Nieuwe Wiskrant 27-2/december 2007 47

gië) ontdekten dat de kromme ook buiten de cirkel konworden voortgezet. Christiaan Huygens (1629–1695)stelde voor de kromme ‘cissoïde van De Sluze’ te noe-men, maar dit had echter geen navolging. Overigensheeft Huygens aangetoond, dat de oppervlakte van hetvlakdeel tussen de kromme en diens asymptoot (de lijndoor C evenwijdig met AB in figuur 8) gelijk is aan

, waarbij r de straal is van de ‘voortbrengende’cirkel van de cissoïde (dus ook hier een trisectie).

[4] Francisci Vietae: Opera Mathematica, in unum volu-men congesta, ac recognita, opera atque studio Fran-cisci à Schooten Leydensis, Matheseos Professoris.Lugduni Batavorum, Ex Officina Bonaventurae &Abrahami Elzeviriorum, CI. I. C XLVI. Zie: http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k107597d(PDF-bestanden via webpagina’s van de BibliothèqueNational de France).

Literatuur

Hartshorne, R. (2000). Geometry / Euclid and beyond.New York: Springer (2000).

Johnson, C. A construction for the Heptagon. Zie ‘TheCrockett Johnson Homepage’ door Philip Nel (Kan-sas State University, USA) via www.k-state.edu/english/nelp/purple/.

Kazarinoff, N.D. (2003) Ruler and the Round / Classicproblems in geometric constructions. New York:Dover Publications Inc.

Knorr, W.R. (1993). The ancient tradition of geometricproblems. New York: Dover Publications Inc.

Martin, G.E. (1997). Geometric Constructions. NewYork: Springer.

Van der Waerden, B.L. (1950). Ontwakende wetenschap.Groningen: P. Noordhoff N.V. (1950) .

3πr2

Foto: Nanne Huiges

48 Goed nieuws uit het oosten...

Twee keer eerder was ik in Iran, als lid van een delegatieonder leiding van Jan Hogendijk. Die bezoeken leiddentot een samenwerking tussen het House of Mathematicste Isfahan en het Freudenthal Instituut, twee instellingenmet een grote overeenkomst in doelstelling en activitei-ten. Een aantal voornemens moest concreet gemaakt wor-den, de samenwerking kon uitgebreid worden naar meer-dere instituten, kortom, ik moest maar eens zelf ervarenhoe het is om een studiereis naar Iran te organiseren.

Muqarnas van de Imam Moskee te Isfahan

Mijn doel was drieledig: Iran wil mee gaan doen met deA-lympiade, daarnaast zocht ik een contactpersoon omeen project, waarin scholen één op één gekoppeld wor-den, te gaan realiseren en wilde ik het programma samen-stellen van een miniconferentie over realistisch wiskun-deonderwijs die we volgend jaar in Isfahan willen hou-den. Maar het wordt natuurlijk pas echt spannend als jezo’n reis voor een hele delegatie organiseert, waarin iederverschillende doelen nastreeft...Het was Ali Rejali, ‘onze man in Isfahan’ zelf die vorigjaar op het symposium ‘Geometric Patterns in IslamicArt’ in Leiden, aan Harrie Schollen, teamleider Wiskun-de van Fontys lerarenopleiding Tilburg, vroeg of Fontysook geïnteresseerd was in een samenwerkingsverbandmet Isfahan. Dus Harrie ging mee. Vorig jaar is er in Is-fahan een workshop georganiseerd, genaamd ‘Mathema-tics and Art’. Studenten van Jan Hogendijk hebben daarworkshops verzorgd die zowel voor wiskundestudenten

als voor studenten van de kunstacademie te volgen wa-ren. U kent deze workshops wellicht van de NationaleWiskunde Dagen of van de Nationale Rekendagen. Hetidee leeft om ook in Nederland zo’n workshop te organi-seren, de Hogeschool van de Kunsten van Fontys heeftinmiddels belangstelling hiervoor getoond. Op dat sym-posium in Leiden exposeerde Elvira Wersche: schitte-rende aquarellen gebaseerd op islamitische patronen.Omdat Elvira vlakbij Eindhoven woont, gaf ik haar en deschilderijen een lift naar huis. Onderweg vertelde ze overhaar ‘wereldmandala’s’: grote geometrische patronen,gestrooid met zand afkomstig van over de hele wereld. In2008 gaat ze er een maken in het Pergamonmuseum inBerlijn. Files geven vaak aanleiding tot het op hol slaanvan de fantasie, zo ook toen.

De Jameh Moskee te Isfahan

Een wereldmandala maken in Isfahan bijvoorbeeld. Endan zou haar dochter, de cineaste Jiska Rickels, het heleproces in een documentaire vastleggen. Jenny JeanetteFechner, mijn ‘lebensgefährtin’, uit Berlijn werd ook aande delegatie toegevoegd. Niet alleen is zij docente kunsten geschiedenis, verzorgt zij trainingen in geweldlozecommunicatie op middelbare scholen in Brandenburg.Een delegatie was er: toen bekend werd dat Jiska’s voorgouden kalveren genomineerde documentaire 4 elementsop een filmfestival in Teheran vertoond werd, hadden weook een datum. Na enig heen en weer mailen hadden weallemaal een officiële uitnodiging van het House of Ma-

Goed nieuws uit het oosten...

In oktober reisde een kleurrijk gezelschap naar Isfahan, Iran, om een dialoog in tweeuniversele talen op te starten en te intensiveren. Engels? Farsi? Nee. Veel universe-ler: Kunst en Wiskunde. Tom Goris doet verslag en hoopt op een bescheiden aan-varing met uw (voor)oordelen...

Nieuwe Wiskrant 27-2/december 2007 49

thematics. Vervolgens werden de plannen besproken metde heer Mesbah, de culturele attaché van de Iraanse am-bassade in Den Haag. Mesbah is zeer geïnteresseerd in ditsoort initiatieven, en verleent altijd alle mogelijke steunbij het aanvragen van visa. En aldus vertrok een bont ge-zelschap op 14 oktober j.l. naar Teheran. Daar werd degroep uitgebreid met Behrooz Zabihian en Arezo Araghi.Behrooz is een wiskundestudent, musicus en ontwerpervan complexe islamitische patronen. Arezo heeft de helftvan haar leven in Nederland gewoond, heeft hier tand-heelkunde gestudeerd, en is teruggekeerd naar Iran. Devoertaal van het gezelschap werd een combinatie van Ne-derlands, Duits, Engels en Farsi. Allemaal Indo-Europesetalen…

Het echte land van dichters en denkers

Persepolis

Geef toe: dat zal niet de eerste associatie zijn bij het horenvan de naam van het land. Er komt vrijwel alleen maarslecht nieuws uit Iran. Wat wellicht nog een beetje be-kend is, is het feit dat er in Iran moskeeën en paleizen meteen betoverende schoonheid te vinden zijn, en wellichtkennen we Persepolis uit een vervlogen geschiedenis-boek. Wat je vrijwel nooit hoort, is het feit dat veel Ira-niërs onvoorstelbaar gastvrij, behulpzaam en vriendelijkzijn. En dat je als westerling regelmatig op straat aange-sproken wordt door mensen die gewoon even een paarwoordjes Engels willen wisselen en die zo’n gesprekjevrijwel altijd eindigen met een ‘Welcome to Iran’ alsof zepersoonlijk vereerd zijn dat je ondanks de tegenwind hunland bezoekt; waar ieder gesprek vanzelf diepgang krijgt,volgens mij bestaat er in het Farsi niet eens een woordvoor oppervlakkigheid; waar jongeren uit het hoofd ge-dichten citeren van middeleeuwse dichters als Hafez enKhayam, alsof ze die 2500 jaar Perzië door hun aderenhebben lopen. Dat andere Iran uit de media moet ergensbestaan, maar het lijkt alsof dat zich verstopt. Het is deeerste indruk die vrijwel iedereen, hoe goed de reis en rei-ziger ook voorbereid waren, in positieve zin overvalt: hetis bijzonder aangenaam toeven in Iran. Zoveel hartelijk-heid, en beslist niet alleen naar die zeldzame toeristentoe; ook onderling merk je een grote solidariteit en op-rechte belangstelling voor elkaar. En het is er allemaal

niet zo streng als je wellicht denkt. Burqa’s zie je niet inIran, hooguit chadors; lange zwarte gewaden. En ja, vrou-wen moeten in het openbaar een hoofddoekje dragen eneen manteau, een soort oversized lang overhemd. Maaraan de andere kant is zeventig procent van de studentenop de universiteiten vrouwelijk, ook in de Bèta-richtin-gen. En zelfs het oversteken van een zesbaansweg in hetdrukke Teheran kun je leren: je richt je blik op het puntaan de overkant van de straat waar je naar toe wilt, je teltinwendig af van drie tot nul en dan begin je te lopen. Deautomassa’s wijken alsof het de rode zee was.

Dat ene Iran

Het eerste hoogtepunt van de trip was de vertoning vanJiska’s film in een Teheraanse bioscoop. In de film zit eenscene waarin een aantal mijnwerkers onder de douchestaat. Dat werd met een kartonnetje voor de lens gecensu-reerd, onder een handgeklap en gefluit als protest. Evenben je dan in het andere Iran. De volgende dag is er eenlang interview met Jiska op de nationale Iraanse TV. Enhaar doel wordt bereikt: ze kan volgend jaar een aantalmaanden samenwerken met een vooraanstaand Iraanseregisseur. ‘s Avonds het diplomatieke hoogtepunt: wewaren voor het diner uitgenodigd in de residentie van Ro-derick Wols, de cultureel attaché. Wols benadrukte hetbelang van samenwerking op cultureel gebied en zegdealle steun toe voor het vervolg.

Vlbnro: Behrooz, Tom, Harrie, Roderick, Jenny, Arezo, Jiska & Elvira

Jiska en Elvira op het Cinema Verité festival te Teheran

50 Goed nieuws uit het oosten...

Met hulp van Ali Rejali, de wetenschappelijk leider vanhet House of Mathematics, en prof. Ahmad Montazer vande University of Arts had ik vooraf een programma sa-mengesteld voor ons verblijf in Isfahan. Montazer was totvoor kort voorzitter van een commissie die al het archi-tectonisch erfgoed van Isfahan beheert, en dat opent deu-ren. Hij nam ons mee naar een onvoorstelbaar mooie Ko-ranschool, die normaal gesproken voor niemand toegan-kelijk is. Ook had hij geregeld dat Elvira een lezing konhouden over haar werk in een vijftiende-eeuws Zoroas-triaans auditorium. Gevolg: die wereldmandala gaat erkomen in Isfahan, waarschijnlijk volgend jaar al.

In een van de komende edities van de Nieuwe Wiskrantwordt ingegaan op de geometrie ‘onder’ de wereldman-dala’s en de schilderijen van Elvira. Kortom, de kunstsec-tor van de delegatie was in de wolken. Maar de onder-wijssector niet minder! Mijn drie doelen werden ook be-reikt.

De A-lympiade in Iran

Emran Behrooz tussen zijn leerlingen.

Emran Behrooz, zie foto, is de ‘local organizer’ van de A-lympiade, dit jaar met tien teams, volgend jaar, Insh’Al-lah, met tien scholen en het jaar daarna Iranbreed, met devraag om tegen die tijd ook aan de finale mee te mogendoen. Emran heeft een opmerkelijk artikel over de A-lympiade geschreven voor de Iraanse Wiskrant, zie http://www.mathhouse.org voor een voorproefje. Het artikel

gaat over verschillende algemene competenties die eernrol spelen bij het oplossen van A-lympiadeopdrachten.Het artikel wordt op dit moment vertaald en zal in deNieuwe Wiskrant van maart 2008 verschijnen.Op de site van het House of Mathematics staat een grootaantal A-lympiadeopdrachten in het Farsi.

De eerste A-lympiade voorrondeopdracht (1990)

De opdrachten moeten niet alleen translated worden,maar ook nog Iranized. Iranizing hebben we gedefiniëerdals het overzetten van wiskundige contexten van de enecultuur in de andere. Dat betekent dat je met een bepaaldeopdracht wel dezelfde doelen nastreeft, maar dat de con-text authentiek en realistisch voor de betreffende leerlingblijft. Dat is overigens in het voorbeeld nog niet gebeurd;hier zien we nog steeds de Amsterdamse- en de Utrecht-sestraatweg...We hebben twee VWO-achtige scholen bezocht, een jon-gens- en een meisjesschool en daar gesprekken gehadmet leerlingen en docenten. Het wiskundeonderwijs inIran heeft een zeer hoog, zij het zeer formeel niveau, hetsoort wiskundeonderwijs waar sommigen in Nederlandluidruchtig naar terugverlangen maar waar men in Iran,zowel leerlingen als docenten, eigenlijk vanaf wil. Bo-vendien wordt het hele onderwijs vrijwel volledig gedo-mineerd door het toelatingsexamen tot de universiteit,‘concours’ genaamd. Dat concours is een multiple choicetest voor alle vakken en bepaalt het verdere verloop vanje (onderwijs)leven. Er is zelfs een gezegde in het Farsidat vertelt dat er drie belangrijke momenten in je bestaanzijn: geboorte, concours en overlijden. En het is dit con-cours dat onderwijs vervreemdt tot examentraing....Ik heb het letterlijk zien gebeuren: in een les aan dertien-en veertienjarigen, die dus nog vier jaar van dat concoursverwijderd zijn. De les ging over het schrijven van repe-terende kommagetallen als breuken. Dat werd eerst opeen inzichtelijke manier uitgelegd, uitstapje naar het po-sitiestelsel, mooie inzichtsvragen, tot ongeveer tien mi-nuten voor het einde van de les de wending kwam. De do-cente schakelde over naar ‘de truc’, onder vermelding datje het zo het beste kon onthouden voor het concours...

Een wereldmandala in ‘aanbouw’

Nieuwe Wiskrant 27-2/december 2007 51

We hebben leerlingen geïnterviewd en gevraagd naar hunmening over de eigenschappen van een goede docent.Deze gesprekken, alsmede een aantal lessen, zijn prach-tig in videobeeld gebracht; toch handig als je een profes-sioneel cineaste in je gezelschap hebt... Deze beeldenhebben we gebruikt in een workshop voor een veertigtalwiskundedocenten, die iedere maandagavond in het Hou-se of Mathematics samenkomen om over wiskunde en di-dactiek te praten. Het concours domineerde ook de work-shop. De docenten willen wel nadenken over mooie di-dactiek, alternatieve werkvormen, toepassingen envakverbreding, maar het enige dat de leerlingen moti-veert is dat concours. Mede in dat daglicht is de prestatievan het House of Mathematics ongekend: met tal van ac-tiviteiten en manifestaties weet men wiskunde, en danmet name de combinatie wiskunde en Islamitische kunst,onder de aandacht te brengen voor een groot publiek.

Koepel van de Sjeik Lotfallah Moskee, Isfahan

Tijdens de gesprekken op het House of Mathematicswerd het een en ander duidelijk. Rejali vertelde dat menheel hard bezig is om de invloed van dat concours te mi-nimaliseren. Daarna is het zijn persoonlijke wens om hetIraanse wiskundeonderwijs te hervormen naar Neder-lands model. Sinds Ali het realistisch wiskundeonderwijsheeft leren kennen, is het zijn ideaal om dit ook in Iran inte voeren. Rejali is bijzonder goed op de hoogte van dediscussies die hier spelen. Heel fijntjes vertelt hij dan ookdat hij realistisch wiskundeonderwijs wil, zonder de ver-meende nadelen. Ali Rejali wil docenten voorbereiden op

de nieuwe tijd, na het verdwijnen van de invloed van hetconcours. Op dit moment worden delen van een van deNederlandse methodes Iranized. Met behulp van dit ma-teriaal kunnen docenten een indruk krijgen van realis-tische methodes, in de hoop dat er auteursteams gaan ont-staan die authentieke Iraanse methodes gaan maken. Ookis er belangstelling voor materialen waar wiskunde enscience geïntegreerd zijn, met name voor recente ontwik-kelingen hier: NLT. We zagen het al helemaal voor onshoe de tot nu toe enige gecertificeerde VWO-module ‘Rij-den onder invloed’ Iranized kon worden... Overigens: do-centen die een workshop willen verzorgen in Isfahan zijnvan harte uitgenodigd; u hoeft alleen maar de vlucht naarIran te betalen, daarna bent u een week te gast bij hetHouse of Mathematics. Meld uw eventuele interesse bijde auteur van dit artikel! Een van de initiatieven die we gaan proberen op te star-ten, is een project waarin leerlingen rechtstreeks aan el-kaar gekoppeld worden; ook hier is een contactpersoonvoor gevonden. Het idee is om teams te vormen van leer-lingen in Nederland en Iran die samen een wiskundeop-dracht gaan uitvoeren. Een plan dat verder uitgewerktwordt is het experiment om leerlingen op afstand een wis-kundewandeling te laten maken in elkaars stad. Met be-hulp van Google Earth en digitale foto’s. Het ene teamgaat dan het andere team instrueren om op bepaaldeplaatsen op de grond foto’s te maken. Door de grote ver-schillen in cultuur worden zelfs de gewoonste zaken in-eens interessant; nummerborden van auto’s bijvoorbeeldof prijsbordjes in winkels of bazaars. Mocht dit experi-ment inderdaad uitgroeien tot een soort wedstrijd, danligt de eerste prijs voor de hand: het ter plaatse uitvoerenvan de wiskundewandeling. Zo’n project kan een looptijdhebben van een of twee jaar, en kan in beide landen uit-gevoerd worden in samenwerking met docenten Engels,om van docenten Geschiedenis of Aardrijkskunde nogmaar te zwijgen. Ook hier geldt: meld uw eventuele inte-resse!

Niet iedereen begrijpt het dat je enthousiast uit Iran kuntterugkeren, om het maar voorzichtig uit te drukken. Voormij persoonlijk is het helder. Door de dialoog met het eneIran te intensiveren, draag je je steentje bij om dat eneIran in het enige Iran over te laten gaan, zeker als die dia-loog ook nog leidt tot goed nieuws uit het oosten. Bij de-ze.

Tom Goris, Freudenthal Instituut & Fontys Tilburg

Een biologieles