,n-l/2).dt/2

* m

D l I

* * *

ml m2

- 13 -

S(m,n|ml,n) - dx(m|ml).A(m|ml,n).(1-r)/2 - Q(m|ml,n-l/2).dt/4 - (1-a).E(m|ml,n-1).A(ra|ml,n-l/2).dt/dx(m|ml) (15b)

S(m,n|m,n-1) - dx(m|ml).A(m|ml,n-1).r/2 + Q(m|ml,n-l/2).dt/4 - a.E(m|ml,n-l).A(m|ml,n-l/2).dt/dx(m|ml) - g.dt.dx(m|ml).A(mjml,n-l)/4 (15c) - T(m,n-l/2).dt/2

S(m,n|ml,n-1)- dx(m|ml).A(m|ml,n-1).(l-r)/2 + Q(m|ml,n-l/2).dt/4 + a.E(m|ml,n-l).A(m|ml,n-l/2).dt/dx(m|ml) (15d)

R(m,n) - dt.K(m,n-l/2) (15e)

In deze vergelijkingen is een faktor r ingevoerd die op basis van (13) gelijk zou moeten zijn aan 5/6 (merk overigens op dat onder paragraaf (3.1) deze faktor daarentegen 2/3 is).

T.a.v. die faktor moet volgens literatuur [1] (blz. 49) het volgende worden opgemerkt. - Vindt in een dood punt een onttrekking of lozing plaats dan moet de weging in de bergingsterm zijn zoals in gewone vakken, dus 2/3 vs. 1/3

- Vindt in een dood punt geen onttrekking of lozing plaats dan moet de weging in de bergingsterm zijn volgens 5/6 vs. 1/6.

Samenvattend moet dus aan vergelijking (15) toegevoegd worden dat: Is : T(m,n-l/2)=0 (dus geen onttrekking) en (15f)

K(m,n-l/2)=0 (dus geen lozing) dan is r*5/6 Anders: r»2/3

T.a.v. het debiet Q(m,.) geldt dat deze in een dood punt m gelijk aan 0 is indien in m geen (debiet)lozingen of onttrekkingen plaatsvinden. In het andere geval is Q(m,.) gelijk aan het geloosde-, respektievelijk onttrokken debiet. Deze debieten zijn in bovenstaande formulering al opgenomen in de gemiddelde waarde Q(m|ml,n-l/2).

- 14 -

3.3 RANDPUNTEN

In deze paragraaf worden de molekulaire koppelingskoefficienten berekend voor randpunten. Er worden twee gevallen onderscheiden: interne randen en RZ-rand (Rivier/Zeerand).

3.3.1 INTERNE RAND

Voor een interne rand geldt de situatie zoals geschetst in figuur 6. Een interne rand verbindt twee dode punten waarin zowel een lozing als

Q-

v interne j ,*_ *_ _ _ _ _ _ _ _ _ * *

m2 m' rand m ml FIGUUR 6

Q+

een onttrekking plaats vindt. Het opstellen van de massabalans voor knooppunt m gaat analoog aan dat voor dode punten zoals dat in de vorige paragraaf is behandeld. Nu moet echter nog rekening worden ge­houden met het feit dat de koncentratie in knoop m niet alleen van zijn 'echte' buur ml afhangt maar eveneens van een 'virtuele' buur m'. Via het debiet Q+ hangt de zoutkoncentratie in m ook af van de koncentratie in m' .

in hetgeen dat volgt wordt aangenomen dat het instromend debiet Q+ en het uitstromend debiet Q- beide positief van teken zijn. Het netto debiet van m naar m' (hetgeen op een minteken gelijk is aan het nettodebiet van m' naar m) is dan Q+ - Q-. Deze uitdrukking kan zowel positief als negatief van teken zijn.

Als de procedure van paragraaf 3.2 wordt herhaald worden de hieronder gegeven uitdrukkingen voor de MKK gevonden. Merk op dat rekenpunt (m,n) met 5 andere rekenpunten verbonden is, n.1. (m',n), (ml,n), (m',n-l), (m,n-l) en (ml,n-l). Met de 'autokoppeling' van (m,n), en, de restterm R(m,n), zijn er t.a.v. (m,n) hierdoor 7 molekulaire koppe-lings koefficienten (zie (17)). Als er vanuit wordt gegaan dat, afgezien van Q+ en Q-, er geen overige lozingen en/of onttrekkingen plaatsvinden dan ziet er de massabalans er als volgt uit:

l/2.dx(m|ml).{ A(m|ml,n ).( (l-r).c(ml,n ) + r.c(m,n ) ) -A(mjml,n-1).( (1-r).c(ml,n-l) + r.c(m,n-l) ) }

c(m,n) + c(ml,n) + c(m,n-l) + c(ml,n-l) Q(m|ml,n-l/2).dt.

4 (16)

+ dt.E(m|ml,n-l).A(m|ml,n-l/2). [ a{ c(ml,n-l)-c(m,n-l) } + (l-a){ c(ml,n) - c(m,n) } ]/dx(m|ml)

- 1/2. g.dt.dx(m|ml).{ A(m|ml,n-l).c(m,n-l) + A(m|ml,n).c(m,n) }/2

+ {Q+(m|m',n-l).c(m',n-l) + Q+(m|m',n).c(m',n) }.dt/2

- 15 -

Hierin is Q(m|ml,n-1) volgens de gebruikelijke definitie in Q(m,n), Q(m,n-1), Q(ml,n) en Q(ml,n-1) uitgedrukt. Echter in tegenstelling tot 'echt dode' knopen, waar Q(m,n)=0 voor alle n, geldt hier dat voor in­terne randen Q(m,n)= Q+(m|m',n) - Q-(m|m',n) (mits de richting van het vak van ra naar mi is gedefinieerd; in het andere geval moet de tegenge­stelde waarde worden genomen).

Merk op dat in vergelijking (16) in tegenstelling tot de lozingsterm + { Q+(m|m',n-l).c(m',n-l) + Q+(m|m',n).c(ra',n) }.dt

er geen onttrekkingsterm { Q-(m|m',n-l).c(m ,n-l) + Q-(m|m',n).c(m ,n) }.dt

is opgenomen aangezien deze al impliciet door de advektieterm in boven­staande balans wordt verrekend.

Bovendien, er is wel een dispersief transport van m naar ml maar niet van m naar m'.

Uit dit alles blijken de molekulaire koppelingskoefficienten van de volgende vorm te zijn:

S(m,n|m,n) - dx(m|ml).A(m|ml,n).r/2 - Q(m|ml,n-l/2).dt/4 + (1-a).E(m|ml,n-1).A(m|ml,n-l/2),dt/dx(m|ml) (17a) + g.dt.dx(mjml).A(m|ml,n)/4

S(m,n|ml,n) - dx(mjml).A(m|ml,n).(1-r)/2 - Q(m|ml,n-l/2).dt/4

- (l-a).E(m|ml,n-l).A(m|ml,n-l/2).dt/dx(m|ml) (17b)

S(m,n|m',n) - Q+(m|m',n).dt/2 (17c)

S(m,n|m,n-1) - dx(m|ml).A(m|ml,n-1).r/2 + Q(m|ml,n-l/2).dt/4 - a.E(m|ml,n-l).A(m|ml,n-l/2).dt/dx(m|ml) - g.dt.dx(m|ml).A(mjml,n-l)/4 (17d) - T(m,n-l/2).dt/2

S(m,n|ml,n-1)»= dx(m|ml) .A(m|ml,n-1). (1-r )/2 + Q(m|ml,n-l/2) .dt/4

+ a.E(m|ml,n-l).A(m|ml,n-l/2).dt/dx(m|ml) (17e)

S(m,n|m',n-1)= Q+(m|m',n-l).dt/2 (17f)

R(m,n) - 0 (17g) T.a.v. de faktor r geldt de konventie dat als er in de dode knoop m via een Q+ en/of een Q- lozingen respektievelijk onttrekkingen plaats­vinden (via een andere dode knoop) dan is de faktor r=2/3. Zijn Q+ en Q- afwezig dan is r*=5/6.

Tenslotte, in het voorgaande zijn de MKK voor het dode knooppunt m opgesteld. Dit kan analoog worden uitgevoerd voor het eveneens dode knooppunt m'. Merk op dat in dat geval Q+(m'|m,.) = Q-(m|m',.) en Q-(ra'|m,.) - Q+(m|m',.)

- 16 -

3.3.2 RZ rand

In de vorige paragraaf zijn de interne randen behandeld, in deze para­graaf wordt het numerieke schema behandeld zoals dat op Rivier en of Zeeranden wordt toegepast. Er wordt uitgegaan van drie soorten RZ randen die in het programma opgegeven kunnen worden. Dat zijn:

- vaste randvoorwaarde - zwakke randvoorwaarde - Thatcher-Harleman randvoorwaarde

3.3.2.1 VASTE RANDVOORWAARDE

in knoop m wordt voor het gehele tijdsinterval waarvoor de berekening moet plaats vinden een tijdreeks aangeleverd. Dat betekent dat als knoop m een randpunt is dat c(m,n) - cr(n). Hierin is cr(.) een tijdreeks die van te voren wordt opgegeven en door het programma verder niet wordt gewijzigd. In dit geval zijn de MKK van rekenpunt (m,n) (met m nog steeds randpunt) erg eenvoudig:

S(m,n|m,n) - 1 , en alle overige S(|) zijn 0. (18) R(m,n) = cr(n)

3.3.2.2 ZWAKKE RANDVOORWAARDE

Een zwakke randvoorwaarde wordt gegenereerd door in het randpunt de voorwaarde d2c/dx2=0 op te leggen. Voor een dergelijke rand worden hier de MKK afgeleid.

*_ _ _ _ _ _ *__ * * * _ * — —

m' m ml | FIGUUR 7. I * *

Aan de hand van figuur 7 wordt het idee behandeld. Het idee is om een virtueel vak m'-m aan het randvak m-ml toe te voegen. Aan m' wordt een koncentratie c(m',n) toegekend op basis van lineaire extra­polatie van de koncentraties in m en ml. Door daarna m als een 'gewone' knoop op te vatten en daarvan een massabalans op te stellen kan een vergelijking worden opgesteld die de koncentraties c(m,n), c(m,n-l), c(ml,n) en c(ml,n-l) met elkaar in verband brengt. Uit deze vergelijkingen kunnen vervolgens weer de molekulaire koppe-lingskoefficienten worden berekend.

Het invoeren van het virtuele vak en het daarna op basis van d2c/dx2=0 opstellen van een vergelijking voor c(m,n) wordt uitgewerkt in litera­tuur [1], paragraaf 11.3, blz 53-55. Daar wordt echter meteen opgemerkt dat het in ZWENDL enigszins anders wordt aangepakt. Er wordt gezegd dat op deze procedure een korrektie wordt uitgevoerd zodat tenslotte (zie figuur 7):

ACC(m|ml) = ADV(m|ml) + DiSP(m|ml) c(m,n) + c(m,n-l)

- dt.Qb(m|m,n-l/2). 2

- dt. E(m|ml,n-1).Ab(m|m,n-l/2). (19) [ (l-a){ c(ml,n)-c(m,n) } + a{ c(ml,n-l)-c(m,n-l) } ]

- 17 -

Ter wille van de duidelijkheid wordt herhaald dat Ab(m|m,.) de dwars­doorsnede is in knoop m, en, Qb(m|m,.) het debiet is in knoop m (omdat het hier geen splitsingspunt betreft is deze definitie zinvol). De ADV() en DISP{) termen zijn zoals voor 'gewone' vakken. Uitwerken van vergelijking (19), en daarna omschrijven naar de vorm

S(m,n|m,n )c(m,n ) + S(m,n|ml,n )c(ml,n ) = (20) S(m,njm,n-l)c(m,n-l) + S(m,njml,n-l)c(ml,n-l) + R(m,n)

levert de volgende MKK voor een zwakke randvoorwaarde:

S(m,n|ra,n) • dx(m|ml).A(m|ml,n).r/2 - { Q(m|ml,n-l/2) - 2.Qb(ml|ml,n-l/2) }.dt/4 + (l-a).E(m|ml,n-l). (21a)

.{ A(m|ml,n-l/2) - Ab(m|m,n-l/2) }.dt/dx(m|ml) + g.dt.dx(mjml).A(m|ml,n)/4

S(m,n|ml,n) - dx(m|ml).A(m|ml,n).(1-r)/2 - Q(m|ml,n-1/2).dt/4 - (l-a).E(m|ml,n-l). (21b)

.{ A(m|ml,n-1/2) - Ab(m|m,n-1/2) }.dt/dx(m|ml)

S(m,n|m,n-1) • dx(m|ml).A(m|ml,n-1).r/2 + { Q(m|ml,n-l/2) - 2Qb(m|m,n-l/2 }.dt/4 - a.E(m|ml,n-l). (21c)

.{ A(m|ml,n-l/2) - Ab(m|m,n-l/2) }.dt/dx(m|ml) - g.dt.dx(m|ml).A(m|ml,n-l)/4

S(m,n|ml,n-1)« dx(m|ml).A(m|ml,n-1).(l-r)/2 + Q(m|ml,n-l/2).dt/4 + a.E(m|ml,n-l). (21d)

.{ A(m|ml,n-1/2) - Ab(m|m,n-1/2) }.dt/dx(m|ml)

R(m,n) - 0 (21e)

in deze formules is r=2/3. Er is aangenomen dat er geen lozingen en/of onttrekkingen op een zwakke randvoorwaarde plaatsvinden (vandaar dat R(m,n)«0).

De korrekties komen er op neer dat, t.o.v. de formulering in niet zwakke-randpunten, in het dispersieve gedeelte de dwarsdoorsnede A(m|ml,n-1/2) is vervangen door A(m|ml,n-l/2)-Ab(m|m,n-l/2). Daarnaast is in het advektieve gedeelte dat is gerelateerd met lokatie m, er een korrektie in het debiet doorgevoerd: de term Q(m|ml,n-l/2) is door Q(m|ml,n-1/2)-Qb(m|m,n-1/2) ve rvangen.

3.3.2.3 THATCHER-HARLEMAN RANDVOORWAARDE

Een Thatcher-Harleman randvoorwaarde wordt gevormd door een kombinatie van een stuksgewijze vaste en een stuksgewijze zwakke randvoorwaarde. De preciese invulling van een dergelijke rand is alsvolgt. Bij uitstroming aan het randpunt wordt de zwakke formulering van de randvoorwaarde genomen d2c/dx2=0. Bij instroming wordt een vaste kon-centratie c(max) aan de rand opgelegd. Echter, na het LWSK (LaagWater-StroomKentering) wordt de koncentratie niet meteen van diens waarde onmiddelijk daarvoor op deze maximale koncentratie waarde gezet, doch wordt deze in een tijdsduur T0, via een cosinus-profiel, geleidelijk daar naar toe gevoerd. Zie figuur 8.

- 18 -

~+X X X X X X X

FIGUUR 8

LWSK HWSK

Van een dergelijke randvoorwaarde worden nu voor het betreffende knoop­punt de molekulaire koppelingskoefficienten gegeven. Stel dat (in diskre-te tijd) geldt dat,

van n«N0 tot en met n=Nl is c(m,n)=c(max), zie de -x-x-x-x- lijn,

van n«Nl+l tot en met n=N2 is c(m,n) volgens een 'zwak' voorschrift zie de -*-*-*-*- lijn,

van n*N2+l tot en met n=N3 is c(m,n) volgens een cos-profiel zie de -+-+-+-+- lijn,

van n=N3+l tot en met n=N4 is c(m,n)=c(max) zie de -x-x-x-x- lijn,

van n«N4+l tot en met n=N5 is c(m,n) volgens een 'zwak' voorschrift zie de -*-*-*-*- lijn,

van n»N5+l tot en met n=N6 is c(m,n) volgens een cos-profiel zie de -+-+-+-+- lijn,

(22)

Hierin zijn dan de HWSK (HoogWaterStroomKenteringen) gelegen tussen de tijden Ni en Nl+1, N4 en N4+1, De LWSK zijn gelegen tussen de tijden N2 en N2+1, N5 en N5+1, ....

Voor n in [NO,Ni] , [N3+1,N4] , [N6+1,N7] , ... is c(m,n)=c(max) dus, zijn de MKK voor deze rand m:

alle S(m,n|m' ,n)=*0 , S(m,n|m' ,n-l)=0 behalve S(m,njm ,n)=l en R(m,n)=c(max) (23)

Voor n in [Nl+1,N2] , [N4+1,N5] , [N7+1,N8] , ... is c(m,n) volgens het voorschrift (19) zodat de MKK voor het randpunt de vorm hebben van ver­gelijking (21).

Voor n in [N2+1,N3] is c(m,n) gegeven met het voorschrift: n - N2

c(m,n) = c(max) { 1 - cos( pi ) }/2 + N3 - N2 + 1

n - N2 c(m,N2) { 1 + cos( pi ) }/2

N3 - N2 + 1 (24)

- 19 -

Deze formule kan door N2 door resp. N5, N8, ... en N3 door N6, N9,... te vervangen eveneens worden gebruikt voor de tijds intervallen [N5+1,N6], [N8+1,N9], ...

Uit vergelijking (24) volgt voor de MKK:

S(m,n|m,n) = 1, alle overige S(m,n|m',n')=0 (25) en R(m,n) - 'rechterlid van vergelijking (24)'

OPMERKING. Met vergelijking (25) is gezondigd aan de door ons zelf opgelegde regel dat via de termen S(|) de afhankelijkheid van c(m,n) van de buurmolekulen wordt verdiskonteerd, en, de overige resttermen in R(m,n) worden ondergebracht. Hier is voor die afwijking van de regel gekozen omdat het randpunt c(m,n) van een andere c(m,n') afhangt die uit een MEER DAN 1-STAPS verleden stamt. Voor het oplossen van de c(,) is bovenstaande een oplossing zonder nader risiko, echter bij het afleiden van het geadjungeerde systeem moet aan dit punt extra aandacht worden geschonken. Dit geschiedt in paragraaf 4.6.

- 20 -

4. DE NUMERIEKE ASPEKTEN VAN HET GEADJUNGEERDE ZWENDL-ZOUT MODEL.

4.1 DE HAMILTONIAAN EN VARIATIEREKENING

In de vorige paragraaf is gezien dat, in elke tijdstap n en knooppunt m, het ZWENDL-Zout model tot de volgende relatie tussen de koncentraties van naburige rekenmolekulen leidt:

S(m,n|m,n )c(m,n ) + SOM S(m,n| M(m,i),n )c(M(m>i),n ) « i-l,N(m) (26)

S(m,n|m,n-l)c(m,n-l) + SOM S(m,n| M(m,i),n-l)c(M(m,i),n-l) + R(n,m) i=l,N(m)

Hierin is {M(m,i) | i»l,N(m) } de verzameling knooppunten die via een vak met m verbonden zijn.

Met een gegeven beginvoorwaarde c(.,l) kan voor n=2,3,... de koncentratie c(m,n) worden opgelost. Hierdoor doorloopt n in vergelijking (26) de waar­des 2 tot NT, waarbij NT de (diskrete) eindtijd van de berekening is.

Er wordt vanuitgegaan dat er NX knooppunten in het netwerk zijn.

Na tellen over de knopen, en tellen over het aantal (diskrete) tijdstap-pen bestaat (26) uit NX.(NT-l) vergelijkingen.

Gegeven de metingen c*(m,n), wordt in het vervolg uitgegaan van een kwadratisch kriterium voor het kwantificeren van de overeenkomst tussen het model en de metingen. Dit leidt tot de volgende kostenfunktie:

2 L - SOM ( c(m,n) - cA(m,n) ) ,w(m,n) (27)

m,n

Hierbij kent w(m,n) een gewicht toe aan de meting c(m,n). Op alle plaatsen en tijden waar niet gemeten is moet w(m,n) op 0 worden gezet. De 'opdracht' luidt dan: minimaliseer L naar de dispersiekoefficient E en/of afbraakkonstante g en gebruik daarbij het geadjungeerde systeem.

Voor het afleiden van het geadjungeerde systeem worden aan L de neven­voorwaarden, ieder met een eigen Lagrange 'parameter' toegevoegd. Dit leidt tot het volgende gemodificeerde kriterium ('Hamiltoniaan'):

H * L + SOM p(m,n-l) { S(m,n|m,n) c(m,n) + m«l,NX n=2,NT

+ SOM S(m,n|M(m,i),n) c(M(m,i),n) i=l,N(m)

S(m,n|m,n-1) c(m,n-l) (28)

SOM S(m,n|M(m,i),n-l) c(M(m,i),n-l) i=l,N(m)

R(m,n) }

Het is bekend dat minimaliseren van H als funktie van p en de model­parameters de zelfde oplossing geeft als het minimaliseren van de kosten­funktie L naar de parameters.

- 21 -

Door op deze H variatierekening toe te passen wordt het geadjungeerde systeem en de funktionele afgeleide verkregen.

Voordat hieraan wordt begonnen moet duidelijk worden gemaakt waarin überhaupt variatie wordt toegestaan (ofwel wat kan wel en wat kan niet worden ingeregeld). Omdat een van de hoofdfunkties het inregelen van de dispersiekoefficient is, moet in ieder geval een variatie dE(,) op de dispersiekoefficient E(,) mogelijk zijn.

Behalve in de dispersiekoefficient wordt ook een variatie toegestaan op de afbraakkonstante g.

Als op E(,) een variatie dE(,) wordt opgelegd, en/of op g een variatie dg dan zal t.g.v. het model de koncentratie een nader te bepalen varia­tie dc(,) vertonen. Merk op dat de E(,) en g 'onafhankelijk' van elkaar kunnen worden gevarieerd (dus dE(,) en dg hangen niet van elkaar af) maar dat vervolgens de variatie dc(,) wel afhangt van dE(,) en dg.

Het doel van een variatie E(,)—>E(,)+dE(,) en/of g—>g+dg is de varia­tie dH van H uit te drukken in dE(,), dg en dc(,), d.w.z. een uitdrukking van de volgende vorm wordt verkregen:

dH - SOM {..1..} dc(m,n) + SOM {..2..} dE(j,n-l) + {..3..} dg n-2,NT n»2,NT (29) m=l,NX j=l,NVAK

Omdat formeel de variatie dc(,) afhankelijk is van de variaties dE(,) en dg, geldt

dc(m,n) - SOM {..4..} dE(j',n'-l) + {..5..} dg (30) j',n'

echter het is niet mogelijk om de uitdrukkingen {..4..} en {..5..} in een 'voldoende handelbare vorm' af te leiden (nog analytisch noch numeriek). Daarom wordt voor de volgende aanpak gekozen.

Door {..1..J-0 te stellen wordt voor de verzameling Lagrange 'parame­ters' p(m,n) een stelsel vergelijkingen verkregen. In dit stelsel komt echter ook de koncentratie c(,) voor. Deze moeten dus eerst worden berekend (d.m.v. van een modelberekening) alvorens de p(m,n) kunnen worden bepaald.

Daarna is uit (29), via {..2..} en {..3..}, de afgeleide van het kriterium naar de parameters bekend. Met behulp van deze afgeleides kunnen de parameters dusdanig worden aangepast dat het model met de nieuwe parameterwaardes een betere performance biedt dan dat met de oude waardes het geval was.

Door deze procedure een aantal malen te herhalen kan worden bereikt dat aan het einde van al die iteraties de afgeleides {..2..} en {..3..} (zo goed als) 0 zijn, en, er dus een minimum van de kostenfunktie is gevonden.

Het systeem {..1..}=0 waarmee dus de Lagrange parameters p(,) worden opgelost vormt het zogenaamde "geadjungeerde systeem". Verder heet uitdrukking {..2..} de "funktionele afgeleide van H naar de dispersiekoefficient" en is uitdrukking {..3..} de "afgeleide van H naar de afbraakkonstante".

Samenvattend blijkt dus dat voor het minimaliseren van de kostenfunktie het geadjungeerde systeem en de funktionele afgeleides moeten worden berekend. Het geadjungeerde systeem heeft een vorm die sterk lijkt op

- 22 -

die van het model en voor het oplossen van het geadjungeerde systeem moeten diens MKK worden bepaald. Deze zullen sterk afhangen van de MKK van het 'gewone' systeem.

Het "uitrekenen" van het geadjungeerde systeem vindt plaats in het overige deel van dit hoofdstuk. De funktionele afgeleide wordt "be­rekend" in hoofdstuk 5.

4.2 HET DISKRETE GEADJUNGEERDE SYSTEEM

Na de voorbereidingen in paragraaf 4.1 kan nu het geadjungeerde systeem worden berekend. Dat gaat als volgt. Uit vergelijking (28) volgt:

dH - SOM 2{ c(m,n)-c"(m,n) }.w(m,n).dc(m,n) + n,m

SOM p(m,n-l) { dS(m,n m»l,NX n-2,NT

+ SOM dS(m,n i=l,N(m)

dS(m,n

SOM dS(m,n i«=l,N(m)

dR(m,n

+ S(m,n

+ SOM S(m,n i=l,N(m)

S(m,n

SOM S(m,n i=l,N(m)

m,n) c(m,n) +

M(m,i),n) c(M(m,i),n)

m,n-l) c(m,n-l)

(31a)

(31b)

(31c)

(31d)

M(m,i),n-1) c(M(ra,i),n-l) (31e)

m,n) dc(m,n) +

M(m,i),n) dc(M(m,i),n)

m,n-l) dc(m,n-l)

M(m,i),n-1) dc(M(m,i),n-l) }

(31f)

(31g)

(31h)

(31i)

(31j)

Als eerste worden in vergelijking (31) de overeenkomstige dc(,) termen 'gesorteerd'. Dat wil zeggen dat bij een vaste m en n de faktor dc(m,n) 'buiten haakjes wordt gehaald'. Het onttrekken van dc(m,n) uit (31a), (31g) en (31i) geeft weinig problemen. Bedenk hierbij dat

SOM S(m,n|m,n-1) dc(m,n-l) m,n

SOM S(m,n+l|m,n) dc(m,n) m,n

De bijdrage van (31a) aan de geadjungeerde vergelijking is: 2{ c(m,n) - c"(m,n) }.w(m,n)

De bijdrage van (31g) aan de geadjungeerde vergelijking is: p(m,n-l) S(m,n|m,n)

De bijdrage van (31i) aan de geadjungeerde vergelijking is: - p(m,n) S(m,n+l|m,n)

(32a)

(32b)

(32c)

Bij de term S(m',n'|M(m',i'),n') dc(M(m',i'),n') uit (31h) moet worden gerealiseerd dat voor bepaalde m' en i' het knooppunt M(m',i') gelijk

- 23 -

kan zijn aan de 'uitverkoren' m. Er geldt zelfs dat het totaal aantal paren (m',i') waarvoor M(m',i')=m gelijk is aan het aantal vakken met m als eindpunt. Dat aantal is N(m) omdat het 'buren van elkaar zijn' een symmetrische relatie is (m.a.w. als m een buur is van m' is m' een buur van m). Zie ook figuur 9.

m2 m ml * * *

/ \ / \ * \ FIGUUR 9.

m' * m3

Overwegende dat c(m,n), (i) d.m.v. knooppunt ra' en tijd n, via de volgende bijdrage in de Hamil-

toniaan H voorkomt (zie 31h),

p(m',n-l). { S(m',n|m',n ) c(m',n ) + S(m',n|m,n ) c(m,n ) + ... - S(m',n|ml,n-l) c(m',n-l) - S(m',n|m,n-l) c(m,n-l) + ...}

(33a) en,

(ii) via knooppunt m' en tijd n+1 via de volgende bijdrage in de Hamil-toniaan voorkomt (zie 31j),

p(m',n).{ S(m',n+l|m',n+l) c(m',n+l) + S(m',n+l|m,n+l) c(m,n+l) + ... - S(m',n+ljm',n ) c(m',n ) + S(m',n+ljm,n ) c(m,n ) + ...}

(33b)

zal de bijdrage van m' aan de geadjungeerde vergelijking ten gevolge van de variatie dc(m,n) bedragen:

p(m',n-l) S(m',n]m,n) - p(m',n) S(m',n+l|m,n) (34)

waarbij m' - M(m,i) voor een zekere i.

Uiteraard moet een bijdrage a la (34) worden berekend voor ALLE buren m' van m.

Verzamelen van alle bijdrages {32a, 32b, 32c en 34} levert tenslotte voor het geadjungeerde systeem:

p(m,n-l) S(m,n |m,n) + SOM p(M(m,i),n-l) S(M(m,i),n |m,n) i=l,N(m)

- p(m,n ) S(m,n+l|m,n) - SOM p(M(m,i),n ) S(M(m,i),n+l|m,n) i-l,N(m)

+ 2{ c(m,n) - c"(m,n) }.w(m,n) = 0 (35)

- 24 -

Vergelijking (35) geldt voor m=l,NX en n=2,NT. Aangezien voor n=NT de MKK S(.,n+l|.,n) formeel niet gedefinieerd zijn wordt p(.,NT)=0 geko­zen, In tegenstelling tot een beginvoorwaarde bij het 'gewone' model is hier dus een eindvoorwaarde verkregen. Het geadjungeerde systeem moet vervolgens terugwaarts in de tijd worden opgelost.

In vergelijking (35) is nog niet in detail rekening gehouden met de vertaling van de randvoorwaardes van het 'gewone' naar het geadjungeerde systeem. Hierop wordt in de volgende paragrafen in meer detail ingegaan.

4.3 INTERNE RAND

Voor knooppunten m die een interne rand vormen geldt dat de afleiding van hun geadjungeerde toestand is zoals die voor 'gewone' knooppunten is uitgevoerd. Weer wordt vergelijking (35) gevonden waarbij de MKK S(.|.) nu zijn zoals voorgeschreven met de vergelijkingen (17).

4.4 VASTE RANDVOORWAARDE

Met m een randknooppunt (zie figuur 10) geldt voor een vaste randvoor­waarde :

c(m,n) - cr(n) «0 (36a)

Dit betekent dat in de 'berekening' van c(m,n) geen 'buren' worden be­trokken. Anderzijds doen de buren, bij het samenstellen van hun zout-balans, wel een beroep op knoop m. Dat betekent dat knoop m voorkomt in de volgende vergelijkingen opgesteld in de zoutbalans van een naburig knooppunt ml (zie figuur 10):

S(ml,n|ml,n ) c(ml,n ) + S(ml,n |m,n ) c(m,n ) + ... - S(ml,njml,n-1) c(ml,n-l) - S(ml,n-1jm,n-l) c(m,n-l) - ... - R(ml,n) = 0 (36b)

en

S(ml,n+l|ml,n+l) c(ml,n+l) + S(ml,n+1|m,n+l) c(m,n+l) + ... - S(ml,n+1jml,n ) c(ml,n ) - S(ml,n+ljm,n ) c(m,n ) - ... - R(ml,n+1) = 0 (36c)

waarbij de .... op termen duiden die betrekking hebben op koppelingen van ml met andere knopen.

* * * * FIGUUR 10 m ml

Er wordt voor zo'n randpunt nu nagaan hoe (36) wordt vertaald naar het geadjungeerde systeem.

Bij de definitie van de Hamiltoniaan wordt (36a) vermenigvuldigd met p(m,n), (36b) met p(ml,n), en (36c) met p(ml,n+l). Na variatierekening volgt dat het totaal van termen die dc(m,n) bevatten gegeven is door:

dc(m,n) [ p(m,n-l) + S(ml,n|m,n) p(ml,n-l) - p(ml,n) S(ml,n+l|m,n) + 2{c(m,n)-cA(m,n)}w(m,n) ] (37)

Hiermee is opzich niets nieuws gevonden t.o.v. vergelijking (35) echter bij een vaste rand is de variatie dc(m,n)=0 zodat uitdrukking (37) al 0

- 25 -

is en de uitdrukking [...] eigenlijk niet meer op 0 hoeft te worden ge­steld. Opdat bij het oplossen van het geadjungeerde systeem het aantal onbekenden gelijk moet zijn aan het aantal vergelijkingen moet alsnog een vergelijking die p(m,.) bevat worden toegevoegd. Hiervoor wordt gekozen:

p(m,n) - 0 (als m een vaste rand) (38)

4.5 ZWAKKE RANDVOORWAARDE

Hiervoor geldt de afleiding zoals voor (35) is uitgevoerd en gelden "geen nadere bijzonderheden". De MKK S(|) die nu in (35) moeten worden ingevuld zijn zoals die met de vergelijkingen (20,21) zijn voorge­schreven.

4.6 THATCHER-HARLEMAN RANDVOORWAARDE

Voor deze randvoorwaarde gelden wel "bijzondere omstandigheden". Dit kon al worden voorzien uit het feit dat op het gedeelte na LWSK de randvoor­waarde met een cos-profiel wordt voortgezet. Hiermee wordt over een tijdsinterval TO de koncentratie van het tijdstip dat direkt voorafgaat aan LWSK verbonden met een maximale waarde c(max). Hierdoor hangen de c(m,n) (m op de rand, n tussen LWSK en een tijd TO later) af van een koncentratie die meer dan 1 stap uit het verleden stamt. Zie paragraaf 3.3.2.3 voor nadere toelichting en details.

In die paragraaf is ter sprake geweest dat op tijdsintervallen waar een cos-profiel als rand is gekozen de volgende formule geldt (zie 24; wel­licht ten overvloede zij vermeld dat knoop m in deze paragraaf telkens betrekking heeft op een punt op de rand):

n - N2 c(m,n) - [ c(max) { 1 - cos( pi ) }/2 +

N3 - N2 + 1

n - N2 c(m,N2) { 1 + cos( pi ) }/2 ] = 0

N3 - N2 + 1 (39)

Het definitiegebied omvat hier het tijdsinterval [N2+1,N3], Op het interval [Nl+1,N2] dat hieraan voorafging werd de koncentratie via een zwakke-randvoorwaarde-voorschrift gegenereerd.

Voor het afleiden van de geadjungeerde toestandsvergelijkingen kan nu niet zonder nadere voorzorg de afleiding die tot (35) leidde worden herhaald. De oorzaak hiervan is dat op de cos-rand de c(ra,N2)-afhanke-lijkheid -in tegenstelling tot de door ons zelf opgelegde regel- niet is ondergebracht in een MKK, maar in de restterm R(m,n). Daarom moet t.a.v. deze rand de 'boekhouding' worden overgedaan. Hiervoor moet worden nagegaan met welke overige rekenpunten (m,n) kommuniceert. Dit gaat alsvolgt.

n»N2: Bij de modelberekeningen komt c(m,N2) in de volgende vergelij­kingen voor:

(i) In de zoutbalansvergelijking van rekenpunt m op tijd N2 (volgens een zwakke-randvoorwaarde-voorschrift).

- 26 -

(ii) Daarnaast komt c(m,N2) voor in de zoutbalansvergelijking van rekenpunt m2 voor de tijden N2 en N2+1.

(iii) Voor n=N2+l tot en N3 komt c(m,N2) voor in het voorschrift van c(m,n) zoals dat met vergelijking (39) is gegeven.

Na het samenstellen van de Hamiltoniaan H uit de 'Lagrangiaan' L, het uitvoeren van variatierekening, en, het verzamelen van de dc(m,N2) termen, wordt op basis van (i)-(iii) voor dc(m,N2) de volgende bijdrage gevonden:

dc(m,N2) [ p(m ,N2-1) S(m,N2 |m,N2) + p(ml,N2-l) S(ml,N2|m,N2) - p(ml,N2 ) S(ml,N2+ljm,N2) + 2{ c(m,N2)-c"(m,N2) } w(m,N2) (40)

n - N2 SOM p(m,n-l) { 1 + cos( pi ) }/2 ]

n=N2+l,N3 N3 - N2 + 1

Hieruit volgt dat voor p(m,N2-l) de volgende geadjungeerde verge-gelijking moet worden opgelost:

p(m ,N2-1) S(m ,N2 |ra,N2) + p(ml,N2-l) S(ml,N2|m,N2) (41)

- p(ml,N2 ) S(ml,N2+l|m,N2) + 2{ c(m,N2)-cA(m,N2) }w(m,N2)

n - N2 SOM p(m,n-l) { 1 + cos( pi ) }/2 ] = 0

n-N2+l,N3 N3 - N2 + 1 cos rand: n»N2

Merk op dat p(m,N2-l) behalve van zijn naaste buren afhangt van p(m,n) waardes uit de toekomst: n in [N2,N3-1] (en m nog steeds op de rand).

n*N2+l tot n=N3: Bij de modelberekeningen komt c(m,n) voor in vergelij­king (39), en, in de in de zoutbalansvergelijking van rekenpunt ml op tijd n en tijd n+1. Bij het verzamelen van de dc(m,n) termen volgt de volgende geadjun­geerde vergelijking:

p(m,n-l) + p(ml,n-l) S(ml,n|m,n) - p(ml,n) S(ml,n+1|m,n) (42)

+ 2{ c(m,n)-c*(m,n) } w(m,n) = 0 cos rand: n=N2+l,N3

Met de vergelijkingen (41,42) is de rand van het geadjungeerde sys­teem afgehandeld op de plaatsen waar het 'gewone' model via een cos-profiel is voorgeschreven. Op de plaatsen waar de Thatcher-Harleman rand een vast voorschrift c(m,n)=c(max) heeft geldt zoals onder (4.11 is afgeleid dat p(m,n-l)=0. Op de plaatsen waar de rand is voorge­schreven volgens d2c/dx2=0 is het voorschrift voor de geadjungeerde rand met vergelijking (35) gegeven.

- 27 -

4.7 SAMENVATTING GEADJUNGEERDE SYSTEEM

Het diskrete geadjungeerde systeem p(,) van het ZWENDL_zout transport­model is gegeven door vergelijking (35). In dit model zijn de p(m,n) gedefinieerd voor n=l,NT met de eindvoor-waarde p(.,NT)=0. Samenvattend geldt voor de randvoorwaardes:

(i ) Interne Rand. De geadjungeerde randvoorwaarde is met (35) voorgeschreven,

(ii ) Vaste randvoorwaarde. Is c(m,n) voor n«=Nl tot N2 voorgeschreven dan is voor deze m en n de geadjungeerde toestand p(m,n-l)=*0

(iii) Zwakke randvoorwaarde. De geadjungeerde randvoorwaarde is met (35) voorgeschreven.

(iv ) Thatcher-Harleman rand. Voor het gedeelte waarop met een cosinusprofiel c(LWSK) wordt verbonden met c(max) geldt een geadjungeerde randvoorwaarde zoals voorgeschreven met (41,42).

- 28 -

5. DE DISKRETE FUNKTIONELE AFGELEIDE.

In het vorige hoofdstuk is aan de hand van de variatie-formule (31) het geadjungeerde systeem afgeleid. Deze afleiding vond plaats door alle overeenkomstige dc(m,n)-termen te verzamelen. Deze termen kwa­men voor in de frakties (31a) en (31g-j). Door van vergelijking (31) de frakties (31b-f) te verzamelen en de variaties dS(| ) uit te drukken in de variaties dE(|) en dg, kan de funktionele afgeleide van de kostenfunktie naar de dispersie-koefficient en de afgeleide naar de afbraakkonstante worden berekend.

Met het geadjungeerde systeem p(,) zoals in het voorgaande hoofdstuk voorgeschreven is vergelijking (31) gereduceerd tot:

dH - SOM p(m,n-l) { dS(m,n|m,n) c(m,n) + (43b) m-l,NX n-2,NT + SOM dS(m,n|M(m,i),n) c(M(m,i),n) (43c)

i»l,N(m)

dS(m,n|m,n-l) c(m,n-l) (43d)

SOM dS(m,n|M(m,i),n-l) c(M(m,i),n-l) (43e) i=l,N(m)

dR(m,n) } (43f)

T.a.v. de dS(|) geldt (zie o.a. vergelijking (11)):

(1-a) A(m|M(m,i),n-l/2) dt dS(m,n|m,n) = SOM dE(m|M(m,i),n-l)

i=l,N(m) dx(m|M(m,i)) (44a)

+ dg SOM dt dx(m|M(m,i)) A(m|M(m,i),n-l/2)/4 i*l,N(m)

(1-a) A(m|M(m,i),n-l/2) dt dS(m,n|M(m,i),n) - dE(m|M(m,i),n-l)

dx(m|M(m,i)) (44b)

a A(m|M(m,i),n-l/2) dt dS(m,n|n,n-l) - - SOM dE(m|M(m,i),n-l)

i=-l,N(m) dx(m|M(m,i)) (44c)

- dg SOM dt dx(m|M(m,i)) A(m|M(m,i),n-l/2) i=l,N(m)

a A(m|M(m,i),n-l/2) dt dS(m,n|M(m,i),n-l) = dE(m|M(m,i),n-l/2) (44d)

dx(m|M(m,i))

Omdat R(m,n) niet van E(|) of g afhangt is dR()=0

invullen van (44) in (43) geeft de volgende variatieformule voor dH:

- 29 -

A(m|M(m,i),n-l/2) dH - SOM p(m,n-l).dt. SOM .

m»l,NX i=l,N(m) dx(m|M(m,i)) n=2,NT (45a)

{(1-a) c(m,n) - (1-a) c(M(m,i),n) + a c(m,n-l) - a c(M(m,i),n-l) }. dE(m|M(m,i),n-l)

+ dg. SOM p(m,n-l) SOM dt dx(m|M(m,i)) A(m|M(m,i),n-l/2) . m,n j-l,N(m) (45b)

{ c(m,n) + c(m,n-l) } / 4

Formule (46) kan een stuk aantrekkelijker worden gemaakt door de sommatie over de knopen m en de 'lokale' vakken i te kombineren tot een grote sommatie over de vakken j van het netwerk.

Er wordt dan de volgende uitdrukking verkregen:

(1-a) c(m2,n) - (1-a) c(ml,n) + a c(m2,n-l) - a c(ml,n-l) dH» dt.SOM SOM

n«2,NT j dx(j)

{ p(m2,n-l) A(m2|ml,n-l/2) - p(ml,n-l) A(ml|ra2,n-l/2) }.

dE(j,n-l) (46a)

+ dt dg SOM SOM dx(j) .

n=2,NT j (46b)

[ p(ml,n-l) A(ml|m2,n-l/2) { c(ml,n) + c(ml,n-l) } +

p(m2,n-l) A(ra2|ml,n-l/2) { c(m2,n) + c(m2,n-l) } ]/4 In deze formule zijn ml en m2 de knooppunten die vak j begrenzen. Merk op dat zowel uitdrukking (46a) als (46b) symmetrisch zijn in ml en m2. De oriëntatie van het vak is dus niet van belang hetgeen ook verwacht mocht worden. Ter herinnering: als ml het begin van vak j is en m2 het einde van dat vak dan gold de definitie:

A(ml|m2,n-l/2) - { Ab(j,n-l/2) + Ae(j,n-l/2) }/2 (47) = { Ab(j,n-1) + Ae(j,n-1) + Ab(j,n) + Ae(j,n) }/4

Uit formule (46) volgt voor de funktionele afgeleide van de kostenfunktie naar de dispersiekoefficient E(,) (E is gedefinieerd per vak):

vE(j,n-l) := dH/dE(j,n-l) - (48a)

(1-a) c(m2,n) - (1-a) c(ml,n) + a c(m2,n-l) - a c(ml,n-l) d t .

dx(j)

{ p(m2,n-l) A(m2|ml,n-l/2) - p(ml,n-l) A(ml|m2,n-l/2) }

en de afgeleide van de kostenfunktie naar de afbraakterm is

- 30

vg := dH/dg •- dt SOM SOM dx(j) . (48b)

n=2,NT j

[ p(ml,n-l) A(ml|m2,n-l/2) { c(ml,n) + c(ml,n-l) } +

p(ra2,n-l) A(m2|ml,n-l/2) { c(m2,n) + c(m2,n-l) } ]/4

Er treedt t.a.v. formule (48a) een uitzondering op. Dat is in vakken waarvan een der knopen een randpunt vormt met daarin een zwak opgegeven randvoorwaarde. In die knopen vindt een korrektie plaats in het advektieve en dispersieve zouttransport. Zie paragraaf 3.3.2.2. Het bleek dat als m zo'n randpunt vormt (en grenst aan ml) dat dan in het dispersieve deel als effektieve dwarsdoorsnede A(m|ml,n-l/2)-Ab(m|m,n-l/2) moest worden genomen i.p.v. A(m|ml,n-l/2). Het gevolg is dat als ml zo'n zwak randpunt is, dat dan in formule (48a) de term p(ml,n-l) A(ml|m2,n-l/2) moet worden vervangen door p(ml,n-l) { A(ml|m2,n~l/2) - Ab(j,n-l/2 } als ml=begin van vak j, en door p(ml,n-l) { A(ml|m2,n-l/2) - Ae(j,n-l/2 } als ml=einde van vak j.

Aangezien in geen enkel ander geval met een afwijkende formulering van het dispersieve transport wordt gewerkt behoeft (48a) geen nadere kor-rekties.

- 31 -

6. DE GRADIËNT

Om de besturingsextensie van het Inregelsysteem ZWENDL-Zout te aktiveren moet de gebruiker een module aanleveren met de parametrisatie van de dispersiekoefficient die ingeregeld moet worden. Daarnaast moet met een tweede 'user-taak' de afgeleide van de dispersiekoefficient naar de parameters worden aangeleverd.

Met behulp van de tweede user-taak kan de gradiënt van de kostenfunktie naar de parameters worden berekend. Hiervoor wordt gebruik gemaakt van de funktionele afgeleide die in hoofdstuk 5 is afgeleid. Dit gaat als volgt.

Stel men heeft een parametrisatie E(j, n-1; a) van de dispersiekoeffi-cient met zoals voorheen j het vaknummer en n de diskrete tijd. De a staat voor N parameters a(l), a(2),...tot en met...a(N). De afgeleide v(k) van de kostenfunktie L naar de k-parameter is dan,

dL dE(j,n-l;a) v(k):= dL/da(k) - SOM

n,j dE(j,n-l;a) da(k)

•- SOM vE(j,n-l) dE(j,n-l;a)/da(k) (49) n,j

Hierbij is gebruik gemaakt van de kettingregel. Na de berekening van de afgeleides v(l), v(2),..., v(N) kunnen de parameters a(l),...,a(N) wor­den 'ge-updated'. Dit wordt uitgevoerd met een Quasi-Newton procedure. Zie hoofdstuk 7.

Merk op dat als naast de dispersiekoefficient E(,) tevens een afbraak-konstante g moet worden ingeregeld dat dan voor het vinden van de afge­leide dL/dg geen konversie (van (48b)) hoeft plaats te vinden omdat (48b) al de afgeleide is.

- 32 -

7. QUASI-NEWTON

Nadat de gradiënt is berekend vindt updating van de parameters plaats door middel van een Quasi-Newton algoritme.

Het voert hier te ver om diep op dergelijke updating methodes in te gaan en daarom wordt alleen het idee van de methode toegelicht.

Om een minimum te vinden van een funktie f(.) van N-variabelen zou men voor diverse x=(xl,x2,...,xN) f(x) kunnen berekenen en dan van alle berekeningen degene kiezen die tot de kleinste funktiewaarde leidde. In een dergelijke 'direct search' methode moet voor een voldoende nauwkeurige bepaling van dat minimum (en eventueel de plaats x waar dat wordt aangenomen) in het algemeen een groot aantal berekeningen worden uitgevoerd. Vooral als N, het aantal komponenten van x, aanzienlijk is kan dit aantal berekeningen praktisch gesproken onoverkoombaar groot worden. Daarom moet meer 'gericht' naar het minimum worden gezocht. Dat betekent dat men vanuit een positie x tevens de richting g bepaalt waarin de funktie het steilst daalt. Deze richting is bepaald door de gradiënt. Door gebruik te maken van funktiewaardes en gradiënten kan de minimali­satie al aanzienlijk sneller tot stand worden gebracht dan met een 'direct search'. Dit idee kan worden uitgebreid door naast de funktiewaardes en de gra­diënt tevens de tweede afgeleides in het minimalisatieproces te betrek­ken.

Het probleem is echter dat het berekenen van gradiënten en tweede afge­leides erg rekenintensief is. Voor de berekening van de gradiënt is die inspanning echter met een kunstgreep aanzienlijk te reduceren. Die kunstgreep bestaat daarin dat gebruik wordt gemaakt van het geadjungeerde systeem en de funktionele afgeleide (zie de voorafgaande hoofdstukken). Zo'n 'truuk' is echter nog niet uitgevonden voor de Hessiaan (=de matrix met de tweede afgeleides van f()). Gelukkig is dat niet erg aangezien het mogelijk is gebleken om goede benaderingen te vinden van de tweede afge­leide. Deze benaderingen kunnen worden bepaald op basis van de in voor­gaande iteraties berekende gradiënten. Dit leidt in stap k tot een bena­dering H(k) van de Hessiaan. H(k) wordt afgeleid uit de Hessiaan H(k-l) uit de vorige stap en de oude en nieuwe gradiënt g(k-l) en g(k).

Omdat van een pseudo-tweede-afgeleide gebruik wordt gemaakt, wordt een dergelijke minimalisatie methode vaak Quasi-Newton genoemd (wordt de 'echte' tweede afgeleide gebruikt dan spreekt man van een Newton methode). Naast de naam Quasi-Newton is de benaming 'variable metric method' eveneens gangbaar.

Het blijkt dat met Quasi-Newton methodes suksesvol minimalisaties kunnen worden uitgevoerd. Een van de beroemdste algoritmes met gunstige nume­rieke eigenschappen is de BFGS-methode (Broyden, Fletcher, Goldfarb, Shanno). Voor nadere informatie over Quasi-Newton methodes in het alge­meen, en de BFGS methode in het bijzonder, wordt verwezen naar paragraaf 10.7 in [4] en paragraaf 3.5 in [5]

- 33 -

8. REFERENTIES

[1] De numerieke aspekten van het model ZWENDL. Rijkswaterstaat, Direktie Waterhuishouding en Waterbeweging, Distrikt Zuidwest, 11.004.12, Juni 1985.

[2] IJking ZWENDL Noordelijk Deltabekken. Stand van zaken januari 1987, Rijkswaterstaat, Dienst Binnenwateren/RIZA, 87.026. April 1987.

[3] Inregelen van wiskundige modellen op basis van besturingstheorie. Waterloopkundig Laboratorium, Augustus 1988.

[4] Numerical Recipes, The art of Scientific Computing. W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, Cambridge University Press, 1987.

[5] Algoritms for unconstrained optimization, F.A. Lootsma, Lecture notes a85A, Delft University of Technology, September-December 1981.

• Incativ DeVoorit'

• hoofdkantoor

hoofdkantoor Rttterdarnsewag 185 postbus 177 2600 MH Delft tolefoon (015) 56 93 53 telefax (015) 61 96 74 telex 38176 hydel-nl

locatie 'Do Voorst' Voorsterweg 28, Marknesse postbus 152 8300.AD Emmeloord telefoon (05274) 29 22 telefax (05274) 35 73 telex 42290 hylvo-nl

NaordM*

• Amiterciini

• Londtn

Bruist. I •