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Fenómenos De Transporte Fuerzas sobre fluidos viscosos. Ecuación de Navier-Stokes Tratamos con fluidos viscoso s y empezam os completando la ecu ación de Euler que se obteniene considerando las fuerzas que actuaban sobre un fluido. Las fuerzas que actúan sobre un volumen son las fuerzas a distancia (volumen) y las fuerzas de contacto (superficiales). Para los fluidos ideales, las únicas fuerzas que considerbamos eran la fuerza !ravitatoria y las fuerzas debidas a la presión de los alrededores. En el caso de un fluido viscoso es necesario "acer un tratamien to ms !eneral, de modo que las fuerzas de contacto incluyan todos los posibles esfuerzos que actúan sobre cada part#cula de fluido$ a) La presión. b) Los esfuerzo s de cizalla. En t%rminos de fuerzas por unidad de volumen la se!unda ley de &e'ton nos quedar#a, f !ravitatorias f presión f viscosas ρ a En ausencia de fuerzas viscosas obten#amos la ecuación de Euler. *i tenemos fuerzas viscosas . "ay que ampliar la ecuación de Euler con el t%rmino viscoso. En el caso de un fluido ne 'to nia no inc omp res ibl e este t%rmino va le, v ∆ µ , con lo que obtenemos la si!uiente ecuación diferencial, Esta ecuación se denomina ecuación de &avier+*toes. -omo se "a comentado, es vlida únicamente para fluidos ne'tonianos incompresibles. La ecuación de &avier+ *toes es una ecuación vectorial y tiene incó!nitas, las tres velocidades y la presión. Para resolverlas pues necesitamos una cuarta ecuación, la ecuación de continuidad. Para el caso de que el fluido sea adems estacionario, la derivada parcial con respecto al tiempo de la velocidad se an ula. *i tenemos presente que ! lo podemos reescribir , nos queda, v v. v - - ) ( ) z / = ∆ + ( υ ρ g p 0onde υ es la viscosidad cinemtica (el cociente entre la viscosidad dinmica µ y la densidad). La ecuación de &avier+*toes aunque parece simple es realmente complicada de resolver debido al t%rmino no lineal, v v. ) ( ∇ . Tal es la dificultad matemtica, que lo que se sa be de fl ui dos viscosos es m s po r e2 pe rim en tos en el la bo ra tori o qu e po r predicciones teó ricas. Universidad nacional del callao - FIQ Página /
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Fenómenos De Transporte
Fuerzas sobre fluidos viscosos. Ecuación de Navier-Stokes
Tratamos con fluidos viscosos y empezamos completando la ecuación de Euler que se obteniene considerando las fuerzas que actuaban sobre un fluido. Las fuerzas queactúan sobre un volumen son las fuerzas a distancia (volumen) y las fuerzas de contacto(superficiales). Para los fluidos ideales, las únicas fuerzas que considerbamos eran lafuerza !ravitatoria y las fuerzas debidas a la presión de los alrededores. En el caso de unfluido viscoso es necesario "acer un tratamiento ms !eneral, de modo que las fuerzasde contacto incluyan todos los posibles esfuerzos que actúan sobre cada part#cula defluido$
a) La presión.
b) Los esfuerzos de cizalla.
En t%rminos de fuerzas por unidad de volumen la se!unda ley de &e'ton nosquedar#a,
f !ravitatorias f presión f viscosas ρ a
En ausencia de fuerzas viscosas obten#amos la ecuación de Euler. *i tenemosfuerzas viscosas . "ay que ampliar la ecuación de Euler con el t%rmino viscoso. En elcaso de un fluido ne'toniano incompresible este t%rmino vale, v∆ µ , con lo queobtenemos la si!uiente ecuación diferencial,
Esta ecuación se denomina ecuación de &avier+*toes. -omo se "a comentado, esvlida únicamente para fluidos ne'tonianos incompresibles. La ecuación de &avier+*toes es una ecuación vectorial y tiene incó!nitas, las tres velocidades y la presión.Para resolverlas pues necesitamos una cuarta ecuación, la ecuación de continuidad. Parael caso de que el fluido sea adems estacionario, la derivada parcial con respecto altiempo de la velocidad se anula. *i tenemos presente que ! lo podemos reescribir,
nos queda,
vv.v-- )()z/
=∆+( υ ρ
g p
0onde υ es la viscosidad cinemtica (el cociente entre la viscosidad dinmica µ 1 yla densidad).
La ecuación de &avier+*toes aunque parece simple es realmente complicada de
resolver debido al t%rmino no lineal, vv. )( ∇ . Tal es la dificultad matemtica, que lo quese sabe de fluidos viscosos es ms por e2perimentos en el laboratorio que por
predicciones teóricas.
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En la prctica la ecuación de &avier+*toes se suele apro2imar por la de Euler siempre que la viscosidad o los !radientes de velocidad sean peque3os. 4s#, se admiteque en la mayor#a de los casos podemos distin!uir entre dos re!iones$
• 5na re!ión pró2ima a las superficies sólidas (-4P4 L678TE) donde los
t%rminos viscosos son importantes y "ay que resolver la ecuación de &avier+*toes en esa re!ión.
• 9tra zona, le:os de las superficies sólidas, donde la ecuación de Euler constituye una buena apro2imación.
Perdida de carga
;amos a inte!rar la ecuación de &avier+*toes a fin de obtener una e2presión quesea la !eneralización de la ecuación de <ernoulli para un fluido viscoso.
;amos a se!uir un procedimiento anlo!o al se!uido en el tema anterior para
inte!rar la ecuación de &avier=*toes en el caso de un fluido estacionario.
*i un fluido es estacionario la ecuación de &avier+*toes se escrib#a como,
vv.v-- )()z/
=∆+( υ ρ
g p
4ntes de inte!rar la ecuación de &avier+*toes vamos reescribirla utilizando lasi!uiente e2presión del clculo vectorial,
*ustituimos las dos e2presiones anteriores en la ecuación de &avier *toes y nosqueda,
*i inte!ramos a lo lar!o de una l#nea de corriente obtenemos la !eneralización dela ecuación de <ernoulli para un fluido viscoso.
*i llamamos 'f al traba:o por unidad de masa realizado por las fuerzas viscosas(traba:o espec#fico de fricción).
'f >?
/ v.dl ∆∫ υ
nos queda una !eneralización de la ecuación de <ernoulli,
@ecordando que el primer t%rmino de la derec"a es el traba:o realizado por el flu:o por unidad de masa, vemos el si!nificado f#sico de esta ecuación. El incremento de
ener!#a mecnica espec#fica es i!ual al traba:o espec#fico de flu:o ms el traba:oespec#fico de fricción.
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En ocasiones, se introduce el concepto de p%rdida de car!a por efectos viscosos,AL +'f B!C>, con lo que la ecuación se puede reescribir como,
(D./?)
Las diferencias de comportamiento entre un fluido ideal y otro viscoso semuestran en la fi!ura.
Presiones a lo lar!o de un tubo "orizontal en el que circula$ (a) un fluido ideal, (b) unfluido viscoso.
*e puede e2tender las e2presiones anteriores para tener en cuenta el traba:orealizado por otros agentes externos (turbinas o bombas, por e:emplo). 4l traba:orealizado por estos a!entes por unidad de masa le llamaremos ' s. En el caso de una!ente e2terno y fuerzas viscosas la ecuación de <ernoulli !eneralizada adoptar laforma,
El criterio de si!nos que se "a utilizado es el si!uiente$
• 5na bomba aumenta la ener!#a del sistema. La ener!#a de entrada esmenor que la de salida, por tanto 's C>.
• 5na turbina disminuye la ener!#a del sistema. La ener!#a de entrada es
mayor que la de salida , por tanto el traba:o ser ne!ativo, 's >.
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(a)
(b)
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La ecuación anterior es la ecuación !eneral de balance de ener!#a. &os dice que lavariación de ener!#a mecnica espec#fica es i!ual al traba:o espec#fico de flu:o ms lostraba:os espec#ficos realizados por las fuerzas viscosas y las e2ternas.
Flujos irrotacionales
En este apartado vamos a considerar con ms detenimiento las implicaciones deirrotacionalidad de un fluido. *i el flu:o es irrotacional tiene dos consecuencias$
• En la ecuación de la cantidad de movimiento desaparecen los t%rminosviscosos cuando el fluido es incompresible. Esto se puede ver fcilmente a
partir de la identidad vectorial$
El primer t%rmino se anula por ser el fluido incompresible (∇
v>) y else!undo se anula por ser irrotacional. Es decir, puede "aber flu:os viscosos
pero su efecto desaparece en la ecuación de la cantidad de movimiento si elfluido es irrotacional e incompresible.
• La se!unda consecuencia es que la aceleración convectiva se reduce a unúnico t%rmino (el del !radiente de la ener!#a cin%tica). Esto se puede ver fcilmente a partir de la identidad$
Esto nos lleva a que en un flu:o incompresible, irrotacional y estacionario laecuación de la cantidad de movimiento se reduzca a la ecuación de Euler.
8nte!rndola obten#amos la ecuación de <ernoulli donde la constante es la misma para todo el fluido.
&os pre!untamos G-undo el flu:o es irrotacionalH o en otras palabras G-undotiene la corriente una velocidad an!ular despreciableH
El anlisis de la rotacionalidad no corresponde a este nivel por lo que vamos a dar los resultados sin demostrarlos.
5n flu:o que es inicialmente irrotacional puede lle!ar a ser rotacional si$
/. Aay fuerzas viscosas apreciables inducidas por c"orros, estelas, o paredes sólidas.
?. Aay !radientes de entrop#a.
F. Aay !radientes de densidad ori!inados por calentamiento desi!ualms que por !radientes de presión.
. Aay efectos no inerciales importantes tales como la rotación de latierra (aceleración de coriolis).
En los casos de ? a la ecuación de <ernoulli todav#a es vlida a lo
lar!o de una l#nea de corriente si la fricción es despreciable.
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La ecuación de <ernoulli sin embar!o no se puede aplicar al caso / amenos que se modifique tal y como "emos visto en el apartado anterior y se incluyan los efectos de las p%rdidas viscosas.
Tensor de los esfuerzos
El ob:etivo de este ap%ndice ser obtener una e2presión para f superficiales.-onsideremos un volumen ; encerrado por una superficie * (el razonamiento es vlidotanto para un sólido como para un fluido). *obre este volumen actúan fuerzas adistancia (por e:emplo fuerzas !ravitatorias o el%ctricas) y fuerzas de contacto osuperficiales. 0e las fuerzas a distancia sólo vamos a estudiar en este tema el caso de lafuerza !ravitatoria. Pasemos a"ora a estudiar las fuerzas de contacto en el caso de unfluido viscoso.
Iuerzas de contacto sobre una superficie d4
*upon!amos un punto P de la superficie. d4 es una superficie diferencialalrededor del punto P. n es el vector unitario perpendicular a la superficie en P y diri!ido"acia afuera. Las fuerzas de contacto en P darn lu!ar a un esfuerzo (Iuerza por unidadde rea) que denominamos t (n). El super#ndice n se "a introducido para "acer "incapi%en el "ec"o de que el vector esfuerzo depende de la orientación de la superficieconsiderada. 4 la fuerza de contacto e:ercida sobre el elemento de superficie d4 ledenominamos dIs. 8ntroducimos el vector esfuerzo el cociente entre la fuerza decontacto y el rea,
Por la tercera ley de &e'ton es evidente que el esfuerzo que e:erce el fluido ;
sobre el e2terior en P es +t (n). Por tanto +t (n) t(+n).
-onsideremos a"ora un elemento de volumen de forma de forma cúbica y un punto considerado en la cara perpendicular al e:e 2/ ("ablaremos de 2/, 2?, 2F) en lu!ar de 2, y, z. El vector esfuerzo en dic"o punto es t (e
1). 0onde e/ es el vector unitario en la
dirección de e:e 2/. Este vector tendr de componentes t/(e
/), t?
(e/) tF
(e/), abreviadamente las
podemos representar como t :(e/). 4nlo!amente los esfuerzos para las caras
perpendiculares a los e:es 2? y 2F los denominaremos t (e2), t (e
3).
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n
t
d4
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;ectores esfuerzo en un volumen elemental.
Las nueve componentes de los vectores esfuerzo se pueden representar de formaabreviada como, t
(ei) !
σi. K constituyen las componentes del llamado tensor de
esfuerzos (llamado tambi%n tensor de tensiones).
La componente σi: es el esfuerzo (fuerza por unidad de superficie) que actúa en ladirección del e:e 2 : sobre el plano cuyo vector unitario es ei.
Las componentes i : son las componentes paralelas a los e:es llamadas tambi%nesfuerzos normales.
-omponentes del tensor esfuerzo.
El estado de tensiones en un punto P nos viene caracterizado por su tensor deesfuerzos, σ. Para obtenerlo basta considerar un elemento de volumen de forma cúbicay "acer tender su volumen a cero.
*i en lu!ar de las tensiones en un punto P nos interesa el esfuerzo sobre unasuperficie elemental, determinada por el vector unitario n normal a esa superficie, lo
podemos obtener como t"n) !σ
n# sus componentes sern, ti(n) σi: n :.
Para un fluido ideal los esfuerzos de cizalla son nulos. Los únicos esfuerzos quenos quedan son la presión cambiada de si!no. p σ// σ?? σFF. El tensor de esfuerzos
es dia!onal y puede escribirse como σi: +p δi:.-uando tenemos un fluido viscoso tenemos que a3adir los esfuerzos de cizalla,
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2/ t (e
1
)
2?
2F
t(e
2
)
t (e3
).
2
y
σ//
σ/?
σ/F
σ?/
σ??
σ?F
σF/
σF?
σFF
z
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Los esfuerzos de cizalla son una !eneralización de la ley de *toes que "ab#amos
enunciado en un tema anterior y valen para el caso de un fluido ne'toniano,
0e lo dic"o "asta a"ora se deduce que la fuerza total e:ercida sobre una superficie* que encierra un volumen de fluido ser,
0onde "emos aplicado el teorema de *toes.
La ley de conservación de la cantidad de movimiento nos dice que la variación dela cantidad de movimiento es i!ual a la resultante de las fuerzas.
0onde f e2t, es la fuerza e2terna resultante por unidad de volumen. *i la única
fuerza e2terior que actúa es la !ravitatoria,
La forma diferencial ser#a de la se!unda ley de &e'ton nos quedar#a
f !ravitatorias f superficiales ρ a
Demostración σ = −∇ p+ µ ∆ v
El ob:etivo de este ap%ndice es demostrar que en el caso de un fluido ne'tonianoincompresible$
∇σ = −∇$ µ ∆v
&uestro punto de partida ser desarrollar ∇σ . La componente a lo lar!o del e:e 2la obtenemos de multiplicar el operador ∇ por la primera columna de la matriz deltensor de los esfuerzos.
7ultiplicamos,
*i desarrollamos z y x
zx yx xx
∂
∂
∂
∂
∂
∂ τ τ τ ,, , para el caso de un fluido ne'toniano nos
queda,
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∂∂
+∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−
=
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−
z y x x z y x x
p
x z x y x x z y x x
p
zy2
?
2
?
?
2
?
?
2
?
z
?y
?
2
?
?
2
?
?
2
?
?
2
?
vvvvvv
vvvvvv
µ
µ
En la e2presión anterior "emos intercambiado el orden de la derivación para poder
sacar factor común x∂
∂
. *i el flu:o adems de tener un fluido ne'toniano tenemos unfluido incompresible (∇v>),
Las tres últimas componentes el corc"ete se anulan con lo que la componente 2 de∇σ nos queda,
;emos pues, que en el caso de flu:o ne'toniano incompresible ∇σ adopta la
forma,
0onde ∆ es el operador Laplaciana,
Deducción de la ecuación de Navier Stokes
&uestro punto de partida es la forma diferencial de la se!unda ley de &e'tonaplicada a un fluido que dedu:imos en el tensor de los esfuerzos,
Aemos demostrado en el ap%ndice F que en el caso de fluidos ne'tonianos
incompresibles el !radiente de los esfuerzos, se!undo t%rmino de la izquierda, se puedeescribir como,
v∆+−= µ σ p
*i llevamos la e2presión del !radiente de los esfuerzos a la forma diferencialse!unda ecuación de &e'ton nos queda,
Esta ecuación se conoce con el nombre de ecuación de &avier+*toes. *i
comparamos con la ecuación de Euler del tema anterior vemos que al tener en cuentafuerzas viscosas, en el caso de fluidos ne'tonianos e incompresibles, "ay que a3adir elt%rmino v∆ µ .
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