TWEEDE DEEL.
INHOUD.
1
" " " " " " " "
"
X. Voortplanting van trillingen . . . . 45 XI. Terugkaatsing en breking van het licht. 71
XII. Wezen van het licht 148 XUI. Gepolariseerd licht . 222 XIV. Electrostatica . . . 248 XV. Electrische stroomen 362
XVI. Werkingen van een magnetisch veld. 457 XVII. Electrische trillingen. Voortplanting van
electromagnetische evenwichtsverstoringen 535 XVIII. Verschijnselen die door de electronen-
theorie kunnen verklaard worden . 581 VRAAGSTUKKEN
TABELLEN 620 632 637 REGISTER • •
NEGENDE HOOFDSTUK.
TRILLENDE LICHAMEN.
§ 302. Algemeene beschouwingen. Wij zullen ons in dit hoofdstuk bezig· houden met de schommelingen of trillingen van lichamen of stelsels van lichamen om een stand van standvastig evenwicht. De gevallen die wij zullen behandelen, hebben, ofschoon er veel verschil kan bestaan in den aard van de krachten die de deeltjes van het lichaam naar den evenwichtsstand terugdrijven, een groote mate van overeen­ komst met elkaar. Wij kunnen altijd opmerken dat het lichaam, nadat het uit den evenwichtsstand verplaatst is, een zekeren arbeid kan verrichten. Het kan dan, zooals een slinger, een arbeidsvermogen van plaats hebben, of wel, zooals een adia­ batisch samengeperste gasmassa, een inwendig arbeidsvermo­ gen hebben verkregen, dat wij als kinetische energie van de molekulaire beweging moeten opvatten; ook kan het z\jn, dat wij aan het lichaam een zekere vrije energie der deformatie (§ 247, a) moeten toeschrijven. Dit laatste, wanneer het door een warmtereservoir, de omringende lucht b.v., op standvastige temperatuur wordt gehouden. Om nu al deze gevallen samen te vatten, zullen wij voor het bedoelde arbeidsvermogen den naam verplaatsingsenergie bezigen, die ons er aan herinnert dat het tengevolge van de verplaatsing uit den evenwichts­ stand bestaat.
B~j de trillingen heeft nu een voortdurende overgang van deze . verplaatsingsenergie in kinetische energie (der zichtbare beweging) en omgekeerd plaats; de eerste is het grootst, als de deeltjes hun grootste uitwijkingen hebben, de laatste op
L. IL 1
2
het oogenblik, waarop bij den doorgang door den evenwichts­ stand de versnelde beweging overgaat in een vertraagde. Be­ staan er geen weerstanden zooals de wrijving, en dit zal voor­ loopig worden aangenomen, dan moet een eenmaal voortge· brachte trilling altijd voortduren; is bovendien de verplaat­ singsenorgie bij gel\jke uitwijkingen in tegengestelde richting even groot, dan zal de baan van elk deeltje zich .even ver aan weerszijden van den evenwichtsstand uitstrekken.
Wanneer het tegendeel niet vermeld wordt, zullen wij ons be­ palen tot zeer kleine uitwijkingen. De resulteerende kracht die een deeltje ondervindt, blijkt dan in de meest eenvoudige gevallen evenredig te zijn met den afstand tot den evenwichtsstand, zoo­ dat de trillingen .,enkelvoudige" zijn (§ 102).
Wat wij bespreken zullen behoort voor een groot gedeelte, ofschoon niet geheel, tot de geluidsleer. De waarneming leert nl. dat, wanneer het aa.ntal trillingen die een lichaam per seconde uitvoert, tusschen ongeveer 16 en 20000 ligt, die bewegingen, door de lucht of een ander lichaam naar ons oor voortgeplant, den indruk van geluid teweegbrengen. Dit geschiedt door allerlei, waaronder zeer ingewikkelde bewegingen en aan elke wijze van trillen beantwoordt eén bepaalde geluidsgewaarwording. Door een opeenvolging van regelmatige trillingen wordt de voorstelling van een muzikalen toon opgewekt. Het is gebleken dat de .,hoogte" daarvan klimt, naarmale het aantal trillingen per seconde gt·ooter is, en dat twee verschillende lichamen bij welke dit getal hetzelfde is, tonen voortbrengen, die door ons als even hoog worden waargenomen.
Een geoefend oor is in staat, het geluid dat door enkelvou­ dige trillingen wordt voortgebracht, te onderscheiden van het geluid waarvan trillingen die een anderen "vorm" (§ 50) heb­ ben, de oorzaak zijn. Wij zullen een geluid dat door enkelvou,­ d'ige trillingen wordt veroorzaakt, b.v. het geluid dat een stem­ vork geeft (§ 57), een "enkelvoudigen toon" noemen.
Vele geluidgevende lichamen kunnen op verschillende wijzen trillen en dientengevolge een reeks (soms zelfs verschillende reeksen) van enkelvoudige tonen voortbrengen. De laagste toon van zulk een reeks heet dan de grondtoon, de andere worden boven­ tonen genoernd.
3
Onder de boven vermelde omstandigheden bestaat steeds de eigenschap van het isochronisme (§ 102); dientengevolge kan men bij een trillend voorwerp de uitwijkingen van alle deeltjes in dezelfde verhouding vergrooten zonder dat het aantal tril­ lingen of de toonhoogte verandert. De grootte van de amplitudo, die dus geen invloed heeft op de toonhoogte, bepaalt de sterkte of intensiteit van het geluid.
Van groot belang is nu de vraag, hoe groot het aantal tril­ lingen van een bepaald lichaam onder gegeven omstandigheden is, welken toon het dus voortbrengt. Evenals bij den slinger kan men het aantal trillingen in vele gevallen theoretisch be­ palen; alleen kunnen die berekeningen bezwaarlijk zonder de hulp der hoogere wiskunde worden uitgevoerd. W\i moeten ons er toe bepalen, eenige uitkomsten mee te deelen, toe te lichten, waarom deze of gene grootheid daarin voorkomt, en als het kan, een denkbeeld te geven van de wijze waarop de uitkomst. gevonden wordt. Eén algemeene opmerking kan al aanstonds worden gemaakt. De duur van een trilling T en dus ook het aantal trillingen in de seconde, dat wij N zullen noe­ men, en dat met T samenhangt door de betrekking
1 N=T'
. zal op de reeds vroeger besproken wijze afhangen van de krach­ ten die de deeltjes van het lichaam naar den evenwichtsstand drijven, en van de massa die in beweging gebracht moet worden.
Zijn de omstandigheden van dien aard, dat de stand van het lichaam na een verplaatsing door één enkele ~rootheid qJ kan worden bepaald en dat, met behulp van twee standvastige grootheden A en B, de verplaatsingsenergie door
i A ip2 en de kinetische energie door' i R ( ~ ~) 2 kan worden voorgesteld,
dan vi.ndt men den tl'illingstijd (§ 187, c) door de formule
T=2". V! .......... (1)
Experimenteel kan men N op verschillende wijzen bepalen. Men kan de trillingen op een wentelenden cilinder opschrijven, of wel, zoodra men een voorwerp heeft, waarvan men het aantal trillingen kent, kan men andere lichamen daarmee vergelljken.
4
Het instrument waarbij men het aantal trillingen het ~envoudigst kan
aangeven, is de sirene. In dit werktuig bevinden zich twee horizontale
cirkelvormige platen van gelijke middellijn op zeer kleinen afstand boven
elkaar. Zij zijn beide voorzien van een even groot aantal openingen, die
op onderling gelijke afstanden op een cirkel geplaatst zijn, concentrisch
met den rand van de plaat. De bovenste plaat is gemakkelijk draaibaar
om een verticale door zijn middelpunt gaande as; de onderste vormt
het bovenvlak van een cilinder, waarin door een blaastoestellucht wordt
gedreven. Draait nu de bovenste schijf rond, dan komen zijn openingen
telkens voor een oogenblik boven die van de onderste schijf, zoodat de
lucht een uitweg vindt. De regelmatige opeenvolging van stooten die de
lucht aldus ontvangt, brengt een toon voort, waarvan het aantal trillin­
gen gelijk is aan het aantal malen dat de openingen in de eene schijf
boven die in de andere komen. Door de openingen in geschikte richting schuin door de metaalplaten
te boren kan men het zoo inrichten, dat de lucht zelf, die men in den
cilinder blaast, de schijf in beweging brengt; de toon wordt dan hooger,
naarmate het aanblazen met meer kracht plaats heeft.
Regelt men nu den luchts~room zoo, dat de toon even hoog is alsdie
van een te onderzoeken geluidgevend lichaam, dan is het aantal trillingen
bij dit laatste even groot als bij de sirene en kan dus uit de omwente­
lingssnelheid en het aantal openingen worden berekend.
Men kan intusschen ook andere geluidsbronnen dan een sirene, b.v.
€en trillende snaar, bezigen om er een te onderzoeken lichaam mee te
vergelijken, en behalve de waarneming door het gehoor bestaan er andere
hulpmiddelen, waardoor men kan beoordeelen of de twee tonen even
hoog zijn, en, zoo niet, hoeveel zij van elkaar verschillen.
§ 303. Trillingen van gespannen draden waaraan massa's bevestigd zijn. Een draad AB (Fig 239-242) z\i met het eene uiteinde vastgemaakt on aan het andere uiteinde over een katrolschijf geleid en met een gewicht belast, of wel, na gespannen te zijn, ook met dit uiteinde bevestigd. De deeltjes kunnen dan in het vlak van de teekening uit hun evenwichts­ standen gebracht worden door een beweging, die in een rich­ ting loodrecht op den draad begint, en die, al zou zij, verder voortgezet, daarvan afwijken, over een kleinen afstand geacht kan worden, langs een rechte lijn in de genoemde richting plaats te hebben. Is de draad over een katrolschijf geleid, dan
5
blijft ook na een uitwijking de spanning in elk deel gelijk aan het gewicht dat aan het einde hangt; daarentegen, wan· neer beide uiteinden onbewegelijk zUn, zal de spanning wegens de lengtevermeerdering die de draad ondergaat, iets grooter worden. Wij zullen evenwel de oorspronkeltike spanning zoo groot onderstellen, dat van dit laatste mag worden afgezien.
In beide gevallen is er na · een zijdelingscha uitwijking een zekere verplaatsingsenergie. In het eene geval wordt die ge· vonden in het spannende gewicht, dat iets wordt opgelicht, en in het andere geval in d13n draad zelf.
Wij zullen vooreerst aannemen dat de draad geen merk· bare massa heeft, maar dat de in beweging te brengen stof bestaat in een of meer kleine lichaampjes die er aan zijn be vestigd.
a. Laat (Fig. 239) één dergelijke massa in het midden van den draad zijn aangebracht. Na een uitwijking tot in D wer· ken dan daarop de span· Fig. 239. ningen Da en Db, waarvan 1_,
De de resultante is. ~ ~B Zij S de spanning, l de e
lengte van den draad en M de massa van D. Dan kan men de grootte van D e berekenen en daaruit den trillingstijd T afleiden (nl. den duur van een volle trilling). De uitkomst is
V Ml T=." -s·
GD De=2S X AD'
of, daar men A D door ! l mag vervangen, ' 48
De=T X CD.
• (2)
De in § 102 door " voorgestelde grootheid heeft <lus dP. waar·de 4l8 ; deze
moet men in formule (20) van die § substitueeren. Wij kunnen de uitkom~t ook uit formule (1) afleiden. Daartoe ver­
beelden wij ons dat de draad door een gewicht S is gespannen. Stelt. men CD=~, dan is
6
waarvoor men, daar ~ zeer klein is, mag stellen
~2 il+T
D . d 2q>t e lengte van den draad tusschen A en B Js us toegenomen met -.
t Zooveel is het gewicht gestegen, zoodat het arbeidsve1·mogen van plaats met
2 ~2 S d d . D 't . t ct· t A 4 S . V d . B M -t- vermeer er JS. aaru1 zte men a = T 1~. er e•· JS = en
fm·mule (1) gaat du!> in (2) over. Om in te zien dat de trillingen des te sneller gebeuren, naarmate de draad
korter is, kan men een paat· gevallen vergelijken, evenals wij in Fig. 86' (§ 104)
een korten en een langen slinger vergeleken hebben.
b. Stel nu (Fig. 240), dat de draad met twee gelUke massa's
belast is, die in C1 en C2 , op afstanden van A en B = t l, zijn aangebracht. Worden deze op willekeurige wijze verplaatst,
:n.L
Fig. 2/lÛ. b.v. naar D1 en D2 , dan zul­ len zij bij de beweging die zij aannemen, volstrekt geen gelijken tred met elkaar hou­ den. Zelfs kan het voorkomen
dat, terwijl de eene massa zich aanstonds naar den evenwichts­
~tand begeeft, de andere begint met zich verder daarvan te
verwijde:en. In Fig. 240 is nl. de resultante van de spannin­
gen die op D1 werken, naar boven gericht. De verplaatsingen kunnen evenwel voor de verschillende pun­
ten van een stelsel zoo gekozen worden, dat die punten, na ge­
lijktijdig losgelaten te zijn, zich alle aanstonds naar hun even­
wiehtsstand verplaatsen, en wel met zulke anelheden, dat zij die
standen op hetzelfde oogenblik bereiken. Dan voeren alle punten
enkelvoudige trillingen met dezelfde periode uit; zij gaan steeds
QP hetzelfde oogenblik door derr evenwichtsstand en hebben ook
tegelijk de grootste uitwijkingen. Bovendien, wanneer een der
punten een deel heeft afgelegd van den weg uit zijn uitersten
stand naar den evenwichtsstand of omgekeerd, zullen ook alle
andere punten een evenredig deel van hun weg hebben door­
loopen. Wanneer aan deze verschillende voorwaarden voldaan is,
zullen wij van een enkelvoudige bewegingswijze van het lichaam
spreken.
7
Bij den draad met twee massa's bestaan twee enkelvoudige bewegingswijzen, die door Fig. 241 a en b worden voorgesteld. De 1\jnen geven de gedaante van den draad aan op het oogen­ blik waarop de mas­ sa's worden losgela-
Fig. 241.
ten; degedaantena A:::Cl~ r~ een halven trillings- ..........---- ~ a ----...._,_ :=-:-----.... tijd zal men gemak- kelijk vinden.
Voor elke massa z\jn weer de span­ ningen en de resul­ tante daarvan aangegeven. De laatste krachten zijn, althans op zeer weinig na, naar den evenwichtsstand gericht.
c. De figuren 242, a, b en c stellen op dezelfde wijze de enkelvoudige bewegingswijzen voor van een draad die met drie gel\jke massa's, in de punten C,, 02 en 03 , voorzien is; die punten zijn zoo gekozen, dat .A 01 = B C'3 = t l en .A 02 = t lis.
Men zou nu op deze wijze kunnen voortgaan en den draad met steeds meer massa's belasten; het zou dan blijken dat ook het aantal enkelvou­ dige bewegingswijzen waar­ voor hij vatbaar is, steeds toeneemt. Daarbij valt nu op te· merken dat altijd de trillingen des te sneller op elkaar volgen, naarmate de draad zich in een grooter aantal afdeelingen splitst, die afwisselend naar de eene en A ·
Fig. 242.
de andere zijde uitwijken. c
1n Fig. 241, b b.v. zal, bij een zelfde uitwijking als in Fig. 241, a, de resultante van de spanningen grooter zijn, zoodat de trillingstijd kleiner moet uitvallen.
Wanneer de draad zich in twee of mee'l' deelen splitst, wor­
den deze van elkaar gescheiden door punten die voortelurenel in rust blijven. Zulke punten heeten knoopen; ook de onbewege-
lijke uiteinden van den draad kunnen zoo genoemd worden~ B\j de beschouwde verdeeling van de massa's liggen de knoo­ pen op onderling gelijke afstanden. Aan weerszijden van een­ knoop bestaan op hetzelfde oogenblik uitwijkingen, en ook snel­ heden die tegengesteld gericht zijn. Men drukt dit uit door te zeggen dat de punten rechts en links van een knoop in tegen­ gestelde phase verkeeren (verg. § 313). Trouwens, dit is nood­ zakelijk als de knoop zelf in rust zal blijven. Het punt 02 in Fig. 242, b ondervindt spanningen die elkaar opheffen, maar wanneet 01 en 03 naar dezelfde z\ide verplaatst waren, zou 02 ook naar die zijde worden getrokken.
§ 304. Trillingen van snaren. Wanneer wij het aantal massa's waarmee de draad voorzien is, steeds vermeerderen, naderen wij hoe langer hoe meer tot een draad die gelijkma­ tig met massa voorzien is, dus ook tot een snaar, die zelf een zekere massa heeft. Men kan nu uit het in de vorige § besprokene het volgende omtrent de trillingen van gespannen snaren. afleiden.
a. Er bestaan een oneindig groot aantal enkelvoudige trillingB­ wijzen; bij de eerste daarvan wijken alle deeltjes op hetzel/de oogenblik naar denzelfden kant uit, bij cle tweede verdeelt de snaar zich in twee deelen, die in tegengestelde phase verkeeren, bij de derde in clrie afdeelingen, enz. De knoopen liggen op gelijke afstanden van elkaar en aan weerszijden van elken knoop bestaan tegengestelde phasen. Bij elken trillingsvorm geeft de snaar een enkelvoudigen toon, en wel den grondtoon bij de eerste bewegingswijze.
b. Reeds wanneer wij met drie stoffelijke punten te doen hebbèn, is het, om de eerste enkelvoudige bewegingswUze te verwezenlijken, noodzakelijk, een bepaalde verhouding tusschen de verplaatsingen 01 D1, 02 D2 en 03 D3 (Fig. 242, a)· te laten bestaan; had men die verplaatsingen geheel willekeurig geko­ zen, dan zouden de massa's, op hetzelfde oogenblik losgelaten, niet gelijktijdig hun evenwichtsstanden bereiken.
Evenzoo, moet de snaar bij el ken enkel voudigen trillings­ vorm een bepaalde gedaante hebben. Door wiskundige beschou· wingen kan men bewtjzen dat hij op elk oogenblik den vorm van· een sinusoïde heeft (§ 21), zoowel wanneer hij den grond-
9
toon, als wanneer hij een der boventonen geeft (Fig. 243). c. Wanneer men zich de geheele massa van de snaar als
in zijn midden opeengehoopt mocht voorstellen, zou men gemakkelijk den trillingstijd voor den grondtoon kunnen bepalen. Noemen wij de massa van de lengte-eenheid m, dan is die van de geheele snaar m l en dit in formule (2) voor
Fig. 243.
Min de plaats stellende, krijgt ~- F' men A 1: ~B
b
N t l .. k . d "tk t ~c E' IJ~ a uur \J- 1~ eze m oms .A~~ (x B niet juist. Tot een betere waarde zou men geraken,
r.
wanneer men de massa van de snaar over twee, drie, vier punten enz. verdeelde.
De ware uitdrukking voor T krijgt men, als men de limiet neemt voor het geval dat het aantal van de bedoelde punten steeds grooter wordt. Men vindt op deze wijze
T=2lv~, en dus voor het aantal trillingen per seconde van den grondtoon 1vs ·.
N= 21 m ....... <B>
Dol · deze formule is tevens het aantal trillingen van de boventonen bepaald. Daar nl. de knoopen toch in rust blijven, kan men twee op elkaar volgende knoopen vasthouden zonder iets aan de beweging van het daartusschen liggende stuk van de snaar te veranderen. Dus wordt het aantal trillingen van een boventoon gevonden door in formule (3) voor l den af­ stand van twee op elkaar volgende knoopen te nemen.
Uit bet gezegde volgt dat de trillingsgetallen van den grond­ toon en de achtereenvolgende boventonen zich verhouden als de getallen 1, 2, 3, 4, 5, .enz.
10
§ 305. Schomm~lingen van een vloeistofmassa. Wordt de in de buis van Fig. 196 (§ 206) aanwezige vloeistof uit den evenwichtsstand verplaatst, zoodat zij b\jv. aan de eene zijde tot a én aan de andere tot c reikt, dan zal zij, aan zich zelf <>vergelaten, heen- en weerschommelen. Eenige overeenkomst (faarmede heeft het volgende geval.
Zij (Fig. 244) AB de evenwichtsstand van het oppervlak van een vloeistof in een rechthoekigen bak en laat op deze
Fig. 244. of gene wijze aan dit oppervlak de stand p q r st worden gegeven; juister gezegd laat
t het oppervlak eerst een plat vlak en later een cilindéroppervlak zijn, die beide loodrecht op het vlak van de teekening staan en dit volgens A B en p q r st sn~jden. Is dan de
gedaante vau de laatste ·lijn geschikt gekozen, dan ontstaat een enkelvoudige bewegingswijze waarbij het oppervlak tus­ schen p q r st en den door de stippellUn aangegeven stand heen· en weerschommelt. De trillingstijd is daarbij van de intensiteit cler zwaartekracht afhankelijk.
In de lijnen die door de punten q en s loodrecht op het vlak van de figuur getrokken worden, zijn de vloeistofdeeltjes voortdurend in rust; die lUnen worden knooplijnen genoemd.
Men noemt een dergelijke vloeistofbeweging een golfbewe­ ging en spreekt, ter onderscheiding van een bewegingstoe­ ~tand die later behandeld zal worden, van staande golven. Wegens de overeenkom~t nu, -die de bewegingen van snaren en ook van andere lichamen -die wij weldra zullen bespreken, met de schommelingen van het watervlak vertoonen, heeft men den naam van golfbeweging ook in al die andere gevallen toegepast, en wel spreekt men altijd van staande golven, wan­ neer de deeltjes van een trillend lichaam a.lle op hetzelfde <>ogenblik door den evenwichtsstand gaan en ook gelijktijdig de grootste uitwijking bereiken. BU elk der boven beschouwde "enkelvoudige bewegingswijzen" hebben wlj dus met staande golven te doen. Bij de watergolven onderscheidt men de golf· bergen en golfdalen; daarmee komen in andere gevallen de aan weerszijden van een knoop liggende deelen van het lichaam <>vereen, die in tegengestelde phasen verkeeren.
11
Zoowel bij de snaar als bij het vloeistofoppervlak van…