Nucleaire Wigner distributies: een maatstok voor kwantume...

Faculteit Wetenschappen

Vakgroep Fysica en Sterrenkunde

Academiejaar 2017-2018

Nucleaire Wigner distributies: een

maatstok voor kwantumeffecten in de

coordinaten- en impulsruimte

Tamas Gommers

Promotor: Prof. Dr. J. Ryckebusch

Begeleider: Prof. Dr. W. Cosyn

Scriptie voorgedragen tot het behalen van de graad van

Master in de Fysica en sterrenkunde

Abstract

In deze thesis wordt de lage orde clusterbenadering gebruikt om korte drachtscorrelaties tus-

sen nucleonen te introduceren in het onafhankelijke deeltjesmodel. Deze benadering wordt

gebruikt om Wignerdistributies voor kernen te berekenen. De inclusie van de korte drachtscor-

relaties reproduceert hogemomentumstaarten in de distributies, analoog aan momentumdis-

tributies voor nucleonen. Met behulp van de berekende Wignerdistributies kan de gemiddelde

kinetische energie bepaald worden. Voor asymmetrische kernen zorgen de correlaties ervoor

dat de gemiddelde kinetische energie van de minderheidsnucleonen hoger liggen dan die van

de meerderheidsnucleonen. Voor beide nucleonen liggen de resultaten na inclusie van korte

drachtscorrelaties hoger dan wanneer een gemiddeld-veldbenadering gebruikt wordt. RMS

stralen die analoog bepaald zijn, worden dan weer kleiner met de inclusie van correlaties.

The low-order correlation operator approximation, which deals with correlations between nu-

cleons that extend over relatively short distances, is used to calculate Wignerdistributions of

different nuclei. The inclusion of short-range correlations yields high-momentumtails, in ana-

logy with momentumdistributions. In asymmetric nuclei, the correlations make the average

kinetic energy for the minority nucleons larger than for majority nucleons, both of which are

higher in the LCA framework than in a mean-field approximation. RMS radii, are reduced

after inclusion of correlations.

ii

Dankwoord

Ongelooflijk maar waar: ik ben het voorwoord van mijn thesis aan het typen. Het is op

meerdere vlakken lastig geweest om hier te geraken, dus zal ik proberen om in schoonheid af

te sluiten.

Professor Ryckebusch, bedankt voor de kans om mijn thesis bij u te maken. Ondanks het

hobbelige parcours wordt dit ten zeerste geapprecieerd. Wim, bedankt om op al mijn vragen

te antwoorden en de nodige opmerkingen te leveren. Bedankt aan iedereen die ervoor zorgde

dat de keuken - en een niet verwaarloosbare straal daarrond - van de Astrid heel deze tijd

een plaats van ontspanning was. Jullie hebben er allemaal voor gezord dat ik me altijd thuis

voelde daar.

Wat mijn echte thuis betreft, zijn er natuurlijk ook zoveel personen om te bedanken. Tim,

bedankt om niet alleen op maar ook naast het veld er altijd te zijn. Stefan, bedankt om

een luisterend oor te zijn over letterlijk elk onderwerp dat er te bedenken valt. Michiel, 1H

zou 1H niet zijn zonder u erbij. Buiten de sfeer die er altijd al is helpt onze gelijkgestemde

humor dit elke keer te verbeteren. Daar waar ik bij Tim iemand heb die mijn frustraties

deelt, ben jij toch wel het rustpunt van de ploeg. Willem, enkele jaren geleden heb jij de

traditie van Rock Herk ingezet. Alleen hiervoor al krijg je een vermelding. Elk jaar in juli

een weekend naar het gezelligste festival van het land: die vrijdagnamiddag is altijd een van

de beste momenten van het hele jaar. Zelfs zonder Rock Herk zou je vermeld geweest zijn,

als vaste waarde in de bende is er natuurlijk plaats voor u op deze bladzijde, al is het maar

omdat er toch tenminste een iemand is waarmee ik het hele jaar door mijn muzieksmaak mee

kan delen. En dan nog de afsluiter van de bende: Jef. Engels, bedankt om mij al jaren af

en toe een frame te laten winnen. Hoewel het er waarschijnlijk niet zo uitziet op de tafel,

heb jij er toch mee voor gezorgd dat naast badminton ook snooker een passie van mij is.

Altijd iemand hebben om eens een paar ballen mee te gaan (proberen) potten is een niet te

onderschatten afleiding voor mij.

De mannen zijn gepasseerd, eindigen doe ik met twee vrouwen. Elien, ondanks dat je een

“aanhangsel” bent, ben jij toch degene die er mij de afgelopen weken/maanden bijna eigen-

handig hebt doorgesleurd. Al was het maar om af toe mijn beklag te doen, of als het wat

lastiger was me er zelfs terug bovenop te krijgen. Voor dat, en ook voor gewoon te zijn wie

iv

je bent, een ongelooflijke dikke merci. Willempie mag blij zijn!

Afsluiten doe ik met, wie anders, mijn mama. Ondanks dat het u niet gemakkelijk gemaakt

wordt, blijf je het keer op keer duidelijk maken hoe hard je er wel bent voor mij. Hopelijk

zijn deze woorden een kleine troost voor het stilzwijgen waar je vaak mee geconfronteerd

wordt. Ondanks alle tegenslagen blijf je jezelf volledig wegcijferen voor je kinderen. Het

wordt misschien niet vaak getoond, maar ik ben trots om uw zoon te zijn...

Tamas,

juni 2018

v

Inhoudsopgave

1 Inleiding 1

2 Wigner representatie 3

2.1 De Faseruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Wigner representatie van golfpaketten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 De lage-orde clusterbenadering 7

3.1 Het onafhankelijke-deeltjes model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Tweedeeltjes toestanden in een ODM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3 Korte-drachtscorrelaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 Formalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.5 Experimentele bevestiging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 LCA en Wignerdistributie 19

4.1 De Wigneroperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Eendeeltjes Wignerdistributie W (q, p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2.1 Ongecorreleerde matrixelementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2.2 Gecorreleerde matrixelementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Resultaten 30

5.1 Wignerdistributie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.1.1 Dwarsdoorsneden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.2 Gemiddelde Kinetische Energie 〈TN (q)〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3 RMS straal√〈r2(k)〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6 Conclusie en vooruitzichten 48

A Moshinsky-coefficienten 50

A.1 Transformatie tussen cw en rcm coordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

A.2 Recursieve relaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

A.3 Symmetrie eigenschappen van Moshinsky-coefficienten . . . . . . . . . . . . . 54

A.4 Clebsch-Gordan-coefficienten en Wigner symbolen . . . . . . . . . . . . . . . 54

vii

B Matrixelement van de tensoroperator 55

C Numerieke implementatie 57

C.1 Wignerdistributie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

C.1.1 Nucleus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

C.1.2 Matrixelementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

C.1.3 Numerieke integraties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

C.2 Verwerking resultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

D Samenvatting 59

viii

Hoofdstuk 1

Inleiding

Van de kleinste organismen tot de grootste galaxieen: alles in ons universum bestaat uit

atomen. Tot het begin van de 19e eeuw werd dit zelfs als de kleinste bouwsteen beschouwd,

tot de verstrooiingsexperimenten van Ernest Rutherford [1]. Het was namelijk door zijn werk

dat de dieper liggende structuur van het atoom werd ontdekt: een kern met daarrond een

wolk van negatieve, elementaire deeltjes, de elektronen. Sinds de ontdekking van het neutron

door Chadwick [2] en het werk van Yukawa [3] wordt deze kern beschouwd als een systeem

bestaande uit twee deeltjes: neutronen en protonen die worden samengehouden door de sterke

kracht, een van de vier fundamentele natuurkrachten. Onderzoek in nucleaire fysica heeft een

grote invloed gehad op onze samenleving: de ontwikkeling van de atoombom of, in positie-

vere zin, de bouw van kerncentrales, het gebruik van radioactieve isotopen in de geneeskunde

of het gebruik van massaspectrometrie in de archeologie etc. Ondanks al deze toepassingen

heeft de nucleus nog veel geheimen die ontdekt kunnen worden. Kwantumchromodynamica

(QCD) en diep inelastische verstrooiingsexperimenten halfweg vorige eeuw toonden aan dat

quarks en gluonen de fundamentele vrijheidsgraden zijn van de sterke kracht. In dit werk

wordt echter abstractie gemaakt van deze onderliggende structuur. Zolang de energieschaal

waarop gewerkt wordt karakteristiek is voor die van een kern (< 1 GeV) is deze abstractie

gerachtvaardigd.

Al sinds het ontstaan van nucleaire fysica wordt het gemiddeld-veldmodel als startpunt geno-

men in het onderzoek over nucleaire dynamica. Correcties op dit model worden bereikt door

de introductie van korte- en lange-afstandscorrelaties. Het laag-momentum gedrag wordt

vooral beınvloedt door de lange-afstandscorrelaties en het hoge-momentum gedrag door de

korte-afstandscorrelaties. Als een gevolg van het onzekerheidsbeginsel van Heisenberg1

∆x∆p ≥ 1

2(1.1)

kan door de spatiale resolutie op kernen te richten een onderscheid gemaakt worden tussen

deze twee regimes. In dit werk worden lange-afstandscorrelaties verwaarloosd en ligt de focus

1Merk op dat hier, en in het verdere verloop van deze thesis, natuurlijke eenheden 1 ≡ ~ ≡ c gebruikt

worden.

1

op de introductie van korte-afstandscorrelaties in een gemiddeld-veldbenadering. Om dit te

verwezenlijken wordt de lage-orde clusterbenadering gebruikt. In Ref. [4] wordt deze techniek

gebruikt om de invloed van korte-afstandscorrelaties op onder andere momentumdistributies

te bepalen. In Ref. [5] wordt de gemiddelde-veldbenadering gebruikt om een- en tweedeeltjes-

momentumdistributies te bepalen, alsook Wignerdistributies. Met deze distributies kunnen

operatoren omgezet worden naar functies van positie en impuls. Dit werk combineert de

ontwikkelde techniek uit Ref. [4] en de basis die gelegd is in Ref. [5] over Wignerdistri-

buties. De structuur loopt dan ook als volgt: hoofdstuk 2 introduceert het concept van

de Wignerrepresentatie, waarna in hoofdstuk 3 de lage-ordeclusterbenadering wordt uitge-

legd. Hiervoor wordt eerst in sectie 3.1 het Onafhankelijke Deeltjesmodel, dat gebruikmaakt

van een gemiddeld-veldbenadering, geıntroduceerd. Samen met de korte-afstandscorrelaties

in sectie 3.3 is dit de bouwsteen van de lage-ordeclusterbenadering (sectie 3.4). Nadat het

concept van deze techniek uitgelegd is, kan deze in hoofdstuk 4 toegepast worden op de

Wignerrepresentatie. Vervolgens worden in hoofdstuk 5 de resultaten van deze berekeningen

weergegeven. De resultaten uit Ref. [5] worden vergeleken met deze nieuwe resultaten om de

invloed van de geıntroduceerde correlaties op Wignerdistributies te onderzoeken.

2

Hoofdstuk 2

Wigner representatie

In dit hoofdstuk wordt het concept van de Wignerdistributie geıntroduceerd. De Wignerfunc-

tie is een nieuwe representatie van de golffunctie Ψ uit de kwantummechanica, dewelke een

kwalitatieve beschrijving geeft van een deeltje of een systeem van deeltjes. De Wignerfunctie

kan analoog aan het klassieke beeld van de faseruimte geıntroduceerd worden. Hiervoor wordt

eerst het beeld over de faseruimte geschetst alvorens de Wignerfunctie te introduceren.

2.1 De Faseruimte

In klassieke fysica zijn de twee variabelen die een systeem beschrijven de geconjugeerde vari-

abelen ~p en ~q, respectievelijk de impuls en positie. Als men voor een bepaald systeem deze

coordinaten tegelijk plot, krijgt men de zogenoemde faseruimte.

Het gebruik van de faseruimte laat toe om de beweging van het systeem onder studie te

visualiseren in deze twee coordinaten. Zo wordt de faseruimte voor een 1D harmonische

oscillator

H(p, q) =p2

2m+

1

2kq2 (2.1)

weergegeven door figuur 2.1.

In klassieke fysica kan men op elk moment een deeltje in deze faseruimte identificeren. De kans

dat men een deeltje in een bepaald punt (~p, ~q) van de faseruimte kan vinden, kan beschreven

worden door een positief-definiete probabiliteitsdistributie P (~p, ~q).

Wanneer men overschakelt op een kwantummechanische beschrijving van een systeem van

deeltjes moet men ook rekening houden met relevante kwamtumeffecten. Ten eerste worden de

variabelen ~p en ~q niet langer beschreven als klassieke coordinaten maar worden dit operatoren,

respectievelijk ~p = −i~∇ en ~q. Deze operatoren voldoen aan het onzerkerheidsprincipe van

Heisenberg:

∆x∆p ≥ 1

2. (2.2)

3

Figuur 2.1: Faseruimte van de 1D Harmonische Oscillator (2.1).

Aangezien voor de faseruimte net geldt dat een deeltje op een vast punt in deze ruimte een

ondubbelzinnig bepaalde positie en impuls heeft, kan de klassieke probabiliteitsdistributie

niet werken voor een kwantumsysteem. Deze beschrijving schendt immers het onzekerheids-

beginsel (2.2). Voor een kwantumsysteem moet gebruik gemaakt worden van quasiprobabi-

liteitsdistributies (QPD). Een voorbeeld van dergelijke QDP is de Wignerdistributie.

2.2 Wigner representatie van golfpaketten

De 1D Wigner distributiefunctie [6] W(r, p) wordt, gegeven een golfpaket Ψ(x), gedefinieerd

als:

W(r, p) =1

2π

∫eips Ψ

(r − s

2

)Ψ∗(r +

s

2

)ds (2.3)

en dus in vectornotatie:

W(~r, ~p) =1

(2π)3

∫ei~p·~s Ψ

(~r − ~s

2

)Ψ∗(~r +

~s

2

)d~s. (2.4)

De Wigner distributiefunctie wordt dus bekomen door van het product tussen Ψ(~r′) met

~r′ = ~r − ~s2 en Ψ∗(~r′′) met ~r′′ = ~r + ~s

2 , de Fouriergetransformeerde langs ~s te berekenen [7].

Met behulp van de Diracnotatie ⟨r − s

2

∣∣∣Ψ⟩ = Ψ(r − s

2

)(2.5)⟨

Ψ∣∣∣r +

s

2

⟩= Ψ∗

(r +

s

2

)(2.6)

4

kan dit ook genoteerd worden als

W(~r, ~p) =1

(2π)3

∫ei~p·~s

⟨r − s

2

∣∣∣Ψ⟩⟨Ψ∣∣∣r +

s

2

⟩d~s. (2.7)

Deze distributie is genormeerd en dimensieloos:∫ ∫W(q, p)dqdp = 1, (2.8)

waardoor de link als probabiliteitsdistributie merkbaar wordt. Verder kan bewezen worden

dat ∫W(q, p)dp =

1

2π

∫ ∫e−ips

⟨q − s

2

∣∣∣Ψ⟩⟨Ψ∣∣∣q +

s

2

⟩ds dp

=

∫ ⟨q − s

2

∣∣∣Ψ⟩⟨Ψ∣∣∣q +

s

2

⟩ds

(1

2π

∫e−ipsdp

)=

∫ ⟨q − s

2

∣∣∣Ψ⟩⟨Ψ∣∣∣q +

s

2

⟩δ(s)ds

= 〈q|Ψ〉〈Ψ|q〉= |Ψ(q)|2. (2.9)

Dit betekent dat de Wignerdistributie de aantrekkelijke eigenschap heeft dat de marginale

distributie, bekomen na integratie over het momentum p, niets anders is dan de probabili-

teitsdistributie van de posities. Analoog geldt voor de integratie over de positie∫W(q, p)dq = |Ψ(p)|2 (2.10)

dat dit de momentum probabiliteitsdistributie produceert. Hierdoor kan de Wignerdistributie

mathematisch in relatie gebracht worden met de nucleaire dichtheidsdistributie en momen-

tumdistributie:

ρ(r) = r2

∫dp p2W (r, p) (2.11)

en

n(p) =

∫dr r2W (r, p). (2.12)

Ondanks deze eigenschappen kan een Wigner distributie strikt gezien niet als een pro-

baliteitsstudie genterpreteerd worden. De functie kan namelijk zowel positieve als negatieve

waarden aannemen, wat niet van toepassing is in de context van klassieke probabiliteiten.

Figuur 2.2 toont de Wigner distributie voor de 1D kwantum harmonische oscillator

H(p, x) =p2

2m+

1

2kx2. (2.13)

Voor alle toestanden behalve de n = 0, neemt de Wigner distributie inderdaad negatieve

waarden aan. Dit verschijnsel zorgt ervoor dat de fysische interpretatie als probabiliteit

niet langer van toepassing is en de Wigner distributie gebruikt wordt als zuiver wiskundig

hulpmiddel, zoals bijvoorbeeld in (2.11) en (2.12).

5

(a) n=0 (b) n=1

(c) n=2 (d) n=3

Figuur 2.2: Wigner faseruimte distributie voor verschillende modes van de 1D kwantum

harmonische oscillator. Net zoals de faseruimte in figuur 2.1is deze distributie symmetrisch

rond de oorsprong. Figuur afkomstig uit [8].

6

Hoofdstuk 3

De lage-orde clusterbenadering

De “lage-orde clusterbenadering” (LCA, low-order correlation operator approximation) is een

benaderingstechniek om het hoog-impuls gedrag van nucleonen theoretisch te beschrijven. In

dit hoofdstuk wordt deze techniek in detail uitgelegd. De techniek maakt gebruik van het

onafhankelijke-deeltjes model (ODM), een benadering voor atomaire kernen, en breidt deze

vervolgens uit door correlaties in te voeren. In sectie 3.1 wordt het ODM uitgelegd, waarin

bepaalde tekortkomingen aangehaald worden. Daarom wordt in sectie 3.1 gesproken over

correlaties. Beide modellen worden in sectie 3.4 gebruikt om tot de LCA techniek te komen.

Nadat de fundamenten van de LCA zijn uitgelegd, kunnen ze gebruikt worden om in dit

kader Wignerdistributies te berekenen. Dit zal toegepast worden in hoofdstuk 4.

3.1 Het onafhankelijke-deeltjes model

In het onafhankelijke-deeltjes model wordt de kern beschreven als een set van nucleonen die

elk afzonderlijk bewegen in een gemiddelde potentiaal, gevormd door de andere nucleonen.

Als men er van uitgaat dat elk nucleon met elk ander nucleon interageert, zouden er A(A-

1)/2 interagerende paren zijn en zou de bindingsenergie voor grote A zich proportioneel tot

A(A−1) ≈ A2 gedragen. Dit is volledig in strijd met experimentele gegevens, waar er sprake

is van saturatie. Dit is ook te zien in figuur 3.1. Hieruit kan besloten worden dat er sprake

is van een interactie met korte dracht en kan de potentiaal geschreven worden als

V (~r1, ~r2) = V0f(~r1 − ~r2) (3.1)

waarbij de functie f een van korte dracht is en V0 de centrale diepte van de potentiaal is. Door

deze korte dracht kan de potentiaal vergeleken worden met de nucleaire dichtheidsdistributie,

waarvan geweten is dat die kan beschreven worden met een Fermifunctie [10]

ρ(r) =ρ0

1 + e(r−c)/a . (3.2)

Hierin is c de straal waarbij ρ(r) de helft van zijn maximale waarde bereikt en a de sprei-

ding van de distributie. Om dit in te zien gebruiken we vergelijking (3.1) om een schat-

ting te maken van de kracht van de centrale potentiaal gevoeld door nucleon ”1” in de

7

Figuur 3.1: Bindingsenergie per nucleon. Hier is duidelijk te zien dat er saturatie optreedt

voor grote A. Figuur afkomstig uit [9].

kern. Dit kan bereikt worden door (3.1) uit te middelen over nucleon ”2”, een zogenaamde

gemiddeld-veld benadering:

V (~r1) = V0

∫d~r2f(~r1 − ~r2)ρ(~r2). (3.3)

In het geval dat de dracht van f kort genoeg is (wat hier het geval is), kan ρ(~r2) benaderd

worden door ρ(~r1) zodat V (~r1) gegeven wordt door

V (~r1) = V0

∫d~rf(~r)ρ(~r1)

= CV0ρ(~r1) (3.4)

en te zien is dat de potentiaal gezien door een nucleon inderdaad proportioneel is tot de

nucleaire dichtheidsdistributie. De potentiaal die gefit is aan de Fermi distributie is de

Woods-Saxon potentiaal:

V (r) =VWS

1 + e(r−c)/a . (3.5)

De Schrodingervergelijking voor deze potentiaal heeft echter geen analytische oplossing en

de potentiaal moet daardoor benaderd worden door een alternatieve potentiaal. De meest

gekende benadering is de harmonische oscillator (HO):

VHO(r) =1

2MNω

2r2 − V0, (3.6)

waarin MN de nucleonmassa en ω de angulaire frequentie parameter van de oscillator is. In

figuur 3.2 is te zien hoe deze potentiaal de realistische vorm van de Woods-Saxon potentiaal

benaderd. De tijdsonafhankelijke Schrodingervergelijking voor de driedimensionele HO wordt

8

Figuur 3.2: De realistische potentiaal wordt hier benaderd door een harmonische oscillator.

Figuur afkomstig uit [9].

dan gegeven door (− ~2

2MN∇2 +

1

2MNω

2r2

)ψ = Eψ (3.7)

en kan analytisch opgelost worden. De oplossing van deze vergelijking in poolcoordinaten is

ψnlm(~r) ≡ 〈~r|nlm〉 = Rnl(r)Ylm(Ω), (3.8)

waar Ylm de sferische harmonieken en Rnl(r) de radiale golffuncties in functie van de Laguerre-

polynomen Lαn(r) zijn. Deze laatste worden beschreven door

Rnl(r) =

[2n!

Γ(n+ l + 3

2

)νl+ 32

] 12

rle−νr2

2 Ll+ 1

2n (νr2) (3.9)

met de parameter

ν =MNω

~. (3.10)

De parameter ~ω wordt algemeen geparametriseerd volgens [11]:

~ω(MeV) = 45A13 − 25A

23 (3.11)

zodat dit een goede beschrijving is van de nucleaire eigenschappen. Figuur 3.3 geeft ν weer

in functie van het massagetal A.

Het gebruik van een ODM heeft twee belangrijke nadelen. Het eerste probleem dat zichzelf

manifesteert, is dat elk gebruik van een gemiddeld-veldpotentiaal translationele invariantie

schendt [12, 13]. Een golffunctie die een ware kern beschrijft, moet namelijk een eigenfunctie

zijn van de totale momentumoperator, dewelke de beweging van het massacentrum van de

9

Figuur 3.3: De HO parameter ν in functie van het massagetal A.

kern als een vlakke golf beschrijft. In een ODM is dit echter niet het geval. De positie van

het massacentrum fluctueert rond de oorsprong van het coordinaatsysteem. Echte kernen

vertonen deze fluctuaties niet, waardoor nucleaire momentumdistributies, Wignerdistributies

etc. kunnen beınvloed worden.

Het tweede probleem is dat wanneer men de nucleonen behandelt als onafhankelijk bewegende

deeltjes in een gemiddelde potentiaal, tal van internucleoncorrelaties niet beschouwd worden.

In sectie 3.3 worden deze correlaties besproken.

3.2 Tweedeeltjes toestanden in een ODM

De toestand van een nucleon in een HO potentiaal wordt genoteerd als α ≡ (nljmjt) waarin

t = ±12 het isospin kwantumgetal is en ~j = ~l+~s het totale angulair moment, met projectie mj .

Twee onafhankelijke nucleonen, elk met coordinaten ~r1 en ~r2 in een HO potentiaal, hebben

een genormaliseerde, antisymmetrische (nas) toestand die genoteerd wordt als (waarbij |α1〉 ≡|n1l1j1mj1t1(~r1)〉 en |α2〉 ≡ |n2l2j2mj2t1(~r2)〉)

|α1α2〉nas =1√2

(1− P12) |α1α2〉

=1√2

(|α1α2〉 − |α2α1〉).(3.12)

Hierin is P12 de uitwisselingsoperator voor de positie, spin en isospin coordinaten. De toestand

waarbij de totale angulaire momenta ~j1 en ~j2 gekoppeld worden tot angulair momentum ~J

kan geschreven worden als

|α1α2〉 =∑JMJ

〈j1mj1j1m22 |JMJ〉 |n1l1j1t1, n2l2j2t2; JMJ〉 . (3.13)

10

Voor deze toestand kan er een transformatie tussen jj-koppeling |n1l1j1, n2l2j2; JMJ〉 en

LS-koppeling |n1l1, n2l2; (ΛS)JMJ〉 (zie figuur 3.4) geschreven worden:

|n1l1j1, n2l2j2; JMJTMT 〉 =∑ΛS

√2j1 + 1

√2j2 + 1

√2Λ + 1

√2S + 1

l112 j1

l212 j2

Λ S J

|n1l1, n2l2; (ΛS)JMJTMT 〉 , (3.14)

met ~Λ = ~l1 + ~l2 het totale angulair momentum en ~S de totale spin van het paar. Verder

staan in deze notatie n en l voor de radiale en angulaire momentum kwantumgetallen van de

relatieve beweging van het koppel. TMT (S) zijn dan weer de isospin, isospin projectie (en

spin) van het koppel.

Figuur 3.4: Links: de individuele ~Li en ~Si koppelen eerst tot ~L en ~S. De combinatie van

deze twee vormt ~J . Dit is de LS-koppeling. Rechts: de individuele ~ji worden eerst gevormd

om vervolgens te koppelen tot ~J . Dit is de jj-koppeling. Figuur uit Ref. [14].

In appendix A wordt de transformatie tussen individuele coordinaten ~r1 en ~r2, en relatieve

en massacentrumcoordinaten (rcm) ~r en ~R, waarbij

~r =1√2

(~r1 − ~r2), ~R =1√2

(~r1 + ~r2), (3.15)

besproken. Deze transformatie kan geschreven worden als

|n1l1, n2l2; ΛMΛ〉 =∑nlNL

〈nl,NL; Λ|n1l1, n2l2; Λ〉 |nl,NL; ΛMΛ〉 (3.16)

11

en maakt gebruik van 〈nl,NL; Λ|n1l1, n2l2; Λ〉, de zogenaamde Moshinsky-coefficienten. In

deze appendix worden bepaalde eigenschappen en gelijkheden opgesomd. Er kan gebruik

gemaakt worden van vergelijking (A.14),

〈nl,NL; Λ|n1l1, n2l2; Λ〉 = (−1)L−Λ 〈nl,NL; Λ|n2l2, n1nl1; Λ〉 (3.17)

en de transformaties [15]

|nl,NL(ΛS); JMJ , TMT 〉

=∑j

√2Λ + 1

√2j + 1(−1)j+L+S+Λ

j L J

Λ S l

|n(lS)j,NL; JMJ , TMT 〉 ,

(3.18)

die het relatieve angulaire momentum herkoppelt met de totale spin, en

|n(lS)j,NL; JMJ , TMT 〉 =∑MLmj

〈jmjLML|JMJ〉 |n(lS)jmj , NLML, TMT 〉 , (3.19)

om tot een uitdrukking te komen voor de nas tweedeeltjestoestand (3.12) in termen van

ongekoppelde en rcm tweedeeltjes toestanden:

|α1α2〉nas =∑

n(lS)jmj

∑NLML

∑TMT

∑JMJ

∑Λ

1√2

(1− (−1)l+S+T )

× 〈s1t1, s2t2|TMT 〉〈j1mj1 , j2mj2 |JMJ〉〈jmj , LML|JMJ〉

× 〈nl,NL; Λ|n1l1, n2l2; Λ〉√

2Λ + 1√

2j + 1(−1)j+L+S+Λ

j L J

Λ S l

×√

2j1 + 1√

2j2 + 1√

2Λ + 1√

2S + 1

l1 s1 j1

l2 s2 j2

Λ S J

∣∣∣n(lS)jmj(~r), NLML(~R), TMT

⟩= CAα1α2

∣∣∣A ≡ n(lS)jmj(~r), NLML(~R), TMT

⟩,

(3.20)

waarin de coefficienten CAα1α2voor elk paar berekend worden, zie appendix C. De kwantum-

getallen NLML beschrijven de golffunctie van het massacentrum. Voor meer uitleg over het

gebruik van Moshinksycoefficienten wordt verwezen naar Ref. [15].

3.3 Korte-drachtscorrelaties

In een veeldeeltjessysteem worden correlaties tussen de componenten (in dit geval de nu-

cleonen in een kern) ervan geıntroduceerd door krachten tussen deze componenten. In een

systeem met eendeeltjesdichtheid ρ[1](~r) kan de tweedeeltjesdichtheid ρ[2](~r1, ~r2) uitgedrukt

worden als de kans om een deeltje op positie ~r1 te vinden als er zich een bevindt op ~r2:

ρ[2](~r1, ~r2) = ρ[1](~r1)ρ[1](~r2)g(|~r1 − ~r2|), (3.21)

12

waarin g(|~r1 − ~r2|) de correlatiefunctie is. Deze is g(r) = 1 als er zich geen correlaties voor-

doen en alle nucleonen onafhankelijk van elkaar bewegen. Figuur 3.5 toont deze functie voor

atomair 4He, gemeten met neutron [16] en X-stralen [17] verstrooiing. Correlaties zijn een

gevolg van het hard afstotende centrum (hard core) van de interatomaire potentiaal v(r),

ook getoond in 3.5. Deze hard core manifesteert zich in het verdwijnen van g(r) voor kleine

internucleon afstanden. Grotere afstanden doen g(r) dan weer stijgen om vervolgens oscille-

rend de asymptotische waarde van 1 te bereiken. Correlaties die afkomstig zijn van g(r) 6= 1

vergroten de hoge momentum componenten in de momentumdistributie van de atomen in de

vloeistof.

Zoals eerder besproken bewegen nucleonen in een gemiddeld-veldpotentiaal voor een ODM,

waardoor er zich geen correlaties voordoen in theorieen die hier gebruik van maken. Rea-

listische nucleon-nucleon interacties bestaan echter uit een aantrekkend lange-afstand deel

en een hard core voor afstanden kleiner dan 0.8 fm, die allemaal afhangen van de spin en

isospin van de twee deeltjes. Een gemiddeld-veldpotentiaal brengt deze aspecten niet volledig

in kaart. Meer bepaald introduceren de hard core en het tensorgedeelte (zie sectie 3.4) korte-

drachtscorrelaties (SRC, voor short-range correlations) die verder gaan dan de gemiddelde-

veldbenadering. Twee nucleonen die elkaar dicht benaderen vormen door de hard core een

paar met een hoog relatief momentum. Het tensorgedeelte van de nucleon-nucleon interactie

is belangrijk in het genereren van hoge momenta in het bereik 300− 500 MeV/c. Deze corre-

laties vormen een grote invloed op de golffunctie van het systeem, daar een nucleus een dicht

gepakt systeem is.

3.4 Formalisme

De bedoeling is om correlaties in een ODM te introduceren. De gecorreleerde golffuncties

|Ψ〉 worden bekomen door een correlatieoperator G te laten inwerken op ongecorreleerde golf-

functies |Φ〉. De grondtoestand van een ongecorreleerd ODM model kan geschreven worden

als een Slaterdeterminant van eendeeltjes golffuncties |φαi〉 van de nucleonen:

Φ( ~x1, ~x2, ..., ~xA) =1√A!

det[φαi( ~xj)] (3.22)

=1√A!

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣φ1( ~x1) φ2( ~x1) · · · φA( ~x1)

φ1( ~x2) φ2( ~x2) · · · φA( ~x2)

· · · · · · · · · · · ·φ1( ~xA) φ2( ~xA) · · · φA( ~xA)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣, (3.23)

waarin gebruik gemaakt wordt van de notatie ~xi ≡ (~ri, ~σi, ~τi) voor respectievelijk de spatiale,

spin en isospin coordinaten van nucleon i. Analoog aan sectie 3.2 zijn αi ≡ nilijimjiti de

eendeeltjes kwantumgetallen. In sectie 3.1 werden twee problemen aangehaald van een ODM

model; door de introductie van correlaties worden de ODM golffuncties verbeterd, maar het

is belangrijk om op te merken dat dit niet zorgt voor translationele invariantie.

13

Figuur 3.5: Interatomaire potentiaal v(r) en correlatiefunctie g(r) voor vloeibaar 4He, met σ

een maat voor de diameter van 4He. Figuur afkomsting uit [18].

De correlatieoperator G corrigeert de ODM Slaterdeterminant |Φ〉 voor correlaties:

|Ψ〉 =1√NG |Φ〉 (3.24)

waarbij N ≡ 〈Φ|G†G|Φ〉 een normalisatiefactor is. De correlatieoperator G wordt doorgaans

geschreven als

G = SA∏

i<j=1

f(rij) (3.25)

Hierin is S de symmetrisatieoperator en

f(rij) =

N∑p=1

fp(rij) =

N∑p=1

fp(rij)Opij . (3.26)

Wat betreft SRC’s, wordt G gedomineerd door centrale, spin-isospin en tensorcorrelaties

omdat deze verantwoordelijk zijn voor het merendeel van de correlatie-effecten in het nucleaire

systeem [19]. Hierdoor wordt in de rest van dit werk G geschreven als bestaande uit volgende

14

termen:

Op=1(i, j) ≡ Oc(i, j) = 1

Op=4(i, j) ≡ Oστ (i, j) = (~σi · ~σj)(~τi · ~τj)Op=6(i, j) ≡ Otτ (i, j) = Sij(~τi · ~τj),

(3.27)

met ~σ (~τ) de spin (isospin) operator en Sij de tensor operator, Sij = 3r2ij

(~σi · ~rij) (~σj · ~rij) −~σi · ~σj . Op deze manier kan de correlatieoperator G beknopt geschreven worden als:

G = S

A∏i<j=1

[1− g(i, j) + s(i, j) + t(i, j)

]= S

A∏i<j=1

[1 + l(i, j)

] ,

(3.28)

waarin g(i, j), s(i, j) en t(i, j) respectievelijk de beknopte notaties zijn voor de centrale,

spin-isospin en de tensor correlatiefuncties waarvan sprake:

g(i, j) ≡ 1− fp=1 = g(rij),

s(i, j) ≡ fp=4(rij)(~σi · ~σj)(~τi · ~τj) = s(rij)(~σi · ~σj)(~τi · ~τj),t(i, j) ≡ fp=6(rij)Sij(~τi · ~τj) = t(rij))Sij(~τi · ~τj).

(3.29)

Lage-orde clusterbenadering

Het bepalen van de verwachtingswaarde van operator Ω tussen gecorreleerde toestanden van

(3.24) is uitdagend, maar wordt in Ref. [20] bereikt door het matrix element

〈Ψ| Ω |Ψ〉 (3.30)

te herschrijven naar een matrixelement tussen ongecorreleerde toestanden:

1

N 〈Φ| Ωeff |Φ〉 . (3.31)

In vergelijking (3.31) wordt een effectieve transitie operator Ωeff ingevoerd die de operator Ω

corrigeert voor de effecten afkomstig van de SRC. Deze wordt dan geschreven als

Ωeff = G† Ω G

=

A∏i<j=1

[1− l(i, j)

]† S†ΩS ( A∏k<l=1

[1− l(k, l)

]).

(3.32)

De benaderingstechniek wordt LCA genoemd en hier blijkt nu waarom dit een benaderings-

techniek is. Men gaat namelijk werken met een perturbatie expansie van (3.32) en deze

15

wordt omwille van het lokale karakter van de SRC slechts tot op lage orde benaderd. Uit

experimenteel onderzoek van de spectrale nucleon functie [21] blijkt dat het gebruik van

een LCA techniek gerechtvaardigd is waardoor korte-dracht interacties als paar-interacties

geınterpreteerd kunnen worden.

Als we alleen eendeeltjesoperatoren in beschouwing nemen (aangezien de Wignerdistributie

zoals ingevoerd een eendeeltjesoperator is)

Ω =A∑i=1

Ω[1](i) (3.33)

kan een reeksontwikkeling van formule (3.32) tot stand komen:

Ωeff ≈ ΩLCA =A∑i=1

Ω[1](i) +A∑

i<j=1

(Ω[1],l(i, j) +

[Ω[1],l(i, j)

]†+ Ω[1],q(i, j)

). (3.34)

Hierin staan de indices ’l’ en ’q’ respectievelijk voor lineair en kwadratisch, dewelke voluit de

volgende vorm aannemen:

Ω[1],l(i, j) =(

Ω[1](i) + Ω[1](j))l(i, j) (3.35)

en

Ω[1],q(i, j) = l†(i, j)(

Ω[1](i) + Ω[1](j))l(i, j). (3.36)

Figuur 3.6 toont de diagrammatische weergave van de verschillende termen in vergelijking

(3.34).

Figuur 3.6: Diagrammatische representatie van de verschillende termen uit vergelijking (3.34).

In deze voorstelling stellen zwarte punten de deeltjes voor waarop de operator inwerkt. Een

gestipte lijn is de correlatie-operator lij die inwerkt op het deeltjespaar “ij”. Figuur uit Ref.

[22].

De effectieve LCA operator (3.34) kan geschreven worden als

ΩLCA = Ω + Ωcorr (3.37)

16

waarbij de gecorreleerde operator Ωcorr het deel van de operator bevat dat geassocieerd wordt

met de correlaties:

Ωcorr = Ω[1],l +[Ω[1],l

]†+ Ω[1],q (3.38)

Op deze manier kan het matrixelement van vergelijking (3.32) geschreven worden als:

1

N 〈Φ|ΩLCA|Φ〉 =

1

N∑α

〈α|Ω[1](1)|α〉

+1

N∑α<β

nas 〈αβ|Ωcorr,[1](1, 2)|αβ〉nas

=1

N∑α

〈α|Ω[1](1)|α〉

+1

N∑α<β

nas 〈αβ|[Ω[1],l(1, 2) +

(Ω[1],l(1, 2)

)†+ Ω[1],q(1, 2)

]|αβ〉nas

(3.39)

Om aan normalisatie te voldoen, moet de normalisatiefactor N uit (3.31) ontwikkeld worden

tot op dezelfde orde als (3.34):

N = 1 +2

A

∑α<β

nas 〈αβ|l†(1, 2) + l†(1, 2)l(1, 2) + l(1, 2)|αβ〉nas (3.40)

3.5 Experimentele bevestiging

In Ref. [4] werden single-nucleon kinetische energieen 〈TN 〉 voorspeld in het kader van de

LCA-methode voor asymmetrische kernen, waarvoor de proton fractie xp = ZA een parame-

ter is. In een ODM model geldt dat voor een niet-interagerend Fermi systeem met twee

componenten, de kinetische energie van de protonen lager ligt dan die van de neutronen als

xp < 0.5 : 〈Tp〉 < 〈Tn〉. Figuur 3.7 toont de verwachte fractie van deze energieen voor het

IPM en voor de LCA, die bepaald zijn via de formules

〈T IPMp 〉 =

1

Z

∑α

δtα,p 〈α|T [1]p (1)|α〉 (3.41)

en

〈TLCAp 〉 =

1

N1

Z

∑α<β

nas 〈αβ|TLCAp (1, 2)|αβ〉nas , (3.42)

waarin de operator TLCAp bepaald kan worden met vergelijking (3.34) Hierin is te zien dat

wanneer correlaties in rekening worden gebracht, de minderheidsnucleonen (in dit geval de

protonen, xp < 0.5) een grotere kinetische energie hebben.

Onderzoek naar asymmetrische kernen bevestigt deze bevinding [23]. Figuur 3.8 geeft een

schematische representatie van de momentumdistributie in asymmetrische Fermi systemen.

In deze figuur stellen de gestipte lijnen het niet-interagerende systeem voor terwijl de volle

lijnen de momentumdistributie na de introductie van korte-drachtscorrelaties voorstellen.

Hierin is te zien dat de introductie van de correlaties een staart produceert bij hoge momenta.

17

Figuur 3.7: De verhouding 〈Tp〉/〈Tn〉 in functie van de protonfractie xp voor het IPM en

LCA. Figuur uit [4].

Figuur 3.8: Schematische weergave van de momentumdistributie n(k). De gestipte lijnen

tonen het effect wanneer er SRC’s worden geıntroduceerd. Deze interacties creeren een hoge-

momentum staart. Dit is vergelijkbaar met een bal waar een meerendeel aan vrouwen is:

man-vrouw “interacties” zorgen ervoor dat de gemiddelde man meer gaat dansen dan de

gemiddelde vrouw. Figuur uit Ref. [23].

18

Hoofdstuk 4

LCA en Wignerdistributie

Zoals in hoofdstuk 3 uitgelegd, kan de LCA techniek gebruikt worden om Wignerdistributies

te bepalen. In dit hoofdstuk wordt een eendeeltjesoperator voor de Wignerdistributie bepaald

(sectie 4.1), hier Wigneroperator genoemd. Nadat we de vorm van de Wigneroperator bepaald

hebben, kan deze gebruikt worden om de Wignerdistributie in het kader van de LCA techniek

te vinden (sectie 4.2).

4.1 De Wigneroperator

In het kader van de LCA techniek kunnen we dus schrijven dat

Ωeff ≈ ΩLCA (4.1)

met Ωeff = G†ΩG en waarbij de A-deeltjesoperator Ω een som van eendeeltjesoperatoren is:

Ω =A∑i=1

Ω[1](i). (4.2)

In Ref. [24] wordt de 1D-Wignerdistributie geschreven als de verwachtingswaarde van een

operator

W (r, p) = 〈Ψ| Πrp |Ψ〉 (4.3)

waarbij Πrp voluit geschreven wordt als

Πrp =1

2π

∫ds e−isp

∣∣∣r − s

2

⟩⟨r +

s

2

∣∣∣ (4.4)

=1

2π

∫dk e−ikr

∣∣∣∣p+k

2

⟩⟨p− k

2

∣∣∣∣ , (4.5)

en wordt een alternatieve, kwalitatieve visie gegeven op de Wignerdistributie: W(~q,~p) is

proportioneel met de overlap van Ψ met zijn spiegelbeeld rond (~q, ~p), wat een meting is van

hoe “gecentreerd” Ψ is.

19

In het geval van een A-deeltjes Wigneroperator kunnen we (4.2) schrijven als Ω ≡ O =∑Ai=1 Π

[1]~q,~p(i) met in drie dimensies

Π[1]~q,~p(i) =

1

(2π)3

∫d~k e−i

~k·~qi

∣∣∣∣∣~pi +~k

2

⟩⟨~pi −

~k

2

∣∣∣∣∣ . (4.6)

4.2 Eendeeltjes Wignerdistributie W (q, p)

Door de informatie in sectie 4.1 kan de Wignerdistributie W (q, p) geschreven worden als

W (q, p) =A∑i=1

Π[1]q,p(i) (4.7)

met

Π[1]q,p(i) =

∫dΩq

∫dΩp Π

[1]~q,~p(i)

=1

(2π)3

∫dΩq

∫dΩp

∫d~k e−i

~k·~qi

∣∣∣∣∣~pi +~k

2

⟩⟨~pi −

~k

2

∣∣∣∣∣(4.8)

Samen met vergelijking (3.39) bepaalt dit een effectieve operator ΠLCAq,p waaruit de gecorre-

leerde 1-deeltjes Wignerdistributie met coordinaten (q, p) bepaald kan worden:

W [1],LCA(q, p) =1

N 〈Φ|Π[1],LCA(q, p)|Φ〉

=1

N∑α

〈α|Π[1]q,p(1)|α〉

+1

N∑α<β

nas 〈αβ|[Π[1],lq,p (1, 2) +

(Π[1],lq,p (1, 2)

)†+ Π[1],q

q,p (1, 2)

]|αβ〉nas .

(4.9)

In deze uitdrukking zijn er twee verschillende termen te onderscheiden: ongecorreleerde ma-

trixelementen1

N∑α

〈α|Π[1]q,p(1)|α〉 (4.10)

en gecorreleerde matrixelementen

1

N∑α<β

nas 〈αβ|[Π[1],lq,p (1, 2) +

(Π[1],lq,p (1, 2)

)†+ Π[1],q

q,p (1, 2)

]|αβ〉nas . (4.11)

4.2.1 Ongecorreleerde matrixelementen

De ongecorreleerde matrixelementen 4.10 geven een benadering voor de Wignerdistributie in

die mate dat er -zoals de naam suggereert- geen rekening gehouden wordt met correlaties.

Dit impliceert dat deze elementen niets anders zijn dan de Wignerdistributies in het kader

van het ODM.

20

4.2.2 Gecorreleerde matrixelementen

Voor een eendeeltjesoperator die werkt op een antisymmetrische tweedeeltjestoestand kan er

geschreven worden dat

2∑i=1

〈α1α2|Oi|α1α2〉 = 2 〈α1α2|O1|α1α2〉 . (4.12)

Na het transformeren van de ongekoppelde toestand |αβ〉nas naar de rcm toestand

|n(lS)jmj〉 |NLMLTMT 〉 kan dit niet toegepast worden op (4.11). In de rcm toestand heeft

een algemeen matrixelement de vorm

W[1],corrAA′ (q, p) = 〈A ≡ n(lS)jmjNLMLTMT |

[f1(r12)Op(1, 2)

]†Π[1](1)

× f2(r′12)Oq(1, 2)∣∣A′ ≡ n′(l′S′)j′m′jN ′L′M ′LT ′M ′T ⟩

(4.13)

of de vorm

〈A ≡ n(lS)jmjNLMLTMT |[f1(r12)Op(1, 2)

]†Π[1](2)

× f2(r′12)Oq(1, 2)∣∣A′ ≡ n′(l′S′)j′m′jN ′L′M ′LT ′M ′T ⟩ (4.14)

waarin de notatie Π[1](i) ≡ Π[1]q,p(i) ≡ Π[1](qi, pi) wordt gehanteerd, en de verschillende Π[1](1)

en Π[1](2) worden geıntroduceerd. Op(1, 2) en Oq(1, 2) zijn de centale, tensor en isospin

operatoren zoals in vergelijking (3.27) of de eenheidsoperator 1, en f1(r12) en f2(r′12) en zijn

de corresponderende centrale, tensor, spin-isospin correlatiefuncties of 1. In wat volgt wordt

verder gewerkt met uitdrukking (4.13), waarna vervolgens (4.14) wordt besproken.

Met behulp van de uitdrukking (4.6) kan de operator ook nog geschreven worden als

Π[1],1s1,t1

(~qi, ~pi) =1

(2π)3

∫d~ki e

−i~ki·~qi

∣∣∣∣∣~pi +~ki2, s1, t1

⟩⟨~pi −

~k1

2, s1, t1

∣∣∣∣∣⊗ 1 (4.15)

waarbij de spin projectie en de isospin projectie expliciet vermeld zijn, en

1 =∑s2,t2

∫d~pi |~p2, s2, t2〉〈~p2, s2, t2| , (4.16)

zodat:

Π[1],1s1,t1

(~q1, ~p1) =1

(2π)3

∑s2,t2

∫d~p2

∫d~k1 e

−i~k1·~q1

∣∣∣∣∣~p1 +~k1

2, s1, t1; ~p2, s2, t2

⟩⟨~p1 −

~k1

2, s1, t1; ~p2, s2, t2

∣∣∣∣∣ .(4.17)

21

Op deze manier kan het matrixelement (4.13) voluit geschreven worden als

(4.13) =1

(2π)3

∑s2,t2

∫d~p2

∫d~k1 e

−i~k1·~q1

×⟨A

∣∣∣∣∣Op†f †p∣∣∣∣∣~p1 +

~k1

2, s1, t1; ~p2, s2, t2

⟩

×⟨~p1 −

~k1

2, s1, t1; ~p2, s2, t2

∣∣∣∣∣fqOq∣∣∣∣∣A′⟩.

(4.18)

Wordt ditmaal de identiteit

1 =

∫d~r1d~r2d~r′1d~r′2 |~r1~r2〉

∣∣~r′1~r′2⟩ 〈~r1~r2|⟨~r′1~r′2

∣∣ (4.19)

in voorgaande uitdrukking geschoven:

(4.13) =1

(2π)3

∑s2,t2

∫d~p2d~k1d~r1d~r2d~r′1d~r′2e

−i~k1·~q1

× 〈A|Op†f †p |~r1, s1, t1;~r2, s2, t2〉

×⟨~r1~r2

∣∣∣∣∣~p1 +~k1

2~p2

⟩⟨~p1 −

~k1

2~p2

∣∣∣∣∣~r′1~r′2⟩

×⟨~r′1s1t1, ~r

′2s2t2

∣∣fqOq∣∣A′⟩ ,(4.20)

dan wordt dit samen met 〈~r|~p〉 = 1(2π)3/2

ei~p·~r, ~R12 = ~r1+~r2√2, ~r12 = ~r1−~r2√

2en δ(~x) = 1

(2π)3/2

∫d~p ei~p·~x:

(4.13) =1

(2π)9

∑s2,t2

∫d~p2d ~k1d~R12d~r12d~R′12d~r′12e

i ~k1·(~r1+~r

′1

2−~q1

)ei~p1·(~r1−~r

′1)ei~p2·(~r2−~r

′2)

×⟨A∣∣∣Op†f †p ∣∣∣~R12s1t1, ~r12s2t2

⟩ ⟨~R′12s1t1, ~r

′12s2t2

∣∣∣fqOq∣∣∣A′⟩=

√8

(2π)6

∑s2,t2

∫d~k1 e

i~k1√2·(~R12+~r′12−

√2~q1)

∫d~R12d~r12d~r′12 e

i√

2~p1·(~r12−~r′12)

×⟨A∣∣∣Op†f †p ∣∣∣~R12s1t1, ~r12s2t2

⟩ ⟨~R′12s1t1, ~r

′12s2t2

∣∣∣fqOq∣∣∣A′⟩∣∣∣∣~R′12=~R12−~r12+~r′12

=8

(2π)3

∑s2,t2

∫d~r12d~r′12 e

i√

2 ~p1·(~r12−~r′12)

×⟨A∣∣∣Op†f †p ∣∣∣~R12s1t1, ~r12s2t2

⟩ ⟨~R′12s1t1, ~r

′12s2t2

∣∣∣fqOq∣∣∣A′⟩∣∣∣∣~R′12=~R12−~r12+~r′12~R12=

√2 ~q1−~r′12

.

(4.21)

(Iso)spin projecties

De matrixelementen met de operators Op,q kunnen afzonderlijk bekeken worden:∑s2t2

〈A|Op†|s1t1, s2t2〉⟨s1t1, s2t2

∣∣Oq∣∣A′⟩ . (4.22)

22

Voor de centrale en spin-isospinoperators O = 1, ( ~σ1 · ~σ2)(~τ1 · ~τ2) wordt direct duidelijk dat

1 |n(lS)jmjNLML〉 = |n(lS)jmjNLML〉( ~σ1 · ~σ2)(~τ1 · ~τ2) |n(lS)jmjNLML〉 = (2S(S + 1)− 3) |n(lS)jmjNLML〉 ~τ1 · ~τ2,

(4.23)

waar in de tweede vergelijking gebruik gemaakt wordt van⟨S∣∣ ~σ1 · ~σ2

∣∣S′⟩ = 4⟨S∣∣~s1 · ~s2

∣∣S′⟩ = 4⟨S∣∣~S2 − ~s2

1 − ~s22

∣∣S′⟩ = 2(S(S + 1)− 3

4− 3

4)δSS′ . (4.24)

Voor de tensoroperator S12 = 3r212

(~σ1 · ~r12) (~σ2 · ~r12) − ~σ1 · ~σ2 = 2(

3~S·~r12r212− ~S2

)wordt dit

(aangezien deze operator alleen werkt op de totale spin S en de relatieve coordinaat r12 kan

alleen de ket |(lS)jmj〉 geschreven worden):

~S12 |(lS)jmj〉 =∑

l′S′j′m′j

∣∣(l′S′)j′m′j⟩ ⟨(l′S′)j′m′j∣∣(lS)jmj

⟩=

∑l′S′j′m′j

∣∣(l′S′)j′m′j⟩ 2δjj′δmjm′j (−1)S+j√

120√

2l + 1√

2l′ + 1

×(l l′ 2

0 0 0

)l l′ 2

S′ S j

δjj′δmjm′jδSS′δS1

=

j+1∑l′=|j−1|

∣∣(l′S′)j′m′j⟩ (−1)S+j√

120√

2l + 1√

2l′ + 1

×(l l′ 2

0 0 0

)l l′ 2

S′ S j

δS1

=

j+1∑l′=|j−1|

S12(S, j, l, l′)∣∣(l′S′)jmj

⟩

(4.25)

In deze afleiding wordt gebruik gemaakt van een alternatieve vorm van de tensor operator

dan deze geıntroduceerd in sectie 3.4. De afleiding hiervan staat in appendix B.

Vergelijkingen (4.23) en (4.25) kunnen samenvattend geschreven worden als:

Op |n(lS)jmjNLMLTMT 〉 =

j+1∑l′=|j−1|

Op(S, T, j, l, l′)∣∣n(l′S)jmjNLMLTMT

⟩, (4.26)

waarin

Op = 1⇒ Op(S, T, j, l, l′) = δll′

Op = ~σ1 · ~σ2~τ1 · ~τ2 ⇒ Op(S, T, j, l, l′) = (2S(S + 1)− 3)(2T (T + 1)− 3)δll′

Op = S12 ⇒ Op(S, T, j, l, l′) = S12(S, j, l, l′)

(4.27)

Hieruit blijkt dat de operatoren Op,q de kwantumgetallen van de orbitale golffuncties, n(S)jmjN ,

niet veranderen. De eis δll′ zorgt er voor dat ook l niet veranderd. Hierdoor kunnen de ma-

23

trixelementen (4.22) gefactoriseerd worden als:

(4.22) =∑s2t2

j+1∑lp=|j−1|

j′+1∑l′p=|j′−1|

Op†(S, T, j, l, lp)Oq(S′, T ′, j′, l′, l′q)

× 〈n(lpS)jmjNLMLTMT |s1t1, s2t2〉×⟨s1t1s2t2

∣∣n′(l′qS′)j′m′jN ′L′M ′LT ′M ′T ⟩ .(4.28)

Als gebruik gemaakt wordt van⟨1

2s1

1

2s2

∣∣∣∣(LS)jmj

⟩=∑ml,ms

〈lmlSms|jmj〉⟨

1

2s1

1

2s2

∣∣∣∣SmS

⟩|lml〉

= 〈lmlSms|jmj〉⟨

1

2s1

1

2s2

∣∣∣∣SmS

⟩|lml〉

∣∣∣∣mS=s1+s2

ml=mj−s1−s2

(4.29)

kan geschreven worden dat

(4.22) =∑s2t2

j+1∑lp=|j−1|

j′+1∑l′p=|j′−1|

Op†(S, T, j, l, lp)Oq(S′, T ′, j′, l′, l′q)⟨

1

2t1

1

2t2

∣∣∣∣TMT

⟩⟨1

2t1

1

2t2

∣∣∣∣T ′M ′T⟩⟨lpmlpSmS

∣∣jmj

⟩⟨1

2s1

1

2s2

∣∣∣∣SmS

⟩⟨l′qm

′lqS′m′S

∣∣∣j′m′j⟩⟨1

2s1

1

2s2

∣∣∣∣S′m′S⟩ .(4.30)

Het argument van deze sommatie kan voor de overzichtelijkheid gedefinieerd worden als

Mpq,lpl′qAA′ (s1, t1, s2, t2) = Op†(S, T, j, l, lp)O

q(S′, T ′, j′, l′, l′q)

⟨1

2t1

1

2t2

∣∣∣∣TMT

⟩⟨1

2t1

1

2t2

∣∣∣∣T ′M ′T⟩⟨lpmlpSmS

∣∣jmj

⟩⟨1

2s1

1

2s2

∣∣∣∣SmS

⟩⟨l′qm

′lqS′m′S

∣∣∣j′m′j⟩⟨1

2s1

1

2s2

∣∣∣∣S′m′S⟩(4.31)

waardoor (4.21) geschreven kan worden als

⟨A∣∣Π[1],1

s1,t1(~q1, ~p1)

∣∣A′⟩ =∑s2,t2

j+1∑lp=|j−1|

j′+1∑l′q=|j′−1|

Mpq,lpl′qAA′ (s1, t1, s2, t2)

× 8

(2π)3

∫d~r12d~r′12e

i√

2 ~p1·(~r12−~r′12)f †p(r12)fq(r′12)

×⟨nlpmlp , NLML

∣∣∣~R12, ~r12

⟩×⟨~R′12, ~r

′12

∣∣∣n′l′pml′p , N′L′M ′L

⟩∣∣∣∣~R ′12=~R12−~r12+~r ′12~R12=

√2~q1−~r ′12

mlp=mj−s1−s2ml′q

=mj′−s1−s2

(4.32)

24

Wegens vergelijking (3.8) geldt dat:⟨NLML

∣∣∣ ~R12

⟩= ψ†NLML

( ~R12)⟨nlpmlp

∣∣ ~r12

⟩= ψ†nlpmlp

( ~r12)⟨~R′12

∣∣∣N ′L′M ′L⟩ = ψN ′L′M ′L( ~R′12)⟨~r′12

∣∣∣n′l′qml′q

⟩= ψn′l′qml′q

( ~r′12),

waardoor (4.32) geschreven kan worden als

(4.32) =∑s2,t2

j+1∑lp=|j−1|

j′+1∑l′q=|j′−1|


× 8

(2π)3

∫d~r12d~r′12e

i√

2 ~p1·(~r12−~r′12)f †p(r12)fq(r′12)

× ψ†NLML(~R12)ψ†nlpmlp

(~r12)ψN ′L′M ′L(~R′12)ψn′l′qml′q(~r′12)

(4.33)

In deze uitdrukking kunnen de rcm golffuncties ψNLML(~R12) en ψN ′L′ML′

(~R′12) geschreven

worden als hun inverse Fourier transformaties

ψNLML(~R) =

1

(2π)3/2

∫d~P ei

~P ·~RφNLML(~P ), (4.34)

om op die manier tot de volgende uitdrukking te komen:

(4.32) =∑s2,t2

j+1∑lp=|j−1|

j′+1∑l′q=|j′−1|


× 8

(2π)3

∫d~r12d~r′12e

i√

2~p1·(~r12−~r′12)f †p(r12)fq(r′12)

× ψ†nlpmlp (~r12)ψn′l′qml′q(~r′12)

1

(2π)3

∫d~P12d~P ′12 e

−i ~P12·(√

2~q1−~r′12)φ∗NLML(~P12)

ei~P ′12·(

√2~q1−~r12)φN ′L′ML′

(~P ′12).

(4.35)

Er kan gebruik gemaakt worden van de vlakke golf-expansie1

ei~p·~r = 4π∑lml

iljl(pr)Y∗lml

(Ωp)Ylml(Ωr)

= 4π∑lml

iljl(pr)Ylml(Ωp)Y∗lml

(Ωr),(4.36)

de factorisatie ψnlml(~r) = Rnl(r)Ylml(Ωr) en de gelijkheid φnlml(~p) = i−l(−1)nΠnl(p)Ylml(Ωp)

om te komen tot

1In wat volgt wordt de eerste gelijkheid, met Y ∗lml(Ωp)Ylml(Ωr), gebruikt. Analoge, doch verschillende,

finale uitdrukkingen zijn mogelijk als de tweede gelijkheid wordt gebruikt.

25

(4.32) =∑s2,t2

j+1∑lp=|j−1|

j′+1∑l′q=|j′−1|


× 512∑kmk

∑k′mk′

∑hmh

∑h′mh′

∑KmK

∑K′mK′

iL−L′+k−k′+h−h′+K−K′

× Y ∗kmk(Ωp1)Yk′mk′ (Ωp1)Y ∗h′mh′ (Ωq1)YKmK (Ωq1)

× (−1)N[∫

dP12 P212 jh′(

√2P12q1)Π∗NL(P12)

]× (−1)N

′[∫

dP ′12 P′212 jK(

√2P ′12q1)ΠN ′L′(P

′12)

]×∫

dr12 r212 f

†p(r12)Rnlp(r12)jk(

√2p1r12)jK′(P

′12r12)

×∫

dr′12 r′212 fq(r

′12)Rn′lp′ (r

′12)jh′(

√2p1r

′12)jh(P12r

′12)

×∫

dΩr12 Y∗lpmlp

(Ωr12)Ykmk(Ωr12)YK′mK′ (Ωr12)

×∫

dΩr′12Ylq′mlq′

(Ωr′12)Y ∗k′mk′ (Ωr′12

)Y ∗hmh(Ωr′12)

×∫

dΩp12 Y∗LmL

(Ωp12)Yk′mk′ (Ωp12)Yhmh(Ωp12)

×∫

dΩp′12YL′mL′ (Ωp′12

)Y ∗KmK (Ωp′12)Y ∗K′mK′ (Ωp′12

),

(4.37)

waarbij de volume-integralen uitgeschreven zijn als∫

d~r =∫

dr r2∫

dΩr. In bovenstaande

formule kan

χk,Kp,nl(p1, P ) =

∫dr r2fp(r)Rnl(r)jk(

√2p1r)jK(Pr) (4.38)

gedefinieerd worden, om samen met volgende identiteit uit Sakurai [25]:

Ylml(Ω)Yl′ml′ (Ω) =∑LML

√(2l + 1)(2l′ + 1)

4π(2L+ 1)

⟨lmll

′ml′∣∣LM⟩ ⟨l0l′0∣∣L0

⟩YLM (Ω), (4.39)

waaruit volgt dat∫dΩYlml(Ω)Yl′ml′ (Ω)Y ∗l′′ml′′ (Ω) =

√(2l + 1)(2l′ + 1)

4π(2l′′ + 1)

⟨lmll

′ml′∣∣l′′ml′′

⟩ ⟨l0l′0

∣∣l′′0⟩ , (4.40)

26

te komen tot

(4.32) =∑s2,t2

j+1∑lp=|j−1|

j′+1∑l′q=|j′−1|


× 32

π2

∑kmk

∑k′mk′

∑hmh

∑h′mh′

∑KmK

∑K′mK′

iL−L′+k−k′+h−h′+K−K′

× Y ∗kmk(Ωp1)Yk′mk′ (Ωp1)Y ∗h′mh′ (Ωq1)YKmK (Ωq1)

× (−1)N[∫

dP12 P212 jh′(

√2P12q1)Π∗NL(P12)χk,Kp,nl(p1, P12)

]× (−1)N

′[∫

dP ′12 P′212 jK(

√2P ′12q1)ΠN ′L′(P

′12)χk

′,K′

q,n′l′ (p1, P′12)

]× kK ′

lp

⟨kmkK

′mK′∣∣lpmlp

⟩ ⟨k0K ′0

∣∣lp0⟩× k′h

lq′

⟨k′mk′hmh

∣∣∣lq′mlq′

⟩ ⟨k′0h0

∣∣lq′0⟩× k′h

L

⟨k′mk′hmh

∣∣LmL

⟩ ⟨k′0h0

∣∣L0⟩

× KK ′

L′

⟨KmKK

′mK′∣∣L′mL′

⟩ ⟨K0K ′0

∣∣L′0⟩ ,

(4.41)

waarin de verkorte notatie j =√

2j + 1 geıntroduceerd is. Om niet langer de variabe-

len ~q1 en ~p1 te gebruiken maar de scalairen q1 en p1, kan er geıntegreerd worden over de

ruimtehoeken Ωq1 en Ωp1 . Door de aanwezigheid van de factoren Y ∗kmk(Ωp1)Yk′mk′ (Ωp1) en

Y ∗h′mh′(Ωq1)YKmK (Ωq1) introduceert deze integratie de deltafuncties δk′kδmk′mk en δh′Kδmh′mK .

Rekening houdend met deze restricties krijgen we de vergelijking

(4.13) =∑s2,t2

j+1∑lp=|j−1|

j′+1∑l′q=|j′−1|


× 32

π2

∑kmk

∑hmh

∑KmK

∑K′mK′

iL−L′+K′

× (−1)N[∫

dP12 P212 jK(


]× (−1)N

′[∫

dP ′12 P′212 jK(

√2P ′12q1)ΠN ′L′(P

′12)χk,K

′

q,n′l′(p1, P′12)

]× kK ′

lp

⟨kmkK

′mK′∣∣lpmlp

⟩ ⟨k0K ′0

∣∣lp0⟩× kh

lq′

⟨kmkhmh

∣∣∣lq′mlq′

⟩ ⟨k0h0

∣∣lq′0⟩× kh

L〈kmkhmh|LmL〉〈k0h0|L0〉

× KK ′

L′

⟨KmKK

′mK′∣∣L′mL′

⟩ ⟨K0K ′0

∣∣L′0⟩ .

(4.42)

27

Met behulp van vergelijking (A.22) kunnen we de Clebsch-Gordan-coefficienten schrijven als

3j-symbolen:

(4.13) =∑s2,t2

j+1∑lp=|j−1|

j′+1∑l′q=|j′−1|


× 32

π2

∑kmk

∑hmh

∑KmK

∑K′mK′

iL−L′+K′(−1)

mlp+mlq′+mL+mL′ k

3h2K ′2

lp lq′LL′

× (−1)N[∫

dP12 P212 jK(


]× (−1)N

′[∫

dP ′12 P′212 jK(

√2P ′12q1)ΠN ′L′(P

′12)χk,K

′

q,n′l′(p1, P′12)

]×(k K ′ lp

mk mK′ −mlp

)(k K ′ lp

0 0 0

)(k h lq′

mk mh −mlq′

)(k h lq′

0 0 0

)

×(k h L

mk mh −mL

)(k h L

0 0 0

)(K K ′ L′

mK mK′ −mL′

)(K K ′ L′

0 0 0

).

(4.43)

Als het matrixelement Mpq,lpl′qAA′ (s1, t1, s2, t2) terug expliciet wordt geschreven, geeft dit de

uitdrukking

〈A|[f1(r12)Op(1, 2)

]†Π[1](1)× f2(r′12)Oq(1, 2)

∣∣A′⟩=

j+1∑lp=|j−1|

j′+1∑lq′=|j′−1|

Op†(S, T, j, l, lp)Oq(S, T ′, j′, l′, lq′)

×∑t2

(−1)MT+MT ′

(12

12 T

t1 t2 −MT

)(12

12 T ′

t1 t2 −MT ′

)

× (−1)lp+lq′+mj+mj′ jj′

(lp S j

ml mS −mj

)(lq′ S j′

mlq′ mS −mj′

)

× 32

π2

∑kmk

∑hmh

∑KmK

∑K′mK′

iL−L′+h−K′(−1)

mlp+mlq′+mL+mL′ k

3h2K ′2

lp lq′LL′

×(k K ′ lp

mk mK′ −mlp

)(k K ′ lp

0 0 0

)(k h lq′

mk mh −mlq′

)(k h lq′

0 0 0

)

×(k h L

mk mh −mL

)(k h L

0 0 0

)(K K ′ L′

mK mK′ −mL′

)(K K ′ L′

0 0 0

)

× (−1)N∫

dP12 P212 jK(


× (−1)N′∫

dP ′12 P′212 jK(

√2P ′12q1)ΠN ′L′(P

′12)χk,K

′

q,n′l′(p1, P′12).

(4.44)

28

De afleiding om een uitdrukking voor (4.14) te bepalen is soortgelijk aan de voorgaande

afleiding van (4.44) uit (4.13). Kwantitatief zit het verschil in de aanwezigheid van de factor∫d~p2 e

i ~p2·(~r1−~r1′)ei ~p1·(~r2−~r2′) (4.45)

in vergelijking (4.14), terwijl in vergelijking (4.13) de factor∫d~p2 e

i ~p1·(~r1−~r1′)ei ~p2·(~r2−~r2′) (4.46)

opduikt. Dit verschil zorgt ervoor dat in plaats van de voorwaarde ~R12′= ~R12− ~r12 + ~r12

′ in

vergelijking (4.21), hier gebruik moet worden gemaakt van de substitutie ~R12′= ~R12 + ~r12 −

~r12′. Dit resulteert in vergelijking (4.44) in een factor iK

′−h in plaats van ih−K′.

Het berekenen van de gecorreleerde matrixelementen(4.9) komt neer op het berekenen van

verschillende matrixelementen van de vorm:

1

N(

1 + (−1)L−L′+h−K′

)×

j+1∑lp=|j−1|

j′+1∑lq′=|j′−1|

Op†(S, T, j, l, lp)Oq(S, T ′, j′, l′, lq′)

×∑t2

(−1)MT+MT ′

(12

12 T

t1 t2 −MT

)(12

12 T ′

t1 t2 −MT ′

)

× (−1)lp+lq′+mj+mj′ jj′∑mS

(lp S j

ml mS −mj

)(lq′ S j′

mlq′ mS −mj′

)

× 32

π2

∑hmh

∑l1ml1

∑kmk

∑k′mk′

iL−L′+h−K′(−1)

mlp+mlq′+mL+mL′ l

31h

2k′2

lp lq′LL′

×(l1 k′ lp

ml1 mk′ −mlp

)(l1 k′ lp

0 0 0

)(l1 h lq′

ml1 mlq′ −mlq′

)(l1 h lq′

0 0 0

)

×(l1 h L

ml1 mh −mL

)(l1 h L

0 0 0

)(k k′ L′

mk mk′ −ml′

)(k k′ L′

0 0 0

)

× (−1)N∫

dP12 P212 jk(

√2P12q1)Π∗NL(P12)χl1,kp,nl(p1, P12)

× (−1)N′∫

dP ′12 P′212 jk(

√2P ′12q1)ΠN ′L′(P

′12)χl1,k

′

q,n′l′(p1, P′12).

(4.47)

voor een specifieke keuze van 2 correlatieoperatoren Op(1, 2) en Oq(1, 2). Voor elk nucleon-

paar 3.20 moeten deze matrixelementen berekend worden, zie voor uitleg hieromtrent appen-

dix C.

29

Hoofdstuk 5

Resultaten

Met de formules uit sectie 3.2, hoofdstuk 4 en de software uit appendix C kan de Wignerdis-

tributie voor een kern uitgerekend worden. In dit hoofdstuk worden de resultaten van deze

berekeningen getoond alsook enkele interessante fysische grootheden die met behulp van de

Wignerdistributie berekend kunnen worden.

5.1 Wignerdistributie

In hoofdstuk 4 werd het uitrekenen van de Wignerdistributie opgesplitst in twee termen:

ongecorreleerde en gecorreleerde matrixelementen. Zoals vermeld zijn deze ongecorreleerde

termen niets anders dan de uitkomsten in het ODM. Figuren 5.1 - 5.3 tonen de ODM Wig-

nerdistributies en de LCA Wignerdistributies. Op deze figuren is het oscillatorisch gedrag

van de Wignerdistributie te zien, alsook verschillende negatieve regio’s. De He- en Fe-kernen

bevatten geen negatieve regio’s, voor Be, C, O, F en Ar is er een negatieve regio te zien.

Voor Al tenslotte zijn er twee negatieve regio’s aanwezig. Het is belangrijk om op te merken

dat dit voor het LCA model is: de ijzerkern bevat in het ODM model wel een klein negatief

gebied. Hieruit kan besloten worden dat kwantumeffecten wel degelijk hun rol spelen in ker-

nen. Het is interessant om op te merken dat ondanks zijn simpliciteit, het ODM model deze

kwantumeffecten ook in kaart brengt.

Kwantitatief is het uitdagend om het verschil tussen het ODM model en het LCA model te

zien in figuren 5.1-5.3, ondanks dat deze er op basis van de theorie wel moeten zijn. Om

dit probleem op te lossen kunnen voor deze figuren verschillende dwarsdoorsneden genomen

worden.

30

Figuur 5.1: Links: Wignerdistributies voor 42He, 9

4Be, 126C in het kader van ODM. Rechts:

De bijhorende LCA Wignerdistributies. De zwarte lijn accentueert de plaatsen waar de

distributie nul wordt, om negatieve gebieden beter in kaart te brengen.

31

Figuur 5.2: Links: Wignerdistributies voor 168O, 19

9F en 2713Al in het kader van ODM. Rechts:



32

Figuur 5.3: Links: Wignerdistributies voor 4018Ar, 40

20Ca en 5626Fe in het kader van ODM. Rechts:



33

5.1.1 Dwarsdoorsneden

Om een goed beeld te schetsen van het verschil tussen het ODM en LCA model, kunnen er

verschillende doorsnedes van figuren 5.1 en 5.2 gemaakt worden: men kan het gedrag van

W (q0, k) en W (q, k0) bekijken, waarbij de notatie q0 (k0) staat voor constante positie (mo-

mentum). Figuren 5.4 - 5.11 tonen dit voor de gegeven kernen voor verschillende regimes:

lage q (of k) en hoge q (of k).

In deze figuren valt het verschil tussen het ODM en LCA model direct op: voor het lage-

momentumregime is het ODM duidelijk van groot belang, terwijl voor hoge momenta de

inclusie van SRC’s belangrijker is. Dit is duidelijk te zien in bovenste rijen, waar er gekeken

wordt naar de dwarsdoorsnede bij vast momentum k. Bij laag momentum (links) loopt de

curve voor het LCA model nagenoeg gelijk aan die van het ODM model, wat bevestigt dat de

inclusie van correlaties in dit regime geen invloed heeft op het resultaat. Bij hoog momentum

(rechts) loopt de LCA curve dan weer gelijk met de curve die de correlaties in kaart brengt.

Dit toont aan dat in dit regime het ODM geen invloed heeft. In de onderste rijen, waar er

bij constante positie q de distributies gekeken wordt, leidt dit, ongeacht de positie, tot een

hoge-momentumstaart. Deze resultaten liggen in de lijn der verwachtingen: de theorie rond

SRC’s zegt reeds dat deze vooral optreden bij hoge momenta.

Om tenslotte het oscillatorisch en/of negatief karakter van de Wignerdistributies in kaart te

brengen worden in figuren 5.12 - 5.17 enkele LCA resultaten voor de negatieve en positieve

Wignerdistributies getoond. Hierin zijn de blauwe curves de absolute waarden van de nega-

tieve gebieden. Zoals eerder vermeld zijn er in de distributies voor He en Fe geen negatieve

gebieden aanwezig, deze figuren worden om deze reden dan ook niet getoond.

34

Figuur 5.4: Dwarsdoorsneden van de Wignerdistributie voor 42He.

Figuur 5.5: Dwarsdoorsneden van de Wignerdistributie voor 94Be.

35

Figuur 5.6: Dwarsdoorsneden van de Wignerdistributie voor 126C.

Figuur 5.7: Dwarsdoorsneden van de Wignerdistributie voor 1680.

36

Figuur 5.8: Dwarsdoorsneden van de Wignerdistributie voor 199F.

Figuur 5.9: Dwarsdoorsneden van de Wignerdistributie voor 2713Al.

37

Figuur 5.10: Dwarsdoorsneden van de Wignerdistributie voor 4018Ar.

Figuur 5.11: Dwarsdoorsneden van de Wignerdistributie voor 5626Fe.

38

Figuur 5.12: Uitgelichte negatieve gebieden van de Wignerdistributie voor 94Be.

Figuur 5.13: Uitgelichte negatieve gebieden van de Wignerdistributie voor 126C.

39

Figuur 5.14: Uitgelichte negatieve gebieden van de Wignerdistributie voor 168O.

Figuur 5.15: Uitgelichte negatieve gebieden van de Wignerdistributie voor 199F.

40

Figuur 5.16: Uitgelichte negatieve gebieden van de Wignerdistributie voor 2713Al.

Figuur 5.17: Uitgelichte negatieve gebieden van de Wignerdistributie voor 4018Ar.

41

5.2 Gemiddelde Kinetische Energie 〈TN(q)〉De gemiddelde kinetische energie van een nucleon kan berekend worden met behulp van de

eendeeltjesimpulsdistributie n[1]N (p) (zie bijvoorbeeld Ref. [5]):

〈TN 〉 =1

2MN

∫dk k4 n

[1]N (k)∫

dk k2 n[1]N (k)

, (5.1)

waarin de index N kan staan voor protonen (p) of neutronen (n). Omdat de Wignerdistributie

een functie is van zowel de positie q als het momentum k maakt deze distributie het mogelijk

om de gemiddelde kinetische energie van een nucleon te bepalen, in functie van de positie.

Dit kan verwezenlijkt worden met de formule

〈TN (q)〉 =1

2MN

∫dk k4 W

[1]N (q, k)∫

dk k2 W[1]N (q, k)

. (5.2)

Figuur 5.18 toont de resultaten voor zowel de protonen als neutronen van enkele kernen.

Direct valt op dat voor symmetrische kernen de gemiddelde kinetische energie voor beide

nucleonen identiek is. Naarmate de asymmetrie groter wordt, wordt ook het verschil tus-

sen beide groter. Uit formule (5.1) blijkt dat de kinetische energieen sterk afhankelijk zijn

van het momentum. Dit blijkt ook uit de resultaten: na toevoegen van correlaties nemen

de energieen toe met een factor 1.5 − 2. Dit is te verklaren omdat de correlates de hoge-

momentumstaarten in de Wignerdistributies introduceren. In de figuren is ook te zien dat

de gemiddelde kinetische energie in het ODM model sneller daalt naarmate q groter wordt.

In het LCA model blijft deze langer relatief stabiel alvorens voor grote q snel te dalen.

De gemiddelde kinetische energie per nucleon in deze kernen kan vervolgens ook berekend

worden. Deze resultaten worden weergegeven in tabel 5.1. In deze tabel wordt bevestigd dat

als via de Wignerdistributies de gemiddelde kinetische energie per nucleon berekend wordt,

er na inclusie van correlaties voor asymmetrische kernen geldt dat de kinetische energie

van de minderheidsnucleonen groter wordt dan die van de meerderheidsnucleonen. Dit in

tegenstelling tot de ODM benadering.

5.3 RMS straal√〈r2(k)〉

Analoog als formule 5.2 kan de Wignerdistributie gebruikt worden om de rms straal in functie

van het momentum k te bepalen. De rms straal wordt immers bepaald via

〈r2〉 =

∫dq q2ρ(q)∫dq ρ(q)

, (5.3)

waarbij ρ(q) de nucleaire dichtheidsfunctie is, zoals in vergelijking 2.11. Hierdoor kan de rms

straal in functie van het momentum berekend worden met de formule

〈r2(k)〉 =

∫dq q4 W [1](q, k)∫dq q2 W [1](q, k)

. (5.4)

42

Figuur 5.18: De gemiddelde kinetische energie in functie van de positie 〈T (q)〉 voor enkele

kernen. De gestipte lijnen stellen de protonen voor terwijl de solide lijnen de neutronen zijn.

De groene lijnen zijn deze in het ODM model, de blauwe stellen de energie geınduceerd door

de correlaties voor terwijl de rode lijn het LCA resultaat is. De solide zwarte lijn is het

gemiddelde LCA resultaat.

43

A xp 〈Tp〉ODM 〈Tn〉ODM 〈Tp〉LCA 〈Tn〉LCA

4He 0.500 14.206 14.206 23.310 23.3109Be 0.444 15.998 17.087 26.247 25.08012C 0.500 16.641 16.641 25.048 25.04816O 0.500 16.656 16.656 24.985 24.98519F 0.474 16.653 17.332 26.470 25.33727Al 0.481 16.719 17.004 26.016 24.71340Ar 0.450 14.967 16.127 25.145 24.10856Fe 0.462 15.283 16.074 23.709 23.779

Tabel 5.1: De gemiddelde kinetische energie per neutron en proton (〈Tn〉 en 〈Tp〉) in het kader

van het ODM en LCA voor verschillende kernen. Alle waarden staan in MeV.

In figuur 5.19 zijn de resultaten√〈r2(k)〉 voor enkele kernen te zien. Op de He kern na is het

verloop relatief gelijkaardig. Voor het LCA is er een lokaal minimum, waarna voor grotere k

het LCA resultaat boven het ODM resultaat komt te liggen. De kleine impact is te verklaren

door verschillende, elkaar tegenwerkende, factoren. De centrale correlaties introduceren een

uitsluitingszone rond elk nucleon, waardoor deze verwacht worden de rms straal te vergroten.

Dit is echter niet het geval, daar de andere correlaties de dominante rol opeisen en zo dit

effect te niet doen. Het netto effect op de berekende rms stralen is daardoor eerder beperkt.

44

Figuur 5.19: De rms straal in functie van het momentum voor enkele kernen.

45

Tabel 5.2 geeft de rms stralen voor deze kernen weer. Het logische gevolg van wat te zien is

in figuur 5.19, is dat het effect van correlaties op de berekende rms stralen kwantitatief een

pak kleiner is dan de impact op de gemiddelde kinetische energie.

A ODM LCA

4He 1.80 1.539Be 2.08 1.9812C 2.18 2.1316O 2.45 2.2719F 2.56 2.4227Al 3.02 2.7140Ar 3.53 2.9656Fe 3.98 3.32

Tabel 5.2: De berekende rms stralen voor de getoonde kernen in figuur 5.19. Alle waarden

staan in fm.

Analoog als bij de kinetische energie kan voor de protonen en neutronen de rms straal bepaald

worden. De resultaten hiervan zijn te zien in figuur 5.20. Net als bij de kinetische energie is

er een verschil te zien tussen de protonen en de neutronen bij asymmetrische kernen.

46

Figuur 5.20: De rms straal in functie van het momentum voor enkele kernen, berekend voor

elk van de nucleonen.

47

Hoofdstuk 6

Conclusie en vooruitzichten

De nucleaire fysica heeft als een van zijn doelen het schetsen van een compleet beeld van de

structuur van kernen in atomen. Gemiddeld-veld benaderingen zoals een ODM kunnen goede

informatie opleveren, zoals bijvoorbeeld de saturatie van de bindingsenergieen, besproken in

sectie 3.1. Gemiddeld-veld benaderingen zijn echter niet goed in het beschrijven van de impact

van correlaties tussen deeltjes op het systeem. Er zijn twee categorieen correlaties: korte-

drachtscorrelaties (SRC) en langedrachtscorrelaties (LRC). SRC’s zijn vooral te wijten aan

het repulsieve (harde) centrum en de tensorcomponent van de nucleon-nucleonkracht. In dit

werk wordt de invloed van SRC’s bekeken bij het berekenen van Wignerdistributies. LRC’s

worden niet beschouwd. Wignerdistributies zijn een voorbeeld van quasiprobabiliteitsdistri-

buties, dat wordt gebruikt om kwantumsystemen te beschrijven. Dit is in tegenstelling tot

een klassiek systeem, dat beschreven kan worden door de ondubbelzinnig bepaalde faseruimte.

Deze thesis maakt gebruik van de lage-orde clusterbenadering (LCA). Deze techniek corri-

geert gemiddeld-veld benaderingen voor correlaties door het verschuiven van de complexiteit

die de SRC’s introduceren van de golffuncties naar de operators. De reeksontwikkeling van

deze operators wordt wegens het locale karakter van de SRC’s afgebroken op een lage orde.

Alleen termen lineair en kwadratisch in de correlatieoperators blijven over in de LCA techniek.

Uit de resultaten blijkt dat de LCA techniek de SRC-gerelateerde kenmerken genereert voor

de Wignerdistributies. Net zoals bij een- en tweedeeltjesimpulsdistributie introduceren SRC’s

een hogemomentumstaart, terwijl de oscillaties die kenmerkend zijn voor de Wignerdistribu-

ties intact blijven.

De Wignerdistributies die op deze manier berekend worden kunnen helpen met respectie-

velijk de positie- en momentumafhankelijkheid van de gemiddelde kinetische energie van de

nucleonen en de rms straal. In asymmetrische kernen zorgt deze voor een verschil in energie

voor de nucleonen: de minderheidsnucleonen hebben een hogere energie dan de meerderheid-

snucleonen, beiden hoger in het kader van de LCA dan in een ODM. De q-afhankelijkheid

48

toont dat het LCA minder snel daalt dan het ODM resultaat. De rms stralen in het LCA

model zijn kleiner dan die in het ODM model. In het LCA daalt de rms straal sneller dan

die van het ODM in functie van het momentum.

Vooruitzichten

Het ODM model gebruikt eigenfuncties van de Schrodingervergelijking met een HO potenti-

aal. Door deze te vervangen door een WS potentiaal zou het resultaat dichter bij de werke-

lijkheid moeten liggen. Het is interessant om op te merken dat in dit model gebruik gemaakt

werd van een parametrisatie van de vorm (3.11). Men zou deze parametrisatie nog kunnen

aanpassen zodat de resultaten nog dichter bij experimentele data komen te liggen.

49

Bijlage A

Moshinsky-coefficienten

In deze bijlage wordt het gebruik van Moshinsky-coefficienten uitgelegd, of in andere woor-

den: de coefficienten 〈nl,NL; Λ|n1l1, n2l2; Λ〉 van de transformatie tussen gekoppelde HO-

toestanden in individuele (“center-of-well”, cw) coordinaten ~r1 en ~r2 en gekoppelde HO-

toestanden in relatieve en massacentrumcoordinaten (“relative and center of mass”, rcm) ~r

en ~R.

A.1 Transformatie tussen cw en rcm coordinaten

Toestanden die in cw coordinaten beschreven zijn laten het toe om gemakkelijk de matrixele-

menten van eendeeltjesoperatoren te berekenen. Een voorbeeld hiervan is de kinetische

energie. Voor sommige operatoren is dit echter niet de beste keuze, zoals bijvoorbeeld de

interactie-energie V (|~r1 − ~r2|), dewelke een functie is van de relatieve coordinaat.

Deze twee coordinatenstelsels zijn gerelateerd aan elkaar via (fig. A.1)

~r =1√2

(~r1 − ~r2) ~R =1√2

(~r1 + ~r2) (A.1)

en voor de momenta:

~k =1√2

(~p1 − ~p2) ~P =1√2

(~p1 + ~p2). (A.2)

De Hamiltoniaan die de ongestoorde beweging van de 2 deeltjes beschrijft, kan in beide

coordinatenstelsels geschreven worden als

H =1

2µ(~p2

1 + ~p22) +

1

2µω2(~r2

1 + ~r22)

=1

2µ(~k2 + ~P 2) +

1

2µω2(~r2 + ~R2).

(A.3)

Vergelijking (A.3) toont dat de vorm van de Hamiltoniaan in rcm coordinaten dezelfde is als

die in cw coordinaten. Hierdoor kan de golffunctie

〈~r1|n1l1m1〉〈~r2|n2l2m2〉 (A.4)

50

1 2

~r1 ~r2

~R√2

√2~r

O

Figuur A.1: Het verband tussen cw en rcm coordinaten voor 2 deeltjes.

in rcm coordinaten in dezelfde vorm geschreven worden:

〈~r|nlm〉⟨~R∣∣∣NLM⟩ (A.5)

met nlm en NLM de kwantumgetallen van de rcm golffunctie waarvoor, wegens het behoud

van energie, geldt dat:

2n1 + l1 + 2n2 + l2 = 2n+ l + 2N + L. (A.6)

Dit in acht genomen bestaat er voor elke tweedeeltjes golffunctie, met totaal angulair mo-

mentum Λ en projectie MΛ, een orthogonale transformatie tussen de cw en rcm coordinaten:

|n1l1, n2, l2; ΛMΛ〉 =∑nl,NL

|nl,NL,ΛMΛ〉〈nl,NL; Λ|n1l1, n2l2; Λ〉 (A.7)

waarbij de coefficienten 〈nl,NL; Λ|n1l1, n2l2; Λ〉 de zogenaamde Moshinsky-coefficienten zijn

[15]. In deze notatie is de MΛ weggelaten om duidelijk te maken dat de coefficienten onafhan-

kelijk zijn van MΛ. Het totaal angulaire momentum Λ moet hierbij voldoen aan de algemene

condities

|l1 − l2| ≤ Λ ≤ l1 + l2

|l − L| ≤ Λ ≤ l + L.(A.8)

A.2 Recursieve relaties

De coefficienten 〈nl,NL; Λ|n1l1, n2l2; Λ〉 worden recursief opgesteld, waarbij begonnen wordt

van een uitdrukking voor n1 = n2 = 0 [26]:

〈nl,NL; Λ|0l1, 0l2; Λ〉

=

[l1!l21

(2l1)!(2l2)1

(2l + 1)!(2L+ 1)!

2l+L(n+ l)!

n!(2n+ 2l + 1)!

(N + L)!

N !(2N + 2L+ 1)!

]× (−1)n+l+L−Λ

∑x

(2x+ 1)A(l1l, l2L, x)W (lLl1l2; Λx). (A.9)

51

In deze uitdrukking zijn W (lLl1l2; Λx) Racahs W coefficienten, die in verband staan met

Wigner 6j symbolen via

W (j1j2Jj3; J12J23) = (−1)j1+j2+j3+J

j1 j2 J12

j3 J J23

(A.10)

en de factor A

A(l1l, l2L, x) =

[(l1 + l + x+ 1)!(l1 + l − x)!(l1 + x− l)!

(l + x− l1)!

]1/2

×[

(l2 + L+ x+ 1)!(l2 + L− x)!(l2 + x− L)!

(L+ x− l2)!

]1/2∑q

(−1)l+q−l1

2

× (l + q − l1)!(l+q−l1

2

)!(l+l1−q

2

)!

1

(q − x)!(q + x+ 1)!

(L+ q − l2)!(L+q−l2

2

)!(L+l2−q

2

)!. (A.11)

In deze uitdrukking is het bereik van de sommaties over x en q bepaald door de koppelings-

condities (A.8) en het feit dat q niet-negatief is.

Uit (A.9) kan dan de recursieformule voor arbitraire n1 en n2 geschreven worden als

〈nl,NL; Λ|n1 + 1l1, n2l2; Λ〉 =

[(n1 + 1)(n1 + n1 +

3

2)

]−1/2

×∑

n′l′N ′L′

⟨nl,NL; Λ

∣∣−r21

∣∣n′l′, N ′L′; Λ⟩ ⟨n′l′, N ′L′; Λ

∣∣n1l1, n2l2; Λ⟩, (A.12)

waarin, net als in (A.6), aan behoud van energie moet voldaan worden:

2n+ l + 2N + L = 2(n1 + 1) + l1 + 2n2 + l2. (A.13)

Door het behoud van energie en eigenschappen van de radiele golffuncties wordt de sommatie

aanzienlijk eenvoudiger: slechts zes tweedeeltjestoestanden |n′l′, N ′L′; Λ〉 zijn niet nul. Deze

elementen worden weergegeven in tabel A.1.

52

n′

l′N′

L′

〈nl,NL

;Λ|−r2 1|n′ l′ ,N′ L′ ;

Λ〉

n−

1l

NL

1 2

[ n( n+l+

1 2

)] 1/2n

lN−

1L

1 2

[ N(N

+L

+1 2

)] 1/2n−

1l+

1N−

1L

+1

[nN

(l+

1)(L

+1)

]1/2

(−1)

Λ+L

+l W

(ll+

1LL

+1;

1Λ)

n−

1l+

1N

L−

1[n

(N+L

+1/2

)(l

+1)L

]1/2

(−1)

Λ+L

+l W

(ll+

1LL−

1;1Λ

)

nl−

1N−

1L

+1

[(n

+l+

1/2

)Nl(L

+1)

]1/2

(−1)

Λ+L

+l W

(ll−

1LL

+1;

1Λ)

nl−

1N

L−

1[(n

+l+

1/2

)(N

+L

+1/2

)lL

]1/2

(−1)

Λ+L

+l W

(ll−

1LL−

1;1Λ

)

Tab

elA

.1:

Mat

rixel

emen

ten

die

nie

tw

egva

llen

ind

ere

curs

ieb

etre

kkin

g(A

.12)

.

53

A.3 Symmetrie eigenschappen van Moshinsky-coefficienten

Bij het gebruiken van Moshinsky-coefficienten is het handig om te weten dat gebruik kan

gemaakt worden van volgende symmetrie-eigenschappen [27]:

〈nl,NL; Λ|n1l1, n2l2; Λ〉 = (−1)L−Λ 〈nl,NL; Λ|n2l2, n1nl1; Λ〉 (A.14)

= (−1)l1−Λ 〈NL, nl; Λ|n1l1, n2l2; Λ〉 (A.15)

= (−1)l1+l 〈NL, nl; Λ|n2l2, n1l1; Λ〉 (A.16)

= (−1)l2+L 〈n1l1, n2l2; Λ|NL, nl; Λ〉 (A.17)

A.4 Clebsch-Gordan-coefficienten en Wigner symbolen

Een andere manier om angulaire momenta te koppelen naast Moshinsky-coefficienten zijn

Clebsch-Gordan-coefficienten. De combinatie tussen de toestanden |j1m1〉 en |j2m2〉 kunnen

in termen van Clebsch-Gordan-coefficienten geschreven worden als

|j1m1〉 ⊗ |j2m2〉 =∑J

〈j1j2m1m2|JM〉 |j1j2JM〉 (A.18)

waarbij ook moet gelden dat

|j1 − j2| ≤ J ≤ j1 + j2 (A.19)

M = m1 +m2 (A.20)

J ≥ |M |. (A.21)

De Clebsch-Gordan-coefficienten kunnen gerelateerd worden aan Wigner 3j-symbolen volgens

de relatie

〈j1m1j2m2|JM〉 = (−1)j1−j2+M√

2J + 1

(j1 j2 J

m1 m2 −M

). (A.22)

54

Bijlage B

Matrixelement van de

tensoroperator

De tensoroperator is in het algemeen gedefinieerd als

Sij =3~σi · ~rij~σj · ~rij

r2ij

− ~σi · ~σj , (B.1)

waarin ~σi de spin operator is met ⟨1

2

∣∣∣∣~σ∣∣∣∣12⟩

=√

6. (B.2)

Als er gebruik gemaakt wordt van de totale spin ~S

~S =~σi + ~σj

2, (B.3)

valt de tensoroperator nog te schrijven als

Sij = 2

[3

(~S · ~rij)2

r2ij

− S2

]. (B.4)

Het product ~S · ~rij kan geschreven worden als S(1) · r(1)ij , waar S(1) en r

(1)ij sferische tensors

van de eerste orde zijn. De relatieve afstandstensor heeft de vorm

r(1)ijm

rij=

√4π

3Y (1)m (Ωij), (B.5)

met Y(1)m (Ωij) ≡ Y1m(Ωij) de sferische harmonieken van eerste orde. Hiermee rekening hou-

dend, kan de tensoroperator herschreven worden in de vorm

Sij = 22π

3

[3(S(1) · Y (1))2 − (S(1))2(Y (1))2

]=

√96π

5

[S(2) · Y (2)

],

(B.6)

55

waarin S(2) =[S(1) ⊗ S(1)

](2)en Y (2) =

√10π3

[Y (1) ⊗ Y (1)

](2).

De matrixelementen van de tensoroperator worden dan gegeven door

⟨(lS)jmj

∣∣Sij∣∣(l′S′)j′m′j⟩ =⟨(lS)jmj

∣∣√96π

5

[S(2) · Y (2)

]∣∣(l′S′)j′m′j⟩=

√96π

5δjj′δmjm′j (−1)l

′+S+J

l l′ 2

S′ S j

⟨l∣∣Y (2)

∣∣l′⟩ ⟨S∣∣S(2)∣∣S′⟩ .(B.7)

Omdat

⟨l∣∣Y (2)

∣∣l′⟩ = (−1)l√

5(2l + 1)(2l′ + 1)

4π

(l′ l 2

0 0 0

), (B.8)⟨

S∣∣S(2)

∣∣S′⟩ = δSS′δS1

√5 (B.9)

kan er finaal geschreven worden dat⟨(lS)jmj

∣∣Sij∣∣(l′S′)j′m′j⟩ =(−1)S+j√

120√

2l + 1√

2l′ + 1

⊗(l′ l 2

0 0 0

)l l′ 2

S′ S j

δjj′δmjm′jδSS′δS1.

(B.10)

56

Bijlage C

Numerieke implementatie

C.1 Wignerdistributie

De numerieke resultaten die verkregen zijn in het kader van de LCA techniek kunnen verkre-

gen worden met behulp van software die ontwikkeld werd in de doctoraatsthesis van Maarten

Vanhalst [22].

Er kunnen drie stappen onderscheiden worden. Ten eerste worden voor een gegeven nu-

cleus alle paren tussen nucleonen gecreeerd. Vervolgens worden voor elk van deze paren de

matrixelementen berekend. In deze twee stappen worden nog geen numerieke berekeningen

gedaan, dit wordt namelijk voor alle matrixelementen in stap drie gedaan. Omdat de struc-

tuur van de code ongewijzigd blijft en enkel het numerieke deel gewijzigd is, wordt hier een

klein overzicht van elke stap gegeven.

C.1.1 Nucleus

In de eerste stap worden alle paarcombinaties |α1α2〉nas voor een gegeven kern A(Z,N) ge-

maakt. Elke mogelijke combinatie van nucleon-nucleon paren worden in rcm toestanden

geschreven met behulp van vergelijking (3.20):

|α1α2〉nas = CAα1α2

∣∣∣A ≡ n(lS)jmj(~r), NLML(~R), TMT

⟩(C.1)

C.1.2 Matrixelementen

De matrixelementen tussen de |α1α2〉nas-toestanden zijn

nas 〈α1α2|Ωeff|α1α2〉nas =∑A

∑B

(CAα1α2

)†CBα1α2

〈A|Ωeff|B〉 , (C.2)

waarin CAα1α2de coefficienten zijn zoals gedefinieerd in vergelijking (3.20), en de matrixele-

menten 〈A|Ωeff|B〉 deze zijn berekend in vergelijking (4.47).

57

C.1.3 Numerieke integraties

Zoals reeds vermeld bij het berekenen van de gecorreleerde matrixelementen in sectie 4.2.2

moet voor elke correlatiefunctie apart een matrixelement zoals in vergelijking (4.47) berekend

worden. Dit impliceert dat voor elke correlatiefunctie ook de gedefinieerde functie χk,Kpi,nl(p1, P )

moet berekend worden, deze worden in de code dan ook opgeslagen in een container.

Het uitrekenen van de integralen wordt in deze code gedaan met de eendimensionale methodes

uit de GNU Scientific Library1.

De structuur van de code is hier niet veranderd omdat de berekeningen van de wignerdistri-

butie analoog werken aan die van de momentumdistributies, waarvoor de code in Ref. [22]

werd gebruikt.

C.2 Verwerking resultaten

De integralen uit hoofstuk 5 werden in python2 verwerkt met de trapz-procedure3. Deze

integralen zijn eendimensionaal en van de gedaante

I =

∫ b

af(x) dx. (C.3)

Deze methode gebruikt, zoals de naam reeds doet vermoeden, de trapeziumregel om de inte-

gralen te berekenen. De regel werkt door de oppervlakte onder de curve van de functie f(x)

te benaderen als een trapezium en hiervan de oppervlakte te berekenen. Deze oppervlakte

kan in n intervallen opgesplitst worden, waardoor de integraal benaderd kan worden door∫ b

af(x) dx ≈ ∆x

2(f(x0) + 2f(x1) + · · · 2f(xn−1) + f(xn)) , (C.4)

waarin ∆x = b−an en xi = a+ i∆x zijn.

1GNU Scientific Library, http://www.gnu.org/software/gsl/.2www.python.org3https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.14.0/reference/generated/numpy.trapz.html

58

http://www.gnu.org/software/gsl/

www.python.org

https://docs.scipy.org/doc/numpy-1.14.0/reference/generated/numpy.trapz.html

Bijlage D

Samenvatting

In de fysica zijn vier fundamentele natuurkrachten bekend, alle andere krachten zijn een ge-

volg van deze vier. Deze zijn: de sterke kernkracht, de elektromagnetische kracht, de zwakke

kernkracht en de zwaartekracht. Deze zijn respectievelijk verantwoordelijk voor het bij elkaar

houden van protonen en nucleonen in de kern van een atoom, de wisselwerking tussen geladen

deeltjes, verschillende vervalprocessen en het bij elkaar houden van materie op grote schaal

(denk maar aan het zonnestelsel). In deze thesis wordt naar het gedrag van nucleonen in

een kern gekeken, deze interageren met elkaar via de nucleon-nucleon (NN) kracht. De NN

kracht is geen fundamentele interactie, maar is een residuele kracht afkomstig van de sterke

kracht, verantwoordelijk voor het binden van de nucleonen zelf.

De NN interactie is de kracht die verantwoordelijk is voor het samenhouden van de protonen

en neutronen in de kern van een atoom. Protonen zijn positief geladen deeltjes. Hierdoor

werkt er een elektromagnetische kracht op de protonen die deze deeltjes wegduwt van elkaar.

Op korte afstand is de NN kracht attractief genoeg om deze afstoting tegen te gaan. Voor

deeltjes die elkaar te dicht naderen is de NN kracht echter afstotend, dit zorgt ervoor dat de

nucleus niet instort en een evenwichtig systeem is. Figuur D.1 toont het verloop van de NN

kracht.

Het Stern-Gerlachexperiment [29] heeft aangetoond dat deeltjes een intrinsiek impulsmoment

dragen. Dit wordt de spin s van een deeltje genoemd. De spin is een zuiver kwantummecha-

nisch effect en heeft geen klassiek (het regime waar geen kwantumeffecten optreden) analogon.

Buiten de spin hebben deeltjes nog een ander kwantumgetal: de isospin. Dit kwantumge-

tal beschrijft de symmetrie tussen protonen en neutronen. Wiskundig worden de spin en

isospin van een deeltje identiek behandeld. Deze spin en isospins zijn belangrijk omdat de

NN kracht hiervan afhankelijk. Een andere belangrijke invloed in de realistische beschrijving

van de interactie tussen deeltjes is de tensorcomponent van deze kracht. Deze component is

intuıtief uit te leggen door de analogie met twee rechte magneetstaven te maken: als deze

in elkaars verlengde liggen (met de tegengestelde polen naar elkaar), zullen de twee staven

elkaar aantrekken. Als de staven echter verschoven worden zodat ze naast elkaar komen te

59

Figuur D.1: Verloop van de NN kracht in functie van de afstand tussen twee nucleonen. Een

positieve kracht stelt een afstoting voor, een negatieve kracht aantrekking. Figuur uit Ref.

[28].

liggen gaan deze elkaar afstoten. De interactie tussen beiden hangt dus af van de symmtrie

van het systeem. De tensorkracht werkt ongeveer analoog en wordt daarom beschreven als

een niet− centrale kracht.

Een eerste benadering om de interactie tussen nucleonen wiskundig te beschrijven is het on-

afhankelijke deeltjesmodel. In dit model wordt elk deeltje in de kern afzonderlijk bekeken dat

in een krachtveld (potentiaal) beweegt dat opgewekt wordt door de andere nucleonen. De NN

kracht die op elk deeltje inwerkt wordt vervangen door een gemiddelde kracht en de beweging

van elk deeltje wordt bepaald door deze gemiddelde (aantrekkende) kracht. De realistiche

potentiaal wordt benaderd door die van een Harmonische Oscillator, omdat dit het enige ge-

kende model is dat analytisch kan bepaald worden. Als eerste hulpmiddel is het ODM model

een krachtig middel, omdat het in al zijn simpliciteit toch enkele nucleaire eigenschappen kan

uitleggen, zoals bijvoorbeeld de extra stabiliteit van kernen met een bepaald aantal protonen

en neutronen (de getallen waarvoor deze stabiliteit geldt worden magische getallen genoemd).

Om een meer realistische beschrijving van de NN kracht te bekomen, worden in het model

waarvan deze thesis gebruik maakt kortedrachtscorrelaties tussen de deeltjes geıntroduceerd.

Deze interacties zijn een gevolg van de harde afstoting tussen de deeltjes als de afstand klein

is, en het tensorgedeelte van de NN kracht. Twee deeltjes die elkaar dicht benaderen zul-

len deze door de afstoting tussen beiden een hoge impuls krijgen. De hoge impuls van zo’n

deeltjesparen heeft een groot effect op de golffunctie (dewelke het gedrag beschrijft) van het

systeem. Hieruit blijkt dat wanneer deze interacties genegeerd worden (zoals bij het ODM

model) het systeem niet volledig correct beschreven wordt.

60

Golffuncties van een systeem kunnen opgesteld worden door operators te laten inwerken op

een deeltjestoestand. De techniek waarvan sprake in de vorige paragraaf is de lage-orde clus-

terbenadering (LCA). De complexiteit die deze golffuncties bevatten wordt in deze techniek

verschoven naar de operators, die deze op hun beurt dan introduceren in het systeem. De

operator wordt hier benaderend beschreven als een reeksontwikkeling, en omdat hier alleen

gebruik gemaakt wordt van correlaties die op korte schaal werken, wordt deze ontwikkeling

op lage orde afgebroken. Zodoende blijven er niet te veel termen over in de beschrijving van

de operators. De drie componenten van de NN kracht in de beschrijving van deze operators

(en bijgevolg de beschrijving van het systeem) zijn de centrale component, spin-isospin com-

ponent en tensorcomponent. De centrale component is de kracht die het deeltje ondervindt

in zijn beweging ten opzichte van de oorsprong. De uiteindelijke vorm van de operator hangt

dan natuurlijk nog af van wat men wilt beschrijven. In deze thesis zijn dat Wignerdistributies.

In de klassieke fysica kan een systeem beschreven worden door de impuls en positie van een

deeltje. De faseruimte modelleert de mogelijke combinatie van plaats en impuls, om zo een

complete beschrijving van de beweging te krijgen. In de kwantumfysica treedt echter het

verschijnsel op dat de positie en impuls van een deeltje niet allebei gelijktijdig exact bepaald

kunnen zijn. Dit verschijnsel wordt beschreven door het zogenoemde onzekerheidsbeginsel

van Heisenberg:

∆x∆p ≥ 1

2. (D.1)

Deze formule beschrijft dat de onzekerheid op de positie (∆x) en de onzekerheid op de im-

puls (∆p) niet allebei nul kunnen zijn: positie en impuls zijn niet allebei gelijk gekend. De

faseruimte is bijgevolg geen goede beschrijving van een systeem waarin kwantumeffecten een

rol spelen aangezien in de faseruimte de positie en impuls net wel overal exact gekend zijn.

De Wignerdistributie is een voorbeeld van een mogelijk alternatief hierop. De Wignerdistri-

butie laat toe een vergelijking te maken met een analoog klassiek systeem en vertelt waar

in de faseruimte kwantumeffecten een rol spelen, aangezien deze gelinkt worden aan nega-

tieve waarden in de distributie. In dit werk wordt de LCA gebruikt om deze distributies

te berekenen. Vervolgens kunnen deze distributies gebruikt worden om enkele interessante

fysische grootheden te berekenen: de gemiddelde kinetische energie van de nucleonen, en de

rms straal van de kernen. Deze laatste wordt gebruikt om een grootte aan een kern toe te

kennen, daar deze niet exact vast bepaalde grenzen hebben.

Het resultaat van de berekeningen toont aan dat kernen inderdaad kwantumeffecten onder-

gaan, zelfs als in het ODM model. Dit toont nogmaal de kracht van deze benadering. Voor

zowel de kinetische energie van de nucleonen als de rms stralen van de kernen heeft de toe-

voeging van de kortedrachtscorrelaties een grote impact. De kinetische energie van de kernen

vergroot significant na het toevoegen ervan, terwijl de rms stralen dan weer kleiner worden,

zij het men een kleinere factor.

61

Bibliografie

[1] E. Rutherford. The scattering of alpha and beta particles by matter and the structure

of the atom. Phil. Mag. Ser.6, 21:669–688, 1911.

[2] J. Chadwick. Possible Existence of a Neutron. Nature, 129:312, 1932.

[3] Hideki Yukawa. On the Interaction of Elementary Particles I. Proc. Phys. Math. Soc.

Jap., 17:48–57, 1935. [Prog. Theor. Phys. Suppl.1,1(1935)].

[4] Jan Ryckebusch, Maarten Vanhalst, and Wim Cosyn. Stylized features of single-

nucleon momentum distributions. Journal of Physics G: Nuclear and Particle Physics,

42(5):055104, 2015.

[5] Yarrick Nys. Impulsdistributies voor atomaire kernen. Master’s thesis, Universiteit Gent,

2015.

[6] E. Wigner. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium. Phys. Rev.,

40:749–759, Jun 1932.

[7] David J. Tannor. Introduction to quantum mechanics: A Time-Dependent Perspective.

University Science Books, 1958.

[8] Thomas L. Curtright and Cosmas K. Zachos. Quantum Mechanics in Phase Space. Asia

Pac. Phys. Newslett., 1:37–46, 2012.

[9] Ernest M Henley and Alejandro Garcia. Subatomic Physics. World Scientific.

[10] Povh, Rith, Scholz, and Zetsche. Particles and nuclei: An introduction to the Physical

Concepts. Springer, 2008.

[11] J. Blomqvist and A. Molinari. Collective 0-vibrations in even spherical nuclei with tensor

forces. Nuclear Physics A, 106(3):545 – 569, 1968.

[12] H. J. Lipkin. Center-of-mass motion in the nuclear shell model. Phys. Rev., 110:1395–

1397, Jun 1958.

[13] S. Gartenhaus and C. Schwartz. Center-of-mass motion in many-particle systems. Phys.

Rev., 108:482–490, Oct 1957.

62

[14] Kastberg. Ls-coupling and jj-coupling.

[15] M. Moshinsky and Y. F. Smirnov. The Harmonic Oscillator in Modern Physics. Harwood

Academic Publishers, 1996.

[16] E. C. Svensson, V. F. Sears, A. D. B. Woods, and P. Martel. Neutron-diffraction study

of the static structure factor and pair correlations in liquid 4He. Phys. Rev. B, 21:3638–

3651, Apr 1980.

[17] Robert B. Hallock. X-ray scattering from liquid 4He. Phys. Rev. A, 5:320–330, Jan 1972.

[18] O. Benhar, V. R. Pandharipande, and Steven C. Pieper. Electron-scattering studies of

correlations in nuclei. Rev. Mod. Phys., 65:817–828, Jul 1993.

[19] Robert Roth, Thomas Neff, and Hans Feldmeier. Nuclear structure in the framework

of the unitary correlation operator method. Progress in Particle and Nuclear Physics,

65(1):50 – 93, 2010.

[20] S. K. Bogner and D. Roscher. High-momentum tails from low-momentum effective

theories. Phys. Rev. C, 86:064304, Dec 2012.

[21] Omar Benhar, Adelchi Fabrocini, and Stefano Fantoni. The nucleon spectral function

in nuclear matter. Nuclear Physics A, 505(2):267 – 299, 1989.

[22] Maarten Vanhalst. Quantifying short-range correlations in nuclei. PhD thesis, Univer-

siteit Gent, 2014.

[23] O. Hen et al. Momentum sharing in imbalanced Fermi systems. Science, 346:614–617,

2014.

[24] Antoine Royer. Wigner function as the expectation value of a parity operator. Phys.

Rev. A, 15:449–450, Feb 1977.

[25] J. J. Sakurai. Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley Publishing Company, 1993.

[26] D Ursescu, M Tomaselli, T Kuehl, and S Fritzsche. Symbolic algorithms for the com-

putation of moshinsky brackets and nuclear matrix elements. Computer Physics Com-

munications, 173(3):140–161, 2005.

[27] M. Moshinsky and T.A. Brody. Simetrias y reglas de suma de los parentesis de trans-

formacion. Rev. Mex. Fıs., 181(9), 1960.

[28] Roderick V Reid. Local phenomenological nucleon-nucleon potentials. Annals of Physics,

50(3):411 – 448, 1968.

[29] Walther Gerlach and Otto Stern. Der experimentelle nachweis der richtungsquantelung

im magnetfeld. Zeitschrift fur Physik, 9(1):349–352, Dec 1922.

63

Lijst van figuren

2.1 Faseruimte van de 1D Harmonische Oscillator (2.1). . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Wigner faseruimte distributie voor verschillende modes van de 1D kwantum

harmonische oscillator. Net zoals de faseruimte in figuur 2.1is deze distributie

symmetrisch rond de oorsprong. Figuur afkomstig uit [8]. . . . . . . . . . . . 6

3.1 Bindingsenergie per nucleon. Hier is duidelijk te zien dat er saturatie optreedt

voor grote A. Figuur afkomstig uit [9]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 De realistische potentiaal wordt hier benaderd door een harmonische oscillator.

Figuur afkomstig uit [9]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 De HO parameter ν in functie van het massagetal A. . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4 Links: de individuele ~Li en ~Si koppelen eerst tot ~L en ~S. De combinatie van

deze twee vormt ~J . Dit is de LS-koppeling. Rechts: de individuele ~ji worden

eerst gevormd om vervolgens te koppelen tot ~J . Dit is de jj-koppeling. Figuur

uit Ref. [14]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.5 Interatomaire potentiaal v(r) en correlatiefunctie g(r) voor vloeibaar 4He, met

σ een maat voor de diameter van 4He. Figuur afkomsting uit [18]. . . . . . . 14

3.6 Diagrammatische representatie van de verschillende termen uit vergelijking

(3.34). In deze voorstelling stellen zwarte punten de deeltjes voor waarop de

operator inwerkt. Een gestipte lijn is de correlatie-operator lij die inwerkt op

het deeltjespaar “ij”. Figuur uit Ref. [22]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.7 De verhouding 〈Tp〉/〈Tn〉 in functie van de protonfractie xp voor het IPM en

LCA. Figuur uit [4]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.8 Schematische weergave van de momentumdistributie n(k). De gestipte lijnen

tonen het effect wanneer er SRC’s worden geıntroduceerd. Deze interacties

creeren een hoge- momentum staart. Dit is vergelijkbaar met een bal waar

een meerendeel aan vrouwen is: man-vrouw “interacties” zorgen ervoor dat de

gemiddelde man meer gaat dansen dan de gemiddelde vrouw. Figuur uit Ref.

[23]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5.1 Links: Wignerdistributies voor 42He, 9

4Be, 126C in het kader van ODM. Rechts:

De bijhorende LCA Wignerdistributies. De zwarte lijn accentueert de plaatsen

waar de distributie nul wordt, om negatieve gebieden beter in kaart te brengen. 31

64

5.2 Links: Wignerdistributies voor 168O, 19

9F en 2713Al in het kader van ODM. Rechts:

De bijhorende LCA Wignerdistributies. De zwarte lijn accentueert de plaatsen

waar de distributie nul wordt, om negatieve gebieden beter in kaart te brengen. 32

5.3 Links: Wignerdistributies voor 4018Ar, 40

20Ca en 5626Fe in het kader van ODM.

Rechts: De bijhorende LCA Wignerdistributies. De zwarte lijn accentueert de

plaatsen waar de distributie nul wordt, om negatieve gebieden beter in kaart

te brengen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.4 Dwarsdoorsneden van de Wignerdistributie voor 42He. . . . . . . . . . . . . . . 35

5.5 Dwarsdoorsneden van de Wignerdistributie voor 94Be. . . . . . . . . . . . . . . 35

5.6 Dwarsdoorsneden van de Wignerdistributie voor 126C. . . . . . . . . . . . . . . 36

5.7 Dwarsdoorsneden van de Wignerdistributie voor 1680. . . . . . . . . . . . . . . 36

5.8 Dwarsdoorsneden van de Wignerdistributie voor 199F. . . . . . . . . . . . . . . 37

5.9 Dwarsdoorsneden van de Wignerdistributie voor 2713Al. . . . . . . . . . . . . . 37

5.10 Dwarsdoorsneden van de Wignerdistributie voor 4018Ar. . . . . . . . . . . . . . 38

5.11 Dwarsdoorsneden van de Wignerdistributie voor 5626Fe. . . . . . . . . . . . . . 38

5.12 Uitgelichte negatieve gebieden van de Wignerdistributie voor 94Be. . . . . . . 39

5.13 Uitgelichte negatieve gebieden van de Wignerdistributie voor 126C. . . . . . . 39

5.14 Uitgelichte negatieve gebieden van de Wignerdistributie voor 168O. . . . . . . 40

5.15 Uitgelichte negatieve gebieden van de Wignerdistributie voor 199F. . . . . . . . 40

5.16 Uitgelichte negatieve gebieden van de Wignerdistributie voor 2713Al. . . . . . . 41

5.17 Uitgelichte negatieve gebieden van de Wignerdistributie voor 4018Ar. . . . . . . 41

5.18 De gemiddelde kinetische energie in functie van de positie 〈T (q)〉 voor enkele

kernen. De gestipte lijnen stellen de protonen voor terwijl de solide lijnen

de neutronen zijn. De groene lijnen zijn deze in het ODM model, de blauwe

stellen de energie geınduceerd door de correlaties voor terwijl de rode lijn het

LCA resultaat is. De solide zwarte lijn is het gemiddelde LCA resultaat. . . 43

5.19 De rms straal in functie van het momentum voor enkele kernen. . . . . . . . 45

5.20 De rms straal in functie van het momentum voor enkele kernen, berekend voor

elk van de nucleonen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

A.1 Het verband tussen cw en rcm coordinaten voor 2 deeltjes. . . . . . . . . . . . 51

D.1 Verloop van de NN kracht in functie van de afstand tussen twee nucleonen.

Een positieve kracht stelt een afstoting voor, een negatieve kracht aantrekking.

Figuur uit Ref. [28]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

65

Lijst van tabellen

5.1 De gemiddelde kinetische energie per neutron en proton (〈Tn〉 en 〈Tp〉) in het

kader van het ODM en LCA voor verschillende kernen. Alle waarden staan in

MeV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2 De berekende rms stralen voor de getoonde kernen in figuur 5.19. Alle waarden

staan in fm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

A.1 Matrixelementen die niet wegvallen in de recursiebetrekking (A.12). . . . . . 53

66

Nucleaire Wigner distributies: een maatstok voor kwantume...

Documents

Transcript of Nucleaire Wigner distributies: een maatstok voor kwantume...