n se da je Ll x;...879. 21 l 880. 3 8 881. 9n 4 883. e-1. l ( az ) 884. Z e -l . 885. 4 888. ln-....

Glava IV

" = L Yt (X1 Ll x1 +X2 LI X2 + xl LI xl + · · · Xn Ll Xn) Li y1 . i= !

Ako se uzme da je Ll x; =h za svako i onda je dalje n L Yt (X1 Ll X1 + X2 Ll X2 +X3 d X3 + · · · Xn Ll Xn) Ll y1 =

j= i n = L Y1 [h (a + h) + h (a + 2 h) + · · · h (a + nh) Li y1 =

i = !

� b-a [ b-a l J = L. y1 Li y1 -- na +--·-n(n- 1) = i= ! n n 2

= d-c [nc + d-c ._!__ n (n + 1)-] b-a [na + b-a .�- n (n + 1)] . n n 2 n n 2

Granična vrednost do bijenog proizvoda kada n� oo biće:

d2-c2 b2-a2 l l

--2- · -2-- za a = O, b = l, c = O i d=O� da je granica zbira 2.2=4. Vrednosti funkcije z (x, y) = xy uzimane su u gornjim desnim temenima elementarnih kvadrata (sl). 40.

849 .. --- · --- · . . 3 3 850. (ed-e") (el'-&).

40 l l 5 851. S = --- + -- ; - 3 n 3 n2

- 40 l l 5 s =-+-+-- ; 3 n 3 n2

- 40 lim S= l im S = - . n�oo n__"..oo 3

y d - - - - r-----------�,----�

Y; . - - +------J"�----J Itf� Yt-1 -- -- - f---------1'0"'1------J

e .

a

Sl. 40

b X

GLAVA IV

852. l o U oblasti D najmanje vrednosti za x i y su - V2, a najveće V2. Stoga je mP= 8 (S-V2} n, MP= 8 (5 + V2) n.

l y l l

856. J dx J z (x, y) dy = J dy J z (x, y) dx. - 1 o o y

2 2 x + 3 4 y/2 2

503

857. JJ z (x, y) dx dy = J dx J z (x, y) dy = J dy J z (x, y) dx + J dy j z (x, y) dx +

858.

859.

860.

861.

862.

863.

D l 2 x 2 l 4

7 2 + J dy J z (x, y) dx.

y-3 -2-

Vl -x2 1 V1 -yz

J dx J z (x, y) dy = J dy J z (x,y) dx; - 1 - Vl - x2

l /-1 -

1/2 2+ V4-yz

- 1 -Vl -yz

J dy J z (x, y) dx. - 1/2 l /-l -2-V4-y2

-2 V9-x2 2 -V4-x2

z (x, y) dy �

V9-x2 J dx J z (x, y) dy + J dx [ J - 3 - V9-x2 -2 - V9-x2

z (x, y) dy + J z (x, y) dy J +

V4-x2

3 V9-x2

_,_ J dx J z (x, y) dy. 2 -V9-x2

2 V4x-x2 2 y J dx J z (x, y) dy = J dy J z (x, y) dx. 0 X 0 2- v 4-y2

o x+l J dx J z (x, y) dy + - l - x - 1

l 1 -y

+ J dy J z (x, y) dx. - l y+ l

V.Y J dy J z (x, y) dx = o y

o

J J z (x, y) dx dy = J D - l

1 -x y - 1 J dx J z (x, y) dy = J dy J z (x, y) dx + o x - 1

l X

- 1 -y- 1

J dx J z (x, y) dy. O x2

l l

dy J z (x, y) dx + J dy J z (x, y) dx. 1 - Vl -y2 o o

504

864.

865.

866.

868.

Vl --x2

J dx J z (x, y) dy = - 1 o

l V2 -x2

J dx J z (x, y) dy = 0 X

o

a y

J z (x, y) dx

a-Va2-y'

l n:- arc siny

REZULTATI

1 Vl -y2

J dy J z (x, y) dx. o -Vl -y2

1 y Vz V2 -y2

J dy J z (x, y) dx + J dy J z (x, y) dx. o o o o

V2 V4-2y2 867. J dy J z (x, y) dx.

-Vz -V4-2 y2

O 2 n+arc siny

J dy J z (x, y) dx + J dy J z (x, y) dx. o arcsiny -l n:-arcsin y

1 2- V2y - y>

869. J dy J z (x, y) dx.

870.

871.

o VY3 2 " a a 2 n

l o J d tp J rz (r cos rp, r sin rp) dr = J rdr J o o o o

2 " l b l lb l 20 J d rp J rz (r cos rp, r sin rp) r dr = J rdr

o l al lal

z (r cos rp, r sin rp) d rp;

2 n

J z (r cos rp, r sin rp) dr. o

r

n/2 lal arc cos-a cos cp a

J d tp J rz. (r cos rp, r sin rp) dr = J r dr J -n/2 o o r -arc cos-

l l -q>2 Vl-r2

a

z (r cos tp, r sin rp) d rp.

872. J d rp J rz (r cos rp, r sin rp) d rp= J r dr J z (r cos rp, r sin rp) d rp.

873.

874.

-l o

n/4 cos rp J d tp o

J r z (r cos rp, r sin rp) d r + o

"/2

J r dr J z (r cos rp, r sin rp) d rp + o o

2 "fJ COS Ql J d tp J

n/4 o r z (r cos rp, r sin rp) dr =

o -Vl-r2

l "/2 sinq>

J d rp J r z (r cos rp, r sin rp) dr = nf4

V z J r dr l

o

. l arc s1n r

J l arc cos r

z (r cos rp, r sin rp) d rp.

2 V3 2 arc cos r

J r dr o

J z (r cos rp, r sin rp) d rp. "Ir

GLAVA IV

n/4 a Ycos 2 '1' a 1 r2 2 arccos �

875. J drp J rz (r cos rp, r sin rp) dr = J rdr J z (r cos rp, r sin rp) drp. �� o o

a arc cos r

l r2 -2 arccos �

" t • ,z a z-z arc SJ n :il

876. J dr J z (q;, r) d rp. 877. J dr J z (rp, r) d rp. -arccosr

a a

o l r2 - arcsin-2 az

878. J dr J z (rp, r) d rp. o

879. l 21 880.

3 8 881. 9n 4

883. e - 1 . l ( az ) 884. Z e - l . 885.

4 888. ln- . 889. n + 2. 890. 2.

3

35 na4 14 a•. 886. 12 n

891. 892. -2. 16 l l -x O 1+x

893. J J x2 dx dy = J J x2 dx dy +J J x2 dx dy = J x2 dx J dy + J x2 dx J dy = D D1 Dz O x-1 -1 -1 -x

l o l = 2 J x2 (l-x) dx+2 J x2 (l + x) dx=4J x2 (l-x) dx = � .

o -1 o

37 894. l --ln 2. 128

l l 895. 543 - .

1 5 896. I (a) = I1 (a)-I2 (a);

l 1 -x 1 1 l1 (a) = I dx J (x +y)-a dy, ako se stavi x+y= t=>I1 (a) = J dx J r-a dt=

0 0 0 X

l 1 l l

882.

887.

= dx-- =-- (l-x1-a) dx=-- x--- =-- 1--- = J rt -a l l J l ( x2-a ) l 1 ( l ) 1-a 1-a 1-a 2-a 1-a 2-a Q X 0 0

1-a (a-l) (a-2) 2-a ;

a a-x a a /2 (a) = I dx I (x+y) -ady= I dx J r -a dt, gde je x+)'= t, dalje je I2 (e) =

0 0 0 X

a a a a ='J dx-1- (t ' -a) 1 =-1-J (al - a_xt -a) dx=-l-(xat -a_ xZ-a ) / = 1 -a 1-a 1-a 2-a

0 X 0 0

l ( a2-a) 1 ( l ) a2-a =-- az-a _ __ =-- 1--- a2-a =--· 1-a 2-a 1-a 2-a 2-a

505

5 6 n 12 .

506

l l

REZULTATI

Tako je /1 (a)-/2 (a) =----- a2-a, odnosno 2-a 2-a l l / (a) = -- (l-a2-a) => lim / (a) =--2-a a-+0 2-a

l x-a

S97. / (a) -J dx J dy . Ako se stavi y= t2 dobija se -

Vx+ VY a b

l

-Vx ln (l +� l-: ) J dt - 2 ·f[ (x- a)3/2 j-x3/2 ln (l +�l-: j + a

: [(1-a)3J2-ln (l-Vl-a) +

l aJ

Vx dx J +2 (Vx+ V x-a) V x-a ;

a

l l a J Vx

2 (V x+Vx-a) Vx-a dx=!!___ J Vx (Vx-Vx=a) dx= 2 a Vx-a

a a

l l

=� { (-x - Vx) dx=�J (v x-a + a - Vx) dx= 2 V x-a 2 V x-a

a a

l

=- (x-a)l/2 + a V x-a--x'/2 =- (1-a)3/2 + a(l-a)1/2-- (l-a3/2). l l l l l 3 3 3 3

a

Tako se dobija l=� [� (l-a)3/2 +a (1-a)1/2-� (1-a3/2)-ln (l + Vl-a)] ili 3 3 3

I =� [(4-a) V1 -a + a Va- 1-3 ln (1 + V1-a)]. 9

4 'a tome je lim / (a)=- (1-ln 2). a-+0 3

GLAVA IV 507

3 1 V 1-y3 1 V1-y3 1

898. I �Jydy J iY l-x3-y3 x2 dx= - � Jy (l-x3-y3)413 1 dy= � Jy (l-y3)4/3 dy = o o o o o

l = � J ys (y- 3- 1)4/3 dy.

o 4

Dobijeni integral je oblika binornnog diferencijala kod koga je m= l, n = 3, p =- . 3 m + l 2 m+ l 2 4 -n-=3 , -n-+p=3+3=2, pa se može integraliti smenom y- 3-l = tl�--3y- 4 dy= 3t2 dt i y9 = {l + t3)- 3; dakle

pošto je

oo oo l oo dt l t + l l l 2 t - l l + " · ' [ ( •- : )' + (�')'-" · '

'n V t'-t + l 0 \sn = •• v'3 0 -

= 18� (� + � ) = n:; I = n:: .

1199. Preći na polarne koordinate.

900. J J xy dxdy= J J cos rp sin rpr3 dr drp+ J J cosrp sin rp r3 dr drp = D D D

:n/3 nf2 2 cosq>

=J cos rp sin rp drp f r3 dr + .r cos rp sin rp drp J r3 dr =2_+_!_=2_· . 32 96 48 O O n/3 O

Ako se uzme integral po drugoj mogućoj oblasti biće:

:n/3 2 cosq> J J xy dxdy = J J cos rp sin rpr3 dr drp= J cos rp sin rp drp J r3 dr = D D O l

n/3 :n/3 :n/3 :n/3

= 4 J cos5 rp sin rp drp- � J cos rp sin rp drp = - � (cos6 rp) l + � (cos2 rp) l = o o o o

= - � (6�- 1) + � (� - 1) = :6 .

508

3:na4 901. 2

:n 32

REZULTATI

903.

905. 2:n. 906. -- In . 2 (l + v 4)' n/4 1/cos rp n/2 1 /sin rp

907. l = J dq? J (l � ;��3/1 + J dq? J (l � :�3/2

2 o o "'4 o

3

:n l =-- .

6 908. -6 :n2•

909. --:n ab. Staviti x =ar cos qJ, y = br sin qJ. 3 910 ab :r{3 S . . b . . --- taviti x = ar cos qJ, y = r sm qJ. 2

911. 2 1 5

:n2 912. -- ·

6

913. Srednja vrednost funkcije z (x, y) = JI a2-x2-y2 u oblasti x2 + y2<;a2 biće 2n a

f' =-1-JJ j/a2-x2-y2 dx dy =-1-J dq?J V a2-r2 rdr = 2 a

. a2:n a2 :n 3 o o

914. 4. 915. 3. l 916. -- .

4 917. 918. a

• 4 919.

5 :n 3

920. --+-- . 3 4

-n/4 l -n/4

2

JJ= J dq? J [ r cos (q?-: )-r2] r dr = J [� cos (qJ-:)- �] dqJ-Dl 3 n ( " ) 3 "

4 cos rp -4 4 -� -� -�

_ _!__ j' cos• (qJ-!:_) dq? = [_!__ sin (q?-:!_)_!_] / _ _!__ J cos• u du = 12 . 4 . 3 4 4 l 12 3 n 3 " n/2 4 4

-n/2

= (- � +�)-(f-�;)-112 J cos• u du = - ! + : +;2 ; ( J cos• u = n/2

= 2_ u + _!__ sin 2 u + _!__ sin 4 u) ; 8 4 32

3J"/4 ( :n) l [ 3 ,, l J ", /2

12 cos• qJ-4 dq?= 48 2

u + sin 2 u + g- sin 4 u =

-�4 -�2

= _!__ [(2_ :n+ o+ o )-_!__ (-3 :n)]=___::___ +___::___ =� . 48 4 48 4 1 6 - 4 16 ·4 32 '

3

Gl AVA IV

Konačno je J J= :6 n. D

:n/2 :n/2-x ,.f2 :n/2-x n J J= J dx J cos (x +y) dy = � - 1 ; JJ= J dx J cos (x + y) dy =-+ l ; 2 Dt O O D2 O "

n cos (x + y) dy = - + l ; 2

"' "'

J J= J dx J cos (x + y) dy = - l + � . D4 tt/2 3 "

2-x

Konačno je J J = 2 n; 2° n.

5 l

D

= J J ! u du dv = -8. 7/3 -3 b {J

925. J u du J z (u, uv) dv. 926. 4-u

a a - u tt/2 a

(u + v u-v) z -- -- dv. 2 ,

2

509

927. 4 ·j' sin3 v cos3 v dv . J uz (cos4 v, u sin4 v) du. JJ [ u (a-v) uv] 928. z _ a , -;; du dv.

o o D'

gde je oblast D' definisana nejednačinama O<u<a, O<v<a. 929. U=Xy, V=X-y. 930. l a Preći u polarne koordinate: 2° xl = u, y2 = v.

510 REZULTATI

1t 931. 32

Staviti 1 -y• = /2• 932. Ako se stavi x2 =u i y2 = v dobija se

l JJ l u l + l v l du dv. 4 vu;

u2 +v2 � l

Ako sada pređemo u polarne koordinate biće

2" 1

l JJ l cos qJ l + l sin qJ l l J l cos qJ l l sin qJ l J 1 =- r r dr dqJ=- dqJ r dr = 4 r V sin tp cos qJ 4 V cos qJ sin qJ

r � 1 O O

Ako se stavi ctg qJ = t2 dobija se da je

1t pa je konačno l=- . V2

933. Ako se uvede smena x =u cos 2/3 v, y =u sin2/3 v, dobija se da je Jacobian

pa je

2 u l = 3 ,"1{ v sin v cos v

J J x2 y2 V 1-(x3 +y3) dxdy = ! J J sin v cos v u' V 1-u3 dudv= D D

n/2 1

=2_ J sin v cos v dv J u5 V 1-u3 du=� · 3 135 o o

935. z (0, O).

936. (rez. Da bismo dokazali jednakost, dokazaćemo sledeće tvrđenje: ako je oblast D simetrična u odnosu na pravu y = x onda je

J J z (x, y) dx dy = J J z (y, x) dx dy. D D

Zaista u integralu na levoj strani može se označiti x sa y i y sa x, pa je

J J z (x, y) dxdy= J J z (y, x) dxdy D D'

(l)

GLAVA IV S l l

gde je oblast D' simetrična oblasti D u odnosu ne pravu y = x. S obzirom na pretpostavku o oblasti D, oblasti D' i D se poklapaju pa važi jednakost (1). Odatle neposredno sledi: ako je oblast D simetrična u odnosu na pravu y = x, a funkcija antisimetrična, tj . sa osobinom

z (y, x) = -z (x, y) tada je

J J z (x, y) dx dy = O. D

. aq; (x) +bq; (y) Kako Je ---=--'-----'-'-

q; (x) + q; (y) a + b a-b q; (x)-q; (y) -- + -- -'---'----- Jr q; (x)-q; (y)

dx dy =O 2 2 q; (x) +lp (y) ' q; (x) + lp (y) x2+y2�c2 na osnovu prethodnog tvrđenja, sledi da je

2

a + b 1 =-2 If a; b ne' = (a +�:n:c2 •

x2+y2�c2 l l

937. -F(t). t 939. Konvergira za - + -< l . 940. Divergira. 942. Divergira. p q

944. 2:n:.

945. 4a2

l

946. 4. l

947. 2

948. 2

Promeniti poredak integracije.

:n/2 oo

949. 16

Promeniti poredak integracije. J Jarc tg ar 950. l= d q; - -,4-- r dr

gde je a = sin q; + cos q;. Ako se sada stavi ar = t""" :rr/2 :rr/2

O l/a

J J arc tg t

J J arc tg t

""" ] = a2 dq; --t3- dt= a2 dq; -t-3- dt. o l o l

oo oo oo

Kako Je -- dt = - --- + -. J

arc tg t arc tg t l l J dt t3 2 t2 2 t2 (l + t2)

l l l

oo oo

oo :n; l

J l + t2-t2 +- --:---:- dt =

8 2 t2 l + t2 l

=� +� J (�--1-) dt = !!_ +� (-�-arc tg t) l = � +�(-!!... + l + �) -8 2 t 2 l + t2 8 2 t 8 2 2 4

onda je

l l

:rr/2 :n/2 l = � J (sin q; + cosq;)2 dq; = � J (l + sin 2 q;) dq; = o o

n/2

=_!_ (lp-_!_ cos 2 lp) J = _!_ (� + l \ 2 2 2 2 ,'

o

5 12 REZULTATI

951. n . Pošto na rubu oblasti D podintegralna funkcija može biti

1 -a (za a>O), to dati integral ima smisla ako postoji

JJ dx dy

!��\ -(-1--x-2--=--y2_)_a D'

gde je D' oblast definisana nejednačinom a2 + y2 < a2 0< a< l .

952. Konvergira. 953. Divergira. 954. Konvergira.

956. n.

960. abn.

957. 2

:n; 958. - .

2 959. Ne može.

n/4 2 cos w n/4

961. P= J drp J rdr = 2 J cos2 rpdrp= : + � . 5

o o o

2a 2 a-x 2a 2a

962. P= J dx J dy = J dx ( � a-x-�2) = ( � ax- � x2-a2 !n x) J = a a2 a a 2 X 2 l

5 ( 5 a2 a ) ( 1 5 ) = z-·2a'-Za'-a' ln 2a- 4 a'--g-a2 ln T = -g-2 ln a a2•

a2 32

neograničena

955. Divergira.

963. l

3 964.

16 3

965. - ln 2. 2

966. - . Staviti y + l = sin t. 967. 3 3

4 968. 2 arc sin -- J ln 3. Uzet je samo jedan deo.

5

:n/2 2a cos 3 rp :n/2

969. Kako je r = 2 a cos1rp to je : = J drp J rdr = 2a2 J cos6 rp drp =

970.

:n/2 :n/2

o o o

a2J a2f =4 (l + cos 2 rp) l drp =4 (l + 3 cos 2 rp + 3 cos2 2 rp + cos3 2 rp) d rp =

o o

5 5 =-n a2 =::;,P=-na2• 1 6

' 8

J n 4 971.

2

3 V3-n 972. a2• 3

975. (V7 Vt4 ) a2 Z + arc s n -8- •

l 973.

60'

n ab ( a2 b2) 976 -- -+- . • 4 k2 k2

GLAVA IV 513

977• ab [�- (a• + b4) + a2b2] · 3 3 V3 h4 k4 h2 k2

D (x, y) 978. Ako se stavi x = ar cos6 cp i y =rb sin6 cp => -- = 6 abr cos' cp sin' cp. Otuda polazeći

D (cp, r)

979.

n/2 l

od o bra sea P= J J dx dy imamo da j e P= J cos 5 cp sin 5 cp d cp J 6 a br dr = D O O

n/2 n/2

= 3 ab J cos' cp sin' cp dcp = 3 ab J cos' cp (l-cos2 cpj2 sin cp d cp. Ako se stavi o o

u = cos cp =>du= -sin cp d cp tada će biti

a b 12

39

l l b P= 3 ab J u5 (1-u2)2 du= 3 ab J (u5-2 u7 + u9)du=� ·

o o 20

Staviti u =�+� a b

l

X y V=--- . a b

980.

65

a' b' 60 e4

981.

4 982. - n.

25 983. -a2• 3 984. -ab·

108 985. - (q-p) (s-r).

3

986. (a2-b2) (a-{3)

2 (l + a) (l +fl

Stavi t i y2 + ux, x = vy

l m 987. - (a-b) In-·

3 n

Staviti x= e ch u cos v, y = e sh u sin v.

55 992.

6 993.

560 3

l 988. - (a-b) (m-n).

3

2 990. -na'.

3 5

991. 6

995. 12.

996. 6

15 997. 78 - . 32 998. Kako je z = 2-y to je V= J J (2-y) dx dy => V =

D

2 11.Y 2 V:Y 4 � 2 J dy J (2-y) dx= 2 J (2-y) (x) l dy=4 J (2 V:Y-y{y)dy = 4 V.Y' ( � -

o o o o o

2

-�) l = 32V2. 5 15

o

48v-999. - 6 .

5

33 Zbirka zadataka iz vi�e matematike II

1000. 16.

5 14 REZULTATI

l n n 1001. Kako je cos x cos y=- [cos (x+ y) + cos (x-y)]>O za l x+ y l < - i l x-y l < - to će

2 2 2

1002.

tražena zapremina V= J J cos x cos y dx dy, zbog parnosti integralne funkcije u odnosu D

na obe nezavisno promenljive simetričnosti oblasti D u odnosu na obe ose, biti

2 3

n/2 nf2-x :n/2 n/2-x n/2

V=4 J cos x dx J cos y dy = 4 J cosxdx(siny) J = 4 J cos2 xdx=n. o o o o o

n/2 VJ 1003. V= J J(3-x2-y2) dx dy => : = J dqJ J (3-r2) r dr;

D O O n/2 R cos lP n/2 J J _ 4R1 J 1004. V=4 dqJ VR2-r2 rdr = --3

- (sin3 qJ-l) dqJ; 2 V=-R3 (3 n-4). 9

1005. 45 n 32

o o o

1006. 8

n al (6 VJ-s) 1008.

1010.

1012.

3

_!>_ Va>-x2 a a

D D

1----dy=-- · V=--· = e J dx J � x2 y2 n abc 4'nabc a2 b2 6 ' 3

o o

a y' 2px

V= J dx J o -Y2px

4a2 ---

xy2 dy =- V (2pa)3 21

n/2 2 cos <p

V= J J x2y dx dy= I cos2 qJ sin qJ d qJ J D o

R VR2-x2 R o

l 1011.

3

4 r4 dr =- ·

5

1014. V= SJ V r2-x2 dx J dy= J (R2-x2) dx= 136 R3•

o o o

x2 y2 1----dxdy =

a2 b2

Staviti x =ar cos qJ, y =ar sin qJ.

Sn-4 1013.

2

1015. Jednačina projekcije preseka, tj. oblasti je x2 + y2 = x + y, odnosno

GLAVA IV

3 :n/4 cosp+sinp

S15

Tako se dobija daje V= JJ <z1-zl) dx dy = J dcp J [r (cos cp + sin lj')-rl] r dr = D -:n/4 O

3n/4 3 n/4 n

12 J (cos cp + sin cp)4 dcp =

112

. � J sin• ( cp + ;) dcp =4

18J sin• t dt =

-:n/4 -:n/4 o

1 3 1 n n n =-·-·-·- = - tj. definitivno v � - ·

48 4 2 2 64 ' 64

1016. Oblast integrala je deo ravni ograničen krugovima

Otuda je :n/2 2cosp

V = 2 J dcp I O cosp

n r3 dr =-·

160

1017. Oblast integracije određena je jednakošću

Otuda je

V= J J D

a Y

(a-y)l (yl-xl) J J � (

x )

2

yl dxdy = 2 (a-y) dy 1 - y dx=

o o

1018. Ako se stavi x= r cos cp i y = r sin cp=>z = ar i r = b (1 +cos cp) (kardioida) pa je

2 b co sl '!_ n 2 n

V = 2 a J J rl dr d cp = J d cp I rl dr = �6 ab3 J cos �4 d cp = � ab3 n;

D O O O

s V = - a b' n. 3

4 2 VX 4 2 V.X

1019. V= J J zdxdy = J J (4-x) dx dy = J (4-x) dx J dy = J (4-x) dx (y) l

33°

D D o vx o v-x 4 4

=J (4-x) Vx dx= (� x3f2_!_ x�fl) l = 64-64 = 128

. 3 s 3 5 1 5 o o

516 REZULTATI

1020. V-2 J J z dxdy, gde je oblast D definisana nejednačinom ( x�a r + (; r < l.

D

Tako je Za

dy= D o

Z a 2 a

=4 b J �1-(x�ar Vx dx= :b J x V 2 a-x dx.

o o V2a �

Smenom 2 a-x= tz dobija se V=:b J tz (2 a-tZ) dt =:bC�'3 -�) l = o o

=4 b

(4azV2Q 4az V2 a

) 32 . � =-a b v 2 a. a 3 5 15

1021. l o Jednačina date krive je x2 + yz + zz = az, x2 + y2 = ax :rt/Z COStp

ZO V=2aJJ V 1-r2 rdrdljl = 2 a J diP J r Y 1-r2 dr= -2;3 (-� + � ) ·

D O O

a3 n 4a3 Konačno je V=----·

3 9 V2

JJ 1022. V =z (V1 + Vz + V3 + V4) gde je V1 = - ln ; dx dy,

S/4 S/Z-x

Dl

9 l (ln x-ln y) dy= 3 ln 2-g- ln 3-ln2 2-4 .

Vz = -J dx J (ln x-ln y) dy = 2 ln 2 +! 1n 3-25 In 5 +_2_ ,

8 16 4 l X

S/4 X

f ,

5 9 V3 = dx j (ln x-ln y) dy = 2 1n 2-ln 5- ln2 -+- , . 4 ll l 1/x

Z 5/Z-x

v.= J dx J (ln x-ln y) dy= 3 1n 2-� ln 5-ln2 2 + ln2 �-�· 16 4 32

S/4 l/x

GLAVA N

25 (2 Tako je konačno V= 5 V2 ln2--- ln 5- V2 ln2 x. 16

2n aV2 2 n aV2

517

1023. V=V1-V2 gde je V1 = J dqJ J V 3 a2-r2 rdr, i V2 =I dqJ J 2ra rdr. Konačno je

a3n v=-(6 V1-5).

3

o o o o

n/4 2 costp n/2 2 sin'l' 1024. V= J (cos qJ + 2 sin qJ) dqJ J r2dr+ J (cos qJ + 2 sinqJ) dqJ J r2 dr. Konačno je

O O n/4 O 3 n 7

V =-+-· 4 2

t V2 o

JJ J J 83 (2 1025. V= (3 +x2 +2y2) dxdy = 2 dx (3 +x2 + 2y2) dy=�·

1026.

D O 2x2- J

3:n/4 sin 2 qJ cos 2 fP ) l = a3 n . 2 16

n/2

1027. Zapreminu traženog tela možemo izračunat i po obrascu

J'J n V1 V= (zi-Zz) dx dy+ vl gde je D : zl = -5 . Zz = -3 v 6-x2-Y2 D

i vl zapremina konusa.

Tako je V= J J (-? +? V 6-x2-y2) dxdy+ -�81�:-z i l i uvođenje polarnih

D

JJ, ( V2 V3 ,;-·) koordinata biće V= -S+

Jy 6-r2

288 n V2 rd rd qJ + , odnosno

125 D'

2't 12/5

V=J dqJJ (-Vz

r + V1 r V 6-r2) dr + n(2. . 5 3 l�

o o

128 Konačno je V=-n n. 25

518 REZULTATI

1028. V= J Jz dx dy= J J (:\�T dxdy= J j(l + 2 r cos tp + r2) 6 r dr dtp = D D U

2n l 2"

= 6 J dtp f <r + 2 r2 cos tp + r3) dr = 6 J ( ! + ! cos tp) dtp = 9 n. o o o

1029. Zapremina manjeg tela izračunava se po obrascu

1030.

1035.

gde je

Prema tome je

V = J J (x2-x3) dy dz-J J<x1-x3) dy dz D2 Dt

V= J J(V 6-y2-z2 -y2-z2) dy dz-j J(V2-y2-z2 -x2-y2)dy dz ·

Prelaskom na polarne koordinate biće

V = J j(V6-r2-r2) r drdtp-J J(V2-r2-r2) r dr dtp = v; D�

2/" V2 2 " 1 =J d tp J r (V6-r2-r2) dr-J d tp J r (V2-r2-r2) dr= � ( 24{6-8 V2-37) .

o o o o

3 n a• l --- 1031. -na3, 1032. 2 V2 e 12

l ( a2 b'

) a2 b2 8 nab p+q . 1036. S c

16 3 -a'. 1033. - n (a+b). 9 8

1037. S menom x = r cos' tp, y = br sin3 tp dobijamo D (x,y) = 3 abr sin2 tp cos2 tp. Tako se dobija D (r,tp)

1040.

"'2 l

V =4 J J e ( 1-::-�:)dx dy= 43 abc J sin2 tp cos2 tp d tp Jr [l-r2 (cos6tp + sin• tp)] dr = D O O

75 abc 75 abc n;2 = --, odnosno V=-- . 1038. -abc. 256 256 2 1039.

4 a4bc 3 n a:c � � F' ( : ) . 1041. -- abc. 1042. 9 h' 2 V2

k --abc n. k + l

GLAVA lV 519

FJ -

1043. C ) abc n 3 n3 r (! )

:n2 abc2 1044.

3 hn sin e) 8 ' l :n ) 1045. 1046. (3---16 abc.

35

:n l 3 a2 + !t2 tf- l 1047. - abc. 1048. - abc. 1049. A= fl 1050. -- (m-n) a2 • 2 9 3 (a2 -ft2) e'

7 3 14 l 1051. - a3 ln - . 1052. - In 3. 1053. -am (a +m) (3 a2-5 am + 3m2). 3 2 9 192

1 2 Vx 1 2 VX

1054. P = J J� l + � dx dy =J �l + � J dy =J� l + � dx (y) l D O O O O l

= 2 J V l + xdx = � (2 V2-l). o

n/2 l 2n

1055. Kako je p = l , q = 1 =:>P=4J drp J r V1 + r2 dr = � (2 V2- l ) J drp= o o o

=� (2 V2- l) :n. 3

O Z X O Z Y 1056. Kako je p=c== -- , q =-= -- biće ox y o y z

ili

JJ� x2 y2 f f a JJ dx dy S= l +-+-dxdy= -dxdy = a V � � L z �-�+�

D D

2n b b

S=af drpf :!:__=2:na (-V a2-r2) 1 = 2:na2 (1-V a2-b2). V a2-r2 o o o

Znači konačno je V= 2 :na2 (1-V a'-b').

n/2 R n/2

1057. P = RJ drp J r dr =Rf VR2-R2 cos2 rp drp =R2•

V R2-r2 O R cos rp O

4 v-1058. P = - (a+b) ab.

3 1059. 2:. vz. 1060. 8 a2 (: + l-V2) ·

1062. Ako se stavi x = r cos rp, y = r sin rp

onda jednačina cilindrične površine ima oblik r2 = c2 sin 2rp.

520 REZULTATI

x2 + 3y2 Kako je z p = x; zq = 2 y => p2 + q2 + l = 2 to je tražena površina jednaka x2 + 2y2

n/2 e Vsin 2<p

S=liz J dqJ J r o o

l

= c2vzJ f l + 2 t dt; \j l + t o

n/2 COS2 qJ+ 3 sin2 qJ v-J �l + 2 sin2qJ o ------ dr= c2 2 · sm 2qJ dqJ = cos2 qJ + 2 sin2 qJ l + sin2 qJ

o

l + 2 t stavljajući --= u2 dobija se dalje

l + t

c2 V2 [{6-1 + ln (3 + 2 (2)(7-4 VJ)].

2n: r2 r2 1063. P = J dqJ J r Vl +f'2 (r) dr = 2n J r Vl +/'2 (r)dr. 2nr2

1064. - (2 V""Z- 1). 3 O rl 't

1065. Površina koja se projektuje na ravan z = O sa o be strane a koju is eca cilindar x2 + y2 = a2 ima vrednost

a V a2-x2 a V a2-x2

P1 = 8 af dx J dy = S a J dx J z

• V a2-x2 o o o o

Površina koja se projektu je na ravan y = O sa obe strane a koju iseca cilindar x2 + z2 = a2 ima vrednost

a V a2-x2 a V a2-x2 P2 = 8 af dx J dz = S af dx r dz = 8 a2.

y V a2-x2 •

Otuda je definitivno

o o o o

2 " R

1066. P = . J J V x2 +y2 + l dxdy = J dqJ J V r2 + l r dr = 23n [(R2 + 1)3/2- 1].

D O O

2 "

1067. S= -+-+ l JJ�x2 y2 I f •

dxdy= ab

dqJ j V r2 (b2 cos2 qJ+a2 sin2 qJ +a2 b2 r dr =

1068.

a2 b2 D o o

2nab b =-- (2 V""Z-1) gde je gornja granica r 3 b2 cos2 qJ + a2 sin2 qJ

a Y "/4 a Vcos 2<p

S=4 a J dx J�;::;; = 2 J -v-,:-:-2-qJ J o o o o

r dr V ar Vcos 2 qJ-r2 2

GLAVA IV

2 n oo

b' + (m2-m) r2 ------ r dr gde je b2-mr2

521

b' m=-· a'

Tako se dobija P=2 b' J dtpJ 1 2 dt =4nb2 (-1---1- arc tg-1-+-n-) (c + t2)2 2 m 2 VC VC 4 VC o o

odnosno P= 4 n b' (-1---1- arc tg -1-+_n_) gde je m-1 = e. z m 2 Vc Vc 4VC

z

Sl. 41

1070. Posmatrajmo prostorni koordinatni sistem OXYZ (sl. 41). Neka teme A sfernog trougla ABC leži na osi Z, i neka je ravan BCO okomita na koordinatnu ravan YZ. Sa a, f3 i y obeležimo redom temena datog trougla ABC. Pošto je ravan BCO _L YZ ona ima jednačinu z= ay, gde je a konstanta. Jednačina ove ravni u polarnim koordinatama glasi

e cos () = a e sin () sin tp odnosno (1) ctg ()= a sin tp. U drugu ruku za površinu u polarnim koordinatama imaćemo

"'e B "'e B "'e "'e P= r2 J d tp J d() sin 0= r2 J d tp (-cos O) J = r2 J drp-r2 J d rp cos O.

'�'B O '�'B O '�'B '�'B

U formuli (1) data je veza između tp i O. Na osnovu nje je dalje "'e "'e

J ctg O P=r2a-r2 dtp-:-;::===: V t + ctg' ()

r2a-r2 dtp = J a sin tp (l + a2 sin' tp) 112

"'e "'e

= r2 a + r2 = r2 a + r2 arc s m · J' d (a cos tp) . a cos tp l (1 + a2-a2 cos2 tp)1i2 (1 + a2) 112

'�'B '�'B

522 REZULTATI

No kako je arc sin u intervalu (-n, n) jednak arc cos površina P je data sa

(*) 'PC

a cos rp l P = r2 a-r2 arc cos · (l + al)I/Z

'Pn

Pokazaćemo da arc cos ima određeno geometrijsko značenje, upravo da je to ugao e izmedu dva smera uzeta na lopti. Iz diferencijalne geometrije poznata je formula kojom se izračunava ugao e između dva smera: recimo ds i &.

Uzmimo da je

dx� x + dy r5 y + dz r5 z

x = r sin ll cos rp y = r sin ll sin rp

z = r cos ll.

Tada ćemo dobiti da je ds = (r2 d (}Z + rz sin2 (} d rpZ)IfZ. Posmatrajmo ove smerove, tako da jedan ide po ravni d rp = cos t računajući prema A, a drugi smer ds u posmatranoj ravni u kojoj je smeštena stranica BC. Tada za izraz as zbog d rp= O dobijamo da je

�s = v (r51l). Izraz za cos e tada postaje

rz dil r5(} cos e = ·

r ( r51l) r (d ll2 + sin z rp d rp) 1/2 �(j

Zbog orijentacije r5s prema A biće promena r51l< O tako da će biti -- = = l pa l �(} l

imamo da je dil cos e =

(dllz + sin2 Odrp)'Jz

Zbog formule (l) iz koje izlazi da je ll = arc tg (a sin rp) imamo da je

a cos rp ---- d rp l + a2 sin2 rp

cos e =-=-------:-::--------::-:-:-:-::: [( a cos rp ) 2 + sinz e ] l /2 l +az sin z rp

a cos rp ( l + az) l/l

a cos rp Drugim rečima imamo da je e = arc cos (**). (l + aZ)IfZ Ako (**) ubacimo u (*) dobijamo da površina jednaka

'PC P= r2 a + r2 · -e l = r2a + r2 (-ec + en). 'Ps

Međutim ec = n-8, e8 ={J pa na taj način P postaje

P=r2 (a + P + y-n).

GLAVA IV 523

1071. 1 o Pošto je data površ definisana parametarski x = q; (u) cos (}, y = q; (u) sin (}, z = 'P (u) (a<u<JJ, 0 < 0<2n) to se primenom ot-rasca

pri čemu je

dobija

(l)

jer je

S= j j v1 EG-P du dv, D

G- - + - + -- (ox)2 (oy)2 (oz )2 ov ov ov ox ox oy oy oz oz F=--+--+--· ou ov ou ov ou o v

P= j j i rp (u) l V q;' 2 (u) +1J!' 2 (u) du dx D

ox oy az oz ox ou = rp' (u) cos O; ou = rp' (u) sin O; ou =lJ!' (u); a-; = 0; a; = -q; (u) sin (};

ou - = q; (u) cos O, pa je ov

E=q;' 2 (u) + 1J!' 2 (u) : G =q;2 (u) : F= O tj .

EG = P = q;2 (u) [q;' 2 (u) + 'P' 2 (u)].

Kako je domen integracije definisan relacijama a<u<{J. 0 <0<2n to se iz (1) dobija

2n {J

P = J dv J i q; (u) i Vq;' 2 (u) +1J!' 2 (u) du. O a

S obzirom da su granice integracije sa u konstantne a podintegralna funkcija ne zavisi od O, to se posle integracije po (} dobija

{J (2) P = 2 n J l q; (u) l V q;'2 (u) +1J!' 2 (u) du,

a što je i trebalo dokazati .

u 2° Pošto je u datom slučaju q; (u) = e- u, lJ! (u) = J V�l---e-_---,2:-:--t dt zamenom u obrascu (2)

o {J

dobijamo (3) P = 2 n J e- u du, jer je q;' (u) = -e-u, 'P' (u) = Y I-e-2". Konačno iz a

(3) dobija se

524 REZULTATI

P2= J J �1 + ;>�>xdy= � J J Va2 + x2 +y2 dx dy a oblast D: x2 +y2<:;2a2. D D

Uvođenjem polarnih koordinata dobija se

P= a 3 + - a2 + r2 r dr d rp V- }'j r dr drp 1 Jj v-

V 3 a2-r2 a D' D'

gde je D' :O<r<a (2, O<rp<2n. Prema tome je

P=a

2 n a VT 2 n a VT aVT

VJ J drpi rdr +_!_j drpi r Va2 + r2 dr = 2 anV3 (-V3a2-r2) j +

V3 a2-r a o o o o

a V2 l =2a n VJ ( -a+a V3) + 2n (3 a2 (J-a2 ). 3 a

o

16 Konačno je P=J a2 n.

"

1073. P = -a2 (11 +n) + 2 a2 j Vcos2 tdt gde je t = rp +:!_ . 9 4

3n/4

1074. Neka je P, površina manje kalote (manjeg dela koji leži u konusu). Tada je

p1 =JJ /1 + x2 + y2 dx dy gde je oblast D definisana nejednačinom \j 18-3 (x2 + y2) D

144 x2 + y3<:;- . Uvođenjem polarnih koordinata dobijamo

25

D

12 pri čemu je oblast D' odnđena nej<dnakostima O<rp<2n, O<;r<- . Tako se dobija

s

2n 12/S 12/S

P, =f drpi j 18-2 r2 dr = 2 nf r j 18-2 r2 dr. \j 18 + 3 r2 \j 18 + 3 r2

o o o

Stavljajući

GLAVA N

18-2 r2 ----- = u2 dobija se 18-3 r2

3

J z2 P1 = 36 n dz.

(z V3 + {2)2 (z V3-V2)2 l Koristeći identitet

nakon integracije definitivno se dobija da je

- 7 + 2 V6 132 P1 = n V 6In ----::---+ - n. ' 5 25

Pošto je u pitanju rotacioni elipsoid to je njegova površina

V2 V2 V2 P = 2 n J x V l + x;dz = 2 n J Vl + u2 du = 4 n J Vl + u2 du = 2 n(6 [u VT+Ui +

-V2 -VT o

V2 + ln (u + V l + u2)] [ = 12n + n V6 In (5 + 2 (6.

o Prema torne je

168 l l + 4 V6 P2 =P-P1 = - n + n f6 In .

25 5

P2 = f6 JJ dy dz ; P3 = JJ V l + 4 y2 + 4 z2 dy dz.

V 6-y2-z2 D2 D2/D1

Prelazeći na polarne koordinate dobija se

p = V2 JJ r dr d rp + V6 JJ r dr d rp + JJ r V l + 4 r2 dr V2-r2 V6-r2

l l l l l

D l D 2 D2 D l ili nakon integracije, definitivno se dobija (41 v-- v- s vs ) P = -

z-2 2 -4 6 ---6

- n.

1077. 2 na2•

1079. 2 Vz.

525

526

1080. sin a cos a

ab 1083. -(20-3n). 9

1 3 1081.

ti

REZULTATI

1085.

1087. Jednačine krugova su r = R1 i r = R2 ako

se centar prstena postavi u koordinatni početak. Površinska gustina u tački P (rp, r) k prstena je e (p) = - . Otuda je masa celog prstena

r•

1088. Ako uzmemo da elipsa ima centar u koordinatnom početku a da joj je jednačina x• y• -+-= 1 i da je U tački p (X, y), e (m) = ). l X l dobija Se konačno y2 b2

a v-b b b2-y2 � m = J J J.x dx dy = J. J dy J D -b O 2

dx = - a2 b J.. 3

1089. Pretpostavimo da hipotenuza kruga ima dužinu 2 a. Pretpostavimo dalje da se hipotenuza trougla poklapa sa Ox osom i da je teme pravog ugla na pozitivnom delu ose Oy. Tada će jed načina kateta biti y = x + a i y = x-a. Saglasno uslo vu zadatka površinska gusti na u tački P (x, y) iznosi e = ky. Dalje, na osnovu odgovarajućih formula biće

1090.

a a-y

Ix = JJ ky2 dx dy = k J y2 dx J D O y-a

a a-y

Iy = J J kxy dxdy = k J y dy J xdx = O; D O -(a-y)

a a-y a

m= J J kydxdy= 2 k J ydy J dx= 2 k J y (a-y) dy = k;' .

D O y-a O

Otuda je konačno ly Ix a X0 =-= 0, Y0 = - = -· m m 2

a a-y

lx = J J ky' dxdy=k J y3 dy J D O y-a

k a5 dx = - . 10 1091. kp (4 -n). 1092. 2

2 1093. - R3•

3 1094. n R3•

9 1095. - a3 4

a h2 1096. Statički moment je 6'

ab(a2 + b2) 1101. I2 4

1104. x0 = 0; y0 =-na. 3

GLAVA IV

nab 5 1099. -na4• 4 1100. --(a2 +b)2• 4 ah

1102. -(a2 + I2 h2). 48 1103.

4 b 1105. X0 =0; Yo = - . 3 :r

2 5

1106. na; - a. 6

527

J n 2 Vi I ( a a ) 1107. x0 = 16 ; Yo =O. 1108. � ; 4 . 1109. 5 ' 5 · 3 :.a 3 n b 1110. - · - · 64 ' 64

1111. x = _!__. (2 (2 __ I_) Yo=2 S j I : (2 (2 _ _

I_) · D 5 • 10 S I4 v 4 10 S

3 (8 2Vi6 3 V8 2Vi6

1112. x0= (I- :) (V2+ I), Yo = � (�-I) (2 +V2).

1113. x0 = Yo = � (arc sin 2_ 6 ln �) · 3I I3 2 a

sin -4 2 1114. Težište leži na simetrali ugla a, na rastojanju d=-a-- gde je a poluprečnik kruga. 3 a

a sin3 -4 2 1115. Težište se nalazi na simetrali ugla a, na rastojanju d=-a . od centra kruga, 3 a-sm a

gde je a poluprečnik kruga. 1116. Ako promenimo odgovarajuće formule dobijamo

l l

Iz = J J xz dxdy = J J x (4-x-y)dxdy= -J xdx J (4-x-y) d(4-x-y)= �� D D O O

1 1 111 = J J z2 dxdy = J J (4-x-y)2 dxdy= -J dx J (4 -x-y)2 d (4-x-y)= 5:

D D O O 1 1

I. = J J zdxdy= J dx J (4-x-y) dy= 3. D O O

Ako se dobijene vrednosti zamene u gornjim formulama dobija se

Iz I7 /2 55 Xo=Yo =- =- ; Zo=-=-· I. 36 21. 36 ( 3 a) 1118. (_!__ _!__ _!__) 1119. (3 (a + b) (2 R2-a2-b2) ' o, o) . 1117. 0, 0, -8 • ' ' 4 2 2 b2 b) 4 8 4 (3 R -a - -a 1120. X= ah2, Y =O gde su X i Y projekcije sile pritiska na koordinatne ose Ox i Oy. 1121. P1 =n a2 e (h- � a) ; P2 =n a2 e (h + � a) .

528 REZULTATI

1122. Projekcije sile pritiska na ose Oy i Oz postavljene u vertikalnu ravan koja prolazi kroz osu cilindra, tako da je osa Ox hor. zontalna a osa O z vertikalna, iznose respektivno:

x. = -na•e (h- � cos a) sin a; x. = n a• e (h + � cos a) sin a.

Z1 = -na• e (h- � cos a) cos a; Z2 = na• e (h + � cos a) cos a.

1123. Projekcije sile privlačenja na ose Ox, Oy, O z respektivno iznose X� O; Y- O;

2'kmM Z= ' {J b l -l b-h l + Va2 + (b + h)2 -Va2 + b2}

a2 h

gde je k konstanta gravitacije. l l 2 l l l l

1128. 6. 1129. l= J dx J dy(4�z)2 1 = J dx J (l8-8) dy= l0 J dx (y) [ �

1130.

1132.

-1 xz O -1 xz -! xz

= 10 J (l-x2) dx= 10 ( x- � x3 ) l = 10 ( 1 - � ) -10 (-l + � ) = 10 � + 10 � = �O .

48

-1 - 1 'au

1131. -' - . 1 10 l 1 -x ! -x-y l 1 -x ! -x-y

I = J (1-x)dx J ydy J zdz= J (I-x) dx J ydy (z; ) 01 o o o o o

l 1 -x l

= J <l-x) dx J [(l-x)2 y-2 (l-x) y2 +y3J dy= J <l-x) dx [(l-x)Z �2-o o o

l -x l

-2 (1-x) y3 + y•] l =_!_J (l-x)[( l-x)•-� (l-x)4 +2_ (1-x)4]dx= 3 4 2 2 3 4 o o

l l

=�J (l-x)s dx =-(l-x)6 1 = -�- . 24 144 144

o o

l l l l l l l l 1133. J dx J dy J <x+y + Z) dz= J dx J dy [(x+y)z + �2] 1 �J dx J dy (x+y+ � ) =

o o o o o o o o

l l l l l

=J dx (2 x2+ 1 y+ ;) l =I (2 x2+ 1 + � ) dx= � J (2x+ 2)dx= J (x+ l) dx�

o o o o o l

= (�\x) / = � . o

1134. 2 e-5.

GLAVA IV

Zz 1135. I= J J dx dy J (xl + y2 + z2) dz = J J dx dy /'"

D z1 D

Kako je

�2 z2 /1 = J (.� +y2 + z2) dz =[(x2 + y2) z + �J I = 2a2 V3 Va2-x2-y2,

I -2a2V3 J J Va2-x2-y2dx dy= 2 a2(3 J J Va2-r2 r dr drp = x2+y2 � a2 r � a

2n a a

=2a2V3'j drp J Va2-r2 rdr =-2 n a2 V3 J (a2-r2/12 d(a2-r2) = ·o o o

a 2n 4j1 - 3 l 2 -J 4 n a' = -- na2 V 3

.(V a2-r2 ) =-a' V 3 dq; =-- .

3,; ,_ 3 . V3

Y2 o o

h

529

1 136. l= J J dx dz J = J J dxdz ·/1 gde /1 = J y dy = � (h2-x2-z2). Tako se dobija

D Yt D Vx2+z2 2n h

da je l= � I J (h2-x2-z2) dx dz = � I J (h2-r2) rdrdrp= � I d rp J (h2-r2)r dr = n

.x2+z2";;h2 r";;h O O

4 =- h•. 1137. 1138. - n abc. 5 4 16 2

1140. l= -2 a ln a + 2 (a + b) ln (a +b)-b ln (a2 + b2) + 2a (arc tg � -;) •

hm -+ l ln (a+ b)2-ln (a2 + b2) = hm ln --=0. . [( a ) J . (a + b)2 b _,. oo b b _,. oo a2 + b2

l 5 1141. - ln 2--. 2 16

1142. 6 U43. O.

nR2 1144. -5- (2-VZ}.

a h aa-y h n/2 sin q>+cos q>

1146. J J J /(x, y, z) dx dy d� = J J J f· rdrdrp dz = o o o o o o

h n/2 w cos O n/2 n/2 R1

7 n 1139. -- a'.

30

1145. Rh2 16

=J J J f·R2 sin 0 dR d0 drp + J J J f·R2 sin 0 dR d 0 drp o o o o w o

34 Zbirka zadataka iz više matematike II

530

gde je

REZULTATI

a a w = arc tg ; R, = -------

h (costp + sin tp) sin O (cos tp + sin tp)

a a-x a-x-y n/2 r1 a-r (cosq>+sinq>) :n/2 n/2 R1

1147. J J J fdzdy dx= J J J f·rdzdr dtp = J J J fR' sin O dR dO dtp o o o o o o o o o

a a gde je r1 = ---:--

cos tp + sin tp R, =-----------

cos O+ sin O (cos tp + sin tp) a Y1 Val-xl-yl 2n a V al-rl 2:n a a

1148. J J J f·dz dy dx= J J J fr dz dr dq;= J J J fR' sin O dR d O d qr, -a -y, Vx>+y1 ctg x O a r cos a O O O

a/Vl Va'-2x2 Va2-xl

y1 = V a' sin2 a-x2 • 1149. I J J f· dz dy dx= -a!V2 -Va'-2x2 Vx'+Y'

2:n e V a'-r' cos>q> 2n n/4 R1 -J J J f-rdzdr dq; = J J J f·R2 sin_O ·dR d 0dtp

gde je o o o o o

a

1 x 1 -x l 1-x l 1-y

1150. J dx { J dz J f (x, y, z) dy+ J dz J /(x, y, z) dy} =J dz { I 'd;.r I f(x, y, zfdz + O O O x z-x O O •Y 1 1 -J'

+I dy J f(x, y, z) dx} · z o

l Vz>-xl l z V zl-yl

1151. I dx I dz I f(x, y, z) dy= J dz I dy J j(x, y, z) dx. - l l x l -vz>-x> o -z -Vz2-y2

1 x2 1 x'+ l l l f7 1 1152. J c�x { J dz iJ(x, y, z) dy + J dz J f(x, y, z) dy} = Jdz { J dy I f(x, y, z) dx+ O O O x2 Vz-x' O O Vz-yl

l l 2 l

+ J dy Jf(x, y, z) dy} + I dz J dy J f(x,y, z) dx.

1153. 1°

v;- o l VZ=I v z-yl

JJI dx dy dz JJI r2 sin 0 dr d0 dtp Vx'+y' + tz-2)2 =

Vr2-4 Rcos 0 + 4 =

V V' 2n l n l n -J dtp

f rdrf 4r sin 0 d0 4 Vr2-4r cos 0 + 4 :n f J __!_ 2 r dr (r2-4r cos 0 + 4)- 2 d(r'-

o o o o o

GLAVA IV

l " l

SJ t

-4 cos O +4)= � J rdr ·2 (Vr2-4r cos O + 4) 1 = :n J r dr(V r2 + 4r +4-V r2·-4r +4) -o o

1154.

l l

=:nf r dr [r + 2-(r-2)] =4:nf rdr = 2 :n. 2° :n[3 VIO + In V2-l-V2-8] · Vlo-3

10

o o

1155. � (2 (2-1). lS

16:n 1156. 3

;n2abc 1157. -- . Staviti 4

x - ar cos cp sin O, y=br sin cp sin O, z = cr cos O.

:na 1158. l' = 3 (e-2).

6 1159. s

e-2 1160. 2

1161. 2

1163.

1166.

:n 8

8 1 3 4

1164. - :n (R'-a'). lS

:n

1165. Dovoljno je pretpostaviti neprekidnost funkcije.

oo

1167. 16 •'- K . . . . . l J -xz dx Vn 1168. :n r "' · onstiti P01ssonov mtegra e =

2·

o

1169. l o Divergira. r Konvergira. 1170. Konvergira za a< 1 . 1171. Divergira.

1172. Konvergira. 1173. Divergira.

3 1175. Konvergira za p<-·

2 1176. (1-p)- 1 (1 -q)- 1 (1-r)- 1 (p< � . q< l ; r< l).

1177. ;nl/2

n 1181. 3

l 2" a" 1178. 1179. 1180.

n ! (n + l) ! n !

1182. n (n-1) 8

l X 2x2+2y2 l X l X

1186. V = J dx J dy J dz = J dx J (2 x2 + 2 y2-x2-y2) dy = J dx (x2y + y:) l = o x2 x2 + y2 o ;c2 O x2

l 1 -x x+y l 1-x l 1-x

1187. V = J dx J dy J dz = J dx J (x + y-xy)dy = J dx (xy+ � y2- � xy2) 01 O O xy O O O

l

=J [x (1 -x) + .2_ (l-x)2-� (l-x)2] dx = !_· 2 2 24

o

34°

S32 REZULTATI

a a-x V D2-x2 a a-x a

1188. V=4 J dx J dy J dz= 4 J dx J (2 V a2-x2) dy= 8 J V a2-x2 (a-x) dx= o o

a a

o o o

- 8 [a J V a2-x2 dx -J x V a2-x2 dx = � a3 (3n-4). o o

1189. Kako je a (a-x-y)= a2-x2-y2 odnosno x2 + y2-ax-ay =O to se tražena zapremina projektuje na dobijeni krug. Otuda je

a

V= .r J dxdy J D a-x-y

(a-x-y)] ·

Prelazeći na polarne koordinate dobija se

l V=a

J n/4 a (cosq>+sinq>) J n/4

J drp J [a r2 (cos rp + sin rp)-r3j dr=:� J cos• (: -rp ) drp. -n/4 O -n/4

n Ako se stavi --rp= t dobija se 4

V= a' J

"12

cos• t dt = a' [2_ t +� sin 2 t +� sin 4t

,.,

,2

12 12 8 4 32 -n/2 -n/2

a3 3 'a3n --·-n �--· 12 8 32

1190. Traže;.a zapremina se projektuje u pravougaonik određen nejednakostima -l<x<2; -l <Y< l. Otuda je

1194.

2 l 4-y2 2 l 2 l

V=2 J dx J dy J dz= 2 J dx J (4-y2-y2-2) dy= 2 J ( 2y-� y3 ) ldx= -1 o y2+2 -1 o -1 o

2

= __!_ J dx = __!_ (2 + l)= 8. 3 3

- l

3 n c4 1191. -- · 8 a

1192. 4 (4-3 ln 3).

n/2 2 6-r2 2 2

n 1193. -·

2

V=4 J drp J rdr J dz= 4· � J r (6-r2-r) dr =2n (3 r2-r; _r: ) l = -323-n .

o o o o

19 . lS 1195. -n 1 -n. 96 1196. -n. s 1197. Stavljajući x = ra cos rp, y = rb sin rp, = = cz

6 2

dobija se 4

2 n l V t -r2 V=2 J J J dxdydz=2 abc J drp J rdr J

v o o o

8 dz =-na bc. s

GLAVA IV

4 1198. x=ra cos rp, y=rb sin rp, z = cz � z= ±V l-r•. Tako se dobija

1200.

2n l J/ l -r4 l 4 l 4 V=abc I drp J rdr J dz-2:nabc J V)-t2 dt =abc:n J v-(l_+_t_)_(l ___ t) dt =

o o o o - 1

l l

J 4j l + t (

1 + 1 ) J -=:nabc(2 'J-2- 1--2- dt=2abc u114 (l-u)1i4 du=2ab:n V2 -1 o

B (� �) . Kako je B (� �) =p

( �) 4 ' 4 4

'4 r (: ) to j e nakon izračunavanja r (:) i

( S ) / ;e abc ( l ) r 4 konačno V= V z 3

p 4 ·

96 10 :n 1201. V=---· 21 8

s 1199. - :nR3• 12 [S 1203. -abc (3-Vš). 12

2n n/2 2acos8 n/4 n/2

S33

1204. f J J J 8 a3 cos3 0 l6 :na'

J V = • drp sin O d(} r2 dr=2:n sin O 3 d0 =-3- cos3 0 sin 0d0=

1205.

O n/4 O O n/4

n/2

--- · - (sin4 8) l6:na3 l l

3 4 n/4

2 n 3 n/4 a V 1 -2 cos2 8 3 n/4

V= J drp J sin (} d(} J r2 dr =-2.:n_3"-' J O n/4 O n/4

n/2

+ 3� sin• u ) l -71/2

;n2 a'

( 1-2 cos2 O) V l-2cos2 (} sin O dO =

1206. Prelazeći na sfeme koordinate dobija se

3 3 n/2 n/2 Jl3 JI s�in_rp_c-os_rp_lil�. n�2 8�c-o�s 8

V=4 J drp J sin Od(} J r2 dr = o o

n/2 n/2

=4J sin rp cos rp drp J sin3 0 cos 0d0= � · o o

534

l 1207. -na3• 3 4

1208. -na'. 21

REZULTATI

4 3 1209. -='ta . 3

( 1 . 1213. ; 1---;--)a'.

3 3

n/Z ,. Ji �rc-os_rp_s-in-6

32 1210. -a3• 315

2 1214. -na'. 3

n/2 tc

1211. 8

1216. V= J dqJsin B d B J azbc J J abc r2 dr = -3-h-

cos cp d cp sin2 B d B=

-::n/2 o o

n a2bc an � - -- · 1217.

3 h 3

1220. 2n2 (1 -a2) abc. 1221.

a3 b3 c3 1218. 360

� ( 1_�) abc2 • 3 e h

-:n/2 o

nz 1219. - abc.

4

1222. abc• 60 /3

1223• abc (_!!__ + �) ( a1 + b') . 60 h k h2 k2

abc hk (a )4 1224.

60 ak+ bh h n abc hk ( a )4 1225. ---- - .

64 ak+ bk h

abc 1226. v �----np +mp + nm

r (�) r(�) r (;) r(�+�+�) m n p

2 2 y = b (r sin cp sin B) n ; z = c (r cos B)P .

abc abc 49

2

Staviti x-a (r cos cp sin B) m ;

4 n l a, b 1 e, , 1227. 1228. - . 1229. -a3• 1230. 3 .1 ' gde je Ll = a2 b2 c2 • 12 1680 864 a3 b3 c3

37 V= � (b3-a3)�� P(!) · 1231. 1232. 27

5 1233. V=- n a3• 6 ' P=� a2 (6 Vz + 5 {5-I).

6 1234. Saglasno uslovu zadatka biće:

3 1235. - a•.

2

2 ( 1 -y) V2 y

M= J J ydxdy J J J s V2 dz = (y-y1) dy dx=� · D 1 -y o -V2y

1236. Na osnovu odgovarajuće formule biće:

l l l

M= J dx J dy J (x+y + z) dz = � . o o o

1237. n R2 h (kh + 2)

2

kab 1241.

J(a2 + b2).

8 1238. - n.

5

k n R4 1242.

12

GLAVA IV

1239.

( l 2 2 ) 1243. 4ne0 - + - + - e-k. k k2 k3

535

1244. Očigledno je, na osnovu uslova zadatka i simetrije tela, da je x0 = Yo = O. Ako se uvedu cilindrične koordinate dobija se

n/2 (3 3 -r•

M = 4J drp J r dr J o o o

2/n VT 3'--1"2 J drp J r dr J z dz o o o Otuda je z0 =-------- = l.

9 n 3

9 n dz =-·

2

1246. Jednačina sfere i ravni koje određuju segment glase respektivno x2 + y2 + z2 = R2 i z = R-h, dok je gustina e = k (z-R + h. Nije teško zaključiti da je Xo =Yo = O. Da bismo odredili aplikatu težišta, izračunaćemo statički momenat lx11 i masu M segmenta. Tako imamo da je lx11 � J J J e z dx dy dz = k J J J (z-a) z dx dy dz, gde je a = R-h.

v v

Dalje će biti l xy = J J [ � (R2-r2)31H �3-; (R2-r2)] r dr drp, gde je d2 = R2-a2• r,;;;;,d

k n h3 Konačno je lx11 = -- (20 R2- 15 Rh + 3 h2). Masa segmenta je

60 '•

M =k J J J (z-a) dx dy dz = � J J (z-a)2 I dx dy= V D a � JJ (VR2-x2-y2-a)2 dx dy= � JJ (V R2-r2 -a2) r dr drp =

x2+y��d2 r�d

2/n d

= - drp [R2-r2-2a (R2-r2)1i• + a2] r dr drp = . k J J knh3 (4 R-h) 2 12

o o

. . lx11 20 R2-15 Rh + 3 h2 Prema tome bice z0 =- = Za specijalan slučaj h = 12 imamo m 5 (4 R-h)

2knR' l =-- · xy 15 '

k n R4 8 m = -4- ; z0 =

15R.

1247. (0, O, e). 1248. (� a· � b· � e) · 8 , 8 , 8

1250. (_

1_2_a_ , o, o) .

5 (3 n-4) 1252.

( 3 (2 + V2 ) O, O, 16 e ·

536 REZULTATI

1253. (;8 a; ;8 b; ;8 e) · 1254. Apscisa težišta homogenog cilindra jednaka je nuli pošto

je on simetričan u odnosu na ravan yOz. Ordinatu i aplikatu težišta nalazimo korišćenjem odgovarajućih formula. Tako imamo da je

� ( 1 -�) lzy = If J z dxdy dz = J J dxdy J

Y D O

nH2 (R2-a2) (3 R2-a2)

32 R2

H 2 z dz = -8

2 r2 sin 'P r3 sin2 'P ) --- + --- dr = R R2

Masa M usečenog cilindra, uz pretpostavku e = l, brojno je jednaka zamremini V toga n H(R2-r2) cilindra. Otuda tu masu možemo naći i elementarno: m = V = ----- ·

2 Na taj način biće

Moment inercije datog cilindra, u odnosu na njegovu osu biće

� ( 1 -�) 1, = J J J e (x2 + y2):dx dy dz = e J J (x2 + y2) dx dy J dz =

Y D O

k n h r4 1255. 14 k. 1256.

2 (2-V2 neRs. 1257.

m(a2 + h2)

s 2 3

n a4 h n as 4 n n2 a r2 1258. 1259. 1260. - abc (a2 + b2). 1261. -- (4a2 + 3 r2). 10 V2 715 2

GLAVA IV 537

nab h 1262. -- (b2 + 4 h2). 20

1263. F = z-a-b

3 dz . l x2 + Y2 + (z-a-b)' 1 --a/2 -a/2 o 2

1264. 2n (R + h-Vh2 + R2) 1265. 2 n.

( r>) 4 n R3 eo 1267. u = 2 ne0 R2-3 ako je r<R; u = J r

ako je r>R, gde je r = Vr+y2 + z2•

Rz qr 1268. u - n J J(e) min (-;:- · e) de gde je r = Vr + r + z2• R1

1269.

1270.

u = neo {(h-z) Va2 + (h-z)2 + z Va2 + z2-[(h-z) ih-z i + z iziJ + l h-z + Va2 + (h-z)2 1 } + a2 ln . z-Va2 + z2

Jl2 n a3 T . 1211. -

2- .

n> l 3 n

26 1272. 3

1273. 4 n a Va:

1274. •--- ln 2 +- . 1 1 6 2 4

1275. ln 7 + 3 VS . 3

1276. 24. 1277. l + V2. 1278. Prvi način. Ako se uvedu polarne koordinate x -r cos q:>, y = r sin tp �ds =

= Va2 sin2 tp + a2 cos2 tp d tp = ad tp jer je u polarnim koordinatama ds= Vr'2 + r2 d tp.

Tako se dobija :nf2 :n/2 J Vr +y2 ds= J r a drp = a2 J e -:n/2 -n/2

nj2 cos rp d q:> =a2 sin q:> / = 2 a2• -:n/2

7 a a Drugi način. Prelaskom na parametarski oblik x� - + - cos t, y = - sin t=::odx=

2 2 2

a a /a' a = -- sin t dt, dy = - cos t dt i ds = � dx2 + dy2 =

\ - fsin2 t + cos2 t dt = - dt .

2 2 4 2

Tako se dobija J V x2 + y2 ds= e

a !2" a a2 !2" = - - V(l + cos t)2 + sin2 t dt = - V2 + 2 cos t dt = 2 2 4 o o

:n 2:n = a2 [(sin �) l -(sin � ) l ] =a2 (1 + 1) = 2 a2•

o :n

538

19 1279. 3

256 1280. - a3•

15

REZULTATI

t6 V2 1283. ---r43 .

1285. Iz jednačine ravni je z= -(x + y) pa zamenom u jednačini sfere dobija se jednačina

Prema tome granice promenljive x određene su nejednakošću

Da bismo našli element luka ds smatraćemo u sistemu jednačina

x + y + z = O.

kao promenljivu x a y i z kao funkcije od x. Diferencirajući gornji sistem dobija se

x +yJi + zz = O,

l + Ji + z = O

odakle se dobija rešavajući ovaj sistem po y i z i uzimajući .X = l da je

z-x Ji = -- ,

y-z x-y

ž = -- . y-z

Tako se dobija da je

. . . (z-x)2 + (x- y)2 2 (x2 + y2 + z2)-2 (xy + xz + yz) 2 a2 + a2 z + y + z = 1 + -- ----- = - = ---

(y- 7 11 (y-z)2 (y-z)2 az

pošto je xy+ xz + yz = ---::;-. < ·o je lako J:�overiti kvadriranjem prve od jednačina sis-

tema i zatim oduzimanjem od druge. Dalje, ako se date jednačine napišu u obliku

pa se prva pomnoži sa dva a druga kvadrira i oduzme od prve dobija se

pa je otuda

odnosno

GLAVA IV

Tako se definitivno dobija da je

e o

Smenom x VJ = a Vf sin t biće J. 2 x2 ds = - a3 n 3 .

e

539

e

Zadatak se može rešiti i transformacijom koordinatnog sistema tako da dati krug padne u ravan w = O, pri čemu je novi sistem koordinate napr. tri u, v i w.

1286. 1 = 0; 1 = 4 [�2 Vf +� (a + a V2)-�2

1na] .

1287.

1291.

1294.

1297.

1300.

1303.

1304.

Ct Ct

Radi dokazivanja ortogonalnosti treba oduzeti date jednačine jednu od druge. Pri izračunavanju integrala koristiti parametarski oblik krivih stavljajući z = t.

1288. VJ: 4

5. 1289. 1290. l . 3

3 4 - a4 n. 1292. - + ln 5-4 arc t g 2 . 1293. o. 2 3

n lO 3 1295. 1296.

2 3 2

2 4 4 lo -- . 2o -- . 1298. - 1299. o.

3 3 s 3

1084. 1301. 24 n. 1302. - az. 2 12 J = 3 a4/1 • sin2 t cos2 t dt = 1

36

n a' P. e o

87 -(bc + ac + ah). 1305. a2 n. 1306. 1307. Rl. 4

1308. l o Koordinate tačke M su (0, - l , 3) a koordinate tačke P su (l , -3, 5). r Krivo linijski 74

i ntegral uzet duž odsečka MP ima vrednast - . 3

1309. Ako se pređe na sferne koordinate x= r cos 'P cos 8, y = r sin 'P cos 8, z = r sin 8 pri čemu se ugao 8 računa od ravni z = O, dobija se obzirom na jednačinu krive r = a i ,z (cosz q; cos z 8 + sin z q; sin z 8 = ar cos q; cos 8�r2 cos2 8 = ar cos q; cos 8�r cos 8 = a cos q; ili cos 8 = cos q; pošto je r = a. Otuda je u ovom slučaju

x = a cos2 8, Y = ±a sin O cos 8, z = a sin O.

540 REZULTATI

Prema tome sada možemo pisati

n/2

§ J [a2 sin2 (} cos2 (} ( -2 a cos O sin O) + a2 sin2 (} (a cos2 0-a sin2 (} + e O

o

+ a2 cos• O ·acos O] d 0 + J [a2 sin2 0 cos2 0 (-2 a cos 0 sin 0) + a2 sin2 0 (a sin2 0-:n/2

n/2

-a cos2 11}+ a2 cos• (} .a cos O] d 0 = 2 a3 J sin2 (} cos2 (}dO= o

11/2 J o

a3 n (l-cos 2 O)cos 2 O d 0 = --- .

4

1310. Prelazeći na parametarski oblik x = r cos t, y = r sin t, z = r cos2 t dobija se da je

2n

§ J (_,z sin2 t + rz cos3 t-2 r2 cosz t sin t) dt = -r2 n . e O

1311. Prelazeći na parametarski oblik x = a (l + cos t), y = a sin t, z = V2 a (R-a> ·V1 + cos t,

za 0<t< 2 n odakle je

dobija se da je

l -sin t dz = - V2 a (R-a) dt

2 V1 + cos t

§ = 2 az R n . e

1312. x = a cos t, y = a sin t, z = h (l-cos t), dx= -a sin t dt, dy =a cos t dt, dz = h sin t dt

§ = -2 a (a + h) n e

1313. 2 n V3. xz

1314. u (x, y) = - + xell-yZ + c. 2 o

y

1315. u � !x x + ay ---dx +

x2 +y2 - + e = - ln (x2 + y2) + a arc tg - + e. J dy l X y 2 y

1316.

1318.

1320.

l

u (x, y) = x2 cos y + y2 cos x + e.

u (x, y) = ex2Y + exY2 + x-Y2 + e.

on + m ( x ) arc tg - + e.

o x" oym y

1317.

1319.

1321.

ell-1 u (x, y) = --+ y + e .

l + x2

on + m u z=

o xn oym + e.

x-y a = b =- 1 , u =--- + e.

x, + yz

GLAVA IV 541 X y Z

1322. u= J (xl-2 yz) dx+ J (y2-2 · 0 · z) dy+ J<z-2 · 0 · 0) dz, =;>U= � (x3 + y3 +zl)-2 xyz+ e.

1323.

1325.

o o o

x xy U=X--+-+C. y z x-3 y z2 u---+-+c. z 2

1324. u (x, y, z) = x ln y+x2 yz-z2 + c. 1326. u = eYiz (x+ l)+ eliZ-e - •.

1327. la a) Jednačina prave kroz tačke A (l , l) i B(2, 2) je y=x. Otuda je dy�dx I, � J (ax-y) (a + l) dx+ (x+ay) (a-l) dy = xy

AB

2 f (ax-x) (a + l )+ (x+ ax) (a-l) -'----------'---dx= 2 (a2-1) ln 2 x2 i I1 = 2 (a2- l) ln 2.

b) I2 = L (ax-y) (a+ l) dx+ (x+ay) (a- l) dy xy A B

=J (ax-y) (a+ 1)dx+(x+ay) (a- 1 )dy + xy AC

+ J (ax-y) (a+ l) dx+(x+ay) (a- 1) dy , " I2+ I2 xy en

Međutim po pravoj AC, x= 1 , dx= O; po pravoj CB, y = 1 , dy= O pa je

2 2 , ! (l + ay) (a-l) dy ! l + ay I2= y (a- 1) -y-dy= (a-l) [ln 2 + a] 2 " J (ax-l) (a+ l) I2 = x dx= (a+ l) [a-ln 2].

l

h= 2(a2-ln 2) 2° Vrednosti ova dva integrala su jedmka za a� O, što se vidi izra:;unavanjem I1 i I2

li = h=;,2 (a2- l) ln 2 = 2 (a2-ln 2) a2 ln 2-ln 2 =a2-ln 2, a2 ln 2=a2 samo za a= O.

(ax-y) (a + l) P� • xy (x+ay) (a-1) Q= . xy

542 REZULTATI

Vrednost integrala u prvom kvadrantu zavisiće samo od početne i krajnje tačke ako je

iJP iJ Q iJ y ox

oP iJy

a (a + l) y2

a (a + l) y•

iJ () (-a) (a-1) ox x2

a (a- l) ---=>a=O.

x•

Dakle vrednost integrala neće zavisiti od puta integracije ako je a= O.

:n: 1328. l . 1329. l . 1330. -2. 1331.

2 a+b

1332. e11 cos b-l. 1333. J rp (u) du. o

x. Y2 1334. J f(x) dx + J rp (y) dy

x, Yt

lO 1339. 3 1340. o. 1344. J J (x2 + y2) dx dy . D

1335. b-a.

1341. 9 2

1342. (b-a).

1345. J J (y-x) e"'ll dx dy. D

1346. JJ _Y_ dx. l + x2 D

2 4-x 2 4

2 4

1347. § = 2 J dx J (x-y) dx dy= -4 J (x-2)2 dx= -3 (x-2)3 1 = -3

• e

1348. :n: a•

2

X

1349. -2 :n: a b. :n: a3

1350 . 1° O; 2° - . 8

1351. o. 1352. l o O, ako je koordinatni početak van konture integracije; 2° 2 :n: ako kontura e obu

hvata koordinatni početak.

1353. 8

Dopuniti putanju integracije AO pravolinijskim odsečkom OA.

1358. Izvršiti rotaciju koordinatnog sistema tako da x osa u novom koordinatnnm sistemu -

bude paralelna pravcu l.

1359. u = 2 :n:. ako je tačka A (x, y) unutar konture e; u = :n:, ako je tačka A (�. y) na konturi e; u = O, ako je tačka A (x, y) van konture e.

1363. Izdvojiti tačku (x, y) iz oblasti D zajedno sa beskonačno malom kružnom okolinom te tačke i primeniti drugu Greenovu formulu na ostatak oblasti D.

GLAVA IV 543

1366. Kako je

dx- -a sin t dt, dy-b sin t dt-=;,P= 21 J: l dxx Y l =� J: l a cos t b sin t l

J dy 2 J -a sin t dt b cos t dt

1367. Kako je

e e 2n � � J ab dt = � ab J dt=n ab.

e O

l x Y ' ' a (t-sin t) a (l -:cos t) / = a2 (t sin t + 2 cos t-2) dt to je dx dy a (l-cos t) dt a sm t dt

1 J: a2 Jo P = 2 J a2 (t sin l+ 2 cos t-2) dt=l • (t sin t + 2 cos t-2) dt= 3 n a2.

1368.

e 2 n

Integral dnž x ose jednak je nuli.

= 3 a2 sm2 t cos2 t dt -=;, P= -a2 Y I . 3

dy 2 2n .J sin2 t cos2 t dt =

o

1369. Podintegralni izraz po luku epicikloide je xdy-ydx=a2 m(1 +m) (1 + 2 m) (l-cos t)dt a odgovarajućeg kruga x=a cosmt, y = a sin mt je xdy-y dx=a2 mt. Nakon integracije konačno se do bija P= n a2 m2 (2 m+ 3).

1370. 2 a2• Staviti y = x tg t ; x=a V2cos t VcOs 2 t, y = aV2sin t Vcos 2 t.

3 3 at 3 at2 1371. -a2• Staviti Y = tx; X=--, y=-- · 2 l + tl l + tl

1372.

1376.

6 n a2. 8

J n.

ab a

a2 1373. 1374. 6 n a2.

6

l 4 n 1377. -+--

3 9 V3 ' 1378.

l -30 r2 (�)

1380. 2 a ( 2 ) S . . x � . Y . � taviti -;;= cos a tp J b= sm tp. F2 -a

1381. 8. 1382. 3 n R2

l 1375. 210 a2

1379. -B(2 {3 + 1, 2 a + l). 2

1384. P =

8/9p 8/9p -- 8f9p J v- J / P2 J v-- 98 y l +y' 2 dx= •

y \l l + y2 dx= 2 px+p2 dx= 81 p2 • o o o

544 REZULTATI

n/2 n/2

1385. P = Jz ds = 4 a J Va2-a2 cos2 tp d<p = 4 a2 J sin tp dtp = 4 a2. e O O

n/2

1386. p = 4 r zds = � J xy Vdx2 + dy2 = R2 J sin 2 t dt = R2. � e O

1387. P = J <x413 +y4!3) ds=4 a1/3, Staviti x = a sin3 t, y = a cos3 t. e

1388. 1° P = 2 (4 + n); 2° O.

1389. Na osnovu odgovarajuće formule biće

2k

2

m = x2 V t +4x2 dx=---- In (2 V2+ 3). l 17 V2 l

32 64

1390. - (126- to Vs). 9

19 1391. 3 ' 1392. k - (koeficijent proporcionalnosti)

( ) arc sin � . / a2 + b2 1393. 2 b b + a --�- gde Je � = \J-a-· 1394 . .!:. l(3 V3 -1) + 2_ ln 3_:!:2 VJ] 8 2 3

1395. Očigledno je x0- O. Ordinata težišta dobija se po formuli y0 � _e __ _

J ds

J ds = n R, to je prelazeći na parametarski oblik e

l =-1 j" 0 nR o

2 R R sin t R dt =- .

n

Na osnovu odgovarajuće formule biće dalje

e

I,- l y' đs - J R' '"'' t dt -•:' . 1396. U sled simetrije očigledno je x0 =n a. Dalje je

l /2n t a r2n . t . 4 y0 =- a (l-cos t )2 a sin - dt = - 2 sm2 - sm dt = - a.

B a 2 4 2 3 o Dužina luka jednog svoda cikloide je 8 a.

. . a sin tp 1397. Na simetrali ugla na rastojanju --- od centra.

tp

4 1398. - a. 3

Kako je

GLAVA N

X 1399. y =a ch- između tačaka A (0, a) i B (b, h). a 1401•

(a sin m , a 1 -cos m , hm ) • m m 2 1403. l = l = (az + hz ) Y4 :nz az + hz ·

"' ll 2 3 , 1404. mg (c1-Cz) 1405. 8 az. 1406. Y=kmM azyz ·

2 km M 1407. Komponentne sile su X=O, Y= --n az 1408. A = k (2.-2.) gde je r1 = V x/ + y1z + z1z; i= 1, 2, . . . rl rz

545

1409. o. 4 17 3

1411. l0 - 2° - 3° - i 1 . 3 , 12 , 2 2 Im 1412. d 1413. 8 miVZ

1415.

1416.

2 nmal bZ

2 n ml p

gde su a i b poluose elipse.

2 n m! R2 1417. (hz + Rz)3j2 Za k = h Vf.

1 1 1418. U = 2 np R !n- , ako je r = Vxz +yz.;;R; u = 2 n p R 1n- , ako je r>R. R r

:7l :7l 1419. 11 = - rn cos n q;, 12 = -- rm sin n q;, ako je O<;r<;1 ;

n n

:7l 11 =- e- n cos n qJ,

n

1 y14 1420. I z z= - (6-x-2 y)""'dS=--3 3

:7l Iz =- r- n sin q;, ako je r > 1. n

dx dy. Otuda se dobija da je

3 6-2y 3 JI (6 x+ 4 y + 3 z)dS= V: I dy J (5 x + 2 y + 6) dx = 2 Vi4 [V-s o o o

- 1 o y+ 21) dy= 54V14 . X 1422. Iz x2+y2 + zz = az""'p = -z

y q = -- . z

a

Tako se dobija da je J J (xz + yz) dS= 2 J J (xz + yz) Vz2 +xz +yz l , dxdy= Z I

S D

35 Zbirka zadataka iz više matematike ll

z " a

dq; r rdr =-3 n a•. J, J 2 8 Y1-r2 o o

546 REZULTATI

iJx iJ x y 1423. Iz x2 + y2 = R2 => -=O, -= --iJz iJy x

1424.

1425.

dS= l +-- dx dy, odnosno dS = R ---� y2 dz dy R2-y2 VR2-y2

Tako se dobija da je R m

JJ dS ff l R dy dz r dy J x2 + y2 + z2 = ' R2 + z2 . VR2-y2 = R , VR2 -y2 S D O O

J J = J J + J J gde je J J = a J J s s2 D

z dx dz Va2-xz '

dz n m --=-arc tg -. R2 + z2 2 R

i J J = a J J (2 + Va2�x2 ) dx dz dx dz pošto je dS= a--Va2-x2 s2 D

Tako se dalje dobija h a

J J = JJ + J J = 2 a J dz J (l + Va2�z,) dx= s S 1 S2 o -a

h = 2 a J (2 a + n z) dz = ah (4 a + n h) .

o

2 l

JJ JJ Vt +y2 = -2 + z2 dy dz = J V1 + Y2 dy f ___!:___= , z2 + 2 S D -2 o

1 Vf l v- v-= - arc tg - · - [ Y l + y2 + 1n (y + l + y2)] vT 2 2

Vs V2 Vs + 2 =-- arc tg - . Jn -- . 2 V2 2 Vs-2

2

l = -2

243 1426. -n. 2 1427. 4 a4 n

3 dx dy

1428. Kako je dS = �=�===:;;::: Vl-(x2 + y2) to je J J s dS

(l + z)2

JJ dx dy = -(-_-l-+-:-V-;:l=-=x:::;2=_=y:;::2 -:V--;:l=-=x=2=_=y�2=-D o o

l r dr Vl + Vl-r2 . Vl -r2·

GLAVA IV

Ako se stavi l-r2 = t2 dobija se konačno

Ako se stavi

1430. n Rl,

l

JJ = 2 n J____!!!__ = 2 n(-_!_+ l) =n. (l + t)2 2

1431.

s o

2" a

J J r dr = a d 'P -=-:V-;:=l=+=Va=2=_=r2 . j/ a2- rZ . o o

Vl+ a

a

= 2 a n f dt = • V1 + t o

= 2 a n J du =4a n <Vl + a-l ). 2 n R6

15 H

1432. 2 n arc tg- . R 1433. n [R V R2 + 1 + ln CR + V R2 + 1)]. 1434. 4 n abc (_!_ + _!_ + _!_) . 3 a2 b2 c2

547

1435. Znajući da je jednačina tangentne ravni elipsoida xX y Y z Z -+-+-= 1 nije teško po-a b e kazati da se traženi integral svodi na integral

I= cff [x2 + y2 +_!_ (1 _x2 _Y2)] 2 dx dy D 1 -�-�

a4 b4 c2 a2 b2 � 2 2

a2 b2 = e J J (nx2 +my2 +p)2 dxdy ' � x2 y2 D l----az b2

l 1 1 l . l gde je n =----, m=---- 1 p=- . a4 a2 c2 b4 c2 b2 c2 Nakon prelaska na generali sane polarne koordinate x = r a cos tp, y = r b sin tp biće I= I, + I2 + I3 gde je: I1 = e ab J J [n2 a• cos• tp+ m2 b4 sin• tp+ 2 nm a2 b2 sin2 tp cos2 tp) Vl-rz ' D

35*

548 REZULTATI

2 n 2 n 2 n

No kako je J cos4 rp d rp� : r (l + cos 2 rp)2 drp= : J (1 + 2cos2 2 rp+ cos2 2rp)drp� l) � o

2n 2n

= : J [1 + 2cos 2rp+ � (l + eos 4 rp)] drp= : [rp+ sin 2 rp + � (rp+ : sin 4 rp)] l = o o

2n J sin2 rp cos2 rp d rp= o

2n 2n 2n

r l J 3 n l ( l ) 1 J n = (sin2 rp-sin4 rp)drp�- (l-cos 2rp)drp--=- rp-- sin 2 rp ---� 2 4 2 2 4 o o

l J Vl:r2 dr � 185 ; to je

o

11 � c ab -n2 a4 +-m2b4+ :n -= -a• ---- + (3 n 3 n nm a2 b2 ) 8 4 e ab :n [ 3 ( l l )2 4 4 2 1 5 15 2 a4 a2 c2

+-b ---- +a b ---- ---- 1h 3 4 ( l l )2 2 2 ( l l ) ( l l )] . . 2 b4 b2 c2 a4 a2 c2 b4 c2 b2 4 e ab :n [ 3 ( l l )2 3 ( l l )2 ( l l ) ( l l )] 11 � 1 5 2 a2 -� +Z b2 --;;z + a2 -c2 b2 -c2 •

2 n

JJ dx dy 12 -2 pcab (nx2 + my2) -;:==:::;;:=� � x2 y2 D l---a2 b2 2 pc J (na2 cos2 rp+

o

l

+ mb2 sin2 rp) --=2pc:nab a2 ---- + b2 ---- -� J r1 dr [ ( l l ) ( l l )J 2 Vl-r2 a4 a2 c2 b4 b2 c2 3 o

= � .:!__ ab [(2.._2..) + (2.._2..)] ili /2 = � :n ab [(2..-2..) + (2.._2..)] 3 e a2 c2 b2 c2 3 e a2 c2 b2 c2

2n l l

13 �p2cabJJ _r d_r_d_rp �.!_ ab r drp J r dr � 2_:n_;_b J 'r dr , o:::>l3 = -2:n_:_b _ Vl-r2 cl e Vl-r2 e V l-r2 e

D O O O

GLAVA IV

Sabiranjem prethodnih integrala dobija se definitivno u sažetoj formi

JJ 4 [ ( l l l ) ( l l l )] = - abc n 3 -+-+- + 2 --+--+-- .

15 a4 b4 e4 a2 b2 a2 e2 b2 e2 s

1436. 2 n R [ 1 + 1 J. n =l-2. e (n-2) _(e -R)n- 2 (e + R)n- 2

2 n [ R (a2 + b2 + e2)-d2 ]3/2 1438.

3 a2 + b2 + e2

549

64 v- 2 n (1 + 6 V3) 1439. - a4 2. 1442. 1443. n2 R3• Koristiti sfeme koordinate) 1 5 1 5

8 1444. - n R4.

3

2 a 1447. , O,

3 (n-2) 8

1449. - n a4• 3

1445. ( a + h) O, 0,-2- . 1446.

n a l v----- 1448. -- n a3 a2 + h2• 4 (n-a) 2

1450. 4 v-- n (l + 6 3) a4• 1 5

( a a a ) 2 ' 2 ' 2 .

1451. Potrebno je izračunati tri integrala. Tako imamo da je l o

1 /1 = J J z dxdy= J J (l +y-x) dx dy= J dx J (l +y-x) dy= -6 ;

S D O x - 1

l 1 -x l [2 = J J x dx dz = - J J x dx dz = - J x dx J dz = -6

S D O O

jer normala površi zaklapa tup ugao sa ravni xOz; o l +y

l [3 = J J y dy dz = J J y dy dz = J y dy J dz= -6. S D - 1 O

Radi toga je konačno

JJ =l +l + l = -�-�-�= -� . 1 2 3 6 6 6 2 s

1452. J J:xy zdxdy= J Jixyz dxdy- J J xyz dxdy= 2 J J xyzdxdy, s s, s s,

550 REZULTATI

jer je u osmom oktantu z<O. Otuda je dalje

J J xyz dx dy = 2 J J xy V 1 -(x2 + y2) dx dy = S D

:nf2 l 2

= 2 J sin q; cos q;dq; J r3 VI-r2 dr = - . o o 15

4 4 1453. J J Vx2 +Y2 dx dy= - J J Vx2 + y2 dx dy=

S D

2 n a a

r r 4 _ r>f2 1 4

•

d rp . V r2 r dr = - 2 n S = -S n a'/2 • o o z- o

1455. (- � ) . 3 n a• 1456.

8

1457. Dati integral predstavlja zbir tri integrala. Prvi od njih je

1458.

2:n a

J J x dy dz= 2 J J Va2-z2-y2 dydz = 2 J d rp J Va2-r2 rdr= S D O O

a a

= -2 n J (a2-r2)1f2 d(a2-r2) = -4 n (a2- r2)3121

o o 3

Usled simetrije, i ostala dva integrala imaju istu vrednost pa je konačno J J = 4 n a3• s

a• 1459. o.

8 4 n

1460. -- (a2 b2 + a 2 c2 + b2 c2). abc 1461. R2 h (2 3R

+ n8h )

•

1462. 2 J J (x-y) dx dy + (y-z) dy dz + (z-x) dxdz. s

1463. Prvi način f = J + J + J gde je e c1 c2 c3

l l l

J = -8 J 2 Vl - x2 V(l -x2Y dx+ 8 J 2 x2 (l-x2)dx = - 16 J [(l -x2)2-(x2-x4)) dx = Ct 0 0 0

GLAVA IV

Kako je J + J = O to je konačno f e

32 5

Drugi način. Ako se koristi Stocsesova formula biće

cos a cos {3 �s y \ f =JJ o o oy ox o z

e s 8 y V(l-x2-z2)3 xyl sin z

551

dS=

=J J -cos{3 (-8 y . Jz Vt-x2 -z2) dS= 24 J J yz V1-x2-y2dxdz = 48 J J z (l -r-s D D

11/2 l 11/2 l -y2) dxdz =48 J sin rp drp· J r2 (l -r2)dr =-48cos rp) l ( �3- �s) l

o o o o

1464. (a:• ) .

1465. Prilikom direktnog izračunavanja primetiti da se jednačina

x• +y• =_:_+� može napisati u obliku � (x-.!!_)2 +� (y-!!__)' = 1. � � a b � 2 � 2

Tako se dobija da je

Primenom Stocsesove formule dobija se

l= J J D

2" l/V2 ab

J J ah n (2 x- 1) dx dy=z(a - 1) drp rdr = -2- (a- 1) .

o o

552

1466.

REZULTATI

cos a cos {3 cos r

§ = JJ o d d dS= ox dy o z

(S y z X

= J J [cos a (-1)-cos {3 ( + 1) +cos y (- 1)] dS= -J J (cos a + cos fJ + cos y) dS= w w

a

n/2 V 2+sin' rp

= -J J (�+ V�+ ;3) V3dxdy= -3 J J dx dy= - 6 J d rp J r dr -D D -n/2 O

a

n/2 V2+sin2 rp nf2 nl2 = -3 d lp (r2) = -3 --- d lp = 3 a2 J l J a2 J. drp

2 sin 2 rp 2 + sin 2 lp -n/2 O -n/2 -n/2 ·

oo du - -3a' J oo

1 + u2 3 J du = -- az u 2 u2 + u + 1 2 + 2-- - oo - oo 1 + u2

oo oo oo 3

== --a2 2 J dt l + 12

oo

= -V3a2 (arc tg t) / = -V3a2 (� + �) = -a2 n VJ. 1467. § (y-z) dx+ (z-x) dy + (x-y) dz =

= J J (S)

2 a

cos a cos /J cos y d d d dS= -2 J J (cos a +cos {3 + cos y) dS= OX dy i) z

s y-z Z-X x-y

J J (h + a) dx dy= -2an (a+ h). x2+y2�a2

GLAVA IV

1468. - 14. 1469. 2 n ab2•

1470. § (z cos {3-y cos y) dx+ (x cos y-z cos a) dy + (y cos a-x cos {3) dz =

1471.

e

JJ (S)

cos a o

ox

cos {J o oy

z cos {3-y cos y x cos y-z cos a = 2 J J (cos2 a + cos2 {3 + cos2 y) dS= 2 S.

s

2 J J J (x + y +z) dx dy d z. v

cos y o

OX . '

y cos a-x cos {3 l

1472. Prvi način. Dati integral razbijamo na tri integrala: l) gde je

2) gde je

gde je

12 = 13 = 14 = I, = O a J, = J J y2 (x2 + y2) dx dy = D

n l n =4 ·6= 24 ;

I, = -J Jvz-rz dy dz = -1: . 12 = J J z V1 -y2 dydz =i- i

D D

/3 = 14 = 1, = 0 ; 3) if:P x2y dx dz = l1 + 12 + 13 + 14 + 1,

/1 = - JJx2 Vz-x2 dxdz= :S • 12= JJ x2V1 -x2dx dz =1: i 13 = 14 = 1, = 0.

D D

Konačno nakon sabiranja dobijenih vrednosti dobija se definitivno rJP = ; . Drugi način. U našem slučaju je P = xz; Q = x2y;

pa je oP oQ oR R = y2 zo::;, -=z,-=x2 i - = y2, ox oy oz

ifj) = J J J (z + x2 + y2) dx dy dz = J J dx dy S V D

x2+y2 J (z + r + r) dz � o x2+y2

=J J dx dy[ � z2 + z (x2 + r)] j = � J J (x2 + y2)2 dx dy = D 0 D

3 n l n r' dr = - ·-·- = - . 2 2 6 8

SS3

554 REZULTATI

-1473. Treba rotirati koordinatni sistem tako da se x osa poklopi sa pravcem /. Tako se dobija

J J cos (-;, t) dS= J J cos a dS, = s s,

= J J (cos a + O · cos ,8 + 0 · cosy) dS1 = J J J O· dx - dy .dz = O. s, v

12 1475. -nR5• 5

1476. o. 1477. 6 a n2 b2• (3 1'l 14

) 1478. -+- . 32 1 5

1479. P= -2 x2y, Q =-3 xz2, R= 4 xyz.

N a osnovu formule Ostrogradskog-Grina biće:

J J = J J J (-4 xy + 0 + 4 xy) dx dy dz= 0. (S) V

što je u skladu sa tvrđenjem u zadatku. Da bismo sada dati površinski integral sveli na krivolinijski koristićemo Stocsesovu formulu

--- dy dz+ --- dz dx+ --- dx dy= Pdx + Q dy + R dz JJ (oR oQ) (oP oR

) (oQ oP

) J O y O Z O Z O X O X Oy s w

oR oQ Tako imamo sledeće jednačine ---= -2 x2 y

oy oz

oQ o P ---=4xyz, ox oy

oP oR ---= -3 xz2• oz OX

Ako se uzme specijalan slučaj R =O onda gornje jednačine imaju oblik

oQ -= 2 x2 y, o z

oP -= -3 xz2 o z '

oQ oP ---=4xyz. ox oy

Iz prve dve od zadnjih jednačina dobijamo posle integracije Q = 2 x2 yz + q> (x, y), P= -xz +1p (x, y).

Ako se iskoristi treća jednačina biće

odnosno

oQ ' -=4 xyz + q> O X X

oP , - =1p oy y

Ako se uzme najjednostavniji slučaj q> = 1p = O onda krivo linijski integral ima oblik

J J = J (-xz3) dx + 2 x2 yz dy = J + J oo � �

J

GLAVA IV

-R

J = J (x• dx + 2 x'VR2- x2· x dx ) = � R v�-�

-R

= 3 J x4dx= ! x' R

-R

l R

3 3 6 = --R'--R' = -- - R' 5 5 5

R R R

J(x' dx + 2 x' VR2-� · x dx = 3 J x'dx=2.x' . =� x', => J =0 VR2-� 5 l 5

-R -R -R e

555

što je 1 Jasno jer je podintegralni izraz totalni diferencijal a putanja integracije zatvorena kriva. 1480. Radeći kao u prethodnom zadatku dobija se:

x' + 3x 2 xtp + (l +x2) tp' + 2 xtp-3 = O =>tp (x) =--; l +x2

ZO l= -3 n; 3o ff = f 2 x2 yz (x2 + 3) dx xz (x2 + 3) dy. (l + x2)2 l + x2

S e

1481. Ako se data površ zatvori ravni z= h i primeni formula Ostrogradskog biće: J J (x2 cos a + y2 cos {J + z2 cos y) dS+ J J h2 dx dy = (S} x2 + y2";;h2 =J J J (2 x + 2 y + 2 z) dx dy dz = 2 J J [<x +y) z+

V D

h z" h

+ z;] l dx dy = 2 Idtp J [hr2 (cos tp + sin tp) + h; r-r' (cos tp + sintp)-r� ] dr = h�n · Vx2+y2 O O

ili konačno rf= h4 n -h• n = _ h4 n .

• 2 2 s

o u ou ou ou JJ ou 1483. 1° -=-cosa +-cos{J+- cos y :::> - dS= on ox oy az on s

J !.J (02 u 02 u 02 u) JJI = -+-+- dxdy dz= !:l.u dxdydz. ox2 oy2 oz2 v v

J�J u 0 u dS= JJJ [!___ (u ou) + !___ (u ou) + !___ (u ou)] dx dy dz = o n ox ox oy oy o z oz (S} v

=J I J [ (::r + (!;)\(::n dx dy dz + J J J u ll. u dx dy dz . v v

556 REZULTATI

1485. Razmotrimo dva slučaja: 1° Kada površina S ne obuhvata tačku (x, y, z); ZO kada površina S obuhvata tačku (x, y, z).

JJ u,. cos a + uy cos {3 + u, cos y 1° I (x, y, z)= dS= rl

(S)

r-3 uy r� r-3 u, r: ) + --- + d!; d'Yj dt, =

r• r• !ff v

3 r-2_ r2 --

,.-r- dl; d'fJ dt, = O.

2° Neka je e poluprečnik sfere S, čiji je centar u tački (x, y, z) i takve da je cela u oblasti V. Oblast VfV1, gde je V,: (!;-x)2 + ('YJ-Y)2 + (l:,-z)2<e2 presecimo ravni n i označimo jednu stranu te ravni sa n+ a drugu sa n - . Tada je na osnovu formule

Ostro gradskog J J + J J + J J + J J = O. No kako je J J + J J = O to je J J = - J J s s,- ,.+ ,.- ,.+ ,.- s s,-odnosno

Uopštiti zadatak.

l l 1486. Ako se stavi x-y+ z = u, y-z+x= v i z-x+Y= W=:>x= - (u+ v), y=-(v + w),

2 2 l

z= Z (u + w) biće l u l + l v l + l w l = l .

Pa kako je s jedne strane J J = 3 J J J dxdy dz s v

a s druge strane

2 4 l V' = 2 · - = - i dx dy dz=- O 3 5 8

o

o l du dv dw=-du dvdu to je 4

JJ = 3 J J J dx dy dz= 3 j J J : du dvdw= : V' = l, S V V'

Definitivno je J J = L s

1488. Razmotrimo oblast V, ograničenu dvema sferama s+ i S po lup rečnika R i e (!?< R) sa centrom u tački M (x1 , y1 , z1). Primenom na tu obTii.st Greenove formule, uzimajući da je u gore data funkcija, a da je funkcija v zadata na sledeći način

1 V =-r V<x-x1)2 + (y-y1)2 + (z- z1)2

GLAVA IV

Neposrednim diferenciranjem i zamenom možemo se lako uveriti da je Otuda je

ili JJ s + s

02 V 02 V tP v - + - +-= 0. oxz oyz o zz

o_!_ ( l o u r ) ---u- dS= O, ' r o n on l

J J [_!_ o u_/ e) ] dS+ J J [_!_ ou -u o (: ) ] dS-O. s r o n on - r on on - s

557

Pošto je veličina � konstantna na površinama S i S (_!_ i -�) to može biti izdvojena r - R e pred znak integrala. No kako je 1 J[ o u - -dS=O R . on

s

što je lako dokazati, to je

. a (+) a C) 1 gde Je--=--=-- · o n o r r2

l Jj' o u - -dS=O , e o n

s

Otuda je J J u �s- J J u :2 dS= 0 . ili s s

;2 J J u dS= �2 J J u dS s s

(l)

Primenom na integral, koji stoji na desnoj strani teoreme o srednjoj vrednosti biće: (2)

gde je tačka u (a, {3, y) tačka na površini sfere poluprečnika e sa centrom u tački

558

Ako e-->-0 tada

REZULTATI

l {J 4 :n:e2 - dS = -- = 4 :n:. e2 •

e2 s

Otuda kad e-->-0 dobijamo

e� J J u dS->-u (x1 , y1 , z1) 4 :n.

s Dalje, pošto leva strana jednačine (l) ne zavisi od e onda kad e-->-0 konačno dobijamo

ili

Glava V

1489. l o Iz ;(t) = l ;(t) l � sledi da je hodo graf pol uprava iz koordinatn::>g početka il i deo te - -poluprave; 2° Iz a (t) =aa0 (t) sledi da je hodograf kriva na sferi po!uprečnika a

1490. l o Eli psa; r hiperbola.

1491. Množenjem jednačine skalarno sa vektorom -; x b dobijamo ;:: (;x /}j=; (;x b). Ova jednačina je jednačina ravni.

x- 1 y z . d7 7 __,. d'-; __,. __,. 1492. Putanja je prava: --=-=- ; brzma - = -8tJ + 6 tk ubrzanje: - = -8 j + 6 k.

o -4 3 dt dt' 1493. Traktorija je kriva x=2 cos t, y = 2 sin t, z= 2 t koja se zove zavojnica. -;= -2 s"n t

f+ 2 cos t f+ 3k; ;= -cos tl-2 sin ij. � l = Vl3, 1;1 = 4. 4194· -;=�-grk. - - -

1496. r = a1ek1 t + a, ekzt gde su k1 i k2 koreni jednačine k' + a k + ;. =0. 1497. Va' w' v02-2awv0 sin w t. 1512. Uputstvo: Posmatrati skalarnu funkciju/(!) = ;(t) ·h i pri-

meniti Rollovu teoremu. 1513 Ekviskalarne površi su date jednačinom -;.--;= e što znači da j e to familija ravni normalnih na vektoru ;

__,. du 1521 . grad u (r0)= (6,-6,-2); -=2.

d; 1522. cos a + cos {J + cos y; 1 grad u l = Vf.

1523. - - -u(r0) kada je a = b = e. 1534. (a·e).

- -__,. dr __,. d r --+

1527. Kako je brzina v = - gde je r vektor položaja tačke a t vreme, dobijamo -=Vo· dt dt - J- __,. -Integracijom ove jednačine dobijamo r = v0 dt = t v0 + e.

1540. l o Pošto je u pitanju proizvod dve skalame funkcije operator 17 ima deferencijalni karakter, tj. dolazi do izražaja samo njegovo diferencijalna svojstvo. Otuda će biti J7 (/rp) =rp L1 !+l L1 rp = rp grad /+ l grad rp;

2° v <i ;J= v<i;;) + v <Ta'"= a vl+ f<v� ; 3 o v x (/;) =/(v x-;)-7 lX ( v/ ).

560 REZULTATI

__,.

1542. l o v (r) =grad r = � ; 2° V 7 = 3; r

__,. ,__,.

__,.

r

3° v (+) = -� = - � ; __,. 3 r3-3 r2 · -r 4o V ( �) = ,6 r =O.

r __,. __,. 3r-- ·r

1543. l o v (-;:;) = v e) = r2

r

__,.

2 r

1544. lo v x7= 0; zo v xC) =+ v x7-7x v (+) = o .

__,. r 2

1545. 1° v r= v <v r)-v (grad r) = v - = - . 2° r r

................ ..:,. -t- .......,...:,. 1546. v ( u v ) = v (u v ) + v ( u v ). Da bi transformisali desnu stranu ove jednakosti kori-

stićemo poznati identitet iz vektorske algebre: -;x (bx 1J=b(-;--;j_-;(-;b)-o:;,b(a7) = =;x (bx7) + (-;b)7. Ako se uzme da je -;=;, h= v i C = V dobija se da je

........ .....+ ........ --+ --+ --+ .....:. -t- --+ --+ --+ --+ V (U V) = U + (v x v) + ( U V) V i V (U V) = v x (v x u) x (v v) u . Tako se dobija

---+ -+ ---+ -+ ._.. ---+ ---+ -t- --+---+ --+ --+ --+ v (u x v) = u x <v x v) + v x <v x u) + (u V) v+ ( v V) u, tj. grad (u v) = u x rot v+ v x rot u +

--+ -+ ---+ --+ + (u V) v + (v V) u . . . ..... -t- ---+ ---+ --+ --+ ---+ --+ ---... --+ --+ --+ ---+

1547. V (u x v) = v ( u x v) x v (u x v) = v (u x v)- v (v x u). Kako je v (u x v) = v (v x u) i v <-;;) = (v x-;); to je v <:x 0=-;· (v x:)-:(v x ;) =;;ot u-:_u-;ot-:.

1548. LJ X (: X -;) = V X (7t X-;) + V X (-; X-;) Kako je v x (-;; x -;) = (-;v) ;_-;<v;) i v x (; x ;)=-v x (-; x ;) =;<v-;)-(; V)-;, onda zamenom u prvi izraz dobijamo da je vx (; x -;) = (-;v) -;;_-;(V-;;) +; (V-;)-(;; V)-; odnosno rot (-;; x -;) = (-; 17) -;;_(-;;V)-;_-; div-;;+ -;; div-;.

1549. Budući da se operator v primenjuje samo na vektor b imaćemo

gde tačkica iznad vektora b znači da se operator v primenjuje na skalami proizvod ;t ili tako, da se -; smatra konstantnim vektorom. Izvesti obrazac za v (;b) u slučaju kada je ; konstantan vektor svodi se na v (; b) = (; V) b+-; x <v x b).

GLAVA V 561

Otuda je

1553. Dobija se (-; 17) {b-;)= b[-; 17 (-; )] +-; [� 17) b]. Ovde se koristi svojstvo adi tivnosti prvo se operator primeni na jedan vektor dok drugi ostaje konstantan i obrnuto. 1554. Nalazimo da je � x 17j; =-; (17 x--;)=� rot; =O pošto je rot;=o. Koristi se svojstvo mešovitog vektorskog proizvoda. fi:.-: .·.iii .. 1555. Koristeći obrazac vektorske algebre za dvostruki vektorski p_roizvod nalazimo

(;X 17) x-; = l7 r;,-;)_-; (17 -;) = (-; 17)-;_-; (17 7).

Pošto je (;17)-;=-;, 17-;= 3, to je � x 17) x-; = -2;. 1556. Iz 17 x (..l.-;) = A (I7 x-;)-(-;x 17J.) za A =J (r) i ;=-; dobija se

17 x (J (r) -;) =J (r) (17 + 7-c7 x 17 J (r)). No pošto je 17 X-;= o a 17 J (r) = f' (r) 17 r to je 17 X (f (r)-;) = -J' (r) c7 X grad r) = = -J' (r) (-;X Ort-;) =0. i)2 tp i)2 'P i)2 tp

1558. - =-=--=0. o x2 o t2 o z2 1559. .1 J lp = 17 (17 J lp) = 17 Cf 17 lp + lp 17 J) = 17 Cf 17 lp) + 17 (lp 17 J) = J 172 lp + 17 J 17 lp + 17 lp 17 J+

+ rpLJ2 J= J Ll lp + rpLI J+ 2 17 J 17rp. 1563. l o Prema teoremi Ostrogradskog je

rJfi rp ;d S= J J J div (cp ;7} dV s v

Pošto je div (rp;) = 17 (rp-;) =rp (17 -;) +-; 17rp) =rp div-;+-; grad rp to zamenom u prethodnu relaciju dobijamo:

odakle je rffi rp-; is= J J J rp div; d V+ J J J ; grad rp dV, (S) V V

J J J rp div;;dv=rffi rp;is-J J J;grad rp dV. s v

zo Koristeći opet teoremu Ostrogradskog, prvo nalazimo "ff; -+ -+ -+ JJ! -+ -+ 'jj-' (a x b )dS= 17 (a x b ) dV. s v

rJfi (;{xb)iS= J J Jbrot;dV-J J f;{rotbdV s v v

36 Zbirka zadataka iz više matematike II

562

odakle je

REZULTATI

J J J-; rotbdV = J J fb rot ;dV -1.P d S (--; x b). v v s

1564. Data jednakost je gj) r 97 17 (+) -+ 17 97 J d S= -J J J+ 172 97 dV. Ako na levu stranu s v ove jednakosti primenimo formulu Ostrogradskog dobiće se dalje

v v

što je i trebalo dokazati.

1565. Kako je �: = grad 'P·-;. to je gj) 97 grad 'P ;o dS= J J J 17 (97 grad 'P) d V= v J J J (grad 97· grad 'P + 97.đ'P) dV.

v

� -+ -+ � -+ -+-+ � -+ -+ -+ 1566. Data jednakost je 'H' {(e d S ) a-d S (a e)} = O tj. 'H' e x (a x d S) = O, ili zbog kon-s

stantnosti vektora -; ---+ "ff:_ - _,. e x 'H' (a x d S) = 0.

s

Ako sa V označimo veličinu oblasti obuhvaćene zatvorenom površinom S biće takođe

a isto tako i e x

"ff:_ ---+ ---+ 'H' d S x a

s v

if.P dsx-;

o,

---+ s e x lim----=0, V---+0 V

tj. -; x rot--;= O. Odavde očigledno sledi da vektor -; mora imati jednu � od sledećih osobina: l o ili je rot�= O, tj . polje mora biti potencijah.o; 2" ili mora biti rot--; kolinearan sa vektorom -;.

GLAVA V 563

---+ J ---+ ---+ 1569. Ako se stavi l= y dr x a pa se ova jednakost skalarno pomnoži sa konstantnim vekto-

rom e dobijamo ___,. ___,. ---+ J ---+ ---+ J � _ _,. ---+ J ___,. ___,. ___,. e l= e y (dr x a) = y e (dr x a) = y dr (a x e ).

e

Primenom Stocsesove formule dobija se dalje

7 f d7x--;; = rffiis[v x {;-;)1 =7# [(dSx v) x ;l · e S S

-Iz zadnje jednakosti, pošto ona važi za bilo kakav konstantan vektor e , sledi

f d-,+ x --;; = rffi [(is x v> x ;l = rffi [grad (d ;s;)-is div ;l o t: s

pri čemu se u izrazu grad (d -;s-;) vektorski površinski element tretira kao konstanta Otuda je

f d--;x--;;= rffi l(dSx v) x--;;l = rffi (ds'17) ;-rffi ds17--;;. · s s s

l o U specijalnom slučaju kada je ; = -;prethodna jednakost daje

J ---+ ___,. ,.ff; ___,. ___,. ___,. ---+ y d r x r = yj-1 [ (d S LI) l r-d S· J 7' 1·

s

---+ ---+ ___,. ---+ J ___,. ---+ ,fl, ___,. No kako je (dSJ7) r = d S i J7 r = 3:::> y d r x r= 2 j.y dS.

Ova jednakost s e takođe može dobiti služeći se geometrijskom interpretacijom.

ZO Ako se u istoj jednakosti stavi -;= -;x -; gde j e -; konstatan vektor dobiće se

f d-; x (e x--;) = rffi (iS x J7) x (7 x --;) = rffi [7 d S J7-;_-; d S J7 --:1. s s

pošto je

to prethodna jednakost postaje

f d-; x (; x-;:} = -rffi 7x ds= rffi dsx7. e S

1570. ;{ = ( � + y z)t-(VX2"+7 + x z) J+ (x-y) z ·k. (x2 + y2 + z2) V x2 + y2

36•

564 REZULTATI

l 1 -x

=If [ (x-2 z) + {3 z-4 x) + (5 x+y) dx dy= J ex + l) dx J dy = � ; D O O

t/>2 = J J [(x - 2 z)f+ (3 z-4 x)f+ (Sx+ y)k] ( -D dz dy= J J 2z dy dz= D D

l l -z l

= 2/zdz J dy=2J z (l-z) dz=+ ; o o

l 1 -x

tP, = JJ (4x-3z) dx dz = J dx J (4x-3z) dz = � D O O

l 1-x

tP 4 = -J J (Sx + y) dx dy = -I dx J (Sx + y) dy = - l D O O

2 1 l l Tako se konačno dobija tP=-+-+ --l = _ 3 3 6 6

Drugi način. Primenom formule Ostrogradskog biće

tP =J J J (l + O + O) dx dy dz = V = � · � = � v

J n 1572. - · 15 1573. 16

64 n 1574. 3

- - --"' -->- x i+yj-z k

1575, n l z l v 2

dS= V2 dx dy -=.>tP =JJ(xy + y ) V"".0+?-xy dx dy = V x2+ yz 2 n l D

=J dqJ J (r3 sin qJ cos qJ-r2 sin qJ-r2 sin qJ cos qJ) dqJ= 0.

n o o

1576. -b2 a2 -. Zatvoriti površ sa ravni z= b, a zatim primeniti formulu Ostrogradskog. 2

� -+- � � --+ 1577. H' a d S= -4 nfe, jer je r0 dS=dS.

o u

n

1578. L; e1• i= l

1580. e e =- = div (k grad u), gde je e specifična provodljivost toplote a e gustina tela. o z

GLAVA V 565

J . x- 1 y-1 z- 1 1581. l= x dx+ydy + (x +y- 1) dz. No kako J e -- =-- =--=> y = 2 x- l dy= 2 dx l 2 3 ' ' e

2

z = 3 x-2, dz= 3 x, pa je 1=2 J (7 x-4) dx) = 13. l

1582 6 v.r v-. +2 In (4 3 + 7).

r B

1583. n a2• l

1584. 6 a2 (3-2 a) . 1585. J /(r) dr .

o

1586. Prvi način f = J + J+ J gde je J =J (x" + 2 x3-2 x2 + 1) dx = -�� ; e c1 c2 c3 c1 1

l

J= J z2 dz =+ c2 O

o

J= J z2 dz = -+· C3 l

f 41 Definitivno je = -- · 30 Drugi način. Iz jednačine x2 + y +z2- l = O => -;= 2 xl+ J+ 2 z k,

V4x2 + l + 4z2 ....,. i j k -+ o o o __,. __,. V4 x2 + l + 4 z2 rot A = iJx iJy iJz = 2 (x +y) k, d S= Z j z j dx dy.

y2 -xz z2 Na taj način će biti

1587. -n a•.

l l-x2 fA. d7=-2 J J (x+y) dxdy= -2 J dx J (x+y) dy = e D O O

l J ( I - 2 x2 +x4 ) 41 = -2 x-x3 + 2 dx= -30 ·

o '

1588. -4n. 1589. 1° 2 n ; zo 2 n. 1590. lo O; 2° 2 n n, gde je n broj obilaženja konture e oko ose O z. 1591. Q = J J (�:+ �;) dxdy; C=J J (:;-�;) dx dy; �:=-�: . �; :; D D

1592. rot / (r)7=/(r) rot7+ grad/(r) x7. No kako je rot7=o, a grad/ (r) =/' (r) � ispada r da je

-+ ._.. r __,. rotf(r) r =0+ /' (r) - x r =0+0=0 r

što znači da je polje zaista potencijalno. Njegov potencijal je M M

u (M) = J f(r)7d7= J f(r) r dr Mo Mo

jer je 7d7= r dr. Ovaj identitet dobija se polazeći od jednakosti 77=r2• Ako se ova jednakost diferencira dobija se 2 7 d-;= 2 r dr=>-; d 7 = rdr, što je i trebalo dokazati.

566

1593. -+

rotA= o O X y+z

REZULTATI

..... -+ ' = 0 j k

o o oy o z x+ z - , X+Y

X y Z u (M) = J O dx+ J x dy+ J (x +y) dz=:>u (M) =xy+ (x+y) z + e.

o o o Ako, provere radi, nađemo grad u biće:

grad u = (y+z) 7 + (x + z)f + (x + y)k što je i trebalo dokazati. -

1595. Da bi polje bilo potencijalno mora biti rot A = O tj.

o ox

j o o y

o o z

x+2y+az bx-3 y-z 4 x + cy + 2 z što je ispunjeno jedino ako je e = - l , a= 4 i b = 2. Na taj način imamo da je

A = (x + 2 y+4)7 + (2 x-3 y-z)J + (4 x-y+2 z) k njegov potencijal je

X y z

u (M) = J (x + 4) dx+ J (2 x-3 y) dy+ J (4 x-y+ 2z) dz=

tj. konačno je

o o o l 3

= - x2 + 4 x+ 2 xy--y2 + 4 xz-yz+ z2 + c 2 2

l 3 u (M)=-x2 -- y2 +z2 + 2 xy+4 xz + 4 x-yz + c. 2 2

1596. Mi ćemo ispitati samo pod l o i 2°, a ostalo će ispitati čitalac.

1° Prvi način. Kako je -;;-;= c, x + c2 y + c3 z = u to je A = U-;= uxf + uyJ+ uzk pa je j k

__.. o rot A = ox :y o0z = (z �; -y �:F+ ( )k. pri čemu

ux uy uz o u o u je -- = e1 , -= c2 o x o y potencijalno.

o u - = c3 • Odavde sledi da je rot A#O, što znači da polje nije o z

Drugi način. Zadatak ćemo rešiti primenom operatora V· Tako će biti

rot (77) -;= rot (u-;) = v x (u-;) = u rot-;_-; x grad u= 0-7 x grad u ; no kako j e grad (-;;-;) =7x rot +-;x rot-;+ (-; V);+ (-; v>7=0+ 0+ 0+-;; paje i konačno

rot "i; ;'j 7= _-; x 7# O

1597.

GLAVA V 567

zo Prvi način. Kako je A="t-;}-;;"to je A=-;c pri čemu je u = c1 x+ c2 y + c3 z i iJu = e�> ox iJ u iJ u -=e" -= c3• Otuda je iJ y a z

__,. __,. j k __,. iJ iJ iJ · ( iJ u iJ u· __,. rot A = l = e Jo y -c2 iJ z) i + o x iJ y o z uc1 uc2 uc3

__,. .... + ( )j+( )j+ ( Odavde sledi da je polje potencijalno.

Drugi način. -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+

rot A = J7 x (u e) = u rot e- e x grad u = O-c x grad ( e r )= -e x J7 (e r) = -e x (O +0+ +O+-;) = O, što j e trebalo dokazati . Potencijal polja A= u c1 t+ u eJ� u e)( biće

X Y Z

u (M) =c1 J udx+ c2 J (c2 y + c3 z) dy + C : J zdz= o o o

__,. __,. df dr 1598. div A= div f (r) r = 3 f (r) + r f' (r). Iz jed načine 3 f (r) + rf' (r) =O :::;,- = - 3- , odnosno f r

k ln/= -3 ln r + ln k tj . f (r) =-r3 2 x 3 3x+ c 3 x

1599. !' (x) +--f(x)---= 0, :::;,f(x) -- ili s obzirom na početne uslove f(x)= --- . l + x2 l +x2 l +x2 l + x2 Vektorski potencijal ovoga polja određuje se iz jednakosti

X 3 -- i + 6 l +x2

__,.

x2 y __,. z __,. iJ j-3-- k = (l + x2)2 l + x2 dX p

__,. j d iJy Q

__,. k iJ ()z R oR iJQ X

:::;, --- = 3 -- , iJy Jz l + x2

oP oR x2 y JP iJQ z --- = 6 , -- - = 3 -- . Oz OX (l +x2)2 iJy dX l +X2

568 REZULTATI

Ako se stavi naprimer

o Q X o P x' y o P o Q z R = O dobija se - = -3 --- , - = 6 --- • - --= 3 -- · Nakon integracije,

o z l + x2 o z (l + x2)2 o y o x l + x2 xz x'y z

iz prave dve jednačine dobija se Q = -3 -- + tp (x, y) i P = 6 · + !p (x, y). l + x' ( l + x2 )2 6 x2 z z 3 x2 z z Zamenom u trećoj od jednačina biće ---+ 3 --+tp' - --- • -!p' = 3 -- •

( l +x')' l + x' (l +x')' l +x2 =:> tp' = 'P' ili tp= 'P · Ako se stavi tp= 'P= O konačno se dobija traženi vektorski potencijal

-+ x' y z --+ xz __.. U = 6 i-3 --j.

(l + x' )2 l + x'

� � ---+ ----'). ---+ ---+ ---+ ---+ � ---+ r 1600. rot A = 17 x r ( c x r ) = 17 x ( r B) = r rot B - B x grad r = r 17 x (c x r) - (c x r ) x - �

r

1603.

� � ---+ ____.. ____., ---+ ---+ ..-+ r ---+ ---+ ---+ � r = r [ (r 17 ) c- (c 17 ) r-r div c + c div r ]-(c x r) x - = r [ O - c-0 + 3 c ]-( c x r ) x - =

r r -+ � � r

= 2 r c-(c x r) x - *' O. r

Pošto polje nije potencijalno, proverićemo da li je solenoidalno tj da li je div A= O.

Tako imamo div r �x-;) = div ( r B) = 17 (r B) = (J7 r) B+ r [ J7 (7 x -;) ] = O + r

"{:: rot 7-� rot r) = O. To znači da je polje solenoidalno i njegov potencijal se određuje iz jednakosti

--+ j k - - o o o r( c x r ) =

OX oy o z p Q R

gde su P, Q i R nepoznate funkcije koje treba odrediti. M M

u (M) = J dr = _ __!_ l = r2 r Mo Mo

l l -:t=::===:===: + . Dalji postupak je jasan. V x' + y' + z' Vx2 + y2 + z2 o o o

1605. a1 = tp1 (z), a, = x + tp2 (z), a3 = tp3 (x, y).

Glava VI

1607. Iz x= a cos t, y = a sin t, z = b sin 2 t sledi x' + y' = a'

2 2 2

1608. x = 1 , y= 2 t, ž = 2 t2• s = J Vl +4 t 2 + 4 t4 dt = I 2 t3 l (l + 2 t2) dt = t + -3

-22 3

1609. VJ(et- 1). x-a cos t

1619. Tangenta: ----a sin t

o o

1611. 5.

y-a sin t z-b t x-a cos t ---- = -- binormala: ----

a cos t b b sin t

glavna normala : x-a cos t cos t

y-a sin t 2-bt sin t O

1620.

6

1612. l__,. ...... l a- b Jt + c.

y-a sin t z-bt -b cos t =-a- ;

4

1622. Normalna ravan: 2 x-z = O; oskulatorna ravan: y-1 = 0; rektifikaciona ravan: 12 x- 6 y + z-8 = 0.

1624. 1° x-y= z V2; zo 4 x-y-z-9 = 0. 1625. z = O.

( : ' _ _!_ _!_) (4. 8 z) . 1627.

3 ' 2 i - 3 , 1628. rp (t) = : J V1 -k2 cos2 t dt.

gde je k= -1-Vc'-1 ' c = const.

1629. Neka je a ugao koji normalni vektor oskulatorne ravni zaklapa sa z-osoro. Tada je /(t) = c2-tg a cos (c1 + t2) ili /(t) = c2 + tg a cos (c1-t).

1634. (0, O, 0). d>; d-;. -

1636. Iz k = O sledi - = 0 odakle je - = e, pa je ds' ds

1639. Sledi iz prethodnog zadatka. 1640. 2 x + 3 y + 19 z-21 = 0.

n se da je Ll x;...879. 21 l 880. 3 8 881. 9n 4 883. e-1. l ( az ) 884. Z e -l . 885. 4 888. ln-....

Documents

Transcript of n se da je Ll x;...879. 21 l 880. 3 8 881. 9n 4 883. e-1. l ( az ) 884. Z e -l . 885. 4 888. ln-....