35

Èññëåäîâàíèå àíàëîãèé ñ ïîìîùüþ Cabri 3Díà ïðèìåðå ïàðû òðåóãîëüíèê�òåòðàýäð

ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ

Õàéíö Øóìàí

ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÀÍÀËÎÃÈÉ

Ñ ÏÎÌÎÙÜÞ CABRI 3D

ÍÀ ÏÐÈÌÅÐÅ ÏÀÐÛ ÒÐÅÓÃÎËÜÍÈÊ�ÒÅÒÐÀÝÄÐ

1. ÂÂÅÄÅÍÈÅ

Ñòåðåîìåòðèÿ ÿâëÿåòñÿ ïàä÷åðèöåéøêîëüíîé ãåîìåòðèè; â íàñòîÿùåå âðåìÿ îíàñîäåðæèò ïðîñòåéøèå ïðåäñòàâëåíèÿ è ðàñ-÷åòû äëÿ íåêîòîðûõ ñòàíäàðòíûõ òåë. Äðó-ãèå òåìû ïðîñòðàíñòâåííîé ãåîìåòðèè çàò-ðàãèâàþòñÿ â øêîëå êðàéíå ðåäêî: íàïðè-ìåð, âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå ïðîñòðàíñòâåí-íûõ îáúåêòîâ, êîíãðóýíòíûå îòîáðàæåíèÿèëè âîïðîñû, ñâÿçàííûå ñ ýâðèñòè÷åñêèìèðàññóæäåíèÿìè (íàïðèìåð, àíàëîãèÿ ìåæäóñâîéñòâàìè òðåóãîëüíèêà è òåòðàýäðà).

Ïðè÷èíà ïðåæäå âñåãî â òîì, ÷òî äëÿèçó÷åíèÿ ýòèõ òåì èìåþòñÿ î÷åíü îãðàíè-÷åííûå ñðåäñòâà. Ñîîòâåòñòâóþùèå ôèçè-÷åñêèå ìîäåëè ñëîæíû è îáû÷íî äîðîãè;îíè â áîëüøèíñòâå ñâîåì èìåþò îãðàíè-÷åííóþ ôóíêöèîíàëüíîñòü è íåäèíàìè÷-íû. Ïðàâäà, åñòü ó íèõ è îäíî äîñòîèí-ñòâî � îíè äàþò öåëîñòíîå âîñïðèÿòèåîáúåêòà.

Íåõâàòêà ïîäõîäÿùèõ ñðåäñòâ ìîæåòáûòü ÷àñòè÷íî êîìïåíñèðîâàíà èñïîëüçî-âàíèåì ìàíèïóëÿòèâíîé ãðàôèêè.  ñòàòüå[5] áûëî ïîêàçàíî, êàê ñ ïîìîùüþ ïðî-ãðàììû «Körpergeometrie» [2] ìîæíî êîí-ñòðóèðîâàòü ïðîñòðàíñòâåííûå îáúåêòû. Íîýòà ïðîãðàììà ïîçâîëÿåò ëèøü â îãðàíè-÷åííîé ñòåïåíè ìîäèôèöèðîâàòü èëè ñòðî-èòü íîâûå òåëà. Òàêæå Klemenz (2001) ñî-çäàë íåçàâèñèìóþ îò ïëàòôîðìû ïðîãðàì-ìó GeometerPRO (http://www.geosoft.ch/geometer), êîòîðàÿ ëèøü ÷àñòè÷íî óäîâëåò-

âîðÿåò òðåáîâàíèÿì, ïðåäúÿâëÿåìûì ê òà-êèì ïðîãðàììàì.

Ìû ñîáèðàåìñÿ èçó÷àòü ïðîñòðàí-ñòâåííûå àíàëîãè íåêîòîðûõ ëèíèé è òî÷åêòðåóãîëüíèêà ñ ïîìîùüþ ñèñòåìû äèíàìè-÷åñêîé ãåîìåòðèè Cabri 3D. Ýòà ñèñòåìàïîçâîëÿåò:

� ñòðîèòü ïðîñòðàíñòâåííûå îáúåêòû«â ãëóáèíå» ýêðàíà, íàäñòðàèâàÿ ñîîòâåòñòâó-þùèå ïëîñêèå îáúåêòû,

� âèçóàëèçèðîâàòü ïðîñòðàíñòâåííûåêîíñòðóêöèè, çàäàâàÿ èõ àòðèáóòû è èñïîëü-çóÿ òàê íàçûâàåìóþ Âèðòóàëüíóþ Ñôåðó, âêîòîðóþ ìîæíî âêëàäûâàòü èçó÷àåìûéîáúåêò è ðàññìàòðèâàòü åãî ñî âñåõ ñòîðîí,

� äåôîðìèðîâàòü ïðîñòðàíñòâåííûåîáúåêòû òàê, êàê ýòî ìû ïðèâûêëè äåëàòü ñïëîñêèìè.

Ìû ñòàâèì ïåðåä ñîáîé ñëåäóþùèåöåëè:

� ïðèìåíåíèå ýâðèñòè÷åñêèõ è èíäóê-òèâíûõ ìåòîäîâ [4]; èññëåäîâàíèå è àíàëèçïðîñòðàíñòâåííûõ êîíôèãóðàöèé,

� ïðèìåíåíèå è ðàñøèðåíèå çíàíèé âãåîìåòðèè (òåîðåìû, ïîíÿòèÿ, àëãîðèòìû),

� òðåíèðîâêà íàáëþäàòåëüíîñòè, ïðî-ñòðàíñòâåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ è åãî èíòåð-ïðåòàöèè, óìåíèÿ äåéñòâîâàòü â âèðòóàëü-íîì ïðîñòðàíñòâå,

� îâëàäåíèå ñîîòâåòñòâóþùèì êîìïü-þòåðíûì óñòðîéñòâîì.

 ïðîöåññå ðàáîòû ñ çàäà÷àìè ñòåðåî-ìåòðèè êîìïüþòåð è ñèñòåìà Cabri 3D îá-

36

Õàéíö Øóìàí

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 4, 2005 ã.

Çíàíèÿ â îáëàñòè

ñòåðåîìåòðèè

Èñïîëüçîâàíèå

êîìïüþòåðàÏðîñòðàíñòâåííûå

ïðåäñòàâëåíèÿ

ðàçóþò åäèíûé èíñòðóìåíò, ñ ïîìîùüþ êî-òîðîãî îáúåäèíÿþòñÿ òðè âçàèìîñâÿçàííûåîáëàñòè (äèàãðàììà 1).

Ñòðåëêè â äèàãðàììå îçíà÷àþò ïîä-äåðæêó ñîîòâåòñòâóþùåé îáëàñòè. Î÷åâèä-íî, çíàíèÿ è íàâûêè, ïðèîáðåòåííûå â îä-íîé îáëàñòè, ñïîñîáñòâóþò îáó÷åíèþ â äðó-ãîé îáëàñòè.

Äàëåå ïðîöåññ âûÿâëåíèÿ àíàëîãèéðàçäåëèì íà òðè ÷àñòè:

� ïåðïåíäèêóëÿðû ê ñåðåäèíàì ñòî-ðîí è èõ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ,

� áèññåêòðèñû è èõ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ,� ìåäèàíû è èõ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ,� âûñîòû è èõ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ.Ìåòîä îáó÷åíèÿ îñíîâàí íà èññëåäî-

âàíèÿõ, ñîâåðøàåìûõ ó÷åíèêîì â ïðîöåññåêîíñòðóèðîâàíèÿ. Ýòîò ìåòîä óäàëîñü ïðè-ìåíèòü òîëüêî áëàãîäàðÿ êîíñòðóêòèâíûìâîçìîæíîñòÿì, ïðåäîñòàâëÿåìûì ïðîãðàì-ìîé Cabri 3D.

Ïðè íàøåì ïðåèìóùåñòâåííî ôåíî-ìåíîëîãè÷åñêîì ïîäõîäå ìû íå ïðèâîäèìàíàëèòè÷åñêèõ èëè âåêòîðíûõ äîêàçàòåëüñòâè èõ âîçìîæíîé âèçóàëèçàöèè; ýòè âîïðî-ñû îòðàæåíû â ïðèëàãàåìîì ñïèñêå ëèòå-ðàòóðû.

2. ÈÇÓ×ÅÍÈÅ ÀÍÀËÎÃÈÉÑ ÏÎÌÎÙÜÞ

ÊÎÍÑÒÐÓÈÐÎÂÀÍÈß

Îïèñàíèå ïðîöåññà èçó÷å-íèÿ àíàëîãèé ñ ïîìîùüþ êîí-ñòðóèðîâàíèÿ îðãàíèçîâàíî ââèäå ñâîåãî ðîäà ïðîòîêîëà.

Ïðè ïîèñêå ïðîñòðàí-ñòâåííûõ àíàëîãîâ äëÿ òî÷åê,ïðÿìûõ è îòðåçêîâ âàæíî ó÷è-òûâàòü, ÷òî

� òî÷êà ñîîòâåòñòâóåò òî÷êå èëè íå-êîòîðîé ïðÿìîé,

� ïðÿìàÿ � ïðÿìîé èëè íåêîòîðîéïëîñêîñòè,

� ñòîðîíû ìíîãîóãîëüíèêà � ãðàíÿììíîãîãðàííèêà.

Ïðè ýòîì ñîõðàíÿþòñÿ òàêèå ïîíÿòèÿ,êàê «ñîåäèíÿþò», «ïåðåñåêàþòñÿ», «îðòî-ãîíàëüíû», «ïàðàëëåëüíû».

2.1. ÀÍÀËÎÃÈß ÄËß ÒÐÅÓÃÎËÜÍÈÊÀ

Ïðîñòðàíñòâåííûì àíàëîãîì òðåóãîëü-íèêà ÿâëÿåòñÿ òåòðàýäð (òðåóãîëüíàÿ ïèðà-ìèäà) (ðèñóíîê 1).

2.2. ÀÍÀËÎÃÈß ÄËß ÖÅÍÒÐÀÎÏÈÑÀÍÍÎÉ ÎÊÐÓÆÍÎÑÒÈ

Íà ãðàíè òåòðàýäðà îòìå÷àåì òî÷êóïåðåñå÷åíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ê ñåðåäèíàìñòîðîí (öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè) èâîññòíàâëèâàåì ïåðïåíäèêóëÿð ê ïëîñêîñòèãðàíè (ðèñóíîê 2).

Íà ýòîì ïåðïåíäèêóëÿðå îòìå÷àåìïîäâèæíóþ òî÷êó. Îíà ðàâíîóäàëåíà îò âåð-øèí òðåóãîëüíèêà, è ïîýòîìó ìîæíî ïîñò-ðîèòü ñôåðó ñ öåíòðîì â ýòîé òî÷êå è ïðî-õîäÿùóþ ÷åðåç âåðøèíû òðåóãîëüíèêà (ðè-

Äèàãðàììà 1.

Ðèñóíîê 1. Ðèñóíîê 2. Ðèñóíîê 3.

37

Èññëåäîâàíèå àíàëîãèé ñ ïîìîùüþ Cabri 3Díà ïðèìåðå ïàðû òðåóãîëüíèê�òåòðàýäð

ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ

ñóíîê 3). Äâèãàÿñü ïî ïåðïåíäèêóëÿðó, ïîëó÷àåì ñåìåé-ñòâî ñôåð (ðèñóíîê 4).

Ïîâòîðÿÿ òàêîå ïîñòðîåíèå äëÿ êàæäîé ãðàíè, ïîëó-÷àåì, ÷òî ïåðïåíäèêóëÿðû ê ãðàíÿì ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîéòî÷êå � öåíòðå îïèñàííîé ñôåðû (ðèñóíîê 5) � àíàëîãè÷-íî öåíòðó îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà. Ïåðåìå-ùàÿ âåðøèíû òåòðàýäðà, ìîæíî èññëåäîâàòü, êàêîé âèäèìååò òåòðàýäð, êîãäà öåíòð ñôåðû íàõîäèòñÿ âíå òåòðàýä-ðà èëè íà åãî ãðàíè.

Äðóãîé âàðèàíò ïîñòðîåíèÿ ïîëó÷èòñÿ, åñëè ÷åðåçñåðåäèíû ðåáåð ïðîâåñòè ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå êðåáðàì (ðèñóíêè 6, 7, 8). Ýòè øåñòü ïëîñêîñòåé ïåðåñåêà-þòñÿ â öåíòðå îïèñàííîé ñôåðû.

2.3. ÀÍÀËÎÃÈ ÁÈÑÑÅÊÐÈÑ

Ïîïðîáóåì íàéòè â òåòðàýäðå àíàëîãè áèññåêòðèñ òðå-óãîëüíèêà. Ðàññìîòðèì îäèí èç òðåõãðàííûõ óãëîâ òåòðà-ýäðà. Ïðîâåäåì òðè ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ñîîò-âåòñòâóþùèì ãðàíÿì ýòîãî óãëà è ïðîõîäÿùèå ÷åðåç áèñ-ñåêòðèñû åãî ïëîñêèõ óãëîâ (ðèñóíîê 9).

Ýòè ïëîñêîñòè ïåðåñåêàþòñÿ ïî îäíîé ïðÿìîé. Ìî-æåò ëè íà ýòîé ïðÿìîé íàõîäèòüñÿ öåíòð ñôåðû, êàñàþ-ùåéñÿ âñåõ òðåõ ãðàíåé? Ê ñîæàëåíèþ, â îáùåì ñëó÷àåýòî íå òàê (ðèñóíîê 10). Âìåñòî îïèñàííûõ âûøå ïëîñêî-ñòåé, ïîñòðîèì òðè ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç áèññåêò-

Ðèñóíîê 4. Ðèñóíîê 5. Ðèñóíîê 6.

Ðèñóíîê 7.

Ðèñóíîê 8.

Ðèñóíîê 9. Ðèñóíîê 10. Ðèñóíîê 11.

38

Õàéíö Øóìàí

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 4, 2005 ã.

ðèñû ãðàíåé òðåõãðàííîãî óãëà è ïðîòèâîïî-ëîæíîå ðåáðî ýòîãî óãëà (ðèñóíîê 11), îíèòîæå ïåðåñåêàþòñÿ ïî îäíîé ïðÿìîé. Îäíàêîè â ýòîì ñëó÷àå ñôåðà ñ öåíòðîì íà ýòîé ïðÿ-ìîé êàñàåòñÿ òîëüêî îäíîé èç ãðàíåé (ðèñó-íîê 12). Íóæíî ïîäûñêàòü äðóãèå àíàëîãè. Òà-êèì àíàëîãîì ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿ-ùàÿ ÷åðåç îäíî èç ðåáåð òðåõãðàííîãî óãëà èáèññåêòðèñó ñîîòâåòñòâóþùåãî ëèíåéíîãî óãëà(ðèñóíîê 13). Ýòó ïëîñêîñòü ìîæíî íàçâàòüáèññåêòðèñîé äâóãðàííîãî óãëà.

Òðè òàêèõ áèññåêòðèñû ïðè îäíîé âåð-øèíå òåòðàýäðà ïåðåñåêàþòñÿ ïî îäíîé ïðÿ-ìîé. Íà ýòîé ïðÿìîé íàõîäèòñÿ öåíòð âïè-ñàííîé â òåòðàýäð ñôåðû (ðèñóíîê 14). Ýòóïðÿìóþ ìîæíî íàçâàòü áèññåêòðèñîé òðåõãðàí-íîãî óãëà (ëó÷øå: ðàâíîóäàëåííîé îò ãðàíåé).×åòûðå áèññåêòðèñû ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîéòî÷êå � öåíòðå âïèñàííîé îêðóæíîñòè (ðèñó-íîê 15).

Ïî àíàëîãèè ñ ðàçáèåíèåì òðåóãîëüíè-êà íà òðè òðåóãîëüíèêà ëó÷àìè, âûõîäÿùèìèèç öåíòðà âïèñàííîé îêðóæíîñòè, òåòðàýäðìîæíî ðàçáèòü, íà ÷åòûðå òåòðàýäðà ñ îáùåéâåðøèíîé â öåíòðå âïèñàííîé îêðóæíîñòè, îñ-

Ðèñóíîê 12. Ðèñóíîê 13.

Ðèñóíîê 14.

Ðèñóíîê 15.

Ðèñóíîê 16. Ðèñóíîê 17.

39

Èññëåäîâàíèå àíàëîãèé ñ ïîìîùüþ Cabri 3Díà ïðèìåðå ïàðû òðåóãîëüíèê�òåòðàýäð

ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ

íîâàíèÿ êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñ ãðàíÿìè òåò-ðàýäðà (ðèñóíîê 16). Èç ýòîãî ðàçáèåíèÿ íå-ïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò, ÷òî îáúåìû ýòèõ òåò-ðàýäðîâ ðàâíû îäíîé ÷åòâåðòè îò îáúåìàèñõîäíîãî òåòðàýäðà, åñëè ýòî ïðàâèëüíûéòåòðàýäð.

2.4. ÀÍÀËÎÃÈ ÌÅÄÈÀÍ

 òðåóãîëüíèêå ìåäèàíû ñîåäèíÿþò ñå-ðåäèíû, òî åñòü öåíòðû òÿæåñòè, ñòîðîí òðå-óãîëüíèêà ñ ïðîòèâîïîëîæíûìè âåðøèíàìèè ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Àíàëîãè÷íîýòîìó â òåòðàýäðå ëèíèè, ñîåäèíÿþùèå öåíò-ðû òÿæåñòè ãðàíåé ñ åãî ïðîòèâîïîëîæíûìèâåðøèíàìè (ðèñóíîê 18), òàêæå ïåðåñåêàþò-ñÿ â îäíîé òî÷êå � öåíòðå òÿæåñòè òåòðàýäðà.Öåíòð òÿæåñòè òðåóãîëüíèêà äåëèò ìåäèàíûâ îòíîøåíèè 2:1. Èìååòñÿ ëè àíàëîãè÷íîå îò-íîøåíèå äëÿ òåòðàýäðà? Ñ ïîìîùüþ çåðêàëü-íîé ñèììåòðèè ìîæíî óñòàíîâèòü, ýòî îòíî-øåíèå ðàâíî 3:1.

Òàêæå è äëÿ òðåóãîëüíèêà ñ âåðøè-íàìè â ñåðåäèíàõ ñòîðîí èñõîäíîãî òðåó-ãîëüíèêà, èìååòñÿ àíàëîã â òåòðàýäðå. Ýòîòòðåóãîëüíèê ïîëó÷àåòñÿ èç èñõîäíîãî ñ ïî-ìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáèÿ ñ êîýôôè-öèåíòîì 1/2. Òåòðàýäð ñ âåðøèíàìè â öåí-

Ðèñóíîê 19.Ðèñóíîê 18.

Ðèñóíîê 20. Ðèñóíîê 21.

òðàõ òÿæåñòè ãðàíåé èñõîäíîãî òåòðàýäðà(ðèñóíîê 19) ïîëó÷àåòñÿ èç èñõîäíîãî ñïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîäîáèÿ ñ êîýô-ôèöèåíòîì 1/3.

Ëèíèè äðóãîãî òèïà � ïðÿìûå, ñîåäè-íÿþùèå ñåðåäèíû ïðîòèâîïîëîæíûõ ðåáåðòåòðàýäðà. Îíè ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷-êå è äåëÿòñÿ â íåé ïîïîëàì. Ýòà òî÷êà ñî-âïàäàåò ñ öåíòðîì òÿæåñòè òåòðàýäðà (ðè-ñóíîê 20).

×åðåç ñåðåäèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêàìîæíî ïðîâåñòè îêðóæíîñòü, öåíòð F êîòî-ðîé ëåæèò íà ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé öåíòðîïèñàííîé îêðóæíîñòè M è öåíòð òÿæåñòèS (ðèñóíîê 21). Ýòà îêðóæíîñòü èçâåñòíàêàê îêðóæíîñòü Ôîéåðáàõà, ïîýòîìó ååöåíòð è îáîçíà÷åí ÷åðåç F. Òî÷êà S ëåæèòìåæäó F è M; ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå

2:1: =SMSF .Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ÷åðåç öåíòðû

òÿæåñòè ãðàíåé ïðîâîäèòñÿ ñôåðà è óñòà-íàâëèâàåòñÿ, ÷òî åå öåíòð F íàõîäèòñÿ íàïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé öåíòð îïèñàííîéñôåðû Ì è öåíòð òÿæåñòè S òåòðàýäðà (ðè-ñóíîê 22), ïðè÷åì S äåëèò îòðåçîê FM âòàêîì æå îòíîøåíèè, êàê è â òðåóãîëüíè-êå. Îäíàêî ñôåðà Ôîéåðáàõà íå âî âñåì àíà-

40

Õàéíö Øóìàí

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 4, 2005 ã.

ëîãè÷íà îêðóæíîñòè Ôîéåðáàõà: îíà íå ïå-ðåñåêàåò íè âïèñàííîé íè îïèñàííîé ñôåð.

2.5. ÀÍÀËÎÃÈ ÂÛÑÎÒ

Îïóñòèì ïåðïåíäèêóëÿðû èç âåðøèíòåòðàýäðà íà ïðîòèâîïîëîæíûå ãðàíè è îá-íàðóæèì ñ óäèâëåíèåì, ÷òî îíè íå ïåðåñå-êàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. Ïîïûòêà âîññòàâèòüïåðïåíäèêóëÿðû ê ãðàíÿì èç òî÷åê ïåðåñå-÷åíèÿ èõ âûñîò òàêæå íå äàåò ðåçóëüòàòà.

×òî äåëàòü? Ìîæåò, ìû ñìîæåì ÷òî-òî îáíàðóæèòü, ñâÿçàâ îáà òèïà ïåðïåíäè-êóëÿðîâ. Îíè ïàðàëëåëüíû ïî ïîñòðîåíèþ.Èç ðèñóíêà 23 âèäíî, ÷òî êàæäàÿ èç âûñîòòåòðàýäðà ïåðåñåêàåòñÿ ñ òåìè òðåìÿ ïåð-ïåíäèêóëÿðàìè âòîðîãî òèïà, êîòîðûå âû-õîäÿò èç ãðàíåé, ñîåäèíÿþùèõñÿ â òîé æåâåðøèíå, èç êîòîðîé âûõîäèò âûñîòà. Âåð-íî è àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå äëÿ êàæäî-ãî ïåðïåíäèêóëÿðà âòîðîãî òèïà ïî îòíî-øåíèþ ê òðåì âûñîòàì òåòðàýäðà, âûõîäÿ-ùèì èç âåðøèí ñîîòâåòñòâóþùåãî òðåóãîëü-íèêà.  êà÷åñòâå «çîëîòîé ñåðåäèíû» âû-

Ðèñóíîê 22.

Ðèñóíîê 25.

Ðèñóíîê 23.

Ðèñóíîê 24.

áèðàåì äëÿ êàæäîé ïàðû ïàðàëëåëüíûõ ïåð-ïåíäèêóëÿðîâ ïðÿìóþ, ëåæàùóþ â òîé æåïëîñêîñòè è ðàâíîóäàëåííóþ îò íèõ; ÷åòû-ðå òàêèõ ïðÿìûõ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷-êå (ðèñóíîê 24). Ýòó òî÷êó îáîçíà÷èì ÷å-ðåç H è ïðèìåì åå â êà÷åñòâå çàìåíèòåëÿíåñóùåñòâóþùåé òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò.

Êðîìå ýòîãî, ìû îáíàðóæèâàåì, ÷òîH ëåæèò íà îäíîé ïðÿìîé ñ òî÷êàìè M, S,F, H èìåííî, â òàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè(ðèñóíîê 25), ïðè÷åì S � ñåðåäèíà MH èF � ñåðåäèíà SH. Ïîýòîìó ïðÿìàÿ ìîæåòíàçûâàòüñÿ ïðÿìîé Ýéëåðà òåòðàýäðà ïî àíà-ëîãèè ñ ïðÿìîé Ýéëåðà òðåóãîëüíèêà.

Èìååòñÿ ëè â ïðîèçâîëüíîì òåòðàýä-ðå åùå ÷òî-ëèáî àíàëîãè÷íîå âûñîòàì? Åñëèïðîâåñòè ïëîñêîñòè ÷åðåç òî÷êó Í ïåðïåí-äèêóëÿðíî ðåáðàì òåòðàýäðà, òî îêàçûâàåò-ñÿ, ÷òî îíè ïðîõîäÿò ÷åðåç ñåðåäèíû ïðî-òèâîïîëîæíûõ ðåáåð. Òî÷êó Í ìîæíî îï-ðåäåëèòü è êàê òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêî-ñòåé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç ñåðåäèíû ðåáåðïåðïåíäèêóëÿðíî ïðîòèâîïîëîæíûì ðåáðàì.Òàêîå ïîñòðîåíèå ïðèíàäëåæèò Ãàñïàðó

41

Èññëåäîâàíèå àíàëîãèé ñ ïîìîùüþ Cabri 3Díà ïðèìåðå ïàðû òðåóãîëüíèê�òåòðàýäð

ÏÐÅÄÌÅÒÍÎÅ ÎÁÓ×ÅÍÈÅ

Ìîíæó (1746�1818), ñîçäàòåëþ íà÷åðòàòåëü-íîé ãåîìåòðèè. Ïîýòîìó òî÷êà H íàçûâàåò-ñÿ òàêæå òî÷êîé Ìîíæà.

Åñëè âìåñòî ïðÿìûõ, ïàðàëëåëüíûõ âû-ñîòàì ïðîâåñòè ïëîñêîñòè ÷åðåç âûñîòû òåò-ðàýäðà è òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò ñîîòâåòñòâó-þùèõ ãðàíåé, òî è îíè ïåðåñåêàþòñÿ â Í.

Âåðíåìñÿ ê ðèñóíêó 23. Èçîáðàæåí-íûå òàì ÷åòûðå ïàðû òî÷åê, âûáðàííûå èçäâóõ òðîåê òî÷åê, ëåæàùèõ íà ïàðàëëåëü-íûõ ïðÿìûõ, îáðàçóþò âìåñòå ñ ñîîòâåòñòâó-þùèìè âíåøíèìè òî÷êàìè ÷åòûðå ïàðàë-ëåëîãðàììà (ðèñóíîê 26). Ýòè ïàðàëëåëîã-ðàììû ïåðåñåêàþòñÿ â H è ïîýòîìó èõ ìîæ-íî íàçâàòü ïàðàëëåëîãðàììàìè Ìîíæà.

Èññëåäóåì òåïåðü, êàêèå òåòðàýäðû îá-ëàäàþò «ïðàâèëüíûìè» âûñîòàìè, òî åñòü ïå-ðåñåêàþùèìèñÿ â îäíîé òî÷êå. Ñ ýòîé öåëüþáóäåì ïåðåìåùàòü âåðøèíû òåòðàýäðà (ðèñó-íîê 27).

Áóäåì ïîâîðà÷èâàòü òåòðàýäð, ïîêà«çàäíåå» ðåáðî íå ñòàíåò ïåðïåíäèêóëÿð-

Ðèñóíîê 26. Ðèñóíîê 27.

Ðèñóíîê 28. Ðèñóíîê 29.

íûì ïëîñêîñòè ýêðàíà; òîãäà ïðîòèâîïîëîæ-íîå ðåáðî áóäåò ïàðàëëåëüíî ýòîé ïëîñêî-ñòè è ïåðïåíäèêóëÿðíî çàäíåìó ðåáðó (ðè-ñóíîê 28).

Èòàê, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäó-þùåå óòâåðæäåíèå: Åñëè âûñîòû òåòðàýä-ðà ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå, òî ïðîòè-âîïîëîæíûå ðåáðà ïåðïåíäèêóëÿðíû äðóãäðóãó.

Ïîñòðîåíèå òàêîãî òåòðàýäðà âåñüìàïðîñòî.  ïðîèçâîëüíîì òðåóãîëüíèêå ïðî-âîäèì ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç âûñî-òû è ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïëîñêîñòè òðåóãîëü-íèêà (ðèñóíîê 29). Ýòè ïëîñêîñòè ïåðåñå-êàþòñÿ ïî îäíîé ïðÿìîé. Ñîåäèíÿÿ ëþáóþòî÷êó íà ýòîé ïðÿìîé ñ âåðøèíàìè òðåó-ãîëüíèêà, ïîëó÷àåì òðåáóåìûé òåòðàýäð (ðè-ñóíîê 30).

Âåðíî òàêæå è óòâåðæäåíèå, îáðàò-íîå ê òîëüêî ÷òî ðàññìîòðåííîìó.

Ïðîäîëæàÿ èññëåäîâàíèå, ìîæíî áûëîáû, íàïðèìåð, âûÿñíèòü, èìååò ëè äëÿ òà-

42

Õàéíö Øóìàí

© ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÛÅ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÛ Â ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÈ. ¹ 4, 2005 ã.

êèõ òåòðàýäðîâ ñôåðà Ôîéåðáàõà âñå ñâîé-ñòâà, àíàëîãè÷íûå ñâîéñòâàì îêðóæíîñòèÔîéåðáàõà.

3. ÏÅÐÑÏÅÊÒÈÂÛ

Íèæå ïðèâîäÿòñÿ íåêîòîðûå òåìû,ñâÿçàííûå ñ èññëåäîâàíèåì àíàëîãèé. Îíèìîãóò ñëóæèòü îñíîâîé òåì ñåìèíàðîâ äëÿñïîñîáíûõ ó÷åíèêîâ. (Ïðè ýòîì âîçìîæ-íîñòåé, ïðåäîñòàâëÿåìûõ âåðñèåé 1.0 ïðî-ãðàììû Cabri 3D áóäåò íåäîñòàòî÷íî.)

• Àíàëîãè äðóãèõ ëèíèé è òî÷åê òðå-óãîëüíèêà: Êàêèå èç ìíîãî÷èñëåííûõ ëè-íèé (âêëþ÷àÿ îêðóæíîñòè) òî÷åê òðåóãîëü-íèêà [6] èìåþò àíàëîãè â ïðîèçâîëüíîì èëèñïåöèàëüíîì òåòðàýäðå?

• Ôîðìû òåòðàýäðà: Ïîäîáíî êëàñ-ñèôèêàöèè òðåóãîëüíèêîâ ïî èõ ñòîðîíàì,

Ðèñóíîê 30. Ðèñóíîê 31. Ðèñóíîê 32.

Prof. Dr. habil. Heinz SchumannUniversity of Education Weingarten,Fakultät III, Mathematik/InformatikD-88250 Weingarten, Germanyschumann@ph-weingarten.dehttp://www.mathe-schumann.de

óãëàì è ñèììåòðèè, ñîçäàòü àíàëîãè÷íóþêëàññèôèêàöèþ äëÿ òåòðàýäðîâ.

• Ïîñòðîåíèå òåòðàýäðîâ: Êàê ñòðî-èòü òåòðàýäðû, èñïîëüçóÿ àíàëîãèþ ñ ïîñò-ðîåíèåì òðåóãîëüíèêîâ? Êàêîâû ïðèçíàêèïîäîáèÿ òåòðàýäðîâ, àíàëîãè÷íûå òàêîâûìäëÿ òðåóãîëüíèêîâ?

Êîíå÷íî, ýòèì íå èñ÷åðïûâàþòñÿ âñåâîçìîæíîñòè òåìû «òðåóãîëüíèê-òåòðàýäð».Íàïðèìåð, óêàæåì íà óòâåðæäåíèå î ïîñòî-ÿíñòâå ñóììû ðàññòîÿíèé îò âíóòðåííåéòî÷êè ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà äî åãî ñòî-ðîí (ðèñóíîê 31). Êàêîâ åãî àíàëîã äëÿ òåò-ðàýäðà (ðèñóíîê 32)?

Çàìå÷àíèå. Áëàãîäàðÿ ñèñòåìå Cabri3D ìû ìîæåì â íàñòîÿùåå âðåìÿ ýôôåê-òèâíåé ïðîâîäèòü èçó÷åíèå àíàëîãèé ïëîñ-êîñòüþ è ïðîñòðàíñòâîì è âïåðâûå ïðèìå-íÿòü ýêñïåðèìåíòàëüíûé ïîäõîä.

Ëèòåðàòóðà1. Bainville, E., Laborde, J.-M. (2004): Cabri 3D 1.0. (Software). Grenoble: Cabrilog.2. Bauer, H. et al. (1999): Körpergeometrie. (Software). Berlin: Cornelsen.3. Donath, E. (1976): Die merkwürdigen Punkte und Linien des ebenen Dreiecks. Berlin: DVW.4. Polya, G. (1962): Mathematik und plausibles Schließen. Band I, Induktion und Analogie in der

Mathematik. Basel: Birkhäuser.5. Schumann, H. (2001): Raumgeometrie � Unterricht mit Computerwerkzeugen. Berlin: Cornelsen.6. Schumann, H. (2005): Dynamische Raumgeometrie. In: Beiträge zum Mathematikunterricht.