Navier Stokes T

8/17/2019 Navier Stokes T

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ecânica dos Fluidos II

Soluções das Equações de

Navier-Stokes

onitor: Nuno Jorge S. Dias

tt!:""###.vorte$.un%.%r"nuno"

&'"()


2/48




&'"()

Equações de Navier-Stokes


3/48




&'"()



4/48




&'"()



5/48




&'"()

Cartesian Coordinates

Cylindrical Coordinates


6/48




&'"()

Escoamento entre Placas Paralelas Infinitas

L

hu

v=0 ; w=0

u=u( y)ê x⇒u .∇ u=0

O escoamento é unidirecional, mas bidimensional:

Escoamento Incompressível: ∇ .u=0⇔∂u∂ x

=0

Vamos assumir que o escoamento sedesenvolve na direço hori!ontal::

y

x


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&'"()

Escoamento entre Placas Paralelas Infinitas

Escoamento em "e#ime $ermanente:

Campo de Velocidade:

∂∂ t =0

u=u( y)→∂u

∂ x=0

Equaç%es de &avier'(to)es em coordenadas cartesianas, redu!em'se a:

y→∂ p

∂ y

=0

z →∂ p∂ z =0

0=− dpdx+μ d

2 u

d y2

p= p ( x)


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&'"()

*n+lise de escalas aos termos de advecço e de diuso

u ∂ u∂ x

∼U 2

L∂2u∂ x2

∼U L

2

∂2 u

∂ y2∼

U

h2

∂2 u

∂ y2≫

∂2 u

∂ x2

0=− d p

d x +μ

d 2

u

d y2

Ento para a direço -./:

∂ p∂ x

= p L− p0

L =−G p0> p L=−G

μ d 2

ud y

2= d pd xInte#rando duas ve!esem relaço a y

u=− G2μ y2+C 1 y+C 2

As constantes de integração são encontradasatravs das condições de contorno do !ro"lema


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&'"()

L

du

Caso I: Escoamento acontece por desli!amento da placa

superior e pela e.ist0ncia de um #radiente de presso

#

p0 p L

u=− G

2μ y

2+C 1 y+C 2

Condiç%es de Contorno

u ( y=d )=U ; u( y=0)=0

*plicando as Condiç%es de Contorno em:

u ( y=0)=

0⇒C 2=

0

u ( y=d )=U ⇒C 1=U

d +

G

2μ d

u ( y)= G

2μ y(d − y)+

U

d y

Este é o caso mais 1eral


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&'"()

L

du

Caso II: Escoamento acontece por desli!amento da placa

superior2 no e.iste #radiente de presso

#

u=− G

2μ y

2+C 1 y+C 2


u ( y=d )=U ; u( y=0)=0


u ( y=0)=

0⇒C 2=

0

u ( y=d )=U ⇒C 1=U

d

u ( y)=U

d y Conhecido como

escoamento de Couetteentre placas paralelas


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&'"()

L

du

Caso III: Escoamento acontece pela e.ist0ncia de um

#radiente de presso 2 placa superior e inerior im3vel

p0 p L

u=− G

2μ y

2+C 1 y+C 2


u ( y=d )=0 ; u( y=0)=0


u ( y=0)=

0⇒C 2=

0

u ( y=d )=0⇒C 1= G

2μ d

u ( y)= G

2μ y(d − y)

Conhecido como escoamento de4a#en'$oiseuille entre placas paralelas


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&'"()

Escoamento em $u"o %a!ilar& 'agen-Poiseuille


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&'"()

Escoamento em $u"o %a!ilar& 'agen-Poiseuille

r

(

)

p0 p L

Consideraç%es do problema

56 Comprimento 7L6 muito maior que o raio 7a6

86 Condiço de *.issimetria

96 Escoamento nidirecional

;6 Escoamento em "e#ime $ermanente

L≫a

∂∂θ

=0

uθ=0

∂

∂ t =0

u=u(r )ê z =u z (r )

O escoamento se desenvolve na direço !


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&'"()

Equaço da Continuidade

1

r

∂(r u r )

∂ r +

∂u z ∂ z =0 r ∼a ; z ∼ L ; u z ∼U u r ∼U

a

L⇒ur ≪1⇒ur ≈0

ovimento icam :

1

r

∂(r u r )

∂ r +

∂u z ∂ z =0

r →0=−∂ p∂ r

θ→0=−∂ p∂θ

z →0=−∂ p∂ z +μ ∂

2

u z

∂ r 2 + 1

r ∂ u z ∂ r

1

r

d

dr

(r

d u z

dr

)=1

r

[r

d 2

u z

d r 2 +

d u z

dr

]=

d 2

u z

d r 2 +

1

r

d u z

d r

&ota que:

∂ p∂ z = p L− p0

L =−G p0> p L=−G


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&'"()

1

r

d

d r r

d u z

d r =−

Gμ *ssim escreve'se que:

Inte#rando uma ve!:∫ d r d u z

d r =−∫ Gμ r dr ⇔

d u z

d r =−

Gμ

r

2+

C 1

r

Inte#rando de novo: u z =− G4μ

r 2+C 1 ln r +C 2 &ote que: C5 tem que ser nulo para que

em r?@ no obtenhamos um valorininito para u

! 7inconsist0ncia ísica6

u z (r )=− G

4μ r 2

+C 2

*ssim o campo de velocidades é dado por:


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&'"()

u z (r )=− G

4μ r

2+C 2

Condiço de Contorno

u z (r =a)=0

O problema a ser resolvido é:

*+ u z (r )=G a

2

4μ

[1−

(

r

a

)

2

]● Velocidade >+.ima 7centro do capilar6

u z (r =0)=G a2

4μ


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&'"()

● Va!o

Q=∫ u .dA=∫0

a

u(r )2π r dr

a 2π r d r

d r

Q=∫0

a

[ G4μ (a2−r 2)2 ] dr =πG a

4

8μ

Q=πG a4

8μ * conhecida Equação de 'agen-Poiseuille

$or outro lado: Q=U A⇔Q=U π a2

I#ualando A EqB de 4a#en'$oiseuille: U =G a

2

8μ

Comparando a velocidade média com a m+.ima: U =1

2u z (r =0)


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&'"()

● enso de Cisalhamento na $arede

Δ p τW

Δ pπa2=τW 2πa L⇔τW =1

2 G a

1

r

d

d r r

d u z

d r =−

Gμ ⇔0=G+

1

r

d

dr (r τrz )

Outra orma de obter a tenso de cisalhamento na parede é pelas equaç%es de &avier'(to)es

τrz =μ ∂ur ∂ z +∂u z ∂ r

Inte#rando, obtém'se τrz =−G r

2+C

1

r

Em r?@ a tenso é inita e como tal C5 deve de ser nulo τrz =−G

r

2

$ara r?a 7parede6 a tenso é: τrz (r =a)=τw=1

2G a


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&'"()

● Dator de *trito no Capilar

Q=π a4G8μ

⇔π a2U =π a4Δ p8μ L

⇔Δ p=8μ L U

a2 ⇔Δ p=

1

2

64 νρ L U

d 2

Δ p=1

2

64νρ L U

d 2 ⇔Δ p=

1

2ρ(U )2

64ν L

d 2

U ⇔̃Δ p=

64

U d ν

d

L

⇔̃Δ p=64

R e x

R e x=

U d ν

d

L= R e

d

L≪1

ν=μρ Viscosidade cinem+tica


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&'"()

$u"o %a!ilar& ,iscosmetro

>edindo a Va!o e a


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&'"()

τrz (r =a)=τw=1

2G a

τrz =−G r

2

Lembrando que:

r =−a τrz τw

⇔dr =−a τw

d τrz

Q=−π∫0

a

r 2˙ γdr =−π [∫

0

τw

˙ γa2 τ rz

2

τw2 (− a τw d τ rz )]

(e#ue que:

Q τw3

π a3 =∫0

τw

˙ γ τrz 2

d τ rz

˙ γw=1

τw2

d

d τw

Q τw3

π a3"elaço de eissenber'"abinoFitsch


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&'"()

˙ γw=1

τw2

d

d τw

Q τw3

π a3

˙ γw=1

πa31

τw2 [3 τw2 Q+τw3 dQd τw ]

Eetuando a derivada, se#ue'se que:

˙ γw= Q

πa3 [3+ dQ /Qd τw / τw ] τw=− 12 Δ P L a

˙ γw= Qπa3 [

3+ d ln Qd ln Δ p ]

ln Q

ln Δ p


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&'"()

Prevendo a va(ão.!ressão de um fluido Não-Ne/toniano

Ima#ine que a viscosidade de um luido é aGustada por uma Lei de $ot0ncia do tipo:

μ( ˙ γ)=C ˙ γ n−1

0=G+1

r

d

dr (r τrz )⇔

dp

dz =

1

r

d

dr (r τrz )

(e#ue que: τrz =dp

dz

r

2 τrz =μ( ˙ γ) ˙ γ=C ˙ γ

n=C ( dudr )n

du

dr =(dp

dz

r

2C

)1/n

u z (r )= n

1+n ( dpdz r 2C )1/n

r


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&'"()

Q=2π∫0

a

u z (r )r dr

Q=2π n

2

(1+n)(1+3n) ( dpdz a2C )1/n

a3

$ara n?5, recupera'se a e.presso de 4a#en'$oisseuille 7Dluido &eFtoniano6

Q=π a4

8C

dp

dz


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&'"()

Escoamento entre %ilindros %onc0ntricos 1Circular Couette Flow 2


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&'"()


*nalisando o problema:

56 Cilindro e.terno paradoB

86 Cilindro interno em movimento circular

96 em principio, em re#ime laminar, o escoamento no teminstabilidades para que ocorra na direço !B *ssim u

!?@B

;6 * velocidade na direço θ 7uθ6 depende de r uma ve!

que o cilindro est+ #irandoB

H6 Escoamento com ei.o de simetria

Escalas: uθ∼ R1 ; r ∼! ; z ∼ L

R0− R1 L ≪1 u=uθ(r )êθ

∂

∂θ=0


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&'"()


Equaço da Continuidade em Coordenadas Cilíndricas

1

r

∂(r ur )

∂r +

1

r

∂uθ∂θ +

∂u z ∂ z

=0⇒ur =0

Equaç%es da =uantidade de >ovimento

r →uθ

2

r =

1ρ∂ p∂ r

z →∂ p

∂ z =0

θ→0=∂2 uθ∂ r 2

+ 1

r 2

∂uθ∂ r −

uθ

r 2⇔0=

d

dr [1r d (r uθ)dr ]


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&'"()


0=∂2 uθ

∂ r 2 + 1

r 2∂2 uθ∂θ2

− uθr 2

d

d r

1

r

d (r uθ)

dr

= d

d r

1

r

+1

r

d

d r

d (r uθ)

dr

=−uθ

r 2+1

r

d

dr

dr

dr

uθ+r d uθ

dr

−uθ

r 2+1

r

d uθdr +

d 2

uθ

d r 2

?

d

d r

1

r

d (r uθ)dr =0

Ento escreve'se que:

Inte#rando duas ve!es em relaço a r: uθ=C 1r

2+

C 2

r


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&'"()


Condiç%es de Contorno uθ(r = R0)=0 ; uθ(r = R1)= R1

0=C 1 R0

2 +

C 2

R0

R1=C

1

R1

2 +

C 2

R1

C 1=−2 R1

2

R02− R1

2

C 2= R0

2 R1

2

R02− R1

2

*ssim a e.presso para o peril de velocidades é:

uθ(r )=− R1

2r

R02− R1

2+ R0

2 R1

2

R02− R1

2

1

r


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&'"()


● enso de Cisalhamento na parede e.terna do cilindro interno

τr θ=μ [r ∂∂ r ( uθr )+1r ∂u r ∂θ ]

&este problema τr θ=μ [r ∂∂ r (

uθr )]=μ [−

2 R02 R12

R02− R1

2

1

r 2 ]

&a parede e.terna do cilindro interno τr θ(r = R1)=−2μ r R0

2

R02− R1

2

Dorça an#encial que o Liquido e.erce no Cilindro

F θ=τ r θ A=τ r θ(2π R1 L)=−4πμ L R0

2 R1

R02− R1

2


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&'"()


● Dorça an#encial que o Liquido e.erce no Cilindro

F θ=τ r θ A=τ r θ(2π R1 L)=−4πμ L R0

2 R1

R02− R1

2

● Dorça an#encial que o Cilindro e.erce no Liquido

F θ=4πμ L R02 R1 R0

2− R12

● orque T = F θ R1=4πμ L R0

2 R1

2

R02

− R12


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&'"()


● orque T = F θ R1=4πμ L R02 R12

R02− R1

2

T =4πμ L R0

2 R1

2

( R0− R1)( R0+ R1)

(e R0≈ R1⇒ R0− R1=!⇒ R0+ R1≈2R 1

T =2πμ L R0

2 R1

2

R1! =2πμ L

R02 R1

R1

R1!

T =2π L R02μ

R1! =2π L R0

2μ ˙ γ

T =C μ ˙ γ

Em que C s3 depende de parmetros #eométricos


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&'"()


T =C μ ˙ γ

56 Em que C s3 depende de parmetros #eométricos

86 E.presso id0ntica ao cisalhamento simples entre placas corri#ido por um ator

96 O torque medido pelo viscosímetro permite determinar a viscosidade



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&'"()

Escoamento entre Pratos 3otativos



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&'"()

Escoamento entre Pratos 3otativos 1%ouette2

4ip3tese: O movimento impostoA haste é controlado de tal ormaque no haGa escoamento nadireço vertical nem radialBEscoamento somente na direço

an#ularB

r →−ρuθ

2

r =−

∂ p∂ r

θ→0=−1

r

∂ p∂θ +μ

∂2uθ∂ z 2

z →0=−∂ p∂ z +ρ g

p=∫ ρuθ2(r , z )

r dr +h(θ , z )Inte#rando

(ubstituindo θ→0=−1

r ∂∂θ [∫ ρ

uθ2(r , z )

r dr +h(θ , z )]+μ ∂

2 uθ

∂ z 2



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&'"()

θ→0=−1

r ∂∂θ [∫ ρuθ

2(r , z )r

dr +h(θ , z )]+μ ∂2

uθ

∂ z 2

∂∂θ [∫ ρuθ

2(r , z )r

dr +h(θ , z )]=0⇒∂ p∂θ =0θ→0=μ

d 2

uθ

d z 2

Condiç%es de Contorno uθ(r , z =0)=0 ; uθ(r , z =!)= r

uθ=C 1 z +C 2Inte#rando duas ve!es

uθ= r ! z



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&'"()

● enso de Cisalhamento

τ z θ=μ [∂uθ∂ z + 1r ∂ u z ∂θ ] τ z θ=μ [ r ! ]● orque sobre o disco devido a resist0ncia imposta pela lmina de luido

dF θ=τ z θ2π r dr

T =∫0

R

dF θ . r =μπ R4

2!



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&'"()

Exerccios

"

"

μ1,ρ1

μ2,ρ2

Escoamento entre placas paralelas ininitas

I 6 Escoamento indu!ido por um#radiente de presso

II 6 Escoamento indu!ido pelomovimento da placa superior com

velocidade 0.



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&'"()

I 6 Escoamento indu!ido por um #radiente de presso

u=− G

2μ y

2+C 1 y+C 2


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&'"()

u1(2b)=0⇒C 2= G

2μ1(2b)2−C 1(2b)

u2(0)=0⇒C 4=0

τ1()=τ2()⇔C 1=μ2μ1 C 3

u1( y )= G

2μ1((2b)2− y2)+μ2μ1 C 3( y−2b) u2( y)=−

G

2μ2 y

2+C 3 y

u1()=u2()⇔C 3= μ1μ1+μ2 [ G2μ1 3b+ G2μ2 ]

u1( y)= G

2μ1((2b)2− y2)+( y−2b)

μ2μ1+μ2 [ G2μ1 3b+ G2μ2 ]

u2( y)=− G

2μ2 y

2+ μ1μ1+μ2 [ G2μ1 3b+ G2μ2 ] y



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&'"()

II 6 Escoamento indu!ido pelo movimento da placa superior com velocidade 0.

u=− G

2μ y

2+C 1 y+C 2


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&'"()

u1(2b)=0⇒C 2=U +C 1( y−2b)

u2(0)=0⇒C 4=0

τ1()=τ2()⇔C 1=μ2μ1 C 3

u1( y )=U +μ2

μ1 C 3( y−2b) u2( y)=C 3 y

u1()=u2()⇔C 3= μ1μ1+μ2

U

u1( y)=U [1− μ2μ1+μ2 (2− y )] u2( y)= μ1μ1+μ2 y U



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&'"()

u

p0 p1

μ1μ2

R !a

Escoamento de dois luidos em tubo capilarB O luido 5 tem comportamento neFtonianoBO luido 8 tem comportamento no'neFtonianoB * viscosidade do luido 8 é descrito poruma Lei de $ot0nciaB Calcule o peril de velocidades para cada luido e a va!oB

L

μ2( ˙ γ)=C ˙ γ

n−1

r

z



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&'"()

$ela an+lise de escala na equaço da continuidade e da quantidade de movimento,che#a'se a:

1

r

d

dr (r τrz )=

dp

dz

1

r

d

dr (r τrz 2)=dp

dz

1

r

d

dr (r τrz 1)=

dp

dz

0"r " R !

R !"r "a

τrz 2=μ( ˙ γ) ˙ γ

τrz 1=μ ˙ γ ˙ γ=

du

dr

τrz 2=dp

dz

r

2+

C 1

r C 1=C 2=0

τrz 1=dp

dz

r

2+

C 2

r enso Dinitaem r?@

du

dr =( 1C dpdz r 2 )

(1/n)

du

dr =

1

μ1

dp

dz

r

2



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&'"()

Inte#rando encontra'se o peril de velocidade para cada luido

u2(r )=( 1C dpdz r 2 )(1/n)

n r

n+1+C 1

u1(r )=

1

μ1dp

dz

r 2

4 +C 2

* velocidade dos luidos é i#ual em r?"J

u1(r =a)=0⇒u

1(r )=

1

4μ1

dp

dz (r 2−a2)

u2(r )=

( 1

C

dp

dz

r

2

)

(1/n)n r

n+1−

( 1

C

dp

dz

R !

2

)

(1/n)n R !

n+1+ 1

4μ1

dp

dz

( R !2−a2)

* va!o é calculada como:

Q=∫0

R !

(u2(2π r ))dr +∫ R

!

a

(u1(2π r ))dr



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&'"()

u

p0 p1

a R !

m luido de Jin#ham é um luido que permanece em estado de repousose a tenso de cisalhamento or menor que uma tenso crítica que a partirda qual o luido começa a escoarB * viscosidade de um luido de Jin#ham

pode ser descrita da se#uinte orma:

L

μ=#⇒τ"τ0

μ=μ0+ τ0

(2 " : ")1/2⇒τ>τ0

0"r " R !

R !"r "aCalcule a va!oB

r

z



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&'"()

Q= π R0

4

16μ(1+5$)

G

$ R0

R( z )

Escoamento incompressível de luido neFtoniano em capilarcom seço vari+velB Calcule a va!o em unço de 1B

R0


L


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&'"()

$ U

y

x

Dluido escoando em plano inclinado

!=( C ρ g cos$ )(1/(2n+1))

[ 2n+1n Q L ](n/(2n+1))

* viscosidade do luido em unço da

ta.a de cisalhamento é descrita poruma lei de pot0ncia

μ( ˙ γ)=C ˙ γ(n−1)

!>ostre que

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