Notas de Aulas

BC0404 - Geometria Analtica - Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinu Lodovici e

Daniel Miranda, Rafael Grisi, Sinu Lodovici e

Notas de aula - vers o preliminar a

Ve rs ao

Pr el imBC0404 - Geometria Analtica UFABC - Universidade Federal do ABC Santo Andr e http://gradmat.ufabc.edu.br/cursos/ga/ Vers o 0.7 a Vers o compilada em: 27 de setembro de 2011 aA Escrito em L TEX.

in ar


SUMARIO

Smbolos e notacoes gerais 1

v

17

2

Vetores em Coordenadas 41 2.1 Sistemas de Coordenadas 42 2.1.1 Operacoes Vetoriais em Coordenadas 46 2.2 Bases Ortonormais e Coordenadas Cartesianas 52 2.3 Angulo entre dois Vetores: Produto Escalar 55 2.3.1 Projecao Ortogonal 59 2.4 Vetor Perpendicular a dois Vetores Dados: Produto Vetorial 2.5 Escolha do Sistema de Coordenadas 68 2.6 O Problema do Lugar Geom trico e 72 2.7 Coordenadas Polares 76 2.7.1 Gr cos de curvas em coordenadas polares a 81 Retas e Planos 87 3.1 Equacoes da Reta 87 3.1.1 Equacoes da reta no plano 92 3.2 Equacoes do Plano 98 3.2.1 Equacoes Param tricas e Vetoriais do Plano e 3.2.2 Equacao Geral de um Plano 99 3.3 Posicoes Relativas 103 3.3.1 Posicao relativas entre retas 103 3.3.2 Posicao relativas entre retas e planos 109 3.3.3 Posicao relativas entre planos 112 3.4 Angulos 115

Ve rs ao 3

Pr el im98

in ar62i

Estrutura Vetorial do Plano e do Espaco 1 1.1 Denicoes Elementares 1 1.1.1 Operacoes com Vetores 4 1.2 Depend ncia e Independ ncia Linear de Vetores e e 1.3 Bases 32 1.4 Soma de Ponto com Vetor 34 1.5 Exerccios Complementares 39


3.5

4

Crculos e Esferas 135 4.1 Equacoes Canonicas de Crculos e Esferas 135 4.1.1 Crculo por tr s pontos 138 e 4.2 Retas Tangentes e Planos Tangentes 141 4.3 Circunfer ncia em coordenadas polares 147 e Mudanca de Coordenadas 151 5.1 Transformacoes Ortogonais 5.1.1 Translacao 151 5.1.2 Rotacao 155

5

6

Ve rs ao Apndice e

Secoes Conicas 161 6.1 Conicas 161 6.2 Elipse 161 6.3 Hip rbole 165 e 6.3.1 Assntotas 166 6.4 Parabola 167 6.5 Equacoes da forma Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 6.5.1 Caso 4AB C2 = 0 171 2 =0 6.5.2 Caso 4AB C 172

Pr el im151 170

a Matrizes e Sistemas Lineares. 179 a.1 Matrizes 179 a.1.1 Operacoes com Matrizes a.2 Determinantes 180 a.2.1 Matriz Inversa 183 a.3 Teorema de Cramer 184

179

ii

in ar177

3.6

3.4.1 Angulo entre duas Retas 116 3.4.2 Angulo entre uma Reta e um Plano 121 3.4.3 Angulo entre dois Planos 122 Dist ncias a 123 3.5.1 Dist ncia de um ponto a uma reta 124 a 3.5.2 Dist ncia de um ponto a um plano a 127 3.5.3 Dist ncia entre Duas Retas 128 a Retas em Coordenadas Polares 131


a.4 M todo de Eliminacao de Gauss e

186

Respostas de Alguns Exerc cios Referncias Bibliogrcas e a Indice Remissivo

195 199

Ve rs ao

Pr el imiii

in ar200


Ve rs ao

Pr el im

in ar


S M B O L O S E N O TA C O E S G E R A I S I

i.e. AB AB AB AB v AB v AB |A|

: : : : : : : : :

reta passando pelos pontos A e B segmento de reta ligando os pontos A e B segmento orientado de reta ligando os pontos A e B vetor determinado pelos pontos A e B vetor v comprimento do segmento AB comprimento do vetor v comprimento do vetor AB determinante da matriz A

Ve rs ao

Pr el im

: :

in ar

:=

: : : : : :

existe qualquer que seja ou para todo(s) implica se, e somente se portanto denicao (o termo a esquerda de := e denido pelo termo ` ou express o a direita) a ` id est (em portugu s, isto e) e indica o nal de uma demonstracao


1

E S T R U T U R A V E T O R I A L D O P L A N O E D O E S PA C O

Nossa apresentacao dos vetores ser primordialmente geom trica, e para tanto utiliza a e remos livremente os resultados da geometria Euclideana plana e espacial. Assim suporemos conhecidos os conceitos de angulos, retas, planos, comprimento de segmentos, dist ncia de dois pontos, etc. E ao longo destas notas denotaremos por E3 o espaco eua 2 o plano euclideano. Usaremos letras maiusculas, A, B, clideano tridimensional e por E etc. para representar os pontos, letras minusculas r, s, etc. para indicar as retas e as letras gregas minusculas , , etc. para denotar os planos. Isso posto, comecemos nosso estudo com uma das estruturas sobre a qual pode-se fundamentar a geometria analtica: os vetores. Os vetores permitem uma descricao ele gante e unicada da geometria Euclideana e desempenham um papel importante na fsica, onde s o usados para representar grandezas que possuem intensidade (denomi a nada tamb m tamanho, comprimento, magnitude ou norma), direcao e sentido. Assim e por exemplo a velocidade e a aceleracao de um objeto e as forcas que agem sobre ele s o a descritas por vetores. Para tornarmos clara a denicao de vetor, comecaremos com um B termo relacionado: os vetores aplicados. Um vetor aplicado ou segmento orientado e um par ordenado de pontos do espaco Euclideano, ou, de modo equivalente, um segmento de reta no qual se escolheu um dos extremos A, como ponto inicial. Nesse caso o outro extremo B do segmento ser denominado ponto nal e o vetor aplicado com ponto a inicial A e nal B ser denotado por AB. Para nossas consideracoes um a ponto A e considerado um segmento que denominaremos segmento A nulo. Esse segmento ser denotado por AA ou por 0. a O comprimento do um segmento AB ser denotado por AB . a Os vetores s o grandezas matem ticas construdas para representar para representar a a grandezas que possuem intensidade, direcao e sentido. Os vetores aplicados servem parcialmente a esses propositos, atrav s deles podemos representar grandezas com ese ses atributos. Porem essa representacao n o e unica, existem v rios vetores com pontos a a iniciais e nais distintos, mas que possuem intensidade, direcao e sentido iguais. Para

Ve rs ao

Pr el im

in ar1

1.1 definic o es elementares


eliminarmos esse problema, identicaremos, i.e, diremos que s o iguais, todos esses vea tores. Assim diremos que dois vetores aplicados s o equivalentes (ou equipolentes) se a e somente se, possuem o mesmo comprimento, a mesma direcao e o mesmo sentido ou ainda se ambos s o nulos. a Uma identicacao an loga, ocorre com as fracoes: duas fracoes podem ter numerado a res e denominadores iguais e mesmo assim diremos que elas s o iguais (ou equivalentes) a pois representam a mesma grandeza. Quando identicamos os vetores aplicados equivalentes obtemos vetores livres ou simplesmente vetores. E fundamental observar que dado um vetor podemos escow lher livremente o ponto onde inicia tal vetor, ou seja, dado um vetor e um ponto podemos escolher um vetor aplicado que u inicia nesse ponto e que possui a mesma intensidade, direcao v e sentido do vetor. Cada vetor aplicado com a mesma direcao, sentido e comprimento do vetor, e dita ser um representante do vetor. u=v=w E importante que que clara a seguinte diferenca: se por um lado vetores aplicados cam bem denidos pela escolha de direcao, sentido, comprimento e origem, por outro, vetores precisam apenas de direcao, sentido e comprimento. Isso signica que consideramos equivalentes segmentos orientados que s o paralelos, apontam no mesmo sentido e tem o mesmo comprimento, mas a consideramos iguais vetores paralelos, de mesmo sentido e com mesmo comprimento. O vetor cujos representantes s o segmentos orientado nulos, ou seja com pontos inia ciais e nais coincidentes ser denominado vetor nulo. O vetor nulo ser denotado por a a AA ou por 0. Os vetores ser o denotados por fontes minusculas em negrito a a . Dados dois pontos A e B, ou atrav s de uma echa superior: a e B denotaremos por AB o vetor que tem como representante o vetor aplicado AB. Gracamente vetores s o representados como echas, a no qual a ponta da echa aponta no sentido do vetor. AB Como consequ ncia de sua denicao um vetor tem tr s aspece e v tos distinguidos: direcao, sentido e comprimento. Dado um vetor e um segmento que o representa, teremos que a direcao do vetor e a direcao desse segmento, o sentido vem de termos escolhido uma A orientacao no segmento, ou seja de termos escolhido um ponto inicial e nal e o comprimento de um vetor e o comprimento do segmento que o representa. O comprimento de um vetor v = AB ser denotado por v ou ainda por AB . a

Ve rs ao 2

Pr el im

in ar


O conjunto de todos os vetores de E3 ser denotado por V 3 . De modo an logo, a a 2 o conjunto de vetores associados a E2 , i.e. classe de equival ncia denotaremos por V e de segmentos de retas no plano. De modo geral, conceitos envolvendo vetores s o denidos utilizando seus represena tantes. Nesse esprito temos as seguintes denicoes: Diremos que dois vetores s o paralelos quando seus representantes tiverem a mesma a direcao ou quando um desses vetores for o vetor nulo 0. O termo vetores paralelos inclui o caso especial onde os vetores est o sobre a mesma reta ou mesmo o caso em que a coincidem. Como consequ ncia da denicao anterior temos que o vetor nulo e paralelo e a todo vetor e tamb m que todo vetor e paralelo a si mesmo. e

Diremos que um conjunto de vetores s o coplanares se esses vetores possuem reprea sentantes contidos no mesmo plano.v

Ve rs ao

Figura 1.2: Vetores coplanares.

Finalmente, dois vetores u e v s o ditos ortogonais, se ao escolhermos dois represena tantes para esses vetores que iniciam no mesmo ponto, AB e BC esses segmentos forem ortogonais, ou seja, se o angulo determinado por esses segmentos for um angulo reto.

Pr el imuFigura 1.1: Vetores paralelos.u w v

v

in ar3


v u

Figura 1.3: Vetores ortogonais

Por tradicao, grandezas que possuem apenas magnitude, ou seja, grandezas que s o a representadas por numeros reais s o denominadas grandezas escalares. Seguindo essa a tradicao denominamos um numero real de escalar. Vamos denir duas operacoes envolvendo vetores: a soma de vetores e a multiplicacao por escalares. Multiplicacao por Escalar: Dado um vetor v e um escalar podemos realizar a multiplicacao de e v obtendo o vetor v denido do seguinte modo: Se o vetor v e nulo ou o escalar e zero ent o v = 0 a

Se > 0, o vetor v e o vetor com o mesmo sentido, mesma direcao e com comprimento || v . Se < 0 ent o o vetor kv tem a mesma direcao e sentido oposto ao vetor v e a comprimento || v .

Ve rs ao 1 v v = v v4

Figura 1.4: Multiplicacao de um vetor por um escalar.

Um vetor de comprimento 1 e chamado vetor unit rio. Dado um vetor v = 0, temos a que o vetor:

e unit rio e possui a mesma direcao e sentido que v e e chamado versor de v. Veja a exerccio

Pr el imA A1 A 2

in ar

1.1.1

Operaes com Vetores co


Um termo que usaremos ocasionalmente e o de vetor direcional ou vetor diretor. Muito frequentemente estaremos interessados apenas na direcao de um vetor e n o no a seu tamanho. Por exemplo, como veremos posteriormente, uma reta e completamente determinada por um ponto P e um vetor v. Nesse caso o tamanho de v n o e importante a e podemos multiplica-lo livremente por um escalar. Atrav s da multiplicacao de vetores por escalares podemos dar uma caracterizacao e alg brica para o paralelismo de vetores: e Teorema 1.1 Se dois vetores u, v s o paralelos e v = 0 ent o u = v para algum R. a a

Demonstracao: Vamos tratar primeiro o caso em que u e v t m mesmo sentido. Neste e caso, visto que v = 0, podemos escolher = u v

Com essa escolha, provaremos que u = v. Como u e v s o paralelos, u e v possuem a mesma direcao. E como estamos assua mindo que u e v possuem o mesmo sentido e como e maior que zero ent o pela a denicao de multiplicacao por escalares u e v possuem o mesmo sentido. Finalmente v = v = u v v = u

O que prova que eles tem o mesmo comprimento. Logo, como os vetores u e v possuem mesma direcao, sentido e comprimento eles s o iguais. a A demonstracao do caso em que u e v possuem direcao contr ria e an loga, por m a e a u nesse caso escolhemos = v .

Ve rs ao

Corol rio 1.2 Dois vetores u, v s o paralelos se e somente se u =v para algum R ou v =u a a para algum R.

Demonstracao: Suponha que u, v s o paralelos. a Caso v = 0, pelo teorema acima, temos que u =v para algum R. Caso contr rio, a i.e., se v = 0 ent o v =u para = 0. a A implicacao contr ria segue da denicao de multiplicacao de um vetor por um escalar. a Se u =v ou v =u ent o u e v t m mesma direcao, ou seja, s o paralelos. a e a E como consequ ncia do corol rio anterior temos: e a

Teorema 1.3 Trs pontos A, B, C pertencem a mesma reta se e somente se AB = BC ou BC = e AB.

Pr el im

in ar5


BC AB A B

C

AB = BC

ou

BC = AB

Soma de vetores Dois ou mais vetores podem ser somados do seguinte modo: a soma, v + u, de dois vetores v e u e determinada da seguinte forma: A partir de um segmento orientado AB, representante arbitr rio de v, tome um segmento a orientado BC que representa u, i.e., tome um representante de u com origem na extremidade nal do representante de v, desta forma o vetor v + u e denido como o vetor representado pelo segmento orientado AC, ou seja, pelo segmento que vai da origem do representante de v at a extremidade nal do representante de u. e

Ve rs ao 6

A soma de vetores tamb m pode ser feita atrav s da regra do paralelogramo. Para e e somar dois vetores v e u atrav s dessa regra tomamos representantes desses vetores que e comecam num ponto comum O, como na gura 1.6. Ent o, a partir do ponto nal de cada a vetor tracamos uma reta paralela ao outro vetor. Essas retas se interceptam no ponto P. E logo um paralelogramo e formado. O vetor diagonal OP e a soma dos vetores v e u. O vetor v + u obtido por esse m todo e o mesmo que o obtido pelo m todo anterior, pois e e

Pr el imu+v uFigura 1.5: Soma de Vetores

Se AB = BC ou BC = AB, ent o pelo corol rio anterior os segmentos AB e BC a a s o paralelos. Consequentemente s o paralelas as retas AB e BC. Mas como o ponto a a B pertence a ambas as reta, essas s o coincidentes, i.e., os pontos A, B, C pertencem a a mesma reta.

v

in ar

Demonstracao: Claramente se A, B, C pertencem a mesma reta ent o os vetores AB e BC a s o paralelos e consequentemente pelo corol rio acima temos: a a


o segmento OP divide o paralelogramo em tri ngulos congruentes que representam a a soma dos vetores v e u.

u

v u+v v+u v

u

Figura 1.6: Regra do paralelogramo.

Outro modo de ver a subtracao v u e atrav s da seguinte propriedade da adicao e vetores: Para cada vetor u existe um unico vetor u tal que u + (u) = 0.

sa

O vetor u, conhecido como o vetor oposto de u, e aquele com mesmo comprimento e direcao de u, mas sentido oposto. Sob esse ponto de vista, a subtracao v u e apenas a soma de v com u.

o

Ve r

Uma observacao importante e que sempre que os vetores formam um polgono fe chado, como a gura abaixo, sua soma e nula: Como um caso especial dessa regra e a soma de um vetor com seu oposto, i.e., v + (v) =0. As seguintes propriedades da soma e multiplicacao de vetores devem ser evidentes:

Pr eli m in au vu v v u vu7

Observamos que, a partir da denicao de soma vetorial, e f cil ver que v+0 = 0+v = v, a ou seja, o vetor nulo e um elemento neutro para a adicao. A partir da adicao de vetores podemos denir a subtracao de vetores: o vetor v u e o vetor que adicionado a u d o vetor v. Consequentemente, se representarmos os vetores a v e u comecando no mesmo ponto, o vetor v u ser o vetor que liga a extremidade nal a de u a extremidade nal de v.

r


r s u vFigura 1.7: A soma de vetores que formam um polgono fechado e nula: v + u + r + s = 0

Propriedades da soma: S1. Propriedade Comutativa: v + u = u + v S2. Propriedades associativa: (u + v) + w = u + (v + w) S3. Elemento Neutro: 0 + u = u

S4. Elemento oposto: Para cada vetor u existe um unico vetor u tal que u + (u) = 0

u -u

Propriedades da multiplicacao de vetor por escalar:

M1. Propriedade distributiva de escalares em relacao aos vetores: (u + v) = u + v M2. Multiplicacao por zero 0u = 0

Ve rs ao 8

M3. Associatividade da multiplicacao por escalares (1 2 )u = 1 (2 u) M4. Distributiva dos vetores em relacao aos escalares (1 + 2 )u = 1 u + 2 u

M5. Elemento neutro multiplicativo 1u = u Demonstracao: Esbocaremos a demonstracao de algumas dessas propriedades: A propriedade comutativa segue da regra do paralelogramo para a adicao dos vetores u e v, veja a gura 1.8. A diagonal e simultaneamente os vetores u + v e u + v. A propriedade associativa segue de imediato do fato que quando tr s vetores s o e a adicionados, o mesmo vetor fecha o polgono, como na gura 1.9. As propriedades S3 e S4 seguem como descrito no texto anterior a Proposicao. `

Pr el im

in ar

Proposicao 1.4 Sejam u, v, w vetores e , 1 , 2 escalares. As operacoes com vetores possuem as seguintes propriedades:


v u u+v vFigura 1.8: Propriedade Comutativa da Soma

u

u u+v w

w

Figura 1.9: Propriedade Associativa da Soma

1 (2 u) = |1 | 2 u = |1 | (|2 | u ) = |1 2 | u = (1 2 )u . A propriedade M4, i.e, a distributiva dos vetores em relacao aos escalares

Ve rs ao (1 + 2 )u = 1 u + 2 u,

segue da observacao de que a direcao e o sentido dos vetores (1 + 2 )u e 1 u + 2 u e a mesma. Esse fato e claro se 1 e 2 tiverem o mesmo sinal, ou se 1 + 2 = 0, no outros casos o sentido e determinado pelo escalar de maior modulo |1 | e |2 | . Se o sinal de 1 e 2 forem o mesmo, teremos que

(1 + 2 )u = |(1 + 2 )| u = (|1 | + |2 |) u = 1 u + 2 u .

Pela denicao de adicao de vetores e f cil ver que a soma de dois vetores de mesmo a sentido e um vetor tamb m de mesmo sentido e com o comprimento igual a soma do e comprimento dos vetores somados. Da temos:

Pr el im

A propriedade M1 segue de modo simples a partir da regra do paralelogramo. Deixamos os detalhes a cargo do leitor. M2 e M5 s o resultados imediatos da denicao de a multiplicacao de vetor por escalar. Para demonstrarmos a propriedade M3, i.e., a associatividade da multiplicacao por escalares (1 2 )u = 1 (2 u) observamos inicialmente que os vetores (1 2 )u e 1 (2 u) possuem a mesma direcao e sentido independentemente do sinal de 1 e 2 (ter o o a mesmo sentido de u se 1 e 2 tiverem o mesmo sinal, e sentido oposto a u se 1 e 2 tiverem sinais contr rios). a Al m disso, os comprimentos de (1 2 )u e 1 (2 u) s o os mesmos pois: e a

in ar9

v v+w


1 u + 2 u = 1 u + 2 u . Por outro lado, caso os sinais de 1 e 2 sejam contr rios, teremos: a

(1 + 2 )u = (1 + 2 ) u = |1 | |2 | u = Novamente, pela denicao de soma vetorial, segue que:

1 u 2 u .

1 u 2 u

= 1 u + 2 u .

Todas as propriedades alg bricas dos vetores podem ser deduzidas das 9 propriedades e acima. Essas propriedades s o an logas as propriedades dos numeros reais e grande a a parte da algebra desenvolvida para numeros reais se estende para as operacoes vetoriais. De modo mais geral podemos denir um espaco vetorial como um conjunto com uma operacao + e uma operacao de multiplicacao por escalares satisfazendo os nove axiomas acima. Os espacos vetoriais s o uma das estruturas matem ticas de maior import ncia. a a a Vejamos algumas propriedades alg bricas dos vetores: e

Exemplo 1.5 v + v = 2v

Ve rs ao 10

Demonstracao: Pela propriedade M5 temos que v + v = 1v + 1v e pela propriedade M4 temos que1v + 1v = (1 + 1)v = 2v e logo v + v =2v

Exemplo 1.6 v + (1v) = 0, ou seja o vetor oposto a v e 1v.

Demonstracao: Pela propriedade M5 temos que v + (1v) = 1v + (1v) e pela proprie dade M4 temos que 1v + (1v) = (1 1) v = 0v. Finalmente a propriedade M2 nos diz que 0v =0 Como o vetor oposto e unico temos que o vetor oposto a v e 1v.

Pr el im

in ar


Exemplo 1.7 u + v = w se, e somente se, u = w v.

Demonstracao: Vamos provar a primeira implicacao. Se u + v = w ent o, u = w v a Vamos comecar calculando (u + v) v

u+ (v v) = u por M4 e M5 por outro lado, como w = u + v: (u + v) v = w v = u e consequentemente por 1.2 e ?? temos: u = (u + v) v = w v

A implicacao contr ria e semelhante. O leitor pode tentar, assim, completar os detalhes. a

Exemplo 1.8 Os segmentos que unem os pontos mdios de dois lados de um tri ngulo e paralelo e a ao terceiro lado. A

Ve rs ao

C

Solucao: Seja o tri ngulo ABC e seja M1 o ponto m dio do lado AB e M2 o ponto a e m dio do lado AC. O vetor AM1 e igual a metade do vetor AC pois ambos possuem e mesma direcao e sentido e o comprimento de BM1 e metade do comprimento de AM1 . Analogamente, temos que AM2 e metade do vetor AC, i.e.,

Pr el imM2 M1 B

in ar(1.2) (1.3)11

(u + v) v= u+ (v v) por S2

(1.1)


1 AM1 = AB 2 1 AM2 = AC 2 e consequentemente: AB = 2AM1 CA = 2M2 A Ent o como: a CB = CA + AB substituindo 1.6 e 1.7 em 1.8 temos: CB = 2M2 A + 2AM1 CB = 2(M2 A + AM1 ) = 2M2 M1 e consequentemente:

(1.4) (1.5)

(1.6)

Pr el imCA CA CA

1 M2 M1 = CB 2

E assim o segmento M2 M1 e paralelo ao segmento CB e seu comprimento e metade do ultimo.

Ve rs ao

Exemplo 1.9 Dado um tri ngulo de vrtices A, B, C. Dado P o ponto de encontro da bissetriz a e CA CB a do angulo C com o lado AB Ent o o vetor CP e paralelo ao vetor + , ou seja, CB

CB CA CP = + CA CB ev= CB CB

Solucao: Observe que os vetores u =

s o unit rios. Considere agora o paralea a

logramo determinado por esses vetores, conforme a gura abaixo:

12

in ar(1.7) (1.8) (1.9) (1.10)


A

P v u C v u+v u B F

Exerccios.

Ex. 1.1 Sendo ABCDEFGH o paralelogramo abaixo, expresse os seguintes vetores em funcao de AB, AC e AF:

Ve rs ao a) BF b) AG c) AE d) BG

Pr el im

Como os vetores u e v possuem o mesmo comprimento, pois s o unit rios o paraleloa a gramo determinado por estes e um losango. E assim a diagonal que liga o v rtice C ao e E consequentemente o vetor CP e paralelo v rtice F e tamb m a bissetriz do angulo C. e e ao vetor u + v, i.e, CA CB CP = + CA CB

in ar13


e) AG f) AB + FG g) AD + HG h) 2AD FG BH + GH

F O A B

C

a) DF b) DA c) DB d) DO e) EC f) EB g) OB

Ve rs ao 14

a Ex. 1.3 Sendo ABCDEF um hex gono regular, como no exerccio anterior. Expresse os seguintes vetores em funcao dos vetores OD, OE a) OA + OB + OC + OD + OE + OF b) AB + BC + CD + DEEF + FA c) AB + BC + CD + DE + EF d) OA + OB + OD + OE e) OC + AF + EF

e a Ex. 1.4 Dados os vetores f1 , . . . f5 os vetores que ligam um v rtice de um hex gono regular aos outros v rtices como mostra a gura abaixo. Determine a soma desses vetores e em funcao dos vetores f1 e f3 .

Pr el im

in ar

Ex. 1.2 Sendo ABCDEF um hex gono regular, como na gura abaixo. Expresse os a seguintes vetores em funcao dos vetores DC, DE E D


f1

f2 f3 f4 f5

Ex. 1.5 Dado um tri ngulo ABC, sejam M, N, P os pontos m dios dos segmentos a e AB, BC e CA respectivamente. Exprima os vetores BP, AN e CM em funcao dos vetores AB e AC. Ex. 1.6 Dado um tri ngulo ABC, seja M um ponto do segmento AB. Suponha que a o vetor AM e igual a vezes o vetor MB. Exprima o vetor CM em funcao dos vetores AC e BC. Ex. 1.7 Dado um quadril tero ABCD, tal que AD = 5u, BC = 3u e tal que AB = v. a a) determine o lado CD e as diagonais BD e CA em funcao de u e v b) prove que ABCD e um trap zio. e

Ex. 1.8 Mostre que a soma de vetores cujos representantes formam um polgono fe chado e nula. Ex. 1.9 Dado v um vetor n o nulo. Prove que a direcao e sentido que v. v v

Ve rs ao a) b)

Ex. 1.10 Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicacao por escalares resolva a equacao nas incognitas x e y, i.e., escreva os vetores x e y em funcao de u e v:

x + 3y = u 3x 5y = u + v

x + 2y = u 3x 2y = u + 2v

Pr el im

e um vetor unit rio com a mesma a

in ar15


Ex. 1.11 Dados os vetores u, v, w e z tais que w = u + w e u e paralelo a z. Prove que w e paralelo a z se, e somente se, v e paralelo a z. Ex. 1.12 Usando as propriedades da soma de vetores e da multiplicacao por escalares prove que: a) () v = (v) c) (v) = v b) (v) = (v)

Ex. 1.13 Prove que se v =v e v = 0 ent o = . a Ex. 1.14 Prove que v = 0 ent o ou = 0 ou v = 0 a

Ex. 1.15 Dado um pent gono regular e O o seu centro. Mostre que a soma dos vetores a ligando o centro do pent gono a seus v rtices e o vetor nulo. a e Ex. 1.16 Prove que dados dois vetores u e v n o paralelos ent o se a a 1 u + 2 v = 0 ent o 1 = 2 = 0 a

Ex. 1.17 Se EFG e um tri ngulo qualquer e P, Q e R s o os pontos m dios dos lados a a e EF FG e GE respectivamente, demostrar que EPQR e um paralelogramo

Ve rs ao 16

Pr el imC N M A L B

in ar


1.2 depend ncia e independ ncia linear de vetores e eComo vimos na secao anterior, a adicao de vetores e a multiplicacao de um vetor por um escalar nos permitem obter novos e diferentes vetores a partir de alguns vetores dados. Por exemplo, multiplicando um vetor n o-nulo por um escalar de modulo diferente de a 1 obtemos um vetor de modulo diferente do vetor original. De modo semelhante, dados dois vetores n o-nulos com diferentes direcoes, sua soma e um vetor que tem direcao a diferente dos dois vetores somados. Observando isso, algu m poderia perguntar: e Quantos vetores eu preciso dar para a partir deles, atravs das operacoes de soma e multiplicacao e de vetor por escalar, escrever todos os demais vetores existentes no espaco? u

Figura 1.10: O vetor w pode ser escrito como somas de multiplos dos vetores u e v.

Ve r

Exemplo 1.10 O vetor w ilustrado na gura 1.11 e combinacao de u, v. Pois w = 2u + 3v

sa

n

w=

i vi

i=1

o

Com o objetivo de responder a questoes como a descrita acima, desenvolvemos um con ceito fundamental para o estudo de geometria analtica: Depend ncia e Independ ncia e e Linear. Antes, por m, denamos combinacao linear. e Um vetor w e dito combinacao linear dos vetores {vi }i=1,...,n se existem escalares {i }i=1,...,n tal que

Pr eli m in aau av v w

r17


w v v u u

v

Figura 1.11: w = 2u + 3v

f4

f3 f2 f1

f5

Figura 1.12: O vetor f1 e combinacao linear dos vetores f2 , f3 , f4 , f5 .

Exemplo 1.11 Na gura 1.12 temos que vetor f1 e combinacao linear de f2 , f3 , f4 , f5 . Como os vetores f1 , f2 , f3 , f4 , f5 formam um polgono fechado sua soma e 0 f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 0 e assim:

f1 = f2 f3 f4 f5

Motivados por esse exemplo denimos:

Ve rs ao vi = j vj ,j=i n

Denicao 1.12 Os vetores v1 , . . . , vn s o ditos linearmente dependentes (LD) se existe a um i {1, 2, . . . , n} tal que o vetor vi seja combinacao linear dos demais vetores, ou seja:

onde 1 , 2 , . . . , n R. Dizemos que os vetores v1 , . . . , vn s o ditos linearmente independentes (LI) se eles a n o s o linearmente dependentes. a a A partir dessa denicao temos o seguinte resultado:

Proposicao 1.13 Os vetores v1 , . . . , vn s o linearmente dependentes se e somente se existem a todos nulos tal que 1 , 2 , . . . , n R NAO 1 v1 = 0.i=1

18

Pr el im

in ar


Demonstracao: Suponha que os vetores v1 , . . . , vn s o linearmente dependentes. Sem a perda de generalidade suponha quen

v1 =i=2

i vi ,

para 2 , 3 , . . . , n R. Somando (1)v1 a ambos os lados da igualdade chegamos a: (1)v1 +i=2

i vi = 0.

Logo n i vi = 0 com 1 , 2 , . . . , n n o todos nulos (pois 1 = 1). a i=1 Reciprocamente, considere que existem 1 , 2 , . . . , n n o todos nulos tal que an

1 v1 = 0.i=1

Suponha, sem perda de generalidade que 1 = 0. Multiplicando ambos os lados da 1 igualdade por 1 e isolando v1 chegamos a:n

v1 =i=2

i vi . 1

Ou seja, o vetor v1 e combinacao linear dos demais.

A negativa logica de tal proposicao nos leva ao seguinte teorema:

Teorema 1.14 Os vetores v1 , . . . , vn s o linearmente independentes se e somente se an

Ve rs ao i=1 n

i vi = 0

= (1 = = n = 0)

Ou seja, a unica relacao linear entre os vetores e a trivial, ou ainda, o vetor 0 pode ser escrito de modo unico como combinacao dos vetores vi com i {1, 2, . . . , n}. A partir do Teorema 1.14 e da Proposicao 1.13, estudar a depend ncia linear dos e vetores v1 , . . . , vn e uma tarefa simples. Basta estudar a equacao: i vi = 0,

i=1

com incognitas i (i {1, 2, . . . , n}). Se tal equacao admitir apenas a solucao i = 0 para todo i {1, 2, . . . , n}, ent o os vetores v1 , . . . , vn s o LI. Caso contr rio, s o LD. a a a a

Pr el im

in ar19

n


A depend ncia e independ ncia linear de vetores de V 2 e V 3 pode, tamb m, ser carace e e terizada geometricamente. Para isso denamos a depend ncia geom trica de vetores: e e Denicao 1.15 Para vetores em V 2 e V 3 denimos: 1. Um vetor v e geometricamente dependente (GD) se v = 0. 2. Dois vetores u, v s o geometricamente dependentes (GD) se u e v s o paralelos a a a uma mesma reta.

3. Tr s vetores u, v, w s o geometricamente dependentes (GD) se u, v e w s o paralee a a los a um mesmo plano. 4. Quatro ou mais vetores s o, por denicao, geometricamente dependentes (GD). a

Veremos que um conjunto de vetores e geometricamente dependente [independente] se e somente se s o linearmente dependente [independente]. a Observamos que dois vetores u, v s o LD se e somente u e paralelo a v (o que inclui o a caso em que um deles e o vetor nulo). Al m disso, observamos que um ponto O e dois vetores u, v linearmente independene tes determinam um plano. Para ver isso, tome representantes de u, v com origem em O. E f cil ver que existe um unico plano do espaco E3 que cont m tais representantes. Assim a e sendo, dados tr s vetores u, v, w com u, v linearmente independentes, ent o u, v, w s o e a a LD se e somente se w e paralelo ao plano determinado por u, v e um ponto qualquer do espaco. Provemos agora dois lemas de fundamental import ncia, n o apenas para a demonstracao a a da equival ncia entre os conceitos de depend ncia linear e geom trica, mas para toda gee e e ometria analtica:

Ve rs ao f = 1 u + 2 v, para 1 , 2 R.20

Lema 1.16 (Lema da Base para Planos) Considere trs vetores u, v, f geometricamente depene dentes com u, v geometricamente independentes. Temos que f pode ser escrito como combinacao linear de u, v, isto e:

Pr el im

Um dado conjunto de vetores e dito geometricamente independente (GI) se ele n o e a geometricamente dependente (GD).

in ar


P f u O v 2 v 1 u K

f = 1 u + 2 v.

Lema 1.17 (Lema da Base para V 3 ) Considere trs vetores u, v, w V 3 geometricamente ine 3 , vale que f e combinacao linear de u, v, w, ou dependentes. Temos que, para qualquer f V seja: f = 1 u + 2 v + 3 w, para 1 , 2 , 3 R.

Ve rs ao w O v

Figura 1.14: Lema da Base para o Espaco

Demonstracao: A demonstracao e an loga a demonstracao anterior. Comecamos esco a lhendo representantes dos vetores f, u, v, w que comecam no ponto O (veja a gura ??).

Pr el imP f u OK K 3 w 1 u 2 v

Demonstracao: Considere um ponto arbitr rio O do espaco. Primeiramente observe que a f e paralelo ao plano determinado pelo ponto O e pelos vetores u, v. Considere o representante de f que comeca no ponto O e termina em P, i.e., seja f = OP. Considere a reta paralela a u que passa pelo ponto P e a reta paralela a v que passa por O. Essas retas se encontram num ponto K (Por qu ?). E f cil ver, ent o, que f = OK + KP. e a a Como KP e paralelo a u, tal vetor e um escalar vezes u, ou seja, KP = 1 u. De maneira an loga OK = 2 v. Desta forma temos: a

in ar21

Figura 1.13: Lema da Base para Planos


Seja ent o a reta paralela a w passando por P. Essa reta intercepta o plano determinado a por u, v no ponto K. O vetor OK estando no mesmo plano que u, v, pode ser escrito como combinacao linear desses vetores: OK = 1 u + 2 v O vetor KP e paralelo a w, i.e, KP = 3 w. Finalmente como OP = OK + KP temos que: f = 1 u + 2 v + 3 w.

Uma vez provados esses resultados demonstremos o seguinte teorema:

Demonstracao: 1. Se um vetor v e GD, ent o v = 0. Da temos que v = 0 para a = 1 = 0. Da pela Proposicao 1.13 segue que v e LD. Reciprocamente, se v e LD ent o v = 0 para = 0 ent o v = 0 e, assim, o vetor v e GD. a a 2. Se u, v s o GD, ent o u e paralelo a v. Pelo Corol rio 1.2, ou u = v ou v = u a a a (, R). Logo, como um dos vetores e necessariamente combinacao linear do outro, segue que u, v s o LD. a Por outro lado, se u, v s o LD ent o um dos vetores e combinacao linear do outro, a a i.e., temos que u = v ou v = u (, R). E assim, pelo Corol rio 1.2, temos que a u, v s o paralelos e, portanto, GD. a

Ve rs ao 22

3. Se tr s vetores u, v, w s o GD, ent o duas coisas podem ocorrer: ou u, v s o GD, ou e a a a u, v s o GI. a Se u, v s o GD, pela argumentacao acima, um dos vetores e combinacao linear do a outro. Suponha, sem perda de generalidade, que u = v. Vale ent o que: a u = v + 0w.

Logo u e combinacao linear dos demais vetores e, portanto, u, v, w s o LD. a

Se u, v, w s o GD e u, v s o GI, pelo Lema 1.16 temos que a a w = 1 u + 2 v,

para 1 , 2 R. Assim, os vetores u, v, w s o LD. a

Pr el im

Teorema 1.18 Os conceitos de dependncia e independncia geomtrica e dependncia e indee e e e pendncia linear s o equivalentes. e a

in ar


Reciprocamente, suponha que u, v, w s o LD. Temos ent o que um dos vetores a a e combinacao linear dos demais. Suponha, sem perda de generalidade, que u = v + w. Segue que o vetor u e paralelo ao plano determinado pelo ponto O e pelos vetores v e w (Por qu ?). Logo os vetores u, v, w s o coplanares e, consequene a temente, GD. 4. Considere n vetores v1 , v2 , . . . , vn , com n 4 (portanto um conjunto GD de vetores). Duas coisas podem ocorrer: ou v1 , v2 , v3 s o GD, ou v1 , v2 , v3 s o GI. a a Se v1 , v2 , v3 s o GD, pela argumentacao acima, um dos vetores e combinacao linear a dos demais. Suponha v1 = v2 + v3 . Segue que:n

v1 = v2 + v3 +i=4

0vi .

Logo v1 , v2 , . . . , vn s o LD. a

Caso tenhamos v1 , v2 , . . . , vn GD e v1 , v2 , v3 GI, pelo Lema 1.17, v4 = 1 v1 + 2 v2 + 3 v3 , para 1 , 2 , 3 R. Da temos:

v4 = 1 v1 + 2 v2 + 3 v3 + Logo, v1 , v2 , . . . , vn s o LD. a

A recproca no caso de quatro ou mais vetores e imediata. Por denicao, quatro ou mais vetores s o GD. a

Ve rs ao n

Proposicao 1.19 Seja u um vetor que possa ser escrito como combinacao linear do conjunto de vetores linearmente independente {vi }i=1,...n u= i vi

i=1

ent o essa representac ao e unica. a

Demonstracao: Suponha que a representacao n o e unica a n n

u=

i vi =

i=1

i=1

Pr el imn

0vi .

i=5

vi i

in ar23


ent o: an n

i vi i=1 i=1

vi = 0 i

e logon

(i )vi = 0 i Como os vetores {vi }i=1,...n s o linearmente independentes, temos que para cada i, a ) = 0, e assim = lambda . Dessa forma, temos que a representacao e unica. (i i i i

OA OB = . AC BD

Ve rs ao AB = CD OC = xu De modo an logo temos que a OD = yv24

Solucao: Como os pontos O, A, B n o s o colineares, os vetores u = OA e v = OB n o s o a a a a a paralelos e assim s o LI. Como os segmentos AB, CD s o paralelos temos que a

Como OC e paralelo a OA temos que `

Pr el imt1 D B v s r O u A C t2

Exemplo 1.20 Dado as retas r e s e um ponto O n o pertencente as retas. Dadas duas retas t1 a e r2 , que interceptam r e s nos pontos A, B, C, D conforme a gura abaixo. Mostre os segmentos AB e CD s o paralelos se e somente se a

in ar

i=1


E assim CD = OD OC = yv xu Consequentemente AB = v u = (yv xu) e logo

1 x = 0 y 1 = 01 e logo x = y = . E nalmente temos que

OB OA = . AC BD

Faremos agora a recproca. Se OB OA = AC BD ent o a AC BD = . OA OB e assim

Ve r

OC e assim igualando a k, temos que OA = OD = k OB Como os segmentos OC e OA s o paralelos temos que OC = kOA. De modo similar a temos que OD = kOB E assim

sa

OB + BD OA + AC = . OA OB OD OC = OA OB

AB = OA OB CD = OD OC = k(OA OB)

o

Pr eli m in a25

Como os vetores u, v s o LI, temos que a

r

(1 x)u + (y 1)v = 0


Consequentemente os vetores AB e CD s o paralelos. a

Exemplo 1.21 Dado um paralelogramo ABCD. Seja l uma linha reta que intercepta AB, AC e AD nos pontos B1 , C1 e D1 respectivamente. Prove que se AB1 = 1 AB, AD1 = 2 AD e AC1 = 3 AC ent o: a 1 1 1 = + 3 1 2

Solucao: Assuma que AB = a, AD = b e AC = a + b. Ent o AB1 = 1 a, AD1 = 2 b e a AC1 = 3 (a + b) Como os tr s pontos A1 , B1 e C1 est o na mesma reta ent o: e a a B1 C1 = kB1 D1 (1.11)

Isolando a, b:

Ve r

E logo 3 1 + k1 = 0 e 3 k2 = 0. Da segunda equacao obtemos k = 3 . Substituindo k na primeira equacao e dividindo 2 a mesma por 1 3 segue 1 1 1 = + 3 1 2

26

sa

(3 1 ) a + 3 b = k1 a + k2 b

a (3 1 + k1 ) + b (3 k2 ) = 0

o

Mas B1 C1 = AC1 AB1 = (3 1 ) a + 3 b e B1 D1 = AD1 AB1 = 1 a + 2 b Substituindo as expressoes acima em 1.11, obtemos:

Pr eli m in al B1 B C C1 D1 A D

r


Exemplo 1.22 Sejam M1 , M2 , M3 os pontos mdios dos lados AB, BC e CA do tri ngulo ABC. e a Prove que as trs medianas tm um unico ponto comum, que divide AM1 , BM2 e CM3 na raz o e e a 2 para 1. Esse ponto e conhecido como baricentro do tri ngulo. a A

M2 G

M3

Solucao: Dividiremos a resolucao em duas partes:

1. Mostrar que G divide AM1 e BM2 na raz o 2 para 1, ou seja, que: a 2 AG = AM1 3 2 CG = CM3 3 2 BG = BM2 . 3

2. Mostrar que C, G e M3 s o colineares e que G divide CM3 na raz o 2 para 1, i.e., a a

Ve rs ao

Resolvidas as partes seguir de modo natural que o baricentro divide as medianas na a raz o 2 para 1. a De modo a tornar a notacao da resolucao mais limpa, chamemos os vetores AB e AC de a e b, respectivamente. Observe que, como os vetores a, b s o LI, todos os demais a vetores do plano podem ser escritos em funcao desses. Estabelecida essa notacao, segue imediatamente que CB = a b. 1. Para estudarmos a interseccao G das medianas AM1 e BM2 , escrevamos inicial mente os vetores AM1 e BM2 em funcao de a, b. 1 1 1 AM1 = AC + CB = a + b 2 2 2 1 1 BM2 = BA + AC = a + b 2 2

Pr el imC M1 B

in ar27


Como A, G e M1 s o colineares temos: a AG = AM1 = (a + b) . 2 Analogamente: 1 BG = BM2 = a + b . 2 Observamos que, nesse ponto, n o sabemos que G divide os segmentos AM1 e a BM2 na mesma proporcao. Assim sendo, usamos letras diferentes ( e ) para os escalares das equacoes acima. a E f cil ver que uma equacao envolvendo os vetores AG e BG e: BG = BA + AG. Donde temos:

1 a + b 2

Isolando os vetores a, b temos ent o: a a + 1 2 +b

Como a, b s o LI segue ent o que: a a + 1 = 0 2 2 2 =0

Ve rs ao 2 == . 328

Desse sistema obtemos ent o: a

Ou seja, G divide tanto o segmento AM1 quanto o segmento BM2 na raz o 2 para a 1.

2. Para mostrar que C, G e M3 s o colineares, mostremos que a equacao a CG = CM3

com incognita em admite solucao real.

Pr el im= a + (a + b) . 2 2 2 = 0.

in ar


Inicialmente escrevamos CG e CM3 em funcao de a, b: 1 2 CG = AG AC = a b, 3 3 1 CM3 = AM3 AC = a b. 2 Temos assim a seguinte equacao:

Isolando a, b temos: a 1 3 2 2 +b + 3 =0

Como a, b s o LI: a =0 2 2 3 + = 01 3

Tal sistema admite uma solucao: 2 = . 3

Dessa forma temos que os pontos C, G e M3 s o colineares e que G divide CM3 a na raz o 2 para 1. a

Ve rs ao b 2

Exerccios.

Ex. 2.1 Dados os vetores a, b e c como na gura abaixo. Escreva o vetor c como combinacao de a e b. c

Ex. 2.2 Dados os vetores a, b e c como na gura abaixo. Escreva o vetor c como combinacao de a e b.

Pr el im6 30 30 3 a

in ar29

1 2 a b 3 3

=

1 ab . 2


4 135 3 120 3

Ex. 2.3 Sejam B um ponto no lado ON do paralelogramo AMNO e e C um ponto na diagonal OM tais que 1 OB = ON n e OC =

Ex. 2.4 Dado um paralelogramo MNPQ, seja A o ponto de interseccao das diagonais e sejam B e C os pontos m dios dos lados opostos MN e PQ. Prove que se os pontos A, B e e C est o sobre a mesma reta ent o MNPQ e um trap zio (um trap zio e um quadril tero a a e e a com dois lados paralelos).M C N A

Ve rs ao Ex. 2.5 Se AB + BC = ponto O. x y , 1x 1y30

a Ex. 2.6 Os pontos P e Q dividem os lados CA e CB de um tri ngulo ABC nas razoes

respectivamente. Prove que se PQ = AB ent o x = y = . a

a Ex. 2.7 As diagonais AC e BD de um quadril tero ABCD se interceptam no ponto P, que divide o segmento AC na raz o m : n e o segmento BD na raz o m : n . Dado a a

Pr el imQ B P

1 OM. Prove que os pontos A, B e C est o na mesma reta. a 1+n

0, prove que os vetores OA, OB e OC s o LD para qualquer a

in ar


Q o ponto de interseccao das retas contendo os segmentos AC e BD. Encontre a raz o a AQ : DQ e BQ : CQ.Q

C D m A n P n m B

Ex. 2.8 Chama-se diagonal de um paraleleppedo a um segmento ligando dois v rtices e n o pertencentes a uma mesma face. Demostre que as diagonais de um paraleleppedo a dividem-se mutuamente ao meio.

Ex. 2.9 Dado um tri ngulo OAB, sejam C e D pontos sobre o lado AB dividindo a esse segmento em tr s partes congruentes. Por B tracamos a reta paralela a OA, e sejam e X e Y a interseccao dessa reta com as retas ligando OC e OD respectivamente. a) Expresse os vetores OX e OY em funcao de OA e OB. b) Determine as razoes nas quais X divide BY, C divide a OX e D divide a OY. B X

Ve rs ao O

Ex. 2.10 Num quadril tero ABCD, o Q o ponto de interseccao das diagonais AC e BD a 2 4 a se interceptam dividem as diagonais nas razoes 3 e 3 respectivamente. Em qual raz o divide o ponto P determinado pelas interseccao os lados AB e CD a estes segmentos.

Ex. 2.11 Dado o ponto m dio da mediana AE do tri ngulo ABC se a reta BD corta e a o lado AC no ponto F, determine a raz o que F divide AC a

Pr el imC D Y A

in ar31


C E F A D B

1.3 bases

Ve r

Denicao 1.23 Uma base para o espaco (um dado plano) e um conjunto ordenado de vetores {vi } linearmente independentes e que geram o espaco (o plano). Teorema 1.24 (da base para planos) Qualquer vetor f pode ser escrito de maneira unica como combinacao linear de dois vetores n o nulos e n o paralelos e1 e e2 , isto e: a a f = me1 + ne2

com m e n R unicos. Ou seja, dois vetores n o nulos e n o paralelos formam uma base para a a 2. V

32

sa

w=

on

Um conjunto de vetores {vi }i=1,...,n gera o espaco (um dado plano) se qualquer vetor w do espaco (do plano) puder ser escrito como combinacao linear de {vi }i=1,...,n i vi

i=1

Pr eli m in aB T Q S I C P A U R

RS TU PQ + + =2 AB BC CA

r

Ex. 2.12 Dado um tri ngulo ABC e I um ponto interior ao tri ngulo. Passando por a a I, tracamos os segmentos PQ, RS, T U paralelos respectivamente a AB, BC e CA respecti vamente. (Com os pontos P, S em AC, T , Q em BC e U, R em AB. Demonstre que


P f e1 O e2 ne2 me1 K

Demonstracao: O teorema e consequ ncia imediata do Lema 1.16 e da Proposicao 1.19. e Corol rio 1.25 Toda base para o plano tem exatamente dois vetores. a

f = le1 + me2 + ne3

com l, m, n R. Ou seja, trs vetores n o nulos, n o paralelos entre si e n o paralelos ao mesmo e a a a 2 plano formam uma base para VP

Ve rs ao Exerccios.

Figura 1.16: Teorema da Base para o Espaco

Demonstracao: O teorema e consequ ncia imediata do Lema 1.17 e da Proposicao 1.19. e

Ex. 3.1 Mostre que os vetores u, v, w s o coplanares se, e somente se, um deles e a combinacao linear dos outros dois.

Pr el imf ne3 le1 e3 O e2 e1 OK K me2

Teorema 1.26 (Base para o Espaco) No espaco tridimensional, sejam e1 , e2 , e3 trs vetores e n o nulos, n o paralelos entre si e n o paralelos ao mesmo plano. Ent o qualquer vetor f no a a a a espaco pode ser escrito como combinacao linear unica de e1 , e2 , e3 , isto e:

in ar33

Figura 1.15: Teorema da Base para Planos


Ex. 3.2 Prove que se o conjunto de vetores {u, v} e L.I., ent o o conjunto {u + v, u v} a tamb m e L.I. e Ex. 3.3 Prove que se o conjunto de vetores {u, v, w} e L.I., ent o o conjunto {u + v, u v, w a 2u} tamb m e L.I. e Ex. 3.4 Dado um tetraedro ABCD explique por que os vetores AB, AC, AD formam uma base para o espaco.

1.4 soma de ponto com vetor

Dado um ponto P e um vetor podemos denir a soma de ponto v com vetor do seguinte modo. Seja um representante de que comeca em P e seja Q o ponto v nal desse representante. Denimos ent o: a P + v := Q

Pr eli m in av

Ve r

Nesse caso o vetor OP e dito vetor posicao de P. Proposicao 1.27 A soma de ponto com vetor tem as seguintes propriedades: 1. P + O = P

2. P + u = P + v se e somente se u = v

3. (P + u) + v = P + (u + v)

34

sa

P Ou seja, a soma do ponto com o vetor v nos retorna a translacao do ponto P ao ser transportado pela direcao, sentido e compri mento de v. Podemos reescrever a denicao de soma de ponto com vetor de outra forma: diremos que P + v = Q se e somente se PQ = v. Se escolhermos um ponto xo no espaco O que chamaremos de origem, cada ponto P do espaco (ou plano) pode ser escrito como P = O + OP

o

rQ


4. (P + u) u = P 5. P + PQ = Q Demonstracao: Faremos a demonstracao dos tr s primeiras propriedades e deixaremos e as outras como exerccio ao leitor. 1. E imediata pois PP = 0

Logo

PQ3 = (u + v) = PQ1 + Q1 Q2 PQ3 = PQ2 Q3 = Q2

Pr el imC P Q A B

3. Seja Q1 = P + u, Q2 = Q1 + v e Q3 = P + (u + v). Para demonstrar que (P + u) + v = P + (u + v) basta mostrarmos que Q2 = Q3 . Por denicao Q1 = P + u implica que u = PQ1 . De modo an logo, Q2 = Q + v, a implica que v = Q1 Q2 e Q3 = P + (u + v) implica que (u + v) = PQ3 .

Ve rs ao

Exemplo 1.28 Dado ABC um tri ngulo e P um ponto sobre BC. Se Q = P + AP + PB + PC a demonstre que ABQC e um paralelogramo e assim Q n o depende da escolha de P. a

Solucao: Como Q = P + AP + PB + PC ent o a PQ = AP + PB + PC

in ar(1.12) (1.13) (1.14)35

2. Se P + u = P + v, seja Q = P + u, ent o u = PQ = v e assim u = v. A recproca e a imediata.


e logo AQ AP = AP + AB + AP + AC + AP e logo AQ = AB + AC

G = O+

OA + OB + OC 3

Ve rs ao Solucao: Seja P = O+ que simplicando ca:36

OA + OB + OC P = O+ . 3 Como OB = OA + AB e OC = OA + AC, temos que: OA + OA + AB + OA + AC 3

AB + AC P = O + OA + 3

Pr el imB G A C O

Exemplo 1.29 Dado um tri ngulo ABC e O um ponto qualquer. Ent o o baricentro G do a a tri ngulo ABC e dado por: a

in ar

E assim CQ = AQ AC = AB. De modo an logo podemos provar que BQ = AC e a assim ABQC e um paralelogramo.


E como A = O + OA, a express o anterior e equivalente a: a AB + AC P = A+ 3 No exerccio 1.22 j provamos que AG = a vetor que: G = A+ AB + AC 3 AB+AC 3

ou na forma de soma de ponto com

E assim temos que G = P, ou seja, demonstramos que: G = O+ OA + OB + OC 3

Exerccios. Ex. 4.1 Prove que: a) (P + u) u = P

b) P + u =Q+v ent o u =PQ+v a c) P + PQ = Q

Ex. 4.2 Prove que as diagonais de um paralelogramo se dividem mutualmente ao meio.

Ve rs ao

Ex. 4.3 Sendo A e B dois pontos, mostrar que AB + BA = 0 Ex. 4.4 Dados A, B dois pontos distintos e um numero real, Determine vetorial mente o ponto M no segmento AB tal que AM = MB. Ex. 4.5 Seja ABCD um quadril tero. Se E e o ponto m dio do lado AB e F e o ponto a e 1 m dio do lado oposto DC, prove que EF = 2 (AD + BC). e

Ex. 4.6 Seja G o baricentro (ou seja o ponto de encontro das medianas) do tri ngulo a ABC. Prove que GA + GB + GC = 0.

Pr el im

in ar37


Ex. 4.7 Prove que o segmento que une os pontos m dios dos lados n o paralelos de e a um trap zio e paralelo as bases, e sua medida e a semi-soma das medidas das bases. e Ex. 4.8 Prove que existe um unico ponto comum as bissetrizes internas de um tri ngulo a e que esse ponto, conhecido como incentro do tri ngulo e interior a ele. a Ex. 4.9 Dado ABCD um tetraedro, seja M o ponto de encontro das medianas do tri ngulo ABC. Exprima o vetor DM em funcao dos vetores DA, DB e DC. a Ex. 4.10 Prove que se os pontos A, B, C formam um triangulo equil tero ent o os a a pontos A + v, B + v, C + v formam um tri ngulo equil tero para qualquer v. a a

1 P = O + (OA + OB + OC + OD 4

Ex. 4.12 Demostre que o baricentro de um tri ngulo, e tamb m o baricentro do tri ngulo a e a cujos v rtices s o pontos que dividem os lados do primeiro na mesma raz o. e a a Ex. 4.13 Mostre que dados os vetores mOA e nOB, sua soma e igual a (n + m)OP, sendo P o ponto de interseccao do segmento AB com a reta OR, onde R = O + mOA + nOB.R

Ve rs ao 38

Ex. 4.14 Dado O o circuncentro e H o ortocentro de um tri ngulo ABC, mostre que: a a) OA + OB + OC = OH b) HA + HB + HC = 2HO

Pr el imB P O A

Ex. 4.11 Dado ABCD um quadril tero, e O um ponto qualquer e seja P o ponto m dio a e do segmento que une os pontos m dios das diagonais AC e BD. Prove que e

in ar


1.5 exerc cios complementaresExerccios. Ex. 5.1 Dados dois segmentos orientados de reta AB e CD paralelos Dizemos que esses segmentos possuem o mesmo sentido se os segmentos AC e BD n o se intersectam. a Segmentos que n o possuem o mesmo sentido s o ditos de sentidos opostos a a a) Mostre que se os segmentos AB e CD possuem o mesmo sentido e CD e EF possuem o mesmo sentido ent o AB e EF possuem o mesmo sentido. a

b) Mostre que se os segmentos AB e CD possuem sentido opostos e CD e EF possuem sentidos opostos ent o AB e EF possuem o mesmo sentido. a Ex. 5.2 Prove que se PQ = P Q ent o PP = QQ . a

Ex. 5.3 Dado um tri ngulo ABC e sejam D, E e F os pontos m dios dos lados BC, CA a e e AB respectivamente. Mostre que AD + DE + CF = 0

Ex. 5.4 Mostre que AB + CB + 2BA e 1 AC s o colineares; a 3

Ex. 5.5 Dado um paralelogramo ABCD e sejam K, L os pontos m dios dos lados BC e e CD. Escreva o vetor BC como combinacao de a = AK e b = AL

Ve rs ao A tg a + tg b + tg c tg + tg + tg

a Ex. 5.6 Mostre que as alturas de um tri ngulo ABC de angulos , , se interceptam num unico ponto, denominado ortocentro cujo vetor posicao e:

Pr el imC L K D B

in ar39


Ex. 5.7 Mostre que a bissetriz de um tri ngulo ABC se interceptam num unico a ponto, denominado circuncentro cujo vetor posicao e: sen 2a + sen 2b + sen 2c sen 2 + sen 2 + sen 2

G

Pr el imJ K I L C H E

A

B

Ex. 5.9 Mostre que para vetores n o colineares a e b a igualdade: a

m1 a + n1 b = m2 a + n2 b equivale ao sistema de igualdades

Ve rs ao m1 = m2 BF = FC40

n1 = n2

Ex. 5.10 Dado um paralelogramo ABCD e sejam E e F pontos nos lados BC e CD de modo que DE = EC

sendo , numeros reais positivos. Os segmentos FD e AE se intersectam no ponto O. FO Determine OD .

in arD F

Ex. 5.8 Num plano s o dados dois tri ngulos ABC e CDE. Sejam G, H, I os pontos a a m dios dos segmentos AC, BD e CE respectivamente. Mostre que os baricentros dos e tri ngulos ABC DEF e GHI s o colineares. a a


2

VE T ORE S E M C OORDE NADAS

Ve rs ao

No primeiro captulo estudamos vetores de um ponto de vista totalmente geom trico. e Apesar de uteis, principalmente do ponto de vista intuitivo, as denicoes geom tricas e acabam perdendo um pouco de seu poder quando nos deparamos com problemas mais complexos. Por isso e necess rio que tenhamos em m os uma representacao alg brica, a a e n o apenas de vetores, mas de todo o espaco Euclidiano. Uma representacao que nos a permita fazer c lculos mais nos e assim facilitar o estudo de resultados mais complexos. a Os primeiros passos no sentido de encontrar tais representacoes j foram dados no a captulo anterior, ao estudarmos o conceito de base. Neste captulo daremos continui dade a estas ideias e veremos como utilizar as propriedades geom tricas estudadas at e e agora para encontrar representacoes alg bricas n o apenas para vetores, mas tamb m e a e para os pontos do espaco Euclidiano. Tais representacoes ser o chamadas de sistemas de a coordenadas, e ser o o foco principal deste captulo. a Antes de mais nada vamos tentar entender de maneira mais formal como se relacionam vetores e pontos no espaco, e como a representacao de um pode ser facilmente traduzida para o outro. Tomemos ent o o espaco Euclidiano (E3 ou E2 ). O primeiro passo necess rio para a a encontrarmos um sistema de coordenadas e localizar os pontos no espaco. Para isto precisaremos de um ponto qualquer para servir de refer ncia. Fixemos ent o um ponto e a 3 e chamemos este ponto de origem. Este ser o ponto a partir do qual a posicao de OE a todos os outros pontos ser medida ou, no caso de vetores, ser o ponto inicial a partir a a do qual todos os vetores ser o representados. a Tome agora um ponto P qualquer em E3 (ou E2 ) e lembre-se que, xado O, podemos escrever P = O + OP. Ou seja, tendo o ponto O como refer ncia relacionamos a cada e 3 (E2 ) um vetor de V 3 (V 2 ). ponto de E Se considerarmos {f1 , f2 , f3 }uma base de V 3 , pelo teorema da base para o espaco temos que v = v1 f1 + v2 f2 + v3 f3 . Denimos assim uma bijecao entre os pontos de E3 (E2 ) e os vetores de V 3 (V 2 ): a cada vetor v podemos associar a tripla (v1 , v2 , v3 ). Isso nos permite que a partir de qualquer representacao alg brica dos vetores de V 3 (V 2 ) encontremos uma representacao e

Pr el im

in ar41


para os pontos do espaco Euclidiano. Na verdade, isso permite que utilizemos de forma indistinta a mesma representacao para os dois objetos.

2.1 sistemas de coordenadas

Ve rs ao O f2 f1ordenadas Oblquo 42

Se i, j e k forem tr s vetores ortonormais, ou seja, ortogonais e dois a dois e de norma 1, ent o o sistema de coordenadas = a k (i, j, k, O) e chamado de sistema cartesiano de coordenadas. Daqui em diante as letras i, j e k sempre denotar o vetores a ortonormais. O Um sistema de coordenadas cujos vetores n o s o ortogonais a a i e dito sistema de coordenadas oblquo. j Usando o que foi visto at agora e f cil estabelecer uma e a bijecao entre o conjuntos dos vetores tridimensionais V 3 e Figura 2.1: Sistema de Co 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} usando o sistema de coordenadas ordenadas Ortonormais R = (f1 , f2 , f3 , O) . Para isso basta observar que do teorema da base para o espaco temos que f3 v = v1 f1 + v2 f2 + v3 f3 . E desta forma associamos ao vetor v a tripla (v1 , v2 , v3 ). A tripla anterior e denominada coordenadas do vetor v no sistema de coordenadas (ou ainda na base E = {f1 , f2 , f3 }), e ser dea Figura 2.2: Sistema de Co- notado por: v : (v1 , v2 , v3 ) .

Pr el im

Observacao 2.1 Se quisermos denir um sistema de coordenadas para o plano precisaramos 2 , e esta seria composta ent o por apenas dois vetores. Um sistema apenas de uma base para V a de coordenadas para o plano teria ent o a forma = (f1 , f2 , O) . Os resultados a seguir ser o a a 3 , deixando implcita sua validade em V 2 . apresentados apenas para V

in ar

Motivado pelo exposto acima, denimos um sistema de coordenadas no espaco como o conjunto tr s vetores linearmente independentes f1 , f2 , f3 (ou seja uma base E para V3 ) e e um ponto O, chamado de origem do sistema de coordenadas. Denotaremos o sistema de coordenadas por = (f1 , f2 , f3 , O) .


De modo an logo podemos estabelecer uma bijecao entre o conjuntos dos pontos do a 3 e R 3 usando o sistema de coordenadas = (f , f , f , O) . espaco E 1 2 3 Para isso, dado P um ponto do espaco, seja OP o vetor ligando a origem ao ponto P. Esse vetor e chamado vetor posicao de P. Pelo teorema da base para o espaco temos que OP = af1 + bf2 + cf3 . Desta forma associamos ao ponto P a tripla (a, b, c). Essa tripla e denominada coordenadas do ponto P no sistema de coordenadas e ser a denotada por: P : (a, b, c) ,

Exemplo 2.2 Dado um ret ngulo ABCD conforme a gura abaixo, vamos encontrar as coordea nadas dos pontos A, B, C, D e dos vetores BD e AC nos seguintes sistemas de coordenadas: 1. 1 = (A, e1 , e2 )1 2. 2 = B, e3 , 2 e1

Ve rs ao D e2 A e1 AB = e1 e AD = e2 .

Solucao: (1) Vamos primeiro escrever as coordenadas de A, B, C, D no sistema 1 . Para isso devemos escrever os vetores AA, AB, AC e AD como combinacao linear de e1 e e2 . Por denicao

Pr el imC e3 e1 = AB e2 = AD e3 = AC B

ou simplesmente P : (a, b, c) quando estiver claro a que base estamos nos referindo. O vetor OP e chamado de vetor posicao de P pois as coordenadas de OP s o as mesmas a coordenadas do ponto nal P. Para tornar a notacao mais simples, nem sempre mencionaremos o sistema de coorde nadas adotado, nesse caso, exceto quando zermos mencao contr ria, as coordenadas de a todos os pontos e vetores ser o dadas no mesmo sistema. a

in ar43


Temos tamb m que e AC = e1 + e2 a e que AA, sendo o vetor nulo, e igual a 0e1 + 0e2 . Assim as coordenadas s o A : (0, 0)1 pois AA = 0e1 + 0e2 B : (1, 0)1 pois AB = 1e1 + 0e2 C : (1, 1)1 pois AC = 1e1 + 1e2 D : (0, 1)1 pois AD = 0e1 + 1e2 .

Para encontrar as coordenadas dos vetores BD e AC basta observar que BD = e1 + e2 e AC = e1 + e2 , e portanto temos

BD : (1, 1)1 AC : (1, 1)1

(2)Vamos agora escrever as coordenadas dos pontos A, B, C, D no sistema 2 = A, e3 , 1 e1 . 2 Para tanto devemos escrever os vetores BA, BB, BC e BD como combinacao de f1 e f2 sendo f1 = e3 e f2 = 1 e1 . 2 Observe que BA = e1 = 2 1 e1 2 = 2f2 ,

Ve rs ao A : (0, 2)2 B : (0, 0)2 C : (1, 2)2 D : (1, 4)244

BB = 0f1 + 0f2 (vetor nulo), BC = e2 = e3 + e1 = 1f1 + 2f2 BD = e3 2e1 = f1 4f2 .

E assim as coordenadas dos pontos s o a

Pr el im

in ar


Calculando as coordenadas dos vetores BD e AC, usando que e2 = e3 e1 obtemos que BD = e1 + e2 = e3 2e1 = f1 4f2 AC = e3 = f1 , e portanto vale

AC : (1, 0)2 .

Ex. 1.1 Dado o hex gono regular ABCDEF de centro O, conforme a gura abaixo: a E D

F

Ve rs ao

Determine as coordenadas dos pontos O, A, B, C, D, E e F nos seguintes sistemas de coordenadas: a) (O; OC, OD) b) (O; OC, OE) c) (B; BC, BO) d) (B; BC, BE)

Ex. 1.2 Encontre as coordenadas dos seguintes vetores nos sistemas de coordenadas do exerccio anterior: a) CD b) BD c) AC

Pr el imC O A B

Exerccios.

in ar45

BD : (1, 4)2


d) BE Ex. 1.3 Dado o paralelogramo ret ngulo ABCDEFGH abaixo. Sejam e1 = AB, e2 = a AC, e3 = AF, e4 = AE.

Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F, G e H nos seguintes sistemas de coordenadas: a) (A; e1 ; e2 ; e3 ) b) (A; e2 ; e1 ; e3 ) c) (A; e4 ; e1 ; e3 ) d) (H; e1 ; e2 ; e3 )

e) (G; e3 ; 1 e1 ; 3e3 ) 2

1 f) (A; 2 e1 ; 1 e2 ; 1 e3 ) 2 2

Ex. 1.4 Determine as coordenadas dos vetores AB, AC, AF, AG, EF, FG, EH nos seguintes sistemas de coordenadas: a) (A; e1 ; e2 ; e3 ) b) (A; e2 ; e1 ; e3 ) c) (H; e1 ; e2 ; e3 )

e) (G; e3 ; 1 e1 ; 3e3 ) 2

Ve r

2.1.1

Agora que sabemos como representar vetores e pontos em coordenadas precisamos saber como operar com estas representacoes. A proposicao abaixo nos diz como as

46

sa

d) (H; e2 ; e1 ; e3 )

Operaes Vetoriais em Coordenadas co

o

Pr eli m in a

r


operacoes com pontos e vetores vistas no captulo anterior podem ser traduzidas para a representacao que acabamos de apresentar. Proposicao 2.3 Se u : (a1 , a2 , a3 ) , v : (b1 , b2 , b3 ) e P : (p1 , p2 , p3 ) ent o: a 1. u + v : (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) 2. u : (a1 , a2 , a3 ) 3. P + u : (a1 + p1 , a2 + p2 , a3 + p3 )

1. Dado um sistema de coordenadas = (f1 , f2 , f3 , O), como u : (a1 , a2 , a3 ) , por denicao temos que: u = a1 f1 + a2 f2 + a3 f3 v = b1 f1 + b2 f2 + b3 f3 E logo

u + v = f1 + a2 f2 + a3 f3 + b1 f1 + b2 f2 + b3 f3

= = (a1 + b1 )f1 + (a2 + b2 )f2 + (a3 + b3 )f3

E desta forma as coordenadas de u + v no sistema de coordenadas s o a u + v : (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 ) 2. Como u : (a1 , a2 , a3 ) , por denicao temos que:

Ve r

Desta forma temos que

sa

u = a1 f1 + a2 f2 + a3 f3

u = (a1 f1 + a2 f2 + a3 f3 ) = a1 f1 + a2 f2 + a3 f3

o

E consequentemente: u : (a1 , a2 , a3 )

3. Fica como exerccio para o leitor.

Pr eli m in a(2.1) (2.2)47

Demonstracao:

r


Exemplo 2.4 Dados os pontos A : (1, 3, 2), B : (1, 1, 1) e C : (1, 1, 0) determine as coordenadas 1. dos vetores AB, BC

3. do ponto C + 1 AB 2 Solucao: AB : (1 1, 1 3, 1 2) = (0, 2, 1) BC : (1 1, 1 1, 0 1) = (0, 0, 1)

1 1 4 1 AB + BC = (0, 2, 1) + (0, 0, 1) = (0, 2, 1 ) = (0, 2, ) 3 3 3 3 1 1 1 C + AB = (1, 1, 0) + (0, 2, 1) = (1, 0, ) 2 2 2

Exemplo 2.5 Achar as coordenadas de um vetor ligando dois pontos num sistema de coordenadas = (f1 , f2 , f3 , O)

Ve rs ao 48

Solucao: Resumindo o que queremos e, dado P1 : (x1 , y1 , z1 ) e P2 : (x2 , y2 , z2 ), encontrar as coordenadas do vetor P1 P2 . Temos pela denicao de subtracao de vetores que P1 P2 = OP2 OP1 . Logo como OP1 = x1 f1 + y1 f2 + z1 f3 e OP2 = x2 f1 + y2 f2 + z2 f3 e assim P1 P2 = (x2 x1 )f1 + (y2 y1 )f2 + (z2 z1 )f3 P1 P2 = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )

Pr el im

in ar

2. do vetor AB + 1 BC 3


Exemplo 2.6 Achar o ponto mdio M = (x, y, z) de um segmento com ponto inicial P1 = e (x1 , y1 , z1 ) e P2 = (x2 , y2 , z2 ), num sistema de coordenadas = (f1 , f2 , f3 , O) Solucao: Primeiro vemos que P1 P2 = 2P1 M j que possuem o mesmo sentido e P1 P2 a e duas vezes P1 M . Assim

o que implica que x2 x1 = 2(x x1 ) y2 y1 = 2(y y1 ) z2 z1 = 2(z z1 ) e logo x= e x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2 ,y = ,z = , 2 2 2 x 1 + x 2 y1 + y2 z 1 + z 2 , , 2 2 2 .

M:

De posse da representacao dos vetores em coordenadas podemos agora fornecer crit rios e para a depend ncia e a independ ncia linear de vetores: e e Teorema 2.7 Os vetores u : (a1 , a2 , a3 ), se a1 b1 c1 v : (b1 , b2 , b3 ) e w : (c1 , c2 , c3 ) s o LI se e somente a a2 a3 b2 b3 c2 c3

Ve rs ao xu + yv + zw = 0

Demonstracao: Os vetores u, v, w s o LI se o sistema: a (2.3)

Tiver somente a solucao trivial x = y = z = 0 Em coordenadas podemos expressar a equacao 2.4 como: x (a1 , a2 , a3 ) + y (b1 , b2 , b3 ) + z (c1 , c2 , c3 ) = 0 (2.4)

Pr el im=0

in ar49

(x2 x1 )f1 + (y2 y1 )f2 + (z2 z1 )f3 = 2(x x1 )f1 + 2(y y1 )f2 + 2(z z1 )f3


E logo teremos o sistema: a1 x + b1 y + c1 z = 0 a x + b2 y + c2 z = 0 2 a3 x + b3 y + c3 z = 0 a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

Pela regra de Cramer (ver Ap ndice) o sistema anterior tem solucao unica se e somente e se =0

Exerccios.

Ex. 1.6 Dados dois pontos P : (x1 , y1 , z1 ) e Q : (x2 , y2 , z2 ), encontre a coordenada do ponto R, que se encontra sobre o segmento ligando os pontos P e Q e tal d(R, Q) = d(R, P). Ex. 1.7 Prove utilizando coordenada que o segmento de reta que une os pontos m dios e das laterais de um trap zio e paralelo as bases e sua medida e a m dia aritm tica das e e e ` medidas das bases. Ex. 1.8 Prove que se u : (a1 , a2 , a3 ) e P : (p1 , p2 , p3 ) ent o: a P + u : (a1 + p1 , a2 + p2 , a3 + p3 )

Ve rs ao 50

Ex. 1.9 Determine quais dos conjuntos abaixo s o L.I. a a) {(1, 1, 2) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)} c) {(1, 0, 1) , (0, 0, 1) , (2, 0, 5)} b) {(1, 1, 1) , (1, 2, 1) , (1, 2, 2)}

Ex. 1.10 Exprima o vetor w : (1, 1) como combinacao linear de u : (2, 1) e v : (1, 1).

Pr el im

Ex. 1.5 Os pontos m dios dos lados de um tri ngulo s o (2, 5) , (4, 2) e (1, 1). Detere a a mine as coordenadas dos tr s v rtices. e e

in ar


Ex. 1.11 Sejam u = (2, 1) e B = (1, 3). Mostre que todo vetor (c1 , c2 ) pode ser expresso como combinacao linear de u, v Ex. 1.12 Sejam u = (1, 1, 1), v = (0, 1, 1) e w = (1, 1, 0) vetores no espaco. a) encontre as componentes de um vetor z = (a, b, c) na base formada por u, v, w. b) Mostre que se z = 0 ent o as componentes de z na base formada por u, v, w s o a a todas iguais a zero. c) encontre as componentes de um vetor z = (1, 2, 3) na base formada por u, v, e w.

a a Ex. 1.13 Mostre que dois vetores n o nulos u : (a1 , a2 , a3 ) e v : (b1 , b2 , b3 ) s o LD se e somente se existe tal que: (a1 , a2 , a3 ) = (b1 , b2 , b3 ) Utilize esse crit rio para decidir se os vetores abaixo s o LI ou LD: e a a) u = (1, 2, 3) b) u = (1, 0, 3) c) u = (1, 2, 5) v = (4, 5, 6) v=5 1 2 , 1, 4

v = (2, 0, 6)

Ex. 1.14 Utilizando o exerccio anterior, mostre que dois vetores n o nulos u : (a1 , a2 , a3 ) a e v : (b1 , b2 , b3 ) s o LI se e somente se ao menos um dos determinantes a a1 a2 b1 b2 e n o nulo. a , a2 a3 b2 b3 ou a1 a3 b1 b3

Ve rs ao a) v = (1, m, n + 1)w = (m, n, 2) b) v = (1, m 1, m)w = (m, n, 4)

Ex. 1.15 Determine m, n de modo que os vetores u, v sejam LD, onde:

Ex. 1.16 Dado (e1 , e2 , e3 ) uma base. Determine condicoes necess rias e sucientes a sobre a, b de modo que os vetores (u, v, w) sejam LI, com u, v, w dados por: a) u = e1 e2 , v = e1 + e2 + e3 , w = ae1 + be2 + e3 b) u = e1 e2 + e3 , v = e1 + e2 + 3e3 , w = ae1 + be2 + (b2 + 2a)e3

Pr el im

in ar51


Ex. 1.17 Dado um tetraedro ABCD, Determine a coordenadas dos pontos m dios dos e lados AB, CD, BD, BC no sistema de coordenadas determinado pelo ponto A e pela base {AB, AC, AD}. (compare com o exemplo 3.4

r = xi + yj.

Ve rs ao r2

Como a base considerada e ortonormal, segue diretamente do Teorema de Pit goras a que = xi2

= x2 i

= x 2 + y2 .

Assim, se denotarmos por r o tamanho do vetor r temos que r= x 2 + y2 .

A mesma ideia pode ser levada para o espaco, onde obtemos que se r = xi + yj + zk, ent o a r= r = x 2 + y2 + z 2 .k O j i xi r

Pr el im+ yj2 2 2

Vamos agora explorar algumas das vantagens de se trabalhar com as chamadas bases ortonormais ou, mais geralmente, com eixo y sistemas de coordenadas cartesianas. P : (x, y) Lembrando, uma base e dita ortonormal se seus vetores s o a unit rios (possuem modulo 1) e perpendiculares dois a dois. a yj Um sistema de coordenadas formado por uma base ortonormal e chamado de sistemas de coordenadas cartesianas. A partir O eixo x xi deste ponto vamos xar notacao e utilizar (i, j) para denotar uma base ortonormal para o plano, e (i, j, k) para o espaco. Seja (i, j) uma base ortonormal para V 2 , O um ponto no plano e = (O, i, j) o sistema de coordenadas cartesianas determinado por eles. Dado agora um ponto P no plano considere o vetor r = OP e sua representacao no sistema dada por r : (x, y), ou seja:

+ y2 j

52

in arP zk yj

2.2 bases ortonormais e coordenadas cartesianas


Voltemos por momento para o caso planar e denote por o angulo entre o eixo OX e o vetor r. Neste caso, n o e a difcil ver que x = r cos(), y = r sen().

d(P, Q) =

(x1 x2 )2 + (y1 y2 )2

Figura 2.3: Dist ncia entre dois pontos no plano. a

E no caso tridimensional dist ncia entre os pontos P : (x1 , y1 , z1 ) e Q : (x2 , y2 , z2 ) e a dada por: d(P, Q) = (x1 x2 )2 + (y1 y2 )2 + (z1 z2 )2

Ve rs ao

Observacao 2.8 E importante observar que para realizarmos os c lculos acima foi absolutamente a necess rio que o sistema de coordenadas considerado fosse cartesiano. Podemos calcular as mesmas a quantidades utilizando outros sistemas, mas as express es cam diferentes e muito mais complicao das.

O par (r, ) assim denido forma as chamadas coordenadas polares do ponto P no plano, e suas propriedades ser o melhor exploradas no nal deste captulo. a Exerccios. Nos proximos exerccios, as coordenadas s o expressas num sistema carte a siano. Ex. 2.1 Dados os vetores a, b, c conforme a gura abaixo. Determine as componentes dos vetores a, b, c e de a + b + c

Pr el im(y2 y1 )j P : (x1 , y1 ) (x2 x1 )i

Q : (x2 , y2 )

in ar53

Utilizando o Teorema de Pit goras, temos tamb m que a dist ncia entre os pontos a e a P : (x1 , y1 ) e Q : (x2 , y2 ) e dada por:


6

120

45 4

30 3

Ex. 2.2 Dados os vetores a, b, c conforme a gura abaixo. Determine as componentes dos vetores a, b, c e de a + b + c4 135 3

Ex. 2.3 Dados A : (3, 2), B : (3, 5) e C : (0, 3) desenhe o tri ngulo ABC e ache: a a) A dist ncia entre os pontos A e B; a b) A dist ncia entre os pontos B e C; a c) O vetor BA e o vetor AC; d) O vetor BA + AC

Ve rs ao f) A area do tri ngulo; a 54

e) O ponto m dio do segmento AC e f) O ponto na reta AB que dista tr s vezes mais de A do que de B. (Duas respostas) e

Ex. 2.4 Dados A : (4, 8, 11), B : (3, 1, 4) e C : (2, 3, 3) desenhe o tri ngulo ABC e a ache: a) O comprimento dos tr s lados do tri ngulo; e a b) Os pontos m dios dos tr s lados do tri ngulo; e e a c) Os vetores AB, BC e CA; d) A soma AB + BC + CA. Porque essa soma deve ser zero?; e) Os angulos entre AB e BC. Dica: use a lei dos cossenos;

Pr el im120 3

in ar


g) O ponto D tal que ABCD e um paralelogramo (Tr s respostas) e

Ex. 2.5 Qual o ponto do eixo x e equidistante dos pontos A = (1, 3) e B = (3; 1)? Ex. 2.6 O tri ngulo ABC, com A = (a; 0) B = (a; 0) C = (0; y) e equil tero. Quais a a s o os possveis valores de y? a Ex. 2.7 Tr s v rtices de um ret ngulo s o (2, 1), (7, 1) e (7; 3) : Determinar o quarto e e a a v rtice e a area. e

2.3 a ngulo entre dois vetores: produto escalarNa secao anteriores nos utilizamos de angulos entre vetores (ou entre vetores e retas) para denir uma nova forma de representar pontos do espaco Euclidiano. Surge ent o a a pergunta: como podemos utilizar os sistemas de coordenadas para determinar o angulo entre dois vetores u e v? O primeiro passo e escolher um sistema de coordenadas cartesiano = (i, j, k, O) e escrever os vetores neste sistema, ou seja: u = a1 i + a2 j + a3 k v = b1 i + b2 j + b3 k ba a

Ve rs ao O e portanto

Observe agora que pela lei dos cossenos |v u|2 = |u|2 + |v|2 2 |u| |v| cos(),

(a1 b1 )2 + (a2 b2 )2 + (a3 b3 )2 = a2 + a2 + a2 + b2 + b3 + b2 2 u 3 2 1 3 2 1

Pr el imb

in arv cos().55


Assim cos() =

a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . u v

Ao termo a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 daremos o nome de produto escalar (ou de produto interno ) de u por v e denotaremos por u v. Resumindo: Se = (i, j, k, O) e um sistema de coordenadas cartesiano, u = (a1 , a2 , a3 ) e v = (b1 , b2 , b3 ) , ent o a u v := a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 e

Observe tamb m que, da denicao acima, segue diretamente que dois vetores n oe a nulos u e v s o perpendiculares se e somente se u v = 0 (por qu ?). a e

Exemplo 2.9 Achar o angulo entre u = i + j + k e v = i + j Solucao: cos = =

Ve r

Exemplo 2.10 Os vetores 3i + 4j + k e 2i 3j + 6k s o perpendiculares pois o produto interno a entre eles e zero: (3, 4, 1) (2, 3, 6) = 3 2 + 4 (3) + 1 6 = 6 12 + 6 = 0

56

sa

o

= cos1

Pr eli m in acos() = uv u v uv u v 12 3 2 2 35.26o 3

r


Exemplo 2.11

u

2

= u u = a2 + a2 + a2 = u u 3 2 1

Proposicao 2.12 O produto interno possui as seguintes propriedades: 1. u v = v u 2. u (v + w) = u v + u w 3. u u 0

4. u u = 0 se e somente se u = 0 5. u (v) = u v Demonstracao: Se u : (a1 , a2 , a3 ) e v : (b1 , b2 , b3 ) e w : (c1 , c2 , c3 ) 1.

u v = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 = b1 a1 + b2 a2 + b3 a3 = v u 2.

u (v + w) = (a1 , a2 , a3 ) (b1 + c1 , b2 + c2 , b3 + c3 )

3.

Ve rs ao

4. Se u u = 0 ent o a2 + a2 + a2 = 0 e consequentemente a1 = a2 = a3 = 0. a 1 3 2 5. A demonstracao desse item e deixada como exerccio ao leitor.

Exemplo 2.13 No quadrado ABCD tem se A = (3, 4) e B = (5, 6) . Quais s o as coordenadas a dos vetores C e D?

Pr el im= uv+uw u u = a2 + a2 + a2 1 2 3 0

= a1 (b1 + c1 ) + a2 (b2 + c2 ) + a3 (b3 + c3 )

= (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ) + (a1 c1 + a2 c2 + a3 c3 )

in ar57


Solucao: Denotando as coordenadas de C e D por C = (c1 , c2 ) e D = (d1 , d2 ), temos que AB = (2, 10), BC = (c1 5, c2 6), CD = (d1 c1 , d2 c2 eDA = (d1 3, d2 + 4). O vetor BC e perpendicular ao vetor AB logo o produto interno entre eles e nulo, ou seja, BC AB = 0. Isto implica que 2(c1 5) + 10(c2 6) = 0, que simplicando resulta em

Temos ainda que |AB| = |BC| = 104, logo (c1 5)2 + (c2 6)2 = 104

Exemplo 2.14 Mostre que as alturas de um tri ngulo s o concorrentes. a a

Ve rs ao

Solucao: Dado um tri ngulo ABC, ent o as alturas BB e CC se interceptam num a a ponto O. Sejam ent o os vetores: a = OA, b = OB e c = OC. a Como as retas OB e CA s o perpendiculares: a OB CA = 0 b (a c) = 0 b a = b c

De modo an logo, como as retas OC e AB s o perpendiculares: a a OC AB = 0 c (b a) = 0 c b = c a

58

Pr el imC B c O A a A C b B

Substituindo (2.5) em (2.6) teremos que (c2 6)2 = 4 e logo c2 = 8 ou c2 = 4 Quando c2 = 8 por (2.5) c1 = 5 e quando c2 = 4 ent o c1 = 15. a O c lculo de D e an logo. a a

in ar(2.6)

2c1 + 10c2 = 70

(2.5)


E logo b a = c a, ou seja, a (c b) = 0 OA BC = 0 Desta forma a reta OA e perpendicular ao lado BC, sendo assim a altura relativa ao v rtice A. Essa reta intercepta as outras alturas no ponto O, e assim as tr s retas se e e interceptam num unico ponto, que e denominado ortocentro do tri ngulo ABC. a

Passemos agora a um novo problema. Dados dois vetores v e u, com u n o nulo, querea mos decompor o vetor v em dois vetores p, q tais que p e paralelo a u e q e perpendicular a u, ou seja, queremos encontrar p, q tais que v = p + q, p = u para algum R e q u = 0. Reescrevendo as condicoes acima temos que

e logo (v u) u= 0 vu u Desta forma2

=0

o

e

sa

Ve r

Do mesmo modo podemos ver que o vetor p assim determinado e unico. Tal vetor e chamado de projecao ortogonal de v sobre u e e denotado por Proju v. Demostramos assim o seguinte resultado.

Proposicao 2.15 Dado u um vetor n o nulo, e v um vetor qualquer, ent o a projecao ortogonal a a Proju v de v em u existe e e unica.

Pr eli m in a(v p) u = 0 = vu u vu u2

2.3.1

Projeo Ortogonal ca

p=

2

u

r59


Exemplo 2.16 Sejam A = (x1 , y1 ), B = (x2 , y2 ), C = (x3 , y3 ) pontos no plano. Ent o a area a do ABC e dada por x 1 y1 1 1 S= x 2 y2 1 2 x 3 y3 1 Demonstracao: Temos que BA = (x1 x2 , y1 y2 ) e BC = (x3 x2 , y3 y2 ). Al m e disso, e claro que v = (y2 y3 , x3 x2 ) e um vetor ortogonal a BC. A area do ABC e dada por: 1 S = ||BC||h, 2

|BA v| = |(x1 x2 )(y2 y3 ) + (y1 y2 )(x3 x2 )| = |x1 (y2 y3 ) + y1 (x3 x2 ) + x2 y3 x3 y2 | x 1 y1 1 = |det x2 y2 1 | , x 3 y3 1 concluindo a demonstracao.

Ve rs ao 60

Exerccios.

Ex. 3.1 Pela formula do cos ache os tr s angulos do tri ngulo cujos v rtices s o e a e a a) (2, 1) , (7, 1) e (7, 3) (use uma calculadora) b) (4, 7, 11) , (3, 1, 4) e (2, 3, 3)

Ex. 3.2 Se u = (2, 1, 1) e v = (1, 1, 2), encontre um vetor n o nulo w tal que u w = a v w = 0. Ex. 3.3 Se u = (2, 1, 2) e v = (1, 2, 2), encontre escalares a, b tais que w = au + bw e w v = 0.

Pr el im

| BA,v | onde h = |Projv BA| = ||v|| , e a altura do ABC relativa ao lado BC. Como ||v|| = ||BC||, temos que S = 1 |BA v|. 2 Temos que:

in ar


Ex. 3.4 Prove que os vetores u = 7i 3j + 6k, v =3i + 3j 2k e w =6i 16j 15k s o a dois a dois perpendiculares. Ex. 3.5 Ache os tr s angulos de um tri ngulo cujos v rtices s o (3, 1) , (5, 2) e (6, 3). e a e a Ache tamb m a area do tri ngulo. e a Ex. 3.6 Dados vetores a, b e c tais que a + b + c = Calcule o angulo entre a e b.

Ex. 3.7 Prove que v w =

1 4

v+w

2

vw

2

Ex. 3.9 Decomponha o vetor u = i 3j + 2k como a soma de dois vetores v1 e v2 , com v1 paralelo ao vetor j + 3k e v2 ortogonal a este ultimo. Ex. 3.10 Suponha que AB seja o di metro de um circulo e seja C outro ponto qualquer a desse circulo. Mostre que os vetores CA e CB s o ortogonais. a Ex. 3.11 Prove que: a) Proju v = Proju v

Ve rs ao c) Proju Proju v = Proju v d) v Proju w = Proju v w Ex. 3.14 Prove que u + v

b) Proju (v + w) = Proju v + Proju w

Ex. 3.12 Calcule o cosseno do angulo formado por duas diagonais de um cubo. Ex. 3.13 Prove que |u v| u v e que |u v| = u multiplo do outro (Desigualdade de Schwarz). v se e somente se um vetor e

Pr el imu + v (Desigualdade Triangular).

Ex. 3.8 Mostre que se as diagonais de um paralelogramo s o perpendiculares ent o a a ele e um losango.

in ar61

0 com

a = 3, b = 5 e c = 7.


Ex. 3.15 Mostre que u + v = u v se e somente se u v = 0. Ex. 3.16 Prove que se u v = 0 para todo vetor v ent o u = 0. a Ex. 3.17 Num tri ngulo ret ngulo, a altura relativa a hipotenusa e a m dia geom trica a a e e das projecoes ortogonais dos catetos sobre essa hipotenusa. Prove esse fato escolhendo um sistema de coordenadas no qual a hipotenusa esta sobre o eixo OX e o v rtice do e angulo reto sobre o eixo OY. Ex. 3.18 Mostre que o angulo entre as projecoes Projw u e Projw v e igual ao angulo entre os vetores u e v.

2.4 vetor perpendicular a dois vetores dados: produto vetorialVoltemos nossa atencao agora para um novo problema: dado dois vetores n o paralelos a u e v como podemos encontrar um novo vetor w perpendicular aos dois vetores dados? Note que, ao contr rio do que ocorre com a projecao, este problema n o possui uma a a unica solucao. De fato, se encontrarmos um vetor w satisfazendo as condicoes acima, qualquer vetor w tamb m satisfar . e a Passemos a solucao. Como sempre, tomemos primeiro uma base ortonormal (i, j, k) e ` facamos u = a1 i + a2 j + a3 k e v = b1 i + b2 j + b3 k. Vamos denotar por w = xi + yj + zk o vetor que queremos determinar. Como queremos que o vetor w seja perpendicular aos vetores u e v, precisamos ent o que w u = 0 e v se w v = 0. a Temos assim o seguinte sistema linear: a1 x + a2 y + a3 z = 0 b1 x + b2 y + b3 z = 0 a1 x + a2 y = a3 z b1 x + b2 y = b3 z

Ve rs ao ou ainda62

Pr el im

in ar


Pelo exerccio 1.14 podemos supor sem perda de generalidade que a1 a2 b1 b2 e, usando a regra de Cramer, conclumos que a3 z a2 b3 z b2 a1 a2 b1 b2 a1 a3 z b1 b3 z a1 a2 b1 b2 a3 a2 b3 b2 a1 a2 b1 b2 a1 a3 b1 b3 a2 a3 b2 b3 = 0,

x=

= z

=z

e y=

Escolhendo

temos que w=

a2 a3 b2 b3

Chamaremos o w de produto vetorial de u e v, e denotaremos por w = uv

Ve r

onde u = a1 i + a2 j + a3 k e v = b1 i + b2 j + b3 k. Antes de continuar listemos as propriedades do produto vetorial. Teorema 2.17 Dados os vetores u = (a1 , a2 , a3 ), v = (b1 , b2 , b3 ) e w = (c1 , c2 , c3 ) o produto vetorial possui as seguintes propriedades: 1. Linearidade com relacao ao primeiro termo: (u + v) w = u w + v w 2. Antisimetria u w = w u

sa

Um modo f cil de recordar da express o do produto vetorial e atrav s do seguinte a a e determinante formal: i j k u v = a1 a2 a3 , b1 b2 b3

o

Pr eli m in a= z a1 a2 b1 b2 =z a3 a1 b3 b1 a1 a2 b1 b2 z= a1 a2 b1 b2 i+ a3 a1 b3 b1 j+ a1 a2 b1 b2 k63

r

a1 a2 b1 b2


3. Produto misto u (v w) = (u v) w = 4. 5. uv2

a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3

= u

2

v

2

|u v|2

uv = u

v sen () , onde e o angulo entre os vetores u e v.

= a2 + a2 + a2 1 2 3

b2 + b2 + b2 (a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 )2 1 2 3

= a2 b2 + a2 b2 + a2 b2 + a2 b2 + a2 b2 + a2 b2 + a2 b2 + a2 b2 + a2 b2 3 1 3 2 3 3 2 3 1 3 2 1 2 2 1 2 1 1

= a2 b2 + a2 b2 2a1 a2 b1 b2 2a1 a3 b1 b3 + a2 b2 + a2 b2 2a2 a3 b2 b3 + a2 b2 + 3 1 2 1 2 3 1 2 1 3 a2 b2 (a2 b3 a3 b2 )2 + (a1 b3 a3 b1 )2 + a1 b2 a2 b1 3 2 = uv2

A quinta propriedade decorre facilmente da anterior, bastando para isso lembrar que |u v|2 = u v2 2

e portanto uv2

= u = u = u = u

Ve rs ao A = uv64

Vamos agora explorar algumas consequ ncias geom tricas do produto vetorial. e e

Area de um Paralelogramo e de um Tringulo Primeiro considere o paralelogramo a determinado por dois vetores n o paralelos u e v, como na gura abaixo a A altura do paralelogramo e dada por v sen() e portanto, da propriedade 5 do pro duto vetorial, conclumos facilmente que sua area e dada por u v sen () = u v . Em resumo, mostramos que a area do paralelogramo de lados u e v e igual ao compri mento do produto vetorial destes vetores.

Pr el im. v2

a2 b2 2a1 a2 b1 b2 2a1 a3 b1 b3 a2 b2 2a2 a3 b2 b3 a2 b2 1 1 2 2 3 3

cos2 ()

2

2

v

2

|u v|22

u

v

2

2

v

2

1 cos2 () =

cos2 ()

2

v

2

sen2 ()

in ar

Demonstracao: A demonstracao dos tr s primeiros itens e direta e e deixada como e exerccios: Para demonstrarmos a quarta propriedade basta observar que u 2 v 2 |u v|2 =


v

v sen u

A

A=

1 AB BC 2

Volume de um Paralelepipedo A seguir vamos calcular o volume de um paraleleppedo, em funcao dos vetores u = AB, v = AD e w = AE.

Ve rs ao

Sabemos que o volume do paraleleppedo e dado pelo produto V = Ab h da area Ab da base pela altura h. Como j vimos a area da base pode ser calculada por Ab = u v . a J a altura e dada pela norma da projecao do vetor w sobre o vetor u v. Como a Projuv w = (u v) w uv2

Pr el im(u v),

in arB

A partir da express o anterior podemos encontrar uma exa press o para a area de um tri ngulo ABC. Para isso considere a a o paralelogramo determinado pelos vetores AB e BC, como na gura abaixo. A diagonal BC dess

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