Notas de Álgebra I - Enzo R Gentile

8/4/2019 Notas de Álgebra I - Enzo R Gentile

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NOTASD E

ALGEBRAI



E D I C I O N E S P R E V I A S



N O T A SD E

A L G E B R A

IE N Z O R . G E N T I L E

E D I C I Ó N C O R R E G I D A Y A M P L I A D A

E U D E B AE D I C I O N E S P R E V I A S

Segunda edición: octubre de 1976

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K D I T O R I \l . UW V K R S I T A R I \ DK B U K I M O S A I R E S

Socieiltul <le Economía Mixta

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I M P R E S O KN LA A R G E N T I N A I M U M >'!> IN A R G E N T I N A



ÍNDICE

PROLOGO A UN CURSO DE ALGEBRA I I X

0. INTRODUCCIÓN 1A. Una breve cEsgresión, 1; B. Lógica proposicional, 6.

1. NÚMEROS R EALES . PROPIEDADES DE CUERPO ORD ENADO 13

f l . NÚMEROS NATUR ALES 37Conjuntos inductivos y números naturales, 37; Coeficientes bi-nomiales y fórmula del binomio, 64; Complementos: 1. Principio de buena ordenación, 82.

K I . ANILLO DE ENTERO S RACIONALES 10 5

Teorema Fundamental de la Aritmética, 144; Apéndice, 185.

IV . NÚMEROS RACIONALES 197Apéndice, 235.

V . E S T R U CT U R A S A L G E B R A I CA S : G R U PO S Y A N IL LO S . . . 2 3 9

Noción de morfismo, 255.

V I. ANILLO DE POLINOM IOS 293Noción de indeterminada sobre un anillo, 293; Teorema Fundamental de la Aritmética en K[X], 319; Máximo común divisor, 334; Polinomio derivado. Multiplicidad, 341; Apéndice:Fórmula de Leibnitz, 353; Polinomios con coeficientes en z:Polinomios primitivos - Criterio de Eisenstein, 355.

VI I . NÚMEROS COMPLEJOS 403Introducción, 403; Polinomios complejos, 422; Un poco degeometría en el plano complejo, 442; Apéndice: Funciones

trigonométricas, 476.APÉNDICE I . G n : G rupo de raíces enésimas de la unidad 48 7

APÉND ICE II . Algebra de conjuntos 5 251 . La noción de conjunto, 525; 2. Conjunto universal, relaciónde inclusión, 531; 3. Algebra de conjuntos, 536; 4. Conjunto

V II



NOTAS DE ALGEBRA I

de partes de un conjunto, 544; 5. Producto cartesiano de conjuntos, 550; 6. Relaciones, 555; 7. Aplicaciones, 583.

APÉNDIC E m. Existencia de indeterminada sob re un anillo conmutativo con elemento neutro 597

APÉNDICE IV (Complemento al capítulo II ) 60 6

APÉNDICE V (Complemento al capítulo V I) 61 6

B I B L I O G R A FÍ A 6 4 3

VIII



PRO LOGO A UN CURSO DE ALGEBRA I

Objetivo: lograr el manejo de las estructuras algebraicas derivadas de la aritmética ordinaria. O sea, el estudio y el manejode las operaciones algebraicas y de otras estructuras asociadas.Más precisamente, se trata de estudiar las propiedades de la

suma y producto de números reales y de otra estructura adicional importante, la de orden.Técnicamente los números reales se introducen como un

cuerpo ordenado, lo cual si bien no caracteriza a éstos, sirveperfectamente a los fines del curso. El axioma de completitud,necesario para caracterizar al cuerpo real, 6 e estudia en el cursode Análisis I, de manera que quien haga ambos cursos tendráuna presentación completa. El cuerpo ordenado de númerosreales se denotará con la letra mayúscula R. (Digamos, de paso,

para el lector no informado, que la estructura de orden en R esresponsable de la siguiente propiedad fundamental en R: "si ax,. . . , a n son números reales, entonces a 2 + . . . + a 2, = 0 implicaa t = . . . = a n = 0 " . )

Seguidamente se estudian con mayor detención, dentro deR, los números naturales. Intuitivamente hablando el subconjunto de R de números naturales, que denotamos con la letraN, es "generado inductivamente" por el número real 1, en laforma

12 1 + 1

3 2 + 1

4 3 + 1

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NOTAS DE ALGEBRA I

y en general si el número real a ha sido construido en estafor m a, el n úm ero a + 1 es un núm ero n atural. Para precisaresta definición se introduce la noción de conjunto inductivo denúmeros reales. Entonces en función de este concepto, un número real es natural si y sólo si pertenece a todo conjuntoinductivo de R. El Principio de Inducción en N es la propiedadesencial resultante de esa definición. Un manejo del Principiode Inducción resulta fundamental en todo el curso. Tambiénconviene introducir una propiedad importante, equivalente alPrincipio de Inducción, llamada el Principio de Buena Orde

nación, que a veces es más manejable que el Principio de Inducción. Una aplicación importante de los números naturales es laque permite "contar" los elementos de un conjunto f ini to , loque da lugar a la llamada Combinatoria.

Aparecen luego los números enteros, que simbolizamos conla letra Z, cuya definición es clara: es la menor estructura deR, que contiene a los números naturales y a sus opuestos aditivos. Como consecuencia, es posible efectuar en Z la resta: osea dados a y b en Z ex iste un ún ico entero c tal que b + c =

= a. La estructura definida en Z nos lleva a hablar del anillo denúmeros enteros. Es la estructura más conveniente al Algebra yella constituye, efectivamente, el objeto de estudio de todo elcurso.

Se trata de determinar la estructura de Z, o sea de determinar las propiedades que caracterizan a Z completamente. Asiaparecen el algoritmo de división, su propiedad fundamental,que permite desarrollar toda la teoría de divisibilidad hastal legar al Teorema Fundamental de la Aritmética sobre la repre

sentación y unicidad de los números enteros (distintos de 1, 0,—1) en producto de primos. Es éste un verdadero teorema deestructura, pues permite escribir los números enteros en términos de un cierto subconjunto del mismo, el conjunto de números primos. El estudio de Z es propiamente la llamada aritmética, y contra lo que muchos sospechan, la matemática todatiene una motivación fundamental en ésta. Diríamos que elobjeto fundamental del curso de Algebra I consiste en el estudio y el manejo del conjunto Z de números enteros y de laspropiedades que mencionamos más arriba. Pero sobre todo interesa el manejo de los resultados, ya que los mismos aparecen ensituaciones bastante diferentes en Algebra.

Posteriormente se introducen las estructuras algebraicas (tratamiento abstracto de la noción de operación, estructuras desemigrupo, grupo y anillo) que unifican un poco el panorama ysugieren una generalización natural de Z. Conviene destacar, en

X



PROLOGO A UN CURSO DE ALGEBRA l

X I

esta parte, la noción fundamental de morfismo de estructuras

algebraicas. Si en dos conjuntos A y B hemos definidos sendasoperaciones (a t , a 2 ) -»• a t • a 2 y ( b 1 , b 2 ) -»• b , • b 2 respectivamente, un morfismo de A en B es toda aplicación f:A -+ B deA en B tal que f(a t • a 2 ) = f ( a t ) • f ( a 2 ) , cualesquiera sean ai ,a 2 en A. La noción de morfismo es la que permite entoncescomparar la estructura algebraica de A con la de B, porque unmorfismo respeta las operaciones. Una situación interesanteocurre cuando f es además una aplicación biyectiva, decimosentonces que f es un isomorfismo (o que A y B son isomorfos) .

Estructuras isomorfas son "indistinguibles" algebraicamentehabland o. A sí por ejemplo los números reales posit ivos R > 0

con la operación producto y los números reales R con la sumaordinaria son algebraicamente indistinguibles, porque es posibledefinir un isomorfismo entre ambas estructuras, éste es la aplicación logaritmo, como el lector imaginará.

De este modo podemos pasar inmediatamente a una estructura fundamental : el anillo de polinomios. Parece contradictorio decir que este anillo tenga una importancia fundamental,

cuando manifestamos lo mismo para el anillo Z. No hay, sinembargo, ambigüedad. Por el contrario, esta nueva situaciónmuestra un poco la fecundidad de las ideas en matemática. Elanillo de polinomios (dicho con mayor precisión: al anillo depolinomios en una indeterminada X con coeficientes en un anil lo K) que escribiremos con K[X] admite, cuando K es uncuerpo, toda una teoría de la divisibilidad, a la manera de Z.

Dicho en otra forma, Z y K[X] si K es un cuerpo, resultanser modelos de la misma estructura abstracta, a saber, la deanillo de integridad euclidiano (o dominio euclidiano). Por lot an t o , Z y K[X], K un cuerpo, no son cosas esencialmentedistintas, desde cierto punto de vista, que hace al curso deAlgebra I.

Este es un hecho importante de destacar, pues simplificanotoriamente el estudio y faci l i ta a su vez el manejo de ambassituaciones.

La forma de introducir en cursos y libros la noción depolinomio presenta dificultades. En este curso, optamos pordefinir la noción de elemento trascendente sobre un anil lo K.

Se trata de considerar un anillo K sumergido en un anillo K' yconsiderar elementos x en K' con la siguiente propiedad: si a 0 ,a i , . . . , a„ son elementos de K entonces

a 0 + ai • x + . . . + a n • x n = 0 en K '



NOTAS DE ALGEBRA I

si y sólo si a 0 = aj = . . . = a„ = 0. Como consecuencia, si setiene

k 0 + k j • x + . . . + k n • x n = k 0 + k , • x + . . . + k n • x n

con k 0 , k j , . . ., k n ; k ¿ , k l , . . . , k n en K, entonces k 0 = k 0 ,kj = k í , . . . , k n = k n . Por lo tanto si x es un elemento trascendente sobre K, la forma de escribir una expresión del tipo

a 0 + a] • x + . . . + a n • x n

con a 0 , . . ., a n en K (expresión polinomial) es única. La totalidad de expresiones del tipo (*) forman un anillo, que si x estrascendente sobre K, denominamos el Anillo de Polinomios enx con coefic ientes en K. Lo denotamos con K[x] . S i y es otroelemento trascendente sobre K los anil los K[x] y K[y] sonisomorfos. De aquí abstraemos la noción de anil lo de polinomios K[X], donde X representa un elemento trascendente genérico .

Una noción relevante en la teoría de polinomios es la deraíz de un polinomio. Para que un polinomio sobre un cuerpoK posea raíces, se construyen las llamadas extensiones algebraicas de K. Así aparece el cuerpo de números complejos, denotado por la letra C. C se construye a fin de encontrar raíces delpolinomio real X 2 + 1. Sin embargo, C resulta ser más rico delo esperado, pues se demuestra que rodo polinomio real degrado positivo posee una raíz en C. O sea, C es lo que se hadado en llamar, un cuerpo algebraicamente cerrado. Estas situaciones se estudian con la máxima generalidad en álgebra, demanera que desde ya, el lector debe pensar con un poco degeneralidad, para que sus conocimientos le rindan beneficiosfuturos. Dicho más claramente, no hay que pensar que el cuerpo C de números complejos es un conjunto de pares de números reales con ciertas operaciones sino, pensar que C es unaextensión de R donde los polinomios reales t ienen raíces. Estonos permitirá considerar, así, extensiones de los más variadoscuerpos. Esta idea de la generalidad, de no aferrarse demasiadoa las cosas es capital para estudiar álgebra (y matemática).

Este es pues el esquema del curso de Algebra que presentamos en forma de Notas en el texto. Las mismas son el resultado de la experiencia de cursos y apuntes que proceden delaño 1963, desarrolladas sistemáticamente en la Facultad deCiencias Exactas y Naturales de la Universidad de Buenos Aires

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PROLOGO A UN CURSO D E ALGEBRA I

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y en el Insti tuto de Matemática, Astronomía y Física de la

Universidad de Córdoba.Quisiera completar este Prólogo haciendo una disgresión

que se refiere al estudio de la matemática. Necesito aclarar, alrespecto, que en la actualidad existe la creencia de que, conbuenos textos, apuntes claros y clases magistrales se puedeaprender matemática. La realidad nos demuestra el error deeste concepto.

Es lamentable observar cómo mucha gente malgasta sutiempo estudiando esta disciplina con un mal método que sólo

conduce a la insatisfacción y la frustración. Generalmente secomienza un curso insistiendo en la necesidad de lograr no lamemorización sino el manejo de los conocimientos mediante laparticipación creativa, inquisitiva y en especial la ejercitaciónadecuada. Los alumnos lo aceptan con entusiasmo, pero rápidamente se abandona el trabajo en busca de la línea de menoresfuerzo, es decir la l ínea que conduce a obtener el t ítulo.

Divagación nostálgica: difícilmente se pueda estudiar cual

quier rama de la matemática actual sin un "manejo" algebraicorazonable. Usamos la palabra manejo y no la de "estudio",porque en matemática no es suficiente "estudiar" en el sentidocorriente de esta palabra. El álgebra está "metida" en toda lamatemática. Se podría decir grosso modo que la (mal llamada)matemática moderna consiste en la algebrización masiva de lallamada matemática clásica. Es bien conocida la utilidad delálgebra en la química y en la física, por "vía" de la teoría derepresentaciones de grupos. Pero eso ya resulta clásico; en la ac

tualidad hay partes del álgebra de insospechada importancia enfísica. Por ejemplo: la teoría de álgebras de Lie, en teoría departículas elementales. En general muchos capítulos del álgebrahan adquirido vigencia y aparecen inesperadamente despertando el interés de ecónomos, biólogos, estadísticos. Sinembargo, paradójicamente, en las mismas universidades, quím icos, ecó no m os, biólog os. . . plantean a los alum nos de esasdisciplinas la inutilidad de estudiar el álgebra (y la matemática).

El esquema tradicional de la escuela secundaria y de otras

ramas de la enseñanza universitaria, no son aplicables en matemática. No es fácil explicar esto, pero el estudio progresivo dela matemática lo conduce hacia su entendimiento. Estudiar engeneral significa m emo rizar una serie de cosas qu e con stitu ye nuna materia, para luego ser aplicadas "tal cual" . Por ejemplo,con muy buena memoria se podría ser un buen médico, un



NOTAS DE ALGEBRAJ

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abogado, pero no necesariamente un buen matemático. La ra

zón es clara, la matemática configura un mundo nuevo en cadainstante, un teorema plantea problemas, un problema resueltoplantea más problemas, la memoria no interesa. Lo que sirve esla capacidad de actuar, de hacer, de inventar. La matemática,desde lo más elemental hasta lo más complicado, requiere unaactitud creativa, de gran curiosidad, de observación, de "querer". Esa actitud está en relación con el manejo, es inútil saberuna cosa si no se sabe cómo utilizarla. Nuestra experiencia nosilustra la "falacia" del "entender una cosa". Uno cree siempre

que entiende un teorema, lo puede repetir, explicar, yconvencer a otros de que así sucede, pero no es así. Por ejemplo, el l lamado teorema fundamental de la aritmética aseguraque todo número entero distinto de — 1 , 0 y 1 se puede escribiren una única forma com o prod ucto de núm eros primos. Elalumno lo estudia, puede repetir su demostración, pero difícilmente lo entienda. Para probar esta afirmación es suficientecomprobar el esfuerzo que significa hacerle "ver" que igualdades del tipo

m2

= 2 • n2

m 2 = 1 5 • n 2

son imposibles en el campo de los números enteros, pues danlugar a factorizaciones en producto de primos estrictamentedistintas.

Otro ejemplo. Lograr que se adquiera en los cursos de Algebra Lineal la noción de independencia lineal resulta pormomentos, desesperante. La razón es siempre la misma, entra

dentro del esquema de esta divagación: no es cuestión de me-morizar una definición, sino de lograr su manejo por medio delejemplo y de la ejercitación, aunque siempre con plena participación.

Con el desarrollo tremendo de otras ramas del conocimiento que requieren el uso de ideas y de métodos matemáticos, se determina que no es cuestión de saber sino decomo utilizar esas ideas y métodos.

¿Cómo se debe estudiar (con mayúscula), para lograr ese

" m a n e j o " {feeling)?No es tarea fácil . Se debe disponer de un alto grado deconciencia, tratando de penetrar en las cosas y sin prisa. Aquellos que comienzan corriendo nunca llegan, como sucede en labanda de Móbius: no por mucho andar se l lega a ver la "otra"cara. Los resultados no se deben aceptar tan rápidamente,



PROLOGO A UN CURSO DE ALGEBRA I

es necesario lograr entendimiento y ejemplos propios. Laejercitación adquiere un valor fundamental, es allí donde desarrolla los músculos propios y descubre la verdadera comprensión. La consulta atinada de la bibliografía clásica mostrará lafuerza y la belleza de la matemática. Cito y rindo mi homenajea un gran libro en ese sentido: A course of puré mathematicsde G. H. Hardy, obra que me ayudó a entender qué es matemática. Finalmente, si se piensa que la matemática es palabramuerta remito al lector a la Hemeroteca de Matemática de suUniversidad (si la hay) para que descubra la cantidad impresio

nante de Revistas y Publicaciones Matemáticas de casi todos lospaíses del mundo, que muestran la cantidad fabulosa de matemática que se hace, mientras nosotros discutimos cómo y quéestudiar.

Courmayeur, Opus 732Enzo R. Genti le

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CAPITULO 0

I N T RODU C C I ÓN

A. Una breve disgresión

En este curso de álgebra (y en general en matemática) sehacen afirmaciones, se enuncian propiedades, se definen cosas,se hacen demostraciones, se dan ejemplos y "contraejemplos".Es claro que para que nuestra labor tenga un desarrollo feliz

debemos lograr que todas las formulaciones se hagan con lamáxima precisión.Es pues altamente deseable poseer un lenguaje que nos per

mita efectuar nuestras afirmaciones sin ambigüedades, con claridad y también economía.

Puede ser útil tomar un ejemplo para fi jar ideas.Tomemos el juego de ajedrez. El lector que estudie un poco

de matemática, notará que el esquema de juego del ajedrez esbastante análogo al esquema de trabajo en Matemática. Tablero,

fichas, corresponde a tener entes matemáticos (por ejemplo,puntos, recta s, co njun tos num éricos, func iones, m atrices, . . . )reglas de movimiento que corresponden a reglas válidas de razonamiento. Mover las piezas corresponde a "hacer matemát ica" (esencialmente: probar teoremas) .

Pero además, los ajedrecistas poseen una forma de escribirsus partidas

Esta si tuación es ideal . En matemática es muchísimo máscomplicado lograr un lenguaje general realmente útil y práctico.

1 P - R 4 1 P - R 4

2 C - R A 3

3 P - D 3 ?

2 C - D A 3

3 P - A 4

1



NOTAS DE ALGEBRA 1

2

Nosotros en este curso nos contentaremos con hacer uso dealgunos elementos de la lógica proposicional sin mayores pretensiones.

Antes de entrar a formalizar fi jemos la idea con algunassituaciones que se presentan a menudo al estudiar matemática.

Por ejemplo, en Matemática interesa saber negar una proposición dada. Así, si pedimos a varias personas no entrenadas enmatemática, negar la proposición: "En todo triángulo isósceleshay dos lados iguales", no es extraño que aparezcan respuestasdistintas.

Analicemos esta afirmación.En ella hablamos de triángulos y de triángulos isósceles (o

sea por definición con dos ángulos iguales).Si con un símbolo T denotamos genéricamente un triángulo

en un plano dado, nuestra afirmación es:

cualquiera sea T isósceles, existen en T dos lados iguales.

La negación es:

existe un T isósceles tal que no son iguales todos los paresde lados de T. . .

Otro ejemplo. Cuando se dice en Geometría que: "En untriángulo un lado es menor que la suma de los otros dos" seestá afirmando más precisamente lo siguiente:

"En todo triángulo, cualquier lado es menor que la sumade los otros dos" .

La negación de esta proposición es:

"Existe un triángulo y un lado del mismo que no es menor quela suma de los otros dos".

La negación de: "Todo número primo es impar" , es

"Existe un número primo que no es impar" .

Proponemos al lector negar la siguiente afirmación (tomadade Godement , Algebre):

"En todas las cárceles, todos los presos odian a todos los guardianes" .



INTRODUCCIÓN

Ejemplo: Veamos qué conclusión podemos sacar de las dos

afirmaciones siguientes (premisas):P j ) " S i un astro bri lla con luz propia, enton ces el astro es

una estrel la"

P 2 ) "U n astro (dado ) no es una estre l la".

Una conclusión es: "El astro (dado) no brilla con luz prop i a " . ¿S í? (Dé el lecto r algún argum ento , en favor de estaconclusión.)

Preg un ta: ¿Cuál será la negación de P ! ? P j ) dice más precisamente que: "Para todo astro, si brilla con luz propia, entonces es una estrel la" .

La negación será:

"Existe un astro con luz propia y que no es estrel la".

Ejemplo: Sea la afirmación: "Si un número entero es divisible por 6 entonces es divisible por 3".

Formemos la proposición: "Si un número no es divisiblepor 6 entonces no es divisible por 3".

Nos preguntamos si las afirmaciones anteriores son equivalentes (o si expresan la misma propiedad).

Notemos que decir: "Si un número entero es divisble por 6ento nce s es divisible po r 3 " se expresa más precisam ente as í:"Cualquiera sea el número entero, si es divisible por 6 entonceses divisible por 3".

Análogamente con la segunda proposición.

Uno sabe de la aritmética elemental que la primera afirmación es verdadera. La segunda en cambio es falsa. En efecto, elnúmero 3 no es divisible por 6, pero es divisible por 3.

Aquí se presenta una situación interesante de analizar ycorriente en matemática. Al afirmar: "Cualquiera sea el númeroentero, si es divisible por 6 entonces es divisible por 3", paradeterminar su validez necesitamos dar una "demostración".Cosa distinta ocurre con la segunda afirmación: "Cualquiera seael núm ero en tero , si no es divisible por 6 en ton ces no es divisible por 3". Esta afirmación es falsa, y la demostración de sufalsedad con siste en m ostrar lo que se denomina, un "c on tra ejemplo" (a esa afirmación). El número 3 es precisamente uncontraejemplo. Uno puede exhibir muchos más, por ejemplo,verifique el lector que todo múltiplo impar de 3 es contraejemplo a esa afirmación. De varios contraejemplos uno siempre

3



NOTAS DE ALGEBRA I

elige el "mejor", en este caso 3, entendiendo por mejor aquél

que resuelve la cosa con menor esfuerzo.Resumiendo, ante cualquier afirmación hecha en matemática caben dos cosas por hacer: dar una demostración o dar uncontraejemplo; la demostración no apela nunca a ejemplos particulares. La experiencia nos dice que los alumnos no ven engeneral la cosa muy claramente. Es típico y corriente ver cómoalgunos tratan de probar una afirmación "verificando" su validez en algunos casos particulares. Si tratamos de probar que siun número es divisible por 6 entonces lo es por 3, no es sufi

ciente dar (por muchos que sean), ejemplos donde esta propiedad se verifica, como podría ser dar

6 = 6 • 1 y 6

1 2 = 6 • 2 y 12

1 8 = 6 • 3 y 1 8

Una demostración es la siguiente. Recordemos que decirque un número entero a divide a un número entero b, significala existencia de un entero c tal que b = a • c. Por lo tanto, si bdenota un número entero, suponer que b es divisible por 6significa afirmar la e xistencia de un en tero c ta l que b = 6 • c .A h or a, c om o 6 = 3 * 2 p od em o s escrib ir

b = 6 • c = (3 • 2 ) • c = 3 • (2 • c )

y siendo 2 • c un número entero, hemos aprobado que b esdivisible por 3. Este razonamiento es válido para todo entero by constituye, pues, una demostración de la afirmación correspondiente.

Recordemos la famosa Conjetura de Fermat en Teoría deNúmeros. Fermat hizo la siguiente afirmación: "Para todo número entero n mayor que 2 no es posible encontrar enteros x,y , z tales que verifiquen la igualdad x n + y n = z n " . Como aúnno se sabe si la misma es verdadera o falsa, uno puede intentardos cosas, "demostrarla" o "dar un contraejemplo" . Lo primero parece más difícil , pues para lo segundo uno cuenta con laayuda de las computadoras. Nadie aún ha logrado ninguna delas dos cosas. Si uno hace la misma afirmación que Fermat,pero con n mayor o igual de 2, la cosa se resuelve por lanegativa. O sea, uno puede mostrar un contraejemplo a la afir-

4



INTRODUCCIÓN

m ación de Fe rm at, m ostrando para n = 2 enteros particulares

que verifican la igualdad. Por ejemplo3 2 + 4 2 = 5 2 .

Dejamos como ejercicio para el lector determinar, utilizando sus conocimientos de Aritmética, cuáles de las proposicionessiguientes son verdaderas:

aj) Si un número entero es divisible por 6 entonces es

divisible por 3.a 2 ) Si un número e ntero es divisible por 6 en tonc es no es

divisible por 3.

a 3 ) Si un núm ero enter o no es divisible por 6 ento nce s esdivisible por 3.

a 4 ) Si un núm ero entero no es divisible por 6 ento nce s noes divisible por 3.

a 5 ) Si un número entero es divisible por 3 entonces es

divisible por 6.a 6 ) Si un núm ero e ntero es divisible por 3 enton ces no es

divisible por 6.

a 7 ) Si un número entero n o es divisible por 3 e nton ces esdivisible por 6.

a 8 ) Si un número ente ro no es divisible por 3 en ton ces noes divisible por 6.

Demostremos un " teorema" . Sean s y t números naturaleí(com o ser 1 , 2, 3 , 4 , 5, . . . ) . Se t ienen s bolitas y t ho yo s.Supongamos las siguientes afirmaciones:

h1) Cada bo lita está en un ho yo

h 2 ) D os bolitas distintas no están en un mismo h oy o.

h 3 ) Cada hoy o contiene por lo menos una bolita.

h 4 ) s = t.

Tesis:

Si tres cualesquiera de las afirmaciones son verdaderas, lacuarta también lo es.

5

NOTAS DE ALGEBRA I

Demostración:

Debemos probar 4 casos:I ) que s i h i )y h 2 ) y h 3 ) son verdaderas, tam bién lo es h 4 ) .O sea, debemos probar que s = t, supuesto h t ) , h 2 ) , h 3 ) .h j ) y h 2 ) me dicen que el número de bolitas no supera el

número de hoyos (o sea s < t ) .h 3 ) me dice que el número de hoyos no supera al número

de bolitas, (o sea t < s).Por lo tanto s = t.

II) Que si hn), h 2 ) y h 4 ) son verdaderas, entonces h 3 ) , loes así. O sea debemos probar que dos bolitas distintas no estánen un mismo hoyo, supuesto hx), h 2 ) y h 4 ) .

Razonemos "por el absurdo". Negamos la tesis, o sea negamos h 3 ) . Esto significa que suponemos que "existe un hoyoque contiene ninguna bol i ta" .

Estando todas las bolitas en hoyos (por hj) se sigue de h 2 )

que hay mas hoyos que bolitas, o sea t > s. Pero esto contradice h 4 ) .La contradicción provino de suponer h 3 ) falso.Debe ser pues h 3 verdadero.

(NOTA: Es interesante observar que las hipótesis se usantodas.)

Dejamos a cargo del lector demostrar los dos casos restantes .

B) Lógica Proposicional

Se entiende por propoáción una sentencia con un únicovalor de verdad: V = verdadero, F = falso.

El sentido de "verdad" en una teoría matemática es el si guiente: una proposición P es verdad (o verdadera) si es unaxioma de la teoría o si es demostrable, por reglas válidas derazonamiento, a partir de los axiomas de la teoría.

O sea, brevemente, el sentido de verdad es el de "demost rab l e " .

Sean P y Q proposiciones. A través de los conectivos lógicos, " n o " , " y " , " o " se generan las s iguientes proposicionescompuestas :

6



INTRODUCCIÓN

—P = no PP A Q = P y Q

P V Q = P o Q

Los valores de verdad de estas nuevas proposiciones estándados por las tablas de verdad, reunidas en una. (V = verdadero , F = falso.)

p Q - P P A Q P V QV V F V V

V F F F V

F V V F V

F F V F F

Estas nuevas proposiciones están vinculadas por las impor

tantes leyes de De Morgan:

i P V Q ) = —P A —Q

i P A Q ) = - P V - Q

Por igualdad = debe entenderse que para cada asignación devalor de verdad a P y a Q , —(P V Q ) y —P A—Q poseen elmismo valor de verdad.

Análogamente con —(P A Q) y —P V Q, o sea la igualdadradica en tener la misma tabla de verdad.

Por e jemplo:

p Q P V Q ~ ( P V Q ) - P A —Q

V V V F F

V F V F F

F V V F F

F F F V V

Las leyes de De Morgan nos enseñan a negar correctamentela disyunción y la conjunción.

Así, la negación de " 4 es impar y 4 es p ri m o" es " 4 no esimpar ó 4 no es primo".

negaciónconjunción

disyunción

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NOTAS DE ALGEBRA I

La negación de "hoy es martes o hoy es feriado" es "hoyno es martes y hoy no es feriado" .

Una proposición compuesta que merece particular atenciónes —P V Q .

La misma describe una situación t ípica en matemática, elcondicional : "s i p entonces q" .

Escribamos su tabla de verdad:

p Q —P V Q

V V V

y F F

F V VF F V

Se observa que si —P V Q es V, entonces la validez de P"implica" la validez de Q.

Se la denota por

P => Q

y se lee también P implica Q.P se denomina el antecedente y Q el consecuente de la

conjunción. El lector observará el hecho que de ser P =» Q V nose infiere ninguna información sobre los valores de verdad de Py Q-

Sin em bargo P => Q es F si P es V y Q es F .Esta situación es satisfactoria en Matemática y en toda ciencia deductiva. Por ejemplo, las proposiciones siguientes sonverdaderas:

- 1 = 1 =* 1 = 1

- 1 = 1 => 2 = 0 .

En cambio la proposición

1 < 2 => 3 = 0

es falsa.La forma en que se uti l iza el condicional en Matemática es

la siguiente.

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INTRODUCCIÓN

A partir de una proposición P (verdadera o falsa) y utilizan

do reglas válidas de razonamiento, deducimos una proposiciónQ.

O sea, uti l izando la terminología matemática, deducimos Qde P.

Es evidente que de acuerdo con lo que significa una deducción, no puede un razonamiento matemático deducir una proposición falsa de una proposición verdadera. Sin embargo puedededucir una proposición falsa o verdadera de una proposiciónfalsa.

Por ejemplo, de 1 = —1 (F) elevando al cuadrado ambosm ie m br os , o b te n em o s 1 = 1 ( V ) .De 1 = — 1 , sumando 1 a am bos miembros obtenem os

2 = 0 ( F ) .Pero si la matemática no es una ciencia contradictoria jamás

probaremos 3 = 0 a partir de 1 < 2.Sigamos.Si ocurre que P => Q es V y además es P verdadera, enton

ces, observand o la tab la de verdad de P =* Q , se tien e qu e Q esverdadera.

Es esto una regla de inferencia, o deducción, que se denomina modus ponens y se simboliza por

P

PQ (Premisa 1)

(Premisa 2)

Q (Conclusión)

Entonces insistamos

P =* Q es V y

P es V

Otras denominaciones para la proposición P =* Q son

Si entonces Q es V

P, solo si Q

Q, si PP es condición suficiente para Q

Q es condición necesaria para P

Así, una condición necesaria (pero no suficiente) para que

9



SOTAS D E ALGEBRA I

1 0

un triángulo sea equilátero es que sea triángulo isósceles y unacondición suficiente (pero no necesaria) para que un triángulosea isósceles es que sea triángulo equilátero.

Ser divisible por 2 es condición necesaria para ser divisiblepor 6, pero no suficiente.

Ser divisible por 8 es condición suficiente para ser divisiblepor 4, pero no necesaria.

La proposición

P => Q A Q => PLa denotamos por

P - Q

y se denomina el bicondicional o equivalencia.La expresamos diciendo P si y solo si Q (brevemente P sii

Q) ó P es condición necesaria y suficiente para Q. Si P «• Q esV, entonces los valores de verdad de P y Q coinciden.

Decimos también que P y Q son equivalentes. La equivalencia es otra forma de expresar la igualdad como señalamosanteriormente. Por ejemplo las proposiciones

P =» Q y - Q =» - P

son equivalentes.Por lo tanto P =» Q y —Q =» —Q sen simultáneamente V o

F . Este hecho es útil pues nos permite trabajar a veces con una

u otra según nos convenga. Cuando al demostrar P => Q utilizamos su equivalente —Q => —P decimos que la demostración espor reducción al absurdo.

También es de uso corriente la noción de función preposicional (análoga a la de función en álgebra de conjuntos).

De un punto de vista estrictamente formal (general nonsen-se) podríamos decir que una proposición es una sucesión depalabras y símbolos asignable un valor (de verdad).

Una función proposicional, por otro lado, puede conside

rarse también, como una sucesión de palabras, símbolos y"va riab les" x , y , z, . . . Una fu nción proposicional se convierteen una proposición toda vez que se "especializan" todas susvariables, o sea dándole valores específicos.

Por ejemplo, dentro de la aritmética de los números naturales 1 , 2, 3 , 4 , . . . las siguientes exp resiones

INTRODUCCIÓN

a) x + 1 = 2 f) x 2 = y

b ) x + 1 = 1 g ) x < y

c) x 2 = 1 h) x • y = y • x

d) x = 1 i) x = z • y

e) x + y = 1 j ) x • (y • z) = (x • y ) • z

son funciones preposicionales.En sí no es posible darles en general un valor de verdad.

Pero sí, cuando a x, y, z le damos alguno de los valores 1, 2, 3,

Así, considerando a) se tiene por especialización las siguientes proposiciones:

1 + 1 = 2 V

2 + 1 = 2 F

3 + 1 = 2 F

Resulta natural denotar a las funciones preposicionales porF U ) , Q ( x ) , . . . P(x, y), Q(x, y) . . . P(x, y, z), Q(x, y, z) . . .

Podemos formar las funciones preposicionales compuestas:

- P ( x ) , P(x ) V Q (x ) , P(x ) A Q (x ) , P(x) - Q (x ) , . . .

IMPORTANTE: Una función proposicional P(x) puede convertirse en una proposición por

"part i cular izac ión" : Existe x , tal que P(x)y

"general izac ión" : Para todo x, P(x).

E n s í m bo l o s :

(3 x ) , P(x) : Ex is te x , ta l que P(x)

(V x) , Q(x) : Para todo x , P(x) .

Los símbolos 3 y V se denominan cuantificadores:

3 : existencial

V: universal.

1 1



NOTAS DE ALGEBRA I

Podemos "cuantificar" funciones preposicionales de variasvariables, por ejem plo ; P (x , y) da lugar a las siguientes propo siciones:

(V x) (V y) , P(x , y)

(V x) (3 y) , P(x , y)

(3 x ) (V y) , P(x , y )

(3 x ) (3 y ) , P(x , y )

Por ejemplo, haciendo aritmética (ordinaria) en el conjunto1 , 2, 3 , 4 y siendo P.(x, y ) la fun ción pro pos icional " x divide ay " , las proposiciones anteriores tienen respectivamente los valores de verdad F, V, V, V.

Importa también saber negar las proposiciones (V x), P(x) y( 3 x ) , P ( x ) .

Es claro que

- ( ( V x ) , P (x ) ) «• ( 3 x ) , - P ( x )

- ( ( 3 x ) , P ( x ) ) o ( V x ) , - P ( x )

1 2



C A P I T U L O I

N Ú M E R O S R E A L E SP R O P I E D A D E S D E C U E R P O O R D E N A D O

En la primera parte de este curso de Algebra I estudiaremospropiedades elementales de los número reales. Con la letramayúscula R denotaremos al conjunto de los números reales.

En R están definidas dos operaciones: suma y producto yuna relación de orden. Por suma entendemos que a todo par denúm eros reales a, b le está asignado un núm ero real llama do lasuma de a con b, e indicado a + b.

Por producto entendemos análogamente, que a todo par denúmeros reales a, b le está asignado un número real l lamadoproducto de a por b e indicado a • b .

Además, suma y producto satisfacen las propiedades S.l a D.Aclaremos que no nos interesa en este momento estudiar

específicamente los números reales, sino más bien una situaciónformalmente análoga a la de los mismos. A saber, nos interesa

un (el) conjunto R con (las) dos operaciones: suma y producto,una relación de orden y la lista de propiedades básicas (o axiomas) S. l a P.C.

En algún sentido puede ser útil adoptar un punto de vistaingenuo, que consiste en ignorar lo que se sabe de aritmética.Esto nos ayudará a asimilar otras estructuras algebraicas quegozan de propiedades formalmente análogas a la del ejemplopresente.

S . l Ley asociativa de la suma. Cualesquiera sean los números reales a, b, c, vale la igualdad:

a + (b + c ) = (a + b) + c

(y escribimos simplemente a + b + c).

1 3



NOTAS DE ALGEBRA 1

5 .2 Ley conmutativa de la suma. Cualesquiera sean losnúmeros reales a, b vale la igualdad:

a + b = b + a.

5 .3 Existencia de cero o elemento neutro de la suma.Existe un número real 0 tal que cualquiera sea elnúmero real a, es válida la igualdad:

a + 0 = a.

S . 4 . Inverso aditivo u opuesto. Cualquiera sea el númeroreal a, existe un número real a' , tal que es válida laigualdad:

a + a ' = 0 .

P . l . Ley asociativa del producto. Cualesquiera sean los números reales a, b, c, vale la igualdad:

a • (b • c) = (a • b ) • c

(y escribimos simplemente a • b • c ) .

P .2 . Ley conmutativa del producto. Cualesquiera sean losnúmeros reales a, b vale la igualdad:

a • b = b • a .

P . 3 . Existencia de identidad o elemento neutro del producto. Existe un número real 1, 1 ¥= 0 tal que, cualquiera sea el número real a, es válida la igualdad:

a • 1 = a.

P . 4 . Inverso multiplicativo. Cualquiera sea el numero reala distinto de cero (a ¥ = 0) , existe un número real a"tal que es válida

a - a " = 1 .

D . Ley distributiva del producto respecto a la suma.Cualesquiera sean los núm eros reales a, b , c, vale laigualdad :

1 4



NOTAS DE ALGEBRA I

Demostración

0 + 0* = 0

0 + 0* = 0* + 0

= 0 *

Por lo tan to 0 = 0 * .

T E O R E M A

0 + 0 = 0 , 1 * 1 = 1

Demostración

Puesto que S.3 es válida "cu alq uie ra " sea a G R , siendo 0elemento de R debe verificarse por particularización que 0 + 0 == 0. Análogamente P.3 permite obtener la igualdad 1 • 1 = 1 .

T eo rem a

Para todo par de números reales a, b existe un único número real x que satisface a + x = b.

Demostración

Sea a' tal que:a + a ' = 0 (S .4)

(hipótesis y particularización a = 0)

( S . 2 )

(S . 3 )

1 6

D e estas p ropiedades se. dedu cen o tras que seguramente

serán familiares al lector. Vamos a proceder a continuacióncomo si estuviéramos en la geometría donde, a partir de ciertosaxiomas se obtienen teoremas por medio de un juego puramente deductivo.

T E O R E M A

(Unicidad del cero) Si existe un número real 0* tal que,cualquiera sea el número real a es válida la igualdad a + 0* =

= a, entonces es 0 = 0* .



NÚMEROS REALES. PROPIEDADES DE CUERPO ORDENADO

t o m em o s

x = a ' + b (1 )entonces x verifica

a + x = b.En efecto

a + (a ' + b) = (a + a ' ) + b ( S . l )

= 0 + b (S .4)

= b (S . 3 )Esto demuestra la parte del teorema relativa a la existencia.

Analicemos ahora la cuestión de unicidad.Supongamos ahora que también exista y € R tal que

Se t iene

a + y = b . (2 )

x = 0 + x (S .3 y S . 2 )= (a .+ a ' ) + x (S .4 )= (a ' + a) + x (S .2 )= a ' + (a + x ) ( S . l )= a' + b= a' + (a + y)= (a ' + a) + y ( S . l )= (a + a' ) + y (S .2 )= 0 + y= y + 0 (S .2)= y

y así x = y, la unicidad pedida.

NOTA 1

La afirmación del teorema precedente la expresamos tam

bién diciendo que la ecuacióna + X = b

a y b en R, X un signo indeterminado (o incógnita) admiteúnica solución en R.

17



NOTAS DE ALGEBRA I

NOTA 2

Util izando este teorema probemos nuevamente la unicidaddel 0 . Si 0 € R satisface S.3 e nton ces

0 + 0 = 0 ( S .3 )

0 + 0 * = 0 (S .3 para 0 * )

Puesto que la ecuación

0 + X = 0

tiene única solución en R y 0, 0* son soluciones, debe ser 0 == 0 *

COROLARIO

Dado cualquier número real a existe un único número reala' tal que a + a' = 0.

Demostración

Resulta de aplicar la demostración anterior al caso b = 0.

Notación

A l ún ico núm ero real a ' que verifica a. + a ' = 0, lo nota

remos —a y en lugar de escribir b + (—a) escribiremos, parasimplificar, b — a.

T E O R E M A

(Propiedad cancelativa)

a + b = a + c implica b = c .

Demostración

Sea d = a + b = a + c . Por el teorem a anterior existe unúnico x tal que:

1 8




0 a = b si y solo si a — b = 01 Si a + a = a, ento nce s a = 0 (Sug. a + a = a + 0)2 a = - ( - a ) (S u g. ( - a ) + a = 0 = ( - a ) + ~ ( - a ) )2 ' a = b si y solo si —a = —b3 0 = - 0 (Sug . 0 = 0 + 0 , 0 = 0 + ( - 0 ) )4 a • 0 = 0 (Su g. use D. y el hec ho 0 + 0 = 0 )

5 si a =É 0 ento nce s —a 06 - ( a + b ) = ( - a ) + ( - b ) = - a - b7 a + b = a - ( - b )8 ( - a ) • b = - ( a • b) = a • ( - b )

NOTA: Se sigue de 8 que no hay ambigüedad al escribir—a • b en lugar de —(a • b ) . El — puede afectar indistintamentea a o al producto a • b .

9 ( - 1 ) • a = - a10 (—a) • (—b) = a • b (Regla de los signos)1 1 ( - a ) • ( - b ) • ( - c ) = - ( a • b • c)12 a • (b — c) = a • b — a • c13 (a + b) • (c + d) = a • c + a • d + b • c + b • d

1 9

a + x = d

puesto que

a + b = dy

a + c = d

invocando la unicidad, b = c, con lo cual queda probado elteorema.

También son válidas las siguientes propiedades, cuya demos

tración se deja a cargo del lector.A continuación enunciamos una serie de propiedades válidasen R, consecuencias de las propiedades S.l a D y de los teoremas que acabamos de probar.

Dejamos la tarea de demostración para el lector, previniéndolo de no usar sino lo estrictamente necesario y siempre loque se demostró. En esta parte hace falta que ignore en algunamedida las propiedades de R que aprendió en la escuela secundaria.

Esta ejercitación es muy formativa, y la recomendamosmuy especialmente.



NOTAS DE ALGEBRA I

Ejemplos

Demostración de 9

E s a + ( - 1 ) • a = 1 • a + ( - 1 ) • a = [1 + ( -1 ) ] v a == 0 • a = 0 = a + ( - a ) ;

De aquí resulta, por razones dé unicidad (—1) • a = —a.

Demostración de 12

a (b — c) = a [b + (—c)] = a • b + a • (—c) = a • b + (—a) • c == a • b — a • c .

Notación

Supónga se b # 0 , l lam arem os a/b tam bién al núm ero

real a - b - 1 . En particular b - 1 = 1 • b - 1 = .b

Las siguientes propiedades son también válidas entre losnúmeros reales:

2 0

Notacióna 2 = a • a

14 (a + b) • (a - b ) = a 2 - b 2

15 Si a • b = 0 entonces a = 0 o b = 016 Si a 2 = 1 entonces a = 1 o a = —117 Si a 0 y a • b = a • c entonces b = c18 Para todo- par de núm eros reales a, b tales que a 0 ,

existe un único número real x tal que a • x = b

En particular, si b = 1 resulta la unicidad del inverso multiplicativo de cualquier nú mero real a # 0, que nota rem os a - 1

1 9 1 = I " 1 y - 1 = ( - I ) " 1

20 Si a ¥ = 0 entonces a - 1 # 0 y ( - a ) - 1 = - ( a - 1 )21 Si a ^ 0 entonces a = ( a - 1 ) - 1

22 Si a y b son dos núm eros reales a 0 ¥ = b entonces :

(a • b ) -1

= a -1

• b "1

NÚMEROS REALES,PROPIEDADES DE CUERPO ORDENADO

2 3 Si b 4=- O enton ces 0/b = 02 3 ' ± - = bi2 4 Si b 4 0 y d 4 0 entonces: a/b = c/d si y solo si

a • d = b • c2 5 S i b ^ O y d ^ O en to n ces : ( b / d ) - 1 = d/b2 6 S i b ^ O y d ^ O en to n ces: a/(b/d) = (a • d)/b27 Si b 4= 0 entonces: —(a/b) = (—a)/b = a/(—b);

(-a)/(-b) = a/b2 8 S i b ^ O y d ^ O en to n ces : (a/b) • (c/d) = (a • c)/(b • d)

29 Si b 4 0 ; d 4 0 y a/b = c/d, entonces:(a + b)/b = (c + d)/d; (a - b)/b = (c - d)/d

(a + b)/(a - b ) = (c + d)/(c - d ) si (a - b ) 4- 0 4 (c - d)

a/b = (a + c)/(b + d ) , si (b + d ) # 0

30 S i b ^ O y d ^ O entonces(a/b) ± (c/d) = (a • d ± b • c)/(b • d)

Veamos algunas propiedades del orden.

Notac ión

Cuando queramos indicar que un número real x es menor oigual a un núm ero real y , escribirem os x < y , o tam bién y > x .Así x < x cualquiera sea x en R.

T E O R E M A

I) 0 < a si y solo si —a < 0

II) 0 < 1

II I) 0 < a si y solo si 0 < a - 1

IV ) a < b y c < d implican a + c < b + d

V ) a < b si y sólo si —b < —a

Demostración

I ) Si 0 < a, 0 + (—a) < a + (—a) es dec ir —a < 0

Si —a < 0 , —a + a < 0 + a es decir 0 < a.

2 1

NOTAS DE ALGEBRA I

I I ) Por (P .3 ) , 1 # 0, supongamos que 1 < 0, entonces por(I) es (—1) > 0 y por P.C resultaría 1 • (—1) < 0 • (—1) es decir—1 < 0 , absurd o, luego 1 > 0 .

III) Sea 0 < a y supongamos a - 1 = 0 entonces a ~ 1 • a == 0 • a de donde resulta 1 = 0 , absurdo .

Sea 0 < a y supongamos a - 1 < 0, por P.C es entoncesa - 1 • a < 0 • a es decir 1 < 0 absurdo.

Luego debe ser a - 1 > 0 .

Recíprocamente, sea 0 < a~1

, entonces es 0 < ( a- 1

)— 1

pero (a — 1 ) - 1 = a, es decir 0 < a.

IV) a < b implica a + c < b + cc < d im plica b + c < b + d y por 0 .2 (L ey de

Transitividad) resulta lo dicho.

V) a < b implica (sumando —a) 0 = a + (—a) < b + (—a)y sumando —b resulta —b < —a.

Re cípro cam en te —b < —a implica por la primer parte—(—a) < — (—b) o sea a 03 3 0 < a y 0 < b im plican 0 < a • b34 a < b y c < 0 im plican b • c < a • c3 5 S i 0 < a y 0 0

38 No existe ningún núm ero real x tal que x 2 + 1 = 039 Probar que s i a E .R , a 4 0, entonces a 2 + 1/a 2 > 2 y hay

igualdad si y sólo si a = 1 ó a = —1.(So l . 0 < (a - 1/ a) 2 = a 2 + 1/a 2 - 2 , por lo ta nt o 2 <

< a2

+ 1/a2

a 2 + 1/a 2 = 2 si y sólo si (a — 1/ a) 2 = 0 .Por lo tanto si y sólo si a = 1/a, o sea a 2 = 1, o sea a = 1ó - l ) .

40 Sean a, b , E R tales que 0 < a, 0 2. Además a + b = 2 si y solo si a = b = 1.

2 2

NÚMEROS REALES.PROPIEDADES DE CUERPO ORDENADO

(Sol . Notar que b = 1/a; (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2 = a 2 +

+ 1/a 2 + 2 > 2 + 2 = 4 = 2 2 . Puesto que 0 < a + b, resulta a 4- b > 2. Para la segunda parte usar 39.)

41 No existe ningún z € R tal que x < z, cualquiera sea x G R(o sea R no posee ninguna cota superior).

Una idea intuitiva muy fecunda, seguramente familiar allector, es la de representación de números reales sobre unarecta.

Por esto se entiende:

1 . A todo número real t le está asignado uno y sólo unpunto P t de la recta.

2. Para todo punto P de la recta existe un número real u,tal que P = P u .

3 . Si t y u son números reales tales que t < u, entonces P t

está a la izquierda de P u .Toda representación de R en una recta la l lamamos "recta

r e a l "

En general , al "dibujar" una recta real por abuso de notación se indica cada pun to de la vecra simplem ente con t :

0 o — — t < u|

Valor absoluto en R:

El conjunto R dotado de las operaciones de suma y producto y de la relación de orden <, conjuntamente con S. l a P.Cexpresan la propiedad de ser R un cuerpo ordenado.

En virtud de la relación de orden los elementos de R seclasifican en tres tipos:

0 < r núm eros positivos; 0 = r cero r < 0 núm eros negativos

La tricotomía nos asegura que un número real es de uno ysólo uno de los t ipos precedentes.

Sean

2 3

NOTAS DE ALGEBRA I

R > o = { r/r G R y O < r } (= reales positivos)

R > 0 = { r/r G R y 0 < r } (= reales no ne gativ os).

Es claro que

R > o = R > o U { 0 } .

Vamos a definir, en forma natural , una aplicación

R -*• R> oque denotaremos por

r - > |r|

y l lamaremos valor absoluto.

Definición

|r|

A sí

r si r G R > 0

•r si r < 0

IOI = o , m = i , i - i i = i .

En la proposición siguiente reunimos propiedades importantes del valor absoluto.

Proposición

I ) |r| = 0 si y so lo si r = 0

I I ) |r| = |-r¡

I I ' ) |a - b| = |b - a|

III) |r2 | = r 2

IV) |r • s| = |r| • |s|

V ) r # 0 implica | r _ 1 1 = I r p 1

V ) s =É 0 implica| r |

2 4

NÚMEROS REALES.PROPIEDADBS DE CUERPO ORDENADO

V I) -| r| < r < |r|VII) —jaj < r < |a| si y solo si |r| < |a|

V II I) Desigualdad triangular: |a + b| < | a l + b l

IX) |a — bl > IIa| - |b||

Demostración

Probaremos solamente V II ) , V III ) y I X ) . Dejam os las restantes demostraciones, a cargo del lector. Le recomendamos hacercuidadosamente todas las demostraciones, sin prisa. Se trata deun trabajo muy formativo.

Pasemos a probar VII )

=*•: si 0 < r entonces |r| = r, por lo tanta r < |a| implica|r| < |a|

si r < 0 entonces |r| = —r, — |a| < r implica |r| = —r < |a|

<=: Por VI )-|r| < r < |r|, p or lo ta n to -| a| < -|r| < r < |r| < |a|

Demostración de VIII )Se t i ene :

-|a| < a < |a|-|b| < b < |b|

y sumando—(|a| + | b | ) < a + b < |a| + |b|

y por VII) resul ta:

|a + b| < lla| + |bll = |a| + |b| c .q .p .

IX) En virtud de VII) |a| = |a - b + b| < |a — b| + |b|

o sea| a | - | b | < | a - b | ( 1 )

Análogamente probamos|b| - |a| < Ib - a| ( 2 )

25

NOTAS DE ALGEBRA I

sulta:Pero , por I I I ) , |a — b| = |b - a| por lo tanto de (1) y (2) re--| a - b | < |a| - |b| < la — b|

Utilizando VII) se tiene

Ib| < la - b |

E j em p l o :

Veamos en qué caso de la desigualdad triangular vale laigualdad, o sea para qué valores de a y b, reales

|a + b| = |al + l b l . (* )

Si a = 0 ó b = 0, esto ocurre. También es fácil ver que hayigualdad si a y b tienen el mismo signo. Probaremos recíprocamente que si (*) se cumple para pares a, b de reales no nulosentonces a y b poseen el mismo signo. ¿Cómo podremos expresar que a y b tienen el mismo signo?

A s í :

a Ó y b # 0

tienen el mismo signo si y sólo si a • b > 0 o equivalentementesi:

a • b = [a - b| = |a| • |b|.D e

|a + b| = |al + Ibl

resulta, elevando al cuadrado

|a + b| 2 = |a|2 + lb|2 + 2 • |a| • |b|. (**)

Pero notemos que si x G R entonces 0 < x 2 , por lo tanto

X 2 = |x2 | = |x » x| = |x| • |x| = |x|2 .

Aplicando ésto a (**) resulta

a 2 + b 2 + 2 • a • b = (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2 • |a| • |b|

2 6




y cancelando

a • b = la| - |b|

como queríamos probar.Otra demostración: Sean a, b e R, a =A O y 0. Vamos a

probar que

|a.+ b| = |al + Ibl

Se t iene:

signo (a) = signo (b).

la + b| |a| + |b|

O sea:lal

a + b

a= 1 +

Ib|

b b1 + — = 1 +

a aPara simplificar la notación escribamos: z =Entonces z ¥ = 0 y

|1 + z| = 1 + |z|

Eleva ndo al cuadrad o re sulta |1 + z|2 = 1 + |z|2 + 2 |z|.Pero en general: |a21 = a 2 cualquiera sea a e R, por lo tanto

(1 + z ) 2 = I + z 2 + 2 |z|

1 + 2z + z 2 - 1 + z 2 + 2 |z|

y simplificando resulta:

z = |z| > 0O sea

— > 0, por lo tan to signo (a) = signo (b ).a

Como quer íamos probar .

27



NOTAS DE ALGEBRA 1

E j em p l o :

Sean a y b números reales positivos tales que a + b = 1,en ton ces vale la desigualdad (* )

2 5

( a + a " 1 ) 2 + ( b + b - 1 ) 2 > — ( 1 )

((Notemos que por el ejercicio 40, a + a - 1 > 2, con loque el primer miembro es (según esta información) mayor oigual que 8. En el ejemplo presente se mejora pues, esta cota

inferior. Podemos ver también que la cota •—- es "la mejor".En efecto para a = b = — , — + — = 1 . . .

2 2 2

( 2 + 2 - 1 ) 2 + (2 + 2 " 1 ) 2 = (4 + 2 + \ ) + (4 + 2 + -\- )

= 12 + - i - + -L4 4

'= 12 +2

_ 2 5

Desarrollando el primer miembro de (1) resulta

1 " - " 1 • + 2 = 4 + | — + — | + ( a 2 +( 2 )

a> + ^ _ + 2 + b 2 + _ J _ + 2 = 4 + + ( a > + b > )

Acotaremos los dos paréntesis de la derecha.Notemos que

y análogamente

Por lo tanto

1 _ a + b _ _a_ +

b b " T +

a a

a 2 a 1—— + 2 + 1 = — rb 2 b b 2

( * ) T a k e n f o r m H a r d y ' s : P u r é M a t h e m a t i c s , a h lg b l y l e c o m m e n d e d b o o k f o tt h o s e w h o e n j o y M a t h e m a t i c s .

2 8

y análogamente

b 2 b 1— + 2 + l = _ _

a 2 a a 2

y sumando miembro a miembro resulta:

1 1 / a 2 b2\

( T + T ) + 2 > 2 + 2 - 2 + 2 = 8

(según el ejercicio 40).Por otra parte

0 < (a - b ) 2 = a 2 - 2 a • b + b 2

implica

2 a b < a 2 + b 2

1 = a + bimplica

1 = (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2a • b < 2 (a 2 + b 2 )

1 < 2 (a 2 + b 2 ) o sea a 2 + b 2 > - i -

En definitiva, de (1) y (2) y de las cotas halladas resulta:

(a + a "1

)2

+ (b + b_ 1

)2

> 4 + 8 + - i - =

E jerc i c ios :

0) Operar en R

9 ) - ( a - b )u ) ( - a ) • ( - b + c )

e) 1 - (1 - (1 - (1 + 1 )) )

f) (a - b) • (b - a)

v ) ( - a + 1 ) - ( - a ) • (a + 1)

1) ( -a ) • ( - a + a (1 - a ) )

o ) - ( a - ( - a + 1 ) )



NOTAS DE ALGEBRA I

3 0

I) Determinar para qué números reales a, b, c las expresiones formales siguientes definen elementos de R:

H l / a + l / b ( S o l . a 4 0 y b ¥= 0)

ID l/(a - c) + l/(b • c) (S o l . a = £ c y b = É 0 y c * 0 )

III ) l/(a + b + c ) + l/(a - b + c)

1IV ) 1 + 1/(1 + 1/a) o sea 1 +

1 + —

aV) 1 + l/(a + l/(b + 1/c))

V I) (1/a + l/b)/(a - b )

II) Simplificar las expresiones en I) l levándolas a la forma x/y.

I I I ) I ) Expresar en su forma más simple:

x 2 /(x — y ) + y 2 /(y — x ) x , y e R , x y

II ) Expresar en su forma más simple:

a/(a - b ) + b/(b - a ) a, b e R , a * b .

I I I ) Simplificar:

(P + Q)/(P - Q ) - (P - Q)/(P + Q )

donde P = x + y , Q = x — y . D eterm inar para qué valores d ex, y e R la expresión anterior define un elemento de R.

IV ) Simplificar:

( a - b 2 / ( a + b ) ) - (a + b 2 / ( a - b ) ) .

V ) Simplificar:

(x/y + y/x) • (a/b + b/a) - (x/y - y/x) • (a/b - b/ a).

V I) Simplificar:

( 1 - x ) / ( l + x + x 2 ) - ( 1 + x )/( l - x + x 2 ) .

NÚMEROS RE ALES. PROPIEDADES DE CUERPO ORDENADO

VII ) Simplificar:

(a + b)/(a + b + l/(a - b + l/(a + b) ).

IV) Para qué valores de a G R están definidas las expresiones siguientes:

Luego simplificar las mismas:

I ) (a 2 - a _ 1 ) / ( a + a - 1 + 1 )

II)- (a - I ) " 1 + (a + I ) - 1

I I I ) a + l/(a + (1 + a)/a)

V) Sean x, y e R. Si x < y probar la siguiente desigualdad

(x + y)x < < y .

VI) ¿Cuáles son las propiedades esenciales que permitendem ostrar qu e si a + a = 0 e nto nce s a = 0? ¿Es posible lograruna demostración uti l izando solamente S. l a D.?

VII) Existe a G R con la propiedad siguiente:¿Para todo x G R es a < x?

VIII) ¿Cuáles de las afirmaciones siguientes son verda

deras?I ) a 2 = b 2 => a = b

I I ) a 2 = b 2 => a = - b

I I I ) a 2 = b 2 => a = b o a = --bIV ) a 2 = b 2 =*• a = b y a = --b

V ) a 2 = b 2 => a 3 == b 3 (Nota : a 3

V I) a 2 = b 2 => Ia| = Jb|

a 2 • a)

IX ) a) Existirán a, b G R tales que

1 1 1+ ?a + b a b

3 1

NOTAS DE ALGEBRA I

+ 1 > 0.b 3 b 2 b

X ) Analizar la validez de la siguiente de m ostra ción :

T E O R E M A

Para todo a e R, a = 0.

Demostracióna 2 = a 2

a 2 — a 2 = a 2 — a 2

(a — a) • (a + a ) = a (a — a)

a + a = a

a = 0.

X I ) Analizar la validez de la siguiente d em ostra ción :

T E O R E M A

Para todo a e R, 0 < a.

Demostración

0 < 1

0 • a < 1 • a

0 < a.3 2

b ) S ea n a , b e R > o - P ro ba r q ue

a 4 b— > 4 (No ta: 4 = 3 + 1 = (2 + 1 ) + 1)

b a

c) Sean a, b G R> 0 . Probar que

a 3 a 2 a

NOTAS DE ALGEBRA I

V I) (1 - - a) + a V II) a/(l + a) V III ) (a + l )/(a - 1)

X V I ) I ) Probar si a, b, c, d 6 R, la desigualdad

(a • b + c • d ) 2 < ( a 1 + c 2 ) • ( b 2 + d 2 ) .

(Sug. desarrolle "formalmente" la desigualdad precedente afin de encontrar la idea de la demostración.)

I I ) Sea a G R — { 0 }. Proba r que ex isten x , y G R

— { 0 } tales que a = x2

— y2

iXVII) Sean a y b reales posit ivos. Probar

I ) a 2 (R es p. R - { 0 } ) (

I I ) a 2 - 1 (Resp. { a < - 1 } u { 1 < a }

III) a 2 + 1 I V ) - a V ) - ( 1 - a )

•1 0( )1

I) a/b + b/a > 2 (sug. usar 4 0 )

I I ) (1/a + 1/b) • (a + b) > 2 2 = 4

III) Si a + b = 1 entonces a 2 + b 2 > -\ =

IV ) Probar que si a + b = 1 entonces

2 " 1

(•i - I ) - ( ^ - 1 ) = 1 .

X V III ) Exist irá a G R

I) tal que 1 —1

1 +a

II ) tal que 1 —

X IX ) I ) Probar que en R : a 3 = 1 si y solo si a = 1

3 4

XV) Para qué valores de a G R se obtienen números realespositivos en cada una de las situaciones siguientes. Se pide representar los valores obtenidos, sobre la recta real.

II) Deducir que si a, b G R , a 3 = b 3

I I I ) Sean x , y , z G R > 0 . Probar que

implica a = b

1 1 1( x + y + z ) ( — + — + — ) > 9

x y z

¿Puede generalizar esta desigualdad?

IV) Sean r, a G R , 0 < a. Probar qu e r — a < r.

V) Sea a G R. Probar que a + |a| > 0. ¿En qué casovale la igualdad?

VI) Sean a y b G R tales que |a| > b y |a| > —b. Probar que |a| > |b|.

VII) Probar,s i a £ R, que |a| < 1 si y solo si —1 < a < 1 .

VIII) Completar la afirmación |a| = |b| si y solo si . . .

IX) Sean a, b, c G R > 0 .P ro b ar que s i a + b + c = l

entonces (- i — 1) • (-J- — 1 ) • (-J- — 1 ) > 8

Demostrar esa afirmación.

X X ) I ) S ean x , y números reales positivos con x < 1 < y .Probar que

X ' y + l < x + y

II) Sean x, y , z número reales positivos tales quex • y • z = 1 . Probar qu e

XXI) Sea f(x) una función proposicional predicable sobreR (o sea, los valores de x varían en R). Recordemos que a f(x)podemos asociar las proposiciones (o sea sentencias con valorde verdad definido)

x + y + z > 3 .

( V x ) , f ( x )(a x ) , f ( x )

para todo x , f (x)existe x tal que f(x)

Estas proposiciones admiten las siguientes negaciones:

3 5

NOTAS DE ALGEBRA I

—(V x ) , f ( x) equivalente a ( 3 x ) , — f(x)

y

—(3 x ) , f (x ) equivalente a (V x ) , — f(x)

respectivamente.

E j em p l o :

- [ ( V x ) , x 2 = 0 ] ~ ( 3 x ) , - ( x 2 = 0) «• (3 x) , x 2 # 0 .

Analizar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

v) ( a x ) , 3 « x — 2 = — 4 - x + l

o ) ( a x ) , x 2 + x + 1 = 0

n) (V x ) , (x - 1) • (x + 1) = x 2 - 1

d ) ( U x ) , x 2 + 1 > 0

e) (V x) , x 2 + 3x + 2 = 0m ) (a x), x = —x

s) ( 3 x ) , x 3 + 6 x 2 + 11 x + 6 = (x + 3) • (x + 1)

ü ) ( V x ) , x + x = 0

ss) ( V x ) , x . x - 1 = 1

en) ( V x ) , [ ( a y ) , x 2 + y 2 = ( x + y ) 2 ]

L ) ( V x ) , [ ( V y ) . x + y = y + x ]i) ( V x ) [ ( V y ) , x + y = 0 ]

e b) ( 3 x ) , [ ( V y ) , x + y = 0 ]

c ) ( V x ) , [ ( 3 y ) , x < y ]

hen ) ( V x ) , [x > 0 •* ( 3 y ) , 0 < y < x ]

m e ) ( V x ) , [ ( 3 y ) , x • y = 1]

in) ( V x ) , [ ( a y ) , x = y2

]y a) ( V x ) , [ x # 0 •* (ay),x- y = 1]

pa) (V x) , [ (3 y) , y # x y x 2 = y 2 ]

3 6

CAPITULO II

N Ú M E R O S N A T U R A L E S

Conjuntos inductivos y números naturales

En R hemos distinguido dos elementos, a saber: el 0 y el 1.Operando con el 0 por la suma no logramos nada nuevo

0 + 0 = 0.

No ocurre lo mismo con el 1. Por ejemplo 1 + 1, quehemos indicado con 2, es un número real distinto de 1.

E n e fec t o ,

0 < 1 im p lic a 0 + 1 < 1 + 1 o sea 1 < 2 .

Por este proceso de sumar 1, a partir del 1, podemos obtener sucesivamente los números

2 + 1 que escribim os 2 + 1 = 3






8 + 1 que escribimos 8 + 1 = 9

Con nuestro tradicional (sistema decimal) designamos alsiguiente de 9, o sea a 9 + 1, con 10.

37



NOTAS DE ALGEBRA I

9 + 1 = 10

1 0 + 1 q ue esc rib im o s 10 + 1 = 111 1 + 1 q ue esc rib im o s 11 + 1 = 12

1 9 + 1 q ue e sc rib im o s 1 9 + 1 = 2 0

La enumeración seguiría así

20 30 40

21 3122 32

23 33

24 3425 35

26 3627 37

28 38* 29 (o jo ) * 39

Nuestra notación (decimal) consiste en utilizar los números0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, para designar los números construidos a partir de 1 por el proceso de tomar el siguiente "x + 1".

La regla para escribir el siguiente de un número es agregar 1a la primera cifra (de la derecha). Si ésta es 9 se coloca 0 y sesuma 1 a la segunda cifra (de la derecha), etc.

Por e jemplo:

1 0 9 8 7 + 1 1 0 9 8 81 0 9 8 8 + 1 = 1 0 9 8 91 0 9 8 9 + 1 = 1 0 9 9 01 0 9 9 8 + 1 = 1 0 9 9 91 0 9 9 9 + 1 = 1 1 0 0 0

110Ó0 + 1 = 1 1 0 0 11 9 9 9 9 + 1 = 2 0 0 0 0

Podemos uti l izar otros sistemas de numeración. Por ejemplocon dos símbolos 0, 1 entonces la enumeración es

3 8



NÚMEROS NATURALES

1 *

1 01 1 *

1 0 01 0 1 *1 1 01 1 1 *

1 0 0 0

Es el sistema diádico.Con tres símbolos 0, 1, 2, la enumeración es

12 *

1 01 11 2 *2 02 12 2 *

1 0 0

Es el sistema triádico.Podemos uti l izar sistemas de más de 10 símbolos. Por ejem

plo un sistema con 11 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, &.

EL & oficiaría de 10 o sea siguiente de 9, del sistema decimal.La enumeración sería entonces:

1 122 1 33 1 44 1 55 1 66 177 1 88 1 9 *

9 1&

3 9



NOTAS DE ALGEBRA I

& *

101 1

2 0

Así el siguiente de:

2& es 3 0

1 0 0& es

Análogamente podemos considerar el sistema duodecimal,con 12 símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, &, $.

E jemplo

Enumeración en el sistema de base 12.

1 - 2 - 3 - 4 - 5 ~ 6 - 7 - 8 - 9 - & - $ - 1 0 - 1 1 -12 - 1 3 - 14 - 15 - 1 6 - 17 - 1 8 - 19 - 1& - 1$ - 2 0 -21 - 2 2 - 23 - 2 4 - 2 5 - 26 - 27 - 28 - 29 - 2& - 2 $ -30 - . . .

El s iguiente de 12&9$& es 12&9$$

d e 1 2 & 9 & $ e s 1 2 & 9 $ 0

d e & $$ es $0 0 .

Ejercic io

Escribir dado a su siguiente a + 1 en el sistema de numeración de base s.

a a + 1 s

1 0 1 0 1 0 1 1

1 2 1 1 2 0 0 14 3 4 3 0 2 3 41 0 1 9 1 9 0 91 0 1 9 1 9 0 91 & 1 & 1 0 9 8

2

35

1 01 111

4 0



NÚMEROS NATURALES

A partir de los elementos de N podemos fabricar otros

números reales.Por ejemplo, dados n y m en N podemos construir

—n, n/m, (—n)/m

obtenemos así números como

- 1 , - 2 , - 6 , 1 /3 , 2 /5 , 4/ 7, - 7 / 5 , 1 1 / 3, - 2 / 3 .

Veamos cómo operar con el los .

3 + ( - 2 ) = ( 1 + 2 ) + ( - 2 ) = 1 + (2 + ( - 2 ) ) = 1 + 0 = 1

( - 2 ) + ( - 3 ) = -i2 + 3 ) = - 5

2 + ( - 3 ) = 2 + ( - ( 2 + 1 ) ) = 2 + ( ( - 2 ) + ( - 1 ) ) = (2 ++ ( - 2 ) + ( - 1 ) = 0 + ( - 1 ) = - 1

o también

2 + ( - 3 ) = - ( ( - 2 ) + 3 ) = - ( 3 + ( - 2 ) ) = - ( 3 - 2 ) = - 1

2 3 - 5 = ( 1 8 + 5 ) - 5 = 18 + (5 - 5) = 185 - 2 3 = - ( 2 3 - 5 ) == - 1 8( - 2 ) • 3 = - ( 2 • 3 ) = - 6( - 2 ) • ( - 3 ) = 2 - 3 = 6

1/2 - 1/3 = (1/2 + ( -( 1 / 3 )) = 1/2 + ( - l )/3 =

= ( 3 + ( - 1 ) • 2)/6 = ( 3 - 2)/6 = 1/6- ( 1 / 2 ) + 1/3 = - (1 / 2 - 1/3) = - 1 / 6

(NOTA: no hay ambigüedad al escribir —1/6 pues (—1)/6 == - ( 1 / 6 ) . )

E jercic ios

1 . Calcular justificandoI ) - 7 + 5 , - 5 + 1 2 , - 7 + - 8 , - 8 + 9 , 2 - 9

I I ) 2 • - 7 , - 8 • - 6 , - 5 • - 1 , 5 • - 3 , - 8 • 9

II I) 2/3 + 3/5, 2/3 - 3/5 , 3 + 1/4, 7 + 3/2, 4/5 - 1

4 1

NOTAS DE ALGEBRA 1

2. Ordenar las siguientes fracciones según la relación de

orden en R 1/2, 1/3, 2/5, 5/8, 9/10, 11/12, 6/7.

3 . Caracterizar los siguientes conjuntos de números reales.

I) { x/2x + 4 < 5x + 2 }

(Sol . 2x + 4 < 5x + 2

2x + 2 < 5x2 < 5x — 2x2 < 3x

2

o sea { x/2x + 4 < 5x + 2 } = j x/

II) { x/x 2 - 4 x < 5 }

(Sol . x 2 - 4 x < 5 siix 2 — 4 x + 4 < 9 sii

(x - 2 ) 2 < 9 sii|x — 2| < 3 sii

—3 < x — 2 < 3 sii- 1 < x < 5

su

siisiisii

< X

o- sea { x/x 2 — 4 x + 5 } = {' x/1 < x < 5 }

I I I ) { x / -3 x < 4 - 5 x } V I I I ) { x/x 2 + 1 > 2 x }

IV ) { x/3 - 6x < - 2 + 2 x } IX ) { x/x 2 + 4x < 5 }

V ) { x / x 2 < x } X ) { x / x ( x - 1 ) (x + 1 ) > 0 }

V I) { x/x (2 x - 5) < 0 } X I ) { x/(x - l ) 2 < 4 }

V II) { x/2x - 4 > 4x - 7 } X II ) { x/1 + x + x 2 = 0 }•

4 . Caracterizar los subconjuntos de R dados por las propiedades siguientes:

I) |3x + 2| > 1

4 2

NÚMEROS NATURALES

(Sol. |3 • X + 2| < 1- 1 < 3 x + 2 < 11

- 1 < x <3

o s e a { x/|3x + 2| > 1 } = { x/x - 1I I I ) |x| > 3 VI ) |x|< - 1

IV ) |x — 51 = 2 V II ) |3x + 2| < 2

VI I I ) |x - 2|< 1

I X ) |x - 2| < 3

X) |5x + 1| > 3

5 . Si se define en R la siguiente relación: a < b si y solo si|a| < |b|. ¿Se obtendrá una relación de orden en R que satisfaga0 . 1 , 0.2, S.C y P.C?

6 . Sea n x, y, u, v e R , x < y, 0 < u, 0 < v, u + v = 1 .Probar que

x < ux + vy < y .

Aplicación: Escribir 10 números reales x con I) 2 < x < 3,I I ) - 2 < x < - 1 .

7. Escribir 20 en todos los sistemas de numeración de bases, 2 < s < 1 2 . ¿C ómo se escribe 12 en el sistema de base 1 2 ?

Los números reales obtenidos por este proceso de formar elsiguiente a partir del 1 son los llamados números naturales.

Nadie debe entender que ésta es una definición, pero es laidea fundamental .

Mas adelante trataremos de precisar la definición del conjunto de números naturales. La construcción que efectuamos es

del t ipo l lamado " induct iva" .O sea, hecho algo con a lo hacemos con a + 1. Los e jem

plos que siguen clarificarán esta idea, que esperamos el lectorpueda atrapar.

Veamos cómo la suma y la multiplicación de números naturales es " induct iva" :

susii

- 1 } U X /— - < x

4 3



NOTAS DE ALGEBRA J

2 + 1 = 3 (def)2 + 2 = 2 + ( 1 + 1 ) = ( 2 + 1 ) + 1 = 3 + 1 = 4

2 + 3 = 2 + ( 2 + 1 ) = ( 2 + 2 ) + 1 = 4 + 1 = 5

2 + 4 = 2 + ( 3 + 1 ) = ( 2 + 3 ) + 1 = 5 + 1 = 6

3 + 2 = 2 + 3 = 5

3 + 3 = 3 + ( 2 + 1 ) = ( 3 + 2 ) + 1 = 5 + 1 = 63 + 4 = 3 + ( 3 + 1 ) = ( 3 + 3 ) + 1 = 6 + 1 = 7

2 - 1 = 2

2 - 2 = 2 » ( 1 + 1 ) = 2 - 1 + 2 - 1 = 2 + 2 = 4

2 - 3 = 2 - (2 + 1 ) = 2 - 2 + 2 - 1 = 4 + 2 = 6

2 - 4 = 2 - ( 3 + 1 ) = 2 - 3 + 2 - 1 = 6 + 2 = 8

La multiplicación notamos, es consecuencia de la suma ydel proceso inductivo. Podríamos simbolizar estas operacionesas í :

a + (b + 1) = (a + b ) + 1

a - ( b + l ) = a - b + b

(Entonces estas dos expresiones nos dicen que si sabemoscalcular a + b ento nce s pod em os calcular a + (b + 1 ) simp lem ente tom an do el siguiente de a + b . Y si sabem os calculara • b y hacer sumas, podemos calcular a • (b + 1) simplementesumando a • b y b. )

Para apreciar mejor la definición del conjunto de númerosnaturales necesitamos de la noción de conjunto inductivo.

Definición

Diremos que un subconjunto K de R es inductivo si verificalas siguientes propiedades

4 4

NÚMEROS NATURALES

1 ) l e K

2 ) Si r G K entonc es r + 1 e K .

E jemplos

1) R es un conjunto inductivo

2 ) R > 0 = { x/x € R y 0 < x } es un con jun to induc

t ivo.3 ) K = { x/x = 1 ó 2 < x } es un conjunto inductivo

4) K = 4> no es inductivo, no satisface 1) (aunque si 2)! )

5) K = { x/x = 1 }'no es inductivo, no satisface 2)

6 ) K = { x / 1 < x < 2 } ' no es inductivo, no satisface ni 1 )n i 2 ) .

Notemos que si K es un conjunto inductivo entonces

1 e K

2 = 1 + 1 e K

3 = 2 + 1 e K

4 = 3 + 1 e K

Definición

Llamaremos conjunto de números naturales al subconjunto,denotado por N, caracterizado por las propiedades

N I ) N es in d u ct iv o

N 2) S i H C R'es un conjunto induct ivo entonces N CH

E n o t r os t ér m in o s, si a E R , a € N s i y s olo si p ara t o d osubconjunto inductivo H de R, a s H .

4 5

NOTAS DE ALGEBRA I

E j em p l o s :

a) Es claro (por la misma definición de conjunto inductivo)que l e N .

b ) 2 = 1 + 1 G N. En efecto , 1 G N y siendo N inductivo2 = 1 + 1 G N .

c) -i - ^ N. Para probar esta afirmación es suficiente exh ibir

un con jun to inductivo H tal que - i - H. Sea

K = ! x/1 < x }

K es inductivo y ^ K, pues

0 < 1 < 2 implica 0 < - i - < 1 .2

d) Dejamos a cargo del lector probar que 3/2, 5/3 no sonnúmeros naturales.

NOTAS

I) N es pues el menor (en sentido de la inclusión) subcon-juntó de R que es inductivo.

II) Que un subconjunto de los números reales que cumpleN I ) y N 2 ) existe efectivam ente, resulta de considerar la familia F de todos los subconjuntos inductivos de R (que no es

vacía pues R G F) y de tomar la intersección

n H = NH £ F ,

Proposición

Todo n G N satisface 1 < n.

Demostración

En efecto , el conjunto

H = { x/1 < x }

4 6

NÚMEROS NATURALES

Corolario

Todo n G N satisface 0 < n.

Utilizando el ejemplo 3) propuesto más arriba se puedeprobar la

Proposición

Si n G N satisface 1 < n entonces 2 < n. (Por lo tanto noexisten números naturales n tales que 1 < n < 2).

Demostración

(Lectoras dejamus te)

E j em p l o

Sean, n, m G N, n < m entonces n/m ^ N.E n e fec t o ,

n < m =* n/m < 1 => n/m ^ N.

En particular -|- ^ N.

E jemplo

No existe x G N tal que x 2 = 2 .En efecto, si un tal x existiese se tendría 1 < x. Ahora

x = 1 es imposible, pues l 2 = 1. Por lo tanto 1 < x, o sea 2 << x y entonces 4 < x 2 = 2, absurdo.

El absurdo provino de suponer la existencia de x en N conx 2 = 2 .

Por lo tanto nuestra tesis.

47

es induc tivo, por lo tan to N c H, de manera que si n G N

entonces n G H y así 1 < n.

NOTAS DE ALGEBRA I

Ejemplo

x , y G N y x • y = 1 implican x = y = 1.

En ef ec to , si x 1 es 1 < x , o sea 2 < x , por lo ta nt o(com o 1 < y) es 2 • 1 < x • y , o sea 2 < 1 , absu rdo. Debe serx = y = 1 .

Otra forma de expresar el carácter de conjunto inductivominimal de N puede formularse a través del llamado

Principio de inducciónSea H un subconjunto de N tal que

I ) 1 G H

II) Si h G H entonces h + 1 G H

E n t o n c es

H = N.

En efecto, por I) y II) H es inductivo, con lo que

N C H .Pero siendo H subconjunto de N es H C N. Por lo tanto H

= N .Este principio permite formular el siguiente criterio de de

mostración por inducción:

Criterio

Sea P(n) una función proposicional con n recorriendo elconjunto de números naturales (o sea, una función proposicional predicable sobre N). (Con V denotamos verdadera y con Ffalsa.)

S iI ) P ( l ) e s V

I I ) (V n ) , n G N : P( n) •» P(n + 1 ) es V

entoncesP(n) es V, (Vn ) , n G N .

4 8

NÚMEROS NATURALES

T eo rem a

I) a, b G N implican a + b G N

II) a, b G N implican a • b G N

Demostración

Probaremos I) dejando II) como ejercicio para el lector.

Sea a G N. SeaK = { b/b G N y a + b G N }

Afirmamos que K es inductivo. Primeramente observamosque siendo a natur al, a + 1 G N, por lo tanto 1 G K. Ademásb G K equivale a decir que a + b G N. Pero ento nce s a ++ (b + 1) = (a + b) + 1 G N o sea b + 1 G K. Hemos probadonuestra afirm ació n. Se sigue que K = N. Es to dice que a ++ b G N cualquiera sea b G N. Como a es arbitrario, se concluye que a + b G N cualesquiera sean a, b en N.

Las propiedades I), II) dicen respectivamente que N es unconjunto aditivo y multiplicativo.

En virtud de esta proposición decimos que N es estable porla suma y producto en R o también que la suma y producto enR inducen "una suma y producto en N.

Notemos que 0 é N, por lo tanto .si a G N, —a ^ N.

T E O R E M A (de la .posibilidad de la resta en N )

Sean a y b en N. Si a < b en tonces b — a G N.

Demostración

Probaremos primeramente el siguiente resultado auxiliar:

Sub-Lema: 1 < b implica la existencia de c G N tal quec + 1 = b . Se a, en ef ec to , H = { 1 } U { x + 1/x G N }. Es claroque H es un subconjunto de N inductivo, por lo" t a n to H = N .Pu esto que b 1 se sigue que b = x + 1 , para algún x en N.

Pasemos ahora a la demostración del teorema. Razonaremosinductivamente en a.

4 9

NOTAS DE ALGEBRA i

Sea a = 1. Deb em os probar que si 1 < b en toncesb - l G N .Ah ora si 1 < b se sigue del sub-lema la existe ncia de c 6 N

tal que b = c + 1 . Pero b — 1 = c G N.Se a ahora 1 < a y supongamos el teor em a cie rto para a.

Deb em os probar que si a + 1 < b enton ces b — (a 4 - 1) G N. Setiene 1 < a < a 4 l < b implica 1 < b impl ica b = c + 1 conc G N. Por lo tanto

a + l < c + l o sea a < c

Por la hipótesis inductiva

c — a G Ny entonces

b - (a 4 1) = (c 4 1) - (a 4 1) = c - a G N.

Ha quedado probado así el paso inductivo. El Principio deIndu cción nos asegura que cu alesquiera sean a, b G N , si a < b

entonces b — aG N. El Teorema queda demostrado.

Corolario (de la demostración)

Si n-G N y 1 < n entonces existe m G N con m + 1 = n (Osea, todo número natural distinto de 1 es siguiente de un número natural ) .

Corolario

Si a, b G N satisfacen a < b entonces a 4 1 < b.

Demostración

En ef ec to , a < b implica b — a G N, por lo tan to 1 < b —— a, de manera que a 4 1 < b.

Aplicación: Si n G N entonces

{ x/x G N y n < x < n + l } es v a c ío .

Sea en efecto, n G N, x G N con n < x < n 4- 1. Ya

5 0

NÚMEROS NATURALES

sabemos que entre 1 y 2 no hay naturales (estrictamente contenidos) , por lo tanto sea 1 < n; luego n — 1 G N.D e n < x < n + l s e sigue la desigualdad

n - (n - 1 ) < x - (n - 1 ) < n + 1 - (n - 1 )o sea(*) 1 < x — (n — 1) < 2

C om o n — l < n < x , x — (n — l ) G N y (* ) es una

contradicción.

Ejercic io

Probar inductivamente la validez de las siguientes leyes can-celativas en N : a, b , x G N

I) a + x = b + x im plica a = b

II) a • x = b • x implica a = b.

Sean a, b G N, a < b. Llamaremos intervalo natural deextremos (izquierdo) a y (derecho) b al subconjunto,

l a , b ] = { x/a < x < b }

Así [a , a ] = { a } .

Si a = 1 , l lam arem os a [ 1 , b ] el intervalo natur al inicial deorden b. Llamaremos sucesión (finita) en R a toda aplicación

f : [ 1 , b ] -* R

que la escribiremos en la forma tradicional

f i , . . ., t"b

donde

f, = f ( l ) , . . ., f i = f( i ) , . . . , f b = f ( b ) .

E j em p l o

de sucesiones

5 1



NOTAS DE ALGEBRA I

52

0, o, o, o, o1, -1,1, -1,11, 2, 3, 4, 52, 4, 6, 8, 101/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/321, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5

(Notar que a r dar una sucesión se da un orden en tre suselementos) . Nos proponemos, dado una sucesión de númerosreales

f i , f 2 , . . ., f n

definir su suma y producto.

Por ejemplo, si se trata de una sucesión de 3 términos

f i, fa , f3

la suma está definida en forma natural (gracias a la propiedadasociativa).

Esta es

f, + (f 2 + f 3 ) = (f , + f a ) + f 3

que escribimos simplemente por

f1

+ fj + f3 •

La misma suerte con el producto.

Definición

Dada una sucesión í t , . . ., f n , n € N de números reales sedenomina suma de la sucesión al número real denotado por

^ i= i fi o también 2 "= i fi

tal que ^ U i f i = f i

s ; : ^ 1 f t = (z¡:° f j ) + f n + 1

NÚMEROS NATURALES

Análogamente se denomina producto de la sucesión, al número real denotado por

n 1 = n f-" i = i L l

tal que

a) n ¡ : ; f, = f ,

b) n ; : ? + 1 íi= ( n ¡ : ° f t ) • f n + 1

c) Dada una sucesión a 0 , a i , . . . , a„ de números reales definimos

^ n _ n¿ ¡ = 0 = a<> + 2 i = l *i

ProbarI) Fórmula de la progresión aritmética:

i / 4 . • ^ (2 a + (n - 1) d)2 1 = 0 ( a + i - d ) = n

II) Fórmula de la progresión geométrica, d . # 1 :

v n - , , s d n — 1 J 0 = i2. . a • d = a • u - ±

d - 1

El principio de inducción nos asegura que tanto la sumacomo el producto quedan completamente definidos para todaslas sucesiones finitas de números reales.

Notemos que para las sucesiones "chicas"

s ¡ : j fi = f i + f 2 , n | : j f t = f , • u

2 ¡ = i fi = fi + f 2 + f 3 , n ¡ : J f, = f, • u • f 9

Por abuso de notación escribiremos a veces (a menudo)

2 ? = ! f, = s ; : " f , = f , + . . . + f„

n ; : r A = f , • f 2 . . . f „

5 3



NOTAS DE ALGEBRA 1

E j em p l o :nn i = n! (fac torial de n)

i= i

E j em p l o :

2 i = * i = 1i = i

i:\Zl i = i + 2 = 3

Z i = ? i = l + 2 + 3 = 6i = i

X ^ * i = l + 2 + 3 + ¿ = 1 0

¿Habrá una ley para calcular en forma general la suma

Uno intuye que si una tal ley existe deberá ser del tipoinductivo. Veamos cómo se pasa de un paso al siguiente.

Por examen de casos particulares y aun pensando geométricamente

se sugiere que la ley general sea

i=„ n • (n + 1)(*) 2 " i = * — ?

2Se trata de ver que cualquiera sea n € N, (*) es verdadera.

5 4

http://i/Zl

http://i/Zl

http://i/Zl

http://i/Zl

NÚMEROS NATURALES

Sea pues H la totalidad de naturales para los cuales (*) esverdadera. Entonces,

1 e H pues rZ\ i = 1 =i - i 2

Sea n e H, o sea

i = n . n - (n + 1 ) •

2 , _ , 1 = :

i - i 2

Será nuestro deber probar que n + 1 e H, o sea que

„ i = n + i . (n + 1) • (n + 2)

£ - x 1 = 2(Esto es fácil de hacer. . . ¡y está en todos los libros! .)

* = i) + ( n + ! ) ( P o r definición de suma)

Esto muestra que, en efecto, n + 1 e H. H es pues inductivo y se sigue que ( *) es válida para tod o n e N .

En el mismo orden de ideas está la demostración de lassiguientes igualdades, tarea que encomendamos al lector.

Para todo número natural n

a) S Í = Í (2 i — 1) = nJ

(Interprete gráficamente)

(n-+ 1) • (n + 2)

2

•(n + 1) , ,— + ( „

i + 1) • ín + 2

+ (n + 1 ) (po r la hipótesis inductiva)

(operando)

b ) 2i = n .o

1=1 1 =n • (n + 1) • (2n + 1)

6

í = n1= 1 [i - < i + I ) ] " 1 =

nc ) 2

n + 1

5 5



NOTAS DE ALGEBRA 1

Potencia de números realesS i x G R y n G N definim os

x n

inductivamente, como sigue

X 1 = X

x n + l = ( x n ) . x

Es úti l también definir EN EL CASO x 4 0 ,

x° = 1

( 0 o queda indefinido).

ProposiciónSi n, m G N U { 0 } , x, y G R entonces

I ) x n • x m = x n + m

I I ) ( x n ) m = x n * m

I I I ) (x • y ) n = x n • y n

(excluidas todas las si tuaciones que den lugar a 0°).

Demostración

I) Sea m G N arbitrario pero fi jado de antemano. Sean x GR y

H = { n/x n • x m = x n + m }

H es, en otros términos, la total idad de números naturalesque hacen verdadera nuestra afirmación I) , para el m dado.

Si probamos que H es inductivo, habremos probado que I)es cierto para todo n y el m fi jado. Pero como el m es arbitrariose seguirá que I) es cierto para todo par m, n de númerosnaturales. (Nota: en general cuando se prueba una fórmula donde aparecen varios índices que toman valores en N, es útil fi jar

5 6



NÚMEROS NATURALES

todos menos uno y hacer inducción en éste) . Veamos pues queH es inductivo.

1 € H pues por definición x 1 • x m = x m + 1

Sea pues n G H. Esto significa que x" • x m = x n + m

Multiplicando ambos miembros por x y utilizando la leyasociativa, resulta:

pero por definición de potencia, lo anterior implica la igualdad

lo cual dice exactamente que n'. + 1 G H. H es pues inductivo yentonces, como lo explicamos arriba, I) queda demostrado.

Los casos en que n ó m tomen el valor 0 son triviales. Porejemplo

x =¿ 0, x° • x m = 1 • x m = x m = x ° + m

Dejamos la demostración de II) y III) como ejercicio para ellector.

Teorema

Sean x, y G R , y # 0 . Entonces (V n) , n £ N : ( i ) n = JL£

Demostración

x • ( x n • x m ) = x • X1

( x • x n ) • x m = X • X1

.n + m

.n + m

•m _ x l + ( n + m ) _ x ( n + l ) + m

( x - y " 1 ) » = x n - ( y - 1 ) " (* )

pero dey • y

— 1 = 1resulta también

y * . ( y - l ) « = 1

lo cual dice exactamente que

( y - 1 ) " = (y»)"

57



NOTAS DE ALGEBRA I

por lo tanto volviendo a (*) resulta

como queríamos demostrar.

E jemplo

8 9 = ( 2 3 ) 9 = ( 2 9 ) 3 = ( 2 4 • 2 5 ) 3 = 2 4 ' 3 • 2 5 - 3 =

= 2 4 ' 3 • 2 4 ' 3 • 2 3 = ( 2 4 ' 3 ) 2 • 2 3 = ( 1 6 3 ) 2 • 2 3

Ejemplo

S j L j 2 1 = 2 n + 1 - 2

En efecto, para n = 1 es cierto. Sea cierta dicha fórmula para n, entonces

^=1 2 ' = ( 2 " = 1 2') + 2 n + 1 = 2 n + 1 — 2 + 2 n + 1 =

= 2 • 2 n + 1 — 2 = 2 n + 2 — 2

por lo tanto se cumple para n + 1 y por el principio de inducc ió n se c um p lirá p ara t o d o n £ N .

Notemos que se sigue de la fórmula que

1 + 2 + 2 2 + . . . + 2 n = 2 n + 1 - 1 .

E jemplos

2" + 2" = 2 • 2 n = 2 n + 1

( 2 5 - 2 7 ) 2 = ( 2 S (1 - 2 2 ) ) 2 = 2 1 0 • (1 - 2 2 ) 2 =

= 2 1 0 • (1 - 2 3 + 2 4 ) = 2 1 0 • (1 + 2 3 ) = 2 1 0 • 3 2

5 8

NÚMEROS NATURALES

Multiplicando por 2 ambos miembros de la desigualdad resulta

2 n + 1 > 2n = n + n > n + 1

pues 1 < n. Esto prueba que es inductivo y enton ces c o in cide con N, con lo cual nuestra afirmación inicial queda demostrada.

E jemplo

Sea m G N, m * 1 . Entonces para todo n € N es

(* ) n < m " .

En efecto, seaH = [ n/n < m " ]

De m * 1, m G N se infiere que 1 < m = m 1 con lo que1 G H.

Sea n G H. Entonces

n < m n

m • n < m n + 1

Como 1 < mn < m • n

Ejemplo

Sea n G N. Entonces 2 n > n.

Vamos a demostrar este resultado inductivamente. Sea

H = { k/k e N y 2 k > k }

Es claro que 1 G H pues

21

= 2 > 1.Sea n G H. Probaremos que n + 1 G H .

n G H imp lica la validez de 2 " > n.

5 9

NOTAS DE ALGEBRA I

o sea

n + 1 < m • n .Por lo tanto

n + 1 < m • n < m n + 1 .

Esto demuestra que n + 1 € H. Por lo tanto H es inductivoy coincide así con N.

• Pero esto significa que (*) es válida para todo n.En particular para m = 2 obtenemos n < 2" como proba

mos en el ejemplo anterior.

E jemplo

Determinemos cual de los dos números 8 9 y 9 8 es el mayor.(Dejamos a cargo del lector determinar cuál es el menor.)

NOTA: (Hay fuertes razones aritméticas para excluir la posibilidad que sean iguales.)

I) 23

+ 1 = 32

. En efecto, 32

= (2 + l )2

= 22

+ 22

•+ 1 == 2 - 2 2 + l = 2 3 + l

II) 3 3 < 2 5 .

En efecto , 2 s > 2 5 - l = l + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 =

= 2 3 ( 2 + 1) + 2 2 + 3 >

> 2 3 • 3 + 3

= ( 2 3 + 1) 3 = 3 2 • 3 = 3 3

III) 9 8 < 8 9

8» = ( 2 3 )• = 2 2 7 = ( 2 S ) s • 2 2

9» = ( 3 2 ) 8 = (.3 3 ) 5 • 3

Entonces

implican

3 3 < 2 S

3 < 2 2

9 8 = 3 • ( 3 3 ) s < 2 2 • ( 2 5 ) 5 = 8 9

(como era de prever haciendo la cuenta mentalmente! ) .

6 0

NÚMEROS NATURALES

Ejercic ios

1) Calcular

I ) 2 5 + 2 4 VI) 3 4 - 2 4

II) 2 5 - 2 4 V I I ) ( 2 2 ) n + ( 2 n ) 2

I I I ) 2 n + 1 - 2 " VI I I ) ( 2 n + l ) 2

I V ) 3 2 • 2 S + 3 S • 2 2 I X ) ( 2 S + 2 7 ) • ( 2 7 - 2 5 )

V ) ( 3 4 • 2 ) 5 • ( 2 4 • 3 ) 2 X ) ( 2 2 n + 1 ) • ( 2 2 " - 1 ) ,

X I ) 2 2 " + 1 - 2 2 "

2) Analizar la validez de las siguientes afirmaciones:

I ) ( 2 2 " ) 2 k = 2 2 n + k

I I ) ( 2 n ) 2 = 4 n

I I I ) 2 2 " • 2 2 n = 2 2 n + 1

IV) 2 2 = ( 2 2 ) K

3) Probar que

I ) 4 5 > 5 4

II) 2 6 > 7 2

I I I ) 6 7 > 7 6

4) Es2 6 — 2 3 = 7 2 + 7?

5) Determinar x € N tal que

3 n + x = 3 n + 1 .

6) P roba r que si r , s e N entonces r < s si y solo si 2 r < 2 S .

7) I) Probar que si r, s, t , € N entonces

2 r + 2 S = 2* si y solo si r = s.II) Probar que si n 6 N, no es potencia de 2 y para algún

k G N, 2 k divide a n entonces 2 k + 1 < n .

6 1

NOTAS DE ALGEBRA I

I) T = { 1 }

I I ) T = { 1 , " I }

I I I ) T = f n / l < n }

IV) T = { 2 n /n G N ó n = 0 }

V) T = { " / n G N y m G N u { 0 } }

VI) T = { 2 n • 2 m /n, m G N }

VI I ) T = J ^ / n , m G N l

6 2

8) En cada uno de los casos siguientes, determinar el

t e N u { o ]que da lugar a una afirmación verdadera

I) 3 5 • 4 5 = 12*

II) 9 • 81 = 3*

I I I ) 5 ' • 5* = 1

I V) 8 • 1 0 3 = 20*V ) 2 S • 3 2 = 6 2 • 8*

VI) 4 1 3 • 7 1 0 = 4* • 2 8 1 0

9) Dadas las fracciones siguientes ± , a, b € N determinar

en cada caso un número natural n tal que n < ~ < n + 1

a) 7/3 (S ol. 6 < 7 < 9, luego 2 < - f < 3 )

b) 18/5c) 17/9

d) 35/12

10) Un subconjunto no vacío T de R se dice aditivo (resp.multiplicativo) si x, y G T implica x + y e T (resp . x - y e T ) .

¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de R son aditivos,cuáles multiplicativos?

NÚMEROS NATURALES

I I ) Probar induct ivamente

I I ) Z j ^ a i = S ^ o 1

(Dejam os a cargo del lector definir la sumatoria 2 Í = 0 a¡, cont G N U { 0 } )

I I I ) Z J L " 1 a 1 = S ^ = 1 a , - !

Demostración de III) . Si n = 1 las expresiones

y l - l „ , v l

^ ¡ = 0 ~ S<> ' i = l a > — 1 — 3 0

coinciden. Seas r = T o ^ = 2 " = i a i - i c o n 1 < n

E n t o n c es

S i = 0 a¡ = S . = 0 a, + a»

= £ " = i a j - x + ^ (po r la hipótesis inductiva)

- ^ " = 1 a i — 1 + a ( n + l ) - l

= S. , a i— i1 = 1

La igualdad III) resulta entonces en virtud del Principio deInducción.

12) Indicar claramente en las funciones proposicionales siguientes, cuáles hipótesis del Principio de Inducción no se satisfacen.

a) P(n) : n = 1

b) P (n ) : 1 < n

c) P(n) : n 2 - 3n + 2 = 0

d) P(n ) : n = 1 ó n es m últiplo de 2 ó n es m últiplo de 3

6 3



NOTAS DE ALGEBRA I

n n • (n + 1)e) P (n ) : 2 , i = * + 3

f) P(n) : n 2 + (n + l ) 2 es primo o cuadrado perfecto.

C O E F I C I E N T E S B I N O M I A L E S Y F O R M U L ADEL BINOMIO

Sea n G N. Definimos factorial de n al número real denotado por

n!tai que

1 ! = 1

(n + 1 ) ! = n ! • (n + 1)

Definimos también0! = 1

Por ejemplo

2! = 2 • 1 = 2

3 ! = 3 - 2 - 1 = 6

4 ! = 3 ! • 4 = 6 • 4 = 2 4 .

Ejemplo: sea X = [1, nj el intervalo inicial de orden n, osea

X = { 1 , 2 , . . . , n }

Vamos a considerar las aplicaciones

f : X -* X

Por ejem plo, si X = [ I , 3 ] = { 1 , 2, 3 } se t ienen las

siguientes aplicaciones de X en X. Para no escribir demasiadovamos a adoptar una notación muy conveniente.Sea f: X -*• X en ton ces f está com pletam en te determ inada

por la terna (ordenada)

f ( l ) f ( 2 ) f ( 3 )

6 4



NÚMEROS NATURALES

Entonces, utilizamos esta terna para designar a f. Así por

ejemplo al escribir la terna1 2 1

estamos representando a la aplicación

f ( l ) = 1

f (2) = 2

f (3) = 1

Entonces, en muy breve espacio seremos capaces de escribirtodas las aplicaciones de |[1, 3 J en J l , 3 J . Estas son:

1 1 1 2 1 1 3 1 1

1 1 2 2 1 2 3 1 2

1 1 3 2 1 3 3 1 3

1 2 1 2 2 1 3 2 1

1 2 2 2 2 2 3 2 2

1 2 3 2 2 3 3 2 3

1 3 1 2 3 1 3 3 1

1 3 2 2 3 2 3 3 2

1 3 3 2 3 3 3 3 3

Hay 3 3 = 27 apli cac iones de [ 1 , 3 J en f l , 3 ] . Ser ía inte

resante saber si "a priori" podríamos haber anticipado la existencia de exactamente 3 3 aplicaciones.Veamos que s í .Si se quiere definir una aplicación de { 1, 2, 3 } en { 1, 2, 3 }

habrá que ver qué valores puede tomar 1, qué valores puedetomar 2 y qué valores puede tomar 3.

Es' claro que a 1 le podemos dar 3 valores posibles.Se tienen 3 posibilidades.Pasemos al 2.

Por cada elección de 1 tenemos 3 elecciones del 2. O sea entotal se tienen 3 • 3 elecciones posibles del 1 y el 2.Por cada una de estas tenemos 3 más posibilidades para el

3 , en d ef in itiv a p od em os d arle v alo res a l , 2 , 3 en 3 * 3 * 3formas posibles.

Un diagrama arbolado ayuda a pensar.

6 5



NOTAS DE ALGEBRA I

( ( D ) ( (2 ) ) ( (3 ) )

Cada rama del árbol representa una aplicación de 11,31 en

1 1 , 3 ] .Vamos a ser más generales calculando el número total de

aplicaciones de [ l , n j en | I , m ] , donde n y m son númerosnaturales arbitrarios.

Por ejemplo hay

6 6



NÚMEROS NATURALES

m = m 1 apl i cac iones de [1 , 1 ] en [1 , m]

m 2 apl icaciones de [1 , 2]| e n [ 1 , m ] -

simplemente porque como en el ejemplo anterior, por cadaelección para 1 se tienen m imágenes posibles en el 2.

También hay

m 3 apl icaciones de I I , 3] en [1 , m]

y conjeturamos que en general

" h ay mn

ap lic ac io n es d e [ 1 , n ] en [ 1 , m j "Para verificar esta conjetura, procedemos inductivamente en

n .Si n = 1 nuestra conjetura es cierta, según acabamos de

señalar.Supongamos que existan m n aplicaciones de [1, n] en

I X , m ] .Para calcular el número de aplicaciones de [ 1 , n + 1J en

[ l , m | observemos que por cada aplicación de | [ l , n j en| [ l , m j se obt ien en m aplic ac io n es de [ 1 , n + 1 ] en [ 1 , m ¡s implemente dando los m valores posibles a n + 1 .

O sea, cada apl icación de [1 , n j en [1 , m] se extiende auna aplicación de fl, n + 1 ] en [ 1 , m j .

Pero recíprocamente, es claro que cada aplicación de[ l , n + 1 ] en [ 1 , m j es una extens ión de una aplicac ión de[ l , n ] e n [ l , m ] | . Por lo tanto, hay (m veces el número deaplicaciones de [1 , n j en [ l , m j ) apli cac iones de [1 , n + 1 J en[ l . m l .

Este número esm n • m = m n + 1

Pero esto dice que es válido el paso inductivo; por lo tantocualquiera sea n e N hay m n aplicaciones d e [ l , n ] e n | [ l , m ] ] .

Siendo m arbitrario la afirmación dice que cualesquiera seanm y n hay m n aplicaciones de [ 1 , n ] en [ 1 , m j .

Apl icaciones inyect ivas de [1 , n j en [1 , naj .Se trata de estudiar las aplicacione s f: [ 1 , n j ->• [ I , m ]

tales que

f( x ) = f( y) implica x = y

67

NOTAS DE ALGEBRA I

o equivalentemente

x 4 y en I I , n ] impl ica f(x ) 4 f (y ) en [ 1 , m ]

Por ejemplo, en el caso de las aplicaciones de [1, 3] en [1,3] observamos que las aplicaciones inyectivas son exactamente,

1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 3 2 1.

O sea hay 6 apl icaciones inyectivas de f l , 3 ] en [ 1 , 3 ] .Notemos que

3 • 2 • 1 = 6 = 3!

Esta forma de escribir nos da la razón de que haya 6 aplicaciones inyect ivas de [1 ,3] en [ 1 , 3 ] . En efecto , ya di j imosque para defin ir una aplicación de [ 1 , 3 ] en [ 1 , 3 ] debemosdar valores a 1, 2 y 3.

A 1 le podemos dar los valores 1, 2 ó 3.Sin embargo, al pretender dar valores a 2, si queremos que

la aplicación sea inyectiva, debemos excluir el valor dado a 1, o

sea que para 2 tenemos solo 2 elecciones.Análogamente para 3 hay solo una posibilidad.En un diagrama arbolado la construcción de las aplicaciones

inyectivas es

3 1 2 3

2 1 3 2

3 2 1 31 2 3 1

2 3 1 2

1 3 2 1

El número total es entonces 3 X 2 X 1 = 6.El número total de apl icaciones inyect ivas de [1 , 3] en [1 ,

4] se ve que es4 X 3 X 2

Se puede demostrar que si m < n, no hay ninguna aplicación inyect iva de I I , n j en [ l , m ] ( lo cual se ve muy bien

6 8

NÚMEROS NATURALES

intuitivamente: si hay más personas que asientos, alguien sequedará parado! )

Si n < m entonces afirmamos la existencia de

(*) m • (m — 1 ) . . . (m — (n — 1 )) (n factor es)

aplicaciones inyectivas de [ 1 , n j en |1 , m ] .En particular existen

m • (m — 1) . . . (m — (m — 1) ) = m • (m — 1 ) . . . 1 = m!

aplicaciones de [ 1 , m ] en | 1 , m j y esta puede ser una mo tivación natural del factorial. Las aplicaciones inyectivas deIl,mfl en |[1, m ] son necesariam ente b iyectivas y se deno minan permutaciones de grado m.

Hay pues m ! perm utacion es de grado m.Probemos la afirmación anterior.Si n = 1 es claro que hay exacta m en te m aplicaciones de

{ 1 } en [ 1 , m j (1 yendo a los m valores posibles).Supongamos que toda vez que n < m hay m • (m — 1) . . .

(m — (n — 1)) aplicaciones inyectivas de [ 1 , n ] en [ 1 , m ] .Sea n + 1 < m. Entonces las aplicaciones (todas) de|l,n + 1] en II , mj se obtienen por extensión de aplicacionesde I I , n j en [ 1 , m ] .

Ahora, si f es una aplicación inyectiva de II, nj en [1, mjal querer definir f(n + 1) y obtener así una aplicación inyectivade [I , n + 1J en [1, mj debemos notar que f(n + 1) puedetomar m — n valores (o sea excluyendo los n valores tomadospor 1, 2, . . ., n).

Por lo tan to se sigue que hay ((m — n ) veces el núm ero deaplicaciones inyectivas de |l , n] en [ 1 , m j , de aplicaciones inyectivas de II , n + 1]| en II , m j .

O sea hay

(m - n ) X (m • (m - 1 ) . . . (m - (n - 1 )) =

= m • (m — 1) . . . (m — (n — 1)) • (m — n) =

= m • (m - 1 ) . . . (m - (n - 1 ) ) • (m - ((n + 1) - 1) )

aplicaciones inyectivas de II, n + 1} e n [ 1 , m j .Se sigue de esto la validez del paso inductivo, por lo tanto

queda probada nu estra afirmación (* )Por ejemplo hay

6 9

NOTAS DE ALGEBRA I

7 • 6 • 5 aplicaciones inyectivas de I I , 31 en |[1 ,7J

7 . 6 • 5 • 4 • 3 apl icaciones inyectivas de [ 1 , 5 ] en 1 1 ,7 17! apl icaciones de [ 1 , 7 ] en [ 1 , 71

Notemos que si n < m entonces

m !m • (m - 1 ) . . . (m - (n - 1 )) = —

(m — n ) :pues

m ! = ra • (m — 1 ) . . . (m — (n — 1 ) ) • (m — n ) • ( m — ( n + 1 ) ) . . . ( m — ( m — 1 ) )

m f a c t o r e s

Ejercic io

Simp lificar las expresiones siguientes (n e N )

n! (n + 2 ) !a) si 2 < n b )

( n - 2 ) ! n !

(n + 2 ) ! n !c) - — si 2 < n d) si 2 < n

( n - 2 ) ! ( n - 2 ) ! 2 !

, ( t l ~ 1 ) !

e); (n + 2) !

E jemplo

Si en un colectivo hay 10 asientos vacíos. En cuántas formas pueden sentarse 7 person as? Se trata d e con tar las aplicaciones inyectivas d e [ l , 7 ] e n | [ l , 1 0 J .

Este número es

1 0 • 9 • 8 • 7 • 6 • 5 • 4 (7 factor es)(Por esto es importante que en los colectivos no haya mu

chos asientos vacíos, la gente tardaría muchísimo en acomodarse.)

7 0



NÚMEROS NATURALES

Ejemplo

¿Cuántos números de cuatro dígitos pueden formarse conlos dígitos 1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6? Se trata de formar t o d a s lasapl i cac iones de [1 ,4] en [ 1 , 6 ] .

Hay6 4

números posibles.

E j em p l o¿Cuántos números de 5 dígitos y capicúas pueden formarse

con los números dígitos 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7, 8? Un númerocapicúa de cinco dígitos es de la forma

x y z y x

Se reduce a ver cuántos números de tres dígitos puedenformarse con aquéllos dígitos.

Exactamente 83

. (Nota, el número 11111 es consideradocapicúa, de los buenos.)

E jemplo

Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras deS i l v i a

Digo que hay -||- .

Si escribo en lugar de silvia,s i l v i ' a

todas las letras son distintas, luego hay 6 ! perm utacion es, perocada par de permutaciones del tipo

... i _ i ' . . .

. . . i ' . . . i . . .

coinciden, por lo tanto tengo que dividir por 2 el número totalde permutaciones.

Tomemos la palabra

r a m a n a t h a n

7 1



NOTAS DE ALGEBRA I

el número total de permutaciones es 4 * ° 2 , .

En efecto, escribiendo el nombre anterior así

r a¡ m a2 « i a3 t h a 4 n2.

E l nú m ero total de permutaciones es 1 0 ! . Peropermutando las a 4 y las n¡ sin mover las otras letras obtenemosla misma permutación de ramanathan.

Com o h ay 4 ! perm utaciones de las letras a , a 2 , a 3 , a 4 , y2 ! d e n j , n 2 el número buscado es

1 0 !

4 ! • 2 !

(espero no haber mareado a ramanathan, tiene salud muy precaria).

Dejamos a cargo del lector probar que el número total depermutaciones de las letras de arrivederci es

1 1 !

3 ! • 2 ! • 2 !

E jemplo

Consideremos un conjunto X finito de n elementos.Por esto entendemos que es posible establecer una biyec-

ción entre X y el intervalo natural [ l , n j . Veamos qué signi

ficación tienen las aplicaciones de X en un conjunto de doselementos, que por conveniencia, será el formado por 0 y 1.Si f : X -* ( 0 , 1 } es una tal aplicación en ton ces a f le

asociamos el subconjunto siguiente de X

f - X f = { x/x e X y f( x ) = 1 }

Recíprocamente si H es un subconjunto de X, sea g H : X{ 0 , 1 } d efin id a p or g H (x) = 1 si x 6 H , g H (x) = 0 si x 6 H. .

Entonces es claro queg - X B = H

Además

f # g => X f # X g donde f, g : X { 0 , 1 }

7 2

NÚMEROS NATURALES

H # L => g H * g L donde H C X y L C Xde esta manera hay una correspondencia biyectiva entre subconju ntos de X y ap licaciones d e X en { 0 , 1 } . Pero sabemoscalcular el número de aplicaciones de X en { 0,1 }

Es e l mismo que de [1 , n] en [1 , 2 ] , o sea

2 " .

Se sigue que si X es un conjunto finito de n elementos, Xposee 2 n distintos subconjuntos. Por ejemplo, si X = { 1, 2, 3 }los subconjuntos de X son exactamente

4>, { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 2 , 3 } , { 1 , 2 , 3 , }

E jemplo

Sea X un conjunto finito de m elementos y sea n < m. Nos

proponemos averiguar cuántos subconjuntos de n elementoshay, en X.Por ejemplo, sea X = { 1, 2, 3, 4, 5 } y nos interesan los

subcon juntos de tres elem entos. ¿Cuá ntos habrá? Una form ade individualizar un subconjunto de tres elementos en X, consiste en definir una apl icación inyect iva de [ 1 , 3 ] en [ 1 , 5 ] .Habría, a priori, 5 • 4 • 3 subconjuntos pues ese es el númerode apl icaciones inyect ivas de 1,3 en 1,5 .

Pero un examen más detenido nos dice qué distintas apli

caciones pueden determinar el mismo subconjunto.En efecto, por ejemplo, cualesquiera de las aplicaciones

1 2 3

1 3 2

2 1 3

2 3 1

3 1 23 2 1

determina el subconjunto { 1, 2, 3, } . Y así con cualquier otrosubconjunto de tres elementos. Por lo tanto, el número total desubconjuntos de 3 elementos debe ser

7 3

NOTAS DE ALGEBRA I

5 • 4 • 3 5 !3 ! ~ 3 ! • (5 - 3 ) !

En el caso general de subconjuntos de n elementos de uncon junto de m elem entos (n < m ) sucede la misma co sa. Cadasubconjunto de n elementos está determinado por una aplicación biyectiva y todas las permutaciones de su imagen en X.

Por lo tanto el número total de subconjunto de n elementos de X es

m • (m — 1 ) . . . (m — (n — 1 )) m

n! (m — n ) ! • n !

Definición

Sean n, m € N, n < m. Definimos

( m \ m !

n ' (m — n ) ! • n !y por razones que se verán más adelante se denomina el coeficiente binomial o número combinatorio asociado al par n, m,n < m.

Nota: definimos también

T eo rem a:

Sea n < m,

i\ +,)-r.w„-jDemostración

La dejamos como ejercicio para el lector.

7 4

NÚMEROS NATURALES

CorolarioSi n, m 6 N U { 0 } , n < m entonces ( m ) G N .

Demostración

Haremos inducción en m. Si m = 1 los posibles númeroscombinatorios son

cualquiera sea 0 < k < m, k G N u { 0 } .

Entonces por el teorema anterior

/ m + 1 \ / m \ / m \

( » H n ) + ( „ - l )

C o m o

( m ) G N y ( ™ j ) e N por la hipótesis induct iva,su suma es también un número natural, o sea ( m

n+ 1 ) G N

cualquiera sea n, 1 < n < m + 1 y com o adem ás ( m * * ) =

= 1 G N, se concluye que

/ m + 1 \

( „ Hcu alq uie ra sea n , 0 < n < m + 1 .

Por lo tanto, es válido el paso inductivo y así nuestra afirmación queda probada.

El teorema precedente permite calcular los coeficientesbinomiales inductivamente. Escribamos en forma de triángulo

7 5



NOTAS DE ALGEBRA I

v o / v i ;

D( í )

oo o o:) o o o

En virtud del teorema en cuestión cada término interior es

suma de los dos términos inmediatos superiores. Los elementosen los lados valen 1 por lo tanto se puede calcular cualquierade ellos.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 11 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

(Lector: calcule el valor de la suma en cada fila del triángulo.)

El triángulo es simétrico respecto de su altura. Esto es consecuencia de la propiedad

de verificación inmediata.

Resulta

( n ) ( m — n )

7 6



NÚMEROS NATURALES

NOTA: el hecho precedente se interpreta así en términosde subconjuntos. ( m ) da el número de subconjuntos de nn

elementos de un conjunto de m elementos.Puesto que con cada subconjunto de n elementos hay uní

vocamente asociado un subconjunto de m — n elementos —sucomplemento en X— es claro que (™ ) ~ ( m 1 n )•

Ejercicios

1) Calcule

G M K M K )2) Probar que

-CKWíl -O-C)3) Luego de toda la exhaustiva discusión anterior Vd.debería saber probar la igualdad general

"-GK)---C)4) Determinar n tal que

(Resp . 10)

5) ¿Cuántos equipos de footba ll se pueden formar con 18personas?

6) ¿Cuántas líneas quedan determinadas en el plano por10 puntos no alineados de a 3?

7) ¿Cuántos paralelogramos quedan formados cuando ungrupo de 8 líneas paralelas son intersectadas por otro grupo de6 líneas paralelas?

77



NOTAS DE ALGEBRA I

7 8

8 ) ¿Cu ántos planos quedan determinado s por 9 pun tos dea cuatro no coplanares?

9) ¿Cuántos triángulos diferentes quedan determinadospor 11 puntos, de a 3, no alineados?

1 0 ) ¿Cuántas palabras pueden formarse permu tando las letras de la palabra neuquen?

1 1 ) Lo mismo q ue en 10 ) pero forman do palabras que empiecen con n.

12) Lo mismo que en 10) pero que empiecen y terminenen n.

13) ¿Cuántos números diferentes pueden formarse permut an d o l o s d í g i t o s d e 11122333450?

( R t a : 5 0 . 4 0 0 )

1 4 ) ¿Cu ántos núm eros de 6 cifras pueden form arse con losd í g i t o s 112200?

1 5 ) ¿Cuántos números impares de cuatro cifras hay ?

16) ¿Cuántos números impares menores que 10.000 hay?

1 7 ) ¿Cuántos números divisibles por 5 y menores que 4 9 9 9hay?

1 8 ) a) ¿Cuántas diagonales t iene un octó go no ? ¿Cuántasun decágono y cuántas un triángulo?

b) ¿Cuántas diagonales tiene un polígono regular de nlados?

c) ¿Qué polígonos tienen el mismo número de diagonalesque de lados?

d) ¿Cu ántos vértices tiene un polígono de n lados?e) ¿Cu ántos lados posee el triángulo? G ene ralice.

19) De un grupo de 5 hombres y 4 mujeres se desea formar comités de 3 personas. I) ¿Cuántos posibles comités pueden formarse? II) ¿Cuántos posibles comités pueden formarse

NÚMEROS NATURALES

pidiendo que en cada comité figure siempre una mujer por lomenos?

20) De un grupo de 6 abogados, 7 ingenieros y 4 doctores,¿cuántos com ités pueden formarse? I) de 5 personas que contengan por lo menos dos personas de la misma especialidad; II)de 5 personas que contenga al menos uno de cada especialidad.

2 1 ) ¿Cuántas líneas quedan determinadas por m puntos enel plano si k < m de ellos están sobre un a rect a y fuera deéstos nun ca 3 puntos están alineados? ¿Cuá ntos triángulos quedan determinados?

22) ¿Cuántas señales pueden enviarse con 5 banderas, 3rojas y 2 blancas, dispuestas en un mástil?

23) De 20 números naturales consecutivos: I) ¿cuántos pares pueden form arse de m anera tal que su suma sea par? (S ol .9 0 ) ; II ) ¿cuá ntos pares tales que su suma sea impar? ; II I)

¿cuántas ternas pueden formarse de manera tal que su suma seap ar? (S o l . 570 ) .

24) ¿En cuántas formas posibles pueden seleccionarse 12chicas de un conjunto de 17? I) sin restricciones; II) si dosdeterminadas deben siempre ser incluidas (acomodo); III) si dosdeterminadas'nunca deben ser incluidas (discriminación).

25) ¿Cuántos grupos de rescate pueden formarse con 5

hombres y 3 ovejeros alemanes con la condición que en cadagrupo figure un hombre y un ovejero por lo menos?

2 6 ) ¿E n cuántas form as pueden disponerse las piezas grandes de ajedrez en una línea del tablero?

2 7 ) ¿En cuántas forma s puede hacerse una pulsera con 1 0perlas todas distintas?

2 8 ) ¿E n cuántas formas pueden sentarse 8 personas en unamesa circular?

2 9 ) ¿E n cuántas formas pueden sentarse 7 señoras y 7 caballeros en una mesa circular con la condición que nunca dosseñoras se sienten juntas?

7 9



NOTAS DE ALGEBRA 1

Fórmula del binomio

Sean a y b números reales no nulos. Se trata de hallar unaexpresión general del desarrollo de la potencia

(a 4- b ) n

donde n € N. Por ejemplo, algunos desarrollos dan

n = 1 (a + b ) 1 = a + b

n = 2 (a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

n = 3 (a + b)3

= a3

+ 3 a2

b 4- 3 a bJ

4- b3

n = 4 (a 4- b ) 4 = a 4 4- 4 a 3 b 4- 6 a 2 b 2 4- 4 a b 3 4- b 4

Un examen proli jo nos dice que los coeficientes que aparecen en los desarrollos son los coeficientes binomiales. Uno conjetura así la siguiente fórmula

(a 4- b ) n = 2 " = 0 • a 1 • b " - 1 ( * )

Vamos a demostrar efectivamente la validez de (*) por medio d e un a ind ucción en n. N otem os que si n = 1 la fórmu la(*) es verdad.

Sea (*) válida para n. Entonces, multiplicando (*) por a 4- b

( * * ) (a + b ) n + 1 = E * = 0 ^ " j • a i + 1 • b n - ' 4-

+ S f = 0 |n

j • a1

• b " -1 + 1

= • a° • bn + 1

4-

+ s r = " o 1 ("j -a^-b- 1 + r » = 1 ^ ) . a * . b - i + 1

+ ( n ) ' a " + 1 ' b °

El mismo problema, pero con niños y niñas.30) Un señor tiene 12 amistades, 7 damas y 5 varones. Su

esposa tiene también 12 relaciones, 5 damas y 7 varones. ¿Encuántas formas pueden invitar a 6 damas y 6 caballeros con lacondición que haya 6 invitados del señor y 6 de la señora?

8 0

NÚMEROS NATURALES

Podemos escribir

2 i n = i ( " ) • a ' • b " ~ 1 + 1 = K ^ o ( i + i ) ' a ¡ + 1 ' b n - < i + 1 ) + 1

por simple corrimiento de índices.Llevando esta información a (* *) resulta

( a + b ) n + 1 = ( o ) - a ° ' b n + 1 + s - ( ( i ) +

+ ( i " J ) ' a i + 1 b n + 1 - ( i + 1 ) 4- • a n + 1 • b°

Puesto que

' n w , . \ ) - c : i )

resulta, l lamando j = i + 1;

(a + b ) n + 1 = ( " q 2 ) a ° ' b " + 1 +

+ 2

a i . b n + l - J

lo cual muestra bien la validez del paso inductivo.

Po r lo t an to , la fórmu la ( *) es válida cualquiera sea n G N,a y b G R , a * 0 y b * 0 .S i a = 0 o b = 0 , la fórmula del b inomio también se cum

ple trivialmente escribiendo

( 0 + b ) n = b n + S " = 1 ^ " j • 0 ¡ • b » - 1 , si b # 0

8 1

NOTAS DE ALGEBRA I

(a + 0 ) n = a" + Z j L , , 1 ( n ) ' a ' • O """'- s i a ^ 0

f 0 + 0 si n = 1( 0 + 0 ) n = J

l 0 + Z * ^ 1 ( " ) ' 0 ¡ ' ° n ~ ' + °> si 1 < n .

CorolarioSean a y b 6 R. Entonces

I) (a - b ) n = Z f = 0 ( " j • ( -1)»-» • a ¡ • b " - 1

ni) o « z ; L 0 ( - i ) - l ( " ) = z ;L 0 ( - ! ) ' ( " )

Demostración

I) resulta de escrib ir a — b = a + (—b)

II ) resulta de tom ar a = b = 1

II I) resulta de tom ar a = 1, b = —1 ya = - l , b = 1

C O M P L E M E N T O S

Principio de buena ordenación

Dado un subconjunto K de R. Diremos que K posee primerelemento o también elemento minimal si ex is te k € R c o n lassiguientes propiedades

a ) k e K

b) si x e K entonces k < x .

8 2

NÚMEROS NATURALES

Un subconjunto L de R se dice b ien ordenado (BO) s i todosubconjunto no vacío de L posee primer elemento.

E jemplo

Sea K = { 1 , 2, 3 } . K es bien orden ado. En ef ec to , lossubconjuntos no vacíos de K son

{ 1 } 1 es primer elemento

{ 2 } 2 es primer elemento

{ 3 } 3 es primer elemento{ 1 . 2 } 1 es primer elemento

{ 1, 3 } 1 es primer elemento

{ 2 , 3 } 2 es primer elemento

{ 1, 2, 3 } 1 es primer elemento

Ejemplo0 es un conjunto bien ordenado.

E jemplo

Sea K la total idad de fracciones

Í T rn e N

Veamos algunos subconjuntos de K que no admiten primerelemento .

K no posee primer elemento, pues cualquiera sea n G N

1 J _n + 1 n

{ — / i E N } no posee primer elem ento p ues cualquiera seai G N

1 1

<i + 1 2 1

8 3

NOTAS DE ALGEBRA 1

{ j r / i e N } no posee primer elemento, por las mismas razones.

Ejercic io

Probar que todo subconjunto de un conjunto BO es BO.

Problema

¿Si al conjunto K del ejemplo precedente le agregamos el Oserá un con jun to bien ordenado ? O sea ¿es

un conjunto bien ordenado?El lector puede verificar fácilmente que la respuesta es

Noooo. . .

Definición

Sea n e N. Diremos que un subconjunto X de R es finitode cardinal n si existe una biyección de X en el intervalo natural [ l , n j . El conjunto vacío lo consideraremos un conjuntofinito de cardinal 0.

T eo rem a

Todo subconjunto finito de R es bien ordenado.

Demostración

El conjunto vacío es bien ordenado (pues <> no posee sub

conjuntos no vacíos) .Sea X C R , X < ¡ > , de cardinal n e N. Si X posee cardinal1 , significa que X = { a }, a € R .

Entonces es claro que X es bien ordenado. Razonemos inductivamente en el cardinal de X. Sea X un conjunto de cardinal n + 1. Vamos a probar que X es bien ordenado.

8 4

NÚMEROS NATURALES

Sea 6 : X -»• J l , n + 1 ] una biy ecció n.

Sea t e X tal que 6 ( t ) = n + 1.

Notemos que B define por restricción una biyección de X —- { t } en [ l , n ] .

Sea U un subconjunto no vacío de X.S i t £ U entonces U C X — { t } , com o X — { t } t iene

cardinal n, todo subconjunto no vacío posee elemento minimal.Por lo tanto U posee elemento minimal. Hay que estudiar

la s itu ac ió n t £ U .

Si U = { t } , entonces es c laro 'que U es bien ordenado (sucardinal es 1).Si U i= { t } , o s ea h ay m ás e lem en to s q u e t , U — { t } C X

- { t ) , U - { t } # <¡>, y así

U — { t ) p ose e p rim e r e le m e nto p en X — { t } .

Por lo tanto t ó p es primer elemento de V, en X. U poseeprimer elemento.

Por el principio de inducción se sigue que todo subconjuntofinito de R es bien ordenado.

Probemos ahora el importante

Teorema

N es un conjunto bien ordenado.

DemostraciónSea H c N definido as í :

"h € H si y solo si todo subconjunto no vacío de N quecontiene a h, posee primer elemento" .

Siendo todo número natural mayor o igual que 1, se sigueque si un subconjunto de N contiene a 1, necesariamente 1

debe ser primer elemento de dicho conjunto (en efecto, pertenece al conjunto y es menor o igual que cualquier elemento).Por lo tanto, está claro que 1 £ H.Como se imaginará el lector tratamos de probar que H es

inductivo.

8 5

NOTAS DE ALGEBRA I

Sea pues k e H. Entonces, todo subconjunto de N que

contenga a k posee primer elemento. Sea Lc

N tal quek + 1 6 L. Debemos probar que L posee primer elemento.Si k £ L entonces por lo que acabam os de decir, L t iene

primer elemento y nada hay que agregar.Sea pues k ^ L.Formamos

L' = L U { k }

Como k € L' , L' t iene primer elemento que denotamos con

P-El dibujo que sigue ayuda a entender:

Entonces

p < k y p < s cualquiera sea s € L

Si p = k en ton ces k < s cualquiera sea s e L y com o k £ Lse sigue que k < s, cualquiera sea s e L . En to nc es k + 1 < scualquiera sea s e L.

8 6

NÚMEROS NATURALES

Como k + 1 e L se sigue que L posee primer elemento, a

saber k + 1.Si p # k entonces p G L y p * í s para todo s G L implica

que p es primer elemento de L.Lector: hemos probado que k + 1 G H (al probar que todo

subco njunto de N que contiene a k + 1 , posee primer elem e n t o ) .

De esta manera H es inductivo y es H = N.Veamos cómo sale ahora la buena ordenación de N.

Déme Vd. un subconjunto T no vacío de N. Le voy afabricar un elemento minimal (con el minimómetro se hacemuy rápidamente). Por ser T no vacío existe m G N con m G T .

Puesto que N = H, m G H, por lo tanto, por la mismadefinición de H, T t iene primer elemento.

Veamos algunas aplicaciones de la BO de N.Demos algunas definiciones.Sea X un subconjunto de Y C R. Llamaremos cota superior

de X en Y a todo número t G Y tal que x < t cualquiera sea xG X. Un subconjunto de Y se dice acotado superiormente en Ysi posee una cota superior en R. Un elemento m G Y se dicemáximo de X o elemento maximal de X si

I ) m G X

II) x < m cualquiera sea x G X

(Un máximo de X si existe, es único. ¡Probarlo! )

Proposición

Todo subconjunto de N, no vacío, acotado superiormenteen N posee un máximo.

Sea K C N, K 0, acota do superiormente en N. LlamandoL a la totalidad de sus cotas superiores en N, se tiene queL C N y L # 0 .

Por lo tanto, por BO, L posee primer elemento m G N .Si t < m cualquiera sea t G K, entonces como L es novacío 1 < m, por lo tan to m — 1 G N, y es t < m — 1,cualquiera sea t G K .

Eso dice que m — 1 es cota superior de K.Pero m — 1 < m, y por BO m era la m eno r. Se t iene un

8 7

NOTAS DE ALGEBRA I

absurdo al suponer qu e t < m, para tod o t € K . Para algúnt e K debe valer la igualdad, con lo que m G K y es su máximo.Nuestra afirmación queda probada.

NOTA: Se puede demostrar más generalmente que todosubconjunto no vacío de N acotado superiormente en R poseemáximo (en N). Esto se debe a una propiedad denominada dearquimedianidad, que dice exactamente que para todo x G Rexiste un n G N con x < n.

Por lo tanto, si un subconjunto no vacío de N está acotadoen R, está acotado en N y vale la misma demostración. Laarquimedianidad resulta de la propiedad de completidad de R,que el lector estudiará en Análisis.

Veamos la siguiente aplicación que es una variante del principio de inducción.

T eo rem a

Sea H un subconjunto de N tal que( V n ) , n € N [ 1 , n [ C H implica n G H

entonces

H = N ,(donde

[ 1 , n [ = { k/k e N y 1 < k < n } )

Demostración

Si H = N nada hay que probar . Sea pues H # N , Por lotan to co m o H c N e s N - H = { k/k e N y k $ H } * <¡>.

Por B O , N — H p osee primer elemen to que denotamos conj . Por la misma definición de j es cierta la inclusión

[ l . i l c H

Aplicando la hipótesis del teorema de aquí resulta quej G H. Pero esto es un absurdo, pues j G N — H, o sea j ^ H. Sesigue que N ^ H es inconsistente. El teorema queda demost rado .

Este teorema permite formular el siguiente criterio de demostración por inducción:

8 8

NÚMEROS NATURALES

Criterio

Sea P una función proposicional predicable sobre N , o sea Pasocia a cada n una proposición (verdadera V o falsa F) quedenotamos con P ( n ) .

Supongamos que

I ) P ( l ) es V

I I ) (Vn) , ne

N, 1 < n : "P (k ) es V para todo k < nimplica P(n) es V" .

Entonces

P(n ) es V para iodo n e N.

Ejercicios y notas

1) Analizar el siguiente razonamiento:"Si en un conjunto de n tr iángulos hay por lo menos un

triángulo equilátero, todos los tr iángulos de dicho conjunto sonequiláteros" .

Sea S el conjunto de números naturales para los cuales laafirmación anter ior es verdadera. Si n = 1 es obv iamen te verdadero que en un conjunto formado por un triángulo equilátero , todos los triángulos son equiláteros. Luego 1 e S .

Supongamos ahora k e S. Sea U un conjunto formado pork + 1 triángulos t i , . . . , t k + t , donde uno de ellos por lo menos es equilátero. Supongamos sin pérdida de generalidad, quet k + i ns equilátero. Ahora el conjunto

t 2 , . . . t k + i

contiene k triángulos y además t k + i es equilátero.Sigue que

t 2 , • • • t k + i

son todos triángulos equiláteros.Quedaría por ver que t!, es equilátero. Para ello conside

remos todo el conjunto

t i , . . ., t k

8 9

NOTAS DE ALGEBRA I

9 0

que contiene k triángulos y t 2 , . . ., t k equiláteros por lo visto

en el paso a nte rior . Sigue otra vez que t , , . . . , t k son triángulos equ iláteros. Por lo ta nto t j , . . . , t k + , son todos triángulos equiláteros.

Esto prueba que k + 1 e S. S es por lo tanto inductivo yasí S = N.

Algún error debe haber en este razonamiento pues se deduce de lo anterior que todo triángulo es equilátero: en efecto,sea t un triángulo cualquiera y t ' un triángulo equilátero, en elconjunto { t , t ' ] formado por dos triángulos, uno por lo menos

es equilátero. De lo anterior, se deduce que t es equilátero puesambos triángulos del conjunto lo son.

2) "Demostremos" que todos los números naturales soniguales.

Sea P(n) la proposición

" n = 1 " .

Es claro que P(l) es verdadera, pues 1 = 1.Sea n e N y sea P (k ) verdadera para todo k < n . Vam os a

probar que P( n) es verdadera. En ef ec to , siendo n — 1 < n, esP(n — 1) verdadera, por lo tanto n — 1 = 1. Siendo n — 2 < n estambién cierto que n — 2 = 1, por lo tanto

n — 1 = n — 2

y sumando 1 a ambos miembros resulta

n = n — 1

como n — 1 = 1 , hem os probado que n = 1 , o sea P (n ). Delcriterio d e indu cción se sigue que P (n ) "es verdadera para tod o ne N, o sea n = 1 cualquiera sea n G N .

En otros términos todos los números naturales son iguales1 = 2 = 3 = . . . (E s to no parece c ie r to , que? . . .)

(NOTA: Esta demostración nos fue comunicada por el Presidente de la liga Pro-Igualdad.)

3) Probar que para todo n e N y todo k e N, 1 < k, n k essuma de n enteros impares consecutivos. Por ejemplo

NÚMEROS NATURALES

2 2 = 1 + 3 3 2

= 1 + 3 + 52 3 = 3 + 5 3 3 = 7 + 9 + 1 1

2 4 = 7 + 9 3 4 = 25 + 27 + 29

2 5 = 1 5 + 1 7 3 5 = 7 9 + 8 1 + 8 3

(Solución: Sea

n = i + ( i + 2 ) + . . . + (i + 2 (n - 1 ))

con i impar. Entonces

n k = ni + 2 (1 + . . . + (n - 1) ) = ni + n (n - 1)o sea

n k _ 1 = i + n - 1

i = n k _ 1 - ( n - 1 ) .

Utilizando

i = n k - (n - 1)

( n k - (n - 1) ) + [( n k - (n - 1 )) + 2] + . . . +

+ [ ( n k - (n - 1) + 2( n - 1)] =

= n ( n k - (n - 1 )) + 2 (1 + . . . + n(n - 1 )) =

= nk + 1

- n ( n - l ) + n(n - 1 ) = nk + 1

(Notemos que n k — (n — 1) es impar. En efecto, si n espar, n k es par, n k — n es par y así n k — (n — 1) es impar. Si nes impar, n k es impar, n k — n es par y así n k — (n — 1 ) esimpar.

Agreguemos que nuestra demostración NO es por inducción. Simplemente hemos buscado el entero impar con quéempezar y lo hemos encontrado. Uno hace la demostración quepuede.)

4) Probar las siguientes desigualdades

I ) (Vn) , 1 <" • ( 1 + T ) ' > 2

9 1

NOTAS DE ALGEBRA I

I I ) (Vn), 1 < n,

I I I ) (Vn), 2 < n, 2 1m - l < n!

I V) (Vn ) < 3

(Sug. I) usar la fórmula del binomio.II) usar la fórmula del binomio.

III) Para n = 3 es cierta. Sea 2 n _ 1 < n, 3 < n. Entonces 2 n < 2 • n! < (n + 1) • n! = (n + 1)!

IV) Usar I I ) y I I I ) .

(NOTA: la sucesión acotada (1 + - i - ) n , n e N, tiene por límite en R al célebre número denotado umversalmente por e,

2 < e < 3 ) .

5) Probar la desigualdad

(Sug. sea 2 n • n! < (n + l ) n . Entonces

2n + 1

• (n + . 1 ) ! < 2 (n + l )n + 1

= (n 4- l )n + 1

+ (n + l )n + 1

( V n ) , 1 < n: n! <

pero ,n + 1 = ( ( (n + 1) + l ) n + 1 =n + 2) '

= (n + 1) :n + 1 + (n + 1) • (n + l ) 1l ) n + . . . >

> ( n + l ) n + 1 + (n + l ) 1n + l

por lo tanto

(n + 1)! < (n + 2)1n + 1

o sea

y se tiene el paso inductivo! ).

9 2

NÚMEROS NATURALES

6) Sean a y, . . ., a n , n números reales, todos del mismosigno y todo s m ayores que Proba r inductivam ente que

(1 + a , ) • (1 + a 2 ) . . . (1 + a») > 1 + a, + . . . + a n

Deducir que si a 6 R, —1 < a, entonces

(1 + a ) n > 1 + na

Probar que si 1 < n entonces hay igualdad si y solo si a =

= 0 .(Sug. Veamos la últ ima parte. Si a = 0 entonces (1 + 0) n =

= 1 = 1 + n • 0 cualquiera sea n. La recíproca puede interpretarse de dos formas:

I) que para todo n > 1 es (1 + a) n = 1 + n • a, o bien

II) que para algún m, 1 < m, es (1 + a) m = 1 + m • a.

En ambos casos mostraremos que a = 0.

Caso I): Si lo es para todo n, en particular lo es para n == 2, por lo tanto

(1 + a ) 2 = 1 + 2a

y operando resulta1 + 2a + a 2 = 1 + 2a

o sea

a 2 = 0, con lo que a = o.Caso I I ) : Sea m algún natural tal que (1 + a ) m = 1 + ma.

Por BO puedo suponer que m es m í n i m o con esa propiedad.En tonce s 2 < m. Si m = 2, por el razonam iento hech o en I)resulta a = 0 , y nada hay que p rob ar. Supo ngam os que 2 < m,por la minimalidad de m y por ser 2 < m — 1, puedo escribir

(1 + a ) " 1 " 1 > 1 + (m - 1) a

(por la primera parte del ejercicio).Co m o —1 < a, se tiene 0 < 1 + a . M ultiplicando por 1 + a

resulta

( 1 + a ) m > (1 + (m - 1 ) a) • (1 + a)

= 1 + a + (m — 1) • a • (1 + a)

= 1 + a + (m - 1) • a + (m - 1) • a 2

9 3

NOTAS DE ALGEBRA I

y como 0 < a 2

> l + a + ( m — l ) - a

= 1 + m • a

Suponiendo entonces que 2 < m, hemos probado que (1 ++ a ) m > 1 + m • a lo cual contradice nuestra hipótesis que (1+ a ) m = 1 + m • a.

Por lo tanto m = 2 y en ese caso resulta a = 0.

7) Probar las siguientes fórmulas utilizando el principio deinducción.

1 1 1 1 nI) + + + . . . +

1-2 2 -3 3 -4 n(n + 1) n + 1

1 1 1 1II ) + + + . . . +

1- 3 3 -5 5- 7 (2n - 1 ) (2n + 1)

n2n + 1

II I ) l 3 + 2 3 + 3 3 +

I V) 1 + 2 -2 + 3 -2 2 + 4 - 2 3 + . . . + n - 2 " - 1 = 1 + ( n - l ) - 2 n

V ) l 2 - 2 + 2 2 - 2 2 + 3 2 - 2 3 + . . . + n 2 - 2 n = 2 n + 1 - ( n 2 -

- 2n + 3) - 6VI) Probar que s " = 1 i • i ! = (n + 1 ) ! - 1

VII) Sea n £ N. Sean X j , . . ., x n números reales positivos tales que n " = 1 Xj = 1. Probar que S"_ x x 4 > n.

VI I I ) S ean x , y £ R . Probar q ue

(Vn ) n €E N ; x n - y n =

= (x — y) • ( x n _ 1 + x n _ 2 • y + . . . + x • y " - 2 + y " " 1 )

( V n ) , n impar: x n + y" =

= (x + y) • ( x n _ 1 — x " ~ 2 • y + . . . - x • y n ~ 2 + y n _ 1 )

9 4

NÚMEROS NATURALES

( V n ) , n par: x n — y n =

= (x + y) • ( x " - 1 - x " - 2 • y + . . . + x - y n ~ 2 - y " " 1 )

(Lector: de aquí resultan reglas útiles de factoreo like

x 3 — y 3 =• (x — y ) • ( x 2 + x • y + y 2 )

x 3 + y 3 = (x + y) • ( x 2 — x • y + y 2 )

x 4 — y 4 = (x + y) • ( x 3 — x 2 • y + x • y 2 — y 3 )

(Aplicación: probemos que x 3 = y 3 en R implica x = y. Setiene si x 3 = y 3 ,

(*) 0 = x 3 - y 3 = (x - y) • ( x 2 + x • y + y 2 )

Si x = 0 se vé fácilmente que y = 0 y nada hay queprobar. Lo mismo si y = 0.

Sean pues x ¥= 0 e y ¥= 0.Se sigue de (*) que para probar que x = y será suficiente

probar que x 2 + x • y + y 2 0 .Es claro que x e y poseen el mismo signo, es decir son

simultáneamente positivos y simultáneamente negativos.Esto implica que x • y > 0. Por lo tanto de x 2 > 0, x • y

> 0, y 2 > 0 se obtiene x 2 + x • y + y 2 > 0 .¡L isto ! Es to se generaliza trivialmen te al caso x n = y n , n

impar.

8) Probar inductivamente que la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados es igual a (n — 2 ) 1 8 0 ° .

9) Probar que 6" > 1 + 4 n cualquiera sea n £ N , Vale > enlugar de >?

10) Probar que 3" > 1 + 2 n cualquiera sea n G N .

11) Probar que n 4 < 4 n cualquiera sea n G N, 5 < n.

(Solu ción : I) 2n + 1 < 2 n si n > 3. En ef ec to , si n = resulta de 7 < 8.

Sea n > 3 y 2n + 1 < 2 n entonces

9 5

NOTAS DE ALGEBRA I

2 ( n + l ) + l = 2 n + 2 + l = 2 n + l + 2 <

< 2 n + 2 < 2 n + 2 n = 2 n + 1 .

11) 2 n > n 2 si n > 5. En efecto, si n = 5; 2 S = 32 > 25 == 5 2 .

Sea n > 5 y n 2 < 2" . Entonces (n + l ) 2 = n 2 + 2n + 1

(por Hip. ind.) < 2 n + 2n + 1

(por I ) ) < 2 n + 2 n = 2 n + 1

I I I ) 4 n > n 4 si n > 5.

(Sol . n 2 < 2 n por I I )

n 2 < 2 "

n 4 < 2 2 n = 4 n )

1 2 ) Sea K un subco njunto no v acío de N. Analizar la existencia de máximo (mínimo) en los siguientes subconjuntos de R:

I) { 1 - i /n e K }

II) { n 2 - 1/n e K }

III) { 2n + 3/n e K }.

I V ) I T T T / n G K )

13) Probar, para todo n e N

1 1 1 5+ . . . + <

n + 1 n + 2 n + (n + 1 ) 6

(Sol. para n = 1 se trata de

1 1 1 1 5

+ = ++ 1 1 + (1 + 1) 2 3 6

Lector: notar que la suma (* ) para cada n posee n + 1sumandos, por eso para n = 1 posee 2 sumandos.

9 6

NÚMEROS NATURALES

Por lo tanto, hemos probado que la fórmula (*) es válida si

n = 1 .Supongamos la validez de (*). Entonces, vamos a calcular

(* *) i i + . . . + •( n + l ) + l (n + 1) + 2 ' * ' (n + 1) + (n + 1 ) + 1

(n + 2) sumandos

Comparando el primer miembro de (*) con (**) observamos que ( ** ) posee los siguientes térm inos adicionales (los dosúltimos)

i i

(n + 1 ) + (n + 1) (n + 1) + (n + 1) + 1

y carece (**) del primer término de (*) o sea

1n + 1

Por abuso de notación podríamos escribir (**) = (*) i z c

(::) + (:) donde ( * ) i z q denota el miembro izquierdo de (*).Si probamos que (:) < (: :) resultará —(::) + (:) < 0 con lo

que

(**) < < ~6

y tendremos el paso inductivo.

1 1(:) = + <v 2 (n + 1 ) 2 (n + 1 ) + 1

1 1 1+ . . . = - T - = (")( n + 1 ) 2 (n + 1 ) n + 1

como quer íamos probar . Ready) .

13 ) Y e t i .

97

SOTAS DE ALGEBRA 1

9 8

14) Probar inductivamente que todo polígono convexo dek lados, con k > 3 lados posee k * (

2k ~ 3 ) - diagonales.

1 5 ) Sea n 6 N. Enc ontrar una fórmula que dé el núm erode puntos de intersección de n rectas del plano de a dos noparalelas.

16) Sea la sucesión infinita

1, 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , . . , a» , a n + i , a n + 2 , . . .

donde, a partir del tercero, "cada término es suma de los dosanteriores". Esta es la l lamada sucesión de Fibonacci.Probar que para todo n € N

a Jn + 1 - a n • a n + 2 = ( - l ) n + 1

(S o l . : razon em o s p or i nd u c ci ón . S i n = l e s a i = 1 , a 2 = 2y a 3 = 3 entonces

a J2 - a, • a 3 = 4 - 1 • 3 = 1 = ( - 1 ) J

y la cosa va bien para n = 1. Supongamos

a „ + i - a n • a n + 2 = ( - l ) n + 1

entonces

< + 2_ a „ + l ' fln + 3 = < a n +l + 8 n ) J ~ a » + 1 * < « » + l + 3 " + * )

= a n + 1 + a „ + 2 • a„ • a n + A — a n + ! — a„ + x • a n + 2 =

= a„ + 2 - a n ' a „ + 1 — a „ + 1 • a n + 2 =

= a„ + 2 • a„ • a„ + i - a n + i • (a„ + a n + x ) =

= a„ + a„ • a„ + x — a n + 1 = (hasta cuan do! )

= a n — a ^ i + a „ • a„ + 2 — a n • a n + 2 + a„ • a n + x =

- a2

- ( - l ) " "1

- a „ • ( a „+ 1

+ a») + a„ • a „+ 1

= (U ff. . . )= - ( - l ) n + 1 = ( - 1 ) • ( - l ) n + 1 = ( - l ) n + 2

y se tiene el paso inductivo.



NÚMEROS NATURALES

Un ejemploNos proponemos aquí presentar un ejemplo de (llamémosle)

aritmética, bien diferente al caso tradicional. Precisemos mejoresta afirmación. Daremos un ejenplo de conjunto A dotado deoperaciones suma + y producto -, tal de satisfacer iodos losaxiomas SI a SP.

Analizaremos posteriormente la imposibilidad de definir endicho ejemplo una relación de orden que satisfaga todos losaxiomas 01 a 04. Sea entonces A un conjunto con exactamente

dos elementos que denotaremos con 0 y 1. A estos elementosle l lamamos cero y uno, respectivamente. Es muy importanteadoptar el punto de vista ingenuo, y pensar que estos dos objetos son s ímbolos nada más. Entonces A = [ 0 ,1 ) .

Definiremos suma como sigue

0 + 0 = 0 , 0 + 1 = 1

1 + 0 = 1 , 1 + 1 = 0

Podemos esquematizar esta situación utilizando una tablade sumar:

+ 0 1

0 0 11 1 0

Definiremos producto como sigue

0 - 0 = 0 , 0 - 1 = 0

1 - 0 = 0 , 1 - 1 = 1

Podemos esquematizar esta situación utilizando una tablade multiplicar:

0 1

0 0 01 0 1

Como es fácil de ver, ambas operaciones sobre A están biendefinidas, en efecto, en cada caso a todo par de elementos a y

9 9



NOTAS DE ALGEBRA I

0 + (0 + 0) y análogamen te (0 + 0 ) + 0

0 + (0 + 1 ) (0 + 0) + 1

0 + (1 + 0 ) (0 + 1 ) + 0

1 + (0 + 0 ) (1 + 0 ) + 0

0 + (1 + 1) (0 + 1 ) + 11 + (0 + 1 ) (1 + 0 ) + 1

1 + (1 + 0) (1 + 1 ) + 0

1 + (1 + 1) (1 + 1) + 1

El lector puede verificar fácilmente que operando en cadafila se obtienen los mismos valores. Por ejemplo en la fila 5:

0 + (1 + 1 ) = 0 + 0 = 0 y (0 + 1 ) + 1 = 1 + 1 = 0Hemos probado pues la validez de SI.S 2 : es inmediata.S 3 : el eleme nto 0 € A satisface las propiedades de elemen

to neutro.

S 4 : veamos que todo elemento en A posee opuesto

0 + 0 = 0 , 1 + 1 = 0

de manera que S4 queda satisfecha.P l : se demuestra en forma completamente análoga a SI .

Dejamos su verificación como ejercicio.P 3 : el elemento 1 de A posee las propiedades de elemento

neutro del producto y es además 1 ¥= 0.P 2: es inmediata.

1 0 0

b en A le hemos asociado sin ambigüedad un elemento de A, locual conforma una buena operación. Será nuestra próxima tareaverificar que estas dos operaciones satisfacen los axiomas o propiedades SI a SP.

Veamos SI: Se trata de probar que a + (b + c) = (a + b )+ c cualesquiera sean a, b , c en A. V eam os e nto nce s cuántasposibilidades habrá que considerar.

Así, a toma 2 valores. Por cada valor de a, podemos asignarle dos valores a b. Por cada elección de a y b, c puedetomar dos valores.

En definitiva, hay 2 • 2 • 2 = 8 posibilidades. Las mismasson:

NÚMEROS NATURALES

P 4 : se trata de ver que todo elemento distinto de 0 poseeopuesto. El único tal elemento es 1. Se t iene

1 - 1 = 1

de manera que P4 queda satisfecha.SP: su demostración requiere un análisis como SI. Lo deja

mos como ejercic io .Hemos pues probado nuestra afirmación: el conjunto

A = ! 0 , 1 j dotado de suma y prod ucto según (1 ) y ( 2 ) , satisface SI , . . . , SP.

Probemos ahora la imposibilidad de definir en A una relación de orden que satisfaga 0 1 , . . . , 0 4 . En e fe ct o, razonem ospor el absurdo, suponiendo la existencia de una relación deorden tal que 01 a 04 sean verdaderas.

Veamos qué relación guardan entre sí 0 y 1. Primeramente0 ^ 1 , por hipótesis. En virtud de 02 debe ser verdadera una ysólo una de las relaciones

0 < 1 ó 1 < 0

Analicemos una a la vez:

Si 0 < 1, entonces por 0 3 podemos sumarle 1 a ambosmiembros, resulta:

0 + 1 < 1 + 1 , o sea 1 < 0

lo cual contradice 02, pues 0 < 1 y 1 < 0.Si 1 < 0 un razonam iento análogo nos condu ce a un ab

surdo.En definitiva, las situaciones 0 < 1 y 1 < 0 son contradic

torias . Com o 1 0, se ve ento nce s que una relación de ordenque satisfaga 01, . . . , 04 es imposible.

(Note el lector, que no hemos utilizado todas las propiedades 01 a 04 para establecer nuestra afirmación.)

NOTA: Ya vimos en el curso que un conjunto con dosopera ciones + y • que satisfaga a 04 de be ser necesariam enteinfinito, pues

0 < 1 < 2 < 3 < 4 . . .

son todos elementos distintos entre sí .

1 0 1



NÚMEROS NATURALES

Axioma ( i ) : Axioma de Inducción. Sea L un subconjunto

de N tal queI) 1 e L

II ) Si x e L ento nces x ' G L

Entonces L = N.

A partir de estos axiomas, se prueban todas las propiedadesde la aritmética ordinaria y a la vez permite la construcción

rigurosa y sucesiva de los números enteros, racionales, reales ycomplejos. Esto está hecho, paso a paso, en un l ibro famoso deEdmund Landau: Grundlagen der Analysis, traducido al ingléscomo: Foundations of Analysis. (Hay traducción también al japonés.) Todo estudiante serio de matemática tendría que darleuna mirada a este libro.

El trabajar con los postulados de Peano y obtener las propiedades de la suma, producto y orden en los números naturales es un trabajo altamente formativo y que enseña a pensar y

a trabajar. Es un material ideal para un seminario de alumnos.

Disgresión 2. Reforma de la enseñanza de la Matemática.

¿Hay que reformar la enseñanza de la m atem ática? S I .Decididamente sí . Me parece muy importante reformar la enseñanza de la Matemática en las escuelas primaria y secundaria,pues creo sencillamente que lo que tradicionalmente se ha enseñado en Matemática, aun siendo de alguna utilidad práctica,t iene muy poco que ver con la Matemática. Matemática es ciencia y es arte y afortunadamente nadie entenderá esto "gratis"nadie entenderá a menos que "se ponga a hacer matemática".

La Matemática, igual que la música, hay que interpretarla,el ejecutante es fundamental . Esta analogía es importante enotro aspecto, es posible hacer música sin ser Bach ni Mozart nimuchísimo menos, es posible hacer música cantando, tocandoun instru m en to, en un co ro , en una orqu esta. . . Pienso since

ramente que se puede hacer matemática a cualquier nivel, másque una técnica es una acti tud.La Matemática (la única) requiere una actitud distinta y eso

es lo que habitualmente no se trasmite en la enseñanza. Serepiten teoremas, fórmulas de ésto y lo otro, pero lo más im-

1 0 3



NOTAS DE ALGEBRA I

portante queda en el t intero. Se enseña a memorizar, a repetir,

pero eso no es ciencia y menos es arte.Es un hecho que la gran mayoría de la gente no t iene lamenor idea de qué es Matemática. Aun universitarios que hanaprobado cursos de Matemática están despistados en cuanto ala Matemática. Por ejemplo, para los ingenieros y médicos Matemática es cálculo (en su forma más pedestre). Aun los profesores de matemática a nivel secundario no saben qué es Matemática, por supuesto que si lo supieran lo trasmitirían.

Es imposible saber qué es Matemática si no se es, aun en

ínfimo grado "investigador" (algo así como ejecutante, uti l i zando la analogía musical). Hay muchas formas de ser investigador, planteando, pensando, resolviendo, pero siempre en situaciones nuevas, o sea que no estén en los textos. Pero otravez, más que una técnica es una actitud.

Y ni hablemos de la diferencia entre el repetidor y el investigador. El repetidor lo entiende todo, lee los libros y lo aprende todo. El investigador en cambio entiende poco, no puedeleer muchas páginas a la vez, simplemente porque todo lo rea

l iza con extrema profundidad.Desgraciadamente la escuela forma repetidores, individuosexentos de curiosidad, pienso que la escuela puede y debeformar investigadores, no digo a lo von Neumann o Einstein,pero sí individuos con actitud creadora, inquisitiva.

Matemática Moderna en mi opinión consiste substancial-mente en trasmitir cierta acti tud (científica y artíst ica) y nouna mera actualización del recetario clásico (conjuntos, inclusión, intersección, anillo, grupo. . .)

Por otra parte debe encararse particularmente la reforma delos planes de estudio de las escuelas que forman maestros yprofesores pero debe planificarse a nivel universitario, con laparticipación de profesores, matemáticos e investigadores y delos claustros de matemática de las universidades.

En fin, lo único claro es que el camino hacia una verdaderareforma es largo, difíci l y amenazado constantemente por todasuerte de intereses que conducen a un abismo.

1 0 4



C A P I T U L O I I I

A N I L L O D E E N T E R O S R A C I O N A L E S

En el principio hemos introducido los números reales, omás precisamente un conjunto R dotado de operaciones desuma y producto y de una relación de orden con un conjuntode propiedades que caracterizan su estructura de cuerpo ordenado; para lograr efectivamente los reales hace falta introduciren R una noción de completidad, que no es cuestión de definiren este momento.

La estructura de cuerpo ordenado completo caracterizaefectivamente a los números reales. Se prueba el resultado siguiente: hay, salvo isomorfismos, un único cuerpo ordenadocompleto y esto caracteriza al cuerpo real.

Este resultado se demuestra en cursos más avanzados.Den tro del cuerpo R consideramos el conjun to N de núme

ros naturales. Intuitivamente podemos decir que N es el sub

conjunto de R generado por el 1 "vía" la suma:

1

2 = 1 + 1

3 = 2 + 1

4 = 3 + 1

en general , si m e N entonces m + 1 G N.El conjunto de números naturales, probamos en su oportu

nidad, es un conjunto bien ordenado. Mencionemos también

1 0 5

NOTAS DE ALGEBRA I

a — b G N si b < a

a - b = 0 si a = b

a - b G N~ si a < b .

En efecto, las dos primeras son evidentes. Veamos la tercera

si a < b e ntonce s b — a G N, por lo tanto

—(b — a) G N - , o sea a — b G N _ .

1 0 6

que N es "estable" respecto de la suma y del producto en R, osea

si x , y 6 N entonces x + y G N y x • y £ N.

Adem ás 0 N. N o es cier to en general qu e si a, b G Nenton ces, a — b G N. Es to ocurre si y solo si b < a. Por ejemplo :

1 - 1 = 0 4 N

1 - 2 = - 1 i N1 - 3 = - 2 $ N.

Indiquemos por el momento con N _ = { - a / a G N } . E sclaro que

N - = { - 1 , - 2 , - 3 , - 4 , . . . } .

O sea si x G N entonces —x G N ~ .

Rec íprocamente , s i z G N — , significa que z = —m conm G N. Por lo tanto —z = — (—m) = m G N. En definitiva

x G N si y solo si —x G N — .

Notemos que

N n N~ = <j>

pues los elementos de N son positivos y los de N_

son negativos.Además, dados a, b G N

ANILLO DE ENTEROS RACIONALES

Definición

Llamamos conjunto de números enteros (en R) al conjunto

Z = N u { 0 } u N ~ .

Notemos que

x G Z y 0 < x implican x G N

o sea los naturales se identifican con los enteros positivos.

Proposición

No existe z G Z tal que 0 < z < 1.

Demostración

0 < z implica que z G N, por lo tanto 1 < z, lo cualexclu ye z < 1 . No existe pues tal z.

Proposición

Dado n G Z, no existe z G Z tal que n < z < n 4- 1 .

DemostraciónSi n > 0 ento nce s un tal z sería natural y se tend ría un

absurdo, pues no hay naturales estrictamente mayores que n yestrictamente menores que n + 1 . Si n = 0 lo dem ostramos enla propo sic ión anterior . Sea pues n < 0 . En tonces den < z < n + 1 resulta

—(n + 1) < —z < —n.

Pue sto q ue n < 0 , se tiene —n > 0 , o sea —n G N, o sea—n > 1 , p or lo ta nto —n —1 > 0 , o sea —<n + 1 ) > 0 . P odem osescribir

0 < —(n + 1 ) < —z < —n.

1 07

NOTAS DE ALGEBRA I

Por los dos casos anteriores la existencia de un tal z esimposible.

De acuerdo con estos resultados, la representación de Z enla recta real es la de un conjunto discreto del tipo

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5o e 0 o »— e —Q—o —e—e—e—

Teorema

Z posee las siguientes propiedades:

I) Z es estable para la suma, o sea x, y G Z implica x ++ ye Z.

II) Z es estable para el producto, o se x, y e Z implicax • y G Z.

III ) z e Z implica —z e Z.

Demostración

Probemos primeramente II I). Sea z e Z, entonces

z = 0 implica —z = —0 = 0 e Z

z e N implica —z e N~ c Z

z e N~ implica z = ~a, a e N. Luego —z = —(—a) == a e N c Z en cualquier caso —z e Z.

Probemos I). Sean x, y € Z. Si x = 0 ó y = C es muy fácilver que x + y e Z. Sean pues x # 0, y # 0.Si 0 < x, 0 < y entonces x, y e N y es claro que x +

+ y e N.Si x < 0, y < 0 entonces x = —a, y = —b con a , b e N.

Por lo tanto

x + y = - a + (—b) = —(a + b) e N _ c Z.

Queda por analizar el caso

x < 0 , 0 < y

o sea x e N~, y e N. Escribamos x = —a, a e N.Entonces

108

si a < y , x + y = — a + y = y — a e N C Z

si y < a , - ( x + y ) = - x 4- ( - y ) = a - y G N u { 0 } CZpero entonces x + y = —(—(x + y)) e Z según III).

El caso x G N, y 6 N~ es análogo al precedente. Por lotanto hemos probado que en cualquiera de los casos analizadosx 4- y G Z.

La demostración de II) la dejamos como ejercicio para ellector.

Notas: 1) Se sigue de III) que todo entero z es de la forma- t , t e z .En ef ec to , —z G Z según II I) . Como z = — (—z) nuestra

afirmación está en regla.2) Sea x , y G Z. Enton ces z — y G Z. En efec to x — y =

= x + (—y) com o - y e Z, nuestra af irmación es consecuenciadel teorema que acabamos de probar. Recordemos que ya varias veces hemos visto que esta propiedad no es válida en N.

3) Z equipado con la suma y producto de R, satisface las

propiedadesS . l , S .2 , S .3 , S .4 , P . l , P .2 , P .3 , D

En virtud de esto decimos que la suma y producto definensobre Z una estructura de anillo, o simplemente que Z es unanil lo: el anillo de enteros racionales.

La propiedad P.4 no es válida en Z, o sea no es cierto quepara todo m G Z, m j= 0, exista inverso multiplicativo de m en Z

(en Z, en Z). Podemos determinar qué enteros poseen inversoen Z (en Z, en Z).Estos son exactamente

1 y —1 pues

1 * 1 = 1

( - 1 ) • ( - 1 ) = 1 .

Recíprocamente, si a G Z es inversible en Z (en Z, en Z)podemos escribir

a • c = 1 con c G Z (c G Z, c G Z ).

1 0 9

NOTAS DE ALGEBRA I

Ejemplo

2 T

En efecto , s i — — G Z entonces — = — ( — — ) G Z, lo cual' 2 2 2 7 '

no es asi .

1 1 0

Si O < a en ton ce s 0 < c (po r la regla de los signos) por lotanto a y c son naturales, o sea a es inversible en N. Digo que a

debe ser 1; si no lo fuera tendríamos 1 < a.Por lo tanto dado que 1 < c

1 < c •< c • a = 1

con lo que 1 < 1, absurdo.Debe ser pues

a = 1 = b.

Si a < 0, entonces de a • c = 1 resulta (—a) • (—c) = 1 ,pero ahora 0 < —a y estam os en el caso an terior, o sea —a == 1 = — c, lo cual implica a = — 1 . Hem os pues probado que losúnicos elementos inversibles en Z (en Z) son 1 y — 1 . Se lossuele denominar las unidades de Z.

Notemos también que en Z se satisfacen los axiomas deorden 0.1, 0.2, S.C y P.C. En virtud de todas estas propiedades(suma, producto y orden) decimos que Z es un anillo ordenad o .

Ejemplo

I) 1 < 2 implica -|- < 1 . Com o 0 < - 1 - , se t iene 0 < - ± - <

< 1 . Con esto pod emos afirmar que -|- ^ Z.

II ) o tra d em ostrac ión. Supong amos -—• £ Z. Puesto que2 • ~Y = 1 se tendría que 2 es inversible en Z. Debe ser 2 = 1,

absurdo ó 2 = — 1 , absurdo. Luego — ^ Z.

Nota: Z no es un conjunto bien ordenado.

En efecto, basta mostrar un subconjunto no vacío, sin primer elemento. Eso es fáci l . N~ no tiene primer elemento. Efectivamente, si x 6 N~ , entonces x = —a, a £ N . Como a < a + 1 ,es —(a + 1) < —a = x . Com o —(a + 1 ) 6 N _ , x no es primerelemento de N - . P ero x es arbitrario en N - . Se sigue que N -

no tiene primer elemento.

Proposición

Sea z G Z. Entonces S z = { m/m G Z y z < m } es unconjunto bien ordenado. S z se denomina la sección o semirrectacerrada a derecha de z.

Por ejem plo S, = N, S 0 = N U { 0 } .

Demostración

(Se aconseja al lector seguir la demostración paralelamentecon p or ejemp lo K = { — 3, — 1 , S } ) .

Sea K un subconjunto no vacío de S z . Sea

K' = { k + Izl + 1/k G K }

la traslación de K a la derecha en |zl + 1 unidades. Puesto que

a) z < k cualquiera sea k G Kb) —z < \ z \ o sea 0 < z + Izl y así

1 < z + Izl + 1

se sigue que

1 < k + Izl + 1 cua lquiera sea k G K .

En otros términos

K ' C N

y siendo no vacío, posee primer elemento t . Entonces

t - (Izl + 1 )

1 1 1

NOTAS DE ALGEBRA I

I ) z G Z s i y s o l o s i 2z G Z

II ) z G Z s i y s o l o s i — z G N

III ) Z G Z s i y s o l o s i z 2 G Z

I V ) z G Z s i y s o l o s i z 2 = 1

V ) z G Z s i y s o l o s i i - = 1

(Lector : s i y solo si , significa que debe probar dos cosas:sólo si o sea -> y si *-.)

4 ) Mismo ejercicio que 3) , pero ahora z deno ta un númeroentero .

I ) z G N si y solo si z 2 G N

II) z G N si y solo si — z N

III ) z G N si y solo si 2z G N

I V) z G N si y solo si z + 1 > 0.

5 ) I ) Q ué en teros z , — 1 0 < z < 1 0 s e escriben en la fo rm a4 m + 1 para algún m G Z. ídem 4m — 1 .

II) Q ué . enteros z ,— 1 0 < z < 10 se escriben en la forma4m + 3 para algún m G Z. ídem 4m — 3.

1 1 2

es primer elemento de K. Esto prueba que S 2 es bien ordenado.

Ejercic ios

1 ) ¿Cuáles de los siguientes núm eros reales son e ntero s?Dar razones.

J _ JL 2LL _L ~ 2 0 2

2) Probar que no existe ningún entero m tal que m 2 = 3 .

3) Las siguientes afirmaciones pueden ser V (verdadera), F(falsa) o SC (sin comentario). Dar a cada una de ellas la asignación correspondiente, z denota un número real .

III) Qué enteros z, —20 < z < 20 se escriben en la forma

6m + 1 para algún m e Z .IV) ¿Hay números enteros z que puedan escribirse en la

forma 4m + 1 y 4m' + 3 s imultáneamente?

6) ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de Z son multiplicativos, cuáles aditivos?

I ) N

II ) N~II I) { 2k/k E Z }

IV ) { 2k + 3h/k € Z y h e Z }

V ) { ( - 1 ) > 6 N )

V I) { 2 n /n e N }

V II ) { 4k + 1/k e Z }

7) Calcular en Z

1 - (2 - (3 - (4 - (5 - (6 - (7 - (8 - (9 - (1 0 - 1 1 )) )) )) )) )

(Solución: es uno de los números 6, 7, 8)

8) Dado x € R encontrar m G Z tal que m < x < m + 1en los casos siguientes:

1 2 3 3l ) x = - — 4 ) x = - — - 7 )

2 ' 3 ' - 8

7 172 ) x = - — 5 ) x = - 1 7 8 )

3 ' ' - 2

1 8 1 2 - 3 13 ) x = — - 6 ) x = - — - 9 ) - — -

( S o l .: 4 ) - 2 4 < - 2 3 < - 2 1 , lu eg o - - M - < - <

< -Jir o sea - 8 < - < - 7 )8 3

1 1 3



NOTAS DE ALGEBRA I

Divisibilidad en Z (el anillo de enteros racionales).

Sean a y b entero s. Sea a 0 .

Definición

Se dice que a divide a b (o que b es múltiplo de a, o que bes divisible por a, o que a es factor de b, o que a es divisor deb) en Z si existe c 6 Z tal que b = a • c .

Lo denotamos con el símbolo a|b, ó a/b. Con a/b deno

tamos la negación de a|b.

Ejemplos

I) si a i= 0, a|a, a|a • c cualquiera sea cG Z,en particulara|a 2, a|a 3, . . . a|an si n G N,

II) cualquiera sea x G Z , l|x, — l|x,

III) si a =/= 0, a|—a y —a|a,

IV) si a # 0, a||a| y |a||a.

Se sigue que to d o a 0 pose e al m enos los siguientesdivisores

1 , - 1 , a , - a

A tales divisores de a los llamaremos divisores impropios de ai

Ejercicios

Probar las siguientes afirmaciones:1 .

I) a, b, c € Z. Prob ar q ue si a|b y b|c en to nc es a|c.

II ) a, b e Z . Prob ar q ue si a|b y b|a en ton ces a = b ó a = — b.III ) si a G Z, a|l entonc es a = 1 ó a = — 1 .

IV) si a|b y a|c entonces a|b + c y a|b — c.

V) si a|b + c y a|b entonces a|c.

1 1 4

2.¿Es cierto que si a|b*c entonces a|b o a|c?¿Es cierto que si a|b + c entonces a|b o a|c?

¿Es cierto que si a|b y c|b entonces a-c|b?

3 . I) Probar que a|b si y solo si a||b|.

II) Probar que a|b si y solo si |a||b.

III) Probar que a|b si y solo si |a|||b|.

Ejercic ios

1) Probar que para todo n G N, 4 n — 1 es divisible por 3.(Sol . : Razonando inductivamente, si n = 1, se trata de ver si

4 1 — 1 es divisible por 3. Es to es cie rto . Supon gam os ciertoque 4 n — 1 es divisible por 3 . Se tratará de prob ar que4 n + 1 — 1 es divisible por 3 . Para ello escribim os

4 n + i - i = 4 . 4» - 4 + 4 - 1 = 4 • ( 4 n - 1 ) + 3.

4 " — 1 es divisible por 3, al igual que 4 • ( 4 n — 1), además 3es divisible por 3, por lo tanto la suma 4* (4 n — 1) + 3 == 4 n - + 1 — 1 es divisible por 3. Esto prueba la validez del pasoinductivo. Por lo tanto nuestra afirmación es, en virtud delPrincipio de Inducción, válida cualquiera sea n.)

2) Probar que para todo n G N , 3 2 n + 1 + 2 n + 2 es múl

tiplo de 7.(Solución: Para n = 1, se t iene 3 2 ' 1 + 1 + 2 1 + 3 = 27 +

+ 8 = 3 5 = 7 - 5 con lo que nuestra afirmación es válida eneste caso. Sea entonces válida para n, la probaremos para n + 1 .Escribimos:

g 2 ' ( n + l ) + l _|_ 2 < n +D + 2 _ 3 2 1 1 + I + 2 + 2 n + 2 + 1 =

= 3 2 n + 1 . 3 2 + 2 n + 2 • 2 =

= 3 2 • 3 2 n + 1 + 3 2 • 2 n + 2 — 3 2 • 2 n + 2 + 2 n + 2 • 2 =

= 3 2 • ( 3 2 n + 1 + 2 n + 2 ) — ( 3 2 — 2 ) • 2 n + 2 =

= 3 2 • ( 3 2 n + 1 + 2 n + 2 ) — 7 • 2 n + 2

1 1 5



NOTAS DE ALGEBRA I

Ejemplos

1 no es primo, pues posee sólo dos divisores: 1 y —1.—1 no es primo, pues posee sólo dos divisores: 1 y — 1.

0 no es primo, pues posee más de cuatro divisores (cualquier entero no nulo divide a 0).

1 1 6

y de aquí resulta inmediatamente la validez de nuestra afirmación para n + 1 , por lo tanto concluimos que la misma es c iertacualquiera sea n € N.)

3) Probar que cualquiera sea n e N

I) 3 2 n + 2 + 2 6 n + 1 es un múltiplo de 11,

I I ) 3 4 n + 2 + 2 • 4 3 n + 1 es múltiplo de 17,

I I I ) 2 2 n _ 1 - 3 n + 2 + 1 es divisible por 11,

IV) 3 2 n + 2 — 8n — 9 es divisible por 6 4 .

4 ) Probar que cualquiera sea n € N el núm ero 7 2 n + 1 — 4 8n — 7 es divisible por 288.

5) Probar que cualquiera sea n € N el número 3 • 5 2 n + 1 ++ 2 3 n + 1 es divisible por 17.

6) ¿Cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas?

I) 3 " + 1 es divisible por n cualquiera sea n € N.

I I ) 5 2 es divisible por 5 cua lquiera sea n e N .

I I I ) 2 • 5 n + 1 es divisible por 4 cualquiera sea n e N.

I V ) 1 0 2 n — 1 es divisible por 11 cualquiera sea n G N.

V ) 2 n • 3 n + 1 — 5 n • 7 3 n + 2 es divisible por 1 cualquierasea n e N.

Definición

Llamaremos número prirho a todo número que posee exactamente 4 divisores.

Ejemplo

Notemos que si p es primo entonces —p es primo. Por lotanto —2 es primo.

E jemplo

3 es prim o. E n e fe c to , a - b = 3 y a > l im plican b > 0 ypor lo tan to 3 = a - b > . l « b = b , con lo que b = 1 ó b = 2 .

Si b = 2, a > 1 implica a > 2, por lo tanto 3 = a • b >> 2 • 2 = 4, absurdo.

Se sigue que b = 1, con lo que a = 3. Si a < 0 escribimos3 = (—a) • (—b) y estamos en el caso anterior, por lo tanto—a = 1 ó —a = 3 , es d ecir a = —1 ó a = — 3. Lo s divisores sonlos impropios. 3 es primo.

E jemplo

Au nqu e 2 y 3 son primos, NO vale la indu cción! 4 no es

primo. En efecto , 4 = 2 • 2 , c o n 2 £ { 4 , — 4, 1 , — 1 } .

E jemplo

5 es primo. Lo dejamos como ejercicio para el lector.

1 1 7

E jemplo2 = 1 + 1 es un número primo.En efecto, sean a y b en Z tales que 2 = a • b .Sea a > 0.Entonces si a =¿ 1, a € N y es así a > 1. Como b > 0, pues

a > ó y a • b = 2 > 0 , r esu lta a • b > 1 • b, es decir 2 > b*Pero esto implica b = 1 y como consecuencia a = 2. Si

a < 0 enton ces escribim os 2 = a • b = (—a) • (—b) y estamos enel caso anterior, entonces — a = 2 ó — a= 1 , o sea a = —2 óa = - l .

Esto muestra que los únicos divisores de 2 son impropios. 2es pues primo.

XO TAS DE ALGEBRA 1

Ejercicio

I) Probar que para todo nG N, n es par si y solo si n 2

es par.II) Probar que n G N es par si y solo si para todo j G N ,

n 1 es par.III) ¿Cuáles de los siguientes números enteros son pares,

n G N ?a) 3 • n 2 + 1b ) n • (n + 1)c) (n - 1) • (n + 1 )d ) n 3 - ne ) ( - l ) n _ 1 • 3 + ( - l ) n • 3f ) n • (3n + 1)g) (n + 1) (5n + 2)

IV) Probar que no hay enteros simultáneamente pares eimpares.

Ejercic io

Probar que hay dos únicos primos pares.

Proposición

Sean a, b, c números naturales. Entonces

a = b • c implica b < a y c < a.

DemostraciónTratándose de números naturales

1 < b por lo ta nt o c • 1 < c • b o sea c < a.

1 < c por lo tan to b • 1 < b • c o sea b < a.

Definición

Un número entero m se dice par (respect. impar) si 2lm(resp. 2/m).

1 1 8

Demostración

Sea a = r • s, con r 4 1 , — 1, a , —a.Tomando valor absoluto resulta |a| = |r| • |a|.

E n virtud de la p ro po sició n an ter ior 1 < |r| < |a|. Pe rosiendo r 1 , — 1 , a, —a se cum ple que

1 < Ir| < |a|.

Finalmente puesto que r divide a, t = |r| es el número quebuscábamos.

Esta proposición la uti l izaremos continuamente.

T eo rem a

Todo entero distinto de 1 y —1 es divisible por un númeroprimo.

Demostración

Razonemos por el absurdo. Supongamos que exista un en

tero # 1 , - 1 n o divisible por ningún prim o. Es claro que si t esun t al e n te ro , |t| tam po co es divisible po r ningún prim o. Peroesto dice que hay enteros positivos ^ 1 no divisibles por ningúnprimo.

Por lo tanto si l lamamos H al conjunto de enteros positivos^ 1 no divisibles por ningún pr im o, se sigue que H 4 4>, Es claroque 1 ^ H, pues lo hem os ex cluido desde el principio. Por BOde N, se sigue que H posee un primer elemento g (g sería elmenor entero posit ivo 4 1, no divisible por ningún primo).

Está bien que g no sea primo, pues entonces g|g y g seríadivisible por un primo. Por lo tanto, se sigue de la proposicióna nte rio r qu e e xiste k G N , l < k < g t a l q ue klg.

Pero k < g implica k ^ H, por lo tanto k es divisible porun primo p.

Pero como k|g se concluye que p|g, una contradicción. La

1 1 9

Proposición

Sea a 6 Z. Si a 1 , — 1, 0 y a no es un núm ero primoexiste t G N tal que 1 < t < |a| y t|a.



NOTAS DE ALGEBRA 1

120

contradicci ón provino de suponer la existencia de ente ros # 1,—1, no divisibles por primos.

El teorema quedó demostrado.

T eorem a

Existen infinitos primos en Z.

Demostración

(Nos fue comunicada por Euclides.) Razonemos por el absurdo, suponiendo que hay a lo sumo un número finito deprimos.

Sean éstos

Pl > P l , - - •> Pk-

O sea, cualquier primo en Z es alguno de los pi. Formemos

el número entero

n k = i p, = p, • p 2 . . . P k

producto de todos los primos Pi , P2 > . . . , Pk •E n ton c es

( n k= 1 Pi) + 1

es un número entero que no es ni 1 ni —1 (¿por qué? ) . Por lotanto es divisible por un primo q. O sea

a) q i n f ^ P i + l

pero como q es uno de los p t

b ) q i n k= 1 P i

de (a) y (b)| se deduce queq 11

por lo tanto q = 1 ó q = —1, absurdo (pues q es primo).Se ccncluye que hay inf initos primos en Z.

A N I L LO D E E N T ER O S R A C IO N A L E S

Criterio para encontrar primos (Criba de Eratóstenes). Sea

a e N , a # 1 en tonces a es divis ible por un primo posi tivo. Osea, el conj un to de primos posit ivos que divide a es no vac ío ,por lo tanto posee un elemento mínimo que denotamos con p.Es así a = p • x. S i a no es primo entonces 1 < x , y por elcarácter mín imo de p debe ser p < x. Por lo tan to p < x implica p 2 < px = a.

Antes de seguir adelante hagamos una definición. Para cadaentero positivo a llamaremos raíz cuadrada entera de a, al máximo de los enteros y tales que y 2 < a . (La raíz cuadrada

entera existe pues el conj un to de y e N tal que y2

< a, esacotado superiormente, a es una cota superior pues 1 < y implica y < y 2 < a) .

Denotemos la raíz cuadrada entera de a por -4 / a. Veamosalgunos ejemplos

a / a "

1 12 1

3 1

4 21 5 3

17 4

9 9 9

Por lo tanto volviendo a nuestra discusión, si a no es primo

a es divisible por un primo p tal que p < Por ej emp lo, elnúmero 101 . Es >¡/ 10 1 = 10 , los primos menores o iguales que10 son 2, 3, 5, 7, pero 2/1 0 1 , 3 /10 1 , 5 /1 0 1 , 7 /101 (hacien dola cuentita), por lo tanto 101 es primo. Por supuesto que estemétodo supone el conocimiento de los primos más chicos, estoes la esencia de la criba de Eratóstenes, que consiste en escribirlos someros naturales e ir tachando con cada número todos losmúltiplos que le siguen «

1 2 3 ^ 5 ) 8 ' 7 0 ' ^ ^1 1 V Í 1 3 \ 4 J ¿ 17 ^ 1 9 2<J

24 2¿ 2 3 24 ,2¿ 24 2fl 2¿ 2 9 3 0

1 2 1

NOTAS DE ALGEBRA I

Ejercic io

Probar que si p k es el k-simo primo positivo (en el orden

de N) entonces

Pk + i < Pi * Pz • • • Pk - 1 .

Ejercicio (Muy difíci l )Probar que todo entero par, mayor que 4, es suma de dos

primos impares, por ejemplo:

6 = 3 + 3

8 = 5 + 3

1 0 = 5 + 5

1 2 = 7 + 5

1 4 = 7 + 7

(Nota: este ejercicio es la famosa conje tura d e Goldbach

no resuelta aún. Se sabe que si n par está en el intervalo 6 << n < 1 0 0 .0 0 0 entonces n es suma de dos primos impares. Losmatemáticos más notables en teoría de números han trabajado en esta conjetura, no se sabe aún si la misma es verdadera o falsa. Se trata pues de dar una demostración de la misma o de otro modo mostrar un número par que no sea sumade dos primos impares. Esta conjetura data del 1742, de unacarta que Goldbach 1c envió a Euler.)

E jercic io

Probar que si la conjetura de Goldbach es cierta, entoncestodo número impar mayor que 9 es suma de tres primos impares.

1 2 2

Ejercic io

Determinar cuáles de los números siguientes son primos

1 1 3 , 1 2 3 , 1 3 1 , 1 3 7 , 1 3 8 , 1 4 1 , 1 5 1 , 1 8 3 , 1 9 9 , 2 0 1 , 4 0 1 , 5 0 3 .

Teorema. Existencia de algoritmo de división en Z

Sean a y b £ Z, b > 0.Entonces

1) existen enteros q y r tales quea = b • q -r r con 0 < r < b

II) a = b • q +• r con 0 < r < ba = b • q' + r' con 0 < r' < b

implican q = q ' y r = r\q y r se denominan respectivamente el cociente y el resto de ladivisión de a por b. Parte I) asegura la existencia de cociente yresto. Parte II) establece la unicidad de q y r.

Demostración

I) Sea N 0 = N u i 0 ¡. N 0 no es otra cosa que la semirrectacerrada a derecha, de origen 0, o más pedestremente es el conjunto de números naturales con el 0 agregado. N 0 es un conjunto bien ordenado según se vio más arriba.

SeaL = { a - k • b/k € Z ¡

la totalidad de enteros de la form a a — k • b, para algún k £ Z.Por e jemplo:

a = a — 0 - b € L ,a — b = a — 1 • b € L ,

a + b = a — ( - 1 ) • b £ L.

Ejercicio (para fijar las ideas)

I) 0 £ L si y solo si b a.

II) L = Z si y solo si b = 1

Afirmamos que

L n Ng r ^ (*)

1 2 3

NOTAS DE ALGEBRA I

En efec to

si 0 < a enton ces a — 0 • b = a £ L H N 0

si a < 0 ento nce s 0 < —a y com o 0 < b es 1 < b , o sea0 < b - l .

Por lo tanto

0 < ( - a ) • b - ( - a ) = a - a « b € L n N 0 .

Queda probada nuestra af i rmación (* ) . Puesto queL n N 0 c N 0 y N 0 es BO. L n N 0 posee un elemento minimal

r. Las propiedades de r sonr = a — q • b para algún q e Z,0 < r,r < a — k • b cualquiera sea k G Z .Se sigue que

a = q • b + r, 0 < r.

Quedaría por ver que

r < b.

Razonemos por el absurdo, suponiendo b < r. Entonces

a = q - b + r = ( q + l ) - b + ( r — b )

b < r implica r — b > 0

con lo que r — b e L n N 0 . Debe ser pues

r < r — bo sea

b < 0 absurd o.

Se sigue que r < b, y I) queda probado.

I I ) Sean

a = q - b + r 0 < r < b ,

a = q ' • b + r ' 0 < r ' <• b .Por lo tanto

(q ~~ Q') * b = r ' — r

1 2 4

1 2 5

y tomando valor absoluto

|q - q'l • b = |r' - r|.

Si |q — q'| > 0 ento nce s lq — q'l > 1 , por lo tan to

|r' — r| = |q — q'l • b > b. (* * )

Por otra parte r > 0 implica —r < 0 y as í r' — r <r r < b

r < b < b + r ' implica —b < r ' — r.

De r ' — r < b y —b < r* — r deducimos que |r' — r| < b, locual contradice (** ) .

D eb e ser pues |q — q'l = 0 con lo que q = q ' y r = r' .El teorema ha sido demostrado.

E j em p l o

I ) b = 4 2 3 1 , a = 7

4 2 3 1 = 7 - 6 0 4 + 3 q = 6 0 4 , r = 3

II) b = - 4 2 3 1 , a = 7

- 4 2 3 1 = 7 • ( -604) + ( - 3 ) = 7 - ( - 6 0 5 ) + 4

q = - 6 0 5 , r = 4

Corolario

Sean a y b e Z, a # 0 . Ex is ten entonces únicos enteros q , rtales que

b = a • q + r co n 0 < r < |a|.

DemostraciónSean q y r tales que b = |a| • q + r con 0 < r < |a|.Entonces, si a > 0 nada hay que probar. Sí a < 0, entonces

|a| = —a y podemos escribirb = a • (—a) + r co n 0 < r < |a|.

La unicidad es inmediata.



NOTAS DE ALGEBRA I

Ejercicios

1) Efectuar la división de b por a en los casos siguientes:

1) b = 95 7 , a = 12 I I ) b = 24 66 , a = - 1 1

I I I ) b = 12 7 , a = 99 I V ) b = 13 2 , a = - 8 9

V ) b = - 1 3 5 6 , a = - 7 1 V I ) b = - 9 8 , a = - 7 3

2 ) Dad o m G Z , m 4 0, hallar los restos posibles de m 2 ,m 3 en la división por 3, 4, 5, 7, 8, 11.

3) Sean a y b enteros, b > 0. Determinar la división deb — a por b, a partir de la división de a por b.

4) Sean a y b enteros b 4 0 . Si a — b = 1 7 5 y la divisiónde a por b t iene cociente 15 y resto 7, hallara y b.

5) Probar que todo entero impar, que no es múltiplo de 3es de la forma 6m ± 1, m entero.

6) Probar que si n es un entero cualquiera, entonces losnúm eros 2 n + l y y - n « ( n + l ) son co prim os.

7) Sean a y b enteros. Entonces a 3 — b 3 es divisible por 11si y solo si a —b es divisible por 11. (Sugerencia: estudie, dadom e Z , m 4 0, los restos posibles de m 3 en término de losrestos de m.)

8) Probar que si a y b son enteros, entonces a 2 + b 2 esdivisible por 7 si y solo si a y b son divisibles por 7. ¿Es lomismo cierto para 3? ¿Para 5?

9) Probar que: 1) la suma de cuadrados de tres números nodivisibles por 3 es un múltiplo de 3. 2) la diferencia de cuadrados de dos números no divisibles por 3 es un múltiplo de 3.

Aplicaciones del algoritmo de división (AD)

Arromanches 6-VI -1944

1) Máximo común divisor.Sean a y b enteros, b 0.

1 2 6

1 2 7

T eo rem a

Ex iste d e N con las siguientes propiedades:

I)d|a y d|b

II) existen enteros u y v tales que d = u • a + v • b

DemostraciónVamos a suponer, sin pérdida de generalidad, que b es posi

t ivo, o sea b e N . Para demostrar nuestra af irmación procederemo s indu ctivamen te en b . A sí, si b = 1 , la cosa es fácil , enefecto d = 1 tiene las propiedades pedidas, pues

Ha , l|b,

1 = 1 • a + (1 — a) • 1 (o sea u = 1 , v = 1 — a ) .

Sea entonces 1 < b. Supondremos el teorema cierto paratodos los enteros posit ivos menores que b, cualquiera sea a.Será nuestra tarea probar que el teorema es cierto para b. Envirtud del algoritmo de división podemos escribir

a = b ' • b + r con 0 < r < b (*)

si r = 0 entonces b|a y nos basta tomar d = b para probar elteorema dado que si d = b

d|a y d|b

d = b = 0 * a + l « b (u = 0 y v = 1 ) .

Si r ^ 0 , ent on ces 1 < r < b . Por la hipótesis inductivaaplicada a r existe d e N tal que

d|b y d|r ( * * )

y existen enteros z, x tales que

d = x • b + y • r .

Notem os que de (* ) y (** )



NOTAS DE ALGEBRA I

d\b y d|r implican d|a

por lo tanto

d|a y d|b

además

d = x - b + y - r = x - b + y - ( a — b ' • b) =

= x - b — y - b , - b + y - a = y • a + (x — y • b ' ) • b .

Pero todo esto nos dice que el teorema es cierto para b. Envirtud del principio de inducción (o mejor de su variante) elteorema es cierto para todo b y a. El teorema queda demostrado.

E jemplo

Determinemos d en la si tuación b = 45, a = 84.La demostración del teorema precedente nos sugiere la for

ma de encontrar d. La idea es usar divisiones sucesivas

8 4 = 4 5 - 1 + 39

45 = 39 • 1 + 6

39 = 6 = 3 • 2

entonces (recordemos que en el teorema anterior el d asociado

a a y b era el m ismo que el asociado a b y r, 'y esto lopodemos seguir)

el d asociado a (84,45) = d asociado a (45,39) = d

asociado a (39,6) = d asociado a (6,3) = 3 pues 3|6

según se vio también en la demostración del teorema. Veamoscómo encontramos los u y v; despejando 3 en términos de 84 y

45 resulta3 = 39 - 6 • 6 = 3 9 - 6 • (45 - 39 • 1) = 7 • 39 - 6 • 45 =

= 7 • (8 4 - 45 • 1) - 6 • 45 = 7 • 84 - 13 • 4 5 =

= 7 • 8 4 + ( - 1 3 ) • 45

1 2 8

Ejemplo

El mismo problema con —84 y 45. Del ejemplo anterior setiene

d = 3 = 7 • 8 4 + ( - 1 3 ) • 4 5 = ( - 7 ) • ( - 8 4 ) + ( - 1 3 ) • 4 5

d = 3 es solución.

E jemplo

El mismo problema con 84, —45.

d = 3 = 7 • 8 4 + ( - 1 3 ) • 45 = 7 • 84 + 13 • ( - 4 5 )

d = 3 es solución.

Ejercic io

Sean k, a, b G Z. Probar que si k|a y k|b entonces k|(a, b).

T e o r e m a

El d obtenido en el teorema anterior es único, o sea sid ' e N s a t i s f a c e

I ) d'|a y d'|b

II) existen enteros u' y v ' tales que d' = v' • a + v ' • bentonces d = d' .

Demostración

d|a y d|b, y d ' = u ' • a + v' • b implican d|d\ luego d < d 'd'|a y d'|b, y d = u * a + v ' b im p lic an d'|d, lu ego d ' < d ,

por lo tanto d = d' .

Definición

Dados a, b G Z , b ¥ = 0. Entonces el único entero posit ivo

1 2 9

NOTAS DE ALGEBRA I

Proposición

Sean a y b enteros, a 4 0, b # 0 entonces (a , b) = (b, a) .

Demostración

El teorema primero de esta sección muestra esta simetría.

E jercic ios

1) Prob ar que un en tero p es primo si y solo si ; Vm , m G Z,p|m ó (p, m) = 1.

2) Sean a y b enteros. Probar que (a, b) = a si y solo si a|b.

La denominación de máximo común divisor está motivadapor la siguiente

ProposiciónSean a, b G Z, no simultáneamente 0. Sea kG N. Entonces

kla y k|b implican k < (a, b ) .

O sea (a , b ) es el mayor (en sentido de ord en ) divisor común de a y b.

Demostración

Escribiendo (a, b ) = u • a + v • b, se sigue de k|a y k|b quek|(a, b ) por lo ta nt o, tratán dose de núm eros na turales, k << (a , b ) .

1 3 0

asociado al par a, b se denom ina el máximo común divisor

(m.c.d.) de a y b, y se denota con (a, b).

Nota: Por ahora la definición es asimétrica, pues está definida para pares a, b c >n b 4 0. No definimos por ahora máximo común divisor de ü y O.

(Pregunta: ¿es cierto que si k G N, k < (a, b) implica k|a yk|b?)

N o t a : Hint universal en Aritm ética: S i (a, b ) = d en toncesd = u • a + v • b .

N ota: (a , b ) = u • a + v • b; u, v G Z se denomina unarepresentación del máximo común divisor de a y b como combinación lineal entera de a y b. Dicha representación no esúnica, por ejemplo (6, 4) = 2

2 = 2 - 4 + ( - 1 ) • 6

= (2 + 3) • 4 + ( - 1 - 2 ) • 6

= (2 + 6) • 4 + ( - 1 - 4 ) • 6 .

En general si (a, b) = u • a + v • b y t es múltiplo de a yd e b ; t = a • h = b • r

(u + h) • a + (v — r) • b

= u • a + v • b + u • a — r • b

= (a, b ) + t - t

= (a , b ) .

E jemplo

Hallemos el máximo común divisor de 234 y 129 expresándolo como combinación l ineal entera en estos números

23 4 = 1 29 • 1 + 10 5

1 2 9 = 1 0 5 • 1 + 24

1 0 5 = 2 4 • 4 + 9

2 4 = 9 - 2 + 6

? = 6 • 1 + 3

6 = 3 • 2( 2 3 4 , 1 2 9 ) = 3

1 3 1



NOTAS DE ALGEBRA I

Generalización del máximo común divisor

a) Sean a i , a 2 , . . . , a„ enteros no todos cero. Existe entonces un entero positivo d con la siguiente propiedad d|ai cual

quiera sea i = 1 , . . . , n.b) Existen enteros u¡, i = 1, . . . , n tales que

d = 2 ^ u, • a,.

En efecto, razonemos inductivamente empezando porn= 2. Este caso lo hemos estudiado ya. Supongamos ciertanuestra afirmación para n > 2 , la p robarem o s p ara n + 1 . Seanpues aj , . . . , a„, a n + 1 enteros no todos cero.

Sin (con) pérdida de generalidad podemos suponer quea » + i # 0 .

Entonces, s i a i = .'. . = a n = 0, d = | a n + 1 | satisfacenuestros requerimientos pues

\ & n + i \ laj para tod o i = 1 , . . . , n + 1 ,

|a„ + í I = 1 • a, + . . . + 1 • a„ + 1 • a n + x .

Si no todos los a x , . . . , a„ son cero está de fin ido , por lahipótesis inductiva, el máximo común divisor d' de a t , . . ., a n

y existen U j , . . ., u n tales que

d' = u ' j • a t + . . . + u n • a n .

1 3 2

Entonces

3 = 9 - 6 - 1 = 9 - ( 2 4 - 9 - 2 ) - 1 = 3 - 9 - 2 4= 3 • ( 1 0 5 - 2 4 • 4) - 2 4 = 3 • 1 0 5 + ( - 1 3 ) • 2 4

= 3 • 1 0 5 + ( - 1 3 ) • ( 1 2 9 - 1 0 5 • 1 )

= 1 6 • 1 0 5 + ( - 1 3 ) • 1 2 9

= 1 6 • (234 - 129 • 1 ) + ( - 1 3 ) • 1 2 9

= 1 6 • 2 3 4 + ( - 2 9 ) • 1 2 9(esto se puede verificar mentalmente).




Sea d = (d\ a n + i ) y sean u " , v tales que d = u " • d ' ++ v ' a n + 1 .

Afirmamos que d tiene las propiedades buscadas. Primeramente

d j d ' y d'lai i = 1, . . . , n implican dfo i = 1, . . . , n

d|a„ + i . Además

d = u " • d' + v • a„ + i = u " • (ul - a! + . . . +

+ ( u n a n ) + v • a n + 1 .

Por lo tanto vale el paso inductivo y nuestra afirmaciónqueda probada.Es fácil ver la unicidad del d de la afirmación anterior.d se denom ina el m áxim o comú n divisor de a j , . . ., a n y se

denota pord = (a t a 2 , . . ., a n ) .

Notemos que en la demostración se vio cómo obtener elmáximo común divisor:

( a i , . . . , a n , a„ + i ) = ( ( a t , . . . , a n ) , a n + i ) .

Así para el caso n = 3 se tendría

(a , b , c ) = ( (a , b ) , c ) .

Definición

Sean a y b enteros no simultáneamente 0. Diremos que a yb son coprimos si (a, b) = 1.

Proposición

Sean a y b coprim os. Enton ces si t € Z satisface

t|a y t|b, t = 1 ó t = - 1 .

Demostración

Si t|a y t|b e nt on ce s t|(a, b ) = 1 , co n lo qu e t = 1 ót = - 1 .

1 3 3



NOTAS DE ALGEBRA 1

Ejemplo

Sean p y q primos. Entonces p y q son coprimos si y solosi p # q.

Demostración

Si p y q son primos, sus divisores comunes son la intersección

{ 1 , - 1 , p , - p ) O ! 1 , - 1 , q, - q !

Por lo tanto p y q son coprimos si y solo si esa intersecciónes

{ 1, —1 1, o sea si y solo si p # q.

E jemplo

Sean a y p enteros, con p primo. Entonces a y p soncoprimos si y sólo si p/a.

En efecto, supongamos para empezar que p es positivo (para no complicar la escritura con valores absolutos). Escribamos

d = (a , p ) .

Puesto que d|p, debe ser d = p ó d = 1. Por lo tanto a y pno coprimos equivale a (a, p) = p lo cual equivale a pia.

E jemplo

Si p es prim o, ento nce s p y p — 1 son cop rimos o mejorp y (p — 1 ) ! son "coprimos.

T eo rem aSea p e Z, p * - 1 . Entonc es p es primo si y solo si toda

vez que divide un producto a • b de enteros divide necesariamente a uno de ellos, en símbolos p|a • b implica p¡a ó p¡b.

1 3 4

T eo rem a

Sean a, b, c enteros. Entonces

I) (a, b) = 1, a|c, y b|c implican a • b|c

II) (a, c) = 1, a|b • c implican a|b.

1 3 5

Demostración

Nos limitaremos al caso p > 0, para no complicar la notación. Sea p|a • b, a y b enteros. Si p|a nada hay que probar,sea pues p/a. Entonces, por lo dicho más arriba p y a son coprimos, podemos escribir

1 = r • a + s • p

por lo tanto (multiplicando por b)

b = r - a , b + s , p , b

puesto que

p|a • b y p|p

se concluye que

Plb.

Hemos pues probado que p|a ó plb. Veamos la recíproca.Sea p con esa propiedad. Razonemos por el absurdo. Supongamos que p no es primo. Podemos encontrar enteros posit ivosa y b tales que p = a • b con adem ás l < a < p , l < b < p .

Es claro que

Pía y p/by que

p|a • bpero esto contradice la propiedad inicialmente atribuida a p. Elteorema queda probado. Es ésta una importante caracterizaciónde los números primos.

Otro resultado importante en aritmética es el siguiente

N O T A S D E A L G EB R A I

Demostración

I) Escribamos

1 = (a, b) = r • a + s • b

por lo tantoc = r , c , a - + s * c « b

además se tienec = a* • a = b ' • b , con a ', b ' e Z

y así resultac = r • b ' • a • b + s • a ' • a • b = (r • b' + s • a ') • a • b

que dice bien quea • b|c.

II) lo dejamos como ejercicio para el lector.Es claro que valen las siguientes generalizaciones de los dos

resultados anteriores:

I) si p es primo y p| n°_ & i entonces p|a} para algúnj , 1 < j < n

II ) si a i , . . .., a„ son divisores de c y 1 = ( a j , . . ., a„ )entonces

n i = l «tic-

Una aplicaciónSea p primo positivo. Entonces para todo i , 1 < i < p

es divisible por p.

En efec to

= P - ( P - D ••• ( p - ( i - D )

Como ( p ) e Z , se sigue que i! divide a p • (p — 1) . . . (p —

(i ~ l ^ -Pué sto que i < p, resulta que i! es cpprimo co n p (lec tor ,

1 3 6




justifique en detalle esta afirm ació n), por lo tan to i! divide al

factor (p — 1 ) . . . (p — (p — 1) ) lo cual asegura que

, P , ( p - 1 ) . . . ( p - ( i - l ) )( . ) = P '

i i!es múltiplo de p.

Por ejemplo

0

('.)•

C)C)

7

7 • 6= 7 - 3

2

7 - 6 - 5= 7

= 7

3 • 2

7 - 6 - 5 - 4

4 - 3 - 2

7 - 6 - 5 - 4 - 3

5 - 4 - 3 - 2

7 • 6 • 5 • 4 • 3 • 2

6 • 5 • 4 • 3 • 2

= 7 - 3

= 7 .

De aquí resulta el importante resultado de aritmética:"Si a y b son enteros y p es un primo, entonces

(a + b ) p = a p + b p + k • p

donde k • p indica un múltiplo de p. Como veremos más adelante esto se escribe más propiamente en la forma

(a 4- b ) p = a p 4- b p módulo p o mód. (p) .

E jercic io

Muestre con un contraejemplo que la afirmación anteriorno es cierta si p no es primo.

1 3 7



NOTAS DE ALGEBRA I

Ejemplo

Sea p primo, p > 5 entonces p 4 — 1 es divisible por 2 4 0 .(La idea y finalidad de este y otros ejemplos es mostrar lasideas expuestas y lograr su manejo. Digamos que la ejercitación'en aritmética es altamente formativa y estimula la propia part ic ipación).

Escribamos

p 4 - 1 = ( p - 1 ) . (P + ! ) • ( P 2 + 1 ) .

¿Y aho ra? Pen sem os, que rem os estudiar la divisibilidad por2 40 . A 2 4 0 lo factorizamos en primos 24 0 = 2 4 • 3 • 5. Siprobamos que p 4 — 1 es divisible por 2 4 , por 3 y por 5, l isto.

Las poábles divisiones de p por 4 pueden dar

p = 4 • h + 0,

imposible pues p sería par y el único primo par positivo es 2 y

no es divisible por 4.p = 4 • m + 1

p = 4 • h + 2 implica p = 2, casoexcluido

p = 4 • k + 3

Si p = 4 m + 1, se sigue que p — 1 es divisible por 4

y que p + 1 es divisible por 2.

Ademásp 2 + 1 es divisible por 2,

por lo tanto p 4 — 1 es divisible p or 4 • 2 • 2 = 2 4 . Análogamente ocurre si p es de la forma 4 • k + 3. En cualquier casonuestro número es divisible por 2 4 . Analicemos la divisibilidadpor 3. PU EST O que p > 5, p 4 3, por lo tanto p no es múltiplo de 3, es de la form a p = 3h + 2, o p = 3h + 1 .

Pero en tonces (p — 1 ) • (p + 1) es divisible por 3 cualquiera sea el caso.Resta finalmente ver que p 4 —1 es divisible por 5. (Note

mos que hasta este momento sólo hemos usado la hipótesis quep > 3, o sea p > 5. )

Dividamos p por 5, las posibilidades son:

1 3 8




Ejemplo

Hallar todos los números enteros positivos de 3 cifras decimales, divisibles por 9 y por 11.

Solución

Siendo 9 y 11 coprimos, los múltiplos de 9 y de 11 son exactamente los múltiplos de 9 X 11 = 99. Los de 3 cifras son:

9 9 X 2 , 99 X 3 , 9 9 X 4 , 99 X 5 , 99 X 6, 99 X

X 7, 99 X 8 , 99 X 9, 99 X 1 0

o sea { 9 9 . i/i = 2, . . . , 10 ) .

E jemplo

El resto de la división de un número por 4 es 3 y el restode la división del mismo número por 9 es 5. Encontrar el restode la división del núm ero por 3 6 . O sea se tiene a e N tal que

1 3 9

p = 5 • h + O . . . caso excluido pues implica p = 5 , porhipótesis p > 5 .

P = 5 • h 4- 1 . . . en este caso p — 1 es divisible por 5 .Listo .

p = 5 • h + 2 . . .?

p = 5 • h + 3 . . .?

p = 5 • h + 4 . . . en este caso p + 1 es divisible por 5.Listo .

En el caso p = 5 • h + 2, p 2 + 1 = 5 • (5 • h 2 • 4 • h ) ++ 4 + 1 = múltiplo de 5.

En el caso p = 5 • h + 3, p 2 + l = 5 - ( 5 ' h + 6 - h ) ++ 9 + 1 = mú ltiplo de 5.

La afirmación queda probada.



NOTAS DE ALGEBRA I

a = 4 • q 4- 3

a = 9 • k + 5.

Se trata de hallar el resto de la división de a por 36. Escribamos

4 • q + 3 = 9 • k + 5

4 • q = 9 • k + 2

4 - ( q - 2 - k ) = k + 2con lo que4|k + 2, o sea k + 2 = 4 m, luego k = 4 • m — 2

y así

a = 9 « ( 4 « m - 2 ) + 5 = 36 • m — 18 ++ 5 = 36 • m - 13 = 3 6 • (m - 1 ) + 2 3 .

23 es la respuesta.

E jemplo

Sea p un número primo positivo tal que p 2 > 9 . Entoncesp 2 es de la forma 24 • m + 1 , para un entero m conveniente(por ejemplo 5 2 = 2 4 • 1 + 1, 7 2 = 2 • 2 4 + 1 , l l 2 = 5 • 2 4 ++ 1, . . . ) Probemos esta afirmación.

Notemos que p2

> 9 = 32

implica p > 3. Enton ces p == 3 • k + r con r = 1 ó r = 2. A nalicem os estos casos separadamente.

r = 1) p > 3 implica p — 1 es par. Adem ás, p — 1 = 3 • k ,por lo tanto k = 2 • h y entonces

p 2 = ( 3 • k + l ) 2 = ( 3 • 2 • h + l ) 2 = 3 • 4 • h • ( 3 • h + 1) + 1

pero h • ( 3 • h + 1) es par (! ), por lo tanto p 2 = 2 4 • m + 1 .

r = 2 ) p = 3 * k + 2 , siendo p im par im plica k = 2 • h ++ 1. Por lo tanto

p 2 = (3 • (2h + 1) + 2) 2 = (6 • h + 5 ) 2 =

= 1 2 • h (3 • h + 5) + 24 + 1

1 4 0

Definición

Al m asociado a a y b lo denominamos el mínimo comúnmúltiplo (m.c.m.) de a y b, y lo denotamos con [a, b]. Si a o bes 0 definimos [a, b] = 0.

E jemplo

Hallemos el mínimo común múltiplo de 8 y 14. Escribamoslos múltiplos de ambos números y busquemos el menor comúna ambos :

8 : 8 , 16 , 24 , 32 , 40 , 48 , 5 6 , . . .

1 4 : 14 , 28 , 42 , 56 , 72 , . . .

Se t i ene [8 , 14] = 56 .

Ejercic io

1) Completar y demostrara) Si a E Z entonces [a , a ] = . . .

b ) Si a, b e Z , [a, b ] = b si y solo si . . .?

c) (a, b) = [a, b] si y solo si . . .?

1 4 1

y puesto que h • (3 • h + 5) es par resulta p2

= 2 4 • m + 1, loque se quiso demostrar.

Mínimo común múltiplo: Sean a y b entero s, am bos nonulos. Entonces a • b y —a • b son múltiplos de a y de b. Sesigue de esto que a y b poseen un múltiplo común. O sea elconjunto H de múltiplos comunes positivos de a y b es novacío. Dado que N es BO, podemos determinar en este conjunto H un elemento minimal que denotamos con m.

Las propiedades de m son las siguientes:

mi) m es múltiplo de a y de b.m 2) m > 0 .m 3) si k e Z, k > 0 , k múltiplo de a y b enton ces m < k.

NOTAS DE ALGEBRA I

2) Calcular [a, b] en las situaciones siguientes:a = 1 , b = 12a = 1 , b = - 1a = 1 2 , b = 15

a = 1 1 , b = 13

a = 14 0 , b = 15 0

3) Calcular (a, b] en las situaciones siguientes:

a = 2 2 - 3 - 5 , b = 2 • 5 • 7a = 3 2 • 5 2 , b = 2 2 • 1 1a = 2 * , b = 5 8

3) Defina mínimo común múltiplo de cualquier númerofinito de enteros y calcule

[ 1 8 , 1 5 , 2 4 ] , [ 1 6 , 2 5 , 3 2 ] , [ 5 , 7 , 1 3 ] .

Proposición

Sean a y b enteros no nulos. Entonces si k € Z

a|k y b|k im plican [a , b]|k.

Demostración

En virtud del algoritmo de división podemos escribir

k = [a, b] • q + r 0 < r < [a, b ] .

Puesto que de a|k y a|[a, b] se sigue que a|r, análogamente b|ro sea r es múltiplo común de a y b. De la misma definición de[a, b] (. . . múltiplo común minimal. . .) se sigue que

r = 0con lo que

[a, b ] | k

cual se quiso demostrar.

1 4 2

NOTAS DE ALGEBRA 1

a • b a • b

[a, b] = r • b ' • (a, b) + s • a ' • (a , b)

a • b

(a , b )(r • b' + s • a ')

lo cual demuestra bien que m divide a [a, b].De I) y II) resulta la tesis.

Corolario

Sean a y b enteros no nulos coprimos en tonces [a, b] == a • b .

Demostración

En efecto, siendo comprimos es (a, b) = 1 y l isto.

El Teorema Fundamental de la Aritmética

La propiedad más importante de los primos es permitir expresar todo número entero (distinto de 0, 1 y —1) como producto de un número finito de los mismos. A la vez dicha formade representación es esencialmente única (como habremos deprecisar enseguida). Por lo tanto, toda la información de Z estáen los primos, de aquí que resulte de tanta importancia elestudio de las propiedades de los números primos.

Teorema Fundamental de la aritmética

Sea n e Z, n ^ 0, — 1 , 1 Enton ces existe un con junto finito

de primos p t , i = 1 , . . ., k tales que 0 < pi < . . . < p k

k

n = e • n = e • pi . . . p k

i = 1

donde e es 1 ó — 1 .

1 4 4

La forma anterior de expresar a n es única, o sea si q^,j = 1 , . . . , t, son pr im os, tale s que 0 < q! < . . . < q t

n = 5 n 1 q¡ con 5 = 1 ó —1j= i

entonces

k = t

Pi = Qi i = 1 , . . ., k = t

e = 5 .

(Por ejemplo 12 = 2 • 2 • 3, 15 = 3 • 5 , — 2 0 = - 1 • 2 • 2 • 5 .)

Demostración

Notemos que el teorema es cierto si n es ya un primo.Además sin pérdida de generalidad podemos suponer que n espositivo. Supongamos que el teorema no sea cierto. Existe enton ces un núm ero entero positivo ¥= 1 que no adm ite una representación en producto de primos como se establece en elteorema. Por BO existe un entero positivo minimal con esapropiedad. Sea m. Entonces m es el menor entero positivo nofactorizable en producto de primos. Es claro que m no puedeser primo, pues m satisfaría el teorema. Por lo tanto, m esdivisible por algún primo positivo, p, que incluso podemos consi

derar el meno r p rimo q ue divide a m. Sea m = p • m'. Puestoque m ' < m, y m ' # 1 se sigue que el teore m a se cum ple param'. O sea existen primos p 2 , . . ., p k , p 2 < . . . < Pk tale s qu em' = p 2 . . . p k . En ton ces por el carác ter minimal de p , p < p 2 .

Escribiendo

m = p • m' = p • p 2 . . . p k

p < p 2 < . . . < p k

observamos que hemos obtenido una contradicción, pues m noera así factorizable. Se sigue que la primera parte del teorema relativa a la factorización en producto de primos es verdadera. Veremos a continuación la cuestión de unicidad. Supongamos a talefecto

1 4 5

NOTAS DE ALGEBRA I

Pi > • • •> Pk primo s, pi < . . . < p k

q i , . . ., q t primos, qt < . . . < q t

tales quePi • • • Pk = Qi . .• q t

Si k = 1, debe ser t = 1 (por la simple definición denúmero primo), en este caso vale la unicidad buscada. Supongamos que el teorema es cierto para k, vamos a probarlo parak + 1 (o sea inducción en el número de factores primos de unadescomposición). Sea pues

Pi • • • Pk * Pk + 1 = q i , • • • qt

con Pi, qj primos y tal que pj < p 5 si i < j , etc .Escribiendo

Pi • (P2 • • • P k + i ) = q i • • • qtresulta que

Pi Iqi • • • q t

y siendo pi primo, p t divide a algún q j, j = 1 , . . . , t , pe rosiendo qj primo se sigue que

Pi = qj-

Podemos escribir

P2 • • • Pk +i = q i • • • qj • • • qt

donde qj indica que el término de índice j debe excluirse.Digamos que podemos tomar j = 1. En efecto, razonando

análogamente con q t se t iene que

qi |p h , para algún h = 1, . . . , k + 1.

Entonces

Pi < Ph = qi < qj = Pi

con lo que pi = qx, com o queríam os probar.Por lo tanto luego de cancelar p x = qi , en ambos miem

bros resulta

P2 • • • P k + i = q2 • • • qt-

1 4 6




Pk+i = Qt-Como también

Pi = Qi

vale el paso inductivo en la demostración de la unicidad. Sesigue por Pl la unicidad de la factorización en producto deprimos.

NOTA: en virtud del teorema fundamental de la aritméticadecimos que Z es un dominio de factorización única DFU.También por el hecho de existir en Z el algoritmo de división,decimos que Z es un dominio euclidiano. La propiedad de serDFU es consecuencia de la propiedad de ser DE. Ambos t iposde propiedades se consideran en situaciones más generales en loque se llama el Algebra Conmutativa.

E jemploNo existen enteros m y n tales que m 2 = 1 5 • n 2 .Este hecho es una consecuencia inmediata del TFA. Es cla

ro que sin P de G podemos restringirnos a m y n positivos.Entonces

I) m 1 pues si no sería 1 = 1 5 • n 2 , absurdo (los únicosenteros inversibles son 1 y —1).

II) Si n = 1 entonces m 2 = 1 5 . Sea m = p¡ . . . p k lafactorización de m en producto de primos. Entonces

m 2 = (p i . . . p k ) • (Pi • • • Pk) = (Pi ' Pi ) • • • (Pk Pk ) .

147

El miembro izquierdo consta de k factores primos, podemos

utilizar la hipótesis inductiva y asegurar que

k = t — 1 co n lo que k + 1 = t

y P2 = q 2




Además la factorización de 15 en producto de primos es

15 = 3 • 5 .D e(P i * P i ) • • • (Pk • P k ) = 3 - 5

se extrae una contradicción al TFA. En efecto , en el miembroizquierdo cada factor primo aparece un número par de veces,mientras en el miembro derecho el factor primo (por e jemplo)3 sólo aparece un número, impar de veces. Eso contradice launicidad establecida en el TFA.

Podemos pues suponer n 4 l y m # 1 . S ean

m = p , . . . Pk

n = q i • • • qh

las factorizaciones de m y n respectivamente, en producto deprimos.

E n t o n c es

(Pi • P i ) • • • (Pk • P k ) = m2

== 1 5 • n 2 = 3 • 5 • (q , • q t ) • • • (qh • q h )

pero esta igualdad contradice el teorema fundamental de laaritmética, pues en el miembro izquierdo cada factor primoaparece un número par de veces, mientras que en el miembroderecho el factor primo 3 aparece un número impar. Esto demuestra la imposibil idad de tener enteros m. n tales que m 2 == 1 5 • n 2 .

Ejercic ios

1) Probar la no existencia de enteros m y n tales que

I ) m 2 = 2 • n 2 I V ) m 4 = 2 7

I I ) m 3 = 4 n 3 V ) m 2 = 1 8 0

I I I ) m2

= 1 2 • n2

2) Representar los enteros siguientes como producto de prim o s :

I ) 1 4 7 2 I V ) ( 1 9 7 2 ) 2

1 4 8

I I ) ( 2 1 0 ) 4 V ) ( 6 3 ) 2 • 1 8 • ( 2 1 ) s

I I I ) 1 8 • 3 6 5

3) Probar que dos números a y b son coprimos si y sólo sino existe ningún primo p que divida a ambos. (Sol . : si ningúnprimo divide a a y b simultáneamente, (a, b) debe ser 1, puessi no lo fuera existiría un primo que dividiría a (a, b) y por lotanto a ambos a y b. S i a y b son coprimos entonces no sondivisibles en común por ningún primo, pues de lo contrario unprimo que los dividiese, dividiría a (a, b) y éste no sería 1.)

4) Probar que cualquiera sea m, m y m + 1 son coprimos.(S ol . ; supongamos no lo sean, por 3) hay algún primo p qu e losdivide: m = p • r , m + 1 = p • s con lo que 1 = p • (s — r ) , unabsurdo).

5 ) Sean a y b enteros, b 0 . Probar que (~ ) J e Z si ysolo si b|a.

Volvamos al TFA. Si m es un entero no nulo , ni unidad yP i , . . . , p, son los primos distintos en tre sí que aparecen en sufactorización podemos escribir

Esto proviene de agrupar los factores primos iguales. Así

m = pV . . . P?co n

P i < . . . < p . .

12 = 2 • 2 • 3 = 2 2 • 3

72 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 2 3 • 3 2

Entonces s i

. . . p ; Pi primos, pi < • • • < P ,

y n e N, n * 1

n divide a m si y sólo si n = p' 1 . . . p^ con

0 < i i < t t

0 < i 2 < t 2

0 < is < t»

1 4 9

NOTAS DE ALGEBRAJ

O sea n|m si y solo si los factores primos de n lo son de mcon multiplicidad, no mayor.

En efecto, si n divide a m podemos escribir m = n • h yen ton ces to do s los. fac tore s primos d e n, al igual que la m ultiplicidad con que aparecen deben aparecer en m, según lo exigee l T F A .

E j em p l o

Se sigue de lo precedente que dadom = p'i . . . pi», p, prim os, p , . . . p s

entonces los divisores posibles de m son

p ? 1 . • . p ^

donde los hj pueden tom ar todos los valores 0 < hj < i j . s e sigue que m posee exactamente

( i , + 1 ) • (i , + 1 ) . . . ( i , + 1)

divisores.A sí15 = 3 • 5 posee 4 = 2. 2 divisores (1, 3, 5, 15)

12 = 2 2 • 3 posee 6 = 3 . 2 divisores (1 , 2, 3 , 4, 6, 1 2 ) .

Problema

¿Cuál es el menor número positivo que admite exactamente15 divisores?

Soluc ión

15 = 3 • 5. Por lo tanto el número tiene la forma p 2 • q 4

con p, q primos y p # q o también p 1 4 , p primo.

Se trata de hallar el menor, podemos utilizar los primosmás chicos. Los casos posibles son

1 5 0

http://ij.se/

http://ij.se/

A N I LL O D E E N T ER O S R A C IO N A L E S

1 5 1

2 2 • 3 4

3 2 • 2 4

2 1 4 lo descartamos pues es "obviamente" mayor que los otros(hasta escribir 2 1 4 = ( 2 2 ) 7 = 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 • 4 . )

2 2 • 3 4 = 3 2 4

32

• 24

= 1 4 4144 es el número buscado.

Sea m e Z . Sea p primo. Con v p (m) denotamos la máximapotencia de p que divide a m. Entonces si m 4 0

0 < V p ( m )

p h |m imp lica h < v p (m )

p v » < m ) | m .

Es claro que p|m si y solo si

v p ( m ) > 0 .

V p (m ) se denomina el orden de m en p. Podemos definirv p ( 0 ) = ~ . .

Con la noción de orden podemos enunciar la condición de

divisibilidadm|n si y solo si (V p ) , p primo, v p ( m ) < v p ( n ) .

Notemos que s i m # 0 entonces

v p (m ) = 0 para casi tod o primo p

(por esto debe entenderse que v p (m) = 0 para todo p salvo un

conjunto finito de primos). Entonces el producton P

v p ( m ) ( * )p

donde p recorre todos los primos, solo contiene un númerofinito de factores # 1 (los iguales a 1 no molestan). Por lo



NOTAS DE ALGEBRA I

[m, n] = n p'p, r p = máximo (v p ( m ) , v p ( n ) ) .

18 = 2 • 3 2 ( 1 8 , 2 4 ) = 2 • 3

24 = 2 3 • 3 18 , 2 4 = 2 3 • 3 2

1 2 6 = 2 • 3 2 • 5 o • 7 ( 1 2 6 , 3 7 5 ) = 3

375 = 2 o • 3 • 5 3 • 7 o 1 2 6 , 3 7 5 = 2 • 3 2 • 5 3 • 7

Ejercic ios1) Calcular v s ( 7 ) , v 3 ( 9 0 ) , v 2 ( 1 8 ) , v , , ( 9 9 ) , v 3 ( 1 2 0 ) ,

v 9 ( 1 1 7 9 ) .

2) Calcular (a, b) y [a, b] si

a = 2 3 • 3 • 5 6 • 1 1 • 1 3 2

b = 2 • 3 2 • 7 2 • 1 3

3) Calcular m.c.d. y m.c.m. de

6 1 . 6 0 0 y 4 9 . 7 3 5

4 9 . 7 3 5 y 1 8 1 . 6 5 6

t an t o , aunque parezca un producto de infinitos factores, (*)

tiene sentido. Pero es claro quen p V p ( m ) = m

py es esta la forma que adquiere el TFA.

Por ejemplo

6 = 2 1 • 3 1 • 5 o • 7 o • 1 1 ° • 1 3 ° . . . = 2 • 3

15 = 2 o • 3 1 • 5 1 • 7 o • 1 1 ° • 1 3 ° . . . = 3 • 5 .

Es fáci l ahora expresar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de m y n. Es

(m, n) = n p p*p, tp = mínimo (v p ( m ) , v p ( n )

[m, n]

Por ejemplo

1 5 2

a

d

b

3) Sean a, b, m, n enteros tales que m, n > 0

I) si m|n entonces am

— bm

|an

— bn

II ) si m|n y — es imp ar, m # 0 en ton ces a m + b m |a° ++ b n

I I I ) Si 1 < a , a m - l|a n - 1si y solo si m|n.

4 ) Calcular (a , b) y expresarlo en la form a r a + s b en lossiguientes casos:

I ) a = 11 47 b = 85 1

I I ) a = - 1 8 7 b = 7 7

I I I) a = 9 0 1 b = - 1 2 1 9

1 5 3

4) Probar las siguientes propiedades de v p :

I ) vp ( m « k ) = v

p ( m ) + V p ( k )

I I ) v p ( m + k ) > m í n i m o ( v p ( m ) , v p ( n ) ) .

Muestre estas propiedades en ejemplos y dé un ejemplodonde se vea la falsedad de

V p ( m + k ) = V p ( m ) + V p ( k )

Ejercic ios

1) Dados enteros a, b, c , d, tales que

a = be + d, b > 0, ' b < d < 2b

determinar el cociente y el resto de la división de a por b.

2) Si d es un divisor no nulo de dos enteros a y b, entoncesa|b si y solo si

N O T A S D E A L G E B R A I

IV ) a = 24 b = 61

V ) a = 3 3 0 b = - 4 2

5) Demostrar las siguientes proposiciones:

I ) (a , b) = (b, a)

I I ) ( (a , b) , c ) = (a , (b, c ))

I I I ) a|b sii (a , b) = |a|. Lu eg o (a , a ) = |a|

IV) (a , 1) = 1V) c > 0 implica (ac, be) = (a, b) c

b v= <».*>>_I ) d > 0 , d/a y d/b implican - £ - ) =d d d

6) I) si a es un entero, a y a + 1 son coprimos

II) en general, si a, y b son enteros coprimos, a y a + btambién son coprimos.

7 ) I ) s i a y b son e ntero s c op rim o s, p ara t od o e nte ro c severifica:

a/c y b/c im plican a • b/c

d/a • c .y (d/a) = 1 implican d/c

II) sea a un entero. £1 resto de la división de a por 3, 4 y 5es 2, 3 y 4, respectivamente si y solo si a es de la forma 60m — 1 , c o n m en t ero .

8 ) I) S i a y b son enteros no simu ltáneam ente nulos .

a b

( a , b ) ( a , b )son coprimos.

9) Sean a y b enteros coprimos.

I ) (ac , b) = (b, c) para todo entero c .II) si m y n son enteros no negativos a m y b n son co

primos.

III) a + b y a • b son coprimos.

1 5 4

10) Dados enteros positivos a y b se verifica

I) (a, b) • [a, b] = a • b

11) si a y b son enteros coprimos entonces [a, b] = a • b

III) si a y b son naturales el número de múltiplos de b enel conjunto { ia, 1 < i < b } es (a, b)

Sugerencia: si b|ia como alia resulta [a, b]|ia o sea

a • b bia = [a , b ] x = x o sea i =(a , b) (a , b)

Como 1 < i < b resul ta 1 < x < (a , b) . Reciprocamente s i1 < x < (a, b ) en ton ces ia es mú ltiplo de b , si

b

Por lo tanto todo entero entre 1 y (a, b) da lugar exactamente a un múltiplo de b.


I ) [a , b] = [b, a]

11) [ [a , b] , c ] = [a , [b, c ]]

I I I ) a|b si [a , b ] = |b|. Lu ego [a , a ] = |a|

IV) [a, 1] = |a|V) c > 0 implica [ac, be] = [a, b] c

V I) d > 0 , d|a y d|b imp lican f i ., - A ] = l i ^ L

1 2 ) S ea n p y q p rim o s .

I) Determinar la suma y producto de todos los divisores dep n , n £ N .

II ) Sea p ¥= q. Determinar la suma y producto de todos losdivisores de p n • q m , n, m G N .

13) Hallar una expresión para la suma y el producto detodos los divisores (positivos) de un número natural.

1 5 5



N O T A S DE A L G EB R A I

14) Probar que s i a , b G Z y (a , b) = 1 entonces el máximocomún divisor de a + b y a J — a • b + b 2 es l ó 3 .

15) Probar que s i a , b G Z y (a , b) = 1 entonces el máximocom ún divisor d e a + b y a - b es 1 ó 2.

16) Probar que cualquiera sea n € N, los números

n • (n + 1)i y 2 • n + 1

2

son coprimos.

1 7 ) Probar que cualesquiera sean a, b € Z

(a, b) = (5 • a + 3 • b , 1 3 • a + 8 • b ) .Probar de manera más general, que s i r, s, t , v son enteros

tal es q u e r * v — s ' t e s l ó — 1 en ton ces

(a , b) = (r • a + s • b , t • a + v • b ) .

18) Probar que 2 2 n + k — 1 es divisible por 2 1* + 1 .

19) Calcular el máximo común divisor en los casos siguientes:

(Resp. : 1 si n 4 m )) ( 2 2 ° + 1, 2 a m + 1 )

I I ) ( 2 3 " + 1. 2 a m - 1 )

I I I ) ( 2 3 ° - 1 , 2 2 - D -

Utilizar I) para dar otra demostración de la existencia de unnúmero infinito de primos.

20) Probar que cualquiera sea m G Z , m 2 + 2 no es divi

sible por 4. Si restringe m a N, ¿puede dar una demostraciónutilizando el principio de inducción?

21) Probar que un número entero no puede ser simultáneamente múltiplo de 12 aumentado en 5 y múltiplo de 15 aumentado en 4.

1 5 6

1 5 7

22) Probar que si un número par es suma de dos cuadradosen Z, su mitad también lo es. [Sug. si 2n = x 2 + y 2 , calcule

( .£=*)» + ( J L + J L ) ' ]

23) Encontrar una fórmula que dé el valor de la suma delos divisores positivos de un entero dado en términos de lafactorización en primos. Encontrar una fórmula análoga para elproducto de los divisores positivos.

24) Probar que un número entero es par si y solo si elnúmero total de sus divisores positivos es impar.

25) Determinar el menor n G N tal que

n 2 + 2 n > 9 9 9 9 9 9 .

26) Sean a, b, c , d enteros. Probar la existencia de enterosx, y tales que

( a 2 + b 2 ) • ( c 2 + d 2 ) = x 2 + y 2 .

2 7 ) Potencia entera de números reales

Sea a G R , a 0. Se define para tod o m G Z la potenciaa m en R como sigue:

a m = a m (definido anteriormente) si 0 < m

a° = 1

a m = ( a _ m f 1 si m < 0.

Probar la validez de las siguientes propiedades:Sean a, b G R — { 0 }, r, s G Z .

I ) a r • a s = a r + s

II) a r/ a s = a ' - 8

I I I ) (a r ) s = a r * 5

IV) (a • b ) r = a r • b r

V ) (a/b) r = a r/ b r

NOTAS DE ALGEBRA I

(Sugerencia . I ) Si O < r y O < s fue prob ado anterior

m ente. S i r < 0 y s < 0 , se reduce al caso anterior. S i 0 < r ys < 0 hacer inducción en r).

3 ) Desarrollos s-ádicos

Comencemos con un e jemplo. Tomemos el número 2351 ysometámoslo a sucesivas divisiones por 5 como se indica a cont inuación:

2351 |__5_

3 5 4 7 001 20 94 | 5

1 0 4 4 ^ 8 |_4 3 3

1 0

Veamos cuál es el significado de los sucesivos restos:

3 3 4 0 1

Para ello escribimos

2 3 5 1 = ( 4 7 0 • 5 + 1) = (94 • 5 + 0) • 5 + 1 = 94 • 5 2 +

+ 0 • 5 + 1 = (18 • 5 + 4) • 5 2 + 0 • 5 + 1 = 18 • 5 3 +

+ 4 • 5 2 + 0.- 5"+ 1 = (5 • 3 + 3) • 5 3 + 4 • 5 2 + 0 • 5 +

+ 1 = 3 - 5 4 + 3 • 5 3 + 4 • 5 2 + 0- 5 + 1

2 3 5 1 = 3 • 5 4 + 3 • 5 3 + 4 • 5 2 + 0 • 5 + 1 .Los restos hallados son los coeficientes de la expresión

polinomial en potencias de 5. Puesto que los restos de la divi

sión están determinados unívocamente, podemos uti l izar esosrestos para representar a 2351. Entonces escribimos

2 3 5 1 = ( 3 3 4 0 1 ) s

Podemos cambiar " la base" 5 y obtener análogamente

1 5 8

1 5 9

2 3 5 1 = ( 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 )2

2 3 5 1 = ( 1 8 4 8 ) n

T eo rem a

Sea s e N, s > 1 . Para todo n e N existe una expresiónpolinomial en s, llamado el desarrollo s-ádico de n, del tiposiguiente:

t .

n = 2 i = 0 a 4 • s 1 donde a¡ e Z , 0 < a ¡ < s

Dicho desarrollo es único, en el sentido siguiente:

L*1= 0 a¡ • s 1 = E * = Q bj • S j , 0 < ai < s, 0 < bj < S

a t # 0 , b h 0

implican t = hai = bi i = 1 , . . ., t = h .

Demostración

Si n = 1, el desarrollo s-ádico de 1 es 1 y el teorema estrivialmente cierto. Supongamos inductivamente que el teoremaha sido probado para todos los enteros positivos menores queun entero positivo k. Será nuestro deber probar que el teorema

es cierto para k.Por el AD se t iene

k = s • q + r, 0 < r < s. (*)

Podemos suponer que s < k, pues si k < s entonces eldesarrollo es

k = 0 • s + k si k < s

k = 1 • s + 0 si k = s

Entonces, de s < k, y (*) se sigue que 0 < q. Por lotanto de 1 < s, se sigue que

q < q • s < q • s + r = k.

NOTAS DE ALGEBRA I

Por lo tanto, por la hipótesis inductiva, el teorema vale

para q.O sea

q = 2 [ = 0 a¡ • s* 0 < &i < s

y operando

k = q • s + r

= a f • s £ + 1 + . . . + a 0 • s + r

que es un desarrollo s-ádico de k. Por lo tanto vale el pasoinductivo y la primera parte del teorema es cierta cualquierasea n.

Veamos la unicidad. Sea

0 < ai, bj < sat 4 0 , b h 4 0

Entonces

a 0 + ( S ai • s i _ 1 ) • s = b 0 + ( 2 b 5 • s i _ 1 ) • s.i = i i = i

Pero siendo 0 < a 0 < s, 0 < b 0 < s, se sigue de la unicidaddel resto en el algoritmo de división que

a 0 = b„ y 2 ai • s 1 _ 1 = | b s i - i .j = 1 j = i 1

Aplicando la hipótesis inductiva al término de la derecharesulta

t = h y a j = b i , . . . , a t = b t

con lo cual la unicidad queda probada.

Ejercic ios

1) Expresar 1810 , 1816 , 1972 en bases s = 3 , 5 , 7 , 11 .

2) Expresar en base 10 los siguientes enteros:

1 6 0




I) (1503), V) (1111 ) 6

II) (H l l )a VI) ( l l l l ) s

III) ( l l l l ) n VII) ( 1 2 1 2 1 ) 3

IV) (123) 4 VIII) (123) 1 0 0

3) Calcular (2234) 5 + (2310) 5

[Sol. :(2234)5 = 2•

53 + 2

•5

2 + 3 - 5 + 4

( 2 3 1 0 ) 5 = 2 • 53 + 3 • 5

2 + 1 - 5 + 0

9 = 4 . 5 3 + 5 . 5 2 + 4 . 5 + 4

= 5 • 53 + 0 • 5

2 + 4 - 5 + 4

= 1 - 54 + 0 - 5

3 + 0 - 52 + 4 - 5 + 4

= (10044) s . ]

Este esquema se simplifica utilizando el sistema de la escuela primaria de "llevarse" unidades. Así

1( 2 2 3 4 ) s

+

( 2 3 1 0 ) s

( 1 0 0 4 4 ),.]

4) Calcular (110101011) 2 + (1100011) 2

1 1 1 1 1[Sol.: 1 1 0 1 0 1 0 1 1

+1 1 0 0 0 1 1

1 0 0 0 0 0 1 1 1 0.]

5) Efectuar (10101101) 2 + (10011) 2

( 1 0 1 0 1 1 ) 2 + (10Q10) 2 + (11110) 2

161



NOTAS DE ALGEBRA I

( 1 0 1 2 2 1 ) 3 + ( 1 0 1 0 2 2 ) 3 + ( 2 2 2 2 1 0 ) 3

( 4 2 3 4 ) 6 + ( 5 4 3 2 3 4 5 ) 6 + ( 5 4 4 4 3 ) 6 .

6) Justifique en los ejemplos siguientes la regla práctica deresta uti l izada corrientemente:

(Sugerencia: Notar que, por ejemplo,

1 0 2 = 9 • 10 + 10

1 0 3 = 9 •1 0 2 + 10 • 10 = 9 • 1 0 2 + 9 • 10 + 10

1 0 4 = 9 • 1 0 3 + 10 • 1 0 2 == 9 • 1 0 3 + 9 • 1 0 2 + 9 - 1 0 + 1 0

1 0 5 = 9 • 1 0 4 + 1 0 • 1 0 3

= 9 • 1 0 4 + 9 • 1 0 3 + 1 0 • 1 0 a

= 9 • 1 0 4 + 9 • 1 0 3 + 9 • 1 0 2 + 1 0 • 1 0

= 9 • 1 0 4 + 9 • 1 0 3 + 9 • 1 0 2 + 9 • 10 + 10, etc. . . )

(Solución I :

2 0 0 0 5 = 2 • 1 0 4 + O • 1 0 3 + O • 1 0 2 + O • 10 + 5

= 1 • 1 0 4 + 1 0 - 1 0 3 + O • 1 0 2 + O • 10 + 5

= 1 • 1 0 4 + 9 • 1 0 3 + 1 0 - 1 0 2 + 0 - 1 0 + 5

_ 2 0 0 0 5 = 1 • 1 0 4 + 9 • 1 0 3 + 9 • 1 0 2 + 1 0 - 1 0 + 5

9 8 7 4 = 9 • 1 0 3 + 8 • 1 0 2 + 7 - 1 0 + 4

1 0 1 3 1 = 1 • 1 0 4 + O • 1 0 3 + 1 • 1 0 2 + 3 • 10 + 1 ) .

7) Calcule en el sistema binario, utilizando la analogía dele jercic io 6 :

I ) 1 1 1 0 0 1 0 1 - 1 0 0 1 1 1 1 1

I I ) 1 0 0 0 0 0 0 1 - 1 1 1 1 1 1 1

I ) 2 0 0 0 5 - 9 8 7 4

I I ) 1 0 1 0 1 - 9 9 8 9

I I I ) 3 9 3 9 3 - 4 8 4 8

I V ) 1 0 1 0 0 1 - 9 9 0 0 9

V ) 1 8 0 0 7 0 1 - 3 4 5 8 1 8

V I ) 8 8 8 8 8 - 9 9 9 9 9

1 6 2




Solución

1 1 1 0 0 1 0 1

1 0 0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 1 1 0

(los pasos serían 1 — 1 = 0, 0 — 1 no se puede, pido " 2 "enton ces 2 — 1 = 1 , en la tercera column a, tengo 0 — 1 , pido

" 2 " , 2 — 1 = 1 , en la cuarta columna debo considerar 1 — 1 ,en la quinta lo mismo 1 — 1 , en la sexta 0 — 0 . . . La operación es como en el caso decimal, el 10 pasa a ser 2, el 9 pasa aser 1.)

8) Restar en el sistema de base 5

I ) 1 2 3 0 0 4 - 3 4 1 1 4

I I ) 2 3 0 0 1 1 — 4 2 2 3 3

9) Multiplicar en base 3

(Sol . : 2 • 2 = 11 , 12 • 2 = 101 (como en la multiplicaciónordinaria 2 X 2 = 11, escribo 1 y me l levo 1, 2 X 1 = 2 y unaque me llevo es 10, luego el resultado es 101.)

2 • 2

1 0 • 2

1 1 • 2

12 • 2

2 0 • 2

1 0 • 1 01 1 • 1 01 2 • 1 0

20 - 10

1 1 • 1 1

12 • 1 1

2 0 • 1 1

12 • 1 2

2 0 • 1 2 2 0 • 2 0

2 0X 2 0

1 1 0 0

10) Calcular 1212 X 2 2 2 , 1 2 1 2 2 X 2020 en base 3) .

1 6 3



NOTAS DE ALGEBRA I

( S o l . : 1 2 1 22 1 2

1 0 2 0 11 2 1 2

1 0 2 0 1

1 1 2 0 1 2 1

11) Una aplicación. Sean a y b enteros posit ivos. Sea

el desarrollo diádico. Entonces

a - b = s ; = 0 a j í t f . b ) -

= suma de productos 2 1 • b para los a¡ = 1.

Por e jemplo calculemos 31 X 42 y 19 X 24.

3 1 = ( 1 1 1 1 1 ) 2 , 3 1 X 4 2 = 4 2 + 4 2 - 2 + 4 2 - 4 + 4 2 - 8 + 4 2 - 1 6

= 42 + 84 + 168 + 336 + 672 = 1302 .

1 9 = ( 1 0 0 1 1 ) 2 , 1 9 X 2 4 = 2 4 + 2 4 - 2 + 0 + 0 + 2 4 - 2 4

= 2 4 + 4 8 + 9 6 - 0 + 1 9 2 - 0 + 3 8 4

= 4 5 6

La disposición práctica es la siguiente:

31 42 19 2415 84 9 48

7 1 6 8 - - 4 9 6 - -3 33 6 - 2 -192- -1 67 2 1 38 4

1 3 0 2 4 5 6

Calcular por este método 21 • 35 , 22 • 3 5 , 4 1 • 2 6 , 3 2 • 4 2 .Justificar más detal ladamente la operación.

1 6 4

12) Un comerciante posee una balanza de plati l los y 6

pesas que llamaa, b, c, d, e, f

en orden creciente de pesos. La más liviana es a y la máspesada es f. Según él, colocando es'tas pesas en uno de losplatillos puede pesar cualquier peso entero de 1 a 63 kilogramos, o sea 1, 2, 3, . . . , 61, 63 kilos,

a) Determinar el peso de las pesas.b) Un objeto que pesa x kilos se coloca en un platillo.

Determinar las pesas a, b, c, d, e, f, que debe utilizar parapesarlo, en los casos siguientes:

I) x = 7 II ) x = 22 III) x = 2 3

IV ) x = 57 V ) x = 31

c) Plantee situaciones similares.

13) Escribir las tablas de multiplicación por 2, por 3, por 4en base 5.

Dividir 231 por 42, 345 por 23, 12343 por 34 en base 5 .

14) Dividir en base 2

1 1 0 1 1 p or 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 p or 1 0 0 1

1 1 0 1 1 0 1 1 0 p or 1 0 1 0 1 1 1 1 p or 1 0 1 0

15) Un número se escribe como 111011 en el s istema binario. Escribirlo en el sistema ternario y duodecimal.

16) Probar que en todo sistema de numeración s-ádica, con2 < s, el número 121 es un cuadrado. (Ojo: no confundir, siun número es un cuadrado, lo es en cualquier sistema denumeración, pues se trata de una propiedad independiente de laforma de escribir el número.) En el problema presentese trata de ver que (121) s es un cuadrado cualquiera sea s > 2 .Por ejemplo

( 1 2 1 ) 3 = 3 2 + 2 • 3 + 1 = (3 + l ) 2 = l l 2 ,

1 6 5



NOTAS DE ALGEBRA I

17) Probar que cualquiera sea s, (10101)„ es divisible por

1 1 1 [ P o r e j e mpl o : ( 1 0 1 0 1 ) 3 = 1 1 1 • 2 1 , ( 1 0 1 0 1 ) 2 = 1 1 1 • 1 1 . ]

18) Un número escrito en base 2 posee 8 cifras. ¿Cuál es elnúmero posible de cifras que puede tener en el sistema duodecimal? ¿Y en el sistema de base 5?

19) Calcular los 5 primeros cuadrados en bases 2, 3, 4, 5.

20) Calcular (11 )1 > ( 1 1 1 )4 , ( 1 1 1 1 ) 3 , ( H U Í ) * , .21 ) Determinar s ta l que (30407) g = ( 1 2 5 5 1 ) 1 0 .

22) Probar que con pesas de 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 64 , 128,2 5 6 , 512 gramos respectivamente se puede pesar, en una balanza de platillos, cualquier objeto que pese menos de 1024 gramos. (Nota: se trata de pesos enteros, sin fracciones.)

23) Determinar s y t tales que (14) , = ( 2 2 ) t .

24) ¿En qué sistemas de numeración es 301 un cuadrado?(O sea hallar s tales que (301 ) s sea un cuadrado. ) (Resp. : 4 ,15 ,5 6 , . . . )

25) Probar que en el sistema decimal la diferencia entre elcuadrado de un número de dos dígitos y el cuadrado del número obtenido invirtiendo los dígitos es divisible por 99. (O sea( a b ) 2 - ( b a ) 2 - k • 9 9 . )

M I S C E L Á N E A

1) encontrar dos números conociendo su m.cm.y £u m.cd.Aplicarlo a la situación 7 5 6 ,3 6 . (Sug . : a = x • (a , b ) , b == y * ( a , b ) , [ a , b ] = x • y • ( a , b ) . )

2) Probar que si a y b son enteros, entonces a • b • ( a 2 ++ b 2 ) • (a 2 — b 2 ) es divisible por 30.

3) Representar 2 0 ! com o produ cto de primos, sin efectuarel producto !

4) Probar que el producto de dos números enteros consecutivos (no nulos) no es un cuadrado.

1 6 6




5) El producto de un número de tres dígitos por 7 termina

a derecha en 638. Encontrar ese número.6) ¿Cuáles son los números, que divididos por un entero

fi jo a > 0, dan cociente igual al resto?

7) Encontrar tres números, sabiendo que sumados dos a dosd an 56 , 63 y 105 .

8) Determinar los números de cuatro cifras que divididospor 8 y por 125 dan por restos 7 y 4 respectivamente.

9) Encontrar todos los valores de n que hacen a (n —— 1) • (n + 2) divisible por 35.

10) ¿Cuántos lados posee un polígono cuyo número dediagonales es 119?

11) Hallar dos números enteros consecutivos conociendo suproducto . Por e jemplo 420 .

12) ¿En cuántos ceros termina el desarrollo decimal de2 0 ! ? Lo mismo para 15! , 30!

13 ) ¿ E s 40 01 p r im o ?

14) Determinar todos los enteros cuyos cuadrados, divididos por 17 dan resto 9.

15 ) Probar que para todo s > 5 , (1 2 3 4 5 4 3 2 1 ) , es un cuadrado perfecto .

1 6) Probar que para todo n G N el número n - (2n ++ 7 ) • (7n + 1) es divisible por 6.

17) Sean a y b enteros coprimos. Probar que (a + b, a 2 ++ b 2 - a • b) = 3 ó 1 .

18) Probar que los números (2* + 3 n ) y (2 n + 1 + 3 n + 1 ) soncoprimos , cualquiera sea n G N .

19) En las expresiones siguientes determinar, si es posible, 3valores de n que den un número primo y un valor que no déprimo:

I ) n ! + . 1

I I I ) 2 n - 1

V ) n 2 + n +' 41

II ) n 2 + ( n + l ) 2

I V ) 2 2 n - 1

V ) 2 i n + 1

1 6 7

NOTAS DE ALGEBRA I

C ON GRU E N C I A S

Sea jen e N. Sean a y b enteros.

Definición

Diremos que a es congruente a b, módulo m, en símbolos

a = b mod (m) ó a = b(m )si m divide a b — a (m|(b — a))

Por ejemplo

3 = 1 m od ( 2 )

-2 = 1 mod (9)

Con a ^ b mod (m) denotamos la negación de a = b mod( m ) . Por ejemplo

3 ^ 2 m od ( 2 )

Ejercicios

1) Analizar la validez de las siguientes afirmaciones:

I ) 11 s - 1 m o d (6 ) I I ) 31 = - 1 8 m o d <7)

I I I ) 3 = 0 m od (2 ) IV ) 3 = 3 m od (2 )

V ) 1 0 2 = 10 m o d (3 ) V I ) 1 = - 1 m o d (2 )

VI I ) 270 = 15 mod (54)

2) Para qué m se hacen verdaderas las congruencias siguien

tes :I ) 5 s 4 mo d(m) I I ) 1 = 0 m od(m )

I I I ) 5 s - 4 m o d (m ) I V) 3 = - 3 m o d (m )

V ) 1 1 9 7 = 2 8 6 m o d (m ) V I ) 1 1 9 7 = - 2 8 6 m o d (m )

1 6 8

Proposición

Las siguientes propiedades se satisfacen:

I ) V a e Z, a = a mo d(m)I I ) V a , b e Z , a = b m o d (m ) b = a m o d (m )

I I I ) Va, b , c e Z, a = b mod(m) y b = c mod(m) *»a = c mod(m)

I V ) V a , b , c € Z, a = b m od(m ) * > a + c = b + c m od(m )

V) Va, b , c , e Z, a = b mo d(m) a + m* c = b mod(m)V I) V a, b , c 6 Z, a = b m od(m) =» a-c = b -c m od(m )

V I I ) V a e Z, a = 0 mod(m) <> m|aVII I ) Va, b e Z, a = b mod(m) <> a y b ti en en e l m i sm o res to

en la división por m.

Demostración

I) a — a = 0 • m. De manera que a = a mod(m)

I I ) a' = b mo d (m ) •» b — a = m • h •» a— b = m • (—h) *b = a mod (m)

I I I ) a = b , b s c mod (m ) o b — a = m • h y c — b == m • k => c — a = m • (h + k) «• c = a mod(m)

I V ) a = b m od (m ) ** b = a + m « k * b + c = - a + c ++ m - k < » a + c = b + c m od (m )

V I) a = b mod(m ) b = a + m • k o b • c = a • c ++ m ' k c < * a « c = b « c m o d(m )

V I I I ) S ean a = m « h + r , 0 < r , < m

b = m • k + r b ; 0 < r b < m ; con r. < r b

Entoncesb — a = m • (k — h ) + ( r b — r a ) con 0 < r b — r a < m .

Se sigue que r b — r, es el resto de la división de b — a porm. Por lo tanto

1 6 9

NOTAS DE ALGEBRA I

a = b m od (m ) «• m|b — a «• ra

= rb

NOTA: Las tres primeras propiedades de = expresan que esésta una relación de equivalencia en Z. Como tal, determinauna partición de Z en clases de equivalencias. Una clase deequivalencia está formada por todos los enteros congruentesentre sí, módulo m. Por ejemplo si m es 5 las clases de equivalencia son exactamente,

Z 0 = {•• . , - 1 0 , — 5, 0 , 5 , 10, . . . } = {5 • k + 0/k e Z }

z, = { . . . . - 9 , - 4 , 1 , 6 , 11 , . . •} = {& • k + 1 /k e Z)

z2 = { . . - 8 , - 3 , 2 , 7 , 1 2 , . . . } = {5 • k + 2/k G Z }

z3 = { . . - 7 , - 2 , 3, 8, 13, . . . } = {5 • k + 3/k G Z }

z4 = {••- 6 , - 1 , 4, 9, 14, . . . } = { 5 - k + 4/k G Z }

La propiedad de ser estas clases una partición de Z significaque

Z = Z 0 U Z i U Z 2 U Z 3 U Z 4

Z t * ¡z¡ para tod o i = 0, 1 , 2 , 3 , 4

Zi n Zj = <¡> si i j .

O sea, las clases no son vacías y no tienen elem entos encomún, y su unión da todo Z.

La propiedad VIII) es la que caracteriza la congruencia.Dice que la congruencia módulo m clasifica a los enteros por suresto en la división por m: dos enteros son equivalentes módulom si y sólo sí poseen el mismo resto en la división por m. Porejemplo si m = 2, la clasificación en Z es de pares e impares.

Las propiedades IV) y VI) expresan la compatibil idad de lasuma y el producto de enteros con respecto a esta relación decongruencia. Esto es muy importante pues permite "trasladar"al conjunto de clases de congruencia, las operaciones de suma yproducto.

Esto da lugar a los anillos de enteros módulo m, y así a la"ar i tmét ica módulo m" .

1 7 0

Una aplicación

Sea a un número natural . Escrito en forma decimal es

a = • 1 0r

+ . . . + 1 02

• a , + 1 0 • a . + a 0

0 < aj < 9 , i = 0, 1, . . . , r.

Se t iene

1 0 = 1 m o d ( 3 ) [m o d (9 ) ]

1 0 2 = 1 m o d (3 ) [m o d (9 ) ]

V n € N , 1 0 n s 1 m o d (3 ) [ m o d ( 9 ) ]

por lo tanto

a 0 = a 0m o d ( 3 ) [ m o d ( 9 ) j

ai • 1 0 s a i m o d ( 3 ) [m o d (9 ) ]

a j • 1 0 2 s a 2m o d ( 3 ) [m o d (9 ) ]

a , • W s a, m o d ( 3 ) [mod(9) J

y en virtud de IV) de la proposición anterior podemos sumarmiembro a miembro y obtener

a = a 0 + ai + a 2 + . . . + m od( 3) [m od (9)]

lo cual dice [según VIII) de la proposición] que

a y la suma de dígitos a 0 + a i + . . ' . + a ,

del desarrollo decimal de a tienen el mismo resto en la divisiónpor 3 (y por 9). De aquí resulta la regla de divisibilidad por 3

1 7 1

NOTA: El lector interesado en repasar la importante nociónde relación de equivalencia y conjunto cociente, puede, porejemplo, consultar el apéndice sobre "Algebra de Conjuntos' -'.



NOTAS DE ALGEBRA I

Ejemplos

I I , 1 1 1 1 , l i l i l í son divisibles p or 1 1 .I I I , 11111 no son divisibles por 11.2233445566 es d iv is ib le por 11 .

E jemplo

Calcular el resto de la división de 7 1 2 p o r 1 1 .Se t iene

7 2 = 5 m o d ( l l )

7 3 = 3 5 s 2 m o d ( l l )

1 7 2

(y por 9): Un número es divisible por 3 (respectivamente por

9) si la suma de sus dígitos es divisible por 3 (respectivamentep o r 9 ) .E jemplos :

102 , 210 , 2100 , 2001 , 2301 son div is ib les por 3 .

27, 270, 72, 720, 702, 7002 son divis ibles por 9 .

Otro caso interesante de estudiar es la divisibilidad por 11.Para ello nos basamos en la congruencia

1 0 = - 1 m o d ( l l )por lo tanto

1 0 2 = 1 m o d ( l l )1 0 3 = - 1 m o d ( l l )

y en general1 0 n = ( - l ) n m o d ( l l )

Si a = a r • 1 0 r + . . . + —a x • 10 + a 0 , procediendo como

en el caso 10 se llega a que

a y a 0 — a t + a 2 . . . + (— 1)' ^

tienen el mismo resto en la división por 11. Un número esdivisible por 11 si la suma alternada de sus coeficientes esdivisible por 11.




7 9 = 2 3 = 8 m o d ( l l )

7 1 2 == 1 6 = 5 m o d ( l l ) .

Luego el resto buscado es 5.

E jemplo

Hallemos la cifra de las unidades de 17 l s .Se t i ene 17 l s = a„ • 1 0 ° + . . . + aj • 1 0 + a 0 .Se trata de hallar a 0 , en el desarrollo decimal de 17 1 5 . Pero

notemos que a 0 no es otra cosa que la solución de la congruencia

1 7 l s = a 0 m o d ( 1 0 )

Ahora, puesto que 17 = 7 mod(10) , se reduce a encontrara 0 tal que

7 1 5 = a 0 m o d ( 1 0 )

Resulta 7 2 = 9, 7 3 s 3 , 7 4 s 3 3 = 7, 7 1 2 = 21 = 1 ,

7 1 5 s 3 m o d ( 1 0 ) .Luego

a 0 = 3 .

Ejercic ios

1) Obtener los restos de la división de

3 s ; 22 1 , 8 2 5 por respectivam ente 5 , 1 3 y 12 7.

2) Hallar todos los números que satisfacen en cada caso

I) x 2 s 1 m od(4 ) I I ) x 2 s 0 m o d ( 1 2 )

I I I ) x 2 = x m o d (12) I V ) x 4 = 1 m o d ( 1 6 )

V ) x 2 = 2 m o d (3 )

3) Resolver, si es posible, las siguientes ecuaciones:

I ) 3 • x s 1 m p d (5 ) I V ) 5 • x s 6 m o d ( 7 )

1 7 3

I I ) 2 • x = 3 m od (6) V ) 3 • x = 2 mod(2)

I I I ) 2 • x = 5 m o d (6) V I ) 7 • x s - 1 m o d ( 8 )

4 ) Pro b ar qu e si a, b , d son e n te ros , 0 < d d|a, d|b y d|mentonces la ecuación a • x = b mod(m) admite una solución si ysólo si la ecuación

— • x = — mod I — I admite solución,d d V d /

5 ) Describa la congruencia mod(l). ¿Cuáles son las clasesde equivalencias? ¿S e podrá dar una definición satisf actoria dea = b mod(O)? (s i ) . ¿Y para m < 0 , a s b m od(m )?

6) Hallar: I) la cifra de las unidades de 7 8 3 ; II) las cifras delas unidades y las decenas de 7 1 5 .

7) Hallar el resto de la división entera de 1* + 2 S + 3* ++ 4 8 + 5 8 + 6 8 + 7 8 + 8 8 en la división I) por 5 , I I ) por 7 .

8) Determinar todos los enteros t , 0 < t < 16 tales quet 2 = t m o d ( 1 6 ) .

9 ) S ea l a s igu iente p ro pi ed ad ari t m éti c a, a , b e Z , p p ri m o r

a 2 4- b 2 = 0 si y solo si a = b = 0 m od (p) .

Determinar para cuáles de los primos siguientes es la misma

•verdaderap = 2, 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 31 .

1 0 ) S e a t € Z , l lam are m os an ul ado r m o d ( m ) d e t , A n ^ t ) ala totalidad de e ntero s h, 0 < h < m tales q ue t • h == 0 m o d ( m ) .

I ) Calcular An 3 ( l ) , A n 4 ( 2 ) , A n 1 2 ( 2 ) , A n , 2 ( 3 ) , A n „ ( 5 ) ,

A n 1 2 ( 1 2 ) .11) Pro b ar qu e si (m , t ) = 1 en ton ces An,,, (t ) = { 0 }.

I I ) S e a t e z , diremos que t es inversible módulo m siexiste h e Z tal que t • h = 1 m o d (m ) .

1 7 4

Ecuación lineal de congruencia

Se trata de estudiar en general el problema de resolución dela ecuación en X

a • X =• b m od (m ). (* )

Es fácil ver que el problema no admite siempre solución,por ejemplo

2 • X = 3 m o d ( 2 )

no posee ninguna solución en Z, pues cualquiera sea k G Z

2 • k — 3 es impar,

luego no es divisible por 2.Notemos además que si x 0 es solución de (*) también lo es

x Q + k • m

de manera que si (*) posee una solución posee entonces infini

tas soluciones.Para evitar la ambigüedad de infinitas soluciones, nos limitaremos a considerar las soluciones de x de (*) tales que

0 < x < m.

1 7 5

I) Dados t = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, determinar m tal que t

sea inversible módulo m.II) ¿Es 5 inversible módulo 17?

III) ¿Existirá m 6 N tal que m sea inversible módulo m?

IV) Probar que si (m, t) = 1 entonces t es inversible módulo m.

V) Determinar todos los enteros inversibles módulo 16. Lomismo módulo 7, módulo 11, módulo 12.

12) Encontrar todos los enteros cuyos cuadrados divididospor 17 den resto 9 .

N O T A S DE ALGEBRA I

E j em p l o

S ea l a ec u ac i ó n 518 X = 72 (13 ) . Pu es t o q u e 518= 11 (33 )y 72 s 7 ( 1 3 ) , la ecuación dada es equivalente a 1 1 X = 7 ( 1 3 ) .

Una solución de esta ecuación es X = 3. Es la única comprendida entre 0 y 13.

1 7 6

Por ejemplo la ecuación

3 • X = 7 m o d ( l l )

admite única solución x, con 0 < x < 11, a saber, x = 6.Otras soluciones se obtienen tomando 6 + k • m. Por otra

parte si u es tam bién solución de 3 • X = 7 se tiene 3 • u = 3 • 6 ,por lo tanto 3 • (u — 6) es múltiplo de 11. Como 11 y 3 se tiene

l l | ( u - 6 )

o sea u = 6 + t • m para algún t e Z .

Hemos probado que la solución general de 3 • X = 7m o d ( l l ) e s

6 + k • m, k e Z.

Analicemos la si tuación general (*) . Si (a, m) = 1, entoncessabemos que existen enteros r y s tales que

1 = r • a + s • m

por lo tantob = (rb) • a + (sb) • m

o seaa • ( rb) = b mod(m).

Y así rb es solución de (*). Tenemos pues una condición

suficiente para la resolubilidad de (*). Esta condición no esnecesaria, por ejemplo, la ecuación

2 • X = 2 m o d (4 )

es resoluble (cualquier entero impar la satisface). Sin embargo( 2 , 4 ) = 2 * 1 .




EjemploSea la ecuación 23 • X a 41 mod(52) . S iendo (23 , 52) = 1

pues 23 es primo y 23 X 52 se tiene

1 = 52 • 4 + ( - 2 3 ) • 9

por lo tanto

1 s 23 • ( - 9 ) m o d ( 5 2 )

1 3 2 3 • ( 4 3 • 4 1 ) m o d ( 5 2 )pero 43 • 41 = 43 • (52 - 11 ) 3 4 3 • ( - 1 1 ) = - 4 7 3 + 5 2 0 =••= 47 m o d (52) • X = 47 es la única solución comprendida entre0 y 52 .

Sea ahora x una solución de la ecuación (*). Entonces

a • x — b = k • m para algún m, o sea

b = a • x + (—k) • mde la cua l se sigue qu e si d € Z es tal qu e d|a y d|m ent on ce sd|b por lo tanto

(a , m)|b.

Rec íprocamente s i(a , m)|b

analicemos la ecuacióna b / . m \X 3 mod |.

(a , m ) (a, m) ^ (a, m ) /

La misma admite solución pues

(a m

(a , m ) ' (a, m )y de aquí resulta inmediatamente una solución-de. (*) .Por lo tanto hemos demostrado que la condición necesaria

y suficiente para que la ecuación a • X 3 b admita una soluciónes que

(a , m)|b.

1 7 7



NOTAS DE ALGEBRA I

Ejemplo

Sea la ecuación

4 2 • X = 50 m o d (76)

entonces (76, 42) = 2 y como 2|50 la ecuación tiene solución.Utilizando la idea anterior de dividir por (a, m) considera

mos la ecuación

2 1 • X s 2 5 m o d ( 3 8 )

la cual s í t iene solución, pues (38, 21) = 1 . Entonces

4 2 • X = 50 mod(38) o también

4 • X = 12 mod(38) y es c laro que

x = 3 es la solu ción.

Por lo tanto hemos hallado una solución de 21 • X = 2 5 .

Todas las soluciones de 21 • X = 2 5 m od (38 ) son de la forma3 + k • 3 8 .Volviendo a nuestra ecuación original 42 • X = 5 0 m o d ( 7 6 )

observamos que

3 y 3 + 38 = 41

son las dos únicas soluciones comprendidas entre 0 y 76.La solución general de a • X = b mod(m) se realiza, en el

caso (a, m)/b en forma análoga. Los pasos son éstos:

I) Resolver la ecuación

a bX s mod(a , m ) (a, m ) \ (a, m) /

II) Si x es una solución de la ecuación anterior, las soluciones de a • X = b modj[m) no congruentes entre sí modulo m,son

m m mx , x + x + 2 , . . . , x + (( m , a ) - 1 )

(a , m ) (a, m ) (a • m )

o sea (a, m) soluciones no congruentes entre sí módulo m.

1 7 8




NOTA: Si (a, m) = 1 entonces (a, m)|b, por lo tantoa • X = b m od (m ) adm ite solución y ésta es única módu lo m .

El resultado anterior generaliza la situación inicial donde estudiamos la solución de (*) para el caso (a, m) = 1.

E jemplo

La ecuación a • X = 0 mod(m) admite única solución (x == 0) módulo m si y solo si (a, m) = 1.

(a , m) = 1, a, c = a • d m od(m ) =* c = m od (m ).

En efec to , a • c = a • d equivale a a • (c — d) = 0, por lotanto si (a, m) = 1, a • X = 0 adm ite única solució n, 0 = c — dm o d ( m ) , con lo que c = d mod(m).

En particular, si m es primo, a • X = O y p / a im plicana = 0 m o d (m ) .

E jemplo

La ecuación a • X = 1 mod(m) admite única solución (módulo m) si y solo si (a, m) = 1.

1 7 9

E jemplo

Sea la ecuación 30 • X = 18 m o d (78) . S e t i en e (30 , 78 ) == 6 y como 6|18 la ecuación tiene solución. Hallemos primeramente una solución de

5 • X = 3 m o d (13)

se ve fácilmente que 11 es solución. Las soluciones de3 0 • X = 18 son entonces

1 1 , 1 1 + 1 3 , 1 1 + 2 • 1 3 , 1 1 + 3 • 1 3 , 1 1 + 4 • 1 3 , 1 1 + 5 • 1 3 ,

todas distintas entre sí módulo 78.



NOTAS DE ALGEBRA I

Ejercicios

1) Hallar todas las soluciones de las ecuaciones lineales decongruencias siguientes:

1) 330 X = 42 (273) II) 35 X s 14 (182)III) 18 X = 0 (15) IV) 7 X = 1 (11)

V) 8 X 3 0 (13) VI) 10 X 2 2 (22)

VII) 180 X 3 - 1 8 X ( 3 0 )

2) Obtener los restos de la división de 2 4 6 , 3 2 1 , 7 1 2 6 ,9 9 " por 47, 17, 123, y 13.

3) Probar que

I) a 3 ±1 mod(8) implica a 2 3 1 mod(16).

II) a 3 ±3 mod(8) implica a2 3 9 mod(16).

4) Probar que todo número impar satisface las congruencias

a 4 3 1 mod(16), a 8 = 1 mod(32), a 1 6 = 1 mod(64).

5) Hallar el resto de la división de a por b en los casossiguientes:

a = 3 • 11 • 17 • 71 • 101 • 113 , b = 12a = l l 3 • 13 8 , b = 7

a = 4 1 0 0 0 , b = 9

a = 123 4 5 6 , b = 31

6) Resolver las siguientes ecuaciones lineales de congruencia:

I) 2 X 3 1 (7) II ) 6 X 3 3 (21)

III) 111 X 3 25 (321) IV) 3970 X = 560 (2755)

7) Determinar todos los enteros t tales que 10 sea el restode la división de 2 • t por 14.

180




181

Sistema de ecuaciones lineales

Sea el sistema

x = a! m o d ( r r i i ) , x = a2 mod(m 2 ).

Se trata de hallar un entero que satisfaga ambas ecuaciones.Por ejemplo, analicemos el sistema

x = 3 mod(5) y x = 1 mod(6)

las soluciones de la primera ecuación son:

3 , 8 , 13 , 18, 23, . . .

y de la segunda son

1 , 7, 13, 19, 26, . . .

se ve entonces que 13 es solución común, luego solución del

sistema.Notemos que si existe solución común entonces

x = aj + k • mi

x = a 2 + h • m 2

de manera que

ai — a 2 = h • m 2 — k • m,

y así (mi, m 2 )/a! — a 2 .

Recíprocamente, si (mi, m2)|ai — a 2 la ecuación

h • m 2 = &r — a 2 mod(mi) (*)

admite solución h (según el resultado anterior) o sea

ai — a 2 = h • m 2 — t • mi

ai — h • m 2 = a 2 — t • mjo sea

ai + t • m t = a 2 + h • m 2 (**)

es solución del sistema. Hemos demostrado la

NOTAS DE ALGEBRA I

ProposiciónEl s istema de congruencias x = a j m o d (m i) , x = a 2

m o d ( m 2 ) admite una solución si y sólo si a s — a 2 es múltiplod e ( m 1 ( m 2 ) .

Hay una única solución en el intervalo 0 < x < [ni ! , m 2 J.

Demostración

La primera parte se vio más arriba. Si el sistema admitesolución la ecuación (*) admite solución única

h > 0 modulo( m i , m2)

y una solución es (* *)a 2 + h • m 2

a 2 puede reemplazarse por un elemento menor que m 2 , por lotanto como

m jh < ( m i , m 2 )

l m

i \a 2 + h • m 2 < m 2 + 1 — 1 1 m 2 =^ ( m i , m 2 ) /

m i , m 2

= m 2 + — m 2 = [ m j , m 2 ] .( m j , m 2 )

Es fácil ver que e'sa es la única solución en ese intervalonatural. Dejamos su verificación a cargo del lector.

E j em p l o

Resolvamos el s istema x = 4 mod(9) y x = 7 mod(12) .En ton ces ( 9 , 1 2 ) = 3 , y 3|7 — 4 . Una solución se obtend rá

1 8 2




Ejemplo

Una banda de 13 piratas obtuvo un cierto número demonedas de oro. Los mismos trataron de distribuirlas entre síequitativamente, pero les sobraban 8 monedas. Imprevistamentedos de ellos contrajeron sarampión y murieron. Al volver a intentar el reparto sobraban ahora 3 monedas. Posteriormente 3 deel los se ahogaron comiendo caramelos. . . con papel . Pero alintentar distribuir las monedas quedaban cinco. Se trata desaber cuántas monedas había en juego y también si Morganestaba entre los piratas.

Solución

Sea n el número de monedas. Entonces se t iene el sistema

1 8 3

resolviendo primeramente 12 • h = 4 — 7 m od (9 ) . h = 2 es una

solución, entonces 7 + 12 • 2 = 31 es una solución del sistema

3 1 s 4 m o d ( 9 )

31 = 7 m o d (12) .

Mencionemos, sin dar su demostración, un resultado importante. A saber, el Teorema Chino del Resto (Chinese Remain-d er T h eo rem ) .

Un sistema lineal de congruencias

x = a ! m o d ( m ! )

x = a 2 m o d ( m 2 )

x s a k m o d ( m k )

tal que (m i , m j ) = 1 si i ^ j

(o sea los módulos son coprimos de a par) admite únicasolución módulo el producto m t , m 2 m k .



NOTAS DE ALGEBRA I

1 8 4

n = 8 m o d (13 )n = 3 m o d ( l l )

n = 5 m o d (8 )o sea

n = 1 3 • k + 8

n = 1 1 • h + 3

n = 8 • t + 5

y así1 3 • k + 8 = 3 m o d ( l l ) , o sea 13 • k = 6 m o d ( l l )

1 3 • k + 8 = 5 m od (8) o sea 13 • k = 5 mod(8)

Las soluciones de 13 • k = 6 m o d ( l l ) s o n

3 , 14 , 25 , 36 . . .

Las soluciones de 13 • k = 5 mod(8) son

1 , 9 , 17 , 25 , 33 , . . .

Se sigue que 25 es una solución común. Por lo tanto es n == 2 5 • 1 3 + 8 = 3 3 3 .

Se t iene en efecto

3 3 3 = 8 m o d ( 1 3 )

3 3 3 s 3 m o d ( l l )

3 3 3 = 5 m o d ( 8 )

Había pues 333 monedas. Obviamente Morgan no estaba enel grupo de piratas, pues era reconocidamente supersticioso yno habría integrado un grupo de 13 piratas.



A PÉ N DI C E

Algunos Teoremas de la Teoría Elementalde Números

La Matemática: Reina de las Ciencias

La Ari tmética: Reina de la Matemática

(Atribuido a Cari Friedrich Gauss, 1777-1855)

Sólo probaremos dos teoremas y mencionaremos otros. Recomendamos al lector con entusiasmo, como tema para lasvacaciones, estudiar este apasionante capítulo de la Matemática.

Elemental no significa fácil , se trata mejor de usar muchoingenio, muchas ideas mas que enredadas técnicas. Este temano presupone mayor conocimiento. El curso de Algebra I essuficiente. Es el tema ideal para saber Qué es Matemática. Algunas citas bibliográficas pueden ser:

G . H. Hardy — E . M . Wright, An Introduction to the Theory ofNumbers. (Este libro es la Biblia de bolsillo en teoría denúmeros. )

James E . Shockley , Introduction to Number T heory, Holt —Rinehart and Winston. (Este es muy recomendable, de fáci llectura, con ejercicios.)

H, Davenport, The Higher Arithmetic, Harper Torchbook.J . V. Uspensky y M. A. Heaslet, Elementary Number Theo

ry. Me Graw Hill .

T eo rem a

(Euler-Fermat-Vivaldi . ) Sea p un número primo. Entonces

I ) (V a ), a e Z, a p = a mod(p)

I I ) (V a ), a e Z y (a, p) = 1 es a p _ 1 = 1 mod(p) .

Demostración

Veamos primeramente que las afirmaciones I) y II) sonequivalentes

1 8 5

1 8 6

I) => II) . En efecto, si a 6 Z, por I) se sigue que a p = a

m o d( p) .Usam os la hipótesis de que (a , p) = 1 ; existen r, s e Z talesque 1 = r • a + s • p. Por lo tanto 1 = r • a mod(p) . De

a • a p — 1 a mod(p)

concluimos, multiplicando ambos miembros de la congruenciapor r que

a p _ 1 = 1 mod(p)

II) =* I) . Sea a e Z. Supongamos II) . Si (a, p) = 1 entonces

a p _ 1 = 1 mod(p)

y multiplicando por a, resulta

a p = a mod(p)

Si p|a, entonces p|ap y así p|ap — a, o sea

a p — a = 0 m o d (p ) ,es decir

a p = a mod(p)

La equivalencia ha quedado probada.Probaremos entonces I) . Para el lo recordemos que si p es

primo entonces del hecho probado oportunamente| P j = 0 m od (p) si 0 < i < p .

De la fórmula del binomio se sigue que, cualesquiera seana, b en Z:

(a + b ) p = a p + b p m o d ( p ) .

Por lo tanto cualquiera sea n e N

n p = ( E l ) p = l l p = l l = n m o d(p )i = i i = i i = i

(Verifiquemos esto por inducción:

ANILLOS DE ENTEROS RACIONALES

1 8 7

l p = 1 mod(p): ¡Está c laro!

Sea n p = n mod(p)E n t o n c es

( n + l ) p = n p + l p mod(p), por lo que di j imos más arriba

= n + 1 po r la hipótesis inductiva.

Luego efectivamente

n p = n mod(p) cualquiera sea n G N.)

Hemos pues probado el teorema en el caso a E N. Si a = 0,es trivial. Queda por ver el caso a < 0. Pero entonces

(— a) p = —a-mod(p)

pues —a e N. Así esto implica

( — l ) p • a p s - a m o d ( p ) .

Si p es impar entonces

( — l ) p = —1 y resulta

a p = a mod(p) . L i s to .

Si p = 2, resulta

a p = - a m o d ( 2 )

pero como 1 = —1 mod(2) , resul ta

a 2 = a m o d (2 ) . L i s t o .

El teorema ha s ido demostrado.

Corolario

S i a e Z, p primo,(V n) , n e N a ^ s á mod(p) .

Si (a , p) = 1 , (V n) , n <= N , a 5 " " 1 = 1 mod(p) .

NOTAS DE ALGEBRA I

Teorema (de Wilson)

Para todo primo p,

(p — 1 ) ! = — 1 mod (p) .

Demostración

Si p = 2 el teorema es trivial. Sea pues p primo impar.

Probaremos primeramente que

(V t ) , 1 < t < p — 1 ; t 2 = 1 si y solo si t = p — 1 ó t = 1 .

Si t = p — 1 entonces t 2 = p 2 — 2p + 1 , o sea t 2 = 1mod(p) y si t = 1 también t 2 = 1 mod(p). Hemos probado laparte fáci l .

Veamos la parte solo si ( ida) . Sea pues t entero con 1 < t << p — 1 y t 2 = 1 m o d ( p ) .

Se t ienet 2 = 1 mod(p) implica t 2 — 1 = 0 m o d ( p )

Por lo tanto(t - 1 ) • ( t + 1) = 0 m o d (p )

0 seap|t - 1 o p|t + 1 .

Puesto que p es coprimo con todos los enteros m tales que

i l < m < p — 1 debe ocurrir que

t — 1 = 0 , o sea t = 1o

t + 1 = p, o sea t = p — 1

nuestra afirmación queda probada.Necesitaremos los siguientes hechos (véase el ejemplo que

sigue a la demostración):

a) Para todo x , 1 < x < p — 1 existe un único resto x' ,1 < x ' < p — 1 tal que x • x ' = 1 m o d ( p ) .

En efecto, es claro que (x, p) = 1 . Por lo tanto existenenteros r y s tales que 1 = r • x + s • p. O sea 1 = r • x

1 8 8

m o d ( p ) . Sea x' el resto de la división de r por p. Se tiene 1 << x ' < p — 1 ( ¡ x ' no puede ser 0 ! ) y x • x ' = 1 m o d (p ) .

Veamos la unicidad:

1 = x • x' = x • x " m o d ( p ) ,

1 < x ' < p — 1 , 1 < x " < p — 1implican

0 = x • (x ' — x " ) y puesto que p / x , es

x ' — x " = 0 m o d (p )o también

x ' = x " m o d (p )pero siendo x ' y x " dos restos de la división por p, debe serx ' = x " .

b) Con la notación de a) , (x ' ) ' = x .En efecto, sigue de la unicidad en cuestión.

c ) Sean x , z res tos módulo p . Entonces x # z implica x ' z ' .

En efecto, razonando por el absurdo, si x ' = z' se t ienez • z' = 1 = x • x' = x • z ' mod(p)

o sea(z — x) • z' = 0 mod(p)

por lo tantoz = x mod(p)

pero siendo ambos z, x restos módulo p, deben coincidir:

z = x, contradicción.Resumiendo, cada resto x módulo p, posee un opuesto x' ,que es también resto módulo p. A su vez x' t iene por opuestoa x . Los ún icos casos en que x = x ' son x = l y x = p — 1. Porlo tanto al formar el producto

1 . 2 . 3 . . . . (p - 1 )

los factor es se neutralizan de a do s, salvo p — 1 . Por lo tan to

ese producto es1 • 2 • 3 . . . (p - 1 ) = p - 1 m od (p)

Pero

1 8 9



NOTAS DE ALGEBRA I

1 0 ! = 1 0 m o d ( p )

E jemplo

Calculemos

3 1 0 0 0 m o d ( 7 ) .

Por Fermat-Euler se t iene3 6 = 1 m o d (7 )

Por lo tanto si 1 0 0 0 = 6 - 1 6 6 + 4resulta

glOOO _ g í ' 1 6 6 + 4 _ ^ g 6 ) 1 66 , g 4 - -^1 66 .

= 3 4 m o d ( 7 ) .

El problema se reduce a calcular 3 4 m o d (7)

1 = 3 6 = 3 2 • 3 4

= 2 « 3 4 .Puesto que

1 = 2 • 4 m o d ( 7 )

3 4 =

p — 1 = —1 rnod(p). En definit iva podemos escribir

( p - 1 ) ! = - 1 m o d (p )

cualquiera sea el primo p.

E jemplo

Ilustremos la idea de la demostración del teoremadente con p = 11. Se t iene

1 = 1 m od(p)

2 • 6 = 1 mo d(p)3 • 4 = 1 mod (p)

5 * 9 = 1 m od (p )

7 • 8 = 1 mod (p)

1 0 = 1 0 m o d ( p )

1 9 0




1 9 1

concluimos que

31000 = 34 = 4 m o d ( 7 )

Ejercic io

Calcular 7 1 0 1 s m o d ( 3 1 ) , 7 1 0 0 0 m o d ( 5 4 ) .

Mencionemos, sin demostración, algunos resultados importantes .

a) Sea p un p rimo impar y sea a e Z , p / a. Se dice que a

es residuo cuadrático módulo p si existe x e Z, tal que

x 1 = a m o d (p ) .

Teorema (* )

Las condiciones siguientes son equivalentes sobre un primop impar:

I) p es de la forma 4 • m + 1, m € ZII) —1 es residuo cuadrático módulo p

III) p se escribe como suma de dos cuadrados en Z.-

Por e jemplo: p = 5, 13

5 = 4 - 1 + 1 , 5 = l 2 + 2 2 , - 1 = 3 2 m o d ( 5 )

13 = 4 • 3 + 1, 13 = 22

+ 32

, - 1 = 82

m o d ( 1 3 ) .Por negación del teorema anterior se obtiene el

Teorema

Las condiciones siguientes son equivalentes sobre un primop impar:

I) p es de la forma 4 • m + 3

II) —1 no es residuo cuadrático módulo pIII) p no es expresable como suma de dos cuadrados en Z.

( * ) Vé ase por e je mp lo , n ue s t ra Not a e n Cie n cia e In v e s t igac ión , T o m o 28 , págs .3 1 5 - 3 2 9 , ( 1 9 7 2 ) .

NOTAS DE ALGEBRA I

Teorema (Lagrange)

TODO entero positivo es suma de 4 cuadrados en Z.Por ejemplo

1 = l 2 + O2 + O2 + O2

3 = l 2 + l 2 + l 2 + O2

5 = 2 2 + l 2 + O2 + O2

7 = 2 2 + l 2 + l 2 + l 2

b) Funciones aritméticas. Una función f : N - > N u { 0 } s edice multiplicativa si f(m, n) = f(m) • f(n) toda vez que (n, m) == 1.

I ) Función de Euler: y : N -> N, <¿(n) = número de enterosm con las propiedades

1 < m < n y (m, n) = 1.

Por ejemplo

*(D = 1

*(2) = 1

*(3) = 2

*(4) = 2

*(12) = 4

Teorema

I ) (d) = ndi n

I I I ) ifi (n) = n • n (1 — -p-) (producto sobre todos los

P lnprimos p que dividen a n).

I V ) (Euler) si a G Z, m G N, (a, m) = 1

a * < m > s 1 mod(m)

192




I I ) La función de M óbius ¡ J L : N -+ N u { O }

1 si n = 1

M (n) = . O si n es divisible po r un cua drad o ¥= 1

(—1 f si n es producto de r primos distintos.

Por ejemplo

H(2) = - 1 , m (12) = 0 , m (15) = 1 , m (30 ) = - 1 .

T eo rem a

I) y. es una función multiplicativa

f 1 si n = 1I I ) 2 M (d) =

d i " [0 si n > 1

I I I ) Fórmula de inversión: S i f : N - > - N u { 0 }yF = 2 f (d)

d |nentonces

f (n) = 1 F ( d ) • / ( — ) = 2 F | — I - n(d) .din \ d / din ^ d /

c) E l "ú l t imo Teorema" de Fermat

Este teorema se refiere en la actualidad a la "Conjeturade Fermat" o a l "Problema de Fermat" . En 1637 , Fermat(1601-1665) enunció la siguiente proposición: la ecuación dio-fantina

x n + y n = z n

con n natural no posee solución en en teros positivos x , y , z sin > 2 .

Para n = 2, hay solución, por ejemplo 3 2 + 4 2 = 5 2 y esposible determinar todas las soluciones en ese caso.

Fermat afirmaba también, poseer una "demostración realmente maravi l losa" de su "Teorema". (Muchos de los descubrimientos de Fermat se conocen de los comentarios que escribió en su copia de la Aritmética de Diofanto. Así, al lado de

1 9 3



NOTAS DE ALGEBRA I

1 9 4

la situación x 2 + y2 = z2 en Diofanto, escribió : "No obstante,

es imposible escribir un cubo como la suma de dos cubos, unapotencia cuarta como suma de dos potencias cuartas y en general cualquier potencia por arriba de 2 como la suma de dospotencias similares. Para esto he descubierto una 'truly won-derful p r o o f , pero el margen es demasiado pequ eño paraescribirla" . )

A pesar de los esfuerzos de los más grandes matemáticospor más de 300 años, esta conjetura permanece no resuelta aún

("correctam ente, bien en te n d u !") , aunque " A very large numberof fallacious proofs have been published" (Hardy-Wright,Theory of Numbers).

Se cree que Fermat tenía una demostración incorrecta. Unademostración para n = 4 es relativamente fácil . Un poco menospara n = 3.

Tratando de adaptar el caso n = 3 a la situación general,Kummer (1810-1893) encontró di f icul tades insospechadas. Algo

así: conocemos el l lamado Teorema Fundamental de la Aritmética , sobre la represe ntación de un en tero positivo ¥= 1 en producto de primos en esencialmente una única forma. Esto parecía ser, en esa época, una propiedad natural, casi obvia,poseída por cualquier dominio de números como Z. Sin embargo, tratando una situación muy poco más general que Z seobservó (Kummer y antes Dirichlet) que la "unicidad de lafactorización" era falsa.

O sea que se descubrió la existencia de dominios numéricosque no eran de factorización única.

(Z [V —5 ] , el anillo de e nteros de la exte nsió n Q (V —5 )de Q no es de facto rizació n ún ica.) Kru m me r ve nció la dificultad introduciendo la noción de ideal de un dominio numérico(o número ideal).

Esta idea fue posteriormente elaborada por Dedekind(1831-1916) y otros , y condujo al desarrol lo de la Teoría Alge

braica de Números.Por otra parte, el estudio de las ecuaciones diofantinas

(como las de Fermat x n + y n = z n ) dio un impulso de granmagnitud a la Geometría Algebraica, una de las más activasramas de la matemática actual .




d ) Una anécdota: Cuando Hardy visitó a Ramanujan (verdadero genio desaparecido prematuramente, Vd. debería leer

relatos de su vida hechos por el mismo Hardy) en su lecho deenfermo en un hospital, le mencionó que había viajado en untaxi cuya chapa era 1729 y que ese número le parecía no tenerninguna propiedad significativa. Ramanujan replicó inmediatamente que 1729 era el menor número positivo expresable comosuma de dos cubos positivos en dos formas distintas:

1 7 2 9 = l 3 + 1 2 3 = 9 3 + 1 0 3

1 9 5



NOTAS DE ALGEBRA I

Ejemplo

Todo número entero es racional : si m £ Z escribimosm = JL . y esto dice bien que m es racional . La recíproca esfalsa, por ejem plo, — £ Q pero — ^ Z. Esto lo vimos hacet i em p o . 2 2

Proposición

Sean u, v £ Q. E nto nce sI) u ± v £ Q

II) u • v £ Q

IIÍ) si u 4 0 entonces u _ 1 e Q

IV) Q con la suma y producto satisface todos los axiomasde cuerpo ordenado.

Demostración

Si u , v £ Q podemos escribir u = — , v = - j con a, b , c , den Z y además b 4 0 4 d. Se sigue que b • d 4 0 .

Por lo tantoa c a • d ± b • c

u ± v = — ± — = £ Qb d b - - d

a c a • cu • v = — • — = £ Qb d b • d

o sea probamos I) y II) . Ahora si

au = — 4 0 se tiene que a 4 0

bpor lo tanto

b

— £ Q, peroa

a b a • b / a \ - i b= 1 de manera que

b a b * a \ b / a

1 9 8

NÚMEROS RACIONALES

o sea vale III).

IV) resul ta inmediatamente de I ) , I I ) , y I I I ) .En este punto debemos hacer una grave revelación al lector.

El cuerpo Q posee todas las propiedades de R, ¿cuál es entonces la diferencia entre Q y R ? Es ta diferencia no es posibledetectarla ahora, pues nuestra definición de R ha sido incompleta.

Necesitamos introducir una nueva propiedad en la lista delas propiedades de R, a saber el axioma de completitud. Eseaxioma es la diferencia fundamental entre Q y R.

En efecto, R es un cuerpo ordenado completo mientras queQ es un cuerpo ordenado no completo. Para analizar esta propiedad con cuidado empezaremos por dar definiciones.

Definición

Un subconjunto no vacío K de R se dice acotado superiormente (resp. inferiormente) si existe c G R tal que

V x , x G K , x < c

(resp. V x, x G K, c < x ) .

Definición

Sea K un subconjunto de R acotado superiormente. Llamaremos supremo (sup.) de K, al número m (si existe), tal que

si) m es cota superior de K

s2) si t es cota superior de K entonces m < t.

(O sea, el supremo (si existe) de un conjunto acotado superiormente, es la menor cota superior de ese conjunto.)

Es claro que si el supremo de un conjunto acotado superiormente existe, es único. La noción dual de supremo es la deínfimo de un conjunto acotado inferiormente.

El lector se encargará de dar la definición correspondiente.

E jemplo

Sea K = [0, 1] = { x/0 < x < 1 }. 1 es supremo (sup) de K.

1 9 9

NOTAS DE ALGEBRA I

En efecto, s2) => s2') : si m es menor cota superior de Kento nce s, para todo e > 0 , m — e no puede ser cota superior,existe entonces k G K con m — e < k.

R ecíp roc am en te, s 2' ) => s 2 ). Sea t cota superior de K , sit < m enton ces existe k G K tal que m — (m — t) < k, o seat < k , absurdo. Luego m < t , como queríamos probar.

Podemos ahora enunciar la propiedad de nuestro interés.AC: Axioma de complet i tud:Todo subconjunto no vacío de R acotado superiormente,

posee supremo (en R).Entonces, a la lista de propiedades de R de la primera parte

del cuerpo agregamos el AC. Decimos entonces que R es completo.

NOTA: enseguida veremos que Q no es completo, o seaexisten subconjuntos acotados superiormente en Q que noposeen sup. (en Q).

Proposición

Todo subconjunto no vacío de R acotado inferiormenteposee ínfimo (en R).

2 0 0

E jemplo

Sea K = { -i- /n 6 N } . 0 es ínfimo (inf. ) de K .

E jemplo

Sea K = { 1 - -1 /n e N }. 1 es sup. de K .

ProposiciónLa condición s2) de la definición de sup. es equivalente a

s 2 ' V e, e E R , 0 < e existe k € K con m — e < k.

1 1 1 \ i i i i > i i i •

m - e m

NÚMEROS RACIONALES

Teorema de arquimedianidad

Para todo x G R existe n G N tal que n > x .

Demostración

Razonemos por el absurdo. Esto significa que existe xG Rtal que n < x, cualquiera sea n G N.

Se sigue que N está acotado en R (por x). Por el axioma de

completitud, existe sup x* de N.Si x * = n para algún n se ten dría que x * = n < n + 1, unabsurdo pues x* es cota superior de N. Por lo tanto

n < x * cualquiera sea n G N.

S iendo n + 1 natural, también se t iene

n + 1 < x*

o sea n < x * — 1 cualquiera sea n G N,

un absurdo, pues x* es la menor cota superior de N. El absurdo provino de suponer que N estaba acotado superiormente.Por lo tanto resulta la arquimedianidad de R.

2 0 1

Demostración

Sea K acotado inferiormente, entonces l lamando

- K = { - k / k £ K }

(el simétrico de K), se t iene que —K es acotado superiormente,por lo tanto posee supremo m. Afirmamos que —m es ínfimode K. En efec to ,

V k, k G K, —k G —K, —k < m =» —m < k (o sea —m escota inferior de K).

—si t es cota inferior de K, entonces, —t es cota superior de-K , por lo tan to m < —t, o sea t > —m, lo cual significa que-m es la mayor cota inferior de K.

NOTAS DE ALGEBRA 1

Demostración

Por el teorema precedente existe un n G N tal que n > — ;a

siendo a > 0 resulta n • a > b .

Corolario

Para todo x G R , 0 < x, existe n e N tal que 0 < -i - < x .

Demostración

Sea n £ N con n • x > 1. Entonces x > — > 0.

n

Corolario (densidad de Q en R)

Sean x> y G R, x < y . Existe r S Q con

x < r < y.DemostraciónSin pérdida de generalidad podemos suponer que 0 < x.Si x = 0, entonces 0 < y. Sea m G N tal que 1 < m • y .Se t iene así

0 < — < y ,m

lo cual prueba nuestra afirma ción en el caso x = 0 .Sea pues 0 < x. Sea n G N con 1 < n • ( y — x ) .Sea también t G N con n • x < t . Y por buena ordenación

de N sea h G N mínimo con la propiedad n • x < h . Afirmamosque

n • x < h < n • y .

2 0 2

NOTA: los analistas expresan la arquimedianidad de R diciendo que N es cofinal en R.

Corolario

Sean a y b G R, a > 0. Existe n 6 N tal que n • a > b .

NÚMEROS RACIONALES

En efecto , s ih > n • y ,

resulta1 < n • (y — x ) = n • y — n • x < h — n • x

o sean • x < h — 1

y como 0 < x ,0 < n - x < h - l

lo cual dice que h — 1 e N .

Pero esto contradice la minimalidad de h. Por lo tanton • x < h < n • y

es decirh

x < — < yn

lo cual prueba nuestra afirmación.

Proposición

Para todo r 6 R > 0 y tod o m G N, 1 < m existe s G N con

10 < — - < r .

Demostración

El con jun to K = { m'/i G N } no es acota do superiormenteen R . E n ef ec to si c G R es cota superior de K, sea j G N talque c < j . Entonces

V i, i G N , m 1 < c < j .

En particularm 1 < j .

Pero eso no es cierto según vimos al estudiar los númerosnaturales. Sea n G N tal que n • r > 1 . Como n no es cotasuperior de K existe s G N tal que

n < m 8

y por lo tanto

2 0 3

1 < n • r < m s • ro sea

10 < — - < r

m s

como queríamos probar.

Corolario

a) para todo x G R, 0 < x, existe s G N tal que1

0 < < x .

1 0 s

b) para todo x G R, 0 < x, existe y G Q tal que

0 < y2

< y < x .Demostración

a) resulta de hacer m = 10 en la proposición anterior.

b) por la proposición anterior existe s G N tal que

10 < —— < x .

Pero 1 < 2 S implica - ¿ - < 1 y también (- i - ) 2 < ; porende

o o y x 2 < r } .Según vimos en el corolario anterior K ¥= <f>. Podemos, sin

2 0 4

NÚMEROS RACIONALES

pérdida d e generalidad suponer que r > 1 . En e fec to 1 < r si ysólo si

1— < 1r

y además

y 2 = — si y solo si rr ' ( T Í

por lo tanto es indistinto trabajar con r o con -i . .Sea pues r > 1. En estas condiciones se tiene que r 2 > r ,por lo tanto

V x, x G K : x 2 < r < r 2

lo cual implica (por ser 0 < x, 0 < r) que x < r. Hemosprobado que K es acotado superiormente por r. Sea s supremode K en R. Entonces, afirmamos que

Si s 2 < r, sea e G R > 0 , tal que

0 < e 2 < e < (es 1 + 2s > 0 ) .1 + 2s V

(NOTA: la elección de un tal e no es tan antojadiza como

pudiera parece r, está basada en lograr que (s + e ) 2 < r ! ! ! . )Entoncesr — s 2 > e (1 + 2s) = e + 2s • e > e 2 + 2 se

o sea

r > s 2 + e 2 + 2 se = (s + e) 2

lo cual implica ques 4- e G K

pero s es cota superior de K, por lo tanto s > e + s, luego e << 0 , un abs urd o. Provino de suponer s 2 < r .

Por otra parte si s 2 > r, sea e G R tal que

s 2 - r0 < e 2 < e <

2s

2 0 5

NOTAS DE ALGEBRA I

entonces s 2 — r > 2se > 2se — e 2

por lo tantor < (s - e ) 2 . (*)

Puesto queX S T S

0 < s — e < s, pues e < = — < — < s2s 2 2s 2

y siendo s supremo de K, existe t G K tal que

s — e < tde donde

( s - e ) 2 < t 2 < rlo cual contradice (*) .

En definitiva, debe ser s 2 = r y nuestra afirmación quedaprobada. Notemos que s > 0. Veam os que s es el único núm eroreal positivo tal que s 2 = r. En efecto, si h 2 = r resulta s 2 = h 2 ,de donde

(s — h) • (s + h) = 0 , con lo que s = h ó s + h = 0 y a s í h = — s.

O sea, los valores posibles en x 2 = r son x = s > 0 ó x == - s < 0 .

Está bien entonces que existe un único valor positivo stal que

s 2 = r .

Definic ión

Al único número real positivo s, tal que s 2 = r lo denominamos la raíz cuadrada (positiva) de r y lo denotamos con V~r~.E n t o n c es ,

I ) V T > 0 si 0 < r

I I ) (VT ) 2 = r .

Más generalmente podemos probar que para todo n G N y0 < r existe un único número real positivo y > 0 tal que y n = r.

" y " se denomina la raíz enésima (o de grado n de r). Sedenota por \ J~T~.

2 0 6

NÚMEROS RACIONALES

Ejercicios

1) Sean a, b € R > 0 , n, m € N. Prob ar

I ) yT^b = <jTa" . ty~b

[ S o l . : ( y i T • í/~b~) n = ( v ^ T ) n • ( y ¥ ) n = a • b y I) siguepor razones de unicidad]

II ) y i r 7 ' = (sfT)- 1

III) =nV~a~

I V ) a 0 , p/q e Q , 0 < q.

Definición

a p / < l = # T ) P

I) Probar que si p/q = r/s en Q, 0 < q, 0 < s entoncesa P /q = a r /s

(Esto dice que a p / q está bien definida)

I I ) Probar quea p / q = \ fW

III) Sean a, b G R>0

, r, s G Q . Pr ob ar la validez de las siguientes propiedades:

X ) a r • a s = a r + s

XI) a r/ a s = a ' - 8

X I I ) ( a r ) 9 = a r > s

X I I I ) (a • b ) r = a r • b r

XIV) a~ r = ( a ' ) - 1

Al agregar a los axiomas de cuerpo ordenado, el axioma decompletitud observamos la aparición de números reales no racionales. En el ejemplo siguiente mostraremos que \/~2~ no esun número racional. Los números reales que no son racionalesse denominan números irracionales.

2 0 7



NOTAS DE ALGEBRA I

Un problema natural (y difícil) es, dado un número real,

determinar si es racional o irracional. Es bastante fácil probarque si q es un número racional y entonces para casi todon G N , \Y~q~ es irrac ional. En análisis aparece el núm ero e == l í m n (1 + - | - ) n , base de los logaritmos naturales, e es un

número irracional. En geometría, el número real que da la longitud de la circunferencia de diámetro igual a 1 es el número rr,también irracional. La irracionalidad de e y de n fue probada porLambert en 1761. En 1929 Gelfond probó la irracionalidad dee". No se sabe aún si , por ejemplo, los números

son irracionales.Los números reales se clasifican en algebraicos y trascen

den tes. Un núm ero x G R se dice algebraico si existen racionales

a i , a 2 , . . ., a n tales que

x" + a i • x " - 1 + a 2 • x n ~ 2 + . . . + a n l • x + a n = 0 .

Por ejemplo, todo número racional es algebraico, pues siqG Q, q satisface la ecuación

x + ( - q ) = 0 ,

V~2~ es algebraico, pues satisface la ecuación

x 2 + ( - 2 ) = 0 .Un número real se dice trascendente si no es algebraico.

Es ésta una división muy importante de los números reales. Estambién un problema difíci l e importante determinar la trascendencia o algebraicidad de un número real. Por ejemplo son resultados clásicos la trascendencia de e y de i r . La trascendencia dee fue probada por primera vez por Hermite (1873) y la de ip o r L i n d em an n (1882) .

La dem ostración de la trascendenc ia de rr, resolvió com pletamente el famoso problema de la "cuadratura del c írculo" .Este problema trata la construcción de un cuadrado de áreaigual a la de un círculo de radio 1, por lo tanto de la construcción con regla y compás de una longitud igual a la raíz cuadrada de 7 r . Es un hecho, resultante de la Teoría de Galois de que

2 0 8



NÚMEROS RACIONALES

si para un número real x existe un segmento de longitud x,

construible con regla y compás, entonces x es algebraico.Habiéndose probado la trascendencia de T T , de la cual se siguefácilmente la trascendencia de s / ~ ñ ~ , resulta la imposibilidad deconstruir con regla y compás un segmento de longitud \ J~ n(por lo tanto la imposibilidad de la cuadratura del círculo).

Alrededor de 1934 Gelfond y Schneider probaron el si guiente famoso teorema de grandes implicaciones: "Sean a y bnúmeros algebraicos diferentes de 0 y 1. Entonces si el número

log au log b

no es racional , es trascendente" .Con este resultado es fácil probar la trascendencia de

9 v 2 ™ „ „fn efec to

log 2^

log 2sT2

es irracional, luego debe (por el teorema que acabamos de mencionar) ser trascendente. Pero esto no es así . Por lo tanto,

alguno de los 2N^~ 2~ ó 2 no es algebraico. Claramente 2 v / _ 2 ~ noes algebraico.

Otro e jemplo :

log 3u =

log 2es trascendente. En efecto, digo que u es irracional , pues

2 U = 3

como es fácil de verificar. Pero ningún racional u puede satisfacer esta igualdad. Por lo tanto u es irracional y luego trascendente, por el teorema.

NOTA: En el teorema de Schneider y Gelfond, la base de

los logaritmos no importa pues al cambiar la base, el logaritmoqueda multiplicado por un factor constante que se cancela conla fracción

log a

log b

2 0 9



NOTAS DE ALGEBRA I

Ejemplos de números irracionales

1 . Sea y/~2 la raíz cuadrada positiva de 2. Afirmamos que\J~T es un número irracional . En efecto, supongamos razonando por el absurdo que "\f 2 es un número racional" .

Entonces existen números enteros m y n, m ¥= 0 tales queV~2" = n/m. Dado que \[~2 > 0 podem os suponer n > 0 ym > 0 o sea n y m son números naturales. Analicemos lassituaciones siguientes:

a) m = 1. En tal caso yf~2~ = n y por lo tanto 2 == n • n = n 2 . Observemos que n > 1 (pues si n = 1 tend remo s2 = 1 • 1 lo cual es imposible).

En esta forma podemos aplicar a n el Teorema Fundamental de la Aritmética y escribir

n = P i . p 2 p h

donde todos los factores p t , p 2 , . . ., p n son números primos.Elevando n al cuadrado se tiene

n 2 = n - n = (p i p h ) - ( P l P n ) = ( P i ' P i ) . . . ( P i - p h )

y así n 2 es producto de un número PAR de factores primos.

2 1 0

El estudio de irracionalidad y trascendencia de númerosreales corresponde más propiamente a la teoría analít ica denúmeros, rama ésta en puja con la teoría algebraica de números. Curiosamente cada una de éstas trata de probar por susmétodos los resultados de la otra. Y en general pienso que lologran.

Aunque el tema es difícil y requiere nociones avanzadas deálgebra y análisis, mencionamos alguna bibliografía, por si ellector se interesa más adelante. La trascendencia de e y de n setrata en el Apéndice del l ibro de S. Lang: ALGEBRA (Addi-

son-Wesley). Una referencia básica es la monografía de A. O.G e l f o n d : T R A N S C E N D E N T A L A N D A L G E B R A I C N U M B E R S(Dover, N.Y.). Ver también el artículo de nivel avanzado deSerge Lang: "Trascendental Numbers and Diophantine aproxi-m at i o n s " , Bulletin of the American M athematical Society, V o l .77 , (1971) . Mencionemos también: W. Leveque, Topics in Number Theory, Vol. II (Addison-Wesley).

NÚMEROS RACIONALES

Pero entonces la igualdad n 2 = 2 contradice el TeoremaFundamental de la Aritmética, pues siendo 2 un número primo;n 2 admite las dos siguientes representaciones como producto denúmeros primos:

n 2 = (Pi • Pi) . . . (p h * Ph)

n 2 = 2

las cuales son esencialmente diferentes. En efecto, la últ imaigualdad expresa n 2 como producto de un número IMPAR de

factores primos.Esto demuestra entonces que si V~2~ = n/m entonces

b ) m > 1: entonces ambos n > 1 y m > 1. En virtud delTeorema Fundamental de la Aritmética se t iene

n = Pi . . . Ph

n = qi . . . q,

donde todos los factores Pi , . . . , Ph! Qi , <i» son númerosprimos. Como en el caso a) se tiene

es decir2 • m 2 = n 2

Representando ahora ambos miembros como productos denúmeros primos es

2 ' m 2 = ( q , . . . q s ) - ( q i . . . q s ) = 2 - ( q i • q i ) . . . ( % . . . q . ) (* )

n 2 = (Pi • • • Ph ) • (P i • • • Ph) = (Pi ' Pi) •• • ( P h * P h ) ( * * )

pero siendo 2 m 2 = n 2 se ha llegado a una contradicción, pues

la representación (*) contiene un número IMPAR de factoresprimos mientras que la ' (** ) cont iene un número PAR de factores primos y esto contradice el Teorema Fundamental de laAri tmética.

Por lo tanto "VIT es un número racio na l" es inconsistente.

2 1 1



NOTAS DE ALGEBRA I

2 . V 1 0 es un número irracional: en efecto , supongamos,

razonando por el absurdo que "V 1 0 es un número racional" .

Entonces existen enteros n y m, m = t 0 tales que V 1 0 == n/m y dado que V 10 > 0 podemos suponer que n y m sonnúmeros naturales. Analicemos las situaciones siguientes:

a) m = 1. Entonces V 1 0 - n, de manera que 1 0 = n 2

La representación de 10 como producto de números primoses 10 = 5 • 2 = 2 • 5 .

Análogamente n = Pi . . . Ph y así5 • 2 = 10 = n 2 = ( P l . . . P h ) • ( P l . . . P h ) =

= (Pi • P i ) • • • (Ph ' Ph).

Pero ahora esto conduce a una contradicción pues el número n 2 admite las dos siguientes factorizaciones en primos:

n 2 = 5 • 2 (*)y

n 2 = (Pi • P i ) • • • (Ph • Ph) (**)

las cuales son esencialmente diferentes dado que

(*) cont iene un número IMPAR de factores 5 .(* *) no contiene ningún 5 o si con tiene algún 5 lo con tiene

un número par de veces,

y esto contradice el Teorema Fundamental de la Aritmética.

b ) m > 1 . Este caso admite un tratamiento análogo, lodejamos como ejercicio para el lector. De esta manera se prueba que V 1 0 es un número irracional.

Ejercic ios

1) Probar que los siguientes números reales son irracionales:

(Suponer la irracionalidad de ir)

I) 1 + y fT V I ) tt + \T2~"

2 1 2



NÚMEROS RACIONALES

I I ) = - V II ) \ T F1 + \ T T

I I I ) y/ ~ 2 + v^3~ VII I ) —

7T

IV ) X j~2 I X ) y/~p si p es primo

V) \/ 10 X ) \^~p" si p es p rim o y n £ N .

2) Analizar la validez de las siguientes afirmaciones:I) la suma de dos números irracionales es irracional

II) el producto de dos números irracionales es irracional

III) el producto de un irracional por un racional es irracional

IV) la suma de un racional y un irracional es irracional

V) el inverso de un irracional es irracional.

3 ) Calcular V 1 0 correcta m ente a tres decimales.

4) ¿Qué entiende Vd. por la afirmación hecha en el textode que si q e Q, q > 0, V " q ~ e s irracional para casi todo n € N?

5) Probar de la trascendencia de TI:

I) la trascendencia de 2 + *

II) la trascendencia de —

6) ¿Es e + i r irracional? En caso afirmativo, ¿es trascendente? (Respuesta desconocida. )

7) 71/32 no es un número entero. Demuéstrelo .

8) I) aplicando el T.F. de la A. demuestre la irracionalidad(o sea la no racionalidad) de los siguientes números reales:

_3_

V ~2, S T O , V " l 2 , ^ 4 / 5 , 24

, vr

3/2~II) Deduzca de I) la irracionalidad de los siguientes números

reales:

y/~8~ s/~W 3 / T 6 "

2 1 3

NOTAS DE ALGEBRA I

9) Probar la irracionalidad de los siguientes números reales:

1 , V T + - 7 = ^ , (1 + v T ~ ) 2 ,2 V 2

V~2~ + s/lT , s f2 + s fT + 4

10) Construir, con regla y compás a partir de una longitudunidad, segmentos de longitudes iguales a

V T , v T , V T , V T , V T , v r 2 T 7 T , V "lÓ , V T f

1 1 ) Sean a, b , c,_ d números racion ales, 0 V"3~ + c V T = 0 entonces 0 = a = b = c.

13) Sean a y b números reales. Probar que si a < b entonces

b — aa < a + — — - < b.

V ^Deducir que si r y r' son números racionales y r < r' existeun número t irracional tal que r < t < r\

14) I ) Probar que

V \/T - V~4" = (1/3) • ( V T + V~20 - V~25 )

I I ) Probar que

3 + 2 V T V T + i

3 - 2 V T V T - i

(Hardy: Puré Mathematics . )

2 1 4



NÚMEROS RACIONALES

15) I) Sean a, b, c , d números racionales. Expresar

a 4- b \ T 2 "

c + ds/~2

en la forma A + B \J~2 , donde A y B son números racionales.

II) Sean a, b, c , d, e, f , números racionales. Expresar

16 ) S ea Z [\/~5~ ] la totalidad de números reales de la formak 4- k ' \ f~b donde ambos k y k ' son números enteros.

I ) Probar q u e Z est á c o nt en id o en Z [ v ^ ]II) Probar que si x, x ' G Z [ V I T ] entonces x 4- x ' yx « x ' G Z [ > /T ] .

III) Definir norma de x = k 4- k ' V 5 por N (x) = k 2 —— 5 • k ' 2 . Probar que

N ( x ) = 0 si y solo si x = 0

N (x • x ' ) = N(x) • N (x' ) s i x , x ' G Z [ V ^ ] .

IV) Probar que x G Z [ V ~5] posee inverso multiplicativo"en Z [ V I T ] " si y solo s i N(x) = ±1.

V) Sea Q (\/~5 ) la totalidad de números reales de la formar 4- r ' \ / ~ 5 donde r y r' son números racionales.

v j ) Probar que Z [y / ~ 5 ] c Q (y / ~ 5 )

v 2 ) Probar que si u, u' G Q ( \ / ~ 5 ) entonces u 4- u ' G Q( V r 5 ~ ) y u - u ' G Q ( y / T )

v 3 ) Probar que si u G Q ( V ~5") y 0 u existe "e n Q(VTJ ) " inverso multiplicativo de u.

VI) Probar que todo elemento u de Q ( V I T ) es cocienteu = x/x ' de e lementos x , x ' G Z [>/"§" ] .

a 4- b \ f 3 + c y f b

d 4- e \ f l í + f V~5"en la forma

donde A, B, C, D son números racionales.

2 1 5



NOTAS DE ALGEBRA I

NOTA: Se puede definir en general Z [V rn ] y Q (V^ñ )p ara t o d o m e Ñ. L os Q (V m ) son los llamados cuerpos cua-dráticos. Véase Hardy-Wright: An introduction to the Theoryof Numbers.

17) Problema: Hallar todas las bases donde 301 es un cuadrado.

Solución: Se trata pues de hallar los s tales que(*)

3 • s2

+ 1 = z2 K

'Observemos que la ecuación (*) significa que

1 = z 2 - 3 • s 2 = (z - s • V T ) • (z + s • V T ) ,

pero

z 2 - 3 • s 2 = N(z + s • v T )

es la norma del elemento z + s • V T en la extensión cuadrática Z[V~3~]- Por lo tanto, todas las soluciones de (*) estándadas por los elementos de Z f V T ] de norma 1. Ahora loselementos de norma 1 en Z [ V T ] forman un grupo. Uno sabede la teoría algebraica de números que ese grupo está generadopor 2 + V T . O sea cualquier elemento de Z [ V T ] de norma 1es potencia (entera) de 2 + V T . Por lo tanto, todas las soluciones de (*) se obtienen tomando las sucesivas potencias positivas de 2 + V T :

(2 + v T ) 2 = 7 + 4 - v r 3 "

(2 + v T ) 3 = 26 + 15 • v T

(2 + y / ~3 ) 4 = 97 + 56 • vT~

En general si (2 + V T ) m

problema.

.-. s = 4 y T = 3 • 4 2 + 1

.-. s = 1 5 y 2 6 2 = 3 • 1 5 2 + 1

s = 56 y 9 7 2 = 3 • 5 6 2 + 1

= h + r V T , r es solución del

El resultado relativo a Z [ V T ] util izado precedentementepuede consultarse en Samuel, P.: Theorie algebrique des nombres, Hermann, Par i s (1967) .

2 1 6

NÚMEROS RACIONALES

Representación s-ádica

Hemos visto, en su oportunidad, la llamada representacións-ádica de los números enteros positivos. Esto es, dado un entero s > 1 , todo en tero positivo m puede representarse unívocamente en una expresión polinomial

m = a 0 + a t • s + a 2 • s 2 + . . . + a t • s*

donde los coeficientes a 0 , a t , . . . , at son en ter os qu e sa tisfacen

0 < & i < s , i = 0 , 1 , . . . . t .

Vamos a tratar de hacer un trabajo análogo, de representación, para el caso de los números racionales. Veamos algunosejemplos:

1 5 _ 1 2 5 2 0 5 2 _ 5

2 ~ 10 4 ~ 2 0 0 ~ 1 00 1 0 0 ~~ 10 1 02

1 5

2 0 1 0 2

_ 3 _ _ 6

5 " 10

En estos sencillos ejemplos las fracciones consideradas quedan expresadas como suma de términos de la forma

- ^ T , 0 < a, < 1 010*

(o sea una expre sión polinom ial en las pote ncias de ) .

En general uno se plantea el problema de poder escribir unnúmero racional -|- en la forma polinomial

a a j a 2 s u= a Q + — + — V + . . . + —V-

b ° 10 10 2 10*

a 0 , a!, . . . , a t e Z y

2 1 7

NOTAS DE ALGEBRA I

O < ai < 1 0

O < a t < 1 0 .

Así planteada la cosa, no anda. Por ejemplo,

1 0 3 - 3 + 1 3 1

+3 - 1 0 3 - 1 0 1 0 3 - 0

3 1 0 3 3 - 3 + 1+ = +0 3 • 1 0 2 1 0 3 • 1 0 2

3 3 11 — H = (y repitiendo las mismas

1 0 1 0 3 - 1 0 o pe ra cio ne s)3 3 3 1

+ — + ——r + — r e t c . =0 1 0 2 1 0 3 3 • 1 0 3

3 3 3 3 1+ — - + + . . . + +

1 0 1 0 2 1 0 3 " ' 1 0 n 3 • 1 0 n + 1

o sea sería imposible obtener un desarrollo "finito".(Nos da ganas de escribir

1 3 3 3 3= +

—- + — - + . . . + + . . .)

3 1 0 1 0 2 1 0 3 1 0 n '

Debemos pues plantear el problema en otra forma. Para el lo

tratarem os de repetir el proceso hech o con — en form a general .

Sea pues

hG Q , m > 0m

q 0 , r 0 G Z, 0 < r 0 < m, h = q 0 • m + r 0

2 1 8

NÚMEROS RACIONALES

2 1 9

h ^ q 0 • m + r 0 + j o

m m m

1 0 • r 0 q, • m + r, _= Qo + — = qo + — — ( 0 < i i < m )

1 0 • m 1 0 • m

= q n H i4 0 10 10 • m

Notemos que q x satisface 0 < q r < 10 . En efec to , de

1 0 • r 0 = q j • m + t j ; 0 < r 0 < m, 0 < r 1 < m

resulta

m • ( 1 0 — q j ) = m • 10 — m • q! = m • 1 0 — 1 0 • r 0 + r¡ =

= 1 0 • (m — r 0 ) + r x >

> 10 • (m — r 0 ) pues ri > 0

> 0 pues 10 > 0 y m — r 0 > 0

por lo tanto siendo

m > 0, debe ser 1 0 — q ! > 0o sea

q x < 1 0

Además

0 < 10 • r 0 = q i • m + IC 1 < q x • m + m = (q t + 1 ) • m

o sea

0 < (qj + 1.) • m

lo cual implica

0 < q i + 1 , - 1 < q i

es decir 0 < q , .

En definitiva

0 < q t < 1 0 .

NOTAS DE ALGEBRA 1

En conclusión, hemos obtenido

h , qi= q 0 +

m 1 0 1 0 « mcon q 0 G Z

0 < q j < 1 0 , 0 < rj < m

y podemos repetir el proceso y obtener

h _lq

i . .r

*— = q 0 + — + T ^ T +m 1 0 1 0 2 1 0 2 • mcon

q 0 G Z

0 < q t , q 2 < 10 , 0 < r 2 < my en general

h qi q 2 q n , r n

= q 0 + 1- — + . . . H — H — — -m 1 0 1 0 2 1 0 n 1 0 " m

con q 0 G Z

0 < q j < 1 0 , 0 < r n < m .

Notemos que si algún

r„ = 0

enton ces el proceso term ina. De o tro m od o, o sea si r n # 0para todo n, entonces el proceso se continúa indefinidamente.(Por ejemplo en el caso visto de — . )

Pero podemos observar lo siguiente' : que los restos r n , sonrestos de la división por m, por lo tanto pueden tomar losvalores 0 , 1 , . . . , m — 1 . Se sigue que al cab o de m + 1 pasos,un resto debe repetirse y entonces todo el proceso se repiteperiódicamente, o sea ocurre un desarrollo periódico. Demosunos

E j em p l o s :

, 1 n 1 n 1 0 1 0 7 - 1 + 3 11) — = 0 + — = 0 + + == = +

7 7 70 70 70 10

2 2 0



NÚMEROS RACIONALES

3 _ 1 3 0 1 _ 4 - 7 + 2 1

7 - 1 0 1 0 ~ 7 • 1 0 2 ~ ~10~ 7 • 1 0 2 Tb~ +

4 2 1 4 20 1+ + r = + - + — = +

1 0 2 7 • 1 0 2 1 0 1 0 2 7 • 1 0 3 1 04 2 6 1 4 2

+ — + — + = + — + — +1 0 2 1 0 3 7 • 1 0 3 1 0 1 0 2 1 0 3

8 4 1 4 2 8+ — + 7- = + + + — +

1 0 4 7 • 1 0 4 1 0 1 0 2 1 0 3 1 0 4

40 1 4 2 8 5+ — = + — + r - + — + ~ +

7 • 1 0 5 1 0 1 0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 s

5 1 4 2 8 5+ = + + + + + (U ff! ! )

7 - 10 5 1 0 1 0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5

50 1 4 2 8 5+ — = + + — + + +7 • 1 0 6 1 0 1 0 2 1 0 3 1 0 4 1 0 5 '

7 1+ +0 6 7 • 1 0 6

En este paso observamos que el primer resto 1 se repite,por lo tanto todo el proceso se repite y no tiene ninguna

significación seguirlo. Los sucesivos numeradores serían

1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 .

2 1 2 2 1 2 2 1 2 0 2 . 9 9 9 + 1 2 22) = O + = O +

9 9 9 9 9 9 9 9 9 • 1 0 9 9 9 • 1 0

2 122 2 12 20 2

+ — : — — = — + . . . = — +0 9 9 9 • 1 0 1 0 9 9 9 • 1 0 2 1 0

9 9 9 • 1 + 2 2 1 2 _ 1 2 2 1 0 2 _

9 9 9 • 1 0 2 ~ 1 0 1 0 2 9 9 9 • 1 0 3 ~ "lO~ +

2 2 1

NOTAS DE ALGEBRA I

1 99 9 - 2 + 212 2 1 2

+ — + — = + — + — +10* 9 9 9 • 1 0 3 1 0 1 0 2 1 0 3

2 1 2

9 9 9 • 1 0 3

y el resto 212 se repite. Continuando el desarrollo los numeradores de las fracciones serían

2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 . . .

Nuestra discusión prueba entonces que: todo número racional admite una representación decimal

q o + _ S ± - + _ S 2 _ + . . . + _ 2 E _ + . . . ( D )

1 0 1 0 2 1 0 n v 'con q 0 G Z

0 < q i < 10 , i = 1 , 2 , . . . . n ;

finita: si la suma anterior es finita (o sea con un número finitode sumandos) ,periódica: si un conjunto de las cifras cq q i + 1 . . . q t se repiteindefinidamente.

Notación: al desarrollo decimal (D) lo escribimos en la forma siguiente:

q o ,Q i Q2 • • • Qn •• •

Por e jemplo :

— = 0 , 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 . . .

2 2 2



NÚMEROS RACIONALES

En el caso periódico escribimos también

q 0 . q i . . . q i - i q ¿ . . . q t

si q s . . . q t son las cifras que se repiten.Por e jemplo:

7

J _

3

1

0 , 1 4 2 8 5 7

0 ,3

0 , 0 7 1 4 2 8 51 4

NOTA: conviene aclarar que escribir por ejemplo

1 -— = 0 , 3

3

es un abuso de notación, sin embargo posteriormente al estudiar en análisis la noción de serie se verá que

3 3 3+ — + . . . H + . . . (suma infinita! )1 0 1 0 2 1 0 n

lo cual justificará el abuso de_notación. Lo que puede considerarse correcto es decir que 0,3 es una representación (decimal)de 4"- P ° r 1° tanto lector no hablemos en esta sección de"sumas infinitas", o cosas parecidas.

Regla práctica: el proceso de obtener a partir de-^¡- la re

presentación decimal

Q O "I + r" + . . .4 1 0 1 0 2

no es otra cosa que efectuar las divisiones sucesivas de h por m,del resto por m, etc. Por ejemplo, en el caso -y = 0 , 1 4 2 8 5 7

2 2 3

NOTAS DE ALGEBRA I

1 0 [ 73 0 0 , 1 4 2 8 7 1 . . .

2 06 0

4 05 0

1030

Así como en.el caso de enteros hallamos el desarrollo s-á-dico, podemos hacer lo m ismo con cualquier s , s S N , 1 < s .Nada cambia, todo lo dicho para base decimal vale para cualquier base s. Por ejemplo, vamos a calcular el desarrollo de-i-en base 7 y 5:

1 = 7 • 0 + 1

5 • 1 = 5 = 7 - 0 + 5

5 - 5 = 2 5 = 7 * 3 + 4

5 - 4 = 2 0 = 7 - 2 + 6

5 - 6 = 3 0 = 7 - 4 + 2

5 - 2 = 1 0 = 7 - 1 + 3

5 * 3 = 1 5 = 7 - 2 + 1 com ienza a repetirse

Luego

— = 0 , 0 32 41 2 en bas e 5

-i- en base 7 es 0 ,1 :

1 = 7 • 0 + 17 . 1 = 7 = 7 - 1 + 0

- i - en base 79

2 2 4



NÚMEROS RACIONALES

9 * 0 + 1

7 * 1 = 7 = 9 - 0 + 7

7 • 7 = 4 9 = 9 - 5 + 4

7 - 4 = 2 8 = 9 - 3 + 1 comienza a repetirse

luego

1

— = 0 , 0 5 39en base 7

-1 - en base 12 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, &, $)

1 = 7 - 0 + 1

1 2 - 1 = 1 2 = 7 - 1 + 5

11- 5 = 6 0 = 7 - 8 + 41 2 - 4 = 4 8 = 7 - 6 + 6

1 2 • 6 = 72 = 7- 10 + 2

1 2 - 2 = 2 4 = 7 - 3 + 3

1 2 • 3 = 3 6 = 7 - 5 + 1 co m ie nz a a r ep etir se .

Se t iene entonces

- j j - e r » base 12

1 = 1 3 - 0 + 1

1 2 • 1 = 12 = 1 3 • 0 + 1 2

1 2 • 1 2 = 1 4 4 = 1 3 - 1 1 + 1

1 2 • 1 = 12 = 13 • 0 + 12 com ienza a repetirse

— = 0 .1 86 & 35 en base 12

2 2 5

NOTAS DE ALGEBRA I

Se t iene entonces

1

Notemos que si en un desarrollo decimal periódico las cifrasconsecutivas qt q2 . . . q t se repiten, también se repite el conjunto de cifras consecutivas

qi<h • • • Q t q i C h • • • qt-

Por ejemplo en

1 - —— = 0,3 = 0, 33 = 0, 33 3 . . .

3

Denomínase período de una fracción periódica al menorentero positivo k tal que existen en esa fracción k cifras consecutivas que se repiten indefinidamente. Podemos formalizar

(o sea complicar) esta definición así: l lamando expresión decimal a toda sucesión

Qo • qi q 2 • •. q¡n —

de enteros q 0 , qi, . . . con

0 < oj < 1 0 , i = 1 , 2 , . . .

Decimos que esa expresión decimal es periódica si existe un

entero positivo t y un entero h tal que

q i = Q m » t + i

para todo entero positivo m y todo i > h. El menor t con esapropiedad se denomina el período de la expresión decimal. Porejemplo

3 , 1 3 5 6 7 8 1 4 7 8 1 4 7 8 1 4 . . .

t = 4 , h = 4 . (La d efinición dice que a partir del térm ino h, lascifras se repiten periódicamente con el mismo período.) Se diceque la expresión es periódica pura si h = 1 , o sea el períodoempieza inmediatamente después de la coma.

2 2 6

NÚMEROS RACIONALES

Ejercicio

Sea m e N, m = a t a 2 . . . a, su desarrollo decimal. Probarque el desarrollo decimal de la fracción -o n " _ x es 0, aja 2

. . . a n-

Problema

Sea una fracción irreducible, o sea (a, o) — 1

I) ¿Bajo qué condiciones el desarrollo decimal de -|- esfinito?

II) ¿Bajo qué condiciones el desarrollo decimal de •— esperiódico puro?

III) En el caso b) calcular el período.

IV) Los mismos problemas en cualquier base a.

Recordemos entonces que para obtener el desarrollo s-ádicode la fracción irreducible los pasos son los siguientes:

a = q 0 • b + r 0 0 < r 0 < b,

s • lo = qi ' b + r, 0 < rj < b, 0 < q! < s

s • T, = q 2 • b + r 2 0 <. r 2 < b, 0>< q 2 < s(*)

• • *j = li+i' • b + r,+ i 0 < r , + 1 < b, 0 < q j + 1 < s

La expresión s-ádica de -~ esD

q 0 . qiq 2 • • . qj

Entonces la condición necesaria y suficiente para que eldesarrollo sea finito es que q¡ = q j + i - q j + 2 = . . . = 0 paraalgún j . Pero esto implica

s • r,_i = rí

s • i = r J + 1

s • r i+i = r i + 2

227



NOTAS DE ALGEBRA I

Si r,- = r j + { ) f > 1, resulta

r } = r j + j = s f • T j con lo que

( s f — 1 ) • r¡ — 0 y como s ¥ = 1

debe ser r } = 0 .D e

s • r j _ 1 = qj • b + r,

y qj = rj = 0 resulta

r , _ i = O

Escribiendo las igualdades (*) en forma de congruenciasmódulo (b) resulta

a = r 0 mod (b)

s • r 0 = T i mod (b)

s • r i = r 2 mod (b)

s • r j _ 3 = r j _ 2 mod (b)

s • i j -2 = 7 0 mod (b)

y operando resulta

0 = r , _ x = s ' r j _ 2 s s 2 • r j _ 3 = . . . =

. = S J ~ 2 . n = s 1 - 1 • r 0 = s 1 - 1 • a mod (b)

Ahora notemos que de (a, b) = 1 se deduce que

s i _ 1 s 0 mod (b)o sea

b i s " " 1 .

Hemos probado entonces que la condición necesaria y suficiente para que ~ posea desarrollo s-ádico finito es que b

divida a una potencia de s.En particular para que una fracción -i- posea desarrollo

2 2 8

NÚMEROS RACIONALES

decimal finito es que b sea de la forma 2 1 • 5 J , 0 < i , 0 < j .(En efecto, así son los divisores de 10 n . )

Notemos que el número de términos del desarrollo s-ádicoes el menor i tal que s 1 es divisible por b.

Esto resuelve el problema I). Analicemos el problema II) .Suponga mos que es una fracc ión irreducible, y tal que sudesarrollo es periódico puro. Entonces si

a = b • q 0 + r 0 0 < r 0 1. Escribiendo las relacionesanteriores como congruencias módulo b resulta

a H r o mod(b)

s ' r ° ~ r> m o d (b)

s- ti = r 2 m o d (b)

s • r j _ i = r } m o d (b)

por lo tantor t = r } = s • r i_ 1 = s 2 • r¡_ 2 = s , _ 1 • i l mod (b)

o sea( 1 - s » - 1 ) • r j s 0 mod (b ) ( * )

N otem os que siendo a y b coprim os (por ser la fracció n ~

irreducible) resulta (r i , b ) = 1 . En ef ec to , sea p primo quedivide a b y r! . Entonces de s • r 0 = b • qi + r i resulta que pdivide a r 0 . Ahora de

a = b • q 0 + r 0

se sigue que p divide a a. Por lo tanto p divide a a y a b,absurdo. Hemos probado que (r t , b ) = 1 .

Se sigue de (*) que

2 2 9

NOTAS DE ALGEBRA I

1 — s i _ 1 == o m od (b ), o sea s* 1 = 1 mod (b) .Com o j — 1 > 0 , digo que s es coprimo con b. En e fe cto ,

sea d = (s, b).Podemos escribir

- s l . - = - • s 5 - 1 == b • — • é ~ 2 = 0 m o d (b) .d d d d

Com o — < b, deb e ser d = 1 , lo cual prueba nuestradafirmación.

Es to prueba que una cond ición necesaria para que poseadesarrol lo periódico puro es que (b,s)= 1. Veamos que estacond ición es tam bién suficien te. Sea pues (s, b ) = 1 . Con lanotación de la primera parte, formemos

r j , s • r j , s 2 • r j , s 3 • r{, . . .

Com o solo hay b restos mód ulo b deben existir índices i , j ,i < j tales que

s 1 • i i = s* • r j mod(b)por lo tanto

s 1 • (rj - s J _ 1 • r , ) = 0 m o d (b)

Como (s, b) = 1, podemos deducir que

r! — s í _ i T ) = 0 m o d(b )o sea

ri =• s i _ 1 • r j = 0 m o d (b)

Como también es

r j_i = s i _ i • ri m od(b) es r j = r j _i

y se sigue que el desarrollo es periódico puro, la longitud delperíodo es el menor tal que s h = 1 m o d (b) .En definitiva: la condición necesaria y suficiente para que

una fracción ~- irreducible, admita desarrollo s-ádico periódicopuro es que (b, s) = 1. La longitud del período está dada por elmenor j tal que s ] = 1 m o d (b) .

2 3 0

NÚMEROS RACIONALES

[N O T A : La cuestión relativa a la longitud del pe ríod o está

vinculada al Kleiner Fer m atsch er Sa tz : (b , s) = 1 implicas 0 ( b ) = 1 mod(b) , donde <f> es la función de Euler-Fermat.]

E jercic ios

1) Hallar los desarrollos s-ádicos de - \ , — , , , - frp ara s = 2 , 3 , 5 , 7 , 1 0 , 1 1 .

2 ) Hallar una fra cció n irreducible cuy o desarrollo decimal sea 7 ,134.

3) Mismo problema para 3, 0134.

4 ) ¿Cuál es el m ayor de los núm eros siguientes:

a = 4 +5 6 3 7

+ — r~ + - + — r ;8 8 2 8 3 g 4 '

5 5 7 6+ — r- + • + — - ?

8 8 2 8 3 8 4

4 +

5) Hallar el desarrollo ternario de 0,4 (escrito en formadecimal).

6 ) Hallar el desarro llo decim al de y de --^r-

7) Calcular los períodos de los desarrollos decimales de

7 7 ! 7 5 5I ) — - I I ) I I I ) I V ) V ) —

13 89 13 • 17 ' 59 97

8) Calcular los períodos y la posición donde empieza larepetición de

3 2 3I) . g a „ , „ I I )

2 • 5 2 • 7 2 • 1 1 1 0 0 • 59

9) Calcular el número de términos de los desarrollos de

2 3 1

n o t a s d e a l ge b ra i

3 7 2 3

I) , , , en base 1 040 8 53 50

1 1 2I I ) — , — , en bas e 6

9 8 721 1 1

II I ) , — , en base 12' 1 6 9 1 8

10) Describir geométricamente en la recta el desarrollo

decimal (en general s-ádico) de un número racional. Hacerloconcre tam ente pa ra: I) 0, 2 3 5 1 7 ; II) 0,"3~; II I) 3 ,1 8 9 ; IV )0 , 1 0 1 1 0 1 1 1 (b ase 2 ) ; V ) 0 , 1 2 0 2 2 2 1 2 (b as e 3 ) .

Aproximación de números reales por números racionales

Vim os anteriorm ente que dados dos núm eros reales r, s ,r < s existe un ra cional q tal que r < q < s. Esto nos perm iteaproximar un número real en menos de cualquier cantidad posit iva pre fi jada. En ef ec to , sea r € R y sea e > 0 . Ento nce s existe q € Q ta l que r < q < r + e. Con lo que

q — r < r + e — r = e.

Este hecho conduce a considerar los números reales comolím ite de sucesiones de núme ros raciona les. Si a e R y si

a o , a ¡ , & 2 , . . . , a n , . . .

es una sucesión de números racionales (o sea una aplicaciónf: N-> R, f(n) = a n ) decimos que dicha sucesión tiende a a, otiene por l ímite a a si dado cualquier núm ero real e > 0 existem e N tal que

V i, i € m : la. — al < e

- — ' o ; — - •a +

(o sea desde un m en adelante todos los términos de la sucesión caen dentro del intervalo ]a — e, a + e[) .

Veamos un ejemplo. Sea { x e R, 0 < x < 1 } . Si dividimosel intervalo [0,1] en 10 partes, entonces x cae en alguno de esossubintervalos

2 3 2

NÚMEROS RACIONALES

x

— O . . , -f-, , . . „ , O

o ' 1

entonces según la figura

0,3 < x < 0,4

Por lo tanto, 0,3 aproxima por defecto a x en menos de0 , 1 . Dividamos el intervalo 0,3; 0,4

X

— o — . — . — . — . — . — - . — , — . - — . — o0,3 0 ,4

Si x cae en el subintervalo 0,7, 0,8 resulta 0,37 < x < 0,38.Por lo tanto 0,37 aproxima a x por defecto en menos de

0 , 0 1 ; en general para todo n, podemos determinar un númeroracional

0, a, a 2 . . . a n

tal que

0, aj a 2 . . . a n < x < 0, aj a 2 . . . (a n + 1 )

y la aproximación es en menos de

10 , 0 0 . . . 0 1 =

1 0 n

Es fácil ver que la sucesión de números racionales

0 , & i, 0, a! a 2 , . . . , 0, ai , a 2 , . . . a n , . . .

tiene por límite al número real x. A su vez esto da lugar a unarepresentación decimal de x escribiendo

x -* 0 , a i a 2 a 3 . . .

Esta discusión vale para cualquier número real positivo. Se

obtiene una representación decimal

b 0 b i . . . b k , a 0 ai a 2 . . .

donde b 0 b i . . . b k es la parte entera del número real dado(Véase apéndice) .

2 3 3

NOTAS DE ALGEBRA I

La diferencia fundamental entre racionales e irracionalesreside en la forma del desarrollo decimal. Para.los racionales esfinito o periódico. Para los irracionales no es ninguno de estoscasos. Por ejemplo, el desarrollo de

7 r = 3 , 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 6 4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7 5 1 0 5 . . .

Otro ejemplo: el número cuya representación decimal es

0 . 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 . . .

donde el dígito a n es 1 si n es primo y 0 de otro modo, esirracional.

Es claro que este ejemplo reposa en la infinitud del númerode primos.

Otro ejemplo (Véase Hardy-Wright, pág. 113). El númerocuyo desarrollo decimal es

0 , 2 3 5 7 1 1 1 3 1 7 1 9 2 3 2 9 . . .

donde a n es el enésimo prim o, es irracional.

E jercic io

Demuestre su ingenuidad escribiendo 5 decimales no periódicos infinitos.

E jemplo

Sea \f~2~ el número real cuyo cuadrado es 2 • \f~2~ es irracional . Vamos a hallar números racionales que aproximen a estenúmero .

Reco rdem os que si 0 < a y 0 < b enton ces a 2 < b 2 si ysolo si a < b.

Entonces de l 2 < 2 < 2 2 encontramos 1 < \/~2~< 2 dedonde deducimos que

0 = 1 + ( - 1 ) < s f~2 + ( - 1 ) < y /~2 + ( - 1 )es decir

0 < V~2~ - 1 < 1

por lo tan to 1 aproxima V 2 en m enos de 1.

2 3 4

NÚMEROS RACIONALES

(Para las personas enfermas del corazón aconsejamos tomar

1 como valor aproximado de y /~2).Consideremos ahora los números entre 1 y 2:1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2

Efectuando los cuadrados: (1,1 ) 2 ; ( 1 , 2 ) 2 ; . . .; ( 1 , 9 ) 2 obtenemos que yf~2 está comprendido entre (1,4 ) 2 y ( 1 , 5 ) 2 :: ( 1 , 4 ) 2 < 2 < ( 1 , 5 ) 2 . Por lo tanto 1,4 < < 1,5 y así 1,4es una aproximación de \f~2 en menos de 0,1 .

Consideremos ahora los números entre 1,4 y 1,5:M 1,5o . . . . . a . . . . a . . . , o . . . . . o . . . . . a . . . . o . . . . . o . . . . . o . . . . , a . . . . a . . . . o . . . . .

1 ,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,48 1,47 1,49

Efectuando los cuadrados (1,41) 2 , . . ., (1,49) 2 observamosque

( 1 , 4 ) 2 < 2 < (1 ,42 ) 2 .Por lo tanto

1 ,41<V2<1,42

y así 1,41 es una aproximación de \f~2~ en menos de 0 ,01. Deeste modo se puede aproximar V~2~ cuanto se quiera.

Apéndice

Función parte entera

A partir del teorema de arquimedianidad, es posible definiruna importante función R -»• Z, llamada función parte entera.

Arquimedianidad: para todo número real x existe un número entero positivo n tal que x < n.Pasamos a definir la función parte entera. Sea* x e R. En

tonces por la arquimedianidad, el conjunto {m/xXmymeN}es no vacío. Por lo tanto, en virtud del principio de buenaordenación, tiene primer elemento k, k e N. Las propiedades dek son las siguientes:

I) x < k

II) si m S N y x < m entonces k < m.

Afirmación: para todo x G R existe un único número entero n tal que

n < x < n + 1.

235

NOTAS DE ALGEBRA 1

En efecto, si 0 < x < 1 entonces n = 0 satisface nuestra

afirmación. (Estamos utilizando el hecho de que 0 y 1 son losúnicos enteros t con 0 < t < l . ) Si l < x entonces sea k elmenor entero positivo mayor que x, determinado más arriba.Entonces 1 < x < k implica k - l e N y siendo k — 1 < k, sesigue de II) que k — 1 < x. Por lo tanto n = k — 1 satisfacenuestra afirmación. Sea finalmente x < 0. Entonces 0 < —x ypor lo que acabamos de ver existe m entero tal quem < —x < m + 1.

Por lo tanto —(m + 1) < x < —m. Si x = —m entonces

n = —m es el entero buscado. Si x < —m entonces —(m + 1) << x < —m = —(m + 1) + 1. Pero esto implica trivialmente que- ( m + l ) < x < - m = — ( m + 1 ) 4 - 1 . Por lo tanto n == —(m + 1 ) es el entero buscado. Nuestra afirmación quedapues completamente probada. Ahora (y no antes) podemosdefinir una aplicación R-> Z por x>->- [x] donde [x] es el (único) entero tal que [x] < x < [x] + 1.

o — — - o — — o —-o - -

[X] X [X) + 1

Ejemplos:

[0] = 0, [ -1 ] =

Definición

[x] se denomina la parte entera de x.

Proposición

Si n e Z entonces para todo x € R es [x] + n = [x + n].

Demostración

Por definición [x] < x < [x] + 1 por lo tanto sumandon e Z a cada término, resulta

236

NÚMEROS RACIONALES

[x] + n < x + n < [x] + n + 1

pero siend o [x ] + n e Z, la unicidad de [x + n] im plica

fx + n] = [x] + n.

Ejercic ios

I) Calcular [ - -* -] , [3 -£-], [ - - ^ - ] , [y/2], h/2 + y/3],

tV2 + ^ ] .I I ) Sean x , y e R. Probar [x] + [y] < [x + y ] .

III ) Pr ob ar que [x ] + [—x] = 0 si x £ Z, — 1 si x £ Z .

IV) Probar que [x] + [x + 1/2] = [2x] .

V ) Probar que para todo m e N, [x] + [x + ¿-] + . . . +

+ [x + ^ ] = [m x] -

V I ) P ro b ar q ue para t o d o m e N , x e R , [ £ ] = [ - ^ - ] .V I I ) Aplicación aritmética: S ea n e N y sea p p rim o p osit ivo. Probar que el mayor exponente m de p tal que p m divide a n! es exactamente igual a

I f ] + 1-pV] + [-$-]+•• •

(la suma concluye con el exponente t tal que p 1 > n). (Sug.nótese que el número de enteros positivos menores o iguales

a n, divisibles por p ' está dado por p ' < k -p1

< n o sea

1 < k < ) .

Notas

1 . A manera de complemento daremos una nueva demostración del siguiente resultado: sea m e N. En ton ces y /m es

irracional si y solo si m no es un cuadrado en N.Demostración

Es claro que si y /m es irracional entonces m no puede sercuadrado en N.

2 3 7

NOTAS DE ALGEBRA I

238

Recíprocamente, supongamos que m no es cuadrado en

N. Probaremos que y/m es irracional. Procedamos por el absurdo, suponiendo y/m = p/q€E Q, con p y q enteros positivos.Se tiene q-Vm = p e N. Por lo tanto M = {n / n € N y n*\/me N>no es vacío. Por el Principio de Buena Ordenación, sea nD == mínimo de M. Entonces nD-\/mGN. Por el Algoritmo deDivisión en Z se tiene:

n 0 ' V m = n 0 - s + r , 0 < r < n o

Notemos que

r-Vm = n 0 ' m — ^ ' s -y /m = n 0 -m — S ' ( n 0 * \ / m ) e N U [0]

Dada la minimalidad de n 0 , se debe verificar r = 0 o sea

n 0-y/m= n Q - s

Pero de esta igualdad se sigue inmediatamente que m = s 2 ,una contradicción.

La afirmación queda completamente demostrada.

2. Referencias para el capítulo IV: [15], [22], [25], [34],[38] (los números corresponden a la ordenación de la bibliografía al final del libro).



CAPITULO V

E S T R U C T U R A S A L G E B R A I C A S :

G R U P O S Y A N I L L O S

Grupos

En la primera parte del Curso y a manera de revisiónhemos presentado las propiedades fundamentales del conjuntode números reales respecto de las dos operaciones ordinarias, de

suma y producto.En Algebra moderna es muy impo rtante considerar si tua

ciones formalmente análogas a las de los números. Es decir, de.considerar conjuntos dotados de operaciones, y estudiar suspropiedades. Esto da lugar a las llamadas estructuras algebraicas.

En toda la matemática juegan un papel capital las estructuras algebraicas, por ejemplo en análisis los grupos topológicos,los anillos de funciones, las álgebras de operadores, etc. , son

ejemplos de estructuras algebraicas, claro está, dotados de ingredientes analít icos.En Algebra, dos estructuras importantes son la de grupo y

la de anillo. En general, el algebrista opera con grupos y anilloscomo herramientas básicas, los teoremas se tratan de formularen términos de estas estructuras.

Esto se contrapone al punto de vista clásico de trabajar casiexclusivamente con los números naturales, racionales, reales ycomplejos. El punto de vista más general, de trabajar con es

tructuras algebraicas generales, ha sido de inestimable importancia en, no solo en álgebra, sino en ramas clásicamente "divorciadas" del álgebra, como ser el análisis y la misma geometría.

Sea A un conjunto no vacío. Llamaremos operación binariaen A o también ley de composición binaria en A, al dar, concada par de elementos de A, a x , a 2 (primero aj y luego a 2 ) un

2 3 9



NOTAS DE ALGEBRA I

Ejemplo

Sea A = N. Las siguientes aplicaciones N X N -*• N definenleyes de composición binarias en N:

I) (m , n ) -> m, n + 1

II ) (m , n) m

II I) (m , n) -* 1

Como el lector puede apreciar, hay infinitas posibilidadesde definir operaciones binarias en N. Pero la mayoría de ellasno son de utilidad, pues se hace difícil y engorroso operar conellas.

Nos interesan las operaciones que son asociativas.

Definición

Sea A un conjunto dotado de una operación binaria*. Podemos simbolizar esta situación escribiendo ( A , * ) . Diremos que *es asociativa, si

a i * ( a 2 * a 3 ) = ( a i * a 2 ) * a 3 ( 1 )

cualesquiera sean ai , a 2 , a 3 en A.Si * es asociativa enton ces p odem os escribir ai * a 2 * a 3 en

lugar de las expresiones (1). También, si a G A, escribimosa 1 = a, a*a = a 2 , a*a*a = a 3 , . . . , a n + 1 = a n * a .

Ejem plos de operaciones binarias asociativas son (N , • ) ,

2 4 0

elemento que denotamos con a! * a 2 también en A y que deno

minamos la composición de a t con a 2 (en ese orden).Dicho más formalmente una operación binaria en A es unaaplicación

A X A A

( a i , a 2 ) -»• a x * a 2

a x * a 2 se denomina la composición de a x con a 2 .Por ejemplo, si N designa el conjunto de números naturales,

entonces la suma y productos ordinarios son ejemplos de operaciones binarias. Podemos utilizar este ejemplo para dar otros.



ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

(Ñ , +). En los ejemplos de más arriba, veamos cuáles son opera

ciones asociativas.

I ) ( 2 * 1 ) * 1 = ( 2 • 1 + 1 ) * 1 = 3* 1 = 3 • 1 + 1 = 4

2 * ( 1 * 1 ) = 2 * ( 1 • 1 + 1) = 2*2 = 2 • 2 + 1 = 5

muestra también que la operación I) no es asociativa.Bn efecto, notemos que la definición de asociatividad exige

que (1) se verifique cualesquiera sean a i , a 2 , &3.

I I ) m * (n * r ) = m

( m * n ) * r = m * n = m

muestra bien que la operación II) es asociativa.

III) el lector puede verificar que esta operación es tambiénasociativa.

Ejercic ios

I) ¿Cuántas operaciones pueden definirse en un conjunto den elementos?

II ) E n cada u no de los mo noides X = { a, b } siguientes,determinar cuáles son asociativos.

a) * a ba a bb b a

b) * a ba b bb b a

c ) * a ba b ab a b

Definic iónUn conjunto A dotado de una operación se denomina un

monoide. Se suele decir que sobre A está definida una estructura de monoide. Un monoide asociativo (o sea donde la operación es asociativa) se denomina semigrupo.

2 4 1



NOTAS DE ALGEBRA I

Proposición

Sea (A, *) un conjunto dotado de una ley de composiciónasociativa. Cualquiera sea n e N y cualesquiera sean a, c en A severifica:

a • b = b • a => (a • c ) n = a n • c n

Demostración

Dividiremos la demostración en dos partes:

a) Probaremos que cualquiera sea n e N, a n • c = c • a n .Razonemos por inducción en n. Si n = X es trivial :

a 1 * c = a • c

= c • a (en virtud de la hip ótesis de conmutatividad)

= c • a1

.Sea nuestra afirmación válida para n. Probaremos su validezpara n + X.

an + 1 . c = ( a n • a ) • c = a n • (a • c ) = (en virtud de la

asociatividad)

2 4 2

Definición

Sea (A, *) un conjunto dotado de una ley de composiciónbinaria. Diremos que * es conmutativa si

a i *a 2 = a 2 * a ! ( 2 )

cualesquiera sean a t , a 2 en A.

NOTA: para verificar que una cierta ley de composición *

definida en A, NO es conmutativa hay que encontrar elementosa j , a 2 en A, tales que (2) no se verifique.

Ejercic io

¿En cuáles de los ejemplos I) , I I) , I II) la ley de composición es conmutativa?




= a n • ( c • a) (en virtud de la conm utatividad)

= ( a n • c ) • a (en virtud de la asociatividad )

= (c • a " ) • a (en virtud de la hipótesis inductiva,que afirma la validez de la proposición para n)

= c • (a " • a) (en virtud de la asociatividad )

= c • a n + 1

Nuestra afirmación queda probada.

b) Probaremos que para cualquier n, (a • c ) n = aa • c n .Razonemos por inducción en n. Si n = 1 entonces

(a • c ) 1 = a • c = a 1 • c 1 .

Sea nuestra afirmación válida para n. La probaremos paran + i .

(a • c ) n + 1 = (a • c ) n • (a • c )

= ( a n • c n ) • (a • c) (en virtud de la hip ótesis

inductiva)

= a n • ( c n • a) • c (asociatividad)

= a n • (a • c n ) • c [por (a)]

= ( a n • a ) • ( c n • c) (asociatividad)

= a n + i . c „ + i

y esto es lo que queríamos demostrar.La proposición queda probada.

Ejercic io

Dé ejemplos de operaciones (A, *) tales que NO valga ladistributividad del exponente en el sentido de la proposiciónanterior.

Sirviéndonos de modelo la aritmética familiar, definiremosun elemento en (A, *) cuya función es análoga a la del 0 en la

2 4 3



NOTAS DE ALGEBRA I

Definición

Sea (A, *) un conjunto dotado de una ley de composición.Se denomina elemento neutro de * , o también elemento ident idad de (A , * ) , a todo elemento e e A tal que

a * e = e * a = a (3 )

cualquiera sea a G A .

Ejemplos

1) La ley de composición en N: a*b = a • b + 1, no posee

elemento n eutro. En ef ec to , si e e N fuera elem ento n eutro, (3 )valdría para todo a en N, en particular tom an do a = 1 resultaría

e = l * e = 1 • e 4- 1 = e + 1

lo cual es un absurdo.

2) La ley de composición en N: a*b = a es tal que todo

elemento es elemento neutro " a de rec ha " pues a* b = a, peroningún elem ento e satisface e *a = a cualquiera sea a e N. E nefecto , s i x G N, x ^ e, entonces x = e*x = e, absurdo.

Entonces, en este ejemplo ningún elemento de N satisface (3).

El ejemplo (2) muestra que en un conjunto (A, *) dotadode una operación puede haber infinitos "elementos neutros parciales" [es decir que respetan la "mitad" de (3)] . Uno se pregunta en tonce s, ¿habrá en (A , * ) más de un elem ento n eutro ?

La respuesta está dada en la siguiente

Proposición

Si (A, *) posee elemento neutro e, éste es único.

2 4 4

suma y a la del 1 en el producto de números, es decir unelemento neutro de la operación.




Demostración

Supongamos e, e ' son elemen tos neutros de (A , * ) . Entonces

e = e * e ' (por ser e' elem ento ne utro )

= e ' (por ser e eleme nto neu tro)

E jemploSean ( A , *) y (C, *) conjuntos dotados de leyes de compo

sición. Podemos definir en el producto cartesiano A X C unaley de composición: en forma natural , a saber:

(a , c )* (a \ c ' ) = (a * a ' , c * c ' ) .

Tal ley de composición en A X C se denomina el producto(o suma) directo (a) de ( A , * ) con (C, * ) . Escr ibimos ( A X

X C,* ) = A e B .Dejamos a cargo del lector verificar las siguientes afirma

c iones :

I ) si ( A , *) y (C, *) son asociativas, lo es ( A X G, * )

I I ) si ( A , *) y (C, *) son conmutativas, lo es ( A X C, * )

I I I ) si ( A , *)• y (C , * ) poseen elem entos neu tros, lo mismoocurre en ( A X C ) , * ) .

Sea ( A , *) con elemento neutro e. Sea a G A .

Definición

Diremos que a es inversible a izquierda (en A), o que tieneun opuesto a izquierda, o un inverso a izquierda (en A) siexiste c G A tal que

c * a = e.Análoga definición de inversible a derecha.Diremos que a es inversible si existe t G A tal que a * t =

= t * a = e. En este caso t se denom ina un inverso u opu estode a en A.

2 4 5



NOTAS DE ALGEBRA I

Demostración

Solo si : si a es inversible, entonces existe c € A tal que

c * a = a * c = e

de manera que a es inversible a izquierda y a derecha.S i ; sean c y d € A tales q ue c * a = e . = a * d . E nto n ces

habrá que probar que c = d.S e t i en e :

c = c * e = c * ( a * d ) = ( c * a ) * d = e * d = d

y esto prueba la parte si de la proposición.

Corolario

Sea (A, *) asociativo con el elemento neutro e; entonces sia € A es inversible, su inverso es ún ico.

Demostración

Sean t y v opuestos de a. Entonces

t * a = e = a * v implican t = v

según sigue de la parte S Í de la proposición anterior.

Notación

Si a es inversible en (A, *) denotaremos su opuesto con a' .

Ejemplos

I ) E n (N , •), e = 1 es e lemento ne utro . Enton ces a e N esinversible si y solo si a = 1.

2 4 6

Proposición

Sea (A, * ) asociat ivo con el e lemento neutro e . Entoncesa £ A es inversible si y sólo si es inversible a izq uierda y aderecha.




I I ) En (Z , + ) , e = O es elemento n eutro. Enton ces todoelemento de Z es inversible o sea existe para todo a G Z, a' G Ztal que a + a ' = 0) .

I I I ) En ( Z , - ) , e = 1 es elemento neutro. Un elementoa G Z es inversible si y solo si a = 1 ó a = — 1 .

I V) E n (Q, •), e = 1 es elemento neutro, a G Q es inversible si y solo si a 0 .

V ) Sean (A , * ) , (C , * ) con elemento neutro amb os . Enton

ces en el producto directo (A X C, * ) , (a, c) es inversible si ysolo si lo es a en A y c en C.

Proposición

Sea (A, •*) asociativo con el elemento neutro. Entonces

I) si a, c G A son inversibles, así lo es su producto y vale laigualdad

(a * c ) ' = c ' * a '

II) si a es inversible, entonces

( a ' ) ' = a

(o sea, el opuesto de un elemento inversible es inversible).

DemostraciónLa dejamos a cargo del lector.

Estamos ahora en condiciones de definir una estructura demáxima importancia en nuestro curso.

Definición

Sea (A, *) un conjunto dotado de una ley de composiciónbinar ia* .Diremos que (A, *) es un grupo o que * define sobre A

una estructura de grupo si

gi) * es asociativa

2 4 7



NOTAS DE ALGEBRA I

2 4 8

g 2 ) * posee un elemento neutro en A.

g 3 ) todo elemento de A es inversible en A.

Definición

Un grupo (A, *) se dirá abeliano o conmutativo si * es unaoperación conmutativa. Por abuso de notación y lenguaje, si(A , * ) es un grup o, diremos simplem ente que A es un grup o.A las leyes de composición * las denotaremos habitualmente endos formas (siguiendo el esquema clásico de la aritmética).

Notación aditiva

+ en lugar de *. Exclus ivam ente para grupos abe lianos. Osea a + b = b + a. También denotaremos

—a en lugar de a ', 0 en lugar de e.

Como consecuencia podemos escribir un resultado anteriorcomo sigue:

a + ( - a ) = 0 , - ( - a ) = a, - ( a + b ) = ( - a ) + ( - b )

Notación multiplicativa• en lugar de *. A usar indistintamente para grupos abelia

nos o no. También denotaremos

a - 1 en lugar de a ', 1 en lugar de e.

Como consecuencia valen las relaciones

a - 1 • a = a« a - 1 = 1 , ( a - 1 ) - 1 = a, (a • b ) _ 1 = b _ 1 • a - 1

De ahora en adelante, para simplificar la escritura denotaremos con • cualquier operación binaria.

DefiniciónSea G un grupo y sea x e G .Sea n € N. Entonces se define en G

x - n = ( x - i ) n .

Proposición

Sea G un grupo y sea x G G :

x ~ n = ( x n ) _ 1

D e m o s t r a c i ó n '

x • x - 1 = x _ 1 • x = 1 implica

1 = x n • ( X - 1 ) " = ( x - 1 ) " • x n

lo cual dice, dada la unicidad,del inverso, que

Queda pues definido en un grupo G . V x G G y V m G Z :x m G G . .

Proposición

Sea G un grupo y sea x G G .Si r y s G Z entonces

x r • x s = x r + s

Demostración

Analizaremos solamente el caso r < 0 y 0 < s, dejando losrestantes casos (más fáciles) a cargo del lector.

Podemos escribir r = —n, n G N .Haremos inducción en s.

s = 1x _ n - x 1 = ( x n ) 1 • x 1

NOTAS DE ALGEBRA I

Ejercic io

Probar que si G es un grupo y a, b e G valen las relacionessiguientes:

( a m ) _ 1 = a _ m Vm, m e Z

(a • b ) m = a m • b m Vm, m € Z si a - b = b « a

( a m ) s = a m * s V m , V s; m, s £ Z.

Recordemos que un conjunto se dice finito si está en correspondencia biyectiva con un intervalo natural inicial[ 1 , n ¡ = { x/x e N y l < x < n } . T al n es ún ico y se denom inael cardinal del conjunto dado.

Definición

Un grupo G se dice finito si el conjunto G es finito. Sucardinal se denomina el orden del grupo G. Si el grupo G (o

2 5 0

Sea entonces inductivamente

x _ n • x s = x _ n + s .

Multiplicando por x ambos miembros resulta:

X - n • X s • X = x ~ n + s • Xo sea

x - n . x s + l = x - n + s . x

Pero notemos quex h • x = x h + 1

cualquiera sea h en Z. En efecto, si h > 0 está c laro . S i h < 0fue probado en la primera parte de la demostración.

Por lo tanto

x — n , x ' + 1 = x < — n + » ) + l _ x — n + ( s + l )

lo cual prueba el paso inductivo. La proposición queda demostrada.




mejor dicho, el subconjunto subyacente) no es finito, se dice

que G es un grupo infinito.

Ejercic ios

1) Sea G un grupo (escrito multiplicativamente). Probar

1) que si a, b, c G G e n to n ce s a ' b = a , c ó b , a = c , aimplican b = c,

II) que dados a y b en G existen g, g' en G tales quea = b « g y a = g ' ' b

III) que si a, b, c G G entonces

a • b = c si y solo si b = a ~ 1 • c

a • b ' a - 1 = c si y solo si a.* b = c • a

a • b = b • a si y solo si a - 1 • b _ 1 = b - 1 • a - 1

a • b = b • a si y solo si a • b • a - 1 • b — 1 = 1

a 2 = a si y solo si a = 1 .

2) Sea G un grupo. Probar que si a, b G G las ecuaciones

admiten soluciones únicas en G.

3) Recíprocamente, probar que si G es un semigrupo entonces G es grupo si (y sólo si) las ecuaciones a • X = b ,Y • a = b admiten solución en G .

4) Analizar la resolubilidad de las ecuaciones en 3) en elsemigrupo G cuyo producto es x • y = x .

5 ) Probar que un grupo G es conmutativo si satisface al

guna de las condiciones siguientes:

a • X = b, Y • a = b

I) (x • y) - x— i

• y— i Vx , Vy

II) x — i• y

— i= y

i• X— 1 Vx , Vy

III ) x 2 = 1 V x

2 5 1

N O T A S D E A L G E B R A 1

I V ) ( x - y ) 2 = x 2 • y 2 Vx , Vy

V ) x • y • x - 1 = y V x , Vy .

6 ) Proba r que un semigrupo G es un grupo si y solo si

I) existe e G G tal que Va, e • a = a

II) Va, existe b G G con b • a = e .

7) Probar que si G es un semigrupo cancelativo (o sea

a b = a • c en G implica b = c,) y finito entonces G es ungrupo. ¿Puede removerse la hipótesis de finitud?

8) Probar que todo grupo de orden < 4 es conmutativo.(So l . : Sea G de orden 4 , podemos escribir G = { 1 , a , b , c }donde 1 es el elemento neutro. Si a 2 = b 2 = c 2 = 1 el grupo esconm utativo: 1 = (a • b ) • (a • b) y multiplicando ambos miembros por a a izquierda y por b a derecha, resulta asociandoc o n v en i en t em en t e a • b = b • a. Análogamente a • c = c • a,etcétera. Sea entonces a 2 # 1. Esto implica que a - 1 # 1 , p or lotanto G = { 1 , a, a - 1 , b } y será cues tión de probar quea • b = b • a. Formemos a • b G G ; a • b # I pues a - 1 # b ;a • b # a pues de otro modo b = 1 ; a • b # b pues de otromo do a = 1 ; se sigue qu e a • b = a - 1 . Pero el mismo razonamiento condu ce a que b • a = a — 1 . Esto prueba que a • b == b • a .)

E jemplo

1) Sea X un conjunto no vacío. Sea A la totalidad de lasaplicaciones biyectivas de X sobre X , A # 0 , pues i d x G A .Entonces definiendo

(f , g) -> f ° g

donde f o g es la composición de aplicaciones: - ( f o g) (x) == f[g(x)] si x G X , se obtiene una ley de composición en A.

Dejamos a cargo del lector verificar que en estas condicio

nes (A, o ) es un grupo: el grupo de transformaciones de X .Vamos a estudiar con un poco más de detalle la situacióndonde X es f ini to .

Adoptaremos la siguiente notación. Si X = { 1 , 2, . . . , n } yf G A escribimos

2 5 2

< ( ' 2 - ' • " I\ f ( l ) f ( 2 ) . . . f ( i ) . . . f ( n ) /

Así por e jem plo, si X = ( 1 , 2 , 3 , 4 } y f e A es tal quef( l ) = 2 , f (2 ) = 4 , f (3 ) = 3 , f (4 ) = 1 , escr ib imos

f = f 1 2 3 4 )\2 4 3 l )

y s i g = { * 2 3 í ) entonces la composición f o g está dadapor ^ '

/ l 2 3 4 \

\ l 3 4 2 /

(en e fe cto , 1 ^ 4 - ^ 1 , 2 ^ 3 ^ 3 , 3 + 2 - ^ - 4 , 4 ^ 1 - ^ 2 ) .

En el caso finito X = { 1 , 2, . . . , n } el grupo A se den omina el grupo de permutaciones de X o el grupo simétrico degrado n y se indica con S „ . Estudiemos algunos S „.

I ) notemos primeramente que S n posee n! elem entos. Enefec to , si f e S n f ( l ) puede tomar n valores , f (2) puede tomarn — 1 valores, et c. Por lo tanto h ay n • (n — 1 ) . . . 3 • 2 • 1posibilidades para f.

Pero ese número no es otra cosa que factorial de n.

I I ) S i tiene un solo elemento, a saber, la aplicación identidad 1 1

I I I ) S 2 posee dos elementos

. • - ( : : ) - • • ( : : )es fácil ver que los productos posibles en S 2 son

que equivale a escribir*, e

e ae' e aa a e

• e = e , e •

2 5 3

N O T A S D E A L G EB R A l

e a b c d f

e e a b c d f

a a e d f b

b b . . a

c c b

d d a bf f • • • e

(dejamos a cargo del lector cambiar los . por el valor quecorresponda; o sea en el punto de intersección de la fila i conla columna j hay que escribir el producto i • j , en ese orden ).

E jercic ios

1) I) Determinar en S 3 : a - 1 , b _ 1 , c " 1 , d _ 1 , f - 1 , e _ 1 ,a • c~~ 1.

II) ¿es en S 3 : (x • y ) - 1 = x _ 1 • y - 1 ?

III) es en S 3 : (x • y ) n = x n • y n , para algún n ? De term inartodos los n con esa propiedad.

IV) Probar que para todo x e S 3 existe n € N tal quex n = e. Para cada x E S 3 determinar el menor n tal que x" = e.

2) Probar que si 2 < n entonces S n es un grupo no conmutativo .

2 5 4

I V) S 3 posee 6 elementos:

. . í 1 1 » ) . a = ( 1 2 3 ) , b . | 1 2 3 ) ,

\1 2 3/ \1 3 2 / \2 1 3 /

c . f 12 * ) . d - í 1 2 3 ) , « - í 1 2 3 )

\ 2 3 1 / \ 3 1 2/ \3 2 1 /

los productos posibles pueden escribirse en una tabla:




3) Calcular en S 4

2 3 4

1 4 3

n = O, 1, 2, 3, 4.

ID ( L 2 3 * \

\ 2 3 4 1 /

\ / l 2 3 4 \

) \ 3 2 4 l f

Noción de morfismo

Sean (A, *) y (B, *) conjuntos donde están definidas operaciones binarias (que por abuso de notación designamos con elmismo sím bo lo * ) . Interesa estudiar las aplicaciones de A en Bque respeten las operaciones definidas en cada conjunto. Estaserá la forma natural de relacionar distintas estructuras. Precisemos esta idea.

Definición

Una aplicación (de conjuntos) f : A ->• B se dirá un morfismo de la estructura (A , .*) en la estructura (B , * ) , o simplemente un morfismo de A en B, si cualesquiera sean x, y en Aresulta

Por ejemplo, si (B, *) posee elemento neutro e, la aplicación constante f(x) = e, cualquiera sea x en A, es un morfismo,pues

f se denomina el morfismo trivial.

Definición

Si A = B, l lamaremos endomorfismo de (A, *) o simplemente endomorfismo de A, a todo morfismo de A en A.

f (x * y ) = f (x ) * f (y )

en B.

f(x * y) = e = e * e = f(x) * f(y)

2 5 5



NOTAS PE ALGEBRA I

Por ejemplo, la aplicación identidad id A :A -*• A, id A ( x ) =

= x , x 6 A es un endomorfi smo de (A, * ) .Definición. Llamaremos

monomor f i smo a todo morfismo invect ivo.ep imorf i smo a todo morfismo sobreyect ivo.i somorf i smo a todo morfismo biyect ivo.au tomor f i smo a todo endomorfismo biyect ivo.

Proposición

Sean A y B monoides con elementos neutros, que denotamos ambos con 1. Sea f :A -* B un morfismo. Entonces

»

a) si f(l) = 1 y x e A es inversible, f(x) es inversible y setiene

f ( x ) - 1 = f ( x _ 1 )

b) si B es un grupo en t o n c es f ( l ) = 1 .

Demostración

a) si x es inversible existe entonces x — 1 en A tal quex • x - 1 = x _ 1 • x = 1 , por lo tan to siendo f un mo rfismo ya d e m á s f ( l ) = 1 se t i ene

1 = f ( l ) = f ( x • x _ 1 ) = f (x ) • íix-1)1 = f ( l ) = f ( x _ 1 • x) = íix-1) • f ( x )

lo cual muestra bien que f ( x - 1 ) es el inverso de f ( x ) , o seaf ( x ) - i = f í x - 1 ) .

b) Si B es un grupo entonces existe un único elemento xcon la propiedad x 2 = x, a saber x = 1, el elemento neutro

x ° x = x => x — 1 • x • x = x — 1 • x = 1 => x = 1 .

Por lo tanto

f ( l ) 2 = f ( l ) • f ( l ) = f ( l 1 ) = f ( l 2 ) == f ( l )

2 5 6




en B por lo que acabamos de ver debe ser f(l ) = 1, lo cual

prueba b) .

E jercic io

Probar inductivamente que si f:A -> B es un morfismoen to n ces p ara t o d o n e N es f ( x n ) = f ( x ) n , cualquiera seax e A.

NOTA: la proposición anterior utilizando la notación aditiva se escribiría así:

a) si f(0) = 0 y x es inversible en A, f(x) es inversible yf ( - x ) = - f ( x )

b) f(0) = 0 si A y B son grupos (abelianos).

E jemplos

1) Sea Q el grupo abeliano de números racionales y sea Z elgrupo abeliano de enteros racionales. Entonces el único morfismo de Q en Z es el trivial, o sea x ** 0, cualquiera sea x en Q.Probemos esta afirmación. Sea f un morfismo de Q en Z. Seanq € Q y m £ N , arbitrarios.

Por un ejercicio anterior (aplicado al caso aditivo)

f(q) = f[m • ( m " 1 a)] = m • f ( m _ 1 • q )

lo cual dice qu e f( q ) e Z es divisible por m "e n Z " cualquierasea m € N. Por el Teorema Fundamental de la Aritmética esto esimposible, a menos que f(q) sea 0. Como q también era arbitrario resulta que f es el morfismo trivial (o sea aplica Q sobre el 0).

Este ejemplo i lustra bien la característica de un morfismo.Siendo un morfismo compatible con las operaciones, "transport a " propiedades algebraicas de un monoide en el otro.

En el caso de Q y Z, Q posee una propiedad muy fuerteque es la divisibilidad por enteros (o sea todo número racionales múltiplo en Q de cualquier entero no nulo). Esta propiedaden cambio no se verifica en Z, más precisamente, 0 es el únicoentero múltiplo de todos los enteros no nulos.

2 5 7



NOTAS DE ALGEBRA I

Anillos

Vamos ahora a estudiar una situación también inspirada porla aritmética ordinaria. Se trata de considerar sobre un conjunto no vacío A, dos operaciones binarias, a la manera de la sumay producto de los números enteros, por ejemplo.

En este momento conviene que el lector repase las propiedades de estas dos operaciones entre enteros e intuya cuálesserán las propiedades de nuestro interés.

Sea entonces A un conjunto con dos operaciones binarias:

suma: (x, y) -*• x + y

y producto: (x, y) -> x • y .

Es muy importante que estas dos operaciones definidas enA guarden alguna relación entre sí, de otro modo no hay nin

guna razón para considerar ambas operaciones simultáneamente.Una relación natural, es expresable mediante las leyes distributivas de una de las operaciones con respecto a la otra. Porejemplo en la aritmética de los enteros el producto es distributivo respecto de la suma. Entonces

2 5 8

2 ) E n (N, + ) la aplicación f :N -* N definida por f( n) = 2 n

es un monomorfismo de N en N.

3) En (R, +) la aplicación f:R -»• R definida por f(r) = 2r esun automorfismo de (R, +) .

4) En (N, •) la aplicación f:N -»• N definida por f(n) = n 2 esun monomorfismo de (N, • )•

5) En (R , * ) la aplicación f: R -> R definida por f(x ) = x 2

es un endomorfismo de (R, •)• La aplicación f:R -* R definidapor f(x) = x 3 es un automorfismo de ( R , • ) .

6 ) La aplicac ión f : R > 0 -»• (R , + ) "l og a ri tm o" es un iso-morfismo.

Lector: veri f ique las af i rmaciones 2) , 3) , 4) , 5) y 6) .




Definición

Diremos que el producto es distributivo (a derecha) respecto de la suma si, cualesquiera sean x, y, z en A, se tiene

x ' ( y + z ) = x - y + x - z .

Análogamente se define producto distributivo a izquierdapor la relación

(x + y) • z = x • y + x • z. (1 ' )

Diremos que el producto es distributivo si lo es a izquierday a derecha.

Definición

Sea A un conjunto con una suma y un pro du cto. Diremos que

A con dichas operaciones, es un anil lo, o también diremos quela suma y producto definen una estructura de anillo sobre A si

I) A respecto de + es un grupo abeliano (o mejor dichoexiste 0 G A tal que (A, +) es un grupo abeliano con elementoneutro 0) .

II ) • es un p rodu cto asociativo. [O sea (A , •) es un semigrupo.]

II I) • es distributivo con respe cto a la sum a, es decir valen( 1 ) y ( I ' ) -

Definición

Sea A, dotado de suma y producto, un anil lo.

a) diremos que A es un anillo con identidad, o elemento

neutro, si A posee un e lemento 1 * 0 , que es e lemento neutrodel producto.

b) diremos que A es un anillo conmutativo si el productoen A es conmutativo, o sea x • y = y • x, cualesquiera sean x, yen A.

2 5 9



NOTAS DE ALGEBRA I

c) diremos que A es un anillo de división, si A es un anillocon identidad tal que todo elemento de A distinto de ceroposee inverso en A.

d) d iremos q ue A es un cuerpo .si es un anillo conmutativoy es un anillo de división (dicho brevemente: es un anillo dedivisión conmutativo).

E jemplos

1) Z dotado de la suma y producto ordinarios es un anilloconmutativo con identidad: el anillo de enteros racionales.

2) Q dotado de la suma y producto ordinarios es un cuerp o : el cuerpo racional .

3) R dotado de la suma y producto ordinario es un cuerpo:el cuerpo real.

4) { 0 } dotado de la suma definida por 0 + 0 = 0 y producto 0 « 0 = 0 es un anillo: el anillo nulo, que indicamos con0. Notar que este anil lo no posee identidad.

5) Sea A un grupo abeliano. Sea, en A, el producto definido por x • y = 0, cualesquiera sean x , y en A . A posee enton ces estructura de anillo: el anillo trivial del grupo abeliano A.

6) Sea A = { 0, 1 } . Las siguientes leyes de composición:

suma + 0 1 , pro duc to 0 1

0 0 1 0 0 0

1 - 1 0 1 0 1

definen en A una estructura de cuerpo.

7) Sean A y B anil lo. Sea A X B el producto cartesiano deA por B. Entonces las siguientes leyes de composición:

suma: . (a , b) + (a ' , b ' ) = (a + a ' , b + b ' )

producto : (a , b) • (a' , b') = (a.• a' , b • b ')

2 6 0




definen sobre A X B una estructura de anil lo: el producto

directo del anillo A por el anillo B, denotado por A © B.8) Él anil lo de matrices (véase más adelante).

Proposición

Sea A un anillo. Las siguientes relaciones son válidas en A:

I ) a • 0 = 0 • a = 0I I ) ( - a ) • b = a • ( - b ) = - ( a • b )

I I I ) ( - a ) • ( - b ) = a • b

IV ) a * (b — c) = a • b — a • c

Demostración

Es exa ctam en te análoga a las desarrolladas al estudiar, laspropiedades del "anil lo" de números reales.

I ) a • 0 = a • (0 + 0) = a • 0 + a • 0 y por ser A, ungrupo, podemos cancelar a • 0 en ambos miembros y obtenera • 0 = 0 .

II) recordemos que para todo a en A, —a denota el únicoelemento en A tal que a + (—a) = 0.

( - a ) • b + a • b = ( ( - a ) + a ) • b = 0 • b = 0, por lo

tanto (—a) • b = opu esto de a • b = —(a • b). Del mismo modoprobamos que a • (—b) = —(a • b) y lo dejamos a cargo dellec tor .

III ) re cordem os q ue a — b = a + (—b). Por lo tantoa • (b — c) = a • (b + (—c)) = a • b + a • (—c) = a • b ++ (—(a • c)) = a • b — a • c .

NOTA: En general las relaciones siguientes no son válidasen un anil lo:

(a + b ) 2 = a 1 + 2 a • b + b21 ( 1 )

(a + b) • (a - b ) = a 2 - b 2

2 6 1



NOTAS DE ALGEBRA ¡

Dejamos a cargo del lector, verificar nuestra afirmación,

buscando contraejemplos en el anil lo de matrices.(1) resultan válidas si a • b = b • a .El ejemplo 8) sugiere que en un anillo, pueden existir ele

men tos x, y tales qu e: x 0 , y ^ 0 pero x • y = 0.

Definición

Sea A un anil lo. Diremos que a G A es divisor de cero a

izquierda (resp. a derecha) si existe x # 0 en A tal que x • a == 0 (resp. a • x = 0 ) .

N O T A S :

1) 0 es siempre divisor de cero a izquierda y a derecha, siA # 0 .

2 ) Si un anillo posee divisor de cer o a izquierda 0 , pose e

un divisor de cero a derecha 0 . Por lo tan to si el anillo noposee divisores de cero a izquierda (=£0) tampoco posee divisores de cero a derecha (=£()).

Definición

I) un anillo se dice de integridad si 0 es su único divisor decero .

II) un anillo se dice dominio de integridad si es un anilloconmutativo, con identidad y de integridad.

E jemplos

1 ) Z es un dom inio de integridad. 2 ) tod o cuerpo es undominio de integridad.

Ejercic io

Probar que un dominio de integridad finito es un cuerpo.

2 6 2

Ejemplo

Sea X = [0, 1] el intervalo cerrado real de extremos 0 y 1incluidos o sea

X = {, x/x G R y 0 < x < 1 }'.

Sea A la total idad de funciones definidas en [0,1] y avalores en el anillo R de números reales.

Sean f , g G A . D efinim os f + g G A y f « g G A com o sigue:

(f + g) (x ) = f(x ) + g(x) (esta última suma en R )

(f • g) (x ) = f (x ) • g(x ) (este últ imo producto en R ) .

Es una sencilla verificación que esta suma y producto definen en A una estructura de anil lo: el anillo de funciones sobreX a valores en R .

A es un anil lo conmutativo, con identidad. Además

I ) f G A es inversible si y solo si f ( x ) 0 para tod o x G X

II ) f es divisor de ce ro en A si y so lo si f (x ) = 0 para algúnx G X .

Pro bem os I) . Si f( x ) 0 para tod o x en X sé sigue, por serR u n c u e r p o q u e ( f ( x ) ) - 1 está definido en R, por lo tanto

g (x ) = ( f ( x ) ) - 1

define un elemento de A, tal que f • g = I [I denota la funciónconstante I (x ) = 1 , Vx G X] .

Probe m os I I) . Si f es divisor de cero en A existe g e A talque g = ¿ 0 y f ' g = 0 . Sea v G X ta l que g(v) 0 . E nto nce s 0 == ( f • g)(v) = f(v) • g(v) implica f(v) = 0 com o queríam os demostrar.

R ec íp ro ca m en te, sea f(z ) = 0 para algún z G X ; sea g:X -*•-»• R definida por g(z) = 1, g(x) = 0 si x # z. Entonces 0 =t g G Aes tal que g • f = 0, de manera que f es divisor de cero. Nuestraafirmación queda demostrada.

2 6 3

NOTAS DE ALGEBRA I

N O T A :

La discusión anterior vale en general para cualquier conjunto X no vacío y un cuerpo K en lugar del cuerpo real R.Sin em barg o, en análisis es de gran im porta ncia la situa ciónconsiderada en el ejemplo, con la siguiente restricción, en lugarde tomar iodos las funciones de [0,1] en R se toman las funciones continuas.

Se obtiene entonces el anil lo de funciones continuas de

[0,1] a valores reales. Digamos de paso que, en .análisis, escomún considerar estructuras algebraicas como las hemos definido nosotros, pero pidiendo además que las operaciones "seancontinuas". Aparecen así los grupos topológicos, los anil lostopológicos, etcétera.

Definición

Sea A un anil lo. Sea B un subconjunto de A. Diremos queB es un subanillo de A si

I) x, y G B implica x + y G B

P ) x e B implica —x e B

II) x, y G B implica x • y G B

III ) B 4 <t>

IV) si A posee elemento identidad 1 entonces 1 G B .

Proposición

Sea B un subanil lo de A. Entonces las operaciones en Ainducen en B una estructura de anillo.

Demostración

En efecto, por ser B no vacío existe b G B. Por I ' ) —b G By por I) 0 = b + (—b) G B .

Las leyes asociativa de la suma y el producto, resultan deser válidas en A. Lo mismo la ley distributiva del productorespecto de la suma.

2 6 4




2 6 5

Ejemplos

1) Si A es un anillo, 0 y A son subanillos. Si A poseeelemento identidad entonces 0 no es un subanillo de acuerdocon nuestra definición (para muchos autores 0 sería subanillo).

2) El único subanillo de Z es Z. En efecto, si B es subanillode Z entonces 1 G B. Por otra parte si n G B entonces, como1 G B se t iene n + l e B . Por e l princ ip io de inducc ión N C B .Pero entonces se sigue que los opuestos de N están también en

B , de manera que en d efinitiva Z C B . O sea Z = B .3) Z es subanillo de Q.

4) Sea \J~2~ el único número real positivo tal que su cuadrado es 2. Sea

B = { n + \/~2 • m/n, m G Z ) .

Entonces B es un subanillo de R.

5) Sea A el anillo de funciones reales definido sobre [ 0 , 1 ] .Entonces la totalidad de funciones constantes de [0,1] [esdecir las funcion es f tales q ue f (x ) = f( y ) cualesquiera seanx , y G R] es un subanillo de A.

Ejercicio

¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de R son subanillosde R?

I) { r/r > 0 }

II) { q •• \f~2~ /q G Q }

III) { q x + q 2 • V~37qi, q 2 6 Q )

IV ) { f - /m G Z }

V ) Tota lidad de racionales que admiten una representacióndel tip o , m G Z.

V I) Totalida d de racionales que admiten una representacióndel tip o con n impar, m G Z.



NOTAS DE ALGEBRA I

VII) Totalidad de racionales que admiten una representacióndel tipo — con m impar. Lo mismo, con m par.

VIII) Sea x G R. La totalidad de expresiones polinomiales

£ aj x 1 , con £4 G Z y n G N U { 0 }

i = 0

( X o

= 1 )Morñsmos de anillos y un ejemplo importante.

Sean A y B anillos.

Definición

Se denomina morfismo de A en B (o morfismo del anillo A

en el anillo B) a toda aplicación f:A -*• B que es morfismo delas estructuras aditivas y de las estructuras multiplicativas de Ay. B. O sea:

f(x + y) = f(x) + f(y)

f(x • y) = f( x) • f(y) .

Pediremos también que si A y B son anillos con elemento

neutro, entoncesf(l ) = 1

Diremos que un morfismo de anillos f:A -> B es epimorfis-m o , mono morfismo, etc ., si lo es con respecto a la suma o alproducto.

Proposición

Sean K y B anillos, sea K un cuerpo y B un anillo conidentidad 1 * 0 . Entonces todo morfismo de anillos de K en Bes un monomorfismo, o sea es inyectivo.

266




Demostración

Sean x, y e K, entonces

f (x - y ) = f (x + ( - y ) ) = f (x ) + f ( - y ) =

= f (x ) + (-f(y) = f(x ) - f (y )

Si 0 j = x — y e nto nc es, por ser K un cuerp o e xiste z e Ktal que

1 = (x — y) • zpor lo tanto

1 = f ( l ) = f ( (x - y ) • z) = f(x - y ) • f ( z ) . =

= ( f (x ) - f (y ) ) • f (z )

Como 1 # 0, es f(x) ^ f(y) lo cual prueba que f es inyec-tiva.

E jemplo

Sea Z el grupo abeliano de enteros racionales. Definiremosdos estructuras de anillo en Z: A t = (Z, •) y A 2 = (Z, *) donde • es el producto ordinario y donde * es el producto x * y == —x • y. La aplicación

f : A i -»• A 2

definida por

f( x) = —x si x e A i

es un morfismo aditivo y también multiplicativo. En efecto,

f (x • y ) = - x • y = - ( - x ) • ( - y ) = ( - x ) * ( - y ) = f ( x ) * f ( y )

Además f es una aplicación biyectiva, por lo tanto las estructuras Ai y A 2 definidas sobre Z, son isomorfas. Comoconsecuencia A 2 es una estructura de anillo. Notemos que —Xes el elemento neutro de A 3 . Es posible dem ostrar que A i yA 2 son las únicas estructuras de anillo co n identidad definiblesen el grupo abeliano Z. Puesto que son isomorfas se puede

2 6 7

NOTAS DE ALGEBRA I

concluir que en el grupo abeliano Z hay, salvo isomorfismos,

una única estructura de anillo, que es la ordinaria.

E jemplo

Sea m €E N. Sob re el co nju nto de restos mód ulo m

Z » = { 0 , 1 , . . . . . ( m — 1 ) }

existe una única estructura de anillo que hace de la operaciónde tom ar resto m ódulo m, un morfism o de anil los, de Z en Z m .

Aclaremos mejor esta afirmación.Sabemos que en virtud del algoritmo de división en Z, para

todo a en Z existen únicos enteros q y r tales que

a = q • m 4- r, 0 < r < m .

Por lo tanto, "tomar el resto de la división por m" define

una aplicación, que denotaremos por r m , de Z en el conjuntoZ m de restos módulo m. Z m consta exactamente de los enterost tales que 0 < t < m.

Así r m (a) designa el único resto de dividir en Z, a por m.

Por ejemplo r 2 ( 3 ) = 1 , r 2 ( 2 ) = 0 , r 2 ( 7 ) = 1 , r 6 ( 9 ) = 3 ,r „ ( 1 0 0 ) = l .

Las siguientes propiedades se verifican por la función r m :

Lector: para agilizar la notación escribimos r(x) en lugar der m ( x )> sobreentendiendo la m.

I ) r ( r (x ) ) = r (x )

I I ) r(a + b) = r(r(a) + r(b))

I I I ) r(a • b) = r(r(a) • r ( b ) .

Probemos I) dejando las otras como ejercicio.Se t iene

x = s • m 4- r (x ) 0 < r (x )mademás

r(x) = s ' • m 4- r (r (x ) ) 0 < r (r (x ) ) < m .

2 6 8

Por la aplicación, dos veces, del algoritmo de división en Z.

Por lo tantox = s • m + r(x) = (s 4- s') • m + r ( r (x ) )

0 < r(r(x)) < m

En virtud de la unicidad del resto de la división por m,debe ser

r (x ) = r (r (x ) )

como queríamos probar.Def in imos suma y producto e n Z m como sigue: sean a y b

en Z m :

a © b = r(a + b ) (esta última suma en Z )

a © b = r(a • b) (este últ imo prod ucto en Z ).

Afirmamos que (Z m • © , © ) es un anillo conm utativo conelemento neu tro. Observemos primeramente que O e Z a y

1 G Z m satisfacena © 0 = r(a 4- 0) = r(a) = a

a © 1 = r(a • 1) = r(a) = a .

Si a e Z m . Esto nos dice que 0 y 1 son respectivamente,elementos neutros de la suma y el producto así definidos.

Además II) y III) dicen exactamente que la aplicación

es un morfismo aditivo y multiplicativo y, además, un epimor-f i smo.

En esas condiciones la estructura de anillo de Z se trasladanaturalmente a Z m en este sentido:

la asociatividad de © en Z implica la asociatividad de 4- enZ m .

la asociatividad de • en Z implica la asociatividad de © enZ m si a G Z m y a ' G Z es tal que r(a' ) = a, entonces

a 4- a' = 0 implica r(a) © r(a ' ) = 0

2 6 9



NOTAS DE ALGEBRA 1

z2© 0 1 © 0 1

0 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1

z3 © 0 1 2 © 0 1 2

0 0 1 2 0 0 0 0

1 1 2 0 1 0 1 2

2 2 0 1 2 0 2 1

z4 © 0 1 2 3 © 0 1 2 3

0 0 1 2 3 0 0 0 0 0

1 1 2 3 0 1 0 1 2 3

2 2 3 0 1 2 0 2 0 2

3 3 0 1 2 3 0 3 2 1

2 7 0

lo cual dice que

r(a') es el opuesto de r(a) en Z m ,

la conmutatividad de + y • en Z implican la conmutatividad de6 y © en Z m .

El anillo Z m así obtenido se denomina anillo de restosmódulo m. Es importante insistir que la estructura Z m estádeterminada por la estructura de Z, vía el morfismo r. Porejemplo, si m = 7 hallar 3 © 6 en Z 7 significa hallar 3 + 6 en Zy luego aplicar r 7 o sea hallar el resto de la división de 3 + 6

por 7 :3 © 6 = 2

Igualmente

4 © 4 = 1

3 © 5 = r 7 ( 3 - 5 ) = r 7 ( 1 5 ) = 1

5 © 6 = 2.

En las tablas siguientes se describen las operaciones explícitamente para Z 2 , Z 3 , Z 4 , Z 5 :

© 0 1 2 3 4 © 0 1 2 3 40 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 01 1 2 3 4 0 1 0 1 2 3 42 2 3 4 0 1 2 0 2 4 1 33 3 4 0 1 2 3 0 3 1 4 24 4 0 1 2 3 4 0 4 3 2 1

El lector puede apreciar en estos ejemplos que cuando m esprimo, Z m es un cuerpo, o sea todo elemento no nulo esinversible en Z m . Por ejemplo en Z 5 = 1 , 2 - 1 = 3 ,3 _ 1 = 2, 4 _ 1 = 4 .

Esto es un hecho general .E n e fec t o ,

T eo rem a

Z m es un cuerpo si y solo si m es un número primo.

Demostración

Sea r :Z -*• Z m el morfismo natural de tomar el resto.

I) sea Z m un cuerpo .Sea t € N tal que 1 < t < m. En ton ces r( t) # 0 en Z m .

Existe a en Z m tal que r(t ) © a = 1 . Pero a = r(a) y 1 = r ( l )de manera que podemos escribir

r ( t ) • r (a ) = r ( l ) , o t am bién r ( t • a ) = r ( l )

por ser un morfismo.Además,

0 = r(t • a) - r ( l ) = r ( t • a - 1 )

o sea t • a — 1 es divisible por m:

t • a — 1 = k • m , k € Z .

Si t divide a m, se sigue que t divide a 1, por lo tanto t = 1.

2 7 1

NOTAS DE ALGEBRA I

Hemos probado que el único divisor positivo de m, menor

que m es 1. Entonces m es necesariamente un número primo.II) Sea m primo. Si a e Z m , a * 0, a es un ente ro co primo

con m. Por lo tanto existen enteros h y d tales que

1 = h • a + d • m

y ahora aplicando el morfismo r se tiene

1 = r(h) • r(a) © r(d) • r (m) = r (h) • r(a) © 0 =

= r(h) • r (a )=

= r(h) • a

lo cual muestra que a es inversible en Z m .El teorema queda completamente demostrado.

Ejercic ios

1) Escribir las tablas de suma y producto en los anillos Z 6

y z 8.2) Sea A un anillo con identidad. Sea U(A) la totalidad de

elementos inversibles (con respecto al producto) en A. Probar:I ) U(A) # <p; II) .Ü(A) es, con respecto al producto en un grupo:el grupo de unidades de A.

Calcular : U(Z) , U(Q) , U ( Z 2 ) , U ( Z 4 ) , U ( Z 3 ) , U ( Z S ) y

U ( Z 8 ) .3) ¿Qué es U(Zp) si p es primo?

4) Un elemento x de un anillo se dice idempotente six 2 = x. Sea I(A ) la totalidad de ide m poten tes del anillo A .Calcular I (Z) , I (Q) , I ( Z 2 ) , I ( Z 3 ) , I ( Z 4 ) , I ( Z 6 ) , I ( Z 1 2 ) .

5) Un elemento x de un anillo se dice nilpotenie si x n = 0 ,

para algún n natural. Sea Ni(A) la totalidad de nilpotentes deun anulo A. Calcular Ni(Z), Ni(Q), Ni(Z 2 ) , N i ( Z 4 ) , N i ( Z 5 ) ,N i ( Z 8 ) .

6) Sea x 6 Z m . Probar que existe un número natural t talque tx - x + x + . . . + x (t veces) = 0. El m enor t con esa

2 7 2




propiedad (BO! ) se denomina el orden de x en Z m . Calcular

los órdenes de los elementos de Z 2 , Z 3 , Z 4 , Z 8 , Z 1 2 . [Observarque si en Z m , x tiene orden t, entonces t divide a m (teoremade Lagrange)].

¿Qué orden tiene 8 en Z 1 2 , 15 en Z 2 0 , 14 en Z 2 1 0 ?

7) Probar el siguiente teorema: el anillo Z n posee elementosnilpotentes # 0 si y solo si n es divisible por un cuadrado ^ 1(por ejemplo 4, 9, 12 , 16¿ . . . ).

8) Probar que si A es un anillo con elemento neutro 1 ya € A es nilpotente entonces 1 + a es inversible. [Sug.: calcule(1 + a) • ( £ J ^ . 0 a1) para m suficientemente grande.]

Ejemplo (Véase [9], [14], [25])

I) El anillo de matrices de 2 X 2 con coeficientes en R.Se trata de estudiar en este ejemplo una situación análoga a

la del conjunta de números reales dotados de suma y productoy sometidos a las leyes S . l , . . . , S.4, P . l , . . . , P.4, D. Sinembargo ciertas leyes dejarán de ser válidas (como ser la P.2,conmutatividad del producto).

Este ejemplo aparece en forma natural al estudiar el álgebralineal o sea la teoría de espacios vectoriales, y con mayor generalidad. Allí se consideran las matrices de n X n, n natural. Porlo tanto si nuestras definiciones de suma y producto resultanun poco arbitrarias en este momento, encontrarán amplia moti

vación al estudiar la parte correspondiente al álgebra lineal.

Esta postura de trabajar un poco "formalmente" tiene susbeneficios: amplía el panorama de trabajo y está más en elespíritu del álgebra moderna.

Nuestros entes serán "cuadros" del tipo siguiente:

donde a, b, c y d son números reales. Un tal cuadro se denomina una matriz de 2 X 2 (dos filas por dos columnas) con coeficientes en R, o simplemente una matriz. Por ejemplo, sonmatrices

273



NOTAS DE ALGEBRA I

0 0 1 0 1 \ 30 0

50 1 ' - 5 sT2

Sea S = M 2 (R) el conjunto formado por todas las matricesde 2 X 2 con coeficientes en R. Convendremos en que

si y solo si

a b a ' b '

c d c ' d '

= a ' b =

= c ' y d - d'.

En particular se sigue que

si y solo si

a b 0 0

c d 0 0

a = b = c = d = 0 .

(s)

Definición

Suma de matrices

|a b

IC D

Por ejemplo

b '

d '

+ a ' b + o

+ c ' d + d '

1 - 1+

1/2 2i

3/2 1

3 0 1 - 5 1 4 - 51

N O T A :

Uno observa que esta definición de suma es bien natural . No hay realmente problema de motivación. Dicha definición utiliza esencialmente la suma en R.

2 7 4




Es un ejercicio muy sencillo verificar que esta suma es aso

ciativa, o sea satisface la propiedad correspondiente a S.l en R.Lo dejamos como ejercicio para el lector.Análogamente se satisface la ley conmutativa de la suma de

matrices, o sea la propiedad correspondiente a S.2. (Por ahoratodo va bien. . . )

La matriz' 1 0 0 1

0 o

' func iona" exactamente como cero :

bl jo 0

di l o oa + 0 b + 0 1 a b

c + 0 d + 0 c d

Por lo tanto escribimos (por abuso de notación)

0 0

0 01 = 0

y denotamos esa matriz como la matriz nula o cero.Por lo tanto se satisface la propiedad correspondiente a S.3.También vale S.4 pues

a b - a - b 1+

c d - c - d

1En definitiva S dotado de la suma (s) satisface las propiedades correspondientes a S. l a S.4.

Técnicamente podemos decir que S, con la suma (s), es ungrupo abeliano. En bien a la verdad podríamos decir que lohecho hasta ahora es una trivialidad. Lo es. La cosa cambiacuando definimos producto de matrices. Uno podría intentar ladefinición (análoga a la suma)

b ' l _ l a • a ' b • b '

d '| | c c ' d « d '

pero se puede ver lo que se obtiene. Es mas bien un "espejis-

a b•

a '

c d c '

2 7 5



NOTAS DE ALGEBRA I

m o " , algo así como tomar una copia de R y reflejarla en unjuego de espejos.

El álgebra lineal sugiere la verdadera

(P)

a • a' + b • c ' a • b' + b • d '

c • a' + d • c ' c • b' + d • d '

Definición

Producto de matrices

l a b | l a ' b '

j e d j |c' d '

Por ejemplo

1 —2 [ L O —3

i 3

7 I I 4 1 1

Verifiquemos la ley asociativa del producto

- 8

2 8

- 2 5

6 8

[ A B . R S H\ c d t u /

V wx y

ar + b t as + bu

cr + dt es + du

v w

x y

(ar + bt)v + (as + b u) x (ar + b t)w + (as + bu )y

(cr + dt)v + (es + du)x (cr + dt)w + (es + du)y

a(rv + sx) + b(tv + u x) a(rw + sy) + b(tw + u y)c(rv + sx) + d(tv + ux) c(rw + sy) + d(tw + uy)

a b

c d (| rv + sx rw + sy j \ _

J tv + ux tw + uy J /b | /I r s I v w f\

DI V t u x y||;

Analicemos la validez de la propiedad correspondiente aP.2, o sea la conmutatividad del producto. El simple operar conmatrices nos muestra la existencia de matrices que no conmutan. Por e jemplo:

2 7 6




1 o| 0 1 0 1

0 °1 0 0 0 0

0 ll 1 0 0 0

01

° l • 0 0 0 0

Entonces

I I I 00 0 o o

o i!o o

1 0 ¡o o

Por lo tanto en S, P.2 no se verifica. He aquí una primeradiferencia fundamental entre el sistema R y el sistema S.

A la vez, observamos que en S

0 1

0 0

1 0

0 0

= 0

o sea el producto de dos elementos no nulos es 0. Esto no eraasí en R.

La matriz

satisface

a b 1 0 I a b

c d 0 1 l e dI

i ol0 I I

|a b

|c d

o sea se comporta como elemento neutro para el producto. Poresta razón escribiremos (por abuso de notación)

01

1= 1

y la llamaremos la matriz unidad.La propiedad correspondiente a P.4, o sea la existencia de

elemento inverso de un elemento * 0 es falsa. Por ejemplo noexiste matriz

2 7 7



NOTAS DE ALGEBRA I

X

Z

yV

tal que

pues (efectuando el producto) tendría que ser

0 1 x y 1 0

0 0 Z V 0 1

z y 1 0

0 0 10 1

o sea 0que

1 , lo cual es imposible. Análogamente no es posible

|x y i 0 11 _ I 1 0

z v j 0 0 ¡ 10 1Hemos pues encontrado una matriz

|0 1

j o o lno inversible.

Finalmente dejamos a cargo del lector verificar la validez dela propiedad distributiva del producto respecto de la suma.

A este sistema S lo denominamos anillo de matrices de2X 2 con coeficientes en R.Calculemos los elementos inversibles de S.Sea

a b

c de S tal que existe

cona b

c d

x y

z v

X y

z V

1 0

0 1

e S

Entonces operando resultan las ecuaciones

ax + bz = 1 cy + dv = 1

2 7 8




C X + dz = O

o sea, despejando x, y, z, v

(ad — be) • x = d

(be — da) • z = c

Puesto que

Ia b |c d i

(*)

ay + bv = 0

(ad — be ) • v = a

(be — ad) • y = b

* 0

alguno de los coeficientes a, b, c , d es distinto de cero. Pero de(*) resulta entonces que

(d) ad — be # o.

Se sigue así que si la matriz

Ia b |c d |

es inversible (a derecha ) en tonces ad — be # 0 . R ecípro cam ente , si ad — b e es distinto de c ero pod em os en (*) dividir por(ad * - b e ) - 1 y obtener los coeficientes x, y, z, v que dan unainversa (a derecha) de la matriz

La inversa de

(si ad — be = ¿ 0) es

1 ac

a

c

b

d

b

d

- bad — be

ad — be

ad — be

a

ad — be

2 7 9



NOTAS DE ALGEBRA I

Notemos que también

d - b

ad — be ad — be

—c a

1 0

0 1ad — be ad — be

O sea la inversa es "bilátera". O sea la inversa de

la b

si existe, es única.En efecto, las ecuaciones (*) dicen cuáles son los coeficien

tes de la matriz inversa.E l valor ad — be a sociado a la m atriz

a b

|c d

se denomina el determinante de

a b

c d

Hemos probado entonces que "en M 2 (R) una matriz es

inversible si y solo si su determinante es distinto de cero".

E j em p l o

II) El anil lo de funciones.Sea X un conjunto no vacío y sea A un anil lo. Vamos a

considerar el conjunto de todas las aplicaciones del conjunto Xen el "conjunto" A. En s ímbolos, consideraremos el conjunto

denotado por Ax

:A x = { f / f : X - * A } .

Notemos que A x no es vacío, pues podemos definir elsiguiente elemento

2 8 0




x -* O cualquiera sea x G X ,

o sea, la función constante nula (digamos). A esta función ladenotaremos con 5. Entonces

6:X - A

0 ( x ) = 0 cualquiera sea x G X .

Por ejem plo si X = { a, b , c } y A = Z 2 entonces A x

t iene exactamente 2 3 elementos que son las funciones

5 = ( 0 , 0 , 0 )

( 0 , 0 , 1 )

( 0 , 1 , 0 )

( 0 , 1 , 1 )

( 1 , 0 , 0 )

( 1 , 0 , 1 )

( 1 , 1 , 0 ) .

( 1 , 1 , 1 )

donde, por e jemplo, (0 , 1 , 1) denota la función a -»• 0, b -> 1,c -* 1.

N O T A :

Teniendo dos elementos f , g en A x , decir qué f = g (f esigual a g) significa que cualquiera sea x en X, f(x) = g(x).

Vamos a definir operaciones sobre A x , en forma natural(esto significa que nos hemos de valer de las operaciones de A).Así, por ejemplo, dados f , g G A x , definirem os f + g. ¿C óm oharem os? Por lo pron to f + g t iene que ser una función de Xen A. O sea, debemos saber qué valor asigna f + g a cada x enX. O sea, debemos fi jar para cada x G X el valor

( f + g ) (x ) .

El lector que lo piense 10 segundos no dudará que la definición natural debe ser

(f + g)( x) = f(x ) + g(x) (s)si x G X .

2 8 1




Esta definición hace que la nueva suma en A x esté estre

chamente ligada a la suma en A. Y así verificamos que

f + g = g + f (1 )

En efecto , s i x G X resulta

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

= g( x) + f( x) (pues + es conmutativa en A)

= (g + f)(x )

f + ( g + h) = ( f + g ) + h . (2 )

En efecto , s i x G X resulta

(f + (g + h)) (x) = f(x) + (g + h) (x)

- f ( x ) + (g (x) + h (x)

= ( f (x ) + g (x) ) + h (x)(pues + es conmutativa en A)

- ( f + g)(x) + h (x )

= ((f + g) + h )(x )

S i f G A x , f + 6 = f . (3 )

S i f G Ax

existe g G Ax

tal que f + g = 6. ( 4 )La demostración de (3) la dejamos a cargo del lector.

Veamos (4). Se trata de definir una función g:X -*• A tal quef + g = Ó. Pero esto ú ltim o es equivalente a decir que cualquiera sea x G X debe ser

0 = 5(x ) = (f + g)(x) = f(x) + g(x)

y de aquí se ve bien que debe ser g(x) . Esto :

g(x ) = — f(x ) = el opuesto de f( x ) en A .

Y así las cosas andan bien. La nueva función g que tanto

2 8 2




tiene que ver con f, la denotamos con —f. Entonces —f es el(único) elemento de A x tal que

f + ( - f ) = 6.

En definit iva hemos probado que A x dotado de la suma (S)es un GRUPO ABELIANO (es just ic ia) .

Mostremos en el ejemplo X = { a, b, c }, A = Z 2 la estructura de grupo abeliano.

Si denotamos genéricamente con (x, y, z), (x\ y' , z ' ) elementos de este ejemplo, la suma se expresa así :

( x , y, z) + (x ' , y ' , z ' ) = (x + x\ y + y' , z + z' )y

- ( x , y, z ) = (—x, —y, - z ) .

Por e jemplo :

( 1 , 0 , 1 ) + ( 0 , 1 , 1 ) = ( 1 , 1 , 0 )

( 0 , 1 , 0 ) + (1 , 1 , 1 ) = (1 , 0 , 1 )

- ( 1 , 1 , 1 ) = ( 1 , 1 , 1 )

- ( 0 , 1 , 0 ) = (0 , 1 , 0 )

((Claro, en este ejemplo —(x, y, z) = (x, y, z)! ! ))

En nuestro afán de llevar la civilización a A x , podemospensar en definir un producto. Después de la experiencia con lasuma, casi automáticamente nos apresuramos a escribir que sif, g € A x un "producto" deber ía ser

(f • g)(x) = f (x ) • g(x) (P)si x e X .

Sorprendentemente la cosa anda bien, por ejemplo nuestroproducto es asociativo (por la misma razón que la suma).

Si A posee elemento neutro 1 entonces la función constante

I : x 1

resulta ser elemento neutro del producto.Como buena culminación de nuestro empeño, logramos lasiguiente propiedad conjunta de la suma y el producto:

f • (g + h) = f • g + f • h

2 8 3



NOTAS DE ALGEBRA I

2 8 4

o sea la propiedad distributiva. Veamos como sale.Si x e X se tiene

(f • (g + h)) (x) = f(x) • (g + h) (x)

= f (x ) • (g (x) + h(x) )

= f (x ) • g (x ) + f (x ) • h ( x )

= (f: g)(x) + ( f • h ) ( x )

y eso prueba nuestra afirmación.

Hemos probado que A x con la suma (S) y producto (P) esun anillo: el anillo de funciones sobre X a valores en Á. E nanálisis y topología interesa el caso A = R o C. Se habla entonces del anillo de funciones reales o complejas, sobre X.

Ana licemos en el ejemp lo de X = { a, b, c } , A = Z 2 elproducto, es

( x , y, z) • (x\ y ' , z ' ) = (x • x \ y • y' , z • z ')

y algunos ejemplos numéricos:

( 1 , 0 , 1 ) - ( 0 , 1 , 0 ) = ( 0 , 0 , 0 )

( 1 , 1 , 0 ) . ( 1 , 1 , 0 ) = ( 1 , 1 , 0 )

N O T A S :

1 ) Véase que en el ejemplo analizado, el anillo A x no escuerpo, aun cuando A lo es. En efecto, como se ve más arriba,

el producto de dos elementos no nulos puede ser nulo. Estoclaramente no ocurre en los cuerpos.

2) En las aplicaciones es interesante y útil trabajar conX = [ 0 , l ] y A = R .

3) Por la form a de operar con los eleme ntos de A x se sueledecir que las operaciones se efectúan (o son) punto a punto.

Proponemos como ejercicio estudiar los ejemplos siguientes:

X = { a } y A = Z 2 ; X = { a, b } y A = Z 2

X = { a } y A =' Z 3 ; X = { a, b } y A = Z 3

calculando elementos inversibles, divisores de cero, etcétera.

2 8 5

Vamos ahora a sacarle jugo a A x , cuand o A = Z 2 .

Sea P(X) el conjunto de partes de X. Vamos a definir unaaplicación de A x en P(X). Para el lo observemos que si f S A x ,f puede tom ar dos valores, 0 y 1 , pues A = Z 2 = { 0 , 1 } .Entonces definimos

0 : A X -»• P(X)por

0 ( f ) = f - 1 (1 ) = { x/x € X y f( x ) = 1 }•

Notemos que

0 ( 0 ) = <j> (el conjunto vacío)

0 (1 ) = XVeamos el ejemplito X = { a, b, c } ,

0 ( ( O , O , 1 ) ) = { c } 0 (( O , 1 , 1 ) ) = { b , c }

0((O , 1 , 0 ) ) = { b }

« ( ( 1 , 0 , 0 ) ) = { a i 0 ( ( 1 , 1 , 1 ) ) = { a , b , c }

Es fácil ver que 0 es una aplicación biyectiva, o sea que

0( f ) = 0 (g ) si y s olo si f = g

. y que para todo H C X ex is te f e A x tal que

0( f ) = H .{Lector informado: la correspondencia establecida no es

otra cosa que la correspondencia entre conjuntos y sus funciones características.)

Se trata de que 0 " transporte" las operaciones de A x aP(X) y dotar así a P(X) de la estructura de anil lo correspondiente.

A ver, traduzcamos la suma f + g. Para eso calculamos

W + g)

0 ( f + g ) = ( x / f (x ) + g ( x ) = 1 }

= {x/(f (x ) = 1 y g (x) = 0) o ( f (x ) = 0 y g (x) = 1) }



NOTAS DE ALGEBRA I

= ( 0 ( f ) - 0 ( g ) ) u ( f l (g)- f l ( f ))

= 0(f) A 0(g)

la diferencia simétrica de 0(f) y 0(g) y el producto

0(f • g) = {x/(f • g)(x) = 1} = {x/f(x) = 1 y g(x) = 1}

= (x/f(x) = 1} n { x/g(x) = 1}

= 0( f) n 0(g) la intersección de 0(f) y 0(g).

Por lo tanto, definiendo en P(X)

" suma" por la diferencia simétrica de conjuntos,

"producto" por la intersección de conjuntos,

arribamos a que P(X) es, en esta situación, un anillo: el anillode boole de subconjuntos de X.

Notemos en particular la asociatividad de + en A x producela asociatividad de A en P(X), este último hecho es de engorrosa demostración cuando se hace directamente (tomando un elemento de aquí y otro de allá) .

En realidad, lo que hemos hecho es establecer un isomor-fismo entre los anillos de funciones de X en Z 2 en el anillo deboole de subconjuntos de X. Desde el punto de vista del álgebra estas dos estructuras son indistinguibles, todos los resultados algebraicos de una valen en la otra y recíprocamente.

Referencias Generales para el Capítulo V: [2], [3], [12], [13],

[ 1 4 ] , [16], [23], [25], [32], [37]. Para una exposición elementalvéase también: Rojo, A. Algebra I, El Ateneo, (1972).

Ejercicios

1 . Sean las matrices A y B en M 2 (Q)

- i i (

Calcular: A • B, B • A, (A + B ) 2 , A 2 + B 2 + 2 • A • B,A - B - B - A.

286




2. ¿Cuáles de las siguientes matrices en M 2 (Q) son inver-

sibles? Cua ndo corres pon da, hallar la inversa:

0 1 1 1

- 1 0 1 - 1

- 3

- 6

1

0

3 . ¿Es cierto que en M 2 (Q )

I ) (A + B) 2 = A 2 + 2 • A • B + B 2 ?

II ) (A + B) • (A - B ) = A 2 - B 2 ?

III) (A • B ) _ 1 = A - 1 • B _ 1 si A y B son inversibles?

I V) A 2 = B 2 implica A = B ó A = - B ?

V) A + A = 0 implica A = 0?

VI) A • B = 0 i m p l i c aB • A = 0?

VII ) A • B = I imp lica B • A = I?

4.1) Dé ejemplos de matrices nilpotentes e idempotentes nonulas en M 2 ( Q ) .

II) Encontrar matrices A, B en M 2 (Q) tales que

A • B + B • A = I

I I I ) Probar que no existen matrices A, B en M 2 (Q) tales que

A • B - B • A = I .

5) Sean las matrices

X =0 1

o oH =

1 0

10 - 1Y =

0 0

1 0

Calcular

X • Y - Y • X H • X — X • H H • Y - Y • H

6. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos de M 2 (Q) son subanillos?

2 8 7

NOTAS DE ALGEBRA I

I )

I I )

I I I )

I V )

V )

V I)

{ l e d| /- '+

* - o }

O }

0 }

/ b = c =

/ b = d

/ b =

/ b

c = O y a - ^ d |

}

7. Sea A el anillo de funciones definidas en el intervalo[0 , 1] y a valores en Q . ¿Cuáles de los siguientes su bco njun tosde A son subanillos?:

I ) { f/ f( l ) = f (0 ) }

I I ) { f / f ( i ) = 0 }

III ) { f/f(x) = f ( l - x) para tod o x e [0 , 1] }?

IV ) { f/f(0) > 0 }

V ) { f/f con stan te }

V I) { f/f(x) < f(y ) si x < y en [0 , 1]] ?

V II ) { f/f es nula sobre casi tod o x €E [0, 1] (o sea nula, fuera de un conjunto finito } .

8 . Sea A el anillo de funciones definidas sobre [0, 1] y a valores en Q.

I) ¿Qué elementos de A son inversibles?

II) ¿Qué elementos f de R satisfacen f 2 = 0 ?

III) ¿Qué elementos de f satisfacen f 2 = f?

2 8 8

9. Sea a = |* *| G M 2 (Q) . Sea t r (a) = a + a , det (a j =

= a • d — b • c

I) Probar que tr(a • 0 ) = t r ( 0 • a ) si a , 0 G M 2 (Q) y t r (a ++ 0 ) = tr(a) + t r ( 0 ) , o sea tr es un morfismo de <M 2 ( Q ) , + >e n < Q , + > .

I I ) ¿Es tr(a • 0 ) = t r (a ) • t r ( 0 ) válida en general?

III ) Proba r que d et(a • )3) = de t(a) • det(/3) [o sea, det esun morfismo de <M 2 (Q) , •> en <Q, •>] .

Deducir que det(a • 0 ) = det(0 • a ) y q u e d e t ( a _ 1 ) == d e t ( a ) - 1 si a es inversible.

IV) Sea q G Q. Escribimos

l a bq . a = q •

c dNotar que

q • a q • b

q • c q • d

a b 1 q 0 a b

c d jo q c d= (q • I ) • a .

Probar que

o¡ 2 — t r ( a ) • a + det(a) • I = 0 en M a ( Q ) .

(Ecuación característica d e a ) .

1 0 . Sea

[a i i a t 2 1

a 2 i a 2 2 J

G M 2 ( Q ) .

Se denomina traspuesta de a a la matriz denotada por tadefinida por

t a = f . „ a 2 1 jL a 1 2 a 2 2 J

a 2 i

12 a 2 2

O sea a -*• *a d efine una a plicac ión de M 2 (Q) en M 2 (Q )

2 8 9



NOTAS DE ALGEBRA I

l lamada trasposición. Verificar la validez de las siguientes pro

piedades de la trasposición, a, b G M 2 (Q)-

I ) t ( t a) = a

II) *(a + b) = *a + * b

II I ) * (a • b) = *b • * a

IV ) S i a es inversible, 4 a es inversible y es C a ) - 1 = )•

Una matriz a se dice simétrica sil

a = a. Se dice antisimétrica si *a = —a. Pro bar que en M 2 (Q) toda matriz es suma deuna simétrica y una antisimétrica. ¿Forman las matrices simétricas un subanillo de M 2 (Q)?

1 1 . Una matriz

se dice diagonal si a t 2 = a 2 1 = 0. Una matriz se diceescalar si es diagonal y además a i x = a 2 2 . Probar el siguienteteorema : Una matr iz a 6 M 2 (Q) es escalar si y solo si para todamatriz x e M 2 (Q) es a • x = x • a .

12. Una matriz a G M 2 (Q) se dice divisor de cero (a izquierda) si existe una matriz (al menos) z G M 2 (Q) tal quez ^ 0 y a * z = 0 ,

I ) Probar que

es divisor de cero si y solo si a¡u • a 2 2 — a x 2 • a 2 x = 0 .

II) Probar que una matriz

a =

a =

0

» Í 2 1

a 2 2 J

= 0 ó a 2 2 = 0 .s divisor de cero si y solo si a¡ i

2 9 0




III) Probar que - toda matriz nilpotente es divisor de cero.

IV) Probar que la única matriz e con e 2 = e que no esdivisor de cero es e = identidad.

V) Probar que ninguna matriz inversible puede ser divisorde cero.

VI) ¿Puede dar un ejemplo de matriz en M 2 (Q) que no seani divisor de cero ni inversible?

VII) Probar que si a es divisor de cero a izquierda, lo estambién a derecha. (Entonces uno dice simplemente divisor decero a secas.)

VIII) Sean a y b divisores de cero en M 2 (Q). ¿Cuáles de lassiguientes afirmaciones son verdaderas? :

al) a + b es divisor de cero,

a l l ) a • b es divisor de cero,

allí) —a es divisor de cero.a lV ) 1 — a es inversible.

aV) a • b = b • a .

1 3 . Y et i .

1 4 . Sea A un anil lo con elemento neutro 1. Se denominacaracterística de A al menor entero positivo (si existe) m talque m

•1 = 1 + 1 + . . . + 1 = 0 ( m s um a n do s). S i n o e x is te

ningún m e N con m • 1 = 0 se dice que A tiene característica 0 .

I) Proba r que si A es un anillo de caracte rística m # 0 yh e N sat isface h • 1 = 0 , entonces m/h. Probar tam bién queVx, x e A:mx = 0 .

II) Probar que un dominio de integridad posee característ ica 0 ó un número primo.

III) Probar que el anillo Z n de enteros módulo n poseecaracterística n.

IV) Dé ejemplos de anillos A con las siguientes propiedades:

a) A es un anillo no conm utativo de caracter ística m 0 .

2 9 1



NOTAS DE ALGEBRA I

b) A es un dominio de integridad (no cuerpo) de caracte

rística p primo.

1 5 . Sea G C M 2 (Q) la totalidad de matrices inversibles.Probar que el producto de matrices induce en G una estructurade grupo. O sea pro bar : a l) x, y G G => x • y G G , a l l ) x G G =>x - 1 G G , a l l í ) G * 0 . Probar que G es un grupo no conmu tativo (o sea no vale en general la propiedad conmutativa:x • y = y • x). Probar que G tiene infinitos elementos. Estegrupo se suele denotar por GL 2 (Q): el grupo lineal general de

grado 2. Es de gran importancia en álgebra y geometría.

2 9 2



CAPITULO VI

A N I L L O DE POL I N OM I OS

Anillo de polinomios

Noción de Indeterminada sobre un anillo

La noción de indeterminada sobre un anil lo constituye elmecanismo clave para la definición de polinomio y de anillo de

polinomios. Procederemos paso a paso para afianzar bien estanoción de extrema importancia en álgebra.En las secciones anteriores hemos definido dos estructuras

que nos serán de suma utilidad en este curso. Las estructurasde grupo y anillo. En esta sección nos concentraremos sobre laestructura de anillo, éste será nuestro campo de operaciones.(La estructura de grupo nos será útil al estudiar el grupo deraíces de la unidad.)

En este capítulo anil lo será anil lo conmutativo con elementoidentidad 1 0. Sea en ton ces A un anillo (conm utativo y con identidad! ). Sea B un subanillo de A. De acuerdo con nuestra definición de subanil lo, el elemento neutro 1 de A también pertenece a B. Sea a 6 A. Entonces, por ser A un anillo los siguienteselementos están en A:

1 , a, a 2 , a 3 , . . . , a n , . . .

además si b es cualquier elemento de B, los siguientes elementos también pertenecen a A:

b , b ' a , b ' a 2 , b ' a 3 , . . ., b* a n , . . .

Más generalmente si b 0 , b j , . . ., b n son elem ento s de B , el siguiente elemento:

2 9 3

NOTAS DE ALGEBRA I

b 0 + b , • a +.. . . + b„ • a n (* )

es un elem ento de A.

Definición

Llamaremos expresión polinomial en a con coeficientes enB a todo elemento de A del tipo (*), donde n es cualquier elemento de N. Los elementos b 0 , b t , . . . , b n se denominan loscoeficientes de la expresión polinomial . Escribimos tamb ién

p(a) = b 0 + b , • a + b 2 • a 2 +. . .+ b n • a n .

E jemplos

0 ) 0 = 0 + 0 - a = 0 + 0 - a + 0 - a 2 = 0 + 0 - a + 0 - a 2 + . . . + 0 - a r

es una exp resión po linom ial en a. E n general si

0 = b 0 + b j • a + . . .+ ty, • a h se dice que 0 es representado por una expresión polinomial en a con coeficientesen B. La primera representación dada, o sea con todos losb¡ = 0 se denomina la representación trivial de 0.

I ) 1 , 1 — a, a, a 2 , 1 — a + a 2

son expresiones polinomiales en a con coeficientes en B.Por e jemplo:

l = l + 0 - a , • l - a = l + ( - l ) « a .

II) Todo elemento b de B es una expresión polinomial en acon coeficientes en B:

b = b + 0 - a + 0 - a 2 .

III) Sea A ± Q, B = Z. Sea a = 1/2 <= Q. Encontremos to das las expresiones polinomiales de a con coeficientes enZ. Se trata de las expresiones

n G + n , • 1/2 + n 2 - ( 1 / 2 ) 2 + . . . + n h . ( l / 2 ) h , n ^ Z

donde h es cualquier natural. Notemos que la expresión

2 9 4

ANILLO DE POLINOM IOS

anterior puede escribirse (operando) en la forma defracción

n 0 - 2 h + n , • 2 h _ 1 + .. . + n h m

2 h ~ ¥ '

Recíprocamente dada una fracción

m— , m S Z2 h

podemos "representarla" como una expresión polinomialen 1/2 como sigue:

m— = m - ( l /2 ) h = 0 + 0 - 1/2 + 0 - ( 1 / 2 ) 2 + . . . + •2 h

+ m- ( l /2 ) h .

O sea, hemos probado que las expresiones polinomialesen 1/2 con coeficientes en Z son exactamente las fracc iones "diádicas"

m, m € Z y h E N arbitrarios.

2 h

IV) Sea A = R, el cuerpo de números reales, B = Z el anillode enteros. Sea a = y /2 . Vamos a determinar todas lasexpresiones polinomiales en -</~, con coeficientes en Z.Entonces sea

no + n , • % /2~+. . .+ n h V 2 ~ ) h n , 6 Z ( * )

una expresión polinomial en -y/2", con coeficientes en Z.

Observemos que

( V ^ ) 2 = 2, (V 2T = • V2~= 2 • V 2"(v/2) 4=2 2 , (v^) 5 = 2 2 •v'Z

2 9 5




y en general

(VZ)2 k = 2 k , (y / 2) 2h+1 = 2 h • v 2~

por lo tanto (*) puede escribirse en la forma

m 0 + m , -y /2~

con m 0 , ni] G Z. Recíp roca m ente , toda expresión del t ipo (* *)es polinomial en y/2~. Se sigue que las expresiones polinomiales

en -y/2" con coe ficien tes en Z co inciden con las exp resione s deltipo (**). Dejamos a cargo del lector determinar todas las expresiones polinomiales en -y/2" con coeficientes en el anillo Q de números racionales.

Notación

Sean A un anillo, y B un suban illo. Sea a G A . Con

denotamos la totalidad de expresiones polinomiales en a concoeficientes en B.

Ejemplos

B[ a ]

Z [ l / 2 ]/ m GZ , hG N

m + n y /2~ I m ,n G Z

Ejemplo

B [0] = BB [ 1 ] = B

En general B [a] = B si y solo si aG B.

Teorema

B [a] es un subanillo de A.

2 9 6

ANILLO DE POLINOMIOS

Demostración

S abem o s b ien q u e B [a ] 0 . Po r e jem p lo 0 G B l a ] ,1 G B [a ] , a G B [a) .

Sean Pi (a) = b 0 + bi a + . . . 4- b n a n

(*)

p 2 (a) = c 0 + c, a 4- . . . 4- c m a m

expresiones polinomiales en a con coeficientes en B. Se tratade probar que

P i ( a ) + p 2 ( a ) G B [a] y

p , (a) • p 2 (a) G B [a]

(donde la suma y producto se refieren bien entendido a la suma y producto en A). Sin pérdida de generalidad podemos suponer que n = m pues si por ejemplo n < m podemos escribir

Pi (a) = b 0 4 b , a 4- . . .4- b n a n 4- 0 • a n + 1 4 - . . . 4- 0 • a m

[evidentemente pj(a) no ha cambiado pues le hemos agregado

0 • a n + 1 4- . . . 4- 0 • a m = 0 ] .

Entonces

p , (a ) 4- p 2 (a) = (b 0 + c 0 ) + (b, 4- c , ) a + . . .+ (b n 4- c n ) a n

es bien un elemento de B [a].Estudiemos el producto:Antes de estudiar la situación general para el producto ana

licemos algunos casos particulares que servirán también para fijarlas idea s.

a ' G B [a ] , a> G B[a] implican que a'aJ = a*J G B[a]. Además si

P ! (a ) = b 0 + b! a 4- . . . 4- b n a n G B[a] entonces para todo

1 G Z i > 0 es a'p(a) = b 0 a* 4- b , a i + 1 + . . . 4- b h a h + i =

= 0 4- 0 • a 4- . . . 4- b 0 a ' 4- b ! a i + 1 + . . . 4- b h a h + i que es bien unelemento de B[a] .

También si b y b' G B entonces (ba')(b aJ) = (bb')a i + i G B [a ] .

2 9 7

NOTAS DE ALGEBRA I

Procederemos por inducción en n (suponiendo tamb ién qu e n = m

en ambos polinomios). Provisoriamente l lamaremos a n él exponente de la expresión polinomial. Si n = 0

Pi (a) ' p 2 ( a ) = b 0 c 0 G B [ a ] .

Sean pi (a), p 2 ( a ) €E B [a] toda vez que p ^ a ) y p 2 (a) sean,de exponente < n.

Enton ces si

Qi (a) = t 0 + t , a + . . . + t n + 1 a n + 1 = t (a ) + t n + j a n + I

q 2 (a) = r 0 + r , a + . . . + r n + 1 a n + I = r(a) + r n + , a n + 1

están en B [a ] , donde t( a ) y r(a) son expresiones polinomialesen a de exponente < n, podemos escribir

Q i ( a ) ' q 2 ( a ) = t ( a ) • r (a ) + t ( a ) r n + 1 a » + i + t n + 1 a « + ' r(a) +

+ t n + 1 a"+> r n + 1 a"+> = t (a ) r (a ) + t (a ) r n + 1 a° +> +

+ t n + 1 a»*> r(a) + t n + I r n + 1 a 2 ( » + ' > ,

t(a ) • r(a ) € B [a ] por la hipótesis inductiva. Lo s otro s sumandos tam bién están en B [ a ] , por los casos particulares considerados previamente. La suma de todos ellos está en B [a], pues acabamos de probar que B[a] es cerrado para la suma. Esto nos

prueba que B [a] es cerrado para el producto. El teorema quedaasí probado. Las operaciones de suma y producto (de A) restringidas a B determinan sobre B una estructura de anillo (conmutativo con elemento neutro 1).

Definición

B [a] se denomina el anillo de expresiones polinomiales en a

con coeficientes en B.N O T A

Si el anillo B se sobreentiende, podemos referirnos simplem ente al anillo de expresiones polinomiales en a.

2 9 8




Ejemplo

Sea A = R, B = Z. Sean Z [y/2], Z [y/3] los anillos de expresiones polinomiales en y/2 y y/3 respectivamente. Vamos a probar que no existe ningún morfismo de Z[>/2~] en Z[\/3].Es decir no existe ninguna aplicación

f: ZK/2] + ZK/3]

tal que f( l) = 1, y que respete la suma y producto

f(x+y) = f(x) + f(y)f(x- y) = f(x) • f(y).

En efecto, supongamos, por el absurdo, que exista un talmorfismo. Entonces

f(l) = 1

implica (y esto lo dejamos como verificación para el lector) que

f (q) = q cualquiera sea q £ Z .

Además si í(y /2) = f(0 + 1 • y/1) = m + n • y/3, para cierto m, n G Z se tiene

2 = f(2) = f(v/2 • y/2) = (m + n • \/3>(m + n • v^3) =

= m2 + 3n 2 + 2 • mn • y/3.

Si mn 4 0 se deduce inmediatamente de esa igualdad quey /3 G Q, lo cual es un absurdo. Por lo tanto n = 0 ó m = 0.Pero el lector puede ver fácilmente que ambas posibilidades dancontradicciones. Por lo tanto no existe ningún morfismo deZ [y/2] sobre Z [y/3].

Notemos también que hemos probado que en

R, Z[V2] 4 Z [y/3], de otro modo, Z [y/2] = Z [y/3]

y la aplicación identidad sería un morfismo entre ambos anillos.

Problema

Nos formulamos ahora el siguiente problema. Si en B [a]consideramos dos elementos

299

NOTAS DE ALGEBRA I

p(a) = b 0 + b , • a + . . . + b n • a n

p'<a) = b' 0 + b ' , • a + . . . + b :m • a™

¿podremos asegurar que

p(a) = p'(a) si y solo si n = m y b 0 = b ' 0 , b , = b ' j , . . . ,

Es claro qu e la parte " s i " es verdadera (o sea la imp licación devuelta <=). Para fijar lasideas analicemos esta situación en ejemplos anteriores. En Z[>/2] se tiene

1 + 2 • >/2 + 3 • ( V 2 ) 2 + 1 • {y/2) 3 = 7 + 4 • s/2 == 7 + 4 • V 2 + 0 - ( S / 2 ) 2 +

+ 0 - ( V 2 ) 3

de manera que la implicación =* no es verdadera. O sea, en

Z[\/2 ] los coe ficiente s de una expre sión polinó m ica no están unívocamente determinados por la expresión polinómica. Pero hay,no obstante, situaciones más satisfactorias aunque no tan fácilesde describir. Por ejemplo, en Análisis aparece el número definidocomo límite de la sucesión de números racionales

(el número que sirve de base a los logaritmos naturales).Dicho número tiene la propiedad que a nosotros nos interesa.

En efecto, ya en 1873 el matemático Hermite probó la llamadatrascendencia de e (sobre Q), es decir que no existe ninguna expresión polinomial

que no sea la trivial

0 + 0 - e + O - e 2 + . . . + 0 • e h = 0

en otros términos, que (2) es válida si y solo si q 0 = . . . = q n = 0Pero entonces se tiene que

q 0 + q, • e + . . . + q h • e h = q ' 0 + q ' , • e + . . . +

b n = b ' m ? (1 )

q 0 + q , • e 4 q 2 • e 2 + . . .+ q h • e*> = 0 , q, € Q (2 )

(3 )

3 0 0




si y solo si

Qo = q'o, qi = q ' i , • • •»qh = q h (4)

En e fe ct o, se sigue de (3) qu e

0 = ( q 0 - q ' o ) + (qi - q ' i ) • e + . . . + ( q h - q ' h ) ' e h

y (4) resulta de la trascendencia de e.

Definición

Sea B un subanillo de A. Sea a G A. Diremos que a £ Aes trascendente sobre B si

b 0 + b ! - a + . . . + b h - a h = 0, b¡eB=>b 0 = . . .= b h = 0.En otros términos, la única expresión que representa a 0

es la trivial

0 = 0 + 0 • a + 0 • a 2 + . . . + 0 • a h .

Por lo visto al estudiar el caso del número real e, se tiene que

Proposición

Las afirmaciones siguientes son todas equivalentes entre sí:

I) a E A es trascend ente sobre BII) P i ( a ) = p 2 (a) en B [a] s i y solo s i Pi (a) y p 2 (a ) t i enen

los mismos coeficientes.

N OT A

Los elementos del cuerpo real R son de dos tipos: algebraicos sobre Q o trascendentes sobre Q. Ambas propiedadesse excluyen entre sí. La definición de algebraico sobre Q espues la negación de ser trascendente sobre Q. O sea, a G R esalgebraico sobre Q si existen qo , . . . , q n en Q no todos 0 tales que

0 = q 0+ q i ' a + . . . + q n ' a "

301



NOTAS DE ALGEBRA I

Es bien difíci l construir elementos trascendentes sobre Q.

Sin embargo es relativamente fáci l saber que R posee "más" elementos trascendentes que algebraicos. En efecto, se demuestracon relativa facilidad que el conjunto de números algebraicos sobre Q es numerable. Siendo R no numerable, debe ser el conjunto de elementos trascendentes sobre Q, no numerable. El determinar si un dado número real es trascendente sobre Q es unproblema difícil y existen muchos casos en que se ignora unarespuesta. Un resultado importante establece que si x es un número real 0 en tonc es uno por lo m enos de los núm eros x ye x es trascendente. Un número famoso que es trascendente es i r.

T eo rem a

Sean x e y elementos de A. Entonces si x e y son trascendentes sobre B , los anillos B [ x ] y B [y ] son i somorfos .

Demostración

Sea p(x) = b 0 + b j • x + b 2 * x 2 + . . . + " b n • x n E B [ x ] .

Puesto que los coeficientes de p (x ) están unívoca m ente determinados por p(x) la correspondencia

p ( x ) = b 0 + b 1 - x + . . . + b n ' x n - * b 0 +bi * y + . . . + b n • y n

define una aplicación de B [x] en B [y] ("sustitución x por y").La misma es inyectiva, por el carácter trascendente de y, es tri-

vialmente sobreyectiva, por lo tanto es biyectiva. Es además unmorfismo (como simple sustitución de x por y). Por lo tanto setiene el isomorfismo pedido. (El lector debe formalizar esta demostración. )

Proposición

Sea B un anillo. Si B es subanillo de A y A' y si a E A ,

a ' E A' son trascendentes sobre B, B[a] es isomorfo a B[a ' ] .

Demostración

Idéntica a la del teorema precedente.

3 0 2

N O T A

Esta proposición indica que la estructura de anillo de B[a]depende solo de B y a, y no del anillo A extensión de B que contiene al elemento a. Esta estructura independientemente resultante es la de anillo de polinomios sobre B.

Definición

Sea B un anillo. Sea A un anillo tal que B es subanillo delmismo. Sea x 6 A t rascendente sobre B . Se llama anillo de polinomios en una indeterminada X con coeficientes en B (o simplemente anillo de polinomios sobre B) al anillo indicado con

B [ X ]

de expresiones polinomiales

b 0

+ b , X +. . .+ b h X h , b ¡ £ Bdotada de un isomorfismo

f: B [ X ] -> B [x ]

tal que

f ( b 0 + b ! « X + . . . + V X n ) = b 0 + b 1 - X + . . . + V x " .

Por lo tan to la estructura de anillo de B [ X ] está unívo cam ente determinada por la correspondiente a B [ x ] . El teorem aanterior nos asegura que no hay ambigüedad en la definición deB [X]. Pues si en lugar de tomar x tomamos otros elementostrascendentes y, se t ienen los isomorfismos n aturales.

B [ X ] <•* B [ x ] - B [ y ] .

En un Apéndice a este Capítulo probaremos que para todoanillo conmutativo B con identidad 1 4 0, existe un anillo Adel cual B es subanil lo y un elemento x G A que es trascendentesobre B. De esta manera queda asegurada la existencia del anillode polinomios en X sobre B. Los elementos de B [X] serán l lamados polinomios en X con coeficientes en B.

3 0 3



NOTAS DE ALGEBRA I

3 0 4

Notación

Si p (X ) = ao + a j • X + . . . + a„ • X n escribiremos también.

P (X ) = 2 ^ • X t

1=0

entendiendo que Xo

= 1 (pura convención).

2 . Grado de un polinomioSea A un anil lo (conmutativo y con identidad 1) y sea A [X]

el anillo de polinomios sobre A.

Definiciónn

Si p (X ) = 2 a¡ • X ' 6 A [X ] y s i p (X ) * 0 , l lamaremos

i=o

grado de p(X), en s ímbolos gr(p(X)) , al

máximo ( i / a¿ 0}

N O T A 1

La definición tiene sentido. En efecto, el conjunto {i / a¡ ¥= 0 }es no vac ío, pues hem os supuesto que p(X ) * 0 y por lo tan

to (siendo X indeterminada y jugando X el papel de elemento trascenden te sobre A ) algún coef iciente de p (X ) debe serdistinto de cero . Com o el núm ero de coeficiente s de p (X ) dist intos de cero , es finito, t iene sentido hallar el má xim o.

Nota 2

Al polinomio 0 no le asignamos grado.

Nota 3 n

Cuando escribimos p (X ) = 2 a¡ • X 1 no se deberá creeri=o

que el grado de p(X) es n, pues bien puede ocurrir que a n = 0 .Por ejemplo el polinomio sobre Z[X]

1 + 2 ' X + O • X2

tiene grado 1 y no grado 2.

Ejemplos

En Z [ X ] , los polinomios siguientes 1 , X , X 2 , 1 — X 2 +, X + X 2 — X* tienen respectivamente grados 0,1, 2, 4,3 X 4

Notaciónn

Sea p (X ) = £ a¡ • X 1 . Si p (X ) tien e grado n, l lamarei s

mo s coeficien te principal de p (X ) al coeficien te a n . Si a n = 1 ,p (X ) se dirá MO NICO . El coeficien te a 0 se denomina términoconstante de p(X) .

Ejercicios

1) Sean los polinomios en Z [ X ] , p (X ) = 3 X 5 — 2 X 3 + X 2 -- 5 X - 1 y q ( X ) = 2 X 4 - 3 X 2 - X + 5. De termina r:

a ) g r [ p ( X ) 2 - q ( X ) 3 ]

b') El grado de p(X) ++ q ( X ) 3

d ) S i e xis te t (X ) £ Z [ X ]t a l q u e t ( X ) • q ( X ) == P ( X )

b ) El coe ficiente de X 6 en p( X ) •' q ( X )

c) El coe ficiente de X 1 0 en p (X ) •• q ( X )

e) Si eixsten enteros n, m talesque p ( X ) n = q ( X ) m

2) Sean p (X ) = X 3 - 2 X + 3 , q ( X ) = 2X 5 - 5 X 4 + 3 X 3 ++ 2 X 5 . Determinar pol inomios t (X) y r(X) <E Z [X] talesq u e q ( X ) = p (X ) • t ( X ) + r (X ) c o n r (X ) = 0 ó gr [ r (X ) ] < 3 .

3 ) Enu m erar tod os los polinom ios de grado < 5 sobre el

cuerpo Z 2 . ¿Puede dar una fórm ula que dé el número to tal de polinomios sobre Z 2 de grado n ?

4) a ) Sean p( X ) = 1 + 2 X , q( X ) = 1 + 2 X + 3 X 2 , h (X ) = 2 -— X + X 2 en Z 4 [ X ] . Calcular los grados de los polinomios

3 0 5

NOTAS DE ALGEBRA I

p ( X )2

, p (X ) • q ( X ) , q (X ) - h ( X ) .b) ¿Existen en Z 4 (X ) po linomios t ( X ) , s (X ) ambos no nu

los tales que t(X) • s (X ) = 0?c) ¿Existen pol inomios t (X) G Z 4 [X] ta les que t (X) n = 0

para algún n G N y t( X ) 0?d) ¿Existen en Z 4 [X] polinomios inversibles de grado ma

yor que 0?

TeoremaSean p = p(X) y q = q(X) elementos de A[X]. Suponga

mos p • q # 0.Entonces

a) gr(p • q) < gr(p) + gr(q) (*)b ) si A es un dom inio de integridad (o sea a • a' = 0 en A si

y solo si a = 0 ó a' = 0) entonces vale en (*) la igualdad.

c) Re cípro cam ente si cualesquiera sean p, q e A [ X ] , p*q 0vale la igualdad en (*), A es un dominio de integridad.

Demostraciónn

Sean n = gr(p), m = gr(q ), p (X ) = 2 a¡ • X \ q ( X ) =n i = 0

: 2 c i ' x l , entoncesi=o

p-q = ( a o - c 0 ) + ( a 0 - c 1 + a 1 - C o ) - X + . . . + ( a „ - c m ) .x n + m

y se sigue inm ediatam ente que gr(p • q ) < n + m = g r (p ) + g r (q ) .Esto demuestra la parte a) del teorema. Si A es un dominio

de integridad entonces siendoa n 0 [por ser p (X ) de grado n]c m # 0 [por ser q (X ) de grado m ]

debe sera„ * c m ^ 0

lo cual muestra quegr(p • q) = m + n = gr(p) + gr(q).

La última parte del teorema se demuestra como sigue. Seana, a' G A a 0 , a ' * 0 . Enton ces

3 0 6

( l +a -X ) - ( l +a ' - X) = l+ í a+a^-X + ía -a ' J-X2

=É O !

(es de esperar del lector que no dude de nuestra última afirmac i ón ) .

Aplicando (*) con el signo = resulta que el polinomio delsegundo miembro tiene grado 2, por lo tanto el coeficiente deX 2 es distinto de cero, o sea a • a' ^ 0. Esto prueba que A esun dominio de integridad. El teorema queda demostrado.

Proposición

A es un dominio de integridad si y solo si A [X] lo es.

Demostración

Si A[X] es un dominio de integridad, así lo es A, pues es subanillo de A[X]. Recíprocamente sea A un dominio de in

tegridad. Sean p ( X ) G A [X],q (X) G A [X], tales que p(X)-q(X)=0.Si alguno de estos polinomios es 0 nada hay que probar. Sean puesambos distintos de cero. Luego poseen grado, digamos

gr(p(X)) = n, gr(q(X)) = m.

Por lo tanto sin m

p(X) = 2 a¡ • X ¡ , q(X) = 2 a'¡ • X 4 es a n 0, a'm * 0.i=0 i=0

En el producto

p(X) • q(X) = (a 0 • a' 0 ) + (a 0 • a\ +a, • a' 0 ) • X +. . .+

+ (a n - a ' m ) - X n + m

el coeficiente de X n + m es a n ' a ' m # 0 , por lo tanto p(X)' q(X)=É0,una contradicción. Uno de los polinomios debe ser pues = 0.

Por lo tanto Z[X], Q[X] son dominios de integridad.

NOTA

Una parte de la proposición anterior combinada conel teorema se expresa en la siguiente forma. Sea A[X]* == A[X] — {0} = la totalidad de polinomios no nulos en A [X] .Entonces, si A es un dominio de integridad p(X)i-»- gr(p(X)) defineun morfismo de < A [X] * , •> en < Z > 0 , + >.

307

EjemploSea A un dom inio de integridad. Si p (X ) es un polinomio

de grado n en tonc es

[ p ( X ) ] m

es un p olinom io de grado n • m .

EjemploSea R el cuerpo real. No existen polinomios f, g, G R [X] no

nulos tales que f 2 + g 2 = 0 . En ef ec to , si existieran f, g 0 co nesa propiedad, analicemos sus grados. Si gr(f) = n, gr(g) = m esg r ( f 2 ) = 2n y gr(g 2 ) = 2m. Observemos que si a n es el coeficiente principal de f (corresp ond iente a X n ) y c m el coeficiente principal de g (correspo ndien te a X m ) , se ver ifica a n 0 ,C m ^ O y f 2 tiene por coeficiente principal (de grado 2n) a a 2 4 0

y g2

t iene por coefic iente principal (de grado 2m) a c j , "^ 0 .En tonc es según sea n < m, n = m , m < n el coe ficien te principal de f 2 + g 2 es respectivamente

y siendo f 2 + g 2 = 0, deben ser

4 = 0 ó a 2 + 4 = 0 ó a 2 = 0 en R

según el caso. Pero en el cuerpo real cuadrados o sumas de cuadrados son cer o en el ún ico caso trivial O 2 = 0 = O 2 + O 2 . . .

Hemos llegado a una contradicción al suponer la existenciade f, g e R [ X ] f 4 0, g # 0 tales qu e f 2 + g 2 = 0 . Dejamos acargo del lector el siguiente ejercicio de tipo análogo:

Ejercicio

I) Prob ar que si R es el cue rpo real yf t , . . . , f k e R [X ] f 2 + . . . + f{| = 0 si y s olo si t t == . . . = f k = 0 .

II) Sea K un cuerpo. Probar que no existen polinomiosf , g G K [X] tales que f 2 + X • g 2 = 0 .

3 0 8

Ejemplo (aplicación de la idea de indeterminada).

Sea Z el anillo de enteros racionales. Sea X una indeterminada sobre Z. Utilizando el hecho de ser X trascendente sobre Z,obtendremos algunas bien conocidas identidades combinatoriales.

Recordemos que s i a y m son números naturales , entonces

( ™ ) s i n < m ,

denota el enterom !

(m—n) ! • n !

También se define

( m ) = 1, ( m ) = 0 si i > m ó i < 0

Además si a y b perten ecen a un anillo y a • b = b * a valela fórmula del binomio

(a + b) k = I ( f ) • a ¡ - b k - \ k 6 N.í=o

Sean entonces n y m enteros positivos. Se tiene la identidad

( 1 + X ) n • ( 1 + X ) m = (1 + X ) n + m .

O sea

( n \ / m \ n+m

)*^*)-(s<T,.x')-iz , » ! • > . X » .Comparemos ahora los coeficientes de X' , 0 < t < n+m en

ambos miembros. Los mismos deben ser iguales, por ser X trascendente sobre Z. Se obtendrá

( g ) - (m

) = o ( = D

( ? ) • ( ? ) + ( ? ) • ( M ) = (n\ m)

(S)-(m) + ( 5 V ( m ) + (?) • o = (n+2m)

3 0 9

NOTAS DE ALGEBRA I

y en general

2 ( ? ) ' ( m ) = ( n t m )0 * iO í j i r a

k =H - j

o abreviadamente

2 ( ? ) ' ( m ) = ( n ¿ " m )- (1)i+j=k

Si en (1) hacemos n=m se obtiene la identidad

2 ( " ) - ( j ) = ( 2k

n ) = S ( ^ ' ( ¿ i ) (2)i+j=k i=o

y puesto que 0 < k < 2n, podemos tomar en particular k = ny obtener

* < ? ? = < 2n

n > (3)i=0 v '

pues

( ? ) = ( „ " ) si 0 < i < n .Analicemos una situación análoga: (1 - - X ) n • (1+ X) n = ( 1 — X 2 ) n .

Se tiene

l-(J)-X+(5) • X 2 - ( n ) - X 3 + . . . + ( - l ) i ' ( n ) X * . . . ]

1 + ( n )-X + ( n ) - X 2 + ( n ) - X 3 + . . . 4 - ( n ) - X Í . . . ] =

i + ( n ) : x 2 + ( n ) • x 2 - 2 + (g) • x 2 ' 3 +...+ (-i)í • ( n ) • x 2 , i . . .

En el miembro izquierdo los coeficientes de X s , s impar, sonnulos. Por lo tanto, los únicos términos a considerar son los deexponente par, resultan entonces las identidades

310

2 (-l)i-(J)-(J)= (M ' 0 < t < n , t p a ri + j = t \ 2 7

2 ( - ! ) • ( " ) • ( ? ) = 0 , t impar.i + j = t J

En particular si t = n resultah2 (--1 ) ' ( n ) 2 = 0, si n es impa r

i = o

2 ( - I ) ' ( n ) 2 = ( - 1 ) * •i = 0

En particular, reemplazando n por 2n se obtien e la con ocida identidad

, si n es par

( 20 V < 2 i V + (I")2"- • - - ^ n - l ) 2 + ( Í J ) 2 = ( - D n ( 2

nn ) -

Dejamos a cargo del lector la obtención de otras identidadescombinatoriales, utilizando la identidad

(1 + X - X ) n = 1 .

Problema

Sea A un dominio de integridad. Siendo A[X] un anil lo conidentidad nos podemos preguntar cuáles serán los elementos in-versibles de A [ X ] . Sea pues U = U(A [X ]) el con jun to deeleme ntos inversibles de A [ X ] , o tam bién el grupo de unidades de A [ X ] . U 0 p ues 1 £ A C A [X ] es in v ersib le . M ásgeneralmente es claro que cualquier unidad de A es unidad deA [X ] , o sea U (A) C U (A [ X ]) . Sea entonces p(X ) G U(A [X ]) ,c laramente p(X) =É 0, por lo tanto p(X) posee grado. Siendo p(X)

una unidad, existe g(X ) G A [X ] con la propiedadp ( X ) • g(X) = 1

por lo tanto (utilizando la aditividad del grado pues A es dominio de integridad)

3 1 1




3 1 2

0 = gr( l ) = gr(p(X) • g(X)) = gr(p(X)) + gr(g(X)) .O sea

gr( p(X )) = 0 = gr (g (X )) lo cual muestra que

p (X ) = a 6 A y g (X ) = b E A .

Pero siendo p (X ) y g(X ) inversibles , se t iene p (X ) = a £ U (A ),g(X) = bG U(A). Hemos probado pues la :

Proposición

Sea A un dominio de integridad. Entonces un polinomiop(X) € A[X] es inversible en A[X] si y solo si p(X) € U(A)[o sea p( X ) es de grado 0 y unidad en A ].

Nota

Si A no es dominio de integridad, la proposición anterior no es verdadera. En efecto, sea A = Z 4 = { 0 , 1 , 2 , 3 } e l anil lo de restos enteros módulo 4. Entonces

( 1 + 2 - X ) - ( l + 2 - X ) = 1 + 2 - X + 2 - X + 2 - 2 - X 2 = 1

pues 2 • X + 2 • X = 2 • 2 • X 2 = 0. Por lo tanto 1 + 2 • X es inversible pero no es de grado cero.

Corolario

Si A es un cue rpo , los elemen tos inversibles de A [X ]so nexactamente los e lementos a G A , a # 0 .

E jercic io

Determ ine U(A ( X ]) en las si tuaciones A = Z 4 , A = Z 5 .

3 . Divisibilidad

Se trata ahora de estudiar en el anil lo de polinomios A [X]cuestiones de divisibilidad a la manera de Z. Las definiciones da-

das al estudiar el anillo Z, pueden repetirse aquí sin inconvenien

tes. Así s i p( X ), q (X ) G A [ X ] , donde A es un anil lo conmutat ivocon identidad, diremos que p(X) divide a q(X), en símbolos

p ( X ) / q ( X ) ,

si existe t ( X ) G A [X ] t a l q u e q (X ) = p (X ) • t ( X ) .

Como primer intento de estudiar las propiedades aritméticasdel anil lo A [X], es conveniente imponer hipótesis tales que nosacerquen tanto como se pueda al caso del anillo Z. Por ejemploserá prudente pedir que A [X] sea un dominio de integridad, osea a • b = 0 en A [ X ] si y solo si a = 0 ó b = 0 . Para ello essuficiente pedir que A sea un dominio de integridad. Pero aúnno hemos logrado mucho que digamos. En efecto, aun tomando A = Z, estudiando Z [X], nos encontramos con una anomalía,en efecto si consideramos los polinomios en Z [X ]

2 y X

los mismos son "coprimos" , pero no existen pol inomios r(X),s(X ) G A [X ] tales que 1 = 2- r( X ) + s(X ) • X ; (en efe cto ,s(X ) • X tiene coeficiente de X o igual a 0, por lo tanto si r G Z esel coeficiente de X o en r(X), debemos tener 1 = 2* r 0 , r 0 G Z ,lo cual es un absurd o). Pediremos a A una propiedad más fu er te,que es, la de ser un cuerpo.

Sea entonces A un cuerpo, A [X] el anil lo de polinomios sobre A . Vam os a probar que A [ X ] t iene propiedades en alto grado

de analogía con Z. Precisamente probaremos que en A [X], conla noción natural de elemento primo, vale un teorema fundamental de la Aritmética.

Teorema

(Existen cia de algoritmo de división en A [X ]. )

Sea A un cuerpo, entonce s, para todo par a(X ), b (X ) G A [ X ] ,b (X ) 0 existen únicos pol inomios q ( X ) , r( X ) G A [X ] tales que

a ( X ) = q ( X ) • b ( X ) + r ( X )c on r ( X ) = 0 ó g r ( r( X ) ) < g r ( b ( X ) )

3 1 3

lo cual es un absurdo. Por lo tanto gr(r(X)) < gr(b(X)). Queda

así probada la primera parte del teorema. Veamos la unicidad.Sea a ( X ) = q ( X ) - b ( X ) + r ( X ) = q ' ( X ) - b ( X ) + r ' ( X ) ,c o n r ( X ) = 0

g r ( r ( X ) < g r ( b ( X ) ) ( r ' ( X ) = 0 ó g r ( r ' ( X ) ) < g r ( b ( X ) ) .

La situación r(X) = 0 ó r'(X) = 0 la dejamos para análisis dellecto r. Sea pues r (X ) ¥= 0 y r'( X ) 0 . Operando resulta

(q (X ) - q ' (X ) ) -b (X ) = r ' (X ) - r (X ) ( * * )Si r ' (X) = r(X), s iendo b(X) # 0 debe ser q(X) = q ' (X) . S i

r ( X ) - r ( X ) ^ 0 , g r ( r ' ( X ) - r ( X ) ) < m a x ( g r ( r ( X ) , g r ( r ' ( X ) ) < g r ( b ( X ) ) .Pero exam inando (* *) se deduce por la aditividad de " g r " quegr(b(X)) < gr(r ' (X) - r ( X ) ) , lo cual nos da una contradicción.La misma provino de suponer r ' (X ) r ( X ) . El teorem a quedacompletamente demostrado.

Nota importante

An alicemos donde utilizamo s el he ch o de que A es cue rpo.Esto fue uti lizado para encon trar b " 1 , o sea necesitamo s queA con tenga al inverso del coe ficien te principal del polinom iob ( X ) . Por lo ta n to , se tiene en form a más general que si A escualquier dominio de integridad (o cualquier anillo conmutativo con identidad) y b (X ) es un polinomio no nulo cuyocoeficiente principal es unidad en A e ntonces, para tod o a(X) G A [ X ]

existen pol inomios r(X), q(X) G A [X] ta les que a(X) = q(X) •• b(X) + r(X), etc. Para la unicidad necesitamos que A sea dominio de integridad para poder utilizar la aditividad de "gr". Enparticular la cosa anda si b(X) es mónico. Esta nota tiene aplicación en especial, en el anillo Z [XI.

E jemplos

En el anillo Q [X ], Q es el cuerpo racional .

1 ) a (X ) = 3X 2 + 2 X 4- 1 , b( X ) = X 5 . + 3 X 4 + 6 X 3 + 2 X 2 ++ X + 8 .

Este caso es bien senci l lo ; basta tomar q(X) = 0 y r(X)=a(X).

3 1 5



NOTAS DE ALGEBRA 1

3 1 6

2 ) a ( X ) = 3 X 3 + 4 X 2 4- 5 X + 1 , b( X ) = 2 X 2 + 6X + 8 .

Usemos la idea de la demostración del teorema construyendopolinomios de la forma a(X) — b ( X ) • h(X) de grados cada vez menores:

( 3 X 3 + 4 X 2 + 5X + 1 ) - ( 2 X 2 + 6 X + 8 ) • (1/2 • 3 • X ) =

= ( 4 X 2 + 5X + 1 ) - ( 9 X 2 4- 1 2 X ) - ( - 5 )X 2 4- ( - 7 ) X 4- 1 .

S i

h! (X) = 1/2 • 3 • X y r t ( X ) = ( - 5 ) X 2 4- ( - 7 ) X + 1 , entonces

a ( X ) - b ( X ) • h , ( X ) = r 1 ( X ) .

Para bajar el grado de rj (X ) repetimos el pr oceso : ((— 5) X 2 4-

4- ( - 7 ) X 4 - l ) - ( 2 X 2 4 - 6 X 4 - 8 ) - ( - 6 / 2 ) = ( - 7 ) X 4 - l - ( ( - 1 5 ) X 4 -

4- ( - 20 ) ) = 8X 4- 21 .

Si h 2 ( X ) = - 5 / 2 y r 2 (X) = 8X 4- 21 se t iene.

r j ( X ) - b ( X ) - h 2 (X ) = r 2 ( X ) . Observemos qué grado ( r 2 ( X ) )es menor que grado b(X). Luego

a ( X ) = b ( X ) • h ! ( X ) 4 - r i ( X ) = b ( X ) • n i ( X ) + b ( X ) • h 2 (X ) 4 - ( r 2(X )=

= b ( X ) - ( h , ( X ) ) 4 - h 2 ( X ) 4 - r 2 ( X ) .

hj (X) 4- h 2 (X) y r 2 (X ) son los polinomios buscad os.

El proceso uti l izado en el ejemplo 2), es exactamente el algoritmo de la división de números:

- 3 X 3 4- 4 X 2 4- 5X 4- 1 | 2 X 2 4- 6X 4- 8

( 2 X 2 + 6 X + 8 ) - h t ( X ) h ! ( X ) - h 2 ( X )

r u ( X )( 2 X 2 4 - 6 X 4 - 8 ) - h 2 ( X )

r 2 ( X )




Corolario importante

Sea a(X ) arbitrario y sea b(X ) — b • X + c de grado iguala 1.Existe entonces un polinomio q(X ) y r €H A tal que: a(X ) == (bX + c) q(X) + r.

Veamos un e jemplo. Sea a(X) = 2X 5 + ( - 3 ) X 3 + 6 X 2 + X ++ (—2) y b(X) = X — 3. Utilicemos el esquema de arriba:

2 X s + 0 X 4 + ( - 3 ) X 3 + 6 X 2 + X + ( - 2 ) | x - 3

2 X 4 + 6 X 3 + 15X 2 + 51X +1 54

2 X 5 + ( - 6 ) X 4

6 X 4 + ( - 3 ) X 3 + 6 X 2 + X + ( - 2 )

6 X 4 + ( - 1 8 ) X 3

1 5 X 3 + 6 X 2 + X + ( - 2 )

1 5 X 3 + ( - 4 5 ) X 2

5 1 X 2 + X + ( - 2 )

5 1 X 2 + ( - 1 5 3 ) X

l B 4 X + ( - 2 )

1 5 4 X + ( - 4 6 2 )

Luego4 6 0

q ( X ) = 2 X 4 + 6 X 3 + 1 5 X 2 + 51 X + 15 4 , r = 46 0 .

Este esquema se puede simplificar y obtener la llamada Reglade Ruffini:

2 0 —3 6 1 —2 [coeficientes de a (X )j

6 . 1 8 4 5 ^ 1 5 3 4 6 0

2 6 15 51 1 54 ¡ 4 6 2 mu ltiplicación por 3

C o e f. d e q ( X ) r ^

31 7

NOTAS DE ALGEBRA I

En la primera fila escribimos los coeficientes de a(X) en orden

decreciente (de izquierda a derecha) de las potencias de X. Luegocalculamos la tercera fila (debajo de la líne a) com o sigue: el primertérm ino es simplem ente el primer térm ino de ia primera fila. El segundo se ob tiene sumando al segundo térm ino de la primera fila elproducto del primer término de la tercera fila por a, si seestá dividiendo a p(X) por X —a. En general, si la primera filatiene k térm inos, la tercera fila tendrá k término s y el j -ésimo(1 < j < k) estará dado por la suma del j-ésim o térm ino de laprimera fila y el producto del ( j—1)- término de la tercera filapor a. Los (k—1)- términos primeros de la tercera fila son los

coeficiente s del polinom io cociente de a (X ) por X —a. El k-simotérmino es el resto de la división de a(X) por X —a. Veamosotros ejemplos:

a) División de 3X 4 + 5 X 3 + 3X + 1 por X 4- 1. Como X + 1 == X - ( - l ) :

3 5 0 3 1

- 3 - 2 2 - 53 2 - 2 5 - 4 / - 1

E n t o n c es

3 X 4 4- 5 X 3 4- 3X 4- 1 = ( 3 X 3 4- 2 X 2 4- 2 X 4- 5 ) - ( X + l ) + ( - 4 ) .

E jercic ios

1) Hallar en Q [ X ] el coc ien te y resto de la división de

I ) 2 X 4 - 3 X 3 4 - 4 X 2 - 5 X 4 - 6 por X 2 - 3 X 4 - 1

II) X 5 - X 4 4 - l por 2 X 3 - 2 X

I I I ) - 4 X 3 4 - X 2 p o r X 4 - 1 / 2

I V) X 4 4- X 3 4- X 2 + X 4- 1 por X - 1

2 ) Hallar en Z 2 [X] el cociente y resto de la división de

I ) X 2 + X 4 -1 por X 2

II) X 3 4- X 2 4- 1 por X 4- 1

3 1 8




3 ) Hallar en Z [ X ] el co cie nt e y resto de la división de

X m - 1 por X n - 1 .

T E O R E M A F U N D A M E N T A L D E L A A R I T M É T I C A e n K [ X ]

Para enunciar el Teorema Fundamental de la Aritmética enK [X] necesitamos previamente definir el concepto análogo en Zde núm ero prim o. Este es el de polinom io irreducible. T al vez sea

más con ven iente, dado qu e aparece en mú ltiples ocasion es dar unadefinición general de objeto irreducible (o sea lo análogo a número prim o). Para el lo sea A un dom inio de integridad. E nto nc es:

Definic ión

Diremos que a G A es irreducible o extremal si

I) a=-¿0

I I ) a í U (A )

II I) b G A y b/a implican b G U (A ) o existe u G U (A )tal que b = u • a .

Por ejemplo esta definición está de acuerdo con la definic ión de primo en e l caso A = Z. En efec to , en Z se t ie n eU (Z )== { 1 , —1} y si p es primo p4= 0 y sus únicos divisores son los ele

mentos de U(Z) y —1 • p, 1 • p (o sea 1 , — 1, p, —p). En el casodel anillo K [ X ] de po linom ios sobre un dom inio de integridad,podemos decir que un polinomio a(X) es irreducible si :

I ) a ( X ) # 0

I I ) a (X ) £ U (K )

I I I ) b (X ) G K [X ] y b(X)/a(X ) implican que b (X ) G U (K )o existe u G U (K ) tal que b (X ) = u • a ( X ) .

Lo precedente se justifica por el hecho visto anteriormentede que las unidades de K [X] coinciden con las unidades de K. Enparticular si K es un cuerpo, la irreducibilidad de un polinomioa(X) se traduce en las propiedades:

3 1 9

NOTAS DE ALGEBRA I

V) a(X) tiene grado positivo

II ' ) no existe b (X ) G K [X ] tal que 0 < gr[b (X )] < gr(a(X )]y b (X )/a(X ) .

En efecto las unidades de K [X] son K* = K — 0, por lo tantoI) y II) equivalen a I ' ) . Si b(X)/a(X) entonces gr(b(X)) debe ser 0ó gr(a(X)) por lo tanto respectivamente una unidad o ser k • a ( X ) ,k*= 0 en K. O sea II ' ) implica III) . De la misma manera III) => I I ' ) .

Corolario (de la definición)

Si K es un cuerpo, tod o polino m io de grado 1 es irred ucible.En efecto , I ) y I I ) se sat isfacen claramente. S i a(X) G K [X]

es de grado 1 y b(X)/ a(X ) entonces a (X ) = b( X ) • h (X ) conh(X) E K [XJ, por razones de grado debe ser gr(b(X)) = 1 ó 0.S i gr(b(X)) = 1 entonces gr(h(X)) = 0 y h(X) = h G K* .

S i gr(b(X)) = 0 entonces b(X) = b G K* .

N O T A

El corolario es falso si K no es un cuerpo. Por ejemplo en Z [X ] el polinom io 2 X + 2 es de grado 1 pero no es irred ucib le pu es 2 X + 2 = 2 - ( X + l ) y 2 < $ U ( Z ). N otem os losdos resultados siguientes en todos los análogos a situacionesen Z.

Proposición

Sea K un cuerpo:

I) To do polino m io a (X ) de grado positivo es divisible porun polinomio irreducible.

I I ) Sea p (X ) G K [X ] irreducible , entonces si p (X ) / a ( X ) « b ( X )en K [X ] , p (X )/a(X ) ó p (X )/b(X ) en K [X ] .

Demostración

I ) Si la familia H de polinom ios de grado positivo para los

3 2 0

que i) no vale, es no vacía, existe (Buena Ordenación! )

un polinomio en H de grado mínimo, m(H). •m (X ) no puede ser i rreducible , pues entonces m (X)/ m (X)y m ( X ) §É H.

Debe ser m(X) = s (X) • t (X ) , c o n 0 < g r ( s (X ) ) < g r (m (X ) ) ,o sea s(X ) ¿ H y además t iene grado posi tivo. Luego es divis iblepor un irreducible q (X ). Claramente q(X )/m (X) : un absurdo.

II) Sea a (X ) de grado m ínimo con la propiedad siguiente:

p ( X ) / a ( X ) - b ( X ) , p ( X ) | a ( X ) y p ( X ) | b ( X ) ( *)Sin pérdida de generalidad podem os suponer que gr( a( X )) <

< gr(p(X)) . En efecto , escribamos

a ( X ) = p ( X ) - h ( X ) + r ( X ) , g r (r (X ) ) < g r ( p ( X ) )

Multiplicando por b(X) resulta

a ( X ) • b ( X ) = p ( X ) • h ( X ) • b ( X ) + r ( X ) • b ( X )

y as í p(X)/r(X) • b (X ) , p (X ) J r (X) (pues p(X) J a ( X ) ) yP ( X ) | b ( X ) .

Siendo a(X) de grado mínimo con la propiedad (*) debe ser

g r ( a ( X ) ) < g r ( r ( X ) ) < g r ( p ( X ) ) .

Entonces

p ( X ) = a ( X ) • y ( X ) + d ( X ) d( X ) = 0 ó gr(d(X)) <gr(a(X))

d (X ) = 0 no es posible pues

p( X ) es i rreducible y esto implicaría que p(X ) = u • a (X ) ,u G U (X ) y así a (X ) = u " 1 . p ( X ) ,

o sea p(X)/a(X). a(X) no puede evidentemente ser una unidad.Se sigue qued ( X ) ¥ = 0 y entonces gr(d(X)) < gr(a(X)) . Resul ta

b ( X ) • p ( X ) = a ( X ) • b ( X ) • y ( X ) + d ( X ) • b ( X )

y de aqu í

3 2 1

NOTAS DE ALGEBRA I

p ( X ) f d ( X ) • b (X ) , p (X ) / d (X ) y p (X ) / b ( X ) ( * * )

( N O T A : p (X ) | d ( X ) p o r s e r g r ( d ( X ) ) < g r ( a ( X ) ) < g r ( p ( X ) ) ) .

Pero ( * *) contrad ice la propiedad de ser a (X ) el polinom iode grado m ínim o que satisface ( * ) . i i ) queda así prob ado.

Teorema Fundamental de la Ari tmética en K[X], K un cuerpo

"T od o polinomio a (X ) 0 , a( X ) 6 U (K ) se representa comoproducto de polinomios irreducibles en K [X ]. Dos factorizacionesde un mismo polinom io

P 1 ( X ) . . . p k ( X ) = q 1 ( X ) . . . q h ( X ) ( * )

en prod ucto de polinom ios irreducibles, son tales que k = h y

Pi(X) = uy • q - (X )

donde U J J son unidades y cada índice i está apareado exactamente a un índice j y rec íprocamente ; i, j € [ 1 , k j = [ l , h ] " .

Demostración

La primera parte es exactamente como en el caso de losenteros. Se supone (por el absurdo) que la familia de polinomios no nulos, no unidades, que NO son factorizables en

producto de irreducibles es no vacía. Se toma un elemento degrado mínimo en dicha familia. El mismo no puede ser irreducible. Luego es producto de polinomios de menor grado, los cualesSI son producto de irreducibles. Pero éstos dan entonces unafactorización en irreducibles del polinomio aquel de grado mínim o . Una contradicción.

Veamos la segunda parte. La demostración es análoga con

solo un pequeño cambio. Sean las factorizaciones (*) , P¡ , q¡ irreducibles. Entonces Pi(X) divide al segundo miembro. Luego porII) de la proposición anterior aplicada varias veces se tiene quePj(X ) / q j (X ) para algún j . S iendo p x (X) y qj(X) irreducibles, yno pudiendo ser unidades, debe ocurrir que exista una unidad

3 2 2




U y € K tal que p¿(X) = u¿j • q j( X ). Multiplicando am bos miembros de (*) por uy podemos cancelar p¡ con u¡j • qj. De esta form a, cancelando todos los Pi(X), en el miembro izquierdo aparecen productos de unidades. En el segundo miembro no puede quedar ningún q s (X), pues tomando grado el miembro izquierdo tendría grado 0 , n o así el segundo. Por lo tan to he mo s llegado a quek = h y además los P i(X ) y los qj( X ) son , salvo orden y unidades,los mismos.

N O T A 1El lector observa que trabajando con polinomios, el con

siderar unidades perturba un poco la discusión. Lo mismoque en Z, al tener que distinguir entre positivos y negativos.All í solucionamos la si tuación considerando objetos posit ivos. Elarti ficio en K [X] es tomar polinomios mónicos o sea con coeficiente principal igual a 1. Entonces si p(X) y q(X) son mónicostales que p(X)/q(X) y q(X)/p(X) resul ta p(X) = q(X). El teoremafundamental de la aritmética en K [X] podrá expresarse diciendoque todo polinomio no nulo, no unidad, se expresa como unaunidad multiplicada por polinomios irreducibles mónicos. Estosúltimos están unívocamente determinados, salvo en orden, por elpolinomio en cuestión.

N O T A 2

Nuestra discusión del T F A tuvo lugar en K [ X ] , con K uncuerpo. Es posible probar que si K es un dominio de integridad donde vale el TFA (o sea un teorema de descomposiciónen pro du cto de elementos extrém ales, ún ica salvo orden y unidades,com o hemos visto en K [X ]) entonces el T F A vale en K [ X ] .Este teorem a se aplica especialmente al ani llo K [ X j , X 2 , . . . , X n ]de polinomios en varias indeterminadas sobre un cuerpo K. EnAlgebra Conmutativa se suele l lamar Dominio de FactorizaciónÚnica (DFU) a los dominios de integridad donde vale el TFA.Por ejemplo el anillo Z [i ] de enteros de Gauss en un D F U . Nues

tra demostración de la propiedad de ser K [X], K cuerpo, un DFUse basó fundamentalmente en la existencia de algoritmo de división en K [XI. Pero esto no es necesario en general, como se ve enpor e jemplo K[X X , X 2 ]. Los interesados en estas cuestiones pueden consultar "Commutative Algebra" de Zariski-Samuel, Vol . I .

3 2 3



NOTAS DE ALGEBRA I

NOTA 3

Aquí, como en Z, los irreducibles juegan un papel fundamental en el estudio de la estructura de los polinomios. Seplantea pues inmediatamente el siguiente problema: Dado uncuerpo K, determinar todos los polinomios irreducibles en K [X ] .

Con éstos, podemos estudiar los análogos a los Z M (el anillode restos de módulo m). Si m(X) es un polinomio en K [ X ] , estádefinido el anillo de restos K [ X ] m ( x ) (el análogo exacto de ZM).

Entonces K [ X ] m ( x ) es un cuerpo si Y solo si m(X) es irreducible.

Estos cuerpos son de extrema importancia en Algebra. Porejemplo los complejos son un R [ X ] m ( x ) ; R el cuerpo real,m ( X ) = X 2 + 1 . Estos cuerpos dan extensiones algebraicas delcuerpo de partida K. Resuelven el problema: Dado f (X ) G K [X ] ,existe una extensión de K (un K [ X ] M ( X ) ) donde f (X ) tiene unaraíz.

Nuestra próxima tarea es dar ejemplos de polinomios irreducibles. Para ello será conveniente introducir una noción de impor

tancia general: la de especialización. Antes de dar definicionesvamos a ver de que se trata. Si p(X) G K [X]

p(X) = a N X N + . . . + a 2 X 2 + aj X + a 0

y si a G K, tiene sentido "reemplazar" la X por a, pues se obtieneun elemento de K que denotamos por p(a) y que es

p(a) = a n • a n + . . . + a2 • a 2 + ai • a + a 0 .

Decimos entonces que hemos especializado X en a, o X por á.

Por ejemplo si p (X) = X 2 - 2 X + 1 G Z [ X ] , p(0) = O2 —

- 2 - 0 + 1 = 1, p( - l ) = ( - 1 ) 2 - 2 ( - l ) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4.

Hay otros tipos de especializaciones, por ejemplo "reemplazar la X por X 2 " . Si p(X) = X 2 - X + 1 entonces p (X 2 ) =

= ( X 2 ) 2 - X 2 + 1 = X 4 - X 2 + 1

p(X + 1) = (X + l ) 2 - (X + 1) + 1 = x 2 -fe X .

Hemos especializado X en X 2 y X + 1 respectivamente. Más

3 2 4



ANILLO ÚE POLINOMIOS

generalmente podemos fi jar un polinomio t(X) de partida y es

pecializar X a t(X). Entonces la especialización de X 2 — 2 X ++ 3 a t ( X ) es t ( X ) 2 - 2 t (X ) + 3 .

Sea B un anillo conmutativo con identidad. Sea K [X] el anil lo de polinomios en X con coeficientes en A. Entonces,

Proposición

Para tod o m orfismo 0 : K -> B de anillos y todo b G B existeun único morfismo de anillos

0 * : K [ X ] - > B " )

con las propiedades 0 * (k ) = 0 (k ) si k E\ K > (1)

0 * ( X ) = b \

Tal morfismo se denomina la especialización de X por b.

Demostración

Todo elemento p(X) de K [X] se escribe en la forma

p(X) = k n X n + . . . + k , X + k o

con kj €E K y además esta expresión polinomial de p(X) es única.Tiene pues sentido formar la expresión polinomial

p(b) = 0 (k n ) • b n + . . . + 0 (k! )• b + 0 ( k o )

en B. [No sería así, si p(X) tuviera diferentes expresiones poli-nom icas.] Por lo ta nto , queda definida una ap licación

0 * ; K [ X ] ^ B

por0 * Í S k ¡ • X ¡ ) = S 0 (k ¡ ) • b*.

\i=o / i=o

En particular

3 2 5



NOTAS DE ALGEBRA I

0 * ( k ) = 0 ( k ) y 0 * ( X ) = 0 * ( 1 - X ) = 0 ( 1 ) - b = b

pues 0(1) = 1

Además

0 * 2 r ¡ • X 1 + 2 s ¡ • X 1 = 0 * 2 (r¡ + s ¡ ) • X 1 =i = 0 i = 0 i = 0

= 2 0 (r, + s j ) • b j = 2 [0 (r¡) + 0 ( S i ) ] • b* =1=0 i = 0n n

= 2 0 (r ¡) • b ¡ + 2 0 (s¡) • b ¿ =i=o i=0

= ^2 rj • X ¡j + 0* ^2 ^ • X* j

o sea 0* preserva la suma. En forma análoga se prueba que 0*preserva el producto. En definit iva, 0* es un morfismo. Es único , con las propiedades (1), simplemente porque esas condiciones lo determinan completamente. La proposición queda demostrada. Fi jemos las ideas con ejemplos.

E j em p l o

Se a B = K , 0 : K '-»• K la aplicación identidad : 0 ( k ) = kpara todo k G K. Entonces si b £ K la especialización de X porb es simplemente la sustitución, en cada polinomio p(X) G K [X]de la X por b. Por e jem plo, s i K = B = Q y b = 1/4, la especialización por 1/4 aplica p (X ) en p ( l / 4 ) :

X-»- 1/41 17

X 2 + 1 - » 4- 1 =

16 16

4 - 4

4 - X - " !3 2 6




Ejemplo

Sea K = Z, B = Z m y sea 0 el m orfismo can ón ico (o seato m a r el r e st o ) sea b £ Z m , Se tien e la especialización üe Xpor b así :

donde r(a¿) es el resto de la división de a¡ por m. Así si m = 5,b = 1 , la esp ecialización de Z por 1 €E Z 5 aplica

3 X 4 + 1 0 X 3 + 2 2 X - 3 8 e n 3 - l + 0 - l 3 + 4 - l 2 + 2 « l - 3 =

= 3 + 4 + 2 - 3 = 4

5 - X 2 - 2 X + 15 en 0 - 1 - 2 - 1 + 0 = 3

Aplicación

Sea p E Z, primo y sea Z p el cuerpo de restos enteros módulo p. Se a el polino m io X p - 1 — 1 S Z p [ X ] . Se sigue del teorema de Ferm at

n np(X ) = Z a ¡ • X ¡ -»• 2 r ( & i ) • b ¡

1 = 0 1 = 0

mP-i = 1 mod (p) si (m,p) = 1

que todo elemento z € Z p — {0} es raíz de X p _ 1 — 1 . Por lo tan

to

X P H - l = ( X - I ) - ( X - 2 ) . . . [ X - ( p - I ) ] (*)

(donde 1 , 2 , . . . denotan los restos módulo p).

Especializando X en 0 en (*) se tiene (en Z p )

-1 = ( - ! ) • ( - 2 ) . . . [ - ( p - J ) ]

o también

-1 = ( - l )P - 1 - 1 - 2. .. ( p - 1 ) e n Z p

lo cual equivale a escribir

3 2 7



NOTAS DE ALGEBRA I

- 1 = ( - l ) p _ 1 • 1 • 2 . . . (p - 1 ) mod (p ) .

S i p * 2 , ( — l ) p H vuela, por lo tanto

- 1 = ( p - 1 ) ! m o d ( p )

que no es otra cosa que el Teorema de Wilson.

Ejercicios

1) Sea K = Z, B = Z, b = — 1 , 6 : Z -»• Z la aplicación identidad.

I) Determ inar la especialización de X por —1 en los polinomios2 X 2 - 1 , ( X + 1 ) 2 , X 3 - X 2 + X - 1 , X 2 - 3 X + 2 .

II) ¿Qué polinomios p(X) satisfacen p(—1) = 0?¿Qué polinomios p(X) satisfacen p(—1) = 1?

III) Sea además la especialización de X por 1. Encontrar todos

los polinomios mónicos p(X) tales que p(l) = p(—1) .2 ) Probar q ue ninguna especialización Z [ X ] -> Z puede ser in

vectiva. ¿Es siempre sobreyectiva 7

3) Sea la especialización de Z [X] en Z 6 de X por 4.

I) Determinar la especial ización de 2 4 X 4 — 3 X 2 + 1 2 X — 1 5 ,3 X 2 - 6 3 , 1 1 X - 3 .

II) ¿Es la especialización en I) inyectiva o sobreyectiva?III) Determinar todos los polinomios mónicos p(X) G Z [X] ta

les que p(4) = 0.

Definición

Sea K [ X ] -> K la especialización de X por k G K , 0 la aplicación identidad. Diremos que k anula al polinomio p (X ) [o quek es raíz de p (X )] si p(k ) = 0 .

Teorema

Sea K un cuerp o, k G K , k es r aíz d e p ( X ) G K [ X ] si y sólo si X - k d ivide p ( X ) .

3 2 8

Demostración

En virtud del algoritmo de división en K [ X ] se tiene, parat od o p (X ) en K [X ] ,

p ( X ) = q ( X ) • (X - k) 4- r r £ K .

Siendo tod a especialización un m orfismo , se t iene

p(k) = q(k) • ( k - k ) + r = r

por lo tan to k es raíz d e p (X ) si y solo si r = 0 (o sea X — kdivide a p(X).

Corolario

Sea K un cue rpo, a, b E K , a 4- 0. Enton ces a • X + b

divide a h (X ) E K [X ] si y sólo si — es raíz de h (X ). En pa r-

bcular es raíz de aX + b .

a

Teorema

Sea K un cuerpo. Sea p( X ) E K [X ]. Sea además < gr[ p (X ) ] < 3 .Entonces p(X) es irreducible en K [X] si y sólo si no posee ninguna raíz en K.

Demostración

Probemos que p(X) es reducible (o sea no es irreducible)si y sólo si p (X ) posee una raíz en K. Si p (X ) es redu cible, podemos escribir

p ( X ) - h ( X ) • t ( X ) con gr(h(X )) < 3 , gr ( t (X )) < 3 .

Por la aditividad del grado debe ser

g r(h (X )) = 1 6 g r( t(X )) = 1 .

Pero el corolario anterior h (X ) ó t( X ) posee una raíz en K . Luego lo mismo sat isface p(X). Recíprocamente s i h(X) posee una

3 2 9

NOTAS DE ALGEBRA I

raíz k en K, X — k divide a h(X) siendo 1 < gr(p(X)), X — k es un

divisor propio de p(X) con lo que p(X) es reducible.

NOTA de Precaución

Si el grado de p(X) es MAYOR que 3 el Teorema precedente es completamente FALSO. O sea, es falso que si un polinomio de grado positivo NO tiene raíces en K deba ser irreducible. Por ejemplo, si K = R, el cuerpo real, el polinomio

( X2

+ 1 ) • ( X2

+ i ) no posee ninguna raíz en R , en efecto,si r € R es raíz se t iene

lo cual es falso. Está claro que no tiene ninguna raíz en R'. Sinembargo ese polinomio no es irreducible, como los ojos puedencomprobarlo. (El pensar que la irreducibilidad de un polinomiosobre un cuerpo K es una propiedad equivalente a la de NO te

ner raíces en K, es un típico, lamentable, incorregible error quecom eten sistemáticamente los alumno s de Algebra I . )

E jemplo

Vamos a estudiar la irreducibilidad del polinomio de segundogrado a • X 2 + b ' X + c E K [ X ] , K u n c ue rp o. V am o s a s u p oner que el cuerpo K no es de características 2, ó sea en K,

1 + 1 # 0. Este cuerpo no sirve para nuestra discusión.(Disgresión: Si A es un anillo conmutativo con identidad1 0 , se llama carac terística de A al me nor entero positivo n, siexiste, tal que n • 1 = 1 + . . . + 1 (n veces) = 0. Si no existeningún n con esa propiedad, decimo s qu e el anillo es de característica 0. Por ejemplo, Z m es un anillo de característica m, sim 1 . Z es un anil lo de carac terística 0.)

Volviendo a nuestro polinomio aX 2 + b X + c podem os escribir

0 = (r 2 + 1 ) • ( r 2 + 1 ) o sea r 2 + 1 = 0

+ c

3 3 0




Por lo tanto x € A es raíz de a X 2 + bX + c si y solo si/ b \, b 2 c

x + 1 2 — (* )\ 2 a / 4 a 2 a v

Sea x raíz de aX 2 + bX + c entonces se sigue de (*) queb 2 c— r posee una r a í z cuadrada en A , o sea existe y S A tal que4 a ¿ a

b 2 c

y 2 = 7 1 ( * * )VAR a

Recíprocamente s i

b 2 c— = y para algún y G A se tien e

4 a z

a17 b \ b 1 , b 2 con lo que

b

2 a

es raíz de aX 2 + bX + c (según la equivalencia anunciada arriba).Hem os p robad o así qu e la cond ición necesaria y suficiente pa

ra que aX2

+ b X + c posea una raíz en A es que exista y G A talde satisfacer ( * * ) . Una raíz está dada en ese caso por

- 4 =2 a J

pero observemos que según (* ** ) también es ||- y — ~ ) +

b 2 c+ 1 2 = ( — y ) 2 = y 2 =

" 1 ™ V 4 a 2 " acon lo que

b- y 2 a

3 3 1

es también raíz de aX2

4- bX + c. En definitiva, para cada raízb 2 cy de — hem os hallado las raíc es

4 a 2 ab , b

1- y v C*##*y2 a 3 2 a ' V '

de aX 2 + b X 4- c. En el caso de los números reales, se sabe bienque un número real posee raíz cuadrada en R si y solo si es positivo, ó 0 . Por lo ta nt o la condición n ecesaria y suficien te paraque el polinomio real aX 2 + b X 4- c posea una raíz en R es que

b 2 c b 2 — 4 a c0 < 4 a 2 a 4 a

o equivalentemente que

0 < b 2 - 4 a c .

N O T A

Alguien podría preguntarse luego de este ejemplo si elpol inomio aX 2 4- b X 4- c podría tener más de dos raíces. Enef ec to , vimos qué si y es ra íz cuadrada de

b 2 c

4 a 2 a

entonces ( * *** ) dan raíces del polinomio en cuestión. Luego setrata ría de ver cuántas ra íce s cuadradas de b 2 /4a 2 — c/a hay en A .Sobre un cuerp o, por razones que se verán más adelan te, no puede ha ber más de 2, en general un polinom io de grado n sobre uncuerpo NO puede tene r más de n ra íce s. Pero sob re un anillola cosa no puede cambiar. Por ejemplo, en el anillo Z 8 , y 2 = 1se satisface para y = 1 , 3 , 5 , 7 ó sea 1 tiene 4 raíces cuadradas.(¿Tiene más de 4? )

En definitiva podemos enunciar la condición necesaria y suficiente para que el polinomio aX 2 4- b X 4- c sobre un cuerpo Kde cara cterís tica 2 sea irredu cible: esa cond ición es que (elllamado discriminante de aX 2 4- b X 4- c )

d = b 2 - 4a c G K

3 3 2

no sea un cuadrado en K (o sea no exista y E K con y 2 = d ) .En particular si K = R, la condición se expresa por

d < 0 >

Ejemplo

Sea el polinomio X n + k n G K [X]. Nos preguntamos en

que condiciones es divisible por el polinomio X + k. La condición necesaria y suficiente es que —k sea raíz de X" + k",o sea que k n + ( - k ) n = k n [1 + ( ~ l ) n ]sea 0 . Eso ocu rre si k = 0 ó si n es impa r.

Ejemplo

Análoga discusión del ejemplo anterior nos muestra quecualquiera sea n G N y k G K el polinomio X " — k n es divisiblepor X — k. Es fácil ver que

X n - k n = (X - k) -| n 2 k ¡ • X " " 1

Ejemplo

El polinomio X 4 — 2 es irreducible en Q (X). En efecto, sea

X 4 - 2 = h( X ) • t (X ) ( * )

con t (X) , h(X) en Q [X]. S i alguno de los pol inomios t (X) o h(X)tiene grado 1 entonces posee una raíz en K y así X 4 — 2, porlo tanto existe en Q un número racional q tal que q 4 = 2, lo cuales imposible. Por lo tanto, si existe una factorización (*) debeser h(X) y t(X) de grado 2. Podemos escribir

h ( X ) = a t X2

+ b j X + C l a ^ Ot (X ) = a 2 X 2 + b 2 X + c 2 a 2 = ¿ 0 .

Puesto que X 4 — 2 es mó nico, debe ser a t • • a 2 = 1 . Por lot an t o , reemplazando h(X) por a j 1 • h( X) y t (X ) por a" 1 • t ( X )podemos sin pérdida de generalidad, suponer que h(X) y t(X)

3 3 3



NOTAS DE ALGEBRA I

son mónicos. (*) da lugar entonces a las ecuaciones (por igualación de coeficientes)

Resul ta , b j = — b 2 , 0 = bj (c j — c 2 ) . S i b j 4 0 entoncesc i = c 2 y — 2 = c 2 , absurdo. Si b t = 0 entonces 0 = c x + c 2 , osea c, = —c 2 y —2 = — c\ , ó 2 = c^, un absu rdo. No ha y otras posibilidades de análisis, el polinomio X 4 — 2 es i rreducible en Q [X ].

Máximo común divisor

Sean a (X ) , b (X ) polinomios no nulos en K [X ] , K un cuerpo .

DefiniciónSe l lama máximo común divisor de a(X) y b(X) a todo poli

nomio c(X) en K[X] con las propiedades siguientes:

M I ) c (X )/a(X ) y c (X )/b(X )M 2) si h ( X ) € K [X ] es t a l q u e h (X )/a(X ) y h (X )/b(X ) en t on c es

l * (X)/c(X) .

Si c(X) es máximo común divisor de a(X) y b(X), enton ces cualquiera sea k €E K , k T * = 0 , k • c ( X ) es máximo comúndivisor de a(X) y b(X). Por lo tanto para evitar ambigüedades,l lamaremos máximo común divisor de a(X) y b(X) al polinomio(si existe) c(X) con las propiedades MI), M2) y mónico. Escribimos c( X ) = (a (X ), b ( X ) ) . En estas condiciones si e l máxim o común divisor existe, es único.

Existencia 1

Si ut i l izamos TFA en K [X] y a(X), b(X) no son unidades

0002

b , + b 2 (coeficiente de X 3 )C i + c 2 + b¡ b 2 (coeficiente de X 2 )b j c 2 + C j b 2 (coefic iente de X)C i c 2 (coeficiente de X o ) .

N O T A

a(X) = p ' , 1 . . . P kk

3 3 4




b ( X ) = q Í ' . . . q Ís

co n p ¡, qj irreduc ibles, p, ph si i h, q¡ # q r si j ¥ = r . Entonceses fácil ver que si g t , . . . , gd son polinom ios irreducibles queaparecen en ambas factorizaciones

donde mi es el mínimo de los exponentes con que g t que apa

rece en la factorización de a( X ) y b ( X ) , m 2 es el mínimo, etc. . .es máximo común divisor de a(X) y b(X). Dividiendo por el coeficiente principal logramos que sea mónico. Esto demuestra laexis tencia de (a (X) , b (X) ) .

Existencia 2

Sea d(X) un polinomio mónico de grado mínimo en K [X]con la propiedad de ser representable en la forma

d( X ) = r ( X ) • a ( X ) 4- s ( X ) • b ( X ) .

Es fácil ver que d(X) es máximo común divisor de a(X) yb ( X ) . Omitimos los detalles, pues son en grado máximo análogosa los correspondientes a Z. Incluso el cálculo del máximo comúndivisor puede efectuarse utilizando el A. de D.

EjemploHallemos el máximo común divisor de 2X 4 + 2 X 3 — 3 X 2 —

- 2 X + 1 y X 3 + 2 X 2 + 2X + 1 .Va m os a dividir los polino m ios escribiendo sólo sus co efi

cientes. Resulta

2 - 2 - 3 - 2 1 | 1 2 2 1

2 4 4 2 2 - 2

- 2 - 7 - 4 1

- 2 - 4 - 4 - 2

- 3 0 3

3 3 5



V O T A S DE ALGEBRA I

—3 0 3 correspond e al polinom io— 3X 2 + 0X + 3 Dividiendo por —3 resulta el polinomio X 2 — 1 .

1 2 2 1

1 0 - 1

2 3 1

2 0 - 2

3 3

1 0 - 1

1 1

- 1 - 1

- 1 - 1

0

Por lo tanto el máximo común divisor es el último resto nonulo, o sea 3X 4- 3, que podemos reemplazar por X + 1. Calcu

lemos r(X) y s(X) en la expresión del m.c.d.

3(X + 1) = X 3 + 2 X 2 + 2 X + 1 - ( X 2 - 1 ) (X + 2) =

- X 3 + 2 X 2 + 2 X + 1 + l / 3 ( - 3 X 2 + 3 ) (X + 2 ) =

= X 3 + 2 X 2 + 2 X + 1 + 1 / 3 [ 2 X 4 + 2 X 3 - 3 X 2 -

- 2 X + l ) - ( 2 X - 2 ) - ( X 3 + 2 X 2 + 1 ) ] - ( X + 2) =

= ( X 3 + 2 X 2 + 2 X + 1 W 1 / 3 ( X + 2 ) • ( - 2 X +

+ 2 ) + 1 ] + ( 2 X 4 + 2 X 3 - 3 X 2 - 2 X + 1)- •

• 1/3 (X + 2) .

1 0 - 1

1 2

3 3 6




La expresión lineal del m.c.d. en términos de a(X) y b(X)

permite probar resultados de suma utilidad, análogos al caso Z.Los enunciaremos, las demostraciones son enteramente análogas.

Proposición

I) Sean a (X ), b (X ), c (X ) polinomios no nulos en K [X ] ,K un cuerpo. Entonces, si a(X) y b(X) son coprimos,es decir

( a ( X ) ) , b(X )) = 1 y a (X ) / b (X )- c( X ) resulta a( X ) /c(X)

I') En particular, si a(X) es irreducible y a(X)/b(X) - c(X)resul-ta

a (X ) / b( X) ó a ( X) / c ( X ) .

II) Si a(X) y c(X) son coprimos y b(X) y c(X) son coprimosentonces .

a ( X ) / c ( X ) y b ( X )/ c (X ) = * a ( X ) -b (X )/ c ( X ) .

Ejemplo

Es fácil ver que si k j , k 2 €E K ento nce s X — k j y X — k 2

son co prim os si y so lo si ki ¥= k 2 . Por lo tanto si g(X) € K [X]es tal que k j y k 2 , k[ ^ k 2 son raíces de g (X ), es g (X ) divisible por el prod ucto (X — k ! ) • (X — k 2 ) . Razonando inductivam ente se ve que si k ¡ , . . . , k 2 son elementos distintos entresí de K, todos raíces de p(X) entonces p(X) es divisible por elproducto

h h

n ( x - k ¡ ) : ( - )p (X )= n ( x - k i ) . g ( X ) ( * )i=l i=l

De esta igualdad se deduce la siguiente

Proposición

Si K es un cuerpo, todo polinomio p (X ) 0 en K [X ] degrado n tiene a lo sumo n raíces distintas en K.

3 3 7

NOTAS DE ALGEBRA I

Demostración

Se sigue de (*) invocando razones de "grado" que h < n.Ño obstante vale el resultado más general siguiente: si K es

un cuerpo, todo pol inomio p(X) =/= 0 en K de grado n, posee alo sumo n raíce s. En e fe ct o, sea para cada raíz \ de p( X ), n¡ elentero positivo tal que

p ( X ) = (X - k i ) " 1 ' g i (X) ,

o sea

( X - k / *

es la mayor potencia de X — ki que divide a p(X). (NOTA: n¡ eslo que más adelante llamaremos la multiplicidad de la raíz k¡.)Entonces

p (X ) es divisible por II (X - k t ) n • (**)•

i=l

Por razones de grado se deduce de ( ** ) que

h2 n ¡ < n .

i=lh

Pero 2 nj no es otra cosa que el núm ero tota l de raíce s de p ( X ) .i=lQuedaría por demostrar (** ) . Razonemos induct ivamente en

h. Sí h — 1 está c laro. S ea (* *) válido para h raíces. Vam os a demostrarlo para h + 1 raíces distintas

k i , . . . , k h , k h + 1 . Se tiene

p ( X ) = ( X - k h + 1 ) n h + 1 - g ( X ) y g tW^O .

Ahora X — k j divide a p (X ); siendo k t # k h + , , (X — kh+j) y(X — k j ) son coprimos .

Como X — k j divide a p(X ) se sigue que X — k! divide a g(X).Además, siendo

3 3 8

( X - k j y ( X - k h + 1 ) " h + 1

coprimos,

( X - k i ) " 1 divide a g (X ).

En la misma forma probam os que (X — k ; ) " 1 divide a g(X)si i = 1 , . . . , h. Por lo ta n to p odem os aplicar la hipó tesis indu ctiva a g(X) y obtener que

h

g (X ) es divisible por II (X — k j ) * .

i = l

Se sigue bien ahora la validez de (**).

Corolario

Sea K un cuerpo y sea p(X) un polinomio de grado n > 0,en K [X]. Entonces para cada k €: K existen a lo sumo n elementos k¡ de K tales que p(k¡) = k.

Demostración

Formemos el pol inomio p(X) — k. Por ser grado de p(X)mayor que 0, p(X) — k t iene grado n y así a lo sumo n raíces.Pero cada raíz de p( X ) — k es tal que p(a) = k.

Corolario

Sean k x , . . . , k n , elem entos de K distintos entr e sí. Existe entonces un único polinomio mónico con coeficientes en Ktal que sus raíces son exactamen te k j , . . . , k n .

Demostraciónh

p (X ) = II (X — k¡) t iene evidentemente esa propiedad. Seai = i

g(X) mónico tal que sus raíces k t , . . . , k n . Entonces k t , . . . ,1^.son ra íces de p(X ) - g ( X ) . S i p (X ) g (X)en tonces p( X ) — g ( X )es de grado < n, pues p(X) y g(X) son mónicos. Por lo tantop(X) — g(X) t iene más raíces que su grado, un absurdo, debeser p (X ) == g (X ).

3 3 9



N O T A S DE ALGEBRAJ

Corolario

Sean p (X ) y g(X ) pol inomios m ónicos, en K [ X ] , K uncuerpo, con infini tos elementos. Entonces, p(X) = g(X) s iy solo si p( k) = g(k) se satisface para infinitos k € K .

Demostración

Si p (X ) = g (X ) entonces siendo K infinito, está claro lo

que afirma el cor olar io. Si p( k) = g( k) para infinitos k 6 K(distintos e ntre s í, bien enten dido ) p (k ) — g(k ) = 0 para infinitos k £ K. Si p(X) 4 g(X ) entonces p( X ) — g( X ) es unpolinomio con infinitas raíces, o mejor con más raíces que sugrado, un absurdo.

N O T A 1

Si K = Z 3 , los polinomios X 2 — 1 y X 4 — 1 tom an los mis

mos valores, k .S Z 3 :k 2 - 1 = 0 s i k ^ Ok 2 - 1 = - 1 s i k = 0k 4 - 1 = 0 s i k ^ Ok 4 - 1 = - 1 s i k = 0

(el lector verificará esto sin dificultad, l 2 = 1, 2 2 = 1, O 2 = 0en Z 3 ) sin embargo como polinomios en Z 3 [ X ] , X 2 — 1 y X 4 — 1son bien distintos.

N O T A 2

Si K no es un cuerpo, un pol inomio p (X ) G K [X ]de grado n puede tene r más de n raí ce s. Por ejem plo siK = Z 8

l 2 = 1, 3 2 = 1, 5 2 = 1, 7 2 = 1

de manera que el polinomio X 2 — 1 t iene 4 raíces.(Sea K un anillo de Bo o le , es decir un anillo en que tod o elemento a € K satisface a 2 = a. Por ejemplo el anillo de subconjuntos de un conjunto con la diferencia simétrica e interseccióncomo suma y producto respectivamente, es un anil lo de Boole.Entonces todo elemento de K satisface la ecuación X 2 — X = 0 . )

3 4 0



A N I LL O D E P O L I N O M I O S

E J E R C I C I O S1 ) Probar que los polinomios aX 4- b , c X + d en K [X ] , K u n

cuerpo, a ' c ^ O son coprimos si y so lo si b/a d/c.

2) Sean k , k 2 en K. Probar que (X — k 1 ) n y (X - k 2 ) m soncoprimos cualesquiera sean n, m en N. (Razonar inductivamente en n. )

3 ) En contra r el máxim o com ún divisor de X 4 — 6 X 2 — 8 X — 3y X 3 - 3 X - 2 .

4 ) ¿Es c ierto que para tod o cuerpo K y todo polinomio p (X )^ 0en K [X] existe una raíz en K ? ¿Posee el cuerpo Z p , p prim o , esa propiedad? ¿Y -el cuerpo real?

5) Sean pt (X) , . . . , p j , (X) pol inomios en K [X], K un cuerpo,no todos 0. Probar que existe un pol inomio mónico d(X)tal que d(X)/ p¡(X) para todo i = 1 , . . . , h y además existeh

pol inomios g j (X) G K [X ] tales que

d ( X ) = 2 g , ( X ) - p , ( X ) .**•"'

NOTA: d(X) es por definición el máximo común divisor dela familia P j (X ) , i = l , . . . , h . Generaliza e l caso h = 2 .

6 ) En con trar tod os los polinom ios irreducibles de grado 2 y

3 en Z 2 [ X ] , Z 3 [ X ] , Z 5 [ X ] . Los de grado 4 y 5 en Z 2 [ X ] .¿Puede contarlos?

4 . Polinomio derivado. Multiplicidad

Sea A un anil lo con m utativo , con elemen to neutro 1 0 .

Definición

Se llama derivación de A, a toda aplicación D : A -*• A quesatisface las propiedades siguientes:

d , ) D es adi t iva : D (x+y) = D(x) 4- D ( y )

3 4 1



NOTAS DE ALGEBRA I

d2) D(x • y) = D(x) • y + x • D ( y ) .

Por ejemplo, la aplicación nula, D(x) = 0, cualquiera seax £ A, es una derivación. Se denomina la derivación trivial.

Notemos que si 1 es la identidad del anillo entonces l 2 = 1implica

D ( l ) = D ( l - l ) = l - D ( l ) + D ( l ) - 1 = D ( l ) 4 - D ( l )

por lo que D(l) = 0. Siendo D aditiva se sigue que cualquiera

sea m £ Z D (m • 1) = 0 .

De aquí podemos concluir que la única derivación en Z es latrivial. Lo mismo ocu rre en Q . En e fe ct o , sea D : Q-*• Q una derivación. En ton ces ya sabem os que D (m ) = 0 si m £ Z. Sea m 0.Entonces 1 = m • m - 1 implica 0 = m • D ( m - 1 ) 4- D(m) • m - 1 osea D ( m - 1 ) = 0 . Por lo ta n to , si n, m £ Z, m =7= 0 ,

D ( — ) = D ( n • m "1

) = D(n) • m "1

4- n * D ( m - ' ) = 0 4- 0 = 0m

lo cual prueba nuestra afirmación.

Sea ahora K [X] el anil lo de polinomios en X con coeficientes en K. Vamos a definir en forma natural una derivación enK [X]. Vamos a pedir a toda derivación sobre K [X] la siguientepropiedad adiciona l :

d 3 ) D (k ) = 0 s i k € K .

Esto implica la K — l inealidad de la aplicación D:

D ( k - x ) = k - D ( x ) 4 - D ( k ) • x = k« D(x)

o como suele decirse, D conmuta con los elementos de K.Investiguemos este aspecto que puede tener una derivación

en K [X]. Supongamos que D lo sea. Entonces debe verificarse

D ( X 2 ) = D ( X - X ) = X - D ( X ) 4- D ( X ) • X = 2 X • D ( X )

D ( X 3 ) = D ( X 2 - X ) = 2 - X ' D ( X ) - X + X 2 - D (X ) = 3 - X 2 -

• D ( X )

3 4 2




y en general

D ( X n ) = n- X n _ 1 - D (X ) si n E N

D ( l ) = D ( k ) = 0 si k E K .

Como consecuencia

(D ) Ü ( E kj-X 'W I D ( k i - X i ) = 2 k ¡ ' i • X 1 " 1 • D ( X ) .\ i = 0 / i = 0 i = l

Por lo tanto, D está unívocamente determinada por el valor D(X)que asigna D a X .

Se sigue recíprocamente que si fi jamos arbitrariamente D(X)en K [X], la aplicación D: K [X] -* K [X] definida por (D) esuna derivación. En efecto, esto es así y dejamos su verificacióncomo ejercicio para el lector. Debe simplemente verificar la validez de d,) , d 2 ) y d 3 ) .

El caso más sencillo de derivación consiste en fijar D(X)= 1,se obtiene entonces la derivación ordinaria, familiar del análisis.

A esa derivación la llamaremos el operador derivado y lo denotamos con un acento

D ( f (X ) ) = f ' ( X ) = J i - v X H

si

f ( X ) = í a¡ • X *.i = 0

Definición

Sea p (X ) G K [ X ] y a G K. Diremos que a es raíz de p(X )de m ultiplicidad n G N si

p ( X) = ( X - a f • h( X ) con h(a) # 0.

Ejemplos

I) 1 es raíz de 3 (X - 2 )( X - 1 ) de multipl ic idad 11 es raíz de 3(X - 2 ) 2 • ( X - l ) 2 de multiplicidad 2.

3 4 3



NOTAS DE ALGEBRA I

3 4 4

II) 1 es raíz de p (X ) = X 4 — 2 X 2 + 1. Hallemos su multiplicidad.

Se t iene

X 4 - 2 X 2 + 1 = ( X 2 - l ) 2 = [ ( X - l ) • ( X + 1 ) ] 2 =

= ( X - l ) 2 • ( X + l ) 2

por lo tanto 1 tiene multiplicidad 2 como raíz de

X 4 - 2 X 2 + 1 .

Notación

Si D es una derivación de un anillo A definimos para todo a G A

D ° ( a ) = a

D ( n + 1 ) ( a ) = D [ D ( n ) ( a ) ] .

Escribimos también D n en lugar de D ( n ) *

E jemplo

S i a (X ) = 3X 2 + 2X + 1

D(a) = a ' (X) = 6X + 2

D2

(a ) = D(2

) (a ) = a " (X ) = a (2

) (X ) = 6D 3 (a ) = D( 3 ) (a ) = a " ' ( X ) = a ( 3 ) ( X ) = 0

[en el caso del ORerador derivado, como hemos indicado en elejemplo, en lugar de exponente (n) se suele escribir comillas tratándose de órdenes bajos de derivación].

Diremos que una raíz a de p(X) es múltiple si su multiplicidad es por lo menos 2.

Proposición

Sea a £ K ra íz de p (X ) . Entonces a es ra íz múl tip le de p( X )si y solo si a es raíz del derivado p ' (X ) de p( X ).

DemostraciónEscr ibamos p( X ) = ( X - a ) h • g(X ) , g (a) # 0 .

Se t iene

P ' (X) = h • ( X - a ) " " 1 • g (X ) + (X - a ) h • g ' (X) . ( * )

Si a es raíz m últiple, ento nces h > 1 , por lo tan to h—1 > 0 yp' ( X ) es múlt iplo de X — a, o sea p ' (a) = 0 . Re cíproca m ente,

p'(a) = 0, implica según (*) y g(a) ¥= 0 que h — 1 > 0 ó sea h > 1,luego h > 2 .

Ejemplo

Sea el polinomio real p(X) = X 5 + a • X 3 + b. Determinarcondiciones sobre a y b, para que ese polinomio admita unaraíz múltiple no nula.

Solución

Se debe satisfacer

f x 5 + a x 3 + b = 0(1) <

( 5 x 4 + 3 a x 2 = 0 ó sea 5 x 2 + 3a = 0 (pues x =É 0 ) .

Por lo tanto 3 ax 2 = y a # 0-

5Reemplazando en (1)

°-"Hr)-(-T) + " H r ), I + b

-9 • a 2

3 4 5

NOTAS DE ALGEBRA I

X =- b • 2 5

6 a 2y debe ser

- 3 a

5 l 6 a 2 J

o sea

3 a 625 b 2

5 3 6 a 4

y operando resulta finalmente

3 1 2 4 b 2 + 108 a 2 = 0

que con a ^ O da las condiciones pedidas.

Ejercicios

1) Probar que V r, r G N y f, h € K [ X ]

s i k £ K ,

2 ) Probar que si f posee grado ,n e nton ces D n f = n! • a n

3) Sea P (X ) = ( x - 2 ) 3 • ( x + 3 ) 2 . Calcular D f ( l ) ; D P ( 0 ) , D 2 P ( - 1 ) ,D 2 P ( 2 ) .

Fórmula de Taylor

Sea K un cuerpo de característica cero (por ejemplo el cuerporeal R o cualquier subcuerpo de R). Sean c G K, n G N. Si

f = f(X) G K [X] posee grado < n entonces f admite la siguiente representación en expresión polinomial en (X — c ) :

D r (f + h) = D r ( f ) + D r ( h )

D r ( k • f) = k • D r ( f )

f =n D2 — ( c ) - ( X - c ) k

(*)k !

3 4 6

Esta expresión se den om ina: " desarrollo de Taylor de f en c" .

Por ejemplo, si n = 3, (*) se lee así :

, „ f ' ( c ) f " ( c ) , f " ( c )f = f ( c ) + — — • ( x - c ) + — — • ( x - c ) 2 + — — • ( x - c ) 3 .

1 \ 2 ! 3 !

Si f = 3 X 3 - 2 X 2 + X - 1 y c = - 1

f = - 7 + 1 4 • ( X + 1 ) - 1 1 ( X + l ) 2 + 6 • ( X + l ) 3 .

Vamos a probar en lo que sigue la fórmula (*).Para ello procederemos inductivamente en el grado de f. Si f tiene grado < 1,f = a • X 4- b por lo ta nt o

f(c) = a • c + bf ' ( c ) = a

y es

f = a - X 4 - b = ( a - c + b ) 4 - a - ( X - c ) =f ' (c )

= f(c)4 - ^ Y " * (X~c)que m uestra bien la validez de la fórm ula de Ta ylo r si n = 1 .

Supongamos entonces probada (*) para polinomios de grado < n. Se a f un polinom io de grado n, qu e sin pérdida de generalidad supond remos m ón ico (o sea f = X n + a , X"" 1 + . . . ) .

Entonces g = f — X n

es un polinomio de grado < n. Por lo tanto vale el desarrollode Taylor

k=o

y por la aditividad de Dk

, o seaD k (f + h) = D k ( f ) + D k ( h )

si f , h £ K [X], resulta

3 4 7



NOTAS DE ALGEBRA I

n -l nk f

g = 2 i ~ ( c ) - ( X - c ) k

k=o *

- 2 ^ - f - ( c ) - ( X - c ) k .k=o

n-l f ) k y n

Calculemos 2 , (c) • (X - c ) k .k=o

n - l r ) k X " n * i

2 -HTT^(C) * ( X - c ) k =k=o

= X n ( c ) + - ^ - ( c ) • ( X ~ c ) + ^f - ( c ) ' ( X - c ) 2 +

= C n + I L c n - l . ( X - c ) + " ' 2

( " ~ 1 )

C " - 2 - (X -C)2 +

+ ( n ~ 1 ) !r . í x - r V 1 - 1(n-l)! C l X C )

y sumando y restando (X — c ) n se obtiene

= [c + (X - c ) n - ( X - c ) n = X n - (X - c ) n .

Volviendo a (**) se tiene

n - l n

k f

f - X n = 2 ~ - (c ) • ( X - c ) k - f X n - ( X - c ) n ]k=o

o sean _ 1 D k f

f = X -^(c)-(X-c)k +(X-c)n =k=o

f

i ^ - r ( c ) - ( x - C ) k

k=o

3 4 8

D " f D " f

pues , (c ) = n! y ento nce s ( X — c ) n = ( c ) ' ( X - c ) " .

Hem os pues probad o e l paso indu ctivo. Se sigue del Principio de Induc ción la validez de (*) cualquiera sea el polinom io f.

Aplicación

Sean — f( X ) E K [X ] , K de característ ica 0

— a E K , a r a í z d e f ( X )- m E N .

Entonces a tiene multiplicidad m si y solo si

f h (a) = 0 si 0 < h < m \

f™ (a) # 0 )

DemostraciónSea a raíz de f(X) con multiplicidad m. Entonces

f = ( X - a ) m , g( X ) con g(a) == 0. (a)

Sea t = menor natural con D t f ( a ) 0 .(Lector: demuestre la existencia de un tal t . )

La fórm ula de Ta ylor de f en a se escribe

n nk f

f = 2 H k T ( a ) * ( X - a ) k

k=t "

[n = grado de f].>

O sea f = (X - a ) 1 • 2 - (a) • ( X - a)*"* . (b )

k=tK

•D (a ) 0 imp lica qu e f es divisible por (X—a) 1, pero no por

( X — a ) t + 1 , por lo tan to t > m, pues f es divisible por Í X — a ) m . Sifuera t > m igualando (a) y (b ) y canceland o ( X — a ) m resultaríag(a) = 0, un absurdo.

3 4 9

NOTAS DE ALGEBRA I

Luego t = m y así D f (a ) 0 .Recíprocamente, supongamos válidas las condiciones (1). Es

cribiendo el desarrollo de Taylor de f en a resulta

f = ( X - a ) m • • E ^ - ¡ - ( a ) • ( X - a ) k - m =c=mIm f D

m + 1 f 1

^ < a> (a) • ( X - a ) + . . JEl corch ete no se anula en a, por lo tan to a es raíz de fcon multiplicidad m. Nuestra afirmación queda com pletam entedemostrada.

Ejemplo.

- 1 es raíz de f = X 4 + X 3 - 3 X 2 - 5 X - 2. Calculemossu multiplicidad

f ( - l ) = 0

D f ( - l ) = ( 4 X 3 + 3 X 2 - 6 X - 5 ) ( - l ) = 0

D 2 f ( - l ) = ( 1 2 X 2 + 6 X - 6 ) ( - l ) = 0

D 3 f ( - 1 ) = ( 2 4 X + 6 ) ( - 1 ) = - 1 8 =É 0 .

Su multiplicidad es 3.

E jemplo

Sea el polinomio p(X) = X 5 - a • X 2 - a • X + 1 € Q [X ].Se ve fáci lmente que —1 es raíz del mismo. Veamos para qué valores de a es —1 raíz de p ( X ) de m ultiplicidad 2 (o sea co m o suele decirse, raíz do ble ). Se t iene

p ' ( X ) = 5 - X 4 - 2 a X - a

p " ( X ) = 2 0 • X - 2 a .

Debe verificarse

3 5 0

P ' ( - 1 ) = o y p " ( - i ) ^ p

o sea

0 = 5 - ( - 1 ) 4 - 2a(—1) — a = 5 + a ó sea a = — 5.

p " ( - l ) = 2 0 • ( - 1 ) - 2 - - 5 = - 2 0 + 1 0 = - 1 0 # 0

por lo tanto

a = —5 resuelve el problema. Se tiene

p ( X ) = ( X + 1 ) 2 • ( X 3 - 2 X 2 + 3 X + 1 ) = [ X - ( - l ) I a •• g ( X ) g ( - l ) # 0

Ejemplo

Sea el polinomio p(X) = X2 n

- n • Xn + I

+ n • Xn _ 1

- 1 ,1 < n. Es claro que 1 es ra íz. Calculemos su multiplicidad.S i n = 2 se trata del polinomio X 4 — 2 • X 3 + 2 • X — 1. Susderivados son

E s 0 p ( l ) = p ' ( l ) = p " ( l ) = 0 , p " ' ( l ) = 2 4 - 1 2 = 1 2 ¥= 0por lo tanto 1 es raíz de X 4 — 2 • X 3 + 2 X — 1 con multiplicidad 3 (o como se dice una raíz triple).

Sea 3 < n . Los derivados de p(X) son

p ' ( X ) = 2 n X 2 n - ] - (n + 1 ) • n • X n + n • ( n - 1 ) • X "^ 2

p " ( X ) = 2 n ( 2 n - l ) • X 2 n ^ - ( n + 1 ) • n 2 • X n _ i + n • ( n - 1 ) •

• (ñ—2) • X n ^

p " ' ( X ) = 2 n ( 2 n - l ) ( 2 n - 2 ) • X 2 n ^ - ( n 2 - 1 ) -n 2 • X n ^ + n •

• ( n - 1 ) • ( n - 2 ) • ( n - 3 ) • X " - 4 .

p ' (X ) = 4 • X 3 - 6 X 2 + 2

p " (X ) = 12 • X 2 -1 2 • X

p ' " ( X ) = 2 4 X - 1 2 .

3 5 1



NOTAS DE ALGEBRA I

Especializando X a 1 resulta

p ' ( 1 ) = 2 n - n ( n + l ) + n • ( n - l ) = 0

p " ( l ) = n ( 2 n - l ) - n ( n + l ) + ( n - l ) ( n - 2 ) =

= n (4n — 2 — n 2 — n + n 2 — 3 n + 3 ) = 0

p " ' ( l ) = n - ( 8 n 2 - 1 2 n + 4 - n 3 + n + n 3 - 6 n 2 +

+ U n - 6 ) = 2 n ( n 2 - 1 ) 4 0

por lo tanto la multiplicidad de 1 es 3.

E jemplon

Sea el pol inomio racional p (X ) = 2 ( i ! )_ 1

• X 'i = o

el mismo no posee'raíces múltiples. En efecto

p ' (X ) = 2 i • ( i ! ) _ 1 • X i _ 1 = 2 (i - 1 ) ! • X i _ 1 .i = l i = l

Pero notemos que

p (X ) = ^ - + p ' ( X ) ( * )n !

y como r es raíz de multiplicidad > 1 si y solo si p(r) = p'(r) = 0se sigue de (* ) qu e r es raí z de m ultiplicidad > 1 si y solo sir = 0 . Pero 0 no es raíz de p(X). Por lo tanto p(X) no t iene raíces mú ltiples (o sea raíc es con multiplicidad > 1 ) .

N O T A

Podemos decir más precisamente que p(X) no posee raícesmúltiples no sólo en Q sino en cualquier cuerpo K extensión deQ, por ejemplo en el cuerpo real .

3 5 2

A P É N D I C E

Fórmula de Leibnitz

Vamos a encontrar una expresión general del derivado deorden n de un prod ucto de dos polinom ios. Es decir

(f • g ) ( n ) con f , g € K [ X ] .

La discusión es completamente general y es válida en cualquier anillo conmutativo y para toda derivación definida sobre elmismo. La fórmula de Leibnitz es la siguiente:

n

(f . g) (")= 2 ( n ) • f < 0 . g ( n - i )

i=0

para t od o n 6 N , f < 0 ) = f, g<°> = g.

Por ejemplo( f - g ) ( , ) = f . g ( ' ) + f ( ' ) . g = f f t » .g(») + f ( 0 . g( °> ( i )

( f - g ) ( 2 ) = f (° ) • g ( 2 ) + 2 • fO ) • g(») + á 2) • g < 0 ) .

La fórmula de Leibnitz es análoga a la fórmula de potenciadel binomio. Precisamente vamos a demostrarla calcando la dem ostración . de la fórmula del bino m io. Para abarcar m ejor las

dos situaciones escribimos,f n en lugar de f<n>

en el curso de la demostración.Raz onem os inductivamente en n. Si n = 1 , (1) dice claramente la

validez de la fórm ula de Le ibn itz. Supongám osla cierta para n. Sea

(f • g ) n = í ( n ) • f 1 • g n - ¡ (2 )i=o

donde f n denota al enésimo derivado de f, etcétera.Derivando (2) resulta

(f • g ) n 4 1 = 2 ( n ) • f i + 1 ' g " - ¡ + í ( n ) ' f 1 ' g n + 1 _ i ' =i=o i=o

3 5 3

N O T A S DE A L G E B R A I

— ^ . jo. gn+1 .f ^ . £n+i . gO +

n n+ 2 (") ' f 1 • gn+ 1"' + 2 (n)« f i +1 • g n _ 1.

1=1( 3 )

Pero se tiene

2 ( n) • f i - gn+'-i = ( • f j + 1 • gH <4>i = l j= 0

(haciendo la sustitución i = j + 1).De (2) y (3) se obtiene, sumando los términos de las suma-

torias,

(f . g ) n + l = ( n } . fo . gn +i + ( n } . f n + , . g o + ( 5 )

+ " i" [(") + (jJPí)] • f i + ] - g " - 1 .

i-0

Hacemos ahora, en la sumatoria, la sustitución i+1 =j . Se ob

tiene

j -i

Pero sabemos que

( A ) + (?) = (n j +' ) si K j < n y que 1 = (g) = ( n) = ("+1 >=

Llevando esa información a (5) resulta

(f • g ) n + ' = ( " J 1 ) \f°' g™ + ( J í J ) ' f"* 1 -g° + 2 ( n t l ) •

3 5 4




11 ,

. f j . g«+i-j = j ( n • * ) • fj • gn + ,"J

Llevando esa información a (5) resulta

(f . g ) n+i = ( n +. } . f 0 . gn+i + ( n + ^ } . f n+i . g o + s ( nj

_ i = 1

•fj • g n + H = n 2 1 í n +1 )- fí • g n + , - J

nin+i j

que es lo que queríamos probar. La fórmula sigue entonces porel Principio de inducción.

POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN Z

Polinomios primitivos — Criterio de Eisenstein

Esta sección estudia la teoría de polinomios en Z[X]. Z puede no obstante, reemplazarse por cualquier dominio de factori-zación única.

Definición

Un polinomio 0 # f (X) € Z [X] se dirá p r i m i t i v o sii el máximo común divisor de sus coeficientes no nulos es 1

Ejemplos

I) todo polinomio mónico es primitivo.

II) 3 X 2 + 2 X + 1; 5 X 3 + 2 X 2 + 3 X +, 1 son polinomios primitivos.

Lema

Sea 0 # f (X) € Z [X). Existe un m G Z y un polinomio primitivo f i ( X ) G Z l X ] tal que f (X) = m* f, (X).

355

Demostración

n

S upongamos que f (X ) = 2 a j X 1 . S ea m el m áxim o común

divisor de lo s co e fi ci en te s de f ( X ) ( a ¡, i = 0 , 1 , . . . , n ) . E n to n c esa i

a- = — £ Z , V i = 0 , 1 , . . . , n y e l p ol in om i o f , ( X ) =m

n= 2 a- X 1 e s primit ivo. Obviamente f(X) = m f t ( X ) .

i=0

L em a

Sean f (X ) , g (X ) £ Z [ X ] . S ea p G Z un primo ta l que pn o divide a f(X) (o sea, p n o divide a algún coe fi cie nte def ( X ) ) n i a g ( X ) .

Sea a r (respectiv. b, el coeficiente de f(X) [respectiv. de

g(X)] tal que p X a, (respec. p /b i ) con r (resp. I mínimo conesta propiedad. Entonces p K c^j si

n+m n nf ( X ) • g(X ) = 2 c¡ X ¡ con f (X ) = E a¡ X\ g( X ) = 2 b¡ X* .

i=0 i" 0 i" 0

Demostración

crW = i+j§r+í a i " bj (donde debe entenderse que la sumase extiende a todo s los produ ctos a¡ • bj con 0 < i < n , , 0 < j < mtales que i + j = r + /

Enton ces si

i < r, p/a¡ y .\ p/a¡ • bj

j < / p/bj y / p/a¡ • bj

por lo tan to

Pl i + jp r + J a¡ b j , c o m o p / a r • b , se t iene quei *

3 5 6



ANILLO DB POLINOMIOS

P X c r + , = a, • bj = . + . | + J a, bj + a, b, y el lema que-

ma queda probado.

Corolario

pK f, P X g •» P X f • g.

Teorema (Gauss)

Si f (X), g(X) G Z [X] son polinomios primitivos entoncesf(X) • g(X) E Z [X] es un polinomio primitivo.

Demostración

Razonemos por el absurdo. Si f(X) * g(X) no es primitivo,existe p E Z, p primo tal que p divide a todos los coeficientesde f (X) • g(X).

Como p ^f (X) y p X g(X) se tiene que p /f (X ) • g(X) locual contradice nuestra afirmación precedente.

Corolario

Sea f(X) € Z [X],

Si f (X) = g(X) • h(X) con g(X), h(X) G Q(X] entoncesexisten polinomios f ( X ) , h'(X) G Z[X] tales que grado g == grado g\ grado h = grado h' y f (X) = g*(X) • h'(X).

Demostración

Sean O ^ mG Z , O ^ n G Z tales que m • g(X) G Z [X] yn • h(X) G Z [X]. Entonces, existen enteros r, s tales que m •• g(X) = r • g, (X) con g l (X) G Z [X] primitivo y n • h(Xf= s • h, (X) con li, (X) G Z [X] primitivo.

Por lo tanto

Pero g, (X) • hj (X) es primitivo, por lo tanto si p es un primo tal que p/m • n entonces gt (X) • h, (X) posee un coeficiente c+ no divisible por p. Como p /r 'S ' ct x ' sigu e que p/r*s. Por

mng(X) h(X) = r s - g 1 ( X ) - h 1 (X).

m*ng(X) h(X) = — g, (X) h ,(X).o tanto

P P

357



NOTAS DE ALGEBRA I

Repit iendo el razonamiento un número f ini to de veces (so

b re los factores primos de m * n) nos permite concluir quem • n/r • s. Entonces

f ( X ) = g(X) • h(X) = g, (X)J • h, (X) con

— g , ( X ) € Z [ X ] y h , ( X ) G Z [ X ] .n r n

El corolario q ueda prob ado. Se t iene el importanteCorolario

f ( X ) € Z[X] es irreducible en Z[X] sólo si lo es Q [ X ] .

Nota

E n la demostración de los resultados anteriores, que culminan con el teorema de Gauss y sus corolarios, solo utiliza

m os el hecho de que Z es un dominio de integridad donde valeel Teorema Fundamental de la Aritmética,-es decir, la descomposición en factores primos y su unicidad. Por lo t an t o , los mismosresultados valen para los dom inio s de integridad con T eore m a Fun damental de la Aritmética, es decir, los l lamados dominios de

factorización única (por e j em p l o , K [ X t , X 2 , . . . , X„], el a n i llo de polinomios en variasándeterminadas sobre un cuerpo K. Sedemuestra en cursos más avanzados que si K es un dominio defactorización única entonces K[X] así también lo es).

Ejemplos

S ea el polinomio X 4 + 1 GQ [X]. Probaremos que es irreducible en Q [X]. Por el corolario anterior, será suficiente queX 4 + 1 sea irreducible en Z [X]. Supongamos que X 4 + 1 esfactorizable en Z [ X ] ; X 4 + 1 = P(X) • T(X); P ( X ) , T ( X ) € Z[X].Si P(X) [o T(X)] es de grado 1, resulta inmediatamente queX 4 + 1 posee una raíz en Q, lo cual es absurdo (pues a 4 > 0,

V a E Q ). Por lo tanto debe sergrado P(X) = 2 y gradó T(X) = 2.Además, siendo X 4 + 1 m ó n i c o , P(X) y T(X) pueden tomarsemónicos, luego

X 4 + 1 = (X 2 + bX + c)(X 2 + dX + e )c o n b, c, d, e G Z.

3 5 8

3 5 9

Desarrollando e igualando coeficientes, resulta

coe fic . de X 3 : d + b = 0

" X 2 : c + e + bd = 0

" " X : be + cd = 0

término independiente: ce = 1. Esta última ecuación implica

c = e = l ó c = e = — 1.Pero d = —b y además c + e 4- bd = 0 implican —b 2 = — c — e ,por lo tan to c = e = 1 y así b 2 = 2, un absurdo pues b € Z.

Teorema (criterio de irreducibilidad de Eisenstein)

Sea f( X ) = 2 a¡ X ' e Z [X ], grado f ( X ) > 0 . Sea p € Z un pri-i=o

mo tal que

I ) P / a n

I I ) p / a k si 0 < k < n

III) P 2 / ao .

Entonces f(X) es i rreducible en Q[X].

Demostración

S ea f (X ) = g (X ) • h ( X ) c on g ( X ) , h ( X ) £ Z [ X ] ,

g ( X ) = 2 c k X k , h ( X ) = 2 d j X 1 .

k = 0 i=0

Notemos que p/a0 = c 0 d 0 y P 2 / a 0 .Por lo tan to p/c 0 y p / d 0 ó

P / c 0 y p / d 0 -

Sin pérdida de generalidad podem os supone r p / c 0 y p/aVProb arem os inductivam ente qu e p/d^ V k, K = 0 , 1 , . . . , l.

NOTAS DE ALGEBRA I

Ejemplo

Ilustremos la demostración del criterio de irreducibilidadson un ejemplo sencillo. Es recomendable que el lectorhaga este tipo de ejemplificación para ñjar las ideas de la demostración. Sea f(X) = 3 X 4 + 6 X 3 + 4 X 2 + 14.

Probaremos que f(X)' es irreducible. Sea f(X) = g(X) h(X)con g(X) = c 2 X 2 + c , X + co, h(X) = d 2 X 2 4- d, X + d 0 .Puesto que 2 divide al término independiente de f(X), 2 divideal producto CQ • d 0 . Supongamos que 2/d 0 , como 2 2 / 1 4 , -s etiene que 2 / c 0 .

Operando e igualando coeficientes resulta

I) 0 = d 0 C! + d, c 0

II) 4 = d 0 c 2 + Ci d! + d 2 c 0 .

Por I) , 2 / d 0 , 2 X Co se tiene que 2/dj .Además, por II) , 2 / d 0 ,2 / d j ,2 / c 0 resulta que 2/d 2 . O sea, 2 / h ( X ) . Por lo tanto 2/f(X) y como2/6, 2/4, 2/14 resulta 2/3; absurdo. Dejamos a cargo del lectoranalizar el caso en que grado de h(X) = l y grado g(X) = 3. Seobtiene así la irreducibilidad del polinomio dado.

Ejemplo

Sea p primo, el polinomio racional X n — p es irreducibleen Q [X] cualquiera sea nGN.

3 6 0

Sea k < / y sea p/d¡ con 0 < i < k entonces

ak = i + f = k

c

i • d j =c

o d k + C ! d k_j + . . . (*)

Si k < n entonces p/a k, como p/d¿ si i < k, por (*) se tieneque p/dk. Si la factorización f(X) = g(X) h(X ) es propia, en elsentido de grado g(X) > 1, grado h(X) > 1 se tiene gradoh(X) = r < n por lo tanto, el razonamiento inductivo nos permitirá probar que p/d¡ para 0 < i < /, es decir, p/h(X). Por lotanto p/f(X). Pero como p/ak para 0 < k < n resultará que p/an

en contradicción con I). El teorema queda pues probado.

Ejemplo

Sea a £ Z tal que exista un primo p que divide a apero p 2 no divide a a . Entonces, cualquiera sea n £ N el polinom i o X " — O Í es irreducible. Se sigue de estos ejemplos que, paratodo n £ N existe una extensión Q[x] de Q tal que Q[x] escuerpo y dimQ Q [x ] = n.

Antes de dar otra aplicación importante del criterio de Eisens-tein, recordaremos un resultado de suma utilidad referente a ladefinición de morfismos de K[X] es un anil lo.

L em a

Sea K un anil lo conmutativo. Sea (l) = 1 .Sea x £ A. Entonces existe un único morfismo

K [ X ] A tal que £ ( k ) = <¿>(k), V k £ K

? ( X ) = X

Demostraciónn

Tod o elemento 2 a j X 1 £ K [X] está unívocamente determino

nado por los coeficientes a¡ de X 1 . Por lo tanto, asociamos

2 a, X 1 » 2 tfa,) X>i«o i*o

lo cu al es un a ap licac ión A ta l que (k ) = <¿>(k)s i k £ K y ? ( X ) = X .

Es fáci l ver que íp es un morfismo y que ^ es único con ésaspropiedades.

Al m orfism o así definido lo hem os denom inado la especia

lización de X por x y lo denotaremos por el símbolo X x»k -H- ^ ( k ) .

E jemplo

Si ko £ K, X •**• k 0 es una especial ización tal que P(X ) P (k 0 ) ,k - > k si k £ K .

3 6 1

NOTAS DE ALGEBRA I

Ejemplo

Sea P( X ) € K [ X ] , se t iene la especialización X+* P (X ), k +> k.

P or la m is m a, si f £ K [ X ] , f+ • f [ P ( X ) ] .

Proposición

Sea P(X) = a 0 + a, X G K [ X ] , a , # 0 , K cuerpo. Entonces

la especialización X+>- P ( X ) de K [ X ] en K [ X ] es un autom orfismo.

Demostración

Sea a 0 + a, X y sea * : X — ( X — a 0 ) .a i

Se t iene: (tf ó <p) ( X ) = * ( a 0 + a x X ) = * ( a 0 ) + X ) =

Por lo tan to o i¿>) (X*) = X * para tod o i por lo tan to dadoque 1, X, X 2 , . . . es un sistema de generadores de K [ X ]

= a 0 + * ( a 1 ) * ( X ) = a 0 + a 1( X - a 0 ) = X .

* ó i¿> = Id

y análogamente <¿> ó — Id .

Nuestra afirmación queda p robada.

E jemplo

Sea p primo. El polinomio

( X + l ) P - 1

es divisible por X y (X + 1 ) P - iX

es irreducible. En efec to

3 6 2

(X + 1)P - 1 = XP + (P) XP"1 + . . . + X + 1 - 1 =

= X[XP - ' + ( P ) X p - 2 + . . . + ( p i 1 ) ] .

Luego ( X + = XP"1 + (P) XP"2 + . . . +

pero

( p ) = 0 m ó d (p) si 0 < i < p - l

c om o (PZJ) = p se tiene que

P 2 * (PF-X) (P 2 no divide a ( p P ^ ) .

(X + 1)P - 1Por el criterio, de Eisenstein se t iene que — es

xirreducible.Pero en la especialización X +• X + 1, k +*• kP-I P-I

2 X 1-* 2i=0 i*=0

2 X ^ Z 1 R X - F I V = ( X + I ) P - 1 = ( X - H ) P - I2 X ^ ( X X ) (X + l ) - l X

Como la especialización X +*• X + 1 es un automorfismo setiene que el polinomio

^ ? X 1 = 1 + X + . .. + XP" 1

i - 0

con p primo,es irreducible.Tal polinomio se denomina el polinomio ciclotómico de or

den p. Es el polinomio cuyas raíces complejas son las raícesp-ésimas primitivas de 1. Por ejemplo

Se suele den otar al polinom io ciclo tóm ico de orden p por $ p ( X ) .(Notar que el po lino m io p tien e grado p—1 si p es primo.)

3 6 3



NOTAS DE ALGEBRA l

Teorema de Gauss

Sea

p(X)= 2 a 1 X i = a n X n + . . . + a 0

1=0

un polinomio real de grado n donde todos los coeficientesa©, • • • » a n s o n números enteros y a 0 4 0. Entonces

Teorema (Gauss)

Si p y q son enteros, no nulos, primos entre sí, tales que elnúmero racional p/q es raíz de P(X) entonces

ao es múltiplo entero de p

a n es múltiplo entero de q

Demostración

Sean p, q que satisfacen las condiciones del teorema. Se tiene

n n p .

0 = 2 E i - t e / q ) 1 - 2 a j ' - r .i=0 i=0 4

Multiplicando por q n resulta

0 = 2 a¡ • p j • q n - ¿ = a 0 ' q n + p j 2 a¡ • q»-» • p»"1)i=o \i=i '

o sea

ao • q n = p ' ^— 2 a¡ • q n _ i • p i _ 1

Por lo tanto p divide a a 0 • q n . Siendo p y q primosentre sí, también es cierto que p y q n son primos entre

364




s í; por lo tanto p divide a a 0 , o equivalentemente a 0 es múltiploentero de p. Queda probada la primera parte del teorema. Parala segunda parte agruparemos los términos de la suma en la forma siguiente:

Como antes, se tiene que q divide a a n • p n , luego divide aa n . El teorem a queda probado.

Corolario importante

Las raíces racionales de un polinomio a coeficientes enteros,

mónico, son enteras.Teorema

Sea p(X) €E Z[X]. Sea p/q raíz de p(X) con p, q coprimos.Ento nces, para tod o m entero

Demostración

Sea

p (X ) = a h • ( X - m ) h + . . . + 8 l • ( X - m ) + a 0

el desarrollo de p(X) en expresión polinomial entera en X — m.Notemos que

p(m) = a 0 -

Siendo p/q raíz de p(X) resulta

p — m • q divide a f( m ).

A _ (p — q • m ) h ,qh

(p — q • m )

q

3 6 5



NOTAS DE ALGEBRA I

3 6 6

o sea

0 = a h • (p — q • m) + . . . + a! • (p—q • m ) • q " " 1 + a 0 • q h .

De aquí resulta que

p — q • m divide a ao • q h ,

pero

p — q • m y qn son coprimos pues así lo sonp y q, por lo tanto

p — q • m divide a a 0 = p(m)

como queríamos demostrar.

Corolario

Con la notación e hipótesis del teorema anterior,

p — q divide a f ( l )

p + q divide a f (—1) .

Aplicación

S ea p (X ) € Z [X ] . S i f (0 ) y f ( l ) s o n ambos impares, entoncesp( X ) no admite raíces enteras.

Probem o s esta a firm ac ió n . S ea p ra íz d e p (X ) c o n p £ Z .Entonces, aplicando lo anterior (con q = 1) resulta

p — 1 divide a f ( l )de lo cual se infiere que p — 1 es impar, o sea p es par. Pero porel teorema de Gauss, p divide a f(0), por lo tanto f(0) es par,una contradicción. Se sigue que efectivamente p(X) no admiteninguna raíz entera.




Ejemplos

1) D eterm inam os las raíc es racionales del polinom io

P ( X ) = 8 X 3 + 2 2 X 2 - 7 X - 3 .

Si p/q es una raíz racional entonces q divide a 8 y p dividea 3 . Las posibilidades de p y q son

q = 1 , - 1 , 2 , - 2 , 4 , - 4 , 8 , - 8

p = 1 , - 1 , 3 , - 3 .Las posibilidades de p/q son

1 , - 1 , 1 / 2 , - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 4 , 1 / 8 , - 1 / 8

3 , - 3 , 3/ 2, - 3 / 2 , 3/ 4, - 3 / 4 , 3/ 8, - 3 / 8 .

Mediante la aplicación de la regla de Ruffini verificamos que—1/4,1/2 y —3 son raíces de P( X ) . Siendo este últim o de grado 3 ,podemos concluir que las raíces de P( X ) son —1 /4,1/2, — 3.

2 ) Las posibles raíce s racionales del polinom io X 3 + 2 X 2 —— 4X — 8 son ente ros qu e dividen a 8 . Las posibilidades son

1 , - 1 , 2 , - 2 , 4 , - 4 , 8 , - 8 .

Mediante la aplicación de la regla de Ruffini verificamos que2 —2, son raíces de P(X). Podemos ver si alguna de éstas es múl

t iple . Formemos el derivado de P(X): 3X 2 + 4 X — 4 . Efect ivamente verificamos que —2 es raíz de este polinomio. Concluimos en tonces q ue las raíces de X 3 4- 2 X 2 — 4X —8 son 2, —2.

3 ) Sea el pol inomio 6 X 8 - 1 7 X 7 - 3 7 X 6 + 1 1 0 X 5 -- 2 X 4 - 7 9 X 3 + 4 1 X 2 - 6 X . Evidentemente 0 es raíz de estepolinomio, de manera que luego de dividir por X se tiene el pol inomio 6 X 7 - 1 7 X 6 - 3 7 X 5 4- 1 1 0 X 4 - 2 X 3 - 7 9 X 2 4- 4 1 X - 6 .

Las posibles raíces racionales son1 , - 1 , 1 / 2 , - 1 / 2 , 1 / 3 , - 1 / 3 , 1 / 6 , - 1 / 6 , 2/3, - 2 / 3 , 3/2,

- 3 / 2 , 3 , - 3 , 2 , - 2 , 6 , - 6 .

3 6 7



NPTAS DE ALGEBRA I

6 - 1 7 - 3 7 1 10 - 2 - 7 9 4 1 - 6

- 6 2 3 1 4 - 1 2 4 1 25 - 4 7 6

6 - 2 3 - 1 4 1 2 4 - 1 2 6 47 - 6 1 0

La división del polinomio anterior por X — (—1) = X + 1 dacomo cociente el polinomio

6 X 6 - 2 3 X 5 - 1 4 X 4 + 1 2 4 X 3 - 1 2 6 X 2 + 4 7 X - 6 .

Veamos cuáles de aquellos números de este polinomio. —1 nodebe descartarse pues podría ser una raíz múltiple.

Un tanteo divertido nos dice que 1/3 es raíz de este últimopolinomio

6 - 2 3 - 1 4 1 2 4 - 1 2 6 47 - 6

2 —7 - 7 3 9 - 2 9 6

6 - 2 1 - 2 1 1 1 7 - 8 7 1 8 1 o

. O bten em os al dividir por X — 1/3 el polinom io

6 X S - 2 1 X 4 - 2 1 X 3 + H 7 X 2 - 8 7 X + 1 8 = 3 ( 2 X 5 - 7 X 4 - 7 X 3 -

+ 3 9 X 2 - 2 9 X + 6 )

y ahora investiguemos cuáles de aquellos números son raíces deeste polinomio. Observemos que siendo 2 el coeficiente de X 5

los números 2 /3, — 2/3 ,1/3 , — 1/3 ,1/6, —1/6 quedan descartados.Verificamos ahora que 1/2 es raíz de

2 X S - 7 X 4 - 7 X 3 + 3 9 X 2 - 2 9 X + 6

2 - 7 - 7 + 3 9 - 2 9 + 61 - 3 - 5 + 17 - 6

2 - 6 - 1 0 + 3 4 - 1 2 1 0

3 6 8

La primer raíz que encontram os es — 1:




Obtenemos al dividir ese último polinomio por X —1/2 elpolinomio

2 ( X 4 - 3 X 3 - 5 X 2 + 1 1 X - 6 ) .

Ahora investiguemos cuáles de aquellos números son raícesdel polinomio entre paréntesis. Siendo 1 el coeficiente de X 4 ,las posibles raíc es serán ente ros 2 , — 2, 3 , — 3, 6 , — 6.

Verifiquemos que 2 es raíz de

X 4 - 3 X 3 - 5 X 2 + 1 1 X - 6 :

1 - 3 - 5 17 - 6

2 - 2 - 1 4 6

1 - 1 - 7 3 0

Obtenemos al dividir este último polinomio por X —2: X 3 -

- X2

- 7 X + 3 .Ahora 2, —2, 6, —6, no pueden ser raíces del mismo. Verifi quemos que 3 es raíz:

1 - 1 - 7 3

3 6 - 3

1 2 - 1 0

Obtenemos de dividir el polinomio anterior por X — 3 lo siguiente: X 2 + 2 X - 1 .

Una verificación sencilla muestra que ni 1 ni —1 son raícesde este último, luego X 2 + 2 X — 1 no admite raíces racionales .Las raíc es del polino m io original son pues

0 , - 1 , 1 / 3 , 1 / 2 , 2 , 3 .n

4 ) Consideremos ahora un pol inomio P (X ) = 2 a jX 'c o n0

a n = a o = 1- Por ejemplo el polinomio X 3 — 3 X 2 + 5X + 1 . Lasposibles raíces racionales son 1 , — 1. Si 1 es raíz enton ces

P ( l ) = 2 a ¡ = 0

3 6 9



NOTAS DE ALGEBRA I

es decir la suma de los coeficientes es cero. Si —1 es raíz en

tonces

P ( - l ) = 2 ( - 1 ) ¡ a¡ = 0i=o

es decir la suma de los coeficientes con signos alternados es cero.Por lo tanto, para que P(X) = a¡ X' tenga una raíz es nece

sario que

n n

2 a i = 0 ó 2 ( - í y a ^ O .i=o i=o

Recíprocamente, estas condiciones dicen respectivamente que1 es raíz y —1 es raíz de P(X). Por lo tanto la condición necesaria y suficiente para que un polinomio con coeficientes enterosy tal que el coeficiente de mayor grado a n = 1 y el coeficienteao = 1, tenga raíz racional es que la suma de los coeficientes o

la suma alternada de los coeficientes sea 0.Así X 3 — 3 X 2 + 5X + 1 t iene por suma de coeficientes1 — 3 + 5 + 1 = 4 y po r suma alternada —1 + (—3) — 5 + 1 = —8 .Por lo tanto no posee ninguna raíz racional.

n

5 ) Sea P (X ) = E a¡ X 1 con coeficientes enteros y tal que

a n = 1 y a 0 es un número primo. Por ejemplo el polinomio

X3

—17. Las posibles raíces racionales son 1, — 1, a 0 , — a 0 .Un caso particular importante es aquel en que P(X) es de lafo rm a X " — a 0 . Siendo a 0 primo (a 0 ± 1 ) , 1 y — 1 no puedenser raíces. Las únicas posibles son a 0 ó — a 0 . Si n > 1 entoncesni a 0 ni —a 0 pueden ser raíces [en efecto

0 = ag — a 0 = a 0 ( a j - 1 —1) implica a" , - 1 = 1 ,

luego

a 0 = 1 ó a 0 = —1, absurdo] .

Por lo tanto P(X) = X n — a 0 con a 0 primo y n > 1, no admite raíces racionales.

Así por ejemplo

3 7 0




3s/T7 siendo raíz de X 3 — 17 es un número irracional , todaraíz enésima n > 1 de 2 es irracional, etcéte ra.

Ejercicios

1 ) De term inar (si ex isten ) las ra íce s racionales de los siguientespol inomios:

a ) 6 X 5 + 1 3 X 4 - 1 8 X 3 - 3 7 X 2 + 1 6 X + 2 0

b ) X 4 - 4 X 3 - 1 8 X 2 +' 13X + 10

c ) X 5 + 3 X 4 - 5 X 2 - 2X + 1

d ) 2 X 4 + 1 3 X 3 + 2 1 X 2 + 2 X - 8 .

2 ) Proba r que el polinom io X 3 + 7 X 2 + 16X + 12 no posee

ninguna raíz real no negativa. ¿Posee raíces racionales?3 ) Hallar para cada núm ero real siguiente un polinom io con

coeficientes enteros del cual es raíz:

2 + V 2 , V 2" + \/°" > V ? +V%~

4) Sea q G N y sea n G N. Prob ar que ">/q ^ Q sí y s ° l o s iexiste m G N con q = m n .

Cuerpo de cocie ntes de un dominio de integridad

Sea D un dominio de integridad, o sea, D es un anillo conmutativo con e lemento neutro 1 ^ 0 ta l que

a • b = 0 en D si y solo si a = 0 ó b = 0 .

El esquema de construcción del cuerpo de los números racionales a partir del anillo de los números enteros, puede aplicarsesin cambios esenciales, a un dominio de integridad D. Se obtiene en esta forma el análogo a Q, el l lamado cuerpo de cocientesdeD.

3 7 1

NOTAS DE ALGEBRA l

Entonces3. C— = — <* (a, b ) ~ (c, d) ad = be .b d

Por ejemplo si a E D, b , d E D *

a _ da 0 _ 0 a _ a d

b ~ d b ' b - d ' l ~ d

Sea L el con junto c ocien te de D x D * , por la relación deequivalencia ~

Vamos a definir en L una estructura de anillo, o sea vamosa definir

b

/ a E D , b E D *

a c- + - E Lb d y b

a

Tentat ivamente" hacemos

a c _

b d ~

ad + beb • d

a c a • c (* )

b d b • d

3 7 2

Para ello si D * = D — {0} , sea enD x D * = {(a , b ) / a y b E D , b # 0} la siguiente

relación binaria:

(a, b) ~ (c, d) => a • d = b • c (en D).

Una verificación sencilla nos muestra que ~ es en D x D* unarelación de equivalencia. Si (a, b ) E D x D * denotarem os cona— su clase de equivalencia, es de cir




Para asegurarnos que las definiciones (*) son buenas definiciones debemos verificar que

y(**)

Analicemos el caso de la suma, dejando el producto a cargodel lector. Debemos probar que con la validez del antecedentede ( ** )es

ad + be a 'd ' + b ' c '

/ a c a ' c '1 — +*— = + —

a a ' c c ' 1 b d b ' d'— ~ ~ y — = — =*b b ' y d d ' 1a c a ' c '

I b d ~ b ' d'

b d b ' d '

o equivalentemente que

(ad + be) b 'd ' = (a 'd ' + b ' c ' ) bd .

En efecto se t iene

- = - => ab ' = b a ' | ab ' d d' = b a ' dd 'b b ' f

> ==> ( e n D ) .

- = - . = > c d ' = d e' \ c d ' b b ' = d e' b b '

d d' )

Por lo tanto, sumando miembro a miembro resulta

ad b ' d' + be d' b ' = a' db d' + b ' c ' bd

que es lo que queríamos probar.El conjunto L dotado de estas dos operaciones resulta un

anil lo conmutativo con elementos neutros

1— para el pro du cto y

0 1 0— para la sum a. Escribim os 1 = — , 0 = — •1 1 1

3 7 3



NOTAS DE ALGEBRA I

Además si — €E L, es claro queb

b

por lo tan to si - ^ 0 es - G L y se satisface — • — = 1

de manera que L es un cuerpo.Tenemos una forma natural de sumergir D en L, a saber de

finiendo la aplicación D La

la misma es un morfismo y es inyectiva pues

a b— = — o a = b .1 1

De ahora en adelante toda vez que D sea un dominio de integridad lo supondremos sumergido en su cuerpo de cocientesL, "v í a " el m orfism o ya definido.

Problema

Es la hipótesis de ser D conmutativo, esencial . (Resp. : Sí ,véase Bourb aki , ca p. I de Algebra.)

E jemplo

1 ) Si D es un cuerpo entonc es D—L, o con la identificaciónde más arriba D = L.

2 ) Si K es un cuerpo enton ces K [ X ] es un dom inio de integridad. Su cuerpo de cocientes se denota por K(X). Se lodenomina también el cuerpo de funciones racionales en Xsobre K.

3 ) Si A es un dom inio de integridad ento nces A [ X ] tamb ién

3 7 4

lo es y se puede verificar que L(X) es un cuerpo de cocientes . L denota el cuerpo de cocientes de A.

Nota

En álgebra moderna se suele definir en forma más general anillos de cocientes de un anillo conmutativo (sin necesariamen te la condición ab = 0 =» a = 0 ó b = 0 ) . Véase cualquier texto de álgebra conmutativa, por ejemplo Zariski-Samuel:Com mutative Algebra o Lang: Algebra.

Representación de una fracción en suma de fracciones parciales en K(X), K cuerpo

Se trata de expresar una fracción

f ( X )

g ( X )G K ( X )

f i ( X )en suma de f r a c c i o n e s — — r donde g¡(X) es potencia de un factor

g ¡ (X )

irreducible de g (X ). Por ejemplo si f( X ) es un polinomio de grado< t y a G K es posible enc ontra r k¡ € K, i = 1 , . . . , t tales que

f( X ) k . k , k t

( X - a ) 1 ( X - a ) ( X - a ) 2 " ' (X - a ) »

Resultados de este tipo son útiles en problemas elementalesde integración.

Teorema

S ean g (X ) , h ( X ) G K [X ] , f (X ) G K [X ] t ales q ue

1) g( X ) y h (X ) son coprimos

2 ) a = gr ( g ( X ) ) , b = gr ( h ( X ) ) y g r ( f ( X ) ) < a + b .

Existe entonces una representación l ineal

3 7 5

NOTAS DE ALGEBRA I

f ( X ) =T

( X ) g ( X ) + s ( X ) h ( X )con gr (7( X )) < b y gr s(X ) < a.

Demostración

Sin pérdida de generalidad podemos suponer que f(X) y h(X)son coprimos (¿porqué?)

E n t o n c es( g ( X ) , h(X)) = 1 implica la existencia en K[X] de polino

mios c(X) y d(X) tales que

1 = c (X ) • g ( X ) + d ( X ) h ( X ) .

M ultiplicando por f ( X ) resulta

f ( X ) = f ( X ) c ( X ) g ( X ) + f ( X ) d ( X ) h ( X ) .

Por el algoritmo de división en K [ X ]

f ( X ) - c ( X ) = u ( X ) • h ( X ) + T ( X )

donde gr y(X) h ( X ) | c ( X ) , lo cual conducea un absurdo].

Reemplazando arriba se t iene

f ( X ) = 7 ( X ) g ( X ) + h ( X ) [ f ( X ) d ( X ) + U ( X ) g ( X ) ] .

El teorema resulta entonces de tomar

7 ( X ) = 7 ( X ) y

s ( X ) = f ( X ) d ( X ) + U ( X ) g ( X ) .

Ha bría que probar que gr s( X ) < a. Esto sigue de ser

gr f ( X ) < a + b

g r [ 7 ( X ) « g ( X )] = g r 7 ( X ) + g r g ( X ) < a + b

luego

3 7 6

g r [ h ( X ) s ( X ) ] = gr h ( X ) + gr ( s ( X ) ) < a + bcon lo que g r [ s ( X ) ] < a c.qd.

Con la notación del teorema podemos escribir en K ( X )

f ( X ) T ( X ) + s ( X )

g(X) h(X) h(X) g(X)

lo cual da una descomposición en suma de fracciones parciales.f(X)

Por lo tanto el problema de representar — — en suma de

fracciones parciales se reduce al caso en que g(X) = p(X)* conp(X) irreducible en K[X].

Teorema

Dados f(X), p(X) G K[X] con p(X) irreducible y t £ N talesque gr[f(X)j < gr[p(X) 1] existen polinomios s, (X), . . . , s t(X)en K[X] de grados < gr[p(X)] con

f(X) s, s2 s t

+ + . . . + . v . t .( X ) 1

P ( X ) P ( X )2

P ( X )1

Demostración

Sea l = gr[p(X)], entonces gr[f(X)] < t • /.

Por el algoritmo de división resulta

f(X) = p í X ) 1 " 1 - S l ( X ) + 7 i ( X ) g r 7 l ( X ) < / ( t-1 )

7 l (X) = p í X ) ' " 2 • s 2 ( X ) + 7 2 (X) gr 7 2 (X) < / ( t - 2 )

y%< = p(X) s t_,(X) + 7 t . , (X) gr(7t_, ( X ) ) < l

V i ( x ) =

MX ).

Analizando los grados se tiene que gr[s¡(X) < l si i = 1 , . . . , tPor lo tanto

377

NOTAS DE ALGEBRA I

f(X) = p(X) 1 - 1 • S l (X) + p(X) 1" 2 • sj (X) + . . . + s t(X) (De

sarrollo p(X)-ádico ! ) y entonces

f(X) = s, (X) + si&l + + B t(X)

p ( X ) 1 p(X) p(X) 2 " " p (X )1

como queremos probar.

Aplicación

Si p(X) = X — a, a E K. Se tiene, si f (X) es de grado < t

f(X) k t k 2 k t

( X - a ) 1 ~ X-a" ( X - a) 2 " ' ( X -a ) 1

con k¡ E K.

Podemos calcular los k¡ como siguef(X) = f(a) + f(X) - f ( a )

( X - a ) 1 ( X - a ) 1 ( X - a ) 1

pero f(X) — f(a) = (X—a) f, (X) de manera que

f(X) - f(a) fi (X)

( X - a ) 1 (X -a ) 1 " 1

y en ésta forma se van calculando todos los k¡:

Ejemplos

X 2 - 3 X + 1 _ - 1

( X - l ) 3 ~ ( X - l ) 3

- 1~ (x-i) 3

- 1

( X - l ) 3

X 2 - 3 X + 2 _

( X - l ) 3

X - 2( X - l ) 2

- 1 1

( X - l ) 2 + ( X - l ) '

378




I ) ( X 2 - l ) / ( X - 2 ) ( X - 3 )

I I ) X 2 / ( X - l ) ( X - 2 ) ( X - 3 )I I I ) 3 0 X 5 / ( X 2 - l ) ( X 4 - 4 )I V ) ( X 2 + 4 ) / ( X + l ) 2 ( X - 2 ) ( X + 3 )

V ) ( X2

- 2 ) / ( X3

- l )V I ) ( X 2 + X + 1 ) / ( X + 1 ) ( X 2 + 1 )V I I ) l / ( X - l ) ( X - 2 ) ( X - 3 )

V I I I ) ( X + 3 ) / ( X - l ) ( X 2 + l )I X ) X 2 / ( X 4 - l )

X ) 1 / ( X 2 - 1 )

X I ) 1 / ( X n + 1 )

X I I ) x / ( X2

- l )2

X I I I ) 1 / ( X 2 - l ) 2

E J E R C I C I O S

1 . Sean B y A anillos conmutativos con elemento neutro (o ident idad) 1 ^ 0 . Sea B subani llo de A con el mismo elemen to neutro 1 (esto significa que B es un subconjunto de A y que las operaciones de anillo en A inducen una estructura de anillo en B yel elemento neutro 1 de A pertenece a B) .

El lector puede suponer las siguientes situaciones:

I) B = Z el anillo de ente ros y A = Q el anillo de núm eros

racionales.

II ) B = Q, A = R el anillo (cue rpo ) de núm eros reales

II I ) B = Z, A = R .Sea x G A. Se denomina expresión polinomial en x con coe

ficiente en B a todo elemento de A de la forma

3 7 9

Ejercic io

Representar en suma de fracciones parciales las fraccionessiguientes:



NOTAS DE ALGEBRA I

3 8 0

b 0 + b j • x 4- b 2 - x 2 + .. . + b m • x m (*)

donde los elementos b 0 , b ! , . . . pertenecen a B y se denominanlos coeficientes de la expresión polinomial dada. (*) puede escribirse sintéticam ente utilizando el signo de su matoria

m

2 b ¡ • x 1

i = 0

entendiendo x°= 1.Con B[x] denotamos la totalidad de expresiones polinomia

les en x con coeficien tes en B .

I) Probar que Vx , B C B [x ] y que B = B [ x ] si y solo si xG B.

II ) Probar que B [x ] es un subanillo de A

II I) Probar qu e si B = Q, A = R , x=>/2~", entonces

Q K / 2 ] = {q . + q 2 • y/2 / qx,q2eQ }

IV ) Caracterizar en la misma form a que II I) Q [ - > / 2 ] , Q [ 3 \ / 2 ] ,Q [ V 4 ]

V ) B = Z , A = Q. C aracterizar Z [1/2]

V I) ¿Es , dentro de R, Q [V2] = Q[y/3] ?

V II ) Probar que QlVIF] es un cuerpo . ¿L o es Z [y /2] ?2. Sea B un suban illo de A y sea x G A . Se dirá que x es trascendente sobre B si

m

2 a¡ • x» = 0 =• aj = 0 i = 0 , 1 , . . . . m .i = o

I) Probar que x es trascend ente sobre B si y solo si V b ¡ , b| en B,

m m

2 b ¡ • x i = 2 b? • x 1 => b j = b\ i = 0 , . . . . mi = 0 i = 0




II) Probar que ningún elemen to de Q es trascenden te sobre Z.

III ) ¿Es-y/2 trascendente sobre Z? ¿So bre Q ? ¿So bre R ?

IV ) ¿Es 0 trascendente sobre B ?

V ) Suponga el núm ero real i r trascendente sobre Q. (Hechocierto pero difícil de probar.) Probar que con esas hipótesis

a) \ fñ es trascenden te sob re Q

b) 1 + 7* es trascendente sobre Qc ) 7 r es trascendente sobre Q[ir 2 ] .

3 . Niegue la condición "x es trascendente sobre B". NOTA: Losx que no son trascendentes sobre B se denominan algebraicossobre B.

Dé 1 0 ejemplos de números reales algebraicos sobre Q .

¿E s \/2 + \/3 algebraico sobre Q?

¿Es T T + \/2 algebraico sobre Q?

4 . Si x e y £ A son trascendentes sobre B entonces los anil losde expresiones polinomiales B[x], B[y] son isomorfos por laaplicación

f : B [ x ] - » B [ y ]m m

f : 2 bj • x ¡ 2 b j • y 1 .i=o i=o

De esta manera B [x] y B[y] son, algebraicamente hablando,indistinguibles. En virtud de este hech o con sideramos un representante universal, que denotamos con

B [ X ]

donde X tiene el sentido de elemento trascendente sobre B. EnB[X] consideramos las mismas operaciones que en B [x]. B[X]es el anillo de polinomios en X con coeficientes en B. X se denomina una indeterminada sobre X.

(Resu m iendo : dados B y A com o al principio, todos los x E Aque son trascendentes sobre B determinan anillos de expresio-

3 8 1



NOTAS DE ALGEBRA I

nes polinomiales todos isomorfos entre sí. Por lo tanto indis

tinguibles, algebraicam ente hab land o.O sea, salvo isomorfismos hay un solo anillo de expresionespolinomiales en un elemento trascendente sobre B. A "este" anil lolo denominamos el anillo de polinomios en X con coeficientesen B y lo denotam os por B [ X ] . A los elemen tos de B [X ] losdenominamos polinomios en X con coeficientes en B, o simplemente polinomios. Note el lector que con este punto de vistahemos ganado entre otras cosas lo siguiente. El anillo B [X] puede describirse sin mención del anillo A. O sea A queda esfumadoen esta interpretación. Por lo tanto cuando hablamos del anillo

de polinomios K [X], con coeficientes en un anil lo conmutativoK, entendemos el conjunto de las expresiones formales

m

2i=o

X 1 , a¡ G K ,

con suma y pr od uc to, ord inarios y con la con dición esen cial detrascend encia de X , o sea

m

2 a¡ • X 1 — 0 , a¡ 6 K si y solo si tod os los coeficien -i=o

tes a¡ son cero.)

5 . Sea

p( X ) = 2 a ¡ • X - G K f X ]

i=o(K un anil lo conmutativo cualquiera).

Diremos que p(X) t iene grado m si a m 4 0 y a¡ = 0 , s i j > mSi p (X ) = 0 no le asignaremos grado .Por e jemplo en Q [X].

X 2 - 2 X + 1 tiene grado 2

X3

— 1 tiene grado 30 • X 4 - 0 • X + 2 X tiene grado 1

0 • X + j - t iene grado 0 .

3 8 2

I ) Hallar el grado de los siguientes polinomios en Q[X]' .

a) ( 3 X 4 - 4 X + -| - )- (J -X 2 - 1 ) d) ( X 2 - 1 ) 3 - ( X 4 + 1)-* ( X H 5 )

5

m

b ) ( X 5 - l ) - ( X 5 + 1 ) e ) ( X P 2 - l ) P

c ) ( X 3 - 3 • X + l ) 3 f ) ( X P n - l ) P

p, n, m €2 N.

Definiciónm

Sea p (X ) = 2 a¡ • x ' , de grado m . Diremos que p (X ) esi = o

mónico si a m = 1 .6. Probar inductivamente

x x • (x—1) x • ( x — l W x — 2 ) ,1 + - J — '-+ ...+ ( - l ) n .

1 1 - 2 3 - 2 - 1 v '

x - ( x - l ) . . . ( x - n + l ) ( x - l ) - ( x - 2 ) . . . ( x - n ). _ ( - l ) n ¡

n ! n !

7. Sea K un cuerpo (o un dominio de integridad). Probar que sif, g G K [ X ] en ton ces f • g = 0 si y solo si f = 0 ó g = 0.

8 . Sean f, g, h polinomios reales. Probar que

f2

+ g2

+ h2

= 0 si y solo si f = g = h = 0 -9. Sean f, g polinomios. Probar que

f 2 + X • g 2 = 0implica f = g = 0 .

1 0 . Calcular en cada caso1

I ) X 3 + a , X 2 + a 2 X + a 3 = ( X + l ) - ( X - 2 ) - ( X - 3 )

I I ) a 0 - X 2 + a t - X + a 2 = ( 3 X - 1 ) - ( 2 X + 1 )

I I I ) a 0 • X 4 + a t • X 3 + a 2 • X 2 + a 3 • X + a 4 = r • ( X - C j ) •

• ( X - c 2 ) - < X - c 3 ) • ( X - c 4 )

3 8 3

NOTAS DE ALGEBRA I

3 8 4

los coeficientes a 0 , a x , . a 2 , . . .

1 1 . Calcular (toda vez que sea posible) los coeficien tes A , B , C € Qque conviertan en igualdad a cada una de las siguientes situaciones:

i) 2 X - 1 = A ( X 2 + X + 3) + B ( X 2 - 2X + 1 ) 4 - C ( X 2 - 3 )

ii) X 2 + 2 X + 1 = A ( X 3 - 3X + 1 ) - B ( X 3 + X 2 + X + 1)

ü i ) 2 X 3 + 3 X 2 + X - 2 = A ( X 2 - X - 2 ) + B X ( X 2 - 3 X ++ 1) + (CX + D) (X 2 - X )

iv) 3X 2 + 2 X - 1 = A ( X 2 - X - 2 ) + B ( X - 1 ) + C ( X 2 -

- 3 X + 4 ) .

1 2 . S ean P = P (X ) = 5X 6 - 3 X 2 + 2 X - 1

T = T ( X ) = X 7 - X 6 - 3 X 4 + 2 X 2 - X + - 2

pol inomios en R [X]

a ) Hallar 3 P - 5 T

b ) Hallar el coe ficie nte de X 4 en P. Tc ) Hallar el grado de P 2 • T

d> Hallar el grado de (P + T ) • (P — T )e) Hallar el grado de XP — 5 T .

1 3 . ¿Cuál es el número total de polinomios con coeficientesenteros y de grado < 5, que pueden formarse utilizando coeficientes en el conjunto

{ a l a G Z y | a | < 4 } ?

¿Cuántos polinom ios mórucos de grado 5 ?¿Cuán tos polinomios m ónicos de grado par?

1 4 . Probar que no existe ningún polinomio P €E R [X] de grado> 1 tal que P 2 = P.




1 5 . (Dedicado a los pobres). Analizar la validez del siguiente

razonamiento.

Afirmación

Sean f, g G K fX ] y n G N. Si f | g n entonces f | g.

Demostración

Razonemos por el absurdo. Si f / g existe un factor irre

ducible p de f que no divide a g, por lo tanto p no puede dividir a gn, por lo tanto f/fg n , una contradicción. ¿Hay algúnerror?

1 6 . Hallar cociente y resto de la división en Q [X] de

a ) 2 X 4 - 3 X 3 4- 4 X 2 - 5 X 4- 6 por X 2 - 3 X + 1b ) X 3 4-1 por 2 X 2 - 1

c ) X 3 - 3 X 2 - X - 1 por 3 X 2 - 2 X - 1

d ) X 5 por X - 1e ) X 4 - X 3 p o r X 4 - 1 .

17 . Determinar cond iciones sobre los coeficientes de manera talque X 3 4- p X 4- q sea divisible (en Q [ X ] ) po r X 2 4- m X — 1 .

1 8 . Mismo problema con X 4 4- p X 2 4- q por X 2 4- m X 4 - 1 .

1 9 . a) Utilizando el algoritmo de división representar los poli

nomios siguientes en expresiones polinomiales en (X — a ) :

I ) X 4 4 - 2 X 3 - 3 X 2 - 4 X 4 - 1 , a = - 1

II) X 5 , a = 1

II I ) X 3 + l a = - l

!V) X 4 - 8 X 3 4- 2 4 X 2 - 50 X 4 -9 0 , a = 2 .

b) Desarrollo (X—a)-ádicoProbar que si p( X ) G K [ X ] , a G K existe una única repre

sentación de p(X) como expresión polinomial en (X — a ) :

p (X ) = k 0 4- k j • ( X - a ) 4- k 2 • ( X - a ) 2 + . . . 4- k r • ( X - a ) 1

3 8 5



NOTAS DE ALGEBRA I

con kj E K. [(Sug.: razonar inductivamente en el grado de p(X)).]

Esta propiedad hace más patente la relación entre el anillode enteros racionales Z y el anil lo de polinomios K[X], K uncuerpo

2 0 . Sea f E K [X]. Se dice que un k E K es raíz de f si laexpresión polinomial f(k) obtenida reemplazando en f(X), X pork, es cero. O sea f(k) = 0. Sea K un cuerpo. Probar que k E Kes raíz de un polinomio f(X) si y solo si f(X) es divisible porX - k .

2 1 . Sean P y T polinomios reales ambos de grado n E N. Probar la equivalencia de las siguientes proposiciones:

I) P = TII ) P(r) = T (r ) cualquiera sea r E R

III ) Existen n + 1 núm eros reales a 0 , a,, . . . , a n distintos entr e sí , tales que P(a ¡) = T (a ¡) si i = 0 , 1 , . . . ,n .

22 . S ean P (X ) , T (X ) p o lin o m io s en Q [X ] . S ea F (X ) E R [X ] ta lq u e T ( X ) = F ( X ) • P(X ) . Pro bar q u e F (X ) E Q[X ] .

2 3 . Determinar en cada caso, el resto de la división en Q[X]

I ) de 2 X 2 - 3 X + 1 por 2 X - 1

II) de X 3 - 1 por X 2 + X + 1

I I I ) d e X - 1 p or X 2 - 1IV) de X 2 - 2 X + 1 p or 3 X 2 - X + 1

V) de X 8 - 2 X 6 + X 5 + - 2 X 2 - X - 1 p or X 8 + X s + X 4 - X - 2 .

2 4 . Determinar el M.C.D. de los polinomios reales

a) 3X 2 + 2 X + 1 y X 2 - X + 2

b) X 5 - 1 y X 4 - X 3 - 2 X 2 + X - 3

c ) X 3 - l y X 2 + 2 X - 2

d) X 6 - 8 y X 6 + 8 .

Nota: "el" M. C. D. se refiere al M. C. D. mónico.

3 8 6

2 5 . En a) y b) del ejercicio anterior exprese el M. C. D. en la

relación (P, T) = H • P + S • T.

26. Calcular, utilizando el teorema del resto

I)P(2), P ( - l ) , P(0) si P(X) = 3 X 2 + 2X - 5

II) P(- 2/3), P ( T ) si P(X) = X 3 - 7 X 2 + 2X-6.

27. Sean a 0 ) a 1 ; . . . , an números reales distintos entre sí y

sean b 0 , . . . , b n números reales cualesquiera. Probar que

p/v> - v k ( X - a 0 ) . . . ( X - a i . 1 ) - ( X - a i + , ) . . . ( X - a n )

i=o (a j - ao) . . . ( a ¡ - a i H ) • ( a ; - a i + 1 ) . . . ( a ¡ - a n )

es el único polinomio de grado < n que satisface simultáneamente P(a¡) = b¡, i = 0, . . . , n (Fórmula de interpolación de Lagran-ge). Aplicar a las situaciones siguientes:

a) Encontrar un polinomio P(X) de grado 4 tal que P ( — 1 ) = 1P(0) = 3, P(l ) = 2, P(2) = 4, P(3) = - 1

b) Encontrar un polinomio P(X) con coeficientes reales degrado < 3 tal que P ( - l ) = - 6 , P(0) = 2, P(l ) = - 2 ,P(2) = 6

c) Encontrar un polinomio P(X) con coeficientes racionalesy de grado < 2 tal que P(0) = - 2 , P(—1) = 5, P(l) = 1.

2 8 . I) Hallar todas las soluciones racionales de:

a) X 3 - 2 X 2 + 3X - 6 = 0 c) X 3 - 15X 2 + 71X - 10 5

b) 2X 3 - 9X 2 + 12 X - 5 = 0 d ) X 6 - 8

II) Probar que la ecuación X 4 + 4X 2 — 8X + 12 = 0 noposee solución racional.

29. Una raíz de la ecuación X 4 - 10X 2 + 1 es y/2 + y/3. De

terminar las raíces restantes.

3 0 . Escribir en la forma X n + s n_! X n + 1 + . . . + s, X + s 0

los siguientes polinomios: (r,, r2 , r3 , . . . , en Q)

387



NOTAS DE ALGEBRA I

I ) ( X - r , ) - ( X - r 2 ) III) (X - t ! ) . ( X - * 2 H X - r 3 ) •

' (X~r 4 )n

II) ( X - r ! ) - ( X - r 2 ) - ( X - r 3 ) IV) En general n (X - r ¡ )i=i

NOTA: Los coeficientes del polinomio de IV) en 30 . se denominan los "polinomios simétricos elementales" , el lector puedeobservar que si s(r,, r 2 , . . . r n ) denota uno de ellos y si t denotauna permutación del conjunto 1, 2, . . . , n entonces si r,,r 2 » • • • » r

n ) = s ( r t ( ) ) ' r t ( 2 ) ' • • • ' r t ( n ) ) -

3 1 . Encontrar:

a) Un polinomio racional de grado 3 cuyas raíces sean —1,2 , 1 .

b) La expresión general de los polinomios de grado 3 talesque 1 y —1 sean raíces de los mismos.

32. Se tiene un paralelepípedo de volumen 12 m3

, de área 38 m2

y de longitud total de sus aristas igual a 32 m. Calcular la longitud de sus diagonales.

3 3 . Sean 3 + ^ 1 3 3 - ^ 1 3

I) Probar que para todo n G N s e tiene r n + s n G Z, en lasdos formas siguientes:

a) inductivamente en «5 n (Sug. r * s = —1)

b) utilizando el hecho que r y s son soluciones de laecuación x 2 — 3x — 1 = 0 (Sug. r 2 = 3r + 1).

II) Probar que si r{ y r 2 son raíces de

x 2 - 6x + 1 = 0

entonces, para todo n £ N es r n + r n G Z

3 4 . Hallar polinomios P(X) G Q[X] de grado positivo tales que:

a) y/2 y y/ 5 sean raíces de P(X)

388

b) s/2 • y/W

c) s/2+ \/5~d) 3y /2+y /2

sea raíz de P(X)

sea raíz de P(X)sea raíz de P(X)

3 5 . Sea P un polinomio con coeficientes reales o racionales. SeaP de grado 3. Probar que P es reducible en R [X] ó en Q[X]si y solo si P posee una raíz en R ó en Q. Dé ejemplos de polinomios de grado 3 en Q [X], irreducibles. Probar que el polinomio X 4 + 2 es irreducible en Q [X].

3 6 . La siguiente afirmación es falsa. Dé un contraejemplo a lamisma.

"Si P(X) G Q [X] no posee ninguna raíz en Q, es irreducible en Q [X ] . "

37. Analizar la validez de la siguiente afirmación:

"Si P(X) G R [X] no posee ninguna raíz en R es irreduci

ble en R [X]".

3 8 . Expresar en R [X] y en Q [X] los siguientes polinomios como producto de polinomios irreducibles:

X 3 - 8 , X 3 - 2 , X 2 - 2 X - 3 , 3X 2 +1 , X 3 -19X + 30,

X 6 - 8 , X 6 + 8, X 4 + 1.

39. Probar que todo polinomio aX 2 + bX + c con coeficientes reales o racionales, tal que b 2 < 4 ac, es irreducible.

Probar que en R [X] un polinomio aX 2 + bX + c es irreduciblesi y solo si b 2 < 4ac.

4 0 . Sea K un anillo conmutativo con identidad. Se llama derivación en K a toda aplicación D : K -+ K que satisfaga

DI) D es aditiva, o sea D(x+y) = D(x) + D(y) si x, y G K

D2) D (x • y) = D(x) • y + x • D(y).

Por ejemplo, la aplicación nula x +* 0 es una derivación, laderivación trivial.

389



NOTAS DE ALGEBRA I

3 9 0

I) Probar que si D es una derivación de K entonc es D ( l ) = 0.

II) Probar que toda derivación de Z, o de Q es trivial.Derivaciones en K [X]. A las derivaciones del anillo K [X]

les pediremos la condición

D ( k ) = 0 si k €E K

o sea, ser cero sobre los polinomios constantes.Si D es derivación en K [X] es

D ( X 2 ) = D ( X • X ) = D (X ) • X + X • D (X ) =

= 2 • X • D ( X )

D ( X 3 ) = D ( X 2 • X ) = D ( X 2 ) - X + X 2 • D ( X ) =

= 2 • X • D ( X ) + X 2 • D ( X ) = 3 • X 2 • D ( X )

y en general

D ( X n ) = n • X n l - D ( X ) .

Siendo una derivación aditiva, las relaciones precedentesmuestran que tod a derivación D : K [ X ] K [ X ] está unívocamente determinada por su valor en X, o sea D(X). La derivación clásica de D [X] se obtiene haciendo

D (X ) = 1.De ahora en adelante al referirnos a derivaciones sobre K [X]

nos referiremos a ésta.Si D es la derivación ordinaria, escribim os

( V f ) , f 6 K [ X ] , D ' f = D ( f )

y si n £ N , D n + 1 f = D ( D n f )

Siendo D h f un polinomio, tiene sentido especializar X en

c G K [X] entonces con (D h f)(c) denotamos la especial izaciónde X por c en el derivado h-ésimo de f.Por ejemplo, si f = 3X 2- — 2X + 1

(D f) (c) - 6 • c - 2

( D 2 f ) ( c ) = 6

( D 3 f ) ( c ) = 0 .

II I) Calcular ( D h f)(c) en los casos siguientes:

f = X 3 - 4 X 2 , c = - l , h = 2

f = ( X 3 - 1 ) • ( X 2 4 - 3 X + 2 ) , c = 1 , h = 4 , h = 5 ,

h = 6f = X 5 + X 4 + X 3 + X 2 + X + 1, c = 1 , h = 3.

IV ) Sea K un cuerpo de carac terística cer o. Probar que sif £ K[X] entonces Df = 0 si y solo si f £ K, o sea,fes un polinomio constante. Sea p un número primoy sea K un cuerpo de característica p. Probar que sif £ K[X], entonces Df = 0 si y solo si f es un polino

mio en XP , o sea f ( X ) = g ( X ?) con g £ K [X ] .V ) Sea K un cuerpo de carac terística p > 0 . Sea D una de

rivación de K[X].Probar que D p f = 0 cualquiera seaf £ K[X] . (Sug . Calcule DP(X n ) con n £ N y observeque el producto de p enteros consecutivos es siempredivisible por p).

4 1 . Sea K un cuerpo de característica cero.

I) Probar en K [X ] la validez de la fórmula d e T a y lo r: paratodo polinomio f ( X ) £ K [X ] de grado < n y tod o c £ K

n ( D k f ) ( c ) tf = 2 -i (±-L • ( X - c ) \I r I

k= 0 K !

II ) Sea c raíz de un polinomio f ( X ) . Diremos que c es raíz

de mu ltiplicidad t £ N si exis te g (X ) £ K [ X ] tal que

f (X ) = (X - c ) 1 • g(X ) y g (c ) * 0.

Prpba r que c, raíz de f ( X ) , posee mu ltiplicidad t si y solo si

3 9 1

NOTAS DE ALGEBRA I

( Dk

f ) ( c ) = O si 0 < k < ti P ' f M c ^ o .

II I) Sea el polinomio p (X ) = X 5 - a • X 4 - a • X + 1 G Q [ X ] .—1 es raíz de p(X). Determinar para qué valores de a, es —1raíz de p( X ) de multiplicidad 2 .

n x ¡

IV) Probar que el polinomio racional 2 no posee raicesi=o i !

múltiples (o sea de mu ltiplicidad > 1 ) .

4 2 . Determinar la multiplicidad, como raíz,de

I ) l e n ( X 2 - l ) • ( X 3 - l ) V ) - 2 e n X 4 + 2 X 3 + 4 X 2 ++ 8X + 16

I I) - 1 en ( X 2 - 1 ) • ( X 3 + 1 ) VI ) - 3 en X 3 4- 5 X 2 + 3 X -- 9

I I I ) 2 e n ( X2

- 4 ) - ( X2

- X - 2 ) V I I ) 5 en X4

- 4 • 5 • x3

++ 6 - 5 2 X 2 - 4 - 5 3 X +I V ) O e n X 3 ( X 4 - 1 ) ( X 3 - 2 X 2 + X ) + 5 4

4 3 . Sea P G Q[X] un polinomio irreducible. Sea k G R una raízde P. P roba r qu e r no puede ser raíz mú ltiple (o sea de multipli-plicidad > 1 ) de P. (N O TA : Si k es raíz de f( X ) con multiplicidad 1 se dice que k es raíz simple d e f ( X ) .

El presente ejercicio puede refrasearse así: todo polinomioirreducible sobre Q posee (en R, ó en C) únicamente raíces sim

ples. ,Probar que en Q [X], la condición b 2 < 4 • a • c no es necesaria para la irreducibilidad de dichos polinomios. O sea mostrar en Q [X] ejemplos de polinomios irreducibles de grado 2 tales que 4 . a * c < b 2 .

4 4 . Probar que para todo n G N existe un polinomio P(X) degrado n con coeficientes en Q tal que P(X) no posee ningunaraíz en Q . ¿E s lo mismo válido en R ?

4 5 . Sean a,, . . . , a s , s números reales. Hallar un polinomioreal de grado s tal qu e ningún a ¡ , i = 1 , . . . , s, sea raíz del m ism o.

4 6 . Especialización de X por r.

Sea en Q [ X ] (o en Z [X ] , R [X ]) para cada r G Q [X j , la

3 9 2




aplicación Q [X ] -»• Q [ X ] definida sustituyend o en cada polinom io P (X ), ( X ) por r. Tal aplicación se denom ina la .especial ización de X por r, en sím bolo s P (X ) P( r).

S ea P (X ) = 3X 2 — X 4- 1. Calcular las especializacionesP ( 2 ) , P ( ~ X ) , P ( 2 X - 1 ) , P ( X 2 ) , P [ P ( X ) ] .

[NOTA: Se puede demostrar que toda especial ización es un endomorfismo de la estructura del anil lo de Q [X], o sea P(X) 4-+ T (X ) -» P ( r ) + T ( r ) y P ( X ) • T (X ) -> P(r ) • T ( r ) .

Si r = aX 4- b, a 0 entonces P (X ) -*• P(r) es un au tomo rfis-mo y por lo tanto un polinomio P(X) es irreducible si y solo siP(r) lo es.

En este sentido la especialización es útil para estudiar problemas de irreducibilidad de polinomios.]

4 7. Represen tar los polinomios siguientes com o producto depolinomios irreducibles en Q [X]. Hacer lo mismo en R [X].

I ) X 2 - 1 IV ) X 4 - 5 X 2 4- 6

II) X 3 - 2 X + 1 V ) X 3 - 2 X

I I I ) X 2 4- 5 V I ) X 4 - 4 .

4 8 . Un cuerpo K se dice algebraicamente cerrado si todo polinomio de grado positivo posee una raíz en K.

I ) Proba r qu e las afirmacion es siguientes relativas a uncuerpo K son equivalentes entre sí :

1 ) K es algebraicamente cerrado.

2) Todo polinomio irreducible en K [X] posee grado 1.

3) To do polinomio de grado positivo n ad mite una fac-torización del t ipo

n ( x - a i ) .

II) Probar que ningún cuerpo algebraicamente cerradopuede ser finito .

III) Probar que Q, R no son algebraicamente cerrados.

3 9 3




(NO TA : próximam ente veremos que el cuerpo C de númeroscomplejos es algebraicamente cerrado.)

IV ) Sea K algebraicamente cerrado . Proba r que dos polinom ios f, g € K [ X ] son coprimos si y solo si no poseen ninguna raíz en com ún en K .

4 9 . Escribir el polinomio p(X) = X 4 + 2 X 3 - 3 X 2 - 4X + 1com o expresión polinomial entera ep X — 1.

5 0 . Calcular las raíces a, b, c del polinomio real 2X 3 — X 2 —— 1 8 X + 9 sabiendo que a + b = 0 .

5 1 . Encontrar la suma de los cuadrados de las raíces de laecuación

2 X 4 - 8 X 3 + 6 X 2 - 3 = 0.

5 2 . En con trar la suma de los cuadrados de las raíces de laecuación

2 X 4 - 6 X 3 + 5 X 2 - 7 X + 1 = 0.

5 3 . Si Tas raíc es de la ecuac ión 2 X 4 - 6 X 3 + 5 X 2 - 7X + 1 = 0son a, b, c, d, calcular

1 1 1 1- + — + — + —•a b c d

5 4 . La suma de las raíces de 2X3

- X2

- 7 X 4- k es 1 . Calcular k.

5 5 . I) Probar que si p (X ) es un polinomio en Q [X ] y p '(X )es su derivado, p'/p si y solo si p(X) posee la formaa • ( X - b ) \ a , b e n Q .

II ) Probar q ue un polinomio p (X ) €E K [ X ] es irreduciblesi y solo si

V q ( X ) , q ( X ) € K [ X ] , p (X ) I q (X ) ó ( (p (X ) , q (X ) ) =1

I I I ) Sean p (X ) , q ( X ) e Q [X],tal que poseen una raíz común en R. Probar que si p(X) es irreducible entoncesP ( X ) I q ( X ) .

3 9 4




3 9 5

IV ) Sea p(X) € Q [X ] irreducible . Probar qu e((p (X ), q(X))= 1.

5 6 . Probar que el polinomio 4X 3 + 6 X 2 + 4X + 1 no es irreducible en Z[X] (Sug. la fórmula del binomio ayuda).

5 7. Sea d (X ) el máxim o común divisor de f( X ) y g (X ). Seanm(X), n(X ) polinom ios tales que vale la relación d(X) = f (X) • m(X) ++ g( X ) • n (X ). ¿Cuál es el má ximo com ún divisor de m (X ) yn ( X ) ?

5 8 . Probar la irreducibilidad de los siguientes polinomios enZ [ X ] , utilizando el criterio de Eisenstein:

I ) X 4 - 8 X 3 + 1 2 X 2 - 6 X + 2

II) X 5 - 1 2 X 3 + 3 6 X — 1 2

III ) X 4 — X 3 4 - 2 X 4- 1 (Desarrollar primeram ente en

expresión polinom ial en X— 1)

IV) X 4 + 1 (Espe cializar X •*• X + 1)

V ) X 4 + 2X 4- 2.

5 9 . P r o b a r e n Z [ X ]

a) que X n — 1 divide a X m — 1 si y solo si n / m ;

b)que el máximo común divisor de polinomios del tipo1 + X + X 2 + . . . 4- X r (potencias crecientes de X)

es también del mismo tipo. (Sug.: ver cómo se obtiene elmáximo común divisor utilizando el algoritmo de divis ión) ;

c) que 1 + X 4 - X 2 + . . . + X r dividea 1 + X + X 2 4- . . . + X s

si y solo si r 4- 1 divide a s 4- 1 ;

d) que el máx imo común divisor de X m — 1 y X n — 1 esX d - 1 , donde d = (m, n ) .

6 0 . Sea K un cuerpo. Sea p( X ) € K [X ] , de grado > 1 . Probar



NOTAS DE ALGEBRA I

que si K posee característica 0 entonces p'(X) 4 0. ¿Y si lacaracterística es distinta de 0 ?

6 1 . Sea K = Z , p primo. Sea p (X ) = X p + 1 . ¿Es p(X) irreducible en Z p [ X ] ?

6 2 . Congruencias en K [X]

Sean B E K [X], B 4 0. Si P £ K [X] y T E K [X] se diceP y T son congruentes m ódulo B si P — T es múltiplo de B .En s ímbolos

P = T mod (B ) o simplemente P = T (B )

si y solo si existe H E K [X ] tal que P — T = B • H .

1) Probar que

P = P (mod B)

Si P = Q (mod B ) entonces Q = P (mod B)

Si P = Q y Q = T (mod B ) entonces P = T (mod B )Si P = Q y P' = Q' (mod. B) entonces

P + P' = Q + Q'y

P • P' = Q • Q\

De ahora en adelante consideraremos el caso

B = X 2 + 1

y escribirem os P = Q en lugar de - P = Q (m o d B ) .

2 ) Probar que todo polinomio P E R [X ] es congruentea un polinomio y solo a uno, de la forma

a + b X donde a y b E R .

(Sug.: utilizar el algoritmo de división de polinomios.)

3) Probar que

3 9 6

X 2

X 3

X 4

X 5

- 1- X1

X

3 ') Hallar a, b G R tales qu e, en cada caso

3 X S - 2 X 4 4- 3 X 2 - 1 = a 4- b X

X 7 4- X 6 4- X 5 + X 4 4- X 3 4- X 2 + X + 1 s a .+ b X .

(Sug.: usar 3.)

4 ) Probar que si a, a ' , a " , b , b ' , b " E R entonces

(a + b X ) + (a' + b 'X ) = (& + a' ) 4- (b 4- b ' ) X(a + bX) • (a ' 4- b 'X ) = ( aa ' - bb ' ) 4- (a b' + a 'b )X

(a + bX) + [(a ' 4- b 'X) 4- (a" 4- b"X)] = [(a 4- bX) 4- (a ' 4- b 'X)]+4- ( a " 4 - b " X )

(a 4- b X ) • [(a' 4- b'X) • ( a " 4- b " X ) ] s [ (a 4- b X ) 4- (a ' 4- b 'X )] •• ( a " 4- b " X )

(a 4- b X ) • [ (a ' 4- b 'X) 4- (a" 4- b"X)] = (a 4- bX)(a ' 4- b 'X) 4-4- (a 4- b X ) • ( a " 4- b " X ) .

5 ) frobar q ue (a 4- b X ) • (a - b X ) s a 2 4- b 2 .

6 ) S ea a ^ O ó b # 0 . P rob ar q ue

7 ) Sea C el con jun to de tod os los polinom ios de la forma a 4- bX con a, b G R. Dotando a C de = comoigualdad, suma y producto como en 4) obtenemos

el cuerpo de los números complejos.6 3 . Sea B = X 2 — 2. En los casos que siguen determ inar polinomios de grado < 1, o cero congruentes a los dados móduloX 2 - 2 :

I ) X 3 I I I ) 3X 3 - X 2 4 - 1 V ) 7 X 2 4 - 8

397

NOTAS DE ALGEBRA I

I I ) X - l I V ) X2

- X + l V I ) X5

VII ) X2

- 2 .Sea B = X 2 + 2. En los casos siguientes determinar poli

nom ios de grado < 1 , o cero , congruentes a los dados m ódu loX 2 + 2 :

I ) X 3 I I I ) X 2 - 1 V ) X 3 4- X 2 + X 4- 1

I I) - X 3 I V ) X 4 - 1 V I) X 3 - X 2 VI I ) X 2 4- 2.

Sea B = X. En los casos siguientes determinar polinomiosde grado < 1 congruentes a los dados módulo X:

I) X 2 - 1 I II ) X 3 4- X 2 4- X 4- 1

I I ) X IV ) X 2 - X 4- 2 .

Sea B = X 2 + X 4 1 . En los casos siguientes determinarpolinom ios de grado < 1 congruentes a los dados mó dulo

X 2 4- X 4- 1:

I ) X 3 + X 2 4- X II I) X 4 4- 3X 2 4- 5 X - 1

I I ) X 2 4- 1 IV ) 3 X 2 4 - 2 .

6 4 . Ideales en un anillo

Sea K un anil lo. Se denomina idéala izquierda de K a todo sub con junto I de K con las siguientes propiedad es:

1 ) 1 * 0I I ) x , y G I = » x 4 y G I

I I I ) x G I = * - x 6 I

i v ) X G K y y y = * x • t e i .

Ejemplos

0 = { 0 } y K son ideales a izquierda de K .

a) Proba r qu e si I es un ideal a izquierda de K en ton ces

3 9 8

I ) x , y £ I = * x — y € II I ) 0 € I

I I I ) x , y e I =»• x • y € I.b) Sea K con elemento neutro 1. Probar que un ideal a iz

quierda I coincide con K si y solo si 1 € I, o equivalentementesi inU(K)* í .

c) Probar que si K es un cuerpo, los únicos ideales a izquier

da de K son 0 y K . (La recípro ca es cierta cam biand o cuerpopor anillo de división.)

d) Sea K un anillo y sea c € K . Prob ar qu e la totalida dde múltiplos a izquierda de c es un ideal a izquierda de K. Ensímbolos

< c > = ( k * c / k 6 K } es ideal a izquierda de K .

Un ideal del tipo < c > se denom ina principal generado por c .d*)En general si c , , . . , c n son elementos de K, la totali

dad de elementos de K de la forma

n

I X j • c¡ = x , • c, + . . . + x n • c n con x¡ € K arbitrariosi = l

es un ideal a izquierda. Se lo de no ta con < c 1 ( . . . , c n > .Los elem entos c ¡, i = 1 , . . , n se denom inan los generadores del

ideal y se dice que el ideal es generado por c , , . . . , c n .Probar que en Z

< c , , . . , c n > = < m. c. d. ( c , , . . . , c „ ) >

(o sea, el ideal generado por c, , . . . , c n coincide con el idealgenerado por el má ximo comú n divisor de los c , , . . . , c „ ) .

e) Sean en Z los ideales principales < a > y . Sea

b 0 . Probar que < a > C s i y solo si b / a.Probar que en todo anillo si H y L son ideales (a izquierda)

entonces H n L es ideal (a izquierda) . Calcular en Z , < a > n 

6 4 ) Se define ideal a derecha de K reemplazando IV) por

3 9 9

NOTAS DE ALGEBRA I

t G I y x E K = * t - x G I .

Un subconjunto de K se dice ideal bilátero de K (o simplem ente id eal) si es ideal a izquierda y a dere cha .

Por ejemplo si el anillo es conmutativo, todos los ideales aizquierda (derecha) son biláteros.

con segunda columna nula.Probar que I es un ideal a izquierda de M 2 (Q). I no es bi

látero .

con segunda fila nula.Prob ar que D es un ideal a derecha de K, que no es bi láte ro.Probar que en M 2 (Q ), hay dos únicos ideales b i láteros.

6 5 . Ideales en Z

Probar que todo ideal (necesariamente bi látero) I de Z esde la form a < c > con c G Z. O sea, to do ideal de Z es principal . (IDEA: Si I = 0 entonces I = < 0 >. Si I =?= 0, sea t G I,

t ^ 0 . Com o —t G I, se dedu ce qu e en I hay enteros p ositivos.Por BO sea c el m enor entero positivo en I.

Digo que I = < c >. En efecto, es claro que < c > C I puesc G I e I contiene todos los mú ltiplos de c. Re cípr oca m en te seay G I voy a probar que ce divide a y . Por A D y = c • q + r,0 < r < c . S i r = 0 c 'est f ini . S i r > 0 entonces r = y + (—q)* c G I ,pues y G I y (—q) • c G I. Pero esto contra dice la minimalidadde c» Listo.]

6 6 ) Sea K = Q [ X ] . Determ inar cuáles de los siguientes subconjuntos de Q [X] son ideales (necesariamente bi láteros):

I) Sea K = M 2 (Q). Sean

= la totalidad de m atrices

la totalidad de matrices,

1 ) 1 - | p ( X ) / p ( 0 ) = 0 )

1 1 ) 1 = { p ( X ) / p ( X ) = 0 ó g r ( p ( X ) ) < 2 )

4 0 0




n i ) II V ) I

V ) I

Í P ( X ) / p ( l ) = p ( 2 ) }{ p ( X ) / p ( X ) = 0 ó g r ( p ( X ) ) > 2 }{ p ( X ) / p ( X ) = 0 ó g r (p ( X )) = p a r } .

6 7 ) Probar que si K es un cuerp o, todo ideal de K [ X ] es principal , o sea K[X] es un dominio principal . (IDEA: la misma quela utilizada para Z). Este resultado y en general toda la teoríade polinomios es de importancia capital al estudiar en álgebralineal la estructura de una transformación lineal o matriz. Lasaplicaciones importantes de K [X] son: al álgebra lineal como loacabamos de señalar y en teoría algebraica de números al permitir construir "extensiones" de cuerpos dados. Cuando se consideran polinomios en más de una indeterminada, éstos juegan unrol primordial en geometría algebraica.

6 8 ) para pensar. . . —Probar que no ex iste ningún f G Z [X ] degrado > 0 tal que V n £ N, f( n ) G Z sea primo.—

4 0 1



CAPITULO VII

N Ú M E R O S C O M P L E J O S

Introducción

En este capítulo estudiaremos sistemáticamente el cuerpo denúmeros complejos, extensión del cuerpo R de números reales.Al estudiar el anillo de polinomios sobre el cuerpo R, analizamos en un ejercicio la congruencia en R[X] módulo el polino

mio irreducible X2

+ 1. El conjunto cociente de R[X] por estarelación de equivalencia se identifica con la totalidad de polinomios de la forma(*) a + b • X con a y b en R.

Estos polinomios no son otra cosa que los posibles restos dela división en R [ X ] por el polinom io X 2 + 1. Se presenta una situación exactamente análoga al estudiar en Z la congruencia módulo un entero p. El conjunto cociente de Z por esa relaciónde equivalencia se identifica a la totalidad de restos de la divi

sión en Z por p.Operando sobre los elementos (*) módulo X 2 + 1 resultanlas leyes de composición

(a + b • X) + (c + d • X) = (a + c) + (b + d) • X

(* *) (a 4- b • X ) • (c + d • X) = (a • c - b • d) + (a • d +

+ b • c ) • Xpues

X 2 = - 1 m ó d ulo X 2 + 1 .

De esta manera el conjunto C de todos los elementos (*) dotado de las operacione s (* *) da lugar al cuerpo de núm eros complejos.

4 0 3



NOTAS DE ALGEBRA I

Esta es una forma de introducir los núm eros co m plejos.Resulta de interés por su analogía con la construcción delanillo de enteros módulo m. Además es importante pues admite una generalización de inestimable valor en álgebra. Cambiando R por un cuerpo K y el polinomio X 2 + 1 por un polinom i o p (X ) G K [X] irreducible permite obtener cuerpos extensiones de K que contienen una raíz de p (X ).

En este capítulo sin embargo adoptaremos otro punto de vista para introducir los números complejos, que muestra facetasinteresantes y que ayuda a disipar el carácter rutinario con que

se trata habitualmente en libros y cursos tema tan fecundo. Esperamos que nuestro tratamiento logre convencer al lector dela riqueza de este tema.

Se define, en forma general, para todo anillo conmutativoK, con identidad, el anillo denotado con K (i) definido así:

K (i) = K x K = K 2 producto cartesiano de K por K

(a ,b ) + (a ' , b ' ) = (a + a ' , b + b ' )

(a , b ) • (a' , b ' ) = (a • a' - b • b \ a • b' + b • a ' ) .

Una verificación sencilla nos muestra que K (i) con esas operaciones resulta ser un anillo conmutativo con identidad.

Cabe entonces formular el siguiente problema: Sea K un cuerpo. ¿Bajo que condiciones sobre K, es K (i ) un cuerpo?

La respuesta resulta ser la siguiente: K (i) es un cuerpo si ysolo si la siguiente condición se satisface en K:

( ** * ) a, b en K : a 2 + b 2 = 0 si y solo si a = b = 0.

Notemos que hay cuerpos que NO satisfacen esa condición.Por ejemplo el cuerpo Z 5 de enteros módulo 5 no la satisfacepues

l 2 + 2 2 = 0 en Z s .

Por lo tanto Z s (i ) no es un cuerpo. En cambio Z 3 sí la satisfac e, com o resulta fá ci l de verificar. De esta form a uno obtiene un cuerpo Z 3 ( i ) con 3 2 = 9 elementos.

Es interesante notar que para los cuerpos finitos Z p , p prim o, las condiciones siguientes son equivalentes entre sí:

4 0 4



NÚMEROS COMPLEJOS

1 ) Z p ( i ) es cuerpo2 ) p. — 4 • m + 3 , para algún m en Z

3 ) p no es representable en Z com o suma de dos cuadrados.

Esto muestra como la estructura algebraica de K(i) está determinada por una propiedad aritmética del cuerpo K y recíprocamente. Notemos que en cursos más avanzados es posibleprobar que todos los cuerpos finitos de p 2 elementos, p primode la form a 4 • m + 3 son del tipo Z p ( i ) .

Una clase im portante de cuerpos que satisfacen (** *) sonlos llamados cuerpos formalmente reales. Un cuerpo K se diceformalmente real si satisface una de las condiciones siguientes:

a) (V n) ; a 2 + . . . + a 2 = 0 en K si y solo si aj = . . . = a n = 0

b ) —1 no es suma de cuadrados en K .

Estos son exactamente los cuerpos que admiten una relaciónde orden compatible con las operaciones de suma y productoen el sentido visto en el Capítulo I. Siendo el cuerpo real Rform alme nte real , el cuerpo R (i ) resultará un cuerpo, el cuerpode los números complejos. Al igual, si K = Q, el cuerpo de números racionales, Q es formalmente real y Q(i) es un cuerpo.No tem os que en realidad cualquier subcuerpo de R es form almente real .

Ahora si a partir del cuerpo de números complejos C, formamos C(i) vemos que éste no es un cuerpo, pues C no satisf a c e ( * * * ) ;

l 2 + i* = o

donde i den ota un elem ento de C que satisface i 2 = — 1 .Posteriormente a la definición de K(i) , nos l imitamos a es

tudiar el caso K = R que da lugar a los complejos tradicionales. Hay otro punto que destacar, que no siempre se deja entrever en libros y cursos. El estudio de las raíces enésimas de la unidad constituye un trabajo prel iminar fundamental en el estudiode los grupos finitos. Sin exageración podemos decir que conlos G n ( = grupo de raíc es enésimas de 1 ) se puede construir to da la teoría de grupos abelianos (o sea conmutativos) finitos.En efecto, todo grupo abeliano finito es isomorfo al producto

4 0 5



NOTAS DE ALGEBRA I

directo de grupos del tipo G n . Hay otras cuestiones interesan

tes aso ciadas, c om o ser los grupos Gp°°, los polino m ios cic lotó -micos a su vez asociados a las construcciones con regla y compás de los polígonos regulares, las funciones artiméticas de Eulery Mobius, etc. un verdadero mundo de cosas interesantes que sequeda siempre en el tintero o la tiza. (El lector puede ampliar estaintroducción de los números complejos consultando nuestra nota:Complejos y Trigonometría , Ciencia e Investigación T o m o 2 8 ,p ág s . 315 -329 , 1972) .

Estructura de anillo en K 2 = K x K

Sea K un anillo conmutativo y sea K 2 = K x K el productocartesiano de K por sí mismo, es decir, K 2 consiste en la totalidad de pares (a, b ) con a £ K , b £ K dados en un cierto orden, o sea

( a , b ) = ( a ' , b ' ) « > a = a ' y b = b '

Definimos en K 2 las operaciones siguientes:

sum a: (a, b ) + (a' , b ' ) = (a + a\ b + b ')

p ro d u c to : (a, b ) • (a ', b ' ) = (aa ' - b b ' , a b ' + ba ' ) .

Afirmación

K 2 es con respecto a estas operaciones un anillo conmutativo con identidad 1 = ( 1 , 0 ) y cero 0 = (0 , 0 ) .

La verificación de esta afirm ación es puram ente m ecán icay la dejam os com o ejercicio para el lecto r. (H ace rlo.)

Sea K -+ K 2 la aplicación definida por a -* (a, 0). Esta aplicación es inyectiva evidentemente dado que (a, 0) = (b, 0) siy solo si a = b. Además preserva las sumas (en K y K 2 ) y losproductos (en K y K 2 ) :

Courmayeur — Opus 7 3 2

a +•> (a , 0)

b + * (b, 0)

a + b +> (a + b, 0)

a • b-n- (a • b , 0 )(a, 0 ) 4- (b , 0 )

(a , 0 ) • (b , 0 ) .

4 0 6



NÚMEROS COMPLEJOS

4 0 7

Por lo tanto procederemos a identificar K con su imagen

en K 2 a través de la aplicación anterior, o sea identificamos

a con (a, 0 ) .

Si l lamamos

i = ( 0 , 1 )

se tiene

( 0 , b ) = (b , 0 ) • (0 , 1 ) = b • i = i • b .

Por lo tanto podemos escribir

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + i • b .

Por ende

K2

= { a + i • b } .con las operaciones

(a + i • b ) + (a ' + i • b' ) = (a + a') + (b + b') • i

(a + i • b ) • (a' + i • b' ) = (a • b ' - b • b') + (a • b ' +

+ b • a') i

i 2 = - 1

Notación

A la estructura de anillo definida sobre K 2 la denotaremospor K( i ) .

Definición

Llamaremos conjugado de z = a + i • b 6 K(i) al elementode K(i )

z = a — i • b .

Vale la relación



NOTAS DE ALGEBRA I

z • z = a 2 + b 2 .

(Dicho valor se denomina Norma de z .)

Pregunta

Si K es un cuerp o, ¿es K (i) ya definido , un cuerp o?L a respuesta está contenida en el siguiente

T eo rem a:

Las tres condiciones siguientes son todas equivalentes entres í :

c , ) K (i ) es un cuerpo.

c 2 ) La ecuación X 2 + 1 = 0 no ad m ite solución en K.

c 3 ) a2

4- b2

= 0 en K si y solo si a = b = 0 .

Demostración

c , ) - » c 2 )

Supongamos exista a en K tal que a 2 + 1 = 0 . Entonces siz = a + i

z • z = a 2 + 1 = 0 con z 0 y z ^ 0.

Esto es imposible de verificarse en un cuerpo (¿por qué? ) .Hemos probado pues que

Negación de c 2 => Negación de C j )

lo cual equivale a la im plicación c , => c 2 ) .

c 2 ) =* c 3 )Neguemos c 3 ) ; existan enton ces a E K, b £ K con a 0

ó b # 0 tales qu e

a 2 + b 2 = 0 .

4 0 8



NÚMEROS COMPLEJOS

Si a 4=O se t iene Si b =¡£ O se tiene

I 2 + 1 = O | 2 + 1 = O

Lo cual dice que la ecuación X 2 + 1 = 0 admite una solución en K.

Se a z = a + i • b € K (i ), z ¥= 0 . Por lo ta nt o a 4 0 ó b # 0,

y en virtud de c 3 ) : a 2 + b 2 4 0. Como K es un cuerpo, a 2 + b 2

es inversible y así

lo cual dice que K 2 es un cuerpo.El teorema queda probado.

E jemplos

1 . Sea K el cuerpo real R. Es sabido que en R se satisface la condición c 3 ). Por lo tanto el anillo K 2 asociadoes un cuerpo. Este último se denomina el cuerpo de losnúmeros com plejos y se denota con C.

2. Sea K el cuerpo ra ciona l Q . Pue sto que Q C R , Q satis

face c 3 ) y así el anillo asociado a Q es un cuerpo, quese denota con Q(i ) .

3 . Sea K el cuerpo de dos elementos { 0 , 1 } . E l añino asociado K 2 NO es un cuerpo. En efecto, K no satisfacec 3 ) dado l 2 + l 2 = 0 y 1 ^ 0 .

E jemplo

Sea K = Z 3 el anillo de restos enteros módulo 3 (véase elApéndice) . Por ser 3 un número primo, Z 3 es un cuerpo. Podemos formar Z 3 ( i ) . Veamos primeramente s i en Z 3 es válidala propieda d c 3 ) .

Formemos los cuadrados de elementos de Z 3 :

c 3 ) •* c,)

z • [ (a 2 + b 2 F 1 ' z ] = 1

4 0 9



NOTAS DE ALGEBRA I

x e z 3 x 2 G Z 3

0 i 0

i 1

2 1

Las sumas de dos cuadrados que podemos formar en Z 3 sonpues 0 + 0 , 0 + l y l + l . C om o 0 + 1 = 1 ^ 0 , 1 + 1 = 2 ^ 0la única situación x 2 + y 2 = 0 corresponde a x = y = 0 . O

sea, Z 3 satisface c 3 ) . Z 3 (i) es un cuerpo y Z 3 (i ) t iene 9 elementos:0 + Oi 0 + i 0 + 2 i

1 + Oi 1 + i 1 + 2i

2 + Oi 2 + i 2 + 2i

El sub con junto { 0 + Oi, 1 + Oi, 2 + 0i} se iden tifica conZ 3 "vía la correspondencia

0 -* 0 + Oi1 -» 1 + Oi

2 -*• 2 + Oi.

Hagamos algunas opera ciones de ntr o de Z 3 ( i ) :

(2 + i ) + (1 + i ) 2i

- (2 + i) = 1 + 2i

(2 + i ) • (1 + 2i ) = 2i

2 - i 2 + 2 • i

= 1 + i .

Será instructivo para el lector hacer tablas de suma yjnul-tiplicación de Z 3 ( i ) . [Nota : Z 3 (i ) es un cuerpo de 3 2 elementos.Es posible demostrar en cursos más avanzados que si K es uncuerpo finito entonces posee p n , p primo, elementos. Ademáspara todo primo p y todo n G N, existe un cuerpo de p n elementos y dos cuerpos finitos de p n y q m e le m e n to s ( p y q p ri-4 1 0



NÚMEROS COMPLEJOS

mos) que son isomorfos si y solo si p = q y n = m. Se sigueque Z 3 (i ) es esencialmente el único cuerpo de 3 2 elementos . ]

E jemplo

Calculemos Z 5 (i). Una primera observación nos muestra queel cuerpo Z 5 no satisface la propiedad c 3 ) .

En efec to , en Z ¡

l 2 + 2 2 = 0 .

Esta propiedad implica en Z 5 (i) que

(1 + 2i ) • (1 + 3 • i) = 0

o sea el producto de dos elementos de Z s (i) puede ser 0 sinque ninguno de los factores lo sea.

Esta propiedad claramente no puede ocurrir en un cuerpo.Dejamos a cargo del lector determinar

a) los elem entos d e Z s (i) inversibles [o sea, z es inversibleen Z s (i) si y solo si existe z' en Z s (i) ' tal que z • z' = 1]

b) los elementos z tales que existe z' 4 0 en Z 5 (i ) conz • z ' = 0 .

Pregunta

¿Existirán en Z 5 (i ) elementos z 4 0 tales que alguna potencia z n = 0 (elementos nilpotentes)?

Ejercic io

Probar las siguientes propiedades de la conjugación:

z = a + i ' b ^ z = a — i • b

o) ¥ = 0 * * z = 0

s ) (z + z ' ) = "? + ¥ '

ss ) (z • z') = z • z'

sss ) z = z si y so lo si b = 0

sv ) z = zv ) Si z es inversible, z~' = ( z )

vs ) S i k £ K, k ^ z " = k • ~ z

vss ) ( i • z ) = —i • z

4 1 1



NOTAS DE ALGEBRA I

Un problema general que nos podemos plantear es la determinación o caracterización de los cuerpos K que satisfacen c 3 ) .

Es posible probar (véase nuestra Nota sobre Complejos y Trigonometría) que un cuerpo Z p de restos módulo p satisface c 3 )si y solo si p es un primo de la forma 4m + 3. Digamos que enel caso de los cuerpos Q y R, Ja propiedad c 3 ) resulta del ordenen dichos cuerpos. En efecto, si

x € R (o a Q ) x # 0 => x 2 > 0 .

Por lo tantox 2 + y 2 > 0 si x =?t 0 ó y ¥= 0.

Analicemos la situación general. Para ello demos una

4 1 2

Nota

s) y ss) expresa n la propiedad de ser la ap licación

z -> z

un morfismo (o un endomorfismo) de K(i) en K(i) . Esto significa que la aplicación z ->• z preserva las operaciones de anillode K(i). Adem ás, co m o el lector puede v erificar fácilm en te, sv) diceque la conjugación es una aplicación sobreyectiva de K( i ) en K( i ) .

Finalmen te o) implica que z -* z es inyectiva [en ef ec to , zj == ~z2=>0 = T x — z"2 = z — z 2 (por s) =*• z , — z 2 = 0 por o)=^z1 —

= z 2 ] . La propiedad de ser z -^Tun morfismo biyectivo se expresa diciendo que z -»-"z"es un automorfismo de K(i). La aplicaciónidentidad z -*• z es también un automorfismo de K(i) . Un problema general es:

Determinar todos los automorfismos de K(i ) .

E jercic io

Probar que en Q(i) hay solo dos automorfistnos.

Números Complejos sobre R

NÚMEROS COMPLEJOS

Definición

Un anillo conmutativo K se dice ordenado si existe una relación de orden < (m eno r qu e) tal que

I) tr ic ot om ía : dados a y b en K vale una y solo una de las relaciones a a + c < b + d

a < b y 0 < c = * a * c < b • c

Los elementos x, tales que 0 < x se denominan positivos ylos x con x < 0, negativos. Es claro que,por lo dicho más arriba, K es un anillo conmutativo ordenado x 2 + y 2 = 0 siy solo si x = y = 0. En particular si K es un cuerpo ordenadovaldrá c 3 ) .

Ejercicio

Probar que si K es un anil lo conmutativo ordenado entonces

I ) a • b = 0 en K si y s olo s i a = 0 ó b = 0 ( o s ea Kes un dominio de integridad)

I I ) para todo a G K, n natural n * a = a + a + . . . + a(n veces ) = 0 imp lica a = 0 (o sea K es de característ ica 0)

II I) si x G K es inversible y 0 < x ento nc es el inverso x" 1

es también positivo.Un problema que se puede plantear es: dado un anillo con

mutativo K, ¿será posible definir en K una estructura de anilloordenado?

Podemos mencionar en este aspecto un resultado clásico, elTeorema de Art in-Schreier : Para que sobre un cuerpo K existauna estructura de cuerpo ordenado es necesario y suficiente que

X 2 + X?. + . . . + X 2 = 0 =* x : = x 2 = . . . = x n = 0

si X j G K, i = 1 , . . . , n , n G N .La condición del Teorema de Artin-Schreier es equivalente

a pedir que en K, —1 no sea suma de cuadrados. Los cuerposcon esta propiedad se denominan cuerpos formalmente reales.

4 1 3

NOTAS DE ALGEBRA ¡

En lo que sigue nos referiremos exclusivamente al caso K = R

y estudiaremos con cierto detalle la estructura del cuerpo asociado en la sección anterior, es decir, el cuerpo de los númeroscomplejos.

Una primera propiedad qu e p odem os .observa r en C es laexistencia de raíces cuadradas. Se sabe que de la ecuación

X 2 + c = 0, 0 < c

NO admite solución en R. Es fácil de ver que la misma posee so

lución en C. Para ello necesitamos usar el hecho válido en Rque todo número real no negativo posee una raíz cuadrada nonegativa. Por lo tanto, resolver X 2 + c = 0 es equivalente a hallar una raíz cuadrada de —c. Si d G R satisface d 2 = —c entonces afirmamos que i • d es solución de X 2 + c = 0 . En efec to ,(i • d ) 2 = i 2 • d 2 = - 1 • - c = c .

En base a lo que acabamos de ver se puede probar el siguiente resultado utilizando argumentos de cursos elementales de Algebra. Dejamos su verificación al lector.

T eo rem a:

Toda ecuación cuadrática aX 2 + b X + c = 0 , 0 < a, coeficientes en R, admite una solución en C.

En definitiva podemos ver que la inmersión de R en C permite resolver ecuaciones algebraicas originariamente no resolubles en R. Este es un procedimiento t ípico en Algebra. Lo curioso es que C es un cuerpo algebraicamente cerrado en el sen

tido siguiente: toda ecuación algebraicaa n X n + a n _ , X " " 1 + . . . + a, X + a 0 = 0, 1 < n, a n = ¿ 0

admite una solución en C. O sea, no solamente las ecuacionescuadráticas se resuelven completamente, sino las de cualquiergrado positivo.

E jemplo

Determinemos todos los números complejos que satisfacenz 2 = —2i. Entonces si z = a + b • i , debe satisfacer (a + b • i ) 2 == —2i, o sea

a 2 - b 2 + 2 a b i = - 2 i .

4 1 4



NÚMEROS COMPLEJOS

Esta última igualdad es equivalente a las igualdades siguientes:

í a 2 - b 2 = O

l 2 ab = - 2 .

Operando resulta

f a 4 + b 4 - 2 a 2 b 2 = 0

1 4 a 2 b 2 = 4

y sumando

a 4 + b 4 + 2 a 2 b 2 = 4

o sea

( a 2 + b 2 ) 2 = 4 .

Luego

a 2 + b 2 = 2

y c o m o

a 2 - b 2 = 0

se t iene

2 a 2 = 2 o sea a = 1 ó — 1.

Por lo ta nt o siendo 2ab = —2

a = 1 =* b = - 1

a = - 1 =* b = 1

o sea, las posibles s oluc ione s son 1 — i y —1 + i. Una verificación sencilla nos dice que efectivamente son soluciones.

E jemplo

Determinemos todos los números complejos z que satisfacen z 2 = 3 + 4i. Si z = a + b • i deb e verificarse

4 1 5



NOTAS DE ALGEBRA I

y sumando

Por lo tanto

y como

| a 2 - b 2 = 3

^ 2a b = 4

í a 4 + b 4 - 2 a 2 b 2 * = 9

l 4 a 2 b 2 = 1 6

a 4 + b 4 + 2 a 2 b 2 = 2 5

+ b 2 = 5

A 2 — K 2

se tiene

2 b 2 = 2 o s e a b = l ó b = - l .

Por lo ta n to , siendo 2a b = 4

b = 1 •* a = 2

b = - 1 => a = - 2

o sea las posibles soluc iones son 2 + i y —2 — i. Un a verificación sencilla nos dice que efectivamente son soluciones.

Definición

Sea z = a + bi . Llamaremos norma de z a

N(z) = z • z = a 2 + b 2 G R . „

Llamaremos valor absoluto de z, a

I 0 G R si z = 0

l N ( z ) 2 = ( a 2 + b 2 ) 2 si z 4 0 .

4 1 6



NÚMEROS COMPLEJOS

L o de no tam os por |z|. Es pues | z | 2 = N (z) .

Notemos que N(z) > 0 y además N(z ) = 0 si y solo si z = 0 .A l tom ar la raíz cuadrada en el caso z 0 deb e entend ersela raíz cuadrada positiva en R. Al definir |z| hacemos uso delhecho, válido en R, de que todo número no negativo posee unaraíz cuadrada. Esto ciertamente no es válido en general, por ejemplo en el cuerpo Q de núm eros racion ales.

En esos casos es útil trabajar con la norma.

Ejemplos ]

N(2 + 3 • i) = 22

+ 32

= 1 3 , | 2 + 3 - i | = ( 1 3 )T

N ( 2 - 3 • i) = 2 2 + 3 2 = 1 3 , | 2 - 3 - i | = ( 1 3 ) 2

N ( l ) = 1 , |1 | = 1

N ( - l ) = 1 , | - 1 | = 1

N (i) = 1 , | i| = 1 .

Proposición

N (z • z' ) = N(z) • N(z ' )

I z • z ' | = | z | • | z ' |

N (z _ 1 ) = [ N ( z ) ] - 1 s i z ^ O

I z - 1 | = I z T 1 s i z=£0

N(a + b • i) > a 2 , N(a + b • i) > b 2

|a + b « i | > | a | > a , | a + b • i | > | b p*>.

Demostración

Demostremos la primera, dejando las restantes como ejercicio para el lector:

N(z • z') = (z • z ') • ( z ^ z ' ) = ( z • z ') • ( z ' z')

= z • (z ' • "z) • z' = z • (~z ' z ' ) • z '

= (z • z ) • (z ' • z' ) = N(z) • N(z ' ) .

4 1 7

NOTAS DE ALGEBRA I

(Esta propiedad se expresa diciendo N: C R > 0 es u n

morfismo de la estructura multiplicativa de C en la estructura m ultiplicativa de , R > 0 = { r / r £ R y r > 0 } . )

Problem(i t )a :

Sean a y b números racionales sumas de dos cuadrados, osea

a = m 2 + n 2 , b = r 2 + s 2 , m , n, r, s € Q .

Se trata de expresar el producto a • b co m o suma de doscuadrados en Q.

Solución

La Norma !

a • b = (m 2 + n 2 ) • ( r 2 + s 2 ) = N (m + n • i ) • N (r + s • i ) =

= N [(m + n • i ) • (r + s • i ) ] = N [(m • r — s • n) + (n •

• r + m • s) • i ] = (m • r — s • n ) 2 + (n • r + m • s ) 2 .

E j em p l o

2 9 • 3 4 = ( 5 2 + 2 2 ) • ( 3 2 + 5 2 ) = (5 • 3 - 2 • 5 ) 2 + (2 •

• 3 + 5 • 5 ) 2 = 5 2 + 3 1 2 .Nota

El problema anterior puede evidentemente formularse en cualquier anillo conmutativo y vale idéntica solución.

T eo rem a (D esigualdad de M inkowski o Desigualdad Triangular)

| z + z ' | < | z | + | z' |.

Demostración (Primera)

4 1 8




4 1 9

V eam os algunos casos triviales de e sta desigualdad:

I) z = 0 ó z ' = 0

.II) z + z' = G\

En casos a) y b) nada hay que probar.Sea pues z + z' 0 y z ¥= 0 y z ' =?= 0 .Vamos a hacer una demostración por reducción al absurdo,

suponiendo que z, z ' satisfacen

I z + z' | > | z | + | z' |.

Esta última desigualdad equivale a

(z = a + bi , z ' = a' + b ' i )

[ ( (a + a ' ) 2 + (b + b ' ) 2 V > [ (a 2 + b 2 + ( a ' 2 + b ' 2 )P "

Ahora en virtud de nuestras hipótesis, ambos números rea-es de esta desigualdad son positivos. Por lo tanto resultai ±

[ (a + a ' ) 2 + (b + b ' ) 2 ] > ['(a 2 + b 2 ) T + ( a ' 2 4- b ' 2 ) 2 ) 2

Efectuando los cuadrados y simplificando se llega a

(aa ' 4- bb ' ) > (a 2 + b 2 ) 2 • ( a ' 2 + b ' 2 ) T

En virtud de nuestras hipótesis, el término de la derecha dé

esta última desigualdad es positivo, por lo tanto ambos miembros son positivos.

Resulta

(aa* + bb ' ) 2 > ( a 2 + b 2 ) • ( a ' 2 4- b ' 2 )

o sea

2 a a , b b ' > a 2 b • 2 + b 2 a , 2

es decir

0 > a 2 ta '2 + b 2 a ' 2 - 2 a a W = ( ab ' - b a * ) 7 ,

NOTAS DE ALGEBRA I

Contradicción. El teorema queda probado.

Demostración (Segunda)

N otem os primeram ente q ue, en general, si z = a + b • i entonces valen las relaciones siguientes:

z 4- "ss = 2 • a, | a I < I z | , por lo ta nt o

| z + z | < 2 • | z |.

Entonces

| z + z ' |a = (z + z') • (z~+z"') = (z 4- z ') • (z + z') =

= z • "z + z ' • z 4 z , z ' 4 z ' ' z ' = (* )

= | z | 2 4 - (z • z ' 4- z • z ' ) 4- | z* | 2.

Pero por lo dicho más arriba

| z • z ' 4- z • z'| < 2 • | z • ? \ = 2 • | z | • | z' |.

Volviendo a (* ) y nota ndo que se trata de una desigualdadde números reales podemos escribir

| z 4- z ' |2 < | z |2 4- 2 • | z | • | z ' | 4- | z ' |2

o sea

| z + V |2 < ( | z | 4- | z ' | ) 2

y tratándose de números reales no negativos (es lícito tomar raízcuadrada en ambos miembros preservando la desigualdad) resulta la desigualdad de Minkowski.

Corolario

Cualesquiera sean los números reales a, a' , b, b\ se tiene

[(a 4- a ' ) 2 4- (b 4- b ' ) 2 ] 2 " < ( a 2 4- b 2 ) * + ( a ' 2 4- b ' 2 f .

4 2 0

NÚMEROS COMPLEJOS

4 2 1

Corolario

| Z l + Z j + . . . + z k . | < | Z i | + | z 2 | + . . . + | z k |.

Demostración

Supongámoslo demostrado para k > 2, entonces

| Z X + Z a + . . . + Z k + Z k + ] | = | ( Z j + z 2 + . . . + z k ) + z k + 1 | <

< | Z j + z 2 + . . . + z k | + | z k + 1 |<

< | Z l | + | z 2 | + . . . + | z k | 4 - | z k + 1 |Sean a t , . . . , a k , b j , . . . , b k números reales. Entonces el

corolario anterior se traduce en el

k k i k 1

[ ( 2 a¡ ) 2 + ( 2 b ¡ ) 2 ] T < 2 (a 2 + b 2f .i=l i=l i=l

Corolario| z - z ' | > l l z | - | z ' l l .

Demostración

z = z — z' + z' implica | z | < | z — z ' | 4- | z ' | , por lotanto

( * ) | z | - | z ' | < | z - z ' | .

Puesto que

| z - z ' | = I z ' - z l

se tiene análogamente

( * * ) | z ' | - I z | < | z ' - z | ó sea - | z - z ' | < | z | - | z' |.

El corolario resulta de (*) y (**).Proposición

Sean z, z ' £ C - { 0 } . Enton ces | z + z ' | = | z | + | z ' | si ysolo si ex iste r £ tal que z = r • z ' .



NOTAS DE ALGEBRA I

4 2 2

Demostración

Siendo z' 4 0 sera cu estión de probar qu e el co cien te — esreal. z

La hipótesis implica que

zLlamem os w = —, . Lueg o

•| 1 + w | = 1 + |w |.

Elevando al cuadrado resulta

| 1 + w | 2 = (1 + w) • (1 • + w ) = 1 + (w + w ) + I w | 2

( l + | w | ) 2 = l + 2 - | w | + |w | 2

por lo tanto

w + vi = 2 • 1 w 1.

Elevando al cuadrado

w 2 4- w 2 + 2 • | w |2 = 4 • | w | 2

o sea

0 = w 2 4- w 2 - 2 • | w I2

= (w - w ) 2

lo cual implica bien que

w = "w

y la proposición sigue.

Polinomios Complejos

Toda la teoría de los polinomios reales puede repetirse mu-tatis mutandis con polinomios a coeficientes complejos. No nosdetendremos a hacer esto, pues en realidad seguiremos trabajando con polinomios reales; la diferencia es que ahora "especializamos" la indeterminada X con números complejos.



NÚMEROS COMPLEJOS

4 2 3

Por e jemplo, sea P(X) = 3X 2 + 2 X — 1 . Si z = 1 — i en

ton ce s la especialización d e X por 1 —i es el núm ero com plejoP (l - i ) = 3 (1 - i ) 2 + 2 (1 - i ) - 1 =

= 3 ( l - l - 2 i ) + 2 ( l - i ) - l =

= 1 — 8 i .

Un hecho fundamental es que en C, polinomios reales sinraíces en R, admitirán raíces en C. Por ejemplo, el polinomioreal irreducible

P(X ) = X 2 + 1

adm ite las siguientes raí ce s en C: i y —i.

P(i) = i 2 + 1 = - 1 + 1 = 0

P ( - i ) = ( - i ) 2 + 1 = —1 + 1 = 0.

El polinomio X 3 — 1 adm ite en R una ra íz, a sab er: 1 . Porlo tanto

X 3 - 1 = (X - 1 ) • ( X 2 + X + 1 ) .

Las raíces del polinomio X 2 + X+ 1 son

- l + i - , / 3 - l - i - y ^2 2

Por lo tanto el polinomio X 3 — 1 admite en C las siguientesraíces

1 , w , w

y la factorización en C[ X ],

X 3 - 1 = (X - 1 ) • (X - w) • (X - w)

AplicaciónSea el polinomio real X 3 — c. S i \ A T e s una raíz cúbica real

de c y w = — * + ^ es una raíz c úb ica de 1 hallada m ás arriba,

http://ates/

http://ates/

http://ates/



NOTAS DE ALGEBRA I

4 2 4

3\ÍC , 3V / C * W , 3 y /c ' W

son las tres raíces complejas de X 3 — c .

E jemplo

Raíces cuartas de 1.

Hallaremos todas las raíces del polinomio X 4 — 1. Para ello

observemos la factorización

X 4 - 1 = ( X 2 - 1 ) • ( X 2 + 1 ) .

Las raíces de

X 2 - 1 son 1 y - 1 .

Las raíces de

X 2 + 1 so n i y — i .

Por lo tanto las raíces de X 4 — 1 (o sea las raíces cuartasd e l ) s o n

1 , — 1 , i , - i .

E jemplo

Ra íces quintas de 1 .

Se trata de hallar todas las raíces del polinomio X 5 — 1 .Observemos la factorización

X 5 - 1 = (X - 1 )•

( X 4 + X 3 + X 2 + X + l ) .

Se trata de hallar pues las raíces del polinomio X 4 + X 3 + X 2 +X + 1. Sea w raíz de este polinomio:

1 + w + w 2 + w 3 + w 4 = 0 .



NÚMEROS COMPLEJOS

Dividiendo por w 2 resulta

1 1 1 10 = — + — + l + w + w 2 = w 2 + — + 2 + wH 1 =

w w w w

- ( w + ^ ) , + ( w + 7 ) - 1 -

Ahora las soluciones de la ecuación cuadrática

X 2 + X - 1 = 0

son

- 1 ±V~5~2

Por lo tanto debe verificarse que

i - i + y T . i - i — y T .W H = 2 o w H =

w 2 w 2Resolviendo las ecuaciones cuadráticas

W 2 _ i - - v - i . w + x = o

w 2 ~ ( 1~2^ h ) " w + 1 = 0

se obtienen los valores posibles de w:

- l + S/T + V i o + 2 - y / T

- i - V 5 V 1 0 - 2 • V T— + i4 4

en pares de raíces conjugadas. La quinta raíz es obviamente 1.

4 2 5

N O T A S DE A L G E B R A l

Recordemos que:

-Cualquiera sea el número real a > 0 y cualquiera sea el entero n > 0, existe un número real y solo uno y > 0 tal queyn. = a.

Este número real se indica también con "V/T y se denominala raíz enésima de a.

M ediante el uso de este teorema podemos prob ar la

Proposición

Si z es una raíz del polinomio real X n — a, a > 0, entonceslo es también

V a " * e .

donde e es una raíz enésima de 1.Recíprocamente , si e es una raíz enésima de 1, entonces

•S/a -* e es una raíz de X" — a.

Demostración

S i z es raíz de X n — a, entonces z • ("v^aj"1 e s r* 1' 5 5 de X n - 1:

[z • ( V a r 1 ] n - 1 = z n • a - 1 - 1 =

= a " K (z n - a ) = a"1 • 0 = 0-

Llamando e a z • (% /" !)" 1 se tiene z == \Z~a~' € ; po r lo tanto queda demo strada la primera parte.

Recíprocamente, s i e es una raíz enésima de 1 entonces

(Ry/T' e ) n - a = (V a) n • < ? n - a = a - a = 0

por lo tanto se sigue la segunda parte de la proposición.Dejamos a cargo del le ctor la dem ostración del siguiente aná

logo:

4 2 6

NÚMEROS COMPLEJOS

Proposición

Si z es una raíz del polinomio real X n + a, a > 0 entonces

z = %/T* e

donde e es una raíz enésima de —1 (es decir una raíz del polinomio X n + 1).

Recíprocamente, si e es una raíz enésima de —1, entoncesny /~a~% e es una raíz del polinomio X n + a.

En resumen, tenemos el siguiente resultado parcial:Las raíces de los polinomios reales X n + a, están determina

das por las raíces de los polinomios X n — 1 y X n + 1.En lo que sigue, estudiaremos entonces el problema de ha

llar raíces (complejas) de X n + 1 y X n — 1. Veremos que elproblema admite una solución completa, probando que existenn raíces complejas de cada uno de los polinomios X" + 1 yX" - 1 .

En este punto se hace necesario hacer uso de recursos tri

gonométricos. Vamos a asociar a todo número complejo z = a + biun arco 0 (z) o simplemente 0 tal que

O < 0 ( z ) < 2 ir.

0 se llamará el argumento de z.Primeramente si z = 0 escribiremos 0(0) = 0 •Sea pues z 4 0; entonces se sabe por trigonometría, que

siendo

- 1 < I z< 1

existen dos arcos

0 < ü y 2 T T - B J < 2 i r

tales que

eos U =

eos (2 ir — ü) =

eos y

427



NOTAS DE ALGEBRA I

aSi = 1 elegimos

0(z) = ü = 0.

Observemos que:

s en 2 UF = 1 — e o s 2 ü = 1 —

y análogamente

b 2

sen (2 7r — BJ ) =

a 2 b 2

z I 2 I z I 2

, z | 2

Com o se sabe sen ü = —sen (2 ir — ü ) por lo ta nt o elegimosI? ó (2 7 r — ü ) , según sea

b bsen üJ = ó sen (2 —15 ) = »

I z | | z |

de esta forma el argumento de z queda unívocamente determinado.Se t iene entonces

z = | z | • eos 0( z) b = | z | • sen 0(z)

cualquiera sea el núm ero com plejo z.Por lo tanto, también podemos escribir

z = a + bi = | z | • eos 0(z) + | z | • sen 0(z ) • i= | z | • [eos 0(z) + sen 0(z) • i ]

Esta última expresión se llama "la forma trigonométrica dez". Observe el lector una relación importante:

Habrá que elegir entre BJ y( 2 7 T - I Í J ) .

Nota

4 2 8



NÚMEROS COMPLEJOS

| eos 0(z ) + sen 0( z ) i | = [eos 2 0(z) + sen 2 0 ( z ) Y'

cualquiera sea z.

E jemplos

1 = eos 0 + i • sen 0

—1 = eos i r + i*« sen ir

i r TTi = eos — + i • sen —2 2

3 3— i = eos — 7r + i • sen — ir

2 2

—2 = 2(cos 7T + i • sen i r)

1 + i = yf~2 |cos — + i • sen - j - j

1 — i = y ^ T |cos — n + i • sen — 7r|

1 + i • ^ /T = 2^cos y + i - s e n y )

Propiedad

Sea z un número complejo . Entonces | z | = 1 si y solo siz = eos 0 + i • sen 0

Demostración (e jerci tación)

Teorema de De Moivre : (1 7 30 )

[ co s 0( z) + s e n 0 ( z ) i ] - [ c o s 0 ( z ' ) + sen 0(z') i ] =

= eos [0 (z) + 0(z ' ) ] + sen [0(z) + 0(z ' ) ] i .

Demostración

Es consecuencia inmediata de las siguientes relaciones de latrigonometría: (Véase el Apéndice )

4 2 9



NOTAS DE ALGEBRA I

430

eos [0(z) + 0(z' )] = eos 0(z) eos 0(z') - sen 0(z) sen 0(z' )

sen [0(z) + 0(z')] = eos 0(z) eos 0(z') 4- sen 0(z) eos 0(z ').

Ejemplo

Sea z = 1 4- i , z' = l — i. Entonces

cos0(z )= lly/2~ = x/~2¡ 2 ; sen0(z) =y/~2/

por lo tanto

0 (Z ) = TT / 4

cos0(z') = V r 2 / 2 sen0(z') = —V r 2/2

por lo tanto

0(z ') = 2 7 r - 7 r / 4 = 7/ 4 - 7T.

Por una parte

z • z'= (1 + i) • (1 - i ) = 1 - i 2 = 2(cos0 + senOi)= 2)

por otra parte, usando el teorema de De Moivre:

z • z' =yr2~|cos — + sen -^-ij • -y/ürjeos n + sen-^-T T i j=

= V ^ ' V^"[(cos f + - I , ) + sen( ± 4- ^ T T ) Í ] =

= 2 (eos 2 7T 4- sen 2 7r i) = 2 (1 + 0 • i) = 2 .

Reiterando la aplicación del teorema de De Moivre, se ob

tiene el siguiente

Corolario:

Sean z,, . . ., z k números complejos

NÚMEROS COMPLEJOS

k

n [eos 0(z¡) + sen d(zi

) i ] =i=l

k k= c o s [ 2 0 ( Z j ) ] + s e n [ 2 0 ( z , ) ] i .

i=l i=l

En particular si z x = . . . — z k se obtiene el importante

Corolario

Sea K un número entero posit ivo, entonces

[ c o s 0 ( z ) + s e n 0 ( z ) - i ] k = cos[(k 0(z ) ] + sen [k 0( z) ] • i

Calculemos con la fórmula anterior las raíces k-ésimas de 1.Se trata pues de hallar tod os los núm eros com plejos z talesque

1 = [ c o s 0 ( z ) + s e n 0 ( z ) • i ] k =

= [eos [k0(z) [ + sen [k0(z) ] • i .

Puesto que 1 = 1 + Oi el problema se reduce a hallar todoslos arcos GJ, 0 < U *S 2 á ta le s que eos (k • l i l ) = 1 y sen (k- ü)=0;o sea todos los U tales que k • til= m últiplo de 2ir. Estos son:

1 5 0 = 0 , 1 5 , = — , U 2 = — i ü n = — — r -

Puesto que exigimos 0 < liJ < 2 7 r , los valores posibles se-«

rán

U 0 , ü j , . . . , lffk_, .

Por lo tanto se tiene que los números complejos

eos üJ0 + sen IiJ0 • ieo s TJJJ + sen • i

eos üTk_, + sen IiJk_j • i

4 3 1



NOTAS DE ALGEBRA I

son (todas las) raíce s k-ésimas de 1 .

Análoga discusión vale para las raíce s k-ésimas de — 1 ; lodejamos a cargo del lector.

E jemplos

1) Raíces cuartas de la unidad. Calculemos primeramentelos arcos U 0 , , W 2 , T J 3 :

UT0 = 02ir ir

Ü J 2 = — = ir

4 2

47T

67T _ 37T

4 ~ 2Se tienen las siguientes raíces:

w 0 = e os 0 + se n 0 i = 1ir ir

W i = eos — + sen — • i = i2 2

w 3 = eos ir + sen ir • i = —1

3ir 3irw 4 = eos 1- sen • i = —i .

2 2

Se t iene entonces que todas las raíces de 1, o sea las raícesdel polinomio real X 4 — 1 so n: 1 , — 1 , i , —i. Por lo dicho anteriorm ente si c es un núm ero real no nega tivo, en ton ces

4Vrc~, - 1 • V c

4 - s / r c" ' i , —*s j~c' i

son todas las raíces cuartas de c, es decir las raíces del polinomio X 4 — c. Así, 3, —3, 3i, —3i son todas las raíces cuartasd e 8 1 .

4 3 2

NÚMEROS COMPLEJOS

2) Raíces cuartas de —1:

—1 = (—1 + Oi) = a • (eos TT -!- sen n •i) .

Aplicando la regla de De Moivre a la situación

—1 = (eos ÜT + sen Itf • i) 4

resulta

—1 = eos 4 ÜJ + sen 4 üT • i

o sea

- l = cos4UJ (*)

y habrá que hallar todos los 13, 0 < U < 2 7 r , tales que satisfagan (*).

Debe ser

4 ÜJ = 7 r + n(2 ir) , n entero

o seaT T

ü 0 = — , n = 04

1BJi = — (TT + 2 TT) , n = 1

1

ü 2 = — (7T + 4 7T) , n = 24

1HJ3 = — (TT + 6 ir) , n = 3

4

O sea

1 3UT = — T T , ü, = — I T , lfl2

Por lo tanto las raíces cuartas de —1 son

1 1 _ ^_eos — 7r + sen — T T i = y/2/2 +y /2¡2i

433



NOTAS DE ALGEBRA I

3 3

eos — ir + sen — ir i4 4 V~2/2 4 ^ / 2 1

e o s (5/4) TT + s e n (5/4) ir i V "2/2 — x/T/2i

eos (7/4) TT + sen (7/4) ir •i = -y /~2/2 - v / r 2 / 2 i .

Si c es un número real no negativo, entonces

y/T- (y /~2/2 + y /212' i)

V ^ ' (-y/T¡2 +y /~2/ • i)

y/T- (y /2/2 +y /~2¡ 2 ' i )

V ^c"- (-v/T/2 -y /2/2- i)

son todas las raíces cuartas de c; o sea todas las raíces del polinom i o : X 4 + c.

El lector habrá observado en estos dos ejemplos que si zes una raíz del polinomio en cuestión, entonces "z también esraíz del mismo polinomio. Esto es un hecho general, en efecto:

Teorema:

Sea P(X) = 2 a¡X ' un polinomio reali=o

Entonces, si z es raíz de P(X), también "z es raíz de P(X).

Demostración

n ~ñ

Sea P(z) = 0. Entonces P(z)= ( 2 a?) = 2 a{ . z\ P(z) =

= 0 — 0 ; el teorema queda demostrado.

Corolario

z es raíz de un polinomio real P(X) si y solo si z es raíz

n

i=o í=o

de P(X).

434



NÚMEROS COMPLEJOS

Ejemplo

Sabiendo que 2i es raíz del polinomio real

P ( X ) = X 5 - 3 X 4 4- 2 X 3 - 6 X 2 - 8X + 24

hallar las raíces restantes.Dado que 2i es raíz de P(X), 2i = —2i es también raíz. Por

lo tan to P (X ) es divisible por (X - 2i) • (X + 2i) = X 2 4 - 4 .Efectuamos la división y obtenemos

P ( X ) = ( X 2 4- 4 ) • ( X 3 - 3 X 2 - 2 X 4- 6 ) .

El pol inomio t (X) = X 3 — 3 X 2 — 2 X 4- 6 posee coefic ientes enteros. Podemos determinar sus raíces racionales utilizandoel Teorema de Gauss.

Se sigue de este teorema que las raíces racionales posiblesde t ( X ) son 1 , — 1 , 2 , — 2, 3, — 3, 6 , —6 (o sea los divisores de6 ) . Una verificación sencilla nos dice que 3 es raíz. Por lo tantot ( X ) es divisible por X — 3.

Se t iene t ( X ) = (X — 3) • ( X 2 — 2). En definitiva las raícesde P (X ) son '

2 i, - 2 i , 3 , yf~2 -y/2~

Corolario

Si todo polinomio real de grado impar admite una raíz compleja entonces todo polinomio real P(X) de grado impar admiteuna raíz real.

Demostración

Sea P(X) un polinomio real, de grado impar. Si el grado deP( X ) es 1 , entonces P( X ) = cX + d , c y d reales , c # 0 .

Si a 4- bi es un número complejo tal que P(a 4- bi) = 0, entonces

0 = c(a 4- bi) + d = (ca 4- d) + bi

por lo tanto b = 0, de manera que hemos probado que si un

4 3 5

polinomio real tiene grado 1, toda raíz es real. Por lo tanto el

teorema es cierto para polinomios reales de grado 1.Supongamos que hemos demostrado el teorema para todoslos polino m ios reales de grado 2j + 1 , > j > 0.

Vamos a probar inductivamente que el teorema es cierto para polinomios de grado impar 2n 0 + 1. Entonces, sea a + bila raíz de un polinomio P (X ) de grado 2no + 1 . Por el teore m aanterior a — bi T A M BIÉ N es raíz del mismo polino m io; por lotan to, a + b i y a — bi son raíces de P ( X ) . Por cosas conocidasse tiene que

P (X ) = [x - (a + bi ) • (X - (a - bi )] • S ( X )

donde S(X) es un polinomio real de grado (2n 0 + 1) —2 == 2 ( n 0 - 1 ) + 1 .

C o m o n 0 > n 0 — 1, el teorema es c ierto para S( X ) , es decir ,S(X) admite una raíz real , pero esa raíz es también raíz de P(X).El teorem a queda probado.

N O T A

Si en el teorema anterior omitimos la palabra real (o seapermitimos el caso de polinomios con coeficientes complejos)la proposición resultante es falsa. Un sencillo ejemplo lo muestra. Tomemos el pol inomio complejo

X - i

i es raíz pero no i = —i.

El corolario anterior es muy importante. Más adelante veremos que dicho corolario y el l lamado Teorema Fundamental delAlgebra implican que los únicos polinomios reales irreduciblesson los de primer grado y los de segundo grado aX 2 + b X + c ,con b 2 — 4ac < 0. En particular, que todo polinomio real degrado impar a dm ite una r aíz real .

E jemplo

A manera de aplicación de la fórm ula de De Moivre calcularemos la suma

n

2 c o s ( j 0 ) 0#= 2 k 7 r .j=o

4 3 6



NÚMEROS COMPLEJOS

2 (1 - eos 0 )+ i r con r E R (*)

("despreciando" la parte imaginaria).Se. sigue que

n2 c o s ( j 0 ) = primer sumando de (* ) .

j=o

Utilizando la fórmula eos (x — y) = eos (x) • eos (y) + sen (x)• sen (y) resulta

n 1 — c o s 0 c o s ( n + 1 ) 0 + c o s ( n 0 )2 eos ( j 0 ) = — \ ~ — L ( * * )

j=o 2 ( l - c o s 0 )Utilizando las fórmulas

, 11 — eos (x) = 2 sen 2 — x

2

4 3 7

Para ello recordemos primeramente la suma de la progresión

geométrica

n 1 — X n + I

1 + 2 X J = (si x == 1 ) .j= i 1 _ x

Haciendo x = eos 0 + i sen 0 , resulta, aplicando De Moivre

1 i v i - a x - l - c o s ( n + l ) 0 - i - s e n ( n + l ) 01 + 2 (eos j 0 + i • sen j 0 ) = •

j = i 1 — eos 0 — i • sen 0Multiplicando numerador y denominador por

1 — eos 0 + i • sen 0

resulta

1 — eos 0 — eos (n + 1) 0 + cos(n + 1) 0 • cos0 + sen 0 •

2 (1 - c o s 0 )

• sen (n + 1) 0



NOTAS DE ALGEBRA I

1 1eos (x) — eos (y) = —2 sen — (x + y) • sen — (x — y) (véase2 2A p é n d i c e )

resulta (**) igual a• o 1 1 1

2s en 2 — 0 + 2sen — (2n 4- 1) 0 • sen — 02 2 2

, 14 • sen 2 — 0

2

1 1 „sen — 0 + sen — (2n 4 - 1 ) 0

2 2

2 • sen — 02

1y utilizand o la fórm ula se n (x ) 4- sen (y) = 2sen — (x 4- y) •

1 1sen — (n 4-1) 0 • eos — (n 0)

• c o s - = - ( x 4- y) = .2 v ~ ~ 1

sen — 02

la cual, salvo error u om isión, es el valor de 2 eos (j 0 ) .j = o

NotaEn un tratado clásico de Análisis aparece la fórmula más ge

neral siguiente:

eos (a 4- z) 4- eos (a 4- 2 z ) 4- . . . 4- eos (a 4- mz) =

1 1sen — mz • eos [a 4- (m 4- 1) — z l

2 1 2 J

sen -i- z

si z # 2k , m £ N ; a , cualquiera.¿Será correcta la fórmula hallada arriba, si damos crédito

absoluto a esta última?

4 3 8

NÚMEROS COMPLEJOS

Representación de los números complejos

Al repasar las propiedades de los números reales, consideramos la representación de los mismos como puntos de una recta . Una tal representación es lo que l lamamos una recta real .Di j imos que para todo punto P de la recta existe un número realu tal que P u = P.

Intuitivamente hablando, esta propiedad dice que la recta eso está com pleta. A los núm eros com plejos, a pesar de ser unaextensión de los números reales, no podemos representarlos en

forma natural en una recta o más precisamente, como conjuntototalmente ordenado.En efecto, el cuerpo C de números complejos no admite

ninguna estructura de cuerpo ordenado. Esto es fácil de ver.Admitiendo una estructura de orden, puesto que, i 4 0 debeser

0 < i ó i < 0 .

Si 0 < i , o sea i es positivo, pode m os mu ltiplicar am bos

miem bros de 0 < i sin que cam bie la desigualdad, ob tenie nd o

i • 0 < i • i o sea 0 < —1 (ab su rdo ).

Si i < 0, entonces sumando a ambos miembros de esta desigualdad —i, obtenemos

0 < - i

o sea —i es positivo. Por lo ta nt o pode m os m ultiplicar a am bosm iemb ros de i < 0 , por —i, sin que cam bie la desigualdad.Resulta

i • —i < 0 •(—i) o sea 1 < 0 (a b su rd o) .

Está claro pues que C no admite estructura de cuerpo ordenado.

Lo que es posible hacer es representar C en un plano. Enun plano ordinario de la geometría, se consideran dos ejes ortogonales (por ejemplo uno horizontal y otro vertical); cada" e j e " es una recta real. Ambas rectas se intersectan en 0.En ton ces al núm ero com plejo a + bi le asignamos el pun to delplan o, cuya distancia orientad a al eje hor izon tal es a y cuyadistancia al eje vertical es b.

4 3 9

NOTAS DE ALGEBRA I

En esta forma tenemos una representación de C en un plan o. Los números reales pensados como números complejos dela form a a + Oi se representan sobre el eje hor izon tal.

Los núm eros com plejos de la form a 0 + ib ( que suelenllamarse imaginarios puros) se representan sobre el eje vert ical ;

e je imaginar io

O

<t> 3i

d> 2i

4 - 1

< > - 2 i

( > - 3 i

Es útil referirse al eje horizontal como eje real y al verticalcomo eje imaginario.

En las representaciones de los números complejos escribiremos, por abu so de no tació n, a + bi en lugar de P a + b i •

Llamaremos (un) plano complejo a esta representación de Gen un plano ordinario.Sea a + bi un punto del plano complejo. Dicho punto deter

mina con 0 su proyección sobre el eje real un triángulo rectángulo.En ton ces el argum ento de a + bi no es otra cosa que un arco -fde la base de dicho triángulo.

4 4 0




Ejemplos

2) Raíces cuartas de 1:

- i

3) Raíces cuartas de — 1 :

4 4 1



NOTAS DE ALGEBRA I

Un poco de Geom etría en el plano comp lejo

Del esquema puramente algebraico de R(i) pasamos a su realización geométrica en el plano R 2 . Introduciendo coordenadasen R 2 podemos asignar a cada núm ero com plejo a + bi el puntode coordenadas (a, b ) .

A esta realización de R(i) la deno mina m os el plano com ple jo.Nos interesa traducir cuestiones algebraicas en R(i) a propiedades geométricas en R 2 . Para mantenernos en un esquema geométrico hablaremos de vectores o flechas o puntos asociados anúmeros complejos.

Podemos definir en R 2 la noción de dirección como sigue.Dados dos vectores V j y v 2 en R 2 (ojo: nuestros vectores

son todos con origen en 0), diremos que t ienen la misma dirección si ex iste un real r =/= 0 tal qu e v, = r • v 2 . Podemos sermás generales en la definición de dirección. Dos vectores U ) , u 2 ,U i ¥ = u 2 , determinan (por sus puntas) una recta en R 2 .

La dirección de esta recta es la dirección del vector u, — u 2 .

Podemos definir distancia entre dos puntos de R 2 así. Dados dos vectores U j , u 2 definimos

d ( u , , u 2 ) = distancia de U j a u 2 = | u , — u 2 1 =

= mód ulo de la diferencia U j — u 2 .

Es claro que esta función distancia (función de R 2 en R > Q ) satisface (los axiomas de una distancia)

d ( U l , x i 2) > 0

d ( U j , u 2 ) = 0 si y solo si U j = u 2

4 4 2

NÚMEROS COMPLEJOS

d ( U , , U 2 ) = d ( U 2 , U j )

d ( U i , u 2 ) < d ( U j , u) + d(u , u 2 ) cualquiera seau G R 2 (desigualdad triang ular).

E jemplo

Sean los vector es (1 • —2) = v x , (3, —1) = v 2

d ( v , , v a ) = | v, - v 2 | = [ ( 1 ~ 3 ) 2 + ( - 2 + l ) 2 ] ^ =yfb .

Es claro que en general si v x = (a, b ) y v 2 = (c, d) es

d ( v , , v 2 ) = [ ( a - c ) 2 + ( b - d ) 2 ] " 2 " .

Vamos a definir ahora la noción de perpendicularidad. Paraello probaremos el siguiente

Teorema

Sean z x , z 2

complejos , z 2 0 . En ton ces todas las afirmaciones siguientes son equivalentes entre sí:

I) existe r G R tal que z x — r • i • z 2

I I ) Z j • z 2 + z j _ • z 2 = 0

I I I ) | z , - z 2 |2 = | z , |2 + | z 2 |2

I V) |z , + z 2 | 2 = |z,| 2 + | z 2 | \

Demostración

I ) •* ID

z , • z2 + " z j • z 2 = r • i • z 2 • "z 2 + [r • (—i)* z 2 ] • z 2 = 0 •

II ) =* III )

I Z l — Z 2 |2

= ( Z j — Z 2 ) • ( Z x - z 2 ) =

= Z x * Z x + Z 2 ' Z 2 — ( Z x • ~Z 2 + " ^ 1 ' Z 2 ) =

= | z x | 2 + | z 2 | 2 .

4 4 3



NOTAS DE ALGEBRA I

I I I ) = * I V )

En virtud de la ley del paralelogramo (ver los ejercicios) esválido en general

|z, - z 2 | 2 + | Z l + z 2 | 2 = 2 ( | Z l l 2 + | z 2 | 2 ) .

IV ) resulta de esta igualdad cancelando conv enientem ente.

IV ) => I I )

La dejamos como ejercicio para el lector.

I I ) = " D

|z, |Sea r 0 = ~ E R (por hipótesis z 2 0 ) •

I z 2 I

Se t iene

z j ' « a

Z 2 * Z 2 • Z 2 + Z 2 • Z j * Z j

z| • z 2 • z 2

Z j • Z j • ( Z j • Z 2 + Z j • z 2 )

z 2 • z 2 • z 2

Por lo tanto

o sea

= 0 .

z 2

Z j = r • i • z 2 (con r = ± r 0 )

El teorema queda demostrado

4 4 4



NÚMEROS COMPLEJOS

Definición

Diremos que dos vectores zx, z 2 son ortogonales si satisfacen cualesquiera de las condiciones del teorema anterior. Siz 2 = 0 decim os, por exten sión, que zx y z 2 son ortogonales.

Notac ión: zx 1 z 2 .

S i Z j = (& x, b x), z 2 = ( a 2 , b 2 ) , la condición de ortogona-lidad

Z x ' Z 2 + "Zl * Z2 = 0

es equivalente a

a , • a 2 + b j • b 2 = 0 .

Problema

Sean z¡ = (aj , b¡) , i = 1, 2, 3 puntos dintintos del plano. Queremos investigar condiciones que determinen su colinealidad (osea pertenezcan a una misma recta). Si los puntos son colinea-les, determinan una dirección del plano, dado por los vectores

/ .

Z x Z 2 O Z x Z 3 .

P or lo t a n to e xis te O ^ t G R ta l q ue

Z j — Z 2 = t • ( Z j — z 3 ) . ( 1 )

Recíprocamente esta ecuación (1) implica que los puntos z¡están al ineados. En término de coordenadas podemos escribir (1)en la forma

a j — a 2 = t • (a , — a 3 )

b j — b 2 = t • (b i — b 3 ) .

S i a x = a 3 entonces a t = a 2 = a 3 , los pun tos yace n sobre la recta vertical (a! , y ) .

Si b j = b 3 entonces b , = b 2 = b 3 , los puntos yacen sobre la recta horizontal (x, b x). Si no ocurre ninguna de estasdos situaciones podemos escribir

4 4 5



NOTAS DE ALGEBRA I

& x — a 2 fc»! — b 2

»i ~ a 3 b j — b 3

y d esarrollando:

a 2 • b 3 — a 3 • b 2 + a 3 • b t — a j • b 3 + a j • b 2 — a 2 • b j = 0 . (3 )

Pero esta expresión no es otra cosa que el determinante dela matriz

i 1 1 "

a i a 2 a 3( 4 )

b 2 b 3

Afirmamos que la anulación del determinante de la matriz

(4) es condición necesaria y suficiente para la alineación de lospuntos z¡ .En efecto, si el determinante es cero, se cumple (3).Si a , =¡£ a 3 y b j # . b 3 resulta (2) por lo tanto la colinea-

lidad. Si a , = a 3 se sigue de (3) que

a 2 • b 3 + a 3 • b i — a j • b 3 — a 2 • b j = 0

o sea

( a 2 — a ! ) • b 3 — (a 2 — nx) • b j = 0

o también

(»2 - a, ) • ( b 3 ~ b 1 ) = 0 .

Como por hipótesis es i\ 4 z 3 y es & x = a 3 , tendremosb 3 # b j con lo que a 2 = aj .

O sea a, = a 2 = a 3 . An álogam ente analizamos el casobj = b 3 .

Recíprocamente, es fáci l ver que la colinealidad implica laanulación del determinante (4).

Es interesante analizar el significado general del determinante de (4) .

4 4 6



NÚMEROS COMPLEJOS

1 1 1 1 1 1

ai a 2 a 3= 0 & 2 - a t a 3 - a j

b i b 2 b 30 b 2 b 3 ~ b i

lo cual nos dice que, sin pérdida de generalidad.podemos suponer

zx = 0 .

Además

simplemente por ser el determinante de un producto de matrices cuadradas del m ismo orden , el pro du cto de los determinantes de las matrices y por tener la matriz de la izquierda del segundo m iem bro, determ inante igual a eo s 2 0 + s en 2 0 = 1 .

Ahora, si el lector efectúa el producto de matrices indicado observará que tiene una matriz

1 1 1

a 'i a ' 2 a ' 3

b 'i b ' 2 b ' 3

donde (a ' ¡ , b ' ¡ ) no es otra cosa que la rotación de (a¡ , b j ) en

un arco 0. Por lo tanto esto nos dice que sin pérdida de generalidad podemos rotar los vectores y hacer que uno de ellos estésobre el eje real.

En definitiva la situación original se puede reemplazar porla siguiente:

4 4 7

Observemos que (ojo: con una sola barra denotamos determinante)

NOTAS DE ALGEBRA I

1 1 1

O X y

O O V

= x • V

donde los vectores z l t z 2 , z 3 son ahora (0 , 0 ) , (x , 0 ) , (y , v ) .El valor x • v es el do ble del área del triangulo de vértices z ¡ ,z 2 , z 3 . E n definitiva el determ inante de la matriz

1 1 1

ai aa a 3

b i b 2 b 3

es el doble del área del triángulo de vértices z¡ = (a¡, b), i = 1 ,

2 , 3 .El caso colineal corresponde a área cer o. Ah ! 7 3 2 .

El Teorema Fundamental del Algebra

Nuestra intención al comenzar este capítulo era resolverel problema de hallar un cuerpo extensión de R en el que todoslos polinomios reales admitieran una raíz. Con ese fin construimos el cuerpo de los núm eros com plejos C.

El polinomio de segundo grado aX 2 + b X 4- c , a 4 0, admite en C dos raíces que dependen de su discriminante:

d = b 2 /4 - ac .

En álgebra elem ental probam os que si d > 0 ento nce s lasdos raíces de aquel polinom io son

x t = ( - b + V b2 - 4 a c ) • (2a ) " 1

x 2 = ( - b - y / b 2 - 4ac) • (2&yl

donde V b 2 — 4ac es cero o la raíz cuadrada positiva de b 2 — 4 a c .En el caso d < 0, las soluciones están dadas por

4 4 8



NÚMEROS COMPLEJOS

xi = [ - b + V - ( b 2 - 4a c) i ] • (2a J - 1

x 2 = [ - b - V - ( b 2 - 4a c) i ] • (2&J1.

El caso del polinomio general de tercer grado también admite una solución completa, es decir, no solo se sabe que existen 3 raíces sino también se las sabe calcular efectivam ente.

En resumen, para los casos de los polinomios de segundoy tercer grado la extensión C de los números reales, resuelveel problema de hallar las raíces de los mismos. La respuesta con

su ma yor generalidad la da el l lamad o

Teorema Fundamental del Algebra (TFA)

" Todo polinomio real (es decir con coeficientes reales) degrado positivo, posee una raíz en C."

Mas generalmente podemos enunciar el teorema fundamental del Algebra diciendo que

Todo pol inomio p(X) G C [X] de grado > 0 admite unaraíz en C.

Que el enun ciado an terior implica esta últim a se ve a sí :Dado un polinomio

p( X ) = 2 z ¡ • X 1 é C [ X ]i = l

formamos el polinomio

p * ( X ) = X í i - X i .i = l

Entonces el pol inomio

t ( X ) = p ( X ) - p * ( X ) =

= ( z n • z n ) - X 2 n + . . . + ( z 1 - z 0 + z 0 - z 1 ) - X - l - z 0 - z 0

4 4 9

NOTAS DE ALGEBRA I

tiene coeficientes reales. Por lo tanto por nuestro primer enun

ciado posee una raíz z £ C. Ahora0 = t (z) = p(z) • p * ( z )

implica

p(z) = 0

(y esto prueba nuestra afirmación)

ó P* (z ) = 0 .

Pero entonces, tomando conjugado resulta

p ( z ) = 0 .

En cualquier caso p(X) E C [X] admite una raíz en C.

Definición

Un cuerpo K se dice algebraicamente cerrado si todo polinomio p(X) E K [X], de grado positivo, admite una raíz en K.

Ejemplo

— Ningún cuerpo finito puede ser algebraicamen te cerrado.

— Q no es algebraicamente cerrad o.— R no es algebraicamente cerrado.

Notemos, sin embargo, que aun cuando el cuerpo real noes algebraicamente cerrado, lo es "semi" en el sentido siguiente:Todo polinomio real de grado impar admite una raíz en R (esto es consecuencia del teorema clásico de Bolzano-Weierstrassque establece que una función real de variable real, continua,satisface:

S i a , b E R,a <b, f (a )=É0, f (b) =É 0 , signo [f( a) ] * signo [f( b) ]

e nto nce s e xiste c E R , a < c < b ta l qu e f ( c) = 0 .Esta es una propiedad consecuencia de la completidad de R .

4 5 0

NÚMEROS COMPLEJOS

A partir dé este hecho es posible demostrar que C es alge

braicam ente cerrado en form a puramente algebraica. (Pausa: mucha gente molesta preguntando si no habrá una demostración totalmente algebraica del teorema fundamental del Algebra. Es obvio que nunca existirá una tal demostración, pues la definicióndel mismo R no es algebraica. Si existiese una demostración puramente algebraica del TFA no habría tal vez inconveniente endem ostrar que tod o cuerpo es algebraicamente cerrado ! ! ! )

Nota

Una demostración directa del TFA se obtiene uti l izandoel Teorema de Liouvil le, de la Teoría de Funciones de variablecompleja . Véase el l ibro de Knopp: "Theory of Funct ions, I "(Dover) .

Corolario

Para todo polinomio P(X) de grado n existen números complejos Z j , . . . , z n tales qu e si a n es el coeficien te de grado n en P (X )

P(X ) = a n - í l ( X - z ¡ ) .i=l

Es decir, P(X) queda representado en producto de polinomios complejos, todos de primer grado.

Demostración

Si el grado de P(X) es 1, nada hay que probar. Supongam os el teore m a cierto para tod o polinomio de grado n.

Sea z n una raíz de P (X ) y P (X ) de grado < n . En tonc es,

P (X ) es divisible por X — z n

P ( X ) = S ( X ) • ( X - z n )

donde grado S(X) = n — 1. El corolario es entonces cierto para S (X) y as í

S ( X ) = a n - n n ( X - z ¡ ) .i = ]

4 5 1



NOTAS DE ALGEBRA I

Por lo tanto

P ( X ) = a„ • n ( X - z ¡ ) • ( X - z n ) = a n - n ( X - z ¡ )

l i=l I i=l


Corolario

Todo polinomio real irreducible es de grado 1 ó 2.

DemostraciónSea P(X) un polinomio irreducible con coeficientes reales

de grado > 1.Siendo irreducible y de grado > 1, es claro que P(X) no

posee ninguna raíz [pues si ésta fuera r, P(X) sería divisible-estrictamente por X — r] .Por lo tanto las raíces de P(X) son números complejos de la

forma a¡ + bji, bj 4 0, j = 1, . . , n. El corolario anterior, porotra parte, afirma que

P ( X ) = a n - II ( X - ( a j + b j i ) ]

Ya vimos que si a + bi es raíz de un polinomio real tambiéna — bi es raíz del mismo polino m io. Por lo tan to significa que aaquel producto lo podemos escribir en la forma

P ( X ) = a„- n[ (X- (a j + b j i ) ) ] • [ ( X - ( a j - b j i ) ) ) .

Los polinomios

[(X - ( a j + bji))H(X - (aj - b j i ) ) ] =X 2 - 2a jX + (a? + b?)

son polinomios reales.Aquel producto, por ser P(X) irreducible, debe contener exac

tamente dos factores . O sea P(X ) debe ser de grado 2.

4 5 2



NÚMEROS COMPLEJOS

4 5 3

Complementos a l Teorema de De Moivre

Sea z = | z | • (eos 9 + sen 9 i ) . Un corolario del teorem a deD e Moivre afirma qu e, si n es cualquier núm ero natural o cer o,entonces

z n = | z | n • (eos n0 + sen n0 i ) .

Vam os a generalizar esta fórm ula a exp onen tes racionales.Ya di jimos que para tod o número real a > 0 y tod o núme-

m ero natural p , existe un ún ico núm ero real y > 0 tal queyP = a.

Al núm ero real y lo hem os llamado la raíz p-ésima de a,denotándolo también con

y = V a " -

Si a y b son núm eros reales positivos, y p natu ral, entonces

Py/T' V Y = P V (a • b ) . (1 )

En efecto

' ( P y T - Vy/T)V = (*y/T)P • {VyfbV = a • b

y por la unicidad de la raíz p-ésima de un número real positivose tiene ( 1 ) .

Sea a un núm ero real positivo y sea p/q un núm ero ra

cional ; entonces, por definicióní a ) P / q = q y ^ F ( q > 0 ) .

Afirmamos que con las mismas hipótesis

( V " a " ) p = a p / q = q > /a p ~

En efecto , sea y — qy/~&; entonces: y q = a; por lo tanto

( y p j q = v p q = a p

y esto dice exactamente que

qy / a P = y P = ( q\/~a)P, como queríamos demostrar.



N O T A S DE A L G E B R A 1

4 5 4

Pasemos ahora al caso complejo . Vamos a definir:

z P / c > = [ | z | • ( c o s 0 + s e n 0 i ) ] P /q

.

Sea primeramente p = 1. Consideremos el POLINOMIOC OM PL E JO

X q - z . (2)

Las raíces de este polinomio serán por definición las raícesq-ésimas de z. Veamos que efectivamente existen raíces de( 2 ) .

Si u = | u i • (eos BJ + sen liJ i) es una raíz de (2), entonces aplicando el teorema de De Moivre:

I u | q , (eos q BJ + sen q BJ i) = | z | • (eos 9 + sen 0 i)

y por lo tanto

| u |q • eos q BJ = | z | • eos 0

| u |q • sen q BJ = | z | • sen 0 . (3)

Ahora elevando al cuadrado y sumando miembro a miembrose tiene

I u | 2 q

= | z | 2 (pues eos 2 0 + s e n 2 0 = 1, etc . ) .

Por lo tanto

|u | q = | z |

es decir

|u| = VT¿~í. (4)

Sea z¥=0, entonces (3) y (4 ) implican

eos q BJ = eos 0

sen q BJ = sen 0

o sea* q BJ y 0 difieren en un múltiplo entero de 2 7 T .* Ver E j e r c i c i o 12, A p é n d i c e .

NÚMEROS COMPLEJOS

q ü = 0 + k(2u)

0 + k ( 2 t t ) 0 2 kü = i - = - + TT (5 )

q q qPor lo cual si u es una raíz de X q - z en tonc es u sa

tisface (4 ) y ( 5 ) ; en este últim o caso para algún valor de k.Recíprocamente es fáci l ver (invirtiendo los razonamientos)

que todo s los números com plejos u que satisfacen (4 ) y (5 ),para un k cualquiera en este último caso, son raíce s de (2 ) .

Las posibilidades para k están lim itadas solam ente por la con dición

0 < BJ < 2 TT

por lo tanto tendremos

0% = — k = 0

q0 2irVi-— + k = l

q q

0 ( q - l ) 2 7 r , ,

1 L , = — + ^ — L k=(q-l)T 1

• n nclaraciónTom am os k no negativos pues nuestros arcos se tom an con

cierta orientación en sentido contrario a las agujas de un reloj(de pared).

Por lo tanto hemos probado que para todo entero positivoq, tod o núm ero com plejo z adm ite q raíces q-ésimas, o seael polinomio complejo

X q - z

admite q raíces.Probemos que si q > 1, las raíces son distintas entre sí, es

decir cada raíz tiene multiplicidad 1. Hay varias formas de veresto, por ejemplo geométricamente; ya vimos en el caso de po-

4 5 5



NOTAS DE ALGEBRA I

linomios reales que a es raíz de P(X) con multiplicidad > 1 si

y solo si p' (a) = 0, es decir a es raíz de [ P ( X ) ] \ Este teorema es válido para polinomios con coeficientes complejos. Supongamos entonces que u es raíz de X q —z; entonces

(X q - z)' = q • X q _ 1

y especializando X por u se tiene q • u q _ 1 . Esto es cero siy solo si u = 0. Como u es raíz de X q — z, tendrá que ser z = 0.Por lo tanto si z * 0, X q — z tiene q raíces diferentes.

Si u es raíz q-ésima de z escribimos por abuso de notación * ,

u = %/T.

Estrictamente se tiene que

eos 1- sen — i|q q /

q ^ T z T [ ( c o s ^ + ^ ) + ( ^ 4 - ^ ) i ] ( l )

u = V ¿~ J

V T z | Icos ! — + 1 +senl —

- M

+q

(q - l ) 2

Podemos escribir

(6 6 \

eos — + sen — i) = q-v/ I z | * (eos 6 + sen 0 i) =q q /

= [z • (eos 0 + sen 0 i]1/ q

= V~z~.

(2Í

* Observe el lector los riesgos del abuso de notación:

i = Jí= v / T ^ i = s f - i ' V-f= i • i= i2- i .

456

NÚMEROS COMPLEJOS

Esto extiende la fórmula de De Moivre al caso de exponentes 1/q • q enteros positivos. Sin emb argo observe el le cto r queno es estrictamente correcto escribir (2) ; lo correcto es (1) .

Definiremos ahora z p ' q , p , q , G Z , q 4 0 .Supongamos primeram ente 0 < p, 0 < q, sabemos que

z p = ¡ z |P [eos (p0) + sen (p0) • i ]

Por definición z p / , q es el conjunto de todas las raíces q-

ésimas de zp

, o sea

a i—¡ /p0 4-2 k7 r\ /p0 + 2k 7r \ 1

V T ÍpT ' [ c o s l ^ ^ J + s e n ( ^ — J • i j ;k = 0 , l , . . . ( q - l ) ( * )

Si z es real > 0 se sabe que z P / q = V~íT= 1*Y/T )V . E

Teorema siguiente nos dice que una situación análoga (convenientemente formulada) vale para z en C:

Teorema

Sean p, q enteros positivos y coprimos. Entonces

z p . q = q y | z p | | c o s

k = 0 , l , ( q - 1 )

Demostración

Llamaremos T al conjunto definido por (*) y S al conjuntodefinido por (**). T consiste en todas las raíces q-ésimas (**) z p .

S consiste en la totalidad de potencias p-ésimas de las raícesq-ésimas de z .

Notemos primeramente que T y S contienen exactamenteq elementos. Esto es inmediato para T dado que todo númerocomplejo (en nuestro caso z p ) posee exactamente q raíces degrado q distintas entre sí. An alicemos el caso de S.

Sean zx, z 2 raíces q-ésimas de z tales que z\ = z\.

457

SOTAS DE ALGEBRA 1

6 + 2 k ! T T

Si Z j tiene argumento p

0 + 2 k 2 T T

y z 2 tiene argumento pq

con 0 < kj < q, se debe verificar que

0 + 2 k j T T 0 + 2 k 2 T T

p • p ~ — = 2 h 7 r , h E Zq q

y operando resulta

P(kj - k 2 ) = h • q

lo cual implica

p • | k, - k 2 | = | h | • qy siendo q y p cop rim os, q divide a | k x — k 2 |.

Pero | k j — k 2 | < q

y tratándose de números enteros debe ocurrir

k! - k 2 = 0

o sea

kj = k 2 .

Por lo tan to todas las potenc ias p-ésimas de las raíce s q-ésimasde z son toda s distintas en tre sí. S tien e pues q elem en tos.

El teore m a quedará pro bad o si verificamos que S está contenido en T .

0 + 2k?rSea pues v E S de argum ento p , 0 < k < q. Utili-

qzando el algoritmo de división en Z, se tien e

p • k = q • t + s con 0 < s < q.

4 5 8

NÚMEROS COMPLEJOS

Se tiene

0 4 2k i r p0 + 2pk n p0 4 2(qt ) 7r + 2s k

P q q q

p0 4 2s 7T

= + 2t TT

qlo cual dice e xac tam en te que v es la raíz en T asociada al en

tero s, 0 < s < q. El teorem a queda pr ob ad o*.Enseguida veremos que (2) es válida si p < 0; como parap = 0 es trivialmente válida, resultará que (2) es válida para todo número racional. Esta será la generalización del Teorema deDe Moivre.

Lema

(eos 0 4 sen 0i f 1 = eos 0 — sen 0i = eos (—0) 4- sen (— 0 ) i .

Demostración

La primera igualdad es conocida. La segunda es consecuencia de la validez de:

eos (— 0 ) = eos 0 y sen ( — 0 ) = — sen 0 .

Ahora por defin ición, si p > 0,

(eos 0 + sen 0 i fp

= [(eos 0 + sen 0i)_ I

]PLuego aplicando el Lema anterior se tiene

(eos 0 4- sen 0 i f p = [eos (-0) 4 sen ( - 0 ) i ] P =

= [eos ( - 0 4 2 ?r) + sen ( - 0 4 2 i r) ip . (* )

Nota

Este último paso lo hemos hecho para tener

O < 0 4 2 7 r < 2 j r

* S i p y q n o son copr im os e l T e o re m a e s fa l so , com o lo d e m ue st ra e s t e e je m plo

2 = 1 , p = q = 2 , S - { l } , T « { l , - 1 } .

4 5 9

NOTAS DE ALGEBRA I

eos (—p 0 + 2k ir) + sen (—p 0 + 2k ir) i,

con k ente ro no negativo, tal qu e: 0 < —p0 + 2k ir < 2 T T .

Hemos probado enton ces que si p es entero no negativo,

(eos 0 + sen 0 i f P = [ e o s ( - p 0 ) + s e n ( - p 0 ) i ] .

La fórmula de De Moivre es válida pues, para enteros cualesquiera. Como consecuencia (2) es válida para todo número racional p/q.

eos (—p 0) + sen (—p 6 ) i

es

Ejemplo3

H al l am o s ( -1 ) 4:

—1 = eos ir + sen ir i, 0 = ir, p = 3 , q = 4 .

De acuerdo con (2) necesitamos calcular

| [ T T + k ( 2 TT)] k = 0 , 1 , 2 , 3 .

O sea

| ( 1 + 2 k ) T T k = 0 , 1 , 2 , 3

4 6 0

y aplicar luego la fórmula de De Moivre.

Volviendo a (*) se tiene, aplicando la fórmula de De Moivre

= eos p ( - 0 + 2 7 r) + sen p(—0 + 2 T T ) i =

= eos p(— 0) + sen p(0) i =

= eos (—p0) + sen (—p0) i .

Nota PerniciosaInsistimos que la forma trigonométrica del número complejo:



NÚMEROS COMPLEJOS

k = O

k = 1

k = 2

k = 3

Por lo tanto

-|(1 + 2 • 0 ) 7 T = f 7T

| ( l + 2 • l ) f f = - f - 7r = ( 2 + | ) 7 r

i (1 + 2 - 2 ) 7 T = ^ 7 r = (2 + ^ - ) 7 r

| ( 1 + 2 • 3 ) IT = ^ TT = (4 + ^ - ) TT .

( - 1 ) 7 =

eos

eos

eos

eos

( 7 * ) + s e n H r 7 r ) i

( t * )+ s e n

( ~ 4 ~7 r

)i

( A 7 r ) + s e n ( A 7 r ) i .

Ejemplo

Hallemos i 2 ;7T 7T . 7T

i — eos 1- sen — i 0 = — , p = 1 . q = 2 •2 2 2 F

D e acuerd o con (2 ) nece sitamos calcular previamente los números

( f + k ( 2 * > )

HT +21!)*

k = 0 , l

2 V 2

k = 01 / 1

k = 0 , l

( — + 2 • o) n = — rr\ 2 7 4V2

4 6 1

NOTAS DE ALGEBRA I

1 / 1 \ 5k = l — I — + 2 • 1 7T = — i r .2 V 2 / 4

Por lo tanto

eos ( tt/4) + sen (7r/4)i = > / 2 * / 2 + V"272 i

cos| ~7rj + sen|-^-7r|i = — N / T /2 —\/~2/2i

Uno ve, en efecto, por ejemplo

{s/2/2+V ^l2Í)2 = ( v r 2 / 2 ) 2 +(V~2/2 i )2

+ 2( N / 2/ 2) ( >/2/2 - i)

_ _L _ JL~ 2 2 1 _ 1 *

Ejemplo

Calculemos el argumento del complejo

— / T - i2 = — •

1 - i

Se tiene

7 7eos — ir + i sen — 7r

6 6z = 1 — 1 = eos

eos -—- ir + i sen — ir4 4

í 7 7 W /7 7\I ir +1 sen I |7r =V 6 4 / V6 4/

- 7 7 17 , . 17= eos 7r + i sen ir = eos ir + i sen — — t t

12 12 12 12

Luego

17* < z ) = - *

4 6 2



NÚMEROS COMPLEJOS

4 6 3

E J E R C I C I O S

I) Expresar los siguientes números complejos en la formaa 4- b i :

a ) (2 + 3 i) + ( - 1 - 2 i ) d ) ( l - i ) • (1 4 - i )

b ) ( — 1 4 i ) • (3 — 2 i ) e ) ( - l + i ) 5 1

C ) i 1 3 - i 9 4 - 1 f ) i - ~ r •

i

II) Sea para cada z = a 4- bi G C

z = a — b i = conjugado d z.

a) Probar que si z, z x, z 2 € C entonces

z = z

( Zi 4 " Z 2 ) = Z j + Z 2

Zi • Z 2 = " i j ' ~Z 2 .

b) Probar q ue si z , z l t z 2 G C entonces

(Z=

Z)=—Z ( Z j — Z 2 ) = Z i — Z 2

c) Interpretar geom étricam ente en el plano com plejo, la conjugación. Describir en el plano complejo cada uno de los conjuntos de números complejos que satisfacen las siguientes condiciones:

a)"z = z b ) z = — z

c ) z • Iz = 1 d ) z 2 - z — 1 = 0 .

(En los ejercicios no divida por 0. El radar vigila . . . )

d) Sea z = z 4- bi. Probar que z • "z = a 2 4- b 2 .



NOTAS DE ALGEBRA I

Deducir que si z # O existe z' E C tal que z • z' = 1.

Escribir entonces z - 1 = 1/z = z'.También z, /z2 = Z \ • ( l / z 2 ) .

e) Expresar los siguientes complejos en la forma a + bi:

a ) l / i d ) ( l l - i ) / ( l l + i )

1 + i 1 - ib) 1/(1- i ) e ) — — +

l +2 i 1 —2i

c ) ( 3 - i )/(2 +V 2 -i) f) [i(-l+y /~3' i ) ] 5 .

f ) S e a n z , , z 2 complejos tales que z¡ + z 2 E R y Z j * z 2 E R .Probar que existe r 6 R tal que z 2 .= rz x ó z, = r • z 2 , ó z, = "z 2 .

g) Sea n un entero no-negativo.Estudiar el valor de

n n2 i k ; ídem con n i k .

k=o k=o

I I I ) Sea z€C, z^O. Probar que

z*0 y ( z f = ( T 1 " ) .

Deducir que

~ z 7 zT

( — ) = •=- si z 2 # 0 .

Z 2 Z2

IV ) Sea para todo z = a 4- bi, a € R, b G R.

| z | = \J a 2 + b1 = módulo de z.

(Recordemos al lector el sentido de JH adoptado en estecurso. Para todo número real x > 0, v/x d en ota el único número real positivo cuyo cuadrado es x .)

a) Sea z = a + 0 • i = a € E R . P r o b a r que el módulo de zcoincide entonces con el valor absoluto de a.

4 6 4




V * ' 1

7 ) - 3 i 8 ) - i + ^ ? - i 9 )X — i 1 — i

2 " | l - i | + i

i o ) | [ ( - 1 + ^ 3 " o r 3 .

f ) ¿E s la afirm ación siguiente verdadera?

" z x, z 2 E C, z\ + z| = 0 si y solo si z t = = 0 . "

g) D etermin e tod os los pares (u,- v) G CxC tales queu 2 + v 2 = 0 .

g^) Hallar los conjugados de

1 ) — + i 4 ) 1 + i + i 2 . . . + i 2 1

i

2 ) ¡ l - i | + i 5 ) ||l + i | + i | + ii

3 ) ( l - 2 i ) ( 2 - i ) ( i + l ) 6 ) 1 4 -1

1 + i

4 6 5

b) Probar que i z | 2 = z • z .

c) Usando b) demuestre las propiedades siguientes:

1 ) | Z, ' Z 2 | = | Z j | • | Z j I

2 ) S i z.=É 0 en tonces» | z _ 1 1 = | z I" 1

3 ) | z/z'| = | z | / | z'| si z ' * 0

4 ) | z| = | z | .d) Sean z t y z 2 complejos . Probar q ue

Z j • z 2 = 0 •*> z, = 0 ó z 2 = 0 •

e ) Hallar norm a y módu lo de los siguientes compl ej os:

1 ) - 1 2 ) - 1 - i 3 ) i-y /2 - i

4 ) i " 5 ) ( f f i ) " 6 ) - 2

1 +•

NOTAS DE ALGEBRA I

4 6 6

h ) S e a n zx y z 2 complejos no nulos. Probar

i z i r 1 • i z j — z 21 • i z 2 r 1 = i z f 1 — z 2_ i i

i) Probar e interpretar geométricamente en el plano complejo la siguiente identidad (Ley del Paralelogramo):

| Z l - z 2 | 2 + |z, + z 2 | 2 = 2 ( | z , | 2 + | z 2 | 2 ) .

j ) Sean z l 5 z 2 complejos tales que | z , | = | z 2 | = 1 yz i 4 z 2 ,

Probar que \ z{ + z 21 < 2 .

k) Probar el siguiente teorema:

| Z j + z 2 | = | z, | + | z 2 | o E xiste 0 < r G R tal quezx — r • z 2 ó z 2 = r • Zi

N OT A

An tes que nada hacer un dibu jo y ver de qué se tra ta .

1) Sean zx, z2 G C . Probar la validez de la imp licación

| Z i + z 2 | = | Z i - Z 2 | = » | Z t + z 2 |2 = | z , |2 + | z 2 |2 .

Interprete geométricamente,

m ) Sea Q : C ->• C una aplicación tal que

Q(u + v) = Q(u) + Q(v)

Q (u • v) = Q(u) • Q(v) .

Si además Q(r) = r para todo r € R C C, entonces probar que Q = id c = aplicación identidad de C ó Q = conjugación.

n) Sea Q : C -*• C una aplicación que satisfaga



NÚMEROS COMPLEJOS

Q (u 4- v) = Q(u) + Q(v)

Q (u • v ) = Q(u ) • Q(v)

z • Q(z) = | z |2 si z G C .

Probar que Q es la conjugación.

ñ) Interprete geométricamente las siguientes aplicaciones deC en C.

1 ) z +> i • z 2) z +> | z |

3 ) z +> — • z 4 ) z +* — z

5) z - * (1 + i ) • z 6 ) z +>z — i

o) A ) Escribir com o suma de dos cuadrados en Z

1 ) 4 1 . 8 5

2 ) 1 3 7 . 7 3

3 ) 2 6 . 3 4 . 2 0 .

B) ¿Es cierto que en R todo número positivo es sumade dos cuadrados? ¿ Y en Q? ¿Y en C? (N ota :Un célebre teorema de Lagrange dice que todo entero positivo es suma de cuatro cuadrados en Z. Pore j em p l o :

2 = l 2 4- l 2 4- O 2 + O 2 , 18 = l 2 + 2 2 4- 2 2 4- 3 2 , . . . )

p) 1 ) Calcular exa ctam ente

z7 ) z si z # 0 y 0 * 1 .

I z l

2) Probar que

4 6 7

NOTAS DE ALGEBRA I

2 si n es m últiplo de 3

—1 en otro caso.

V) a) Determinar módulo y argumento de los siguientes números complejos :

1) 3 + i 2) 1 4- i

3 ) y /~3 - i 4 ) (1 + i ) " 1

5 ) i - 1 6) 2 + 3i/ 1 3 1 3 \"i

7 ) 1 — v 3 8 ) (—sen — ir 4 i • sen — 7 r |' v V 10 10 /

y ) eos — ir — i - s e n — i r5 5

7 11 0 ) eos — ir 4- i • sen — 7r

4 4

11) (eos 6 4 i • sen d f i , 0 < 6 < 2 ir

12 ) (1 4 co s0 4 i • s en 0 )T \ O < 0 < i r

1 3 ) s e n 0 — i • sen 0 , — < 0 < — ir •2 2

b) Proba r que si z, z ' € C verifican arg(z) = arg(z') yz ' 0, enton ces £ G R.

c) Sea z = eos | ir + i • sen y ir. Exp resar en fo rm atrigonom étrica, los com plejos z - 1 ,~z,z2.

d) Determinar, en cada caso, todos los complejos que satisfacen

4 6 8

NÚMEROS COMPLEJOS

1) Z 2 = 3 - 4Í 4) Z2 = - i

2) z 2 = - 8 - 6 i 5) z 2 = ! ( - 1+V3 • i

3) z 2 = - 2 6) N(z) = | z | .

e) Hallar la forma trigonométrica de los siguientes números complejos:

í t 7r ir ir1) sen 1-i • sen— 2) s e n — I - 1 • sen —

' 6 6 4 4

3) cos|— j + i • sen|— j 4) 1 i • sen —6

6, 6 ) ^ 7

7) sen 0 + i • sen 0 , 0 < 6 < 2 ir

8) eos 0 + senfl , O < 0 < 2 i r .

f) Determinar todos los números complejos z tales que

Z 5 = — — •

v/3 - i

g) Sea z un número complejo. Probar1) | Re(z) + Im(z) | <y/2 • I z | .

2) que vale la igualdad en l)si y solo si Re(z) = Im(z).

VI) Para cada una de las condiciones siguientes determinarla totalidad de complejos z que las satisfacen. Ilustrardichos conjuntos en el plano complejo.

a)z =z - ' b )| z - i | = | z - 2 |

c)z - 1 = - z d)z 2 G R

e)z = z 2 f ) z 2 = z 2

469

NOTAS DE ALGEBRA I

4 7 0

g ) z 2 = z 3 h ) z 3 = z 3

i ) z 2 G = R > 0 ( R ^ 0 = { x G R / 0 < x }

1j ) z = É 0 y z + — G R

z

k) z n = zm ; n, m € N

1) |z + 2 | = |z |

V II ) Sea z 0 G C, señalar en el plano com plejo la totalidad

a ) S = { z „ + z | z G C , | z | = 1 }

b ) S = {z/jl z — z 0 I < T } .

V III ) Sea para tod o z = z + bi G C, a G R , b G R.

R e( z) = a ( = parte real de z)Im (z) = b ( = parte imaginaria de z ) .

a) Pro bar las desigualdades

Re(z) < | R e ( z ) | < | z | , Im (z) < | Im(z) |< | z |.

Dé ejemplos de z para los cuales todas las desigualdades sean estrictas.

b ) Probar las relaciones

z + z = 2 Re(z)

z — "z = 2 I m (z ) i

Re (z j • Zj + z , • Zj) = Zj • "z 2 + ~ i ' z 2

I m (z , • ~z2

~ Z i 'z

2 )= z

i ' ~ ^ i 'Z

2c ) Hallar las exp resio nes de

Re (z ! + z 2 ) ; Re(z 4 • z 2 ) ; Re( z ) ; Re(r • z ) ,r G R

NÚMEROS COMPLEJOS

1 - i

b ) ( 1 + i f 1 f) 1 +—í—

1 + ic ) ( - 1 + V/~3)W g) ( 1 - i ) 2 0

d) 2 i s h) 2 ( w i)> S 1 w =

6 4

2S = l j = l

X) Probar que todo número complejo es raíz de un poli

nom io real de segundo grado. (Por lo tan to, tod o n úmerocomplejo es algebraico sobre R.)

X I) a) Determinar todas las raíces de los polinom ios

9 X 2 + 4, X 3 - 8 , 3 X 4 - 16, X 5 - 32 .

4 7 1

lm (Zi + z 2 ) ; Im (zi • z 2 ) ; ImCz ) ; Im(r • z ) ,

r G R

en términos de R e ( Z j ) , R e ( z 2 ) , I m ( z ! ) , Im ( z 2 ) .

d) Dibujar en el plano com plejo los subconjuntos definidos en cada caso por

l ) | R e ( z ) | < l y - K I m ( z ) < l

2 ) I z I < 1 y I R e ( z ) | = 13) Re (z) G Z e Im(z) G N

4 ) R e ( z 2 ) = 0

5 ) I z — 1 | + | z + 1 | = 2 (Sug. : recuerde decursos elem entalesla definición geométrica de el ipse.)

6 ) z 4 = z .

IX) Calcular

a ) i " e ) - 1 + 1



NOTAS DE ALGEBRA 1

4 7 2

b) Usando el teorema de De Moivre determinar todas lasraíce s de los polinomios com plejos

X 2 - i, X 2 + i, X 3 - i, X 3 + i, X 4 - i, X 4 + i

X 2 - (1 + i), X 3 - ( 1 + i ) , X 4 - (1 + i ) .

c) Determinar las raíces de los siguientes polinomios complejos

i X 2 - X + 1 , X 2 - ( 1 + i ) X - 1 , X 2 4- X 4- i,

i X 3 - 1 .

d) De termina r en cada caso, la totalidad de solucionesz G C

1) (z + l ) 3 = z 3

2) (z - l ) 6 = z 6

3) (z - 2 ) s = (z - 3 ) s

4) (z 2 - 3z + l ) 6 = 1 .

e) 1 ) Hallar tod as las ra íces sex tas de 1 + i.

2 ) ¿E xis te alguna raíz sex ta z de 1 + i tal que

"z ta m bién sea ra íz sex ta de 1 + i ?

3 ) Hallar el pro du cto de tod as las raíc es sextasde 1 + i.

f) Hallar el producto de todas las raíces complejas de orden 7 de la unidad. Analice la situación general.

g) Resolver las siguientes ecuacion es en C (z deno ta unelemento f i jo de C):

1 ) X 2 = 3 • z 2 2 ) X 4 = 2 • z 2

3 ) X 3 = - z 3 4 ) X 3 = ( 3 + 2 i ) 6 .

NÚMEROS COMPLEJOS

X I I ) a) La siguiente afirmación es falsa. D é un contraejem

plo a la misma."Sea P(X) 6 C [X] . Entonces s i z e C es raíz deP( X ) también lo es " z . "

b) 1 + i es raíz del polinomio 2X 4 - 3 X 3 + X 2 + 4X ++ 2. Hallar las raíces restantes.

XIII) Probar que cualquiera sea a E N el polinomio X n — 2es irreducible en Q [ X ] . [Sug . : X n - 2 = P, • P 2

en Q [ X ], gr(P¡) > 0 .Fac torice Pj en C- [X ] y analice el térm ino co ns tan te.Use luego el he ch o de que n J2 es irracional para todon, 2 < n.]Deduzca entonces la existencia de polinomios irreducibles sobre Q, de cualquier grado.

XIV) Representar

a) el polinom io X 6 — 1 como producto de pol ino

mios irreducibles en Q [ X ] .

b) el polinom io X 4 + 1 como producto de polinomios i rreducibles en C [X ] y R [X ] .

c) sea a G R . Rep resente el polinomio X 6 — a 6 como prod ucto de factores de grado 1.

X V ) Sean P (X ), T ( X ) pol inomios en Q [ X ] con las propiedades siguientes:

a ) P ( X ) * 0

b) P (X ) es i rreducible (en Q [X ])

c ) Toda ra íz , en C, de P (X ) es ra íz de T ( X ) .

Probar que P (X ) d iv ide a T ( X ) .X V I) ¿Q ué razones pueden darse para invalidar la siguiente

demostración:

1 = y /T = y /~ l ' - 1 - V ^ V ^ = i ' i =

= i 2 = - 1 ?

4 7 3



NOTAS DE ALGEBRA I

eos 2 7T + i • sen 2 ir = 1 = eos 4ir + i • sen 4 ir

i X(eos 2 ir + i • sen 2 7r)T

= (eos 4 7r + i • sen 4 t t ) 2 .

Y aplicando De Moivre:

eos j (2 ir) + i • sen y (2 7r) = cos- - (4 t t ) i • sen-f (4 7 r )

O sea

eos ir + i • sen 7r = eos 2 ir + i * sen 2 7 r .

474

XVII) ¿Cuáles de los siguientes números complejos son raíces

del ?

a) cosy/2 ir + i sen-^/2"^

b) eos ir + i sen ir

18 18

3c) eos — ir + i sen 4- 7r

22

3 3d) eos — ir + i sen — tt

5 5

XVIII ) Probar que si a €E R entonces eos (a ir) + i sen (a ir)

es raíz de 1 si y sólo si a E Q.

XIX) a) Calcular cos(3a), cos(5a), sen(6a), sen(9a) en térmi

nos de sen a y eos a.

b) Calcular eos 3 a, eos 4 a, sen5 a en términos de senos y cosenos de múltiplos enteros de a.

XX) Analizar la validez del razonamiento siguiente:

"Teorema

1 = 0..".

Demostración



NÚMEROS COMPLEJOS

O equivalentemente

- 1 = 1 .

Luego 2 = 0 y dividiendo ambos miembros por 2 resulta1 = 0 como queríamos probar. (Nota: esta demostración mefue comunicada por Jarvis, antes de ser despedido.)

X X I ) a) Sea z € C, tal que existen enteros positivos n y mtales que 1 = z n = z m .Probar que si d = (n, m ) entonces z d = 1 .

b) Probar que si n y m son núm eros naturales coprimos entonces

z S C, zn = z m = 1 implican z = 1 .

X X I I ) S ean Z j = a ¡ + bj • i E C, j = 1 , . . . , n. Encontrar condiciones sobre aj, bj equivalentes a la condición

X X II I) Uti lizando una propiedad de la norm a escribir enQ, los siguientes números como suma de dos cua-

j='

n

s 4 =i=l

0 .

drados:

2 6

1c )

1b )

4 1 4 1 . 8 5

X X IV ) a) Calcular el argumento de

y /3-i

2

b) Calcular el argumento de

1 -y ^ - i

2

4 7 5

NOTAS DE ALGEBRA I

A P É N D I C E

Funciones Trigonométricas

Sea S la circun feren cia de R x R de radio 1 , o sea

S = { ( x , y ) / x 2 + y 2 = 1 }

o como suele llamarse, la circunferencia unitaria de R x R.Sea A el punto de S de coordenadas (1, 0). Sea P un pun

to de S. Sea ÁP el arco de circunferencia comprendido entreA y P al recorrer la circunferencia en sentido contrario al de lasagujas del re lo j. ^

En general, dados P, B en S, con PB denotamos el arco decircunferencia comprendido entre P y B al recorrer la circun

ferencia en sentido contrario al de las agujas del reloj.Vamos a suponer * asignado a cada arco PB un numero

real s = s (Í>B) que denominaremos la longitud del arco P5 conlas siguientes propiedades:

I) 0 < s

II ) s (P B ) = 0 si y solo si P = B

III) Aditividad de s: Si P E CD entoncess(CD) = s(CP) + s(PD)

* Su ju s t i f i cac ió n e scapa a l ám b i t o e s t r i c t o d e ] A lge b ra , re quie re e l con cu rso d e lA n ál i s i s .

4 7 6

c) Calcular

X X V ) Factor izar X 3 + 1 com o prod ucto de irreducibles enC [ X ] , R [ X ] y Q [ X ] .

NÚMEROS COMPLEJOS

Sean P, B puntos en S. Con PB denotamos el segmento deextremos P y B (o sea la cuerda correspondiente al arco f>B).

IV ) Si P, Q, R , T € S, P precede a Q y R precede aT al recorrer la circunferencia en sentido contrario al de las agujas del reloj entonces:

PQ = R T si y solo s i PQ = R T .

(O sea arcos iguales tienden cuerdas iguales y cuerdas igualessubtienden arcos iguales.)

V ) S [ f Í 7 0 ) , (-Í70)] = 7T

Recíprocamente, a todo número real s , 0 < s se le asignael punto P cuyo arco AP (recorrido en sentido contrario al de lasagujas del reloj) posee longitud s.

Notemos que eventualmente habrá que dar varios giros completos de la circunferencia. Por ejemplo, el número real 2ir corresponde a un giro completo, el número real 5/2 • n corresponde a un giro completo más un giro de un cuarto de circunferencia, etcétera.

(Una idea útil es pensar que la sem irrecta real 0 < x es enrollada sobre la circunferencia.) Cambiando el sentido del recorrido de la circunferencia, o sea en sentido coincidente con elmovimiento de las agujas del reloj, resultan arcos de longitudmenor o igual a cero.

Sea ahora P un punto de S^Sea s el número real mayor oigual a cero asignado al arco AP. Sean (x, y) las coordenadasde P.

4 7 7

NOTAS DE ALGEBRA I

4 7 8 .

Definición

sen s = y (léase sen o de s)

eos s = x (léase cosen o de s)

Definición

Si s < 0 sen s = — sen (—s) y eo s s = eos (— s).

Evid entem ente, para tod o s G R es —1 < sen s < 1 ; —1 << eos s < 1. Por lo tanto sen y eos definen aplicaciones deR en R, o mejor de R en [—1, 1].

Ejemplos

I) sen 0 = 0 ; eos 0 = 1

I I ) s [ ( 1 , 0 ) , (-l70)] = t t

I I I ) s [ ( í , 0 ) , ( 0 7 1 ) ] = | 7 T

IV ) sen y ir = 1 ; co sy ir = 0

V) Calculemos sen-|- ir y cos-£ ir (ver figura).

Notemos que s(AP) = s (PB) = ir.

Por lo tanto AP = PB. En términos de coordenadas se tiene A = (1 , 0 ) , P = ( c o s ^ ir, sen-£- ir),B = (0, 1). Ahora la distancia en R 2 entre dos puntos (x, y) , (x\ y') está dada por

[ ( x - x ' ) 2 + < y - y ' ) ] *



NÚMEROS COMPLEJOS

4 7 9

Por lo tan to AP = PB~ imp lica, llamand o

x = eos ^ ir e y = sen-4- ir

[ x 2 + ( y - l ) a F = [ ( x - 1 ) 2 + y 2 f

O sea

x 2 + (y - 1 ) 2 = (x - 1 ) 2 + y 2 ( ¿ P O R Q U E ? )

y operando se llega a que x = y.PorPitágoras x 2 + y 2 = 1, entonces resulta

En definitiva sen 4- ir = eos 4- ir =4 4 2VI) Calculemos sen (1/6) ir, eos (1/6) ir (ver figura).

La condición AB = BC = CD se traduce en las siguientesecuaciones:

(x - 1 ) 2 + y 2 = x ' 2 + ( y ' - l ) 2 = ( x - x ' ) 2 + ( y - y ' ) 2 .



notas de algebra i

y tratándose de números no

negativos, resulta

x' = y.

Hemos pues probado que

x = y' y x ' = y.

Por lo tanto x = xx' + yy' = 2xy;

siendo x ^O resulta

y = y x¿ = 1 —I I = —' 2 \ 2 / 4

entonces

l 1 \ 1 l 1 \ s/S

En definitiva s e n ^ — | 7 r = — ; c o s ^ — J 7 r = —-—•

El lector puede observar que el razonamiento precedentenos muestra además que

senl

Ejercicios

3 3 31) Calcular eos it, sen ir, sen — ir, eos — ir, sen -— 7r,

2 2 4

3 5 5 2eos — 7r, eos — ir, sen — ir, eos — ir ,

4 6 6 3.

2 11 11sen — ir, eos — TT , sen — ir .

3 6 6

2) Probar que para todo s € R, sen 2 s + eos 2 s = 1;donde sen2 s = (sen s) 2 , etcétera.

480

NÚMEROS COMPLEJOS

3) Probar que eos x = 0 si y solo si s = k • \ donde k € Z-

- { 4 > } y ( 2 ,k )= 1 .

Definición

Sea s 4 k • — con k impar, tg s = (léase tangen-2 eos s

te de s).Obsérvese que tangente no es una aplicación de R en R,

puesto que no está definida sobre los múltiplos impares de TT/2.¿Sobre qué subconjunto A de R, es tangente una aplicación deA en R ?

4) Hallar tg s para los s que aparecen en 1) toda vez quetg s esté definida.

5) Encontrar todos los s, 0 < s < 2 it para los cuales

I) coss =T

III) sen s =T

II) tg s = 1 IV) tg s = - 1

V ) eos s = y/~5l2

6) Probar que

si x 4 (2k + 1) • — : tg s = —tg (—s).2

7) Probar la siguiente identidad:

sen2 s (1 + eos s ) 2

- = - : — ( s ^ k T r , k S Z ) .(1 ^cos s)¿ sen2 s

Teorema

Para todo s, t G R es cos(s — t) = eos s eos t + sen s sen t.Sin pérdida de generalidad podemos suponer 0 < s < 2 7 r ,

0 < t < 2 ir. Puesto que eos (s — t) = cos(t — s), podemossuponer t < s. (¿Y el caso s = t? )

Sean P y T puntos de la circunferencia (ver figura) tales queel arco AP tenga longitud s y el AT longitud t.

481



NOTAS DE ALGEBRA I

Sea L el punto de la circunferencia cuyo arco tiene longitud

s — t. Es claro entonces que el arco TP tiene la misma longitudque el arco AL.

T (cos t , se n t )

P(cos s , sen s)

A ( l , 0 )

Las coordenadas de P son (eos s, sen s), las de T son (eos t,sen t) y las de L son [eos (s — t ) , sen (s — t ) ] . Las cuerdas deTP y AL tienen la misma longitud, por lo tanto

V (eos s— eos t ) 2 +(sen s—sen t ) 2 =

=V [eos (s - 1 ) - 1 ) 2 + [ s e n ( s - t ) ] 2 .

Elevando al cuadrado y operando se obtien e el teor em a. (Hacerlo! ! ! )

L ( c o » ( s - t ) , s e n ( s - t )

A ( 1 . 0 )

9) Probar las identidades

' ( i - ) ;sen s = eos eos s = sen

( i - )

4 8 2

NÚMEROS COMPLEJOS

/ l — e o s s / i f e o s ss e n s/2 | = / , | e o s s/2

. / j . « t g s + t g t s , t # ( 2 k + l )i r/ 2 ytg (s + t) =

1 - t g s - t g t t g s • t g t ^ l .10) Probar que eos 3 s = 4 eos 3 s — 3 eos s .

1 1 ) De termina r en R x R los gráficos de las fun cione s trigo

nom étricas sen s, eos s y tg s.

r eos s = eos t12 )Se an s, t G R . Probar que <

l sen s = sen t

si y solo si s — t = 2 k ir, para algún k G Z. [Sug.-.calcu-lando eos (s — t) = e os 2 s + sen 2 s = 1, por lo tan to

s — t = 2 k w . ]

1 3) D eterminar los valores 6 , 0 < 8 < 2 ir que satisfacen

(*) sen 2 - c o s 0 + l = O .

4 8 3

e o s ( s + t) = e o s s e o s t — s e n s sen t

s e n ( s + t ) = s e n s eos t + s e n t eos s

s e n ( s — t ) = s e n s e o s t — s e n t e o s s

s e n 2s = 2 s e n s e o s s

s e n s + sen t = 2 sen-5- ( s + t ) c o s - 3 - ( s — t )

s e n s — s e n t = 2 s e n - 5 - (s — t ) e o s y ( s + t )

COS S + CO S t = 2 C O S y ( S + t ) C O S y ( s — t )

e o s s — e o s t = —2 s e n y (s + t) s e n y ( s - t )

eos 2s = eos 2 s — s e n 2 s = 1 — 2 sen 2 s = 2 e o s 2 s — 1

NOTAS DE ALGEBRA I

[ S o l . : s e n 2 | — j — eos ( 6 ) + 1 = sen 2 |cos 2 ~

6 \

- sen 2 — I + 1 =2 /

= 2 sen 2 e o s 2 1- 1 =2 2

= 2 sen 2 (1 - sen 2 6 ) + 1 =2

6

= 3 sen 2 —2

Por lo tanto las soluciones de (*) coinciden con las soluciones de

3 sen 2 — = 0 o s ea c on2

si — - n entonces 6 — 2 T X lo cual no es posible. Luego2

e = o.]1 4 ) De terminar todas las ecua ciones 0, 0 < 6 < 2 tales que

eos 6

sen Bsen 6 .

( S O 1 . : | T T y 3 / 2 * 0

1 5 ) Sea a £ R , — 1 < a < 1 P ro ba r q ue e xis te n e x ac ta m e n te2 arcos 6, T tales que 0 < 8 , T < 2 n y eos 6 = eos r = a.

4 8 4

NÚMEROS COMPLEJOS

DemostraciónUn arco 0 co n 0 < 9 < 2 n y eos 0 = a existe, también

2 w — 0 es solución del problema. Probemos que son los únicos.Notemos primeramente que a 4 1, — 1 => 0 4 0,n 6 4 2 n — 6

Sea ahora p tal que 0 < p < 2 ir y eos p = a.

Entonces

eos (p + 0 ) = eos p eos 0 — sen p sen 0 =

= eo s 2 p — sen p sen 0 .

Adem ás eos p = eos 0 =*• sen 2 p = sen 2 0, por lo tan to

sen p = ± sen 0 . Si sen p = — sen 0 enton ces eos ( p + 0) =

= 1 .'. p + 6 = 2 ir o sea p = 2 ir — 0 .

Si sen p = sen 0 , eos (p — 0 ) = eos p eos 0 + s e n p s e n 0 == eos 2 p + sen 2 p = 1 •

Por lo tanto p — 0 = 0 ó p - 6 .

16) Dividimos la circunferencia unitaria en 360 partes, a cadaparte la llamamos un grado: I o , a su vez, a cada grado lodividimos en 6 0 partes , a cada una de ellas la llamam osm inu to: 1 ' , a cada m inuto en 6 0 partes que l lamam os segundos: 1", etc. Podemos entonces medir arcos uti l izand o g rad o s , m i n u t o s , s eg u n d o s , h i p ers eg u n d o s . L a eq u i valencia con la medida anterior es 2 ir que equivale a3 6 0 ° . Se pasa de un sistema al otro estableciendo la correspondiente proporción. (Al primer sistema lo llamaremos sistema de medida en radianes, el segundo sexagesimal.)

Expresar en grados los siguientes arcos:

7T/2, JT /3, ( | ) 7 T , 2 IT /10, - 3 / 2 TT ,

— ir, — Y ir, 3/8 ir, ir¡36.

Expresar los arcos siguientes en términos de ir:

2 1 0 ° . 1 6 0 ° , 3 0 0 ° , 7 5 ° , 9 0 0 ° , 7 2 0 °

4 8 5



APÉNDICE I G„: Grupo de raíces enésimas de la unidad

Sea C el cuerpo de números complejos. Para cada n G N estádefinido en C el conjunto

G n = { x / x n = 1 }

de todas las raíces enésimas de 1. Enseguida veremos que el producto en C induce en G n una estructura de grupo: el grupo deraíces enésimas de la unidad. Este apéndice t iene por objeto estudiar la estructura de G n para todo n G N. Constituye una

introducción a la teoría de grupos abelianos finitos y una verdadera motivación de esta teoría. Para definiciones y propiedades elementales de grupos remitimos al lector al Capítulo V.

Proposición

Para todo n G N, G„ con el producto ordinario en C es ungrupo.

Demostración

Notemos que G n es un conjunto no vacío. En efecto 1 e G n .Sean u, v e G n . Entonces u n = v n = 1 , por lo tan to ( u - v ) n == u n . v n = -[ . ± = i g s t o m u e s t r a q u e u • v e G n , es decirque (u, v) u • v define sobre G n una operación binaria. Lamisma es asociativa simp lemente p or tratarse del produ elo ordinariode complejos, que ya sabemos que es asociativo. Debemos solamente verificar la validez del axioma g 3) de la Definición1.2. Sea u e G n , entonces como u 4 0, existe en C, el inversou - 1 : u • u 1 = 1. Afirmamos que ú" 1 e G n . En efecto, deu • u - 1 = 1 , elevando ambos m iembros a la potencia n, se t iene

1 = i " = u " • (u 1 ) n = 1 • (u 1 ) n = (u 1 ) n

que muestra bien que u" 1 e G n .La proposición queda probada.

Ejemplos

G i = { 1 } , G 2 = { 1 , - 1 }

4 8 7

NOTAS DE ALGEBRA 1

g 3 = ( i ,y( - 1 + 1 ^ 3 ) , Y < - i -V 5 ) }

G 4 = { .1,-1, i , - i } .

Proposición

G n es un grupo finito de orden n

Demostración

Observemos que los elementos de G n son exactamente losde la ecuación

X n - 1 = 0 .

Esta ecuación posee en C, n raíces. Será cuestión simplementede probar que sus n raíces son todas distintas entre sí. En otros

términos, habrá que probar que el polinomio Xn

— 1 no poseeraíces múltiples en C. El criterio útil para ello es el del derivado.Si un polinomio P posee una raíz múltiple z entonces z es también raíz de P\ el polinomio derivado de P. Entonces

( X n -1) '= n • X n _ 1

y como n 0, 0 es la única raíz del derivado de X n — 1. Peroobviamente 0 no es raíz de X n — 1. Por lo tanto X n — 1 NOposee raíces múltiples, es decir sus raíces son todas simples yasí distintas entre sí. La proposición queda demostrada.

Nota

Los complejos de la forma

eos • j + i • sen ^ k • j = w k , R e Zt ienen las propiedades siguientes:

a) pertenecen a G n (simplemente utilizar el Teorema de DeMoivre).

4 8 8



APÉNDICE I

b) w k = w¡¿ si y solo si k — k ' = m últiplo de n, o sea k = k 'm o d (m ) .En efecto, si k — k' = s • n, s e Z entonces

w k = eos j(k' + s • n ) J + i • s e n | ( k ' 4- s • n ) - ^ - j =

= w k . .

Recíprocamente, s i w k = w k> se tiene

2ff 2irk — k' = m últiplo de 2it

n n

o sea

k — k ' = m últiplo de n .

Por lo tanto

w 0 = 1

w .

/ 27T \ / 2ff \r¡ = c o s í J4- i • sen^ I

w n _ , = eos ((n-l)-~-J+i« sen|(n-l)- -|son todos los posibles w n distintos entre sí . Hemos probadoentonces la

Proposición

G n = { w 0 , W [ , , w n _ , | .

Ejercic io

/ 2 7 T D \ a d ° S U ^ c o s ( ^ ) +i ' s e n ( l 2 L ) y V

= C O S

( TL

)+ Í

'S e n

I representar en S 1 las siguientes raíces de la unidad: u,

u 2 , u ! , u 1 3 , u • v, (u • v ) 2 , , u " 1 , v " 1 , ü, v • v, u" 1 • "ü. In

dicar en cada caso un G n al cual pertenecen.

4 8 9

NOTAS DE ALGEBRA I

4 9 0

Subgrupos

Sea G un grupo, H un sub conjunto de G

Definición

Diremos que H es subgrupo de G si

s i ) H =h 0 ( o sea H no es va cío )

s 2 ) x, y e H implica x • y e H

s 3 ) x e H implica que x" 1 e H .

Ejemplos (Natos)

H = { 1 } y H = G son subgrupos de G .

E jemplo

Sea S1

C C* la totalidad de números complejos z que satisfacen | z | = 1 . (Geo mé tricamen te S 1 representa la circunferencia del plano comp lejo de radio 1 .) En tonce s

S 1 es subgrupo de C *

y

G n es subgrupo de S 1 .

E jemplo

Sea G un grupo y sea x e G . En tonc es

< x > = ( x m | m e Z }

es un subgrupo de G. En efecto,sigue de una proposición anterior.

E J E R C I C I O S

1 ) Probar q ue si H es subgrupo de G entonces para tod ox e H y tod o m e Z, x m e H .



APÉNDICE I

4 9 1

2 ) Sea H un subgrupo de G .

a) Proba r que 1 e H

b)-Probar que "vía" s 1) , s 2) , s 3) , H es un grupo "pers e " .

3) Sean H t y H 2 subgrupos de un grupo G. Probar que laintersección H, O H 2 es también subgrupo de G. Probar que H j U H ¡ es subgrupo de G si y solo si H t C H 2

Ó H 2 C H , .

4 ) Sea Q * = Q — { 0 } el grupo mu ltiplicativo de núm erosracionales no nulos.Probar que

H = ( q / q G Q * y q = u 2 4- v 2 c o n u , v 6 Q }

K = ( q / q G Q * y q = u 2 c o n u G Q )

son su bg ru pos d e Q * ta le s q ue K C H . ¿ E s H = K ?

Analizar la misma situación en R * = el grupo multiplicativo de núm eros reales no nulos. Tam bién en C *.

5 ) Probar que si G es un grupo, un subcon junto H de Ges un subgrupo si y solo si s i ) H # 0 y II ) x , y G H =>x « y 1 G H .

6 ) S ea G un g ru p o. S ea H = { a / a G G y V x , x G G : x * a == a • x } . Pro bar que H es un subgrupo de G : el centrode G. Calcular el centro de los siguientes grupos:

a ) S 3 (grupo de permutaciones de grado 3).b ) G L 2 (Q) (grupo lineal general de grado 2 sobre el cuer

po racional ) .

Vamos a calcular, según la afirmación hecha en un ejercicioprecedente, la intersección de dos subgrupos de raíces de la unidad.

Proposición

Sean n y m enteros posit ivos. Sea (n, m) el máximo comúndivisor de n y m. Entonces

G n H G m = G ( „ t m ) •



NOTAS DE ALGEBRA 1

Demostración

Probaremos las dos inclusiones I) y II) siguientes:

I ) G n n G m C G ( n , m ) . Sea x e G n H G m . E n t o n c e s x n = x m == 1. Por propiedades elementales del m áxim o común divisor existen enteros r, s tales que (n, m). = r • n + s • m.Por lo tanto podemos escribir

x ( n , m ) _ x r - n + s -m _ x r - n . x s - m _ ( x n ) r • ( x m ) s =

= V • l s = 1

o sea x e G(„ ; m ) , que es lo que queríamos probar.

I I ) G ( n . m ) C G n H G m . Sea xe G ( n m ) , en t on c es n = h • (n , m)ym = j • (n, m) con h, j enteros. Por lo tanto

x n _ x ( n , m ) • h _ ( x ( n , m ) j h _ ^ n = \

y análogamente x m = 1 , de manera que x e G n n G m .

La proposición resultará de combinar los resultados parciales I)

y ii).

Corolario

G nc G m si y solo si n/m (o sea n divide a m).

Demostración

G n C G m si y solo si G n Pl G m = G n . Por lo tanto si y solosi (n, m) = n. Por lo tanto si y solo si n/m.

Corolario

G nc

G n 2 •

Ejercicio

Pro bar qu e n e N es par si y so lo si —1 e G n .

4 9 2

APÉNDICE I

Aplicación

El polinomio XM

— 1 es divisible por el polinomio X " — 1si y solo si n divide a m.

Demostración

Si n divide a m entonces G n C G m . Por lo tanto toda raízde X " — 1 es raíz de X

M

— 1. Ahora puesto que las raíces deX " — 1 son distintas entre sí podemos asegurar que X " — 1 di

vide a X

M

— 1.Recíprocamente si X " — 1 divide a XM

— 1 se tiene

X M - 1 = ( XN - 1 ) • t( X )

lo cual dice bien que toda raíz de XN

— 1 es raíz de XM

— 1,lo cual equivale a decir que G n C G m , o sea n divide a m. El resultado queda probado.

Por ejemplo, si p es un número primo, entonces los divisores de X P " — 1 del tipo X

H

— 1 son exactamente

' X - l , X p - 1 , X p í - 1 , . . . , X P " - I .

Nota

Como complemento de la aplicación anterior digamos que siX N

— 1 divide a XM

— 1, entonces existe un polinomio concoeficientes enteros t( X ) tal que X

M

— 1 = ( XN

— 1) • t( X ) . Enefecto, recordemos al lector que en el anillo de polinomios K [X] ,

donde K es un cuerpo existe algoritmo de división, o sea dadosh ( X ) , t( X ) e K [ X ] , t( X ) ¥ =• 0 existen únicos polinomios q ( X ) yr ( X ) e K [ X ] , tales que

h ( X ) = t( X ) • q ( X ) 4 r ( X) donde

(*)

r ( X ) = 0 ó grado r ( X ) < grado t( X ) .

En el caso del anillo de polinomios Z [ X ] , con coeficientes en

teros, no es cierta en general la existencia de algoritmo de división, como el lector puede probar tomando h (X ) = X , t( X) = 2y mostrando la imposibilidad de escribir en Z [X] : X = 2 * q ( X ) .

Sin embargo si el divisor t( X ) es mónico [es decir, el coeficientede máximo grado de t( X ) es 1], entonces (*) es válido.Esta Nota nos permitirá deducir un resultado aritmético elemen-

493

NOTAS DE ALGEBRA I

tal, a saber: si el entero 2m — 1 es primo entonces m es primo.

E n e f e ct o , ra zo ne m os p or el a bsu rd o, sea m = k ' d , l < k < m .Entonces existe un polinomio con coeficientes enteros t(X) talque

X m - 1 = ( X k - 1 ) • t ( X )

y especializando X a 2 , resulta

2 m - 1 = (2 k - 1 ) • t ( 2 )

c o m o " t ( 2 ) e Z" , 1 < 2 k — 1 < 2 m - 1, se tiene una contradicción con el carácter de primo de 2 m — 1 . Nuestra afirmaciónqueda probada. Los primos de la forma 2 m — 1 se denominanprimos de Mersenne. Por ejemplo, lo son: 3 = 2 2 — 1 , 7 = 2 3 — 1 ,31 = 2 5 — 1, 127 = 2 7 — 1. Se ignora si existen infinitos primos de Mersenne.

Sea G un grupo finito. Si x e G enton ces las potencias

2 m w 3 n

no son todas distintas entre sí. En efecto, si lo fueran, G seríainfin ito. Por lo tan to existen e ntero s positivos r, s, r < s talesque x r = x\ o sea x s " r = 1. Hemos demostrado la

Proposición

Sea G un grupo finito. Para todo x e G existe un número natural j tal que x 1 = 1 .

Definición

Sea G un grupo finito. Sea x e G. Se denomina orden dex al menor j e N tal que x" = 1. (La existencia de un mínimo talj es asegurada por la proposición anterior y el Principio de Buena Ordenación de N, que asegura que todo subconjunto no vacío de N posee primer elemento en el orden natural de N.)

Proposición

Sea G un grupo finito y sea x e G un elemento de orden n.En ton ces el sub conju nto H = { 1 , x, . . . , x n _ 1 } de G es subgrupo de G de orden n.

4 9 4

APÉNDICE I

Demostración

H es obviamente no vacío, 1 e H. Sean x r e H y x ' e H con0 < r, t < n (Nota: escribamos x° = 1). Sea, en virtud del algoritm o de división en tera , r + t = q • n 4- j ,0 < j < n. Entonces

x r . x t = x r + t = x q -n + j = ( x n ) q , x . ¡ = x q . X J = X J

y como 0 < j < n, se tiene bien que x r • x 5 e H.Sea x r e H, 0 < r < n. Entonces x r • x n ~ r = x" = 1, por

lo que x n ~ r es inverso d e x r . Como 0 < n — r < n, x n _ r = ( x r ) - 1 e

H. Hemos probado que H es subgrupo y dado que los 1 , x , . . . ,x n _ 1 son todos distintos entre sí, H posee orden n. (Nota: lo sx 1 , i = 0, 1 , .. . . , n — 1 son distintos entre sí. E fectiv am en te,de no serlo, x> = x h con 0 < j < h < n, por lo tanto x H ~ J = 1y co m o 0 < h — j < n, se con trad ice el hec ho de que n es elmenor entero positivo tal que x n = 1.)

Notación

Sea G un grupo finito y sea x e G. Escribimos

< x ) = { l , x , . . . , x n - 1 } - H

y diremos que < x > es el subgrupo cíclico generado por x en G.

Definición

Diremos que un grupo finito G es cíclico si existe x e G talque G = < x >.

E jemplo

G j = { 1 } e s c í c l i c o .

G 2 — { 1, —1 } — <— 1> es c í c l i c o .

Proposición

Sea G = G n y sea x e G n . Entonces si x posee orden k setiene

I) ( x > = G k

II) k / n .

4 9 5

NOTAS DE ALGEBRA I

Demostración

I) < x > = { 1 , x, . . . , x k _ 1 } . Como x k = 1 se tiene que( x a ) k = ( x k ) a = 1, lo cual dice que cualquier potenciade x es raíz k-ésima de 1. Como ( x > contiene k elementos, está claro que < x > = G k .

II) G k C G n imp lica qu e k/n, según resulta de un Co rolario anterior.

Proposición

Sea p un núm ero primo y se an e N . Ento nces G p n es cíclic o.

Demostración

En virtud de un resultado anterior se tiene la cadena de subgrupos

G p C G p 2 C . . . C G p n - 1 C G p n

donde todas las inclusiones son "propias". Sea x e G ^ i . p e r ox / G n - i . Probaremos que x posee orden p n . x genera \m sub-g r u p o p < x > = G k . Como G k C G n , k es divisor de p n . Por lotanto k = p\ 0 < t <_n. S i fuera t < n , entonces t < n — 1 , conlo que x e G n -i en contra de la elección de x. Se sigue que xtiene orden pn, esto implica que Gpn = < x >, pues ambos grupos

tienen orden pn

. La proposición queda probada.

Demostración (bis)

G ^ consiste en la totalidad de soluciones de la ecuación

XP " - 1 = 0 .

S i n = l y x e G , x # l , el subgrupo < x ) generado por x tie

ne por lo menos dos elementos. Si x tiene orden d entonces< x ) = G d , con 1 < d y d/p. Sien do p primo deb e ser d = p , conlo que G p = < x ) y en este caso el resultado sigue. Sea pues 1 < aExiste entonces un polinomio 0 ( X ) tal que

XP" - 1 = ( X P N " 1 - 1 ) • 0 ( X ) y grado 0 ( X) > 0 .

4 9 6

APÉNDICE I

Sea w raíz de 0( X ) . Entonces w es raíz de X ^ — 1, o sea

w e G pn . Calculemos el orden de w. Si w posee orden t, entonces x genera en G p t l un subgrupo < x > de orden t, o sea < x ) = G t .Pero esto implica que t/p" y siendo p primo, se tiene t = p s

con 1 < s < n. Si fuera s < n resultaría w e G p S C G p n - i o sea ws er í a ra í z d eX P" 1 — 1. Como w es raíz de 0(X) concluiríamosque w es raíz doble de X P " — 1 , lo cual es un absu rdo. Por lotanto s = n, es decir w es un elemento cuyo orden p n , de manera que G p n = <x>. La proposición queda probada. Notemos quehemos probado además que G p n posee grado 0(X) = p n — p n _ 1 == p n - i (p—1) generadores.

Proposición

Sea n = n ! • n 2 tal que (n, , n 2 ) = 1. Entonces si G n j , G n

son cíclicos, lo mismo ocurre con G n . 2

Demostración

Sea x generador de G n i , e y generador de G ,^ . O sea

G n i = < x > ( G n 2 = < y > .

x • y es un elemento de G n . Vamos a calcular su orden. Sea

1 = (x • y ) h = x h • y h

es decir

x h = y - h e G n i n G „ 2 = { l }

dado que n , y n 2 son coprimos. Por lo tanto x h = y h = 1. Peroesto implica que nj /h y que n 2 /h, por lo tanto [ni , n 2 ] = ni • n 2

divide h. Com o tam bién (x • y) n> , n 2 = ( x n i ) " 2 * ( y " 2 ) " 1 = 1se concluye que n! • n 2 es el orden d e x •" y. Pero entonces

G n = < x • y > = grupo cíc l ico generado por x • y

dado que ambo s grupos poseen orden n = ni • n 2 .

4 9 7



NOTAS DE ALGEBRA I

Corolario

Para tod o n e N, G n es c íc l i co .

Demostración

Basta escribir m = p j ' . . . p ' k , p¡ primos distintos entre síy razonar inductivamente utilizando la Proposición anterior.

La demostración del hecho de ser G n un grupo cíclico puedesimplificarse uti l izando la "caracterización" trigonométrica deG n . En efecto, se t iene

G n = ( w 0 , w, , . . . ,w n _ , )

donde

W j = eos ( j . ^ j + i . s e n f j . ^ )

j = 0 , 1 , . . . , ( n - 1 ) .

En virtud del Teorema de De Moivre se tiene

wi = [ c o s ( ^ ) + i . S e n ( ^ - ) ] J =

por lo tanto w, es "generador" de G n , es de cir G n = ( w ^ .

Ejercicio

Enco ntrar todo s los generadores de G 2 , G 4 y G 5 .

Nota

Es fácil dar ejemplos de grupos finitos no cíclicos. Sea primeramente G un grupo. Formemos el producto cartesiano G 2 == G x G consisten te en la totalidad de pares ordenados (a, b ) cona y b en G. (a, b) = (a' , b') si y solo si a = a' y b = b' . Existeen G 2 una estructura natural de grupo dada por

4 9 8

APÉNDICE I

(a , b ) • (a ' , b ' ) = (a • a ' , b • b ' ) -

Dicha ley de composición en G 2 es asociativa, la identidad es( 1 , 1) y además (a, b) _ 1 = ( a - 1 , b _ 1 ) . La estructura de grupodefinida sobre G 2 se denomina el producto directo de G por símismo. Más generalmente se pueden tomar dos grupos arbitrarios G y H y definir el prod ucto dire cto G x H en forma análoga, pero dado que nuestra intención es dar solamente un ejemplo, dejamos de lado la generalidad. Sea primeramente G = G 2 .El producto directo G 2 x G 2 es un grupo finito de orden 4,

pero no es un grupo cícl ic o dado qu e todo elemen to (a, b ) e G 2

satisface (a, b) 2 = ( a 2 , b 2 ) = (1, 1) = 1 o sea todo elementotiene orden 2, lo cual no es cierto en un grupo cíclico de orden4 , donde hay elementos x tales que x 4 = 1, x 2 4 1. El lectorpuede demostrar que cualquiera sea n e N, el producto directoG n x G no es cíclico. Más generalmente G n x G m es cíclico siy sólo si (n, m) = 1.

E jercic io

Probar que un grupo cícl ico es necesariamente conmutativoUsar este hecho para dar otros ejemplos de grupos finitos nocícl icos . Probar que U(Z*) no es c íc l ico .

Nota (Para el lector informado). La demostración dada de queel grupo G n de raíces enésimas de la unidad es cíclico es completamente general y es válida en todo cuerpo algebraicamente cerrado de característica 0 ó de característica p 4 0 tal que p no divi

de a n. El mismo razonamiento sirve para probar que si K es uncuerpo finito entonces el grupo multiplicativo K* es cícl ico. Enefecto, si K es finito su cardinal es pm con p primo. Se sigue delteorema de Lagrange que todo elemento de K* satisface la ecuación xp m - i - 1 = 0 con lo que K * = G pm_j es c íc l ico .

Proposición

Todo subgrupo de Gn

es de la forma Gt

con t /n.

Demostración

G n es cíclico, luego existe x e G n tal que < x > = G n . SeaH un subgrupo de G n . Puesto que x n = 1 e H,

4 9 9

NOTAS DE ALGEBRA I

(* ) { i | X ' € H } C N

es no vacío . Sea m minimal en (* ) . Entonces x m e H y m esel m enor nú mero natural con esa propiedad.Afirmamos que x m genera H. Es claro que < x m > C H. Sea y e H.Como y e G n = <x> es y = x h con h e N. Por el algoritmo de división es

h = m • q + r

0 ^ r < m .

Por lo tanto

x r — x h - m .q _ x h . x - m - q —

= x h • ( x m p e H

pues xh

e H por hipótesis y xm

e H.Co mo r < m se sigue que r = 0 ó sea h = m * q .Pero entonces

y = x h = ( x m ) q

lo cual muestra bien que

H C < x m >

En definitiva < x m > = H.Pero notemos que hemos probado además que

x h e H => m / h .

Puesto qu e x " = 1 e H se sigue qu e m / n.Ahora

n

1 = Xn

= ( Xm

)m

dice que x m t iene orden t < - jj¡ . Vea m os que es exac tam ente •— :si fuera t < — se tendría

m

1 = ( x m ) l = x m t

5 0 0

A P É N D I C E I

5 0 1

y como x genera G n debe ser

nn s m t o s e a — < t

mm

un ab surdo. Se sigue que x m t iene orden t = — .n

Por lo tan to H = G t con t /n y la proposición queda probada.

Corolario

Sea p primo y n e N. Los subgrupos de G n son exactamente

{ 1 } C G p C G p 2 C . . C G p „ .

Raíces primitivas

Definic ión

Sea G un grupo f in i to . Diremos que x e G esgenerador.de Gsi G = < x >. O sea G = { 1 , x , x 2 , . . . , x " " 1 } y G posee orden n.

Definic ión

z S G„ se dirá una raíz prim it iva de la unidad (de orden n)

si z es un generador de G n .

•Ejemplos

I )G j = { 1 } ; l e s raí z p ri m iti va d e o rd en 1

I I ) G 2 = { 1 , — 1) ; —1 es la única raíz primitiva de orden 2.

I I I ) G 3 = j l , | ( - 1 - i • y / 3 ) , i ( - 1 + i - y / 3 )j j l a s d o súltimas son raíces primitivas de orden 3.

I V ) G 4 = { 1 , — 1 , i , — i} ; i y —i son raíce s primitivas deorden 4.

http://esgenerador.de/

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NOTAS DE ALGEBRA I

Proposición

Sea z raíz primitiva de orden n. Si z m = 1 ento nce s n /m.

Demostración

En virtud del algor itmo d e división en Z se tiene m = q • m + nd on de q, r e Z y 0 < r < n . P or lo t an t o

Si r = 0 entonces n/m y nada hay que probar. Si 0 < r entoncesr e N. Como G n = < z >, z tiene orden n (es decir n es el menor positivo tal que z " = 1) de be ocurrir que n < r. Per o esto es unabsurdo pues r satisface r < n. La Proposición quedó así demostrada.

Corolario

Sea z e G n , raíz primitiva de orden n. Sea k e N.

Entonces si (k,n) = 1, o sea k y n son coprimos, z k esraíz primitiva de orden n.

Demostración

Sea h el orden de z k . Es decir h es el menor entero positivo tal que (z k ) h = 1, o sea z k h = 1. Siendo z raíz primitiva deorden n , se tiene que n/k • h. Co m o (n, k ) = 1 , n debe dividir a h, y así n < h. Por lo tanto z k genera un subgrupo de G n

que tiene por lo menos n elementos. La única posibilidad es queG n = < z k >, con lo que z k es raíz primitiva de orden n. Recíprocamente, con la misma notación precedente se t iene la

Proposición

S i z k es una raíz primitiva de orden n entonces (k, n) = 1.

Demostración

Razon emos por el absurdo. Supongamos que (k , n) = d > 1 .Entonces

1 = z1m = z q - n +r = ( Z nj q . z r = z r _

n k n k

(*) (z 1k ) t T = z d . = ( z n ) d = 1

5 0 2

APÉNDICE I

dado qu e d/n y d/k. C om o z k es primitiva de orden n, se sigue de (*)que n < - j , lo cual es un absurdo pues 1 < d.

CorolarioÍ2ir\ (2n\

Si W j = eos J + i • sen \~^~ f entonces, si k e N es co-

primo con n, w k = w k es raíz primitiva de orden n.

Demostración

Y a vimos que w , es raí z primitiva de orden n. El Corolario es conse cuen cia inmed iata de la propo sición anterior.

Corolario

Sea p primo. Entonces si z e G p y z ^ 1 , z es raíz primitiva de orden p.

Demostración

Se sigue de la penú ltima propo sición que si p es prim o, ento nce spara todo k, 1 < k < p, (k, p) = 1.

E jemplo

Sea n par. Sea z e G n raíz primitiva de orden n.

Entonces z 2 = — 1 .

En efec to ,

0 = z " - 1 = ( z 2 - 1 ) • ( z 2 + 1 ) .

Por lo tanto uno de los factores debe ser 0. El primero no puede ser, por ser z raíz primitiva de orden n. Luego es el segundo,y eso es lo que queríam os probar.

5 0 3



NOTAS DE ALGEBRA 1

z 1 1 = 1 com o es fáci l de verificar. Por lo tan to z e G n . Nospreguntam os, ¿será primitiva de orden 1 1 ? Co m o 11 es un número primo será suficiente probar que z # 1. Ello está claro dado

Ejemplo

Sea

que no es múlt iplo "e n te ro " de 2ir. Otra forma de ver quez es primitiva de orden 11, se obtiene escribiendo

/ 22ir 1 4 TT\ / 22?r 14TT \z = eos I — =— I 1+ i • sen I 1- 1 =

V 1 1 1 1 / V 1 1 1 1 /

5 0 4

Ejemplo¿E s la recíp roc a del ejemp lo anterior válida? O sea si n es

p ar , y z í G„ s atis face z 2 = — 1 , ¿es z raíz primitiva de ordenn? (Sug. :busque en G 6 . )

Ejercicio

Sea z e G 8 , raíz primitiva de orden 8. Pro bar que si z + z _ ] = y

entonces y 2 = 2.

Ejercicio

Probar las siguientes afirmaciones:

I) z e G n si y solo si z e G n (z denota el conjugado).

II ) ¿Qué relación hay entre z y z _ 1 , z e G n ?

I I I )z e G n es ra íz primitiva de orden n si y solo si lo es z.

IV ) Si z es raíz primitiva de dos órdenes m y n, e nton cesn = m. (Su g. :usar el Corolario " G p C G m - = > n / m " . )

APÉNDICE I

que de acuerdo con lo visto anteriormente es raíz primitiva deorden 11.

E jemplo

Sean p y q ente ros positivos coprimos. Sea

eos

Entonces

I) si p" es par, z es ra íz primitiva de orden q.

II ) si p es impar z es raíz primitiva de orden 2p .

En efecto, basta escribir/ 1 2TT \ (1 2TT \

caso I ) z = c o s | — p ' l + i ' s e n I — p * 1

V2 q / \2 q /1observar q u e— p y q son coprimos.

2( 2ir\ / 2ir\

caso II) z = eos ^p • ^ — J + i • sen ^p • J

observar que p y 2q son cop rim os.

E jemplo

Sea z raíz primitiva de orden n y sea d divisor de n.Entonces z n ' d es raíz primitiva de orden d.

En efecto , es c laro que ( z n / d ) d = 1. Sea ( z ^ ) 1 1 = 1, 0 < h , entonces z™ ,á= 1 , y por una proposición anterior, n / ^ , o sea

nh= k • n

d

es decir

h = k • d o sea d/h .

Se sigue que d < h. Es to prueba qu e z n / d es de orden d.

5 0 5

NOTAS DE ALGEBRA I

5 0 6

Aplicación I

Sea p primo. Entonces si z es raíz primitiva de orden p l ,1 < t ; z p , z P 2 , . . . , z P t - 1 son entonces raíces primitivas deórdenes p t _ 1 , p t _ 2 , . . . , p respec tivam ente.

E jemplo

Suma de las raíces enésimas de 1. Probaremos que en C

2 g = 0 si K n .geG n

En efe cto , sea w una raíz enésima primitiva de 1 . Ento nc es G n

consiste exactamente de las potencias de w

1 = w° , w 1 , w 2 , . . . , w n _ 1

por lo tan to (dado que w 4 1)

1 1 - 1 • w n _ -i 02 g = 2 w 1 = i - = = 0 (Todas las

g€G n .=o w - 1 w ~ 1

operaciones hechas en C).

E jemploSum a de las raíc es primitivas de orden 6 . S ea w una raíz

primitiva de orden 6. Entonces

w 3 es raíz primitiva de orden 2.

w 2 y w 4 son raíces primitivas de orden 3.

w y w 5 son raíces primitivas de orden 6.

Teniendo en cuenta el ejemplo precedente, podemos escribir

0 = 1 + w + w 2 + w 3 + w 4 + w 5 =

= (1 + w 3 ) + (1 + w 2 + w 4 ) - 1 + (w + w s ) =

= 0 + 0 — 1 + w + w 5



APÉNDICE I

y resulta

w + w s — 1 .

Nota

Lo anterior muestra que en G 6 existen dos raíces w y w 5 tales que su suma pertenece a G 6 . Dejamos como ejercicio para ellector encontrar todos los n G N tales que en G n existen x, y con

x + y G Gn

.

Ejercicio

Hallar la suma de las raíces enésimas primitivas de 1 en los casos siguientes: n = 9, n = 12, n = 15, n = p • q (primos distintos).

Ejercicio

Sean G y H grupos. Recordemos que un morfismo de G enH es por defin ición, una aplicación f : G -+ H tal que f( x • y) == f(x) ' f(y). Si f es inyectiva (resp. sobreyectiva) decimos que f esun monomorfismo (resp. epimorfismo). Si f es biyectiva decimosque es un isom orfism o. Si G = H y f es un m orfism o de G en Hdecimos que f es un endomorfismo.

I) Sean nGN y Z n el grupo de restos enteros módulo n.

Probar la existencia de un isomo rfismo Z n — G n , para todo n GN .

I I) P robar qu e cualquiera sea n e N y k e Z la aplicación f k : G n -*• G n definida por fk(x) = x k esun morfismo.

III) ¿Para qué enteros n e N es "la aplicación" x -> x n

de S 3 en S 3 un morfismo?

IV ) Sean k y n com o en II). Probar que f k : G n G n esun isomorfismo si y solo si (k, n) = 1.

m

V) Sean n, m e N, n/m. Probar que la aplicación x ->• x n

define un epimorfismo de G m en G n .

5 0 7



NOTAS DE ALGEBRA I

V I) Deducir de V )q u e si p es primo la aplicación x -»• x p ,es un epimorfismo de G ^ en G p n - i .

VII) Sea f : G n -*• G n un m orfismo. Probar que f = f k ,k e N. (O sea, los endomorfismos de G n son de laforma x ++• x k . )

VIII) Sea f : G -*• H un m orfismo de grupos. Se define Núcleo de f, Nu(f) = { x/x G G y f (x ) = 1 } .S e defineImagen de f, Im (f ) = y/y e H y existe x e G co n

y = f( x ) . Probar que N u(f) e Im (f) son subgruposde G y H respectivamente. Sea f k : G n -*• G n el morf ismo definido en i i ) . Determinar N u ( f k ) e I m ( f k ) .

E jercic io

¿Es cierto que el producto de dos raíces primitivas de órdenes respectivamente iguales a m y n, es una raíz primitiva de

orden m • n? (Re sp . :N O . )

Ejercicio

Sea G un grupo arbitrario. Sea para cada k G N, f k : G -* G laaplicación definida por f ( x ) = X * , si x G G .

I) Dar un ejem plo de grupo G donde se verifique que para al

gún k la aplicación f k no sea un mo rfism o.

II) Probar que si f 2 es mo rfismo enton ces G es un grupo conmutat ivo.

III) Probar que si f 3 es un epimorfismo entonces G es conmutativo.

IV ) Proba r que si para tres naturales k consecutivos, f k esmorfismo, entonces G es conmutat ivo.

V ) Proba r qu e si para algún k, f k y f k + 1 son epimorfismosentonces G es conmutat ivo.

5 0 8

A P É N D I C E I

Aplicación I I

Sean G n y G m grupos de raíce s de la unidad. Sea G n . m el grupo de raíces: n • m-ésimas de 1 . Co m o n/n • m se tiene queG„ C G n . m y G m C G n . m . Hemos probado entonces que dadosdos grupos de raíces de la unidad existe un grupo de raícesde la unidad que contiene a ambos.

Aplicación I I I

Probaremos el siguiente resultado interesante: Sea G un subgrupo de C * finito. Entonces G = G n , para algún n conveniente. En efecto si G es finito todo elemento del mismo tiene orden finito. O sea, si x e G existe h e N tal que x h = 1 , lo cual dice que x e G n . Es decir todo elemento de G está contenido enalgún grupo de raíces de 1.Como G es finito se tiene que existen índices h,, . . . , h t talesque G C G n . U G „ 2 U . . . U G^ . Pero por Aplicación I I ,existe n e N tal que

G h j U G h 2 U . . . U G h t C G n

y así es subgrupo de G n . Pero por una Proposición anterior, todosubgrupo de G n es de la forma G m . Esto prueba nuestra afirmación.

Polinomios ciclotómicos

Definición

Sea n S N. Se denomina polinomio ciclotómico de orden nal polinomio real mónico cuyas raíces son exactamente las raíces primitivas de la unidad de orden n. Se lo indica co n$ n = ( X ) .

Recordemos que si w es raíz primitiva de 1 de orden n, enton ces para to d o k € : N , l < k < n t a l que (k , n ) = 1 , w k es raíz

primitiva de 1 de orden n. Por lo tanto hay tantas raíces primitivas de orden n co m o ente ros k, K k < n tales que (k, n ) = 1 .Este número se indica con <¿>(n) y entonces n •** <p(n) define

una función a valores enteros denominada función de Euler ofunción indicadora de Euler.

5 0 9

NOTAS DE ALGEBRA I

Ejemplo 1

rti)= i, i * 2 ) = 1 , * ( 3 ) = 2 , *<4) = .2,

* ( 5 ) = 4 , * ( 6 ) = 2 , s p ( 7 ) = 6 , * ( 1 2 ) = 4 .

Es claro que si p es primo, entonces i¿>(p) = p — 1 .Se t iene entonces que para tod o n £ N e l polinomio ciclo-

tó m ic o \ tiene grado </>(n).

Ejemplo 2

* , ( x ) = x - l , <í> 2(x) = x + 1 , * 3 ( x ) = x 2 + x + 1 ,

* 4 ( x ) = x 2 + l , $ s ( x ) = x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 .

Demostración

Procederemos a demostrar el teorema haciendo inducción sobre n.

Sea n = 1, <í> j ( X ) = x — 1 y el teorem a es cie rto . Sea 1 < n;notemos que toda raíz enésima de 1 es raíz primitiva de orden kpara algún k < n; por ejemplo si w es raíz sexta primitiva de launidad, entonces todas las raíces sextas de la unidad son 1, w,w 2 , w 3 , w 4 , w s y se tiene

w 2 es raíz cúbica primitiva de 1

w3

" " cuadrada primitiva de 1w 4 " " cú bica primitiva de 1w* " " sex ta primitiva de 1 .

Por lo tanto

Teorema3>„(X) S Z [X ] para todo n G N .

5 1 0

APÉNDICE I

X 6 - 1 = ( X - l ) ( X - w 2 ) ( X - w 4 ) ( X - w 3 ) ( X - w )

( X - w 5 ) =

= * , (X) • 4> 3 (X) • $>2 (X) • <í>6 (X) = " * d (X).

Podemos escribir en forma completamente general

x n - 1 = n <% (X) = d>n(X) • n 4> d(X).d/n d/n

d<n

Ahora, por la hipótesis inductiva

<í> d(X )G Z [X] si d/n y d < n

por lo tanto su producto. Notemos que cada polinomio ciclo-tómico es mónico, por lo tanto el factor II í>d es mónico. Di-

d/nd<n

vidiendo en Z [X], X n —1 por este polinomio, se obtiene un polinomio en Z [X], pero éste no es ocra cosa que < P n (X) . Nuestraafirmación queda probada.

Aplicación

Siendo Xn—1 = n <£d (X) se tiene tomando grados en ambosmiembros d ' n

n = g r ( X n - l ) = 2 *(d)d/n

identidad conocida en teoría elemental de números.El teorema fundamental sobre polinomios ciclotómicos es que

Vn G N, $ n ( X ) es irreducible en Z [X] y Q [X]. Este hecho es demáxima importancia en teoría algebraica de números. Su demostración no es elemental. (Véase Borevich-Shafarevich: NumberTheory y Capítulo VI, Polinomios con coeficientes enteros.)

Ejercicios

1 ) Probar las siguientes propiedades de la función de Euler:

a) V (n • m) = (n) • <fi (m) si (n, m) = 1

b) "P ( p n ) = p n — p n _ 1 si p es primo.

511

NOTAS DE ALGEBRA I

5 1 2

2) Calcular < f > ( 1 2 ) , * ( 1 0 0 ) , * ( 4 0 0 ) .

3 ) Escrib a todo s los polinom ios ciclotómicos <£>„ , con n < 2 0 .

4 ) G p -

Sea p primo. Sea

G p i C S 1

entonces por definic iónG p - = U G p i .

S e tienen las siguientes propiedades de G p » :

a) G p- es un grupo inf inito

b ) S i H es subgrupo de Gp» entonces

H = { 1 } , H = G p¡ para algún i ó H = Gp».

c) T od o subgrupo propio de Gp» es f in i to y c í c l i co .

d) G p. es un grupo divisible o sea si x € G p ~ y n E NE x i s t e y £ G p » ta l q ue y " = x .

Demostración

a) resulta de ser G p- unión de una familia infinita estrictamente creciente de grupos.

b ) S ea H G p». En tonce s para algún i G N, Gpi <t H (puessi para todo i G N

G p i C H

resul taría H = G p» ) •

S ea m = m i n { i | Gpi <£ H } .

S i m = 1 entonces G p <t H, por lo tanto

APÉNDICE I

G pnH= { 1 } ( ¿ p o r q u é ? )y análogamente

G pinH= { 1 }pues G p C G p i y un Corolario an terior. Por lo tan to

{ 1 } = Ü ( G p i OH)= Ü G p i P l H =i=i i=i

= Gp~nH= H .

Si m > 1 entonces

( * ) . G p m - , C H .

Como H n G pm es subgrupo de H y de Gpm se sigue de(*) que

H f) G p m = G p n , - i •

(Aqu í usam os el he ch o de que los ún icos subgrupos de G p m

so n G p C G p 2 C . . . C G p m - i C G p m ) .Por lo tan to

H = H O G p - = H n Ü G p i =

= H n U G p i =

= U H n G p i =

'•='

[y como H n G p i = G p r por ser subgrupo de G p ¡ , co nGpt C H se sigue que r <, m — 1 cualquiera sea i , por lot an t o ]

m - lH= U = G p m - i

i»«i

com o quer íamos probar .

5 1 3



NOTAS DE ALGEBRA I

Problema (respuesta desconocida)

¿Es cierto que si G es un grupo infinito tal que todo subgrupo prop io es cíc lico ento nces G =• G p ~ para algún p?

Si G es conmutativo la respuesta es sí (ver Notas de Algebra, Cursos y Seminarios de Matemática. Fase. 22).

Complemento: El Teorema de Lagrange.

Puede ser interesante incluir en este apéndice, dado el carácter introductorio que el mismo tiene a la teoría de grupos, unteorema elemental de mucha utilidad en teoría de grupos finitos . Su demostración es una simple aplicación de la propiedadde las relaciones de equivalencias (véase el apéndice II) de de

terminar una partición en el conjunto sobre el cual está definida.Sea entonces G un grupo finito de orden n G N. Sea H un

subgrupo de G. H es un grupo finito y posee orden m G N. Podemos enunciar el

5 1 4

c) es consecuencia de b)

d) Notemos que d) equivale a probar que para todo n G Nel m orfismo x x n de G p ~ en sí mismo es sobreyectiva.Si (n, p) = 1 el morfismo

x f * x n

aplica biyectivamente

Gpi en G p i

cualqu iera sea i G N .

Se reduce entonces a considerar el morfismo

x + * x p

de G p i en G„i • x **• x p es un morfismo sobreyectivo de G p¡+i

en G p i ; por lo tanto así lo es x •*• xp

de G p ~ en G p » .



APÉNDICE I

Teorema de Lagrange

m / n (o sea m divide a n ) .

Para demostrar este teorema iremos probando resultados parciales. Primeramente observamos que H determina una relaciónde equivalencia en G . En efe cto sean x , y £ G .

D e f. : x ~ y si y solo si x • y - 1 E H .

Dejamos como ejercicio para el lector probar que efectivamente ~ es una relación de equivalencia en G. Calculemos el conjun to co cien te G/ ~ , o sea el con jun to de todas las clases deequivalencias de ~.

Sea a E G, entonces la clase de equivalencia de a respecto de ~ es

G a = { x / x ~ a } = { x / x - a" 1 E H } .

Ah ora x • a - 1 E H es equivalente a decir que existe h E Htal que

x • a - 1 = h o tamb ién x = a • h .

Podemos entonces decir que

G a = { x / x = a • h para algún h E H } .

Res ulta útil d enotar a la totalidad de mú ltiplos a • h conh E H por a • H.

Entonces

G a = a • H = totalidad de m últiplos a derecha de a porelementos de H.

De aquí surge inmediatamente una propiedad:

Lema

Para tod o par de elementos a y b en G , a • H es coordina-ble a b • H.

5 1 5



NOTAS DE ALGEBRA I

5 1 6

Demostración

Las aplicaciones

f : a • H -*• b • H definida por f(a • h) = b • h

g : b • H a • H definida por f(b • h) = a • h

que satisfacen

f o g = i d b . H , g o f = i d a . H

muestran bien que a • H es coordinable a b • H.Se sigue en particular que si e es identidad de G en ton ces

V a , a G G , a • H es coordinable a e • H = H.

Sea { a j , . . . , a s } en G un con junto de representantes de lapartición determinada por ~ . O sea G = (aj • H) U . . . U (a s *H )

con (a j • H) O (aj • H ) = 0 si i ^ j . Por lo tanton = Card(G) = Card(ai • H) + . . . + Card(a s • H ) =

= Card(H) + . . . + Card(H) =

= m • s

lo cual muestra bien que m divide a n. El número s de clases

de equivalencias se denomina el índice del subgrupo H en G.Hemos pues probado que orden e índice de H dividen al ordende G.

Nota

El teorema de Lagrange se refiere exclusivamente a gruposfinitos.

Aplicación

Sea p un número primo. Entonces todo grupo finito de orden p es cícl ico y (por lo tan to) isom orfo a G p .

A P É N D I C E I

Demostración

Sea x G G con x e (el elemento neu tro de G ) . Sea < x > elsubgrupo de G generado por x : < x > = { e, x , x 2 , . . , x 5 " 1 } ,s = orden de < x >.

Por Lagrange, s divide a p. Siendo p primo caben las posibilidades s = 1 ó s = p. Veamos que s = 1 es imposible, en efect o , < x > con tiene e y x , con x ^ e, por lo tan to s > 1 .

Se sigue que s = p. Pe ro esto implica que < x > es to d oG : G = < x >. G es pues c íc l ico .

Corolario

Sea P prim o. T od o grupo finito de orden p es conm utativo.

Demostración

En ef ecto , es c íc l ic o , por lo tan to conm utat ivo.

Corolario

To do grupo finito de orden < 5 es conm utativo.Una consecuencia importante del teorema de Lagrange es la

siguiente propiedad cuya demostración dejamos a cargo del lect o r :

Corolario

Sea G un grupo finito. Sea x € G. Entonces el orden de xen G divide al orden de G .

Por ejemplo en G 6 , si w es raíz primitiva de la unidad degrado 6, se tiene

w tiene orden 6

w 2 t iene orden 3

w 3 tiene orden 2w 4 tiene orden 3

w 5 tiene orden 6

1 tiene orden 1

5 1 7

NOTAS DE ALGEBRA I

tod os divisores de 6 .Notemos finalmente que si G es un grupo finito de ordenn y m es un natural que divide a n, no es necesariamente cierto que haya en G un subgrupo de orden m. O sea la recíproca del teorema de Lagrange no es cierta. Pero lo es en casosparticulares, por ejemplo si m es primo.

Preguntas de este tipo han dado lugar a bellos teoremas como son los Teoremas de Sylow.

Ejercicios

1 ) Sea G un grup o. Sean H y K subgrupos finitos de G deórdenes r y s respectivamente. Probar que si (r, s) = 1enton ces H O K = < 1 >.

2 ) Prob ar que si f: G -*• G ' es un mo rfism o de grupos yx & G posee orden m entonces f(x) posee orden finitodivisor de m.

3) Probar que si (n, m ) = 1 ento nce s el ún ico morfismo deG n en G m es el trivial.

4 ) ¿Es cierto que en G n para todo divisor m de n existe enG n un subgrupo de orden m?

5) Sea G un grupo finito de orden n. Probar que para tod ox 6 G, x n = 1 .

6 ) Probar que si p es un primo en Z , ento nces para tod oentero m ^ 0 mod(p), es x* 5 - 1 = 1 mod(p). (Sug. uti l i zar 5) en G = Z*) .Probar que el grupo Z* con p primo, es cícl ico.

7 ) S ea para cada n G N , i^(n) la fun ción de Eu ler. Probar que si m es un entero coprimo con n, entonces

m * <n> = 1 mo d(n)

(Teorema de Euler-Fermat . ) [Sug. : Uti l ice 5) en U(Z„)] .

[Referencias: a) M ostow, G. D., Sampson, J. H. y Meyer, J. P.Fund am ental Structures of Algebra, Me Graw Hill , NY (1 9 6 3 )

5 1 8



APÉNDICE I

b ) Herstein, I. N., Topics in Algebra Blaisdell Publ . (1964).

c ) Rotman, J. J. An Introduct ion to the Theory of Groups,Al lyn and Bacon, (1965) . ]

Ejercicios

1) En con trar las raíc es primitivas en G„ con n = 1 , 2, 3,4 , 5 , 8 , 1 2 , 1 6 , 2 4 .

2) Caracterizar los siguientes gruposI ) G p » n G p » con p y q prim os,

I I ) G a ~ n G 3 6 ,

I II) G 2 ~ • G 3 - = { x • y/x G G 2 ~ , y € G 3 - } .

3) Determinar los órdenes de las siguientes raíces de la unidad :

2k* 2krra) eos h i • sen para k = 4 , 5 , 27 , 9 91 8 0 1 4 4

2k:r 2krrb) eos + i • sen para k = 10 , 2 0 , 3 5 , 6 0

1 4 4 1 4 4

2k?r 2k?rc) eos 1- i • sen para k = 1 2 , 2 1 , 35 .

125 125

4) Determinar

a) todas las ra íces de la unidad de orden 7 conten idasen G 2 8 .

b) todas las raíces de la unidad de orden 5 conten idasen G 2 S .

5) Sea w una raíz primitiva de la unidad de orden 2n. Calcu

lar la suma en C,1 4 w 4 w 2 4 . . . 4 w n _ 1 .

6) a) Calcular la suma de todas las raíces enésimas de 1.

5 1 9



NOTAS DE ALGEBRA I

b) Calcular la suma de las potencias k de todas las raíces

enésimas de 1.

7) Calcular las sumas siguientes:

2w 2TT 2ín — l l i ra ) eos + 2 - e o s — + . . . . + ( n - l ) • eos

n n v ' n2 * 2ir 2(n — I V

b) sen + 2 • sen — 4 - + ( n — 1 ) • senn n n

8) Calcular la suma de las raíces primitivas de la unidad deórdenes 10, 15, 18, 20, 30 respect ivamente.

9) Calcular el producto de todas las raíces enésimas de 1.Calcular el producto de todas las raíces enésimas primitivas de 1.

10) Calcular sen 18°, eos 18°.

1 1 ) Sea w una raíz primitiva de la unidad d e orden n. Probar la identidad

n-l

n (a 4- b • w«) = a n + ( - 1 ) " " J • b " .

1 2 ) Hallar los núm eros com plejos z que satisfa cen , en cada

casoa ) z n = z c ) (z + l ) n - ( z - l ) n = 0

b ) z n = z 2 n d ) (z + i ) n - ( z - i ) n = 0

1 3 ) Sea z un n úm ero com plejo y sea X n la totalidad de raíces enésimas de z. ¿Para qué valores de z es X „ , con e lprod ucto ordinario de com plejos, un grupo? ¿Cu ántoselementos t i ene X„?

1 4 ) Calcular

(~ X + 2 ^ ) p a r a n = 1 1 . 1 7 . 3 1 , 1 0 0 , 1 0 0 0 .

5 2 0



APÉNDICE I

-1 si 3 no dividea m .

1 6 ) S e a G n • G m = { x • y / x e G n e y e G m ) .Probar

a) que G n • G m es un grupo (siempre con respecto alproducto ordinario de complejos) por lo tanto es unG t .

b) ¿En qué casos es G n • G m = G m ?

c) Calcule G 2 • G 6 , G 2 • G 4 , G 2 • G 3 , G 4 • G 3 , G s • G 5 .

d) Probar que G n C G n • G m y G m C G n • G m y además que

G n * G m = G [ n m ]

En particular si (n • m ) = 1 es

G n * G m = G „ . m

17) Probar que si w es raíz primitiva de la unidad de orden nentonces satistace

n -ln = I I ( l - w ¡ ) .i = l

[Su g.: An alice el polino m io derivado de X n — 1 =

= í í (X-w 1) .]

1 8 ) Probar que si n y m son coprim os, enton ces

a) si w y u son raíces primitivas de 1 de órdenes n y mrespectivam ente, w • u y w/u son raíce s primitivasde 1 de orden n • m .

5 2 1

2 si 3 divide a m

1 5 ) Probar que

NOTAS DE ALGEBRA 1

b) que los polinomios X" — 1 y Xm

— 1 tiene n una solaraíz en común.

19 ) Sea <p(n) la función indicadora de Euler. Probar que sin = p j . . . p{k co n los p , , . . . , p k primos, distintosentre sí , entonces

* (n ) = n • (1 - p " 1 ) • (1 - p - 1 ) . . . (1 - p ; 1 ) .

2 0 ) Probar que el núm ero de ra íces primitivas de la unidadde orden n es un número par si 2 < n.

2 1 ) Si p es un núm ero prim o, calcular el polinomio c iclotómico 4> P ( X ) .

22) Si p es primo calcular el polinomio ciclotómico «J>pm ( X ) ,m e N.

2 3 ) Probar que si n es impar, 1 < n entonces <í>2n ( X ) = <t>n (—X).

2 4 ) Sea ju(n) la suma de todas las raíces primitivas de ordenn, de la unidad

a) Probar que ju( n ) = 0 si n es divisible por el cuad radode un número primo (o sea si n posee factores múltiples = £ 1 ) . (Sug . analice primero el caso n = p m , p prim o)

b) /n(n) = 1 si n es p ro du cto de un n úm ero par de pri

mos distintos.

c ) M(n) = —1 si n es pro du cto de un nú me ro impar deprimos distintos.

d) ju(n • m ) = u(n) •u(m) si (n, m) = 1.

/i(n) se denomina la función de M óbius, de gran importancia en teoría de números. Es una función arit

mética en sentido de d).

2 5 ) Probar que si 1 < n

2 M(d) = 0d /n

5 2 2

APÉNDICE I

5 2 3

(suma tomada sobre todos los divisores positivos d de n).

26) Establecer la siguiente identidad:

* „ ( X ) = n ( X d - l ^ T ) •d n

27) Calcular <t>n(l), $„(-!)•

28) Las funciones <¿> (n) y ¿t(n) de Euler y Móbius respecti

vamente, se relacionan según la identidad2 d • , i(£)= y>(n).

d n

Dar una demostración de esta igualdad. (Sug.: Tomar grado en 26.)



APÉNDICE II Algebra de conjuntos

1 . La noción de conjunto

Por una propiedad (o atributo) P entendemos una sentencia de nuestro lenguaje que es predicable respecto de cualquierobjeto x de nuestro universo en forma de una proposición P(x)[vale decir, P(x) es una sentencia a la cual puede asignárseleuno y sólo uno de los valores siguientes: verdad — falsedad].

Por ejemplo "es un vegetal " es una propiedad P, pues si x esun objeto cualquiera, la sentencia P(x) dice "x es un vegetal" ,y por lo t a n t o , P(x) t iene uno y sólo uno de los valores antedichos [si x es un gato, entonces P(x) es falsa; si x es un pin o , entonces P(x) es verdadera].

En matemática, por un conjunto ( también: clase, familia)

entendemos una colección de objetos definida por una propiedad P: los objetos x tales que P(x) es verdadera (o como sueledecirse, los objetos que tienen la propiedad P).

A s í , la propiedad del ejemplo anterior define el conjuntode los, vegetales.

Sin embargo, esta noción intuitiva de conjuntos conduce inmediatamente a paradojas lógicas, como la siguiente, debida aBertrand Russell "Es hombre y no se afeita por sí m i s m o " es,sin duda, una propiedad; por lo tanto, define un conjunto C:el conjunto de los hombres que no se afeitan por sí mismos.Ahora bien, Russell afirma que hay un barbero que afeita atodos los hombres que no se afeitan por sí mismos y solamen

te a tales hombres. Si investigamos si el barbero pertenece o

n o al conjunto C surge el problema. En e fec t o , si el barbero pertenece a C, entonces no se afeita por sí mismo; luego es unhombre afei tado por el barbero , es decir , por sí m i s m o , conlo cual no pertenece al conjunto C. Por otra parte, si el barbero no pertenece a C, entonces se afeita por sí mismo; luego es un hombre afei tado por el barbero , con lo cual no se afeita por sí mismo y así, pertenece a C.

Paradojas análogas a las precedentes condujeron a Russell yotros matemáticos a realizar un estudio exhaustivo de las ba

ses de la matemática y la lógica, elaborand o las l lamadas teoríasaxiomáticas de conjuntos. En estas investigaciones Kurt Gódelha desempeñado un papel decisivo.

En realidad, al algebrista no le interesa directamente unadefinición rigurosa de conjunto , así c o m o t am p o c o le ocupa unadefinición rigurosa de número real . Su interés es el estudio de

5 2 5



NOTAS DE ALGEBRA I

EjemplosJL _L

1 e N, 0 f N, 0 e Z, 1/2 f Z, 1/2 e Q, (2) 2 i Q , ( 2 ) 2 e R ,

l - i ¿ R , 1 - i e C , X 2 - l ¿ C, X 2 - l e Z [ X ] , 1/4 X 2 - 1 ¿ Z [X ],

1 / 4 X 2 - l e Q [ X ] , X 2 - V " 2 t f Q l X ] , X 2 - i ¿ R [ X ] , X 2 - i e C [ X ] ,

l e G „ , O ^ G n , ^ G n .

Si A es el conjunto de números enteros divisibles por 3,entonces —6 e A y 8 i A. Si B es el conjunto de polinomios degrado 3 a coeficientes enteros, entonces X 3 e B , 2X 2 + 3 4 B ,(3/4) X 3 + X i B , 0 i B , X 3 + X 2 + 5 e B.

Si A es un conjunto definido por la propiedad P se acostumbra a indicar esta situación en la forma

5 2 6

las propiedades de las operaciones que pueden definirse sobre

estos entes; es más cuestión de fisiología que de anatomía.Pasemos a las cuestiones de notación. Los conjuntos seránindicados con letras latinas mayúsculas y sus elementos con letras latinas minúsculas. Omitiremos el usual abuso de notaciónde acompañarlas con índices y tildes.

Ejemplos

Con N, Z, Q, R, G, indicamos los conjuntos de números na

turales, enteros, racionales, reales y complejos, respectivamente.Z [ X ] , Q[X] , R[X] , C[X] , denotan los con juntos de pol inomiosen la indeterminada X a coeficientes en Z, Q, R y C, respectivamente. G n indica el conjunto de raíces enésimas complejas dela unidad. S 1 es la circunferencia unidad del plano complejo(el conjunto de números complejos de módulo uno).

La proposición " x es un elem ento del co n ju n to " será considerada equivalente a las proposiciones

" x es miembro de A "" x pertenece a A "" A contiene a x "

y será indicada por x e A. Su negación ("x no pertenece a A")será indicad a por x é A .



APÉNDICE II

A { x ; P ( x ) } = { x / p ( x ) )

(léase: A es el conjunto de x tales que x satisface P).

E jemplo

Si A es el conjunto definido por la propiedad "x es un número real po sit ivo", enton ces A = { x ; x e R y x > 0 } . Si Aes el conjunto definido por la propiedad "x es un número entero p ar" , enton ces A = { x ; x e Z y 2 / x } .

G n = { x ; x e C y x n ' = 1 } .

S 1 = { x ; x e C y . | x | = 1 } .

Si & i ; a 2 ; . . . ; a n son todos elementos del conjunto A,entonces A = {x ; x = a j ó x = a 2 ó . . . ó x. = a n } ; pero suele indicarse más sencil lamente por (aj , a 2 , . . , a n j , así el con junto de los núm eros naturales menores que cinco es { 1 , 2, 3 , 4 } yel con junto de enteros de módu lo menor que 2 es {— 1 , 0, 1} ;también es claro que

Ejercicios

1) E n lugar de : colocar el signo c ó í , según corresponda,en las situaciones siguientes:

yj^ t {TT , 2 , X 2 ) y que iré {T T , 2 , X 2 } .

a) (1 - i ) 2 : R

b ) - 1 C

Q

1 + V

d) we) (sen i r,

e) (sen 7r/ 4)Q

f ) i 7 6

g) ( l - i ) 3

U, 1 /2 , -11

{ 3 + 4 i , 4 + 4 i , - i ) .

5 2 7

NOTAS DE ALGEBRA I

2 ) De scribir en varias form as, con la no tació n del clasificador, los siguientes conjuntos:

a) El con junto de enteros impares.

b ) El con junto de enteros primos.

c) El con jun to de raíc es cuadradas de núm eros reales(no negativos).

d) Los polinomios en una indeterminada X , a coeficientes enteros, de grado 2 y con término constante

n u l o . .e ) Los ejes real e imaginario del plano com ple jo.

f) El conju nto de números irracionales.

g) El con junto de enteros cuadrados per fectos .

h) El con jun to de naturales pares, divisibles por 7 ymenores que 30.

i) Los números reales positivos no m ayore s que y /2~.

j ) Los polinomios en una indeterminada X , de grado2 y término constante cero formados con coeficientes del conjunto {y/T, 0 , 1 } . ¿Cu ál es el resultado si se tom a el con junto {y/2~, 1 ) ?

3 ) Sea n e N un núm ero par y sea A = { x ; x e Z y | x | < 2 }Describir el conjunto B = { ax ; a e A y x e G „ } com oel conjunto de raíces de pol inomios en Z [ X ].

4 ) Determ inar los conjun tos de números reales que hacenverdaderas las sentencias siguientes:

a) x 2 - 4 < 0

x 2 - 4b ) = x + 2

x - 2c ) l o g 1 0 x (x — 1 ) < 0

( x - l ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) _ i

( x - l ) ( x - 2 ) ( x - 3 )

5 ) Rep asar los ejercicios sobre núm eros com plejos del est i lo : determ inar los con junto s del plano com plejo definidos por . . .

5 2 8



APÉNDICE 11

6) Sea

A = { x ; x e R y ex is ten a, b e Z ta le sq u e x = a + b>/"2~]

a) Probar que

x , y , e A impl ica { x + y e A ,x — y e A, x • ye A ] .

¿Es cierto que si x e A y x 0 en tonc es x _ 1 e A ?

b ) ¿Cu áles de las relacio nes siguientes son verdaderas?(Just i f ique)

1 e A, 0 e A, -y/2e A, (1 + y/J)' 1 e A, y/3e A,

2 + vr 3 e A , ( l/ 2 ) - v / r 2e A, (y/2)- 1 e A, (3/4yj~2 e A .

7 ) ¿Cuáles de las afirma ciones siguientes son verdaderas?

a) p e Z es primo si y solo si p e { x ; x e Z, x 4 0 y parato do z, y e Z , x / z • y = > x / z ó x / y )

[do nd e si a, b e Z, a ¥= 0 , con a/b de no tam os la proposición a divide (en Z ) a b ] .

b ) p e Z es núm ero p rimo si y solo si

p e { x ; x e Z, x 4 0 y para todo par m e Z, n e N,

x/m" => x/m } .

Nota sobre la paradoja de Russell

La nota siguiente servirá para confundir al lector:La paradoja del barbero descrita al comenzar esta sección

es una variación intuitiva de la paradoja (formal) de Russell si

guiente: Consideremos los conjuntos A con la propiedad A í A,es decir los conjuntos que no son elementos de sí mismos, porejemplo A = { 1 , 2, 3 } t iene esa propiedad. La idea intuitivade conjunto nos lleva a pensar en (atención! ) : " el conjuntode todos los conjuntos que no son elementos de sí mismos" .Llamémoslo R, entonces

5 2 9



NOTAS DE ALGEBRA 1

R = {A/A i A }La paradoja de Russell consiste en mostrar que R es contradictorio . En efecto , (admit iendo tal "conjunto" R) nos preguntamos : ¿ R e R ? . S i suponem os que R e R e nto nce s R es elemento del conjunto de todos los conjuntos que no son elementos de sí m ismo, o sea R ¿ R .

Se tiene el esquema lógico siguiente:

í R e R R ^ R

l R e R .

Se deduce entonces que R 4 R. Pero si R ¿ R, R es un conjunto que no es e lemento de s í mismo, por lo tanto R e R .Se tiene el esquema lógico

R í R => R e RR i R

S e d ed u ce en to n c es q ue R e R .Por lo tanto se tiene la proposición verdadera

R e R y R ¿ R

lo cual es una contradicción, y es la paradoja de Russell .Lo único que podemos decir para librarnos de la paradoja

de Russell es que, contra lo que sugiere la intuición, R no esun conjunto. Digamos también que la noción de "conjunto detodos los conjuntos" es contradictoria. Por lo tanto se debe elegir de antemano un conjunto (un buen conjunto) y trabajar dentro de él sistemáticamente. Es el punto de vista del conjuntouniversal que adoptaremos en el resto de la exposición. De otro

mod.0 será necesario recurrir a las teorías axiomáticas de conjuntos, una de cuyas bondades es precisamente eliminar las paradojas. No obstante la situación es delicada y toca los fundamentos mismos de la matemática. (El lector interesado puedeconsultar el l ibro de Stephen C. Kleene, Introduction to M eta-mathematics, 1 9 6 2 . )

5 3 0



APÉNDICE II

2. C onju nto universal, relación de inclusiónDe aquí en adelante supondremos fi jado un conjunto U,

que l lamaremos conjunto universal (o conjunto referencial), sujet o a desempeñar el siguiente papel : todo conju nto que se co nsidere estará formado por elementos de U exclusivamente. Másprecisamente, si A es un conjunto entonces, para todo objetox, es verdadera la proposición

x e A x e U •

Hemos decretado que U es la "materia prima" con la cual"construiremos" nuestros conjuntos. Por ejemplo, si pretendemos estudiar propiedades de los números reales es razonable tomar a R como conjunto universal; el propósito de definir raízcuadrada nos cond uce a considerar el co nju nto R > 0 0 de los números reales no negativos, el propósito de hacer un algoritmo dedivisión fi ja nuestra atención en el conjunto Z de los númerosreales enteros.

La preocupación de considerar únicamente conjuntos cuyoselementos se obtienen de un conjunto (universal), previamentefijado, permite evitar las paradojas mencionadas en un principio, como los lógicos enseñan. Una tentación natural es fi jar unconjunto universal "muy grande" de una vez por todas: el conjunto de todos los objetos. Sin embargo, tal agregado no es unconjunto en el sentido axiomático, y nuevamente aparecen lasparadojas.

Nuestro primer propósito es introducir un método que nos

permita "c om p ar ar " con juntos . En este sentido es úti l saber cuando todo elemento de un conjunto es miembro de otro conjunto dado.

Definición

Se dice que un conjunto A está contenido en un conjuntoB si para todo objeto x (de U! ) es verdadera la proposición

x e A => x e B •

También se dice que A está incluido en B, A es un subconjunto de B, A es una parte de B, B contiene a A, o B incluye a A .Se emplea la no tació n A C B .

5 3 1

NOTAS DE ALGEBRA I

EjemplosTomando C como conjunto universal son válidas las inclusio

nes siguientes:

N C Z, Z C Q , Q C R , R C C , { 1 , 2 } C U , 2, 4 , 7 } , { x ; x e R y

x > 1 { C 1 x ; x e R y x > 1 ¡ C { x ; x e R y x > 0 { , la / b ;

a, b e Z, b # 0 y b/a } C Z .

La negación de A C B (existe un objeto x tal que x e A y x 4 B )se indica A <X B .

Ejemplos

Tomando C como conjunto universal se t iene

Z C Z N , Q < Z Z , R ( 2 Q , C C Z R , [ 1 , 2 1 (t {2 , 3 ¡ (X { 1 , 2 } , S1

<Z R ,{ x ; x 2 = 0 } <£ N , { x ; x e Z y 2 /x } <£ ( x ; x e Z y 6 / x} .

Definición

Se dice que el conjunto A es igual al conjunto B si A C B yB C A. Esta situación se indica A = B y su negación (A <t B oB % A) con A 4 B .

S i A C B y A ^ B s e dice que la inclusión A C B es estricta.

Ejemplos

Sea U = N, sea X el conjunto de los números naturales pares y sea Y el conjunto de los números naturales de cuadradopar. Entonces es X = Y. En efecto, probemos primeramente queX C Y . Sea n e X; entonces existe k e U tal que n = 2k. Luego

n 2 = (2k ) • (2k ) = 2 ( 2 k 2 ) ; por lo tanto, n 2 es par y esto demuestra que n e Y.Y C X: Sea m e Y; puesto que l 2 = 1 es imp ar, es claro qu em ^ l ; por lo tan to m — 1 es un núm ero natural,m = m 2 — m (m — 1 ) , siendo diferencia de dos núm eros pares espar, por lo tanto m e X . Nuestra afirmación queda probada.

5 3 2



APÉNDICE II

Sea U = C, y sea X C U la totalidad de raíces (complejas)de polinomios reales [o sea, u e X si y solo si existe un polinomio real P(x) tal que P(u) = 0] . Entonces U C X.En efecto , seaa = bi e C, a e R y b e R. Se t iene

[x - (a + bi) ] [x - (a - bi)] = x 2 + 2ax + (a 2 + b 2 )

por lo tanto a + bi es raíz de este último polinomio, o sea

a + bi e U.

Ahora, la inclusión recíproca es válida; por lo tanto U = X.

Proposición

Dados conjuntos A, B, C, se verifica

Demostrac ión:

r) y a) son consecuencias triviales de las definiciones de C e=. Las hipótesis de t) dicen para todo objeto x e U

de donde puede inferirse lícitamente (silogismo hipotético)

r)

a)t )

A C Á

A C B y B C A => A = BA C B y B C C ' A C C .

x e A => x e B

x e B =» x e C

x e A => x e C

Corolario

Dados conjuntos A, B y C se verifica

r) A = A

s) A = B => B = A

t ) A = B y B = C = > A = C

5 3 3



NOTAS DE ALGEBRA I

5 3 4

NotaEn matemática, los métodos de comparar objetos que gozan

de las propiedades r), a) y t) , como la inclusión de conjuntos,son de gran importancia y reciben el nombre de relaciones deorden parcial. Asimismo, tienen fundamental interés las relaciones entre objetos con las propiedades r), s), y t), como la igualdad de conjuntos, l lamadas relaciones de equivalencia. Del estudio de las relaciones nos ocuparemos en un apartado posterior.

Si U es el conjunto universal fi jado entre todos los conjuntos que nos es permitido considerar se encuentra el propio U.En efecto, queda definido por cualquier propiedad P tal que P(x)es una proposición verdadera y cualquiera sea el objeto x (lo quese dice una propiedad universalmente válida o una propiedadtautológica). Por ejemplo, la propiedad que para cada objeto xafirma " x es igual a x " define el con junto U; empleando la notación del clasificador U = {x; x = x] . Desde luego, U puede admitir otras descripciones; por ejemplo si U = R, en tonce s U = { x ;x 2 >0) = { x ; x + l e R } .

Por razones de conveniencia introduciremos el conjunto vacío denotado por 0 definido por la proposición

x e U «*• x ¿ U.

Notemos que cualquiera sea x e U,la proposición

x ¿ 0

es verdadera. En efecto, si x e U entonces x 4 U es falso, por lotanto la implicación

x e U => x ¿ U

es falsa (antecedente V y consecuente F), por lo tanto

x ¿ { z ; z e U => z ¿ U } = 0

Intuitivamente hablando es el conjunto sin elementos. Procediendo de esta manera, las propiedades contradictorias [aquellaspropiedades P tales que P(x) es falsa para cualquier objeto x deluniverso] definen también conjuntos; precisamente el conjuntovacío 0 . Por ejemp lo, la propiedad " x es distinto de x " es contradictoria; y así 0 = { x ; x # x } . Por supuesto , 0 puede admi-

APÉNDICE II

5 3 5

tir otras descripciones; si U = R; entonces 0 = { x ; x2

< 0 } == { x ; x + 1 i R } .

Queda a cargo del lector la demostración de la siguiente

Proposición:

Para todo con junto A se verifica que 0 C A y A C U.

Ejercicios

1) Fi jando un con jun to referencial U exhiba cuatro conjuntos A , B , C y D tales que A C B , C C D , A Í C , C Í A ,B ^ D y D Í B .

2 ) Muestre que tom and o un con junto referencial de tres elementos» U = { a , b, c } , pueden construirse cua tro conjuntos en las condiciones de 1). Para ello, considere pri

meramente todos los conjuntos posibles que pueden construirse a partir de U y compárelos mediante la relaciónde inclusión. Analice los casos en que U tiene un elemento y dos elementos.

3) Si U es el universo y A un conjunto cualquiera se verifica

A = 0 A C 0

A = U o U C A .

4 ) Cualquiera sea x e U se verifica

y e { x } o y = x

{ x } == 0

{ x } = { y } ~ x = y •

5) Sea e l con junto A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } C Z

Determinar los subconjuntos siguientes de A :

{ x ; x 2 e A l

{ x ; 1 + X 6 A )

NOTAS DE ALGEBRA I

x; x es cuadrado perfecto en A}x ; x es i m p a r }

x ; x es prim o)

x ; 3x = 1}

x ; x 2 < 1 6 }

x ; x es divisible por 4 }

x ; x es produ cto de primos distinto s}

x ; 1 — x es mú ltiplo de 4 }x ; x es divisible por 2 ó por 3

x ; 3x < 3 }x; 1 + x + x 2 e A }x ; (x + l ) 2 = x 2 + 2x + 1}

x; x = 2 k , k e N }

x ; x 3 < 1 0 0 }

x ; ( l / 2 ) x ( x + 1 ) e A }x ; x 2 = 0 }

x ; x - l ¿ A }

x / 10 < x 2 < 2 0 }x / 2 X < x }

x ; x 2 + 3x + 2 = 0 }

x ; x 2 - 3x - 1 0 = 0 }

x ; x 2 - 3x - 1 0 < 0 }x ; x • (1/2) e Z}x ; ( l ( - l ) x e N }

3 . Algebra de conjuntos

Y a hemos aprendido a "co m pa ra r" conjun tos; trataremos aho

ra de "operar" con el los , así como "operamos" con los números reales, mediante la suma y el producto. En efecto, las operaciones que definiremos para conjuntos tendrán ciertas propiedades formales, algunas de las cuales (leyes conmutativa, asociativa y distributiva) serán las ya conocidas para la suma y el producto de números reales. La analogía más estrecha, sin embargo,

5 3 6



APÉNDICE II

Definición

Se denomina intersección de A con B al conjunto A Pl B dado por

A O B = { x ; x e A y x e B } .

Otra operación natural consiste en construir un conjunto empleando, los o bjetos tan to de A com o de B . Aprovechando la disyunción lógica se tiene

Definición

Se denomina unión de A con B al conjunto A U B dado por

A U B = { x ; x e A ó x e B } .

Finalmente, pueden considerarse los elementos de U que noestán en un conjunto dado A para formar un nuevo conjunto.Esta operación queda interpretada por la negación lógica:

Definición

Se denomina complemento de A al conjunto A' dado por:

A ' = { x ; x ¿ A } .

( * ) V é a s e , p o r e j e m p l o , P . R O S E M B L O O M : T h e e l e m e n ts o f M a t h e m a t i c a t L o g i c .C a p í t u l o s I — I I .

537"

se presenta con las operaciones lógicas ya introducidas: conjunción, disyunción y negación. Se demuestra en cursos un pocoavanzados, (*) que el álgebra de proposiciones y el álgebra deconju ntos, son la misma persona con d iferentes d ifraces.

Recalcamos nuestra convención de suponer fi jado un conjunto universal U. Sean A y B dos conjuntos; una operación natural consiste en formar un nuevo conjunto con los elementos queA y B tienen en común; la conjunción lógica y el clasificadornos permiten formular matemáticamente esta idea:

MOTAS DE ALGEBRA 1

5 3 8

Ejemplosa) S e a U = { a, b , c , d ) . A = { a , c , d } B = { b , c )

entonces A n B = B P i A = { c }

A U B = B U A = U

A ' = { b } B ' = { a , d ) .

b ) Sea U com o en a ), c o n A = ( b , c } y B = { a } .

A O B = B P>A = 0

A U B = B U A = < a ,b , c {

A ' = { a , d } B ' = { b , c , d } .

c) N = U, A = núm eros naturales divisibles por 2, B = nú

meros naturales divisibles por 3.

A fl B = núm eros naturales divisibles por 6

A U B = núm eros naturales divisibles por 2 6 por 3

A ' = núm eros naturales impares

B ' = núm eros naturales no divisibles por 3 .

Por e jemplo: 12 e A n B; 15 e A U B; 81 e Á' ; 8 e B '

d) U = R , A = números reales mayores que — 1, B = números menores o iguales que 1.

A Pl B = números reales u, que satisfacen — K u < 1

A U B = R

A ' = núm eros reales u, que satisfacen u < —1

B ' = núm eros reales u, que satisfacen 1 < u .

e ) S ea U = Q c o n A = { x / 2 n ; x e Z , 2 | X y n e N } y B = Z.E n t o n c es :



APÉNDICE II

A n B = 0

A U B = { x/ 2 n ; x e Z y n > 0 ; n e Z }

A ' = { x / y ; x , y e Z , y * 0 ; ( x , y ) = l , y * { 2 n . ; n e N } }

B ' = fracciones propias.

Para fijar las ideas será útil hacer uso de los llamados diagrama de Venn. Tomamos un cuadrado del plano y en él representa

mos cada conjun to por los puntos de un círcu lo.Las operaciones ya definidas se traducen en los siguientesdiagramas de Venn:

A '

Recalquemos que estos diagramas tienen por única utilidad,ayudar a la intuición y en modo alguno pueden ser empleadoscomo métodos de demostración de proposiciones matemáticasconcern ientes a con jun tos. Incluso desde el punto de vista gráficoson inconsistentes. Por ejemplo, hemos convenido en representar

5 3 9



NOTAS DE ALGEBRA I

5 4 0

cada conjunto por los puntos de un círculo contenido en un cua

drado; pero entonces el complemento no es un círculo. Además,hay un conjunto que solo puede ser representado por el cuadrado! (el universo U ) .

Ahora, pasamos a estudiar las propiedades de las tres operaciones definidas entre conjuntos.

Teorema

Cualesquiera sean los subconjuntos A, B, C, D de U son váli

dasa) Leyes conmutativas : A D B = B n A ; A U B = B U A

b) Leyes asociativas:

A n ( B n c ) = (A n B ) n c

A U ( B U C) = (A U B ) U C

c) Leyes idem po tente s: A Í 1 A = A ; A U A = A

d) Ley es distributivas:

A n (B u C) - (A n B ) u (A n c )

A U (B n C) = (A U B) n (A U C)

e) Leyes cónicas : A U A ' = U

A H A ' = 0

f ) U es elemento neutro de ft : A n U = A

0 es elemento neutro de U : A U 0 = A

g) Involutividad de ' : (A ') ' = A

h ) U ' = 0 ; 0 ' = U

i) Leye s de D E M O R G A N :

(A O B ) ' = A ' U B '

( A U B ) ' = A ' n B ' .

APÉNDICE II

5 4 1

Demostración

Probaremos solamente la primera ley de DE MORGAN, elresto queda como ejercicio para el lector. Las demostracionesson similares en todos los casos.

u e (A O B )' «=» u i A n B

u ^ A H B <=> u 4 A ó u 4 B

u 4 A ó \ x4B <=>• u e A ' ó u e B '

u e A ' ó u e B ' •*=> u e A ' U B ' .

Por lo tanto hemos probado que

u e ( A O B ) ' <=> u e A ' U B '

cualquiera sea u e U. Desdoblando esta equivalencia en

u e (A n B ) ' => u e A ' U B ' y

u e A ' U B ' => u e ( A H B ) '

se obtienen las inclusiones

( A n B ) ' C A ' U B ' y

A ' U B ' C (A n B ) '

o sea (A n B ) ' = A ' U B ' , que es lo que queríamos demostrar.En virtud de las leyes asociativas escribimos

A n B n c = A n ' (B n c ) = ( A n B ) n c

A U B U C = A U ( B U C ) = ( A U B ) U C .

Ejercicios


a) í A n B C A y A n B C B

í C C A y C C B => C C A Í 1 B

54 2

b ) [ A C A U B y B C A U B

i A C C y B C C A U B C C

c) A C B « A n B = A ^ A O B D A

d) A C B < » A U B = B » A U B C B

e) A C B » A n B ' = ^ A ' U B = U .

2 ) Interp retar los axiom as de la lógica clásica en térm inosdel álgebra de conjuntos. Por ejemplo, las leyes de la contradicción y del tercero excluido corresponden a las leyes cónicas.

3) Señalar en un diagrama de Ve nn de tres con jun tos A, BC los siguientes conjuntos:

a ) A P i ( B U C ) b ) ( A f l B ) U C

c ) A ' n ( B ' u c ' ) d ) ( A n B ' ) n c 'e ) ( A U B ) ' n (C U B ' ) ' f) A n [B ' U (C O A ' ) ' ] ' .

4) Sea U el con junto de núm eros naturales; A , el subconju nt o de núm eros naturales pares; B , el con jun to de números naturales im pares; C, el con jun to de núm eros na-rales divisibles por 5. Determinar los conjuntos

a j A H C b ) A ' c ) A ' n c d ) C e ) A ' n C

f ) A U C g )A 'U C h) A ' U C i ) B ' U C

5 ) Sea U = R . Sean a e R , b e R .

Se llama intervalo abierto de extremos a y b al conjunto

] a, b [ = (a, b ) = {u ; a < u < b } (es 0 <» b < a ) .

Se llama intervalo semicerrado a izquierda de extremosa y b al conjunto

[ a , b [ = [a , b ) = { u ; a < u < b } ( e s 0 « » b < a )

APÉNDICE II

543

Se llama intervalo cerrado de extremos a y b al conjun

to

[a , b] = { u/a< u b < a)

Se llama intervalo semicerrado a derecha de extremosa y b al conjunto

J a, b] = (a, b] = ¡u/a < u < b} (es 0 b < a).

a) Escribir el signo de inclusión que corresponda:

(3/8 , 7/5) (1/3 , 8/3)

(N /2~, TT) (7/5 , 22/7) .

b) Intercalar 5 intervalos semicerrados a derecha en (3/53/4) C (1/2 , 1).

Intercalar n intervalos, n e N, cerrados.

c) Hallar

[ -1, 8/9] n (-1,8/9]

[ -1, 8/9) U (-1, 8/9]

[ - 1 , 1 ) ' n [0,1]

ND [1/2,17/4].

d) Estudiar las intersecciones de intervalos.

6) Dados conjuntos A y B se define el conjunto A — B como

A — B = A H B'

a) A — B = { x; x e A y x ¿ B } ; representar A — B enun diagrama de Venn.

b ) A - B = í « A C B

A - B = A « A n B = U

NOTAS DE ALGEBRA t

5 4 4

c) A - B = A - (A H B )

d) A = (A n B ) U (A - B ) y (A O B ) O (A — B) = 0 .

7 ) Sea a e R , se definen

I ) se m ir re cta a d ere ch a ce rra da [ a , + » ) = { x ; x e R ya < x }

II ) semirrecta a derecha abierta ( a, + °°) = { x ; x e R y

a < x }I I I ) se m ir re cta a iz qu ie rd a ce rra da (— °°, a ] = { x ; x e R y

x < a}

I V ) sem irrecta a izquierda ab ierta (—°°, a) = f x ; x e R yx < a }

Se tienen las propiedades siguientes:

[a, + o o )» = ( — o o , a ) ( a , + o o ) » = ( - o o > a ] .

Calcular

[a , + °°) H (c, + oo) si a < c

[a, + oo) n (—oo, b ] .

Probar

R — {a } = (—00, a) U (a, + 00).

4 . Conjunto de partes de un conjunto

Dado un conjun to X puede construirse un nuevo con junto ,tomando como elementos lo s subconjuntos de X, llamado el conjunto de partes de X. Más precisamente:

Definición

El conjunto de partes de X es el conjunto P(X) definido por

Se P(X)«> S C X .

APÉNDICE II

Empleando la notación del clasificador, la definición dada

puede formularse así :

P (X ) = { S ; S C X } .

Como en esta discusión interesan los subconjuntos de X ysolo ellos, es claro que X puede ser tratado como conjunto universal.

E jemplo

Sea X = {a , b , c } ; entonces P( X ) = { 0 , { a } , {b } , { c } ,{ a , b } , { a , c } , { b , c } , { a , b , c } ) .

Analicemos más detenidamente este ejemplo. Para ello construyam os la tabla siguiente:

Subconjuntos a b

V f v

ÍF' F j v

FA F < -

F 1F

{ a , b , c }

{ a , b }{ a , c }

{ a }

( b )

í b , c }

{ c }

Esa tabla muestra que el núm ero de elementos en P( {a , b , c } )se obtiene por dicotomías (partición en 2). De esta manera, elnúmero total de elementos de ( {a, b, c] ) es 2 • 2 • 2 = 2 3 . Conesta idea en mente es posible probar el siguiente

T e o r e m a :

Si n es un entero no negativo y X es un conjunto de n elem entos, entonces P( X ) es un conjunto de 2 " elementos.

Demostración

Si n = 0, entonces la situación es trivial, pues P (0) = Í0 ! y2 o = 1 .

5 4 5



NOTAS DE ALGEBRA I

Sea n e N y procedamos por inducción en n. El caso n = 1se resuelve fácilmente; si X t iene 1 elemento entonces P(X) ={0 , X ¡ es un conj unto de 2 elementos.

Supongamos la proposición cierta para h e N y sea X unconjunto de h + 1 elementos. F i jemos un elemento u e X y procedamos a clasificar los subconjuntos de X, esto es, los elementos de P(X), según que contengan o no a u como elemento.Con precisión, definimos sub conju ntos P, y P 2 de P(X) en laforma

Pj = ! S ; S C X y u í S ]P 2 = { S ; S C X y u e S l

que tienen las propiedades

Pj U P ; = P ( X ) ; P, H P 2 = 0 .

Luego, P! y P 2 const i tuyen una "buena c lasi f icación" de los

sub conju ntos de X , ya que sus propiedades nos aseguran que elnúmeros de elementos de P(X) es el número de elementos n!de Pi , más el núm ero de elemen tos n 2 de P 2 .

Si Y es el subconjunto de X obtenido suprimiendo el eleme nto u de X (Y• = X - {u } enton ces P, = P (Y ).

Lu ego , co m o Y tiene h e lem entos, aplicando la hipótesis ind ucti va resu l ta n ! = 2 " .

Por otra parte, es fácil verificar que P 2 se obtiene agregandoa cada miembro de V x el elemento u: P 2 = { S U { u } ; S e P x } ,

con lo cual n 2 = n x.Por lo tan to , n , + n 2 = 2 ^ = 2 • 2 h = 2 h + 1 .Invocando el Principio de Inducción se concluye con la de

mostración del Teorema.

E jerc ic ios :

1 ) a) C omp arar (es decir colocar el signo de inclusión o igual

dad que corresponda a los conju ntos siguientes:

5 4 6

P (A O B )

P(A U B)

y

y

P (A) n p ( B )

P (A) n P ( B )

APÉNDICE II

P(A ') y [P (A )] ' [esta últi

ma ' se refiere al com plem ento en P ( U ) ] .

b) Probar que A = B si y solo si P( A ) = P (B ).

2 ) Probar que cualquiera sea el núm ero natural n, y cualesquiera sean A, e P(N ), A 2 e P(N), . . . , A n e P(N) existeA e P(N) distinto de todos los A j , . . . , A n .

3) En P( { 1 , 2, 3, 4 , 5, 6 } ) ¿cuán tos subcon juntos contie

nen a 3? ¿Y a 3 y 4? ¿Y a j elemen tos, 0 > j < 5?

4 ) Sea X = ( 1 , 2 , . . . , n }

a) Determinar el número total de subconjuntos de X queno contienen a un elemento dado de antemano.

a.') Determinar el número total de subconjuntos de X quecontienen a k elementos dados de antem ano (0 < k < n ).

b) Sea 0 < k < n. Determinar el número to tal de subconjun tos de X que contienen a lo sumo k elem entos.

5 ) S ean A c U y B C U ; s e llam a d iferen cia s im étr ic a d e Ay B al subconjunto A + B de U definido así :

A + B

A + B = (A H B ') U (A' n B )

Probar

a) A + (B + C) = (A + B) + C cualesquiera sean A , B ,C e P (U ). [P(U ) den ota el con junto de partes de U.]

5 4 7



NOTAS DE ALGEBRA I

B B

A + ( B + C )

b)A + B = B + Ac) A + 0 = A

d )A + A = 0

[Las propiedades a), b), c) y d) expresan que P(U) con la operación de formar la diferencia simétrica es un grupo conmutativo,0 es el elemento neutro y el inverso de A es el mismo A, osea A = —A.]

Otra operación que consideraremos en P(U) es la conocidainters ección , que por el m om ento indicaremos con • (A • B == A Pi B), por la razón que el lector verá inmediatamente.

Propiedades conocidas de • son

a') A • (B • C) = (A • B ) • C

b') A • C = C • A

c') A • U = A.Pr ob ar a hora que es válida la ley distributiva de • res pe cto

de + :

e ) A • (B + C) = A • B + A • C .

[En la terminología del álgebra abstracta, se dice queen P( U ) las operaciones + y • define n, en virtud delas propiedades a), b), c) y d), a ' ) , b' ) , c ' ) , y e, una estructura de anillo conmutativo. Se lo denomina el anillo de subconjuntos de U o el anillo de Boole de subconjuntos de U. Consúltese el Capítulo V.]

f) Probar (en caso de que U tenga más de un elemento) la

5 4 8



A P É N D I C E I I

5 4 9

existencia de A y B e P(U) tales que A =¿ 0 , B = 0 yA • B = 0 .

g) Probar que todo elemento de P(U) es i d e m p o t e n t e , esdecir satisface

Á 2 = A • A = A.

h ) ¿Qué elem entos A en P(U ) poseen inverso multiplicativo, es decir, existe B tal que A • B = U ?

[U es la unidad de • , pues A • U = A para tod oA e P(U). ]

i ) Sea C un subconjun to f i jo de U. S i M = {A ; A e P(U) yA n C = 0 } , enton ces M con las operaciones de diferencia simétrica e intersección también es un anil lo, ytiene la propiedad

A e P (U ) y B e M «• A * B e M

o sea es un ideal de P(U).

Además, C e M si y sólo si C = 0

N o t a p a r a e l l e c t o r i n f o r m a d o : Un anillo A se dice un a n i l l od e B o o l e o a n i ll o b o o l e a n o si para cada x e A s e verifica

x 2 = x.

Se prueba que todo ani l lo de Boole es conmutat ivo [en efect o , notemos primeramente que en un anil lo de Boole, x = —xcualquiera sea x : (x + x ) 2 = x + x im plica x -I- x = 0 y asíx = —x. S ean x, y en un anillo de B ool e, (x + y ) 2 = x + yimplica x • y + y • x = 0, por lo tan to x • y := —y • x = y • x . ]Además un anil lo booleano con identidad todo elemento distinto de la identidad es divisor de cero [en efecto, si 1 denota laidentidad y x pertenece al anil lo, x # 1 se t iene x J - x = 0 ó seax • (x — 1 ) = 0 con (x - 1 ) # 0 y así x es divisor de ce ro ]. Encursos más avanzados se demuestra que todo anil lo booleano es

un ani l lo de conjuntos (Teorema de M. Stone) .

Con referencia al Teorema de Stone consultar Paul R. Halmos,L e ct u re s o n B o o l ea n A l ge b ra s . V a n N o s t r a n d A í a t h e m a t i c a l S t u -d i e s N 0 1 ( 1 9 6 3 ) .



NOTAS DE ÁLGEBRA I

5 . Producto cartesiano de conjuntos

Dados dos objetos cualesquiera x e y, necesitamos introducir la noción de par ordenado de primera coordenada x y segunda coordenada y, que notaremos (x, y). Intuitivamente hablando deseamos formular una definición de par ordenado ( )que permita distinguir cuando un elemento ocupa "el lugar a izquierda de la coma" (es primera coordenada) o el "lugar a derecha de la coma" (es segunda coordenada).

En consecuencia una definición satisfactoria (para nuestros

propósitos) de par ordenado debe hacer verdadera la sentencia

(x , y) = (x ' , y ' ) «• x = x ' e y = y ' (s)

pues de ella se deduce

(x , y) = (y , x ) x = y

que, en palabras nos dice que ocupar el "lugar a izquierda de la

coma" es lo mismo que ocupar el " lugar a derecha de la coma"cuando y sólo cuando se trata del mismo ob jet o. Por lo tan to,con una tal definición estamos satisfechos.

Observemos que si nuestro único interés fuese "reunir" losobjetos x e y sin necesidad que cada uno "ocupe un lugar" nosbastaría considerar el conjunto

C = { z ; z = x ó z = y }

(yahemos introducido para C las notaciones { x , y } { y , x } indistintamente).

El lector puede conformarse sabiendo que hacen verdaderala sentencia (s).NO TA para el lector inconformista: Def i n o { x , y } = { x , {x , y } }[como el conjunto cuyos elementos son x y { x > y } 1 y pruebe quevale s. Luego, quédese conforme, pues la definición —por másrara qu e parezca— hace de (s) un teorema. (Esta nota era para ellector inconformista; ha sido un error del lector conformista el

leerla.)La noción de par ordenado la necesitamos para introducir

la noción de producto cartesiano; y la noción de producto cartesiano la necesitamos para estudiar matemáticamente las relaciones entre ob jetos . Procedamos ordenadamente:

5 5 0

APÉNDICE II

DefiniciónDados conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A

con B al conjunto A x B definido por

A x B = { ( x , y ) ; x e A e y e B } .

Por lo tanto, A x B es el cpnjunto de pares ordenados conprimera coordenada en A y segunda coordenada en B.

Ejemplos

1) Sean A = { 1 , 2 , 3 } B = {a , b } . Enton ces

A x B = { ( 1 , a ) , (1 , b ) , (2 , a ) , (2 , b ) , (3 , a ) , (3 , b)>

B x B = { ( a , b ) , ( b , a ) , (a, a ) , ( b , b ) } .

2) El plano com plejo podemos considerarlo producto cartesiano de dos rectas reales, si en lugar de escribir a + biescribimos (a, b). De ahora en adelante denotaremos elplano com plejo con R x R, o tamb ién R 2 .

3 ) Si I y J son intervalos de R (cf . ejerc icio 5 del apartado3) el producto cartesiano I x J se dice un rectángulo debase I y lado J [dibuje empleando el ejemplo 2) y unlápiz] . Si I y J son ambos abiertos (cerrados), el rectángulo I x J se dice abierto (cerrado). Si I ó J es semicerra-d o , el rectángulo I x J se dice semicerrado.

4) Sea S una c ircunfere ncia y R un a recta real. Por definición llamaremos cilindro (engendrado por S) al producto cartesiano S x R. Si con s 0 (eos 6 + sen 0 i) denotamos'un elemento genérico de S, s 0 real y fi jo para todoelemento de S (el radio de S), y con r denotamos un elemento genérico de R, entonces S x R queda determinado

por los pares ordenados [s 0 (eos 0 + sen 0 i), r] que podemos escribir también, por abuso de notación, en laform a (0 , r) . Habitualmente escribimos S x R = { ( 0 , r) /0 < 0 < 2 TT , y r e R } .

5) Sean S i y S 2 dos circunferencias (de radio s t y s 2 res-

5 5 1



NOTAS DE ALGEBRA I

A = { 1 , 2 , 3 , 4 } B = ( a , b, c, d, e }

e c • d , e ) • ( 2 , e ) • (3 , e ) • ( 4 , e )

d 6 • d , d ) • ( 2 , d ) • ( 3 , d ) • ( 4 , d )

c c>——•-- a , cy- — T ( 2 , c )i• ( 3 , c ) • ( 4 , c )

b ¿> • d , b ) | ( 2 , b )1

• ( 3 , b ) • ( 4 , b )

a c> • (1 , a) * (2 , a)I

• ( 3 , a) • (4 , a)

1

K*

12 3 4

Notación

Al producto cartesiano A x A de un conjunto A por sí mismo lo denotaremos con A 2 . Así: R 2 es el plano com ple jo. Con

5 5 2

pectivamente). Llamaremos toro bidimensional (engendrado por S, y S 2 ) al producto cartesiano S t x S 2 . Si :

s t (eos 9 + sen 9 i) es un elem ento genéricq de S j y

s 2 (eos CÜ + sen oo i) es un elemento genérico de S 2

entonces [ S ! (eos d + sen 0. i ) , s 2 (eos c o + sen c o i)] es unelemento genérico de S¡ x S 2

Nota para el lector informado: Conjuntísticamente hablandocualquier conjunto infinito puede considerarse como productocartesiano de dos conjuntos cualesquiera de igual potencia queél. Hemos elegido los ejemplos 2) 4) y 5) por ser productos cartesianos topológicos.

Dados conjuntos A = { a t , . . . , a n } y B = { b j , . . . , b n }adoptaremos la representación habitual hecha en geometría alintroducir coordenadas en el plano. Sobre un eje horizontal representamos A y sobre un eje vertical, B. Entonces A x B se

representa en la intersección de horizontales por elementos deB con verticales por elementos de A:Por ejemplo



APÉNDICE II

T 2 denotaremos al toro bidimensional S 1 x S 1 , donde S 1 d e n o

ta la circunferencia de radio igual a 1. (El hecho de usar T 2 sedebe a que S 1 puede considerarse como un toro unidimensional T l .)

Si x, y, z son tres objetos cualesquiera a la terna ordenadade primera coordenada x, segunda coordenada y, tercera coordenada z, la denotaremos con

( x , y , z )

Definición

Dados los conjuntos A, B y C l lamaremos producto cartesiano de A, B y C (en ese orden) al con junto denotado con A XX B X C definido por

A X B X C = ( (x , y , z ) ; x G A , y G B , z G C }Si A = B = C escribimos

A x B x C = A x A x A = A3

.

E j em p l o s :

1 ) R 3 se llam a por definición espacio euclidiano real tridimensional.

2 ) C 3 se llama por definición espacio euclidiano complejotridimensional.

3 ) T 3 se llama por definición toro tridimensional .

En general puede definirse producto cartesiano de cualquiernúmero (finito o infinito) de conjuntos pero no lo haremos aquí,pues requiere la noción de función.

Ejemplo

El conjunto { 2 , —2, 3 , —3 } se puede "rep rese ntar " com oproducto cartesiano de {—1,1} c o n {2 , 3 } . E n e fec t o

{ - 1 , 1 } x { 2 , 3 } = { ( 1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) , ( - 1 , 2 ) , ( - 1 , 3 ) }

y establecemos la correspondencia

5 5 3

2 -+ (1,2)

- 2 - (- 1, 2)

3 - (1, 3)

- 3 - (- 1, 3)

De la misma manera Q* = Q — { O } se puede "representar"como producto cartesiano { 1, —1) x Q > Q donde Q > 0 denota la

totalidad de racionales positivos.(Nota: en Algebra interesa mucho poder representar estructurasalgebraicas como productos cartesianos de otras estructuras mássimples, como lo ilustra el ejemplo de Q*.)

Ejercicios


a) Ax B = 0 o A = 0 ó B = 0

b ) A x B C C x D < * • ACC y B C D

c) (A x B) Pl (C x D) = (A Pl C) x (B Pl D)

d) (A x B) U (C x D) C (A U C) x (B U D)

e ) ( A x B ) ' D A ' x B '

2) Representar én R 2 (mediante un gráfico) los productoscartesianos A x B siguientes:

a) A = Z, B = R

b ) A= { l /n; ne N} , B = {x ; x e R y x > 0 }

c) A = [0,1) U (y/T,2)U { 7 T , - 7 r } , B = { ( — 2 ) n ; ne N}

d)A = Q, B = ( 2 k +l ; k e Z y k > 0 }

3) Representar en R 2 (mediante un gráfico) los siguientesconjuntos:

a )A= { ( x , y ) ; x e [ 0 , l ) e y e ( - l , l ) }

554

APÉNDICE II

B = { ( x , y ) ; x e [ 0 , l ) e y e ( - l , l ) }C = { ( x , y ) ; a 2 < x 2 + y 2 < 1} . ae R

Determinar A n B , A n C, B H C.

b ) A = { ( x , y ) ; - l < x + y < 1 y - l < x - y < 1}

B = { ( x , y ) ; - l < x + y < l y x 2 < 1}

H allar A f l B .

c ) A= { ( x , y ) ; 2 x - 3 y + 6 > 0}

B = { ( x , y ) ; 2 x - y < 0 }

C = { ( x , y ) ; x 2 + y 2 < 1}

D = { ( x , y ) ; 6 y - 2 x < 3 }

Determinar todas las intersecciones posibles.

4) Representar R 2 como producto cartesiano S 1 X R > 0

(Coordenadas polares).

6. Relaciones

Com enzarem os realizando algunas consideraciones heu rísticas,que motivan el tratamiento matemático de las relaciones.

Vulgarmente, por una relación entendemos un criterio quenos conduce a asociar ciertos objetos. Por ejemplo "es hijo de"es una relación entre seres vivos; así, mi perro es hijo del perrode mi vecino, y mi amigo Pedro es hijo de don Francisco y doña Eulalia. Consideremos el conjunto de todos los seres vivos ytratemos de "c las i f i car" sus elementos de acuerdo con la relación mencionada. Ateniéndose a personajes conocidos, podemosformar el conjunto { Pedro, Francisco, Eulal ia} ; esto no es muy

satisfactorio, pues sólo sabemos que t iene un elemento que es hijo de los otros dos. Refinando el proceso, podemos considerarlos conjuntos {Pedro, Francisco}i y {Ped ro , Eula l ia } ; esto es mássatisfactorio, pues un tal conjunto t iene dos elementos tales queuno es hijo del o t r o ; por lo tanto, bastará poder distinguir entreesos dos elementos.

5 5 5

NOTAS DE ALGEBRA I

Hemos reencontrado la noción de par ordenado, pues si convenimos en "clasificar" en pares ordenados los seres vivos, colocando en la primera coordenada a los hijos (y por lo tanto, a lospadres en la segund a), en ton ces los pares ordenados

(Pedro, Francisco), (Pedro, Eulal ia), (Níspero, el perro demi vecino)

nos dicen

Pedro es hijo de FranciscoPed ro " " " Eulalia

Níspero " " del perro de m i vec ino.

Ahora bien, si formamos el conjunto de los pares ordenadosde seres vivos tales que la primera coordenada "es hijo de" la segunda coordenada, conocer este conjunto es lo mismo que conocer la relación. Por lo tanto, el matemático se limita a estudiar

este t ipo de conjuntos (los subconjuntos de un cuadrado cartes iano) ; y las propiedades de cada asociación se traducen en propiedades del correspondiente con jun to.

Definición

R es una relación en un conjun to X s ii R e P ( X 2 ) .Recalquemos que, de acuerdo a la definición dada, las rela

ciones en un conjunto X son exactamente los subconjuntos del

p ro du cto ca rte sia no X X X .

Ejemplos

Dado un conjunto X son relaciones en X

1 ) El co nju nto va cío <?

2 ) El con junto total X x X , l lamad o la relación trivial en X.

3) La diagonal de X: A (X ) = { ( x , x ) ; x e X } , también lla mada la relación identidad en X o la relación de igualdad en X.

4 ) Dad o un elem ento a e X , la relación individual de a: { ( a , a )}

5 5 6

APÉNDICE I I

Notación

Si R es una relación en un conjunto X y (x, y) e R escribimos más sugestivamente x R y (léase: x está en relación R con y).

Con esta notación, los ejemplos anteriores pueden transcribirse así (x e y son elementos de X y R es la relación correspondiente) :

1 ) x R y o X i= x ó y # y

x R y <=>

x R y o y ^ y

x R y *> X ^ x e y ^ y

x R y o x e 0 ó y e 0

2 ) x R y o x e X e y e X

3 ) x R y <=> x = y (esto aclara la nom enclatura adoptada)

4 ) x R y <*• x = a e y = a.

Nuetro interés es considerar relaciones con ciertas propiedades, que aparecen muy frecuentemente dentro de la Matemática.

Si R es una relación en un conjunto X, algunas de tales propiedades son

r) Reflexividad: x R x, cualquiera sea x e X.

s ) Simetría: x R y =* y R x.

t ) Transitividad: x R y , y R z => x R z .

a ) Antis imetr ía : x R y , y R x =* x = y.

d ) Di c o t o m í a : Cualesquiera sean x, y e X se verifica una y solouna de las s iguientes af i rmaciones : x R y , y R x .

t') Tricotomía: Cualesquiera sean x, y e X se verifica una y solouna d e l as sigu ien tes a f irm a ci o ne s: x R y , y R x , x = y .

5 5 7



NOTAS DE ALGEBRA I

Ejemplo

Sea X = { 1 , 2 } . Las relaciones en X están dadas en la tabla siguiente:

R e la cio n es r s t a r P i s O t

X x X V V V F V

( 1 , 2) , (2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) } F V F F F( 1 , 1) , (2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) } V F V V F

(1 , 1) , (1 , 2 ) , ( 2 , 2 ) } V F V V F

( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) } F V F F F

(2 , 1 ) , ( 2 , 2 ) } F F V V F

(1 , 2 ) , ( 2 , 2 ) } F F V V F

(1 , 2 ) , ( 2 , 1 ) } F V F F F

(1 , 1 ) , ( 2 , 2 ) } V V V V V

( 1 , 1) , (2 , 1 ) } F F V V F

( 1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) } F V V V F

(2 , 2 ) } F F V V F

(2 , 1 ) } F F V V F

( 1 , 2 ) } F F V V F

( 1 , 1 ) } F V V V F

0 F V V V Fr significa reflexiva, s simétrica, t transitiva, V verdadera,

F falsa, r H s H t simultáneamente r, s, y t.El lector debe contemplar la tabla precedente estudiando las

propiedades d) y t ' ) .

5 5 8



APÉNDICE II

Relaciones de orden

1) Se dice que una relación R es de preorden (o simplemente , un preorden) en X sii R es reflexiva y transitiva.

2 ) Se dice que R es una relación de orden parcial (o simplemente, un orden parcial) en X sii R es reflexiva, transitiva y antisimétrica (vale decir, sii R es un preordenantis imétrico) .

3 ) Se dice que R es una relación de cuasiorden (o simplemente, un cuasiorden) en X sii R es reflexiva, transitiva,antisimétrica y con la propiedad de dicotomía (vale decirsi i R es un orden parcial dicotómico).

4 ) Se dice que R es una relación de orden (o simplemente,un orden) en X sii R es transitiva y tiene la propiedad det r i c o t o m í a .

Ejemplos1 ) Sea X = Z y sea R la relación de divisibilidad

x R y *> x / y

R es un preorden de X; pero no es un orden parcial; valedecir, no satisface la propiedad de antisimetría: 1 / —1 y—1 / 1 , pero 1 4 — 1.

2 ) Sea X = Z > 0 y nuevamente sea R la relación de divisibilidad (pero en Z > 0 )• Es claro que R es un preorden de X.Rec orde m os que, dados m, n e Z, se verifica

• m / n y n / m = > | m | = |n|.

En con secu enc ia, si x , y e X resulta

x R y e y R x => x = y

con lo cual R es un orden parcial de X. Notemos queR no es un cuasiorden, vale decir, no verifica la ley de dicotomía: 6 y 7 son elementos de X, pero 6 f 7 y 7 f 6.

Ahora, sea X = P(U), donde U es un conjunto cual quiera, y sea R la relación de inclusión

5 5 9

NOTAS DE ALGEBRA I

A R B A C B .

Si el lector ha estudiado el apartado 2, sabe que R esun orden parcial de X.

En cambio, si U tiene más de un elemento, resulta que Rno es un cuasiorden de X.

3 ) S ea r e Z > 0 , sea X = {m ; m e Z > 0 y m /2 r } y seaR larela ción de divisibilidad (es el con jun to de divisores de 2 r ) .Compruebe el lector que R es un cuasiorden de X.Ahora, sea.X = Z y sea R la relación

x R y o x < y.

En ton ces , R es un cuasiorden de X .

4 ) Sea X = R y sea S es orden usual de R

x S y o x < y .

Es bien sabido que S es efectivam ente un orden de X .

5 ) Sea X un conju nto cualquiera. X x X es un preorden deX; pero no es un orden parcial, si X tiene más de un punt o . A(X) es un orden parcial; pero no es un cuasiorden(y tampoco un orden), si X t iene más de un punto. Sia e X {( a, a ) } es un orden par cial; pero no es un cuasiorden (y tampoco un orden),si X t iene más de un punto.

¿Qué propiedades tiene 0 ?

Relaciones de equivalencia

Se dice que R es una relación de equivalencia (o simplemente,una equivalencia) en X sii R es una relación reflexiva, simétricay transitiva.

Ejemplos

1) S i X es un conjunto cualquiera, entonces X x X , A (X ).{( a , a ) } (con a e X ) son relaciones de equivalencia en X .

5 6 0

APÉNDICE II

Precisamente, A(X) es la relación que ha inspirado a losmatemáticos la noción de equivalencia.0 es relación de equivalencia en X si y sólo si X = 0.

2 ) Si X = { 1 , 2 } , ento nce s las únicas relaciones de equ iv*lencia en X son A(X) y X x X' (consultar una tabla anter ior) . Los órdenes parciales de X, además de A(X), son

{ (1 , 1 ) , ( 1 , 2 ) , ( 2 , 2 ) } y { ( 1 , 1 ) , ( 2 , 1 ) , (2 , 2 )} ¿Cuálesotros t ipos de orden adm ite X ?

3 ) Sea X = Z, sea m e N y sea R la relaciónx R y •*> m / x — y.

Es fácil demostrar que R es una relación de equivalenciaen Z. R se denomina congruencia módulo m y se nota= (m ) [vale decir, x R y se indica x = y (m )] .

4 ) Sea X una indeterminada, sea m [X] e R [X] un polinomio de grado positivo y sea E la relación en R [X]:

p ( X ) E q ( X ) ~ m ( X ) / p ( X ) - q ( X ) .

E es una relación de equivalencia en R [X] llamada congruencia módulo m(X) y notada = [m (X ) j . T iene parti cular importancia el caso m(X) = X 2 + 1 , pues permite formular una definición (muy satisfactoria desde el punto devista algebraico de los números complejos).

Notaciones

Para simplificar la nomenclatura los órdenes suelen simbolizarse con signos co m o o , < , < , C , c , A , A (la si tuación x < y ,por ejem plo, se lee sugestivamente: x .precede a y). Para las relacione s de eq uivalencia se prefieren los signos, 'v , # , rv, *», = , •o, ° , 0 (la situación x 'v y, por ejemplo, se lee; * es equivalentea y; también, x es congruente a y).

7 . Relaciones de equivalencia y particiones

En este parágrafo estudiaremos más cuidadosamente las relaciones de equivalencia, debido a su importancia fundamental

5 6 1



NOTAS DE ALGEBRA I

Definición

Una partición (también descomposición o clasificación) de

un conjunto X es un subconjunto P de P(X) que verifica

I) Ae P •» A=É0

I I ) A e P , B e P y A # B •* A O B = 0

III) Para todo elemento x e X existe un conjunto A e P talque x e A.

En palabras, una partición de X es una familia P de partesno vacías de X, disjuntas dos a dos, con la propiedad: todoelemento de X pertenece a algún miembro de P.

Ejemplos

Los ejemplos que siguen a continuación son sencillos; el último que es el que mayor grado de complicación ofrece, está

desarrollado en detalle.1) 0 es la única partición de 0 (el lector no debe sorprenderse, sino verificar la definición).

2) Si X es un conjunto no-vacío, entonces {X} es la llamada partición trivial de X.

3) Si X es un conjunto cualquiera, entonces { {x} ; x e X}esla llamada partición identidad de X.

4) Si X es un conjunto con más de un elemento, dado a e X,{ {a} , X — { a } } es la llamada partición de X según a.

5) Para cada n e N, sea A n = {n, n + 1} ; entonces ( A 2 k + i ;k e Z > 0 } e s u n a partición de N.

562

dentro de la matemática. También nos ocuparemos de la no

ción de partición, que se encuentra estrechamente ligada a lanoción de equivalencia. (En efecto, llegaremos a probar que particiones y relaciones de equivalencia son esencialmente la misma cosa.)

APÉNDICE II

6 ) Da do un núm ero n atural m, si A¡ es el con jun to de en

te ros cuya división p or m tien e resto i , i e { 0 , l , 2 , . . . ,m — 1 } , entonces {A ¡ ; 0 < i < m — 1} es una particiónde Z.

7 ) Dad o, u e R , sea A u — { u 4 - m ; m 6 Z } . Se afirma que{ A u ; u e [0 , 1 ) } es una partición de R . En tonc es, pro

cedamos a estudiar los conjuntos A u l imitando nuestraatención a u e [0 , 1 ) .

Por ejemplo, 1/2 = 1/2 + 0 e A 1 / 2 , 3/2 = 1/2 + 1 e A 1 / 2 ,

- 1/2 = 1/2 + ( -1 ) e A 1 / 2 .

-i -5 /2 - 2 -3 /2 - 1 -1 /2 0 1/2! 1 3/2 2 5/2 3 7/2 4

En el diagrama anterior, el conjunto indicado en A 1 / 2 consiste en todos los números reales que pueden obtenerse a partirde 1/2 por sumas de números enteros; así 103/2 = 1/2 + 51pertenece a dicho conjunto y —101/2 = 1/2 4- (—51) también.

Observemos que A Q = Z .Los A u así definidos son no vacíos. En efecto , para todo

u, 0 < u < 1, se verifica

u e A u .

Todo número real pertenece a algún Au. En efecto , sea jreal, y denotemos con [j] el mayor entero menor o igual que j( E j . : [1/2] = 0, [-3/2] = - 2 . . . ) (* ) . En tonce s, es 0 < j - [ j ] < 1 ,y com o j = ( j — [j]) 4- [ j ] , se tiene que

j e A j _ [ j ] .

s e d i c e l a p a r t e e n t e r a d e j . V é a s e e l c a p í t u l o I V .

5 6 3

N O T A S D E A L G E B R A 1

A ) T o d a r e l a c i ó n d e e q u i v a l e n c i a i n d u c e u n a p a r t i c i ó n .

Esta proposición se precisa en el siguiente

T e o r e m a :

Sea *v una relación de equivalencia en un conjunto X, ydado x e X, sea C x = {y ¡ y e X , x *v y } ; enton ces { C x ; x e X } esuna partición del conjunto X.

Demostración

S i P = { C x ; x e X } , enton ces es claro que un conjun to A e Psi y solo si existe un elemento x e X tal que A = C x . Nuestrodeber, es probar qu e P es una partición de X . Co m o no hayduda de que los miembros de P son subconjuntos de X, comenzaremos mostrando que se verifica

5 6 4

Ahora, si u y u' son reales tales que 0 < u, u' < 1, u # u' ,afirmamos que

A un A u« = 0 .

Si existiera r e R tal qu e r e A u f i A u- , se tendría

r = u + m = u ' + m ' , m, m ' e Z.

Ahora, sin pérdida de generalidad podemos suponer u < u\o sea

0 < u < u ' < l .

Por lo ta n to , 0 < u ' — u < 1 , por una parte; y por otrau ' — u = m — m' e Z, lo cual es absurdo. Po r lo tan to ,

A u n A u- = 0 .

Queda pues, probado que { A u t 0 < u < 1 } const i tuye

una partición de R.Ahora, iniciemos el estudio de la conexión existente entrerelaciones de equivalencia y particiones.




I ) A e P =*• A ¥ = 0 .

Basta observar que, cualquiera sea x e X, C x 4 0 , pues x e C x .(Como 'V es una relación reflexiva, x 'v x.)

I I ) A e P , B e P y A = É B => A n B = 0.

De acuerdo a la definición de P, existen elementos x, y e Xtales que A = C x y B = Cy.

Supongamos que A H B =É 0 y obtengam os una contradicción.S i C X H C y ¥ = 0 , ento nce s existe un elem ento a e C x n C y .

Ahora bien, dado z e C x , resulta x 'v z (definición de C x ) ; pero también se tiene x 'v a, pues a e C x y en consecuencia ('v esuna relación sim étrica), es a ^ x . Sabiendo que a ^ x y x 'v zse deduce (^ es una relación transitiva) a 'v z. Lueg o, comoy 'v a (pues a e C y ), aplicando nuevamente la transitividad de 'vresulta y *v z; y por lo tanto z e C y . Ha quedado probado queC X C C y .

El esquema lógico con el que se ha demostrado esta inclusión es el siguiente:

z e C x =*• x 'v z^ «* a *\> z

a e C x =» x ^ a =* a ^ xa e Cy y \» a

y 'v z =>• z e C

Queda a cargo del lector probar la inclusión recíproca:C y c C x . En definitiva está probad o que

Cx

n Cy 0 =* Cx

= Cy.Luego, es A = B , absurdo, pues A # B .

II I) Para tod o x e X existe un conjunto A e P tal que x e A .

En efecto, basta definir A = C x , pues ya hemos visto quex e C x , cualquiera sea x e X.

Está dem ostrado que P es una partición de X .

Notación

La partición P a que hace referencia el teorema anterior sedice la partición de X deducida de ^ o más frecuentemente,el conjunto cociente de X por /v». Ateniéndose a esta última

5 6 5

NOTAS DE ALGEBRA I

de no m inac ión, P se ind ica X / '\>. Para cada x e X , C x se dice la

clase de equivalencia de x (respecto de ^).Ejemplos(comparar con los ejemplos que siguen a la definición de partición) .

1 ) Si 'v es la única relación de equivalencia en 0 (^ = 0),entonces 0 /^ = 0 .

2) Si 'v es la relación trivial en X y X 0 , entoncesX / = { X } .

3 ) Si 'v es la relación identidad en X , en ton ces X / 'v == { { x } , x e .X }. Po r abuso de nota ción se escribe X/"^ = X .

4 ) Sea X un conjun to con más de un elem ento y sea a e X .Si es la relación de equivalencia

x ' v y o x = y = a ó (x ^ =a e y ^ a)

entonces X / ^ = { {a } , X — {a } } .

5 ) Si m e N, enton ces Z / = ( m ) = A ¡ ; 0 < i < m — 1 [elejercicio 7) a), b) del punto 6) contiene el material necesario]. Este conjunto cociente (con su estructura algebraica adicion al) suele notarse Z m .

6 ) Si 'v es la relac ión de equivalencia en R

x ' v y o x — y e Z

entonces R/'v = { A u ; u e [0 , 1 ) } .Probaremos para el lector esta afirmación.Conservando la notación del teorema anterior, para ca-da x e R sea C x = { y ; y e R y x *v y } .Observem os que para tod o x e R se tiene

C x = { y . y e R y x — y e Z ) = {x + m ; m e Z | == A x .

Aclarem os la segunda igualdad (que es la única n o trivia l):

5 6 6

APÉNDICE II

x — y e Z =* (existe r e Z tal que x — y = r) =• (existe(* )

m e Z tal que y = x + m).

En ( * ) , =*• se ob tien e definiendo m = — T ; y <=, def iniendo r = —m.Luego, se verifica

R / ~ = { C x ; x e R } .

Por lo tan to, debemos probar que

{ A x ; x e R } = { A u ; u e [ 0 , l ) } .

Una inclusión es clara:

[ 0 , 1 ) C R =• { A u ; u e [ 0 , l ) } C { A x ; x e R } .

Para a sentar la validez de la inclusión rec ípr oc a, proba rem osq u e p ara t o d o x e R ex is te u e [0 , 1 ) t a l q u e A x = A „ . E s to queda demostrado v iendo que, dado x e R , ex i s te u e [0 , 1 )tal que u e A x (como u e A u , resulta u e A x O A u , d e d o n d eA X H A u 0 y así , por el teorema anterior, A x = A u ) . E nefe cto , basta definir u = x — [ x ] : x — u = [x ] e Z; y por la definición de parte entera 0 < u < 1 .

R/'v, con una estructura algebraica adicional, suele notarse R/Z.

7 ) Sea X = { a, b , c } ; las relacion es de equivalencia enX son

' S : a % a , b ^ i b , c ' V j c , a , v 1 b , a % c , b ' V j a,b 'V/j c , c a, c b

^ 2: * ^ 2 a » b ^ 2 b, c ^ 2 c , a ^ 2 b , b ^ 2 a

' V , : a ^ 3 a, b ' V , b , c ^ 3 c , a ^ 3 c , c ^ 3 a

^ 4 : 8 % a, b % b , c % c, b % c, c % b

' V s : a ^ a, b *\/s b, c ^ s c

5 6 7

NOTAS DE ALGEBRA 1

y los conjuntos cocientes son

X/V/j = {X } ,X/-v 2 = { { a , b } , { c } } ;X /~ 3 = { a , c } , { b } } ;

X /% = {•{*}• . { b . c J J . X /' V ' s = {{a} , {b} , {c} } .

El ejemplo recién formulado es muy útil para introducir lanoción de conjunto de representantes de una partición. Si P esel conjunto cociente R/'v, 'v la relación de equivalencia

x ' V y o x — ye Z

entonces P es una partición de R; empleando la notación delclasificador P puede escribirse en la forma

P = { A x ; x e R }

o también en la forma

P = { A u ; u e [ 0 , l ) } .

En el primer caso, los índices x recorren la recta real; enel segundo caso los índices recorren solamente el intervalo [ 0 , 1 ) .En consecuencia, la segunda notación representa una "economía" de índices, con respecto de la primera. En principio esto no es ninguna ventaja de la segunda sobre la primera; lo quesí es una ventaja es la validez, para u, u' e [0, 1), de la implicación

A„ = Au- => u = u' (p)

o si se quiere

u u' =*• A u =t Au\

En efecto, como x e A x :

A u = Au- => u 'v u' =*• u -u' e Z => u — u' =

= 0, pues 0 < | u — u' | < 1

(Esta propiedad no es válida en el primer caso; por ejemploA t = A 0 y 1 * 0 . )

568



APÉNDICE II

Moraleja

La segunda notación representa la "máxima economía" deíndices, pues si dos índices u y u' señalan el mismo conjuntoA ( = A u = A u - ) , entonces no hay uno que sobre pues son iguales: u = u ' .

En definitiva, si llamamos I al intervalo [0,1) se verifica

I) Para tod o A e P existe u e I ta l que u e A.

II ) Cualesquiera sean u, u ' e I si exis te A e P ta l que u e Ay u ' e A, entonce s u = u' .

[La propiedad I) se verifica trivialmente, y también la tiene R. En cuanto a II) se deduce fácilmente de (p) —en realidad, es equivalente— pues

u e A = > u e A n A u = » > A n A U T É 0 = : * - A = A u

u ' e A => u' e A H Au> => A n A u- ¥ = 0 => A = A u-

=> u = u\ ]

=* A u = A u - =>

Definición

Si P es una partición de un conjunto X, se llama conjunto de representantes ( también, conjunto de índices) de P a toda parte I de X que satisface I) y II).

Intuitivamente hablando, un conjunto de representantes Ide una partición P se forma procediendo a escoger un elemento y sólo uno en cada miembro de P. En ciertos casos particulares, ccmo los ejemplos que siguen, es fácil escribir conjuntos de representantes. Sin embargo el problema general: todapartición admite un conjunto de representantes, es particularmente delicado; resulta ser equivalente al axioma de elección(o postulado de Zermelo), que acaso ha sido el punto más discutido de toda la matemática.

Ejemplos

Los siguientes son conjuntos de representantes de las particiones indicadas co n igual núm ero en la página 1 6 4 .

5 6 9

NOTAS DE ALGEBRA I

1 ) 0 es el único c onjun to de representantes.

2 ) Los conjuntos de la forma { x } , con x e X son todo slos conjuntos de representantes, o sea para cada x e X,{x} es un conjunto de representantes de la partición {x ' , .

3) X es el único conjunto de representantes.

4 ) {a , x } con x e X y x a son todo s los conjun tos de representantes.

5 ) { 2 k + l ; k > 0 } y { 2 k ; k < 1 } son con ju ntos de representantes; pero no los únicos. (Esta partición admite tantos conjuntos de representantes como números reales.)

6 ) { 0 , 1 , 2, . . . , m — 1 } es un con junto de representantes.Exhiba o tros .

7 ) [ 0 , 1 ) es un conjunto de representantes . Exh iba otr o .

8 ) Ejemplos gráficos (Ilustrando las clases de equivalenciay el conjunto cociente) .

8.1) Sea A el subconjunto de R formado por los paresordenados (a, b) que satisfacen

1 < a < 4 y 1 < b < 3 .

La siguiente es una relación de equivalencia en A :

(a, b ) ^ (a ' , b ' ) si y só lo si a = a ' .

La situación descripta en un diagrama es

5 7 0




8.2) Misma situación que en 1) pero definimos la siguiente relación de equivalencia:

(a, b ) 'v (a ' , b ') si y solo si a + b•= a ' + b \

Se t iene [omitimos los índices (i , j )]

Si ^ es una relación de equivalencia en un con junto X ,pueden considerarse los con jun tos d e representantes d e X /' V .Como usualmente se trabaja con relaciones de equivalencia yno con particiones, merecen su nombre.

Definición

Se denomina c o n j u n t o s d e r e p r e s e n t a n t e s ( también, repre

s e n t a c i ó n ) de un a rela ción de e quiva lencia *\/ en un co nju nt oX a todo conjunto de representantes de la partición X/'VObserve el lector este importante hecho: Si I es una repre

sentación de i/, entonces

I) X/-v = { C u ; u e I }

II ) Dad os u , u ' e I , si C u = C u« entonces u = u '

(notaciones del teorema A).El lector puede comprobar que la recíproca es c ierta:

Si I es una parte de X que satisface I ) y I I ) , entonce s I esuna representación de 'v». .

A

5 7 1



NOTAS DE ALGEBRA I

Ejemplos

Observe el lector que los anteriores ejemplos de conjuntosde representantes también son ejemplos de representaciones.

Prosiguiendo co n el estudio iniciado de las relaciones de equivalencia, pasemos a la situación rec íproc a d e A ).

B ) Toda partición induce una relación de equivalencia

Teorema

Sea P una partición de un conjunto X y sea 'v la relación enX definida por

x ^ y * ( Ex is te A e P ta l q ue x e A e y e A ) .

En ton ces , es una relación de equivalencia.

Demostración

La definición de 'v muestra claramente que es una relaciónsimétrica.

Probemos que ^ es transitiva: si x ' V y e y ^ z, enton cese xiste n m ie m bro s A y B d e P ta le s q ue x e A , y e A , y e By z e B. En particular, y e A H B, con lo cual A n B 0 , dedonde se deduce A = B [cond ición II ) de lá definición de la

partición]. Ahora, observando que x e A y que z e A (puesz e B y A = B ) , resulta x > z.Finalmente, 'v es una relación reflexiva; esta afirmación es

precisamente la condición III) de la definición de la partición:Para todo elemento x e X existe un conjunto A e P tal quex e A.

Está probado que ^ es una relación de equivalencia; y observe el lector que no hemos empleado la condición I) de ladefinición de partición.

Notación

La notación 'v a que hace referencia el teorema anteriorse dice la relación de equivalencia en X deducida de P y senota = (P), vale decir, escribimos x = y (P) cada vez que seax 'v y.

5 7 2

APÉNDICE II

EjemplosConsidere el lector las particiones definidas en los ejemplos

que siguen a la definición de partición y observe que las relaciones de equivalencia son precisamente las dadas en los ejemplos que siguen al teorem a A ) .

Hemos probado que toda relación de equivalencia permiteconstruir una partición (el conjunto cociente). También hemosmostrado que toda partición permite construir una relación deequivalencia (la relación deducida). Continuando nuestra inves

tigación, parece natural plantearse los siguientes problemas:

Problema C.

Si *v es una re lación de equivalencia en un conju nto X y #es la relación deducida de X/'v, entonces ¿es ^ = #?

Problema D.

Si P es una p artición de un co nju nto X y ^ es la relacióndeducida de P, entonces ¿es X / ^ J = P?

Es muy deseable que ambos problemas tengan una respuesta afirma tiva; y efectivam ente es así .

T eo rem a

Si X es un con jun to cualquiera se verificaC) Si ^ es una relación de equivalencia en X , en ton ces

[ = ( X M ] = «v.

D) Si P es una partición de X , ento nce s X/[= (P )] = P.

Demostración

C) Dados elementos x e y de X , se t iene

x = y (X/'v) o (Ex iste A e X / 'v , tal que x e A e y e A )

<*• (E xi st e u e X tal que u ' v x y u ' V y )

» x ' V y ,

5 7 3

N O T A S DE A L O E B ÉA I

Aclaremos esta última equivalencia. Para observar queu ' V x y u ^ y f x ' V u y u ' V y f x ' V y y para <=

definir u = x, pues x e C x y x ^ y es lo mismo quey e C x .

Queda probado que = (X/ ^) = ^ .

D) Sea A G X/==(P). Probaremos que si a 6 A entonces

A = C a .Sea a 6 A. Si x 6 A se tiene

x € A o a = (P ) x o Existe B G X/'v tal que a, x G B «•• » a ' \ ' X ' » X G C a

lo cual prueba que A = C a . Recíprocamente dado C a G X /" sentonces por ser X/=(P) es una part ic ión;existe A G X/=(P)con a G A y razonando como antes resulta C a = A. Esto pruebala afirmación D).

Corolario

I) Si P es una pa rtición de X , en ton ces existe una únicarelación de equivalencia ^ en X ta l que X/V = P.

II ) Re cípro cam en te, si ^ es una relación de equivalencia en

X, entonces existe una única partición P de X tal que=- (P) = -v.

Ejemplo

Sean

C el cuerpo de números com plejos

n c N

G n el grupo de raíces complejas enésimas de 1.

Sea la siguiente relación en C:

x ' v y •*> E xis te g € G n tal que x = g • y5 7 4

A P E N D I C B I I

Entonces se verifica fácilmente que 'v» es una relación de equi

valencia.An alicemo s las clases de equivalencias, sea z e C ento nce s

C z =• { u ; Existe g e G„ tal que g • z = u } =

= { g • z ; g e G n } .

Si w e G n es raíz primitiva entonces

G n = { l , w , w 2 , w " " 1 } .

Por lo tanto

C z = {z , w • z w " " 1 • z } .

Geométricamente C z se representa en el plano complejo comola totalidad de vértices de un polígono regular de n lados concentro en (0, 0) y con vértice en el complejo z.

Por ejemplo si n = 5

Dejamos a cargo del lector la verificación de que el subconjunto X C C definido por

X = { z ; 0 < a r g ( z ) < 7 2 ° }

da, en forma natural, una representación del conjunto cociente C/'v (en efecto, cualquier pentágono regular, de centro (0, 0)t iene un vértice y solo uno con argumento 0 , 0 < 6 < 7 2 ° )

5 7 5




Finalizaremos nuestro estudio de las relaciones introduciendo alguna termino logía y n otacione s que son propias de la teo ría .

Definición

Si R es una relación en un conjunto X y A es una parte

de X, se llama conjunto saturado de A por la relación R (también, saturado de A por R ) al conjunto R(A) definido por

R (A ) = {x ; x e X y (existe a e A tal que a R x ) } .

En palabras, R(A) está formado por los elementos de X queestán en relación R por la derecha con algún elemento de A.

El lector puede demostrar fácilmente las siguientes

Propiedades:

a ) R ( A ) C X

b ) R (0 ) = 0

c ) A C B -*• R(A) C R(B)

d ) R ( A U B ) = R ( A ) U R ( B )

e ) R ( A n B ) C R ( A ) n R ( B )

f ) R es reflexiva si y sólo si para tod a pa rte A deX se tiene que A C R ( A ) .

5 7 6

APÉNDICE II

Observe el lector que para todo x e X es R ( { x } ) = { y ;

y e X y x R y } . Por lo ta nto , si R es una relación de equivalencia, según las notaciones del teorema A) R( {x} ) = C x , vale decir, R( {x} ) es la clase de equivalencia ds x, cualquiera seaxeX.

R( {x} ) acostumbra a notarse x R . Luego si R es una relaciónde equivalencia en X:

X / R = ( x R ; x e X ) .

Observe el lector que

x R y <*• x R = y R

pues es una manera de escribir

x R y o C x = C y .

Ejercicios1 ) S i X = { 1 , 2 , 3 , 4 } , d e term i nar t od as las relacio n es d e

equivalencia en X y los respectivos conjuntos cocientes .

2 ) Estud iar las siguientes pro posicion es:

a) La relación en R definida por

x 'V - y x 2 = y 2

es de equivalencia, y R/"^ está representado por R> o-

b) La relación en R 2 definida por

( X l , x 2 ) ^ ( y x , y 2 ) o x] + x| = y\ + y\

es de equivalencia, y R 2 /'v» está representado por cual

quier semirrecta a partir del origen.

c) La relación en R 2 definida por

( X j , x 2 ) ' v (y , , y 2 ) ~ X ! =yx

5 7 7

NOTAS DE ALGEBRA I

5 7 8

es de equivalencia, y R 2 está representado por cualquier recta no paralela a la recta { ( 0 , y) ; y e R } .

¿Qu é puede decir de la relación en R 2 ,

( x j , x 2 ) # ( y x , y 2 ) o x 2 = y 2 ?

d) La relación en R 2 definida por

( x i , x 2 ) ' v ( y 1 , y 2 ) o x 2 - X j = y 2 - y j

es de equivalencia, y R 2 /^ está representado por larec ta { ( x , —x) ; x e R } !¿Qué puede decir de la relación

( x j , x 2 ) # ( y i , y 2 ) <* X i - X 2 = y 2 - y i ?

3 ) La relación en R 2 definida por

( X i , x 2 ) M y i , y 2 ) X j - y , e Zes de equivalencia. Hallar una representación de R 2 /'V

¿Qué puede decir de la relación

( X i , x 2 ) # (y t , y 2 ) Xj - yi e Z y x 2 - y 2 e Z ?

4 ) E n R 2 - { ( 0 , 0 ) } s e a ' V la relación

( x i , x 2 ) 'v (y , , y 2 ) -*> (E xi st e r e R tal qu e y x = r x j ,y 2 = r x 2 y r =É 0 ) .

a) es una relación de equ ivalencia. El con jun to cociente R 2 — { ( 0 , 0 ) / /v}se llama la recta proyectiva realy se no ta ? x ( R ) .

b) Cualquier recta de R 2 que no pasa por el origen agre

gándole un punto conveniente de R2

es una representación de Pi (R ) (dibuje) .

c) La relación # definida en S 1 por

z # z' z = z' ó z = — z'

APÉNDICE II

A = { 1 , 2 , 3 , 4 } y B = { x , y , z , w , v }

t al q u e (A x B )/# = { { ( 1 , x ) , ( 1 , y ) , ( 1 , z ) , ( 1 , w ) , ( 1 , v ) } ,

{ ( 2 , x ) , ( 2 , y ) , ( 2 , z ) , ( 2 , w ) , ( 2 , v ) } ,

{ ( 3 , x ) , ( 3 , y ) , ( 3 , z ) , ( 3 , w ) , ( 3 , v ) } ,

{ ( 4 , x ) , ( 4 , y ) , ( 4 , z ) , ( 4 , w ) , ( 4 , v ) } } .

6 ) Estudiar las siguientes pro pos icione s:

a) Sea P la partición de R 2 cuyos miembros son A == { ( x , 0 ) ; x e R } y tod os los con juntos de la forma{(x , y ) } con y * 0 . ( R 2 — R x { 0 } ) U { ( 0 , 0 ) } es un

conjunto de representantes de P; hallar todos. Determinar la relación de equivalencia dedu cida de P.

b) Sea P la partición de R cuyos miembros son Í 0 ) y to dos los conju ntos de la form a { x , 1/x} , con x e R y

0 < | x | < 1. Un conjunto de representantes es [—1,1],y otro es (— °°, — 1] U { 0 } U [ 1 , + <»); pero no sonlos únicos.Determinar la relación de equivalencia deducida de P.

c) Sea P la partición de R cuyos miembros son Z y to-

5 7 9

es de equivalencia. El arco {z; z e S1

y 0 < arg(z) < 7 r }es una representación de S'/# ; hallar otras.

¿Qu é similitud existen e ntre P 1 (R) y S 1 /#? (Dibuje.)

d) La relación • definida en B 1 = {x ; x e R y | x | < 1 }por

X • x ' <*• x = x ' ó | x | = | x ' | = l

es de equivalencia. ¿Qué similitud existe entre S 1 yB'/o ?

5 ) Hallar una relación de equivalencia # en A x B , donde

NOTAS DE ALGEBRA I

dos los conjuntos de la forma { x } , x e R — Z . {0 } U R — Zes un conjunto de representantes de P: hallar todos.Determinar la relación de equivalencia deducida de P.

7) Sea C * = C — { 0 } , sea m e N y sean las relaciones en C *:

x ' V y o (existe w e G m tal que y = w • x )

x # y •**• (exis te u e S 1 tal que y = u • x ) .

a) es una relación de equivalencia, y dados x , y e C* ,se verifica

x y o x n = y " .

Para cada x e C*, determinar la clase de equivalenciaC x de x en la relación. ¿Cuántos elementos t iene C x ?¿Qué es C! ? Caracterizar el con junto c ocien te C */ ^,

que se nota C */ G m .(Primero fi je ideas tom and o m = 4. )

b) # es una re lación de equivalencia, y dados x , y e C *,se verifica

x # y | x | = | y | .

Para cada x e C*, determinar la clase de equivalenciaC x de x en la relación # . ¿Q ué es C j ? R > 0 es una representación de C*/#, que se no ta C */ S 1 .

8 ) Tra te de hallar una "s im il i tud ", si es posible "algebraic a " entre los siguientes conjuntos:

a) [—2, 2 ] / ^ , donde ^ es la relación de equivalencia queidentifica los extremos 2, y —2, y S 1 .

b ) R / Z y S1

.c ) Z m y G m (primero fi jar ideas con m = 4).

d) A/# y un toro, donde A = { ( x , y ) ; 1 < x 2 + y 2 < 4 } y# es la relación de equivalencia en A

5 8 0

x # y *> (existe r e { 1 , 2 } tal que y = r • x) (dib u j e ) .

9 ) Sea < un preorden del con jun to X y sea # la relaciónde X

x # y •*»• x < y e y < x .

Entonces, # es una relación de equivalencia y puede con

siderarse el conjunto cociente X/#, donde se define larelación por

A v B * ( ex is te a e A y b e B tales que a < b)

Pr ob ar qu e <7 está b ien definid a y es un orden parcialde X/ #. < se dice el o rd e n p a r ci a l d e d u c id o d e l p re orden < .

1 0 ) Sea X un conju nto cualquiera y sea P (X ) su conjuntode partes

a) si *v es la relación en P(X)

A ' V B A + B = 0

entonces 'v es una relación de equivalencia. Caracter i z a r P W / ' v .

b) Si # es la relación en P (X )A # B o (A + B es un con junto fin ito)

entonces # es una relación de equivalencia. Caracterizar P(X)/#.

1 1 ) Ex hibir conjun tos X y relaciones de equivalencia R enX tales que

I ) Ex isten partes disjuntas no vacías A y B de X conR ( A ) = R ( B ) .

II ) Existen partes C y D de X verificando R (C D D ) *# R ( C ) O R ( D ) .

5 8 1



NOTAS DE ALGEBRA I

1 2 ) Analizar las relaciones siguientes, determ inar en los casos que corresponda, clases de equivalencias, conjuntococ iente :

a) En Q , sea p e Z primo

x y si existe ,n e N ta l que (x— y)p n e Z

b ) E n Z ,

a ^ b si existe p e N, primo tal que p|a y p|b.

c) En N,

a ^ b si a|b ó b|a

d) En C,

z ' V . z' si z = z '

e) En C,

z ' W si R e ( z ) = R e ( z ')

Nota

Re(z) denota la parte real de z.

f ) En C,

z 'v z' si z 2 + z* = 0

f ) E n R ,

r *\/ r' si r 2 + r ' 2 = 0

f " E n R ,

r *\/ r ' si r 2 +. r ' 2 > 0

g) E n Q ,

x •\/ y si [x ] = [y ] .

5 8 2

APÉNDICE I I

Nota

[x ] den ota la parte en tera de x :

[ x ] e Z y [x ] < x < [x] + 1 .

7. Aplicaciones

^ La teo ría de conj un tos es el lenguaje qué uti l iza el mate

mático . Por lo tanto , roda la matemática puede pensarse comouna apl icación de esa teoría.La n oción de conj un to permite construir un m o d e l o m a t e m á

t i c o de la noción de experiencia física (en un sentido amplio).Las ventajas de esta situación son obvias; basta señalar que

ha permitido elaborar con todo rigor matemático la t e o r í a d ep r o b a b i l i d a d e s . (Un esbozo muy legible de esta aplicación puede hallarlo el lector, aparte de en los tratados especializados, enR . Courant-H. R ob b ins: ¿Qué es M atemática? Ed. Aguilar.Madrid , 1962 (p . 124) . (Véase también : Theory and Problemsof Fini te Mathematics, Lipschutz. S chaum's O utl ine S eries.) Varias aplicaciones pueden consultarse en Kemeny-Snell-Thompson:Introduct ion to f ini te mathematics (existe traducción al castel lano );© tamb ién el más reciente: K emeny-S chlei fer-S nelUThomp-son: Finite Mathematics with Business Aplications.

Aq uí , nos con cretarem os con tratar brevemente algunas cuest iones relacionadas con el producto cartesiano de conjuntos.

Pensemos todo conjunto U como el " c o n j u n t o d e r e s u l t a d o s p o s i b l e s d e u n a c i e r t a e x p e r i e n c i a " . Por ejemplo, el conjun

to U = { 1 , 2 , 3, 4, 5 , 6 } puede considerarse el conj un to de resultados posibles al arrojar un dado sobre una mesa; U = 0 puede considerarse el conjunto de resultados posibles de arrojar undado al fuego.U — {C, S} puede considerarse como el conjunto de resultados posibles de arrojar una moneda sobre una mesa. No cuesta muchopensar, efect ivamente, que cualquier conjunto es "conjunto deresultados de una c ierta experiencia" . Por e jemplo, coloquemosidealmente los elementos de U en una urna; entonces U cons

tituye la totalidad de resultados posibles de extraer un elemento de dicha urna.Veamos otro ejemplo. Sean c y d ciudades distintas, uni

das por cuatro rutas, a saber r x, r 2 , r 3 , r 4 . U = { r t , r 2 , r 3 , r 4 } esel conjunto de resultados posibles de elegir una ruta de c a d,por e jemplo .

5 8 3



NOTAS DE ALGEBRA I

5 8 4

Supongam os, ahora, que disponemos de dos experiencias, que

podemos indicar con E l y E 2 , experiencias que consideramosindependientes. Por ejem plo, E l consiste en arrojar un dado sobre una mesa y E2 consiste en arrojar una moneda sobre unamesa.

Problema

¿Cuál es el conjunto de resultados posibles, asociados a laexperiencia E 1 2 , consistente en efectuar primero E l y luego E2 ?

Respuesta

Si Ui den ota el con junto de resultados asociados a E l y U 2

a E2, el conjunto de resultados asociados a E12 es

Ui x U 2 .

Por ejemplo, en el caso de arrojar primero un dado y luego una m oneda los resultados posibles son

U , x U 2 = { ( 1 , Cara) , ( 1 , Cruz ), (2 , Cara) , (2 , Cruz)

( 3 , Cara) , (3 , Cruz), (4 , Cara) , (4 , Cruz)

( 5 , Cara) , (5 , Cruz), (6 , Cara) , (6 , C ruz)}

y el número total de resultados posibles es 6 * 2 = 1 2 .En general , si E l t iene n t resultados posibles y E2 tiene

n 2 resultados posibles, E12 t iene n t * n 2 resultados posibles.Esto es consecuencia inmediata de contar el número de elementos del producto cartesiano de un conjunto de n j elementospor un conjunto de n 2 elementos. Lo dejamos a cargo del lector. (El producto cartesiano consiste en n i columnas cada unade las cuales contiene n 2 elementos)

Veamos aplicaciones de este principio de contar resultadosde experiencias compuestas.

E jemplo 1

¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse a partirde los dígitos 1, 2, 3 ?



APÉNDICE II

Consideremos el sím bo lo ab. Sea E l la experiencia consistente en reemplazar b por uno de los dígitos 1, 2, 3; y seaE2 la análoga con a. La experiencia compuesta E12 tendrá3 * 3 = 9 resultados posibles .

E jemplo 2

¿Cuántos números de dos cifras pueden formarse a partird e 0 , 1 , 2 , 3 ?

Razonando como en el ejercicio anterior. El t iene 4 resultados posibles, pero E2 sólo tiene 3 resultados, dado que a nopuede reemplazarse por 0. Por lo tanto, el número pedido es4 • 3 = 1 2 .

Ejemplo 3

¿Cuántos números de 3 cifras pueden formarse a partir de0 , 1 , 2, 3 ?

Consideremos el símb olo ab e. Sea E l la experiencia consisten te en reemplazar b y c por 0, 1 , 2, 3 ; E l t iene 4 • 4 = 16resultados posibles. Sea E2 la experiencia consistente en reemplazar a por 1, 2, 3; E2 tiene 3 resultados posibles. Por lo tanto efectu and o E 1 2 se t iene 16 • 3 = 4 8 resultados posibles.Este es el número de números de tres cifras que pueden formarse a parti r de 0 , 1 , 2 , 3 .

E jemplo 4

¿Cuántos polinomios de grado 4 pueden formarse con losn ú m e r o s 0 , 1 , 2 , — 1, — 2, —3 ?

Dejamos a cargo del lector probar que hay

6 ' 6 - 6 - 6 - 5 = 6 4 - 5

tales polinomios.

Ejemplo 5

Sean a, b, c tres ciudades distintas. Supongamos que r t , r 2 ,r 3 , r 4 son todas las rutas que unen a con b; y sean S j , s 2 ,s 3 , s 4 , s 5 las rutas posibles que u nen b con c . Entonces hay

5 • 4 = 20

5 8 5

NOTAS DE ALGEBRA 1

Ejercicios

1 ) ¿Cuán tas parejas de baile pueden form arse a partir deun conjunto de 9 chicas y un conjunto de 8 varones ?

2 ) ¿Cuántos números menores que 10 0 pueden formarse apartir de los dígitos 1 , 3, 9? ¿Cuán tos núm eros menores que 200 pueden formarse a partir de los números0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ?

3) ¿Cu ántos núm eros capicúas de 5 cifras hay ?

4 ) ¿Cu ántos núm eros de tres dígitos pueden form arse a partir de 1, 2, 3, 4, todos terminados en 3 ?

5) Sea un sistema de enviar señales con puntos y rayas.

¿Cuántas señales pueden transmitirse con sucesiones deexactamente 10 signos? Repeticiones permitidas. ¿Cuántas señales de, a lo sumo, 10 signos?

6 ) ¿De cuántas forma s se pueden extraer dos núm eros a,b de l c o n ju n to A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 } , c o n lacondición a + b = 1 2 ? ¿Con la condición a + b < 1 2 ?¿Con la condición a + b primo ?

7 ) Se arrojan dados; uno rojo y otro verde.a) ¿Cuántos resultados posibles pueden ocurrir?

b) Para una persona qu e no distingue co lore s, ¿cu ánto sresultados puede haber ?

5 8 6

rutas posibles de a y c "vía b" . Son exactamente los pares ordenados (r t , s¡ ), 1 < i < 4 , 1 < j < 5 .

Ahora, preguntamos: ¿Cuántas rutas hay, de ida y vuelta,de a a c? Este núm ero es 20 • 2 0 = 4 0 0 .

¿Cuántas rutas hay de a a c, ida y vuelta, tal que la rutade a a c es distinta de la de regreso? Sea V la totalidad derutas de a a c. Entonces V x V puede considerarse como latotalidad de rutas de ida y vuelta a o. Se trata de contar loselementos de V x V fuera de ¡a diagonal; esto no es otra cosa que 20 2 — 2 0 = 3 8 0 .

APÉNDICE II

c) En a ) ¿cuá ntos casos hay en q ue la suma de los nú

meros que aparecen en las caras superiores de los dados es 8 ?

8 ) ¿Cuántos pares (Presidente, Vicepresiden te) pueden formarse en un club con 70 socios si

a) ninguna persona puede desempeñar ambos cargos;

b) sin la restricción a)?

9 ) En una urna hay 1 0 0 b olitas num eradas, negras, y enotra hay 100 bolitas numeradas, blancas. Se saca unabolita de cada urna. ¿Cuántos pares distintos de una bolita negra y una blanca pueden formarse ?

10) Supongamos que en una ciudad a los números telefónicos se forman con 4 dígitos y en una ciudad b con5 dígitos. ¿Cuántas comunicaciones telefónicas puedenmantenerse entre las ciudades a y b?

1 1 ) ¿Cu ántas sucesiones de 3 dígitos pueden forma rse a partir de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sin números repetidos ?

1 2 ) ¿Cuántas sucesiones de 1 0 dígitos pueden formarse apartir de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, sin números repetidos ?

1 3 ) ¿Cuántas palabras de 5 letras pueden forma rse utilizando las letras de la palabra Alejandro?

1 4) ¿Cuántos números menores que 20 0 0 se pueden formar usando los dígitos del conjunto { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 , 9 } ?

Ejercicios

1) Sea A el conjunto de números naturales < 100. Describir explícitamente los elementos de los siguientes subconjuntos de A:

5 8 7

I ) A i { x ; x no es divisible por cuadrados * 1 }

I I ) A 2 ¡x ; x es divisor de 1 6 . 2 0 0 }

I I I ) A 3 { x ; x no es suma de dos cuad rados}

I V ) A 4 = { x ; x 2 + 1 es cuadrado y x 2 + 1 < 1 0 0 }

V ) A 5 = ¡ x; x es suma de dos cuadrados}

V I ) A 6 { x ; x = 1 módulo 4 }

V I I ) A v = [x ; x 2 + (x + l ) 2 es p r i m o } .

2 ) ¿Cuál es el número total de divisores de cada uno delos siguientes números

8 , 3 0 , 2 1 0 , 2 3 1 0 , 5 3 . 1 3 0 , 2 0 0 ?

Si n es expresable en la forma n = p,1

• p j2

. . . p j * ,Pi prim o, Pi * Pj si i * j . ¿Cuál es el num ero tora lde divisores de n ? R az on e po r indu cción en el número de primos.

3 ) Sea Z el conjunto de números enteros, dotado de lasoperaciones ordinarias de suma y producto. Sea K unsubconjunto de Z. Diremos que K es multiplicativo six , y en K im plican x • y en K . ¿Cu áles de los siguientes subconjuntos de Z son multiplicativos?

I ) K = 0 ;

I I ) K = { x ; 0 < x } ;

I I I ) K = { x ; x es pr im o} ;

I V ) K = (x ; x no es divisible por 6 } ;

V ) K = {x ; x no es divisible por un primo fi jado de

antemano } ;v i ) K = { x ; x es expresable co m o suma de dos cuadra

dos en Z} ;

V I I ) K = {x ; x = 2 " , para algún n e N} .

5 8 8

APÉNDICE II

4 ) ¿Cuáles de los siguientes subco njuntos de Z representan

el conjunto vacío?

I ) A i = |x ; x 2 = 0 }

I I ) A 2 = ( X ; x 3 = (x + 1) 2 }

I I I ) A 3 = ( x ; x 2 = 2 }

I V ) A 4 = { x ; 0 < x < l )

V ) A 5 = { x ; x • (x + 1) es un cuadrado

5 ) Sea m en N. Sean r y s enter os. Prob ar que si

A r = { x ; x e Z y x = s(mo d. m ) ¡ ,

Á s = | x ; x e Z y x = r(m o d. m ) }

entonces A r = A s si y sólo si r = s(m od . m ).

6 ) Sean los siguientes sub con juntos de Z:

U = { x ; x es un cuadrado en Z } ,

U ' = { x ; x = 0(m od. 4 ) ) ,

U " = { x ; x = l ( m o d . 4 ) } .

Hallar las posibles relaciones de inclusión entre U, U\U" y todas las uniones e intersecciones de dos a dos.

7 ) Re solver el siguiente prob lem a utilizand o diagramas deVenn. En una escuela con 100 alumnos, el número total de ellos estudiando varios idiomas es el siguiente:

Español : 2 8Alemán : 30

Francés : 42

Los tres idiomas 3

Alemán y EspañolEspañol y Francés

Alemán y Francés

81 0

5

5 8 9



NOTAS DE ALGEBRA I

Se pregunta:

a) ¿Cuántos alumnos de la escuela no estudian ningúnidioma?

b) ¿Cuántos estudian solamente Francés?

c) ¿Cuántos estudian Español y Alemán?

d) ¿Cuántos estudian Alemán si y solo si estudian Español?

e) ¿Cuántos estudian Francés si y solo si estudian Alemán?

f) ¿En que país ub icaría una tal escuela ?

8 ) ¿Se rá cierta la siguiente afirm ación ? : Sea U el conju nto referencial y sea 0 C U : "0 = 0 si y solo si parat od o A C U es 0 D A = 0 ó 0 n A' = 0" .

9) Sean ax, . . . , a n letras distintas del abecedario. Probar

que el número total de palabras de k letras, tomadasde a j , . . . , a n , que pueden formarse es n. (Razoneinductivamente en n.)

I) ¿Cuá ntas palabras de cinc o letras pueden formarse con las letras de SERGIO ?

II ) ¿Cuán tas palabras de 4 letras pueden form arse co nlas letras de ANDREA ?

II I) Sea K i el con junto de toda s las palabras de cuatro letras formadas con las letras de la palabra KLA-TEJO y K 2 el conjunto de todas las palabras decuatro letras formadas con las letras de la palabraCATALOGO. Calcular el número de elementos deKj n K 2 y Ki U K 2 .

(Nota : Klatejo es un apara to inventado y utilizad o por C.

COLON para descubrir América.)1 0 ) Escribir todo s los elemen tos de los siguientes co nju nto s:

I) PÍO)

5 9 0

APÉNDICE II

I I ) P [ P ( { X ) ) ]III) P[P(0)1

Si X es un conjunto con n elementos, ¿cuántos elementos tiene el conjunto P[ P(X )]?

1 1 ) Sean X e Y dos con junto s. Probar que X C Y si y solosi P(X) C P ( Y ) .

1 2 ) Sean X e Y subconjunto s de U. Probar que X — Y siy sólo si X H Y = X U Y.

13) Sean n y m enteros. Sean los siguientes subconjuntosde R-

K j = { x ; 0 < x < 1 0 n } ,

K 2 = { x ; 0 < x < 1 0 r m } .

¿Bajo qué condiciones sobre n y m es

I ) K x C K 2

II) K 2 C K !II I) K , = K 2 ?

1 4 ) Sea U un con junto y A, B, C subco njunto s. Si se satisfacen las propiedades

I ) B U C = UII) A H C = 0

I I I ) A¥=0=¿C

11) ¿cuáles de las afirm acion es siguientes son verdaderas? :

a) C O B * 0

b) B * 0

c) A U C = U.

12) ¿es cier to que A U C = U si y solo si A = B ?

5 9 1

NOTAS DE ALGEBRA I

15 ) Sea U un conjunto y A, B , C , D, E subconjuntos quesatisfacen

I ) B C C

I I ) A ' C E

I I I) A H (B O D ) ' C E .

Probar que E' C A n B n C n D .

Sol.: Sea x en E'. Luego x4

E, luego por II) x4

A' yentonces x e A. Por III) y el hecho que x 4 E resulta x 4 (B n D ) ' , o s e a x e B n D y com o x e Ay B C C se tiene x e A O B f l c n D ,

Sol'.: Por I I ) E ' C A. O sea E ' = E ' n A. Por II I)E ' C A' U (B n D). Por lo tanto E' = E' n A =c (A ' n A ) u (A n B n D) = A n B n D == A n (B n C) O D dado que por I)B = B O C.

1 6 ) Sean A t , . . . , A n subconjuntos de un conjunto U tales que

I ) A i * 0 si i = 1 , . . . , n

II ) Para ningún índice k, A * C A j U . . . U Ák U . . . U A n

dond e indica que el térm ino de índice k debe suprimirse en la unión.

Probar que = Ak — (Ax

U. . ,U A^-i) si i < k y Cj =Ajconstituye una partición de Ai U . . . U A n .Aplicar a las situaciones siguientes:

a ) U = [ 0 , l ] A , = [ 0 , 1 / 4 ] . , A 2 = [1/12 ,1/3] ,

A 3 = [1/4 , 2/3] , A 4 = [1-/2,1) ,

A s = 1

b ) U = { x ; x e Z y 0 < x < 1 0 0 } .S ean Ai = { 1 } , A 2 == {x ; x es par } A 3 = { x ; x es divisible po r 3 } , A 4 == { x ; x es divisible p or 5 ó 6 } .

¿Es A! U A 2 U A 3 U A 4 = U.?

Describa II) mediante un diagrama de Venn

APÉNDICE II

5 9 3

1 7 ) Sea R el con junto de números reales. Estudiar las relaciones siguientes definidas en R. Determinar las clasesde equivalencia y los conjuntos cociente asociados.

I ) x ^ y si x 2 = y 2

II ) Sea £ e R , 0 < £. x 'v y si y solo si | x — y | < £.

II I) x y si y solo si [x ] = [y ] ( [x ] deno ta la parteentera de x, o sea el único entero [x] que satisface [x ] <: x < [x ] + 1 .

IV ) x 'v y si y solo si x 2 + y 2 = 0

VI) x ' V y si y solo si 3x -f 2y = 0

V ) x ^ y si y solo si (x — y ) 2 > 0

V II ) x ^ y si y solo si x = 0 ó y = 0

V I I I ) x ^ y si y solo si x - y e Q

I X ) a ^ b si y solo si la ecuació n a • X = b , posee unasolución en R

X ) x ' V y si y solo si existe n e Z con x ^ 2T n < y .

1 8 ) Sean A y B dos con juntos no vac íos, sean a e A, b e Btales que A - { a } <J , B — { b } 0 . ¿Es cierto que

A x B - {(a , b ) } = (A - {a } ) x (B - { b } )?

1 9 ) Operador de Clausura. Sea X un conjunto. Se llama operador de clausura definido sobre X, a toda aplicaciónP (X ) -*• P (X ) d enotada por A -* A , si A C X tal quesatisface los axiomas siguientes:

1 ^ ) 0 = 0 K 3 ) Á = A

K 2 ) A C A K 4 ) A U B = A ü B

si A C X y B C X .

En otros términos, un operador de clausura consiste enasignar a cada subconjunto A de X otro subconjunto

NOTAS DE ALGEBRA I

Tí de X , de ma nera tal de satisfac erse , . . . , K 4 .

A se denomina la clausura de A (respecto del operadordado) . (Nota: el sentido del operador de clausura estámotivado en el estudio de las propiedades de continuidad de la recta al asignar a cada subconjunto de R todos sus puntos de acumulación. Se dice que a es puntode acumulación de Y C R si para todo % > 0, existey e Y tal que | a — y | < £. De acuerdo con esto, por ejemplo valen

{ ¥ } = { a } , ( a T b ) = [ a , b ] , [ a 7 b ] = [ a , b ] .El lector puede demostrar a manera de buen ejercicioque el asignar a cada subconjunto A de R, el conjuntoX de todos sus puntos de acumulación en R, define unoperador de clausura sobre R. El estudio de los operadores de clausura corresponde a una rama joven de laMatemática, la Topología Conjuntista. Aproximadamente podemos decir que la Topología Conjuntista trata el

estudio de la noción de " vecindad" o " proximidad" enconjuntos (o como se dice también, espacios) abstractos . El disponer de una noción de vecindad, proximidad, en un espacio permite el estudio de las funcionescontinuas, relativas a tales conceptos de vecindad.)

a) Probar que si A +* A_es un operador de clausura entonces A C B implica A C B.

b) Determinar en cuáles de los casos siguientes la corres

pondencia dada determina un operador de clausura:

I) X cualquiera • Á = A cualquiera sea A C X.

II ) X cualquiera • A = 0 cualquiera sea A C X.

II I) X cualquiera • A = A' complemento de A en X.

IV ) X cualquiera y F un subconjunto fi jo de X • A =

= A n F .

V ) X cualquiera • Á = X si A 0 y W = 0 •

c) Determ ine tod os los operadores de clausura en los conjuntos siguientes:

5 9 4

X = 0 , X = { a } , X = { a , b } , X = { a , b , c } .

d) Sea A** Aun operador de clausura sobre X. ¿Es cierto en general que

MHN = M Pl Ñ ?

e) Sea X un conjunto y e X, fijado de antemano.Sea A = A si x D e A y A = X si x 0 i A. ¿Es A +*• A"un operador de clausura ?

Sea_X un conjunto y sea jasignado a todo subconjun

to A de X, un subconjunto A de X tal que satisface el si-quiente axioma:

(*) (D ' n B ) u c c (D ' n B U c ) n 0'

cualesquiera sean B , C, D C X. Probar que A +*• A enesas condiciones es un operador de clausura sobre X.[Se debe verificar que A +> A satisface las propiedades

K j , . . . , K4

del ejercicio precedente. Veamos una poruna:

K x ) haciendo C = <^en (*) resulta W C W y de aquíJ = 0 .

(*) admite entonces la simplificación

(**) (D' H B ) U C C D Pl B U C , B , C, D C X

y además haciendo C = 0

(***) ( D ' H B ) C L V D B , B , D C X

K 2 ) sigue de (**) haciendo D = B = 0 y usando K j .

K 3 ) haciendo D_= A_ y B = A en (***) resulta

A' Pl A C A' D A = J = 0 por lojanto A C Ay como por K 2 A C A se tiene A = A .

K 4 ) probaremos primeramente que A U B C A U B ,para ello notemos que A C Á U B C A U Basí A U B ' H A C A U B ' n A = 0 de manera

595



NOTAS DE ALGEBRA I

que _A C_A U B y siendo A arbitrario se tieneque A U B C A U B .

Finalmente se t iene

(A U B ) ' n (A U B ) = (A'H B ' ) O (A U B )

= (A ' n ( B ' O (A U B ) )

C A ' n ( B ' n ( A U B ) ) ( p o r ( • • • »

= A ' n o B r n A j u í B r n B )

= A ' D ( B V I A ) U 0

C A ' n ( B ' n A ) ( p o r C - * ) )

= 0

con lo que A U B C A U B y K 4 queda probado.]2 1 ) Probar recíp rocam ente qué si A +* A es un operador de

clausura se satisface el axioma (*) del ejercicio anterior.

5 9 6



APÉNDICE III Existencia de indeterminadas sobre un anil lo con

mutat ivo con elemento neutroSea B un anil lo conmutativo con identidad 1 0 . En es

te apéndice construiremos un anillo A con las siguientes propiedades:

1) A es un anil lo con mu tativo con identidad

2 ) B es un subanillo de A (y por nuestra definición de "subanil lo", las identidades de A y B coinciden y las denotamos indistintamente con 1)

3 ) Existe x e A tal que, cualesquiera sean b j b n e B

b 0 + b , - x + . . . + b n - x n = 0 •» b 0 = . . . = b „ = 0.

En otros términos, A posee un elemento trascendente sobre B .

Sea en efecto A la total idad de aplicacionesf : N 0 -+ B donde N „ = N U { 0 }

tales que

f( j ) = 0 para casi todo j e N 0 ,

es decir, existe un número natural t tal que f (i) = 0, Vi, i > t.

Una aplicación arbitraria de N 0 en B no es otra cosa queuna sucesión infinita de elemen tos de B :

bo» b , , b 2 , . . . , b i, . . .

Los elementos de A corresponden exactamente a las suce-ciones

b o i b i , b 2 , . . . , b ¡ , . . .

tales que b¡ = 0 desde un índice en adelante. Por ejemplo sonelementos de B las sucesiones

f = 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , . . .

o sea

5 9 7

NOTAS DE ALGEBRA I

5 9 8

f(0 ) = O, f ( l ) = 1 , f ( 2 ) = O, f (3 ) = 1 ,<

f ( j ) = 0 si 3 < j .

O = O, O, O, O, O, O, O, . . .

o sea

f( j) = O cualquiera sea j e N Q .

. Notemos seguidamente que cada elemento b de B determina un elemento de A, definiendo

f b ( 0 ) = b , £ b ( i ) = O s i 0 < i .

O sea, el elemento b de B determina la sucesión en A

b , O, O, O, O, O, . . .

De esta manera queda definida una aplicación

de B en A que es inyectiva, es decir f a = f b =*• a = b. Estaapl icación nos permite " identi f icar" B con un subconjunto de A.Como B posee estructura de anillo se tratará de definir en Auna estructura de anil lo que "extienda" la estructura de anil lode A.

Sean f, g elementos en A. La aplicación de N 0 en B definida por

j * f ( j ) + g( j )

determina un eleme nto de A. En ef ec to, si t y u e N son tales que

f ( j ) = 0 si t < j y g ( j ) = 0 si u < j

entonces

f ( j ) + g(j) = 0 s i máximo (t , u) < j .

La nueva aplicación la denotamos con f 4- g y la denomi-



APÉNDICE III

namos la suma de f con g. Es fácil ver la validez de las propiedades

f + g = g + f .

Nota

La igualdad se refiere a igualdad de aplicaciones de N 0 enB , o sea f = g si y solo si f (j) = g (j ) para to d o j E N 0 .

Además la sucesión 0 =-0 , 0 , 0 , 0 , . . . . es e lemento neutro dela sum a:

f + 0 = f cualquiera sea f E A .

Por otra parte si f E A podemos definir —f: N 0 -»• Bp or ( - f ) ( j ) = - f ( j ) .

Es claro que —f E A y además f + (—f) = 0. La asociati-vidad de la suma en B implica la asociatividad de esta nuevasuma.

En fin, hemos probado que la suma

(f, g) ~ f + g

define sobre A una estructura de grupo abe liano.Esta estructura aditiva es satisfactoria si se tiene en cuenta

la aplicación B -»• A definida por b +> f b . En efecto, se verifica

f(b+b") = f b +

de manera tal que si identificamos

b con fb

se tiene

b + b ' = b + b '

suma en B suma en A

Por lo tanto la estructura aditiva de A "extiende" (en unsentido bien c laro) la estructura de B .

Trataremos de hacer otro tanto con la multiplicación. Unopod ría inten tar defin ir, si f, g E A

5 9 9

NOTAS DE ALGEBRA I

(f • g) ( j ) = f ü ) • gÜÍ-Se ve fácilmente que esta definición no es satisfactoria. En

efecto, ya di j imos que pretendemos que el elemento neutro 1de B sea el elemento neutro de A, pero utilizando esta últimadefinición resulta por ejemplo:

( 0 , 1 , 0 , 0 , . . .) • (1 , 0 , 0 , 0 , . . . ) = (0 , 0 , 0 , 0 , . . . )

de manera que ese requerimiento no se satisfaría.Una buena definición de produ cto se o btiene as í . Sean f, g G Aentonces para cada m G N Q se define

( f - g ) . = 2 f ( i ) - g ü ) . ( 1 )i + j = m

0 « í i , j

Hay que probar que f • g G A. Antes de hacer esa verifi

cación aclaremos con algunos ejemplos el sentido de la suma (1):(f • g) (0 ) = f (0 ) • g ( 0 )

(f • g) (1 ) = f (0 ) • g ( l ) + f ( 1 ) • g (0 ) (puesO + 1 = 1 = 1 + 0

son las únicas representaciones de 1 como suma de dos enteros no negativos)

(f • g) (2) = f (0 ) • g ( 2 ) + f (1 ) • g ( l ) + f ( 2 ) • g(0) (pues

0 + 2 = 1 + 1 = 2 + 0 son las únicas representaciones de 2como suma de dos enteros no negativos).

Se tra ta de ver que f • g G A. Para ello sean t y u G N tales que f(j) = 0 si t < j y g(j) = 0 si u < j . En ton ces si t + u < mresulta, i + j = m y 0 ^ i , j = » t < i ó u < j (dado que i < t yj < u implicarían m = i + j < t +• u, absurdo).Por lo tanto los términos de la suma (1) son todos cero siu + t < m. Esto prueba que f • g G A .

Una propiedad inmediata de la definición (1) es la conmu-tatividad:

f • g = g • f

cualesquiera sean f, g G A .

6 0 0

A P É N D I C E I I I

Por otra parte este producto es satisfactorio en cuanto ala preservación de la identidad de B . En ef ecto , para tod o m € N 0

(f • 1) (m) = 2 f ( i ) • l ( j ) = f ( m ) • 1 (0 ) + 2 f ( i ) •i+j=m i+j =m

0 < i, j 0 < i

0 < j

• l ( j ) = f ( m )

por lo tanto f • 1 = f .Prob em os la ley asociativa del pro du cto f , g, ** f * g. S eanf, g, h € A.Entonces[(f • g) • h] (m ) = 2 (f • g) (i) • h ( j ) - 2 [ 2 f (u ) •

¡•j=m i+j"m u+v«i0 < i , j 0 < i , j 0 < u , v

• g(v)) h( j ) ] =

= 2 [ 2 f ( u ) • g(v )l • h(j ) ( 2 )i+j = m u+v= i

(donde hemos suprimido los sub índices 0 <¡ i , j , 0 <| u, v, para simplificar la escritura).Los índices u, v, j , en ( 2 ) son tales que u + v + j = m . R ecí procamente si u, v, j son enteros no negativos tales que u + v + j == m, el los determin an un sumando de (2 ) . Por lo tanto se tien e

(2 ) » 2 [ f (u ) • g(v)] • h( j ) =u+v+j-m0< u, v , j

= 2 f ( u ) • [g (v) • h ( j ) ] =u+v+j = m

= 2 f (u ) • [ 2 g(v ) • h ( j ) ] =u+r=m v+j«r

= 2 f ( u ) - ( g - h ) ( r ) =u+r=m

= [f • (g • h ) ] (m ) .

6 0 1

NOTAS DE ALGEBRA I

Por lo tanto f • (g • h ) = (f • g) • h y la ásociatividad que

da probada.Dejamos a cargo del lector la verificación de la ley distributiva

f • (g + h) = f • g + f • h .

Veamos ahora cómo este producto en A extiende el producto de anil lo en B.

Observemos que

f b • f b * = f b * ' -

E n e fec t o ,

( f b • f b ' ) (m ) = 2 f b (i) • f b . ( j ) = 0 si 0 < mi+j = m

( f b - f b > ) ( 0 ) = f b ( 0 ) - f b . ( 0 ) = b - b '

lo cual prueba nuestra afirmación. Por lo tanto con la identi

ficación de b con f b resulta

b • b' = b • b '

produ cto en B , prod ucto en A

De esta manera el producto en A extiende el producto en B.En fin, la estructura de anillo de B se extiende a una es

tructura de anil lo conmutativo en A.

Ejercicio

Probar que si 6 € B C A y / E A entonces para todom E N 0 : (b • f ) (m) = b • f ( m ) .

Queda por ver la existencia en A de un elemento trascen-dente. Sea x E A definido por

x ( l ) = 1 , x ( j ) = 0 s i j # l .

O sea, x está representado por la sucesión

0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , . . .

6 0 2

APÉNDICE III

Calculemos las potencias de x en A:

x 2 (m) = 2 x( i ) • x( j) = 0 si 111^2i + j = m

[pues el único caso en que x (i) • x (j ) es •=£ 0 es el que corresp o n d e a x ( l ) • x ( l ) ]

x 2 ( 2 ) = x ( 0 ) • x ( 2 ) + x ( l ) • x ( l ) + x ( 2 ) • x ( 0 ) =

= 0 - l + l ' l + l - 0 = lpor lo tan to x 2 está representado por la sucesión

0 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , 0 , . . .

Análogamente se verifica que x 1 está representado por la sucesión 0, 0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . con 0 en todas las posiciones excepto la posición i donde hay un 1 .

Se suele definir también*° = 1.

Sea f € A y sea t € N tal qu e f (j) = 0 si t < j .

Entonces vale la igualdad

f = f (0 ) 4- f ( l ) • x + f (2 ) • x 2 + . . . + . f(t) • x 1 = h f(i) * x*.i=o-

Dejamos a cargo del tlector esta verificación [sugerencia: verque las aplicaciones f y ¿ f(i ) • x 1 toman los mismos valores so-

1 = 0

b r e N 0 ) .Como consecuencia se t iene que todo elemento de A se pre

senta por una expresión polinomial (o simplemente un polinomio) en x .

Probe m os que x es trascendente sobre B . Sean b 0 , b t , .. . , b t

tales que 2 b ¡ • x ' = 0 .i=o

Entonces si 1 < j < t, 0 = ( 2 a¡ • x*) (j) = 2 l a t • x' (j) = aji = 0 i = 0


6 0 3



APÉNDICE IV (Complemento al capítulo I I )

Definiciones por Recurrencia, Una crí t ica*

Sea N el conjunto de números naturales y._sea A un anillo(o si se quiere el conjunto R de números reales); se trata de darsentido preciso a las sumas y los productos:

ai + a 2 + . . . + a„

a, • a 2 • . . . • a„

de n elementos & x , a 2 , . . . , a„ pertenecientes a A. Es claro quesi n = 2, ai + a 2 y a, • a 2 están perfectamente definidos en A.

El problema es entonces, dado n £ N y una sucesióna t , a 2 , . . . , a n de elementos de A, definir (unívocamente) susuma y producto en A. De acuerdo con el Principio de Inducción se procede así. Se considera el subconjunto S de N definido por:

S = {n G N / ai + a 2 4- . . . + a n está definida en A ó n = 1} .

Se argumenta luego:

a) l € E S pues por definición lo hemos incluido.

b) Sea n e S . Debem os probar que n + 1 G N. Sea a i ,a 2 , . . , a„ + 1 una sucesión de n 4 - 1 elementos en A.Si escribimos

a, + . . . + a n + 1 = (a x + . . . + a n ) + a n + 1

queda de finida la suma de dich a s uce sión,' por lo cualn 4- l e S .

En virtud del Principio de Ind ucción se sigue de a) "y b)que la suma de n elementos de A está definida para todo n G N .

El señor Jarvis ha criticado duramente este tipo de razonamiento. El punto neurálgico del argumento de Jarvis es que:No está claro que S esté bien definido.

Jarvis tiene razón, en la definición de S se utiliza una nociónmás lingüística que matemática, a saber, la de estar definida.Además Jarvis nos ha indicado el tratamiento que de esta cuestión se hace en el l ibrito de E. Landau: Fundamentos del

605

NOTAS DE ALGEBRA I

Análisis y nos ha convencido de la necesidad de incluir esa

exposición en este Apéndice. Landau analiza simultáneamentela suma y el producto indicando a estas operaciones genéricamente con una * .

Satz 2 7 5 . Se a f : N -* A una aplicación de N en A. Existeenton ces una y solo una aplicación g : N -* A con las dospropiedades

g ( l ) = f ( l )K h

g ( n + l ) = g(n) * f ( n + 1 ) , V n G N .

Demostración

a) Sea x 6 N . Supongamos definida una función g x : [ 1, x j ->-» A con las propiedades

g x ( l ) = f ( l )

g x ( n + l ) = g x ( n ) * f ( n + 1 ) si K n < x .

Probaremos primeramente que g x es única con las propiedades (* , x) . En e fec to, supongamos que g' : J l , x j -»• A satisface( * , x ) . S ea M C N d ef in id o p or

M = {n / g x ( n ) = g'(n) ó x < n} .

Se afirma que M = N. No temos que 1 6 M pues g x ( l ) == f ( l ) = g ' ( l ) - Sea nG M. S i n> x entonces n + 1 > x y por lotanto n + 1 G M. Sea n < x . En tonce s

g x (n + 1) = g x (n) * f(n + 1) = g'(n) * f(n + 1) = g'(n + 1) ,

de manera que n + 1 G M. Se sigue que M es inductivo y por lotanto M = N. Pero es to implica (vista la definición de M) queg x

= g '> como se quería probar.a') Se sigue de a) que si para dos núm eros naturales x < y

existen funciones g x , g y con las propiedades (*, x) y (*, y)respectivamente, entonces la restricción de g y al intervalo

* Deseamos expresar nuestro público agradecimiento al señor Jarvis porsu ayuda y valiosa observación.

606

APÉNDICE IV

f l , x l c oin cid e c on g x . En particular si g x y g x + i estándefinidas g x + 1 ( x ) = g x ( x ) .

b) Analicemos la existencia de funciones del t ipo introducido en a).

S ea

M = { x G N / Existe g x : i 1, x 'J -* A satisfaciendo (* , x ) } .

N otem os que 1 £ M pues la función g : { 1 } ->• A definidapor g ( l ) = f ( l ) satisface (* , 1) (siendo la segunda condición¡vac ía ! ) . Sea x G M y sea g x la función asociada. Vam os a

definir g x + 1 : | [ l , x + l ] - * A c on la s p rop ied ad es re qu erid as.Para ello observemos que, por a), para cada x en M, la funciónasociada g x es única. Tiene pues sentido definir

r g x ( n ) si n < xg* + i (n) = <

L g x ( n ) * f ( x + 1 ) s i n = x + 1 .

Debemos probar la validez de (*, x + 1).

Es claro que

g x + 1 ( l ) = l p ues g x + 1 ( l ) = g x ( l ) = f ( D •

Se a n < x + l . S i n < x entonces n + 1 < x , por lo ta nto

g x + i ( n + 1 ) = g x ( n + 1 ) . = g x (n ) * f(n + 1 ) = g x + 1 ( n ) * f ( n + l ) .

Si n = x, se tiene

g x + 1 ( x + 1 ) = g x ( x ) * f ( x + 1 )

por su definición.En definit iva hemos probado que x + l e M, o sea M, es

inductivo. Por lo ta nto para todo x e N e xiste una (y s olouna) función g x con las propiedades (*, x).

c) Probamos ahora la af i rmación hecha en el Teorema 275.S ea , p ara cad a x e N , '

g(x) = g x ( x )

g está bien definida y sat isface g ( l ) = 1 , pues g (l ) = g i ( l ) = 1 .S e a n G N .

607

NOTAS DE ALGEBRA I

Ejercic io

Razonando por analogía con el Teorema 275 proponemosal lector, a manera de ejercicio, dar una definición rigurosa de

608

g ( n + 1 ) = g n + 1 ( n + 1 ) = g n + 1 ( n ) * f (n + 1) =

= g n (n ) * f ( n + 1) = g(n) * f (n + 1) .

Por lo tanto g satisface (*). Sea g' : N -+ A satisfaciendo (*).Para todo x en N la restricción g x de g al intervalo [1, x jsatisface

g x d ) = 1

g' x(n + 1) = g' x(n ) * f ( n + 1 ) si n < x

Por lo tanto g x = g x y entonces g'(x) = g x (x ) = g x ( x ) == g ( x ) .

El Teorema queda completamente demostrado.

Podemos ahora dar las definiciones precisas de suma yproducto de n términos.

Definición 69

Se a f*: N-»• A y escriba m os f( n ) = an . Entonces

a, + . . . + a x = £ n = 1 a ^ = g x ( x ) , + en lugar de *

a, • . . . • a x = TT* = 1 a n = g x ( x ) , • en lugar de *

Las propiedades

g x ( l ) = 1 , g x + 1 ( x + 1 ) = g x ( x ) * f ( x + 1 )admiten las siguientes traducciones

1 X + 1 X2 n = l a n = a i . 2 „ = 1 a „ = ( 2 n = l a n ) + » x - r 1

yj .1 X + 1 X

" n = i a n = a 1 , T T n = 1 a„ = ( T T n = 1 a „ ) • a x + i .

APÉNDICE IV

609

la sucesión de Fibonacci o sea probar la existencia de una

sucesión a,, a 2 , . . . , a „ , . . de núm eros enter os tales quea, = 1 , a 2 = 1 , a n+ x = + a » - ! si n > 2 .

La fórmula anterior que expresa a„ en términos de los a¡con i < n se d enom ina una fórmula de recurrencia. La mismaocurre abundantemente en matemática.

Las ideas utilizadas al demostrar el Teorema 275 permitenprobar también variados principios de definición por recurrencia, como ser el siguiente.

Principio de definición por recurrencia

Sea L un conjunto, sea a G L y sea t : L -» L una aplicación de L en L. Existe entonces. un a y solo una aplicacióng : N -*• L con las propiedades

g ( D . = a

g(n + 1) = t(g(n )) .

N OT A

Es posible obtener el Teorema 275 como corolario del Principio de definición por recurrencia. Digamos además que todolo anterior es válido si en lugar de todo N se utiliza una secciónN p = {n G N / n > p}, reemplazando la condición g ( l) = f ( l ) óg ( l) = a por g(p) = f(p ) ó g(p) = a respectivamen te.

Combinatoria con elementos indistinguibles

Se trata de estudiar el siguiente problema combinatorio.Dadas n cajas y k bolitas, determinar el número total dedistribuciones de las bolitas en'las cajas dadas. Las bolitasson indistinguibles entre sí.

E jemplo

n = 3 , k = 2 . Las situaciones posibles son

( + + ) l ) < ) 1 1 • •

( + ) , ( + ) , ( ) 1 2 •

( + ) . ( ) , ( + ) 1 • '

< • ) . ( + + ) , < ) - 2 2 •

< ) . ( + ) , ( + ) - 2 3

( ) , ( ) , (+ + ) • • 3 3

Terminología

Es útil distinguir esta situación de otras estudiadas enCombinatoria. A ese fin se suele l lamar "bosones" a elementosindistinguibles. Esta terminología proviene de la física en laque núcleos y protones se tratan como bosones. Este nombreestá asociado al estadístico hindú Chandra Bose. Bosones sonpues elementos indistinguibles y el problema es pues: distribuirk bosones en n cajas.

T eo rem a

El número total de distribuciones de k bosones en ncajas es

/ n + k - 1 ,1 k '

Demostración

La idea clave de la demostración se basa en adoptar unabuena notación para denotar una distribución. En el ejemplode más arriba, cada caja tiene un número 1, 2, 3. Para indicarque hay 2 bosones en la primera caja hemos escrito la sucesión1 1 , un bosón en la primera y otro en la segunda se denotancon la sucesión 12, etc. En general una distribución de k bosones en n cajas 1, 2 , . . . , n queda com pletam ente determina

da por una sucesión creciente de k números

ai a 2 a 3 . . . a k , 1 < ai < nSC

aj < a 2 < a 3 < . . . < a k

6 1 0

APÉNDICE IV

Por ejem plo n = 4 , k = 3 las distribucione s posibles corresponden a las sucesiones "crecientes":

1 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 2 2 1 2 3 1 2 4 1 3 3 1 3 4 1 4 4

2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 3 3 2 3 4 2 4 4 3 3 3 3 3 4 3 4 4 4 4 4

o sea ( 4 3 2 ) = 20 distribuciones.

El problema es calcular el número total de sucesiones crecientes SC.

Recordemos al lector que si en lugar de sucesiones crecientes SC consideramos sucesiones estrictamente crecientes SEC :: ai < a 2 < . . . < a k su número es muy fácil de calcular. Enefecto, coincide con el número de combinaciones de n objetostomados de k en k , es dec ir ( £ ) .

La demostración se logrará "transformando" ingeniosamente las SC en SEC. Y esto se basa en el hecho trivial siguiente:si a y b son números naturales

a < b si y solo si a < b + 1 .

Una sucesión creciente de números naturales a t a 2 . . • a k setransforma en una sucesión estrictamente creciente si a a 2 lesumamos 1, a a 3 le sum amos 2 , . . . e tc . ; a a k le sumamos

k — 1. O sea: toda sucesión creciente de k términos con valoresai, 1 < a¿ < n d a lugar a una y solo una sucesión estrictam entecrec iente de k térm inos b¡ con bj = aj + (i — 1), 1 < bj < n ++ ( k - l ) .

Recíprocamente, toda sucesión estrictamente creciente bi ,b 2 , . . . , b k con 1 < b¡ < n + (k — 1) da lugar a una sucesióncreciente a t a 2 . . . a k haciendo ' ai = b i , a 2 = b 2

— 1 , a 3 == b 3 — 2, . . a j+i = b 1 + 1 —i, . ' . a k = b k — ( k — 1 ) .

Hay pues correspondencia biyectiva entre sucesiones crecientes a t a 2 . . . ak 1 < a 4 < n y sucesiones estrictamente crecientes b j b 2 . . . b k , 1 < bi < n + (k — 1). Puesto que el cardinalde estas últimas es ( n + 1 } ) , él teorema queda demostrado.En el e jem plo ante rior con k = 3, n = 4 el pasaje de un tipode sucesión al otro está dado en la tabla siguiente:

611



NOTAS DE ALGEBRA I

11 1 : : 12 3 22 2 : : 234112 : : 124 2 2 3 : : 235

1 1 3 : : 12 5 22 4 : : 236

1 1 4 : : 12 6 23 3 : : 245

122 : : 134 2 3 4 : : 246

1 2 3 : : 13 5 24 4 : : 256

1 2 4 : : 136 3 3 3 : : 3451 3 3 : : 145 334 : : 346

134 : : 146 34 4 : : 35 6

144 : : 15 6 44 4 : : 456

a b e - > a ( b + l ) ( c + 2 )

E jemplo

Un ascensor transporta 8 pasajeros y puede parar en 10pisos.

¿Cuál es el número total de esquemas posibles de descenso,si no distinguimos los pasajeros y si todos descienden?

Solución

Los pasajeros pueden considerarse como bosones, el nú-8ero total de esquemas de descenso es ( 1 0 í 7 ) = 2 4 . 3 1 0 .

Ejercic ios

1) ¿En cuántas formas pueden distribuirse 20 latas desopa en tre I) 7 personas, II ) 7 personas, pero con la condición de que cada persona reciba al menos una lata?

2) ¿En cuántas formas pueden distribuirse 15 latas desopa y 2 0 latas de tom ates en tre I) 7 personas, II ) 7 personas, pero cada una recibe al menos una lata de tomates,II I) 7 personas, pero cada una recibe al menos una lata decada tipo?

612

APÉNDICE IV

3) ¿En cuántas formas se pueden distribuir 10 monedasde 1 $ y 15 monedas de 10 $ entre I) 8 chicos, II) 8 chicos ,pero de manera tal que ninguno proteste demasiado por loque le ha correspondido?

4) ¿Cuántos polinomios reales mónicos de grado 4 puedenforma rse tales qu e I) sus raíc es sean algunos de los d ígitos0, 1, 2, 3, 4 , 5 , 6, 7, 8 , 9 ; II ) com o en I) pero sin raíces múltiples?

5) ¿En cuántas formas pueden alinearse 10 signos — y20 signos + con la cond ición de que nunca d os signos — seancontiguos?

6) ¿En cuántas formas es posible asignar un puntaje de30 puntos a 8 temas de examen, con la condición de quecada tema reciba al menos, 2 puntos?

7 ) ¿En cuántas form as pueden dos tiradores A y B disparar

20 y 30 tiros respectivamente hacia 3 blancos?8 ) ¿Cuál es el número to ta l de resultados posibles al arro

jar n dados simultáneamente?

9) Sean r y n naturales. Se llama partición ordenada den en r elementos a toda sucesión ai a 2 . . . a, de r enteros a j ,0 < a t tales que ai + a 2 + . . . + a , = n. Por e jemplo (0 ,0 ,4 ) ,( 0 ,1 ,3 ) , ( 0 , 2 , 2 ) , ( 1 , 0 , 3 ) , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 1 , 2 , 1 ) , ( 2 , 0 , 2 ) ( 2 , 1 , 1 ) . . .

etc. . . (0 ,0 ,4 ). Probar que el núm ero total de particionesordenadas de n en r es

(Sugerencia. Se trata de poner n bosones en r cajas).

10) Consideremos distribuciones de elementos indistingui

bles en cajas, pero permitiendo a lo sumo 1 elemento por caja.Los elementos los llamamos ahora fermiones (en honor delfísico i tal iano Enrico Fermi. Electrones, protones y neutronesse tratan en física como fermiones). Probar que el número totalde d istribucion es de k ferm ione s en n cajas es 0 si k > n y(£) en otro caso.

6 1 3



APÉNDICE V (Complemento al capítulo VI)

Ceros de polinomios reales

0) Introducción

Uno de los problemas más antiguos y difíci les en ALGEBRAes, sin duda, el siguiente:

Da do un cu erpo K y un polinom io f (X ) = X " + a! X n _ 1 ++ . . . + a n - i X + a„ G KIXI hal lar efectivamente sus raíces o,

como suele expresarse habitualmente, resolver la ecuación algebraica f(X) = 0.Clásicamente el problema está referido al cuerpo R de

números reales. Una razón fundamental es la siguiente: lospolinomios reales (o complejos) pueden tratarse como funciones polinomiales reales (o complejas) y entonces toda laarti l lería del ANÁLISIS está a mano. En efecto, como veremos más adelante, los métodos efectivos de localizar raícesdependen fuertemente de cuestiones de continuidad.

Haciendo un poco de historia, un resultado de épocasremotas es la resolución de la ecuación cuadrática:

a X 2 + b X + c = 0 , a * 0 , a, b , c en IR

Las raíces están dadas por la fórmula

donde D = b 2 — 4ac es e l discriminante de la ecuación.Los matemáticos, durante varios siglos, fuerdn en pos de

una "fórmula cúbica" para resolver la ecuación

Una tal fórmula fue finalmente encontrada por un matemát ico i tal iano: Serafín Tartagl ia (15067-1557) . Tartagl ia descubrió

que el cambio de variables:

x =- b ± sfD

2 a

(1 ) X 3 + b X 2 + cX + d = 0 .

Y = X +b

3

transformaba la ecuación (1) en la siguiente,

615

NOTAS DE ALGEBRA I

(2) Y 3 + pY + q = O

Es claro que z es raíz de (2) si y solo si z — -7 es raíz de3( 1 ) , de manera que no hay pérdida de generalidad en suponer

que la ecuación original es

(1') X 3 + pX + q = 0

- 1 + V3 -Í , ,Sea w = 2 1 1 1 1 2 1 r a l z cubica primitiva de la unidad.

Las fórmulas de Tartaglia que resuelven la ecuación (1') sonlas siguientes:

x 2 = w - V - f + VD + w2

• y - | - V D

x 3 = w2 • y~-2- + VÜ + w • -VTT

donde:

II) las raíces cúbicas <?/—5- + Vi) y V— — v D

deben ser elegidas de manera tal que su producto sea un número real.

Las fórmulas precedentes resuelven "efectivamente" el pro

blema propuesto para el caso de la ecuación de tercer grado.Es instructivo verificar que las expresiones de x x , x 2 , x 3 satisfacen (1'). Hagámoslo con X j , escribiendo, para abreviar

T = - f + V D y T ' = - - | - s/D. Se tiene

6 1 6



APÉNDICE V

Ejemplo

Hallemos las raíces de la cúbica X 3 + X + 1 .A q u í no es necesario hacer el cambio de variables utilizado

para eliminar el término en X 2 . Se tiene

p = q = 1 , D = ^ + -gy = K¡8~

Entonces

617

x , = T + T + 3- (\ V T )2

- {SVT') + 3 - (^T) - (VT7

)2

p x , = ( ^ T + ^ T 7 ) - p

q = q

x 3 + px, + q= \ VT- (3'\ YT-\ VT + p) + SVT- (3'\ V T - S V T + p)

(pues T + T" + q = 0)

(3) =(yr + \ V T )*(3- \ V T-s V T+ p)

De acuerdo con II)

$f • \ VT~ r e Rpor lo tanto - •

T • T ' = r 3

o sea

P q" p— -gy = D = r 3 de donde r = — -g .

Pero entonces (3) es = 0, que es lo que queríamos probar.

- f + V D - " 2 + V l 0 8 • - 2 ~ V 5 = ~ 2 ~ V Í 0 8

Siendo dichas cantidades rea le s , no hay ambigüedad enla elección de las raíces cúbicas reales (todo número realadmite una y solo una raíz cúbica real).

La condición I I ) queda sat isfecha automáticamente. F inalmente las raíces son

y análogas expresiones para x 2 y x 3 .Dejamos como ejercicio para el lector resolver la cúbica

X 3 - 2 X 2 + X + 5 = 0 .Siguiendo con la historia, digamos que en 1545 el matemá

tico ital iano Ferrari logró la solución de la ecuación generalde cuarto grado.

Es importante notar que todas las soluciones halladas se

formulaban en términos de las operaciones racionales (o seasuma, diferencia, producto y cociente) y, además, de extracción de raíces. Esto es lo que se denomina- " r e so l v e r una e cua c ión , p o r ra d i ca l e s " .

A partir de entonces un intenso esfuerzo se destinó a labúsqueda de una solución general de la ecuación de grado n ypasaron cerca de dos siglos sin que se obtuviera ningún resultado posit ivo. A fines del siglo xv m , Lagrange enco ntróuna técnica general para resolver las ecuaciones de grado < 4.Su idea era reducir la solución de una ecuación determinada a

la solución de ecuaciones auxil iares, de menor grado, l lamadasr e s o l v e n t e s . Pero, curiosamente, el método de Lagrange aplicado a la ecuación de quinto grado producía una resolvente des e x t o g ra d o ! ! . Desde ese momento se pensó en la imposibil idad de resolver la ecuación de quinto grado. (Insistamos enque, resolver significa resolver por radicales.)

Finalmente, en 1828, Nei ls Abel probó que esto era efect ivamente así , o sea probó que e s i m p o s i b l e re s o l v e r l a e cu a c i ó n d eq u in t o g r a d o p or r a d i ca l e s ( o por los radicales). Una condición

necesaria y suficiente para que una ecuación determinada sear e so lub l e por radicales fue probada por E v a r i s t o G a l o i s en1830. Su solución corresponde a lo que es l lamada la Teor íad e G a l o i s , una de las ramas más fecundas del álgebra. El resultado de Galois implica la imposibilidad de resolver la ecuacióngenera l de grado mayor que 4 por radicales.

618



APÉNDICE V

Ejemplos

1 ) La ecuación X 5 — 1 es resoluble por radicales. Lasraíces son

- 1 •+ y / 5 y / Í O + 2 -y / 5x 2 , x'2 = - ± ^ 1

-l-y / 5 n/TO -2 -V F .X 3 , X ' 3 = £ ± £ • 1

2 ) La ecuación X 5 — 4 X + 2 no es resoluble por radicales.(Véase Jacobson, Lectures in Abstract Algebra, vol. III.)

2 . Ecuaciones de grado superior

Para grado mayor que 4 se utilizan distintos métodos paraencontrar las raíces.

Los problemas que uno se puede plantear, en cuanto aresolución aproximada, son los siguientes:

I) Acotar las raíces de f, o sea determinar un intervalo[a, b] en R tal que [a, b] contiene todas las raícesreales de f.

II) Determinar el número de raíces reales.

III) Separación de raíces, o sea determinar una familiade intervalos en R que contenga exactamente unaraíz del polinomio.

Nuestro estudio será de carácter introductorio, el tema esen sí muy complejo, por los diferentes métodos de aproximación. (Al lector interesado lo remitimos a la obra de J. V.Uspensky, Theory of Equations, McGraw Hill Paperbacks,1 9 4 8 . )

Nuestra intención es rescatar un resultado notable, llamadoel Teorema de Sturm basado en una aguda observación de loscambios de signo de funciones polinomiales. Mencionaremostambién el Teorema de Fourier y su Corolario: la regla delos signos de Descartes.

619

Suponemos al lector familiarizado con las nociones básicas sobre continuidad en R. No obstante, en su beneficio,repasaremos algunos resultados.

3 . Preliminares sobre funciones reales continuas

Se a f : R-> R una función. S ea aG R . Se a a en R . Se diceque f es continua en a si dad o e > 0 existe d > 0 tal que

V x , |x - a| < d => |f(x) - f(a)| < e .

Se dice que f es contin ua en un intervalo [a, b] si es continua en todo punto de dicho intervalo. Se dice que es continua(a secas) si lo es en todo R.

Recordemos la siguiente formulación equivalente del concepto de continuidad : " L a función f es continua en x = asi cualquiera sea la sucesión (a „ ), n € N de números reales,si a„ tiende a a cuando n tiende a infinito, entonces la sucesión (f(a n )) t iende a f(a), cuando n t iende a infinito". En la

simbología del Análisis:a„ -> a, n -*• 0 0 => f(a„) -* f(a), n -> °° .

Se sigue de la definición de continuidad en a, la siguientepropiedad fund am ental: Si f : R -* R es con tinu a en a yf(a) 0 enton ces existe d > 0 tal que

V x , |x - a | < d => f(x ) * 0 .

Esto se expresa diciendo que si una función continua nose anula en un punto, no se anula en algún entorno de dichopu nto. Más precisam ente, si f es continu a en x = a y f(a) > 0entonces f ( x ) > 0 en algún entorno de a. Análogamente sif ( a ) < 0 .

Como ya di j imos anteriormente, nuestro estudio consisteen identificar el anillo R[X] de polinomios con el anillo defunciones polinomiales de R en R. Una función polinomial esenton ces una función f : R -»• R tal que existen escalares

a „ , . . . , a Q en R tales que

f ( x) = a „ x" + . . . . + aj x + a„

cualquiera sea x en R.

6 2 0

A P É N D I C E V

Además f es cero (o sea la función idénticamente nula) si

y solo si todos los coeficientes a„, . . , ai , a 0 son 0 .Un hecho elemental del análisis establece que suma y producto de funciones continuas son funciones continuas. Sesigue de esto que: toda función polinomial es continua. Enefecto, las funciones

x ** a función constante f( x) = a V x € R

x ** x función identidad f( x ) = x V x G R

son trivialmente continuas. Por lo tanto, suma y productosde las mismas así lo serán, de manera que toda función polinomial es continua.

El siguiente Teorema juega un papel clave en el estudiode localización de ceros de una función continua:

Teorema (Bolzano-Weierstrass)

Sean a, b en R , a < b . Sea [a, b] el intervalo cerrado deextre m os a y b. Sea f : [a, b] -»• R una función continua. Sif(a) ¥ = 0 f( b ) # 0 y sg(f(a)) # sg(f(b)) entonces existe un punto z en ' (a, b) tal que f(z) = 0 .

Nota 1

sg deno ta la "fu nc ión sign o": sg : R -»• { —, 0 , + ) tal que

sg(z) = + si z > 0 , sg(z) = — si z < 0 y sg(0 ) = 0 .

Nota 2

Se suele decir brevemente que si una función continua cambia de signo en un intervalo, entonces se anula en un puntodel mismo.

Antes de aplicar el Teorema de B — W probamos un Lemaque nos da una acotación global de las raíces de un polinomio,o sea, determinamos un intervalo [—M,M] en IR que contienetodas las raíces reales (si las hay) del polinomio.

Lema: sea f (X) = X" + a , X"~ 1 + . . . + a n , a , G R. Sea M == máx {1, |a,| + . . + |aj)

621

N O T A S DE A L G E B R A l

Ahora

s s • s

> ! - ( — + . . . + )

> i -(i S L »

+. . . + Ja¡L)

|s| |s|

| g | - (la,! + . . . + la n l ) >

Isl

pues |s|> M > |a,| + . . . + |a„l

Se sigue entonces quef(s)

-V - > 0 si |s| > M

Por lo tanto

f(s) > 0 si s > M

y si s < 0 entonces s < — M , de manera que

f(s) „ f(s)s" ~ ' |s|n

y finalmente

622

Entonces :

I ) f(s) > 0, V s > M

I I ) ( - l ) n f ( s ) > 0 si s < - M

Demostración

Sea s€ R con |s|. > M. Dado que M > 1 se sigue que

¡s| n > . . . > |s|2 > |s| > 1 .

APÉNDICE V

6 2 3

( - l )n

• f(s) > OS Í S

< ~ M .El lema queda probado.

Aplicación

Sea f (X) = X n + a, X n _ 1 + . . . + a„ un polino m io real degrado impar. E n t o n c es f tiene una raíz real.

En efecto, si M es la cota determinada en el lema prece

dente entonces

f (s) < 0 si s < —M pues ( - l ) n = —1

f ( s ) > 0 s i s > M

y por el Teorema de Bolzano-Weierstrass, f t iene un cero enel intervalo [—M, M].

Aplicación

Sea d e R , 0 < d. El pol inomio X n — d posee una únicaraíz real positiva.

Demostración

En el intervalo [0 , d + 1] se satisfacenf( 0 ) = - d < 0

f ( l + d) = (1 + d) n - d > 1 + nd - d = 1 + (n - 1 ) d > 0 .

Por lo tan to existe un cero de f en el intervalo [0 , d + 1 ] .

Aplicación

Teorema de Rol le

Sea f( x) una función polinomial real. Sean a, b en R, a < b,f(a) = f( b) = 0. Supon gam os que f no tiene ningún cero en(a, b) . E x is te c en (a , b ) ta l q ue D f ( c ) = 0 .




Demostrac ión

Sea a raíz múltiple de orden r y b raíz múltiple de ordens. Podem os escribir, dado que a # b

f (x ) = (x - a ) r (x - b ) s • g(x) con g(a) 4 0 ¥ = g ( b ) .

Además g(x) es una función polinomial con signo constanteen (a , b ), pues de otro m odo tend ría un cero según B — W,que sería cero de f. Tomando el derivado resulta

D f ( x ) = ( x - a ) r ~ 1 ( x - b ) s _ 1 • h ( x )

con

h (x ) = r(x - b) g( x) + s(x - a)g(x ) + (x - a) (x - b ) • Dg(x)

por lo tanto

h(a) = r(a — b)g(a)h( b) = s(b - a)g(b)

Pu esto que g( x) tiene signo constan te en [a , b ], las dosrelaciones precedentes implican que h(x) cambia de signo en[a , b ] , p or lo tan to existe c en (a, b) tal que h(c ) = 0. Obviamente

D f ( c ) = 0


Un e jemplo

Vamos a localizar las raíces reales del polinomio

F - = -nT + l í í = r ) ! f • • • • + í ! + 1 = - " G N .

Po r ejemp lo F i t iene una raíz x = — 1, F 2 no tiene raícesreales, F 3 t iene una raíz real por ser de grado impar. Es claroque las raíces de F n , reales, deben ser negativas, pues F„(x) > 0si x > 0 .

6 2 4

A P É N D I C E V

Notemos las siguientes propiedades de los polinomios F a :

I ) D F n = F n _ 1 ? si n > 1

H ) F - ^ = ( n T í j í + F n

I I I ) F n no tiene raíces múltiples.

Probaremos que F n no tiene raíces reales si n es par y

que tiene exactamente una raíz real si n es impar. Esta afirm ación es cierta si n = 2 . S i n = 3 , F 3 tiene una raíz, por serde grado impar. Pero tiene una sola, pues de otro modo invocando el Teorema de Rolle y la propiedad I) se tendría queF 2 t iene una raíz.

Se a n > 2 y supongam os el teo rem a cierto para los gradosm < n .

Sea n par. Supongamos que F n tiene una raíz a. Es claroq u e a < 0 .

Se sigue de II) que F n _ x ( a ) < 0 . C o m o F n _ ! ( 0 ) = l s esigue que F n _ x t iene una raíz a ' , a < a ' < 0 . Ah ora a es uncero simple de F n . Por lo tanto, por el desarrollo de Taylor,se sigue que F n cambia de signo en el entorno de a.

Como F„(0) = 1 > 0, se sigue (suponiendo que no hay cerosde F„ entre a y 0) que F n tom a valores negativos a la izquierdade a. Pero siendo n par se sigue que F n t iene otra raíz a izquierda de a. Esto implica que F n _ i tiene dos raíces con n — 1impar. Una contradicción con la hipótesis inductiva. Concluimos

que si n es par Fn

no tiene raíces reales.Sea n impar. Entonces F n posee una raíz real a < 0. . Noposee otra raíz pues de ser así, por el Teorema de Rolle, suderivado D F n = F n _ x tendría una raíz, lo cual es absurdo puesn — 1 es par y disponemos de la hipótesis inductiva.

Nuestra afirmación queda demostrada.Si n es impar, afirmamos que la raíz de F n está contenida

en el intervalo [— n, 0 ] . En efe cto , las desigualdades 1 < k< nimplican -jj- > 1, o sea

n k ^ n k ~ 1 n k n k ~ x ,

"ki" ° s e a ~ ~ k T + ( k = i j í < °-Siendo F n (n ) suma d e esas expresiones se sigue qu e F„ (n ) <

< 0 y como F„(0) = 1 se sigue que F n posee una raíz (la única)

6 2 5

NOTAS DE ALGEBRA I

en el intervalo [— n, 0 ] . Sería interesante con oce r cotas inferiores m ejores, si las h ay. . .

Otro e jemplo

Aplicación directa del Teorema de B-W.Sea el polinomio f( X ) = X 3 — 3 X — 1. Vamos a localizar

sus raíces reales. Calculemos los valores f(a) para algunosvalores enteros de a. Se tiene

f ( - 3 ) = - 1 9 , s g ( f ( - 3 ) )

f ( - 2 ) = - 3 , s g ( f ( - 2 ) )

f ( - l ) = 2 , s g ( f ( - l ) )

f (0 ) = - 1 , s g ( f (0 ) )

f ( l ) = - 3 , s g ( f ( Í ) )

f (2 ) = 4 , sg(f(2))

N otem os que las eleccione s d e — 3 y 2 para estudiar lossignos de f(x) no son arbitrarias. Una observación del polinomiof(X ) = X 3 — 3 X — 1 nos dice claramente que por "debajo" de— 3, f(x ) < 0, mientras que por "e n ci m a " de 2, f(x ) > 0,dado que el término X 3 define la cosa.

Observando la sucesión de signos concluimos que f tieneun cero entre — 2 y — 1, entre — 1 y 0, en tre 1 y 2. O sea

tienen sus tres raíces reales.Si queremos calcular las raíces en forma aproximada enmenos de una cantidad prefi jada, por ejemplo 0 - 1 , dividimoslos intervalos [—2, 1], [—1, 0], [1, 2] en 10 partes, por ejemplo

o o o o o o o o o o o -- 2 - 1 , 9 - 1 , 8 - 1 , 7 - 1 , 6 - 1 , 5 - 1 , 4 - 1 , 3 - 1 , 2 - 1 , 1 - 1

y estudiamos los cambios de signos en cada subintervalo. Dis

poniendo de una calculadora de bolsillo, se pueden localizarlas raíces con muy buen grado de aproximación. Sin embargo,resulta más práctico dividir el intervalo, digamos [—2, —1] end o s p a r t e s [ — 2 , - 1 - 5 ] , [—1-5,-1] y calculando f(— 1, 5) ubicarla raíz en el intervalo correspondiente. Por ejemplo, en nuestrocaso

626

APÉNDICE V

Observación

El lector notará que el proceso i lustrado en el ejemploprecedente anda bien si las raíces del polinomio están conteni

das en di ferentes intervalos enteros. En nuestro caso [ — 2 , - 1 ] ,[ — 1 , 0 ] , [ 1 , 2 ] . Si el polinomio tiene todas sus raíces realescontenidas en un mismo intervalo entero [m , m + 1] el proceso anterior no es satisfactorio, en general. Se requiere unanálisis más fino. El Teorema de Sturm permite determinar elnúmero total de raíces reales contenidas en un intervalo entero . A esto vamos.

4 . E l T e o r e m a d e S T U R M ( 1 8 0 3 - 1 8 5 5 )

S e a f ( X ) e R |X|. Supondremos que todas las raíces de•f(X) son simples

Sea [a, b] un intervalo real y nos proponem os determ inarel número total de raíces reales de f contenidas en el intervalo[ a , b ] .

Siguiendo el procedimiento debido a Ch. Sturm, publicadoen 1829, se construye una serie de polinomios (asociados af (X)) como s igue:

f! = Df (= el derivado de f) .

Utilizando el algoritmo de división existe f 2 tal que

fo = f i - g i - U g r ( f 2 ) < gr( f , ) .

Entonces, la definic ión de i 2 es la siguiente: es el resto,cambiado de signo, de la división de f 0 por f i .

En general

627

f ( - 1 , 5 ) = 0 , 1 2 5

de m anera que la raíz de f está en el subintervalo [—2, — !• 5 ] .

NOTAS DE ALGEBRA 1

U = U'gi ~ U gr(f 3) < gr(f 2)

f r _ 2 = F R - i - f c - i - F , gr(f r)< gr í f , - ! )

4 - 1 = f r ' g r

El proceso termina cuando algún f r divide a f r _ x .

Ejemplo

Sea f= 6X 2 - 5X + 1 .

f 0 = 6X 2 - 5X + 1

fi = 12X - 5

1 5 1fo = f i • (2" X 24 ) 24 ' ° s e a

Í 2 24 •

Ejemplo

Sea f = X 3 - 7X + 7 .

f„ = X 3 - 7X + 7

f, = 3X 2 - 7

f„ = F , - ( | • X ) - (-Y- X - 7) .

Nota

En la construcción de los polinomios fj tenemos +libertad+

de multiplicar cualquier polinomio por un escalar positivo. Larazón resultará clara, estamos interesados en estudiar los signosde f 4 en el intervalo [a, b]. Estos no son alterados por la multiplicación por escalares positivos.

De acuerdo con esta nota, tomamos

'628

APÉNDICE V

DefiniciónLa serie de polinomios f „ , f f r se denomina una

cadena de Sturm, asociada a f.Como notamos en el ejemplo anterior, para los fines del

Teorema de Sturm, cualquier término f t puede multiplicarsepor un escalar positivo sin alterar las propiedades de la cadena.Esto se justificará en lo que sigue.

Propiedades de una cadena de Sturm

I) f r ( x ) # 0 cualquiera sea xG [a , b ] .En efec to , f r (t) = 0 para algún t en [a, b] implica f r _ i ( t ) = 0 ,

f r _ x ( t ) = 0 =* f r _ 2 ( t ) = 0

f 2 ( t ) = 0 => f , ( t ) = 0

f, (t ) = 0 ^ f 0 ( t ) = 0

Es decir t es raíz múltiple de f, caso excluido.Consecuencia de I) : f r tiene signo constante en todo

[ a , b ] .I I ) Sea t G [a , b ] . En tonces para ningún i , 0 < i < r

f»(t) = f i + i ( t ) = 0es verdadero.

En efecto, se razona como en I) .I I I ) Sea t G [a , b ] . S i f i ( t ) = 0 para algún i, 0 < i < r en

tonces

6 2 9

fa = 2 X - 3

f . = f 2 - ( | x + f ) - \ .

Por lo tanto, tomamos

Í3 = 1




Definición

Sean a y b números reales no nulos. Se dice que el para, b posee 1 camb io de signo si sg(a) sg(b) y ningún camb iode signo ( o camb io de signos) si sg(a) = sg(b ).

Sea a t , a 2 , . . . , an una sucesión de números reales. Sellama número de cambio de signo de la sucesión a la sumade cambios de signos de los pares consecutivos no nulos.

630

Sg f i - l ( t ) * Sg f í + x ( t ) ,

por lo tanto tienen signo distinto en un entorno de t .En efecto, esto se sigue de ser

f i - i = W i — f i + i ;

especializando en t resulta

^ - i ( t ) = - f i + i ( t ) .

IV ) Si f ( t ) = 0 entonces f cambia de signo en un en tornode t.

En efecto, uti l izando el desarrollo de Taylor se t iene

f (x) = f (t) + (x - t) • D f( t ) + (x - t ) 2 • ^ r - + . . .

= f (t) + (x - t) • (D f( t ) + (x - t ) • g ( x ) )

para un g(x) conveniente.S i t es cero de f, o sea f (t) = 0 resulta

(1) f (x) = (x - t ) • (D f( t ) + (x - t ) • g(x)) .

Por ser t ra íz s imple de f (X) , Df( t ) ¥ = 0, o sea Df t ienesigno constante en un entorno de t . Si entonces se toma un

entorno suficientemente pequeño de t , se sigue de (1) que elsigno de f(x) está gobernado por el signo de x — t, que obviamente cambia en el entorno de t .

El punto IV) queda demostrado.



APÉNDICE V

6 3 )

Ejemplos

I) la sucesión 1, 1, —2, —3, —4tiene 1 cambio de signos

II) la sucesión 1, 0, 0, 0, 1tiene 0 cambio de signos

I I I ) la s uc esió n - 1 , 0 , - 2 , 0 , 3 , 2 , - 1tiene 2 cambios de signos

I V) la s uc es ió n - 2 , 0 , 9 , - 1 , 2 , 3

tiene 3 cambios de signos

Definición

Sea f Q , f i , . . . , f r una cadena de Sturm. Sea t e [a, b ] . Sellama variación de cambio de signo en t al número de cambiosde signos de la sucesión

f 0 ( t ) , f i ( t ) , . . . , f r ( t )

Se denota con w(t ) .

Estamos en condiciones de enunciar el famoso

Teorema de Sturm

Sea f (X ) un po linomio real, con raíces simples. Sea [a, b]un intervalo real , tal que f(a) 0 y f(b ) # 0 . En ton ces elnúm ero tota l de raíc es reales de f (X ) en el intervalo [a, b]es exactamente la diferencia

w (a) — w (b) ,

O sea coincide con la "pérdida" de cambios de signos de lacadena de Sturm, al pasar de a a b.

DemostraciónEstudiaremos el comportamiento de w(x) al recorrer x el

intervalo [a, b] de a hacia b . E s claro, por razones de continuidad, que para cada t e [a, b] los cam bios de signos deben

NOTAS DE ALGEBRA I

t t + t~ t t +

f l - l + + + + + +

f i + 0 — ó — 0 +

fi+1 — — — — — —

y si tuaciones análogas cam b iando + po r — y —- po r + .

Notac ión

t-

denota valores de t en un entorno de t , por la izquierday t + , análogamente, por la derecha.2 ) f 0 ( t ) = f ( t ) = 0 , o s ea t e s raí z de f .De acuerdo con IV) al pasar de izquierda a derecha, por t ,

en un entorno conveniente la sucesión

f o (t) M t )

cambia de signo.

t"" t t + t~ t t +

fo

f l

+ 0 -ó

- 0

+ +

+

+

632

ocurrir únicamente cuando algún f t ( t ) = 0 .S ea entonces t e [a , b] ta l que f t ( t) = 0 para algún i, 0 <

< i < r .De acuerdo con I ) ít(t)4 0, de manera que

fi (t) = 0 con i , 0 < i < r .

Distinguimos dos casos.1 ) 1 < i . E n to n c e s p or I I I ) s g ( f i _ i ( t ) ) # s g ( f l + i ( t ) ) . P o r l o

tanto afirmamos que la subsucesión

f , _ j ( x ) , f t ( x ) , fi +

i ( x )t iene el mismo número de cambios de signos al pasar por t ,o sea no contribuye en nada al valor w(t) . Para ver nuestraafirmación es suficiente describir los posibles signos en un entorno de t . Las situaciones posibles son las siguientes:

APÉNDICE V

Notas

Se sigue de la demostración del Teorema de Sturm, lassiguientes observaciones:

1 ) No afecta la demostración si se reemplazan los polinomios f 0 , . . . , f r de una cadena de Sturm por múltiplos positivos

Co ' f o , Ci • f , , . . . , Cj • f r

q e R , 0 < cj

2) La sucesión f 0 , f j , . . . , f r , puede sustituirse por una

subsucesiónf f f• l O > íí » • • " J A S

si f ? satisface

633

M ejor d ich o, según e l desarrollo de Ta ylo r en x = t

f ( x ) = ( x - t ) • Df(x ) + . . .

se observa que a izquierda de t,

x - t < 0 = > sg(f(x)) * sg(D f(x))

mientras que a derecha de t

x - t > 0 => sg(f(x)) = sg(Df(x))

En conclusión: al pasar por una raíz de f se pierde exactamente 1 cambio de signo.

La información proveniente de 1) y 2) nos dice que el valorw(a) disminuye en una unidad exactamente, en cada raíz def ( X ) , por lo tanto, la diferencia

w (a) — w (b)

da el número total de raíces reales contenidas en el intervalo[a , b ] .El Teorema queda completamente demostrado.




cualquiera sea x € [a, b]

f s (x ) # O

E j em p l o 1

Sea el pol inomio f(X) = 6X 2 — 5X + 1. Anteriormente construimos una cadena de Sturm, a saber

f 0 = 6 X 2 - 5 X + 1

U = 12 X - 5

U = 1

En la tabla siguiente estudiamos la función w(x)

f 0 f i f 2 w ( x )

0

1

2

+ —+ - + 2^1

+ + + 0 J

2 variaciones

Se sigue que f(X) tiene dos raíces reales en el intervalo[ 0 , 1 ] . En efecto, éstas son \ y - j .

Ejemplo 2

Sea el pol inomio f( X ) = X 3 — 7 X + 7. A nteriormente construimos la cadena de Sturm siguiente:

f o =

f l =

f 2 =

fS =

X 3 - 7 X + 7

3 X2

- 72 X - 3

1

634



A P É N D I C E V

Se tiene la siguiente tabla:

X f o f , f 3w ( x )

- 5 — + — + 3

- 4 — + — +

- 3 + + — + 2 /

- 2 + + — + 2

- 1 + — — + 20 + — — + 2

1 + — — +

2 + + + + o l

1 variación

2 variaciones

De acuerdo con el Teorema de Sturm concluimos que f(X)tiene 3 raíc es reales, una en el intervalo [—4, —3] y dos en

el intervalo [1 , 2 ] .Separemos las raíces del intervalo [ 1 , 2 ] .

1

3/2

2

+ —

+

0

+

+

+

+ 0

} 1

} 1

variación

variación

Por lo tanto f(X) t iene una raíz en el intervalo [1 ,1 .5]

y otra en el subintervalo [ 1 . 5 , 2 ] . Hemos separado completamente las raíces de f(X).Es claro que repitiendo el proceso en subintervalos me

nores podremos aproximar las raíces arbitrariamente.

E jemplo 3

Sea el polinom io £(X ) = X 4 - 2 X 3 + X 2 - 1 .Una cadena de Sturm asociada a este polinomio es

f G = X 4 - 2 X 3 + X 2 - 1

f , = 2X 3 - 3 X 2 + X

f , = X 2 - X + 4

635

NOTAS DE ALGEBRA 1

N o t a

En la construcción de la cadena de Sturm nos detuvimosen f 2 , pues dicho polinomio no t iene ninguna raíz real , portener discriminante negativo.

Construyamos la tabla de signos

X f l w ( x )

- 3 +— •

+2

- 2 + — + 2

- 1 + — + 2 l0 — 0 + 1 11 — 0 + 1

12 + + + o í3 + + + 0

1 variación

1 variación

f(X) t iene una raíz en [—1, 0] y otra en [ 1 , 2 ] . Esto no esgran novedad pues f cambia de signos en esos intervalos. Lanovedad que nos revela Sturm es que ésas son las ú n i c a s raícesreales. Esto lo podríamos haber descubierto al escribir la primera fi la de la tabla donde observamos que w(— 3) = 2 y l omismo es cierto para todos los x menores que — 3. Puesto

que el número de raíces reales es w(a) — w(b ) s i a < b , esclaro que f no tiene más de dos raíces reales.

Una apl icación del Teorema de Sturm

Util izaremos este método para decidir en qué casos elpolinomio real

X 3 + p • X + q

posee sus tres raíces reales.Con struyamos una cadena de S turm. S e ob tienen los si

guientes polinomios:

6 3 6

A P É N D I C E V

í0 = X 3 + P X + q

Í ! = 3 X 2 + p

f 2 = ~ ( p X + 3 / 2 • q )

f 3 = - (4 p 3 + 27 q 2 )

Nota

El valor D = — ( 4 p 3 + 27 q 2 ) es lo que se denomina el discriminante de la ecuación cúbica X 3 + pX + q = 0 .

Digresión notacional

Sea f(X) un polinomio real. Las raíces reales de f estánconten idas en un intervalo [—M, M ]. Por lo ta n to , fuera deese intervalo f tiene signo constante a izquierda de —M y signo

constante a derecha de M.Adoptaremos la siguiente notación

f(+ o o ) = sg(f( x)) para x > M

í(—oo) = sg( f(x) ) para x < —M .

Por ejemplo

f(+ o o ) = + si f es m ón ico.

f ( — o o ) = — si f es mónico de grado impar.

En la tabla siguiente estudiamos los signos de f Q , f i , f 2 , f 3

para valores de x, arbitrariamente pequeños y arbitrariamentegrandes, utilizando la notación introducida más arriba.

X f o f , U f 3

- — o o

— + p D-f- o o + + - p D

Para decidir los cambios de signo debemos analizar lossignos posibles de D.

637

Sea O < D. Se tiene la tabla

— oo — + P +

+ 0 0 4- + —p 4-

La condición 0 < D = — ( 4 p 3 + 27 q 2 ) implica claramenteque p < 0, por lo tan to la tab la a nterior se traduce en lasiguiente:

— °° — + — + . . . w ( — 0 0 ) = 3

+ 0 0 + + + + • • • W (+ ° ° ) = 0

En este caso f( X ) = X 3 + pX + q tiene tres raíces reales.

Sea D < 0. Se tiene la tabla

_ o o — + p — w ( — 0 0 ) = 2

+ 0 0 + + —p — w ( + 0 0 ) = 1

No importa el signo de p, hay 1 sola pérdida de signo, porlo tanto f(X) tiene una sola raíz real.

Sea D = 0. En este caso f 2 divide a f i .Si p = 0 entonces 0 = D implica q = 0 , o sea f (X ) = X 3 .

3 *Si p ^ 9-,-x = — - 2 p ~ • q es raíz de f 2 y de f 1 , por lo tan

to de f c = f , . Esta es raíz doble de f . En con clusión: f( X )tiene todas sus raíces reales, pero una múltiple.

Apéndice

Sin .da r dem ostraciones enunciaremos dos resultados clásicos en la teoría de separación de raíces. El primer resultadoes el Teorema de Fourier que a la manera del Teorema deSturm analiza los signos de la sucesión f, D f, D 2 f, . . . de derivados de f. El segundo es la conocida Regla de los signosde Descartes que analiza los coeficientes del polinomio enestudio.

S ea f e R | X | y sean f ° = f, f ° + 1 } = D f ( i ) i = 0, 1, . . , n.n = grado de f.

Sean a, b e R, a < b, f (a) # 0 =¿ f( b ). S ea para cada t e |a, b|

638

APÉNDICE V

w'(a) = número de cambios de signos de la sucesión

f°(t) , f ( 1 ) ( t ) , , f < n ) (t) .

El análisis de w'(t) cuando t recorre el intervalo |a, b| dea hacia b, como se hizo en el Teorema de Sturm, permiteprobar el

Teorema (Fourier)

Sea w(a, b) el número de raíces de f en el intervalo |a, blcontadas con su multiplicidad. Entonces existe un enteroq > 0 tal que

wa>b = w'(a) — w'(b) — 2q .

Corolario

Regla de los signos de Descartes. El número de raíces realespositivas del polinomio real a Q X n + a^™ - 1 + . . . + a n - x X ++ a„ es a lo sumo igual al número de cambios de signos de lasucesión de coeficientes

a 0 , ai a„_ i , a„

Si es menor, la diferencia es un número par.El número de raíces reales negativas del polinomio f sé

analiza con los coeficientes del polinomio f(—X) y el resultadopreeedente.

Ejemplos

1) Sea f(X) = X 4 + X 2 - X - 3. Hay una variación de signos, por lo tanto, el número de raíces reales positivas es< 1. Como debe diferir en un número par concluimos que

f tiene una sola raíz real positiva. Para las raíces negativasconsideramos el polinomio f(—X) = X 4 + X 2 + X — 3. Observemos un solo cambio de signo en los coeficientes. Luegotiene una sola raíz real positiva, por lo tanto f(X) tiene unasola raíz negativa.

63«J




E J E R C I C I O S

1) Utilizando B—W separar las raíces reales de los siguientes polinomios:

2) Verificar que los siguientes polinomios tienen todassus raíces reales

I ) X 3 - 7 X 4- 7

I I ) X 3 - 3 X 2 - 4 X 4- 13

I I I ) X 4 + 4 X 3 - 3 X 2 - 6 X 4- 2

3) Hallar las raíces reales de los siguientes polinomios

I ) X 3 - 3 X - 2

I I ) X 4 - 6 X 3 4- 1 2 X 2 - 1 0 X 4- 3

I I I ) 2 X 3 4- 5 X 2 - X - 1

4) ¿Para qué valores de a posee el polinomio

I ) X 3 4- a X 2 4- 2 X - 1

I I ) (X 4- 3 ) 3 - a(X - 1)

I I I ) (X + 3 ) 3 - a (X - l ) 2

I ) f ( X )

I I ) f ( X )

3 ( X - 1 ) (X 4 -1 ) ( X - 7 ) 4- 1

( X - l ) ( X - 3 ) ( X - 5 ) ( X - 7 ) 4-

4 - 2 ( X - 2 ) ( X - 4 ) ( X - 6 )

( X 2 - l ) ( X - 2 ) X 4- 2 (2 X4 -1 ) ( 3 X - 2 ) ( 2 X - 3 )I I ) f ( X )

6 4 0

2) Sea f (X ) = X 6 4- X 4 - X 3 - 2 X - 1. Hay 1 variaciónde cambios de signos. Luego razonando como en 1) concluimos qu e h ay 1 sola raíz real positiva. An alicem os f(— X) == X 6 4- X 4 4- X 3 — 1 . Hay una sola variación de signos. Porlo tanto f(X) t iene una sola raíz negativa. En conclusión dosraíces reales (1 positiva y otra negativa) y 4 raíces complejasno reales.

APÉNDICE V

sus tres raíce s reales? (Sug. Ro lle y estudio de signos.)

5 ) Prob ar que si f e R |X| tiene todas sus raíces reales,así las tiene Df. ¿Es la recíproca cierta?

6) Calcular f (°° ) y f (+ 0 0 ) (ver el texto) para los siguientes polinomios reales

I) X 3 - 2 X 2 + 5 X - 1 , I V ) X 5 - X + l

I I ) - X + 1 , V ) - X 3 + X 2 - 3 X + 1

I I I ) - 3 X 2 - X + 1 , V I ) - 5 ( - X 2 + X + l ) ( l - X 2 )

7 ) S ea f en R|X|. Sea c e R . Probar I ) que s i D f ( c ) > 0entonces f es creciente en un entorno de c (o sea existe unentorno U de c tal que x , y e U, x < y implica f(x ) < f (y)) .II) que si D f( c) < 0 enton ces f es decreciente en c.

8) Determinar el número de cambios de signos de lassiguientes sucesiones de números reales:

I ) r - i , 0, 1 , - 1 , 2, - 2 , - 2 , 0, 1 , - 1

I I) 1 , - 1 , 0 , 0 , - 1 , - 1 , 0 , 0 , 1 , - 1

I II ) 2 , 3 , - 4 , - 5 , 6 , - 7 , 1 , 1 , 0 , - 8 , 0 , - 2

IV) 1, 2, 4, 0, 0, 0, 2, 1, 3, 0

9) Construir polinomios de Sturm asociados a los siguientes polinomios:

I ) X 2 + X + 1 , V ) X + 1

II) X # 3 - 3 X - 1 , V I) X 2 + 1

III) X 3 - 3 X + 1 , V II ) X 3 4- 1

IV) X 4 + X 2 + 1

10) Localizar las raíces reales de los polinomios en elejercicio 9).

6 4 1




II) Separar las raíces reales de los siguientes polinomios.I ) X 3 - X + 4 , V ) X 3 - 3 X + 1

11) X 3 - 7 X - 7 , V I) X 7 + X 2 + 1

II I ) X 5 - 8 X + 6 , V II ) X 4 + 2 X 3 - X 2 - 1

I V) X 5 - 6 X 2 + 3 ,

12) Analizando el discriminante, determinar el número deraíces reales de las siguientes cúbicas: I) X 3 + 3X + 1 , I I ) 2X 3 ++ X — 1 , I I I ) X 3 — 2 X 2 + X - l (Su g . e fec tu ar pr im eram en tela sustitución X ^ X - 2/3), IV ) X 3 + X 2 + X - 1 .

642



B I B L I O G R A F Í A

Hay por lo menos dos tipos de citas bibliográficas que es

necesario distinguir. La primera, referente a libros, que profundiza los temas tratados en el Texto. Recalquemos que es siempre beneficioso interesarse por alguno de los temas y tratar deincursionar más seriamente en el mismo. Se supone que el estudio debe despertar el interés en "investigar", de otro modo nose ha entendido mucho, por cierto. La Matemática no es unaciencia informativa, es prácticamente imposible aprender leyendo o escuchando. En Matemática hay que "hacer". No es cuestión de resolver el Problema de Fermat, pero sí de poder resolver los problemas que hacen al entendimiento de una teoría, de

ser capaz de dar ejemplos y de plantear dudas. Resolver unproblema puede ser una cosa de una dificultad gigante, y porqué no decir que muchas veces hay que tener, además, unabuena dosis de suerte para hacer algo medianamente importante. Pero entender es una meta ineludible. Manejar los resultados y las técnicas corrientes es algo que no se puede esquivar.Insistamos, pues, que en Matemática hay que hacer, pero paraello primeramente se debe avivar el interés, y entonces la bibliografía juega su papel. Hay variadas cuestiones que pueden

ser profundizadas y que indicamos luego de la bibliografía. Elestudio serio muestra además ciertos secretos del oficio, que ellego jamás entenderá . Por ejem plo, que un teore m a que ellector ve escrito con muy buena letra en un libro, no es siempre tan "redondito" en su origen, sino que requiere el trabajopaciente, l leno de errores y contramarchas, antes de llegar a laformulación y demostración adecuadas. El segundo tipo debibliografía que nos interesa señalar se refiere especialmente arevistas que contienen artículos de matemática de nivel elemental . (En matemática, elemental nunca es sinónimo de fácil.)

Esos artículos juegan un papel primordial en la formación matemática, pues son un estímulo importante al "hacer" en Matemática. Por ejemplo, se tratan en esas revistas de matemáticageneralizaciones de una teoría clásica, o demostraciones nuevas

6 4 3



NOTAS DE ALGEBRA I

de hechos muy conocidos, o ejemplos o contraejemplos i luminantes de algún resultado, se plantean problemas de respuesta

conocida o abiertos, o cuestiones de t ipo didáctico, etcétera.En fin, tantas cosas que la enseñanza tradicional argentina excluye y que sin dudas señala una diferencia en lo que es Matemática en otros lugares.

L I B R O S

1. BOREVICH, Z. I . y SHAFAREVICH, I . R. ,N u m b e r T h e o r y ,

Aca-demic Press, 1966.2 . BOURBAKI, N. , A l g e b r e , E l é m e n t s d e M a t h e m a t i q u e , Cap. I. Actua

ntes Scientifiques et industrielles, París.3. CHE V A L L E Y , C , F u n d a m e n t a l C o n c e p t s o f A l g e b r a , Academic

Press, 1956.4 . CHR Y S T A L , G . , A l ge b ra , a n E le m e n t a r y T e x t - B o o k , A. and Black,

Londres, 1922.5 . COPI, I. M., In t r o d u cc i ó n a l a Ló g ica , E U D E B A , 1 9 5 3 .6 . COURANT, R. y ROBBINS, H. , W h a t i s M a t h e m a t i c s ?, Oxford Uni-

versity Press, Nueva York, 1960.7 . CURRY, H. B . , Fo u n d a t i o n s o f M a t h e m a t i c a l L o gi c, McGraw-Hill,

Nueva York, 1963.8 . DAVENPORT, H. , Th e H i g h e r A r i t h m e t i c , Hutchinson y CU., Londres, 1 9 5 2 .

9 . DAVIS, P . J . , T h e M a t h e m a t i cs o f M a t r ic es , Blaisdell, Massachussets,1 9 6 5 .

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12 . FRALEIGH, J . B . , A f i rs t co u rs e i n a b s t ra c t a l ge b r a , Addison-Wesley,Massachussets, 1964.

13 . GENTILE, E. R., "Estructuras Algebraicas I y II" , Monografías deMatemática de la O.E.A., 1967 y 1971, respectivamente."Notas de Algebra II", Cursos y Seminarios de Matemática,

Fascículo 22, Universidad de Buenos Aires, Facultad de CienciasExactas, Buenos Aires, 1965.

1 4 . GODEMENT, R . , C o u r s d ' A l g e b r a , Hermann, París, 1963.1 5 . HARDY, G. H. y WRIGHT, E. M., A n I n t ro d u c t i o n t o t h e T h e o ry o f

f t u m b e r s , Nueva York, 1954.16 . HERSTEIN, I . N. , To p i c s i n A l ge b r a , Blaisdell Co., Massachussets,

1 9 6 4 .17 . JACOBSON, N. , L e c t u re s i n A b s t ra c t A l ge b ra , Van Nostrand, Prin-

ceton Nueva Jersey, 1953, Vol. I .1 8 . KAPLANSKY, I . , I n f i n i t e A b e l i a n G r o u p s , University of Michigan

Press, Ann Arbor, Michigan, 1956.19 . LANDAU, E. , G r u n d l a g e n d e r A n a l y s i s (Das rechnen mit Ganzen,

Rationalen, Irrationalen, Komplexen Zahlen), Chelsea, Nueva York,1 9 4 8 .

64 4



B I B L I O O R A F I A

20 . LANG, S., A l g e b r a , Addison-Wesley, Massachussets, 1965.21 . L E V E Q U E , W. J ., T o p i c s in N u m b e r T h e o r y , Addison-Wesley, Massa

chussets,1955, Vol. I.

2 2 . LOVAGLIA, A. R. y P R E S T O N , G. C, F o u n d a t i o n s of Algebra andA n a l y s i s , Harper and Row, Nueva York, 1966.

23 . MCCOY, W. H., " R i n g s and I d e á i s " , Carus Mathematical, Mono-graphs. N° 8, Mathematical Association of America, 1950.

24 . MACLANE, S. y B I R K H O F F , G., A S u r v e y of M o d e r n A l g e b r a , Mac-millan, Nueva York, 1965.

2 5 . MOSTOW, D. D., SAMPSON, J . H. y M E Y E R , J. P., F u n d a m e n t á i sS t r u c t u r e s of A l g e b r a , McGraw-Hill, Nueva York, 1963.

26. NI VEN, I. y ZUCKERMAN, H. S„A n In t r o d u c t i o n to t he t h e o r y ofN u m b e r s , John Wiley, 1960.

27 . ORE, O., N u m b e r T h e o r y and i t s H i s t o r y , McGraw-Hill, Nueva York,

1 9 4 8 .28 . OUBIÑA, L., In t r o d u cc i ó n a la Teor í a de C o n j u n t o s , EUDEBA, Buenos Aires, 1965.

29 . P O L L A R D , H., "The Theory of A l ge b ra i c N u m b e rs " , Carus Mathematical Monographs, N° 9, Wiley, 1950.

3 0 . ROBINSON, A., N u m b e r s and I d e á i s , Holden-Day, San Francisco,1 9 6 5 .

3 1 . ROTMAN, J. J., The Theory of G r o u p s . A nd In t r o d u c t i o n , AUyn andBacon, Boston, Massachussets, 1965.

3 2 . S A G A S T U M E B E R R A , A. E., Lecc iones de A l g e b r a M o d e r n a , Ka-pelusz, Buenos Aires, 1961.

33 . S E R R É , J. P., C o u s d ' A r i t m é t i q u e , Presses Universitaires de France,1 9 7 0 .3 4 . S HO CK L E Y , J. E., In t r o d u c t i o n to N u m b e r T h e o r y , Holt, Rinehart,

Winston, Nueva York, 1967.3 5 . The M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s . A Col l ec t i on of Essays,The M.I.T, Press,

1 9 6 9 .3 6 . U S P E N S K Y , J. V. y HE A S L E T , M. A., E l e m e n t a r y N u m b e r T h e o r y ,

McGraw-Hill, Nueva York, 1939.37 . VAN DER WAERDEN, B., M o d e r n A l g e b r a , Ungar, Nueva York,

1949, Vols . I y II. Haynueva edición alemana.3 8 . VINOGRADOV, I. M., E l e m e n t s of N u m b e r T h e o r y , Dover, Nueva

York, 1954.

3 9 . Z A R I S K I , O. y SAMUEL, P., C o n m u t a t i v e A l g e b r a , Van Nostrand,Princeton, Nueva Jersey, Vol. I, 1958.

REVISTAS

Las revistas que enumeramos a continuación forman, comoya dijimos, un complemento substancial para la Enseñanza e

Iniciación en la Investigación Matemática. En ellas se puedenencontrar numerosos artículos y problemas que forman un valioso material para discusión en clase y en grupos de estudio.Es inútil tratar de describir aquí la bondad de las mismas, pueshojear una de ellas, por ejemplo el American Mathematical

645



NOTAS D E A L G E B R A I

Monthly, lo convencerá mucho más que nuestras palabras. Depaso, notemos la necesidad de crear una revista nacional de

matemática que contemple los aspectos formativos, de estímuloy orientación.

1 . T h e A m e ri ca n M a t h e m a t i ca l M o n t h ly , publicada por The MathematicalAssociation of America, Washington, D. C. Es en nuestra opinión la revista de m atemática más com pleta en esta función forma ti va.

2. M a t h e m a t i c s M a g a z i n e , publicada por The Mathematical Association ofAmerica, Washington, D. C. Es del tipo 1, pero más elemental.

3. T h e M a t h e m a t i c a l G a z e t t e , Journal of the Mathematical Association,Londres.

4 .L ' E n s e i g n e m e n t M a t h e m a t i q u e ,

Instituí de Mathematiques de la Uni-versité de Genéve, Suiza.

Algunos artículos

4 0 . GENTILE, E. R., "Notas sobre la Enseñanza de la Matemática", Cien c i a e I n v e s t i g a c i ó n , tomo 25, págs. 447-458, Buenos Aires, 1969.

4 1 . "Complejos y Trigonometría", en C i e n ci a e I n v e s t i g a c i ó n , tomo2 8 , págs. 315-329, Buenos Aires, 1972.

42. " A Proof of the S tructure Th eorem of Finite Abelian G roups",

en T h e A m e r i c a n Mathematical M o n t h l y , Vol. 76, N° 1, 1969.4 3 . NIVEN, I., "A Simple Proof of the Irrationality of n " , en B u l l e t i n o f

t h e A m e r i c a n Mathematical S o c i e t y , vol. 53, pág. 509, 1947.44. TAUSKY, O. , "Sums of squares" , en T h e A m e ri ca n M a t h e m a t i ca l

M o n t h l y , vol. 77, N° 8, 1970.4 5 . Varios Autores, "Structures Algébriques et Structures Topologiques",

Monografía N° 7, en L ' E n s e i g n e m e n t M a t h e m a t i q u e , 1 9 5 8 .

Guía a la Bibliografía*

Introducción

5., 7*. 14. , 22. , 28.

Pundamentación del número real y complejo

19. , 22. , 25 . , 43 . , 45 .

Aritmética (Ecuaciones diofantinas, congruencias, raíces primitivas, fun

ciones aritméticas, residuos cuadráticos, fracciones continuas, suma decuadrados.)1 * . 4. , 8 . , 10 . , 15* , 21* , 26 . , 27 . , 29 . , 30 . , 33* , 34 . , 36 . , 38 . , 44 .

* E l a s t e ri s c o i n d i c a q u e ¡ a r ef e re n c i a e s d e n i v e l a v a n z a d o .

646



BIBLIOGRAFÍA

Estructuras Algebraicas (Teoría de grupos finitos, grupos abelianos finitos,grupo de permutaciones, teoremas de Sylow, grupos abelianos infinitos, anillo de matrices, métodos de álgebra homológica.)2 * , 3 * , 9 . , 12 . , 13 . , 14* , 16* . 17* , 18* , 20* . 24* . 25 . , 31* , 32 . ,3 7 * . 3 9 * . 4 0 . , 4 5 . c r i o p 1 e s n a d

Anillo de Polinomios (Anillo de polinomios en varias indeterminadas,dominios de factorización única, dominios principales, teoría de ideales.)4. , 1 1 . , 1 2 . , 1 4 * . 1 7 * . 2 0 * . 2 3 . , 2 5 . , 3 7 * . 3 9 * . 4 5 .

Números Complejos (Cuerpos ordenados, cuerpos valuados, arquimedianidad, teorema de Ostrowski, extensiones algebraicas de Q, construcciones con regla y compás.)6 . , 11 . , 12 . , 14* . 22 . , 25 . , 42 .

647



Libroimpreso en los

Tal leres EDIGRAFDelgado 834, Buenos Aires,

Argentina, en el mesde octubre de

1976

Notas de Álgebra I - Enzo R Gentile

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